Zins- und Zinseszinsrechnung - Versionsgeschichte

Porod: /* Aufzinsungsfaktor */

2017-10-08T07:28:14Z

Aufzinsungsfaktor

Porod: /* Musterbeispiele */

2017-10-08T07:21:20Z

Musterbeispiele

Porod: /* Formel für die einfachen Zinsen */

2017-10-08T07:03:29Z

Formel für die einfachen Zinsen

Porod: /* Zinseszinsformel */

2017-10-08T06:57:12Z

Zinseszinsformel

Porod: /* b) der konforme (äquivalente) Zinssatz */

2017-10-08T06:56:00Z

b) der konforme (äquivalente) Zinssatz

Raum: zu vorheriger Änderung noch Prozentzeichen und einmal Index ergänzt

2017-02-22T22:01:41Z

zu vorheriger Änderung noch Prozentzeichen und einmal Index ergänzt

Änderungen zeigen

Raum: 2 Schreibfehler ausgebessert (war Halbjahreszinssatz und durch 2 statt Quartalszinssatz und durch 4)

2017-02-22T21:44:15Z

2 Schreibfehler ausgebessert (war Halbjahreszinssatz und durch 2 statt Quartalszinssatz und durch 4)

Porod: /* Beispiele */

2017-02-21T09:48:38Z

Beispiele

Porod: /* Formel für die einfachen Zinsen */

2017-01-29T08:58:01Z

Formel für die einfachen Zinsen

Istvan.baksa: Am Ende habe ich i_{12}=0.3322 auf i_{12}=0.003322 abgeändert.

2016-08-08T19:21:10Z

Am Ende habe ich i_{12}=0.3322 auf i_{12}=0.003322 abgeändert.

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 {| border="1" cellpadding="10" align="center"
 |-
-| class="bs-ve-image thumb center" style="margin: 0.5em auto 0.8em; padding: 3px; cursor: pointer; width: 500px; border: 1px solid #cccccc; float: none; clear: none; display: block;" data-bs-imagename="Datei:Aufzinsung.png" data-bs-thumb="true" data-bs-thumbsize="300" data-bs-right="false" data-bs-left="false" data-bs-center="true" data-bs-align="center" data-bs-none="false" data-bs-frameless="false" data-bs-frame="false" data-bs-border="false" data-bs-upright="false" data-bs-alt="" data-bs-caption="Beispiel für eine 4-jährige Aufzinsung" data-bs-link="false" data-bs-sizewidth="500" data-bs-sizeheight="false" data-bs-wikitext=""|thumb>500px|center|Beispiel für eine 4-jährige Aufzinsung"|
+|[[Datei:Aufzinsung.png|thumb|500px|center|Beispiel für eine 4-jährige Aufzinsung]]
-| class="bs-ve-image thumb center" style="margin: 0.5em auto 0.8em; padding: 3px; cursor: pointer; width: 500px; border: 1px solid #cccccc; float: none; clear: none; display: block;" data-bs-imagename="Datei:Abzinsung.png" data-bs-thumb="true" data-bs-thumbsize="300" data-bs-right="false" data-bs-left="false" data-bs-center="true" data-bs-align="center" data-bs-none="false" data-bs-frameless="false" data-bs-frame="false" data-bs-border="false" data-bs-upright="false" data-bs-alt="" data-bs-caption="Beispiel für eine 4-jährige Abzinsung" data-bs-link="false" data-bs-sizewidth="500" data-bs-sizeheight="false" data-bs-wikitext=""|thumb>500px|center|Beispiel für eine 4-jährige Abzinsung"|
+|-
 |}
 ==Unterjährige Verzinsung==

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 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width: 800px;">
- Welcher Betrag muss angespart werden, damit man nach 3 Jahren bei einem Zinssatz von 2,5 % p.a. über ein Guthaben von € 1500 verfügt, wenn die KESt zu berücksichtigen ist?
+Welcher Betrag muss angespart werden, damit man nach 3 Jahren bei einem Zinssatz von 2,5 % p.a. über ein Guthaben von € 1500 verfügt, wenn die KESt zu berücksichtigen ist?
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 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width: 800px;">
- Wie viele volle Jahre muss ein Kapital von € 100 angespart werden, um bei einem Zinssatz von 2,5 % p.a. bei Berücksichtigung der KESt über ein Guthaben von mehr als € 200 zu verfügen?
+Wie viele volle Jahre muss ein Kapital von € 100 angespart werden, um bei einem Zinssatz von 2,5 % p.a. bei Berücksichtigung der KESt über ein Guthaben von mehr als € 200 zu verfügen?
 ''Siehe hier auch [[Wachstums- und Zerfallsprozesse#Verdoppelungszeit|Verdoppelungszeit]]''
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 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width: 800px;">
- Mit welchem Zinssatz muss ein Sparbuch verzinst werden, damit ein Kapital von anfangs € 100 in 7 Jahren auf € 118.87 anwächst.
+Mit welchem Zinssatz muss ein Sparbuch verzinst werden, damit ein Kapital von anfangs € 100 in 7 Jahren auf € 118.87 anwächst.

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 |}
-<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width: 800px;">
+{{Vorlage:Hinweis|1=
- '''Herleitung der Formel für die einfache Verzinsung'''<div class="mw-collapsible-content"></div>
+'''Herleitung der Formel für die einfache Verzinsung'''
 Anna hat $K_0$ Euro auf der Bank bei einer jährichen Verzinsung von i % p.a. (per anno = pro Jahr). Somit erhält sie nach einem Jahr zusätzlich "i % von $K_0$".Das Kapital nach einem Jahr beträgt dann
 $$K_1=K_0+\textrm{ i % von } K_0$$
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 Nun will Anna das Geld aber schon nach 7 Monaten abheben. Da die Bank ihr 5 % für das ganze Jahr versprochen hat, Anna das Geld aber bereits nach $\frac{7}{12}$ des Jahres abhebt, erhält sie nur $\frac{7}{12}$ der Zinsen.
 Damit ergibt sich:
-$$K_{ \frac{7}{12}}=K_0+\frac{7}{12}\textrm{ der i }\% \textrm{ von } K_0$$
+$$K_{ \frac{7}{12} }=K_0+\frac{7}{12}\textrm{ der i }\% \textrm{ von } K_0$$
-$$K_{\frac{7}{12}}=K_0 + \frac{7}{12} \frac{i}{100}\cdot K_0$$
+$$K_{\frac{7}{12} }=K_0 + \frac{7}{12} \frac{i}{100}\cdot K_0$$
-$$K_{\frac{7}{12}}=K_0\cdot (1+ \frac{i}{100} \cdot \frac{7}{12})$$
+$$K_{\frac{7}{12} }=K_0\cdot (1+ \frac{i}{100} \cdot \frac{7}{12})$$
@@ Zeile 48: / Zeile 49: @@
 Angenommen das Kapital liegt nicht $\frac{7}{12})$ des Jahres auf dem Konto, sondern $n$, wobei $n$ die Zeit in Jahren angibt, so gilt:
-$$K_{\frac{7}{12}}=K_0\cdot (1+ \frac{i}{100} \cdot n)$$
+$$K_{\frac{7}{12} }=K_0\cdot (1+ \frac{i}{100} \cdot n)$$
-</div>
+}}
@@ Zeile 64: / Zeile 65: @@
 € 30 Euro werden mit einem effektiven Zinssatz von 5 % p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst. Wie hoch ist das Kapital nach 9 Monaten.
-=Lösung:
+|2=Lösung:
 * $K_0 =30 $
@@ Zeile 71: / Zeile 72: @@
 * $i_{eff} = 5$ %
-<br />"" />
+<br />
 <br />
 $$ K_{\frac{9}{12} }=30\cdot (1+\frac{5}{100}\cdot \frac{9}{12} ) $$
@@ Zeile 81: / Zeile 82: @@
 <br />
 <br />
-{{Vorlage:Beispiel|1
+{{Vorlage:Beispiel|1=
 '''Variante 2: Zinsen werden erst am Ende der Laufzeit ausbezahlt'''
@@ Zeile 87: / Zeile 88: @@
 € 30 sollen 4 Jahre lang mit effektiv 5 % p.a. '''einfach''' verzinst werden. Wie hoch ist das Endkapital? ('''einfach''' bedeutet hier: die Zinsen werden erst am Ende der 4 Jahre auf das Konto überwiesen)
-= Lösung
+|2= Lösung
 * $K_0=30$
@@ Zeile 103: / Zeile 104: @@
 Antwort: Nach 4 Jahren beträgt das Kapital € 36.
 }}
 ===Musterbeispiel für die einfache Verzinsung===

@@ Zeile 147: / Zeile 147: @@
 Im nächsten Jahr erhält man nun nicht nur Zinsen auf das ursprüngliche Kapital, sondern auch auf die Zinsen des letzten Jahrens - dies nennt man die ''Zinseszinsen''.
-Video: Herleitung der ZineszinsformelQSNXWUQ8wRA}}
+Video: Herleitung der Zineszinsformel:
@@ Zeile 171: / Zeile 172: @@
 {{Vorlage:Merke| 1=Die Zinseszinsformel wird verwendet, wenn über '''mehrere volle Jahre''' verzinst wird
 }}
 ===Musterbeispiele===

@@ Zeile 409: / Zeile 409: @@
-</div>
+{{Vorlage:Beispiel|1=
+{{Vorlage:Beispiel|1=
 '''Musterbeispiel 3: relativer/nomineller Zinssatz und konformer Zinssatz gemeinsam:'''
 Ein Kredit wird nominell mit 4 % p.a. quartalsmäßig verzinst. Da die Raten monatlich eingezahlt werden, muss der konforme Monatszinssatz bestimmt werden. Berechnen Sie diesen.
 '''1. Schritt''': Zuerst muss mithilfe des nominellen Jahreszinssatzes von 4 % p.a. der relative Quartalszinssatz bestimmt werden:
-$$ i_4=\frac{i}{4}=\frac{4 \textrm{ %}}{4}=1 \textrm{ % p.q.} $$
+$$ i_4=\frac{i}{4}=\frac{4 \textrm{ %} }{4}=1 \textrm{ % p.q.} $$
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 A: Der konforme Monatszinssatz beträgt 0.3322 % p.m.
-</div>
+}}
 <br />
 ==Der durchnittliche Zinssatz - geometrisches Mittel==

@@ Zeile 313: / Zeile 313: @@
 Der Nominalzinssatz beträgt $i=8$ % p.a.. Berechne den Quartalszinssatz $i_4$ </span>
 <div class="mw-collapsible-content">
-'''Lösung''': $i=m\cdot i_m  \rightarrow 8=4\cdot i_4 \rightarrow \frac{8}{2}=i_4 \rightarrow 2=i$
+'''Lösung''': $i=m\cdot i_m  \rightarrow 8=4\cdot i_4 \rightarrow \frac{8}{4}=i_4 \rightarrow 2=i$
-'''Antwort''': Der Halbjahreszinssatz beträgt 2 % p.q.
+'''Antwort''': Der Quartalszinssatz beträgt 2 % p.q.
 </div>
 </div>

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	Quiz - was nehme ich wann?		Quiz - was nehme ich wann?
		+
		+	== Der durchnittliche Zinssatz - geometrisches Mittel ==
		+	Im Laufe der Jahre kann sich ein Zinssatz immer wieder ändern. So kann er einmal größer werden, dann wieder kleiner, usw.
		+	Hier ist es natürlich interessant zu wissen, wie groß der durchschnittliche Zinssatz $\bar{i}$ über einen bestimmten Zeitabschnitt ist.
		+
		+	{{Vorlage:Merke\|1=
		+	Im folgenden seien $r_1,\ r_2, \ r_3,\ \dots , \ r_n$ die Aufzinsungsfaktoren für die Jahre 1 bis n. Dann gilt für den durchschnittlichen Aufzinsungsfaktor $\bar{r}$ und das Kapital nach n Jahren:
		+
		+	$$K_0\cdot r_1\cdot r_2\cdot r_3 \cdots r_n = K_0 \cdot \left(\bar{r}\right)^n$$
		+	$$ r_1 \cdot r_2\cdot r_3 \cdots r_n = \cdot \left(\bar{r}\right)^n $$
		+	$$ \sqrt[n]{r_1 \cdot r_2\cdot r_3 \cdots r_n}=\bar{r} $$
		+	Mithilfe des durchschnittlichen Aufzinsungsfaktors kann dann einfach der durchschnittliche Zinssatz $\bar{i}$ bestimmt werden.
		+	}}
		+
		+	{{Vorlage:Beispiel\|1= Ein Kapital von € 100 wird im ersten Jahr mit 2 % p.a., im zweiten Jahr mit 4 % p.a. und im dritten Jahr mit 3.5 % p.a. verzinst.
		+
		+	Berechne jenen durchschnittlichen Zinssatz $\bar{i}$, mit dem das Kapital über die drei Jahre konstant verzinst werden hätte können.
		+	\|2=
		+	Die Formel für den Endwert nach drei Jahren ist
		+	$$K_3=100\cdot 1.02\cdot 1.04\cdot 1.035=100\cdot \left(\bar{r}\right)^3 $$
		+	wobei $\bar{r}$ der durchschnittliche Aufzinsungsfaktor ist.
		+	Somit gilt:
		+	$$ 1.02\cdot 1.04\cdot 1.035=\left(\bar{r}\right)^3 $$
		+	$$\sqrt[3]{1.02\cdot 1.04\cdot 1.035}=\bar{r}$$
		+	$$ 1.0316 = \bar{r}$$
		+	$$\bar{i}=3.16$$
		+	Der das Kapital wird mit einem durchschnittlichen Zinssatz von 3.16 % p.a. verzinst. }}
		+

	== Beispiele ==		== Beispiele ==

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 |-
 | Sei n die Veranlagungsdauer '''in Jahren''', dann gilt:
-|-
+$$ K_n=K_0 + n\cdot \frac{i_{eff}}{100} \cdot K_0 $$
 und vereinfacht:
 $$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i_{eff}}{100} ) $$

@@ Zeile 447: / Zeile 447: @@
 $$\textrm{ Hinweis: Wenn man drei Monate verzinst (=}(r_{12})^3 \textrm{), so verzinst man insgesamt ein ganzes Quartal (=}r_4 ) $$
 $$ r_{12}=\sqrt[3]{1.01} $$
-$$ r_{12}=1.003322 \rightarrow i_{12}=0.3322 \textrm{ % p.m.} $$
+$$ r_{12}=1.003322 \rightarrow i_{12}=0.003322 \textrm{ % p.m.} $$
 A: Der konforme Monatszinssatz beträgt 0.3322 % p.m.