Quelltext der Seite Integration: Berechnung von Flächen zwischen zwei Kurven

==Wiederholung und Herleitung der Formel==

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| Das folgende Video bietet dir einen Überblick über das gelernte und erklärt dir die Formel für die Fläche zwischen 2 Kurven:
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| <center> {{#ev:youtube|TcKANBl3sTs}}<br />
ab [https://youtu.be/TcKANBl3sTs?t=198 Minute 3:23 geht es um die Fläche zwischen 2 Kurven].  </center>

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[[Datei:2kurven-herleitung1.png|thumb|300px|right|Flächeninhalt zwischen zwei Kurven]]
{{Vorlage:Definition|1='''Formel zur Berechnung der Fläche zwischen 2 Graphen'''

Gegeben sei eine Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen $f$ und $g$, dann kann der Inhalt der eingeschlossenen Formel mit dieser Formel berechnet werden:
$$\int_a^b f(x)dx-\int_a^b g(x)dx \textrm{  bzw.  } \int_a^b \left(f(x)-g(x)\right)dx$$

wobei der Graph von $f$ die obere und der Graph von $g$ die untere Begrenzungskurve sein muss!
$$\int_{\color{blue}{linke\ Schnittstelle} }^{\color{blue}{rechte\ Schnittstelle} } \left(\color{green}{obere\ Funktion}-\color{red}{untere\ Funktion}\right)dx$$
}}

[[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]]   Das folgende [http://tube.geogebra.org/m/1516441 Applet zeigt dir die Herleitung dieser Formel]
<ggb_applet width="628" height="570" version="5.0" 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{{Vorlage:Ausklapp|1='''Herleitung der Formel als Bilderreihe'''
|2=
<gallery heights=200px widths=350px >
2kurven-schnittpunkte.png|Zuerst werden die [[Schnittpunkte zweier Funktionen|Schnittpunkte]] bestimmt.
2kurven-großeFläche.png|Als nächstes berechnet man die große Fläche mit $\int_a^b f(x) dx$ und ...
2kurven-kleine Fläche.png|... zieht davon die kleine Fläche $\int_a^b g(x)dx$ ab.
2kurven-herleitung 1.png|Als Ergebnis erhält man die gesuchte blaue Fläche.
</gallery>
}}


[[Datei:2kurven-vertikalverschiebung.gif|gerahmt|200|Durch Verschieben beider Kurven entlang der y-Achse ändert sich der Flächeninhalt nicht. Somit ist die Formel auch gültig, wenn ein Teil der Fläche (oder die ganze) unter der x-Achse liegt.]]

{{Vorlage:Merke|1= <br>
# Rechne immer "obere Funktion" ''MINUS'' "untere Funktion". Ansonsten erhälst du ein negatives Ergebnis!
# Bei dieser Formel ist es egal ob die Fläche oberhalb oder unterhalb der x-Achse ist!
$$\int_a^b f(x)dx-\int_a^b g(x)dx$$ gilt immer! <br>
[[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]]  Dies kannst du im [http://tube.geogebra.org/m/194563 folgenden Applet] überprüfen.  
<ggb_applet width="1000" height="478" version="4.2" id="194563" />
}}

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==Exkurs: Wie werden Schnittpunkte berechnet und warum sind diese wichtig?==
{{:Schnittpunkt zweier Funktionen}}



{{Vorlage:Merke |1=Schnittpunkte sind wichtig, weil sie uns zeigen, in welchem Bereich wir integrieren müssen.}}

==Beispiele==

{{Vorlage:Beispiel|1=Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von den Funktionen f und g umschlossen wird.<br />
$f(x)=x^2$<br />
$g(x)=4$

|2=
'''1. Schritt''': Zuerst berechnen wir die Schnittpunkte:
$$f(x)=g(x)$$
$$x^2=4$$
$$x=\pm 2$$
Somit haben wir einen Schnittpunkt bei $x=-2$ und einen bei $x=2$ (Hinweis: Die y-Koordinaten sind für die weitere Berechnung nicht erforderlich!).


'''2. Schritt''': Flächen berechnen und voneinander abziehen:

[[Datei:2kurvenbspe2b.png|thumb|right|700px|Indem man von der großen Fläche die kleine abzieht, erhält man die gesuchte Fläche.]]
Fläche unter $f(x)=A_{\cup}$<br />
Fläche unter $g(x)=A_{ \Box  }$<br />
Dann ist die gesuchte Fläche $A$:
$$A=A_{ \Box  }-A_{\cup}$$


<br />

$A_{ \Box  }=a*a=4*4=16$<br />
Alternativ kann man hier auch das bestimmte Integral verwenden:
$$A_{ \Box  }=\int_{-2}^2 g(x)dx=\int_{-2}^2 4dx=\left[ 4x\right]_{-2}^2=4\cdot 2-\left[ 4\cdot (-2)\right]=\underline{16}$$
<br />

$$A_{\cup}=\int_{-2}^2 f(x)dx=\int_{-2}^2 x^2dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_{-2}^2=\frac{2^3}{3}-\frac{(-2)^3}{3}=\frac{16}{3}=\underline{5.33}$$



Damit erhält man für $A$:
$$A=A_{ \Box  }-A_{\cup}=\int_{-2}^2 g(x)dx-\int_{-2}^2 f(x)dx$$
$$A=16-5,33=\underline{\underline{10,67} }$$
'''Wichtig:''' Da hier der Graph von $g$ oberhalb von $f$ liegt, muss man die Formel wie hier gezeigt anschreiben!'''


}}

In den folgenden Beispielen wenden wir nun direkt die Formel an, ohne die Einzelheiten zu erklären:


{{Vorlage:Beispiel|1=Berechne den Inhalt der Fläche, die von den beiden Funktionsgraphen mit $f(x)=-0.5 x² + 4x - 5$ und $g(x)=0.5x² - 4x + 7$ eingeschlossen wird. Fertige zuerst eine Skizze.
|2= 
<br />
[[Datei:2kurvenbsp3.png|400px|miniatur|center]]

'''1. Schritt''': Schnittpunkte
$$f(x)=g(x)$$
$$-0.5 x² + 4x - 5=0.5x² - 4x + 7$$
$$0=x^2-8x+12$$
$$x_1=2\textrm{ und } x_2=6$$

'''2. Schritt''': Anwenden der Formel
$$\int_a^b \left(f(x)-g(x)\right)dx$$
$$\int_2^6 \left((-0.5 x² + 4x - 5)-(0.5x² - 4x + 7))\right)dx$$
$$\int_2^6 \left(-x^2+8x-12\right)dx=10.67$$

Der gesuchte Flächeninhalt beträgt 10.67 FE.
}}

{{Vorlage:Merke|1= Wichtig ist immer, dass in der Formel immer die '''obere''' Funktion minus die '''untere''' Funktion berechnet wird. 

Besteht eine Fläche aus mehreren Teilschnittflächen, so muss in der Regel jede einzeln berechnet werden!
}}
Dies muss in Beispielen wie dem folgenden berücksichtigt werden:

{{Vorlage:Beispiel|1=
Berechne den Inhalt der blau eingefärbten Fläche, wobei $f(x)=x$ und $g(x)=x^3-9x^2+24x-15$ ist. 
[[Datei:2kurven-beispiel4.png|thumb|300|center|Berechne den Inhalt der blau eingefärbten Fläche]]

|2=
'''1. Schritt''': Schnittpunkte
$$f(x)=g(x)$$
$$x=x^3-9x^2+24x-15$$
Mithilfe von [[Schnittpunkt zweier Funktionen|Technologie]] erhält man: 
$$x_1=1,\ x_2=3 \textrm{ und } x_3=5$$



[[Datei:2kurven-beispiel4b.png|thumb|300px|right|Jede der Teilflächen hat einen Inhalt von 4 FE.]]
'''2. Schritt''': Berechnung des Flächeninhaltes

Die gesuchte Fläche besteht aus zwei Flächeninhalten, die wir getrennt von einander berechnen würden, weil f und g abwechselnd oben bzw. unten sind. 

Die Rechnung $\int_1^5 (f(x)-g(x))dx$ wäre <span style="color=red" '''falsch'''</span>, da hier 0 herauskommt (prüfe es selbst nach!)


* Linke Fläche: Hier ist g oben und f unten:
$$\int_1^3 (g(x)-f(x))dx=\int_1^3 (x^3-9x^2+24x-15-x)dx=\underline{4}$$

* Rechte Fläche: Hier ist f oben und g unten:
$$\int_3^5 (f(x)-g(x))dx=\int_1^3 (x-(x^3-9x^2+24x-15))dx=\underline{4}$$

* Gesamt: $4+4=\underline{\underline{8} } $

Die eingeschlossene Fläche hat 8 FE.
}}

<!--
S.30/1.034

{{Vorlage:Beispiel|1=Berechnen Sie den Inhalt der Fläche.
 
$f(x)=\frac{x^3}{3}-x^2+\frac{7}{3}$|2= <br />
[[Datei:1.034.jpg|400px|miniatur]]<br />


$\Rightarrow \frac{x^4}{3*4}-\frac{x^3}{3}+\frac{7}{3x}$ 

$\Rightarrow F(x)= \frac{x^4}{12}-\frac{4x^3}{12}+\frac{28}{12x}$

$$\int_{-1}^{2} f (x)\,dx = F(2)-F(-1) =\frac{2^4}{12}-\frac{4*2^3}{12}+\frac{28}{12}*2-(-\frac{1^4}{12}-\frac{4*-1^3}{12}+\frac{28}{12}*-1)$$


$=\frac{4}{3}-\frac{8}{3}+\frac{14}{3}-\frac{1}{12}+\frac{4}{12}-\frac{7}{3}$

$=\frac{4}{3}-\frac{8}{3}+\frac{14}{3}-\frac{1}{12}-\frac{4}{12}+\frac{7}{3}$

$=\frac{16}{12}-\frac{32}{12}+\frac{56}{12}-\frac{1}{12}-\frac{4}{12}+\frac{28}{12}$

$=\frac{63}{12}$

$=5,25$



$A\Box=3*1=3$

$A\triangle= A\triangle\Box-A\Box$

$\Rightarrow 5,25-3= 2,25$


}}

-->
==Übungs- und Lernlinks==
* [http://www.brinkmann-du.de/mathe/gost/int_01_05.htm Erklärungen und Beispiele von brinkmann-du]
* [http://matheguru.com/30-flaeche-zwischen-funktionen.html Erklärung von matheguru]
* [http://nibis.ni.schule.de/~lbs-gym/AnalysisTeil1pdf/FlaechezwischenGraphen.pdf Beispiele samt Lösungen von Roolfs]
* [https://www.youtube.com/watch?v=-6vRkqsQvM4 weiters Lernvideo in dem ein Beispiel vorgerechnet wird]

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===Quiz===
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> 
Frage 1:
[[Datei:Quiz1.png|400px|miniatur]]
 </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Lösung: Antwort 1

</div>

</div>










<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> 
Frage 2:
[[Datei:Quiz2.png|400px|miniatur]]
 </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Lösung: Antwort 1

</div>

</div>









<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> 
Frage 3:
[[Datei:Quiz3.png|400px|miniatur]]
 </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Lösung: Antwort 1

</div>

</div>
-->