Exponentialfunktionen(3.5.) - Versionsgeschichte

Bernhard: Weiterleitung nach Exponentialfunktionen erstellt

2016-03-24T15:51:25Z

Weiterleitung nach Exponentialfunktionen erstellt

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Porod am 8. August 2015 um 07:47 Uhr

2015-08-08T07:47:36Z

62.46.240.168 am 18. November 2014 um 17:05 Uhr

2014-11-18T17:05:13Z

83.65.137.66: /* 3. Beispiel mit $f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$ (einfach) */

2014-09-10T11:08:09Z

3. Beispiel mit $f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$ (einfach)

83.65.137.66: /* Weitere Eigenschaften der Exponentialfunktion */

2014-09-10T11:07:27Z

Weitere Eigenschaften der Exponentialfunktion

62.47.209.23: /* Beispiele */

2014-08-27T09:15:42Z

Beispiele

62.47.209.23: /* Beispiele */

2014-08-27T09:13:01Z

Beispiele

188.23.68.250: /* Beispiel zur Bestimmung von Funktonswert und Argument */

2014-08-26T13:38:04Z

Beispiel zur Bestimmung von Funktonswert und Argument

188.23.68.250: /* 4. Beispiel mit $f(x)=b\cdot e^{\lambda\cdot x}$ (leicht) */

2014-08-26T13:33:30Z

4. Beispiel mit $f(x)=b\cdot e^{\lambda\cdot x}$ (leicht)

188.23.68.250: /* Weitere Materialien */

2014-08-26T13:31:15Z

Weitere Materialien

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 * [[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00">  $Aha!$ </span>]]: In diesem [https://www.geogebratube.org/student/m116630 Arbeitsblatt] kannst du noch einmal die obigen Schritte nachvollziehen (Achtung: Anstelle von "b" wurde hier der Buchstabe "c" verwendet!)
-* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96">  ? </span>]]: Hier findest du ein [http://LearningApps.org/watch?v=p71pgtywt01 Quiz, in dem du das gelernte überprüfen kannst].
+* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96">  ? </span>]]: Hier findest du ein [http://LearningApps.org/watch?v=p71pgtywt01 Quiz, in dem du das Gelernte überprüfen kannst].
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 * Die x-Achse ist eine [[Asymptote]] des Graphen. D.h. der Graph der Exponentialfunktion nähert sich dieser beliebig nahe, ohne sie jemals zu schneiden.
-* Die Exponentialfunktion hat die besondere Eigenschaft, dass sie sich in bestimmten Abständen immer um ‚‘‘denselben Faktor‘‘‘ vermehrt (wenn a>1) oder vermindert (wenn 0<a<1) $\rightarrow $ siehe Abbildungen unten. Formal gilt:
+* Die Exponentialfunktion hat die besondere Eigenschaft, dass sie sich in bestimmten Abständen immer um ‘‘denselben Faktor‘‘‘ vermehrt (wenn a>1) oder vermindert (wenn 0<a<1) $\rightarrow $ siehe Abbildungen unten. Formal gilt:
 $$f(x+1)=f(x)\cdot a\ \ \textrm{ bzw. }\ \ \ \frac{f(x+1)}{f(x)}=a$$
 * Aufgrund der letzten Eigenschaft werden Exponentialfunktionen für die Beschreibung von Wachstumsprozessen (z.B. Wachstum einer Bakterienpopulation) oder Zerfallsprozessen (z.B. Zerfall eines radioaktiven Elements) verwendet.
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-'''Angabe:''' Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot a^x$ geht durch die Punkte (0|3) und (2|12) bestimme die [[Parameter]] a und b.
+'''Angabe:''' Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot a^x$ geht durch die Punkte (0|3) und (2|12). bestimme die [[Parameter]] a und b.
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 |}
-Hier haben wir nun ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und zwei Unbekannten. Dieses können wir mithilfe des [[Gleichungssysteme (2.7.)#Einsetzungsverfahren (Substitutionsverfahren) | Einsetzungsverfahren]] lösen:
+Hier haben wir nun ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und zwei Unbekannten. Dieses können wir mithilfe des [[Gleichungssysteme (2.7.)#Einsetzungsverfahren (Substitutionsverfahren) | Einsetzungsverfahrens]] lösen:
 Hierzu stellen wir in I die Unbekannte $a$ frei:
 $I:\  4=b\cdot a^1  \ \ \rightarrow a=$<span style="background-color:yellow"> $\frac{4}{b}$ </span>
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-Antowrt: Somit lautet die Funktionsgleichung $\underline{\underline{f(x)=1\cdot 4^x}}$ bzw. $\underline{\underline{f(x)=4^x}}$
+Antwort: Somit lautet die Funktionsgleichung $\underline{\underline{f(x)=1\cdot 4^x}}$ bzw. $\underline{\underline{f(x)=4^x}}$
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 === 3. Beispiel mit $f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$ (einfach) ===
-Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$ geht durch die Punkte (0|3) und (2|27) bestimme die [[Parameter]] $\lambda$ und b
+Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$ geht durch die Punkte (0|3) und (2|27). Bestimme die [[Parameter]] $\lambda$ und b
 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
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 '''1. Punkt (0|3)''': Da der Graph die y-Achse hier schneidet, muss gelten $\underline{b=3}$ (siehe oben Beispiel 1)
-'''2. Punkt (2|27)''': Wir setzen diesen Punkt und b=3 nun in die Funktionsgleichung um $\lambda$ zu erhalten:
+'''2. Punkt (2|27)''': Wir setzen diesen Punkt und b=3 nun in die Funktionsgleichung, um $\lambda$ zu erhalten:
 $$f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$$
 $$27=3\cdot e^{\lambda \cdot 2}$$
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-*  [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]:  Kannst du oberen Aufgaben alle, so [https://www.geogebratube.org/student/m82256 übe dich an diesem Quiz], in dem du die Funktionsgleichung verschiedener [[Funktionen|Funktionstypen]] bestimmen musst.
+*  [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]:  Kannst du alle Aufgaben von oben, so [https://www.geogebratube.org/student/m82256 übe dich an diesem Quiz], in dem du die Funktionsgleichung verschiedener [[Funktionen|Funktionstypen]] bestimmen musst.
 == Beispiel zur Bestimmung von Funktonswert und Argument ==
 === 1. Beispiel mit $f(x)=b\cdot e^{\lambda\cdot x}$  (leicht) ===
-Gegeben ist die Funktion $f(x)=2\cdot e^{-0.4\cdot x}$. Bestimmen Sie jene [[Argument | Argumente]] für die gilt
+Gegeben ist die Funktion $f(x)=2\cdot e^{-0.4\cdot x}$. Bestimme  jene [[Argument | Argumente]] für die gilt
 * a) $f(x)=0.3$
 * b) $f(x)=0$
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 $$ e^{-0.4\cdot x}=0 \ \ \ |ln $$
 $$ -0.4\cdot x\cdot \ln(e)=\ln(0)$$
-Da der [[Logarithmus]] nur für positive x-Werte definiert ist ($\mathbb{D}=\mathbb{R}^+$) ist $\ln(0)$ nicht definiert (was du leicht im TR mit der Rechnung ln(0) überprüfen kannst).
+Da der [[Logarithmus]] nur für positive x-Werte definiert ist ($\mathbb{D}=\mathbb{R}^+$), ist $\ln(0)$ nicht definiert (was du leicht im TR mit der Rechnung ln(0) überprüfen kannst).
 Somit hat die Gleichung $ -0.4\cdot x\cdot \ln(e)=\ln(0)$  keine Lösung.
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 <div class="mw-collapsible-content">
 Auch hier gibt es keine Lösung, da der [[Wertebereich]] der Exponentialfunktion   $2\cdot e^{-0.4\cdot x}$ oberhalb der x-Achse liegt und $f(x)$ somit niemals negative Funktionswerte annimmt.
-(Siehe Abbildung bei Lösung a) )
+(Siehe Abbildung bei Lösung a)
 </div>
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 === 2. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (leicht) ===
 Gegeben ist die Funktion $f(x)=100\cdot 0.76^x$.
-* a) Bestimmen Sie wie groß ist der Funktionwert an der Stelle $x=5$ ist.
+* a) Bestimme wie groß ist der Funktionwert an der Stelle $x=5$ ist.
-* b) Berechnen Sie, an welcher Stelle die Funktion einen Wert von $50$ hat.
+* b) Berechne, an welcher Stelle die Funktion einen Wert von $50$ hat.
-* c) Fertigen Sie eine Skizze des Graphen und zeichnen Sie die berechneten Werte ein.
+* c) Fertige eine Skizze des Graphen und zeichnen Sie die berechneten Werte ein.

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 {| align="center"
 |-
-| [[Datei:Exp-fkt mit vielen as-png.png|thumb|300px|left|Graph mit $a>0$]]
+| [[Datei:Exp-fkt mit vielen as-png.png|thumb|300px|left|Graph mit $a>1$]]
 | [[Datei:Exp-fkt mit vielen as u a 0.png|thumb|300px|right|Graph mit $0<a<1$]]
 |}

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−	* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter\| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Kannst du ~~diese~~ Aufgaben alle, so [https://www.geogebratube.org/student/m82256 übe dich an diesem Quiz], in dem du die Funktionsgleichung verschiedener [[Funktionen\|Funktionstypen]] bestimmen musst.	+	* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter\| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Kannst du oberen Aufgaben alle, so [https://www.geogebratube.org/student/m82256 übe dich an diesem Quiz], in dem du die Funktionsgleichung verschiedener [[Funktionen\|Funktionstypen]] bestimmen musst.
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	== Beispiel zur Bestimmung von Funktonswert und Argument ==		== Beispiel zur Bestimmung von Funktonswert und Argument ==

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 * Die x-Achse ist eine [[Asymptote]] des Graphen. D.h. der Graph der Exponentialfunktion nähert sich dieser beliebig nahe, ohne sie jemals zu schneiden.
-* Die Exponentialfunktion hat die besondere Eigenschaft, dass sie sich in bestimmten Abständen immer um ‚‘‘denselben Faktor‘‘‘ vermehrt (wenn a>1) oder vermindert (wenn 0<a<1) $\rightarrow $ siehe Abbildung rechts.
+* Die Exponentialfunktion hat die besondere Eigenschaft, dass sie sich in bestimmten Abständen immer um ‚‘‘denselben Faktor‘‘‘ vermehrt (wenn a>1) oder vermindert (wenn 0<a<1) $\rightarrow $ siehe Abbildungen unten. Formal gilt:
 * Aufgrund der letzten Eigenschaft werden Exponentialfunktionen für die Beschreibung von Wachstumsprozessen (z.B. Wachstum einer Bakterienpopulation) oder Zerfallsprozessen (z.B. Zerfall eines radioaktiven Elements) verwendet.
-Siehe [[Wachstums- und Zerfallsprozesse]]
+*: Siehe [[Wachstums- und Zerfallsprozesse]]
 {| align="center"

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	* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie \| <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=179&file=Vergessenskurve_nach_Ebbinghaus.pdf Vergessenskurve von Ebbinghaus] (bifie-Aufgabe: leicht-mittel-mittel)		* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie \| <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=179&file=Vergessenskurve_nach_Ebbinghaus.pdf Vergessenskurve von Ebbinghaus] (bifie-Aufgabe: leicht-mittel-mittel)
		+
		+	* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie \| <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=181&file=Bevoelkerungswachstum_in_den_USA.pdf Bevölkerung der USA] (leicht-leicht-mittel)
		+	: Siehe für Aufgabe b) und c) auch [[Differenzen- und Differentialquotient]]

	[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]		[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

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	: Siehe auch [[Der Logarithmus \| Logarithmus]]		: Siehe auch [[Der Logarithmus \| Logarithmus]]

		+	* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie \| <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=179&file=Vergessenskurve_nach_Ebbinghaus.pdf Vergessenskurve von Ebbinghaus] (bifie-Aufgabe: leicht-mittel-mittel)

	[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]		[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

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−	~~=== 4. Beispiel mit $f(x)=b\cdot e^{\lambda\cdot x}$ (leicht) ===~~
−	~~Gegeben ist die Funktion $f(x)=2\cdot e^{-0.4\cdot x}$. Bestimmen Sie jene [[Argument \| Argumente]] für die gilt~~
−	* a) $f(x)=0.3$
−	* b) $f(x)=0$
−	* c) $f(x)=-0.5$
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−	~~<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">~~
−
−	~~<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>~~
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−	~~<div class="mw-collapsible-content">~~
−
−	~~<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">~~
−
−	~~<span style="color:#A020F0> '''Lösung für a)''' </span>~~
−
−	~~<div class="mw-collapsible-content">~~
−
−
−	~~[[Datei:Beispiel 0 3.png\|thumb\|350px\|right\|Graphische Lösung der Aufgabe]]~~
−
−	~~Es gilt die Gleichung $f(x)=0.3$ zu lösen, wobei $f(x)=2\cdot e^{-0.4\cdot x}$ ist:~~
−	~~$$2\cdot e^{-0.4\cdot x}=0.3$$~~
−	~~$$ e^{-0.4\cdot x}=\frac{0.3}{2} \ \ \ \ \| ln()$$~~
−	~~$$ -0.4\cdot x \cdot \ln(e)=\ln(\frac{0.3}{2})\ \ \ \ \|ln(e)=1 \ \ \ \|:(-0.4) $$~~
−	~~$$x=\frac{\ln(\frac{0.3}{2})}{-0.4}$$~~
−	~~$$\underline{\underline{x = 4.74}}$$~~
−	~~Alternative Lösungswege:~~
−	* Graphisch den Schnittpunkt zwischen f(x) und y=0.3 ermitteln (siehe Abbildung rechts)
−	* [[Solve-Befehl \| Solve-Befehl im TR]] oder [[Löse-Befehl \| Löse-Befehl mit GeoGebra]]
−
−	~~</div>~~
−
−	~~</div>~~
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−	~~<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">~~
−
−	~~<span style="color:#A020F0> '''Lösung für b)''' </span>~~
−
−	~~<div class="mw-collapsible-content">~~
−
−	~~Da die x-Achse des Graphen von f(x) eine [[Asymptote]] ist, hat f(x) keine Nullstellen und somit gibt es kein x für das gilt $f(x)=0$~~
−	~~Alternativer Lösungsweg:~~
−	* [[Löse-Befehl \| Löse-Befehl mit GeoGebra]] $\rightarrow$ als Lösung erhält man die leere Menge $\mathbb{L}=\{ \}$
−	* Rechnerisch:
−	~~$$ f(x)=0$$~~
−	~~$$2\cdot e^{-0.4\cdot x}=0 \ \ \ \|:2$$~~
−	~~$$ e^{-0.4\cdot x}=0 \ \ \ \|ln $$~~
−	~~$$ -0.4\cdot x\cdot \ln(e)=\ln(0)$$~~
−	~~Da der [[Logarithmus]] nur für positive x-Werte definiert ist ($\mathbb{D}=\mathbb{R}^+$) ist $\ln(0)$ nicht definiert (was du leicht im TR mit der Rechnung ln(0) überprüfen kannst).~~
−	~~Somit hat die Gleichung $ -0.4\cdot x\cdot \ln(e)=\ln(0)$ keine Lösung.~~
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−	~~</div>~~
−
−	~~</div>~~
−
−	~~<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">~~
−
−	~~<span style="color:#A020F0> '''Lösung für c)''' </span>~~
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−	~~<div class="mw-collapsible-content">~~
−	~~Auch hier gibt es keine Lösung, da der [[Wertebereich]] der Exponentialfunktion $2\cdot e^{-0.4\cdot x}$ oberhalb der x-Achse liegt und $f(x)$ somit niemals negative Funktionswerte annimmt.~~
−	~~(Siehe Abbildung bei Lösung a) )~~
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 * [[Gelb: Lernpfad | <span style="background-color:#FFD700">  $Step\ by\ Step!$ </span>]]: Ein [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_exponentialfunktionen/Exponentialfunktionen_NEU/ Online-Lernpfad von G. Jauck und A. Lindner]
 * [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96">  ? </span>]]: Ein [http://LearningApps.org/watch?v=p71pgtywt01 Quiz in dem du den Graph und die Funktionsgleichung zusammenführen musst]
 == Beispiele ==