Exponentialfunktionen(3.5.): Unterschied zwischen den Versionen

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Exponentialfunktionen

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+#WEITERLEITUNG[[Exponentialfunktionen]]
-Diese Seite behandelt grundlegende Eigenschaften der Exponentialfunktion. Die Anwendungsbeispiele findest du auf der Seite [[Wachstums- und Zerfallsprozesse]]!
-| '''Definition:'''
-|<p style="background-color:#E0E0E0"> Exponentialfunktionen sind [[Funktion | Funktionen]], deren Funktionsgleichung die Form
-$$f(x)=b\cdot a^x  \textrm{           mit }  b \textrm{ und } a \in \mathbb{R}^+$$
-oder
-$$ f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}  \textrm{           mit } b \in \mathbb{R}^+,  \lambda \in \mathbb{R} $$
-</p>
-|}
-'''Hinweise'''
-* $e$ steht für die [[Eulersche Zahl e | Eulersche Zahl]]
-* $a=e^\lambda \rightarrow$   Dies ist der Zusammenhang der beiden Funktionsgleichungen
-== Graph der Exponentialfunktion ==
-Je nach Größe der [[Parameter]] a und b  bzw. λ verändert sich der Graph:
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-{| border=“0“
-|-
-|'''b gibt den Schnittpunkt mit der y-Achse an.'''
-Begründung: Beim Schnittpunkt mit der y-Achse ist die x-Koordinate gleich 0. Die dazugehörige y-Koordinate erhält man dann durch:
-$f(0)=b\cdot a^0 =b\cdot 1=b$
-(mit der $e^\lambda$-Formel funktioniert es genauso)
-|  [[Datei:Exp-fkt.gif|right]]
-|}
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-{| border="0"
-|-
-| '''a und $\lambda$ geben an, ob der Graph steigt oder fällt.'''
-|-
-| für $a>1$  oder $\lambda>0$
-|
-ist der Graph [[Monotonie | monoton steigend]]. '''Je größer a bzw. $\lambda$ ist, desto stärker steigt der Graph'''
-|[[Datei:Amimation für ag1.gif]]
-|-
-|für $0<a<1$ (d.h. wenn a zwischen 0 und 1 ist) oder $\lambda<0$
-|ist der Graph [[Monotonie | monoton fallend]]  und nähert sich immer mehr der x-Achse
-| [[Datei:Amimation für ak1-280.gif]]
-|}
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- Hier nun eine Learning-App oder GeoGebra-Quiz dazu (Graph bestimmen)
-== Weitere Eigenschaften der Exponentialfunktion ==
-[[Datei:Exp-fkt mit vielen as-png.png|right]]
-* Die x-Achse ist eine [[Asymptote]] des Graphen. D.h. der Graph der Exponentialfunktion nähert sich dieser beliebig nahe, ohne sie jemals zu schneiden.
-* Die Exponentialfunktion hat die besondere Eigenschaft, dass sie sich in bestimmten Abständen immer um ‚‘‘denselben Faktor‘‘‘ vermehrt (wenn a>1) oder vermindert (wenn 0<a<1) $\rightarrow $ siehe Abbildung rechts.
-* Aufgrund der letzten Eigenschaft werden Exponentialfunktionen für die Beschreibung von Wachstumsprozessen (z.B. Wachstum einer Bakterienpopulation) oder Zerfallsprozessen (z.B. Zerfall eines radioaktiven Elements) verwendet.
-Siehe [[Wachstums- und Zerfallsprozesse]]
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-== Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung ==
-Allgemeiner Lösungsweg: Die Funktionsgleichung wird bestimmt, indem man 2 Punkte auf dem Funktionsgraphen bestimmt und diese dann in die Funktionsgleichung einsetzt. Am einfachsten ist es, wenn einer der Punkte der Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse ist, da so b einfach bestimmt werden kann.
-=== 1. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (einfach) ===
-'''Angabe:''' Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot a^x$ geht durch die Punkte (0|3) und (2|12) bestimme die [[Parameter]] a und b.
-<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
-<span style="color:#A020F0>
-'''Lösung:''' </span>
-<div class="mw-collapsible-content">
-Um a und b zu bestimmen, setzen wir die Punkte in die Funktonsgleichung ein:
-{|
-|-
-|
-{| border="1"
-!|x
-!|y
-|-
-|0
-|3
-|-
-|2
-|12
-|}
-!| $\ \ \ \ \  y=b\cdot a^x$
-$\rightarrow 3=b\cdot a^0\ \ \ \ \ \rightarrow \underline{3=b}\ \ $        (Hinweis: Da f bei (0|3) die y-Achse schneidet, hätten wir schon vorher gewusst, dass $b=3$ ist.)
-$\rightarrow 12=3\cdot a^2 \ \ \rightarrow 4=a^2 \rightarrow \underline{a=2}$
-|}
-Somit gilt: $\underline{\underline{f(x)=3\cdot 2^x }}$
-</div>
-</div>
-<br>
-<br>
-<br>
-=== 2. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (mittel) ===
-'''Angabe:''' Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot a^x$ geht durch die Punkte (1|4) und (2|16) bestimme die [[Parameter]] a und b.
-<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
-<span style="color:#A020F0>
-'''Lösung:''' </span>
-<div class="mw-collapsible-content">
-Um a und b zu bestimmen, setzen wir die Punkte in die Funktonsgleichung ein:
-{|
-|-
-|
-{| border="1"
-!|x
-!|y
-|-
-|1
-|4
-|-
-|2
-|16
-|}
-!| $\ \ \ \ \  y=b\cdot a^x$
-$\rightarrow I:\ 4=b\cdot a^1$
-$\ \rightarrow II: 16=b\cdot a^2$
-|}
-Hier haben wir nun ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und zwei Unbekannten. Dieses können wir mithilfe des [[Gleichungssysteme (2.7.)#Einsetzungsverfahren (Substitutionsverfahren) | Einsetzungsverfahren]] lösen:
-Hierzu stellen wir in I die Unbekannte $a$ frei:
-$I:\  4=b\cdot a^1  \ \ \rightarrow a=$<span style="background-color:yellow"> $\frac{4}{b}$ </span>
-und setzen dies nun in II ein:
-$II:\ 16=b\cdot ($ <span style="background-color:yellow">$\frac{4}{b}$ </span> $)^2$
-$$II:\ 16=b\cdot (\frac{4}{b})^2$$
-$$II: \ 16=b\cdot (\frac{16}{b^2})\ \ \ |\cdot 16$$
-$$II: \ 16\cdot b^2 = 16 \ \ \ |:16 $$
-$$II: \ b^2=1 $$
-$$II: \ b=\pm 1$$
-Da laut der Definition (ganz oben) $b>0$ ist, muss gelten $\underline{b=1}$
-Damit erhalten wir $a=\frac{4}{b} \rightarrow  \underline{a=4}$
-Antowrt: Somit lautet die Funktionsgleichung $\underline{\underline{f(x)=1\cdot 4^x}}$ bzw. $\underline{\underline{f(x)=4^x}}$
-</div>
-</div>
-=== 3. Beispiel mit $f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$ (einfach) ===
-Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$ geht durch die Punkte (0|3) und (2|27) bestimme die [[Parameter]] $\lambda$ und b
-Lösung:
-. Punkt (0|3): Da der Graph die y-Achse hier schneidet, muss gelten $\underline{b=3}$ (siehe oben Beispiel 1)
-. Punkt (2|27): Wir setzen diesen Punkt und b=3 nun in die Funktionsgleichung um $\lambda$ zu erhalten:
-$$f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$$
-$$27=3\cdot e^{\lambda \cdot 2}$$
-Nun wenden wir den [[Logarithmus]] an:
-$$9=e^{\lambda \cdot 2}  \ \ \ | \ln(\ )$$
-$$\ln(9)=\ln(e^{\lambda \cdot 2})$$
-$$\ln(9)=\lambda \cdot 2\cdot \ln(e) \ \ \ |ln(e)=1 $$
-$$\frac{ln(9)}{2}=\lambda$$
-$$\underline{1.1=\lambda}$$
-Somit lautet die Funktionsgleichung $\underline{\underline{f(x)=3\cdot e^{1.1\cdot x}}}$
-[[Kategorie Funktionen]]

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