Theorie Zahlenmengen (1.1.): Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 24. März 2016, 16:21 Uhr

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Zahlenmengen

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+#WEITERLEITUNG [[Zahlenmengen]]
-= Theorie =
-[[Datei:ZahlenmengenI.png|thumb|500px|right|Zahlenmengen]]
-Was haben 2, -8, 3.5 oder $\sqrt{7}$ gemeinsam?
-Es sind alles Zahlen. Allerdings sind sie unterschiedlich.
-*Einerseits ist ihr Wert unterschiedlich (2 &ne; -8 &ne; 3.5 &ne; $ \sqrt{7} $).
-*Andererseits gehören die Zahlen unterschiedlichen '''Zahlenmengen''' an.
-<br>
-<br>
-<br>
-==  die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ ==
-Die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ sind die Zahlenmenge $\mathbb{N}$ ={0,1,2,3,.....}
-Sie sind "''abgeschlossen''" bezüglich der Addition. Das heißt, wenn man zwei natürliche Zahlen addiert, so landet man wieder bei einer natürlichen Zahl.
-'''Beispiel'''
-$$ 7+15=22 $$
-Sowohl die beiden [[Summe|Summanden]] links, als auch die [[Summe]] sind natürliche Zahlen. Es ist nicht möglich, zwei natürliche Zahlen zu addieren und dabei eine "nicht-natürliche" Zahl zu erhalten.
-==  die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$  ==
-Die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ sind die Zahlenmenge $\mathbb{Z}$ ={...,-3,-2,-1,0,1,2,3,.....}.
-Beachte, dass jede natürliche Zahl auch eine ganze Zahl ist! Um auf die ganzen Zahlen zu kommen, fügt man den natürlichen Zahlen eifnach alle negativen ganzen Zahlen hinzu.
-Sie sind nun "''abgeschlossen''" bezüglich der Addition '''und der Subtraktion'''.
-'''Beispiele'''
-$$ -3+7=4$$
-oder
-$$ -8-17=-25$$
-Was ist nun aber, wenn man zwei ganze Zahlen dividiert?
-Beispiel:
-$$ \frac{-2}{4}=-\frac{1}{2} $$
-und $ -\frac{1}{2} $ ist ein Bruch und sicherlich keine ganze Zahl mehr.
-Deshalb fügt man nun zu den ganzen Zahlen alle Brüche hinzu und erhält.
-== die rationalen Zahlen $\mathbb{Q} $ ==
-Zu den rationalen Zahlen gehören alle Brüche mit [[Bruch|Zähler]] und [[Bruch | Nenner]] als ganze Zahlen, wobei im Nenner natürlich keine 0 stehen darf. Formal kann man das folgendermaßen schreiben:
-$$ \mathbb{Q} = \left\{ \frac{a}{b} | a,b \in \mathbb{Z}, b \neq 0\right\} $$
-Da man jeden Bruch in eine eindliche oder unendlich periodische Dezimalzahl verwandeln kann, indem man Zähler mit Nenner dividiert, gehören zu '''$\mathbb{Q} $ auch alle endlichen ODER unendlich periodischen Dezimalzahlen'''
-Beispiel: $$ \frac{1}{3}=0.333333...$$
-oder
-$$ \frac{1}{5}=1:5=0.2 $$
-Nun gibt es aber noch Dezimalzahlen, die undendlich lang, aber niemals periodisch sind, diese liegen außerhalb von $\mathbb{Q} $ und heißen die ''irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$''
-==  die irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$ ==
-Zu den irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$ gehören alle Dezimalzahlen, die '''undendlich lang UND niemals periodisch''' sind
-Beispiele sind
-* $0,1001000100001....$ (immer eine 0 mehr)
-* $\pi =3.14159.... $
-* $\e =2.718...$, die [[eulersche Zahl $\e$ | eulersche Zahl]]
-* $\sqrt{2}=1.414...$ (und alle weiteren Wurzeln von [[Primzahlen]].
-==  die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ ==
-Fasst man nun alle Dezimahlzahlen zusammen, die
-# endlichen oder unendlich periodischen und die
-# unendlichen aber niemals periodischen
-so erhält man die reellen Zahlen $\mathbb{I}$
-$$ $\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I} $$
-Vereinfacht gesagt: $\mathbb{R}=$ alle Dezimalzahlen.
-==  die imaginären Zahlen ==
-<span style="background-color:yellow"> Stoff der 2. Klasse </span>
-Während in den reellen Zahlen $\mathbb{R}$ addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert werden kann, kann man aber NICHT die '''Wurzel aus negativen Zahlen berechnen'''.
-'''Beispiel'''
-$$ \sqrt{-1} $$
-Aus diesem Grund erweitert man die reellen Zahlen mit den allen negativen Wurzeln und nennt
-$$ \textnormal{die Menge der negativen Wurzeln} = \textnormal{die imaginären Zahlen} $$
-'''
-Weitere Beispiele'''
-* $$ \sqrt{-1}=i$$
-* $ \sqrt{-4}=4i$  (weil $\sqrt{4\cdot (-1)}= \sqrt{4}\cdot \sqrt{-1}=2\cdot i $
-Imaginäre Zahlen treten bei den [[Quadratische Gleichungen (2.7.)| quadratischen Gleichungen]] auf, wenn die entsprechende [[Parabel]] keine [[Nullstelle]] hat.
-==  die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ ==
-Die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ erhält man, wenn man die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ und die imaginären Zahlen zusammenfügt.
-$$ \mathbb{C} = \mathbb{R} \cup \textnormal{imaginäre Zahlen}$$
-= Beispiele Zahlenmengen (1.1.) =

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