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Zins- und Zinseszinsrechnung

2017-02-22T22:01:41Z

Raum: zu vorheriger Änderung noch Prozentzeichen und einmal Index ergänzt

==Warum gibt es Zinsen?==
# Leihgebür
#: Wenn jemand einem anderen Geld verleiht, verlangt er dafür eine Leihgebür in Form von Zinsen
# Risiko-Gebühr
#: Jeder, der Geld verleiht, geht das Risiko ein, dass er das Geld nicht wieder zurückbekommt. Die Zinsen können hierbei als Absicherung gesehen werden. Je höher das Risiko eines Verlusts, desto größer sind auch die Zinsen.

==Begriffe==
* $K_0 \dots $ Anfangskapital (=Kapital am Anfang/ im Jahre 0)
* $n \dots $ Anzahl der Verzinsungen
* $K_n \dots $ Kapital nach n Jahren
* $i \dots $ Zinssatz (z.B. 4 % p.a.)
* $i_{eff}\dots $ effektiver Zinssatz = Zinssatz mit abgezogener Kapitalertragssteuer (KESt). Im Allgemeinen gilt bei 25 % KESt: $$ i_{eff}=i\cdot 0.75$$ (z.B. i=4 % $ \rightarrow i_{eff}=4\cdot 0.75=3$ %)
* $r\dots $ Aufzinsungsfaktor ($r=1+\frac{i}{100})$

<br /><br />

==Einfache Zinsen==
===Formel für die einfachen Zinsen===
{| border="1" align="center"
|-
!|Formel für die einfache Verzinsung
|-
||Sei n die Veranlagungsdauer '''in Jahren''', dann gilt:
$$ K_n=K_0 + n\cdot \frac{i_{eff}}{100} \cdot K_0 $$und vereinfacht:$$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i_{eff}}{100} ) $$

|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width: 800px;">
'''Herleitung der Formel für die einfache Verzinsung'''<div class="mw-collapsible-content"></div>
Anna hat $K_0$ Euro auf der Bank bei einer jährichen Verzinsung von i % p.a. (per anno = pro Jahr). Somit erhält sie nach einem Jahr zusätzlich "i % von $K_0$".Das Kapital nach einem Jahr beträgt dann
$$K_1=K_0+\textrm{ i % von } K_0$$
$$K_1=K_0+\frac{i}{100}\cdot K_0$$
$$K_1=K_0\cdot (1+\frac{i}{100} )$$

Nun will Anna das Geld aber schon nach 7 Monaten abheben. Da die Bank ihr 5 % für das ganze Jahr versprochen hat, Anna das Geld aber bereits nach $\frac{7}{12}$ des Jahres abhebt, erhält sie nur $\frac{7}{12}$ der Zinsen.
Damit ergibt sich:
$$K_{ \frac{7}{12}}=K_0+\frac{7}{12}\textrm{ der i }\% \textrm{ von } K_0$$
$$K_{\frac{7}{12}}=K_0 + \frac{7}{12} \frac{i}{100}\cdot K_0$$
$$K_{\frac{7}{12}}=K_0\cdot (1+ \frac{i}{100} \cdot \frac{7}{12})$$

'''Verallgemeinerung:'''

Angenommen das Kapital liegt nicht $\frac{7}{12})$ des Jahres auf dem Konto, sondern $n$, wobei $n$ die Zeit in Jahren angibt, so gilt:
$$K_{\frac{7}{12}}=K_0\cdot (1+ \frac{i}{100} \cdot n)$$
</div>

{{Vorlage:Merke|1=Die einfachen Zinsen werden verwendet, wenn ...

: '''Variante 1:''' ... VOR dem Ende der Zinsperiode das Geld abgehoben wird (z.B.: es wird einmal im Jahr verzinst, aber das Geld wir bereits nach 7 Monaten abgehoben.)
: ODER
: '''Variante 2:'''... alle Zinsen erst am Ende der Laufzeit ausbezahlt werden, wodurch kein [[Zins- und Zinseszinsrechnung#Zinseszinsen|Zinseszinseffekt]] entsteht.
Bei den einfachen Zinsen handelt es sich um ein [[Wachstums- und Zerfallsprozesse#Definition und Verwendung|lineares Wachstum]]}}

<br />
{{Vorlage:Beispiel|1='''Variante 1: Kapital wird vor dem Ende der Zinsperiode abgehoben'''

€ 30 Euro werden mit einem effektiven Zinssatz von 5 % p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst. Wie hoch ist das Kapital nach 9 Monaten.

2=Lösung:

* $K_0 =30 $
* $n = \frac{9}{12} $
* $K_{\frac{9}{12} } = $?
* $i_{eff} = 5$ %

<br />"" />
<br />
$$ K_{\frac{9}{12} }=30\cdot (1+\frac{5}{100}\cdot \frac{9}{12} ) $$
$$ \underline{\underline{K_1 = 31.13} } $$
<br />
<br />
Antwort: Nach 9 Monaten beträgt das Endkapital € 31.13.}}
<br />
<br />
<br />
{{Vorlage:Beispiel|1

'''Variante 2: Zinsen werden erst am Ende der Laufzeit ausbezahlt'''

€ 30 sollen 4 Jahre lang mit effektiv 5 % p.a. '''einfach''' verzinst werden. Wie hoch ist das Endkapital? ('''einfach''' bedeutet hier: die Zinsen werden erst am Ende der 4 Jahre auf das Konto überwiesen)

2= Lösung

* $K_0=30$
* $K_n=$ ?
* $i_{eff}=5$ %
* $n=4$

<br />
<br />
$$ K_n=K_0\cdot (1+\frac{i_{eff} }{100}\cdot n$$
$$ K_4 = 30 \cdot (1+\frac{5}{100} \cdot 4)$$
$$ K_4=36$$
$$ \underline{\underline{K_n=36} }$$
<br />
Antwort: Nach 4 Jahren beträgt das Kapital € 36.
}}

===Musterbeispiel für die einfache Verzinsung===
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width: 800px;">
'''Aufgabe:'''
Ein Kapital von € 75 wird 4 Monate bei einem Zinssatz von 4 % p.a. veranlagt. Bestimme die Höhe des Kapitals nach der Veranlagungsdauer!

<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung'''
* $K_0=75$
* $n=4 \textrm{ Monate }= \frac{4}{12}$ Jahre.
* $K_\frac{4}{12}=$?
* $i=4$ %

<br />
$$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i}{100} ) $$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{4}{12}\cdot \frac{4}{100}$$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{25}$$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{75}) $$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (\frac{76}{75}) $$
$$ K_\frac{4}{12}=76 $$
<br />
<br />
'''Antwort:''' Nach 4 Monaten hat das Kapital eine Höhe von € 76.
</div>
</div>
<br />
<br />

==Zinseszinsen==
===Zinseszinsformel===
Bei einem Sparbuch erhält man für gewöhnlich jährlich Zinsen. Diese Zinsen werden im Anschluss wieder auf das Sparbuch gelegt.
Im nächsten Jahr erhält man nun nicht nur Zinsen auf das ursprüngliche Kapital, sondern auch auf die Zinsen des letzten Jahrens - dies nennt man die ''Zinseszinsen''.

Video: Herleitung der ZineszinsformelQSNXWUQ8wRA}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width: 800px;">
'''Formale Herleitung'''<div class="mw-collapsible-content"></div>
# $K_1=K_0+K_0\cdot \frac{i_{eff}}{100}=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})$
# $K_2=\underbrace{K_1\cdot}_{K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})} (1+ \frac{i_{eff}}{100})=(K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100}))\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^2$
# $K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$

</div>

{| border="1" align="center"
|-
!|Formel für die einfache Verzinsung
|-
||Sei n die Veranlagungsdauer, dann gilt:
|-
||$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
|}

{{Vorlage:Merke| 1=Die Zinseszinsformel wird verwendet, wenn über '''mehrere volle Jahre''' verzinst wird
}}

===Musterbeispiele===
* '''$K_n$ gefragt'''

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width: 800px;">
Auf einem Sparbuch werden € 800 mit 2,5 % p.a. verzinst. Wie hoch ist das Guthaben nach 2 Jahren, wenn die KESt noch abgezogen werden muss?<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=800$
:* $n=2$
:* $i=2.5\ \% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\ \%$
:* $K_2=$?
<br />
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ K_n=800\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^2$$$$ \underline{\underline{K_n=830.28}}$$

</div>
</div>
* '''$K_0$ gefragt'''

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width: 800px;">
Welcher Betrag muss angespart werden, damit man nach 3 Jahren bei einem Zinssatz von 2,5 % p.a. über ein Guthaben von € 1500 verfügt, wenn die KESt zu berücksichtigen ist?

<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=$?
:* $n=3$
:* $i=2.5 \% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875 \%$
:* $K_3=1500$
<br />$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$$$ 1500=K_0\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^3 $$
$$ \frac{1500}{(1+ \frac{1.875}{100})^3}=K_0$$
$$ \underline{\underline{K_0=1418.69}} $$

</div>
</div>
* '''$n$ gefragt'''

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width: 800px;">
Wie viele volle Jahre muss ein Kapital von € 100 angespart werden, um bei einem Zinssatz von 2,5 % p.a. bei Berücksichtigung der KESt über ein Guthaben von mehr als € 200 zu verfügen?
''Siehe hier auch [[Wachstums- und Zerfallsprozesse#Verdoppelungszeit|Verdoppelungszeit]]''

<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=100$
:* $n=?$
:* $i=2.5 \% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875 \%$
:* $K_n=200$
<br />$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$$$ 200=100\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^n \ \ |:100$$
$$ 2= (1+ \frac{1.875}{100})^n \ \ |\log() $$
$$ \log{2}=n\cdot \log{(1+ \frac{1.875}{100})} \ \ |:\log{(1+ \frac{1.875}{100})} $$
$$\frac{\log{2}}{\log{(1+ \frac{1.875}{100})}}=n $$
$$ \underline{\underline{n = 37.31}} $$
Antwort: Nach 38 vollen Jahren sind aus den € 100 mehr als € 200 geworden.

</div>
</div>
* '''$i$ gefragt'''

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width: 800px;">
Mit welchem Zinssatz muss ein Sparbuch verzinst werden, damit ein Kapital von anfangs € 100 in 7 Jahren auf € 118.87 anwächst.

<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=100$?
:* $n=7$
:* $i=? \%$
:* $K_7=118.87$
<br />$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$$$ 118.87=100\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^7 \ \ |:100 \textrm{ und } |\sqrt[7]{ } $$
$$ \sqrt[7]{\frac{118.87}{100}}=1+ \frac{i_{eff}}{100}\ \ |-1 \textrm{ und } | \cdot 100 $$
$$ (\sqrt[7]{\frac{118.87}{100}}-1)\cdot 100 = i_{eff} $$
$$ \underline{\underline{i_{eff}=2.5}} $$
Antwort: Der effektive Zinssatz muss bei $i_{eff}=2.5$ % p.a. Somit muss der Zinssatz der Bank bei $i=\frac{i_{eff}}{0.75}=\frac{2.5}{0.75}=3.33$ % p.a. liegen.

</div>
</div>

----

===Aufzinsungsfaktor===
Der Term$$ r=(1+\frac{i_{eff} }{100}) $$wird als '''Aufzinsungsfaktor''' bezeichnet. Damit vereinfacht sich die Zinseszinsformel zu:

{| border="1" align="center"
|-
!|Zinseszinsformel
|-
||Sei n die Veranlagungsdauer, dann gilt:

$$ K_n=K_0\cdot r^n$$

|}

{{Vorlage:Merke|1= $ $

* Um von $K_0$ zu $K_n$ zu gelangen, muss n-mal mit r "aufgezinst" (=multipliziert) werden.

* Um umgekehrt von $K_n$ zu $K_0$ zu gelangen, muss n-mal mit r "abgezinst" (=dividiert) werden.}}

{| border="1" cellpadding="10" align="center"
|-
| class="bs-ve-image thumb center" style="margin: 0.5em auto 0.8em; padding: 3px; cursor: pointer; width: 500px; border: 1px solid #cccccc; float: none; clear: none; display: block;" data-bs-imagename="Datei:Aufzinsung.png" data-bs-thumb="true" data-bs-thumbsize="300" data-bs-right="false" data-bs-left="false" data-bs-center="true" data-bs-align="center" data-bs-none="false" data-bs-frameless="false" data-bs-frame="false" data-bs-border="false" data-bs-upright="false" data-bs-alt="" data-bs-caption="Beispiel für eine 4-jährige Aufzinsung" data-bs-link="false" data-bs-sizewidth="500" data-bs-sizeheight="false" data-bs-wikitext=""|thumb>500px|center|Beispiel für eine 4-jährige Aufzinsung"|
| class="bs-ve-image thumb center" style="margin: 0.5em auto 0.8em; padding: 3px; cursor: pointer; width: 500px; border: 1px solid #cccccc; float: none; clear: none; display: block;" data-bs-imagename="Datei:Abzinsung.png" data-bs-thumb="true" data-bs-thumbsize="300" data-bs-right="false" data-bs-left="false" data-bs-center="true" data-bs-align="center" data-bs-none="false" data-bs-frameless="false" data-bs-frame="false" data-bs-border="false" data-bs-upright="false" data-bs-alt="" data-bs-caption="Beispiel für eine 4-jährige Abzinsung" data-bs-link="false" data-bs-sizewidth="500" data-bs-sizeheight="false" data-bs-wikitext=""|thumb>500px|center|Beispiel für eine 4-jährige Abzinsung"|
|}
<br /><br /><br />

==Unterjährige Verzinsung==
Nun betrachten wir auch Verzinsungen, die mehrmals im Jahr ("unterjährig") durchgeführt werden.

'''Begriffe:'''
Sei $m$ die Anzahl der Verzinsungen in einem Jahr, dann ist

* m=2: halbjährige Verzinsung und $i_2$ % p.s. (pro Semester) der halbjährige Zinssatz
* m=4: vierteljährliche Verzinsung und $i_4$ % p.q. (pro Quartal) der Quartalszinssatz
* m=12: monatliche Verzinsung und $i_{12}$ % p.m. (pro Monat) der Monatszinssatz

Es gibt nun zwei Arten, den unterjährigen Zinssatz zu bestimmen:

[[Datei:Unterjährige Zinssätze.png|thumb|center|750px]]

===a) nomineller Jahreszins und relativer unterjähriger Zinssatz $i_m=\frac{i}{m}$===
Der relative unterjährige Zinssatz wird verwendet, wenn der '''''nominelle''''' Jahreszins gegeben ist, aber m'''ehrmals im Jahr verzinst wird'''

{{Vorlage:Definition|1=Sei i der nominelle Jahreszinssatz. Dann berechnet sich der nominelle unterjährige Zinssatz $i_m$:
$$ i_m=\frac{i}{m} $$ }}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width: 800px;">'''Beispiel:'''
Der Nominalzinssatz beträgt $i=8$ % p.a.. Berechne den Quartalszinssatz $i_4$

<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung''': $i=m\cdot i_m \rightarrow 8\textrm{ %}=4\cdot i_4 \rightarrow \frac{8\textrm{ %}}{4}=i_4 \rightarrow 2\textrm{ %}=i_4$</div>
<div class="mw-collapsible-content"></div>
<div class="mw-collapsible-content">'''Antwort''': Der Quartalszinssatz beträgt 2 % p.q.

</div>
</div>
<br />
<br />
<br />
{{Vorlage:Merke|1= Beim Verzinsen mit dem relativen unterjährigen Zinssatz erhält man über das ganze Jahr aufgrund des Zinseszinseffektes schlussendlich mehr als bei der einmaligen Verzinsung mit dem nominellen Jahreszinssatz!}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width: 800px;">

'''Das Problem mit dem nominellen Zinssatz ODER Warum gibt es den [[Zins- und Zinseszinsrechnung# | konformen Zinssatz]]'''

<div class="mw-collapsible-content">Die Methode mithilfe des nominellen Jahreszinssatzes liefert aber einen verfälschten Zinssatz. Dies soll an einem Beispiel genauer erklärt werden:

'''Problem:'''
Nehmen wir an, wir verzinsen € 100 mit einem nominellen Jahreszinssatz von $i=4$ %.
Nun fragt uns der Bankberater, ob wir einmal im Jahr verzinsen wollen mit $i=4$ %p.a., oder zweimal (d.h. halbjährlich) mit dem Halbjahreszinssatz von $i_2=\frac{4}{2}=2$ %p.s.
Für was sollen wir uns entscheiden?

'''Antwort''':

# Bei der jährlichen Verzinsung beträgt $K_1=104$ Euro.
# Aber bei der halbjährlichen Verzinsung erhalten wir:

$$K_1=K_0\cdot (1+\frac{2}{100})^2$$$$K_1=104.04$$

D.h. Mit der halbjährlichen Verzinsung würden wir 4 Cent mehr erhalten. Würde man sogar monatlich verzinsen, so erhielte man nach einem Jahr $K_1=100\cdot (1+\frac{i_12}{100})^{12}=104.07$ Euro, also 7 Cent mehr. Dies schaut zwar nicht nach viel aus. Wenn die Bank aber jedem seiner Kunden 4 oder 7 Cent mehr gibt und jeder Sparer nicht nur € 100, sondern sogar € 1000 oder noch mehr auf der Bank hat, wird dieser Betrag schnell sehr groß.

Aus diesem Grund gibt es eine Methode, um den '''passenden (=konformen) unterjährigen Zinssatz''' zu berechnen.

</div>
</div>
<br />
<br />

----

===b) der konforme (äquivalente) Zinssatz===
Der konforme Zinsssatz wird auch als '''gleichwertiger Zinssatz''' oder äquivalenter (=lat. gleichwertig) Zinssatz bezeichnet.Er wird verwendet, wenn während '''einer Zinsperiode mehrmals eingezahlt wird''' (z.B. jährliche Verzinsung, aber monatliche Einzahlungen)

{{Vorlage:Definition|1='''Äquivalenter Aufzinsungsfaktor'''

Sei $r_1$ der Aufzinsungsfaktor bei jährlicher Verzinsung und $r_m$ der Aufzinsungsfaktor bei m-maliger Verzinsung innerhalb eines Jahres, dann muss folgende Gleichung gelten, damit beide Aufzinsungsfaktoren gleichwertig (konform) sind:
$$r_1=(r_m)^m$$
bzw.
$$ \sqrt[m]{r_1}=r_m $$ }}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width: 800px;">

'''Herleitung und Erklärung'''

<div class="mw-collapsible-content">

Es soll gelten, dass der jährliche Zinssatz gleich hoch ist wie der m-mal angewandte unterjährige ZS (insgesamt sollen in einem Jahr gleich viele Zinsen zusammenkommen)

$$K_0\cdot r_1 = K_0\cdot (r_m)^m$$
Kürzt man $K_0$, so erhält man:
$$r_1=(r_m)^m$$
bzw.
$$ \sqrt[m]{r_1}=r_m $$

</div>
</div>

Der '''konforme''' (=äquivalente) unterjährige Zinssatz $i_m$ kann dann mit der Gleichung

{| border="1" align="center"
|-
||$$r_m=1+\frac{i_m}{100}$$
|}
bestimmt werden.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width: 800px;">
'''Musterbeispiel 1:''' Ein Kredit wird mit 5 % p.a. verzinst. Wenn nun die ganze Schuld bereits nach einem Quartal beglichen wird, muss der konforme Quartalszinssatz berechnet werden. Bestimme diesen.<div class="mw-collapsible-content"></div>
'''Lösung''':$i_1=5$ % p.a. $\rightarrow r_{1}=1.05 \rightarrow (r_{4})^{4}=r_1 \rightarrow r_4=\sqrt[4]{r_1}=1.0123 \rightarrow i_4=1.23$ % p.q.'''Antwort''': Der Quartalszinssatz beträgt 1.23 % p.a.

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width: 800px;">
'''Musterbeispiel 2:''' Ein Kredit wird monatlich mit 2 % p.m. verzinst. Bestimme den konformen Jahreszinssatz.<div class="mw-collapsible-content"></div>
'''Lösung''':$i_{12}=2$ % p.m. $\rightarrow r_{12}=1.02 \rightarrow r_1=(r_{12})^{12}=1.2682 \rightarrow i_1=26.82$ % p.a.'''Antwort''': Die jährliche Verzinsung beträgt 26.82 % p.a.

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width: 800px;">

'''Musterbeispiel 3: relativer/nomineller Zinssatz und konformer Zinssatz gemeinsam:'''

Ein Kredit wird nominell mit 4 % p.a. quartalsmäßig verzinst. Da die Raten monatlich eingezahlt werden, muss der konforme Monatszinssatz bestimmt werden. Berechnen Sie diesen.

<div class="mw-collapsible-content">

'''Lösung'''
'''1. Schritt''': Zuerst muss mithilfe des nominellen Jahreszinssatzes von 4 % p.a. der relative Quartalszinssatz bestimmt werden:
$$ i_4=\frac{i}{4}=\frac{4 \textrm{ %}}{4}=1 \textrm{ % p.q.} $$

'''2. Schritt:''' Anschließend wird mithilfe des Quartalszinssatzes der konforme Monatszinssatz berechnet.
$$ (r_{12})^3=r_4 $$
$$\textrm{ Hinweis: Wenn man drei Monate verzinst (=}(r_{12})^3 \textrm{), so verzinst man insgesamt ein ganzes Quartal (=}r_4 ) $$
$$ r_{12}=\sqrt[3]{1.01} $$
$$ r_{12}=1.003322 \rightarrow i_{12}=0.003322 \textrm{ % p.m.} $$
A: Der konforme Monatszinssatz beträgt 0.3322 % p.m.

</div>
</div>
<br />

Beispiel mit 2 unterschiedlichen Zinssätzen
Quiz - was nehme ich wann?

==Der durchnittliche Zinssatz - geometrisches Mittel==
Im Laufe der Jahre kann sich ein Zinssatz immer wieder ändern. So kann er einmal größer werden, dann wieder kleiner, usw.Hier ist es natürlich interessant zu wissen, wie groß der durchschnittliche Zinssatz $\bar{i}$ über einen bestimmten Zeitabschnitt ist.

{{Vorlage:Merke|1=Im folgenden seien $r_1,\ r_2, \ r_3,\ \dots , \ r_n$ die Aufzinsungsfaktoren für die Jahre 1 bis n. Dann gilt für den durchschnittlichen Aufzinsungsfaktor $\bar{r}$ und das Kapital nach n Jahren:

$$K_0\cdot r_1\cdot r_2\cdot r_3 \cdots r_n = K_0 \cdot \left(\bar{r}\right)^n$$
$$ r_1 \cdot r_2\cdot r_3 \cdots r_n = \cdot \left(\bar{r}\right)^n $$
$$ \sqrt[n]{r_1 \cdot r_2\cdot r_3 \cdots r_n}=\bar{r} $$
Mithilfe des durchschnittlichen Aufzinsungsfaktors kann dann einfach der durchschnittliche Zinssatz $\bar{i}$ bestimmt werden.
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Ein Kapital von € 100 wird im ersten Jahr mit 2 % p.a., im zweiten Jahr mit 4 % p.a. und im dritten Jahr mit 3.5 % p.a. verzinst.

Berechne jenen durchschnittlichen Zinssatz $\bar{i}$, mit dem das Kapital über die drei Jahre konstant verzinst werden hätte können.

2=

Die Formel für den Endwert nach drei Jahren ist
$$K_3=100\cdot 1.02\cdot 1.04\cdot 1.035=100\cdot \left(\bar{r}\right)^3 $$
wobei $\bar{r}$ der durchschnittliche Aufzinsungsfaktor ist.
Somit gilt:
$$ 1.02\cdot 1.04\cdot 1.035=\left(\bar{r}\right)^3 $$
$$\sqrt[3]{1.02\cdot 1.04\cdot 1.035}=\bar{r}$$
$$ 1.0316 = \bar{r}$$
$$\bar{i}=3.16$$
Der das Kapital wird mit einem durchschnittlichen Zinssatz von 3.16 % p.a. verzinst. }}

==Beispiele==
* [http://www.brinkmann-du.de/mathe/aufgabenportal/p0_zinseszins_01/p0_zinseszins_01.htm Aufgaben zur Zinseszinsformel von R. Brinkmann]
* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color: #ff3e96;"> ? </span>]] <span style="background-color: yellow;"> Wichtig! </span> [http://www.geogebratube.org/student/m79721 Übungs-Rechner zum konformen Zinssatz]
* Aufgaben zu allen Themen: siehe Trauner 2. Klasse, Buch S. 86-90

[[Kategorie:Finanzmathematik]]

Zins- und Zinseszinsrechnung

2017-02-22T21:44:15Z

Raum: 2 Schreibfehler ausgebessert (war Halbjahreszinssatz und durch 2 statt Quartalszinssatz und durch 4)

== Warum gibt es Zinsen? ==

#Leihgebür
#: Wenn jemand einem anderen Geld verleiht, verlangt er dafür eine Leihgebür in Form von Zinsen
# Risiko-Gebühr
#: Jeder, der Geld verleiht, geht das Risiko ein, dass er das Geld nicht wieder zurückbekommt. Die Zinsen können hierbei als Absicherung gesehen werden. Je höher das Risiko eines Verlusts, desto größer sind auch die Zinsen.

== Begriffe ==
* $K_0 \dots $ Anfangskapital (=Kapital am Anfang/ im Jahre 0)
* $n \dots $ Anzahl der Verzinsungen
* $K_n \dots $ Kapital nach n Jahren
* $i \dots $ Zinssatz (z.B. 4 % p.a.)
* $i_{eff}\dots $ effektiver Zinssatz = Zinssatz mit abgezogener Kapitalertragssteuer (KESt). Im Allgemeinen gilt bei 25 % KESt: $$ i_{eff}=i\cdot 0.75$$ (z.B. i=4 % $ \rightarrow i_{eff}=4\cdot 0.75=3$ %)
* $r\dots $ Aufzinsungsfaktor ($r=1+\frac{i}{100})$
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>

== Einfache Zinsen ==
=== Formel für die einfachen Zinsen ===
{| border="1" align="center"
!| Formel für die einfache Verzinsung
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer '''in Jahren''', dann gilt:
$$ K_n=K_0 + n\cdot \frac{i_{eff}}{100} \cdot K_0 $$
und vereinfacht:
$$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i_{eff}}{100} ) $$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Herleitung der Formel für die einfache Verzinsung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
Anna hat $K_0$ Euro auf der Bank bei einer jährichen Verzinsung von i % p.a. (per anno = pro Jahr). Somit erhält sie nach einem Jahr zusätzlich "i % von $K_0$".
Das Kapital nach einem Jahr beträgt dann
$$K_1=K_0+\textrm{ i % von } K_0$$
$$K_1=K_0+\frac{i}{100}\cdot K_0$$
$$K_1=K_0\cdot (1+\frac{i}{100} )$$

Nun will Anna das Geld aber schon nach 7 Monaten abheben. Da die Bank ihr 5 % für das ganze Jahr versprochen hat, Anna das Geld aber bereits nach $\frac{7}{12}$ des Jahres abhebt, erhält sie nur $\frac{7}{12}$ der Zinsen.
Damit ergibt sich:
$$K_{ \frac{7}{12}}=K_0+\frac{7}{12}\textrm{ der i }\% \textrm{ von } K_0$$
$$K_{\frac{7}{12}}=K_0 + \frac{7}{12} \frac{i}{100}\cdot K_0$$
$$K_{\frac{7}{12}}=K_0\cdot (1+ \frac{i}{100} \cdot \frac{7}{12})$$

'''Verallgemeinerung:'''

Angenommen das Kapital liegt nicht $\frac{7}{12})$ des Jahres auf dem Konto, sondern $n$, wobei $n$ die Zeit in Jahren angibt, so gilt:
$$K_{\frac{7}{12}}=K_0\cdot (1+ \frac{i}{100} \cdot n)$$
</div>
</div>

{{Vorlage:Merke|1=Die einfachen Zinsen werden verwendet, wenn ...

: '''Variante 1:''' ... VOR dem Ende der Zinsperiode das Geld abgehoben wird (z.B.: es wird einmal im Jahr verzinst, aber das Geld wir bereits nach 7 Monaten abgehoben.)

:ODER

: '''Variante 2:'''... alle Zinsen erst am Ende der Laufzeit ausbezahlt werden, wodurch kein [[Zins- und Zinseszinsrechnung#Zinseszinsen|Zinseszinseffekt]] entsteht.

Bei den einfachen Zinsen handelt es sich um ein [[Wachstums- und Zerfallsprozesse#Definition und Verwendung|lineares Wachstum]]
}}

<br>
{{Vorlage:Beispiel|1='''Variante 1: Kapital wird vor dem Ende der Zinsperiode abgehoben'''

€ 30 Euro werden mit einem effektiven Zinssatz von 5 % p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst. Wie hoch ist das Kapital nach 9 Monaten.
|2=Lösung:
* $K_0 =30 $
* $n = \frac{9}{12} $
* $K_{\frac{9}{12} } = $?
* $i_{eff} = 5$ %
<br>
<br>
$$ K_{\frac{9}{12} }=30\cdot (1+\frac{5}{100}\cdot \frac{9}{12} ) $$
$$ \underline{\underline{K_1 = 31.13} } $$
<br>
<br>
Antwort: Nach 9 Monaten beträgt das Endkapital € 31.13.}}
<br>
<br>
<br>
{{Vorlage:Beispiel|1=
'''Variante 2: Zinsen werden erst am Ende der Laufzeit ausbezahlt'''

€ 30 sollen 4 Jahre lang mit effektiv 5 % p.a. '''einfach''' verzinst werden. Wie hoch ist das Endkapital? ('''einfach''' bedeutet hier: die Zinsen werden erst am Ende der 4 Jahre auf das Konto überwiesen)
|2= Lösung
* $K_0=30$
* $K_n=$ ?
* $i_{eff}=5$ %
* $n=4$
<br>
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+\frac{i_{eff} }{100}\cdot n$$
$$ K_4 = 30 \cdot (1+\frac{5}{100} \cdot 4)$$
$$ K_4=36$$
$$ \underline{\underline{K_n=36} }$$
<br>
Antwort: Nach 4 Jahren beträgt das Kapital € 36.
}}
<br>

<br>
<br>

=== Musterbeispiel für die einfache Verzinsung ===
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Aufgabe:'''
Ein Kapital von € 75 wird 4 Monate bei einem Zinssatz von 4 % p.a. veranlagt. Bestimme die Höhe des Kapitals nach der Veranlagungsdauer! </span>
<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung'''
* $K_0=75$
* $n=4 \textrm{ Monate }= \frac{4}{12}$ Jahre.
* $K_\frac{4}{12}=$?
* $i=4$ %
<br>
$$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i}{100} ) $$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{4}{12}\cdot \frac{4}{100}$$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{25}$$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{75}) $$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (\frac{76}{75}) $$
$$ K_\frac{4}{12}=76 $$
<br>
<br>
'''Antwort:''' Nach 4 Monaten hat das Kapital eine Höhe von € 76.
</div>
</div>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>

== Zinseszinsen ==
=== Zinseszinsformel ===
Bei einem Sparbuch erhält man für gewöhnlich jährlich Zinsen. Diese Zinsen werden im Anschluss wieder auf das Sparbuch gelegt.
Im nächsten Jahr erhält man nun nicht nur Zinsen auf das ursprüngliche Kapital, sondern auch auf die Zinsen des letzten Jahrens - dies nennt man die ''Zinseszinsen''.

{| border="1" align="center"
!| Video: Herleitung der Zineszinsformel
|-
| {{#ev:youtube|QSNXWUQ8wRA}}
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Formale Herleitung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
# $K_1=K_0+K_0\cdot \frac{i_{eff}}{100}=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})$
# $K_2=\underbrace{K_1\cdot}_{K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})} (1+ \frac{i_{eff}}{100})=(K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100}))\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^2$
# $K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$
</div>
</div>

{| border="1" align="center"
!| Formel für die einfache Verzinsung
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer, dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
|}

{{Vorlage:Merke| 1=Die Zinseszinsformel wird verwendet, wenn über '''mehrere volle Jahre''' verzinst wird
}}

=== Musterbeispiele ===
* '''$K_n$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Auf einem Sparbuch werden € 800 mit 2,5 % p.a. verzinst. Wie hoch ist das Guthaben nach 2 Jahren, wenn die KESt noch abgezogen werden muss?
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=800$
:* $n=2$
:* $i=2.5\ \% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\ \%$
:* $K_2=$?
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ K_n=800\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^2$$
$$ \underline{\underline{K_n=830.28}}$$
</div>
</div>

* '''$K_0$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Welcher Betrag muss angespart werden, damit man nach 3 Jahren bei einem Zinssatz von 2,5 % p.a. über ein Guthaben von € 1500 verfügt, wenn die KESt zu berücksichtigen ist?
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=$?
:* $n=3$
:* $i=2.5 \% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875 \%$
:* $K_3=1500$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 1500=K_0\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^3 $$
$$ \frac{1500}{(1+ \frac{1.875}{100})^3}=K_0$$
$$ \underline{\underline{K_0=1418.69}} $$
</div>
</div>

* '''$n$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Wie viele volle Jahre muss ein Kapital von € 100 angespart werden, um bei einem Zinssatz von 2,5 % p.a. bei Berücksichtigung der KESt über ein Guthaben von mehr als € 200 zu verfügen?
''Siehe hier auch [[Wachstums- und Zerfallsprozesse#Verdoppelungszeit|Verdoppelungszeit]]''
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=100$
:* $n=?$
:* $i=2.5 \% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875 \%$
:* $K_n=200$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 200=100\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^n \ \ |:100$$
$$ 2= (1+ \frac{1.875}{100})^n \ \ |\log() $$
$$ \log{2}=n\cdot \log{(1+ \frac{1.875}{100})} \ \ |:\log{(1+ \frac{1.875}{100})} $$
$$\frac{\log{2}}{\log{(1+ \frac{1.875}{100})}}=n $$
$$ \underline{\underline{n = 37.31}} $$
Antwort: Nach 38 vollen Jahren sind aus den € 100 mehr als € 200 geworden.
</div>
</div>

* '''$i$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Mit welchem Zinssatz muss ein Sparbuch verzinst werden, damit ein Kapital von anfangs € 100 in 7 Jahren auf € 118.87 anwächst.
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=100$?
:* $n=7$
:* $i=? \%$
:* $K_7=118.87$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 118.87=100\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^7 \ \ |:100 \textrm{ und } |\sqrt[7]{ } $$
$$ \sqrt[7]{\frac{118.87}{100}}=1+ \frac{i_{eff}}{100}\ \ |-1 \textrm{ und } | \cdot 100 $$
$$ (\sqrt[7]{\frac{118.87}{100}}-1)\cdot 100 = i_{eff} $$
$$ \underline{\underline{i_{eff}=2.5}} $$
Antwort: Der effektive Zinssatz muss bei $i_{eff}=2.5$ % p.a. Somit muss der Zinssatz der Bank bei $i=\frac{i_{eff}}{0.75}=\frac{2.5}{0.75}=3.33$ % p.a. liegen.
</div>
</div>

----

=== Aufzinsungsfaktor ===

Der Term
$$ r=(1+\frac{i_{eff} }{100}) $$
wird als '''Aufzinsungsfaktor''' bezeichnet. Damit vereinfacht sich die Zinseszinsformel zu:
{| border="1" align="center"
!| Zinseszinsformel
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer, dann gilt:

$$ K_n=K_0\cdot r^n$$
|}

{{Vorlage:Merke|1= $ $
* Um von $K_0$ zu $K_n$ zu gelangen, muss n-mal mit r "aufgezinst" (=multipliziert) werden.

* Um umgekehrt von $K_n$ zu $K_0$ zu gelangen, muss n-mal mit r "abgezinst" (=dividiert) werden.}}

{| border="1" align="center" cellpadding="10"
| [[Datei:Aufzinsung.png|thumb|500px|center|Beispiel für eine 4-jährige Aufzinsung]]
| [[Datei:Abzinsung.png|thumb|500px|center|Beispiel für eine 4-jährige Abzinsung]]
|}
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>

== Unterjährige Verzinsung ==

Nun betrachten wir auch Verzinsungen, die mehrmals im Jahr ("unterjährig") durchgeführt werden.

'''Begriffe:'''
Sei $m$ die Anzahl der Verzinsungen in einem Jahr, dann ist
* m=2: halbjährige Verzinsung und $i_2$ % p.s. (pro Semester) der halbjährige Zinssatz
* m=4: vierteljährliche Verzinsung und $i_4$ % p.q. (pro Quartal) der Quartalszinssatz
* m=12: monatliche Verzinsung und $i_{12}$ % p.m. (pro Monat) der Monatszinssatz

Es gibt nun zwei Arten, den unterjährigen Zinssatz zu bestimmen:

[[Datei:Unterjährige Zinssätze.png|thumb|750px|center]]

=== a) nomineller Jahreszins und relativer unterjähriger Zinssatz $i_m=\frac{i}{m}$ ===

Der relative unterjährige Zinssatz wird verwendet, wenn der '''''nominelle'' Jahreszins gegeben''' ist, aber m'''ehrmals im Jahr verzinst wird'''

{{Vorlage:Definition|1=Sei i der nominelle Jahreszinssatz. Dann berechnet sich der nominelle unterjährige Zinssatz $i_m$:
$$ i_m=\frac{i}{m} $$ }}

<br>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0>
'''Beispiel:'''
Der Nominalzinssatz beträgt $i=8$ % p.a.. Berechne den Quartalszinssatz $i_4$ </span>
<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung''': $i=m\cdot i_m \rightarrow 8=4\cdot i_4 \rightarrow \frac{8}{4}=i_4 \rightarrow 2=i$

'''Antwort''': Der Quartalszinssatz beträgt 2 % p.q.
</div>
</div>
<br>
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<br>
{{Vorlage:Merke|1= Beim Verzinsen mit dem relativen unterjährigen Zinssatz erhält man über das ganze Jahr aufgrund des Zinseszinseffektes schlussendlich mehr als bei der einmaligen Verzinsung mit dem nominellen Jahreszinssatz!}}
<br>
<br>
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Das Problem mit dem nominellen Zinssatz ODER Warum gibt es den [[Zins- und Zinseszinsrechnung# | konformen Zinssatz]]''' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Die Methode mithilfe des nominellen Jahreszinssatzes liefert aber einen verfälschten Zinssatz. Dies soll an einem Beispiel genauer erklärt werden:

'''Problem:'''
Nehmen wir an, wir verzinsen € 100 mit einem nominellen Jahreszinssatz von $i=4$ %.
Nun fragt uns der Bankberater, ob wir einmal im Jahr verzinsen wollen mit $i=4$ %p.a., oder zweimal (d.h. halbjährlich) mit dem Halbjahreszinssatz von $i_2=\frac{4}{2}=2$ %p.s.
Für was sollen wir uns entscheiden?

'''Antwort''':
#Bei der jährlichen Verzinsung beträgt $K_1=104$ Euro.
#Aber bei der halbjährlichen Verzinsung erhalten wir:
$$K_1=K_0\cdot (1+\frac{2}{100})^2$$
$$K_1=104.04$$

D.h. Mit der halbjährlichen Verzinsung würden wir 4 Cent mehr erhalten. Würde man sogar monatlich verzinsen, so erhielte man nach einem Jahr $K_1=100\cdot (1+\frac{i_12}{100})^{12}=104.07$ Euro, also 7 Cent mehr. Dies schaut zwar nicht nach viel aus. Wenn die Bank aber jedem seiner Kunden 4 oder 7 Cent mehr gibt und jeder Sparer nicht nur € 100, sondern sogar € 1000 oder noch mehr auf der Bank hat, wird dieser Betrag schnell sehr groß.

Aus diesem Grund gibt es eine Methode, um den '''passenden (=konformen) unterjährigen Zinssatz''' zu berechnen.

</div>

</div>

<br>
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<br>
<br>
<br>

----

=== b) der konforme (äquivalente) Zinssatz ===

Der konforme Zinsssatz wird auch als '''gleichwertiger Zinssatz''' oder äquivalenter (=lat. gleichwertig) Zinssatz bezeichnet.
Er wird verwendet, wenn während '''einer Zinsperiode mehrmals eingezahlt wird''' (z.B. jährliche Verzinsung, aber monatliche Einzahlungen)

{{Vorlage:Definition|1='''Äquivalenter Aufzinsungsfaktor'''

Sei $r_1$ der Aufzinsungsfaktor bei jährlicher Verzinsung und $r_m$ der Aufzinsungsfaktor bei m-maliger Verzinsung innerhalb eines Jahres, dann muss folgende Gleichung gelten, damit beide Aufzinsungsfaktoren gleichwertig (konform) sind:
$$r_1=(r_m)^m$$
bzw.
$$ \sqrt[m]{r_1}=r_m $$ }}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Herleitung und Erklärung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Es soll gelten, dass der jährliche Zinssatz gleich hoch ist wie der m-mal angewandte unterjährige ZS (insgesamt sollen in einem Jahr gleich viele Zinsen zusammenkommen)

$$K_0\cdot r_1 = K_0\cdot (r_m)^m$$
Kürzt man $K_0$, so erhält man:
$$r_1=(r_m)^m$$
bzw.
$$ \sqrt[m]{r_1}=r_m $$

</div>

</div>

Der '''konforme''' (=äquivalente) unterjährige Zinssatz $i_m$ kann dann mit der Gleichung
{| border="1" align="center"
|-
|$$r_m=1+\frac{i_m}{100}$$
|}
bestimmt werden.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Musterbeispiel 1:''' Ein Kredit wird mit 5 % p.a. verzinst. Wenn nun die ganze Schuld bereits nach einem Quartal beglichen wird, muss der konforme Quartalszinssatz berechnet werden. Bestimme diesen. </span>
<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung''':
$i_1=5$ % p.a. $\rightarrow r_{1}=1.05 \rightarrow (r_{4})^{4}=r_1 \rightarrow r_4=\sqrt[4]{r_1}=1.0123 \rightarrow i_4=1.23$ % p.q.

'''Antwort''': Der Quartalszinssatz beträgt 1.23 % p.a.
</div>
</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Musterbeispiel 2:''' Ein Kredit wird monatlich mit 2 % p.m. verzinst. Bestimme den konformen Jahreszinssatz. </span>
<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung''':
$i_{12}=2$ % p.m. $\rightarrow r_{12}=1.02 \rightarrow r_1=(r_{12})^{12}=1.2682 \rightarrow i_1=26.82$ % p.a.

'''Antwort''': Die jährliche Verzinsung beträgt 26.82 % p.a.
</div>
</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Musterbeispiel 3: relativer/nomineller Zinssatz und konformer Zinssatz gemeinsam:'''

Ein Kredit wird nominell mit 4 % p.a. quartalsmäßig verzinst. Da die Raten monatlich eingezahlt werden, muss der konforme Monatszinssatz bestimmt werden. Berechnen Sie diesen. </span>

<div class="mw-collapsible-content">

'''Lösung'''
'''1. Schritt''': Zuerst muss mithilfe des nominellen Jahreszinssatzes von 4 % p.a. der relative Quartalszinssatz bestimmt werden:
$$ i_4=\frac{i}{4}=\frac{4 \textrm{ %}}{4}=1 \textrm{ % p.q.} $$

'''2. Schritt:''' Anschließend wird mithilfe des Quartalszinssatzes der konforme Monatszinssatz berechnet.
$$ (r_{12})^3=r_4 $$
$$\textrm{ Hinweis: Wenn man drei Monate verzinst (=}(r_{12})^3 \textrm{), so verzinst man insgesamt ein ganzes Quartal (=}r_4 ) $$
$$ r_{12}=\sqrt[3]{1.01} $$
$$ r_{12}=1.003322 \rightarrow i_{12}=0.003322 \textrm{ % p.m.} $$
A: Der konforme Monatszinssatz beträgt 0.3322 % p.m.

</div>

</div>

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Beispiel mit 2 unterschiedlichen Zinssätzen

Quiz - was nehme ich wann?

== Der durchnittliche Zinssatz - geometrisches Mittel ==
Im Laufe der Jahre kann sich ein Zinssatz immer wieder ändern. So kann er einmal größer werden, dann wieder kleiner, usw.
Hier ist es natürlich interessant zu wissen, wie groß der durchschnittliche Zinssatz $\bar{i}$ über einen bestimmten Zeitabschnitt ist.

{{Vorlage:Merke|1=
Im folgenden seien $r_1,\ r_2, \ r_3,\ \dots , \ r_n$ die Aufzinsungsfaktoren für die Jahre 1 bis n. Dann gilt für den durchschnittlichen Aufzinsungsfaktor $\bar{r}$ und das Kapital nach n Jahren:

$$K_0\cdot r_1\cdot r_2\cdot r_3 \cdots r_n = K_0 \cdot \left(\bar{r}\right)^n$$
$$ r_1 \cdot r_2\cdot r_3 \cdots r_n = \cdot \left(\bar{r}\right)^n $$
$$ \sqrt[n]{r_1 \cdot r_2\cdot r_3 \cdots r_n}=\bar{r} $$
Mithilfe des durchschnittlichen Aufzinsungsfaktors kann dann einfach der durchschnittliche Zinssatz $\bar{i}$ bestimmt werden.
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Ein Kapital von € 100 wird im ersten Jahr mit 2 % p.a., im zweiten Jahr mit 4 % p.a. und im dritten Jahr mit 3.5 % p.a. verzinst.

Berechne jenen durchschnittlichen Zinssatz $\bar{i}$, mit dem das Kapital über die drei Jahre konstant verzinst werden hätte können.
|2=
Die Formel für den Endwert nach drei Jahren ist
$$K_3=100\cdot 1.02\cdot 1.04\cdot 1.035=100\cdot \left(\bar{r}\right)^3 $$
wobei $\bar{r}$ der durchschnittliche Aufzinsungsfaktor ist.
Somit gilt:
$$ 1.02\cdot 1.04\cdot 1.035=\left(\bar{r}\right)^3 $$
$$\sqrt[3]{1.02\cdot 1.04\cdot 1.035}=\bar{r}$$
$$ 1.0316 = \bar{r}$$
$$\bar{i}=3.16$$
Der das Kapital wird mit einem durchschnittlichen Zinssatz von 3.16 % p.a. verzinst. }}

== Beispiele ==

* [http://www.brinkmann-du.de/mathe/aufgabenportal/p0_zinseszins_01/p0_zinseszins_01.htm Aufgaben zur Zinseszinsformel von R. Brinkmann]
* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]] <span style="background-color:yellow"> Wichtig! </span> [http://www.geogebratube.org/student/m79721 Übungs-Rechner zum konformen Zinssatz]
* Aufgaben zu allen Themen: siehe Trauner 2. Klasse, Buch S. 86-90

[[Kategorie:Finanzmathematik]]

Quadratische Funktionen

2016-03-17T15:08:17Z

Raum:

[[Datei:Parabeln.png | thumb| right| 450px | Abbildung zweier Parabeln samt zugehörigen Funktionsgleichungen]]

{{Vorlage:Definition|1=Die Funktionsgleichung einer quadratischen [[Funktionen|Funktion]] (auch [[Potenz- und Polynomfunktionen|Polynomfunktion]] 2. [[Grades]] genannt) lautet $$y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$$
<div align="right">mit $a,b,c\in$ [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)| $\mathbb{R} $ ]] </div>
<div align="right">und $a\neq 0$. </div> }}

'''Hinweis:'''
* <span style="background-color:#00FFFF">!Wichtig! </span> Der Graph einer quadratischen Funktion ist IMMER eine '''Parabel''' und damit $\cup$- oder $\cap$-förmig (siehe Abbildungen rechts).

* Quadratische Funktionen haben immer genau einen [[Extremstellen | Hoch- oder Tiefpunkt]]. Diesen nennt man '''Scheitelpunkt''' (oder '''Scheitel''')

* Die Gleichung $ y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ wird als '''Normalform''' bezeichnet (sozusagen: ''im Normalfall ist die Funktion in dieser Form gegeben'').
: Neben der Normalform gibt es auch noch die [[Quadratische Funktionen#Scheitelpunktform |Scheitelpunktform $y=a\cdot (x-w)^2+s$]]

== Graph, Parameter und Eigenschaften ==

[[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]] $\ $ Schau dir [http://www.geogebratube.org/student/m137538 dieses Arbeitsblatt] an und beantworte die darin angeführten Fragen.

Gegeben [[sei]] eine quadratische Funktion der Form
$$f(x)= a\cdot x^2+b\cdot x+c$$

Dann haben die [[Parameter]] $a,\ b$ und $c$ folgende Auswirkungen auf den Graphen der quadratischen Funktion:
----
[[Datei:Graph mit a.gif|right]]

'''$a$ gibt an, wie stark der Graph steigt oder fällt'''

* Ist $a>0$, so ist die Parabel nach '''oben''' offen.
* Ist $a<0$, so ist die Parabel nach '''unten''' offen.
* Je größer [[Betrag einer Zahl (1.6.)| $|a|$ ]] ist, desto steiler ist der Graph.
* $a$ kann abgelesen werden, indem man vom Scheitelpunkt aus '''eins''' nach rechts und dann senkrecht zum Graphen geht.

{| style="background-color:#D3D3D3"
|'''Achtung:''' Im Gegensatz zu den [[lineare Funktionen | linearen Funktionen]] darf man hier immer nur 1 nach rechts, niemals mehr. Der Grund: Die Steigung der Parabel ändert sich (sie wird immer steiler). Dagegen ist die Steigung der quadratischen Funktion immer konstant.

Allgemein gilt: Ist eine Steigung konstant, so ist es egal, ob man z.B. 1 nach rechts und 3 hinauf, oder 2 nach rechts und 6 hinauf geht.
|}

----
[[Datei:Graph mit b1.gif | right]]

'''$b$ verschiebt den Scheitelpunkt entlang einer Kurve nach rechts oder links:'''

* Ist $b<0$, so liegt der Scheitelpunkt '''rechts''' (!) der y-Achse.
* Ist $b>0$, so liegt der Scheitelpunkt '''links''' (!) der y-Achse.
* Ist $b=0$, so liegt der Scheitelpunkt genau auf der y-Achse. Der Funktionsgraph ist dadurch symmetrisch zur y-Achse.

'''!Achtung! Merke dir:'''
* $b<0\rightarrow$ rechts
* $b>0\rightarrow$ links

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Zusatz für Interessierte''' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Die Kurve, entlang derer die Parabel verschoben wird, ist die Spiegelung der Parabel parallel zur x-Achse.

Wer selbständig beweisen kann, warum dies so ist, dem ist der 1er so gut wie sicher.

</div>

</div>

----
[[Datei:Graph mit c1.gif|right]]

$c$ gibt den Schnittpunkt mit der y-Achse an (vgl. das [[Lineare Funktionen#d = Abstand auf der y-Achse ("Ordinatenabschnitt") |d bei den linearen Funktionen]]).

* Ist $c>0$, so liegt der Schnittpunkt oberhalb der x-Achse.
* Ist $c=0$, so geht die Parabel durch den Koodrinatenursprung.
* Ist $c<0$, so schneidet die Parabel die y-Achse unterhalb der x-Achse.

<br>
<br>
<br>
<br>

== Nullstellen quadratischer Funktionen ==

[[Datei:Nullstellen.png|thumb|right|400px| Parabeln mit 0, 1 oder 2 Nullstellen]]

Die [[Nullstelle | Nullstellen]] einer quadratischen Funktion sind die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse.

Je nachdem, wie die Parabel im Koordinatensystem liegt gibt es:
* 2 Nullstellen
* 1 Nullstelle (=Scheitelpunkt liegt auf der x-Achse)
* 0 Nullstellen.

Die Nullstellen einer quadratischen Funktion werden berechnet, indem man $f(x)=0$ setzt und dann die [[quadratische Gleichungen | quadratische Gleichung]] $$0=a\cdot x^2+b\cdot x+c$$ löst.

Siehe auch [[Quadratische Gleichungen]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Musterbeispiel:''' Bestimme die Nullstelle der quadratischen Funktion $f(x)=-x^2+6x-5$ </span>

<div class="mw-collapsible-content">

'''Lösung:'''
Zuerst setzen wir die Funktion 0:
$$0=-x^2 + 6 \cdot x - 5$$
Nun verwenden wir die [[quadratische Gleichungen#die große Lösungsformel | große Lösungsformel]] mit a=-1, b=6 und c=-5
$$ x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}$$
[[Datei:Quadfkt-nullstelle.png|thumb|200px|right]]
$$x_{1,2}=\frac{-6\pm \sqrt{6^2-4\cdot (-1)\cdot (-5)}}{2\cdot (-1)}$$
$$x_{1,2}=\frac{-6\pm \sqrt{36-20}}{-2}$$
$$ x_1=\frac{-6+4}{-2}=1$$
$$ x_2=\frac{-6-4}{-2}=5$$
'''Antwort:''' Der Graph der Funktion schneidet bei $N_1(1|0)$ und $N_2(5|0)$ die x-Achse.
</div>
</div>

<br>
<br>
<br>

== Typische Rechenbeispiele bei gegebener Funktionsgleichung ==
{{Vorlage:Beispiel|1=Ein Ball wird in die Höhe geworfen. Die Funktion $h(t)=-0.1x^2+0.3x+3$ gibt die Höhe des Balles in Metern (m) nach t Sekunden (s) an.
<br>
<br>
<br>
a) Bestimmen Sie die Abwurfhöhe des Balles.
<br>
b) Ermitteln Sie die Höhe des Balles nach 6 Sekunden.
<br>
c) Berechnen Sie, zu welchem Zeitpunkt der Ball auf dem Boden aufkommt.
<br>
d) Ermitteln Sie, zu welchem Zeitpunkt der Ball eine Höhe von 2 m hat.
<br>
e) Skizzieren Sie den Graphen von h(t) im Intervall $[-2;8]$
<br>
f) Erklären Sie, wie mithilfe der Nullstellen der Funktion h(t) jener Zeitpunkt bestimmt werden kann, bei dem der Ball seine maximale Höhe erreicht.
|2=
a) Es gilt $$h(t)=-0.1t^2+0.3t+3$$. Bereits am $c=3$ erkennt man, dass die Anfangshöhe 3m ist. Alternativ kann man auch für $t=0$ einsetzen (da hier der Beginn ist):
$$h(0)=-0.1\cdot 0^2+0.3\cdot 0+3$$
$$h(0)=3$$

b) Laut Angabe ist $t=6$. Setzen wir dies in die Funktionsgleichung ein, so erhalten wir:
$$h(6)=-0.1\cdot 6^2+0.3\cdot 6+3$$
$$h(6)=1.2\ m$$

c) Gesucht ist die Nullstelle der Funktion. D.h. für welches t gilt, dass $h(t)=0$ ist:
$$0=h(t)$$
$$0-0.1t^2+0.3t+3$$
Nun löst man die Gleichung z.B. mit der [[großen Lösungsformel]] oder mit dem [[GeoGebra|Löse-Befehl]] und erhält:
$$t_1=-4.18\ \ \ \textrm{ und }\ \ \ t_2=7.18$$
Der Ball landet nach 7.18 s auf dem Boden.

d) Für welches t ist $h(t)=2$?
$$2=h(t)$$
$$2=-0.1t^2+0.3t+3\ \ \ \vert -2$$
$$0=-0.1t^2+0.3t+1$$
Nun löst man die Gleichung z.B. mit der [[großen Lösungsformel]] oder mit dem [[GeoGebra|Löse-Befehl]] und erhält:
$$t_1=-2\ \ \ \textrm{ und }\ \ \ t_2=5$$
Somit hat der Ball nach 5 Sekunden eine Höhe von 5 m.

e)
[[Datei:Quadratische-fkten-Bsp.png|700px|miniatur|zentriert|Graph der Funktion $h(t)$]]

d) Nach c) lauten die Nullstellen $t_1=-4.18$ und $t_2=7.18$. Da die Parabel symmetrisch zum Scheitelpunkt ist und die Parabel nach unten offen ist ($a=-0.1<0$), liegt der Scheitelpunkt/Hochpunkt genau zwischen den beiden Nullstellen:
$t_{max}=\frac{-4.18+7.18}{2}=1.5$

Nach 1.5 s erreicht der Ball seine maximale Höhe.

}}

== Scheitelpunktform ==
=== Allgemein ===
[[Datei:Scheitelpunktform1.gif|right]]
Neben der Normalform ($f(x)=ax^2+bx+c$) gibt es auch noch die sogenannte Scheitelpunktform der Parabel:
$$\textrm{Scheitelpunktform: } f(x)=a\cdot (x-w)^2+s$$
<br>
<br>
$a$... gibt die Steigung (genauso wie bei der Normalform) an.

$w$... waagrechte Verschiebung des Scheitelpunktes vom Ursprung

$s$... senkrechte Verschiebung des Scheitelpunktes vom Ursprung

<br>

[[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]] $\ $ In diesem [http://www.geogebratube.org/student/m137542 diesem Arbeitsblatt] kannst du die Bedeutung der Scheitelpunktform genauer lernen.

[[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]] $\ $ Und hier findest du eine [http://www.geogebratube.org/student/m79503 Aufgabe zur Scheitelpunktform]

<br>
<br>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Musteraufgabe:'''
Zeichnen Sie den Graphen der Funktion $f(x)=0.5\cdot (x-2)^2+1$ in ein Koordinatensystem. Wählen Sie dabei einen passenden Maßstab. </span>

<div class="mw-collapsible-content">

[[Datei:Scheitelpunktformbsp.png|right]]

'''Lösung:'''
* $w=-2$... somit wird die Parabel wird 2 nach rechts verschoben
* $s=1$... somit wird die Parabel um 1 hinauf verschoben
* Der Scheitelpunkt S hat folglich die Koordinaten S(2|1).
* $a=0.5$... damit erhält man die Steigung, wenn man 1 nach rechts und 0.5 hinauf geht.

</div>

</div>

=== Vor- und Nachteil der Scheitelpunktform ===
Die Scheitelpunktform hat den Vorteil, dass

a) bei gegebener Funktionsgleichung direkt die Koordinaten des Scheitelpunktes bestimmt werden können bzw.

b) bei gegebenem Graphen direkt mithilfe des Scheitelpunktes w uns s bestimmt werden können.

=== Umwandlung von der Scheitelpunktform $y=a\cdot (x+w)^2+s$ in die Normalform $y=ax^2+bx+c$ ===

'''Methode''':
Quadriere die Klammer aus und vereinfache den Term!

{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben ist die quadratische Funktion $f(x)=0.5\cdot (x-2)^2+1$ in Scheitelpunktform.

a) Bestimmen Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes.

b) Wandeln Sie die Funktion in die Normalform $f(x)=ax^2+bx+c$ um.
|2= a) $S(2\vert 1)$, da die Parabel 1 hinauf (=s...senkrecht) und 2 nach rechts (-2=w=waagrecht) verschoben wurden.

b) Wir quadrieren die Klammer aus und vereinfachen (siehe [[Binomische Formeln]]:
$$f(x)=0.5\cdot (x-2)^2+1$$
1. Schritt: ausquadrieren
$$f(x)=0.5\cdot (x^2-4x+4)+1$$
2. Schritt: vereinfachen
$$f(x)=0.5x^2-2x+2+1$$
$$f(x)=0.5x^2-2x+3$$
Die Normalform von $f$ lautet $\underline{\underline{f(x)=0.5x^2-2x+3} }$.}}

=== Umwandlung von der Normalform in die Scheitelpunktform ===

'''Methode:'''
Um von der Normalform auf die Scheitelpunktform zu kommen, muss man den Funktionsterm [[Quadratisches Ergänzen | quadratisch ergänzen]].

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben ist eine quadratische Funktion in Normalform: $f(x)=x^2-2x+3$
Bestimmen Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes, indem sie die Funktionsgleichung zuerst in die Scheitelpunktform umformen.|2=Quadratisches Ergänzen bedeutet, den Funktionsterm so umzuformen, bis eine [[Binomische Formeln|binomische Formel]] entsteht:

$$f(x)=x^2-2x+3$$
$$f(x)=x^2-(2\cdot 1)\cdot x+3$$
$$f(x)=x^2-2\cdot 1\cdot x+(1+2)$$
$$f(x)=(x^2-2\cdot 1\cdot x+1)+2$$
nun die binomische Formel $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$ verwenden:
$$\underline{\underline{f(x)=(x-1)^2+2} }$$
Somit haben wir die Scheitelpunktform $f(x)=(x-1)^2+2$ und die Koordinaten des Scheitelpunktes lauten: $(1\vert 2)$ ($s=1$ und $w=+1\rightarrow$ 1 nach rechts) }}

<br>
<br>
<br>

'''Füge im folgenden Applet zu jeder Graphik die passende Funktion hinzu'''
{{#widget:Iframe
|url= http://LearningApps.org/view391866
|width= 900
|height= 500
|border=0
}}

== Funktionsgleichung bestimmen ==
'''Typische Aufgabenstellung''':
: ''Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der quadratischen Funktion, wenn mehrere Punkte auf der Parabel (=Graph der quadratischen Funktion) gegeben sind.''

'''Lösungsweg:''' Je nachdem, ob der Scheitelpunkt gegeben ist, gibt es zwei verschiedene Lösungswege:

a) Wenn der Scheitelpunkt gegeben ist, verwendet man die Scheitelpunktform und bestimmt anhand der Koordinaten des Scheitelpunktes $w$ und $s$ und anschließend $a$

b) Wenn der Scheitelpunkt nicht gegeben ist, verwendet man die Normalform und stellt mithilfe von 3 Punkten insgesamt 3 Gleichungen auf, indem man die Punkte in die Funktionsgleichung $y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ einsetzt.
<br>
<br>
<br>

'''Musterbeispiel'''

{| border="1"
!| Normalform $y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$
!| Scheitelpunktform $ y=a\cdot(x-w)^2+s$
|-
| '''Wird verwendet, wenn:'''
* Scheitelpunkt nicht bekannt ist.
* 3 Punkte auf dem Graphen bekannt sind.
* [[Nullstelle|Nullstellen]] berechnet werden müssen.
|'''Wird verwendet, wenn:'''
* Scheitelpunkt bekannt oder ablesbar ist.
|-
| '''Berechnung der [[Parameter]]'''
# Man bestimmt 3 Punkte des Graphen und setzt sie in die Funktionsgleichung.
# Das daraus entstehende [[Gleichungssysteme (2.7.)#Gleichungssysteme mit 3 oder mehreren Variablen | Gleichungssystem]] wird gelöst.
| '''Berechnung der [[Parameter]]'''
# w und s können mithilfe des Scheitelpunktes $S=(w,s)$ bestimmt werden.
# a erhält man, entweder, indem man einen weiteren Punkt aus dem Graphen in die Funktionsgleichung einsetzt oder $a$ aus dem Graphen abliest (''eins nach rechts, a hinauf/hinab'')

|-
|colspan="2" align="center" | '''Typische Aufgabenstellung:'''
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der abgebildeten Graphen
|-
|
<br>
[[Datei:Bsp-Funktionsgleichung bestimmen.png|thumb|300px|center]]

<br>

Da der Scheitelpunkt nicht bekannt ist, setzen wir die drei Punkte in die Normalform $y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ ein:

$$(0,3)\rightarrow \ 3=a\cdot 0^2+b\cdot 0+c$$
$$ (1,1)\rightarrow\ 1=a\cdot 1^2+b\cdot 1+c$$
$$ (4,0)\rightarrow\ 0=a\cdot 4^2+b\cdot 4+c$$

Daraus ergibt sich das folgende Gleichungssystem:
$$I:\ 0\cdot a+0\cdot b+c=3$$
$$II: \ 1\cdot a+1\cdot b+c=1$$
$$III:\ 16\cdot+4\cdot b+c=0$$

Löst man dieses, so erhält man:
$a=0.42,\ b=-2.42$ und $c=3$
$$\rightarrow \underline{\underline{y=0.42x^2-2.24x+3}}$$
|[[Datei:Bsp-Funktionsgleichung bestimmen2.png|thumb|center|300px]]
<br>

Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten $S(2|-1)$. Somit gilt:

$w=2$, da der Graph um 2 nach rechts verschoben wurde

$s=-1$, da der Graph um 1 hinunter verschoben wurde
$$\rightarrow y=a\cdot(x-2)^2-1$$

Um $a$ zu berechnen, setzen wir nun den Punkt (0,3) ein und erhalten:
$$3=a\cdot (0-2)^2-1$$
$$3=a\cdot 4-1$$
$$4=4\dot a$$
$$a=1$$
$$\rightarrow \underline{\underline{y=1\cdot(x-2)^2-1}}$$

Hinweis: Dass $a=1$ ist, wäre auch einfacher aus dem Graphen ablesbar gewesen.

|}

== Online-Übungsmaterialien ==

* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Übung zur [https://www.geogebratube.org/student/m82256 Bestimmung der Funktionsgleichung in Normalform]

== Matura-Beispiele ==
* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=18&file=Wasserstrahl.pdf Wasserstrahl] (Bifie-Aufgabe: mittel-mittel-leicht)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Nullstelle]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=133&file=Laptops.pdf Laptops] (Bifie-Aufgabe: mittel-leicht-leicht)
*: siehe auch: [[Quadratische Gleichungen]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=205&file=Bungeejumping.pdf Bungeejumping] (leicht-mittel-mittel)
*: für b) <span style="background-color:yellow"> brauchst du den [[Differenzen- und Differentialquotient]] (erst in der 4. Klasse!) </span>

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=34&file=Schispringen.pdf Skispringen] (leicht-mittel-mittel)
*: Aufgabe b) lernst du <span style="background-color:yellow"> erst [[Kurvendiskussionen | in der 4. Klasse (Kurvendiskussionen)]] </span>

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=25&file=Ortsumfahrung.pdf Ortsumfahrung] (Bifie-Aufgabe: mittel-mittel)
*: <span style="background-color:yellow"> Aufgabe a) kannst du erst ab der 4. Klasse lösen </span> da du hier [[Bestimmen der Tangentengleichung | die Tangentengleichung bestimmen musst.]]

[[Kategorie: Funktionen]]

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2016-03-17T14:28:12Z

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