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-In der Trigonometrie beschäftigen wir uns mit Dreiecken  (tri-gono-metrie = drei-ecks-messung)
+#WEITERLEITUNG[[Trigonometrie]]
-Die folgende Seite ist in 5 Theorieabschnitte gegliedert, die das Lernen erleichtern sollen:
-# [[#Grundwissen - Das rechtwinklige Dreieck | Grundwissen - Das rechtwinklige Dreieck]]: Hier lernst du die Grundbegriffe und Grundrechnungen kennen.
-# [[#Vertiefung: Betrachtungen im Einheitskreis | Vertiefung: Betrachtungen im Einheitskreis]]: In diesem Abschnitt lernst du das Bogenmaß und den Einheitskreis kennen.
-# [[#Trigonometrische Funktionen | Trigonometrische Funktionen]]: Hier lernst du die typischen Graphen der Sinus-, Cosinus und  Tangensfunktion kennen.
-# [[#Das allgemeine Dreieck | Das allgemeine Dreieck]], indem du lernst, in Dreiecken, die keinen rechten Winkel haben, zu rechnen.
-# [[#Vermessungsaufgaben | Vermessungsaufgaben]], in denen du das Gelernte in Anwendungsbeispielen verwenden kannst.
-Die letzten beiden Kapitel bestehen aus einer [[#Zusammenfassung der wichtigsten Formeln im rechtwinkligen und im allgemeinen Dreieck  | Zusammenfassung der hier verwendeten Formeln]] und [[#Matura-Aufgaben | Matura-Aufgaben]]
-== Grundwissen - Das rechtwinklige Dreieck ==
-=== Begriffe ===
-[[Datei:RechtwDreieck.png|thumb|right|350px|rechtwinkliges Dreieck]]
-Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck (= Dreieck mit einem 90°-Winkel).
-* Die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck heißt '''Hypotenuse'''. Sie ist '''IMMER gegenüber vom dem rechten Winkel'''.
-* Die beiden kürzere Seiten heißen '''Katheten'''. Ausgehend vom Winkel $\beta$ (siehe Skizze) können die beiden Katheten folgendermaßen unterschieden werden:
-: * die <span style="background-color:#FF6347"> Gegenkathete GK </span> liegt $\beta$ gegenüber
-: * die <span style="background-color:#6495ED"> Ankathete AK </span> liegt an $\beta$ an.
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-=== Sinus, Cosinus und Tangens ===
-{| border ="1"
-| '''Definition'''
-|<p style="background-color:#E0E0E0">
-{|
-|
-* Der Sinus eines Winkels $\alpha$ ist definiert als das Verhältnis von GK zu H
-|$\ \ \ \mathbf{\sin\ \alpha = \frac{GK}{H}}$
-|-
-|
-* Der Cosinus eines Winkels $\alpha$ ist definiert als das Verhältnis von AK zu H
-|$\ \ \ \mathbf{\cos\ \alpha = \frac{AK}{H}}$
-|-
-|
-* Der Tangens eines Winkels $\alpha$ ist definiert als das Verhältnis von GK zu AK
-|$\ \ \ \mathbf{\tan\ \alpha = \frac{GK}{AK}}$
-|}
-</p>
-|}
-<span style="background-color:#7CFC00"> [[grün: Arbeitsblätter | $+$]]  </span>
-Das Besondere ist, dass diese Verhältnisse nur vom Winkel abhängen, nicht aber von der Größe des Dreiecks! Dies kannst du in
-:[http://www.geogebratube.org/student/m133029 diesem Arbeitsblatt überprüfen].
-'''Wichtig!'''
-Sinus, Cosinus und Tangens gelten nur im '''rechtwinkligen Dreieck'''!
-<br>
-<br>
-<br>
-=== Steigung und Steigungswinkel ===
-[[Datei:Steigung11.png|thumb|right|450px|Steigung und Steigungswinkel]]
-Aus dem Kapitel [[Lineare Funktionen]] wissen wir bereits, dass $k=\frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied}$ die Steigung angibt. Betrachtet man die folgende Skizze, so kann folgender Zusammenhang festgestellt werden:
-$$k=\frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied}=\frac{GK}{AK}=\tan \alpha$$
-Somit erhalten wir die Formel:
-{| border="1" align="center"
-| $$k=\tan \alpha$$
-|}
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-<br>
-<br>
-<br>
-<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
-<span style="color:#A020F0> Musterbeispiel </span>
-<div class="mw-collapsible-content"> Eine 10 m lange Rampe legt einen Höhenunterschied von 1.4 m zurück.
-- Fertigen Sie eine Skizze und zeichnen Sie die angegebenen Größen ein.
-- Bestimmen Sie
-* a) den Steigungswinkel
-* b) die prozentuelle Steigung
-<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
-<span style="color:#A020F0> Lösung </span>
-<div class="mw-collapsible-content">
-[[Datei:Steigungsbsp.png|thumb|right|400px|Skizze der Rampe]]
-a) Berechnung des Steigungswinkels:
-$\sin\ \alpha° = \frac{GK}{H}=\frac{1.4}{10}$    |[[Arkusfunktionen | im TR: $sin^{-1}$]]
-$\alpha = 8.05°$
-b) Mithilfe der Formel $k=\tan\ \alpha$ können wir die prozentuelle Steigung auch ohne den Längenunterschied (in der Skizze die blaue Strecke) berechnen:
-$$k=\ tan\ \alpha$$
-$$k=\tan \ 8.05°$$
-$$k=0.14=14 \ \%$$
-A: Die Steigung beträgt 14 %.
-</div>
-</div>
-</div>
-</div>
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-=== Übungen im Rechtwinkligen Dreieck ===
-* [http://www.mathe-online.at/tests/wfun/defWfun.html Online-Übung zur Überprüfung, ob die richtige Formel verwendet wurde]
-* [http://www.realmath.de/Neues/10zwo/trigo/winkelfunktionen2.html Weitere Übung zur Überprüfung der Formel]
-* [http://www.realmath.de/Neues/10zwo/trigo/winkelfunktionen.html Und noch eine Übung dazu]
-* [http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/rechtw.htm Rechenbeispiele von Jutta Gut]
-* [http://matura.marienberg.at/images/0/04/Aufgaben_zu_den_Themen_rechtw_Dreieck_und_Einheitskreis.pdf Aufgabenblatt mit Textaufgaben samt Lösungen]
-<br>
-<br>
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-<br>
-== Vertiefung: Betrachtungen im Einheitskreis ==
-=== Gradmaß und Bogenmaß im Einheitskreis ===
-[[Datei:Winkel- und Bogenmaß1.png|thumb|right|500px|Einheitskreis mit Winkel in Grad- und Bogenmaß]]
-Der '''Einheitskreis''' ist ein Kreis mit Radius r=1 cm. Sein Umfang beträgt
-$$U=2\cdot r\cdot \pi=2\cdot 1\cdot \pi=2\pi$$
-Legt man durch den Mittelpunkt des Einheitskreises das Koordinatensystem, so kann man den Winkel zwischen der positiven x-Achse und einem beliebig eingezeichneten Radius auf zwei Arten bestimmen:
-'''1) Gradmaß (abgekürzt mit °)'''
-So haben wir bis jetzt immer Winkel gemessen.
-* Eine volle Umdrehung hat 360°
-* Eine halbe Umdrehung hat 180°
-'''2) Bogenmaß (abgekürzt $rad$ für engl. radian)'''
-Anstelle der Grad kann auch die Länge des Kreisbogens b (siehe Skizze) bestimmt werden.
-* Bei einer vollen Umdrehung hat b die Länge $2\cdot \pi$ (=Umfang des Einheitskreises). Somit beträgt der Winkel $2\pi\ rad$.
-* Eine halbe Umdrehung entspricht dem Winkel $\pi$ rad.
-{| align="center"
-[http://www.geogebratube.org/student/m133394 Hier findest du ein Arbeitsblatt], das dir den Zusammenhang besser erklärt.
-|}
-{| border="1"
-|'''Merke:'''
-|
-{|
-| Die Umrechnung von Grad- in Bogenmaß (und umgekehrt) funktioniert am einfachsten mit einer Schlussrechnung:
-|-
-| $$ 360°\ \ \ - \ \ \ 2\pi \textrm{ rad}$$
-$$ \alpha°\ \ \ - \ \ \ \alpha \textrm{ rad}$$
-Wobei entweder $\alpha°$ (der Winkel in Gradmaß) oder $\alpha$ rad (der Winkel in Gradmaß) gegeben ist.
-|}
-|}
-<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
-<span style="color:#A020F0> '''Musterbeispiel''' </span>
-<div class="mw-collapsible-content"> Text der nicht angezeigt werden soll
-a) Wandeln Sie den Winkel $\alpha=90°$ in Bogenmaß um.
-b) Wandeln Sie den Winkel $\alpha=\frac{\pi}{3}$ rad in Gradmaß um.
-<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
-<span style="color:#A020F0> Lösung </span>
-<div class="mw-collapsible-content">
-a) Grad- in Bogenmaß:
-$$ 360°\ \ \ - \ \ \ 2\pi \textrm{ rad}$$
-$$ \textbf{90°}\ \ \ - \ \ \ \alpha \textrm{ rad}$$
-$$\rightarrow \ \alpha \textrm{ rad}=\frac{90\cdot 2\pi}{360}=\frac{\pi}{2} \textrm{ rad}$$
-A: 90° entsprechen in Bogenmaß $\frac{\pi}{2} \textrm{ rad}$
-b) Bogen- in Gradmaß:
-$$ 360°\ \ \ - \ \ \ 2\pi \textrm{ rad}$$
-$$ \alpha°\ \ \ - \ \ \  \mathbf{\frac{\pi}{3} \textrm{ rad}}$$
-$$\rightarrow \ \alpha°=\frac{360\cdot \frac{\pi}{3}}{2\pi}=60°$$
-A: $\frac{\pi}{3}$ rad entsprechen 60°
-</div>
-</div>
-</div>
-</div>
-<br>
-<br>
-<br>
-=== Sinus, Cosinus und Tangens im Einheitskreis ===
-====Theorie====
-Sinus, Cosinus und Tangens können folgendermaßen aus dem Einheitskreis abgelesen werden:
-[[Datei:Sinus und Kosinus und Tangens im Einheitskreis1.png|thumb|right|500px|Sinus, Cosinus und Tangens im Einheitskreis]]
-Dabei gilt:
-* Der Sinus entspricht der Länge der rot markierten Stecke = y-Koordinate des Punktes auf dem Einheitskreis.
-* Der Cosinus entspricht der Länge der blau markierten Stecke = x-Koordinate des Punktes auf dem Einheitskreis.
-* Der Tangens entspricht der Länge des [[Tangente | Tangentenabschnittes]].
-<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
-<span style="color:#A020F0> '''Begründung:''' </span>
-<div class="mw-collapsible-content">
-'''Sinus:'''
-Betrachte das rechtwinklige Dreieck im Einheitskreis. Die Hypotenuse ist der Radius und hat somit die Länge 1. Die $\color{\textrm{rote Strecke}}{GK}$ ist von $\alpha$ aus gesehen die Gegenkathete $\color{red}{GK}$.
-Zu zeigen ist nun:
-$$\sin \ \alpha=\color{red}{GK}$$
-'''Beweis:'''
-$$\sin\ \alpha=\frac{\color{red}{GK}}{H}=\frac{\color{red}{GK}}{1}=\color{red}{GK}$$
-$$\sin\ \alpha=\color{red}{GK}$$
-Der Beweis für den Cosinus funktioniert analog. Für den Tangens muss das große Dreieck mit AK=1 betrachtet werden.
-</div>
-</div>
-Mit dem folgenden [http://www.geogebratube.org/student/m133494 Arbeitsblatt] kannst du dein Verständnis vertiefen.
-<br>
-<br>
-<br>
-====Wichtige Werte====
-Die folgende Tabelle gibt Werte für Sinus, Cosinus und Tangens an, die du nun auch ohne technische Unterstützung, allein durch die Vorstellung vom Einheitskreis, wissen solltest. Das [http://www.geogebratube.org/student/m133494 obige Arbeitsblatt] sollte dir dabei helfen:
-{| border="1" align="center"
-|
-| Sinus
-| Cosinus
-| Tangens
-|-
-| Gradmaß: 90°
-Bogenmaß:$\frac{\pi}{2}$ rad
-| 1
-| 0
-| nicht definiert
-|-
-| 180°
-$\pi$ rad
-| 0
-| -1
-| 0
-|-
-| 270°
-$\frac{3\pi}{2}$ rad
-| -1
-| 0
-| nicht definiert
-|-
-| 0° und 360°
-rad und $2\pi$ rad
-| 0
-| 1
-| 0
-|}
-<br>
-<br>
-<br>
-== Trigonometrische Funktionen ==
-=== Sinusfunktion $f(x)=\sin \ x$ ===
-Stellt man nun den Sinus in Abhängigkeit vom Winkel graphisch dar, indem man auf der x-Achse den Winkel in Bogenmaß und auf der y-Achse den zugehörigen Sinuswert angibt, so entsteht der folgende Graph:
- [[Datei:Sinusfunktion.png|thumb|center|700px|Graph der Sinusfunktion mit Kennzeichnung der Periodenlänge von $2\pi$]]
-{| border="1"
-| <p style="background-color:#8EE5EE"> Erklärung:
-</p>
-| In diesem [http://www.geogebratube.org/student/m133564 Arbeitsblatt]findest du heraus, wie man mithilfe des Einheitskreises auf die Graphen kommt.
-|}
-===Cosinusfunktion $f(x)=\cos \ x$ ===
-Der Graph der Cosinusfunktion hat die folgende Form:
- [[Datei:Cosfunktion.png|thumb|center|700px|Graph der Cosinusfunktion mit Kennzeichnung der Periodenlänge von $2\pi$]]
-===Tangensfunktion $f(x)=\tan\ x$ ===
-Der graph der Tangensfunktion hat die folgende Form:
- [[Datei:Tangensfkt1.png|thumb|center|700px|Graph der Tangensfunktion samt den asymptoten (rot) und der Kennzeichnung der Periodenlänge von $\pi$]]
-<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
-<span style="color:#A020F0> '''Besondere Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen''' </span>
-<div class="mw-collapsible-content">
-# Periodizität: Die Werte der Trigonometrischen Funktionen wiederholen sich in regelmäßigen Abständen.
-# Beschränktheit: Sinus- und Cosinusfunktion haben die [[Wertemenge]] $W=[-1;1]$. Anders formuliert: es gilt für alle x: $$|sin(x)|\leq 1$$ und $$|cos(x)|\leq 1 $$ (Hinweis: Hier wurde der [[Betrag einer Zahl (1.6.) | Betrag]] verwendet.)
-# Der Tangens ist unbeschränkt (geht nach $-\infty$ und $+\infty$) und hat unendlich viele vertikale Asymptoten im Abstand von $\frac{\pi}{2}$.
-# Wichtige Funktionswerte (Nullstellen, Hoch- und Tiefpunkte) können bereits aus der [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)#Wichtige Werte | Tabelle zum Einheitskreis]] herausgelesen werden.
-</div>
-</div>
-<br>
-<br>
-<br>
-<br>
-== Das allgemeine Dreieck ==
-[[Datei:AllgDreieck.png|thumb|right|400px|allgemeines Dreieck]]
-Unter allgemeinen Dreiecken versteht man Dreiecke, die nicht über einen rechten Winkel verfügen müssen.
-Ohne rechten Winkel können wir die [[#Grundwissen - Das rechtwinklige Dreieck | Formeln für Sinus, Cosinus und Tangens]] nicht verwenden. Aus diesem Grund führen wir nun neue Formeln ein:
-a) den Sinussatz
-b) den Cosinussatz und
-c) die allgemeinen Flächenformeln
-Im allgemeinen Dreieck braucht man immer 3 bekannte Größen, um eine vierte zu berechnen! (Im rechtwinkligen Dreieck reichten uns dank dem rechtenwinkel zwei zusätzlich Größen, um eine weitere zu berechnen).
-<br>
-<br>
-<br>
-<br>
-=== Sinussatz ===
-Der Sinussatz wird verwendet, wenn im allgemeinen Dreieck
-. eine Seite und
-. der gegenüberliegende Winkel und
-. irgend eine andere Seite oder ein anderer Winkel bekannt sind.
-{| border="1" align="center"
-| '''Formel für den Sinussatz'''
-|-
-| $$\frac{\sin\ \alpha}{a}=\frac{\sin\ \beta}{b}=\frac{\sin\ \gamma}{c}$$
-|}
-Das folgende Video zeigt dir auf musikalische Art und Weise die Herleigung des Sinussatzes:
-{| align="center"
-|{{#ev:youtube|Mvm69Wj8doo}}
-|}
-<br>
-<br>
-<br>
-=== Cosinussatz ===
-{| border="1" align="center"
-!| Formeln für den Cosinussatz
-|-
-|
-* $$a^2=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot \cos\ \alpha$$
-* $$b^2=a^2+c^2-2\cdot a\cdot c\cdot \cos\ \beta$$
-* $$c^2=a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot \cos\ \gamma$$
-|}
-Der Cosinussatz wird verwendet, wenn im allgemeinen Dreieck:
-: a) alle drei Seiten gegeben sind und ein Winkel berechnet werden will oder
-: b) 2 Seiten und der darin eingeschlossene Winkel gegeben ist.
-{| border="1" align="center"
-!| Voraussetzungen, um den Cosinussatz zu verwenden.
-:: <span style="color:red"> gegebene Größen </span>
-:: <span style="color:blue"> berechenbare Größen </span>
-|-
-|
-{| align="center"
-| [[Datei:Cosinussatz1.png|thumb|300px|Drei Seiten sind gegeben, ein Winkel kann berechnet werden]]
-| [[Datei:Cosinussatz2.png|thumb|300px|Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel sind gegeben, die gegenüberliegende Seite kann berechnet werden]]
-|}
-|}
-<br>
-<br>
-<br>
-<br>
-=== Beispiele ===
-* [http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/dreiecke.htm Aufgaben zum allgemeinen Dreieck von Jutta Gut]
-== Vermessungsaufgaben ==
-=== Begriffe ===
-[[Datei:Höhen- und Tiefenwinkel.gif|right]]
-* '''Höhenwinkel'''
-Der Höhenwinkel ist der Winkel zwischen der Horitonalen (= waagrechte Gerade) und "dem Blick in die Höhe".
-* '''Tiefenwinkel'''
-Der Tiefenwinkel ist der Winkel zwischen der Horitonalen (= waagrechte Gerade) und "dem Blick in die Tiefe".
-* '''Sehwinkel'''
-Der Sehwinkel ist das Objekt (in der rechten Abbildung die senkrechte Strecke) "einfängt".
-<br>
-<br>
-<br>
-=== Beispiele ===
-* [http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/verm.htm Beispiele zu den Vermessungsaufgaben von Jutta Gut]
-<br>
-<br>
-<br>
-<br>
-<br>
-== Zusammenfassung der wichtigsten Formeln im rechtwinkligen und im allgemeinen Dreieck ==
-{| border="1" align="center"
-|-
-|
-| rechtwinkliges Dreieck
-| allgemeines Dreieck
-|-
-| Winkelsumme
-| $180°=\alpha+\beta+\gamma$
-| $180°=\alpha+\beta+\gamma$
-|-
-| Pythagoras
-| $H^2=GK^2+AK^2$
-| gilt nur im rechtwinkligem Dreieck!
-|-
-| Flächeninhalt
-| $A=\frac{GK\cdot AK}{2}$
-| $A=\frac{a\cdot h_a}{2}=\frac{b\cdot h_b}{2}=\frac{c\cdot h_c}{2}$
-|-
-| [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)#Sinus- und Cosinussatz im allgemeinen Dreieck| Sinussatz]]
-|
-| $\frac{\sin\alpha}{a}=\frac{\sin\beta}{b}=\frac{\sin\gamma}{c}$
-|-
-| [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)#Sinus- und Cosinussatz im allgemeinen Dreieck| Cosinussatz]]
-|
-| $a^2=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot \cos\alpha$
-$b^2=a^2+c^2-2\cdot a\cdot c\cdot \cos\beta$
-$c^2=a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot \cos\gamma$
-|}
-== Matura-Aufgaben ==
-* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=216&file=Leuchturm.pdf Leuchtturm] (bifie-Aufgabe)
-* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=3&file=Standseilbahn.pdf Standseilbahn] (bifie-Aufgabe: leicht-mittel-leicht)
-* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=82&file=Glaspyramide_des_Louvre.pdf Glaspyramiede des Louvre] (bifie-Aufgabe: leicht-mittel-leicht)
-: Hier kannst du eine Formelsammlung verwenden!
-* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=150&file=Hochwasserschutz.pdf Hochwasserschutz]  (bifie-Aufgabe: mittel-leicht-schwer-leicht)
-: Siehe auch [[Rechnen mit Termen(2.1.)#Terme und Gleichungen aufstellen | Formeln aufstellen]]
-* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=131&file=Gletschermarathon_Pitztal_-_Imst.pdf Gletschermarathon] (bifie-Aufgabe: mittel)
-* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=33&file=Geschwindigkeitskontrolle.pdf Geschwindigkeitskontrolle] (bifie-Aufgabe: leicht)
-* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=20&file=Wetterballon.pdf Wetterballon] (bifie-Aufgabe: mittel-leicht-leicht)
-: Siehe auch [[Lineare Funktionen]]
-* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=96&file=Wasserverbrauch.pdf Wasserverbrauch] (bifie-Aufgabe: mittel-schwer-leicht)
-* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=120&file=Die_Sonne.pdf Die Sonne] (bifie-Aufgabe: leicht-leicht-mittel)
-: Siehe auch: [[Der Logarithmus | Logarithmus]]
-* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=159&file=Radausflug.pdf Radausflug] (bifie-Aufgabe:mittel-mittel-mittel-leicht)
-: Siehe auch
-: * [[Beschreibende Statistik]]
-: * [[Wachstums- und Zerfallsprozesse | Exponentielle Abnahme]]
-* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=32&file=Windkraftanlage.pdf Windkraftanlage] (bifie-Aufgabe: mittel-schwer-mittel-mittel)
-* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=186&file=Zimmerei.pdf Zimmerei] (bifie-Aufgabe:leicht-mittel-leicht)
-: '''Achtung!''' Aufgabe b lernst du erst [[Wahrscheinlichkeitsrechnung | in der 5. Klasse]]

Trigonometrie (2.12 und 3.10): Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 24. März 2016, 17:45 Uhr

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