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Vektorrechnung

2016-01-01T09:56:06Z

MWBüro:

= Grundlagen der Vektorrechnung =

== Koordinatensystem ==

[[Datei:Koordinatengitter.png|thumb|right|350px|Koordinatengitter im $\mathbb{R^2}$ mit den 4 Quadranten]]

Für die Vektorrechnung sind Koordinatensysteme ganz essentiell.
Im zweidimensionalen Raum besitzt ein Koordinatensystem 2 Achsen:
*die x-Achse (waagrecht) und
*die y-Achse (senkrecht)
 
Diese sind unendlich lang und Spannen die vier sog. Quadranten auf, die meist mit den römischen Ziffern I-IV beschriftet werden (gesprochen: Erster Quadrant, Zweiter Quadrant etc.). Wo ein jeweiliger Quadrant liegt, kannst du mit Hilfe des Bildes rechts erkennen.
Dort, wo die 2 Achsen einander treffen, liegt der sog. Ursprung (kurz: $\vec{0}$); seine Koordinaten sind (0/0).

Was es außerdem noch zu beachten gibt, hast du vielleicht bereits selbst erkannt:
An den gegenüberliegenden Seiten der x- und y-Achsen werden unterschiedliche Vorzeichen verwendet. So spricht man "links" des Ursprungs von der negativen, bzw. "rechts" des Ursprungs von der positiven x-Achse. Analog spricht man "oben" und "unten" von der positiven und negativen y-Achse.

Im dreidimensionalen Raum kommt dann einfach noch eine dritte - die z- - Achse dazu. Punkte und Vektoren besitzen dementsprechend dann auch 3 Koordinaten. Dies kann man bis ins n-dimensionale weiterführen.

 

== Punkte ==
In ein Koordinatensystem lassen sich Punkte eintragen. Diese besitzen, entsprechend ihrer Lage, Koordinaten. Im obigen Bild z.B. haben wir die Punkte A und B, wobei sich A im ersten Quadranten befindet und B im vierten. Man schreibt: A(2/3,5) B(1/-2).

[[Datei:PunkteR2.png|thumb|250px|right|Punkte im $\mathbb{R^2}$]]

{{Vorlage:Merke |''Einen'' '''allgemeinen Punkt''' ''schreibt man an als'' $P(x_1/x_2/.../x_n)$ ($\mathbb{R^n}$) ''bzw.'' $P(x/y)$ ($\mathbb{R^2}$) ''oder'' $P(x/y/z)$ ($\mathbb{R^3}$).
 
Die erste Koordinate entspricht also der x-Koordinate, die zweite der y-Koordinate, die eventuelle dritte der z-Koordinate.

Punkte werden in der Regel mit Großbuchstaben bezeichnet.}}

Koordinaten von Punkten lassen sich also ganz einfach ablesen. Die x/y-Koordinate entspricht dabei dem Abstand vom Ursprung zum Punkt in Richtung der jeweiligen Koordinatenachse. So erkennen wir im Bild rechts die folgenden Punkte:
*A(2/0)
*B(0/-2)
*C(-1/2)

 

== Vektoren ==
Vektoren kann man sich wie Pfeile vorstellen. Sie besitzen eine '''Länge''' (Betrag) und eine '''Richtung'''.
Auch sie bestehen, wie Punkte, je nach Dimension aus 2 bzw. 3 Koordinaten. Der Unterschied dabei ist, dass die Koordinaten hier keine Stellung im Koordinatensystem darstellen, sondern eine Bewegung. Auch die Schreibweise unterscheidet sich:

{{Vorlage:Merke |1=''Einen'' '''allgemeinen Vektor''' ''schreibt man an als'' $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ ($\mathbb{R^n}$) ''bzw.'' $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ ($\mathbb{R^2}$) oder $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right)$ ($\mathbb{R^3}$).

Vektoren werden in der Regeln mit Kleinbuchstaben mit Pfeil darüber bezeichnet.}}

 
===Ortsvektoren===
Der Ortsvektor von einem Punkt ist der Vektor, der vom Ursprung aus auf den Punkt zeigt. Die Koordinaten bleiben deshalb gleich, es ändert sich quasi nur die Schreibweise:

Sei $A(x_1/x_2/.../x_n)$ ein Punkt in der Dimension $n$, dann ist $\vec{0A} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ dessen Ortsvektor.

 

===Addition und Subtraktion===
Zwischen 2 Punkten kann man nun einen Vektor definieren. Dabei gilt: '''"Spitze minus Schaft"''' 
Im Beispiel rechts wollen wir den Vektor berechnen, der von A nach B geht, also den Vektor $\vec{AB}$. Der Punkt B(3/3,5) entspricht hierbei der Spitze, und der Punkt A(1/0,5) dem Schaft. Da das Rechnen mit Punkten allerdings keinen Sinn ergibt, rechnet man stattdessen mit deren Ortsvektoren (siehe oben).

[[Datei:Spitzeschaft.png|thumb|right|350px|"Spitze minus Schaft"]]

{{Vorlage:Merke|1=Wenn du Vektoren addieren oder subtrahieren möchtest, musst du dazu einfach die entsprechenden Koordinaten betrachten: 
$$\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) \pm \left( \begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ ... \\ y_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x_1 \pm y_1 \\ x_2 \pm y_2 \\ ... \\ x_n \pm y_n \end{array} \right)$$ 
Wichtig ist dabei, dass die Vektoren, die du addieren oder subtrahieren möchtest, derselben Dimension $n$ angehören! D.h. sie haben gleich viele Koordinaten.}}

Für unser Beispiel bedeutet das folgendes: $\vec{0B} - \vec{0A} = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 3,5 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0,5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 3-1 \\ 3,5-3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right) = \vec{AB}$

Beachte außerdem:
*Man schreibt der Einfachheit halber oft nur $B-A$, wenn damit eigentlich $\vec{0B} - \vec{0A}$ gemeint ist.
*$\vec{AB} = -\vec{BA}$
 

===Produkt eines Vektors mit einem Skalar===

Dieses Thema ist zwar ziemlich einfach, soll aber der Vollständigkeit halber nicht ausgelassen werden.
Wenn man einen Vektor $\vec{v}$ mit einem Skalar $k$ multipliziert, werden dabei die einzelnen Koordinaten mit dem Skalar multipliziert:

$k \cdot \vec{v} = k \cdot \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} k \cdot x_1 \\ k \cdot x_2 \\ ... \\ k \cdot x_n \end{array} \right)$
 

===Wie Vektoren zueinander stehen===

Vektoren können rein gar nichts miteinander zu tun haben, aber auch parallel zueinander oder gar identisch sein. Optisch lässt sich das oft sehr leicht erkennen (wie in den Bildern 1-4 unten), rechnerisch sind diese Feststellungen allerdings genauso möglich.
{{Vorlage:Definition |Unter einem Vektor versteht man die Menge aller gleichlangen, gleichgerichteten und gleichorientierten Pfeile!

Der Start/Endpunkt spielen dabei keine Rolle! $\vec{v_1}$ und $\vec{v_2}$ im Bild rechts unten sind derselbe Vektor!}}

[[Datei:Vektorenlänge.png|mini|left|250px|1: unterschiedliche Längen]]
<div class="tleft" style="clear:none">[[Datei:Vektororientierung1.png|mini|ohne|250px|2: unterschiedliche Orientierung]]</div>
<div class="tleft" style="clear:none">[[Datei:Vektorrichtung1.png|mini|ohne|250px|3: unterschiedliche Richtung]]</div>
<div class="tleft" style="clear:none">[[Datei:Vektorv1.png|mini|ohne|250px|4: ident]]</div>

 
Wir sehen, dass in Bild 1 und 2 die Vektoren parallel zueinander sind. Aber wie können wir das durch Rechnen herausfinden? Ganz einfach:

'''2 Vektoren stehen parallel zueinander, wenn sie linear abhängig voneinander sind!'''

Linear abhängig zu sein bedeutet, dass ein Vektor als Vielfaches eines anderen Vektors dargestellt werden kann.

*Bild 1: $ \ 2\cdot \vec{v} = \vec{u} \ \Rightarrow l.a. \ \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$
*Bild 2: $ \ -1\cdot \vec{v} = \vec{w} \ \Rightarrow l.a. \ \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{w}$
*Bild 3: $ \ \nexists \ k : k \cdot \vec{v} = \vec{t} \ \Rightarrow l.u. \ \Rightarrow \vec{v} \nparallel \vec{t}$
*Bild 4: $ \ \vec{v_1} = \vec{v_2} = \vec{v} \ \Rightarrow \vec{v_1} \parallel \vec{v_2}$

{{Vorlage:Beispiel|1=für linear unabhängige Vektoren:

Sei $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 5 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$.

Wenn es ein k gibt, sodass $k \cdot \vec{a} = \vec{b}$, dann sind die beiden Vektoren voneinander linear abhängig, und somit auch parallel zueinander.

Wir lösen dieses Problem mit Hilfe von 2 Gleichungen in einer Unbekannten:

|2=$$I: 2k = 4$$
$$II: 5k = 3$$

Aus der ersten Gleichung ergibt sich k=2. Setzen wir dieses k in die zweite Gleichung ein, erhalten wir eine falsche Aussage. Daraus folgt, dass die beiden Vektoren '''linear unabhängig''' und somit nicht parallel zueinander sind.}}
 

===Betrag und Einheitsvektor===
[[Datei:PythagorasVektor.png|thumb|350px|Betrag eines Vektors; Einheitsvektor]]
Wie anfangs bereits erwähnt, besitzen Vektoren eine Länge, auch '''Betrag''' eines Vektors genannt. Dieser wird mit Hilfe des pythagoräischen Lehrsatzes wie folgt berechnet:

<div align="center"> $\parallel \vec{v} \parallel = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2} \ $ wenn $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ ein Vektor der Dimension $n$ ist. </div>

Sehen wir uns die Grafik rechts an, können wir mit dieser Formel die Länge des zweidimensionalen Vektors $\parallel \vec{v} \parallel$ berechnen:

<div align="center"> $\parallel \vec{v} \parallel = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$ </div>

 
Der '''Einheitsvektor''', oder auch Norm eines Vektors genannt, ist nun nichts anderes als der Vektor dividiert durch seine Länge. Daraus ergibt sich ein Vektor, der dieselbe Richtung des ursprünglichen Vektors hat, allerdings die Länge 1 besitzt (deshalb "Norm")!

Sei $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ ein Vektor der Dimension $n$ und $\parallel \vec{v} \parallel$ sein Betrag, dann ist $\vec{v_0} = \frac{1}{\parallel \vec{v} \parallel} \cdot \vec{v} \ $ der Einheitsvektor zu $\vec{v}$.

In unserem Beispiel würde das folgendes bedeuten:

<div align="center">$\vec{v_0} = \frac{1}{\sqrt{13}} \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \frac{2}{\sqrt{13}} \\ \frac{3}{\sqrt{13}} \end{array} \right) = \vec{u}$</div>

 

===Vektoren bestimmter Länge===
Da wir nun gelernt haben, Einheitsvektoren zu bilden und Vektoren mit Zahlen zu multiplizieren (und ich das hier so schön betone), könnt ihr euch vielleicht schon vorstellen, wie man aus einem beliebigen Vektor einen Vektor derselben Richtung, allerdings unterschiedlicher Länge bekommt.
Wir haben also einen Vektor $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ mit der Länge $\parallel \vec{v} \parallel = k$ gegeben, und hätten gerne den Vektor $\vec{w} \ \parallel \ \vec{v}$ mit der Länge $l$. Dazu berechnen wir zuerst den Einheitsvektor $\vec{v_0}$ von $\vec{v}$ und multiplizieren diesen dann mit $l$. So erhalten wir schließlich $\vec{w} = l \cdot \vec{v_0}$.

 

==Mittelpunkt einer Strecke==
[[Datei:Mittelpunkt.png|thumb|300px|Mittelpunkt M der Strecke AB]]
Willst du den Mittelpunkt zwischen 2 Punkten $A$ und $B$ berechnen, musst du wie folgt vorgehen:
Zuerst berechnest du einen Vektor zwischen den Punkten ($\vec{AB}$ oder $\vec{BA}$). Dann halbierst du diesen Vektor, und erhältst $\vec{AM}$ bzw. $\vec{BM}$. Addierst du dann diesen Vektor zum entsprechenden Punkt ($A$ bzw. $B$), erhältst so den Mittelpunkt. Also:
 

<big><div align="center">$\vec{0M} = \vec{0A} + \frac{\vec{AB}}{2} = \vec{0B} + \frac{\vec{BA}}{2}$</div></big>

= Im $\mathbb{R^2}$ =
Dieser Artikel befasst sich mit der Vektorrechnung im zweidimensionalen Raum. Grundlegende Informationen zur Vektorrechnung, so wie Punkte und Vektoren, findest du unter dem Tab ''Grundlagen der Vektorrechnung''.

==Vektoren==

===Normalvektoren===
[[Datei:Normalvektoren.png|thumb|350px|Normalvektoren]]
Normalvektoren zu einem Vektor sind alle Vektoren, die normal (90°) auf den Vektor stehen. Im $\mathbb{R^2}$ gibt es zu jedem Vektor genau 2 Normalvektoren, die dieselbe Länge wie der ursprüngliche Vektor haben. Alle anderen Normalvektoren sind Vielfache eines dieser 2 Normalvektoren.

{{Vorlage:Merke | 1=Sei $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ ein Vektor, dann ist $\vec{n_1}=\left( \begin{array}{c} -y \\ x \end{array} \right)$ sein nach links gekippter, und $\vec{n_2}=\left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right)$ sein nach rechts gekippter Normalvektor.}}

 

===Skalarprodukt===
Unter dem Skalarprodukt versteht man die Multiplikation zweier Vektoren, bei der als Ergebnis ein Skalar (eine Zahl) entsteht.

{{Vorlage:Merke|1=Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren, dann ist $\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \end{array} \right) = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b$ gleich ihr Skalarprodukt.}}

 

===Winkel zwischen zwei Vektoren===
[[Datei:Winkel.png|thumb|350px|Winkel zwischen 2 Vektoren]]
<big>$$cos{\varphi} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel} = \vec{a_0} \cdot \vec{b_0}$$
bzw.
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = \parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel \cdot cos{\varphi}$$</big>

Heißt es, den Winkel zwischen 2 Vektoren/Geraden zu bestimmen, ist damit immer der kleinere Winkel gemeint. Solltest du einmal ein Ergebnis erhalten, das größer als 180° ist (nennen wir dieses Ergebnis $\varphi'$), dann ziehe dieses Ergebnis von 360° ab und du erhältst den kleineren Winkel ($\varphi = 360° - \varphi'$). 
Bei einem Winkel von $\varphi = 90°$ erhalten wir $cos{\varphi} = 0$, was bedeutet, dass auch $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$. Daraus ergibt sich das Orthogonalitätskriterium.

 

====Orthogonalitätskriterium====
{{Vorlage:Merke|1=Ergibt das Skalarprodukt zweier Vektoren $0$, so stehen diese zwei Vektoren normal zueinander (und umgekehrt!)
 
<div align="center">$\vec{a} \cdot \vec{b} \ = \ 0 \ \Leftrightarrow \ \vec{a} \bot \vec{b}$</div>}}

Das ist nicht überraschend, denn multipliziert man einen Vektor $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ mit seinem Notmalvektor $\vec{n}=\left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right)$ erhalten wir:
 
<div align="center">$\vec{v} \cdot \vec{n} = \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right) = xy - yx = 0$</div>

 

==Geraden==
===Darstellungsformen===
Geraden lassen sich in unterschiedlichen Formen darstellen. In der Vektorrechnung ist die Parameterdarstellung populär, da man dazu nur einen Punkt und Vektor kennen muss. Die Normalform allerdings hat den Vorteil, dass man den Normalvektor zur Geraden auf einen Blick ablesen kann. Je nachdem, was man mit der Gerade vorhat, können die verschiedenen Formen ineinander umgewandelt werden.

====Parameterdarstellung====
[[Datei:Parameterdarstellung.png|thumb|350px|Parameterdarstellung einer Geraden]]
$$g: \vec{0X} = \vec{0P} + t \cdot \vec{a}$$ 
wobei
*$X \in g$ ist ein '''beliebiger''' Punkt auf der unendlichen Geraden (steht für alle Punkte auf der Geraden)
*$P \in g$ ist ein '''bekannter''' Punkt auf der Geraden
*$t \in \mathbb{R}$ ist ein freier Parameter (in der Graphik rechts $\lambda$)
*$\vec{a} \in \mathbb{R^2}$ ist ein Vektor parallel zur Geraden, der die Richtung dieser angibt ("Richtungsvektor")
 
Beachte, dass in der Parameterdarstellung keine Punkte, sondern Ortsvektoren verwendet werden! (Info zu Ortsvektoren findest du unter ''Grundlagen der Vektorrechnung''.) 
Wenn man das weiß, kann man der Einfachheit halber die Gerade auch folgendermaßen beschreiben: $g: X = P + t \cdot \vec{a}$

 
Eine andere Schreibweise ist, die Koordinaten einzeln zu betrachten und 2 Gleichungen aufzustellen:
$$g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \end{cases}$$

 

====Normalvektorform====
Hierzu benötigt man einen Normalvektor des Richtungsvektors und multipliziert dann die Geradengleichung mit diesem Normalvektor. Da $\vec{a} \cdot \vec{n} = 0$, bleibt über:

Sei $g: \vec{0X} = \vec{0P} + t \cdot \vec{a}$ eine Gerade in Parameterform, so ist 

<div align="center">$g: \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x_P \\ y_P \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right)$</div> 

dieselbe Gerade in Normalform, wobei $\vec{0X}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right), \ \vec{0P}=\left( \begin{array}{c} x_P \\ y_P \end{array} \right), \ \vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right)$ und $\vec{n}=\left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right)$ ein Normalvektor von $\vec{a}$ (hier kann man natürlich auch den anderen Normalvektor verwenden).

 

====Allgemeine Geradengleichung====
Diese Form der Darstellung heißt auch Normalform, da man den Normalvektor der Gerade direkt ablesen kann.Um von der Parameterdarstellung auf diese Form zu kommen, gibt es 2 Möglichkeiten:

'''1. Multiplikation mit Normalvektor:'''
Hierzu muss man einfach die Normalform ausmultiplizieren und es ergibt sich: 

$$g: y_a \cdot x + -x_a \cdot y = y_a \cdot x_P + -x_a \cdot y_P$$
 

'''2. Elimination des Parameters:'''
Hierbei gehen wir von der Geradenform $g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \end{cases}$ aus, eliminieren $t$, und kommen ebenfalls auf die obige allgemeine Geradengleichung.
Auf der rechten Seite der Gleichung stehen nur bekannte Größen, auf der linken Seiten stehen Vielfache von x und y. Diese Gleichung kann man weiter auch auf die Form y=kx+d umformen.

 

===Lagebeziehungen zwischen Geraden===
Mehrere Geraden können im $\mathbb{R^2}$

*ident sein, d.h. sie haben unendlich viele gemeinsame Punkte
*parallel sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt
*einander schneiden, d.h. sie haben genau ein gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt)
 
Sind uns 2 Geraden in '''Parameterdarstellung''' gegeben, betrachten wir zuerst ihre Richtungsvektoren. 
Sind diese parallel zueinander, so sind auch die Geraden parallel zueinander. Nun bleibt noch die Frage offen, ob die Geraden ident sind. Dazu überprüfen wir einfach, ob der gegebene Punkt der einen Geraden auch auf der anderen Geraden liegt. Dazu Setzen wir den bekannten Punkt der einen Geraden für den unbekannten Punkt der anderen Geraden ein und erhalten 2 Gleichungen in einer Unbekannten (Parameter der zweiten Gerade). Erhalten wir nun für den Parameter zweimal dasselbe Ergebnis, so sind die 2 Geraden ident, erhalten wir unterschiedliche Ergebnisse, so sind sie nur parallel. 
Sind die Richtungsvektoren nicht parallel zueinander, so sind es auch die 2 Geraden nicht, und wir können uns sicher sein, dass diese einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen.
Doch wie erhalten wir den Schnittpunkt? Ganz einfach, indem wir die 2 Geraden schneiden. Dazu müssen wir sie gleichsetzen, und dann das dadurch erhaltene Gleichungssystem in 2 Unbekannten (die 2 Parameter) lösen. Wenn wir den Wert eines Parameters ausgerechnet haben, setzen wir ihn einfach in die entsprechende Geradengleichung ein und erhalten so den Schnittpunkt!

 

Sind die 2 Geraden in der '''allgemeinen Geradenform''' gegeben, so haben wir bereits 2 Gleichungen gegeben, die wir nach x und y auflösen. Dieses x und y sind die Koordinaten des Schnittpunktes.

 

Um das Schneiden von Geraden besser zu verstehen, schau dir das Lösen von [[ Gleichungssysteme (2.7.) |Gleichungssystemen]] genauer an, wirf einen Blick auf die Beispiele zum $\mathbb{R^2}$ unter dem Tab 'Beispiele', oder sieh dir dieses Video an:

<div align="center">{{#ev:youtube|ZrFE3LRisn0}}</div>

 

===Normalabstand Punkt - Gerade===
[[Datei:Normalabstand.gif|right]]
Gegeben sei ein Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und eine Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$. Um den Normalabstand $d(Q,g)$ zwischen Q und g zu berechnen, gehe wie folgt vor:
{{Vorlage:Merke|1=1. Bestimme die Gerade $q: X = Q + s \cdot \vec{n}$, die durch $Q$ geht und den Normalvektor $\vec{n}$ von $\vec{a}$ als Richtungsvektor besitzt.
2. Schneide $g$ und $q$ und die erhältst ihren Schnittpunkt $S$. 
3. Berechne $\parallel \vec{QS} \parallel$.}}
In der Graphik rechts hätten wir z.B. die Angabe $g: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right) + \lambda \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array} \right)$ und $Q(3/4)$. Du kannst das zur Übung durchrechnen.

 

====Hesse'sche Abstandsformel====
Mithilfe dieser Formel kann man ebenfalls den Abstand $d(Q,g)$ zwischen Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$ bestimmen. 
<big>$d(Q,g) = | \vec{PQ} \cdot \vec{n_0} | $</big>, wobei $\vec{n_0}$ der normierte (Länge 1) Normalvektor des Richtungsvektors $\vec{a}$ der Geraden $g$ ist.

 

====Spiegelung eines Punktes an einer Geraden====
[[Datei:Spiegeln.png|thumb|250px|Gespiegelter Punkt Q']]
Gegeben sei ein Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und eine Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$. Es gilt den Punkt $Q$ an der Gerade $g$ zu spiegeln, und so den Punkt $Q'$ zu erhalten. Dazu befolgst du die Vorgehensweise von "Normalabstand Punkt - Gerade" bis du den Vektor $\vec{QS}$ erhältst, und trägst diesen vom Punkt $S$ ab, also: 
$Q' = S + \vec{QS}$

= Im $\mathbb{R^3}$ =

== Vektoren ==

=== Kreuzprodukt ===
Im $\mathbb{R^3}$ gibt es neben dem Skalarprodukt, bei dem wir als Ergebnis ein Skalar erhalten, eine weitere Möglichkeit, zwei Vektoren mit einander zu multiplizieren: das sog. Kreuz- oder Vektorprodukt, bei dem wir als Ergebnis einen Vektor erhalten.
{{Vorlage:Merke|1=Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren des $\mathbb{R^3}$, dann ist ihr Kreuzprodukt
$$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} y_a \cdot z_b - z_a \cdot y_b \\ z_a \cdot x_b - x_a \cdot z_b \\ x_a \cdot y_b - y_a \cdot x_b \end{array} \right)$$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ -3 \end{array} \right)$, gesucht ist ihr Kreuzprodukt.
|2=$$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \cdot (-3) - 3 \cdot 4 \\ 3 \cdot 5 - 1 \cdot (-3) \\ 1 \cdot 4 - 2 \cdot 5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-6) - 12 \\ 15 - (-3) \\ 4 - 10 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -18 \\ 18 \\ -6 \end{array} \right)$$}}

Wozu wir das Kreuzprodukt überhaupt benötigen, sehen wir an den nächsten 2 Punkten.

 

==== Normalvektoren ====
Im $\mathbb{R^3}$ gibt es zu einem Vektor unendlich viele Normalvektoren. Auf eine Ebene allerdings gibt es genau 2 Normalvektoren (wie im $\mathbb{R^2}$ auf eine Gerade). Eine Ebene wird von 2 Vektoren aufgespannt, deren Kreuzprodukt ergibt einen Normalvektor $\vec{n_1}$ auf die Ebene bzw. die zwei Vektoren; der zweite Normalvektor hat die entgegengesetzte Orientierung ($\vec{n_2} = -\vec{n_1}$). Also:
$$\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$$

 

==== Fläche eines von zwei Vektoren aufgespannten Parallelogramms oder Dreiecks ====
 
{{Vorlage:Merke|1=Die Länge $\parallel \vec{n} \parallel = \parallel \vec{a} \times \vec{b} \parallel$ des Normalvektors $\vec{n}$ zu den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ entspricht der Maßzahl des Flächeninhaltes des Parallelogramms, das $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aufspannen (im Bild die gesamte grüne Fläche).
Die Hälfte dieser Fläche entspricht der Fläche des aufgespannten Dreiecks.}}

 

=== Skalarprodukt, Orthogonalitätskriterium, Winkel zwischen zwei Vektoren ===
Diese drei Dinge "funktionieren" im $\mathbb{R^3}$ wie im $\mathbb{R^2}$. Also hier nur eine kurze Wiederholung:
 

'''Skalarprodukt''' 
Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\z_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren, dann ist $$\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right) = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b + z_a \cdot z_b$$ gleich ihr Skalarprodukt.
 

'''Orthogonalitätskriterium''' 
Ergibt das Skalarprodukt zweier Vektoren $0$, so stehen diese zwei Vektoren normal zueinander (und umgekehrt!)
$$\vec{a} \cdot \vec{b} \ = \ 0 \ \Leftrightarrow \ \vec{a} \bot \vec{b}$$
Auch das gibt es im $\mathbb{R^3}$. Bedenke aber, dass es hier, anders als im $\mathbb{R^2}$, unendlich viele Normalvektoren auf einen Vektor gibt.
 

'''Winkel zwischen zwei Vektoren'''
$$cos{\varphi} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel} = \vec{a_0} \cdot \vec{b_0}$$

 

== Geraden ==
=== Darstellungsformen ===
==== Parameterdarstellung ====
Die Parameterdarstellung im $\mathbb{R^3}$ sieht genauso aus wie im $\mathbb{R^2}$, einziger Unterschied ist, dass unsere Punkte und Vektoren hier jeweils 3 Koordinaten haben.
$$g: X = P + t \cdot \vec{a}$$ bzw. $$g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \\ z = z_P + t \cdot z_a \end{cases}$$
Mehr Infos zu den einzelnen Komponenten findest du im Tab 'Im $\mathbb{R^2}$'.

 

==== Parameterfreie Darstellungsform ====
Diese besteht aus 2 Gleichungen und wir erhalten sie durch Eliminierung des Parameters.

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sei die Parameterform der Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ -4 \\ 1 \end{array} \right)$. Zuerst schreiben wir das in die 3 Koordinatengleichungen um:
$$g : \begin{cases} x = 2 + 3t \\ y = 0 - 4t \\ z = 1 + t \end{cases}$$

|2=Wir multiplizieren die erste Gleichung mit $4$ und die zweite Gleichung mit $3$ und addieren die beiden: $$+ \begin{cases} 4x = 8 + 12t \\ 3y = 0 - 12t \end{cases}$$ und erhalten so die Gleichung $4x + 3y = 8$.
Wir multiplizieren die dritte Gleichung mit $3$ und subtrahieren diese von der ersten Gleichung: $$- \begin{cases} x = 2 + 3t \\ 3z = 3 + 3t \end{cases}$$ und erhalten so die Gleichung $x - 3z = -1$.

Die parameterfreie Darstellung unserer Gerade lautet somit $$g : \begin{cases} 4x + 3y = 8 \\ x - 3z = -1 \end{cases}$$.}}

Die zwei Gleichungen in der parameterfreien Darstellung sind übrigens Ebenengleichungen. Die eigentliche Gerade ist der Schnitt dieser zwei Ebenen!

 

=== Lagebeziehungen zwischen Geraden ===
Mehrere Geraden können im $\mathbb{R^3}$

*ident sein, d.h. sie haben unendlich viele gemeinsame Punkte
*parallel sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt
*einander schneiden, d.h. sie haben genau ein gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt)
*windschief sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt und sind nicht parallel
 

Um herauszufinden, wie 2 gegebene Geraden in Parameterform zueinander stehen, gehst du am besten wie folgt vor:

'''Betrachtung der Richtungsvektoren:''' Auch im $\mathbb{R^3}$ gilt, sind die Richtungsvektoren zweier Geraden parallel zueinander (d.h. man kann einen Vektor als Vielfaches des anderen Vektors darstellen), so sind es auch die Geraden.
 

'''Fall 1: Die Vektoren sind parallel:''' Sollte sich herausstellen, dass die zwei Geraden parallel zueinander sind, überprüfst du als nächstes, ob sie einen gemeinsamen Punkt haben; am einfachsten funktioniert das, indem du den bekannten Punkt ($P$) der einen Geraden in die zweite Gerade (für den unbekannten Punkt $X$) einsetzt. Wir erhalten drei Gleichungen in einer Unbekannten (Parameter der zweiten Gerade). 
'''Fall 1a:''' Erhalten wir nun für den Parameter dreimal dasselbe Ergebnis, so sind die 2 Geraden '''ident''' (und parallel), da der überprüfte Punkt, und somit unendlich weitere, auf beiden Geraden liegen. 
'''Fall 1b:''' Erhalten wir unterschiedliche Ergebnisse, so sind sie nur '''parallel''', da der überprüfte Punkt nicht, und somit auch kein anderer, auf beiden Geraden liegen.
 

'''Fall 2: Die Vektoren sind nicht parallel:''' Nun gibt es nur noch zwei Möglichkeiten: Entweder die zwei Geraden haben einen gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt), oder sie sind windschief. 
Um das wiederum herauszufinden, setzt du die beiden Geraden gleich, d.h. du stellst ein lineares Gleichungssystem (LGS) mit drei Gleichungen und in drei Unbekannten auf, und versuchst, dieses zu lösen. 
'''Fall 2a:''' Solltest du nun eine Lösung erhalten, d.h. du erhältst den Wert für den Parameter einer der zwei Geraden (und hast diesen Wert überprüft), so weißt du, dass die zwei Geraden einander '''schneiden'''. Den Schnittpunkt erhältst du jetzt, indem du den erhaltenen Wert für den Parameter in die entsprechende Geradengleichung einsetzt. 
'''Fall 2b:''' Sollte dein LGS keine Lösung ergeben (also sich eine falsche Aussage oder ein Widerspruch ergeben, z.B. $2=13$, oder $t=4$ und $t=-1$), dann weißt, du dass deine beiden Geraden keinen Schnittpunkt haben und somit '''windschief''' sind.
 

Um das oben Beschriebene besser nachvollziehen zu können und zu festigen, siehst du dir am besten das folgende Video an, oder du wirfst einen Blick auf passende Beispiele zum $\mathbb{R^3}$ im Tab 'Beispiele' (kommt noch).

<div align="center">{{#ev:youtube|u0QoYlEE094}}</div>

 

== Ebenen ==
Eine Ebene ist durch 3 Punkte oder 1 Punkt und 2 (voneinander linear unabhängigen) Vektoren eindeutig festgelegt.
=== Darstellungsformen ===
==== Parameterdarstellung ====
$$\epsilon : X = P + s \cdot \vec{a} + t \cdot \vec{b}$$
bzw.
$$\epsilon : \begin{cases} x = x_P + s \cdot x_a + t \cdot x_b \\ y = y_P + s \cdot y_a + t \cdot y_b \\ z = z_P + s \cdot z_a + t \cdot z_b \end{cases}$$
wobei
*$X \in \epsilon$ ist ein '''beliebiger''' Punkt auf der unendlichen Ebene
*$P \in \epsilon$ ist ein '''bekannter''' Punkt auf der Ebene
*$s, t \in \mathbb{R}$ sind freie Parameter
*$\vec{a}, \vec{b} \in \mathbb{R^3}$ sind zwei Vektoren, die parallel zur Ebene liegen

 

==== Normalvektorform ====
Man multipliziert die Parameterdarstellung der Ebene mit ihrem Normalvektor $\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$ und erhält schließlich
$$\vec{n} \cdot \vec{X} = \vec{n} \cdot \vec{P}$$

 

==== Allgemeine Ebenengleichung ====
$$ax + by + cz = d$$
Diese Form der Darstellung heißt auch Normalform, da man den Normalvektor der Ebene direkt ablesen kann. Um von der Parameterdarstellung auf diese Form zu kommen, gibt es 2 Möglichkeiten:

'''1. Multiplikation mit Normalvektor:'''
Hierzu muss man einfach die Normalform ausmultiplizieren und es ergibt sich: 

$$\epsilon: x_n \cdot x + y_n \cdot y + z_n \cdot z = x_n \cdot x_P + y_n \cdot y_P + z_n \cdot z_P$$
 

'''2. Elimination des Parameters:'''
Hierbei gehen wir von der Ebenengleichung $\epsilon : \begin{cases} x = x_P + s \cdot x_a + t \cdot x_b \\ y = y_P + s \cdot y_a + t \cdot y_b \\ z = z_P + s \cdot z_a + t \cdot z_b \end{cases}$ aus, eliminieren $s$ und $t$, und kommen ebenfalls auf die obige allgemeine Ebenengleichung.

 

=== Lagebeziehungen ===
==== ...zwischen zwei Ebenen ====
Zwei Ebenen können im $\mathbb{R^3}$
*ident sein: die Ebenengleichungen (allg. Form) sind Vielfache voneinander; z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : 2x + 2y + 2z = 6 \Rightarrow \epsilon _2 = 2 \cdot \epsilon _1$
*parallel sein: die Normalvektoren der Ebenen sind Vielfache voneinander; z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : 2x + 2y + 2z = 5 \Rightarrow \vec{n_2} = 2 \cdot \vec{n_1}$
*sich schneiden (in einer Gerade): die Normalvektoren der Ebenen sind keine Vielfache voneinander; z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : x - 3y + 2z = 1 \Rightarrow \nexists \lambda \in \mathbb{R} : \vec{n_1} = \lambda \cdot \vec{n_2}$

 

==== ...zwischen 3 Ebenen ====
Drei Ebenen können im $\mathbb{R^3}$
*alle ident sein
*2 ident, 1 parallel sein
*alle parallel sein
*3 Schnittgeraden haben
*2 Schnittgeraden haben (2 Ebenen parallel)
*1 Schnittgerade haben
*1 Schnittpunkt haben

 

==== ...zwischen Ebene und Gerade ====
Eine Ebene und eine Gerade können im $\mathbb{R^3}$
*$g \in \epsilon$, die Gerade liegt auf der Ebene
*parallel sein
*1 Schnittpunkt haben

= Beispiele =
Hier findest du Beispiele zu den behandelten Themen:

===Grundlagen der Vektorrechnung===
[http://matura.marienberg.at/images/9/99/VektorrechnungGLBspAngabe.pdf VektorrechnungGLBspAngabe.pdf]
 
[http://matura.marienberg.at/images/0/00/VektorrechnungGLBspLösung.pdf VektorrechnungGLBspLösung.pdf]

===Vektorrechnung im $\mathbb{R^2}$===
[http://matura.marienberg.at/images/7/7f/VektorrechnungR2BspAngabe.pdf VektorrechnungR2BspAngabe.pdf]
 
[http://matura.marienberg.at/images/f/ff/VektorrechnungR2BspLösung.pdf VektorrechnungR2BspLösung.pdf]

Wahrscheinlichkeitsrechnung

2016-01-01T09:54:51Z

MWBüro:

Folgende Punkte werden in der Wahrscheinlichkeitsrechnung behandelt:
* [[Wahrscheinlichkeit: Grundlagen | Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung]]
* [[Wahrscheinlichkeit: Baumdiagramme und Pfadregeln|Baumdiagramme und Pfadregeln]]
* [[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung|Diskrete Zuvallsvariablen und die Binomialverteilung]]Wahrscheinlichkeitsverteilungen
* [[Wahrscheinlichkeit: Normalverteilung und Stetige Zufallsvariablen| Stetige Zufallsvariablen und die Normalverteilung]]

Einen Überblick über die wichtigsten Punkte liefert das folgende Video:

{{Vorlage:Video|fAuuNIf-rPo}}

== Matura-Aufgaben ==

[[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=288&file=Duengersaecke_(3).pdf Düngersäcke] (mittel) (Normalverteilung)

[[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=262&file=Schweinezucht_2.pdf Schweinezucht] (mittel) (Normalverteilung)

[[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=345&file=Produzent_von_landwirtsch._Geraeten.pdf Produzent von landwirtsch. Geräten] (mittel) (Baumdiagramme/Wahrscheinlichkeitsfunktion)
siehe auch:
* [[Finanzmathematik]]
* [[Gleichungssysteme (2.7.)]]

[[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=268&file=Getraenkeproduktion.pdf Getränkeproduktion] (mittel) 
siehe auch:
* [[Lineare Optimierung]]

[[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=271&file=Elektronikhersteller.pdf Elektronikhersteller]
siehe auch:
* [[Kosten- und Preistheorie]]
* [[Regression|Regression (für HLW)]]

[[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=291&file=Materialzuschnitt_(2).pdf Materialzuschnitt] (mittel)
siehe auch:
* [[Finanzmathematik]]

[[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=210&file=Erweiterung_der_Produktpalette.pdf Erweiterung der Produktionspalette] (mittel)
siehe auch:
* [[Finanzmathematik]]

[[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=289&file=Hotelrenovierung_(3).pdf Hotelrenovierung] (mittel-leicht-mittel)
siehe auch:
* [[Finanzmathematik]]

[[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=141&file=Milchverpackung.pdf Milchverpackung] (Bifie-Aufgabe: leicht-mittel-mittel)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: für a) [[Formeln]] und für b) [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)]]

[[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=145&file=Torten.pdf Torten] (Bifie-Aufgabe: mittel-leicht-leicht-leicht)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Gleichungssysteme (2.7.)|Gleichungssysteme]] sowie [[Funktionen]] und [[Formeln]]

[[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=295&file=Halterung_fuer_Glasfassaden.pdf Glasfassaden] (mittel-leicht-leicht-mittel-leicht)
siehe auch:
* [[Kosten- und Preistheorie]]

Quadratische Funktionen

2016-01-01T09:52:54Z

MWBüro:

[[Datei:Parabeln.png | thumb| right| 450px | Abbildung zweier Parabeln samt zugehörigen Funktionsgleichungen]]

{{Vorlage:Definition|1=Die Funktionsgleichung einer quadratischen [[Funktionen|Funktion]] (auch [[Potenz- und Polynomfunktionen|Polynomfunktion]] 2. [[Grades]] genannt) lautet $$y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$$
<div align="right">mit $a,b,c\in$ [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)| $\mathbb{R} $ ]]. </div> }}

'''Hinweis:'''
* !Wichtig! Der Graph einer quadratischen Funktion ist IMMER eine '''Parabel''' und damit $\cup$- oder $\cap$-förmig (siehe Abbildungen rechts).

* Quadratische Funktionen haben immer genau einen [[Extremstellen | Hoch- oder Tiefpunkt]]. Diesen nennt man '''Scheitelpunkt''' (oder '''Scheitel''')

* Die Gleichung $ y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ wird als '''Normalform''' bezeichnet (sozusagen: ''im Normalfall ist die Funktion in dieser Form gegeben'').
: Neben der Normalform gibt es auch noch die [[Quadratische Funktionen#Scheitelpunktform |Scheitelpunktform $y=a\cdot (x-w)^2+s$]]

== Graph, Parameter und Eigenschaften ==

[[Grün: Arbeitsblätter | $Aha!$ ]] $\ $ Schau dir [http://www.geogebratube.org/student/m137538 dieses Arbeitsblatt] an und beantworte die darin angeführten Fragen.

Gegeben [[sei]] eine quadratische Funktion der Form
$$f(x)= a\cdot x^2+b\cdot x+c$$

Dann haben die [[Parameter]] $a,\ b$ und $c$ folgende Auswirkungen auf den Graphen der quadratischen Funktion:
----
[[Datei:Graph mit a.gif|right]]

'''$a$ gibt an, wie stark der Graph steigt oder fällt'''

* Ist $a>0$, so ist die Parabel nach '''oben''' offen.
* Ist $a<0$, so ist die Parabel nach '''unten''' offen.
* Je größer [[Betrag einer Zahl (1.6.)| $|a|$ ]] ist, desto steiler ist der Graph.
* $a$ kann abgelesen werden, indem man vom Scheitelpunkt aus '''eins''' nach rechts und dann senkrecht zum Graphen geht.

{| style="background-color:#D3D3D3"
|'''Achtung:''' Im Gegensatz zu den [[lineare Funktionen | linearen Funktionen]] darf man hier immer nur 1 nach rechts, niemals mehr. Der Grund: Die Steigung der Parabel ändert sich (sie wird immer steiler). Dagegen ist die Steigung der quadratischen Funktion immer konstant.

Allgemein gilt: Ist eine Steigung konstant, so ist es egal, ob man z.B. 1 nach rechts und 3 hinauf, oder 2 nach rechts und 6 hinauf geht.
|}

----
[[Datei:Graph mit b1.gif | right]]

'''$b$ verschiebt den Scheitelpunkt entlang einer Kurve nach rechts oder links:'''

* Ist $b<0$, so liegt der Scheitelpunkt '''rechts''' (!) der y-Achse.
* Ist $b>0$, so liegt der Scheitelpunkt '''links''' (!) der y-Achse.

'''!Achtung! Merke dir:'''
* $b<0\rightarrow$ rechts
* $b>0\rightarrow$ links

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

 '''Zusatz für Interessierte''' 

<div class="mw-collapsible-content"> Die Kurve, entlang derer die Parabel verschoben wird, ist die Spiegelung der Parabel parallel zur x-Achse.

Wer selbständig beweisen kann, warum dies so ist, dem ist der 1er so gut wie sicher.

</div>

</div>

----
[[Datei:Graph mit c1.gif|right]]

$c$ gibt den Schnittpunkt mit der y-Achse an (vgl. das [[Lineare Funktionen#d = Abstand auf der y-Achse ("Ordinatenabschnitt") |d bei den linearen Funktionen]]).

* Ist $c>0$, so liegt der Schnittpunkt oberhalb der x-Achse.
* Ist $c=0$, so geht die Parabel durch den Koodrinatenursprung.
* Ist $c<0$, so schneidet die Parabel die y-Achse unterhalb der x-Achse.

 
 
 
 

== Nullstellen quadratischer Funktionen ==

[[Datei:Nullstellen.png|thumb|right|400px| Parabeln mit 0, 1 oder 2 Nullstellen]]

Die [[Nullstelle | Nullstellen]] einer quadratischen Funktion sind die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse.

Je nachdem, wie die Parabel im Koordinatensystem liegt gibt es:
* 2 Nullstellen
* 1 Nullstelle (=Scheitelpunkt liegt auf der x-Achse)
* 0 Nullstellen.

Die Nullstellen einer quadratischen Funktion werden berechnet, indem man $f(x)=0$ setzt und dann die [[qudratische Gleichungen | quadratische Gleichung]] $$f(x)=0$$ löst.

Siehe auch [[qudratische Gleichungen]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

 '''Musterbeispiel:''' Bestimme die Nullstelle der quadratischen Funktion $f(x)=-x^2+6x-5$ 

<div class="mw-collapsible-content">

'''Lösung:'''
Zuerst setzen wir die Funktion 0:
$$0=-x^2 + 6 \cdot x - 5$$
Nun verwenden wir die [[quadratische Gleichungen#die große Lösungsformel | große Lösungsformel]] mit a=-1, b=6 und c=-5
$$ x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}$$
[[Datei:Quadfkt-nullstelle.png|thumb|200px|right]]
$$x_{1,2}=\frac{-6\pm \sqrt{6^2-4\cdot (-1)\cdot (-5)}}{2\cdot (-1)}$$
$$x_{1,2}=\frac{-6\pm \sqrt{36-20}}{-2}$$
$$ x_1=\frac{-6+4}{-2}=1$$
$$ x_2=\frac{-6-4}{-2}=5$$
'''Antwort:''' Der Graph der Funktion schneidet bei $N_1(1|0)$ und $N_2(5|0)$ die x-Achse.
</div>
</div>

 
 
 

== Typische Rechenbeispiele bei gegebener Funktionsgleichung ==
{{Vorlage:Beispiel|1=Ein Ball wird in die Höhe geworfen. Die Funktion $h(t)=-0.1x^2+0.3x+3$ gibt die Höhe des Balles in Metern (m) nach t Sekunden (s) an.
 
 
 
a) Bestimmen Sie die Abwurfhöhe des Balles.
 
b) Ermitteln Sie die Höhe des Balles nach 6 Sekunden.
 
c) Berechnen Sie, zu welchem Zeitpunkt der Ball auf dem Boden aufkommt.
 
d) Ermitteln Sie, zu welchem Zeitpunkt der Ball eine Höhe von 2 m hat.
 
e) Skizzieren Sie den Graphen von h(t) im Intervall $[-2;8]$
 
f) Erklären Sie, wie mithilfe der Nullstellen der Funktion h(t) jener Zeitpunkt bestimmt werden kann, bei dem der Ball seine maximale Höhe erreicht.
|2=
a) Es gilt $$h(t)=-0.1t^2+0.3t+3$$. Bereits am $c=3$ erkennt man, dass die Anfangshöhe 3m ist. Alternativ kann man auch für $t=0$ einsetzen (da hier der Beginn ist):
$$h(0)=-0.1\cdot 0^2+0.3\cdot 0+3$$
$$h(0)=3$$

b) Laut Angabe ist $t=6$. Setzen wir dies in die Funktionsgleichung ein, so erhalten wir:
$$h(6)=-0.1\cdot 6^2+0.3\cdot 6+3$$
$$h(6)=1.2\ m$$

c) Gesucht ist die Nullstelle der Funktion. D.h. für welches t gilt, dass $h(t)=0$ ist:
$$0=h(t)$$
$$0-0.1t^2+0.3t+3$$
Nun löst man die Gleichung z.B. mit der [[großen Lösungsformel]] oder mit dem [[GeoGebra|Löse-Befehl]] und erhält:
$$t_1=-4.18\ \ \ \textrm{ und }\ \ \ t_2=7.18$$
Der Ball landet nach 7.18 s auf dem Boden.

d) Für welches t ist $h(t)=2$?
$$2=h(t)$$
$$2=-0.1t^2+0.3t+3\ \ \ \vert -2$$
$$0=-0.1t^2+0.3t+1$$
Nun löst man die Gleichung z.B. mit der [[großen Lösungsformel]] oder mit dem [[GeoGebra|Löse-Befehl]] und erhält:
$$t_1=-2\ \ \ \textrm{ und }\ \ \ t_2=5$$
Somit hat der Ball nach 5 Sekunden eine Höhe von 5 m.

e)
[[Datei:Quadratische-fkten-Bsp.png|700px|miniatur|zentriert|Graph der Funktion $h(t)$]]

d) Nach c) lauten die Nullstellen $t_1=-4.18$ und $t_2=7.18$. Da die Parabel symmetrisch zum Scheitelpunkt ist und die Parabel nach unten offen ist ($a=-0.1<0$), liegt der Scheitelpunkt/Hochpunkt genau zwischen den beiden Nullstellen:
$t_{max}=\frac{-4.18+7.18}{2}=1.5$

Nach 1.5 s erreicht der Ball seine maximale Höhe.

}}

== Scheitelpunktform ==
=== Allgemein ===
[[Datei:Scheitelpunktform1.gif|right]]
Neben der Normalform ($f(x)=ax^2+bx+c$) gibt es auch noch die sogenannte Scheitelpunktform der Parabel:
$$\textrm{Scheitelpunktform: } f(x)=a\cdot (x-w)^2+s$$
 
 
$a$... gibt die Steigung (genauso wie bei der Normalform) an.

$w$... waagrechte Verschiebung des Scheitelpunktes vom Ursprung

$s$... senkrechte Verschiebung des Scheitelpunktes vom Ursprung

 

[[Grün: Arbeitsblätter | $Aha!$ ]] $\ $ In diesem [http://www.geogebratube.org/student/m137542 diesem Arbeitsblatt] kannst du die Bedeutung der Scheitelpunktform genauer lernen.

[[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| ? ]] $\ $ Und hier findest du eine [http://www.geogebratube.org/student/m79503 Aufgabe zur Scheitelpunktform]

 
 

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

 '''Musteraufgabe:'''
Zeichnen Sie den Graphen der Funktion $f(x)=0.5\cdot (x-2)^2+1$ in ein Koordinatensystem. Wählen Sie dabei einen passenden Maßstab. 

<div class="mw-collapsible-content">

[[Datei:Scheitelpunktformbsp.png|right]]

'''Lösung:'''
* $w=-2$... somit wird die Parabel wird 2 nach rechts verschoben
* $s=1$... somit wird die Parabel um 1 hinauf verschoben
* Der Scheitelpunkt S hat folglich die Koordinaten S(2|1).
* $a=0.5$... damit erhält man die Steigung, wenn man 1 nach rechts und 0.5 hinauf geht.

</div>

</div>

=== Vor- und Nachteil der Scheitelpunktform ===
Die Scheitelpunktform hat den Vorteil, dass

a) bei gegebener Funktionsgleichung direkt die Koordinaten des Scheitelpunktes bestimmt werden können bzw.

b) bei gegebenem Graphen direkt mithilfe des Scheitelpunktes w uns s bestimmt werden können.

=== Umwandlung von der Scheitelpunktform $y=a\cdot (x+w)^2+s$ in die Normalform $y=ax^2+bx+c$ ===

'''Methode''':
Quadriere die Klammer aus und vereinfache den Term!

{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben ist die quadratische Funktion $f(x)=0.5\cdot (x-2)^2+1$ in Scheitelpunktform.

a) Bestimmen Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes.

b) Wandeln Sie die Funktion in die Normalform $f(x)=ax^2+bx+c$ um.
|2= a) $S(2\vert 1)$, da die Parabel 1 hinauf (=s...senkrecht) und 2 nach rechts (-2=w=waagrecht) verschoben wurden.

b) Wir quadrieren die Klammer aus und vereinfachen (siehe [[Binomische Formeln]]:
$$f(x)=0.5\cdot (x-2)^2+1$$
1. Schritt: ausquadrieren
$$f(x)=0.5\cdot (x^2-4x+4)+1$$
2. Schritt: vereinfachen
$$f(x)=0.5x^2-2x+2+1$$
$$f(x)=0.5x^2-2x+3$$
Die Normalform von $f$ lautet $\underline{\underline{f(x)=0.5x^2-2x+3} }$.}}

=== Umwandlung von der Normalform in die Scheitelpunktform ===

'''Methode:'''
Um von der Normalform auf die Scheitelpunktform zu kommen, muss man den Funktionsterm [[Quadratisches Ergänzen | quadratisch ergänzen]].

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben ist eine quadratische Funktion in Normalform: $f(x)=x^2-2x+3$
Bestimmen Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes, indem sie die Funktionsgleichung zuerst in die Scheitelpunktform umformen.|2=Quadratisches Ergänzen bedeutet, den Funktionsterm so umzuformen, bis eine [[Binomische Formeln|binomische Formel]] entsteht:

$$f(x)=x^2-2x+3$$
$$f(x)=x^2-(2\cdot 1)\cdot x+3$$
$$f(x)=x^2-2\cdot 1\cdot x+(1+2)$$
$$f(x)=(x^2-2\cdot 1\cdot x+1)+2$$
nun die binomische Formel $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$ verwenden:
$$\underline{\underline{f(x)=(x-1)^2+2} }$$
Somit haben wir die Scheitelpunktform $f(x)=(x-1)^2+2$ und die Koordinaten des Scheitelpunktes lauten: $(1\vert 2)$ ($s=1$ und $w=+1\rightarrow$ 1 nach rechts) }}

 
 
 

'''Füge im folgenden Applet zu jeder Graphik die passende Funktion hinzu'''
{{#widget:Iframe
|url= http://LearningApps.org/view391866
|width= 900
|height= 500
|border=0
}}

== Funktionsgleichung bestimmen ==
'''Typische Aufgabenstellung''':
: ''Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der quadratischen Funktion, wenn mehrere Punkte auf der Parabel (=Graph der quadratischen Funktion) gegeben sind.''

'''Lösungsweg:''' Je nachdem, ob der Scheitelpunkt gegeben ist, gibt es zwei verschiedene Lösungswege:

a) Wenn der Scheitelpunkt gegeben ist, verwendet man die Scheitelpunktform und bestimmt anhand der Koordinaten des Scheitelpunktes $w$ und $s$ und anschließend $a$

b) Wenn der Scheitelpunkt nicht gegeben ist, verwendet man die Normalform und stellt mithilfe von 3 Punkten insgesamt 3 Gleichungen auf, indem man die Punkte in die Funktionsgleichung $y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ einsetzt.
 
 
 

'''Musterbeispiel'''

{| border="1"
!| Normalform $y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$
!| Scheitelpunktform $ y=a\cdot(x-w)^2+s$
|-
| '''Wird verwendet, wenn:'''
* Scheitelpunkt nicht bekannt ist.
* 3 Punkte auf dem Graphen bekannt sind.
* [[Nullstelle|Nullstellen]] berechnet werden müssen.
|'''Wird verwendet, wenn:'''
* Scheitelpunkt bekannt oder ablesbar ist.
|-
| '''Berechnung der [[Parameter]]'''
# Man bestimmt 3 Punkte des Graphen und setzt sie in die Funktionsgleichung.
# Das daraus entstehende [[Gleichungssysteme (2.7.)#Gleichungssysteme mit 3 oder mehreren Variablen | Gleichungssystem]] wird gelöst.
| '''Berechnung der [[Parameter]]'''
# w und s können mithilfe des Scheitelpunktes $S=(w,s)$ bestimmt werden.
# a erhält man, entweder, indem man einen weiteren Punkt aus dem Graphen in die Funktionsgleichung einsetzt oder $a$ aus dem Graphen abliest (''eins nach rechts, a hinauf/hinab'')

|-
|colspan="2" align="center" | '''Typische Aufgabenstellung:'''
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der abgebildeten Graphen
|-
|
 
[[Datei:Bsp-Funktionsgleichung bestimmen.png|thumb|300px|center]]

 

Da der Scheitelpunkt nicht bekannt ist, setzen wir die drei Punkte in die Normalform $y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ ein:

$$(0,3)\rightarrow \ 3=a\cdot 0^2+b\cdot 0+c$$
$$ (1,1)\rightarrow\ 1=a\cdot 1^2+b\cdot 1+c$$
$$ (4,0)\rightarrow\ 0=a\cdot 4^2+b\cdot 4+c$$

Daraus ergibt sich das folgende Gleichungssystem:
$$I:\ 0\cdot a+0\cdot b+c=3$$
$$II: \ 1\cdot a+1\cdot b+c=1$$
$$III:\ 16\cdot+4\cdot b+c=0$$

Löst man dieses, so erhält man:
$a=0.42,\ b=-2.42$ und $c=3$
$$\rightarrow \underline{\underline{y=0.42x^2-2.24x+3}}$$
|[[Datei:Bsp-Funktionsgleichung bestimmen2.png|thumb|center|300px]]
 

Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten $S(2|-1)$. Somit gilt:

$w=2$, da der Graph um 2 nach rechts verschoben wurde

$s=-1$, da der Graph um 1 hinunter verschoben wurde
$$\rightarrow y=a\cdot(x-2)^2-1$$

Um $a$ zu berechnen, setzen wir nun den Punkt (0,3) ein und erhalten:
$$3=a\cdot (0-2)^2-1$$
$$3=a\cdot 4-1$$
$$4=4\dot a$$
$$a=1$$
$$\rightarrow \underline{\underline{y=1\cdot(x-2)^2-1}}$$

Hinweis: Dass $a=1$ ist, wäre auch einfacher aus dem Graphen ablesbar gewesen.

|}

== Online-Übungsmaterialien ==

* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| ? ]]: Übung zur [https://www.geogebratube.org/student/m82256 Bestimmung der Funktionsgleichung in Normalform]

== Matura-Beispiele ==
* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=18&file=Wasserstrahl.pdf Wasserstrahl] (Bifie-Aufgabe: mittel-mittel-leicht)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Nullstelle]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=133&file=Laptops.pdf Laptops] (Bifie-Aufgabe: mittel-leicht-leicht)
*: siehe auch: [[Quadratische Gleichungen]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$ ]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=205&file=Bungeejumping.pdf Bungeejumping] (leicht-mittel-mittel)
*: für b) brauchst du den [[Differenzen- und Differentialquotient]] (erst in der 4. Klasse!) 

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=34&file=Schispringen.pdf Skispringen] (leicht-mittel-mittel)
*: Aufgabe b) lernst du erst [[Kurvendiskussionen | in der 4. Klasse (Kurvendiskussionen)]] 

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=25&file=Ortsumfahrung.pdf Ortsumfahrung] (Bifie-Aufgabe: mittel-mittel)
*: Aufgabe a) kannst du erst ab der 4. Klasse lösen da du hier [[Bestimmen der Tangentengleichung | die Tangentengleichung bestimmen musst.]]

[[Kategorie: Funktionen]]

Quadratische Funktionen

2016-01-01T09:52:25Z

MWBüro:

[[Datei:Parabeln.png | thumb]]

{{Vorlage:Definition|1=Die Funktionsgleichung einer quadratischen [[Funktionen|Funktion]] (auch [[Potenz- und Polynomfunktionen|Polynomfunktion]] 2. [[Grades]] genannt) lautet $$y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$$ <div align="right">mit $a,b,c\in$ [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)| $\mathbb{R} $ ]]. </div> }}

 '''Hinweis:''' * !Wichtig! Der Graph einer quadratischen Funktion ist IMMER eine '''Parabel''' und damit $\cup$- oder $\cap$-förmig (siehe Abbildungen rechts).

* Quadratische Funktionen haben immer genau einen [[Extremstellen | Hoch- oder Tiefpunkt]]. Diesen nennt man '''Scheitelpunkt''' (oder '''Scheitel''')

* Die Gleichung $ y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ wird als '''Normalform''' bezeichnet (sozusagen: ''im Normalfall ist die Funktion in dieser Form gegeben''). : Neben der Normalform gibt es auch noch die [[Quadratische Funktionen#Scheitelpunktform |Scheitelpunktform $y=a\cdot (x-w)^2+s$]]

== Graph, Parameter und Eigenschaften ==

[[Grün: Arbeitsblätter | $Aha!$ ]] $\ $ Schau dir [http://www.geogebratube.org/student/m137538 dieses Arbeitsblatt] an und beantworte die darin angeführten Fragen.

Gegeben [[sei]] eine quadratische Funktion der Form $$f(x)= a\cdot x^2+b\cdot x+c$$

Dann haben die [[Parameter]] $a,\ b$ und $c$ folgende Auswirkungen auf den Graphen der quadratischen Funktion: ---- [[Datei:Graph mit a.gif|right]]

 '''$a$ gibt an, wie stark der Graph steigt oder fällt'''

 * Ist $a>0$, so ist die Parabel nach '''oben''' offen. * Ist $a<0$, so ist die Parabel nach '''unten''' offen. * Je größer [[Betrag einer Zahl (1.6.)| $]] ist, desto steiler ist der Graph. * $a$ kann abgelesen werden, indem man vom Scheitelpunkt aus '''eins''' nach rechts und dann senkrecht zum Graphen geht.

{| style="background-color:#D3D3D3" |'''Achtung:''' Im Gegensatz zu den [[lineare Funktionen | linearen Funktionen]] darf man hier immer nur 1 nach rechts, niemals mehr. Der Grund: Die Steigung der Parabel ändert sich (sie wird immer steiler). Dagegen ist die Steigung der quadratischen Funktion immer konstant. Allgemein gilt: Ist eine Steigung konstant, so ist es egal, ob man z.B. 1 nach rechts und 3 hinauf, oder 2 nach rechts und 6 hinauf geht. |}

---- [[Datei:Graph mit b1.gif | right]]

'''$b$ verschiebt den Scheitelpunkt entlang einer Kurve nach rechts oder links:'''

 * Ist $b<0$, so liegt der Scheitelpunkt '''rechts''' (!) der y-Achse. * Ist $b>0$, so liegt der Scheitelpunkt '''links''' (!) der y-Achse.

'''!Achtung! Merke dir:''' * $b<0\rightarrow$ rechts * $b>0\rightarrow$ links

 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

 '''Zusatz für Interessierte''' 

<div class="mw-collapsible-content"> Die Kurve, entlang derer die Parabel verschoben wird, ist die Spiegelung der Parabel parallel zur x-Achse.

Wer selbständig beweisen kann, warum dies so ist, dem ist der 1er so gut wie sicher.

</div>

</div>

---- [[Datei:Graph mit c1.gif|right]]

 $c$ gibt den Schnittpunkt mit der y-Achse an (vgl. das [[Lineare Funktionen#d = Abstand auf der y-Achse ("Ordinatenabschnitt") |d bei den linearen Funktionen]]).

 * Ist $c>0$, so liegt der Schnittpunkt oberhalb der x-Achse. * Ist $c=0$, so geht die Parabel durch den Koodrinatenursprung. * Ist $c<0$, so schneidet die Parabel die y-Achse unterhalb der x-Achse.

 

== Nullstellen quadratischer Funktionen ==

[[Datei:Nullstellen.png|thumb|right|400px| Parabeln mit 0, 1 oder 2 Nullstellen]]

Die [[Nullstelle | Nullstellen]] einer quadratischen Funktion sind die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse.

Je nachdem, wie die Parabel im Koordinatensystem liegt gibt es: * 2 Nullstellen * 1 Nullstelle (=Scheitelpunkt liegt auf der x-Achse) * 0 Nullstellen.

 Die Nullstellen einer quadratischen Funktion werden berechnet, indem man $f(x)=0$ setzt und dann die [[qudratische Gleichungen | quadratische Gleichung]] $$f(x)=0$$ löst.

 Siehe auch [[qudratische Gleichungen]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

 '''Musterbeispiel:''' Bestimme die Nullstelle der quadratischen Funktion $f(x)=-x^2+6x-5$ 

<div class="mw-collapsible-content">

'''Lösung:''' Zuerst setzen wir die Funktion 0: $$0=-x^2 + 6 \cdot x - 5$$ Nun verwenden wir die [[quadratische Gleichungen#die große Lösungsformel | große Lösungsformel]] mit a=-1, b=6 und c=-5 $$ x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}$$ [[Datei:Quadfkt-nullstelle.png|thumb|right|200px]] $$x_{1,2}=\frac{-6\pm \sqrt{6^2-4\cdot (-1)\cdot (-5)}}{2\cdot (-1)}$$ $$x_{1,2}=\frac{-6\pm \sqrt{36-20}}{-2}$$ $$ x_1=\frac{-6+4}{-2}=1$$ $$ x_2=\frac{-6-4}{-2}=5$$ '''Antwort:''' Der Graph der Funktion schneidet bei $N_1(1|0)$ und $N_2(5|0)$ die x-Achse. </div> </div>

 

== Typische Rechenbeispiele bei gegebener Funktionsgleichung == {{Vorlage:Beispiel|1=Ein Ball wird in die Höhe geworfen. Die Funktion $h(t)=-0.1x^2+0.3x+3$ gibt die Höhe des Balles in Metern (m) nach t Sekunden (s) an. a) Bestimmen Sie die Abwurfhöhe des Balles. b) Ermitteln Sie die Höhe des Balles nach 6 Sekunden. c) Berechnen Sie, zu welchem Zeitpunkt der Ball auf dem Boden aufkommt. d) Ermitteln Sie, zu welchem Zeitpunkt der Ball eine Höhe von 2 m hat. e) Skizzieren Sie den Graphen von h(t) im Intervall $[-2;8]$ f) Erklären Sie, wie mithilfe der Nullstellen der Funktion h(t) jener Zeitpunkt bestimmt werden kann, bei dem der Ball seine maximale Höhe erreicht. |2= a) Es gilt $$h(t)=-0.1t^2+0.3t+3$$. Bereits am $c=3$ erkennt man, dass die Anfangshöhe 3m ist. Alternativ kann man auch für $t=0$ einsetzen (da hier der Beginn ist): $$h(0)=-0.1\cdot 0^2+0.3\cdot 0+3$$ $$h(0)=3$$

b) Laut Angabe ist $t=6$. Setzen wir dies in die Funktionsgleichung ein, so erhalten wir: $$h(6)=-0.1\cdot 6^2+0.3\cdot 6+3$$ $$h(6)=1.2\ m$$

 c) Gesucht ist die Nullstelle der Funktion. D.h. für welches t gilt, dass $h(t)=0$ ist: $$0=h(t)$$ $$0-0.1t^2+0.3t+3$$ Nun löst man die Gleichung z.B. mit der [[großen Lösungsformel]] oder mit dem [[GeoGebra|Löse-Befehl]] und erhält: $$t_1=-4.18\ \ \ \textrm{ und }\ \ \ t_2=7.18$$ Der Ball landet nach 7.18 s auf dem Boden.

d) Für welches t ist $h(t)=2$? $$2=h(t)$$ $$2=-0.1t^2+0.3t+3\ \ \ \vert -2$$ $$0=-0.1t^2+0.3t+1$$ Nun löst man die Gleichung z.B. mit der [[großen Lösungsformel]] oder mit dem [[GeoGebra|Löse-Befehl]] und erhält: $$t_1=-2\ \ \ \textrm{ und }\ \ \ t_2=5$$ Somit hat der Ball nach 5 Sekunden eine Höhe von 5 m.

e) [[Datei:Quadratische-fkten-Bsp.png|thumb|center|700px|Graph der Funktion $h(t)$]]

d) Nach c) lauten die Nullstellen $t_1=-4.18$ und $t_2=7.18$. Da die Parabel symmetrisch zum Scheitelpunkt ist und die Parabel nach unten offen ist ($a=-0.1<0$), liegt der Scheitelpunkt/Hochpunkt genau zwischen den beiden Nullstellen: $t_{max}=\frac{-4.18+7.18}{2}=1.5$

 Nach 1.5 s erreicht der Ball seine maximale Höhe.

 }}

== Scheitelpunktform == === Allgemein === [[Datei:Scheitelpunktform1.gif|right]] Neben der Normalform ($f(x)=ax^2+bx+c$) gibt es auch noch die sogenannte Scheitelpunktform der Parabel: $$\textrm{Scheitelpunktform: } f(x)=a\cdot (x-w)^2+s$$ $a$... gibt die Steigung (genauso wie bei der Normalform) an.

$w$... waagrechte Verschiebung des Scheitelpunktes vom Ursprung

$s$... senkrechte Verschiebung des Scheitelpunktes vom Ursprung

 

[[Grün: Arbeitsblätter | $Aha!$ ]] $\ $ In diesem [http://www.geogebratube.org/student/m137542 diesem Arbeitsblatt] kannst du die Bedeutung der Scheitelpunktform genauer lernen.

[[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| ? ]] $\ $ Und hier findest du eine [http://www.geogebratube.org/student/m79503 Aufgabe zur Scheitelpunktform]

 

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

 '''Musteraufgabe:''' Zeichnen Sie den Graphen der Funktion $f(x)=0.5\cdot (x-2)^2+1$ in ein Koordinatensystem. Wählen Sie dabei einen passenden Maßstab. 

<div class="mw-collapsible-content">

 [[Datei:Scheitelpunktformbsp.png|right]]

 '''Lösung:''' * $w=-2$... somit wird die Parabel wird 2 nach rechts verschoben * $s=1$... somit wird die Parabel um 1 hinauf verschoben * Der Scheitelpunkt S hat folglich die Koordinaten S(2|1). * $a=0.5$... damit erhält man die Steigung, wenn man 1 nach rechts und 0.5 hinauf geht.

</div>

</div>

 === Vor- und Nachteil der Scheitelpunktform === Die Scheitelpunktform hat den Vorteil, dass

 a) bei gegebener Funktionsgleichung direkt die Koordinaten des Scheitelpunktes bestimmt werden können bzw.

b) bei gegebenem Graphen direkt mithilfe des Scheitelpunktes w uns s bestimmt werden können.

 === Umwandlung von der Scheitelpunktform $y=a\cdot (x+w)^2+s$ in die Normalform $y=ax^2+bx+c$ ===

 '''Methode''': Quadriere die Klammer aus und vereinfache den Term!

 {{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben ist die quadratische Funktion $f(x)=0.5\cdot (x-2)^2+1$ in Scheitelpunktform.

a) Bestimmen Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes.

b) Wandeln Sie die Funktion in die Normalform $f(x)=ax^2+bx+c$ um. |2= a) $S(2\vert 1)$, da die Parabel 1 hinauf (=s...senkrecht) und 2 nach rechts (-2=w=waagrecht) verschoben wurden.

b) Wir quadrieren die Klammer aus und vereinfachen (siehe [[Binomische Formeln]]: $$f(x)=0.5\cdot (x-2)^2+1$$ 1. Schritt: ausquadrieren $$f(x)=0.5\cdot (x^2-4x+4)+1$$ 2. Schritt: vereinfachen $$f(x)=0.5x^2-2x+2+1$$ $$f(x)=0.5x^2-2x+3$$ Die Normalform von $f$ lautet $\underline{\underline{f(x)=0.5x^2-2x+3} }$.}}

=== Umwandlung von der Normalform in die Scheitelpunktform ===

'''Methode:''' Um von der Normalform auf die Scheitelpunktform zu kommen, muss man den Funktionsterm [[Quadratisches Ergänzen | quadratisch ergänzen]].

 {{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben ist eine quadratische Funktion in Normalform: $f(x)=x^2-2x+3$ Bestimmen Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes, indem sie die Funktionsgleichung zuerst in die Scheitelpunktform umformen.|2=Quadratisches Ergänzen bedeutet, den Funktionsterm so umzuformen, bis eine [[Binomische Formeln|binomische Formel]] entsteht:

$$f(x)=x^2-2x+3$$ $$f(x)=x^2-(2\cdot 1)\cdot x+3$$ $$f(x)=x^2-2\cdot 1\cdot x+(1+2)$$ $$f(x)=(x^2-2\cdot 1\cdot x+1)+2$$ nun die binomische Formel $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$ verwenden: $$\underline{\underline{f(x)=(x-1)^2+2} }$$ Somit haben wir die Scheitelpunktform $f(x)=(x-1)^2+2$ und die Koordinaten des Scheitelpunktes lauten: $(1\vert 2)$ ($s=1$ und $w=+1\rightarrow$ 1 nach rechts) }}

 

 '''Füge im folgenden Applet zu jeder Graphik die passende Funktion hinzu''' {{#widget:Iframe |url= http://LearningApps.org/view391866 |width= 900 |height= 500 |border=0 }}

== Funktionsgleichung bestimmen == '''Typische Aufgabenstellung''': : ''Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der quadratischen Funktion, wenn mehrere Punkte auf der Parabel (=Graph der quadratischen Funktion) gegeben sind.''

 '''Lösungsweg:''' Je nachdem, ob der Scheitelpunkt gegeben ist, gibt es zwei verschiedene Lösungswege:

a) Wenn der Scheitelpunkt gegeben ist, verwendet man die Scheitelpunktform und bestimmt anhand der Koordinaten des Scheitelpunktes $w$ und $s$ und anschließend $a$

b) Wenn der Scheitelpunkt nicht gegeben ist, verwendet man die Normalform und stellt mithilfe von 3 Punkten insgesamt 3 Gleichungen auf, indem man die Punkte in die Funktionsgleichung $y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ einsetzt. 

'''Musterbeispiel'''

{| border="1" !| Normalform $y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ !| Scheitelpunktform $ y=a\cdot(x-w)^2+s$ |- | '''Wird verwendet, wenn:''' * Scheitelpunkt nicht bekannt ist. * 3 Punkte auf dem Graphen bekannt sind. * [[Nullstelle|Nullstellen]] berechnet werden müssen. |'''Wird verwendet, wenn:''' * Scheitelpunkt bekannt oder ablesbar ist. |- | '''Berechnung der [[Parameter]]''' # Man bestimmt 3 Punkte des Graphen und setzt sie in die Funktionsgleichung. # Das daraus entstehende [[Gleichungssysteme (2.7.)#Gleichungssysteme mit 3 oder mehreren Variablen | Gleichungssystem]] wird gelöst. | '''Berechnung der [[Parameter]]''' # w und s können mithilfe des Scheitelpunktes $S=(w,s)$ bestimmt werden. # a erhält man, entweder, indem man einen weiteren Punkt aus dem Graphen in die Funktionsgleichung einsetzt oder $a$ aus dem Graphen abliest (''eins nach rechts, a hinauf/hinab'')

|- |colspan="2" align="center" | '''Typische Aufgabenstellung:''' Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der abgebildeten Graphen |- | [[Datei:Bsp-Funktionsgleichung bestimmen.png|thumb|center|300px]]

 

Da der Scheitelpunkt nicht bekannt ist, setzen wir die drei Punkte in die Normalform $y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ ein:

 $$(0,3)\rightarrow \ 3=a\cdot 0^2+b\cdot 0+c$$ $$ (1,1)\rightarrow\ 1=a\cdot 1^2+b\cdot 1+c$$ $$ (4,0)\rightarrow\ 0=a\cdot 4^2+b\cdot 4+c$$

Daraus ergibt sich das folgende Gleichungssystem: $$I:\ 0\cdot a+0\cdot b+c=3$$ $$II: \ 1\cdot a+1\cdot b+c=1$$ $$III:\ 16\cdot+4\cdot b+c=0$$

Löst man dieses, so erhält man: $a=0.42,\ b=-2.42$ und $c=3$ $$\rightarrow \underline{\underline{y=0.42x^2-2.24x+3}}$$ |[[Datei:Bsp-Funktionsgleichung bestimmen2.png|thumb|center|300px]] 

Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten $S(2|-1)$. Somit gilt:

$w=2$, da der Graph um 2 nach rechts verschoben wurde

$s=-1$, da der Graph um 1 hinunter verschoben wurde $$\rightarrow y=a\cdot(x-2)^2-1$$

Um $a$ zu berechnen, setzen wir nun den Punkt (0,3) ein und erhalten: $$3=a\cdot (0-2)^2-1$$ $$3=a\cdot 4-1$$ $$4=4\dot a$$ $$a=1$$ $$\rightarrow \underline{\underline{y=1\cdot(x-2)^2-1}}$$

 Hinweis: Dass $a=1$ ist, wäre auch einfacher aus dem Graphen ablesbar gewesen.

|}

== Online-Übungsmaterialien ==

* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| ? ]]: Übung zur [https://www.geogebratube.org/student/m82256 Bestimmung der Funktionsgleichung in Normalform]

 == Matura-Beispiele == * [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie[[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]]lt;/span>]]amp;lt;/span>" data-bs-type="internal_link" class="internal bs-internal-link" data-bs-wikitext="Bifie-gr%C3%BCn:%20Aufgaben%20des%20Bifie%20%7C%20<span%20style="background-color:#7CFC00">$Bifie[[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]]amp;lt;/span>"> $Bifie[[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]]lt;/span>amp;lt;/span>" data-bs-type="internal_link" class="internal bs-internal-link" data-bs-wikitext="Bifie-gr%C3%BCn:%20Aufgaben%20des%20Bifie%20%7C%20<span%20style="background-color:#7CFC00">$Bifie[[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]]amp;lt;/span>"> $Bifie[[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]]lt;/span>amp;lt;/span>" data-bs-type="internal_link" class="internal bs-internal-link" data-bs-wikitext="Bifie-gr%C3%BCn:%20Aufgaben%20des%20Bifie%20%7C%20<span%20style="background-color:#7CFC00">$Bifie[[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]]amp;lt;/span>"> $Bifie[[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]]lt;/span> [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=18&file=Wasserstrahl.pdf Wasserstrahl] (Bifie-Aufgabe: mittel-mittel-leicht) *: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Nullstelle]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=133&file=Laptops.pdf Laptops] (Bifie-Aufgabe: mittel-leicht-leicht) *: siehe auch: [[Quadratische Gleichungen]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$ ]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=205&file=Bungeejumping.pdf Bungeejumping] (leicht-mittel-mittel) *: für b) brauchst du den [[Differenzen- und Differentialquotient]] (erst in der 4. Klasse!) 

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=34&file=Schispringen.pdf Skispringen] (leicht-mittel-mittel) *: Aufgabe b) lernst du erst [[Kurvendiskussionen | in der 4. Klasse (Kurvendiskussionen)]] 

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=25&file=Ortsumfahrung.pdf Ortsumfahrung] (Bifie-Aufgabe: mittel-mittel) *: Aufgabe a) kannst du erst ab der 4. Klasse lösen da du hier [[Bestimmen der Tangentengleichung | die Tangentengleichung bestimmen musst.]]

[[Kategorie: Funktionen]]

Lineare Optimierung

2016-01-01T09:49:08Z

MWBüro: /* Keine Zusammenfassung */

{{Vorlage:Hum}}
Die lineare Optimierung eignet sich besonders für wirtschaftliche Anwendungen, um (unter anderem) die optimale Produktionsmenge und den maximalen Gewinn zu bestimmen.

==Einleitung - Was ist lineare Optimierung?==
Im Jahre 1948 wurden beim Wiederaufbau der Stadt Moskau Mathematiker damit beauftragt, den Transport von Kies aus 20 Kiesgruben zu 230 Baustellen kostensparend zu optimieren. Mit Hilfe der linearen Optimierung konnte eine Kostensenkung von 10 % gegenüber dem ursprünglichen Preis erreicht werden.W. Knödl von der TU Wien errechnete 1960 mit Hilfe der linearen Optimierung einen optimalen Kostenplan für den Transport von Zucker aus fünf österreichischen Zuckerfabriken an alle 300 österreichischen Großhändler. Auch hier konnten die Transportkosten um 10 % gesenkt werden.
Heute wird die lineare Optimierung im Transportwesen angewendet, um Transportkosten zu senken, in der Landwirtschaft, um Nutzflächen optimal auszunützen, in der Organisationsplanung, um die günstigsten Stunden- und Schichtpläne zu ermitteln usw.
Wir beschränken uns hier auf die Grundidee der linearen Optimierung und beschränken uns auf 2 Variablen.

==Methode (zusammengefasst)==
{{Vorlage:Merke|1=$\ $
# Zuerst lese den Text ganz genau durch und überlege dir, was gefragt ist. Was soll x sein, was soll y sein?
# Dann werden aus der Angabe alle Nebenbedingungen in Form von Ungleichungen herausgelesen. Dazu gehören in der Regel auch immer die [[Nichtnegativitätsbedingungen]]
# Das Planungsfeld wird erstellt, indem die [[Lineare Ungleichungen mit 2 Variablen | Lösungsmengen der Ungleichungen gezeichnet werden]]
# Die Zielfunktion wird aufgestellt: Z gibt an, was maximiert/minimiert werden soll.
# Der Graph der Zielfunktion wird in das Planungsfeld gezeichnet (mit Z=0) und anschließend bis zum optimalen Punkt parallel hinauf (für das Maximum) oder hinunter (für das Minimum) verschoben.
# Die Koordinaten des optimalen Punktes werden bestimmt, indem man
#: a) die Koordinaten abliest
#: b) den [[Gleichungssysteme (2.7.)#Gleichungssysteme mit 2 Variablen | Schnittpunkt der beiden Geraden]], die sich in diesem Punkt schneiden, berechnet.

}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width: 800px;">
'''Bemerkungen:'''<div class="mw-collapsible-content">
# Meistens gibt es nur einen Lösungspunkt. Es kann aber auch vorkommen, dass die Zielfunktion zu einer Begrenzungsgeraden parallel ist und hier auch optimal ist. Jeder Punkt der Geraden, der auch im Planungsfeld liegt, ist dann Lösungspunkt.
# Die hier beschriebene graphische Lösungsmethode ist nur für zwei (höchstens drei) Variable anwendbar. In der Praxis treten viel mehr Variable auf; solche Verfahren sind nur noch mit rechnerischen Methoden (z.B.: Simplex-Algorithmus) zu bewältigen.
# '''Hauptsatz der linearen Optimierung:'''
#: Die Zielfunktion erreicht ihr Maximum oder Minimum stets am Rand des zulässigen Bereichs. In den meisten Aufgabenstellungen ist die Lösung eindeutig und liegt in einem Eckpunkt des zulässigen Bereichs.

</div>
</div>
==Video==
{|
|-
!|Aufstellen der Nebenbedingungen und Zielfkt
!|Planungsfeld und optimaler Punkt
|-
||{{#ev:youtube|Ie1MAKgLmzw}}
||{{#ev:youtube|fr0PJu3f588}}
|}

==Musterbeispiel==
'''Angabe'''

{| border="1" align="center"
|-
||Eine Kleiderfabrik stellt Hosen und Röcke her. Täglich kann man 70 Hosen und 100 Röcke nähen, allerdings insgesamt nicht mehr als 140 Stück. Die Herstellungskosten betragen 20€ für eine Hose und 15€ für einen Rock. Der Verkaufspreis je Hose beträgt 45€ und je Rock 35€.
a) Übersetze die Nebenbedingungen aus dem Texte in ein Ungleichungen. 
b) Stelle die Zielfunktion auf, wobei maximaler Gewinn angestrebt werden soll.
 
c) Löse das System und interpretieren Sie die Lösung.

|}
 
'''Lösung'''

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width: 800px;">
'''a) Übersetze die Nebenbedingungen aus dem Texte in Ungleichungen.'''<div class="mw-collapsible-content">

 
Sei x die Anzahl der Hosen, y die Anzahl der Röcke.

{| border="1" align="center"
|-
||"''Täglich kann man 70 Hosen und 100 Röcke nähen''"
|}
$$ I:x\leq 70$$
$$II: y\leq 100 $$

{| border="1" align="center"
|-
||"''allerdings insgesamt nicht mehr als 140 Stück''"
|}
$$ III: x+y\leq 140 \rightarrow y\leq -x+140 $$Nichtnegativitätsbedingungen: $$ IV: x\geq 0 \textrm{ und }V: y\geq 0$$

</div>
</div>
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width: 800px;">
'''b) Stelle die Zielfunktion auf, wobei maximaler Gewinn angestrebt werden soll.'''<div class="mw-collapsible-content">
{| border="1" align="center"
|-
||"''Die Herstellungskosten betragen 20€ für eine Hose und 15€ für einen Rock. Der Verkaufspreis je Hose beträgt 45€ und je Rock 35€.''"
|}
Gewinn für eine Hose: $45-20=25$ €.
 Gewinn für einen Rock: $35-15=20$ €.
 Somit lautet die Zielfunktion, die den Gewinn angibt:

$$\begin{align} Z=25x+20y &\rightarrow -25x+Z=20y \\
&\rightarrow y=-\frac{25}{20}x+\frac{Z}{20} \end{align}$$
 
 
</div>
</div>
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width: 800px;">
'''c) Löse das System und interpretiere die Lösung.'''<div class="mw-collapsible-content">

1. Schritt: Zuerst zeichnen wir das Planungsfeld:

$\begin{align} I:&x\leq 70&\\
II:&y\leq 100&\\
III: &x+y\leq 140& \rightarrow y\leq -x+140 \\
IV:& x\geq 0&\\
V: &y\leq 0& \end{align}$

[[Datei:Planungsfeld.png|center|Planungsfeld]]

2. Schritt: Dann zeichnen wir die Zielfunktion ein und verschieben sie parallel ganz nach oben, bis sie das Planungsfeld nur noch in einem Punkt berührt.

$$y=-\frac{25}{20}x+\frac{Z}{20}\rightarrow k=\frac{25}{20} \textrm{und d kann frei gewählt werden.}$$

[[Datei:Planungsfeld u Zielfkt5.gif|center|Die Zielfunktion zeichnest du ein, wenn du für k 20 nach rechts und 25 hinunter gehst.]]

Der optimale Punkt ist der Schnittpunkt von $I: x=70$ und $II: y=-x+140$. (Hinweis: Natürlich können die Koordinaten des optimalen Punktes auch abgelesen werden, wir wollen sie hier aber berechnen).
 
 
 
3. Schritt Nun berechnen wir den optimal Punkt, indem wir die Geraden $I: x=70$ und $III: y=-x+140$ schneiden:

$$I: x=70$$
$$III: y=-x+140$$
Einsetzungsverfahren: I in III einsetzen.
$$ y=-70+140 \rightarrow y=70$$
Somit lauten die Koordinaten des optimalen Punktes: $P(70|70)$
 
 
 
4. Schritt: Zuletzt berechnen wir noch den maximalen Gewinn, indem wir den optimalen Punkt $(70|70)$ in die Zielfunktion $Z=25x+20y$ einsetzen:
$$Z=25\cdot 70+20\cdot 70=3150$$
 

5. Schritt: Antwortsatz
Der maximale Gewinn von 3150 € wird bei einer Produktion von 70 Hosen und 70 Röcken erzielt.

</div>
</div>
 
 
 

==Beispiele==
# [http://matura.marienberg.at/images/a/a0/Aufgaben_zur_linearen_Optimierung_%28Th-Germann%29.docx Übungsaufgaben samt Lösungen von T. Germann]
# [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie |$Bifie$]]lt;/span>" data-bs-type="internal_link" class="internal bs-internal-link" data-bs-wikitext="Bifie-gr%C3%BCn:%20Aufgaben%20des%20Bifie%20%7C%20<span%20style=%22background-color:#7CFC00%22>$Bifie[[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie |$Bifie$]]lt;/span>" data-bs-type="internal_link" class="internal bs-internal-link" data-bs-wikitext="Bifie-gr%C3%BCn:%20Aufgaben%20des%20Bifie%20%7C%20<span%20style=%22background-color:%20#7cfc00;%22>$Bifie[[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]]lt;/span>"> $Bifie$]]lt;/span>"> $Bifie$]]lt;/span>" data-bs-type="internal_link" class="internal bs-internal-link" data-bs-wikitext="Bifie-gr%C3%BCn:%20Aufgaben%20des%20Bifie%20%7C%20<span%20style=%22background-color:#7CFC00%22>$Bifie[[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]]lt;/span>"> $Bifie$lt;/span>" data-bs-type="internal_link" class="internal bs-internal-link" data-bs-wikitext="Bifie-gr%C3%BCn:%20Aufgaben%20des%20Bifie%20%7C%20<span%20style=%22background-color:#7CFC00%22>$Bifie[[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]]lt;/span>"> $Bifie$ [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=48&file=Weinhandel.pdf Weinhandel]
# [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=79&file=Vitrinen.pdf Vitrinen]
# [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=196&file=Biogas.pdf Biogas]

[[Kategorie:Teil B: Cluster 6]]

Lineare Optimierung

2016-01-01T09:47:49Z

MWBüro:

{{Vorlage:Hum}}
Die lineare Optimierung eignet sich besonders für wirtschaftliche Anwendungen, um (unter anderem) die optimale Produktionsmenge und den maximalen Gewinn zu bestimmen.

==Einleitung - Was ist lineare Optimierung?==
Im Jahre 1948 wurden beim Wiederaufbau der Stadt Moskau Mathematiker damit beauftragt, den Transport von Kies aus 20 Kiesgruben zu 230 Baustellen kostensparend zu optimieren. Mit Hilfe der linearen Optimierung konnte eine Kostensenkung von 10 % gegenüber dem ursprünglichen Preis erreicht werden.
W. Knödl von der TU Wien errechnete 1960 mit Hilfe der linearen Optimierung einen optimalen Kostenplan für den Transport von Zucker aus fünf österreichischen Zuckerfabriken an alle 300 österreichischen Großhändler. Auch hier konnten die Transportkosten um 10 % gesenkt werden.
Heute wird die lineare Optimierung im Transportwesen angewendet, um Transportkosten zu senken, in der Landwirtschaft, um Nutzflächen optimal auszunützen, in der Organisationsplanung, um die günstigsten Stunden- und Schichtpläne zu ermitteln usw.
Wir beschränken uns hier auf die Grundidee der linearen Optimierung und beschränken uns auf 2 Variablen.

==Methode (zusammengefasst)==
{{Vorlage:Merke|1=$\ $
# Zuerst lese den Text ganz genau durch und überlege dir, was gefragt ist. Was soll x sein, was soll y sein?
# Dann werden aus der Angabe alle Nebenbedingungen in Form von Ungleichungen herausgelesen. Dazu gehören in der Regel auch immer die [[Nichtnegativitätsbedingungen]]
# Das Planungsfeld wird erstellt, indem die [[Lineare Ungleichungen mit 2 Variablen | Lösungsmengen der Ungleichungen gezeichnet werden]]
# Die Zielfunktion wird aufgestellt: Z gibt an, was maximiert/minimiert werden soll.
# Der Graph der Zielfunktion wird in das Planungsfeld gezeichnet (mit Z=0) und anschließend bis zum optimalen Punkt parallel hinauf (für das Maximum) oder hinunter (für das Minimum) verschoben.
# Die Koordinaten des optimalen Punktes werden bestimmt, indem man
#: a) die Koordinaten abliest
#: b) den [[Gleichungssysteme (2.7.)#Gleichungssysteme mit 2 Variablen | Schnittpunkt der beiden Geraden]], die sich in diesem Punkt schneiden, berechnet.

}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width: 800px;">
'''Bemerkungen:'''<div class="mw-collapsible-content">
# Meistens gibt es nur einen Lösungspunkt. Es kann aber auch vorkommen, dass die Zielfunktion zu einer Begrenzungsgeraden parallel ist und hier auch optimal ist. Jeder Punkt der Geraden, der auch im Planungsfeld liegt, ist dann Lösungspunkt.
# Die hier beschriebene graphische Lösungsmethode ist nur für zwei (höchstens drei) Variable anwendbar. In der Praxis treten viel mehr Variable auf; solche Verfahren sind nur noch mit rechnerischen Methoden (z.B.: Simplex-Algorithmus) zu bewältigen.
# '''Hauptsatz der linearen Optimierung:'''
#: Die Zielfunktion erreicht ihr Maximum oder Minimum stets am Rand des zulässigen Bereichs. In den meisten Aufgabenstellungen ist die Lösung eindeutig und liegt in einem Eckpunkt des zulässigen Bereichs.

</div>
</div>
==Video==
{|
|-
!|Aufstellen der Nebenbedingungen und Zielfkt
!|Planungsfeld und optimaler Punkt
|-
||{{#ev:youtube|Ie1MAKgLmzw}}
||{{#ev:youtube|fr0PJu3f588}}
|}

==Musterbeispiel==
'''Angabe'''

{| border="1" align="center"
|-
||Eine Kleiderfabrik stellt Hosen und Röcke her. Täglich kann man 70 Hosen und 100 Röcke nähen, allerdings insgesamt nicht mehr als 140 Stück. Die Herstellungskosten betragen 20€ für eine Hose und 15€ für einen Rock. Der Verkaufspreis je Hose beträgt 45€ und je Rock 35€.
a) Übersetze die Nebenbedingungen aus dem Texte in ein Ungleichungen.
 
b) Stelle die Zielfunktion auf, wobei maximaler Gewinn angestrebt werden soll.
 
c) Löse das System und interpretieren Sie die Lösung.

|}
 
 
'''Lösung'''

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width: 800px;">
'''a) Übersetze die Nebenbedingungen aus dem Texte in Ungleichungen.'''<div class="mw-collapsible-content">

 
Sei x die Anzahl der Hosen, y die Anzahl der Röcke.

{| border="1" align="center"
|-
||"''Täglich kann man 70 Hosen und 100 Röcke nähen''"
|}
$$ I:x\leq 70$$
$$II: y\leq 100 $$

{| border="1" align="center"
|-
||"''allerdings insgesamt nicht mehr als 140 Stück''"
|}$$ III: x+y\leq 140 \rightarrow y\leq -x+140 $$
Nichtnegativitätsbedingungen: $$ IV: x\geq 0 \textrm{ und }V: y\geq 0$$
</div>
</div>
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width: 800px;">
'''b) Stelle die Zielfunktion auf, wobei maximaler Gewinn angestrebt werden soll.'''<div class="mw-collapsible-content">
{| border="1" align="center"
|-
||"''Die Herstellungskosten betragen 20€ für eine Hose und 15€ für einen Rock. Der Verkaufspreis je Hose beträgt 45€ und je Rock 35€.''"
|}
Gewinn für eine Hose: $45-20=25$ €.
 Gewinn für einen Rock: $35-15=20$ €.
 
Somit lautet die Zielfunktion, die den Gewinn angibt:

$$\begin{align} Z=25x+20y &\rightarrow -25x+Z=20y \\
&\rightarrow y=-\frac{25}{20}x+\frac{Z}{20} \end{align}$$
 
 
</div>
</div>
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width: 800px;">
'''c) Löse das System und interpretiere die Lösung.'''<div class="mw-collapsible-content">

1. Schritt: Zuerst zeichnen wir das Planungsfeld:

$\begin{align} I:&x\leq 70&\\
II:&y\leq 100&\\
III: &x+y\leq 140& \rightarrow y\leq -x+140 \\
IV:& x\geq 0&\\
V: &y\leq 0& \end{align}$

[[Datei:Planungsfeld.png|center|Planungsfeld]]
 

2. Schritt: Dann zeichnen wir die Zielfunktion ein und verschieben sie parallel ganz nach oben, bis sie das Planungsfeld nur noch in einem Punkt berührt.

$$y=-\frac{25}{20}x+\frac{Z}{20}\rightarrow k=\frac{25}{20} \textrm{und d kann frei gewählt werden.}$$

[[Datei:Planungsfeld u Zielfkt5.gif|center|Die Zielfunktion zeichnest du ein, wenn du für k 20 nach rechts und 25 hinunter gehst.]]

Der optimale Punkt ist der Schnittpunkt von $I: x=70$ und $II: y=-x+140$. (Hinweis: Natürlich können die Koordinaten des optimalen Punktes auch abgelesen werden, wir wollen sie hier aber berechnen).
 
 
 
3. Schritt Nun berechnen wir den optimal Punkt, indem wir die Geraden $I: x=70$ und $III: y=-x+140$ schneiden:

$$I: x=70$$
$$III: y=-x+140$$
Einsetzungsverfahren: I in III einsetzen.
$$ y=-70+140 \rightarrow y=70$$
Somit lauten die Koordinaten des optimalen Punktes: $P(70|70)$
 
 
 
4. Schritt: Zuletzt berechnen wir noch den maximalen Gewinn, indem wir den optimalen Punkt $(70|70)$ in die Zielfunktion $Z=25x+20y$ einsetzen:
$$Z=25\cdot 70+20\cdot 70=3150$$
 
 

5. Schritt: Antwortsatz
Der maximale Gewinn von 3150 € wird bei einer Produktion von 70 Hosen und 70 Röcken erzielt.

</div>
</div>
 
 
 
 

==Beispiele==
# [http://matura.marienberg.at/images/a/a0/Aufgaben_zur_linearen_Optimierung_%28Th-Germann%29.docx Übungsaufgaben samt Lösungen von T. Germann]
# [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie |$Bifie$]]lt;/span>" data-bs-type="internal_link" class="internal bs-internal-link" data-bs-wikitext="Bifie-gr%C3%BCn:%20Aufgaben%20des%20Bifie%20%7C%20<span%20style=%22background-color:#7CFC00%22>$Bifie[[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]]lt;/span>"> $Bifie$]]lt;/span>" data-bs-type="internal_link" class="internal bs-internal-link" data-bs-wikitext="Bifie-gr%C3%BCn:%20Aufgaben%20des%20Bifie%20%7C%20<span%20style=%22background-color:#7CFC00%22>$Bifie[[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]]lt;/span>"> $Bifie$lt;/span>" data-bs-type="internal_link" class="internal bs-internal-link" data-bs-wikitext="Bifie-gr%C3%BCn:%20Aufgaben%20des%20Bifie%20%7C%20<span%20style=%22background-color:#7CFC00%22>$Bifie[[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]]lt;/span>"> $Bifie$ [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=48&file=Weinhandel.pdf Weinhandel]
# [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=79&file=Vitrinen.pdf Vitrinen]
# [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=196&file=Biogas.pdf Biogas]

[[Kategorie:Teil B: Cluster 6]]