Gleichungssysteme (2.7.): Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 24. März 2016, 16:43 Uhr

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Gleichungssysteme

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-{{Vorlage:Definition|1= Ein '''lineares Gleichungssystem''' besteht aus mehreren [[ lineare Gleichung | linearen Gleichungen ]] mit mehreren Variablen.
+#WEITERLEITUNG[[Gleichungssysteme]]
-'''Beispiel für ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Variablen:'''
-$$ I: x+y=35 $$
-$$ II: 2x+4y=94 $$
-}}
-<br>
-<br>
-<br>
-= Gleichungssysteme mit 2 Variablen =
-'''Beispiel:'''
-$$ I: x+y=35 $$
-$$ II: 2x+4y=94 $$
-Hierbei sind $x$ und $y$ die Variablen. Um die Lösungsmenge eines Gleichungsystems mit 2 Variablen zu berechnen, braucht es in der Regel genau 2 [[lineare Abhängigkeit | linear unabhängige]] Gleichungen.
-== Lösungsmenge $\mathbb{L}$==
-Die Lösung eines solchen Gleichungssystem ist jener Punkt (x|y), der sowohl die erste Gleichung, als auch die zweite Gleichung löst.
-<br>
-{{Vorlage:Beispiel|1=Zeige, dass der Punkt $(23\vert 12)$ das folgende Gleichungssystem löst:
-<br>
-<br>
-$$ I: x+y=35 $$
-$$ II: 2x+4y=94 $$|2=
-'''Begründung:''' Setze den Punkt $(23\vert 12)$ in die beiden Gleichungen ein, wobei $x=23$ und $y=12$ ist:
-$$ I: \underbrace{23+12}_{35}=35\ \ \textrm{            wahre Aussage}$$ $$ II: \underbrace{2\cdot 23+4\cdot 12}_{\underbrace{46+48}_{94} }=94 \textrm{     wahre Aussage} $$
-Somit ist $(23\vert 12)$ eine Lösung des Gleichungssystems }}
-Um ein Gleichungssystem zu lösen, gibt es mehrere Verfahren:
-<br>
-<br>
-== Additionsverfahren (Eliminationsverfahren) ==
-{{Vorlage:Merke|1='''Methode des Additionsverfahrens'''
-# Forme beide Gleichungen auf die Form $ax+by=c$  (Variablen links, Konstante rechts).
-# Multipliziere eine oder beide Gleichungen mit einer Zahl, sodass in beiden Gleichungen [[Koeffizient | Koeffizienten]] vor der Unbekannten x oder vor der Unbekannten y gleich sind.
-# Addiere (oder subtrahiere) die beiden Gleichungen!
-# Du erhältst eine Gleichung mit einer Unbekannten.[[Theorie lineare Gleichungen mit einer Variable (2.4.)| Löse die Gleichung ]] mit einer Unbekannten durch Umformen der Gleichung.}}
-{| align="center"
-|{{#ev:youtube|WeYBa42F3xA}}
-|}
-<br>
-{{Vorlage:Beispiel|1=Bestimme mithilfe des Additionsverfahrens die Lösungsmenge des Gleichungssystems:
-$ \begin{align}
-I: \ x&+&y &=& 35& \textrm{     }  \\
-II:\ 4x&+&2y&=&94&
-\end{align}$
-|2=
-'''1. Schritt:'''Umformen auf $ax+by+c$ (hier nicht nötig):
-$ \begin{align}
-x&+&y &=& 35& \textrm{     }  \\
-x&+&2y&=&94&
-\end{align}$
-'''2. Schritt:''' Multipliziere eine der beiden Gleichung:
-$ \begin{align}
-x&+&y &=& 35& \textrm{     } \vert \cdot (-2) \\
-x&+&2y&=&94&
-\end{align}$
-'''3. Schritt:''' Addiere oder subtrahiere die beiden Gleichungen:
-$ \begin{align}
--2x&-&2y &=& -70& \textrm{     } \vert +\ \  \\
-x&+&2y&=&94&    \\
-\end{align}$
-<br>
-<br>
-'''4. Schritt:''' Lösen der Gleichung mit einer Unbekannten:
-$ \begin{align} 2x&+&0&=24 &  \vert :2  \end{align}$
-$ \begin{align} x&=&12 \end{align}$
-Nun setzen wir $x=12$ in eine der Gleichungen (z.B. in die erste) ein und erhalten:
-$$ \begin{align} 12+y=35 \Rightarrow y=23  \end{align}$$
-Damit ist die [[Lösungsmenge |Lösungsmenge $\mathbb{L}$]] $= \{ (12\vert 23) \} $}}
-<br>
-<br>
-{| border=1
-| Wichtig
-| Das Additionsverfahren eignet sich nur für '''lineare Gleichunggsysteme'''. Kommen nichtlineare Terme wie $x^2$, $x^3$ oder $x\cdot y$ in Gleichungen vor, so '''funktioniert''' das Additionsverfahren '''nicht'''.
-Um nichtlineare Gleichungssysteme zu lösen, verwendet man das Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder das graphische Verfahren:
-|}
-<br>
-<br>
-<br>
-== Einsetzungsverfahren (Substitutionsverfahren) ==
-{{Vorlage:Merke|1='''Methode des Einsetzungsverfahrens'''
-. Stelle in einer der Gleichungen eine der Variablen frei (siehe [[Gleichungen umformen]])
-. Setze nun das Ergebnis aus der Umformung in die andere Gleichung ein. Du erhälst eine Gleichung mit einer Variable.
-. Löse nun diese Gleichung und setzte die Lösung anschließend in die andere Gleichung ein, um die Lösung für die andere Variable zu erhalten.
-}}
-{{Vorlage:Beispiel|1=Bestimme mithilfe des Einsetzungsverfahrens die Lösungsmenge des Gleichungssystems:
-$ \begin{align}
-I: \ x&+&y &=& 35& \textrm{     }  \\
-II:\ 4x&+&2y&=&94&
-\end{align}$
-|2=
-'''1. Schritt:'''Umformen der Gleichung I $\rightarrow$ x freistellen:
-$ \begin{align}
-I:\ \ &x+y &=& 35 \ \ \ \ \ \ \ \ \vert \ -x  \\
-I:\ \ &x &=&35-y
-\end{align}$
-'''2. Schritt:''' Setze das Ergebnis in die Gleichung II ein:
-$ \begin{align}
-II:\ \ 4\color{red}{x}&+&2y&=&94& \textrm{     }\ \ \ \  \vert I:\ \color{red}{x=(35-y)} \\
-II:\ \ 4\cdot \color{red}{(35-y)}&+&2y&=&94&
-\end{align}$
-'''3. Schritt:''' Lösen der Gleichung II (hier befindet sich nun nur noch die Variable y)
-$ \begin{align}
-II:\ 4\cdot (35-y)+2y&=94& \\
-II:\ 140-4y+2y&=94  &  \\
--2y&=94&\ \vert -140\\
--2y&=-46&\ \vert :(-2)\\
-y&=23
-\end{align}$
-<br>
-<br>
-Nun setzen wir $x=23$ in die umgeformte Gleichung I (siehe Schritt 1) ein und erhalten:
-$$  x=35-y \Rightarrow x=35-23  \rightarrow x=12$$
-Damit ist die [[Lösungsmenge |Lösungsmenge $\mathbb{L}$]] $= \{ (12\vert 23) \} $}}
-== Graphisches Verfahren ==
-== Matrixverfahren (nur mit dem TR Ti-82) ==
-== Verfahren mit GeoGebra-CAS ==
-= Gleichungssysteme mit 3 oder mehreren Variablen =
-Es gilt: Um ein Gleichungssystem mit n Variablen eindeutig zu lösen, muss das Gleichungssystem aus mindesten n Gleichungen bestehen.
-[[Kategorie: Algebra und Geometrie]]

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