Differenzieren: Rechnerisches Bestimmen von f' - Versionsgeschichte

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2015-08-29T16:47:15Z

Die Seite wurde neu angelegt: „ Im Folgenden sind Regeln aufgelistet, mit der $f'(x)$ berechnet werden kann. === Grundlegende Regeln === {| border="1" align="center" cellpadding="10" ! All…“

Neue Seite

Im Folgenden sind Regeln aufgelistet, mit der $f'(x)$ berechnet werden kann.

=== Grundlegende Regeln ===
{| border="1" align="center" cellpadding="10"
! Allgemeine Regeln
|-
| {{#ev:youtube|4_e-KRJbXUg}}
|}

{| class="wikitable"
|-
!Regel !! $f(x)$ !! $f'(x)$ !!Bemerkung
|-
|Potenzregel || $x^n$ || $n\cdot x^{n-1}$ || Exponent kommt herunter, dann wird Hochzahl um 1 vermindert.
|-
| Konstantenregel
$c\in \mathbb{R}$
|| c || 0 ||konstante Funktionen haben Steigung $= 0$
|-
|[[Faktor|Faktorregel]]
$a\in \mathbb{R}$
|| $a\cdot f(x)$|| $a\cdot f'(x)$ || Ein konstanter Faktor ist von der Ableitung nicht betroffen.
|-
|Summenregel || $f(x)+g(x)$ || $f'(x)+g'(x)$ || Eine Summe wird abegeleitet, indem jeder einzelne Summand einzeln abgeleitet wird.
|-
| [[Exponentialfunktionen(3.5.)|$e$-Funktion]] || $e^x$ || $e^x$ || Die besondere Eigenschaft von $e^x$ ist, dass es durch Ableiten nicht verändert wird

(d.h. Funktionswert bei x = Steigung bei x)
|-
| [[Logarithmus]] || $ln|x|$ || $\frac{1}{x}$ ||
|-
| [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)|Trigonometrische Funktionen]] || $sin(x)$ $cos(x)$ || $cos(x)$ $-sin(x)$ ||
[[Datei:Sin-cos-kreis.png|miniatur|300px|center|Durch mehrmaliges Ableiten der Sinus- oder Cosinusfunktion kommt man immer wieder zur Ausgangsfunktion zurück. In [http://geogebratube.org/student/m43313 diesem Arbeitsblatt] findest du eine Begründung dafür.]]

|}

{{Vorlage:Beispiel|1=Bestimme zu den folgenden Funktionen die Ableitungsfunktion:

 
 
 
#$f(x)=x^3$
#$f(x)=4x$
#$f(x)=3$
#$f(x)=5\cdot x^2$
#$x^3+5x^2-4x+3$
#$x+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^3}+\sqrt[5]{x^2}$
#$f(x)=\frac{x^4}{5}+2\cdot e^x-ln\vert x\vert $

|2=
Wir wenden die einzelnen Regeln Schritt für Schritt an:
#$f(x)=x^3 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel} 3\cdot x^{3-1}=3\cdot x^2$ 
#$f(x)=4\cdot x=4\cdot x^1 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel} 4\cdot 1\cdot x^{1-1}=4\cdot x^0=4\cdot 1=4$ 
#$f(x)=3 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Konstantenregel} 0$ 
#$f(x)=5\cdot x^2\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Faktorregel}5\cdot (x^2)' \underbrace{=}_{Potenzregel}=5\cdot 5\cdot 2\cdot x^{2-1}=10\cdot x$ 
#$x^3+5x^2-4x+3\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Summenregel}(x^3)'+(5x^2)'-(4x)'+(3)' \underbrace{=}_{Potenzregel}3x^2+10x-4+0$
#$x+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^3}+\sqrt[5]{x^2}\underbrace{=}_{umformen} x+x^{-1}-x^{-3}+x^{\frac{2}{5} }$ $$\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel}1\cdot x^0+(-1)\cdot x^{-2}-(-3)\cdot x^{-4}+\frac{2}{5}\cdot x^{(\frac{2}{5}-1)}=$$ $$=1-x^{-2}+3\cdot x^{-4}+\frac{2}{5}\cdot x^{-\frac{3}{5} }$$ $$=1+\frac{1}{x^2}+\frac{3}{x^4}+\frac{2}{5\sqrt[5]{x^3} }$$ 
#$f(x)=\frac{x^4}{5}+2\cdot e^x-ln \vert x \vert \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel/Faktorregel,\ e-\ und\ ln-Regel}\frac{4x^3}{5}+2\cdot e^x-\frac{1}{x}$
}}

[[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| ? ]] [http://www.mathe-online.at/tests/diff1/poldiff.html Online-Übung (mathe-online)]

=== Produktregel ===
Im Gegensatz zur Summe zweier Funktionen $( (f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)$, siehe oben 'Summenregel'$)$ kann man das [[Produkt]] zweier Funktionen $f(x)\cdot g(x)$ nicht mehr so einfach ableiten. Hierfür braucht es die sogenannte ...

{{Vorlage:Merke|1= '''Produktregel'''
$$(f(x)\cdot g(x))'=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$$
"Zuerst den ersten [[Faktor]] ableiten, den zweiten stehen lassen,
$$\textrm{Plus}$$
den ersten Faktor stehen lassen, den anderen ableiten." }}

{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben ist die Funktion $h(x)=(x^2-1)\cdot (3x^2-4x+1)$. Bestimmen Sie $h'(x)$.

|2= Da es sich hierbei um ein [[Produkt]] handelt, müssen wir die Produktregel anwenden:
$$h(x)=\underbrace{(x^2-1)}_{f(x)} \cdot \underbrace{(3x^2-4x+1)}_{g(x)}$$
Zuerst berechnen wir in einer Nebenrechnung die Ableitungen der Faktoren:
$$f(x)=x^2-1\rightarrow f'(x)=2x$$
$$g(x)=3x^2-4x-+1\rightarrow g'(x)=6x-4$$

Nun setzen wir die Formel zusammen:
$$h'(x)=\underbrace{2x}_{f'(x)}\cdot \underbrace{(3x^2-4x+1)}_{g(x)}+\underbrace{(x^2-1)}_{f(x)}\cdot \underbrace{(6x-4)}_{g'(x)}$$

Zuletzt vereinfachen wir noch das Ergebnis:
$$h'(x)=6x^3-8x^2+2x+6x^3-4x^2-6x+4$$
$$\underline{\underline{h'(x)=12x^3-12x^2-4x+4} }$$

}}

=== Quotientenregel ===

Um die Ableitung einer Division von 2 Funktionen (=Quotienten) zu berechnen, verwendet man die ...

{{Vorlage:Merke|1= '''Quotientenregel'''
$$h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\ \rightarrow \ h'(x)=\frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g(x)}{(g(x))^2 }$$

Im Nenner steht bis auf das $Minus$ die Produktregel. Im Zähler wird die Nenner-Funktion quadriert.
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Bestimmen Sie die Ableitung von $h(x)=\frac{x^2-x}{x+1}$.
|2=
Da es sich um einen Quotienten handelt, wenden wir die Quotientenregel an. Zuerst berechnen wir die Ableitung des Zählers (f(x)) und des Nenners (g(x)):

* Zähler: $f(x)=x^2-x\ \rightarrow f'(x)=2x-1$
* Nenner: $g(x)=x+1\ \rightarrow g'(x)=1$

Nun setzen wir die Quotientenregel zusammen:
$$h'(x)=\frac{(2x-1)\cdot (x+1)-(x^2-x)\cdot 1 }{(x+1)^2}$$
$$h'(x)=\frac{2x^2+x-1}{x^2+2x+1}$$
}}

=== Kettenregel ===
Um Klammerausdrücke oder verkettete Funktionen wie zum Beispiel $f(x)=\sqrt[3]{x^2-1}$ oder $e^{2x-1}$ abzuleiten, verwenden wir die ...

{{Vorlage:Merke|1='''Kettenregel'''
$$h(x)=f[g(x)]\ \ \rightarrow \ \ h'(x)=\underbrace{f'(g(x))}_{\textrm{äußere Ableitung} } \cdot \underbrace{h'(x)}_{\textrm{innere Ableitung} }$$

$f(x)$ wird als ''äußere Funktion'', $g(x)$ als ''innere Funktion'' bezeichnet.
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben ist $h(x)=\sqrt[3]{x^2-1}$. Bestimmen Sie $h'(x)$
|2=
Zuerst schreiben wir die Wurzel in der [[Rechnen mit Potenzen|Exponentenschreibweise]]:
$$h(x)=(x^2-1)^{\frac{1}{3} }$$

* Die äußere Funktion ist nun $f(x)=(\ \ )^{\frac{1}{3} }$. Damit ist $f'(x)=\frac{1}{3}\cdot (\ \ )^{\frac{1}{3}-1}=\frac{1}{3}\cdot (\ \ )^{-\frac{2}{3} }$

* Die innere Funktion ist $g(x)=x^2-1$. Damit ist $g'(x)=2x$

Nun setzen wir die Kettenregel zusammen:
$$ h'(x)=\underbrace{\frac{1}{3}\cdot (x^2-1)^{-\frac{2}{3} } }_{\textrm{äußere Ableitung} } \cdot \underbrace{2x}_{\textrm{innere Ableitung} }$$

$$ h'(x)=\frac{2x}{3\cdot \sqrt[3]{(x^2-1)^2} }$$
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion von $f(x)=e^{2x-1}$
|2=
Zuerst kümmern wir uns um die äußere und innere Funktion getrennt:
* Die äußere Funktion ist die Exponentialfunktion $f(x)=e\textrm{^}\ \rightarrow\ f'(x)=e\textrm{^}$
* Die innere Funktion ist $g(x)=2x-1 \ \rightarrow g'(x)=2$

Nun setzen wir die Kettenregel wieder zusammen:

$$ h'(x)=\underbrace{e^{2x-1} }_{\textrm{äußere Ableitung} } \cdot \underbrace{2}_{\textrm{innere Ableitung} }$$
$$h'(x)=2\cdot e^{2x-1} $$
}}

=== Videos ===
{| align="center" border="1"
! Produkt-, Quotienten- und Kettenregel
! Ableitung der Exponentialfunktion
|-
|{{#ev:youtube|47bKq2lXGs8}}
|{{#ev:youtube|XVCBYo2_OoM}}
|}

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−	~~Im Folgenden sind Regeln aufgelistet, mit der $f'(x)$ berechnet werden kann.~~
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−	~~=== Grundlegende Regeln ===~~
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−	~~! Allgemeine Regeln~~
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−	~~!Regel !! $f(x)$ !! $f'(x)$ !!Bemerkung~~
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−	~~\|Potenzregel \|\| $x^n$ \|\| $n\cdot x^{n-1}$ \|\| Exponent kommt herunter, dann wird Hochzahl um 1 vermindert.~~
−	\|-
−	~~\| Konstantenregel~~
−	~~$c\in \mathbb{R}$~~
−	~~\|\| c \|\| 0 \|\|konstante Funktionen haben Steigung $= 0$~~
−	\|-
−	~~\|[[Faktor\|Faktorregel]]~~
−	~~$a\in \mathbb{R}$~~
−	~~\|\| $a\cdot f(x)$\|\| $a\cdot f'(x)$ \|\| Ein konstanter Faktor ist von der Ableitung nicht betroffen.~~
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−	~~\|Summenregel \|\| $f(x)+g(x)$ \|\| $f'(x)+g'(x)$ \|\| Eine Summe wird abegeleitet, indem jeder einzelne Summand einzeln abgeleitet wird.~~
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−	~~\| [[Exponentialfunktionen(3.5.)\|$e$-Funktion]] \|\| $e^x$ \|\| $e^x$ \|\| Die besondere Eigenschaft von $e^x$ ist, dass es durch Ableiten nicht verändert wird~~
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−	~~(d.h. Funktionswert bei x = Steigung bei x)~~
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−	~~\| [[Logarithmus]] \|\| $ln\|x\|$ \|\| $\frac{1}{x}$ \|\|~~
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−	~~\| [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)\|Trigonometrische Funktionen]] \|\| $sin(x)$ <br> <br> $cos(x)$ \|\| $cos(x)$ <br> <br> $-sin(x)$ \|\|~~
−	[[Datei:Sin-cos-kreis.png\|miniatur\|300px\|center\|Durch mehrmaliges Ableiten der Sinus- oder Cosinusfunktion kommt man immer wieder zur Ausgangsfunktion zurück. In [http://geogebratube.org/student/m43313 diesem Arbeitsblatt] findest du eine Begründung dafür.]]
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−	~~{{Vorlage:Beispiel\|1=Bestimme zu den folgenden Funktionen die Ableitungsfunktion:~~
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−	~~#$f(x)=x^3$~~
−	~~#$f(x)=4x$~~
−	~~#$f(x)=3$~~
−	~~#$f(x)=5\cdot x^2$~~
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−	~~\|2=~~
−	~~Wir wenden die einzelnen Regeln Schritt für Schritt an:~~
−	~~#$f(x)=x^3 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel} 3\cdot x^{3-1}=3\cdot x^2$ <br> <br>~~
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−	~~#$f(x)=\frac{x^4}{5}+2\cdot e^x-ln \vert x \vert \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel/Faktorregel,\ e-\ und\ ln-Regel}\frac{4x^3}{5}+2\cdot e^x-\frac{1}{x}$~~
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−	~~[[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter\| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]] [http://www.mathe-online.at/tests/diff1/poldiff.html Online-Übung (mathe-online)]~~
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−	~~=== Produktregel ===~~
−	Im Gegensatz zur Summe zweier Funktionen $( (f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)$, siehe oben 'Summenregel'$)$ kann man das [[Produkt]] zweier Funktionen $f(x)\cdot g(x)$ nicht mehr so einfach ableiten. Hierfür braucht es die sogenannte ...
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−	~~{{Vorlage:Merke\|1= '''Produktregel'''~~
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−	~~den ersten Faktor stehen lassen, den anderen ableiten." }}~~
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−	~~{{Vorlage:Beispiel\|1= Gegeben ist die Funktion $h(x)=(x^2-1)\cdot (3x^2-4x+1)$. Bestimmen Sie $h'(x)$.~~
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−	~~Nun setzen wir die Formel zusammen:~~
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−	~~Zuletzt vereinfachen wir noch das Ergebnis:~~
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−	~~Um die Ableitung einer Division von 2 Funktionen (=Quotienten) zu berechnen, verwendet man die ...~~
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−	~~{{Vorlage:Merke\|1= '''Quotientenregel'''~~
−	~~$$h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\ \rightarrow \ h'(x)=\frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g(x)}{(g(x))^2 }$$~~
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−	~~Im Nenner steht bis auf das $Minus$ die Produktregel. Im Zähler wird die Nenner-Funktion quadriert.~~
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−	~~{{Vorlage:Beispiel\|1= Bestimmen Sie die Ableitung von $h(x)=\frac{x^2-x}{x+1}$.~~
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−	~~Da es sich um einen Quotienten handelt, wenden wir die Quotientenregel an. Zuerst berechnen wir die Ableitung des Zählers (f(x)) und des Nenners (g(x)):~~
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−	* Zähler: $f(x)=x^2-x\ \rightarrow f'(x)=2x-1$
−	* Nenner: $g(x)=x+1\ \rightarrow g'(x)=1$
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−	~~Nun setzen wir die Quotientenregel zusammen:~~
−	~~$$h'(x)=\frac{(2x-1)\cdot (x+1)-(x^2-x)\cdot 1 }{(x+1)^2}$$~~
−	~~$$h'(x)=\frac{2x^2+x-1}{x^2+2x+1}$$~~
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−	~~=== Kettenregel ===~~
−	~~Um Klammerausdrücke oder verkettete Funktionen wie zum Beispiel $f(x)=\sqrt[3]{x^2-1}$ oder $e^{2x-1}$ abzuleiten, verwenden wir die ...~~
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−	~~{{Vorlage:Merke\|1='''Kettenregel'''~~
−	~~$$h(x)=f[g(x)]\ \ \rightarrow \ \ h'(x)=\underbrace{f'(g(x))}_{\textrm{äußere Ableitung} } \cdot \underbrace{h'(x)}_{\textrm{innere Ableitung} }$$~~
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−	~~$f(x)$ wird als ''äußere Funktion'', $g(x)$ als ''innere Funktion'' bezeichnet.~~
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−	~~Zuerst schreiben wir die Wurzel in der [[Rechnen mit Potenzen\|Exponentenschreibweise]]~~:
−	~~$$h(x)=(x^2-1)^{\frac{1}{3} }$$~~
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−	* Die äußere Funktion ist nun $f(x)=(\ \ )^{\frac{1}{3} }$. Damit ist $f'(x)=\frac{1}{3}\cdot (\ \ )^{\frac{1}{3}-1}=\frac{1}{3}\cdot (\ \ )^{-\frac{2}{3} }$
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−	* Die innere Funktion ist $g(x)=x^2-1$. Damit ist $g'(x)=2x$
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−	~~Nun setzen wir die Kettenregel zusammen:~~
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−	~~$$ h'(x)=\frac{2x}{3\cdot \sqrt[3]{(x^2-1)^2} }$$~~
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−	~~{{Vorlage:Beispiel\|1=~~ Bestimmen ~~Sie die Ableitungsfunktion~~ von $f~~(x)=e^{2x-1}$~~
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−	~~Zuerst kümmern wir uns um die äußere und innere Funktion getrennt:~~
−	* Die äußere Funktion ist die Exponentialfunktion $f(x)=e\textrm{^}\ \rightarrow\ f'(x)=e\textrm{^}$
−	* Die innere Funktion ist $g(x)=2x-1 \ \rightarrow g'(x)=2$
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−	~~Nun setzen wir die Kettenregel wieder zusammen:~~
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−	~~$$ h~~'~~(x)=\underbrace{e^{2x-1} }_{\textrm{äußere Ableitung} } \cdot \underbrace{2}_{\textrm{innere Ableitung} }$$~~
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−	~~=== Videos ===~~
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−	~~! Produkt-, Quotienten- und Kettenregel~~
−	~~! Ableitung der Exponentialfunktion~~
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