Matrizen - Versionsgeschichte

Porod: Textersetzung - „http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/“ durch „https://www1.vobs.at/maturawiki/“

2019-05-29T08:45:38Z

Textersetzung - „http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/“ durch „https://www1.vobs.at/maturawiki/“

Carina am 6. März 2018 um 09:28 Uhr

2018-03-06T09:28:06Z

Carina am 30. Juni 2017 um 06:41 Uhr

2017-06-30T06:41:16Z

Carina: /* Saklierungsmatrix */

2017-06-30T06:30:32Z

Saklierungsmatrix

Carina am 30. Juni 2017 um 06:11 Uhr

2017-06-30T06:11:37Z

Carina am 30. Juni 2017 um 06:07 Uhr

2017-06-30T06:07:01Z

Carina am 30. Juni 2017 um 06:00 Uhr

2017-06-30T06:00:00Z

Änderungen zeigen

Carina: /* Rechenregeln */

2017-06-12T09:44:54Z

Rechenregeln

Carina: /* Drehung */

2017-06-12T09:36:04Z

Drehung

Carina: /* Einführung */

2017-06-12T09:31:02Z

Einführung

@@ Zeile 45: / Zeile 45: @@
 y_1 \\ y_2
 \end{pmatrix}$ kann man das Gleichungssystem sehr kompakt als
-$A \cdot \vec{x}= \vec{y}$ schreiben. Das Lösen des Gleichungssystems erfolgt dann über [http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php/Äquivalenzumformungen Äquivalenzumformen] von $(A|\vec{y})$, d.h. der Matrix
+$A \cdot \vec{x}= \vec{y}$ schreiben. Das Lösen des Gleichungssystems erfolgt dann über [https://www1.vobs.at/maturawiki/index.php/Äquivalenzumformungen Äquivalenzumformen] von $(A|\vec{y})$, d.h. der Matrix

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 dann ist $ \qquad \qquad \qquad A+ B =\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\
 a_{21} & a_{22}
-\end{pmatrix}
+\end{pmatrix}   +  \begin{pmatrix}  b_{11} & b_{12} \\
 b_{21} & b_{22}
 \end{pmatrix}
-−
+=
 \begin{pmatrix}
 a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} \\

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 =Drehung=
 ==Drehung==
-Die Drehung ist ein Beispiel für die Anwendung und Motivation der Matrizenmultiplikation. <span class="">'single_linebreak' style='background-color:lightgray'>¶</span> In $\mathbb{R}^2$ und $\alpha \in [0, 2 \pi[$ wird die Drehung (gegen den Uhrzeigersinn) eines Vektors $v$ um den Winkel $\alpha $ durch die Multiplikation des Vektors mit der Drehmatrix $$R_{\alpha}
+Die Drehung ist ein Beispiel für die Anwendung und Motivation der Matrizenmultiplikation. In $\mathbb{R}^2$ und $\alpha \in [0, 2 \pi[$ wird die Drehung (gegen den Uhrzeigersinn) eines Vektors $v$ um den Winkel $\alpha $ durch die Multiplikation des Vektors mit der Drehmatrix $$R_{\alpha}
 \begin{pmatrix}
@@ Zeile 759: / Zeile 759: @@
 um die x-Achse um den Winkel $\alpha= 45^{\circ}$ gedreht wird?
-= Unter der Verwendung der Drehmatrix
+|2= Unter der Verwendung der Drehmatrix
 $R_x(45^{\circ}) =\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0& \cos5^{\circ}) & -\sin(45^{\circ}) \\ 0 & \sin(45^{\circ}) & \cos(45^{\circ}) \\ \end{pmatrix}
@@ Zeile 839: / Zeile 839: @@
 =Spiegelung=
@@ Zeile 864: / Zeile 865: @@
@@ Zeile 872: / Zeile 875: @@
 * um die yz-Ebene:
-\begin{equation*} <span class="">'single_linebreak' style='background-color:lightgray'>¶</span> S_{yz}
+\begin{equation*} S_{yz}=
 \begin{pmatrix}
 -1&0 &0\\0& 1 &0\\
@@ Zeile 884: / Zeile 886: @@
 * um die xz-Ebene:
-\begin{equation*} <span class="">'single_linebreak' style='background-color:lightgray'>¶</span> S_{xz}
+\begin{equation*} S_{xz}=
 \begin{pmatrix}
 &0 &0\\0& -1 &0\\
@@ Zeile 898: / Zeile 899: @@
 * um die xy-Ebene:
-\begin{equation*} <span class="">'single_linebreak' style='background-color:lightgray'>¶</span> S_{xy}
+\begin{equation*} S_{xy}=
 \begin{pmatrix}
 &0 &0\\0& 1 &0\\
@@ Zeile 905: / Zeile 905: @@
 \end{pmatrix}
 \end{equation*}
@@ Zeile 919: / Zeile 918: @@
 .) Das Koordinatensystem so verschieben, dass die Spiegelungsachse durch den Koordinatenursprung geht.
-.) Die Spiegelungsachse soll um den Winkel $\arctan(a)$ gedreht werden, so dass sie mit der x-Achse zusammenfällt.
-.) Spieglung an der x-Achse.
+.) Die Spiegelungsachse soll um den Winkel $\arctan(a)$ gedreht werden, so dass sie mit der x-Achse zusammenfällt.
-.) In Ausgangsposition zurückdrehen, also  Schritt 2) in die andere Richtung.
-.) Die Spiegelungsachse zurück schieben, also wie in Schritt 1), nur in die andere Richtung schieben.
+.) Spieglung an der x-Achse.
 Damit die Matrizen alle miteinander multipliziert werden können, müssen sie in den selben Koordinaten geschrieben werden, da eine Translation angewendet wird, sollten alle Matrizen in homogenen Koordinaten angeschrieben werden.

@@ Zeile 682: / Zeile 682: @@
 $$
 Dabei gibt $s_x$ die Skalierung in x-Richtung, $s_y$ die Skalierung in y-Richtung und $s_z$ die Skalierung in z-Richtung an.
 =Drehung=

@@ Zeile 465: / Zeile 465: @@
   \end{pmatrix}
+$
@@ Zeile 645: / Zeile 643: @@
 {{Vorlage:Beispiel|1= Gib die Input-Output-Matrix zu folgendem Gozintographen an:
 [[Datei:beispiel_inpuoutput.pdf|400px]]
+|2= $M=\begin{pmatrix}
   \frac{10}{43} &  \frac{5}{68} &  \frac{20}{64}  \\
 \frac{15}{43} & \frac{15}{68} & \frac{36}{64} \\\frac{25}{43} & \frac{4}{68} & \frac{22}{64}\\
 \end{pmatrix} \approx
-M=\begin{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
 ,233 & 0,074 & 0,313 \\
 ,349 & 0,221 & 0,563\\

@@ Zeile 3: / Zeile 3: @@
 =Einführung=
 ==Einführung==
 Will man ein lineares Gleichungssystem lösen, kann das mit den bereits bekannten Verfahren wie Additions-, Gleichsetzungs- oder dem Substitutionsverfahren geschehen, doch wird das bei einem großen Gleichungssystem schnell unübersichtlich und mühsam. Daher wird eine neue Schreibweise eingeführt.
@@ Zeile 199: / Zeile 198: @@
+$
-dann ist $ \qquad \qquad \qquad A+ B =
+dann ist $ \qquad \qquad \qquad A+ B =\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\
 a_{21} & a_{22}
 \end{pmatrix}
@@ Zeile 403: / Zeile 400: @@
   \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
    c_{n1} & c_{n2} & \dots & c_{nq} \end{pmatrix} $
 Es werden die Spalten von $B$ über die Zeilen von $A$ gelegt, die Komponenten paarweise multipliziert und dann die Ergebnisse addiert.
   [[Datei:falkanordnung.png|400px|mini|Falk'sche Anordnung (Quelle: [http://www.texample.net/tikz/examples/matrix-multiplication/ texample])]]
@@ Zeile 426: / Zeile 421: @@
 |-
 ||
-||$ \begin{pmatrix} 8 &1 & 3 \\
+||$ \begin{pmatrix} 8 &1 & 3 \\9 & 0 & 5 \\
     \end{pmatrix} $
 |-
-||$ \begin{pmatrix} 2 & 5 \\
+||$ \begin{pmatrix} 2 & 5 \\4 & 7 \\
    \end{pmatrix} $
 ||$ \begin{pmatrix}
@@ Zeile 497: / Zeile 490: @@
 =Gozinto-Graphen=
-== Gozinto-Graphen ==
+==Gozinto-Graphen==
 Gonzinto-Graphen dienen der Veranschaulichung der Zusammenhänge zwischen Roh-, Zwischen- und Endprodukten. Die Knoten stellen dabei die Teile dar und die Pfeile oder auch gerichtete Kanten die Mengenbeziehungen.
@@ Zeile 506: / Zeile 498: @@
   [[Datei:gozinto.pdf|400px|mini|Beispiel eines Gozintographen]]
 In einer Tabelle kann der Zusammenhang wie folgt aufgelistet werden:
@@ Zeile 554: / Zeile 545: @@
 Die Tabelle kann aber ebenso in Matrixform umgeschrieben werden, wobei die Matrix $RZ$ den Zusammenhang der Rohstoffe mit den Zwischenprodukten und $ZE$ den der Zwischenprodukte mit den Endprodukten beschreibt.
-$$ <span class="">'single_linebreak' style='background-color:lightgray'>¶</span> RZ
+$$ RZ=
 \begin{pmatrix}
-& 5 & 3 \\8 & 9 &1 \\ <span class="">'single_linebreak' style='background-color:lightgray'>¶</span> 6&4&2\\
+& 5 & 3 \\8 & 9 &1 \\ 6&4&2\\
 \end{pmatrix}
 $$
 $$
-ZE\begin{pmatrix}
+ZE=\begin{pmatrix}
 & 5 \\
 & 8 \\
@@ Zeile 570: / Zeile 560: @@
 Um eine Matrix zu erhalten, welche den Rohstoffbedarf für die Endprodukte beschreibt wird die Matrix $RZ$ mit der Matrix $ZE$ multipliziert. In unserem Beispiel ergibt das
-\begin{equation*}
+\begin{equation*} RE= RZ \cdot ZE= \begin{pmatrix}
-RE= RZ \cdot ZE= \begin{pmatrix}
++55+ 6 & 10 +40+ 12\\
-55 6 & 10 40 12\\
++99 +2 & 40+ 72+ 4\\
-99 2 & 40 72 4\\
++44+ 4 & 30+ 32+ 8\\
-44 4 & 30 32 8\\
+\end{pmatrix}
 \end{pmatrix}=
 \begin{pmatrix}
 &62\\
@@ Zeile 691: / Zeile 681: @@
 In Matrixform kann er mit der Skalierungsmatrix multipliziert werden.
-$$U=
+$$U=\begin{pmatrix}s_x & 0 & 0\\
 & s_y & 0 \\
 & 0 &s_z \\
@@ Zeile 702: / Zeile 690: @@
 =Drehung=
 ==Drehung==
-Die Drehung ist ein Beispiel für die Anwendung und Motivation der Matrizenmultiplikation.
+Die Drehung ist ein Beispiel für die Anwendung und Motivation der Matrizenmultiplikation. <span class="">'single_linebreak' style='background-color:lightgray'>¶</span> In $\mathbb{R}^2$ und $\alpha \in [0, 2 \pi[$ wird die Drehung (gegen den Uhrzeigersinn) eines Vektors $v$ um den Winkel $\alpha $ durch die Multiplikation des Vektors mit der Drehmatrix $$R_{\alpha}
-In $\mathbb{R}^2$ und $\alpha \in [0, 2 \pi[$ wird die Drehung (gegen den Uhrzeigersinn) eines Vektors $v$ um den Winkel $\alpha $ durch die Multiplikation des Vektors mit der Drehmatrix $$R_{\alpha}=
 \begin{pmatrix}
-\cos(\alpha) & -\sin(\alpha) \\
+\cos(\alpha) & -\sin(\alpha) \\\sin(\alpha) & \cos(\alpha) \\
 \end{pmatrix}
 $$
@@ Zeile 717: / Zeile 704: @@
 * x-Achse:
-$$R_x(\alpha)=
+$$R_x(\alpha)=\begin{pmatrix}1&0 & 0\\
 & \cos(\alpha) & -\sin(\alpha) \\
 & \sin(\alpha) & \cos(\alpha) \\
@@ Zeile 727: / Zeile 712: @@
 * y-Achse:
-$$R_y(\alpha)=
+$$R_y(\alpha)=\begin{pmatrix}\cos(\alpha) &0 & \sin(\alpha) \\
 & 1 & 0 \\
 - \sin(\alpha)& 0 & \cos(\alpha) \\
@@ Zeile 738: / Zeile 721: @@
-$$R_z(\alpha)=
+$$R_z(\alpha)=\begin{pmatrix}\cos(\alpha) & -\sin(\alpha) & 0\\
 \sin(\alpha) & \cos(\alpha) & 0 \\
 & 0 & 1 \\
@@ Zeile 893: / Zeile 874: @@
 * um die yz-Ebene:
-\begin{equation*}
+\begin{equation*} <span class="">'single_linebreak' style='background-color:lightgray'>¶</span> S_{yz}
-S_{yz}=
 \begin{pmatrix}
--1&0 &0\\
+-1&0 &0\\0& 1 &0\\
 &0&1
 \end{pmatrix}
@@ Zeile 906: / Zeile 886: @@
 * um die xz-Ebene:
-\begin{equation*}
+\begin{equation*} <span class="">'single_linebreak' style='background-color:lightgray'>¶</span> S_{xz}
-S_{xz}=
 \begin{pmatrix}
-&0 &0\\
+&0 &0\\0& -1 &0\\
 &0&1
 \end{pmatrix}
@@ Zeile 921: / Zeile 900: @@
 * um die xy-Ebene:
-\begin{equation*}
+\begin{equation*} <span class="">'single_linebreak' style='background-color:lightgray'>¶</span> S_{xy}
-S_{xy}=
 \begin{pmatrix}
-&0 &0\\
+&0 &0\\0& 1 &0\\
 &0&-1
 \end{pmatrix}

@@ Zeile 357: / Zeile 357: @@
 & 654  \\
 & 274 \\
-\end{pmatrix} $ \\
+\end{pmatrix} $   $\quad C^T= \begin{pmatrix}
 & 8,3 & 4\\
 ,7 & 2,4 & 2\\
@@ Zeile 505: / Zeile 503: @@
 <ggb_applet width="800" height="300" version="5.0" id=aUjggvwq />
 = Gozinto-Graphen =