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Spezial:Badtitle/NS3000:Integration: Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung

2023-02-01T16:16:39Z

Simon.Schnetzer: /* Anwendungsbeispiel */

[[Datei:Weg-gesch-beschl.png|thumb|right|Wird die Geschwindigkeit $v$ durch den Graphen angegeben, so ist die [[Differenzen-_und_Differentialquotient#Der_Differentialquotient_.28.3D_momentane_Steigung.29|Steigung]] die Beschleunigung $a$. Der Flächeninhalt unter $v$ gibt den Weg $s$ an.]]
* '''$s(t)$''' gibt den zurückgelegten Weg zum Zeitpunkt $t$ an (Einheit: $m$ oder $km$ ...)

* '''$v(t)$''' gibt die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt $t$ an (Einheit: $m/s$ oder $km/h$ ...). Die Geschwindigkeit ist die [[Differenzen-_und_Differentialquotient#Der_Differentialquotient_.28.3D_momentane_Steigung.29|momentane Änderung]] des Weges $s(t)$, d. h.
$$s'(t)=v(t)\textrm{ bzw. } \int v(t)=s(t)+c,\textrm{ wobei $c$ die Anfangsstrecke $s_0$ angibt.}$$

* '''$a(t)$''' gibt die Beschleunigung zum Zeitpunkt $t$ an (Einheit: $m/s^2$ oder $km/h^2$ ...). Die Beschleunigung ist die momentane Änderung der Geschwindigkeit $v(t)$, d. h.
$$v'(t)=a(t)\textrm{ bzw. } \int a(t)=v(t)+c,\textrm{ wobei $c$ die Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ angibt.}$$

Vereinfacht gesagt gilt folgender Zusammenhang:

[[Datei:Integrieren.png|miniatur|center|500px]]

<br />
<br />

== Anwendungsbeispiel ==
{{Vorlage:Beispiel|1=
Die ESA (European Space Agency) bringt mithilfe der Ariane 5 regelmäßig Satelliten in den Weltraum. Die Startbeschleunigung beträgt dabei ca. $5.5 m/s^2$. Gehen Sie im Folgenden davon aus, dass die Beschleunigung während des ganzen Fluges konstant ist (d. h. $a(t)=5.5 m/s^2$). Die Variable $t$ gebe die Zeit nach dem Start in Sekunden ($s$) an.
::::a) Bestimmen Sie die Funktion $v$, die die Geschwindigkeit der Rakete nach $t$ Sekunden angebe. (Hinweis für die Integrationskonstante: Die Anfangsgeschwindigkeit $v(0)=v_0=0$)
::::b) Bestimmen Sie mithilfe von $v$ die Funktion $s$, die den nach $t$ Sekunden zurückgelegten Weg angibt.
::::c) $180$ Sekunden nach dem Start sind die Feststoffbooster ausgebrannt und werden abgesprengt (Quelle: Wikipedia).
:::::Berechnen Sie:
:::::* die Höhe, in der sich die Rakete zu diesem Zeitpunkt befindet.
:::::* die Geschwindigkeit der Rakete zu diesem Zeitpunkt.
::::d) In etwa $36\, 000 km$ Höhe erreicht die Rakete die geostationäre Umlaufbahn (Quelle: Wikipedia). Ermitteln Sie, nach wie vielen Sekunden diese Umlaufbahn erreicht wird.

|2=

a) Bestimmen Sie die Funktion $v$, die die Geschwindigkeit der Rakete nach $t$ Sekunden angebe. (Hinweis für die Integrationskonstante: Die Anfangsgeschwindigkeit $v(0)=v_0=0$)

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Tipp zur Berechnung: </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Da die Funktion der Geschwindigkeit $v(t)$ gesucht wird, müssen wir die Formel der Beschleunigung $a(t)$ einmal integrieren. Wir setzen $5.5$ (Dies entnehmen wir aus der Angabe) für $a(t)$ ein und berechnen $v(t)$. Außerdem ist anzumerken, dass die Integrationskonstante $c=v_0$ wegfällt, da unsere Anfangsgeschwindigkeit (Geschwindigkeit zum Zeitpunkt $t=0$) $0$ beträgt und damit $v(0)=0$ gelten muss.
</div>
</div>

$$v(t)=\int a(t) \cdot dt$$
$$v(t)=\int 5.5 \cdot dt$$
$$v(t)=5.5 \cdot t + v_0$$
$$v(t)=5.5 \cdot t$$

'''Antwort:''' Die Geschwindigkeitsfunktion lautet $v(t)=5.5 \cdot t$.

b) Bestimmen Sie mithilfe von $v$ die Wegfunktion $s$, die den nach $t$ Sekunden zurückgelegten Weg angibt.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Tipp zur Berechnung: </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Da die Funktion des Weges $s$ gesucht wird, müssen wir die Formel der Geschwindigkeit $v(t)$ einmal integrieren. Wir setzen $5.5t$ (dies entnehmen wir aus dem Ergebnis von Aufgabe a) für $v(t)$ ein und berechnen so unser Ergebnis für $s(t)$. Außerdem ist anzumerken, dass die Integrationskonstante $c=s_0$ wegfällt, da unsere zurückgelegte Strecke zu Beginn $0$ ist.
</div>
</div>

$$s(t)=\int v(t) \cdot dt$$
$$s(t)=\int 5.5t \cdot dt$$
$$s(t)=5.5 \cdot \frac{t^2}{2} +c$$
$$s(t)=2.75 \cdot t^2$$

'''Antwort:''' Die Funktionsgleichung lautet $s(t)=2.75 \cdot t^2$.

c) $180$ Sekunden nach dem Start sind die Feststoffbooster ausgebrannt und werden abgesprengt (Quelle: Wikipedia).

Berechnen Sie ...

- ... die Höhe, in der sich die Rakete zu diesem Zeitpunkt befindet.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Tipp zur Berechnung: </span>
<div class="mw-collapsible-content"> $s(t)$ ist die Formel der zurückgelegten Strecke. Wir setzen daher in diese Formel für die Zeit $t=180$ ein, da wir wissen wollen, wo sich die Rakete nach $180$ Sekunden befindet.
</div>
</div>

$$s(t)=2.75 \cdot t^2$$
$$s(180)=2.75 \cdot 180^2$$
$$s(180)=89 100 m$$

'''Antwort:''' Nach $180$ Sekunden befindet sich unsere Rakete in einer Höhe von $89 100 m$.

[[Datei:Weg Geschwindigkeit Zeit Grafik (Christina Felder).png|miniatur|]]

[[Datei:C.png|miniatur|Das $k$ der Tangente gibt die Geschwindigkeit an.]]

- ... die Geschwindigkeit der Rakete zu diesem Zeitpunkt.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Tipp zur Berechnung: </span>
<div class="mw-collapsible-content"> $v(t)$ ist die Formel, die die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt $t$ angibt. Wir setzen daher in diese Formel für die Zeit $t=180$ ein, da wir wissen wollen, wie hoch die Geschwindigkeit der Rakete nach $180$ Sekunden ist. Das Ergebnis erscheint in $m/s$. Wenn das Ergebnis in $km/h$ gewünscht wäre, müsste man das Ergebnis noch mal $3.6$ rechnen.
</div>
</div>

$$v(t)=5.5 \cdot t$$
$$v(180)=5.5 \cdot 180$$
$$v(180)=990 m/s$$
<br />

$$990 m/s \rightarrow 3 564 km/h$$

'''Antwort:''' Nach $180$ Sekunden hat unsere Rakete eine Geschwindigkeit von $3 564 km/h$ erreicht.

d) In etwa $36\, 000 km$ Höhe erreicht die Rakete die geostationäre Umlaufbahn (Quelle: Wikipedia). Ermitteln Sie, nach wie vielen Sekunden diese Umlaufbahn erreicht wird.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Tipp zur Berechnung: </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Die Funktion $s$ beschreibt den zurückgelegten Weg. Wenn wir die unrealistische Annahme voraussetzen, dass die Rakete „kerzengerade“ emporsteigt, müssen wir somit berechnen, wann $s(t)=36\, 000 km=36\, 000\, 000 m$ beträgt.

Wichtig ist hierbei, dass $s(t)$ den Weg in $m$ angibt! </div>
</div>

$$36\, 000\, 000=2.75 \cdot t^2$$
$$t\approx 3618.14$$
<br />

'''Antwort:''' Nach ca. $3618.14$ Sekunden erreichen wir mit unserer Rakete die Höhe $36\, 000\, 000$ Meter.
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
}}
<br>

<!--
=== Beispiel 2 ===

Ein Raumschiff hat eine Beschleunigung von $7.94 m/s^2$. Gehen Sie im Folgenden davon aus, dass die Beschleunigung während der ganzen Fahrt konstant bleibt, d. h. $a(t)=7.94 m/s^2$.
Die Variable $t$ gibt die Zeit nach dem Start in Sekunden an.

a) Bestimmen Sie die Funktion $v(t)$, die die Geschwindigkeit der Rakete nach $t$ Sekunden angibt. (Anfangsfunktion $= 0$)

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Tipp zur Berechnung: </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Da die Funktion der Geschwindigkeit $v(t)$ gesucht wird, müssen wir die Formel der Beschleunigung $a(t)$ einmal integrieren. Wir setzen $7.94$ (dies entnehmen wir aus der Angabe) für $a(t)$ ein und berechnen so unser Ergebnis für $v(t)$. Außerdem ist anzumerken, dass $c$ wegfällt, da unsere Anfangsgeschwindigkeit (Geschwindigkeit zum Zeitpunkt $t=0$) $0$ beträgt und dadurch $c$ nach dem integrieren wegfällt.
</div>
</div>

$$v(t)=\int a(t) \cdot dt$$
$$v(t)=\int 7.94 \cdot dt$$
$$v(t)=7.94 \cdot t (+ c)$$
$$v(t)=7.94 \cdot t$$

'''Antwort:''' Die Funktion lautet $$v(t)=7.94 \cdot t$$.

b) Bestimmen Sie mithilfe der Geschwindigkeitsfunktion $v(t)$ die Funktion $s(t)$, die den nach $t$ Sekunden zurückgelegten Weg angibt.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Tipp zur Berechnung: </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Da die Funktion des Weges $s(t)$ gesucht wird, müssen wir die Formel der Geschwindigkeit $v(t)$ einmal integrieren. Wir setzen $7.94$ (dies entnehmen wir aus dem Ergebnis, der oberen Aufgabe) für $v(t)$ ein und berechnen so unser Ergebnis für $s(t)$. Außerdem ist anzumerken, dass $c$ wieder wegfällt, da unsere Anfangsgeschwindigkeit (Geschwindigkeit zum Zeitpunkt $t=0$) $0$ beträgt und dadurch $c$ nach dem Integrieren wegfällt.
</div>
</div>

$$v(t)= 7.94 \cdot t (+c)$$
$$s(t)=\int 7.94 \cdot dt$$
$$s(t)=\int 7.94 \cdot dt (+ c)$$
$$s(t)=7.94 (t^2)/2 + c \cdot t$$
$$s(t)=3.97 \cdot t^2 (+ c \cdot t)$$

'''Antwort:''' Die Funktion lautet: $$s(t)=3.97 \cdot t^2 (+ c \cdot t)$$

c) Berechnen Sie ...

- ... die zurückgelegte Distanz nach $300$ Sekunden.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Tipp zur Berechnung: </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Da wir ermitteln wollen, wie viele Meter wir nach $300$ Sekunden zurückgelegt haben, verwenden wir die Funktion des Weges $s(t)$. Für unsere Zeit setzen wir $300$ Sekunden ein. Außerdem ist anzumerken, dass $c$ wieder wegfällt, da unsere Anfangsgeschwindigkeit (Geschwindigkeit zum Zeitpunkt $t=0$) $0$ ist.
</div>
</div>

$$s(300)= 3.9t \cdot 300^2 (+c \cdot t)$$
$$s(300)= 357 300 m$$

- ... die Geschwindigkeit zu diesem Zeitpunkt.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Tipp zur Berechnung: </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Da wir ermitteln wollen, wie hoch die Geschwindigkeit nach $300$ Sekunden ist, verwenden wir die Funktion der Geschwindigkeit $v(t)$. Für unsere Zeit setzen wir daher $300$ Sekunden ein. Außerdem ist anzumerken, dass $c$ wieder wegfällt, da unsere Anfangsgeschwindigkeit (Geschwindigkeit zum Zeitpunkt $t=0$) $0$ ist.
</div>
</div>

$$v(300)= 7.94 \cdot 300 (+c)$$
$$v(300)= 2 382 m/s$$

$2 382 m/s \rightarrow 661.67 km/h$

d) Nach $2 000 km$ erreicht das Raumschiff den Mars. Ermitteln Sie, nach wie vielen Sekunden das Raumschiff den Mars erreicht.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Tipp zur Berechnung: </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Da wir ermitteln wollen, nach wie vielen Sekunden das Raumschiff den Mars erreicht, verwenden wir die Funktion des Weges $s(t)$. Für unseren Weg setzen wir daher $2 000 m$ ein (Wir rechnen zuvor noch $km$ in $m$ um, da wir die Zeit in Sekunden angegeben haben wollen.).
</div>
</div>

$$2 000 000=3.97 \cdot t^2$$
$$t = 709.77 Sek.$$

$709.77 s \rightarrow 11.83 min$

<br />

=== Weitere Beispiele ===

*[http://www.brinkmann-du.de/physik/ph_aufgaben/phob_a02/phob_a02.htm Beispiele mit Lösungen von brinkmann-du]
*[http://learningapps.org/watch?v=per6zao0n01 Ordne die Ableitungen der richtigen Stammfunktion zu.]

MediaWiki:Common.css

2021-06-18T10:45:59Z

Simon.Schnetzer:

/* Das folgende CSS wird für alle Benutzeroberflächen geladen. */

/* viele Tipps finden sich auf: https://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ */

/* erste Überschrift soll nach oben mehr Platz bieten */
.firstHeading {margin-top:0.5em;}

/* Sidebar verschwindet für alle (bei angemeldeten User: siehe MediaWiki:Sidebar/Group:user) */
#column-content {margin: 0 0 .6em 0;}
#content {margin: 5.5em 0 0 0;}
.generated-sidebar, #p-lang, #p-tb {display:none;
}
#p-cactions { left: .1em; }
#mw_content { margin-left:0.2em; }

/* Ausblenden der Blue-Spice-Erweiterung */

#p-Fokus { display:none!important; }

/* Im Header verschwinden die Tabs -> siehe aber auch noch: Group-User.css (Info unter https://www.mediawiki.org/wiki/Manual:FAQ#How_do_I_add.2Fremove_tabs_throughout_my_wiki.3F */

#ca-watch {display:none !important;}
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#ca-viewsource { display:none!important; }
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#pt-watchlist { display:none !important; }
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/* Toolbox anpassen (siehe auch: Group-bureaucrats) */
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/*Cluster-markierungen für Teil B */

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/*=================================================================*/
/* Hauptseite */

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li.contentbox ul li:hover > a {color:white; background-color:#63B8EE;} /* vorher war #00bbff */

/*############### Buttons ######################### */
/* siehe auch: http://www.cssportal.com/css3-button-generator/ */

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ul.buttonliste {
overflow: hidden;
display: inline; padding-bottom:1em; padding-top:2em; margin-bottom:0;
}

ul.buttonliste li {
height: 1.5em; width: 8em; /* Breite der Buttons */
display: inline; float:left;
list-style-type: none; padding-right: 20px; margin-bottom:2em;
}

.buttonli a, .buttonli a:visited {text-decoration:none;
display:block;
color:white;
width:100%;
height:100%;
padding:0; margin:0;
opacitiy:100%;
z-index:3;}

li.buttonli div a {padding:0.2em 0em;} /* dies hier sorgt dafür, dass button-links größer sind */

/*#####################################################################################################################
############################################################################################ */

/* Breadcrumbs (zurückgelegte Seiten) werden nicht am Anfang angezeigt */
.page-Hauptseite div#breadcrumbs {
display: none;
}

/* Buttons für "nächstes Tab" */

.testbutton{
text-align: center;
font-family: arial;
font-weight: bold;
color: #FFFFFF !important;
font-size: 15px;
text-shadow: 1px 1px 0px #7CACDE;
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padding: 0; width:100%;
-moz-border-radius: 10px;
-webkit-border-radius: 10px;
border-radius: 10px;
border: 1.5px solid #3866A3;
background: #63B8EE;
background: linear-gradient(top, #63B8EE, #468CCF);
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}

#ext-gen1018 .mw-content-ltr table {
min-width:100%;}

.testbutton:hover {
color: #14396A !important;
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background: -webkit-gradient(linear, left top, left bottom, from(#468CCF), to(#63B8EE));
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}
/*#####################################################################################################################
############################################################################################ */

.bild{ /* nicht überlappende Bilder zu Text */
overflow:hidden;

}

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