Extremstellen: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 1. Januar 2016, 17:37 Uhr

Vorlage:Inhalt:Extremstelle

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-[[Datei:Kurvendiskussion-extremwerte.png|thumb|right|380px|Im Graphen sind die beiden Extremstellen
+{{Inhalt:Extremstelle}}
-$x_1$ und $x_2$ samt den dazugehörenden Hoch- und Tiefpunkten eingezeichnet.]]
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-{| border ="1"
-| '''Definition:'''
-| '''Lokale Extremstellen''' sind jene Stellen (=x-Werte), an denen der Graph der Funktion einen lokalen '''Hoch- oder Tiefpunkt''' hat.
-'''Formale Definition''':
-Eine Funktion f hat bei $x_0$ einen lokalen Hochpunkt, wenn für alle $x$ in einer Umgebung von $x_0$ gilt, dass $f(x)<f(x_0)$. (analog funktioniert die Definition für einen lokalen Tiefpunkt)
-|}
-{| align="center"
-|-
-|
-{{#ev:youtube|zCA7GI0yIfg}}
-|}
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-[[Datei:Kurvendiskussion-Extremstellen-f' und f''.png|thumb|380px|right]]
-Wie am Graphen in der rechten Abbildung erkennbar ist, sind die Steigungen an den Extremstellen immer 0 (d.h. beim Hochpunkt und Tiefpunkt '''steigt f nicht''' und '''fällt f nicht'''). Somit gilt $f'(x)=0$
-Zusätzlich ist der Graph beim Hochpunkt '''rechtsgekrümmt''' (d.h. $f''(x)<0$) und beim Tiefpunkt '''linksgekrümmt''' (d.h. $f''(x)>0$).
-Somit erhalten wir...
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-=== Hinreichende Bedingung für ein relatives Extremum ===
-{| border="1" align="center"
-|
-{|
-|
-* $f'(x_0)=0$ '''und''' $f''(x_0)< 0$
-| $\Rightarrow\ \ \ \ $
-| $x_0$ ist die Stelle eines relativen Hochpunktes (Maximums) von f
-|-
-|
-|-
-|
-*$f'(x_0)=0$ '''und''' $f''(x_0)>0$
-| $\Rightarrow\ \ \ \ $
-| $x_0$ ist die Stelle eines relativen Tiefpunktes (Minimums) von f
-|-
-|
-|-
-|
-*$f'(x_0)=0$ '''und''' $f''(x_0)=0$
-| $\Rightarrow\ \ \ \ $
-| dann muss hier '''nicht unbedingt ein Extremum''' sein.
-|}
-|}
-Der letzte Punkt ($f'(x_0)=0$ ABER $f''(x_0)=0$) wird klar, wenn man sich die Funktion $f(x)=x^3$ ansieht:
-<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
-<span style="color:#A020F0>'''Beispiel für $f''(x)=0$, aber kein Extremum: $f(x)=x^3$''' </span>
-<div class="mw-collapsible-content">
-[[Datei:Xhoch3.png|thumb|300px|right|Graph von $f(x)=x^3$]]
-Sei $f(x)=x^3$. Um die Extrema zu berechnen, setzen wir $f'(x)=0$ und bestimmen dann $f''(x)$ an dieser Stelle:
-{| border="0" align="center"
-|-
-|$f'(x)=3x^2$
-$0=3x^2$
-$\rightarrow x=0$
-|
-$\ $      und    $\ \ \ \ $
-|
-$f''(x)=6x$
-$f''(0)=0$
-|}
-Somit ist $f'(0)=0$ und $f''(0)=0$! Wie man aber leicht am Graphen erkennt, ist bei $x_1=0$ kein Extremum (weder Hoch- noch Tiefpunkt)!
-Die Bedingungen $f''(x_0)<0$ (für ein Maximum) und $f''(x_0)>0$ (für ein Minimum) sind also wichtig!
-</div>
-</div>
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-=== Musterbeispiel ===
-<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
-<span style="color:#A020F0> '''Bestimme die Extrema der Funktion $f(x)=\frac{x^3}{3}-4x^2+7x+30$''' </span>
-<div class="mw-collapsible-content">
-'''Lösung:'''
-Zuerst bestimmen wir die 1. Ableitung $f'(x)$ und die zweite Ableitung $f''(x)$:
-$$f(x)=\frac{x^3}{3}-4x^2+7x+30$$
-$$f'(x)=x^2-8x+7$$
-$$f''(x)=2x-8$$
-Nun setzen wir die 1. Ableitung 0 (da die Steigung bei Hoch- und Tiefpunkt 0 ist):
-$$0=x^2-8x+7$$
-$$x_{1,2}=\frac{8\pm \sqrt{64-4\cdot 7}}{2}$$
-$$x_{1,2}=\frac{8\pm 6}{2}$$
-$$x_1=1$$
-$$x_2=7$$
-[[Datei:Extremwerte.png|thumb|right|300px|Graph mit Hoch- und Tiefpunkt]]
-Somit haben wir 2 '''mögliche Extremstellen''' gefunden. Nun müssen wir noch überprüfen, ob es sich um Hoch- oder Tiefpunkte (oder weder noch) handelt. Hierzu setzen wir $x_1=1$ und $x_2=7$ in die zweite Ableitung ein:
-$f''(1)=2\cdot 1-8=-6<0 \rightarrow $ rechtsgekrümmt $\rightarrow$ Hochpunkt
-$f''(7)=2\cdot 7-8=+6>0 \rightarrow $ linksgekrümmt $\rightarrow$ Tiefpunkt
-Somit wissen wir, dass sich bei $x=1$ ein Hochpunkt und bei $x=7$ Tiefpunkt befindet.
-Zuletzt bestimmen wir nun noch die y-Koordinaten des Hoch- und Tiefpunktes. Hierzu setzen wir die x-Werte '''in die ursprüngliche Funktion''' $f(x)$ ein:
-$f(1)=\frac{1^3}{3}-4\cdot 1^2+7\cdot 1+30=33.33\rightarrow  H(1|33.33)$
-$f(7)=\frac{7^3}{3}-4\cdot 7^2+7\cdot 7+30=-2.67\rightarrow  T(7|-2.67)$
-</div>
-</div>
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