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| − | [[Datei:Wendepunkt.png|thumb|400px|right|Funktion mit Wendepunkt W und Wendetangente]]
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| − | {| border="1"
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| − | '''Definition'''
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| − | * Ein '''Wendepunkt''' ist ein Punkt, in dem die Funktion f ihr Krümmungsverhalten ändert. Das heißt: Die Funktion geht von einer Rechtskrümmung in eine Linkskrümmung über (oder umgekehrt).
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| − | * Die Tangente durch den Wendepunkt heißt '''Wendetangente'''.
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| − | <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
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| − | <span style="color:#A020F0> '''Wie erkennt man einen Wendepunkt?''' </span>
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| − | <div class="mw-collapsible-content">
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| − | Stell dir vor, der Graph ist eine Straße und du würdest ihm mit einem Auto von links nach rechts entlangfahren. Zuerst kommt eine Rechtskurve, in der du das Lenkrad nach rechts drehst. Anschließend kommt eine Linkskurve, in der du das Lenkrad nach links drehen musst. Genau zwischen der Rechts- und der Linkskurve gibt es '''einen Moment, indem das Lenkrad gerade ist - das ist der Wendepunkt'''.
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| − | === Hinreichende Bedingung für einen Wendepunkt ===
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| − | |Die Funktion $f(x)$ hat $x_0$ einen Wendepunkt, wenn gilt:
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| − | # $f''(x_0)=0$ UND
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| − | #$f'''(x)\ne 0$
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| − | <br>
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| − | === Video ===
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| − | {{#ev:youtube|DM9uYJK5-fc}} | |
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| − | === Musterbeispiel ===
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| − | <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
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| − | <span style="color:#A020F0> '''Bestimme den Wendepunkt und die Wendetangente der Funktion $f(x)=\frac{x^3}{3}-4x^2+7x+30$''' </span>
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| − | <div class="mw-collapsible-content">
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| − | <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:750px">
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| − | <span style="color:#A020F0> '''1. Wendepunkt''' </span>
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| − | <div class="mw-collapsible-content"> Text der nicht angezeigt werden soll
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| − | Zuerst bestimmen wir die zweite Ableitung $f''(x)$ und die dritte Ableitung $f'''(x)$:
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| − | $$f(x)=\frac{x^3}{3}-4x^2+7x+30$$
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| − | $$f'(x)=x^2-8x+7$$
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| − | $$f''(x)=2x-8$$
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| − | $$f'''(x)=2$$
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| − | Nun setzen wir '''die zweite Ableitung''' 0:
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| − | $$f''(x)=2x-8$$
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| − | $$0=2x-8$$
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| − | $$x=4$$
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| − | Somit ist die Stelle $x=4$ ein '''möglicher''' Wendepunkt. Um zu überprüfen, ob es sich wirklich um einen handelt, müssen wir den x-Wert in die dritte Ableitung einsetzen:
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| − | [[Datei:Wendepunkt-1.png|thumb|right|300px|Graph mit Wendepunkt]]
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| − | $$f'''(x)=2$$
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| − | Da die dritte Ableitung konstant 2 ist (d.h. für '''alle''' x den Wert 2 hat), gilt insbesondere
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| − | $$f'''(4)=2\ne 0$$
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| − | Somit ist an der Stelle $x=4$ ein Wendepunkt.
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| − | Um die y-Koordinate des Wendepunktes zu bestimmen, setzen wir '''in die ursprüngliche Funktion $f(x)'''$ ein, und erhalten:
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| − | $$f(4)=\frac{4^3}{3}-4\cdot4^2+7\cdot 4+30=15.33$$
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| − | Somit hat der Wendepunkt die Koordinaten $W(4|15.33)$.
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| − | </div>
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| − | <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:750px">
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| − | <span style="color:#A020F0> '''2. Wendetangente''' </span>
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| − | <div class="mw-collapsible-content">
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| − | Um die Wendetangente $t_W: y=k\cdot x+d$ zu berechnen, brauchen wir zwei Sachen:
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| − | # den Wendepunkt (diesen haben wir schon zuvor berechnet: $W(4|15.33)$)
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| − | # die Steigung der Wendetangente. Diese berechnen wir jetzt:
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| − | Die Steigung $k$ der Wendetangente ist ident mit der Steigung der Funktion am Wendepunkt. Somit müssen wir die Steigung von $f(x)$ beim Wendepunkt $W(4|15.33)$ berechnen und dies macht man '''immer mit der 1. Ableitung $f'(x)$''':
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| − | $$f'(x)=x^2-8x+7$$
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| − | $$f'(4)=4^2-8\cdot 4+79$$
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| − | $$f'(4)=-9$$
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| − | Somit ist $k=-9$
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| − | [[Datei:Wendetangente.png|thumb|right|250px|Graph mit Wendepunkt und Wendetangente]]
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| − | Um das $d$ zu berechnen, setzen wir nun $k=-9$ und die Koordinaten des Wendepunktes $W(\underbrace{4}_{x}|\underbrace{15.33}_{y})$ in die $y=kx+d$-Darstellung und erhalten:
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| − | $$y=kx+d$$
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| − | $$15.33=-9\cdot 4+d$$
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| − | $$d=51.33$$
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| − | Somit lautet die Gleichung der Wendetangente:
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| − | $$\underline{\underline{t_W: \ y=-9\cdot x+51.33}}$$
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| − | [[Kategorie: Kurvendiskussion]]
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| − | [[Kategorie: Differenzieren]]
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