Extremstellen - Versionsgeschichte

Porod am 1. Januar 2016 um 15:37 Uhr

2016-01-01T15:37:12Z

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2016-01-01T15:36:33Z

Der Seiteninhalt wurde durch einen anderen Text ersetzt: „{{Inhalt:Extremstellen}}“

Porod: /* Musterbeispiel */

2015-02-05T15:52:11Z

Musterbeispiel

Porod: /* Video */

2015-02-05T15:49:16Z

Video

Porod am 5. Februar 2015 um 15:48 Uhr

2015-02-05T15:48:52Z

77.119.231.226: /* Hinreichende Bedingung für ein relatives Extremum */

2014-12-04T13:57:34Z

Hinreichende Bedingung für ein relatives Extremum

Porod am 21. August 2014 um 15:01 Uhr

2014-08-21T15:01:12Z

Porod am 21. August 2014 um 14:53 Uhr

2014-08-21T14:53:37Z

Porod am 21. August 2014 um 14:52 Uhr

2014-08-21T14:52:34Z

Porod: /* Musterbeispiel */

2014-07-24T07:37:45Z

Musterbeispiel

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−	~~[[Datei:Kurvendiskussion-extremwerte.png\|thumb\|right\|380px\|Im Graphen sind die beiden Extremstellen~~	+	{{Inhalt:Extremstellen}}
−	~~$x_1$ und $x_2$ samt den dazugehörenden Hoch- und Tiefpunkten eingezeichnet.]]~~
−	{{~~Vorlage~~:~~Definition\|1= '''Lokale~~ Extremstellen~~''' sind jene Stellen (=x-Werte), an denen der Graph der Funktion einen lokalen '''Hoch- oder Tiefpunkt''' hat.~~
−
−
−
−	~~'''Formale Definition''':~~
−
−	~~Eine Funktion f hat bei $x_0$ einen lokalen Hochpunkt, wenn für alle $x$ in einer Umgebung von $x_0$ gilt, dass $f(x)<f(x_0)$. (analog funktioniert die Definition für einen lokalen Tiefpunkt)}}~~
−
−
−
−
−	~~=== Video ===~~
−	~~{\| align="center"~~
−	\|-
−	\|
−	~~{{#ev:youtube\|zCA7GI0yIfg~~}}
−	\|}
−	~~<br>~~
−	~~<br>~~
−	~~[[Datei:Kurvendiskussion-Extremstellen-f' und f''.png\|thumb\|380px\|right]]~~
−
−	Wie am Graphen in der rechten Abbildung erkennbar ist, sind die Steigungen an den Extremstellen immer 0 (d.h. beim Hochpunkt und Tiefpunkt '''steigt f nicht''' und '''fällt f nicht'''). Somit gilt $f'(x)=0$.
−
−	~~Zusätzlich ist der Graph beim Hochpunkt '''rechtsgekrümmt''' (d.h. $f''(x)<0$) und beim Tiefpunkt '''linksgekrümmt''' (d.h. $f''(x)>0$).~~
−
−	~~Somit erhalten wir...~~
−	~~<br>~~
−	~~<br>~~
−	~~<br>~~
−	~~<br>~~
−
−	~~=== Hinreichende Bedingung für ein lokales Extremum ===~~
−	~~{\| border="1" align="center"~~
−	\|
−	{\|
−	~~!\| <span style="color:#EE4000"> '''Merke''' </span>~~
−	\|-
−	~~\| [[Datei:Rotes rufezeichen.png\|center]]~~
−	\|}
−	\|
−	{\|
−	\|
−	* $f'(x_0)=0$ '''und''' $f''(x_0)< 0$
−	~~\| $\Rightarrow\ \ \ \ $~~
−	~~\| $x_0$ ist die Stelle eines lokalen Hochpunktes (Maximums) von f~~
−	\|-
−	\|
−
−	\|-
−	\|
−	*$f'(x_0)=0$ '''und''' $f''(x_0)>0$
−	~~\| $\Rightarrow\ \ \ \ $~~
−	~~\| $x_0$ ist die Stelle eines lokalen Tiefpunktes (Minimums) von f~~
−
−	\|-
−
−	\|
−	\|-
−	\|
−	*$f'(x_0)=0$ '''und''' $f''(x_0)=0$
−	~~\| $\Rightarrow\ \ \ \ $~~
−	~~\| dann muss hier '''nicht unbedingt ein Extremum''' sein.~~
−	\|}
−	\|}
−
−
−
−
−
−	~~Der letzte Punkt ($f'(x_0)=0$ ABER $f''(x_0)=0$) wird klar, wenn man sich die Funktion $f(x)=x^3$ ansieht:~~
−
−	~~<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">~~
−
−	~~<span style="color:#A020F0>'''Beispiel für $f''(x)=0$, aber kein Extremum: $f(x)=x^3$''' </span>~~
−
−	~~<div class="mw-collapsible-content">~~
−	~~[[Datei:Xhoch3.png\|thumb\|300px\|right\|Graph von $f(x)=x^3$]]~~
−	~~Sei $f(x)=x^3$. Um die Extrema zu berechnen, setzen wir $f'(x)=0$ und bestimmen dann $f''(x)$ an dieser Stelle:~~
−
−
−	~~{\| border="0" align="center"~~
−	\|-
−	~~\|$f'(x)=3x^2$~~
−	~~$0=3x^2$~~
−
−	~~$\rightarrow x=0$~~
−	\|
−	~~$\ $ und $\ \ \ \ $~~
−	\|
−	~~$f''(x)=6x$~~
−
−	~~$f''(0)=0$~~
−	\|}
−
−
−	~~Somit ist $f'(0)=0$ und $f''(0)=0$! Wie man aber leicht am Graphen erkennt, ist bei $x_1=0$ kein Extremum (weder Hoch- noch Tiefpunkt)!~~
−
−
−
−	~~Die Bedingungen $f''(x_0)<0$ (für ein Maximum) und $f''(x_0)>0$ (für ein Minimum) sind also wichtig!~~
−
−	~~</div>~~
−
−	~~</div>~~
−
−	~~<br>~~
−
−	~~[[Kategorie: Kurvendiskussionen]]~~
−	~~<br>~~
−	~~<br>~~
−	~~<br>~~
−	~~<br>~~
−
−	~~=== Musterbeispiel ===~~
−	~~{{Vorlage:Beispiel\|1= '''Bestimme die Extrema der Funktion $f(x)=\frac{x^3}{3}-4x^2+7x+30$'''~~
−	~~\|2=~~
−	~~'''Lösung:'''~~
−	~~Zuerst bestimmen wir die 1. Ableitung $f'(x)$ und die zweite Ableitung $f''(x)$:~~
−	~~$$f(x)=\frac{x^3}{3}-4x^2+7x+30$$~~
−	~~$$f'(x)=x^2-8x+7$$~~
−	~~$$f''(x)=2x-8$$~~
−
−	~~Nun setzen wir die 1. Ableitung 0 (da die Steigung bei Hoch- und Tiefpunkt 0 ist):~~
−	~~$$0=x^2-8x+7$$~~
−	~~$$x_{1,2}=\frac{8\pm \sqrt{64-4\cdot 7} }{2}$$~~
−	~~$$x_{1,2}=\frac{8\pm 6}{2}$$~~
−	~~$$x_1=1$$~~
−	~~$$x_2=7$$~~
−
−	~~[[Datei:Extremwerte.png\|thumb\|right\|300px\|Graph mit Hoch- und Tiefpunkt]]~~
−
−	Somit haben wir 2 '''mögliche Extremstellen''' gefunden. Nun müssen wir noch überprüfen, ob es sich um Hoch- oder Tiefpunkte (oder weder noch) handelt. Hierzu setzen wir $x_1=1$ und $x_2=7$ in die zweite Ableitung ein:
−
−	~~$f''(1)=2\cdot 1-8=-6<0 \rightarrow $ rechtsgekrümmt $\rightarrow$ Hochpunkt~~
−
−	~~$f''(7)=2\cdot 7-8=+6>0 \rightarrow $ linksgekrümmt $\rightarrow$ Tiefpunkt~~
−
−	~~Somit wissen wir, dass sich bei $x=1$ ein Hochpunkt und bei $x=7$ ein Tiefpunkt befindet.~~
−	~~Zuletzt bestimmen wir nun noch die y-Koordinaten des Hoch- und Tiefpunktes. Hierzu setzen wir die x-Werte '''in die ursprüngliche Funktion''' $f(x)$ ein:~~
−
−	~~$f(1)=\frac{1^3}{3}-4\cdot 1^2+7\cdot 1+30=33.33\rightarrow H(1\vert 33.33)$~~
−
−	~~$f(7)=\frac{7^3}{3}-4\cdot 7^2+7\cdot 7+30=-2.67\rightarrow T(7\vert -2.67)$~~
−
−
−
−
−	}}
−	~~<br>~~
−	~~<br>~~
−	~~<br>~~
−	~~<br>~~
−
−	~~[[Kategorie: Differenzieren]]~~

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 === Musterbeispiel ===
-<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
+{{Vorlage:Beispiel|1= '''Bestimme die Extrema der Funktion $f(x)=\frac{x^3}{3}-4x^2+7x+30$'''
+|2=
 '''Lösung:'''
 Zuerst bestimmen wir die 1. Ableitung $f'(x)$ und die zweite Ableitung $f''(x)$:
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 Nun setzen wir die 1. Ableitung 0 (da die Steigung bei Hoch- und Tiefpunkt 0 ist):
 $$0=x^2-8x+7$$
-$$x_{1,2}=\frac{8\pm \sqrt{64-4\cdot 7}}{2}$$
+$$x_{1,2}=\frac{8\pm \sqrt{64-4\cdot 7} }{2}$$
 $$x_{1,2}=\frac{8\pm 6}{2}$$
 $$x_1=1$$
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 Zuletzt bestimmen wir nun noch die y-Koordinaten des Hoch- und Tiefpunktes. Hierzu setzen wir die x-Werte '''in die ursprüngliche Funktion''' $f(x)$ ein:
-$f(1)=\frac{1^3}{3}-4\cdot 1^2+7\cdot 1+30=33.33\rightarrow  H(1|33.33)$
+$f(1)=\frac{1^3}{3}-4\cdot 1^2+7\cdot 1+30=33.33\rightarrow  H(1\vert 33.33)$
-</div>
+}}
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 === Hinreichende Bedingung für ein lokales Extremum ===
 {| border="1" align="center"

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 [[Datei:Kurvendiskussion-extremwerte.png|thumb|right|380px|Im Graphen sind die beiden Extremstellen
 $x_1$ und $x_2$ samt den dazugehörenden Hoch- und Tiefpunkten eingezeichnet.]]
 {{Vorlage:Definition|1= '''Lokale Extremstellen''' sind jene Stellen (=x-Werte), an denen der Graph der Funktion einen lokalen '''Hoch- oder Tiefpunkt''' hat.
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 [[Datei:Kurvendiskussion-Extremstellen-f' und f''.png|thumb|380px|right]]
-Wie am Graphen in der rechten Abbildung erkennbar ist, sind die Steigungen an den Extremstellen immer 0 (d.h. beim Hochpunkt und Tiefpunkt '''steigt f nicht''' und '''fällt f nicht'''). Somit gilt $f'(x)=0$
+Wie am Graphen in der rechten Abbildung erkennbar ist, sind die Steigungen an den Extremstellen immer 0 (d.h. beim Hochpunkt und Tiefpunkt '''steigt f nicht''' und '''fällt f nicht'''). Somit gilt $f'(x)=0$.
 Zusätzlich ist der Graph beim Hochpunkt '''rechtsgekrümmt''' (d.h. $f''(x)<0$) und beim Tiefpunkt '''linksgekrümmt''' (d.h. $f''(x)>0$).

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-=== Hinreichende Bedingung für ein relatives Extremum ===
+=== Hinreichende Bedingung für ein lokales Extremum ===
 {| border="1" align="center"
+|
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 * $f'(x_0)=0$ '''und''' $f''(x_0)< 0$
 | $\Rightarrow\ \ \ \ $
-| $x_0$ ist die Stelle eines relativen Hochpunktes (Maximums) von f
+| $x_0$ ist die Stelle eines lokalen Hochpunktes (Maximums) von f
 |-
+|
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 *$f'(x_0)=0$ '''und''' $f''(x_0)>0$
 | $\Rightarrow\ \ \ \ $
-| $x_0$ ist die Stelle eines relativen Tiefpunktes (Minimums) von f
+| $x_0$ ist die Stelle eines lokalen Tiefpunktes (Minimums) von f
 |-

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+{{Vorlage:Definition|1= '''Lokale Extremstellen''' sind jene Stellen (=x-Werte), an denen der Graph der Funktion einen lokalen '''Hoch- oder Tiefpunkt''' hat.
 '''Formale Definition''':
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 {{#ev:youtube|zCA7GI0yIfg}}
 |}
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 $f''(7)=2\cdot 7-8=+6>0 \rightarrow $ linksgekrümmt $\rightarrow$ Tiefpunkt
-Somit wissen wir, dass sich bei $x=1$ ein Hochpunkt und bei $x=7$ Tiefpunkt befindet.
+Somit wissen wir, dass sich bei $x=1$ ein Hochpunkt und bei $x=7$ ein Tiefpunkt befindet.
 Zuletzt bestimmen wir nun noch die y-Koordinaten des Hoch- und Tiefpunktes. Hierzu setzen wir die x-Werte '''in die ursprüngliche Funktion''' $f(x)$ ein: