Statistik:Streuungsmaße - Versionsgeschichte

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2016-01-01T15:28:10Z

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Porod: /* Varianz und Standardabweichung */

2015-10-14T07:49:05Z

Varianz und Standardabweichung

Porod am 1. September 2015 um 10:07 Uhr

2015-09-01T10:07:44Z

Porod: added Category:Porod-2015 5h using HotCat

2015-08-31T06:33:23Z

added Category:Porod-2015 5h using HotCat

Porod: /* Streuung von Daten */

2015-08-31T06:32:03Z

Streuung von Daten

Porod: added Category:Statistik using HotCat

2015-08-31T06:09:47Z

added Category:Statistik using HotCat

Porod am 8. August 2015 um 07:24 Uhr

2015-08-08T07:24:43Z

Porod am 8. August 2015 um 07:17 Uhr

2015-08-08T07:17:17Z

Porod am 8. August 2015 um 07:16 Uhr

2015-08-08T07:16:42Z

Porod: /* Varianz und Standardabweichung */

2015-06-04T05:23:48Z

Varianz und Standardabweichung

← Nächstältere Version		Version vom 1. Januar 2016, 15:28 Uhr
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−		+	{{Inhalt:Statistik:Streuungsmaße}}
−	~~= Streuungsmaße - statistische Kennzahlen für die Streuung =~~
−
−
−	~~== Streuung von Daten ==~~
−	~~Im vorigen Kapitel haben wir gelernt, wie wir verschiedene Arten von Zentralmaßen bestimmen. Ein Zentralmaß allein sagt uns allerdings noch nicht viel über die Verteilung (=Streuung) der Werte aus.~~
−
−	~~{\| align="center"~~
−	~~\| [[Datei:Streuungs-bild1.png\|thumb\|450px\|In beiden Graphiken ist das arithm. Mittel $\bar{x}=1$, ....]]~~
−	~~\| [[Datei:Streuungs-bild2.png\|thumb\|450px\|... allerdings ist im linken Bild die Streuung der Werte eindeutig größer als im rechten Bild.]]~~
−	\|}
−
−	~~Beide Datenmengen in den Abbildungen haben denselben Mittelwert, aber unterschiedliche Streuungen. Die Werte im rechten Bild liegen näher um den Mittelwert 1 als die Werte im linken Bild.~~
−
−
−	~~Aus diesem Grund lernen wir nun noch zusätzliche Kennzahlen für die Streuung von Werten, um solche Dantenmengen besser unterscheiden zu können.~~
−
−	~~== Spannweite ==~~
−
−	~~{{Vorlage:Definition\|1= Die '''Spannweite''' ist die Differenz (Abstand) zwischen dem kleinsten und dem größten Wert der Datenmenge.~~
−	~~$$Spannweite=x_{max}-x_{min}$$~~
−	}}
−
−	~~Beispiel: Gegeben sei die Datenmenge $\{1;2;2;2;5\}$. Bestimme die Spannweite.~~
−
−	~~Lösung: $x_{max}=5;\ x_{min}=1$~~
−	~~$$Spannweite=x_{max}-x_{min}=5-1=4$$~~
−
−	~~Die Spannweite beträgt $4$~~
−
−	~~== Varianz und Standardabweichung ==~~
−	~~Eine andere Möglichkeit, um die Streuung anzugeben wäre folgende:~~
−	~~Wir berechnen den '''durchschnittlichen Abstand aller Werte vom arithmetischen Mittel $\bar{x}$'''. Diesen durchschnittlichen Abstand nennen wir '''Standardabweichung''' oder kurz $\sigma$ (=sigma).~~
−
−	~~{{Vorlage:Ausklapp\|1= Herleitung der Standardabweichung:~~
−	~~<br>~~
−	~~Um die '''durchschnittlichen Abstände aller Werte vom arithmetischen Mittel $\bar{x}$''' (=Standardabweichung) zu erhalten, machen wir Folgendes:~~
−	~~\|2=~~
−	~~$$\ $$~~
−	~~# Schritt: Wir berechnen den Abstand aller Werte von $\bar{x}$:~~
−	~~#: $$(x_1-\bar{x}) \textrm{ und } (x_2-\bar{x}) \textrm{ und ... und } (x_n-\bar{x})$$~~
−	~~# Schritt: Da die Abstände mitunter negativ sind (wenn $x_i<\bar{x}$), quadrieren wir alle Abstände:~~
−	~~#: $$(x_1-\bar{x})^2 \textrm{ und } (x_2-\bar{x})^2 \textrm{ und ... und } (x_n-\bar{x})^2$$~~
−	~~# Schritt: Nun zählen wir die quadrate aller Abstände zusammen und berechnen den Durchschnitt (d.h. wir dividieren durch $n$):~~
−	~~#: $$\frac{(x_1-\bar{x})^2 + (x_2-\bar{x})^2 +...+ (x_n-\bar{x})^2}{n}$$~~
−	~~# Da wir oben quadriert haben, ziehen wir nun wieder die Wurzel (Achtung! Dadurch fallen die $(\ )^2$ nicht weg!):~~
−	~~#: $$\sqrt{\frac{(x_1-\bar{x})^2 + (x_2-\bar{x})^2 +...+ (x_n-\bar{x})^2}{n} }$$~~
−	~~Oder verkürzt angeschrieben:~~
−	~~$$\sqrt{ \frac{\sum_{i}(x_i-\bar{x})^2}{n} }$$~~
−	}}
−
−	~~{{Vorlage:Definition\|1= Die '''Standardabweichung [[sigma\|$\sigma$]]''' gibt die Streuung aller Werte vom arithmetischen Mittel $\bar{x}$ an und wird berechnet mit~~
−	~~$$\sigma=\sqrt{\frac{(x_1-\bar~~{~~x})^2 + (x_2-\bar~~{~~x})^2 +...+ (x_n-\bar{x})^2}{n} }$$~~
−	~~Verkürzt~~:
−	~~$$\sigma=\sqrt{ \frac{\sum_{i}(x_i-\bar{x})^2}{n} }$$~~
−
−
−	~~Die Varianz $\sigma ^2$ ist das Quadrat der Standardabweichung:~~
−	~~$$\sigma ^2=\frac{(x_1-\bar{x})^2 + (x_2-\bar{x})^2 +...+ (x_n-\bar{x})^2}{n} =\frac{\sum_{i}(x_i-\bar{x})^2}{n}$$~~
−
−
−	}}
−
−	~~{{Vorlage:Beispiel\|1= Berechnen Sie arithmetisches Mittel und Standardabweichung der Liste $\{1;2;2;2;5\}$.~~
−	~~\|2=~~
−	~~$n=5$ Werte~~
−	~~$$\bar{x}=\frac{1+2\cdot 3+5}{5}=\frac{12}{5}=2.4$$~~
−	~~Somit beträgt das arithm. Mittel $\bar{x}=2.4$~~
−
−
−	~~Um die Standardabweichung zu berechnen, ermitteln wir zuerst die Varianz und ziehen anschließend die Wurzel (so vermeiden wir häufige Rechenfehler):~~
−	~~$$\sigma^2 =\frac{(x_1-\bar{x})^2 + (x_2-\bar{x})^2 +...+ (x_n-\bar{x})^2}{n}$$~~
−	~~$$\sigma^2=\frac{(1-2.4)^2+(1-2.4)^2+(2-2.4)^2+(2-2.4)^2+(2-2.4)^2+(5-2.4)^2}{5}$$~~
−	~~$$\sigma^2=\frac{(1-2.4)^2+(2-2.4)^2\cdot 3+(5-2.4)^2}{5}$$~~
−	~~$$\sigma^2=\frac{(-1.4)^2+(-0.4)^2\cdot 3+2.6^2}{5}$$~~
−	~~$$\sigma^2=\frac{9.2}{5}=1.84$$~~
−	~~Somit erhalten wir für die Standardabweichung $\sigma$:~~
−	~~$$\sigma=\sqrt{\sigma^2}=\sqrt{1.84}=1.36$$~~
−	~~Die Standardabweichung beträgt $\sigma=1.36$~~
−	}}
−
−	~~== Quartile ==~~
−
−	~~{{Vorlage:Definition\|1=~~
−	~~Die Quartile $Q_1,\ Q_2\ (=\tilde{x}),\ Q_3$ teilen die Werte der Datenmenge insgesamt in 4 Bereiche.~~
−
−	~~[[Datei:Quartile.png\|thumb\|300px\|center\|Quartile einer Datenmenge mit 5 Werten. $Q_1$ ist zwischen dem 1. und 2. Wert, $Q_3$ zwischen dem 4. und 5.]]~~
−
−	~~Berechnung:~~
−	~~# Zuerst berechnet wir den Median $\tilde{x}$, der die Daten in zwei Hälften teilt. $\tilde{x}$ ist gleichzeitig das zweite Quartil $Q_2$.~~
−	~~# Das erste Quartil $Q_1$ ist der mittlere Wert in der linken Hälfte.~~
−	~~# Das dritte Quartil $Q_3$ ist der mittlere Wert der zweiten Hälfte.~~
−
−	}}
−
−	~~Die Quartile sind vor allem für die Erstellung eines [[Beschreibende~~ Statistik~~#Boxplot (Kastenschaubild)\|Boxplot-Diagramms]] relevant.~~
−
−	~~{{Vorlage~~:~~Beispiel\|1= Gegeben ist die Datenmenge $\{1;2;2;2;5\~~}~~$. Bestimme $x_{min~~}~~,\ x_{max}$ sowie alle Quartile und erstelle damit ein Boxplot-Diagramm.~~
−	~~\|2=~~
−	~~$\ $~~
−
−	* $x_{min}=1$
−	* $x_{max}=5$
−	* $\{1\underbrace{;}_{Q_1}2;\ \underbrace{2}_{\tilde{x} }\ ;\ 2\underbrace{;}_{Q_3} 5\}$
−	*:
−	*: $Q_1=\frac{1+2}{2}=1.5$,
−	*: $\tilde{x}=2$ und
−	*: $Q_3=\frac{2+5}{2}=3.5$
−	~~[[Datei:Boxplot-bsp1.png\|thumb\|center\|400px\|Boxplot-Diagramm der Liste $\{1;2;2;2;5\}$]]~~
−	}}
−
−	~~{{Vorlage:Merke\|1= Der '''Quartilsabstand" ist der Abstand zwischen den Quartilen $Q_1$ und $Q_3$.~~
−	~~$$Quartilsabstand=Q_3-Q_1$$~~
−	~~Graphsich entspricht dies der Länge der "Box" im Boxplot-Diagramm.~~
−	}}
−
−
−	~~{{Vorlage:Beispiel\|1= Gegeben ist die Datenmenge $\{1;2;2;2;5\}$. Bestimme den Quartilsabstand der Daten.~~
−	~~\|2= Aus dem obigen Beispiel wissen wir, dass $Q_1=1.5$ und $Q_3=3.5$.~~
−	~~Somit beträgt der Quartilsabstand~~
−	~~$$Q_3-Q_1=3.5-1.5=2$$~~
−	}}
−
−	~~[[Kategorie:Statistik]]~~
−	~~[[Kategorie:Porod 2015 5h]]~~

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 == Varianz und Standardabweichung ==
-Eine andere Möglichkeit, um die Streuung  anzugeben wäre folgende:
+Eine andere Möglichkeit, um die Streuung anzugeben wäre folgende:
-Wir berechnen den '''durchschnittlichen Abstand aller Werte vom arithmetischen Mittel $\bar{x}$''' zu berechnen. Diesen durchschnittlichen Abstand nennen wir '''Standardabweichung''' oder kurz $\sigma$ (=sigma).
+Wir berechnen den '''durchschnittlichen Abstand aller Werte vom arithmetischen Mittel $\bar{x}$'''. Diesen durchschnittlichen Abstand nennen wir '''Standardabweichung''' oder kurz $\sigma$ (=sigma).
 {{Vorlage:Ausklapp|1= Herleitung der Standardabweichung:

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	[[Kategorie:Statistik]]		[[Kategorie:Statistik]]
−	[[Kategorie:Porod-2015 5h]]	+	[[Kategorie:Porod 2015 5h]]

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	[[Kategorie:Statistik]]		[[Kategorie:Statistik]]
		+	[[Kategorie:Porod-2015 5h]]

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 Im vorigen Kapitel haben wir gelernt, wie wir verschiedene Arten von Zentralmaßen bestimmen. Ein Zentralmaß allein sagt uns allerdings noch nicht viel über die Verteilung (=Streuung) der Werte aus.
- Bilder von 2 Zahlensträngen mit denselben Zentralmaßen, aber unterschiedlichen Streuungen
+{| align="center"
-Beide Datenmengen haben dieselben Zentralmaße, aber unterschiedliche Streuungen. Die Werte im linken Bild liegen näher um die Zentralmaße als die Werte im rechten Bild.
+Beide Datenmengen in den Abbildungen haben denselben Mittelwert, aber unterschiedliche Streuungen. Die Werte im rechten Bild liegen näher um den Mittelwert 1 als die Werte im linken Bild.
 == Spannweite ==

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	$$Q_3-Q_1=3.5-1.5=2$$		$$Q_3-Q_1=3.5-1.5=2$$
	}}		}}
		+
		+	[[Kategorie:Statistik]]

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-= Statistische Kennzahlen für die Streuung =
+= Streuungsmaße - statistische Kennzahlen für die Streuung =
 Im vorigen Kapitel haben wir gelernt, wie wir verschiedene Arten von Zentralmaßen bestimmen. Ein Zentralmaß allein sagt uns allerdings noch nicht viel über die Verteilung (=Streuung) der Werte aus.
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-=== Spannweite ===
+== Spannweite ==
 {{Vorlage:Definition|1= Die '''Spannweite''' ist die Differenz (Abstand) zwischen dem kleinsten und dem größten Wert der Datenmenge.
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 Die Spannweite beträgt $4$
-=== Varianz und Standardabweichung ===
+== Varianz und Standardabweichung ==
 Eine andere Möglichkeit, um die Streuung  anzugeben wäre folgende:
 Wir berechnen den '''durchschnittlichen Abstand aller Werte vom arithmetischen Mittel $\bar{x}$''' zu berechnen. Diesen durchschnittlichen Abstand nennen wir '''Standardabweichung''' oder kurz $\sigma$ (=sigma).
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 }}
-=== Quartile ===
+== Quartile ==
 {{Vorlage:Definition|1=

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−	== Statistische Kennzahlen für die Streuung ==	+	= Statistische Kennzahlen für die Streuung =
	Im vorigen Kapitel haben wir gelernt, wie wir verschiedene Arten von Zentralmaßen bestimmen. Ein Zentralmaß allein sagt uns allerdings noch nicht viel über die Verteilung (=Streuung) der Werte aus.		Im vorigen Kapitel haben wir gelernt, wie wir verschiedene Arten von Zentralmaßen bestimmen. Ein Zentralmaß allein sagt uns allerdings noch nicht viel über die Verteilung (=Streuung) der Werte aus.

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-== statistische Kennzahlen für die Streuung ==
+== Statistische Kennzahlen für die Streuung ==
 Im vorigen Kapitel haben wir gelernt, wie wir verschiedene Arten von Zentralmaßen bestimmen. Ein Zentralmaß allein sagt uns allerdings noch nicht viel über die Verteilung (=Streuung) der Werte aus.
   Bilder von 2 Zahlensträngen mit denselben Zentralmaßen, aber unterschiedlichen Streuungen
-Beide Datenmengen haben dieselben Zentralmaße, aber unterschiedliche Streuungen. Die Werte im linken Bild liegen näher um die Zentralmaße, als die Werte im rechten Bild.
+Beide Datenmengen haben dieselben Zentralmaße, aber unterschiedliche Streuungen. Die Werte im linken Bild liegen näher um die Zentralmaße als die Werte im rechten Bild.
 Aus diesem Grund lernen wir nun noch zusätzlich Kennzahlen für die Streuung von Werten.
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 === Varianz und Standardabweichung ===
-Eine andere Möglichkeit, um die Streuung  anzugeben wäre foldende:
+Eine andere Möglichkeit, um die Streuung  anzugeben wäre folgende:
 Wir berechnen den '''durchschnittlichen Abstand aller Werte vom arithmetischen Mittel $\bar{x}$''' zu berechnen. Diesen durchschnittlichen Abstand nennen wir '''Standardabweichung''' oder kurz $\sigma$ (=sigma).
-{{Vorlage:Ausklapp|1= Herleitung der Standardabweichung
+{{Vorlage:Ausklapp|1= Herleitung der Standardabweichung:
-Um die '''durchschnittlichen Abstand aller Werte vom arithmetischen Mittel $\bar{x}$''' (=Standardabweichung) zu erhalten machen wir folgendes:
+<br>
 |2=
 $$\ $$
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 # Schritt: Da die Abstände mitunter negativ sind (wenn $x_i<\bar{x}$), quadrieren wir alle Abstände:
 #: $$(x_1-\bar{x})^2 \textrm{ und } (x_2-\bar{x})^2 \textrm{ und ... und } (x_n-\bar{x})^2$$
-# Schritt: Nun zählen wir die quadrate aller Abstände zusammen und berechnen den Durchschnitt (d.h. wir dividieren durch $n$:
+# Schritt: Nun zählen wir die quadrate aller Abstände zusammen und berechnen den Durchschnitt (d.h. wir dividieren durch $n$):
 #: $$\frac{(x_1-\bar{x})^2 + (x_2-\bar{x})^2 +...+ (x_n-\bar{x})^2}{n}$$
 # Da wir oben quadriert haben, ziehen wir nun wieder die Wurzel (Achtung! Dadurch fallen die $(\ )^2$ nicht weg!):
 #: $$\sqrt{\frac{(x_1-\bar{x})^2 + (x_2-\bar{x})^2 +...+ (x_n-\bar{x})^2}{n} }$$
-Oder verkürz angeschrieben:
+Oder verkürzt angeschrieben:
 $$\sqrt{ \frac{\sum_{i}(x_i-\bar{x})^2}{n} }$$
 }}
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 Berechnung:
-# Zuerst berechnet wir den Median $\tilde{x}$, der die Daten in zwei Hälften zeilt.  $\tilde{x}$ ist gleichzeitig das zweite Quartil $Q_2$.
+# Zuerst berechnet wir den Median $\tilde{x}$, der die Daten in zwei Hälften teilt.  $\tilde{x}$ ist gleichzeitig das zweite Quartil $Q_2$.
 # Das erste Quartil $Q_1$ ist der mittlere Wert in der linken Hälfte.
 # Das dritte Quartil $Q_3$ ist der mittlere Wert der zweiten Hälfte.
@@ Zeile 89: / Zeile 90: @@
 Die Quartile sind vor allem für die Erstellung eines [[Beschreibende Statistik#Boxplot (Kastenschaubild)|Boxplot-Diagramms]] relevant.
-{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben ist die Datenmenge $\{1;2;2;2;5\}$. Bestimme $x_{min},\ x_{max}$ sowie alle Quartile und erstelle damit ein Boxplotdiagramm.
+{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben ist die Datenmenge $\{1;2;2;2;5\}$. Bestimme $x_{min},\ x_{max}$ sowie alle Quartile und erstelle damit ein Boxplot-Diagramm.
 |2=
 $\ $

← Nächstältere Version		Version vom 4. Juni 2015, 05:23 Uhr
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	Die Varianz $\sigma ^2$ ist das Quadrat der Standardabweichung:		Die Varianz $\sigma ^2$ ist das Quadrat der Standardabweichung:
−	$$\sigma ^2=\frac{\sum_{i}(x_i-\bar{x})^2}{n}$$	+	$$\sigma ^2=\frac{(x_1-\bar{x})^2 + (x_2-\bar{x})^2 +...+ (x_n-\bar{x})^2}{n} =\frac{\sum_{i}(x_i-\bar{x})^2}{n}$$