Theorie Zahlenmengen (1.1.): Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 24. März 2016, 17:21 Uhr

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Zahlenmengen

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+#WEITERLEITUNG [[Zahlenmengen]]
-= Theorie =
-[[Datei:ZahlenmengenI.png|thumb|500px|right|Zahlenmengen]]
-Was unterscheidet 2, -8, 3.5 oder $\sqrt{7}$?
-Es sind alles Zahlen. Allerdings sind sie unterschiedlich.
-*Einerseits ist ihr Wert unterschiedlich (2 &ne; -8 &ne; 3.5 &ne; $ \sqrt{7} $).
-*Andererseits gehören die Zahlen unterschiedlichen '''Zahlenmengen''' an.
-<br>
-Folgenden Zahlenmengen wirst du in der Schule und im Studium begegnen:
-<br>
-<br>
-==die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$==
-{{Vorlage:Definition|1=Die natürlichen Zahlen  $\mathbb{N}$ sind die Zahlenmenge $\mathbb{N}$={0,1,2,3,.....} }}
-Sie sind "''abgeschlossen''" bezüglich Addition und Multiplikation. Das heißt, wenn man zwei natürliche Zahlen addiert bzw. multipliziert, so landet man wieder bei einer natürlichen Zahl.
-'''Beispiel:''' $ 7+15=22 $ <br>
-'''Beispiel:''' $ 7\cdot 15=105 $
-Sowohl die beiden [[Summe|Summanden]] links als auch die [[Summe]] rechts sind natürliche Zahlen. Es ist nicht möglich, zwei natürliche Zahlen zu addieren und dabei eine "nicht-natürliche" Zahl zu erhalten.
-<br />
-<br />
-==  die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$  ==
-{{Vorlage:Definition|1=Die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ sind die Zahlenmenge $\mathbb{Z}=$ {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,.....}.}}
-Beachte, dass jede natürliche Zahl auch eine ganze Zahl ist! Um auf die ganzen Zahlen zu kommen, fügt man den natürlichen Zahlen einfach alle negativen ganzen Zahlen hinzu.
-$\mathbb{Z}$ ist "''abgeschlossen''" bezüglich der Addition '''und der Subtraktion'''.
-'''Beispiele'''
-* $-3+7=4$
-*$ -8-17=-25$
-Was ist nun aber, wenn man zwei ganze Zahlen dividiert?
-Beispiel:
-$$ -2:4= \frac{-2}{4}=-\frac{1}{2} $$
-Die Zahl$ -\frac{1}{2} $ ist ein Bruch und sicherlich keine ganze Zahl mehr. Hier sind wir in der nächsten Zahlenmenge gelandet:
-Deshalb fügt man nun zu den ganzen Zahlen alle Brüche hinzu und erhält.
-<br>
-<br>
-<br>
-== die rationalen Zahlen $\mathbb{Q} $ ==
-{{Vorlage:Definition|1=Zu den '''rationalen Zahlen''' gehören alle Brüche mit [[Bruch|Zähler]] und [[Bruch|Nenner]] aus den ganzen Zahlen, wobei im Nenner natürlich keine 0 stehen darf. Formal kann man das folgendermaßen schreiben:
-$$ \mathbb{Q} = \left\{ \frac{a}{b} \vert\ a,b \in \mathbb{Z}, b \neq 0\right\} $$ }}
-Da man jeden Bruch in eine endliche oder unendlich periodische Dezimalzahl verwandeln kann, indem man Zähler mit Nenner dividiert, gehören zu '''$\mathbb{Q} $ auch alle endlichen ODER unendlich periodischen Dezimalzahlen'''
-Beispiel: $$ \frac{1}{3}=0.333333...$$
-oder
-$$ \frac{1}{5}=1:5=0.2 $$
-Nun gibt es aber noch Dezimalzahlen, die unendlich lang, aber niemals periodisch sind, diese liegen außerhalb von $\mathbb{Q} $ und heißen die ''irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$''
-<br>
-<br>
-<br>
-==  die irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$ ==
-{{Vorlage:Definition|1=Zu den '''irrationalen Zahlen''' $\mathbb{I}$ gehören alle Dezimalzahlen, die '''unendlich lang UND niemals periodisch''' sind }}
-'''Beispiele:'''
-* $0,1001000100001....$ (immer eine 0 mehr)
-* $\pi =3.14159.... $
-* $e =2.718...$, die [[eulersche Zahl e|eulersche Zahl]]
-* $\sqrt{2}=1.414...$ (und alle weiteren Wurzeln von [[Primzahlen]]).
-<br>
-<br>
-<br>
-==  die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ ==
-[[Datei:Qundi.gif|right|$\mathbb{Q}$ und $\mathbb{I}$=$\mathbb{R}$<br> <br> Achtung! Die Abbildung gaukelt vor, dass es in $\mathbb{R}$ noch weitere Zahlen gibt außerhalb von $\mathbb{Q}$ und $\mathbb{I}$. Dies ist aber FALSCH! $\mathbb{Q}$ und $\mathbb{I}$ füllen $\mathbb{R}$ ganz aus!]]
-Fasst man nun alle Dezimahlzahlen zusammen, die
-# endlichen oder unendlich periodischen (=rationale Zahlen) und die
-# unendlichen aber niemals periodischen (irrationale Zahlen)
-so erhält man die reellen Zahlen  $\mathbb{R}$.
-{{Vorlage:Definition|1=$$ \mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I} $$
-Vereinfacht gesagt: $ \mathbb{R}= $ Menge aller Dezimalzahlen }}
-<br>
-<br>
-<br>
-==  die imaginären Zahlen ==
-<span style="background-color:yellow"> Stoff der 2. Klasse </span>
-Während in den reellen Zahlen $\mathbb{R}$ addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert werden kann, kann man aber die '''Wurzel aus negativen Zahlen NICHT  berechnen'''.
-'''Beispiel''':
-$ \sqrt{-1} \notin \mathbb{R} $
-Aus diesem Grund erweitert man die reellen Zahlen mit allen negativen Wurzeln und nennt
-{{Vorlage:Definition|1=$\begin{align} \textrm{die imaginären Zahlen} &=& \textrm{die Menge der negativen Wurzeln} \\
-    &=&\left\{ \sqrt{-b} \vert\ b\in \mathbb{R}^+\right\}\end{align}$  }}
-'''Weitere Beispiele:'''
-* $ \sqrt{-1}=i$
-* $ \sqrt{-4}=2i\ \ $  (weil $\sqrt{4\cdot (-1)}= \sqrt{4}\cdot \sqrt{-1}=2\cdot i $)
-Imaginäre Zahlen treten bei den [[Quadratische Gleichungen (2.7.)| quadratischen Gleichungen]] auf, wenn die entsprechende [[Quadratische Funktionen|Parabel]] keine [[Nullstelle]] hat.
-<br>
-<br>
-<br>
-==  die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ ==
-[[Datei:RundIm.png|right|miniatur|'''$\mathbb{R}$ und die Imaginären Zahlen $=\mathbb{C}$'''. <br> <br> Achtung! Die Abbildung gaukelt vor, dass es in $\mathbb{C}$ noch weitere Zahlen gibt außerhalb von $\mathbb{R}$ und den Imaginären Zahlen. Dies ist aber FALSCH! $\mathbb{R}$ und die Im.Zahlen füllen $\mathbb{C}$ ganz aus!]]
-Die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ erhält man, wenn man die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ und die imaginären Zahlen zusammenfügt.
-{{Vorlage:Definition|1= $$ \mathbb{C} = \mathbb{R} \cup \textrm{imaginäre Zahlen}$$ }}
-Setzt man also eine reelle Zahl (z.B. 5) und eine imaginäre Zahl (z.B. 7i) zusammen, so erhält man die komplexe Zahl $$5+7i$$
-'''Beispiele'''
-* <span style="background-color:yellow"> 2 </span> + <span style="background-color:#EEA9B8">  3i </span>
-(jede komplexe Zahl besteht aus einer reellen Zahl, dem sogenannten <span style="background-color:yellow"> Realteil </span> (hier: 2) und einer imaginären Zahl (hier 3i), wobei 3 der sogenannte <span style="background-color:#EEA9B8"> Imaginärteil </span> ist.
-* -9+18i  (Realteil=-9  und Imaginärteil=18)
-* 4  $\ \ $ (hier ist der Imaginärteil 0)
-* 8i  $\ \ $(hier ist der Realteil 0)
-<br>
-<br>
-<br>
-= Beispiele Zahlenmengen (1.1.) =
-==a) Zuordnung==
-[[Datei:Zuordnung.png]]
-<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
-<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
-<div class="mw-collapsible-content">
-[[Datei:Zuordnung-Lösung.png]]
-</div>
-</div>
-[[Kategorie: Zahlen und Maße]]

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