Nullstelle - Versionsgeschichte

Simon.Schnetzer am 23. Januar 2021 um 11:48 Uhr

2021-01-23T11:48:36Z

Simon.Schnetzer am 23. Januar 2021 um 11:48 Uhr

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Porod am 9. August 2015 um 06:06 Uhr

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Porod am 21. August 2014 um 14:49 Uhr

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178.190.141.168 am 15. Juli 2014 um 07:18 Uhr

2014-07-15T07:18:08Z

Porod: /* Musterbeispiele */

2014-02-10T13:19:34Z

Musterbeispiele

91.113.74.77: /* Berechnung von Nullstellen */

2014-02-09T19:31:36Z

Berechnung von Nullstellen

Porod: /* Musterbeispiele */

2014-02-09T10:11:56Z

Musterbeispiele

91.115.37.2: Die Seite wurde neu angelegt: „Im Graphen sind die drei Nullstellen $x_1, \ x_2$ und $x_3$ abgebildet. {| border ="1" | '''Definition:''' …“

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Die Seite wurde neu angelegt: „thumb|right|350px|Im Graphen sind die drei Nullstellen $x_1, \ x_2$ und $x_3$ abgebildet. {| border ="1" | '''Definition:''' …“

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[[Datei:Kurvendiskussion-1.png|thumb|right|350px|Im Graphen sind die drei Nullstellen $x_1, \ x_2$ und $x_3$ abgebildet.]]
{| border ="1"
| '''Definition:'''

| Nullstellen sind jene Stellen (=x-Werte), an denen der Graph der Funktion die x-Achse schneidet (hier ist f(x)=0)

'''Formale Definition:'''

Die Funktion f(x) hat bei $x_1$ eine Nullstelle, wenn gilt: f(x)=0
|}

=== Berechnung von Nullstellen ===
Um die Nullstellen zu berechnen, müssen alle x berechnet werden, für die gilt, dass f(x)=0 ist. Je nach Funktionstyp von f(x) kann entweder x einfach freigestellt werden oder ein Lösungsverfahren ([[ quadratische Gleichungen | große Lösungformel/Quadkom]], [[graphisches Lösungsverfahren im TR]], [[Solve-Befehl]]) verwendet werden.

Als Richtwert, kanns du dir aber folgende Regel merken:

# Bei linearen Gleichungen 0=kx+d: [[Theorie lineare Gleichungen mit einer Variable (2.4.)| Nach x umformen]].
# Bei quadratischen Gleichungen $0=ax^2+bx+c$: [[ quadratische Gleichungen | große Lösungformel/Quadkom]]
# Bei gleichungen mit [[Grad]] $\ge 3$: [[graphisches Lösungsverfahren im TR]]

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=== Musterbeispiele ===

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> a) Bestimme die Nullstelle der linearen Funktion $f(x)=-2x+4$ </span>

<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Linfkt-nullstelle.png|thumb|180px|right]]
'''Lösung:'''
$$0=-2x+4 \ \ |-4$$
$$ -4=-2x \ \ |:(-2)$$
$$2=x$$
'''Antwort:''' Der Graph der Funktion schneidet bei $N(2|0)$ die x-Achse.
</div>
</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> b) Bestimme die Nullstelle der quadratischen Funktion $f(x)=-x^2+6x-5$ </span>

<div class="mw-collapsible-content">

'''Lösung:'''
$$0=-x^2 + 6 \cdot x - 5$$
Nun verwenden wir die große Lösungsformel mit a=-1, b=6 und c=-5
$$ x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}$$
[[Datei:Quadfkt-nullstelle.png|thumb|200px|right]]
$$x_{1,2}=\frac{-6\pm \sqrt{6^2-4\cdot (-1)\cdot (-5)}}{2\cdot (-1)}$$
$$x_{1,2}=\frac{-6\pm \sqrt{36-20}}{-2}$$
$$ x_1=\frac{-6+4}{-2}=1$$
$$ x_2=\frac{-6-4}{-2}=5$$
'''Antwort:''' Der Graph der Funktion schneidet bei $N_1(1|0)$ und $N_2(5|0)$ die x-Achse.
</div>
</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> a) Bestimme die Nullstelle der kubischen Funktion $f(x)=\frac{x^3}{3}-4x^2+7x+30$ (siehe Abbildung rechts oben). </span>

<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung mithilfe des [[graphisches Lösungsverfahren im TR]] oder dem [[Löse-Verfahren (GeoGebra)]]'''
$x_1=-1.9,\ x_2=6$ und $ x_3=7.9$
</div>
</div>

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−	~~[[Datei:Kurvendiskussion-1.png\|thumb\|right\|350px\|Im Graphen sind die drei Nullstellen $x_1, \ x_2$ und $x_3$ abgebildet.]]~~	+	{{Inhalt:Nullstelle}}
−	{{~~Vorlage~~:~~Definition\|1= '''Nullstellen''' sind jene [[Stellen]] (=x-Werte), an denen der Graph der Funktion die x-Achse schneidet (hier ist f(x)=0).~~
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−	~~'''Formale Definition:'''~~
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−	~~Die Funktion $f(x)$ hat bei $x_1$ eine~~ Nullstelle~~, wenn gilt: $f(x_1)=0$~~ }}
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−	~~=== Video ===~~
−	~~{{#ev:youtube\|BB43Eja4Pew}}~~
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−	~~=== Berechnung der Nullstellen ===~~
−	Um die Nullstellen zu berechnen, muss die Gleichung $f(x)=0$ gelöst werden. Je nach [[Funktionen \| Funktionstyp]] von $f(x)$ kann entweder x [[Äquivalenzumformungen \| einfach freigestellt werden]] oder ein Lösungsverfahren ([[ quadratische Gleichungen \|große Lösungformel/Quadkom]], [[graphisches Lösungsverfahren im TR]], [[Solve-Befehl]]) verwendet werden.
−
−	~~Als Richtwert, kannst du dir aber folgende Regel merken:~~
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−	~~# Bei linearen Gleichungen 0=kx+d: [[Theorie lineare Gleichungen mit einer Variable (2.4.)\| Nach x umformen]].~~
−	~~# Bei quadratischen Gleichungen $0=ax^2+bx+c$: [[ quadratische Gleichungen \| große Lösungformel/Quadkom]]~~
−	~~# Bei Gleichungen mit [[Grad]] $\ge 3$: [[graphisches Lösungsverfahren im TR]]~~
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−	~~=== Musterbeispiele ===~~
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−	~~<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">~~
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−	~~<span style="color:#A020F0> a) Bestimme die Nullstelle der linearen Funktion $f(x)=-2x+4$ </span>~~
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−	~~<div class="mw-collapsible-content">~~
−	~~[[Datei:Linfkt-nullstelle.png\|thumb\|180px\|right]]~~
−	~~'''Lösung:'''~~
−	~~$$0=-2x+4 \ \ \|-4$$~~
−	~~$$ -4=-2x \ \ \|:(-2)$$~~
−	~~$$2=x$$~~
−	~~'''Antwort:''' Der Graph der Funktion schneidet bei $N(2\|0)$ die x-Achse.~~
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−	~~<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">~~
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−	~~<span style="color:#A020F0> b) Bestimme die Nullstelle der quadratischen Funktion $f(x)=-x^2+6x-5$ </span>~~
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−	~~<div class="mw-collapsible-content">~~
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−	~~'''Lösung:'''~~
−	~~$$0=-x^2 + 6 \cdot x - 5$$~~
−	~~Nun verwenden wir die große Lösungsformel mit a=-1, b=6 und c=-5~~
−	~~$$ x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}$$~~
−	~~[[Datei:Quadfkt-nullstelle.png\|thumb\|200px\|right]]~~
−	~~$$x_{1,2}=\frac{-6\pm \sqrt{6^2-4\cdot (-1)\cdot (-5)}}{2\cdot (-1)}$$~~
−	~~$$x_{1,2}=\frac{-6\pm \sqrt{36-20}}{-2}$$~~
−	~~$$ x_1=\frac{-6+4}{-2}=1$$~~
−	~~$$ x_2=\frac{-6-4}{-2}=5$$~~
−	~~'''Antwort:''' Der Graph der Funktion schneidet bei $N_1(1\|0)$ und $N_2(5\|0)$ die x-Achse.~~
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−	~~<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">~~
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−	~~<span style="color:#A020F0> c) Bestimme die Nullstelle der kubischen Funktion $f(x)=\frac{x^3}{3}-4x^2+7x+30$ (siehe Abbildung rechts oben). </span>~~
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−	~~<div class="mw-collapsible-content">~~
−	~~'''Lösung mithilfe des [[graphisches Lösungsverfahren im TR]] oder dem [[Löse-Verfahren (GeoGebra)]]'''~~
−	~~$x_1=-1.9,\ x_2=6$ und $ x_3=7.9$~~
−	~~</div>~~
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−	~~[[Kategorie: Kurvendiskussionen]]~~

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 === Berechnung der Nullstellen ===
-Um die Nullstellen zu berechnen, muss die Gleichung $f(x)=0$ gelöst werden. Je nach [[Funktionen | Funktionstyp]] von $f(x)$ kann entweder x [[Äquivalenzumformungen | einfach freigestellt werden]] oder ein Lösungsverfahren ([[ quadratische Gleichungen | große Lösungformel/Quadkom]], [[graphisches Lösungsverfahren im TR]], [[Solve-Befehl]]) verwendet werden.
+Um die Nullstellen zu berechnen, muss die Gleichung $f(x)=0$ gelöst werden. Je nach [[Funktionen | Funktionstyp]] von $f(x)$ kann entweder x [[Äquivalenzumformungen | einfach freigestellt werden]] oder ein Lösungsverfahren ([[ quadratische Gleichungen |große Lösungformel/Quadkom]], [[graphisches Lösungsverfahren im TR]], [[Solve-Befehl]]) verwendet werden.
 Als Richtwert, kannst du dir aber folgende Regel merken:

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		+	[[Kategorie: Kurvendiskussionen]]

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 [[Datei:Kurvendiskussion-1.png|thumb|right|350px|Im Graphen sind die drei Nullstellen $x_1, \ x_2$ und $x_3$ abgebildet.]]
-{| border ="1"
+{{Vorlage:Definition|1= '''Nullstellen''' sind jene [[Stellen]] (=x-Werte), an denen der Graph der Funktion die x-Achse schneidet (hier ist f(x)=0).
-| '''Definition:'''

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 | '''Definition:'''
-| Nullstellen sind jene Stellen (=x-Werte), an denen der Graph der Funktion die x-Achse schneidet (hier ist f(x)=0)
+| Nullstellen sind jene Stellen (=x-Werte), an denen der Graph der Funktion die x-Achse schneidet (hier ist f(x)=0).
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 '''Formale Definition:'''
-Die Funktion f(x) hat bei $x_1$ eine Nullstelle, wenn gilt: f(x)=0
+Die Funktion $f(x)$ hat bei $x_1$ eine Nullstelle, wenn gilt: $f(x_1)=0$
 |}
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-=== Berechnung von Nullstellen ===
+=== Berechnung der Nullstellen ===
-Um die Nullstellen zu berechnen, müssen alle x berechnet werden, für die gilt, dass f(x)=0 ist. Je nach Funktionstyp von f(x) kann entweder x einfach freigestellt werden oder ein Lösungsverfahren ([[ quadratische Gleichungen | große Lösungformel/Quadkom]], [[graphisches Lösungsverfahren im TR]], [[Solve-Befehl]]) verwendet werden.
+Um die Nullstellen zu berechnen, muss die Gleichung $f(x)=0$ gelöst werden. Je nach [[Funktionen | Funktionstyp]] von $f(x)$ kann entweder x [[Äquivalenzumformungen | einfach freigestellt werden]] oder ein Lösungsverfahren ([[ quadratische Gleichungen | große Lösungformel/Quadkom]], [[graphisches Lösungsverfahren im TR]], [[Solve-Befehl]]) verwendet werden.
-Als Richtwert, kanns du dir aber folgende Regel merken:
+Als Richtwert, kannst du dir aber folgende Regel merken:
 # Bei linearen Gleichungen 0=kx+d: [[Theorie lineare Gleichungen mit einer Variable (2.4.)| Nach x umformen]].
 # Bei quadratischen Gleichungen $0=ax^2+bx+c$: [[ quadratische Gleichungen | große Lösungformel/Quadkom]]
-# Bei gleichungen mit [[Grad]] $\ge 3$: [[graphisches Lösungsverfahren im TR]]
+# Bei Gleichungen mit [[Grad]] $\ge 3$: [[graphisches Lösungsverfahren im TR]]
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 Die Funktion f(x) hat bei $x_1$ eine Nullstelle, wenn gilt: f(x)=0
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 === Musterbeispiele ===

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 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
-<span style="color:#A020F0> a) Bestimme die Nullstelle der kubischen Funktion $f(x)=\frac{x^3}{3}-4x^2+7x+30$  (siehe Abbildung rechts oben). </span>
+<span style="color:#A020F0> c) Bestimme die Nullstelle der kubischen Funktion $f(x)=\frac{x^3}{3}-4x^2+7x+30$  (siehe Abbildung rechts oben). </span>
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