Statistik:Streuungsmaße: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 1. Januar 2016, 16:28 Uhr

Vorlage:Inhalt:Statistik:Streuungsmaße

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-= Statistische Kennzahlen für die Streuung =
-Im vorigen Kapitel haben wir gelernt, wie wir verschiedene Arten von Zentralmaßen bestimmen. Ein Zentralmaß allein sagt uns allerdings noch nicht viel über die Verteilung (=Streuung) der Werte aus.
- Bilder von 2 Zahlensträngen mit denselben Zentralmaßen, aber unterschiedlichen Streuungen
-Beide Datenmengen haben dieselben Zentralmaße, aber unterschiedliche Streuungen. Die Werte im linken Bild liegen näher um die Zentralmaße als die Werte im rechten Bild.
-Aus diesem Grund lernen wir nun noch zusätzlich Kennzahlen für die Streuung von Werten.
-=== Spannweite ===
-{{Vorlage:Definition|1= Die '''Spannweite''' ist die Differenz (Abstand) zwischen dem kleinsten und dem größten Wert der Datenmenge.
-$$Spannweite=x_{max}-x_{min}$$
-}}
-Beispiel: Gegeben sei die Datenmenge $\{1;2;2;2;5\}$. Bestimme die Spannweite.
-Lösung: $x_{max}=5;\ x_{min}=1$
-$$Spannweite=x_{max}-x_{min}=5-1=4$$
-Die Spannweite beträgt $4$
-=== Varianz und Standardabweichung ===
-Eine andere Möglichkeit, um die Streuung  anzugeben wäre folgende:
-Wir berechnen den '''durchschnittlichen Abstand aller Werte vom arithmetischen Mittel $\bar{x}$''' zu berechnen. Diesen durchschnittlichen Abstand nennen wir '''Standardabweichung''' oder kurz $\sigma$ (=sigma).
-{{Vorlage:Ausklapp|1= Herleitung der Standardabweichung:
-<br>
-Um die '''durchschnittlichen Abstände aller Werte vom arithmetischen Mittel $\bar{x}$''' (=Standardabweichung) zu erhalten, machen wir Folgendes:
-|2=
-$$\ $$
-# Schritt: Wir berechnen den Abstand aller Werte von $\bar{x}$:
-#: $$(x_1-\bar{x}) \textrm{ und } (x_2-\bar{x}) \textrm{ und ... und } (x_n-\bar{x})$$
-# Schritt: Da die Abstände mitunter negativ sind (wenn $x_i<\bar{x}$), quadrieren wir alle Abstände:
-#: $$(x_1-\bar{x})^2 \textrm{ und } (x_2-\bar{x})^2 \textrm{ und ... und } (x_n-\bar{x})^2$$
-# Schritt: Nun zählen wir die quadrate aller Abstände zusammen und berechnen den Durchschnitt (d.h. wir dividieren durch $n$):
-#: $$\frac{(x_1-\bar{x})^2 + (x_2-\bar{x})^2 +...+ (x_n-\bar{x})^2}{n}$$
-# Da wir oben quadriert haben, ziehen wir nun wieder die Wurzel (Achtung! Dadurch fallen die $(\ )^2$ nicht weg!):
-#: $$\sqrt{\frac{(x_1-\bar{x})^2 + (x_2-\bar{x})^2 +...+ (x_n-\bar{x})^2}{n} }$$
-Oder verkürzt angeschrieben:
-$$\sqrt{ \frac{\sum_{i}(x_i-\bar{x})^2}{n} }$$
-}}
-{{Vorlage:Definition|1= Die '''Standardabweichung [[sigma|$\sigma$]]''' gibt die Streuung aller Werte vom arithmetischen Mittel $\bar{x}$ an und wird berechnet mit
-$$\sigma=\sqrt{\frac{(x_1-\bar{x})^2 + (x_2-\bar{x})^2 +...+ (x_n-\bar{x})^2}{n} }$$
-Verkürzt:
-$$\sigma=\sqrt{ \frac{\sum_{i}(x_i-\bar{x})^2}{n} }$$
-Die Varianz $\sigma ^2$ ist das Quadrat der Standardabweichung:
-$$\sigma ^2=\frac{(x_1-\bar{x})^2 + (x_2-\bar{x})^2 +...+ (x_n-\bar{x})^2}{n} =\frac{\sum_{i}(x_i-\bar{x})^2}{n}$$
-}}
-{{Vorlage:Beispiel|1= Berechnen Sie arithmetisches Mittel und Standardabweichung der Liste $\{1;2;2;2;5\}$.
-|2=
-$n=5$ Werte
-$$\bar{x}=\frac{1+2\cdot 3+5}{5}=\frac{12}{5}=2.4$$
-Somit beträgt das arithm. Mittel $\bar{x}=2.4$
-Um die Standardabweichung zu berechnen, ermitteln wir zuerst die Varianz und ziehen anschließend die Wurzel (so vermeiden wir häufige Rechenfehler):
-$$\sigma^2 =\frac{(x_1-\bar{x})^2 + (x_2-\bar{x})^2 +...+ (x_n-\bar{x})^2}{n}$$
-$$\sigma^2=\frac{(1-2.4)^2+(1-2.4)^2+(2-2.4)^2+(2-2.4)^2+(2-2.4)^2+(5-2.4)^2}{5}$$
-$$\sigma^2=\frac{(1-2.4)^2+(2-2.4)^2\cdot 3+(5-2.4)^2}{5}$$
-$$\sigma^2=\frac{(-1.4)^2+(-0.4)^2\cdot 3+2.6^2}{5}$$
-$$\sigma^2=\frac{9.2}{5}=1.84$$
-Somit erhalten wir für die Standardabweichung $\sigma$:
-$$\sigma=\sqrt{\sigma^2}=\sqrt{1.84}=1.36$$
-Die Standardabweichung beträgt $\sigma=1.36$
-}}
-=== Quartile ===
-{{Vorlage:Definition|1=
-Die Quartile $Q_1,\ Q_2\ (=\tilde{x}),\ Q_3$ teilen die Werte der Datenmenge insgesamt in 4 Bereiche.
-[[Datei:Quartile.png|thumb|300px|center|Quartile einer Datenmenge mit 5 Werten. $Q_1$ ist zwischen dem 1. und 2. Wert, $Q_3$ zwischen dem 4. und 5.]]
-Berechnung:
-# Zuerst berechnet wir den Median $\tilde{x}$, der die Daten in zwei Hälften teilt.  $\tilde{x}$ ist gleichzeitig das zweite Quartil $Q_2$.
-# Das erste Quartil $Q_1$ ist der mittlere Wert in der linken Hälfte.
-# Das dritte Quartil $Q_3$ ist der mittlere Wert der zweiten Hälfte.
-}}
-Die Quartile sind vor allem für die Erstellung eines [[Beschreibende Statistik#Boxplot (Kastenschaubild)|Boxplot-Diagramms]] relevant.
-{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben ist die Datenmenge $\{1;2;2;2;5\}$. Bestimme $x_{min},\ x_{max}$ sowie alle Quartile und erstelle damit ein Boxplot-Diagramm.
-|2=
-$\ $
-* $x_{min}=1$
-* $x_{max}=5$
-* $\{1\underbrace{;}_{Q_1}2;\ \underbrace{2}_{\tilde{x} }\ ;\ 2\underbrace{;}_{Q_3} 5\}$
-*:
-*: $Q_1=\frac{1+2}{2}=1.5$,
-*: $\tilde{x}=2$ und
-*: $Q_3=\frac{2+5}{2}=3.5$
-[[Datei:Boxplot-bsp1.png|thumb|center|400px|Boxplot-Diagramm der Liste $\{1;2;2;2;5\}$]]
-}}
-{{Vorlage:Merke|1= Der '''Quartilsabstand" ist der Abstand zwischen den Quartilen $Q_1$ und $Q_3$.
-$$Quartilsabstand=Q_3-Q_1$$
-Graphsich entspricht dies der Länge der "Box" im Boxplot-Diagramm.
-}}
-{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben ist die Datenmenge $\{1;2;2;2;5\}$. Bestimme den Quartilsabstand der Daten.
-|2= Aus dem obigen Beispiel wissen wir, dass $Q_1=1.5$  und $Q_3=3.5$.
-Somit beträgt der Quartilsabstand
-$$Q_3-Q_1=3.5-1.5=2$$
-}}

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