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Vektorrechnung

2020-04-14T17:00:34Z

PeterLamp:

=Grundlagen=
==Koordinatensystem==
[[Datei:Quadranten.png|thumb|Coordinate System|thumb|right|350px|Koordinatengitter im $\mathbb{R^2}$ mit den $4$ Quadranten]]

Für die Vektorrechnung sind Koordinatensysteme essentiell.
Im zweidimensionalen Raum besitzt ein Koordinatensystem $2$ Achsen:

* die $x$-Achse (waagrecht) und
* die $y$-Achse (senkrecht)

 
Diese sind unendlich lang und spannen die sogenannten vier Quadranten auf, die meist mit den römischen Ziffern I-IV beschriftet werden (gesprochen: Erster Quadrant, Zweiter Quadrant etc.). Die rechte Grafik zeigt die Positionen der Quadranten. Dort, wo die $2$ Achsen einander treffen, liegt der sogenannte Ursprung (kurz: $\vec{0}$); seine Koordinaten sind $(0|0)$. 

Was es außerdem noch zu beachten gibt, hast du vielleicht bereits selbst erkannt:
An den gegenüberliegenden Seiten der $x$- und $y$-Achsen werden unterschiedliche Vorzeichen verwendet. So spricht man „links“ des Ursprungs von der negativen bzw. „rechts“ des Ursprungs von der positiven $x$-Achse. Analog ist mit „oben“ bzw. „unten“ die positive bzw. negative $y$-Achse gemeint. 

Im dreidimensionalen Raum kommt eine dritte Achse - die $z$-Achse - dazu. Punkte und Vektoren besitzen dann auch $3$ Koordinaten. Dies kann man bis ins $n$-dimensionale weiterführen.

 

==Punkte==
In ein Koordinatensystem lassen sich Punkte eintragen. Diese besitzen, entsprechend ihrer Lage, Koordinaten. Im obigen Bild haben wir beispielsweise die Punkte $A$ und $B$, wobei sich $A$ im ersten und $B$ im vierten Quadranten befindet, eingezeichnet. Man schreibt: $A(2|3.5), B(1|-2)$. 

[[Datei:Punkte Abstand.png|thumb|right|350px|Punkte im $\mathbb{R^2}$]]

{{Vorlage:Merke |Einen '''allgemeinen Punkt''' schreibt man an als $P(x_1 \vert x_2 \vert ... \vert x_n)$ (im $n$-dimensionalen Raum $\mathbb{R^n}$) bzw. $P(x \vert y)$ (im $2$-dimensionalen Raum $ \mathbb{R^2}$) oder $P(x \vert y \vert z)$ (im $3$-dimensionalen Raum $\mathbb{R^3}$).
 
Die erste Koordinate entspricht der $x$-Koordinate, die zweite der $y$-Koordinate, die eventuelle dritte der $z$-Koordinate.

Punkte werden in der Regel mit Großbuchstaben bezeichnet.}}

Koordinaten von Punkten lassen sich also ganz einfach ablesen. Die $x$- bzw. $y$-Koordinate entspricht dabei dem Abstand vom Ursprung zum Punkt in Richtung der jeweiligen Koordinatenachse. So erkennen wir im Bild rechts die folgenden Punkte:

* $A($$2$$|$$0$$)$
* $B($$0$$|$$-2$$)$
* $C($$-1$$|$$2$$)$

 

=Vektoren=

==Definition & Darstellung von Vektoren==
{{Vorlage:Definition |1= Ein Zahlenpaar $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \in \mathbb{R^2}$ wird als '''Vektor aus $\mathbb{R^2}$ ''' bezeichnet.
Analog bezeichnet man ein Zahlentripel $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) \in \mathbb{R^3}$ als '''Vektor aus $\mathbb{R^3}$ '''. 
Ein '''$n$-dimensionaler Vektor''' wird $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) \ \in \mathbb{R^n}$ geschrieben.

}}

Da sowohl die Rechenoperationen, als auch die geometrischen Darstellungen leicht vom $\mathbb{R^2}$ in den $\mathbb{R^3}$ übertragen werden können, werden wir hier meistens nur die Vorgangsweise für Zahlenpaare aus dem $\mathbb{R^2}$ beschreiben.

 
===Geometrische Darstellung von Vektoren===

Es gibt zwei Möglichkeiten, wie wir einen Vektor $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right) \ \in \mathbb{R^2}$ geometrisch darstellen können:
* '''Darstellung als Punkt''': Dabei gibt $a$ die $x$-Koordinate und $b$ die $y$-Koordinate des Punktes an. Die Beschriftung erfolgt mit Großbuchstaben.
* '''Darstellung als Pfeil''': Dabei gibt $a$ die $x$-Richtung des Pfeils (wie weit zeigt der Pfeil nach links bzw. rechts) und $b$ die $y$-Richtung des Pfeils (wie weit zeigt der Pfeil nach oben bzw. unten) an. Pfeile werden mit Kleinbuchstaben (oft mit Pfeil $\vec{v}$) beschriftet. 

Die Darstellung als Punkt ist eindeutig: Einem Zahlenpaar (= Vektor) entspricht genau ein Punkt. 
Die Darstellung als Pfeil ist nicht eindeutig: Es gibt unendlich viele Pfeile, die denselben Vektor darstellen. Diese Pfeile sind aber alle parallel, gleich lang und gleich gerichtet.

'''Beispiel:''' Darstellung des Vektors $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$
{| class="wikitable"
|-
| '''Punktdarstellung des Vektors'''|| '''Mögliche Pfeildarstellungen des Vektors'''
|-
| [[Datei:Punkt.png|thumb|300px]]|| [[Datei:Pfeile.png|thumb|300px]]
|}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 3 \\ -4 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 5 \end{array} \right)$. Stelle $\vec{a}$ und $\vec{b}$ als Punkte und als Pfeile dar.
 

|2=[[Datei:Punkt Pfeil Bsp.png|300px]] 

'''Anmerkungen:'''
* Für die Pfeildarstellungen gibt es mehrere (unendlich viele) Möglichkeiten. Der von dir gezeichnete Pfeil muss jedenfalls parallel, gleich gerichtet und gleich lang wie der abgebildete Pfeil sein!
* Aus "Bequemlichkeitsgründen" zeichnet man die Pfeile oft beginnend beim Ursprung ein:
 

[[Datei:Punkt Pfeil Bsp2.png|300px]]
 
}}

Vektoren des $\mathbb{R^3}$ können auch auf diese zwei Arten dargestellt werden. Der einzige Unterschied dabei ist, dass die Punkte bzw. Pfeile im dreidimensionalen Raum liegen. Es gibt also noch eine dritte Richtung, die durch die $z$-Koordinate des Vektors angegeben wird.

 

===Ortsvektoren===
[[Datei:Ortsvektor.png|thumb|right|250px|Punkt und zugehöriger Ortsvektor]]Der Ortsvektor von einem Punkt ist der Vektor, der vom Ursprung aus auf den Punkt zeigt. Die Koordinaten bleiben deshalb gleich, es ändert sich quasi nur die Schreibweise:

Sei $A(x_1 \vert x_2 \vert ... \vert x_n)$ ein Punkt in der Dimension $n$, dann ist $\vec{0A} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ dessen Ortsvektor.

 
 
 
 
 
 

==Rechnen mit Vektoren==

===Addition und Subtraktion von Vektoren===
====Rechnerische Addition====
{{Vorlage:Merke|1=Wenn du Vektoren addieren oder subtrahieren möchtest, musst du dazu die entsprechenden Koordinaten addieren: 

$\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) \pm \left( \begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ ... \\ y_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x_1 \pm y_1 \\ x_2 \pm y_2 \\ ... \\ x_n \pm y_n \end{array} \right)$ 

Wichtig ist dabei, dass die Vektoren, die du addieren oder subtrahieren möchtest, derselben Dimension $n$ angehören. D. h. sie haben gleich viele Koordinaten.}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben seien die beiden Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right)$.

Berechne erst $\vec{a} + \vec{b}$, dann $\vec{a} - \vec{b}$ und zuletzt $\vec{b} - \vec{a}$.

|2= $\vec{a} + \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 5+1 \\ 2+(-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 6 \\ -1 \end{array} \right)$

$\vec{a} - \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 5-1 \\ 2-(-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 5 \end{array} \right)$ 

$\vec{b} - \vec{a} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 1-5 \\ -3-2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -4 \\ -5 \end{array} \right)$}}

{| border=1 align=center
! Übung zur rechnerischen Addition von Vektoren
|-
|
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|-
| Falls das Applet nicht angezeigt wird, klicke [https://www.geogebra.org/m/ZvayFJPu hier]

|}
 
 
 

{| border=1 align=center
! Übung zur rechnerischen Subtraktion von Vektoren
|-
|
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|-
| Falls das Applet nicht angezeigt wird, klicke [https://www.geogebra.org/m/zuvd6gSD hier]

|}

 

====Geometrische Darstellung der Vektoraddition====
Die Addition zweier Vektoren kann auf zwei verschiedene Arten geometrisch gedeutet werden. Wir illustrieren die beiden Möglichkeiten anhand des Beispiels $\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2\end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$:

{| class="wikitable"
|-
| '''Punkt + Pfeil - Darstellung:'''|| '''Pfeil + Pfeil - Darstellung'''
|-
| An einen Punkt wird ein Pfeil angehängt. In unserem Beispiel wird an den Punkt $(1 \vert 2)$ ein Pfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$ angehängt. Das Ergebnis der Addition ist der Punkt am Ende des Pfeils $(5 \vert 5)$. || Zwei Pfeile werden aneinander gehängt. In unserem Beispiel wird also ein Pfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$ und ein Pfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)$ aneinander gehängt. Das Ergebnis der Addition ist der entstehende Verbindungspfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 5 \\ 5 \end{array} \right)$.
|-
| [[Datei:Vektoraddition1.png|left|400px]]|| [[Datei:Vektoraddition2.png|left|500px]]
|-
| '''Anmerkung:''' Diese Darstellung ist hilfreich, wenn wir von einem Punkt ausgehen und zu einem neuen Punkt gelangen wollen.|| Es spielt keine Rolle, in welcher Reihenfolge die Vektoren angehängt werden. Die Addition ist kommutativ.
|}

 

===Vektoren bestimmen: „Spitze minus Schaft“ („Ziel minus Start“)===

[[Datei:Spitzeschaft.png|thumb|right|300px|„Spitze minus Schaft“]]
 
Zwischen $2$ Punkten kann man nun einen Vektor definieren. Dabei gilt die '''„Spitze minus Schaft“'''-Regel. Im Bild rechts wollen wir den Vektor berechnen, der von $A$ nach $B$ geht, also den Vektor $\vec{AB}$. Der Punkt $B(3 \vert 3.5)$ entspricht hierbei der Spitze, und der Punkt $A(1 \vert 0.5)$ dem Schaft. Da das Rechnen mit Punkten allerdings keinen Sinn ergibt, rechnet man stattdessen mit deren Ortsvektoren (siehe oben). 

Für unser Beispiel bedeutet das: $\vec{0B} - \vec{0A} = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 3.5 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0.5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 3-1 \\ 3.5-0.5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right) = \vec{AB}$ 

'''Beachte außerdem:'''

* Man schreibt der Einfachheit halber oft nur $B-A$, obwohl eigentlich $\vec{0B} - \vec{0A}$ gemeint ist.
* Der Vektor $\vec{AB}$ zeigt in die entgegengesetzte Richtung von $\vec{BA}$. Das bedeutet, dass diese beiden Vektoren entgegengesetzte Vorzeichen haben: $\vec{AB} = - \vec{BA}$ 

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die Punkte $A(1 \vert 2)$, $B(-3 \vert 1)$ und $C(-4 \vert -1)$. Bilde die folgenden Verbindungsvektoren: 
 
# $\ \vec{AB}$
# $\ \vec{BA}$
# $\ \vec{AC}$
# $\ \vec{BC}$

|2=
$\ $
# $\ \vec{AB}=B-A=\left( \begin{array}{c} -3 \\ 1\end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} -4 \\ -1\end{array} \right)$
# $\ \vec{BA}=-\vec{AB}=\left( \begin{array}{c} 4 \\ 1 \end{array} \right)$
# $\ \vec{AC}=\left( \begin{array}{c} -4 \\ -1\end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} -5 \\ -3\end{array} \right)$
# $\ \vec{BC}=\left( \begin{array}{c} -4 \\ -1\end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} -3 \\ 1 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} -1 \\ -2\end{array} \right)$
 
'''Tipps:'''
* Pass gut auf die Vorzeichen auf! Beim Subtrahieren von Vektoren passieren leider häufig Vorzeichenfehler. Sei deshalb besonders achtsam.
* Zeichne die Punkte in ein Koordinatensystem und zeichne die Verbindungsvektoren ein. Bei einfachen Koordinaten kannst du den Verbindungsvektor ohne Rechnung ablesen (Probiere es aus!).

 
}}

===Produkt eines Vektors mit einem Skalar===
====Rechnerische Multiplikation====
Wenn man einen Vektor $\vec{v}$ mit einer [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)|reellen Zahl]] $k$, einem sogenannten „Skalar“, multipliziert, werden dabei die einzelnen Koordinaten mit dem Skalar multipliziert:

$k \cdot \vec{v} = k \cdot \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} k \cdot x_1 \\ k \cdot x_2 \\ ... \\ k \cdot x_n \end{array} \right)$

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sei der Vektor $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right)$. Multipliziere diesen einmal mit $2$ und einmal mit $-5$.
|2= $2 \cdot \vec{a} = 2 \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \cdot 2 \\ 2 \cdot (-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -6 \end{array} \right)$
$(-5) \cdot \vec{a} = (-5) \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-5) \cdot 2 \\ (-5) \cdot (-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -10 \\ 15 \end{array} \right)$}}
 

====Geometrische Darstellung der Multiplikation====

Eine Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl $a$ (Skalar) entspricht einer Streckung (für $|a|>1$) bzw. einer Stauchung (für $|a|<1$) des zugehörigen Pfeiles.
Ist das Vorzeichen des Skalars negativ, so dreht sich die Richtung des Pfeils in die entgegengesetzte Richtung. 

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sei wiederum der Vektor $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right)$. Stelle die Multiplikation mit $2$, mit $-5$ und mit $0.5$ graphisch dar.
|2= Rechnerische Lösung und graphische Interpretation:
* $2 \cdot \vec{a} = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -6 \end{array} \right) \rightarrow$ Der Vektor $2\cdot \vec{a}$ hat die doppelte Länge und dieselbe Richtung wie $\vec{a}$.
* $(-5) \cdot \vec{a} = \left( \begin{array}{c} -10 \\ 15 \end{array} \right) \rightarrow$ Der Vektor $(-5)\cdot \vec{a}$ ist fünfmal so lang wie $\vec{a}$ und zeigt in die entgegengesetzte Richtung wie $\vec{a}$.
* $(0.5) \cdot \vec{a} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1.5 \end{array} \right) \rightarrow$ Der Vektor $0.5\cdot \vec{a}$ ist halb so lang wie $\vec{a}$ und zeigt in dieselbe Richtung wie $\vec{a}$.
}}

{{#widget:Iframe
|url= http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_vektorrechnung/MV_Vektor1/MV_Vektor1/sites/Vektortest.html
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|height= 600
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}}
[http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_vektorrechnung/MV_Vektor1/MV_Vektor1/ (Quelle dieses Applets)]

Hilfe zum Applet: Gib in die Eingabezeile den Buchstaben des Vektors bzw. die entsprechende Summe / Differenz an (z. B. $u=a$).
 
 

===Wie Vektoren zueinander stehen===
Vektoren können unterschiedliche Richtungen haben, aber auch parallel zueinander oder gar identisch sein. Optisch lässt sich das oft sehr leicht erkennen. Die Lage von Vektoren zueinander kann aber auch rechnerisch überprüft werden.

{{Vorlage:Definition |Unter einem Vektor versteht man die Menge aller gleich langen, gleich gerichteten und gleich orientierten Pfeile.

Der Start- bzw. Endpunkt spielen dabei keine Rolle!}}

{{Vorlage:Merke|$2$ Vektoren stehen parallel zueinander, wenn ein Vektor als Vielfaches des anderen Vektors angeschrieben werden kann. 
Man sagt auch: Die Vektoren sind [[linear abhängig]].}}

Sehen wir uns die verschiedenen Fälle an:

{| class="wikitable"
|-
|ident: gleiche Richtung, gleiche Orientierung, gleiche Länge
||[[Datei:Vektorv1.png|none|250px]]
||$\vec{v} = \vec{u} \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$
||z. B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$
|-
||parallel (gleiche Orientierung): gleiche Richtung, gleiche Orientierung, unterschiedliche Länge
| [[Datei:Vektorenlänge.png|none|250px]]
||$\exists k>0 : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$
||z. B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} \frac{4}{3} \\ 2 \end{array} \right)$, $k = \frac{2}{3} $
|-
||parallel (unterschiedliche Orientierung): 
| [[Datei:Vektororientierung1.png|none|250px]]
||$\exists k<0 : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$
||z. B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} -2 \\ -3 \end{array} \right)$, $k=-1$

|-
||linear unabhängig
| [[Datei:Vektorrichtung1.png|none|250px]]
||$\nexists k : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \nparallel \vec{u}$
||z. B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 3 \end{array} \right)$
|}

{{Vorlage:Beispiel|1=Überprüfe ob die Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 5 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$ linear unabhängig voneinander sind.

|2=Wenn es ein $k$ gibt, sodass $k \cdot \vec{a} = \vec{b}$, dann sind die beiden Vektoren voneinander linear abhängig, und somit auch parallel zueinander. 

Es gibt mehrere Lösungsmöglichkeiten:
 

*Möglichkeit 1: Lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen
$I: 2k = 4 \ \ \rightarrow k=2$ 
$II: 5k = 3 \ \ \rightarrow k=\frac{3}{5}$ 

Aus der ersten Gleichung ergibt sich $k=2$, in der zweiten aber $k=\frac{3}{5}$. $k$ kann aber nicht beides sein, somit haben wir eine falsche Aussage erhalten. Daraus folgt, dass die beiden Vektoren '''linear unabhängig''' und somit nicht parallel zueinander sind. 

* Möglichkeit 2: „Vergleichen und Probieren“
Vergleicht man die $x$-Koordinaten der beiden Vektoren, so sieht man, dass $4$ doppelt so groß ist wie $2$. Daraus ergibt sich, dass ein etwaiges $k=2$ sein müsste.
Probiert man, auch die zweite Zeile mit $2$ zu multiplizieren, so erhält man $10$. Die $y$-Koordinate von $\vec{b}$ müsste also $10$ sein, damit die beiden Vektoren parallel zueinander sind.
}}
 

===Betrag und Einheitsvektor===
[[Datei:PythagorasVektor.png|thumb|right|350px|Betrag eines Vektors; Einheitsvektor]]Wie anfangs bereits erwähnt, besitzen Vektoren eine Länge, auch '''Betrag''' eines Vektors genannt. Dieser wird mit Hilfe des pythagoreischen Lehrsatzes wie folgt berechnet:

<div align="center">$\parallel \vec{v} \parallel = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2} \ $ wenn $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ ein Vektor der Dimension $n$ ist.</div>
Sehen wir uns die Grafik rechts an, können wir mit dieser Formel die Länge des zweidimensionalen Vektors $\parallel \vec{v} \parallel$ berechnen:

<div align="center">$\parallel \vec{v} \parallel = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$</div>
 Der '''Einheitsvektor''' $\vec{a_0}$ eines Vektors $\vec{a}$ ist ein zu $\vec{a}$ paralleler Vektor mit Länge $1$. Rechnerisch erhält man $\vec{a_0}$, indem man $\vec{a}$ durch seine Länge dividiert. $ \vec{a_0}

=\frac{\vec{a}}{\parallel \vec{a}\parallel}$
bzw.
$ \vec{a_0}=\frac{1}{\parallel\vec{a}\parallel}\cdot \vec{a}$ 

Daraus ergibt sich ein Vektor, der dieselbe Richtung des ursprünglichen Vektors hat, allerdings die Länge $1$ besitzt.

{{Vorlage:Merke|1=
Sei $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ ein Vektor der Dimension $n$ und $\parallel \vec{v} \parallel$ sein Betrag, dann ist $\vec{v_0} = \frac{1}{\parallel \vec{v} \parallel} \cdot \vec{v} \ $ der Einheitsvektor zu $\vec{v}$.}}

In unserem Beispiel würde das folgendes bedeuten:

{{Vorlage:Beispiel|1= Bestimme den Einheitsvektor von $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$

|2=<div align="center">$\vec{v_0} = \frac{1}{\sqrt{13} } \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \frac{2}{\sqrt{13} } \\ \frac{3}{\sqrt{13} } \end{array} \right)$</div>
}}
 

===Vektoren bestimmter Länge===
Da wir nun gelernt haben, Einheitsvektoren zu bilden und Vektoren mit Zahlen zu multiplizieren, könnt ihr euch vielleicht schon vorstellen, wie man aus einem beliebigen Vektor einen Vektor derselben Richtung, allerdings unterschiedlicher Länge bekommt. Wir haben also einen Vektor $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ mit der Länge $\parallel \vec{v} \parallel = k$ gegeben und hätten gerne den Vektor $\vec{w} \ \parallel \ \vec{v}$ mit der Länge $l$. Dazu berechnen wir zuerst den Einheitsvektor $\vec{v_0}$ von $\vec{v}$ und multiplizieren diesen dann mit $l$. So erhalten wir schließlich $\vec{w} = l \cdot \frac{\vec{v}}{k} = l \cdot \vec{v_0}$.

 
 

==Mittelpunkt einer Strecke==
[[Datei:Mittelpunkt.png|thumb|right|300px|Mittelpunkt M der Strecke AB]]Willst du den Mittelpunkt zwischen $2$ Punkten $A$ und $B$ berechnen, musst du wie folgt vorgehen:
Zuerst berechnest du einen Vektor zwischen den Punkten ($\vec{AB}$ oder $\vec{BA}$). Dann halbierst du diesen Vektor, und erhältst $\vec{AM}$ bzw. $\vec{BM}$. Addierst du dann diesen Vektor zum entsprechenden Punkt ($A$ bzw. $B$), so erhältst du den Mittelpunkt. Also:

<div align="center">$\vec{0M} = \vec{0A} + \frac{\vec{AB}}{2} = \vec{0B} + \frac{\vec{BA}}{2}$</div>

Dies lässt sich folgendermaßen weiter vereinfachen:
$$\vec{M} = \vec{A} + \frac{\vec{AB}}{2} = \frac{2\vec{A}}{2} + \frac{\vec{B} - \vec{A}}{2} = \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2}$$

=Im $\mathbb{R^2}$=
Dieser Artikel befasst sich mit der Vektorrechnung im zweidimensionalen Raum. Grundlegende Informationen zur Vektorrechnung, so wie Punkte und Vektoren, findest du unter dem Tab ''Grundlagen der Vektorrechnung''.
 
 

==Vektoren==
===Normalvektoren===
[[Datei:Normalvektoren.png|thumb|right|350px|Normalvektoren]]Normalvektoren zu einem Vektor sind alle Vektoren, die normal (im rechten Winkel) auf den Vektor stehen. Im $\mathbb{R^2}$ gibt es zu jedem Vektor genau $2$ Normalvektoren, die dieselbe Länge wie der ursprüngliche Vektor haben. Alle anderen Normalvektoren sind Vielfache eines dieser $2$ Normalvektoren.

{{Vorlage:Merke | 1=Sei $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ ein Vektor, dann ist $\vec{n_1}=\left( \begin{array}{c} -y \\ x \end{array} \right)$ sein nach links gekippter, und $\vec{n_2}=\left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right)$ sein nach rechts gekippter Normalvektor.
''Vertausche die Koordinaten und ändere '''ein''' Vorzeichen''.
}}

===Skalarprodukt===
Unter dem Skalarprodukt versteht man die Multiplikation zweier Vektoren, bei der als Ergebnis ein Skalar (eine Zahl) entsteht.

{{Vorlage:Merke|1=Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren, dann ist $\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \end{array} \right) = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b$ gleich ihr Skalarprodukt.
}}

Das Skalarprodukt wirkt auf den ersten Blick etwas „eigenartig“. Man kann sich die Bedeutung des Skalarproduktes besonders gut an einem Anwendungsbeispiel erklären:
Angenommen in einer Preisliste stehen $10$ Kugelschreiber, die jeweils $2€$ kosten und $20$ Bleistifte, die jeweils $0.50€$ kosten.
In Tabellenform sieht das folgendermaßen aus:

{| class="wikitable"
|-
! Produkt !! Stückzahl !! Preis pro Stück (in $€$)
|-
| Kugelschreiber || $10$ || $2$
|-
| Bleistift || $20$ || $0.50$
|}

Aus dieser Tabelle kann ein Stückzahlvektor $\left( \begin{array}{c} 10 \\ 20 \end{array} \right)$ und ein Preisvektor $\left( \begin{array}{c} 2 \\ 0.50 \end{array} \right)$ abgelesen werden.

Möchte man den Gesamtwert der Produkte berechnen, so müssen jeweils die Einzelpreise mit der Stückzahl multipliziert und anschließend die Summe gebildet werden.
Genau das macht das Skalarprodukt:
$\left( \begin{array}{c} 10 \\ 20\end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0.50 \end{array} \right) = 10 \cdot 2 + 20 \cdot 0.50 = 20 + 10 = 30€ $
 
 

===Winkel zwischen zwei Vektoren===
[[Datei:Winkel.png|thumb|right|350px|Winkel zwischen $2$ Vektoren]]<big>$$cos{\varphi} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel} = \vec{a_0} \cdot \vec{b_0}$$
bzw.
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = \parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel \cdot cos{\varphi}$$</big>

Heißt es, den Winkel zwischen $2$ Vektoren/Geraden zu bestimmen, ist damit immer der kleinere Winkel gemeint. Solltest du einmal ein Ergebnis erhalten, das größer als $180°$ ist (nennen wir dieses Ergebnis $\varphi'$), dann ziehe dieses Ergebnis von $360°$ ab und du erhältst den kleineren Winkel ($\varphi = 360° - \varphi'$). 
Bei einem Winkel von $\varphi = 90°$ erhalten wir $cos{\varphi} = 0$, was bedeutet, dass auch $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$. Daraus ergibt sich das Orthogonalitätskriterium.

====Orthogonalitätskriterium====
{{Vorlage:Merke|1=Ergibt das Skalarprodukt zweier Vektoren $0$, so stehen diese zwei Vektoren normal zueinander (und umgekehrt). $$\vec{a} \cdot \vec{b} \ = \ 0 \ \Leftrightarrow \ \vec{a} \bot \vec{b}$$}}

Mithilfe des Orthogonalitätskriteriums kann man auch zeigen, dass $\vec{n}=\left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right)$ stets ein Normalvektor von $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ ist.
$$\vec{v} \cdot \vec{n} = \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right) = xy - yx = 0$$

{|border=1 align=center
! Übungsaufgabe
|-
| <ggb_applet width="1000" height="500" version="5.0" id="u9xvmmXM" />
|}
 
 

==Geraden==
===Darstellungsformen===
Geraden lassen sich in unterschiedlichen Formen darstellen. In der Vektorrechnung ist die Parameterdarstellung populär, da man dazu nur einen Punkt und einen Vektor kennen muss. Die Normalform allerdings hat den Vorteil, dass man den Normalvektor zur Geraden auf einen Blick ablesen kann. Je nachdem, was man mit der Gerade vorhat, können die verschiedenen Formen ineinander umgewandelt werden.
 
 

====Parameterdarstellung====
[[Datei:Parameterdarstellung.png|thumb|right|350px|Parameterdarstellung einer Geraden]]$$g: \vec{0X} = \vec{0P} + t \cdot \vec{a}$$
wobei

* $X \in g$ ist ein '''beliebiger''' Punkt auf der unendlichen Geraden (steht für alle Punkte auf der Geraden)
* $P \in g$ ist ein '''bekannter''' Punkt auf der Geraden
* $t \in \mathbb{R}$ ist ein freier Parameter (in der Grafik rechts $\lambda$)
* $\vec{a} \in \mathbb{R^2}$ ist ein Vektor parallel zur Geraden, der die Richtung dieser angibt („Richtungsvektor“)

 
Beachte, dass in der Parameterdarstellung keine Punkte, sondern Ortsvektoren verwendet werden. (Genauere Informationen zu Ortsvektoren findest du unter ''Grundlagen der Vektorrechnung''.) 
Wenn man das weiß, kann man der Einfachheit halber die Gerade auch folgendermaßen beschreiben: $g: X = P + t \cdot \vec{a}$

 
Eine andere Schreibweise ist, die Koordinaten einzeln zu betrachten und $2$ Gleichungen aufzustellen:
$$g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \end{cases}$$
 

====Normalvektorform====
Hierzu benötigt man einen Normalvektor des Richtungsvektors und multipliziert dann die Geradengleichung mit diesem Normalvektor. Da $\vec{a} \cdot \vec{n} = 0$, bleibt über:

Sei $g: \vec{0X} = \vec{0P} + t \cdot \vec{a}$ eine Gerade in Parameterform, so ist

<div align="center">$g: \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x_P \\ y_P \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right)$</div>

dieselbe Gerade in Normalform, wobei $\vec{0X}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right), \ \vec{0P}=\left( \begin{array}{c} x_P \\ y_P \end{array} \right), \ \vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right)$ und $\vec{n}=\left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right)$ ein Normalvektor von $\vec{a}$ (hier kann man natürlich auch den anderen Normalvektor verwenden).
 
 

====Allgemeine Geradengleichung====
Diese Form der Darstellung heißt auch Normalform, da man den Normalvektor der Geraden direkt ablesen kann. Um von der Parameterdarstellung auf diese Form zu kommen, gibt es $2$ Möglichkeiten:

'''1. Multiplikation mit Normalvektor:'''
Hierzu muss man einfach die Normalform ausmultiplizieren und es ergibt sich:

$$g: y_a \cdot x + -x_a \cdot y = y_a \cdot x_P + -x_a \cdot y_P$$

'''2. Elimination des Parameters:'''
Hierbei gehen wir von der Geradenform $g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \end{cases}$ aus, eliminieren $t$, und kommen ebenfalls auf die obige allgemeine Geradengleichung.
Auf der rechten Seite der Gleichung stehen nur bekannte Größen, auf der linken Seiten stehen Vielfache von $x$ und $y$. Diese Gleichung kann man weiter auch auf die Form $y=kx+d$ umformen.

===Lagebeziehungen zwischen Geraden===
Mehrere Geraden können im $\mathbb{R^2}$

* ident sein, d. h. sie haben unendlich viele gemeinsame Punkte.
* parallel sein, d. h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt.
* einander schneiden, d. h. sie haben genau einen gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt).

 Sind $2$ Geraden in '''Parameterdarstellung''' gegeben, betrachten wir zuerst ihre Richtungsvektoren. 
Sind diese parallel zueinander, so sind auch die Geraden parallel zueinander. Nun bleibt noch die Frage offen, ob die Geraden ident sind. Dazu überprüfen wir einfach, ob der gegebene Punkt der einen Geraden auch auf der anderen Geraden liegt. Dazu setzen wir den bekannten Punkt der einen Geraden für den unbekannten Punkt der anderen Geraden ein und erhalten $2$ Gleichungen in einer Unbekannten (Parameter der zweiten Gerade). Erhalten wir nun für den Parameter zweimal dasselbe Ergebnis, so sind die $2$ Geraden ident, erhalten wir unterschiedliche Ergebnisse, so sind sie nur parallel. 

Sind die Richtungsvektoren nicht parallel zueinander, so sind es auch die $2$ Geraden nicht, und wir können uns sicher sein, dass diese einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen.
Doch wie erhalten wir den Schnittpunkt? Ganz einfach, indem wir die $2$ Geraden schneiden. Dazu müssen wir sie gleichsetzen und dann das dadurch erhaltene Gleichungssystem in $2$ Unbekannten (die $2$ Parameter) lösen. Wenn wir den Wert eines Parameters ausgerechnet haben, setzen wir ihn einfach in die entsprechende Geradengleichung ein und erhalten so den Schnittpunkt.

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die beiden Geraden $g: X = \left( \begin{array}{c} -3 \\ 1 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 4 \\ -2 \end{array} \right)$ und $h: X = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ 1 \end{array} \right)$. Ermittle deren gegenseitige Lage und ggf. deren Schnittpunkt!
|2=Betrachten wir zuerst deren Richtungsvektoren:
$$\left( \begin{array}{c} 4 \\ -2 \end{array} \right) = -2 \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ 1 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g \parallel h$$
Nun überprüfen wir, ob der Punkt der Geraden $h$ auf $g$ liegt:
$$\left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -3 \\ 1 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 4 \\ -2 \end{array} \right) \ \rightarrow \ \begin{cases} 0 = -3 + 4s \ \rightarrow \ s_1 = \frac{3}{4} \\ 2 = 1 - 2s \ \rightarrow \ s_2 = -\frac{1}{2} \end{cases} \ \rightarrow \ s_1 \neq s_2 \ \Rightarrow \ g \not\equiv h$$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die beiden Geraden $g: X = \left( \begin{array}{c} -3 \\ 1 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -1 \end{array} \right)$ und $h: X = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)$. Ermittle deren gegenseitige Lage und ggf. deren Schnittpunkt!|
2=$$\nexists \ k \in \mathbb{R} : \ \left( \begin{array}{c} 2 \\ -1 \end{array} \right) = k \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g \nparallel h \ \Rightarrow \ g \times h$$
$$\begin{align}
I: \ &-3&+&2s&=&0&+&t \\
II: \ &1&-&s&=&2&+&2t
\end{align}$$
$$I + 2 \cdot II: \ -1 = 4 + 5t \ \rightarrow \ t = -1$$
$$t \ in \ h: S = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \end{array} \right) + (-1) \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \end{array} \right)$$}}

Sind die $2$ Geraden in der '''allgemeinen Geradenform''' gegeben, so haben wir bereits $2$ Gleichungen, die wir nach $x$ und $y$ auflösen. Dieses $x$ und $y$ sind die Koordinaten des Schnittpunktes. Sollte sich keine Lösung ergeben, so schneiden sich die Geraden nicht.

Um das Schneiden von Geraden besser zu verstehen, schau dir das Lösen von [[ Gleichungssysteme (2.7.) |Gleichungssystemen]] genauer an, wirf einen Blick auf die Beispiele zum $\mathbb{R^2}$ unter dem Tab 'Beispiele', oder sieh dir dieses Video an:

<div align="center">{{#ev:youtube|ZrFE3LRisn0}}</div>
 
 

===Normalabstand Punkt - Gerade===
[[Datei:Normalabstand.gif|right]]Gegeben sei ein Punkt $Q(x_Q|y_Q)$ und eine Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$. Um den Normalabstand $d(Q,g)$ zwischen $Q$ und $g$ zu berechnen, gehe wie folgt vor: 
{{Vorlage:Merke|1=1. Bestimme die Gerade $q: X = Q + s \cdot \vec{n}$, die durch $Q$ geht und den Normalvektor $\vec{n}$ von $\vec{a}$ als Richtungsvektor besitzt.
2. Schneide $g$ und $q$ und du erhältst deren Schnittpunkt $S$. 
3. Berechne $\parallel \vec{QS} \parallel$.}}
In der Grafik rechts hätten wir z. B. die Angabe $g: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right) + \lambda \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array} \right)$ und $Q(3|4)$. Du kannst das zur Übung durchrechnen.
 
 
 

====Hesse'sche Abstandsformel====
Mithilfe dieser Formel kann man ebenfalls den Abstand $d(Q,g)$ zwischen Punkt $Q(x_Q|y_Q)$ und Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$ bestimmen. $$d(Q,g) = | \vec{PQ} \cdot \vec{n_0} |$$ wobei $\vec{n_0}$ der normierte (Länge $1$) Normalvektor des Richtungsvektors $\vec{a}$ der Geraden $g$ ist.
 
 

====Spiegelung eines Punktes an einer Geraden====
[[Datei:Spiegeln.png|thumb|right|250px|Gespiegelter Punkt Q']]Gegeben sei ein Punkt $Q(x_Q|y_Q)$ und eine Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$. Es gilt den Punkt $Q$ an der Gerade $g$ zu spiegeln, und so den Punkt $Q'$ zu erhalten. Dazu befolgst du die Vorgehensweise von "Normalabstand Punkt - Gerade" bis du den Vektor $\vec{QS}$ erhältst und trägst diesen vom Punkt $S$ ab, also:
$$Q' = S + \vec{QS}$$
 
 
 
 

=Im $\mathbb{R^3}$=
==Vektoren==
===Kreuzprodukt===
Im $\mathbb{R^3}$ gibt es neben dem Skalarprodukt, bei dem wir als Ergebnis ein Skalar erhalten, eine weitere Möglichkeit, zwei Vektoren miteinander zu multiplizieren: das sogenannte Kreuz- oder Vektorprodukt, bei dem wir als Ergebnis einen Vektor erhalten.{{Vorlage:Merke|1=Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren des $\mathbb{R^3}$, dann ist ihr Kreuzprodukt
$$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} y_a \cdot z_b - z_a \cdot y_b \\ z_a \cdot x_b - x_a \cdot z_b \\ x_a \cdot y_b - y_a \cdot x_b \end{array} \right)$$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ -3 \end{array} \right)$, gesucht ist ihr Kreuzprodukt.|

2=$$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \cdot (-3) - 3 \cdot 4 \\ 3 \cdot 5 - 1 \cdot (-3) \\ 1 \cdot 4 - 2 \cdot 5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-6) - 12 \\ 15 - (-3) \\ 4 - 10 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -18 \\ 18 \\ -6 \end{array} \right)$$}}

Wozu wir das Kreuzprodukt überhaupt benötigen, sehen wir in den folgenden beiden Unterabschnitten.

====Normalvektoren====
Im $\mathbb{R^3}$ gibt es zu einem Vektor unendlich viele Normalvektoren. Auf eine Ebene allerdings gibt es genau $2$ Normalvektoren (wie im $\mathbb{R^2}$ auf eine Gerade). Eine Ebene wird von $2$ Vektoren aufgespannt, deren Kreuzprodukt ergibt einen Normalvektor $\vec{n_1}$. Dieser steht normal auf die Ebene bzw. auf die beiden Vektoren. Der zweite Normalvektor hat die entgegengesetzte Orientierung ($\vec{n_2} = -\vec{n_1}$). Man schreibt $$\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$$
 

====Fläche eines von zwei Vektoren aufgespannten Parallelogramms oder Dreiecks====
[[Datei:FlächeNormalvektor.png|thumb|right|none|250px|$2$ Vektoren spannen ein Dreieck bzw. Parallelogramm auf]] 
{{Vorlage:Merke|1=Die Länge $\parallel \vec{n} \parallel = \parallel \vec{a} \times \vec{b} \parallel$ des Normalvektors $\vec{n}$ zu den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ entspricht der Maßzahl des Flächeninhaltes des Parallelogramms, das $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aufspannen (im Bild die gesamte grüne Fläche).
Die Hälfte dieser Fläche entspricht der Fläche des aufgespannten Dreiecks.}}

 

===Skalarprodukt, Orthogonalitätskriterium, Winkel zwischen zwei Vektoren===
Das Skalarprodukt, Orthogonalitätskriterium und Winkelmaß für Vektoren in $\mathbb{R^3}$ ist analog definiert wie in $\mathbb{R^2}$. Wir wiederholen nochmals kurz: 

'''Skalarprodukt''' 
Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\z_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren, dann ist $$\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right) = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b + z_a \cdot z_b$$ gleich ihr Skalarprodukt.
 

{|border=1 align=center
|-
! Übungsaufgabe
|-
| <ggb_applet width="700" height="500" version="5.0" id="ZqtPwRDx" />
|}

'''Orthogonalitätskriterium''' 
Ergibt das Skalarprodukt zweier Vektoren $0$, so stehen diese zwei Vektoren normal zueinander (und umgekehrt).
$$\vec{a} \cdot \vec{b} \ = \ 0 \ \Leftrightarrow \ \vec{a} \bot \vec{b}$$
 
 

'''Winkel zwischen zwei Vektoren'''
$$cos{\varphi} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel} = \vec{a_0} \cdot \vec{b_0}$$
 
 

==Geraden==
===Darstellungsformen===
====Parameterdarstellung====
Die Parameterdarstellung im $\mathbb{R^3}$ sieht genauso aus wie im $\mathbb{R^2}$, einziger Unterschied ist, dass unsere Punkte und Vektoren hier jeweils $3$ Koordinaten haben.$$g: X = P + t \cdot \vec{a}$$ bzw. $$g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \\ z = z_P + t \cdot z_a \end{cases}$$
Mehr Infos zu den einzelnen Komponenten findest du unter dem Tab 'Im $\mathbb{R^2}$'.

====Parameterfreie Darstellungsform====
Diese besteht aus $2$ Gleichungen und wir erhalten sie durch Eliminierung des Parameters.

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sei die Parameterform der Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ -4 \\ 1 \end{array} \right)$. Zuerst schreiben wir das in die $3$ Koordinatengleichungen um:
$$g : \begin{cases} x = 2 + 3t \\ y = 0 - 4t \\ z = 1 + t \end{cases}$$

|2=Wir multiplizieren die erste Gleichung mit $4$ und die zweite Gleichung mit $3$ und addieren die beiden: $$+ \begin{cases} 4x = 8 + 12t \\ 3y = 0 - 12t \end{cases}$$ Wir erhalten die Gleichung $4x + 3y = 8$.
Anschließend multiplizieren wir die dritte Gleichung mit $3$ und subtrahieren diese von der ersten Gleichung: $$- \begin{cases} x = 2 + 3t \\ 3z = 3 + 3t \end{cases}$$ So erhalten wir die Gleichung $x - 3z = -1$.
Die parameterfreie Darstellung unserer Geraden lautet somit $$g : \begin{cases} 4x + 3y = 8 \\ x - 3z = -1 \end{cases}$$}}

Die zwei Gleichungen in der parameterfreien Darstellung sind übrigens Ebenengleichungen. Die eigentliche Gerade ist der Schnitt dieser zwei Ebenen.
 
 

===Lagebeziehungen zwischen Geraden===
Mehrere Geraden können im $\mathbb{R^3}$

* ident sein, d. h. sie haben unendlich viele gemeinsame Punkte.
* parallel sein, d. h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt.
* einander schneiden, d. h. sie haben genau einen gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt).
* windschief sein, d. h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt und sind nicht parallel.

Um herauszufinden, wie $2$ gegebene Geraden in Parameterform zueinander stehen, gehst du am besten wie folgt vor:

'''Betrachtung der Richtungsvektoren:''' Auch im $\mathbb{R^3}$ gilt, sind die Richtungsvektoren zweier Geraden parallel zueinander (d. h. man kann einen Vektor als Vielfaches des anderen Vektors darstellen), so sind es auch die Geraden.

'''Fall 1: Die Vektoren sind parallel:''' Sollte sich herausstellen, dass die zwei Geraden parallel zueinander sind, überprüfst du als nächstes, ob sie einen gemeinsamen Punkt haben; am einfachsten funktioniert das, indem du den bekannten Punkt ($P$) der einen Geraden in die zweite Gerade (für den unbekannten Punkt $X$) einsetzt. Wir erhalten drei Gleichungen in einer Unbekannten (Parameter der zweiten Gerade). 
'''Fall 1a:''' Erhalten wir nun für den Parameter dreimal dasselbe Ergebnis, so sind die $2$ Geraden '''ident''' (und parallel), da der überprüfte Punkt, und somit unendlich weitere, auf beiden Geraden liegen. 
'''Fall 1b:''' Erhalten wir unterschiedliche Ergebnisse, so sind sie nur '''parallel''', da der überprüfte Punkt, und somit auch kein anderer, nicht auf beiden Geraden liegt.

'''Fall 2: Die Vektoren sind nicht parallel:''' Nun gibt es nur noch zwei Möglichkeiten: Entweder die zwei Geraden haben einen gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt), oder sie sind windschief. 
Um das wiederum herauszufinden, setzt du die beiden Geraden gleich, d. h. du stellst ein lineares Gleichungssystem (LGS) mit drei Gleichungen und in drei Unbekannten auf, und versuchst, dieses zu lösen. 
'''Fall 2a:''' Solltest du nun eine Lösung erhalten, d. h. du erhältst den Wert für den Parameter einer der zwei Geraden (und hast diesen Wert überprüft), so weißt du, dass die zwei Geraden einander '''schneiden'''. Den Schnittpunkt erhältst du jetzt, indem du den erhaltenen Wert für den Parameter in die entsprechende Geradengleichung einsetzt. 
'''Fall 2b:''' Sollte dein LGS keine Lösung ergeben (also sich eine falsche Aussage oder ein Widerspruch ergeben, z. B. $2=13$, oder $t=4$ und $t=-1$), dann weißt du, dass deine beiden Geraden keinen Schnittpunkt haben und somit '''windschief''' sind.

Zum besseren Verständnis siehst du dir am besten das folgende Video und die beiden folgenden Beispiele an.

<div align="center">{{#ev:youtube|u0QoYlEE094}}</div>

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die beiden Geraden $g: X = \left( \begin{array}{c} 0 \\ -11 \\ -3 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right)$ und $h: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ -3 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right)$. Überprüfe deren gegenseitige Lage und gegebenenfalls ihren Schnittpunkt!|2=Zuerst überprüfen wir die Richtungsvektoren der beiden Geraden, um festzustellen, ob diese parallel zueinander sind oder nicht: $$\nexists \lambda : \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) = \lambda \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) \nparallel \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g \nparallel h$$
$g$ und $h$ sind also nicht parallel. Sie können also entweder einander schneiden oder windschief sein. Stellen wir nun ein LGS auf, indem wir die beiden Geraden gleichsetzen:
$$\begin{align}
I: \ &&&s&=&2&+&t \\
II: \ &-11&+&2s&=&3&-&3t \\
III: \ &-3&+&s&=&-3&+&2t
\end{align}$$ 
Wir subtrahieren $III$ von $I$: $- \begin{cases} &s &=& 2 + t \\ -3 + &s &=& -3 + 2t \end{cases} \ \rightarrow \ 3 = 5 - t \Rightarrow t = 2$ 
Wir überprüfen dieses Ergebnis für $t$, indem wir $t=2$ in alle $3$ Gleichungen einsetzen. Wir sehen dann, dass wir überall dasselbe Ergebnis für $s$ erhalten, nämlich $s=4$. Daraus folgt, dass die Geraden einander '''schneiden'''. Setzen wir nun $t=2$ oder $s=4$ in die entsprechende Geradengleichung ein, so erhalten wir den Schnittpunkt $S(4\vert -3\vert 1)$ der beiden Geraden.
}}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die beiden Geraden $g: X = \left( \begin{array}{c} 3 \\ -2 \\ 0 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right)$ und $h: X = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$. Überprüfe deren gegenseitige Lage und ggf. ihren Schnittpunkt! |2=Zuerst überprüfen wir wieder die Richtungsvektoren der beiden Geraden: $$\nexists \lambda : \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) = \lambda \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) \nparallel \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g \nparallel h$$
Nun stellen wir wieder ein LGS auf:
$$\begin{align}
I: \ &3&+&2s&=&4&-&t \\
II: \ &-2&-&2s&=&3&& \\
III: \ &&&s&=&1&+&t
\end{align}$$ 

Aus der zweiten Gleichung lässt sich direkt berechnen, dass $s=- \frac{5}{2}$. Dies setzen wir nun in die erste und zweite Gleichung ein und erhalten einmal $3 - 5 = 4 - t \ \Rightarrow \ t=6$ und einmal $- \frac{5}{2} = 1 + t \ \Rightarrow \ t=- \frac{7}{2}$. Diese beiden Werte für $t$ sind offensichtlich voneinander unterschiedlich, daraus folgt, dass die beiden Geraden $g$ und $h$ '''windschief''' sind.
}}

==Ebenen==
Eine Ebene ist durch $3$ Punkte oder $1$ Punkt und $2$ (voneinander linear unabhängigen) Vektoren eindeutig festgelegt.

===Darstellungsformen===
====Parameterdarstellung====
[[Datei:ebene2.png|thumb|right|350px|von Punkt und Vektoren aufgespannte Ebene]]
$$\epsilon : X = P + s \cdot \vec{a} + t \cdot \vec{b}$$
bzw.
$$\epsilon : \begin{cases} x = x_P + s \cdot x_a + t \cdot x_b \\ y = y_P + s \cdot y_a + t \cdot y_b \\ z = z_P + s \cdot z_a + t \cdot z_b \end{cases}$$
wobei

* $X \in \epsilon$ ist ein '''beliebiger''' Punkt auf der unendlichen Ebene
* $P \in \epsilon$ ist ein '''bekannter''' Punkt auf der Ebene
* $s, t \in \mathbb{R}$ sind freie Parameter
* $\vec{a}, \vec{b} \in \mathbb{R^3}$ sind zwei Vektoren, die parallel zur Ebene liegen

====Normalvektorform====
Man multipliziert die Parameterdarstellung der Ebene mit ihrem Normalvektor $\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$ und erhält$$\vec{n} \cdot \vec{X} = \vec{n} \cdot \vec{P}$$

====Allgemeine Ebenengleichung====
$$ax + by + cz = d$$Diese Form der Darstellung heißt auch Normalform, da man den Normalvektor der Ebene direkt ablesen kann. Um von der Parameterdarstellung auf diese Form zu kommen, gibt es $2$ Möglichkeiten:

'''1. Multiplikation mit Normalvektor:'''
Hierzu muss man einfach die Normalform ausmultiplizieren und es ergibt sich:

$$\epsilon: x_n \cdot x + y_n \cdot y + z_n \cdot z = x_n \cdot x_P + y_n \cdot y_P + z_n \cdot z_P$$

'''2. Elimination des Parameters:'''
Hierbei gehen wir von der Ebenengleichung $\epsilon : \begin{cases} x = x_P + s \cdot x_a + t \cdot x_b \\ y = y_P + s \cdot y_a + t \cdot y_b \\ z = z_P + s \cdot z_a + t \cdot z_b \end{cases}$ aus, eliminieren $s$ und $t$, und kommen ebenfalls auf die obige allgemeine Ebenengleichung.

Zur Veranschaulichung ein Beispiel zu den verschiedenen Darstellungsformen:
{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die drei Punkte $A(1 \vert 1 \vert 1), B(-1 \vert -4 \vert 2), C(0 \vert 3 \vert -1)$. Gib die Ebene, die diese drei Punkte aufspannen, in Parameterform, Normalform und allgemeiner Ebenengleichung an!|2=Für die Parameterform berechnen wir erst zwei beliebige Vektoren aus den $3$ Punkten, z. B. $\vec{AB} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{AC} = \left( \begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right)$. Als Parameterform erhalten wir schließlich:
$$\epsilon: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right)$$ Um auf die Normalform zu kommen, bestimmen wir als erstes den Normalvektor der Ebenen: $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-5) \cdot (-2) - 1 \cdot 2 \\ 1 \cdot (-1) - (-2) \cdot (-2) \\ (-2) \cdot 2 - (-5) \cdot (-1) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right)$. 
Nun die Parametergleichung mit dem Normalvektor multiplizieren und wir erhalten auch die Normalform:
$$\epsilon: \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)$$ 
Um nun noch die allgemeine Ebenenform zu erhalten, multipliziert man am einfachsten die Normalform aus und erhält:
$$\epsilon: 8x - 5y -9z =-6$$ 
Aber auch die Elimination der Parameter soll hier gezeigt werden. Wir gehen aus von: $$\epsilon : \begin{cases} x = 1 - 2s - t \\ y = 1 - 5s + 2t \\ z = 1 + s - 2t\end{cases}$$
Addieren wir die $y$- und die $z$-Gleichung, können wir $t$ eliminieren: $+ \begin{cases} y = 1 - 5s + 2t \\ z = 1 + s - 2t \end{cases} \ \Rightarrow \ y + z = 2 - 4s$. 
Wir können $t$ ebenfalls eliminieren, indem wir die $y$-Gleichung zum $2$-fachen der $x$-Gleichung addieren: $+ \begin{cases} 2x = 2 - 4s - 2t \\ y = 1 - 5s + 2t \end{cases} \ \Rightarrow \ 2x + y = 3 -9s$. 
Nun haben wir zwei Gleichungen, die nur mehr von $s$ abhängig sind. Um diesen Parameter nun auch noch zu eliminieren, multiplizieren wir die erste Gleichung mit $(-9)$ und die zweite mit $4$ und addieren diese, um nochmals auf die allgemeine Ebenengleichung zu kommen.
$$+ \begin{cases} 8x + 4y = 12 - 36s \\ -9y - 9z = -18 + 36s \end{cases} \ \Rightarrow \ \epsilon: 8x - 5y -9z =-6$$
}}

===Lagebeziehungen===
====...zwischen zwei Ebenen====
Zwei Ebenen können im $\mathbb{R^3}$

* ident sein: die Ebenengleichungen (allg. Form) sind Vielfache voneinander;

z. B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : 2x + 2y + 2z = 6 \Rightarrow \epsilon _2 = 2 \cdot \epsilon _1$

* parallel sein: die Normalvektoren der Ebenen sind Vielfache voneinander;

z. B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : 2x + 2y + 2z = 5 \Rightarrow \vec{n_2} = 2 \cdot \vec{n_1}$

* einander schneiden (in einer Geraden): die Normalvektoren der Ebenen sind keine Vielfache voneinander;

z. B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : x - 3y + 2z = 1 \Rightarrow \nexists \lambda \in \mathbb{R} : \vec{n_1} = \lambda \cdot \vec{n_2}$

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:Ebenenident2.png|2 Ebenen sind ident
Datei:Ebenenparallel2.png|2 Ebenen sind parallel
Datei:Ebenenschnittgerade2.png|2 Ebenen schneiden einander in einer Geraden
</gallery>

 
'''Berechnen der Schnittgeraden''' 
Erkennt man durch Betrachtung der Normalvektoren zweier Ebenen, dass diese einander schneiden müssen, so kann man diese Schnittgerade berechnen. Dazu erstellt man aus den beiden Ebenengleichungen ein lineares Gleichungssystem in $3$ Unbekannten. $2$ Gleichungen - $3$ Unbekannte: Wir werden hier nicht für alle Unbekannten einen Zahlenwert erhalten, können aber $2$ Unbekannte in Abhängigkeit der dritten darstellen. Diese dritte Unbekannte wird uns als Parameter für die Darstellung der Geraden dienen. Zur Veranschaulichung ein Beispiel:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die beiden Ebenen $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : x - 3y + 2z = 1$. Wie wir weiter oben schon festgestellt haben, müssen diese Ebenen einander schneiden, da die beiden Normalvektoren der Ebenen $\vec{n_1}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{n_2}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right)$ linear unabhängig sind, also $\nexists \lambda \in \mathbb{R} : \vec{n_1} = \lambda \cdot \vec{n_2}$. 
Wir wählen nun eine der Koordinaten als Parameter, z. B. $z=t$ und stellen das Gleichungssystem auf.

|2=

$$\begin{align}I: \ &x&+&y&+&t&=&3 \\
II: \ &x&-&3y&+&2t&=&1
\end{align}$$

Wir subtrahieren $I-II$ und erhalten
$$4y - t = 2 \ \Rightarrow \ y = \frac{1}{2} + t \cdot \frac{1}{4}$$
Nun setzen wir unser erhaltenes $y$ in die erste Gleichung ein, um $x$ zu erhalten:

$$I: \ x + \frac{1}{2} + t \cdot \frac{1}{4} + t = 3 \ \Rightarrow \ x = \frac{5}{2} - t \cdot \frac{5}{4}$$
Somit haben wir alle Ausdrücke der Koordinaten gefunden ($z=t$ haben wir anfangs festgelegt) und können die Parameterdarstellung der Schnittgeraden angeben:
$$g: X = \left( \begin{array}{c} \frac{5}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 0 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} - \frac{5}{4} \\ \frac{1}{4} \\ 1 \end{array} \right)$$
}}

====...zwischen drei Ebenen====
Drei Ebenen können im $\mathbb{R^3}$

* alle ident sein
* $2$ ident, $1$ parallel sein
* alle parallel sein
* $3$ Schnittgeraden haben
* $2$ Schnittgeraden haben ($2$ Ebenen parallel)
* $1$ Schnittgerade haben
* $1$ Schnittpunkt haben

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:Ebenenident3.png|$3$ Ebenen sind ident
Datei:Ebenenidentparallel.png|$2$ Ebenen sind ident, $1$ parallel
Datei:Ebenenparallel3.png|$3$ Ebenen sind parallel
Datei:Ebenenschnittgeraden33.png|$3$ Ebenen schneiden einander in $3$ Geraden
Datei:Ebenenschnittgeraden32.png|$3$ Ebenen schneiden einander in $2$ Geraden ($2$ Ebenen parallel)
Datei:Ebenenschnittgerade3.png|$3$ Ebenen schneiden einander in einer Geraden
Datei:Ebenenschnittgerade31.png|$3$ Ebenen schneiden einander in einer Geraden ($2$ Ebenen ident)
Datei:Ebenenschnittpunkt3.png|$3$ Ebenen schneiden einander in einem Punkt
</gallery>

====...zwischen Ebene und Gerade====
Eine Ebene und eine Gerade können im $\mathbb{R^3}$

* $g \subset \epsilon$, die Gerade liegt auf der Ebene

Hierbei haben die Gerade und die Ebene einen gemeinsamen Punkt und der Richtungsvektor der Geraden steht normal auf den Normalvektor der Ebene, daraus folgt, dass sie unendlich viele gemeinsame Punkte haben.

* parallel sein

Irgendein Punkt der Geraden liegt nicht auf der Ebene, der Richtungsvektor der Geraden steht normal auf den Normalvektor der Ebene, daraus folgt, dass sie keinen einzigen gemeinsamen Punkt haben.

* $1$ Schnittpunkt haben

Der Richtungsvektor der Geraden steht nicht normal auf den Normalvektor der Ebene.

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:GeradeinEbene.png|Gerade liegt auf der Ebene
Datei:GeradepararallelEbene.png|Gerade und Ebene sind parallel zueinander
Datei:GeradeSchnittpunktEbene.png|Gerade und Ebene schneiden einander (Schnittpunkt)
</gallery>

Zur Überprüfung der Lagebeziehung gibt es allerdings noch eine andere (schnellere) Methode. Hier „schneiden“ wir die Gerade und die Ebene mathematisch, d. h. wir setzen sie gleich (wenn beide in Parameterform gegeben sind) oder setzen die Gerade $g$ (Parameterform) in die Ebene $\epsilon$ (allg. Ebenengleichung) ein. 
Wir erhalten dadurch ein Gleichungssystem oder eine einzelne Gleichung.

Sei die Gerade gegeben als $g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \\ z = z_P + t \cdot z_a \end{cases}$ und die Ebene als $\epsilon : \begin{cases} x = x_Q + s \cdot x_b + u \cdot x_c \\ y = y_Q + s \cdot y_b + u \cdot y_c \\ z = z_Q + s \cdot z_b + u \cdot z_c \end{cases}$ (Parameterform) oder $\epsilon : ax + by + cz = d$ (allg. Ebenengleichung).

Wir erhalten als Gleichungssystem durch Gleichsetzen der Gleichungen der Parameterformen:
$$\begin{cases} x_P + t \cdot x_a = x_Q + s \cdot x_b + u \cdot x_c \\ y_P + t \cdot y_a = y_Q + s \cdot y_b + u \cdot y_c \\ z_P + t \cdot z_a = z_Q + s \cdot z_b + u \cdot z_c \end{cases}$$ 
Wir erhalten durch Einsetzen der Geraden in die Ebene (allg. Ebenengleichung):
$$a \cdot (x_P + t \cdot x_a) + b \cdot (y_P + t \cdot y_a) + c \cdot (z_P + t \cdot z_a) = d$$

Ergibt sich hier eine wahre Aussage (z. B. $1=1$), also unendlich viele Lösungen, so liegt die Gerade in der Ebene. 
Ergibt sich eine falsche Aussage (z. B. $1=2$), also keine Lösung, so schneiden die beiden Objekte einander nicht, also sind sie parallel. 
Gibt es genau eine Lösung (z. B. $t=2$), so existiert genau ein gemeinsamer Punkt $=$ Schnittpunkt. Diesen erhält man, indem man den ermittelten Wert für den Parameter $t$ der Geraden in die Geradengleichung einsetzt (oder, wenn die Ebene in Parameterform gegeben war, die beiden Werte für die Parameter $s$ und $u$ der Ebene in die Ebenengleichung einsetzt). Dazu $2$ Beispiele, wobei wir im ersten mit der Ebene in Parameterform rechnen werden:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right)$ und die Ebene $\epsilon : X = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -1 \\ -3 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) + u \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 0 \end{array} \right)$. Stellen wir nun also unser Gleichungssystem auf:

|2=\begin{align}

I: \ & \ 1&-t&=&4& &+2u \\
II: \ &-3& &=&-1&+s&-u \\
III: \ & \ 2&+2t&=&-3&+s&
\end{align}

In der ersten Gleichung drücken wir $u$ in $t$ aus: $u = - \frac{3}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$ 
In der zweiten Gleichung drücken wir $s$ in $u$ aus: $s = -2 + u$ 
Das $u$ von oben setzen wir nun hier ein und erhalten $s$ in Abhängigkeit von $t$: $s = - \frac{7}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$.

Dieses $s$ setzen wir nun in die dritte Gleichung ein und wir erhalten: $2 + 2t = -3 - \frac{7}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$ und in weiterer Folge $t = - \frac{17}{5}$. 
Es ergibt sich also genau eine Lösung für das Gleichungssystem, was bedeutet, dass die Gerade und die Ebene einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen. Diesen erhalten wir, indem wir den errechneten Wert für $t$ in die Geradengleichung einsetzen (Man könnte natürlich auch noch die Werte für $s$ und $u$ berechnen, und diese in die Ebenengleichung einsetzen; zur Übung kannst du das gerne tun):
$$g: S = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) - \frac{17}{5} \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \frac{23}{5} \\ -3 \\ - \frac{24}{5} \end{array} \right)$$
}}

Betrachten wir nun dasselbe Beispiel, mit dem Unterschied, dass die Ebene in Normalform gegeben ist und wir auch gleich mit dieser Form rechnen:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right)$ und die Ebene $\epsilon : x + 2y - 2z = 8$. Wir setzen die Koordinatengleichungen der Gerade in die Normalform der Ebene ein:

|2= $g$ in $\epsilon$: $$1 - t - 6 - 4 -4t =8$$

Wenn wir diese Gleichung lösen, erhalten wir wie im ersten Beispiel $t = - \frac{17}{5}$. Dies noch in die Geradengleichung einsetzen und wir erhalten den Schnittpunkt.}}

Da man bei der zweiten Methode meistens weniger Rechenaufwand hat, zahlt es sich oft aus, die Parameterdarstellung der Ebene in die Normalform ($=$ allg. Ebenengleichung) umzurechnen.

==Pyramidenbeispiel==
[[Datei:Pyramidebsp.png|thumb|right|350px|Pyramide]]Gegeben seien $3$ Eckpunkte $A(-2 \vert -2 \vert 1), B(2 \vert -2 \vert 1), C(2 \vert 2 \vert 1)$ der quadratischen Grundfläche und die Spitze $S(0 \vert 0 \vert 6)$ einer geraden (gerade bedeutet, dass die Spitze in einem rechten Winkel über dem Mittelpunkt der Grundfläche der Pyramide liegt) Pyramide.
Gesucht sind:

# der vierte Eckpunkt $D$ der Grundfläche
# die Parameterdarstellung der Trägergeraden $h$ der Höhe
# die Fläche der Grundfläche
# die Geradengleichung der Geraden $g_{AS}$ auf der $A$ und $S$ liegen in a) Parameterform und b) parameterfreier Form
# Der Winkel $\alpha$ zwischen den Vektoren $\vec{AS}$ und $\vec{AC}$
# Zeige, dass der Schnittpunkt der Geraden $g_{AS}$ und $h$ gleich die Spitze $S$ ist
# Gib die Ebenengleichung $\epsilon$ der Grundfläche in a) Parameterform, b) Normalform und c) allgemeiner Ebenengleichung an
# Berechne den Fußpunkt $M$ der Höhe, indem du $h$ und $\epsilon$ schneidest
 

1. $D = A + \vec{BC} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -2 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right)$ 
2. $h: X = S + t \cdot \vec{h}$
$$\vec{AB} \times \vec{BC} = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 16 \end{array} \right) \ \parallel \ \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) = \vec{h}$$
$$h: X = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$$ 
3. $G = \parallel \vec{AB} \times \vec{BC} \parallel = \parallel \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 16 \end{array} \right) \parallel = 16FE$ 
4. a) $g_{AS}: X = A + u \cdot \vec{AS}$
$$\vec{AS} = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g_{AS}: X = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + u \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right)$$ oder $$g_{AS}:\begin{cases} x = -2 + 2u \\ y = -2 + 2u \\ z = 1 + 5u \end{cases}$$
b) Parameter elimieren:
$$x - y: x-y = 0$$
$$5x - 2z: 5x - 2z = -12$$
$$\Rightarrow g_{AS}:\begin{cases} x - y = 0 \\ 5x - 2z = -12 \end{cases}$$ 
5. $\measuredangle \vec{AS},\vec{AC} = \alpha = arccos{\frac{\vec{AS} \cdot \vec{AC}}{\parallel \vec{AS} \parallel \cdot \parallel \vec{AC} \parallel}} = arccos{\frac{\left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right)}{\parallel \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) \parallel \cdot \parallel \left( \begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) \parallel}} = arccos{\frac{16}{\sqrt{33 \cdot 32}}} = 60,5°$ 
6. $g_{AS}$ und $h$ gleichsetzen:
$$\begin{align}
I: \ &-2&+&2u&=&0&& \\
II: \ &-2&+&2u&=&0&& \\
III: \ & \ \ 1&+&5u&=&6&+&t
\end{align}
\ \ \ \rightarrow u=1$$
$$g_{AS}: S = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + 1 \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array} \right)$$ 
7. a) $\epsilon: X = A + v \cdot \vec{AB} + w \cdot \vec{BC} \ \rightarrow \ \epsilon: X = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + v \cdot \left( \begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) + w \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right)$ 
b) $\epsilon: \vec{n} \cdot \vec{X} = \vec{n} \cdot \vec{A} \ \rightarrow \ \epsilon: \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right)$ 
c) $\epsilon: z = 1$ 
8. $h:\begin{cases} x=0 \\ y=0 \\ z=6+t \end{cases} \ \ \epsilon: z=1 \ \ \rightarrow \ 1 = 6 + t \ \Rightarrow \ t=-5$ 
$h: M = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array} \right) -5 \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$

=Beispiele=

== Interaktive Quizzes ==

=== Grundlagen und geometrische Deutung von Vektoren und Rechenoperationen(AG 3.1-3.3) ===
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=== Vektoren - Geraden in der Ebene (AG 3.4) ===
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=== Vektoren - Geraden im Raum (AG 3.4) ===
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=== Normalvektoren (AG 3.5) ===
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}}
 

== Weitere Aufgaben ==

===Grundlagen der Vektorrechnung===
[https://www1.vobs.at/maturawiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/9/99/VektorrechnungGLBspAngabe.pdf VektorrechnungGLBspAngabe.pdf] 
[https://www1.vobs.at/maturawiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/0/00/VektorrechnungGLBspL%C3%B6sung.pdf VektorrechnungGLBspLösung.pdf]

===Vektorrechnung im $\mathbb{R^2}$===
[https://www1.vobs.at/maturawiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/7/7f/VektorrechnungR2BspAngabe.pdf VektorrechnungR2BspAngabe.pdf] 
[https://www1.vobs.at/maturawiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/f/ff/VektorrechnungR2BspL%C3%B6sung.pdf VektorrechnungR2BspLösung.pdf]

===Vektorrechnung im $\mathbb{R^3}$===
[https://www1.vobs.at/maturawiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/b/b0/VektorrechnungR3BspAngabe.pdf VektorrechnungR3BspAngabe.pdf] 
[https://www1.vobs.at/maturawiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/8/84/VektorrechnungR3BspL%C3%B6sung.pdf VektorrechnungR3BspLösung.pdf]

Grundkompetenzen AHS

2020-04-11T14:02:48Z

PeterLamp: /* Schließende/Beurteilende Statistik */

Die folgenden Tabellen listen alle Grundkompetenzen für die AHS auf.

Die Grundkompetenzen sind in insgesamt $4$ Inhaltsbereiche gegliedert:

==Algebra und Geometrie==
===Grundbegriffe der Algebra===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AG 1.1
||Wissen über die Zahlenmengen $ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, ℂ$ verständig einsetzen können
||[[Zahlenmengen | Theorie]]
||[[Zahlenmengen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 1.2
||Wissen über algebraische Begriffe angemessen einsetzen können: Variable, Terme, Formeln, (Un-)Gleichungen, Gleichungssysteme, Äquivalenz, Umformungen, Lösbarkeit
||[[Algebraische Begriffe | Theorie]]
||[[Quiz #Algebraische Grundbegriffe (AG 1.2) | Beispiele]]
|}
Anmerkungen: Bei den Zahlenmengen soll man die Mengenbezeichnungen und die Teilmengenbeziehungen kennen, Elemente angeben sowie zuordnen können und die reellen Zahlen als Grundlage kontinuierlicher Modelle kennen. Zum Wissen über die reellen Zahlen gehört auch, dass es Zahlenbereiche gibt, die über $ℝ$ hinausgehen. Die algebraischen Begriffe soll man anhand von einfachen Beispielen beschreiben/erklären und verständig verwenden können. 

===(Un-)Gleichungen und Gleichungssysteme===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AG 2.1
||einfache Terme und Formeln aufstellen, umformen und im Kontext deuten können
||[[Terme und Formeln| Theorie]]
||[[Formeln #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 2.2
||lineare Gleichungen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen und die Lösung im Kontext deuten können
||[[lineare Gleichungen mit einer Variablen | Theorie]]
||[[lineare Gleichungen mit einer Variablen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 2.3
||quadratische Gleichungen in einer Variablen umformen/lösen, über Lösungsfälle Bescheid wissen, Lösungen und Lösungsfälle (auch geometrisch) deuten können
||[[Quadratische Gleichungen | Theorie]]
||[[Quadratische Gleichungen #Interaktives Quiz| Beispiele]]
|-
||AG 2.4
||lineare Ungleichungen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen, Lösungen (auch geometrisch) deuten können
||[[Lineare Ungleichungen mit 2 Variablen | Theorie]]
||[[Lineare Ungleichungen mit 2 Variablen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 2.5
||lineare Gleichungssysteme in zwei Variablen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen, über Lösungsfälle Bescheid wissen, Lösungen und Lösungsfälle (auch geometrisch) deuten können
||[[Gleichungssysteme | Theorie]]
||[[Gleichungssysteme #Interaktives Quiz| Beispiele]]
|}
Anmerkungen: Einfache Terme können auch Potenzen, Wurzeln, Logarithmen, Sinus etc. beinhalten. Mit dem Einsatz elektronischer Hilfsmittel können auch komplexere Umformungen von Termen, Formeln und Gleichungen, Ungleichungen und Gleichungssystemen durchgeführt werden. 

===Vektoren===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AG 3.1
||Vektoren als Zahlentupel verständig einsetzen und im Kontext deuten können
||[[Vektorrechnung | Theorie]]
||[[Vektorrechnung #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 3.2
||Vektoren geometrisch (als Punkte bzw. Pfeile) deuten und verständig einsetzen können
||[[Vektorrechnung | Theorie]]
||[[Vektorrechnung #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 3.3
||Definition der Rechenoperationen mit Vektoren (Addition, Multiplikation mit einem Skalar, Skalarmultiplikation) kennen, Rechenoperationen verständig einsetzen und (auch geometrisch) deuten können
||[[Vektorrechnung | Theorie]]
||[[Vektorrechnung #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 3.4
||Geraden durch (Parameter-)Gleichungen in $ℝ^2$ und $ℝ^3$ angeben können; Geradengleichungen interpretieren können; Lagebeziehungen (zwischen Geraden und zwischen Punkt und Gerade) analysieren, Schnittpunkte ermitteln können
||[[Vektorrechnung | Theorie]]
||[[Vektorrechnung #Beispiele| Beispiele]]
|-
||AG 3.5
||Normalvektoren in $ℝ^2$ aufstellen, verständig einsetzen und interpretieren können
||[[Vektorrechnung | Theorie]]
||[[Vektorrechnung #Beispiele | Beispiele]]
|}
Anmerkungen: Vektoren sind als Zahlentupel, also als algebraische Objekte, zu verstehen und in entsprechenden Kontexten ver-ständig einzusetzen. Punkte und Pfeile in der Ebene und im Raum müssen als geometrische Veranschaulichung dieser algebraischen Objekte interpretiert werden können. Die geometrische Deutung der Skalarmultiplikation (in $ℝ^2$ und $ℝ^3$) meint hier nur den Spezialfall $a\cdot b= 0$. Geraden sollen in Parameterform, in $ℝ^2$ auch in parameterfreier Form, angegeben und interpretiert werden können. 

===Trigonometrie===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AG 4.1
||Definitionen von ''Sinus'', ''Cosinus'' und ''Tangens'' im rechtwinkeligen Dreieck kennen und zur Auflösung rechtwinkeliger Dreiecke einsetzen können
||[[Trigonometrie | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|-
||AG 4.2
||Definitionen von ''Sinus'' und ''Cosinus'' für Winkel größer als $90°$ kennen und einsetzen können
||[[Trigonometrie | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|}
Anmerkungen: Die Kontexte beschränken sich auf einfache Fälle in der Ebene und im Raum, komplexe (Vermessungs-)Aufgaben sind hier nicht gemeint; Sinus- und Cosinussatz werden dabei nicht benötigt.
 
 

==Funktionale Abhängigkeiten==
===Funktionsbegriff, reelle Funktionen, Darstellungsformen und Eigenschaften===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||FA 1.1
||für gegebene Zusammenhänge entscheiden können, ob man sie als Funktionen betrachten kann
||[[Funktionen | Theorie]]
||[[Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 1.2
||Formeln als Darstellung von Funktionen interpretieren und dem Funktionstyp zuordnen können
||[[Funktionen_in_mehreren_Unbekannten| Theorie]]
||[[Funktionen_in_mehreren_Unbekannten #Beispielaufgaben + Interaktives Quiz| Beispiele]]
|-
||FA 1.3
||zwischen tabellarischen und grafischen Darstellungen funktionaler Zusammenhänge wechseln können
||[[Funktionen | Theorie]]
||[[Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 1.4
||aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Funktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können
||[[Funktionen | Theorie]]
||[[Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 1.5
||Eigenschaften von Funktionen erkennen, benennen, im Kontext deuten und zum Erstellen von Funktionsgraphen einsetzen können: Monotonie, Monotoniewechsel (lokale Extrema), Wendepunkte, Periodizität, Achsensymmetrie, asymptotisches Verhalten, Schnittpunkte mit den Achsen
||[[Funktionen | Theorie]]
||[[Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 1.6
||Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen grafisch und rechnerisch ermitteln und im Kontext interpretieren können
||[[Schnittpunkt zweier Funktionen | Theorie]]
||[[Schnittpunkt zweier Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 1.7
||Funktionen als mathematische Modelle verstehen und damit verständig arbeiten können
||[[mathematische Modelle | Theorie]]
||[[mathematische Modelle #Funktionen als mathematische Modelle (FA 1.7)| Beispiele]]
|-
||FA 1.8
||durch Gleichungen (Formeln) gegebene Funktionen mit mehreren Veränderlichen im Kontext deuten können, Funktionswerte ermitteln können
||[[Funktionen in mehreren Unbekannten | Theorie]]
||[[Funktionen in mehreren Unbekannten #Beispielaufgaben + Interaktives Quiz | Beispiele]]
|-
||FA 1.9
||einen Überblick über die wichtigsten (unten angeführten) Typen mathematischer Funktionen geben, ihre Eigenschaften vergleichen können
||[[Funktionen | Theorie]]
||[[Funktionen #Funktionstypen und deren Eigenschaften (FA 1.9) | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Auf eine sichere Unterscheidung zwischen funktionalen und nichtfunktionalen Zusammenhängen wird Wert gelegt,auf theoretisch bedeutsame Eigenschaften (z. B. Injektivität, Surjektivität, Umkehrbarkeit)wird aber nicht fokussiert. Im Vordergrund steht die Rolle von Funktionen als Modelle und die verständige Nutzung grundlegender Funktionstypen und deren Eigenschaften sowie der verschiedenen Darstellungsformen von Funktionen (auch $f:A→B$, $x↦f(x)$ ).
Die Bearbeitung von Funktionen mit mehreren Veränderlichen beschränkt sich auf die Interpretation der Funktionsgleichung im jeweiligen Kontext sowie auf die Ermittlung von Funktionswerten.
Der Verlauf von Funktionen soll nicht nur mathematisch beschrieben, sondern auch im jeweiligen Kontext gedeutet werden können.
 

===Lineare Funktion $f(x)=k\cdot x+d$===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||FA 2.1
||verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene lineare Zusammenhänge als lineare Funktionen erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können
||[[Lineare Funktionen| Theorie]]
||[[Lineare Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 2.2
||aus Tabellen, Graphen und Gleichungen linearer Funktionen Werte(paare) sowie die Parameter $k$ und $d$ ermitteln und im Kontext deuten können
||[[Lineare Funktionen | Theorie]]
||[[Lineare Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 2.3
||die Wirkung der Parameter $k$ und $d$ kennen und die Parameter in unterschiedlichen Kontexten deuten können
||[[Lineare Funktionen| Theorie]]
||[[Lineare Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 2.4
||charakteristische Eigenschaften kennen und im Kontext deuten können: $f(x+1)=f(x)+k; \frac {f(x_2)-f(x_1)} {x_2-x_1}=k=f'(x)$
||[[Lineare Funktionen | Theorie]]
||[[Lineare Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 2.5
||die Angemessenheit einer Beschreibung mittels linearer Funktion bewerten können
||[[Lineare Funktionen | Theorie]]
||[[Lineare Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 2.6
||direkte Proportionalität als lineare Funktion vom Typ $f(x)=k\cdot x$ beschreiben können

||[[Lineare Funktionen | Theorie]]
||[[Lineare Funktionen #Beispiele| Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Die Parameter $k$ und $d$ sollen sowohl für konkrete Werte als auch allgemein im jeweiligen Kontext interpretiert werden können. Entsprechendes gilt für die Wirkung der Parameter und deren Änderung.
 
 

===Potenzfunktion $f(x)=a\cdot x^z+b$, $z\in \mathbb{Z}$ oder mit $f(x)=a \cdot x^{ \frac{1}{2} }+b$===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||FA 3.1
||verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene Zusammenhänge dieser Art als entsprechende Potenzfunktionen erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können
||[[Potenzfunktionen | Theorie]]
||[[Potenzfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 3.2
||aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Potenzfunktionen Werte(paare) sowie die Parameter $a$ und $b$ ermitteln und im Kontext deuten können
||[[Potenzfunktionen | Theorie]]
||[[Potenzfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 3.3
||die Wirkung der Parameter $a$ und $b$ kennen und die Parameter im Kontext deuten können
||[[Potenzfunktionen | Theorie]]
||[[Potenzfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 3.4
||indirekte Proportionalität als Potenzfunktion vom Typ $f(x)=\frac {a} {x}$ (bzw. $f(x)=a\cdot x^{–1}$) beschreiben können
||[[indirekte Proportion | Theorie]]
||[[Potenzfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Wurzelfunktionen bleiben auf den quadratischen Fall $a\cdot x^\frac {1} {2}+b$ beschränkt.
 
 

===Polynomfunktion $f(x)=\sum_{i=0}^{n} a_i \cdot x^i$ mit $n \in ℕ$===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||FA 4.1
||typische Verläufe von Graphen in Abhängigkeit vom Grad der Polynomfunktion (er)kennen
||[[Polynomfunktionen | Theorie]]
||[[Polynomfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 4.2
||zwischen tabellarischen und grafischen Darstellungen von Zusammenhängen dieser Art wechseln können
||[[Polynomfunktionen | Theorie]]
||[[Polynomfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 4.3
||aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Polynomfunktionen Funktionswerte, aus Tabellen und Graphen sowie aus einer quadratischen Funktionsgleichung Argumentwerte ermitteln können
||[[Polynomfunktionen | Theorie]]
||[[Polynomfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 4.4
||den Zusammenhang zwischen dem Grad der Polynomfunktion und der Anzahl der Null- ,Extrem- und Wendestellen wissen
||[[Polynomfunktionen | Theorie]]
||[[Polynomfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Der Zusammenhang zwischen dem Grad der Polynomfunktion und der Anzahl der Null-, Extrem- und Wendestellen sollte für beliebige $n$ bekannt sein, konkrete Aufgabenstellungen beschränken sich auf Polynomfunktionen mit $n\le4$. Mithilfe elektronischer Hilfsmittel können Argumentwerte auch für Polynomfunktionen höheren Grades ermittelt werden.
 

===Exponentialfunktion $f(x)=a\cdot b^x$ bzw. $f(x)=a\cdot e^{\lambda \cdot x}$ mit $a,b \in ℝ^+$, $\lambda \in ℝ$===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||FA 5.1
||verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene exponentielle Zusammenhänge als Exponentialfunktion erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können
||[[Exponentialfunktionen | Theorie]]
||[[Exponentialfunktionen #Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung| Beispiele]]
|-
||FA 5.2
||aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Exponentialfunktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können
||[[Exponentialfunktionen | Theorie]]
||[[Exponentialfunktionen #Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung| Beispiele]]
|-
||FA 5.3
||die Wirkung der Parameter $a$ und $b$ (bzw. $e^\lambda$) kennen und die Parameter in unterschiedlichen Kontexten deuten können
||[[Exponentialfunktionen | Theorie]]
||[[Exponentialfunktionen #Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung| Beispiele]]
|-
||FA 5.4
||charakteristische Eigenschaften $(f(x +1)= b\cdot f(x); [e^x]'=e^x)$ kennen und im Kontext deuten können
||[[Exponentialfunktionen | Theorie]]
||[[Exponentialfunktionen #Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung | Beispiele]]
|-
||FA 5.5
||die Begriffe ''Halbwertszeit'' und ''Verdoppelungszeit'' kennen, die entsprechenden Werte berechnen und im Kontext deuten können
||[[Exponentialfunktionen | Theorie]]
||[[Exponentialfunktionen #Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung | Beispiele]]
|-
||FA 5.6
||die Angemessenheit einer Beschreibung mittels Exponentialfunktion bewerten können
||[[Exponentialfunktionen | Theorie]]
||[[Exponentialfunktionen #Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Die Parameter $a$ und $b$ (bzw. $e^{\lambda}$) sollen sowohl für konkrete Werte als auch allgemein im jeweiligen Kontext interpretiert werden können. Entsprechendes gilt für die Wirkung der Parameter und deren Änderung.
 
 

===Sinusfunktion, Cosinusfunktion===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||FA 6.1
||grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene Zusammenhänge der Art $f(x)=a\cdot sin(b\cdot x)$ als allgemeine Sinusfunktion erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können
||[[Trigonometrie #Trigonometrische Funktionen| Theorie]]
||[[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 6.2
||aus Graphen und Gleichungen von allgemeinen Sinusfunktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können
||[[Trigonometrie #Trigonometrische Funktionen | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 6.3
||die Wirkung der Parameter $a$ und $b$ kennen und die Parameter im Kontext deuten können
||[[Trigonometrie #Trigonometrische Funktionen | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 6.4
||Periodizität als charakteristische Eigenschaft kennen und im Kontext deuten können
||[[Trigonometrie #Trigonometrische Funktionen | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 6.5
||wissen, dass $cos(x)= sin(x + \frac {\pi} {2})$
||[[Trigonometrie #Trigonometrische Funktionen | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 6.6
||wissen, dass gilt: $[sin(x)]'=cos(x), [cos(x)]'=-sin(x)$
||[[Differenzen- und Differentialquotient | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Während zur Auflösung von rechtwinkeligen Dreiecken Sinus, Cosinus und
Tangens verwendet werden, beschränkt sich die funktionale Betrachtung (weitgehend) auf die allgemeine Sinusfunktion. Wesentlich dabei sind die Interpretation der Parameter (im Graphen wie auch in entsprechenden Kontexten) sowie der Verlauf des Funktionsgraphen und die Periodizität.
 
 

==Analysis==
===Änderungsmaße===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AN 1.1.
||absolute und relative (prozentuelle) Änderungsmaße unterscheiden und angemessen verwenden können
||[[Änderungsmaße| Theorie]]
||[[Änderungsmaße #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AN 1.2.
||den Zusammenhang ''Differenzenquotient (mittlere Änderungsrate) – Differenzialquotient (momentane Änderungsrate)'' auf der Grundlage eines intuitiven Grenzwertbegriffes kennen und damit (verbal sowie in formaler Schreibweise) auch kontextbezogen anwenden können
||[[Differenzen- und Differentialquotient | Theorie]]
||[[Differenzen- und Differentialquotient #Maturabeispiele| Beispiele]]
|-
||AN 1.3.
||den Differenzen- und Differenzialquotienten in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverhalte durch den Differenzen- bzw. Differenzialquotienten beschreiben können
||[[Differenzen- und Differentialquotient|Theorie]]
||[[Differenzen-_und_Differentialquotient #Maturabeispiele| Beispiele]]
|-
||AN 1.4.
||das systemdynamische Verhalten von Größen durch Differenzengleichungen beschreiben bzw. diese im Kontext deuten können
||[[Differenzengleichungen | Theorie]]
||[[Differenzengleichungen #Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Der Fokus liegt auf dem Darstellen von Änderungen durch Differenzen von Funktionswerten, durch prozentuelle Veränderungen, durch Differenzenquotienten und durch Differenzialquotienten, ganz besonders aber auch auf der Interpretation dieser Veränderungsmaße im jeweiligen Kontext. Durch den Einsatz elektronischer Hilfsmittel ist auch die Berechnung von Differenzen- und Differenzialquotienten beliebiger (differenzierbarer) Funktionen möglich.
 
 

===Regeln für das Differenzieren===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AN 2.1.
||einfache Regeln des Differenzierens kennen und anwenden können: Potenzregel, Summenregel, Regeln für $[k \cdot f(x)]′$ und $[f(k \cdot x)]′$ (vgl. Inhaltsbereich ''Funktionale Abhängigkeiten'')
||[[Inhalt:Differenzieren: Rechnerisches Bestimmen von f'| Theorie]]
||[[Inhalt:Differenzieren: Rechnerisches Bestimmen von f' #Interaktives Quiz - Einfache Regeln des Differenzierens (AN 2.1)| Beispiele]]
|}
 

===Ableitungsfunktion/Stammfunktion===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AN 3.1.
||den Begriff ''Ableitungsfunktion/Stammfunktion'' kennen und zur Beschreibung von Funktionen einsetzen können
||[[Integration| Theorie]]
||[[Integration#Beispiele | Beispiele]]
|-
||AN 3.2.
||den Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitungsfunktion (bzw. Funktion und Stammfunktion) in deren grafischer Darstellung (er)kennen und beschreiben können
||[[Ableitung bestimmen| Theorie]]
||[[Ableitung bestimmen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AN 3.3.
||Eigenschaften von Funktionen mithilfe der Ableitung(sfunktion) beschreiben können: Monotonie, lokale Extrema, Links- und Rechtskrümmung, Wendestellen
||[[Kurvendiskussionen #Grundwissen über f(x), f'(x) und f''(x)| Theorie]]
||[[Kurvendiskussionen #Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Der Begriff der ''Ableitung(sfunktion)'' soll verständig und zweckmäßig zur Beschreibung von Funktionen eingesetzt werden. Durch den Einsatz elektronischer Hilfsmittel ist das Ableiten von Funktionen nicht durch die in den Grundkompetenzen angeführten Differenziationsregeln eingeschränkt.
 

===Summation und Integral===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AN 4.1.
||den Begriff des bestimmten Integrals als Grenzwert einer Summe von Produkten deuten und beschreiben können
||[[Integration| Theorie]]
||[[Integration #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AN 4.2.
||einfache Regeln des Integrierens kennen und anwenden können: Potenzregel, Summenregel, $\int k\cdot f(x)\,dx$, $\int f(k\cdot x)\,dx$ (vgl. Inhaltsbereich ''Funktionale Abhängigkeiten''), bestimmte Integrale von Polynomfunktionen ermitteln können
||[[Integration| Theorie]]
||[[Integration #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AN 4.3.
||das bestimmte Integral in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverhalte durch Integrale beschreiben können
||[[Integration| Theorie]]
||[[Integration #Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Analog zum Differenzialquotienten liegt der Fokus beim bestimmten Integral auf der Beschreibung entsprechender Sachverhalte durch bestimmte Integrale sowie vor allem auf der angemessenen Interpretation des bestimmten Integrals im jeweiligen Kontext. Durch den Einsatz elektronischer Hilfsmittel ist die Berechnung von bestimmten Integralen nicht durch die in den Grundkompetenzen angeführten Integrationsregeln eingeschränkt.
 

==Wahrscheinlichkeit und Statistik==
===Beschreibende Statistik===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||WS 1.1
||Werte aus tabellarischen und elementaren grafischen Darstellungen ablesen (bzw. zusammengesetzte Werte ermitteln) und im jeweiligen Kontext angemessen interpretieren können
||[[Beschreibende Statistik| Theorie]]
||[[Beschreibende Statistik #Beispiele| Beispiele]]
|}

Anmerkungen: (Un-)geordnete Liste, Strichliste, Piktogramm, Säulen-, Balken-, Linien-, Stängel-Blatt-, Punktwolkendiagramm, Histogramm (als Spezialfall eines Säulendiagramms), Prozentstreifen, Kastenschaubild (Boxplot)
 

{| border="1"
|-
||WS 1.2$\ \ \ \ \ \ \ $
||Tabellen und einfache statistische Grafiken erstellen, zwischen Darstellungsformen wechseln können

||[[Beschreibende_Statistik| Theorie]]
||[[Beschreibende Statistik #Beispiele| Beispiele]]
|-
||WS 1.3
||statistische Kennzahlen (absolute und relative Häufigkeiten; arithmetisches Mittel, Median, Modus, Quartile, Spannweite, empirische Varianz/Standardabweichung) im jeweiligen Kontext interpretieren können; die angeführten Kennzahlen für einfache Datensätze ermitteln können

||[[Beschreibende Statistik| Theorie]]
||[[Beschreibende Statistik #Beispiele| Beispiele]]
|-
||WS 1.4
||Definition und wichtige Eigenschaften des arithmetischen Mittels und des Medians angeben und nutzen, Quartile ermitteln und interpretieren können, die Entscheidung für die Verwendung einer bestimmten Kennzahl begründen können

||[[Beschreibende Statistik| Theorie]]
||[[Beschreibende Statistik #Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Wenn auch statistische Kennzahlen (für einfache Datensätze) ermittelt und elementare statistische Grafiken erstellt werden sollen, liegt das Hauptaugenmerk auf verständigen Interpretationen von Grafiken (unter Beachtung von Manipulationen) und Kennzahlen. Speziell für das arithmetische Mittel und den Median (auch als Quartile) müssen die wichtigsten Eigenschaften (definitorische Eigenschaften, Datentyp-Verträglichkeit, Ausreißerempfindlichkeit) gekannt und verständig eingesetzt bzw. berücksichtigt werden. Beim arithmetischen Mittel sind allenfalls erforderliche Gewichtungen zu beachten („gewogenes arithmetisches Mittel“) und zu nutzen (Bildung des arithmetischen Mittels aus arithmetischen Mitteln von Teilmengen).
 
 

===Wahrscheinlichkeitsrechnung===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||WS 2.1
||Grundraum und Ereignisse in angemessenen Situationen verbal beziehungsweise formal angeben können
||[[Wahrscheinlichkeit: Grundlagen| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Grundlagen #Interaktives Quiz zur Wahrscheinlichkeitsrechnung (WS 2.1-2.4) | Beispiele]]
|-
||WS 2.2
||relative Häufigkeit als Schätzwert von Wahrscheinlichkeit verwenden und anwenden können

||[[Wahrscheinlichkeit: Grundlagen| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Grundlagen #Interaktives Quiz zur Wahrscheinlichkeitsrechnung (WS 2.1-2.4)| Beispiele]]
|-
||WS 2.3
||Wahrscheinlichkeit unter der Verwendung der Laplace-Annahme (Laplace-Wahrscheinlichkeit) berechnen und interpretieren können, Additionsregel und Multiplikationsregel anwenden und interpretieren können

||[[Wahrscheinlichkeit: Grundlagen| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Grundlagen #Interaktives Quiz zur Wahrscheinlichkeitsrechnung (WS 2.1-2.4) | Beispiele]]
|-
||WS 2.4
||Binomialkoeffizient berechnen und interpretieren können

||[[Binomialkoeffizient| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]

|}

Anmerkungen: Die Multiplikationsregel kann unter Verwendung der kombinatorischen Grundlagen und der Anwendung der Laplace-Regel (auch) umgangen werden.
 
 

===Wahrscheinlichkeitsverteilungen===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||WS 3.1
||die Begriffe ''Zufallsvariable'', ''(Wahrscheinlichkeits-)Verteilung'', ''Erwartungswert'' und ''Standardabweichung'' verständig deuten und einsetzen können

||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]

|-
||WS 3.2
||Binomialverteilung als Modell einer diskreten Verteilung kennen – Erwartungswert sowie Varianz/Standardabweichung binomialverteilter Zufallsgrößen ermitteln können, Wahrscheinlichkeitsverteilung binomialverteilter Zufallsgrößen angeben können, Arbeiten mit der Binomialverteilung in anwendungsorientierten Bereichen

||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]

|-
||WS 3.3
||Situationen erkennen und beschreiben können, in denen mit Binomialverteilung modelliert werden kann

||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]
|-
||WS 3.4
||Normalapproximation der Binomialverteilung interpretieren und anwenden können

||[[Wahrscheinlichkeit: Normalverteilung und Stetige Zufallsvariablen| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Normalverteilung und Stetige Zufallsvariablen#Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Kennen und Anwenden der Faustregel, dass die Normalapproximation der Binomialverteilung mit den Parametern $n$ und $p$ dann anzuwenden ist und gute Näherungswerte liefert, wenn die Bedingung $n\cdot p \cdot (1–p)\geq 9 $ erfüllt ist. Die Anwendung der Stetigkeitskorrektur ist nicht notwendig und daher für Berechnungen im Zuge von Prüfungsbeispielen vernachlässigbar. Kennen des Verlaufs der Dichtefunktion $φ$ der Standardnormalverteilung mit Erwartungswert $\mu$ und Standardabweichung $\sigma$. Arbeiten mit der Verteilungsfunktion $Φ$ der Standardnormalverteilung und korrektes Ablesen der entsprechenden Wert.
 
 

===Schließende/Beurteilende Statistik===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||WS 4.1
||Konfidenzintervalle als Schätzung für eine Wahrscheinlichkeit oder einen unbekannten Anteil interpretieren (frequentistische Deutung) und verwenden können, Berechnungen auf Basis der Binomialverteilung oder einer durch die Normalverteilung approximierten Binomialverteilung durchführen können

||[[Konfidenzintervall| Theorie]]
||[[Konfidenzintervall #Beispiele | Beispiele]]
|}

Konfidenzintervall

2020-04-11T14:01:26Z

PeterLamp:

=Einleitung=

==Einleitendes Video==

{{#ev:youtube|s6QE1fsQ3ZU}}
 

==Einleitung==
In der beurteilenden Statistik werden Beziehungen zwischen einer '''Grundgesamtheit''' und dazugehörigen '''Stichproben''' untersucht. Vielfach steht für praktische Anwendungen die Grundgesamtheit nicht oder nicht mehr zur Verfügung. Deshalb werden geeignete Stichproben genutzt, um Rückschlüsse auf die betreffende Grundgesamtheit treffen zu können. 
Beispielsweise ist es für eine Wahlprognose zu aufwändig, alle Wähler (= Grundgesamtheit) zu befragen. Stattdessen wird nur eine Stichprobe von Wählern befragt und anschließend wird versucht, von dem Ergebnis der Stichprobe auf die Grundgesamtheit zu schließen.
 
 

[[Datei:Grundgesamtheit.png|left|550px|Beschreibung]]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

=Problemstellungen=

==Problemstellungen==

Im Folgenden unterscheiden wir zwei Fragestellungen:

{| class="wikitable"
|-
| '''1)''' Bei einer Wahl erhielt die Partei A insgesamt $40,5 \%$ aller Stimmen. Nach dem Auszählen der Stimmen werden zufällig $100$ Stimmzettel ausgewählt. Auf wie vielen Stimmzetteln der Stichprobe wird die Partei A angekreuzt sein? $\qquad$ || '''2)''' Bevor die Stimmzettel einer Wahl ausgezählt werden, zieht man $100$ Stimmzettel zufällig aus den Wahlurnen. Auf $44$ Stimmzetteln ist die Partei A angekreuzt. Welchen Stimmenanteil hat diese Partei in der Gesamtheit erreicht?
|}

=== 1) Von der Gesamtheit auf die Stichprobe - Schätzbereich ===

Die zugrundeliegende Erfolgswahrscheinlichkeit der Gesamtheit $p$ und der Stichprobenumfang $n$ sind bekannt. Es sei $H$ die absolute Häufigkeit der Partei-A-Wähler in der Stichprobe. Es soll ein '''$\gamma$-Schätzbereich''' ermittelt werden.
 
{{Vorlage:Definition|1='''$\gamma$-Schätzbereich''' 
Das symmetrisch um $p$ liegende Intervall, welches die unbekannte relative Häufigkeit $h$ mit der Wahrscheinlichkeit (Sicherheit) $\gamma$ enthält, heißt '''$\gamma$-Schätzbereich'''.
}}
 
Im Beispiel mit $n=100$ und $p=0.405$ soll ein $90\%$-Schätzbereich um den Erwartungswert $\mu$ ermittelt werden. Wegen $n\cdot p\cdot (1-p) > 9$ darf die [[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung|Binomialverteilung]] näherungsweise durch eine [[Wahrscheinlichkeit: Normalverteilung und Stetige Zufallsvariablen|Normalverteilung]] ersetzt werden.
 

Zunächst ermitteln wir den Erwartungswert $\mu$ und die Standardabweichung $\sigma$: 
$\mu=n\cdot p=100\cdot 0.405=40.5$ und $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}\approx 4.91$
 

Für einen $90\%$-Schätzbereich um $\mu$ gilt: 
$P(x_{min}\leq H \leq x_{max})=0.9$
 

[[Bild:Wahrscheinlichkeit1.png|thumb|left|700px|Graph der Dichtefunktion]]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Zur Ermittlung der gesuchten Intervallgrenzen $x_{min}$ und $x_{max}$ verwenden wir nun zwei [[Wahrscheinlichkeit: Normalverteilung und Stetige Zufallsvariablen|Eigenschaften des Graphen der Dichtefunktion]]:
 

1) Die gesamte Fläche unterhalb der Dichtefunktion ist $1$, sie entspricht also $100\%$. 

2) Die Glockenkurve ist symmetrisch zum Erwartungswert $\mu$.
 
 
Aus den genannten Eigenschaften folgt, dass die beiden Flächenstücke links und rechts von der blau markierten Fläche jeweils $5\%$ einnehmen.
 
Mithilfe von Technologieeinsatz können wir somit die beiden Intervallgrenzen $x_{min}$ und $x_{max}$ ermitteln: 

$P(H\leq x_{min})=0.05 \Rightarrow \boldsymbol{x_{min}\approx 32 }$
 

[[Datei:Wahrscheinlichkeit2.png|thumb|left|700px|GeoGebra-Wahrscheinlichkeitsrechner]]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Da die beiden Werte symmetrisch zum Erwartungswert liegen, muss auch deren Abstand derselbe sein. Der Abstand von $x_{min}$ zum Erwartungswert $\mu$ beträgt $\mu-x_{min}=40.5-32.42=8.08$. Daraus resultiert für 

$\boldsymbol{x_{max}=\mu + 8.08=48.58 \approx 49 }$
 
[[Datei:Wahrscheinlichkeit3.png|thumb|left|700px|GeoGebra-Wahrscheinlichkeitsrechner]]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

'''Antwort:''' ''Die Anzahl der in der Stichprobe für die Partei A abgegebenen Stimmen wird mit $90\%$-iger Wahrscheinlichkeit zwischen $32$ und $49$ liegen, wobei $32$ nicht unter- und $49$ nicht überschritten wird.''
 
 
 
 
Alternativ erhält man als '''$\gamma$-Schätzbereich für die relative Häufigkeit $h$ in einer Stichprobe''' näherungsweise 

$h\approx\left[p-z\cdot \sqrt{\left(\frac{p\cdot (1-p)}{n}\right)}; p+z\cdot \sqrt{\left(\frac{p\cdot (1-p)}{n}\right)}\right] \qquad$ mit $\quad 2 \Phi(z)-1=\gamma \qquad$ (siehe Formelsammlung)
 

$n$ … Stichprobenumfang 
$h$ ... unbekannte relative Häufigkeit in einer Stichprobe 
$p$ ... relativer Anteil in der Grundgesamtheit 
$\gamma$ ... Wahrscheinlichkeit 
 

Für die Berechnung von $0.90$- bzw. $0.95$- bzw. $0.99$-Schätzbereichen kann man sich merken: 

<div style="float:left;margin-right:2em;">
{| class="wikitable"
|-
| Zu $\gamma=0.9$ gehört $z=1.645 \qquad$ || Zu $\gamma=0.95$ gehört $z=1.96 \qquad$ ||| Zu $\gamma=0.99$ gehört $z=2.576 \qquad$
|} </div>
 
 
 
'''Hinweis:''' Bei anderen Konfidenzniveaus – welche in der Regel im Schulgebrauch nicht vorkommen – muss für die Ermittlung des Verteilungswerts $z$ die [http://eswf.uni-koeln.de/glossar/zvert.htm Tabelle der Standardnormalverteilung] herangezogen werden.
 
 

Auf das Beispiel angewendet erhält man somit 
$h\approx \left[0.405-1.645\cdot\sqrt{\left(\frac{0.405\cdot (1-0.405)}{100}\right) }; 0.405-1.645\cdot\sqrt{\left(\frac{0.405\cdot (1-0.405)}{100}\right)}\right]$ 
$h\approx[0.324; 0.486]\Rightarrow \boldsymbol{H\approx [32; 49]}$
 
 
 

Eine weitere Möglichkeit zur Ermittlung des gesuchten $90\%$-Schätzbereichs bietet GeoGebra im CAS-Modus mit dem Befehl ''{GaußAnteilSchätzer( <Stichprobenanteil>, <Stichprobengröße>, <Signifikanzniveau> )}'':
 
[[Datei:Wahrscheinlichkeit4.png|thumb|left|270px|GeoGebra-GaußAnteilSchätzer]]
 
 
 
 
 
 
'''Anmerkungen:''' Neben obigem Beispiel zum $\gamma$-Schätzbereich lassen sich noch zwei weitere, durchaus relevante Typen von Fragestellungen formulieren:
 

1) Mit welcher Wahrscheinlichkeit findet man unter einer Stichprobe von $100$ zufällig ausgewählten Stimmzetteln zwischen $32$ und $49$ Partei-A-Wähler? ($n$ und Intervall gegeben, $\gamma$ gesucht)
 

2) Wie viele Stimmzettel muss man zufällig auswählen, damit man mit $90 \%$iger Wahrscheinlichkeit zwischen $32$ und $49$ Partei-A-Wähler in der Stichprobe hat? ($\gamma$ und Intervall gegeben, $n$ gesucht)
 
 
 

=== 2) Von der Stichprobe auf die Gesamtheit - Konfidenzintervall ===

Die zugrundeliegende Erfolgswahrscheinlichkeit der Gesamtheit ist nicht bekannt. Sie muss aus der relativen Häufigkeit der Stichprobe geschätzt werden.
 
{{Vorlage:Definition|1='''$\gamma$-Konfidenzintervall (Sicherheits- bzw. Vertrauensintervall)''' 
Die Menge aller Schätzwerte für $p$, deren zugehörige $\gamma$-Schätzbereiche den in der Stichprobe beobachteten Wert $h$ überdecken, heißt Konfidenzintervall mit Sicherheit $\gamma$ ($\gamma$-Konfidenzintervall oder Vertrauensintervall zum Konfidenzniveau $\gamma$) für den unbekannten relativen Anteil $p$.
}}
 

Es soll nun ein $90\%$-Konfidenzintervall, also ein Schätzbereich, der mit einer Wahrscheinlichkeit von $90\%$ den gesuchten wahren Wert beinhaltet, für den relativen Anteil $p$ in der Grundgesamtheit ermittelt werden.
 

Analog zum $\gamma$-Schätzbereich ist die Näherungsformel zur Bestimmung des '''$\gamma$-Konfidenzintervalls für den relativen Anteil $p$ in der Grundgesamtheit''' ausreichend. Es gilt:
 

$ p\approx \left[h-z\cdot\sqrt{\left(\frac{h\cdot (1-h)}{n}\right) }; h+z\cdot \sqrt{ \left(\frac{h\cdot (1-h)}{n}\right) } \right] \qquad $ mit $\quad 2 \Phi(z)-1= \gamma \qquad$ (siehe Formelsammlung)
 

$n$ … Stichprobenumfang 
$h$ ... relative Häufigkeit in einer Stichprobe 
$p$ ... unbekannter relativer Anteil in der Grundgesamtheit 
$\gamma$ ... Konfidenzniveau (Vertrauens- bzw. Sicherheitsniveau)
 
 
Auch für die Berechnung von $0.90$- bzw. $0.95$- bzw. $0.99$-Konfidenzintervallen gilt: 
<div style="float:left;margin-right:2em;">
{| class="wikitable"
|-
| Zu $\gamma=0.9$ gehört $z=1.645\qquad$ || Zu $\gamma=0.95$ gehört $z=1.96\qquad$ ||| Zu $\gamma=0.99$ gehört $z=2.576\qquad $
|} </div>
 
 
 
 
Auf das Beispiel angewendet erhält man somit mit $n=100; h=\frac{44}{100}=0.44$ und $z=1.645$ für 

$p\approx \left[0.44-1.645\cdot\sqrt{\left(\frac{0.44\cdot (1-0.44)}{100}\right)}; 0.44-1.645\cdot\sqrt{\left(\frac{0.44\cdot (1-0.44)}{100}\right)}\right]$ 
$\boldsymbol{p\approx[0.358; 0.522]}$
 
 
'''Antwort:''' ''In der Gesamtheit wird der Anteil der Stimmen für die Partei A mit der Wahrscheinlichkeit $0.90$ ungefähr im Intervall $[0.36;0.52]$ liegen.''
 
 
 
Auch hier kann zur Ermittlung des gesuchten $90\%$-Konfidenzintervalls der GeoGebra-Befehl ''GaußAnteilSchätzer( <Stichprobenanteil>, <Stichprobengröße>, <Signifikanzniveau> )'' verwendet werden:
 
[[Datei:Wahrscheinlichkeit5.png|thumb|left|300px|GeoGebra-GaußAnteilSchätzer]]
 
 
 
 
 
 
{{Vorlage:Merke|1='''Wichtige Eigenschaften:''' 

* Je größer (höher) die vorgegebene Wahrscheinlichkeit $\gamma$, desto breiter (größer) der Schätzbereich (desto ungenauer die Schätzung). 
* Je größer (höher) die gewünschte Sicherheit $\gamma$, desto breiter (größer) das $\gamma$-Konfidenzintervall für $p$ (desto ungenauer die Schätzung). 
* Je größer der Stichprobenumfang $n$ (bei gleichem relativen Anteil $p$), desto schmaler (kleiner) ist das Konfidenzintervall (desto genauer ist die Schätzung)
 
'''Beachte:''' Alle Aussagen lassen sich selbstverständlich auch umkehren. Beispielsweise gilt: Je schmaler (kleiner) das Konfidenzintervall, desto geringer ist seine Sicherheit $\gamma$.
}}

= Beispiele =

== Konfidenzintervalle (WS 4.1) ==

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|height= 700
|border=1
}}

Wahrscheinlichkeit: Normalverteilung und Stetige Zufallsvariablen

2020-04-11T13:59:13Z

PeterLamp:

= Grundbegriffe für stetige Zufallsvariablen =
[[Datei:Dichtefkt.png|300px|miniatur|rechts]]
Nun beschäftigen wir uns mit Zufallsvariablen, die jeden Wert in einem bestimmten [[Zahlenmengen| reellen]] Intervall annehmen können, z. B. alle Werte zwischen $2.5$ und $10$. Dies sind sogenannte '''stetige Zufallsvariablen'''. Beispiele für stetige Zufallsvariablen sind die Körpergröße oder das Gewicht eines Menschen, die Lebensdauer eines Bauteils, die Wartedauer in einer Schlange usw.

== Dichtefunktion ==
Anstelle der Wahrscheinlichkeitsfunktion $P$ für [[Wahrscheinlichkeit:_Diskrete_Zufallsvariablen_und_die_Binomialverteilung| diskrete Zufallsvariablen]], definiert man für stetige Zufallsvariablen die Dichtefunktion $f$.

{{Vorlage:Definition|1=Die Dichtefunktion $f$ ist eine Funktion mit den Eigenschaften:
* Die [[Funktionen#tab=Definition_einer_Funktion|Funktionswerte]] von $f$ sind immer positiv:
$$f(x)\geq 0 $$ und
* die Fläche unterhalb der Dichtefunktion ist $1$
$$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\cdot dx=1$$ }}

Der Grund, warum man nicht die [[Wahrscheinlichkeit:_Diskrete_Zufallsvariablen_und_die_Binomialverteilung#Wahrscheinlichkeits-_und_Verteilungsfunktion| Wahrscheinlichkeitsfunktion $P$]] verwendet, liegt darin, dass stetige Zufallsvariablen unendlich viele (und überabzählbar viele) Werte haben und die Wahrscheinlichkeit, dass ein ganz bestimmter Wert auftritt, gleich $0$ ist.

{| class="wikitable"
|-
! 1. Beispiel einer Dichtefunktion !! 2. Beispiel einer Dichtefunktion
|-
| [[Datei:Dichtefkt 1.png|400px|miniatur|zentriert]] || [[Datei:Dichtefkt 2.png|400px|miniatur|zentriert]]
|-
| $$f(x)\geq 0$$ und $$\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\cdot dx=\int_{0}^{4} \frac{1}{4}=1$$|| $$f(x)\geq 0 $$ und $$\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\cdot dx=\int_{0}^{2} \frac{1}{4}x\cdot dx + \int_{2}^{4} -\frac{1}{4}x\cdot dx=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$$
|}
 
 
== Verteilungsfunktion ==

Mithilfe der Dichtefunktion definieren wir nun (ähnlich wie bei den [[Wahrscheinlichkeit:_Diskrete_Zufallsvariablen_und_die_Binomialverteilung#Wahrscheinlichkeits-_und_Verteilungsfunktion|diskreten Zufallsvariablen]]) die ...
[[Datei:Verfkt2.png|miniatur|400px|Die Fläche kann als Wahrscheinlichkeit interpretiert werden: $$P(X\leq 2.5)=\int_{-\infty}^{2.5} f(x)\cdot dx=0.72$$ ]]
{{Vorlage:Definition|1=Verteilungsfunktion $F$
$$F(x)=P(X\leq x)= \int_{-\infty}^{x} f(t)\cdot dt$$
Sie gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass $X$ einen Wert $\leq x$ annimmt.
}}

'''Wichtig:''' Die Funktionswerte der Dichtefunktion $f(x)$ geben NICHT die Wahrscheinlichkeit $P(X=x)$ an. Bei stetigen Zufallsvariablen können wir nur die Wahrscheinlichkeit dafür angeben, dass die Zufallsvariable $X$ Werte in einem bestimmten Intervall annimmt.

[[Datei:Verfkt2b.png|400px|miniatur|rechts|$$P(1\leq X\leq 2.5)=\int_{1}^{2.5} f(x)\cdot dx=0.65$$]]
{{Vorlage:Merke|1= Die Wahrscheinlichkeit, dass die stetige ZV $X$ einen Wert im Intervall $[a;b]$ annimmt, entspricht der Fläche unter der Dichtefunktion zwischen den Grenzen $a$ und $b$:
$$P(a\leq X\leq b)= \int_{a}^{b} f(x)\cdot dx = F(b)-F(a)$$
}}

'''Hinweis:'''
* Die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ einen bestimmten Wert $a$ annimmt ist $0$, da:
$$P(a\leq X\leq a)= \int_{a}^{a} f(x)\cdot dx = F(a)-F(a)=0$$
* $P(X\leq a)=P(X<a)$
: Begründung: $ P(X\leq a)=P(X<a)+P(X=a)$ und da $P(X=a)=0$ ist, folgt die Behauptung.
[[Datei:Verteilungsfkt gif.gif|400px|miniatur|rechts]]
* $P(a\leq X\leq b)=P(X\leq b)-P(X\leq a)$, wie aus der rechten Skizze leicht zu sehen ist.

 
 
 
 
 
 
 
 

== Erwartungswert und Standardabweichung ==
{{Vorlage:Definition|1= Für stetige Zufallsvariablen sind '''Erwartungswert''' $\mu$ und '''Standardabweichung''' $\sigma$ wie folgt definiert:
$$E(x)=\mu=\int_{-\infty}^{+\infty} x\cdot f(x)\cdot dx$$
$$\sigma =\sqrt{\int_{-\infty}^{+\infty} (x-\mu)^2 f(x)\cdot dx}$$
}}

[[Datei:Bsp.png|left]]
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px" style="background-color:#CEE3F6">


Berechnen Sie Erwartungswert und Standardabweichung der folgenden zwei Dichtefunktionen.
Erklären Sie die Gemeinsamkeiten bzw. Unterschiede bei $\mu$ und $\sigma$:

{| border="1" align="center"
! 1. Dichtefunktion !! 2. Dichtefunktion
|-
|[[Datei:Dichtefkt 1.png|400px|miniatur|zentriert]] || [[Datei:Dichtefkt 2.png|400px|miniatur|zentriert]]
|}

<div class="mw-collapsible-content" style="background-color:#E6F6CE" >
{| border="1"
! !! 1. Dichtefunktion !! 2. Dichtefunktion
|-
|'''$\mu$'''
|$$\mu=\int_{-\infty}^{\infty} x\cdot f(x)\cdot dx=\int_{0}^{4} \frac{1}{4}x=\frac{1}{4}\cdot \frac{x^2}{2}\vert _{0}^{4}=2$$
$$\mu = 2$$
|$$\mu=\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\cdot dx=\int_{0}^{2} \underbrace{x \cdot \frac{1}{4}x}_{-\frac{1}{4}x^2}+\int_{2}^{4} \underbrace{x\cdot (-\frac{1}{4}x+1)}_{ -\frac{1}{4}x^2+x}=$$
$$=\frac{1}{4}\cdot\frac{x^3}{3}\vert_{0}^{2} +[-\frac{1}{4}\cdot\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}]_{2}^{4}=$$
$$=\frac{1}{4}\cdot\frac{2^3}{3}-0 +\left[-\frac{1}{4}\cdot\frac{4^3}{3}+\frac{4^2}{2}-(-\frac{1}{4}\cdot\frac{2^3}{3}+\frac{2^2}{2})\right]=$$
$$=\frac{2}{3}+\left[-\frac{16}{3}+8-(-\frac{2}{3}+2)\right]=2$$
|-
|'''$\sigma$'''
| $$\sigma=\sqrt{\int_{-\infty}^{\infty} (x-\mu )^2 \cdot f(x)\cdot dx}=$$
$$=\sqrt{\int_{0}^{4} \underbrace{(x-2)^2}_{x^2-4x+4}\cdot \frac{1}{4}\cdot dx }=$$
$$=\sqrt { \frac{1}{4} \left( \frac{x^3}{3} - \frac{4x^2}{2}+4x \right) \vert_{0}^{4} }=$$
$$=\sqrt{\frac{1}{4}\cdot (\frac{4^3}{3}-\frac{4^3}{2}+16)}=\frac{2}{\sqrt{3}}\approx 1.15$$
| $$\sigma=\sqrt{\int_{-\infty}^{\infty} (x-\mu )^2 \cdot f(x)\cdot dx}$$

$$=\sqrt{\int_{0}^{2}(x-2)^2\cdot \frac{1}{4}\cdot x + \int_{2}^{4}(x-2)^2\cdot (-\frac{1}{4}\cdot x+1)}=...$$
$$\sigma=\frac{\sqrt{6}}{3}\approx 0.82$$
|-
| '''Graph'''
| [[Datei:Dichtefkt 1 mit m und s.png|300px|miniatur|zentriert|1. Dichtefunktion. Eingezeichnet ist der Erwartungswert $\mu$ und die sogenannte $\sigma$-Umgebung.]]
| [[Datei:Dichtefkt2mMuS.png|300px|miniatur|zentriert|1. Dichtefunktion. Eingezeichnet ist der Erwartungswert $\mu$ und die sogenannte $\sigma$-Umgebung.]]
|}
 
'''Wichtig:''' Während beide Zufallsvariablen über denselben Erwartungswert verfügen ($\mu=2$), unterscheiden sie sich in ihrer Standardabweichung. Die Zufallsvariable mit der Dichtefunktion 1 weist eine höhere Streuung auf als jene Zufallsvariable mit der Dichtefunktion 2.

</div>

</div>

Eine der wichtigsten stetigen Verteilungsfunktionen ist die '''Normalverteilung''' (siehe nächste Seite).

{| align="right"
| <div class="testbutton-blue"> {{#switchtablink:Normalverteilung|$\rightarrow$ nächste Seite ...}} </div>
|}

= Normalverteilung =
== Einleitung ==

{{Vorlage:Video|1=_rVt6qTkea8}}

[[Datei:Dichtefkt-mit Gleichung.png|400px|miniatur|rechts|Dichtefunktion einer $N(\mu ;\sigma )$-verteilten Zufallsvariable. ]]
{{Vorlage:Definition|1= Eine stetige Zufallsvariable ist '''normalverteilt mit Erwartungswert $\mu$ und Standardabweichung $\sigma$ (kurz: $N(\mu ;\sigma)$-verteilt)''', wenn für die Dichtefunktion $f$ gilt:
$$ f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot \sigma}\cdot e^{\frac{1}{2}\cdot (\frac{x-\mu}{\sigma})^2}$$}}

Die Dichtefunktion der Normalverteilung wird aufgrund ihrer Form „Gaußsche Glockenkurve“ genannt.

[[Datei:Dichtefkt-mit m und s.png|400px|miniatur|rechts]]
'''Eigenschaften des Graphen der Dichtefunktion :'''
* Die Glockenkurve ist symmetrisch zum Erwartungswert $\mu$, bei dem Sie auch ihren einzigen Hochpunkt hat.
* Die beiden Wendepunkte der Glockenkurve befinden sich bei $\mu -\sigma$ und $\mu +\sigma$
* Im Intervall $[\mu -\sigma ; \mu -\sigma]$ befinden sich ca. $68 \%$ aller Werte.
* Die Glockenkurve nähert sich [[Asymptote|asymptotisch]] der $x$-Achse an und es gilt
$$\lim_{x\rightarrow \pm \infty} f(x) =0$$
* Die Dichtefunktion erfüllt alle wichtigen Eigenschaften einer Dichtefunktion:
:: $f(x)\geq 0$ und
:: $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\cdot dx=1$ (d. h. die Fläche unterhalb der Dichtefunktion ist $1$).

Die Normalverteilung ist deshalb so wichtig, da es in der Natur und im Alltag sehr viele Zufallsvariablen gibt, die eine solche Verteilung aufweisen und somit eine Dichtefunktion besitzen, deren Graph glockenförmig ist.

{{Vorlage:Merke|1=Die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten erfolgt über die Berechnung der Fläche unterhalb der Dichtefunktion.
Für die Verteilungsfunktion $F$ gilt wieder:
$$F(x)=P(X\leq x)=\int_{-\infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot \sigma}\cdot e^{\frac{1}{2}\cdot (\frac{t-\mu}{\sigma})^2}\cdot dt$$

Die Berechnung dieses Integrals erfolgt in der Regel mithilfe des Taschenrechners bzw. mit GeoGebra.}}

Das folgende [http://www.geogebra.org/material/show/id/e2Ppkaj9#share-popup Applet von Lindner] zeigt dir die wichtigsten Eigenschaften der Glockenkurve:

{| align=center border=1
! Verschiebung der Normalverteilung
|-
|
<ggb_applet width="800" height="450" version="5.0" id="e2Ppkaj9" />
|-
| Falls dieses Applet nicht funktioniert: Klicke [https://www.geogebra.org/m/e2Ppkaj9 hier]
|}

{{Vorlage:Merke|1=
$\\ $
# Ändert sich der Erwartungswert $\mu$, so wandert die Glockenkurve nach links oder rechts.
# Ändert sich die Standardabweichung $\sigma$, so ändern sich zwei Sachen:
:: a) die Glockenkurve wird breiter.
:: b) die Glockenkurve wird flacher, da die Fläche unter der Kurve $1$ bleiben muss.
}}

Wichtige Überlegungen:

$$P(X\leq \mu)=0.5$$
[[Datei:Normal1.png|400px|miniatur|zentriert|$P(X\leq \mu)=0.5$]]

$$P(X\leq b)$$
[[Datei:Normal2.png|400px|miniatur|zentriert|$P(X\leq b)=F(b)$]]

$$ P(X \geq b)=1-P(X \leq b)$$
[[Datei:Normal3.png|400px|miniatur|zentriert|$P(X\geq b)=1-P(X\leq b)$]]

$$ P(a\leq X\leq b)$$
[[Datei:Normal4.png|400px|miniatur|zentriert|$P(a\leq X\leq b)=P(X\leq b)-P(X\leq a)$]]

 
Zur Wiederholung und Erheiterung ein Video vom berühmten "DorFuchs" zur Normalverteilung und seinem IQ:
{| align="center"
{{Vorlage:Video| m-nEbS4QpYw }}
|}
 

== $\sigma$-Umgebungen ==
Für jede normalverteilte Zufallsvariable $X$ gilt, dass die $\sigma$-Bereiche um den Erwartungswert $\mu$ eine konstante Fläche beinhalten.
{|
|[[Datei:Sigma-Umgebung1.png|300px|miniatur|zentriert|$P(\mu-\sigma\leq X\leq \mu +\sigma)\approx 68.3\%$]]
|[[Datei:Sigma2.png|300px|miniatur|zentriert|$P(\mu-2\sigma\leq X\leq \mu +2\sigma)\approx 95.4\%$]]
|[[Datei:Sigma3.png|300px|miniatur|zentriert|$P(\mu-3\sigma\leq X\leq \mu +3\sigma)\approx 99.73\%$]]
|}

 

== Binomial- und Normalverteilung ==
Die Binomialverteilung kann durch die Normalverteilung angenähert werden. Graphisch ist dies gut erkennbar: Je symmetrischer die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung ist und umso größer der Stichprobenumfang $n$ (d. h. die Anzahl der Balken), desto ähnlicher wird die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung der Glockenkurve der Normalverteilung.

Bild

{{Vorlage:Merke|1=
Die Binomialverteilung darf näherungsweise durch die Normalverteilung ersetzt werden, wenn die Bedingung
$$n\cdot p\cdot (1-p)>9$$
erfüllt ist.
}}

==Verteilungsfunktion einer Normalverteilung ==
[[Datei:verteilungsfkt-normalv-graph.png|thumb|right|300px|Graph der Verteilungsfunktion einer normalverteilten Zufallsvariable $X$]]
Wir haben oben schon gelernt, dass die Wahrscheinlichkeit der Fläche unter der Dichtefunktion entspricht. D. h. Sei $f$ die Dichtefunktion einer normalverteilten Zufallsvariable $X$. Dann gilt für die Wahrscheinlichkeit $P(X\leq x)$ (d. h. die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable $X$ einen Wert kleiner oder gleich $x$ annimmt):$$P(X\leq x)=\int_{-\infty}^{x} f(x)\cdot dx$$

Dieses Integral können wir nun als Funktion interpretieren, die uns für jedes $x$ die Fläche unter der Glockenkurve links von $x$ angibt. D. h.:
$$G(x)=\int_{-\infty}^{x} f(x)\cdot dx$$

{{Vorlage:Definition|1=
Die '''Verteilungsfunktion $G$''' mit
$$G(X)=P(X\leq x)=\int_{-\infty}^{x} f(x)\cdot dx$$
gibt die Wahrscheinlichkeit $P(X\leq x)$ für einen beliebigen Wert $x$ an.
}}

Das folgende Applet zeigt dir die Graphen der Dichtefunktion (links) und der Verteilungsfunktion (rechts) an.
<ggb_applet width="850" height="300" version="5.0" id="xR8kGEhd" />

{{Vorlage:Merke|1=
$\\ $
* Die Verteilungsfunktion ist streng monoton steigend.
* Die Verteilungsfunktion konvergiert gegen den Wert $1$, da auch die Fläche unter der Glockenkurve gegen $1$ konvergiert.
* Bei $\mu$ hat die Verteilungsfunktion immer den Wert $0.5$, da $P(x\leq \mu)=0.5$.
}}

== Beispiele ==
In einer Fabrik wird Senf in Gläser zu $250 g$ verpackt. Vom Hersteller der Füllmaschine wird der Senffabrik nahegelegt, den Sollwert (Mittelwert $\mu$) auf $265 g$ einzustellen. Dabei ergibt sich eine mittlere Abweichung $\sigma=10 g$.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

 a) '''Wahrscheinlichkeit rechts von $\mu$ berechnen:''' Wie viele Gläser enthalten mehr als $280 g$ Senf? 

<div class="mw-collapsible-content">

Die Variable $X$ ist $N(265;10)$-verteilt und gibt die Füllmenge in Gramm (g) an.
{| border="1" align="center"
! GeoGebra / Graph !! Ti-8X !! Per Hand / Tabelle
|-
| Gesucht ist $P(X> 280)$
[[Datei:Bsp-a.png|220px|center|miniatur]]
| $$P(X>280)=1-P(X\leq 280)=$$
$$=1-normcdf(-\infty,280,265,10)=$$
$$=0.06681$$
| $$P(X>280)=1-P(X\leq 280)=$$
$$=\underbrace{P(X\leq 265 + 1.5\cdot 10)}_{P(X\leq \mu + z\cdot \sigma)}=$$
$$=1-\Phi (1.5)=$$
$$=1-0,93319=0.06681$$
|}
Die Wahrscheinlichkeit $P(X> 280)$ beträgt $6.681\%$.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

 b) '''Wahrscheinlichkeit links von $\mu$ berechnen:''' Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Glas weniger als $250 g$ enthält? 

<div class="mw-collapsible-content">
{| border="1" align="center"
! GeoGebra / Graph !! Ti-8X !! Per Hand / Tabelle
|-
| Gesucht ist $P(X< 250)$
[[Datei:Bsp-b.png|220px|center|miniatur]]
| $$P(X<250)=$$
$$=normcdf(-\infty,250,265,10)=$$
$$=0.06681$$
| $$P(X<250)=P(X<265-15)$$
$$=\underbrace{P(X\leq 265 - 1.5\cdot 10)}_{P(X\leq \mu - z\cdot \sigma)}=$$
$$=\Phi (-1.5)=1-\Phi (1.5)$$
$$=1-0,93319=0.06681 $$
|}
Die Wahrscheinlichkeit $P(X<250)$ beträgt ebenfalls $6.681\%$. Auf dieses Ergebnis hätten wir auch einfacher kommen können, da $280$ und $250$ gleich weit von $\mu=265$ entfernt sind und aufgrund der Symmetrie der Normalverteilung erhalten wir dasselbe Ergebnis.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

 c) '''Wahrscheinlichkeit in einem bestimmten Bereich:''' Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Glas zwischen $250 g$ und $270 g$ enthält? 

<div class="mw-collapsible-content">

{| border="1" align="center"
! GeoGebra / Graph !! Ti-8X !! Per Hand / Tabelle
|-
| Gesucht ist $P(250\leq X\leq 270)$
[[Datei:Bsp-c.png|220px|center|miniatur]]
| $$P(250\leq X\leq 270)=P(X\leq 270)-P(X\leq 250)$$
$$=normcdf(-\infty,270,265,10)-normcdf(-\infty,250,265,10)=$$
$$=0.6247$$
| $$P(250\leq X\leq 270)=P(X\leq 270)-P(X\leq 250)$$
$$=\underbrace{P(X\leq 265 + 0.5\cdot 10)}_{P(X\leq \mu + z\cdot \sigma)}-\underbrace{P(X\leq 265 - 1.5\cdot 10)}_{P(X\leq \mu + z\cdot \sigma)}=$$
$$=\Phi (0.5)-\Phi(-1.5)=$$
$$=\Phi (0.5)-(1-\Phi(1.5))$$
$$ 0.69146 -0.06681=0.6247$$
|}
</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

 d) '''Ermitteln eines symmetrischen Intervalls um $\mu$:''' In welchem symmetrischen Bereich um den Mittelwert liegen $80\%$ der Gläser? 

<div class="mw-collapsible-content">

Hier wird jetzt die Umkehrung gebraucht. Die Wahrscheinlichkeit ist bekannt und die $x$-Werte sind gesucht (vorher war es immer umgekehrt).

[[Datei:Bsp-d2.png|350px|miniatur|rechts]]
Gesucht ist $P(\mu -k \leq X\leq \mu + k)=0.8$ (siehe Grafik)
Somit müssen zwischen $\mu$ und $\mu +k$ insgesamt $40\%$ aller Werte liegen ($40\%$ sind links und $40\%$ sind rechts von $\mu$ ).
Insgesamt liegen dann $50+40=90\%$ links von $\mu+k$ (d. h. $P(X\leq \mu+k)=0.9$). Mit dieser Überlegung können wir nun $k$ bestimmen:

{| border="1" align="center"
! GeoGebra / Graph !! Ti-8X !! Per Hand / Tabelle
|-
| $P(X\leq \mu+k)=0.9\rightarrow \mu+k=277.82\rightarrow k=12.82$
Somit ist das gesuchte Intervall:
$$[\mu -k ; \mu + k]=[252.18;277.82]$$
[[Datei:Bsp-d.png|220px|center|miniatur]]
Alternativer CAS-Befehl:
$$Normal[265, 10, 265+x]-Normal[265, 10, 265-x]=0.8$$
$$\rightarrow x=12.82$$
| $$P(X\leq \mu+k)=0.9$$
$$\rightarrow \mu+k=invNorm(0.9,265,10)$$
$$\mu+k=277.82\rightarrow k=12.82$$
Somit ist das gesuchte Intervall:
$$[\mu -k ; \mu + k]=[252.18;277.82]$$
| $$P(\mu-z\cdot \sigma \leq X\leq \mu+z\cdot \sigma)=0.8$$
$$P(X\leq \mu+z\cdot \sigma)-P(X\leq \mu-z\cdot \sigma)=0.8$$
$$\Phi (z)-\Phi(-z)=0.8$$
$$\Phi (z)-(1-\Phi (z))=0.8$$
$$2\cdot \Phi (z)-1=0.8$$
$$\Phi (z) =\frac{1+0.8}{2}=0.9$$
$$\rightarrow z\approx 1.28$$
$\mu+z\cdot \sigma=265+1.28\dot 10=277.8$ und $\mu-z\cdot \sigma=265-1.28\dot 10=252.2$

Somit ist das gesuchte Intervall:
$$[\mu -k ; \mu + k]=[252.18;277.82]$$
|}
</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

 e) '''Ermitteln von $\mu$ bei bekannter Wahrscheinlichkeit:''' Welchen Mittelwert $\mu$ könnte die Senffirma einstellen, wenn sie $10\%$ untergewichtigen Ausschuss toleriert? 

<div class="mw-collapsible-content">
$\mu=$? und $\sigma=10$. Gesucht ist, für welches $\mu$ gilt $P(X\leq 250)=0.10$.
{| border="1" align="center"
! GeoGebra !! Ti-8X !! Per Hand / Tabelle
|-
| Dies berechnet man am besten mithilfe des CAS:
$$Normal[\mu, 10, 250]=0.1\rightarrow \mu=262.82$$

| Dies berechnet man am besten mithilfe des Solve-Befehls:
$$normalcdf(-\infty,250,x, 10)=0.1$$
$$\rightarrow 0=normalcdf(-\infty,250,x, 10)-0.1$$
$$\rightarrow \mu=262.82$$
| $$P(X\leq 250)=0.10$$
$$P(X\leq \underbrace{\mu+z\cdot 10}_{=250} )=0.10$$
$$\Phi (z)=0.1\rightarrow z\approx -1.28$$
$$ 250=\mu+(-1.29)\cdot 10 \rightarrow \mu=262.8$$
|}
</div>

</div>
 
= Beispiele =

== Quiz zur Normalverteilung (WS 3.4) ==

{{#widget:Iframe
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|height= 700
|border=1
}}
 

==Bifie-Aufgaben==
{{Vorlage:Bifie-Aufgabe|1=https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=125&file=Waehlerverhalten.pdf Wählerverhalten}}

{{Vorlage:Bifie-Aufgabe|1=https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=165&file=Wetter.pdf Wetter}}

{{Vorlage:Bifie-Aufgabe-HUM|1=https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=440&file=Duengersaecke_(3).pdf Düngersäcke (3)}}

{{Vorlage:Bifie-Aufgabe-HUM|1=https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=497&file=Intelligenzquotient.pdf Intelligenzquotient}}
: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Beschreibende Statistik]] und [[Regression]]

{{Vorlage:Bifie-Aufgabe|1=https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=281&file=Freies_Gehen.pdf Freies Gehen}}
: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Beschreibende Statistik]]

{{Vorlage:Bifie-Aufgabe-HUM|1=https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=433&file=Getraenkeprotuktion.pdf Getränkeproduktion}}
: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Lineare Optimierung]]

{{Vorlage:Bifie-Aufgabe-HUM|1=https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=424&file=Hustensaft.pdf Hustensaft}}
: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Lineare Optimierung]]

{{Vorlage:Bifie-Aufgabe-HUM|1=https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=464&file=Huehnerfarm.pdf Hühnerfarm}}
: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Beschreibende Statistik]] sowie [[Lineare Optimierung]] und [[Finanzmathematik]]

{{Vorlage:Bifie-Aufgabe|1=https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=316&file=Farbenfrohe_Gummibaeren.pdf Gummibären}}
: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Beschreibende Statistik]]

{{Vorlage:Bifie-Aufgabe-HUM|1=https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=625&file=Minigolf_*.pdf Minigolf}}
: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Umkehraufgaben]] sowie [[Differenzen- und Differentialquotient]] und [[Integration]]

{{Vorlage:Bifie-Aufgabe|1=https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=598&file=Klimawandel_und_Ozon.pdf Klimawandel und Ozon}}
: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Wachstums- und Zerfallsprozesse]]

{{Vorlage:Bifie-Aufgabe|1=https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=601&file=Batterien.pdf Batterien}}
: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Binomialverteilung]]

{{Vorlage:Bifie-Aufgabe|1=https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=689&file=Freizeitparadies_Schoeckl.pdf Freizeitparadies Schöckl}}
: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Trigonometrie]], [[Formeln]] und [[Kurvendiskussionen]]

{{Vorlage:Bifie-Aufgabe|1=https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=251&file=Nennfuellmenge.pdf Nennfüllmenge}}
: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Beschreibende Statistik]] und [[Binomialverteilung]]

{{Vorlage:Bifie-Aufgabe|1=https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=132&file=Lebensdauer_eines_Bauteils.pdf Lebensdauer eines Bauteils}}
: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Beschreibende Statistik]]

{{Vorlage:Bifie-Aufgabe|1=https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=67&file=Drehteile_1.pdf Drehteile}}

{{Vorlage:Bifie-Aufgabe|1=https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=149&file=Wirksamkeit_von_Medikamenten.pdf Wirksamkeit eines Medikamentes}}
: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Wahrscheinlichkeit: Baumdiagramme und Pfadregeln|Baumdiagramme]] und [[Binomialverteilung]]

{{Vorlage:Bifie-Aufgabe-HUM|1=https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=426&file=Elektronikhersteller.pdf Elektronikhersteller}}
: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Regression]] und [[Kosten- und Preistheorie]]

{{Vorlage:Bifie-Aufgabe|1=https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=567&file=Studentenfutter.pdf Studentenfutter}}
: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Gleichungssysteme]] und [[Beschreibende Statistik]]

{{Vorlage:Bifie-Aufgabe-HUM|1=https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=435&file=Schweinezucht_(2).pdf Schweinezucht}}
: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Binomialverteilung]]

{{Vorlage:Bifie-Aufgabe-HUM|1=https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=360&file=Halterung_fuer_Glasfassaden.pdf Halterung für Glasfassaden}}
: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Binomialverteilung]] und [[Kosten- und Preistheorie]]

{{Vorlage:Bifie-Aufgabe|1=https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=551&file=Swimmingpool.pdf Swimmingpool}}
: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Binomialverteilung]] und [[Trigonometrie]]

{{Vorlage:Bifie-Aufgabe-HUM|1= https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=449&file=Materialzuschnitt_(2).pdf Materialzuschnitt (2)}}
: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Binomialverteilung]] und [[Rentenrechnung]]

{{Vorlage:Bifie-Aufgabe-HUM|1=https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=539&file=Kfz-Kennzeichen.pdf Kfz-Kennzeichen}}
: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Binomialverteilung]] und [[Wachstums- und Zerfallsprozesse]] sowie [[Differenzen- und Differentialquotient]]

{{Vorlage:Bifie-Aufgabe|1= https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=697&file=Hoehentraining.pdf Höhentraining}}
: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Beschreibende Statistik]] bzw. [[Binomialverteilung]]

Wahrscheinlichkeit: Normalverteilung und Stetige Zufallsvariablen

2020-04-11T13:58:08Z

PeterLamp:

= Grundbegriffe für stetige Zufallsvariablen =
[[Datei:Dichtefkt.png|300px|miniatur|rechts]]
Nun beschäftigen wir uns mit Zufallsvariablen, die jeden Wert in einem bestimmten [[Zahlenmengen| reellen]] Intervall annehmen können, z. B. alle Werte zwischen $2.5$ und $10$. Dies sind sogenannte '''stetige Zufallsvariablen'''. Beispiele für stetige Zufallsvariablen sind die Körpergröße oder das Gewicht eines Menschen, die Lebensdauer eines Bauteils, die Wartedauer in einer Schlange usw.

== Dichtefunktion ==
Anstelle der Wahrscheinlichkeitsfunktion $P$ für [[Wahrscheinlichkeit:_Diskrete_Zufallsvariablen_und_die_Binomialverteilung| diskrete Zufallsvariablen]], definiert man für stetige Zufallsvariablen die Dichtefunktion $f$.

{{Vorlage:Definition|1=Die Dichtefunktion $f$ ist eine Funktion mit den Eigenschaften:
* Die [[Funktionen#tab=Definition_einer_Funktion|Funktionswerte]] von $f$ sind immer positiv:
$$f(x)\geq 0 $$ und
* die Fläche unterhalb der Dichtefunktion ist $1$
$$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\cdot dx=1$$ }}

Der Grund, warum man nicht die [[Wahrscheinlichkeit:_Diskrete_Zufallsvariablen_und_die_Binomialverteilung#Wahrscheinlichkeits-_und_Verteilungsfunktion| Wahrscheinlichkeitsfunktion $P$]] verwendet, liegt darin, dass stetige Zufallsvariablen unendlich viele (und überabzählbar viele) Werte haben und die Wahrscheinlichkeit, dass ein ganz bestimmter Wert auftritt, gleich $0$ ist.

{| class="wikitable"
|-
! 1. Beispiel einer Dichtefunktion !! 2. Beispiel einer Dichtefunktion
|-
| [[Datei:Dichtefkt 1.png|400px|miniatur|zentriert]] || [[Datei:Dichtefkt 2.png|400px|miniatur|zentriert]]
|-
| $$f(x)\geq 0$$ und $$\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\cdot dx=\int_{0}^{4} \frac{1}{4}=1$$|| $$f(x)\geq 0 $$ und $$\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\cdot dx=\int_{0}^{2} \frac{1}{4}x\cdot dx + \int_{2}^{4} -\frac{1}{4}x\cdot dx=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$$
|}
 
 
== Verteilungsfunktion ==

Mithilfe der Dichtefunktion definieren wir nun (ähnlich wie bei den [[Wahrscheinlichkeit:_Diskrete_Zufallsvariablen_und_die_Binomialverteilung#Wahrscheinlichkeits-_und_Verteilungsfunktion|diskreten Zufallsvariablen]]) die ...
[[Datei:Verfkt2.png|miniatur|400px|Die Fläche kann als Wahrscheinlichkeit interpretiert werden: $$P(X\leq 2.5)=\int_{-\infty}^{2.5} f(x)\cdot dx=0.72$$ ]]
{{Vorlage:Definition|1=Verteilungsfunktion $F$
$$F(x)=P(X\leq x)= \int_{-\infty}^{x} f(t)\cdot dt$$
Sie gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass $X$ einen Wert $\leq x$ annimmt.
}}

'''Wichtig:''' Die Funktionswerte der Dichtefunktion $f(x)$ geben NICHT die Wahrscheinlichkeit $P(X=x)$ an. Bei stetigen Zufallsvariablen können wir nur die Wahrscheinlichkeit dafür angeben, dass die Zufallsvariable $X$ Werte in einem bestimmten Intervall annimmt.

[[Datei:Verfkt2b.png|400px|miniatur|rechts|$$P(1\leq X\leq 2.5)=\int_{1}^{2.5} f(x)\cdot dx=0.65$$]]
{{Vorlage:Merke|1= Die Wahrscheinlichkeit, dass die stetige ZV $X$ einen Wert im Intervall $[a;b]$ annimmt, entspricht der Fläche unter der Dichtefunktion zwischen den Grenzen $a$ und $b$:
$$P(a\leq X\leq b)= \int_{a}^{b} f(x)\cdot dx = F(b)-F(a)$$
}}

'''Hinweis:'''
* Die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ einen bestimmten Wert $a$ annimmt ist $0$, da:
$$P(a\leq X\leq a)= \int_{a}^{a} f(x)\cdot dx = F(a)-F(a)=0$$
* $P(X\leq a)=P(X<a)$
: Begründung: $ P(X\leq a)=P(X<a)+P(X=a)$ und da $P(X=a)=0$ ist, folgt die Behauptung.
[[Datei:Verteilungsfkt gif.gif|400px|miniatur|rechts]]
* $P(a\leq X\leq b)=P(X\leq b)-P(X\leq a)$, wie aus der rechten Skizze leicht zu sehen ist.

 
 
 
 
 
 
 
 

== Erwartungswert und Standardabweichung ==
{{Vorlage:Definition|1= Für stetige Zufallsvariablen sind '''Erwartungswert''' $\mu$ und '''Standardabweichung''' $\sigma$ wie folgt definiert:
$$E(x)=\mu=\int_{-\infty}^{+\infty} x\cdot f(x)\cdot dx$$
$$\sigma =\sqrt{\int_{-\infty}^{+\infty} (x-\mu)^2 f(x)\cdot dx}$$
}}

[[Datei:Bsp.png|left]]
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px" style="background-color:#CEE3F6">


Berechnen Sie Erwartungswert und Standardabweichung der folgenden zwei Dichtefunktionen.
Erklären Sie die Gemeinsamkeiten bzw. Unterschiede bei $\mu$ und $\sigma$:

{| border="1" align="center"
! 1. Dichtefunktion !! 2. Dichtefunktion
|-
|[[Datei:Dichtefkt 1.png|400px|miniatur|zentriert]] || [[Datei:Dichtefkt 2.png|400px|miniatur|zentriert]]
|}

<div class="mw-collapsible-content" style="background-color:#E6F6CE" >
{| border="1"
! !! 1. Dichtefunktion !! 2. Dichtefunktion
|-
|'''$\mu$'''
|$$\mu=\int_{-\infty}^{\infty} x\cdot f(x)\cdot dx=\int_{0}^{4} \frac{1}{4}x=\frac{1}{4}\cdot \frac{x^2}{2}\vert _{0}^{4}=2$$
$$\mu = 2$$
|$$\mu=\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\cdot dx=\int_{0}^{2} \underbrace{x \cdot \frac{1}{4}x}_{-\frac{1}{4}x^2}+\int_{2}^{4} \underbrace{x\cdot (-\frac{1}{4}x+1)}_{ -\frac{1}{4}x^2+x}=$$
$$=\frac{1}{4}\cdot\frac{x^3}{3}\vert_{0}^{2} +[-\frac{1}{4}\cdot\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}]_{2}^{4}=$$
$$=\frac{1}{4}\cdot\frac{2^3}{3}-0 +\left[-\frac{1}{4}\cdot\frac{4^3}{3}+\frac{4^2}{2}-(-\frac{1}{4}\cdot\frac{2^3}{3}+\frac{2^2}{2})\right]=$$
$$=\frac{2}{3}+\left[-\frac{16}{3}+8-(-\frac{2}{3}+2)\right]=2$$
|-
|'''$\sigma$'''
| $$\sigma=\sqrt{\int_{-\infty}^{\infty} (x-\mu )^2 \cdot f(x)\cdot dx}=$$
$$=\sqrt{\int_{0}^{4} \underbrace{(x-2)^2}_{x^2-4x+4}\cdot \frac{1}{4}\cdot dx }=$$
$$=\sqrt { \frac{1}{4} \left( \frac{x^3}{3} - \frac{4x^2}{2}+4x \right) \vert_{0}^{4} }=$$
$$=\sqrt{\frac{1}{4}\cdot (\frac{4^3}{3}-\frac{4^3}{2}+16)}=\frac{2}{\sqrt{3}}\approx 1.15$$
| $$\sigma=\sqrt{\int_{-\infty}^{\infty} (x-\mu )^2 \cdot f(x)\cdot dx}$$

$$=\sqrt{\int_{0}^{2}(x-2)^2\cdot \frac{1}{4}\cdot x + \int_{2}^{4}(x-2)^2\cdot (-\frac{1}{4}\cdot x+1)}=...$$
$$\sigma=\frac{\sqrt{6}}{3}\approx 0.82$$
|-
| '''Graph'''
| [[Datei:Dichtefkt 1 mit m und s.png|300px|miniatur|zentriert|1. Dichtefunktion. Eingezeichnet ist der Erwartungswert $\mu$ und die sogenannte $\sigma$-Umgebung.]]
| [[Datei:Dichtefkt2mMuS.png|300px|miniatur|zentriert|1. Dichtefunktion. Eingezeichnet ist der Erwartungswert $\mu$ und die sogenannte $\sigma$-Umgebung.]]
|}
 
'''Wichtig:''' Während beide Zufallsvariablen über denselben Erwartungswert verfügen ($\mu=2$), unterscheiden sie sich in ihrer Standardabweichung. Die Zufallsvariable mit der Dichtefunktion 1 weist eine höhere Streuung auf als jene Zufallsvariable mit der Dichtefunktion 2.

</div>

</div>

Eine der wichtigsten stetigen Verteilungsfunktionen ist die '''Normalverteilung''' (siehe nächste Seite).

{| align="right"
| <div class="testbutton-blue"> {{#switchtablink:Normalverteilung|$\rightarrow$ nächste Seite ...}} </div>
|}

= Normalverteilung =
== Einleitung ==

{{Vorlage:Video|1=_rVt6qTkea8}}

[[Datei:Dichtefkt-mit Gleichung.png|400px|miniatur|rechts|Dichtefunktion einer $N(\mu ;\sigma )$-verteilten Zufallsvariable. ]]
{{Vorlage:Definition|1= Eine stetige Zufallsvariable ist '''normalverteilt mit Erwartungswert $\mu$ und Standardabweichung $\sigma$ (kurz: $N(\mu ;\sigma)$-verteilt)''', wenn für die Dichtefunktion $f$ gilt:
$$ f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot \sigma}\cdot e^{\frac{1}{2}\cdot (\frac{x-\mu}{\sigma})^2}$$}}

Die Dichtefunktion der Normalverteilung wird aufgrund ihrer Form „Gaußsche Glockenkurve“ genannt.

[[Datei:Dichtefkt-mit m und s.png|400px|miniatur|rechts]]
'''Eigenschaften des Graphen der Dichtefunktion :'''
* Die Glockenkurve ist symmetrisch zum Erwartungswert $\mu$, bei dem Sie auch ihren einzigen Hochpunkt hat.
* Die beiden Wendepunkte der Glockenkurve befinden sich bei $\mu -\sigma$ und $\mu +\sigma$
* Im Intervall $[\mu -\sigma ; \mu -\sigma]$ befinden sich ca. $68 \%$ aller Werte.
* Die Glockenkurve nähert sich [[Asymptote|asymptotisch]] der $x$-Achse an und es gilt
$$\lim_{x\rightarrow \pm \infty} f(x) =0$$
* Die Dichtefunktion erfüllt alle wichtigen Eigenschaften einer Dichtefunktion:
:: $f(x)\geq 0$ und
:: $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\cdot dx=1$ (d. h. die Fläche unterhalb der Dichtefunktion ist $1$).

Die Normalverteilung ist deshalb so wichtig, da es in der Natur und im Alltag sehr viele Zufallsvariablen gibt, die eine solche Verteilung aufweisen und somit eine Dichtefunktion besitzen, deren Graph glockenförmig ist.

{{Vorlage:Merke|1=Die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten erfolgt über die Berechnung der Fläche unterhalb der Dichtefunktion.
Für die Verteilungsfunktion $F$ gilt wieder:
$$F(x)=P(X\leq x)=\int_{-\infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot \sigma}\cdot e^{\frac{1}{2}\cdot (\frac{t-\mu}{\sigma})^2}\cdot dt$$

Die Berechnung dieses Integrals erfolgt in der Regel mithilfe des Taschenrechners bzw. mit GeoGebra.}}

Das folgende [http://www.geogebra.org/material/show/id/e2Ppkaj9#share-popup Applet von Lindner] zeigt dir die wichtigsten Eigenschaften der Glockenkurve:

{| align=center border=1
! Verschiebung der Normalverteilung
|-
|
<ggb_applet width="800" height="450" version="5.0" id="e2Ppkaj9" />
|-
| Falls dieses Applet nicht funktioniert: Klicke [https://www.geogebra.org/m/e2Ppkaj9 hier]
|}

{{Vorlage:Merke|1=
$\\ $
# Ändert sich der Erwartungswert $\mu$, so wandert die Glockenkurve nach links oder rechts.
# Ändert sich die Standardabweichung $\sigma$, so ändern sich zwei Sachen:
:: a) die Glockenkurve wird breiter.
:: b) die Glockenkurve wird flacher, da die Fläche unter der Kurve $1$ bleiben muss.
}}

Wichtige Überlegungen:

$$P(X\leq \mu)=0.5$$
[[Datei:Normal1.png|400px|miniatur|zentriert|$P(X\leq \mu)=0.5$]]

$$P(X\leq b)$$
[[Datei:Normal2.png|400px|miniatur|zentriert|$P(X\leq b)=F(b)$]]

$$ P(X \geq b)=1-P(X \leq b)$$
[[Datei:Normal3.png|400px|miniatur|zentriert|$P(X\geq b)=1-P(X\leq b)$]]

$$ P(a\leq X\leq b)$$
[[Datei:Normal4.png|400px|miniatur|zentriert|$P(a\leq X\leq b)=P(X\leq b)-P(X\leq a)$]]

 
Zur Wiederholung und Erheiterung ein Video vom berühmten "DorFuchs" zur Normalverteilung und seinem IQ:
{| align="center"
{{Vorlage:Video| m-nEbS4QpYw }}
|}
 

== $\sigma$-Umgebungen ==
Für jede normalverteilte Zufallsvariable $X$ gilt, dass die $\sigma$-Bereiche um den Erwartungswert $\mu$ eine konstante Fläche beinhalten.
{|
|[[Datei:Sigma-Umgebung1.png|300px|miniatur|zentriert|$P(\mu-\sigma\leq X\leq \mu +\sigma)\approx 68.3\%$]]
|[[Datei:Sigma2.png|300px|miniatur|zentriert|$P(\mu-2\sigma\leq X\leq \mu +2\sigma)\approx 95.4\%$]]
|[[Datei:Sigma3.png|300px|miniatur|zentriert|$P(\mu-3\sigma\leq X\leq \mu +3\sigma)\approx 99.73\%$]]
|}

 

== Binomial- und Normalverteilung ==
Die Binomialverteilung kann durch die Normalverteilung angenähert werden. Graphisch ist dies gut erkennbar: Je symmetrischer die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung ist und umso größer der Stichprobenumfang $n$ (d. h. die Anzahl der Balken), desto ähnlicher wird die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung der Glockenkurve der Normalverteilung.

Bild

{{Vorlage:Merke|1=
Die Binomialverteilung darf näherungsweise durch die Normalverteilung ersetzt werden, wenn die Bedingung
$$n\cdot p\cdot (1-p)>9$$
erfüllt ist.
}}

==Verteilungsfunktion einer Normalverteilung ==
[[Datei:verteilungsfkt-normalv-graph.png|thumb|right|300px|Graph der Verteilungsfunktion einer normalverteilten Zufallsvariable $X$]]
Wir haben oben schon gelernt, dass die Wahrscheinlichkeit der Fläche unter der Dichtefunktion entspricht. D. h. Sei $f$ die Dichtefunktion einer normalverteilten Zufallsvariable $X$. Dann gilt für die Wahrscheinlichkeit $P(X\leq x)$ (d. h. die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable $X$ einen Wert kleiner oder gleich $x$ annimmt):$$P(X\leq x)=\int_{-\infty}^{x} f(x)\cdot dx$$

Dieses Integral können wir nun als Funktion interpretieren, die uns für jedes $x$ die Fläche unter der Glockenkurve links von $x$ angibt. D. h.:
$$G(x)=\int_{-\infty}^{x} f(x)\cdot dx$$

{{Vorlage:Definition|1=
Die '''Verteilungsfunktion $G$''' mit
$$G(X)=P(X\leq x)=\int_{-\infty}^{x} f(x)\cdot dx$$
gibt die Wahrscheinlichkeit $P(X\leq x)$ für einen beliebigen Wert $x$ an.
}}

Das folgende Applet zeigt dir die Graphen der Dichtefunktion (links) und der Verteilungsfunktion (rechts) an.
<ggb_applet width="850" height="300" version="5.0" id="xR8kGEhd" />

{{Vorlage:Merke|1=
$\\ $
* Die Verteilungsfunktion ist streng monoton steigend.
* Die Verteilungsfunktion konvergiert gegen den Wert $1$, da auch die Fläche unter der Glockenkurve gegen $1$ konvergiert.
* Bei $\mu$ hat die Verteilungsfunktion immer den Wert $0.5$, da $P(x\leq \mu)=0.5$.
}}

== Beispiele ==
In einer Fabrik wird Senf in Gläser zu $250 g$ verpackt. Vom Hersteller der Füllmaschine wird der Senffabrik nahegelegt, den Sollwert (Mittelwert $\mu$) auf $265 g$ einzustellen. Dabei ergibt sich eine mittlere Abweichung $\sigma=10 g$.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

 a) '''Wahrscheinlichkeit rechts von $\mu$ berechnen:''' Wie viele Gläser enthalten mehr als $280 g$ Senf? 

<div class="mw-collapsible-content">

Die Variable $X$ ist $N(265;10)$-verteilt und gibt die Füllmenge in Gramm (g) an.
{| border="1" align="center"
! GeoGebra / Graph !! Ti-8X !! Per Hand / Tabelle
|-
| Gesucht ist $P(X> 280)$
[[Datei:Bsp-a.png|220px|center|miniatur]]
| $$P(X>280)=1-P(X\leq 280)=$$
$$=1-normcdf(-\infty,280,265,10)=$$
$$=0.06681$$
| $$P(X>280)=1-P(X\leq 280)=$$
$$=\underbrace{P(X\leq 265 + 1.5\cdot 10)}_{P(X\leq \mu + z\cdot \sigma)}=$$
$$=1-\Phi (1.5)=$$
$$=1-0,93319=0.06681$$
|}
Die Wahrscheinlichkeit $P(X> 280)$ beträgt $6.681\%$.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

 b) '''Wahrscheinlichkeit links von $\mu$ berechnen:''' Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Glas weniger als $250 g$ enthält? 

<div class="mw-collapsible-content">
{| border="1" align="center"
! GeoGebra / Graph !! Ti-8X !! Per Hand / Tabelle
|-
| Gesucht ist $P(X< 250)$
[[Datei:Bsp-b.png|220px|center|miniatur]]
| $$P(X<250)=$$
$$=normcdf(-\infty,250,265,10)=$$
$$=0.06681$$
| $$P(X<250)=P(X<265-15)$$
$$=\underbrace{P(X\leq 265 - 1.5\cdot 10)}_{P(X\leq \mu - z\cdot \sigma)}=$$
$$=\Phi (-1.5)=1-\Phi (1.5)$$
$$=1-0,93319=0.06681 $$
|}
Die Wahrscheinlichkeit $P(X<250)$ beträgt ebenfalls $6.681\%$. Auf dieses Ergebnis hätten wir auch einfacher kommen können, da $280$ und $250$ gleich weit von $\mu=265$ entfernt sind und aufgrund der Symmetrie der Normalverteilung erhalten wir dasselbe Ergebnis.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

 c) '''Wahrscheinlichkeit in einem bestimmten Bereich:''' Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Glas zwischen $250 g$ und $270 g$ enthält? 

<div class="mw-collapsible-content">

{| border="1" align="center"
! GeoGebra / Graph !! Ti-8X !! Per Hand / Tabelle
|-
| Gesucht ist $P(250\leq X\leq 270)$
[[Datei:Bsp-c.png|220px|center|miniatur]]
| $$P(250\leq X\leq 270)=P(X\leq 270)-P(X\leq 250)$$
$$=normcdf(-\infty,270,265,10)-normcdf(-\infty,250,265,10)=$$
$$=0.6247$$
| $$P(250\leq X\leq 270)=P(X\leq 270)-P(X\leq 250)$$
$$=\underbrace{P(X\leq 265 + 0.5\cdot 10)}_{P(X\leq \mu + z\cdot \sigma)}-\underbrace{P(X\leq 265 - 1.5\cdot 10)}_{P(X\leq \mu + z\cdot \sigma)}=$$
$$=\Phi (0.5)-\Phi(-1.5)=$$
$$=\Phi (0.5)-(1-\Phi(1.5))$$
$$ 0.69146 -0.06681=0.6247$$
|}
</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

 d) '''Ermitteln eines symmetrischen Intervalls um $\mu$:''' In welchem symmetrischen Bereich um den Mittelwert liegen $80\%$ der Gläser? 

<div class="mw-collapsible-content">

Hier wird jetzt die Umkehrung gebraucht. Die Wahrscheinlichkeit ist bekannt und die $x$-Werte sind gesucht (vorher war es immer umgekehrt).

[[Datei:Bsp-d2.png|350px|miniatur|rechts]]
Gesucht ist $P(\mu -k \leq X\leq \mu + k)=0.8$ (siehe Grafik)
Somit müssen zwischen $\mu$ und $\mu +k$ insgesamt $40\%$ aller Werte liegen ($40\%$ sind links und $40\%$ sind rechts von $\mu$ ).
Insgesamt liegen dann $50+40=90\%$ links von $\mu+k$ (d. h. $P(X\leq \mu+k)=0.9$). Mit dieser Überlegung können wir nun $k$ bestimmen:

{| border="1" align="center"
! GeoGebra / Graph !! Ti-8X !! Per Hand / Tabelle
|-
| $P(X\leq \mu+k)=0.9\rightarrow \mu+k=277.82\rightarrow k=12.82$
Somit ist das gesuchte Intervall:
$$[\mu -k ; \mu + k]=[252.18;277.82]$$
[[Datei:Bsp-d.png|220px|center|miniatur]]
Alternativer CAS-Befehl:
$$Normal[265, 10, 265+x]-Normal[265, 10, 265-x]=0.8$$
$$\rightarrow x=12.82$$
| $$P(X\leq \mu+k)=0.9$$
$$\rightarrow \mu+k=invNorm(0.9,265,10)$$
$$\mu+k=277.82\rightarrow k=12.82$$
Somit ist das gesuchte Intervall:
$$[\mu -k ; \mu + k]=[252.18;277.82]$$
| $$P(\mu-z\cdot \sigma \leq X\leq \mu+z\cdot \sigma)=0.8$$
$$P(X\leq \mu+z\cdot \sigma)-P(X\leq \mu-z\cdot \sigma)=0.8$$
$$\Phi (z)-\Phi(-z)=0.8$$
$$\Phi (z)-(1-\Phi (z))=0.8$$
$$2\cdot \Phi (z)-1=0.8$$
$$\Phi (z) =\frac{1+0.8}{2}=0.9$$
$$\rightarrow z\approx 1.28$$
$\mu+z\cdot \sigma=265+1.28\dot 10=277.8$ und $\mu-z\cdot \sigma=265-1.28\dot 10=252.2$

Somit ist das gesuchte Intervall:
$$[\mu -k ; \mu + k]=[252.18;277.82]$$
|}
</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

 e) '''Ermitteln von $\mu$ bei bekannter Wahrscheinlichkeit:''' Welchen Mittelwert $\mu$ könnte die Senffirma einstellen, wenn sie $10\%$ untergewichtigen Ausschuss toleriert? 

<div class="mw-collapsible-content">
$\mu=$? und $\sigma=10$. Gesucht ist, für welches $\mu$ gilt $P(X\leq 250)=0.10$.
{| border="1" align="center"
! GeoGebra !! Ti-8X !! Per Hand / Tabelle
|-
| Dies berechnet man am besten mithilfe des CAS:
$$Normal[\mu, 10, 250]=0.1\rightarrow \mu=262.82$$

| Dies berechnet man am besten mithilfe des Solve-Befehls:
$$normalcdf(-\infty,250,x, 10)=0.1$$
$$\rightarrow 0=normalcdf(-\infty,250,x, 10)-0.1$$
$$\rightarrow \mu=262.82$$
| $$P(X\leq 250)=0.10$$
$$P(X\leq \underbrace{\mu+z\cdot 10}_{=250} )=0.10$$
$$\Phi (z)=0.1\rightarrow z\approx -1.28$$
$$ 250=\mu+(-1.29)\cdot 10 \rightarrow \mu=262.8$$
|}
</div>

</div>
 

==Bifie-Aufgaben==
{{Vorlage:Bifie-Aufgabe|1=https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=125&file=Waehlerverhalten.pdf Wählerverhalten}}

{{Vorlage:Bifie-Aufgabe|1=https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=165&file=Wetter.pdf Wetter}}

{{Vorlage:Bifie-Aufgabe-HUM|1=https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=440&file=Duengersaecke_(3).pdf Düngersäcke (3)}}

{{Vorlage:Bifie-Aufgabe-HUM|1=https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=497&file=Intelligenzquotient.pdf Intelligenzquotient}}
: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Beschreibende Statistik]] und [[Regression]]

{{Vorlage:Bifie-Aufgabe|1=https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=281&file=Freies_Gehen.pdf Freies Gehen}}
: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Beschreibende Statistik]]

{{Vorlage:Bifie-Aufgabe-HUM|1=https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=433&file=Getraenkeprotuktion.pdf Getränkeproduktion}}
: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Lineare Optimierung]]

{{Vorlage:Bifie-Aufgabe-HUM|1=https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=424&file=Hustensaft.pdf Hustensaft}}
: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Lineare Optimierung]]

{{Vorlage:Bifie-Aufgabe-HUM|1=https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=464&file=Huehnerfarm.pdf Hühnerfarm}}
: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Beschreibende Statistik]] sowie [[Lineare Optimierung]] und [[Finanzmathematik]]

{{Vorlage:Bifie-Aufgabe|1=https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=316&file=Farbenfrohe_Gummibaeren.pdf Gummibären}}
: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Beschreibende Statistik]]

{{Vorlage:Bifie-Aufgabe-HUM|1=https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=625&file=Minigolf_*.pdf Minigolf}}
: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Umkehraufgaben]] sowie [[Differenzen- und Differentialquotient]] und [[Integration]]

{{Vorlage:Bifie-Aufgabe|1=https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=598&file=Klimawandel_und_Ozon.pdf Klimawandel und Ozon}}
: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Wachstums- und Zerfallsprozesse]]

{{Vorlage:Bifie-Aufgabe|1=https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=601&file=Batterien.pdf Batterien}}
: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Binomialverteilung]]

{{Vorlage:Bifie-Aufgabe|1=https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=689&file=Freizeitparadies_Schoeckl.pdf Freizeitparadies Schöckl}}
: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Trigonometrie]], [[Formeln]] und [[Kurvendiskussionen]]

{{Vorlage:Bifie-Aufgabe|1=https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=251&file=Nennfuellmenge.pdf Nennfüllmenge}}
: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Beschreibende Statistik]] und [[Binomialverteilung]]

{{Vorlage:Bifie-Aufgabe|1=https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=132&file=Lebensdauer_eines_Bauteils.pdf Lebensdauer eines Bauteils}}
: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Beschreibende Statistik]]

{{Vorlage:Bifie-Aufgabe|1=https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=67&file=Drehteile_1.pdf Drehteile}}

{{Vorlage:Bifie-Aufgabe|1=https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=149&file=Wirksamkeit_von_Medikamenten.pdf Wirksamkeit eines Medikamentes}}
: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Wahrscheinlichkeit: Baumdiagramme und Pfadregeln|Baumdiagramme]] und [[Binomialverteilung]]

{{Vorlage:Bifie-Aufgabe-HUM|1=https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=426&file=Elektronikhersteller.pdf Elektronikhersteller}}
: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Regression]] und [[Kosten- und Preistheorie]]

{{Vorlage:Bifie-Aufgabe|1=https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=567&file=Studentenfutter.pdf Studentenfutter}}
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{{Vorlage:Bifie-Aufgabe-HUM|1=https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=435&file=Schweinezucht_(2).pdf Schweinezucht}}
: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Binomialverteilung]]

{{Vorlage:Bifie-Aufgabe-HUM|1=https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=360&file=Halterung_fuer_Glasfassaden.pdf Halterung für Glasfassaden}}
: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Binomialverteilung]] und [[Kosten- und Preistheorie]]

{{Vorlage:Bifie-Aufgabe|1=https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=551&file=Swimmingpool.pdf Swimmingpool}}
: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Binomialverteilung]] und [[Trigonometrie]]

{{Vorlage:Bifie-Aufgabe-HUM|1= https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=449&file=Materialzuschnitt_(2).pdf Materialzuschnitt (2)}}
: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Binomialverteilung]] und [[Rentenrechnung]]

{{Vorlage:Bifie-Aufgabe-HUM|1=https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=539&file=Kfz-Kennzeichen.pdf Kfz-Kennzeichen}}
: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Binomialverteilung]] und [[Wachstums- und Zerfallsprozesse]] sowie [[Differenzen- und Differentialquotient]]

{{Vorlage:Bifie-Aufgabe|1= https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=697&file=Hoehentraining.pdf Höhentraining}}
: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Beschreibende Statistik]] bzw. [[Binomialverteilung]]

Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung

2020-04-11T13:53:04Z

PeterLamp: /* Interaktives Quiz zur Binomialverteilung */

= Zufallsvariablen =

== Zufallsvariablen ==
{{Vorlage:Definition|1=Das Ergebnis eines Zufallsexperimentes kann mithilfe einer '''''„Zufallsvariable“''''' $X$ beschrieben werden.

Die '''Zufallsvariable''' ordnet dabei jedem Einzelereignis eine reelle Zahl zu.

Beispiel: Beim Würfeln mit einem Würfel kann die Zufallsvariable die Werte $1, 2, 3, 4, 5$ oder $6$ zufällig annehmen (d. h. $X\in \{1;2;3;4;5;6\}=$ Wertebereich von $X$).
Die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ die Zahl $6$ annimmt ist:
$$P(X=6)=P(6er\ würfeln)=\frac{1}{6}$$
}}

Man unterscheidet $2$ Typen von Zufallsvariablen:
* Die '''diskrete Zufallsvariable''' hat einen abzählbaren Wertebereich (z. B. Anzahl von Personen).
* Die '''stetige Zufallsvariable''' hat als Wertebereich ein Intervall in den [[Theorie Zahlenmengen (1.1.) | reellen Zahlen]] und damit einen nicht abzählbaren Wertebereich.

Mithilfe der Zufallsvariable wird uns nun das Berechnen der folgenden Aufgaben erleichtert.
 
 

== Diskrete Zufallsvariablen ==
Diskrete Zufallsvariablen haben einen abzählbaren Wertebereich (z. B. Anzahl von Personen).
 
 

=== Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktion ===
{{Vorlage:Definition|1=
Die '''''Wahrscheinlichkeitsfunktion $f$''''' ordnet jedem Einzelereignis seine Wahrscheinlichkeit zu:
$$f: f(x_i)=P(X=x_i)$$
wobei $x_i$ ein Einzelereignis (z. B.: $x_1...1er\ würfeln,\ x_2...2er\ würfeln$ usw.) und $P(X=x_i)$ die dazugehörige Wahrscheinlichkeit ist: $P(X=x_1)=P(X=1er)=\frac{1}{6}...$)
}}

Die folgende Abbildung zeigt die Wahrscheinlichkeitsfunktion für die Zufallsvariable $X$, die die Augenzahl beim zufälligen Wurf eines Würfels zählt:
[[Datei:Diskrete Wahrscheinlichkeitsfkt beim Würfeln.png|400px|miniatur|zentriert|Jedes Ereignis $x_i$ hat als Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{6}\approx 0.17$.]]

Wollen wir nun wissen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass man beim Würfelwurf eine Zahl $\leq 3$ würfelt, so müssen wir $P(X\leq 3)$ berechnen:
$$P(X\leq 3)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{3}{6}$$

{{Vorlage:Definition|1= Die '''''Verteilungsfunktion $F$''''' ist definiert als $F(x_i)=P(X\leq x_i)$. Sie gibt also immer die Wahrscheinlichkeit an, dass die Zufallsvariable $X$ einen Wert kleiner oder gleich dem Wert von $x_i$ annimmt.}}

Die folgende Graphik zeigt die Verteilungsfunktion für die Zufallsvariable $X$, die die Augenzahl beim zufälligen Wurf eines Würfels zählt:
[[Datei:Diskrete Verteilungsfunktion beim Würfeln.png|400px|miniatur|zentriert|Verteilungsfunktion $F$ für das Würfeln eines Würfels, wobei $X$ die Augenzahl angibt. ]]

{{Vorlage:Ausklapp|1=
'''Hinweise zur Verteilungsfunktion:'''
|2=
Die Funktion $F$ macht aus folgenden Gründen immer Sprünge:
: - die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl kleiner als $1$ gewürfelt wird ($=P(X<1)$) ist $0$, somit sind alle Funktionswerte von $F$ links der $1$ gleich $0$.
: - Bei $X=1$ macht die Verteilungsfunktion $F$ einen Sprung. Anschließend ist für alle $X<2$ die Wahrscheinlichkeit $P(X<2)=\frac{1}{6}\approx 0.17$ (die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl kleiner als $2$ gewürfelt wird ist $\frac{1}{6}$).
: - Bei $X=2$ macht die Funktion wieder einen Sprung um den Wert $\frac{1}{6}\approx 0.17$, da hier die Wahrscheinlichkeit für eine $2$ ($=P(X=2)=\frac{1}{6}$) hinzukommt.
: - Ab $X=6$ hat die Verteilungsfunktion durchgängig den Wert $1$, da gilt $P(X<=6)=1$ (die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wert kleiner oder gleich $6$ gewürfelt wird, ist $1$).
: - Die Höhe der Sprünge entspricht gerade der Höhe der Funktionswerte bei der '''Wahrscheinlichkeitsfunktion''' (siehe oben).
}}
 
 

=== Erwartungswert und Standardabweichung ===
Im Kapitel [[Beschreibende Statistik]] haben wir bereits Begriffe wie die [[relative Häufigkeit]], das [[arithmetische Mittel]] und die [[Standardabweichung]] kennen gelernt.
Auch in der Wahrscheinlichkeitsrechnung gibt es ähnliche Konzepte: Wahrscheinlichkeit, Erwartungswert und Standardabweichung:

{{Vorlage:Video|1=w3hc_B_GhYw}}

{| class="wikitable"
|-
! Idee ... !! In der Wahrscheinlichkeitsrechnung !! in der Statistik
|-
| Prozent || '''Wahrscheinlichkeit''' $$P(X=x_i)$$ || '''relative Häufigkeit''' $$h_i=\frac{H_i}{n}$$
|-
| Mittel/Durchschnitt|| '''Erwartungswert $E(X)$ oder $\mu$''' $$\mu=\sum_{i=1}^{n}x_i\cdot P(X=x_i)$$|| '''Arithmetisches Mittel''' $$\bar{x}=\sum_{i=1}^{n}x_i\cdot h_i$$
|-
| Streuung/Abweichung vom Mittel || '''Standardabweichung''' $$\sigma=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2\cdot P(X=x_i)}$$|| '''Standardabweichung''' $$\sigma=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2\cdot h_i}$$
|}

{{Vorlage:Beispiel|1= Berechnen Sie
a) den Erwartungswert
b) die Standardabweichung
beim Wurf eines sechsseitigen Würfels, wobei die Zufallsvariable $X$ die Augensumme angibt (d. h. $X\in \{1;2;3;4;5;6\}$).
|2=
a) Zuerst machen wir uns eine Wertetabelle der Wahrscheinlichkeitsfunktion $f: f(x_i)=P(X=x_i)$:
[[Datei:Wertetabelle-wahrscheinlichkeitsfkt-Würfel.png|center|300px]]
Der Erwartungswert $E(X)=\mu=\sum_{i=1}^{n}x_i\cdot P(X=x_i)$. Setzen wir die Werte aus der Tabelle in die Formel ein, so erhalten wir:
$$
\sum_{i=1}^{n}x_i\cdot P(X=x_i)=\underbrace{1}_{x_1}\cdot \underbrace{\frac{1}{6} }_{P(X=x_1) }+2\cdot \frac{1}{6} +3\cdot \frac{1}{6} +4 \cdot \frac{1}{6}+5\cdot \frac{1}{6}+6\cdot \frac{1}{6}=\underline{\underline{3.5} }$$

Der Erwartungswert $\mu$ beträgt also $3.5$. Natürlich kann man aber beim einmaligen Würfeln nicht $3.5$ würfeln. Man kann den Erwartungswert aber so interpretieren, dass, wenn man lange genug würfelt, der Durchschnitt bei $3.5$ liegen wird.

b) Die Standardabweichung $\sigma=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2\cdot P(X=x_i)}$

Setzen wir wieder alles in die Formel ein (siehe obige Wertetabelle und $\mu=3.5$):
$$\sigma=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2\cdot P(X=x_i)}=\\
\sqrt{(1-3.5)^2\cdot \frac{1}{6}+(2-3.5)^2\cdot \frac{1}{6}+(3-3.5)^2\cdot \frac{1}{6}+(4-3.5)^2\cdot \frac{1}{6}+(5-3.5)^2\cdot \frac{1}{6}+(6-3.5)^2\cdot \frac{1}{6} }\\
=\underline{\underline{1.71} }$$

}}
 
 

=== Exkurs: Kombinatorik - Die Kunst des Abzählens ===

[[Binomialkoeffizient| siehe Binomialkoeffizient]]
 
 

=== Exkurs 2: Lotto ===
Mit dieser Überlegung können wir uns nun ganz einfach die Wahrscheinlichkeit für einen Lottogewinn berechnen. Beim Lotto werden insgesamt $6$ von $45$ Kugeln gezogen. Dabei ist die Reihenfolge egal.

* Die Anzahl der möglichen Ziehungen ist somit $\binom{45}{6}=8.145.060$ (aus $45$ Kugeln werden $6$ gezogen).
* Die Anzahl der günstigen Möglichkeiten $\binom{6}{6}=1$

Somit ist die Wahrscheinlichkeit für einen Lotto-$6$er:
$$P(Lotto-6er)=\frac{günstige}{mögliche}=\frac{\binom{6}{6}}{\binom{45}{6}}=\frac{1}{8.145.060}$$

{{Vorlage:Beispiel|1=Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, beim Lotto $5$ der $6$ richtigen Kugeln auszuwählen.
|2= 

* Die Anzahl der möglichen Ziehungen ist wieder $\binom{45}{6}=8.145.060$ (aus $45$ Kugeln werden $6$ gezogen).
* Die Anzahl der günstigen Möglichkeiten $\binom{6}{5}=6$ (aus $6$ Kugeln werden $5$ gezogen) Mal $\binom{39}{1}$ (= aus $39$ Kugeln wird eine gezogen).
$$P(5er)=\frac{günstige}{mögliche}=\frac{\binom{6}{5}\cdot \binom{39}{1} }{\binom{45}{6} }=\frac{6\cdot 39}{8.145.060}$$
}}
 
 

= Bernoulli-Experimente und die Binomialverteilung =
== Bernoulli-Experimente und die Binomialverteilung ==
=== Definition und Formel ===
Im Folgenden betrachten wir ein sogenanntes:

{{Vorlage:Definition|1= '''Bernoulli-Experiment''' (benannt nach dem schweizer Mathematiker [https://de.wikipedia.org/wiki/Jakob_I._Bernoulli Jakob Bernoulli])
Dies sind Experimente, bei denen es
# '''genau zwei mögliche Ergebnisse''' $E$ und $\bar{E}$ (nicht $E$) gibt und
# sich die '''Wahrscheinlichkeit''' für die einzelnen Ereignisse '''nicht ändert''', d. h. für alle Versuchsausgänge gilt $P(E)=p$ und $P(\bar{E})=1-p$. }}

Typische Beispiele hierfür wären:
* Ziehen von roten und blauen Kugeln aus einer Urne '''mit Zurücklegen'''. Die Zufallsvariable $X$ zählt das Auftreten von roten Kugeln.
* Mehrmaliges Würfeln mit einem Würfel. Die Zufallsvariable $X$ zählt das Auftreten eines $6er$.
* Multiple-Choice-Tests. Die Zufallsvariable $X$ zählt die richtigen Antworten.

{{Vorlage:Beispiel|1= Sie stehen vor einer Urne mit $7$ roten und $13$ blauen Kugeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei $4$-maligem Ziehen mit Zurücklegen, $3$-mal eine rote Kugel zu erhalten?
|2=
Die Zufallsvariable $X$ zählt die Anzahl der roten Kugeln. Gefragt ist also
$$P(X=3)=?$$

[[Datei:Binomialverteilung-Kugeln-mW.png|600px|miniatur|zentriert|Baumdiagramm für das dreimalige Ziehen mit Zurücklegen aus einer Box mit $7$ roten und $13$ blauen Kugeln]]

* Anzahl der Pfade zu unserem Ergebnis: Um von $4$ Ziehungen $3$-mal eine rote Kugel zu ziehen gibt es $\binom{4}{3}=4$ Möglichkeiten, nämlich:
$(r,r,r,b)$; $(r,r,b,r)$; $(r,b,r,r,)$; $(b,r,r,r)$.

Hinweis: $\binom{4}{3}$ (gesprochen „$4$ über $3$“) ist der sogenannte [[Binomialkoeffizient]].
 

* Die Wahrscheinlichkeit für dreimal rot und einmal blau ist bei jedem Pfad $p^3\cdot (1-p)^1$ mit $p=\frac{7}{20}$.
: Begründung: Nehmen wir zum Beispiel $(r,r,r,b)$.
Die Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen ist $p=\frac{7}{20}$. Die Wahrscheinlichkeit eine blaue Kugel zu ziehen ist $(1-p)=\frac{13}{20}$.
Somit ist die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis $(r,r,r,b)$ aufgrund der [[Wahrscheinlichkeit:_Baumdiagramme_und_Pfadregeln#1._Pfadregel_.28Multiplikationsregel.29|1. Pfadregel/Multiplikationsregel]]
$$p\cdot p\cdot p\cdot (1-p)=p^3\cdot (1-p)^1$$
Für die anderen Möglichkeiten $(r,r,b,r)$; $(r,b,r,r,)$ und $(b,r,r,r)$ kommt man auf dasselbe Resultat. Somit erhalten wir:
$$P(X=3)=\underbrace{\binom{4}{3} }_{\textrm{Anzahl der Pfade} }\cdot \underbrace{p^3\cdot (1-p)^1}_{\textrm{Wahrscheinlichkeit für einen dieser Pfade} }=4\cdot (\frac{7}{20})^3\cdot \frac{13}{20}= 0.1115=11.15\%$$
}}

{{Vorlage:Definition|1= '''Binomialverteilung und Formel'''
Es wird ein Bernoulli-Experiment ($2$ Ereignisse: Erfolg oder Misserfolg) $n$-mal durchgeführt, wobei die Erfolgswahrscheinlichkeit $p$ konstant bleibt.

Die Zufallsvariable $X$ zählt die Anzahl der Erfolge.

Dann ist $X$ '''binomialverteilt (kurz: $B(n;p)$) mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion
$$P(X=k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$$
}}

{{Vorlage:Merke|1= Die Formel für die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung:

$$P(X=k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$$

setzt sich folgendermaßen zusammen:
* $\binom{n}{k}...$ Anzahl der Möglichkeiten, dass von $n$ Versuchen der Erfolg insgesamt $k$-mal eintritt.
* $p^k...$ Wahrscheinlichkeit, dass der Erfolg insgesamt $k$-mal eintritt.
* $(1-p)^{n-k}...$ Wahrscheinlichkeit, dass der Erfolg insgesamt $n-k$-mal '''NICHT''' eintritt.
}}

{{Vorlage:Merke|1= Für eine Zufallsvariable $X$, die $B(n;p)-$verteilt ist, gilt:
* Erwartungswert: $E(X)=\mu=n\cdot p$
Der Erwartungswert ist jener Wert, den die Zufallsvariable $X$ im Mittel annimmt.
* Standardabweichung: $\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p) }$
Die Standardabweichung ist ein Maß für die im Mittel zu erwartende Abweichung der Zufallsvariable $X$ von $\mu$.
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Ein Würfel wird $30$-mal geworfen. 
:::: a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit $8$-mal eine $6$ zu würfeln? 
:::: b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit niemals eine $6$ zu würfeln? 
:::: c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit maximal einmal eine $6$ zu würfeln? 
:::: d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit mindestens zweimal eine $6$ zu würfeln? 
:::: e) Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung.
|2=
Die Zufallsvariable $X$ zähle das Vorkommen einer $6$. Da es sich um ein Bernoulli-Experiment handelt (zwei Ereignisse: $6$er oder kein $6$er und die Wahrscheinlichkeit für eine $6$ bleibt konstant mit $p=\frac{1}{6}$), ist $X$ binomialverteilt mit $n=30$ und $p=\frac{1}{6}$ und es gilt:
$$P(X=k)=\binom{30}{k}\cdot (\frac{1}{6})^k\cdot (\frac{5}{6})^{30-k}$$

a) Gesucht ist $P(X=8)$. Setzen wir das in die Formel ein, so erhalten wir:
$$P(X=8)=\binom{30}{8}\cdot (\frac{1}{6})^8\cdot (\frac{5}{6})^{30-8}=0.0632=6.32\% $$
Hinweis: Zur Berechnung des Binomialkoeffizienten $\binom{30}{8}$ klicke [[Binomialkoeffizient|hier]].
[[Datei:Würfel-a.png|400px|miniatur|zentriert|Die Höhe des blauen Balkens gibt die Wahrscheinlichkeit für $8$ Sechser an. ]]

b) Gesucht ist $P(X=0)$, dies kann entweder einfach über die [[Wahrscheinlichkeit:_Baumdiagramme_und_Pfadregeln#1._Pfadregel_.28Multiplikationsregel.29|1. Pfadregel (Multiplikationsregel)]] mit $P(X=0)=(\frac{5}{6})^{30}=0.0042=0.42\%$ berechnet werden, oder mit der Formel für die Binomialverteilung:
$$P(X=k)=\binom{30}{0}\cdot (\frac{1}{6})^0\cdot (\frac{5}{6})^{30-0}=0.0042=0.42\% $$

c) Gesucht ist $P(X\leq 1)$:
$$P(X\leq 1)=P(X=0)+P(X=1)=\underbrace{0.0042}_{P(X=0)}+\underbrace{\binom{30}{1}\cdot (\frac{1}{6})^1\cdot (\frac{5}{6})^{30-1} }_{P(X=1)}=0.0042+0.0253=0.0295=2.95\% $$
[[Datei:Würfel-c.png|400px|miniatur|zentriert|Eingefärbt sind $P(X=0)$ und $P(X=1)$. Zusammen ergeben Sie die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P(X\leq 1)$.]]

d) Betrachten wir die obige Abbildung von Aufgabe c). Dann ist die Wahrscheinlichkeit mindestens zweimal eine $6$ zu ziehen $(P(X\geq 2))$ gerade die weiß eingefärbte Fläche.
Mithilfe der Gegenwahrscheinlichkeit erhalten wir:
$$P(X\geq 2)=1-P(X\leq 1)=1-0.0295=0.9705=97.05\% $$

e)
* $E(X)=n\cdot p=30\cdot \frac{1}{6}=5$ (Dies kann man auch aus den obigen Graphen herauslesen!)
* $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{30\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{5}{6} }=\sqrt{\frac{25}{6} }\approx 2.04$.
}}
 
 

=== Typischer Graph der Wahrscheinlichkeitsfunktion ===
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung wird in der Regel als [[Histogramm]] dargestellt.

[[Grün: Arbeitsblätter | $Aha!$ ]] [https://www.geogebra.org/m/u8eFAVNc Im folgenden Arbeitsblatt lernst du den Graphen einer binomialverteilten Zufallsvariable besser kennen.]

<ggb_applet width="800" height="450" version="5.0" id="u8eFAVNc" />
 
 

==== Eigenschaften des Graphen ====
<gallery>
Datei:Wfkt-B(10,0.2)png.png|Rechtsschiefe Binomialverteilung mit $n=10$ und $p=0.2$. Damit ist $E(X)=2$ und $\sigma=1.26$
Datei:Wfkt-B(10,0).png|Symmetrische Binomialverteilung mit $n=10$ und $p=0.5$. Damit ist $E(X)=5$ und $\sigma=1.58$
Datei:Wfkt-B(10,0.7).png|Linksschiefe Binomialverteilung mit $n=10$ und $p=0.7$. Damit ist $E(X)=7$ und $\sigma=1.45$
</gallery>

{{Merke|1='''Eigenschaften:'''
* Die Höhe und Fläche eines Balkens geben die Wahrscheinlichkeit $P(X=k)$ an.
* Die gesamte Fläche aller Balken beträgt $1$ ($=100 \%$). Rechnerisch: $\sum_{k=0}^{n} P(X=k)=1$
* Der höchste Balken befindet sich immer beim Erwartungswert.
* Je größer die Standardabweichung ist, desto flacher ist der Graph.
* Ist $p\leq 0.5$, so ist der Graph '''rechtsschief'''
* Ist $p\geq 0.5$, so ist der Graph '''linksschief'''
}}
 
 

== Zusammenfassungsvideos ==
{{Vorlage:Video|1=ybp1nvHc5fk}}

{{Vorlage:Video|1=UkOx8qdLAak}}
 
 

== Berechnung mithilfe von Technologie ==
Wähle deine Technologie
* [[GeoGebra|mit GeoGebra (Wahrscheinlichkeitsrechner)]]
* [[TI-Befehle |mit dem TI-8x (binompdf und binomcdf]]

Musterbeispiel
{{Vorlage:Beispiel|1=
Eine Lehrerin erstellt für ihre Schülerinnen und Schüler einen Multiple-Choice-Test, der aus insgesamt $15$ Fragen besteht. Jede Frage beinhaltet $5$ Antwortmöglichkeiten, wobei nur eine davon korrekt ist.
Nun fragt sie sich, welche Chancen ein Schüler hat, wenn er die Aufgaben nur zufällig ankreuzt:
 

:::: a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit genau $3$ Fragen zu beantworten? 

:::: b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit maximal $2$ Fragen richtig zu beantworten? 

:::: c) Um den Test zu bestehen, benötigt ein Schüler mindestens $8$ Punkte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, den Test (bei zufälligem Ankreuzen) zu bestehen? 

:::: d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schüler zwischen $4$ und $7$ Punkte erhält? 

:::: e) Wie groß ist der Erwartungswert ($E(x)$ bzw. $\mu$) und die Standardabweichung $\sigma$? Interpretiere diese Werte.

|2=
$$ \ $$
* $n=15$
* $p=\frac{1}{5}=0.2$
* Die Zufallsvariable $X$ zählt die Anzahl der richtigen Antworten.

'''a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit genau $3$ Fragen zu beantworten?'''
 

Gesucht sind $k=3$ Erfolge:
$$P(X=3)=\binom{15}{3}\cdot 0.2^3\cdot 0.8^{12}=0.2501=25.01\%$$
Mit dem TI-8x: $P(X=3)=binompdf(15,0.2,3)=0.2501$
[[Datei:Beispiel2a.png|thumb|center|300px|Lösung von a) mithilfe von [[GeoGebra]]]]
 
 

'''b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit maximal $2$ Fragen richtig zu beantworten?'''

Gesucht ist $k\leq 2$:
$$P(X\leq 2)=\ Technologieeinsatz \ =0.398=39.8\% $$
Mit dem TI-8x: $P(X\leq 2)=binomcdf(15,0.2,2)=0.398$
[[Datei:Beispiel2b.png|thumb|center|300px|Lösung von b) mithilfe von [[GeoGebra]]]]
 
 

'''c) Um den Test zu bestehen, benötigt ein Schüler mindestens $8$ Punkte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, den Test (bei zufälligem Ankreuzen) zu bestehen?'''

Gesucht ist $k\geq 8$:
$$P(X\geq 8)=\ Technologieeinsatz\ =0.0042=0.42\%$$
Mit dem TI-8x: $P(X\geq 8) = 1-P(X\leq 7)=1-binomcdf(15,0.2,7)=0.0042$
[[Datei:Beispiel2c.png|thumb|300px|center|Lösung von c) mithilfe von [[GeoGebra]]]]
 
 

'''d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schüler zwischen $4$ und $7$ Punkte erhält?''' 

$$P(4\leq X\leq 7)=\ Technologieeinsatz\ =0.3476=34.76\% $$
Mit dem TI-8x:
$$P(4\leq X\leq 7)=P(X\leq 7)-P(X\leq 3)=$$
$$binomcdf(15,0.2,7)-binomcdf(15,0.2,4)=0.3476$$
[[Datei:Beispiel2d.png|thumb|300px|center|Lösung von d) mithilfe von [[GeoGebra]]]]
 
 

'''e) Wie groß ist der Erwartungswert ($E(x)$ bzw. $\mu$) und die Standardabweichung $\sigma$?'''

*$\mu=n\cdot p=15\cdot 0.2=3$
Der im Durchschnitt zu erwartende Wert von $X$ ist $3$, d. h. die größte Wahrscheinlichkeit liegt bei $3$ richtigen Antworten.

* $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{15\cdot 0.2\cdot 0.8}=1.55$
Die im Durchschnitt zu erwartende Abweichung der Zufallsvariable $X$ vom Erwartungswert $\mu$ ist $1.55$.
}}
 
 
= Beispiele =
== Binomialverteilung, Erwartungswert und Standardabweichung (WS 3.1-3.3)==

{{#widget:Iframe
|url= https://h5p.org/h5p/embed/763941
|width= 90%
|height= 700
|border=1
}}
 

== Weitere Übungsbeispiele zur Binomialverteilung ==

{{#widget:Iframe
|url= https://h5p.org/h5p/embed/223983
|width= 1090
|height= 700
|border=1
}}

* [http://www.mathe-online.at/materialien/Daniela.Eder/files/Lernpfad/Aufgaben_zur_Binomialverteilung.html Beispiele von mathe-online]
* [http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/wahrsch2_ueb.htm Beispiele von Jutta Gut]

 
 

== Matura-Aufgaben ==

{{Vorlage:Bifie-Aufgabe|1=https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=213&file=Leuchtmittel.pdf Leuchtmittel }}

{{Vorlage:Bifie-Aufgabe|1= http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=141&file=Milchverpackung.pdf Milchverpackung}}(leicht-mittel-mittel)
: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: für a) [[Formeln]] und für b) [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)]]

{{Vorlage:Bifie-Aufgabe|1=http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=145&file=Torten.pdf Torten}}(mittel-leicht-leicht-leicht)
: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Gleichungssysteme (2.7.)|Gleichungssysteme]] sowie [[Funktionen]] und [[Formeln]]

{{Vorlage:Bifie-Aufgabe|1= https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=681&file=Hotel.pdf Hotel}}
: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Gleichungssysteme (2.7.)|Gleichungssysteme]] sowie [[Baumdiagramme]]

{{Vorlage:Bifie-Aufgabe|1= https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=601&file=Batterien.pdf Batterien}}

{{Vorlage:Bifie-Aufgabe|1= https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=314&file=Diabetes.pdf Diabetes}}
: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Prozentrechnung]]

{{Vorlage:Bifie-Aufgabe|1= https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=592&file=Porduktion_von_Rucksaecken.pdf Produktion von Rucksäcken}}
: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Baumdiagramme]]

{{Vorlage:Bifie-Aufgabe|1= https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=568&file=Rampe_fuer_Rollstuehle.pdf Rampe für Rollstühle}}
: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Trigonometrie]]

{{Vorlage:Bifie-Aufgabe|1= https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=560&file=Wuerfelspiele.pdf Würfelspiele }}

{{Vorlage:Bifie-Aufgabe|1=https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=257&file=Netzwerkadministration.pdf Netzwerkadministration }}
: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Baumdiagramme]] sowie [[Direkte Proportion | Direkte Proportion/Schlussrechnung]]

{{Vorlage:Bifie-Aufgabe|1= https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=431&file=Hotelrenovierung_(3).pdf Hotelrenovierung}}
: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Beschreibende Statistik]] sowie [[Rentenrechnung]]

{{Vorlage:Bifie-Aufgabe|1= https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=442&file=CeBIT_(2).pdf Cebit }}
: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Regression]] sowie [[Integration]]

{{Vorlage:Bifie-Aufgabe|1= https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=428&file=Erweiterung_der_Produktpalette.pdf Erweiterung der Produktionspalette }}
: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Umkehraufgaben]] bzw. [[Kosten- und Preistheorie]] sowie [[Rentenrechnung]] und [[Baumdiagramme]]

{{Vorlage:Bifie-Aufgabe|1= https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=462&file=Produzent_von_landwirtschaftlichen_Geraeten.pdf Produzent von landwirtschaftlichen Geräten }}
: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Umkehraufgaben]] bzw. [[Kosten- und Preistheorie]] sowie [[Rentenrechnung]]

{{Vorlage:Bifie-Aufgabe|1= http://www.michael-leitgeb.at/srdp/teila/Hoehentraining/Hoehentraining.pdf Höhentraining }}
: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Beschreibende Statistik]] bzw. [[Binomialverteilung]]

Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung

2020-04-11T13:52:23Z

PeterLamp:

= Zufallsvariablen =

== Zufallsvariablen ==
{{Vorlage:Definition|1=Das Ergebnis eines Zufallsexperimentes kann mithilfe einer '''''„Zufallsvariable“''''' $X$ beschrieben werden.

Die '''Zufallsvariable''' ordnet dabei jedem Einzelereignis eine reelle Zahl zu.

Beispiel: Beim Würfeln mit einem Würfel kann die Zufallsvariable die Werte $1, 2, 3, 4, 5$ oder $6$ zufällig annehmen (d. h. $X\in \{1;2;3;4;5;6\}=$ Wertebereich von $X$).
Die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ die Zahl $6$ annimmt ist:
$$P(X=6)=P(6er\ würfeln)=\frac{1}{6}$$
}}

Man unterscheidet $2$ Typen von Zufallsvariablen:
* Die '''diskrete Zufallsvariable''' hat einen abzählbaren Wertebereich (z. B. Anzahl von Personen).
* Die '''stetige Zufallsvariable''' hat als Wertebereich ein Intervall in den [[Theorie Zahlenmengen (1.1.) | reellen Zahlen]] und damit einen nicht abzählbaren Wertebereich.

Mithilfe der Zufallsvariable wird uns nun das Berechnen der folgenden Aufgaben erleichtert.
 
 

== Diskrete Zufallsvariablen ==
Diskrete Zufallsvariablen haben einen abzählbaren Wertebereich (z. B. Anzahl von Personen).
 
 

=== Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktion ===
{{Vorlage:Definition|1=
Die '''''Wahrscheinlichkeitsfunktion $f$''''' ordnet jedem Einzelereignis seine Wahrscheinlichkeit zu:
$$f: f(x_i)=P(X=x_i)$$
wobei $x_i$ ein Einzelereignis (z. B.: $x_1...1er\ würfeln,\ x_2...2er\ würfeln$ usw.) und $P(X=x_i)$ die dazugehörige Wahrscheinlichkeit ist: $P(X=x_1)=P(X=1er)=\frac{1}{6}...$)
}}

Die folgende Abbildung zeigt die Wahrscheinlichkeitsfunktion für die Zufallsvariable $X$, die die Augenzahl beim zufälligen Wurf eines Würfels zählt:
[[Datei:Diskrete Wahrscheinlichkeitsfkt beim Würfeln.png|400px|miniatur|zentriert|Jedes Ereignis $x_i$ hat als Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{6}\approx 0.17$.]]

Wollen wir nun wissen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass man beim Würfelwurf eine Zahl $\leq 3$ würfelt, so müssen wir $P(X\leq 3)$ berechnen:
$$P(X\leq 3)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{3}{6}$$

{{Vorlage:Definition|1= Die '''''Verteilungsfunktion $F$''''' ist definiert als $F(x_i)=P(X\leq x_i)$. Sie gibt also immer die Wahrscheinlichkeit an, dass die Zufallsvariable $X$ einen Wert kleiner oder gleich dem Wert von $x_i$ annimmt.}}

Die folgende Graphik zeigt die Verteilungsfunktion für die Zufallsvariable $X$, die die Augenzahl beim zufälligen Wurf eines Würfels zählt:
[[Datei:Diskrete Verteilungsfunktion beim Würfeln.png|400px|miniatur|zentriert|Verteilungsfunktion $F$ für das Würfeln eines Würfels, wobei $X$ die Augenzahl angibt. ]]

{{Vorlage:Ausklapp|1=
'''Hinweise zur Verteilungsfunktion:'''
|2=
Die Funktion $F$ macht aus folgenden Gründen immer Sprünge:
: - die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl kleiner als $1$ gewürfelt wird ($=P(X<1)$) ist $0$, somit sind alle Funktionswerte von $F$ links der $1$ gleich $0$.
: - Bei $X=1$ macht die Verteilungsfunktion $F$ einen Sprung. Anschließend ist für alle $X<2$ die Wahrscheinlichkeit $P(X<2)=\frac{1}{6}\approx 0.17$ (die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl kleiner als $2$ gewürfelt wird ist $\frac{1}{6}$).
: - Bei $X=2$ macht die Funktion wieder einen Sprung um den Wert $\frac{1}{6}\approx 0.17$, da hier die Wahrscheinlichkeit für eine $2$ ($=P(X=2)=\frac{1}{6}$) hinzukommt.
: - Ab $X=6$ hat die Verteilungsfunktion durchgängig den Wert $1$, da gilt $P(X<=6)=1$ (die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wert kleiner oder gleich $6$ gewürfelt wird, ist $1$).
: - Die Höhe der Sprünge entspricht gerade der Höhe der Funktionswerte bei der '''Wahrscheinlichkeitsfunktion''' (siehe oben).
}}
 
 

=== Erwartungswert und Standardabweichung ===
Im Kapitel [[Beschreibende Statistik]] haben wir bereits Begriffe wie die [[relative Häufigkeit]], das [[arithmetische Mittel]] und die [[Standardabweichung]] kennen gelernt.
Auch in der Wahrscheinlichkeitsrechnung gibt es ähnliche Konzepte: Wahrscheinlichkeit, Erwartungswert und Standardabweichung:

{{Vorlage:Video|1=w3hc_B_GhYw}}

{| class="wikitable"
|-
! Idee ... !! In der Wahrscheinlichkeitsrechnung !! in der Statistik
|-
| Prozent || '''Wahrscheinlichkeit''' $$P(X=x_i)$$ || '''relative Häufigkeit''' $$h_i=\frac{H_i}{n}$$
|-
| Mittel/Durchschnitt|| '''Erwartungswert $E(X)$ oder $\mu$''' $$\mu=\sum_{i=1}^{n}x_i\cdot P(X=x_i)$$|| '''Arithmetisches Mittel''' $$\bar{x}=\sum_{i=1}^{n}x_i\cdot h_i$$
|-
| Streuung/Abweichung vom Mittel || '''Standardabweichung''' $$\sigma=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2\cdot P(X=x_i)}$$|| '''Standardabweichung''' $$\sigma=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2\cdot h_i}$$
|}

{{Vorlage:Beispiel|1= Berechnen Sie
a) den Erwartungswert
b) die Standardabweichung
beim Wurf eines sechsseitigen Würfels, wobei die Zufallsvariable $X$ die Augensumme angibt (d. h. $X\in \{1;2;3;4;5;6\}$).
|2=
a) Zuerst machen wir uns eine Wertetabelle der Wahrscheinlichkeitsfunktion $f: f(x_i)=P(X=x_i)$:
[[Datei:Wertetabelle-wahrscheinlichkeitsfkt-Würfel.png|center|300px]]
Der Erwartungswert $E(X)=\mu=\sum_{i=1}^{n}x_i\cdot P(X=x_i)$. Setzen wir die Werte aus der Tabelle in die Formel ein, so erhalten wir:
$$
\sum_{i=1}^{n}x_i\cdot P(X=x_i)=\underbrace{1}_{x_1}\cdot \underbrace{\frac{1}{6} }_{P(X=x_1) }+2\cdot \frac{1}{6} +3\cdot \frac{1}{6} +4 \cdot \frac{1}{6}+5\cdot \frac{1}{6}+6\cdot \frac{1}{6}=\underline{\underline{3.5} }$$

Der Erwartungswert $\mu$ beträgt also $3.5$. Natürlich kann man aber beim einmaligen Würfeln nicht $3.5$ würfeln. Man kann den Erwartungswert aber so interpretieren, dass, wenn man lange genug würfelt, der Durchschnitt bei $3.5$ liegen wird.

b) Die Standardabweichung $\sigma=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2\cdot P(X=x_i)}$

Setzen wir wieder alles in die Formel ein (siehe obige Wertetabelle und $\mu=3.5$):
$$\sigma=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2\cdot P(X=x_i)}=\\
\sqrt{(1-3.5)^2\cdot \frac{1}{6}+(2-3.5)^2\cdot \frac{1}{6}+(3-3.5)^2\cdot \frac{1}{6}+(4-3.5)^2\cdot \frac{1}{6}+(5-3.5)^2\cdot \frac{1}{6}+(6-3.5)^2\cdot \frac{1}{6} }\\
=\underline{\underline{1.71} }$$

}}
 
 

=== Exkurs: Kombinatorik - Die Kunst des Abzählens ===

[[Binomialkoeffizient| siehe Binomialkoeffizient]]
 
 

=== Exkurs 2: Lotto ===
Mit dieser Überlegung können wir uns nun ganz einfach die Wahrscheinlichkeit für einen Lottogewinn berechnen. Beim Lotto werden insgesamt $6$ von $45$ Kugeln gezogen. Dabei ist die Reihenfolge egal.

* Die Anzahl der möglichen Ziehungen ist somit $\binom{45}{6}=8.145.060$ (aus $45$ Kugeln werden $6$ gezogen).
* Die Anzahl der günstigen Möglichkeiten $\binom{6}{6}=1$

Somit ist die Wahrscheinlichkeit für einen Lotto-$6$er:
$$P(Lotto-6er)=\frac{günstige}{mögliche}=\frac{\binom{6}{6}}{\binom{45}{6}}=\frac{1}{8.145.060}$$

{{Vorlage:Beispiel|1=Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, beim Lotto $5$ der $6$ richtigen Kugeln auszuwählen.
|2= 

* Die Anzahl der möglichen Ziehungen ist wieder $\binom{45}{6}=8.145.060$ (aus $45$ Kugeln werden $6$ gezogen).
* Die Anzahl der günstigen Möglichkeiten $\binom{6}{5}=6$ (aus $6$ Kugeln werden $5$ gezogen) Mal $\binom{39}{1}$ (= aus $39$ Kugeln wird eine gezogen).
$$P(5er)=\frac{günstige}{mögliche}=\frac{\binom{6}{5}\cdot \binom{39}{1} }{\binom{45}{6} }=\frac{6\cdot 39}{8.145.060}$$
}}
 
 

= Bernoulli-Experimente und die Binomialverteilung =
== Bernoulli-Experimente und die Binomialverteilung ==
=== Definition und Formel ===
Im Folgenden betrachten wir ein sogenanntes:

{{Vorlage:Definition|1= '''Bernoulli-Experiment''' (benannt nach dem schweizer Mathematiker [https://de.wikipedia.org/wiki/Jakob_I._Bernoulli Jakob Bernoulli])
Dies sind Experimente, bei denen es
# '''genau zwei mögliche Ergebnisse''' $E$ und $\bar{E}$ (nicht $E$) gibt und
# sich die '''Wahrscheinlichkeit''' für die einzelnen Ereignisse '''nicht ändert''', d. h. für alle Versuchsausgänge gilt $P(E)=p$ und $P(\bar{E})=1-p$. }}

Typische Beispiele hierfür wären:
* Ziehen von roten und blauen Kugeln aus einer Urne '''mit Zurücklegen'''. Die Zufallsvariable $X$ zählt das Auftreten von roten Kugeln.
* Mehrmaliges Würfeln mit einem Würfel. Die Zufallsvariable $X$ zählt das Auftreten eines $6er$.
* Multiple-Choice-Tests. Die Zufallsvariable $X$ zählt die richtigen Antworten.

{{Vorlage:Beispiel|1= Sie stehen vor einer Urne mit $7$ roten und $13$ blauen Kugeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei $4$-maligem Ziehen mit Zurücklegen, $3$-mal eine rote Kugel zu erhalten?
|2=
Die Zufallsvariable $X$ zählt die Anzahl der roten Kugeln. Gefragt ist also
$$P(X=3)=?$$

[[Datei:Binomialverteilung-Kugeln-mW.png|600px|miniatur|zentriert|Baumdiagramm für das dreimalige Ziehen mit Zurücklegen aus einer Box mit $7$ roten und $13$ blauen Kugeln]]

* Anzahl der Pfade zu unserem Ergebnis: Um von $4$ Ziehungen $3$-mal eine rote Kugel zu ziehen gibt es $\binom{4}{3}=4$ Möglichkeiten, nämlich:
$(r,r,r,b)$; $(r,r,b,r)$; $(r,b,r,r,)$; $(b,r,r,r)$.

Hinweis: $\binom{4}{3}$ (gesprochen „$4$ über $3$“) ist der sogenannte [[Binomialkoeffizient]].
 

* Die Wahrscheinlichkeit für dreimal rot und einmal blau ist bei jedem Pfad $p^3\cdot (1-p)^1$ mit $p=\frac{7}{20}$.
: Begründung: Nehmen wir zum Beispiel $(r,r,r,b)$.
Die Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen ist $p=\frac{7}{20}$. Die Wahrscheinlichkeit eine blaue Kugel zu ziehen ist $(1-p)=\frac{13}{20}$.
Somit ist die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis $(r,r,r,b)$ aufgrund der [[Wahrscheinlichkeit:_Baumdiagramme_und_Pfadregeln#1._Pfadregel_.28Multiplikationsregel.29|1. Pfadregel/Multiplikationsregel]]
$$p\cdot p\cdot p\cdot (1-p)=p^3\cdot (1-p)^1$$
Für die anderen Möglichkeiten $(r,r,b,r)$; $(r,b,r,r,)$ und $(b,r,r,r)$ kommt man auf dasselbe Resultat. Somit erhalten wir:
$$P(X=3)=\underbrace{\binom{4}{3} }_{\textrm{Anzahl der Pfade} }\cdot \underbrace{p^3\cdot (1-p)^1}_{\textrm{Wahrscheinlichkeit für einen dieser Pfade} }=4\cdot (\frac{7}{20})^3\cdot \frac{13}{20}= 0.1115=11.15\%$$
}}

{{Vorlage:Definition|1= '''Binomialverteilung und Formel'''
Es wird ein Bernoulli-Experiment ($2$ Ereignisse: Erfolg oder Misserfolg) $n$-mal durchgeführt, wobei die Erfolgswahrscheinlichkeit $p$ konstant bleibt.

Die Zufallsvariable $X$ zählt die Anzahl der Erfolge.

Dann ist $X$ '''binomialverteilt (kurz: $B(n;p)$) mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion
$$P(X=k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$$
}}

{{Vorlage:Merke|1= Die Formel für die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung:

$$P(X=k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$$

setzt sich folgendermaßen zusammen:
* $\binom{n}{k}...$ Anzahl der Möglichkeiten, dass von $n$ Versuchen der Erfolg insgesamt $k$-mal eintritt.
* $p^k...$ Wahrscheinlichkeit, dass der Erfolg insgesamt $k$-mal eintritt.
* $(1-p)^{n-k}...$ Wahrscheinlichkeit, dass der Erfolg insgesamt $n-k$-mal '''NICHT''' eintritt.
}}

{{Vorlage:Merke|1= Für eine Zufallsvariable $X$, die $B(n;p)-$verteilt ist, gilt:
* Erwartungswert: $E(X)=\mu=n\cdot p$
Der Erwartungswert ist jener Wert, den die Zufallsvariable $X$ im Mittel annimmt.
* Standardabweichung: $\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p) }$
Die Standardabweichung ist ein Maß für die im Mittel zu erwartende Abweichung der Zufallsvariable $X$ von $\mu$.
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Ein Würfel wird $30$-mal geworfen. 
:::: a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit $8$-mal eine $6$ zu würfeln? 
:::: b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit niemals eine $6$ zu würfeln? 
:::: c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit maximal einmal eine $6$ zu würfeln? 
:::: d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit mindestens zweimal eine $6$ zu würfeln? 
:::: e) Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung.
|2=
Die Zufallsvariable $X$ zähle das Vorkommen einer $6$. Da es sich um ein Bernoulli-Experiment handelt (zwei Ereignisse: $6$er oder kein $6$er und die Wahrscheinlichkeit für eine $6$ bleibt konstant mit $p=\frac{1}{6}$), ist $X$ binomialverteilt mit $n=30$ und $p=\frac{1}{6}$ und es gilt:
$$P(X=k)=\binom{30}{k}\cdot (\frac{1}{6})^k\cdot (\frac{5}{6})^{30-k}$$

a) Gesucht ist $P(X=8)$. Setzen wir das in die Formel ein, so erhalten wir:
$$P(X=8)=\binom{30}{8}\cdot (\frac{1}{6})^8\cdot (\frac{5}{6})^{30-8}=0.0632=6.32\% $$
Hinweis: Zur Berechnung des Binomialkoeffizienten $\binom{30}{8}$ klicke [[Binomialkoeffizient|hier]].
[[Datei:Würfel-a.png|400px|miniatur|zentriert|Die Höhe des blauen Balkens gibt die Wahrscheinlichkeit für $8$ Sechser an. ]]

b) Gesucht ist $P(X=0)$, dies kann entweder einfach über die [[Wahrscheinlichkeit:_Baumdiagramme_und_Pfadregeln#1._Pfadregel_.28Multiplikationsregel.29|1. Pfadregel (Multiplikationsregel)]] mit $P(X=0)=(\frac{5}{6})^{30}=0.0042=0.42\%$ berechnet werden, oder mit der Formel für die Binomialverteilung:
$$P(X=k)=\binom{30}{0}\cdot (\frac{1}{6})^0\cdot (\frac{5}{6})^{30-0}=0.0042=0.42\% $$

c) Gesucht ist $P(X\leq 1)$:
$$P(X\leq 1)=P(X=0)+P(X=1)=\underbrace{0.0042}_{P(X=0)}+\underbrace{\binom{30}{1}\cdot (\frac{1}{6})^1\cdot (\frac{5}{6})^{30-1} }_{P(X=1)}=0.0042+0.0253=0.0295=2.95\% $$
[[Datei:Würfel-c.png|400px|miniatur|zentriert|Eingefärbt sind $P(X=0)$ und $P(X=1)$. Zusammen ergeben Sie die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P(X\leq 1)$.]]

d) Betrachten wir die obige Abbildung von Aufgabe c). Dann ist die Wahrscheinlichkeit mindestens zweimal eine $6$ zu ziehen $(P(X\geq 2))$ gerade die weiß eingefärbte Fläche.
Mithilfe der Gegenwahrscheinlichkeit erhalten wir:
$$P(X\geq 2)=1-P(X\leq 1)=1-0.0295=0.9705=97.05\% $$

e)
* $E(X)=n\cdot p=30\cdot \frac{1}{6}=5$ (Dies kann man auch aus den obigen Graphen herauslesen!)
* $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{30\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{5}{6} }=\sqrt{\frac{25}{6} }\approx 2.04$.
}}
 
 

=== Typischer Graph der Wahrscheinlichkeitsfunktion ===
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung wird in der Regel als [[Histogramm]] dargestellt.

[[Grün: Arbeitsblätter | $Aha!$ ]] [https://www.geogebra.org/m/u8eFAVNc Im folgenden Arbeitsblatt lernst du den Graphen einer binomialverteilten Zufallsvariable besser kennen.]

<ggb_applet width="800" height="450" version="5.0" id="u8eFAVNc" />
 
 

==== Eigenschaften des Graphen ====
<gallery>
Datei:Wfkt-B(10,0.2)png.png|Rechtsschiefe Binomialverteilung mit $n=10$ und $p=0.2$. Damit ist $E(X)=2$ und $\sigma=1.26$
Datei:Wfkt-B(10,0).png|Symmetrische Binomialverteilung mit $n=10$ und $p=0.5$. Damit ist $E(X)=5$ und $\sigma=1.58$
Datei:Wfkt-B(10,0.7).png|Linksschiefe Binomialverteilung mit $n=10$ und $p=0.7$. Damit ist $E(X)=7$ und $\sigma=1.45$
</gallery>

{{Merke|1='''Eigenschaften:'''
* Die Höhe und Fläche eines Balkens geben die Wahrscheinlichkeit $P(X=k)$ an.
* Die gesamte Fläche aller Balken beträgt $1$ ($=100 \%$). Rechnerisch: $\sum_{k=0}^{n} P(X=k)=1$
* Der höchste Balken befindet sich immer beim Erwartungswert.
* Je größer die Standardabweichung ist, desto flacher ist der Graph.
* Ist $p\leq 0.5$, so ist der Graph '''rechtsschief'''
* Ist $p\geq 0.5$, so ist der Graph '''linksschief'''
}}
 
 

== Zusammenfassungsvideos ==
{{Vorlage:Video|1=ybp1nvHc5fk}}

{{Vorlage:Video|1=UkOx8qdLAak}}
 
 

== Berechnung mithilfe von Technologie ==
Wähle deine Technologie
* [[GeoGebra|mit GeoGebra (Wahrscheinlichkeitsrechner)]]
* [[TI-Befehle |mit dem TI-8x (binompdf und binomcdf]]

Musterbeispiel
{{Vorlage:Beispiel|1=
Eine Lehrerin erstellt für ihre Schülerinnen und Schüler einen Multiple-Choice-Test, der aus insgesamt $15$ Fragen besteht. Jede Frage beinhaltet $5$ Antwortmöglichkeiten, wobei nur eine davon korrekt ist.
Nun fragt sie sich, welche Chancen ein Schüler hat, wenn er die Aufgaben nur zufällig ankreuzt:
 

:::: a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit genau $3$ Fragen zu beantworten? 

:::: b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit maximal $2$ Fragen richtig zu beantworten? 

:::: c) Um den Test zu bestehen, benötigt ein Schüler mindestens $8$ Punkte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, den Test (bei zufälligem Ankreuzen) zu bestehen? 

:::: d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schüler zwischen $4$ und $7$ Punkte erhält? 

:::: e) Wie groß ist der Erwartungswert ($E(x)$ bzw. $\mu$) und die Standardabweichung $\sigma$? Interpretiere diese Werte.

|2=
$$ \ $$
* $n=15$
* $p=\frac{1}{5}=0.2$
* Die Zufallsvariable $X$ zählt die Anzahl der richtigen Antworten.

'''a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit genau $3$ Fragen zu beantworten?'''
 

Gesucht sind $k=3$ Erfolge:
$$P(X=3)=\binom{15}{3}\cdot 0.2^3\cdot 0.8^{12}=0.2501=25.01\%$$
Mit dem TI-8x: $P(X=3)=binompdf(15,0.2,3)=0.2501$
[[Datei:Beispiel2a.png|thumb|center|300px|Lösung von a) mithilfe von [[GeoGebra]]]]
 
 

'''b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit maximal $2$ Fragen richtig zu beantworten?'''

Gesucht ist $k\leq 2$:
$$P(X\leq 2)=\ Technologieeinsatz \ =0.398=39.8\% $$
Mit dem TI-8x: $P(X\leq 2)=binomcdf(15,0.2,2)=0.398$
[[Datei:Beispiel2b.png|thumb|center|300px|Lösung von b) mithilfe von [[GeoGebra]]]]
 
 

'''c) Um den Test zu bestehen, benötigt ein Schüler mindestens $8$ Punkte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, den Test (bei zufälligem Ankreuzen) zu bestehen?'''

Gesucht ist $k\geq 8$:
$$P(X\geq 8)=\ Technologieeinsatz\ =0.0042=0.42\%$$
Mit dem TI-8x: $P(X\geq 8) = 1-P(X\leq 7)=1-binomcdf(15,0.2,7)=0.0042$
[[Datei:Beispiel2c.png|thumb|300px|center|Lösung von c) mithilfe von [[GeoGebra]]]]
 
 

'''d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schüler zwischen $4$ und $7$ Punkte erhält?''' 

$$P(4\leq X\leq 7)=\ Technologieeinsatz\ =0.3476=34.76\% $$
Mit dem TI-8x:
$$P(4\leq X\leq 7)=P(X\leq 7)-P(X\leq 3)=$$
$$binomcdf(15,0.2,7)-binomcdf(15,0.2,4)=0.3476$$
[[Datei:Beispiel2d.png|thumb|300px|center|Lösung von d) mithilfe von [[GeoGebra]]]]
 
 

'''e) Wie groß ist der Erwartungswert ($E(x)$ bzw. $\mu$) und die Standardabweichung $\sigma$?'''

*$\mu=n\cdot p=15\cdot 0.2=3$
Der im Durchschnitt zu erwartende Wert von $X$ ist $3$, d. h. die größte Wahrscheinlichkeit liegt bei $3$ richtigen Antworten.

* $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{15\cdot 0.2\cdot 0.8}=1.55$
Die im Durchschnitt zu erwartende Abweichung der Zufallsvariable $X$ vom Erwartungswert $\mu$ ist $1.55$.
}}
 
 
= Beispiele =
== Interaktives Quiz zur Binomialverteilung ==

=== Binomialverteilung, Erwartungswert und Standardabweichung (WS 3.1-3.3)===

{{#widget:Iframe
|url= https://h5p.org/h5p/embed/763941
|width= 90%
|height= 700
|border=1
}}
 

== Weitere Übungsbeispiele zur Binomialverteilung ==

{{#widget:Iframe
|url= https://h5p.org/h5p/embed/223983
|width= 1090
|height= 700
|border=1
}}

* [http://www.mathe-online.at/materialien/Daniela.Eder/files/Lernpfad/Aufgaben_zur_Binomialverteilung.html Beispiele von mathe-online]
* [http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/wahrsch2_ueb.htm Beispiele von Jutta Gut]

 
 

== Matura-Aufgaben ==

{{Vorlage:Bifie-Aufgabe|1=https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=213&file=Leuchtmittel.pdf Leuchtmittel }}

{{Vorlage:Bifie-Aufgabe|1= http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=141&file=Milchverpackung.pdf Milchverpackung}}(leicht-mittel-mittel)
: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: für a) [[Formeln]] und für b) [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)]]

{{Vorlage:Bifie-Aufgabe|1=http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=145&file=Torten.pdf Torten}}(mittel-leicht-leicht-leicht)
: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Gleichungssysteme (2.7.)|Gleichungssysteme]] sowie [[Funktionen]] und [[Formeln]]

{{Vorlage:Bifie-Aufgabe|1= https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=681&file=Hotel.pdf Hotel}}
: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Gleichungssysteme (2.7.)|Gleichungssysteme]] sowie [[Baumdiagramme]]

{{Vorlage:Bifie-Aufgabe|1= https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=601&file=Batterien.pdf Batterien}}

{{Vorlage:Bifie-Aufgabe|1= https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=314&file=Diabetes.pdf Diabetes}}
: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Prozentrechnung]]

{{Vorlage:Bifie-Aufgabe|1= https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=592&file=Porduktion_von_Rucksaecken.pdf Produktion von Rucksäcken}}
: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Baumdiagramme]]

{{Vorlage:Bifie-Aufgabe|1= https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=568&file=Rampe_fuer_Rollstuehle.pdf Rampe für Rollstühle}}
: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Trigonometrie]]

{{Vorlage:Bifie-Aufgabe|1= https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=560&file=Wuerfelspiele.pdf Würfelspiele }}

{{Vorlage:Bifie-Aufgabe|1=https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=257&file=Netzwerkadministration.pdf Netzwerkadministration }}
: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Baumdiagramme]] sowie [[Direkte Proportion | Direkte Proportion/Schlussrechnung]]

{{Vorlage:Bifie-Aufgabe|1= https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=431&file=Hotelrenovierung_(3).pdf Hotelrenovierung}}
: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Beschreibende Statistik]] sowie [[Rentenrechnung]]

{{Vorlage:Bifie-Aufgabe|1= https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=442&file=CeBIT_(2).pdf Cebit }}
: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Regression]] sowie [[Integration]]

{{Vorlage:Bifie-Aufgabe|1= https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=428&file=Erweiterung_der_Produktpalette.pdf Erweiterung der Produktionspalette }}
: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Umkehraufgaben]] bzw. [[Kosten- und Preistheorie]] sowie [[Rentenrechnung]] und [[Baumdiagramme]]

{{Vorlage:Bifie-Aufgabe|1= https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=462&file=Produzent_von_landwirtschaftlichen_Geraeten.pdf Produzent von landwirtschaftlichen Geräten }}
: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Umkehraufgaben]] bzw. [[Kosten- und Preistheorie]] sowie [[Rentenrechnung]]

{{Vorlage:Bifie-Aufgabe|1= http://www.michael-leitgeb.at/srdp/teila/Hoehentraining/Hoehentraining.pdf Höhentraining }}
: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Beschreibende Statistik]] bzw. [[Binomialverteilung]]

Wahrscheinlichkeit: Grundlagen

2020-04-11T13:49:49Z

PeterLamp:

Bei der Wahrscheinlichkeitsrechnung beschäftigen wir uns mit Zufallsexperimenten wie zum Beispiel
* dem Wurf einer Münze oder eines Würfels
* dem blinden Ziehen einer Kugel aus einer Urne
* ...
und wollen dabei bestimmen, wie wir die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines bestimmten Ereignisses abschätzen bzw. berechnen können.

== Einstieg ==

Frage zum Einstieg:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim Würfeln mit einem Würfel eine $3$ zu würfeln (vorausgesetzt natürlich, es handelt sich um einen fairen (nicht manipulierten) sechsseitigen Würfel)?

Antwort: Wahrscheinlichkeit für einen 3er$=\frac{1}{6}\approx 0.167 = 16.7 \%$.

Abgekürzt schreibt man auch
$$P(3er)=\frac{1}{6}$$
wobei $P(3er)$ für „''Wahrscheinlichkeit (engl. '''p'''robability) für einen $3$er''“ steht.

Wie kommt man übrigens auf $\frac{1}{6}$?
Ganz einfach: Insgesamt gibt es $6$ mögliche Versuchsausgänge ($1$er, $2$er, $3$er, $4$er, $5$er, $6$er) und nur bei einem davon kommt eine $3$.
Also: Bei $1$ von $6$ $=\frac{1}{6}$ aller Ausgänge kommt ein $3$er.
 
 

== Begriffe ==
* Die Menge aller möglichen Versuchsausgänge nennt man $Ereignismenge\ \Omega$.
: Im obigen Beispiel war $\Omega=\{ 1er, 2er, 3er, 4er, 5er, 6er\}$
* Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses $E$ wird mit $P(E)$ abgekürzt.
: Im obigen Beispiel war $E=$ „ein 3er wird gewürfelt“.
 
 

== Grundregeln und die Laplace'sche Wahrscheinlichkeit ==

Machen wir noch ein paar Beispiele. Wieder geht es um das einmalige Würfeln eines $6$-seitigen Würfels:

{{Vorlage:Beispiel|1= Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für eine $6$?
|2= $\underbrace{P(6er)}_{\textrm{Wahrscheinlichkeit für einen $6$er} }=\frac{1}{6}$
Grund: Es gibt wieder $6$ '''mögliche''' Ausgänge und nur einer davon (ein $6$er) ist '''günstig'''. }}

{{Vorlage:Beispiel|1= Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit einen $5$er ODER einen $6$er zu würfeln?
|2= $\underbrace{P(5er\lor 6er)}_{\textrm{Wahrscheinlichkeit für einen $5$er oder $6$er} }=\frac{2}{6}$
Grund: Es gibt wieder $6$ '''mögliche''' Ausgänge und nur zwei davon (ein $5$er oder $6$er) sind '''günstig'''. }}

{{Vorlage:Beispiel|1= In einer Box sind $100$ Lose. Nur $7$ davon sind Gewinne. Du ziehst blind eines der Lose. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das gezogene Los ein Gewinn ist?
|2= Wie bei den oberen Beispielen überlegen wir uns wieder, wie viele '''mögliche''' Ausgänge es gibt (= $100$) und wie viele davon für uns '''günstig''' sind (= $7$). Damit gilt:
$$P(Gewinn)=\frac{7}{100}$$
}}

Damit können wir nun eine allgemeine Regel ableiten:

{{Vorlage:Definition|1= '''Regel von Laplace'''

Bei einem Zufallsversuch, bei dem

: a) jedes Einzelereignis die gleiche Chance des Eintretens hat und

: b) es nur endlich viele verschiedene Einzelereignisse gibt,

gilt für die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses $E$:
$$P(E)=\frac{\textrm{Anzahl der für $E$ günstigen Ausgänge} }{\textrm{ Anzahl der möglichen Ausgänge} }=\frac{ \textrm{günstige} }{\textrm{mögliche} }$$
}}

[[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| ? ]] Auf dieser [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_einfuehrung_wahrscheinlichkeitsrechnung/Lernpfad_Wahrscheinlichkeit/034_Bsp.html Seite] findest du weitere Übungen.
 
 

== Gegenwahrscheinlichkeit sowie sichere und unmögliche Ereignisse ==
Zu allererst zwei Überlegungen:
{{Vorlage:Merke|1=
Die Wahrscheinlichkeit, dass irgendetwas sicher passiert, ist $100 \%=1$ (z. B.: Die Wahrscheinlichkeit, dass man beim Münzwurf „Kopf“ oder „Zahl“ wirft, ist $100 \%$).
$$P(\Omega)=1$$
wobei $\Omega$ die Menge der möglichen Ereignisse ist.

Die Wahrscheinlichkeit für ein unmögliches Ereignis ist $0$ (z. B.: Die Wahrscheinlichkeit beim '''Münz'''wurf eine $6$ zu würfeln ist $0 \%$.)
$$P(unmögliches\ Ereignis)=0$$

}}
 
Nun zu folgendem Beispiel:
{{Vorlage:Beispiel|1= Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, '''keine''' $6$ beim Wurf mit einem Würfel zu würfeln?
|2= Hier gibt es zwei Lösungsmöglichkeiten:
# Variante: $$P(kein\ 6er)=P(1er, 2er, 3er, 4er, 5er)=\frac{günstige}{mögliche}=\frac{5}{6}$$ Das Problem ist, dass wir uns hier überlegen müssen, welche Ereignisse alle infrage kommen. Dies kann mitunter aufwändig werden. Einfacher geht es mit der
# Variante:
$$P(kein\ 6er)=P(irgendetwas\ passiert)-P(6er)=1-P(6er)=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$$
Hier haben wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit ($P(kein\ 6er)$) mithilfe der Gegenwahrscheinlichkeit ($P(6er)$) berechnet. }}

{{Vorlage:Merke|1= '''Satz über die Gegenwahrscheinlichkeit'''
Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses $\bar{E}$ („nicht $E$“) beträgt:
$$P(\bar{E})=1-P(E)$$
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= In einer Urne mit $20$ Kugeln sind $5$ blau, $3$ rot, $7$ gelb und $5$ grün. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit keine blaue Kugel zu ziehen?
|2=
$$P(nicht\ blau)=1-P(blau)=1-\frac{5}{20}=\frac{15}{20}=\frac{3}{4}=75\%$$
}}
 
 

== Additions- und Multiplikationsregel sowie das Geburtstagsparadoxon ==

=== Additionsregel („ODER“-Regel) ===
Zuerst eine kleine Definition:
{{Vorlage:Definition|1= 2 Ereignisse $E$ und $F$ sind „'''''unvereinbar'''''“, wenn nicht beide zur selben Zeit auftreten können. Anders formuliert:
$$P(E\cap F)=0$$
''„Die Wahrscheinlichkeit, dass $E$ '''und''' ($=\cap$) $F$ zusammen eintreten, ist $0$.“''}}

'''Beispiel:''' Das Ereignis $E=$ „ich würfle eine $6$“ und das Ereignis $F=$ „ich würfle eine $1$“ sind beim Wurf mit einem Würfel unvereinbar.

'''Beispiel mit nicht unvereinbaren Ereignissen''': $E=$ „ich würfle eine $6$“ und $F= $ „ich würfle eine gerade Zahl“. Hier kann nämlich gleichzeitig $E$ und $F$ eintreten (nämlich, wenn ein $6$er gewürfelt wird).
 
 
Nun zur
{{Vorlage:Merke|1='''Additionsregel („Oder“-Regel)'''
Sind zwei Ereignisse $E$ und $F$ unvereinbar, dann gilt:
$$P(E\cup F)=P(E)+P(F)$$
(„''Die Wahrscheinlichkeit $E$ '''oder''' ($=\cup$) $F$ zu erhalten ist $P(E)$ plus $P(F)$''“) }}

{{Vorlage:Beispiel|1=
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim Würfeln eine $6$ '''oder''' eine $3$ zu würfeln?
|2= Das Ereignis $E=$ „$6er\ würfeln$“ und $F=$ „$3er\ würfeln$“ sind unvereinbar. Somit können wir unsere Additionsregel anwenden:
$$P(6er\cup 3er)=P(6er)+P(3er)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{2}{6}$$}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

 '''Wichtiger Hinweis''' 

<div class="mw-collapsible-content"> Die Eigenschaft, dass die Ereignisse unvereinbar sein müssen, ist wichtig. Nehmen wir z. B. zwei Ereignisse, die nicht unvereinbar sind:
* $E=$ „man würfelt eine $2$“ und
* $F=$ „man würfelt eine gerade Zahl“ (d. h. $2, 4$ oder $6$)

$E$ und $F$ sind nicht unvereinbar, denn $P(E\cap F)=P(2er\ und \ gerade)=P(2er)=\frac{1}{6}$.

Dann gilt selbstverständlich $P(E)=\frac{1}{6}$ und $P(F)=\frac{3}{6}$ aber für die Wahrscheinlichkeit, eine $2$ ODER eine gerade Zahl zu würfeln gilt:
$$\underbrace{P(E\cup F)}_{\frac{3}{6}}\ne \underbrace{P(E)+P(F)}_{\frac{1}{6}+\frac{3}{6}}$$
Da die Wahrscheinlichkeit, eine gerade Zahl zu würfeln nur $\frac{3}{6}$ ist.

</div>

</div>
 
 

=== Multiplikationsregel („UND“-Regel)===
Zuerst wieder eine kleine Definition:
{{Vorlage:Definition|1= $2$ Ereignisse $E$ und $F$ sind „'''''unabhängig voneinander'''''“, wenn das erste Ereignis keinen Einfluss auf das zweite hat.

Z. B.: Ich werfe zweimal mit einem Würfel. Das Ergebnis des ersten Wurfs ($=E$) hat in der Regel nichts mit dem Ergebnis des zweiten Wurfs ($=F$) gemeinsam. }}

Und nun zur
{{Vorlage:Merke|1= '''Multiplikationsregel ('''UND'''-Regel):'''
Sind zwei Ereignisse $E$ und $F$ unabhängig voneinander, dann gilt für die Wahrscheinlichkeit, dass beide zusammen auftreten:
$$P(E\cap F)=P(E)\cdot P(F)$$
Die Wahrscheinlichkeit, dass $E$ '''und''' ($=\cap$) $F$ zusammen auftreten ist $P(E)$ mal $P(F)$.
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Es wird zweimal hintereinander mit einem Würfel geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass zuerst eine $6$ und anschließend eine $3$ gewürfelt wird.
|2=
Beide Ereignisse ($E= $ „zuerst eine $6$“ und $F= $ „dann eine $3$“) sind unabhängig. Somit gilt nach der Multiplikationsregel:
$$P(6er \cap 3er)=P(6er)\cdot P(3er)=\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{36}$$
}}
 
 

=== Das Geburtstagsparadoxon: Anwendung der Gegenwahrscheinlichkeit und der Multiplikationsregel ===

{{#ev:youtube|RIBrYgEhu2g}}
 
 

== Was ist überhaupt Wahrscheinlichkeit - Wahrscheinlichkeit als Grenzwert der relativen Häufigkeit ==
Eine Wahrscheinlichkeit ist eigentlich Maß für eine Erwartung.
Beim Würfeln gibt
$$P(3er)=\frac{1}{6}$$
an, dass ungefähr in einem von $6$ Würfen ein $3$er erscheint. Eigentlich meint man aber eher folgendes: „''Wenn ich oft genug würfle, dann wird ungefähr in einem Sechstel aller Fälle ein 3er erscheinen''“. D. h. Die Wahrscheinlichkeit gibt den Grenzwert der [[Statistik|relativen Häufigkeit]] an.

In der Mathematik drückt man den Grad der Erwartung durch eine reelle Zahl aus dem Intervall $[0;1]$ aus und bezeichnet die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses $E$ mit $P(E)$ (= Propability/Probabilität von $E$).

Hier noch ein Beispiel zu Gesetz der großen Zahlen - Excel Liste, in der die relative Häufigkeit sich der tatsächlichen Wahrscheinlichkeit nähert.
 
 

== Interaktives Quiz zur Wahrscheinlichkeitsrechnung (WS 2.1-2.4) ==

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|url= https://h5p.org/h5p/embed/763930
|width= 90%
|height= 700
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}}
 

[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]

Grundkompetenzen AHS

2020-04-11T13:47:53Z

PeterLamp: /* Wahrscheinlichkeitsrechnung */

Wahrscheinlichkeit: Grundlagen

2020-04-11T13:46:20Z

PeterLamp:

Wahrscheinlichkeit: Grundlagen

2020-04-11T13:45:40Z

PeterLamp:

Bei der Wahrscheinlichkeitsrechnung beschäftigen wir uns mit Zufallsexperimenten wie zum Beispiel
* dem Wurf einer Münze oder eines Würfels
* dem blinden Ziehen einer Kugel aus einer Urne
* ...
und wollen dabei bestimmen, wie wir die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines bestimmten Ereignisses abschätzen bzw. berechnen können.

== Einstieg ==

Frage zum Einstieg:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim Würfeln mit einem Würfel eine $3$ zu würfeln (vorausgesetzt natürlich, es handelt sich um einen fairen (nicht manipulierten) sechsseitigen Würfel)?

Antwort: Wahrscheinlichkeit für einen 3er$=\frac{1}{6}\approx 0.167 = 16.7 \%$.

Abgekürzt schreibt man auch
$$P(3er)=\frac{1}{6}$$
wobei $P(3er)$ für „''Wahrscheinlichkeit (engl. '''p'''robability) für einen $3$er''“ steht.

Wie kommt man übrigens auf $\frac{1}{6}$?
Ganz einfach: Insgesamt gibt es $6$ mögliche Versuchsausgänge ($1$er, $2$er, $3$er, $4$er, $5$er, $6$er) und nur bei einem davon kommt eine $3$.
Also: Bei $1$ von $6$ $=\frac{1}{6}$ aller Ausgänge kommt ein $3$er.
 
 

== Begriffe ==
* Die Menge aller möglichen Versuchsausgänge nennt man $Ereignismenge\ \Omega$.
: Im obigen Beispiel war $\Omega=\{ 1er, 2er, 3er, 4er, 5er, 6er\}$
* Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses $E$ wird mit $P(E)$ abgekürzt.
: Im obigen Beispiel war $E=$ „ein 3er wird gewürfelt“.
 
 

== Grundregeln und die Laplace'sche Wahrscheinlichkeit ==

Machen wir noch ein paar Beispiele. Wieder geht es um das einmalige Würfeln eines $6$-seitigen Würfels:

{{Vorlage:Beispiel|1= Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für eine $6$?
|2= $\underbrace{P(6er)}_{\textrm{Wahrscheinlichkeit für einen $6$er} }=\frac{1}{6}$
Grund: Es gibt wieder $6$ '''mögliche''' Ausgänge und nur einer davon (ein $6$er) ist '''günstig'''. }}

{{Vorlage:Beispiel|1= Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit einen $5$er ODER einen $6$er zu würfeln?
|2= $\underbrace{P(5er\lor 6er)}_{\textrm{Wahrscheinlichkeit für einen $5$er oder $6$er} }=\frac{2}{6}$
Grund: Es gibt wieder $6$ '''mögliche''' Ausgänge und nur zwei davon (ein $5$er oder $6$er) sind '''günstig'''. }}

{{Vorlage:Beispiel|1= In einer Box sind $100$ Lose. Nur $7$ davon sind Gewinne. Du ziehst blind eines der Lose. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das gezogene Los ein Gewinn ist?
|2= Wie bei den oberen Beispielen überlegen wir uns wieder, wie viele '''mögliche''' Ausgänge es gibt (= $100$) und wie viele davon für uns '''günstig''' sind (= $7$). Damit gilt:
$$P(Gewinn)=\frac{7}{100}$$
}}

Damit können wir nun eine allgemeine Regel ableiten:

{{Vorlage:Definition|1= '''Regel von Laplace'''

Bei einem Zufallsversuch, bei dem

: a) jedes Einzelereignis die gleiche Chance des Eintretens hat und

: b) es nur endlich viele verschiedene Einzelereignisse gibt,

gilt für die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses $E$:
$$P(E)=\frac{\textrm{Anzahl der für $E$ günstigen Ausgänge} }{\textrm{ Anzahl der möglichen Ausgänge} }=\frac{ \textrm{günstige} }{\textrm{mögliche} }$$
}}

[[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| ? ]] Auf dieser [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_einfuehrung_wahrscheinlichkeitsrechnung/Lernpfad_Wahrscheinlichkeit/034_Bsp.html Seite] findest du weitere Übungen.
 
 

== Gegenwahrscheinlichkeit sowie sichere und unmögliche Ereignisse ==
Zu allererst zwei Überlegungen:
{{Vorlage:Merke|1=
Die Wahrscheinlichkeit, dass irgendetwas sicher passiert, ist $100 \%=1$ (z. B.: Die Wahrscheinlichkeit, dass man beim Münzwurf „Kopf“ oder „Zahl“ wirft, ist $100 \%$).
$$P(\Omega)=1$$
wobei $\Omega$ die Menge der möglichen Ereignisse ist.

Die Wahrscheinlichkeit für ein unmögliches Ereignis ist $0$ (z. B.: Die Wahrscheinlichkeit beim '''Münz'''wurf eine $6$ zu würfeln ist $0 \%$.)
$$P(unmögliches\ Ereignis)=0$$

}}
 
Nun zu folgendem Beispiel:
{{Vorlage:Beispiel|1= Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, '''keine''' $6$ beim Wurf mit einem Würfel zu würfeln?
|2= Hier gibt es zwei Lösungsmöglichkeiten:
# Variante: $$P(kein\ 6er)=P(1er, 2er, 3er, 4er, 5er)=\frac{günstige}{mögliche}=\frac{5}{6}$$ Das Problem ist, dass wir uns hier überlegen müssen, welche Ereignisse alle infrage kommen. Dies kann mitunter aufwändig werden. Einfacher geht es mit der
# Variante:
$$P(kein\ 6er)=P(irgendetwas\ passiert)-P(6er)=1-P(6er)=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$$
Hier haben wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit ($P(kein\ 6er)$) mithilfe der Gegenwahrscheinlichkeit ($P(6er)$) berechnet. }}

{{Vorlage:Merke|1= '''Satz über die Gegenwahrscheinlichkeit'''
Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses $\bar{E}$ („nicht $E$“) beträgt:
$$P(\bar{E})=1-P(E)$$
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= In einer Urne mit $20$ Kugeln sind $5$ blau, $3$ rot, $7$ gelb und $5$ grün. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit keine blaue Kugel zu ziehen?
|2=
$$P(nicht\ blau)=1-P(blau)=1-\frac{5}{20}=\frac{15}{20}=\frac{3}{4}=75\%$$
}}
 
 

== Additions- und Multiplikationsregel sowie das Geburtstagsparadoxon ==

=== Additionsregel („ODER“-Regel) ===
Zuerst eine kleine Definition:
{{Vorlage:Definition|1= 2 Ereignisse $E$ und $F$ sind „'''''unvereinbar'''''“, wenn nicht beide zur selben Zeit auftreten können. Anders formuliert:
$$P(E\cap F)=0$$
''„Die Wahrscheinlichkeit, dass $E$ '''und''' ($=\cap$) $F$ zusammen eintreten, ist $0$.“''}}

'''Beispiel:''' Das Ereignis $E=$ „ich würfle eine $6$“ und das Ereignis $F=$ „ich würfle eine $1$“ sind beim Wurf mit einem Würfel unvereinbar.

'''Beispiel mit nicht unvereinbaren Ereignissen''': $E=$ „ich würfle eine $6$“ und $F= $ „ich würfle eine gerade Zahl“. Hier kann nämlich gleichzeitig $E$ und $F$ eintreten (nämlich, wenn ein $6$er gewürfelt wird).
 
 
Nun zur
{{Vorlage:Merke|1='''Additionsregel („Oder“-Regel)'''
Sind zwei Ereignisse $E$ und $F$ unvereinbar, dann gilt:
$$P(E\cup F)=P(E)+P(F)$$
(„''Die Wahrscheinlichkeit $E$ '''oder''' ($=\cup$) $F$ zu erhalten ist $P(E)$ plus $P(F)$''“) }}

{{Vorlage:Beispiel|1=
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim Würfeln eine $6$ '''oder''' eine $3$ zu würfeln?
|2= Das Ereignis $E=$ „$6er\ würfeln$“ und $F=$ „$3er\ würfeln$“ sind unvereinbar. Somit können wir unsere Additionsregel anwenden:
$$P(6er\cup 3er)=P(6er)+P(3er)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{2}{6}$$}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

 '''Wichtiger Hinweis''' 

<div class="mw-collapsible-content"> Die Eigenschaft, dass die Ereignisse unvereinbar sein müssen, ist wichtig. Nehmen wir z. B. zwei Ereignisse, die nicht unvereinbar sind:
* $E=$ „man würfelt eine $2$“ und
* $F=$ „man würfelt eine gerade Zahl“ (d. h. $2, 4$ oder $6$)

$E$ und $F$ sind nicht unvereinbar, denn $P(E\cap F)=P(2er\ und \ gerade)=P(2er)=\frac{1}{6}$.

Dann gilt selbstverständlich $P(E)=\frac{1}{6}$ und $P(F)=\frac{3}{6}$ aber für die Wahrscheinlichkeit, eine $2$ ODER eine gerade Zahl zu würfeln gilt:
$$\underbrace{P(E\cup F)}_{\frac{3}{6}}\ne \underbrace{P(E)+P(F)}_{\frac{1}{6}+\frac{3}{6}}$$
Da die Wahrscheinlichkeit, eine gerade Zahl zu würfeln nur $\frac{3}{6}$ ist.

</div>

</div>
 
 

=== Multiplikationsregel („UND“-Regel)===
Zuerst wieder eine kleine Definition:
{{Vorlage:Definition|1= $2$ Ereignisse $E$ und $F$ sind „'''''unabhängig voneinander'''''“, wenn das erste Ereignis keinen Einfluss auf das zweite hat.

Z. B.: Ich werfe zweimal mit einem Würfel. Das Ergebnis des ersten Wurfs ($=E$) hat in der Regel nichts mit dem Ergebnis des zweiten Wurfs ($=F$) gemeinsam. }}

Und nun zur
{{Vorlage:Merke|1= '''Multiplikationsregel ('''UND'''-Regel):'''
Sind zwei Ereignisse $E$ und $F$ unabhängig voneinander, dann gilt für die Wahrscheinlichkeit, dass beide zusammen auftreten:
$$P(E\cap F)=P(E)\cdot P(F)$$
Die Wahrscheinlichkeit, dass $E$ '''und''' ($=\cap$) $F$ zusammen auftreten ist $P(E)$ mal $P(F)$.
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Es wird zweimal hintereinander mit einem Würfel geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass zuerst eine $6$ und anschließend eine $3$ gewürfelt wird.
|2=
Beide Ereignisse ($E= $ „zuerst eine $6$“ und $F= $ „dann eine $3$“) sind unabhängig. Somit gilt nach der Multiplikationsregel:
$$P(6er \cap 3er)=P(6er)\cdot P(3er)=\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{36}$$
}}
 
 

=== Das Geburtstagsparadoxon: Anwendung der Gegenwahrscheinlichkeit und der Multiplikationsregel ===

{{#ev:youtube|RIBrYgEhu2g}}
 
 

== Was ist überhaupt Wahrscheinlichkeit - Wahrscheinlichkeit als Grenzwert der relativen Häufigkeit ==
Eine Wahrscheinlichkeit ist eigentlich Maß für eine Erwartung.
Beim Würfeln gibt
$$P(3er)=\frac{1}{6}$$
an, dass ungefähr in einem von $6$ Würfen ein $3$er erscheint. Eigentlich meint man aber eher folgendes: „''Wenn ich oft genug würfle, dann wird ungefähr in einem Sechstel aller Fälle ein 3er erscheinen''“. D. h. Die Wahrscheinlichkeit gibt den Grenzwert der [[Statistik|relativen Häufigkeit]] an.

In der Mathematik drückt man den Grad der Erwartung durch eine reelle Zahl aus dem Intervall $[0;1]$ aus und bezeichnet die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses $E$ mit $P(E)$ (= Propability/Probabilität von $E$).

Hier noch ein Beispiel zu Gesetz der großen Zahlen - Excel Liste, in der die relative Häufigkeit sich der tatsächlichen Wahrscheinlichkeit nähert.
 
 

== Interaktives Quiz ==

=== Wahrscheinlichkeitsrechnung (WS 2.1-2.4) ===

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[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]

Wahrscheinlichkeit: Baumdiagramme und Pfadregeln

2020-04-11T13:44:21Z

PeterLamp: /* Quiz zu den Grundlagen */

Im Folgenden beschäftigen wir uns mit "mehrstufigen Zufallsexperimenten". Dies sind Experimente, die mehrmals ausgeführt werden.

Beispiele:
* Mehrere Würfe mit einem Würfel: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zwei 6er hintereinander zu würfeln?
* Mehrere Kugeln aus einer Urne blind ziehen: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 3 rote und 2 gelbe zu ziehen?
* Zweimaliges Werfen mit einer Münze: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass zweimal "Kopf" kommt?

== Baumdiagramme ==
Um mehrstufige Zufallsexperimente darzustellen, verwendet man Baumdiagramme. Im folgenden Beispiel ist ein Baumdiagramm für einen zweistufigen Münzwurf dargestellt.

[[Datei:Baumdiagramm-versuch1.gif|zentriert]]

* Für den ersten Versuch gibt es 2 Möglichkeiten: "Kopf" oder "Zahl"
* Für den zweiten Versuch gibt es dann wieder die Möglichkeiten: "Kopf" oder "Zahl".
* Dadurch entsteht ein Baum. Ganz oben ist der ''Stamm'', davon gehen die ''Äste'' weiter zu den sogenannten ''Knoten''. Ganz unten befinden sich die ''Blätter''.

Nachdem der Baum gezeichnet wurde, wird nun über jedem Ast jene Wahrscheinlichkeit eingetragen, mit der dieser Ast beschritten wird:
[[Datei:Baumdiagramm-mit Wahrscheinlichkeiten.png|500px|miniatur|zentriert|Da es sich um einen Münzwurf handelt, beträgt die Wahrscheinlichkeit für jeden Pfad $P=\frac{1}{2}$]]

{{Vorlage:Merke|1= $\ $
* Die Anzahl der Stufen des Wahrscheinlichkeitsbaumes ist gleich der Anzahl der Zufallsversuche. Z.B. Wird dreimal aus einer Box gezogen, so hat der Baum drei Stufen.
* Die Äste, die von einem Knoten weggehen, sind gleich der Anzahl der Ereignismöglichkeiten bei einem Versuch. Z.B. Wird aus einer Box mit 4 unterschiedlichen Kugeln gezogen, so gibt es 4 Äste.}}

== Pfadregeln ==
Mithilfe des Baumdiagramms, kann man nun ganz einfach die Wahrscheinlichkeiten für einen Pfad (z.B. 2x "Kopf") berechnen. Hierzu brauchen wir nur die ...

=== 1. Pfadregel (Multiplikationsregel)===
{{Vorlage:Merke|1= '''1. Pfadregel:'''

Geht man '''entlang eines Pfades''', so '''multipliziert''' man die Einzelwahrscheinlichkeiten (dies ist die '''Multiplikationsregel''' (auch "UND-Regel" genannt)).
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass beim zweimaligen Werfen einer Münze beide Male "Kopf" zu sehen ist.
|2= Zuerst betrachten wir unser Baumdiagramm von oben und markieren jenen Pfad, bei dem wir zweimal "Kopf" werfen:

[[Datei:Baumdiagramm-zweimalKopf mit W.png|400px|miniatur|zentriert|Der rot markierte Pfad ist jener, bei dem man zweimal "Kopf" wirft. ]]

Nun berechnen wir die Wahrscheinlichkeit mithilfe der 1. Pfadregel:
$$P(Kopf\cap Kopf)=P(Kopf)\cdot P(Kopf)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\underline{\underline{\frac{1}{4} } }$$
}}

=== 2. Pfadregel (Additionsregel)===
{{Vorlage:Merke|1= Die '''Wahrscheinlichkeiten aller Pfade''', die zum gesuchten Ergebnis führen, werden '''addiert''' (dies ist die '''Additionsregel''' (auch "ODER-Regel" genannt)).
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass beim zweimaligen Werfen einer Münze mindestens einmal "Kopf" erscheint.
|2= Zuerst markieren wir im Baumdiagramm wieder alle Pfade, bei denen man mindestens einmal Kopf erhält. Davon gibt es insgesamt 3:
[[Datei:Baumdiagramm-zwemindKopf mit W.png|400px|miniatur|zentriert|Bei allen 3 rot markierten Pfaden kommt mindestens einmal "Kopf"]]

Mithilfe der 1. und 2. Pfadregel erhält man nun die Gesamtwahrscheinlichkeit für "mind. einmal Kopf":

$\begin{align}
P(mind. \ einmal\ Kopf)&\underbrace{=}_{\textrm{1. Pfadregel} } & P(Kopf\cap Kopf)+P(Kopf\cap Zahl)+P(Zahl \cap Kopf)\\
&\underbrace{=}_{\textrm{2. Pfadregel} }& \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}=75\%
\end{align}$

Einfacher wäre es hier natürlich mithilfe der '''Gegenwahrscheinlichkeit''' gegangen:
$$P(mind. \ einmal\ Kopf)=1-P(niemals\ Kopf)=1-P(Zahl\cap Zahl)\underbrace{=}_{\textrm{1. Pfadregel} }1-\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}=75\%$$
Hierbei zieht man vom sicheren Ergebnis jenen Pfad ab, der NICHT zum gesuchten Ergebnis führt.
}}

{| align="center"
|{{#ev:youtube|J8UEX5X7qQo}}
|}

== Quiz zu den Grundlagen ==
== Wahrscheinlichkeitsrechnung (WS 2.1-2.4) ==

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}}
 

== Beispiele und Maturaaufgaben ==

[http://www.brinkmann-du.de/mathe/aufgabenportal/p9_stoch_01/p9_stoch_01.htm Aufgaben samt Lösungen von brinkmann-du.de]

{{Vorlage:Bifie-Aufgabe|1= https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=185&file=Spieleabend.pdf Spieleabend}}

== Zusatz: Das Ziegenproblem ==

{{#ev:youtube|DWdcupH_p34}}

[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]

Grundkompetenzen AHS

2020-04-11T13:39:40Z

PeterLamp: /* Beschreibende Statistik */

Die folgenden Tabellen listen alle Grundkompetenzen für die AHS auf.

Die Grundkompetenzen sind in insgesamt $4$ Inhaltsbereiche gegliedert:

==Algebra und Geometrie==
===Grundbegriffe der Algebra===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AG 1.1
||Wissen über die Zahlenmengen $ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, ℂ$ verständig einsetzen können
||[[Zahlenmengen | Theorie]]
||[[Zahlenmengen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 1.2
||Wissen über algebraische Begriffe angemessen einsetzen können: Variable, Terme, Formeln, (Un-)Gleichungen, Gleichungssysteme, Äquivalenz, Umformungen, Lösbarkeit
||[[Algebraische Begriffe | Theorie]]
||[[Quiz #Algebraische Grundbegriffe (AG 1.2) | Beispiele]]
|}
Anmerkungen: Bei den Zahlenmengen soll man die Mengenbezeichnungen und die Teilmengenbeziehungen kennen, Elemente angeben sowie zuordnen können und die reellen Zahlen als Grundlage kontinuierlicher Modelle kennen. Zum Wissen über die reellen Zahlen gehört auch, dass es Zahlenbereiche gibt, die über $ℝ$ hinausgehen. Die algebraischen Begriffe soll man anhand von einfachen Beispielen beschreiben/erklären und verständig verwenden können. 

===(Un-)Gleichungen und Gleichungssysteme===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AG 2.1
||einfache Terme und Formeln aufstellen, umformen und im Kontext deuten können
||[[Terme und Formeln| Theorie]]
||[[Formeln #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 2.2
||lineare Gleichungen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen und die Lösung im Kontext deuten können
||[[lineare Gleichungen mit einer Variablen | Theorie]]
||[[lineare Gleichungen mit einer Variablen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 2.3
||quadratische Gleichungen in einer Variablen umformen/lösen, über Lösungsfälle Bescheid wissen, Lösungen und Lösungsfälle (auch geometrisch) deuten können
||[[Quadratische Gleichungen | Theorie]]
||[[Quadratische Gleichungen #Interaktives Quiz| Beispiele]]
|-
||AG 2.4
||lineare Ungleichungen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen, Lösungen (auch geometrisch) deuten können
||[[Lineare Ungleichungen mit 2 Variablen | Theorie]]
||[[Lineare Ungleichungen mit 2 Variablen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 2.5
||lineare Gleichungssysteme in zwei Variablen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen, über Lösungsfälle Bescheid wissen, Lösungen und Lösungsfälle (auch geometrisch) deuten können
||[[Gleichungssysteme | Theorie]]
||[[Gleichungssysteme #Interaktives Quiz| Beispiele]]
|}
Anmerkungen: Einfache Terme können auch Potenzen, Wurzeln, Logarithmen, Sinus etc. beinhalten. Mit dem Einsatz elektronischer Hilfsmittel können auch komplexere Umformungen von Termen, Formeln und Gleichungen, Ungleichungen und Gleichungssystemen durchgeführt werden. 

===Vektoren===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AG 3.1
||Vektoren als Zahlentupel verständig einsetzen und im Kontext deuten können
||[[Vektorrechnung | Theorie]]
||[[Vektorrechnung #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 3.2
||Vektoren geometrisch (als Punkte bzw. Pfeile) deuten und verständig einsetzen können
||[[Vektorrechnung | Theorie]]
||[[Vektorrechnung #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 3.3
||Definition der Rechenoperationen mit Vektoren (Addition, Multiplikation mit einem Skalar, Skalarmultiplikation) kennen, Rechenoperationen verständig einsetzen und (auch geometrisch) deuten können
||[[Vektorrechnung | Theorie]]
||[[Vektorrechnung #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 3.4
||Geraden durch (Parameter-)Gleichungen in $ℝ^2$ und $ℝ^3$ angeben können; Geradengleichungen interpretieren können; Lagebeziehungen (zwischen Geraden und zwischen Punkt und Gerade) analysieren, Schnittpunkte ermitteln können
||[[Vektorrechnung | Theorie]]
||[[Vektorrechnung #Beispiele| Beispiele]]
|-
||AG 3.5
||Normalvektoren in $ℝ^2$ aufstellen, verständig einsetzen und interpretieren können
||[[Vektorrechnung | Theorie]]
||[[Vektorrechnung #Beispiele | Beispiele]]
|}
Anmerkungen: Vektoren sind als Zahlentupel, also als algebraische Objekte, zu verstehen und in entsprechenden Kontexten ver-ständig einzusetzen. Punkte und Pfeile in der Ebene und im Raum müssen als geometrische Veranschaulichung dieser algebraischen Objekte interpretiert werden können. Die geometrische Deutung der Skalarmultiplikation (in $ℝ^2$ und $ℝ^3$) meint hier nur den Spezialfall $a\cdot b= 0$. Geraden sollen in Parameterform, in $ℝ^2$ auch in parameterfreier Form, angegeben und interpretiert werden können. 

===Trigonometrie===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AG 4.1
||Definitionen von ''Sinus'', ''Cosinus'' und ''Tangens'' im rechtwinkeligen Dreieck kennen und zur Auflösung rechtwinkeliger Dreiecke einsetzen können
||[[Trigonometrie | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|-
||AG 4.2
||Definitionen von ''Sinus'' und ''Cosinus'' für Winkel größer als $90°$ kennen und einsetzen können
||[[Trigonometrie | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|}
Anmerkungen: Die Kontexte beschränken sich auf einfache Fälle in der Ebene und im Raum, komplexe (Vermessungs-)Aufgaben sind hier nicht gemeint; Sinus- und Cosinussatz werden dabei nicht benötigt.
 
 

==Funktionale Abhängigkeiten==
===Funktionsbegriff, reelle Funktionen, Darstellungsformen und Eigenschaften===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||FA 1.1
||für gegebene Zusammenhänge entscheiden können, ob man sie als Funktionen betrachten kann
||[[Funktionen | Theorie]]
||[[Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 1.2
||Formeln als Darstellung von Funktionen interpretieren und dem Funktionstyp zuordnen können
||[[Funktionen_in_mehreren_Unbekannten| Theorie]]
||[[Funktionen_in_mehreren_Unbekannten #Beispielaufgaben + Interaktives Quiz| Beispiele]]
|-
||FA 1.3
||zwischen tabellarischen und grafischen Darstellungen funktionaler Zusammenhänge wechseln können
||[[Funktionen | Theorie]]
||[[Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 1.4
||aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Funktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können
||[[Funktionen | Theorie]]
||[[Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 1.5
||Eigenschaften von Funktionen erkennen, benennen, im Kontext deuten und zum Erstellen von Funktionsgraphen einsetzen können: Monotonie, Monotoniewechsel (lokale Extrema), Wendepunkte, Periodizität, Achsensymmetrie, asymptotisches Verhalten, Schnittpunkte mit den Achsen
||[[Funktionen | Theorie]]
||[[Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 1.6
||Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen grafisch und rechnerisch ermitteln und im Kontext interpretieren können
||[[Schnittpunkt zweier Funktionen | Theorie]]
||[[Schnittpunkt zweier Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 1.7
||Funktionen als mathematische Modelle verstehen und damit verständig arbeiten können
||[[mathematische Modelle | Theorie]]
||[[mathematische Modelle #Funktionen als mathematische Modelle (FA 1.7)| Beispiele]]
|-
||FA 1.8
||durch Gleichungen (Formeln) gegebene Funktionen mit mehreren Veränderlichen im Kontext deuten können, Funktionswerte ermitteln können
||[[Funktionen in mehreren Unbekannten | Theorie]]
||[[Funktionen in mehreren Unbekannten #Beispielaufgaben + Interaktives Quiz | Beispiele]]
|-
||FA 1.9
||einen Überblick über die wichtigsten (unten angeführten) Typen mathematischer Funktionen geben, ihre Eigenschaften vergleichen können
||[[Funktionen | Theorie]]
||[[Funktionen #Funktionstypen und deren Eigenschaften (FA 1.9) | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Auf eine sichere Unterscheidung zwischen funktionalen und nichtfunktionalen Zusammenhängen wird Wert gelegt,auf theoretisch bedeutsame Eigenschaften (z. B. Injektivität, Surjektivität, Umkehrbarkeit)wird aber nicht fokussiert. Im Vordergrund steht die Rolle von Funktionen als Modelle und die verständige Nutzung grundlegender Funktionstypen und deren Eigenschaften sowie der verschiedenen Darstellungsformen von Funktionen (auch $f:A→B$, $x↦f(x)$ ).
Die Bearbeitung von Funktionen mit mehreren Veränderlichen beschränkt sich auf die Interpretation der Funktionsgleichung im jeweiligen Kontext sowie auf die Ermittlung von Funktionswerten.
Der Verlauf von Funktionen soll nicht nur mathematisch beschrieben, sondern auch im jeweiligen Kontext gedeutet werden können.
 

===Lineare Funktion $f(x)=k\cdot x+d$===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||FA 2.1
||verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene lineare Zusammenhänge als lineare Funktionen erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können
||[[Lineare Funktionen| Theorie]]
||[[Lineare Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 2.2
||aus Tabellen, Graphen und Gleichungen linearer Funktionen Werte(paare) sowie die Parameter $k$ und $d$ ermitteln und im Kontext deuten können
||[[Lineare Funktionen | Theorie]]
||[[Lineare Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 2.3
||die Wirkung der Parameter $k$ und $d$ kennen und die Parameter in unterschiedlichen Kontexten deuten können
||[[Lineare Funktionen| Theorie]]
||[[Lineare Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 2.4
||charakteristische Eigenschaften kennen und im Kontext deuten können: $f(x+1)=f(x)+k; \frac {f(x_2)-f(x_1)} {x_2-x_1}=k=f'(x)$
||[[Lineare Funktionen | Theorie]]
||[[Lineare Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 2.5
||die Angemessenheit einer Beschreibung mittels linearer Funktion bewerten können
||[[Lineare Funktionen | Theorie]]
||[[Lineare Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 2.6
||direkte Proportionalität als lineare Funktion vom Typ $f(x)=k\cdot x$ beschreiben können

||[[Lineare Funktionen | Theorie]]
||[[Lineare Funktionen #Beispiele| Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Die Parameter $k$ und $d$ sollen sowohl für konkrete Werte als auch allgemein im jeweiligen Kontext interpretiert werden können. Entsprechendes gilt für die Wirkung der Parameter und deren Änderung.
 
 

===Potenzfunktion $f(x)=a\cdot x^z+b$, $z\in \mathbb{Z}$ oder mit $f(x)=a \cdot x^{ \frac{1}{2} }+b$===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||FA 3.1
||verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene Zusammenhänge dieser Art als entsprechende Potenzfunktionen erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können
||[[Potenzfunktionen | Theorie]]
||[[Potenzfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 3.2
||aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Potenzfunktionen Werte(paare) sowie die Parameter $a$ und $b$ ermitteln und im Kontext deuten können
||[[Potenzfunktionen | Theorie]]
||[[Potenzfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 3.3
||die Wirkung der Parameter $a$ und $b$ kennen und die Parameter im Kontext deuten können
||[[Potenzfunktionen | Theorie]]
||[[Potenzfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 3.4
||indirekte Proportionalität als Potenzfunktion vom Typ $f(x)=\frac {a} {x}$ (bzw. $f(x)=a\cdot x^{–1}$) beschreiben können
||[[indirekte Proportion | Theorie]]
||[[Potenzfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Wurzelfunktionen bleiben auf den quadratischen Fall $a\cdot x^\frac {1} {2}+b$ beschränkt.
 
 

===Polynomfunktion $f(x)=\sum_{i=0}^{n} a_i \cdot x^i$ mit $n \in ℕ$===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||FA 4.1
||typische Verläufe von Graphen in Abhängigkeit vom Grad der Polynomfunktion (er)kennen
||[[Polynomfunktionen | Theorie]]
||[[Polynomfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 4.2
||zwischen tabellarischen und grafischen Darstellungen von Zusammenhängen dieser Art wechseln können
||[[Polynomfunktionen | Theorie]]
||[[Polynomfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 4.3
||aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Polynomfunktionen Funktionswerte, aus Tabellen und Graphen sowie aus einer quadratischen Funktionsgleichung Argumentwerte ermitteln können
||[[Polynomfunktionen | Theorie]]
||[[Polynomfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 4.4
||den Zusammenhang zwischen dem Grad der Polynomfunktion und der Anzahl der Null- ,Extrem- und Wendestellen wissen
||[[Polynomfunktionen | Theorie]]
||[[Polynomfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Der Zusammenhang zwischen dem Grad der Polynomfunktion und der Anzahl der Null-, Extrem- und Wendestellen sollte für beliebige $n$ bekannt sein, konkrete Aufgabenstellungen beschränken sich auf Polynomfunktionen mit $n\le4$. Mithilfe elektronischer Hilfsmittel können Argumentwerte auch für Polynomfunktionen höheren Grades ermittelt werden.
 

===Exponentialfunktion $f(x)=a\cdot b^x$ bzw. $f(x)=a\cdot e^{\lambda \cdot x}$ mit $a,b \in ℝ^+$, $\lambda \in ℝ$===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||FA 5.1
||verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene exponentielle Zusammenhänge als Exponentialfunktion erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können
||[[Exponentialfunktionen | Theorie]]
||[[Exponentialfunktionen #Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung| Beispiele]]
|-
||FA 5.2
||aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Exponentialfunktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können
||[[Exponentialfunktionen | Theorie]]
||[[Exponentialfunktionen #Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung| Beispiele]]
|-
||FA 5.3
||die Wirkung der Parameter $a$ und $b$ (bzw. $e^\lambda$) kennen und die Parameter in unterschiedlichen Kontexten deuten können
||[[Exponentialfunktionen | Theorie]]
||[[Exponentialfunktionen #Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung| Beispiele]]
|-
||FA 5.4
||charakteristische Eigenschaften $(f(x +1)= b\cdot f(x); [e^x]'=e^x)$ kennen und im Kontext deuten können
||[[Exponentialfunktionen | Theorie]]
||[[Exponentialfunktionen #Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung | Beispiele]]
|-
||FA 5.5
||die Begriffe ''Halbwertszeit'' und ''Verdoppelungszeit'' kennen, die entsprechenden Werte berechnen und im Kontext deuten können
||[[Exponentialfunktionen | Theorie]]
||[[Exponentialfunktionen #Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung | Beispiele]]
|-
||FA 5.6
||die Angemessenheit einer Beschreibung mittels Exponentialfunktion bewerten können
||[[Exponentialfunktionen | Theorie]]
||[[Exponentialfunktionen #Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Die Parameter $a$ und $b$ (bzw. $e^{\lambda}$) sollen sowohl für konkrete Werte als auch allgemein im jeweiligen Kontext interpretiert werden können. Entsprechendes gilt für die Wirkung der Parameter und deren Änderung.
 
 

===Sinusfunktion, Cosinusfunktion===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||FA 6.1
||grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene Zusammenhänge der Art $f(x)=a\cdot sin(b\cdot x)$ als allgemeine Sinusfunktion erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können
||[[Trigonometrie #Trigonometrische Funktionen| Theorie]]
||[[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 6.2
||aus Graphen und Gleichungen von allgemeinen Sinusfunktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können
||[[Trigonometrie #Trigonometrische Funktionen | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 6.3
||die Wirkung der Parameter $a$ und $b$ kennen und die Parameter im Kontext deuten können
||[[Trigonometrie #Trigonometrische Funktionen | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 6.4
||Periodizität als charakteristische Eigenschaft kennen und im Kontext deuten können
||[[Trigonometrie #Trigonometrische Funktionen | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 6.5
||wissen, dass $cos(x)= sin(x + \frac {\pi} {2})$
||[[Trigonometrie #Trigonometrische Funktionen | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 6.6
||wissen, dass gilt: $[sin(x)]'=cos(x), [cos(x)]'=-sin(x)$
||[[Differenzen- und Differentialquotient | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Während zur Auflösung von rechtwinkeligen Dreiecken Sinus, Cosinus und
Tangens verwendet werden, beschränkt sich die funktionale Betrachtung (weitgehend) auf die allgemeine Sinusfunktion. Wesentlich dabei sind die Interpretation der Parameter (im Graphen wie auch in entsprechenden Kontexten) sowie der Verlauf des Funktionsgraphen und die Periodizität.
 
 

==Analysis==
===Änderungsmaße===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AN 1.1.
||absolute und relative (prozentuelle) Änderungsmaße unterscheiden und angemessen verwenden können
||[[Änderungsmaße| Theorie]]
||[[Änderungsmaße #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AN 1.2.
||den Zusammenhang ''Differenzenquotient (mittlere Änderungsrate) – Differenzialquotient (momentane Änderungsrate)'' auf der Grundlage eines intuitiven Grenzwertbegriffes kennen und damit (verbal sowie in formaler Schreibweise) auch kontextbezogen anwenden können
||[[Differenzen- und Differentialquotient | Theorie]]
||[[Differenzen- und Differentialquotient #Maturabeispiele| Beispiele]]
|-
||AN 1.3.
||den Differenzen- und Differenzialquotienten in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverhalte durch den Differenzen- bzw. Differenzialquotienten beschreiben können
||[[Differenzen- und Differentialquotient|Theorie]]
||[[Differenzen-_und_Differentialquotient #Maturabeispiele| Beispiele]]
|-
||AN 1.4.
||das systemdynamische Verhalten von Größen durch Differenzengleichungen beschreiben bzw. diese im Kontext deuten können
||[[Differenzengleichungen | Theorie]]
||[[Differenzengleichungen #Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Der Fokus liegt auf dem Darstellen von Änderungen durch Differenzen von Funktionswerten, durch prozentuelle Veränderungen, durch Differenzenquotienten und durch Differenzialquotienten, ganz besonders aber auch auf der Interpretation dieser Veränderungsmaße im jeweiligen Kontext. Durch den Einsatz elektronischer Hilfsmittel ist auch die Berechnung von Differenzen- und Differenzialquotienten beliebiger (differenzierbarer) Funktionen möglich.
 
 

===Regeln für das Differenzieren===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AN 2.1.
||einfache Regeln des Differenzierens kennen und anwenden können: Potenzregel, Summenregel, Regeln für $[k \cdot f(x)]′$ und $[f(k \cdot x)]′$ (vgl. Inhaltsbereich ''Funktionale Abhängigkeiten'')
||[[Inhalt:Differenzieren: Rechnerisches Bestimmen von f'| Theorie]]
||[[Inhalt:Differenzieren: Rechnerisches Bestimmen von f' #Interaktives Quiz - Einfache Regeln des Differenzierens (AN 2.1)| Beispiele]]
|}
 

===Ableitungsfunktion/Stammfunktion===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AN 3.1.
||den Begriff ''Ableitungsfunktion/Stammfunktion'' kennen und zur Beschreibung von Funktionen einsetzen können
||[[Integration| Theorie]]
||[[Integration#Beispiele | Beispiele]]
|-
||AN 3.2.
||den Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitungsfunktion (bzw. Funktion und Stammfunktion) in deren grafischer Darstellung (er)kennen und beschreiben können
||[[Ableitung bestimmen| Theorie]]
||[[Ableitung bestimmen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AN 3.3.
||Eigenschaften von Funktionen mithilfe der Ableitung(sfunktion) beschreiben können: Monotonie, lokale Extrema, Links- und Rechtskrümmung, Wendestellen
||[[Kurvendiskussionen #Grundwissen über f(x), f'(x) und f''(x)| Theorie]]
||[[Kurvendiskussionen #Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Der Begriff der ''Ableitung(sfunktion)'' soll verständig und zweckmäßig zur Beschreibung von Funktionen eingesetzt werden. Durch den Einsatz elektronischer Hilfsmittel ist das Ableiten von Funktionen nicht durch die in den Grundkompetenzen angeführten Differenziationsregeln eingeschränkt.
 

===Summation und Integral===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AN 4.1.
||den Begriff des bestimmten Integrals als Grenzwert einer Summe von Produkten deuten und beschreiben können
||[[Integration| Theorie]]
||[[Integration #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AN 4.2.
||einfache Regeln des Integrierens kennen und anwenden können: Potenzregel, Summenregel, $\int k\cdot f(x)\,dx$, $\int f(k\cdot x)\,dx$ (vgl. Inhaltsbereich ''Funktionale Abhängigkeiten''), bestimmte Integrale von Polynomfunktionen ermitteln können
||[[Integration| Theorie]]
||[[Integration #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AN 4.3.
||das bestimmte Integral in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverhalte durch Integrale beschreiben können
||[[Integration| Theorie]]
||[[Integration #Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Analog zum Differenzialquotienten liegt der Fokus beim bestimmten Integral auf der Beschreibung entsprechender Sachverhalte durch bestimmte Integrale sowie vor allem auf der angemessenen Interpretation des bestimmten Integrals im jeweiligen Kontext. Durch den Einsatz elektronischer Hilfsmittel ist die Berechnung von bestimmten Integralen nicht durch die in den Grundkompetenzen angeführten Integrationsregeln eingeschränkt.
 

==Wahrscheinlichkeit und Statistik==
===Beschreibende Statistik===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||WS 1.1
||Werte aus tabellarischen und elementaren grafischen Darstellungen ablesen (bzw. zusammengesetzte Werte ermitteln) und im jeweiligen Kontext angemessen interpretieren können
||[[Beschreibende Statistik| Theorie]]
||[[Beschreibende Statistik #Beispiele| Beispiele]]
|}

Anmerkungen: (Un-)geordnete Liste, Strichliste, Piktogramm, Säulen-, Balken-, Linien-, Stängel-Blatt-, Punktwolkendiagramm, Histogramm (als Spezialfall eines Säulendiagramms), Prozentstreifen, Kastenschaubild (Boxplot)
 

{| border="1"
|-
||WS 1.2$\ \ \ \ \ \ \ $
||Tabellen und einfache statistische Grafiken erstellen, zwischen Darstellungsformen wechseln können

||[[Beschreibende_Statistik| Theorie]]
||[[Beschreibende Statistik #Beispiele| Beispiele]]
|-
||WS 1.3
||statistische Kennzahlen (absolute und relative Häufigkeiten; arithmetisches Mittel, Median, Modus, Quartile, Spannweite, empirische Varianz/Standardabweichung) im jeweiligen Kontext interpretieren können; die angeführten Kennzahlen für einfache Datensätze ermitteln können

||[[Beschreibende Statistik| Theorie]]
||[[Beschreibende Statistik #Beispiele| Beispiele]]
|-
||WS 1.4
||Definition und wichtige Eigenschaften des arithmetischen Mittels und des Medians angeben und nutzen, Quartile ermitteln und interpretieren können, die Entscheidung für die Verwendung einer bestimmten Kennzahl begründen können

||[[Beschreibende Statistik| Theorie]]
||[[Beschreibende Statistik #Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Wenn auch statistische Kennzahlen (für einfache Datensätze) ermittelt und elementare statistische Grafiken erstellt werden sollen, liegt das Hauptaugenmerk auf verständigen Interpretationen von Grafiken (unter Beachtung von Manipulationen) und Kennzahlen. Speziell für das arithmetische Mittel und den Median (auch als Quartile) müssen die wichtigsten Eigenschaften (definitorische Eigenschaften, Datentyp-Verträglichkeit, Ausreißerempfindlichkeit) gekannt und verständig eingesetzt bzw. berücksichtigt werden. Beim arithmetischen Mittel sind allenfalls erforderliche Gewichtungen zu beachten („gewogenes arithmetisches Mittel“) und zu nutzen (Bildung des arithmetischen Mittels aus arithmetischen Mitteln von Teilmengen).
 
 

===Wahrscheinlichkeitsrechnung===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||WS 2.1
||Grundraum und Ereignisse in angemessenen Situationen verbal beziehungsweise formal angeben können
||[[Wahrscheinlichkeit: Grundlagen| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]
|-
||WS 2.2
||relative Häufigkeit als Schätzwert von Wahrscheinlichkeit verwenden und anwenden können

||[[Wahrscheinlichkeit: Grundlagen| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Normalverteilung und Stetige Zufallsvariablen#Beispiele | Beispiele]]
|-
||WS 2.3
||Wahrscheinlichkeit unter der Verwendung der Laplace-Annahme (Laplace-Wahrscheinlichkeit) berechnen und interpretieren können, Additionsregel und Multiplikationsregel anwenden und interpretieren können

||[[Wahrscheinlichkeit: Grundlagen| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]
|-
||WS 2.4
||Binomialkoeffizient berechnen und interpretieren können

||[[Binomialkoeffizient| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]

|}

Anmerkungen: Die Multiplikationsregel kann unter Verwendung der kombinatorischen Grundlagen und der Anwendung der Laplace-Regel (auch) umgangen werden.
 
 

===Wahrscheinlichkeitsverteilungen===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||WS 3.1
||die Begriffe ''Zufallsvariable'', ''(Wahrscheinlichkeits-)Verteilung'', ''Erwartungswert'' und ''Standardabweichung'' verständig deuten und einsetzen können

||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]

|-
||WS 3.2
||Binomialverteilung als Modell einer diskreten Verteilung kennen – Erwartungswert sowie Varianz/Standardabweichung binomialverteilter Zufallsgrößen ermitteln können, Wahrscheinlichkeitsverteilung binomialverteilter Zufallsgrößen angeben können, Arbeiten mit der Binomialverteilung in anwendungsorientierten Bereichen

||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]

|-
||WS 3.3
||Situationen erkennen und beschreiben können, in denen mit Binomialverteilung modelliert werden kann

||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]
|-
||WS 3.4
||Normalapproximation der Binomialverteilung interpretieren und anwenden können

||[[Wahrscheinlichkeit: Normalverteilung und Stetige Zufallsvariablen| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Normalverteilung und Stetige Zufallsvariablen#Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Kennen und Anwenden der Faustregel, dass die Normalapproximation der Binomialverteilung mit den Parametern $n$ und $p$ dann anzuwenden ist und gute Näherungswerte liefert, wenn die Bedingung $n\cdot p \cdot (1–p)\geq 9 $ erfüllt ist. Die Anwendung der Stetigkeitskorrektur ist nicht notwendig und daher für Berechnungen im Zuge von Prüfungsbeispielen vernachlässigbar. Kennen des Verlaufs der Dichtefunktion $φ$ der Standardnormalverteilung mit Erwartungswert $\mu$ und Standardabweichung $\sigma$. Arbeiten mit der Verteilungsfunktion $Φ$ der Standardnormalverteilung und korrektes Ablesen der entsprechenden Wert.
 
 

===Schließende/Beurteilende Statistik===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||WS 4.1
||Konfidenzintervalle als Schätzung für eine Wahrscheinlichkeit oder einen unbekannten Anteil interpretieren (frequentistische Deutung) und verwenden können, Berechnungen auf Basis der Binomialverteilung oder einer durch die Normalverteilung approximierten Binomialverteilung durchführen können

||[[Konfidenzintervall| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]
|}

Grundkompetenzen AHS

2020-04-11T13:37:01Z

PeterLamp: /* Beschreibende Statistik */

Die folgenden Tabellen listen alle Grundkompetenzen für die AHS auf.

Die Grundkompetenzen sind in insgesamt $4$ Inhaltsbereiche gegliedert:

==Algebra und Geometrie==
===Grundbegriffe der Algebra===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AG 1.1
||Wissen über die Zahlenmengen $ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, ℂ$ verständig einsetzen können
||[[Zahlenmengen | Theorie]]
||[[Zahlenmengen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 1.2
||Wissen über algebraische Begriffe angemessen einsetzen können: Variable, Terme, Formeln, (Un-)Gleichungen, Gleichungssysteme, Äquivalenz, Umformungen, Lösbarkeit
||[[Algebraische Begriffe | Theorie]]
||[[Quiz #Algebraische Grundbegriffe (AG 1.2) | Beispiele]]
|}
Anmerkungen: Bei den Zahlenmengen soll man die Mengenbezeichnungen und die Teilmengenbeziehungen kennen, Elemente angeben sowie zuordnen können und die reellen Zahlen als Grundlage kontinuierlicher Modelle kennen. Zum Wissen über die reellen Zahlen gehört auch, dass es Zahlenbereiche gibt, die über $ℝ$ hinausgehen. Die algebraischen Begriffe soll man anhand von einfachen Beispielen beschreiben/erklären und verständig verwenden können. 

===(Un-)Gleichungen und Gleichungssysteme===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AG 2.1
||einfache Terme und Formeln aufstellen, umformen und im Kontext deuten können
||[[Terme und Formeln| Theorie]]
||[[Formeln #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 2.2
||lineare Gleichungen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen und die Lösung im Kontext deuten können
||[[lineare Gleichungen mit einer Variablen | Theorie]]
||[[lineare Gleichungen mit einer Variablen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 2.3
||quadratische Gleichungen in einer Variablen umformen/lösen, über Lösungsfälle Bescheid wissen, Lösungen und Lösungsfälle (auch geometrisch) deuten können
||[[Quadratische Gleichungen | Theorie]]
||[[Quadratische Gleichungen #Interaktives Quiz| Beispiele]]
|-
||AG 2.4
||lineare Ungleichungen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen, Lösungen (auch geometrisch) deuten können
||[[Lineare Ungleichungen mit 2 Variablen | Theorie]]
||[[Lineare Ungleichungen mit 2 Variablen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 2.5
||lineare Gleichungssysteme in zwei Variablen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen, über Lösungsfälle Bescheid wissen, Lösungen und Lösungsfälle (auch geometrisch) deuten können
||[[Gleichungssysteme | Theorie]]
||[[Gleichungssysteme #Interaktives Quiz| Beispiele]]
|}
Anmerkungen: Einfache Terme können auch Potenzen, Wurzeln, Logarithmen, Sinus etc. beinhalten. Mit dem Einsatz elektronischer Hilfsmittel können auch komplexere Umformungen von Termen, Formeln und Gleichungen, Ungleichungen und Gleichungssystemen durchgeführt werden. 

===Vektoren===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AG 3.1
||Vektoren als Zahlentupel verständig einsetzen und im Kontext deuten können
||[[Vektorrechnung | Theorie]]
||[[Vektorrechnung #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 3.2
||Vektoren geometrisch (als Punkte bzw. Pfeile) deuten und verständig einsetzen können
||[[Vektorrechnung | Theorie]]
||[[Vektorrechnung #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 3.3
||Definition der Rechenoperationen mit Vektoren (Addition, Multiplikation mit einem Skalar, Skalarmultiplikation) kennen, Rechenoperationen verständig einsetzen und (auch geometrisch) deuten können
||[[Vektorrechnung | Theorie]]
||[[Vektorrechnung #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 3.4
||Geraden durch (Parameter-)Gleichungen in $ℝ^2$ und $ℝ^3$ angeben können; Geradengleichungen interpretieren können; Lagebeziehungen (zwischen Geraden und zwischen Punkt und Gerade) analysieren, Schnittpunkte ermitteln können
||[[Vektorrechnung | Theorie]]
||[[Vektorrechnung #Beispiele| Beispiele]]
|-
||AG 3.5
||Normalvektoren in $ℝ^2$ aufstellen, verständig einsetzen und interpretieren können
||[[Vektorrechnung | Theorie]]
||[[Vektorrechnung #Beispiele | Beispiele]]
|}
Anmerkungen: Vektoren sind als Zahlentupel, also als algebraische Objekte, zu verstehen und in entsprechenden Kontexten ver-ständig einzusetzen. Punkte und Pfeile in der Ebene und im Raum müssen als geometrische Veranschaulichung dieser algebraischen Objekte interpretiert werden können. Die geometrische Deutung der Skalarmultiplikation (in $ℝ^2$ und $ℝ^3$) meint hier nur den Spezialfall $a\cdot b= 0$. Geraden sollen in Parameterform, in $ℝ^2$ auch in parameterfreier Form, angegeben und interpretiert werden können. 

===Trigonometrie===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AG 4.1
||Definitionen von ''Sinus'', ''Cosinus'' und ''Tangens'' im rechtwinkeligen Dreieck kennen und zur Auflösung rechtwinkeliger Dreiecke einsetzen können
||[[Trigonometrie | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|-
||AG 4.2
||Definitionen von ''Sinus'' und ''Cosinus'' für Winkel größer als $90°$ kennen und einsetzen können
||[[Trigonometrie | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|}
Anmerkungen: Die Kontexte beschränken sich auf einfache Fälle in der Ebene und im Raum, komplexe (Vermessungs-)Aufgaben sind hier nicht gemeint; Sinus- und Cosinussatz werden dabei nicht benötigt.
 
 

==Funktionale Abhängigkeiten==
===Funktionsbegriff, reelle Funktionen, Darstellungsformen und Eigenschaften===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||FA 1.1
||für gegebene Zusammenhänge entscheiden können, ob man sie als Funktionen betrachten kann
||[[Funktionen | Theorie]]
||[[Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 1.2
||Formeln als Darstellung von Funktionen interpretieren und dem Funktionstyp zuordnen können
||[[Funktionen_in_mehreren_Unbekannten| Theorie]]
||[[Funktionen_in_mehreren_Unbekannten #Beispielaufgaben + Interaktives Quiz| Beispiele]]
|-
||FA 1.3
||zwischen tabellarischen und grafischen Darstellungen funktionaler Zusammenhänge wechseln können
||[[Funktionen | Theorie]]
||[[Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 1.4
||aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Funktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können
||[[Funktionen | Theorie]]
||[[Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 1.5
||Eigenschaften von Funktionen erkennen, benennen, im Kontext deuten und zum Erstellen von Funktionsgraphen einsetzen können: Monotonie, Monotoniewechsel (lokale Extrema), Wendepunkte, Periodizität, Achsensymmetrie, asymptotisches Verhalten, Schnittpunkte mit den Achsen
||[[Funktionen | Theorie]]
||[[Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 1.6
||Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen grafisch und rechnerisch ermitteln und im Kontext interpretieren können
||[[Schnittpunkt zweier Funktionen | Theorie]]
||[[Schnittpunkt zweier Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 1.7
||Funktionen als mathematische Modelle verstehen und damit verständig arbeiten können
||[[mathematische Modelle | Theorie]]
||[[mathematische Modelle #Funktionen als mathematische Modelle (FA 1.7)| Beispiele]]
|-
||FA 1.8
||durch Gleichungen (Formeln) gegebene Funktionen mit mehreren Veränderlichen im Kontext deuten können, Funktionswerte ermitteln können
||[[Funktionen in mehreren Unbekannten | Theorie]]
||[[Funktionen in mehreren Unbekannten #Beispielaufgaben + Interaktives Quiz | Beispiele]]
|-
||FA 1.9
||einen Überblick über die wichtigsten (unten angeführten) Typen mathematischer Funktionen geben, ihre Eigenschaften vergleichen können
||[[Funktionen | Theorie]]
||[[Funktionen #Funktionstypen und deren Eigenschaften (FA 1.9) | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Auf eine sichere Unterscheidung zwischen funktionalen und nichtfunktionalen Zusammenhängen wird Wert gelegt,auf theoretisch bedeutsame Eigenschaften (z. B. Injektivität, Surjektivität, Umkehrbarkeit)wird aber nicht fokussiert. Im Vordergrund steht die Rolle von Funktionen als Modelle und die verständige Nutzung grundlegender Funktionstypen und deren Eigenschaften sowie der verschiedenen Darstellungsformen von Funktionen (auch $f:A→B$, $x↦f(x)$ ).
Die Bearbeitung von Funktionen mit mehreren Veränderlichen beschränkt sich auf die Interpretation der Funktionsgleichung im jeweiligen Kontext sowie auf die Ermittlung von Funktionswerten.
Der Verlauf von Funktionen soll nicht nur mathematisch beschrieben, sondern auch im jeweiligen Kontext gedeutet werden können.
 

===Lineare Funktion $f(x)=k\cdot x+d$===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||FA 2.1
||verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene lineare Zusammenhänge als lineare Funktionen erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können
||[[Lineare Funktionen| Theorie]]
||[[Lineare Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 2.2
||aus Tabellen, Graphen und Gleichungen linearer Funktionen Werte(paare) sowie die Parameter $k$ und $d$ ermitteln und im Kontext deuten können
||[[Lineare Funktionen | Theorie]]
||[[Lineare Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 2.3
||die Wirkung der Parameter $k$ und $d$ kennen und die Parameter in unterschiedlichen Kontexten deuten können
||[[Lineare Funktionen| Theorie]]
||[[Lineare Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 2.4
||charakteristische Eigenschaften kennen und im Kontext deuten können: $f(x+1)=f(x)+k; \frac {f(x_2)-f(x_1)} {x_2-x_1}=k=f'(x)$
||[[Lineare Funktionen | Theorie]]
||[[Lineare Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 2.5
||die Angemessenheit einer Beschreibung mittels linearer Funktion bewerten können
||[[Lineare Funktionen | Theorie]]
||[[Lineare Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 2.6
||direkte Proportionalität als lineare Funktion vom Typ $f(x)=k\cdot x$ beschreiben können

||[[Lineare Funktionen | Theorie]]
||[[Lineare Funktionen #Beispiele| Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Die Parameter $k$ und $d$ sollen sowohl für konkrete Werte als auch allgemein im jeweiligen Kontext interpretiert werden können. Entsprechendes gilt für die Wirkung der Parameter und deren Änderung.
 
 

===Potenzfunktion $f(x)=a\cdot x^z+b$, $z\in \mathbb{Z}$ oder mit $f(x)=a \cdot x^{ \frac{1}{2} }+b$===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||FA 3.1
||verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene Zusammenhänge dieser Art als entsprechende Potenzfunktionen erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können
||[[Potenzfunktionen | Theorie]]
||[[Potenzfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 3.2
||aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Potenzfunktionen Werte(paare) sowie die Parameter $a$ und $b$ ermitteln und im Kontext deuten können
||[[Potenzfunktionen | Theorie]]
||[[Potenzfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 3.3
||die Wirkung der Parameter $a$ und $b$ kennen und die Parameter im Kontext deuten können
||[[Potenzfunktionen | Theorie]]
||[[Potenzfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 3.4
||indirekte Proportionalität als Potenzfunktion vom Typ $f(x)=\frac {a} {x}$ (bzw. $f(x)=a\cdot x^{–1}$) beschreiben können
||[[indirekte Proportion | Theorie]]
||[[Potenzfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Wurzelfunktionen bleiben auf den quadratischen Fall $a\cdot x^\frac {1} {2}+b$ beschränkt.
 
 

===Polynomfunktion $f(x)=\sum_{i=0}^{n} a_i \cdot x^i$ mit $n \in ℕ$===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||FA 4.1
||typische Verläufe von Graphen in Abhängigkeit vom Grad der Polynomfunktion (er)kennen
||[[Polynomfunktionen | Theorie]]
||[[Polynomfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 4.2
||zwischen tabellarischen und grafischen Darstellungen von Zusammenhängen dieser Art wechseln können
||[[Polynomfunktionen | Theorie]]
||[[Polynomfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 4.3
||aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Polynomfunktionen Funktionswerte, aus Tabellen und Graphen sowie aus einer quadratischen Funktionsgleichung Argumentwerte ermitteln können
||[[Polynomfunktionen | Theorie]]
||[[Polynomfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 4.4
||den Zusammenhang zwischen dem Grad der Polynomfunktion und der Anzahl der Null- ,Extrem- und Wendestellen wissen
||[[Polynomfunktionen | Theorie]]
||[[Polynomfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Der Zusammenhang zwischen dem Grad der Polynomfunktion und der Anzahl der Null-, Extrem- und Wendestellen sollte für beliebige $n$ bekannt sein, konkrete Aufgabenstellungen beschränken sich auf Polynomfunktionen mit $n\le4$. Mithilfe elektronischer Hilfsmittel können Argumentwerte auch für Polynomfunktionen höheren Grades ermittelt werden.
 

===Exponentialfunktion $f(x)=a\cdot b^x$ bzw. $f(x)=a\cdot e^{\lambda \cdot x}$ mit $a,b \in ℝ^+$, $\lambda \in ℝ$===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||FA 5.1
||verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene exponentielle Zusammenhänge als Exponentialfunktion erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können
||[[Exponentialfunktionen | Theorie]]
||[[Exponentialfunktionen #Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung| Beispiele]]
|-
||FA 5.2
||aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Exponentialfunktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können
||[[Exponentialfunktionen | Theorie]]
||[[Exponentialfunktionen #Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung| Beispiele]]
|-
||FA 5.3
||die Wirkung der Parameter $a$ und $b$ (bzw. $e^\lambda$) kennen und die Parameter in unterschiedlichen Kontexten deuten können
||[[Exponentialfunktionen | Theorie]]
||[[Exponentialfunktionen #Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung| Beispiele]]
|-
||FA 5.4
||charakteristische Eigenschaften $(f(x +1)= b\cdot f(x); [e^x]'=e^x)$ kennen und im Kontext deuten können
||[[Exponentialfunktionen | Theorie]]
||[[Exponentialfunktionen #Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung | Beispiele]]
|-
||FA 5.5
||die Begriffe ''Halbwertszeit'' und ''Verdoppelungszeit'' kennen, die entsprechenden Werte berechnen und im Kontext deuten können
||[[Exponentialfunktionen | Theorie]]
||[[Exponentialfunktionen #Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung | Beispiele]]
|-
||FA 5.6
||die Angemessenheit einer Beschreibung mittels Exponentialfunktion bewerten können
||[[Exponentialfunktionen | Theorie]]
||[[Exponentialfunktionen #Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Die Parameter $a$ und $b$ (bzw. $e^{\lambda}$) sollen sowohl für konkrete Werte als auch allgemein im jeweiligen Kontext interpretiert werden können. Entsprechendes gilt für die Wirkung der Parameter und deren Änderung.
 
 

===Sinusfunktion, Cosinusfunktion===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||FA 6.1
||grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene Zusammenhänge der Art $f(x)=a\cdot sin(b\cdot x)$ als allgemeine Sinusfunktion erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können
||[[Trigonometrie #Trigonometrische Funktionen| Theorie]]
||[[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 6.2
||aus Graphen und Gleichungen von allgemeinen Sinusfunktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können
||[[Trigonometrie #Trigonometrische Funktionen | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 6.3
||die Wirkung der Parameter $a$ und $b$ kennen und die Parameter im Kontext deuten können
||[[Trigonometrie #Trigonometrische Funktionen | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 6.4
||Periodizität als charakteristische Eigenschaft kennen und im Kontext deuten können
||[[Trigonometrie #Trigonometrische Funktionen | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 6.5
||wissen, dass $cos(x)= sin(x + \frac {\pi} {2})$
||[[Trigonometrie #Trigonometrische Funktionen | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 6.6
||wissen, dass gilt: $[sin(x)]'=cos(x), [cos(x)]'=-sin(x)$
||[[Differenzen- und Differentialquotient | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Während zur Auflösung von rechtwinkeligen Dreiecken Sinus, Cosinus und
Tangens verwendet werden, beschränkt sich die funktionale Betrachtung (weitgehend) auf die allgemeine Sinusfunktion. Wesentlich dabei sind die Interpretation der Parameter (im Graphen wie auch in entsprechenden Kontexten) sowie der Verlauf des Funktionsgraphen und die Periodizität.
 
 

==Analysis==
===Änderungsmaße===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AN 1.1.
||absolute und relative (prozentuelle) Änderungsmaße unterscheiden und angemessen verwenden können
||[[Änderungsmaße| Theorie]]
||[[Änderungsmaße #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AN 1.2.
||den Zusammenhang ''Differenzenquotient (mittlere Änderungsrate) – Differenzialquotient (momentane Änderungsrate)'' auf der Grundlage eines intuitiven Grenzwertbegriffes kennen und damit (verbal sowie in formaler Schreibweise) auch kontextbezogen anwenden können
||[[Differenzen- und Differentialquotient | Theorie]]
||[[Differenzen- und Differentialquotient #Maturabeispiele| Beispiele]]
|-
||AN 1.3.
||den Differenzen- und Differenzialquotienten in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverhalte durch den Differenzen- bzw. Differenzialquotienten beschreiben können
||[[Differenzen- und Differentialquotient|Theorie]]
||[[Differenzen-_und_Differentialquotient #Maturabeispiele| Beispiele]]
|-
||AN 1.4.
||das systemdynamische Verhalten von Größen durch Differenzengleichungen beschreiben bzw. diese im Kontext deuten können
||[[Differenzengleichungen | Theorie]]
||[[Differenzengleichungen #Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Der Fokus liegt auf dem Darstellen von Änderungen durch Differenzen von Funktionswerten, durch prozentuelle Veränderungen, durch Differenzenquotienten und durch Differenzialquotienten, ganz besonders aber auch auf der Interpretation dieser Veränderungsmaße im jeweiligen Kontext. Durch den Einsatz elektronischer Hilfsmittel ist auch die Berechnung von Differenzen- und Differenzialquotienten beliebiger (differenzierbarer) Funktionen möglich.
 
 

===Regeln für das Differenzieren===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AN 2.1.
||einfache Regeln des Differenzierens kennen und anwenden können: Potenzregel, Summenregel, Regeln für $[k \cdot f(x)]′$ und $[f(k \cdot x)]′$ (vgl. Inhaltsbereich ''Funktionale Abhängigkeiten'')
||[[Inhalt:Differenzieren: Rechnerisches Bestimmen von f'| Theorie]]
||[[Inhalt:Differenzieren: Rechnerisches Bestimmen von f' #Interaktives Quiz - Einfache Regeln des Differenzierens (AN 2.1)| Beispiele]]
|}
 

===Ableitungsfunktion/Stammfunktion===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AN 3.1.
||den Begriff ''Ableitungsfunktion/Stammfunktion'' kennen und zur Beschreibung von Funktionen einsetzen können
||[[Integration| Theorie]]
||[[Integration#Beispiele | Beispiele]]
|-
||AN 3.2.
||den Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitungsfunktion (bzw. Funktion und Stammfunktion) in deren grafischer Darstellung (er)kennen und beschreiben können
||[[Ableitung bestimmen| Theorie]]
||[[Ableitung bestimmen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AN 3.3.
||Eigenschaften von Funktionen mithilfe der Ableitung(sfunktion) beschreiben können: Monotonie, lokale Extrema, Links- und Rechtskrümmung, Wendestellen
||[[Kurvendiskussionen #Grundwissen über f(x), f'(x) und f''(x)| Theorie]]
||[[Kurvendiskussionen #Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Der Begriff der ''Ableitung(sfunktion)'' soll verständig und zweckmäßig zur Beschreibung von Funktionen eingesetzt werden. Durch den Einsatz elektronischer Hilfsmittel ist das Ableiten von Funktionen nicht durch die in den Grundkompetenzen angeführten Differenziationsregeln eingeschränkt.
 

===Summation und Integral===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AN 4.1.
||den Begriff des bestimmten Integrals als Grenzwert einer Summe von Produkten deuten und beschreiben können
||[[Integration| Theorie]]
||[[Integration #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AN 4.2.
||einfache Regeln des Integrierens kennen und anwenden können: Potenzregel, Summenregel, $\int k\cdot f(x)\,dx$, $\int f(k\cdot x)\,dx$ (vgl. Inhaltsbereich ''Funktionale Abhängigkeiten''), bestimmte Integrale von Polynomfunktionen ermitteln können
||[[Integration| Theorie]]
||[[Integration #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AN 4.3.
||das bestimmte Integral in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverhalte durch Integrale beschreiben können
||[[Integration| Theorie]]
||[[Integration #Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Analog zum Differenzialquotienten liegt der Fokus beim bestimmten Integral auf der Beschreibung entsprechender Sachverhalte durch bestimmte Integrale sowie vor allem auf der angemessenen Interpretation des bestimmten Integrals im jeweiligen Kontext. Durch den Einsatz elektronischer Hilfsmittel ist die Berechnung von bestimmten Integralen nicht durch die in den Grundkompetenzen angeführten Integrationsregeln eingeschränkt.
 

==Wahrscheinlichkeit und Statistik==
===Beschreibende Statistik===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||WS 1.1
||Werte aus tabellarischen und elementaren grafischen Darstellungen ablesen (bzw. zusammengesetzte Werte ermitteln) und im jeweiligen Kontext angemessen interpretieren können
||[[Statistik:Daten und Diagramme| Theorie]]
||[[Beschreibende Statistik #Beispiele| Beispiele]]
|}

Anmerkungen: (Un-)geordnete Liste, Strichliste, Piktogramm, Säulen-, Balken-, Linien-, Stängel-Blatt-, Punktwolkendiagramm, Histogramm (als Spezialfall eines Säulendiagramms), Prozentstreifen, Kastenschaubild (Boxplot)
 

{| border="1"
|-
||WS 1.2$\ \ \ \ \ \ \ $
||Tabellen und einfache statistische Grafiken erstellen, zwischen Darstellungsformen wechseln können

||[[Beschreibende_Statistik#tab=Zentralma_C3_9Fe_-_statistische_Kennzahlen_f_C3_BCr_das_Mittel| Theorie]]
||[[Beschreibende Statistik #Beispiele| Beispiele]]
|-
||WS 1.3
||statistische Kennzahlen (absolute und relative Häufigkeiten; arithmetisches Mittel, Median, Modus, Quartile, Spannweite, empirische Varianz/Standardabweichung) im jeweiligen Kontext interpretieren können; die angeführten Kennzahlen für einfache Datensätze ermitteln können

||[[Beschreibende Statistik| Theorie]]
||[[Beschreibende Statistik #Beispiele| Beispiele]]
|-
||WS 1.4
||Definition und wichtige Eigenschaften des arithmetischen Mittels und des Medians angeben und nutzen, Quartile ermitteln und interpretieren können, die Entscheidung für die Verwendung einer bestimmten Kennzahl begründen können

||[[Beschreibende Statistik| Theorie]]
||[[Beschreibende Statistik #Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Wenn auch statistische Kennzahlen (für einfache Datensätze) ermittelt und elementare statistische Grafiken erstellt werden sollen, liegt das Hauptaugenmerk auf verständigen Interpretationen von Grafiken (unter Beachtung von Manipulationen) und Kennzahlen. Speziell für das arithmetische Mittel und den Median (auch als Quartile) müssen die wichtigsten Eigenschaften (definitorische Eigenschaften, Datentyp-Verträglichkeit, Ausreißerempfindlichkeit) gekannt und verständig eingesetzt bzw. berücksichtigt werden. Beim arithmetischen Mittel sind allenfalls erforderliche Gewichtungen zu beachten („gewogenes arithmetisches Mittel“) und zu nutzen (Bildung des arithmetischen Mittels aus arithmetischen Mitteln von Teilmengen).
 
 

===Wahrscheinlichkeitsrechnung===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||WS 2.1
||Grundraum und Ereignisse in angemessenen Situationen verbal beziehungsweise formal angeben können
||[[Wahrscheinlichkeit: Grundlagen| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]
|-
||WS 2.2
||relative Häufigkeit als Schätzwert von Wahrscheinlichkeit verwenden und anwenden können

||[[Wahrscheinlichkeit: Grundlagen| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Normalverteilung und Stetige Zufallsvariablen#Beispiele | Beispiele]]
|-
||WS 2.3
||Wahrscheinlichkeit unter der Verwendung der Laplace-Annahme (Laplace-Wahrscheinlichkeit) berechnen und interpretieren können, Additionsregel und Multiplikationsregel anwenden und interpretieren können

||[[Wahrscheinlichkeit: Grundlagen| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]
|-
||WS 2.4
||Binomialkoeffizient berechnen und interpretieren können

||[[Binomialkoeffizient| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]

|}

Anmerkungen: Die Multiplikationsregel kann unter Verwendung der kombinatorischen Grundlagen und der Anwendung der Laplace-Regel (auch) umgangen werden.
 
 

===Wahrscheinlichkeitsverteilungen===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||WS 3.1
||die Begriffe ''Zufallsvariable'', ''(Wahrscheinlichkeits-)Verteilung'', ''Erwartungswert'' und ''Standardabweichung'' verständig deuten und einsetzen können

||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]

|-
||WS 3.2
||Binomialverteilung als Modell einer diskreten Verteilung kennen – Erwartungswert sowie Varianz/Standardabweichung binomialverteilter Zufallsgrößen ermitteln können, Wahrscheinlichkeitsverteilung binomialverteilter Zufallsgrößen angeben können, Arbeiten mit der Binomialverteilung in anwendungsorientierten Bereichen

||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]

|-
||WS 3.3
||Situationen erkennen und beschreiben können, in denen mit Binomialverteilung modelliert werden kann

||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]
|-
||WS 3.4
||Normalapproximation der Binomialverteilung interpretieren und anwenden können

||[[Wahrscheinlichkeit: Normalverteilung und Stetige Zufallsvariablen| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Normalverteilung und Stetige Zufallsvariablen#Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Kennen und Anwenden der Faustregel, dass die Normalapproximation der Binomialverteilung mit den Parametern $n$ und $p$ dann anzuwenden ist und gute Näherungswerte liefert, wenn die Bedingung $n\cdot p \cdot (1–p)\geq 9 $ erfüllt ist. Die Anwendung der Stetigkeitskorrektur ist nicht notwendig und daher für Berechnungen im Zuge von Prüfungsbeispielen vernachlässigbar. Kennen des Verlaufs der Dichtefunktion $φ$ der Standardnormalverteilung mit Erwartungswert $\mu$ und Standardabweichung $\sigma$. Arbeiten mit der Verteilungsfunktion $Φ$ der Standardnormalverteilung und korrektes Ablesen der entsprechenden Wert.
 
 

===Schließende/Beurteilende Statistik===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||WS 4.1
||Konfidenzintervalle als Schätzung für eine Wahrscheinlichkeit oder einen unbekannten Anteil interpretieren (frequentistische Deutung) und verwenden können, Berechnungen auf Basis der Binomialverteilung oder einer durch die Normalverteilung approximierten Binomialverteilung durchführen können

||[[Konfidenzintervall| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]
|}

Grundkompetenzen AHS

2020-04-11T13:33:22Z

PeterLamp: /* Beschreibende Statistik */

Die folgenden Tabellen listen alle Grundkompetenzen für die AHS auf.

Die Grundkompetenzen sind in insgesamt $4$ Inhaltsbereiche gegliedert:

==Algebra und Geometrie==
===Grundbegriffe der Algebra===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AG 1.1
||Wissen über die Zahlenmengen $ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, ℂ$ verständig einsetzen können
||[[Zahlenmengen | Theorie]]
||[[Zahlenmengen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 1.2
||Wissen über algebraische Begriffe angemessen einsetzen können: Variable, Terme, Formeln, (Un-)Gleichungen, Gleichungssysteme, Äquivalenz, Umformungen, Lösbarkeit
||[[Algebraische Begriffe | Theorie]]
||[[Quiz #Algebraische Grundbegriffe (AG 1.2) | Beispiele]]
|}
Anmerkungen: Bei den Zahlenmengen soll man die Mengenbezeichnungen und die Teilmengenbeziehungen kennen, Elemente angeben sowie zuordnen können und die reellen Zahlen als Grundlage kontinuierlicher Modelle kennen. Zum Wissen über die reellen Zahlen gehört auch, dass es Zahlenbereiche gibt, die über $ℝ$ hinausgehen. Die algebraischen Begriffe soll man anhand von einfachen Beispielen beschreiben/erklären und verständig verwenden können. 

===(Un-)Gleichungen und Gleichungssysteme===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AG 2.1
||einfache Terme und Formeln aufstellen, umformen und im Kontext deuten können
||[[Terme und Formeln| Theorie]]
||[[Formeln #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 2.2
||lineare Gleichungen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen und die Lösung im Kontext deuten können
||[[lineare Gleichungen mit einer Variablen | Theorie]]
||[[lineare Gleichungen mit einer Variablen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 2.3
||quadratische Gleichungen in einer Variablen umformen/lösen, über Lösungsfälle Bescheid wissen, Lösungen und Lösungsfälle (auch geometrisch) deuten können
||[[Quadratische Gleichungen | Theorie]]
||[[Quadratische Gleichungen #Interaktives Quiz| Beispiele]]
|-
||AG 2.4
||lineare Ungleichungen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen, Lösungen (auch geometrisch) deuten können
||[[Lineare Ungleichungen mit 2 Variablen | Theorie]]
||[[Lineare Ungleichungen mit 2 Variablen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 2.5
||lineare Gleichungssysteme in zwei Variablen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen, über Lösungsfälle Bescheid wissen, Lösungen und Lösungsfälle (auch geometrisch) deuten können
||[[Gleichungssysteme | Theorie]]
||[[Gleichungssysteme #Interaktives Quiz| Beispiele]]
|}
Anmerkungen: Einfache Terme können auch Potenzen, Wurzeln, Logarithmen, Sinus etc. beinhalten. Mit dem Einsatz elektronischer Hilfsmittel können auch komplexere Umformungen von Termen, Formeln und Gleichungen, Ungleichungen und Gleichungssystemen durchgeführt werden. 

===Vektoren===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AG 3.1
||Vektoren als Zahlentupel verständig einsetzen und im Kontext deuten können
||[[Vektorrechnung | Theorie]]
||[[Vektorrechnung #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 3.2
||Vektoren geometrisch (als Punkte bzw. Pfeile) deuten und verständig einsetzen können
||[[Vektorrechnung | Theorie]]
||[[Vektorrechnung #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 3.3
||Definition der Rechenoperationen mit Vektoren (Addition, Multiplikation mit einem Skalar, Skalarmultiplikation) kennen, Rechenoperationen verständig einsetzen und (auch geometrisch) deuten können
||[[Vektorrechnung | Theorie]]
||[[Vektorrechnung #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 3.4
||Geraden durch (Parameter-)Gleichungen in $ℝ^2$ und $ℝ^3$ angeben können; Geradengleichungen interpretieren können; Lagebeziehungen (zwischen Geraden und zwischen Punkt und Gerade) analysieren, Schnittpunkte ermitteln können
||[[Vektorrechnung | Theorie]]
||[[Vektorrechnung #Beispiele| Beispiele]]
|-
||AG 3.5
||Normalvektoren in $ℝ^2$ aufstellen, verständig einsetzen und interpretieren können
||[[Vektorrechnung | Theorie]]
||[[Vektorrechnung #Beispiele | Beispiele]]
|}
Anmerkungen: Vektoren sind als Zahlentupel, also als algebraische Objekte, zu verstehen und in entsprechenden Kontexten ver-ständig einzusetzen. Punkte und Pfeile in der Ebene und im Raum müssen als geometrische Veranschaulichung dieser algebraischen Objekte interpretiert werden können. Die geometrische Deutung der Skalarmultiplikation (in $ℝ^2$ und $ℝ^3$) meint hier nur den Spezialfall $a\cdot b= 0$. Geraden sollen in Parameterform, in $ℝ^2$ auch in parameterfreier Form, angegeben und interpretiert werden können. 

===Trigonometrie===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AG 4.1
||Definitionen von ''Sinus'', ''Cosinus'' und ''Tangens'' im rechtwinkeligen Dreieck kennen und zur Auflösung rechtwinkeliger Dreiecke einsetzen können
||[[Trigonometrie | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|-
||AG 4.2
||Definitionen von ''Sinus'' und ''Cosinus'' für Winkel größer als $90°$ kennen und einsetzen können
||[[Trigonometrie | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|}
Anmerkungen: Die Kontexte beschränken sich auf einfache Fälle in der Ebene und im Raum, komplexe (Vermessungs-)Aufgaben sind hier nicht gemeint; Sinus- und Cosinussatz werden dabei nicht benötigt.
 
 

==Funktionale Abhängigkeiten==
===Funktionsbegriff, reelle Funktionen, Darstellungsformen und Eigenschaften===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||FA 1.1
||für gegebene Zusammenhänge entscheiden können, ob man sie als Funktionen betrachten kann
||[[Funktionen | Theorie]]
||[[Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 1.2
||Formeln als Darstellung von Funktionen interpretieren und dem Funktionstyp zuordnen können
||[[Funktionen_in_mehreren_Unbekannten| Theorie]]
||[[Funktionen_in_mehreren_Unbekannten #Beispielaufgaben + Interaktives Quiz| Beispiele]]
|-
||FA 1.3
||zwischen tabellarischen und grafischen Darstellungen funktionaler Zusammenhänge wechseln können
||[[Funktionen | Theorie]]
||[[Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 1.4
||aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Funktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können
||[[Funktionen | Theorie]]
||[[Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 1.5
||Eigenschaften von Funktionen erkennen, benennen, im Kontext deuten und zum Erstellen von Funktionsgraphen einsetzen können: Monotonie, Monotoniewechsel (lokale Extrema), Wendepunkte, Periodizität, Achsensymmetrie, asymptotisches Verhalten, Schnittpunkte mit den Achsen
||[[Funktionen | Theorie]]
||[[Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 1.6
||Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen grafisch und rechnerisch ermitteln und im Kontext interpretieren können
||[[Schnittpunkt zweier Funktionen | Theorie]]
||[[Schnittpunkt zweier Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 1.7
||Funktionen als mathematische Modelle verstehen und damit verständig arbeiten können
||[[mathematische Modelle | Theorie]]
||[[mathematische Modelle #Funktionen als mathematische Modelle (FA 1.7)| Beispiele]]
|-
||FA 1.8
||durch Gleichungen (Formeln) gegebene Funktionen mit mehreren Veränderlichen im Kontext deuten können, Funktionswerte ermitteln können
||[[Funktionen in mehreren Unbekannten | Theorie]]
||[[Funktionen in mehreren Unbekannten #Beispielaufgaben + Interaktives Quiz | Beispiele]]
|-
||FA 1.9
||einen Überblick über die wichtigsten (unten angeführten) Typen mathematischer Funktionen geben, ihre Eigenschaften vergleichen können
||[[Funktionen | Theorie]]
||[[Funktionen #Funktionstypen und deren Eigenschaften (FA 1.9) | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Auf eine sichere Unterscheidung zwischen funktionalen und nichtfunktionalen Zusammenhängen wird Wert gelegt,auf theoretisch bedeutsame Eigenschaften (z. B. Injektivität, Surjektivität, Umkehrbarkeit)wird aber nicht fokussiert. Im Vordergrund steht die Rolle von Funktionen als Modelle und die verständige Nutzung grundlegender Funktionstypen und deren Eigenschaften sowie der verschiedenen Darstellungsformen von Funktionen (auch $f:A→B$, $x↦f(x)$ ).
Die Bearbeitung von Funktionen mit mehreren Veränderlichen beschränkt sich auf die Interpretation der Funktionsgleichung im jeweiligen Kontext sowie auf die Ermittlung von Funktionswerten.
Der Verlauf von Funktionen soll nicht nur mathematisch beschrieben, sondern auch im jeweiligen Kontext gedeutet werden können.
 

===Lineare Funktion $f(x)=k\cdot x+d$===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||FA 2.1
||verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene lineare Zusammenhänge als lineare Funktionen erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können
||[[Lineare Funktionen| Theorie]]
||[[Lineare Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 2.2
||aus Tabellen, Graphen und Gleichungen linearer Funktionen Werte(paare) sowie die Parameter $k$ und $d$ ermitteln und im Kontext deuten können
||[[Lineare Funktionen | Theorie]]
||[[Lineare Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 2.3
||die Wirkung der Parameter $k$ und $d$ kennen und die Parameter in unterschiedlichen Kontexten deuten können
||[[Lineare Funktionen| Theorie]]
||[[Lineare Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 2.4
||charakteristische Eigenschaften kennen und im Kontext deuten können: $f(x+1)=f(x)+k; \frac {f(x_2)-f(x_1)} {x_2-x_1}=k=f'(x)$
||[[Lineare Funktionen | Theorie]]
||[[Lineare Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 2.5
||die Angemessenheit einer Beschreibung mittels linearer Funktion bewerten können
||[[Lineare Funktionen | Theorie]]
||[[Lineare Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 2.6
||direkte Proportionalität als lineare Funktion vom Typ $f(x)=k\cdot x$ beschreiben können

||[[Lineare Funktionen | Theorie]]
||[[Lineare Funktionen #Beispiele| Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Die Parameter $k$ und $d$ sollen sowohl für konkrete Werte als auch allgemein im jeweiligen Kontext interpretiert werden können. Entsprechendes gilt für die Wirkung der Parameter und deren Änderung.
 
 

===Potenzfunktion $f(x)=a\cdot x^z+b$, $z\in \mathbb{Z}$ oder mit $f(x)=a \cdot x^{ \frac{1}{2} }+b$===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||FA 3.1
||verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene Zusammenhänge dieser Art als entsprechende Potenzfunktionen erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können
||[[Potenzfunktionen | Theorie]]
||[[Potenzfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 3.2
||aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Potenzfunktionen Werte(paare) sowie die Parameter $a$ und $b$ ermitteln und im Kontext deuten können
||[[Potenzfunktionen | Theorie]]
||[[Potenzfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 3.3
||die Wirkung der Parameter $a$ und $b$ kennen und die Parameter im Kontext deuten können
||[[Potenzfunktionen | Theorie]]
||[[Potenzfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 3.4
||indirekte Proportionalität als Potenzfunktion vom Typ $f(x)=\frac {a} {x}$ (bzw. $f(x)=a\cdot x^{–1}$) beschreiben können
||[[indirekte Proportion | Theorie]]
||[[Potenzfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Wurzelfunktionen bleiben auf den quadratischen Fall $a\cdot x^\frac {1} {2}+b$ beschränkt.
 
 

===Polynomfunktion $f(x)=\sum_{i=0}^{n} a_i \cdot x^i$ mit $n \in ℕ$===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||FA 4.1
||typische Verläufe von Graphen in Abhängigkeit vom Grad der Polynomfunktion (er)kennen
||[[Polynomfunktionen | Theorie]]
||[[Polynomfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 4.2
||zwischen tabellarischen und grafischen Darstellungen von Zusammenhängen dieser Art wechseln können
||[[Polynomfunktionen | Theorie]]
||[[Polynomfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 4.3
||aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Polynomfunktionen Funktionswerte, aus Tabellen und Graphen sowie aus einer quadratischen Funktionsgleichung Argumentwerte ermitteln können
||[[Polynomfunktionen | Theorie]]
||[[Polynomfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 4.4
||den Zusammenhang zwischen dem Grad der Polynomfunktion und der Anzahl der Null- ,Extrem- und Wendestellen wissen
||[[Polynomfunktionen | Theorie]]
||[[Polynomfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Der Zusammenhang zwischen dem Grad der Polynomfunktion und der Anzahl der Null-, Extrem- und Wendestellen sollte für beliebige $n$ bekannt sein, konkrete Aufgabenstellungen beschränken sich auf Polynomfunktionen mit $n\le4$. Mithilfe elektronischer Hilfsmittel können Argumentwerte auch für Polynomfunktionen höheren Grades ermittelt werden.
 

===Exponentialfunktion $f(x)=a\cdot b^x$ bzw. $f(x)=a\cdot e^{\lambda \cdot x}$ mit $a,b \in ℝ^+$, $\lambda \in ℝ$===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||FA 5.1
||verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene exponentielle Zusammenhänge als Exponentialfunktion erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können
||[[Exponentialfunktionen | Theorie]]
||[[Exponentialfunktionen #Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung| Beispiele]]
|-
||FA 5.2
||aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Exponentialfunktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können
||[[Exponentialfunktionen | Theorie]]
||[[Exponentialfunktionen #Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung| Beispiele]]
|-
||FA 5.3
||die Wirkung der Parameter $a$ und $b$ (bzw. $e^\lambda$) kennen und die Parameter in unterschiedlichen Kontexten deuten können
||[[Exponentialfunktionen | Theorie]]
||[[Exponentialfunktionen #Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung| Beispiele]]
|-
||FA 5.4
||charakteristische Eigenschaften $(f(x +1)= b\cdot f(x); [e^x]'=e^x)$ kennen und im Kontext deuten können
||[[Exponentialfunktionen | Theorie]]
||[[Exponentialfunktionen #Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung | Beispiele]]
|-
||FA 5.5
||die Begriffe ''Halbwertszeit'' und ''Verdoppelungszeit'' kennen, die entsprechenden Werte berechnen und im Kontext deuten können
||[[Exponentialfunktionen | Theorie]]
||[[Exponentialfunktionen #Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung | Beispiele]]
|-
||FA 5.6
||die Angemessenheit einer Beschreibung mittels Exponentialfunktion bewerten können
||[[Exponentialfunktionen | Theorie]]
||[[Exponentialfunktionen #Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Die Parameter $a$ und $b$ (bzw. $e^{\lambda}$) sollen sowohl für konkrete Werte als auch allgemein im jeweiligen Kontext interpretiert werden können. Entsprechendes gilt für die Wirkung der Parameter und deren Änderung.
 
 

===Sinusfunktion, Cosinusfunktion===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||FA 6.1
||grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene Zusammenhänge der Art $f(x)=a\cdot sin(b\cdot x)$ als allgemeine Sinusfunktion erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können
||[[Trigonometrie #Trigonometrische Funktionen| Theorie]]
||[[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 6.2
||aus Graphen und Gleichungen von allgemeinen Sinusfunktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können
||[[Trigonometrie #Trigonometrische Funktionen | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 6.3
||die Wirkung der Parameter $a$ und $b$ kennen und die Parameter im Kontext deuten können
||[[Trigonometrie #Trigonometrische Funktionen | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 6.4
||Periodizität als charakteristische Eigenschaft kennen und im Kontext deuten können
||[[Trigonometrie #Trigonometrische Funktionen | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 6.5
||wissen, dass $cos(x)= sin(x + \frac {\pi} {2})$
||[[Trigonometrie #Trigonometrische Funktionen | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 6.6
||wissen, dass gilt: $[sin(x)]'=cos(x), [cos(x)]'=-sin(x)$
||[[Differenzen- und Differentialquotient | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Während zur Auflösung von rechtwinkeligen Dreiecken Sinus, Cosinus und
Tangens verwendet werden, beschränkt sich die funktionale Betrachtung (weitgehend) auf die allgemeine Sinusfunktion. Wesentlich dabei sind die Interpretation der Parameter (im Graphen wie auch in entsprechenden Kontexten) sowie der Verlauf des Funktionsgraphen und die Periodizität.
 
 

==Analysis==
===Änderungsmaße===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AN 1.1.
||absolute und relative (prozentuelle) Änderungsmaße unterscheiden und angemessen verwenden können
||[[Änderungsmaße| Theorie]]
||[[Änderungsmaße #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AN 1.2.
||den Zusammenhang ''Differenzenquotient (mittlere Änderungsrate) – Differenzialquotient (momentane Änderungsrate)'' auf der Grundlage eines intuitiven Grenzwertbegriffes kennen und damit (verbal sowie in formaler Schreibweise) auch kontextbezogen anwenden können
||[[Differenzen- und Differentialquotient | Theorie]]
||[[Differenzen- und Differentialquotient #Maturabeispiele| Beispiele]]
|-
||AN 1.3.
||den Differenzen- und Differenzialquotienten in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverhalte durch den Differenzen- bzw. Differenzialquotienten beschreiben können
||[[Differenzen- und Differentialquotient|Theorie]]
||[[Differenzen-_und_Differentialquotient #Maturabeispiele| Beispiele]]
|-
||AN 1.4.
||das systemdynamische Verhalten von Größen durch Differenzengleichungen beschreiben bzw. diese im Kontext deuten können
||[[Differenzengleichungen | Theorie]]
||[[Differenzengleichungen #Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Der Fokus liegt auf dem Darstellen von Änderungen durch Differenzen von Funktionswerten, durch prozentuelle Veränderungen, durch Differenzenquotienten und durch Differenzialquotienten, ganz besonders aber auch auf der Interpretation dieser Veränderungsmaße im jeweiligen Kontext. Durch den Einsatz elektronischer Hilfsmittel ist auch die Berechnung von Differenzen- und Differenzialquotienten beliebiger (differenzierbarer) Funktionen möglich.
 
 

===Regeln für das Differenzieren===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AN 2.1.
||einfache Regeln des Differenzierens kennen und anwenden können: Potenzregel, Summenregel, Regeln für $[k \cdot f(x)]′$ und $[f(k \cdot x)]′$ (vgl. Inhaltsbereich ''Funktionale Abhängigkeiten'')
||[[Inhalt:Differenzieren: Rechnerisches Bestimmen von f'| Theorie]]
||[[Inhalt:Differenzieren: Rechnerisches Bestimmen von f' #Interaktives Quiz - Einfache Regeln des Differenzierens (AN 2.1)| Beispiele]]
|}
 

===Ableitungsfunktion/Stammfunktion===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AN 3.1.
||den Begriff ''Ableitungsfunktion/Stammfunktion'' kennen und zur Beschreibung von Funktionen einsetzen können
||[[Integration| Theorie]]
||[[Integration#Beispiele | Beispiele]]
|-
||AN 3.2.
||den Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitungsfunktion (bzw. Funktion und Stammfunktion) in deren grafischer Darstellung (er)kennen und beschreiben können
||[[Ableitung bestimmen| Theorie]]
||[[Ableitung bestimmen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AN 3.3.
||Eigenschaften von Funktionen mithilfe der Ableitung(sfunktion) beschreiben können: Monotonie, lokale Extrema, Links- und Rechtskrümmung, Wendestellen
||[[Kurvendiskussionen #Grundwissen über f(x), f'(x) und f''(x)| Theorie]]
||[[Kurvendiskussionen #Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Der Begriff der ''Ableitung(sfunktion)'' soll verständig und zweckmäßig zur Beschreibung von Funktionen eingesetzt werden. Durch den Einsatz elektronischer Hilfsmittel ist das Ableiten von Funktionen nicht durch die in den Grundkompetenzen angeführten Differenziationsregeln eingeschränkt.
 

===Summation und Integral===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AN 4.1.
||den Begriff des bestimmten Integrals als Grenzwert einer Summe von Produkten deuten und beschreiben können
||[[Integration| Theorie]]
||[[Integration #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AN 4.2.
||einfache Regeln des Integrierens kennen und anwenden können: Potenzregel, Summenregel, $\int k\cdot f(x)\,dx$, $\int f(k\cdot x)\,dx$ (vgl. Inhaltsbereich ''Funktionale Abhängigkeiten''), bestimmte Integrale von Polynomfunktionen ermitteln können
||[[Integration| Theorie]]
||[[Integration #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AN 4.3.
||das bestimmte Integral in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverhalte durch Integrale beschreiben können
||[[Integration| Theorie]]
||[[Integration #Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Analog zum Differenzialquotienten liegt der Fokus beim bestimmten Integral auf der Beschreibung entsprechender Sachverhalte durch bestimmte Integrale sowie vor allem auf der angemessenen Interpretation des bestimmten Integrals im jeweiligen Kontext. Durch den Einsatz elektronischer Hilfsmittel ist die Berechnung von bestimmten Integralen nicht durch die in den Grundkompetenzen angeführten Integrationsregeln eingeschränkt.
 

==Wahrscheinlichkeit und Statistik==
===Beschreibende Statistik===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||WS 1.1
||Werte aus tabellarischen und elementaren grafischen Darstellungen ablesen (bzw. zusammengesetzte Werte ermitteln) und im jeweiligen Kontext angemessen interpretieren können
||[[Statistik:Daten und Diagramme| Theorie]]
||[[Statistik:Daten und Diagramme #Beispiele| Beispiele]]
|}

Anmerkungen: (Un-)geordnete Liste, Strichliste, Piktogramm, Säulen-, Balken-, Linien-, Stängel-Blatt-, Punktwolkendiagramm, Histogramm (als Spezialfall eines Säulendiagramms), Prozentstreifen, Kastenschaubild (Boxplot)
 

{| border="1"
|-
||WS 1.2$\ \ \ \ \ \ \ $
||Tabellen und einfache statistische Grafiken erstellen, zwischen Darstellungsformen wechseln können

||[[Beschreibende_Statistik#tab=Zentralma_C3_9Fe_-_statistische_Kennzahlen_f_C3_BCr_das_Mittel| Theorie]]
||[[Statistik:Daten und Diagramme #Beispiele| Beispiele]]
|-
||WS 1.3
||statistische Kennzahlen (absolute und relative Häufigkeiten; arithmetisches Mittel, Median, Modus, Quartile, Spannweite, empirische Varianz/Standardabweichung) im jeweiligen Kontext interpretieren können; die angeführten Kennzahlen für einfache Datensätze ermitteln können

||[[Beschreibende Statistik| Theorie]]
||[[Statistik:Daten und Diagramme #Beispiele| Beispiele]]
|-
||WS 1.4
||Definition und wichtige Eigenschaften des arithmetischen Mittels und des Medians angeben und nutzen, Quartile ermitteln und interpretieren können, die Entscheidung für die Verwendung einer bestimmten Kennzahl begründen können

||[[Beschreibende Statistik| Theorie]]
||[[Statistik:Daten und Diagramme #Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Wenn auch statistische Kennzahlen (für einfache Datensätze) ermittelt und elementare statistische Grafiken erstellt werden sollen, liegt das Hauptaugenmerk auf verständigen Interpretationen von Grafiken (unter Beachtung von Manipulationen) und Kennzahlen. Speziell für das arithmetische Mittel und den Median (auch als Quartile) müssen die wichtigsten Eigenschaften (definitorische Eigenschaften, Datentyp-Verträglichkeit, Ausreißerempfindlichkeit) gekannt und verständig eingesetzt bzw. berücksichtigt werden. Beim arithmetischen Mittel sind allenfalls erforderliche Gewichtungen zu beachten („gewogenes arithmetisches Mittel“) und zu nutzen (Bildung des arithmetischen Mittels aus arithmetischen Mitteln von Teilmengen).
 
 

===Wahrscheinlichkeitsrechnung===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||WS 2.1
||Grundraum und Ereignisse in angemessenen Situationen verbal beziehungsweise formal angeben können
||[[Wahrscheinlichkeit: Grundlagen| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]
|-
||WS 2.2
||relative Häufigkeit als Schätzwert von Wahrscheinlichkeit verwenden und anwenden können

||[[Wahrscheinlichkeit: Grundlagen| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Normalverteilung und Stetige Zufallsvariablen#Beispiele | Beispiele]]
|-
||WS 2.3
||Wahrscheinlichkeit unter der Verwendung der Laplace-Annahme (Laplace-Wahrscheinlichkeit) berechnen und interpretieren können, Additionsregel und Multiplikationsregel anwenden und interpretieren können

||[[Wahrscheinlichkeit: Grundlagen| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]
|-
||WS 2.4
||Binomialkoeffizient berechnen und interpretieren können

||[[Binomialkoeffizient| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]

|}

Anmerkungen: Die Multiplikationsregel kann unter Verwendung der kombinatorischen Grundlagen und der Anwendung der Laplace-Regel (auch) umgangen werden.
 
 

===Wahrscheinlichkeitsverteilungen===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||WS 3.1
||die Begriffe ''Zufallsvariable'', ''(Wahrscheinlichkeits-)Verteilung'', ''Erwartungswert'' und ''Standardabweichung'' verständig deuten und einsetzen können

||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]

|-
||WS 3.2
||Binomialverteilung als Modell einer diskreten Verteilung kennen – Erwartungswert sowie Varianz/Standardabweichung binomialverteilter Zufallsgrößen ermitteln können, Wahrscheinlichkeitsverteilung binomialverteilter Zufallsgrößen angeben können, Arbeiten mit der Binomialverteilung in anwendungsorientierten Bereichen

||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]

|-
||WS 3.3
||Situationen erkennen und beschreiben können, in denen mit Binomialverteilung modelliert werden kann

||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]
|-
||WS 3.4
||Normalapproximation der Binomialverteilung interpretieren und anwenden können

||[[Wahrscheinlichkeit: Normalverteilung und Stetige Zufallsvariablen| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Normalverteilung und Stetige Zufallsvariablen#Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Kennen und Anwenden der Faustregel, dass die Normalapproximation der Binomialverteilung mit den Parametern $n$ und $p$ dann anzuwenden ist und gute Näherungswerte liefert, wenn die Bedingung $n\cdot p \cdot (1–p)\geq 9 $ erfüllt ist. Die Anwendung der Stetigkeitskorrektur ist nicht notwendig und daher für Berechnungen im Zuge von Prüfungsbeispielen vernachlässigbar. Kennen des Verlaufs der Dichtefunktion $φ$ der Standardnormalverteilung mit Erwartungswert $\mu$ und Standardabweichung $\sigma$. Arbeiten mit der Verteilungsfunktion $Φ$ der Standardnormalverteilung und korrektes Ablesen der entsprechenden Wert.
 
 

===Schließende/Beurteilende Statistik===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||WS 4.1
||Konfidenzintervalle als Schätzung für eine Wahrscheinlichkeit oder einen unbekannten Anteil interpretieren (frequentistische Deutung) und verwenden können, Berechnungen auf Basis der Binomialverteilung oder einer durch die Normalverteilung approximierten Binomialverteilung durchführen können

||[[Konfidenzintervall| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]
|}

Spezial:Badtitle/NS3000:Statistik:Daten und Diagramme

2020-04-11T13:30:41Z

PeterLamp:

=Daten und Diagramme =
== Begriffe ==
$n...$ Umfang der Stichprobe

$x_1...$ Zahl an der 1. Stelle

$x_i...$ Zahl an der $i.$ Stelle

$\{ x_1;x_2;.....;x_n \} ...$ Stichprobe (z. B. $\{ 1; 2; 5; 5; 5; 10;\}$ )

$a_1...$ erster Wert, der in der Stichprobe vorkommt (im oberen Beispiel ist $a_1=1$)

$a_4...$ vierter Wert, der in der Stichprobe vorkommt (im oberen Beispiel ist $a_4=10$)

$a_i...$ $i.$ Wert, der in der Stichprobe vorkommt
 
 
 

== Arten von Merkmalen/Daten ==
Im Groben unterscheidet man zwischen $3$ Arten von Merkmalen:
* '''Nominale Merkmale''' können nicht sinnvoll durch eine Zahl beschrieben oder in eine Reihenfolge gebracht werden. Beispiele sind „Geschlecht“ und „Haarfarbe“.
* '''Ordinale Merkmale''' können in eine Reihenfolge gebracht werden, eignen sich aber nicht für Rechnungen (wie z. B. Addition). Beispiele sind „Platzierung bei einem Rennen“ und „Bildungsabschlüsse“.
* '''Metrische Merkmale''' können durch Zahlen beschrieben werden, mit denen man auch rechnen kann. Beispiele sind „Gehalt“, „Alter“ und „Schuhgröße“.
 
 

== Absolute und relative Häufigkeit ==
{{Vorlage:Definition|1= Die '''absolute Häufigkeit $H_i$''' gibt an, wie oft das $i-$te Element in der Stichprobe auftritt.

Z. B.: In der Menge $\{ 1;2;2;2;4;4;6\}$ ist die absolute Häufigkeit der Zahl $2$ genau $H=3$, da die $2$ insgesamt dreimal vorkommt.}}

{{Vorlage:Beispiel|1= In einer (kleinen) Umfrage werden von $n=15$ Personen die Schuhgrößen gemessen. Das Ergebnis ist in der folgenden Liste angegeben:
$$\{36;36;36;37;37;37;37;38;38;40;41;42;42;42;46\}$$
Aufgabe: Ermitteln Sie in einer Tabelle die Häufigkeit jedes Merkmals ($=a_i$).
|2=
'''Lösung'''
 { 
{{{!}} class="wikitable"
{{!}}-
! Werte $a_i$ $\\ $
! Häufigkeiten $H_i$ $\\ $
{{!}}-
{{!}} 36
{{!}} 3
{{!}}-
{{!}} 37
{{!}} 4
{{!}}-
{{!}} 38
{{!}} 2
{{!}}-
{{!}} 40
{{!}} 1
{{!}}-
{{!}} 41
{{!}} 1
{{!}}-
{{!}} 42
{{!}} 3
{{!}}-
{{!}} 46
{{!}} 1
{{!}}-
{{!}} '''Summe'''
{{!}} '''15'''
{{!}}}

}}

Aus der absoluten Häufigkeit kann man noch nicht darauf schließen, ob ein Merkmal wirklich häufig auftritt oder nicht, da es immer auch auf die Gesamtanzahl $n$ der untersuchten Werte ankommt.

So ist eine absolute Häufigkeit von $100$ für $n=150$ sehr groß, für $n=1$ Mrd. dagegen wohl eher klein.

In solchen Fällen ist es hilfreich zu wissen, wie viel '''Prozent''' der Gesamtmenge $n$ dieses Merkmal besitzen. Dies wird berechnet mit ...
{{Vorlage:Definition|1= Die '''relative Häufigkeit $h_i$''' gibt an, mit wie viel Prozent ein Merkmal in Bezug auf die Gesamtmenge $n$ auftritt. Es gilt:
$$h_i=\frac{H_i}{n}$$

Z. B.: In der Menge $\{1;2;2;2;4;4;6\}$ ist die absolute Häufigkeit der Zahl $2$ genau $H=3$, die relative Häufigkeit ergibt sich dann mit:
$$h=\frac{H}{n}=\frac{3}{7}\approx 43\%$$}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Berechnen Sie mithilfe der Tabelle aus der Schuhgrößenumfrage (siehe oben)
die relativen Häufigkeiten $h_i$.
 
{{{!}} class="wikitable"
{{!}}-
! Werte $a_i$
! absolute Häufigkeiten $H_i$
! relative Häufigkeiten $h_i$
{{!}}-
{{!}} 36
{{!}} 3
{{!}} $\ \ \ $
{{!}}-
{{!}} 37
{{!}} 4
{{!}}
{{!}}-
{{!}} 38
{{!}} 2
{{!}}
{{!}}-
{{!}} 40
{{!}} 1
{{!}}
{{!}}-
{{!}} 41
{{!}} 1
{{!}}
{{!}}-
{{!}} 42
{{!}} 3
{{!}}
{{!}}-
{{!}} 46
{{!}} 1
{{!}}
{{!}}-
{{!}} '''Summe'''
{{!}} '''15'''
{{!}}
{{!}}}
|2=
'''Lösung'''
$n=15$
 { 
{{{!}} class="wikitable"
{{!}}-
! Werte $a_i$
! absolute Häufigkeiten $H_i$
! relative Häufigkeiten $h_i$
{{!}}-
{{!}} 36
{{!}} 3
{{!}} $\frac{3}{15}=20$%
{{!}}-
{{!}} 37
{{!}} 4
{{!}} $\frac{4}{15}=26.7$%
{{!}}-
{{!}} 38
{{!}} 2
{{!}} $\frac{2}{15}=13.3$%
{{!}}-
{{!}} 40
{{!}} 1
{{!}} $\frac{1}{15}=6.7$%
{{!}}-
{{!}} 41
{{!}} 1
{{!}} $\frac{1}{15}=6.7$%
{{!}}-
{{!}} 42
{{!}} 3
{{!}} $\frac{3}{15}=20$%
{{!}}-
{{!}} 46
{{!}} 1
{{!}} $\frac{1}{15}=6.7$%
{{!}}-
{{!}} '''Summe'''
{{!}} '''15'''
{{!}} '''$\frac{15}{15}=100$%'''
{{!}}}
}}
 
 

== Diagramme ==
=== Stab-/Säulen- und Balkendiagramm ===
In Stab- oder Säulendiagrammen gibt die $y$-Achse die absolute Häufigkeit (oder relative Häufigkeit) eines Merkmals auf der $x$-Achse an.
[[Datei:Säulendiagramm-bsp1-excel.png|500px|mini|zentriert|Säulendiagramm der Schuhgrößen]]

Bei Balkendiagrammen sind die Achsen vertauscht.

[[Datei:Balkendiagramm-bsp1.png|500px|mini|zentriert|Balkendiagramm der Schuhgrößen]]

Schummeln: Klassen vereinigen
Histogramm noch ausständig

=== Kreisdiagramm ===

Bei Kreisdiagrammen entspricht ein Kreissegment der relativen Häufigkeit eines Merkmals. Alle Kreissegmente zusammen (d. h. alle relativen Häufigkeiten) ergeben einen ganzen Kreis (d. h. $100 \%$).

[[Datei:Kreisdiagramm.png|500px|mini|zentriert|Kreisdiagramm der Schuhgrößen]]

{{Vorlage:Merke|1= [[Datei:Kreisdiagram-3d.png|300px|mini|rechts|Kreisdiagramm mit 3d-Effekt]]
'''Schummeln mit Kreisdiagrammen'''

Bei dreidimensionalen Kreisdiagrammen erscheinen Segmente im hinteren Bereich kleiner als Segmente im vorderen Bereich. Deshalb sollte man auf den 3d-Effekt verzichten.

}}

=== Boxplot (Kastenschaubild) ===

Boxplot-Diagramme geben einen Überblick über die Verteilung der Daten, indem Sie die Datenreihe in vier $25 \%$-Bereiche teilen. Hierbei bildet der Bereich zwischen den [[Statistik:Streuungsmaße#Quartile|Quartilen]] den „Kasten“, von dem aus die Antennen zum minimalen und maximalen Wert gehen ($x_{min}$ und $x_{max}$).

[[Datei:Boxplot-allgemein.png|500px|mini|zentriert|Boxplot-Diagramm]]

{{Vorlage:Merke|1= In jedem der $4$ Bereiche eines Boxplot-Diagramms liegen ca. $25 \%$ aller Werte}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben ist das folgende Boxplot-Diagramm, das aus den Daten der Schuhgrößen erstellt wurde.

[[Datei:Boxplot-bsp-schuhe-ohnebeschriftungen.png|500px|mini|zentriert|Boxplot der Daten für die Schuhgrößen]]
Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen richtig oder falsch sind und begründen Sie diese Entscheidung:
# Die Anzahl der Werte zwischen $36$ und $37$ ist mit Sicherheit geringer als die Anzahl der Werte zwischen $42$ und $46$.
# Weniger als $25 \%$ aller Werte sind kleiner oder gleich $42$.

|2=
$\ $
# Falsch! Da jeder Bereich ca. $ 25 \%$ aller Werte umfasst, liegen in beiden Bereichen ungefähr gleich viele Werte.
# Falsch! Es sind mindestens $75 \%$ aller Werte kleiner oder gleich $42$ (oder weniger als $25 \%$ aller Werte sind '''größer''' als $42$).

}}

http://tube.geogebra.org/student/m5245

http://tube.geogebra.org/student/m274871 (Andi Lindner)

http://tube.geogebra.org/student/b115371#material/56673 (sollte bearbeitet werden)

http://tube.geogebra.org/student/m129201 (Test)

 
 

=Schummeln mit Statistik=

==Manipulieren von Liniendiagrammen==

{{Vorlage:Video|Db2VMc69urk}}

Die folgende Tabelle bildet die Grundlage für das Einführungsbeispiel: 
 
Anzahl der im Straßenverkehr Getöteten in Österreich:
{| width="687" border=1
|-
| width="48"|
Jahr

| width="32"|
1995

| width="32"|
1996

| width="32"|
1997

| width="32"|
1998

| width="32"|
1999

| width="32"|
2000

| width="32"|
2001

| width="32"|
2002

| width="32"|
2003

| width="32"|
2004

| width="32"|
2005

| width="32"|
2006

| width="32"|
2007

| width="32"|
2008

| width="32"|
2009

| width="32"|
2010

| width="32"|
2011

| width="32"|
2012

| width="32"|
2013

| width="32"|
2014

| width="32"|
2015

|-
| width="48"|
Getötete

| width="32"|
1210

| width="32"|
1027

| width="32"|
1105

| width="32"|
963

| width="32"|
1079

| width="32"|
976

| width="32"|
958

| width="32"|
956

| width="32"|
931

| width="32"|
878

| width="32"|
768

| width="32"|
730

| width="32"|
691

| width="32"|
679

| width="32"|
633

| width="32"|
552

| width="32"|
521

| width="32"|
531

| width="32"|
455

| width="32"|
430

| width="32"|
475

|}
Quelle: Statistik Austria
 
 
Das entsprechende Liniendiagramm sieht folgendermaßen aus: 
<div class="bild">[[Datei:Getoetete1.PNG|thumb|left|490px]] </div>
 
Die an sich schon beeindruckende Statistik kann aber durchaus noch beeindruckender dargestellt werden, indem verschiedene Manipulationsmöglichkeiten angewendet werden. 
 
 

==Gezielte Auswahl der Datenreihe==
In den Jahren 1999 bis 2014 sind die Werte bis auf eine kleine Ausnahme immer gesunken. Diese Daten nehmen wir im folgenden Diagramm. 
 
 

==Verkürzung der $y$-Achse==
Um das Sinken der Werte noch deutlicher zu machen, wird die $y$-Achse erst bei $400$ gestartet. 
<div class="bild">[[Datei:Getoetete2.PNG|thumb|left|487px]]</div>
Schon beeindruckender, nicht? 
 
 

==Dehnen und Stauchen der Achsen==
Eine einfache Art, die Steilheit des Graphen zu verändern, ist das Stauchen der $x$-Achse bzw. entsprechendes Dehnen der $y$-Achse.
<div class="bild">[[Datei:Getoetete3.PNG|thumb|left|356px]]</div>

= Beispiele =

== Beschreibende Statistik (WS 1.1-1.4) ==

{{#widget:Iframe
|url= https://h5p.org/h5p/embed/763955
|width= 90%
|height= 700
|border=1
}}
 

[[Kategorie:Statistik]]

Spezial:Badtitle/NS3000:Differenzieren: Rechnerisches Bestimmen von f'

2020-04-11T13:27:02Z

PeterLamp: /* Beispiele */

Im Folgenden sind Regeln aufgelistet, mit der $f'(x)$ berechnet werden kann.

== Grundlegende Regeln ==
{| border="1" align="center" cellpadding="10"
! Allgemeine Regeln
|-
| {{#ev:youtube|4_e-KRJbXUg}}
|}

{| class="wikitable"
|-
!Regel !! $f(x)$ !! $f'(x)$ !!Bemerkung
|-
|Potenzregel || $x^n$ || $n\cdot x^{n-1}$ || Der Exponent kommt herunter, dann wird die Hochzahl um $1$ vermindert.
|-
| Konstantenregel
$c\in \mathbb{R}$
|| $c$ || $0$ || Konstante Funktionen haben die Steigung $= 0$.
|-
|[[Faktor|Faktorregel]]
$a\in \mathbb{R}$
|| $a\cdot f(x)$|| $a\cdot f'(x)$ || Ein konstanter Faktor ist von der Ableitung nicht betroffen.
|-
|Summenregel || $f(x)+g(x)$ || $f'(x)+g'(x)$ || Eine Summe wird abgeleitet, indem jeder einzelne Summand einzeln abgeleitet wird.
|-
| [[Exponentialfunktionen(3.5.)|$e$-Funktion]] || $e^x$ || $e^x$ || Die besondere Eigenschaft von $e^x$ ist, dass es durch Ableiten nicht verändert wird.

(d. h. Funktionswert bei $x$ = Steigung bei $x$)
|-
| [[Logarithmus]] || $ln|x|$ || $\frac{1}{x}$ ||
|-
| [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)|Trigonometrische Funktionen]] || $sin(x)$ $cos(x)$ || $cos(x)$ $-sin(x)$ ||
[[Datei:Sin-cos-kreis.png|miniatur|300px|center|Durch mehrmaliges Ableiten der Sinus- oder Cosinusfunktion kommt man immer wieder zur Ausgangsfunktion zurück. In [http://geogebratube.org/student/m43313 diesem Arbeitsblatt] findest du eine Begründung dafür.]]

|}

{{Vorlage:Beispiel|1=Bestimme zu den folgenden Funktionen die Ableitungsfunktion:

 
 
 
#$f(x)=x^3$
#$f(x)=4x$
#$f(x)=3$
#$f(x)=5\cdot x^2$
#$x^3+5x^2-4x+3$
#$x+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^3}+\sqrt[5]{x^2}$
#$f(x)=\frac{x^4}{5}+2\cdot e^x-ln\vert x\vert $

|2=
Wir wenden die einzelnen Regeln Schritt für Schritt an:
#$f(x)=x^3 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel} 3\cdot x^{3-1}=3\cdot x^2$ 
#$f(x)=4\cdot x=4\cdot x^1 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel} 4\cdot 1\cdot x^{1-1}=4\cdot x^0=4\cdot 1=4$ 
#$f(x)=3 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Konstantenregel} 0$ 
#$f(x)=5\cdot x^2\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Faktorregel}5\cdot (x^2)' \underbrace{=}_{Potenzregel}=5\cdot 5\cdot 2\cdot x^{2-1}=10\cdot x$ 
#$x^3+5x^2-4x+3\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Summenregel}(x^3)'+(5x^2)'-(4x)'+(3)' \underbrace{=}_{Potenzregel}3x^2+10x-4+0$
#$x+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^3}+\sqrt[5]{x^2}\underbrace{=}_{umformen} x+x^{-1}-x^{-3}+x^{\frac{2}{5} }$ $$\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel}1\cdot x^0+(-1)\cdot x^{-2}-(-3)\cdot x^{-4}+\frac{2}{5}\cdot x^{(\frac{2}{5}-1)}=$$ $$=1-x^{-2}+3\cdot x^{-4}+\frac{2}{5}\cdot x^{-\frac{3}{5} }$$ $$=1-\frac{1}{x^2}+\frac{3}{x^4}+\frac{2}{5\sqrt[5]{x^3} }$$ 
#$f(x)=\frac{x^4}{5}+2\cdot e^x-ln \vert x \vert \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel/Faktorregel,\ e-\ und\ ln-Regel}\frac{4x^3}{5}+2\cdot e^x-\frac{1}{x}$
}}

'''Ordne im folgenden Applet Funktionen und ihre Ableitungen zu.'''
{{#widget:Iframe
|url= http://LearningApps.org/view656909
|width= 900
|height= 500
|border=0
}}

[[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| ? ]] [http://www.mathe-online.at/tests/diff1/poldiff.html Online-Übung (mathe-online)]
 
 

== Vertiefende Regeln zur Ableitung zusammengesetzter Funktionen ==
=== Produktregel ===
Im Gegensatz zur Summe zweier Funktionen $( f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)$, siehe oben 'Summenregel'$)$ kann man das [[Produkt]] zweier Funktionen $f(x)\cdot g(x)$ nicht mehr so einfach ableiten. Hierfür braucht es die sogenannte ...

{{Vorlage:Merke|1= '''Produktregel'''
$$(f(x)\cdot g(x))'=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$$
„Zuerst den ersten [[Faktor]] ableiten, den zweiten stehen lassen,
$$\textrm{Plus}$$
den ersten Faktor stehen lassen, den anderen ableiten.“ }}

{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben ist die Funktion $h(x)=(x^2-1)\cdot (3x^2-4x+1)$. Bestimmen Sie $h'(x)$.

|2= Da es sich hierbei um ein [[Produkt]] handelt, müssen wir die Produktregel anwenden:
$$h(x)=\underbrace{(x^2-1)}_{f(x)} \cdot \underbrace{(3x^2-4x+1)}_{g(x)}$$
Zuerst berechnen wir in einer Nebenrechnung die Ableitungen der Faktoren:
$$f(x)=x^2-1\rightarrow f'(x)=2x$$
$$g(x)=3x^2-4x-+1\rightarrow g'(x)=6x-4$$

Nun setzen wir die Formel zusammen:
$$h'(x)=\underbrace{2x}_{f'(x)}\cdot \underbrace{(3x^2-4x+1)}_{g(x)}+\underbrace{(x^2-1)}_{f(x)}\cdot \underbrace{(6x-4)}_{g'(x)}$$

Zuletzt vereinfachen wir noch das Ergebnis:
$$h'(x)=6x^3-8x^2+2x+6x^3-4x^2-6x+4$$
$$\underline{\underline{h'(x)=12x^3-12x^2-4x+4} }$$

}}

=== Quotientenregel ===

Um die Ableitung einer Division von $2$ Funktionen (= Quotienten) zu berechnen, verwendet man die ...

{{Vorlage:Merke|1= '''Quotientenregel'''
$$h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\ \rightarrow \ h'(x)=\frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{(g(x))^2 }$$

Im Zähler steht bis auf das $Minus$ die Produktregel. Im Nenner wird die Nenner-Funktion quadriert.
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Bestimmen Sie die Ableitung von $h(x)=\frac{x^2-x}{x+1}$.
|2=
Da es sich um einen Quotienten handelt, wenden wir die Quotientenregel an. Zuerst berechnen wir die Ableitung des Zählers ($f(x)$) und des Nenners ($g(x)$):

* Zähler: $f(x)=x^2-x\ \rightarrow f'(x)=2x-1$
* Nenner: $g(x)=x+1\ \rightarrow g'(x)=1$

Nun setzen wir die Quotientenregel zusammen:
$$h'(x)=\frac{(2x-1)\cdot (x+1)-(x^2-x)\cdot 1 }{(x+1)^2}$$
$$h'(x)=\frac{2x^2+x-1-x^2+x}{x^2+2x+1}$$
$$h'(x)=\frac{x^2+2x-1}{x^2+2x+1}$$
}}

=== Kettenregel ===
Um Klammerausdrücke oder verkettete Funktionen wie zum Beispiel $f(x)=\sqrt[3]{x^2-1}$ oder $e^{2x-1}$ abzuleiten, verwenden wir die ...

{{Vorlage:Merke|1='''Kettenregel'''
$$h(x)=f[g(x)]\ \ \rightarrow \ \ h'(x)=\underbrace{f'(g(x))}_{\textrm{äußere Ableitung} } \cdot \underbrace{g'(x)}_{\textrm{innere Ableitung} }$$

$f(x)$ wird als ''äußere Funktion'', $g(x)$ als ''innere Funktion'' bezeichnet.
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben ist $h(x)=\sqrt[3]{x^2-1}$. Bestimmen Sie $h'(x)$.
|2=
Zuerst schreiben wir die Wurzel in der [[Potenzen#Potenzregel_7|Exponentenschreibweise]]:
$$h(x)=(x^2-1)^{\frac{1}{3} }$$

* Die äußere Funktion ist nun $f(x)=(\ \ )^{\frac{1}{3} }$. Damit ist $f'(x)=\frac{1}{3}\cdot (\ \ )^{\frac{1}{3}-1}=\frac{1}{3}\cdot (\ \ )^{-\frac{2}{3} }$

* Die innere Funktion ist $g(x)=x^2-1$. Damit ist $g'(x)=2x$.

Nun setzen wir die Kettenregel zusammen:
$$ h'(x)=\underbrace{\frac{1}{3}\cdot (x^2-1)^{-\frac{2}{3} } }_{\textrm{äußere Ableitung} } \cdot \underbrace{2x}_{\textrm{innere Ableitung} }$$

$$ h'(x)=\frac{2x}{3\cdot \sqrt[3]{(x^2-1)^2} }$$
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion von $f(x)=e^{2x-1}$.
|2=
Zuerst kümmern wir uns um die äußere und innere Funktion getrennt:
* Die äußere Funktion ist die Exponentialfunktion $f(x)=e\textrm{^}\ \rightarrow\ f'(x)=e\textrm{^}$.
* Die innere Funktion ist $g(x)=2x-1 \ \rightarrow g'(x)=2$.

Nun setzen wir die Kettenregel wieder zusammen:

$$ h'(x)=\underbrace{e^{2x-1} }_{\textrm{äußere Ableitung} } \cdot \underbrace{2}_{\textrm{innere Ableitung} }$$
$$h'(x)=2\cdot e^{2x-1} $$
}}

== Lernvideos ==
{| align="center" border="1"
! Produkt-, Quotienten- und Kettenregel
! Ableitung der Exponentialfunktion
|-
|{{#ev:youtube|47bKq2lXGs8}}
|{{#ev:youtube|XVCBYo2_OoM}}
|}

== Beispiele ==
=== Einfache Regeln des Differenzierens (AN 2.1) ===

{{#widget:Iframe
|url= https://h5p.org/h5p/embed/762454
|width= 90%
|height= 700
|border=1
}}
 

=== Begriff Ableitungsfunktion/Stammfunktion (AN 3.1) ===

{{#widget:Iframe
|url= https://h5p.org/h5p/embed/762553
|width= 90%
|height= 700
|border=1
}}
 

=== Grafischer Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitungsfunktion (AN 3.2) ===

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Exponentialfunktionen

2020-04-11T13:25:16Z

PeterLamp: /* Interaktives Quiz */

Diese Seite behandelt grundlegende Eigenschaften der Exponentialfunktion. Die Anwendungsbeispiele findest du auf der Seite [[Wachstums- und Zerfallsprozesse]].
[[Datei:Exp-fkt-allgemein-250.png|thumb|right|300px|Graph der Exponentialfunktion]]

{{Vorlage:Definition|1=Exponentialfunktionen sind [[Funktionen | Funktionen]], deren Funktionsgleichung die Form
$$f(x)=b\cdot a^x \textrm{ mit } a, b \in \mathbb{R}^+$$
oder
$$ f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x} \textrm{ mit } b \in \mathbb{R}^+,\ \lambda \in \mathbb{R} $$}}

'''Hinweise'''
* In Exponentialfunktionen steht die Variable immer im [[Exponent | Exponenten]]
* Im Term $a^x$ ist $a$ die [[Potenzen#Definition|Basis]]
* $e$ steht für die [[Eulersche Zahl e | Eulersche Zahl]]
* $a=e^\lambda \rightarrow$ Dies ist der Zusammenhang der beiden Funktionsgleichungen
* $\lambda$ ist der griechische Buchstabe [https://de.wikipedia.org/wiki/Griechisches_Alphabet#Klassische_Zeichen ''Lambda'']

== Graph der Exponentialfunktion ==
Je nach Größe der [[Parameter]] $a$ und $b$ bzw. $\lambda$ verändert sich der Graph. Im Folgenden werden die Auswirkungen der einzelnen Parameter auf den Graphen der Funktion besprochen:

$$f(x)=b\cdot a^x \ \ \ \textrm{ bzw.}\ \ \ f(x)=b\cdot e^{\lambda\cdot x}$$

<ggb_applet width="600" height="530" version="5.0" id="EBXrvk6F" />

----
{| border=“0“
|-
|'''$b$ gibt den Schnittpunkt mit der $y$-Achse an.'''
Begründung: Beim Schnittpunkt mit der $y$-Achse ist die $x$-Koordinate gleich $0$. Die dazugehörige $y$-Koordinate erhält man dann durch:
$f(0)=b\cdot a^0 =b\cdot 1=b$
(mit der $e^\lambda$-Formel funktioniert es genauso)
| [[Datei:Exp-fkt.gif|right]]
|}

----

{| border="0"
|-
| '''$a$ und $\lambda$ geben an, ob der Graph steigt oder fällt.'''
|-
| Für $a>1$ oder $\lambda>0$
|
ist der Graph [[Monotonie | monoton steigend]]. '''Je größer $a$ bzw. $\lambda$ ist, desto stärker steigt der Graph.'''
|[[Datei:Amimation für ag1.gif]]
|-
|Für $0<a<1$ oder $\lambda<0$
|ist der Graph [[Monotonie | monoton fallend]] und nähert sich immer mehr der $x$-Achse.
| [[Datei:Amimation für ak1-280.gif]]
|}

----
* [[Grün: Arbeitsblätter | $Aha!$ ]]: In diesem [https://www.geogebratube.org/student/m116630 Arbeitsblatt] kannst du noch einmal die obigen Schritte nachvollziehen (Achtung: Anstelle von "$b$" wurde hier der Buchstabe "$c$" verwendet!)
* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| ? ]]: Hier findest du ein [http://LearningApps.org/watch?v=p71pgtywt01 Quiz, in dem du das Gelernte überprüfen kannst].

 
 
 

== Weitere Eigenschaften der Exponentialfunktion ==

* Die $x$-Achse ist eine [[Asymptote]] des Graphen. D. h. der Graph der Exponentialfunktion nähert sich dieser beliebig nahe, ohne sie jemals zu schneiden.
* Die Exponentialfunktion hat die besondere Eigenschaft, dass sie sich in bestimmten Abständen immer um „denselben Faktor“ vermehrt (wenn $a>1$) oder vermindert (wenn $0<a<1$) $\rightarrow $ siehe Abbildungen unten. Formal gilt:
$$f(x+1)=f(x)\cdot a\ \ \textrm{ bzw. }\ \ \ \frac{f(x+1)}{f(x)}=a$$
* Aufgrund der letzten Eigenschaft werden Exponentialfunktionen für die Beschreibung von Wachstumsprozessen (z. B. Wachstum einer Bakterienpopulation) oder Zerfallsprozessen (z. B. Zerfall eines radioaktiven Elements) verwendet.
*: Siehe [[Wachstums- und Zerfallsprozesse]]

{| align="center"
|-
| [[Datei:Exp-fkt mit vielen as-png.png|thumb|300px|left|Graph mit $a>1$]]
| [[Datei:Exp-fkt mit vielen as u a 0.png|thumb|300px|right|Graph mit $0<a<1$]]
|}
 
 

== Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung ==
Allgemeiner Lösungsweg: Die Funktionsgleichung wird bestimmt, indem man $2$ Punkte auf dem Funktionsgraphen bestimmt und diese dann in die Funktionsgleichung einsetzt. Am einfachsten ist es, wenn einer der Punkte der Schnittpunkt des Graphen mit der $y$-Achse ist, da so $b$ einfach bestimmt werden kann.

=== 1. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (einfach) ===

'''Angabe:''' Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot a^x$ geht durch die Punkte $(0|3)$ und $(2|12)$. Bestimme die [[Parameter]] $a$ und $b$.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

'''Lösung:''' 

<div class="mw-collapsible-content">
Um $a$ und $b$ zu bestimmen, setzen wir die Punkte in die Funktionsgleichung ein:
{|
|-
|

{| border="1"
!|x
!|y
|-
|0
|3
|-
|2
|12
|}
| $\ \ \ \ \ y=b\cdot a^x$

$\rightarrow 3=b\cdot a^0\ \ \ \ \ \rightarrow \underline{3=b}\ \ $ (Da $f$ bei $(0|3)$ die $y$-Achse schneidet, hätten wir schon vorher gewusst, dass $b=3$ ist.)

$\rightarrow 12=3\cdot a^2 \ \ \ \rightarrow 4=a^2 \rightarrow \underline{a=2}$

|}
Somit gilt: $\underline{\underline{f(x)=3\cdot 2^x }}$

</div>

</div>
 
 

=== 2. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (mittel) ===

'''Angabe:''' Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot a^x$ geht durch die Punkte $(1|4)$ und $(2|16)$ bestimme die [[Parameter]] $a$ und $b$.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

'''Lösung:''' 

<div class="mw-collapsible-content">
Um $a$ und $b$ zu bestimmen, setzen wir die Punkte in die Funktionsgleichung ein:
{|
|-
|

{| border="1"
!|x
!|y
|-
|1
|4
|-
|2
|16
|}

!| $\ \ \ \ \ y=b\cdot a^x$
$\rightarrow I:\ 4=b\cdot a^1$

$\ \rightarrow II: 16=b\cdot a^2$

|}
Hier haben wir nun ein Gleichungssystem mit $2$ Gleichungen und zwei Unbekannten. Dieses können wir mithilfe des [[Gleichungssysteme (2.7.)#Einsetzungsverfahren (Substitutionsverfahren) | Einsetzungsverfahrens]] lösen:
Hierzu stellen wir in $I$ die Unbekannte $a$ frei:
$I:\ 4=b\cdot a^1 \ \ \rightarrow a=$ $\frac{4}{b}$ 
und setzen dies nun in $II$ ein:

$II:\ 16=b\cdot ($ $\frac{4}{b}$ $)^2$
$$II:\ 16=b\cdot (\frac{4}{b})^2$$
$$II: \ 16=b\cdot (\frac{16}{b^2})\ \ \ |\cdot 16$$
$$II: \ 16\cdot b^2 = 16 \ \ \ |:16 $$
$$II: \ b^2=1 $$
$$II: \ b=\pm 1$$
Da laut der Definition (ganz oben) $b>0$ ist, muss gelten $\underline{b=1}$.

Damit erhalten wir $a=\frac{4}{b} \rightarrow \underline{a=4}$

Antwort: Somit lautet die Funktionsgleichung $\underline{\underline{f(x)=1\cdot 4^x}}$ bzw. $\underline{\underline{f(x)=4^x}}$

</div>

</div>
 
 

=== 3. Beispiel mit $f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$ (einfach) ===

'''Angabe:''' Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$ geht durch die Punkte $(0|3)$ und $(2|27)$. Bestimme die [[Parameter]] $\lambda$ und $b$.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

 '''Lösung:'''

<div class="mw-collapsible-content">

'''1. Punkt $(0|3)$''': Da der Graph die $y$-Achse hier schneidet, muss gelten $\underline{b=3}$ (siehe oben Beispiel 1).

'''2. Punkt $(2|27)$''': Wir setzen diesen Punkt und $b=3$ nun in die Funktionsgleichung, um $\lambda$ zu erhalten:
$$f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$$
$$27=3\cdot e^{\lambda \cdot 2}$$
Nun wenden wir den [[Logarithmus]] an:
$$9=e^{\lambda \cdot 2} \ \ \ | \ln(\ )$$
$$\ln(9)=\ln(e^{\lambda \cdot 2})$$
$$\ln(9)=\lambda \cdot 2\cdot \ln(e) \ \ \ |ln(e)=1 \ \ |:2$$
$$\frac{ln(9)}{2}=\lambda$$
$$\underline{1.1=\lambda}$$

Somit lautet die Funktionsgleichung $\underline{\underline{f(x)=3\cdot e^{1.1\cdot x}}}$

</div>

</div>
 
 

== Übung zur Bestimmung der Funktionsgleichung ==
Bestimme die Funktionsgleichung in der Form $f(x)=b\cdot a^x$. Gib dazu die Funktionsgleichung bei $f(x)$ ein.

<ggb_applet width="800" height="400" version="5.0" id="tHm6RSuz" />

 
 

== Beispiel zur Bestimmung von Funktonswert und Argument ==
=== 1. Beispiel mit $f(x)=b\cdot e^{\lambda\cdot x}$ (leicht) ===
Gegeben ist die Funktion $f(x)=2\cdot e^{-0.4\cdot x}$. Bestimme jene [[Argument | Argumente]] für die gilt
* a) $f(x)=0.3$
* b) $f(x)=0$
* c) $f(x)=-0.5$

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

 '''Lösung:''' 

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

 '''Lösung für a)''' 

<div class="mw-collapsible-content">

[[Datei:Beispiel 0 3.png|thumb|350px|right|Graphische Lösung der Aufgabe]]

Es gilt die Gleichung $f(x)=0.3$ zu lösen, wobei $f(x)=2\cdot e^{-0.4\cdot x}$ ist:
$$2\cdot e^{-0.4\cdot x}=0.3$$
$$ e^{-0.4\cdot x}=\frac{0.3}{2} \ \ \ \ | ln()$$
$$ -0.4\cdot x \cdot \ln(e)=\ln(\frac{0.3}{2})\ \ \ \ |ln(e)=1 \ \ \ |:(-0.4) $$
$$x=\frac{\ln(\frac{0.3}{2})}{-0.4}$$
$$\underline{\underline{x = 4.74}}$$
Alternative Lösungswege:
* Graphisch den Schnittpunkt zwischen $f(x)$ und $y=0.3$ ermitteln (siehe Abbildung rechts)
* [[Solve-Befehl | Solve-Befehl im TR]] oder [[Löse-Befehl | Löse-Befehl mit GeoGebra]]

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

 '''Lösung für b)''' 

<div class="mw-collapsible-content">

Da die $x$-Achse des Graphen von $f(x)$ eine [[Asymptote]] ist, hat $f(x)$ keine Nullstellen und somit gibt es kein $x$ für das gilt $f(x)=0$.
Alternativer Lösungsweg:
* [[Löse-Befehl | Löse-Befehl mit GeoGebra]] $\rightarrow$ als Lösung erhält man die leere Menge $\mathbb{L}=\{ \}$
* Rechnerisch:
$$ f(x)=0$$
$$2\cdot e^{-0.4\cdot x}=0 \ \ \ |:2$$
$$ e^{-0.4\cdot x}=0 \ \ \ |ln $$
$$ -0.4\cdot x\cdot \ln(e)=\ln(0)$$
Da der [[Logarithmus]] nur für positive $x$-Werte definiert ist ($\mathbb{D}=\mathbb{R}^+$), ist $\ln(0)$ nicht definiert (was du leicht im TR mit der Rechnung $ln(0)$ überprüfen kannst).
Somit hat die Gleichung $-0.4\cdot x\cdot \ln(e)=\ln(0)$ keine Lösung.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

 '''Lösung für c)''' 

<div class="mw-collapsible-content">
Auch hier gibt es keine Lösung, da der [[Wertebereich]] der Exponentialfunktion $2\cdot e^{-0.4\cdot x}$ oberhalb der $x$-Achse liegt und $f(x)$ somit niemals negative Funktionswerte annimmt (siehe Abbildung bei Lösung a) ).

</div>

</div>

</div>

</div>
 
=== 2. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (leicht) ===
Gegeben ist die Funktion $f(x)=100\cdot 0.76^x$.
* a) Bestimme wie groß ist der Funktionwert an der Stelle $x=5$ ist.
* b) Berechne, an welcher Stelle die Funktion einen Wert von $50$ hat.
* c) Fertige eine Skizze des Graphen und zeichnen Sie die berechneten Werte ein.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

 '''Lösung:''' 

<div class="mw-collapsible-content">

[[Datei:Exp-bsp4.png|thumb|right|400px|Graph der Funktion $f(x)=100\cdot 0.76^x$ mit den berechneten Punkten.]]
Lösung a)
$$f(5)=100\cdot 0.76^5=25.36 $$

Lösung für b)
$$f(x)=50\ \ \ \ \textrm{gesucht ist x}$$
$$100\cdot 0.76^x=50\ \ \ |:100$$
$$0.76^x=0.5\ \ \ |\log(\ )$$
$$\log 0.76^x= \log 0.5$$
$$x\cdot \log 0.76=\log 0.5$$
$$x=\frac{\log 0.5}{\log 0.76}$$
$$\underline{\underline{x=2.53}}$$
Hinweis: In der obigen Rechnung wurde der [[Logarithmus | Logarithmus]] verwendet.

Lösung c) Siehe Abbildung rechts

</div>

</div>
 

== Quiz zu Exponentialfunktionen(FA 5.1-5.6) ==

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== Weitere Materialien ==
* [[Gelb: Lernpfad | $Step\ by\ Step!$ ]]: Ein [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_exponentialfunktionen/Exponentialfunktionen_NEU/index.html | Online-Lernpfad von G. Jauck und A. Lindner]
* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| ? ]]: Ein [http://LearningApps.org/watch?v=p71pgtywt01 Quiz, in dem du den Graphen und die Funktionsgleichung zusammenführen musst]

 

== Matura-Aufgaben ==

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$ ]]: [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=204&file=Mount_Everest.pdf Mount Everest] (bifie-Aufgabe: leicht-mittel-schwer)
: Siehe auch [[Logarithmus]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$ ]]: [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=179&file=Vergessenskurve_nach_Ebbinghaus.pdf Vergessenskurve von Ebbinghaus] (bifie-Aufgabe: leicht-mittel-mittel)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$ ]]: [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=181&file=Bevoelkerungswachstum_in_den_USA.pdf Bevölkerung der USA] (leicht-leicht-mittel)
: Siehe für Aufgabe b) und c) auch [[Differenzen- und Differentialquotient]]

[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Grundkompetenzen AHS

2020-04-11T13:24:21Z

PeterLamp: /* Summation und Integral */

Die folgenden Tabellen listen alle Grundkompetenzen für die AHS auf.

Die Grundkompetenzen sind in insgesamt $4$ Inhaltsbereiche gegliedert:

==Algebra und Geometrie==
===Grundbegriffe der Algebra===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AG 1.1
||Wissen über die Zahlenmengen $ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, ℂ$ verständig einsetzen können
||[[Zahlenmengen | Theorie]]
||[[Zahlenmengen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 1.2
||Wissen über algebraische Begriffe angemessen einsetzen können: Variable, Terme, Formeln, (Un-)Gleichungen, Gleichungssysteme, Äquivalenz, Umformungen, Lösbarkeit
||[[Algebraische Begriffe | Theorie]]
||[[Quiz #Algebraische Grundbegriffe (AG 1.2) | Beispiele]]
|}
Anmerkungen: Bei den Zahlenmengen soll man die Mengenbezeichnungen und die Teilmengenbeziehungen kennen, Elemente angeben sowie zuordnen können und die reellen Zahlen als Grundlage kontinuierlicher Modelle kennen. Zum Wissen über die reellen Zahlen gehört auch, dass es Zahlenbereiche gibt, die über $ℝ$ hinausgehen. Die algebraischen Begriffe soll man anhand von einfachen Beispielen beschreiben/erklären und verständig verwenden können. 

===(Un-)Gleichungen und Gleichungssysteme===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AG 2.1
||einfache Terme und Formeln aufstellen, umformen und im Kontext deuten können
||[[Terme und Formeln| Theorie]]
||[[Formeln #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 2.2
||lineare Gleichungen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen und die Lösung im Kontext deuten können
||[[lineare Gleichungen mit einer Variablen | Theorie]]
||[[lineare Gleichungen mit einer Variablen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 2.3
||quadratische Gleichungen in einer Variablen umformen/lösen, über Lösungsfälle Bescheid wissen, Lösungen und Lösungsfälle (auch geometrisch) deuten können
||[[Quadratische Gleichungen | Theorie]]
||[[Quadratische Gleichungen #Interaktives Quiz| Beispiele]]
|-
||AG 2.4
||lineare Ungleichungen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen, Lösungen (auch geometrisch) deuten können
||[[Lineare Ungleichungen mit 2 Variablen | Theorie]]
||[[Lineare Ungleichungen mit 2 Variablen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 2.5
||lineare Gleichungssysteme in zwei Variablen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen, über Lösungsfälle Bescheid wissen, Lösungen und Lösungsfälle (auch geometrisch) deuten können
||[[Gleichungssysteme | Theorie]]
||[[Gleichungssysteme #Interaktives Quiz| Beispiele]]
|}
Anmerkungen: Einfache Terme können auch Potenzen, Wurzeln, Logarithmen, Sinus etc. beinhalten. Mit dem Einsatz elektronischer Hilfsmittel können auch komplexere Umformungen von Termen, Formeln und Gleichungen, Ungleichungen und Gleichungssystemen durchgeführt werden. 

===Vektoren===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AG 3.1
||Vektoren als Zahlentupel verständig einsetzen und im Kontext deuten können
||[[Vektorrechnung | Theorie]]
||[[Vektorrechnung #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 3.2
||Vektoren geometrisch (als Punkte bzw. Pfeile) deuten und verständig einsetzen können
||[[Vektorrechnung | Theorie]]
||[[Vektorrechnung #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 3.3
||Definition der Rechenoperationen mit Vektoren (Addition, Multiplikation mit einem Skalar, Skalarmultiplikation) kennen, Rechenoperationen verständig einsetzen und (auch geometrisch) deuten können
||[[Vektorrechnung | Theorie]]
||[[Vektorrechnung #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 3.4
||Geraden durch (Parameter-)Gleichungen in $ℝ^2$ und $ℝ^3$ angeben können; Geradengleichungen interpretieren können; Lagebeziehungen (zwischen Geraden und zwischen Punkt und Gerade) analysieren, Schnittpunkte ermitteln können
||[[Vektorrechnung | Theorie]]
||[[Vektorrechnung #Beispiele| Beispiele]]
|-
||AG 3.5
||Normalvektoren in $ℝ^2$ aufstellen, verständig einsetzen und interpretieren können
||[[Vektorrechnung | Theorie]]
||[[Vektorrechnung #Beispiele | Beispiele]]
|}
Anmerkungen: Vektoren sind als Zahlentupel, also als algebraische Objekte, zu verstehen und in entsprechenden Kontexten ver-ständig einzusetzen. Punkte und Pfeile in der Ebene und im Raum müssen als geometrische Veranschaulichung dieser algebraischen Objekte interpretiert werden können. Die geometrische Deutung der Skalarmultiplikation (in $ℝ^2$ und $ℝ^3$) meint hier nur den Spezialfall $a\cdot b= 0$. Geraden sollen in Parameterform, in $ℝ^2$ auch in parameterfreier Form, angegeben und interpretiert werden können. 

===Trigonometrie===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AG 4.1
||Definitionen von ''Sinus'', ''Cosinus'' und ''Tangens'' im rechtwinkeligen Dreieck kennen und zur Auflösung rechtwinkeliger Dreiecke einsetzen können
||[[Trigonometrie | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|-
||AG 4.2
||Definitionen von ''Sinus'' und ''Cosinus'' für Winkel größer als $90°$ kennen und einsetzen können
||[[Trigonometrie | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|}
Anmerkungen: Die Kontexte beschränken sich auf einfache Fälle in der Ebene und im Raum, komplexe (Vermessungs-)Aufgaben sind hier nicht gemeint; Sinus- und Cosinussatz werden dabei nicht benötigt.
 
 

==Funktionale Abhängigkeiten==
===Funktionsbegriff, reelle Funktionen, Darstellungsformen und Eigenschaften===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||FA 1.1
||für gegebene Zusammenhänge entscheiden können, ob man sie als Funktionen betrachten kann
||[[Funktionen | Theorie]]
||[[Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 1.2
||Formeln als Darstellung von Funktionen interpretieren und dem Funktionstyp zuordnen können
||[[Funktionen_in_mehreren_Unbekannten| Theorie]]
||[[Funktionen_in_mehreren_Unbekannten #Beispielaufgaben + Interaktives Quiz| Beispiele]]
|-
||FA 1.3
||zwischen tabellarischen und grafischen Darstellungen funktionaler Zusammenhänge wechseln können
||[[Funktionen | Theorie]]
||[[Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 1.4
||aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Funktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können
||[[Funktionen | Theorie]]
||[[Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 1.5
||Eigenschaften von Funktionen erkennen, benennen, im Kontext deuten und zum Erstellen von Funktionsgraphen einsetzen können: Monotonie, Monotoniewechsel (lokale Extrema), Wendepunkte, Periodizität, Achsensymmetrie, asymptotisches Verhalten, Schnittpunkte mit den Achsen
||[[Funktionen | Theorie]]
||[[Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 1.6
||Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen grafisch und rechnerisch ermitteln und im Kontext interpretieren können
||[[Schnittpunkt zweier Funktionen | Theorie]]
||[[Schnittpunkt zweier Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 1.7
||Funktionen als mathematische Modelle verstehen und damit verständig arbeiten können
||[[mathematische Modelle | Theorie]]
||[[mathematische Modelle #Funktionen als mathematische Modelle (FA 1.7)| Beispiele]]
|-
||FA 1.8
||durch Gleichungen (Formeln) gegebene Funktionen mit mehreren Veränderlichen im Kontext deuten können, Funktionswerte ermitteln können
||[[Funktionen in mehreren Unbekannten | Theorie]]
||[[Funktionen in mehreren Unbekannten #Beispielaufgaben + Interaktives Quiz | Beispiele]]
|-
||FA 1.9
||einen Überblick über die wichtigsten (unten angeführten) Typen mathematischer Funktionen geben, ihre Eigenschaften vergleichen können
||[[Funktionen | Theorie]]
||[[Funktionen #Funktionstypen und deren Eigenschaften (FA 1.9) | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Auf eine sichere Unterscheidung zwischen funktionalen und nichtfunktionalen Zusammenhängen wird Wert gelegt,auf theoretisch bedeutsame Eigenschaften (z. B. Injektivität, Surjektivität, Umkehrbarkeit)wird aber nicht fokussiert. Im Vordergrund steht die Rolle von Funktionen als Modelle und die verständige Nutzung grundlegender Funktionstypen und deren Eigenschaften sowie der verschiedenen Darstellungsformen von Funktionen (auch $f:A→B$, $x↦f(x)$ ).
Die Bearbeitung von Funktionen mit mehreren Veränderlichen beschränkt sich auf die Interpretation der Funktionsgleichung im jeweiligen Kontext sowie auf die Ermittlung von Funktionswerten.
Der Verlauf von Funktionen soll nicht nur mathematisch beschrieben, sondern auch im jeweiligen Kontext gedeutet werden können.
 

===Lineare Funktion $f(x)=k\cdot x+d$===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||FA 2.1
||verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene lineare Zusammenhänge als lineare Funktionen erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können
||[[Lineare Funktionen| Theorie]]
||[[Lineare Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 2.2
||aus Tabellen, Graphen und Gleichungen linearer Funktionen Werte(paare) sowie die Parameter $k$ und $d$ ermitteln und im Kontext deuten können
||[[Lineare Funktionen | Theorie]]
||[[Lineare Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 2.3
||die Wirkung der Parameter $k$ und $d$ kennen und die Parameter in unterschiedlichen Kontexten deuten können
||[[Lineare Funktionen| Theorie]]
||[[Lineare Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 2.4
||charakteristische Eigenschaften kennen und im Kontext deuten können: $f(x+1)=f(x)+k; \frac {f(x_2)-f(x_1)} {x_2-x_1}=k=f'(x)$
||[[Lineare Funktionen | Theorie]]
||[[Lineare Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 2.5
||die Angemessenheit einer Beschreibung mittels linearer Funktion bewerten können
||[[Lineare Funktionen | Theorie]]
||[[Lineare Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 2.6
||direkte Proportionalität als lineare Funktion vom Typ $f(x)=k\cdot x$ beschreiben können

||[[Lineare Funktionen | Theorie]]
||[[Lineare Funktionen #Beispiele| Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Die Parameter $k$ und $d$ sollen sowohl für konkrete Werte als auch allgemein im jeweiligen Kontext interpretiert werden können. Entsprechendes gilt für die Wirkung der Parameter und deren Änderung.
 
 

===Potenzfunktion $f(x)=a\cdot x^z+b$, $z\in \mathbb{Z}$ oder mit $f(x)=a \cdot x^{ \frac{1}{2} }+b$===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||FA 3.1
||verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene Zusammenhänge dieser Art als entsprechende Potenzfunktionen erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können
||[[Potenzfunktionen | Theorie]]
||[[Potenzfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 3.2
||aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Potenzfunktionen Werte(paare) sowie die Parameter $a$ und $b$ ermitteln und im Kontext deuten können
||[[Potenzfunktionen | Theorie]]
||[[Potenzfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 3.3
||die Wirkung der Parameter $a$ und $b$ kennen und die Parameter im Kontext deuten können
||[[Potenzfunktionen | Theorie]]
||[[Potenzfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 3.4
||indirekte Proportionalität als Potenzfunktion vom Typ $f(x)=\frac {a} {x}$ (bzw. $f(x)=a\cdot x^{–1}$) beschreiben können
||[[indirekte Proportion | Theorie]]
||[[Potenzfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Wurzelfunktionen bleiben auf den quadratischen Fall $a\cdot x^\frac {1} {2}+b$ beschränkt.
 
 

===Polynomfunktion $f(x)=\sum_{i=0}^{n} a_i \cdot x^i$ mit $n \in ℕ$===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||FA 4.1
||typische Verläufe von Graphen in Abhängigkeit vom Grad der Polynomfunktion (er)kennen
||[[Polynomfunktionen | Theorie]]
||[[Polynomfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 4.2
||zwischen tabellarischen und grafischen Darstellungen von Zusammenhängen dieser Art wechseln können
||[[Polynomfunktionen | Theorie]]
||[[Polynomfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 4.3
||aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Polynomfunktionen Funktionswerte, aus Tabellen und Graphen sowie aus einer quadratischen Funktionsgleichung Argumentwerte ermitteln können
||[[Polynomfunktionen | Theorie]]
||[[Polynomfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 4.4
||den Zusammenhang zwischen dem Grad der Polynomfunktion und der Anzahl der Null- ,Extrem- und Wendestellen wissen
||[[Polynomfunktionen | Theorie]]
||[[Polynomfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Der Zusammenhang zwischen dem Grad der Polynomfunktion und der Anzahl der Null-, Extrem- und Wendestellen sollte für beliebige $n$ bekannt sein, konkrete Aufgabenstellungen beschränken sich auf Polynomfunktionen mit $n\le4$. Mithilfe elektronischer Hilfsmittel können Argumentwerte auch für Polynomfunktionen höheren Grades ermittelt werden.
 

===Exponentialfunktion $f(x)=a\cdot b^x$ bzw. $f(x)=a\cdot e^{\lambda \cdot x}$ mit $a,b \in ℝ^+$, $\lambda \in ℝ$===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||FA 5.1
||verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene exponentielle Zusammenhänge als Exponentialfunktion erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können
||[[Exponentialfunktionen | Theorie]]
||[[Exponentialfunktionen #Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung| Beispiele]]
|-
||FA 5.2
||aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Exponentialfunktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können
||[[Exponentialfunktionen | Theorie]]
||[[Exponentialfunktionen #Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung| Beispiele]]
|-
||FA 5.3
||die Wirkung der Parameter $a$ und $b$ (bzw. $e^\lambda$) kennen und die Parameter in unterschiedlichen Kontexten deuten können
||[[Exponentialfunktionen | Theorie]]
||[[Exponentialfunktionen #Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung| Beispiele]]
|-
||FA 5.4
||charakteristische Eigenschaften $(f(x +1)= b\cdot f(x); [e^x]'=e^x)$ kennen und im Kontext deuten können
||[[Exponentialfunktionen | Theorie]]
||[[Exponentialfunktionen #Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung | Beispiele]]
|-
||FA 5.5
||die Begriffe ''Halbwertszeit'' und ''Verdoppelungszeit'' kennen, die entsprechenden Werte berechnen und im Kontext deuten können
||[[Exponentialfunktionen | Theorie]]
||[[Exponentialfunktionen #Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung | Beispiele]]
|-
||FA 5.6
||die Angemessenheit einer Beschreibung mittels Exponentialfunktion bewerten können
||[[Exponentialfunktionen | Theorie]]
||[[Exponentialfunktionen #Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Die Parameter $a$ und $b$ (bzw. $e^{\lambda}$) sollen sowohl für konkrete Werte als auch allgemein im jeweiligen Kontext interpretiert werden können. Entsprechendes gilt für die Wirkung der Parameter und deren Änderung.
 
 

===Sinusfunktion, Cosinusfunktion===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||FA 6.1
||grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene Zusammenhänge der Art $f(x)=a\cdot sin(b\cdot x)$ als allgemeine Sinusfunktion erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können
||[[Trigonometrie #Trigonometrische Funktionen| Theorie]]
||[[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 6.2
||aus Graphen und Gleichungen von allgemeinen Sinusfunktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können
||[[Trigonometrie #Trigonometrische Funktionen | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 6.3
||die Wirkung der Parameter $a$ und $b$ kennen und die Parameter im Kontext deuten können
||[[Trigonometrie #Trigonometrische Funktionen | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 6.4
||Periodizität als charakteristische Eigenschaft kennen und im Kontext deuten können
||[[Trigonometrie #Trigonometrische Funktionen | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 6.5
||wissen, dass $cos(x)= sin(x + \frac {\pi} {2})$
||[[Trigonometrie #Trigonometrische Funktionen | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 6.6
||wissen, dass gilt: $[sin(x)]'=cos(x), [cos(x)]'=-sin(x)$
||[[Differenzen- und Differentialquotient | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Während zur Auflösung von rechtwinkeligen Dreiecken Sinus, Cosinus und
Tangens verwendet werden, beschränkt sich die funktionale Betrachtung (weitgehend) auf die allgemeine Sinusfunktion. Wesentlich dabei sind die Interpretation der Parameter (im Graphen wie auch in entsprechenden Kontexten) sowie der Verlauf des Funktionsgraphen und die Periodizität.
 
 

==Analysis==
===Änderungsmaße===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AN 1.1.
||absolute und relative (prozentuelle) Änderungsmaße unterscheiden und angemessen verwenden können
||[[Änderungsmaße| Theorie]]
||[[Änderungsmaße #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AN 1.2.
||den Zusammenhang ''Differenzenquotient (mittlere Änderungsrate) – Differenzialquotient (momentane Änderungsrate)'' auf der Grundlage eines intuitiven Grenzwertbegriffes kennen und damit (verbal sowie in formaler Schreibweise) auch kontextbezogen anwenden können
||[[Differenzen- und Differentialquotient | Theorie]]
||[[Differenzen- und Differentialquotient #Maturabeispiele| Beispiele]]
|-
||AN 1.3.
||den Differenzen- und Differenzialquotienten in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverhalte durch den Differenzen- bzw. Differenzialquotienten beschreiben können
||[[Differenzen- und Differentialquotient|Theorie]]
||[[Differenzen-_und_Differentialquotient #Maturabeispiele| Beispiele]]
|-
||AN 1.4.
||das systemdynamische Verhalten von Größen durch Differenzengleichungen beschreiben bzw. diese im Kontext deuten können
||[[Differenzengleichungen | Theorie]]
||[[Differenzengleichungen #Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Der Fokus liegt auf dem Darstellen von Änderungen durch Differenzen von Funktionswerten, durch prozentuelle Veränderungen, durch Differenzenquotienten und durch Differenzialquotienten, ganz besonders aber auch auf der Interpretation dieser Veränderungsmaße im jeweiligen Kontext. Durch den Einsatz elektronischer Hilfsmittel ist auch die Berechnung von Differenzen- und Differenzialquotienten beliebiger (differenzierbarer) Funktionen möglich.
 
 

===Regeln für das Differenzieren===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AN 2.1.
||einfache Regeln des Differenzierens kennen und anwenden können: Potenzregel, Summenregel, Regeln für $[k \cdot f(x)]′$ und $[f(k \cdot x)]′$ (vgl. Inhaltsbereich ''Funktionale Abhängigkeiten'')
||[[Inhalt:Differenzieren: Rechnerisches Bestimmen von f'| Theorie]]
||[[Inhalt:Differenzieren: Rechnerisches Bestimmen von f' #Interaktives Quiz - Einfache Regeln des Differenzierens (AN 2.1)| Beispiele]]
|}
 

===Ableitungsfunktion/Stammfunktion===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AN 3.1.
||den Begriff ''Ableitungsfunktion/Stammfunktion'' kennen und zur Beschreibung von Funktionen einsetzen können
||[[Integration| Theorie]]
||[[Integration#Beispiele | Beispiele]]
|-
||AN 3.2.
||den Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitungsfunktion (bzw. Funktion und Stammfunktion) in deren grafischer Darstellung (er)kennen und beschreiben können
||[[Ableitung bestimmen| Theorie]]
||[[Ableitung bestimmen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AN 3.3.
||Eigenschaften von Funktionen mithilfe der Ableitung(sfunktion) beschreiben können: Monotonie, lokale Extrema, Links- und Rechtskrümmung, Wendestellen
||[[Kurvendiskussionen #Grundwissen über f(x), f'(x) und f''(x)| Theorie]]
||[[Kurvendiskussionen #Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Der Begriff der ''Ableitung(sfunktion)'' soll verständig und zweckmäßig zur Beschreibung von Funktionen eingesetzt werden. Durch den Einsatz elektronischer Hilfsmittel ist das Ableiten von Funktionen nicht durch die in den Grundkompetenzen angeführten Differenziationsregeln eingeschränkt.
 

===Summation und Integral===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AN 4.1.
||den Begriff des bestimmten Integrals als Grenzwert einer Summe von Produkten deuten und beschreiben können
||[[Integration| Theorie]]
||[[Integration #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AN 4.2.
||einfache Regeln des Integrierens kennen und anwenden können: Potenzregel, Summenregel, $\int k\cdot f(x)\,dx$, $\int f(k\cdot x)\,dx$ (vgl. Inhaltsbereich ''Funktionale Abhängigkeiten''), bestimmte Integrale von Polynomfunktionen ermitteln können
||[[Integration| Theorie]]
||[[Integration #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AN 4.3.
||das bestimmte Integral in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverhalte durch Integrale beschreiben können
||[[Integration| Theorie]]
||[[Integration #Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Analog zum Differenzialquotienten liegt der Fokus beim bestimmten Integral auf der Beschreibung entsprechender Sachverhalte durch bestimmte Integrale sowie vor allem auf der angemessenen Interpretation des bestimmten Integrals im jeweiligen Kontext. Durch den Einsatz elektronischer Hilfsmittel ist die Berechnung von bestimmten Integralen nicht durch die in den Grundkompetenzen angeführten Integrationsregeln eingeschränkt.
 

==Wahrscheinlichkeit und Statistik==
===Beschreibende Statistik===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||WS 1.1
||Werte aus tabellarischen und elementaren grafischen Darstellungen ablesen (bzw. zusammengesetzte Werte ermitteln) und im jeweiligen Kontext angemessen interpretieren können
||[[Statistik:Daten und Diagramme| Theorie]]
||[[Beschreibende_Statistik#tab=Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: (Un-)geordnete Liste, Strichliste, Piktogramm, Säulen-, Balken-, Linien-, Stängel-Blatt-, Punktwolkendiagramm, Histogramm (als Spezialfall eines Säulendiagramms), Prozentstreifen, Kastenschaubild (Boxplot)
 

{| border="1"
|-
||WS 1.2$\ \ \ \ \ \ \ $
||Tabellen und einfache statistische Grafiken erstellen, zwischen Darstellungsformen wechseln können

||[[Beschreibende_Statistik#tab=Zentralma_C3_9Fe_-_statistische_Kennzahlen_f_C3_BCr_das_Mittel| Theorie]]
||[[Beschreibende_Statistik#tab=Matura-Aufgaben| Beispiele]]
|-
||WS 1.3
||statistische Kennzahlen (absolute und relative Häufigkeiten; arithmetisches Mittel, Median, Modus, Quartile, Spannweite, empirische Varianz/Standardabweichung) im jeweiligen Kontext interpretieren können; die angeführten Kennzahlen für einfache Datensätze ermitteln können

||[[Beschreibende Statistik| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeitsrechnung#Matura-Aufgaben| Beispiele]]
|-
||WS 1.4
||Definition und wichtige Eigenschaften des arithmetischen Mittels und des Medians angeben und nutzen, Quartile ermitteln und interpretieren können, die Entscheidung für die Verwendung einer bestimmten Kennzahl begründen können

||[[Beschreibende Statistik| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeitsrechnung#Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Wenn auch statistische Kennzahlen (für einfache Datensätze) ermittelt und elementare statistische Grafiken erstellt werden sollen, liegt das Hauptaugenmerk auf verständigen Interpretationen von Grafiken (unter Beachtung von Manipulationen) und Kennzahlen. Speziell für das arithmetische Mittel und den Median (auch als Quartile) müssen die wichtigsten Eigenschaften (definitorische Eigenschaften, Datentyp-Verträglichkeit, Ausreißerempfindlichkeit) gekannt und verständig eingesetzt bzw. berücksichtigt werden. Beim arithmetischen Mittel sind allenfalls erforderliche Gewichtungen zu beachten („gewogenes arithmetisches Mittel“) und zu nutzen (Bildung des arithmetischen Mittels aus arithmetischen Mitteln von Teilmengen).
 
 

===Wahrscheinlichkeitsrechnung===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||WS 2.1
||Grundraum und Ereignisse in angemessenen Situationen verbal beziehungsweise formal angeben können
||[[Wahrscheinlichkeit: Grundlagen| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]
|-
||WS 2.2
||relative Häufigkeit als Schätzwert von Wahrscheinlichkeit verwenden und anwenden können

||[[Wahrscheinlichkeit: Grundlagen| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Normalverteilung und Stetige Zufallsvariablen#Beispiele | Beispiele]]
|-
||WS 2.3
||Wahrscheinlichkeit unter der Verwendung der Laplace-Annahme (Laplace-Wahrscheinlichkeit) berechnen und interpretieren können, Additionsregel und Multiplikationsregel anwenden und interpretieren können

||[[Wahrscheinlichkeit: Grundlagen| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]
|-
||WS 2.4
||Binomialkoeffizient berechnen und interpretieren können

||[[Binomialkoeffizient| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]

|}

Anmerkungen: Die Multiplikationsregel kann unter Verwendung der kombinatorischen Grundlagen und der Anwendung der Laplace-Regel (auch) umgangen werden.
 
 

===Wahrscheinlichkeitsverteilungen===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||WS 3.1
||die Begriffe ''Zufallsvariable'', ''(Wahrscheinlichkeits-)Verteilung'', ''Erwartungswert'' und ''Standardabweichung'' verständig deuten und einsetzen können

||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]

|-
||WS 3.2
||Binomialverteilung als Modell einer diskreten Verteilung kennen – Erwartungswert sowie Varianz/Standardabweichung binomialverteilter Zufallsgrößen ermitteln können, Wahrscheinlichkeitsverteilung binomialverteilter Zufallsgrößen angeben können, Arbeiten mit der Binomialverteilung in anwendungsorientierten Bereichen

||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]

|-
||WS 3.3
||Situationen erkennen und beschreiben können, in denen mit Binomialverteilung modelliert werden kann

||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]
|-
||WS 3.4
||Normalapproximation der Binomialverteilung interpretieren und anwenden können

||[[Wahrscheinlichkeit: Normalverteilung und Stetige Zufallsvariablen| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Normalverteilung und Stetige Zufallsvariablen#Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Kennen und Anwenden der Faustregel, dass die Normalapproximation der Binomialverteilung mit den Parametern $n$ und $p$ dann anzuwenden ist und gute Näherungswerte liefert, wenn die Bedingung $n\cdot p \cdot (1–p)\geq 9 $ erfüllt ist. Die Anwendung der Stetigkeitskorrektur ist nicht notwendig und daher für Berechnungen im Zuge von Prüfungsbeispielen vernachlässigbar. Kennen des Verlaufs der Dichtefunktion $φ$ der Standardnormalverteilung mit Erwartungswert $\mu$ und Standardabweichung $\sigma$. Arbeiten mit der Verteilungsfunktion $Φ$ der Standardnormalverteilung und korrektes Ablesen der entsprechenden Wert.
 
 

===Schließende/Beurteilende Statistik===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||WS 4.1
||Konfidenzintervalle als Schätzung für eine Wahrscheinlichkeit oder einen unbekannten Anteil interpretieren (frequentistische Deutung) und verwenden können, Berechnungen auf Basis der Binomialverteilung oder einer durch die Normalverteilung approximierten Binomialverteilung durchführen können

||[[Konfidenzintervall| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]
|}

Integration

2020-04-11T13:23:45Z

PeterLamp:

= Unbestimmtes Integral =

 Das unbestimmte Integral - Berechnung der Stammfunktion 
----
{{Inhalt:Integration:Das unbestimmte Integral - Berechnung der Stammfunktion}}

{| align="right"
| <div class="testbutton-blue"> {{#switchtablink:Idee der Integration|$\rightarrow$ nächste Seite ...}} </div>
|}

= Idee der Integration =
 Idee der Integration: Fläche als Summe unendlich kleiner Rechtecke 
----

{{Inhalt:Integration: Idee der Integration: Fläche als Summe unendlich kleiner Rechtecke}}

{| align="right"
| <div class="testbutton-blue"> {{#switchtablink:Bestimmtes Integral|$\rightarrow$ nächste Seite ...}} </div>
|}

= Bestimmtes Integral =
 Das bestimmte Integral - Berechnung der orientierten Fläche 
----

{{Inhalt:Integration: Das bestimmte Integral - Berechnung der orientierten Fläche}}

{| align="right"
| <div class="testbutton-blue"> {{#switchtablink:Anwendung 1|$\rightarrow$ nächste Seite ...}} </div>
|}

= Anwendung 1 =
 Berechnung von Flächen, die oberhalb und unterhalb der $x$-Achse liegen 
----

{{Inhalt:Integration: Berechnung von Flächen, die oberhalb und unterhalb der x-Achse liegen}}

{| align="right"
| <div class="testbutton-blue"> {{#switchtablink:Anwendung 2|$\rightarrow$ nächste Seite ...}} </div>
|}

= Anwendung 2 =
 Berechnung von Flächen zwischen zwei Kurven 
----

{{Inhalt:Integration: Berechnung von Flächen zwischen zwei Kurven}}

{| align="right"
| <div class="testbutton-blue"> {{#switchtablink:Anwendung 3|$\rightarrow$ nächste Seite ...}} </div>
|}

= Anwendung 3=
 Integration: Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung 
----

{{Inhalt:Integration: Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung}}

{| align="right"
| <div class="testbutton-blue"> {{#switchtablink:Technologieeinsatz|$\rightarrow$ nächste Seite ...}} </div>
|}

= Technologieeinsatz =

Wählen Sie die Technologie aus:
* [[GeoGebra#Integration | GeoGebra]]
* [[TI-Befehle#Integration|Integration|Ti-8x]]

{| align="right"
| <div class="testbutton-blue"> {{#switchtablink:Übungs- und Maturaaufgaben|$\rightarrow$ nächste Seite ...}} </div>
|}

= Beispiele =

== Interaktive Quizzes ==

=== Bestimmtes Integral als Grenzwert (AN 4.1) ===

{{#widget:Iframe
|url= https://h5p.org/h5p/embed/763906
|width= 90%
|height= 700
|border=1
}}
 

=== Einfache Regeln des Integrierens (AN 4.2) ===

{{#widget:Iframe
|url= https://h5p.org/h5p/embed/763909
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|height= 700
|border=1
}}
 

=== Deutung des bestimmten Integrals (AN 4.3) ===

{{#widget:Iframe
|url= https://h5p.org/h5p/embed/763913
|width= 90%
|height= 700
|border=1
}}
 

== Übungs- und Maturaaufgaben ==
 Übungs- und Maturaaufgaben 
----
* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| ? ]] [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_integralrechnung/2011-03-22-Integral/Lernpfad/ Quiz-Aufgabe] (klicke links auf: "Übungen" und dann wähle eine Übung unter "Quiz")

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]] [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=26&file=Erddamm.pdf Erddamm] (leicht-mittel)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]] [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=135&file=Volumenstrom.pdf Volumenstrom] (mittel-schwer-mittel)
:: Hier benötigst du auch Wissen über [[Differenzen- und Differentialquotient#Differentialquotient | die momentane Änderungsrate]] und [[Umkehraufgaben]].

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]] [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=117&file=Pinboard.pdf Pinboard] (mittel)
:: Hier brauchst du auch Wissen über [[Kurvendiskussionen]] und über [[Gleichungssysteme (2.7.) | das Lösen von Gleichungssystemen]] bzw. [[Umkehraufgaben]].

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]] [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=130&file=Wasserkanal.pdf Wasserkanal] (mittel-mittel-leicht)
:: Hier brauchst du auch Wissen über [[Kurvendiskussionen]] bzw. [[Steigung und Steigungswinkel]] sowie den [http://www.mathe-lexikon.at/geometrie/ebene-figuren/vierecke/trapez/flaecheninhalt.html Flächeninhalt eines Trapezes'].

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]]: [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=142&file=Energieverbrauch_und_Joggen.pdf Energieverbrauch beim Joggen] (mittel)
:: Welche Inhalte brauchst du hier noch: [[Wachstums- und Zerfallsprozesse | exponentielle Abnahme]] und [[Differenzen- und Differentialquotient]].

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]] [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=155&file=Schmuckstueck.pdf Schmuckstück] (leicht-mittel-mittel)
:: Was brauchst du hier noch: [[Quadratische Funktionen]] bzw. [[Umkehraufgaben]].

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]] [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=193&file=Minirampe.pdf Minirampe] (mittel)
:: Hier brauchst du auch Wissen über [[Kurvendiskussionen]] sowie über [[Steigung und Steigungswinkel]] und über [[Umkehraufgaben]].

[[Kategorie:Porod 2015 5h]]
[[Kategorie:Raggl 8a]]
[[Kategorie:Längle 4c]]

Spezial:Badtitle/NS3000:Differenzieren: Rechnerisches Bestimmen von f'

2020-04-11T13:18:05Z

PeterLamp: /* Beispiele */

Grundkompetenzen AHS

2020-04-11T13:15:53Z

PeterLamp: /* Ableitungsfunktion/Stammfunktion */

Die folgenden Tabellen listen alle Grundkompetenzen für die AHS auf.

Die Grundkompetenzen sind in insgesamt $4$ Inhaltsbereiche gegliedert:

==Algebra und Geometrie==
===Grundbegriffe der Algebra===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AG 1.1
||Wissen über die Zahlenmengen $ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, ℂ$ verständig einsetzen können
||[[Zahlenmengen | Theorie]]
||[[Zahlenmengen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 1.2
||Wissen über algebraische Begriffe angemessen einsetzen können: Variable, Terme, Formeln, (Un-)Gleichungen, Gleichungssysteme, Äquivalenz, Umformungen, Lösbarkeit
||[[Algebraische Begriffe | Theorie]]
||[[Quiz #Algebraische Grundbegriffe (AG 1.2) | Beispiele]]
|}
Anmerkungen: Bei den Zahlenmengen soll man die Mengenbezeichnungen und die Teilmengenbeziehungen kennen, Elemente angeben sowie zuordnen können und die reellen Zahlen als Grundlage kontinuierlicher Modelle kennen. Zum Wissen über die reellen Zahlen gehört auch, dass es Zahlenbereiche gibt, die über $ℝ$ hinausgehen. Die algebraischen Begriffe soll man anhand von einfachen Beispielen beschreiben/erklären und verständig verwenden können. 

===(Un-)Gleichungen und Gleichungssysteme===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AG 2.1
||einfache Terme und Formeln aufstellen, umformen und im Kontext deuten können
||[[Terme und Formeln| Theorie]]
||[[Formeln #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 2.2
||lineare Gleichungen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen und die Lösung im Kontext deuten können
||[[lineare Gleichungen mit einer Variablen | Theorie]]
||[[lineare Gleichungen mit einer Variablen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 2.3
||quadratische Gleichungen in einer Variablen umformen/lösen, über Lösungsfälle Bescheid wissen, Lösungen und Lösungsfälle (auch geometrisch) deuten können
||[[Quadratische Gleichungen | Theorie]]
||[[Quadratische Gleichungen #Interaktives Quiz| Beispiele]]
|-
||AG 2.4
||lineare Ungleichungen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen, Lösungen (auch geometrisch) deuten können
||[[Lineare Ungleichungen mit 2 Variablen | Theorie]]
||[[Lineare Ungleichungen mit 2 Variablen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 2.5
||lineare Gleichungssysteme in zwei Variablen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen, über Lösungsfälle Bescheid wissen, Lösungen und Lösungsfälle (auch geometrisch) deuten können
||[[Gleichungssysteme | Theorie]]
||[[Gleichungssysteme #Interaktives Quiz| Beispiele]]
|}
Anmerkungen: Einfache Terme können auch Potenzen, Wurzeln, Logarithmen, Sinus etc. beinhalten. Mit dem Einsatz elektronischer Hilfsmittel können auch komplexere Umformungen von Termen, Formeln und Gleichungen, Ungleichungen und Gleichungssystemen durchgeführt werden. 

===Vektoren===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AG 3.1
||Vektoren als Zahlentupel verständig einsetzen und im Kontext deuten können
||[[Vektorrechnung | Theorie]]
||[[Vektorrechnung #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 3.2
||Vektoren geometrisch (als Punkte bzw. Pfeile) deuten und verständig einsetzen können
||[[Vektorrechnung | Theorie]]
||[[Vektorrechnung #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 3.3
||Definition der Rechenoperationen mit Vektoren (Addition, Multiplikation mit einem Skalar, Skalarmultiplikation) kennen, Rechenoperationen verständig einsetzen und (auch geometrisch) deuten können
||[[Vektorrechnung | Theorie]]
||[[Vektorrechnung #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 3.4
||Geraden durch (Parameter-)Gleichungen in $ℝ^2$ und $ℝ^3$ angeben können; Geradengleichungen interpretieren können; Lagebeziehungen (zwischen Geraden und zwischen Punkt und Gerade) analysieren, Schnittpunkte ermitteln können
||[[Vektorrechnung | Theorie]]
||[[Vektorrechnung #Beispiele| Beispiele]]
|-
||AG 3.5
||Normalvektoren in $ℝ^2$ aufstellen, verständig einsetzen und interpretieren können
||[[Vektorrechnung | Theorie]]
||[[Vektorrechnung #Beispiele | Beispiele]]
|}
Anmerkungen: Vektoren sind als Zahlentupel, also als algebraische Objekte, zu verstehen und in entsprechenden Kontexten ver-ständig einzusetzen. Punkte und Pfeile in der Ebene und im Raum müssen als geometrische Veranschaulichung dieser algebraischen Objekte interpretiert werden können. Die geometrische Deutung der Skalarmultiplikation (in $ℝ^2$ und $ℝ^3$) meint hier nur den Spezialfall $a\cdot b= 0$. Geraden sollen in Parameterform, in $ℝ^2$ auch in parameterfreier Form, angegeben und interpretiert werden können. 

===Trigonometrie===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AG 4.1
||Definitionen von ''Sinus'', ''Cosinus'' und ''Tangens'' im rechtwinkeligen Dreieck kennen und zur Auflösung rechtwinkeliger Dreiecke einsetzen können
||[[Trigonometrie | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|-
||AG 4.2
||Definitionen von ''Sinus'' und ''Cosinus'' für Winkel größer als $90°$ kennen und einsetzen können
||[[Trigonometrie | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|}
Anmerkungen: Die Kontexte beschränken sich auf einfache Fälle in der Ebene und im Raum, komplexe (Vermessungs-)Aufgaben sind hier nicht gemeint; Sinus- und Cosinussatz werden dabei nicht benötigt.
 
 

==Funktionale Abhängigkeiten==
===Funktionsbegriff, reelle Funktionen, Darstellungsformen und Eigenschaften===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||FA 1.1
||für gegebene Zusammenhänge entscheiden können, ob man sie als Funktionen betrachten kann
||[[Funktionen | Theorie]]
||[[Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 1.2
||Formeln als Darstellung von Funktionen interpretieren und dem Funktionstyp zuordnen können
||[[Funktionen_in_mehreren_Unbekannten| Theorie]]
||[[Funktionen_in_mehreren_Unbekannten #Beispielaufgaben + Interaktives Quiz| Beispiele]]
|-
||FA 1.3
||zwischen tabellarischen und grafischen Darstellungen funktionaler Zusammenhänge wechseln können
||[[Funktionen | Theorie]]
||[[Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 1.4
||aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Funktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können
||[[Funktionen | Theorie]]
||[[Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 1.5
||Eigenschaften von Funktionen erkennen, benennen, im Kontext deuten und zum Erstellen von Funktionsgraphen einsetzen können: Monotonie, Monotoniewechsel (lokale Extrema), Wendepunkte, Periodizität, Achsensymmetrie, asymptotisches Verhalten, Schnittpunkte mit den Achsen
||[[Funktionen | Theorie]]
||[[Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 1.6
||Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen grafisch und rechnerisch ermitteln und im Kontext interpretieren können
||[[Schnittpunkt zweier Funktionen | Theorie]]
||[[Schnittpunkt zweier Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 1.7
||Funktionen als mathematische Modelle verstehen und damit verständig arbeiten können
||[[mathematische Modelle | Theorie]]
||[[mathematische Modelle #Funktionen als mathematische Modelle (FA 1.7)| Beispiele]]
|-
||FA 1.8
||durch Gleichungen (Formeln) gegebene Funktionen mit mehreren Veränderlichen im Kontext deuten können, Funktionswerte ermitteln können
||[[Funktionen in mehreren Unbekannten | Theorie]]
||[[Funktionen in mehreren Unbekannten #Beispielaufgaben + Interaktives Quiz | Beispiele]]
|-
||FA 1.9
||einen Überblick über die wichtigsten (unten angeführten) Typen mathematischer Funktionen geben, ihre Eigenschaften vergleichen können
||[[Funktionen | Theorie]]
||[[Funktionen #Funktionstypen und deren Eigenschaften (FA 1.9) | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Auf eine sichere Unterscheidung zwischen funktionalen und nichtfunktionalen Zusammenhängen wird Wert gelegt,auf theoretisch bedeutsame Eigenschaften (z. B. Injektivität, Surjektivität, Umkehrbarkeit)wird aber nicht fokussiert. Im Vordergrund steht die Rolle von Funktionen als Modelle und die verständige Nutzung grundlegender Funktionstypen und deren Eigenschaften sowie der verschiedenen Darstellungsformen von Funktionen (auch $f:A→B$, $x↦f(x)$ ).
Die Bearbeitung von Funktionen mit mehreren Veränderlichen beschränkt sich auf die Interpretation der Funktionsgleichung im jeweiligen Kontext sowie auf die Ermittlung von Funktionswerten.
Der Verlauf von Funktionen soll nicht nur mathematisch beschrieben, sondern auch im jeweiligen Kontext gedeutet werden können.
 

===Lineare Funktion $f(x)=k\cdot x+d$===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||FA 2.1
||verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene lineare Zusammenhänge als lineare Funktionen erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können
||[[Lineare Funktionen| Theorie]]
||[[Lineare Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 2.2
||aus Tabellen, Graphen und Gleichungen linearer Funktionen Werte(paare) sowie die Parameter $k$ und $d$ ermitteln und im Kontext deuten können
||[[Lineare Funktionen | Theorie]]
||[[Lineare Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 2.3
||die Wirkung der Parameter $k$ und $d$ kennen und die Parameter in unterschiedlichen Kontexten deuten können
||[[Lineare Funktionen| Theorie]]
||[[Lineare Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 2.4
||charakteristische Eigenschaften kennen und im Kontext deuten können: $f(x+1)=f(x)+k; \frac {f(x_2)-f(x_1)} {x_2-x_1}=k=f'(x)$
||[[Lineare Funktionen | Theorie]]
||[[Lineare Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 2.5
||die Angemessenheit einer Beschreibung mittels linearer Funktion bewerten können
||[[Lineare Funktionen | Theorie]]
||[[Lineare Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 2.6
||direkte Proportionalität als lineare Funktion vom Typ $f(x)=k\cdot x$ beschreiben können

||[[Lineare Funktionen | Theorie]]
||[[Lineare Funktionen #Beispiele| Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Die Parameter $k$ und $d$ sollen sowohl für konkrete Werte als auch allgemein im jeweiligen Kontext interpretiert werden können. Entsprechendes gilt für die Wirkung der Parameter und deren Änderung.
 
 

===Potenzfunktion $f(x)=a\cdot x^z+b$, $z\in \mathbb{Z}$ oder mit $f(x)=a \cdot x^{ \frac{1}{2} }+b$===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||FA 3.1
||verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene Zusammenhänge dieser Art als entsprechende Potenzfunktionen erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können
||[[Potenzfunktionen | Theorie]]
||[[Potenzfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 3.2
||aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Potenzfunktionen Werte(paare) sowie die Parameter $a$ und $b$ ermitteln und im Kontext deuten können
||[[Potenzfunktionen | Theorie]]
||[[Potenzfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 3.3
||die Wirkung der Parameter $a$ und $b$ kennen und die Parameter im Kontext deuten können
||[[Potenzfunktionen | Theorie]]
||[[Potenzfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 3.4
||indirekte Proportionalität als Potenzfunktion vom Typ $f(x)=\frac {a} {x}$ (bzw. $f(x)=a\cdot x^{–1}$) beschreiben können
||[[indirekte Proportion | Theorie]]
||[[Potenzfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Wurzelfunktionen bleiben auf den quadratischen Fall $a\cdot x^\frac {1} {2}+b$ beschränkt.
 
 

===Polynomfunktion $f(x)=\sum_{i=0}^{n} a_i \cdot x^i$ mit $n \in ℕ$===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||FA 4.1
||typische Verläufe von Graphen in Abhängigkeit vom Grad der Polynomfunktion (er)kennen
||[[Polynomfunktionen | Theorie]]
||[[Polynomfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 4.2
||zwischen tabellarischen und grafischen Darstellungen von Zusammenhängen dieser Art wechseln können
||[[Polynomfunktionen | Theorie]]
||[[Polynomfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 4.3
||aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Polynomfunktionen Funktionswerte, aus Tabellen und Graphen sowie aus einer quadratischen Funktionsgleichung Argumentwerte ermitteln können
||[[Polynomfunktionen | Theorie]]
||[[Polynomfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 4.4
||den Zusammenhang zwischen dem Grad der Polynomfunktion und der Anzahl der Null- ,Extrem- und Wendestellen wissen
||[[Polynomfunktionen | Theorie]]
||[[Polynomfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Der Zusammenhang zwischen dem Grad der Polynomfunktion und der Anzahl der Null-, Extrem- und Wendestellen sollte für beliebige $n$ bekannt sein, konkrete Aufgabenstellungen beschränken sich auf Polynomfunktionen mit $n\le4$. Mithilfe elektronischer Hilfsmittel können Argumentwerte auch für Polynomfunktionen höheren Grades ermittelt werden.
 

===Exponentialfunktion $f(x)=a\cdot b^x$ bzw. $f(x)=a\cdot e^{\lambda \cdot x}$ mit $a,b \in ℝ^+$, $\lambda \in ℝ$===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||FA 5.1
||verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene exponentielle Zusammenhänge als Exponentialfunktion erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können
||[[Exponentialfunktionen | Theorie]]
||[[Exponentialfunktionen #Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung| Beispiele]]
|-
||FA 5.2
||aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Exponentialfunktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können
||[[Exponentialfunktionen | Theorie]]
||[[Exponentialfunktionen #Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung| Beispiele]]
|-
||FA 5.3
||die Wirkung der Parameter $a$ und $b$ (bzw. $e^\lambda$) kennen und die Parameter in unterschiedlichen Kontexten deuten können
||[[Exponentialfunktionen | Theorie]]
||[[Exponentialfunktionen #Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung| Beispiele]]
|-
||FA 5.4
||charakteristische Eigenschaften $(f(x +1)= b\cdot f(x); [e^x]'=e^x)$ kennen und im Kontext deuten können
||[[Exponentialfunktionen | Theorie]]
||[[Exponentialfunktionen #Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung | Beispiele]]
|-
||FA 5.5
||die Begriffe ''Halbwertszeit'' und ''Verdoppelungszeit'' kennen, die entsprechenden Werte berechnen und im Kontext deuten können
||[[Exponentialfunktionen | Theorie]]
||[[Exponentialfunktionen #Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung | Beispiele]]
|-
||FA 5.6
||die Angemessenheit einer Beschreibung mittels Exponentialfunktion bewerten können
||[[Exponentialfunktionen | Theorie]]
||[[Exponentialfunktionen #Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Die Parameter $a$ und $b$ (bzw. $e^{\lambda}$) sollen sowohl für konkrete Werte als auch allgemein im jeweiligen Kontext interpretiert werden können. Entsprechendes gilt für die Wirkung der Parameter und deren Änderung.
 
 

===Sinusfunktion, Cosinusfunktion===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||FA 6.1
||grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene Zusammenhänge der Art $f(x)=a\cdot sin(b\cdot x)$ als allgemeine Sinusfunktion erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können
||[[Trigonometrie #Trigonometrische Funktionen| Theorie]]
||[[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 6.2
||aus Graphen und Gleichungen von allgemeinen Sinusfunktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können
||[[Trigonometrie #Trigonometrische Funktionen | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 6.3
||die Wirkung der Parameter $a$ und $b$ kennen und die Parameter im Kontext deuten können
||[[Trigonometrie #Trigonometrische Funktionen | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 6.4
||Periodizität als charakteristische Eigenschaft kennen und im Kontext deuten können
||[[Trigonometrie #Trigonometrische Funktionen | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 6.5
||wissen, dass $cos(x)= sin(x + \frac {\pi} {2})$
||[[Trigonometrie #Trigonometrische Funktionen | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 6.6
||wissen, dass gilt: $[sin(x)]'=cos(x), [cos(x)]'=-sin(x)$
||[[Differenzen- und Differentialquotient | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Während zur Auflösung von rechtwinkeligen Dreiecken Sinus, Cosinus und
Tangens verwendet werden, beschränkt sich die funktionale Betrachtung (weitgehend) auf die allgemeine Sinusfunktion. Wesentlich dabei sind die Interpretation der Parameter (im Graphen wie auch in entsprechenden Kontexten) sowie der Verlauf des Funktionsgraphen und die Periodizität.
 
 

==Analysis==
===Änderungsmaße===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AN 1.1.
||absolute und relative (prozentuelle) Änderungsmaße unterscheiden und angemessen verwenden können
||[[Änderungsmaße| Theorie]]
||[[Änderungsmaße #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AN 1.2.
||den Zusammenhang ''Differenzenquotient (mittlere Änderungsrate) – Differenzialquotient (momentane Änderungsrate)'' auf der Grundlage eines intuitiven Grenzwertbegriffes kennen und damit (verbal sowie in formaler Schreibweise) auch kontextbezogen anwenden können
||[[Differenzen- und Differentialquotient | Theorie]]
||[[Differenzen- und Differentialquotient #Maturabeispiele| Beispiele]]
|-
||AN 1.3.
||den Differenzen- und Differenzialquotienten in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverhalte durch den Differenzen- bzw. Differenzialquotienten beschreiben können
||[[Differenzen- und Differentialquotient|Theorie]]
||[[Differenzen-_und_Differentialquotient #Maturabeispiele| Beispiele]]
|-
||AN 1.4.
||das systemdynamische Verhalten von Größen durch Differenzengleichungen beschreiben bzw. diese im Kontext deuten können
||[[Differenzengleichungen | Theorie]]
||[[Differenzengleichungen #Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Der Fokus liegt auf dem Darstellen von Änderungen durch Differenzen von Funktionswerten, durch prozentuelle Veränderungen, durch Differenzenquotienten und durch Differenzialquotienten, ganz besonders aber auch auf der Interpretation dieser Veränderungsmaße im jeweiligen Kontext. Durch den Einsatz elektronischer Hilfsmittel ist auch die Berechnung von Differenzen- und Differenzialquotienten beliebiger (differenzierbarer) Funktionen möglich.
 
 

===Regeln für das Differenzieren===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AN 2.1.
||einfache Regeln des Differenzierens kennen und anwenden können: Potenzregel, Summenregel, Regeln für $[k \cdot f(x)]′$ und $[f(k \cdot x)]′$ (vgl. Inhaltsbereich ''Funktionale Abhängigkeiten'')
||[[Inhalt:Differenzieren: Rechnerisches Bestimmen von f'| Theorie]]
||[[Inhalt:Differenzieren: Rechnerisches Bestimmen von f' #Interaktives Quiz - Einfache Regeln des Differenzierens (AN 2.1)| Beispiele]]
|}
 

===Ableitungsfunktion/Stammfunktion===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AN 3.1.
||den Begriff ''Ableitungsfunktion/Stammfunktion'' kennen und zur Beschreibung von Funktionen einsetzen können
||[[Integration| Theorie]]
||[[Integration#Beispiele | Beispiele]]
|-
||AN 3.2.
||den Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitungsfunktion (bzw. Funktion und Stammfunktion) in deren grafischer Darstellung (er)kennen und beschreiben können
||[[Ableitung bestimmen| Theorie]]
||[[Ableitung bestimmen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AN 3.3.
||Eigenschaften von Funktionen mithilfe der Ableitung(sfunktion) beschreiben können: Monotonie, lokale Extrema, Links- und Rechtskrümmung, Wendestellen
||[[Kurvendiskussionen #Grundwissen über f(x), f'(x) und f''(x)| Theorie]]
||[[Kurvendiskussionen #Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Der Begriff der ''Ableitung(sfunktion)'' soll verständig und zweckmäßig zur Beschreibung von Funktionen eingesetzt werden. Durch den Einsatz elektronischer Hilfsmittel ist das Ableiten von Funktionen nicht durch die in den Grundkompetenzen angeführten Differenziationsregeln eingeschränkt.
 

===Summation und Integral===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AN 4.1.
||den Begriff des bestimmten Integrals als Grenzwert einer Summe von Produkten deuten und beschreiben können
||[[Integration| Theorie]]
||[[Integration#Beispiele | Beispiele]]
|-
||AN 4.2.
||einfache Regeln des Integrierens kennen und anwenden können: Potenzregel, Summenregel, $\int k\cdot f(x)\,dx$, $\int f(k\cdot x)\,dx$ (vgl. Inhaltsbereich ''Funktionale Abhängigkeiten''), bestimmte Integrale von Polynomfunktionen ermitteln können
||[[Integration| Theorie]]
||[[Integration#Beispiele | Beispiele]]
|-
||AN 4.3.
||das bestimmte Integral in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverhalte durch Integrale beschreiben können
||[[Integration| Theorie]]
||[[Integration#Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Analog zum Differenzialquotienten liegt der Fokus beim bestimmten Integral auf der Beschreibung entsprechender Sachverhalte durch bestimmte Integrale sowie vor allem auf der angemessenen Interpretation des bestimmten Integrals im jeweiligen Kontext. Durch den Einsatz elektronischer Hilfsmittel ist die Berechnung von bestimmten Integralen nicht durch die in den Grundkompetenzen angeführten Integrationsregeln eingeschränkt.
 

==Wahrscheinlichkeit und Statistik==
===Beschreibende Statistik===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||WS 1.1
||Werte aus tabellarischen und elementaren grafischen Darstellungen ablesen (bzw. zusammengesetzte Werte ermitteln) und im jeweiligen Kontext angemessen interpretieren können
||[[Statistik:Daten und Diagramme| Theorie]]
||[[Beschreibende_Statistik#tab=Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: (Un-)geordnete Liste, Strichliste, Piktogramm, Säulen-, Balken-, Linien-, Stängel-Blatt-, Punktwolkendiagramm, Histogramm (als Spezialfall eines Säulendiagramms), Prozentstreifen, Kastenschaubild (Boxplot)
 

{| border="1"
|-
||WS 1.2$\ \ \ \ \ \ \ $
||Tabellen und einfache statistische Grafiken erstellen, zwischen Darstellungsformen wechseln können

||[[Beschreibende_Statistik#tab=Zentralma_C3_9Fe_-_statistische_Kennzahlen_f_C3_BCr_das_Mittel| Theorie]]
||[[Beschreibende_Statistik#tab=Matura-Aufgaben| Beispiele]]
|-
||WS 1.3
||statistische Kennzahlen (absolute und relative Häufigkeiten; arithmetisches Mittel, Median, Modus, Quartile, Spannweite, empirische Varianz/Standardabweichung) im jeweiligen Kontext interpretieren können; die angeführten Kennzahlen für einfache Datensätze ermitteln können

||[[Beschreibende Statistik| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeitsrechnung#Matura-Aufgaben| Beispiele]]
|-
||WS 1.4
||Definition und wichtige Eigenschaften des arithmetischen Mittels und des Medians angeben und nutzen, Quartile ermitteln und interpretieren können, die Entscheidung für die Verwendung einer bestimmten Kennzahl begründen können

||[[Beschreibende Statistik| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeitsrechnung#Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Wenn auch statistische Kennzahlen (für einfache Datensätze) ermittelt und elementare statistische Grafiken erstellt werden sollen, liegt das Hauptaugenmerk auf verständigen Interpretationen von Grafiken (unter Beachtung von Manipulationen) und Kennzahlen. Speziell für das arithmetische Mittel und den Median (auch als Quartile) müssen die wichtigsten Eigenschaften (definitorische Eigenschaften, Datentyp-Verträglichkeit, Ausreißerempfindlichkeit) gekannt und verständig eingesetzt bzw. berücksichtigt werden. Beim arithmetischen Mittel sind allenfalls erforderliche Gewichtungen zu beachten („gewogenes arithmetisches Mittel“) und zu nutzen (Bildung des arithmetischen Mittels aus arithmetischen Mitteln von Teilmengen).
 
 

===Wahrscheinlichkeitsrechnung===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||WS 2.1
||Grundraum und Ereignisse in angemessenen Situationen verbal beziehungsweise formal angeben können
||[[Wahrscheinlichkeit: Grundlagen| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]
|-
||WS 2.2
||relative Häufigkeit als Schätzwert von Wahrscheinlichkeit verwenden und anwenden können

||[[Wahrscheinlichkeit: Grundlagen| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Normalverteilung und Stetige Zufallsvariablen#Beispiele | Beispiele]]
|-
||WS 2.3
||Wahrscheinlichkeit unter der Verwendung der Laplace-Annahme (Laplace-Wahrscheinlichkeit) berechnen und interpretieren können, Additionsregel und Multiplikationsregel anwenden und interpretieren können

||[[Wahrscheinlichkeit: Grundlagen| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]
|-
||WS 2.4
||Binomialkoeffizient berechnen und interpretieren können

||[[Binomialkoeffizient| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]

|}

Anmerkungen: Die Multiplikationsregel kann unter Verwendung der kombinatorischen Grundlagen und der Anwendung der Laplace-Regel (auch) umgangen werden.
 
 

===Wahrscheinlichkeitsverteilungen===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||WS 3.1
||die Begriffe ''Zufallsvariable'', ''(Wahrscheinlichkeits-)Verteilung'', ''Erwartungswert'' und ''Standardabweichung'' verständig deuten und einsetzen können

||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]

|-
||WS 3.2
||Binomialverteilung als Modell einer diskreten Verteilung kennen – Erwartungswert sowie Varianz/Standardabweichung binomialverteilter Zufallsgrößen ermitteln können, Wahrscheinlichkeitsverteilung binomialverteilter Zufallsgrößen angeben können, Arbeiten mit der Binomialverteilung in anwendungsorientierten Bereichen

||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]

|-
||WS 3.3
||Situationen erkennen und beschreiben können, in denen mit Binomialverteilung modelliert werden kann

||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]
|-
||WS 3.4
||Normalapproximation der Binomialverteilung interpretieren und anwenden können

||[[Wahrscheinlichkeit: Normalverteilung und Stetige Zufallsvariablen| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Normalverteilung und Stetige Zufallsvariablen#Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Kennen und Anwenden der Faustregel, dass die Normalapproximation der Binomialverteilung mit den Parametern $n$ und $p$ dann anzuwenden ist und gute Näherungswerte liefert, wenn die Bedingung $n\cdot p \cdot (1–p)\geq 9 $ erfüllt ist. Die Anwendung der Stetigkeitskorrektur ist nicht notwendig und daher für Berechnungen im Zuge von Prüfungsbeispielen vernachlässigbar. Kennen des Verlaufs der Dichtefunktion $φ$ der Standardnormalverteilung mit Erwartungswert $\mu$ und Standardabweichung $\sigma$. Arbeiten mit der Verteilungsfunktion $Φ$ der Standardnormalverteilung und korrektes Ablesen der entsprechenden Wert.
 
 

===Schließende/Beurteilende Statistik===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||WS 4.1
||Konfidenzintervalle als Schätzung für eine Wahrscheinlichkeit oder einen unbekannten Anteil interpretieren (frequentistische Deutung) und verwenden können, Berechnungen auf Basis der Binomialverteilung oder einer durch die Normalverteilung approximierten Binomialverteilung durchführen können

||[[Konfidenzintervall| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]
|}

Ableitung bestimmen

2020-04-11T13:14:28Z

PeterLamp: /* Matura-Aufgaben */

In den folgenden Abschnitten geht es darum, die erste Ableitung $f'(x)$ einer Funktion $f(x)$ zu bestimmen. Doch zuerst wiederholen wir noch einmal die Definition von f':

Vorausgesetzt sei im Folgenden, dass die Funktion $f(x)$ auf ihrem Definitionsbereich immer differenzierbar ist (d.h. $f'(x)$ existiert). Dies muss, streng mathematisch genommen, vorausgesestzt werden.

== Was ist $f'(x)$? ==
{{Inhalt:Differenzieren:Was ist f'}}

 
 
 

== Graphisches Bestimmen der 1. Ableitung ==
{{Inhalt:Differenzieren:Graphisches Bestimmen von f'}}

== Rechnerisches bestimmen von $f'(x)$ - Ableitungsregeln==
{{Inhalt:Differenzieren: Rechnerisches Bestimmen von f'}}

=== Matura-Aufgaben ===
* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$ ]]: [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=214&file=Leistungskurve.pdf Leistungskurve]
*: hier musst du die Ableitungsfunktion graphisch bestimmen!

[[Kategorie:Differenzieren]]
[[Kategorie:Kurvendiskussionen]]

Spezial:Badtitle/NS3000:Differenzieren: Rechnerisches Bestimmen von f'

2020-04-11T13:13:19Z

PeterLamp: /* Interaktives Quiz - Einfache Regeln des Differenzierens (AN 2.1) = */

Im Folgenden sind Regeln aufgelistet, mit der $f'(x)$ berechnet werden kann.

== Grundlegende Regeln ==
{| border="1" align="center" cellpadding="10"
! Allgemeine Regeln
|-
| {{#ev:youtube|4_e-KRJbXUg}}
|}

{| class="wikitable"
|-
!Regel !! $f(x)$ !! $f'(x)$ !!Bemerkung
|-
|Potenzregel || $x^n$ || $n\cdot x^{n-1}$ || Der Exponent kommt herunter, dann wird die Hochzahl um $1$ vermindert.
|-
| Konstantenregel
$c\in \mathbb{R}$
|| $c$ || $0$ || Konstante Funktionen haben die Steigung $= 0$.
|-
|[[Faktor|Faktorregel]]
$a\in \mathbb{R}$
|| $a\cdot f(x)$|| $a\cdot f'(x)$ || Ein konstanter Faktor ist von der Ableitung nicht betroffen.
|-
|Summenregel || $f(x)+g(x)$ || $f'(x)+g'(x)$ || Eine Summe wird abgeleitet, indem jeder einzelne Summand einzeln abgeleitet wird.
|-
| [[Exponentialfunktionen(3.5.)|$e$-Funktion]] || $e^x$ || $e^x$ || Die besondere Eigenschaft von $e^x$ ist, dass es durch Ableiten nicht verändert wird.

(d. h. Funktionswert bei $x$ = Steigung bei $x$)
|-
| [[Logarithmus]] || $ln|x|$ || $\frac{1}{x}$ ||
|-
| [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)|Trigonometrische Funktionen]] || $sin(x)$ $cos(x)$ || $cos(x)$ $-sin(x)$ ||
[[Datei:Sin-cos-kreis.png|miniatur|300px|center|Durch mehrmaliges Ableiten der Sinus- oder Cosinusfunktion kommt man immer wieder zur Ausgangsfunktion zurück. In [http://geogebratube.org/student/m43313 diesem Arbeitsblatt] findest du eine Begründung dafür.]]

|}

{{Vorlage:Beispiel|1=Bestimme zu den folgenden Funktionen die Ableitungsfunktion:

 
 
 
#$f(x)=x^3$
#$f(x)=4x$
#$f(x)=3$
#$f(x)=5\cdot x^2$
#$x^3+5x^2-4x+3$
#$x+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^3}+\sqrt[5]{x^2}$
#$f(x)=\frac{x^4}{5}+2\cdot e^x-ln\vert x\vert $

|2=
Wir wenden die einzelnen Regeln Schritt für Schritt an:
#$f(x)=x^3 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel} 3\cdot x^{3-1}=3\cdot x^2$ 
#$f(x)=4\cdot x=4\cdot x^1 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel} 4\cdot 1\cdot x^{1-1}=4\cdot x^0=4\cdot 1=4$ 
#$f(x)=3 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Konstantenregel} 0$ 
#$f(x)=5\cdot x^2\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Faktorregel}5\cdot (x^2)' \underbrace{=}_{Potenzregel}=5\cdot 5\cdot 2\cdot x^{2-1}=10\cdot x$ 
#$x^3+5x^2-4x+3\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Summenregel}(x^3)'+(5x^2)'-(4x)'+(3)' \underbrace{=}_{Potenzregel}3x^2+10x-4+0$
#$x+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^3}+\sqrt[5]{x^2}\underbrace{=}_{umformen} x+x^{-1}-x^{-3}+x^{\frac{2}{5} }$ $$\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel}1\cdot x^0+(-1)\cdot x^{-2}-(-3)\cdot x^{-4}+\frac{2}{5}\cdot x^{(\frac{2}{5}-1)}=$$ $$=1-x^{-2}+3\cdot x^{-4}+\frac{2}{5}\cdot x^{-\frac{3}{5} }$$ $$=1-\frac{1}{x^2}+\frac{3}{x^4}+\frac{2}{5\sqrt[5]{x^3} }$$ 
#$f(x)=\frac{x^4}{5}+2\cdot e^x-ln \vert x \vert \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel/Faktorregel,\ e-\ und\ ln-Regel}\frac{4x^3}{5}+2\cdot e^x-\frac{1}{x}$
}}

'''Ordne im folgenden Applet Funktionen und ihre Ableitungen zu.'''
{{#widget:Iframe
|url= http://LearningApps.org/view656909
|width= 900
|height= 500
|border=0
}}

[[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| ? ]] [http://www.mathe-online.at/tests/diff1/poldiff.html Online-Übung (mathe-online)]
 
 

== Vertiefende Regeln zur Ableitung zusammengesetzter Funktionen ==
=== Produktregel ===
Im Gegensatz zur Summe zweier Funktionen $( f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)$, siehe oben 'Summenregel'$)$ kann man das [[Produkt]] zweier Funktionen $f(x)\cdot g(x)$ nicht mehr so einfach ableiten. Hierfür braucht es die sogenannte ...

{{Vorlage:Merke|1= '''Produktregel'''
$$(f(x)\cdot g(x))'=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$$
„Zuerst den ersten [[Faktor]] ableiten, den zweiten stehen lassen,
$$\textrm{Plus}$$
den ersten Faktor stehen lassen, den anderen ableiten.“ }}

{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben ist die Funktion $h(x)=(x^2-1)\cdot (3x^2-4x+1)$. Bestimmen Sie $h'(x)$.

|2= Da es sich hierbei um ein [[Produkt]] handelt, müssen wir die Produktregel anwenden:
$$h(x)=\underbrace{(x^2-1)}_{f(x)} \cdot \underbrace{(3x^2-4x+1)}_{g(x)}$$
Zuerst berechnen wir in einer Nebenrechnung die Ableitungen der Faktoren:
$$f(x)=x^2-1\rightarrow f'(x)=2x$$
$$g(x)=3x^2-4x-+1\rightarrow g'(x)=6x-4$$

Nun setzen wir die Formel zusammen:
$$h'(x)=\underbrace{2x}_{f'(x)}\cdot \underbrace{(3x^2-4x+1)}_{g(x)}+\underbrace{(x^2-1)}_{f(x)}\cdot \underbrace{(6x-4)}_{g'(x)}$$

Zuletzt vereinfachen wir noch das Ergebnis:
$$h'(x)=6x^3-8x^2+2x+6x^3-4x^2-6x+4$$
$$\underline{\underline{h'(x)=12x^3-12x^2-4x+4} }$$

}}

=== Quotientenregel ===

Um die Ableitung einer Division von $2$ Funktionen (= Quotienten) zu berechnen, verwendet man die ...

{{Vorlage:Merke|1= '''Quotientenregel'''
$$h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\ \rightarrow \ h'(x)=\frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{(g(x))^2 }$$

Im Zähler steht bis auf das $Minus$ die Produktregel. Im Nenner wird die Nenner-Funktion quadriert.
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Bestimmen Sie die Ableitung von $h(x)=\frac{x^2-x}{x+1}$.
|2=
Da es sich um einen Quotienten handelt, wenden wir die Quotientenregel an. Zuerst berechnen wir die Ableitung des Zählers ($f(x)$) und des Nenners ($g(x)$):

* Zähler: $f(x)=x^2-x\ \rightarrow f'(x)=2x-1$
* Nenner: $g(x)=x+1\ \rightarrow g'(x)=1$

Nun setzen wir die Quotientenregel zusammen:
$$h'(x)=\frac{(2x-1)\cdot (x+1)-(x^2-x)\cdot 1 }{(x+1)^2}$$
$$h'(x)=\frac{2x^2+x-1-x^2+x}{x^2+2x+1}$$
$$h'(x)=\frac{x^2+2x-1}{x^2+2x+1}$$
}}

=== Kettenregel ===
Um Klammerausdrücke oder verkettete Funktionen wie zum Beispiel $f(x)=\sqrt[3]{x^2-1}$ oder $e^{2x-1}$ abzuleiten, verwenden wir die ...

{{Vorlage:Merke|1='''Kettenregel'''
$$h(x)=f[g(x)]\ \ \rightarrow \ \ h'(x)=\underbrace{f'(g(x))}_{\textrm{äußere Ableitung} } \cdot \underbrace{g'(x)}_{\textrm{innere Ableitung} }$$

$f(x)$ wird als ''äußere Funktion'', $g(x)$ als ''innere Funktion'' bezeichnet.
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben ist $h(x)=\sqrt[3]{x^2-1}$. Bestimmen Sie $h'(x)$.
|2=
Zuerst schreiben wir die Wurzel in der [[Potenzen#Potenzregel_7|Exponentenschreibweise]]:
$$h(x)=(x^2-1)^{\frac{1}{3} }$$

* Die äußere Funktion ist nun $f(x)=(\ \ )^{\frac{1}{3} }$. Damit ist $f'(x)=\frac{1}{3}\cdot (\ \ )^{\frac{1}{3}-1}=\frac{1}{3}\cdot (\ \ )^{-\frac{2}{3} }$

* Die innere Funktion ist $g(x)=x^2-1$. Damit ist $g'(x)=2x$.

Nun setzen wir die Kettenregel zusammen:
$$ h'(x)=\underbrace{\frac{1}{3}\cdot (x^2-1)^{-\frac{2}{3} } }_{\textrm{äußere Ableitung} } \cdot \underbrace{2x}_{\textrm{innere Ableitung} }$$

$$ h'(x)=\frac{2x}{3\cdot \sqrt[3]{(x^2-1)^2} }$$
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion von $f(x)=e^{2x-1}$.
|2=
Zuerst kümmern wir uns um die äußere und innere Funktion getrennt:
* Die äußere Funktion ist die Exponentialfunktion $f(x)=e\textrm{^}\ \rightarrow\ f'(x)=e\textrm{^}$.
* Die innere Funktion ist $g(x)=2x-1 \ \rightarrow g'(x)=2$.

Nun setzen wir die Kettenregel wieder zusammen:

$$ h'(x)=\underbrace{e^{2x-1} }_{\textrm{äußere Ableitung} } \cdot \underbrace{2}_{\textrm{innere Ableitung} }$$
$$h'(x)=2\cdot e^{2x-1} $$
}}

== Lernvideos ==
{| align="center" border="1"
! Produkt-, Quotienten- und Kettenregel
! Ableitung der Exponentialfunktion
|-
|{{#ev:youtube|47bKq2lXGs8}}
|{{#ev:youtube|XVCBYo2_OoM}}
|}

== Beispiele ==
=== Interaktives Quiz - Einfache Regeln des Differenzierens (AN 2.1) ===

{{#widget:Iframe
|url= https://h5p.org/h5p/embed/762454
|width= 90%
|height= 700
|border=1
}}

Kurvendiskussionen

2020-04-11T13:09:53Z

PeterLamp:

= Überblick und Einleitung =

== Überblick und Einleitung ==

Beim Thema Kurvendiskussionen geht es darum, Eigenschaften von Funktionen (bzw. Kurven) zu ermitteln. Für die Matura sind die folgenden Eigenschaften wichtig:
* [[Kurvendiskussionen#Nullstellen | Nullstellen]]
* [[Kurvendiskussionen#Extremstellen: Hoch- und Tiefpunkte | Extremwerte]]
* [[Kurvendiskussionen#Wendepunkt und Wendetangente | Wendepunkt und Wendetangente]]

{| align="center"
|-
|
{{#ev:youtube|epCBOgwafp8}}
|}

'''Wichtig!''': Die folgenden Punkte gehören ebenfalls zum Thema Kurvendiskussionen, werden aber auf anderen Seiten behandelt:
* [[Steigung und Steigungswinkel]]

 
 
 

= Grundwissen über f(x), f<nowiki>'</nowiki>(x) und f<nowiki>''</nowiki>(x) =
== Grundwissen über f(x), f<nowiki>'</nowiki>(x) und f<nowiki>''</nowiki>(x) ==

Die folgende Tabelle gibt dir an, was mit der Funktion f(x), ihrer 1. Ableitung und ihrer 2. Ableitung berechnet werden kann..

{| border="1"
|- style="background:#e0e0e0"
!|
!| $f(x)$
!| $f'(x)$
!| $f''(x)$
|-

!| Gibt an ...
| den '''[[Funktionswert]]''' an der Stelle x
| die '''[[Steigung und Steigungswinkel|Steigung]]''' von f an der Stelle x
| die '''[[Krümmung]]''' von f an der Stelle x (=Steigung der Steigung)

|-
!| physikalische Interpretation
| Entfernung vom Ursprung in einem Zeit-Weg-Diagramm
oder
Höhe eines Objektes etc.
| [[Differenzen- und Differentialquotient#Der Differentialquotient (= momentane Steigung) | '''momentane''' Änderungsrate/Geschwindigkeit]] an der Stelle x
| Beschleunigung an der Stelle x

|-
!| wenn $>0$
| Funktionswert ist positiv und oberhalb der x-Achse
| $f'(x)>0 \rightarrow$ Funktion ist monoton steigend.
| $f''(x)>0 \rightarrow$ die Funktion ist linksgekrümmt (U-förmig). Die Steigung nimmt zu.

|-
!| wenn $<0$
| Funktionswert ist netagiv und unterhalb der x-Achse
| $f '(x)<0 \rightarrow$ Funktion ist monoton fallend.
|$f''(x)<0 \rightarrow$ die Funktion macht hier eine Rechtskurve (n-förmig)
Die Steigung nimmt ab.

|-
!| wenn $=0$
| [[Kurvendiskussionen#Nullstellen | Nullstellen]]
| Die Funktion steigt und fällt hier nicht. Möglicherweise befindet sich hier ein [[Kurvendiskussionen#Extremstellen: Hoch- und Tiefpunkte | Extremum]].
| Möglicherweise befindet sich hier ein [[Kurvendiskussionen#Wendepunkt und Wendetangente | Wendepunkt ]].

|}
 
 
 

= Nullstellen =
== Nullstellen ==

{{Inhalt:Nullstelle}}

 
 
 
= Extremstellen: Hoch- und Tiefpunkte =
== Extremstellen: Hoch- und Tiefpunkte ==

{{Inhalt:Extremstelle}}

 
 
 

= Wendepunkt und Wendetangente =
== Wendepunkt und Wendetangente ==
{{Inhalt:Wendepunkt und Wendetangente}}

 
 
 

= Zusatzvideos zur Vertiefung =
== Zusatzvideos zur Vertiefung ==

{| border="1" align=center
|-
|
{{#ev:youtube|x6PCkKP3PT4}}
|
{{#ev:youtube|tmrpkUuQgj4}}
|}

= Beispiele =
== Interaktive Quizzes ==

=== Beschreiben von Eigenschaften mithilfe von Ableitungsfunktionen (AN 3.3) ===

{{#widget:Iframe
|url= https://h5p.org/h5p/embed/762592
|width= 90%
|height= 700
|border=1
}}
 

== Online-Musterbeispiele und -Übungen ==

* [http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/musterkd.htm Musterbeispiel von Jutta Gut]
* [http://matheguru.com/analysis/192-beispiel-einer-kurvendiskussion.html Musterbeispiel von "Matheguru"]
* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| ? ]] [http://www.mathe-online.at/tests/anwdiff/kurvendiskussion.html Quiz zu Kurvendiskussionen (mathe-online)]
* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| ? ]] [http://www.geogebratube.org/student/m84598 Online-Übung zu Kurvendisskussionen (GeoGebra)] WICHTIG 

* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| ? ]] [http://matheguru.com/rechner/kurvendiskussion/ Online-Rechner zur Kurvendisskussionen (MatheGuru)]

== Matura-Aufgaben ==

# [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]]: [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=16&file=Steinschleuder.pdf Steinschleuder] (Bifie-Aufgabe: mittel)
#: Welche Inhalte brauchst du hier noch: [[Differenzen- und Differentialquotient#Der Differentialquotient (= momentane Steigung) | Differentialquotient]]
# [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]]:[http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=144&file=Zylindrische_Gefaesse.pdf Zylindrisches Gefäß] (Bifie-Aufgabe: mittel-leicht-leicht)
# [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]]:[http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=128&file=Tagestemperaturverlauf.pdf Tagestemperaturaverlauf] (Bifie-Aufgabe: leicht-leicht-mittel)
# [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]]:[http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=143&file=Gelaendewagen.pdf Geländewagen] (Bifie-Aufgabe: schwer-mittel-schwer)
#: Welche Inhalte brauchst du hier noch: [[Differenzen- und Differentialquotient | Differenzenquotient]]
# [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]]:[http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=74&file=Hefepilze.pdf Hefepilz] (Bifie-Aufgabe: mittel-leicht-mittel)
# [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]]:[http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=70&file=Strassenbahn.pdf Straßenbahn] (Bifie-Aufgabe: mittel-leicht-mittel)
# [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]]:[http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=39&file=Simulation_eines_Golfballflugs.pdf Simulation eines Golfballflugs] (Bifie-Aufgabe: leicht-mittel-mittel-schwer)
#: Hier brauchst du auch Wissen über [[Steigung und Steigungswinkel]]
# [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]]:[http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=34&file=Schispringen.pdf Schispringen] (Bifie-Aufgabe: leicht-mittel-mittel)
#: Welche Inhalte brauchst du hier noch: [[Quadratische Funktionen]] und [[Bewegungsaufgaben - Weg/Geschwindigkeit/Beschleunigung]]
# [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]]:[http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=126&file=Kugelstossen.pdf Kugelstoßen] (leicht-mittel-mittel)
#: siehe hier auch das Thema [[Steigung und Steigungswinkel]]
# [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]] [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=193&file=Minirampe.pdf Minirampe] (mittel)
#: Hier brauchst du auch Wissen über [[Integration]] (Aufgabe a) sowie über [[Steigung und Steigungswinkel]] und über [[Umkehraufgaben]] (Aufgabe d)
# [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$ ]]: [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=214&file=Leistungskurve.pdf Leistungskurve]
#: hier musst du die [[Ableitung bestimmen#Graphisches Bestimmen der 1. Ableitung| Ableitungsfunktion graphisch bestimmen]]!

[[Kategorie: Differenzieren]]
[[Kategorie: Kurvendiskussionen]]

Grundkompetenzen AHS

2020-04-11T13:01:59Z

PeterLamp: /* Regeln für das Differenzieren */

Die folgenden Tabellen listen alle Grundkompetenzen für die AHS auf.

Die Grundkompetenzen sind in insgesamt $4$ Inhaltsbereiche gegliedert:

==Algebra und Geometrie==
===Grundbegriffe der Algebra===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AG 1.1
||Wissen über die Zahlenmengen $ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, ℂ$ verständig einsetzen können
||[[Zahlenmengen | Theorie]]
||[[Zahlenmengen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 1.2
||Wissen über algebraische Begriffe angemessen einsetzen können: Variable, Terme, Formeln, (Un-)Gleichungen, Gleichungssysteme, Äquivalenz, Umformungen, Lösbarkeit
||[[Algebraische Begriffe | Theorie]]
||[[Quiz #Algebraische Grundbegriffe (AG 1.2) | Beispiele]]
|}
Anmerkungen: Bei den Zahlenmengen soll man die Mengenbezeichnungen und die Teilmengenbeziehungen kennen, Elemente angeben sowie zuordnen können und die reellen Zahlen als Grundlage kontinuierlicher Modelle kennen. Zum Wissen über die reellen Zahlen gehört auch, dass es Zahlenbereiche gibt, die über $ℝ$ hinausgehen. Die algebraischen Begriffe soll man anhand von einfachen Beispielen beschreiben/erklären und verständig verwenden können. 

===(Un-)Gleichungen und Gleichungssysteme===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AG 2.1
||einfache Terme und Formeln aufstellen, umformen und im Kontext deuten können
||[[Terme und Formeln| Theorie]]
||[[Formeln #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 2.2
||lineare Gleichungen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen und die Lösung im Kontext deuten können
||[[lineare Gleichungen mit einer Variablen | Theorie]]
||[[lineare Gleichungen mit einer Variablen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 2.3
||quadratische Gleichungen in einer Variablen umformen/lösen, über Lösungsfälle Bescheid wissen, Lösungen und Lösungsfälle (auch geometrisch) deuten können
||[[Quadratische Gleichungen | Theorie]]
||[[Quadratische Gleichungen #Interaktives Quiz| Beispiele]]
|-
||AG 2.4
||lineare Ungleichungen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen, Lösungen (auch geometrisch) deuten können
||[[Lineare Ungleichungen mit 2 Variablen | Theorie]]
||[[Lineare Ungleichungen mit 2 Variablen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 2.5
||lineare Gleichungssysteme in zwei Variablen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen, über Lösungsfälle Bescheid wissen, Lösungen und Lösungsfälle (auch geometrisch) deuten können
||[[Gleichungssysteme | Theorie]]
||[[Gleichungssysteme #Interaktives Quiz| Beispiele]]
|}
Anmerkungen: Einfache Terme können auch Potenzen, Wurzeln, Logarithmen, Sinus etc. beinhalten. Mit dem Einsatz elektronischer Hilfsmittel können auch komplexere Umformungen von Termen, Formeln und Gleichungen, Ungleichungen und Gleichungssystemen durchgeführt werden. 

===Vektoren===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AG 3.1
||Vektoren als Zahlentupel verständig einsetzen und im Kontext deuten können
||[[Vektorrechnung | Theorie]]
||[[Vektorrechnung #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 3.2
||Vektoren geometrisch (als Punkte bzw. Pfeile) deuten und verständig einsetzen können
||[[Vektorrechnung | Theorie]]
||[[Vektorrechnung #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 3.3
||Definition der Rechenoperationen mit Vektoren (Addition, Multiplikation mit einem Skalar, Skalarmultiplikation) kennen, Rechenoperationen verständig einsetzen und (auch geometrisch) deuten können
||[[Vektorrechnung | Theorie]]
||[[Vektorrechnung #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 3.4
||Geraden durch (Parameter-)Gleichungen in $ℝ^2$ und $ℝ^3$ angeben können; Geradengleichungen interpretieren können; Lagebeziehungen (zwischen Geraden und zwischen Punkt und Gerade) analysieren, Schnittpunkte ermitteln können
||[[Vektorrechnung | Theorie]]
||[[Vektorrechnung #Beispiele| Beispiele]]
|-
||AG 3.5
||Normalvektoren in $ℝ^2$ aufstellen, verständig einsetzen und interpretieren können
||[[Vektorrechnung | Theorie]]
||[[Vektorrechnung #Beispiele | Beispiele]]
|}
Anmerkungen: Vektoren sind als Zahlentupel, also als algebraische Objekte, zu verstehen und in entsprechenden Kontexten ver-ständig einzusetzen. Punkte und Pfeile in der Ebene und im Raum müssen als geometrische Veranschaulichung dieser algebraischen Objekte interpretiert werden können. Die geometrische Deutung der Skalarmultiplikation (in $ℝ^2$ und $ℝ^3$) meint hier nur den Spezialfall $a\cdot b= 0$. Geraden sollen in Parameterform, in $ℝ^2$ auch in parameterfreier Form, angegeben und interpretiert werden können. 

===Trigonometrie===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AG 4.1
||Definitionen von ''Sinus'', ''Cosinus'' und ''Tangens'' im rechtwinkeligen Dreieck kennen und zur Auflösung rechtwinkeliger Dreiecke einsetzen können
||[[Trigonometrie | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|-
||AG 4.2
||Definitionen von ''Sinus'' und ''Cosinus'' für Winkel größer als $90°$ kennen und einsetzen können
||[[Trigonometrie | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|}
Anmerkungen: Die Kontexte beschränken sich auf einfache Fälle in der Ebene und im Raum, komplexe (Vermessungs-)Aufgaben sind hier nicht gemeint; Sinus- und Cosinussatz werden dabei nicht benötigt.
 
 

==Funktionale Abhängigkeiten==
===Funktionsbegriff, reelle Funktionen, Darstellungsformen und Eigenschaften===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||FA 1.1
||für gegebene Zusammenhänge entscheiden können, ob man sie als Funktionen betrachten kann
||[[Funktionen | Theorie]]
||[[Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 1.2
||Formeln als Darstellung von Funktionen interpretieren und dem Funktionstyp zuordnen können
||[[Funktionen_in_mehreren_Unbekannten| Theorie]]
||[[Funktionen_in_mehreren_Unbekannten #Beispielaufgaben + Interaktives Quiz| Beispiele]]
|-
||FA 1.3
||zwischen tabellarischen und grafischen Darstellungen funktionaler Zusammenhänge wechseln können
||[[Funktionen | Theorie]]
||[[Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 1.4
||aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Funktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können
||[[Funktionen | Theorie]]
||[[Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 1.5
||Eigenschaften von Funktionen erkennen, benennen, im Kontext deuten und zum Erstellen von Funktionsgraphen einsetzen können: Monotonie, Monotoniewechsel (lokale Extrema), Wendepunkte, Periodizität, Achsensymmetrie, asymptotisches Verhalten, Schnittpunkte mit den Achsen
||[[Funktionen | Theorie]]
||[[Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 1.6
||Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen grafisch und rechnerisch ermitteln und im Kontext interpretieren können
||[[Schnittpunkt zweier Funktionen | Theorie]]
||[[Schnittpunkt zweier Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 1.7
||Funktionen als mathematische Modelle verstehen und damit verständig arbeiten können
||[[mathematische Modelle | Theorie]]
||[[mathematische Modelle #Funktionen als mathematische Modelle (FA 1.7)| Beispiele]]
|-
||FA 1.8
||durch Gleichungen (Formeln) gegebene Funktionen mit mehreren Veränderlichen im Kontext deuten können, Funktionswerte ermitteln können
||[[Funktionen in mehreren Unbekannten | Theorie]]
||[[Funktionen in mehreren Unbekannten #Beispielaufgaben + Interaktives Quiz | Beispiele]]
|-
||FA 1.9
||einen Überblick über die wichtigsten (unten angeführten) Typen mathematischer Funktionen geben, ihre Eigenschaften vergleichen können
||[[Funktionen | Theorie]]
||[[Funktionen #Funktionstypen und deren Eigenschaften (FA 1.9) | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Auf eine sichere Unterscheidung zwischen funktionalen und nichtfunktionalen Zusammenhängen wird Wert gelegt,auf theoretisch bedeutsame Eigenschaften (z. B. Injektivität, Surjektivität, Umkehrbarkeit)wird aber nicht fokussiert. Im Vordergrund steht die Rolle von Funktionen als Modelle und die verständige Nutzung grundlegender Funktionstypen und deren Eigenschaften sowie der verschiedenen Darstellungsformen von Funktionen (auch $f:A→B$, $x↦f(x)$ ).
Die Bearbeitung von Funktionen mit mehreren Veränderlichen beschränkt sich auf die Interpretation der Funktionsgleichung im jeweiligen Kontext sowie auf die Ermittlung von Funktionswerten.
Der Verlauf von Funktionen soll nicht nur mathematisch beschrieben, sondern auch im jeweiligen Kontext gedeutet werden können.
 

===Lineare Funktion $f(x)=k\cdot x+d$===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||FA 2.1
||verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene lineare Zusammenhänge als lineare Funktionen erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können
||[[Lineare Funktionen| Theorie]]
||[[Lineare Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 2.2
||aus Tabellen, Graphen und Gleichungen linearer Funktionen Werte(paare) sowie die Parameter $k$ und $d$ ermitteln und im Kontext deuten können
||[[Lineare Funktionen | Theorie]]
||[[Lineare Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 2.3
||die Wirkung der Parameter $k$ und $d$ kennen und die Parameter in unterschiedlichen Kontexten deuten können
||[[Lineare Funktionen| Theorie]]
||[[Lineare Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 2.4
||charakteristische Eigenschaften kennen und im Kontext deuten können: $f(x+1)=f(x)+k; \frac {f(x_2)-f(x_1)} {x_2-x_1}=k=f'(x)$
||[[Lineare Funktionen | Theorie]]
||[[Lineare Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 2.5
||die Angemessenheit einer Beschreibung mittels linearer Funktion bewerten können
||[[Lineare Funktionen | Theorie]]
||[[Lineare Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 2.6
||direkte Proportionalität als lineare Funktion vom Typ $f(x)=k\cdot x$ beschreiben können

||[[Lineare Funktionen | Theorie]]
||[[Lineare Funktionen #Beispiele| Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Die Parameter $k$ und $d$ sollen sowohl für konkrete Werte als auch allgemein im jeweiligen Kontext interpretiert werden können. Entsprechendes gilt für die Wirkung der Parameter und deren Änderung.
 
 

===Potenzfunktion $f(x)=a\cdot x^z+b$, $z\in \mathbb{Z}$ oder mit $f(x)=a \cdot x^{ \frac{1}{2} }+b$===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||FA 3.1
||verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene Zusammenhänge dieser Art als entsprechende Potenzfunktionen erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können
||[[Potenzfunktionen | Theorie]]
||[[Potenzfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 3.2
||aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Potenzfunktionen Werte(paare) sowie die Parameter $a$ und $b$ ermitteln und im Kontext deuten können
||[[Potenzfunktionen | Theorie]]
||[[Potenzfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 3.3
||die Wirkung der Parameter $a$ und $b$ kennen und die Parameter im Kontext deuten können
||[[Potenzfunktionen | Theorie]]
||[[Potenzfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 3.4
||indirekte Proportionalität als Potenzfunktion vom Typ $f(x)=\frac {a} {x}$ (bzw. $f(x)=a\cdot x^{–1}$) beschreiben können
||[[indirekte Proportion | Theorie]]
||[[Potenzfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Wurzelfunktionen bleiben auf den quadratischen Fall $a\cdot x^\frac {1} {2}+b$ beschränkt.
 
 

===Polynomfunktion $f(x)=\sum_{i=0}^{n} a_i \cdot x^i$ mit $n \in ℕ$===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||FA 4.1
||typische Verläufe von Graphen in Abhängigkeit vom Grad der Polynomfunktion (er)kennen
||[[Polynomfunktionen | Theorie]]
||[[Polynomfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 4.2
||zwischen tabellarischen und grafischen Darstellungen von Zusammenhängen dieser Art wechseln können
||[[Polynomfunktionen | Theorie]]
||[[Polynomfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 4.3
||aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Polynomfunktionen Funktionswerte, aus Tabellen und Graphen sowie aus einer quadratischen Funktionsgleichung Argumentwerte ermitteln können
||[[Polynomfunktionen | Theorie]]
||[[Polynomfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 4.4
||den Zusammenhang zwischen dem Grad der Polynomfunktion und der Anzahl der Null- ,Extrem- und Wendestellen wissen
||[[Polynomfunktionen | Theorie]]
||[[Polynomfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Der Zusammenhang zwischen dem Grad der Polynomfunktion und der Anzahl der Null-, Extrem- und Wendestellen sollte für beliebige $n$ bekannt sein, konkrete Aufgabenstellungen beschränken sich auf Polynomfunktionen mit $n\le4$. Mithilfe elektronischer Hilfsmittel können Argumentwerte auch für Polynomfunktionen höheren Grades ermittelt werden.
 

===Exponentialfunktion $f(x)=a\cdot b^x$ bzw. $f(x)=a\cdot e^{\lambda \cdot x}$ mit $a,b \in ℝ^+$, $\lambda \in ℝ$===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||FA 5.1
||verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene exponentielle Zusammenhänge als Exponentialfunktion erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können
||[[Exponentialfunktionen | Theorie]]
||[[Exponentialfunktionen #Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung| Beispiele]]
|-
||FA 5.2
||aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Exponentialfunktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können
||[[Exponentialfunktionen | Theorie]]
||[[Exponentialfunktionen #Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung| Beispiele]]
|-
||FA 5.3
||die Wirkung der Parameter $a$ und $b$ (bzw. $e^\lambda$) kennen und die Parameter in unterschiedlichen Kontexten deuten können
||[[Exponentialfunktionen | Theorie]]
||[[Exponentialfunktionen #Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung| Beispiele]]
|-
||FA 5.4
||charakteristische Eigenschaften $(f(x +1)= b\cdot f(x); [e^x]'=e^x)$ kennen und im Kontext deuten können
||[[Exponentialfunktionen | Theorie]]
||[[Exponentialfunktionen #Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung | Beispiele]]
|-
||FA 5.5
||die Begriffe ''Halbwertszeit'' und ''Verdoppelungszeit'' kennen, die entsprechenden Werte berechnen und im Kontext deuten können
||[[Exponentialfunktionen | Theorie]]
||[[Exponentialfunktionen #Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung | Beispiele]]
|-
||FA 5.6
||die Angemessenheit einer Beschreibung mittels Exponentialfunktion bewerten können
||[[Exponentialfunktionen | Theorie]]
||[[Exponentialfunktionen #Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Die Parameter $a$ und $b$ (bzw. $e^{\lambda}$) sollen sowohl für konkrete Werte als auch allgemein im jeweiligen Kontext interpretiert werden können. Entsprechendes gilt für die Wirkung der Parameter und deren Änderung.
 
 

===Sinusfunktion, Cosinusfunktion===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||FA 6.1
||grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene Zusammenhänge der Art $f(x)=a\cdot sin(b\cdot x)$ als allgemeine Sinusfunktion erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können
||[[Trigonometrie #Trigonometrische Funktionen| Theorie]]
||[[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 6.2
||aus Graphen und Gleichungen von allgemeinen Sinusfunktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können
||[[Trigonometrie #Trigonometrische Funktionen | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 6.3
||die Wirkung der Parameter $a$ und $b$ kennen und die Parameter im Kontext deuten können
||[[Trigonometrie #Trigonometrische Funktionen | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 6.4
||Periodizität als charakteristische Eigenschaft kennen und im Kontext deuten können
||[[Trigonometrie #Trigonometrische Funktionen | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 6.5
||wissen, dass $cos(x)= sin(x + \frac {\pi} {2})$
||[[Trigonometrie #Trigonometrische Funktionen | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 6.6
||wissen, dass gilt: $[sin(x)]'=cos(x), [cos(x)]'=-sin(x)$
||[[Differenzen- und Differentialquotient | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Während zur Auflösung von rechtwinkeligen Dreiecken Sinus, Cosinus und
Tangens verwendet werden, beschränkt sich die funktionale Betrachtung (weitgehend) auf die allgemeine Sinusfunktion. Wesentlich dabei sind die Interpretation der Parameter (im Graphen wie auch in entsprechenden Kontexten) sowie der Verlauf des Funktionsgraphen und die Periodizität.
 
 

==Analysis==
===Änderungsmaße===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AN 1.1.
||absolute und relative (prozentuelle) Änderungsmaße unterscheiden und angemessen verwenden können
||[[Änderungsmaße| Theorie]]
||[[Änderungsmaße #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AN 1.2.
||den Zusammenhang ''Differenzenquotient (mittlere Änderungsrate) – Differenzialquotient (momentane Änderungsrate)'' auf der Grundlage eines intuitiven Grenzwertbegriffes kennen und damit (verbal sowie in formaler Schreibweise) auch kontextbezogen anwenden können
||[[Differenzen- und Differentialquotient | Theorie]]
||[[Differenzen- und Differentialquotient #Maturabeispiele| Beispiele]]
|-
||AN 1.3.
||den Differenzen- und Differenzialquotienten in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverhalte durch den Differenzen- bzw. Differenzialquotienten beschreiben können
||[[Differenzen- und Differentialquotient|Theorie]]
||[[Differenzen-_und_Differentialquotient #Maturabeispiele| Beispiele]]
|-
||AN 1.4.
||das systemdynamische Verhalten von Größen durch Differenzengleichungen beschreiben bzw. diese im Kontext deuten können
||[[Differenzengleichungen | Theorie]]
||[[Differenzengleichungen #Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Der Fokus liegt auf dem Darstellen von Änderungen durch Differenzen von Funktionswerten, durch prozentuelle Veränderungen, durch Differenzenquotienten und durch Differenzialquotienten, ganz besonders aber auch auf der Interpretation dieser Veränderungsmaße im jeweiligen Kontext. Durch den Einsatz elektronischer Hilfsmittel ist auch die Berechnung von Differenzen- und Differenzialquotienten beliebiger (differenzierbarer) Funktionen möglich.
 
 

===Regeln für das Differenzieren===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AN 2.1.
||einfache Regeln des Differenzierens kennen und anwenden können: Potenzregel, Summenregel, Regeln für $[k \cdot f(x)]′$ und $[f(k \cdot x)]′$ (vgl. Inhaltsbereich ''Funktionale Abhängigkeiten'')
||[[Inhalt:Differenzieren: Rechnerisches Bestimmen von f'| Theorie]]
||[[Inhalt:Differenzieren: Rechnerisches Bestimmen von f' #Interaktives Quiz - Einfache Regeln des Differenzierens (AN 2.1)| Beispiele]]
|}
 

===Ableitungsfunktion/Stammfunktion===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AN 3.1.
||den Begriff ''Ableitungsfunktion/Stammfunktion'' kennen und zur Beschreibung von Funktionen einsetzen können
||[[Integration| Theorie]]
||[[Integration#Beispiele | Beispiele]]
|-
||AN 3.2.
||den Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitungsfunktion (bzw. Funktion und Stammfunktion) in deren grafischer Darstellung (er)kennen und beschreiben können
||[[Integration| Theorie]]
||[[Integration#Beispiele | Beispiele]]
|-
||AN 3.3.
||Eigenschaften von Funktionen mithilfe der Ableitung(sfunktion) beschreiben können: Monotonie, lokale Extrema, Links- und Rechtskrümmung, Wendestellen
||[[Integration| Theorie]]
||[[Integration#Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Der Begriff der ''Ableitung(sfunktion)'' soll verständig und zweckmäßig zur Beschreibung von Funktionen eingesetzt werden. Durch den Einsatz elektronischer Hilfsmittel ist das Ableiten von Funktionen nicht durch die in den Grundkompetenzen angeführten Differenziationsregeln eingeschränkt.
 

===Summation und Integral===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AN 4.1.
||den Begriff des bestimmten Integrals als Grenzwert einer Summe von Produkten deuten und beschreiben können
||[[Integration| Theorie]]
||[[Integration#Beispiele | Beispiele]]
|-
||AN 4.2.
||einfache Regeln des Integrierens kennen und anwenden können: Potenzregel, Summenregel, $\int k\cdot f(x)\,dx$, $\int f(k\cdot x)\,dx$ (vgl. Inhaltsbereich ''Funktionale Abhängigkeiten''), bestimmte Integrale von Polynomfunktionen ermitteln können
||[[Integration| Theorie]]
||[[Integration#Beispiele | Beispiele]]
|-
||AN 4.3.
||das bestimmte Integral in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverhalte durch Integrale beschreiben können
||[[Integration| Theorie]]
||[[Integration#Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Analog zum Differenzialquotienten liegt der Fokus beim bestimmten Integral auf der Beschreibung entsprechender Sachverhalte durch bestimmte Integrale sowie vor allem auf der angemessenen Interpretation des bestimmten Integrals im jeweiligen Kontext. Durch den Einsatz elektronischer Hilfsmittel ist die Berechnung von bestimmten Integralen nicht durch die in den Grundkompetenzen angeführten Integrationsregeln eingeschränkt.
 

==Wahrscheinlichkeit und Statistik==
===Beschreibende Statistik===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||WS 1.1
||Werte aus tabellarischen und elementaren grafischen Darstellungen ablesen (bzw. zusammengesetzte Werte ermitteln) und im jeweiligen Kontext angemessen interpretieren können
||[[Statistik:Daten und Diagramme| Theorie]]
||[[Beschreibende_Statistik#tab=Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: (Un-)geordnete Liste, Strichliste, Piktogramm, Säulen-, Balken-, Linien-, Stängel-Blatt-, Punktwolkendiagramm, Histogramm (als Spezialfall eines Säulendiagramms), Prozentstreifen, Kastenschaubild (Boxplot)
 

{| border="1"
|-
||WS 1.2$\ \ \ \ \ \ \ $
||Tabellen und einfache statistische Grafiken erstellen, zwischen Darstellungsformen wechseln können

||[[Beschreibende_Statistik#tab=Zentralma_C3_9Fe_-_statistische_Kennzahlen_f_C3_BCr_das_Mittel| Theorie]]
||[[Beschreibende_Statistik#tab=Matura-Aufgaben| Beispiele]]
|-
||WS 1.3
||statistische Kennzahlen (absolute und relative Häufigkeiten; arithmetisches Mittel, Median, Modus, Quartile, Spannweite, empirische Varianz/Standardabweichung) im jeweiligen Kontext interpretieren können; die angeführten Kennzahlen für einfache Datensätze ermitteln können

||[[Beschreibende Statistik| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeitsrechnung#Matura-Aufgaben| Beispiele]]
|-
||WS 1.4
||Definition und wichtige Eigenschaften des arithmetischen Mittels und des Medians angeben und nutzen, Quartile ermitteln und interpretieren können, die Entscheidung für die Verwendung einer bestimmten Kennzahl begründen können

||[[Beschreibende Statistik| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeitsrechnung#Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Wenn auch statistische Kennzahlen (für einfache Datensätze) ermittelt und elementare statistische Grafiken erstellt werden sollen, liegt das Hauptaugenmerk auf verständigen Interpretationen von Grafiken (unter Beachtung von Manipulationen) und Kennzahlen. Speziell für das arithmetische Mittel und den Median (auch als Quartile) müssen die wichtigsten Eigenschaften (definitorische Eigenschaften, Datentyp-Verträglichkeit, Ausreißerempfindlichkeit) gekannt und verständig eingesetzt bzw. berücksichtigt werden. Beim arithmetischen Mittel sind allenfalls erforderliche Gewichtungen zu beachten („gewogenes arithmetisches Mittel“) und zu nutzen (Bildung des arithmetischen Mittels aus arithmetischen Mitteln von Teilmengen).
 
 

===Wahrscheinlichkeitsrechnung===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||WS 2.1
||Grundraum und Ereignisse in angemessenen Situationen verbal beziehungsweise formal angeben können
||[[Wahrscheinlichkeit: Grundlagen| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]
|-
||WS 2.2
||relative Häufigkeit als Schätzwert von Wahrscheinlichkeit verwenden und anwenden können

||[[Wahrscheinlichkeit: Grundlagen| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Normalverteilung und Stetige Zufallsvariablen#Beispiele | Beispiele]]
|-
||WS 2.3
||Wahrscheinlichkeit unter der Verwendung der Laplace-Annahme (Laplace-Wahrscheinlichkeit) berechnen und interpretieren können, Additionsregel und Multiplikationsregel anwenden und interpretieren können

||[[Wahrscheinlichkeit: Grundlagen| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]
|-
||WS 2.4
||Binomialkoeffizient berechnen und interpretieren können

||[[Binomialkoeffizient| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]

|}

Anmerkungen: Die Multiplikationsregel kann unter Verwendung der kombinatorischen Grundlagen und der Anwendung der Laplace-Regel (auch) umgangen werden.
 
 

===Wahrscheinlichkeitsverteilungen===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||WS 3.1
||die Begriffe ''Zufallsvariable'', ''(Wahrscheinlichkeits-)Verteilung'', ''Erwartungswert'' und ''Standardabweichung'' verständig deuten und einsetzen können

||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]

|-
||WS 3.2
||Binomialverteilung als Modell einer diskreten Verteilung kennen – Erwartungswert sowie Varianz/Standardabweichung binomialverteilter Zufallsgrößen ermitteln können, Wahrscheinlichkeitsverteilung binomialverteilter Zufallsgrößen angeben können, Arbeiten mit der Binomialverteilung in anwendungsorientierten Bereichen

||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]

|-
||WS 3.3
||Situationen erkennen und beschreiben können, in denen mit Binomialverteilung modelliert werden kann

||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]
|-
||WS 3.4
||Normalapproximation der Binomialverteilung interpretieren und anwenden können

||[[Wahrscheinlichkeit: Normalverteilung und Stetige Zufallsvariablen| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Normalverteilung und Stetige Zufallsvariablen#Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Kennen und Anwenden der Faustregel, dass die Normalapproximation der Binomialverteilung mit den Parametern $n$ und $p$ dann anzuwenden ist und gute Näherungswerte liefert, wenn die Bedingung $n\cdot p \cdot (1–p)\geq 9 $ erfüllt ist. Die Anwendung der Stetigkeitskorrektur ist nicht notwendig und daher für Berechnungen im Zuge von Prüfungsbeispielen vernachlässigbar. Kennen des Verlaufs der Dichtefunktion $φ$ der Standardnormalverteilung mit Erwartungswert $\mu$ und Standardabweichung $\sigma$. Arbeiten mit der Verteilungsfunktion $Φ$ der Standardnormalverteilung und korrektes Ablesen der entsprechenden Wert.
 
 

===Schließende/Beurteilende Statistik===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||WS 4.1
||Konfidenzintervalle als Schätzung für eine Wahrscheinlichkeit oder einen unbekannten Anteil interpretieren (frequentistische Deutung) und verwenden können, Berechnungen auf Basis der Binomialverteilung oder einer durch die Normalverteilung approximierten Binomialverteilung durchführen können

||[[Konfidenzintervall| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]
|}

Spezial:Badtitle/NS3000:Differenzieren: Rechnerisches Bestimmen von f'

2020-04-11T13:01:15Z

PeterLamp:

Im Folgenden sind Regeln aufgelistet, mit der $f'(x)$ berechnet werden kann.

== Grundlegende Regeln ==
{| border="1" align="center" cellpadding="10"
! Allgemeine Regeln
|-
| {{#ev:youtube|4_e-KRJbXUg}}
|}

{| class="wikitable"
|-
!Regel !! $f(x)$ !! $f'(x)$ !!Bemerkung
|-
|Potenzregel || $x^n$ || $n\cdot x^{n-1}$ || Der Exponent kommt herunter, dann wird die Hochzahl um $1$ vermindert.
|-
| Konstantenregel
$c\in \mathbb{R}$
|| $c$ || $0$ || Konstante Funktionen haben die Steigung $= 0$.
|-
|[[Faktor|Faktorregel]]
$a\in \mathbb{R}$
|| $a\cdot f(x)$|| $a\cdot f'(x)$ || Ein konstanter Faktor ist von der Ableitung nicht betroffen.
|-
|Summenregel || $f(x)+g(x)$ || $f'(x)+g'(x)$ || Eine Summe wird abgeleitet, indem jeder einzelne Summand einzeln abgeleitet wird.
|-
| [[Exponentialfunktionen(3.5.)|$e$-Funktion]] || $e^x$ || $e^x$ || Die besondere Eigenschaft von $e^x$ ist, dass es durch Ableiten nicht verändert wird.

(d. h. Funktionswert bei $x$ = Steigung bei $x$)
|-
| [[Logarithmus]] || $ln|x|$ || $\frac{1}{x}$ ||
|-
| [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)|Trigonometrische Funktionen]] || $sin(x)$ $cos(x)$ || $cos(x)$ $-sin(x)$ ||
[[Datei:Sin-cos-kreis.png|miniatur|300px|center|Durch mehrmaliges Ableiten der Sinus- oder Cosinusfunktion kommt man immer wieder zur Ausgangsfunktion zurück. In [http://geogebratube.org/student/m43313 diesem Arbeitsblatt] findest du eine Begründung dafür.]]

|}

{{Vorlage:Beispiel|1=Bestimme zu den folgenden Funktionen die Ableitungsfunktion:

 
 
 
#$f(x)=x^3$
#$f(x)=4x$
#$f(x)=3$
#$f(x)=5\cdot x^2$
#$x^3+5x^2-4x+3$
#$x+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^3}+\sqrt[5]{x^2}$
#$f(x)=\frac{x^4}{5}+2\cdot e^x-ln\vert x\vert $

|2=
Wir wenden die einzelnen Regeln Schritt für Schritt an:
#$f(x)=x^3 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel} 3\cdot x^{3-1}=3\cdot x^2$ 
#$f(x)=4\cdot x=4\cdot x^1 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel} 4\cdot 1\cdot x^{1-1}=4\cdot x^0=4\cdot 1=4$ 
#$f(x)=3 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Konstantenregel} 0$ 
#$f(x)=5\cdot x^2\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Faktorregel}5\cdot (x^2)' \underbrace{=}_{Potenzregel}=5\cdot 5\cdot 2\cdot x^{2-1}=10\cdot x$ 
#$x^3+5x^2-4x+3\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Summenregel}(x^3)'+(5x^2)'-(4x)'+(3)' \underbrace{=}_{Potenzregel}3x^2+10x-4+0$
#$x+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^3}+\sqrt[5]{x^2}\underbrace{=}_{umformen} x+x^{-1}-x^{-3}+x^{\frac{2}{5} }$ $$\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel}1\cdot x^0+(-1)\cdot x^{-2}-(-3)\cdot x^{-4}+\frac{2}{5}\cdot x^{(\frac{2}{5}-1)}=$$ $$=1-x^{-2}+3\cdot x^{-4}+\frac{2}{5}\cdot x^{-\frac{3}{5} }$$ $$=1-\frac{1}{x^2}+\frac{3}{x^4}+\frac{2}{5\sqrt[5]{x^3} }$$ 
#$f(x)=\frac{x^4}{5}+2\cdot e^x-ln \vert x \vert \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel/Faktorregel,\ e-\ und\ ln-Regel}\frac{4x^3}{5}+2\cdot e^x-\frac{1}{x}$
}}

'''Ordne im folgenden Applet Funktionen und ihre Ableitungen zu.'''
{{#widget:Iframe
|url= http://LearningApps.org/view656909
|width= 900
|height= 500
|border=0
}}

[[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| ? ]] [http://www.mathe-online.at/tests/diff1/poldiff.html Online-Übung (mathe-online)]
 
 

== Vertiefende Regeln zur Ableitung zusammengesetzter Funktionen ==
=== Produktregel ===
Im Gegensatz zur Summe zweier Funktionen $( f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)$, siehe oben 'Summenregel'$)$ kann man das [[Produkt]] zweier Funktionen $f(x)\cdot g(x)$ nicht mehr so einfach ableiten. Hierfür braucht es die sogenannte ...

{{Vorlage:Merke|1= '''Produktregel'''
$$(f(x)\cdot g(x))'=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$$
„Zuerst den ersten [[Faktor]] ableiten, den zweiten stehen lassen,
$$\textrm{Plus}$$
den ersten Faktor stehen lassen, den anderen ableiten.“ }}

{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben ist die Funktion $h(x)=(x^2-1)\cdot (3x^2-4x+1)$. Bestimmen Sie $h'(x)$.

|2= Da es sich hierbei um ein [[Produkt]] handelt, müssen wir die Produktregel anwenden:
$$h(x)=\underbrace{(x^2-1)}_{f(x)} \cdot \underbrace{(3x^2-4x+1)}_{g(x)}$$
Zuerst berechnen wir in einer Nebenrechnung die Ableitungen der Faktoren:
$$f(x)=x^2-1\rightarrow f'(x)=2x$$
$$g(x)=3x^2-4x-+1\rightarrow g'(x)=6x-4$$

Nun setzen wir die Formel zusammen:
$$h'(x)=\underbrace{2x}_{f'(x)}\cdot \underbrace{(3x^2-4x+1)}_{g(x)}+\underbrace{(x^2-1)}_{f(x)}\cdot \underbrace{(6x-4)}_{g'(x)}$$

Zuletzt vereinfachen wir noch das Ergebnis:
$$h'(x)=6x^3-8x^2+2x+6x^3-4x^2-6x+4$$
$$\underline{\underline{h'(x)=12x^3-12x^2-4x+4} }$$

}}

=== Quotientenregel ===

Um die Ableitung einer Division von $2$ Funktionen (= Quotienten) zu berechnen, verwendet man die ...

{{Vorlage:Merke|1= '''Quotientenregel'''
$$h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\ \rightarrow \ h'(x)=\frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{(g(x))^2 }$$

Im Zähler steht bis auf das $Minus$ die Produktregel. Im Nenner wird die Nenner-Funktion quadriert.
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Bestimmen Sie die Ableitung von $h(x)=\frac{x^2-x}{x+1}$.
|2=
Da es sich um einen Quotienten handelt, wenden wir die Quotientenregel an. Zuerst berechnen wir die Ableitung des Zählers ($f(x)$) und des Nenners ($g(x)$):

* Zähler: $f(x)=x^2-x\ \rightarrow f'(x)=2x-1$
* Nenner: $g(x)=x+1\ \rightarrow g'(x)=1$

Nun setzen wir die Quotientenregel zusammen:
$$h'(x)=\frac{(2x-1)\cdot (x+1)-(x^2-x)\cdot 1 }{(x+1)^2}$$
$$h'(x)=\frac{2x^2+x-1-x^2+x}{x^2+2x+1}$$
$$h'(x)=\frac{x^2+2x-1}{x^2+2x+1}$$
}}

=== Kettenregel ===
Um Klammerausdrücke oder verkettete Funktionen wie zum Beispiel $f(x)=\sqrt[3]{x^2-1}$ oder $e^{2x-1}$ abzuleiten, verwenden wir die ...

{{Vorlage:Merke|1='''Kettenregel'''
$$h(x)=f[g(x)]\ \ \rightarrow \ \ h'(x)=\underbrace{f'(g(x))}_{\textrm{äußere Ableitung} } \cdot \underbrace{g'(x)}_{\textrm{innere Ableitung} }$$

$f(x)$ wird als ''äußere Funktion'', $g(x)$ als ''innere Funktion'' bezeichnet.
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben ist $h(x)=\sqrt[3]{x^2-1}$. Bestimmen Sie $h'(x)$.
|2=
Zuerst schreiben wir die Wurzel in der [[Potenzen#Potenzregel_7|Exponentenschreibweise]]:
$$h(x)=(x^2-1)^{\frac{1}{3} }$$

* Die äußere Funktion ist nun $f(x)=(\ \ )^{\frac{1}{3} }$. Damit ist $f'(x)=\frac{1}{3}\cdot (\ \ )^{\frac{1}{3}-1}=\frac{1}{3}\cdot (\ \ )^{-\frac{2}{3} }$

* Die innere Funktion ist $g(x)=x^2-1$. Damit ist $g'(x)=2x$.

Nun setzen wir die Kettenregel zusammen:
$$ h'(x)=\underbrace{\frac{1}{3}\cdot (x^2-1)^{-\frac{2}{3} } }_{\textrm{äußere Ableitung} } \cdot \underbrace{2x}_{\textrm{innere Ableitung} }$$

$$ h'(x)=\frac{2x}{3\cdot \sqrt[3]{(x^2-1)^2} }$$
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion von $f(x)=e^{2x-1}$.
|2=
Zuerst kümmern wir uns um die äußere und innere Funktion getrennt:
* Die äußere Funktion ist die Exponentialfunktion $f(x)=e\textrm{^}\ \rightarrow\ f'(x)=e\textrm{^}$.
* Die innere Funktion ist $g(x)=2x-1 \ \rightarrow g'(x)=2$.

Nun setzen wir die Kettenregel wieder zusammen:

$$ h'(x)=\underbrace{e^{2x-1} }_{\textrm{äußere Ableitung} } \cdot \underbrace{2}_{\textrm{innere Ableitung} }$$
$$h'(x)=2\cdot e^{2x-1} $$
}}

== Lernvideos ==
{| align="center" border="1"
! Produkt-, Quotienten- und Kettenregel
! Ableitung der Exponentialfunktion
|-
|{{#ev:youtube|47bKq2lXGs8}}
|{{#ev:youtube|XVCBYo2_OoM}}
|}

== Interaktives Quiz - Einfache Regeln des Differenzierens (AN 2.1) ===

{{#widget:Iframe
|url= https://h5p.org/h5p/embed/762454
|width= 90%
|height= 700
|border=1
}}

Spezial:Badtitle/NS3000:Differenzieren: Rechnerisches Bestimmen von f'

2020-04-11T13:00:34Z

PeterLamp: /* Änderungsmaße - Differenzen- und Differentialquotient (AN 1.1-1.3) */

Im Folgenden sind Regeln aufgelistet, mit der $f'(x)$ berechnet werden kann.

== Grundlegende Regeln ==
{| border="1" align="center" cellpadding="10"
! Allgemeine Regeln
|-
| {{#ev:youtube|4_e-KRJbXUg}}
|}

{| class="wikitable"
|-
!Regel !! $f(x)$ !! $f'(x)$ !!Bemerkung
|-
|Potenzregel || $x^n$ || $n\cdot x^{n-1}$ || Der Exponent kommt herunter, dann wird die Hochzahl um $1$ vermindert.
|-
| Konstantenregel
$c\in \mathbb{R}$
|| $c$ || $0$ || Konstante Funktionen haben die Steigung $= 0$.
|-
|[[Faktor|Faktorregel]]
$a\in \mathbb{R}$
|| $a\cdot f(x)$|| $a\cdot f'(x)$ || Ein konstanter Faktor ist von der Ableitung nicht betroffen.
|-
|Summenregel || $f(x)+g(x)$ || $f'(x)+g'(x)$ || Eine Summe wird abgeleitet, indem jeder einzelne Summand einzeln abgeleitet wird.
|-
| [[Exponentialfunktionen(3.5.)|$e$-Funktion]] || $e^x$ || $e^x$ || Die besondere Eigenschaft von $e^x$ ist, dass es durch Ableiten nicht verändert wird.

(d. h. Funktionswert bei $x$ = Steigung bei $x$)
|-
| [[Logarithmus]] || $ln|x|$ || $\frac{1}{x}$ ||
|-
| [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)|Trigonometrische Funktionen]] || $sin(x)$ $cos(x)$ || $cos(x)$ $-sin(x)$ ||
[[Datei:Sin-cos-kreis.png|miniatur|300px|center|Durch mehrmaliges Ableiten der Sinus- oder Cosinusfunktion kommt man immer wieder zur Ausgangsfunktion zurück. In [http://geogebratube.org/student/m43313 diesem Arbeitsblatt] findest du eine Begründung dafür.]]

|}

{{Vorlage:Beispiel|1=Bestimme zu den folgenden Funktionen die Ableitungsfunktion:

 
 
 
#$f(x)=x^3$
#$f(x)=4x$
#$f(x)=3$
#$f(x)=5\cdot x^2$
#$x^3+5x^2-4x+3$
#$x+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^3}+\sqrt[5]{x^2}$
#$f(x)=\frac{x^4}{5}+2\cdot e^x-ln\vert x\vert $

|2=
Wir wenden die einzelnen Regeln Schritt für Schritt an:
#$f(x)=x^3 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel} 3\cdot x^{3-1}=3\cdot x^2$ 
#$f(x)=4\cdot x=4\cdot x^1 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel} 4\cdot 1\cdot x^{1-1}=4\cdot x^0=4\cdot 1=4$ 
#$f(x)=3 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Konstantenregel} 0$ 
#$f(x)=5\cdot x^2\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Faktorregel}5\cdot (x^2)' \underbrace{=}_{Potenzregel}=5\cdot 5\cdot 2\cdot x^{2-1}=10\cdot x$ 
#$x^3+5x^2-4x+3\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Summenregel}(x^3)'+(5x^2)'-(4x)'+(3)' \underbrace{=}_{Potenzregel}3x^2+10x-4+0$
#$x+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^3}+\sqrt[5]{x^2}\underbrace{=}_{umformen} x+x^{-1}-x^{-3}+x^{\frac{2}{5} }$ $$\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel}1\cdot x^0+(-1)\cdot x^{-2}-(-3)\cdot x^{-4}+\frac{2}{5}\cdot x^{(\frac{2}{5}-1)}=$$ $$=1-x^{-2}+3\cdot x^{-4}+\frac{2}{5}\cdot x^{-\frac{3}{5} }$$ $$=1-\frac{1}{x^2}+\frac{3}{x^4}+\frac{2}{5\sqrt[5]{x^3} }$$ 
#$f(x)=\frac{x^4}{5}+2\cdot e^x-ln \vert x \vert \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel/Faktorregel,\ e-\ und\ ln-Regel}\frac{4x^3}{5}+2\cdot e^x-\frac{1}{x}$
}}

'''Ordne im folgenden Applet Funktionen und ihre Ableitungen zu.'''
{{#widget:Iframe
|url= http://LearningApps.org/view656909
|width= 900
|height= 500
|border=0
}}

[[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| ? ]] [http://www.mathe-online.at/tests/diff1/poldiff.html Online-Übung (mathe-online)]
 
 

== Vertiefende Regeln zur Ableitung zusammengesetzter Funktionen ==
=== Produktregel ===
Im Gegensatz zur Summe zweier Funktionen $( f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)$, siehe oben 'Summenregel'$)$ kann man das [[Produkt]] zweier Funktionen $f(x)\cdot g(x)$ nicht mehr so einfach ableiten. Hierfür braucht es die sogenannte ...

{{Vorlage:Merke|1= '''Produktregel'''
$$(f(x)\cdot g(x))'=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$$
„Zuerst den ersten [[Faktor]] ableiten, den zweiten stehen lassen,
$$\textrm{Plus}$$
den ersten Faktor stehen lassen, den anderen ableiten.“ }}

{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben ist die Funktion $h(x)=(x^2-1)\cdot (3x^2-4x+1)$. Bestimmen Sie $h'(x)$.

|2= Da es sich hierbei um ein [[Produkt]] handelt, müssen wir die Produktregel anwenden:
$$h(x)=\underbrace{(x^2-1)}_{f(x)} \cdot \underbrace{(3x^2-4x+1)}_{g(x)}$$
Zuerst berechnen wir in einer Nebenrechnung die Ableitungen der Faktoren:
$$f(x)=x^2-1\rightarrow f'(x)=2x$$
$$g(x)=3x^2-4x-+1\rightarrow g'(x)=6x-4$$

Nun setzen wir die Formel zusammen:
$$h'(x)=\underbrace{2x}_{f'(x)}\cdot \underbrace{(3x^2-4x+1)}_{g(x)}+\underbrace{(x^2-1)}_{f(x)}\cdot \underbrace{(6x-4)}_{g'(x)}$$

Zuletzt vereinfachen wir noch das Ergebnis:
$$h'(x)=6x^3-8x^2+2x+6x^3-4x^2-6x+4$$
$$\underline{\underline{h'(x)=12x^3-12x^2-4x+4} }$$

}}

=== Quotientenregel ===

Um die Ableitung einer Division von $2$ Funktionen (= Quotienten) zu berechnen, verwendet man die ...

{{Vorlage:Merke|1= '''Quotientenregel'''
$$h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\ \rightarrow \ h'(x)=\frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{(g(x))^2 }$$

Im Zähler steht bis auf das $Minus$ die Produktregel. Im Nenner wird die Nenner-Funktion quadriert.
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Bestimmen Sie die Ableitung von $h(x)=\frac{x^2-x}{x+1}$.
|2=
Da es sich um einen Quotienten handelt, wenden wir die Quotientenregel an. Zuerst berechnen wir die Ableitung des Zählers ($f(x)$) und des Nenners ($g(x)$):

* Zähler: $f(x)=x^2-x\ \rightarrow f'(x)=2x-1$
* Nenner: $g(x)=x+1\ \rightarrow g'(x)=1$

Nun setzen wir die Quotientenregel zusammen:
$$h'(x)=\frac{(2x-1)\cdot (x+1)-(x^2-x)\cdot 1 }{(x+1)^2}$$
$$h'(x)=\frac{2x^2+x-1-x^2+x}{x^2+2x+1}$$
$$h'(x)=\frac{x^2+2x-1}{x^2+2x+1}$$
}}

=== Kettenregel ===
Um Klammerausdrücke oder verkettete Funktionen wie zum Beispiel $f(x)=\sqrt[3]{x^2-1}$ oder $e^{2x-1}$ abzuleiten, verwenden wir die ...

{{Vorlage:Merke|1='''Kettenregel'''
$$h(x)=f[g(x)]\ \ \rightarrow \ \ h'(x)=\underbrace{f'(g(x))}_{\textrm{äußere Ableitung} } \cdot \underbrace{g'(x)}_{\textrm{innere Ableitung} }$$

$f(x)$ wird als ''äußere Funktion'', $g(x)$ als ''innere Funktion'' bezeichnet.
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben ist $h(x)=\sqrt[3]{x^2-1}$. Bestimmen Sie $h'(x)$.
|2=
Zuerst schreiben wir die Wurzel in der [[Potenzen#Potenzregel_7|Exponentenschreibweise]]:
$$h(x)=(x^2-1)^{\frac{1}{3} }$$

* Die äußere Funktion ist nun $f(x)=(\ \ )^{\frac{1}{3} }$. Damit ist $f'(x)=\frac{1}{3}\cdot (\ \ )^{\frac{1}{3}-1}=\frac{1}{3}\cdot (\ \ )^{-\frac{2}{3} }$

* Die innere Funktion ist $g(x)=x^2-1$. Damit ist $g'(x)=2x$.

Nun setzen wir die Kettenregel zusammen:
$$ h'(x)=\underbrace{\frac{1}{3}\cdot (x^2-1)^{-\frac{2}{3} } }_{\textrm{äußere Ableitung} } \cdot \underbrace{2x}_{\textrm{innere Ableitung} }$$

$$ h'(x)=\frac{2x}{3\cdot \sqrt[3]{(x^2-1)^2} }$$
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion von $f(x)=e^{2x-1}$.
|2=
Zuerst kümmern wir uns um die äußere und innere Funktion getrennt:
* Die äußere Funktion ist die Exponentialfunktion $f(x)=e\textrm{^}\ \rightarrow\ f'(x)=e\textrm{^}$.
* Die innere Funktion ist $g(x)=2x-1 \ \rightarrow g'(x)=2$.

Nun setzen wir die Kettenregel wieder zusammen:

$$ h'(x)=\underbrace{e^{2x-1} }_{\textrm{äußere Ableitung} } \cdot \underbrace{2}_{\textrm{innere Ableitung} }$$
$$h'(x)=2\cdot e^{2x-1} $$
}}

== Lernvideos ==
{| align="center" border="1"
! Produkt-, Quotienten- und Kettenregel
! Ableitung der Exponentialfunktion
|-
|{{#ev:youtube|47bKq2lXGs8}}
|{{#ev:youtube|XVCBYo2_OoM}}
|}

== Interaktives Quiz ==

=== Einfache Regeln des Differenzierens (AN 2.1) ===

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Grundkompetenzen AHS

2020-04-11T12:59:04Z

PeterLamp: /* Änderungsmaße */

Die folgenden Tabellen listen alle Grundkompetenzen für die AHS auf.

Die Grundkompetenzen sind in insgesamt $4$ Inhaltsbereiche gegliedert:

==Algebra und Geometrie==
===Grundbegriffe der Algebra===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AG 1.1
||Wissen über die Zahlenmengen $ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, ℂ$ verständig einsetzen können
||[[Zahlenmengen | Theorie]]
||[[Zahlenmengen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 1.2
||Wissen über algebraische Begriffe angemessen einsetzen können: Variable, Terme, Formeln, (Un-)Gleichungen, Gleichungssysteme, Äquivalenz, Umformungen, Lösbarkeit
||[[Algebraische Begriffe | Theorie]]
||[[Quiz #Algebraische Grundbegriffe (AG 1.2) | Beispiele]]
|}
Anmerkungen: Bei den Zahlenmengen soll man die Mengenbezeichnungen und die Teilmengenbeziehungen kennen, Elemente angeben sowie zuordnen können und die reellen Zahlen als Grundlage kontinuierlicher Modelle kennen. Zum Wissen über die reellen Zahlen gehört auch, dass es Zahlenbereiche gibt, die über $ℝ$ hinausgehen. Die algebraischen Begriffe soll man anhand von einfachen Beispielen beschreiben/erklären und verständig verwenden können. 

===(Un-)Gleichungen und Gleichungssysteme===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AG 2.1
||einfache Terme und Formeln aufstellen, umformen und im Kontext deuten können
||[[Terme und Formeln| Theorie]]
||[[Formeln #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 2.2
||lineare Gleichungen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen und die Lösung im Kontext deuten können
||[[lineare Gleichungen mit einer Variablen | Theorie]]
||[[lineare Gleichungen mit einer Variablen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 2.3
||quadratische Gleichungen in einer Variablen umformen/lösen, über Lösungsfälle Bescheid wissen, Lösungen und Lösungsfälle (auch geometrisch) deuten können
||[[Quadratische Gleichungen | Theorie]]
||[[Quadratische Gleichungen #Interaktives Quiz| Beispiele]]
|-
||AG 2.4
||lineare Ungleichungen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen, Lösungen (auch geometrisch) deuten können
||[[Lineare Ungleichungen mit 2 Variablen | Theorie]]
||[[Lineare Ungleichungen mit 2 Variablen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 2.5
||lineare Gleichungssysteme in zwei Variablen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen, über Lösungsfälle Bescheid wissen, Lösungen und Lösungsfälle (auch geometrisch) deuten können
||[[Gleichungssysteme | Theorie]]
||[[Gleichungssysteme #Interaktives Quiz| Beispiele]]
|}
Anmerkungen: Einfache Terme können auch Potenzen, Wurzeln, Logarithmen, Sinus etc. beinhalten. Mit dem Einsatz elektronischer Hilfsmittel können auch komplexere Umformungen von Termen, Formeln und Gleichungen, Ungleichungen und Gleichungssystemen durchgeführt werden. 

===Vektoren===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AG 3.1
||Vektoren als Zahlentupel verständig einsetzen und im Kontext deuten können
||[[Vektorrechnung | Theorie]]
||[[Vektorrechnung #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 3.2
||Vektoren geometrisch (als Punkte bzw. Pfeile) deuten und verständig einsetzen können
||[[Vektorrechnung | Theorie]]
||[[Vektorrechnung #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 3.3
||Definition der Rechenoperationen mit Vektoren (Addition, Multiplikation mit einem Skalar, Skalarmultiplikation) kennen, Rechenoperationen verständig einsetzen und (auch geometrisch) deuten können
||[[Vektorrechnung | Theorie]]
||[[Vektorrechnung #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 3.4
||Geraden durch (Parameter-)Gleichungen in $ℝ^2$ und $ℝ^3$ angeben können; Geradengleichungen interpretieren können; Lagebeziehungen (zwischen Geraden und zwischen Punkt und Gerade) analysieren, Schnittpunkte ermitteln können
||[[Vektorrechnung | Theorie]]
||[[Vektorrechnung #Beispiele| Beispiele]]
|-
||AG 3.5
||Normalvektoren in $ℝ^2$ aufstellen, verständig einsetzen und interpretieren können
||[[Vektorrechnung | Theorie]]
||[[Vektorrechnung #Beispiele | Beispiele]]
|}
Anmerkungen: Vektoren sind als Zahlentupel, also als algebraische Objekte, zu verstehen und in entsprechenden Kontexten ver-ständig einzusetzen. Punkte und Pfeile in der Ebene und im Raum müssen als geometrische Veranschaulichung dieser algebraischen Objekte interpretiert werden können. Die geometrische Deutung der Skalarmultiplikation (in $ℝ^2$ und $ℝ^3$) meint hier nur den Spezialfall $a\cdot b= 0$. Geraden sollen in Parameterform, in $ℝ^2$ auch in parameterfreier Form, angegeben und interpretiert werden können. 

===Trigonometrie===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AG 4.1
||Definitionen von ''Sinus'', ''Cosinus'' und ''Tangens'' im rechtwinkeligen Dreieck kennen und zur Auflösung rechtwinkeliger Dreiecke einsetzen können
||[[Trigonometrie | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|-
||AG 4.2
||Definitionen von ''Sinus'' und ''Cosinus'' für Winkel größer als $90°$ kennen und einsetzen können
||[[Trigonometrie | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|}
Anmerkungen: Die Kontexte beschränken sich auf einfache Fälle in der Ebene und im Raum, komplexe (Vermessungs-)Aufgaben sind hier nicht gemeint; Sinus- und Cosinussatz werden dabei nicht benötigt.
 
 

==Funktionale Abhängigkeiten==
===Funktionsbegriff, reelle Funktionen, Darstellungsformen und Eigenschaften===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||FA 1.1
||für gegebene Zusammenhänge entscheiden können, ob man sie als Funktionen betrachten kann
||[[Funktionen | Theorie]]
||[[Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 1.2
||Formeln als Darstellung von Funktionen interpretieren und dem Funktionstyp zuordnen können
||[[Funktionen_in_mehreren_Unbekannten| Theorie]]
||[[Funktionen_in_mehreren_Unbekannten #Beispielaufgaben + Interaktives Quiz| Beispiele]]
|-
||FA 1.3
||zwischen tabellarischen und grafischen Darstellungen funktionaler Zusammenhänge wechseln können
||[[Funktionen | Theorie]]
||[[Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 1.4
||aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Funktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können
||[[Funktionen | Theorie]]
||[[Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 1.5
||Eigenschaften von Funktionen erkennen, benennen, im Kontext deuten und zum Erstellen von Funktionsgraphen einsetzen können: Monotonie, Monotoniewechsel (lokale Extrema), Wendepunkte, Periodizität, Achsensymmetrie, asymptotisches Verhalten, Schnittpunkte mit den Achsen
||[[Funktionen | Theorie]]
||[[Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 1.6
||Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen grafisch und rechnerisch ermitteln und im Kontext interpretieren können
||[[Schnittpunkt zweier Funktionen | Theorie]]
||[[Schnittpunkt zweier Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 1.7
||Funktionen als mathematische Modelle verstehen und damit verständig arbeiten können
||[[mathematische Modelle | Theorie]]
||[[mathematische Modelle #Funktionen als mathematische Modelle (FA 1.7)| Beispiele]]
|-
||FA 1.8
||durch Gleichungen (Formeln) gegebene Funktionen mit mehreren Veränderlichen im Kontext deuten können, Funktionswerte ermitteln können
||[[Funktionen in mehreren Unbekannten | Theorie]]
||[[Funktionen in mehreren Unbekannten #Beispielaufgaben + Interaktives Quiz | Beispiele]]
|-
||FA 1.9
||einen Überblick über die wichtigsten (unten angeführten) Typen mathematischer Funktionen geben, ihre Eigenschaften vergleichen können
||[[Funktionen | Theorie]]
||[[Funktionen #Funktionstypen und deren Eigenschaften (FA 1.9) | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Auf eine sichere Unterscheidung zwischen funktionalen und nichtfunktionalen Zusammenhängen wird Wert gelegt,auf theoretisch bedeutsame Eigenschaften (z. B. Injektivität, Surjektivität, Umkehrbarkeit)wird aber nicht fokussiert. Im Vordergrund steht die Rolle von Funktionen als Modelle und die verständige Nutzung grundlegender Funktionstypen und deren Eigenschaften sowie der verschiedenen Darstellungsformen von Funktionen (auch $f:A→B$, $x↦f(x)$ ).
Die Bearbeitung von Funktionen mit mehreren Veränderlichen beschränkt sich auf die Interpretation der Funktionsgleichung im jeweiligen Kontext sowie auf die Ermittlung von Funktionswerten.
Der Verlauf von Funktionen soll nicht nur mathematisch beschrieben, sondern auch im jeweiligen Kontext gedeutet werden können.
 

===Lineare Funktion $f(x)=k\cdot x+d$===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||FA 2.1
||verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene lineare Zusammenhänge als lineare Funktionen erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können
||[[Lineare Funktionen| Theorie]]
||[[Lineare Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 2.2
||aus Tabellen, Graphen und Gleichungen linearer Funktionen Werte(paare) sowie die Parameter $k$ und $d$ ermitteln und im Kontext deuten können
||[[Lineare Funktionen | Theorie]]
||[[Lineare Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 2.3
||die Wirkung der Parameter $k$ und $d$ kennen und die Parameter in unterschiedlichen Kontexten deuten können
||[[Lineare Funktionen| Theorie]]
||[[Lineare Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 2.4
||charakteristische Eigenschaften kennen und im Kontext deuten können: $f(x+1)=f(x)+k; \frac {f(x_2)-f(x_1)} {x_2-x_1}=k=f'(x)$
||[[Lineare Funktionen | Theorie]]
||[[Lineare Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 2.5
||die Angemessenheit einer Beschreibung mittels linearer Funktion bewerten können
||[[Lineare Funktionen | Theorie]]
||[[Lineare Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 2.6
||direkte Proportionalität als lineare Funktion vom Typ $f(x)=k\cdot x$ beschreiben können

||[[Lineare Funktionen | Theorie]]
||[[Lineare Funktionen #Beispiele| Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Die Parameter $k$ und $d$ sollen sowohl für konkrete Werte als auch allgemein im jeweiligen Kontext interpretiert werden können. Entsprechendes gilt für die Wirkung der Parameter und deren Änderung.
 
 

===Potenzfunktion $f(x)=a\cdot x^z+b$, $z\in \mathbb{Z}$ oder mit $f(x)=a \cdot x^{ \frac{1}{2} }+b$===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||FA 3.1
||verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene Zusammenhänge dieser Art als entsprechende Potenzfunktionen erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können
||[[Potenzfunktionen | Theorie]]
||[[Potenzfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 3.2
||aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Potenzfunktionen Werte(paare) sowie die Parameter $a$ und $b$ ermitteln und im Kontext deuten können
||[[Potenzfunktionen | Theorie]]
||[[Potenzfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 3.3
||die Wirkung der Parameter $a$ und $b$ kennen und die Parameter im Kontext deuten können
||[[Potenzfunktionen | Theorie]]
||[[Potenzfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 3.4
||indirekte Proportionalität als Potenzfunktion vom Typ $f(x)=\frac {a} {x}$ (bzw. $f(x)=a\cdot x^{–1}$) beschreiben können
||[[indirekte Proportion | Theorie]]
||[[Potenzfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Wurzelfunktionen bleiben auf den quadratischen Fall $a\cdot x^\frac {1} {2}+b$ beschränkt.
 
 

===Polynomfunktion $f(x)=\sum_{i=0}^{n} a_i \cdot x^i$ mit $n \in ℕ$===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||FA 4.1
||typische Verläufe von Graphen in Abhängigkeit vom Grad der Polynomfunktion (er)kennen
||[[Polynomfunktionen | Theorie]]
||[[Polynomfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 4.2
||zwischen tabellarischen und grafischen Darstellungen von Zusammenhängen dieser Art wechseln können
||[[Polynomfunktionen | Theorie]]
||[[Polynomfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 4.3
||aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Polynomfunktionen Funktionswerte, aus Tabellen und Graphen sowie aus einer quadratischen Funktionsgleichung Argumentwerte ermitteln können
||[[Polynomfunktionen | Theorie]]
||[[Polynomfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 4.4
||den Zusammenhang zwischen dem Grad der Polynomfunktion und der Anzahl der Null- ,Extrem- und Wendestellen wissen
||[[Polynomfunktionen | Theorie]]
||[[Polynomfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Der Zusammenhang zwischen dem Grad der Polynomfunktion und der Anzahl der Null-, Extrem- und Wendestellen sollte für beliebige $n$ bekannt sein, konkrete Aufgabenstellungen beschränken sich auf Polynomfunktionen mit $n\le4$. Mithilfe elektronischer Hilfsmittel können Argumentwerte auch für Polynomfunktionen höheren Grades ermittelt werden.
 

===Exponentialfunktion $f(x)=a\cdot b^x$ bzw. $f(x)=a\cdot e^{\lambda \cdot x}$ mit $a,b \in ℝ^+$, $\lambda \in ℝ$===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||FA 5.1
||verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene exponentielle Zusammenhänge als Exponentialfunktion erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können
||[[Exponentialfunktionen | Theorie]]
||[[Exponentialfunktionen #Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung| Beispiele]]
|-
||FA 5.2
||aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Exponentialfunktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können
||[[Exponentialfunktionen | Theorie]]
||[[Exponentialfunktionen #Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung| Beispiele]]
|-
||FA 5.3
||die Wirkung der Parameter $a$ und $b$ (bzw. $e^\lambda$) kennen und die Parameter in unterschiedlichen Kontexten deuten können
||[[Exponentialfunktionen | Theorie]]
||[[Exponentialfunktionen #Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung| Beispiele]]
|-
||FA 5.4
||charakteristische Eigenschaften $(f(x +1)= b\cdot f(x); [e^x]'=e^x)$ kennen und im Kontext deuten können
||[[Exponentialfunktionen | Theorie]]
||[[Exponentialfunktionen #Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung | Beispiele]]
|-
||FA 5.5
||die Begriffe ''Halbwertszeit'' und ''Verdoppelungszeit'' kennen, die entsprechenden Werte berechnen und im Kontext deuten können
||[[Exponentialfunktionen | Theorie]]
||[[Exponentialfunktionen #Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung | Beispiele]]
|-
||FA 5.6
||die Angemessenheit einer Beschreibung mittels Exponentialfunktion bewerten können
||[[Exponentialfunktionen | Theorie]]
||[[Exponentialfunktionen #Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Die Parameter $a$ und $b$ (bzw. $e^{\lambda}$) sollen sowohl für konkrete Werte als auch allgemein im jeweiligen Kontext interpretiert werden können. Entsprechendes gilt für die Wirkung der Parameter und deren Änderung.
 
 

===Sinusfunktion, Cosinusfunktion===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||FA 6.1
||grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene Zusammenhänge der Art $f(x)=a\cdot sin(b\cdot x)$ als allgemeine Sinusfunktion erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können
||[[Trigonometrie #Trigonometrische Funktionen| Theorie]]
||[[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 6.2
||aus Graphen und Gleichungen von allgemeinen Sinusfunktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können
||[[Trigonometrie #Trigonometrische Funktionen | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 6.3
||die Wirkung der Parameter $a$ und $b$ kennen und die Parameter im Kontext deuten können
||[[Trigonometrie #Trigonometrische Funktionen | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 6.4
||Periodizität als charakteristische Eigenschaft kennen und im Kontext deuten können
||[[Trigonometrie #Trigonometrische Funktionen | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 6.5
||wissen, dass $cos(x)= sin(x + \frac {\pi} {2})$
||[[Trigonometrie #Trigonometrische Funktionen | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 6.6
||wissen, dass gilt: $[sin(x)]'=cos(x), [cos(x)]'=-sin(x)$
||[[Differenzen- und Differentialquotient | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Während zur Auflösung von rechtwinkeligen Dreiecken Sinus, Cosinus und
Tangens verwendet werden, beschränkt sich die funktionale Betrachtung (weitgehend) auf die allgemeine Sinusfunktion. Wesentlich dabei sind die Interpretation der Parameter (im Graphen wie auch in entsprechenden Kontexten) sowie der Verlauf des Funktionsgraphen und die Periodizität.
 
 

==Analysis==
===Änderungsmaße===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AN 1.1.
||absolute und relative (prozentuelle) Änderungsmaße unterscheiden und angemessen verwenden können
||[[Änderungsmaße| Theorie]]
||[[Änderungsmaße #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AN 1.2.
||den Zusammenhang ''Differenzenquotient (mittlere Änderungsrate) – Differenzialquotient (momentane Änderungsrate)'' auf der Grundlage eines intuitiven Grenzwertbegriffes kennen und damit (verbal sowie in formaler Schreibweise) auch kontextbezogen anwenden können
||[[Differenzen- und Differentialquotient | Theorie]]
||[[Differenzen- und Differentialquotient #Maturabeispiele| Beispiele]]
|-
||AN 1.3.
||den Differenzen- und Differenzialquotienten in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverhalte durch den Differenzen- bzw. Differenzialquotienten beschreiben können
||[[Differenzen- und Differentialquotient|Theorie]]
||[[Differenzen-_und_Differentialquotient #Maturabeispiele| Beispiele]]
|-
||AN 1.4.
||das systemdynamische Verhalten von Größen durch Differenzengleichungen beschreiben bzw. diese im Kontext deuten können
||[[Differenzengleichungen | Theorie]]
||[[Differenzengleichungen #Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Der Fokus liegt auf dem Darstellen von Änderungen durch Differenzen von Funktionswerten, durch prozentuelle Veränderungen, durch Differenzenquotienten und durch Differenzialquotienten, ganz besonders aber auch auf der Interpretation dieser Veränderungsmaße im jeweiligen Kontext. Durch den Einsatz elektronischer Hilfsmittel ist auch die Berechnung von Differenzen- und Differenzialquotienten beliebiger (differenzierbarer) Funktionen möglich.
 
 

===Regeln für das Differenzieren===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AN 2.1.
||einfache Regeln des Differenzierens kennen und anwenden können: Potenzregel, Summenregel, Regeln für $[k \cdot f(x)]′$ und $[f(k \cdot x)]′$ (vgl. Inhaltsbereich ''Funktionale Abhängigkeiten'')
||[[Inhalt:Differenzieren: Rechnerisches Bestimmen von f'| Theorie]]
||[[Inhalt:Differenzieren: Rechnerisches Bestimmen von f'| Beispiele]]
|}
 

===Ableitungsfunktion/Stammfunktion===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AN 3.1.
||den Begriff ''Ableitungsfunktion/Stammfunktion'' kennen und zur Beschreibung von Funktionen einsetzen können
||[[Integration| Theorie]]
||[[Integration#Beispiele | Beispiele]]
|-
||AN 3.2.
||den Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitungsfunktion (bzw. Funktion und Stammfunktion) in deren grafischer Darstellung (er)kennen und beschreiben können
||[[Integration| Theorie]]
||[[Integration#Beispiele | Beispiele]]
|-
||AN 3.3.
||Eigenschaften von Funktionen mithilfe der Ableitung(sfunktion) beschreiben können: Monotonie, lokale Extrema, Links- und Rechtskrümmung, Wendestellen
||[[Integration| Theorie]]
||[[Integration#Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Der Begriff der ''Ableitung(sfunktion)'' soll verständig und zweckmäßig zur Beschreibung von Funktionen eingesetzt werden. Durch den Einsatz elektronischer Hilfsmittel ist das Ableiten von Funktionen nicht durch die in den Grundkompetenzen angeführten Differenziationsregeln eingeschränkt.
 

===Summation und Integral===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AN 4.1.
||den Begriff des bestimmten Integrals als Grenzwert einer Summe von Produkten deuten und beschreiben können
||[[Integration| Theorie]]
||[[Integration#Beispiele | Beispiele]]
|-
||AN 4.2.
||einfache Regeln des Integrierens kennen und anwenden können: Potenzregel, Summenregel, $\int k\cdot f(x)\,dx$, $\int f(k\cdot x)\,dx$ (vgl. Inhaltsbereich ''Funktionale Abhängigkeiten''), bestimmte Integrale von Polynomfunktionen ermitteln können
||[[Integration| Theorie]]
||[[Integration#Beispiele | Beispiele]]
|-
||AN 4.3.
||das bestimmte Integral in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverhalte durch Integrale beschreiben können
||[[Integration| Theorie]]
||[[Integration#Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Analog zum Differenzialquotienten liegt der Fokus beim bestimmten Integral auf der Beschreibung entsprechender Sachverhalte durch bestimmte Integrale sowie vor allem auf der angemessenen Interpretation des bestimmten Integrals im jeweiligen Kontext. Durch den Einsatz elektronischer Hilfsmittel ist die Berechnung von bestimmten Integralen nicht durch die in den Grundkompetenzen angeführten Integrationsregeln eingeschränkt.
 

==Wahrscheinlichkeit und Statistik==
===Beschreibende Statistik===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||WS 1.1
||Werte aus tabellarischen und elementaren grafischen Darstellungen ablesen (bzw. zusammengesetzte Werte ermitteln) und im jeweiligen Kontext angemessen interpretieren können
||[[Statistik:Daten und Diagramme| Theorie]]
||[[Beschreibende_Statistik#tab=Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: (Un-)geordnete Liste, Strichliste, Piktogramm, Säulen-, Balken-, Linien-, Stängel-Blatt-, Punktwolkendiagramm, Histogramm (als Spezialfall eines Säulendiagramms), Prozentstreifen, Kastenschaubild (Boxplot)
 

{| border="1"
|-
||WS 1.2$\ \ \ \ \ \ \ $
||Tabellen und einfache statistische Grafiken erstellen, zwischen Darstellungsformen wechseln können

||[[Beschreibende_Statistik#tab=Zentralma_C3_9Fe_-_statistische_Kennzahlen_f_C3_BCr_das_Mittel| Theorie]]
||[[Beschreibende_Statistik#tab=Matura-Aufgaben| Beispiele]]
|-
||WS 1.3
||statistische Kennzahlen (absolute und relative Häufigkeiten; arithmetisches Mittel, Median, Modus, Quartile, Spannweite, empirische Varianz/Standardabweichung) im jeweiligen Kontext interpretieren können; die angeführten Kennzahlen für einfache Datensätze ermitteln können

||[[Beschreibende Statistik| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeitsrechnung#Matura-Aufgaben| Beispiele]]
|-
||WS 1.4
||Definition und wichtige Eigenschaften des arithmetischen Mittels und des Medians angeben und nutzen, Quartile ermitteln und interpretieren können, die Entscheidung für die Verwendung einer bestimmten Kennzahl begründen können

||[[Beschreibende Statistik| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeitsrechnung#Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Wenn auch statistische Kennzahlen (für einfache Datensätze) ermittelt und elementare statistische Grafiken erstellt werden sollen, liegt das Hauptaugenmerk auf verständigen Interpretationen von Grafiken (unter Beachtung von Manipulationen) und Kennzahlen. Speziell für das arithmetische Mittel und den Median (auch als Quartile) müssen die wichtigsten Eigenschaften (definitorische Eigenschaften, Datentyp-Verträglichkeit, Ausreißerempfindlichkeit) gekannt und verständig eingesetzt bzw. berücksichtigt werden. Beim arithmetischen Mittel sind allenfalls erforderliche Gewichtungen zu beachten („gewogenes arithmetisches Mittel“) und zu nutzen (Bildung des arithmetischen Mittels aus arithmetischen Mitteln von Teilmengen).
 
 

===Wahrscheinlichkeitsrechnung===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||WS 2.1
||Grundraum und Ereignisse in angemessenen Situationen verbal beziehungsweise formal angeben können
||[[Wahrscheinlichkeit: Grundlagen| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]
|-
||WS 2.2
||relative Häufigkeit als Schätzwert von Wahrscheinlichkeit verwenden und anwenden können

||[[Wahrscheinlichkeit: Grundlagen| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Normalverteilung und Stetige Zufallsvariablen#Beispiele | Beispiele]]
|-
||WS 2.3
||Wahrscheinlichkeit unter der Verwendung der Laplace-Annahme (Laplace-Wahrscheinlichkeit) berechnen und interpretieren können, Additionsregel und Multiplikationsregel anwenden und interpretieren können

||[[Wahrscheinlichkeit: Grundlagen| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]
|-
||WS 2.4
||Binomialkoeffizient berechnen und interpretieren können

||[[Binomialkoeffizient| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]

|}

Anmerkungen: Die Multiplikationsregel kann unter Verwendung der kombinatorischen Grundlagen und der Anwendung der Laplace-Regel (auch) umgangen werden.
 
 

===Wahrscheinlichkeitsverteilungen===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||WS 3.1
||die Begriffe ''Zufallsvariable'', ''(Wahrscheinlichkeits-)Verteilung'', ''Erwartungswert'' und ''Standardabweichung'' verständig deuten und einsetzen können

||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]

|-
||WS 3.2
||Binomialverteilung als Modell einer diskreten Verteilung kennen – Erwartungswert sowie Varianz/Standardabweichung binomialverteilter Zufallsgrößen ermitteln können, Wahrscheinlichkeitsverteilung binomialverteilter Zufallsgrößen angeben können, Arbeiten mit der Binomialverteilung in anwendungsorientierten Bereichen

||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]

|-
||WS 3.3
||Situationen erkennen und beschreiben können, in denen mit Binomialverteilung modelliert werden kann

||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]
|-
||WS 3.4
||Normalapproximation der Binomialverteilung interpretieren und anwenden können

||[[Wahrscheinlichkeit: Normalverteilung und Stetige Zufallsvariablen| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Normalverteilung und Stetige Zufallsvariablen#Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Kennen und Anwenden der Faustregel, dass die Normalapproximation der Binomialverteilung mit den Parametern $n$ und $p$ dann anzuwenden ist und gute Näherungswerte liefert, wenn die Bedingung $n\cdot p \cdot (1–p)\geq 9 $ erfüllt ist. Die Anwendung der Stetigkeitskorrektur ist nicht notwendig und daher für Berechnungen im Zuge von Prüfungsbeispielen vernachlässigbar. Kennen des Verlaufs der Dichtefunktion $φ$ der Standardnormalverteilung mit Erwartungswert $\mu$ und Standardabweichung $\sigma$. Arbeiten mit der Verteilungsfunktion $Φ$ der Standardnormalverteilung und korrektes Ablesen der entsprechenden Wert.
 
 

===Schließende/Beurteilende Statistik===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||WS 4.1
||Konfidenzintervalle als Schätzung für eine Wahrscheinlichkeit oder einen unbekannten Anteil interpretieren (frequentistische Deutung) und verwenden können, Berechnungen auf Basis der Binomialverteilung oder einer durch die Normalverteilung approximierten Binomialverteilung durchführen können

||[[Konfidenzintervall| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]
|}

Differenzengleichungen

2020-04-11T12:57:55Z

PeterLamp:

= Einleitung =
==Einleitung==

Differenzengleichungen ermöglichen es, praktische Fragestellungen aus der Finanzmathematik ([[Zins- und Zinseszinsrechnung|Zinseszins-]], [[Rentenrechnung|Renten-]] und [[Schuldentilgung|Tilgungsrechnung]]), der Populationsdynamik (Entwicklung einer Population) sowie aus vielen weiteren wissenschaftlichen Disziplinen der Wirtschaft, Medizin, Technik usw. mathematisch zu beschreiben.
 

Bei einer Differenzengleichung (auch '''Rekursionsgleichung''' genannt) handelt es sich um eine rekursive Folge, also um eine Aufzählung von Zahlen. Besteht eine Folge aus den Zahlen $x_0, x_1, x_2, x_3, …$ , so heißen diese Zahlen „Glieder der Folge“, wobei $x_0$ das 0. Folgeglied (= Anfangswert), $x_1$ das 1. Folgeglied usw. bezeichnet. 
Rekursiv bedeutet, dass man unter Kenntnis eines Folgeglieds immer das nächste Folgeglied ermitteln kann. 

{{Vorlage:Beispiel|1=Es gelte $y_0=4$ und $y_{n+1}=y_n-2$.
Ermitteln Sie $y_n$ für $n=1, 2, 3$.
 
 
$y_0$ … Anfangs- bzw. Startwert (erste Zahl der Zahlenfolge) 
$\hspace{2.1cm} y_n$ … Wert nach $n$ Einheiten ($n$-tes Folgeglied) 
$\hspace{2.1cm} y_{n+1}$ … Wert nach $(n+1)$ Einheiten ($(n+1)$-tes Folgeglied bzw. Nachfolger von $y_n$)
 
 
'''Anmerkungen:''' Anstelle der Schreibweise $y_0, y_n$ bzw. $y_{n+1}$ wird auch häufig die Form $y(0), y(n)$ bzw. $y(n+1)$ verwendet. Beachte, dass $n$ immer nur eine natürliche Zahl sein kann (d. h. $n=0, 1, 2, 3, …$). Denn es macht keinen Sinn das $-1$-te Folgeglied oder etwa das $1.5$-te Folgeglied zu berechnen.

|2='''Lösung:''' 
Der Anfangswert der Zahlenfolge ist $4$. Jedes weitere Folgeglied ist um $2$ kleiner als das vorige. Somit erhalten wir $y_1$, indem wir vom Anfangswert $2$ abziehen. Es gilt:
 
$\boldsymbol{y_1}=y_0-2 \Rightarrow y_1=4-2=\boldsymbol{2}$
 
Das 2. Folgeglied $y_2$ erhalten wir nun, indem wir vom aktuellen Folgeglied $y_1$ erneut $2$ abziehen. 

$\boldsymbol{y_2}=y_1-2\Rightarrow y_2=2-2=\boldsymbol{0}$
 
Analog resultiert für das 3. Folgeglied $\boldsymbol{y_3=-2}$.
}}

{{Vorlage:Beispiel|1='''Verständnisfrage:''' Warum wird durch die alleinige Angabe von $y_{n+1}=y_n-2$ für alle $n\in \mathbb{N}$ keine Folge eindeutig definiert?

|2='''Lösung:''' 
Es fehlt die Anfangsbedingung, denn je nach Wahl des Anfangswertes ergibt sich eine andere Zahlenfolge. So erhalten wir für $y_0=3$ die Folge $(3, 1, -1, -3, …)$, für $y=4$ ergibt sich allerdings die Folge $(4, 2, 0, -2, …)$. Beide erfüllen die Bedingung $y_{n+1}=y_n-2$ für alle $n\in \mathbb{N}$, sind aber voneinander verschieden.
 

'''Es ist also unbedingt erforderlich, die Anfangsbedingung immer mit anzugeben!'''
}}
 

Grundsätzlich unterscheidet man bei Differenzengleichungen '''zwei''' Grundformen:
 
* '''Lineare Differenzengleichung''' (arithmetische Folge)
* '''Exponentielle Differenzengleichung''' (geometrische Folge)

= Lineare Differenzengleichung (arithmetische Folge) =

== Lineare Differenzengleichung (arithmetische Folge) ==
Für ein lineares Wachstum ist eine '''konstante Zunahme''' in '''gleichen Zeitspannen''' charakteristisch. 
Bei einer linearen Differenzengleichung wächst bzw. sinkt der angegebene Wert mit jedem Folgeglied um einen '''festen Betrag'''. Ein Beispiel dafür ist die einleitende Folge $y_{n+1}=y_n-2$, wo der Wert stets um $2$ gesunken ist. 

{{Vorlage:Definition|1='''Lineare Differenzengleichung (Rekursive Darstellung)''' 
Bei linearem Wachstum bzw. linearer Abnahme gilt für einen Bestand $y_t$ nach $t$ Zeitschritten:
 
$ \underbrace{y_{t+1}=y_t\pm k}_{rekursive \hspace{0.1cm} Folge} \qquad$ oder $\qquad \underbrace{y_{t+1}-y_t=\pm k}_{Differenzengleichung}$ 

mit konstanter Änderungsrate $k$ und Anfangsbestand $y_0$.
 
 
'''Anmerkung:''' Die Folge wurde hier mit der Variable $y$ festgelegt. Natürlich kann zur Beschreibung einer Folge jede beliebige andere Variable $a, b, h, z, …$ verwendet werden.
}}

{{Vorlage:Beispiel|1=Ein Produkt kostet $1000 €$ und wird jährlich um $40 €$ teurer. Stellen Sie eine geeignete Differenzengleichung (Rekursionsgleichung) auf, die diesen Sachverhalt modelliert.

|2='''Lösung:''' 
Zunächst benennen wir die Folge mit einer beliebigen Variablen, beispielsweise mit $a$.
 

Beim Ausgangswert handelt es sich um die ursprünglichen Kosten des Produkts, d. h. $a_0=1000 €$. Der Betrag erhöht sich jährlich um $40 €$, sprich $k=40€$.
 

Somit gilt: $\boldsymbol{a_0=1000€}$; $\hspace{0.3cm} \boldsymbol{a_{n+1}=a_n+40}$
 
Folglich beträgt die Differenz zwischen dem nächsten Jahr und dem aktuellen Jahr $40$, oder anders ausgedrückt $a_{n+1}-a_n=40$. 
 
Die Aufgabe lässt sich nun auch noch '''grafisch''' darstellen: 
Zu Beginn kostet das Produkt $1000€$. Dies entspricht dem Punkt $(0\vert 1000)$ im Koordinatensystem. Nach einem Jahr kostet das Produkt $1040 €$ ($(1\vert 1040)$), nach einem weiteren Jahr bereits $1080$ ($(2\vert 1080)$) usw.
 

[[Datei:Linear.png|left|300px|Zur besseren Veranschaulichung wurde die y-Achse gestaucht.]]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Zur besseren Veranschaulichung wurde die $y$-Achse gestaucht.
 

Da nun alle eingezeichneten Punkte auf einer Linie liegen, handelt es sich dabei um eine '''lineare Differenzengleichung'''.
}}
 

{{Vorlage:Beispiel|1=In einer Regentonne befinden sich $250l$ Regenwasser. Davon werden täglich $15l$ zur Bewässerung der Pflanzen genutzt. Stellen Sie eine geeignete Differenzengleichung (Rekursionsgleichung) auf, die diesen Sachverhalt modelliert.

|2='''Lösung:''' 
Wir bezeichnen unsere Folge nun mit $b$. Analog zum vorherigen Beispiel beträgt der Anfangswert $b_0=250l$ und $k=-15$, da es sich nun um eine Abnahme handelt. Es gilt: 

$\boldsymbol{b_0=250l \quad, \quad b_{n+1}=b_n-15 \quad}$ bzw. $\boldsymbol{\quad b_{n+1}-b_n=-15}$
}}

 

= Exponentielle Differenzengleichung (geometrische Folge) =

== Exponentielle Differenzengleichung (geometrische Folge) ==
Für ein exponentielles Wachstum ist eine '''konstante prozentuelle Zunahme''' in '''gleichen Zeitspannen''' charakteristisch. 
Bei einer exponentiellen Differenzengleichung wächst bzw. sinkt der angegebene Wert mit jedem Folgeglied um denselben Prozentsatz bzw. um denselben relativen Anteil.
 

{{Vorlage:Definition|1='''Exponentielle Differenzengleichung (Rekursive Darstellung)''' 
Bei exponentiellem Wachstum bzw. exponentieller Abnahme gilt für einen Bestand $y_t$ nach $t$ Zeitschritten:
 
$ \underbrace{y_{t+1}=a\cdot y_t}_{rekursive \hspace{0.1cm} Folge} \qquad$ mit $\quad \frac{y_{t+1} }{y_t}=a \qquad$ oder $\qquad \underbrace{y_{t+1}-y_t=y_t\cdot (a-1) }_{Differenzengleichung}$ 

mit konstantem Änderungsfaktor $a$ und Anfangsbestand $y_0$.
 
 
'''Anmerkungen:''' Der Parameter $a$ in der rekursiven Folge entspricht dem Wachstums- bzw. Zerfallsfaktor. Dieser lässt sich wie bei Exponentialfunktionen mithilfe des Prozentsatzes berechnen: $a=1\pm \frac{p}{100}$. 
Der Ausdruck $(a-1)$ in der Differenzengleichung entspricht dem relativen Anteil, um den das Folgeglied wächst oder fällt, also $(a-1)=\pm \frac{p}{100}$.
}}

{{Vorlage:Beispiel|1=Vera zahlt $2€$ auf ihr Konto ein. Diesen Betrag verdreifacht sie jeden Monat. Stellen Sie eine geeignete Differenzengleichung (Rekursionsgleichung) auf, die diesen Sachverhalt modelliert.

|2='''Lösung:''' 
Da sich der Kontostand monatlich verdreifacht, muss dieser mit dem Faktor $3$ multipliziert werden. Dabei handelt es sich um den Wachstumsfaktor $a$ in der vorherigen Definition (analog zur Exponentialfunktion). Es gilt:
 
$\boldsymbol{y_0=2€ \quad , \quad y_{n+1}=y_n\cdot 3\quad}$ mit $\quad \frac{y_{n+1} }{y_n}=3 \qquad$ bzw. $\boldsymbol{\qquad y_{n+1}-y_n=y_n\cdot 2}$.
 

Der Ausdruck $y_{n+1}-y_n=y_n\cdot 2$ beschreibt den Unterschied des Kontostands von einem Monat zum darauffolgenden, beispielsweise vom 6. zum 7. Monat. Dieser beträgt immer das Doppelte des Kontostands vom Ausgangsmonat. Somit erhält man den Kontostand des 7. Monats, indem man zum Kontostand des 6. Monats erneut das Doppelte desselbigen addiert.
 
 
'''Grafische Veranschaulichung:''' 

[[Datei:Exponentiell.png|left|300px]]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
}}

{{Vorlage:Beispiel|1=In einem Waldgebiet mit $20 000$ Bäumen tritt ein Schädling auf, der jährlich $5\%$ der noch nicht geschädigten Bäume befällt. Stellen Sie eine geeignete Differenzengleichung (Rekursionsgleichung) auf, die diesen Sachverhalt modelliert.

|2='''Lösung:''' 
Da der Anfangsbestand der Bäume $20 000$ beträgt, gilt $b_0=20 000$. Mithilfe des angegebenen Prozentsatzes können wir nun den Zerfallsfaktor $a$ bestimmen: 
$a=1-\frac{p}{100}=1-\frac{5}{100}=0.95$
 
Der Zerfallsfaktor gibt an, dass nach einem Jahr noch $95\%$ der Bäume nicht befallen sind.
 

Analog zu oben erhalten wir:
 
$\boldsymbol{b_0=20 000 \quad , \quad b_{n+1}=b_n\cdot 0.95\quad}$ mit $\quad \frac{b_{n+1} }{b_n}=0.95 \qquad$ bzw. $\boldsymbol{\qquad b_{n+1}-b_n=b_n\cdot (-0.05)}$.
 
Der Faktor $(-0.05)$ gibt an, dass die Anzahl der noch nicht geschädigten Bäume jährlich um $5\%$ abnimmt.

}}

= Beispiele =

== Differenzengleichungen (AN 1.4) ==

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}}

Änderungsmaße

2020-04-11T11:52:06Z

PeterLamp:

== Änderungsmaße ==

Möchte man Daten miteinander vergleichen oder Änderungen von Größen beschreiben, so können sogenannte Änderungsmaße verwendet werden.
{{Vorlage:Definition|1='''Änderungsmaße''' 
Sei $f$ eine reelle Funktion, die auf dem Intervall $[a; b]$ definiert ist. Dann bezeichnet man die reelle Zahl
 

- $\quad$ $f(b)-f(a) \hspace{1cm}$ als absolute Änderung von $f$ in $[a; b]$.
 
- $\quad$ $\frac{f(b)-f(a)}{f(a)} \hspace{1.6cm}$ als relative Änderung von $f$ in $[a; b]$.
 
- $\quad$ $\frac{f(b)-f(a)}{f(a)}\cdot 100 \hspace{0.6cm}$ als prozentuelle Änderung von $f$ in $[a; b]$.
 
- $\quad$ $\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \hspace{1.65cm}$ als mittlere Änderungsrate (oder [[Differenzen- und Differentialquotient|Differenzenquotient]]) von $f$ in $[a; b]$. 
- $\quad$ $\frac{f(b)}{f(a)} \hspace{2.35cm}$ als Änderungsfaktor von $f$ in $[a; b]$.
 

'''Anmerkung:''' Der Änderungsfaktor ist immer um $1$ größer als die relative Änderung:
$\frac{f(b)-f(a)}{f(a)}=\frac{f(b)}{f(a)}-\frac{f(a)}{(f(a)}=\frac{f(b)}{f(a)}-1$
 
}}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Funktionsgleichung $f(x)=\frac{x^2}{2}+3$.
 
 
$\hspace{2.15cm}$'''Aufgabenstellung:''' 
$\hspace{2.05cm}$ Berechnen Sie (1) die absolute, (2) die relative und (3) die prozentuelle Änderung sowie (4) den Änderungsfaktor von $f$ im 
$\hspace{2.05cm}$ Intervall $[2; 4]$.

|2=

[[Datei:Aenderungsmaße.png|center|alt=Der Graph der Funktion $f(x)$.|500x300px]]
 

(1) '''Absolute Änderung:''' $f(b)-f(a)=f(4)-f(2)=\frac{4^2}{2}+3-(\frac{2^2}{2}+3)=(8+3)-(2+3)=6$ 
Der Funktionswert nimmt in diesem Intervall absolut um $6$ zu.
 

(2) '''Relative''' und (3) '''prozentuelle Änderung:''' $\frac{f(b)-f(a)}{f(a)}=\frac{f(4)-f(2)}{f(2)}=\frac{6}{5}=1.2\Rightarrow 1.2\cdot 100=120\%$ 
Der Funktionswert nimmt in diesem Intervall um $120\%$ zu.
 

(4) '''Änderungsfaktor:''' $\frac{f(b)}{f(a)}=\frac{4}{2}=\frac{11}{5}=2.2$ 
Man muss $f(2)$ mit $2.2$ multiplizieren um $f(4)$ zu erhalten.
 
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Eine Funktion $s:[0;6]\rightarrow \mathbb{R}$ beschreibt den von einem Radfahrer innerhalb von $t$ Sekunden zurückgelegten Weg. Es gilt: $s(t)=\frac{1}{2}t^2+2t$
 
Der zurückgelegte Weg wird dabei in Metern angegeben, die Zeit wird ab dem Zeitpunkt $t_0=0$ in Sekunden gemessen.
 
 
$\hspace{2.05cm}$ '''Aufgabenstellung:''' 
$\hspace{2.05cm}$ Ermitteln Sie den Differenzenquotienten der Funktion $s$ im Intervall [0; 6] und deuten Sie das Ergebnis.

|2= $\frac{s(6)-s(0)}{6-0}=\frac{30-0}{6}=5$ 

'''Interpretation:''' Die mittlere (durchschnittliche) Geschwindigkeit des Radfahrers im Zeitintervall $[0;6]$ Sekunden beträgt $5 m/s$.
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Aufgrund einer Beförderung erhöht sich das Gehalt eines Angestellten von $2 400€$ auf $2 760€$.
 
 
'''Aufgabenstellung:''' 
$\hspace{2.05cm}$ Um wie viel Prozent ist sein Gehalt gestiegen?

|2='''Lösungsansatz mithilfe der relativen bzw. prozentuellen Änderung:'''
$\frac{f(b)-f(a)}{f(a)}=\frac{Endgehalt-Ausgangsgehalt}{Ausgangsgehalt}=\frac{2 760€-2 400€}{2 400€}=0.15$ 
 
Sein Gehalt ist somit um $15\%$ gestiegen.
 
 
'''Lösungsansatz mithilfe des Änderungsfaktors:''' 
$\frac{f(b)}{f(a)}=\frac{Endgehalt}{Ausgangsgehalt}=\frac{2 760€}{2 400€}=1.15$
 

Sein Gehalt ist somit auf das $1.15$-Fache angestiegen. Darüber hinaus entsprechen der Dezimalzahl $1.15$ umgerechnet $115\%$. Da wir beim Änderungsfaktor immer von $100\%$ ausgehen, bedeutet dies einen Anstieg des Gehalts um insgesamt $15\%$.
 
 

Die Aufgabe kann also sowohl mit der relativen bzw. prozentuellen Änderung, als auch mit dem Änderungsfaktor gelöst werden.
}}

== Interaktives Quiz ==

=== Änderungsmaße - Differenzen- und Differentialquotient (AN 1.1-1.3) ===

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}}

Spezial:Badtitle/NS3000:Differenzieren: Rechnerisches Bestimmen von f'

2020-04-11T11:49:27Z

PeterLamp:

Im Folgenden sind Regeln aufgelistet, mit der $f'(x)$ berechnet werden kann.

== Grundlegende Regeln ==
{| border="1" align="center" cellpadding="10"
! Allgemeine Regeln
|-
| {{#ev:youtube|4_e-KRJbXUg}}
|}

{| class="wikitable"
|-
!Regel !! $f(x)$ !! $f'(x)$ !!Bemerkung
|-
|Potenzregel || $x^n$ || $n\cdot x^{n-1}$ || Der Exponent kommt herunter, dann wird die Hochzahl um $1$ vermindert.
|-
| Konstantenregel
$c\in \mathbb{R}$
|| $c$ || $0$ || Konstante Funktionen haben die Steigung $= 0$.
|-
|[[Faktor|Faktorregel]]
$a\in \mathbb{R}$
|| $a\cdot f(x)$|| $a\cdot f'(x)$ || Ein konstanter Faktor ist von der Ableitung nicht betroffen.
|-
|Summenregel || $f(x)+g(x)$ || $f'(x)+g'(x)$ || Eine Summe wird abgeleitet, indem jeder einzelne Summand einzeln abgeleitet wird.
|-
| [[Exponentialfunktionen(3.5.)|$e$-Funktion]] || $e^x$ || $e^x$ || Die besondere Eigenschaft von $e^x$ ist, dass es durch Ableiten nicht verändert wird.

(d. h. Funktionswert bei $x$ = Steigung bei $x$)
|-
| [[Logarithmus]] || $ln|x|$ || $\frac{1}{x}$ ||
|-
| [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)|Trigonometrische Funktionen]] || $sin(x)$ $cos(x)$ || $cos(x)$ $-sin(x)$ ||
[[Datei:Sin-cos-kreis.png|miniatur|300px|center|Durch mehrmaliges Ableiten der Sinus- oder Cosinusfunktion kommt man immer wieder zur Ausgangsfunktion zurück. In [http://geogebratube.org/student/m43313 diesem Arbeitsblatt] findest du eine Begründung dafür.]]

|}

{{Vorlage:Beispiel|1=Bestimme zu den folgenden Funktionen die Ableitungsfunktion:

 
 
 
#$f(x)=x^3$
#$f(x)=4x$
#$f(x)=3$
#$f(x)=5\cdot x^2$
#$x^3+5x^2-4x+3$
#$x+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^3}+\sqrt[5]{x^2}$
#$f(x)=\frac{x^4}{5}+2\cdot e^x-ln\vert x\vert $

|2=
Wir wenden die einzelnen Regeln Schritt für Schritt an:
#$f(x)=x^3 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel} 3\cdot x^{3-1}=3\cdot x^2$ 
#$f(x)=4\cdot x=4\cdot x^1 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel} 4\cdot 1\cdot x^{1-1}=4\cdot x^0=4\cdot 1=4$ 
#$f(x)=3 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Konstantenregel} 0$ 
#$f(x)=5\cdot x^2\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Faktorregel}5\cdot (x^2)' \underbrace{=}_{Potenzregel}=5\cdot 5\cdot 2\cdot x^{2-1}=10\cdot x$ 
#$x^3+5x^2-4x+3\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Summenregel}(x^3)'+(5x^2)'-(4x)'+(3)' \underbrace{=}_{Potenzregel}3x^2+10x-4+0$
#$x+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^3}+\sqrt[5]{x^2}\underbrace{=}_{umformen} x+x^{-1}-x^{-3}+x^{\frac{2}{5} }$ $$\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel}1\cdot x^0+(-1)\cdot x^{-2}-(-3)\cdot x^{-4}+\frac{2}{5}\cdot x^{(\frac{2}{5}-1)}=$$ $$=1-x^{-2}+3\cdot x^{-4}+\frac{2}{5}\cdot x^{-\frac{3}{5} }$$ $$=1-\frac{1}{x^2}+\frac{3}{x^4}+\frac{2}{5\sqrt[5]{x^3} }$$ 
#$f(x)=\frac{x^4}{5}+2\cdot e^x-ln \vert x \vert \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel/Faktorregel,\ e-\ und\ ln-Regel}\frac{4x^3}{5}+2\cdot e^x-\frac{1}{x}$
}}

'''Ordne im folgenden Applet Funktionen und ihre Ableitungen zu.'''
{{#widget:Iframe
|url= http://LearningApps.org/view656909
|width= 900
|height= 500
|border=0
}}

[[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| ? ]] [http://www.mathe-online.at/tests/diff1/poldiff.html Online-Übung (mathe-online)]
 
 

== Vertiefende Regeln zur Ableitung zusammengesetzter Funktionen ==
=== Produktregel ===
Im Gegensatz zur Summe zweier Funktionen $( f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)$, siehe oben 'Summenregel'$)$ kann man das [[Produkt]] zweier Funktionen $f(x)\cdot g(x)$ nicht mehr so einfach ableiten. Hierfür braucht es die sogenannte ...

{{Vorlage:Merke|1= '''Produktregel'''
$$(f(x)\cdot g(x))'=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$$
„Zuerst den ersten [[Faktor]] ableiten, den zweiten stehen lassen,
$$\textrm{Plus}$$
den ersten Faktor stehen lassen, den anderen ableiten.“ }}

{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben ist die Funktion $h(x)=(x^2-1)\cdot (3x^2-4x+1)$. Bestimmen Sie $h'(x)$.

|2= Da es sich hierbei um ein [[Produkt]] handelt, müssen wir die Produktregel anwenden:
$$h(x)=\underbrace{(x^2-1)}_{f(x)} \cdot \underbrace{(3x^2-4x+1)}_{g(x)}$$
Zuerst berechnen wir in einer Nebenrechnung die Ableitungen der Faktoren:
$$f(x)=x^2-1\rightarrow f'(x)=2x$$
$$g(x)=3x^2-4x-+1\rightarrow g'(x)=6x-4$$

Nun setzen wir die Formel zusammen:
$$h'(x)=\underbrace{2x}_{f'(x)}\cdot \underbrace{(3x^2-4x+1)}_{g(x)}+\underbrace{(x^2-1)}_{f(x)}\cdot \underbrace{(6x-4)}_{g'(x)}$$

Zuletzt vereinfachen wir noch das Ergebnis:
$$h'(x)=6x^3-8x^2+2x+6x^3-4x^2-6x+4$$
$$\underline{\underline{h'(x)=12x^3-12x^2-4x+4} }$$

}}

=== Quotientenregel ===

Um die Ableitung einer Division von $2$ Funktionen (= Quotienten) zu berechnen, verwendet man die ...

{{Vorlage:Merke|1= '''Quotientenregel'''
$$h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\ \rightarrow \ h'(x)=\frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{(g(x))^2 }$$

Im Zähler steht bis auf das $Minus$ die Produktregel. Im Nenner wird die Nenner-Funktion quadriert.
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Bestimmen Sie die Ableitung von $h(x)=\frac{x^2-x}{x+1}$.
|2=
Da es sich um einen Quotienten handelt, wenden wir die Quotientenregel an. Zuerst berechnen wir die Ableitung des Zählers ($f(x)$) und des Nenners ($g(x)$):

* Zähler: $f(x)=x^2-x\ \rightarrow f'(x)=2x-1$
* Nenner: $g(x)=x+1\ \rightarrow g'(x)=1$

Nun setzen wir die Quotientenregel zusammen:
$$h'(x)=\frac{(2x-1)\cdot (x+1)-(x^2-x)\cdot 1 }{(x+1)^2}$$
$$h'(x)=\frac{2x^2+x-1-x^2+x}{x^2+2x+1}$$
$$h'(x)=\frac{x^2+2x-1}{x^2+2x+1}$$
}}

=== Kettenregel ===
Um Klammerausdrücke oder verkettete Funktionen wie zum Beispiel $f(x)=\sqrt[3]{x^2-1}$ oder $e^{2x-1}$ abzuleiten, verwenden wir die ...

{{Vorlage:Merke|1='''Kettenregel'''
$$h(x)=f[g(x)]\ \ \rightarrow \ \ h'(x)=\underbrace{f'(g(x))}_{\textrm{äußere Ableitung} } \cdot \underbrace{g'(x)}_{\textrm{innere Ableitung} }$$

$f(x)$ wird als ''äußere Funktion'', $g(x)$ als ''innere Funktion'' bezeichnet.
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben ist $h(x)=\sqrt[3]{x^2-1}$. Bestimmen Sie $h'(x)$.
|2=
Zuerst schreiben wir die Wurzel in der [[Potenzen#Potenzregel_7|Exponentenschreibweise]]:
$$h(x)=(x^2-1)^{\frac{1}{3} }$$

* Die äußere Funktion ist nun $f(x)=(\ \ )^{\frac{1}{3} }$. Damit ist $f'(x)=\frac{1}{3}\cdot (\ \ )^{\frac{1}{3}-1}=\frac{1}{3}\cdot (\ \ )^{-\frac{2}{3} }$

* Die innere Funktion ist $g(x)=x^2-1$. Damit ist $g'(x)=2x$.

Nun setzen wir die Kettenregel zusammen:
$$ h'(x)=\underbrace{\frac{1}{3}\cdot (x^2-1)^{-\frac{2}{3} } }_{\textrm{äußere Ableitung} } \cdot \underbrace{2x}_{\textrm{innere Ableitung} }$$

$$ h'(x)=\frac{2x}{3\cdot \sqrt[3]{(x^2-1)^2} }$$
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion von $f(x)=e^{2x-1}$.
|2=
Zuerst kümmern wir uns um die äußere und innere Funktion getrennt:
* Die äußere Funktion ist die Exponentialfunktion $f(x)=e\textrm{^}\ \rightarrow\ f'(x)=e\textrm{^}$.
* Die innere Funktion ist $g(x)=2x-1 \ \rightarrow g'(x)=2$.

Nun setzen wir die Kettenregel wieder zusammen:

$$ h'(x)=\underbrace{e^{2x-1} }_{\textrm{äußere Ableitung} } \cdot \underbrace{2}_{\textrm{innere Ableitung} }$$
$$h'(x)=2\cdot e^{2x-1} $$
}}

== Lernvideos ==
{| align="center" border="1"
! Produkt-, Quotienten- und Kettenregel
! Ableitung der Exponentialfunktion
|-
|{{#ev:youtube|47bKq2lXGs8}}
|{{#ev:youtube|XVCBYo2_OoM}}
|}

== Interaktives Quiz ==
=== Änderungsmaße - Differenzen- und Differentialquotient (AN 1.1-1.3) ===

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|url= https://h5p.org/h5p/embed/760824
|width= 90%
|height= 830
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}}

Spezial:Badtitle/NS3000:Differenzieren: Rechnerisches Bestimmen von f'

2020-04-11T11:46:36Z

PeterLamp: /* Kettenregel */

Im Folgenden sind Regeln aufgelistet, mit der $f'(x)$ berechnet werden kann.

=== Grundlegende Regeln ===
{| border="1" align="center" cellpadding="10"
! Allgemeine Regeln
|-
| {{#ev:youtube|4_e-KRJbXUg}}
|}

{| class="wikitable"
|-
!Regel !! $f(x)$ !! $f'(x)$ !!Bemerkung
|-
|Potenzregel || $x^n$ || $n\cdot x^{n-1}$ || Der Exponent kommt herunter, dann wird die Hochzahl um $1$ vermindert.
|-
| Konstantenregel
$c\in \mathbb{R}$
|| $c$ || $0$ || Konstante Funktionen haben die Steigung $= 0$.
|-
|[[Faktor|Faktorregel]]
$a\in \mathbb{R}$
|| $a\cdot f(x)$|| $a\cdot f'(x)$ || Ein konstanter Faktor ist von der Ableitung nicht betroffen.
|-
|Summenregel || $f(x)+g(x)$ || $f'(x)+g'(x)$ || Eine Summe wird abgeleitet, indem jeder einzelne Summand einzeln abgeleitet wird.
|-
| [[Exponentialfunktionen(3.5.)|$e$-Funktion]] || $e^x$ || $e^x$ || Die besondere Eigenschaft von $e^x$ ist, dass es durch Ableiten nicht verändert wird.

(d. h. Funktionswert bei $x$ = Steigung bei $x$)
|-
| [[Logarithmus]] || $ln|x|$ || $\frac{1}{x}$ ||
|-
| [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)|Trigonometrische Funktionen]] || $sin(x)$ $cos(x)$ || $cos(x)$ $-sin(x)$ ||
[[Datei:Sin-cos-kreis.png|miniatur|300px|center|Durch mehrmaliges Ableiten der Sinus- oder Cosinusfunktion kommt man immer wieder zur Ausgangsfunktion zurück. In [http://geogebratube.org/student/m43313 diesem Arbeitsblatt] findest du eine Begründung dafür.]]

|}

{{Vorlage:Beispiel|1=Bestimme zu den folgenden Funktionen die Ableitungsfunktion:

 
 
 
#$f(x)=x^3$
#$f(x)=4x$
#$f(x)=3$
#$f(x)=5\cdot x^2$
#$x^3+5x^2-4x+3$
#$x+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^3}+\sqrt[5]{x^2}$
#$f(x)=\frac{x^4}{5}+2\cdot e^x-ln\vert x\vert $

|2=
Wir wenden die einzelnen Regeln Schritt für Schritt an:
#$f(x)=x^3 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel} 3\cdot x^{3-1}=3\cdot x^2$ 
#$f(x)=4\cdot x=4\cdot x^1 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel} 4\cdot 1\cdot x^{1-1}=4\cdot x^0=4\cdot 1=4$ 
#$f(x)=3 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Konstantenregel} 0$ 
#$f(x)=5\cdot x^2\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Faktorregel}5\cdot (x^2)' \underbrace{=}_{Potenzregel}=5\cdot 5\cdot 2\cdot x^{2-1}=10\cdot x$ 
#$x^3+5x^2-4x+3\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Summenregel}(x^3)'+(5x^2)'-(4x)'+(3)' \underbrace{=}_{Potenzregel}3x^2+10x-4+0$
#$x+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^3}+\sqrt[5]{x^2}\underbrace{=}_{umformen} x+x^{-1}-x^{-3}+x^{\frac{2}{5} }$ $$\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel}1\cdot x^0+(-1)\cdot x^{-2}-(-3)\cdot x^{-4}+\frac{2}{5}\cdot x^{(\frac{2}{5}-1)}=$$ $$=1-x^{-2}+3\cdot x^{-4}+\frac{2}{5}\cdot x^{-\frac{3}{5} }$$ $$=1-\frac{1}{x^2}+\frac{3}{x^4}+\frac{2}{5\sqrt[5]{x^3} }$$ 
#$f(x)=\frac{x^4}{5}+2\cdot e^x-ln \vert x \vert \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel/Faktorregel,\ e-\ und\ ln-Regel}\frac{4x^3}{5}+2\cdot e^x-\frac{1}{x}$
}}

'''Ordne im folgenden Applet Funktionen und ihre Ableitungen zu.'''
{{#widget:Iframe
|url= http://LearningApps.org/view656909
|width= 900
|height= 500
|border=0
}}

[[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| ? ]] [http://www.mathe-online.at/tests/diff1/poldiff.html Online-Übung (mathe-online)]
 
 

=== Produktregel ===
Im Gegensatz zur Summe zweier Funktionen $( f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)$, siehe oben 'Summenregel'$)$ kann man das [[Produkt]] zweier Funktionen $f(x)\cdot g(x)$ nicht mehr so einfach ableiten. Hierfür braucht es die sogenannte ...

{{Vorlage:Merke|1= '''Produktregel'''
$$(f(x)\cdot g(x))'=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$$
„Zuerst den ersten [[Faktor]] ableiten, den zweiten stehen lassen,
$$\textrm{Plus}$$
den ersten Faktor stehen lassen, den anderen ableiten.“ }}

{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben ist die Funktion $h(x)=(x^2-1)\cdot (3x^2-4x+1)$. Bestimmen Sie $h'(x)$.

|2= Da es sich hierbei um ein [[Produkt]] handelt, müssen wir die Produktregel anwenden:
$$h(x)=\underbrace{(x^2-1)}_{f(x)} \cdot \underbrace{(3x^2-4x+1)}_{g(x)}$$
Zuerst berechnen wir in einer Nebenrechnung die Ableitungen der Faktoren:
$$f(x)=x^2-1\rightarrow f'(x)=2x$$
$$g(x)=3x^2-4x-+1\rightarrow g'(x)=6x-4$$

Nun setzen wir die Formel zusammen:
$$h'(x)=\underbrace{2x}_{f'(x)}\cdot \underbrace{(3x^2-4x+1)}_{g(x)}+\underbrace{(x^2-1)}_{f(x)}\cdot \underbrace{(6x-4)}_{g'(x)}$$

Zuletzt vereinfachen wir noch das Ergebnis:
$$h'(x)=6x^3-8x^2+2x+6x^3-4x^2-6x+4$$
$$\underline{\underline{h'(x)=12x^3-12x^2-4x+4} }$$

}}

=== Quotientenregel ===

Um die Ableitung einer Division von $2$ Funktionen (= Quotienten) zu berechnen, verwendet man die ...

{{Vorlage:Merke|1= '''Quotientenregel'''
$$h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\ \rightarrow \ h'(x)=\frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{(g(x))^2 }$$

Im Zähler steht bis auf das $Minus$ die Produktregel. Im Nenner wird die Nenner-Funktion quadriert.
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Bestimmen Sie die Ableitung von $h(x)=\frac{x^2-x}{x+1}$.
|2=
Da es sich um einen Quotienten handelt, wenden wir die Quotientenregel an. Zuerst berechnen wir die Ableitung des Zählers ($f(x)$) und des Nenners ($g(x)$):

* Zähler: $f(x)=x^2-x\ \rightarrow f'(x)=2x-1$
* Nenner: $g(x)=x+1\ \rightarrow g'(x)=1$

Nun setzen wir die Quotientenregel zusammen:
$$h'(x)=\frac{(2x-1)\cdot (x+1)-(x^2-x)\cdot 1 }{(x+1)^2}$$
$$h'(x)=\frac{2x^2+x-1-x^2+x}{x^2+2x+1}$$
$$h'(x)=\frac{x^2+2x-1}{x^2+2x+1}$$
}}

=== Kettenregel (Vertiefung) ===
Um Klammerausdrücke oder verkettete Funktionen wie zum Beispiel $f(x)=\sqrt[3]{x^2-1}$ oder $e^{2x-1}$ abzuleiten, verwenden wir die ...

{{Vorlage:Merke|1='''Kettenregel'''
$$h(x)=f[g(x)]\ \ \rightarrow \ \ h'(x)=\underbrace{f'(g(x))}_{\textrm{äußere Ableitung} } \cdot \underbrace{g'(x)}_{\textrm{innere Ableitung} }$$

$f(x)$ wird als ''äußere Funktion'', $g(x)$ als ''innere Funktion'' bezeichnet.
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben ist $h(x)=\sqrt[3]{x^2-1}$. Bestimmen Sie $h'(x)$.
|2=
Zuerst schreiben wir die Wurzel in der [[Potenzen#Potenzregel_7|Exponentenschreibweise]]:
$$h(x)=(x^2-1)^{\frac{1}{3} }$$

* Die äußere Funktion ist nun $f(x)=(\ \ )^{\frac{1}{3} }$. Damit ist $f'(x)=\frac{1}{3}\cdot (\ \ )^{\frac{1}{3}-1}=\frac{1}{3}\cdot (\ \ )^{-\frac{2}{3} }$

* Die innere Funktion ist $g(x)=x^2-1$. Damit ist $g'(x)=2x$.

Nun setzen wir die Kettenregel zusammen:
$$ h'(x)=\underbrace{\frac{1}{3}\cdot (x^2-1)^{-\frac{2}{3} } }_{\textrm{äußere Ableitung} } \cdot \underbrace{2x}_{\textrm{innere Ableitung} }$$

$$ h'(x)=\frac{2x}{3\cdot \sqrt[3]{(x^2-1)^2} }$$
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion von $f(x)=e^{2x-1}$.
|2=
Zuerst kümmern wir uns um die äußere und innere Funktion getrennt:
* Die äußere Funktion ist die Exponentialfunktion $f(x)=e\textrm{^}\ \rightarrow\ f'(x)=e\textrm{^}$.
* Die innere Funktion ist $g(x)=2x-1 \ \rightarrow g'(x)=2$.

Nun setzen wir die Kettenregel wieder zusammen:

$$ h'(x)=\underbrace{e^{2x-1} }_{\textrm{äußere Ableitung} } \cdot \underbrace{2}_{\textrm{innere Ableitung} }$$
$$h'(x)=2\cdot e^{2x-1} $$
}}

=== Videos ===
{| align="center" border="1"
! Produkt-, Quotienten- und Kettenregel
! Ableitung der Exponentialfunktion
|-
|{{#ev:youtube|47bKq2lXGs8}}
|{{#ev:youtube|XVCBYo2_OoM}}
|}

Trigonometrie

2020-04-11T11:45:18Z

PeterLamp: /* Manipulation der Sinusfunktion */

= Was lernst du hier? =

 In der Trigonometrie beschäftigen wir uns mit Dreiecken (Tri-gono-metrie = Drei-ecks-messung)

Die folgende Seite ist in $5$ Theorieabschnitte gegliedert, die das Lernen erleichtern sollen:
# {{#switchtablink:Grundwissen - Das rechtwinklige Dreieck | Grundwissen - Das rechtwinklige Dreieck}}: Hier lernst du die Grundbegriffe und Grundrechnungen im rechtwinkligen Dreieck kennen.
# {{#switchtablink:Vermessungsaufgaben|Vermessungsaufgaben}}, in denen du das zuvor Gelernte in Anwendungsbeispielen verwenden kannst.
# {{#switchtablink:Vertiefung - Betrachtungen im Einheitskreis | Vertiefung: Betrachtungen im Einheitskreis}}: In diesem Abschnitt lernst du das Bogenmaß und den Einheitskreis kennen.
# {{#switchtablink:Trigonometrische Funktionen | Trigonometrische Funktionen}}: Hier lernst du die typischen Graphen der Sinus-, Cosinus- und Tangensfunktion kennen.
# {{#switchtablink:Das allgemeine Dreieck - Sinussatz und Cosinussatz | Das allgemeine Dreieck}}, indem du lernst, in Dreiecken, die keinen rechten Winkel haben, mit dem Sinus- und dem Cosinussatz zu rechnen.

Die letzten beiden Kapitel bestehen aus einer {{#switchtablink:Formelsammlung und Quiz| Zusammenfassung der hier verwendeten Formeln}} und {{#switchtablink:Matura-Aufgaben | Matura-Aufgaben}}.

{| align="right"
| <div class="testbutton-blue"> {{#switchtablink:Grundwissen - Das rechtwinklige Dreieck|$\rightarrow$ nächste Seite ...}} </div>
|}

= Grundwissen - Das rechtwinklige Dreieck =

== Begriffe ==
[[Datei:RechtwDreieck.png|thumb|right|350px|rechtwinkliges Dreieck]]

Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck ($=$ Dreieck mit einem $90°$-Winkel).

* Die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck heißt '''Hypotenuse'''. Sie ist '''IMMER gegenüber vom rechten Winkel'''. 

* Die beiden kürzeren Seiten heißen '''Katheten'''. Ausgehend vom Winkel $\beta$ (siehe Skizze) können die beiden Katheten folgendermaßen unterschieden werden:
: * Die Gegenkathete GK liegt $\beta$ gegenüber.
: * Die Ankathete AK liegt an $\beta$ an.
 
'''Wichtig:''' Beachte, dass es immer vom ausgehenden Winkel abhängt, welche Kathete die Gegenkathete (gegenüber dem Winkel) und welche Kathete die Ankathete (dem Winkel anliegend) ist!
 
 
 
 
Quiz (folgt in Kürze)
 

== Sinus, Cosinus und Tangens ==

{| border ="1"

| '''Definition''' 
[[Datei:Grün rufezeichen.png|center]]

|
{|
|
* Der Sinus eines Winkels $\alpha$ ist definiert als das Verhältnis von GK zu H:
|

$\ \ \ \mathbf{sin\ \alpha = \frac{GK}{H}}$
|-
|

* Der Cosinus eines Winkels $\alpha$ ist definiert als das Verhältnis von AK zu H:
|

$\ \ \ \mathbf{cos\ \alpha = \frac{AK}{H}}$
|-
|

* Der Tangens eines Winkels $\alpha$ ist definiert als das Verhältnis von GK zu AK:

|

$\ \ \ \mathbf{tan\ \alpha = \frac{GK}{AK}}$
|}

|}

 
{| border=1 align=center
|-
| [[Grün: Arbeitsblätter | $Aha!$ ]] Das folgende Arbeitsblatt zeigt dir, dass diese Verhältnisse (Sinus, Cosinus und Tangens) nur vom Winkel abhängen, nicht aber von der Größe des Dreiecks.
|-
|<ggb_applet width="900" height="460" version="5.0" id="cpbVMvaW" />
|-
| Sollte das Arbeitsblatt nicht funktionieren, klicke [http://www.geogebratube.org/student/m133029 hier].
|}

 
{|
|-
| '''Wichtig:''' Sinus, Cosinus und Tangens gelten nur im '''rechtwinkligen Dreieck'''.
|}
 
 

== Steigung und Steigungswinkel ==
[[Datei:Steigung11.png|thumb|right|450px|Steigung und Steigungswinkel]]
Aus dem Kapitel [[Lineare Funktionen]] wissen wir bereits, dass $k=\frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied}$ die Steigung angibt. Betrachtet man die folgende Skizze, so kann folgender Zusammenhang festgestellt werden:

$$k=\frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied}=\frac{GK}{AK}=\tan \alpha$$
Somit erhalten wir die Formel:

{| style="color:red;" cellpadding="10" border="1" align="center"
| $$k=\tan \alpha$$
|}
 
Mit dieser Formel kann nun einfach zwischen der (prozentuellen) Steigung und dem Steigungswinkel gewechselt werden:
 

{{Vorlage:Beispiel|1=Eine $10 m$ lange Rampe legt einen Höhenunterschied von $1.4 m$ zurück. 

- Fertigen Sie eine Skizze und zeichnen Sie die angegebenen Größen ein.
 
- Bestimmen Sie 
$\qquad \qquad \quad$ a) den Steigungswinkel. 
$\qquad \qquad \quad$ b) die prozentuelle Steigung.

|2=
[[Datei:Steigungsbsp.png|thumb|right|400px|Skizze der Rampe]]
a) Berechnung des Steigungswinkels:

$\sin\ \alpha = \frac{GK}{H}=\frac{1.4}{10}\ \ \ \ \vert $[[Arkusfunktionen | im TR: $sin^{-1}$]]

$\alpha = 8.05°$

b) Mithilfe der Formel $k=\tan \alpha$ können wir die prozentuelle Steigung auch ohne den Längenunterschied (in der Skizze die blaue Strecke) berechnen:
$$k=\ tan\ \alpha$$
$$k=\tan \ 8.05°$$
$$k=0.14=14 \%$$
A: Die Steigung beträgt $14 \%$.
}}
 
 

== Übungen im rechtwinkligen Dreieck ==

* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| ? ]]: [http://www.mathe-online.at/tests/wfun/defWfun.html Online-Übung zur Überprüfung, ob die richtige Formel verwendet wurde]

* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| ? ]]: [http://www.realmath.de/Neues/10zwo/trigo/winkelfunktionen2.html Weitere Übung zur Überprüfung der Formel]

* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| ? ]]: [http://www.realmath.de/Neues/10zwo/trigo/winkelfunktionen.html Und noch eine Übung dazu]

* [http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/rechtw.htm Rechenbeispiele von Jutta Gut (mit Lösungen)]

* [https://www1.vobs.at/maturawiki/images/0/04/Aufgaben_zu_den_Themen_rechtw_Dreieck_und_Einheitskreis.pdf Aufgabenblatt mit Textaufgaben samt Lösungen]
 
 
{| align="right"
| <div class="testbutton-blue"> {{#switchtablink:Vermessungsaufgaben|$\rightarrow$ nächste Seite ...}} </div>
|}
 
 

= Vermessungsaufgaben =
== Vermessungsaufgaben ==
=== Begriffe ===

[[Datei:Höhen- und Tiefenwinkel.gif|right|thumb|Blick des Auges (links) auf ein Objekt]]

* '''Höhenwinkel'''
Der Höhenwinkel ist der Winkel zwischen der Horizontalen ($=$ waagrechte Gerade) und „dem Blick in die Höhe“.

* '''Tiefenwinkel'''
Der Tiefenwinkel ist der Winkel zwischen der Horizontalen ($=$ waagrechte Gerade) und „dem Blick in die Tiefe“.

* '''Sehwinkel'''
Der Sehwinkel ist jener Winkel, der das Objekt (in der rechten Abbildung die senkrechte Strecke) „einfängt“.
 
 
=== Beispiele ===

* [http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/verm.htm Beispiele zu den Vermessungsaufgaben von Jutta Gut (samt Lösungen)]

 
 
{| align="right"
| <div class="testbutton-blue"> {{#switchtablink:Vertiefung: Betrachtungen im Einheitskreis|$\rightarrow$ nächste Seite ...}} </div>
|}
 
 

= Vertiefung: Betrachtungen im Einheitskreis =
== Vertiefung: Betrachtungen im Einheitskreis ==
=== Gradmaß und Bogenmaß im Einheitskreis ===

[[Datei:Winkel- und Bogenmaß1.png|thumb|right|500px|Einheitskreis mit Winkel in Grad- und Bogenmaß]]

Der '''Einheitskreis''' ist ein Kreis mit Radius $r=1$. Sein Umfang beträgt
$$U=2\cdot r\cdot \pi=2\cdot 1\cdot \pi=2\pi$$

Legt man durch den Mittelpunkt des Einheitskreises das Koordinatensystem, so kann man den Winkel zwischen der positiven $x$-Achse und einem beliebig eingezeichneten Radius auf zwei Arten bestimmen:

'''1) Gradmaß (abgekürzt mit °)'''

So haben wir bis jetzt immer Winkel gemessen.

* Eine volle Umdrehung hat $360°$.
* Eine halbe Umdrehung hat $180°$.

'''2) Bogenmaß (abgekürzt $rad$ für engl. radian)'''

Anstelle der Grad kann auch die Länge des Kreisbogens $r$ (siehe Skizze) bestimmt werden.

* Bei einer vollen Umdrehung hat $r$ die Länge $2\cdot \pi$ ($=$ Umfang des Einheitskreises, siehe oben). Somit beträgt der Winkel $2\pi\ rad$.
* Eine halbe Umdrehung entspricht dem Winkel $\pi$ $rad$.

[[Grün: Arbeitsblätter | $Aha!$ ]]: Das folgende Arbeitsblatt hilft dir, den Zusammenhang von Bogenmaß und Gradmaß zu verstehen

<ggb_applet width="700" height="320" version="5.0" id="H9XgGrPX" />
Sollte das Applet nicht funktionieren, klicke [http://www.geogebratube.org/student/m133394 hier].

 
 
 
 

 
 
 
 

{| border="1"
!| '''Merke''' 
[[Datei:Rotes rufezeichen.png|center]]
|
{|
| Die Umrechnung von Grad- in Bogenmaß (und umgekehrt) funktioniert am einfachsten mit einer Schlussrechnung:
|-
| $$ 360°\ \ \ - \ \ \ 2\pi \textrm{ rad}$$
$$ \alpha°\ \ \ - \ \ \ \alpha \textrm{ rad}$$
Wobei entweder $\alpha°$ (der Winkel in Gradmaß) oder $\alpha$ rad (der Winkel in Bogenmaß) gegeben ist.
|}
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

 '''Musterbeispiel''' 

<div class="mw-collapsible-content">
a) Wandeln Sie den Winkel $\alpha=90°$ in Bogenmaß um.

b) Wandeln Sie den Winkel $\alpha=\frac{\pi}{3}$ rad in Gradmaß um.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

 '''Lösung''' 

<div class="mw-collapsible-content">

a) Grad- in Bogenmaß:
$$ 360°\ \ \ - \ \ \ 2\pi \textrm{ rad}$$
$$ \textbf{90°}\ \ \ - \ \ \ \alpha \textrm{ rad}$$
$$\rightarrow \ \alpha \textrm{ rad}=\frac{90\cdot 2\pi}{360}=\frac{\pi}{2} \textrm{ rad}$$

A: $90°$ entsprechen in Bogenmaß $\frac{\pi}{2} \textrm{ rad}$.

b) Bogen- in Gradmaß:
$$ 360°\ \ \ - \ \ \ 2\pi \textrm{ rad}$$
$$ \alpha°\ \ \ - \ \ \ \mathbf{\frac{\pi}{3} \textrm{ rad}}$$
$$\rightarrow \ \alpha°=\frac{360\cdot \frac{\pi}{3}}{2\pi}=60°$$

A: $\frac{\pi}{3}$ rad entsprechen $60°$.
</div>

</div>

</div>

</div>
 
 
=== Sinus, Cosinus und Tangens im Einheitskreis ===

====Theorie====
Sinus, Cosinus und Tangens können folgendermaßen aus dem Einheitskreis abgelesen werden:

[[Datei:Sinus und Kosinus und Tangens im Einheitskreis1.png|thumb|right|500px|Sinus, Cosinus und Tangens im Einheitskreis]]

* Der Sinus entspricht der Länge der rot markierten Stecke $= y$-Koordinate des Punktes auf dem Einheitskreis.

* Der Cosinus entspricht der Länge der blau markierten Stecke $= x$-Koordinate des Punktes auf dem Einheitskreis.

* Der Tangens entspricht der Länge des [[Tangente | Tangentenabschnittes]] der Tangente durch den Punkt $(1,0)$.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

 '''Begründung:''' 

<div class="mw-collapsible-content">

'''für den Sinus:'''
Betrachte das rechtwinklige Dreieck im Einheitskreis. Die Hypotenuse ist der Radius und hat somit die Länge $1$. Die Länge der $\color{red}{\textrm{roten Strecke}}$ ist von $\alpha$ aus gesehen die Gegenkathete GK.

Zu zeigen ist nun:
$$\sin \ \alpha=\color{red}{\textrm{rote Strecke}}$$

'''Beweis:'''
$$\sin\ \alpha=\frac{GK}{H}=\frac{\color{red}{\textrm{rote Strecke}}}{1}=\color{red}{\textrm{rote Strecke}}$$
Somit gilt:
$$\sin\ \alpha=\color{red}{\textrm{rote Strecke}}$$

Der Beweis für den Cosinus funktioniert analog. Für den Tangens muss das große Dreieck mit AK $=1$ betrachtet werden.

</div>

</div>

[[Grün: Arbeitsblätter | $Aha!$ ]]: Das folgende Arbeitsblatt zeigt dir den Zusammenhang von Sinus, Cosinus und Tangens im Einheitskreis:
<ggb_applet width="700" height="500" version="5.0" id="NngvpTKr" />
Sollte das Applet nicht funktionieren, klicke [http://www.geogebratube.org/student/m133494 hier].
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

====Wichtige Werte====
Die folgende Tabelle gibt Werte für Sinus, Cosinus und Tangens an, die du nun auch ohne technische Unterstützung, allein durch die Vorstellung vom Einheitskreis, wissen solltest. Das [http://www.geogebratube.org/student/m133494 obige Arbeitsblatt] sollte dir dabei helfen:

{| border="1" align="center"
|
| Sinus
| Cosinus
| Tangens
|-
| Gradmaß: $90°$
Bogenmaß:$\frac{\pi}{2}$ rad
| $1$
| $0$
| nicht definiert
|-
| $180°$
$\pi$ rad
| $0$
| $-1$
| $0$
|-
| $270°$
$\frac{3\pi}{2}$ rad
| $-1$
| $0$
| nicht definiert
|-
| $0°$ und $360°$
0 rad und $2\pi$ rad
| $0$
| $1$
| $0$
|}

 

{| align="right"
| <div class="testbutton-blue"> {{#switchtablink:Trigonometrische Funktionen|$\rightarrow$ nächste Seite ...}} </div>
|}

 
 

= Trigonometrische Funktionen =
== Trigonometrische Funktionen ==
Trägt man ausgehend vom Einheitskreis die Werte des Sinus in Abhängigkeit der Bogenlänge ab, so erhält man die Sinusfunktion. Analog funktioniert dies für die Cosinus- und Tangensfunktion, wie das folgende Applet zeigt:

 

{| border=1
| '''Was ist zu tun?'''
Verschiebe im linken Grafikfenster den Punkt auf dem Kreis (oder klicke links unten auf den „Play“-Button. Im rechten Grafikfenster wird der Sinus in Abhängigkeit vom Winkel (in Bogenmaß) abgetragen und es entsteht die typische Sinusfunktion. Versuche dies anschließend auch mit der Cosinus- und Tangensfunktion, indem du im rechten Grafikfenster das entsprechende Kästchen anklickst.
|-
|
<ggb_applet width="1000" height="450" version="5.0" id="MTpgg4kV" />
|-
| Falls dieses Applet nicht funktioniert, [http://www.geogebratube.org/student/m133564 klicke hier]
|}

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

=== Sinusfunktion $f(x)=\sin(x)$ ===

Stellt man den Sinus in Abhängigkeit vom Winkel graphisch dar, indem man auf der $x$-Achse den Winkel in Bogenmaß und auf der $y$-Achse den zugehörigen Sinuswert angibt, so entsteht der folgende Graph:
 

[[Datei:Sinusfunktion.png|thumb|center|700px|Graph der Sinusfunktion mit Kennzeichnung der Periodenlänge von $2\pi$]]

 
 
===Cosinusfunktion $f(x)=\cos(x)$ ===
Der Graph der Cosinusfunktion hat die folgende Form:
 

[[Datei:Cosfunktion.png|thumb|center|700px|Graph der Cosinusfunktion mit Kennzeichnung der Periodenlänge von $2\pi$]]

 
 
===Tangensfunktion $f(x)=\tan(x)$ ===
Der Graph der Tangensfunktion hat die folgende Form:
 

[[Datei:Tangensfkt1.png|thumb|center|700px|Graph der Tangensfunktion samt den Asymptoten (rot) und der Kennzeichnung der Periodenlänge von $\pi$]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

 '''Besondere Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen''' 

<div class="mw-collapsible-content">

# Periodizität: Die Werte der trigonometrischen Funktionen wiederholen sich in regelmäßigen Abständen.
# Beschränktheit: Sinus- und Cosinusfunktion haben die [[Wertemenge]] $\mathbb{W}=[-1;1]$. Anders formuliert: es gilt für alle $x$: $$|sin(x)|\leq 1$$ und $$|cos(x)|\leq 1 $$ (Hinweis: Hier wurde der [[Betrag einer Zahl (1.6.) | Betrag]] verwendet.)
# Der Tangens ist unbeschränkt (geht nach $-\infty$ und $+\infty$) und hat unendlich viele vertikale Asymptoten im Abstand von $\frac{\pi}{2}$.
# Wichtige Funktionswerte (Nullstellen, Hoch- und Tiefpunkte) können bereits aus der [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)#Wichtige Werte | Tabelle zum Einheitskreis]] herausgelesen werden.
</div>
</div>

 
 

== Bedeutung der Parameter - Manipulation der Sinusfunktion ==
[https://www.geogebra.org/m/dntw968b Dieses GeoGebra-Applet] zeigt dir die wichtigsten Parameter, um den Graphen einer Sinusfunktion oder einer Cosinusfunktion zu verändern.

 
 

{| align="right"
| <div class="testbutton-blue"> {{#switchtablink:Das allgemeine Dreieck - Sinussatz und Cosinussatz|$\rightarrow$ nächste Seite ...}} </div>
|}
 
 

= Das allgemeine Dreieck - Sinussatz und Cosinussatz =
== Das allgemeine Dreieck - Sinussatz und Cosinussatz ==
 Wichtig: Der folgende Abschnitt ist für die schriftliche Matura nur in folgenden Schulzweigen relevant:
* [[Grundkompetenzen Teil B (HTL)|HTL (Teil B)]]
* [[Kompetenzen Teil B: BAKIP/BASOP|BAKIP/BASOP (Teil B)]]
Allerdings helfen dir die hier beschriebenen Formeln, gewisse Beispiele schneller und einfacher zu berechnen. Daneben könnte dieser Abschnitt auch bei der mündlichen Matura zum Stoffgebiet gehören (Informationen dazu gibt dir deine Lehrperson). 

 
[[Datei:AllgDreieck.png|thumb|right|400px|allgemeines Dreieck]]

Unter allgemeinen Dreiecken versteht man Dreiecke, die nicht über einen rechten Winkel verfügen müssen.

Ohne rechten Winkel können wir die [[#Grundwissen - Das rechtwinklige Dreieck | Formeln für Sinus, Cosinus und Tangens]] nicht verwenden. Aus diesem Grund führen wir nun neue Formeln ein:

a) den Sinussatz

b) den Cosinussatz und

c) die allgemeinen Flächenformeln

Im allgemeinen Dreieck braucht man immer $3$ bekannte Größen, um eine vierte zu berechnen! (Im rechtwinkligen Dreieck reichten uns dank dem rechten Winkel zwei zusätzlich Größen, um eine weitere zu berechnen).

 
 

=== Sinussatz ===
{| align="right"
|{{#ev:youtube|Mvm69Wj8doo}}
|}
Der Sinussatz wird verwendet, wenn im allgemeinen Dreieck

1. eine Seite '''und'''

2. der gegenüberliegende Winkel '''und'''

3. irgendeine andere Seite oder ein anderer Winkel bekannt sind.

{| style="color:red;" border="1" align="center"
| '''Formel für den Sinussatz'''
|-
| $$\frac{\sin\ \alpha}{a}=\frac{\sin\ \beta}{b}=\frac{\sin\ \gamma}{c}$$
|}

Das Video auf der rechten Seite zeigt dir auf musikalische Art und Weise die Herleitung des Sinussatzes:

 
 

=== Cosinussatz ===
{| align="right"
|{{#ev:youtube|mMatQ4OM8IU}}
|}
Das Video auf der rechten Seite zeigt dir auf musikalische Art und Weise die Herleitung und die Bedeutung des Cosinussatzes:

{| style="color:red;" border="1" align="center"
!| Formeln für den Cosinussatz
|-
|
*$ a^2=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot \cos\ \alpha$
* $b^2=a^2+c^2-2\cdot a\cdot c\cdot \cos\ \beta$
* $c^2=a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot \cos\ \gamma$
|}

Der Cosinussatz wird verwendet, wenn im allgemeinen Dreieck:

1. $2$ Seiten und der darin eingeschlossene Winkel gegeben ist '''oder'''

2. alle drei Seiten gegeben sind und ein Winkel berechnet werden will.

{| border="1" align="center"
!| Voraussetzungen, um den Cosinussatz zu verwenden.

:: gegebene Größen 
:: berechenbare Größen 
|-
|
{| align="center"
| [[Datei:Cosinussatz2.png|thumb|300px|Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel sind gegeben, die gegenüberliegende Seite kann berechnet werden]]
| [[Datei:Cosinussatz1.png|thumb|300px|Drei Seiten sind gegeben, ein Winkel kann berechnet werden]]
|}
|}

 
 

=== Beispiele ===

* [http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/dreiecke.htm Aufgaben zum allgemeinen Dreieck von Jutta Gut (samt Lösungen)]

 
 
{| align="right"
| <div class="testbutton-blue"> {{#switchtablink:Formelsammlung und Quiz|$\rightarrow$ nächste Seite ...}} </div>
|}

 
 

=Formelsammlung=
== Zusammenfassung der wichtigsten Formeln im rechtwinkligen und im allgemeinen Dreieck ==

 

{| border="1" align="center"
|-
|
| '''Rechtwinkliges Dreieck'''
| '''Allgemeines Dreieck'''

|-
| Winkelsumme
| $180°=\alpha+\beta+\gamma$
| $180°=\alpha+\beta+\gamma$
|-
| Pythagoras
| $HYP^2=GK^2+AK^2$
| gilt nur im rechtwinkligen Dreieck!
|-
| Flächeninhalt
| $A=\frac{GK\cdot AK}{2}$
| $A=\frac{a\cdot h_a}{2}=\frac{b\cdot h_b}{2}=\frac{c\cdot h_c}{2}$
|-
| Sinus
| $\sin \alpha =\frac{GK}{HYP}$
| Diese Formel gilt nur im rechtwinkligen Dreieck!
|-
| Cosinus
| $\cos\alpha =\frac{AK}{HYP}$
| Diese Formel gilt nur im rechtwinkligen Dreieck!
|-
| Tangens
| $\tan\alpha =\frac{GK}{AK}$
| Diese Formel gilt nur im rechtwinkligen Dreieck!
|-
| [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)#Sinus- und Cosinussatz im allgemeinen Dreieck| Sinussatz]]
|
| $\frac{\sin\alpha}{a}=\frac{\sin\beta}{b}=\frac{\sin\gamma}{c}$
|-
| [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)#Sinus- und Cosinussatz im allgemeinen Dreieck| Cosinussatz]]
|
| $a^2=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot \cos\alpha$
$b^2=a^2+c^2-2\cdot a\cdot c\cdot \cos\beta$

$c^2=a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot \cos\gamma$
|}

{| align="right"
| <div class="testbutton-blue"> {{#switchtablink:Beispiele|$\rightarrow$ nächste Seite ...}} </div>
|}
 
 

= Beispiele =

== Interaktive Quizzes ==
=== Sinus, Cosinus und Tangens in rechtwinkeligen Dreiecken (AG 4.1) ===
{{#widget:Iframe
|url= https://h5p.org/h5p/embed/755804
|width= 90%
|height= 700
|border=1
}}
 

=== Sinus und Cosinus für Winkel >90° (AG 4.2) ===
{{#widget:Iframe
|url= https://h5p.org/h5p/embed/756434
|width= 90%
|height= 700
|border=1
}}
 

=== Winkelfunktionen (Sinus- und Cosinusfunktion) (FA 6.1-6.5) ===

{{#widget:Iframe
|url= https://h5p.org/h5p/embed/757389
|width= 90%
|height= 700
|border=1
}}
 

== Matura-Aufgaben ==

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]]: [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=216&file=Leuchturm_(Pruefungsaufgabe).pdf Leuchtturm] (bifie-Aufgabe)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]]: [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=30&file=Schifahren.pdf Schifahren] (bifie-Aufgabe: leicht)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]]: [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=3&file=Standseilbahn.pdf Standseilbahn] (bifie-Aufgabe: leicht-mittel-leicht)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]]: [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=82&file=Glaspyramide_des_Louvre.pdf Glaspyramiede des Louvre] (bifie-Aufgabe: leicht-mittel-leicht)
: Hier kannst du eine Formelsammlung verwenden!

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]]: [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=150&file=Hochwasserschutz.pdf Hochwasserschutz] (bifie-Aufgabe: mittel-leicht-schwer-leicht)
: Siehe auch: [[Rechnen mit Termen(2.1.)#Terme und Gleichungen aufstellen | Formeln aufstellen]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]]: [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=131&file=Gletschermarathon_Pitztal_-_Imst.pdf Gletschermarathon] (bifie-Aufgabe: mittel)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]]: [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=33&file=Geschwindigkeitskontrolle.pdf Geschwindigkeitskontrolle] (bifie-Aufgabe: leicht)
: Siehe auch: [[Bewegungsaufgaben - Weg/Geschwindigkeit/Beschleunigung]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]]: [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=20&file=Wetterballon.pdf Wetterballon] (bifie-Aufgabe: mittel-leicht-leicht)
: Siehe auch: [[Lineare Funktionen]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]]: [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=96&file=Wasserverbrauch.pdf Wasserverbrauch] (bifie-Aufgabe: mittel-schwer-leicht)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]]: [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=120&file=Die_Sonne.pdf Die Sonne] (bifie-Aufgabe: leicht-leicht-mittel)
: Siehe auch: [[Logarithmus |Logarithmus]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]]: [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=159&file=Radausflug.pdf Radausflug] (bifie-Aufgabe:mittel-mittel-mittel-leicht)
: Siehe auch: [[Beschreibende Statistik]] und [[Wachstums- und Zerfallsprozesse | Exponentielle Abnahme]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]]: [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=32&file=Windkraftanlage.pdf Windkraftanlage] (bifie-Aufgabe: mittel-schwer-mittel-mittel)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]]: [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=186&file=Zimmerei.pdf Zimmerei] (bifie-Aufgabe:leicht-mittel-leicht)
: Siehe für b) auch: [[Wahrscheinlichkeitsrechnung]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]] [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=141&file=Milchverpackung.pdf Milchverpackung] (Bifie-Aufgabe: leicht-mittel-mittel)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: für b) [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)]] und für c) [[Binomialverteilung|Binomialverteilung (erst in der 5. Klasse)]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]]: [https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=599&file=Section-Control.pdf Section-Control]
: Siehe auch: [[Differenzen- und Differentialquotient]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]]: [https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=320&file=Stadtturm.pdf Stadtturm]
: Siehe auch: [[Integration]] und [[Kurvendiskussionen]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]]: [https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=689&file=Freizeitparadies_Schoeckl.pdf Freizeitpark Schöckl]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]]: [https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=602&file=Am_Fluss.pdf Am Fluss]
: Siehe auch: [[Formeln]] sowie [[Kurvendiskussionen]] und [[Normalverteilung]]

[[Kategorie: Algebra und Geometrie]]
[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Grundkompetenzen AHS

2020-04-11T11:44:25Z

PeterLamp: /* Sinusfunktion, Cosinusfunktion */

Die folgenden Tabellen listen alle Grundkompetenzen für die AHS auf.

Die Grundkompetenzen sind in insgesamt $4$ Inhaltsbereiche gegliedert:

==Algebra und Geometrie==
===Grundbegriffe der Algebra===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AG 1.1
||Wissen über die Zahlenmengen $ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, ℂ$ verständig einsetzen können
||[[Zahlenmengen | Theorie]]
||[[Zahlenmengen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 1.2
||Wissen über algebraische Begriffe angemessen einsetzen können: Variable, Terme, Formeln, (Un-)Gleichungen, Gleichungssysteme, Äquivalenz, Umformungen, Lösbarkeit
||[[Algebraische Begriffe | Theorie]]
||[[Quiz #Algebraische Grundbegriffe (AG 1.2) | Beispiele]]
|}
Anmerkungen: Bei den Zahlenmengen soll man die Mengenbezeichnungen und die Teilmengenbeziehungen kennen, Elemente angeben sowie zuordnen können und die reellen Zahlen als Grundlage kontinuierlicher Modelle kennen. Zum Wissen über die reellen Zahlen gehört auch, dass es Zahlenbereiche gibt, die über $ℝ$ hinausgehen. Die algebraischen Begriffe soll man anhand von einfachen Beispielen beschreiben/erklären und verständig verwenden können. 

===(Un-)Gleichungen und Gleichungssysteme===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AG 2.1
||einfache Terme und Formeln aufstellen, umformen und im Kontext deuten können
||[[Terme und Formeln| Theorie]]
||[[Formeln #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 2.2
||lineare Gleichungen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen und die Lösung im Kontext deuten können
||[[lineare Gleichungen mit einer Variablen | Theorie]]
||[[lineare Gleichungen mit einer Variablen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 2.3
||quadratische Gleichungen in einer Variablen umformen/lösen, über Lösungsfälle Bescheid wissen, Lösungen und Lösungsfälle (auch geometrisch) deuten können
||[[Quadratische Gleichungen | Theorie]]
||[[Quadratische Gleichungen #Interaktives Quiz| Beispiele]]
|-
||AG 2.4
||lineare Ungleichungen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen, Lösungen (auch geometrisch) deuten können
||[[Lineare Ungleichungen mit 2 Variablen | Theorie]]
||[[Lineare Ungleichungen mit 2 Variablen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 2.5
||lineare Gleichungssysteme in zwei Variablen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen, über Lösungsfälle Bescheid wissen, Lösungen und Lösungsfälle (auch geometrisch) deuten können
||[[Gleichungssysteme | Theorie]]
||[[Gleichungssysteme #Interaktives Quiz| Beispiele]]
|}
Anmerkungen: Einfache Terme können auch Potenzen, Wurzeln, Logarithmen, Sinus etc. beinhalten. Mit dem Einsatz elektronischer Hilfsmittel können auch komplexere Umformungen von Termen, Formeln und Gleichungen, Ungleichungen und Gleichungssystemen durchgeführt werden. 

===Vektoren===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AG 3.1
||Vektoren als Zahlentupel verständig einsetzen und im Kontext deuten können
||[[Vektorrechnung | Theorie]]
||[[Vektorrechnung #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 3.2
||Vektoren geometrisch (als Punkte bzw. Pfeile) deuten und verständig einsetzen können
||[[Vektorrechnung | Theorie]]
||[[Vektorrechnung #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 3.3
||Definition der Rechenoperationen mit Vektoren (Addition, Multiplikation mit einem Skalar, Skalarmultiplikation) kennen, Rechenoperationen verständig einsetzen und (auch geometrisch) deuten können
||[[Vektorrechnung | Theorie]]
||[[Vektorrechnung #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 3.4
||Geraden durch (Parameter-)Gleichungen in $ℝ^2$ und $ℝ^3$ angeben können; Geradengleichungen interpretieren können; Lagebeziehungen (zwischen Geraden und zwischen Punkt und Gerade) analysieren, Schnittpunkte ermitteln können
||[[Vektorrechnung | Theorie]]
||[[Vektorrechnung #Beispiele| Beispiele]]
|-
||AG 3.5
||Normalvektoren in $ℝ^2$ aufstellen, verständig einsetzen und interpretieren können
||[[Vektorrechnung | Theorie]]
||[[Vektorrechnung #Beispiele | Beispiele]]
|}
Anmerkungen: Vektoren sind als Zahlentupel, also als algebraische Objekte, zu verstehen und in entsprechenden Kontexten ver-ständig einzusetzen. Punkte und Pfeile in der Ebene und im Raum müssen als geometrische Veranschaulichung dieser algebraischen Objekte interpretiert werden können. Die geometrische Deutung der Skalarmultiplikation (in $ℝ^2$ und $ℝ^3$) meint hier nur den Spezialfall $a\cdot b= 0$. Geraden sollen in Parameterform, in $ℝ^2$ auch in parameterfreier Form, angegeben und interpretiert werden können. 

===Trigonometrie===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AG 4.1
||Definitionen von ''Sinus'', ''Cosinus'' und ''Tangens'' im rechtwinkeligen Dreieck kennen und zur Auflösung rechtwinkeliger Dreiecke einsetzen können
||[[Trigonometrie | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|-
||AG 4.2
||Definitionen von ''Sinus'' und ''Cosinus'' für Winkel größer als $90°$ kennen und einsetzen können
||[[Trigonometrie | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|}
Anmerkungen: Die Kontexte beschränken sich auf einfache Fälle in der Ebene und im Raum, komplexe (Vermessungs-)Aufgaben sind hier nicht gemeint; Sinus- und Cosinussatz werden dabei nicht benötigt.
 
 

==Funktionale Abhängigkeiten==
===Funktionsbegriff, reelle Funktionen, Darstellungsformen und Eigenschaften===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||FA 1.1
||für gegebene Zusammenhänge entscheiden können, ob man sie als Funktionen betrachten kann
||[[Funktionen | Theorie]]
||[[Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 1.2
||Formeln als Darstellung von Funktionen interpretieren und dem Funktionstyp zuordnen können
||[[Funktionen_in_mehreren_Unbekannten| Theorie]]
||[[Funktionen_in_mehreren_Unbekannten #Beispielaufgaben + Interaktives Quiz| Beispiele]]
|-
||FA 1.3
||zwischen tabellarischen und grafischen Darstellungen funktionaler Zusammenhänge wechseln können
||[[Funktionen | Theorie]]
||[[Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 1.4
||aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Funktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können
||[[Funktionen | Theorie]]
||[[Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 1.5
||Eigenschaften von Funktionen erkennen, benennen, im Kontext deuten und zum Erstellen von Funktionsgraphen einsetzen können: Monotonie, Monotoniewechsel (lokale Extrema), Wendepunkte, Periodizität, Achsensymmetrie, asymptotisches Verhalten, Schnittpunkte mit den Achsen
||[[Funktionen | Theorie]]
||[[Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 1.6
||Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen grafisch und rechnerisch ermitteln und im Kontext interpretieren können
||[[Schnittpunkt zweier Funktionen | Theorie]]
||[[Schnittpunkt zweier Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 1.7
||Funktionen als mathematische Modelle verstehen und damit verständig arbeiten können
||[[mathematische Modelle | Theorie]]
||[[mathematische Modelle #Funktionen als mathematische Modelle (FA 1.7)| Beispiele]]
|-
||FA 1.8
||durch Gleichungen (Formeln) gegebene Funktionen mit mehreren Veränderlichen im Kontext deuten können, Funktionswerte ermitteln können
||[[Funktionen in mehreren Unbekannten | Theorie]]
||[[Funktionen in mehreren Unbekannten #Beispielaufgaben + Interaktives Quiz | Beispiele]]
|-
||FA 1.9
||einen Überblick über die wichtigsten (unten angeführten) Typen mathematischer Funktionen geben, ihre Eigenschaften vergleichen können
||[[Funktionen | Theorie]]
||[[Funktionen #Funktionstypen und deren Eigenschaften (FA 1.9) | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Auf eine sichere Unterscheidung zwischen funktionalen und nichtfunktionalen Zusammenhängen wird Wert gelegt,auf theoretisch bedeutsame Eigenschaften (z. B. Injektivität, Surjektivität, Umkehrbarkeit)wird aber nicht fokussiert. Im Vordergrund steht die Rolle von Funktionen als Modelle und die verständige Nutzung grundlegender Funktionstypen und deren Eigenschaften sowie der verschiedenen Darstellungsformen von Funktionen (auch $f:A→B$, $x↦f(x)$ ).
Die Bearbeitung von Funktionen mit mehreren Veränderlichen beschränkt sich auf die Interpretation der Funktionsgleichung im jeweiligen Kontext sowie auf die Ermittlung von Funktionswerten.
Der Verlauf von Funktionen soll nicht nur mathematisch beschrieben, sondern auch im jeweiligen Kontext gedeutet werden können.
 

===Lineare Funktion $f(x)=k\cdot x+d$===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||FA 2.1
||verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene lineare Zusammenhänge als lineare Funktionen erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können
||[[Lineare Funktionen| Theorie]]
||[[Lineare Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 2.2
||aus Tabellen, Graphen und Gleichungen linearer Funktionen Werte(paare) sowie die Parameter $k$ und $d$ ermitteln und im Kontext deuten können
||[[Lineare Funktionen | Theorie]]
||[[Lineare Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 2.3
||die Wirkung der Parameter $k$ und $d$ kennen und die Parameter in unterschiedlichen Kontexten deuten können
||[[Lineare Funktionen| Theorie]]
||[[Lineare Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 2.4
||charakteristische Eigenschaften kennen und im Kontext deuten können: $f(x+1)=f(x)+k; \frac {f(x_2)-f(x_1)} {x_2-x_1}=k=f'(x)$
||[[Lineare Funktionen | Theorie]]
||[[Lineare Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 2.5
||die Angemessenheit einer Beschreibung mittels linearer Funktion bewerten können
||[[Lineare Funktionen | Theorie]]
||[[Lineare Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 2.6
||direkte Proportionalität als lineare Funktion vom Typ $f(x)=k\cdot x$ beschreiben können

||[[Lineare Funktionen | Theorie]]
||[[Lineare Funktionen #Beispiele| Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Die Parameter $k$ und $d$ sollen sowohl für konkrete Werte als auch allgemein im jeweiligen Kontext interpretiert werden können. Entsprechendes gilt für die Wirkung der Parameter und deren Änderung.
 
 

===Potenzfunktion $f(x)=a\cdot x^z+b$, $z\in \mathbb{Z}$ oder mit $f(x)=a \cdot x^{ \frac{1}{2} }+b$===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||FA 3.1
||verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene Zusammenhänge dieser Art als entsprechende Potenzfunktionen erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können
||[[Potenzfunktionen | Theorie]]
||[[Potenzfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 3.2
||aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Potenzfunktionen Werte(paare) sowie die Parameter $a$ und $b$ ermitteln und im Kontext deuten können
||[[Potenzfunktionen | Theorie]]
||[[Potenzfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 3.3
||die Wirkung der Parameter $a$ und $b$ kennen und die Parameter im Kontext deuten können
||[[Potenzfunktionen | Theorie]]
||[[Potenzfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 3.4
||indirekte Proportionalität als Potenzfunktion vom Typ $f(x)=\frac {a} {x}$ (bzw. $f(x)=a\cdot x^{–1}$) beschreiben können
||[[indirekte Proportion | Theorie]]
||[[Potenzfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Wurzelfunktionen bleiben auf den quadratischen Fall $a\cdot x^\frac {1} {2}+b$ beschränkt.
 
 

===Polynomfunktion $f(x)=\sum_{i=0}^{n} a_i \cdot x^i$ mit $n \in ℕ$===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||FA 4.1
||typische Verläufe von Graphen in Abhängigkeit vom Grad der Polynomfunktion (er)kennen
||[[Polynomfunktionen | Theorie]]
||[[Polynomfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 4.2
||zwischen tabellarischen und grafischen Darstellungen von Zusammenhängen dieser Art wechseln können
||[[Polynomfunktionen | Theorie]]
||[[Polynomfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 4.3
||aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Polynomfunktionen Funktionswerte, aus Tabellen und Graphen sowie aus einer quadratischen Funktionsgleichung Argumentwerte ermitteln können
||[[Polynomfunktionen | Theorie]]
||[[Polynomfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 4.4
||den Zusammenhang zwischen dem Grad der Polynomfunktion und der Anzahl der Null- ,Extrem- und Wendestellen wissen
||[[Polynomfunktionen | Theorie]]
||[[Polynomfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Der Zusammenhang zwischen dem Grad der Polynomfunktion und der Anzahl der Null-, Extrem- und Wendestellen sollte für beliebige $n$ bekannt sein, konkrete Aufgabenstellungen beschränken sich auf Polynomfunktionen mit $n\le4$. Mithilfe elektronischer Hilfsmittel können Argumentwerte auch für Polynomfunktionen höheren Grades ermittelt werden.
 

===Exponentialfunktion $f(x)=a\cdot b^x$ bzw. $f(x)=a\cdot e^{\lambda \cdot x}$ mit $a,b \in ℝ^+$, $\lambda \in ℝ$===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||FA 5.1
||verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene exponentielle Zusammenhänge als Exponentialfunktion erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können
||[[Exponentialfunktionen | Theorie]]
||[[Exponentialfunktionen #Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung| Beispiele]]
|-
||FA 5.2
||aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Exponentialfunktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können
||[[Exponentialfunktionen | Theorie]]
||[[Exponentialfunktionen #Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung| Beispiele]]
|-
||FA 5.3
||die Wirkung der Parameter $a$ und $b$ (bzw. $e^\lambda$) kennen und die Parameter in unterschiedlichen Kontexten deuten können
||[[Exponentialfunktionen | Theorie]]
||[[Exponentialfunktionen #Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung| Beispiele]]
|-
||FA 5.4
||charakteristische Eigenschaften $(f(x +1)= b\cdot f(x); [e^x]'=e^x)$ kennen und im Kontext deuten können
||[[Exponentialfunktionen | Theorie]]
||[[Exponentialfunktionen #Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung | Beispiele]]
|-
||FA 5.5
||die Begriffe ''Halbwertszeit'' und ''Verdoppelungszeit'' kennen, die entsprechenden Werte berechnen und im Kontext deuten können
||[[Exponentialfunktionen | Theorie]]
||[[Exponentialfunktionen #Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung | Beispiele]]
|-
||FA 5.6
||die Angemessenheit einer Beschreibung mittels Exponentialfunktion bewerten können
||[[Exponentialfunktionen | Theorie]]
||[[Exponentialfunktionen #Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Die Parameter $a$ und $b$ (bzw. $e^{\lambda}$) sollen sowohl für konkrete Werte als auch allgemein im jeweiligen Kontext interpretiert werden können. Entsprechendes gilt für die Wirkung der Parameter und deren Änderung.
 
 

===Sinusfunktion, Cosinusfunktion===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||FA 6.1
||grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene Zusammenhänge der Art $f(x)=a\cdot sin(b\cdot x)$ als allgemeine Sinusfunktion erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können
||[[Trigonometrie #Trigonometrische Funktionen| Theorie]]
||[[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 6.2
||aus Graphen und Gleichungen von allgemeinen Sinusfunktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können
||[[Trigonometrie #Trigonometrische Funktionen | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 6.3
||die Wirkung der Parameter $a$ und $b$ kennen und die Parameter im Kontext deuten können
||[[Trigonometrie #Trigonometrische Funktionen | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 6.4
||Periodizität als charakteristische Eigenschaft kennen und im Kontext deuten können
||[[Trigonometrie #Trigonometrische Funktionen | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 6.5
||wissen, dass $cos(x)= sin(x + \frac {\pi} {2})$
||[[Trigonometrie #Trigonometrische Funktionen | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 6.6
||wissen, dass gilt: $[sin(x)]'=cos(x), [cos(x)]'=-sin(x)$
||[[Differenzen- und Differentialquotient | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Während zur Auflösung von rechtwinkeligen Dreiecken Sinus, Cosinus und
Tangens verwendet werden, beschränkt sich die funktionale Betrachtung (weitgehend) auf die allgemeine Sinusfunktion. Wesentlich dabei sind die Interpretation der Parameter (im Graphen wie auch in entsprechenden Kontexten) sowie der Verlauf des Funktionsgraphen und die Periodizität.
 
 

==Analysis==
===Änderungsmaße===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AN 1.1.
||absolute und relative (prozentuelle) Änderungsmaße unterscheiden und angemessen verwenden können
||[[Änderungsmaße| Theorie]]
||[[Änderungsmaße #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AN 1.2.
||den Zusammenhang ''Differenzenquotient (mittlere Änderungsrate) – Differenzialquotient (momentane Änderungsrate)'' auf der Grundlage eines intuitiven Grenzwertbegriffes kennen und damit (verbal sowie in formaler Schreibweise) auch kontextbezogen anwenden können
||[[Differenzen- und Differentialquotient | Theorie]]
||[[Differenzen- und Differentialquotient #Maturabeispiele| Beispiele]]
|-
||AN 1.3.
||den Differenzen- und Differenzialquotienten in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverhalte durch den Differenzen- bzw. Differenzialquotienten beschreiben können
||[[Differenzen- und Differentialquotient|Theorie]]
||[[Differenzen-_und_Differentialquotient #Maturabeispiele| Beispiele]]
|-
||AN 1.4.
||das systemdynamische Verhalten von Größen durch Differenzengleichungen beschreiben bzw. diese im Kontext deuten können
||[[Differenzengleichungen | Theorie]]
||[[Differenzengleichungen #Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Der Fokus liegt auf dem Darstellen von Änderungen durch Differenzen von Funktionswerten, durch prozentuelle Veränderungen, durch Differenzenquotienten und durch Differenzialquotienten, ganz besonders aber auch auf der Interpretation dieser Veränderungsmaße im jeweiligen Kontext. Durch den Einsatz elektronischer Hilfsmittel ist auch die Berechnung von Differenzen- und Differenzialquotienten beliebiger (differenzierbarer) Funktionen möglich.
 
 

===Regeln für das Differenzieren===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AN 2.1.
||einfache Regeln des Differenzierens kennen und anwenden können: Potenzregel, Summenregel, Regeln für $[k \cdot f(x)]′$ und $[f(k \cdot x)]′$ (vgl. Inhaltsbereich ''Funktionale Abhängigkeiten'')
||[[Inhalt:Differenzieren: Rechnerisches Bestimmen von f'| Theorie]]
||[[Inhalt:Differenzieren: Rechnerisches Bestimmen von f'| Beispiele]]
|}
 

===Ableitungsfunktion/Stammfunktion===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AN 3.1.
||den Begriff ''Ableitungsfunktion/Stammfunktion'' kennen und zur Beschreibung von Funktionen einsetzen können
||[[Integration| Theorie]]
||[[Integration#Beispiele | Beispiele]]
|-
||AN 3.2.
||den Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitungsfunktion (bzw. Funktion und Stammfunktion) in deren grafischer Darstellung (er)kennen und beschreiben können
||[[Integration| Theorie]]
||[[Integration#Beispiele | Beispiele]]
|-
||AN 3.3.
||Eigenschaften von Funktionen mithilfe der Ableitung(sfunktion) beschreiben können: Monotonie, lokale Extrema, Links- und Rechtskrümmung, Wendestellen
||[[Integration| Theorie]]
||[[Integration#Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Der Begriff der ''Ableitung(sfunktion)'' soll verständig und zweckmäßig zur Beschreibung von Funktionen eingesetzt werden. Durch den Einsatz elektronischer Hilfsmittel ist das Ableiten von Funktionen nicht durch die in den Grundkompetenzen angeführten Differenziationsregeln eingeschränkt.
 

===Summation und Integral===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AN 4.1.
||den Begriff des bestimmten Integrals als Grenzwert einer Summe von Produkten deuten und beschreiben können
||[[Integration| Theorie]]
||[[Integration#Beispiele | Beispiele]]
|-
||AN 4.2.
||einfache Regeln des Integrierens kennen und anwenden können: Potenzregel, Summenregel, $\int k\cdot f(x)\,dx$, $\int f(k\cdot x)\,dx$ (vgl. Inhaltsbereich ''Funktionale Abhängigkeiten''), bestimmte Integrale von Polynomfunktionen ermitteln können
||[[Integration| Theorie]]
||[[Integration#Beispiele | Beispiele]]
|-
||AN 4.3.
||das bestimmte Integral in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverhalte durch Integrale beschreiben können
||[[Integration| Theorie]]
||[[Integration#Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Analog zum Differenzialquotienten liegt der Fokus beim bestimmten Integral auf der Beschreibung entsprechender Sachverhalte durch bestimmte Integrale sowie vor allem auf der angemessenen Interpretation des bestimmten Integrals im jeweiligen Kontext. Durch den Einsatz elektronischer Hilfsmittel ist die Berechnung von bestimmten Integralen nicht durch die in den Grundkompetenzen angeführten Integrationsregeln eingeschränkt.
 

==Wahrscheinlichkeit und Statistik==
===Beschreibende Statistik===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||WS 1.1
||Werte aus tabellarischen und elementaren grafischen Darstellungen ablesen (bzw. zusammengesetzte Werte ermitteln) und im jeweiligen Kontext angemessen interpretieren können
||[[Statistik:Daten und Diagramme| Theorie]]
||[[Beschreibende_Statistik#tab=Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: (Un-)geordnete Liste, Strichliste, Piktogramm, Säulen-, Balken-, Linien-, Stängel-Blatt-, Punktwolkendiagramm, Histogramm (als Spezialfall eines Säulendiagramms), Prozentstreifen, Kastenschaubild (Boxplot)
 

{| border="1"
|-
||WS 1.2$\ \ \ \ \ \ \ $
||Tabellen und einfache statistische Grafiken erstellen, zwischen Darstellungsformen wechseln können

||[[Beschreibende_Statistik#tab=Zentralma_C3_9Fe_-_statistische_Kennzahlen_f_C3_BCr_das_Mittel| Theorie]]
||[[Beschreibende_Statistik#tab=Matura-Aufgaben| Beispiele]]
|-
||WS 1.3
||statistische Kennzahlen (absolute und relative Häufigkeiten; arithmetisches Mittel, Median, Modus, Quartile, Spannweite, empirische Varianz/Standardabweichung) im jeweiligen Kontext interpretieren können; die angeführten Kennzahlen für einfache Datensätze ermitteln können

||[[Beschreibende Statistik| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeitsrechnung#Matura-Aufgaben| Beispiele]]
|-
||WS 1.4
||Definition und wichtige Eigenschaften des arithmetischen Mittels und des Medians angeben und nutzen, Quartile ermitteln und interpretieren können, die Entscheidung für die Verwendung einer bestimmten Kennzahl begründen können

||[[Beschreibende Statistik| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeitsrechnung#Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Wenn auch statistische Kennzahlen (für einfache Datensätze) ermittelt und elementare statistische Grafiken erstellt werden sollen, liegt das Hauptaugenmerk auf verständigen Interpretationen von Grafiken (unter Beachtung von Manipulationen) und Kennzahlen. Speziell für das arithmetische Mittel und den Median (auch als Quartile) müssen die wichtigsten Eigenschaften (definitorische Eigenschaften, Datentyp-Verträglichkeit, Ausreißerempfindlichkeit) gekannt und verständig eingesetzt bzw. berücksichtigt werden. Beim arithmetischen Mittel sind allenfalls erforderliche Gewichtungen zu beachten („gewogenes arithmetisches Mittel“) und zu nutzen (Bildung des arithmetischen Mittels aus arithmetischen Mitteln von Teilmengen).
 
 

===Wahrscheinlichkeitsrechnung===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||WS 2.1
||Grundraum und Ereignisse in angemessenen Situationen verbal beziehungsweise formal angeben können
||[[Wahrscheinlichkeit: Grundlagen| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]
|-
||WS 2.2
||relative Häufigkeit als Schätzwert von Wahrscheinlichkeit verwenden und anwenden können

||[[Wahrscheinlichkeit: Grundlagen| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Normalverteilung und Stetige Zufallsvariablen#Beispiele | Beispiele]]
|-
||WS 2.3
||Wahrscheinlichkeit unter der Verwendung der Laplace-Annahme (Laplace-Wahrscheinlichkeit) berechnen und interpretieren können, Additionsregel und Multiplikationsregel anwenden und interpretieren können

||[[Wahrscheinlichkeit: Grundlagen| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]
|-
||WS 2.4
||Binomialkoeffizient berechnen und interpretieren können

||[[Binomialkoeffizient| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]

|}

Anmerkungen: Die Multiplikationsregel kann unter Verwendung der kombinatorischen Grundlagen und der Anwendung der Laplace-Regel (auch) umgangen werden.
 
 

===Wahrscheinlichkeitsverteilungen===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||WS 3.1
||die Begriffe ''Zufallsvariable'', ''(Wahrscheinlichkeits-)Verteilung'', ''Erwartungswert'' und ''Standardabweichung'' verständig deuten und einsetzen können

||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]

|-
||WS 3.2
||Binomialverteilung als Modell einer diskreten Verteilung kennen – Erwartungswert sowie Varianz/Standardabweichung binomialverteilter Zufallsgrößen ermitteln können, Wahrscheinlichkeitsverteilung binomialverteilter Zufallsgrößen angeben können, Arbeiten mit der Binomialverteilung in anwendungsorientierten Bereichen

||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]

|-
||WS 3.3
||Situationen erkennen und beschreiben können, in denen mit Binomialverteilung modelliert werden kann

||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]
|-
||WS 3.4
||Normalapproximation der Binomialverteilung interpretieren und anwenden können

||[[Wahrscheinlichkeit: Normalverteilung und Stetige Zufallsvariablen| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Normalverteilung und Stetige Zufallsvariablen#Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Kennen und Anwenden der Faustregel, dass die Normalapproximation der Binomialverteilung mit den Parametern $n$ und $p$ dann anzuwenden ist und gute Näherungswerte liefert, wenn die Bedingung $n\cdot p \cdot (1–p)\geq 9 $ erfüllt ist. Die Anwendung der Stetigkeitskorrektur ist nicht notwendig und daher für Berechnungen im Zuge von Prüfungsbeispielen vernachlässigbar. Kennen des Verlaufs der Dichtefunktion $φ$ der Standardnormalverteilung mit Erwartungswert $\mu$ und Standardabweichung $\sigma$. Arbeiten mit der Verteilungsfunktion $Φ$ der Standardnormalverteilung und korrektes Ablesen der entsprechenden Wert.
 
 

===Schließende/Beurteilende Statistik===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||WS 4.1
||Konfidenzintervalle als Schätzung für eine Wahrscheinlichkeit oder einen unbekannten Anteil interpretieren (frequentistische Deutung) und verwenden können, Berechnungen auf Basis der Binomialverteilung oder einer durch die Normalverteilung approximierten Binomialverteilung durchführen können

||[[Konfidenzintervall| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]
|}

Exponentialfunktionen

2020-04-11T11:41:49Z

PeterLamp: /* Weitere Materialien */

Diese Seite behandelt grundlegende Eigenschaften der Exponentialfunktion. Die Anwendungsbeispiele findest du auf der Seite [[Wachstums- und Zerfallsprozesse]].
[[Datei:Exp-fkt-allgemein-250.png|thumb|right|300px|Graph der Exponentialfunktion]]

{{Vorlage:Definition|1=Exponentialfunktionen sind [[Funktionen | Funktionen]], deren Funktionsgleichung die Form
$$f(x)=b\cdot a^x \textrm{ mit } a, b \in \mathbb{R}^+$$
oder
$$ f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x} \textrm{ mit } b \in \mathbb{R}^+,\ \lambda \in \mathbb{R} $$}}

'''Hinweise'''
* In Exponentialfunktionen steht die Variable immer im [[Exponent | Exponenten]]
* Im Term $a^x$ ist $a$ die [[Potenzen#Definition|Basis]]
* $e$ steht für die [[Eulersche Zahl e | Eulersche Zahl]]
* $a=e^\lambda \rightarrow$ Dies ist der Zusammenhang der beiden Funktionsgleichungen
* $\lambda$ ist der griechische Buchstabe [https://de.wikipedia.org/wiki/Griechisches_Alphabet#Klassische_Zeichen ''Lambda'']

== Graph der Exponentialfunktion ==
Je nach Größe der [[Parameter]] $a$ und $b$ bzw. $\lambda$ verändert sich der Graph. Im Folgenden werden die Auswirkungen der einzelnen Parameter auf den Graphen der Funktion besprochen:

$$f(x)=b\cdot a^x \ \ \ \textrm{ bzw.}\ \ \ f(x)=b\cdot e^{\lambda\cdot x}$$

<ggb_applet width="600" height="530" version="5.0" id="EBXrvk6F" />

----
{| border=“0“
|-
|'''$b$ gibt den Schnittpunkt mit der $y$-Achse an.'''
Begründung: Beim Schnittpunkt mit der $y$-Achse ist die $x$-Koordinate gleich $0$. Die dazugehörige $y$-Koordinate erhält man dann durch:
$f(0)=b\cdot a^0 =b\cdot 1=b$
(mit der $e^\lambda$-Formel funktioniert es genauso)
| [[Datei:Exp-fkt.gif|right]]
|}

----

{| border="0"
|-
| '''$a$ und $\lambda$ geben an, ob der Graph steigt oder fällt.'''
|-
| Für $a>1$ oder $\lambda>0$
|
ist der Graph [[Monotonie | monoton steigend]]. '''Je größer $a$ bzw. $\lambda$ ist, desto stärker steigt der Graph.'''
|[[Datei:Amimation für ag1.gif]]
|-
|Für $0<a<1$ oder $\lambda<0$
|ist der Graph [[Monotonie | monoton fallend]] und nähert sich immer mehr der $x$-Achse.
| [[Datei:Amimation für ak1-280.gif]]
|}

----
* [[Grün: Arbeitsblätter | $Aha!$ ]]: In diesem [https://www.geogebratube.org/student/m116630 Arbeitsblatt] kannst du noch einmal die obigen Schritte nachvollziehen (Achtung: Anstelle von "$b$" wurde hier der Buchstabe "$c$" verwendet!)
* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| ? ]]: Hier findest du ein [http://LearningApps.org/watch?v=p71pgtywt01 Quiz, in dem du das Gelernte überprüfen kannst].

 
 
 

== Weitere Eigenschaften der Exponentialfunktion ==

* Die $x$-Achse ist eine [[Asymptote]] des Graphen. D. h. der Graph der Exponentialfunktion nähert sich dieser beliebig nahe, ohne sie jemals zu schneiden.
* Die Exponentialfunktion hat die besondere Eigenschaft, dass sie sich in bestimmten Abständen immer um „denselben Faktor“ vermehrt (wenn $a>1$) oder vermindert (wenn $0<a<1$) $\rightarrow $ siehe Abbildungen unten. Formal gilt:
$$f(x+1)=f(x)\cdot a\ \ \textrm{ bzw. }\ \ \ \frac{f(x+1)}{f(x)}=a$$
* Aufgrund der letzten Eigenschaft werden Exponentialfunktionen für die Beschreibung von Wachstumsprozessen (z. B. Wachstum einer Bakterienpopulation) oder Zerfallsprozessen (z. B. Zerfall eines radioaktiven Elements) verwendet.
*: Siehe [[Wachstums- und Zerfallsprozesse]]

{| align="center"
|-
| [[Datei:Exp-fkt mit vielen as-png.png|thumb|300px|left|Graph mit $a>1$]]
| [[Datei:Exp-fkt mit vielen as u a 0.png|thumb|300px|right|Graph mit $0<a<1$]]
|}
 
 

== Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung ==
Allgemeiner Lösungsweg: Die Funktionsgleichung wird bestimmt, indem man $2$ Punkte auf dem Funktionsgraphen bestimmt und diese dann in die Funktionsgleichung einsetzt. Am einfachsten ist es, wenn einer der Punkte der Schnittpunkt des Graphen mit der $y$-Achse ist, da so $b$ einfach bestimmt werden kann.

=== 1. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (einfach) ===

'''Angabe:''' Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot a^x$ geht durch die Punkte $(0|3)$ und $(2|12)$. Bestimme die [[Parameter]] $a$ und $b$.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

'''Lösung:''' 

<div class="mw-collapsible-content">
Um $a$ und $b$ zu bestimmen, setzen wir die Punkte in die Funktionsgleichung ein:
{|
|-
|

{| border="1"
!|x
!|y
|-
|0
|3
|-
|2
|12
|}
| $\ \ \ \ \ y=b\cdot a^x$

$\rightarrow 3=b\cdot a^0\ \ \ \ \ \rightarrow \underline{3=b}\ \ $ (Da $f$ bei $(0|3)$ die $y$-Achse schneidet, hätten wir schon vorher gewusst, dass $b=3$ ist.)

$\rightarrow 12=3\cdot a^2 \ \ \ \rightarrow 4=a^2 \rightarrow \underline{a=2}$

|}
Somit gilt: $\underline{\underline{f(x)=3\cdot 2^x }}$

</div>

</div>
 
 

=== 2. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (mittel) ===

'''Angabe:''' Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot a^x$ geht durch die Punkte $(1|4)$ und $(2|16)$ bestimme die [[Parameter]] $a$ und $b$.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

'''Lösung:''' 

<div class="mw-collapsible-content">
Um $a$ und $b$ zu bestimmen, setzen wir die Punkte in die Funktionsgleichung ein:
{|
|-
|

{| border="1"
!|x
!|y
|-
|1
|4
|-
|2
|16
|}

!| $\ \ \ \ \ y=b\cdot a^x$
$\rightarrow I:\ 4=b\cdot a^1$

$\ \rightarrow II: 16=b\cdot a^2$

|}
Hier haben wir nun ein Gleichungssystem mit $2$ Gleichungen und zwei Unbekannten. Dieses können wir mithilfe des [[Gleichungssysteme (2.7.)#Einsetzungsverfahren (Substitutionsverfahren) | Einsetzungsverfahrens]] lösen:
Hierzu stellen wir in $I$ die Unbekannte $a$ frei:
$I:\ 4=b\cdot a^1 \ \ \rightarrow a=$ $\frac{4}{b}$ 
und setzen dies nun in $II$ ein:

$II:\ 16=b\cdot ($ $\frac{4}{b}$ $)^2$
$$II:\ 16=b\cdot (\frac{4}{b})^2$$
$$II: \ 16=b\cdot (\frac{16}{b^2})\ \ \ |\cdot 16$$
$$II: \ 16\cdot b^2 = 16 \ \ \ |:16 $$
$$II: \ b^2=1 $$
$$II: \ b=\pm 1$$
Da laut der Definition (ganz oben) $b>0$ ist, muss gelten $\underline{b=1}$.

Damit erhalten wir $a=\frac{4}{b} \rightarrow \underline{a=4}$

Antwort: Somit lautet die Funktionsgleichung $\underline{\underline{f(x)=1\cdot 4^x}}$ bzw. $\underline{\underline{f(x)=4^x}}$

</div>

</div>
 
 

=== 3. Beispiel mit $f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$ (einfach) ===

'''Angabe:''' Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$ geht durch die Punkte $(0|3)$ und $(2|27)$. Bestimme die [[Parameter]] $\lambda$ und $b$.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

 '''Lösung:'''

<div class="mw-collapsible-content">

'''1. Punkt $(0|3)$''': Da der Graph die $y$-Achse hier schneidet, muss gelten $\underline{b=3}$ (siehe oben Beispiel 1).

'''2. Punkt $(2|27)$''': Wir setzen diesen Punkt und $b=3$ nun in die Funktionsgleichung, um $\lambda$ zu erhalten:
$$f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$$
$$27=3\cdot e^{\lambda \cdot 2}$$
Nun wenden wir den [[Logarithmus]] an:
$$9=e^{\lambda \cdot 2} \ \ \ | \ln(\ )$$
$$\ln(9)=\ln(e^{\lambda \cdot 2})$$
$$\ln(9)=\lambda \cdot 2\cdot \ln(e) \ \ \ |ln(e)=1 \ \ |:2$$
$$\frac{ln(9)}{2}=\lambda$$
$$\underline{1.1=\lambda}$$

Somit lautet die Funktionsgleichung $\underline{\underline{f(x)=3\cdot e^{1.1\cdot x}}}$

</div>

</div>
 
 

== Übung zur Bestimmung der Funktionsgleichung ==
Bestimme die Funktionsgleichung in der Form $f(x)=b\cdot a^x$. Gib dazu die Funktionsgleichung bei $f(x)$ ein.

<ggb_applet width="800" height="400" version="5.0" id="tHm6RSuz" />

 
 

== Beispiel zur Bestimmung von Funktonswert und Argument ==
=== 1. Beispiel mit $f(x)=b\cdot e^{\lambda\cdot x}$ (leicht) ===
Gegeben ist die Funktion $f(x)=2\cdot e^{-0.4\cdot x}$. Bestimme jene [[Argument | Argumente]] für die gilt
* a) $f(x)=0.3$
* b) $f(x)=0$
* c) $f(x)=-0.5$

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

 '''Lösung:''' 

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

 '''Lösung für a)''' 

<div class="mw-collapsible-content">

[[Datei:Beispiel 0 3.png|thumb|350px|right|Graphische Lösung der Aufgabe]]

Es gilt die Gleichung $f(x)=0.3$ zu lösen, wobei $f(x)=2\cdot e^{-0.4\cdot x}$ ist:
$$2\cdot e^{-0.4\cdot x}=0.3$$
$$ e^{-0.4\cdot x}=\frac{0.3}{2} \ \ \ \ | ln()$$
$$ -0.4\cdot x \cdot \ln(e)=\ln(\frac{0.3}{2})\ \ \ \ |ln(e)=1 \ \ \ |:(-0.4) $$
$$x=\frac{\ln(\frac{0.3}{2})}{-0.4}$$
$$\underline{\underline{x = 4.74}}$$
Alternative Lösungswege:
* Graphisch den Schnittpunkt zwischen $f(x)$ und $y=0.3$ ermitteln (siehe Abbildung rechts)
* [[Solve-Befehl | Solve-Befehl im TR]] oder [[Löse-Befehl | Löse-Befehl mit GeoGebra]]

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

 '''Lösung für b)''' 

<div class="mw-collapsible-content">

Da die $x$-Achse des Graphen von $f(x)$ eine [[Asymptote]] ist, hat $f(x)$ keine Nullstellen und somit gibt es kein $x$ für das gilt $f(x)=0$.
Alternativer Lösungsweg:
* [[Löse-Befehl | Löse-Befehl mit GeoGebra]] $\rightarrow$ als Lösung erhält man die leere Menge $\mathbb{L}=\{ \}$
* Rechnerisch:
$$ f(x)=0$$
$$2\cdot e^{-0.4\cdot x}=0 \ \ \ |:2$$
$$ e^{-0.4\cdot x}=0 \ \ \ |ln $$
$$ -0.4\cdot x\cdot \ln(e)=\ln(0)$$
Da der [[Logarithmus]] nur für positive $x$-Werte definiert ist ($\mathbb{D}=\mathbb{R}^+$), ist $\ln(0)$ nicht definiert (was du leicht im TR mit der Rechnung $ln(0)$ überprüfen kannst).
Somit hat die Gleichung $-0.4\cdot x\cdot \ln(e)=\ln(0)$ keine Lösung.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

 '''Lösung für c)''' 

<div class="mw-collapsible-content">
Auch hier gibt es keine Lösung, da der [[Wertebereich]] der Exponentialfunktion $2\cdot e^{-0.4\cdot x}$ oberhalb der $x$-Achse liegt und $f(x)$ somit niemals negative Funktionswerte annimmt (siehe Abbildung bei Lösung a) ).

</div>

</div>

</div>

</div>
 
=== 2. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (leicht) ===
Gegeben ist die Funktion $f(x)=100\cdot 0.76^x$.
* a) Bestimme wie groß ist der Funktionwert an der Stelle $x=5$ ist.
* b) Berechne, an welcher Stelle die Funktion einen Wert von $50$ hat.
* c) Fertige eine Skizze des Graphen und zeichnen Sie die berechneten Werte ein.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

 '''Lösung:''' 

<div class="mw-collapsible-content">

[[Datei:Exp-bsp4.png|thumb|right|400px|Graph der Funktion $f(x)=100\cdot 0.76^x$ mit den berechneten Punkten.]]
Lösung a)
$$f(5)=100\cdot 0.76^5=25.36 $$

Lösung für b)
$$f(x)=50\ \ \ \ \textrm{gesucht ist x}$$
$$100\cdot 0.76^x=50\ \ \ |:100$$
$$0.76^x=0.5\ \ \ |\log(\ )$$
$$\log 0.76^x= \log 0.5$$
$$x\cdot \log 0.76=\log 0.5$$
$$x=\frac{\log 0.5}{\log 0.76}$$
$$\underline{\underline{x=2.53}}$$
Hinweis: In der obigen Rechnung wurde der [[Logarithmus | Logarithmus]] verwendet.

Lösung c) Siehe Abbildung rechts

</div>

</div>
 

== Interaktives Quiz ==

{{#widget:Iframe
|url= https://h5p.org/h5p/embed/171208
|width= 1090
|height= 850
|border=1
}}

 
== Weitere Materialien ==
* [[Gelb: Lernpfad | $Step\ by\ Step!$ ]]: Ein [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_exponentialfunktionen/Exponentialfunktionen_NEU/index.html | Online-Lernpfad von G. Jauck und A. Lindner]
* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| ? ]]: Ein [http://LearningApps.org/watch?v=p71pgtywt01 Quiz, in dem du den Graphen und die Funktionsgleichung zusammenführen musst]

 

== Matura-Aufgaben ==

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$ ]]: [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=204&file=Mount_Everest.pdf Mount Everest] (bifie-Aufgabe: leicht-mittel-schwer)
: Siehe auch [[Logarithmus]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$ ]]: [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=179&file=Vergessenskurve_nach_Ebbinghaus.pdf Vergessenskurve von Ebbinghaus] (bifie-Aufgabe: leicht-mittel-mittel)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$ ]]: [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=181&file=Bevoelkerungswachstum_in_den_USA.pdf Bevölkerung der USA] (leicht-leicht-mittel)
: Siehe für Aufgabe b) und c) auch [[Differenzen- und Differentialquotient]]

[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Exponentialfunktionen

2020-04-11T11:40:38Z

PeterLamp: /* Weitere Materialien */

Diese Seite behandelt grundlegende Eigenschaften der Exponentialfunktion. Die Anwendungsbeispiele findest du auf der Seite [[Wachstums- und Zerfallsprozesse]].
[[Datei:Exp-fkt-allgemein-250.png|thumb|right|300px|Graph der Exponentialfunktion]]

{{Vorlage:Definition|1=Exponentialfunktionen sind [[Funktionen | Funktionen]], deren Funktionsgleichung die Form
$$f(x)=b\cdot a^x \textrm{ mit } a, b \in \mathbb{R}^+$$
oder
$$ f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x} \textrm{ mit } b \in \mathbb{R}^+,\ \lambda \in \mathbb{R} $$}}

'''Hinweise'''
* In Exponentialfunktionen steht die Variable immer im [[Exponent | Exponenten]]
* Im Term $a^x$ ist $a$ die [[Potenzen#Definition|Basis]]
* $e$ steht für die [[Eulersche Zahl e | Eulersche Zahl]]
* $a=e^\lambda \rightarrow$ Dies ist der Zusammenhang der beiden Funktionsgleichungen
* $\lambda$ ist der griechische Buchstabe [https://de.wikipedia.org/wiki/Griechisches_Alphabet#Klassische_Zeichen ''Lambda'']

== Graph der Exponentialfunktion ==
Je nach Größe der [[Parameter]] $a$ und $b$ bzw. $\lambda$ verändert sich der Graph. Im Folgenden werden die Auswirkungen der einzelnen Parameter auf den Graphen der Funktion besprochen:

$$f(x)=b\cdot a^x \ \ \ \textrm{ bzw.}\ \ \ f(x)=b\cdot e^{\lambda\cdot x}$$

<ggb_applet width="600" height="530" version="5.0" id="EBXrvk6F" />

----
{| border=“0“
|-
|'''$b$ gibt den Schnittpunkt mit der $y$-Achse an.'''
Begründung: Beim Schnittpunkt mit der $y$-Achse ist die $x$-Koordinate gleich $0$. Die dazugehörige $y$-Koordinate erhält man dann durch:
$f(0)=b\cdot a^0 =b\cdot 1=b$
(mit der $e^\lambda$-Formel funktioniert es genauso)
| [[Datei:Exp-fkt.gif|right]]
|}

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{| border="0"
|-
| '''$a$ und $\lambda$ geben an, ob der Graph steigt oder fällt.'''
|-
| Für $a>1$ oder $\lambda>0$
|
ist der Graph [[Monotonie | monoton steigend]]. '''Je größer $a$ bzw. $\lambda$ ist, desto stärker steigt der Graph.'''
|[[Datei:Amimation für ag1.gif]]
|-
|Für $0<a<1$ oder $\lambda<0$
|ist der Graph [[Monotonie | monoton fallend]] und nähert sich immer mehr der $x$-Achse.
| [[Datei:Amimation für ak1-280.gif]]
|}

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* [[Grün: Arbeitsblätter | $Aha!$ ]]: In diesem [https://www.geogebratube.org/student/m116630 Arbeitsblatt] kannst du noch einmal die obigen Schritte nachvollziehen (Achtung: Anstelle von "$b$" wurde hier der Buchstabe "$c$" verwendet!)
* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| ? ]]: Hier findest du ein [http://LearningApps.org/watch?v=p71pgtywt01 Quiz, in dem du das Gelernte überprüfen kannst].

 
 
 

== Weitere Eigenschaften der Exponentialfunktion ==

* Die $x$-Achse ist eine [[Asymptote]] des Graphen. D. h. der Graph der Exponentialfunktion nähert sich dieser beliebig nahe, ohne sie jemals zu schneiden.
* Die Exponentialfunktion hat die besondere Eigenschaft, dass sie sich in bestimmten Abständen immer um „denselben Faktor“ vermehrt (wenn $a>1$) oder vermindert (wenn $0<a<1$) $\rightarrow $ siehe Abbildungen unten. Formal gilt:
$$f(x+1)=f(x)\cdot a\ \ \textrm{ bzw. }\ \ \ \frac{f(x+1)}{f(x)}=a$$
* Aufgrund der letzten Eigenschaft werden Exponentialfunktionen für die Beschreibung von Wachstumsprozessen (z. B. Wachstum einer Bakterienpopulation) oder Zerfallsprozessen (z. B. Zerfall eines radioaktiven Elements) verwendet.
*: Siehe [[Wachstums- und Zerfallsprozesse]]

{| align="center"
|-
| [[Datei:Exp-fkt mit vielen as-png.png|thumb|300px|left|Graph mit $a>1$]]
| [[Datei:Exp-fkt mit vielen as u a 0.png|thumb|300px|right|Graph mit $0<a<1$]]
|}
 
 

== Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung ==
Allgemeiner Lösungsweg: Die Funktionsgleichung wird bestimmt, indem man $2$ Punkte auf dem Funktionsgraphen bestimmt und diese dann in die Funktionsgleichung einsetzt. Am einfachsten ist es, wenn einer der Punkte der Schnittpunkt des Graphen mit der $y$-Achse ist, da so $b$ einfach bestimmt werden kann.

=== 1. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (einfach) ===

'''Angabe:''' Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot a^x$ geht durch die Punkte $(0|3)$ und $(2|12)$. Bestimme die [[Parameter]] $a$ und $b$.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

'''Lösung:''' 

<div class="mw-collapsible-content">
Um $a$ und $b$ zu bestimmen, setzen wir die Punkte in die Funktionsgleichung ein:
{|
|-
|

{| border="1"
!|x
!|y
|-
|0
|3
|-
|2
|12
|}
| $\ \ \ \ \ y=b\cdot a^x$

$\rightarrow 3=b\cdot a^0\ \ \ \ \ \rightarrow \underline{3=b}\ \ $ (Da $f$ bei $(0|3)$ die $y$-Achse schneidet, hätten wir schon vorher gewusst, dass $b=3$ ist.)

$\rightarrow 12=3\cdot a^2 \ \ \ \rightarrow 4=a^2 \rightarrow \underline{a=2}$

|}
Somit gilt: $\underline{\underline{f(x)=3\cdot 2^x }}$

</div>

</div>
 
 

=== 2. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (mittel) ===

'''Angabe:''' Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot a^x$ geht durch die Punkte $(1|4)$ und $(2|16)$ bestimme die [[Parameter]] $a$ und $b$.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

'''Lösung:''' 

<div class="mw-collapsible-content">
Um $a$ und $b$ zu bestimmen, setzen wir die Punkte in die Funktionsgleichung ein:
{|
|-
|

{| border="1"
!|x
!|y
|-
|1
|4
|-
|2
|16
|}

!| $\ \ \ \ \ y=b\cdot a^x$
$\rightarrow I:\ 4=b\cdot a^1$

$\ \rightarrow II: 16=b\cdot a^2$

|}
Hier haben wir nun ein Gleichungssystem mit $2$ Gleichungen und zwei Unbekannten. Dieses können wir mithilfe des [[Gleichungssysteme (2.7.)#Einsetzungsverfahren (Substitutionsverfahren) | Einsetzungsverfahrens]] lösen:
Hierzu stellen wir in $I$ die Unbekannte $a$ frei:
$I:\ 4=b\cdot a^1 \ \ \rightarrow a=$ $\frac{4}{b}$ 
und setzen dies nun in $II$ ein:

$II:\ 16=b\cdot ($ $\frac{4}{b}$ $)^2$
$$II:\ 16=b\cdot (\frac{4}{b})^2$$
$$II: \ 16=b\cdot (\frac{16}{b^2})\ \ \ |\cdot 16$$
$$II: \ 16\cdot b^2 = 16 \ \ \ |:16 $$
$$II: \ b^2=1 $$
$$II: \ b=\pm 1$$
Da laut der Definition (ganz oben) $b>0$ ist, muss gelten $\underline{b=1}$.

Damit erhalten wir $a=\frac{4}{b} \rightarrow \underline{a=4}$

Antwort: Somit lautet die Funktionsgleichung $\underline{\underline{f(x)=1\cdot 4^x}}$ bzw. $\underline{\underline{f(x)=4^x}}$

</div>

</div>
 
 

=== 3. Beispiel mit $f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$ (einfach) ===

'''Angabe:''' Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$ geht durch die Punkte $(0|3)$ und $(2|27)$. Bestimme die [[Parameter]] $\lambda$ und $b$.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

 '''Lösung:'''

<div class="mw-collapsible-content">

'''1. Punkt $(0|3)$''': Da der Graph die $y$-Achse hier schneidet, muss gelten $\underline{b=3}$ (siehe oben Beispiel 1).

'''2. Punkt $(2|27)$''': Wir setzen diesen Punkt und $b=3$ nun in die Funktionsgleichung, um $\lambda$ zu erhalten:
$$f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$$
$$27=3\cdot e^{\lambda \cdot 2}$$
Nun wenden wir den [[Logarithmus]] an:
$$9=e^{\lambda \cdot 2} \ \ \ | \ln(\ )$$
$$\ln(9)=\ln(e^{\lambda \cdot 2})$$
$$\ln(9)=\lambda \cdot 2\cdot \ln(e) \ \ \ |ln(e)=1 \ \ |:2$$
$$\frac{ln(9)}{2}=\lambda$$
$$\underline{1.1=\lambda}$$

Somit lautet die Funktionsgleichung $\underline{\underline{f(x)=3\cdot e^{1.1\cdot x}}}$

</div>

</div>
 
 

== Übung zur Bestimmung der Funktionsgleichung ==
Bestimme die Funktionsgleichung in der Form $f(x)=b\cdot a^x$. Gib dazu die Funktionsgleichung bei $f(x)$ ein.

<ggb_applet width="800" height="400" version="5.0" id="tHm6RSuz" />

 
 

== Beispiel zur Bestimmung von Funktonswert und Argument ==
=== 1. Beispiel mit $f(x)=b\cdot e^{\lambda\cdot x}$ (leicht) ===
Gegeben ist die Funktion $f(x)=2\cdot e^{-0.4\cdot x}$. Bestimme jene [[Argument | Argumente]] für die gilt
* a) $f(x)=0.3$
* b) $f(x)=0$
* c) $f(x)=-0.5$

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

 '''Lösung:''' 

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

 '''Lösung für a)''' 

<div class="mw-collapsible-content">

[[Datei:Beispiel 0 3.png|thumb|350px|right|Graphische Lösung der Aufgabe]]

Es gilt die Gleichung $f(x)=0.3$ zu lösen, wobei $f(x)=2\cdot e^{-0.4\cdot x}$ ist:
$$2\cdot e^{-0.4\cdot x}=0.3$$
$$ e^{-0.4\cdot x}=\frac{0.3}{2} \ \ \ \ | ln()$$
$$ -0.4\cdot x \cdot \ln(e)=\ln(\frac{0.3}{2})\ \ \ \ |ln(e)=1 \ \ \ |:(-0.4) $$
$$x=\frac{\ln(\frac{0.3}{2})}{-0.4}$$
$$\underline{\underline{x = 4.74}}$$
Alternative Lösungswege:
* Graphisch den Schnittpunkt zwischen $f(x)$ und $y=0.3$ ermitteln (siehe Abbildung rechts)
* [[Solve-Befehl | Solve-Befehl im TR]] oder [[Löse-Befehl | Löse-Befehl mit GeoGebra]]

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

 '''Lösung für b)''' 

<div class="mw-collapsible-content">

Da die $x$-Achse des Graphen von $f(x)$ eine [[Asymptote]] ist, hat $f(x)$ keine Nullstellen und somit gibt es kein $x$ für das gilt $f(x)=0$.
Alternativer Lösungsweg:
* [[Löse-Befehl | Löse-Befehl mit GeoGebra]] $\rightarrow$ als Lösung erhält man die leere Menge $\mathbb{L}=\{ \}$
* Rechnerisch:
$$ f(x)=0$$
$$2\cdot e^{-0.4\cdot x}=0 \ \ \ |:2$$
$$ e^{-0.4\cdot x}=0 \ \ \ |ln $$
$$ -0.4\cdot x\cdot \ln(e)=\ln(0)$$
Da der [[Logarithmus]] nur für positive $x$-Werte definiert ist ($\mathbb{D}=\mathbb{R}^+$), ist $\ln(0)$ nicht definiert (was du leicht im TR mit der Rechnung $ln(0)$ überprüfen kannst).
Somit hat die Gleichung $-0.4\cdot x\cdot \ln(e)=\ln(0)$ keine Lösung.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

 '''Lösung für c)''' 

<div class="mw-collapsible-content">
Auch hier gibt es keine Lösung, da der [[Wertebereich]] der Exponentialfunktion $2\cdot e^{-0.4\cdot x}$ oberhalb der $x$-Achse liegt und $f(x)$ somit niemals negative Funktionswerte annimmt (siehe Abbildung bei Lösung a) ).

</div>

</div>

</div>

</div>
 
=== 2. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (leicht) ===
Gegeben ist die Funktion $f(x)=100\cdot 0.76^x$.
* a) Bestimme wie groß ist der Funktionwert an der Stelle $x=5$ ist.
* b) Berechne, an welcher Stelle die Funktion einen Wert von $50$ hat.
* c) Fertige eine Skizze des Graphen und zeichnen Sie die berechneten Werte ein.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

 '''Lösung:''' 

<div class="mw-collapsible-content">

[[Datei:Exp-bsp4.png|thumb|right|400px|Graph der Funktion $f(x)=100\cdot 0.76^x$ mit den berechneten Punkten.]]
Lösung a)
$$f(5)=100\cdot 0.76^5=25.36 $$

Lösung für b)
$$f(x)=50\ \ \ \ \textrm{gesucht ist x}$$
$$100\cdot 0.76^x=50\ \ \ |:100$$
$$0.76^x=0.5\ \ \ |\log(\ )$$
$$\log 0.76^x= \log 0.5$$
$$x\cdot \log 0.76=\log 0.5$$
$$x=\frac{\log 0.5}{\log 0.76}$$
$$\underline{\underline{x=2.53}}$$
Hinweis: In der obigen Rechnung wurde der [[Logarithmus | Logarithmus]] verwendet.

Lösung c) Siehe Abbildung rechts

</div>

</div>
 

== Interaktives Quiz ==

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|url= https://h5p.org/h5p/embed/171208
|width= 1090
|height= 850
|border=1
}}

 
== Weitere Materialien ==
* [[Gelb: Lernpfad | $Step\ by\ Step!$ ]]: Ein [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_exponentialfunktionen/Exponentialfunktionen_NEU/index.html| Online-Lernpfad von G. Jauck und A. Lindner]
* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| ? ]]: Ein [http://LearningApps.org/watch?v=p71pgtywt01 Quiz, in dem du den Graphen und die Funktionsgleichung zusammenführen musst]

 

== Matura-Aufgaben ==

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$ ]]: [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=204&file=Mount_Everest.pdf Mount Everest] (bifie-Aufgabe: leicht-mittel-schwer)
: Siehe auch [[Logarithmus]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$ ]]: [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=179&file=Vergessenskurve_nach_Ebbinghaus.pdf Vergessenskurve von Ebbinghaus] (bifie-Aufgabe: leicht-mittel-mittel)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$ ]]: [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=181&file=Bevoelkerungswachstum_in_den_USA.pdf Bevölkerung der USA] (leicht-leicht-mittel)
: Siehe für Aufgabe b) und c) auch [[Differenzen- und Differentialquotient]]

[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Exponentialfunktionen

2020-04-11T11:37:33Z

PeterLamp: /* Weitere Materialien */

Diese Seite behandelt grundlegende Eigenschaften der Exponentialfunktion. Die Anwendungsbeispiele findest du auf der Seite [[Wachstums- und Zerfallsprozesse]].
[[Datei:Exp-fkt-allgemein-250.png|thumb|right|300px|Graph der Exponentialfunktion]]

{{Vorlage:Definition|1=Exponentialfunktionen sind [[Funktionen | Funktionen]], deren Funktionsgleichung die Form
$$f(x)=b\cdot a^x \textrm{ mit } a, b \in \mathbb{R}^+$$
oder
$$ f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x} \textrm{ mit } b \in \mathbb{R}^+,\ \lambda \in \mathbb{R} $$}}

'''Hinweise'''
* In Exponentialfunktionen steht die Variable immer im [[Exponent | Exponenten]]
* Im Term $a^x$ ist $a$ die [[Potenzen#Definition|Basis]]
* $e$ steht für die [[Eulersche Zahl e | Eulersche Zahl]]
* $a=e^\lambda \rightarrow$ Dies ist der Zusammenhang der beiden Funktionsgleichungen
* $\lambda$ ist der griechische Buchstabe [https://de.wikipedia.org/wiki/Griechisches_Alphabet#Klassische_Zeichen ''Lambda'']

== Graph der Exponentialfunktion ==
Je nach Größe der [[Parameter]] $a$ und $b$ bzw. $\lambda$ verändert sich der Graph. Im Folgenden werden die Auswirkungen der einzelnen Parameter auf den Graphen der Funktion besprochen:

$$f(x)=b\cdot a^x \ \ \ \textrm{ bzw.}\ \ \ f(x)=b\cdot e^{\lambda\cdot x}$$

<ggb_applet width="600" height="530" version="5.0" id="EBXrvk6F" />

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{| border=“0“
|-
|'''$b$ gibt den Schnittpunkt mit der $y$-Achse an.'''
Begründung: Beim Schnittpunkt mit der $y$-Achse ist die $x$-Koordinate gleich $0$. Die dazugehörige $y$-Koordinate erhält man dann durch:
$f(0)=b\cdot a^0 =b\cdot 1=b$
(mit der $e^\lambda$-Formel funktioniert es genauso)
| [[Datei:Exp-fkt.gif|right]]
|}

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{| border="0"
|-
| '''$a$ und $\lambda$ geben an, ob der Graph steigt oder fällt.'''
|-
| Für $a>1$ oder $\lambda>0$
|
ist der Graph [[Monotonie | monoton steigend]]. '''Je größer $a$ bzw. $\lambda$ ist, desto stärker steigt der Graph.'''
|[[Datei:Amimation für ag1.gif]]
|-
|Für $0<a<1$ oder $\lambda<0$
|ist der Graph [[Monotonie | monoton fallend]] und nähert sich immer mehr der $x$-Achse.
| [[Datei:Amimation für ak1-280.gif]]
|}

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* [[Grün: Arbeitsblätter | $Aha!$ ]]: In diesem [https://www.geogebratube.org/student/m116630 Arbeitsblatt] kannst du noch einmal die obigen Schritte nachvollziehen (Achtung: Anstelle von "$b$" wurde hier der Buchstabe "$c$" verwendet!)
* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| ? ]]: Hier findest du ein [http://LearningApps.org/watch?v=p71pgtywt01 Quiz, in dem du das Gelernte überprüfen kannst].

 
 
 

== Weitere Eigenschaften der Exponentialfunktion ==

* Die $x$-Achse ist eine [[Asymptote]] des Graphen. D. h. der Graph der Exponentialfunktion nähert sich dieser beliebig nahe, ohne sie jemals zu schneiden.
* Die Exponentialfunktion hat die besondere Eigenschaft, dass sie sich in bestimmten Abständen immer um „denselben Faktor“ vermehrt (wenn $a>1$) oder vermindert (wenn $0<a<1$) $\rightarrow $ siehe Abbildungen unten. Formal gilt:
$$f(x+1)=f(x)\cdot a\ \ \textrm{ bzw. }\ \ \ \frac{f(x+1)}{f(x)}=a$$
* Aufgrund der letzten Eigenschaft werden Exponentialfunktionen für die Beschreibung von Wachstumsprozessen (z. B. Wachstum einer Bakterienpopulation) oder Zerfallsprozessen (z. B. Zerfall eines radioaktiven Elements) verwendet.
*: Siehe [[Wachstums- und Zerfallsprozesse]]

{| align="center"
|-
| [[Datei:Exp-fkt mit vielen as-png.png|thumb|300px|left|Graph mit $a>1$]]
| [[Datei:Exp-fkt mit vielen as u a 0.png|thumb|300px|right|Graph mit $0<a<1$]]
|}
 
 

== Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung ==
Allgemeiner Lösungsweg: Die Funktionsgleichung wird bestimmt, indem man $2$ Punkte auf dem Funktionsgraphen bestimmt und diese dann in die Funktionsgleichung einsetzt. Am einfachsten ist es, wenn einer der Punkte der Schnittpunkt des Graphen mit der $y$-Achse ist, da so $b$ einfach bestimmt werden kann.

=== 1. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (einfach) ===

'''Angabe:''' Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot a^x$ geht durch die Punkte $(0|3)$ und $(2|12)$. Bestimme die [[Parameter]] $a$ und $b$.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

'''Lösung:''' 

<div class="mw-collapsible-content">
Um $a$ und $b$ zu bestimmen, setzen wir die Punkte in die Funktionsgleichung ein:
{|
|-
|

{| border="1"
!|x
!|y
|-
|0
|3
|-
|2
|12
|}
| $\ \ \ \ \ y=b\cdot a^x$

$\rightarrow 3=b\cdot a^0\ \ \ \ \ \rightarrow \underline{3=b}\ \ $ (Da $f$ bei $(0|3)$ die $y$-Achse schneidet, hätten wir schon vorher gewusst, dass $b=3$ ist.)

$\rightarrow 12=3\cdot a^2 \ \ \ \rightarrow 4=a^2 \rightarrow \underline{a=2}$

|}
Somit gilt: $\underline{\underline{f(x)=3\cdot 2^x }}$

</div>

</div>
 
 

=== 2. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (mittel) ===

'''Angabe:''' Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot a^x$ geht durch die Punkte $(1|4)$ und $(2|16)$ bestimme die [[Parameter]] $a$ und $b$.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

'''Lösung:''' 

<div class="mw-collapsible-content">
Um $a$ und $b$ zu bestimmen, setzen wir die Punkte in die Funktionsgleichung ein:
{|
|-
|

{| border="1"
!|x
!|y
|-
|1
|4
|-
|2
|16
|}

!| $\ \ \ \ \ y=b\cdot a^x$
$\rightarrow I:\ 4=b\cdot a^1$

$\ \rightarrow II: 16=b\cdot a^2$

|}
Hier haben wir nun ein Gleichungssystem mit $2$ Gleichungen und zwei Unbekannten. Dieses können wir mithilfe des [[Gleichungssysteme (2.7.)#Einsetzungsverfahren (Substitutionsverfahren) | Einsetzungsverfahrens]] lösen:
Hierzu stellen wir in $I$ die Unbekannte $a$ frei:
$I:\ 4=b\cdot a^1 \ \ \rightarrow a=$ $\frac{4}{b}$ 
und setzen dies nun in $II$ ein:

$II:\ 16=b\cdot ($ $\frac{4}{b}$ $)^2$
$$II:\ 16=b\cdot (\frac{4}{b})^2$$
$$II: \ 16=b\cdot (\frac{16}{b^2})\ \ \ |\cdot 16$$
$$II: \ 16\cdot b^2 = 16 \ \ \ |:16 $$
$$II: \ b^2=1 $$
$$II: \ b=\pm 1$$
Da laut der Definition (ganz oben) $b>0$ ist, muss gelten $\underline{b=1}$.

Damit erhalten wir $a=\frac{4}{b} \rightarrow \underline{a=4}$

Antwort: Somit lautet die Funktionsgleichung $\underline{\underline{f(x)=1\cdot 4^x}}$ bzw. $\underline{\underline{f(x)=4^x}}$

</div>

</div>
 
 

=== 3. Beispiel mit $f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$ (einfach) ===

'''Angabe:''' Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$ geht durch die Punkte $(0|3)$ und $(2|27)$. Bestimme die [[Parameter]] $\lambda$ und $b$.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

 '''Lösung:'''

<div class="mw-collapsible-content">

'''1. Punkt $(0|3)$''': Da der Graph die $y$-Achse hier schneidet, muss gelten $\underline{b=3}$ (siehe oben Beispiel 1).

'''2. Punkt $(2|27)$''': Wir setzen diesen Punkt und $b=3$ nun in die Funktionsgleichung, um $\lambda$ zu erhalten:
$$f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$$
$$27=3\cdot e^{\lambda \cdot 2}$$
Nun wenden wir den [[Logarithmus]] an:
$$9=e^{\lambda \cdot 2} \ \ \ | \ln(\ )$$
$$\ln(9)=\ln(e^{\lambda \cdot 2})$$
$$\ln(9)=\lambda \cdot 2\cdot \ln(e) \ \ \ |ln(e)=1 \ \ |:2$$
$$\frac{ln(9)}{2}=\lambda$$
$$\underline{1.1=\lambda}$$

Somit lautet die Funktionsgleichung $\underline{\underline{f(x)=3\cdot e^{1.1\cdot x}}}$

</div>

</div>
 
 

== Übung zur Bestimmung der Funktionsgleichung ==
Bestimme die Funktionsgleichung in der Form $f(x)=b\cdot a^x$. Gib dazu die Funktionsgleichung bei $f(x)$ ein.

<ggb_applet width="800" height="400" version="5.0" id="tHm6RSuz" />

 
 

== Beispiel zur Bestimmung von Funktonswert und Argument ==
=== 1. Beispiel mit $f(x)=b\cdot e^{\lambda\cdot x}$ (leicht) ===
Gegeben ist die Funktion $f(x)=2\cdot e^{-0.4\cdot x}$. Bestimme jene [[Argument | Argumente]] für die gilt
* a) $f(x)=0.3$
* b) $f(x)=0$
* c) $f(x)=-0.5$

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

 '''Lösung:''' 

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

 '''Lösung für a)''' 

<div class="mw-collapsible-content">

[[Datei:Beispiel 0 3.png|thumb|350px|right|Graphische Lösung der Aufgabe]]

Es gilt die Gleichung $f(x)=0.3$ zu lösen, wobei $f(x)=2\cdot e^{-0.4\cdot x}$ ist:
$$2\cdot e^{-0.4\cdot x}=0.3$$
$$ e^{-0.4\cdot x}=\frac{0.3}{2} \ \ \ \ | ln()$$
$$ -0.4\cdot x \cdot \ln(e)=\ln(\frac{0.3}{2})\ \ \ \ |ln(e)=1 \ \ \ |:(-0.4) $$
$$x=\frac{\ln(\frac{0.3}{2})}{-0.4}$$
$$\underline{\underline{x = 4.74}}$$
Alternative Lösungswege:
* Graphisch den Schnittpunkt zwischen $f(x)$ und $y=0.3$ ermitteln (siehe Abbildung rechts)
* [[Solve-Befehl | Solve-Befehl im TR]] oder [[Löse-Befehl | Löse-Befehl mit GeoGebra]]

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

 '''Lösung für b)''' 

<div class="mw-collapsible-content">

Da die $x$-Achse des Graphen von $f(x)$ eine [[Asymptote]] ist, hat $f(x)$ keine Nullstellen und somit gibt es kein $x$ für das gilt $f(x)=0$.
Alternativer Lösungsweg:
* [[Löse-Befehl | Löse-Befehl mit GeoGebra]] $\rightarrow$ als Lösung erhält man die leere Menge $\mathbb{L}=\{ \}$
* Rechnerisch:
$$ f(x)=0$$
$$2\cdot e^{-0.4\cdot x}=0 \ \ \ |:2$$
$$ e^{-0.4\cdot x}=0 \ \ \ |ln $$
$$ -0.4\cdot x\cdot \ln(e)=\ln(0)$$
Da der [[Logarithmus]] nur für positive $x$-Werte definiert ist ($\mathbb{D}=\mathbb{R}^+$), ist $\ln(0)$ nicht definiert (was du leicht im TR mit der Rechnung $ln(0)$ überprüfen kannst).
Somit hat die Gleichung $-0.4\cdot x\cdot \ln(e)=\ln(0)$ keine Lösung.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

 '''Lösung für c)''' 

<div class="mw-collapsible-content">
Auch hier gibt es keine Lösung, da der [[Wertebereich]] der Exponentialfunktion $2\cdot e^{-0.4\cdot x}$ oberhalb der $x$-Achse liegt und $f(x)$ somit niemals negative Funktionswerte annimmt (siehe Abbildung bei Lösung a) ).

</div>

</div>

</div>

</div>
 
=== 2. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (leicht) ===
Gegeben ist die Funktion $f(x)=100\cdot 0.76^x$.
* a) Bestimme wie groß ist der Funktionwert an der Stelle $x=5$ ist.
* b) Berechne, an welcher Stelle die Funktion einen Wert von $50$ hat.
* c) Fertige eine Skizze des Graphen und zeichnen Sie die berechneten Werte ein.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

 '''Lösung:''' 

<div class="mw-collapsible-content">

[[Datei:Exp-bsp4.png|thumb|right|400px|Graph der Funktion $f(x)=100\cdot 0.76^x$ mit den berechneten Punkten.]]
Lösung a)
$$f(5)=100\cdot 0.76^5=25.36 $$

Lösung für b)
$$f(x)=50\ \ \ \ \textrm{gesucht ist x}$$
$$100\cdot 0.76^x=50\ \ \ |:100$$
$$0.76^x=0.5\ \ \ |\log(\ )$$
$$\log 0.76^x= \log 0.5$$
$$x\cdot \log 0.76=\log 0.5$$
$$x=\frac{\log 0.5}{\log 0.76}$$
$$\underline{\underline{x=2.53}}$$
Hinweis: In der obigen Rechnung wurde der [[Logarithmus | Logarithmus]] verwendet.

Lösung c) Siehe Abbildung rechts

</div>

</div>
 

== Interaktives Quiz ==

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== Weitere Materialien ==
* [[Gelb: Lernpfad | $Step\ by\ Step!$ ]]: Ein [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_exponentialfunktionen/Exponentialfunktionen_NEU/ Online-Lernpfad von G. Jauck und A. Lindner]
* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| ? ]]: Ein [http://LearningApps.org/watch?v=p71pgtywt01 Quiz, in dem du den Graphen und die Funktionsgleichung zusammenführen musst]

 

== Matura-Aufgaben ==

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$ ]]: [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=204&file=Mount_Everest.pdf Mount Everest] (bifie-Aufgabe: leicht-mittel-schwer)
: Siehe auch [[Logarithmus]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$ ]]: [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=179&file=Vergessenskurve_nach_Ebbinghaus.pdf Vergessenskurve von Ebbinghaus] (bifie-Aufgabe: leicht-mittel-mittel)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$ ]]: [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=181&file=Bevoelkerungswachstum_in_den_USA.pdf Bevölkerung der USA] (leicht-leicht-mittel)
: Siehe für Aufgabe b) und c) auch [[Differenzen- und Differentialquotient]]

[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Grundkompetenzen AHS

2020-04-11T11:36:53Z

PeterLamp: /* Exponentialfunktion $f(x)=a\cdot b^x$ bzw. $f(x)=a\cdot e^{\lambda \cdot x}$ mit $a,b \in ℝ^+$, $\lambda \in ℝ$ */

Die folgenden Tabellen listen alle Grundkompetenzen für die AHS auf.

Die Grundkompetenzen sind in insgesamt $4$ Inhaltsbereiche gegliedert:

==Algebra und Geometrie==
===Grundbegriffe der Algebra===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AG 1.1
||Wissen über die Zahlenmengen $ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, ℂ$ verständig einsetzen können
||[[Zahlenmengen | Theorie]]
||[[Zahlenmengen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 1.2
||Wissen über algebraische Begriffe angemessen einsetzen können: Variable, Terme, Formeln, (Un-)Gleichungen, Gleichungssysteme, Äquivalenz, Umformungen, Lösbarkeit
||[[Algebraische Begriffe | Theorie]]
||[[Quiz #Algebraische Grundbegriffe (AG 1.2) | Beispiele]]
|}
Anmerkungen: Bei den Zahlenmengen soll man die Mengenbezeichnungen und die Teilmengenbeziehungen kennen, Elemente angeben sowie zuordnen können und die reellen Zahlen als Grundlage kontinuierlicher Modelle kennen. Zum Wissen über die reellen Zahlen gehört auch, dass es Zahlenbereiche gibt, die über $ℝ$ hinausgehen. Die algebraischen Begriffe soll man anhand von einfachen Beispielen beschreiben/erklären und verständig verwenden können. 

===(Un-)Gleichungen und Gleichungssysteme===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AG 2.1
||einfache Terme und Formeln aufstellen, umformen und im Kontext deuten können
||[[Terme und Formeln| Theorie]]
||[[Formeln #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 2.2
||lineare Gleichungen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen und die Lösung im Kontext deuten können
||[[lineare Gleichungen mit einer Variablen | Theorie]]
||[[lineare Gleichungen mit einer Variablen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 2.3
||quadratische Gleichungen in einer Variablen umformen/lösen, über Lösungsfälle Bescheid wissen, Lösungen und Lösungsfälle (auch geometrisch) deuten können
||[[Quadratische Gleichungen | Theorie]]
||[[Quadratische Gleichungen #Interaktives Quiz| Beispiele]]
|-
||AG 2.4
||lineare Ungleichungen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen, Lösungen (auch geometrisch) deuten können
||[[Lineare Ungleichungen mit 2 Variablen | Theorie]]
||[[Lineare Ungleichungen mit 2 Variablen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 2.5
||lineare Gleichungssysteme in zwei Variablen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen, über Lösungsfälle Bescheid wissen, Lösungen und Lösungsfälle (auch geometrisch) deuten können
||[[Gleichungssysteme | Theorie]]
||[[Gleichungssysteme #Interaktives Quiz| Beispiele]]
|}
Anmerkungen: Einfache Terme können auch Potenzen, Wurzeln, Logarithmen, Sinus etc. beinhalten. Mit dem Einsatz elektronischer Hilfsmittel können auch komplexere Umformungen von Termen, Formeln und Gleichungen, Ungleichungen und Gleichungssystemen durchgeführt werden. 

===Vektoren===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AG 3.1
||Vektoren als Zahlentupel verständig einsetzen und im Kontext deuten können
||[[Vektorrechnung | Theorie]]
||[[Vektorrechnung #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 3.2
||Vektoren geometrisch (als Punkte bzw. Pfeile) deuten und verständig einsetzen können
||[[Vektorrechnung | Theorie]]
||[[Vektorrechnung #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 3.3
||Definition der Rechenoperationen mit Vektoren (Addition, Multiplikation mit einem Skalar, Skalarmultiplikation) kennen, Rechenoperationen verständig einsetzen und (auch geometrisch) deuten können
||[[Vektorrechnung | Theorie]]
||[[Vektorrechnung #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 3.4
||Geraden durch (Parameter-)Gleichungen in $ℝ^2$ und $ℝ^3$ angeben können; Geradengleichungen interpretieren können; Lagebeziehungen (zwischen Geraden und zwischen Punkt und Gerade) analysieren, Schnittpunkte ermitteln können
||[[Vektorrechnung | Theorie]]
||[[Vektorrechnung #Beispiele| Beispiele]]
|-
||AG 3.5
||Normalvektoren in $ℝ^2$ aufstellen, verständig einsetzen und interpretieren können
||[[Vektorrechnung | Theorie]]
||[[Vektorrechnung #Beispiele | Beispiele]]
|}
Anmerkungen: Vektoren sind als Zahlentupel, also als algebraische Objekte, zu verstehen und in entsprechenden Kontexten ver-ständig einzusetzen. Punkte und Pfeile in der Ebene und im Raum müssen als geometrische Veranschaulichung dieser algebraischen Objekte interpretiert werden können. Die geometrische Deutung der Skalarmultiplikation (in $ℝ^2$ und $ℝ^3$) meint hier nur den Spezialfall $a\cdot b= 0$. Geraden sollen in Parameterform, in $ℝ^2$ auch in parameterfreier Form, angegeben und interpretiert werden können. 

===Trigonometrie===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AG 4.1
||Definitionen von ''Sinus'', ''Cosinus'' und ''Tangens'' im rechtwinkeligen Dreieck kennen und zur Auflösung rechtwinkeliger Dreiecke einsetzen können
||[[Trigonometrie | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|-
||AG 4.2
||Definitionen von ''Sinus'' und ''Cosinus'' für Winkel größer als $90°$ kennen und einsetzen können
||[[Trigonometrie | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|}
Anmerkungen: Die Kontexte beschränken sich auf einfache Fälle in der Ebene und im Raum, komplexe (Vermessungs-)Aufgaben sind hier nicht gemeint; Sinus- und Cosinussatz werden dabei nicht benötigt.
 
 

==Funktionale Abhängigkeiten==
===Funktionsbegriff, reelle Funktionen, Darstellungsformen und Eigenschaften===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||FA 1.1
||für gegebene Zusammenhänge entscheiden können, ob man sie als Funktionen betrachten kann
||[[Funktionen | Theorie]]
||[[Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 1.2
||Formeln als Darstellung von Funktionen interpretieren und dem Funktionstyp zuordnen können
||[[Funktionen_in_mehreren_Unbekannten| Theorie]]
||[[Funktionen_in_mehreren_Unbekannten #Beispielaufgaben + Interaktives Quiz| Beispiele]]
|-
||FA 1.3
||zwischen tabellarischen und grafischen Darstellungen funktionaler Zusammenhänge wechseln können
||[[Funktionen | Theorie]]
||[[Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 1.4
||aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Funktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können
||[[Funktionen | Theorie]]
||[[Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 1.5
||Eigenschaften von Funktionen erkennen, benennen, im Kontext deuten und zum Erstellen von Funktionsgraphen einsetzen können: Monotonie, Monotoniewechsel (lokale Extrema), Wendepunkte, Periodizität, Achsensymmetrie, asymptotisches Verhalten, Schnittpunkte mit den Achsen
||[[Funktionen | Theorie]]
||[[Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 1.6
||Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen grafisch und rechnerisch ermitteln und im Kontext interpretieren können
||[[Schnittpunkt zweier Funktionen | Theorie]]
||[[Schnittpunkt zweier Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 1.7
||Funktionen als mathematische Modelle verstehen und damit verständig arbeiten können
||[[mathematische Modelle | Theorie]]
||[[mathematische Modelle #Funktionen als mathematische Modelle (FA 1.7)| Beispiele]]
|-
||FA 1.8
||durch Gleichungen (Formeln) gegebene Funktionen mit mehreren Veränderlichen im Kontext deuten können, Funktionswerte ermitteln können
||[[Funktionen in mehreren Unbekannten | Theorie]]
||[[Funktionen in mehreren Unbekannten #Beispielaufgaben + Interaktives Quiz | Beispiele]]
|-
||FA 1.9
||einen Überblick über die wichtigsten (unten angeführten) Typen mathematischer Funktionen geben, ihre Eigenschaften vergleichen können
||[[Funktionen | Theorie]]
||[[Funktionen #Funktionstypen und deren Eigenschaften (FA 1.9) | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Auf eine sichere Unterscheidung zwischen funktionalen und nichtfunktionalen Zusammenhängen wird Wert gelegt,auf theoretisch bedeutsame Eigenschaften (z. B. Injektivität, Surjektivität, Umkehrbarkeit)wird aber nicht fokussiert. Im Vordergrund steht die Rolle von Funktionen als Modelle und die verständige Nutzung grundlegender Funktionstypen und deren Eigenschaften sowie der verschiedenen Darstellungsformen von Funktionen (auch $f:A→B$, $x↦f(x)$ ).
Die Bearbeitung von Funktionen mit mehreren Veränderlichen beschränkt sich auf die Interpretation der Funktionsgleichung im jeweiligen Kontext sowie auf die Ermittlung von Funktionswerten.
Der Verlauf von Funktionen soll nicht nur mathematisch beschrieben, sondern auch im jeweiligen Kontext gedeutet werden können.
 

===Lineare Funktion $f(x)=k\cdot x+d$===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||FA 2.1
||verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene lineare Zusammenhänge als lineare Funktionen erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können
||[[Lineare Funktionen| Theorie]]
||[[Lineare Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 2.2
||aus Tabellen, Graphen und Gleichungen linearer Funktionen Werte(paare) sowie die Parameter $k$ und $d$ ermitteln und im Kontext deuten können
||[[Lineare Funktionen | Theorie]]
||[[Lineare Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 2.3
||die Wirkung der Parameter $k$ und $d$ kennen und die Parameter in unterschiedlichen Kontexten deuten können
||[[Lineare Funktionen| Theorie]]
||[[Lineare Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 2.4
||charakteristische Eigenschaften kennen und im Kontext deuten können: $f(x+1)=f(x)+k; \frac {f(x_2)-f(x_1)} {x_2-x_1}=k=f'(x)$
||[[Lineare Funktionen | Theorie]]
||[[Lineare Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 2.5
||die Angemessenheit einer Beschreibung mittels linearer Funktion bewerten können
||[[Lineare Funktionen | Theorie]]
||[[Lineare Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 2.6
||direkte Proportionalität als lineare Funktion vom Typ $f(x)=k\cdot x$ beschreiben können

||[[Lineare Funktionen | Theorie]]
||[[Lineare Funktionen #Beispiele| Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Die Parameter $k$ und $d$ sollen sowohl für konkrete Werte als auch allgemein im jeweiligen Kontext interpretiert werden können. Entsprechendes gilt für die Wirkung der Parameter und deren Änderung.
 
 

===Potenzfunktion $f(x)=a\cdot x^z+b$, $z\in \mathbb{Z}$ oder mit $f(x)=a \cdot x^{ \frac{1}{2} }+b$===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||FA 3.1
||verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene Zusammenhänge dieser Art als entsprechende Potenzfunktionen erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können
||[[Potenzfunktionen | Theorie]]
||[[Potenzfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 3.2
||aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Potenzfunktionen Werte(paare) sowie die Parameter $a$ und $b$ ermitteln und im Kontext deuten können
||[[Potenzfunktionen | Theorie]]
||[[Potenzfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 3.3
||die Wirkung der Parameter $a$ und $b$ kennen und die Parameter im Kontext deuten können
||[[Potenzfunktionen | Theorie]]
||[[Potenzfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 3.4
||indirekte Proportionalität als Potenzfunktion vom Typ $f(x)=\frac {a} {x}$ (bzw. $f(x)=a\cdot x^{–1}$) beschreiben können
||[[indirekte Proportion | Theorie]]
||[[Potenzfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Wurzelfunktionen bleiben auf den quadratischen Fall $a\cdot x^\frac {1} {2}+b$ beschränkt.
 
 

===Polynomfunktion $f(x)=\sum_{i=0}^{n} a_i \cdot x^i$ mit $n \in ℕ$===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||FA 4.1
||typische Verläufe von Graphen in Abhängigkeit vom Grad der Polynomfunktion (er)kennen
||[[Polynomfunktionen | Theorie]]
||[[Polynomfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 4.2
||zwischen tabellarischen und grafischen Darstellungen von Zusammenhängen dieser Art wechseln können
||[[Polynomfunktionen | Theorie]]
||[[Polynomfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 4.3
||aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Polynomfunktionen Funktionswerte, aus Tabellen und Graphen sowie aus einer quadratischen Funktionsgleichung Argumentwerte ermitteln können
||[[Polynomfunktionen | Theorie]]
||[[Polynomfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 4.4
||den Zusammenhang zwischen dem Grad der Polynomfunktion und der Anzahl der Null- ,Extrem- und Wendestellen wissen
||[[Polynomfunktionen | Theorie]]
||[[Polynomfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Der Zusammenhang zwischen dem Grad der Polynomfunktion und der Anzahl der Null-, Extrem- und Wendestellen sollte für beliebige $n$ bekannt sein, konkrete Aufgabenstellungen beschränken sich auf Polynomfunktionen mit $n\le4$. Mithilfe elektronischer Hilfsmittel können Argumentwerte auch für Polynomfunktionen höheren Grades ermittelt werden.
 

===Exponentialfunktion $f(x)=a\cdot b^x$ bzw. $f(x)=a\cdot e^{\lambda \cdot x}$ mit $a,b \in ℝ^+$, $\lambda \in ℝ$===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||FA 5.1
||verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene exponentielle Zusammenhänge als Exponentialfunktion erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können
||[[Exponentialfunktionen | Theorie]]
||[[Exponentialfunktionen #Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung| Beispiele]]
|-
||FA 5.2
||aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Exponentialfunktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können
||[[Exponentialfunktionen | Theorie]]
||[[Exponentialfunktionen #Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung| Beispiele]]
|-
||FA 5.3
||die Wirkung der Parameter $a$ und $b$ (bzw. $e^\lambda$) kennen und die Parameter in unterschiedlichen Kontexten deuten können
||[[Exponentialfunktionen | Theorie]]
||[[Exponentialfunktionen #Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung| Beispiele]]
|-
||FA 5.4
||charakteristische Eigenschaften $(f(x +1)= b\cdot f(x); [e^x]'=e^x)$ kennen und im Kontext deuten können
||[[Exponentialfunktionen | Theorie]]
||[[Exponentialfunktionen #Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung | Beispiele]]
|-
||FA 5.5
||die Begriffe ''Halbwertszeit'' und ''Verdoppelungszeit'' kennen, die entsprechenden Werte berechnen und im Kontext deuten können
||[[Exponentialfunktionen | Theorie]]
||[[Exponentialfunktionen #Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung | Beispiele]]
|-
||FA 5.6
||die Angemessenheit einer Beschreibung mittels Exponentialfunktion bewerten können
||[[Exponentialfunktionen | Theorie]]
||[[Exponentialfunktionen #Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Die Parameter $a$ und $b$ (bzw. $e^{\lambda}$) sollen sowohl für konkrete Werte als auch allgemein im jeweiligen Kontext interpretiert werden können. Entsprechendes gilt für die Wirkung der Parameter und deren Änderung.
 
 

===Sinusfunktion, Cosinusfunktion===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||FA 6.1
||grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene Zusammenhänge der Art $f(x)=a\cdot sin(b\cdot x)$ als allgemeine Sinusfunktion erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können
||[[Trigonometrie | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 6.2
||aus Graphen und Gleichungen von allgemeinen Sinusfunktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können
||[[Trigonometrie | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Schularbeiten- und Testaufgaben | Beispiele]]
|-
||FA 6.3
||die Wirkung der Parameter $a$ und $b$ kennen und die Parameter im Kontext deuten können
||[[Trigonometrie | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 6.4
||Periodizität als charakteristische Eigenschaft kennen und im Kontext deuten können
||[[Trigonometrie | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 6.5
||wissen, dass $cos(x)= sin(x + \frac {\pi} {2})$
||[[Trigonometrie | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 6.6
||wissen, dass gilt: $[sin(x)]'=cos(x), [cos(x)]'=-sin(x)$
||[[Differenzen- und Differentialquotient | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Während zur Auflösung von rechtwinkeligen Dreiecken Sinus, Cosinus und
Tangens verwendet werden, beschränkt sich die funktionale Betrachtung (weitgehend) auf die allgemeine Sinusfunktion. Wesentlich dabei sind die Interpretation der Parameter (im Graphen wie auch in entsprechenden Kontexten) sowie der Verlauf des Funktionsgraphen und die Periodizität.
 
 

==Analysis==
===Änderungsmaße===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AN 1.1.
||absolute und relative (prozentuelle) Änderungsmaße unterscheiden und angemessen verwenden können
||[[Änderungsmaße| Theorie]]
||[[Änderungsmaße #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AN 1.2.
||den Zusammenhang ''Differenzenquotient (mittlere Änderungsrate) – Differenzialquotient (momentane Änderungsrate)'' auf der Grundlage eines intuitiven Grenzwertbegriffes kennen und damit (verbal sowie in formaler Schreibweise) auch kontextbezogen anwenden können
||[[Differenzen- und Differentialquotient | Theorie]]
||[[Differenzen- und Differentialquotient #Maturabeispiele| Beispiele]]
|-
||AN 1.3.
||den Differenzen- und Differenzialquotienten in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverhalte durch den Differenzen- bzw. Differenzialquotienten beschreiben können
||[[Differenzen- und Differentialquotient|Theorie]]
||[[Differenzen-_und_Differentialquotient #Maturabeispiele| Beispiele]]
|-
||AN 1.4.
||das systemdynamische Verhalten von Größen durch Differenzengleichungen beschreiben bzw. diese im Kontext deuten können
||[[Differenzengleichungen | Theorie]]
||[[Differenzengleichungen #Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Der Fokus liegt auf dem Darstellen von Änderungen durch Differenzen von Funktionswerten, durch prozentuelle Veränderungen, durch Differenzenquotienten und durch Differenzialquotienten, ganz besonders aber auch auf der Interpretation dieser Veränderungsmaße im jeweiligen Kontext. Durch den Einsatz elektronischer Hilfsmittel ist auch die Berechnung von Differenzen- und Differenzialquotienten beliebiger (differenzierbarer) Funktionen möglich.
 
 

===Regeln für das Differenzieren===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AN 2.1.
||einfache Regeln des Differenzierens kennen und anwenden können: Potenzregel, Summenregel, Regeln für $[k \cdot f(x)]′$ und $[f(k \cdot x)]′$ (vgl. Inhaltsbereich ''Funktionale Abhängigkeiten'')
||[[Inhalt:Differenzieren: Rechnerisches Bestimmen von f'| Theorie]]
||[[Inhalt:Differenzieren: Rechnerisches Bestimmen von f'| Beispiele]]
|}
 

===Ableitungsfunktion/Stammfunktion===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AN 3.1.
||den Begriff ''Ableitungsfunktion/Stammfunktion'' kennen und zur Beschreibung von Funktionen einsetzen können
||[[Integration| Theorie]]
||[[Integration#Beispiele | Beispiele]]
|-
||AN 3.2.
||den Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitungsfunktion (bzw. Funktion und Stammfunktion) in deren grafischer Darstellung (er)kennen und beschreiben können
||[[Integration| Theorie]]
||[[Integration#Beispiele | Beispiele]]
|-
||AN 3.3.
||Eigenschaften von Funktionen mithilfe der Ableitung(sfunktion) beschreiben können: Monotonie, lokale Extrema, Links- und Rechtskrümmung, Wendestellen
||[[Integration| Theorie]]
||[[Integration#Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Der Begriff der ''Ableitung(sfunktion)'' soll verständig und zweckmäßig zur Beschreibung von Funktionen eingesetzt werden. Durch den Einsatz elektronischer Hilfsmittel ist das Ableiten von Funktionen nicht durch die in den Grundkompetenzen angeführten Differenziationsregeln eingeschränkt.
 

===Summation und Integral===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AN 4.1.
||den Begriff des bestimmten Integrals als Grenzwert einer Summe von Produkten deuten und beschreiben können
||[[Integration| Theorie]]
||[[Integration#Beispiele | Beispiele]]
|-
||AN 4.2.
||einfache Regeln des Integrierens kennen und anwenden können: Potenzregel, Summenregel, $\int k\cdot f(x)\,dx$, $\int f(k\cdot x)\,dx$ (vgl. Inhaltsbereich ''Funktionale Abhängigkeiten''), bestimmte Integrale von Polynomfunktionen ermitteln können
||[[Integration| Theorie]]
||[[Integration#Beispiele | Beispiele]]
|-
||AN 4.3.
||das bestimmte Integral in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverhalte durch Integrale beschreiben können
||[[Integration| Theorie]]
||[[Integration#Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Analog zum Differenzialquotienten liegt der Fokus beim bestimmten Integral auf der Beschreibung entsprechender Sachverhalte durch bestimmte Integrale sowie vor allem auf der angemessenen Interpretation des bestimmten Integrals im jeweiligen Kontext. Durch den Einsatz elektronischer Hilfsmittel ist die Berechnung von bestimmten Integralen nicht durch die in den Grundkompetenzen angeführten Integrationsregeln eingeschränkt.
 

==Wahrscheinlichkeit und Statistik==
===Beschreibende Statistik===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||WS 1.1
||Werte aus tabellarischen und elementaren grafischen Darstellungen ablesen (bzw. zusammengesetzte Werte ermitteln) und im jeweiligen Kontext angemessen interpretieren können
||[[Statistik:Daten und Diagramme| Theorie]]
||[[Beschreibende_Statistik#tab=Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: (Un-)geordnete Liste, Strichliste, Piktogramm, Säulen-, Balken-, Linien-, Stängel-Blatt-, Punktwolkendiagramm, Histogramm (als Spezialfall eines Säulendiagramms), Prozentstreifen, Kastenschaubild (Boxplot)
 

{| border="1"
|-
||WS 1.2$\ \ \ \ \ \ \ $
||Tabellen und einfache statistische Grafiken erstellen, zwischen Darstellungsformen wechseln können

||[[Beschreibende_Statistik#tab=Zentralma_C3_9Fe_-_statistische_Kennzahlen_f_C3_BCr_das_Mittel| Theorie]]
||[[Beschreibende_Statistik#tab=Matura-Aufgaben| Beispiele]]
|-
||WS 1.3
||statistische Kennzahlen (absolute und relative Häufigkeiten; arithmetisches Mittel, Median, Modus, Quartile, Spannweite, empirische Varianz/Standardabweichung) im jeweiligen Kontext interpretieren können; die angeführten Kennzahlen für einfache Datensätze ermitteln können

||[[Beschreibende Statistik| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeitsrechnung#Matura-Aufgaben| Beispiele]]
|-
||WS 1.4
||Definition und wichtige Eigenschaften des arithmetischen Mittels und des Medians angeben und nutzen, Quartile ermitteln und interpretieren können, die Entscheidung für die Verwendung einer bestimmten Kennzahl begründen können

||[[Beschreibende Statistik| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeitsrechnung#Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Wenn auch statistische Kennzahlen (für einfache Datensätze) ermittelt und elementare statistische Grafiken erstellt werden sollen, liegt das Hauptaugenmerk auf verständigen Interpretationen von Grafiken (unter Beachtung von Manipulationen) und Kennzahlen. Speziell für das arithmetische Mittel und den Median (auch als Quartile) müssen die wichtigsten Eigenschaften (definitorische Eigenschaften, Datentyp-Verträglichkeit, Ausreißerempfindlichkeit) gekannt und verständig eingesetzt bzw. berücksichtigt werden. Beim arithmetischen Mittel sind allenfalls erforderliche Gewichtungen zu beachten („gewogenes arithmetisches Mittel“) und zu nutzen (Bildung des arithmetischen Mittels aus arithmetischen Mitteln von Teilmengen).
 
 

===Wahrscheinlichkeitsrechnung===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||WS 2.1
||Grundraum und Ereignisse in angemessenen Situationen verbal beziehungsweise formal angeben können
||[[Wahrscheinlichkeit: Grundlagen| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]
|-
||WS 2.2
||relative Häufigkeit als Schätzwert von Wahrscheinlichkeit verwenden und anwenden können

||[[Wahrscheinlichkeit: Grundlagen| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Normalverteilung und Stetige Zufallsvariablen#Beispiele | Beispiele]]
|-
||WS 2.3
||Wahrscheinlichkeit unter der Verwendung der Laplace-Annahme (Laplace-Wahrscheinlichkeit) berechnen und interpretieren können, Additionsregel und Multiplikationsregel anwenden und interpretieren können

||[[Wahrscheinlichkeit: Grundlagen| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]
|-
||WS 2.4
||Binomialkoeffizient berechnen und interpretieren können

||[[Binomialkoeffizient| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]

|}

Anmerkungen: Die Multiplikationsregel kann unter Verwendung der kombinatorischen Grundlagen und der Anwendung der Laplace-Regel (auch) umgangen werden.
 
 

===Wahrscheinlichkeitsverteilungen===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||WS 3.1
||die Begriffe ''Zufallsvariable'', ''(Wahrscheinlichkeits-)Verteilung'', ''Erwartungswert'' und ''Standardabweichung'' verständig deuten und einsetzen können

||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]

|-
||WS 3.2
||Binomialverteilung als Modell einer diskreten Verteilung kennen – Erwartungswert sowie Varianz/Standardabweichung binomialverteilter Zufallsgrößen ermitteln können, Wahrscheinlichkeitsverteilung binomialverteilter Zufallsgrößen angeben können, Arbeiten mit der Binomialverteilung in anwendungsorientierten Bereichen

||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]

|-
||WS 3.3
||Situationen erkennen und beschreiben können, in denen mit Binomialverteilung modelliert werden kann

||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]
|-
||WS 3.4
||Normalapproximation der Binomialverteilung interpretieren und anwenden können

||[[Wahrscheinlichkeit: Normalverteilung und Stetige Zufallsvariablen| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Normalverteilung und Stetige Zufallsvariablen#Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Kennen und Anwenden der Faustregel, dass die Normalapproximation der Binomialverteilung mit den Parametern $n$ und $p$ dann anzuwenden ist und gute Näherungswerte liefert, wenn die Bedingung $n\cdot p \cdot (1–p)\geq 9 $ erfüllt ist. Die Anwendung der Stetigkeitskorrektur ist nicht notwendig und daher für Berechnungen im Zuge von Prüfungsbeispielen vernachlässigbar. Kennen des Verlaufs der Dichtefunktion $φ$ der Standardnormalverteilung mit Erwartungswert $\mu$ und Standardabweichung $\sigma$. Arbeiten mit der Verteilungsfunktion $Φ$ der Standardnormalverteilung und korrektes Ablesen der entsprechenden Wert.
 
 

===Schließende/Beurteilende Statistik===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
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!|Theorie
!|Beispiele
|-
||WS 4.1
||Konfidenzintervalle als Schätzung für eine Wahrscheinlichkeit oder einen unbekannten Anteil interpretieren (frequentistische Deutung) und verwenden können, Berechnungen auf Basis der Binomialverteilung oder einer durch die Normalverteilung approximierten Binomialverteilung durchführen können

||[[Konfidenzintervall| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]
|}

Exponentialfunktionen

2020-04-11T11:33:47Z

PeterLamp: /* Übung zur Bestimmung der Funktionsgleichung */

Diese Seite behandelt grundlegende Eigenschaften der Exponentialfunktion. Die Anwendungsbeispiele findest du auf der Seite [[Wachstums- und Zerfallsprozesse]].
[[Datei:Exp-fkt-allgemein-250.png|thumb|right|300px|Graph der Exponentialfunktion]]

{{Vorlage:Definition|1=Exponentialfunktionen sind [[Funktionen | Funktionen]], deren Funktionsgleichung die Form
$$f(x)=b\cdot a^x \textrm{ mit } a, b \in \mathbb{R}^+$$
oder
$$ f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x} \textrm{ mit } b \in \mathbb{R}^+,\ \lambda \in \mathbb{R} $$}}

'''Hinweise'''
* In Exponentialfunktionen steht die Variable immer im [[Exponent | Exponenten]]
* Im Term $a^x$ ist $a$ die [[Potenzen#Definition|Basis]]
* $e$ steht für die [[Eulersche Zahl e | Eulersche Zahl]]
* $a=e^\lambda \rightarrow$ Dies ist der Zusammenhang der beiden Funktionsgleichungen
* $\lambda$ ist der griechische Buchstabe [https://de.wikipedia.org/wiki/Griechisches_Alphabet#Klassische_Zeichen ''Lambda'']

== Graph der Exponentialfunktion ==
Je nach Größe der [[Parameter]] $a$ und $b$ bzw. $\lambda$ verändert sich der Graph. Im Folgenden werden die Auswirkungen der einzelnen Parameter auf den Graphen der Funktion besprochen:

$$f(x)=b\cdot a^x \ \ \ \textrm{ bzw.}\ \ \ f(x)=b\cdot e^{\lambda\cdot x}$$

<ggb_applet width="600" height="530" version="5.0" id="EBXrvk6F" />

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|'''$b$ gibt den Schnittpunkt mit der $y$-Achse an.'''
Begründung: Beim Schnittpunkt mit der $y$-Achse ist die $x$-Koordinate gleich $0$. Die dazugehörige $y$-Koordinate erhält man dann durch:
$f(0)=b\cdot a^0 =b\cdot 1=b$
(mit der $e^\lambda$-Formel funktioniert es genauso)
| [[Datei:Exp-fkt.gif|right]]
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| '''$a$ und $\lambda$ geben an, ob der Graph steigt oder fällt.'''
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| Für $a>1$ oder $\lambda>0$
|
ist der Graph [[Monotonie | monoton steigend]]. '''Je größer $a$ bzw. $\lambda$ ist, desto stärker steigt der Graph.'''
|[[Datei:Amimation für ag1.gif]]
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|Für $0<a<1$ oder $\lambda<0$
|ist der Graph [[Monotonie | monoton fallend]] und nähert sich immer mehr der $x$-Achse.
| [[Datei:Amimation für ak1-280.gif]]
|}

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* [[Grün: Arbeitsblätter | $Aha!$ ]]: In diesem [https://www.geogebratube.org/student/m116630 Arbeitsblatt] kannst du noch einmal die obigen Schritte nachvollziehen (Achtung: Anstelle von "$b$" wurde hier der Buchstabe "$c$" verwendet!)
* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| ? ]]: Hier findest du ein [http://LearningApps.org/watch?v=p71pgtywt01 Quiz, in dem du das Gelernte überprüfen kannst].

 
 
 

== Weitere Eigenschaften der Exponentialfunktion ==

* Die $x$-Achse ist eine [[Asymptote]] des Graphen. D. h. der Graph der Exponentialfunktion nähert sich dieser beliebig nahe, ohne sie jemals zu schneiden.
* Die Exponentialfunktion hat die besondere Eigenschaft, dass sie sich in bestimmten Abständen immer um „denselben Faktor“ vermehrt (wenn $a>1$) oder vermindert (wenn $0<a<1$) $\rightarrow $ siehe Abbildungen unten. Formal gilt:
$$f(x+1)=f(x)\cdot a\ \ \textrm{ bzw. }\ \ \ \frac{f(x+1)}{f(x)}=a$$
* Aufgrund der letzten Eigenschaft werden Exponentialfunktionen für die Beschreibung von Wachstumsprozessen (z. B. Wachstum einer Bakterienpopulation) oder Zerfallsprozessen (z. B. Zerfall eines radioaktiven Elements) verwendet.
*: Siehe [[Wachstums- und Zerfallsprozesse]]

{| align="center"
|-
| [[Datei:Exp-fkt mit vielen as-png.png|thumb|300px|left|Graph mit $a>1$]]
| [[Datei:Exp-fkt mit vielen as u a 0.png|thumb|300px|right|Graph mit $0<a<1$]]
|}
 
 

== Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung ==
Allgemeiner Lösungsweg: Die Funktionsgleichung wird bestimmt, indem man $2$ Punkte auf dem Funktionsgraphen bestimmt und diese dann in die Funktionsgleichung einsetzt. Am einfachsten ist es, wenn einer der Punkte der Schnittpunkt des Graphen mit der $y$-Achse ist, da so $b$ einfach bestimmt werden kann.

=== 1. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (einfach) ===

'''Angabe:''' Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot a^x$ geht durch die Punkte $(0|3)$ und $(2|12)$. Bestimme die [[Parameter]] $a$ und $b$.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

'''Lösung:''' 

<div class="mw-collapsible-content">
Um $a$ und $b$ zu bestimmen, setzen wir die Punkte in die Funktionsgleichung ein:
{|
|-
|

{| border="1"
!|x
!|y
|-
|0
|3
|-
|2
|12
|}
| $\ \ \ \ \ y=b\cdot a^x$

$\rightarrow 3=b\cdot a^0\ \ \ \ \ \rightarrow \underline{3=b}\ \ $ (Da $f$ bei $(0|3)$ die $y$-Achse schneidet, hätten wir schon vorher gewusst, dass $b=3$ ist.)

$\rightarrow 12=3\cdot a^2 \ \ \ \rightarrow 4=a^2 \rightarrow \underline{a=2}$

|}
Somit gilt: $\underline{\underline{f(x)=3\cdot 2^x }}$

</div>

</div>
 
 

=== 2. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (mittel) ===

'''Angabe:''' Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot a^x$ geht durch die Punkte $(1|4)$ und $(2|16)$ bestimme die [[Parameter]] $a$ und $b$.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

'''Lösung:''' 

<div class="mw-collapsible-content">
Um $a$ und $b$ zu bestimmen, setzen wir die Punkte in die Funktionsgleichung ein:
{|
|-
|

{| border="1"
!|x
!|y
|-
|1
|4
|-
|2
|16
|}

!| $\ \ \ \ \ y=b\cdot a^x$
$\rightarrow I:\ 4=b\cdot a^1$

$\ \rightarrow II: 16=b\cdot a^2$

|}
Hier haben wir nun ein Gleichungssystem mit $2$ Gleichungen und zwei Unbekannten. Dieses können wir mithilfe des [[Gleichungssysteme (2.7.)#Einsetzungsverfahren (Substitutionsverfahren) | Einsetzungsverfahrens]] lösen:
Hierzu stellen wir in $I$ die Unbekannte $a$ frei:
$I:\ 4=b\cdot a^1 \ \ \rightarrow a=$ $\frac{4}{b}$ 
und setzen dies nun in $II$ ein:

$II:\ 16=b\cdot ($ $\frac{4}{b}$ $)^2$
$$II:\ 16=b\cdot (\frac{4}{b})^2$$
$$II: \ 16=b\cdot (\frac{16}{b^2})\ \ \ |\cdot 16$$
$$II: \ 16\cdot b^2 = 16 \ \ \ |:16 $$
$$II: \ b^2=1 $$
$$II: \ b=\pm 1$$
Da laut der Definition (ganz oben) $b>0$ ist, muss gelten $\underline{b=1}$.

Damit erhalten wir $a=\frac{4}{b} \rightarrow \underline{a=4}$

Antwort: Somit lautet die Funktionsgleichung $\underline{\underline{f(x)=1\cdot 4^x}}$ bzw. $\underline{\underline{f(x)=4^x}}$

</div>

</div>
 
 

=== 3. Beispiel mit $f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$ (einfach) ===

'''Angabe:''' Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$ geht durch die Punkte $(0|3)$ und $(2|27)$. Bestimme die [[Parameter]] $\lambda$ und $b$.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

 '''Lösung:'''

<div class="mw-collapsible-content">

'''1. Punkt $(0|3)$''': Da der Graph die $y$-Achse hier schneidet, muss gelten $\underline{b=3}$ (siehe oben Beispiel 1).

'''2. Punkt $(2|27)$''': Wir setzen diesen Punkt und $b=3$ nun in die Funktionsgleichung, um $\lambda$ zu erhalten:
$$f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$$
$$27=3\cdot e^{\lambda \cdot 2}$$
Nun wenden wir den [[Logarithmus]] an:
$$9=e^{\lambda \cdot 2} \ \ \ | \ln(\ )$$
$$\ln(9)=\ln(e^{\lambda \cdot 2})$$
$$\ln(9)=\lambda \cdot 2\cdot \ln(e) \ \ \ |ln(e)=1 \ \ |:2$$
$$\frac{ln(9)}{2}=\lambda$$
$$\underline{1.1=\lambda}$$

Somit lautet die Funktionsgleichung $\underline{\underline{f(x)=3\cdot e^{1.1\cdot x}}}$

</div>

</div>
 
 

== Übung zur Bestimmung der Funktionsgleichung ==
Bestimme die Funktionsgleichung in der Form $f(x)=b\cdot a^x$. Gib dazu die Funktionsgleichung bei $f(x)$ ein.

<ggb_applet width="800" height="400" version="5.0" id="tHm6RSuz" />

 
 

== Beispiel zur Bestimmung von Funktonswert und Argument ==
=== 1. Beispiel mit $f(x)=b\cdot e^{\lambda\cdot x}$ (leicht) ===
Gegeben ist die Funktion $f(x)=2\cdot e^{-0.4\cdot x}$. Bestimme jene [[Argument | Argumente]] für die gilt
* a) $f(x)=0.3$
* b) $f(x)=0$
* c) $f(x)=-0.5$

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

 '''Lösung:''' 

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

 '''Lösung für a)''' 

<div class="mw-collapsible-content">

[[Datei:Beispiel 0 3.png|thumb|350px|right|Graphische Lösung der Aufgabe]]

Es gilt die Gleichung $f(x)=0.3$ zu lösen, wobei $f(x)=2\cdot e^{-0.4\cdot x}$ ist:
$$2\cdot e^{-0.4\cdot x}=0.3$$
$$ e^{-0.4\cdot x}=\frac{0.3}{2} \ \ \ \ | ln()$$
$$ -0.4\cdot x \cdot \ln(e)=\ln(\frac{0.3}{2})\ \ \ \ |ln(e)=1 \ \ \ |:(-0.4) $$
$$x=\frac{\ln(\frac{0.3}{2})}{-0.4}$$
$$\underline{\underline{x = 4.74}}$$
Alternative Lösungswege:
* Graphisch den Schnittpunkt zwischen $f(x)$ und $y=0.3$ ermitteln (siehe Abbildung rechts)
* [[Solve-Befehl | Solve-Befehl im TR]] oder [[Löse-Befehl | Löse-Befehl mit GeoGebra]]

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

 '''Lösung für b)''' 

<div class="mw-collapsible-content">

Da die $x$-Achse des Graphen von $f(x)$ eine [[Asymptote]] ist, hat $f(x)$ keine Nullstellen und somit gibt es kein $x$ für das gilt $f(x)=0$.
Alternativer Lösungsweg:
* [[Löse-Befehl | Löse-Befehl mit GeoGebra]] $\rightarrow$ als Lösung erhält man die leere Menge $\mathbb{L}=\{ \}$
* Rechnerisch:
$$ f(x)=0$$
$$2\cdot e^{-0.4\cdot x}=0 \ \ \ |:2$$
$$ e^{-0.4\cdot x}=0 \ \ \ |ln $$
$$ -0.4\cdot x\cdot \ln(e)=\ln(0)$$
Da der [[Logarithmus]] nur für positive $x$-Werte definiert ist ($\mathbb{D}=\mathbb{R}^+$), ist $\ln(0)$ nicht definiert (was du leicht im TR mit der Rechnung $ln(0)$ überprüfen kannst).
Somit hat die Gleichung $-0.4\cdot x\cdot \ln(e)=\ln(0)$ keine Lösung.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

 '''Lösung für c)''' 

<div class="mw-collapsible-content">
Auch hier gibt es keine Lösung, da der [[Wertebereich]] der Exponentialfunktion $2\cdot e^{-0.4\cdot x}$ oberhalb der $x$-Achse liegt und $f(x)$ somit niemals negative Funktionswerte annimmt (siehe Abbildung bei Lösung a) ).

</div>

</div>

</div>

</div>
 
=== 2. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (leicht) ===
Gegeben ist die Funktion $f(x)=100\cdot 0.76^x$.
* a) Bestimme wie groß ist der Funktionwert an der Stelle $x=5$ ist.
* b) Berechne, an welcher Stelle die Funktion einen Wert von $50$ hat.
* c) Fertige eine Skizze des Graphen und zeichnen Sie die berechneten Werte ein.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

 '''Lösung:''' 

<div class="mw-collapsible-content">

[[Datei:Exp-bsp4.png|thumb|right|400px|Graph der Funktion $f(x)=100\cdot 0.76^x$ mit den berechneten Punkten.]]
Lösung a)
$$f(5)=100\cdot 0.76^5=25.36 $$

Lösung für b)
$$f(x)=50\ \ \ \ \textrm{gesucht ist x}$$
$$100\cdot 0.76^x=50\ \ \ |:100$$
$$0.76^x=0.5\ \ \ |\log(\ )$$
$$\log 0.76^x= \log 0.5$$
$$x\cdot \log 0.76=\log 0.5$$
$$x=\frac{\log 0.5}{\log 0.76}$$
$$\underline{\underline{x=2.53}}$$
Hinweis: In der obigen Rechnung wurde der [[Logarithmus | Logarithmus]] verwendet.

Lösung c) Siehe Abbildung rechts

</div>

</div>
 

== Interaktives Quiz ==

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|url= https://h5p.org/h5p/embed/171208
|width= 1090
|height= 850
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}}

 
== Weitere Materialien ==
* [[Gelb: Lernpfad | $Step\ by\ Step!$ ]]: Ein [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_exponentialfunktionen/Exponentialfunktionen_NEU/ Online-Lernpfad von G. Jauck und A. Lindner]
* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| ? ]]: Ein [http://LearningApps.org/watch?v=p71pgtywt01 Quiz, in dem du den Graphen und die Funktionsgleichung zusammenführen musst]
* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| ? ]]: Und [https://www.geogebratube.org/student/m82256 hier gibt es ein GeoGebra-Quiz], in dem du die Funktionsgleichung verschiedener [[Funktionen|Funktionstypen]] bestimmen musst.

 
== Matura-Aufgaben ==

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$ ]]: [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=204&file=Mount_Everest.pdf Mount Everest] (bifie-Aufgabe: leicht-mittel-schwer)
: Siehe auch [[Logarithmus]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$ ]]: [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=179&file=Vergessenskurve_nach_Ebbinghaus.pdf Vergessenskurve von Ebbinghaus] (bifie-Aufgabe: leicht-mittel-mittel)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$ ]]: [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=181&file=Bevoelkerungswachstum_in_den_USA.pdf Bevölkerung der USA] (leicht-leicht-mittel)
: Siehe für Aufgabe b) und c) auch [[Differenzen- und Differentialquotient]]

[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Exponentialfunktionen

2020-04-11T11:33:19Z

PeterLamp: /* Weitere Übungen */

Diese Seite behandelt grundlegende Eigenschaften der Exponentialfunktion. Die Anwendungsbeispiele findest du auf der Seite [[Wachstums- und Zerfallsprozesse]].
[[Datei:Exp-fkt-allgemein-250.png|thumb|right|300px|Graph der Exponentialfunktion]]

{{Vorlage:Definition|1=Exponentialfunktionen sind [[Funktionen | Funktionen]], deren Funktionsgleichung die Form
$$f(x)=b\cdot a^x \textrm{ mit } a, b \in \mathbb{R}^+$$
oder
$$ f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x} \textrm{ mit } b \in \mathbb{R}^+,\ \lambda \in \mathbb{R} $$}}

'''Hinweise'''
* In Exponentialfunktionen steht die Variable immer im [[Exponent | Exponenten]]
* Im Term $a^x$ ist $a$ die [[Potenzen#Definition|Basis]]
* $e$ steht für die [[Eulersche Zahl e | Eulersche Zahl]]
* $a=e^\lambda \rightarrow$ Dies ist der Zusammenhang der beiden Funktionsgleichungen
* $\lambda$ ist der griechische Buchstabe [https://de.wikipedia.org/wiki/Griechisches_Alphabet#Klassische_Zeichen ''Lambda'']

== Graph der Exponentialfunktion ==
Je nach Größe der [[Parameter]] $a$ und $b$ bzw. $\lambda$ verändert sich der Graph. Im Folgenden werden die Auswirkungen der einzelnen Parameter auf den Graphen der Funktion besprochen:

$$f(x)=b\cdot a^x \ \ \ \textrm{ bzw.}\ \ \ f(x)=b\cdot e^{\lambda\cdot x}$$

<ggb_applet width="600" height="530" version="5.0" id="EBXrvk6F" />

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{| border=“0“
|-
|'''$b$ gibt den Schnittpunkt mit der $y$-Achse an.'''
Begründung: Beim Schnittpunkt mit der $y$-Achse ist die $x$-Koordinate gleich $0$. Die dazugehörige $y$-Koordinate erhält man dann durch:
$f(0)=b\cdot a^0 =b\cdot 1=b$
(mit der $e^\lambda$-Formel funktioniert es genauso)
| [[Datei:Exp-fkt.gif|right]]
|}

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{| border="0"
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| '''$a$ und $\lambda$ geben an, ob der Graph steigt oder fällt.'''
|-
| Für $a>1$ oder $\lambda>0$
|
ist der Graph [[Monotonie | monoton steigend]]. '''Je größer $a$ bzw. $\lambda$ ist, desto stärker steigt der Graph.'''
|[[Datei:Amimation für ag1.gif]]
|-
|Für $0<a<1$ oder $\lambda<0$
|ist der Graph [[Monotonie | monoton fallend]] und nähert sich immer mehr der $x$-Achse.
| [[Datei:Amimation für ak1-280.gif]]
|}

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* [[Grün: Arbeitsblätter | $Aha!$ ]]: In diesem [https://www.geogebratube.org/student/m116630 Arbeitsblatt] kannst du noch einmal die obigen Schritte nachvollziehen (Achtung: Anstelle von "$b$" wurde hier der Buchstabe "$c$" verwendet!)
* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| ? ]]: Hier findest du ein [http://LearningApps.org/watch?v=p71pgtywt01 Quiz, in dem du das Gelernte überprüfen kannst].

 
 
 

== Weitere Eigenschaften der Exponentialfunktion ==

* Die $x$-Achse ist eine [[Asymptote]] des Graphen. D. h. der Graph der Exponentialfunktion nähert sich dieser beliebig nahe, ohne sie jemals zu schneiden.
* Die Exponentialfunktion hat die besondere Eigenschaft, dass sie sich in bestimmten Abständen immer um „denselben Faktor“ vermehrt (wenn $a>1$) oder vermindert (wenn $0<a<1$) $\rightarrow $ siehe Abbildungen unten. Formal gilt:
$$f(x+1)=f(x)\cdot a\ \ \textrm{ bzw. }\ \ \ \frac{f(x+1)}{f(x)}=a$$
* Aufgrund der letzten Eigenschaft werden Exponentialfunktionen für die Beschreibung von Wachstumsprozessen (z. B. Wachstum einer Bakterienpopulation) oder Zerfallsprozessen (z. B. Zerfall eines radioaktiven Elements) verwendet.
*: Siehe [[Wachstums- und Zerfallsprozesse]]

{| align="center"
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| [[Datei:Exp-fkt mit vielen as-png.png|thumb|300px|left|Graph mit $a>1$]]
| [[Datei:Exp-fkt mit vielen as u a 0.png|thumb|300px|right|Graph mit $0<a<1$]]
|}
 
 

== Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung ==
Allgemeiner Lösungsweg: Die Funktionsgleichung wird bestimmt, indem man $2$ Punkte auf dem Funktionsgraphen bestimmt und diese dann in die Funktionsgleichung einsetzt. Am einfachsten ist es, wenn einer der Punkte der Schnittpunkt des Graphen mit der $y$-Achse ist, da so $b$ einfach bestimmt werden kann.

=== 1. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (einfach) ===

'''Angabe:''' Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot a^x$ geht durch die Punkte $(0|3)$ und $(2|12)$. Bestimme die [[Parameter]] $a$ und $b$.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

'''Lösung:''' 

<div class="mw-collapsible-content">
Um $a$ und $b$ zu bestimmen, setzen wir die Punkte in die Funktionsgleichung ein:
{|
|-
|

{| border="1"
!|x
!|y
|-
|0
|3
|-
|2
|12
|}
| $\ \ \ \ \ y=b\cdot a^x$

$\rightarrow 3=b\cdot a^0\ \ \ \ \ \rightarrow \underline{3=b}\ \ $ (Da $f$ bei $(0|3)$ die $y$-Achse schneidet, hätten wir schon vorher gewusst, dass $b=3$ ist.)

$\rightarrow 12=3\cdot a^2 \ \ \ \rightarrow 4=a^2 \rightarrow \underline{a=2}$

|}
Somit gilt: $\underline{\underline{f(x)=3\cdot 2^x }}$

</div>

</div>
 
 

=== 2. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (mittel) ===

'''Angabe:''' Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot a^x$ geht durch die Punkte $(1|4)$ und $(2|16)$ bestimme die [[Parameter]] $a$ und $b$.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

'''Lösung:''' 

<div class="mw-collapsible-content">
Um $a$ und $b$ zu bestimmen, setzen wir die Punkte in die Funktionsgleichung ein:
{|
|-
|

{| border="1"
!|x
!|y
|-
|1
|4
|-
|2
|16
|}

!| $\ \ \ \ \ y=b\cdot a^x$
$\rightarrow I:\ 4=b\cdot a^1$

$\ \rightarrow II: 16=b\cdot a^2$

|}
Hier haben wir nun ein Gleichungssystem mit $2$ Gleichungen und zwei Unbekannten. Dieses können wir mithilfe des [[Gleichungssysteme (2.7.)#Einsetzungsverfahren (Substitutionsverfahren) | Einsetzungsverfahrens]] lösen:
Hierzu stellen wir in $I$ die Unbekannte $a$ frei:
$I:\ 4=b\cdot a^1 \ \ \rightarrow a=$ $\frac{4}{b}$ 
und setzen dies nun in $II$ ein:

$II:\ 16=b\cdot ($ $\frac{4}{b}$ $)^2$
$$II:\ 16=b\cdot (\frac{4}{b})^2$$
$$II: \ 16=b\cdot (\frac{16}{b^2})\ \ \ |\cdot 16$$
$$II: \ 16\cdot b^2 = 16 \ \ \ |:16 $$
$$II: \ b^2=1 $$
$$II: \ b=\pm 1$$
Da laut der Definition (ganz oben) $b>0$ ist, muss gelten $\underline{b=1}$.

Damit erhalten wir $a=\frac{4}{b} \rightarrow \underline{a=4}$

Antwort: Somit lautet die Funktionsgleichung $\underline{\underline{f(x)=1\cdot 4^x}}$ bzw. $\underline{\underline{f(x)=4^x}}$

</div>

</div>
 
 

=== 3. Beispiel mit $f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$ (einfach) ===

'''Angabe:''' Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$ geht durch die Punkte $(0|3)$ und $(2|27)$. Bestimme die [[Parameter]] $\lambda$ und $b$.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

 '''Lösung:'''

<div class="mw-collapsible-content">

'''1. Punkt $(0|3)$''': Da der Graph die $y$-Achse hier schneidet, muss gelten $\underline{b=3}$ (siehe oben Beispiel 1).

'''2. Punkt $(2|27)$''': Wir setzen diesen Punkt und $b=3$ nun in die Funktionsgleichung, um $\lambda$ zu erhalten:
$$f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$$
$$27=3\cdot e^{\lambda \cdot 2}$$
Nun wenden wir den [[Logarithmus]] an:
$$9=e^{\lambda \cdot 2} \ \ \ | \ln(\ )$$
$$\ln(9)=\ln(e^{\lambda \cdot 2})$$
$$\ln(9)=\lambda \cdot 2\cdot \ln(e) \ \ \ |ln(e)=1 \ \ |:2$$
$$\frac{ln(9)}{2}=\lambda$$
$$\underline{1.1=\lambda}$$

Somit lautet die Funktionsgleichung $\underline{\underline{f(x)=3\cdot e^{1.1\cdot x}}}$

</div>

</div>
 
 

== Übung zur Bestimmung der Funktionsgleichung ==
Bestimme die Funktionsgleichung in der Form $f(x)=b\cdot a^x$. Gib dazu die Funktionsgleichung bei $f(x)$ ein.

<ggb_applet width="800" height="400" version="5.0" id="tHm6RSuz" />

* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| ? ]]: Kannst du alle Aufgaben von oben, so [https://www.geogebratube.org/student/m82256 übe dich an diesem Quiz], in dem du die Funktionsgleichung verschiedener [[Funktionen|Funktionstypen]] bestimmen musst.

 
 

== Beispiel zur Bestimmung von Funktonswert und Argument ==
=== 1. Beispiel mit $f(x)=b\cdot e^{\lambda\cdot x}$ (leicht) ===
Gegeben ist die Funktion $f(x)=2\cdot e^{-0.4\cdot x}$. Bestimme jene [[Argument | Argumente]] für die gilt
* a) $f(x)=0.3$
* b) $f(x)=0$
* c) $f(x)=-0.5$

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

 '''Lösung:''' 

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

 '''Lösung für a)''' 

<div class="mw-collapsible-content">

[[Datei:Beispiel 0 3.png|thumb|350px|right|Graphische Lösung der Aufgabe]]

Es gilt die Gleichung $f(x)=0.3$ zu lösen, wobei $f(x)=2\cdot e^{-0.4\cdot x}$ ist:
$$2\cdot e^{-0.4\cdot x}=0.3$$
$$ e^{-0.4\cdot x}=\frac{0.3}{2} \ \ \ \ | ln()$$
$$ -0.4\cdot x \cdot \ln(e)=\ln(\frac{0.3}{2})\ \ \ \ |ln(e)=1 \ \ \ |:(-0.4) $$
$$x=\frac{\ln(\frac{0.3}{2})}{-0.4}$$
$$\underline{\underline{x = 4.74}}$$
Alternative Lösungswege:
* Graphisch den Schnittpunkt zwischen $f(x)$ und $y=0.3$ ermitteln (siehe Abbildung rechts)
* [[Solve-Befehl | Solve-Befehl im TR]] oder [[Löse-Befehl | Löse-Befehl mit GeoGebra]]

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

 '''Lösung für b)''' 

<div class="mw-collapsible-content">

Da die $x$-Achse des Graphen von $f(x)$ eine [[Asymptote]] ist, hat $f(x)$ keine Nullstellen und somit gibt es kein $x$ für das gilt $f(x)=0$.
Alternativer Lösungsweg:
* [[Löse-Befehl | Löse-Befehl mit GeoGebra]] $\rightarrow$ als Lösung erhält man die leere Menge $\mathbb{L}=\{ \}$
* Rechnerisch:
$$ f(x)=0$$
$$2\cdot e^{-0.4\cdot x}=0 \ \ \ |:2$$
$$ e^{-0.4\cdot x}=0 \ \ \ |ln $$
$$ -0.4\cdot x\cdot \ln(e)=\ln(0)$$
Da der [[Logarithmus]] nur für positive $x$-Werte definiert ist ($\mathbb{D}=\mathbb{R}^+$), ist $\ln(0)$ nicht definiert (was du leicht im TR mit der Rechnung $ln(0)$ überprüfen kannst).
Somit hat die Gleichung $-0.4\cdot x\cdot \ln(e)=\ln(0)$ keine Lösung.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

 '''Lösung für c)''' 

<div class="mw-collapsible-content">
Auch hier gibt es keine Lösung, da der [[Wertebereich]] der Exponentialfunktion $2\cdot e^{-0.4\cdot x}$ oberhalb der $x$-Achse liegt und $f(x)$ somit niemals negative Funktionswerte annimmt (siehe Abbildung bei Lösung a) ).

</div>

</div>

</div>

</div>
 
=== 2. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (leicht) ===
Gegeben ist die Funktion $f(x)=100\cdot 0.76^x$.
* a) Bestimme wie groß ist der Funktionwert an der Stelle $x=5$ ist.
* b) Berechne, an welcher Stelle die Funktion einen Wert von $50$ hat.
* c) Fertige eine Skizze des Graphen und zeichnen Sie die berechneten Werte ein.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

 '''Lösung:''' 

<div class="mw-collapsible-content">

[[Datei:Exp-bsp4.png|thumb|right|400px|Graph der Funktion $f(x)=100\cdot 0.76^x$ mit den berechneten Punkten.]]
Lösung a)
$$f(5)=100\cdot 0.76^5=25.36 $$

Lösung für b)
$$f(x)=50\ \ \ \ \textrm{gesucht ist x}$$
$$100\cdot 0.76^x=50\ \ \ |:100$$
$$0.76^x=0.5\ \ \ |\log(\ )$$
$$\log 0.76^x= \log 0.5$$
$$x\cdot \log 0.76=\log 0.5$$
$$x=\frac{\log 0.5}{\log 0.76}$$
$$\underline{\underline{x=2.53}}$$
Hinweis: In der obigen Rechnung wurde der [[Logarithmus | Logarithmus]] verwendet.

Lösung c) Siehe Abbildung rechts

</div>

</div>
 

== Interaktives Quiz ==

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}}

 
== Weitere Materialien ==
* [[Gelb: Lernpfad | $Step\ by\ Step!$ ]]: Ein [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_exponentialfunktionen/Exponentialfunktionen_NEU/ Online-Lernpfad von G. Jauck und A. Lindner]
* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| ? ]]: Ein [http://LearningApps.org/watch?v=p71pgtywt01 Quiz, in dem du den Graphen und die Funktionsgleichung zusammenführen musst]
* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| ? ]]: Und [https://www.geogebratube.org/student/m82256 hier gibt es ein GeoGebra-Quiz], in dem du die Funktionsgleichung verschiedener [[Funktionen|Funktionstypen]] bestimmen musst.

 
== Matura-Aufgaben ==

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$ ]]: [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=204&file=Mount_Everest.pdf Mount Everest] (bifie-Aufgabe: leicht-mittel-schwer)
: Siehe auch [[Logarithmus]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$ ]]: [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=179&file=Vergessenskurve_nach_Ebbinghaus.pdf Vergessenskurve von Ebbinghaus] (bifie-Aufgabe: leicht-mittel-mittel)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$ ]]: [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=181&file=Bevoelkerungswachstum_in_den_USA.pdf Bevölkerung der USA] (leicht-leicht-mittel)
: Siehe für Aufgabe b) und c) auch [[Differenzen- und Differentialquotient]]

[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Grundkompetenzen AHS

2020-04-11T11:32:02Z

PeterLamp: /* Exponentialfunktion $f(x)=a\cdot b^x$ bzw. $f(x)=a\cdot e^{\lambda \cdot x}$ mit $a,b \in ℝ^+$, $\lambda \in ℝ$ */

Die folgenden Tabellen listen alle Grundkompetenzen für die AHS auf.

Die Grundkompetenzen sind in insgesamt $4$ Inhaltsbereiche gegliedert:

==Algebra und Geometrie==
===Grundbegriffe der Algebra===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AG 1.1
||Wissen über die Zahlenmengen $ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, ℂ$ verständig einsetzen können
||[[Zahlenmengen | Theorie]]
||[[Zahlenmengen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 1.2
||Wissen über algebraische Begriffe angemessen einsetzen können: Variable, Terme, Formeln, (Un-)Gleichungen, Gleichungssysteme, Äquivalenz, Umformungen, Lösbarkeit
||[[Algebraische Begriffe | Theorie]]
||[[Quiz #Algebraische Grundbegriffe (AG 1.2) | Beispiele]]
|}
Anmerkungen: Bei den Zahlenmengen soll man die Mengenbezeichnungen und die Teilmengenbeziehungen kennen, Elemente angeben sowie zuordnen können und die reellen Zahlen als Grundlage kontinuierlicher Modelle kennen. Zum Wissen über die reellen Zahlen gehört auch, dass es Zahlenbereiche gibt, die über $ℝ$ hinausgehen. Die algebraischen Begriffe soll man anhand von einfachen Beispielen beschreiben/erklären und verständig verwenden können. 

===(Un-)Gleichungen und Gleichungssysteme===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AG 2.1
||einfache Terme und Formeln aufstellen, umformen und im Kontext deuten können
||[[Terme und Formeln| Theorie]]
||[[Formeln #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 2.2
||lineare Gleichungen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen und die Lösung im Kontext deuten können
||[[lineare Gleichungen mit einer Variablen | Theorie]]
||[[lineare Gleichungen mit einer Variablen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 2.3
||quadratische Gleichungen in einer Variablen umformen/lösen, über Lösungsfälle Bescheid wissen, Lösungen und Lösungsfälle (auch geometrisch) deuten können
||[[Quadratische Gleichungen | Theorie]]
||[[Quadratische Gleichungen #Interaktives Quiz| Beispiele]]
|-
||AG 2.4
||lineare Ungleichungen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen, Lösungen (auch geometrisch) deuten können
||[[Lineare Ungleichungen mit 2 Variablen | Theorie]]
||[[Lineare Ungleichungen mit 2 Variablen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 2.5
||lineare Gleichungssysteme in zwei Variablen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen, über Lösungsfälle Bescheid wissen, Lösungen und Lösungsfälle (auch geometrisch) deuten können
||[[Gleichungssysteme | Theorie]]
||[[Gleichungssysteme #Interaktives Quiz| Beispiele]]
|}
Anmerkungen: Einfache Terme können auch Potenzen, Wurzeln, Logarithmen, Sinus etc. beinhalten. Mit dem Einsatz elektronischer Hilfsmittel können auch komplexere Umformungen von Termen, Formeln und Gleichungen, Ungleichungen und Gleichungssystemen durchgeführt werden. 

===Vektoren===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AG 3.1
||Vektoren als Zahlentupel verständig einsetzen und im Kontext deuten können
||[[Vektorrechnung | Theorie]]
||[[Vektorrechnung #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 3.2
||Vektoren geometrisch (als Punkte bzw. Pfeile) deuten und verständig einsetzen können
||[[Vektorrechnung | Theorie]]
||[[Vektorrechnung #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 3.3
||Definition der Rechenoperationen mit Vektoren (Addition, Multiplikation mit einem Skalar, Skalarmultiplikation) kennen, Rechenoperationen verständig einsetzen und (auch geometrisch) deuten können
||[[Vektorrechnung | Theorie]]
||[[Vektorrechnung #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 3.4
||Geraden durch (Parameter-)Gleichungen in $ℝ^2$ und $ℝ^3$ angeben können; Geradengleichungen interpretieren können; Lagebeziehungen (zwischen Geraden und zwischen Punkt und Gerade) analysieren, Schnittpunkte ermitteln können
||[[Vektorrechnung | Theorie]]
||[[Vektorrechnung #Beispiele| Beispiele]]
|-
||AG 3.5
||Normalvektoren in $ℝ^2$ aufstellen, verständig einsetzen und interpretieren können
||[[Vektorrechnung | Theorie]]
||[[Vektorrechnung #Beispiele | Beispiele]]
|}
Anmerkungen: Vektoren sind als Zahlentupel, also als algebraische Objekte, zu verstehen und in entsprechenden Kontexten ver-ständig einzusetzen. Punkte und Pfeile in der Ebene und im Raum müssen als geometrische Veranschaulichung dieser algebraischen Objekte interpretiert werden können. Die geometrische Deutung der Skalarmultiplikation (in $ℝ^2$ und $ℝ^3$) meint hier nur den Spezialfall $a\cdot b= 0$. Geraden sollen in Parameterform, in $ℝ^2$ auch in parameterfreier Form, angegeben und interpretiert werden können. 

===Trigonometrie===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AG 4.1
||Definitionen von ''Sinus'', ''Cosinus'' und ''Tangens'' im rechtwinkeligen Dreieck kennen und zur Auflösung rechtwinkeliger Dreiecke einsetzen können
||[[Trigonometrie | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|-
||AG 4.2
||Definitionen von ''Sinus'' und ''Cosinus'' für Winkel größer als $90°$ kennen und einsetzen können
||[[Trigonometrie | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|}
Anmerkungen: Die Kontexte beschränken sich auf einfache Fälle in der Ebene und im Raum, komplexe (Vermessungs-)Aufgaben sind hier nicht gemeint; Sinus- und Cosinussatz werden dabei nicht benötigt.
 
 

==Funktionale Abhängigkeiten==
===Funktionsbegriff, reelle Funktionen, Darstellungsformen und Eigenschaften===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||FA 1.1
||für gegebene Zusammenhänge entscheiden können, ob man sie als Funktionen betrachten kann
||[[Funktionen | Theorie]]
||[[Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 1.2
||Formeln als Darstellung von Funktionen interpretieren und dem Funktionstyp zuordnen können
||[[Funktionen_in_mehreren_Unbekannten| Theorie]]
||[[Funktionen_in_mehreren_Unbekannten #Beispielaufgaben + Interaktives Quiz| Beispiele]]
|-
||FA 1.3
||zwischen tabellarischen und grafischen Darstellungen funktionaler Zusammenhänge wechseln können
||[[Funktionen | Theorie]]
||[[Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 1.4
||aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Funktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können
||[[Funktionen | Theorie]]
||[[Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 1.5
||Eigenschaften von Funktionen erkennen, benennen, im Kontext deuten und zum Erstellen von Funktionsgraphen einsetzen können: Monotonie, Monotoniewechsel (lokale Extrema), Wendepunkte, Periodizität, Achsensymmetrie, asymptotisches Verhalten, Schnittpunkte mit den Achsen
||[[Funktionen | Theorie]]
||[[Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 1.6
||Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen grafisch und rechnerisch ermitteln und im Kontext interpretieren können
||[[Schnittpunkt zweier Funktionen | Theorie]]
||[[Schnittpunkt zweier Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 1.7
||Funktionen als mathematische Modelle verstehen und damit verständig arbeiten können
||[[mathematische Modelle | Theorie]]
||[[mathematische Modelle #Funktionen als mathematische Modelle (FA 1.7)| Beispiele]]
|-
||FA 1.8
||durch Gleichungen (Formeln) gegebene Funktionen mit mehreren Veränderlichen im Kontext deuten können, Funktionswerte ermitteln können
||[[Funktionen in mehreren Unbekannten | Theorie]]
||[[Funktionen in mehreren Unbekannten #Beispielaufgaben + Interaktives Quiz | Beispiele]]
|-
||FA 1.9
||einen Überblick über die wichtigsten (unten angeführten) Typen mathematischer Funktionen geben, ihre Eigenschaften vergleichen können
||[[Funktionen | Theorie]]
||[[Funktionen #Funktionstypen und deren Eigenschaften (FA 1.9) | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Auf eine sichere Unterscheidung zwischen funktionalen und nichtfunktionalen Zusammenhängen wird Wert gelegt,auf theoretisch bedeutsame Eigenschaften (z. B. Injektivität, Surjektivität, Umkehrbarkeit)wird aber nicht fokussiert. Im Vordergrund steht die Rolle von Funktionen als Modelle und die verständige Nutzung grundlegender Funktionstypen und deren Eigenschaften sowie der verschiedenen Darstellungsformen von Funktionen (auch $f:A→B$, $x↦f(x)$ ).
Die Bearbeitung von Funktionen mit mehreren Veränderlichen beschränkt sich auf die Interpretation der Funktionsgleichung im jeweiligen Kontext sowie auf die Ermittlung von Funktionswerten.
Der Verlauf von Funktionen soll nicht nur mathematisch beschrieben, sondern auch im jeweiligen Kontext gedeutet werden können.
 

===Lineare Funktion $f(x)=k\cdot x+d$===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||FA 2.1
||verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene lineare Zusammenhänge als lineare Funktionen erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können
||[[Lineare Funktionen| Theorie]]
||[[Lineare Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 2.2
||aus Tabellen, Graphen und Gleichungen linearer Funktionen Werte(paare) sowie die Parameter $k$ und $d$ ermitteln und im Kontext deuten können
||[[Lineare Funktionen | Theorie]]
||[[Lineare Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 2.3
||die Wirkung der Parameter $k$ und $d$ kennen und die Parameter in unterschiedlichen Kontexten deuten können
||[[Lineare Funktionen| Theorie]]
||[[Lineare Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 2.4
||charakteristische Eigenschaften kennen und im Kontext deuten können: $f(x+1)=f(x)+k; \frac {f(x_2)-f(x_1)} {x_2-x_1}=k=f'(x)$
||[[Lineare Funktionen | Theorie]]
||[[Lineare Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 2.5
||die Angemessenheit einer Beschreibung mittels linearer Funktion bewerten können
||[[Lineare Funktionen | Theorie]]
||[[Lineare Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 2.6
||direkte Proportionalität als lineare Funktion vom Typ $f(x)=k\cdot x$ beschreiben können

||[[Lineare Funktionen | Theorie]]
||[[Lineare Funktionen #Beispiele| Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Die Parameter $k$ und $d$ sollen sowohl für konkrete Werte als auch allgemein im jeweiligen Kontext interpretiert werden können. Entsprechendes gilt für die Wirkung der Parameter und deren Änderung.
 
 

===Potenzfunktion $f(x)=a\cdot x^z+b$, $z\in \mathbb{Z}$ oder mit $f(x)=a \cdot x^{ \frac{1}{2} }+b$===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||FA 3.1
||verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene Zusammenhänge dieser Art als entsprechende Potenzfunktionen erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können
||[[Potenzfunktionen | Theorie]]
||[[Potenzfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 3.2
||aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Potenzfunktionen Werte(paare) sowie die Parameter $a$ und $b$ ermitteln und im Kontext deuten können
||[[Potenzfunktionen | Theorie]]
||[[Potenzfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 3.3
||die Wirkung der Parameter $a$ und $b$ kennen und die Parameter im Kontext deuten können
||[[Potenzfunktionen | Theorie]]
||[[Potenzfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 3.4
||indirekte Proportionalität als Potenzfunktion vom Typ $f(x)=\frac {a} {x}$ (bzw. $f(x)=a\cdot x^{–1}$) beschreiben können
||[[indirekte Proportion | Theorie]]
||[[Potenzfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Wurzelfunktionen bleiben auf den quadratischen Fall $a\cdot x^\frac {1} {2}+b$ beschränkt.
 
 

===Polynomfunktion $f(x)=\sum_{i=0}^{n} a_i \cdot x^i$ mit $n \in ℕ$===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||FA 4.1
||typische Verläufe von Graphen in Abhängigkeit vom Grad der Polynomfunktion (er)kennen
||[[Polynomfunktionen | Theorie]]
||[[Polynomfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 4.2
||zwischen tabellarischen und grafischen Darstellungen von Zusammenhängen dieser Art wechseln können
||[[Polynomfunktionen | Theorie]]
||[[Polynomfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 4.3
||aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Polynomfunktionen Funktionswerte, aus Tabellen und Graphen sowie aus einer quadratischen Funktionsgleichung Argumentwerte ermitteln können
||[[Polynomfunktionen | Theorie]]
||[[Polynomfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 4.4
||den Zusammenhang zwischen dem Grad der Polynomfunktion und der Anzahl der Null- ,Extrem- und Wendestellen wissen
||[[Polynomfunktionen | Theorie]]
||[[Polynomfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Der Zusammenhang zwischen dem Grad der Polynomfunktion und der Anzahl der Null-, Extrem- und Wendestellen sollte für beliebige $n$ bekannt sein, konkrete Aufgabenstellungen beschränken sich auf Polynomfunktionen mit $n\le4$. Mithilfe elektronischer Hilfsmittel können Argumentwerte auch für Polynomfunktionen höheren Grades ermittelt werden.
 

===Exponentialfunktion $f(x)=a\cdot b^x$ bzw. $f(x)=a\cdot e^{\lambda \cdot x}$ mit $a,b \in ℝ^+$, $\lambda \in ℝ$===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||FA 5.1
||verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene exponentielle Zusammenhänge als Exponentialfunktion erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können
||[[Exponentialfunktionen | Theorie]]
||[[Exponentialfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 5.2
||aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Exponentialfunktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können
||[[Exponentialfunktionen | Theorie]]
||[[Exponentialfunktionen #Beispiele| Beispiele]]
|-
||FA 5.3
||die Wirkung der Parameter $a$ und $b$ (bzw. $e^\lambda$) kennen und die Parameter in unterschiedlichen Kontexten deuten können
||[[Exponentialfunktionen | Theorie]]
||[[Exponentialfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 5.4
||charakteristische Eigenschaften $(f(x +1)= b\cdot f(x); [e^x]'=e^x)$ kennen und im Kontext deuten können
||[[Exponentialfunktionen | Theorie]]
||[[Exponentialfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 5.5
||die Begriffe ''Halbwertszeit'' und ''Verdoppelungszeit'' kennen, die entsprechenden Werte berechnen und im Kontext deuten können
||[[Exponentialfunktionen | Theorie]]
||[[Exponentialfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 5.6
||die Angemessenheit einer Beschreibung mittels Exponentialfunktion bewerten können
||[[Exponentialfunktionen | Theorie]]
||[[Exponentialfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Die Parameter $a$ und $b$ (bzw. $e^{\lambda}$) sollen sowohl für konkrete Werte als auch allgemein im jeweiligen Kontext interpretiert werden können. Entsprechendes gilt für die Wirkung der Parameter und deren Änderung.
 
 

===Sinusfunktion, Cosinusfunktion===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||FA 6.1
||grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene Zusammenhänge der Art $f(x)=a\cdot sin(b\cdot x)$ als allgemeine Sinusfunktion erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können
||[[Trigonometrie | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 6.2
||aus Graphen und Gleichungen von allgemeinen Sinusfunktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können
||[[Trigonometrie | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Schularbeiten- und Testaufgaben | Beispiele]]
|-
||FA 6.3
||die Wirkung der Parameter $a$ und $b$ kennen und die Parameter im Kontext deuten können
||[[Trigonometrie | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 6.4
||Periodizität als charakteristische Eigenschaft kennen und im Kontext deuten können
||[[Trigonometrie | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 6.5
||wissen, dass $cos(x)= sin(x + \frac {\pi} {2})$
||[[Trigonometrie | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 6.6
||wissen, dass gilt: $[sin(x)]'=cos(x), [cos(x)]'=-sin(x)$
||[[Differenzen- und Differentialquotient | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Während zur Auflösung von rechtwinkeligen Dreiecken Sinus, Cosinus und
Tangens verwendet werden, beschränkt sich die funktionale Betrachtung (weitgehend) auf die allgemeine Sinusfunktion. Wesentlich dabei sind die Interpretation der Parameter (im Graphen wie auch in entsprechenden Kontexten) sowie der Verlauf des Funktionsgraphen und die Periodizität.
 
 

==Analysis==
===Änderungsmaße===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AN 1.1.
||absolute und relative (prozentuelle) Änderungsmaße unterscheiden und angemessen verwenden können
||[[Änderungsmaße| Theorie]]
||[[Änderungsmaße #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AN 1.2.
||den Zusammenhang ''Differenzenquotient (mittlere Änderungsrate) – Differenzialquotient (momentane Änderungsrate)'' auf der Grundlage eines intuitiven Grenzwertbegriffes kennen und damit (verbal sowie in formaler Schreibweise) auch kontextbezogen anwenden können
||[[Differenzen- und Differentialquotient | Theorie]]
||[[Differenzen- und Differentialquotient #Maturabeispiele| Beispiele]]
|-
||AN 1.3.
||den Differenzen- und Differenzialquotienten in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverhalte durch den Differenzen- bzw. Differenzialquotienten beschreiben können
||[[Differenzen- und Differentialquotient|Theorie]]
||[[Differenzen-_und_Differentialquotient #Maturabeispiele| Beispiele]]
|-
||AN 1.4.
||das systemdynamische Verhalten von Größen durch Differenzengleichungen beschreiben bzw. diese im Kontext deuten können
||[[Differenzengleichungen | Theorie]]
||[[Differenzengleichungen #Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Der Fokus liegt auf dem Darstellen von Änderungen durch Differenzen von Funktionswerten, durch prozentuelle Veränderungen, durch Differenzenquotienten und durch Differenzialquotienten, ganz besonders aber auch auf der Interpretation dieser Veränderungsmaße im jeweiligen Kontext. Durch den Einsatz elektronischer Hilfsmittel ist auch die Berechnung von Differenzen- und Differenzialquotienten beliebiger (differenzierbarer) Funktionen möglich.
 
 

===Regeln für das Differenzieren===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AN 2.1.
||einfache Regeln des Differenzierens kennen und anwenden können: Potenzregel, Summenregel, Regeln für $[k \cdot f(x)]′$ und $[f(k \cdot x)]′$ (vgl. Inhaltsbereich ''Funktionale Abhängigkeiten'')
||[[Inhalt:Differenzieren: Rechnerisches Bestimmen von f'| Theorie]]
||[[Inhalt:Differenzieren: Rechnerisches Bestimmen von f'| Beispiele]]
|}
 

===Ableitungsfunktion/Stammfunktion===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AN 3.1.
||den Begriff ''Ableitungsfunktion/Stammfunktion'' kennen und zur Beschreibung von Funktionen einsetzen können
||[[Integration| Theorie]]
||[[Integration#Beispiele | Beispiele]]
|-
||AN 3.2.
||den Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitungsfunktion (bzw. Funktion und Stammfunktion) in deren grafischer Darstellung (er)kennen und beschreiben können
||[[Integration| Theorie]]
||[[Integration#Beispiele | Beispiele]]
|-
||AN 3.3.
||Eigenschaften von Funktionen mithilfe der Ableitung(sfunktion) beschreiben können: Monotonie, lokale Extrema, Links- und Rechtskrümmung, Wendestellen
||[[Integration| Theorie]]
||[[Integration#Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Der Begriff der ''Ableitung(sfunktion)'' soll verständig und zweckmäßig zur Beschreibung von Funktionen eingesetzt werden. Durch den Einsatz elektronischer Hilfsmittel ist das Ableiten von Funktionen nicht durch die in den Grundkompetenzen angeführten Differenziationsregeln eingeschränkt.
 

===Summation und Integral===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AN 4.1.
||den Begriff des bestimmten Integrals als Grenzwert einer Summe von Produkten deuten und beschreiben können
||[[Integration| Theorie]]
||[[Integration#Beispiele | Beispiele]]
|-
||AN 4.2.
||einfache Regeln des Integrierens kennen und anwenden können: Potenzregel, Summenregel, $\int k\cdot f(x)\,dx$, $\int f(k\cdot x)\,dx$ (vgl. Inhaltsbereich ''Funktionale Abhängigkeiten''), bestimmte Integrale von Polynomfunktionen ermitteln können
||[[Integration| Theorie]]
||[[Integration#Beispiele | Beispiele]]
|-
||AN 4.3.
||das bestimmte Integral in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverhalte durch Integrale beschreiben können
||[[Integration| Theorie]]
||[[Integration#Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Analog zum Differenzialquotienten liegt der Fokus beim bestimmten Integral auf der Beschreibung entsprechender Sachverhalte durch bestimmte Integrale sowie vor allem auf der angemessenen Interpretation des bestimmten Integrals im jeweiligen Kontext. Durch den Einsatz elektronischer Hilfsmittel ist die Berechnung von bestimmten Integralen nicht durch die in den Grundkompetenzen angeführten Integrationsregeln eingeschränkt.
 

==Wahrscheinlichkeit und Statistik==
===Beschreibende Statistik===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||WS 1.1
||Werte aus tabellarischen und elementaren grafischen Darstellungen ablesen (bzw. zusammengesetzte Werte ermitteln) und im jeweiligen Kontext angemessen interpretieren können
||[[Statistik:Daten und Diagramme| Theorie]]
||[[Beschreibende_Statistik#tab=Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: (Un-)geordnete Liste, Strichliste, Piktogramm, Säulen-, Balken-, Linien-, Stängel-Blatt-, Punktwolkendiagramm, Histogramm (als Spezialfall eines Säulendiagramms), Prozentstreifen, Kastenschaubild (Boxplot)
 

{| border="1"
|-
||WS 1.2$\ \ \ \ \ \ \ $
||Tabellen und einfache statistische Grafiken erstellen, zwischen Darstellungsformen wechseln können

||[[Beschreibende_Statistik#tab=Zentralma_C3_9Fe_-_statistische_Kennzahlen_f_C3_BCr_das_Mittel| Theorie]]
||[[Beschreibende_Statistik#tab=Matura-Aufgaben| Beispiele]]
|-
||WS 1.3
||statistische Kennzahlen (absolute und relative Häufigkeiten; arithmetisches Mittel, Median, Modus, Quartile, Spannweite, empirische Varianz/Standardabweichung) im jeweiligen Kontext interpretieren können; die angeführten Kennzahlen für einfache Datensätze ermitteln können

||[[Beschreibende Statistik| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeitsrechnung#Matura-Aufgaben| Beispiele]]
|-
||WS 1.4
||Definition und wichtige Eigenschaften des arithmetischen Mittels und des Medians angeben und nutzen, Quartile ermitteln und interpretieren können, die Entscheidung für die Verwendung einer bestimmten Kennzahl begründen können

||[[Beschreibende Statistik| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeitsrechnung#Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Wenn auch statistische Kennzahlen (für einfache Datensätze) ermittelt und elementare statistische Grafiken erstellt werden sollen, liegt das Hauptaugenmerk auf verständigen Interpretationen von Grafiken (unter Beachtung von Manipulationen) und Kennzahlen. Speziell für das arithmetische Mittel und den Median (auch als Quartile) müssen die wichtigsten Eigenschaften (definitorische Eigenschaften, Datentyp-Verträglichkeit, Ausreißerempfindlichkeit) gekannt und verständig eingesetzt bzw. berücksichtigt werden. Beim arithmetischen Mittel sind allenfalls erforderliche Gewichtungen zu beachten („gewogenes arithmetisches Mittel“) und zu nutzen (Bildung des arithmetischen Mittels aus arithmetischen Mitteln von Teilmengen).
 
 

===Wahrscheinlichkeitsrechnung===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||WS 2.1
||Grundraum und Ereignisse in angemessenen Situationen verbal beziehungsweise formal angeben können
||[[Wahrscheinlichkeit: Grundlagen| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]
|-
||WS 2.2
||relative Häufigkeit als Schätzwert von Wahrscheinlichkeit verwenden und anwenden können

||[[Wahrscheinlichkeit: Grundlagen| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Normalverteilung und Stetige Zufallsvariablen#Beispiele | Beispiele]]
|-
||WS 2.3
||Wahrscheinlichkeit unter der Verwendung der Laplace-Annahme (Laplace-Wahrscheinlichkeit) berechnen und interpretieren können, Additionsregel und Multiplikationsregel anwenden und interpretieren können

||[[Wahrscheinlichkeit: Grundlagen| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]
|-
||WS 2.4
||Binomialkoeffizient berechnen und interpretieren können

||[[Binomialkoeffizient| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]

|}

Anmerkungen: Die Multiplikationsregel kann unter Verwendung der kombinatorischen Grundlagen und der Anwendung der Laplace-Regel (auch) umgangen werden.
 
 

===Wahrscheinlichkeitsverteilungen===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||WS 3.1
||die Begriffe ''Zufallsvariable'', ''(Wahrscheinlichkeits-)Verteilung'', ''Erwartungswert'' und ''Standardabweichung'' verständig deuten und einsetzen können

||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]

|-
||WS 3.2
||Binomialverteilung als Modell einer diskreten Verteilung kennen – Erwartungswert sowie Varianz/Standardabweichung binomialverteilter Zufallsgrößen ermitteln können, Wahrscheinlichkeitsverteilung binomialverteilter Zufallsgrößen angeben können, Arbeiten mit der Binomialverteilung in anwendungsorientierten Bereichen

||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]

|-
||WS 3.3
||Situationen erkennen und beschreiben können, in denen mit Binomialverteilung modelliert werden kann

||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]
|-
||WS 3.4
||Normalapproximation der Binomialverteilung interpretieren und anwenden können

||[[Wahrscheinlichkeit: Normalverteilung und Stetige Zufallsvariablen| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Normalverteilung und Stetige Zufallsvariablen#Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Kennen und Anwenden der Faustregel, dass die Normalapproximation der Binomialverteilung mit den Parametern $n$ und $p$ dann anzuwenden ist und gute Näherungswerte liefert, wenn die Bedingung $n\cdot p \cdot (1–p)\geq 9 $ erfüllt ist. Die Anwendung der Stetigkeitskorrektur ist nicht notwendig und daher für Berechnungen im Zuge von Prüfungsbeispielen vernachlässigbar. Kennen des Verlaufs der Dichtefunktion $φ$ der Standardnormalverteilung mit Erwartungswert $\mu$ und Standardabweichung $\sigma$. Arbeiten mit der Verteilungsfunktion $Φ$ der Standardnormalverteilung und korrektes Ablesen der entsprechenden Wert.
 
 

===Schließende/Beurteilende Statistik===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||WS 4.1
||Konfidenzintervalle als Schätzung für eine Wahrscheinlichkeit oder einen unbekannten Anteil interpretieren (frequentistische Deutung) und verwenden können, Berechnungen auf Basis der Binomialverteilung oder einer durch die Normalverteilung approximierten Binomialverteilung durchführen können

||[[Konfidenzintervall| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]
|}

Potenz- und Polynomfunktionen

2020-04-11T11:31:11Z

PeterLamp: /* Lernpfad Potenzfunktionen */

= Potenzfunktionen =

 
==Potenzfunktionen - Allgemeines==
{{Vorlage:Definition|1= Eine Potenzfunktion ist eine Funktion der Form $f(x)=a\cdot x^n \ \textrm{mit} \ n\in \mathbb{Q}$.
}}

<ggb_applet width="800" height="400" version="5.0" id="2146191" />

Wenn man den Schieberegler bewegt, kann man erkennen, dass Potenzfunktionen für verschiedene Hochzahlen $n$ zum Teil sehr unterschiedliche Graphen liefern.
Um die Eigenschaften der Potenzfunktionen genauer zu untersuchen, ist es hilfreich, die Potenzfunktionen Kategorien einzuteilen, die dieselben Eigenschaften haben:

* '''Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten $n \in \mathbb{N}$'''
** Exponent ungerade
** Exponent gerade

* '''Potenzfunktionen mit negativen ganzzahligen Exponenten'''
** Exponent ungerade
** Exponent gerade

* '''Potenzfunktionen mit „echt rationalen“ Exponenten - Wurzelfunktionen'''
 
 

== Graphen von Potenzfunktionen ==
Je nach Größe der [[Parameter]] $a$ und $n$ verändert sich der Graph. Im Folgenden werden die Auswirkungen der einzelnen Parameter auf den Graphen der Funktion besprochen:

$$f(x)=a\cdot x^n$$
----
===Bedeutung der Hochzahl $n$ für den Funktionsgraphen===

Um die Bedeutung des Hochzahl $n$ für den Funktionsgraphen zu verstehen, lassen wir vorerst den Wert von $a$ konstant bei $1$ ($f(x)=x^n$).

{| border="0"
|-
| '''Potenzfunktionen mit ungeraden natürlichen Exponenten'''
|-
|In diesem Fall ist der Graph [[Monotonie | monoton steigend]]. Je größer $n$ ist, desto mehr „schmiegt“ sich die Funktion im Bereich $[-1;1]$ der $x$-Achse an. Im gesamten übrigen Bereich steigt die Funktion hingegen stärker. Für negative $x$-Werte sind auch die zugehörigen Funktionswerte negativ. Diese Potenzfunktionen haben immer genau eine reelle Nullstelle bei $x=0$.
|[[Datei:Potenzfunktion_pos_ungerade_klein.gif|Potenzfunktionen mit ungerader positiver Hochzahl]]
|}

{| border="0"
|-
| '''Potenzfunktionen mit geraden natürlichen Exponenten'''
|-
|In diesem Fall ist der Graph im Intervall $] - \infty ; 0]$ [[Monotonie | monoton fallend]] und im Intervall $[0; \infty[ $ [[Monotonie | monoton steigend]]. Der Graph nimmt nur positive Funktionswerte an („Minus mal Minus ergibt Plus“). Für $n=2$ nennt man den Funktionsgraph eine Parabel (siehe [[Quadratische Funktionen| Quadratische Funktionen]]). Auch dieser Typ von Potenzfunktionen hat genau eine reelle Nullstelle bei $x=0$.
| [[Datei:Potenzfunktion_pos_gerade_klein.gif|Potenzfunktionen mit gerader positiver Hochzahl]]
|}

----

{| border="0"
|-
| '''Potenzfunktionen mit ungeraden negativen Exponenten'''
|-
|In diesem Fall ist der Graph sowohl im Intervall $] - \infty ; 0[$ [[Monotonie | monoton fallend]] als auch im Intervall $[0; \infty[ $ [[Monotonie | monoton fallend]]. Die Funktion ist für $x=0$ nicht definiert, was sich durch die alternative Schreibweise $f(x)=x^{-n} = \frac{1}{x^n}$ (siehe [[Potenzen (2.2.)#Potenzregel 5 |Potenzregeln]] leicht erklären lässt, da es bei $x=0$ zu einer Division durch Null kommen würde. Deshalb besteht an der Stelle $x=0$ eine sogenannte „Sprungstelle“. Der Graph nähert sich im negativen und im positiven Bereich immer mehr der $x$-Achse, berührt diese jedoch nie. Es gibt somit keine reellen Nullstellen.
| [[Datei:Potenzfunktion_neg_ungerade_klein.gif|Potenzfunktionen mit ungerader negativer Hochzahl]]
|}

{| border="0"
|-
| '''Potenzfunktionen mit geraden negativen Exponenten'''
|-
|In diesem Fall ist der Graph im Intervall $] - \infty ; 0[$ [[Monotonie | monoton steigend]] und im Intervall $[0; \infty[ $ [[Monotonie | monoton fallend]]. Auch diese Funktion ist für $x=0$ nicht definiert und es gibt an der Stelle $x=0$ wiederum eine „Sprungstelle“. Der Graph nimmt nur positive Funktionswerte an, da beispielsweise $f(x)=x^{-2}$ auch als $ \frac{1}{x^2}$ geschrieben werden kann und $x^2$ stets positive Werte liefert („Minus mal Minus ergibt Plus“). Der Graph nähert sich im negativen und im positiven Bereich immer mehr der $x$-Achse, berührt diese jedoch nie. Es gibt somit keine reellen Nullstellen.
| [[Datei:Potenzfunktion_neg_gerade_klein.gif|Potenzfunktionen mit gerader negativer Hochzahl]]
|}

{| border="0"
|-
| '''Potenzfunktionen mit „echt rationalen“ Exponenten'''
|-
|Diese Funktionen können aufgrund der Rechenregeln [[Potenzen (2.2.)#Potenzregel 7 |Potenzregeln]] auch als Wurzelfunktionen angeschrieben werden: $\sqrt[n]{x^m}=x^{\frac{m}{n} }$. Wir beschränken uns hier auf die Diskussion der Quadratwurzelfunktion: $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2} }$.
Die (Quadrat-)Wurzelfunktion ist nur für $ \mathbb{R}_0^+$ definiert. Sie ist im gesamten Intervall $[0; \infty[ $ [[Monotonie | monoton steigend]]. Die Steigung des Graphen ist am Anfang sehr groß, nimmt jedoch immer mehr ab. Die Steigung bleibt jedoch stets $>0$. Es gibt genau eine reelle Nullstelle bei $x=0$.
| [[Datei:Quadratwurzel.png|rahmenlos|mini|450px|Quadratwurzelfunktion]]
|}

'''Füge im folgenden Applet zu jeder Graphik die passende Funktion hinzu'''
{{#widget:Iframe
|url= https://learningapps.org/view1521962
|width= 900
|height= 500
|border=0
}}
 
 

===Bedeutung des Parameters $a$ für den Funktionsgraphen===
Das folgende GeoGebra-Applet soll dir helfen, die Bedeutung des Parameters $a$ zu verstehen.

{{Vorlage:Ausklapp|1= '''Aufgabenstellungen zum Applet'''
|2= 
# Untersuche, wie sich eine Änderung des Vorzeichens des Parameters $a$ auf den Funktionsgraphen auswirkt. Variiere dazu den Schieberegler von $a$. Begründe, warum sich der Graph so verändert.
# Stelle den Wert von $n$ nun auf $1$. Gib an, um welchen speziellen Funktionstyp es sich hier handelt und was der Wert von $a$ angibt.
# Stelle den Wert von $n$ nun auf $2$. Beobachte, wie sich die Veränderung von $a$ auf den Funktionsgraphen auswirkt.
}}

<ggb_applet width="800" height="500" version="5.0" id="2971927" />

{{Vorlage:Ausklapp|1= '''Lösungen zu den Aufgabenstellungen'''
|2= 
# Eine Änderung des Vorzeichens bewirkt eine Spiegelung des Funktionsgraphen. Exemplarische Begründung: Angenommen die ursprüngliche Funktion ist $f(x)= 2 \cdot x^3$. Die Vorzeichenänderung führt zur Funktionsgleichung $f(x)= -2 \cdot x^3$. Das Minus macht also nichts anderes, als das Vorzeichen eines jeden Funktionswertes „umzudrehen“.
# Funktionen der Form $f(x)= a \cdot x$ sind [[Lineare Funktionen|lineare Funktionen]], bei denen $d=0$ ist. Der Parameter $a$ gibt somit die Steigung der Geraden an.
# Wie du sicher bemerkt hast, handelt es sich hier um einen einfachen Fall von quadratischen Funktionen. Eine ausführliche Erklärung, wie sich die Veränderung des Parameters auf den Funktionsgraphen auswirkt, findest du [[Quadratische Funktionen|hier]].
}}

'''Füge im folgenden Applet zu jeder Graphik die passende Funktion hinzu'''
{{#widget:Iframe
|url= http://LearningApps.org/view1503567
|width= 900
|height= 500
|border=0
}}

= Polynomfunktionen =
 
== Polynomfunktionen ==
{{Vorlage:Definition|1= Polynomfunktionen sind Funktionen, die aus Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten zusammengesetzt sind. Die allgemeine Funktionsgleichung einer Polynomfunktion lautet:
$$f(x)=a_n\cdot x^n+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+a_{n-2}\cdot x^{n-2} +\dots + a_1\cdot x^1 + a_0\ \ \textrm{mit } a_i \in \mathbb{R}, 0\leq i\leq n$$
oder in Kurzschreibweise:
$$f(x)=\sum_{i=0}^n a_i \cdot x^i \ \textrm{mit } a_i \in \mathbb{R}$$
* Der höchste Exponent $n$ gibt dabei den „Grad“ des Polynoms an.
* $a_0$ ist der konstante Term (da keine Variable dabei steht) und gibt an, in welchem Abstand vom Ursprung die $y$-Achse geschnitten wird.
}}

Beispiel:
* für eine Polynomfunktion 3. Grades (kubische Funktion): $f(x)=2\cdot x^3+x^2+3\cdot x+5$
* für eine Polynomfunktion 2. Grades (quadratische Funktion): $f(x)=x^2+2x-5$

Verwende im folgenden GeoGebra-Applet Schieberegler um verschiedene Polynomfunktionen zu erzeugen:

<ggb_applet width="800" height="500" version="5.0" id="2987173" />

Das Applet zeigt, dass Polynomfunktionen sehr verschiedenartig aussehen können. Um etwas Ordnung in die „Polynoms-Vielfalt“ zu bringen, werden wir uns jeweils die wichtigsten Gemeinsamkeiten der Polynomfunktionen eines bestimmten „Grades“ genauer anschauen:

 
===Polynomfunktionen vom Grad $1$===

{| border="0"
|-
| '''Allgemeine Gleichung: $f(x)=a_1 \cdot x + a_0$'''
|-
|In diesem Fall ist der Graph eine [[Lineare Funktionen| lineare Funktion]]. Bei diesen Funktionen werden anstatt der Variablen $a_1$ und $a_0$ meist $k$ und $d$ verwendet. Genaue Details zu den Eigenschaften linearer Funktionen findest du im Kapitel [[Lineare Funktionen| lineare Funktionen]].
'''Aufgabe''': Stelle im obigen GeoGebra-Applet die Schieberegler von $a_4$, $a_3$ und $a_2$ auf Null und überzeuge dich davon, dass du stets eine lineare Funktion erhältst.
|}

===Polynomfunktionen vom Grad $2$===

{| border="0"
|-
| '''Allgemeine Gleichung: $f(x)=a_2 \cdot x^2 + a_1 \cdot x + a_0 $'''
|-
|In diesem Fall ist der Graph eine [[Quadratische Funktionen| quadratische Funktion]]. Genaue Details findest du im Kapitel [[Quadratische Funktionen| quadratische Funktionen]].
'''Aufgabe''': Stelle im obigen GeoGebra-Applet die Schieberegler von $a_4$ und $a_3$ auf Null und überzeuge dich davon, dass du stets eine quadratische Funktion erhältst. Variiere nun die Schieberegler von $a_2$, $a_1$ und $a_0$ um unterschiedliche Funktionsgraphen zu erzeugen.
|}

===Polynomfunktionen vom Grad $3$===

{| border="0"
|-
| '''Allgemeine Gleichung: $f(x)=a_3 \cdot x^3 + a_2 \cdot x^2 + a_1 \cdot x + a_0 $'''
|-
|'''Aufgabe''': Stelle im obigen GeoGebra-Applet die Schieberegler von $a_4$ auf Null ($a_3 \neq 0$) um eine Polynomfunktion vom Grad drei zu erhalten. Variiere nun die Schieberegler von $a_3$, $a_2$, $a_1$ und $a_0$ um unterschiedliche Funktionsgraphen zu erzeugen.
|-
| Polynomfunktionen vom Grad $3$ haben stets mindestens eine Nullstelle.
|}

===Polynomfunktionen vom Grad $4$===

{| border="0"
|-
| '''Allgemeine Gleichung: $f(x)=a_4 \cdot x^4 + a_3 \cdot x^3 + a_2 \cdot x^2 + a_1 \cdot x + a_0 $'''
|-
|'''Aufgabe''': Stelle im obigen GeoGebra-Applet die Schieberegler von $a_4 \neq 0$ um eine Polynomfunktion vom Grad vier zu erhalten. Variiere nun die Schieberegler um unterschiedliche Funktionsgraphen zu erzeugen.
|}

 
===Nullstellen von Polynomfunktionen===

*Die Anzahl der möglichen Nullstellen kann sehr einfach abgeschätzt werden: '''Eine Polynomfunktion vom Grad $n$ hat maximal $n$ Nullstellen.''' Das heißt, dass z. B. eine Polynomfunktion vom Grad $3$ maximal $3$ reelle Nullstellen haben kann.

*Polynomfunktionen vom Grad $1, 3, 5, ...$ haben stets mindestens eine reelle Nullstelle.

*Polynomfunktionen vom Grad $2, 4, 6, ...$ müssen nicht unbedingt eine reelle Nullstelle haben. Es kann z. B. sein, dass bei einer Funktion vom Grad $2$ der Graph der Parabel nach oben verschoben ist (Bsp.: $f(x)=x^2+2$) und die $x$-Achse somit nicht geschnitten wird.

*Um Nullstellen einer Funktion zu berechnen muss $f(x)=0$ gesetzt werden. Bei Polynomfunktionen vom Grad $2$ können die [[Quadratische Gleichungen|Lösungsformeln]] angewandt werden um die Gleichung zu lösen.
Hat die Polynomfunktion einen höheren Grad ($n>2$), müssen spezielle Formeln angewandt oder der Grad der Funktion mithilfe einer [[Polynomdivision|Polynomdivision]] „heruntergedrückt“ werden. Hierzu versucht man durch geschicktes Probieren eine ganzzahlige Nullstelle zu erraten und dividiert das ursprüngliche Polynom durch die Differenz $(x-Nullstelle)$. Dadurch erhält man ein neues Polynom, das einfacher gelöst werden kann (z. B. mithilfe einer Lösungsformel).

*Manchmal können Polynomfunktionen auch als Produkt von Linearfaktoren angegeben werden. In diesem Fall können die Nullstellen besonders einfach abgelesen werden.
'''Beispiel:''' $$f(x)=x²+x-6=(x-2) \cdot (x+3)$$
Berechnung der Nullstellen: $0=x²+x-6$ bzw. $0=(x-2) \cdot (x+3)$
In der linken Form kann die [[Quadratische Gleichungen|kleine Lösungsformel]] eingesetzt werden, um die Nullstellen zu berechnen. Durch Einsetzen in die Formel erhält man $x_1=2, \ x_2=-3$.
Ist die Gleichung in der rechten Form (Produkt von Linearfaktoren) gegeben, so können die Nullstellen im Kopf berechnet bzw. abgelesen werden: Damit das Produkt von $(x-2) \cdot (x+3)$ Null ergibt, muss entweder $(x-2)$ oder $(x+3)$ gleich Null sein. Hier kommen nur $x_1=2$ und $x_2=-3$ in Frage.

{{Vorlage:Beispiel|1=Bestimme die Nullstellen der Funktion $f(x)=x^2 \cdot (x+2)^2$:

|2=
Um die Nullstelle zu berechnen setzen wir
$$0=x^2 \cdot (x+2)^2$$
Damit das Produkt Null wird, muss entweder $x^2$ oder $(x+2)^2$ Null sein.
Somit gibt es nur zwei reelle Nullstellen: $x_1=0$ und $x_2=-2$ (siehe Abb.)
[[Datei:Polynomfunktion_Vielfachheit.png|rahmenlos|mini|350px|Nullstellen von $f(x)=x^2 \cdot (x+2)^2$]]

Würde man den Term ausmultiplizieren und versuchen die Nullstellen des erhaltenen Polynoms (vom Grad $4$) zu berechnen, wäre das deutlich aufwändiger.
}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width: 800px;">

 '''Anmerkung zur Theorie:''' '''Vielfachheit von Nullstellen''' 

<div class="mw-collapsible-content">

Im vorangegangenen Beispiel hatten wir eine Polynomfunktion vom Grad $4$, weshalb wir maximal $4$ Nullstellen erwarten können. Die Nullstellen $x_1=0$ und $x_2=-2$ kommen jedoch „doppelt“ vor. Man sagt dazu, dass sie die „Vielfachheit“ $2$ haben.
Woran erkennt man die „Vielfachheit“ einer Nullstelle?
* Vielfachheit 1: Der Linearfaktor kommt einfach vor. Bsp.: $f(x)=x \cdot (x-1) \cdot (x+2)$ hat drei Nullstellen der Vielfachheit 1 ($x_1=0, \ x_2=1, \ x_3=-2$).
[[Datei:Polynomfunktion_Vielfachheit1.png|rahmenlos|mini|300px|Nullstellen von $f(x)=x^2 \cdot (x+2)^2$]]
* Vielfachheit 2: Ein Linearfaktor kommt doppelt („zum Quadrat“) vor. Bsp.: $f(x)=x \cdot (x-1)^2$ hat eine Nullstelle mit Vielfachheit 1 ($x_1=0$) und eine Nullstelle mit Vielfachheit 2 ($x_2=1$). Die Vielfachheit 2 erkennt man daran, dass die Funktion die $x$-Achse nur berührt und nicht schneidet.
[[Datei:Polynomfunktion_Vielfachheit2.png|rahmenlos|mini|300px|Nullstellen von $f(x)=x^2 \cdot (x+2)^2$]]
* Vielfachheit 3: Ein Linearfaktor kommt dreifach („hoch drei“) vor. Bsp.: $f(x)=(x-1)^3$ hat genau eine Nullstelle mit Vielfachheit 3 ($x_1=1$).
[[Datei:Polynomfunktion_Vielfachheit3.png|rahmenlos|mini|300px|Nullstellen von $f(x)=x^2 \cdot (x+2)^2$]]
* Auch die anderen Vielfachheiten können einfach an den Hochzahlen der Linearfaktoren erkannt werden.

Der Begriff ''Vielfachheit'' ist etwas verwirrend, da wir eine ''doppelte'' Nullstelle graphisch nur als eine Stelle sehen.

</div>
</div>

= Beispiele =
 
== Interaktive Quizzes ==

{{Vorlage:Merke|1= Sollten die Aufgaben nicht korrekt dargestellt werden, lade die Seite noch einmal, indem du $F5$ drückst oder ganz oben im Browser auf „Aktualisieren“
}}

== Lernpfad Potenzfunktionen ==

{{#widget:Iframe
|url= https://h5p.org/h5p/embed/161074
|width= 1090
|height= 700
|border=1
}}

==Potenzfunktionen (FA 3.1-3.3) ==

{{#widget:Iframe
|url= https://h5p.org/h5p/embed/757361
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|height= 700
|border=1
}}
 

== Polynomfunktionen (FA 4.1-4.4) ==

{{#widget:Iframe
|url= https://h5p.org/h5p/embed/759356
|width= 90%
|height= 700
|border=1
}}
 

Tipp: Orientiere dich am Grad der Funktion, den Nullstellen und evtl. dem absoluten Glied $a_0$.

Grundkompetenzen AHS

2020-04-11T11:30:30Z

PeterLamp: /* Polynomfunktion $f(x)=\sum_{i=0}^{n} a_i \cdot x^i$ mit $n \in ℕ$ */

Die folgenden Tabellen listen alle Grundkompetenzen für die AHS auf.

Die Grundkompetenzen sind in insgesamt $4$ Inhaltsbereiche gegliedert:

==Algebra und Geometrie==
===Grundbegriffe der Algebra===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AG 1.1
||Wissen über die Zahlenmengen $ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, ℂ$ verständig einsetzen können
||[[Zahlenmengen | Theorie]]
||[[Zahlenmengen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 1.2
||Wissen über algebraische Begriffe angemessen einsetzen können: Variable, Terme, Formeln, (Un-)Gleichungen, Gleichungssysteme, Äquivalenz, Umformungen, Lösbarkeit
||[[Algebraische Begriffe | Theorie]]
||[[Quiz #Algebraische Grundbegriffe (AG 1.2) | Beispiele]]
|}
Anmerkungen: Bei den Zahlenmengen soll man die Mengenbezeichnungen und die Teilmengenbeziehungen kennen, Elemente angeben sowie zuordnen können und die reellen Zahlen als Grundlage kontinuierlicher Modelle kennen. Zum Wissen über die reellen Zahlen gehört auch, dass es Zahlenbereiche gibt, die über $ℝ$ hinausgehen. Die algebraischen Begriffe soll man anhand von einfachen Beispielen beschreiben/erklären und verständig verwenden können. 

===(Un-)Gleichungen und Gleichungssysteme===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AG 2.1
||einfache Terme und Formeln aufstellen, umformen und im Kontext deuten können
||[[Terme und Formeln| Theorie]]
||[[Formeln #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 2.2
||lineare Gleichungen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen und die Lösung im Kontext deuten können
||[[lineare Gleichungen mit einer Variablen | Theorie]]
||[[lineare Gleichungen mit einer Variablen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 2.3
||quadratische Gleichungen in einer Variablen umformen/lösen, über Lösungsfälle Bescheid wissen, Lösungen und Lösungsfälle (auch geometrisch) deuten können
||[[Quadratische Gleichungen | Theorie]]
||[[Quadratische Gleichungen #Interaktives Quiz| Beispiele]]
|-
||AG 2.4
||lineare Ungleichungen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen, Lösungen (auch geometrisch) deuten können
||[[Lineare Ungleichungen mit 2 Variablen | Theorie]]
||[[Lineare Ungleichungen mit 2 Variablen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 2.5
||lineare Gleichungssysteme in zwei Variablen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen, über Lösungsfälle Bescheid wissen, Lösungen und Lösungsfälle (auch geometrisch) deuten können
||[[Gleichungssysteme | Theorie]]
||[[Gleichungssysteme #Interaktives Quiz| Beispiele]]
|}
Anmerkungen: Einfache Terme können auch Potenzen, Wurzeln, Logarithmen, Sinus etc. beinhalten. Mit dem Einsatz elektronischer Hilfsmittel können auch komplexere Umformungen von Termen, Formeln und Gleichungen, Ungleichungen und Gleichungssystemen durchgeführt werden. 

===Vektoren===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AG 3.1
||Vektoren als Zahlentupel verständig einsetzen und im Kontext deuten können
||[[Vektorrechnung | Theorie]]
||[[Vektorrechnung #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 3.2
||Vektoren geometrisch (als Punkte bzw. Pfeile) deuten und verständig einsetzen können
||[[Vektorrechnung | Theorie]]
||[[Vektorrechnung #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 3.3
||Definition der Rechenoperationen mit Vektoren (Addition, Multiplikation mit einem Skalar, Skalarmultiplikation) kennen, Rechenoperationen verständig einsetzen und (auch geometrisch) deuten können
||[[Vektorrechnung | Theorie]]
||[[Vektorrechnung #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 3.4
||Geraden durch (Parameter-)Gleichungen in $ℝ^2$ und $ℝ^3$ angeben können; Geradengleichungen interpretieren können; Lagebeziehungen (zwischen Geraden und zwischen Punkt und Gerade) analysieren, Schnittpunkte ermitteln können
||[[Vektorrechnung | Theorie]]
||[[Vektorrechnung #Beispiele| Beispiele]]
|-
||AG 3.5
||Normalvektoren in $ℝ^2$ aufstellen, verständig einsetzen und interpretieren können
||[[Vektorrechnung | Theorie]]
||[[Vektorrechnung #Beispiele | Beispiele]]
|}
Anmerkungen: Vektoren sind als Zahlentupel, also als algebraische Objekte, zu verstehen und in entsprechenden Kontexten ver-ständig einzusetzen. Punkte und Pfeile in der Ebene und im Raum müssen als geometrische Veranschaulichung dieser algebraischen Objekte interpretiert werden können. Die geometrische Deutung der Skalarmultiplikation (in $ℝ^2$ und $ℝ^3$) meint hier nur den Spezialfall $a\cdot b= 0$. Geraden sollen in Parameterform, in $ℝ^2$ auch in parameterfreier Form, angegeben und interpretiert werden können. 

===Trigonometrie===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AG 4.1
||Definitionen von ''Sinus'', ''Cosinus'' und ''Tangens'' im rechtwinkeligen Dreieck kennen und zur Auflösung rechtwinkeliger Dreiecke einsetzen können
||[[Trigonometrie | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|-
||AG 4.2
||Definitionen von ''Sinus'' und ''Cosinus'' für Winkel größer als $90°$ kennen und einsetzen können
||[[Trigonometrie | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|}
Anmerkungen: Die Kontexte beschränken sich auf einfache Fälle in der Ebene und im Raum, komplexe (Vermessungs-)Aufgaben sind hier nicht gemeint; Sinus- und Cosinussatz werden dabei nicht benötigt.
 
 

==Funktionale Abhängigkeiten==
===Funktionsbegriff, reelle Funktionen, Darstellungsformen und Eigenschaften===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||FA 1.1
||für gegebene Zusammenhänge entscheiden können, ob man sie als Funktionen betrachten kann
||[[Funktionen | Theorie]]
||[[Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 1.2
||Formeln als Darstellung von Funktionen interpretieren und dem Funktionstyp zuordnen können
||[[Funktionen_in_mehreren_Unbekannten| Theorie]]
||[[Funktionen_in_mehreren_Unbekannten #Beispielaufgaben + Interaktives Quiz| Beispiele]]
|-
||FA 1.3
||zwischen tabellarischen und grafischen Darstellungen funktionaler Zusammenhänge wechseln können
||[[Funktionen | Theorie]]
||[[Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 1.4
||aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Funktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können
||[[Funktionen | Theorie]]
||[[Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 1.5
||Eigenschaften von Funktionen erkennen, benennen, im Kontext deuten und zum Erstellen von Funktionsgraphen einsetzen können: Monotonie, Monotoniewechsel (lokale Extrema), Wendepunkte, Periodizität, Achsensymmetrie, asymptotisches Verhalten, Schnittpunkte mit den Achsen
||[[Funktionen | Theorie]]
||[[Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 1.6
||Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen grafisch und rechnerisch ermitteln und im Kontext interpretieren können
||[[Schnittpunkt zweier Funktionen | Theorie]]
||[[Schnittpunkt zweier Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 1.7
||Funktionen als mathematische Modelle verstehen und damit verständig arbeiten können
||[[mathematische Modelle | Theorie]]
||[[mathematische Modelle #Funktionen als mathematische Modelle (FA 1.7)| Beispiele]]
|-
||FA 1.8
||durch Gleichungen (Formeln) gegebene Funktionen mit mehreren Veränderlichen im Kontext deuten können, Funktionswerte ermitteln können
||[[Funktionen in mehreren Unbekannten | Theorie]]
||[[Funktionen in mehreren Unbekannten #Beispielaufgaben + Interaktives Quiz | Beispiele]]
|-
||FA 1.9
||einen Überblick über die wichtigsten (unten angeführten) Typen mathematischer Funktionen geben, ihre Eigenschaften vergleichen können
||[[Funktionen | Theorie]]
||[[Funktionen #Funktionstypen und deren Eigenschaften (FA 1.9) | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Auf eine sichere Unterscheidung zwischen funktionalen und nichtfunktionalen Zusammenhängen wird Wert gelegt,auf theoretisch bedeutsame Eigenschaften (z. B. Injektivität, Surjektivität, Umkehrbarkeit)wird aber nicht fokussiert. Im Vordergrund steht die Rolle von Funktionen als Modelle und die verständige Nutzung grundlegender Funktionstypen und deren Eigenschaften sowie der verschiedenen Darstellungsformen von Funktionen (auch $f:A→B$, $x↦f(x)$ ).
Die Bearbeitung von Funktionen mit mehreren Veränderlichen beschränkt sich auf die Interpretation der Funktionsgleichung im jeweiligen Kontext sowie auf die Ermittlung von Funktionswerten.
Der Verlauf von Funktionen soll nicht nur mathematisch beschrieben, sondern auch im jeweiligen Kontext gedeutet werden können.
 

===Lineare Funktion $f(x)=k\cdot x+d$===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||FA 2.1
||verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene lineare Zusammenhänge als lineare Funktionen erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können
||[[Lineare Funktionen| Theorie]]
||[[Lineare Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 2.2
||aus Tabellen, Graphen und Gleichungen linearer Funktionen Werte(paare) sowie die Parameter $k$ und $d$ ermitteln und im Kontext deuten können
||[[Lineare Funktionen | Theorie]]
||[[Lineare Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 2.3
||die Wirkung der Parameter $k$ und $d$ kennen und die Parameter in unterschiedlichen Kontexten deuten können
||[[Lineare Funktionen| Theorie]]
||[[Lineare Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 2.4
||charakteristische Eigenschaften kennen und im Kontext deuten können: $f(x+1)=f(x)+k; \frac {f(x_2)-f(x_1)} {x_2-x_1}=k=f'(x)$
||[[Lineare Funktionen | Theorie]]
||[[Lineare Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 2.5
||die Angemessenheit einer Beschreibung mittels linearer Funktion bewerten können
||[[Lineare Funktionen | Theorie]]
||[[Lineare Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 2.6
||direkte Proportionalität als lineare Funktion vom Typ $f(x)=k\cdot x$ beschreiben können

||[[Lineare Funktionen | Theorie]]
||[[Lineare Funktionen #Beispiele| Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Die Parameter $k$ und $d$ sollen sowohl für konkrete Werte als auch allgemein im jeweiligen Kontext interpretiert werden können. Entsprechendes gilt für die Wirkung der Parameter und deren Änderung.
 
 

===Potenzfunktion $f(x)=a\cdot x^z+b$, $z\in \mathbb{Z}$ oder mit $f(x)=a \cdot x^{ \frac{1}{2} }+b$===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||FA 3.1
||verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene Zusammenhänge dieser Art als entsprechende Potenzfunktionen erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können
||[[Potenzfunktionen | Theorie]]
||[[Potenzfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 3.2
||aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Potenzfunktionen Werte(paare) sowie die Parameter $a$ und $b$ ermitteln und im Kontext deuten können
||[[Potenzfunktionen | Theorie]]
||[[Potenzfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 3.3
||die Wirkung der Parameter $a$ und $b$ kennen und die Parameter im Kontext deuten können
||[[Potenzfunktionen | Theorie]]
||[[Potenzfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 3.4
||indirekte Proportionalität als Potenzfunktion vom Typ $f(x)=\frac {a} {x}$ (bzw. $f(x)=a\cdot x^{–1}$) beschreiben können
||[[indirekte Proportion | Theorie]]
||[[Potenzfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Wurzelfunktionen bleiben auf den quadratischen Fall $a\cdot x^\frac {1} {2}+b$ beschränkt.
 
 

===Polynomfunktion $f(x)=\sum_{i=0}^{n} a_i \cdot x^i$ mit $n \in ℕ$===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||FA 4.1
||typische Verläufe von Graphen in Abhängigkeit vom Grad der Polynomfunktion (er)kennen
||[[Polynomfunktionen | Theorie]]
||[[Polynomfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 4.2
||zwischen tabellarischen und grafischen Darstellungen von Zusammenhängen dieser Art wechseln können
||[[Polynomfunktionen | Theorie]]
||[[Polynomfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 4.3
||aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Polynomfunktionen Funktionswerte, aus Tabellen und Graphen sowie aus einer quadratischen Funktionsgleichung Argumentwerte ermitteln können
||[[Polynomfunktionen | Theorie]]
||[[Polynomfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 4.4
||den Zusammenhang zwischen dem Grad der Polynomfunktion und der Anzahl der Null- ,Extrem- und Wendestellen wissen
||[[Polynomfunktionen | Theorie]]
||[[Polynomfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Der Zusammenhang zwischen dem Grad der Polynomfunktion und der Anzahl der Null-, Extrem- und Wendestellen sollte für beliebige $n$ bekannt sein, konkrete Aufgabenstellungen beschränken sich auf Polynomfunktionen mit $n\le4$. Mithilfe elektronischer Hilfsmittel können Argumentwerte auch für Polynomfunktionen höheren Grades ermittelt werden.
 

===Exponentialfunktion $f(x)=a\cdot b^x$ bzw. $f(x)=a\cdot e^{\lambda \cdot x}$ mit $a,b \in ℝ^+$, $\lambda \in ℝ$===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||FA 5.1
||verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene exponentielle Zusammenhänge als Exponentialfunktion erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können
||[[Exponentialfunktionen | Theorie]]
||[[Exponentialfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 5.2
||aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Exponentialfunktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können
||[[Exponentialfunktionen | Theorie]]
||[[Exponentialfunktionen #Schularbeiten- und Testaufgaben | Beispiele]]
|-
||FA 5.3
||die Wirkung der Parameter $a$ und $b$ (bzw. $e^\lambda$) kennen und die Parameter in unterschiedlichen Kontexten deuten können
||[[Exponentialfunktionen | Theorie]]
||[[Exponentialfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 5.4
||charakteristische Eigenschaften $(f(x +1)= b\cdot f(x); [e^x]'=e^x)$ kennen und im Kontext deuten können
||[[Exponentialfunktionen | Theorie]]
||[[Exponentialfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 5.5
||die Begriffe ''Halbwertszeit'' und ''Verdoppelungszeit'' kennen, die entsprechenden Werte berechnen und im Kontext deuten können
||[[Exponentialfunktionen | Theorie]]
||[[Exponentialfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 5.6
||die Angemessenheit einer Beschreibung mittels Exponentialfunktion bewerten können
||[[Exponentialfunktionen | Theorie]]
||[[Exponentialfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Die Parameter $a$ und $b$ (bzw. $e^{\lambda}$) sollen sowohl für konkrete Werte als auch allgemein im jeweiligen Kontext interpretiert werden können. Entsprechendes gilt für die Wirkung der Parameter und deren Änderung.
 
 

===Sinusfunktion, Cosinusfunktion===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||FA 6.1
||grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene Zusammenhänge der Art $f(x)=a\cdot sin(b\cdot x)$ als allgemeine Sinusfunktion erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können
||[[Trigonometrie | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 6.2
||aus Graphen und Gleichungen von allgemeinen Sinusfunktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können
||[[Trigonometrie | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Schularbeiten- und Testaufgaben | Beispiele]]
|-
||FA 6.3
||die Wirkung der Parameter $a$ und $b$ kennen und die Parameter im Kontext deuten können
||[[Trigonometrie | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 6.4
||Periodizität als charakteristische Eigenschaft kennen und im Kontext deuten können
||[[Trigonometrie | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 6.5
||wissen, dass $cos(x)= sin(x + \frac {\pi} {2})$
||[[Trigonometrie | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 6.6
||wissen, dass gilt: $[sin(x)]'=cos(x), [cos(x)]'=-sin(x)$
||[[Differenzen- und Differentialquotient | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Während zur Auflösung von rechtwinkeligen Dreiecken Sinus, Cosinus und
Tangens verwendet werden, beschränkt sich die funktionale Betrachtung (weitgehend) auf die allgemeine Sinusfunktion. Wesentlich dabei sind die Interpretation der Parameter (im Graphen wie auch in entsprechenden Kontexten) sowie der Verlauf des Funktionsgraphen und die Periodizität.
 
 

==Analysis==
===Änderungsmaße===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AN 1.1.
||absolute und relative (prozentuelle) Änderungsmaße unterscheiden und angemessen verwenden können
||[[Änderungsmaße| Theorie]]
||[[Änderungsmaße #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AN 1.2.
||den Zusammenhang ''Differenzenquotient (mittlere Änderungsrate) – Differenzialquotient (momentane Änderungsrate)'' auf der Grundlage eines intuitiven Grenzwertbegriffes kennen und damit (verbal sowie in formaler Schreibweise) auch kontextbezogen anwenden können
||[[Differenzen- und Differentialquotient | Theorie]]
||[[Differenzen- und Differentialquotient #Maturabeispiele| Beispiele]]
|-
||AN 1.3.
||den Differenzen- und Differenzialquotienten in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverhalte durch den Differenzen- bzw. Differenzialquotienten beschreiben können
||[[Differenzen- und Differentialquotient|Theorie]]
||[[Differenzen-_und_Differentialquotient #Maturabeispiele| Beispiele]]
|-
||AN 1.4.
||das systemdynamische Verhalten von Größen durch Differenzengleichungen beschreiben bzw. diese im Kontext deuten können
||[[Differenzengleichungen | Theorie]]
||[[Differenzengleichungen #Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Der Fokus liegt auf dem Darstellen von Änderungen durch Differenzen von Funktionswerten, durch prozentuelle Veränderungen, durch Differenzenquotienten und durch Differenzialquotienten, ganz besonders aber auch auf der Interpretation dieser Veränderungsmaße im jeweiligen Kontext. Durch den Einsatz elektronischer Hilfsmittel ist auch die Berechnung von Differenzen- und Differenzialquotienten beliebiger (differenzierbarer) Funktionen möglich.
 
 

===Regeln für das Differenzieren===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AN 2.1.
||einfache Regeln des Differenzierens kennen und anwenden können: Potenzregel, Summenregel, Regeln für $[k \cdot f(x)]′$ und $[f(k \cdot x)]′$ (vgl. Inhaltsbereich ''Funktionale Abhängigkeiten'')
||[[Inhalt:Differenzieren: Rechnerisches Bestimmen von f'| Theorie]]
||[[Inhalt:Differenzieren: Rechnerisches Bestimmen von f'| Beispiele]]
|}
 

===Ableitungsfunktion/Stammfunktion===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AN 3.1.
||den Begriff ''Ableitungsfunktion/Stammfunktion'' kennen und zur Beschreibung von Funktionen einsetzen können
||[[Integration| Theorie]]
||[[Integration#Beispiele | Beispiele]]
|-
||AN 3.2.
||den Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitungsfunktion (bzw. Funktion und Stammfunktion) in deren grafischer Darstellung (er)kennen und beschreiben können
||[[Integration| Theorie]]
||[[Integration#Beispiele | Beispiele]]
|-
||AN 3.3.
||Eigenschaften von Funktionen mithilfe der Ableitung(sfunktion) beschreiben können: Monotonie, lokale Extrema, Links- und Rechtskrümmung, Wendestellen
||[[Integration| Theorie]]
||[[Integration#Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Der Begriff der ''Ableitung(sfunktion)'' soll verständig und zweckmäßig zur Beschreibung von Funktionen eingesetzt werden. Durch den Einsatz elektronischer Hilfsmittel ist das Ableiten von Funktionen nicht durch die in den Grundkompetenzen angeführten Differenziationsregeln eingeschränkt.
 

===Summation und Integral===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AN 4.1.
||den Begriff des bestimmten Integrals als Grenzwert einer Summe von Produkten deuten und beschreiben können
||[[Integration| Theorie]]
||[[Integration#Beispiele | Beispiele]]
|-
||AN 4.2.
||einfache Regeln des Integrierens kennen und anwenden können: Potenzregel, Summenregel, $\int k\cdot f(x)\,dx$, $\int f(k\cdot x)\,dx$ (vgl. Inhaltsbereich ''Funktionale Abhängigkeiten''), bestimmte Integrale von Polynomfunktionen ermitteln können
||[[Integration| Theorie]]
||[[Integration#Beispiele | Beispiele]]
|-
||AN 4.3.
||das bestimmte Integral in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverhalte durch Integrale beschreiben können
||[[Integration| Theorie]]
||[[Integration#Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Analog zum Differenzialquotienten liegt der Fokus beim bestimmten Integral auf der Beschreibung entsprechender Sachverhalte durch bestimmte Integrale sowie vor allem auf der angemessenen Interpretation des bestimmten Integrals im jeweiligen Kontext. Durch den Einsatz elektronischer Hilfsmittel ist die Berechnung von bestimmten Integralen nicht durch die in den Grundkompetenzen angeführten Integrationsregeln eingeschränkt.
 

==Wahrscheinlichkeit und Statistik==
===Beschreibende Statistik===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||WS 1.1
||Werte aus tabellarischen und elementaren grafischen Darstellungen ablesen (bzw. zusammengesetzte Werte ermitteln) und im jeweiligen Kontext angemessen interpretieren können
||[[Statistik:Daten und Diagramme| Theorie]]
||[[Beschreibende_Statistik#tab=Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: (Un-)geordnete Liste, Strichliste, Piktogramm, Säulen-, Balken-, Linien-, Stängel-Blatt-, Punktwolkendiagramm, Histogramm (als Spezialfall eines Säulendiagramms), Prozentstreifen, Kastenschaubild (Boxplot)
 

{| border="1"
|-
||WS 1.2$\ \ \ \ \ \ \ $
||Tabellen und einfache statistische Grafiken erstellen, zwischen Darstellungsformen wechseln können

||[[Beschreibende_Statistik#tab=Zentralma_C3_9Fe_-_statistische_Kennzahlen_f_C3_BCr_das_Mittel| Theorie]]
||[[Beschreibende_Statistik#tab=Matura-Aufgaben| Beispiele]]
|-
||WS 1.3
||statistische Kennzahlen (absolute und relative Häufigkeiten; arithmetisches Mittel, Median, Modus, Quartile, Spannweite, empirische Varianz/Standardabweichung) im jeweiligen Kontext interpretieren können; die angeführten Kennzahlen für einfache Datensätze ermitteln können

||[[Beschreibende Statistik| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeitsrechnung#Matura-Aufgaben| Beispiele]]
|-
||WS 1.4
||Definition und wichtige Eigenschaften des arithmetischen Mittels und des Medians angeben und nutzen, Quartile ermitteln und interpretieren können, die Entscheidung für die Verwendung einer bestimmten Kennzahl begründen können

||[[Beschreibende Statistik| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeitsrechnung#Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Wenn auch statistische Kennzahlen (für einfache Datensätze) ermittelt und elementare statistische Grafiken erstellt werden sollen, liegt das Hauptaugenmerk auf verständigen Interpretationen von Grafiken (unter Beachtung von Manipulationen) und Kennzahlen. Speziell für das arithmetische Mittel und den Median (auch als Quartile) müssen die wichtigsten Eigenschaften (definitorische Eigenschaften, Datentyp-Verträglichkeit, Ausreißerempfindlichkeit) gekannt und verständig eingesetzt bzw. berücksichtigt werden. Beim arithmetischen Mittel sind allenfalls erforderliche Gewichtungen zu beachten („gewogenes arithmetisches Mittel“) und zu nutzen (Bildung des arithmetischen Mittels aus arithmetischen Mitteln von Teilmengen).
 
 

===Wahrscheinlichkeitsrechnung===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||WS 2.1
||Grundraum und Ereignisse in angemessenen Situationen verbal beziehungsweise formal angeben können
||[[Wahrscheinlichkeit: Grundlagen| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]
|-
||WS 2.2
||relative Häufigkeit als Schätzwert von Wahrscheinlichkeit verwenden und anwenden können

||[[Wahrscheinlichkeit: Grundlagen| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Normalverteilung und Stetige Zufallsvariablen#Beispiele | Beispiele]]
|-
||WS 2.3
||Wahrscheinlichkeit unter der Verwendung der Laplace-Annahme (Laplace-Wahrscheinlichkeit) berechnen und interpretieren können, Additionsregel und Multiplikationsregel anwenden und interpretieren können

||[[Wahrscheinlichkeit: Grundlagen| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]
|-
||WS 2.4
||Binomialkoeffizient berechnen und interpretieren können

||[[Binomialkoeffizient| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]

|}

Anmerkungen: Die Multiplikationsregel kann unter Verwendung der kombinatorischen Grundlagen und der Anwendung der Laplace-Regel (auch) umgangen werden.
 
 

===Wahrscheinlichkeitsverteilungen===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||WS 3.1
||die Begriffe ''Zufallsvariable'', ''(Wahrscheinlichkeits-)Verteilung'', ''Erwartungswert'' und ''Standardabweichung'' verständig deuten und einsetzen können

||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]

|-
||WS 3.2
||Binomialverteilung als Modell einer diskreten Verteilung kennen – Erwartungswert sowie Varianz/Standardabweichung binomialverteilter Zufallsgrößen ermitteln können, Wahrscheinlichkeitsverteilung binomialverteilter Zufallsgrößen angeben können, Arbeiten mit der Binomialverteilung in anwendungsorientierten Bereichen

||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]

|-
||WS 3.3
||Situationen erkennen und beschreiben können, in denen mit Binomialverteilung modelliert werden kann

||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]
|-
||WS 3.4
||Normalapproximation der Binomialverteilung interpretieren und anwenden können

||[[Wahrscheinlichkeit: Normalverteilung und Stetige Zufallsvariablen| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Normalverteilung und Stetige Zufallsvariablen#Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Kennen und Anwenden der Faustregel, dass die Normalapproximation der Binomialverteilung mit den Parametern $n$ und $p$ dann anzuwenden ist und gute Näherungswerte liefert, wenn die Bedingung $n\cdot p \cdot (1–p)\geq 9 $ erfüllt ist. Die Anwendung der Stetigkeitskorrektur ist nicht notwendig und daher für Berechnungen im Zuge von Prüfungsbeispielen vernachlässigbar. Kennen des Verlaufs der Dichtefunktion $φ$ der Standardnormalverteilung mit Erwartungswert $\mu$ und Standardabweichung $\sigma$. Arbeiten mit der Verteilungsfunktion $Φ$ der Standardnormalverteilung und korrektes Ablesen der entsprechenden Wert.
 
 

===Schließende/Beurteilende Statistik===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||WS 4.1
||Konfidenzintervalle als Schätzung für eine Wahrscheinlichkeit oder einen unbekannten Anteil interpretieren (frequentistische Deutung) und verwenden können, Berechnungen auf Basis der Binomialverteilung oder einer durch die Normalverteilung approximierten Binomialverteilung durchführen können

||[[Konfidenzintervall| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]
|}

Potenz- und Polynomfunktionen

2020-04-11T11:29:20Z

PeterLamp:

= Potenzfunktionen =

 
==Potenzfunktionen - Allgemeines==
{{Vorlage:Definition|1= Eine Potenzfunktion ist eine Funktion der Form $f(x)=a\cdot x^n \ \textrm{mit} \ n\in \mathbb{Q}$.
}}

<ggb_applet width="800" height="400" version="5.0" id="2146191" />

Wenn man den Schieberegler bewegt, kann man erkennen, dass Potenzfunktionen für verschiedene Hochzahlen $n$ zum Teil sehr unterschiedliche Graphen liefern.
Um die Eigenschaften der Potenzfunktionen genauer zu untersuchen, ist es hilfreich, die Potenzfunktionen Kategorien einzuteilen, die dieselben Eigenschaften haben:

* '''Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten $n \in \mathbb{N}$'''
** Exponent ungerade
** Exponent gerade

* '''Potenzfunktionen mit negativen ganzzahligen Exponenten'''
** Exponent ungerade
** Exponent gerade

* '''Potenzfunktionen mit „echt rationalen“ Exponenten - Wurzelfunktionen'''
 
 

== Graphen von Potenzfunktionen ==
Je nach Größe der [[Parameter]] $a$ und $n$ verändert sich der Graph. Im Folgenden werden die Auswirkungen der einzelnen Parameter auf den Graphen der Funktion besprochen:

$$f(x)=a\cdot x^n$$
----
===Bedeutung der Hochzahl $n$ für den Funktionsgraphen===

Um die Bedeutung des Hochzahl $n$ für den Funktionsgraphen zu verstehen, lassen wir vorerst den Wert von $a$ konstant bei $1$ ($f(x)=x^n$).

{| border="0"
|-
| '''Potenzfunktionen mit ungeraden natürlichen Exponenten'''
|-
|In diesem Fall ist der Graph [[Monotonie | monoton steigend]]. Je größer $n$ ist, desto mehr „schmiegt“ sich die Funktion im Bereich $[-1;1]$ der $x$-Achse an. Im gesamten übrigen Bereich steigt die Funktion hingegen stärker. Für negative $x$-Werte sind auch die zugehörigen Funktionswerte negativ. Diese Potenzfunktionen haben immer genau eine reelle Nullstelle bei $x=0$.
|[[Datei:Potenzfunktion_pos_ungerade_klein.gif|Potenzfunktionen mit ungerader positiver Hochzahl]]
|}

{| border="0"
|-
| '''Potenzfunktionen mit geraden natürlichen Exponenten'''
|-
|In diesem Fall ist der Graph im Intervall $] - \infty ; 0]$ [[Monotonie | monoton fallend]] und im Intervall $[0; \infty[ $ [[Monotonie | monoton steigend]]. Der Graph nimmt nur positive Funktionswerte an („Minus mal Minus ergibt Plus“). Für $n=2$ nennt man den Funktionsgraph eine Parabel (siehe [[Quadratische Funktionen| Quadratische Funktionen]]). Auch dieser Typ von Potenzfunktionen hat genau eine reelle Nullstelle bei $x=0$.
| [[Datei:Potenzfunktion_pos_gerade_klein.gif|Potenzfunktionen mit gerader positiver Hochzahl]]
|}

----

{| border="0"
|-
| '''Potenzfunktionen mit ungeraden negativen Exponenten'''
|-
|In diesem Fall ist der Graph sowohl im Intervall $] - \infty ; 0[$ [[Monotonie | monoton fallend]] als auch im Intervall $[0; \infty[ $ [[Monotonie | monoton fallend]]. Die Funktion ist für $x=0$ nicht definiert, was sich durch die alternative Schreibweise $f(x)=x^{-n} = \frac{1}{x^n}$ (siehe [[Potenzen (2.2.)#Potenzregel 5 |Potenzregeln]] leicht erklären lässt, da es bei $x=0$ zu einer Division durch Null kommen würde. Deshalb besteht an der Stelle $x=0$ eine sogenannte „Sprungstelle“. Der Graph nähert sich im negativen und im positiven Bereich immer mehr der $x$-Achse, berührt diese jedoch nie. Es gibt somit keine reellen Nullstellen.
| [[Datei:Potenzfunktion_neg_ungerade_klein.gif|Potenzfunktionen mit ungerader negativer Hochzahl]]
|}

{| border="0"
|-
| '''Potenzfunktionen mit geraden negativen Exponenten'''
|-
|In diesem Fall ist der Graph im Intervall $] - \infty ; 0[$ [[Monotonie | monoton steigend]] und im Intervall $[0; \infty[ $ [[Monotonie | monoton fallend]]. Auch diese Funktion ist für $x=0$ nicht definiert und es gibt an der Stelle $x=0$ wiederum eine „Sprungstelle“. Der Graph nimmt nur positive Funktionswerte an, da beispielsweise $f(x)=x^{-2}$ auch als $ \frac{1}{x^2}$ geschrieben werden kann und $x^2$ stets positive Werte liefert („Minus mal Minus ergibt Plus“). Der Graph nähert sich im negativen und im positiven Bereich immer mehr der $x$-Achse, berührt diese jedoch nie. Es gibt somit keine reellen Nullstellen.
| [[Datei:Potenzfunktion_neg_gerade_klein.gif|Potenzfunktionen mit gerader negativer Hochzahl]]
|}

{| border="0"
|-
| '''Potenzfunktionen mit „echt rationalen“ Exponenten'''
|-
|Diese Funktionen können aufgrund der Rechenregeln [[Potenzen (2.2.)#Potenzregel 7 |Potenzregeln]] auch als Wurzelfunktionen angeschrieben werden: $\sqrt[n]{x^m}=x^{\frac{m}{n} }$. Wir beschränken uns hier auf die Diskussion der Quadratwurzelfunktion: $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2} }$.
Die (Quadrat-)Wurzelfunktion ist nur für $ \mathbb{R}_0^+$ definiert. Sie ist im gesamten Intervall $[0; \infty[ $ [[Monotonie | monoton steigend]]. Die Steigung des Graphen ist am Anfang sehr groß, nimmt jedoch immer mehr ab. Die Steigung bleibt jedoch stets $>0$. Es gibt genau eine reelle Nullstelle bei $x=0$.
| [[Datei:Quadratwurzel.png|rahmenlos|mini|450px|Quadratwurzelfunktion]]
|}

'''Füge im folgenden Applet zu jeder Graphik die passende Funktion hinzu'''
{{#widget:Iframe
|url= https://learningapps.org/view1521962
|width= 900
|height= 500
|border=0
}}
 
 

===Bedeutung des Parameters $a$ für den Funktionsgraphen===
Das folgende GeoGebra-Applet soll dir helfen, die Bedeutung des Parameters $a$ zu verstehen.

{{Vorlage:Ausklapp|1= '''Aufgabenstellungen zum Applet'''
|2= 
# Untersuche, wie sich eine Änderung des Vorzeichens des Parameters $a$ auf den Funktionsgraphen auswirkt. Variiere dazu den Schieberegler von $a$. Begründe, warum sich der Graph so verändert.
# Stelle den Wert von $n$ nun auf $1$. Gib an, um welchen speziellen Funktionstyp es sich hier handelt und was der Wert von $a$ angibt.
# Stelle den Wert von $n$ nun auf $2$. Beobachte, wie sich die Veränderung von $a$ auf den Funktionsgraphen auswirkt.
}}

<ggb_applet width="800" height="500" version="5.0" id="2971927" />

{{Vorlage:Ausklapp|1= '''Lösungen zu den Aufgabenstellungen'''
|2= 
# Eine Änderung des Vorzeichens bewirkt eine Spiegelung des Funktionsgraphen. Exemplarische Begründung: Angenommen die ursprüngliche Funktion ist $f(x)= 2 \cdot x^3$. Die Vorzeichenänderung führt zur Funktionsgleichung $f(x)= -2 \cdot x^3$. Das Minus macht also nichts anderes, als das Vorzeichen eines jeden Funktionswertes „umzudrehen“.
# Funktionen der Form $f(x)= a \cdot x$ sind [[Lineare Funktionen|lineare Funktionen]], bei denen $d=0$ ist. Der Parameter $a$ gibt somit die Steigung der Geraden an.
# Wie du sicher bemerkt hast, handelt es sich hier um einen einfachen Fall von quadratischen Funktionen. Eine ausführliche Erklärung, wie sich die Veränderung des Parameters auf den Funktionsgraphen auswirkt, findest du [[Quadratische Funktionen|hier]].
}}

'''Füge im folgenden Applet zu jeder Graphik die passende Funktion hinzu'''
{{#widget:Iframe
|url= http://LearningApps.org/view1503567
|width= 900
|height= 500
|border=0
}}

= Polynomfunktionen =
 
== Polynomfunktionen ==
{{Vorlage:Definition|1= Polynomfunktionen sind Funktionen, die aus Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten zusammengesetzt sind. Die allgemeine Funktionsgleichung einer Polynomfunktion lautet:
$$f(x)=a_n\cdot x^n+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+a_{n-2}\cdot x^{n-2} +\dots + a_1\cdot x^1 + a_0\ \ \textrm{mit } a_i \in \mathbb{R}, 0\leq i\leq n$$
oder in Kurzschreibweise:
$$f(x)=\sum_{i=0}^n a_i \cdot x^i \ \textrm{mit } a_i \in \mathbb{R}$$
* Der höchste Exponent $n$ gibt dabei den „Grad“ des Polynoms an.
* $a_0$ ist der konstante Term (da keine Variable dabei steht) und gibt an, in welchem Abstand vom Ursprung die $y$-Achse geschnitten wird.
}}

Beispiel:
* für eine Polynomfunktion 3. Grades (kubische Funktion): $f(x)=2\cdot x^3+x^2+3\cdot x+5$
* für eine Polynomfunktion 2. Grades (quadratische Funktion): $f(x)=x^2+2x-5$

Verwende im folgenden GeoGebra-Applet Schieberegler um verschiedene Polynomfunktionen zu erzeugen:

<ggb_applet width="800" height="500" version="5.0" id="2987173" />

Das Applet zeigt, dass Polynomfunktionen sehr verschiedenartig aussehen können. Um etwas Ordnung in die „Polynoms-Vielfalt“ zu bringen, werden wir uns jeweils die wichtigsten Gemeinsamkeiten der Polynomfunktionen eines bestimmten „Grades“ genauer anschauen:

 
===Polynomfunktionen vom Grad $1$===

{| border="0"
|-
| '''Allgemeine Gleichung: $f(x)=a_1 \cdot x + a_0$'''
|-
|In diesem Fall ist der Graph eine [[Lineare Funktionen| lineare Funktion]]. Bei diesen Funktionen werden anstatt der Variablen $a_1$ und $a_0$ meist $k$ und $d$ verwendet. Genaue Details zu den Eigenschaften linearer Funktionen findest du im Kapitel [[Lineare Funktionen| lineare Funktionen]].
'''Aufgabe''': Stelle im obigen GeoGebra-Applet die Schieberegler von $a_4$, $a_3$ und $a_2$ auf Null und überzeuge dich davon, dass du stets eine lineare Funktion erhältst.
|}

===Polynomfunktionen vom Grad $2$===

{| border="0"
|-
| '''Allgemeine Gleichung: $f(x)=a_2 \cdot x^2 + a_1 \cdot x + a_0 $'''
|-
|In diesem Fall ist der Graph eine [[Quadratische Funktionen| quadratische Funktion]]. Genaue Details findest du im Kapitel [[Quadratische Funktionen| quadratische Funktionen]].
'''Aufgabe''': Stelle im obigen GeoGebra-Applet die Schieberegler von $a_4$ und $a_3$ auf Null und überzeuge dich davon, dass du stets eine quadratische Funktion erhältst. Variiere nun die Schieberegler von $a_2$, $a_1$ und $a_0$ um unterschiedliche Funktionsgraphen zu erzeugen.
|}

===Polynomfunktionen vom Grad $3$===

{| border="0"
|-
| '''Allgemeine Gleichung: $f(x)=a_3 \cdot x^3 + a_2 \cdot x^2 + a_1 \cdot x + a_0 $'''
|-
|'''Aufgabe''': Stelle im obigen GeoGebra-Applet die Schieberegler von $a_4$ auf Null ($a_3 \neq 0$) um eine Polynomfunktion vom Grad drei zu erhalten. Variiere nun die Schieberegler von $a_3$, $a_2$, $a_1$ und $a_0$ um unterschiedliche Funktionsgraphen zu erzeugen.
|-
| Polynomfunktionen vom Grad $3$ haben stets mindestens eine Nullstelle.
|}

===Polynomfunktionen vom Grad $4$===

{| border="0"
|-
| '''Allgemeine Gleichung: $f(x)=a_4 \cdot x^4 + a_3 \cdot x^3 + a_2 \cdot x^2 + a_1 \cdot x + a_0 $'''
|-
|'''Aufgabe''': Stelle im obigen GeoGebra-Applet die Schieberegler von $a_4 \neq 0$ um eine Polynomfunktion vom Grad vier zu erhalten. Variiere nun die Schieberegler um unterschiedliche Funktionsgraphen zu erzeugen.
|}

 
===Nullstellen von Polynomfunktionen===

*Die Anzahl der möglichen Nullstellen kann sehr einfach abgeschätzt werden: '''Eine Polynomfunktion vom Grad $n$ hat maximal $n$ Nullstellen.''' Das heißt, dass z. B. eine Polynomfunktion vom Grad $3$ maximal $3$ reelle Nullstellen haben kann.

*Polynomfunktionen vom Grad $1, 3, 5, ...$ haben stets mindestens eine reelle Nullstelle.

*Polynomfunktionen vom Grad $2, 4, 6, ...$ müssen nicht unbedingt eine reelle Nullstelle haben. Es kann z. B. sein, dass bei einer Funktion vom Grad $2$ der Graph der Parabel nach oben verschoben ist (Bsp.: $f(x)=x^2+2$) und die $x$-Achse somit nicht geschnitten wird.

*Um Nullstellen einer Funktion zu berechnen muss $f(x)=0$ gesetzt werden. Bei Polynomfunktionen vom Grad $2$ können die [[Quadratische Gleichungen|Lösungsformeln]] angewandt werden um die Gleichung zu lösen.
Hat die Polynomfunktion einen höheren Grad ($n>2$), müssen spezielle Formeln angewandt oder der Grad der Funktion mithilfe einer [[Polynomdivision|Polynomdivision]] „heruntergedrückt“ werden. Hierzu versucht man durch geschicktes Probieren eine ganzzahlige Nullstelle zu erraten und dividiert das ursprüngliche Polynom durch die Differenz $(x-Nullstelle)$. Dadurch erhält man ein neues Polynom, das einfacher gelöst werden kann (z. B. mithilfe einer Lösungsformel).

*Manchmal können Polynomfunktionen auch als Produkt von Linearfaktoren angegeben werden. In diesem Fall können die Nullstellen besonders einfach abgelesen werden.
'''Beispiel:''' $$f(x)=x²+x-6=(x-2) \cdot (x+3)$$
Berechnung der Nullstellen: $0=x²+x-6$ bzw. $0=(x-2) \cdot (x+3)$
In der linken Form kann die [[Quadratische Gleichungen|kleine Lösungsformel]] eingesetzt werden, um die Nullstellen zu berechnen. Durch Einsetzen in die Formel erhält man $x_1=2, \ x_2=-3$.
Ist die Gleichung in der rechten Form (Produkt von Linearfaktoren) gegeben, so können die Nullstellen im Kopf berechnet bzw. abgelesen werden: Damit das Produkt von $(x-2) \cdot (x+3)$ Null ergibt, muss entweder $(x-2)$ oder $(x+3)$ gleich Null sein. Hier kommen nur $x_1=2$ und $x_2=-3$ in Frage.

{{Vorlage:Beispiel|1=Bestimme die Nullstellen der Funktion $f(x)=x^2 \cdot (x+2)^2$:

|2=
Um die Nullstelle zu berechnen setzen wir
$$0=x^2 \cdot (x+2)^2$$
Damit das Produkt Null wird, muss entweder $x^2$ oder $(x+2)^2$ Null sein.
Somit gibt es nur zwei reelle Nullstellen: $x_1=0$ und $x_2=-2$ (siehe Abb.)
[[Datei:Polynomfunktion_Vielfachheit.png|rahmenlos|mini|350px|Nullstellen von $f(x)=x^2 \cdot (x+2)^2$]]

Würde man den Term ausmultiplizieren und versuchen die Nullstellen des erhaltenen Polynoms (vom Grad $4$) zu berechnen, wäre das deutlich aufwändiger.
}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width: 800px;">

 '''Anmerkung zur Theorie:''' '''Vielfachheit von Nullstellen''' 

<div class="mw-collapsible-content">

Im vorangegangenen Beispiel hatten wir eine Polynomfunktion vom Grad $4$, weshalb wir maximal $4$ Nullstellen erwarten können. Die Nullstellen $x_1=0$ und $x_2=-2$ kommen jedoch „doppelt“ vor. Man sagt dazu, dass sie die „Vielfachheit“ $2$ haben.
Woran erkennt man die „Vielfachheit“ einer Nullstelle?
* Vielfachheit 1: Der Linearfaktor kommt einfach vor. Bsp.: $f(x)=x \cdot (x-1) \cdot (x+2)$ hat drei Nullstellen der Vielfachheit 1 ($x_1=0, \ x_2=1, \ x_3=-2$).
[[Datei:Polynomfunktion_Vielfachheit1.png|rahmenlos|mini|300px|Nullstellen von $f(x)=x^2 \cdot (x+2)^2$]]
* Vielfachheit 2: Ein Linearfaktor kommt doppelt („zum Quadrat“) vor. Bsp.: $f(x)=x \cdot (x-1)^2$ hat eine Nullstelle mit Vielfachheit 1 ($x_1=0$) und eine Nullstelle mit Vielfachheit 2 ($x_2=1$). Die Vielfachheit 2 erkennt man daran, dass die Funktion die $x$-Achse nur berührt und nicht schneidet.
[[Datei:Polynomfunktion_Vielfachheit2.png|rahmenlos|mini|300px|Nullstellen von $f(x)=x^2 \cdot (x+2)^2$]]
* Vielfachheit 3: Ein Linearfaktor kommt dreifach („hoch drei“) vor. Bsp.: $f(x)=(x-1)^3$ hat genau eine Nullstelle mit Vielfachheit 3 ($x_1=1$).
[[Datei:Polynomfunktion_Vielfachheit3.png|rahmenlos|mini|300px|Nullstellen von $f(x)=x^2 \cdot (x+2)^2$]]
* Auch die anderen Vielfachheiten können einfach an den Hochzahlen der Linearfaktoren erkannt werden.

Der Begriff ''Vielfachheit'' ist etwas verwirrend, da wir eine ''doppelte'' Nullstelle graphisch nur als eine Stelle sehen.

</div>
</div>

= Beispiele =
 
== Interaktive Quizzes ==

{{Vorlage:Merke|1= Sollten die Aufgaben nicht korrekt dargestellt werden, lade die Seite noch einmal, indem du $F5$ drückst oder ganz oben im Browser auf „Aktualisieren“
}}

== Einstiegskurs ==

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}}

==Potenzfunktionen (FA 3.1-3.3) ==

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== Polynomfunktionen (FA 4.1-4.4) ==

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|height= 700
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}}
 

Tipp: Orientiere dich am Grad der Funktion, den Nullstellen und evtl. dem absoluten Glied $a_0$.

Grundkompetenzen AHS

2020-04-11T11:28:36Z

PeterLamp: /* Potenzfunktion $f(x)=a\cdot x^z+b$, $z\in \mathbb{Z}$ oder mit $f(x)=a \cdot x^{ \frac{1}{2} }+b$ */

Die folgenden Tabellen listen alle Grundkompetenzen für die AHS auf.

Die Grundkompetenzen sind in insgesamt $4$ Inhaltsbereiche gegliedert:

==Algebra und Geometrie==
===Grundbegriffe der Algebra===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AG 1.1
||Wissen über die Zahlenmengen $ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, ℂ$ verständig einsetzen können
||[[Zahlenmengen | Theorie]]
||[[Zahlenmengen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 1.2
||Wissen über algebraische Begriffe angemessen einsetzen können: Variable, Terme, Formeln, (Un-)Gleichungen, Gleichungssysteme, Äquivalenz, Umformungen, Lösbarkeit
||[[Algebraische Begriffe | Theorie]]
||[[Quiz #Algebraische Grundbegriffe (AG 1.2) | Beispiele]]
|}
Anmerkungen: Bei den Zahlenmengen soll man die Mengenbezeichnungen und die Teilmengenbeziehungen kennen, Elemente angeben sowie zuordnen können und die reellen Zahlen als Grundlage kontinuierlicher Modelle kennen. Zum Wissen über die reellen Zahlen gehört auch, dass es Zahlenbereiche gibt, die über $ℝ$ hinausgehen. Die algebraischen Begriffe soll man anhand von einfachen Beispielen beschreiben/erklären und verständig verwenden können. 

===(Un-)Gleichungen und Gleichungssysteme===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AG 2.1
||einfache Terme und Formeln aufstellen, umformen und im Kontext deuten können
||[[Terme und Formeln| Theorie]]
||[[Formeln #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 2.2
||lineare Gleichungen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen und die Lösung im Kontext deuten können
||[[lineare Gleichungen mit einer Variablen | Theorie]]
||[[lineare Gleichungen mit einer Variablen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 2.3
||quadratische Gleichungen in einer Variablen umformen/lösen, über Lösungsfälle Bescheid wissen, Lösungen und Lösungsfälle (auch geometrisch) deuten können
||[[Quadratische Gleichungen | Theorie]]
||[[Quadratische Gleichungen #Interaktives Quiz| Beispiele]]
|-
||AG 2.4
||lineare Ungleichungen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen, Lösungen (auch geometrisch) deuten können
||[[Lineare Ungleichungen mit 2 Variablen | Theorie]]
||[[Lineare Ungleichungen mit 2 Variablen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 2.5
||lineare Gleichungssysteme in zwei Variablen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen, über Lösungsfälle Bescheid wissen, Lösungen und Lösungsfälle (auch geometrisch) deuten können
||[[Gleichungssysteme | Theorie]]
||[[Gleichungssysteme #Interaktives Quiz| Beispiele]]
|}
Anmerkungen: Einfache Terme können auch Potenzen, Wurzeln, Logarithmen, Sinus etc. beinhalten. Mit dem Einsatz elektronischer Hilfsmittel können auch komplexere Umformungen von Termen, Formeln und Gleichungen, Ungleichungen und Gleichungssystemen durchgeführt werden. 

===Vektoren===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AG 3.1
||Vektoren als Zahlentupel verständig einsetzen und im Kontext deuten können
||[[Vektorrechnung | Theorie]]
||[[Vektorrechnung #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 3.2
||Vektoren geometrisch (als Punkte bzw. Pfeile) deuten und verständig einsetzen können
||[[Vektorrechnung | Theorie]]
||[[Vektorrechnung #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 3.3
||Definition der Rechenoperationen mit Vektoren (Addition, Multiplikation mit einem Skalar, Skalarmultiplikation) kennen, Rechenoperationen verständig einsetzen und (auch geometrisch) deuten können
||[[Vektorrechnung | Theorie]]
||[[Vektorrechnung #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 3.4
||Geraden durch (Parameter-)Gleichungen in $ℝ^2$ und $ℝ^3$ angeben können; Geradengleichungen interpretieren können; Lagebeziehungen (zwischen Geraden und zwischen Punkt und Gerade) analysieren, Schnittpunkte ermitteln können
||[[Vektorrechnung | Theorie]]
||[[Vektorrechnung #Beispiele| Beispiele]]
|-
||AG 3.5
||Normalvektoren in $ℝ^2$ aufstellen, verständig einsetzen und interpretieren können
||[[Vektorrechnung | Theorie]]
||[[Vektorrechnung #Beispiele | Beispiele]]
|}
Anmerkungen: Vektoren sind als Zahlentupel, also als algebraische Objekte, zu verstehen und in entsprechenden Kontexten ver-ständig einzusetzen. Punkte und Pfeile in der Ebene und im Raum müssen als geometrische Veranschaulichung dieser algebraischen Objekte interpretiert werden können. Die geometrische Deutung der Skalarmultiplikation (in $ℝ^2$ und $ℝ^3$) meint hier nur den Spezialfall $a\cdot b= 0$. Geraden sollen in Parameterform, in $ℝ^2$ auch in parameterfreier Form, angegeben und interpretiert werden können. 

===Trigonometrie===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AG 4.1
||Definitionen von ''Sinus'', ''Cosinus'' und ''Tangens'' im rechtwinkeligen Dreieck kennen und zur Auflösung rechtwinkeliger Dreiecke einsetzen können
||[[Trigonometrie | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|-
||AG 4.2
||Definitionen von ''Sinus'' und ''Cosinus'' für Winkel größer als $90°$ kennen und einsetzen können
||[[Trigonometrie | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|}
Anmerkungen: Die Kontexte beschränken sich auf einfache Fälle in der Ebene und im Raum, komplexe (Vermessungs-)Aufgaben sind hier nicht gemeint; Sinus- und Cosinussatz werden dabei nicht benötigt.
 
 

==Funktionale Abhängigkeiten==
===Funktionsbegriff, reelle Funktionen, Darstellungsformen und Eigenschaften===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||FA 1.1
||für gegebene Zusammenhänge entscheiden können, ob man sie als Funktionen betrachten kann
||[[Funktionen | Theorie]]
||[[Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 1.2
||Formeln als Darstellung von Funktionen interpretieren und dem Funktionstyp zuordnen können
||[[Funktionen_in_mehreren_Unbekannten| Theorie]]
||[[Funktionen_in_mehreren_Unbekannten #Beispielaufgaben + Interaktives Quiz| Beispiele]]
|-
||FA 1.3
||zwischen tabellarischen und grafischen Darstellungen funktionaler Zusammenhänge wechseln können
||[[Funktionen | Theorie]]
||[[Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 1.4
||aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Funktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können
||[[Funktionen | Theorie]]
||[[Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 1.5
||Eigenschaften von Funktionen erkennen, benennen, im Kontext deuten und zum Erstellen von Funktionsgraphen einsetzen können: Monotonie, Monotoniewechsel (lokale Extrema), Wendepunkte, Periodizität, Achsensymmetrie, asymptotisches Verhalten, Schnittpunkte mit den Achsen
||[[Funktionen | Theorie]]
||[[Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 1.6
||Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen grafisch und rechnerisch ermitteln und im Kontext interpretieren können
||[[Schnittpunkt zweier Funktionen | Theorie]]
||[[Schnittpunkt zweier Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 1.7
||Funktionen als mathematische Modelle verstehen und damit verständig arbeiten können
||[[mathematische Modelle | Theorie]]
||[[mathematische Modelle #Funktionen als mathematische Modelle (FA 1.7)| Beispiele]]
|-
||FA 1.8
||durch Gleichungen (Formeln) gegebene Funktionen mit mehreren Veränderlichen im Kontext deuten können, Funktionswerte ermitteln können
||[[Funktionen in mehreren Unbekannten | Theorie]]
||[[Funktionen in mehreren Unbekannten #Beispielaufgaben + Interaktives Quiz | Beispiele]]
|-
||FA 1.9
||einen Überblick über die wichtigsten (unten angeführten) Typen mathematischer Funktionen geben, ihre Eigenschaften vergleichen können
||[[Funktionen | Theorie]]
||[[Funktionen #Funktionstypen und deren Eigenschaften (FA 1.9) | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Auf eine sichere Unterscheidung zwischen funktionalen und nichtfunktionalen Zusammenhängen wird Wert gelegt,auf theoretisch bedeutsame Eigenschaften (z. B. Injektivität, Surjektivität, Umkehrbarkeit)wird aber nicht fokussiert. Im Vordergrund steht die Rolle von Funktionen als Modelle und die verständige Nutzung grundlegender Funktionstypen und deren Eigenschaften sowie der verschiedenen Darstellungsformen von Funktionen (auch $f:A→B$, $x↦f(x)$ ).
Die Bearbeitung von Funktionen mit mehreren Veränderlichen beschränkt sich auf die Interpretation der Funktionsgleichung im jeweiligen Kontext sowie auf die Ermittlung von Funktionswerten.
Der Verlauf von Funktionen soll nicht nur mathematisch beschrieben, sondern auch im jeweiligen Kontext gedeutet werden können.
 

===Lineare Funktion $f(x)=k\cdot x+d$===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||FA 2.1
||verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene lineare Zusammenhänge als lineare Funktionen erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können
||[[Lineare Funktionen| Theorie]]
||[[Lineare Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 2.2
||aus Tabellen, Graphen und Gleichungen linearer Funktionen Werte(paare) sowie die Parameter $k$ und $d$ ermitteln und im Kontext deuten können
||[[Lineare Funktionen | Theorie]]
||[[Lineare Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 2.3
||die Wirkung der Parameter $k$ und $d$ kennen und die Parameter in unterschiedlichen Kontexten deuten können
||[[Lineare Funktionen| Theorie]]
||[[Lineare Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 2.4
||charakteristische Eigenschaften kennen und im Kontext deuten können: $f(x+1)=f(x)+k; \frac {f(x_2)-f(x_1)} {x_2-x_1}=k=f'(x)$
||[[Lineare Funktionen | Theorie]]
||[[Lineare Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 2.5
||die Angemessenheit einer Beschreibung mittels linearer Funktion bewerten können
||[[Lineare Funktionen | Theorie]]
||[[Lineare Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 2.6
||direkte Proportionalität als lineare Funktion vom Typ $f(x)=k\cdot x$ beschreiben können

||[[Lineare Funktionen | Theorie]]
||[[Lineare Funktionen #Beispiele| Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Die Parameter $k$ und $d$ sollen sowohl für konkrete Werte als auch allgemein im jeweiligen Kontext interpretiert werden können. Entsprechendes gilt für die Wirkung der Parameter und deren Änderung.
 
 

===Potenzfunktion $f(x)=a\cdot x^z+b$, $z\in \mathbb{Z}$ oder mit $f(x)=a \cdot x^{ \frac{1}{2} }+b$===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||FA 3.1
||verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene Zusammenhänge dieser Art als entsprechende Potenzfunktionen erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können
||[[Potenzfunktionen | Theorie]]
||[[Potenzfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 3.2
||aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Potenzfunktionen Werte(paare) sowie die Parameter $a$ und $b$ ermitteln und im Kontext deuten können
||[[Potenzfunktionen | Theorie]]
||[[Potenzfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 3.3
||die Wirkung der Parameter $a$ und $b$ kennen und die Parameter im Kontext deuten können
||[[Potenzfunktionen | Theorie]]
||[[Potenzfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 3.4
||indirekte Proportionalität als Potenzfunktion vom Typ $f(x)=\frac {a} {x}$ (bzw. $f(x)=a\cdot x^{–1}$) beschreiben können
||[[indirekte Proportion | Theorie]]
||[[Potenzfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Wurzelfunktionen bleiben auf den quadratischen Fall $a\cdot x^\frac {1} {2}+b$ beschränkt.
 
 

===Polynomfunktion $f(x)=\sum_{i=0}^{n} a_i \cdot x^i$ mit $n \in ℕ$===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||FA 4.1
||typische Verläufe von Graphen in Abhängigkeit vom Grad der Polynomfunktion (er)kennen
||[[Polynomfunktionen | Theorie]]
||[[Polynomfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 4.2
||zwischen tabellarischen und grafischen Darstellungen von Zusammenhängen dieser Art wechseln können
||[[Polynomfunktionen | Theorie]]
||[[Polynomfunktionen #Schularbeiten- und Testaufgaben | Beispiele]]
|-
||FA 4.3
||aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Polynomfunktionen Funktionswerte, aus Tabellen und Graphen sowie aus einer quadratischen Funktionsgleichung Argumentwerte ermitteln können
||[[Polynomfunktionen | Theorie]]
||[[Polynomfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 4.4
||den Zusammenhang zwischen dem Grad der Polynomfunktion und der Anzahl der Null- ,Extrem- und Wendestellen wissen
||[[Polynomfunktionen | Theorie]]
||[[Polynomfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Der Zusammenhang zwischen dem Grad der Polynomfunktion und der Anzahl der Null-, Extrem- und Wendestellen sollte für beliebige $n$ bekannt sein, konkrete Aufgabenstellungen beschränken sich auf Polynomfunktionen mit $n\le4$. Mithilfe elektronischer Hilfsmittel können Argumentwerte auch für Polynomfunktionen höheren Grades ermittelt werden.
 

===Exponentialfunktion $f(x)=a\cdot b^x$ bzw. $f(x)=a\cdot e^{\lambda \cdot x}$ mit $a,b \in ℝ^+$, $\lambda \in ℝ$===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||FA 5.1
||verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene exponentielle Zusammenhänge als Exponentialfunktion erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können
||[[Exponentialfunktionen | Theorie]]
||[[Exponentialfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 5.2
||aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Exponentialfunktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können
||[[Exponentialfunktionen | Theorie]]
||[[Exponentialfunktionen #Schularbeiten- und Testaufgaben | Beispiele]]
|-
||FA 5.3
||die Wirkung der Parameter $a$ und $b$ (bzw. $e^\lambda$) kennen und die Parameter in unterschiedlichen Kontexten deuten können
||[[Exponentialfunktionen | Theorie]]
||[[Exponentialfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 5.4
||charakteristische Eigenschaften $(f(x +1)= b\cdot f(x); [e^x]'=e^x)$ kennen und im Kontext deuten können
||[[Exponentialfunktionen | Theorie]]
||[[Exponentialfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 5.5
||die Begriffe ''Halbwertszeit'' und ''Verdoppelungszeit'' kennen, die entsprechenden Werte berechnen und im Kontext deuten können
||[[Exponentialfunktionen | Theorie]]
||[[Exponentialfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 5.6
||die Angemessenheit einer Beschreibung mittels Exponentialfunktion bewerten können
||[[Exponentialfunktionen | Theorie]]
||[[Exponentialfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Die Parameter $a$ und $b$ (bzw. $e^{\lambda}$) sollen sowohl für konkrete Werte als auch allgemein im jeweiligen Kontext interpretiert werden können. Entsprechendes gilt für die Wirkung der Parameter und deren Änderung.
 
 

===Sinusfunktion, Cosinusfunktion===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||FA 6.1
||grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene Zusammenhänge der Art $f(x)=a\cdot sin(b\cdot x)$ als allgemeine Sinusfunktion erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können
||[[Trigonometrie | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 6.2
||aus Graphen und Gleichungen von allgemeinen Sinusfunktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können
||[[Trigonometrie | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Schularbeiten- und Testaufgaben | Beispiele]]
|-
||FA 6.3
||die Wirkung der Parameter $a$ und $b$ kennen und die Parameter im Kontext deuten können
||[[Trigonometrie | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 6.4
||Periodizität als charakteristische Eigenschaft kennen und im Kontext deuten können
||[[Trigonometrie | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 6.5
||wissen, dass $cos(x)= sin(x + \frac {\pi} {2})$
||[[Trigonometrie | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|-
||FA 6.6
||wissen, dass gilt: $[sin(x)]'=cos(x), [cos(x)]'=-sin(x)$
||[[Differenzen- und Differentialquotient | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Während zur Auflösung von rechtwinkeligen Dreiecken Sinus, Cosinus und
Tangens verwendet werden, beschränkt sich die funktionale Betrachtung (weitgehend) auf die allgemeine Sinusfunktion. Wesentlich dabei sind die Interpretation der Parameter (im Graphen wie auch in entsprechenden Kontexten) sowie der Verlauf des Funktionsgraphen und die Periodizität.
 
 

==Analysis==
===Änderungsmaße===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AN 1.1.
||absolute und relative (prozentuelle) Änderungsmaße unterscheiden und angemessen verwenden können
||[[Änderungsmaße| Theorie]]
||[[Änderungsmaße #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AN 1.2.
||den Zusammenhang ''Differenzenquotient (mittlere Änderungsrate) – Differenzialquotient (momentane Änderungsrate)'' auf der Grundlage eines intuitiven Grenzwertbegriffes kennen und damit (verbal sowie in formaler Schreibweise) auch kontextbezogen anwenden können
||[[Differenzen- und Differentialquotient | Theorie]]
||[[Differenzen- und Differentialquotient #Maturabeispiele| Beispiele]]
|-
||AN 1.3.
||den Differenzen- und Differenzialquotienten in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverhalte durch den Differenzen- bzw. Differenzialquotienten beschreiben können
||[[Differenzen- und Differentialquotient|Theorie]]
||[[Differenzen-_und_Differentialquotient #Maturabeispiele| Beispiele]]
|-
||AN 1.4.
||das systemdynamische Verhalten von Größen durch Differenzengleichungen beschreiben bzw. diese im Kontext deuten können
||[[Differenzengleichungen | Theorie]]
||[[Differenzengleichungen #Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Der Fokus liegt auf dem Darstellen von Änderungen durch Differenzen von Funktionswerten, durch prozentuelle Veränderungen, durch Differenzenquotienten und durch Differenzialquotienten, ganz besonders aber auch auf der Interpretation dieser Veränderungsmaße im jeweiligen Kontext. Durch den Einsatz elektronischer Hilfsmittel ist auch die Berechnung von Differenzen- und Differenzialquotienten beliebiger (differenzierbarer) Funktionen möglich.
 
 

===Regeln für das Differenzieren===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AN 2.1.
||einfache Regeln des Differenzierens kennen und anwenden können: Potenzregel, Summenregel, Regeln für $[k \cdot f(x)]′$ und $[f(k \cdot x)]′$ (vgl. Inhaltsbereich ''Funktionale Abhängigkeiten'')
||[[Inhalt:Differenzieren: Rechnerisches Bestimmen von f'| Theorie]]
||[[Inhalt:Differenzieren: Rechnerisches Bestimmen von f'| Beispiele]]
|}
 

===Ableitungsfunktion/Stammfunktion===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AN 3.1.
||den Begriff ''Ableitungsfunktion/Stammfunktion'' kennen und zur Beschreibung von Funktionen einsetzen können
||[[Integration| Theorie]]
||[[Integration#Beispiele | Beispiele]]
|-
||AN 3.2.
||den Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitungsfunktion (bzw. Funktion und Stammfunktion) in deren grafischer Darstellung (er)kennen und beschreiben können
||[[Integration| Theorie]]
||[[Integration#Beispiele | Beispiele]]
|-
||AN 3.3.
||Eigenschaften von Funktionen mithilfe der Ableitung(sfunktion) beschreiben können: Monotonie, lokale Extrema, Links- und Rechtskrümmung, Wendestellen
||[[Integration| Theorie]]
||[[Integration#Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Der Begriff der ''Ableitung(sfunktion)'' soll verständig und zweckmäßig zur Beschreibung von Funktionen eingesetzt werden. Durch den Einsatz elektronischer Hilfsmittel ist das Ableiten von Funktionen nicht durch die in den Grundkompetenzen angeführten Differenziationsregeln eingeschränkt.
 

===Summation und Integral===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AN 4.1.
||den Begriff des bestimmten Integrals als Grenzwert einer Summe von Produkten deuten und beschreiben können
||[[Integration| Theorie]]
||[[Integration#Beispiele | Beispiele]]
|-
||AN 4.2.
||einfache Regeln des Integrierens kennen und anwenden können: Potenzregel, Summenregel, $\int k\cdot f(x)\,dx$, $\int f(k\cdot x)\,dx$ (vgl. Inhaltsbereich ''Funktionale Abhängigkeiten''), bestimmte Integrale von Polynomfunktionen ermitteln können
||[[Integration| Theorie]]
||[[Integration#Beispiele | Beispiele]]
|-
||AN 4.3.
||das bestimmte Integral in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverhalte durch Integrale beschreiben können
||[[Integration| Theorie]]
||[[Integration#Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Analog zum Differenzialquotienten liegt der Fokus beim bestimmten Integral auf der Beschreibung entsprechender Sachverhalte durch bestimmte Integrale sowie vor allem auf der angemessenen Interpretation des bestimmten Integrals im jeweiligen Kontext. Durch den Einsatz elektronischer Hilfsmittel ist die Berechnung von bestimmten Integralen nicht durch die in den Grundkompetenzen angeführten Integrationsregeln eingeschränkt.
 

==Wahrscheinlichkeit und Statistik==
===Beschreibende Statistik===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||WS 1.1
||Werte aus tabellarischen und elementaren grafischen Darstellungen ablesen (bzw. zusammengesetzte Werte ermitteln) und im jeweiligen Kontext angemessen interpretieren können
||[[Statistik:Daten und Diagramme| Theorie]]
||[[Beschreibende_Statistik#tab=Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: (Un-)geordnete Liste, Strichliste, Piktogramm, Säulen-, Balken-, Linien-, Stängel-Blatt-, Punktwolkendiagramm, Histogramm (als Spezialfall eines Säulendiagramms), Prozentstreifen, Kastenschaubild (Boxplot)
 

{| border="1"
|-
||WS 1.2$\ \ \ \ \ \ \ $
||Tabellen und einfache statistische Grafiken erstellen, zwischen Darstellungsformen wechseln können

||[[Beschreibende_Statistik#tab=Zentralma_C3_9Fe_-_statistische_Kennzahlen_f_C3_BCr_das_Mittel| Theorie]]
||[[Beschreibende_Statistik#tab=Matura-Aufgaben| Beispiele]]
|-
||WS 1.3
||statistische Kennzahlen (absolute und relative Häufigkeiten; arithmetisches Mittel, Median, Modus, Quartile, Spannweite, empirische Varianz/Standardabweichung) im jeweiligen Kontext interpretieren können; die angeführten Kennzahlen für einfache Datensätze ermitteln können

||[[Beschreibende Statistik| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeitsrechnung#Matura-Aufgaben| Beispiele]]
|-
||WS 1.4
||Definition und wichtige Eigenschaften des arithmetischen Mittels und des Medians angeben und nutzen, Quartile ermitteln und interpretieren können, die Entscheidung für die Verwendung einer bestimmten Kennzahl begründen können

||[[Beschreibende Statistik| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeitsrechnung#Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Wenn auch statistische Kennzahlen (für einfache Datensätze) ermittelt und elementare statistische Grafiken erstellt werden sollen, liegt das Hauptaugenmerk auf verständigen Interpretationen von Grafiken (unter Beachtung von Manipulationen) und Kennzahlen. Speziell für das arithmetische Mittel und den Median (auch als Quartile) müssen die wichtigsten Eigenschaften (definitorische Eigenschaften, Datentyp-Verträglichkeit, Ausreißerempfindlichkeit) gekannt und verständig eingesetzt bzw. berücksichtigt werden. Beim arithmetischen Mittel sind allenfalls erforderliche Gewichtungen zu beachten („gewogenes arithmetisches Mittel“) und zu nutzen (Bildung des arithmetischen Mittels aus arithmetischen Mitteln von Teilmengen).
 
 

===Wahrscheinlichkeitsrechnung===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||WS 2.1
||Grundraum und Ereignisse in angemessenen Situationen verbal beziehungsweise formal angeben können
||[[Wahrscheinlichkeit: Grundlagen| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]
|-
||WS 2.2
||relative Häufigkeit als Schätzwert von Wahrscheinlichkeit verwenden und anwenden können

||[[Wahrscheinlichkeit: Grundlagen| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Normalverteilung und Stetige Zufallsvariablen#Beispiele | Beispiele]]
|-
||WS 2.3
||Wahrscheinlichkeit unter der Verwendung der Laplace-Annahme (Laplace-Wahrscheinlichkeit) berechnen und interpretieren können, Additionsregel und Multiplikationsregel anwenden und interpretieren können

||[[Wahrscheinlichkeit: Grundlagen| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]
|-
||WS 2.4
||Binomialkoeffizient berechnen und interpretieren können

||[[Binomialkoeffizient| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]

|}

Anmerkungen: Die Multiplikationsregel kann unter Verwendung der kombinatorischen Grundlagen und der Anwendung der Laplace-Regel (auch) umgangen werden.
 
 

===Wahrscheinlichkeitsverteilungen===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||WS 3.1
||die Begriffe ''Zufallsvariable'', ''(Wahrscheinlichkeits-)Verteilung'', ''Erwartungswert'' und ''Standardabweichung'' verständig deuten und einsetzen können

||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]

|-
||WS 3.2
||Binomialverteilung als Modell einer diskreten Verteilung kennen – Erwartungswert sowie Varianz/Standardabweichung binomialverteilter Zufallsgrößen ermitteln können, Wahrscheinlichkeitsverteilung binomialverteilter Zufallsgrößen angeben können, Arbeiten mit der Binomialverteilung in anwendungsorientierten Bereichen

||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]

|-
||WS 3.3
||Situationen erkennen und beschreiben können, in denen mit Binomialverteilung modelliert werden kann

||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]
|-
||WS 3.4
||Normalapproximation der Binomialverteilung interpretieren und anwenden können

||[[Wahrscheinlichkeit: Normalverteilung und Stetige Zufallsvariablen| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Normalverteilung und Stetige Zufallsvariablen#Beispiele | Beispiele]]
|}

Anmerkungen: Kennen und Anwenden der Faustregel, dass die Normalapproximation der Binomialverteilung mit den Parametern $n$ und $p$ dann anzuwenden ist und gute Näherungswerte liefert, wenn die Bedingung $n\cdot p \cdot (1–p)\geq 9 $ erfüllt ist. Die Anwendung der Stetigkeitskorrektur ist nicht notwendig und daher für Berechnungen im Zuge von Prüfungsbeispielen vernachlässigbar. Kennen des Verlaufs der Dichtefunktion $φ$ der Standardnormalverteilung mit Erwartungswert $\mu$ und Standardabweichung $\sigma$. Arbeiten mit der Verteilungsfunktion $Φ$ der Standardnormalverteilung und korrektes Ablesen der entsprechenden Wert.
 
 

===Schließende/Beurteilende Statistik===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||WS 4.1
||Konfidenzintervalle als Schätzung für eine Wahrscheinlichkeit oder einen unbekannten Anteil interpretieren (frequentistische Deutung) und verwenden können, Berechnungen auf Basis der Binomialverteilung oder einer durch die Normalverteilung approximierten Binomialverteilung durchführen können

||[[Konfidenzintervall| Theorie]]
||[[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]
|}

Potenz- und Polynomfunktionen

2020-04-11T11:26:49Z

PeterLamp:

= Potenzfunktionen =

 
==Potenzfunktionen - Allgemeines==
{{Vorlage:Definition|1= Eine Potenzfunktion ist eine Funktion der Form $f(x)=a\cdot x^n \ \textrm{mit} \ n\in \mathbb{Q}$.
}}

<ggb_applet width="800" height="400" version="5.0" id="2146191" />

Wenn man den Schieberegler bewegt, kann man erkennen, dass Potenzfunktionen für verschiedene Hochzahlen $n$ zum Teil sehr unterschiedliche Graphen liefern.
Um die Eigenschaften der Potenzfunktionen genauer zu untersuchen, ist es hilfreich, die Potenzfunktionen Kategorien einzuteilen, die dieselben Eigenschaften haben:

* '''Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten $n \in \mathbb{N}$'''
** Exponent ungerade
** Exponent gerade

* '''Potenzfunktionen mit negativen ganzzahligen Exponenten'''
** Exponent ungerade
** Exponent gerade

* '''Potenzfunktionen mit „echt rationalen“ Exponenten - Wurzelfunktionen'''
 
 

== Graphen von Potenzfunktionen ==
Je nach Größe der [[Parameter]] $a$ und $n$ verändert sich der Graph. Im Folgenden werden die Auswirkungen der einzelnen Parameter auf den Graphen der Funktion besprochen:

$$f(x)=a\cdot x^n$$
----
===Bedeutung der Hochzahl $n$ für den Funktionsgraphen===

Um die Bedeutung des Hochzahl $n$ für den Funktionsgraphen zu verstehen, lassen wir vorerst den Wert von $a$ konstant bei $1$ ($f(x)=x^n$).

{| border="0"
|-
| '''Potenzfunktionen mit ungeraden natürlichen Exponenten'''
|-
|In diesem Fall ist der Graph [[Monotonie | monoton steigend]]. Je größer $n$ ist, desto mehr „schmiegt“ sich die Funktion im Bereich $[-1;1]$ der $x$-Achse an. Im gesamten übrigen Bereich steigt die Funktion hingegen stärker. Für negative $x$-Werte sind auch die zugehörigen Funktionswerte negativ. Diese Potenzfunktionen haben immer genau eine reelle Nullstelle bei $x=0$.
|[[Datei:Potenzfunktion_pos_ungerade_klein.gif|Potenzfunktionen mit ungerader positiver Hochzahl]]
|}

{| border="0"
|-
| '''Potenzfunktionen mit geraden natürlichen Exponenten'''
|-
|In diesem Fall ist der Graph im Intervall $] - \infty ; 0]$ [[Monotonie | monoton fallend]] und im Intervall $[0; \infty[ $ [[Monotonie | monoton steigend]]. Der Graph nimmt nur positive Funktionswerte an („Minus mal Minus ergibt Plus“). Für $n=2$ nennt man den Funktionsgraph eine Parabel (siehe [[Quadratische Funktionen| Quadratische Funktionen]]). Auch dieser Typ von Potenzfunktionen hat genau eine reelle Nullstelle bei $x=0$.
| [[Datei:Potenzfunktion_pos_gerade_klein.gif|Potenzfunktionen mit gerader positiver Hochzahl]]
|}

----

{| border="0"
|-
| '''Potenzfunktionen mit ungeraden negativen Exponenten'''
|-
|In diesem Fall ist der Graph sowohl im Intervall $] - \infty ; 0[$ [[Monotonie | monoton fallend]] als auch im Intervall $[0; \infty[ $ [[Monotonie | monoton fallend]]. Die Funktion ist für $x=0$ nicht definiert, was sich durch die alternative Schreibweise $f(x)=x^{-n} = \frac{1}{x^n}$ (siehe [[Potenzen (2.2.)#Potenzregel 5 |Potenzregeln]] leicht erklären lässt, da es bei $x=0$ zu einer Division durch Null kommen würde. Deshalb besteht an der Stelle $x=0$ eine sogenannte „Sprungstelle“. Der Graph nähert sich im negativen und im positiven Bereich immer mehr der $x$-Achse, berührt diese jedoch nie. Es gibt somit keine reellen Nullstellen.
| [[Datei:Potenzfunktion_neg_ungerade_klein.gif|Potenzfunktionen mit ungerader negativer Hochzahl]]
|}

{| border="0"
|-
| '''Potenzfunktionen mit geraden negativen Exponenten'''
|-
|In diesem Fall ist der Graph im Intervall $] - \infty ; 0[$ [[Monotonie | monoton steigend]] und im Intervall $[0; \infty[ $ [[Monotonie | monoton fallend]]. Auch diese Funktion ist für $x=0$ nicht definiert und es gibt an der Stelle $x=0$ wiederum eine „Sprungstelle“. Der Graph nimmt nur positive Funktionswerte an, da beispielsweise $f(x)=x^{-2}$ auch als $ \frac{1}{x^2}$ geschrieben werden kann und $x^2$ stets positive Werte liefert („Minus mal Minus ergibt Plus“). Der Graph nähert sich im negativen und im positiven Bereich immer mehr der $x$-Achse, berührt diese jedoch nie. Es gibt somit keine reellen Nullstellen.
| [[Datei:Potenzfunktion_neg_gerade_klein.gif|Potenzfunktionen mit gerader negativer Hochzahl]]
|}

{| border="0"
|-
| '''Potenzfunktionen mit „echt rationalen“ Exponenten'''
|-
|Diese Funktionen können aufgrund der Rechenregeln [[Potenzen (2.2.)#Potenzregel 7 |Potenzregeln]] auch als Wurzelfunktionen angeschrieben werden: $\sqrt[n]{x^m}=x^{\frac{m}{n} }$. Wir beschränken uns hier auf die Diskussion der Quadratwurzelfunktion: $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2} }$.
Die (Quadrat-)Wurzelfunktion ist nur für $ \mathbb{R}_0^+$ definiert. Sie ist im gesamten Intervall $[0; \infty[ $ [[Monotonie | monoton steigend]]. Die Steigung des Graphen ist am Anfang sehr groß, nimmt jedoch immer mehr ab. Die Steigung bleibt jedoch stets $>0$. Es gibt genau eine reelle Nullstelle bei $x=0$.
| [[Datei:Quadratwurzel.png|rahmenlos|mini|450px|Quadratwurzelfunktion]]
|}

'''Füge im folgenden Applet zu jeder Graphik die passende Funktion hinzu'''
{{#widget:Iframe
|url= https://learningapps.org/view1521962
|width= 900
|height= 500
|border=0
}}
 
 

===Bedeutung des Parameters $a$ für den Funktionsgraphen===
Das folgende GeoGebra-Applet soll dir helfen, die Bedeutung des Parameters $a$ zu verstehen.

{{Vorlage:Ausklapp|1= '''Aufgabenstellungen zum Applet'''
|2= 
# Untersuche, wie sich eine Änderung des Vorzeichens des Parameters $a$ auf den Funktionsgraphen auswirkt. Variiere dazu den Schieberegler von $a$. Begründe, warum sich der Graph so verändert.
# Stelle den Wert von $n$ nun auf $1$. Gib an, um welchen speziellen Funktionstyp es sich hier handelt und was der Wert von $a$ angibt.
# Stelle den Wert von $n$ nun auf $2$. Beobachte, wie sich die Veränderung von $a$ auf den Funktionsgraphen auswirkt.
}}

<ggb_applet width="800" height="500" version="5.0" id="2971927" />

{{Vorlage:Ausklapp|1= '''Lösungen zu den Aufgabenstellungen'''
|2= 
# Eine Änderung des Vorzeichens bewirkt eine Spiegelung des Funktionsgraphen. Exemplarische Begründung: Angenommen die ursprüngliche Funktion ist $f(x)= 2 \cdot x^3$. Die Vorzeichenänderung führt zur Funktionsgleichung $f(x)= -2 \cdot x^3$. Das Minus macht also nichts anderes, als das Vorzeichen eines jeden Funktionswertes „umzudrehen“.
# Funktionen der Form $f(x)= a \cdot x$ sind [[Lineare Funktionen|lineare Funktionen]], bei denen $d=0$ ist. Der Parameter $a$ gibt somit die Steigung der Geraden an.
# Wie du sicher bemerkt hast, handelt es sich hier um einen einfachen Fall von quadratischen Funktionen. Eine ausführliche Erklärung, wie sich die Veränderung des Parameters auf den Funktionsgraphen auswirkt, findest du [[Quadratische Funktionen|hier]].
}}

'''Füge im folgenden Applet zu jeder Graphik die passende Funktion hinzu'''
{{#widget:Iframe
|url= http://LearningApps.org/view1503567
|width= 900
|height= 500
|border=0
}}

= Polynomfunktionen =
 
== Polynomfunktionen ==
{{Vorlage:Definition|1= Polynomfunktionen sind Funktionen, die aus Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten zusammengesetzt sind. Die allgemeine Funktionsgleichung einer Polynomfunktion lautet:
$$f(x)=a_n\cdot x^n+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+a_{n-2}\cdot x^{n-2} +\dots + a_1\cdot x^1 + a_0\ \ \textrm{mit } a_i \in \mathbb{R}, 0\leq i\leq n$$
oder in Kurzschreibweise:
$$f(x)=\sum_{i=0}^n a_i \cdot x^i \ \textrm{mit } a_i \in \mathbb{R}$$
* Der höchste Exponent $n$ gibt dabei den „Grad“ des Polynoms an.
* $a_0$ ist der konstante Term (da keine Variable dabei steht) und gibt an, in welchem Abstand vom Ursprung die $y$-Achse geschnitten wird.
}}

Beispiel:
* für eine Polynomfunktion 3. Grades (kubische Funktion): $f(x)=2\cdot x^3+x^2+3\cdot x+5$
* für eine Polynomfunktion 2. Grades (quadratische Funktion): $f(x)=x^2+2x-5$

Verwende im folgenden GeoGebra-Applet Schieberegler um verschiedene Polynomfunktionen zu erzeugen:

<ggb_applet width="800" height="500" version="5.0" id="2987173" />

Das Applet zeigt, dass Polynomfunktionen sehr verschiedenartig aussehen können. Um etwas Ordnung in die „Polynoms-Vielfalt“ zu bringen, werden wir uns jeweils die wichtigsten Gemeinsamkeiten der Polynomfunktionen eines bestimmten „Grades“ genauer anschauen:

 
===Polynomfunktionen vom Grad $1$===

{| border="0"
|-
| '''Allgemeine Gleichung: $f(x)=a_1 \cdot x + a_0$'''
|-
|In diesem Fall ist der Graph eine [[Lineare Funktionen| lineare Funktion]]. Bei diesen Funktionen werden anstatt der Variablen $a_1$ und $a_0$ meist $k$ und $d$ verwendet. Genaue Details zu den Eigenschaften linearer Funktionen findest du im Kapitel [[Lineare Funktionen| lineare Funktionen]].
'''Aufgabe''': Stelle im obigen GeoGebra-Applet die Schieberegler von $a_4$, $a_3$ und $a_2$ auf Null und überzeuge dich davon, dass du stets eine lineare Funktion erhältst.
|}

===Polynomfunktionen vom Grad $2$===

{| border="0"
|-
| '''Allgemeine Gleichung: $f(x)=a_2 \cdot x^2 + a_1 \cdot x + a_0 $'''
|-
|In diesem Fall ist der Graph eine [[Quadratische Funktionen| quadratische Funktion]]. Genaue Details findest du im Kapitel [[Quadratische Funktionen| quadratische Funktionen]].
'''Aufgabe''': Stelle im obigen GeoGebra-Applet die Schieberegler von $a_4$ und $a_3$ auf Null und überzeuge dich davon, dass du stets eine quadratische Funktion erhältst. Variiere nun die Schieberegler von $a_2$, $a_1$ und $a_0$ um unterschiedliche Funktionsgraphen zu erzeugen.
|}

===Polynomfunktionen vom Grad $3$===

{| border="0"
|-
| '''Allgemeine Gleichung: $f(x)=a_3 \cdot x^3 + a_2 \cdot x^2 + a_1 \cdot x + a_0 $'''
|-
|'''Aufgabe''': Stelle im obigen GeoGebra-Applet die Schieberegler von $a_4$ auf Null ($a_3 \neq 0$) um eine Polynomfunktion vom Grad drei zu erhalten. Variiere nun die Schieberegler von $a_3$, $a_2$, $a_1$ und $a_0$ um unterschiedliche Funktionsgraphen zu erzeugen.
|-
| Polynomfunktionen vom Grad $3$ haben stets mindestens eine Nullstelle.
|}

===Polynomfunktionen vom Grad $4$===

{| border="0"
|-
| '''Allgemeine Gleichung: $f(x)=a_4 \cdot x^4 + a_3 \cdot x^3 + a_2 \cdot x^2 + a_1 \cdot x + a_0 $'''
|-
|'''Aufgabe''': Stelle im obigen GeoGebra-Applet die Schieberegler von $a_4 \neq 0$ um eine Polynomfunktion vom Grad vier zu erhalten. Variiere nun die Schieberegler um unterschiedliche Funktionsgraphen zu erzeugen.
|}

 
===Nullstellen von Polynomfunktionen===

*Die Anzahl der möglichen Nullstellen kann sehr einfach abgeschätzt werden: '''Eine Polynomfunktion vom Grad $n$ hat maximal $n$ Nullstellen.''' Das heißt, dass z. B. eine Polynomfunktion vom Grad $3$ maximal $3$ reelle Nullstellen haben kann.

*Polynomfunktionen vom Grad $1, 3, 5, ...$ haben stets mindestens eine reelle Nullstelle.

*Polynomfunktionen vom Grad $2, 4, 6, ...$ müssen nicht unbedingt eine reelle Nullstelle haben. Es kann z. B. sein, dass bei einer Funktion vom Grad $2$ der Graph der Parabel nach oben verschoben ist (Bsp.: $f(x)=x^2+2$) und die $x$-Achse somit nicht geschnitten wird.

*Um Nullstellen einer Funktion zu berechnen muss $f(x)=0$ gesetzt werden. Bei Polynomfunktionen vom Grad $2$ können die [[Quadratische Gleichungen|Lösungsformeln]] angewandt werden um die Gleichung zu lösen.
Hat die Polynomfunktion einen höheren Grad ($n>2$), müssen spezielle Formeln angewandt oder der Grad der Funktion mithilfe einer [[Polynomdivision|Polynomdivision]] „heruntergedrückt“ werden. Hierzu versucht man durch geschicktes Probieren eine ganzzahlige Nullstelle zu erraten und dividiert das ursprüngliche Polynom durch die Differenz $(x-Nullstelle)$. Dadurch erhält man ein neues Polynom, das einfacher gelöst werden kann (z. B. mithilfe einer Lösungsformel).

*Manchmal können Polynomfunktionen auch als Produkt von Linearfaktoren angegeben werden. In diesem Fall können die Nullstellen besonders einfach abgelesen werden.
'''Beispiel:''' $$f(x)=x²+x-6=(x-2) \cdot (x+3)$$
Berechnung der Nullstellen: $0=x²+x-6$ bzw. $0=(x-2) \cdot (x+3)$
In der linken Form kann die [[Quadratische Gleichungen|kleine Lösungsformel]] eingesetzt werden, um die Nullstellen zu berechnen. Durch Einsetzen in die Formel erhält man $x_1=2, \ x_2=-3$.
Ist die Gleichung in der rechten Form (Produkt von Linearfaktoren) gegeben, so können die Nullstellen im Kopf berechnet bzw. abgelesen werden: Damit das Produkt von $(x-2) \cdot (x+3)$ Null ergibt, muss entweder $(x-2)$ oder $(x+3)$ gleich Null sein. Hier kommen nur $x_1=2$ und $x_2=-3$ in Frage.

{{Vorlage:Beispiel|1=Bestimme die Nullstellen der Funktion $f(x)=x^2 \cdot (x+2)^2$:

|2=
Um die Nullstelle zu berechnen setzen wir
$$0=x^2 \cdot (x+2)^2$$
Damit das Produkt Null wird, muss entweder $x^2$ oder $(x+2)^2$ Null sein.
Somit gibt es nur zwei reelle Nullstellen: $x_1=0$ und $x_2=-2$ (siehe Abb.)
[[Datei:Polynomfunktion_Vielfachheit.png|rahmenlos|mini|350px|Nullstellen von $f(x)=x^2 \cdot (x+2)^2$]]

Würde man den Term ausmultiplizieren und versuchen die Nullstellen des erhaltenen Polynoms (vom Grad $4$) zu berechnen, wäre das deutlich aufwändiger.
}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width: 800px;">

 '''Anmerkung zur Theorie:''' '''Vielfachheit von Nullstellen''' 

<div class="mw-collapsible-content">

Im vorangegangenen Beispiel hatten wir eine Polynomfunktion vom Grad $4$, weshalb wir maximal $4$ Nullstellen erwarten können. Die Nullstellen $x_1=0$ und $x_2=-2$ kommen jedoch „doppelt“ vor. Man sagt dazu, dass sie die „Vielfachheit“ $2$ haben.
Woran erkennt man die „Vielfachheit“ einer Nullstelle?
* Vielfachheit 1: Der Linearfaktor kommt einfach vor. Bsp.: $f(x)=x \cdot (x-1) \cdot (x+2)$ hat drei Nullstellen der Vielfachheit 1 ($x_1=0, \ x_2=1, \ x_3=-2$).
[[Datei:Polynomfunktion_Vielfachheit1.png|rahmenlos|mini|300px|Nullstellen von $f(x)=x^2 \cdot (x+2)^2$]]
* Vielfachheit 2: Ein Linearfaktor kommt doppelt („zum Quadrat“) vor. Bsp.: $f(x)=x \cdot (x-1)^2$ hat eine Nullstelle mit Vielfachheit 1 ($x_1=0$) und eine Nullstelle mit Vielfachheit 2 ($x_2=1$). Die Vielfachheit 2 erkennt man daran, dass die Funktion die $x$-Achse nur berührt und nicht schneidet.
[[Datei:Polynomfunktion_Vielfachheit2.png|rahmenlos|mini|300px|Nullstellen von $f(x)=x^2 \cdot (x+2)^2$]]
* Vielfachheit 3: Ein Linearfaktor kommt dreifach („hoch drei“) vor. Bsp.: $f(x)=(x-1)^3$ hat genau eine Nullstelle mit Vielfachheit 3 ($x_1=1$).
[[Datei:Polynomfunktion_Vielfachheit3.png|rahmenlos|mini|300px|Nullstellen von $f(x)=x^2 \cdot (x+2)^2$]]
* Auch die anderen Vielfachheiten können einfach an den Hochzahlen der Linearfaktoren erkannt werden.

Der Begriff ''Vielfachheit'' ist etwas verwirrend, da wir eine ''doppelte'' Nullstelle graphisch nur als eine Stelle sehen.

</div>
</div>

= Interaktive Quizzes =
 
== Interaktive Quizzes ==

{{Vorlage:Merke|1= Sollten die Aufgaben nicht korrekt dargestellt werden, lade die Seite noch einmal, indem du $F5$ drückst oder ganz oben im Browser auf „Aktualisieren“
}}

== Einstiegskurs ==

{{#widget:Iframe
|url= https://h5p.org/h5p/embed/161074
|width= 1090
|height= 700
|border=1
}}

==Potenzfunktionen (FA 3.1-3.3) ==

{{#widget:Iframe
|url= https://h5p.org/h5p/embed/757361
|width= 90%
|height= 700
|border=1
}}
 

== Polynomfunktionen (FA 4.1-4.4) ==

{{#widget:Iframe
|url= https://h5p.org/h5p/embed/759356
|width= 90%
|height= 700
|border=1
}}
 

Tipp: Orientiere dich am Grad der Funktion, den Nullstellen und evtl. dem absoluten Glied $a_0$.

Potenz- und Polynomfunktionen

2020-04-11T11:25:46Z

PeterLamp:

= Potenzfunktionen =

 
==Potenzfunktionen - Allgemeines==
{{Vorlage:Definition|1= Eine Potenzfunktion ist eine Funktion der Form $f(x)=a\cdot x^n \ \textrm{mit} \ n\in \mathbb{Q}$.
}}

<ggb_applet width="800" height="400" version="5.0" id="2146191" />

Wenn man den Schieberegler bewegt, kann man erkennen, dass Potenzfunktionen für verschiedene Hochzahlen $n$ zum Teil sehr unterschiedliche Graphen liefern.
Um die Eigenschaften der Potenzfunktionen genauer zu untersuchen, ist es hilfreich, die Potenzfunktionen Kategorien einzuteilen, die dieselben Eigenschaften haben:

* '''Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten $n \in \mathbb{N}$'''
** Exponent ungerade
** Exponent gerade

* '''Potenzfunktionen mit negativen ganzzahligen Exponenten'''
** Exponent ungerade
** Exponent gerade

* '''Potenzfunktionen mit „echt rationalen“ Exponenten - Wurzelfunktionen'''
 
 

== Graphen von Potenzfunktionen ==
Je nach Größe der [[Parameter]] $a$ und $n$ verändert sich der Graph. Im Folgenden werden die Auswirkungen der einzelnen Parameter auf den Graphen der Funktion besprochen:

$$f(x)=a\cdot x^n$$
----
===Bedeutung der Hochzahl $n$ für den Funktionsgraphen===

Um die Bedeutung des Hochzahl $n$ für den Funktionsgraphen zu verstehen, lassen wir vorerst den Wert von $a$ konstant bei $1$ ($f(x)=x^n$).

{| border="0"
|-
| '''Potenzfunktionen mit ungeraden natürlichen Exponenten'''
|-
|In diesem Fall ist der Graph [[Monotonie | monoton steigend]]. Je größer $n$ ist, desto mehr „schmiegt“ sich die Funktion im Bereich $[-1;1]$ der $x$-Achse an. Im gesamten übrigen Bereich steigt die Funktion hingegen stärker. Für negative $x$-Werte sind auch die zugehörigen Funktionswerte negativ. Diese Potenzfunktionen haben immer genau eine reelle Nullstelle bei $x=0$.
|[[Datei:Potenzfunktion_pos_ungerade_klein.gif|Potenzfunktionen mit ungerader positiver Hochzahl]]
|}

{| border="0"
|-
| '''Potenzfunktionen mit geraden natürlichen Exponenten'''
|-
|In diesem Fall ist der Graph im Intervall $] - \infty ; 0]$ [[Monotonie | monoton fallend]] und im Intervall $[0; \infty[ $ [[Monotonie | monoton steigend]]. Der Graph nimmt nur positive Funktionswerte an („Minus mal Minus ergibt Plus“). Für $n=2$ nennt man den Funktionsgraph eine Parabel (siehe [[Quadratische Funktionen| Quadratische Funktionen]]). Auch dieser Typ von Potenzfunktionen hat genau eine reelle Nullstelle bei $x=0$.
| [[Datei:Potenzfunktion_pos_gerade_klein.gif|Potenzfunktionen mit gerader positiver Hochzahl]]
|}

----

{| border="0"
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| '''Potenzfunktionen mit ungeraden negativen Exponenten'''
|-
|In diesem Fall ist der Graph sowohl im Intervall $] - \infty ; 0[$ [[Monotonie | monoton fallend]] als auch im Intervall $[0; \infty[ $ [[Monotonie | monoton fallend]]. Die Funktion ist für $x=0$ nicht definiert, was sich durch die alternative Schreibweise $f(x)=x^{-n} = \frac{1}{x^n}$ (siehe [[Potenzen (2.2.)#Potenzregel 5 |Potenzregeln]] leicht erklären lässt, da es bei $x=0$ zu einer Division durch Null kommen würde. Deshalb besteht an der Stelle $x=0$ eine sogenannte „Sprungstelle“. Der Graph nähert sich im negativen und im positiven Bereich immer mehr der $x$-Achse, berührt diese jedoch nie. Es gibt somit keine reellen Nullstellen.
| [[Datei:Potenzfunktion_neg_ungerade_klein.gif|Potenzfunktionen mit ungerader negativer Hochzahl]]
|}

{| border="0"
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| '''Potenzfunktionen mit geraden negativen Exponenten'''
|-
|In diesem Fall ist der Graph im Intervall $] - \infty ; 0[$ [[Monotonie | monoton steigend]] und im Intervall $[0; \infty[ $ [[Monotonie | monoton fallend]]. Auch diese Funktion ist für $x=0$ nicht definiert und es gibt an der Stelle $x=0$ wiederum eine „Sprungstelle“. Der Graph nimmt nur positive Funktionswerte an, da beispielsweise $f(x)=x^{-2}$ auch als $ \frac{1}{x^2}$ geschrieben werden kann und $x^2$ stets positive Werte liefert („Minus mal Minus ergibt Plus“). Der Graph nähert sich im negativen und im positiven Bereich immer mehr der $x$-Achse, berührt diese jedoch nie. Es gibt somit keine reellen Nullstellen.
| [[Datei:Potenzfunktion_neg_gerade_klein.gif|Potenzfunktionen mit gerader negativer Hochzahl]]
|}

{| border="0"
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| '''Potenzfunktionen mit „echt rationalen“ Exponenten'''
|-
|Diese Funktionen können aufgrund der Rechenregeln [[Potenzen (2.2.)#Potenzregel 7 |Potenzregeln]] auch als Wurzelfunktionen angeschrieben werden: $\sqrt[n]{x^m}=x^{\frac{m}{n} }$. Wir beschränken uns hier auf die Diskussion der Quadratwurzelfunktion: $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2} }$.
Die (Quadrat-)Wurzelfunktion ist nur für $ \mathbb{R}_0^+$ definiert. Sie ist im gesamten Intervall $[0; \infty[ $ [[Monotonie | monoton steigend]]. Die Steigung des Graphen ist am Anfang sehr groß, nimmt jedoch immer mehr ab. Die Steigung bleibt jedoch stets $>0$. Es gibt genau eine reelle Nullstelle bei $x=0$.
| [[Datei:Quadratwurzel.png|rahmenlos|mini|450px|Quadratwurzelfunktion]]
|}

'''Füge im folgenden Applet zu jeder Graphik die passende Funktion hinzu'''
{{#widget:Iframe
|url= https://learningapps.org/view1521962
|width= 900
|height= 500
|border=0
}}
 
 

===Bedeutung des Parameters $a$ für den Funktionsgraphen===
Das folgende GeoGebra-Applet soll dir helfen, die Bedeutung des Parameters $a$ zu verstehen.

{{Vorlage:Ausklapp|1= '''Aufgabenstellungen zum Applet'''
|2= 
# Untersuche, wie sich eine Änderung des Vorzeichens des Parameters $a$ auf den Funktionsgraphen auswirkt. Variiere dazu den Schieberegler von $a$. Begründe, warum sich der Graph so verändert.
# Stelle den Wert von $n$ nun auf $1$. Gib an, um welchen speziellen Funktionstyp es sich hier handelt und was der Wert von $a$ angibt.
# Stelle den Wert von $n$ nun auf $2$. Beobachte, wie sich die Veränderung von $a$ auf den Funktionsgraphen auswirkt.
}}

<ggb_applet width="800" height="500" version="5.0" id="2971927" />

{{Vorlage:Ausklapp|1= '''Lösungen zu den Aufgabenstellungen'''
|2= 
# Eine Änderung des Vorzeichens bewirkt eine Spiegelung des Funktionsgraphen. Exemplarische Begründung: Angenommen die ursprüngliche Funktion ist $f(x)= 2 \cdot x^3$. Die Vorzeichenänderung führt zur Funktionsgleichung $f(x)= -2 \cdot x^3$. Das Minus macht also nichts anderes, als das Vorzeichen eines jeden Funktionswertes „umzudrehen“.
# Funktionen der Form $f(x)= a \cdot x$ sind [[Lineare Funktionen|lineare Funktionen]], bei denen $d=0$ ist. Der Parameter $a$ gibt somit die Steigung der Geraden an.
# Wie du sicher bemerkt hast, handelt es sich hier um einen einfachen Fall von quadratischen Funktionen. Eine ausführliche Erklärung, wie sich die Veränderung des Parameters auf den Funktionsgraphen auswirkt, findest du [[Quadratische Funktionen|hier]].
}}

'''Füge im folgenden Applet zu jeder Graphik die passende Funktion hinzu'''
{{#widget:Iframe
|url= http://LearningApps.org/view1503567
|width= 900
|height= 500
|border=0
}}

= Polynomfunktionen =
 
== Polynomfunktionen ==
{{Vorlage:Definition|1= Polynomfunktionen sind Funktionen, die aus Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten zusammengesetzt sind. Die allgemeine Funktionsgleichung einer Polynomfunktion lautet:
$$f(x)=a_n\cdot x^n+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+a_{n-2}\cdot x^{n-2} +\dots + a_1\cdot x^1 + a_0\ \ \textrm{mit } a_i \in \mathbb{R}, 0\leq i\leq n$$
oder in Kurzschreibweise:
$$f(x)=\sum_{i=0}^n a_i \cdot x^i \ \textrm{mit } a_i \in \mathbb{R}$$
* Der höchste Exponent $n$ gibt dabei den „Grad“ des Polynoms an.
* $a_0$ ist der konstante Term (da keine Variable dabei steht) und gibt an, in welchem Abstand vom Ursprung die $y$-Achse geschnitten wird.
}}

Beispiel:
* für eine Polynomfunktion 3. Grades (kubische Funktion): $f(x)=2\cdot x^3+x^2+3\cdot x+5$
* für eine Polynomfunktion 2. Grades (quadratische Funktion): $f(x)=x^2+2x-5$

Verwende im folgenden GeoGebra-Applet Schieberegler um verschiedene Polynomfunktionen zu erzeugen:

<ggb_applet width="800" height="500" version="5.0" id="2987173" />

Das Applet zeigt, dass Polynomfunktionen sehr verschiedenartig aussehen können. Um etwas Ordnung in die „Polynoms-Vielfalt“ zu bringen, werden wir uns jeweils die wichtigsten Gemeinsamkeiten der Polynomfunktionen eines bestimmten „Grades“ genauer anschauen:

 
===Polynomfunktionen vom Grad $1$===

{| border="0"
|-
| '''Allgemeine Gleichung: $f(x)=a_1 \cdot x + a_0$'''
|-
|In diesem Fall ist der Graph eine [[Lineare Funktionen| lineare Funktion]]. Bei diesen Funktionen werden anstatt der Variablen $a_1$ und $a_0$ meist $k$ und $d$ verwendet. Genaue Details zu den Eigenschaften linearer Funktionen findest du im Kapitel [[Lineare Funktionen| lineare Funktionen]].
'''Aufgabe''': Stelle im obigen GeoGebra-Applet die Schieberegler von $a_4$, $a_3$ und $a_2$ auf Null und überzeuge dich davon, dass du stets eine lineare Funktion erhältst.
|}

===Polynomfunktionen vom Grad $2$===

{| border="0"
|-
| '''Allgemeine Gleichung: $f(x)=a_2 \cdot x^2 + a_1 \cdot x + a_0 $'''
|-
|In diesem Fall ist der Graph eine [[Quadratische Funktionen| quadratische Funktion]]. Genaue Details findest du im Kapitel [[Quadratische Funktionen| quadratische Funktionen]].
'''Aufgabe''': Stelle im obigen GeoGebra-Applet die Schieberegler von $a_4$ und $a_3$ auf Null und überzeuge dich davon, dass du stets eine quadratische Funktion erhältst. Variiere nun die Schieberegler von $a_2$, $a_1$ und $a_0$ um unterschiedliche Funktionsgraphen zu erzeugen.
|}

===Polynomfunktionen vom Grad $3$===

{| border="0"
|-
| '''Allgemeine Gleichung: $f(x)=a_3 \cdot x^3 + a_2 \cdot x^2 + a_1 \cdot x + a_0 $'''
|-
|'''Aufgabe''': Stelle im obigen GeoGebra-Applet die Schieberegler von $a_4$ auf Null ($a_3 \neq 0$) um eine Polynomfunktion vom Grad drei zu erhalten. Variiere nun die Schieberegler von $a_3$, $a_2$, $a_1$ und $a_0$ um unterschiedliche Funktionsgraphen zu erzeugen.
|-
| Polynomfunktionen vom Grad $3$ haben stets mindestens eine Nullstelle.
|}

===Polynomfunktionen vom Grad $4$===

{| border="0"
|-
| '''Allgemeine Gleichung: $f(x)=a_4 \cdot x^4 + a_3 \cdot x^3 + a_2 \cdot x^2 + a_1 \cdot x + a_0 $'''
|-
|'''Aufgabe''': Stelle im obigen GeoGebra-Applet die Schieberegler von $a_4 \neq 0$ um eine Polynomfunktion vom Grad vier zu erhalten. Variiere nun die Schieberegler um unterschiedliche Funktionsgraphen zu erzeugen.
|}

 
===Nullstellen von Polynomfunktionen===

*Die Anzahl der möglichen Nullstellen kann sehr einfach abgeschätzt werden: '''Eine Polynomfunktion vom Grad $n$ hat maximal $n$ Nullstellen.''' Das heißt, dass z. B. eine Polynomfunktion vom Grad $3$ maximal $3$ reelle Nullstellen haben kann.

*Polynomfunktionen vom Grad $1, 3, 5, ...$ haben stets mindestens eine reelle Nullstelle.

*Polynomfunktionen vom Grad $2, 4, 6, ...$ müssen nicht unbedingt eine reelle Nullstelle haben. Es kann z. B. sein, dass bei einer Funktion vom Grad $2$ der Graph der Parabel nach oben verschoben ist (Bsp.: $f(x)=x^2+2$) und die $x$-Achse somit nicht geschnitten wird.

*Um Nullstellen einer Funktion zu berechnen muss $f(x)=0$ gesetzt werden. Bei Polynomfunktionen vom Grad $2$ können die [[Quadratische Gleichungen|Lösungsformeln]] angewandt werden um die Gleichung zu lösen.
Hat die Polynomfunktion einen höheren Grad ($n>2$), müssen spezielle Formeln angewandt oder der Grad der Funktion mithilfe einer [[Polynomdivision|Polynomdivision]] „heruntergedrückt“ werden. Hierzu versucht man durch geschicktes Probieren eine ganzzahlige Nullstelle zu erraten und dividiert das ursprüngliche Polynom durch die Differenz $(x-Nullstelle)$. Dadurch erhält man ein neues Polynom, das einfacher gelöst werden kann (z. B. mithilfe einer Lösungsformel).

*Manchmal können Polynomfunktionen auch als Produkt von Linearfaktoren angegeben werden. In diesem Fall können die Nullstellen besonders einfach abgelesen werden.
'''Beispiel:''' $$f(x)=x²+x-6=(x-2) \cdot (x+3)$$
Berechnung der Nullstellen: $0=x²+x-6$ bzw. $0=(x-2) \cdot (x+3)$
In der linken Form kann die [[Quadratische Gleichungen|kleine Lösungsformel]] eingesetzt werden, um die Nullstellen zu berechnen. Durch Einsetzen in die Formel erhält man $x_1=2, \ x_2=-3$.
Ist die Gleichung in der rechten Form (Produkt von Linearfaktoren) gegeben, so können die Nullstellen im Kopf berechnet bzw. abgelesen werden: Damit das Produkt von $(x-2) \cdot (x+3)$ Null ergibt, muss entweder $(x-2)$ oder $(x+3)$ gleich Null sein. Hier kommen nur $x_1=2$ und $x_2=-3$ in Frage.

{{Vorlage:Beispiel|1=Bestimme die Nullstellen der Funktion $f(x)=x^2 \cdot (x+2)^2$:

|2=
Um die Nullstelle zu berechnen setzen wir
$$0=x^2 \cdot (x+2)^2$$
Damit das Produkt Null wird, muss entweder $x^2$ oder $(x+2)^2$ Null sein.
Somit gibt es nur zwei reelle Nullstellen: $x_1=0$ und $x_2=-2$ (siehe Abb.)
[[Datei:Polynomfunktion_Vielfachheit.png|rahmenlos|mini|350px|Nullstellen von $f(x)=x^2 \cdot (x+2)^2$]]

Würde man den Term ausmultiplizieren und versuchen die Nullstellen des erhaltenen Polynoms (vom Grad $4$) zu berechnen, wäre das deutlich aufwändiger.
}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width: 800px;">

 '''Anmerkung zur Theorie:''' '''Vielfachheit von Nullstellen''' 

<div class="mw-collapsible-content">

Im vorangegangenen Beispiel hatten wir eine Polynomfunktion vom Grad $4$, weshalb wir maximal $4$ Nullstellen erwarten können. Die Nullstellen $x_1=0$ und $x_2=-2$ kommen jedoch „doppelt“ vor. Man sagt dazu, dass sie die „Vielfachheit“ $2$ haben.
Woran erkennt man die „Vielfachheit“ einer Nullstelle?
* Vielfachheit 1: Der Linearfaktor kommt einfach vor. Bsp.: $f(x)=x \cdot (x-1) \cdot (x+2)$ hat drei Nullstellen der Vielfachheit 1 ($x_1=0, \ x_2=1, \ x_3=-2$).
[[Datei:Polynomfunktion_Vielfachheit1.png|rahmenlos|mini|300px|Nullstellen von $f(x)=x^2 \cdot (x+2)^2$]]
* Vielfachheit 2: Ein Linearfaktor kommt doppelt („zum Quadrat“) vor. Bsp.: $f(x)=x \cdot (x-1)^2$ hat eine Nullstelle mit Vielfachheit 1 ($x_1=0$) und eine Nullstelle mit Vielfachheit 2 ($x_2=1$). Die Vielfachheit 2 erkennt man daran, dass die Funktion die $x$-Achse nur berührt und nicht schneidet.
[[Datei:Polynomfunktion_Vielfachheit2.png|rahmenlos|mini|300px|Nullstellen von $f(x)=x^2 \cdot (x+2)^2$]]
* Vielfachheit 3: Ein Linearfaktor kommt dreifach („hoch drei“) vor. Bsp.: $f(x)=(x-1)^3$ hat genau eine Nullstelle mit Vielfachheit 3 ($x_1=1$).
[[Datei:Polynomfunktion_Vielfachheit3.png|rahmenlos|mini|300px|Nullstellen von $f(x)=x^2 \cdot (x+2)^2$]]
* Auch die anderen Vielfachheiten können einfach an den Hochzahlen der Linearfaktoren erkannt werden.

Der Begriff ''Vielfachheit'' ist etwas verwirrend, da wir eine ''doppelte'' Nullstelle graphisch nur als eine Stelle sehen.

</div>
</div>

= Interaktive Quizzes =
 
== Interaktive Quizzes ==

{{Vorlage:Merke|1= Sollten die Aufgaben nicht korrekt dargestellt werden, lade die Seite noch einmal, indem du $F5$ drückst oder ganz oben im Browser auf „Aktualisieren“
}}

== Einstiegskurs ==

{{#widget:Iframe
|url= https://h5p.org/h5p/embed/161074
|width= 1090
|height= 700
|border=1
}}

==Potenzfunktionen (FA 3.1-3.3) ==

{{#widget:Iframe
|url= https://h5p.org/h5p/embed/757361
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|height= 700
|border=1
}}
 

== Polynomfunktionen (FA 4.1-4.4) ==

{{#widget:Iframe
|url= https://h5p.org/h5p/embed/759356
|width= 90%
|height= 700
|border=1
}}
 

Tipp: Orientiere dich am Grad der Funktion, den Nullstellen und evtl. dem absoluten Glied $a_0$.

 

== Online-Übungen ==
 
[[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| ? ]] [http://geogebratube.org/material/simple/id/51971 Übung zur Bestimmung des führenden Koeffizienten und des konstanten Terms]

Lineare Funktionen

2020-04-11T11:23:50Z

PeterLamp: /* Besondere Eigenschaften */

= Theorie =
{{ Infobox

| Name = Lineare Funktionen
| Bild = [[Datei:Linfkt2.png|250px|rechts]]
| Inhaltsbereich = Funktionale Abhängigkeiten (FA)
| AHS = 1
| HAK = 1
| HTL = 1
| HLW = 1
| BAfEP = 1
| Vorwissen = [[Funktionen]]
| Folgethemen = [[Gleichungssysteme]]; [[Quadratische Funktionen]]
| Unterrichtsidee1 = kommt bald
| Handout =
}}

{{Vorlage:Definition|1=Die Funktionsgleichung einer linearen [[Funktionen|Funktion]] lautet $$ y=k\cdot x+d$$
mit $k,d\in$ [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)|$\mathbb{R} $]]. }}

 
{{Vorlage:Merke|1=Der Graph einer linearen Funktion ist IMMER eine Gerade. }}
 
 
 
 
 

== Graph einer linearen Funktion ==
Der Graph einer linearen Funktion ist immer eine Gerade. Verändere im folgenden Applet die Werte von $k$ und $d$ und beobachte, was passiert.
 
Sollte die folgende Animation nicht funktionieren, klicke [http://www.geogebratube.org/student/m56792 auf diesen Link ]
{{#widget:Iframe
|url= https://www.geogebra.org/material/iframe/id/W8uKujeJ/width/1023/height/527/border/888888/rc/false/ai/false/sdz/true/smb/false/stb/false/stbh/true/ld/false/sri/true/at/auto"
|width= 1023
|height= 527
|border=1
}}
 

== Steigung $k$==
[[Datei:Linfkt-k-klein.gif|right]]

Der [[Parameter]] $k$ gibt die '''(prozentuelle) Steigung''' der Geraden an. Die Steigung $k$ kann graphisch aus einer Zeichnung oder rechnerisch bestimmt werden.

===Steigungsdreieck===
[[Datei:Steigungsdreieck.png|thumb|300px|Graph mit zwei Steigungsdreiecken]]

Wenn man von einem beliebigen Punkt auf der Geraden $1$ nach rechts und anschließend hinauf bzw. hinab zeichnet, um wieder auf der Geraden zu landen, erhält man ein rechtwinkliges Dreieck. Man nennt es Steigungsdreieck. Der Höhenunterschied des Dreiecks entspricht dann der Steigung $k$.
{{Vorlage:Merke|1=„Fällt“ der Graph einer linearen Funktion, so ist $k$ negativ. 
„Steigt“ der Graph einer linearen Funktion, so ist $k$ positiv.}}

Oft wäre diese Vorgehensweise zu ungenau. Man kann deshalb auch größere Steigungsdreiecke einzeichnen. Dann muss man jedoch die Länge der senkrechten [[Trigonometrie#Begriffe|Kathete]] durch die Länge der waagrechten Kathete dividieren und es gilt:
$$k=\frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied}=\frac{\Delta y}{\Delta x}$$
$\Delta y$ ... Länge der senkrechten [[Trigonometrie#Begriffe|Kathete]] (inkl. Vorzeichen!)

$\Delta x$ ... Länge der waagrechten Kathete
 
 

===Steigung aus Zahlenpaaren===
Wenn man von einer linearen Funktion zwei Zahlenpaare $(x|f(x))=(x|y)$ kennt oder aus einem Graph abgelesen oder berechnet hat, kann man ihre Steigung $k$ einfach bestimmen:

Aus den Punkten $P(x_1|y_1)$ und $Q(x_2|y_2)$ erhält man die Steigung $k$ durch
$$k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} $$ (siehe [[Differenzen- und Differentialquotient | Differenzenquotient]])
{{Vorlage:Merke|1=Die Reihenfolge der Punkte ist egal. Die Koordinaten der Punkte müssen aber zusammenpassen. Also „erster Punkt minus zweiter Punkt“ oder „zweiter Punkt minus erster Punkt“.}}

{{Vorlage:Beispiel|1=Ermittle die Steigung der Geraden, auf der die Punkte $P(-1,3)$ und $Q(2,-3)$ liegen.
 

|2= '''Lösung:'''[[Datei:Beispiel_k_2Punkte.png|mini|250px]]
'''Möglichkeit 1:''' Zeichne die zwei Punkte $P$ und $Q$ in ein Koordinatensystem und zeichne die verbindende Gerade ein.

 
Durch Einzeichnen des Steigungsdreiecks zwischen $P$ und $Q$ können auch $\Delta x$ und $\Delta y$ leicht abgelesen werden (siehe Abb.).
Es folgt daraus $k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{-6}{3}=-2$
 
 
'''Möglichkeit 2:''' Nachdem die Gerade eingezeichnet wurde, kann ein Steigungsdreieck der Breite $1$ eingezeichnet werden, aus dem $k=-2$ sofort abgelesen werden kann.
 
 
'''Möglichkeit 3:''' Direkte rechnerische Bestimmung mittels Differenzenquotient:
$k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{-3-3}{2-(-1) }=\frac{-6}{3}=-2$
 
 
 
 
}}

===Steigungswinkel===
[[Datei:Steigungswinkel.png|right|200px|Steigungswinkel]]
Manchmal ist der Steigungswinkel einer linearen Funktion gegeben oder gesucht. Das Steigungsdreieck führt zum Zusammenhang zwischen der Steigung $k$ und Steigungswinkel $\alpha$. Aus $\tan(\alpha)=\frac{GK}{AK}$ folgt
$$k=\tan(\alpha)$$
(siehe [[Trigonometrie|Trigonometrie]])

 
 

==Abstand $d$ auf der $y$-Achse („Ordinatenabschnitt“)==
[[Datei:Linfkt-d-neu-klein.gif|right]]
$d$ gibt den $y$-Wert des Schnittpunkts der Geraden mit der $y$-Achse an.

$d$ kann aus dem Graph abgelesen werden (manchmal nur ungenau) oder berechnet werden, indem man $x=0$ setzt.

Eigenschaften:
* ist $d=0$, so geht die Gerade durch den Ursprung. Solche Funktionen nennt man '''''homogene'' lineare Funktionen'''. Ist $d\neq 0$, so nennt man die Funktion '''inhomogen'''.
* bei Kostenfunktionen gibt $d$ die Fixkosten an.

 
===Berechnung von $d$===
Wenn $d$ noch nicht bekannt ist, kann es aus zwei Punkten, die auf der Geraden liegen, berechnet werden. Diese Punkte sind entweder bekannt oder können aus dem Graph abgelesen werden.

1. Schritt: Berechnung von $k$ (siehe oben)

2. Schritt: $k$ und einen der beiden Punkte in $y=k\cdot x+d$ einsetzen. $d$ sollte dann die einzige Unbekannte in einer linearen Gleichung sein. Durch Lösen der Gleichung erhält man $d$.
 
 
{{Vorlage:Beispiel|1=Ermittle $d$ jener Geraden, auf der die Punkte $P(-1,3)$ und $Q(2,-3)$ liegen.
 
|2= '''Lösung:'''[[Datei:Beispiel_k_2Punkte.png|mini|250px]]
'''Möglichkeit 1:''' Zeichne die zwei Punkte $P$ und $Q$ in ein Koordinatensystem und zeichne die verbindende Gerade ein.

 
Man sieht, dass die Gerade die $y$-Achse bei $1$ schneidet. $d$ ist also $1$.
 
 
'''Möglichkeit 2:''' Direkte rechnerische Bestimmung mittels Gleichung:
$3=-2 \cdot (-1)+d \Leftrightarrow 3=2+d \Leftrightarrow 1=d$
 
 
 
 
 
 
 
 
}}
 
 

== Graph zeichnen (Gerade) ==
[[Datei:Linfkt-k-als-bruch.png|rechts]]
Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Man kann sie entweder mithilfe zweier Zahlenpaare (Wertetabelle) oder $k$ und $d$ zeichnen.
 
 

===Zahlenpaare===
Zeichne zwei Zahlenpaare als Punkte in ein Koordinatensystem und lege eine Gerade durch sie. Wenn du noch keine Zahlenpaare hast, kannst du sie aus der Wertetabelle der Funktion nehmen bzw. $x$-Werte in die Funktionsgleichung einsetzen. Achte darauf, dass die Punkte weit voneinander entfernt liegen, dann wird die Zeichnung genauer!

===$k$ und $d$===
# $d$ hinauf/hinab
# eins nach rechts
# $k$ hinauf/hinab

Ist $k$ ein Bruch, d. h. $k=\frac{Zähler}{Nenner}$, dann kannst du
# $d$ hinauf/hinab
# Nenner nach rechts
# Zähler hinauf/hinab
 
 

== Gerade mit gegebener Funktionsgleichung zeichnen ==

{| align=center
|-
| <ggb_applet width="900" height="400" version="5.0" id="FBXTrww2" />
|-
| Falls das Applet nicht funktioniert, klicke [https://www.geogebra.org/m/FBXTrww2 hier]
|}

== Besondere Eigenschaften (inkl. direkter Proportionalität) ==
Lineare Funktionen erfüllen die Eigenschaft $f(x+1)=f(x)+k$

Beweis: $f(x+1)=k\dot (x+1)+d=kx+k+d=kx+d+k=f(x)+k$

Außerdem ist die Ableitung der linearen Funktion gleich $k$: $\frac {f(x_2)-f(x_1)} {x_2-x_1}=k=f´(x)$

Lineare Funktionen der Form $f(x)=k \cdot x$ werden auch als direkte Proportionalitätsfunktionen bezeichnet. Diese gehen stets durch den Ursprung. Direkte Proportionalitätsfunktionen haben die besondere Eigenschaft, dass wenn x mit einem bestimmten Faktor multipliziert wird, sich auch f(x)um denselben Faktor verändert. Z.B. x wird verdoppelt, so verdoppelt sich auch f(x). Weitere Informationen findest du im Abschnitt [[Direkte_und_indirekte_Proportionalität|Direkte Proportionalität]]
 
 

 
 

== Video ==
'''Was nicht fehlen darf - ein Lied von DorFuchs:''' ''(Anmerkung: In Deutschland werden anstatt $k$ und $d$ die Variablen $m$ und $n$ verwendet.)''
{{Vorlage:Video| blY2qdFV4ag }}

= Interaktiver Lernpfad =

== Lernpfad: Bedeutung von k und d ==

{{#widget:Iframe
|url= https://h5p.org/h5p/embed/143883
|width= 1090
|height= 4000
|border=1
}}

= Anwendungen =
== Anwendungen ==
In folgenden Kapiteln kommen lineare Funktionen wieder vor:
# Lineare Kosten (siehe Beispiele)
# [[Wachstums- und Zerfallsprozesse#Lineares Wachstum N(t)=k\cdot t+N0 | Wachstums- und Zerfallsprozesse]]
# [[Kurvendiskussionen#Wendepunkt_und_Wendetangente | Kurvendiskussionen]]
 
 
 

= Aufgaben =

==Lineare Funktionen (FA 2.1-2.6)==

{{#widget:Iframe
|url= https://h5p.org/h5p/embed/766420
|width= 90%
|height= 700
|border=1
}}
 

== Bestimmen der Funktionsgleichung ==
Im folgenden Applet kannst du dein Wissen testen. Gib dazu die Gleichung der Funktionsgleichung in das Eingabefeld ein. Beachte, dass Kommazeichen durch Punkte angegeben werden (z. B. $0.75$).

{| align=center
|-
|<ggb_applet width="600" height="500" version="5.0" id="CmSf9uD8" />
|-
| Falls das Applet nicht funktioniert, klicke [https://www.geogebra.org/m/CmSf9uD8 hier]
|}

== Offizielle Bifie-Aufgaben ==

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]] [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=131&file=Gletschermarathon_Pitztal_-_Imst.pdf Gletschermarathon]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]] [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=212&file=Skipiste.pdf Skipiste]
*: Siehe auch: [[Bewegungsaufgaben - Weg/Geschwindigkeit/Beschleunigung]] und [[Steigung und Steigungswinkel]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]] [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=17&file=Wanderweg.pdf Wanderweg]
*: Siehe auch: [[Bewegungsaufgaben - Weg/Geschwindigkeit/Beschleunigung]] und [[Gleichungssysteme (2.7.) |Gleichungssysteme]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]] [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=24&file=Kleintransporte.pdf Kleintransporter]
*: Siehe auch: [[Gleichungssysteme (2.7.) |Gleichungssysteme]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]] [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=29&file=Planetenbahnen.pdf Planetenbahnen] (leicht-mittel-leicht)
*: Siehe auch: [[Gleitkommazahlen und Zehnerpotenzen (1.2. und 1.3)|Gleitkommazahlen]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]] [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=116&file=Kleidungs-_und_Schuhproduktion.pdf Kleidungs- und Schuhproduktion] (Bifie-Aufgabe: mittel-mittel-leicht-mittel)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: Für c) und d) [[Prozentrechnung (1.5.)]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]] [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=134&file=Hochbeet.pdf Hochbeet] (Bifie-Aufgabe: leicht-mittel-mittel)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Formeln]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]] [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=215&file=Impfstoff.pdf Impfstoff]
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Gleichungssysteme (2.7.)|Gleichungssystme]]

 
 
 

== Schularbeiten- und Testaufgaben ==
 
1. Aufgabe: Gib zwei Geradengleichungen in der Form $y=kx+d$ an, bei denen die entsprechenden Geraden parallel zueinander sind. Wie erkennt man bei den Gleichungen auf einen Blick, dass die Geraden parallel sind?

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
 '''Lösung''' 
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung1.png]]
</div>
</div>

----
----
 
2. Aufgabe

[[Datei:Aufgabe2.png]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
 '''Lösung''' 
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung2.png]]
</div>
</div>
----
 
3. Aufgabe

[[Datei:Aufgabe3.png]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
 '''Lösung''' 
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung3.png]]
</div>
</div>

----
 
4. Aufgabe: Die Gerade der Form $y=kx+d$ geht durch die Punkte $(1,1)$ und $(4,3)$. Ermittle $k$ und $d$.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
 '''Lösung''' 
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung4.png]]
</div>
</div>

----
 
5. Aufgabe: Lineare Kosten

Die Kommunikationsfirma P-Mobile plant einen Handytarif mit $5 €$ Grundgebühren. Aus wirtschaftlichen Gründen will sie, dass ein Kunde bei $500$ verbrauchten Gesprächsminuten eine Rechnung von insgesamt $20 €$ zahlen muss.
Ermittle die Kosten für eine Gesprächsminute. Bestimme die lineare Kostenfunktion des Tarifs.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
 '''Lösung''' 
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung5.png]]
</div>
</div>

----
 
6. Aufgabe: Die Grundgebühr eines Handytarifs beträgt $5 €$. Für jede Gesprächsminute werden zusätzlich $20$ Cent verrechnet. Stelle die Gesamtkosten in Abhängigkeit von den Gesprächsminuten in einem passenden Koordinatensystem graphisch dar.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
 '''Lösung''' 
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung6.png]]
</div>
</div>

= Weitere Materialien =
== Online-Materialien ==
# [[Orange: Präsentationen | $Schau!\ $ ]]: Hier findest du eine [http://prezi.com/nasit_qd-hgs/?utm_campaign=share&utm_medium=copy Prezi-Überblickpräsentation] (erstellt von Raimund Porod)
# [[Gelb: Lernpfad | $Step\ by\ Step!$ ]]: Hier findest du einen [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/lernpfade/lernpfade_lineare_funktion/ Online-Lehrpfad zu den linearen Funktionen]

=== Online-Übungen ===
# [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter | ? ]]: Selbsttest zum Thema [http://www.geogebratube.org/student/m79482 Geradengleichung bestimmen (Wichtig!!)]
# [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| ? ]]: Übung zur [https://www.geogebratube.org/student/m82256 Bestimmung der Funktionsgleichung]
# [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter | ? ]]: Weitere Aufgaben zum [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/diff_einfuehrung/lernpfad/content/01_lineare_funktion.htm Bestimmen der Funktionsgleichung]
 
 
 

[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Lineare Funktionen

2020-04-11T11:20:50Z

PeterLamp: /* Besondere Eigenschaften */

= Theorie =
{{ Infobox

| Name = Lineare Funktionen
| Bild = [[Datei:Linfkt2.png|250px|rechts]]
| Inhaltsbereich = Funktionale Abhängigkeiten (FA)
| AHS = 1
| HAK = 1
| HTL = 1
| HLW = 1
| BAfEP = 1
| Vorwissen = [[Funktionen]]
| Folgethemen = [[Gleichungssysteme]]; [[Quadratische Funktionen]]
| Unterrichtsidee1 = kommt bald
| Handout =
}}

{{Vorlage:Definition|1=Die Funktionsgleichung einer linearen [[Funktionen|Funktion]] lautet $$ y=k\cdot x+d$$
mit $k,d\in$ [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)|$\mathbb{R} $]]. }}

 
{{Vorlage:Merke|1=Der Graph einer linearen Funktion ist IMMER eine Gerade. }}
 
 
 
 
 

== Graph einer linearen Funktion ==
Der Graph einer linearen Funktion ist immer eine Gerade. Verändere im folgenden Applet die Werte von $k$ und $d$ und beobachte, was passiert.
 
Sollte die folgende Animation nicht funktionieren, klicke [http://www.geogebratube.org/student/m56792 auf diesen Link ]
{{#widget:Iframe
|url= https://www.geogebra.org/material/iframe/id/W8uKujeJ/width/1023/height/527/border/888888/rc/false/ai/false/sdz/true/smb/false/stb/false/stbh/true/ld/false/sri/true/at/auto"
|width= 1023
|height= 527
|border=1
}}
 

== Steigung $k$==
[[Datei:Linfkt-k-klein.gif|right]]

Der [[Parameter]] $k$ gibt die '''(prozentuelle) Steigung''' der Geraden an. Die Steigung $k$ kann graphisch aus einer Zeichnung oder rechnerisch bestimmt werden.

===Steigungsdreieck===
[[Datei:Steigungsdreieck.png|thumb|300px|Graph mit zwei Steigungsdreiecken]]

Wenn man von einem beliebigen Punkt auf der Geraden $1$ nach rechts und anschließend hinauf bzw. hinab zeichnet, um wieder auf der Geraden zu landen, erhält man ein rechtwinkliges Dreieck. Man nennt es Steigungsdreieck. Der Höhenunterschied des Dreiecks entspricht dann der Steigung $k$.
{{Vorlage:Merke|1=„Fällt“ der Graph einer linearen Funktion, so ist $k$ negativ. 
„Steigt“ der Graph einer linearen Funktion, so ist $k$ positiv.}}

Oft wäre diese Vorgehensweise zu ungenau. Man kann deshalb auch größere Steigungsdreiecke einzeichnen. Dann muss man jedoch die Länge der senkrechten [[Trigonometrie#Begriffe|Kathete]] durch die Länge der waagrechten Kathete dividieren und es gilt:
$$k=\frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied}=\frac{\Delta y}{\Delta x}$$
$\Delta y$ ... Länge der senkrechten [[Trigonometrie#Begriffe|Kathete]] (inkl. Vorzeichen!)

$\Delta x$ ... Länge der waagrechten Kathete
 
 

===Steigung aus Zahlenpaaren===
Wenn man von einer linearen Funktion zwei Zahlenpaare $(x|f(x))=(x|y)$ kennt oder aus einem Graph abgelesen oder berechnet hat, kann man ihre Steigung $k$ einfach bestimmen:

Aus den Punkten $P(x_1|y_1)$ und $Q(x_2|y_2)$ erhält man die Steigung $k$ durch
$$k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} $$ (siehe [[Differenzen- und Differentialquotient | Differenzenquotient]])
{{Vorlage:Merke|1=Die Reihenfolge der Punkte ist egal. Die Koordinaten der Punkte müssen aber zusammenpassen. Also „erster Punkt minus zweiter Punkt“ oder „zweiter Punkt minus erster Punkt“.}}

{{Vorlage:Beispiel|1=Ermittle die Steigung der Geraden, auf der die Punkte $P(-1,3)$ und $Q(2,-3)$ liegen.
 

|2= '''Lösung:'''[[Datei:Beispiel_k_2Punkte.png|mini|250px]]
'''Möglichkeit 1:''' Zeichne die zwei Punkte $P$ und $Q$ in ein Koordinatensystem und zeichne die verbindende Gerade ein.

 
Durch Einzeichnen des Steigungsdreiecks zwischen $P$ und $Q$ können auch $\Delta x$ und $\Delta y$ leicht abgelesen werden (siehe Abb.).
Es folgt daraus $k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{-6}{3}=-2$
 
 
'''Möglichkeit 2:''' Nachdem die Gerade eingezeichnet wurde, kann ein Steigungsdreieck der Breite $1$ eingezeichnet werden, aus dem $k=-2$ sofort abgelesen werden kann.
 
 
'''Möglichkeit 3:''' Direkte rechnerische Bestimmung mittels Differenzenquotient:
$k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{-3-3}{2-(-1) }=\frac{-6}{3}=-2$
 
 
 
 
}}

===Steigungswinkel===
[[Datei:Steigungswinkel.png|right|200px|Steigungswinkel]]
Manchmal ist der Steigungswinkel einer linearen Funktion gegeben oder gesucht. Das Steigungsdreieck führt zum Zusammenhang zwischen der Steigung $k$ und Steigungswinkel $\alpha$. Aus $\tan(\alpha)=\frac{GK}{AK}$ folgt
$$k=\tan(\alpha)$$
(siehe [[Trigonometrie|Trigonometrie]])

 
 

==Abstand $d$ auf der $y$-Achse („Ordinatenabschnitt“)==
[[Datei:Linfkt-d-neu-klein.gif|right]]
$d$ gibt den $y$-Wert des Schnittpunkts der Geraden mit der $y$-Achse an.

$d$ kann aus dem Graph abgelesen werden (manchmal nur ungenau) oder berechnet werden, indem man $x=0$ setzt.

Eigenschaften:
* ist $d=0$, so geht die Gerade durch den Ursprung. Solche Funktionen nennt man '''''homogene'' lineare Funktionen'''. Ist $d\neq 0$, so nennt man die Funktion '''inhomogen'''.
* bei Kostenfunktionen gibt $d$ die Fixkosten an.

 
===Berechnung von $d$===
Wenn $d$ noch nicht bekannt ist, kann es aus zwei Punkten, die auf der Geraden liegen, berechnet werden. Diese Punkte sind entweder bekannt oder können aus dem Graph abgelesen werden.

1. Schritt: Berechnung von $k$ (siehe oben)

2. Schritt: $k$ und einen der beiden Punkte in $y=k\cdot x+d$ einsetzen. $d$ sollte dann die einzige Unbekannte in einer linearen Gleichung sein. Durch Lösen der Gleichung erhält man $d$.
 
 
{{Vorlage:Beispiel|1=Ermittle $d$ jener Geraden, auf der die Punkte $P(-1,3)$ und $Q(2,-3)$ liegen.
 
|2= '''Lösung:'''[[Datei:Beispiel_k_2Punkte.png|mini|250px]]
'''Möglichkeit 1:''' Zeichne die zwei Punkte $P$ und $Q$ in ein Koordinatensystem und zeichne die verbindende Gerade ein.

 
Man sieht, dass die Gerade die $y$-Achse bei $1$ schneidet. $d$ ist also $1$.
 
 
'''Möglichkeit 2:''' Direkte rechnerische Bestimmung mittels Gleichung:
$3=-2 \cdot (-1)+d \Leftrightarrow 3=2+d \Leftrightarrow 1=d$
 
 
 
 
 
 
 
 
}}
 
 

== Graph zeichnen (Gerade) ==
[[Datei:Linfkt-k-als-bruch.png|rechts]]
Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Man kann sie entweder mithilfe zweier Zahlenpaare (Wertetabelle) oder $k$ und $d$ zeichnen.
 
 

===Zahlenpaare===
Zeichne zwei Zahlenpaare als Punkte in ein Koordinatensystem und lege eine Gerade durch sie. Wenn du noch keine Zahlenpaare hast, kannst du sie aus der Wertetabelle der Funktion nehmen bzw. $x$-Werte in die Funktionsgleichung einsetzen. Achte darauf, dass die Punkte weit voneinander entfernt liegen, dann wird die Zeichnung genauer!

===$k$ und $d$===
# $d$ hinauf/hinab
# eins nach rechts
# $k$ hinauf/hinab

Ist $k$ ein Bruch, d. h. $k=\frac{Zähler}{Nenner}$, dann kannst du
# $d$ hinauf/hinab
# Nenner nach rechts
# Zähler hinauf/hinab
 
 

== Gerade mit gegebener Funktionsgleichung zeichnen ==

{| align=center
|-
| <ggb_applet width="900" height="400" version="5.0" id="FBXTrww2" />
|-
| Falls das Applet nicht funktioniert, klicke [https://www.geogebra.org/m/FBXTrww2 hier]
|}

== Besondere Eigenschaften ==
Lineare Funktionen erfüllen die Eigenschaft $f(x+1)=f(x)+k$

Beweis: $f(x+1)=k\dot (x+1)+d=kx+k+d=kx+d+k=f(x)+k$

Außerdem ist die Ableitung der linearen Funktion gleich $k$: $\frac {f(x_2)-f(x_1)} {x_2-x_1}=k=f´(x)$

Lineare Funktionen der Form $f(x)=k \cdot x$ werden auch als direkte Proportionalitätsfunktionen bezeichnet. Diese gehen stets durch den Ursprung. Direkte Proportionalitätsfunktionen haben die besondere Eigenschaft, dass wenn x mit einem bestimmten Faktor multipliziert wird, sich auch f(x)um denselben Faktor verändert. Z.B. x wird verdoppelt, so verdoppelt sich auch f(x). Weitere Informationen findest du im Abschnitt [[Direkte_und_indirekte_Proportionalität|Direkte Proportionalität]]
 
 

 
 

== Video ==
'''Was nicht fehlen darf - ein Lied von DorFuchs:''' ''(Anmerkung: In Deutschland werden anstatt $k$ und $d$ die Variablen $m$ und $n$ verwendet.)''
{{Vorlage:Video| blY2qdFV4ag }}

= Interaktiver Lernpfad =

== Lernpfad: Bedeutung von k und d ==

{{#widget:Iframe
|url= https://h5p.org/h5p/embed/143883
|width= 1090
|height= 4000
|border=1
}}

= Anwendungen =
== Anwendungen ==
In folgenden Kapiteln kommen lineare Funktionen wieder vor:
# Lineare Kosten (siehe Beispiele)
# [[Wachstums- und Zerfallsprozesse#Lineares Wachstum N(t)=k\cdot t+N0 | Wachstums- und Zerfallsprozesse]]
# [[Kurvendiskussionen#Wendepunkt_und_Wendetangente | Kurvendiskussionen]]
 
 
 

= Aufgaben =

==Lineare Funktionen (FA 2.1-2.6)==

{{#widget:Iframe
|url= https://h5p.org/h5p/embed/766420
|width= 90%
|height= 700
|border=1
}}
 

== Bestimmen der Funktionsgleichung ==
Im folgenden Applet kannst du dein Wissen testen. Gib dazu die Gleichung der Funktionsgleichung in das Eingabefeld ein. Beachte, dass Kommazeichen durch Punkte angegeben werden (z. B. $0.75$).

{| align=center
|-
|<ggb_applet width="600" height="500" version="5.0" id="CmSf9uD8" />
|-
| Falls das Applet nicht funktioniert, klicke [https://www.geogebra.org/m/CmSf9uD8 hier]
|}

== Offizielle Bifie-Aufgaben ==

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]] [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=131&file=Gletschermarathon_Pitztal_-_Imst.pdf Gletschermarathon]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]] [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=212&file=Skipiste.pdf Skipiste]
*: Siehe auch: [[Bewegungsaufgaben - Weg/Geschwindigkeit/Beschleunigung]] und [[Steigung und Steigungswinkel]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]] [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=17&file=Wanderweg.pdf Wanderweg]
*: Siehe auch: [[Bewegungsaufgaben - Weg/Geschwindigkeit/Beschleunigung]] und [[Gleichungssysteme (2.7.) |Gleichungssysteme]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]] [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=24&file=Kleintransporte.pdf Kleintransporter]
*: Siehe auch: [[Gleichungssysteme (2.7.) |Gleichungssysteme]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]] [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=29&file=Planetenbahnen.pdf Planetenbahnen] (leicht-mittel-leicht)
*: Siehe auch: [[Gleitkommazahlen und Zehnerpotenzen (1.2. und 1.3)|Gleitkommazahlen]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]] [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=116&file=Kleidungs-_und_Schuhproduktion.pdf Kleidungs- und Schuhproduktion] (Bifie-Aufgabe: mittel-mittel-leicht-mittel)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: Für c) und d) [[Prozentrechnung (1.5.)]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]] [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=134&file=Hochbeet.pdf Hochbeet] (Bifie-Aufgabe: leicht-mittel-mittel)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Formeln]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]] [http://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=215&file=Impfstoff.pdf Impfstoff]
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Gleichungssysteme (2.7.)|Gleichungssystme]]

 
 
 

== Schularbeiten- und Testaufgaben ==
 
1. Aufgabe: Gib zwei Geradengleichungen in der Form $y=kx+d$ an, bei denen die entsprechenden Geraden parallel zueinander sind. Wie erkennt man bei den Gleichungen auf einen Blick, dass die Geraden parallel sind?

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
 '''Lösung''' 
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung1.png]]
</div>
</div>

----
----
 
2. Aufgabe

[[Datei:Aufgabe2.png]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
 '''Lösung''' 
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung2.png]]
</div>
</div>
----
 
3. Aufgabe

[[Datei:Aufgabe3.png]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
 '''Lösung''' 
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung3.png]]
</div>
</div>

----
 
4. Aufgabe: Die Gerade der Form $y=kx+d$ geht durch die Punkte $(1,1)$ und $(4,3)$. Ermittle $k$ und $d$.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
 '''Lösung''' 
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung4.png]]
</div>
</div>

----
 
5. Aufgabe: Lineare Kosten

Die Kommunikationsfirma P-Mobile plant einen Handytarif mit $5 €$ Grundgebühren. Aus wirtschaftlichen Gründen will sie, dass ein Kunde bei $500$ verbrauchten Gesprächsminuten eine Rechnung von insgesamt $20 €$ zahlen muss.
Ermittle die Kosten für eine Gesprächsminute. Bestimme die lineare Kostenfunktion des Tarifs.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
 '''Lösung''' 
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung5.png]]
</div>
</div>

----
 
6. Aufgabe: Die Grundgebühr eines Handytarifs beträgt $5 €$. Für jede Gesprächsminute werden zusätzlich $20$ Cent verrechnet. Stelle die Gesamtkosten in Abhängigkeit von den Gesprächsminuten in einem passenden Koordinatensystem graphisch dar.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
 '''Lösung''' 
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung6.png]]
</div>
</div>

= Weitere Materialien =
== Online-Materialien ==
# [[Orange: Präsentationen | $Schau!\ $ ]]: Hier findest du eine [http://prezi.com/nasit_qd-hgs/?utm_campaign=share&utm_medium=copy Prezi-Überblickpräsentation] (erstellt von Raimund Porod)
# [[Gelb: Lernpfad | $Step\ by\ Step!$ ]]: Hier findest du einen [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/lernpfade/lernpfade_lineare_funktion/ Online-Lehrpfad zu den linearen Funktionen]

=== Online-Übungen ===
# [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter | ? ]]: Selbsttest zum Thema [http://www.geogebratube.org/student/m79482 Geradengleichung bestimmen (Wichtig!!)]
# [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| ? ]]: Übung zur [https://www.geogebratube.org/student/m82256 Bestimmung der Funktionsgleichung]
# [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter | ? ]]: Weitere Aufgaben zum [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/diff_einfuehrung/lernpfad/content/01_lineare_funktion.htm Bestimmen der Funktionsgleichung]
 
 
 

[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]