@@ Zeile 1: / Zeile 1: @@
+{{Inhalt:Statistik:Zentralmaße}}
-= Zentralmaße - statistische Kennzahlen für das Mittel =
-Um "''das Mittel''" zu berechnen, gibt es verschiedene Möglichkeiten. Dabei hat jede Vor- und Nachteile:
-== Arithmetisches Mittel $\bar{x}$ ==
-===Definition ===
-Das arithmetische Mittel verwendest du in der Schule regelmäßig, um deine Durchschnittsnote zu berechnen.
-Dabei zählst du alle Noten zusammen und dividierst sie durch die Anzahl der Noten.
-Z.B.: Gegeben ist die Menge an Schulnoten $\{ 1;2;2;2;5\} $. Das arithmetische Mittel (="Durchschnittsnote") ergibt:
-$$\bar{x}=\frac{1+2+2+2+5}{5}=\frac{12}{5}=2.4$$
-{{Vorlage:Definition|1= Das '''arithmetische Mittel''' $\bar{x}$ ist definiert als
-$$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}$$
-$$(Summe\ aller\ Werte,\ dividiert\ durch\ die\ Anzahl)$$
-Formal mithilfe des [[Summe|Summenzeichens]]: $$\bar{x}=\frac{1}{n}\cdot \sum_{i=1}^{n} x_i$$
-}}
-[[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]]  Mithilfe dieses [http://tube.geogebra.org/b/115371#material/70980 Applets] kannst du die wichtigsten Eigenschaften des arithmetischen Mittels (Mittelwert) lernen.
-<ggb_applet width="964" height="478" version="4.2" id="70980" />
-=== Das gewichtete arithmetische Mittel ===
-Sind bereits die absoluten oder relativen Häufigkeiten für das arithmetische Mittel bekannt, so kann auch eine der folgenden Formeln für das "''gewichtete arithmetische Mittel''" verwendet werden:
-{{Vorlage:Merke|1= '''Formel mit der absoluten Häufigkeit'''
-$$\bar{x}=\frac{a_1\cdot H_1+a_2\cdot H_2+...}{n}=\frac{1}{n}\cdot \sum_{i} a_i\cdot H_i$$
-$$(Summe\ aller\ Werte\ mal\  deren\  abs.\ Häufigkeit,\  dividiert\  durch\  n)$$
-}}
-'''Beispiel zur Berechnung des arithmetischen Mittels mithilfe der absoluten Häufigkeiten:'''
-Gegeben sind die folgenden Schulnoten: $\{ 1;2;2;2;5\} $. Zuerst erstellen wir die Häufigkeitstabelle
-<div style="margin:0px 0px 10px 0px;">
-<div style="float:left; padding:0px 10px;">
-{| class="wikitable"
-|-
-! Noten $a_i$ !! $H_i$ !! $h_i$
-|-
-| 1 || 1 || $\frac{1}{5}=20$%
-|-
-| 2 || 3 ||  $\frac{3}{5}=60$%
-|-
-| 5 || 1 ||  $\frac{1}{5}=20$%
-|-
-! [[Summe|$\sum$]] !! 5 ||  $\frac{5}{5}=100$%
-|}
-</div>
-<div>
-Setzen wir in die Formel für die absolute Häufigkeit ein, so erhalten wir
-$$\bar{x}=\frac{a_1\cdot H_1+a_2\cdot H_2+a_3\cdot H_3}{n}$$
-$$\bar{x}=\frac{1\cdot 1+2\cdot 3+5\cdot 1}{5}=\frac{12}{5}=2.4$$
-</div>
-</div>
-{{Vorlage:Merke|1= '''Formel mit der relativen Häufigkeit'''
-$$\bar{x}=a_1\cdot h_1+a_2\cdot h_2+...=\sum_{i} a_i\cdot h_i  $$
-$$(Summe\ aller\ Werte\ mal\  deren\  rel.\ Häufigkeit)$$
-Wichtig: Eine fast identische Formel wird später wieder für den [[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Erwartungswert und Standardabweichung|Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariable]] verwendet!
-}}
-'''Beispiel zur Berechnung des arithmetischen Mittels mithilfe der relativen Häufigkeiten:'''
-Gegeben sind die Noten=$\{ 1;2;2;2;5\} $. Um das arithmetische Mittel zu berechnen, lesen wir die Werte sowie die relativen Häufigkeiten aus der Häufigkeitstabelle und setzen in die Formel ein:
-<div style="margin:0px 0px 10px 0px;">
-<div style="float:left; padding:0px 10px;">
-{| class="wikitable"
-|-
-! Noten $a_i$ !! $H_i$ !! $h_i$
-|-
-| 1 || 1 || $\frac{1}{5}=20$%
-|-
-| 2 || 3 ||  $\frac{3}{5}=60$%
-|-
-| 5 || 1 ||  $\frac{1}{5}=20$%
-|-
-! [[Summe|$\sum$]] !! 5 ||  $\frac{5}{5}=100$%
-|}
-</div>
-<div>
-$$\bar{x}=a_1\cdot h_1+a_2\cdot h_2+a_3\cdot h_3=1\cdot \frac{1}{5}+2\cdot \frac{3}{5}+5\cdot \frac{1}{5}$$
-$$\bar{x}=\frac{12}{5}=2.4$$
-</div>
-</div>
-<div style="clear:both;">
-{| class="wikitable" cellpadding="10"
-|
-{|
-!| <span style="color:#EE4000"> '''Welche Formel verwende'''
-'''ich für $\bar{x}$?''' </span>
-|-
-| [[Datei:Rotes rufezeichen.png|center]]
-|}
-|
-{| border="1" cellpadding="10"
-! Ist Folgendes gegeben ... !! ... verwende ich diese Formel
-|-
-| absolute Häufigkeiten $H_i$
-| $$\bar{x}=\frac{a_1\cdot H_1+a_2\cdot H_2+...}{n}=\frac{1}{n}\cdot \sum_{i} a_i\cdot H_i$$
-|-
-| relative Häufigkeiten $h_i$
-| $$\bar{x}=a_1\cdot h_1+a_2\cdot h_2+...=\sum_{i} a_i\cdot h_i  $$
-|-
-| weder $H_i$ noch $h_i$
-| $$\bar{x}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i$$
-|}
-|}
-</div>
-Neben dem arithmetischen Mittel gibt es nun noch einen weiteren wichtigen Zentralwert, den...
-== Median $\tilde{x}$ ==
-{{Vorlage:Definition|1=
-Sortiert man eine Datenliste nach Größe, so ist der '''Median $\tilde{x}$ der Wert in der Mitte der geordneten Liste'''
-Liegen genau zwei Werte in der Mitte (was immer dann der Fall ist, wenn die Anzahl der Werte $n$ gerade ist), so ist $\tilde{x}$ das arithm. Mittel dieser beiden Werte.
-'''Formal''':
-$\begin{align}
-&\tilde{x}=x_{\frac{n+1}{2} }&& \textrm{ für ungerade n}\\
-&\tilde{x}=\frac{1}{2}\cdot \left(x_{\frac{n}{2} }+ x_{\frac{n+1}{2} } \right)&& \textrm{ für gerade n}\\
-\end{align}$
-}}
-'''Beispiel für den Median''': Gegeben ist die folgende Liste an Schulnoten $\{1;2;2;2;5\}$. Ermitteln Sie den Median $\tilde{x}$.
-'''Lösung''': Insgesamt sind es $n=5$ Werte. Da die Liste bereits nach Größe geordnet ist, können wir den Median einfach ablesen:
-{| align="center" padding="2"
-|-
-| durch Ablesen || $\{1;2;\color{red}{2};2;5\}$
-|-
-| rechnerisch || $$\tilde{x}=x_{\frac{5+1}{2}}=x_3=2$$
-|}
-Der Median $\tilde{x}$ ist der Wert an der dritten Stelle und somit $\tilde{x}=2$
-== Vorteil des Median - Nachteil des arithmetischen Mittels ==
-Vergleichen wir noch einmal das arithmetische Mittel und den Median unserer Notenliste $\{1;2;2;2;5\}$.
-$$\bar{x}=2.4 \textrm{ und } \tilde{x}=2$$
-Warum ist das arithmetische Mittel größer, als der Median?
-Antwort: Der Grund liegt darin, dass das arithmetische Mittel durch den "Ausreißer" 5 verzerrt wurde. Der Median hat sich dadurch nicht verändert.
-{{Vorlage:Merke|1= Allgemein gilt:
-* Das arithmetische Mittel $\bar{x}$ kann durch einzelne Ausreißer stark beeinflusst werden.
-* Der Median $\tilde{x}$ wird davon in der Regel nicht beeinflusst.
-Hinweis: Als Ausreißer gelten Zahlen, die im Vergleich zu den anderen Werten sehr klein oder sehr groß sind
-}}
-[[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]]   Zur besseren Verdeutlichung kannst du dir [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_beschreibende_statistik/beschreibendeStatistik/content/zstr/index.html dieses Arbeitsblatt] ansehen (Klicke dabei zuerst auf "Median" und "Mittelwert" und verändere dann die Zahlen).
-{{Vorlage:Ausklapp|1= '''Aufgaben zum Arbeitsblatt'''
-|2=
-$$   \ $$
-# Setze "Zahl der Datenwerte" auf 5.
-#: Schiebe nun 4 Werte auf "1"  und einen auf "4". Wie verhält sich der Median, wie der Mittelwert?
-# Verteile anschließend alle 5 Werte gleichmäßig auf den Zahlengeraden.
-#: Nimm dann den ganz linken Wert und verschiebe ihn langsam ganz nach rechts. Beobachte dabei, wann und wie sich Median und arithmetisches Mittel verändern.
-'''Lösungen:'''
-. Der Median ist der mittlere Wert aller 5 Werte und bleibt deshalb bei 1. Mittelwert dagegen liegt zwischen 1 und 4.
-. Der Median bleibt gleich, solange der zu verschiebende Wert nicht in der MItte ist. Der Mittelwert ändert seinen Wert ständig.
-Hinweis: Ein etwas [http://tube.geogebra.org/student/m70980 komplexeres Arbeitsblatt findest du hier]
-}}
-== Modus/Modalwert ==
-{{Vorlage:Definition|1=Der Modus (auch Modalwert genannt) ist der häufigste Wert in einer Datenreihe (d.h. jener Wert mit der größten absoluten Häufigkeit.
-'''Beispiel''': Gegeben ist die Datenreihe {1;2;2;2;5}.
-Dann ist der Modus=2, da 2 mit einer absoluten Häufigkeit von H=3 erscheint.
-}}
-== Geometrisches Mittel ==
-Das Geometrische Mittel wird verwendet, um einen "durchschnittlichen [Faktor]" zu ermitteln. So kann damit bespielsweise der durchschnittliche [[Wachstums-_und_Zerfallsprozesse#Definition_und_Verwendung_2|Wachstumsfaktor]] oder die durchschnittliche [[Zins-_und_Zinseszinsrechnung|Verzinsung]] berechnet werden.
-{{Vorlage:Definition|1= Sind $r_1,\ ...,\ r_5$ verschiedene Wachstumsfaktoren, dann ist
-$$\bar{x}_{geo}=\sqrt[n]{r_1\cdot r_2\cdot r_3\dots r_n}$$
-der durchschnittliche Wachstumsfaktor.
-''
-Das Geometrische Mittel $\bar{x}_{geo}$ ist die n-te Wurtel aller n Faktoren.''}}
-{| align="center"
-|
-{{Vorlage:Video|1=--_tbfsRvA4}}
-|}
-{{Vorlage:Beispiel|1= Das jährliche Wachstum eines Kapitals von $K_0=100$ Euro ist in folgender Tabelle gegeben.
-{{{!}} border="1"
-! Jahr
-{{!}} 1
-{{!}} 2
-{{!}} 3
-{{!}} 4
-{{!}} 5
-{{!}}-
-! Verzinsung
-{{!}} 5 %
-{{!}} 3 %
-{{!}} -4 %
-{{!}} 2 %
-{{!}} -1 %
-{{!}}}
-a) Berechnen Sie das Kapital am Ende des 5. Jahres.
-b) Ermitteln Sie um welchen Prozentsatz das Kapital durschnittlich pro Jahr gewachsen ist.
-|2=
-a) Berechnen Sie das Kapital am Ende des 5. Jahres.
-'''Wiederholung:''' Aufzinsen heißt, mit dem Wachstumsfaktor $r$ multiplizieren.
-$$K_5=K_0\cdot r_1\cdot r_2\cdot r_3\cdot r_4\cdot r_5$$
-$$K_5=100\cdot 1.05\cdot 1.03\cdot 0.96\cdot 1.02\cdot 0.99$$
-$$K_5=104.84$$
-'''Antwort:''' Das Kapital nach 5 Jahren beträgt € 104.84.
-b) Ermitteln Sie um welchen Prozentsatz das Kapital durschnittlich pro Jahr gewachsen ist.
-Hier gibt es nun 2 Möglichkeiten:
-'''1. Möglichkeit:''' Mithilfe des geometrischen Mittels
-$$\bar{x}_{geo}=\sqrt[n]{r_1\cdot r_2\cdot r_3 \dots r_n}$$
-$$\bar{x}_{geo}=\sqrt[5]{1.05\cdot 1.03\cdot 0.96\cdot 1.02\cdot 0.99}$$
-$$\bar{x}_{geo} = 1.0095$$
-Der durschnittliche Zinssatz beträgt 0.95 %.
-'''2. Möglichkeit:''' Mithilfe des Anfangs- und Endkapitals und der Formel $K_n=K_0\cdot r^n$
-Wir wissen: $K_0=100$ und $K_5=104.84$.
-Gefragt ist nun der durchschnittliche Aufzinsungsfaktor $r$ in die Zinseszinsformel $K_n=K_0\cdot r^n$:
-$$K_n=K_0\cdot r^n$$
-$$104.84=100\cdot r^5$$
-$$r=1.0095$$
-Der durschnittliche Zinssatz beträgt 0.95 %.
-}}
-<!--
-https://www.youtube.com/watch?v=t_V9vnbR0DE
--->
-[[Kategorie:Statistik]]
-[[Kategorie:Porod 2015 5h]]

Statistik:Zentralmaße: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 1. Januar 2016, 16:26 Uhr

Navigationsmenü

Suche