Differenzieren: Rechnerisches Bestimmen von f': Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 1. Januar 2016, 17:21 Uhr

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-Im Folgenden sind Regeln aufgelistet, mit der $f'(x)$ berechnet werden kann.
-=== Grundlegende Regeln ===
-{| border="1" align="center" cellpadding="10"
-! Allgemeine Regeln
-|-
-| {{#ev:youtube|4_e-KRJbXUg}}
-|}
-{| class="wikitable"
-|-
-!Regel !! $f(x)$ !! $f'(x)$ !!Bemerkung
-|-
-|Potenzregel || $x^n$ || $n\cdot x^{n-1}$ || Exponent kommt herunter, dann wird Hochzahl um 1 vermindert.
-|-
-| Konstantenregel
-$c\in \mathbb{R}$
-|| c || 0 ||konstante Funktionen haben Steigung $= 0$
-|-
-|[[Faktor|Faktorregel]]
-$a\in \mathbb{R}$
-|| $a\cdot f(x)$|| $a\cdot f'(x)$ || Ein konstanter Faktor ist von der Ableitung nicht betroffen.
-|-
-|Summenregel || $f(x)+g(x)$ || $f'(x)+g'(x)$ || Eine Summe wird abegeleitet, indem jeder einzelne Summand einzeln abgeleitet wird.
-|-
-| [[Exponentialfunktionen(3.5.)|$e$-Funktion]] || $e^x$ || $e^x$ || Die besondere Eigenschaft von $e^x$ ist, dass es durch Ableiten nicht verändert wird
-(d.h. Funktionswert bei x = Steigung bei x)
-|-
-| [[Logarithmus]] || $ln|x|$ || $\frac{1}{x}$ ||
-|-
-| [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)|Trigonometrische Funktionen]] || $sin(x)$ <br> <br> $cos(x)$ || $cos(x)$  <br> <br>  $-sin(x)$ ||
-[[Datei:Sin-cos-kreis.png|miniatur|300px|center|Durch mehrmaliges Ableiten der Sinus- oder Cosinusfunktion kommt man immer wieder zur Ausgangsfunktion zurück. In [http://geogebratube.org/student/m43313 diesem Arbeitsblatt] findest du eine Begründung dafür.]]
-|}
-{{Vorlage:Beispiel|1=Bestimme zu den folgenden Funktionen die Ableitungsfunktion:
-<br>
-<br>
-<br>
-#$f(x)=x^3$
-#$f(x)=4x$
-#$f(x)=3$
-#$f(x)=5\cdot x^2$
-#$x^3+5x^2-4x+3$
-#$x+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^3}+\sqrt[5]{x^2}$
-#$f(x)=\frac{x^4}{5}+2\cdot e^x-ln\vert x\vert $
-|2=
-Wir wenden die einzelnen Regeln Schritt für Schritt an:
-#$f(x)=x^3  \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel} 3\cdot x^{3-1}=3\cdot x^2$ <br> <br>
-#$f(x)=4\cdot x=4\cdot x^1 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel} 4\cdot 1\cdot x^{1-1}=4\cdot x^0=4\cdot 1=4$ <br> <br>
-#$f(x)=3 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Konstantenregel} 0$ <br> <br>
-#$f(x)=5\cdot x^2\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Faktorregel}5\cdot (x^2)' \underbrace{=}_{Potenzregel}=5\cdot 5\cdot 2\cdot x^{2-1}=10\cdot x$ <br> <br>
-#$x^3+5x^2-4x+3\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Summenregel}(x^3)'+(5x^2)'-(4x)'+(3)' \underbrace{=}_{Potenzregel}3x^2+10x-4+0$
-#$x+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^3}+\sqrt[5]{x^2}\underbrace{=}_{umformen} x+x^{-1}-x^{-3}+x^{\frac{2}{5} }$ <br> <br> $$\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel}1\cdot x^0+(-1)\cdot x^{-2}-(-3)\cdot x^{-4}+\frac{2}{5}\cdot x^{(\frac{2}{5}-1)}=$$ $$=1-x^{-2}+3\cdot x^{-4}+\frac{2}{5}\cdot x^{-\frac{3}{5} }$$ $$=1+\frac{1}{x^2}+\frac{3}{x^4}+\frac{2}{5\sqrt[5]{x^3} }$$ <br> <br>
-#$f(x)=\frac{x^4}{5}+2\cdot e^x-ln \vert x \vert \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel/Faktorregel,\ e-\ und\ ln-Regel}\frac{4x^3}{5}+2\cdot e^x-\frac{1}{x}$
-}}
-[[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]] [http://www.mathe-online.at/tests/diff1/poldiff.html Online-Übung (mathe-online)]
-=== Produktregel ===
-Im Gegensatz zur Summe zweier Funktionen $( (f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)$, siehe oben 'Summenregel'$)$ kann man das [[Produkt]] zweier Funktionen $f(x)\cdot g(x)$ nicht mehr so einfach ableiten. Hierfür braucht es die sogenannte ...
-{{Vorlage:Merke|1= '''Produktregel'''
-$$(f(x)\cdot g(x))'=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$$
-"Zuerst den ersten [[Faktor]] ableiten, den zweiten stehen lassen,
-$$\textrm{Plus}$$
-den ersten Faktor stehen lassen, den anderen ableiten." }}
-{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben ist die Funktion $h(x)=(x^2-1)\cdot (3x^2-4x+1)$. Bestimmen Sie $h'(x)$.
-|2= Da es sich hierbei um ein [[Produkt]] handelt, müssen wir die Produktregel anwenden:
-$$h(x)=\underbrace{(x^2-1)}_{f(x)} \cdot \underbrace{(3x^2-4x+1)}_{g(x)}$$
-Zuerst berechnen wir in einer Nebenrechnung die Ableitungen der Faktoren:
-$$f(x)=x^2-1\rightarrow f'(x)=2x$$
-$$g(x)=3x^2-4x-+1\rightarrow g'(x)=6x-4$$
-Nun setzen wir die Formel zusammen:
-$$h'(x)=\underbrace{2x}_{f'(x)}\cdot \underbrace{(3x^2-4x+1)}_{g(x)}+\underbrace{(x^2-1)}_{f(x)}\cdot \underbrace{(6x-4)}_{g'(x)}$$
-Zuletzt vereinfachen wir noch das Ergebnis:
-$$h'(x)=6x^3-8x^2+2x+6x^3-4x^2-6x+4$$
-$$\underline{\underline{h'(x)=12x^3-12x^2-4x+4} }$$
-}}
-=== Quotientenregel ===
-Um die Ableitung einer Division von 2 Funktionen (=Quotienten) zu berechnen, verwendet man die ...
-{{Vorlage:Merke|1= '''Quotientenregel'''
-$$h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\ \rightarrow \ h'(x)=\frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g(x)}{(g(x))^2 }$$
-Im Nenner steht bis auf das $Minus$ die Produktregel. Im Zähler wird die Nenner-Funktion quadriert.
-}}
-{{Vorlage:Beispiel|1= Bestimmen Sie die Ableitung von $h(x)=\frac{x^2-x}{x+1}$.
-|2=
-Da es sich um einen Quotienten handelt, wenden wir die Quotientenregel an. Zuerst berechnen wir die Ableitung des Zählers (f(x)) und des Nenners (g(x)):
-* Zähler: $f(x)=x^2-x\ \rightarrow f'(x)=2x-1$
-* Nenner: $g(x)=x+1\ \rightarrow g'(x)=1$
-Nun setzen wir die Quotientenregel zusammen:
-$$h'(x)=\frac{(2x-1)\cdot (x+1)-(x^2-x)\cdot 1 }{(x+1)^2}$$
-$$h'(x)=\frac{2x^2+x-1}{x^2+2x+1}$$
-}}
-=== Kettenregel ===
-Um Klammerausdrücke oder verkettete Funktionen wie zum Beispiel $f(x)=\sqrt[3]{x^2-1}$ oder $e^{2x-1}$ abzuleiten, verwenden wir die ...
-{{Vorlage:Merke|1='''Kettenregel'''
-$$h(x)=f[g(x)]\ \ \rightarrow \ \ h'(x)=\underbrace{f'(g(x))}_{\textrm{äußere Ableitung} } \cdot \underbrace{h'(x)}_{\textrm{innere Ableitung} }$$
-$f(x)$ wird als ''äußere Funktion'', $g(x)$ als ''innere Funktion'' bezeichnet.
-}}
-{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben ist $h(x)=\sqrt[3]{x^2-1}$. Bestimmen Sie $h'(x)$
-|2=
-Zuerst schreiben wir die Wurzel in der [[Rechnen mit Potenzen|Exponentenschreibweise]]:
-$$h(x)=(x^2-1)^{\frac{1}{3} }$$
-* Die äußere Funktion ist nun $f(x)=(\ \ )^{\frac{1}{3} }$. Damit ist $f'(x)=\frac{1}{3}\cdot (\ \ )^{\frac{1}{3}-1}=\frac{1}{3}\cdot (\ \ )^{-\frac{2}{3} }$
-* Die innere Funktion ist $g(x)=x^2-1$. Damit ist $g'(x)=2x$
-Nun setzen wir die Kettenregel zusammen:
-$$ h'(x)=\underbrace{\frac{1}{3}\cdot (x^2-1)^{-\frac{2}{3} }  }_{\textrm{äußere Ableitung} } \cdot \underbrace{2x}_{\textrm{innere Ableitung} }$$
-$$ h'(x)=\frac{2x}{3\cdot \sqrt[3]{(x^2-1)^2} }$$
-}}
-{{Vorlage:Beispiel|1= Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion von $f(x)=e^{2x-1}$
-|2=
-Zuerst kümmern wir uns um die äußere und innere Funktion getrennt:
-* Die äußere Funktion ist die Exponentialfunktion $f(x)=e\textrm{^}\ \rightarrow\ f'(x)=e\textrm{^}$
-* Die innere Funktion ist $g(x)=2x-1 \ \rightarrow g'(x)=2$
-Nun setzen wir die Kettenregel wieder zusammen:
-$$ h'(x)=\underbrace{e^{2x-1} }_{\textrm{äußere Ableitung} } \cdot \underbrace{2}_{\textrm{innere Ableitung} }$$
-$$h'(x)=2\cdot  e^{2x-1} $$
-}}
-=== Videos ===
-{| align="center" border="1"
-! Produkt-, Quotienten- und Kettenregel
-! Ableitung der Exponentialfunktion
-|-
-|{{#ev:youtube|47bKq2lXGs8}}
-|{{#ev:youtube|XVCBYo2_OoM}}
-|}

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