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-{{Vorlage:Definition|1= Ein '''lineares Gleichungssystem''' besteht aus mehreren [[ lineare Gleichung | linearen Gleichungen ]] mit mehreren Variablen.
+#WEITERLEITUNG[[Gleichungssysteme]]
-'''Beispiel für ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Variablen:'''
-$$ I: x+y=35 $$
-$$ II: 2x+4y=94 $$
-}}
-<br>
-<br>
-<br>
-= Gleichungssysteme mit 2 Variablen =
-'''Beispiel:'''
-$$ I: x+y=35 $$
-$$ II: 2x+4y=94 $$
-Hierbei sind $x$ und $y$ die Variablen. Um die Lösungsmenge eines Gleichungsystems mit 2 Variablen zu berechnen, braucht es in der Regel genau 2 [[lineare Abhängigkeit | linear unabhängige]] Gleichungen.
-== Lösungsmenge $\mathbb{L}$==
-Die Lösung eines solchen Gleichungssystem ist jener Punkt (x|y), der sowohl die erste Gleichung, als auch die zweite Gleichung löst.
-<br>
-<br>
-<br>
-<br>
-{{Vorlage:Beispiel|1=Zeige, dass der Punkt $(12\vert 23)$ das folgende Gleichungssystem löst: $ \begin{align}
-I: \ x&+&y &=& 35& \textrm{     }  \\
-II:\ 4x&+&2y&=&94&
-\end{align}$|2=
-'''Begründung:''' Setze den Punkt $(12\vert 23)$ in die beiden Gleichungen ein, wobei $x=12$ und $y=23$ ist:
-$$ I: \underbrace{12+23}_{35}=35\ \ \textrm{            wahre Aussage}$$ $$ II: \underbrace{4\cdot 12+2\cdot 23}_{\underbrace{48+46}_{94} }=94 \textrm{     wahre Aussage} $$
-Somit ist $(12\vert 23)$ eine Lösung des Gleichungssystems }}
-Um ein Gleichungssystem zu lösen, gibt es mehrere Verfahren:
-<br>
-<br>
-== Lösungsverfahren ==
-=== Additionsverfahren (Eliminationsverfahren) ===
-{{Vorlage:Merke|1='''Methode des Additionsverfahrens'''
-# Forme beide Gleichungen auf die Form $ax+by=c$  (Variablen links, Konstante rechts).
-# Multipliziere eine oder beide Gleichungen mit einer Zahl, sodass in beiden Gleichungen die [[Koeffizient | Koeffizienten]] vor der Unbekannten x oder vor der Unbekannten y gleich sind.
-# Addiere (oder subtrahiere) die beiden Gleichungen!
-# Du erhältst eine Gleichung mit einer Unbekannten.[[Theorie lineare Gleichungen mit einer Variable (2.4.)| Löse die Gleichung ]] mit einer Unbekannten durch Umformen der Gleichung.}}
-{| align="center"
-|{{#ev:youtube|WeYBa42F3xA}}
-|}
-<br>
-{{Vorlage:Beispiel|1=Bestimme mithilfe des Additionsverfahrens die Lösungsmenge des Gleichungssystems:
-$ \begin{align}
-I: \ x&+&y &=& 35& \textrm{     }  \\
-II:\ 4x&+&2y&=&94&
-\end{align}$
-|2=
-'''1. Schritt:'''Umformen auf $ax+by+c$ (hier nicht nötig):
-$ \begin{align}
-x&+&y &=& 35& \textrm{     }  \\
-x&+&2y&=&94&
-\end{align}$
-'''2. Schritt:''' Multipliziere eine der beiden Gleichung:
-$ \begin{align}
-x&+&y &=& 35& \textrm{     } \vert \cdot (-2) \\
-x&+&2y&=&94&
-\end{align}$
-'''3. Schritt:''' Addiere oder subtrahiere die beiden Gleichungen:
-$ \begin{align}
--2x&-&2y &=& -70& \textrm{     } \vert +\ \  \\
-x&+&2y&=&94&    \\
-\end{align}$
-<br>
-<br>
-'''4. Schritt:''' Lösen der Gleichung mit einer Unbekannten:
-$ \begin{align} 2x&+&0&=24 &  \vert :2  \end{align}$
-$ \begin{align} x&=&12 \end{align}$
-Nun setzen wir $x=12$ in eine der Gleichungen (z.B. in die erste) ein und erhalten:
-$$ \begin{align} 12+y=35 \Rightarrow y=23  \end{align}$$
-Damit ist die [[Lösungsmenge |Lösungsmenge $\mathbb{L}$]] $= \{ (12\vert 23) \} $}}
-<br>
-<br>
-{| border=1
-| Wichtig
-| Das Additionsverfahren eignet sich nur für '''lineare Gleichunggsysteme'''. Kommen nichtlineare Terme wie $x^2$, $x^3$ oder $x\cdot y$ in Gleichungen vor, so '''funktioniert''' das Additionsverfahren '''nicht'''.
-Um nichtlineare Gleichungssysteme zu lösen, verwendet man das Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder das graphische Verfahren:
-|}
-<br>
-<br>
-<br>
-=== Einsetzungsverfahren (Substitutionsverfahren) ===
-{{Vorlage:Merke|1='''Methode des Einsetzungsverfahrens'''
-. Stelle in einer der Gleichungen eine der Variablen frei (siehe [[Gleichungen umformen]])
-. Setze nun das Ergebnis aus der Umformung in die andere Gleichung ein. Du erhälst eine Gleichung mit einer Variable.
-. Löse nun diese Gleichung und setzte die Lösung anschließend in die andere Gleichung ein, um die Lösung für die andere Variable zu erhalten.
-}}
-{{Vorlage:Beispiel|1=Bestimme mithilfe des Einsetzungsverfahrens die Lösungsmenge des Gleichungssystems:
-$ \begin{align}
-I: \ x&+&y &=& 35& \textrm{     }  \\
-II:\ 4x&+&2y&=&94&
-\end{align}$
-|2=
-'''1. Schritt:'''Umformen der Gleichung I $\rightarrow$ x freistellen:
-$ \begin{align}
-I:\ \ &x+y &=& 35 \ \ \ \ \ \ \ \ \vert \ -x  \\
-I:\ \ &x &=&35-y
-\end{align}$
-'''2. Schritt:''' Setze das Ergebnis in die Gleichung II ein:
-$ \begin{align}
-II:\ \ 4\color{red}{x}&+&2y&=&94& \textrm{     }\ \ \ \  \vert I:\ \color{red}{x=(35-y)} \\
-II:\ \ 4\cdot \color{red}{(35-y)}&+&2y&=&94&
-\end{align}$
-'''3. Schritt:''' Lösen der Gleichung II (hier befindet sich nun nur noch die Variable y)
-$ \begin{align}
-II:\ 4\cdot (35-y)+2y&=94& \\
-II:\ 140-4y+2y&=94  &  \\
--2y&=94&\ \vert -140\\
--2y&=-46&\ \vert :(-2)\\
-y&=23
-\end{align}$
-<br>
-<br>
-Nun setzen wir $x=23$ in die umgeformte Gleichung I (siehe Schritt 1) ein und erhalten:
-$$  x=35-y \Rightarrow x=35-23  \rightarrow x=12$$
-Damit ist die [[Lösungsmenge |Lösungsmenge $\mathbb{L}$]] $= \{ (12\vert 23) \} $}}
-=== Graphisches Verfahren ===
-[[Datei:Allgemein graphisches Lösungsverfahren.png|thumb|230px|right|Der Schnittpunkt S ist die Lösung des Gleichungssystems]]
-{{Vorlage:Merke|1=
-'''Methode:'''
-. Beide Gleichungen auf "$y=...$" umformen.
-. Einzeichnen der Geraden aus I. und II. in dasselbe Koordinatensystem (siehe [[Lineare Funktionen#Gerade zeichnen|Lineare Funktionen y=kx+d]]
-. Ermitteln des Schnittpunktes $\rightarrow$ dieser gibt die Lösungsmenge des Gleichungssystems an. }}
-<br>
-<br>
-<br>
-<br>
-{{Vorlage:Beispiel|1=Bestimme mithilfe des Additionsverfahrens die Lösungsmenge des Gleichungssystems:
-$ \begin{align}
-I: \ x&+&y &=& 35&   \\
-II:\ 4x&+&2y&=&94&
-\end{align}$
-|2=
-'''1. Schritt:''' Beide Gleichungen auf "$y=...$" umformen.
-$\begin{align}
-I: x+y=35 &\vert -x &\rightarrow & &   \rightarrow &\underline{I:y=-x+35} \\
-\\
-II:4x+2y=94 &\vert -4x &\rightarrow &2y=-4x+94 \ \ \vert :2 & \rightarrow &\underline{II:y=-2x+47}
-\end{align}$
-'''2. Schritt:''' Einzeichnen der Geraden $y=kx+d$ (siehe [[Lineare Funktionen#Gerade zeichnen|Geraden zeichnen]])
-[[Datei:Bsp graphisches Lösungsverfahren.png|thumb|center|400px|Der Schnittpunkt der Geraden $I:y=-x+35$ (rot) und $II:y=-2x+47$ (blau) ist $S(12\vert 23)$]]
-'''3. Schritt:''' Ermitteln des Schnittpunktes.
-Wie man aus der obigen Graphik erkennt, hat der Schnittpunkt die Koordinaten $S(12\vert 23)$. Somit lautet die [[Lösungsmenge|Lösungsmenge $\mathbb{L}$]]$={(12\vert 23)}$.}}
-<span style="background-color:yellow"> Achtung!</span> Oft ist es schwer, den Schnittpunkt durch eine händische Zeichnung exakt zu ermitteln. Hier ist es dann oft sinnvoll Technologie einzusetzen. Entweder
-* [[GeoGebra#Schneide-Befehl | GeoGebra]] oder
-* den [[Intersect-Befehl]] des TI
-=== Matrixverfahren (nur mit dem TR Ti-82) ===
-siehe [[TI-Befehle#Matrixverfahren|Matrixverfahren mit dem TR]]
-=== Verfahren mit GeoGebra-CAS ===
- kommt bald
-== Lösungsmöglichkeiten eines linearen Gleichungssystems ==
-Betrachtet man ein lineares Gleichungssystem mit 2 Variablen graphisch, indem man die Geraden zeichnen (wie beim [[Gleichungssysteme (2.7.)#graphisches Verfahren |graphischen Verfahren]]) so gibt es insgesamt drei Lösungsmöglichkeiten:
-# Die Geraden schneiden sich im Schnittpunkt $S(x|y)\ \rightarrow$ es gibt '''eine Lösung''': $\mathbb{L}={(x|y)}$
-# Die Geraden sind parallel und es gibt keinen Schnittpunkt $\rightarrow$ es gibt '''keine Lösung''': $\mathbb{L}=\{\  \}$
-# Die Geraden überlappen sich und es gibt undendlich viele Schnittpunkte $\rightarrow$ es gibt '''undendlich viele Lösungen''', die alle auf der Geraden liegen: $\mathbb{L}=\{ (x\vert y)\vert (x|y)\textrm{ erfüllt die Geradengleichung} \}$
-Wie erkennen wir nun diese drei Fälle, wenn wir ein Lösungsverfahren verwenden? Die folgende Graphik zeigt dies genauer:
-{| class="wikitable"
-|-
-! $\ $ !! 1. Fall: genau eine Lösung !! 2. Fall: keine Lösung !! 3. Fall: unendlich viele Lösungen
-|-
-| Beispiel: Die Gleichungen sind
-| [[Lineare Abhängigkeit|Linear unabhängig]] und widerspruchsfrei: $$I:-x+y=1$$ $$II:-x-y=2$$
-| widersprüchlich $$I:-x+y=1$$ $$II:-x+y=2$$
-| [[Lineare Abhängigkeit|Linear abhängig]] (II ist ein Vielfaches von I):
-$$I:-x+y=1$$
-$$II:-2x+2y=2$$
-|-
-| Anzahl der Lösungen:
-|Genau eine:
-$x=-1.5$ und $y=-0.5$
-| keine Lösung
-| Unendlich viele
-z.B. $(0|1);(1|2);(3|4)...$
-|-
-| Lösungsmenge
-| $$\mathbb{L}={(-1.5|-0.5)}$$
-| $$\mathbb{L}=\{\ \}$$
-| $$\mathbb{L}=\{ (x|y)|-x+y=1\}$$
-d.h. alle Punkte $(x|y)$, die die Gleichung $-x+y=1$ erfüllen.
-|-
-| Graphisches Lösungsverfahren
-|
-[[Datei:Lösungsverfahren-schnittpkt.png|miniatur|center|201px]]
-|
-[[Datei:Lösungsverfahren-parallel.png|201px|miniatur|zentriert]]
-|
-[[Datei:Lösungsverfahren-überlappend.png|201px|miniatur|zentriert]]
-|-
-| Additions- und Einsetzungsverfahren
-| $x=-1.5$ und $y=-0.5$
-| eine falsche Aussage wie $0=1$ oder $4=18$...
-somit gibt es keine Werte als Lösung.
-|eine wahre Aussage wie $0=0$ oder $2=2$
-somit ist jede Zahl (die eine der beiden Gleichungen erfüllt) eine Lösung.
-|-
-| Matrixverfahren
-|
-{| border="1"
-| $1$ ||$0$ ||$-1.5$
-|-
-| $0$ || $1$ ||$-0.5$
-|}
-| Die unterste Zeile besteht aus:
-{| border="1"
-| $0$ ||$0$ ||$1$
-|}
-Somit gilt:
-$0x+0y=1$ und damit
-$0=1$ f.A. $\rightarrow$ es gibt keine Lösung.
-| Die unterste Zeile besteht aus:
-{| border="1"
-| $0$ ||$0$ ||$0$
-|}
-Somit gilt:
-$0x+0y=0$ und damit
-$0=0$ w.A. $\rightarrow$ es gibt unendlich viele Lösungen.
-|-
-| Lösung mit GeoGebra-CAS || $$x = -1.5,\ y = -0.5$$|| $$\textrm{ ? }$$|| $$x = y - 1, y = y$$
-|}
-== Lineare Gleichungssysteme mit 3 oder mehreren Variablen ==
-Musterbeispiel:
-Das folgende lineare Gleichungssystem zeigt ein Gleichungssystem mit 3 Variablen (x, y und z) und 3 Gleichungen:
-$\begin{align}
-I: &2x&+&y&-&3z&=&-4\\
-II: &x&-&3y&-&z&=&-8\\
-III: &-3x&+&y&+&z&=&\ \ 2
-\end{align}$
-Es gilt: Um ein lineares Gleichungssystem mit n Variablen eindeutig zu lösen, muss das Gleichungssystem aus n [[lineare Abhängigkeit | linear unabhängige]] Gleichungen bestehen.
-[[Kategorie: Algebra und Geometrie]]
-== Matura-Aufgaben==
-* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=17&file=Wanderweg.pdf Wanderweg]
-*: Siehe auch: [[Bewegungsaufgaben - Weg/Geschwindigkeit/Beschleunigung]] und [[Lineare Funktionen]
-* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=24&file=Kleintransporte.pdf Kleintransporter]
-*: Siehe auch: [[Lineare Funktionen]]
-*  [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=215&file=Impfstoff.pdf Impfstoff]
-*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt:  [[Lineare Funktionen]]
-* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=145&file=Torten.pdf Torten] (Bifie-Aufgabe: mittel-leicht-leicht-leicht)
-*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt:  [[Formeln]] sowie [[Funktionen]] und für <span style="background-color:yellow"> d) [[Binomialverteilung|Binomialverteilung (erst in der 5. Klasse)]] </span>

Gleichungssysteme (2.7.): Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 24. März 2016, 17:43 Uhr

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