Der Logarithmus (2.3.): Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 24. März 2016, 17:40 Uhr

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Logarithmus

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-Den Logarithmus brauchen wir, um Gleichungen der Form $a^x=b$
+#WEITERLEITUNG[[Logarithmus]]
-nach x auflösen zu können.
-==Der Logarithmus ist der Exponent==
-Der Logarithmus ist eigentlich nur eine Bezeichnung für den Exponenten (Hochzahl) einer bestimmten [[Potenzen (2.2.)|Basis a]], mit dem eine bestimmte Zahl b berechnet wird:
-$$\color{red}{a}^{\color{green}{x}}=\color{blue}{b} $$
-dann heißt
-$$\color{green}{x}=\log_{\color{red}{a}} \color{blue}{b}$$
-$$\textrm{ausgesprochen: }"\color{green}{x}\ ist\ der\ Logarithmus\ zur\ \color{red}{Basis\ a}\ \color{blue}{von\ b} "$$
-'''Beispiele'''
-* $2^x=8 \ \rightarrow \ x=\log_2 8 $ ("x ist der Logarithmus zur Basis 2 von 8") und natürlich gilt $x=3$ da $2^3=8$.
-* $5^x=25 \rightarrow \ x=\log_5 25 $ ("x ist der Logarithmus zur Basis 5 von 25") und natürlich gilt $x=2$ da $5^2=25$ ist.
-{{Vorlage:Merke|1= Der Logarithmus zur Basis $a$ von der Zahl $b$ ist die Bezeichnung für den Exponenten. D.h.
-$$x=\log_a b \Leftrightarrow a^x=b$$
-}}
-==Berechnung mithilfe der Potenzregeln==
-Mithilfe der [[Potenzen_(2.2.)#Rechnen_mit_Potenzen|Potenzregeln]] lassen sich einfache Logarithmen bestimmen.
-==Zwei besondere Basen ==
-=== Logarithmus zur Basis 10 ===
-=== Logarithmus zur Basis $e$ ===
-==Rechengregeln des Logarithmus==
-Mithilfe der [[Potenzen (2.2.)|Rechenregeln für Potenzen]] kommt man auf die folgenden Regeln für den Logarithmus:
-{| class="wikitable"
-|-
-! Regel!! Formal!! Begründung und Beispiel
-|-
-| 1. "Hoch 1-Regel"|| $$\log_a a=1$$|| style="text-align:center;" | weil $a^1=a$. Z.B.: $$\ln e=1$$ oder $$\lg 10=1$$
-|-
-| 2. "Hoch 0"-Regel|| $$\log_a 1=0$$ || style="text-align:center;" | weil $a^0=1$ für alle $a\neq 0$. Z.B.: $$\ln 1=0$$
-|-
-| 3. Produktregel|| $$\log_a (u\cdot v)=\log_a u+\log_a v$$|| style="text-align:center;"| $a^x\cdot a^y=a^{x+y}$ und $u=a^x$ bzw. $v=a^y$
-|-
-| 4. Quotientenregel|| $$\log_a \left(\frac{u}{v}\right)=\log_a u-\log_a v$$|| style="text-align:center;"|$\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$ und $u=a^x$ bzw. $v=a^y$
-|-
-| 5. Exponentenregel|| $$\log_a u^r = r\cdot \log_a u$$|| style="text-align:center;"| $\left(a^x\right)^r=a^{r\cdot x}$
-|-
-| 6. "Negativ-Regel"|| $$\log_a (u\pm v)=log_a (u\pm v)$$|| style="text-align:center;"| Bei einer Summe oder Differenz kann man nichts verändern!
-|-
-| 7. Umrechnung im Taschenrechner || $$\log_a u =\frac{\log_b u}{\log_b a}$$|| style="text-align:center;"| Mit dieser Formel lassen sich Logarithmen mit beliebiger Basis im TR berechnen. Z.B.:
-$$\log_2 1024 = \frac{\ln 1024 }{\ln 2}=10$$
-|}
-== Musterbeispiele ==
-{{Vorlage:Merke|1= '''Hinweis'''
-# Bei den folgenden Beispielen ist es egal, mit welcher Basis gerechnet wird, da die obigen Regeln für alle Basen $a>0$ gelten.
-# Bei den folgenden Umformen gehen wir "''von außen nach innen''", d.h. wir formen zuerst jene Rechenoperationen um, die sich auf den ganzen Term im Logarithmus bezieht.}}
-Forme durch Verwenden der Rechenregeln des Logarithmus auf:
-{{Vorlage:Beispiel|1= $$\ln\left(a^3\cdot b\right)$$|2= $$\ln\left(a^3\cdot b\right)\underbrace{=}_{3.Regel} \ln(a^3)+ \ln(b)\underbrace{=}_{5.Regel} 3\cdot \ln(a)+\ln(b)$$
-}}
-{{Vorlage:Beispiel|1= $$\lg\left(\frac{a^5\cdot \sqrt[3]{b} }{c^2} \right)$$
-|2= $\begin{align}
-\lg\left(\frac{a^5\cdot \sqrt[3]{b} }{c^2} \right)&\underbrace{=}_{4.}& \lg(a^5\cdot b^\frac{1}{3} )-\lg(c^2)\\
-&  \underbrace{=}_{3.}& \lg(a^5)+lg( b^\frac{1}{3} )-lg(c^2)\\
-&  \underbrace{=}_{5}& 5\cdot \lg(a)+\frac{1}{3}\cdot \lg(b)-2\cdot \lg(c)
-\end{align}$
-}}
-{{Vorlage:Beispiel|1= $$\lg\sqrt[5]{\left(\frac{(a^2-b^2)\cdot c^3}{10^{-3}\cdot (a+b)} \right)}$$|2=
-$\begin{align}
-\lg\sqrt[5]{\left(\frac{(a^2-b^2)\cdot c^3}{10^{-3}\cdot (a+b)} \right) } &\underbrace{=}_{umformen}& \lg \left(\frac{(a-b)\cdot (a+b)\cdot c^3}{10^{-3}\cdot (a+b)} \right)^{\frac{1}{5} }\\
-&\underbrace{=}_{5.+kürzen}& \frac{1}{5}\lg \left(\frac{(a-b)\cdot c^3}{10^{-3} } \right)\\
-&\underbrace{=}_{4.}& \frac{1}{5}\left[ \lg\left((a-b)\cdot c^3\right)-\lg(10^{-3})\right]\\
-&\underbrace{=}_{3.}&\frac{1}{5}\left[ \lg(a-b)+ \lg c^3-\lg(10^{-3})\right]\\
-&\underbrace{=}_{ 5.}&\frac{1}{5}\left[ \lg(a-b)+ 3\cdot\lg c-(-3)\cdot\lg(10)\right]\\
-&\underbrace{=}_{\lg(10)=1} & \frac{1}{5}\lg(a-b)+\frac{3}{5}\cdot \lg(c)+\frac{3}{5}
-\end{align}$
-}}
-== Gleichungen mithilfe des Logarithmus lösen ==
-Für Anwendungsbeispiele ist vor allem die [[Der_Logarithmus_(2.3.)#Rechengregeln_des_Logarithmus|5. Regel]] von Bedeutung, da sie es uns erlaubt, Gleichungen zu lösen, indenen die Variable im Exponenten steht.
-{{Vorlage:Beispiel|1=
-$$5^x=13$$
-Bestimme den Wert von x!
-|2=
-Allein durch einfaches abschätzen wissen wir schon, dass x zwischen 1 und 2 liegen muss (da $5^1=5$ und $5^2=25$). Den genauen Wert können wir aber erst mit dem Logarithmus bestimmen.
-$$5^x=13 \ \ \vert \lg(\ )$$
-$$\lg(5^x)=\lg(13)\ \ \vert 5.\ Regel$$
-$$x\cdot \lg(5)=\lg(13)\ \ \vert :\lg(5)$$
-$$x=\frac{\lg(13)}{\lg(5)}=1.59$$
-}}
-{{Vorlage:Merke|1=
-* Wende den Logarithmus erst so spät wie möglich an! So gehst du den häufigsten Fehlern aus dem Weg!
-* Es ist egal, ob du $\ln$ (Logarithmus zur Basis $e$) oder $\lg$ (Logarithmus zur Basis 10) verwendest. Wichtig ist nur, dass du in einer Rechnung die Basis nicht mischt.
-* Rechentechnisch es es ratsam $\ln$ zu verwenden, wenn die $e$ als Basis vorkommt und $\lg$ zu verwenden, wenn 10 als Basis vorkommt. Begründung liegt in Regel 1.: $\lg(10)=\ln(e)=1$ }}
-{{Vorlage:Beispiel|1=$$N_t=N_0\cdot e^{\lambda\cdot t}$$
-Stelle $t$ frei!
-|2=
-$\begin{align}
-N_t=&N_0\cdot e^{\lambda\cdot t}& \vert :N_0\\
-\frac{N_t}{N_0}=&e^{\lambda\cdot t}& \vert  \ln(\ )\\
-\ln\left(\frac{N_t}{N_0}\right)=&\ln\left(e^{\lambda\cdot t}\right)& \vert 5.\ Regel\\
-\ln\left(\frac{N_t}{N_0}\right)=&(\lambda\cdot t)\cdot \ln(e)&  \vert \ln(e)=1\\
-\ln\left(\frac{N_t}{N_0}\right)=&\lambda\cdot t  & \vert :\lambda \\
-\frac{\ln\left(\frac{N_t}{N_0}\right) }{\lambda}=&t&
-\end{align}$
-}}
-== Zusammenfassung ==
-{{Vorlage:Video|1=P2YUPkljpOE}}
-== Beispiele ==
-kommt bald

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