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Vektorrechnung

2016-08-15T13:28:54Z

Lajtos:

=Grundlagen=
==Koordinatensystem==
[[Datei:Quadranten.png|thumb|Coordinate System|thumb|right|350px|Koordinatengitter im $\mathbb{R^2}$ mit den 4 Quadranten]]

Für die Vektorrechnung sind Koordinatensysteme essentiell.
Im zweidimensionalen Raum besitzt ein Koordinatensystem 2 Achsen:

* die x-Achse (waagrecht) und
* die y-Achse (senkrecht)

 
Diese sind unendlich lang und Spannen die vier sogenannten Quadranten auf, die meist mit den römischen Ziffern I-IV beschriftet werden (gesprochen: Erster Quadrant, Zweiter Quadrant etc.). Die rechte Graphik zeigt die die Positionen der Quadranten. Dort, wo die 2 Achsen einander treffen, liegt der sog. Ursprung (kurz: $\vec{0}$); seine Koordinaten sind $(0/0)$.

Was es außerdem noch zu beachten gibt, hast du vielleicht bereits selbst erkannt:
An den gegenüberliegenden Seiten der x- und y-Achsen werden unterschiedliche Vorzeichen verwendet. So spricht man "links" des Ursprungs von der negativen, bzw. "rechts" des Ursprungs von der positiven x-Achse. Analog spricht man "oben" und "unten" von der positiven und negativen y-Achse.

Im dreidimensionalen Raum kommt eine dritte Achse - die z-Achse - dazu. Punkte und Vektoren besitzen dementsprechend dann auch 3 Koordinaten. Dies kann man bis ins n-dimensionale weiterführen.

==Punkte==
In ein Koordinatensystem lassen sich Punkte eintragen. Diese besitzen, entsprechend ihrer Lage, Koordinaten. Im obigen Bild z.B. haben wir die Punkte A und B, wobei sich A im ersten Quadranten befindet und B im vierten Quadranten. Man schreibt: A(2/3,5) B(1/-2).

[[Datei:Punkte Abstand.png|thumb|right|350px|Punkte im $\mathbb{R^2}$]]

{{Vorlage:Merke |''Einen'' '''allgemeinen Punkt''' ''schreibt man an als'' $P(x_1/x_2/.../x_n)$ (im n-dimensionalen Raum $\mathbb{R^n}$) ''bzw.'' $P(x/y)$ (im 2-dimensionalen Raum $ \mathbb{R^2}$) ''oder'' $P(x/y/z)$ (im 3-dimensionalen Raum $\mathbb{R^3}$).
 
Die erste Koordinate entspricht der x-Koordinate, die zweite der y-Koordinate, die eventuelle dritte der z-Koordinate.

Punkte werden in der Regel mit Großbuchstaben bezeichnet.}}

Koordinaten von Punkten lassen sich also ganz einfach ablesen. Die x/y-Koordinate entspricht dabei dem Abstand vom Ursprung zum Punkt in Richtung der jeweiligen Koordinatenachse. So erkennen wir im Bild rechts die folgenden Punkte:

* A(2/0)
* B(0/-2)
* C(-1/2)

=Vektoren=

==Definition & Darstellung von Vektoren==
{{Vorlage:Definition |1= Ein Zahlenpaar $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \in \mathbb{R^2}$ wird als '''Vektor aus $\mathbb{R^2}$ ''' bezeichnet.
Analog bezeichnet man ein Zahlentripel $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) \in \mathbb{R^3}$ als '''Vektor aus $\mathbb{R^3}$ '''. 
Ein '''allgemeiner Vektor''' wird $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) \ \in \mathbb{R^n}$ geschrieben.

}}

Da sowohl die Rechenoperationen als auch die geometrischen Darstellungen leicht vom $\mathbb{R^2}$ in den $\mathbb{R^3}$ übertragen werden können, werden wir hier meistens nur die Vorgangsweise für Zahlenpaare aus dem $\mathbb{R^2}$ beschreiben.

===Geometrische Darstellung von Vektoren===

Es gibt zwei Möglichkeiten, wie wir einen Vektor $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right) \ \in \mathbb{R^2}$ geometrisch darstellen können:
* '''Darstellung als Punkt''': Dabei gibt $a$ die x-Koordinate und $b$ die y-Koordinate des Punktes an. Die Beschriftung erfolgt mit Großbuchstaben.
* '''Darstellung als Pfeil''': Dabei gibt $a$ die x-Richtung des Pfeils (wie weit zeigt der Pfeil nach links bzw. rechts) und $b$ die y-Richtung des Pfeils (wie weit zeigt der Pfeil nach oben bzw. nach unten) an. Pfeile werden mit Kleinbuchstaben (oft mit Pfeil $\vec{v}$) beschriftet.

Die Darstellung als Punkt ist eindeutig! Einem Zahlenpaar (=Vektor) entspricht genau ein Punkt!
Die Darstellung als Pfeil ist nicht eindeutig! Es gibt unendlich viele Pfeile, die denselben Vektor darstellen. Diese Pfeile sind aber alle parallel, gleich lang und gleich gerichtet.

'''Beispiel:''' Darstellung des Vektors $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$
{| class="wikitable"
|-
| '''Punktdarstellung des Vektors'''|| '''Mögliche Pfeildarstellungen des Vektors'''
|-
| [[Datei:Punkt.png|thumb|300px]]|| [[Datei:Pfeile.png|thumb|300px]]
|}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 3 \\ -4 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 5 \end{array} \right)$. Stelle $\vec{a}$ und $\vec{b}$ als Punkte und als Pfeile dar.
|2=[[Datei:Punkt Pfeil Bsp.png|300px]] 
'''Anmerkungen:'''
* Für die Pfeildarstellungen gibt es mehrere (unendlich viele) Möglichkeiten. Der von dir gezeichnete Pfeil muss jedenfalls parallel, gleich gerichtet und gleich lang wie der abgebildete Pfeil sein!
* Aus "Bequemlichkeitsgründen" zeichnet man die Pfeile oft beginnend beim Ursprung ein:
[[Datei:Punkt Pfeil Bsp2.png|300px]]
 
}}

Vektoren des $\mathbb{R^3}$ können auch auf diese zwei Arten dargestellt werden. Der einzige Unterschied dabei ist, dass die Punkte bzw. Pfeile im dreidimensionalen Raum liegen. Es gibt also noch eine dritte Richtung, die durch die z-Koordinate des Vektors angegeben wird.

===Ortsvektoren===
[[Datei:Ortsvektor.png|thumb|right|250px|Punkt und zugehöriger Ortsvektor]]Der Ortsvektor von einem Punkt ist der Vektor, der vom Ursprung aus auf den Punkt zeigt. Die Koordinaten bleiben deshalb gleich, es ändert sich quasi nur die Schreibweise:

Sei $A(x_1/x_2/.../x_n)$ ein Punkt in der Dimension $n$, dann ist $\vec{0A} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ dessen Ortsvektor.
 
 
 
 
 

==Rechnen mit Vektoren==

===Addition und Subtraktion von Vektoren===
====Rechnerische Addition====
{{Vorlage:Merke|1=Wenn du Vektoren addieren oder subtrahieren möchtest, musst du dazu die entsprechenden Koordinaten addieren: 
$\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) \pm \left( \begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ ... \\ y_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x_1 \pm y_1 \\ x_2 \pm y_2 \\ ... \\ x_n \pm y_n \end{array} \right)$ 
Wichtig ist dabei, dass die Vektoren, die du addieren oder subtrahieren möchtest, derselben Dimension $n$ angehören! D.h. sie haben gleich viele Koordinaten.}}
{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben seien die beiden Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right)$. Berechne erst $\vec{a} + \vec{b}$, dann $\vec{a} - \vec{b}$ und zuletzt $\vec{b} - \vec{a}$!
|2= $\vec{a} + \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 5+1 \\ 2+(-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 6 \\ -1 \end{array} \right)$
$\vec{a} - \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 5-1 \\ 2-(-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 5 \end{array} \right)$ 
$\vec{b} - \vec{a} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 1-5 \\ -3-2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -4 \\ -5 \end{array} \right)$}}

{| border=1 align=center
! Übung zur rechnerischen Addition von Vektoren
|-
| <ggb_applet width="550" height="480" version="5.0" id="ZvayFJPu" />
|}
 
 
 

{| border=1 align=center
! Übung zur rechnerischen Subtraktion von Vektoren
|-
| <ggb_applet width="550" height="480" version="5.0" id="zuvd6gSD" />
|}

====Geometrische Darstellung der Vektoraddition====
Die Addition zweier Vektoren kann auf zwei verschiedene Arten geometrisch gedeutet werden. Wir illustrieren die beiden Möglichkeiten anhand des Beispiels $\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2\end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$

{| class="wikitable"
|-
| '''Punkt + Pfeil - Darstellung:'''|| '''Pfeil + Pfeil - Darstellung'''
|-
| ''An einen Punkt wird ein Pfeil angehängt.'' In unserem Beispiel wird an den Punkt (1/2) ein Pfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$ angehängt. Das Ergebnis der Addition ist der Punkt am Ende des Pfeils (5/5). || ''Zwei Pfeile werden aneinandergehängt. In unserem Beispiel wird also ein Pfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$ und ein Pfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)$ aneinandergehängt. Das Ergebnis der Addition ist der entstehende Verbindungspfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 5 \\ 5 \end{array} \right)$
|-
| [[Datei:Vektoraddition1.png|left|400px]]|| [[Datei:Vektoraddition2.png|left|500px]]
|-
| '''Anmerkung:''' Diese Darstellung ist hilfreich, wenn wir von einem Punkt ausgehen und zu einem neuen Punkt gelangen wollen.|| Es spielt keine Rolle, in welcher Reihenfolge die Vektoren angehängt werden. Die Addition ist kommutativ!
|}

===Vektoren bestimmen: "Spitze minus Schaft" ("Ziel minus Start")===
[[Datei:Spitzeschaft.png|thumb|right|300px|"Spitze minus Schaft"]]Zwischen 2 Punkten kann man nun einen Vektor definieren. Dabei gilt: Die '''"Spitze minus Schaft"'''-Regel Im Bild rechts wollen wir den Vektor berechnen, der von A nach B geht, also den Vektor $\vec{AB}$. Der Punkt B(3/3,5) entspricht hierbei der Spitze, und der Punkt A(1/0,5) dem Schaft. Da das Rechnen mit Punkten allerdings keinen Sinn ergibt, rechnet man stattdessen mit deren Ortsvektoren (siehe oben).

Für unser Beispiel bedeutet das: $\vec{0B} - \vec{0A} = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 3,5 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0,5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 3-1 \\ 3,5-0,5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right) = \vec{AB}$

'''Beachte außerdem:'''

* Man schreibt der Einfachheit halber oft nur $B-A$, obwohl eigentlich $\vec{0B} - \vec{0A}$ gemeint ist.
* Der Vektor $\vec{AB}$ zeigt in die entgegengesetzte Richtung von $\vec{BA}$. Das bedeutet, dass diese beiden Vektoren entgegengesetzte Vorzeichen haben: $\vec{AB} = - \vec{BA}$

 

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die Punkte A=(1/2); B=(-3/1); C=(-4,-1). Bilde die folgenden Verbindungsvektoren: 
 
# $\vec{AB}$
# $\vec{BA}$
# $\vec{AC}$
# $\vec{BC}$

|2=
$\ $
# $\vec{AB}=B-A=\left( \begin{array}{c} -3 \\ 1\end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} -4 \\ -1\end{array} \right)$
# $\vec{BA}=-\vec{AB}=\left( \begin{array}{c} 4 \\ 1 \end{array} \right)$
# $\vec{AC}=\left( \begin{array}{c} -4 \\ -1\end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} -5 \\ -3\end{array} \right)$
# $\vec{BC}=\left( \begin{array}{c} -4 \\ -1\end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} -3 \\ 1 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} -1 \\ -2\end{array} \right)$
 
'''Tipps:'''
* Pass gut auf die Vorzeichen auf! Beim Subtrahieren von Vektoren passieren leider häufig Vorzeichenfehler! Sei deshalb besonders achtsam!
* Zeichne die Punkte in ein Koordinatensystem und zeichne die Verbindungsvektoren ein. Bei einfachen Koordinaten kannst du den Verbindungsvektor ohne Rechnung ablesen (Probiere es aus!).

 
}}

===Produkt eines Vektors mit einem Skalar===
====Rechnerische Multiplikation====
Wenn man einen Vektor $\vec{v}$ mit einer [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)|reellen Zahl]] $k$ , einem sogenannten "Skalar", multipliziert, werden dabei die einzelnen Koordinaten mit dem Skalar multipliziert:

$k \cdot \vec{v} = k \cdot \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} k \cdot x_1 \\ k \cdot x_2 \\ ... \\ k \cdot x_n \end{array} \right)$

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sei der Vektor $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right)$. Multipliziere diesen einmal mit $2$ und einmal mit $-5$!
|2= $2 \cdot \vec{a} = 2 \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \cdot 2 \\ 2 \cdot (-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -6 \end{array} \right)$
$(-5) \cdot \vec{a} = (-5) \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-5) \cdot 2 \\ (-5) \cdot (-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -10 \\ 15 \end{array} \right)$}}

====Geometrische Darstellung der Multiplikation====

Eine Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl $a$ (Skalar) entspricht einer Streckung (für $|a|>1$) bzw. einer Stauchung (für $|a|<1$) des zugehörigen Pfeiles.
Ist das Vorzeichen des Skalars negativ, so dreht sich die Richtung des Pfeils in die entgegengesetzte Richtung.

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sei wiederum der Vektor $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right)$. Stelle die Multiplikation mit $2$, mit $-5$ und mit $0.5$ graphisch dar!
|2= Rechnerische Lösung und graphische Interpretation:
* $2 \cdot \vec{a} = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -6 \end{array} \right)$. Der Vektor $2\cdot \vec{a}$ hat die doppelte Länge und dieselbe Richtung wie $\vec{a}$
* $(-5) \cdot \vec{a} = \left( \begin{array}{c} -10 \\ 15 \end{array} \right)$. Der Vektor $(-5)\cdot \vec{a}$ ist fünfmal so lang wie $\vec{a}$ und zeigt in die entgegengesetzte Richtung wie $\vec{a}$
* $(0.5) \cdot \vec{a} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1.5 \end{array} \right)$ Der Vektor $0.5\cdot \vec{a}$ ist halb so lang wie $\vec{a}$ und zeigt in dieselbe Richtung wie $\vec{a}$
}}

{{#widget:Iframe
|url= http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_vektorrechnung/MV_Vektor1/MV_Vektor1/sites/Vektortest.html
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}}
[http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_vektorrechnung/MV_Vektor1/MV_Vektor1/ (Quelle dieses Applets)]

Hilfe zum Applet: Gib in die Eingabezeile den Buchstaben des Vektors bzw. die entsprechende Summe / Differenz an. (z.B. $u=a$)

===Wie Vektoren zueinander stehen===
Vektoren können unterschiedliche Richtungen haben, aber auch parallel zueinander oder gar identisch sein. Optisch lässt sich das oft sehr leicht erkennen. Die Lage von Vektoren zueinander kann aber auch rechnerisch überprüft werden.

{{Vorlage:Definition |Unter einem Vektor versteht man die Menge aller gleichlangen, gleichgerichteten und gleichorientierten Pfeile.

Der Start/Endpunkt spielen dabei keine Rolle!}}

{{Vorlage:Merke|2 Vektoren stehen parallel zueinander, wenn ein Vektor als Vielfaches des anderen Vektors angeschrieben werden kann. 
Man sagt auch: Die Vektoren sind [[linear abhängig]].}}

Sehen wir uns die verschiedenen Fälle an:

{| class="wikitable"
|-
|ident: gleiche Richtung, gleiche Orientierung, gleiche Länge
||[[Datei:Vektorv1.png|none|250px]]
||$\vec{v} = \vec{u} \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$
||z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$
|-
||parallel (gleiche Orientierung): gleiche Richtung, gleiche Orientierung, unterschiedliche Länge
| [[Datei:Vektorenlänge.png|none|250px]]
||$\exists k>0 : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$
||z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} \frac{4}{3} \\ 2 \end{array} \right)$, $k = \frac{2}{3} $
|-
||parallel (unterschiedliche Orientierung): 
| [[Datei:Vektororientierung1.png|none|250px]]
||$\exists k<0 : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$
||z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} -2 \\ -3 \end{array} \right)$, $k=-1$

|-
||linear unabhängig
| [[Datei:Vektorrichtung1.png|none|250px]]
||$\nexists k : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \nparallel \vec{u}$
||z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 3 \end{array} \right)$
|}

{{Vorlage:Beispiel|1=Überprüfe ob die Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 5 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$ linear unabhängig voneinander sind.

|2=Wenn es ein k gibt, sodass $k \cdot \vec{a} = \vec{b}$, dann sind die beiden Vektoren voneinander linear abhängig, und somit auch parallel zueinander.

Es gibt mehrere Lösungsmöglichkeiten:
*Möglichkeit 1: Lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen
$I: 2k = 4 \ \ \rightarrow k=2$
$II: 5k = 3 \ \ \rightarrow k=\frac{3}{5}$

Aus der ersten Gleichung ergibt sich $k=2$, in der zweiten aber $k=\frac{3}{5}$. $k$ kann aber nicht beides sein, somit haben wir eine falsche Aussage erhalten. Daraus folgt, dass die beiden Vektoren '''linear unabhängig''' und somit nicht parallel zueinander sind.

* Möglichkeit 2: "Vergleichen und Probieren"
Vergleicht man die x-Koordinaten der beiden Vektoren, so sieht man, dass $4$ doppelt so groß wie $2$ ist. Daraus ergibt sich, dass ein etwaiges $k=2$ sein müsste.
Probiert man, auch die zweite Zeile mit $2$ zu multiplizieren, so erhält man $10$. Die y-Koordinate von $\vec{b}$ müsste also $10$ sein, damit die beiden Vektoren parallel zueinander sind.
}}

 

===Betrag und Einheitsvektor===
[[Datei:PythagorasVektor.png|thumb|right|350px|Betrag eines Vektors; Einheitsvektor]]Wie anfangs bereits erwähnt, besitzen Vektoren eine Länge, auch '''Betrag''' eines Vektors genannt. Dieser wird mit Hilfe des pythagoräischen Lehrsatzes wie folgt berechnet:

<div align="center">$\parallel \vec{v} \parallel = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2} \ $ wenn $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ ein Vektor der Dimension $n$ ist.</div>
Sehen wir uns die Grafik rechts an, können wir mit dieser Formel die Länge des zweidimensionalen Vektors $\parallel \vec{v} \parallel$ berechnen:

<div align="center">$\parallel \vec{v} \parallel = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$</div>
 Der '''Einheitsvektor''' $\vec{a_0}$ eines Vektors $\vec{a}$ ist ein zu $\vec{a}$ paralleler Vektor mit Länge 1. Rechnerisch erhält man $\vec{a_0}$, indem man $\vec{a}$ durch seine Länge dividiert. $ \vec{a_0}

=\frac{\vec{a}}{\parallel \vec{a}\parallel}$
bzw.
$ \vec{a_0}=\frac{1}{\parallel\vec{a}\parallel}\cdot \vec{a}$

Daraus ergibt sich ein Vektor, der dieselbe Richtung des ursprünglichen Vektors hat, allerdings die Länge 1 besitzt.

{{Vorlage:Merke|1=
Sei $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ ein Vektor der Dimension $n$ und $\parallel \vec{v} \parallel$ sein Betrag, dann ist $\vec{v_0} = \frac{1}{\parallel \vec{v} \parallel} \cdot \vec{v} \ $ der Einheitsvektor zu $\vec{v}$.}}

In unserem Beispiel würde das folgendes bedeuten:

{{Vorlage:Beispiel|1= Bestimme den Einheitsvektor von $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$

|2=<div align="center">$\vec{v_0} = \frac{1}{\sqrt{13} } \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \frac{2}{\sqrt{13} } \\ \frac{3}{\sqrt{13} } \end{array} \right)$</div>
}}

===Vektoren bestimmter Länge===
Da wir nun gelernt haben, Einheitsvektoren zu bilden und Vektoren mit Zahlen zu multiplizieren (und ich das hier so schön betone), könnt ihr euch vielleicht schon vorstellen, wie man aus einem beliebigen Vektor einen Vektor derselben Richtung, allerdings unterschiedlicher Länge bekommt. Wir haben also einen Vektor $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ mit der Länge $\parallel \vec{v} \parallel = k$ gegeben, und hätten gerne den Vektor $\vec{w} \ \parallel \ \vec{v}$ mit der Länge $l$. Dazu berechnen wir zuerst den Einheitsvektor $\vec{v_0}$ von $\vec{v}$ und multiplizieren diesen dann mit $l$. So erhalten wir schließlich $\vec{w} = l \cdot \frac{\vec{v}}{k} = l \cdot \vec{v_0}$.

==Mittelpunkt einer Strecke==
[[Datei:Mittelpunkt.png|thumb|right|300px|Mittelpunkt M der Strecke AB]]Willst du den Mittelpunkt zwischen 2 Punkten $A$ und $B$ berechnen, musst du wie folgt vorgehen:
Zuerst berechnest du einen Vektor zwischen den Punkten ($\vec{AB}$ oder $\vec{BA}$). Dann halbierst du diesen Vektor, und erhältst $\vec{AM}$ bzw. $\vec{BM}$. Addierst du dann diesen Vektor zum entsprechenden Punkt ($A$ bzw. $B$), erhältst so den Mittelpunkt. Also:

<div align="center">$\vec{0M} = \vec{0A} + \frac{\vec{AB}}{2} = \vec{0B} + \frac{\vec{BA}}{2}$</div>

Dies lässt sich folgendermaßen weiter vereinfachen:
$$\vec{M} = \vec{A} + \frac{\vec{AB}}{2} = \frac{2\vec{A}}{2} + \frac{\vec{B} - \vec{A}}{2} = \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2}$$

=Im $\mathbb{R^2}$=
Dieser Artikel befasst sich mit der Vektorrechnung im zweidimensionalen Raum. Grundlegende Informationen zur Vektorrechnung, so wie Punkte und Vektoren, findest du unter dem Tab ''Grundlagen der Vektorrechnung''.

==Vektoren==
===Normalvektoren===
[[Datei:Normalvektoren.png|thumb|right|350px|Normalvektoren]]Normalvektoren zu einem Vektor sind alle Vektoren, die normal (im rechten Winkel) auf den Vektor stehen. Im $\mathbb{R^2}$ gibt es zu jedem Vektor genau 2 Normalvektoren, die dieselbe Länge wie der ursprüngliche Vektor haben. Alle anderen Normalvektoren sind Vielfache eines dieser 2 Normalvektoren.

{{Vorlage:Merke | 1=Sei $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ ein Vektor, dann ist $\vec{n_1}=\left( \begin{array}{c} -y \\ x \end{array} \right)$ sein nach links gekippter, und $\vec{n_2}=\left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right)$ sein nach rechts gekippter Normalvektor.
''Vertausche die Koordinaten und ändere '''ein''' Vorzeichen''
}}

===Skalarprodukt===
Unter dem Skalarprodukt versteht man die Multiplikation zweier Vektoren, bei der als Ergebnis ein Skalar (eine Zahl) entsteht.

{{Vorlage:Merke|1=Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren, dann ist $\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \end{array} \right) = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b$ gleich ihr Skalarprodukt.
}}

Das Skalarprodukt wirkt auf den ersten Blick etwas "eigenartig". Man kann sich die Bedeutung des Skalarproduktes besonders gut an einem Anwendungsbeispiel erklären:
Angenommen in einer Preisliste stehen 10 Kugelschreiber, die jeweils 2€ kosten und 20 Bleistifte, die jeweils 0,50€ kosten.
In Tabellenform sieht das folgendermaßen aus:

{| class="wikitable"
|-
! Produkt !! Stückzahl !! Preis pro Stück (in €)
|-
| Kugelschreiber || 10 || 2
|-
| Bleistift || 20 || 0,50
|}

Aus dieser Tabelle kann ein Stückzahlvektor $\left( \begin{array}{c} 10 \\ 20 \end{array} \right)$ und ein Preisvektor $\left( \begin{array}{c} 2 \\ 0,50 \end{array} \right)$ abgelesen werden.

Möchte man den Gesamtwert der Produkte berechnen, so müssen jeweils die Einzelpreise mit der Stückzahl multipliziert werden und anschließend die Summe gebildet werden.
Genau das macht das Skalarprodukt!
$\left( \begin{array}{c} 10 \\ 20\end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0.50 \end{array} \right) = 10 \cdot 2 + 20 \cdot 0.50 = 20 + 10 = 30€ $

===Winkel zwischen zwei Vektoren===
[[Datei:Winkel.png|thumb|right|350px|Winkel zwischen 2 Vektoren]]<big>$$cos{\varphi} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel} = \vec{a_0} \cdot \vec{b_0}$$
bzw.
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = \parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel \cdot cos{\varphi}$$</big>

Heißt es, den Winkel zwischen 2 Vektoren/Geraden zu bestimmen, ist damit immer der kleinere Winkel gemeint. Solltest du einmal ein Ergebnis erhalten, das größer als 180° ist (nennen wir dieses Ergebnis $\varphi'$), dann ziehe dieses Ergebnis von 360° ab und du erhältst den kleineren Winkel ($\varphi = 360° - \varphi'$). 
Bei einem Winkel von $\varphi = 90°$ erhalten wir $cos{\varphi} = 0$, was bedeutet, dass auch $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$. Daraus ergibt sich das Orthogonalitätskriterium.

====Orthogonalitätskriterium====
{{Vorlage:Merke|1=Ergibt das Skalarprodukt zweier Vektoren $0$, so stehen diese zwei Vektoren normal zueinander (und umgekehrt!)$$\vec{a} \cdot \vec{b} \ = \ 0 \ \Leftrightarrow \ \vec{a} \bot \vec{b}$$}}

Mithilfe des Orthogonalitätskriteriums kann man auch zeigen, dass $\vec{n}=\left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right)$ stets ein Normalvektor von $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ ist.
$$\vec{v} \cdot \vec{n} = \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right) = xy - yx = 0$$

{|border=1 align=center
! Übungsaufgabe
|-
| <ggb_applet width="1000" height="500" version="5.0" id="u9xvmmXM" />
|}

==Geraden==
===Darstellungsformen===
Geraden lassen sich in unterschiedlichen Formen darstellen. In der Vektorrechnung ist die Parameterdarstellung populär, da man dazu nur einen Punkt und Vektor kennen muss. Die Normalform allerdings hat den Vorteil, dass man den Normalvektor zur Geraden auf einen Blick ablesen kann. Je nachdem, was man mit der Gerade vorhat, können die verschiedenen Formen ineinander umgewandelt werden.

====Parameterdarstellung====
[[Datei:Parameterdarstellung.png|thumb|right|350px|Parameterdarstellung einer Geraden]]$$g: \vec{0X} = \vec{0P} + t \cdot \vec{a}$$ 
wobei

* $X \in g$ ist ein '''beliebiger''' Punkt auf der unendlichen Geraden (steht für alle Punkte auf der Geraden)
* $P \in g$ ist ein '''bekannter''' Punkt auf der Geraden
* $t \in \mathbb{R}$ ist ein freier Parameter (in der Graphik rechts $\lambda$)
* $\vec{a} \in \mathbb{R^2}$ ist ein Vektor parallel zur Geraden, der die Richtung dieser angibt ("Richtungsvektor")

 
Beachte, dass in der Parameterdarstellung keine Punkte, sondern Ortsvektoren verwendet werden! (Info zu Ortsvektoren findest du unter ''Grundlagen der Vektorrechnung''.) Wenn man das weiß, kann man der Einfachheit halber die Gerade auch folgendermaßen beschreiben: $g: X = P + t \cdot \vec{a}$

 
Eine andere Schreibweise ist, die Koordinaten einzeln zu betrachten und 2 Gleichungen aufzustellen:
$$g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \end{cases}$$

====Normalvektorform====
Hierzu benötigt man einen Normalvektor des Richtungsvektors und multipliziert dann die Geradengleichung mit diesem Normalvektor. Da $\vec{a} \cdot \vec{n} = 0$, bleibt über:

Sei $g: \vec{0X} = \vec{0P} + t \cdot \vec{a}$ eine Gerade in Parameterform, so ist

<div align="center">$g: \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x_P \\ y_P \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right)$</div>

dieselbe Gerade in Normalform, wobei $\vec{0X}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right), \ \vec{0P}=\left( \begin{array}{c} x_P \\ y_P \end{array} \right), \ \vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right)$ und $\vec{n}=\left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right)$ ein Normalvektor von $\vec{a}$ (hier kann man natürlich auch den anderen Normalvektor verwenden).

====Allgemeine Geradengleichung====
Diese Form der Darstellung heißt auch Normalform, da man den Normalvektor der Gerade direkt ablesen kann.Um von der Parameterdarstellung auf diese Form zu kommen, gibt es 2 Möglichkeiten:

'''1. Multiplikation mit Normalvektor:'''
Hierzu muss man einfach die Normalform ausmultiplizieren und es ergibt sich:

$$g: y_a \cdot x + -x_a \cdot y = y_a \cdot x_P + -x_a \cdot y_P$$

'''2. Elimination des Parameters:'''
Hierbei gehen wir von der Geradenform $g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \end{cases}$ aus, eliminieren $t$, und kommen ebenfalls auf die obige allgemeine Geradengleichung.
Auf der rechten Seite der Gleichung stehen nur bekannte Größen, auf der linken Seiten stehen Vielfache von x und y. Diese Gleichung kann man weiter auch auf die Form y=kx+d umformen.

===Lagebeziehungen zwischen Geraden===
Mehrere Geraden können im $\mathbb{R^2}$

* ident sein, d.h. sie haben unendlich viele gemeinsame Punkte
* parallel sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt
* einander schneiden, d.h. sie haben genau ein gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt)

 Sind uns 2 Geraden in '''Parameterdarstellung''' gegeben, betrachten wir zuerst ihre Richtungsvektoren. 
Sind diese parallel zueinander, so sind auch die Geraden parallel zueinander. Nun bleibt noch die Frage offen, ob die Geraden ident sind. Dazu überprüfen wir einfach, ob der gegebene Punkt der einen Geraden auch auf der anderen Geraden liegt. Dazu Setzen wir den bekannten Punkt der einen Geraden für den unbekannten Punkt der anderen Geraden ein und erhalten 2 Gleichungen in einer Unbekannten (Parameter der zweiten Gerade). Erhalten wir nun für den Parameter zweimal dasselbe Ergebnis, so sind die 2 Geraden ident, erhalten wir unterschiedliche Ergebnisse, so sind sie nur parallel. 
Sind die Richtungsvektoren nicht parallel zueinander, so sind es auch die 2 Geraden nicht, und wir können uns sicher sein, dass diese einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen.
Doch wie erhalten wir den Schnittpunkt? Ganz einfach, indem wir die 2 Geraden schneiden. Dazu müssen wir sie gleichsetzen, und dann das dadurch erhaltene Gleichungssystem in 2 Unbekannten (die 2 Parameter) lösen. Wenn wir den Wert eines Parameters ausgerechnet haben, setzen wir ihn einfach in die entsprechende Geradengleichung ein und erhalten so den Schnittpunkt!

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die beiden Geraden $g: X = \left( \begin{array}{c} -3 \\ 1 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 4 \\ -2 \end{array} \right)$ und $h: X = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ 1 \end{array} \right)$. Ermittle deren gegenseitige Lage und ggf. deren Schnittpunkt!
|2=Betrachten wir zuerst deren Richtungsvektoren:
$$\left( \begin{array}{c} 4 \\ -2 \end{array} \right) = -2 \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ 1 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g \parallel h$$
Nun überprüfen wir, ob der Punkt der Geraden $h$ auf $g$ liegt:
$$\left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -3 \\ 1 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 4 \\ -2 \end{array} \right) \ \rightarrow \ \begin{cases} 0 = -3 + 4s \ \rightarrow \ s_1 = \frac{3}{4} \\ 2 = 1 - 2s \ \rightarrow \ s_2 = -\frac{1}{2} \end{cases} \ \rightarrow \ s_1 \neq s_2 \ \Rightarrow \ g \not\equiv h$$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die beiden Geraden $g: X = \left( \begin{array}{c} -3 \\ 1 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -1 \end{array} \right)$ und $h: X = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)$. Ermittle deren gegenseitige Lage und ggf. deren Schnittpunkt!|
2=$$\nexists \ k \in \mathbb{R} : \ \left( \begin{array}{c} 2 \\ -1 \end{array} \right) = k \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g \nparallel h \ \Rightarrow \ g \times h$$
$$\begin{align}
I: \ &-3&+&2s&=&0&+&t \\
II: \ &1&-&s&=&2&+&2t
\end{align}$$
$$I + 2 \cdot II: \ -1 = 4 + 5t \ \rightarrow \ t = -1$$
$$t \ in \ h: S = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \end{array} \right) + (-1) \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \end{array} \right)$$}}

Sind die 2 Geraden in der '''allgemeinen Geradenform''' gegeben, so haben wir bereits 2 Gleichungen gegeben, die wir nach x und y auflösen. Dieses x und y sind die Koordinaten des Schnittpunktes. Sollte sich keine Lösung ergeben, so schneiden die Geraden einander nicht.

Um das Schneiden von Geraden besser zu verstehen, schau dir das Lösen von [[ Gleichungssysteme (2.7.) |Gleichungssystemen]] genauer an, wirf einen Blick auf die Beispiele zum $\mathbb{R^2}$ unter dem Tab 'Beispiele', oder sieh dir dieses Video an:

<div align="center">{{#ev:youtube|ZrFE3LRisn0}}</div>

===Normalabstand Punkt - Gerade===
[[Datei:Normalabstand.gif|right]]Gegeben sei ein Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und eine Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$. Um den Normalabstand $d(Q,g)$ zwischen Q und g zu berechnen, gehe wie folgt vor: 
{{Vorlage:Merke|1=1. Bestimme die Gerade $q: X = Q + s \cdot \vec{n}$, die durch $Q$ geht und den Normalvektor $\vec{n}$ von $\vec{a}$ als Richtungsvektor besitzt.
2. Schneide $g$ und $q$ und du erhältst deren Schnittpunkt $S$. 
3. Berechne $\parallel \vec{QS} \parallel$.}}
In der Graphik rechts hätten wir z.B. die Angabe $g: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right) + \lambda \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array} \right)$ und $Q(3/4)$. Du kannst das zur Übung durchrechnen.

====Hesse'sche Abstandsformel====
Mithilfe dieser Formel kann man ebenfalls den Abstand $d(Q,g)$ zwischen Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$ bestimmen. <big>$d(Q,g) = | \vec{PQ} \cdot \vec{n_0} | $</big>, wobei $\vec{n_0}$ der normierte (Länge 1) Normalvektor des Richtungsvektors $\vec{a}$ der Geraden $g$ ist.

====Spiegelung eines Punktes an einer Geraden====
[[Datei:Spiegeln.png|thumb|right|250px|Gespiegelter Punkt Q']]Gegeben sei ein Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und eine Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$. Es gilt den Punkt $Q$ an der Gerade $g$ zu spiegeln, und so den Punkt $Q'$ zu erhalten. Dazu befolgst du die Vorgehensweise von "Normalabstand Punkt - Gerade" bis du den Vektor $\vec{QS}$ erhältst, und trägst diesen vom Punkt $S$ ab, also: 
$Q' = S + \vec{QS}$

=Im $\mathbb{R^3}$=
==Vektoren==
===Kreuzprodukt===
Im $\mathbb{R^3}$ gibt es neben dem Skalarprodukt, bei dem wir als Ergebnis ein Skalar erhalten, eine weitere Möglichkeit, zwei Vektoren miteinander zu multiplizieren: das sog. Kreuz- oder Vektorprodukt, bei dem wir als Ergebnis einen Vektor erhalten.{{Vorlage:Merke|1=Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren des $\mathbb{R^3}$, dann ist ihr Kreuzprodukt
$$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} y_a \cdot z_b - z_a \cdot y_b \\ z_a \cdot x_b - x_a \cdot z_b \\ x_a \cdot y_b - y_a \cdot x_b \end{array} \right)$$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ -3 \end{array} \right)$, gesucht ist ihr Kreuzprodukt.|

2=$$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \cdot (-3) - 3 \cdot 4 \\ 3 \cdot 5 - 1 \cdot (-3) \\ 1 \cdot 4 - 2 \cdot 5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-6) - 12 \\ 15 - (-3) \\ 4 - 10 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -18 \\ 18 \\ -6 \end{array} \right)$$}}

Wozu wir das Kreuzprodukt überhaupt benötigen, sehen wir an den nächsten 2 Punkten.

====Normalvektoren====
Im $\mathbb{R^3}$ gibt es zu einem Vektor unendlich viele Normalvektoren. Auf eine Ebene allerdings gibt es genau 2 Normalvektoren (wie im $\mathbb{R^2}$ auf eine Gerade). Eine Ebene wird von 2 Vektoren aufgespannt, deren Kreuzprodukt ergibt einen Normalvektor $\vec{n_1}$ auf die Ebene bzw. die zwei Vektoren; der zweite Normalvektor hat die entgegengesetzte Orientierung ($\vec{n_2} = -\vec{n_1}$). Also:$$\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$$

====Fläche eines von zwei Vektoren aufgespannten Parallelogramms oder Dreiecks====
[[Datei:FlächeNormalvektor.png|thumb|right|none|250px|2 Vektoren spannen ein Dreieck bzw. Parallelogramm auf]] 
{{Vorlage:Merke|1=Die Länge $\parallel \vec{n} \parallel = \parallel \vec{a} \times \vec{b} \parallel$ des Normalvektors $\vec{n}$ zu den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ entspricht der Maßzahl des Flächeninhaltes des Parallelogramms, das $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aufspannen (im Bild die gesamte grüne Fläche).
Die Hälfte dieser Fläche entspricht der Fläche des aufgespannten Dreiecks.}}

===Skalarprodukt, Orthogonalitätskriterium, Winkel zwischen zwei Vektoren===
Diese drei Dinge "funktionieren" im $\mathbb{R^3}$ wie im $\mathbb{R^2}$. Also hier nur eine kurze Wiederholung: 

'''Skalarprodukt''' 
Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\z_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren, dann ist $$\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right) = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b + z_a \cdot z_b$$ gleich ihr Skalarprodukt.
 

{|border=1 align=center
|-
! Übungsaufgabe
|-
| <ggb_applet width="700" height="500" version="5.0" id="ZqtPwRDx" />
|}

'''Orthogonalitätskriterium''' 
Ergibt das Skalarprodukt zweier Vektoren $0$, so stehen diese zwei Vektoren normal zueinander (und umgekehrt!)
$$\vec{a} \cdot \vec{b} \ = \ 0 \ \Leftrightarrow \ \vec{a} \bot \vec{b}$$
Auch das gibt es im $\mathbb{R^3}$. Bedenke aber, dass es hier, anders als im $\mathbb{R^2}$, unendlich viele Normalvektoren auf einen Vektor gibt.
 

'''Winkel zwischen zwei Vektoren'''
$$cos{\varphi} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel} = \vec{a_0} \cdot \vec{b_0}$$

==Geraden==
===Darstellungsformen===
====Parameterdarstellung====
Die Parameterdarstellung im $\mathbb{R^3}$ sieht genauso aus wie im $\mathbb{R^2}$, einziger Unterschied ist, dass unsere Punkte und Vektoren hier jeweils 3 Koordinaten haben.$$g: X = P + t \cdot \vec{a}$$ bzw. $$g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \\ z = z_P + t \cdot z_a \end{cases}$$
Mehr Infos zu den einzelnen Komponenten findest du im Tab 'Im $\mathbb{R^2}$'.

====Parameterfreie Darstellungsform====
Diese besteht aus 2 Gleichungen und wir erhalten sie durch Eliminierung des Parameters.

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sei die Parameterform der Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ -4 \\ 1 \end{array} \right)$. Zuerst schreiben wir das in die 3 Koordinatengleichungen um:
$$g : \begin{cases} x = 2 + 3t \\ y = 0 - 4t \\ z = 1 + t \end{cases}$$

|2=Wir multiplizieren die erste Gleichung mit $4$ und die zweite Gleichung mit $3$ und addieren die beiden: $$+ \begin{cases} 4x = 8 + 12t \\ 3y = 0 - 12t \end{cases}$$ und erhalten so die Gleichung $4x + 3y = 8$.
Wir multiplizieren die dritte Gleichung mit $3$ und subtrahieren diese von der ersten Gleichung: $$- \begin{cases} x = 2 + 3t \\ 3z = 3 + 3t \end{cases}$$ und erhalten so die Gleichung $x - 3z = -1$.

Die parameterfreie Darstellung unserer Gerade lautet somit $$g : \begin{cases} 4x + 3y = 8 \\ x - 3z = -1 \end{cases}$$.}}

Die zwei Gleichungen in der parameterfreien Darstellung sind übrigens Ebenengleichungen. Die eigentliche Gerade ist der Schnitt dieser zwei Ebenen!

===Lagebeziehungen zwischen Geraden===
Mehrere Geraden können im $\mathbb{R^3}$

* ident sein, d.h. sie haben unendlich viele gemeinsame Punkte
* parallel sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt
* einander schneiden, d.h. sie haben genau ein gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt)
* windschief sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt und sind nicht parallel

Um herauszufinden, wie 2 gegebene Geraden in Parameterform zueinander stehen, gehst du am besten wie folgt vor:

'''Betrachtung der Richtungsvektoren:''' Auch im $\mathbb{R^3}$ gilt, sind die Richtungsvektoren zweier Geraden parallel zueinander (d.h. man kann einen Vektor als Vielfaches des anderen Vektors darstellen), so sind es auch die Geraden.

'''Fall 1: Die Vektoren sind parallel:''' Sollte sich herausstellen, dass die zwei Geraden parallel zueinander sind, überprüfst du als nächstes, ob sie einen gemeinsamen Punkt haben; am einfachsten funktioniert das, indem du den bekannten Punkt ($P$) der einen Geraden in die zweite Gerade (für den unbekannten Punkt $X$) einsetzt. Wir erhalten drei Gleichungen in einer Unbekannten (Parameter der zweiten Gerade). 
'''Fall 1a:''' Erhalten wir nun für den Parameter dreimal dasselbe Ergebnis, so sind die 2 Geraden '''ident''' (und parallel), da der überprüfte Punkt, und somit unendlich weitere, auf beiden Geraden liegen. 
'''Fall 1b:''' Erhalten wir unterschiedliche Ergebnisse, so sind sie nur '''parallel''', da der überprüfte Punkt nicht, und somit auch kein anderer, auf beiden Geraden liegen.

'''Fall 2: Die Vektoren sind nicht parallel:''' Nun gibt es nur noch zwei Möglichkeiten: Entweder die zwei Geraden haben einen gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt), oder sie sind windschief. 
Um das wiederum herauszufinden, setzt du die beiden Geraden gleich, d.h. du stellst ein lineares Gleichungssystem (LGS) mit drei Gleichungen und in drei Unbekannten auf, und versuchst, dieses zu lösen. 
'''Fall 2a:''' Solltest du nun eine Lösung erhalten, d.h. du erhältst den Wert für den Parameter einer der zwei Geraden (und hast diesen Wert überprüft), so weißt du, dass die zwei Geraden einander '''schneiden'''. Den Schnittpunkt erhältst du jetzt, indem du den erhaltenen Wert für den Parameter in die entsprechende Geradengleichung einsetzt. 
'''Fall 2b:''' Sollte dein LGS keine Lösung ergeben (also sich eine falsche Aussage oder ein Widerspruch ergeben, z.B. $2=13$, oder $t=4$ und $t=-1$), dann weißt du, dass deine beiden Geraden keinen Schnittpunkt haben und somit '''windschief''' sind.

Zum besseren Verständnis siehst du dir am besten das folgende Video und die beiden folgenden Beispiele an.

<div align="center">{{#ev:youtube|u0QoYlEE094}}</div>
{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die beiden Geraden $g: X = \left( \begin{array}{c} 0 \\ -11 \\ -3 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right)$ und $h: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ -3 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right)$. Überprüfe deren gegenseitige Lage und gegebenenfalls ihren Schnittpunkt!|2=Zuerst überprüfen wir die Richtungsvektoren der beiden Geraden, um festzustellen, ob diese parallel zueinander sind oder nicht:$$\nexists \lambda : \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) = \lambda \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) \nparallel \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g \nparallel h$$
$g$ und $h$ sind also nicht parallel. Sie können also noch entweder einander schneiden oder windschief sein. Stellen wir nun ein LGS auf, indem wir die beiden Geraden gleichsetzen:
$$\begin{align}
I: \ &&&s&=&2&+&t \\
II: \ &-11&+&2s&=&3&-&3t \\
III: \ &-3&+&s&=&-3&+&2t
\end{align}$$ 
Wir subtrahieren $III$ von $I$: $- \begin{cases} &s &=& 2 + t \\ -3 + &s &=& -3 + 2t \end{cases} \ \rightarrow \ 3 = 5 - t \Rightarrow t = 2$ 
Wir überprüfen dieses Ergebnis für $t$, indem wir $t=2$ in alle 3 Gleichungen einsetzen. Wir sehen dann, dass wir überall dasselbe Ergebnis für $s$ erhalten, nämlich $s=4$. Daraus folgt, dass die Geraden einander '''schneiden'''. Setzen wir nun $t=2$ oder $s=4$ in die entsprechende Geradengleichung, so erhalten wir den Schnittpunkt $S(4/-3/1)$ der beiden Geraden.}}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die beiden Geraden $g: X = \left( \begin{array}{c} 3 \\ -2 \\ 0 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right)$ und $h: X = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$. Überprüfe deren gegenseitige Lage und ggf. ihren Schnittpunkt!|2=Zuerst überprüfen wir wieder die Richtungsvektoren der beiden Geraden:$$\nexists \lambda : \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) = \lambda \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) \nparallel \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g \nparallel h$$
Nun stellen wir wieder ein LGS auf:
$$\begin{align}
I: \ &3&+&2s&=&4&-&t \\
II: \ &-2&-&2s&=&3&& \\
III: \ &&&s&=&1&+&t
\end{align}$$ 
Aus der zweiten Gleichung lässt sich direkt berechnen, dass $s=- \frac{5}{2}$. Dies setzen wir nun in die erste und zweite Gleichung ein und erhalten einmal $3 - 5 = 4 - t \ \Rightarrow \ t=6$ und einmal $- \frac{5}{2} = 1 + t \ \Rightarrow \ t=- \frac{7}{2}$. Diese beiden Werte für $t$ sind offensichtlich voneinander unterschiedlich, daraus folgt, dass die beiden Geraden $g$ und $h$ '''windschief''' sind.
}}

==Ebenen==
Eine Ebene ist durch 3 Punkte oder 1 Punkt und 2 (voneinander linear unabhängigen) Vektoren eindeutig festgelegt.

===Darstellungsformen===
====Parameterdarstellung====
[[Datei:ebene2.png|thumb|right|350px|von Punkt und Vektoren aufgespannte Ebene]]
$$\epsilon : X = P + s \cdot \vec{a} + t \cdot \vec{b}$$
bzw.
$$\epsilon : \begin{cases} x = x_P + s \cdot x_a + t \cdot x_b \\ y = y_P + s \cdot y_a + t \cdot y_b \\ z = z_P + s \cdot z_a + t \cdot z_b \end{cases}$$
wobei

* $X \in \epsilon$ ist ein '''beliebiger''' Punkt auf der unendlichen Ebene
* $P \in \epsilon$ ist ein '''bekannter''' Punkt auf der Ebene
* $s, t \in \mathbb{R}$ sind freie Parameter
* $\vec{a}, \vec{b} \in \mathbb{R^3}$ sind zwei Vektoren, die parallel zur Ebene liegen

====Normalvektorform====
Man multipliziert die Parameterdarstellung der Ebene mit ihrem Normalvektor $\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$ und erhält$$\vec{n} \cdot \vec{X} = \vec{n} \cdot \vec{P}$$

====Allgemeine Ebenengleichung====
$$ax + by + cz = d$$Diese Form der Darstellung heißt auch Normalform, da man den Normalvektor der Ebene direkt ablesen kann. Um von der Parameterdarstellung auf diese Form zu kommen, gibt es 2 Möglichkeiten:

'''1. Multiplikation mit Normalvektor:'''
Hierzu muss man einfach die Normalform ausmultiplizieren und es ergibt sich:

$$\epsilon: x_n \cdot x + y_n \cdot y + z_n \cdot z = x_n \cdot x_P + y_n \cdot y_P + z_n \cdot z_P$$

'''2. Elimination des Parameters:'''
Hierbei gehen wir von der Ebenengleichung $\epsilon : \begin{cases} x = x_P + s \cdot x_a + t \cdot x_b \\ y = y_P + s \cdot y_a + t \cdot y_b \\ z = z_P + s \cdot z_a + t \cdot z_b \end{cases}$ aus, eliminieren $s$ und $t$, und kommen ebenfalls auf die obige allgemeine Ebenengleichung.

Zur Veranschaulichung ein Beispiel zu den verschiedenen Darstellungsformen:
{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die drei Punkte $A(1/1/1), B(-1/-4/2), C(0/3/-1)$. Gib die Ebene, die diese drei Punkte aufspannen, in Parameterform, Normalform und allgemeiner Ebenengleichung an!|2=Für die Parameterform berechnen wir erst zwei beliebige Vektoren aus den 3 Punkten, z.B. $\vec{AB} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{AC} = \left( \begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right)$. Als Parameterform erhalten wir schließlich:
$$\epsilon: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right)$$ Um auf die Normalform zu kommen, bestimmen wir als erstes den Normalvektor der Ebenen: $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-5) \cdot (-2) - 1 \cdot 2 \\ 1 \cdot (-1) - (-2) \cdot (-2) \\ (-2) \cdot 2 - (-5) \cdot (-1) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right)$. 
Nun die Parametergleichung mit dem Normalvektor multiplizieren und wir erhalten auch die Normalform:
$$\epsilon: \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)$$ 
Um nun noch die allg. Ebenenform zu erhalten, multipliziert man am einfachsten die Normalform aus und erhält:
$$\epsilon: 8x - 5y -9z =-6$$ 
Aber auch die Elimination der Parameter soll hier gezeigt werden. Wir gehen aus von: $$\epsilon : \begin{cases} x = 1 - 2s - t \\ y = 1 - 5s + 2t \\ z = 1 + s - 2t\end{cases}$$
Addieren wir die y- und die z-Gleichung, können wir $t$ eliminieren: $+ \begin{cases} y = 1 - 5s + 2t \\ z = 1 + s - 2t \end{cases} \ \Rightarrow \ y + z = 2 - 4s$. 
Wir können $t$ ebenfalls eliminieren, indem wir die y-Gleichung zum 2-fachen der x-Gleichung addieren: $+ \begin{cases} 2x = 2 - 4s - 2t \\ y = 1 - 5s + 2t \end{cases} \ \Rightarrow \ 2x + y = 3 -9s$. 
Nun haben wir zwei Gleichungen, die nur mehr von $s$ abhängig sind. Um diesen Parameter nun auch noch zu eliminieren, multiplizieren wir die erste Gleichung mit $(-9)$ und die zweite mit $4$ und addieren diese, um nochmals auf die allg. Ebenengleichung zu kommen.
$$+ \begin{cases} 8x + 4y = 12 - 36s \\ -9y - 9z = -18 + 36s \end{cases} \ \Rightarrow \ \epsilon: 8x - 5y -9z =-6$$
}}

===Lagebeziehungen===
====...zwischen zwei Ebenen====
Zwei Ebenen können im $\mathbb{R^3}$

* ident sein: die Ebenengleichungen (allg. Form) sind Vielfache voneinander;

z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : 2x + 2y + 2z = 6 \Rightarrow \epsilon _2 = 2 \cdot \epsilon _1$

* parallel sein: die Normalvektoren der Ebenen sind Vielfache voneinander;

z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : 2x + 2y + 2z = 5 \Rightarrow \vec{n_2} = 2 \cdot \vec{n_1}$

* einander schneiden (in einer Gerade): die Normalvektoren der Ebenen sind keine Vielfache voneinander;

z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : x - 3y + 2z = 1 \Rightarrow \nexists \lambda \in \mathbb{R} : \vec{n_1} = \lambda \cdot \vec{n_2}$

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:Ebenenident2.png|2 Ebenen sind ident
Datei:Ebenenparallel2.png|2 Ebenen sind parallel
Datei:Ebenenschnittgerade2.png|2 Ebenen schneiden einander in einer Geraden
</gallery>

 
'''Berechnen der Schnittgerade''' 
Erkennt man durch Betrachtung der Normalvektoren zweier Ebenen, dass diese einander schneiden müssen, so kann man diese Schnittgerade berechnen. Dazu erstellt man aus den beiden Ebenengleichungen ein lineares Gleichungssystem in 3 Unbekannten. 2 Gleichungen - 3 Unbekannte: wir werden hier nicht für alle Unbekannten einen Zahlenwert erhalten, können aber 2 Unbekannte in Abhängigkeit der dritten darstellen. Diese dritte Unbekannte wird uns als Parameter für die Darstellung der Geraden dienen. Zur Veranschaulichung ein Beispiel:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die beiden Ebenen $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : x - 3y + 2z = 1$. Wie wir weiter oben schon festgestellt haben, müssen diese Ebenen einander schneiden, da die beiden Noramlvektoren der Ebenen $\vec{n_1}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{n_2}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right)$ linear unabhängig voneinander sind, also $\nexists \lambda \in \mathbb{R} : \vec{n_1} = \lambda \cdot \vec{n_2}$. 
Wir wählen nun eine der Koordinaten als Parameter, z.B. $z=t$ und stellen das Gleichungssystem auf.

|2=

$$\begin{align}I: \ &x&+&y&+&t&=&3 \\
II: \ &x&-&3y&+&2t&=&1
\end{align}$$

Wir subtrahieren $I-II$ und erhalten
$$4y - t = 2 \ \Rightarrow \ y = \frac{1}{2} + t \cdot \frac{1}{4}$$
Nun setzen wir unser erhaltenes $y$ in die erste Gleichung ein, um $x$ zu erhalten:

$$I: \ x + \frac{1}{2} + t \cdot \frac{1}{4} + t = 3 \ \Rightarrow \ x = \frac{5}{2} - t \cdot \frac{5}{4}$$
Somit haben wir alle Ausdrücke der Koordinaten gefunden ($z=t$ haben wir anfangs festgelegt) und können die Parameterdarstellung der Schnittgerade angeben:
$$g: X = \left( \begin{array}{c} \frac{5}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 0 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} - \frac{5}{4} \\ \frac{1}{4} \\ 1 \end{array} \right)$$
}}

====...zwischen 3 Ebenen====
Drei Ebenen können im $\mathbb{R^3}$

* alle ident sein
* 2 ident, 1 parallel sein
* alle parallel sein
* 3 Schnittgeraden haben
* 2 Schnittgeraden haben (2 Ebenen parallel)
* 1 Schnittgerade haben
* 1 Schnittpunkt haben

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:Ebenenident3.png|3 Ebenen sind ident
Datei:Ebenenidentparallel.png|2 Ebenen sind ident, 1 parallel
Datei:Ebenenparallel3.png|3 Ebenen sind parallel
Datei:Ebenenschnittgeraden33.png|3 Ebenen schneiden einander in 3 Geraden
Datei:Ebenenschnittgeraden32.png|3 Ebenen schneiden einander in 2 Geraden (2 Ebenen parallel)
Datei:Ebenenschnittgerade3.png|3 Ebenen schneiden einander in einer Gerade
Datei:Ebenenschnittgerade31.png|3 Ebenen schneiden einander in einer Gerade (2 Ebenen ident)
Datei:Ebenenschnittpunkt3.png|3 Ebenen schneiden einander in einem Punkt
</gallery>

====...zwischen Ebene und Gerade====
Eine Ebene und eine Gerade können im $\mathbb{R^3}$

* $g \subset \epsilon$, die Gerade liegt auf der Ebene

Hierbei haben die Gerade und die Ebene einen gemeinsamen Punkt und der Richtungsvektor der Gerade steht normal auf den Normalvektor der Ebene, daraus folgt, dass sie unendlich gemeinsame Punkte haben.

* parallel sein

Irgendein Punkt der Gerade liegt nicht auf der Ebene, der Richtungsvektor der Gerade steht normal auf den Normalvektor der Ebene, daraus folgt, dass sie keinen einzigen gemeinsamen Punkt haben.

* 1 Schnittpunkt haben

Der Richtungsvektor der Geraden steht nicht normal auf den Normalvektor der Ebene.

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:GeradeinEbene.png|Gerade liegt auf der Ebene
Datei:GeradepararallelEbene.png|Gerade und Ebene sind parallel zueinander
Datei:GeradeSchnittpunktEbene.png|Gerade und Ebene schneiden einander (Schnittpunkt)
</gallery>

Zur Überprüfung der Lagebeziehung gibt es allerdings noch eine andere (schnellere) Methode. Hier "schneiden" wir die Gerade und die Ebene mathematisch, d.h. wir setzen sie gleich (wenn beide in Parameterform gegeben sind) oder setzen die Gerade $g$ (Parameterform) in die Ebene $\epsilon$ (allg. Ebenengleichung) ein. 
Wir erhalten dadurch ein Gleichungssystem oder eine einzelne Gleichung.

Sei die Gerade gegeben als $g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \\ z = z_P + t \cdot z_a \end{cases}$ und die Ebene als $\epsilon : \begin{cases} x = x_Q + s \cdot x_b + u \cdot x_c \\ y = y_Q + s \cdot y_b + u \cdot y_c \\ z = z_Q + s \cdot z_b + u \cdot z_c \end{cases}$ (Parameterform) oder $\epsilon : ax + by + cz = d$ (allg. Ebenengleichung).

Wir erhalten als Gleichungssystem durch Gleichsetzen der Gleichungen der Parameterformen:
$$\begin{cases} x_P + t \cdot x_a = x_Q + s \cdot x_b + u \cdot x_c \\ y_P + t \cdot y_a = y_Q + s \cdot y_b + u \cdot y_c \\ z_P + t \cdot z_a = z_Q + s \cdot z_b + u \cdot z_c \end{cases}$$ 
Wir erhalten durch Einsetzen der Gerade in die Ebene (allg. Ebenengleichung):
$$a \cdot (x_P + t \cdot x_a) + b \cdot (y_P + t \cdot y_a) + c \cdot (z_P + t \cdot z_a) = d$$

Ergibt sich hier eine wahre Aussage (z.B. $1=1$), also unendlich viele Lösungen, so liegt die Gerade in der Ebene. 
Ergibt sich eine falsche Aussage (z.B. $1=2$), also keine Lösung, so schneiden die beiden Objekte einander nicht, also sie sind parallel. 
Gibt es genau eine Lösung (z.B. $t=2$), so existiert genau ein gemeinsamer Punkt = Schnittpunkt. Diesen erhält man, indem man den ermittelten Wert für den Parameter $t$ der Geraden in die Geradengleichung einsetzt (oder, wenn die Ebene in Parameterform gegeben war, die beiden Werte für die Parameter $s$ und $u$ der Ebene in die Ebenengleichung einsetzt). Dazu 2 Beispiele, wobei wir im ersten mit der Ebene in Parameterform rechnen werden:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right)$ und die Ebene $\epsilon : X = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -1 \\ -3 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) + u \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 0 \end{array} \right)$. Stellen wir nun also unser Gleichungssystem auf:

|2=\begin{align}

I: \ & \ 1&-t&=&4& &+2u \\
II: \ &-3& &=&-1&+s&-u \\
III: \ & \ 2&+2t&=&-3&+s&
\end{align}

In der ersten Gleichung drücken wir $u$ in $t$ aus: $u = - \frac{3}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$ 
In der zweiten Gleichung drücken wir $s$ in $u$ aus: $s = -2 + u$ 
Das $u$ von oben setzen wir nun hier ein und erhalten $s$ in Abhängigkeit von $t$: $s = - \frac{7}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$.

Dieses $s$ setzen wir nun in die dritte Gleichung ein und wir erhalten: $2 + 2t = -3 - \frac{7}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$ und in weiterer Folge $t = - \frac{17}{5}$. 
Es ergibt sich also genau eine Lösung für das Gleichungssystem, was bedeutet, dass die Gerade und die Ebene einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen. Diesen erhalten wir, indem wir den errechneten Wert für $t$ in die Geradengleichung einsetzen (Man könnte natürlich auch noch die Werte für $s$ und $u$ berechnen, und diese in die Ebenengleichung einsetzen; zur Übung kannst du das gerne tun):
$$g: S = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) - \frac{17}{5} \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \frac{23}{5} \\ -3 \\ - \frac{24}{5} \end{array} \right)$$
}}

Betrachten wir nun dasselbe Beispiel, mit dem Unterschied, dass die Ebene in Normalform gegeben ist und wir auch gleich mit dieser Form rechnen:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right)$ und die Ebene $\epsilon : x + 2y - 2z = 8$. Wir setzen die Koordinatengleichungen der Gerade in die Normalform der Ebene:

|2= $g$ in $\epsilon$: $$1 - t - 6 - 4 -4t =8$$

Wenn wir diese Gleichung lösen, erhalten wir, wie im ersten Bespiel, $t = - \frac{17}{5}$. Dies noch in die Geradengleichung einsetzen, und wir erhalten den Schnittpunkt.}}

Da man bei der zweiten Methode meistens weniger Rechenaufwand hat, zahlt es sich oft aus die Parameterdarstellung der Ebene in die Normalform (= allg. Ebenengleichung) umzurechnen.

==Pyramidenbeispiel==
[[Datei:Pyramidebsp.png|thumb|right|350px|Pyramide]]Gegeben seien 3 Eckpunkte $A(-2/-2/1), B(2/-2/1), C(2/2/1)$ der quadratischen Grundfläche und der Spitzpunkt $S(0/0/6)$ einer geraden (gerade bedeutet, dass die Spitze in einem rechten Winkel über dem Mittelpunkt der Grundfläche der Pyramide liegt) Pyramide.
Gesucht sind:

# der vierte Eckpunkt $D$ der Grundfläche
# die Parameterdarstellung der Trägergeraden $h$ der Höhe
# die Fläche der Grundfläche
# die Geradengleichung der Geraden $g_{AS}$ auf der $A$ und $S$ liegen in a)Parameterform und b)parameterfreier Form
# Der Winkel $\alpha$ zwischen den Vektoren $\vec{AS}$ und $\vec{AC}$
# Zeige, dass der Schnittpunkt der Geraden $g_{AS}$ und $h$ gleich die Spitze $S$ ist
# Gib die Ebenengleichung $\epsilon$ der Grundfläche in a)Parameterform, b)Normalform und c)allgemeiner Ebenengleichung an
# Berechne den Fußpunkt $M$ der Höhe, indem du $h$ und $\epsilon$ schneidest

1. $D = A + \vec{BC} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -2 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right)$ 
2. $h: X = S + t \cdot \vec{h}$
$$\vec{AB} \times \vec{BC} = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 16 \end{array} \right) \ \parallel \ \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) = \vec{h}$$
$$h: X = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$$ 
3. $G = \parallel \vec{AB} \times \vec{BC} \parallel = \parallel \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 16 \end{array} \right) \parallel = 16FE$ 
4. a) $g_{AS}: X = A + u \cdot \vec{AS}$
$$\vec{AS} = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g_{AS}: X = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + u \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right)$$ oder $$g_{AS}:\begin{cases} x = -2 + 2u \\ y = -2 + 2u \\ z = 1 + 5u \end{cases}$$
b) Parameter elimieren:
$$x - y: x-y = 0$$
$$5x - 2z: 5x - 2z = -12$$
$$\Rightarrow g_{AS}:\begin{cases} x - y = 0 \\ 5x - 2z = -12 \end{cases}$$ 
5. $\measuredangle \vec{AS},\vec{AC} = \alpha = arccos{\frac{\vec{AS} \cdot \vec{AC}}{\parallel \vec{AS} \parallel \cdot \parallel \vec{AC} \parallel}} = arccos{\frac{\left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right)}{\parallel \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) \parallel \cdot \parallel \left( \begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) \parallel}} = arccos{\frac{16}{\sqrt{33 \cdot 32}}} = 60,5°$ 
6. $g_{AS}$ und $h$ gleichsetzen:
$$\begin{align}
I: \ &-2&+&2u&=&0&& \\
II: \ &-2&+&2u&=&0&& \\
III: \ & \ \ 1&+&5u&=&6&+&t
\end{align}
\ \ \ \rightarrow u=1$$
$$g_{AS}: S = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + 1 \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array} \right)$$ 
7. a) $\epsilon: X = A + v \cdot \vec{AB} + w \cdot \vec{BC} \ \rightarrow \ \epsilon: X = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + v \cdot \left( \begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) + w \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right)$ 
b) $\epsilon: \vec{n} \cdot \vec{X} = \vec{n} \cdot \vec{A} \ \rightarrow \ \epsilon: \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right)$ 
c) $\epsilon: z = 1$ 
8. $h:\begin{cases} x=0 \\ y=0 \\ z=6+t \end{cases} \ \ \epsilon: z=1 \ \ \rightarrow \ 1 = 6 + t \ \Rightarrow \ t=-5$ 
$h: M = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array} \right) -5 \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$

=Beispiele=
Hier findest du Beispiele zu den behandelten Themen:

===Grundlagen der Vektorrechnung===
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/9/99/VektorrechnungGLBspAngabe.pdf VektorrechnungGLBspAngabe.pdf] 
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/0/00/VektorrechnungGLBspL%C3%B6sung.pdf VektorrechnungGLBspLösung.pdf]

===Vektorrechnung im $\mathbb{R^2}$===
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/7/7f/VektorrechnungR2BspAngabe.pdf VektorrechnungR2BspAngabe.pdf] 
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/f/ff/VektorrechnungR2BspL%C3%B6sung.pdf VektorrechnungR2BspLösung.pdf]

===Vektorrechnung im $\mathbb{R^3}$===
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/b/b0/VektorrechnungR3BspAngabe.pdf VektorrechnungR3BspAngabe.pdf] 
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/8/84/VektorrechnungR3BspL%C3%B6sung.pdf VektorrechnungR3BspLösung.pdf]

Datei:VektorrechnungR3BspLösung.pdf

2016-08-15T13:21:55Z

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Datei:VektorrechnungR3BspAngabe.pdf

2016-08-15T13:21:54Z

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}}

=={{int:license-header}}==
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[[Kategorie:Vektorrechnung]]

Vektorrechnung

2016-08-13T13:54:18Z

Lajtos: /* Lagebeziehungen zwischen Geraden */

=Grundlagen=
==Koordinatensystem==
[[Datei:Quadranten.png|thumb|Coordinate System|thumb|right|350px|Koordinatengitter im $\mathbb{R^2}$ mit den 4 Quadranten]]

Für die Vektorrechnung sind Koordinatensysteme essentiell.
Im zweidimensionalen Raum besitzt ein Koordinatensystem 2 Achsen:

* die x-Achse (waagrecht) und
* die y-Achse (senkrecht)

 
Diese sind unendlich lang und Spannen die vier sogenannten Quadranten auf, die meist mit den römischen Ziffern I-IV beschriftet werden (gesprochen: Erster Quadrant, Zweiter Quadrant etc.). Die rechte Graphik zeigt die die Positionen der Quadranten. Dort, wo die 2 Achsen einander treffen, liegt der sog. Ursprung (kurz: $\vec{0}$); seine Koordinaten sind $(0/0)$.

Was es außerdem noch zu beachten gibt, hast du vielleicht bereits selbst erkannt:
An den gegenüberliegenden Seiten der x- und y-Achsen werden unterschiedliche Vorzeichen verwendet. So spricht man "links" des Ursprungs von der negativen, bzw. "rechts" des Ursprungs von der positiven x-Achse. Analog spricht man "oben" und "unten" von der positiven und negativen y-Achse.

Im dreidimensionalen Raum kommt eine dritte Achse - die z-Achse - dazu. Punkte und Vektoren besitzen dementsprechend dann auch 3 Koordinaten. Dies kann man bis ins n-dimensionale weiterführen.

==Punkte==
In ein Koordinatensystem lassen sich Punkte eintragen. Diese besitzen, entsprechend ihrer Lage, Koordinaten. Im obigen Bild z.B. haben wir die Punkte A und B, wobei sich A im ersten Quadranten befindet und B im vierten Quadranten. Man schreibt: A(2/3,5) B(1/-2).

[[Datei:Punkte Abstand.png|thumb|right|350px|Punkte im $\mathbb{R^2}$]]

{{Vorlage:Merke |''Einen'' '''allgemeinen Punkt''' ''schreibt man an als'' $P(x_1/x_2/.../x_n)$ (im n-dimensionalen Raum $\mathbb{R^n}$) ''bzw.'' $P(x/y)$ (im 2-dimensionalen Raum $ \mathbb{R^2}$) ''oder'' $P(x/y/z)$ (im 3-dimensionalen Raum $\mathbb{R^3}$).
 
Die erste Koordinate entspricht der x-Koordinate, die zweite der y-Koordinate, die eventuelle dritte der z-Koordinate.

Punkte werden in der Regel mit Großbuchstaben bezeichnet.}}

Koordinaten von Punkten lassen sich also ganz einfach ablesen. Die x/y-Koordinate entspricht dabei dem Abstand vom Ursprung zum Punkt in Richtung der jeweiligen Koordinatenachse. So erkennen wir im Bild rechts die folgenden Punkte:

* A(2/0)
* B(0/-2)
* C(-1/2)

=Vektoren=

==Definition & Darstellung von Vektoren==
{{Vorlage:Definition |1= Ein Zahlenpaar $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \in \mathbb{R^2}$ wird als '''Vektor aus $\mathbb{R^2}$ ''' bezeichnet.
Analog bezeichnet man ein Zahlentripel $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) \in \mathbb{R^3}$ als '''Vektor aus $\mathbb{R^3}$ '''. 
Ein '''allgemeiner Vektor''' wird $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) \ \in \mathbb{R^n}$ geschrieben.

}}

Da sowohl die Rechenoperationen als auch die geometrischen Darstellungen leicht vom $\mathbb{R^2}$ in den $\mathbb{R^3}$ übertragen werden können, werden wir hier meistens nur die Vorgangsweise für Zahlenpaare aus dem $\mathbb{R^2}$ beschreiben.

===Geometrische Darstellung von Vektoren===

Es gibt zwei Möglichkeiten, wie wir einen Vektor $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right) \ \in \mathbb{R^2}$ geometrisch darstellen können:
* '''Darstellung als Punkt''': Dabei gibt $a$ die x-Koordinate und $b$ die y-Koordinate des Punktes an. Die Beschriftung erfolgt mit Großbuchstaben.
* '''Darstellung als Pfeil''': Dabei gibt $a$ die x-Richtung des Pfeils (wie weit zeigt der Pfeil nach links bzw. rechts) und $b$ die y-Richtung des Pfeils (wie weit zeigt der Pfeil nach oben bzw. nach unten) an. Pfeile werden mit Kleinbuchstaben (oft mit Pfeil $\vec{v}$) beschriftet.

Die Darstellung als Punkt ist eindeutig! Einem Zahlenpaar (=Vektor) entspricht genau ein Punkt!
Die Darstellung als Pfeil ist nicht eindeutig! Es gibt unendlich viele Pfeile, die denselben Vektor darstellen. Diese Pfeile sind aber alle parallel, gleich lang und gleich gerichtet.

'''Beispiel:''' Darstellung des Vektors $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$
{| class="wikitable"
|-
| '''Punktdarstellung des Vektors'''|| '''Mögliche Pfeildarstellungen des Vektors'''
|-
| [[Datei:Punkt.png|thumb|300px]]|| [[Datei:Pfeile.png|thumb|300px]]
|}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 3 \\ -4 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 5 \end{array} \right)$. Stelle $\vec{a}$ und $\vec{b}$ als Punkte und als Pfeile dar.
|2=[[Datei:Punkt Pfeil Bsp.png|300px]] 
'''Anmerkungen:'''
* Für die Pfeildarstellungen gibt es mehrere (unendlich viele) Möglichkeiten. Der von dir gezeichnete Pfeil muss jedenfalls parallel, gleich gerichtet und gleich lang wie der abgebildete Pfeil sein!
* Aus "Bequemlichkeitsgründen" zeichnet man die Pfeile oft beginnend beim Ursprung ein:
[[Datei:Punkt Pfeil Bsp2.png|300px]]
 
}}

Vektoren des $\mathbb{R^3}$ können auch auf diese zwei Arten dargestellt werden. Der einzige Unterschied dabei ist, dass die Punkte bzw. Pfeile im dreidimensionalen Raum liegen. Es gibt also noch eine dritte Richtung, die durch die z-Koordinate des Vektors angegeben wird.

===Ortsvektoren===
[[Datei:Ortsvektor.png|thumb|right|250px|Punkt und zugehöriger Ortsvektor]]Der Ortsvektor von einem Punkt ist der Vektor, der vom Ursprung aus auf den Punkt zeigt. Die Koordinaten bleiben deshalb gleich, es ändert sich quasi nur die Schreibweise:

Sei $A(x_1/x_2/.../x_n)$ ein Punkt in der Dimension $n$, dann ist $\vec{0A} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ dessen Ortsvektor.
 
 
 
 
 

==Rechnen mit Vektoren==

===Addition und Subtraktion von Vektoren===
====Rechnerische Addition====
{{Vorlage:Merke|1=Wenn du Vektoren addieren oder subtrahieren möchtest, musst du dazu die entsprechenden Koordinaten addieren: 
$\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) \pm \left( \begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ ... \\ y_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x_1 \pm y_1 \\ x_2 \pm y_2 \\ ... \\ x_n \pm y_n \end{array} \right)$ 
Wichtig ist dabei, dass die Vektoren, die du addieren oder subtrahieren möchtest, derselben Dimension $n$ angehören! D.h. sie haben gleich viele Koordinaten.}}
{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben seien die beiden Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right)$. Berechne erst $\vec{a} + \vec{b}$, dann $\vec{a} - \vec{b}$ und zuletzt $\vec{b} - \vec{a}$!
|2= $\vec{a} + \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 5+1 \\ 2+(-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 6 \\ -1 \end{array} \right)$
$\vec{a} - \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 5-1 \\ 2-(-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 5 \end{array} \right)$ 
$\vec{b} - \vec{a} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 1-5 \\ -3-2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -4 \\ -5 \end{array} \right)$}}

{| border=1 align=center
! Übung zur rechnerischen Addition von Vektoren
|-
| <ggb_applet width="550" height="450" version="5.0" id="ZvayFJPu" />
|}

====Geometrische Darstellung der Vektoraddition====
Die Addition zweier Vektoren kann auf zwei verschiedene Arten geometrisch gedeutet werden. Wir illustrieren die beiden Möglichkeiten anhand des Beispiels $\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2\end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$

{| class="wikitable"
|-
| '''Punkt + Pfeil - Darstellung:'''|| '''Pfeil + Pfeil - Darstellung'''
|-
| ''An einen Punkt wird ein Pfeil angehängt.'' In unserem Beispiel wird an den Punkt (1/2) ein Pfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$ angehängt. Das Ergebnis der Addition ist der Punkt am Ende des Pfeils (5/5). || ''Zwei Pfeile werden aneinandergehängt. In unserem Beispiel wird also ein Pfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$ und ein Pfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)$ aneinandergehängt. Das Ergebnis der Addition ist der entstehende Verbindungspfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 5 \\ 5 \end{array} \right)$
|-
| [[Datei:Vektoraddition1.png|left|400px]]|| [[Datei:Vektoraddition2.png|left|500px]]
|-
| '''Anmerkung:''' Diese Darstellung ist hilfreich, wenn wir von einem Punkt ausgehen und zu einem neuen Punkt gelangen wollen.|| Es spielt keine Rolle, in welcher Reihenfolge die Vektoren angehängt werden. Die Addition ist kommutativ!
|}

===Vektoren bestimmen: "Spitze minus Schaft" ("Ziel minus Start")===
[[Datei:Spitzeschaft.png|thumb|right|300px|"Spitze minus Schaft"]]Zwischen 2 Punkten kann man nun einen Vektor definieren. Dabei gilt: Die '''"Spitze minus Schaft"'''-Regel Im Bild rechts wollen wir den Vektor berechnen, der von A nach B geht, also den Vektor $\vec{AB}$. Der Punkt B(3/3,5) entspricht hierbei der Spitze, und der Punkt A(1/0,5) dem Schaft. Da das Rechnen mit Punkten allerdings keinen Sinn ergibt, rechnet man stattdessen mit deren Ortsvektoren (siehe oben).

Für unser Beispiel bedeutet das: $\vec{0B} - \vec{0A} = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 3,5 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0,5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 3-1 \\ 3,5-0,5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right) = \vec{AB}$

'''Beachte außerdem:'''

* Man schreibt der Einfachheit halber oft nur $B-A$, obwohl eigentlich $\vec{0B} - \vec{0A}$ gemeint ist.
* Der Vektor $\vec{AB}$ zeigt in die entgegengesetzte Richtung von $\vec{BA}$. Das bedeutet, dass diese beiden Vektoren entgegengesetzte Vorzeichen haben: $\vec{AB} = - \vec{BA}$

 

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die Punkte A=(1/2); B=(-3/1); C=(-4,-1). Bilde die folgenden Verbindungsvektoren: 
 
# $\vec{AB}$
# $\vec{BA}$
# $\vec{AC}$
# $\vec{BC}$

|2=
$\ $
# $\vec{AB}=B-A=\left( \begin{array}{c} -3 \\ 1\end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} -4 \\ -1\end{array} \right)$
# $\vec{BA}=-\vec{AB}=\left( \begin{array}{c} 4 \\ 1 \end{array} \right)$
# $\vec{AC}=\left( \begin{array}{c} -4 \\ -1\end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} -5 \\ -3\end{array} \right)$
# $\vec{BC}=\left( \begin{array}{c} -4 \\ -1\end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} -3 \\ 1 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} -1 \\ -2\end{array} \right)$
 
'''Tipps:'''
* Pass gut auf die Vorzeichen auf! Beim Subtrahieren von Vektoren passieren leider häufig Vorzeichenfehler! Sei deshalb besonders achtsam!
* Zeichne die Punkte in ein Koordinatensystem und zeichne die Verbindungsvektoren ein. Bei einfachen Koordinaten kannst du den Verbindungsvektor ohne Rechnung ablesen (Probiere es aus!).

 
}}

===Produkt eines Vektors mit einem Skalar===
====Rechnerische Multiplikation====
Wenn man einen Vektor $\vec{v}$ mit einer [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)|reellen Zahl]] $k$ , einem sogenannten "Skalar", multipliziert, werden dabei die einzelnen Koordinaten mit dem Skalar multipliziert:

$k \cdot \vec{v} = k \cdot \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} k \cdot x_1 \\ k \cdot x_2 \\ ... \\ k \cdot x_n \end{array} \right)$

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sei der Vektor $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right)$. Multipliziere diesen einmal mit $2$ und einmal mit $-5$!
|2= $2 \cdot \vec{a} = 2 \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \cdot 2 \\ 2 \cdot (-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -6 \end{array} \right)$
$(-5) \cdot \vec{a} = (-5) \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-5) \cdot 2 \\ (-5) \cdot (-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -10 \\ 15 \end{array} \right)$}}

====Geometrische Darstellung der Multiplikation====

Eine Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl $a$ (Skalar) entspricht einer Streckung (für $|a|>1$) bzw. einer Stauchung (für $|a|<1$) des zugehörigen Pfeiles.
Ist das Vorzeichen des Skalars negativ, so dreht sich die Richtung des Pfeils in die entgegengesetzte Richtung.

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sei wiederum der Vektor $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right)$. Stelle die Multiplikation mit $2$, mit $-5$ und mit $0.5$ graphisch dar!
|2= Rechnerische Lösung und graphische Interpretation:
* $2 \cdot \vec{a} = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -6 \end{array} \right)$. Der Vektor $2\cdot \vec{a}$ hat die doppelte Länge und dieselbe Richtung wie $\vec{a}$
* $(-5) \cdot \vec{a} = \left( \begin{array}{c} -10 \\ 15 \end{array} \right)$. Der Vektor $(-5)\cdot \vec{a}$ ist fünfmal so lang wie $\vec{a}$ und zeigt in die entgegengesetzte Richtung wie $\vec{a}$
* $(0.5) \cdot \vec{a} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1.5 \end{array} \right)$ Der Vektor $0.5\cdot \vec{a}$ ist halb so lang wie $\vec{a}$ und zeigt in dieselbe Richtung wie $\vec{a}$
}}

{{#widget:Iframe
|url= http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_vektorrechnung/MV_Vektor1/MV_Vektor1/sites/Vektortest.html
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[http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_vektorrechnung/MV_Vektor1/MV_Vektor1/ (Quelle dieses Applets)]

Hilfe zum Applet: Gib in die Eingabezeile den Buchstaben des Vektors bzw. die entsprechende Summe / Differenz an. (z.B. $u=a$)

===Wie Vektoren zueinander stehen===
Vektoren können unterschiedliche Richtungen haben, aber auch parallel zueinander oder gar identisch sein. Optisch lässt sich das oft sehr leicht erkennen. Die Lage von Vektoren zueinander kann aber auch rechnerisch überprüft werden.

{{Vorlage:Definition |Unter einem Vektor versteht man die Menge aller gleichlangen, gleichgerichteten und gleichorientierten Pfeile.

Der Start/Endpunkt spielen dabei keine Rolle!}}

{{Vorlage:Merke|2 Vektoren stehen parallel zueinander, wenn ein Vektor als Vielfaches des anderen Vektors angeschrieben werden kann. 
Man sagt auch: Die Vektoren sind [[linear abhängig]].}}

Sehen wir uns die verschiedenen Fälle an:

{| class="wikitable"
|-
|ident: gleiche Richtung, gleiche Orientierung, gleiche Länge
||[[Datei:Vektorv1.png|none|250px]]
||$\vec{v} = \vec{u} \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$
||z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$
|-
||parallel (gleiche Orientierung): gleiche Richtung, gleiche Orientierung, unterschiedliche Länge
| [[Datei:Vektorenlänge.png|none|250px]]
||$\exists k>0 : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$
||z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} \frac{4}{3} \\ 2 \end{array} \right)$, $k = \frac{2}{3} $
|-
||parallel (unterschiedliche Orientierung): 
| [[Datei:Vektororientierung1.png|none|250px]]
||$\exists k<0 : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$
||z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} -2 \\ -3 \end{array} \right)$, $k=-1$

|-
||linear unabhängig
| [[Datei:Vektorrichtung1.png|none|250px]]
||$\nexists k : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \nparallel \vec{u}$
||z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 3 \end{array} \right)$
|}

{{Vorlage:Beispiel|1=Überprüfe ob die Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 5 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$ linear unabhängig voneinander sind.

|2=Wenn es ein k gibt, sodass $k \cdot \vec{a} = \vec{b}$, dann sind die beiden Vektoren voneinander linear abhängig, und somit auch parallel zueinander.

Es gibt mehrere Lösungsmöglichkeiten:
*Möglichkeit 1: Lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen
$I: 2k = 4 \ \ \rightarrow k=2$
$II: 5k = 3 \ \ \rightarrow k=\frac{3}{5}$

Aus der ersten Gleichung ergibt sich $k=2$, in der zweiten aber $k=\frac{3}{5}$. $k$ kann aber nicht beides sein, somit haben wir eine falsche Aussage erhalten. Daraus folgt, dass die beiden Vektoren '''linear unabhängig''' und somit nicht parallel zueinander sind.

* Möglichkeit 2: "Vergleichen und Probieren"
Vergleicht man die x-Koordinaten der beiden Vektoren, so sieht man, dass $4$ doppelt so groß wie $2$ ist. Daraus ergibt sich, dass ein etwaiges $k=2$ sein müsste.
Probiert man, auch die zweite Zeile mit $2$ zu multiplizieren, so erhält man $10$. Die y-Koordinate von $\vec{b}$ müsste also $10$ sein, damit die beiden Vektoren parallel zueinander sind.
}}

 

===Betrag und Einheitsvektor===
[[Datei:PythagorasVektor.png|thumb|right|350px|Betrag eines Vektors; Einheitsvektor]]Wie anfangs bereits erwähnt, besitzen Vektoren eine Länge, auch '''Betrag''' eines Vektors genannt. Dieser wird mit Hilfe des pythagoräischen Lehrsatzes wie folgt berechnet:

<div align="center">$\parallel \vec{v} \parallel = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2} \ $ wenn $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ ein Vektor der Dimension $n$ ist.</div>
Sehen wir uns die Grafik rechts an, können wir mit dieser Formel die Länge des zweidimensionalen Vektors $\parallel \vec{v} \parallel$ berechnen:

<div align="center">$\parallel \vec{v} \parallel = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$</div>
 Der '''Einheitsvektor''' $\vec{a_0}$ eines Vektors $\vec{a}$ ist ein zu $\vec{a}$ paralleler Vektor mit Länge 1. Rechnerisch erhält man $\vec{a_0}$, indem man $\vec{a}$ durch seine Länge dividiert. $ \vec{a_0}

=\frac{\vec{a}}{\parallel \vec{a}\parallel}$
bzw.
$ \vec{a_0}=\frac{1}{\parallel\vec{a}\parallel}\cdot \vec{a}$

Daraus ergibt sich ein Vektor, der dieselbe Richtung des ursprünglichen Vektors hat, allerdings die Länge 1 besitzt.

{{Vorlage:Merke|1=
Sei $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ ein Vektor der Dimension $n$ und $\parallel \vec{v} \parallel$ sein Betrag, dann ist $\vec{v_0} = \frac{1}{\parallel \vec{v} \parallel} \cdot \vec{v} \ $ der Einheitsvektor zu $\vec{v}$.}}

In unserem Beispiel würde das folgendes bedeuten:

{{Vorlage:Beispiel|1= Bestimme den Einheitsvektor von $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$

|2=<div align="center">$\vec{v_0} = \frac{1}{\sqrt{13} } \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \frac{2}{\sqrt{13} } \\ \frac{3}{\sqrt{13} } \end{array} \right)$</div>
}}

===Vektoren bestimmter Länge===
Da wir nun gelernt haben, Einheitsvektoren zu bilden und Vektoren mit Zahlen zu multiplizieren (und ich das hier so schön betone), könnt ihr euch vielleicht schon vorstellen, wie man aus einem beliebigen Vektor einen Vektor derselben Richtung, allerdings unterschiedlicher Länge bekommt. Wir haben also einen Vektor $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ mit der Länge $\parallel \vec{v} \parallel = k$ gegeben, und hätten gerne den Vektor $\vec{w} \ \parallel \ \vec{v}$ mit der Länge $l$. Dazu berechnen wir zuerst den Einheitsvektor $\vec{v_0}$ von $\vec{v}$ und multiplizieren diesen dann mit $l$. So erhalten wir schließlich $\vec{w} = l \cdot \frac{\vec{v}}{k} = l \cdot \vec{v_0}$.

==Mittelpunkt einer Strecke==
[[Datei:Mittelpunkt.png|thumb|right|300px|Mittelpunkt M der Strecke AB]]Willst du den Mittelpunkt zwischen 2 Punkten $A$ und $B$ berechnen, musst du wie folgt vorgehen:
Zuerst berechnest du einen Vektor zwischen den Punkten ($\vec{AB}$ oder $\vec{BA}$). Dann halbierst du diesen Vektor, und erhältst $\vec{AM}$ bzw. $\vec{BM}$. Addierst du dann diesen Vektor zum entsprechenden Punkt ($A$ bzw. $B$), erhältst so den Mittelpunkt. Also:

<div align="center">$\vec{0M} = \vec{0A} + \frac{\vec{AB}}{2} = \vec{0B} + \frac{\vec{BA}}{2}$</div>

Dies lässt sich folgendermaßen weiter vereinfachen:
$$\vec{M} = \vec{A} + \frac{\vec{AB}}{2} = \frac{2\vec{A}}{2} + \frac{\vec{B} - \vec{A}}{2} = \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2}$$

=Im $\mathbb{R^2}$=
Dieser Artikel befasst sich mit der Vektorrechnung im zweidimensionalen Raum. Grundlegende Informationen zur Vektorrechnung, so wie Punkte und Vektoren, findest du unter dem Tab ''Grundlagen der Vektorrechnung''.

==Vektoren==
===Normalvektoren===
[[Datei:Normalvektoren.png|thumb|right|350px|Normalvektoren]]Normalvektoren zu einem Vektor sind alle Vektoren, die normal (im rechten Winkel) auf den Vektor stehen. Im $\mathbb{R^2}$ gibt es zu jedem Vektor genau 2 Normalvektoren, die dieselbe Länge wie der ursprüngliche Vektor haben. Alle anderen Normalvektoren sind Vielfache eines dieser 2 Normalvektoren.

{{Vorlage:Merke | 1=Sei $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ ein Vektor, dann ist $\vec{n_1}=\left( \begin{array}{c} -y \\ x \end{array} \right)$ sein nach links gekippter, und $\vec{n_2}=\left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right)$ sein nach rechts gekippter Normalvektor.
''Vertausche die Koordinaten und ändere '''ein''' Vorzeichen''
}}

===Skalarprodukt===
Unter dem Skalarprodukt versteht man die Multiplikation zweier Vektoren, bei der als Ergebnis ein Skalar (eine Zahl) entsteht.

{{Vorlage:Merke|1=Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren, dann ist $\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \end{array} \right) = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b$ gleich ihr Skalarprodukt.
}}

Das Skalarprodukt wirkt auf den ersten Blick etwas "eigenartig". Man kann sich die Bedeutung des Skalarproduktes besonders gut an einem Anwendungsbeispiel erklären:
Angenommen in einer Preisliste stehen 10 Kugelschreiber, die jeweils 2€ kosten und 20 Bleistifte, die jeweils 0,50€ kosten.
In Tabellenform sieht das folgendermaßen aus:

{| class="wikitable"
|-
! Produkt !! Stückzahl !! Preis pro Stück (in €)
|-
| Kugelschreiber || 10 || 2
|-
| Bleistift || 20 || 0,50
|}

Aus dieser Tabelle kann ein Stückzahlvektor $\left( \begin{array}{c} 10 \\ 20 \end{array} \right)$ und ein Preisvektor $\left( \begin{array}{c} 2 \\ 0,50 \end{array} \right)$ abgelesen werden.

Möchte man den Gesamtwert der Produkte berechnen, so müssen jeweils die Einzelpreise mit der Stückzahl multipliziert werden und anschließend die Summe gebildet werden.
Genau das macht das Skalarprodukt!
$\left( \begin{array}{c} 10 \\ 20\end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0.50 \end{array} \right) = 10 \cdot 2 + 20 \cdot 0.50 = 20 + 10 = 30€ $

===Winkel zwischen zwei Vektoren===
[[Datei:Winkel.png|thumb|right|350px|Winkel zwischen 2 Vektoren]]<big>$$cos{\varphi} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel} = \vec{a_0} \cdot \vec{b_0}$$
bzw.
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = \parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel \cdot cos{\varphi}$$</big>

Heißt es, den Winkel zwischen 2 Vektoren/Geraden zu bestimmen, ist damit immer der kleinere Winkel gemeint. Solltest du einmal ein Ergebnis erhalten, das größer als 180° ist (nennen wir dieses Ergebnis $\varphi'$), dann ziehe dieses Ergebnis von 360° ab und du erhältst den kleineren Winkel ($\varphi = 360° - \varphi'$). 
Bei einem Winkel von $\varphi = 90°$ erhalten wir $cos{\varphi} = 0$, was bedeutet, dass auch $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$. Daraus ergibt sich das Orthogonalitätskriterium.

====Orthogonalitätskriterium====
{{Vorlage:Merke|1=Ergibt das Skalarprodukt zweier Vektoren $0$, so stehen diese zwei Vektoren normal zueinander (und umgekehrt!)$$\vec{a} \cdot \vec{b} \ = \ 0 \ \Leftrightarrow \ \vec{a} \bot \vec{b}$$}}

Mithilfe des Orthogonalitätskriteriums kann man auch zeigen, dass $\vec{n}=\left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right)$ stets ein Normalvektor von $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ ist.
$$\vec{v} \cdot \vec{n} = \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right) = xy - yx = 0$$

{|border=1 align=center
! Übungsaufgabe
|-
| <ggb_applet width="1000" height="500" version="5.0" id="u9xvmmXM" />
|}

==Geraden==
===Darstellungsformen===
Geraden lassen sich in unterschiedlichen Formen darstellen. In der Vektorrechnung ist die Parameterdarstellung populär, da man dazu nur einen Punkt und Vektor kennen muss. Die Normalform allerdings hat den Vorteil, dass man den Normalvektor zur Geraden auf einen Blick ablesen kann. Je nachdem, was man mit der Gerade vorhat, können die verschiedenen Formen ineinander umgewandelt werden.

====Parameterdarstellung====
[[Datei:Parameterdarstellung.png|thumb|right|350px|Parameterdarstellung einer Geraden]]$$g: \vec{0X} = \vec{0P} + t \cdot \vec{a}$$ 
wobei

* $X \in g$ ist ein '''beliebiger''' Punkt auf der unendlichen Geraden (steht für alle Punkte auf der Geraden)
* $P \in g$ ist ein '''bekannter''' Punkt auf der Geraden
* $t \in \mathbb{R}$ ist ein freier Parameter (in der Graphik rechts $\lambda$)
* $\vec{a} \in \mathbb{R^2}$ ist ein Vektor parallel zur Geraden, der die Richtung dieser angibt ("Richtungsvektor")

 
Beachte, dass in der Parameterdarstellung keine Punkte, sondern Ortsvektoren verwendet werden! (Info zu Ortsvektoren findest du unter ''Grundlagen der Vektorrechnung''.) Wenn man das weiß, kann man der Einfachheit halber die Gerade auch folgendermaßen beschreiben: $g: X = P + t \cdot \vec{a}$

 
Eine andere Schreibweise ist, die Koordinaten einzeln zu betrachten und 2 Gleichungen aufzustellen:
$$g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \end{cases}$$

====Normalvektorform====
Hierzu benötigt man einen Normalvektor des Richtungsvektors und multipliziert dann die Geradengleichung mit diesem Normalvektor. Da $\vec{a} \cdot \vec{n} = 0$, bleibt über:

Sei $g: \vec{0X} = \vec{0P} + t \cdot \vec{a}$ eine Gerade in Parameterform, so ist

<div align="center">$g: \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x_P \\ y_P \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right)$</div>

dieselbe Gerade in Normalform, wobei $\vec{0X}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right), \ \vec{0P}=\left( \begin{array}{c} x_P \\ y_P \end{array} \right), \ \vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right)$ und $\vec{n}=\left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right)$ ein Normalvektor von $\vec{a}$ (hier kann man natürlich auch den anderen Normalvektor verwenden).

====Allgemeine Geradengleichung====
Diese Form der Darstellung heißt auch Normalform, da man den Normalvektor der Gerade direkt ablesen kann.Um von der Parameterdarstellung auf diese Form zu kommen, gibt es 2 Möglichkeiten:

'''1. Multiplikation mit Normalvektor:'''
Hierzu muss man einfach die Normalform ausmultiplizieren und es ergibt sich:

$$g: y_a \cdot x + -x_a \cdot y = y_a \cdot x_P + -x_a \cdot y_P$$

'''2. Elimination des Parameters:'''
Hierbei gehen wir von der Geradenform $g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \end{cases}$ aus, eliminieren $t$, und kommen ebenfalls auf die obige allgemeine Geradengleichung.
Auf der rechten Seite der Gleichung stehen nur bekannte Größen, auf der linken Seiten stehen Vielfache von x und y. Diese Gleichung kann man weiter auch auf die Form y=kx+d umformen.

===Lagebeziehungen zwischen Geraden===
Mehrere Geraden können im $\mathbb{R^2}$

* ident sein, d.h. sie haben unendlich viele gemeinsame Punkte
* parallel sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt
* einander schneiden, d.h. sie haben genau ein gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt)

 Sind uns 2 Geraden in '''Parameterdarstellung''' gegeben, betrachten wir zuerst ihre Richtungsvektoren. 
Sind diese parallel zueinander, so sind auch die Geraden parallel zueinander. Nun bleibt noch die Frage offen, ob die Geraden ident sind. Dazu überprüfen wir einfach, ob der gegebene Punkt der einen Geraden auch auf der anderen Geraden liegt. Dazu Setzen wir den bekannten Punkt der einen Geraden für den unbekannten Punkt der anderen Geraden ein und erhalten 2 Gleichungen in einer Unbekannten (Parameter der zweiten Gerade). Erhalten wir nun für den Parameter zweimal dasselbe Ergebnis, so sind die 2 Geraden ident, erhalten wir unterschiedliche Ergebnisse, so sind sie nur parallel. 
Sind die Richtungsvektoren nicht parallel zueinander, so sind es auch die 2 Geraden nicht, und wir können uns sicher sein, dass diese einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen.
Doch wie erhalten wir den Schnittpunkt? Ganz einfach, indem wir die 2 Geraden schneiden. Dazu müssen wir sie gleichsetzen, und dann das dadurch erhaltene Gleichungssystem in 2 Unbekannten (die 2 Parameter) lösen. Wenn wir den Wert eines Parameters ausgerechnet haben, setzen wir ihn einfach in die entsprechende Geradengleichung ein und erhalten so den Schnittpunkt!

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die beiden Geraden $g: X = \left( \begin{array}{c} -3 \\ 1 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 4 \\ -2 \end{array} \right)$ und $h: X = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ 1 \end{array} \right)$. Ermittle deren gegenseitige Lage und ggf. deren Schnittpunkt!
|2=Betrachten wir zuerst deren Richtungsvektoren:
$$\left( \begin{array}{c} 4 \\ -2 \end{array} \right) = -2 \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ 1 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g \parallel h$$
Nun überprüfen wir, ob der Punkt der Geraden $h$ auf $g$ liegt:
$$\left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -3 \\ 1 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 4 \\ -2 \end{array} \right) \ \rightarrow \ \begin{cases} 0 = -3 + 4s \ \rightarrow \ s_1 = \frac{3}{4} \\ 2 = 1 - 2s \ \rightarrow \ s_2 = -\frac{1}{2} \end{cases} \ \rightarrow \ s_1 \neq s_2 \ \Rightarrow \ g \not\equiv h$$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die beiden Geraden $g: X = \left( \begin{array}{c} -3 \\ 1 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -1 \end{array} \right)$ und $h: X = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)$. Ermittle deren gegenseitige Lage und ggf. deren Schnittpunkt!|
2=$$\nexists \ k \in \mathbb{R} : \ \left( \begin{array}{c} 2 \\ -1 \end{array} \right) = k \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g \nparallel h \ \Rightarrow \ g \times h$$
$$\begin{align}
I: \ &-3&+&2s&=&0&+&t \\
II: \ &1&-&s&=&2&+&2t
\end{align}$$
$$I + 2 \cdot II: \ -1 = 4 + 5t \ \rightarrow \ t = -1$$
$$t \ in \ h: S = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \end{array} \right) + (-1) \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \end{array} \right)$$}}

Sind die 2 Geraden in der '''allgemeinen Geradenform''' gegeben, so haben wir bereits 2 Gleichungen gegeben, die wir nach x und y auflösen. Dieses x und y sind die Koordinaten des Schnittpunktes. Sollte sich keine Lösung ergeben, so schneiden die Geraden einander nicht.

Um das Schneiden von Geraden besser zu verstehen, schau dir das Lösen von [[ Gleichungssysteme (2.7.) |Gleichungssystemen]] genauer an, wirf einen Blick auf die Beispiele zum $\mathbb{R^2}$ unter dem Tab 'Beispiele', oder sieh dir dieses Video an:

<div align="center">{{#ev:youtube|ZrFE3LRisn0}}</div>

===Normalabstand Punkt - Gerade===
[[Datei:Normalabstand.gif|right]]Gegeben sei ein Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und eine Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$. Um den Normalabstand $d(Q,g)$ zwischen Q und g zu berechnen, gehe wie folgt vor: 
{{Vorlage:Merke|1=1. Bestimme die Gerade $q: X = Q + s \cdot \vec{n}$, die durch $Q$ geht und den Normalvektor $\vec{n}$ von $\vec{a}$ als Richtungsvektor besitzt.
2. Schneide $g$ und $q$ und du erhältst deren Schnittpunkt $S$. 
3. Berechne $\parallel \vec{QS} \parallel$.}}
In der Graphik rechts hätten wir z.B. die Angabe $g: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right) + \lambda \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array} \right)$ und $Q(3/4)$. Du kannst das zur Übung durchrechnen.

====Hesse'sche Abstandsformel====
Mithilfe dieser Formel kann man ebenfalls den Abstand $d(Q,g)$ zwischen Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$ bestimmen. <big>$d(Q,g) = | \vec{PQ} \cdot \vec{n_0} | $</big>, wobei $\vec{n_0}$ der normierte (Länge 1) Normalvektor des Richtungsvektors $\vec{a}$ der Geraden $g$ ist.

====Spiegelung eines Punktes an einer Geraden====
[[Datei:Spiegeln.png|thumb|right|250px|Gespiegelter Punkt Q']]Gegeben sei ein Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und eine Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$. Es gilt den Punkt $Q$ an der Gerade $g$ zu spiegeln, und so den Punkt $Q'$ zu erhalten. Dazu befolgst du die Vorgehensweise von "Normalabstand Punkt - Gerade" bis du den Vektor $\vec{QS}$ erhältst, und trägst diesen vom Punkt $S$ ab, also: 
$Q' = S + \vec{QS}$

=Im $\mathbb{R^3}$=
==Vektoren==
===Kreuzprodukt===
Im $\mathbb{R^3}$ gibt es neben dem Skalarprodukt, bei dem wir als Ergebnis ein Skalar erhalten, eine weitere Möglichkeit, zwei Vektoren miteinander zu multiplizieren: das sog. Kreuz- oder Vektorprodukt, bei dem wir als Ergebnis einen Vektor erhalten.{{Vorlage:Merke|1=Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren des $\mathbb{R^3}$, dann ist ihr Kreuzprodukt
$$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} y_a \cdot z_b - z_a \cdot y_b \\ z_a \cdot x_b - x_a \cdot z_b \\ x_a \cdot y_b - y_a \cdot x_b \end{array} \right)$$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ -3 \end{array} \right)$, gesucht ist ihr Kreuzprodukt.|

2=$$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \cdot (-3) - 3 \cdot 4 \\ 3 \cdot 5 - 1 \cdot (-3) \\ 1 \cdot 4 - 2 \cdot 5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-6) - 12 \\ 15 - (-3) \\ 4 - 10 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -18 \\ 18 \\ -6 \end{array} \right)$$}}

Wozu wir das Kreuzprodukt überhaupt benötigen, sehen wir an den nächsten 2 Punkten.

====Normalvektoren====
Im $\mathbb{R^3}$ gibt es zu einem Vektor unendlich viele Normalvektoren. Auf eine Ebene allerdings gibt es genau 2 Normalvektoren (wie im $\mathbb{R^2}$ auf eine Gerade). Eine Ebene wird von 2 Vektoren aufgespannt, deren Kreuzprodukt ergibt einen Normalvektor $\vec{n_1}$ auf die Ebene bzw. die zwei Vektoren; der zweite Normalvektor hat die entgegengesetzte Orientierung ($\vec{n_2} = -\vec{n_1}$). Also:$$\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$$

====Fläche eines von zwei Vektoren aufgespannten Parallelogramms oder Dreiecks====
[[Datei:FlächeNormalvektor.png|thumb|right|none|250px|2 Vektoren spannen ein Dreieck bzw. Parallelogramm auf]] 
{{Vorlage:Merke|1=Die Länge $\parallel \vec{n} \parallel = \parallel \vec{a} \times \vec{b} \parallel$ des Normalvektors $\vec{n}$ zu den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ entspricht der Maßzahl des Flächeninhaltes des Parallelogramms, das $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aufspannen (im Bild die gesamte grüne Fläche).
Die Hälfte dieser Fläche entspricht der Fläche des aufgespannten Dreiecks.}}

===Skalarprodukt, Orthogonalitätskriterium, Winkel zwischen zwei Vektoren===
Diese drei Dinge "funktionieren" im $\mathbb{R^3}$ wie im $\mathbb{R^2}$. Also hier nur eine kurze Wiederholung: 

'''Skalarprodukt''' 
Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\z_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren, dann ist $$\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right) = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b + z_a \cdot z_b$$ gleich ihr Skalarprodukt.
 

{|border=1 align=center
|-
! Übungsaufgabe
|-
| <ggb_applet width="700" height="500" version="5.0" id="ZqtPwRDx" />
|}

'''Orthogonalitätskriterium''' 
Ergibt das Skalarprodukt zweier Vektoren $0$, so stehen diese zwei Vektoren normal zueinander (und umgekehrt!)
$$\vec{a} \cdot \vec{b} \ = \ 0 \ \Leftrightarrow \ \vec{a} \bot \vec{b}$$
Auch das gibt es im $\mathbb{R^3}$. Bedenke aber, dass es hier, anders als im $\mathbb{R^2}$, unendlich viele Normalvektoren auf einen Vektor gibt.
 

'''Winkel zwischen zwei Vektoren'''
$$cos{\varphi} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel} = \vec{a_0} \cdot \vec{b_0}$$

==Geraden==
===Darstellungsformen===
====Parameterdarstellung====
Die Parameterdarstellung im $\mathbb{R^3}$ sieht genauso aus wie im $\mathbb{R^2}$, einziger Unterschied ist, dass unsere Punkte und Vektoren hier jeweils 3 Koordinaten haben.$$g: X = P + t \cdot \vec{a}$$ bzw. $$g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \\ z = z_P + t \cdot z_a \end{cases}$$
Mehr Infos zu den einzelnen Komponenten findest du im Tab 'Im $\mathbb{R^2}$'.

====Parameterfreie Darstellungsform====
Diese besteht aus 2 Gleichungen und wir erhalten sie durch Eliminierung des Parameters.

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sei die Parameterform der Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ -4 \\ 1 \end{array} \right)$. Zuerst schreiben wir das in die 3 Koordinatengleichungen um:
$$g : \begin{cases} x = 2 + 3t \\ y = 0 - 4t \\ z = 1 + t \end{cases}$$

|2=Wir multiplizieren die erste Gleichung mit $4$ und die zweite Gleichung mit $3$ und addieren die beiden: $$+ \begin{cases} 4x = 8 + 12t \\ 3y = 0 - 12t \end{cases}$$ und erhalten so die Gleichung $4x + 3y = 8$.
Wir multiplizieren die dritte Gleichung mit $3$ und subtrahieren diese von der ersten Gleichung: $$- \begin{cases} x = 2 + 3t \\ 3z = 3 + 3t \end{cases}$$ und erhalten so die Gleichung $x - 3z = -1$.

Die parameterfreie Darstellung unserer Gerade lautet somit $$g : \begin{cases} 4x + 3y = 8 \\ x - 3z = -1 \end{cases}$$.}}

Die zwei Gleichungen in der parameterfreien Darstellung sind übrigens Ebenengleichungen. Die eigentliche Gerade ist der Schnitt dieser zwei Ebenen!

===Lagebeziehungen zwischen Geraden===
Mehrere Geraden können im $\mathbb{R^3}$

* ident sein, d.h. sie haben unendlich viele gemeinsame Punkte
* parallel sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt
* einander schneiden, d.h. sie haben genau ein gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt)
* windschief sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt und sind nicht parallel

Um herauszufinden, wie 2 gegebene Geraden in Parameterform zueinander stehen, gehst du am besten wie folgt vor:

'''Betrachtung der Richtungsvektoren:''' Auch im $\mathbb{R^3}$ gilt, sind die Richtungsvektoren zweier Geraden parallel zueinander (d.h. man kann einen Vektor als Vielfaches des anderen Vektors darstellen), so sind es auch die Geraden.

'''Fall 1: Die Vektoren sind parallel:''' Sollte sich herausstellen, dass die zwei Geraden parallel zueinander sind, überprüfst du als nächstes, ob sie einen gemeinsamen Punkt haben; am einfachsten funktioniert das, indem du den bekannten Punkt ($P$) der einen Geraden in die zweite Gerade (für den unbekannten Punkt $X$) einsetzt. Wir erhalten drei Gleichungen in einer Unbekannten (Parameter der zweiten Gerade). 
'''Fall 1a:''' Erhalten wir nun für den Parameter dreimal dasselbe Ergebnis, so sind die 2 Geraden '''ident''' (und parallel), da der überprüfte Punkt, und somit unendlich weitere, auf beiden Geraden liegen. 
'''Fall 1b:''' Erhalten wir unterschiedliche Ergebnisse, so sind sie nur '''parallel''', da der überprüfte Punkt nicht, und somit auch kein anderer, auf beiden Geraden liegen.

'''Fall 2: Die Vektoren sind nicht parallel:''' Nun gibt es nur noch zwei Möglichkeiten: Entweder die zwei Geraden haben einen gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt), oder sie sind windschief. 
Um das wiederum herauszufinden, setzt du die beiden Geraden gleich, d.h. du stellst ein lineares Gleichungssystem (LGS) mit drei Gleichungen und in drei Unbekannten auf, und versuchst, dieses zu lösen. 
'''Fall 2a:''' Solltest du nun eine Lösung erhalten, d.h. du erhältst den Wert für den Parameter einer der zwei Geraden (und hast diesen Wert überprüft), so weißt du, dass die zwei Geraden einander '''schneiden'''. Den Schnittpunkt erhältst du jetzt, indem du den erhaltenen Wert für den Parameter in die entsprechende Geradengleichung einsetzt. 
'''Fall 2b:''' Sollte dein LGS keine Lösung ergeben (also sich eine falsche Aussage oder ein Widerspruch ergeben, z.B. $2=13$, oder $t=4$ und $t=-1$), dann weißt du, dass deine beiden Geraden keinen Schnittpunkt haben und somit '''windschief''' sind.

Zum besseren Verständnis siehst du dir am besten das folgende Video und die beiden folgenden Beispiele an.

<div align="center">{{#ev:youtube|u0QoYlEE094}}</div>
{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die beiden Geraden $g: X = \left( \begin{array}{c} 0 \\ -11 \\ -3 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right)$ und $h: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ -3 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right)$. Überprüfe deren gegenseitige Lage und gegebenenfalls ihren Schnittpunkt!|2=Zuerst überprüfen wir die Richtungsvektoren der beiden Geraden, um festzustellen, ob diese parallel zueinander sind oder nicht:$$\nexists \lambda : \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) = \lambda \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) \nparallel \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g \nparallel h$$
$g$ und $h$ sind also nicht parallel. Sie können also noch entweder einander schneiden oder windschief sein. Stellen wir nun ein LGS auf, indem wir die beiden Geraden gleichsetzen:
$$\begin{align}
I: \ &&&s&=&2&+&t \\
II: \ &-11&+&2s&=&3&-&3t \\
III: \ &-3&+&s&=&-3&+&2t
\end{align}$$ 
Wir subtrahieren $III$ von $I$: $- \begin{cases} &s &=& 2 + t \\ -3 + &s &=& -3 + 2t \end{cases} \ \rightarrow \ 3 = 5 - t \Rightarrow t = 2$ 
Wir überprüfen dieses Ergebnis für $t$, indem wir $t=2$ in alle 3 Gleichungen einsetzen. Wir sehen dann, dass wir überall dasselbe Ergebnis für $s$ erhalten, nämlich $s=4$. Daraus folgt, dass die Geraden einander '''schneiden'''. Setzen wir nun $t=2$ oder $s=4$ in die entsprechende Geradengleichung, so erhalten wir den Schnittpunkt $S(4/-3/1)$ der beiden Geraden.}}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die beiden Geraden $g: X = \left( \begin{array}{c} 3 \\ -2 \\ 0 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right)$ und $h: X = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$. Überprüfe deren gegenseitige Lage und ggf. ihren Schnittpunkt!|2=Zuerst überprüfen wir wieder die Richtungsvektoren der beiden Geraden:$$\nexists \lambda : \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) = \lambda \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) \nparallel \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g \nparallel h$$
Nun stellen wir wieder ein LGS auf:
$$\begin{align}
I: \ &3&+&2s&=&4&-&t \\
II: \ &-2&-&2s&=&3&& \\
III: \ &&&s&=&1&+&t
\end{align}$$ 
Aus der zweiten Gleichung lässt sich direkt berechnen, dass $s=- \frac{5}{2}$. Dies setzen wir nun in die erste und zweite Gleichung ein und erhalten einmal $3 - 5 = 4 - t \ \Rightarrow \ t=6$ und einmal $- \frac{5}{2} = 1 + t \ \Rightarrow \ t=- \frac{7}{2}$. Diese beiden Werte für $t$ sind offensichtlich voneinander unterschiedlich, daraus folgt, dass die beiden Geraden $g$ und $h$ '''windschief''' sind.
}}

==Ebenen==
Eine Ebene ist durch 3 Punkte oder 1 Punkt und 2 (voneinander linear unabhängigen) Vektoren eindeutig festgelegt.

===Darstellungsformen===
====Parameterdarstellung====
[[Datei:ebene2.png|thumb|right|350px|von Punkt und Vektoren aufgespannte Ebene]]
$$\epsilon : X = P + s \cdot \vec{a} + t \cdot \vec{b}$$
bzw.
$$\epsilon : \begin{cases} x = x_P + s \cdot x_a + t \cdot x_b \\ y = y_P + s \cdot y_a + t \cdot y_b \\ z = z_P + s \cdot z_a + t \cdot z_b \end{cases}$$
wobei

* $X \in \epsilon$ ist ein '''beliebiger''' Punkt auf der unendlichen Ebene
* $P \in \epsilon$ ist ein '''bekannter''' Punkt auf der Ebene
* $s, t \in \mathbb{R}$ sind freie Parameter
* $\vec{a}, \vec{b} \in \mathbb{R^3}$ sind zwei Vektoren, die parallel zur Ebene liegen

====Normalvektorform====
Man multipliziert die Parameterdarstellung der Ebene mit ihrem Normalvektor $\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$ und erhält$$\vec{n} \cdot \vec{X} = \vec{n} \cdot \vec{P}$$

====Allgemeine Ebenengleichung====
$$ax + by + cz = d$$Diese Form der Darstellung heißt auch Normalform, da man den Normalvektor der Ebene direkt ablesen kann. Um von der Parameterdarstellung auf diese Form zu kommen, gibt es 2 Möglichkeiten:

'''1. Multiplikation mit Normalvektor:'''
Hierzu muss man einfach die Normalform ausmultiplizieren und es ergibt sich:

$$\epsilon: x_n \cdot x + y_n \cdot y + z_n \cdot z = x_n \cdot x_P + y_n \cdot y_P + z_n \cdot z_P$$

'''2. Elimination des Parameters:'''
Hierbei gehen wir von der Ebenengleichung $\epsilon : \begin{cases} x = x_P + s \cdot x_a + t \cdot x_b \\ y = y_P + s \cdot y_a + t \cdot y_b \\ z = z_P + s \cdot z_a + t \cdot z_b \end{cases}$ aus, eliminieren $s$ und $t$, und kommen ebenfalls auf die obige allgemeine Ebenengleichung.

Zur Veranschaulichung ein Beispiel zu den verschiedenen Darstellungsformen:
{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die drei Punkte $A(1/1/1), B(-1/-4/2), C(0/3/-1)$. Gib die Ebene, die diese drei Punkte aufspannen, in Parameterform, Normalform und allgemeiner Ebenengleichung an!|2=Für die Parameterform berechnen wir erst zwei beliebige Vektoren aus den 3 Punkten, z.B. $\vec{AB} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{AC} = \left( \begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right)$. Als Parameterform erhalten wir schließlich:
$$\epsilon: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right)$$ Um auf die Normalform zu kommen, bestimmen wir als erstes den Normalvektor der Ebenen: $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-5) \cdot (-2) - 1 \cdot 2 \\ 1 \cdot (-1) - (-2) \cdot (-2) \\ (-2) \cdot 2 - (-5) \cdot (-1) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right)$. 
Nun die Parametergleichung mit dem Normalvektor multiplizieren und wir erhalten auch die Normalform:
$$\epsilon: \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)$$ 
Um nun noch die allg. Ebenenform zu erhalten, multipliziert man am einfachsten die Normalform aus und erhält:
$$\epsilon: 8x - 5y -9z =-6$$ 
Aber auch die Elimination der Parameter soll hier gezeigt werden. Wir gehen aus von: $$\epsilon : \begin{cases} x = 1 - 2s - t \\ y = 1 - 5s + 2t \\ z = 1 + s - 2t\end{cases}$$
Addieren wir die y- und die z-Gleichung, können wir $t$ eliminieren: $+ \begin{cases} y = 1 - 5s + 2t \\ z = 1 + s - 2t \end{cases} \ \Rightarrow \ y + z = 2 - 4s$. 
Wir können $t$ ebenfalls eliminieren, indem wir die y-Gleichung zum 2-fachen der x-Gleichung addieren: $+ \begin{cases} 2x = 2 - 4s - 2t \\ y = 1 - 5s + 2t \end{cases} \ \Rightarrow \ 2x + y = 3 -9s$. 
Nun haben wir zwei Gleichungen, die nur mehr von $s$ abhängig sind. Um diesen Parameter nun auch noch zu eliminieren, multiplizieren wir die erste Gleichung mit $(-9)$ und die zweite mit $4$ und addieren diese, um nochmals auf die allg. Ebenengleichung zu kommen.
$$+ \begin{cases} 8x + 4y = 12 - 36s \\ -9y - 9z = -18 + 36s \end{cases} \ \Rightarrow \ \epsilon: 8x - 5y -9z =-6$$
}}

===Lagebeziehungen===
====...zwischen zwei Ebenen====
Zwei Ebenen können im $\mathbb{R^3}$

* ident sein: die Ebenengleichungen (allg. Form) sind Vielfache voneinander;

z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : 2x + 2y + 2z = 6 \Rightarrow \epsilon _2 = 2 \cdot \epsilon _1$

* parallel sein: die Normalvektoren der Ebenen sind Vielfache voneinander;

z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : 2x + 2y + 2z = 5 \Rightarrow \vec{n_2} = 2 \cdot \vec{n_1}$

* einander schneiden (in einer Gerade): die Normalvektoren der Ebenen sind keine Vielfache voneinander;

z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : x - 3y + 2z = 1 \Rightarrow \nexists \lambda \in \mathbb{R} : \vec{n_1} = \lambda \cdot \vec{n_2}$

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:Ebenenident2.png|2 Ebenen sind ident
Datei:Ebenenparallel2.png|2 Ebenen sind parallel
Datei:Ebenenschnittgerade2.png|2 Ebenen schneiden einander in einer Geraden
</gallery>

 
'''Berechnen der Schnittgerade''' 
Erkennt man durch Betrachtung der Normalvektoren zweier Ebenen, dass diese einander schneiden müssen, so kann man diese Schnittgerade berechnen. Dazu erstellt man aus den beiden Ebenengleichungen ein lineares Gleichungssystem in 3 Unbekannten. 2 Gleichungen - 3 Unbekannte: wir werden hier nicht für alle Unbekannten einen Zahlenwert erhalten, können aber 2 Unbekannte in Abhängigkeit der dritten darstellen. Diese dritte Unbekannte wird uns als Parameter für die Darstellung der Geraden dienen. Zur Veranschaulichung ein Beispiel:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die beiden Ebenen $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : x - 3y + 2z = 1$. Wie wir weiter oben schon festgestellt haben, müssen diese Ebenen einander schneiden, da die beiden Noramlvektoren der Ebenen $\vec{n_1}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{n_2}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right)$ linear unabhängig voneinander sind, also $\nexists \lambda \in \mathbb{R} : \vec{n_1} = \lambda \cdot \vec{n_2}$. 
Wir wählen nun eine der Koordinaten als Parameter, z.B. $z=t$ und stellen das Gleichungssystem auf.

|2=

$$\begin{align}I: \ &x&+&y&+&t&=&3 \\
II: \ &x&-&3y&+&2t&=&1
\end{align}$$

Wir subtrahieren $I-II$ und erhalten
$$4y - t = 2 \ \Rightarrow \ y = \frac{1}{2} + t \cdot \frac{1}{4}$$
Nun setzen wir unser erhaltenes $y$ in die erste Gleichung ein, um $x$ zu erhalten:

$$I: \ x + \frac{1}{2} + t \cdot \frac{1}{4} + t = 3 \ \Rightarrow \ x = \frac{5}{2} - t \cdot \frac{5}{4}$$
Somit haben wir alle Ausdrücke der Koordinaten gefunden ($z=t$ haben wir anfangs festgelegt) und können die Parameterdarstellung der Schnittgerade angeben:
$$g: X = \left( \begin{array}{c} \frac{5}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 0 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} - \frac{5}{4} \\ \frac{1}{4} \\ 1 \end{array} \right)$$
}}

====...zwischen 3 Ebenen====
Drei Ebenen können im $\mathbb{R^3}$

* alle ident sein
* 2 ident, 1 parallel sein
* alle parallel sein
* 3 Schnittgeraden haben
* 2 Schnittgeraden haben (2 Ebenen parallel)
* 1 Schnittgerade haben
* 1 Schnittpunkt haben

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:Ebenenident3.png|3 Ebenen sind ident
Datei:Ebenenidentparallel.png|2 Ebenen sind ident, 1 parallel
Datei:Ebenenparallel3.png|3 Ebenen sind parallel
Datei:Ebenenschnittgeraden33.png|3 Ebenen schneiden einander in 3 Geraden
Datei:Ebenenschnittgeraden32.png|3 Ebenen schneiden einander in 2 Geraden (2 Ebenen parallel)
Datei:Ebenenschnittgerade3.png|3 Ebenen schneiden einander in einer Gerade
Datei:Ebenenschnittgerade31.png|3 Ebenen schneiden einander in einer Gerade (2 Ebenen ident)
Datei:Ebenenschnittpunkt3.png|3 Ebenen schneiden einander in einem Punkt
</gallery>

====...zwischen Ebene und Gerade====
Eine Ebene und eine Gerade können im $\mathbb{R^3}$

* $g \subset \epsilon$, die Gerade liegt auf der Ebene

Hierbei haben die Gerade und die Ebene einen gemeinsamen Punkt und der Richtungsvektor der Gerade steht normal auf den Normalvektor der Ebene, daraus folgt, dass sie unendlich gemeinsame Punkte haben.

* parallel sein

Irgendein Punkt der Gerade liegt nicht auf der Ebene, der Richtungsvektor der Gerade steht normal auf den Normalvektor der Ebene, daraus folgt, dass sie keinen einzigen gemeinsamen Punkt haben.

* 1 Schnittpunkt haben

Der Richtungsvektor der Geraden steht nicht normal auf den Normalvektor der Ebene.

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:GeradeinEbene.png|Gerade liegt auf der Ebene
Datei:GeradepararallelEbene.png|Gerade und Ebene sind parallel zueinander
Datei:GeradeSchnittpunktEbene.png|Gerade und Ebene schneiden einander (Schnittpunkt)
</gallery>

Zur Überprüfung der Lagebeziehung gibt es allerdings noch eine andere (schnellere) Methode. Hier "schneiden" wir die Gerade und die Ebene mathematisch, d.h. wir setzen sie gleich (wenn beide in Parameterform gegeben sind) oder setzen die Gerade $g$ (Parameterform) in die Ebene $\epsilon$ (allg. Ebenengleichung) ein. 
Wir erhalten dadurch ein Gleichungssystem oder eine einzelne Gleichung.

Sei die Gerade gegeben als $g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \\ z = z_P + t \cdot z_a \end{cases}$ und die Ebene als $\epsilon : \begin{cases} x = x_Q + s \cdot x_b + u \cdot x_c \\ y = y_Q + s \cdot y_b + u \cdot y_c \\ z = z_Q + s \cdot z_b + u \cdot z_c \end{cases}$ (Parameterform) oder $\epsilon : ax + by + cz = d$ (allg. Ebenengleichung).

Wir erhalten als Gleichungssystem durch Gleichsetzen der Gleichungen der Parameterformen:
$$\begin{cases} x_P + t \cdot x_a = x_Q + s \cdot x_b + u \cdot x_c \\ y_P + t \cdot y_a = y_Q + s \cdot y_b + u \cdot y_c \\ z_P + t \cdot z_a = z_Q + s \cdot z_b + u \cdot z_c \end{cases}$$ 
Wir erhalten durch Einsetzen der Gerade in die Ebene (allg. Ebenengleichung):
$$a \cdot (x_P + t \cdot x_a) + b \cdot (y_P + t \cdot y_a) + c \cdot (z_P + t \cdot z_a) = d$$

Ergibt sich hier eine wahre Aussage (z.B. $1=1$), also unendlich viele Lösungen, so liegt die Gerade in der Ebene. 
Ergibt sich eine falsche Aussage (z.B. $1=2$), also keine Lösung, so schneiden die beiden Objekte einander nicht, also sie sind parallel. 
Gibt es genau eine Lösung (z.B. $t=2$), so existiert genau ein gemeinsamer Punkt = Schnittpunkt. Diesen erhält man, indem man den ermittelten Wert für den Parameter $t$ der Geraden in die Geradengleichung einsetzt (oder, wenn die Ebene in Parameterform gegeben war, die beiden Werte für die Parameter $s$ und $u$ der Ebene in die Ebenengleichung einsetzt). Dazu 2 Beispiele, wobei wir im ersten mit der Ebene in Parameterform rechnen werden:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right)$ und die Ebene $\epsilon : X = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -1 \\ -3 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) + u \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 0 \end{array} \right)$. Stellen wir nun also unser Gleichungssystem auf:

|2=\begin{align}

I: \ & \ 1&-t&=&4& &+2u \\
II: \ &-3& &=&-1&+s&-u \\
III: \ & \ 2&+2t&=&-3&+s&
\end{align}

In der ersten Gleichung drücken wir $u$ in $t$ aus: $u = - \frac{3}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$ 
In der zweiten Gleichung drücken wir $s$ in $u$ aus: $s = -2 + u$ 
Das $u$ von oben setzen wir nun hier ein und erhalten $s$ in Abhängigkeit von $t$: $s = - \frac{7}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$.

Dieses $s$ setzen wir nun in die dritte Gleichung ein und wir erhalten: $2 + 2t = -3 - \frac{7}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$ und in weiterer Folge $t = - \frac{17}{5}$. 
Es ergibt sich also genau eine Lösung für das Gleichungssystem, was bedeutet, dass die Gerade und die Ebene einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen. Diesen erhalten wir, indem wir den errechneten Wert für $t$ in die Geradengleichung einsetzen (Man könnte natürlich auch noch die Werte für $s$ und $u$ berechnen, und diese in die Ebenengleichung einsetzen; zur Übung kannst du das gerne tun):
$$g: S = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) - \frac{17}{5} \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \frac{23}{5} \\ -3 \\ - \frac{24}{5} \end{array} \right)$$
}}

Betrachten wir nun dasselbe Beispiel, mit dem Unterschied, dass die Ebene in Normalform gegeben ist und wir auch gleich mit dieser Form rechnen:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right)$ und die Ebene $\epsilon : x + 2y - 2z = 8$. Wir setzen die Koordinatengleichungen der Gerade in die Normalform der Ebene:

|2= $g$ in $\epsilon$: $$1 - t - 6 - 4 -4t =8$$

Wenn wir diese Gleichung lösen, erhalten wir, wie im ersten Bespiel, $t = - \frac{17}{5}$. Dies noch in die Geradengleichung einsetzen, und wir erhalten den Schnittpunkt.}}

Da man bei der zweiten Methode meistens weniger Rechenaufwand hat, zahlt es sich oft aus die Parameterdarstellung der Ebene in die Normalform (= allg. Ebenengleichung) umzurechnen.

==Pyramidenbeispiel==
[[Datei:Pyramidebsp.png|thumb|right|350px|Pyramide]]Gegeben seien 3 Eckpunkte $A(-2/-2/1), B(2/-2/1), C(2/2/1)$ der quadratischen Grundfläche und der Spitzpunkt $S(0/0/6)$ einer geraden (gerade bedeutet, dass die Spitze in einem rechten Winkel über dem Mittelpunkt der Grundfläche der Pyramide liegt) Pyramide.
Gesucht sind:

# der vierte Eckpunkt $D$ der Grundfläche
# die Parameterdarstellung der Trägergeraden $h$ der Höhe
# die Fläche der Grundfläche
# die Geradengleichung der Geraden $g_{AS}$ auf der $A$ und $S$ liegen in a)Parameterform und b)parameterfreier Form
# Der Winkel $\alpha$ zwischen den Vektoren $\vec{AS}$ und $\vec{AC}$
# Zeige, dass der Schnittpunkt der Geraden $g_{AS}$ und $h$ gleich die Spitze $S$ ist
# Gib die Ebenengleichung $\epsilon$ der Grundfläche in a)Parameterform, b)Normalform und c)allgemeiner Ebenengleichung an
# Berechne den Fußpunkt $M$ der Höhe, indem du $h$ und $\epsilon$ schneidest

1. $D = A + \vec{BC} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -2 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right)$ 
2. $h: X = S + t \cdot \vec{h}$
$$\vec{AB} \times \vec{BC} = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 16 \end{array} \right) \ \parallel \ \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) = \vec{h}$$
$$h: X = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$$ 
3. $G = \parallel \vec{AB} \times \vec{BC} \parallel = \parallel \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 16 \end{array} \right) \parallel = 16FE$ 
4. a) $g_{AS}: X = A + u \cdot \vec{AS}$
$$\vec{AS} = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g_{AS}: X = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + u \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right)$$ oder $$g_{AS}:\begin{cases} x = -2 + 2u \\ y = -2 + 2u \\ z = 1 + 5u \end{cases}$$
b) Parameter elimieren:
$$x - y: x-y = 0$$
$$5x - 2z: 5x - 2z = -12$$
$$\Rightarrow g_{AS}:\begin{cases} x - y = 0 \\ 5x - 2z = -12 \end{cases}$$ 
5. $\measuredangle \vec{AS},\vec{AC} = \alpha = arccos{\frac{\vec{AS} \cdot \vec{AC}}{\parallel \vec{AS} \parallel \cdot \parallel \vec{AC} \parallel}} = arccos{\frac{\left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right)}{\parallel \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) \parallel \cdot \parallel \left( \begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) \parallel}} = arccos{\frac{16}{\sqrt{33 \cdot 32}}} = 60,5°$ 
6. $g_{AS}$ und $h$ gleichsetzen:
$$\begin{align}
I: \ &-2&+&2u&=&0&& \\
II: \ &-2&+&2u&=&0&& \\
III: \ & \ \ 1&+&5u&=&6&+&t
\end{align}
\ \ \ \rightarrow u=1$$
$$g_{AS}: S = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + 1 \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array} \right)$$ 
7. a) $\epsilon: X = A + v \cdot \vec{AB} + w \cdot \vec{BC} \ \rightarrow \ \epsilon: X = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + v \cdot \left( \begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) + w \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right)$ 
b) $\epsilon: \vec{n} \cdot \vec{X} = \vec{n} \cdot \vec{A} \ \rightarrow \ \epsilon: \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right)$ 
c) $\epsilon: z = 1$ 
8. $h:\begin{cases} x=0 \\ y=0 \\ z=6+t \end{cases} \ \ \epsilon: z=1 \ \ \rightarrow \ 1 = 6 + t \ \Rightarrow \ t=-5$ 
$h: M = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array} \right) -5 \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$

=Beispiele=
Hier findest du Beispiele zu den behandelten Themen:

===Grundlagen der Vektorrechnung===
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/9/99/VektorrechnungGLBspAngabe.pdf VektorrechnungGLBspAngabe.pdf] 
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/0/00/VektorrechnungGLBspL%C3%B6sung.pdf VektorrechnungGLBspLösung.pdf]

===Vektorrechnung im $\mathbb{R^2}$===
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/7/7f/VektorrechnungR2BspAngabe.pdf VektorrechnungR2BspAngabe.pdf] 
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/f/ff/VektorrechnungR2BspL%C3%B6sung.pdf VektorrechnungR2BspLösung.pdf]

Vektorrechnung

2016-08-13T13:52:14Z

Lajtos: /* Normalabstand Punkt - Gerade */

=Grundlagen=
==Koordinatensystem==
[[Datei:Quadranten.png|thumb|Coordinate System|thumb|right|350px|Koordinatengitter im $\mathbb{R^2}$ mit den 4 Quadranten]]

Für die Vektorrechnung sind Koordinatensysteme essentiell.
Im zweidimensionalen Raum besitzt ein Koordinatensystem 2 Achsen:

* die x-Achse (waagrecht) und
* die y-Achse (senkrecht)

 
Diese sind unendlich lang und Spannen die vier sogenannten Quadranten auf, die meist mit den römischen Ziffern I-IV beschriftet werden (gesprochen: Erster Quadrant, Zweiter Quadrant etc.). Die rechte Graphik zeigt die die Positionen der Quadranten. Dort, wo die 2 Achsen einander treffen, liegt der sog. Ursprung (kurz: $\vec{0}$); seine Koordinaten sind $(0/0)$.

Was es außerdem noch zu beachten gibt, hast du vielleicht bereits selbst erkannt:
An den gegenüberliegenden Seiten der x- und y-Achsen werden unterschiedliche Vorzeichen verwendet. So spricht man "links" des Ursprungs von der negativen, bzw. "rechts" des Ursprungs von der positiven x-Achse. Analog spricht man "oben" und "unten" von der positiven und negativen y-Achse.

Im dreidimensionalen Raum kommt eine dritte Achse - die z-Achse - dazu. Punkte und Vektoren besitzen dementsprechend dann auch 3 Koordinaten. Dies kann man bis ins n-dimensionale weiterführen.

==Punkte==
In ein Koordinatensystem lassen sich Punkte eintragen. Diese besitzen, entsprechend ihrer Lage, Koordinaten. Im obigen Bild z.B. haben wir die Punkte A und B, wobei sich A im ersten Quadranten befindet und B im vierten Quadranten. Man schreibt: A(2/3,5) B(1/-2).

[[Datei:Punkte Abstand.png|thumb|right|350px|Punkte im $\mathbb{R^2}$]]

{{Vorlage:Merke |''Einen'' '''allgemeinen Punkt''' ''schreibt man an als'' $P(x_1/x_2/.../x_n)$ (im n-dimensionalen Raum $\mathbb{R^n}$) ''bzw.'' $P(x/y)$ (im 2-dimensionalen Raum $ \mathbb{R^2}$) ''oder'' $P(x/y/z)$ (im 3-dimensionalen Raum $\mathbb{R^3}$).
 
Die erste Koordinate entspricht der x-Koordinate, die zweite der y-Koordinate, die eventuelle dritte der z-Koordinate.

Punkte werden in der Regel mit Großbuchstaben bezeichnet.}}

Koordinaten von Punkten lassen sich also ganz einfach ablesen. Die x/y-Koordinate entspricht dabei dem Abstand vom Ursprung zum Punkt in Richtung der jeweiligen Koordinatenachse. So erkennen wir im Bild rechts die folgenden Punkte:

* A(2/0)
* B(0/-2)
* C(-1/2)

=Vektoren=

==Definition & Darstellung von Vektoren==
{{Vorlage:Definition |1= Ein Zahlenpaar $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \in \mathbb{R^2}$ wird als '''Vektor aus $\mathbb{R^2}$ ''' bezeichnet.
Analog bezeichnet man ein Zahlentripel $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) \in \mathbb{R^3}$ als '''Vektor aus $\mathbb{R^3}$ '''. 
Ein '''allgemeiner Vektor''' wird $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) \ \in \mathbb{R^n}$ geschrieben.

}}

Da sowohl die Rechenoperationen als auch die geometrischen Darstellungen leicht vom $\mathbb{R^2}$ in den $\mathbb{R^3}$ übertragen werden können, werden wir hier meistens nur die Vorgangsweise für Zahlenpaare aus dem $\mathbb{R^2}$ beschreiben.

===Geometrische Darstellung von Vektoren===

Es gibt zwei Möglichkeiten, wie wir einen Vektor $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right) \ \in \mathbb{R^2}$ geometrisch darstellen können:
* '''Darstellung als Punkt''': Dabei gibt $a$ die x-Koordinate und $b$ die y-Koordinate des Punktes an. Die Beschriftung erfolgt mit Großbuchstaben.
* '''Darstellung als Pfeil''': Dabei gibt $a$ die x-Richtung des Pfeils (wie weit zeigt der Pfeil nach links bzw. rechts) und $b$ die y-Richtung des Pfeils (wie weit zeigt der Pfeil nach oben bzw. nach unten) an. Pfeile werden mit Kleinbuchstaben (oft mit Pfeil $\vec{v}$) beschriftet.

Die Darstellung als Punkt ist eindeutig! Einem Zahlenpaar (=Vektor) entspricht genau ein Punkt!
Die Darstellung als Pfeil ist nicht eindeutig! Es gibt unendlich viele Pfeile, die denselben Vektor darstellen. Diese Pfeile sind aber alle parallel, gleich lang und gleich gerichtet.

'''Beispiel:''' Darstellung des Vektors $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$
{| class="wikitable"
|-
| '''Punktdarstellung des Vektors'''|| '''Mögliche Pfeildarstellungen des Vektors'''
|-
| [[Datei:Punkt.png|thumb|300px]]|| [[Datei:Pfeile.png|thumb|300px]]
|}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 3 \\ -4 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 5 \end{array} \right)$. Stelle $\vec{a}$ und $\vec{b}$ als Punkte und als Pfeile dar.
|2=[[Datei:Punkt Pfeil Bsp.png|300px]] 
'''Anmerkungen:'''
* Für die Pfeildarstellungen gibt es mehrere (unendlich viele) Möglichkeiten. Der von dir gezeichnete Pfeil muss jedenfalls parallel, gleich gerichtet und gleich lang wie der abgebildete Pfeil sein!
* Aus "Bequemlichkeitsgründen" zeichnet man die Pfeile oft beginnend beim Ursprung ein:
[[Datei:Punkt Pfeil Bsp2.png|300px]]
 
}}

Vektoren des $\mathbb{R^3}$ können auch auf diese zwei Arten dargestellt werden. Der einzige Unterschied dabei ist, dass die Punkte bzw. Pfeile im dreidimensionalen Raum liegen. Es gibt also noch eine dritte Richtung, die durch die z-Koordinate des Vektors angegeben wird.

===Ortsvektoren===
[[Datei:Ortsvektor.png|thumb|right|250px|Punkt und zugehöriger Ortsvektor]]Der Ortsvektor von einem Punkt ist der Vektor, der vom Ursprung aus auf den Punkt zeigt. Die Koordinaten bleiben deshalb gleich, es ändert sich quasi nur die Schreibweise:

Sei $A(x_1/x_2/.../x_n)$ ein Punkt in der Dimension $n$, dann ist $\vec{0A} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ dessen Ortsvektor.
 
 
 
 
 

==Rechnen mit Vektoren==

===Addition und Subtraktion von Vektoren===
====Rechnerische Addition====
{{Vorlage:Merke|1=Wenn du Vektoren addieren oder subtrahieren möchtest, musst du dazu die entsprechenden Koordinaten addieren: 
$\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) \pm \left( \begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ ... \\ y_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x_1 \pm y_1 \\ x_2 \pm y_2 \\ ... \\ x_n \pm y_n \end{array} \right)$ 
Wichtig ist dabei, dass die Vektoren, die du addieren oder subtrahieren möchtest, derselben Dimension $n$ angehören! D.h. sie haben gleich viele Koordinaten.}}
{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben seien die beiden Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right)$. Berechne erst $\vec{a} + \vec{b}$, dann $\vec{a} - \vec{b}$ und zuletzt $\vec{b} - \vec{a}$!
|2= $\vec{a} + \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 5+1 \\ 2+(-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 6 \\ -1 \end{array} \right)$
$\vec{a} - \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 5-1 \\ 2-(-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 5 \end{array} \right)$ 
$\vec{b} - \vec{a} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 1-5 \\ -3-2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -4 \\ -5 \end{array} \right)$}}

{| border=1 align=center
! Übung zur rechnerischen Addition von Vektoren
|-
| <ggb_applet width="550" height="450" version="5.0" id="ZvayFJPu" />
|}

====Geometrische Darstellung der Vektoraddition====
Die Addition zweier Vektoren kann auf zwei verschiedene Arten geometrisch gedeutet werden. Wir illustrieren die beiden Möglichkeiten anhand des Beispiels $\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2\end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$

{| class="wikitable"
|-
| '''Punkt + Pfeil - Darstellung:'''|| '''Pfeil + Pfeil - Darstellung'''
|-
| ''An einen Punkt wird ein Pfeil angehängt.'' In unserem Beispiel wird an den Punkt (1/2) ein Pfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$ angehängt. Das Ergebnis der Addition ist der Punkt am Ende des Pfeils (5/5). || ''Zwei Pfeile werden aneinandergehängt. In unserem Beispiel wird also ein Pfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$ und ein Pfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)$ aneinandergehängt. Das Ergebnis der Addition ist der entstehende Verbindungspfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 5 \\ 5 \end{array} \right)$
|-
| [[Datei:Vektoraddition1.png|left|400px]]|| [[Datei:Vektoraddition2.png|left|500px]]
|-
| '''Anmerkung:''' Diese Darstellung ist hilfreich, wenn wir von einem Punkt ausgehen und zu einem neuen Punkt gelangen wollen.|| Es spielt keine Rolle, in welcher Reihenfolge die Vektoren angehängt werden. Die Addition ist kommutativ!
|}

===Vektoren bestimmen: "Spitze minus Schaft" ("Ziel minus Start")===
[[Datei:Spitzeschaft.png|thumb|right|300px|"Spitze minus Schaft"]]Zwischen 2 Punkten kann man nun einen Vektor definieren. Dabei gilt: Die '''"Spitze minus Schaft"'''-Regel Im Bild rechts wollen wir den Vektor berechnen, der von A nach B geht, also den Vektor $\vec{AB}$. Der Punkt B(3/3,5) entspricht hierbei der Spitze, und der Punkt A(1/0,5) dem Schaft. Da das Rechnen mit Punkten allerdings keinen Sinn ergibt, rechnet man stattdessen mit deren Ortsvektoren (siehe oben).

Für unser Beispiel bedeutet das: $\vec{0B} - \vec{0A} = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 3,5 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0,5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 3-1 \\ 3,5-0,5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right) = \vec{AB}$

'''Beachte außerdem:'''

* Man schreibt der Einfachheit halber oft nur $B-A$, obwohl eigentlich $\vec{0B} - \vec{0A}$ gemeint ist.
* Der Vektor $\vec{AB}$ zeigt in die entgegengesetzte Richtung von $\vec{BA}$. Das bedeutet, dass diese beiden Vektoren entgegengesetzte Vorzeichen haben: $\vec{AB} = - \vec{BA}$

 

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die Punkte A=(1/2); B=(-3/1); C=(-4,-1). Bilde die folgenden Verbindungsvektoren: 
 
# $\vec{AB}$
# $\vec{BA}$
# $\vec{AC}$
# $\vec{BC}$

|2=
$\ $
# $\vec{AB}=B-A=\left( \begin{array}{c} -3 \\ 1\end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} -4 \\ -1\end{array} \right)$
# $\vec{BA}=-\vec{AB}=\left( \begin{array}{c} 4 \\ 1 \end{array} \right)$
# $\vec{AC}=\left( \begin{array}{c} -4 \\ -1\end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} -5 \\ -3\end{array} \right)$
# $\vec{BC}=\left( \begin{array}{c} -4 \\ -1\end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} -3 \\ 1 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} -1 \\ -2\end{array} \right)$
 
'''Tipps:'''
* Pass gut auf die Vorzeichen auf! Beim Subtrahieren von Vektoren passieren leider häufig Vorzeichenfehler! Sei deshalb besonders achtsam!
* Zeichne die Punkte in ein Koordinatensystem und zeichne die Verbindungsvektoren ein. Bei einfachen Koordinaten kannst du den Verbindungsvektor ohne Rechnung ablesen (Probiere es aus!).

 
}}

===Produkt eines Vektors mit einem Skalar===
====Rechnerische Multiplikation====
Wenn man einen Vektor $\vec{v}$ mit einer [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)|reellen Zahl]] $k$ , einem sogenannten "Skalar", multipliziert, werden dabei die einzelnen Koordinaten mit dem Skalar multipliziert:

$k \cdot \vec{v} = k \cdot \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} k \cdot x_1 \\ k \cdot x_2 \\ ... \\ k \cdot x_n \end{array} \right)$

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sei der Vektor $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right)$. Multipliziere diesen einmal mit $2$ und einmal mit $-5$!
|2= $2 \cdot \vec{a} = 2 \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \cdot 2 \\ 2 \cdot (-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -6 \end{array} \right)$
$(-5) \cdot \vec{a} = (-5) \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-5) \cdot 2 \\ (-5) \cdot (-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -10 \\ 15 \end{array} \right)$}}

====Geometrische Darstellung der Multiplikation====

Eine Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl $a$ (Skalar) entspricht einer Streckung (für $|a|>1$) bzw. einer Stauchung (für $|a|<1$) des zugehörigen Pfeiles.
Ist das Vorzeichen des Skalars negativ, so dreht sich die Richtung des Pfeils in die entgegengesetzte Richtung.

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sei wiederum der Vektor $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right)$. Stelle die Multiplikation mit $2$, mit $-5$ und mit $0.5$ graphisch dar!
|2= Rechnerische Lösung und graphische Interpretation:
* $2 \cdot \vec{a} = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -6 \end{array} \right)$. Der Vektor $2\cdot \vec{a}$ hat die doppelte Länge und dieselbe Richtung wie $\vec{a}$
* $(-5) \cdot \vec{a} = \left( \begin{array}{c} -10 \\ 15 \end{array} \right)$. Der Vektor $(-5)\cdot \vec{a}$ ist fünfmal so lang wie $\vec{a}$ und zeigt in die entgegengesetzte Richtung wie $\vec{a}$
* $(0.5) \cdot \vec{a} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1.5 \end{array} \right)$ Der Vektor $0.5\cdot \vec{a}$ ist halb so lang wie $\vec{a}$ und zeigt in dieselbe Richtung wie $\vec{a}$
}}

{{#widget:Iframe
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[http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_vektorrechnung/MV_Vektor1/MV_Vektor1/ (Quelle dieses Applets)]

Hilfe zum Applet: Gib in die Eingabezeile den Buchstaben des Vektors bzw. die entsprechende Summe / Differenz an. (z.B. $u=a$)

===Wie Vektoren zueinander stehen===
Vektoren können unterschiedliche Richtungen haben, aber auch parallel zueinander oder gar identisch sein. Optisch lässt sich das oft sehr leicht erkennen. Die Lage von Vektoren zueinander kann aber auch rechnerisch überprüft werden.

{{Vorlage:Definition |Unter einem Vektor versteht man die Menge aller gleichlangen, gleichgerichteten und gleichorientierten Pfeile.

Der Start/Endpunkt spielen dabei keine Rolle!}}

{{Vorlage:Merke|2 Vektoren stehen parallel zueinander, wenn ein Vektor als Vielfaches des anderen Vektors angeschrieben werden kann. 
Man sagt auch: Die Vektoren sind [[linear abhängig]].}}

Sehen wir uns die verschiedenen Fälle an:

{| class="wikitable"
|-
|ident: gleiche Richtung, gleiche Orientierung, gleiche Länge
||[[Datei:Vektorv1.png|none|250px]]
||$\vec{v} = \vec{u} \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$
||z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$
|-
||parallel (gleiche Orientierung): gleiche Richtung, gleiche Orientierung, unterschiedliche Länge
| [[Datei:Vektorenlänge.png|none|250px]]
||$\exists k>0 : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$
||z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} \frac{4}{3} \\ 2 \end{array} \right)$, $k = \frac{2}{3} $
|-
||parallel (unterschiedliche Orientierung): 
| [[Datei:Vektororientierung1.png|none|250px]]
||$\exists k<0 : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$
||z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} -2 \\ -3 \end{array} \right)$, $k=-1$

|-
||linear unabhängig
| [[Datei:Vektorrichtung1.png|none|250px]]
||$\nexists k : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \nparallel \vec{u}$
||z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 3 \end{array} \right)$
|}

{{Vorlage:Beispiel|1=Überprüfe ob die Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 5 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$ linear unabhängig voneinander sind.

|2=Wenn es ein k gibt, sodass $k \cdot \vec{a} = \vec{b}$, dann sind die beiden Vektoren voneinander linear abhängig, und somit auch parallel zueinander.

Es gibt mehrere Lösungsmöglichkeiten:
*Möglichkeit 1: Lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen
$I: 2k = 4 \ \ \rightarrow k=2$
$II: 5k = 3 \ \ \rightarrow k=\frac{3}{5}$

Aus der ersten Gleichung ergibt sich $k=2$, in der zweiten aber $k=\frac{3}{5}$. $k$ kann aber nicht beides sein, somit haben wir eine falsche Aussage erhalten. Daraus folgt, dass die beiden Vektoren '''linear unabhängig''' und somit nicht parallel zueinander sind.

* Möglichkeit 2: "Vergleichen und Probieren"
Vergleicht man die x-Koordinaten der beiden Vektoren, so sieht man, dass $4$ doppelt so groß wie $2$ ist. Daraus ergibt sich, dass ein etwaiges $k=2$ sein müsste.
Probiert man, auch die zweite Zeile mit $2$ zu multiplizieren, so erhält man $10$. Die y-Koordinate von $\vec{b}$ müsste also $10$ sein, damit die beiden Vektoren parallel zueinander sind.
}}

 

===Betrag und Einheitsvektor===
[[Datei:PythagorasVektor.png|thumb|right|350px|Betrag eines Vektors; Einheitsvektor]]Wie anfangs bereits erwähnt, besitzen Vektoren eine Länge, auch '''Betrag''' eines Vektors genannt. Dieser wird mit Hilfe des pythagoräischen Lehrsatzes wie folgt berechnet:

<div align="center">$\parallel \vec{v} \parallel = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2} \ $ wenn $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ ein Vektor der Dimension $n$ ist.</div>
Sehen wir uns die Grafik rechts an, können wir mit dieser Formel die Länge des zweidimensionalen Vektors $\parallel \vec{v} \parallel$ berechnen:

<div align="center">$\parallel \vec{v} \parallel = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$</div>
 Der '''Einheitsvektor''' $\vec{a_0}$ eines Vektors $\vec{a}$ ist ein zu $\vec{a}$ paralleler Vektor mit Länge 1. Rechnerisch erhält man $\vec{a_0}$, indem man $\vec{a}$ durch seine Länge dividiert. $ \vec{a_0}

=\frac{\vec{a}}{\parallel \vec{a}\parallel}$
bzw.
$ \vec{a_0}=\frac{1}{\parallel\vec{a}\parallel}\cdot \vec{a}$

Daraus ergibt sich ein Vektor, der dieselbe Richtung des ursprünglichen Vektors hat, allerdings die Länge 1 besitzt.

{{Vorlage:Merke|1=
Sei $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ ein Vektor der Dimension $n$ und $\parallel \vec{v} \parallel$ sein Betrag, dann ist $\vec{v_0} = \frac{1}{\parallel \vec{v} \parallel} \cdot \vec{v} \ $ der Einheitsvektor zu $\vec{v}$.}}

In unserem Beispiel würde das folgendes bedeuten:

{{Vorlage:Beispiel|1= Bestimme den Einheitsvektor von $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$

|2=<div align="center">$\vec{v_0} = \frac{1}{\sqrt{13} } \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \frac{2}{\sqrt{13} } \\ \frac{3}{\sqrt{13} } \end{array} \right)$</div>
}}

===Vektoren bestimmter Länge===
Da wir nun gelernt haben, Einheitsvektoren zu bilden und Vektoren mit Zahlen zu multiplizieren (und ich das hier so schön betone), könnt ihr euch vielleicht schon vorstellen, wie man aus einem beliebigen Vektor einen Vektor derselben Richtung, allerdings unterschiedlicher Länge bekommt. Wir haben also einen Vektor $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ mit der Länge $\parallel \vec{v} \parallel = k$ gegeben, und hätten gerne den Vektor $\vec{w} \ \parallel \ \vec{v}$ mit der Länge $l$. Dazu berechnen wir zuerst den Einheitsvektor $\vec{v_0}$ von $\vec{v}$ und multiplizieren diesen dann mit $l$. So erhalten wir schließlich $\vec{w} = l \cdot \frac{\vec{v}}{k} = l \cdot \vec{v_0}$.

==Mittelpunkt einer Strecke==
[[Datei:Mittelpunkt.png|thumb|right|300px|Mittelpunkt M der Strecke AB]]Willst du den Mittelpunkt zwischen 2 Punkten $A$ und $B$ berechnen, musst du wie folgt vorgehen:
Zuerst berechnest du einen Vektor zwischen den Punkten ($\vec{AB}$ oder $\vec{BA}$). Dann halbierst du diesen Vektor, und erhältst $\vec{AM}$ bzw. $\vec{BM}$. Addierst du dann diesen Vektor zum entsprechenden Punkt ($A$ bzw. $B$), erhältst so den Mittelpunkt. Also:

<div align="center">$\vec{0M} = \vec{0A} + \frac{\vec{AB}}{2} = \vec{0B} + \frac{\vec{BA}}{2}$</div>

Dies lässt sich folgendermaßen weiter vereinfachen:
$$\vec{M} = \vec{A} + \frac{\vec{AB}}{2} = \frac{2\vec{A}}{2} + \frac{\vec{B} - \vec{A}}{2} = \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2}$$

=Im $\mathbb{R^2}$=
Dieser Artikel befasst sich mit der Vektorrechnung im zweidimensionalen Raum. Grundlegende Informationen zur Vektorrechnung, so wie Punkte und Vektoren, findest du unter dem Tab ''Grundlagen der Vektorrechnung''.

==Vektoren==
===Normalvektoren===
[[Datei:Normalvektoren.png|thumb|right|350px|Normalvektoren]]Normalvektoren zu einem Vektor sind alle Vektoren, die normal (im rechten Winkel) auf den Vektor stehen. Im $\mathbb{R^2}$ gibt es zu jedem Vektor genau 2 Normalvektoren, die dieselbe Länge wie der ursprüngliche Vektor haben. Alle anderen Normalvektoren sind Vielfache eines dieser 2 Normalvektoren.

{{Vorlage:Merke | 1=Sei $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ ein Vektor, dann ist $\vec{n_1}=\left( \begin{array}{c} -y \\ x \end{array} \right)$ sein nach links gekippter, und $\vec{n_2}=\left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right)$ sein nach rechts gekippter Normalvektor.
''Vertausche die Koordinaten und ändere '''ein''' Vorzeichen''
}}

===Skalarprodukt===
Unter dem Skalarprodukt versteht man die Multiplikation zweier Vektoren, bei der als Ergebnis ein Skalar (eine Zahl) entsteht.

{{Vorlage:Merke|1=Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren, dann ist $\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \end{array} \right) = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b$ gleich ihr Skalarprodukt.
}}

Das Skalarprodukt wirkt auf den ersten Blick etwas "eigenartig". Man kann sich die Bedeutung des Skalarproduktes besonders gut an einem Anwendungsbeispiel erklären:
Angenommen in einer Preisliste stehen 10 Kugelschreiber, die jeweils 2€ kosten und 20 Bleistifte, die jeweils 0,50€ kosten.
In Tabellenform sieht das folgendermaßen aus:

{| class="wikitable"
|-
! Produkt !! Stückzahl !! Preis pro Stück (in €)
|-
| Kugelschreiber || 10 || 2
|-
| Bleistift || 20 || 0,50
|}

Aus dieser Tabelle kann ein Stückzahlvektor $\left( \begin{array}{c} 10 \\ 20 \end{array} \right)$ und ein Preisvektor $\left( \begin{array}{c} 2 \\ 0,50 \end{array} \right)$ abgelesen werden.

Möchte man den Gesamtwert der Produkte berechnen, so müssen jeweils die Einzelpreise mit der Stückzahl multipliziert werden und anschließend die Summe gebildet werden.
Genau das macht das Skalarprodukt!
$\left( \begin{array}{c} 10 \\ 20\end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0.50 \end{array} \right) = 10 \cdot 2 + 20 \cdot 0.50 = 20 + 10 = 30€ $

===Winkel zwischen zwei Vektoren===
[[Datei:Winkel.png|thumb|right|350px|Winkel zwischen 2 Vektoren]]<big>$$cos{\varphi} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel} = \vec{a_0} \cdot \vec{b_0}$$
bzw.
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = \parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel \cdot cos{\varphi}$$</big>

Heißt es, den Winkel zwischen 2 Vektoren/Geraden zu bestimmen, ist damit immer der kleinere Winkel gemeint. Solltest du einmal ein Ergebnis erhalten, das größer als 180° ist (nennen wir dieses Ergebnis $\varphi'$), dann ziehe dieses Ergebnis von 360° ab und du erhältst den kleineren Winkel ($\varphi = 360° - \varphi'$). 
Bei einem Winkel von $\varphi = 90°$ erhalten wir $cos{\varphi} = 0$, was bedeutet, dass auch $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$. Daraus ergibt sich das Orthogonalitätskriterium.

====Orthogonalitätskriterium====
{{Vorlage:Merke|1=Ergibt das Skalarprodukt zweier Vektoren $0$, so stehen diese zwei Vektoren normal zueinander (und umgekehrt!)$$\vec{a} \cdot \vec{b} \ = \ 0 \ \Leftrightarrow \ \vec{a} \bot \vec{b}$$}}

Mithilfe des Orthogonalitätskriteriums kann man auch zeigen, dass $\vec{n}=\left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right)$ stets ein Normalvektor von $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ ist.
$$\vec{v} \cdot \vec{n} = \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right) = xy - yx = 0$$

{|border=1 align=center
! Übungsaufgabe
|-
| <ggb_applet width="1000" height="500" version="5.0" id="u9xvmmXM" />
|}

==Geraden==
===Darstellungsformen===
Geraden lassen sich in unterschiedlichen Formen darstellen. In der Vektorrechnung ist die Parameterdarstellung populär, da man dazu nur einen Punkt und Vektor kennen muss. Die Normalform allerdings hat den Vorteil, dass man den Normalvektor zur Geraden auf einen Blick ablesen kann. Je nachdem, was man mit der Gerade vorhat, können die verschiedenen Formen ineinander umgewandelt werden.

====Parameterdarstellung====
[[Datei:Parameterdarstellung.png|thumb|right|350px|Parameterdarstellung einer Geraden]]$$g: \vec{0X} = \vec{0P} + t \cdot \vec{a}$$ 
wobei

* $X \in g$ ist ein '''beliebiger''' Punkt auf der unendlichen Geraden (steht für alle Punkte auf der Geraden)
* $P \in g$ ist ein '''bekannter''' Punkt auf der Geraden
* $t \in \mathbb{R}$ ist ein freier Parameter (in der Graphik rechts $\lambda$)
* $\vec{a} \in \mathbb{R^2}$ ist ein Vektor parallel zur Geraden, der die Richtung dieser angibt ("Richtungsvektor")

 
Beachte, dass in der Parameterdarstellung keine Punkte, sondern Ortsvektoren verwendet werden! (Info zu Ortsvektoren findest du unter ''Grundlagen der Vektorrechnung''.) Wenn man das weiß, kann man der Einfachheit halber die Gerade auch folgendermaßen beschreiben: $g: X = P + t \cdot \vec{a}$

 
Eine andere Schreibweise ist, die Koordinaten einzeln zu betrachten und 2 Gleichungen aufzustellen:
$$g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \end{cases}$$

====Normalvektorform====
Hierzu benötigt man einen Normalvektor des Richtungsvektors und multipliziert dann die Geradengleichung mit diesem Normalvektor. Da $\vec{a} \cdot \vec{n} = 0$, bleibt über:

Sei $g: \vec{0X} = \vec{0P} + t \cdot \vec{a}$ eine Gerade in Parameterform, so ist

<div align="center">$g: \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x_P \\ y_P \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right)$</div>

dieselbe Gerade in Normalform, wobei $\vec{0X}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right), \ \vec{0P}=\left( \begin{array}{c} x_P \\ y_P \end{array} \right), \ \vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right)$ und $\vec{n}=\left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right)$ ein Normalvektor von $\vec{a}$ (hier kann man natürlich auch den anderen Normalvektor verwenden).

====Allgemeine Geradengleichung====
Diese Form der Darstellung heißt auch Normalform, da man den Normalvektor der Gerade direkt ablesen kann.Um von der Parameterdarstellung auf diese Form zu kommen, gibt es 2 Möglichkeiten:

'''1. Multiplikation mit Normalvektor:'''
Hierzu muss man einfach die Normalform ausmultiplizieren und es ergibt sich:

$$g: y_a \cdot x + -x_a \cdot y = y_a \cdot x_P + -x_a \cdot y_P$$

'''2. Elimination des Parameters:'''
Hierbei gehen wir von der Geradenform $g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \end{cases}$ aus, eliminieren $t$, und kommen ebenfalls auf die obige allgemeine Geradengleichung.
Auf der rechten Seite der Gleichung stehen nur bekannte Größen, auf der linken Seiten stehen Vielfache von x und y. Diese Gleichung kann man weiter auch auf die Form y=kx+d umformen.

===Lagebeziehungen zwischen Geraden===
Mehrere Geraden können im $\mathbb{R^2}$

* ident sein, d.h. sie haben unendlich viele gemeinsame Punkte
* parallel sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt
* einander schneiden, d.h. sie haben genau ein gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt)

 Sind uns 2 Geraden in '''Parameterdarstellung''' gegeben, betrachten wir zuerst ihre Richtungsvektoren. 
Sind diese parallel zueinander, so sind auch die Geraden parallel zueinander. Nun bleibt noch die Frage offen, ob die Geraden ident sind. Dazu überprüfen wir einfach, ob der gegebene Punkt der einen Geraden auch auf der anderen Geraden liegt. Dazu Setzen wir den bekannten Punkt der einen Geraden für den unbekannten Punkt der anderen Geraden ein und erhalten 2 Gleichungen in einer Unbekannten (Parameter der zweiten Gerade). Erhalten wir nun für den Parameter zweimal dasselbe Ergebnis, so sind die 2 Geraden ident, erhalten wir unterschiedliche Ergebnisse, so sind sie nur parallel. 
Sind die Richtungsvektoren nicht parallel zueinander, so sind es auch die 2 Geraden nicht, und wir können uns sicher sein, dass diese einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen.
Doch wie erhalten wir den Schnittpunkt? Ganz einfach, indem wir die 2 Geraden schneiden. Dazu müssen wir sie gleichsetzen, und dann das dadurch erhaltene Gleichungssystem in 2 Unbekannten (die 2 Parameter) lösen. Wenn wir den Wert eines Parameters ausgerechnet haben, setzen wir ihn einfach in die entsprechende Geradengleichung ein und erhalten so den Schnittpunkt!

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die beiden Geraden $g: X = \left( \begin{array}{c} -3 \\ 1 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 4 \\ -2 \end{array} \right)$ und $h: X = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ 1 \end{array} \right)$. Ermittle deren gegenseitige Lage und ggf. deren Schnittpunkt!
|2=Betrachten wir zuerst deren Richtungsvektoren:
$$\left( \begin{array}{c} 4 \\ -2 \end{array} \right) = -2 \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ 1 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g \parallel h$$
Nun überprüfen wir, ob der Punkt der Geraden $h$ auf $g$ liegt:
$$\left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -3 \\ 1 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 4 \\ -2 \end{array} \right) \ \rightarrow \ \begin{cases} 0 = -3 + 4s \ \rightarrow \ s_1 = \frac{3}{4} \\ 2 = 1 - 2s \ \rightarrow \ s_2 = -\frac{1}{2} \end{cases} \ \rightarrow \ s_1 \neq s_2 \ \Rightarrow \ g \not\equiv h$$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die beiden Geraden $g: X = \left( \begin{array}{c} -3 \\ 1 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -1 \end{array} \right)$ und $h: X = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)$. Ermittle deren gegenseitige Lage und ggf. deren Schnittpunkt!|
2=$$\nexists \ k \in \mathbb{R} : \ \left( \begin{array}{c} 2 \\ -1 \end{array} \right) = k \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g \nparallel h \ \Rightarrow \ g \times h$$
$$\begin{align}
I: \ &-3&+&2s&=&0&+&t \\
II: \ &1&-&s&=&2&+&2t
\end{align}$$
$$I + 2 \cdot II: \ -1 = 4 + 5t \ \rightarrow \ t = -1$$
$$t \ in \ h: S = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \end{array} \right) + (-1) \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \end{array} \right)$$}}

Sind die 2 Geraden in der '''allgemeinen Geradenform''' gegeben, so haben wir bereits 2 Gleichungen gegeben, die wir nach x und y auflösen. Dieses x und y sind die Koordinaten des Schnittpunktes.

Um das Schneiden von Geraden besser zu verstehen, schau dir das Lösen von [[ Gleichungssysteme (2.7.) |Gleichungssystemen]] genauer an, wirf einen Blick auf die Beispiele zum $\mathbb{R^2}$ unter dem Tab 'Beispiele', oder sieh dir dieses Video an:

<div align="center">{{#ev:youtube|ZrFE3LRisn0}}</div>

===Normalabstand Punkt - Gerade===
[[Datei:Normalabstand.gif|right]]Gegeben sei ein Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und eine Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$. Um den Normalabstand $d(Q,g)$ zwischen Q und g zu berechnen, gehe wie folgt vor: 
{{Vorlage:Merke|1=1. Bestimme die Gerade $q: X = Q + s \cdot \vec{n}$, die durch $Q$ geht und den Normalvektor $\vec{n}$ von $\vec{a}$ als Richtungsvektor besitzt.
2. Schneide $g$ und $q$ und du erhältst deren Schnittpunkt $S$. 
3. Berechne $\parallel \vec{QS} \parallel$.}}
In der Graphik rechts hätten wir z.B. die Angabe $g: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right) + \lambda \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array} \right)$ und $Q(3/4)$. Du kannst das zur Übung durchrechnen.

====Hesse'sche Abstandsformel====
Mithilfe dieser Formel kann man ebenfalls den Abstand $d(Q,g)$ zwischen Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$ bestimmen. <big>$d(Q,g) = | \vec{PQ} \cdot \vec{n_0} | $</big>, wobei $\vec{n_0}$ der normierte (Länge 1) Normalvektor des Richtungsvektors $\vec{a}$ der Geraden $g$ ist.

====Spiegelung eines Punktes an einer Geraden====
[[Datei:Spiegeln.png|thumb|right|250px|Gespiegelter Punkt Q']]Gegeben sei ein Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und eine Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$. Es gilt den Punkt $Q$ an der Gerade $g$ zu spiegeln, und so den Punkt $Q'$ zu erhalten. Dazu befolgst du die Vorgehensweise von "Normalabstand Punkt - Gerade" bis du den Vektor $\vec{QS}$ erhältst, und trägst diesen vom Punkt $S$ ab, also: 
$Q' = S + \vec{QS}$

=Im $\mathbb{R^3}$=
==Vektoren==
===Kreuzprodukt===
Im $\mathbb{R^3}$ gibt es neben dem Skalarprodukt, bei dem wir als Ergebnis ein Skalar erhalten, eine weitere Möglichkeit, zwei Vektoren miteinander zu multiplizieren: das sog. Kreuz- oder Vektorprodukt, bei dem wir als Ergebnis einen Vektor erhalten.{{Vorlage:Merke|1=Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren des $\mathbb{R^3}$, dann ist ihr Kreuzprodukt
$$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} y_a \cdot z_b - z_a \cdot y_b \\ z_a \cdot x_b - x_a \cdot z_b \\ x_a \cdot y_b - y_a \cdot x_b \end{array} \right)$$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ -3 \end{array} \right)$, gesucht ist ihr Kreuzprodukt.|

2=$$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \cdot (-3) - 3 \cdot 4 \\ 3 \cdot 5 - 1 \cdot (-3) \\ 1 \cdot 4 - 2 \cdot 5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-6) - 12 \\ 15 - (-3) \\ 4 - 10 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -18 \\ 18 \\ -6 \end{array} \right)$$}}

Wozu wir das Kreuzprodukt überhaupt benötigen, sehen wir an den nächsten 2 Punkten.

====Normalvektoren====
Im $\mathbb{R^3}$ gibt es zu einem Vektor unendlich viele Normalvektoren. Auf eine Ebene allerdings gibt es genau 2 Normalvektoren (wie im $\mathbb{R^2}$ auf eine Gerade). Eine Ebene wird von 2 Vektoren aufgespannt, deren Kreuzprodukt ergibt einen Normalvektor $\vec{n_1}$ auf die Ebene bzw. die zwei Vektoren; der zweite Normalvektor hat die entgegengesetzte Orientierung ($\vec{n_2} = -\vec{n_1}$). Also:$$\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$$

====Fläche eines von zwei Vektoren aufgespannten Parallelogramms oder Dreiecks====
[[Datei:FlächeNormalvektor.png|thumb|right|none|250px|2 Vektoren spannen ein Dreieck bzw. Parallelogramm auf]] 
{{Vorlage:Merke|1=Die Länge $\parallel \vec{n} \parallel = \parallel \vec{a} \times \vec{b} \parallel$ des Normalvektors $\vec{n}$ zu den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ entspricht der Maßzahl des Flächeninhaltes des Parallelogramms, das $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aufspannen (im Bild die gesamte grüne Fläche).
Die Hälfte dieser Fläche entspricht der Fläche des aufgespannten Dreiecks.}}

===Skalarprodukt, Orthogonalitätskriterium, Winkel zwischen zwei Vektoren===
Diese drei Dinge "funktionieren" im $\mathbb{R^3}$ wie im $\mathbb{R^2}$. Also hier nur eine kurze Wiederholung: 

'''Skalarprodukt''' 
Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\z_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren, dann ist $$\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right) = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b + z_a \cdot z_b$$ gleich ihr Skalarprodukt.
 

{|border=1 align=center
|-
! Übungsaufgabe
|-
| <ggb_applet width="700" height="500" version="5.0" id="ZqtPwRDx" />
|}

'''Orthogonalitätskriterium''' 
Ergibt das Skalarprodukt zweier Vektoren $0$, so stehen diese zwei Vektoren normal zueinander (und umgekehrt!)
$$\vec{a} \cdot \vec{b} \ = \ 0 \ \Leftrightarrow \ \vec{a} \bot \vec{b}$$
Auch das gibt es im $\mathbb{R^3}$. Bedenke aber, dass es hier, anders als im $\mathbb{R^2}$, unendlich viele Normalvektoren auf einen Vektor gibt.
 

'''Winkel zwischen zwei Vektoren'''
$$cos{\varphi} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel} = \vec{a_0} \cdot \vec{b_0}$$

==Geraden==
===Darstellungsformen===
====Parameterdarstellung====
Die Parameterdarstellung im $\mathbb{R^3}$ sieht genauso aus wie im $\mathbb{R^2}$, einziger Unterschied ist, dass unsere Punkte und Vektoren hier jeweils 3 Koordinaten haben.$$g: X = P + t \cdot \vec{a}$$ bzw. $$g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \\ z = z_P + t \cdot z_a \end{cases}$$
Mehr Infos zu den einzelnen Komponenten findest du im Tab 'Im $\mathbb{R^2}$'.

====Parameterfreie Darstellungsform====
Diese besteht aus 2 Gleichungen und wir erhalten sie durch Eliminierung des Parameters.

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sei die Parameterform der Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ -4 \\ 1 \end{array} \right)$. Zuerst schreiben wir das in die 3 Koordinatengleichungen um:
$$g : \begin{cases} x = 2 + 3t \\ y = 0 - 4t \\ z = 1 + t \end{cases}$$

|2=Wir multiplizieren die erste Gleichung mit $4$ und die zweite Gleichung mit $3$ und addieren die beiden: $$+ \begin{cases} 4x = 8 + 12t \\ 3y = 0 - 12t \end{cases}$$ und erhalten so die Gleichung $4x + 3y = 8$.
Wir multiplizieren die dritte Gleichung mit $3$ und subtrahieren diese von der ersten Gleichung: $$- \begin{cases} x = 2 + 3t \\ 3z = 3 + 3t \end{cases}$$ und erhalten so die Gleichung $x - 3z = -1$.

Die parameterfreie Darstellung unserer Gerade lautet somit $$g : \begin{cases} 4x + 3y = 8 \\ x - 3z = -1 \end{cases}$$.}}

Die zwei Gleichungen in der parameterfreien Darstellung sind übrigens Ebenengleichungen. Die eigentliche Gerade ist der Schnitt dieser zwei Ebenen!

===Lagebeziehungen zwischen Geraden===
Mehrere Geraden können im $\mathbb{R^3}$

* ident sein, d.h. sie haben unendlich viele gemeinsame Punkte
* parallel sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt
* einander schneiden, d.h. sie haben genau ein gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt)
* windschief sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt und sind nicht parallel

Um herauszufinden, wie 2 gegebene Geraden in Parameterform zueinander stehen, gehst du am besten wie folgt vor:

'''Betrachtung der Richtungsvektoren:''' Auch im $\mathbb{R^3}$ gilt, sind die Richtungsvektoren zweier Geraden parallel zueinander (d.h. man kann einen Vektor als Vielfaches des anderen Vektors darstellen), so sind es auch die Geraden.

'''Fall 1: Die Vektoren sind parallel:''' Sollte sich herausstellen, dass die zwei Geraden parallel zueinander sind, überprüfst du als nächstes, ob sie einen gemeinsamen Punkt haben; am einfachsten funktioniert das, indem du den bekannten Punkt ($P$) der einen Geraden in die zweite Gerade (für den unbekannten Punkt $X$) einsetzt. Wir erhalten drei Gleichungen in einer Unbekannten (Parameter der zweiten Gerade). 
'''Fall 1a:''' Erhalten wir nun für den Parameter dreimal dasselbe Ergebnis, so sind die 2 Geraden '''ident''' (und parallel), da der überprüfte Punkt, und somit unendlich weitere, auf beiden Geraden liegen. 
'''Fall 1b:''' Erhalten wir unterschiedliche Ergebnisse, so sind sie nur '''parallel''', da der überprüfte Punkt nicht, und somit auch kein anderer, auf beiden Geraden liegen.

'''Fall 2: Die Vektoren sind nicht parallel:''' Nun gibt es nur noch zwei Möglichkeiten: Entweder die zwei Geraden haben einen gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt), oder sie sind windschief. 
Um das wiederum herauszufinden, setzt du die beiden Geraden gleich, d.h. du stellst ein lineares Gleichungssystem (LGS) mit drei Gleichungen und in drei Unbekannten auf, und versuchst, dieses zu lösen. 
'''Fall 2a:''' Solltest du nun eine Lösung erhalten, d.h. du erhältst den Wert für den Parameter einer der zwei Geraden (und hast diesen Wert überprüft), so weißt du, dass die zwei Geraden einander '''schneiden'''. Den Schnittpunkt erhältst du jetzt, indem du den erhaltenen Wert für den Parameter in die entsprechende Geradengleichung einsetzt. 
'''Fall 2b:''' Sollte dein LGS keine Lösung ergeben (also sich eine falsche Aussage oder ein Widerspruch ergeben, z.B. $2=13$, oder $t=4$ und $t=-1$), dann weißt du, dass deine beiden Geraden keinen Schnittpunkt haben und somit '''windschief''' sind.

Zum besseren Verständnis siehst du dir am besten das folgende Video und die beiden folgenden Beispiele an.

<div align="center">{{#ev:youtube|u0QoYlEE094}}</div>
{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die beiden Geraden $g: X = \left( \begin{array}{c} 0 \\ -11 \\ -3 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right)$ und $h: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ -3 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right)$. Überprüfe deren gegenseitige Lage und gegebenenfalls ihren Schnittpunkt!|2=Zuerst überprüfen wir die Richtungsvektoren der beiden Geraden, um festzustellen, ob diese parallel zueinander sind oder nicht:$$\nexists \lambda : \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) = \lambda \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) \nparallel \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g \nparallel h$$
$g$ und $h$ sind also nicht parallel. Sie können also noch entweder einander schneiden oder windschief sein. Stellen wir nun ein LGS auf, indem wir die beiden Geraden gleichsetzen:
$$\begin{align}
I: \ &&&s&=&2&+&t \\
II: \ &-11&+&2s&=&3&-&3t \\
III: \ &-3&+&s&=&-3&+&2t
\end{align}$$ 
Wir subtrahieren $III$ von $I$: $- \begin{cases} &s &=& 2 + t \\ -3 + &s &=& -3 + 2t \end{cases} \ \rightarrow \ 3 = 5 - t \Rightarrow t = 2$ 
Wir überprüfen dieses Ergebnis für $t$, indem wir $t=2$ in alle 3 Gleichungen einsetzen. Wir sehen dann, dass wir überall dasselbe Ergebnis für $s$ erhalten, nämlich $s=4$. Daraus folgt, dass die Geraden einander '''schneiden'''. Setzen wir nun $t=2$ oder $s=4$ in die entsprechende Geradengleichung, so erhalten wir den Schnittpunkt $S(4/-3/1)$ der beiden Geraden.}}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die beiden Geraden $g: X = \left( \begin{array}{c} 3 \\ -2 \\ 0 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right)$ und $h: X = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$. Überprüfe deren gegenseitige Lage und ggf. ihren Schnittpunkt!|2=Zuerst überprüfen wir wieder die Richtungsvektoren der beiden Geraden:$$\nexists \lambda : \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) = \lambda \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) \nparallel \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g \nparallel h$$
Nun stellen wir wieder ein LGS auf:
$$\begin{align}
I: \ &3&+&2s&=&4&-&t \\
II: \ &-2&-&2s&=&3&& \\
III: \ &&&s&=&1&+&t
\end{align}$$ 
Aus der zweiten Gleichung lässt sich direkt berechnen, dass $s=- \frac{5}{2}$. Dies setzen wir nun in die erste und zweite Gleichung ein und erhalten einmal $3 - 5 = 4 - t \ \Rightarrow \ t=6$ und einmal $- \frac{5}{2} = 1 + t \ \Rightarrow \ t=- \frac{7}{2}$. Diese beiden Werte für $t$ sind offensichtlich voneinander unterschiedlich, daraus folgt, dass die beiden Geraden $g$ und $h$ '''windschief''' sind.
}}

==Ebenen==
Eine Ebene ist durch 3 Punkte oder 1 Punkt und 2 (voneinander linear unabhängigen) Vektoren eindeutig festgelegt.

===Darstellungsformen===
====Parameterdarstellung====
[[Datei:ebene2.png|thumb|right|350px|von Punkt und Vektoren aufgespannte Ebene]]
$$\epsilon : X = P + s \cdot \vec{a} + t \cdot \vec{b}$$
bzw.
$$\epsilon : \begin{cases} x = x_P + s \cdot x_a + t \cdot x_b \\ y = y_P + s \cdot y_a + t \cdot y_b \\ z = z_P + s \cdot z_a + t \cdot z_b \end{cases}$$
wobei

* $X \in \epsilon$ ist ein '''beliebiger''' Punkt auf der unendlichen Ebene
* $P \in \epsilon$ ist ein '''bekannter''' Punkt auf der Ebene
* $s, t \in \mathbb{R}$ sind freie Parameter
* $\vec{a}, \vec{b} \in \mathbb{R^3}$ sind zwei Vektoren, die parallel zur Ebene liegen

====Normalvektorform====
Man multipliziert die Parameterdarstellung der Ebene mit ihrem Normalvektor $\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$ und erhält$$\vec{n} \cdot \vec{X} = \vec{n} \cdot \vec{P}$$

====Allgemeine Ebenengleichung====
$$ax + by + cz = d$$Diese Form der Darstellung heißt auch Normalform, da man den Normalvektor der Ebene direkt ablesen kann. Um von der Parameterdarstellung auf diese Form zu kommen, gibt es 2 Möglichkeiten:

'''1. Multiplikation mit Normalvektor:'''
Hierzu muss man einfach die Normalform ausmultiplizieren und es ergibt sich:

$$\epsilon: x_n \cdot x + y_n \cdot y + z_n \cdot z = x_n \cdot x_P + y_n \cdot y_P + z_n \cdot z_P$$

'''2. Elimination des Parameters:'''
Hierbei gehen wir von der Ebenengleichung $\epsilon : \begin{cases} x = x_P + s \cdot x_a + t \cdot x_b \\ y = y_P + s \cdot y_a + t \cdot y_b \\ z = z_P + s \cdot z_a + t \cdot z_b \end{cases}$ aus, eliminieren $s$ und $t$, und kommen ebenfalls auf die obige allgemeine Ebenengleichung.

Zur Veranschaulichung ein Beispiel zu den verschiedenen Darstellungsformen:
{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die drei Punkte $A(1/1/1), B(-1/-4/2), C(0/3/-1)$. Gib die Ebene, die diese drei Punkte aufspannen, in Parameterform, Normalform und allgemeiner Ebenengleichung an!|2=Für die Parameterform berechnen wir erst zwei beliebige Vektoren aus den 3 Punkten, z.B. $\vec{AB} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{AC} = \left( \begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right)$. Als Parameterform erhalten wir schließlich:
$$\epsilon: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right)$$ Um auf die Normalform zu kommen, bestimmen wir als erstes den Normalvektor der Ebenen: $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-5) \cdot (-2) - 1 \cdot 2 \\ 1 \cdot (-1) - (-2) \cdot (-2) \\ (-2) \cdot 2 - (-5) \cdot (-1) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right)$. 
Nun die Parametergleichung mit dem Normalvektor multiplizieren und wir erhalten auch die Normalform:
$$\epsilon: \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)$$ 
Um nun noch die allg. Ebenenform zu erhalten, multipliziert man am einfachsten die Normalform aus und erhält:
$$\epsilon: 8x - 5y -9z =-6$$ 
Aber auch die Elimination der Parameter soll hier gezeigt werden. Wir gehen aus von: $$\epsilon : \begin{cases} x = 1 - 2s - t \\ y = 1 - 5s + 2t \\ z = 1 + s - 2t\end{cases}$$
Addieren wir die y- und die z-Gleichung, können wir $t$ eliminieren: $+ \begin{cases} y = 1 - 5s + 2t \\ z = 1 + s - 2t \end{cases} \ \Rightarrow \ y + z = 2 - 4s$. 
Wir können $t$ ebenfalls eliminieren, indem wir die y-Gleichung zum 2-fachen der x-Gleichung addieren: $+ \begin{cases} 2x = 2 - 4s - 2t \\ y = 1 - 5s + 2t \end{cases} \ \Rightarrow \ 2x + y = 3 -9s$. 
Nun haben wir zwei Gleichungen, die nur mehr von $s$ abhängig sind. Um diesen Parameter nun auch noch zu eliminieren, multiplizieren wir die erste Gleichung mit $(-9)$ und die zweite mit $4$ und addieren diese, um nochmals auf die allg. Ebenengleichung zu kommen.
$$+ \begin{cases} 8x + 4y = 12 - 36s \\ -9y - 9z = -18 + 36s \end{cases} \ \Rightarrow \ \epsilon: 8x - 5y -9z =-6$$
}}

===Lagebeziehungen===
====...zwischen zwei Ebenen====
Zwei Ebenen können im $\mathbb{R^3}$

* ident sein: die Ebenengleichungen (allg. Form) sind Vielfache voneinander;

z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : 2x + 2y + 2z = 6 \Rightarrow \epsilon _2 = 2 \cdot \epsilon _1$

* parallel sein: die Normalvektoren der Ebenen sind Vielfache voneinander;

z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : 2x + 2y + 2z = 5 \Rightarrow \vec{n_2} = 2 \cdot \vec{n_1}$

* einander schneiden (in einer Gerade): die Normalvektoren der Ebenen sind keine Vielfache voneinander;

z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : x - 3y + 2z = 1 \Rightarrow \nexists \lambda \in \mathbb{R} : \vec{n_1} = \lambda \cdot \vec{n_2}$

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:Ebenenident2.png|2 Ebenen sind ident
Datei:Ebenenparallel2.png|2 Ebenen sind parallel
Datei:Ebenenschnittgerade2.png|2 Ebenen schneiden einander in einer Geraden
</gallery>

 
'''Berechnen der Schnittgerade''' 
Erkennt man durch Betrachtung der Normalvektoren zweier Ebenen, dass diese einander schneiden müssen, so kann man diese Schnittgerade berechnen. Dazu erstellt man aus den beiden Ebenengleichungen ein lineares Gleichungssystem in 3 Unbekannten. 2 Gleichungen - 3 Unbekannte: wir werden hier nicht für alle Unbekannten einen Zahlenwert erhalten, können aber 2 Unbekannte in Abhängigkeit der dritten darstellen. Diese dritte Unbekannte wird uns als Parameter für die Darstellung der Geraden dienen. Zur Veranschaulichung ein Beispiel:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die beiden Ebenen $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : x - 3y + 2z = 1$. Wie wir weiter oben schon festgestellt haben, müssen diese Ebenen einander schneiden, da die beiden Noramlvektoren der Ebenen $\vec{n_1}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{n_2}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right)$ linear unabhängig voneinander sind, also $\nexists \lambda \in \mathbb{R} : \vec{n_1} = \lambda \cdot \vec{n_2}$. 
Wir wählen nun eine der Koordinaten als Parameter, z.B. $z=t$ und stellen das Gleichungssystem auf.

|2=

$$\begin{align}I: \ &x&+&y&+&t&=&3 \\
II: \ &x&-&3y&+&2t&=&1
\end{align}$$

Wir subtrahieren $I-II$ und erhalten
$$4y - t = 2 \ \Rightarrow \ y = \frac{1}{2} + t \cdot \frac{1}{4}$$
Nun setzen wir unser erhaltenes $y$ in die erste Gleichung ein, um $x$ zu erhalten:

$$I: \ x + \frac{1}{2} + t \cdot \frac{1}{4} + t = 3 \ \Rightarrow \ x = \frac{5}{2} - t \cdot \frac{5}{4}$$
Somit haben wir alle Ausdrücke der Koordinaten gefunden ($z=t$ haben wir anfangs festgelegt) und können die Parameterdarstellung der Schnittgerade angeben:
$$g: X = \left( \begin{array}{c} \frac{5}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 0 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} - \frac{5}{4} \\ \frac{1}{4} \\ 1 \end{array} \right)$$
}}

====...zwischen 3 Ebenen====
Drei Ebenen können im $\mathbb{R^3}$

* alle ident sein
* 2 ident, 1 parallel sein
* alle parallel sein
* 3 Schnittgeraden haben
* 2 Schnittgeraden haben (2 Ebenen parallel)
* 1 Schnittgerade haben
* 1 Schnittpunkt haben

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:Ebenenident3.png|3 Ebenen sind ident
Datei:Ebenenidentparallel.png|2 Ebenen sind ident, 1 parallel
Datei:Ebenenparallel3.png|3 Ebenen sind parallel
Datei:Ebenenschnittgeraden33.png|3 Ebenen schneiden einander in 3 Geraden
Datei:Ebenenschnittgeraden32.png|3 Ebenen schneiden einander in 2 Geraden (2 Ebenen parallel)
Datei:Ebenenschnittgerade3.png|3 Ebenen schneiden einander in einer Gerade
Datei:Ebenenschnittgerade31.png|3 Ebenen schneiden einander in einer Gerade (2 Ebenen ident)
Datei:Ebenenschnittpunkt3.png|3 Ebenen schneiden einander in einem Punkt
</gallery>

====...zwischen Ebene und Gerade====
Eine Ebene und eine Gerade können im $\mathbb{R^3}$

* $g \subset \epsilon$, die Gerade liegt auf der Ebene

Hierbei haben die Gerade und die Ebene einen gemeinsamen Punkt und der Richtungsvektor der Gerade steht normal auf den Normalvektor der Ebene, daraus folgt, dass sie unendlich gemeinsame Punkte haben.

* parallel sein

Irgendein Punkt der Gerade liegt nicht auf der Ebene, der Richtungsvektor der Gerade steht normal auf den Normalvektor der Ebene, daraus folgt, dass sie keinen einzigen gemeinsamen Punkt haben.

* 1 Schnittpunkt haben

Der Richtungsvektor der Geraden steht nicht normal auf den Normalvektor der Ebene.

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:GeradeinEbene.png|Gerade liegt auf der Ebene
Datei:GeradepararallelEbene.png|Gerade und Ebene sind parallel zueinander
Datei:GeradeSchnittpunktEbene.png|Gerade und Ebene schneiden einander (Schnittpunkt)
</gallery>

Zur Überprüfung der Lagebeziehung gibt es allerdings noch eine andere (schnellere) Methode. Hier "schneiden" wir die Gerade und die Ebene mathematisch, d.h. wir setzen sie gleich (wenn beide in Parameterform gegeben sind) oder setzen die Gerade $g$ (Parameterform) in die Ebene $\epsilon$ (allg. Ebenengleichung) ein. 
Wir erhalten dadurch ein Gleichungssystem oder eine einzelne Gleichung.

Sei die Gerade gegeben als $g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \\ z = z_P + t \cdot z_a \end{cases}$ und die Ebene als $\epsilon : \begin{cases} x = x_Q + s \cdot x_b + u \cdot x_c \\ y = y_Q + s \cdot y_b + u \cdot y_c \\ z = z_Q + s \cdot z_b + u \cdot z_c \end{cases}$ (Parameterform) oder $\epsilon : ax + by + cz = d$ (allg. Ebenengleichung).

Wir erhalten als Gleichungssystem durch Gleichsetzen der Gleichungen der Parameterformen:
$$\begin{cases} x_P + t \cdot x_a = x_Q + s \cdot x_b + u \cdot x_c \\ y_P + t \cdot y_a = y_Q + s \cdot y_b + u \cdot y_c \\ z_P + t \cdot z_a = z_Q + s \cdot z_b + u \cdot z_c \end{cases}$$ 
Wir erhalten durch Einsetzen der Gerade in die Ebene (allg. Ebenengleichung):
$$a \cdot (x_P + t \cdot x_a) + b \cdot (y_P + t \cdot y_a) + c \cdot (z_P + t \cdot z_a) = d$$

Ergibt sich hier eine wahre Aussage (z.B. $1=1$), also unendlich viele Lösungen, so liegt die Gerade in der Ebene. 
Ergibt sich eine falsche Aussage (z.B. $1=2$), also keine Lösung, so schneiden die beiden Objekte einander nicht, also sie sind parallel. 
Gibt es genau eine Lösung (z.B. $t=2$), so existiert genau ein gemeinsamer Punkt = Schnittpunkt. Diesen erhält man, indem man den ermittelten Wert für den Parameter $t$ der Geraden in die Geradengleichung einsetzt (oder, wenn die Ebene in Parameterform gegeben war, die beiden Werte für die Parameter $s$ und $u$ der Ebene in die Ebenengleichung einsetzt). Dazu 2 Beispiele, wobei wir im ersten mit der Ebene in Parameterform rechnen werden:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right)$ und die Ebene $\epsilon : X = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -1 \\ -3 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) + u \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 0 \end{array} \right)$. Stellen wir nun also unser Gleichungssystem auf:

|2=\begin{align}

I: \ & \ 1&-t&=&4& &+2u \\
II: \ &-3& &=&-1&+s&-u \\
III: \ & \ 2&+2t&=&-3&+s&
\end{align}

In der ersten Gleichung drücken wir $u$ in $t$ aus: $u = - \frac{3}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$ 
In der zweiten Gleichung drücken wir $s$ in $u$ aus: $s = -2 + u$ 
Das $u$ von oben setzen wir nun hier ein und erhalten $s$ in Abhängigkeit von $t$: $s = - \frac{7}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$.

Dieses $s$ setzen wir nun in die dritte Gleichung ein und wir erhalten: $2 + 2t = -3 - \frac{7}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$ und in weiterer Folge $t = - \frac{17}{5}$. 
Es ergibt sich also genau eine Lösung für das Gleichungssystem, was bedeutet, dass die Gerade und die Ebene einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen. Diesen erhalten wir, indem wir den errechneten Wert für $t$ in die Geradengleichung einsetzen (Man könnte natürlich auch noch die Werte für $s$ und $u$ berechnen, und diese in die Ebenengleichung einsetzen; zur Übung kannst du das gerne tun):
$$g: S = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) - \frac{17}{5} \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \frac{23}{5} \\ -3 \\ - \frac{24}{5} \end{array} \right)$$
}}

Betrachten wir nun dasselbe Beispiel, mit dem Unterschied, dass die Ebene in Normalform gegeben ist und wir auch gleich mit dieser Form rechnen:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right)$ und die Ebene $\epsilon : x + 2y - 2z = 8$. Wir setzen die Koordinatengleichungen der Gerade in die Normalform der Ebene:

|2= $g$ in $\epsilon$: $$1 - t - 6 - 4 -4t =8$$

Wenn wir diese Gleichung lösen, erhalten wir, wie im ersten Bespiel, $t = - \frac{17}{5}$. Dies noch in die Geradengleichung einsetzen, und wir erhalten den Schnittpunkt.}}

Da man bei der zweiten Methode meistens weniger Rechenaufwand hat, zahlt es sich oft aus die Parameterdarstellung der Ebene in die Normalform (= allg. Ebenengleichung) umzurechnen.

==Pyramidenbeispiel==
[[Datei:Pyramidebsp.png|thumb|right|350px|Pyramide]]Gegeben seien 3 Eckpunkte $A(-2/-2/1), B(2/-2/1), C(2/2/1)$ der quadratischen Grundfläche und der Spitzpunkt $S(0/0/6)$ einer geraden (gerade bedeutet, dass die Spitze in einem rechten Winkel über dem Mittelpunkt der Grundfläche der Pyramide liegt) Pyramide.
Gesucht sind:

# der vierte Eckpunkt $D$ der Grundfläche
# die Parameterdarstellung der Trägergeraden $h$ der Höhe
# die Fläche der Grundfläche
# die Geradengleichung der Geraden $g_{AS}$ auf der $A$ und $S$ liegen in a)Parameterform und b)parameterfreier Form
# Der Winkel $\alpha$ zwischen den Vektoren $\vec{AS}$ und $\vec{AC}$
# Zeige, dass der Schnittpunkt der Geraden $g_{AS}$ und $h$ gleich die Spitze $S$ ist
# Gib die Ebenengleichung $\epsilon$ der Grundfläche in a)Parameterform, b)Normalform und c)allgemeiner Ebenengleichung an
# Berechne den Fußpunkt $M$ der Höhe, indem du $h$ und $\epsilon$ schneidest

1. $D = A + \vec{BC} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -2 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right)$ 
2. $h: X = S + t \cdot \vec{h}$
$$\vec{AB} \times \vec{BC} = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 16 \end{array} \right) \ \parallel \ \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) = \vec{h}$$
$$h: X = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$$ 
3. $G = \parallel \vec{AB} \times \vec{BC} \parallel = \parallel \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 16 \end{array} \right) \parallel = 16FE$ 
4. a) $g_{AS}: X = A + u \cdot \vec{AS}$
$$\vec{AS} = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g_{AS}: X = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + u \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right)$$ oder $$g_{AS}:\begin{cases} x = -2 + 2u \\ y = -2 + 2u \\ z = 1 + 5u \end{cases}$$
b) Parameter elimieren:
$$x - y: x-y = 0$$
$$5x - 2z: 5x - 2z = -12$$
$$\Rightarrow g_{AS}:\begin{cases} x - y = 0 \\ 5x - 2z = -12 \end{cases}$$ 
5. $\measuredangle \vec{AS},\vec{AC} = \alpha = arccos{\frac{\vec{AS} \cdot \vec{AC}}{\parallel \vec{AS} \parallel \cdot \parallel \vec{AC} \parallel}} = arccos{\frac{\left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right)}{\parallel \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) \parallel \cdot \parallel \left( \begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) \parallel}} = arccos{\frac{16}{\sqrt{33 \cdot 32}}} = 60,5°$ 
6. $g_{AS}$ und $h$ gleichsetzen:
$$\begin{align}
I: \ &-2&+&2u&=&0&& \\
II: \ &-2&+&2u&=&0&& \\
III: \ & \ \ 1&+&5u&=&6&+&t
\end{align}
\ \ \ \rightarrow u=1$$
$$g_{AS}: S = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + 1 \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array} \right)$$ 
7. a) $\epsilon: X = A + v \cdot \vec{AB} + w \cdot \vec{BC} \ \rightarrow \ \epsilon: X = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + v \cdot \left( \begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) + w \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right)$ 
b) $\epsilon: \vec{n} \cdot \vec{X} = \vec{n} \cdot \vec{A} \ \rightarrow \ \epsilon: \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right)$ 
c) $\epsilon: z = 1$ 
8. $h:\begin{cases} x=0 \\ y=0 \\ z=6+t \end{cases} \ \ \epsilon: z=1 \ \ \rightarrow \ 1 = 6 + t \ \Rightarrow \ t=-5$ 
$h: M = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array} \right) -5 \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$

=Beispiele=
Hier findest du Beispiele zu den behandelten Themen:

===Grundlagen der Vektorrechnung===
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/9/99/VektorrechnungGLBspAngabe.pdf VektorrechnungGLBspAngabe.pdf] 
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/0/00/VektorrechnungGLBspL%C3%B6sung.pdf VektorrechnungGLBspLösung.pdf]

===Vektorrechnung im $\mathbb{R^2}$===
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/7/7f/VektorrechnungR2BspAngabe.pdf VektorrechnungR2BspAngabe.pdf] 
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/f/ff/VektorrechnungR2BspL%C3%B6sung.pdf VektorrechnungR2BspLösung.pdf]

Vektorrechnung

2016-08-13T13:49:23Z

Lajtos: /* Lagebeziehungen zwischen Geraden */

=Grundlagen=
==Koordinatensystem==
[[Datei:Quadranten.png|thumb|Coordinate System|thumb|right|350px|Koordinatengitter im $\mathbb{R^2}$ mit den 4 Quadranten]]

Für die Vektorrechnung sind Koordinatensysteme essentiell.
Im zweidimensionalen Raum besitzt ein Koordinatensystem 2 Achsen:

* die x-Achse (waagrecht) und
* die y-Achse (senkrecht)

 
Diese sind unendlich lang und Spannen die vier sogenannten Quadranten auf, die meist mit den römischen Ziffern I-IV beschriftet werden (gesprochen: Erster Quadrant, Zweiter Quadrant etc.). Die rechte Graphik zeigt die die Positionen der Quadranten. Dort, wo die 2 Achsen einander treffen, liegt der sog. Ursprung (kurz: $\vec{0}$); seine Koordinaten sind $(0/0)$.

Was es außerdem noch zu beachten gibt, hast du vielleicht bereits selbst erkannt:
An den gegenüberliegenden Seiten der x- und y-Achsen werden unterschiedliche Vorzeichen verwendet. So spricht man "links" des Ursprungs von der negativen, bzw. "rechts" des Ursprungs von der positiven x-Achse. Analog spricht man "oben" und "unten" von der positiven und negativen y-Achse.

Im dreidimensionalen Raum kommt eine dritte Achse - die z-Achse - dazu. Punkte und Vektoren besitzen dementsprechend dann auch 3 Koordinaten. Dies kann man bis ins n-dimensionale weiterführen.

==Punkte==
In ein Koordinatensystem lassen sich Punkte eintragen. Diese besitzen, entsprechend ihrer Lage, Koordinaten. Im obigen Bild z.B. haben wir die Punkte A und B, wobei sich A im ersten Quadranten befindet und B im vierten Quadranten. Man schreibt: A(2/3,5) B(1/-2).

[[Datei:Punkte Abstand.png|thumb|right|350px|Punkte im $\mathbb{R^2}$]]

{{Vorlage:Merke |''Einen'' '''allgemeinen Punkt''' ''schreibt man an als'' $P(x_1/x_2/.../x_n)$ (im n-dimensionalen Raum $\mathbb{R^n}$) ''bzw.'' $P(x/y)$ (im 2-dimensionalen Raum $ \mathbb{R^2}$) ''oder'' $P(x/y/z)$ (im 3-dimensionalen Raum $\mathbb{R^3}$).
 
Die erste Koordinate entspricht der x-Koordinate, die zweite der y-Koordinate, die eventuelle dritte der z-Koordinate.

Punkte werden in der Regel mit Großbuchstaben bezeichnet.}}

Koordinaten von Punkten lassen sich also ganz einfach ablesen. Die x/y-Koordinate entspricht dabei dem Abstand vom Ursprung zum Punkt in Richtung der jeweiligen Koordinatenachse. So erkennen wir im Bild rechts die folgenden Punkte:

* A(2/0)
* B(0/-2)
* C(-1/2)

=Vektoren=

==Definition & Darstellung von Vektoren==
{{Vorlage:Definition |1= Ein Zahlenpaar $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \in \mathbb{R^2}$ wird als '''Vektor aus $\mathbb{R^2}$ ''' bezeichnet.
Analog bezeichnet man ein Zahlentripel $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) \in \mathbb{R^3}$ als '''Vektor aus $\mathbb{R^3}$ '''. 
Ein '''allgemeiner Vektor''' wird $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) \ \in \mathbb{R^n}$ geschrieben.

}}

Da sowohl die Rechenoperationen als auch die geometrischen Darstellungen leicht vom $\mathbb{R^2}$ in den $\mathbb{R^3}$ übertragen werden können, werden wir hier meistens nur die Vorgangsweise für Zahlenpaare aus dem $\mathbb{R^2}$ beschreiben.

===Geometrische Darstellung von Vektoren===

Es gibt zwei Möglichkeiten, wie wir einen Vektor $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right) \ \in \mathbb{R^2}$ geometrisch darstellen können:
* '''Darstellung als Punkt''': Dabei gibt $a$ die x-Koordinate und $b$ die y-Koordinate des Punktes an. Die Beschriftung erfolgt mit Großbuchstaben.
* '''Darstellung als Pfeil''': Dabei gibt $a$ die x-Richtung des Pfeils (wie weit zeigt der Pfeil nach links bzw. rechts) und $b$ die y-Richtung des Pfeils (wie weit zeigt der Pfeil nach oben bzw. nach unten) an. Pfeile werden mit Kleinbuchstaben (oft mit Pfeil $\vec{v}$) beschriftet.

Die Darstellung als Punkt ist eindeutig! Einem Zahlenpaar (=Vektor) entspricht genau ein Punkt!
Die Darstellung als Pfeil ist nicht eindeutig! Es gibt unendlich viele Pfeile, die denselben Vektor darstellen. Diese Pfeile sind aber alle parallel, gleich lang und gleich gerichtet.

'''Beispiel:''' Darstellung des Vektors $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$
{| class="wikitable"
|-
| '''Punktdarstellung des Vektors'''|| '''Mögliche Pfeildarstellungen des Vektors'''
|-
| [[Datei:Punkt.png|thumb|300px]]|| [[Datei:Pfeile.png|thumb|300px]]
|}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 3 \\ -4 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 5 \end{array} \right)$. Stelle $\vec{a}$ und $\vec{b}$ als Punkte und als Pfeile dar.
|2=[[Datei:Punkt Pfeil Bsp.png|300px]] 
'''Anmerkungen:'''
* Für die Pfeildarstellungen gibt es mehrere (unendlich viele) Möglichkeiten. Der von dir gezeichnete Pfeil muss jedenfalls parallel, gleich gerichtet und gleich lang wie der abgebildete Pfeil sein!
* Aus "Bequemlichkeitsgründen" zeichnet man die Pfeile oft beginnend beim Ursprung ein:
[[Datei:Punkt Pfeil Bsp2.png|300px]]
 
}}

Vektoren des $\mathbb{R^3}$ können auch auf diese zwei Arten dargestellt werden. Der einzige Unterschied dabei ist, dass die Punkte bzw. Pfeile im dreidimensionalen Raum liegen. Es gibt also noch eine dritte Richtung, die durch die z-Koordinate des Vektors angegeben wird.

===Ortsvektoren===
[[Datei:Ortsvektor.png|thumb|right|250px|Punkt und zugehöriger Ortsvektor]]Der Ortsvektor von einem Punkt ist der Vektor, der vom Ursprung aus auf den Punkt zeigt. Die Koordinaten bleiben deshalb gleich, es ändert sich quasi nur die Schreibweise:

Sei $A(x_1/x_2/.../x_n)$ ein Punkt in der Dimension $n$, dann ist $\vec{0A} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ dessen Ortsvektor.
 
 
 
 
 

==Rechnen mit Vektoren==

===Addition und Subtraktion von Vektoren===
====Rechnerische Addition====
{{Vorlage:Merke|1=Wenn du Vektoren addieren oder subtrahieren möchtest, musst du dazu die entsprechenden Koordinaten addieren: 
$\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) \pm \left( \begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ ... \\ y_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x_1 \pm y_1 \\ x_2 \pm y_2 \\ ... \\ x_n \pm y_n \end{array} \right)$ 
Wichtig ist dabei, dass die Vektoren, die du addieren oder subtrahieren möchtest, derselben Dimension $n$ angehören! D.h. sie haben gleich viele Koordinaten.}}
{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben seien die beiden Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right)$. Berechne erst $\vec{a} + \vec{b}$, dann $\vec{a} - \vec{b}$ und zuletzt $\vec{b} - \vec{a}$!
|2= $\vec{a} + \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 5+1 \\ 2+(-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 6 \\ -1 \end{array} \right)$
$\vec{a} - \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 5-1 \\ 2-(-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 5 \end{array} \right)$ 
$\vec{b} - \vec{a} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 1-5 \\ -3-2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -4 \\ -5 \end{array} \right)$}}

{| border=1 align=center
! Übung zur rechnerischen Addition von Vektoren
|-
| <ggb_applet width="550" height="450" version="5.0" id="ZvayFJPu" />
|}

====Geometrische Darstellung der Vektoraddition====
Die Addition zweier Vektoren kann auf zwei verschiedene Arten geometrisch gedeutet werden. Wir illustrieren die beiden Möglichkeiten anhand des Beispiels $\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2\end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$

{| class="wikitable"
|-
| '''Punkt + Pfeil - Darstellung:'''|| '''Pfeil + Pfeil - Darstellung'''
|-
| ''An einen Punkt wird ein Pfeil angehängt.'' In unserem Beispiel wird an den Punkt (1/2) ein Pfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$ angehängt. Das Ergebnis der Addition ist der Punkt am Ende des Pfeils (5/5). || ''Zwei Pfeile werden aneinandergehängt. In unserem Beispiel wird also ein Pfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$ und ein Pfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)$ aneinandergehängt. Das Ergebnis der Addition ist der entstehende Verbindungspfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 5 \\ 5 \end{array} \right)$
|-
| [[Datei:Vektoraddition1.png|left|400px]]|| [[Datei:Vektoraddition2.png|left|500px]]
|-
| '''Anmerkung:''' Diese Darstellung ist hilfreich, wenn wir von einem Punkt ausgehen und zu einem neuen Punkt gelangen wollen.|| Es spielt keine Rolle, in welcher Reihenfolge die Vektoren angehängt werden. Die Addition ist kommutativ!
|}

===Vektoren bestimmen: "Spitze minus Schaft" ("Ziel minus Start")===
[[Datei:Spitzeschaft.png|thumb|right|300px|"Spitze minus Schaft"]]Zwischen 2 Punkten kann man nun einen Vektor definieren. Dabei gilt: Die '''"Spitze minus Schaft"'''-Regel Im Bild rechts wollen wir den Vektor berechnen, der von A nach B geht, also den Vektor $\vec{AB}$. Der Punkt B(3/3,5) entspricht hierbei der Spitze, und der Punkt A(1/0,5) dem Schaft. Da das Rechnen mit Punkten allerdings keinen Sinn ergibt, rechnet man stattdessen mit deren Ortsvektoren (siehe oben).

Für unser Beispiel bedeutet das: $\vec{0B} - \vec{0A} = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 3,5 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0,5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 3-1 \\ 3,5-0,5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right) = \vec{AB}$

'''Beachte außerdem:'''

* Man schreibt der Einfachheit halber oft nur $B-A$, obwohl eigentlich $\vec{0B} - \vec{0A}$ gemeint ist.
* Der Vektor $\vec{AB}$ zeigt in die entgegengesetzte Richtung von $\vec{BA}$. Das bedeutet, dass diese beiden Vektoren entgegengesetzte Vorzeichen haben: $\vec{AB} = - \vec{BA}$

 

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die Punkte A=(1/2); B=(-3/1); C=(-4,-1). Bilde die folgenden Verbindungsvektoren: 
 
# $\vec{AB}$
# $\vec{BA}$
# $\vec{AC}$
# $\vec{BC}$

|2=
$\ $
# $\vec{AB}=B-A=\left( \begin{array}{c} -3 \\ 1\end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} -4 \\ -1\end{array} \right)$
# $\vec{BA}=-\vec{AB}=\left( \begin{array}{c} 4 \\ 1 \end{array} \right)$
# $\vec{AC}=\left( \begin{array}{c} -4 \\ -1\end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} -5 \\ -3\end{array} \right)$
# $\vec{BC}=\left( \begin{array}{c} -4 \\ -1\end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} -3 \\ 1 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} -1 \\ -2\end{array} \right)$
 
'''Tipps:'''
* Pass gut auf die Vorzeichen auf! Beim Subtrahieren von Vektoren passieren leider häufig Vorzeichenfehler! Sei deshalb besonders achtsam!
* Zeichne die Punkte in ein Koordinatensystem und zeichne die Verbindungsvektoren ein. Bei einfachen Koordinaten kannst du den Verbindungsvektor ohne Rechnung ablesen (Probiere es aus!).

 
}}

===Produkt eines Vektors mit einem Skalar===
====Rechnerische Multiplikation====
Wenn man einen Vektor $\vec{v}$ mit einer [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)|reellen Zahl]] $k$ , einem sogenannten "Skalar", multipliziert, werden dabei die einzelnen Koordinaten mit dem Skalar multipliziert:

$k \cdot \vec{v} = k \cdot \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} k \cdot x_1 \\ k \cdot x_2 \\ ... \\ k \cdot x_n \end{array} \right)$

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sei der Vektor $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right)$. Multipliziere diesen einmal mit $2$ und einmal mit $-5$!
|2= $2 \cdot \vec{a} = 2 \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \cdot 2 \\ 2 \cdot (-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -6 \end{array} \right)$
$(-5) \cdot \vec{a} = (-5) \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-5) \cdot 2 \\ (-5) \cdot (-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -10 \\ 15 \end{array} \right)$}}

====Geometrische Darstellung der Multiplikation====

Eine Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl $a$ (Skalar) entspricht einer Streckung (für $|a|>1$) bzw. einer Stauchung (für $|a|<1$) des zugehörigen Pfeiles.
Ist das Vorzeichen des Skalars negativ, so dreht sich die Richtung des Pfeils in die entgegengesetzte Richtung.

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sei wiederum der Vektor $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right)$. Stelle die Multiplikation mit $2$, mit $-5$ und mit $0.5$ graphisch dar!
|2= Rechnerische Lösung und graphische Interpretation:
* $2 \cdot \vec{a} = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -6 \end{array} \right)$. Der Vektor $2\cdot \vec{a}$ hat die doppelte Länge und dieselbe Richtung wie $\vec{a}$
* $(-5) \cdot \vec{a} = \left( \begin{array}{c} -10 \\ 15 \end{array} \right)$. Der Vektor $(-5)\cdot \vec{a}$ ist fünfmal so lang wie $\vec{a}$ und zeigt in die entgegengesetzte Richtung wie $\vec{a}$
* $(0.5) \cdot \vec{a} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1.5 \end{array} \right)$ Der Vektor $0.5\cdot \vec{a}$ ist halb so lang wie $\vec{a}$ und zeigt in dieselbe Richtung wie $\vec{a}$
}}

{{#widget:Iframe
|url= http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_vektorrechnung/MV_Vektor1/MV_Vektor1/sites/Vektortest.html
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}}
[http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_vektorrechnung/MV_Vektor1/MV_Vektor1/ (Quelle dieses Applets)]

Hilfe zum Applet: Gib in die Eingabezeile den Buchstaben des Vektors bzw. die entsprechende Summe / Differenz an. (z.B. $u=a$)

===Wie Vektoren zueinander stehen===
Vektoren können unterschiedliche Richtungen haben, aber auch parallel zueinander oder gar identisch sein. Optisch lässt sich das oft sehr leicht erkennen. Die Lage von Vektoren zueinander kann aber auch rechnerisch überprüft werden.

{{Vorlage:Definition |Unter einem Vektor versteht man die Menge aller gleichlangen, gleichgerichteten und gleichorientierten Pfeile.

Der Start/Endpunkt spielen dabei keine Rolle!}}

{{Vorlage:Merke|2 Vektoren stehen parallel zueinander, wenn ein Vektor als Vielfaches des anderen Vektors angeschrieben werden kann. 
Man sagt auch: Die Vektoren sind [[linear abhängig]].}}

Sehen wir uns die verschiedenen Fälle an:

{| class="wikitable"
|-
|ident: gleiche Richtung, gleiche Orientierung, gleiche Länge
||[[Datei:Vektorv1.png|none|250px]]
||$\vec{v} = \vec{u} \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$
||z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$
|-
||parallel (gleiche Orientierung): gleiche Richtung, gleiche Orientierung, unterschiedliche Länge
| [[Datei:Vektorenlänge.png|none|250px]]
||$\exists k>0 : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$
||z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} \frac{4}{3} \\ 2 \end{array} \right)$, $k = \frac{2}{3} $
|-
||parallel (unterschiedliche Orientierung): 
| [[Datei:Vektororientierung1.png|none|250px]]
||$\exists k<0 : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$
||z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} -2 \\ -3 \end{array} \right)$, $k=-1$

|-
||linear unabhängig
| [[Datei:Vektorrichtung1.png|none|250px]]
||$\nexists k : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \nparallel \vec{u}$
||z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 3 \end{array} \right)$
|}

{{Vorlage:Beispiel|1=Überprüfe ob die Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 5 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$ linear unabhängig voneinander sind.

|2=Wenn es ein k gibt, sodass $k \cdot \vec{a} = \vec{b}$, dann sind die beiden Vektoren voneinander linear abhängig, und somit auch parallel zueinander.

Es gibt mehrere Lösungsmöglichkeiten:
*Möglichkeit 1: Lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen
$I: 2k = 4 \ \ \rightarrow k=2$
$II: 5k = 3 \ \ \rightarrow k=\frac{3}{5}$

Aus der ersten Gleichung ergibt sich $k=2$, in der zweiten aber $k=\frac{3}{5}$. $k$ kann aber nicht beides sein, somit haben wir eine falsche Aussage erhalten. Daraus folgt, dass die beiden Vektoren '''linear unabhängig''' und somit nicht parallel zueinander sind.

* Möglichkeit 2: "Vergleichen und Probieren"
Vergleicht man die x-Koordinaten der beiden Vektoren, so sieht man, dass $4$ doppelt so groß wie $2$ ist. Daraus ergibt sich, dass ein etwaiges $k=2$ sein müsste.
Probiert man, auch die zweite Zeile mit $2$ zu multiplizieren, so erhält man $10$. Die y-Koordinate von $\vec{b}$ müsste also $10$ sein, damit die beiden Vektoren parallel zueinander sind.
}}

 

===Betrag und Einheitsvektor===
[[Datei:PythagorasVektor.png|thumb|right|350px|Betrag eines Vektors; Einheitsvektor]]Wie anfangs bereits erwähnt, besitzen Vektoren eine Länge, auch '''Betrag''' eines Vektors genannt. Dieser wird mit Hilfe des pythagoräischen Lehrsatzes wie folgt berechnet:

<div align="center">$\parallel \vec{v} \parallel = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2} \ $ wenn $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ ein Vektor der Dimension $n$ ist.</div>
Sehen wir uns die Grafik rechts an, können wir mit dieser Formel die Länge des zweidimensionalen Vektors $\parallel \vec{v} \parallel$ berechnen:

<div align="center">$\parallel \vec{v} \parallel = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$</div>
 Der '''Einheitsvektor''' $\vec{a_0}$ eines Vektors $\vec{a}$ ist ein zu $\vec{a}$ paralleler Vektor mit Länge 1. Rechnerisch erhält man $\vec{a_0}$, indem man $\vec{a}$ durch seine Länge dividiert. $ \vec{a_0}

=\frac{\vec{a}}{\parallel \vec{a}\parallel}$
bzw.
$ \vec{a_0}=\frac{1}{\parallel\vec{a}\parallel}\cdot \vec{a}$

Daraus ergibt sich ein Vektor, der dieselbe Richtung des ursprünglichen Vektors hat, allerdings die Länge 1 besitzt.

{{Vorlage:Merke|1=
Sei $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ ein Vektor der Dimension $n$ und $\parallel \vec{v} \parallel$ sein Betrag, dann ist $\vec{v_0} = \frac{1}{\parallel \vec{v} \parallel} \cdot \vec{v} \ $ der Einheitsvektor zu $\vec{v}$.}}

In unserem Beispiel würde das folgendes bedeuten:

{{Vorlage:Beispiel|1= Bestimme den Einheitsvektor von $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$

|2=<div align="center">$\vec{v_0} = \frac{1}{\sqrt{13} } \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \frac{2}{\sqrt{13} } \\ \frac{3}{\sqrt{13} } \end{array} \right)$</div>
}}

===Vektoren bestimmter Länge===
Da wir nun gelernt haben, Einheitsvektoren zu bilden und Vektoren mit Zahlen zu multiplizieren (und ich das hier so schön betone), könnt ihr euch vielleicht schon vorstellen, wie man aus einem beliebigen Vektor einen Vektor derselben Richtung, allerdings unterschiedlicher Länge bekommt. Wir haben also einen Vektor $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ mit der Länge $\parallel \vec{v} \parallel = k$ gegeben, und hätten gerne den Vektor $\vec{w} \ \parallel \ \vec{v}$ mit der Länge $l$. Dazu berechnen wir zuerst den Einheitsvektor $\vec{v_0}$ von $\vec{v}$ und multiplizieren diesen dann mit $l$. So erhalten wir schließlich $\vec{w} = l \cdot \frac{\vec{v}}{k} = l \cdot \vec{v_0}$.

==Mittelpunkt einer Strecke==
[[Datei:Mittelpunkt.png|thumb|right|300px|Mittelpunkt M der Strecke AB]]Willst du den Mittelpunkt zwischen 2 Punkten $A$ und $B$ berechnen, musst du wie folgt vorgehen:
Zuerst berechnest du einen Vektor zwischen den Punkten ($\vec{AB}$ oder $\vec{BA}$). Dann halbierst du diesen Vektor, und erhältst $\vec{AM}$ bzw. $\vec{BM}$. Addierst du dann diesen Vektor zum entsprechenden Punkt ($A$ bzw. $B$), erhältst so den Mittelpunkt. Also:

<div align="center">$\vec{0M} = \vec{0A} + \frac{\vec{AB}}{2} = \vec{0B} + \frac{\vec{BA}}{2}$</div>

Dies lässt sich folgendermaßen weiter vereinfachen:
$$\vec{M} = \vec{A} + \frac{\vec{AB}}{2} = \frac{2\vec{A}}{2} + \frac{\vec{B} - \vec{A}}{2} = \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2}$$

=Im $\mathbb{R^2}$=
Dieser Artikel befasst sich mit der Vektorrechnung im zweidimensionalen Raum. Grundlegende Informationen zur Vektorrechnung, so wie Punkte und Vektoren, findest du unter dem Tab ''Grundlagen der Vektorrechnung''.

==Vektoren==
===Normalvektoren===
[[Datei:Normalvektoren.png|thumb|right|350px|Normalvektoren]]Normalvektoren zu einem Vektor sind alle Vektoren, die normal (im rechten Winkel) auf den Vektor stehen. Im $\mathbb{R^2}$ gibt es zu jedem Vektor genau 2 Normalvektoren, die dieselbe Länge wie der ursprüngliche Vektor haben. Alle anderen Normalvektoren sind Vielfache eines dieser 2 Normalvektoren.

{{Vorlage:Merke | 1=Sei $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ ein Vektor, dann ist $\vec{n_1}=\left( \begin{array}{c} -y \\ x \end{array} \right)$ sein nach links gekippter, und $\vec{n_2}=\left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right)$ sein nach rechts gekippter Normalvektor.
''Vertausche die Koordinaten und ändere '''ein''' Vorzeichen''
}}

===Skalarprodukt===
Unter dem Skalarprodukt versteht man die Multiplikation zweier Vektoren, bei der als Ergebnis ein Skalar (eine Zahl) entsteht.

{{Vorlage:Merke|1=Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren, dann ist $\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \end{array} \right) = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b$ gleich ihr Skalarprodukt.
}}

Das Skalarprodukt wirkt auf den ersten Blick etwas "eigenartig". Man kann sich die Bedeutung des Skalarproduktes besonders gut an einem Anwendungsbeispiel erklären:
Angenommen in einer Preisliste stehen 10 Kugelschreiber, die jeweils 2€ kosten und 20 Bleistifte, die jeweils 0,50€ kosten.
In Tabellenform sieht das folgendermaßen aus:

{| class="wikitable"
|-
! Produkt !! Stückzahl !! Preis pro Stück (in €)
|-
| Kugelschreiber || 10 || 2
|-
| Bleistift || 20 || 0,50
|}

Aus dieser Tabelle kann ein Stückzahlvektor $\left( \begin{array}{c} 10 \\ 20 \end{array} \right)$ und ein Preisvektor $\left( \begin{array}{c} 2 \\ 0,50 \end{array} \right)$ abgelesen werden.

Möchte man den Gesamtwert der Produkte berechnen, so müssen jeweils die Einzelpreise mit der Stückzahl multipliziert werden und anschließend die Summe gebildet werden.
Genau das macht das Skalarprodukt!
$\left( \begin{array}{c} 10 \\ 20\end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0.50 \end{array} \right) = 10 \cdot 2 + 20 \cdot 0.50 = 20 + 10 = 30€ $

===Winkel zwischen zwei Vektoren===
[[Datei:Winkel.png|thumb|right|350px|Winkel zwischen 2 Vektoren]]<big>$$cos{\varphi} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel} = \vec{a_0} \cdot \vec{b_0}$$
bzw.
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = \parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel \cdot cos{\varphi}$$</big>

Heißt es, den Winkel zwischen 2 Vektoren/Geraden zu bestimmen, ist damit immer der kleinere Winkel gemeint. Solltest du einmal ein Ergebnis erhalten, das größer als 180° ist (nennen wir dieses Ergebnis $\varphi'$), dann ziehe dieses Ergebnis von 360° ab und du erhältst den kleineren Winkel ($\varphi = 360° - \varphi'$). 
Bei einem Winkel von $\varphi = 90°$ erhalten wir $cos{\varphi} = 0$, was bedeutet, dass auch $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$. Daraus ergibt sich das Orthogonalitätskriterium.

====Orthogonalitätskriterium====
{{Vorlage:Merke|1=Ergibt das Skalarprodukt zweier Vektoren $0$, so stehen diese zwei Vektoren normal zueinander (und umgekehrt!)$$\vec{a} \cdot \vec{b} \ = \ 0 \ \Leftrightarrow \ \vec{a} \bot \vec{b}$$}}

Mithilfe des Orthogonalitätskriteriums kann man auch zeigen, dass $\vec{n}=\left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right)$ stets ein Normalvektor von $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ ist.
$$\vec{v} \cdot \vec{n} = \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right) = xy - yx = 0$$

{|border=1 align=center
! Übungsaufgabe
|-
| <ggb_applet width="1000" height="500" version="5.0" id="u9xvmmXM" />
|}

==Geraden==
===Darstellungsformen===
Geraden lassen sich in unterschiedlichen Formen darstellen. In der Vektorrechnung ist die Parameterdarstellung populär, da man dazu nur einen Punkt und Vektor kennen muss. Die Normalform allerdings hat den Vorteil, dass man den Normalvektor zur Geraden auf einen Blick ablesen kann. Je nachdem, was man mit der Gerade vorhat, können die verschiedenen Formen ineinander umgewandelt werden.

====Parameterdarstellung====
[[Datei:Parameterdarstellung.png|thumb|right|350px|Parameterdarstellung einer Geraden]]$$g: \vec{0X} = \vec{0P} + t \cdot \vec{a}$$ 
wobei

* $X \in g$ ist ein '''beliebiger''' Punkt auf der unendlichen Geraden (steht für alle Punkte auf der Geraden)
* $P \in g$ ist ein '''bekannter''' Punkt auf der Geraden
* $t \in \mathbb{R}$ ist ein freier Parameter (in der Graphik rechts $\lambda$)
* $\vec{a} \in \mathbb{R^2}$ ist ein Vektor parallel zur Geraden, der die Richtung dieser angibt ("Richtungsvektor")

 
Beachte, dass in der Parameterdarstellung keine Punkte, sondern Ortsvektoren verwendet werden! (Info zu Ortsvektoren findest du unter ''Grundlagen der Vektorrechnung''.) Wenn man das weiß, kann man der Einfachheit halber die Gerade auch folgendermaßen beschreiben: $g: X = P + t \cdot \vec{a}$

 
Eine andere Schreibweise ist, die Koordinaten einzeln zu betrachten und 2 Gleichungen aufzustellen:
$$g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \end{cases}$$

====Normalvektorform====
Hierzu benötigt man einen Normalvektor des Richtungsvektors und multipliziert dann die Geradengleichung mit diesem Normalvektor. Da $\vec{a} \cdot \vec{n} = 0$, bleibt über:

Sei $g: \vec{0X} = \vec{0P} + t \cdot \vec{a}$ eine Gerade in Parameterform, so ist

<div align="center">$g: \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x_P \\ y_P \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right)$</div>

dieselbe Gerade in Normalform, wobei $\vec{0X}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right), \ \vec{0P}=\left( \begin{array}{c} x_P \\ y_P \end{array} \right), \ \vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right)$ und $\vec{n}=\left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right)$ ein Normalvektor von $\vec{a}$ (hier kann man natürlich auch den anderen Normalvektor verwenden).

====Allgemeine Geradengleichung====
Diese Form der Darstellung heißt auch Normalform, da man den Normalvektor der Gerade direkt ablesen kann.Um von der Parameterdarstellung auf diese Form zu kommen, gibt es 2 Möglichkeiten:

'''1. Multiplikation mit Normalvektor:'''
Hierzu muss man einfach die Normalform ausmultiplizieren und es ergibt sich:

$$g: y_a \cdot x + -x_a \cdot y = y_a \cdot x_P + -x_a \cdot y_P$$

'''2. Elimination des Parameters:'''
Hierbei gehen wir von der Geradenform $g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \end{cases}$ aus, eliminieren $t$, und kommen ebenfalls auf die obige allgemeine Geradengleichung.
Auf der rechten Seite der Gleichung stehen nur bekannte Größen, auf der linken Seiten stehen Vielfache von x und y. Diese Gleichung kann man weiter auch auf die Form y=kx+d umformen.

===Lagebeziehungen zwischen Geraden===
Mehrere Geraden können im $\mathbb{R^2}$

* ident sein, d.h. sie haben unendlich viele gemeinsame Punkte
* parallel sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt
* einander schneiden, d.h. sie haben genau ein gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt)

 Sind uns 2 Geraden in '''Parameterdarstellung''' gegeben, betrachten wir zuerst ihre Richtungsvektoren. 
Sind diese parallel zueinander, so sind auch die Geraden parallel zueinander. Nun bleibt noch die Frage offen, ob die Geraden ident sind. Dazu überprüfen wir einfach, ob der gegebene Punkt der einen Geraden auch auf der anderen Geraden liegt. Dazu Setzen wir den bekannten Punkt der einen Geraden für den unbekannten Punkt der anderen Geraden ein und erhalten 2 Gleichungen in einer Unbekannten (Parameter der zweiten Gerade). Erhalten wir nun für den Parameter zweimal dasselbe Ergebnis, so sind die 2 Geraden ident, erhalten wir unterschiedliche Ergebnisse, so sind sie nur parallel. 
Sind die Richtungsvektoren nicht parallel zueinander, so sind es auch die 2 Geraden nicht, und wir können uns sicher sein, dass diese einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen.
Doch wie erhalten wir den Schnittpunkt? Ganz einfach, indem wir die 2 Geraden schneiden. Dazu müssen wir sie gleichsetzen, und dann das dadurch erhaltene Gleichungssystem in 2 Unbekannten (die 2 Parameter) lösen. Wenn wir den Wert eines Parameters ausgerechnet haben, setzen wir ihn einfach in die entsprechende Geradengleichung ein und erhalten so den Schnittpunkt!

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die beiden Geraden $g: X = \left( \begin{array}{c} -3 \\ 1 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 4 \\ -2 \end{array} \right)$ und $h: X = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ 1 \end{array} \right)$. Ermittle deren gegenseitige Lage und ggf. deren Schnittpunkt!
|2=Betrachten wir zuerst deren Richtungsvektoren:
$$\left( \begin{array}{c} 4 \\ -2 \end{array} \right) = -2 \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ 1 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g \parallel h$$
Nun überprüfen wir, ob der Punkt der Geraden $h$ auf $g$ liegt:
$$\left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -3 \\ 1 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 4 \\ -2 \end{array} \right) \ \rightarrow \ \begin{cases} 0 = -3 + 4s \ \rightarrow \ s_1 = \frac{3}{4} \\ 2 = 1 - 2s \ \rightarrow \ s_2 = -\frac{1}{2} \end{cases} \ \rightarrow \ s_1 \neq s_2 \ \Rightarrow \ g \not\equiv h$$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die beiden Geraden $g: X = \left( \begin{array}{c} -3 \\ 1 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -1 \end{array} \right)$ und $h: X = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)$. Ermittle deren gegenseitige Lage und ggf. deren Schnittpunkt!|
2=$$\nexists \ k \in \mathbb{R} : \ \left( \begin{array}{c} 2 \\ -1 \end{array} \right) = k \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g \nparallel h \ \Rightarrow \ g \times h$$
$$\begin{align}
I: \ &-3&+&2s&=&0&+&t \\
II: \ &1&-&s&=&2&+&2t
\end{align}$$
$$I + 2 \cdot II: \ -1 = 4 + 5t \ \rightarrow \ t = -1$$
$$t \ in \ h: S = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \end{array} \right) + (-1) \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \end{array} \right)$$}}

Sind die 2 Geraden in der '''allgemeinen Geradenform''' gegeben, so haben wir bereits 2 Gleichungen gegeben, die wir nach x und y auflösen. Dieses x und y sind die Koordinaten des Schnittpunktes.

Um das Schneiden von Geraden besser zu verstehen, schau dir das Lösen von [[ Gleichungssysteme (2.7.) |Gleichungssystemen]] genauer an, wirf einen Blick auf die Beispiele zum $\mathbb{R^2}$ unter dem Tab 'Beispiele', oder sieh dir dieses Video an:

<div align="center">{{#ev:youtube|ZrFE3LRisn0}}</div>

===Normalabstand Punkt - Gerade===
[[Datei:Normalabstand.gif|right]]Gegeben sei ein Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und eine Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$. Um den Normalabstand $d(Q,g)$ zwischen Q und g zu berechnen, gehe wie folgt vor:
{{Vorlage:Merke|1=1. Bestimme die Gerade $q: X = Q + s \cdot \vec{n}$, die durch $Q$ geht und den Normalvektor $\vec{n}$ von $\vec{a}$ als Richtungsvektor besitzt.
2. Schneide $g$ und $q$ und die erhältst ihren Schnittpunkt $S$. 
3. Berechne $\parallel \vec{QS} \parallel$.}}
In der Graphik rechts hätten wir z.B. die Angabe $g: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right) + \lambda \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array} \right)$ und $Q(3/4)$. Du kannst das zur Übung durchrechnen.

====Hesse'sche Abstandsformel====
Mithilfe dieser Formel kann man ebenfalls den Abstand $d(Q,g)$ zwischen Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$ bestimmen. <big>$d(Q,g) = | \vec{PQ} \cdot \vec{n_0} | $</big>, wobei $\vec{n_0}$ der normierte (Länge 1) Normalvektor des Richtungsvektors $\vec{a}$ der Geraden $g$ ist.

====Spiegelung eines Punktes an einer Geraden====
[[Datei:Spiegeln.png|thumb|right|250px|Gespiegelter Punkt Q']]Gegeben sei ein Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und eine Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$. Es gilt den Punkt $Q$ an der Gerade $g$ zu spiegeln, und so den Punkt $Q'$ zu erhalten. Dazu befolgst du die Vorgehensweise von "Normalabstand Punkt - Gerade" bis du den Vektor $\vec{QS}$ erhältst, und trägst diesen vom Punkt $S$ ab, also: 
$Q' = S + \vec{QS}$

=Im $\mathbb{R^3}$=
==Vektoren==
===Kreuzprodukt===
Im $\mathbb{R^3}$ gibt es neben dem Skalarprodukt, bei dem wir als Ergebnis ein Skalar erhalten, eine weitere Möglichkeit, zwei Vektoren miteinander zu multiplizieren: das sog. Kreuz- oder Vektorprodukt, bei dem wir als Ergebnis einen Vektor erhalten.{{Vorlage:Merke|1=Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren des $\mathbb{R^3}$, dann ist ihr Kreuzprodukt
$$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} y_a \cdot z_b - z_a \cdot y_b \\ z_a \cdot x_b - x_a \cdot z_b \\ x_a \cdot y_b - y_a \cdot x_b \end{array} \right)$$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ -3 \end{array} \right)$, gesucht ist ihr Kreuzprodukt.|

2=$$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \cdot (-3) - 3 \cdot 4 \\ 3 \cdot 5 - 1 \cdot (-3) \\ 1 \cdot 4 - 2 \cdot 5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-6) - 12 \\ 15 - (-3) \\ 4 - 10 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -18 \\ 18 \\ -6 \end{array} \right)$$}}

Wozu wir das Kreuzprodukt überhaupt benötigen, sehen wir an den nächsten 2 Punkten.

====Normalvektoren====
Im $\mathbb{R^3}$ gibt es zu einem Vektor unendlich viele Normalvektoren. Auf eine Ebene allerdings gibt es genau 2 Normalvektoren (wie im $\mathbb{R^2}$ auf eine Gerade). Eine Ebene wird von 2 Vektoren aufgespannt, deren Kreuzprodukt ergibt einen Normalvektor $\vec{n_1}$ auf die Ebene bzw. die zwei Vektoren; der zweite Normalvektor hat die entgegengesetzte Orientierung ($\vec{n_2} = -\vec{n_1}$). Also:$$\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$$

====Fläche eines von zwei Vektoren aufgespannten Parallelogramms oder Dreiecks====
[[Datei:FlächeNormalvektor.png|thumb|right|none|250px|2 Vektoren spannen ein Dreieck bzw. Parallelogramm auf]] 
{{Vorlage:Merke|1=Die Länge $\parallel \vec{n} \parallel = \parallel \vec{a} \times \vec{b} \parallel$ des Normalvektors $\vec{n}$ zu den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ entspricht der Maßzahl des Flächeninhaltes des Parallelogramms, das $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aufspannen (im Bild die gesamte grüne Fläche).
Die Hälfte dieser Fläche entspricht der Fläche des aufgespannten Dreiecks.}}

===Skalarprodukt, Orthogonalitätskriterium, Winkel zwischen zwei Vektoren===
Diese drei Dinge "funktionieren" im $\mathbb{R^3}$ wie im $\mathbb{R^2}$. Also hier nur eine kurze Wiederholung: 

'''Skalarprodukt''' 
Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\z_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren, dann ist $$\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right) = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b + z_a \cdot z_b$$ gleich ihr Skalarprodukt.
 

{|border=1 align=center
|-
! Übungsaufgabe
|-
| <ggb_applet width="700" height="500" version="5.0" id="ZqtPwRDx" />
|}

'''Orthogonalitätskriterium''' 
Ergibt das Skalarprodukt zweier Vektoren $0$, so stehen diese zwei Vektoren normal zueinander (und umgekehrt!)
$$\vec{a} \cdot \vec{b} \ = \ 0 \ \Leftrightarrow \ \vec{a} \bot \vec{b}$$
Auch das gibt es im $\mathbb{R^3}$. Bedenke aber, dass es hier, anders als im $\mathbb{R^2}$, unendlich viele Normalvektoren auf einen Vektor gibt.
 

'''Winkel zwischen zwei Vektoren'''
$$cos{\varphi} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel} = \vec{a_0} \cdot \vec{b_0}$$

==Geraden==
===Darstellungsformen===
====Parameterdarstellung====
Die Parameterdarstellung im $\mathbb{R^3}$ sieht genauso aus wie im $\mathbb{R^2}$, einziger Unterschied ist, dass unsere Punkte und Vektoren hier jeweils 3 Koordinaten haben.$$g: X = P + t \cdot \vec{a}$$ bzw. $$g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \\ z = z_P + t \cdot z_a \end{cases}$$
Mehr Infos zu den einzelnen Komponenten findest du im Tab 'Im $\mathbb{R^2}$'.

====Parameterfreie Darstellungsform====
Diese besteht aus 2 Gleichungen und wir erhalten sie durch Eliminierung des Parameters.

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sei die Parameterform der Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ -4 \\ 1 \end{array} \right)$. Zuerst schreiben wir das in die 3 Koordinatengleichungen um:
$$g : \begin{cases} x = 2 + 3t \\ y = 0 - 4t \\ z = 1 + t \end{cases}$$

|2=Wir multiplizieren die erste Gleichung mit $4$ und die zweite Gleichung mit $3$ und addieren die beiden: $$+ \begin{cases} 4x = 8 + 12t \\ 3y = 0 - 12t \end{cases}$$ und erhalten so die Gleichung $4x + 3y = 8$.
Wir multiplizieren die dritte Gleichung mit $3$ und subtrahieren diese von der ersten Gleichung: $$- \begin{cases} x = 2 + 3t \\ 3z = 3 + 3t \end{cases}$$ und erhalten so die Gleichung $x - 3z = -1$.

Die parameterfreie Darstellung unserer Gerade lautet somit $$g : \begin{cases} 4x + 3y = 8 \\ x - 3z = -1 \end{cases}$$.}}

Die zwei Gleichungen in der parameterfreien Darstellung sind übrigens Ebenengleichungen. Die eigentliche Gerade ist der Schnitt dieser zwei Ebenen!

===Lagebeziehungen zwischen Geraden===
Mehrere Geraden können im $\mathbb{R^3}$

* ident sein, d.h. sie haben unendlich viele gemeinsame Punkte
* parallel sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt
* einander schneiden, d.h. sie haben genau ein gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt)
* windschief sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt und sind nicht parallel

Um herauszufinden, wie 2 gegebene Geraden in Parameterform zueinander stehen, gehst du am besten wie folgt vor:

'''Betrachtung der Richtungsvektoren:''' Auch im $\mathbb{R^3}$ gilt, sind die Richtungsvektoren zweier Geraden parallel zueinander (d.h. man kann einen Vektor als Vielfaches des anderen Vektors darstellen), so sind es auch die Geraden.

'''Fall 1: Die Vektoren sind parallel:''' Sollte sich herausstellen, dass die zwei Geraden parallel zueinander sind, überprüfst du als nächstes, ob sie einen gemeinsamen Punkt haben; am einfachsten funktioniert das, indem du den bekannten Punkt ($P$) der einen Geraden in die zweite Gerade (für den unbekannten Punkt $X$) einsetzt. Wir erhalten drei Gleichungen in einer Unbekannten (Parameter der zweiten Gerade). 
'''Fall 1a:''' Erhalten wir nun für den Parameter dreimal dasselbe Ergebnis, so sind die 2 Geraden '''ident''' (und parallel), da der überprüfte Punkt, und somit unendlich weitere, auf beiden Geraden liegen. 
'''Fall 1b:''' Erhalten wir unterschiedliche Ergebnisse, so sind sie nur '''parallel''', da der überprüfte Punkt nicht, und somit auch kein anderer, auf beiden Geraden liegen.

'''Fall 2: Die Vektoren sind nicht parallel:''' Nun gibt es nur noch zwei Möglichkeiten: Entweder die zwei Geraden haben einen gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt), oder sie sind windschief. 
Um das wiederum herauszufinden, setzt du die beiden Geraden gleich, d.h. du stellst ein lineares Gleichungssystem (LGS) mit drei Gleichungen und in drei Unbekannten auf, und versuchst, dieses zu lösen. 
'''Fall 2a:''' Solltest du nun eine Lösung erhalten, d.h. du erhältst den Wert für den Parameter einer der zwei Geraden (und hast diesen Wert überprüft), so weißt du, dass die zwei Geraden einander '''schneiden'''. Den Schnittpunkt erhältst du jetzt, indem du den erhaltenen Wert für den Parameter in die entsprechende Geradengleichung einsetzt. 
'''Fall 2b:''' Sollte dein LGS keine Lösung ergeben (also sich eine falsche Aussage oder ein Widerspruch ergeben, z.B. $2=13$, oder $t=4$ und $t=-1$), dann weißt du, dass deine beiden Geraden keinen Schnittpunkt haben und somit '''windschief''' sind.

Zum besseren Verständnis siehst du dir am besten das folgende Video und die beiden folgenden Beispiele an.

<div align="center">{{#ev:youtube|u0QoYlEE094}}</div>
{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die beiden Geraden $g: X = \left( \begin{array}{c} 0 \\ -11 \\ -3 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right)$ und $h: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ -3 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right)$. Überprüfe deren gegenseitige Lage und gegebenenfalls ihren Schnittpunkt!|2=Zuerst überprüfen wir die Richtungsvektoren der beiden Geraden, um festzustellen, ob diese parallel zueinander sind oder nicht:$$\nexists \lambda : \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) = \lambda \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) \nparallel \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g \nparallel h$$
$g$ und $h$ sind also nicht parallel. Sie können also noch entweder einander schneiden oder windschief sein. Stellen wir nun ein LGS auf, indem wir die beiden Geraden gleichsetzen:
$$\begin{align}
I: \ &&&s&=&2&+&t \\
II: \ &-11&+&2s&=&3&-&3t \\
III: \ &-3&+&s&=&-3&+&2t
\end{align}$$ 
Wir subtrahieren $III$ von $I$: $- \begin{cases} &s &=& 2 + t \\ -3 + &s &=& -3 + 2t \end{cases} \ \rightarrow \ 3 = 5 - t \Rightarrow t = 2$ 
Wir überprüfen dieses Ergebnis für $t$, indem wir $t=2$ in alle 3 Gleichungen einsetzen. Wir sehen dann, dass wir überall dasselbe Ergebnis für $s$ erhalten, nämlich $s=4$. Daraus folgt, dass die Geraden einander '''schneiden'''. Setzen wir nun $t=2$ oder $s=4$ in die entsprechende Geradengleichung, so erhalten wir den Schnittpunkt $S(4/-3/1)$ der beiden Geraden.}}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die beiden Geraden $g: X = \left( \begin{array}{c} 3 \\ -2 \\ 0 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right)$ und $h: X = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$. Überprüfe deren gegenseitige Lage und ggf. ihren Schnittpunkt!|2=Zuerst überprüfen wir wieder die Richtungsvektoren der beiden Geraden:$$\nexists \lambda : \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) = \lambda \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) \nparallel \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g \nparallel h$$
Nun stellen wir wieder ein LGS auf:
$$\begin{align}
I: \ &3&+&2s&=&4&-&t \\
II: \ &-2&-&2s&=&3&& \\
III: \ &&&s&=&1&+&t
\end{align}$$ 
Aus der zweiten Gleichung lässt sich direkt berechnen, dass $s=- \frac{5}{2}$. Dies setzen wir nun in die erste und zweite Gleichung ein und erhalten einmal $3 - 5 = 4 - t \ \Rightarrow \ t=6$ und einmal $- \frac{5}{2} = 1 + t \ \Rightarrow \ t=- \frac{7}{2}$. Diese beiden Werte für $t$ sind offensichtlich voneinander unterschiedlich, daraus folgt, dass die beiden Geraden $g$ und $h$ '''windschief''' sind.
}}

==Ebenen==
Eine Ebene ist durch 3 Punkte oder 1 Punkt und 2 (voneinander linear unabhängigen) Vektoren eindeutig festgelegt.

===Darstellungsformen===
====Parameterdarstellung====
[[Datei:ebene2.png|thumb|right|350px|von Punkt und Vektoren aufgespannte Ebene]]
$$\epsilon : X = P + s \cdot \vec{a} + t \cdot \vec{b}$$
bzw.
$$\epsilon : \begin{cases} x = x_P + s \cdot x_a + t \cdot x_b \\ y = y_P + s \cdot y_a + t \cdot y_b \\ z = z_P + s \cdot z_a + t \cdot z_b \end{cases}$$
wobei

* $X \in \epsilon$ ist ein '''beliebiger''' Punkt auf der unendlichen Ebene
* $P \in \epsilon$ ist ein '''bekannter''' Punkt auf der Ebene
* $s, t \in \mathbb{R}$ sind freie Parameter
* $\vec{a}, \vec{b} \in \mathbb{R^3}$ sind zwei Vektoren, die parallel zur Ebene liegen

====Normalvektorform====
Man multipliziert die Parameterdarstellung der Ebene mit ihrem Normalvektor $\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$ und erhält$$\vec{n} \cdot \vec{X} = \vec{n} \cdot \vec{P}$$

====Allgemeine Ebenengleichung====
$$ax + by + cz = d$$Diese Form der Darstellung heißt auch Normalform, da man den Normalvektor der Ebene direkt ablesen kann. Um von der Parameterdarstellung auf diese Form zu kommen, gibt es 2 Möglichkeiten:

'''1. Multiplikation mit Normalvektor:'''
Hierzu muss man einfach die Normalform ausmultiplizieren und es ergibt sich:

$$\epsilon: x_n \cdot x + y_n \cdot y + z_n \cdot z = x_n \cdot x_P + y_n \cdot y_P + z_n \cdot z_P$$

'''2. Elimination des Parameters:'''
Hierbei gehen wir von der Ebenengleichung $\epsilon : \begin{cases} x = x_P + s \cdot x_a + t \cdot x_b \\ y = y_P + s \cdot y_a + t \cdot y_b \\ z = z_P + s \cdot z_a + t \cdot z_b \end{cases}$ aus, eliminieren $s$ und $t$, und kommen ebenfalls auf die obige allgemeine Ebenengleichung.

Zur Veranschaulichung ein Beispiel zu den verschiedenen Darstellungsformen:
{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die drei Punkte $A(1/1/1), B(-1/-4/2), C(0/3/-1)$. Gib die Ebene, die diese drei Punkte aufspannen, in Parameterform, Normalform und allgemeiner Ebenengleichung an!|2=Für die Parameterform berechnen wir erst zwei beliebige Vektoren aus den 3 Punkten, z.B. $\vec{AB} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{AC} = \left( \begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right)$. Als Parameterform erhalten wir schließlich:
$$\epsilon: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right)$$ Um auf die Normalform zu kommen, bestimmen wir als erstes den Normalvektor der Ebenen: $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-5) \cdot (-2) - 1 \cdot 2 \\ 1 \cdot (-1) - (-2) \cdot (-2) \\ (-2) \cdot 2 - (-5) \cdot (-1) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right)$. 
Nun die Parametergleichung mit dem Normalvektor multiplizieren und wir erhalten auch die Normalform:
$$\epsilon: \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)$$ 
Um nun noch die allg. Ebenenform zu erhalten, multipliziert man am einfachsten die Normalform aus und erhält:
$$\epsilon: 8x - 5y -9z =-6$$ 
Aber auch die Elimination der Parameter soll hier gezeigt werden. Wir gehen aus von: $$\epsilon : \begin{cases} x = 1 - 2s - t \\ y = 1 - 5s + 2t \\ z = 1 + s - 2t\end{cases}$$
Addieren wir die y- und die z-Gleichung, können wir $t$ eliminieren: $+ \begin{cases} y = 1 - 5s + 2t \\ z = 1 + s - 2t \end{cases} \ \Rightarrow \ y + z = 2 - 4s$. 
Wir können $t$ ebenfalls eliminieren, indem wir die y-Gleichung zum 2-fachen der x-Gleichung addieren: $+ \begin{cases} 2x = 2 - 4s - 2t \\ y = 1 - 5s + 2t \end{cases} \ \Rightarrow \ 2x + y = 3 -9s$. 
Nun haben wir zwei Gleichungen, die nur mehr von $s$ abhängig sind. Um diesen Parameter nun auch noch zu eliminieren, multiplizieren wir die erste Gleichung mit $(-9)$ und die zweite mit $4$ und addieren diese, um nochmals auf die allg. Ebenengleichung zu kommen.
$$+ \begin{cases} 8x + 4y = 12 - 36s \\ -9y - 9z = -18 + 36s \end{cases} \ \Rightarrow \ \epsilon: 8x - 5y -9z =-6$$
}}

===Lagebeziehungen===
====...zwischen zwei Ebenen====
Zwei Ebenen können im $\mathbb{R^3}$

* ident sein: die Ebenengleichungen (allg. Form) sind Vielfache voneinander;

z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : 2x + 2y + 2z = 6 \Rightarrow \epsilon _2 = 2 \cdot \epsilon _1$

* parallel sein: die Normalvektoren der Ebenen sind Vielfache voneinander;

z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : 2x + 2y + 2z = 5 \Rightarrow \vec{n_2} = 2 \cdot \vec{n_1}$

* einander schneiden (in einer Gerade): die Normalvektoren der Ebenen sind keine Vielfache voneinander;

z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : x - 3y + 2z = 1 \Rightarrow \nexists \lambda \in \mathbb{R} : \vec{n_1} = \lambda \cdot \vec{n_2}$

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:Ebenenident2.png|2 Ebenen sind ident
Datei:Ebenenparallel2.png|2 Ebenen sind parallel
Datei:Ebenenschnittgerade2.png|2 Ebenen schneiden einander in einer Geraden
</gallery>

 
'''Berechnen der Schnittgerade''' 
Erkennt man durch Betrachtung der Normalvektoren zweier Ebenen, dass diese einander schneiden müssen, so kann man diese Schnittgerade berechnen. Dazu erstellt man aus den beiden Ebenengleichungen ein lineares Gleichungssystem in 3 Unbekannten. 2 Gleichungen - 3 Unbekannte: wir werden hier nicht für alle Unbekannten einen Zahlenwert erhalten, können aber 2 Unbekannte in Abhängigkeit der dritten darstellen. Diese dritte Unbekannte wird uns als Parameter für die Darstellung der Geraden dienen. Zur Veranschaulichung ein Beispiel:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die beiden Ebenen $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : x - 3y + 2z = 1$. Wie wir weiter oben schon festgestellt haben, müssen diese Ebenen einander schneiden, da die beiden Noramlvektoren der Ebenen $\vec{n_1}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{n_2}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right)$ linear unabhängig voneinander sind, also $\nexists \lambda \in \mathbb{R} : \vec{n_1} = \lambda \cdot \vec{n_2}$. 
Wir wählen nun eine der Koordinaten als Parameter, z.B. $z=t$ und stellen das Gleichungssystem auf.

|2=

$$\begin{align}I: \ &x&+&y&+&t&=&3 \\
II: \ &x&-&3y&+&2t&=&1
\end{align}$$

Wir subtrahieren $I-II$ und erhalten
$$4y - t = 2 \ \Rightarrow \ y = \frac{1}{2} + t \cdot \frac{1}{4}$$
Nun setzen wir unser erhaltenes $y$ in die erste Gleichung ein, um $x$ zu erhalten:

$$I: \ x + \frac{1}{2} + t \cdot \frac{1}{4} + t = 3 \ \Rightarrow \ x = \frac{5}{2} - t \cdot \frac{5}{4}$$
Somit haben wir alle Ausdrücke der Koordinaten gefunden ($z=t$ haben wir anfangs festgelegt) und können die Parameterdarstellung der Schnittgerade angeben:
$$g: X = \left( \begin{array}{c} \frac{5}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 0 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} - \frac{5}{4} \\ \frac{1}{4} \\ 1 \end{array} \right)$$
}}

====...zwischen 3 Ebenen====
Drei Ebenen können im $\mathbb{R^3}$

* alle ident sein
* 2 ident, 1 parallel sein
* alle parallel sein
* 3 Schnittgeraden haben
* 2 Schnittgeraden haben (2 Ebenen parallel)
* 1 Schnittgerade haben
* 1 Schnittpunkt haben

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:Ebenenident3.png|3 Ebenen sind ident
Datei:Ebenenidentparallel.png|2 Ebenen sind ident, 1 parallel
Datei:Ebenenparallel3.png|3 Ebenen sind parallel
Datei:Ebenenschnittgeraden33.png|3 Ebenen schneiden einander in 3 Geraden
Datei:Ebenenschnittgeraden32.png|3 Ebenen schneiden einander in 2 Geraden (2 Ebenen parallel)
Datei:Ebenenschnittgerade3.png|3 Ebenen schneiden einander in einer Gerade
Datei:Ebenenschnittgerade31.png|3 Ebenen schneiden einander in einer Gerade (2 Ebenen ident)
Datei:Ebenenschnittpunkt3.png|3 Ebenen schneiden einander in einem Punkt
</gallery>

====...zwischen Ebene und Gerade====
Eine Ebene und eine Gerade können im $\mathbb{R^3}$

* $g \subset \epsilon$, die Gerade liegt auf der Ebene

Hierbei haben die Gerade und die Ebene einen gemeinsamen Punkt und der Richtungsvektor der Gerade steht normal auf den Normalvektor der Ebene, daraus folgt, dass sie unendlich gemeinsame Punkte haben.

* parallel sein

Irgendein Punkt der Gerade liegt nicht auf der Ebene, der Richtungsvektor der Gerade steht normal auf den Normalvektor der Ebene, daraus folgt, dass sie keinen einzigen gemeinsamen Punkt haben.

* 1 Schnittpunkt haben

Der Richtungsvektor der Geraden steht nicht normal auf den Normalvektor der Ebene.

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:GeradeinEbene.png|Gerade liegt auf der Ebene
Datei:GeradepararallelEbene.png|Gerade und Ebene sind parallel zueinander
Datei:GeradeSchnittpunktEbene.png|Gerade und Ebene schneiden einander (Schnittpunkt)
</gallery>

Zur Überprüfung der Lagebeziehung gibt es allerdings noch eine andere (schnellere) Methode. Hier "schneiden" wir die Gerade und die Ebene mathematisch, d.h. wir setzen sie gleich (wenn beide in Parameterform gegeben sind) oder setzen die Gerade $g$ (Parameterform) in die Ebene $\epsilon$ (allg. Ebenengleichung) ein. 
Wir erhalten dadurch ein Gleichungssystem oder eine einzelne Gleichung.

Sei die Gerade gegeben als $g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \\ z = z_P + t \cdot z_a \end{cases}$ und die Ebene als $\epsilon : \begin{cases} x = x_Q + s \cdot x_b + u \cdot x_c \\ y = y_Q + s \cdot y_b + u \cdot y_c \\ z = z_Q + s \cdot z_b + u \cdot z_c \end{cases}$ (Parameterform) oder $\epsilon : ax + by + cz = d$ (allg. Ebenengleichung).

Wir erhalten als Gleichungssystem durch Gleichsetzen der Gleichungen der Parameterformen:
$$\begin{cases} x_P + t \cdot x_a = x_Q + s \cdot x_b + u \cdot x_c \\ y_P + t \cdot y_a = y_Q + s \cdot y_b + u \cdot y_c \\ z_P + t \cdot z_a = z_Q + s \cdot z_b + u \cdot z_c \end{cases}$$ 
Wir erhalten durch Einsetzen der Gerade in die Ebene (allg. Ebenengleichung):
$$a \cdot (x_P + t \cdot x_a) + b \cdot (y_P + t \cdot y_a) + c \cdot (z_P + t \cdot z_a) = d$$

Ergibt sich hier eine wahre Aussage (z.B. $1=1$), also unendlich viele Lösungen, so liegt die Gerade in der Ebene. 
Ergibt sich eine falsche Aussage (z.B. $1=2$), also keine Lösung, so schneiden die beiden Objekte einander nicht, also sie sind parallel. 
Gibt es genau eine Lösung (z.B. $t=2$), so existiert genau ein gemeinsamer Punkt = Schnittpunkt. Diesen erhält man, indem man den ermittelten Wert für den Parameter $t$ der Geraden in die Geradengleichung einsetzt (oder, wenn die Ebene in Parameterform gegeben war, die beiden Werte für die Parameter $s$ und $u$ der Ebene in die Ebenengleichung einsetzt). Dazu 2 Beispiele, wobei wir im ersten mit der Ebene in Parameterform rechnen werden:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right)$ und die Ebene $\epsilon : X = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -1 \\ -3 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) + u \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 0 \end{array} \right)$. Stellen wir nun also unser Gleichungssystem auf:

|2=\begin{align}

I: \ & \ 1&-t&=&4& &+2u \\
II: \ &-3& &=&-1&+s&-u \\
III: \ & \ 2&+2t&=&-3&+s&
\end{align}

In der ersten Gleichung drücken wir $u$ in $t$ aus: $u = - \frac{3}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$ 
In der zweiten Gleichung drücken wir $s$ in $u$ aus: $s = -2 + u$ 
Das $u$ von oben setzen wir nun hier ein und erhalten $s$ in Abhängigkeit von $t$: $s = - \frac{7}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$.

Dieses $s$ setzen wir nun in die dritte Gleichung ein und wir erhalten: $2 + 2t = -3 - \frac{7}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$ und in weiterer Folge $t = - \frac{17}{5}$. 
Es ergibt sich also genau eine Lösung für das Gleichungssystem, was bedeutet, dass die Gerade und die Ebene einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen. Diesen erhalten wir, indem wir den errechneten Wert für $t$ in die Geradengleichung einsetzen (Man könnte natürlich auch noch die Werte für $s$ und $u$ berechnen, und diese in die Ebenengleichung einsetzen; zur Übung kannst du das gerne tun):
$$g: S = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) - \frac{17}{5} \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \frac{23}{5} \\ -3 \\ - \frac{24}{5} \end{array} \right)$$
}}

Betrachten wir nun dasselbe Beispiel, mit dem Unterschied, dass die Ebene in Normalform gegeben ist und wir auch gleich mit dieser Form rechnen:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right)$ und die Ebene $\epsilon : x + 2y - 2z = 8$. Wir setzen die Koordinatengleichungen der Gerade in die Normalform der Ebene:

|2= $g$ in $\epsilon$: $$1 - t - 6 - 4 -4t =8$$

Wenn wir diese Gleichung lösen, erhalten wir, wie im ersten Bespiel, $t = - \frac{17}{5}$. Dies noch in die Geradengleichung einsetzen, und wir erhalten den Schnittpunkt.}}

Da man bei der zweiten Methode meistens weniger Rechenaufwand hat, zahlt es sich oft aus die Parameterdarstellung der Ebene in die Normalform (= allg. Ebenengleichung) umzurechnen.

==Pyramidenbeispiel==
[[Datei:Pyramidebsp.png|thumb|right|350px|Pyramide]]Gegeben seien 3 Eckpunkte $A(-2/-2/1), B(2/-2/1), C(2/2/1)$ der quadratischen Grundfläche und der Spitzpunkt $S(0/0/6)$ einer geraden (gerade bedeutet, dass die Spitze in einem rechten Winkel über dem Mittelpunkt der Grundfläche der Pyramide liegt) Pyramide.
Gesucht sind:

# der vierte Eckpunkt $D$ der Grundfläche
# die Parameterdarstellung der Trägergeraden $h$ der Höhe
# die Fläche der Grundfläche
# die Geradengleichung der Geraden $g_{AS}$ auf der $A$ und $S$ liegen in a)Parameterform und b)parameterfreier Form
# Der Winkel $\alpha$ zwischen den Vektoren $\vec{AS}$ und $\vec{AC}$
# Zeige, dass der Schnittpunkt der Geraden $g_{AS}$ und $h$ gleich die Spitze $S$ ist
# Gib die Ebenengleichung $\epsilon$ der Grundfläche in a)Parameterform, b)Normalform und c)allgemeiner Ebenengleichung an
# Berechne den Fußpunkt $M$ der Höhe, indem du $h$ und $\epsilon$ schneidest

1. $D = A + \vec{BC} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -2 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right)$ 
2. $h: X = S + t \cdot \vec{h}$
$$\vec{AB} \times \vec{BC} = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 16 \end{array} \right) \ \parallel \ \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) = \vec{h}$$
$$h: X = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$$ 
3. $G = \parallel \vec{AB} \times \vec{BC} \parallel = \parallel \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 16 \end{array} \right) \parallel = 16FE$ 
4. a) $g_{AS}: X = A + u \cdot \vec{AS}$
$$\vec{AS} = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g_{AS}: X = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + u \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right)$$ oder $$g_{AS}:\begin{cases} x = -2 + 2u \\ y = -2 + 2u \\ z = 1 + 5u \end{cases}$$
b) Parameter elimieren:
$$x - y: x-y = 0$$
$$5x - 2z: 5x - 2z = -12$$
$$\Rightarrow g_{AS}:\begin{cases} x - y = 0 \\ 5x - 2z = -12 \end{cases}$$ 
5. $\measuredangle \vec{AS},\vec{AC} = \alpha = arccos{\frac{\vec{AS} \cdot \vec{AC}}{\parallel \vec{AS} \parallel \cdot \parallel \vec{AC} \parallel}} = arccos{\frac{\left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right)}{\parallel \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) \parallel \cdot \parallel \left( \begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) \parallel}} = arccos{\frac{16}{\sqrt{33 \cdot 32}}} = 60,5°$ 
6. $g_{AS}$ und $h$ gleichsetzen:
$$\begin{align}
I: \ &-2&+&2u&=&0&& \\
II: \ &-2&+&2u&=&0&& \\
III: \ & \ \ 1&+&5u&=&6&+&t
\end{align}
\ \ \ \rightarrow u=1$$
$$g_{AS}: S = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + 1 \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array} \right)$$ 
7. a) $\epsilon: X = A + v \cdot \vec{AB} + w \cdot \vec{BC} \ \rightarrow \ \epsilon: X = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + v \cdot \left( \begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) + w \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right)$ 
b) $\epsilon: \vec{n} \cdot \vec{X} = \vec{n} \cdot \vec{A} \ \rightarrow \ \epsilon: \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right)$ 
c) $\epsilon: z = 1$ 
8. $h:\begin{cases} x=0 \\ y=0 \\ z=6+t \end{cases} \ \ \epsilon: z=1 \ \ \rightarrow \ 1 = 6 + t \ \Rightarrow \ t=-5$ 
$h: M = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array} \right) -5 \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$

=Beispiele=
Hier findest du Beispiele zu den behandelten Themen:

===Grundlagen der Vektorrechnung===
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/9/99/VektorrechnungGLBspAngabe.pdf VektorrechnungGLBspAngabe.pdf] 
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/0/00/VektorrechnungGLBspL%C3%B6sung.pdf VektorrechnungGLBspLösung.pdf]

===Vektorrechnung im $\mathbb{R^2}$===
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/7/7f/VektorrechnungR2BspAngabe.pdf VektorrechnungR2BspAngabe.pdf] 
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/f/ff/VektorrechnungR2BspL%C3%B6sung.pdf VektorrechnungR2BspLösung.pdf]

Vektorrechnung

2016-08-13T11:25:23Z

Lajtos: /* Lagebeziehungen zwischen Geraden */

=Grundlagen=
==Koordinatensystem==
[[Datei:Quadranten.png|thumb|Coordinate System|thumb|right|350px|Koordinatengitter im $\mathbb{R^2}$ mit den 4 Quadranten]]

Für die Vektorrechnung sind Koordinatensysteme essentiell.
Im zweidimensionalen Raum besitzt ein Koordinatensystem 2 Achsen:

* die x-Achse (waagrecht) und
* die y-Achse (senkrecht)

 
Diese sind unendlich lang und Spannen die vier sogenannten Quadranten auf, die meist mit den römischen Ziffern I-IV beschriftet werden (gesprochen: Erster Quadrant, Zweiter Quadrant etc.). Die rechte Graphik zeigt die die Positionen der Quadranten. Dort, wo die 2 Achsen einander treffen, liegt der sog. Ursprung (kurz: $\vec{0}$); seine Koordinaten sind $(0/0)$.

Was es außerdem noch zu beachten gibt, hast du vielleicht bereits selbst erkannt:
An den gegenüberliegenden Seiten der x- und y-Achsen werden unterschiedliche Vorzeichen verwendet. So spricht man "links" des Ursprungs von der negativen, bzw. "rechts" des Ursprungs von der positiven x-Achse. Analog spricht man "oben" und "unten" von der positiven und negativen y-Achse.

Im dreidimensionalen Raum kommt eine dritte Achse - die z-Achse - dazu. Punkte und Vektoren besitzen dementsprechend dann auch 3 Koordinaten. Dies kann man bis ins n-dimensionale weiterführen.

==Punkte==
In ein Koordinatensystem lassen sich Punkte eintragen. Diese besitzen, entsprechend ihrer Lage, Koordinaten. Im obigen Bild z.B. haben wir die Punkte A und B, wobei sich A im ersten Quadranten befindet und B im vierten Quadranten. Man schreibt: A(2/3,5) B(1/-2).

[[Datei:Punkte Abstand.png|thumb|right|350px|Punkte im $\mathbb{R^2}$]]

{{Vorlage:Merke |''Einen'' '''allgemeinen Punkt''' ''schreibt man an als'' $P(x_1/x_2/.../x_n)$ (im n-dimensionalen Raum $\mathbb{R^n}$) ''bzw.'' $P(x/y)$ (im 2-dimensionalen Raum $ \mathbb{R^2}$) ''oder'' $P(x/y/z)$ (im 3-dimensionalen Raum $\mathbb{R^3}$).
 
Die erste Koordinate entspricht der x-Koordinate, die zweite der y-Koordinate, die eventuelle dritte der z-Koordinate.

Punkte werden in der Regel mit Großbuchstaben bezeichnet.}}

Koordinaten von Punkten lassen sich also ganz einfach ablesen. Die x/y-Koordinate entspricht dabei dem Abstand vom Ursprung zum Punkt in Richtung der jeweiligen Koordinatenachse. So erkennen wir im Bild rechts die folgenden Punkte:

* A(2/0)
* B(0/-2)
* C(-1/2)

=Vektoren=

==Definition & Darstellung von Vektoren==
{{Vorlage:Definition |1= Ein Zahlenpaar $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \in \mathbb{R^2}$ wird als '''Vektor aus $\mathbb{R^2}$ ''' bezeichnet.
Analog bezeichnet man ein Zahlentripel $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) \in \mathbb{R^3}$ als '''Vektor aus $\mathbb{R^3}$ '''. 
Ein '''allgemeiner Vektor''' wird $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) \ \in \mathbb{R^n}$ geschrieben.

}}

Da sowohl die Rechenoperationen als auch die geometrischen Darstellungen leicht vom $\mathbb{R^2}$ in den $\mathbb{R^3}$ übertragen werden können, werden wir hier meistens nur die Vorgangsweise für Zahlenpaare aus dem $\mathbb{R^2}$ beschreiben.

===Geometrische Darstellung von Vektoren===

Es gibt zwei Möglichkeiten, wie wir einen Vektor $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right) \ \in \mathbb{R^2}$ geometrisch darstellen können:
* '''Darstellung als Punkt''': Dabei gibt $a$ die x-Koordinate und $b$ die y-Koordinate des Punktes an. Die Beschriftung erfolgt mit Großbuchstaben.
* '''Darstellung als Pfeil''': Dabei gibt $a$ die x-Richtung des Pfeils (wie weit zeigt der Pfeil nach links bzw. rechts) und $b$ die y-Richtung des Pfeils (wie weit zeigt der Pfeil nach oben bzw. nach unten) an. Pfeile werden mit Kleinbuchstaben (oft mit Pfeil $\vec{v}$) beschriftet.

Die Darstellung als Punkt ist eindeutig! Einem Zahlenpaar (=Vektor) entspricht genau ein Punkt!
Die Darstellung als Pfeil ist nicht eindeutig! Es gibt unendlich viele Pfeile, die denselben Vektor darstellen. Diese Pfeile sind aber alle parallel, gleich lang und gleich gerichtet.

'''Beispiel:''' Darstellung des Vektors $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$
{| class="wikitable"
|-
| '''Punktdarstellung des Vektors'''|| '''Mögliche Pfeildarstellungen des Vektors'''
|-
| [[Datei:Punkt.png|thumb|300px]]|| [[Datei:Pfeile.png|thumb|300px]]
|}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 3 \\ -4 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 5 \end{array} \right)$. Stelle $\vec{a}$ und $\vec{b}$ als Punkte und als Pfeile dar.
|2=[[Datei:Punkt Pfeil Bsp.png|300px]] 
'''Anmerkungen:'''
* Für die Pfeildarstellungen gibt es mehrere (unendlich viele) Möglichkeiten. Der von dir gezeichnete Pfeil muss jedenfalls parallel, gleich gerichtet und gleich lang wie der abgebildete Pfeil sein!
* Aus "Bequemlichkeitsgründen" zeichnet man die Pfeile oft beginnend beim Ursprung ein:
[[Datei:Punkt Pfeil Bsp2.png|300px]]
 
}}

Vektoren des $\mathbb{R^3}$ können auch auf diese zwei Arten dargestellt werden. Der einzige Unterschied dabei ist, dass die Punkte bzw. Pfeile im dreidimensionalen Raum liegen. Es gibt also noch eine dritte Richtung, die durch die z-Koordinate des Vektors angegeben wird.

===Ortsvektoren===
[[Datei:Ortsvektor.png|thumb|right|250px|Punkt und zugehöriger Ortsvektor]]Der Ortsvektor von einem Punkt ist der Vektor, der vom Ursprung aus auf den Punkt zeigt. Die Koordinaten bleiben deshalb gleich, es ändert sich quasi nur die Schreibweise:

Sei $A(x_1/x_2/.../x_n)$ ein Punkt in der Dimension $n$, dann ist $\vec{0A} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ dessen Ortsvektor.
 
 
 
 
 

==Rechnen mit Vektoren==

===Addition und Subtraktion von Vektoren===
====Rechnerische Addition====
{{Vorlage:Merke|1=Wenn du Vektoren addieren oder subtrahieren möchtest, musst du dazu die entsprechenden Koordinaten addieren: 
$\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) \pm \left( \begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ ... \\ y_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x_1 \pm y_1 \\ x_2 \pm y_2 \\ ... \\ x_n \pm y_n \end{array} \right)$ 
Wichtig ist dabei, dass die Vektoren, die du addieren oder subtrahieren möchtest, derselben Dimension $n$ angehören! D.h. sie haben gleich viele Koordinaten.}}
{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben seien die beiden Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right)$. Berechne erst $\vec{a} + \vec{b}$, dann $\vec{a} - \vec{b}$ und zuletzt $\vec{b} - \vec{a}$!
|2= $\vec{a} + \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 5+1 \\ 2+(-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 6 \\ -1 \end{array} \right)$
$\vec{a} - \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 5-1 \\ 2-(-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 5 \end{array} \right)$ 
$\vec{b} - \vec{a} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 1-5 \\ -3-2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -4 \\ -5 \end{array} \right)$}}

====Geometrische Darstellung der Vektoraddition====
Die Addition zweier Vektoren kann auf zwei verschiedene Arten geometrisch gedeutet werden. Wir illustrieren die beiden Möglichkeiten anhand des Beispiels $\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2\end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$

{| class="wikitable"
|-
| '''Punkt + Pfeil - Darstellung:'''|| '''Pfeil + Pfeil - Darstellung'''
|-
| ''An einen Punkt wird ein Pfeil angehängt.'' In unserem Beispiel wird an den Punkt (1/2) ein Pfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$ angehängt. Das Ergebnis der Addition ist der Punkt am Ende des Pfeils (5/5). || ''Zwei Pfeile werden aneinandergehängt. In unserem Beispiel wird also ein Pfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$ und ein Pfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)$ aneinandergehängt. Das Ergebnis der Addition ist der entstehende Verbindungspfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 5 \\ 5 \end{array} \right)$
|-
| [[Datei:Vektoraddition1.png|left|400px]]|| [[Datei:Vektoraddition2.png|left|500px]]
|-
| '''Anmerkung:''' Diese Darstellung ist hilfreich, wenn wir von einem Punkt ausgehen und zu einem neuen Punkt gelangen wollen.|| Es spielt keine Rolle, in welcher Reihenfolge die Vektoren angehängt werden. Die Addition ist kommutativ!
|}

===Vektoren bestimmen: "Spitze minus Schaft" ("Ziel minus Start")===
[[Datei:Spitzeschaft.png|thumb|right|300px|"Spitze minus Schaft"]]Zwischen 2 Punkten kann man nun einen Vektor definieren. Dabei gilt: Die '''"Spitze minus Schaft"'''-Regel Im Bild rechts wollen wir den Vektor berechnen, der von A nach B geht, also den Vektor $\vec{AB}$. Der Punkt B(3/3,5) entspricht hierbei der Spitze, und der Punkt A(1/0,5) dem Schaft. Da das Rechnen mit Punkten allerdings keinen Sinn ergibt, rechnet man stattdessen mit deren Ortsvektoren (siehe oben).

Für unser Beispiel bedeutet das: $\vec{0B} - \vec{0A} = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 3,5 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0,5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 3-1 \\ 3,5-0,5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right) = \vec{AB}$

'''Beachte außerdem:'''

* Man schreibt der Einfachheit halber oft nur $B-A$, obwohl eigentlich $\vec{0B} - \vec{0A}$ gemeint ist.
* Der Vektor $\vec{AB}$ zeigt in die entgegengesetzte Richtung von $\vec{BA}$. Das bedeutet, dass diese beiden Vektoren entgegengesetzte Vorzeichen haben: $\vec{AB} = - \vec{BA}$

 

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die Punkte A=(1/2); B=(-3/1); C=(-4,-1). Bilde die folgenden Verbindungsvektoren: 
 
# $\vec{AB}$
# $\vec{BA}$
# $\vec{AC}$
# $\vec{BC}$

|2=
$\ $
# $\vec{AB}=B-A=\left( \begin{array}{c} -3 \\ 1\end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} -4 \\ -1\end{array} \right)$
# $\vec{BA}=-\vec{AB}=\left( \begin{array}{c} 4 \\ 1 \end{array} \right)$
# $\vec{AC}=\left( \begin{array}{c} -4 \\ -1\end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} -5 \\ -3\end{array} \right)$
# $\vec{BC}=\left( \begin{array}{c} -4 \\ -1\end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} -3 \\ 1 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} -1 \\ -2\end{array} \right)$
 
'''Tipps:'''
* Pass gut auf die Vorzeichen auf! Beim Subtrahieren von Vektoren passieren leider häufig Vorzeichenfehler! Sei deshalb besonders achtsam!
* Zeichne die Punkte in ein Koordinatensystem und zeichne die Verbindungsvektoren ein. Bei einfachen Koordinaten kannst du den Verbindungsvektor ohne Rechnung ablesen (Probiere es aus!).

 
}}

===Produkt eines Vektors mit einem Skalar===
====Rechnerische Multiplikation====
Wenn man einen Vektor $\vec{v}$ mit einer [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)|reellen Zahl]] $k$ , einem sogenannten "Skalar", multipliziert, werden dabei die einzelnen Koordinaten mit dem Skalar multipliziert:

$k \cdot \vec{v} = k \cdot \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} k \cdot x_1 \\ k \cdot x_2 \\ ... \\ k \cdot x_n \end{array} \right)$

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sei der Vektor $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right)$. Multipliziere diesen einmal mit $2$ und einmal mit $-5$!
|2= $2 \cdot \vec{a} = 2 \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \cdot 2 \\ 2 \cdot (-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -6 \end{array} \right)$
$(-5) \cdot \vec{a} = (-5) \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-5) \cdot 2 \\ (-5) \cdot (-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -10 \\ 15 \end{array} \right)$}}

====Geometrische Darstellung der Multiplikation====

Eine Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl $a$ (Skalar) entspricht einer Streckung (für $|a|>1$) bzw. einer Stauchung (für $|a|<1$) des zugehörigen Pfeiles.
Ist das Vorzeichen des Skalars negativ, so dreht sich die Richtung des Pfeils in die entgegengesetzte Richtung.

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sei wiederum der Vektor $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right)$. Stelle die Multiplikation mit $2$, mit $-5$ und mit $0.5$ graphisch dar!
|2= Rechnerische Lösung und graphische Interpretation:
* $2 \cdot \vec{a} = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -6 \end{array} \right)$. Der Vektor $2\cdot \vec{a}$ hat die doppelte Länge und dieselbe Richtung wie $\vec{a}$
* $(-5) \cdot \vec{a} = \left( \begin{array}{c} -10 \\ 15 \end{array} \right)$. Der Vektor $(-5)\cdot \vec{a}$ ist fünfmal so lang wie $\vec{a}$ und zeigt in die entgegengesetzte Richtung wie $\vec{a}$
* $(0.5) \cdot \vec{a} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1.5 \end{array} \right)$ Der Vektor $0.5\cdot \vec{a}$ ist halb so lang wie $\vec{a}$ und zeigt in dieselbe Richtung wie $\vec{a}$
}}

{{#widget:Iframe
|url= http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_vektorrechnung/MV_Vektor1/MV_Vektor1/sites/Vektortest.html
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}}
[http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_vektorrechnung/MV_Vektor1/MV_Vektor1/ (Quelle dieses Applets)]

Hilfe zum Applet: Gib in die Eingabezeile den Buchstaben des Vektors bzw. die entsprechende Summe / Differenz an. (z.B. $u=a$)

===Wie Vektoren zueinander stehen===
Vektoren können unterschiedliche Richtungen haben, aber auch parallel zueinander oder gar identisch sein. Optisch lässt sich das oft sehr leicht erkennen. Die Lage von Vektoren zueinander kann aber auch rechnerisch überprüft werden.

{{Vorlage:Definition |Unter einem Vektor versteht man die Menge aller gleichlangen, gleichgerichteten und gleichorientierten Pfeile.

Der Start/Endpunkt spielen dabei keine Rolle!}}

{{Vorlage:Merke|2 Vektoren stehen parallel zueinander, wenn ein Vektor als Vielfaches des anderen Vektors angeschrieben werden kann. 
Man sagt auch: Die Vektoren sind [[linear abhängig]].}}

Sehen wir uns die verschiedenen Fälle an:

{| class="wikitable"
|-
|ident: gleiche Richtung, gleiche Orientierung, gleiche Länge
||[[Datei:Vektorv1.png|none|250px]]
||$\vec{v} = \vec{u} \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$
||z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$
|-
||parallel (gleiche Orientierung): gleiche Richtung, gleiche Orientierung, unterschiedliche Länge
| [[Datei:Vektorenlänge.png|none|250px]]
||$\exists k>0 : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$
||z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} \frac{4}{3} \\ 2 \end{array} \right)$, $k = \frac{2}{3} $
|-
||parallel (unterschiedliche Orientierung): 
| [[Datei:Vektororientierung1.png|none|250px]]
||$\exists k<0 : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$
||z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} -2 \\ -3 \end{array} \right)$, $k=-1$

|-
||linear unabhängig
| [[Datei:Vektorrichtung1.png|none|250px]]
||$\nexists k : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \nparallel \vec{u}$
||z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 3 \end{array} \right)$
|}

{{Vorlage:Beispiel|1=Überprüfe ob die Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 5 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$ linear unabhängig voneinander sind.

|2=Wenn es ein k gibt, sodass $k \cdot \vec{a} = \vec{b}$, dann sind die beiden Vektoren voneinander linear abhängig, und somit auch parallel zueinander.

Es gibt mehrere Lösungsmöglichkeiten:
*Möglichkeit 1: Lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen
$I: 2k = 4 \ \ \rightarrow k=2$
$II: 5k = 3 \ \ \rightarrow k=\frac{3}{5}$

Aus der ersten Gleichung ergibt sich $k=2$, in der zweiten aber $k=\frac{3}{5}$. $k$ kann aber nicht beides sein, somit haben wir eine falsche Aussage erhalten. Daraus folgt, dass die beiden Vektoren '''linear unabhängig''' und somit nicht parallel zueinander sind.

* Möglichkeit 2: "Vergleichen und Probieren"
Vergleicht man die x-Koordinaten der beiden Vektoren, so sieht man, dass $4$ doppelt so groß wie $2$ ist. Daraus ergibt sich, dass ein etwaiges $k=2$ sein müsste.
Probiert man, auch die zweite Zeile mit $2$ zu multiplizieren, so erhält man $10$. Die y-Koordinate von $\vec{b}$ müsste also $10$ sein, damit die beiden Vektoren parallel zueinander sind.
}}

 

===Betrag und Einheitsvektor===
[[Datei:PythagorasVektor.png|thumb|right|350px|Betrag eines Vektors; Einheitsvektor]]Wie anfangs bereits erwähnt, besitzen Vektoren eine Länge, auch '''Betrag''' eines Vektors genannt. Dieser wird mit Hilfe des pythagoräischen Lehrsatzes wie folgt berechnet:

<div align="center">$\parallel \vec{v} \parallel = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2} \ $ wenn $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ ein Vektor der Dimension $n$ ist.</div>
Sehen wir uns die Grafik rechts an, können wir mit dieser Formel die Länge des zweidimensionalen Vektors $\parallel \vec{v} \parallel$ berechnen:

<div align="center">$\parallel \vec{v} \parallel = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$</div>
 Der '''Einheitsvektor''' $\vec{a_0}$ eines Vektors $\vec{a}$ ist ein zu $\vec{a}$ paralleler Vektor mit Länge 1. Rechnerisch erhält man $\vec{a_0}$, indem man $\vec{a}$ durch seine Länge dividiert. $ \vec{a_0}

=\frac{\vec{a}}{\parallel \vec{a}\parallel}$
bzw.
$ \vec{a_0}=\frac{1}{\parallel\vec{a}\parallel}\cdot \vec{a}$

Daraus ergibt sich ein Vektor, der dieselbe Richtung des ursprünglichen Vektors hat, allerdings die Länge 1 besitzt.

{{Vorlage:Merke|1=
Sei $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ ein Vektor der Dimension $n$ und $\parallel \vec{v} \parallel$ sein Betrag, dann ist $\vec{v_0} = \frac{1}{\parallel \vec{v} \parallel} \cdot \vec{v} \ $ der Einheitsvektor zu $\vec{v}$.}}

In unserem Beispiel würde das folgendes bedeuten:

{{Vorlage:Beispiel|1= Bestimme den Einheitsvektor von $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$

|2=<div align="center">$\vec{v_0} = \frac{1}{\sqrt{13} } \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \frac{2}{\sqrt{13} } \\ \frac{3}{\sqrt{13} } \end{array} \right)$</div>
}}

===Vektoren bestimmter Länge===
Da wir nun gelernt haben, Einheitsvektoren zu bilden und Vektoren mit Zahlen zu multiplizieren (und ich das hier so schön betone), könnt ihr euch vielleicht schon vorstellen, wie man aus einem beliebigen Vektor einen Vektor derselben Richtung, allerdings unterschiedlicher Länge bekommt. Wir haben also einen Vektor $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ mit der Länge $\parallel \vec{v} \parallel = k$ gegeben, und hätten gerne den Vektor $\vec{w} \ \parallel \ \vec{v}$ mit der Länge $l$. Dazu berechnen wir zuerst den Einheitsvektor $\vec{v_0}$ von $\vec{v}$ und multiplizieren diesen dann mit $l$. So erhalten wir schließlich $\vec{w} = l \cdot \frac{\vec{v}}{k} = l \cdot \vec{v_0}$.

==Mittelpunkt einer Strecke==
[[Datei:Mittelpunkt.png|thumb|right|300px|Mittelpunkt M der Strecke AB]]Willst du den Mittelpunkt zwischen 2 Punkten $A$ und $B$ berechnen, musst du wie folgt vorgehen:
Zuerst berechnest du einen Vektor zwischen den Punkten ($\vec{AB}$ oder $\vec{BA}$). Dann halbierst du diesen Vektor, und erhältst $\vec{AM}$ bzw. $\vec{BM}$. Addierst du dann diesen Vektor zum entsprechenden Punkt ($A$ bzw. $B$), erhältst so den Mittelpunkt. Also:

<div align="center">$\vec{0M} = \vec{0A} + \frac{\vec{AB}}{2} = \vec{0B} + \frac{\vec{BA}}{2}$</div>

Dies lässt sich folgendermaßen weiter vereinfachen:
$$\vec{M} = \vec{A} + \frac{\vec{AB}}{2} = \frac{2\vec{A}}{2} + \frac{\vec{B} - \vec{A}}{2} = \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2}$$

=Im $\mathbb{R^2}$=
Dieser Artikel befasst sich mit der Vektorrechnung im zweidimensionalen Raum. Grundlegende Informationen zur Vektorrechnung, so wie Punkte und Vektoren, findest du unter dem Tab ''Grundlagen der Vektorrechnung''.

==Vektoren==
===Normalvektoren===
[[Datei:Normalvektoren.png|thumb|right|350px|Normalvektoren]]Normalvektoren zu einem Vektor sind alle Vektoren, die normal (im rechten Winkel) auf den Vektor stehen. Im $\mathbb{R^2}$ gibt es zu jedem Vektor genau 2 Normalvektoren, die dieselbe Länge wie der ursprüngliche Vektor haben. Alle anderen Normalvektoren sind Vielfache eines dieser 2 Normalvektoren.

{{Vorlage:Merke | 1=Sei $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ ein Vektor, dann ist $\vec{n_1}=\left( \begin{array}{c} -y \\ x \end{array} \right)$ sein nach links gekippter, und $\vec{n_2}=\left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right)$ sein nach rechts gekippter Normalvektor.
''Vertausche die Koordinaten und ändere '''ein''' Vorzeichen''
}}

===Skalarprodukt===
Unter dem Skalarprodukt versteht man die Multiplikation zweier Vektoren, bei der als Ergebnis ein Skalar (eine Zahl) entsteht.

{{Vorlage:Merke|1=Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren, dann ist $\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \end{array} \right) = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b$ gleich ihr Skalarprodukt.
}}

Das Skalarprodukt wirkt auf den ersten Blick etwas "eigenartig". Man kann sich die Bedeutung des Skalarproduktes besonders gut an einem Anwendungsbeispiel erklären:
Angenommen in einer Preisliste stehen 10 Kugelschreiber, die jeweils 2€ kosten und 20 Bleistifte, die jeweils 0,50€ kosten.
In Tabellenform sieht das folgendermaßen aus:

{| class="wikitable"
|-
! Produkt !! Stückzahl !! Preis pro Stück (in €)
|-
| Kugelschreiber || 10 || 2
|-
| Bleistift || 20 || 0,50
|}

Aus dieser Tabelle kann ein Stückzahlvektor $\left( \begin{array}{c} 10 \\ 20 \end{array} \right)$ und ein Preisvektor $\left( \begin{array}{c} 2 \\ 0,50 \end{array} \right)$ abgelesen werden.

Möchte man den Gesamtwert der Produkte berechnen, so müssen jeweils die Einzelpreise mit der Stückzahl multipliziert werden und anschließend die Summe gebildet werden.
Genau das macht das Skalarprodukt!
$\left( \begin{array}{c} 10 \\ 20\end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0.50 \end{array} \right) = 10 \cdot 2 + 20 \cdot 0.50 = 20 + 10 = 30€ $

===Winkel zwischen zwei Vektoren===
[[Datei:Winkel.png|thumb|right|350px|Winkel zwischen 2 Vektoren]]<big>$$cos{\varphi} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel} = \vec{a_0} \cdot \vec{b_0}$$
bzw.
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = \parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel \cdot cos{\varphi}$$</big>

Heißt es, den Winkel zwischen 2 Vektoren/Geraden zu bestimmen, ist damit immer der kleinere Winkel gemeint. Solltest du einmal ein Ergebnis erhalten, das größer als 180° ist (nennen wir dieses Ergebnis $\varphi'$), dann ziehe dieses Ergebnis von 360° ab und du erhältst den kleineren Winkel ($\varphi = 360° - \varphi'$). 
Bei einem Winkel von $\varphi = 90°$ erhalten wir $cos{\varphi} = 0$, was bedeutet, dass auch $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$. Daraus ergibt sich das Orthogonalitätskriterium.

====Orthogonalitätskriterium====
{{Vorlage:Merke|1=Ergibt das Skalarprodukt zweier Vektoren $0$, so stehen diese zwei Vektoren normal zueinander (und umgekehrt!)$$\vec{a} \cdot \vec{b} \ = \ 0 \ \Leftrightarrow \ \vec{a} \bot \vec{b}$$}}

Mithilfe des Orthogonalitätskriteriums kann man auch zeigen, dass $\vec{n}=\left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right)$ stets ein Normalvektor von $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ ist.
$$\vec{v} \cdot \vec{n} = \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right) = xy - yx = 0$$

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! Übungsaufgabe
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| <ggb_applet width="1000" height="500" version="5.0" id="u9xvmmXM" />
|}

==Geraden==
===Darstellungsformen===
Geraden lassen sich in unterschiedlichen Formen darstellen. In der Vektorrechnung ist die Parameterdarstellung populär, da man dazu nur einen Punkt und Vektor kennen muss. Die Normalform allerdings hat den Vorteil, dass man den Normalvektor zur Geraden auf einen Blick ablesen kann. Je nachdem, was man mit der Gerade vorhat, können die verschiedenen Formen ineinander umgewandelt werden.

====Parameterdarstellung====
[[Datei:Parameterdarstellung.png|thumb|right|350px|Parameterdarstellung einer Geraden]]$$g: \vec{0X} = \vec{0P} + t \cdot \vec{a}$$ 
wobei

* $X \in g$ ist ein '''beliebiger''' Punkt auf der unendlichen Geraden (steht für alle Punkte auf der Geraden)
* $P \in g$ ist ein '''bekannter''' Punkt auf der Geraden
* $t \in \mathbb{R}$ ist ein freier Parameter (in der Graphik rechts $\lambda$)
* $\vec{a} \in \mathbb{R^2}$ ist ein Vektor parallel zur Geraden, der die Richtung dieser angibt ("Richtungsvektor")

 
Beachte, dass in der Parameterdarstellung keine Punkte, sondern Ortsvektoren verwendet werden! (Info zu Ortsvektoren findest du unter ''Grundlagen der Vektorrechnung''.) Wenn man das weiß, kann man der Einfachheit halber die Gerade auch folgendermaßen beschreiben: $g: X = P + t \cdot \vec{a}$

 
Eine andere Schreibweise ist, die Koordinaten einzeln zu betrachten und 2 Gleichungen aufzustellen:
$$g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \end{cases}$$

====Normalvektorform====
Hierzu benötigt man einen Normalvektor des Richtungsvektors und multipliziert dann die Geradengleichung mit diesem Normalvektor. Da $\vec{a} \cdot \vec{n} = 0$, bleibt über:

Sei $g: \vec{0X} = \vec{0P} + t \cdot \vec{a}$ eine Gerade in Parameterform, so ist

<div align="center">$g: \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x_P \\ y_P \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right)$</div>

dieselbe Gerade in Normalform, wobei $\vec{0X}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right), \ \vec{0P}=\left( \begin{array}{c} x_P \\ y_P \end{array} \right), \ \vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right)$ und $\vec{n}=\left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right)$ ein Normalvektor von $\vec{a}$ (hier kann man natürlich auch den anderen Normalvektor verwenden).

====Allgemeine Geradengleichung====
Diese Form der Darstellung heißt auch Normalform, da man den Normalvektor der Gerade direkt ablesen kann.Um von der Parameterdarstellung auf diese Form zu kommen, gibt es 2 Möglichkeiten:

'''1. Multiplikation mit Normalvektor:'''
Hierzu muss man einfach die Normalform ausmultiplizieren und es ergibt sich:

$$g: y_a \cdot x + -x_a \cdot y = y_a \cdot x_P + -x_a \cdot y_P$$

'''2. Elimination des Parameters:'''
Hierbei gehen wir von der Geradenform $g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \end{cases}$ aus, eliminieren $t$, und kommen ebenfalls auf die obige allgemeine Geradengleichung.
Auf der rechten Seite der Gleichung stehen nur bekannte Größen, auf der linken Seiten stehen Vielfache von x und y. Diese Gleichung kann man weiter auch auf die Form y=kx+d umformen.

===Lagebeziehungen zwischen Geraden===
Mehrere Geraden können im $\mathbb{R^2}$

* ident sein, d.h. sie haben unendlich viele gemeinsame Punkte
* parallel sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt
* einander schneiden, d.h. sie haben genau ein gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt)

 Sind uns 2 Geraden in '''Parameterdarstellung''' gegeben, betrachten wir zuerst ihre Richtungsvektoren. 
Sind diese parallel zueinander, so sind auch die Geraden parallel zueinander. Nun bleibt noch die Frage offen, ob die Geraden ident sind. Dazu überprüfen wir einfach, ob der gegebene Punkt der einen Geraden auch auf der anderen Geraden liegt. Dazu Setzen wir den bekannten Punkt der einen Geraden für den unbekannten Punkt der anderen Geraden ein und erhalten 2 Gleichungen in einer Unbekannten (Parameter der zweiten Gerade). Erhalten wir nun für den Parameter zweimal dasselbe Ergebnis, so sind die 2 Geraden ident, erhalten wir unterschiedliche Ergebnisse, so sind sie nur parallel. 
Sind die Richtungsvektoren nicht parallel zueinander, so sind es auch die 2 Geraden nicht, und wir können uns sicher sein, dass diese einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen.
Doch wie erhalten wir den Schnittpunkt? Ganz einfach, indem wir die 2 Geraden schneiden. Dazu müssen wir sie gleichsetzen, und dann das dadurch erhaltene Gleichungssystem in 2 Unbekannten (die 2 Parameter) lösen. Wenn wir den Wert eines Parameters ausgerechnet haben, setzen wir ihn einfach in die entsprechende Geradengleichung ein und erhalten so den Schnittpunkt!

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die beiden Geraden $g: X = \left( \begin{array}{c} -3 \\ 1 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 4 \\ -2 \end{array} \right)$ und $h: X = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ 1 \end{array} \right)$.
|2=Betrachten wir zuerst deren Richtungsvektoren:
$$\left( \begin{array}{c} 4 \\ -2 \end{array} \right) = -2 \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ 1 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g \parallel h$$
Nun überprüfen wir, ob der Punkt der Geraden $h$ auf $g$ liegt:
$$\left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -3 \\ 1 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 4 \\ -2 \end{array} \right) \ \rightarrow \ \begin{cases} 0 = -3 + 4s \ \rightarrow \ s_1 = \frac{3}{4} \\ 2 = 1 - 2s \ \rightarrow \ s_2 = -\frac{1}{2} \end{cases} \ \rightarrow \ s_1 \neq s_2 \ \Rightarrow \ g \not\equiv h$$}}

Sind die 2 Geraden in der '''allgemeinen Geradenform''' gegeben, so haben wir bereits 2 Gleichungen gegeben, die wir nach x und y auflösen. Dieses x und y sind die Koordinaten des Schnittpunktes.

Um das Schneiden von Geraden besser zu verstehen, schau dir das Lösen von [[ Gleichungssysteme (2.7.) |Gleichungssystemen]] genauer an, wirf einen Blick auf die Beispiele zum $\mathbb{R^2}$ unter dem Tab 'Beispiele', oder sieh dir dieses Video an:

<div align="center">{{#ev:youtube|ZrFE3LRisn0}}</div>

===Normalabstand Punkt - Gerade===
[[Datei:Normalabstand.gif|right]]Gegeben sei ein Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und eine Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$. Um den Normalabstand $d(Q,g)$ zwischen Q und g zu berechnen, gehe wie folgt vor:
{{Vorlage:Merke|1=1. Bestimme die Gerade $q: X = Q + s \cdot \vec{n}$, die durch $Q$ geht und den Normalvektor $\vec{n}$ von $\vec{a}$ als Richtungsvektor besitzt.
2. Schneide $g$ und $q$ und die erhältst ihren Schnittpunkt $S$. 
3. Berechne $\parallel \vec{QS} \parallel$.}}
In der Graphik rechts hätten wir z.B. die Angabe $g: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right) + \lambda \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array} \right)$ und $Q(3/4)$. Du kannst das zur Übung durchrechnen.

====Hesse'sche Abstandsformel====
Mithilfe dieser Formel kann man ebenfalls den Abstand $d(Q,g)$ zwischen Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$ bestimmen. <big>$d(Q,g) = | \vec{PQ} \cdot \vec{n_0} | $</big>, wobei $\vec{n_0}$ der normierte (Länge 1) Normalvektor des Richtungsvektors $\vec{a}$ der Geraden $g$ ist.

====Spiegelung eines Punktes an einer Geraden====
[[Datei:Spiegeln.png|thumb|right|250px|Gespiegelter Punkt Q']]Gegeben sei ein Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und eine Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$. Es gilt den Punkt $Q$ an der Gerade $g$ zu spiegeln, und so den Punkt $Q'$ zu erhalten. Dazu befolgst du die Vorgehensweise von "Normalabstand Punkt - Gerade" bis du den Vektor $\vec{QS}$ erhältst, und trägst diesen vom Punkt $S$ ab, also: 
$Q' = S + \vec{QS}$

=Im $\mathbb{R^3}$=
==Vektoren==
===Kreuzprodukt===
Im $\mathbb{R^3}$ gibt es neben dem Skalarprodukt, bei dem wir als Ergebnis ein Skalar erhalten, eine weitere Möglichkeit, zwei Vektoren miteinander zu multiplizieren: das sog. Kreuz- oder Vektorprodukt, bei dem wir als Ergebnis einen Vektor erhalten.{{Vorlage:Merke|1=Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren des $\mathbb{R^3}$, dann ist ihr Kreuzprodukt
$$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} y_a \cdot z_b - z_a \cdot y_b \\ z_a \cdot x_b - x_a \cdot z_b \\ x_a \cdot y_b - y_a \cdot x_b \end{array} \right)$$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ -3 \end{array} \right)$, gesucht ist ihr Kreuzprodukt.|

2=$$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \cdot (-3) - 3 \cdot 4 \\ 3 \cdot 5 - 1 \cdot (-3) \\ 1 \cdot 4 - 2 \cdot 5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-6) - 12 \\ 15 - (-3) \\ 4 - 10 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -18 \\ 18 \\ -6 \end{array} \right)$$}}

Wozu wir das Kreuzprodukt überhaupt benötigen, sehen wir an den nächsten 2 Punkten.

====Normalvektoren====
Im $\mathbb{R^3}$ gibt es zu einem Vektor unendlich viele Normalvektoren. Auf eine Ebene allerdings gibt es genau 2 Normalvektoren (wie im $\mathbb{R^2}$ auf eine Gerade). Eine Ebene wird von 2 Vektoren aufgespannt, deren Kreuzprodukt ergibt einen Normalvektor $\vec{n_1}$ auf die Ebene bzw. die zwei Vektoren; der zweite Normalvektor hat die entgegengesetzte Orientierung ($\vec{n_2} = -\vec{n_1}$). Also:$$\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$$

====Fläche eines von zwei Vektoren aufgespannten Parallelogramms oder Dreiecks====
[[Datei:FlächeNormalvektor.png|thumb|right|none|250px|2 Vektoren spannen ein Dreieck bzw. Parallelogramm auf]] 
{{Vorlage:Merke|1=Die Länge $\parallel \vec{n} \parallel = \parallel \vec{a} \times \vec{b} \parallel$ des Normalvektors $\vec{n}$ zu den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ entspricht der Maßzahl des Flächeninhaltes des Parallelogramms, das $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aufspannen (im Bild die gesamte grüne Fläche).
Die Hälfte dieser Fläche entspricht der Fläche des aufgespannten Dreiecks.}}

===Skalarprodukt, Orthogonalitätskriterium, Winkel zwischen zwei Vektoren===
Diese drei Dinge "funktionieren" im $\mathbb{R^3}$ wie im $\mathbb{R^2}$. Also hier nur eine kurze Wiederholung: 

'''Skalarprodukt''' 
Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\z_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren, dann ist $$\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right) = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b + z_a \cdot z_b$$ gleich ihr Skalarprodukt.
 

{|border=1 align=center
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! Übungsaufgabe
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| <ggb_applet width="700" height="500" version="5.0" id="ZqtPwRDx" />
|}

'''Orthogonalitätskriterium''' 
Ergibt das Skalarprodukt zweier Vektoren $0$, so stehen diese zwei Vektoren normal zueinander (und umgekehrt!)
$$\vec{a} \cdot \vec{b} \ = \ 0 \ \Leftrightarrow \ \vec{a} \bot \vec{b}$$
Auch das gibt es im $\mathbb{R^3}$. Bedenke aber, dass es hier, anders als im $\mathbb{R^2}$, unendlich viele Normalvektoren auf einen Vektor gibt.
 

'''Winkel zwischen zwei Vektoren'''
$$cos{\varphi} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel} = \vec{a_0} \cdot \vec{b_0}$$

==Geraden==
===Darstellungsformen===
====Parameterdarstellung====
Die Parameterdarstellung im $\mathbb{R^3}$ sieht genauso aus wie im $\mathbb{R^2}$, einziger Unterschied ist, dass unsere Punkte und Vektoren hier jeweils 3 Koordinaten haben.$$g: X = P + t \cdot \vec{a}$$ bzw. $$g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \\ z = z_P + t \cdot z_a \end{cases}$$
Mehr Infos zu den einzelnen Komponenten findest du im Tab 'Im $\mathbb{R^2}$'.

====Parameterfreie Darstellungsform====
Diese besteht aus 2 Gleichungen und wir erhalten sie durch Eliminierung des Parameters.

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sei die Parameterform der Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ -4 \\ 1 \end{array} \right)$. Zuerst schreiben wir das in die 3 Koordinatengleichungen um:
$$g : \begin{cases} x = 2 + 3t \\ y = 0 - 4t \\ z = 1 + t \end{cases}$$

|2=Wir multiplizieren die erste Gleichung mit $4$ und die zweite Gleichung mit $3$ und addieren die beiden: $$+ \begin{cases} 4x = 8 + 12t \\ 3y = 0 - 12t \end{cases}$$ und erhalten so die Gleichung $4x + 3y = 8$.
Wir multiplizieren die dritte Gleichung mit $3$ und subtrahieren diese von der ersten Gleichung: $$- \begin{cases} x = 2 + 3t \\ 3z = 3 + 3t \end{cases}$$ und erhalten so die Gleichung $x - 3z = -1$.

Die parameterfreie Darstellung unserer Gerade lautet somit $$g : \begin{cases} 4x + 3y = 8 \\ x - 3z = -1 \end{cases}$$.}}

Die zwei Gleichungen in der parameterfreien Darstellung sind übrigens Ebenengleichungen. Die eigentliche Gerade ist der Schnitt dieser zwei Ebenen!

===Lagebeziehungen zwischen Geraden===
Mehrere Geraden können im $\mathbb{R^3}$

* ident sein, d.h. sie haben unendlich viele gemeinsame Punkte
* parallel sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt
* einander schneiden, d.h. sie haben genau ein gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt)
* windschief sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt und sind nicht parallel

Um herauszufinden, wie 2 gegebene Geraden in Parameterform zueinander stehen, gehst du am besten wie folgt vor:

'''Betrachtung der Richtungsvektoren:''' Auch im $\mathbb{R^3}$ gilt, sind die Richtungsvektoren zweier Geraden parallel zueinander (d.h. man kann einen Vektor als Vielfaches des anderen Vektors darstellen), so sind es auch die Geraden.

'''Fall 1: Die Vektoren sind parallel:''' Sollte sich herausstellen, dass die zwei Geraden parallel zueinander sind, überprüfst du als nächstes, ob sie einen gemeinsamen Punkt haben; am einfachsten funktioniert das, indem du den bekannten Punkt ($P$) der einen Geraden in die zweite Gerade (für den unbekannten Punkt $X$) einsetzt. Wir erhalten drei Gleichungen in einer Unbekannten (Parameter der zweiten Gerade). 
'''Fall 1a:''' Erhalten wir nun für den Parameter dreimal dasselbe Ergebnis, so sind die 2 Geraden '''ident''' (und parallel), da der überprüfte Punkt, und somit unendlich weitere, auf beiden Geraden liegen. 
'''Fall 1b:''' Erhalten wir unterschiedliche Ergebnisse, so sind sie nur '''parallel''', da der überprüfte Punkt nicht, und somit auch kein anderer, auf beiden Geraden liegen.

'''Fall 2: Die Vektoren sind nicht parallel:''' Nun gibt es nur noch zwei Möglichkeiten: Entweder die zwei Geraden haben einen gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt), oder sie sind windschief. 
Um das wiederum herauszufinden, setzt du die beiden Geraden gleich, d.h. du stellst ein lineares Gleichungssystem (LGS) mit drei Gleichungen und in drei Unbekannten auf, und versuchst, dieses zu lösen. 
'''Fall 2a:''' Solltest du nun eine Lösung erhalten, d.h. du erhältst den Wert für den Parameter einer der zwei Geraden (und hast diesen Wert überprüft), so weißt du, dass die zwei Geraden einander '''schneiden'''. Den Schnittpunkt erhältst du jetzt, indem du den erhaltenen Wert für den Parameter in die entsprechende Geradengleichung einsetzt. 
'''Fall 2b:''' Sollte dein LGS keine Lösung ergeben (also sich eine falsche Aussage oder ein Widerspruch ergeben, z.B. $2=13$, oder $t=4$ und $t=-1$), dann weißt du, dass deine beiden Geraden keinen Schnittpunkt haben und somit '''windschief''' sind.

Zum besseren Verständnis siehst du dir am besten das folgende Video und die beiden folgenden Beispiele an.

<div align="center">{{#ev:youtube|u0QoYlEE094}}</div>
{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die beiden Geraden $g: X = \left( \begin{array}{c} 0 \\ -11 \\ -3 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right)$ und $h: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ -3 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right)$. Überprüfe deren gegenseitige Lage und gegebenenfalls ihren Schnittpunkt!|2=Zuerst überprüfen wir die Richtungsvektoren der beiden Geraden, um festzustellen, ob diese parallel zueinander sind oder nicht:$$\nexists \lambda : \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) = \lambda \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) \nparallel \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g \nparallel h$$
$g$ und $h$ sind also nicht parallel. Sie können also noch entweder einander schneiden oder windschief sein. Stellen wir nun ein LGS auf, indem wir die beiden Geraden gleichsetzen:
$$\begin{align}
I: \ &&&s&=&2&+&t \\
II: \ &-11&+&2s&=&3&-&3t \\
III: \ &-3&+&s&=&-3&+&2t
\end{align}$$ 
Wir subtrahieren $III$ von $I$: $- \begin{cases} &s &=& 2 + t \\ -3 + &s &=& -3 + 2t \end{cases} \ \rightarrow \ 3 = 5 - t \Rightarrow t = 2$ 
Wir überprüfen dieses Ergebnis für $t$, indem wir $t=2$ in alle 3 Gleichungen einsetzen. Wir sehen dann, dass wir überall dasselbe Ergebnis für $s$ erhalten, nämlich $s=4$. Daraus folgt, dass die Geraden einander '''schneiden'''. Setzen wir nun $t=2$ oder $s=4$ in die entsprechende Geradengleichung, so erhalten wir den Schnittpunkt $S(4/-3/1)$ der beiden Geraden.}}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die beiden Geraden $g: X = \left( \begin{array}{c} 3 \\ -2 \\ 0 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right)$ und $h: X = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$. Überprüfe deren gegenseitige Lage und ggf. ihren Schnittpunkt!|2=Zuerst überprüfen wir wieder die Richtungsvektoren der beiden Geraden:$$\nexists \lambda : \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) = \lambda \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) \nparallel \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g \nparallel h$$
Nun stellen wir wieder ein LGS auf:
$$\begin{align}
I: \ &3&+&2s&=&4&-&t \\
II: \ &-2&-&2s&=&3&& \\
III: \ &&&s&=&1&+&t
\end{align}$$ 
Aus der zweiten Gleichung lässt sich direkt berechnen, dass $s=- \frac{5}{2}$. Dies setzen wir nun in die erste und zweite Gleichung ein und erhalten einmal $3 - 5 = 4 - t \ \Rightarrow \ t=6$ und einmal $- \frac{5}{2} = 1 + t \ \Rightarrow \ t=- \frac{7}{2}$. Diese beiden Werte für $t$ sind offensichtlich voneinander unterschiedlich, daraus folgt, dass die beiden Geraden $g$ und $h$ '''windschief''' sind.
}}

==Ebenen==
Eine Ebene ist durch 3 Punkte oder 1 Punkt und 2 (voneinander linear unabhängigen) Vektoren eindeutig festgelegt.

===Darstellungsformen===
====Parameterdarstellung====
[[Datei:ebene2.png|thumb|right|350px|von Punkt und Vektoren aufgespannte Ebene]]
$$\epsilon : X = P + s \cdot \vec{a} + t \cdot \vec{b}$$
bzw.
$$\epsilon : \begin{cases} x = x_P + s \cdot x_a + t \cdot x_b \\ y = y_P + s \cdot y_a + t \cdot y_b \\ z = z_P + s \cdot z_a + t \cdot z_b \end{cases}$$
wobei

* $X \in \epsilon$ ist ein '''beliebiger''' Punkt auf der unendlichen Ebene
* $P \in \epsilon$ ist ein '''bekannter''' Punkt auf der Ebene
* $s, t \in \mathbb{R}$ sind freie Parameter
* $\vec{a}, \vec{b} \in \mathbb{R^3}$ sind zwei Vektoren, die parallel zur Ebene liegen

====Normalvektorform====
Man multipliziert die Parameterdarstellung der Ebene mit ihrem Normalvektor $\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$ und erhält$$\vec{n} \cdot \vec{X} = \vec{n} \cdot \vec{P}$$

====Allgemeine Ebenengleichung====
$$ax + by + cz = d$$Diese Form der Darstellung heißt auch Normalform, da man den Normalvektor der Ebene direkt ablesen kann. Um von der Parameterdarstellung auf diese Form zu kommen, gibt es 2 Möglichkeiten:

'''1. Multiplikation mit Normalvektor:'''
Hierzu muss man einfach die Normalform ausmultiplizieren und es ergibt sich:

$$\epsilon: x_n \cdot x + y_n \cdot y + z_n \cdot z = x_n \cdot x_P + y_n \cdot y_P + z_n \cdot z_P$$

'''2. Elimination des Parameters:'''
Hierbei gehen wir von der Ebenengleichung $\epsilon : \begin{cases} x = x_P + s \cdot x_a + t \cdot x_b \\ y = y_P + s \cdot y_a + t \cdot y_b \\ z = z_P + s \cdot z_a + t \cdot z_b \end{cases}$ aus, eliminieren $s$ und $t$, und kommen ebenfalls auf die obige allgemeine Ebenengleichung.

Zur Veranschaulichung ein Beispiel zu den verschiedenen Darstellungsformen:
{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die drei Punkte $A(1/1/1), B(-1/-4/2), C(0/3/-1)$. Gib die Ebene, die diese drei Punkte aufspannen, in Parameterform, Normalform und allgemeiner Ebenengleichung an!|2=Für die Parameterform berechnen wir erst zwei beliebige Vektoren aus den 3 Punkten, z.B. $\vec{AB} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{AC} = \left( \begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right)$. Als Parameterform erhalten wir schließlich:
$$\epsilon: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right)$$ Um auf die Normalform zu kommen, bestimmen wir als erstes den Normalvektor der Ebenen: $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-5) \cdot (-2) - 1 \cdot 2 \\ 1 \cdot (-1) - (-2) \cdot (-2) \\ (-2) \cdot 2 - (-5) \cdot (-1) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right)$. 
Nun die Parametergleichung mit dem Normalvektor multiplizieren und wir erhalten auch die Normalform:
$$\epsilon: \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)$$ 
Um nun noch die allg. Ebenenform zu erhalten, multipliziert man am einfachsten die Normalform aus und erhält:
$$\epsilon: 8x - 5y -9z =-6$$ 
Aber auch die Elimination der Parameter soll hier gezeigt werden. Wir gehen aus von: $$\epsilon : \begin{cases} x = 1 - 2s - t \\ y = 1 - 5s + 2t \\ z = 1 + s - 2t\end{cases}$$
Addieren wir die y- und die z-Gleichung, können wir $t$ eliminieren: $+ \begin{cases} y = 1 - 5s + 2t \\ z = 1 + s - 2t \end{cases} \ \Rightarrow \ y + z = 2 - 4s$. 
Wir können $t$ ebenfalls eliminieren, indem wir die y-Gleichung zum 2-fachen der x-Gleichung addieren: $+ \begin{cases} 2x = 2 - 4s - 2t \\ y = 1 - 5s + 2t \end{cases} \ \Rightarrow \ 2x + y = 3 -9s$. 
Nun haben wir zwei Gleichungen, die nur mehr von $s$ abhängig sind. Um diesen Parameter nun auch noch zu eliminieren, multiplizieren wir die erste Gleichung mit $(-9)$ und die zweite mit $4$ und addieren diese, um nochmals auf die allg. Ebenengleichung zu kommen.
$$+ \begin{cases} 8x + 4y = 12 - 36s \\ -9y - 9z = -18 + 36s \end{cases} \ \Rightarrow \ \epsilon: 8x - 5y -9z =-6$$
}}

===Lagebeziehungen===
====...zwischen zwei Ebenen====
Zwei Ebenen können im $\mathbb{R^3}$

* ident sein: die Ebenengleichungen (allg. Form) sind Vielfache voneinander;

z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : 2x + 2y + 2z = 6 \Rightarrow \epsilon _2 = 2 \cdot \epsilon _1$

* parallel sein: die Normalvektoren der Ebenen sind Vielfache voneinander;

z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : 2x + 2y + 2z = 5 \Rightarrow \vec{n_2} = 2 \cdot \vec{n_1}$

* einander schneiden (in einer Gerade): die Normalvektoren der Ebenen sind keine Vielfache voneinander;

z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : x - 3y + 2z = 1 \Rightarrow \nexists \lambda \in \mathbb{R} : \vec{n_1} = \lambda \cdot \vec{n_2}$

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:Ebenenident2.png|2 Ebenen sind ident
Datei:Ebenenparallel2.png|2 Ebenen sind parallel
Datei:Ebenenschnittgerade2.png|2 Ebenen schneiden einander in einer Geraden
</gallery>

 
'''Berechnen der Schnittgerade''' 
Erkennt man durch Betrachtung der Normalvektoren zweier Ebenen, dass diese einander schneiden müssen, so kann man diese Schnittgerade berechnen. Dazu erstellt man aus den beiden Ebenengleichungen ein lineares Gleichungssystem in 3 Unbekannten. 2 Gleichungen - 3 Unbekannte: wir werden hier nicht für alle Unbekannten einen Zahlenwert erhalten, können aber 2 Unbekannte in Abhängigkeit der dritten darstellen. Diese dritte Unbekannte wird uns als Parameter für die Darstellung der Geraden dienen. Zur Veranschaulichung ein Beispiel:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die beiden Ebenen $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : x - 3y + 2z = 1$. Wie wir weiter oben schon festgestellt haben, müssen diese Ebenen einander schneiden, da die beiden Noramlvektoren der Ebenen $\vec{n_1}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{n_2}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right)$ linear unabhängig voneinander sind, also $\nexists \lambda \in \mathbb{R} : \vec{n_1} = \lambda \cdot \vec{n_2}$. 
Wir wählen nun eine der Koordinaten als Parameter, z.B. $z=t$ und stellen das Gleichungssystem auf.

|2=

$$\begin{align}I: \ &x&+&y&+&t&=&3 \\
II: \ &x&-&3y&+&2t&=&1
\end{align}$$

Wir subtrahieren $I-II$ und erhalten
$$4y - t = 2 \ \Rightarrow \ y = \frac{1}{2} + t \cdot \frac{1}{4}$$
Nun setzen wir unser erhaltenes $y$ in die erste Gleichung ein, um $x$ zu erhalten:

$$I: \ x + \frac{1}{2} + t \cdot \frac{1}{4} + t = 3 \ \Rightarrow \ x = \frac{5}{2} - t \cdot \frac{5}{4}$$
Somit haben wir alle Ausdrücke der Koordinaten gefunden ($z=t$ haben wir anfangs festgelegt) und können die Parameterdarstellung der Schnittgerade angeben:
$$g: X = \left( \begin{array}{c} \frac{5}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 0 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} - \frac{5}{4} \\ \frac{1}{4} \\ 1 \end{array} \right)$$
}}

====...zwischen 3 Ebenen====
Drei Ebenen können im $\mathbb{R^3}$

* alle ident sein
* 2 ident, 1 parallel sein
* alle parallel sein
* 3 Schnittgeraden haben
* 2 Schnittgeraden haben (2 Ebenen parallel)
* 1 Schnittgerade haben
* 1 Schnittpunkt haben

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:Ebenenident3.png|3 Ebenen sind ident
Datei:Ebenenidentparallel.png|2 Ebenen sind ident, 1 parallel
Datei:Ebenenparallel3.png|3 Ebenen sind parallel
Datei:Ebenenschnittgeraden33.png|3 Ebenen schneiden einander in 3 Geraden
Datei:Ebenenschnittgeraden32.png|3 Ebenen schneiden einander in 2 Geraden (2 Ebenen parallel)
Datei:Ebenenschnittgerade3.png|3 Ebenen schneiden einander in einer Gerade
Datei:Ebenenschnittgerade31.png|3 Ebenen schneiden einander in einer Gerade (2 Ebenen ident)
Datei:Ebenenschnittpunkt3.png|3 Ebenen schneiden einander in einem Punkt
</gallery>

====...zwischen Ebene und Gerade====
Eine Ebene und eine Gerade können im $\mathbb{R^3}$

* $g \subset \epsilon$, die Gerade liegt auf der Ebene

Hierbei haben die Gerade und die Ebene einen gemeinsamen Punkt und der Richtungsvektor der Gerade steht normal auf den Normalvektor der Ebene, daraus folgt, dass sie unendlich gemeinsame Punkte haben.

* parallel sein

Irgendein Punkt der Gerade liegt nicht auf der Ebene, der Richtungsvektor der Gerade steht normal auf den Normalvektor der Ebene, daraus folgt, dass sie keinen einzigen gemeinsamen Punkt haben.

* 1 Schnittpunkt haben

Der Richtungsvektor der Geraden steht nicht normal auf den Normalvektor der Ebene.

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:GeradeinEbene.png|Gerade liegt auf der Ebene
Datei:GeradepararallelEbene.png|Gerade und Ebene sind parallel zueinander
Datei:GeradeSchnittpunktEbene.png|Gerade und Ebene schneiden einander (Schnittpunkt)
</gallery>

Zur Überprüfung der Lagebeziehung gibt es allerdings noch eine andere (schnellere) Methode. Hier "schneiden" wir die Gerade und die Ebene mathematisch, d.h. wir setzen sie gleich (wenn beide in Parameterform gegeben sind) oder setzen die Gerade $g$ (Parameterform) in die Ebene $\epsilon$ (allg. Ebenengleichung) ein. 
Wir erhalten dadurch ein Gleichungssystem oder eine einzelne Gleichung.

Sei die Gerade gegeben als $g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \\ z = z_P + t \cdot z_a \end{cases}$ und die Ebene als $\epsilon : \begin{cases} x = x_Q + s \cdot x_b + u \cdot x_c \\ y = y_Q + s \cdot y_b + u \cdot y_c \\ z = z_Q + s \cdot z_b + u \cdot z_c \end{cases}$ (Parameterform) oder $\epsilon : ax + by + cz = d$ (allg. Ebenengleichung).

Wir erhalten als Gleichungssystem durch Gleichsetzen der Gleichungen der Parameterformen:
$$\begin{cases} x_P + t \cdot x_a = x_Q + s \cdot x_b + u \cdot x_c \\ y_P + t \cdot y_a = y_Q + s \cdot y_b + u \cdot y_c \\ z_P + t \cdot z_a = z_Q + s \cdot z_b + u \cdot z_c \end{cases}$$ 
Wir erhalten durch Einsetzen der Gerade in die Ebene (allg. Ebenengleichung):
$$a \cdot (x_P + t \cdot x_a) + b \cdot (y_P + t \cdot y_a) + c \cdot (z_P + t \cdot z_a) = d$$

Ergibt sich hier eine wahre Aussage (z.B. $1=1$), also unendlich viele Lösungen, so liegt die Gerade in der Ebene. 
Ergibt sich eine falsche Aussage (z.B. $1=2$), also keine Lösung, so schneiden die beiden Objekte einander nicht, also sie sind parallel. 
Gibt es genau eine Lösung (z.B. $t=2$), so existiert genau ein gemeinsamer Punkt = Schnittpunkt. Diesen erhält man, indem man den ermittelten Wert für den Parameter $t$ der Geraden in die Geradengleichung einsetzt (oder, wenn die Ebene in Parameterform gegeben war, die beiden Werte für die Parameter $s$ und $u$ der Ebene in die Ebenengleichung einsetzt). Dazu 2 Beispiele, wobei wir im ersten mit der Ebene in Parameterform rechnen werden:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right)$ und die Ebene $\epsilon : X = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -1 \\ -3 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) + u \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 0 \end{array} \right)$. Stellen wir nun also unser Gleichungssystem auf:

|2=\begin{align}

I: \ & \ 1&-t&=&4& &+2u \\
II: \ &-3& &=&-1&+s&-u \\
III: \ & \ 2&+2t&=&-3&+s&
\end{align}

In der ersten Gleichung drücken wir $u$ in $t$ aus: $u = - \frac{3}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$ 
In der zweiten Gleichung drücken wir $s$ in $u$ aus: $s = -2 + u$ 
Das $u$ von oben setzen wir nun hier ein und erhalten $s$ in Abhängigkeit von $t$: $s = - \frac{7}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$.

Dieses $s$ setzen wir nun in die dritte Gleichung ein und wir erhalten: $2 + 2t = -3 - \frac{7}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$ und in weiterer Folge $t = - \frac{17}{5}$. 
Es ergibt sich also genau eine Lösung für das Gleichungssystem, was bedeutet, dass die Gerade und die Ebene einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen. Diesen erhalten wir, indem wir den errechneten Wert für $t$ in die Geradengleichung einsetzen (Man könnte natürlich auch noch die Werte für $s$ und $u$ berechnen, und diese in die Ebenengleichung einsetzen; zur Übung kannst du das gerne tun):
$$g: S = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) - \frac{17}{5} \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \frac{23}{5} \\ -3 \\ - \frac{24}{5} \end{array} \right)$$
}}

Betrachten wir nun dasselbe Beispiel, mit dem Unterschied, dass die Ebene in Normalform gegeben ist und wir auch gleich mit dieser Form rechnen:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right)$ und die Ebene $\epsilon : x + 2y - 2z = 8$. Wir setzen die Koordinatengleichungen der Gerade in die Normalform der Ebene:

|2= $g$ in $\epsilon$: $$1 - t - 6 - 4 -4t =8$$

Wenn wir diese Gleichung lösen, erhalten wir, wie im ersten Bespiel, $t = - \frac{17}{5}$. Dies noch in die Geradengleichung einsetzen, und wir erhalten den Schnittpunkt.}}

Da man bei der zweiten Methode meistens weniger Rechenaufwand hat, zahlt es sich oft aus die Parameterdarstellung der Ebene in die Normalform (= allg. Ebenengleichung) umzurechnen.

==Pyramidenbeispiel==
[[Datei:Pyramidebsp.png|thumb|right|350px|Pyramide]]Gegeben seien 3 Eckpunkte $A(-2/-2/1), B(2/-2/1), C(2/2/1)$ der quadratischen Grundfläche und der Spitzpunkt $S(0/0/6)$ einer geraden (gerade bedeutet, dass die Spitze in einem rechten Winkel über dem Mittelpunkt der Grundfläche der Pyramide liegt) Pyramide.
Gesucht sind:

# der vierte Eckpunkt $D$ der Grundfläche
# die Parameterdarstellung der Trägergeraden $h$ der Höhe
# die Fläche der Grundfläche
# die Geradengleichung der Geraden $g_{AS}$ auf der $A$ und $S$ liegen in a)Parameterform und b)parameterfreier Form
# Der Winkel $\alpha$ zwischen den Vektoren $\vec{AS}$ und $\vec{AC}$
# Zeige, dass der Schnittpunkt der Geraden $g_{AS}$ und $h$ gleich die Spitze $S$ ist
# Gib die Ebenengleichung $\epsilon$ der Grundfläche in a)Parameterform, b)Normalform und c)allgemeiner Ebenengleichung an
# Berechne den Fußpunkt $M$ der Höhe, indem du $h$ und $\epsilon$ schneidest

1. $D = A + \vec{BC} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -2 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right)$ 
2. $h: X = S + t \cdot \vec{h}$
$$\vec{AB} \times \vec{BC} = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 16 \end{array} \right) \ \parallel \ \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) = \vec{h}$$
$$h: X = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$$ 
3. $G = \parallel \vec{AB} \times \vec{BC} \parallel = \parallel \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 16 \end{array} \right) \parallel = 16FE$ 
4. a) $g_{AS}: X = A + u \cdot \vec{AS}$
$$\vec{AS} = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g_{AS}: X = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + u \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right)$$ oder $$g_{AS}:\begin{cases} x = -2 + 2u \\ y = -2 + 2u \\ z = 1 + 5u \end{cases}$$
b) Parameter elimieren:
$$x - y: x-y = 0$$
$$5x - 2z: 5x - 2z = -12$$
$$\Rightarrow g_{AS}:\begin{cases} x - y = 0 \\ 5x - 2z = -12 \end{cases}$$ 
5. $\measuredangle \vec{AS},\vec{AC} = \alpha = arccos{\frac{\vec{AS} \cdot \vec{AC}}{\parallel \vec{AS} \parallel \cdot \parallel \vec{AC} \parallel}} = arccos{\frac{\left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right)}{\parallel \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) \parallel \cdot \parallel \left( \begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) \parallel}} = arccos{\frac{16}{\sqrt{33 \cdot 32}}} = 60,5°$ 
6. $g_{AS}$ und $h$ gleichsetzen:
$$\begin{align}
I: \ &-2&+&2u&=&0&& \\
II: \ &-2&+&2u&=&0&& \\
III: \ & \ \ 1&+&5u&=&6&+&t
\end{align}
\ \ \ \rightarrow u=1$$
$$g_{AS}: S = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + 1 \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array} \right)$$ 
7. a) $\epsilon: X = A + v \cdot \vec{AB} + w \cdot \vec{BC} \ \rightarrow \ \epsilon: X = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + v \cdot \left( \begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) + w \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right)$ 
b) $\epsilon: \vec{n} \cdot \vec{X} = \vec{n} \cdot \vec{A} \ \rightarrow \ \epsilon: \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right)$ 
c) $\epsilon: z = 1$ 
8. $h:\begin{cases} x=0 \\ y=0 \\ z=6+t \end{cases} \ \ \epsilon: z=1 \ \ \rightarrow \ 1 = 6 + t \ \Rightarrow \ t=-5$ 
$h: M = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array} \right) -5 \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$

=Beispiele=
Hier findest du Beispiele zu den behandelten Themen:

===Grundlagen der Vektorrechnung===
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/9/99/VektorrechnungGLBspAngabe.pdf VektorrechnungGLBspAngabe.pdf] 
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/0/00/VektorrechnungGLBspL%C3%B6sung.pdf VektorrechnungGLBspLösung.pdf]

===Vektorrechnung im $\mathbb{R^2}$===
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/7/7f/VektorrechnungR2BspAngabe.pdf VektorrechnungR2BspAngabe.pdf] 
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/f/ff/VektorrechnungR2BspL%C3%B6sung.pdf VektorrechnungR2BspLösung.pdf]

Vektorrechnung

2016-08-13T10:32:02Z

Lajtos: /* Rechnen mit Vektoren */

=Grundlagen=
==Koordinatensystem==
[[Datei:Quadranten.png|thumb|Coordinate System|thumb|right|350px|Koordinatengitter im $\mathbb{R^2}$ mit den 4 Quadranten]]

Für die Vektorrechnung sind Koordinatensysteme essentiell.
Im zweidimensionalen Raum besitzt ein Koordinatensystem 2 Achsen:

* die x-Achse (waagrecht) und
* die y-Achse (senkrecht)

 
Diese sind unendlich lang und Spannen die vier sogenannten Quadranten auf, die meist mit den römischen Ziffern I-IV beschriftet werden (gesprochen: Erster Quadrant, Zweiter Quadrant etc.). Die rechte Graphik zeigt die die Positionen der Quadranten. Dort, wo die 2 Achsen einander treffen, liegt der sog. Ursprung (kurz: $\vec{0}$); seine Koordinaten sind $(0/0)$.

Was es außerdem noch zu beachten gibt, hast du vielleicht bereits selbst erkannt:
An den gegenüberliegenden Seiten der x- und y-Achsen werden unterschiedliche Vorzeichen verwendet. So spricht man "links" des Ursprungs von der negativen, bzw. "rechts" des Ursprungs von der positiven x-Achse. Analog spricht man "oben" und "unten" von der positiven und negativen y-Achse.

Im dreidimensionalen Raum kommt eine dritte Achse - die z-Achse - dazu. Punkte und Vektoren besitzen dementsprechend dann auch 3 Koordinaten. Dies kann man bis ins n-dimensionale weiterführen.

==Punkte==
In ein Koordinatensystem lassen sich Punkte eintragen. Diese besitzen, entsprechend ihrer Lage, Koordinaten. Im obigen Bild z.B. haben wir die Punkte A und B, wobei sich A im ersten Quadranten befindet und B im vierten Quadranten. Man schreibt: A(2/3,5) B(1/-2).

[[Datei:Punkte Abstand.png|thumb|right|350px|Punkte im $\mathbb{R^2}$]]

{{Vorlage:Merke |''Einen'' '''allgemeinen Punkt''' ''schreibt man an als'' $P(x_1/x_2/.../x_n)$ (im n-dimensionalen Raum $\mathbb{R^n}$) ''bzw.'' $P(x/y)$ (im 2-dimensionalen Raum $ \mathbb{R^2}$) ''oder'' $P(x/y/z)$ (im 3-dimensionalen Raum $\mathbb{R^3}$).
 
Die erste Koordinate entspricht der x-Koordinate, die zweite der y-Koordinate, die eventuelle dritte der z-Koordinate.

Punkte werden in der Regel mit Großbuchstaben bezeichnet.}}

Koordinaten von Punkten lassen sich also ganz einfach ablesen. Die x/y-Koordinate entspricht dabei dem Abstand vom Ursprung zum Punkt in Richtung der jeweiligen Koordinatenachse. So erkennen wir im Bild rechts die folgenden Punkte:

* A(2/0)
* B(0/-2)
* C(-1/2)

=Vektoren=

==Definition & Darstellung von Vektoren==
{{Vorlage:Definition |1= Ein Zahlenpaar $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \in \mathbb{R^2}$ wird als '''Vektor aus $\mathbb{R^2}$ ''' bezeichnet.
Analog bezeichnet man ein Zahlentripel $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) \in \mathbb{R^3}$ als '''Vektor aus $\mathbb{R^3}$ '''. 
Ein '''allgemeiner Vektor''' wird $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) \ \in \mathbb{R^n}$ geschrieben.

}}

Da sowohl die Rechenoperationen als auch die geometrischen Darstellungen leicht vom $\mathbb{R^2}$ in den $\mathbb{R^3}$ übertragen werden können, werden wir hier meistens nur die Vorgangsweise für Zahlenpaare aus dem $\mathbb{R^2}$ beschreiben.

===Geometrische Darstellung von Vektoren===

Es gibt zwei Möglichkeiten, wie wir einen Vektor $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right) \ \in \mathbb{R^2}$ geometrisch darstellen können:
* '''Darstellung als Punkt''': Dabei gibt $a$ die x-Koordinate und $b$ die y-Koordinate des Punktes an. Die Beschriftung erfolgt mit Großbuchstaben.
* '''Darstellung als Pfeil''': Dabei gibt $a$ die x-Richtung des Pfeils (wie weit zeigt der Pfeil nach links bzw. rechts) und $b$ die y-Richtung des Pfeils (wie weit zeigt der Pfeil nach oben bzw. nach unten) an. Pfeile werden mit Kleinbuchstaben (oft mit Pfeil $\vec{v}$) beschriftet.

Die Darstellung als Punkt ist eindeutig! Einem Zahlenpaar (=Vektor) entspricht genau ein Punkt!
Die Darstellung als Pfeil ist nicht eindeutig! Es gibt unendlich viele Pfeile, die denselben Vektor darstellen. Diese Pfeile sind aber alle parallel, gleich lang und gleich gerichtet.

'''Beispiel:''' Darstellung des Vektors $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$
{| class="wikitable"
|-
| '''Punktdarstellung des Vektors'''|| '''Mögliche Pfeildarstellungen des Vektors'''
|-
| [[Datei:Punkt.png|thumb|300px]]|| [[Datei:Pfeile.png|thumb|300px]]
|}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 3 \\ -4 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 5 \end{array} \right)$. Stelle $\vec{a}$ und $\vec{b}$ als Punkte und als Pfeile dar.
|2=[[Datei:Punkt Pfeil Bsp.png|300px]] 
'''Anmerkungen:'''
* Für die Pfeildarstellungen gibt es mehrere (unendlich viele) Möglichkeiten. Der von dir gezeichnete Pfeil muss jedenfalls parallel, gleich gerichtet und gleich lang wie der abgebildete Pfeil sein!
* Aus "Bequemlichkeitsgründen" zeichnet man die Pfeile oft beginnend beim Ursprung ein:
[[Datei:Punkt Pfeil Bsp2.png|300px]]
 
}}

Vektoren des $\mathbb{R^3}$ können auch auf diese zwei Arten dargestellt werden. Der einzige Unterschied dabei ist, dass die Punkte bzw. Pfeile im dreidimensionalen Raum liegen. Es gibt also noch eine dritte Richtung, die durch die z-Koordinate des Vektors angegeben wird.

===Ortsvektoren===
[[Datei:Ortsvektor.png|thumb|right|250px|Punkt und zugehöriger Ortsvektor]]Der Ortsvektor von einem Punkt ist der Vektor, der vom Ursprung aus auf den Punkt zeigt. Die Koordinaten bleiben deshalb gleich, es ändert sich quasi nur die Schreibweise:

Sei $A(x_1/x_2/.../x_n)$ ein Punkt in der Dimension $n$, dann ist $\vec{0A} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ dessen Ortsvektor.
 
 
 
 
 

==Rechnen mit Vektoren==

===Addition und Subtraktion von Vektoren===
====Rechnerische Addition====
{{Vorlage:Merke|1=Wenn du Vektoren addieren oder subtrahieren möchtest, musst du dazu die entsprechenden Koordinaten addieren: 
$\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) \pm \left( \begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ ... \\ y_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x_1 \pm y_1 \\ x_2 \pm y_2 \\ ... \\ x_n \pm y_n \end{array} \right)$ 
Wichtig ist dabei, dass die Vektoren, die du addieren oder subtrahieren möchtest, derselben Dimension $n$ angehören! D.h. sie haben gleich viele Koordinaten.}}
{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben seien die beiden Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right)$. Berechne erst $\vec{a} + \vec{b}$, dann $\vec{a} - \vec{b}$ und zuletzt $\vec{b} - \vec{a}$!
|2= $\vec{a} + \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 5+1 \\ 2+(-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 6 \\ -1 \end{array} \right)$
$\vec{a} - \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 5-1 \\ 2-(-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 5 \end{array} \right)$ 
$\vec{b} - \vec{a} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 1-5 \\ -3-2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -4 \\ -5 \end{array} \right)$}}

====Geometrische Darstellung der Vektoraddition====
Die Addition zweier Vektoren kann auf zwei verschiedene Arten geometrisch gedeutet werden. Wir illustrieren die beiden Möglichkeiten anhand des Beispiels $\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2\end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$

{| class="wikitable"
|-
| '''Punkt + Pfeil - Darstellung:'''|| '''Pfeil + Pfeil - Darstellung'''
|-
| ''An einen Punkt wird ein Pfeil angehängt.'' In unserem Beispiel wird an den Punkt (1/2) ein Pfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$ angehängt. Das Ergebnis der Addition ist der Punkt am Ende des Pfeils (5/5). || ''Zwei Pfeile werden aneinandergehängt. In unserem Beispiel wird also ein Pfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$ und ein Pfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)$ aneinandergehängt. Das Ergebnis der Addition ist der entstehende Verbindungspfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 5 \\ 5 \end{array} \right)$
|-
| [[Datei:Vektoraddition1.png|left|400px]]|| [[Datei:Vektoraddition2.png|left|500px]]
|-
| '''Anmerkung:''' Diese Darstellung ist hilfreich, wenn wir von einem Punkt ausgehen und zu einem neuen Punkt gelangen wollen.|| Es spielt keine Rolle, in welcher Reihenfolge die Vektoren angehängt werden. Die Addition ist kommutativ!
|}

===Vektoren bestimmen: "Spitze minus Schaft" ("Ziel minus Start")===
[[Datei:Spitzeschaft.png|thumb|right|300px|"Spitze minus Schaft"]]Zwischen 2 Punkten kann man nun einen Vektor definieren. Dabei gilt: Die '''"Spitze minus Schaft"'''-Regel Im Bild rechts wollen wir den Vektor berechnen, der von A nach B geht, also den Vektor $\vec{AB}$. Der Punkt B(3/3,5) entspricht hierbei der Spitze, und der Punkt A(1/0,5) dem Schaft. Da das Rechnen mit Punkten allerdings keinen Sinn ergibt, rechnet man stattdessen mit deren Ortsvektoren (siehe oben).

Für unser Beispiel bedeutet das: $\vec{0B} - \vec{0A} = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 3,5 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0,5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 3-1 \\ 3,5-0,5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right) = \vec{AB}$

'''Beachte außerdem:'''

* Man schreibt der Einfachheit halber oft nur $B-A$, obwohl eigentlich $\vec{0B} - \vec{0A}$ gemeint ist.
* Der Vektor $\vec{AB}$ zeigt in die entgegengesetzte Richtung von $\vec{BA}$. Das bedeutet, dass diese beiden Vektoren entgegengesetzte Vorzeichen haben: $\vec{AB} = - \vec{BA}$

 

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die Punkte A=(1/2); B=(-3/1); C=(-4,-1). Bilde die folgenden Verbindungsvektoren: 
 
# $\vec{AB}$
# $\vec{BA}$
# $\vec{AC}$
# $\vec{BC}$

|2=
$\ $
# $\vec{AB}=B-A=\left( \begin{array}{c} -3 \\ 1\end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} -4 \\ -1\end{array} \right)$
# $\vec{BA}=-\vec{AB}=\left( \begin{array}{c} 4 \\ 1 \end{array} \right)$
# $\vec{AC}=\left( \begin{array}{c} -4 \\ -1\end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} -5 \\ -3\end{array} \right)$
# $\vec{BC}=\left( \begin{array}{c} -4 \\ -1\end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} -3 \\ 1 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} -1 \\ -2\end{array} \right)$
 
'''Tipps:'''
* Pass gut auf die Vorzeichen auf! Beim Subtrahieren von Vektoren passieren leider häufig Vorzeichenfehler! Sei deshalb besonders achtsam!
* Zeichne die Punkte in ein Koordinatensystem und zeichne die Verbindungsvektoren ein. Bei einfachen Koordinaten kannst du den Verbindungsvektor ohne Rechnung ablesen (Probiere es aus!).

 
}}

===Produkt eines Vektors mit einem Skalar===
====Rechnerische Multiplikation====
Wenn man einen Vektor $\vec{v}$ mit einer [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)|reellen Zahl]] $k$ , einem sogenannten "Skalar", multipliziert, werden dabei die einzelnen Koordinaten mit dem Skalar multipliziert:

$k \cdot \vec{v} = k \cdot \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} k \cdot x_1 \\ k \cdot x_2 \\ ... \\ k \cdot x_n \end{array} \right)$

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sei der Vektor $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right)$. Multipliziere diesen einmal mit $2$ und einmal mit $-5$!
|2= $2 \cdot \vec{a} = 2 \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \cdot 2 \\ 2 \cdot (-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -6 \end{array} \right)$
$(-5) \cdot \vec{a} = (-5) \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-5) \cdot 2 \\ (-5) \cdot (-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -10 \\ 15 \end{array} \right)$}}

====Geometrische Darstellung der Multiplikation====

Eine Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl $a$ (Skalar) entspricht einer Streckung (für $|a|>1$) bzw. einer Stauchung (für $|a|<1$) des zugehörigen Pfeiles.
Ist das Vorzeichen des Skalars negativ, so dreht sich die Richtung des Pfeils in die entgegengesetzte Richtung.

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sei wiederum der Vektor $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right)$. Stelle die Multiplikation mit $2$, mit $-5$ und mit $0.5$ graphisch dar!
|2= Rechnerische Lösung und graphische Interpretation:
* $2 \cdot \vec{a} = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -6 \end{array} \right)$. Der Vektor $2\cdot \vec{a}$ hat die doppelte Länge und dieselbe Richtung wie $\vec{a}$
* $(-5) \cdot \vec{a} = \left( \begin{array}{c} -10 \\ 15 \end{array} \right)$. Der Vektor $(-5)\cdot \vec{a}$ ist fünfmal so lang wie $\vec{a}$ und zeigt in die entgegengesetzte Richtung wie $\vec{a}$
* $(0.5) \cdot \vec{a} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1.5 \end{array} \right)$ Der Vektor $0.5\cdot \vec{a}$ ist halb so lang wie $\vec{a}$ und zeigt in dieselbe Richtung wie $\vec{a}$
}}

{{#widget:Iframe
|url= http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_vektorrechnung/MV_Vektor1/MV_Vektor1/sites/Vektortest.html
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}}
[http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_vektorrechnung/MV_Vektor1/MV_Vektor1/ (Quelle dieses Applets)]

Hilfe zum Applet: Gib in die Eingabezeile den Buchstaben des Vektors bzw. die entsprechende Summe / Differenz an. (z.B. $u=a$)

===Wie Vektoren zueinander stehen===
Vektoren können unterschiedliche Richtungen haben, aber auch parallel zueinander oder gar identisch sein. Optisch lässt sich das oft sehr leicht erkennen. Die Lage von Vektoren zueinander kann aber auch rechnerisch überprüft werden.

{{Vorlage:Definition |Unter einem Vektor versteht man die Menge aller gleichlangen, gleichgerichteten und gleichorientierten Pfeile.

Der Start/Endpunkt spielen dabei keine Rolle!}}

{{Vorlage:Merke|2 Vektoren stehen parallel zueinander, wenn ein Vektor als Vielfaches des anderen Vektors angeschrieben werden kann. 
Man sagt auch: Die Vektoren sind [[linear abhängig]].}}

Sehen wir uns die verschiedenen Fälle an:

{| class="wikitable"
|-
|ident: gleiche Richtung, gleiche Orientierung, gleiche Länge
||[[Datei:Vektorv1.png|none|250px]]
||$\vec{v} = \vec{u} \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$
||z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$
|-
||parallel (gleiche Orientierung): gleiche Richtung, gleiche Orientierung, unterschiedliche Länge
| [[Datei:Vektorenlänge.png|none|250px]]
||$\exists k>0 : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$
||z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} \frac{4}{3} \\ 2 \end{array} \right)$, $k = \frac{2}{3} $
|-
||parallel (unterschiedliche Orientierung): 
| [[Datei:Vektororientierung1.png|none|250px]]
||$\exists k<0 : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$
||z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} -2 \\ -3 \end{array} \right)$, $k=-1$

|-
||linear unabhängig
| [[Datei:Vektorrichtung1.png|none|250px]]
||$\nexists k : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \nparallel \vec{u}$
||z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 3 \end{array} \right)$
|}

{{Vorlage:Beispiel|1=Überprüfe ob die Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 5 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$ linear unabhängig voneinander sind.

|2=Wenn es ein k gibt, sodass $k \cdot \vec{a} = \vec{b}$, dann sind die beiden Vektoren voneinander linear abhängig, und somit auch parallel zueinander.

Es gibt mehrere Lösungsmöglichkeiten:
*Möglichkeit 1: Lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen
$I: 2k = 4 \ \ \rightarrow k=2$
$II: 5k = 3 \ \ \rightarrow k=\frac{3}{5}$

Aus der ersten Gleichung ergibt sich $k=2$, in der zweiten aber $k=\frac{3}{5}$. $k$ kann aber nicht beides sein, somit haben wir eine falsche Aussage erhalten. Daraus folgt, dass die beiden Vektoren '''linear unabhängig''' und somit nicht parallel zueinander sind.

* Möglichkeit 2: "Vergleichen und Probieren"
Vergleicht man die x-Koordinaten der beiden Vektoren, so sieht man, dass $4$ doppelt so groß wie $2$ ist. Daraus ergibt sich, dass ein etwaiges $k=2$ sein müsste.
Probiert man, auch die zweite Zeile mit $2$ zu multiplizieren, so erhält man $10$. Die y-Koordinate von $\vec{b}$ müsste also $10$ sein, damit die beiden Vektoren parallel zueinander sind.
}}

 

===Betrag und Einheitsvektor===
[[Datei:PythagorasVektor.png|thumb|right|350px|Betrag eines Vektors; Einheitsvektor]]Wie anfangs bereits erwähnt, besitzen Vektoren eine Länge, auch '''Betrag''' eines Vektors genannt. Dieser wird mit Hilfe des pythagoräischen Lehrsatzes wie folgt berechnet:

<div align="center">$\parallel \vec{v} \parallel = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2} \ $ wenn $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ ein Vektor der Dimension $n$ ist.</div>
Sehen wir uns die Grafik rechts an, können wir mit dieser Formel die Länge des zweidimensionalen Vektors $\parallel \vec{v} \parallel$ berechnen:

<div align="center">$\parallel \vec{v} \parallel = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$</div>
 Der '''Einheitsvektor''' $\vec{a_0}$ eines Vektors $\vec{a}$ ist ein zu $\vec{a}$ paralleler Vektor mit Länge 1. Rechnerisch erhält man $\vec{a_0}$, indem man $\vec{a}$ durch seine Länge dividiert. $ \vec{a_0}

=\frac{\vec{a}}{\parallel \vec{a}\parallel}$
bzw.
$ \vec{a_0}=\frac{1}{\parallel\vec{a}\parallel}\cdot \vec{a}$

Daraus ergibt sich ein Vektor, der dieselbe Richtung des ursprünglichen Vektors hat, allerdings die Länge 1 besitzt.

{{Vorlage:Merke|1=
Sei $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ ein Vektor der Dimension $n$ und $\parallel \vec{v} \parallel$ sein Betrag, dann ist $\vec{v_0} = \frac{1}{\parallel \vec{v} \parallel} \cdot \vec{v} \ $ der Einheitsvektor zu $\vec{v}$.}}

In unserem Beispiel würde das folgendes bedeuten:

{{Vorlage:Beispiel|1= Bestimme den Einheitsvektor von $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$

|2=<div align="center">$\vec{v_0} = \frac{1}{\sqrt{13} } \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \frac{2}{\sqrt{13} } \\ \frac{3}{\sqrt{13} } \end{array} \right)$</div>
}}

===Vektoren bestimmter Länge===
Da wir nun gelernt haben, Einheitsvektoren zu bilden und Vektoren mit Zahlen zu multiplizieren (und ich das hier so schön betone), könnt ihr euch vielleicht schon vorstellen, wie man aus einem beliebigen Vektor einen Vektor derselben Richtung, allerdings unterschiedlicher Länge bekommt. Wir haben also einen Vektor $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ mit der Länge $\parallel \vec{v} \parallel = k$ gegeben, und hätten gerne den Vektor $\vec{w} \ \parallel \ \vec{v}$ mit der Länge $l$. Dazu berechnen wir zuerst den Einheitsvektor $\vec{v_0}$ von $\vec{v}$ und multiplizieren diesen dann mit $l$. So erhalten wir schließlich $\vec{w} = l \cdot \frac{\vec{v}}{k} = l \cdot \vec{v_0}$.

==Mittelpunkt einer Strecke==
[[Datei:Mittelpunkt.png|thumb|right|300px|Mittelpunkt M der Strecke AB]]Willst du den Mittelpunkt zwischen 2 Punkten $A$ und $B$ berechnen, musst du wie folgt vorgehen:
Zuerst berechnest du einen Vektor zwischen den Punkten ($\vec{AB}$ oder $\vec{BA}$). Dann halbierst du diesen Vektor, und erhältst $\vec{AM}$ bzw. $\vec{BM}$. Addierst du dann diesen Vektor zum entsprechenden Punkt ($A$ bzw. $B$), erhältst so den Mittelpunkt. Also:

<div align="center">$\vec{0M} = \vec{0A} + \frac{\vec{AB}}{2} = \vec{0B} + \frac{\vec{BA}}{2}$</div>

Dies lässt sich folgendermaßen weiter vereinfachen:
$$\vec{M} = \vec{A} + \frac{\vec{AB}}{2} = \frac{2\vec{A}}{2} + \frac{\vec{B} - \vec{A}}{2} = \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2}$$

=Im $\mathbb{R^2}$=
Dieser Artikel befasst sich mit der Vektorrechnung im zweidimensionalen Raum. Grundlegende Informationen zur Vektorrechnung, so wie Punkte und Vektoren, findest du unter dem Tab ''Grundlagen der Vektorrechnung''.

==Vektoren==
===Normalvektoren===
[[Datei:Normalvektoren.png|thumb|right|350px|Normalvektoren]]Normalvektoren zu einem Vektor sind alle Vektoren, die normal (im rechten Winkel) auf den Vektor stehen. Im $\mathbb{R^2}$ gibt es zu jedem Vektor genau 2 Normalvektoren, die dieselbe Länge wie der ursprüngliche Vektor haben. Alle anderen Normalvektoren sind Vielfache eines dieser 2 Normalvektoren.

{{Vorlage:Merke | 1=Sei $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ ein Vektor, dann ist $\vec{n_1}=\left( \begin{array}{c} -y \\ x \end{array} \right)$ sein nach links gekippter, und $\vec{n_2}=\left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right)$ sein nach rechts gekippter Normalvektor.
''Vertausche die Koordinaten und ändere '''ein''' Vorzeichen''
}}

===Skalarprodukt===
Unter dem Skalarprodukt versteht man die Multiplikation zweier Vektoren, bei der als Ergebnis ein Skalar (eine Zahl) entsteht.

{{Vorlage:Merke|1=Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren, dann ist $\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \end{array} \right) = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b$ gleich ihr Skalarprodukt.
}}

Das Skalarprodukt wirkt auf den ersten Blick etwas "eigenartig". Man kann sich die Bedeutung des Skalarproduktes besonders gut an einem Anwendungsbeispiel erklären:
Angenommen in einer Preisliste stehen 10 Kugelschreiber, die jeweils 2€ kosten und 20 Bleistifte, die jeweils 0,50€ kosten.
In Tabellenform sieht das folgendermaßen aus:

{| class="wikitable"
|-
! Produkt !! Stückzahl !! Preis pro Stück (in €)
|-
| Kugelschreiber || 10 || 2
|-
| Bleistift || 20 || 0,50
|}

Aus dieser Tabelle kann ein Stückzahlvektor $\left( \begin{array}{c} 10 \\ 20 \end{array} \right)$ und ein Preisvektor $\left( \begin{array}{c} 2 \\ 0,50 \end{array} \right)$ abgelesen werden.

Möchte man den Gesamtwert der Produkte berechnen, so müssen jeweils die Einzelpreise mit der Stückzahl multipliziert werden und anschließend die Summe gebildet werden.
Genau das macht das Skalarprodukt!
$\left( \begin{array}{c} 10 \\ 20\end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0.50 \end{array} \right) = 10 \cdot 2 + 20 \cdot 0.50 = 20 + 10 = 30€ $

===Winkel zwischen zwei Vektoren===
[[Datei:Winkel.png|thumb|right|350px|Winkel zwischen 2 Vektoren]]<big>$$cos{\varphi} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel} = \vec{a_0} \cdot \vec{b_0}$$
bzw.
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = \parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel \cdot cos{\varphi}$$</big>

Heißt es, den Winkel zwischen 2 Vektoren/Geraden zu bestimmen, ist damit immer der kleinere Winkel gemeint. Solltest du einmal ein Ergebnis erhalten, das größer als 180° ist (nennen wir dieses Ergebnis $\varphi'$), dann ziehe dieses Ergebnis von 360° ab und du erhältst den kleineren Winkel ($\varphi = 360° - \varphi'$). 
Bei einem Winkel von $\varphi = 90°$ erhalten wir $cos{\varphi} = 0$, was bedeutet, dass auch $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$. Daraus ergibt sich das Orthogonalitätskriterium.

====Orthogonalitätskriterium====
{{Vorlage:Merke|1=Ergibt das Skalarprodukt zweier Vektoren $0$, so stehen diese zwei Vektoren normal zueinander (und umgekehrt!)$$\vec{a} \cdot \vec{b} \ = \ 0 \ \Leftrightarrow \ \vec{a} \bot \vec{b}$$}}

Mithilfe des Orthogonalitätskriteriums kann man auch zeigen, dass $\vec{n}=\left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right)$ stets ein Normalvektor von $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ ist.
$$\vec{v} \cdot \vec{n} = \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right) = xy - yx = 0$$

{|border=1 align=center
! Übungsaufgabe
|-
| <ggb_applet width="1000" height="500" version="5.0" id="u9xvmmXM" />
|}

==Geraden==
===Darstellungsformen===
Geraden lassen sich in unterschiedlichen Formen darstellen. In der Vektorrechnung ist die Parameterdarstellung populär, da man dazu nur einen Punkt und Vektor kennen muss. Die Normalform allerdings hat den Vorteil, dass man den Normalvektor zur Geraden auf einen Blick ablesen kann. Je nachdem, was man mit der Gerade vorhat, können die verschiedenen Formen ineinander umgewandelt werden.

====Parameterdarstellung====
[[Datei:Parameterdarstellung.png|thumb|right|350px|Parameterdarstellung einer Geraden]]$$g: \vec{0X} = \vec{0P} + t \cdot \vec{a}$$ 
wobei

* $X \in g$ ist ein '''beliebiger''' Punkt auf der unendlichen Geraden (steht für alle Punkte auf der Geraden)
* $P \in g$ ist ein '''bekannter''' Punkt auf der Geraden
* $t \in \mathbb{R}$ ist ein freier Parameter (in der Graphik rechts $\lambda$)
* $\vec{a} \in \mathbb{R^2}$ ist ein Vektor parallel zur Geraden, der die Richtung dieser angibt ("Richtungsvektor")

 
Beachte, dass in der Parameterdarstellung keine Punkte, sondern Ortsvektoren verwendet werden! (Info zu Ortsvektoren findest du unter ''Grundlagen der Vektorrechnung''.) Wenn man das weiß, kann man der Einfachheit halber die Gerade auch folgendermaßen beschreiben: $g: X = P + t \cdot \vec{a}$

 
Eine andere Schreibweise ist, die Koordinaten einzeln zu betrachten und 2 Gleichungen aufzustellen:
$$g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \end{cases}$$

====Normalvektorform====
Hierzu benötigt man einen Normalvektor des Richtungsvektors und multipliziert dann die Geradengleichung mit diesem Normalvektor. Da $\vec{a} \cdot \vec{n} = 0$, bleibt über:

Sei $g: \vec{0X} = \vec{0P} + t \cdot \vec{a}$ eine Gerade in Parameterform, so ist

<div align="center">$g: \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x_P \\ y_P \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right)$</div>

dieselbe Gerade in Normalform, wobei $\vec{0X}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right), \ \vec{0P}=\left( \begin{array}{c} x_P \\ y_P \end{array} \right), \ \vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right)$ und $\vec{n}=\left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right)$ ein Normalvektor von $\vec{a}$ (hier kann man natürlich auch den anderen Normalvektor verwenden).

====Allgemeine Geradengleichung====
Diese Form der Darstellung heißt auch Normalform, da man den Normalvektor der Gerade direkt ablesen kann.Um von der Parameterdarstellung auf diese Form zu kommen, gibt es 2 Möglichkeiten:

'''1. Multiplikation mit Normalvektor:'''
Hierzu muss man einfach die Normalform ausmultiplizieren und es ergibt sich:

$$g: y_a \cdot x + -x_a \cdot y = y_a \cdot x_P + -x_a \cdot y_P$$

'''2. Elimination des Parameters:'''
Hierbei gehen wir von der Geradenform $g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \end{cases}$ aus, eliminieren $t$, und kommen ebenfalls auf die obige allgemeine Geradengleichung.
Auf der rechten Seite der Gleichung stehen nur bekannte Größen, auf der linken Seiten stehen Vielfache von x und y. Diese Gleichung kann man weiter auch auf die Form y=kx+d umformen.

===Lagebeziehungen zwischen Geraden===
Mehrere Geraden können im $\mathbb{R^2}$

* ident sein, d.h. sie haben unendlich viele gemeinsame Punkte
* parallel sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt
* einander schneiden, d.h. sie haben genau ein gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt)

 Sind uns 2 Geraden in '''Parameterdarstellung''' gegeben, betrachten wir zuerst ihre Richtungsvektoren. 
Sind diese parallel zueinander, so sind auch die Geraden parallel zueinander. Nun bleibt noch die Frage offen, ob die Geraden ident sind. Dazu überprüfen wir einfach, ob der gegebene Punkt der einen Geraden auch auf der anderen Geraden liegt. Dazu Setzen wir den bekannten Punkt der einen Geraden für den unbekannten Punkt der anderen Geraden ein und erhalten 2 Gleichungen in einer Unbekannten (Parameter der zweiten Gerade). Erhalten wir nun für den Parameter zweimal dasselbe Ergebnis, so sind die 2 Geraden ident, erhalten wir unterschiedliche Ergebnisse, so sind sie nur parallel. 
Sind die Richtungsvektoren nicht parallel zueinander, so sind es auch die 2 Geraden nicht, und wir können uns sicher sein, dass diese einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen.
Doch wie erhalten wir den Schnittpunkt? Ganz einfach, indem wir die 2 Geraden schneiden. Dazu müssen wir sie gleichsetzen, und dann das dadurch erhaltene Gleichungssystem in 2 Unbekannten (die 2 Parameter) lösen. Wenn wir den Wert eines Parameters ausgerechnet haben, setzen wir ihn einfach in die entsprechende Geradengleichung ein und erhalten so den Schnittpunkt!

Sind die 2 Geraden in der '''allgemeinen Geradenform''' gegeben, so haben wir bereits 2 Gleichungen gegeben, die wir nach x und y auflösen. Dieses x und y sind die Koordinaten des Schnittpunktes.

Um das Schneiden von Geraden besser zu verstehen, schau dir das Lösen von [[ Gleichungssysteme (2.7.) |Gleichungssystemen]] genauer an, wirf einen Blick auf die Beispiele zum $\mathbb{R^2}$ unter dem Tab 'Beispiele', oder sieh dir dieses Video an:

<div align="center">{{#ev:youtube|ZrFE3LRisn0}}</div>

===Normalabstand Punkt - Gerade===
[[Datei:Normalabstand.gif|right]]Gegeben sei ein Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und eine Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$. Um den Normalabstand $d(Q,g)$ zwischen Q und g zu berechnen, gehe wie folgt vor:
{{Vorlage:Merke|1=1. Bestimme die Gerade $q: X = Q + s \cdot \vec{n}$, die durch $Q$ geht und den Normalvektor $\vec{n}$ von $\vec{a}$ als Richtungsvektor besitzt.
2. Schneide $g$ und $q$ und die erhältst ihren Schnittpunkt $S$. 
3. Berechne $\parallel \vec{QS} \parallel$.}}
In der Graphik rechts hätten wir z.B. die Angabe $g: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right) + \lambda \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array} \right)$ und $Q(3/4)$. Du kannst das zur Übung durchrechnen.

====Hesse'sche Abstandsformel====
Mithilfe dieser Formel kann man ebenfalls den Abstand $d(Q,g)$ zwischen Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$ bestimmen. <big>$d(Q,g) = | \vec{PQ} \cdot \vec{n_0} | $</big>, wobei $\vec{n_0}$ der normierte (Länge 1) Normalvektor des Richtungsvektors $\vec{a}$ der Geraden $g$ ist.

====Spiegelung eines Punktes an einer Geraden====
[[Datei:Spiegeln.png|thumb|right|250px|Gespiegelter Punkt Q']]Gegeben sei ein Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und eine Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$. Es gilt den Punkt $Q$ an der Gerade $g$ zu spiegeln, und so den Punkt $Q'$ zu erhalten. Dazu befolgst du die Vorgehensweise von "Normalabstand Punkt - Gerade" bis du den Vektor $\vec{QS}$ erhältst, und trägst diesen vom Punkt $S$ ab, also: 
$Q' = S + \vec{QS}$

=Im $\mathbb{R^3}$=
==Vektoren==
===Kreuzprodukt===
Im $\mathbb{R^3}$ gibt es neben dem Skalarprodukt, bei dem wir als Ergebnis ein Skalar erhalten, eine weitere Möglichkeit, zwei Vektoren miteinander zu multiplizieren: das sog. Kreuz- oder Vektorprodukt, bei dem wir als Ergebnis einen Vektor erhalten.{{Vorlage:Merke|1=Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren des $\mathbb{R^3}$, dann ist ihr Kreuzprodukt
$$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} y_a \cdot z_b - z_a \cdot y_b \\ z_a \cdot x_b - x_a \cdot z_b \\ x_a \cdot y_b - y_a \cdot x_b \end{array} \right)$$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ -3 \end{array} \right)$, gesucht ist ihr Kreuzprodukt.|

2=$$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \cdot (-3) - 3 \cdot 4 \\ 3 \cdot 5 - 1 \cdot (-3) \\ 1 \cdot 4 - 2 \cdot 5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-6) - 12 \\ 15 - (-3) \\ 4 - 10 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -18 \\ 18 \\ -6 \end{array} \right)$$}}

Wozu wir das Kreuzprodukt überhaupt benötigen, sehen wir an den nächsten 2 Punkten.

====Normalvektoren====
Im $\mathbb{R^3}$ gibt es zu einem Vektor unendlich viele Normalvektoren. Auf eine Ebene allerdings gibt es genau 2 Normalvektoren (wie im $\mathbb{R^2}$ auf eine Gerade). Eine Ebene wird von 2 Vektoren aufgespannt, deren Kreuzprodukt ergibt einen Normalvektor $\vec{n_1}$ auf die Ebene bzw. die zwei Vektoren; der zweite Normalvektor hat die entgegengesetzte Orientierung ($\vec{n_2} = -\vec{n_1}$). Also:$$\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$$

====Fläche eines von zwei Vektoren aufgespannten Parallelogramms oder Dreiecks====
[[Datei:FlächeNormalvektor.png|thumb|right|none|250px|2 Vektoren spannen ein Dreieck bzw. Parallelogramm auf]] 
{{Vorlage:Merke|1=Die Länge $\parallel \vec{n} \parallel = \parallel \vec{a} \times \vec{b} \parallel$ des Normalvektors $\vec{n}$ zu den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ entspricht der Maßzahl des Flächeninhaltes des Parallelogramms, das $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aufspannen (im Bild die gesamte grüne Fläche).
Die Hälfte dieser Fläche entspricht der Fläche des aufgespannten Dreiecks.}}

===Skalarprodukt, Orthogonalitätskriterium, Winkel zwischen zwei Vektoren===
Diese drei Dinge "funktionieren" im $\mathbb{R^3}$ wie im $\mathbb{R^2}$. Also hier nur eine kurze Wiederholung: 

'''Skalarprodukt''' 
Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\z_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren, dann ist $$\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right) = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b + z_a \cdot z_b$$ gleich ihr Skalarprodukt.
 

{|border=1 align=center
|-
! Übungsaufgabe
|-
| <ggb_applet width="700" height="500" version="5.0" id="ZqtPwRDx" />
|}

'''Orthogonalitätskriterium''' 
Ergibt das Skalarprodukt zweier Vektoren $0$, so stehen diese zwei Vektoren normal zueinander (und umgekehrt!)
$$\vec{a} \cdot \vec{b} \ = \ 0 \ \Leftrightarrow \ \vec{a} \bot \vec{b}$$
Auch das gibt es im $\mathbb{R^3}$. Bedenke aber, dass es hier, anders als im $\mathbb{R^2}$, unendlich viele Normalvektoren auf einen Vektor gibt.
 

'''Winkel zwischen zwei Vektoren'''
$$cos{\varphi} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel} = \vec{a_0} \cdot \vec{b_0}$$

==Geraden==
===Darstellungsformen===
====Parameterdarstellung====
Die Parameterdarstellung im $\mathbb{R^3}$ sieht genauso aus wie im $\mathbb{R^2}$, einziger Unterschied ist, dass unsere Punkte und Vektoren hier jeweils 3 Koordinaten haben.$$g: X = P + t \cdot \vec{a}$$ bzw. $$g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \\ z = z_P + t \cdot z_a \end{cases}$$
Mehr Infos zu den einzelnen Komponenten findest du im Tab 'Im $\mathbb{R^2}$'.

====Parameterfreie Darstellungsform====
Diese besteht aus 2 Gleichungen und wir erhalten sie durch Eliminierung des Parameters.

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sei die Parameterform der Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ -4 \\ 1 \end{array} \right)$. Zuerst schreiben wir das in die 3 Koordinatengleichungen um:
$$g : \begin{cases} x = 2 + 3t \\ y = 0 - 4t \\ z = 1 + t \end{cases}$$

|2=Wir multiplizieren die erste Gleichung mit $4$ und die zweite Gleichung mit $3$ und addieren die beiden: $$+ \begin{cases} 4x = 8 + 12t \\ 3y = 0 - 12t \end{cases}$$ und erhalten so die Gleichung $4x + 3y = 8$.
Wir multiplizieren die dritte Gleichung mit $3$ und subtrahieren diese von der ersten Gleichung: $$- \begin{cases} x = 2 + 3t \\ 3z = 3 + 3t \end{cases}$$ und erhalten so die Gleichung $x - 3z = -1$.

Die parameterfreie Darstellung unserer Gerade lautet somit $$g : \begin{cases} 4x + 3y = 8 \\ x - 3z = -1 \end{cases}$$.}}

Die zwei Gleichungen in der parameterfreien Darstellung sind übrigens Ebenengleichungen. Die eigentliche Gerade ist der Schnitt dieser zwei Ebenen!

===Lagebeziehungen zwischen Geraden===
Mehrere Geraden können im $\mathbb{R^3}$

* ident sein, d.h. sie haben unendlich viele gemeinsame Punkte
* parallel sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt
* einander schneiden, d.h. sie haben genau ein gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt)
* windschief sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt und sind nicht parallel

Um herauszufinden, wie 2 gegebene Geraden in Parameterform zueinander stehen, gehst du am besten wie folgt vor:

'''Betrachtung der Richtungsvektoren:''' Auch im $\mathbb{R^3}$ gilt, sind die Richtungsvektoren zweier Geraden parallel zueinander (d.h. man kann einen Vektor als Vielfaches des anderen Vektors darstellen), so sind es auch die Geraden.

'''Fall 1: Die Vektoren sind parallel:''' Sollte sich herausstellen, dass die zwei Geraden parallel zueinander sind, überprüfst du als nächstes, ob sie einen gemeinsamen Punkt haben; am einfachsten funktioniert das, indem du den bekannten Punkt ($P$) der einen Geraden in die zweite Gerade (für den unbekannten Punkt $X$) einsetzt. Wir erhalten drei Gleichungen in einer Unbekannten (Parameter der zweiten Gerade). 
'''Fall 1a:''' Erhalten wir nun für den Parameter dreimal dasselbe Ergebnis, so sind die 2 Geraden '''ident''' (und parallel), da der überprüfte Punkt, und somit unendlich weitere, auf beiden Geraden liegen. 
'''Fall 1b:''' Erhalten wir unterschiedliche Ergebnisse, so sind sie nur '''parallel''', da der überprüfte Punkt nicht, und somit auch kein anderer, auf beiden Geraden liegen.

'''Fall 2: Die Vektoren sind nicht parallel:''' Nun gibt es nur noch zwei Möglichkeiten: Entweder die zwei Geraden haben einen gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt), oder sie sind windschief. 
Um das wiederum herauszufinden, setzt du die beiden Geraden gleich, d.h. du stellst ein lineares Gleichungssystem (LGS) mit drei Gleichungen und in drei Unbekannten auf, und versuchst, dieses zu lösen. 
'''Fall 2a:''' Solltest du nun eine Lösung erhalten, d.h. du erhältst den Wert für den Parameter einer der zwei Geraden (und hast diesen Wert überprüft), so weißt du, dass die zwei Geraden einander '''schneiden'''. Den Schnittpunkt erhältst du jetzt, indem du den erhaltenen Wert für den Parameter in die entsprechende Geradengleichung einsetzt. 
'''Fall 2b:''' Sollte dein LGS keine Lösung ergeben (also sich eine falsche Aussage oder ein Widerspruch ergeben, z.B. $2=13$, oder $t=4$ und $t=-1$), dann weißt du, dass deine beiden Geraden keinen Schnittpunkt haben und somit '''windschief''' sind.

Zum besseren Verständnis siehst du dir am besten das folgende Video und die beiden folgenden Beispiele an.

<div align="center">{{#ev:youtube|u0QoYlEE094}}</div>
{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die beiden Geraden $g: X = \left( \begin{array}{c} 0 \\ -11 \\ -3 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right)$ und $h: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ -3 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right)$. Überprüfe deren gegenseitige Lage und gegebenenfalls ihren Schnittpunkt!|2=Zuerst überprüfen wir die Richtungsvektoren der beiden Geraden, um festzustellen, ob diese parallel zueinander sind oder nicht:$$\nexists \lambda : \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) = \lambda \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) \nparallel \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g \nparallel h$$
$g$ und $h$ sind also nicht parallel. Sie können also noch entweder einander schneiden oder windschief sein. Stellen wir nun ein LGS auf, indem wir die beiden Geraden gleichsetzen:
$$\begin{align}
I: \ &&&s&=&2&+&t \\
II: \ &-11&+&2s&=&3&-&3t \\
III: \ &-3&+&s&=&-3&+&2t
\end{align}$$ 
Wir subtrahieren $III$ von $I$: $- \begin{cases} &s &=& 2 + t \\ -3 + &s &=& -3 + 2t \end{cases} \ \rightarrow \ 3 = 5 - t \Rightarrow t = 2$ 
Wir überprüfen dieses Ergebnis für $t$, indem wir $t=2$ in alle 3 Gleichungen einsetzen. Wir sehen dann, dass wir überall dasselbe Ergebnis für $s$ erhalten, nämlich $s=4$. Daraus folgt, dass die Geraden einander '''schneiden'''. Setzen wir nun $t=2$ oder $s=4$ in die entsprechende Geradengleichung, so erhalten wir den Schnittpunkt $S(4/-3/1)$ der beiden Geraden.}}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die beiden Geraden $g: X = \left( \begin{array}{c} 3 \\ -2 \\ 0 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right)$ und $h: X = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$. Überprüfe deren gegenseitige Lage und ggf. ihren Schnittpunkt!|2=Zuerst überprüfen wir wieder die Richtungsvektoren der beiden Geraden:$$\nexists \lambda : \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) = \lambda \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) \nparallel \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g \nparallel h$$
Nun stellen wir wieder ein LGS auf:
$$\begin{align}
I: \ &3&+&2s&=&4&-&t \\
II: \ &-2&-&2s&=&3&& \\
III: \ &&&s&=&1&+&t
\end{align}$$ 
Aus der zweiten Gleichung lässt sich direkt berechnen, dass $s=- \frac{5}{2}$. Dies setzen wir nun in die erste und zweite Gleichung ein und erhalten einmal $3 - 5 = 4 - t \ \Rightarrow \ t=6$ und einmal $- \frac{5}{2} = 1 + t \ \Rightarrow \ t=- \frac{7}{2}$. Diese beiden Werte für $t$ sind offensichtlich voneinander unterschiedlich, daraus folgt, dass die beiden Geraden $g$ und $h$ '''windschief''' sind.
}}

==Ebenen==
Eine Ebene ist durch 3 Punkte oder 1 Punkt und 2 (voneinander linear unabhängigen) Vektoren eindeutig festgelegt.

===Darstellungsformen===
====Parameterdarstellung====
[[Datei:ebene2.png|thumb|right|350px|von Punkt und Vektoren aufgespannte Ebene]]
$$\epsilon : X = P + s \cdot \vec{a} + t \cdot \vec{b}$$
bzw.
$$\epsilon : \begin{cases} x = x_P + s \cdot x_a + t \cdot x_b \\ y = y_P + s \cdot y_a + t \cdot y_b \\ z = z_P + s \cdot z_a + t \cdot z_b \end{cases}$$
wobei

* $X \in \epsilon$ ist ein '''beliebiger''' Punkt auf der unendlichen Ebene
* $P \in \epsilon$ ist ein '''bekannter''' Punkt auf der Ebene
* $s, t \in \mathbb{R}$ sind freie Parameter
* $\vec{a}, \vec{b} \in \mathbb{R^3}$ sind zwei Vektoren, die parallel zur Ebene liegen

====Normalvektorform====
Man multipliziert die Parameterdarstellung der Ebene mit ihrem Normalvektor $\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$ und erhält$$\vec{n} \cdot \vec{X} = \vec{n} \cdot \vec{P}$$

====Allgemeine Ebenengleichung====
$$ax + by + cz = d$$Diese Form der Darstellung heißt auch Normalform, da man den Normalvektor der Ebene direkt ablesen kann. Um von der Parameterdarstellung auf diese Form zu kommen, gibt es 2 Möglichkeiten:

'''1. Multiplikation mit Normalvektor:'''
Hierzu muss man einfach die Normalform ausmultiplizieren und es ergibt sich:

$$\epsilon: x_n \cdot x + y_n \cdot y + z_n \cdot z = x_n \cdot x_P + y_n \cdot y_P + z_n \cdot z_P$$

'''2. Elimination des Parameters:'''
Hierbei gehen wir von der Ebenengleichung $\epsilon : \begin{cases} x = x_P + s \cdot x_a + t \cdot x_b \\ y = y_P + s \cdot y_a + t \cdot y_b \\ z = z_P + s \cdot z_a + t \cdot z_b \end{cases}$ aus, eliminieren $s$ und $t$, und kommen ebenfalls auf die obige allgemeine Ebenengleichung.

Zur Veranschaulichung ein Beispiel zu den verschiedenen Darstellungsformen:
{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die drei Punkte $A(1/1/1), B(-1/-4/2), C(0/3/-1)$. Gib die Ebene, die diese drei Punkte aufspannen, in Parameterform, Normalform und allgemeiner Ebenengleichung an!|2=Für die Parameterform berechnen wir erst zwei beliebige Vektoren aus den 3 Punkten, z.B. $\vec{AB} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{AC} = \left( \begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right)$. Als Parameterform erhalten wir schließlich:
$$\epsilon: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right)$$ Um auf die Normalform zu kommen, bestimmen wir als erstes den Normalvektor der Ebenen: $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-5) \cdot (-2) - 1 \cdot 2 \\ 1 \cdot (-1) - (-2) \cdot (-2) \\ (-2) \cdot 2 - (-5) \cdot (-1) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right)$. 
Nun die Parametergleichung mit dem Normalvektor multiplizieren und wir erhalten auch die Normalform:
$$\epsilon: \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)$$ 
Um nun noch die allg. Ebenenform zu erhalten, multipliziert man am einfachsten die Normalform aus und erhält:
$$\epsilon: 8x - 5y -9z =-6$$ 
Aber auch die Elimination der Parameter soll hier gezeigt werden. Wir gehen aus von: $$\epsilon : \begin{cases} x = 1 - 2s - t \\ y = 1 - 5s + 2t \\ z = 1 + s - 2t\end{cases}$$
Addieren wir die y- und die z-Gleichung, können wir $t$ eliminieren: $+ \begin{cases} y = 1 - 5s + 2t \\ z = 1 + s - 2t \end{cases} \ \Rightarrow \ y + z = 2 - 4s$. 
Wir können $t$ ebenfalls eliminieren, indem wir die y-Gleichung zum 2-fachen der x-Gleichung addieren: $+ \begin{cases} 2x = 2 - 4s - 2t \\ y = 1 - 5s + 2t \end{cases} \ \Rightarrow \ 2x + y = 3 -9s$. 
Nun haben wir zwei Gleichungen, die nur mehr von $s$ abhängig sind. Um diesen Parameter nun auch noch zu eliminieren, multiplizieren wir die erste Gleichung mit $(-9)$ und die zweite mit $4$ und addieren diese, um nochmals auf die allg. Ebenengleichung zu kommen.
$$+ \begin{cases} 8x + 4y = 12 - 36s \\ -9y - 9z = -18 + 36s \end{cases} \ \Rightarrow \ \epsilon: 8x - 5y -9z =-6$$
}}

===Lagebeziehungen===
====...zwischen zwei Ebenen====
Zwei Ebenen können im $\mathbb{R^3}$

* ident sein: die Ebenengleichungen (allg. Form) sind Vielfache voneinander;

z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : 2x + 2y + 2z = 6 \Rightarrow \epsilon _2 = 2 \cdot \epsilon _1$

* parallel sein: die Normalvektoren der Ebenen sind Vielfache voneinander;

z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : 2x + 2y + 2z = 5 \Rightarrow \vec{n_2} = 2 \cdot \vec{n_1}$

* einander schneiden (in einer Gerade): die Normalvektoren der Ebenen sind keine Vielfache voneinander;

z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : x - 3y + 2z = 1 \Rightarrow \nexists \lambda \in \mathbb{R} : \vec{n_1} = \lambda \cdot \vec{n_2}$

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:Ebenenident2.png|2 Ebenen sind ident
Datei:Ebenenparallel2.png|2 Ebenen sind parallel
Datei:Ebenenschnittgerade2.png|2 Ebenen schneiden einander in einer Geraden
</gallery>

 
'''Berechnen der Schnittgerade''' 
Erkennt man durch Betrachtung der Normalvektoren zweier Ebenen, dass diese einander schneiden müssen, so kann man diese Schnittgerade berechnen. Dazu erstellt man aus den beiden Ebenengleichungen ein lineares Gleichungssystem in 3 Unbekannten. 2 Gleichungen - 3 Unbekannte: wir werden hier nicht für alle Unbekannten einen Zahlenwert erhalten, können aber 2 Unbekannte in Abhängigkeit der dritten darstellen. Diese dritte Unbekannte wird uns als Parameter für die Darstellung der Geraden dienen. Zur Veranschaulichung ein Beispiel:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die beiden Ebenen $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : x - 3y + 2z = 1$. Wie wir weiter oben schon festgestellt haben, müssen diese Ebenen einander schneiden, da die beiden Noramlvektoren der Ebenen $\vec{n_1}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{n_2}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right)$ linear unabhängig voneinander sind, also $\nexists \lambda \in \mathbb{R} : \vec{n_1} = \lambda \cdot \vec{n_2}$. 
Wir wählen nun eine der Koordinaten als Parameter, z.B. $z=t$ und stellen das Gleichungssystem auf.

|2=

$$\begin{align}I: \ &x&+&y&+&t&=&3 \\
II: \ &x&-&3y&+&2t&=&1
\end{align}$$

Wir subtrahieren $I-II$ und erhalten
$$4y - t = 2 \ \Rightarrow \ y = \frac{1}{2} + t \cdot \frac{1}{4}$$
Nun setzen wir unser erhaltenes $y$ in die erste Gleichung ein, um $x$ zu erhalten:

$$I: \ x + \frac{1}{2} + t \cdot \frac{1}{4} + t = 3 \ \Rightarrow \ x = \frac{5}{2} - t \cdot \frac{5}{4}$$
Somit haben wir alle Ausdrücke der Koordinaten gefunden ($z=t$ haben wir anfangs festgelegt) und können die Parameterdarstellung der Schnittgerade angeben:
$$g: X = \left( \begin{array}{c} \frac{5}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 0 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} - \frac{5}{4} \\ \frac{1}{4} \\ 1 \end{array} \right)$$
}}

====...zwischen 3 Ebenen====
Drei Ebenen können im $\mathbb{R^3}$

* alle ident sein
* 2 ident, 1 parallel sein
* alle parallel sein
* 3 Schnittgeraden haben
* 2 Schnittgeraden haben (2 Ebenen parallel)
* 1 Schnittgerade haben
* 1 Schnittpunkt haben

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:Ebenenident3.png|3 Ebenen sind ident
Datei:Ebenenidentparallel.png|2 Ebenen sind ident, 1 parallel
Datei:Ebenenparallel3.png|3 Ebenen sind parallel
Datei:Ebenenschnittgeraden33.png|3 Ebenen schneiden einander in 3 Geraden
Datei:Ebenenschnittgeraden32.png|3 Ebenen schneiden einander in 2 Geraden (2 Ebenen parallel)
Datei:Ebenenschnittgerade3.png|3 Ebenen schneiden einander in einer Gerade
Datei:Ebenenschnittgerade31.png|3 Ebenen schneiden einander in einer Gerade (2 Ebenen ident)
Datei:Ebenenschnittpunkt3.png|3 Ebenen schneiden einander in einem Punkt
</gallery>

====...zwischen Ebene und Gerade====
Eine Ebene und eine Gerade können im $\mathbb{R^3}$

* $g \subset \epsilon$, die Gerade liegt auf der Ebene

Hierbei haben die Gerade und die Ebene einen gemeinsamen Punkt und der Richtungsvektor der Gerade steht normal auf den Normalvektor der Ebene, daraus folgt, dass sie unendlich gemeinsame Punkte haben.

* parallel sein

Irgendein Punkt der Gerade liegt nicht auf der Ebene, der Richtungsvektor der Gerade steht normal auf den Normalvektor der Ebene, daraus folgt, dass sie keinen einzigen gemeinsamen Punkt haben.

* 1 Schnittpunkt haben

Der Richtungsvektor der Geraden steht nicht normal auf den Normalvektor der Ebene.

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:GeradeinEbene.png|Gerade liegt auf der Ebene
Datei:GeradepararallelEbene.png|Gerade und Ebene sind parallel zueinander
Datei:GeradeSchnittpunktEbene.png|Gerade und Ebene schneiden einander (Schnittpunkt)
</gallery>

Zur Überprüfung der Lagebeziehung gibt es allerdings noch eine andere (schnellere) Methode. Hier "schneiden" wir die Gerade und die Ebene mathematisch, d.h. wir setzen sie gleich (wenn beide in Parameterform gegeben sind) oder setzen die Gerade $g$ (Parameterform) in die Ebene $\epsilon$ (allg. Ebenengleichung) ein. 
Wir erhalten dadurch ein Gleichungssystem oder eine einzelne Gleichung.

Sei die Gerade gegeben als $g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \\ z = z_P + t \cdot z_a \end{cases}$ und die Ebene als $\epsilon : \begin{cases} x = x_Q + s \cdot x_b + u \cdot x_c \\ y = y_Q + s \cdot y_b + u \cdot y_c \\ z = z_Q + s \cdot z_b + u \cdot z_c \end{cases}$ (Parameterform) oder $\epsilon : ax + by + cz = d$ (allg. Ebenengleichung).

Wir erhalten als Gleichungssystem durch Gleichsetzen der Gleichungen der Parameterformen:
$$\begin{cases} x_P + t \cdot x_a = x_Q + s \cdot x_b + u \cdot x_c \\ y_P + t \cdot y_a = y_Q + s \cdot y_b + u \cdot y_c \\ z_P + t \cdot z_a = z_Q + s \cdot z_b + u \cdot z_c \end{cases}$$ 
Wir erhalten durch Einsetzen der Gerade in die Ebene (allg. Ebenengleichung):
$$a \cdot (x_P + t \cdot x_a) + b \cdot (y_P + t \cdot y_a) + c \cdot (z_P + t \cdot z_a) = d$$

Ergibt sich hier eine wahre Aussage (z.B. $1=1$), also unendlich viele Lösungen, so liegt die Gerade in der Ebene. 
Ergibt sich eine falsche Aussage (z.B. $1=2$), also keine Lösung, so schneiden die beiden Objekte einander nicht, also sie sind parallel. 
Gibt es genau eine Lösung (z.B. $t=2$), so existiert genau ein gemeinsamer Punkt = Schnittpunkt. Diesen erhält man, indem man den ermittelten Wert für den Parameter $t$ der Geraden in die Geradengleichung einsetzt (oder, wenn die Ebene in Parameterform gegeben war, die beiden Werte für die Parameter $s$ und $u$ der Ebene in die Ebenengleichung einsetzt). Dazu 2 Beispiele, wobei wir im ersten mit der Ebene in Parameterform rechnen werden:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right)$ und die Ebene $\epsilon : X = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -1 \\ -3 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) + u \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 0 \end{array} \right)$. Stellen wir nun also unser Gleichungssystem auf:

|2=\begin{align}

I: \ & \ 1&-t&=&4& &+2u \\
II: \ &-3& &=&-1&+s&-u \\
III: \ & \ 2&+2t&=&-3&+s&
\end{align}

In der ersten Gleichung drücken wir $u$ in $t$ aus: $u = - \frac{3}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$ 
In der zweiten Gleichung drücken wir $s$ in $u$ aus: $s = -2 + u$ 
Das $u$ von oben setzen wir nun hier ein und erhalten $s$ in Abhängigkeit von $t$: $s = - \frac{7}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$.

Dieses $s$ setzen wir nun in die dritte Gleichung ein und wir erhalten: $2 + 2t = -3 - \frac{7}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$ und in weiterer Folge $t = - \frac{17}{5}$. 
Es ergibt sich also genau eine Lösung für das Gleichungssystem, was bedeutet, dass die Gerade und die Ebene einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen. Diesen erhalten wir, indem wir den errechneten Wert für $t$ in die Geradengleichung einsetzen (Man könnte natürlich auch noch die Werte für $s$ und $u$ berechnen, und diese in die Ebenengleichung einsetzen; zur Übung kannst du das gerne tun):
$$g: S = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) - \frac{17}{5} \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \frac{23}{5} \\ -3 \\ - \frac{24}{5} \end{array} \right)$$
}}

Betrachten wir nun dasselbe Beispiel, mit dem Unterschied, dass die Ebene in Normalform gegeben ist und wir auch gleich mit dieser Form rechnen:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right)$ und die Ebene $\epsilon : x + 2y - 2z = 8$. Wir setzen die Koordinatengleichungen der Gerade in die Normalform der Ebene:

|2= $g$ in $\epsilon$: $$1 - t - 6 - 4 -4t =8$$

Wenn wir diese Gleichung lösen, erhalten wir, wie im ersten Bespiel, $t = - \frac{17}{5}$. Dies noch in die Geradengleichung einsetzen, und wir erhalten den Schnittpunkt.}}

Da man bei der zweiten Methode meistens weniger Rechenaufwand hat, zahlt es sich oft aus die Parameterdarstellung der Ebene in die Normalform (= allg. Ebenengleichung) umzurechnen.

==Pyramidenbeispiel==
[[Datei:Pyramidebsp.png|thumb|right|350px|Pyramide]]Gegeben seien 3 Eckpunkte $A(-2/-2/1), B(2/-2/1), C(2/2/1)$ der quadratischen Grundfläche und der Spitzpunkt $S(0/0/6)$ einer geraden (gerade bedeutet, dass die Spitze in einem rechten Winkel über dem Mittelpunkt der Grundfläche der Pyramide liegt) Pyramide.
Gesucht sind:

# der vierte Eckpunkt $D$ der Grundfläche
# die Parameterdarstellung der Trägergeraden $h$ der Höhe
# die Fläche der Grundfläche
# die Geradengleichung der Geraden $g_{AS}$ auf der $A$ und $S$ liegen in a)Parameterform und b)parameterfreier Form
# Der Winkel $\alpha$ zwischen den Vektoren $\vec{AS}$ und $\vec{AC}$
# Zeige, dass der Schnittpunkt der Geraden $g_{AS}$ und $h$ gleich die Spitze $S$ ist
# Gib die Ebenengleichung $\epsilon$ der Grundfläche in a)Parameterform, b)Normalform und c)allgemeiner Ebenengleichung an
# Berechne den Fußpunkt $M$ der Höhe, indem du $h$ und $\epsilon$ schneidest

1. $D = A + \vec{BC} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -2 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right)$ 
2. $h: X = S + t \cdot \vec{h}$
$$\vec{AB} \times \vec{BC} = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 16 \end{array} \right) \ \parallel \ \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) = \vec{h}$$
$$h: X = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$$ 
3. $G = \parallel \vec{AB} \times \vec{BC} \parallel = \parallel \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 16 \end{array} \right) \parallel = 16FE$ 
4. a) $g_{AS}: X = A + u \cdot \vec{AS}$
$$\vec{AS} = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g_{AS}: X = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + u \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right)$$ oder $$g_{AS}:\begin{cases} x = -2 + 2u \\ y = -2 + 2u \\ z = 1 + 5u \end{cases}$$
b) Parameter elimieren:
$$x - y: x-y = 0$$
$$5x - 2z: 5x - 2z = -12$$
$$\Rightarrow g_{AS}:\begin{cases} x - y = 0 \\ 5x - 2z = -12 \end{cases}$$ 
5. $\measuredangle \vec{AS},\vec{AC} = \alpha = arccos{\frac{\vec{AS} \cdot \vec{AC}}{\parallel \vec{AS} \parallel \cdot \parallel \vec{AC} \parallel}} = arccos{\frac{\left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right)}{\parallel \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) \parallel \cdot \parallel \left( \begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) \parallel}} = arccos{\frac{16}{\sqrt{33 \cdot 32}}} = 60,5°$ 
6. $g_{AS}$ und $h$ gleichsetzen:
$$\begin{align}
I: \ &-2&+&2u&=&0&& \\
II: \ &-2&+&2u&=&0&& \\
III: \ & \ \ 1&+&5u&=&6&+&t
\end{align}
\ \ \ \rightarrow u=1$$
$$g_{AS}: S = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + 1 \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array} \right)$$ 
7. a) $\epsilon: X = A + v \cdot \vec{AB} + w \cdot \vec{BC} \ \rightarrow \ \epsilon: X = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + v \cdot \left( \begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) + w \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right)$ 
b) $\epsilon: \vec{n} \cdot \vec{X} = \vec{n} \cdot \vec{A} \ \rightarrow \ \epsilon: \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right)$ 
c) $\epsilon: z = 1$ 
8. $h:\begin{cases} x=0 \\ y=0 \\ z=6+t \end{cases} \ \ \epsilon: z=1 \ \ \rightarrow \ 1 = 6 + t \ \Rightarrow \ t=-5$ 
$h: M = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array} \right) -5 \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$

=Beispiele=
Hier findest du Beispiele zu den behandelten Themen:

===Grundlagen der Vektorrechnung===
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/9/99/VektorrechnungGLBspAngabe.pdf VektorrechnungGLBspAngabe.pdf] 
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/0/00/VektorrechnungGLBspL%C3%B6sung.pdf VektorrechnungGLBspLösung.pdf]

===Vektorrechnung im $\mathbb{R^2}$===
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/7/7f/VektorrechnungR2BspAngabe.pdf VektorrechnungR2BspAngabe.pdf] 
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/f/ff/VektorrechnungR2BspL%C3%B6sung.pdf VektorrechnungR2BspLösung.pdf]

Vektorrechnung

2016-08-08T18:25:40Z

Lajtos:

=Grundlagen=
==Koordinatensystem==
[[Datei:Quadranten.png|thumb|Coordinate System|thumb|right|350px|Koordinatengitter im $\mathbb{R^2}$ mit den 4 Quadranten]]

Für die Vektorrechnung sind Koordinatensysteme essentiell.
Im zweidimensionalen Raum besitzt ein Koordinatensystem 2 Achsen:

* die x-Achse (waagrecht) und
* die y-Achse (senkrecht)

 
Diese sind unendlich lang und Spannen die vier sogenannten Quadranten auf, die meist mit den römischen Ziffern I-IV beschriftet werden (gesprochen: Erster Quadrant, Zweiter Quadrant etc.). Die rechte Graphik zeigt die die Positionen der Quadranten. Dort, wo die 2 Achsen einander treffen, liegt der sog. Ursprung (kurz: $\vec{0}$); seine Koordinaten sind $(0/0)$.

Was es außerdem noch zu beachten gibt, hast du vielleicht bereits selbst erkannt:
An den gegenüberliegenden Seiten der x- und y-Achsen werden unterschiedliche Vorzeichen verwendet. So spricht man "links" des Ursprungs von der negativen, bzw. "rechts" des Ursprungs von der positiven x-Achse. Analog spricht man "oben" und "unten" von der positiven und negativen y-Achse.

Im dreidimensionalen Raum kommt eine dritte Achse - die z-Achse - dazu. Punkte und Vektoren besitzen dementsprechend dann auch 3 Koordinaten. Dies kann man bis ins n-dimensionale weiterführen.

==Punkte==
In ein Koordinatensystem lassen sich Punkte eintragen. Diese besitzen, entsprechend ihrer Lage, Koordinaten. Im obigen Bild z.B. haben wir die Punkte A und B, wobei sich A im ersten Quadranten befindet und B im vierten Quadranten. Man schreibt: A(2/3,5) B(1/-2).

[[Datei:Punkte Abstand.png|thumb|right|350px|Punkte im $\mathbb{R^2}$]]

{{Vorlage:Merke |''Einen'' '''allgemeinen Punkt''' ''schreibt man an als'' $P(x_1/x_2/.../x_n)$ (im n-dimensionalen Raum $\mathbb{R^n}$) ''bzw.'' $P(x/y)$ (im 2-dimensionalen Raum $ \mathbb{R^2}$) ''oder'' $P(x/y/z)$ (im 3-dimensionalen Raum $\mathbb{R^3}$).
 
Die erste Koordinate entspricht der x-Koordinate, die zweite der y-Koordinate, die eventuelle dritte der z-Koordinate.

Punkte werden in der Regel mit Großbuchstaben bezeichnet.}}

Koordinaten von Punkten lassen sich also ganz einfach ablesen. Die x/y-Koordinate entspricht dabei dem Abstand vom Ursprung zum Punkt in Richtung der jeweiligen Koordinatenachse. So erkennen wir im Bild rechts die folgenden Punkte:

* A(2/0)
* B(0/-2)
* C(-1/2)

=Vektoren=

==Definition & Darstellung von Vektoren==
{{Vorlage:Definition |1= Ein Zahlenpaar $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \in \mathbb{R^2}$ wird als '''Vektor aus $\mathbb{R^2}$ ''' bezeichnet.
Analog bezeichnet man ein Zahlentripel $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) \in \mathbb{R^3}$ als '''Vektor aus $\mathbb{R^3}$ '''. 
Ein '''allgemeiner Vektor''' wird $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) \ \in \mathbb{R^n}$ geschrieben.

}}

Da sowohl die Rechenoperationen als auch die geometrischen Darstellungen leicht vom $\mathbb{R^2}$ in den $\mathbb{R^3}$ übertragen werden können, werden wir hier meistens nur die Vorgangsweise für Zahlenpaare aus dem $\mathbb{R^2}$ beschreiben.

===Geometrische Darstellung von Vektoren===

Es gibt zwei Möglichkeiten, wie wir einen Vektor $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right) \ \in \mathbb{R^2}$ geometrisch darstellen können:
* '''Darstellung als Punkt''': Dabei gibt $a$ die x-Koordinate und $b$ die y-Koordinate des Punktes an. Die Beschriftung erfolgt mit Großbuchstaben.
* '''Darstellung als Pfeil''': Dabei gibt $a$ die x-Richtung des Pfeils (wie weit zeigt der Pfeil nach links bzw. rechts) und $b$ die y-Richtung des Pfeils (wie weit zeigt der Pfeil nach oben bzw. nach unten) an. Pfeile werden mit Kleinbuchstaben (oft mit Pfeil $\vec{v}$) beschriftet.

Die Darstellung als Punkt ist eindeutig! Einem Zahlenpaar (=Vektor) entspricht genau ein Punkt!
Die Darstellung als Pfeil ist nicht eindeutig! Es gibt unendlich viele Pfeile, die denselben Vektor darstellen. Diese Pfeile sind aber alle parallel, gleich lang und gleich gerichtet.

'''Beispiel:''' Darstellung des Vektors $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$
{| class="wikitable"
|-
| '''Punktdarstellung des Vektors'''|| '''Mögliche Pfeildarstellungen des Vektors'''
|-
| [[Datei:Punkt.png|thumb|300px]]|| [[Datei:Pfeile.png|thumb|300px]]
|}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 3 \\ -4 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 5 \end{array} \right)$. Stelle $\vec{a}$ und $\vec{b}$ als Punkte und als Pfeile dar.
|2=[[Datei:Punkt Pfeil Bsp.png|300px]] 
'''Anmerkungen:'''
* Für die Pfeildarstellungen gibt es mehrere (unendlich viele) Möglichkeiten. Der von dir gezeichnete Pfeil muss jedenfalls parallel, gleich gerichtet und gleich lang wie der abgebildete Pfeil sein!
* Aus "Bequemlichkeitsgründen" zeichnet man die Pfeile oft beginnend beim Ursprung ein:
[[Datei:Punkt Pfeil Bsp2.png|300px]]
 
}}

Vektoren des $\mathbb{R^3}$ können auch auf diese zwei Arten dargestellt werden. Der einzige Unterschied dabei ist, dass die Punkte bzw. Pfeile im dreidimensionalen Raum liegen. Es gibt also noch eine dritte Richtung, die durch die z-Koordinate des Vektors angegeben wird.

===Ortsvektoren===
[[Datei:Ortsvektor.png|thumb|right|250px|Punkt und zugehöriger Ortsvektor]]Der Ortsvektor von einem Punkt ist der Vektor, der vom Ursprung aus auf den Punkt zeigt. Die Koordinaten bleiben deshalb gleich, es ändert sich quasi nur die Schreibweise:

Sei $A(x_1/x_2/.../x_n)$ ein Punkt in der Dimension $n$, dann ist $\vec{0A} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ dessen Ortsvektor.
 
 
 
 
 

==Rechnen mit Vektoren==

===Addition und Subtraktion von Vektoren===
{{Vorlage:Merke|1=Wenn du Vektoren addieren oder subtrahieren möchtest, musst du dazu die entsprechenden Koordinaten addieren: 
$\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) \pm \left( \begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ ... \\ y_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x_1 \pm y_1 \\ x_2 \pm y_2 \\ ... \\ x_n \pm y_n \end{array} \right)$ 
Wichtig ist dabei, dass die Vektoren, die du addieren oder subtrahieren möchtest, derselben Dimension $n$ angehören! D.h. sie haben gleich viele Koordinaten.}}
{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben seien die beiden Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right)$. Berechne erst $\vec{a} + \vec{b}$, dann $\vec{a} - \vec{b}$ und zuletzt $\vec{b} - \vec{a}$!
|2= $\vec{a} + \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 5+1 \\ 2+(-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 6 \\ -1 \end{array} \right)$
$\vec{a} - \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 5-1 \\ 2-(-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 5 \end{array} \right)$ 
$\vec{b} - \vec{a} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 1-5 \\ -3-2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -4 \\ -5 \end{array} \right)$}}

====Geometrische Darstellung der Vektoraddition====
Die Addition zweier Vektoren kann auf zwei verschiedene Arten geometrisch gedeutet werden. Wir illustrieren die beiden Möglichkeiten anhand des Beispiels $\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2\end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$

{| class="wikitable"
|-
| '''Punkt + Pfeil - Darstellung:'''|| '''Pfeil + Pfeil - Darstellung'''
|-
| ''An einen Punkt wird ein Pfeil angehängt.'' In unserem Beispiel wird an den Punkt (1/2) ein Pfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$ angehängt. Das Ergebnis der Addition ist der Punkt am Ende des Pfeils (5/5). || ''Zwei Pfeile werden aneinandergehängt. In unserem Beispiel wird also ein Pfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$ und ein Pfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)$ aneinandergehängt. Das Ergebnis der Addition ist der entstehende Verbindungspfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 5 \\ 5 \end{array} \right)$
|-
| [[Datei:Vektoraddition1.png|left|400px]]|| [[Datei:Vektoraddition2.png|left|500px]]
|-
| '''Anmerkung:''' Diese Darstellung ist hilfreich, wenn wir von einem Punkt ausgehen und zu einem neuen Punkt gelangen wollen.|| Es spielt keine Rolle, in welcher Reihenfolge die Vektoren angehängt werden. Die Addition ist kommutativ!
|}

===Vektoren bestimmen: "Spitze minus Schaft" ("Ziel minus Start")===
[[Datei:Spitzeschaft.png|thumb|right|300px|"Spitze minus Schaft"]]Zwischen 2 Punkten kann man nun einen Vektor definieren. Dabei gilt: Die '''"Spitze minus Schaft"'''-Regel Im Bild rechts wollen wir den Vektor berechnen, der von A nach B geht, also den Vektor $\vec{AB}$. Der Punkt B(3/3,5) entspricht hierbei der Spitze, und der Punkt A(1/0,5) dem Schaft. Da das Rechnen mit Punkten allerdings keinen Sinn ergibt, rechnet man stattdessen mit deren Ortsvektoren (siehe oben).

Für unser Beispiel bedeutet das: $\vec{0B} - \vec{0A} = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 3,5 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0,5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 3-1 \\ 3,5-0,5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right) = \vec{AB}$

'''Beachte außerdem:'''

* Man schreibt der Einfachheit halber oft nur $B-A$, obwohl eigentlich $\vec{0B} - \vec{0A}$ gemeint ist.
* Der Vektor $\vec{AB}$ zeigt in die entgegengesetzte Richtung von $\vec{BA}$. Das bedeutet, dass diese beiden Vektoren entgegengesetzte Vorzeichen haben: $\vec{AB} = - \vec{BA}$

 

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die Punkte A=(1/2); B=(-3/1); C=(-4,-1). Bilde die folgenden Verbindungsvektoren: 
 
# $\vec{AB}$
# $\vec{BA}$
# $\vec{AC}$
# $\vec{BC}$

|2=
$\ $
# $\vec{AB}=B-A=\left( \begin{array}{c} -3 \\ 1\end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} -4 \\ -1\end{array} \right)$
# $\vec{BA}=-\vec{AB}=\left( \begin{array}{c} 4 \\ 1 \end{array} \right)$
# $\vec{AC}=\left( \begin{array}{c} -4 \\ -1\end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} -5 \\ -3\end{array} \right)$
# $\vec{BC}=\left( \begin{array}{c} -4 \\ -1\end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} -3 \\ 1 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} -1 \\ -2\end{array} \right)$
 
'''Tipps:'''
* Pass gut auf die Vorzeichen auf! Beim Subtrahieren von Vektoren passieren leider häufig Vorzeichenfehler! Sei deshalb besonders achtsam!
* Zeichne die Punkte in ein Koordinatensystem und zeichne die Verbindungsvektoren ein. Bei einfachen Koordinaten kannst du den Verbindungsvektor ohne Rechnung ablesen (Probiere es aus!).

 
}}

===Produkt eines Vektors mit einem Skalar===
Wenn man einen Vektor $\vec{v}$ mit einer [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)|reellen Zahl]] $k$ , einem sogenannten "Skalar", multipliziert, werden dabei die einzelnen Koordinaten mit dem Skalar multipliziert:

$k \cdot \vec{v} = k \cdot \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} k \cdot x_1 \\ k \cdot x_2 \\ ... \\ k \cdot x_n \end{array} \right)$

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sei der Vektor $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right)$. Multipliziere diesen einmal mit $2$ und einmal mit $-5$!
|2= $2 \cdot \vec{a} = 2 \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \cdot 2 \\ 2 \cdot (-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -6 \end{array} \right)$
$(-5) \cdot \vec{a} = (-5) \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-5) \cdot 2 \\ (-5) \cdot (-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -10 \\ 15 \end{array} \right)$}}

====Geometrische Darstellung der Multiplikation mit einem Skalar====

Eine Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl $a$ (Skalar) entspricht einer Streckung (für $|a|>1$) bzw. einer Stauchung (für $|a|<1$) des zugehörigen Pfeiles.
Ist das Vorzeichen des Skalars negativ, so dreht sich die Richtung des Pfeils in die entgegengesetzte Richtung.

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sei wiederum der Vektor $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right)$. Stelle die Multiplikation mit $2$, mit $-5$ und mit $0.5$ graphisch dar!
|2= Rechnerische Lösung und graphische Interpretation:
* $2 \cdot \vec{a} = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -6 \end{array} \right)$. Der Vektor $2\cdot \vec{a}$ hat die doppelte Länge und dieselbe Richtung wie $\vec{a}$
* $(-5) \cdot \vec{a} = \left( \begin{array}{c} -10 \\ 15 \end{array} \right)$. Der Vektor $(-5)\cdot \vec{a}$ ist fünfmal so lang wie $\vec{a}$ und zeigt in die entgegengesetzte Richtung wie $\vec{a}$
* $(0.5) \cdot \vec{a} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1.5 \end{array} \right)$ Der Vektor $0.5\cdot \vec{a}$ ist halb so lang wie $\vec{a}$ und zeigt in dieselbe Richtung wie $\vec{a}$
}}

{{#widget:Iframe
|url= http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_vektorrechnung/MV_Vektor1/MV_Vektor1/sites/Vektortest.html
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}}
[http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_vektorrechnung/MV_Vektor1/MV_Vektor1/ (Quelle dieses Applets)]

Hilfe zum Applet: Gib in die Eingabezeile den Buchstaben des Vektors bzw. die entsprechende Summe / Differenz an. (z.B. $u=a$)

===Wie Vektoren zueinander stehen===
Vektoren können unterschiedliche Richtungen haben, aber auch parallel zueinander oder gar identisch sein. Optisch lässt sich das oft sehr leicht erkennen. Die Lage von Vektoren zueinander kann aber auch rechnerisch überprüft werden.

{{Vorlage:Definition |Unter einem Vektor versteht man die Menge aller gleichlangen, gleichgerichteten und gleichorientierten Pfeile.

Der Start/Endpunkt spielen dabei keine Rolle!}}

{{Vorlage:Merke|2 Vektoren stehen parallel zueinander, wenn ein Vektor als Vielfaches des anderen Vektors angeschrieben werden kann. 
Man sagt auch: Die Vektoren sind [[linear abhängig]].}}

Sehen wir uns die verschiedenen Fälle an:

{| class="wikitable"
|-
|ident: gleiche Richtung, gleiche Orientierung, gleiche Länge
||[[Datei:Vektorv1.png|none|250px]]
||$\vec{v} = \vec{u} \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$
||z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$
|-
||parallel (gleiche Orientierung): gleiche Richtung, gleiche Orientierung, unterschiedliche Länge
| [[Datei:Vektorenlänge.png|none|250px]]
||$\exists k>0 : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$
||z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} \frac{4}{3} \\ 2 \end{array} \right)$, $k = \frac{2}{3} $
|-
||parallel (unterschiedliche Orientierung): 
| [[Datei:Vektororientierung1.png|none|250px]]
||$\exists k<0 : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$
||z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} -2 \\ -3 \end{array} \right)$, $k=-1$

|-
||linear unabhängig
| [[Datei:Vektorrichtung1.png|none|250px]]
||$\nexists k : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \nparallel \vec{u}$
||z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 3 \end{array} \right)$
|}

{{Vorlage:Beispiel|1=Überprüfe ob die Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 5 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$ linear unabhängig voneinander sind.

|2=Wenn es ein k gibt, sodass $k \cdot \vec{a} = \vec{b}$, dann sind die beiden Vektoren voneinander linear abhängig, und somit auch parallel zueinander.

Es gibt mehrere Lösungsmöglichkeiten:
*Möglichkeit 1: Lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen
$I: 2k = 4 \ \ \rightarrow k=2$
$II: 5k = 3 \ \ \rightarrow k=\frac{3}{5}$

Aus der ersten Gleichung ergibt sich $k=2$, in der zweiten aber $k=\frac{3}{5}$. $k$ kann aber nicht beides sein, somit haben wir eine falsche Aussage erhalten. Daraus folgt, dass die beiden Vektoren '''linear unabhängig''' und somit nicht parallel zueinander sind.

* Möglichkeit 2: "Vergleichen und Probieren"
Vergleicht man die x-Koordinaten der beiden Vektoren, so sieht man, dass $4$ doppelt so groß wie $2$ ist. Daraus ergibt sich, dass ein etwaiges $k=2$ sein müsste.
Probiert man, auch die zweite Zeile mit $2$ zu multiplizieren, so erhält man $10$. Die y-Koordinate von $\vec{b}$ müsste also $10$ sein, damit die beiden Vektoren parallel zueinander sind.
}}

 

===Betrag und Einheitsvektor===
[[Datei:PythagorasVektor.png|thumb|right|350px|Betrag eines Vektors; Einheitsvektor]]Wie anfangs bereits erwähnt, besitzen Vektoren eine Länge, auch '''Betrag''' eines Vektors genannt. Dieser wird mit Hilfe des pythagoräischen Lehrsatzes wie folgt berechnet:

<div align="center">$\parallel \vec{v} \parallel = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2} \ $ wenn $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ ein Vektor der Dimension $n$ ist.</div>
Sehen wir uns die Grafik rechts an, können wir mit dieser Formel die Länge des zweidimensionalen Vektors $\parallel \vec{v} \parallel$ berechnen:

<div align="center">$\parallel \vec{v} \parallel = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$</div>
 Der '''Einheitsvektor''' $\vec{a_0}$ eines Vektors $\vec{a}$ ist ein zu $\vec{a}$ paralleler Vektor mit Länge 1. Rechnerisch erhält man $\vec{a_0}$, indem man $\vec{a}$ durch seine Länge dividiert. $ \vec{a_0}

=\frac{\vec{a}}{\parallel \vec{a}\parallel}$
bzw.
$ \vec{a_0}=\frac{1}{\parallel\vec{a}\parallel}\cdot \vec{a}$

Daraus ergibt sich ein Vektor, der dieselbe Richtung des ursprünglichen Vektors hat, allerdings die Länge 1 besitzt.

{{Vorlage:Merke|1=
Sei $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ ein Vektor der Dimension $n$ und $\parallel \vec{v} \parallel$ sein Betrag, dann ist $\vec{v_0} = \frac{1}{\parallel \vec{v} \parallel} \cdot \vec{v} \ $ der Einheitsvektor zu $\vec{v}$.}}

In unserem Beispiel würde das folgendes bedeuten:

{{Vorlage:Beispiel|1= Bestimme den Einheitsvektor von $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$

|2=<div align="center">$\vec{v_0} = \frac{1}{\sqrt{13} } \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \frac{2}{\sqrt{13} } \\ \frac{3}{\sqrt{13} } \end{array} \right)$</div>
}}

===Vektoren bestimmter Länge===
Da wir nun gelernt haben, Einheitsvektoren zu bilden und Vektoren mit Zahlen zu multiplizieren (und ich das hier so schön betone), könnt ihr euch vielleicht schon vorstellen, wie man aus einem beliebigen Vektor einen Vektor derselben Richtung, allerdings unterschiedlicher Länge bekommt. Wir haben also einen Vektor $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ mit der Länge $\parallel \vec{v} \parallel = k$ gegeben, und hätten gerne den Vektor $\vec{w} \ \parallel \ \vec{v}$ mit der Länge $l$. Dazu berechnen wir zuerst den Einheitsvektor $\vec{v_0}$ von $\vec{v}$ und multiplizieren diesen dann mit $l$. So erhalten wir schließlich $\vec{w} = l \cdot \frac{\vec{v}}{k} = l \cdot \vec{v_0}$.

==Mittelpunkt einer Strecke==
[[Datei:Mittelpunkt.png|thumb|right|300px|Mittelpunkt M der Strecke AB]]Willst du den Mittelpunkt zwischen 2 Punkten $A$ und $B$ berechnen, musst du wie folgt vorgehen:
Zuerst berechnest du einen Vektor zwischen den Punkten ($\vec{AB}$ oder $\vec{BA}$). Dann halbierst du diesen Vektor, und erhältst $\vec{AM}$ bzw. $\vec{BM}$. Addierst du dann diesen Vektor zum entsprechenden Punkt ($A$ bzw. $B$), erhältst so den Mittelpunkt. Also:

<div align="center">$\vec{0M} = \vec{0A} + \frac{\vec{AB}}{2} = \vec{0B} + \frac{\vec{BA}}{2}$</div>

Dies lässt sich folgendermaßen weiter vereinfachen:
$$\vec{M} = \vec{A} + \frac{\vec{AB}}{2} = \frac{2\vec{A}}{2} + \frac{\vec{B} - \vec{A}}{2} = \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2}$$

=Im $\mathbb{R^2}$=
Dieser Artikel befasst sich mit der Vektorrechnung im zweidimensionalen Raum. Grundlegende Informationen zur Vektorrechnung, so wie Punkte und Vektoren, findest du unter dem Tab ''Grundlagen der Vektorrechnung''.

==Vektoren==
===Normalvektoren===
[[Datei:Normalvektoren.png|thumb|right|350px|Normalvektoren]]Normalvektoren zu einem Vektor sind alle Vektoren, die normal (im rechten Winkel) auf den Vektor stehen. Im $\mathbb{R^2}$ gibt es zu jedem Vektor genau 2 Normalvektoren, die dieselbe Länge wie der ursprüngliche Vektor haben. Alle anderen Normalvektoren sind Vielfache eines dieser 2 Normalvektoren.

{{Vorlage:Merke | 1=Sei $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ ein Vektor, dann ist $\vec{n_1}=\left( \begin{array}{c} -y \\ x \end{array} \right)$ sein nach links gekippter, und $\vec{n_2}=\left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right)$ sein nach rechts gekippter Normalvektor.
''Vertausche die Koordinaten und ändere '''ein''' Vorzeichen''
}}

===Skalarprodukt===
Unter dem Skalarprodukt versteht man die Multiplikation zweier Vektoren, bei der als Ergebnis ein Skalar (eine Zahl) entsteht.

{{Vorlage:Merke|1=Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren, dann ist $\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \end{array} \right) = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b$ gleich ihr Skalarprodukt.
}}

Das Skalarprodukt wirkt auf den ersten Blick etwas "eigenartig". Man kann sich die Bedeutung des Skalarproduktes besonders gut an einem Anwendungsbeispiel erklären:
Angenommen in einer Preisliste stehen 10 Kugelschreiber, die jeweils 2€ kosten und 20 Bleistifte, die jeweils 0,50€ kosten.
In Tabellenform sieht das folgendermaßen aus:

{| class="wikitable"
|-
! Produkt !! Stückzahl !! Preis pro Stück (in €)
|-
| Kugelschreiber || 10 || 2
|-
| Bleistift || 20 || 0,50
|}

Aus dieser Tabelle kann ein Stückzahlvektor $\left( \begin{array}{c} 10 \\ 20 \end{array} \right)$ und ein Preisvektor $\left( \begin{array}{c} 2 \\ 0,50 \end{array} \right)$ abgelesen werden.

Möchte man den Gesamtwert der Produkte berechnen, so müssen jeweils die Einzelpreise mit der Stückzahl multipliziert werden und anschließend die Summe gebildet werden.
Genau das macht das Skalarprodukt!
$\left( \begin{array}{c} 10 \\ 20\end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0.50 \end{array} \right) = 10 \cdot 2 + 20 \cdot 0.50 = 20 + 10 = 30€ $

===Winkel zwischen zwei Vektoren===
[[Datei:Winkel.png|thumb|right|350px|Winkel zwischen 2 Vektoren]]<big>$$cos{\varphi} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel} = \vec{a_0} \cdot \vec{b_0}$$
bzw.
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = \parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel \cdot cos{\varphi}$$</big>

Heißt es, den Winkel zwischen 2 Vektoren/Geraden zu bestimmen, ist damit immer der kleinere Winkel gemeint. Solltest du einmal ein Ergebnis erhalten, das größer als 180° ist (nennen wir dieses Ergebnis $\varphi'$), dann ziehe dieses Ergebnis von 360° ab und du erhältst den kleineren Winkel ($\varphi = 360° - \varphi'$). 
Bei einem Winkel von $\varphi = 90°$ erhalten wir $cos{\varphi} = 0$, was bedeutet, dass auch $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$. Daraus ergibt sich das Orthogonalitätskriterium.

====Orthogonalitätskriterium====
{{Vorlage:Merke|1=Ergibt das Skalarprodukt zweier Vektoren $0$, so stehen diese zwei Vektoren normal zueinander (und umgekehrt!)$$\vec{a} \cdot \vec{b} \ = \ 0 \ \Leftrightarrow \ \vec{a} \bot \vec{b}$$}}

Mithilfe des Orthogonalitätskriteriums kann man auch zeigen, dass $\vec{n}=\left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right)$ stets ein Normalvektor von $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ ist.
$$\vec{v} \cdot \vec{n} = \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right) = xy - yx = 0$$

==Geraden==
===Darstellungsformen===
Geraden lassen sich in unterschiedlichen Formen darstellen. In der Vektorrechnung ist die Parameterdarstellung populär, da man dazu nur einen Punkt und Vektor kennen muss. Die Normalform allerdings hat den Vorteil, dass man den Normalvektor zur Geraden auf einen Blick ablesen kann. Je nachdem, was man mit der Gerade vorhat, können die verschiedenen Formen ineinander umgewandelt werden.

====Parameterdarstellung====
[[Datei:Parameterdarstellung.png|thumb|right|350px|Parameterdarstellung einer Geraden]]$$g: \vec{0X} = \vec{0P} + t \cdot \vec{a}$$ 
wobei

* $X \in g$ ist ein '''beliebiger''' Punkt auf der unendlichen Geraden (steht für alle Punkte auf der Geraden)
* $P \in g$ ist ein '''bekannter''' Punkt auf der Geraden
* $t \in \mathbb{R}$ ist ein freier Parameter (in der Graphik rechts $\lambda$)
* $\vec{a} \in \mathbb{R^2}$ ist ein Vektor parallel zur Geraden, der die Richtung dieser angibt ("Richtungsvektor")

 
Beachte, dass in der Parameterdarstellung keine Punkte, sondern Ortsvektoren verwendet werden! (Info zu Ortsvektoren findest du unter ''Grundlagen der Vektorrechnung''.) Wenn man das weiß, kann man der Einfachheit halber die Gerade auch folgendermaßen beschreiben: $g: X = P + t \cdot \vec{a}$

 
Eine andere Schreibweise ist, die Koordinaten einzeln zu betrachten und 2 Gleichungen aufzustellen:
$$g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \end{cases}$$

====Normalvektorform====
Hierzu benötigt man einen Normalvektor des Richtungsvektors und multipliziert dann die Geradengleichung mit diesem Normalvektor. Da $\vec{a} \cdot \vec{n} = 0$, bleibt über:

Sei $g: \vec{0X} = \vec{0P} + t \cdot \vec{a}$ eine Gerade in Parameterform, so ist

<div align="center">$g: \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x_P \\ y_P \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right)$</div>

dieselbe Gerade in Normalform, wobei $\vec{0X}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right), \ \vec{0P}=\left( \begin{array}{c} x_P \\ y_P \end{array} \right), \ \vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right)$ und $\vec{n}=\left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right)$ ein Normalvektor von $\vec{a}$ (hier kann man natürlich auch den anderen Normalvektor verwenden).

====Allgemeine Geradengleichung====
Diese Form der Darstellung heißt auch Normalform, da man den Normalvektor der Gerade direkt ablesen kann.Um von der Parameterdarstellung auf diese Form zu kommen, gibt es 2 Möglichkeiten:

'''1. Multiplikation mit Normalvektor:'''
Hierzu muss man einfach die Normalform ausmultiplizieren und es ergibt sich:

$$g: y_a \cdot x + -x_a \cdot y = y_a \cdot x_P + -x_a \cdot y_P$$

'''2. Elimination des Parameters:'''
Hierbei gehen wir von der Geradenform $g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \end{cases}$ aus, eliminieren $t$, und kommen ebenfalls auf die obige allgemeine Geradengleichung.
Auf der rechten Seite der Gleichung stehen nur bekannte Größen, auf der linken Seiten stehen Vielfache von x und y. Diese Gleichung kann man weiter auch auf die Form y=kx+d umformen.

===Lagebeziehungen zwischen Geraden===
Mehrere Geraden können im $\mathbb{R^2}$

* ident sein, d.h. sie haben unendlich viele gemeinsame Punkte
* parallel sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt
* einander schneiden, d.h. sie haben genau ein gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt)

 Sind uns 2 Geraden in '''Parameterdarstellung''' gegeben, betrachten wir zuerst ihre Richtungsvektoren. 
Sind diese parallel zueinander, so sind auch die Geraden parallel zueinander. Nun bleibt noch die Frage offen, ob die Geraden ident sind. Dazu überprüfen wir einfach, ob der gegebene Punkt der einen Geraden auch auf der anderen Geraden liegt. Dazu Setzen wir den bekannten Punkt der einen Geraden für den unbekannten Punkt der anderen Geraden ein und erhalten 2 Gleichungen in einer Unbekannten (Parameter der zweiten Gerade). Erhalten wir nun für den Parameter zweimal dasselbe Ergebnis, so sind die 2 Geraden ident, erhalten wir unterschiedliche Ergebnisse, so sind sie nur parallel. 
Sind die Richtungsvektoren nicht parallel zueinander, so sind es auch die 2 Geraden nicht, und wir können uns sicher sein, dass diese einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen.
Doch wie erhalten wir den Schnittpunkt? Ganz einfach, indem wir die 2 Geraden schneiden. Dazu müssen wir sie gleichsetzen, und dann das dadurch erhaltene Gleichungssystem in 2 Unbekannten (die 2 Parameter) lösen. Wenn wir den Wert eines Parameters ausgerechnet haben, setzen wir ihn einfach in die entsprechende Geradengleichung ein und erhalten so den Schnittpunkt!

Sind die 2 Geraden in der '''allgemeinen Geradenform''' gegeben, so haben wir bereits 2 Gleichungen gegeben, die wir nach x und y auflösen. Dieses x und y sind die Koordinaten des Schnittpunktes.

Um das Schneiden von Geraden besser zu verstehen, schau dir das Lösen von [[ Gleichungssysteme (2.7.) |Gleichungssystemen]] genauer an, wirf einen Blick auf die Beispiele zum $\mathbb{R^2}$ unter dem Tab 'Beispiele', oder sieh dir dieses Video an:

<div align="center">{{#ev:youtube|ZrFE3LRisn0}}</div>

===Normalabstand Punkt - Gerade===
[[Datei:Normalabstand.gif|right]]Gegeben sei ein Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und eine Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$. Um den Normalabstand $d(Q,g)$ zwischen Q und g zu berechnen, gehe wie folgt vor:
{{Vorlage:Merke|1=1. Bestimme die Gerade $q: X = Q + s \cdot \vec{n}$, die durch $Q$ geht und den Normalvektor $\vec{n}$ von $\vec{a}$ als Richtungsvektor besitzt.
2. Schneide $g$ und $q$ und die erhältst ihren Schnittpunkt $S$. 
3. Berechne $\parallel \vec{QS} \parallel$.}}
In der Graphik rechts hätten wir z.B. die Angabe $g: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right) + \lambda \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array} \right)$ und $Q(3/4)$. Du kannst das zur Übung durchrechnen.

====Hesse'sche Abstandsformel====
Mithilfe dieser Formel kann man ebenfalls den Abstand $d(Q,g)$ zwischen Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$ bestimmen. <big>$d(Q,g) = | \vec{PQ} \cdot \vec{n_0} | $</big>, wobei $\vec{n_0}$ der normierte (Länge 1) Normalvektor des Richtungsvektors $\vec{a}$ der Geraden $g$ ist.

====Spiegelung eines Punktes an einer Geraden====
[[Datei:Spiegeln.png|thumb|right|250px|Gespiegelter Punkt Q']]Gegeben sei ein Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und eine Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$. Es gilt den Punkt $Q$ an der Gerade $g$ zu spiegeln, und so den Punkt $Q'$ zu erhalten. Dazu befolgst du die Vorgehensweise von "Normalabstand Punkt - Gerade" bis du den Vektor $\vec{QS}$ erhältst, und trägst diesen vom Punkt $S$ ab, also: 
$Q' = S + \vec{QS}$

=Im $\mathbb{R^3}$=
==Vektoren==
===Kreuzprodukt===
Im $\mathbb{R^3}$ gibt es neben dem Skalarprodukt, bei dem wir als Ergebnis ein Skalar erhalten, eine weitere Möglichkeit, zwei Vektoren miteinander zu multiplizieren: das sog. Kreuz- oder Vektorprodukt, bei dem wir als Ergebnis einen Vektor erhalten.{{Vorlage:Merke|1=Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren des $\mathbb{R^3}$, dann ist ihr Kreuzprodukt
$$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} y_a \cdot z_b - z_a \cdot y_b \\ z_a \cdot x_b - x_a \cdot z_b \\ x_a \cdot y_b - y_a \cdot x_b \end{array} \right)$$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ -3 \end{array} \right)$, gesucht ist ihr Kreuzprodukt.|

2=$$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \cdot (-3) - 3 \cdot 4 \\ 3 \cdot 5 - 1 \cdot (-3) \\ 1 \cdot 4 - 2 \cdot 5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-6) - 12 \\ 15 - (-3) \\ 4 - 10 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -18 \\ 18 \\ -6 \end{array} \right)$$}}

Wozu wir das Kreuzprodukt überhaupt benötigen, sehen wir an den nächsten 2 Punkten.

====Normalvektoren====
Im $\mathbb{R^3}$ gibt es zu einem Vektor unendlich viele Normalvektoren. Auf eine Ebene allerdings gibt es genau 2 Normalvektoren (wie im $\mathbb{R^2}$ auf eine Gerade). Eine Ebene wird von 2 Vektoren aufgespannt, deren Kreuzprodukt ergibt einen Normalvektor $\vec{n_1}$ auf die Ebene bzw. die zwei Vektoren; der zweite Normalvektor hat die entgegengesetzte Orientierung ($\vec{n_2} = -\vec{n_1}$). Also:$$\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$$

====Fläche eines von zwei Vektoren aufgespannten Parallelogramms oder Dreiecks====
[[Datei:FlächeNormalvektor.png|thumb|right|none|250px|2 Vektoren spannen ein Dreieck bzw. Parallelogramm auf]] 
{{Vorlage:Merke|1=Die Länge $\parallel \vec{n} \parallel = \parallel \vec{a} \times \vec{b} \parallel$ des Normalvektors $\vec{n}$ zu den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ entspricht der Maßzahl des Flächeninhaltes des Parallelogramms, das $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aufspannen (im Bild die gesamte grüne Fläche).
Die Hälfte dieser Fläche entspricht der Fläche des aufgespannten Dreiecks.}}

===Skalarprodukt, Orthogonalitätskriterium, Winkel zwischen zwei Vektoren===
Diese drei Dinge "funktionieren" im $\mathbb{R^3}$ wie im $\mathbb{R^2}$. Also hier nur eine kurze Wiederholung: 

'''Skalarprodukt''' 
Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\z_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren, dann ist $$\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right) = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b + z_a \cdot z_b$$ gleich ihr Skalarprodukt.
 

'''Orthogonalitätskriterium''' 
Ergibt das Skalarprodukt zweier Vektoren $0$, so stehen diese zwei Vektoren normal zueinander (und umgekehrt!)
$$\vec{a} \cdot \vec{b} \ = \ 0 \ \Leftrightarrow \ \vec{a} \bot \vec{b}$$
Auch das gibt es im $\mathbb{R^3}$. Bedenke aber, dass es hier, anders als im $\mathbb{R^2}$, unendlich viele Normalvektoren auf einen Vektor gibt.
 

'''Winkel zwischen zwei Vektoren'''
$$cos{\varphi} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel} = \vec{a_0} \cdot \vec{b_0}$$

==Geraden==
===Darstellungsformen===
====Parameterdarstellung====
Die Parameterdarstellung im $\mathbb{R^3}$ sieht genauso aus wie im $\mathbb{R^2}$, einziger Unterschied ist, dass unsere Punkte und Vektoren hier jeweils 3 Koordinaten haben.$$g: X = P + t \cdot \vec{a}$$ bzw. $$g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \\ z = z_P + t \cdot z_a \end{cases}$$
Mehr Infos zu den einzelnen Komponenten findest du im Tab 'Im $\mathbb{R^2}$'.

====Parameterfreie Darstellungsform====
Diese besteht aus 2 Gleichungen und wir erhalten sie durch Eliminierung des Parameters.

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sei die Parameterform der Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ -4 \\ 1 \end{array} \right)$. Zuerst schreiben wir das in die 3 Koordinatengleichungen um:
$$g : \begin{cases} x = 2 + 3t \\ y = 0 - 4t \\ z = 1 + t \end{cases}$$

|2=Wir multiplizieren die erste Gleichung mit $4$ und die zweite Gleichung mit $3$ und addieren die beiden: $$+ \begin{cases} 4x = 8 + 12t \\ 3y = 0 - 12t \end{cases}$$ und erhalten so die Gleichung $4x + 3y = 8$.
Wir multiplizieren die dritte Gleichung mit $3$ und subtrahieren diese von der ersten Gleichung: $$- \begin{cases} x = 2 + 3t \\ 3z = 3 + 3t \end{cases}$$ und erhalten so die Gleichung $x - 3z = -1$.

Die parameterfreie Darstellung unserer Gerade lautet somit $$g : \begin{cases} 4x + 3y = 8 \\ x - 3z = -1 \end{cases}$$.}}

Die zwei Gleichungen in der parameterfreien Darstellung sind übrigens Ebenengleichungen. Die eigentliche Gerade ist der Schnitt dieser zwei Ebenen!

===Lagebeziehungen zwischen Geraden===
Mehrere Geraden können im $\mathbb{R^3}$

* ident sein, d.h. sie haben unendlich viele gemeinsame Punkte
* parallel sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt
* einander schneiden, d.h. sie haben genau ein gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt)
* windschief sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt und sind nicht parallel

Um herauszufinden, wie 2 gegebene Geraden in Parameterform zueinander stehen, gehst du am besten wie folgt vor:

'''Betrachtung der Richtungsvektoren:''' Auch im $\mathbb{R^3}$ gilt, sind die Richtungsvektoren zweier Geraden parallel zueinander (d.h. man kann einen Vektor als Vielfaches des anderen Vektors darstellen), so sind es auch die Geraden.

'''Fall 1: Die Vektoren sind parallel:''' Sollte sich herausstellen, dass die zwei Geraden parallel zueinander sind, überprüfst du als nächstes, ob sie einen gemeinsamen Punkt haben; am einfachsten funktioniert das, indem du den bekannten Punkt ($P$) der einen Geraden in die zweite Gerade (für den unbekannten Punkt $X$) einsetzt. Wir erhalten drei Gleichungen in einer Unbekannten (Parameter der zweiten Gerade). 
'''Fall 1a:''' Erhalten wir nun für den Parameter dreimal dasselbe Ergebnis, so sind die 2 Geraden '''ident''' (und parallel), da der überprüfte Punkt, und somit unendlich weitere, auf beiden Geraden liegen. 
'''Fall 1b:''' Erhalten wir unterschiedliche Ergebnisse, so sind sie nur '''parallel''', da der überprüfte Punkt nicht, und somit auch kein anderer, auf beiden Geraden liegen.

'''Fall 2: Die Vektoren sind nicht parallel:''' Nun gibt es nur noch zwei Möglichkeiten: Entweder die zwei Geraden haben einen gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt), oder sie sind windschief. 
Um das wiederum herauszufinden, setzt du die beiden Geraden gleich, d.h. du stellst ein lineares Gleichungssystem (LGS) mit drei Gleichungen und in drei Unbekannten auf, und versuchst, dieses zu lösen. 
'''Fall 2a:''' Solltest du nun eine Lösung erhalten, d.h. du erhältst den Wert für den Parameter einer der zwei Geraden (und hast diesen Wert überprüft), so weißt du, dass die zwei Geraden einander '''schneiden'''. Den Schnittpunkt erhältst du jetzt, indem du den erhaltenen Wert für den Parameter in die entsprechende Geradengleichung einsetzt. 
'''Fall 2b:''' Sollte dein LGS keine Lösung ergeben (also sich eine falsche Aussage oder ein Widerspruch ergeben, z.B. $2=13$, oder $t=4$ und $t=-1$), dann weißt du, dass deine beiden Geraden keinen Schnittpunkt haben und somit '''windschief''' sind.

Zum besseren Verständnis siehst du dir am besten das folgende Video und die beiden folgenden Beispiele an.

<div align="center">{{#ev:youtube|u0QoYlEE094}}</div>
{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die beiden Geraden $g: X = \left( \begin{array}{c} 0 \\ -11 \\ -3 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right)$ und $h: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ -3 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right)$. Überprüfe deren gegenseitige Lage und gegebenenfalls ihren Schnittpunkt!|2=Zuerst überprüfen wir die Richtungsvektoren der beiden Geraden, um festzustellen, ob diese parallel zueinander sind oder nicht:$$\nexists \lambda : \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) = \lambda \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) \nparallel \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g \nparallel h$$
$g$ und $h$ sind also nicht parallel. Sie können also noch entweder einander schneiden oder windschief sein. Stellen wir nun ein LGS auf, indem wir die beiden Geraden gleichsetzen:
$$\begin{align}
I: \ &&&s&=&2&+&t \\
II: \ &-11&+&2s&=&3&-&3t \\
III: \ &-3&+&s&=&-3&+&2t
\end{align}$$ 
Wir subtrahieren $III$ von $I$: $- \begin{cases} &s &=& 2 + t \\ -3 + &s &=& -3 + 2t \end{cases} \ \rightarrow \ 3 = 5 - t \Rightarrow t = 2$ 
Wir überprüfen dieses Ergebnis für $t$, indem wir $t=2$ in alle 3 Gleichungen einsetzen. Wir sehen dann, dass wir überall dasselbe Ergebnis für $s$ erhalten, nämlich $s=4$. Daraus folgt, dass die Geraden einander '''schneiden'''. Setzen wir nun $t=2$ oder $s=4$ in die entsprechende Geradengleichung, so erhalten wir den Schnittpunkt $S(4/-3/1)$ der beiden Geraden.}}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die beiden Geraden $g: X = \left( \begin{array}{c} 3 \\ -2 \\ 0 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right)$ und $h: X = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$. Überprüfe deren gegenseitige Lage und ggf. ihren Schnittpunkt!|2=Zuerst überprüfen wir wieder die Richtungsvektoren der beiden Geraden:$$\nexists \lambda : \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) = \lambda \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) \nparallel \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g \nparallel h$$
Nun stellen wir wieder ein LGS auf:
$$\begin{align}
I: \ &3&+&2s&=&4&-&t \\
II: \ &-2&-&2s&=&3&& \\
III: \ &&&s&=&1&+&t
\end{align}$$ 
Aus der zweiten Gleichung lässt sich direkt berechnen, dass $s=- \frac{5}{2}$. Dies setzen wir nun in die erste und zweite Gleichung ein und erhalten einmal $3 - 5 = 4 - t \ \Rightarrow \ t=6$ und einmal $- \frac{5}{2} = 1 + t \ \Rightarrow \ t=- \frac{7}{2}$. Diese beiden Werte für $t$ sind offensichtlich voneinander unterschiedlich, daraus folgt, dass die beiden Geraden $g$ und $h$ '''windschief''' sind.
}}

==Ebenen==
Eine Ebene ist durch 3 Punkte oder 1 Punkt und 2 (voneinander linear unabhängigen) Vektoren eindeutig festgelegt.

===Darstellungsformen===
====Parameterdarstellung====
[[Datei:ebene2.png|thumb|right|350px|von Punkt und Vektoren aufgespannte Ebene]]
$$\epsilon : X = P + s \cdot \vec{a} + t \cdot \vec{b}$$
bzw.
$$\epsilon : \begin{cases} x = x_P + s \cdot x_a + t \cdot x_b \\ y = y_P + s \cdot y_a + t \cdot y_b \\ z = z_P + s \cdot z_a + t \cdot z_b \end{cases}$$
wobei

* $X \in \epsilon$ ist ein '''beliebiger''' Punkt auf der unendlichen Ebene
* $P \in \epsilon$ ist ein '''bekannter''' Punkt auf der Ebene
* $s, t \in \mathbb{R}$ sind freie Parameter
* $\vec{a}, \vec{b} \in \mathbb{R^3}$ sind zwei Vektoren, die parallel zur Ebene liegen

====Normalvektorform====
Man multipliziert die Parameterdarstellung der Ebene mit ihrem Normalvektor $\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$ und erhält$$\vec{n} \cdot \vec{X} = \vec{n} \cdot \vec{P}$$

====Allgemeine Ebenengleichung====
$$ax + by + cz = d$$Diese Form der Darstellung heißt auch Normalform, da man den Normalvektor der Ebene direkt ablesen kann. Um von der Parameterdarstellung auf diese Form zu kommen, gibt es 2 Möglichkeiten:

'''1. Multiplikation mit Normalvektor:'''
Hierzu muss man einfach die Normalform ausmultiplizieren und es ergibt sich:

$$\epsilon: x_n \cdot x + y_n \cdot y + z_n \cdot z = x_n \cdot x_P + y_n \cdot y_P + z_n \cdot z_P$$

'''2. Elimination des Parameters:'''
Hierbei gehen wir von der Ebenengleichung $\epsilon : \begin{cases} x = x_P + s \cdot x_a + t \cdot x_b \\ y = y_P + s \cdot y_a + t \cdot y_b \\ z = z_P + s \cdot z_a + t \cdot z_b \end{cases}$ aus, eliminieren $s$ und $t$, und kommen ebenfalls auf die obige allgemeine Ebenengleichung.

Zur Veranschaulichung ein Beispiel zu den verschiedenen Darstellungsformen:
{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die drei Punkte $A(1/1/1), B(-1/-4/2), C(0/3/-1)$. Gib die Ebene, die diese drei Punkte aufspannen, in Parameterform, Normalform und allgemeiner Ebenengleichung an!|2=Für die Parameterform berechnen wir erst zwei beliebige Vektoren aus den 3 Punkten, z.B. $\vec{AB} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{AC} = \left( \begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right)$. Als Parameterform erhalten wir schließlich:
$$\epsilon: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right)$$ Um auf die Normalform zu kommen, bestimmen wir als erstes den Normalvektor der Ebenen: $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-5) \cdot (-2) - 1 \cdot 2 \\ 1 \cdot (-1) - (-2) \cdot (-2) \\ (-2) \cdot 2 - (-5) \cdot (-1) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right)$. 
Nun die Parametergleichung mit dem Normalvektor multiplizieren und wir erhalten auch die Normalform:
$$\epsilon: \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)$$ 
Um nun noch die allg. Ebenenform zu erhalten, multipliziert man am einfachsten die Normalform aus und erhält:
$$\epsilon: 8x - 5y -9z =-6$$ 
Aber auch die Elimination der Parameter soll hier gezeigt werden. Wir gehen aus von: $$\epsilon : \begin{cases} x = 1 - 2s - t \\ y = 1 - 5s + 2t \\ z = 1 + s - 2t\end{cases}$$
Addieren wir die y- und die z-Gleichung, können wir $t$ eliminieren: $+ \begin{cases} y = 1 - 5s + 2t \\ z = 1 + s - 2t \end{cases} \ \Rightarrow \ y + z = 2 - 4s$. 
Wir können $t$ ebenfalls eliminieren, indem wir die y-Gleichung zum 2-fachen der x-Gleichung addieren: $+ \begin{cases} 2x = 2 - 4s - 2t \\ y = 1 - 5s + 2t \end{cases} \ \Rightarrow \ 2x + y = 3 -9s$. 
Nun haben wir zwei Gleichungen, die nur mehr von $s$ abhängig sind. Um diesen Parameter nun auch noch zu eliminieren, multiplizieren wir die erste Gleichung mit $(-9)$ und die zweite mit $4$ und addieren diese, um nochmals auf die allg. Ebenengleichung zu kommen.
$$+ \begin{cases} 8x + 4y = 12 - 36s \\ -9y - 9z = -18 + 36s \end{cases} \ \Rightarrow \ \epsilon: 8x - 5y -9z =-6$$
}}

===Lagebeziehungen===
====...zwischen zwei Ebenen====
Zwei Ebenen können im $\mathbb{R^3}$

* ident sein: die Ebenengleichungen (allg. Form) sind Vielfache voneinander;

z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : 2x + 2y + 2z = 6 \Rightarrow \epsilon _2 = 2 \cdot \epsilon _1$

* parallel sein: die Normalvektoren der Ebenen sind Vielfache voneinander;

z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : 2x + 2y + 2z = 5 \Rightarrow \vec{n_2} = 2 \cdot \vec{n_1}$

* einander schneiden (in einer Gerade): die Normalvektoren der Ebenen sind keine Vielfache voneinander;

z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : x - 3y + 2z = 1 \Rightarrow \nexists \lambda \in \mathbb{R} : \vec{n_1} = \lambda \cdot \vec{n_2}$

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:Ebenenident2.png|2 Ebenen sind ident
Datei:Ebenenparallel2.png|2 Ebenen sind parallel
Datei:Ebenenschnittgerade2.png|2 Ebenen schneiden einander in einer Geraden
</gallery>

 
'''Berechnen der Schnittgerade''' 
Erkennt man durch Betrachtung der Normalvektoren zweier Ebenen, dass diese einander schneiden müssen, so kann man diese Schnittgerade berechnen. Dazu erstellt man aus den beiden Ebenengleichungen ein lineares Gleichungssystem in 3 Unbekannten. 2 Gleichungen - 3 Unbekannte: wir werden hier nicht für alle Unbekannten einen Zahlenwert erhalten, können aber 2 Unbekannte in Abhängigkeit der dritten darstellen. Diese dritte Unbekannte wird uns als Parameter für die Darstellung der Geraden dienen. Zur Veranschaulichung ein Beispiel:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die beiden Ebenen $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : x - 3y + 2z = 1$. Wie wir weiter oben schon festgestellt haben, müssen diese Ebenen einander schneiden, da die beiden Noramlvektoren der Ebenen $\vec{n_1}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{n_2}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right)$ linear unabhängig voneinander sind, also $\nexists \lambda \in \mathbb{R} : \vec{n_1} = \lambda \cdot \vec{n_2}$. 
Wir wählen nun eine der Koordinaten als Parameter, z.B. $z=t$ und stellen das Gleichungssystem auf.

|2=

$$\begin{align}I: \ &x&+&y&+&t&=&3 \\
II: \ &x&-&3y&+&2t&=&1
\end{align}$$

Wir subtrahieren $I-II$ und erhalten
$$4y - t = 2 \ \Rightarrow \ y = \frac{1}{2} + t \cdot \frac{1}{4}$$
Nun setzen wir unser erhaltenes $y$ in die erste Gleichung ein, um $x$ zu erhalten:

$$I: \ x + \frac{1}{2} + t \cdot \frac{1}{4} + t = 3 \ \Rightarrow \ x = \frac{5}{2} - t \cdot \frac{5}{4}$$
Somit haben wir alle Ausdrücke der Koordinaten gefunden ($z=t$ haben wir anfangs festgelegt) und können die Parameterdarstellung der Schnittgerade angeben:
$$g: X = \left( \begin{array}{c} \frac{5}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 0 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} - \frac{5}{4} \\ \frac{1}{4} \\ 1 \end{array} \right)$$
}}

====...zwischen 3 Ebenen====
Drei Ebenen können im $\mathbb{R^3}$

* alle ident sein
* 2 ident, 1 parallel sein
* alle parallel sein
* 3 Schnittgeraden haben
* 2 Schnittgeraden haben (2 Ebenen parallel)
* 1 Schnittgerade haben
* 1 Schnittpunkt haben

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:Ebenenident3.png|3 Ebenen sind ident
Datei:Ebenenidentparallel.png|2 Ebenen sind ident, 1 parallel
Datei:Ebenenparallel3.png|3 Ebenen sind parallel
Datei:Ebenenschnittgeraden33.png|3 Ebenen schneiden einander in 3 Geraden
Datei:Ebenenschnittgeraden32.png|3 Ebenen schneiden einander in 2 Geraden (2 Ebenen parallel)
Datei:Ebenenschnittgerade3.png|3 Ebenen schneiden einander in einer Gerade
Datei:Ebenenschnittgerade31.png|3 Ebenen schneiden einander in einer Gerade (2 Ebenen ident)
Datei:Ebenenschnittpunkt3.png|3 Ebenen schneiden einander in einem Punkt
</gallery>

====...zwischen Ebene und Gerade====
Eine Ebene und eine Gerade können im $\mathbb{R^3}$

* $g \subset \epsilon$, die Gerade liegt auf der Ebene

Hierbei haben die Gerade und die Ebene einen gemeinsamen Punkt und der Richtungsvektor der Gerade steht normal auf den Normalvektor der Ebene, daraus folgt, dass sie unendlich gemeinsame Punkte haben.

* parallel sein

Irgendein Punkt der Gerade liegt nicht auf der Ebene, der Richtungsvektor der Gerade steht normal auf den Normalvektor der Ebene, daraus folgt, dass sie keinen einzigen gemeinsamen Punkt haben.

* 1 Schnittpunkt haben

Der Richtungsvektor der Geraden steht nicht normal auf den Normalvektor der Ebene.

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:GeradeinEbene.png|Gerade liegt auf der Ebene
Datei:GeradepararallelEbene.png|Gerade und Ebene sind parallel zueinander
Datei:GeradeSchnittpunktEbene.png|Gerade und Ebene schneiden einander (Schnittpunkt)
</gallery>

Zur Überprüfung der Lagebeziehung gibt es allerdings noch eine andere (schnellere) Methode. Hier "schneiden" wir die Gerade und die Ebene mathematisch, d.h. wir setzen sie gleich (wenn beide in Parameterform gegeben sind) oder setzen die Gerade $g$ (Parameterform) in die Ebene $\epsilon$ (allg. Ebenengleichung) ein. 
Wir erhalten dadurch ein Gleichungssystem oder eine einzelne Gleichung.

Sei die Gerade gegeben als $g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \\ z = z_P + t \cdot z_a \end{cases}$ und die Ebene als $\epsilon : \begin{cases} x = x_Q + s \cdot x_b + u \cdot x_c \\ y = y_Q + s \cdot y_b + u \cdot y_c \\ z = z_Q + s \cdot z_b + u \cdot z_c \end{cases}$ (Parameterform) oder $\epsilon : ax + by + cz = d$ (allg. Ebenengleichung).

Wir erhalten als Gleichungssystem durch Gleichsetzen der Gleichungen der Parameterformen:
$$\begin{cases} x_P + t \cdot x_a = x_Q + s \cdot x_b + u \cdot x_c \\ y_P + t \cdot y_a = y_Q + s \cdot y_b + u \cdot y_c \\ z_P + t \cdot z_a = z_Q + s \cdot z_b + u \cdot z_c \end{cases}$$ 
Wir erhalten durch Einsetzen der Gerade in die Ebene (allg. Ebenengleichung):
$$a \cdot (x_P + t \cdot x_a) + b \cdot (y_P + t \cdot y_a) + c \cdot (z_P + t \cdot z_a) = d$$

Ergibt sich hier eine wahre Aussage (z.B. $1=1$), also unendlich viele Lösungen, so liegt die Gerade in der Ebene. 
Ergibt sich eine falsche Aussage (z.B. $1=2$), also keine Lösung, so schneiden die beiden Objekte einander nicht, also sie sind parallel. 
Gibt es genau eine Lösung (z.B. $t=2$), so existiert genau ein gemeinsamer Punkt = Schnittpunkt. Diesen erhält man, indem man den ermittelten Wert für den Parameter $t$ der Geraden in die Geradengleichung einsetzt (oder, wenn die Ebene in Parameterform gegeben war, die beiden Werte für die Parameter $s$ und $u$ der Ebene in die Ebenengleichung einsetzt). Dazu 2 Beispiele, wobei wir im ersten mit der Ebene in Parameterform rechnen werden:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right)$ und die Ebene $\epsilon : X = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -1 \\ -3 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) + u \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 0 \end{array} \right)$. Stellen wir nun also unser Gleichungssystem auf:

|2=\begin{align}

I: \ & \ 1&-t&=&4& &+2u \\
II: \ &-3& &=&-1&+s&-u \\
III: \ & \ 2&+2t&=&-3&+s&
\end{align}

In der ersten Gleichung drücken wir $u$ in $t$ aus: $u = - \frac{3}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$ 
In der zweiten Gleichung drücken wir $s$ in $u$ aus: $s = -2 + u$ 
Das $u$ von oben setzen wir nun hier ein und erhalten $s$ in Abhängigkeit von $t$: $s = - \frac{7}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$.

Dieses $s$ setzen wir nun in die dritte Gleichung ein und wir erhalten: $2 + 2t = -3 - \frac{7}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$ und in weiterer Folge $t = - \frac{17}{5}$. 
Es ergibt sich also genau eine Lösung für das Gleichungssystem, was bedeutet, dass die Gerade und die Ebene einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen. Diesen erhalten wir, indem wir den errechneten Wert für $t$ in die Geradengleichung einsetzen (Man könnte natürlich auch noch die Werte für $s$ und $u$ berechnen, und diese in die Ebenengleichung einsetzen; zur Übung kannst du das gerne tun):
$$g: S = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) - \frac{17}{5} \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \frac{23}{5} \\ -3 \\ - \frac{24}{5} \end{array} \right)$$
}}

Betrachten wir nun dasselbe Beispiel, mit dem Unterschied, dass die Ebene in Normalform gegeben ist und wir auch gleich mit dieser Form rechnen:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right)$ und die Ebene $\epsilon : x + 2y - 2z = 8$. Wir setzen die Koordinatengleichungen der Gerade in die Normalform der Ebene:

|2= $g$ in $\epsilon$: $$1 - t - 6 - 4 -4t =8$$

Wenn wir diese Gleichung lösen, erhalten wir, wie im ersten Bespiel, $t = - \frac{17}{5}$. Dies noch in die Geradengleichung einsetzen, und wir erhalten den Schnittpunkt.}}

Da man bei der zweiten Methode meistens weniger Rechenaufwand hat, zahlt es sich oft aus die Parameterdarstellung der Ebene in die Normalform (= allg. Ebenengleichung) umzurechnen.

==Pyramidenbeispiel==
[[Datei:Pyramidebsp.png|thumb|right|350px|Pyramide]]Gegeben seien 3 Eckpunkte $A(-2/-2/1), B(2/-2/1), C(2/2/1)$ der quadratischen Grundfläche und der Spitzpunkt $S(0/0/6)$ einer geraden (gerade bedeutet, dass die Spitze in einem rechten Winkel über dem Mittelpunkt der Grundfläche der Pyramide liegt) Pyramide.
Gesucht sind:

# der vierte Eckpunkt $D$ der Grundfläche
# die Parameterdarstellung der Trägergeraden $h$ der Höhe
# die Fläche der Grundfläche
# die Geradengleichung der Geraden $g_{AS}$ auf der $A$ und $S$ liegen in a)Parameterform und b)parameterfreier Form
# Der Winkel $\alpha$ zwischen den Vektoren $\vec{AS}$ und $\vec{AC}$
# Zeige, dass der Schnittpunkt der Geraden $g_{AS}$ und $h$ gleich die Spitze $S$ ist
# Gib die Ebenengleichung $\epsilon$ der Grundfläche in a)Parameterform, b)Normalform und c)allgemeiner Ebenengleichung an
# Berechne den Fußpunkt $M$ der Höhe, indem du $h$ und $\epsilon$ schneidest

1. $D = A + \vec{BC} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -2 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right)$ 
2. $h: X = S + t \cdot \vec{h}$
$$\vec{AB} \times \vec{BC} = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 16 \end{array} \right) \ \parallel \ \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) = \vec{h}$$
$$h: X = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$$ 
3. $G = \parallel \vec{AB} \times \vec{BC} \parallel = \parallel \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 16 \end{array} \right) \parallel = 16FE$ 
4. a) $g_{AS}: X = A + u \cdot \vec{AS}$
$$\vec{AS} = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g_{AS}: X = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + u \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right)$$ oder $$g_{AS}:\begin{cases} x = -2 + 2u \\ y = -2 + 2u \\ z = 1 + 5u \end{cases}$$
b) Parameter elimieren:
$$x - y: x-y = 0$$
$$5x - 2z: 5x - 2z = -12$$
$$\Rightarrow g_{AS}:\begin{cases} x - y = 0 \\ 5x - 2z = -12 \end{cases}$$ 
5. $\measuredangle \vec{AS},\vec{AC} = \alpha = arccos{\frac{\vec{AS} \cdot \vec{AC}}{\parallel \vec{AS} \parallel \cdot \parallel \vec{AC} \parallel}} = arccos{\frac{\left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right)}{\parallel \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) \parallel \cdot \parallel \left( \begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) \parallel}} = arccos{\frac{16}{\sqrt{33 \cdot 32}}} = 60,5°$ 
6. $g_{AS}$ und $h$ gleichsetzen:
$$\begin{align}
I: \ &-2&+&2u&=&0&& \\
II: \ &-2&+&2u&=&0&& \\
III: \ & \ \ 1&+&5u&=&6&+&t
\end{align}
\ \ \ \rightarrow u=1$$
$$g_{AS}: S = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + 1 \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array} \right)$$ 
7. a) $\epsilon: X = A + v \cdot \vec{AB} + w \cdot \vec{BC} \ \rightarrow \ \epsilon: X = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + v \cdot \left( \begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) + w \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right)$ 
b) $\epsilon: \vec{n} \cdot \vec{X} = \vec{n} \cdot \vec{A} \ \rightarrow \ \epsilon: \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right)$ 
c) $\epsilon: z = 1$ 
8. $h:\begin{cases} x=0 \\ y=0 \\ z=6+t \end{cases} \ \ \epsilon: z=1 \ \ \rightarrow \ 1 = 6 + t \ \Rightarrow \ t=-5$ 
$h: M = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array} \right) -5 \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$

=Beispiele=
Hier findest du Beispiele zu den behandelten Themen:

===Grundlagen der Vektorrechnung===
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/9/99/VektorrechnungGLBspAngabe.pdf VektorrechnungGLBspAngabe.pdf] 
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/0/00/VektorrechnungGLBspL%C3%B6sung.pdf VektorrechnungGLBspLösung.pdf]

===Vektorrechnung im $\mathbb{R^2}$===
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/7/7f/VektorrechnungR2BspAngabe.pdf VektorrechnungR2BspAngabe.pdf] 
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/f/ff/VektorrechnungR2BspL%C3%B6sung.pdf VektorrechnungR2BspLösung.pdf]

Vektorrechnung

2016-08-08T10:36:15Z

Lajtos: /* Mittelpunkt einer Strecke */

=Grundlagen=
==Koordinatensystem==
[[Datei:Quadranten.png|thumb|Coordinate System|thumb|right|350px|Koordinatengitter im $\mathbb{R^2}$ mit den 4 Quadranten]]

Für die Vektorrechnung sind Koordinatensysteme essentiell.
Im zweidimensionalen Raum besitzt ein Koordinatensystem 2 Achsen:

* die x-Achse (waagrecht) und
* die y-Achse (senkrecht)

 
Diese sind unendlich lang und Spannen die vier sogenannten Quadranten auf, die meist mit den römischen Ziffern I-IV beschriftet werden (gesprochen: Erster Quadrant, Zweiter Quadrant etc.). Die rechte Graphik zeigt die die Positionen der Quadranten. Dort, wo die 2 Achsen einander treffen, liegt der sog. Ursprung (kurz: $\vec{0}$); seine Koordinaten sind $(0/0)$.

Was es außerdem noch zu beachten gibt, hast du vielleicht bereits selbst erkannt:
An den gegenüberliegenden Seiten der x- und y-Achsen werden unterschiedliche Vorzeichen verwendet. So spricht man "links" des Ursprungs von der negativen, bzw. "rechts" des Ursprungs von der positiven x-Achse. Analog spricht man "oben" und "unten" von der positiven und negativen y-Achse.

Im dreidimensionalen Raum kommt eine dritte Achse - die z-Achse - dazu. Punkte und Vektoren besitzen dementsprechend dann auch 3 Koordinaten. Dies kann man bis ins n-dimensionale weiterführen.

==Punkte==
In ein Koordinatensystem lassen sich Punkte eintragen. Diese besitzen, entsprechend ihrer Lage, Koordinaten. Im obigen Bild z.B. haben wir die Punkte A und B, wobei sich A im ersten Quadranten befindet und B im vierten Quadranten. Man schreibt: A(2/3,5) B(1/-2).

[[Datei:Punkte Abstand.png|thumb|right|350px|Punkte im $\mathbb{R^2}$]]

{{Vorlage:Merke |''Einen'' '''allgemeinen Punkt''' ''schreibt man an als'' $P(x_1/x_2/.../x_n)$ (im n-dimensionalen Raum $\mathbb{R^n}$) ''bzw.'' $P(x/y)$ (im 2-dimensionalen Raum $ \mathbb{R^2}$) ''oder'' $P(x/y/z)$ (im 3-dimensionalen Raum $\mathbb{R^3}$).
 
Die erste Koordinate entspricht der x-Koordinate, die zweite der y-Koordinate, die eventuelle dritte der z-Koordinate.

Punkte werden in der Regel mit Großbuchstaben bezeichnet.}}

Koordinaten von Punkten lassen sich also ganz einfach ablesen. Die x/y-Koordinate entspricht dabei dem Abstand vom Ursprung zum Punkt in Richtung der jeweiligen Koordinatenachse. So erkennen wir im Bild rechts die folgenden Punkte:

* A(2/0)
* B(0/-2)
* C(-1/2)

=Vektoren=

==Definition & Darstellung von Vektoren==
{{Vorlage:Definition |1= Ein Zahlenpaar $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \in \mathbb{R^2}$ wird als '''Vektor aus $\mathbb{R^2}$ ''' bezeichnet.
Analog bezeichnet man ein Zahlentripel $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) \in \mathbb{R^3}$ als '''Vektor aus $\mathbb{R^3}$ '''. 
Ein '''allgemeiner Vektor''' wird $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) \ \in \mathbb{R^n}$ geschrieben.

}}

Da sowohl die Rechenoperationen als auch die geometrischen Darstellungen leicht vom $\mathbb{R^2}$ in den $\mathbb{R^3}$ übertragen werden können, werden wir meistens nur die Vorgangsweise für Zahlenpaare aus dem $\mathbb{R^2}$ beschreiben.

===Geometrische Darstellung von Vektoren===

Es gibt zwei Möglichkeiten, wie wir einen Vektor $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right) \ \in \mathbb{R^2}$ geometrisch darstellen können:
* '''Darstellung als Punkt''': Dabei gibt $a$ die x-Koordinate und $b$ die y-Koordinate des Punktes an. Die Beschriftung erfolgt mit Großbuchstaben.
* '''Darstellung als Pfeil''': Dabei gibt $a$ die x-Richtung des Pfeils (wie weit zeigt der Pfeil nach links bzw. rechts) und $b$ die y-Richtung des Pfeils (wie weit zeigt der Pfeil nach oben bzw. nach unten) an. Pfeile werden mit Kleinbuchstaben (oft mit Pfeil $\vec{v}$) beschriftet.

Die Darstellung als Punkt ist eindeutig! Einem Zahlenpaar (=Vektor) entspricht genau ein Punkt!
Die Darstellung als Pfeil ist nicht eindeutig! Es gibt unendlich viele Pfeile, die denselben Vektor darstellen. Diese Pfeile sind aber alle parallel, gleich lang und gleich gerichtet.

'''Beispiel:''' Darstellung des Vektors $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$
{| class="wikitable"
|-
| '''Punktdarstellung des Vektors'''|| '''Mögliche Pfeildarstellungen des Vektors'''
|-
| [[Datei:Punkt.png|thumb|300px]]|| [[Datei:Pfeile.png|thumb|300px]]
|}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 3 \\ -4 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 5 \end{array} \right)$. Stelle $\vec{a}$ und $\vec{b}$ als Punkte und als Pfeile dar.
|2=[[Datei:Punkt Pfeil Bsp.png|300px]] 
'''Anmerkungen:'''
* Für die Pfeildarstellungen gibt es mehrere (unendlich viele) Möglichkeiten. Der von dir gezeichnete Pfeil muss jedenfalls parallel, gleich gerichtet und gleich lang wie der abgebildete Pfeil sein!
* Aus "Bequemlichkeitsgründen" zeichnet man die Pfeile oft beginnend beim Ursprung ein:
[[Datei:Punkt Pfeil Bsp2.png|300px]]
 
}}

Vektoren des $\mathbb{R^3}$ können auch auf diese zwei Arten dargestellt werden. Der einzige Unterschied dabei ist, dass die Punkte bzw. Pfeile im dreidimensionalen Raum liegen. Es gibt also noch eine dritte Richtung, die durch die z-Koordinate des Vektors angegeben wird.

===Ortsvektoren===
[[Datei:Ortsvektor.png|thumb|right|250px|Punkt und zugehöriger Ortsvektor]]Der Ortsvektor von einem Punkt ist der Vektor, der vom Ursprung aus auf den Punkt zeigt. Die Koordinaten bleiben deshalb gleich, es ändert sich quasi nur die Schreibweise:

Sei $A(x_1/x_2/.../x_n)$ ein Punkt in der Dimension $n$, dann ist $\vec{0A} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ dessen Ortsvektor.
 
 
 
 
 

==Rechnen mit Vektoren==

===Addition und Subtraktion von Vektoren===
{{Vorlage:Merke|1=Wenn du Vektoren addieren oder subtrahieren möchtest, musst du dazu die entsprechenden Koordinaten addieren: 
$\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) \pm \left( \begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ ... \\ y_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x_1 \pm y_1 \\ x_2 \pm y_2 \\ ... \\ x_n \pm y_n \end{array} \right)$ 
Wichtig ist dabei, dass die Vektoren, die du addieren oder subtrahieren möchtest, derselben Dimension $n$ angehören! D.h. sie haben gleich viele Koordinaten.}}
{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben seien die beiden Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right)$. Berechne erst $\vec{a} + \vec{b}$, dann $\vec{a} - \vec{b}$ und zuletzt $\vec{b} - \vec{a}$!
|2= $\vec{a} + \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 5+1 \\ 2+(-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 6 \\ -1 \end{array} \right)$
$\vec{a} - \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 5-1 \\ 2-(-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 5 \end{array} \right)$ 
$\vec{b} - \vec{a} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 1-5 \\ -3-2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -4 \\ -5 \end{array} \right)$}}

===Vektoren bestimmen: "Spitze minus Schaft" ("Ziel minus Start")===
[[Datei:Spitzeschaft.png|thumb|right|300px|"Spitze minus Schaft"]]Zwischen 2 Punkten kann man nun einen Vektor definieren. Dabei gilt: Die '''"Spitze minus Schaft"'''-Regel Im Bild rechts wollen wir den Vektor berechnen, der von A nach B geht, also den Vektor $\vec{AB}$. Der Punkt B(3/3,5) entspricht hierbei der Spitze, und der Punkt A(1/0,5) dem Schaft. Da das Rechnen mit Punkten allerdings keinen Sinn ergibt, rechnet man stattdessen mit deren Ortsvektoren (siehe oben).

Für unser Beispiel bedeutet das: $\vec{0B} - \vec{0A} = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 3,5 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0,5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 3-1 \\ 3,5-0,5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right) = \vec{AB}$

'''Beachte außerdem:'''

* Man schreibt der Einfachheit halber oft nur $B-A$, obwohl eigentlich $\vec{0B} - \vec{0A}$ gemeint ist.
* Der Vektor $\vec{AB}$ zeigt in die entgegengesetzte Richtung von $\vec{BA}$. Das bedeutet, dass diese beiden Vektoren entgegengesetzte Vorzeichen haben: $\vec{AB} = - \vec{BA}$

 

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die Punkte A=(1/2); B=(-3/1); C=(-4,-1). Bilde die folgenden Verbindungsvektoren: 
 
# $\vec{AB}$
# $\vec{BA}$
# $\vec{AC}$
# $\vec{BC}$

|2=
$\ $
# $\vec{AB}=B-A=\left( \begin{array}{c} -3 \\ 1\end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} -4 \\ -1\end{array} \right)$
# $\vec{BA}=-\vec{AB}=\left( \begin{array}{c} 4 \\ 1 \end{array} \right)$
# $\vec{AC}=\left( \begin{array}{c} -4 \\ -1\end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} -5 \\ -3\end{array} \right)$
# $\vec{BC}=\left( \begin{array}{c} -4 \\ -1\end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} -3 \\ 1 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} -1 \\ -2\end{array} \right)$
 
'''Tipps:'''
* Pass gut auf die Vorzeichen auf! Beim Subtrahieren von Vektoren passieren leider häufig Vorzeichenfehler! Sei deshalb besonders achtsam!
* Zeichne die Punkte in ein Koordinatensystem und zeichne die Verbindungsvektoren ein. Bei einfachen Koordinaten kannst du den Verbindungsvektor ohne Rechnung ablesen (Probiere es aus!).

 
}}

===Produkt eines Vektors mit einem Skalar===
Wenn man einen Vektor $\vec{v}$ mit einer [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)|reellen Zahl]] $k$ , einem sogenannten "Skalar", multipliziert, werden dabei die einzelnen Koordinaten mit dem Skalar multipliziert:

$k \cdot \vec{v} = k \cdot \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} k \cdot x_1 \\ k \cdot x_2 \\ ... \\ k \cdot x_n \end{array} \right)$

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sei der Vektor $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right)$. Multipliziere diesen einmal mit $2$ und einmal mit $-5$!
|2= $2 \cdot \vec{a} = 2 \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \cdot 2 \\ 2 \cdot (-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -6 \end{array} \right)$
$(-5) \cdot \vec{a} = (-5) \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-5) \cdot 2 \\ (-5) \cdot (-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -10 \\ 15 \end{array} \right)$}}

==Geometrische Darstellung der Rechenoperationen==
===Geometrische Darstellung der Vektoraddition===
Die Addition zweier Vektoren kann auf zwei verschiedene Arten geometrisch gedeutet werden. Wir illustrieren die beiden Möglichkeiten anhand des Beispiels $\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2\end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$

{| class="wikitable"
|-
| '''Punkt + Pfeil - Darstellung:'''|| '''Pfeil + Pfeil - Darstellung'''
|-
| ''An einen Punkt wird ein Pfeil angehängt.'' In unserem Beispiel wird an den Punkt (1/2) ein Pfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$ angehängt. Das Ergebnis der Addition ist der Punkt am Ende des Pfeils (5/5). || ''Zwei Pfeile werden aneinandergehängt. In unserem Beispiel wird also ein Pfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$ und ein Pfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)$ aneinandergehängt. Das Ergebnis der Addition ist der entstehende Verbindungspfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 5 \\ 5 \end{array} \right)$
|-
| [[Datei:Vektoraddition1.png|left|400px]]|| [[Datei:Vektoraddition2.png|left|500px]]
|-
| '''Anmerkung:''' Diese Darstellung ist hilfreich, wenn wir von einem Punkt ausgehen und zu einem neuen Punkt gelangen wollen.|| Es spielt keine Rolle, in welcher Reihenfolge die Vektoren angehängt werden. Die Addition ist kommutativ!
|}

===Geometrische Darstellung der Multiplikation mit einem Skalar===

Eine Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl $a$ (Skalar) entspricht einer Streckung (für $|a|>1$) bzw. einer Stauchung (für $|a|<1$) des zugehörigen Pfeiles.
Ist das Vorzeichen des Skalars negativ, so dreht sich die Richtung des Pfeils in die entgegengesetzte Richtung.

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sei wiederum der Vektor $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right)$. Stelle die Multiplikation mit $2$, mit $-5$ und mit $0.5$ graphisch dar!
|2= Rechnerische Lösung und graphische Interpretation:
* $2 \cdot \vec{a} = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -6 \end{array} \right)$. Der Vektor $2\cdot \vec{a}$ hat die doppelte Länge und dieselbe Richtung wie $\vec{a}$
* $(-5) \cdot \vec{a} = \left( \begin{array}{c} -10 \\ 15 \end{array} \right)$. Der Vektor $(-5)\cdot \vec{a}$ ist fünfmal so lang wie $\vec{a}$ und zeigt in die entgegengesetzte Richtung wie $\vec{a}$
* $(0.5) \cdot \vec{a} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1.5 \end{array} \right)$ Der Vektor $0.5\cdot \vec{a}$ ist halb so lang wie $\vec{a}$ und zeigt in dieselbe Richtung wie $\vec{a}$
}}

{{#widget:Iframe
|url= http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_vektorrechnung/MV_Vektor1/MV_Vektor1/sites/Vektortest.html
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}}
[http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_vektorrechnung/MV_Vektor1/MV_Vektor1/ (Quelle dieses Applets)]

Hilfe zum Applet: Gib in die Eingabezeile den Buchstaben des Vektors bzw. die entsprechende Summe / Differenz an. (z.B. $u=a$)

===Wie Vektoren zueinander stehen===
Vektoren können unterschiedliche Richtungen haben, aber auch parallel zueinander oder gar identisch sein. Optisch lässt sich das oft sehr leicht erkennen. Die Lage von Vektoren zueinander kann aber auch rechnerisch überprüft werden.

{{Vorlage:Definition |Unter einem Vektor versteht man die Menge aller gleichlangen, gleichgerichteten und gleichorientierten Pfeile.

Der Start/Endpunkt spielen dabei keine Rolle!}}

{{Vorlage:Merke|2 Vektoren stehen parallel zueinander, wenn ein Vektor als Vielfaches des anderen Vektors angeschrieben werden kann. 
Man sagt auch: Die Vektoren sind [[linear abhängig]].}}

Sehen wir uns die verschiedenen Fälle an:

{| class="wikitable"
|-
|ident: gleiche Richtung, gleiche Orientierung, gleiche Länge
||[[Datei:Vektorv1.png|none|250px]]
||$\vec{v} = \vec{u} \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$
||z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$
|-
||parallel (gleiche Orientierung): gleiche Richtung, gleiche Orientierung, unterschiedliche Länge
| [[Datei:Vektorenlänge.png|none|250px]]
||$\exists k>0 : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$
||z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} \frac{4}{3} \\ 2 \end{array} \right)$, $k = \frac{2}{3} $
|-
||parallel (unterschiedliche Orientierung): 
| [[Datei:Vektororientierung1.png|none|250px]]
||$\exists k<0 : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$
||z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} -2 \\ -3 \end{array} \right)$, $k=-1$

|-
||linear unabhängig
| [[Datei:Vektorrichtung1.png|none|250px]]
||$\nexists k : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \nparallel \vec{u}$
||z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 3 \end{array} \right)$
|}

{{Vorlage:Beispiel|1=Überprüfe ob die Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 5 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$ linear unabhängig voneinander sind.

|2=Wenn es ein k gibt, sodass $k \cdot \vec{a} = \vec{b}$, dann sind die beiden Vektoren voneinander linear abhängig, und somit auch parallel zueinander.

Es gibt mehrere Lösungsmöglichkeiten:
*Möglichkeit 1: Lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen
$I: 2k = 4 \ \ \rightarrow k=2$
$II: 5k = 3 \ \ \rightarrow k=\frac{3}{5}$

Aus der ersten Gleichung ergibt sich $k=2$, in der zweiten aber $k=\frac{3}{5}$. $k$ kann aber nicht beides sein, somit haben wir eine falsche Aussage erhalten. Daraus folgt, dass die beiden Vektoren '''linear unabhängig''' und somit nicht parallel zueinander sind.

* Möglichkeit 2: "Vergleichen und Probieren"
Vergleicht man die x-Koordinaten der beiden Vektoren, so sieht man, dass $4$ doppelt so groß wie $2$ ist. Daraus ergibt sich, dass ein etwaiges $k=2$ sein müsste.
Probiert man, auch die zweite Zeile mit $2$ zu multiplizieren, so erhält man $10$. Die y-Koordinate von $\vec{b}$ müsste also $10$ sein, damit die beiden Vektoren parallel zueinander sind.
}}

 

===Betrag und Einheitsvektor===
[[Datei:PythagorasVektor.png|thumb|right|350px|Betrag eines Vektors; Einheitsvektor]]Wie anfangs bereits erwähnt, besitzen Vektoren eine Länge, auch '''Betrag''' eines Vektors genannt. Dieser wird mit Hilfe des pythagoräischen Lehrsatzes wie folgt berechnet:

<div align="center">$\parallel \vec{v} \parallel = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2} \ $ wenn $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ ein Vektor der Dimension $n$ ist.</div>
Sehen wir uns die Grafik rechts an, können wir mit dieser Formel die Länge des zweidimensionalen Vektors $\parallel \vec{v} \parallel$ berechnen:

<div align="center">$\parallel \vec{v} \parallel = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$</div>
 Der '''Einheitsvektor''' $\vec{a_0}$ eines Vektors $\vec{a}$ ist ein zu $\vec{a}$ paralleler Vektor mit Länge 1. Rechnerisch erhält man $\vec{a_0}$, indem man $\vec{a}$ durch seine Länge dividiert. $ \vec{a_0}

=\frac{\vec{a}}{\parallel \vec{a}\parallel}$
bzw.
$ \vec{a_0}=\frac{1}{\parallel\vec{a}\parallel}\cdot \vec{a}$

Daraus ergibt sich ein Vektor, der dieselbe Richtung des ursprünglichen Vektors hat, allerdings die Länge 1 besitzt.

{{Vorlage:Merke|1=
Sei $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ ein Vektor der Dimension $n$ und $\parallel \vec{v} \parallel$ sein Betrag, dann ist $\vec{v_0} = \frac{1}{\parallel \vec{v} \parallel} \cdot \vec{v} \ $ der Einheitsvektor zu $\vec{v}$.}}

In unserem Beispiel würde das folgendes bedeuten:

{{Vorlage:Beispiel|1= Bestimme den Einheitsvektor von $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$

|2=<div align="center">$\vec{v_0} = \frac{1}{\sqrt{13} } \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \frac{2}{\sqrt{13} } \\ \frac{3}{\sqrt{13} } \end{array} \right)$</div>
}}

===Vektoren bestimmter Länge===
Da wir nun gelernt haben, Einheitsvektoren zu bilden und Vektoren mit Zahlen zu multiplizieren (und ich das hier so schön betone), könnt ihr euch vielleicht schon vorstellen, wie man aus einem beliebigen Vektor einen Vektor derselben Richtung, allerdings unterschiedlicher Länge bekommt. Wir haben also einen Vektor $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ mit der Länge $\parallel \vec{v} \parallel = k$ gegeben, und hätten gerne den Vektor $\vec{w} \ \parallel \ \vec{v}$ mit der Länge $l$. Dazu berechnen wir zuerst den Einheitsvektor $\vec{v_0}$ von $\vec{v}$ und multiplizieren diesen dann mit $l$. So erhalten wir schließlich $\vec{w} = l \cdot \vec{v_0}$.

==Mittelpunkt einer Strecke==
[[Datei:Mittelpunkt.png|thumb|right|300px|Mittelpunkt M der Strecke AB]]Willst du den Mittelpunkt zwischen 2 Punkten $A$ und $B$ berechnen, musst du wie folgt vorgehen:
Zuerst berechnest du einen Vektor zwischen den Punkten ($\vec{AB}$ oder $\vec{BA}$). Dann halbierst du diesen Vektor, und erhältst $\vec{AM}$ bzw. $\vec{BM}$. Addierst du dann diesen Vektor zum entsprechenden Punkt ($A$ bzw. $B$), erhältst so den Mittelpunkt. Also:

<div align="center">$\vec{0M} = \vec{0A} + \frac{\vec{AB}}{2} = \vec{0B} + \frac{\vec{BA}}{2}$</div>

Dies lässt sich folgendermaßen weiter vereinfachen:
$$\vec{M} = \vec{A} + \frac{\vec{AB}}{2} = \frac{2\vec{A}}{2} + \frac{\vec{B} - \vec{A}}{2} = \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2}$$

=Im $\mathbb{R^2}$=
Dieser Artikel befasst sich mit der Vektorrechnung im zweidimensionalen Raum. Grundlegende Informationen zur Vektorrechnung, so wie Punkte und Vektoren, findest du unter dem Tab ''Grundlagen der Vektorrechnung''.

==Vektoren==
===Normalvektoren===
[[Datei:Normalvektoren.png|thumb|right|350px|Normalvektoren]]Normalvektoren zu einem Vektor sind alle Vektoren, die normal (im rechten Winkel) auf den Vektor stehen. Im $\mathbb{R^2}$ gibt es zu jedem Vektor genau 2 Normalvektoren, die dieselbe Länge wie der ursprüngliche Vektor haben. Alle anderen Normalvektoren sind Vielfache eines dieser 2 Normalvektoren.

{{Vorlage:Merke | 1=Sei $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ ein Vektor, dann ist $\vec{n_1}=\left( \begin{array}{c} -y \\ x \end{array} \right)$ sein nach links gekippter, und $\vec{n_2}=\left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right)$ sein nach rechts gekippter Normalvektor.
''Vertausche die Koordinaten und ändere '''ein''' Vorzeichen''
}}

===Skalarprodukt===
Unter dem Skalarprodukt versteht man die Multiplikation zweier Vektoren, bei der als Ergebnis ein Skalar (eine Zahl) entsteht.

{{Vorlage:Merke|1=Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren, dann ist $\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \end{array} \right) = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b$ gleich ihr Skalarprodukt.
}}

Das Skalarprodukt wirkt auf den ersten Blick etwas "eigenartig". Man kann sich die Bedeutung des Skalarproduktes besonders gut an einem Anwendungsbeispiel erklären:
Angenommen in einer Preisliste stehen 10 Kugelschreiber, die jeweils 2€ kosten und 20 Bleistifte, die jeweils 0,50€ kosten.
In Tabellenform sieht das folgendermaßen aus:

{| class="wikitable"
|-
! Produkt !! Stückzahl !! Preis pro Stück (in €)
|-
| Kugelschreiber || 10 || 2
|-
| Bleistift || 20 || 0,50
|}

Aus dieser Tabelle kann ein Stückzahlvektor $\left( \begin{array}{c} 10 \\ 20 \end{array} \right)$ und ein Preisvektor $\left( \begin{array}{c} 2 \\ 0,50 \end{array} \right)$ abgelesen werden.

Möchte man den Gesamtwert der Produkte berechnen, so müssen jeweils die Einzelpreise mit der Stückzahl multipliziert werden und anschließend die Summe gebildet werden.
Genau das macht das Skalarprodukt!
$\left( \begin{array}{c} 10 \\ 20\end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0.50 \end{array} \right) = 10 \cdot 2 + 20 \cdot 0.50 = 20 + 10 = 30€ $

===Winkel zwischen zwei Vektoren===
[[Datei:Winkel.png|thumb|right|350px|Winkel zwischen 2 Vektoren]]<big>$$cos{\varphi} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel} = \vec{a_0} \cdot \vec{b_0}$$
bzw.
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = \parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel \cdot cos{\varphi}$$</big>

Heißt es, den Winkel zwischen 2 Vektoren/Geraden zu bestimmen, ist damit immer der kleinere Winkel gemeint. Solltest du einmal ein Ergebnis erhalten, das größer als 180° ist (nennen wir dieses Ergebnis $\varphi'$), dann ziehe dieses Ergebnis von 360° ab und du erhältst den kleineren Winkel ($\varphi = 360° - \varphi'$). 
Bei einem Winkel von $\varphi = 90°$ erhalten wir $cos{\varphi} = 0$, was bedeutet, dass auch $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$. Daraus ergibt sich das Orthogonalitätskriterium.

====Orthogonalitätskriterium====
{{Vorlage:Merke|1=Ergibt das Skalarprodukt zweier Vektoren $0$, so stehen diese zwei Vektoren normal zueinander (und umgekehrt!)$$\vec{a} \cdot \vec{b} \ = \ 0 \ \Leftrightarrow \ \vec{a} \bot \vec{b}$$}}

Mithilfe des Orthogonalitätskriteriums kann man auch zeigen, dass $\vec{n}=\left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right)$ stets ein Normalvektor von $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ ist.
$$\vec{v} \cdot \vec{n} = \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right) = xy - yx = 0$$

==Geraden==
===Darstellungsformen===
Geraden lassen sich in unterschiedlichen Formen darstellen. In der Vektorrechnung ist die Parameterdarstellung populär, da man dazu nur einen Punkt und Vektor kennen muss. Die Normalform allerdings hat den Vorteil, dass man den Normalvektor zur Geraden auf einen Blick ablesen kann. Je nachdem, was man mit der Gerade vorhat, können die verschiedenen Formen ineinander umgewandelt werden.

====Parameterdarstellung====
[[Datei:Parameterdarstellung.png|thumb|right|350px|Parameterdarstellung einer Geraden]]$$g: \vec{0X} = \vec{0P} + t \cdot \vec{a}$$ 
wobei

* $X \in g$ ist ein '''beliebiger''' Punkt auf der unendlichen Geraden (steht für alle Punkte auf der Geraden)
* $P \in g$ ist ein '''bekannter''' Punkt auf der Geraden
* $t \in \mathbb{R}$ ist ein freier Parameter (in der Graphik rechts $\lambda$)
* $\vec{a} \in \mathbb{R^2}$ ist ein Vektor parallel zur Geraden, der die Richtung dieser angibt ("Richtungsvektor")

 
Beachte, dass in der Parameterdarstellung keine Punkte, sondern Ortsvektoren verwendet werden! (Info zu Ortsvektoren findest du unter ''Grundlagen der Vektorrechnung''.) Wenn man das weiß, kann man der Einfachheit halber die Gerade auch folgendermaßen beschreiben: $g: X = P + t \cdot \vec{a}$

 
Eine andere Schreibweise ist, die Koordinaten einzeln zu betrachten und 2 Gleichungen aufzustellen:
$$g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \end{cases}$$

====Normalvektorform====
Hierzu benötigt man einen Normalvektor des Richtungsvektors und multipliziert dann die Geradengleichung mit diesem Normalvektor. Da $\vec{a} \cdot \vec{n} = 0$, bleibt über:

Sei $g: \vec{0X} = \vec{0P} + t \cdot \vec{a}$ eine Gerade in Parameterform, so ist

<div align="center">$g: \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x_P \\ y_P \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right)$</div>

dieselbe Gerade in Normalform, wobei $\vec{0X}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right), \ \vec{0P}=\left( \begin{array}{c} x_P \\ y_P \end{array} \right), \ \vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right)$ und $\vec{n}=\left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right)$ ein Normalvektor von $\vec{a}$ (hier kann man natürlich auch den anderen Normalvektor verwenden).

====Allgemeine Geradengleichung====
Diese Form der Darstellung heißt auch Normalform, da man den Normalvektor der Gerade direkt ablesen kann.Um von der Parameterdarstellung auf diese Form zu kommen, gibt es 2 Möglichkeiten:

'''1. Multiplikation mit Normalvektor:'''
Hierzu muss man einfach die Normalform ausmultiplizieren und es ergibt sich:

$$g: y_a \cdot x + -x_a \cdot y = y_a \cdot x_P + -x_a \cdot y_P$$

'''2. Elimination des Parameters:'''
Hierbei gehen wir von der Geradenform $g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \end{cases}$ aus, eliminieren $t$, und kommen ebenfalls auf die obige allgemeine Geradengleichung.
Auf der rechten Seite der Gleichung stehen nur bekannte Größen, auf der linken Seiten stehen Vielfache von x und y. Diese Gleichung kann man weiter auch auf die Form y=kx+d umformen.

===Lagebeziehungen zwischen Geraden===
Mehrere Geraden können im $\mathbb{R^2}$

* ident sein, d.h. sie haben unendlich viele gemeinsame Punkte
* parallel sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt
* einander schneiden, d.h. sie haben genau ein gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt)

 Sind uns 2 Geraden in '''Parameterdarstellung''' gegeben, betrachten wir zuerst ihre Richtungsvektoren. 
Sind diese parallel zueinander, so sind auch die Geraden parallel zueinander. Nun bleibt noch die Frage offen, ob die Geraden ident sind. Dazu überprüfen wir einfach, ob der gegebene Punkt der einen Geraden auch auf der anderen Geraden liegt. Dazu Setzen wir den bekannten Punkt der einen Geraden für den unbekannten Punkt der anderen Geraden ein und erhalten 2 Gleichungen in einer Unbekannten (Parameter der zweiten Gerade). Erhalten wir nun für den Parameter zweimal dasselbe Ergebnis, so sind die 2 Geraden ident, erhalten wir unterschiedliche Ergebnisse, so sind sie nur parallel. 
Sind die Richtungsvektoren nicht parallel zueinander, so sind es auch die 2 Geraden nicht, und wir können uns sicher sein, dass diese einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen.
Doch wie erhalten wir den Schnittpunkt? Ganz einfach, indem wir die 2 Geraden schneiden. Dazu müssen wir sie gleichsetzen, und dann das dadurch erhaltene Gleichungssystem in 2 Unbekannten (die 2 Parameter) lösen. Wenn wir den Wert eines Parameters ausgerechnet haben, setzen wir ihn einfach in die entsprechende Geradengleichung ein und erhalten so den Schnittpunkt!

Sind die 2 Geraden in der '''allgemeinen Geradenform''' gegeben, so haben wir bereits 2 Gleichungen gegeben, die wir nach x und y auflösen. Dieses x und y sind die Koordinaten des Schnittpunktes.

Um das Schneiden von Geraden besser zu verstehen, schau dir das Lösen von [[ Gleichungssysteme (2.7.) |Gleichungssystemen]] genauer an, wirf einen Blick auf die Beispiele zum $\mathbb{R^2}$ unter dem Tab 'Beispiele', oder sieh dir dieses Video an:

<div align="center">{{#ev:youtube|ZrFE3LRisn0}}</div>

===Normalabstand Punkt - Gerade===
[[Datei:Normalabstand.gif|right]]Gegeben sei ein Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und eine Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$. Um den Normalabstand $d(Q,g)$ zwischen Q und g zu berechnen, gehe wie folgt vor:
{{Vorlage:Merke|1=1. Bestimme die Gerade $q: X = Q + s \cdot \vec{n}$, die durch $Q$ geht und den Normalvektor $\vec{n}$ von $\vec{a}$ als Richtungsvektor besitzt.
2. Schneide $g$ und $q$ und die erhältst ihren Schnittpunkt $S$. 
3. Berechne $\parallel \vec{QS} \parallel$.}}
In der Graphik rechts hätten wir z.B. die Angabe $g: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right) + \lambda \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array} \right)$ und $Q(3/4)$. Du kannst das zur Übung durchrechnen.

====Hesse'sche Abstandsformel====
Mithilfe dieser Formel kann man ebenfalls den Abstand $d(Q,g)$ zwischen Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$ bestimmen. <big>$d(Q,g) = | \vec{PQ} \cdot \vec{n_0} | $</big>, wobei $\vec{n_0}$ der normierte (Länge 1) Normalvektor des Richtungsvektors $\vec{a}$ der Geraden $g$ ist.

====Spiegelung eines Punktes an einer Geraden====
[[Datei:Spiegeln.png|thumb|right|250px|Gespiegelter Punkt Q']]Gegeben sei ein Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und eine Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$. Es gilt den Punkt $Q$ an der Gerade $g$ zu spiegeln, und so den Punkt $Q'$ zu erhalten. Dazu befolgst du die Vorgehensweise von "Normalabstand Punkt - Gerade" bis du den Vektor $\vec{QS}$ erhältst, und trägst diesen vom Punkt $S$ ab, also: 
$Q' = S + \vec{QS}$

=Im $\mathbb{R^3}$=
==Vektoren==
===Kreuzprodukt===
Im $\mathbb{R^3}$ gibt es neben dem Skalarprodukt, bei dem wir als Ergebnis ein Skalar erhalten, eine weitere Möglichkeit, zwei Vektoren miteinander zu multiplizieren: das sog. Kreuz- oder Vektorprodukt, bei dem wir als Ergebnis einen Vektor erhalten.{{Vorlage:Merke|1=Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren des $\mathbb{R^3}$, dann ist ihr Kreuzprodukt
$$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} y_a \cdot z_b - z_a \cdot y_b \\ z_a \cdot x_b - x_a \cdot z_b \\ x_a \cdot y_b - y_a \cdot x_b \end{array} \right)$$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ -3 \end{array} \right)$, gesucht ist ihr Kreuzprodukt.|

2=$$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \cdot (-3) - 3 \cdot 4 \\ 3 \cdot 5 - 1 \cdot (-3) \\ 1 \cdot 4 - 2 \cdot 5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-6) - 12 \\ 15 - (-3) \\ 4 - 10 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -18 \\ 18 \\ -6 \end{array} \right)$$}}

Wozu wir das Kreuzprodukt überhaupt benötigen, sehen wir an den nächsten 2 Punkten.

====Normalvektoren====
Im $\mathbb{R^3}$ gibt es zu einem Vektor unendlich viele Normalvektoren. Auf eine Ebene allerdings gibt es genau 2 Normalvektoren (wie im $\mathbb{R^2}$ auf eine Gerade). Eine Ebene wird von 2 Vektoren aufgespannt, deren Kreuzprodukt ergibt einen Normalvektor $\vec{n_1}$ auf die Ebene bzw. die zwei Vektoren; der zweite Normalvektor hat die entgegengesetzte Orientierung ($\vec{n_2} = -\vec{n_1}$). Also:$$\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$$

====Fläche eines von zwei Vektoren aufgespannten Parallelogramms oder Dreiecks====
[[Datei:FlächeNormalvektor.png|thumb|right|none|250px|2 Vektoren spannen ein Dreieck bzw. Parallelogramm auf]] 
{{Vorlage:Merke|1=Die Länge $\parallel \vec{n} \parallel = \parallel \vec{a} \times \vec{b} \parallel$ des Normalvektors $\vec{n}$ zu den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ entspricht der Maßzahl des Flächeninhaltes des Parallelogramms, das $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aufspannen (im Bild die gesamte grüne Fläche).
Die Hälfte dieser Fläche entspricht der Fläche des aufgespannten Dreiecks.}}

===Skalarprodukt, Orthogonalitätskriterium, Winkel zwischen zwei Vektoren===
Diese drei Dinge "funktionieren" im $\mathbb{R^3}$ wie im $\mathbb{R^2}$. Also hier nur eine kurze Wiederholung: 

'''Skalarprodukt''' 
Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\z_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren, dann ist $$\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right) = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b + z_a \cdot z_b$$ gleich ihr Skalarprodukt.
 

'''Orthogonalitätskriterium''' 
Ergibt das Skalarprodukt zweier Vektoren $0$, so stehen diese zwei Vektoren normal zueinander (und umgekehrt!)
$$\vec{a} \cdot \vec{b} \ = \ 0 \ \Leftrightarrow \ \vec{a} \bot \vec{b}$$
Auch das gibt es im $\mathbb{R^3}$. Bedenke aber, dass es hier, anders als im $\mathbb{R^2}$, unendlich viele Normalvektoren auf einen Vektor gibt.
 

'''Winkel zwischen zwei Vektoren'''
$$cos{\varphi} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel} = \vec{a_0} \cdot \vec{b_0}$$

==Geraden==
===Darstellungsformen===
====Parameterdarstellung====
Die Parameterdarstellung im $\mathbb{R^3}$ sieht genauso aus wie im $\mathbb{R^2}$, einziger Unterschied ist, dass unsere Punkte und Vektoren hier jeweils 3 Koordinaten haben.$$g: X = P + t \cdot \vec{a}$$ bzw. $$g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \\ z = z_P + t \cdot z_a \end{cases}$$
Mehr Infos zu den einzelnen Komponenten findest du im Tab 'Im $\mathbb{R^2}$'.

====Parameterfreie Darstellungsform====
Diese besteht aus 2 Gleichungen und wir erhalten sie durch Eliminierung des Parameters.

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sei die Parameterform der Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ -4 \\ 1 \end{array} \right)$. Zuerst schreiben wir das in die 3 Koordinatengleichungen um:
$$g : \begin{cases} x = 2 + 3t \\ y = 0 - 4t \\ z = 1 + t \end{cases}$$

|2=Wir multiplizieren die erste Gleichung mit $4$ und die zweite Gleichung mit $3$ und addieren die beiden: $$+ \begin{cases} 4x = 8 + 12t \\ 3y = 0 - 12t \end{cases}$$ und erhalten so die Gleichung $4x + 3y = 8$.
Wir multiplizieren die dritte Gleichung mit $3$ und subtrahieren diese von der ersten Gleichung: $$- \begin{cases} x = 2 + 3t \\ 3z = 3 + 3t \end{cases}$$ und erhalten so die Gleichung $x - 3z = -1$.

Die parameterfreie Darstellung unserer Gerade lautet somit $$g : \begin{cases} 4x + 3y = 8 \\ x - 3z = -1 \end{cases}$$.}}

Die zwei Gleichungen in der parameterfreien Darstellung sind übrigens Ebenengleichungen. Die eigentliche Gerade ist der Schnitt dieser zwei Ebenen!

===Lagebeziehungen zwischen Geraden===
Mehrere Geraden können im $\mathbb{R^3}$

* ident sein, d.h. sie haben unendlich viele gemeinsame Punkte
* parallel sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt
* einander schneiden, d.h. sie haben genau ein gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt)
* windschief sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt und sind nicht parallel

Um herauszufinden, wie 2 gegebene Geraden in Parameterform zueinander stehen, gehst du am besten wie folgt vor:

'''Betrachtung der Richtungsvektoren:''' Auch im $\mathbb{R^3}$ gilt, sind die Richtungsvektoren zweier Geraden parallel zueinander (d.h. man kann einen Vektor als Vielfaches des anderen Vektors darstellen), so sind es auch die Geraden.

'''Fall 1: Die Vektoren sind parallel:''' Sollte sich herausstellen, dass die zwei Geraden parallel zueinander sind, überprüfst du als nächstes, ob sie einen gemeinsamen Punkt haben; am einfachsten funktioniert das, indem du den bekannten Punkt ($P$) der einen Geraden in die zweite Gerade (für den unbekannten Punkt $X$) einsetzt. Wir erhalten drei Gleichungen in einer Unbekannten (Parameter der zweiten Gerade). 
'''Fall 1a:''' Erhalten wir nun für den Parameter dreimal dasselbe Ergebnis, so sind die 2 Geraden '''ident''' (und parallel), da der überprüfte Punkt, und somit unendlich weitere, auf beiden Geraden liegen. 
'''Fall 1b:''' Erhalten wir unterschiedliche Ergebnisse, so sind sie nur '''parallel''', da der überprüfte Punkt nicht, und somit auch kein anderer, auf beiden Geraden liegen.

'''Fall 2: Die Vektoren sind nicht parallel:''' Nun gibt es nur noch zwei Möglichkeiten: Entweder die zwei Geraden haben einen gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt), oder sie sind windschief. 
Um das wiederum herauszufinden, setzt du die beiden Geraden gleich, d.h. du stellst ein lineares Gleichungssystem (LGS) mit drei Gleichungen und in drei Unbekannten auf, und versuchst, dieses zu lösen. 
'''Fall 2a:''' Solltest du nun eine Lösung erhalten, d.h. du erhältst den Wert für den Parameter einer der zwei Geraden (und hast diesen Wert überprüft), so weißt du, dass die zwei Geraden einander '''schneiden'''. Den Schnittpunkt erhältst du jetzt, indem du den erhaltenen Wert für den Parameter in die entsprechende Geradengleichung einsetzt. 
'''Fall 2b:''' Sollte dein LGS keine Lösung ergeben (also sich eine falsche Aussage oder ein Widerspruch ergeben, z.B. $2=13$, oder $t=4$ und $t=-1$), dann weißt du, dass deine beiden Geraden keinen Schnittpunkt haben und somit '''windschief''' sind.

Zum besseren Verständnis siehst du dir am besten das folgende Video und die beiden folgenden Beispiele an.

<div align="center">{{#ev:youtube|u0QoYlEE094}}</div>
{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die beiden Geraden $g: X = \left( \begin{array}{c} 0 \\ -11 \\ -3 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right)$ und $h: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ -3 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right)$. Überprüfe deren gegenseitige Lage und gegebenenfalls ihren Schnittpunkt!|2=Zuerst überprüfen wir die Richtungsvektoren der beiden Geraden, um festzustellen, ob diese parallel zueinander sind oder nicht:$$\nexists \lambda : \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) = \lambda \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) \nparallel \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g \nparallel h$$
$g$ und $h$ sind also nicht parallel. Sie können also noch entweder einander schneiden oder windschief sein. Stellen wir nun ein LGS auf, indem wir die beiden Geraden gleichsetzen:
$$\begin{align}
I: \ &&&s&=&2&+&t \\
II: \ &-11&+&2s&=&3&-&3t \\
III: \ &-3&+&s&=&-3&+&2t
\end{align}$$ 
Wir subtrahieren $III$ von $I$: $- \begin{cases} &s &=& 2 + t \\ -3 + &s &=& -3 + 2t \end{cases} \ \rightarrow \ 3 = 5 - t \Rightarrow t = 2$ 
Wir überprüfen dieses Ergebnis für $t$, indem wir $t=2$ in alle 3 Gleichungen einsetzen. Wir sehen dann, dass wir überall dasselbe Ergebnis für $s$ erhalten, nämlich $s=4$. Daraus folgt, dass die Geraden einander '''schneiden'''. Setzen wir nun $t=2$ oder $s=4$ in die entsprechende Geradengleichung, so erhalten wir den Schnittpunkt $S(4/-3/1)$ der beiden Geraden.}}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die beiden Geraden $g: X = \left( \begin{array}{c} 3 \\ -2 \\ 0 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right)$ und $h: X = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$. Überprüfe deren gegenseitige Lage und ggf. ihren Schnittpunkt!|2=Zuerst überprüfen wir wieder die Richtungsvektoren der beiden Geraden:$$\nexists \lambda : \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) = \lambda \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) \nparallel \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g \nparallel h$$
Nun stellen wir wieder ein LGS auf:
$$\begin{align}
I: \ &3&+&2s&=&4&-&t \\
II: \ &-2&-&2s&=&3&& \\
III: \ &&&s&=&1&+&t
\end{align}$$ 
Aus der zweiten Gleichung lässt sich direkt berechnen, dass $s=- \frac{5}{2}$. Dies setzen wir nun in die erste und zweite Gleichung ein und erhalten einmal $3 - 5 = 4 - t \ \Rightarrow \ t=6$ und einmal $- \frac{5}{2} = 1 + t \ \Rightarrow \ t=- \frac{7}{2}$. Diese beiden Werte für $t$ sind offensichtlich voneinander unterschiedlich, daraus folgt, dass die beiden Geraden $g$ und $h$ '''windschief''' sind.
}}

==Ebenen==
Eine Ebene ist durch 3 Punkte oder 1 Punkt und 2 (voneinander linear unabhängigen) Vektoren eindeutig festgelegt.

===Darstellungsformen===
====Parameterdarstellung====
[[Datei:ebene2.png|thumb|right|350px|von Punkt und Vektoren aufgespannte Ebene]]
$$\epsilon : X = P + s \cdot \vec{a} + t \cdot \vec{b}$$
bzw.
$$\epsilon : \begin{cases} x = x_P + s \cdot x_a + t \cdot x_b \\ y = y_P + s \cdot y_a + t \cdot y_b \\ z = z_P + s \cdot z_a + t \cdot z_b \end{cases}$$
wobei

* $X \in \epsilon$ ist ein '''beliebiger''' Punkt auf der unendlichen Ebene
* $P \in \epsilon$ ist ein '''bekannter''' Punkt auf der Ebene
* $s, t \in \mathbb{R}$ sind freie Parameter
* $\vec{a}, \vec{b} \in \mathbb{R^3}$ sind zwei Vektoren, die parallel zur Ebene liegen

====Normalvektorform====
Man multipliziert die Parameterdarstellung der Ebene mit ihrem Normalvektor $\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$ und erhält$$\vec{n} \cdot \vec{X} = \vec{n} \cdot \vec{P}$$

====Allgemeine Ebenengleichung====
$$ax + by + cz = d$$Diese Form der Darstellung heißt auch Normalform, da man den Normalvektor der Ebene direkt ablesen kann. Um von der Parameterdarstellung auf diese Form zu kommen, gibt es 2 Möglichkeiten:

'''1. Multiplikation mit Normalvektor:'''
Hierzu muss man einfach die Normalform ausmultiplizieren und es ergibt sich:

$$\epsilon: x_n \cdot x + y_n \cdot y + z_n \cdot z = x_n \cdot x_P + y_n \cdot y_P + z_n \cdot z_P$$

'''2. Elimination des Parameters:'''
Hierbei gehen wir von der Ebenengleichung $\epsilon : \begin{cases} x = x_P + s \cdot x_a + t \cdot x_b \\ y = y_P + s \cdot y_a + t \cdot y_b \\ z = z_P + s \cdot z_a + t \cdot z_b \end{cases}$ aus, eliminieren $s$ und $t$, und kommen ebenfalls auf die obige allgemeine Ebenengleichung.

Zur Veranschaulichung ein Beispiel zu den verschiedenen Darstellungsformen:
{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die drei Punkte $A(1/1/1), B(-1/-4/2), C(0/3/-1)$. Gib die Ebene, die diese drei Punkte aufspannen, in Parameterform, Normalform und allgemeiner Ebenengleichung an!|2=Für die Parameterform berechnen wir erst zwei beliebige Vektoren aus den 3 Punkten, z.B. $\vec{AB} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{AC} = \left( \begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right)$. Als Parameterform erhalten wir schließlich:
$$\epsilon: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right)$$ Um auf die Normalform zu kommen, bestimmen wir als erstes den Normalvektor der Ebenen: $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-5) \cdot (-2) - 1 \cdot 2 \\ 1 \cdot (-1) - (-2) \cdot (-2) \\ (-2) \cdot 2 - (-5) \cdot (-1) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right)$. 
Nun die Parametergleichung mit dem Normalvektor multiplizieren und wir erhalten auch die Normalform:
$$\epsilon: \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)$$ 
Um nun noch die allg. Ebenenform zu erhalten, multipliziert man am einfachsten die Normalform aus und erhält:
$$\epsilon: 8x - 5y -9z =-6$$ 
Aber auch die Elimination der Parameter soll hier gezeigt werden. Wir gehen aus von: $$\epsilon : \begin{cases} x = 1 - 2s - t \\ y = 1 - 5s + 2t \\ z = 1 + s - 2t\end{cases}$$
Addieren wir die y- und die z-Gleichung, können wir $t$ eliminieren: $+ \begin{cases} y = 1 - 5s + 2t \\ z = 1 + s - 2t \end{cases} \ \Rightarrow \ y + z = 2 - 4s$. 
Wir können $t$ ebenfalls eliminieren, indem wir die y-Gleichung zum 2-fachen der x-Gleichung addieren: $+ \begin{cases} 2x = 2 - 4s - 2t \\ y = 1 - 5s + 2t \end{cases} \ \Rightarrow \ 2x + y = 3 -9s$. 
Nun haben wir zwei Gleichungen, die nur mehr von $s$ abhängig sind. Um diesen Parameter nun auch noch zu eliminieren, multiplizieren wir die erste Gleichung mit $(-9)$ und die zweite mit $4$ und addieren diese, um nochmals auf die allg. Ebenengleichung zu kommen.
$$+ \begin{cases} 8x + 4y = 12 - 36s \\ -9y - 9z = -18 + 36s \end{cases} \ \Rightarrow \ \epsilon: 8x - 5y -9z =-6$$
}}

===Lagebeziehungen===
====...zwischen zwei Ebenen====
Zwei Ebenen können im $\mathbb{R^3}$

* ident sein: die Ebenengleichungen (allg. Form) sind Vielfache voneinander;

z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : 2x + 2y + 2z = 6 \Rightarrow \epsilon _2 = 2 \cdot \epsilon _1$

* parallel sein: die Normalvektoren der Ebenen sind Vielfache voneinander;

z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : 2x + 2y + 2z = 5 \Rightarrow \vec{n_2} = 2 \cdot \vec{n_1}$

* einander schneiden (in einer Gerade): die Normalvektoren der Ebenen sind keine Vielfache voneinander;

z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : x - 3y + 2z = 1 \Rightarrow \nexists \lambda \in \mathbb{R} : \vec{n_1} = \lambda \cdot \vec{n_2}$

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:Ebenenident2.png|2 Ebenen sind ident
Datei:Ebenenparallel2.png|2 Ebenen sind parallel
Datei:Ebenenschnittgerade2.png|2 Ebenen schneiden einander in einer Geraden
</gallery>

 
'''Berechnen der Schnittgerade''' 
Erkennt man durch Betrachtung der Normalvektoren zweier Ebenen, dass diese einander schneiden müssen, so kann man diese Schnittgerade berechnen. Dazu erstellt man aus den beiden Ebenengleichungen ein lineares Gleichungssystem in 3 Unbekannten. 2 Gleichungen - 3 Unbekannte: wir werden hier nicht für alle Unbekannten einen Zahlenwert erhalten, können aber 2 Unbekannte in Abhängigkeit der dritten darstellen. Diese dritte Unbekannte wird uns als Parameter für die Darstellung der Geraden dienen. Zur Veranschaulichung ein Beispiel:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die beiden Ebenen $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : x - 3y + 2z = 1$. Wie wir weiter oben schon festgestellt haben, müssen diese Ebenen einander schneiden, da die beiden Noramlvektoren der Ebenen $\vec{n_1}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{n_2}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right)$ linear unabhängig voneinander sind, also $\nexists \lambda \in \mathbb{R} : \vec{n_1} = \lambda \cdot \vec{n_2}$. 
Wir wählen nun eine der Koordinaten als Parameter, z.B. $z=t$ und stellen das Gleichungssystem auf.

|2=

$$\begin{align}I: \ &x&+&y&+&t&=&3 \\
II: \ &x&-&3y&+&2t&=&1
\end{align}$$

Wir subtrahieren $I-II$ und erhalten
$$4y - t = 2 \ \Rightarrow \ y = \frac{1}{2} + t \cdot \frac{1}{4}$$
Nun setzen wir unser erhaltenes $y$ in die erste Gleichung ein, um $x$ zu erhalten:

$$I: \ x + \frac{1}{2} + t \cdot \frac{1}{4} + t = 3 \ \Rightarrow \ x = \frac{5}{2} - t \cdot \frac{5}{4}$$
Somit haben wir alle Ausdrücke der Koordinaten gefunden ($z=t$ haben wir anfangs festgelegt) und können die Parameterdarstellung der Schnittgerade angeben:
$$g: X = \left( \begin{array}{c} \frac{5}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 0 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} - \frac{5}{4} \\ \frac{1}{4} \\ 1 \end{array} \right)$$
}}

====...zwischen 3 Ebenen====
Drei Ebenen können im $\mathbb{R^3}$

* alle ident sein
* 2 ident, 1 parallel sein
* alle parallel sein
* 3 Schnittgeraden haben
* 2 Schnittgeraden haben (2 Ebenen parallel)
* 1 Schnittgerade haben
* 1 Schnittpunkt haben

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:Ebenenident3.png|3 Ebenen sind ident
Datei:Ebenenidentparallel.png|2 Ebenen sind ident, 1 parallel
Datei:Ebenenparallel3.png|3 Ebenen sind parallel
Datei:Ebenenschnittgeraden33.png|3 Ebenen schneiden einander in 3 Geraden
Datei:Ebenenschnittgeraden32.png|3 Ebenen schneiden einander in 2 Geraden (2 Ebenen parallel)
Datei:Ebenenschnittgerade3.png|3 Ebenen schneiden einander in einer Gerade
Datei:Ebenenschnittgerade31.png|3 Ebenen schneiden einander in einer Gerade (2 Ebenen ident)
Datei:Ebenenschnittpunkt3.png|3 Ebenen schneiden einander in einem Punkt
</gallery>

====...zwischen Ebene und Gerade====
Eine Ebene und eine Gerade können im $\mathbb{R^3}$

* $g \subset \epsilon$, die Gerade liegt auf der Ebene

Hierbei haben die Gerade und die Ebene einen gemeinsamen Punkt und der Richtungsvektor der Gerade steht normal auf den Normalvektor der Ebene, daraus folgt, dass sie unendlich gemeinsame Punkte haben.

* parallel sein

Irgendein Punkt der Gerade liegt nicht auf der Ebene, der Richtungsvektor der Gerade steht normal auf den Normalvektor der Ebene, daraus folgt, dass sie keinen einzigen gemeinsamen Punkt haben.

* 1 Schnittpunkt haben

Der Richtungsvektor der Geraden steht nicht normal auf den Normalvektor der Ebene.

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:GeradeinEbene.png|Gerade liegt auf der Ebene
Datei:GeradepararallelEbene.png|Gerade und Ebene sind parallel zueinander
Datei:GeradeSchnittpunktEbene.png|Gerade und Ebene schneiden einander (Schnittpunkt)
</gallery>

Zur Überprüfung der Lagebeziehung gibt es allerdings noch eine andere (schnellere) Methode. Hier "schneiden" wir die Gerade und die Ebene mathematisch, d.h. wir setzen sie gleich (wenn beide in Parameterform gegeben sind) oder setzen die Gerade $g$ (Parameterform) in die Ebene $\epsilon$ (allg. Ebenengleichung) ein. 
Wir erhalten dadurch ein Gleichungssystem oder eine einzelne Gleichung.

Sei die Gerade gegeben als $g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \\ z = z_P + t \cdot z_a \end{cases}$ und die Ebene als $\epsilon : \begin{cases} x = x_Q + s \cdot x_b + u \cdot x_c \\ y = y_Q + s \cdot y_b + u \cdot y_c \\ z = z_Q + s \cdot z_b + u \cdot z_c \end{cases}$ (Parameterform) oder $\epsilon : ax + by + cz = d$ (allg. Ebenengleichung).

Wir erhalten als Gleichungssystem durch Gleichsetzen der Gleichungen der Parameterformen:
$$\begin{cases} x_P + t \cdot x_a = x_Q + s \cdot x_b + u \cdot x_c \\ y_P + t \cdot y_a = y_Q + s \cdot y_b + u \cdot y_c \\ z_P + t \cdot z_a = z_Q + s \cdot z_b + u \cdot z_c \end{cases}$$ 
Wir erhalten durch Einsetzen der Gerade in die Ebene (allg. Ebenengleichung):
$$a \cdot (x_P + t \cdot x_a) + b \cdot (y_P + t \cdot y_a) + c \cdot (z_P + t \cdot z_a) = d$$

Ergibt sich hier eine wahre Aussage (z.B. $1=1$), also unendlich viele Lösungen, so liegt die Gerade in der Ebene. 
Ergibt sich eine falsche Aussage (z.B. $1=2$), also keine Lösung, so schneiden die beiden Objekte einander nicht, also sie sind parallel. 
Gibt es genau eine Lösung (z.B. $t=2$), so existiert genau ein gemeinsamer Punkt = Schnittpunkt. Diesen erhält man, indem man den ermittelten Wert für den Parameter $t$ der Geraden in die Geradengleichung einsetzt (oder, wenn die Ebene in Parameterform gegeben war, die beiden Werte für die Parameter $s$ und $u$ der Ebene in die Ebenengleichung einsetzt). Dazu 2 Beispiele, wobei wir im ersten mit der Ebene in Parameterform rechnen werden:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right)$ und die Ebene $\epsilon : X = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -1 \\ -3 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) + u \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 0 \end{array} \right)$. Stellen wir nun also unser Gleichungssystem auf:

|2=\begin{align}

I: \ & \ 1&-t&=&4& &+2u \\
II: \ &-3& &=&-1&+s&-u \\
III: \ & \ 2&+2t&=&-3&+s&
\end{align}

In der ersten Gleichung drücken wir $u$ in $t$ aus: $u = - \frac{3}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$ 
In der zweiten Gleichung drücken wir $s$ in $u$ aus: $s = -2 + u$ 
Das $u$ von oben setzen wir nun hier ein und erhalten $s$ in Abhängigkeit von $t$: $s = - \frac{7}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$.

Dieses $s$ setzen wir nun in die dritte Gleichung ein und wir erhalten: $2 + 2t = -3 - \frac{7}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$ und in weiterer Folge $t = - \frac{17}{5}$. 
Es ergibt sich also genau eine Lösung für das Gleichungssystem, was bedeutet, dass die Gerade und die Ebene einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen. Diesen erhalten wir, indem wir den errechneten Wert für $t$ in die Geradengleichung einsetzen (Man könnte natürlich auch noch die Werte für $s$ und $u$ berechnen, und diese in die Ebenengleichung einsetzen; zur Übung kannst du das gerne tun):
$$g: S = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) - \frac{17}{5} \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \frac{23}{5} \\ -3 \\ - \frac{24}{5} \end{array} \right)$$
}}

Betrachten wir nun dasselbe Beispiel, mit dem Unterschied, dass die Ebene in Normalform gegeben ist und wir auch gleich mit dieser Form rechnen:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right)$ und die Ebene $\epsilon : x + 2y - 2z = 8$. Wir setzen die Koordinatengleichungen der Gerade in die Normalform der Ebene:

|2= $g$ in $\epsilon$: $$1 - t - 6 - 4 -4t =8$$

Wenn wir diese Gleichung lösen, erhalten wir, wie im ersten Bespiel, $t = - \frac{17}{5}$. Dies noch in die Geradengleichung einsetzen, und wir erhalten den Schnittpunkt.}}

Da man bei der zweiten Methode meistens weniger Rechenaufwand hat, zahlt es sich oft aus die Parameterdarstellung der Ebene in die Normalform (= allg. Ebenengleichung) umzurechnen.

==Pyramidenbeispiel==
[[Datei:Pyramidebsp.png|thumb|right|350px|Pyramide]]Gegeben seien 3 Eckpunkte $A(-2/-2/1), B(2/-2/1), C(2/2/1)$ der quadratischen Grundfläche und der Spitzpunkt $S(0/0/6)$ einer geraden (gerade bedeutet, dass die Spitze in einem rechten Winkel über dem Mittelpunkt der Grundfläche der Pyramide liegt) Pyramide.
Gesucht sind:

# der vierte Eckpunkt $D$ der Grundfläche
# die Parameterdarstellung der Trägergeraden $h$ der Höhe
# die Fläche der Grundfläche
# die Geradengleichung der Geraden $g_{AS}$ auf der $A$ und $S$ liegen in a)Parameterform und b)parameterfreier Form
# Der Winkel $\alpha$ zwischen den Vektoren $\vec{AS}$ und $\vec{AC}$
# Zeige, dass der Schnittpunkt der Geraden $g_{AS}$ und $h$ gleich die Spitze $S$ ist
# Gib die Ebenengleichung $\epsilon$ der Grundfläche in a)Parameterform, b)Normalform und c)allgemeiner Ebenengleichung an
# Berechne den Fußpunkt $M$ der Höhe, indem du $h$ und $\epsilon$ schneidest

1. $D = A + \vec{BC} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -2 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right)$ 
2. $h: X = S + t \cdot \vec{h}$
$$\vec{AB} \times \vec{BC} = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 16 \end{array} \right) \ \parallel \ \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) = \vec{h}$$
$$h: X = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$$ 
3. $G = \parallel \vec{AB} \times \vec{BC} \parallel = \parallel \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 16 \end{array} \right) \parallel = 16FE$ 
4. a) $g_{AS}: X = A + u \cdot \vec{AS}$
$$\vec{AS} = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g_{AS}: X = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + u \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right)$$ oder $$g_{AS}:\begin{cases} x = -2 + 2u \\ y = -2 + 2u \\ z = 1 + 5u \end{cases}$$
b) Parameter elimieren:
$$x - y: x-y = 0$$
$$5x - 2z: 5x - 2z = -12$$
$$\Rightarrow g_{AS}:\begin{cases} x - y = 0 \\ 5x - 2z = -12 \end{cases}$$ 
5. $\measuredangle \vec{AS},\vec{AC} = \alpha = arccos{\frac{\vec{AS} \cdot \vec{AC}}{\parallel \vec{AS} \parallel \cdot \parallel \vec{AC} \parallel}} = arccos{\frac{\left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right)}{\parallel \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) \parallel \cdot \parallel \left( \begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) \parallel}} = arccos{\frac{16}{\sqrt{33 \cdot 32}}} = 60,5°$ 
6. $g_{AS}$ und $h$ gleichsetzen:
$$\begin{align}
I: \ &-2&+&2u&=&0&& \\
II: \ &-2&+&2u&=&0&& \\
III: \ & \ \ 1&+&5u&=&6&+&t
\end{align}
\ \ \ \rightarrow u=1$$
$$g_{AS}: S = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + 1 \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array} \right)$$ 
7. a) $\epsilon: X = A + v \cdot \vec{AB} + w \cdot \vec{BC} \ \rightarrow \ \epsilon: X = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + v \cdot \left( \begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) + w \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right)$ 
b) $\epsilon: \vec{n} \cdot \vec{X} = \vec{n} \cdot \vec{A} \ \rightarrow \ \epsilon: \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right)$ 
c) $\epsilon: z = 1$ 
8. $h:\begin{cases} x=0 \\ y=0 \\ z=6+t \end{cases} \ \ \epsilon: z=1 \ \ \rightarrow \ 1 = 6 + t \ \Rightarrow \ t=-5$ 
$h: M = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array} \right) -5 \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$

=Beispiele=
Hier findest du Beispiele zu den behandelten Themen:

===Grundlagen der Vektorrechnung===
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/9/99/VektorrechnungGLBspAngabe.pdf VektorrechnungGLBspAngabe.pdf] 
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/0/00/VektorrechnungGLBspL%C3%B6sung.pdf VektorrechnungGLBspLösung.pdf]

===Vektorrechnung im $\mathbb{R^2}$===
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/7/7f/VektorrechnungR2BspAngabe.pdf VektorrechnungR2BspAngabe.pdf] 
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/f/ff/VektorrechnungR2BspL%C3%B6sung.pdf VektorrechnungR2BspLösung.pdf]

Vektorrechnung

2016-08-08T10:21:39Z

Lajtos: /* Koordinatensystem */

=Grundlagen=
==Koordinatensystem==
[[Datei:Quadranten.png|thumb|Coordinate System|thumb|right|350px|Koordinatengitter im $\mathbb{R^2}$ mit den 4 Quadranten]]

Für die Vektorrechnung sind Koordinatensysteme essentiell.
Im zweidimensionalen Raum besitzt ein Koordinatensystem 2 Achsen:

* die x-Achse (waagrecht) und
* die y-Achse (senkrecht)

 
Diese sind unendlich lang und Spannen die vier sogenannten Quadranten auf, die meist mit den römischen Ziffern I-IV beschriftet werden (gesprochen: Erster Quadrant, Zweiter Quadrant etc.). Die rechte Graphik zeigt die die Positionen der Quadranten. Dort, wo die 2 Achsen einander treffen, liegt der sog. Ursprung (kurz: $\vec{0}$); seine Koordinaten sind $(0/0)$.

Was es außerdem noch zu beachten gibt, hast du vielleicht bereits selbst erkannt:
An den gegenüberliegenden Seiten der x- und y-Achsen werden unterschiedliche Vorzeichen verwendet. So spricht man "links" des Ursprungs von der negativen, bzw. "rechts" des Ursprungs von der positiven x-Achse. Analog spricht man "oben" und "unten" von der positiven und negativen y-Achse.

Im dreidimensionalen Raum kommt eine dritte Achse - die z-Achse - dazu. Punkte und Vektoren besitzen dementsprechend dann auch 3 Koordinaten. Dies kann man bis ins n-dimensionale weiterführen.

==Punkte==
In ein Koordinatensystem lassen sich Punkte eintragen. Diese besitzen, entsprechend ihrer Lage, Koordinaten. Im obigen Bild z.B. haben wir die Punkte A und B, wobei sich A im ersten Quadranten befindet und B im vierten Quadranten. Man schreibt: A(2/3,5) B(1/-2).

[[Datei:Punkte Abstand.png|thumb|right|350px|Punkte im $\mathbb{R^2}$]]

{{Vorlage:Merke |''Einen'' '''allgemeinen Punkt''' ''schreibt man an als'' $P(x_1/x_2/.../x_n)$ (im n-dimensionalen Raum $\mathbb{R^n}$) ''bzw.'' $P(x/y)$ (im 2-dimensionalen Raum $ \mathbb{R^2}$) ''oder'' $P(x/y/z)$ (im 3-dimensionalen Raum $\mathbb{R^3}$).
 
Die erste Koordinate entspricht der x-Koordinate, die zweite der y-Koordinate, die eventuelle dritte der z-Koordinate.

Punkte werden in der Regel mit Großbuchstaben bezeichnet.}}

Koordinaten von Punkten lassen sich also ganz einfach ablesen. Die x/y-Koordinate entspricht dabei dem Abstand vom Ursprung zum Punkt in Richtung der jeweiligen Koordinatenachse. So erkennen wir im Bild rechts die folgenden Punkte:

* A(2/0)
* B(0/-2)
* C(-1/2)

=Vektoren=

==Definition & Darstellung von Vektoren==
{{Vorlage:Definition |1= Ein Zahlenpaar $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \in \mathbb{R^2}$ wird als '''Vektor aus $\mathbb{R^2}$ ''' bezeichnet.
Analog bezeichnet man ein Zahlentripel $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) \in \mathbb{R^3}$ als '''Vektor aus $\mathbb{R^3}$ '''. 
Ein '''allgemeiner Vektor''' wird $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) \ \in \mathbb{R^n}$ geschrieben.

}}

Da sowohl die Rechenoperationen als auch die geometrischen Darstellungen leicht vom $\mathbb{R^2}$ in den $\mathbb{R^3}$ übertragen werden können, werden wir meistens nur die Vorgangsweise für Zahlenpaare aus dem $\mathbb{R^2}$ beschreiben.

===Geometrische Darstellung von Vektoren===

Es gibt zwei Möglichkeiten, wie wir einen Vektor $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right) \ \in \mathbb{R^2}$ geometrisch darstellen können:
* '''Darstellung als Punkt''': Dabei gibt $a$ die x-Koordinate und $b$ die y-Koordinate des Punktes an. Die Beschriftung erfolgt mit Großbuchstaben.
* '''Darstellung als Pfeil''': Dabei gibt $a$ die x-Richtung des Pfeils (wie weit zeigt der Pfeil nach links bzw. rechts) und $b$ die y-Richtung des Pfeils (wie weit zeigt der Pfeil nach oben bzw. nach unten) an. Pfeile werden mit Kleinbuchstaben (oft mit Pfeil $\vec{v}$) beschriftet.

Die Darstellung als Punkt ist eindeutig! Einem Zahlenpaar (=Vektor) entspricht genau ein Punkt!
Die Darstellung als Pfeil ist nicht eindeutig! Es gibt unendlich viele Pfeile, die denselben Vektor darstellen. Diese Pfeile sind aber alle parallel, gleich lang und gleich gerichtet.

'''Beispiel:''' Darstellung des Vektors $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$
{| class="wikitable"
|-
| '''Punktdarstellung des Vektors'''|| '''Mögliche Pfeildarstellungen des Vektors'''
|-
| [[Datei:Punkt.png|thumb|300px]]|| [[Datei:Pfeile.png|thumb|300px]]
|}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 3 \\ -4 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 5 \end{array} \right)$. Stelle $\vec{a}$ und $\vec{b}$ als Punkte und als Pfeile dar.
|2=[[Datei:Punkt Pfeil Bsp.png|300px]] 
'''Anmerkungen:'''
* Für die Pfeildarstellungen gibt es mehrere (unendlich viele) Möglichkeiten. Der von dir gezeichnete Pfeil muss jedenfalls parallel, gleich gerichtet und gleich lang wie der abgebildete Pfeil sein!
* Aus "Bequemlichkeitsgründen" zeichnet man die Pfeile oft beginnend beim Ursprung ein:
[[Datei:Punkt Pfeil Bsp2.png|300px]]
 
}}

Vektoren des $\mathbb{R^3}$ können auch auf diese zwei Arten dargestellt werden. Der einzige Unterschied dabei ist, dass die Punkte bzw. Pfeile im dreidimensionalen Raum liegen. Es gibt also noch eine dritte Richtung, die durch die z-Koordinate des Vektors angegeben wird.

===Ortsvektoren===
[[Datei:Ortsvektor.png|thumb|right|250px|Punkt und zugehöriger Ortsvektor]]Der Ortsvektor von einem Punkt ist der Vektor, der vom Ursprung aus auf den Punkt zeigt. Die Koordinaten bleiben deshalb gleich, es ändert sich quasi nur die Schreibweise:

Sei $A(x_1/x_2/.../x_n)$ ein Punkt in der Dimension $n$, dann ist $\vec{0A} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ dessen Ortsvektor.
 
 
 
 
 

==Rechnen mit Vektoren==

===Addition und Subtraktion von Vektoren===
{{Vorlage:Merke|1=Wenn du Vektoren addieren oder subtrahieren möchtest, musst du dazu die entsprechenden Koordinaten addieren: 
$\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) \pm \left( \begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ ... \\ y_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x_1 \pm y_1 \\ x_2 \pm y_2 \\ ... \\ x_n \pm y_n \end{array} \right)$ 
Wichtig ist dabei, dass die Vektoren, die du addieren oder subtrahieren möchtest, derselben Dimension $n$ angehören! D.h. sie haben gleich viele Koordinaten.}}
{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben seien die beiden Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right)$. Berechne erst $\vec{a} + \vec{b}$, dann $\vec{a} - \vec{b}$ und zuletzt $\vec{b} - \vec{a}$!
|2= $\vec{a} + \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 5+1 \\ 2+(-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 6 \\ -1 \end{array} \right)$
$\vec{a} - \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 5-1 \\ 2-(-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 5 \end{array} \right)$ 
$\vec{b} - \vec{a} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 1-5 \\ -3-2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -4 \\ -5 \end{array} \right)$}}

===Vektoren bestimmen: "Spitze minus Schaft" ("Ziel minus Start")===
[[Datei:Spitzeschaft.png|thumb|right|300px|"Spitze minus Schaft"]]Zwischen 2 Punkten kann man nun einen Vektor definieren. Dabei gilt: Die '''"Spitze minus Schaft"'''-Regel Im Bild rechts wollen wir den Vektor berechnen, der von A nach B geht, also den Vektor $\vec{AB}$. Der Punkt B(3/3,5) entspricht hierbei der Spitze, und der Punkt A(1/0,5) dem Schaft. Da das Rechnen mit Punkten allerdings keinen Sinn ergibt, rechnet man stattdessen mit deren Ortsvektoren (siehe oben).

Für unser Beispiel bedeutet das: $\vec{0B} - \vec{0A} = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 3,5 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0,5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 3-1 \\ 3,5-0,5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right) = \vec{AB}$

'''Beachte außerdem:'''

* Man schreibt der Einfachheit halber oft nur $B-A$, obwohl eigentlich $\vec{0B} - \vec{0A}$ gemeint ist.
* Der Vektor $\vec{AB}$ zeigt in die entgegengesetzte Richtung von $\vec{BA}$. Das bedeutet, dass diese beiden Vektoren entgegengesetzte Vorzeichen haben: $\vec{AB} = - \vec{BA}$

 

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die Punkte A=(1/2); B=(-3/1); C=(-4,-1). Bilde die folgenden Verbindungsvektoren: 
 
# $\vec{AB}$
# $\vec{BA}$
# $\vec{AC}$
# $\vec{BC}$

|2=
$\ $
# $\vec{AB}=B-A=\left( \begin{array}{c} -3 \\ 1\end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} -4 \\ -1\end{array} \right)$
# $\vec{BA}=-\vec{AB}=\left( \begin{array}{c} 4 \\ 1 \end{array} \right)$
# $\vec{AC}=\left( \begin{array}{c} -4 \\ -1\end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} -5 \\ -3\end{array} \right)$
# $\vec{BC}=\left( \begin{array}{c} -4 \\ -1\end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} -3 \\ 1 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} -1 \\ -2\end{array} \right)$
 
'''Tipps:'''
* Pass gut auf die Vorzeichen auf! Beim Subtrahieren von Vektoren passieren leider häufig Vorzeichenfehler! Sei deshalb besonders achtsam!
* Zeichne die Punkte in ein Koordinatensystem und zeichne die Verbindungsvektoren ein. Bei einfachen Koordinaten kannst du den Verbindungsvektor ohne Rechnung ablesen (Probiere es aus!).

 
}}

===Produkt eines Vektors mit einem Skalar===
Wenn man einen Vektor $\vec{v}$ mit einer [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)|reellen Zahl]] $k$ , einem sogenannten "Skalar", multipliziert, werden dabei die einzelnen Koordinaten mit dem Skalar multipliziert:

$k \cdot \vec{v} = k \cdot \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} k \cdot x_1 \\ k \cdot x_2 \\ ... \\ k \cdot x_n \end{array} \right)$

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sei der Vektor $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right)$. Multipliziere diesen einmal mit $2$ und einmal mit $-5$!
|2= $2 \cdot \vec{a} = 2 \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \cdot 2 \\ 2 \cdot (-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -6 \end{array} \right)$
$(-5) \cdot \vec{a} = (-5) \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-5) \cdot 2 \\ (-5) \cdot (-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -10 \\ 15 \end{array} \right)$}}

==Geometrische Darstellung der Rechenoperationen==
===Geometrische Darstellung der Vektoraddition===
Die Addition zweier Vektoren kann auf zwei verschiedene Arten geometrisch gedeutet werden. Wir illustrieren die beiden Möglichkeiten anhand des Beispiels $\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2\end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$

{| class="wikitable"
|-
| '''Punkt + Pfeil - Darstellung:'''|| '''Pfeil + Pfeil - Darstellung'''
|-
| ''An einen Punkt wird ein Pfeil angehängt.'' In unserem Beispiel wird an den Punkt (1/2) ein Pfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$ angehängt. Das Ergebnis der Addition ist der Punkt am Ende des Pfeils (5/5). || ''Zwei Pfeile werden aneinandergehängt. In unserem Beispiel wird also ein Pfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$ und ein Pfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)$ aneinandergehängt. Das Ergebnis der Addition ist der entstehende Verbindungspfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 5 \\ 5 \end{array} \right)$
|-
| [[Datei:Vektoraddition1.png|left|400px]]|| [[Datei:Vektoraddition2.png|left|500px]]
|-
| '''Anmerkung:''' Diese Darstellung ist hilfreich, wenn wir von einem Punkt ausgehen und zu einem neuen Punkt gelangen wollen.|| Es spielt keine Rolle, in welcher Reihenfolge die Vektoren angehängt werden. Die Addition ist kommutativ!
|}

===Geometrische Darstellung der Multiplikation mit einem Skalar===

Eine Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl $a$ (Skalar) entspricht einer Streckung (für $|a|>1$) bzw. einer Stauchung (für $|a|<1$) des zugehörigen Pfeiles.
Ist das Vorzeichen des Skalars negativ, so dreht sich die Richtung des Pfeils in die entgegengesetzte Richtung.

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sei wiederum der Vektor $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right)$. Stelle die Multiplikation mit $2$, mit $-5$ und mit $0.5$ graphisch dar!
|2= Rechnerische Lösung und graphische Interpretation:
* $2 \cdot \vec{a} = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -6 \end{array} \right)$. Der Vektor $2\cdot \vec{a}$ hat die doppelte Länge und dieselbe Richtung wie $\vec{a}$
* $(-5) \cdot \vec{a} = \left( \begin{array}{c} -10 \\ 15 \end{array} \right)$. Der Vektor $(-5)\cdot \vec{a}$ ist fünfmal so lang wie $\vec{a}$ und zeigt in die entgegengesetzte Richtung wie $\vec{a}$
* $(0.5) \cdot \vec{a} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1.5 \end{array} \right)$ Der Vektor $0.5\cdot \vec{a}$ ist halb so lang wie $\vec{a}$ und zeigt in dieselbe Richtung wie $\vec{a}$
}}

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[http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_vektorrechnung/MV_Vektor1/MV_Vektor1/ (Quelle dieses Applets)]

Hilfe zum Applet: Gib in die Eingabezeile den Buchstaben des Vektors bzw. die entsprechende Summe / Differenz an. (z.B. $u=a$)

===Wie Vektoren zueinander stehen===
Vektoren können unterschiedliche Richtungen haben, aber auch parallel zueinander oder gar identisch sein. Optisch lässt sich das oft sehr leicht erkennen. Die Lage von Vektoren zueinander kann aber auch rechnerisch überprüft werden.

{{Vorlage:Definition |Unter einem Vektor versteht man die Menge aller gleichlangen, gleichgerichteten und gleichorientierten Pfeile.

Der Start/Endpunkt spielen dabei keine Rolle!}}

{{Vorlage:Merke|2 Vektoren stehen parallel zueinander, wenn ein Vektor als Vielfaches des anderen Vektors angeschrieben werden kann. 
Man sagt auch: Die Vektoren sind [[linear abhängig]].}}

Sehen wir uns die verschiedenen Fälle an:

{| class="wikitable"
|-
|ident: gleiche Richtung, gleiche Orientierung, gleiche Länge
||[[Datei:Vektorv1.png|none|250px]]
||$\vec{v} = \vec{u} \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$
||z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$
|-
||parallel (gleiche Orientierung): gleiche Richtung, gleiche Orientierung, unterschiedliche Länge
| [[Datei:Vektorenlänge.png|none|250px]]
||$\exists k>0 : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$
||z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} \frac{4}{3} \\ 2 \end{array} \right)$, $k = \frac{2}{3} $
|-
||parallel (unterschiedliche Orientierung): 
| [[Datei:Vektororientierung1.png|none|250px]]
||$\exists k<0 : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$
||z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} -2 \\ -3 \end{array} \right)$, $k=-1$

|-
||linear unabhängig
| [[Datei:Vektorrichtung1.png|none|250px]]
||$\nexists k : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \nparallel \vec{u}$
||z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 3 \end{array} \right)$
|}

{{Vorlage:Beispiel|1=Überprüfe ob die Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 5 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$ linear unabhängig voneinander sind.

|2=Wenn es ein k gibt, sodass $k \cdot \vec{a} = \vec{b}$, dann sind die beiden Vektoren voneinander linear abhängig, und somit auch parallel zueinander.

Es gibt mehrere Lösungsmöglichkeiten:
*Möglichkeit 1: Lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen
$I: 2k = 4 \ \ \rightarrow k=2$
$II: 5k = 3 \ \ \rightarrow k=\frac{3}{5}$

Aus der ersten Gleichung ergibt sich $k=2$, in der zweiten aber $k=\frac{3}{5}$. $k$ kann aber nicht beides sein, somit haben wir eine falsche Aussage erhalten. Daraus folgt, dass die beiden Vektoren '''linear unabhängig''' und somit nicht parallel zueinander sind.

* Möglichkeit 2: "Vergleichen und Probieren"
Vergleicht man die x-Koordinaten der beiden Vektoren, so sieht man, dass $4$ doppelt so groß wie $2$ ist. Daraus ergibt sich, dass ein etwaiges $k=2$ sein müsste.
Probiert man, auch die zweite Zeile mit $2$ zu multiplizieren, so erhält man $10$. Die y-Koordinate von $\vec{b}$ müsste also $10$ sein, damit die beiden Vektoren parallel zueinander sind.
}}

 

===Betrag und Einheitsvektor===
[[Datei:PythagorasVektor.png|thumb|right|350px|Betrag eines Vektors; Einheitsvektor]]Wie anfangs bereits erwähnt, besitzen Vektoren eine Länge, auch '''Betrag''' eines Vektors genannt. Dieser wird mit Hilfe des pythagoräischen Lehrsatzes wie folgt berechnet:

<div align="center">$\parallel \vec{v} \parallel = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2} \ $ wenn $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ ein Vektor der Dimension $n$ ist.</div>
Sehen wir uns die Grafik rechts an, können wir mit dieser Formel die Länge des zweidimensionalen Vektors $\parallel \vec{v} \parallel$ berechnen:

<div align="center">$\parallel \vec{v} \parallel = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$</div>
 Der '''Einheitsvektor''' $\vec{a_0}$ eines Vektors $\vec{a}$ ist ein zu $\vec{a}$ paralleler Vektor mit Länge 1. Rechnerisch erhält man $\vec{a_0}$, indem man $\vec{a}$ durch seine Länge dividiert. $ \vec{a_0}

=\frac{\vec{a}}{\parallel \vec{a}\parallel}$
bzw.
$ \vec{a_0}=\frac{1}{\parallel\vec{a}\parallel}\cdot \vec{a}$

Daraus ergibt sich ein Vektor, der dieselbe Richtung des ursprünglichen Vektors hat, allerdings die Länge 1 besitzt.

{{Vorlage:Merke|1=
Sei $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ ein Vektor der Dimension $n$ und $\parallel \vec{v} \parallel$ sein Betrag, dann ist $\vec{v_0} = \frac{1}{\parallel \vec{v} \parallel} \cdot \vec{v} \ $ der Einheitsvektor zu $\vec{v}$.}}

In unserem Beispiel würde das folgendes bedeuten:

{{Vorlage:Beispiel|1= Bestimme den Einheitsvektor von $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$

|2=<div align="center">$\vec{v_0} = \frac{1}{\sqrt{13} } \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \frac{2}{\sqrt{13} } \\ \frac{3}{\sqrt{13} } \end{array} \right)$</div>
}}

===Vektoren bestimmter Länge===
Da wir nun gelernt haben, Einheitsvektoren zu bilden und Vektoren mit Zahlen zu multiplizieren (und ich das hier so schön betone), könnt ihr euch vielleicht schon vorstellen, wie man aus einem beliebigen Vektor einen Vektor derselben Richtung, allerdings unterschiedlicher Länge bekommt. Wir haben also einen Vektor $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ mit der Länge $\parallel \vec{v} \parallel = k$ gegeben, und hätten gerne den Vektor $\vec{w} \ \parallel \ \vec{v}$ mit der Länge $l$. Dazu berechnen wir zuerst den Einheitsvektor $\vec{v_0}$ von $\vec{v}$ und multiplizieren diesen dann mit $l$. So erhalten wir schließlich $\vec{w} = l \cdot \vec{v_0}$.

==Mittelpunkt einer Strecke==
[[Datei:Mittelpunkt.png|thumb|right|300px|Mittelpunkt M der Strecke AB]]Willst du den Mittelpunkt zwischen 2 Punkten $A$ und $B$ berechnen, musst du wie folgt vorgehen:
Zuerst berechnest du einen Vektor zwischen den Punkten ($\vec{AB}$ oder $\vec{BA}$). Dann halbierst du diesen Vektor, und erhältst $\vec{AM}$ bzw. $\vec{BM}$. Addierst du dann diesen Vektor zum entsprechenden Punkt ($A$ bzw. $B$), erhältst so den Mittelpunkt. Also:

<div align="center">$\vec{0M} = \vec{0A} + \frac{\vec{AB}}{2} = \vec{0B} + \frac{\vec{BA}}{2}$</div>

Kurzschreibweise:
<div align="center">$M = \vec{A} + \frac{\vec{AB}}{2}$ </div>

=Im $\mathbb{R^2}$=
Dieser Artikel befasst sich mit der Vektorrechnung im zweidimensionalen Raum. Grundlegende Informationen zur Vektorrechnung, so wie Punkte und Vektoren, findest du unter dem Tab ''Grundlagen der Vektorrechnung''.

==Vektoren==
===Normalvektoren===
[[Datei:Normalvektoren.png|thumb|right|350px|Normalvektoren]]Normalvektoren zu einem Vektor sind alle Vektoren, die normal (im rechten Winkel) auf den Vektor stehen. Im $\mathbb{R^2}$ gibt es zu jedem Vektor genau 2 Normalvektoren, die dieselbe Länge wie der ursprüngliche Vektor haben. Alle anderen Normalvektoren sind Vielfache eines dieser 2 Normalvektoren.

{{Vorlage:Merke | 1=Sei $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ ein Vektor, dann ist $\vec{n_1}=\left( \begin{array}{c} -y \\ x \end{array} \right)$ sein nach links gekippter, und $\vec{n_2}=\left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right)$ sein nach rechts gekippter Normalvektor.
''Vertausche die Koordinaten und ändere '''ein''' Vorzeichen''
}}

===Skalarprodukt===
Unter dem Skalarprodukt versteht man die Multiplikation zweier Vektoren, bei der als Ergebnis ein Skalar (eine Zahl) entsteht.

{{Vorlage:Merke|1=Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren, dann ist $\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \end{array} \right) = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b$ gleich ihr Skalarprodukt.
}}

Das Skalarprodukt wirkt auf den ersten Blick etwas "eigenartig". Man kann sich die Bedeutung des Skalarproduktes besonders gut an einem Anwendungsbeispiel erklären:
Angenommen in einer Preisliste stehen 10 Kugelschreiber, die jeweils 2€ kosten und 20 Bleistifte, die jeweils 0,50€ kosten.
In Tabellenform sieht das folgendermaßen aus:

{| class="wikitable"
|-
! Produkt !! Stückzahl !! Preis pro Stück (in €)
|-
| Kugelschreiber || 10 || 2
|-
| Bleistift || 20 || 0,50
|}

Aus dieser Tabelle kann ein Stückzahlvektor $\left( \begin{array}{c} 10 \\ 20 \end{array} \right)$ und ein Preisvektor $\left( \begin{array}{c} 2 \\ 0,50 \end{array} \right)$ abgelesen werden.

Möchte man den Gesamtwert der Produkte berechnen, so müssen jeweils die Einzelpreise mit der Stückzahl multipliziert werden und anschließend die Summe gebildet werden.
Genau das macht das Skalarprodukt!
$\left( \begin{array}{c} 10 \\ 20\end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0.50 \end{array} \right) = 10 \cdot 2 + 20 \cdot 0.50 = 20 + 10 = 30€ $

===Winkel zwischen zwei Vektoren===
[[Datei:Winkel.png|thumb|right|350px|Winkel zwischen 2 Vektoren]]<big>$$cos{\varphi} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel} = \vec{a_0} \cdot \vec{b_0}$$
bzw.
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = \parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel \cdot cos{\varphi}$$</big>

Heißt es, den Winkel zwischen 2 Vektoren/Geraden zu bestimmen, ist damit immer der kleinere Winkel gemeint. Solltest du einmal ein Ergebnis erhalten, das größer als 180° ist (nennen wir dieses Ergebnis $\varphi'$), dann ziehe dieses Ergebnis von 360° ab und du erhältst den kleineren Winkel ($\varphi = 360° - \varphi'$). 
Bei einem Winkel von $\varphi = 90°$ erhalten wir $cos{\varphi} = 0$, was bedeutet, dass auch $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$. Daraus ergibt sich das Orthogonalitätskriterium.

====Orthogonalitätskriterium====
{{Vorlage:Merke|1=Ergibt das Skalarprodukt zweier Vektoren $0$, so stehen diese zwei Vektoren normal zueinander (und umgekehrt!)$$\vec{a} \cdot \vec{b} \ = \ 0 \ \Leftrightarrow \ \vec{a} \bot \vec{b}$$}}

Mithilfe des Orthogonalitätskriteriums kann man auch zeigen, dass $\vec{n}=\left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right)$ stets ein Normalvektor von $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ ist.
$$\vec{v} \cdot \vec{n} = \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right) = xy - yx = 0$$

==Geraden==
===Darstellungsformen===
Geraden lassen sich in unterschiedlichen Formen darstellen. In der Vektorrechnung ist die Parameterdarstellung populär, da man dazu nur einen Punkt und Vektor kennen muss. Die Normalform allerdings hat den Vorteil, dass man den Normalvektor zur Geraden auf einen Blick ablesen kann. Je nachdem, was man mit der Gerade vorhat, können die verschiedenen Formen ineinander umgewandelt werden.

====Parameterdarstellung====
[[Datei:Parameterdarstellung.png|thumb|right|350px|Parameterdarstellung einer Geraden]]$$g: \vec{0X} = \vec{0P} + t \cdot \vec{a}$$ 
wobei

* $X \in g$ ist ein '''beliebiger''' Punkt auf der unendlichen Geraden (steht für alle Punkte auf der Geraden)
* $P \in g$ ist ein '''bekannter''' Punkt auf der Geraden
* $t \in \mathbb{R}$ ist ein freier Parameter (in der Graphik rechts $\lambda$)
* $\vec{a} \in \mathbb{R^2}$ ist ein Vektor parallel zur Geraden, der die Richtung dieser angibt ("Richtungsvektor")

 
Beachte, dass in der Parameterdarstellung keine Punkte, sondern Ortsvektoren verwendet werden! (Info zu Ortsvektoren findest du unter ''Grundlagen der Vektorrechnung''.) Wenn man das weiß, kann man der Einfachheit halber die Gerade auch folgendermaßen beschreiben: $g: X = P + t \cdot \vec{a}$

 
Eine andere Schreibweise ist, die Koordinaten einzeln zu betrachten und 2 Gleichungen aufzustellen:
$$g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \end{cases}$$

====Normalvektorform====
Hierzu benötigt man einen Normalvektor des Richtungsvektors und multipliziert dann die Geradengleichung mit diesem Normalvektor. Da $\vec{a} \cdot \vec{n} = 0$, bleibt über:

Sei $g: \vec{0X} = \vec{0P} + t \cdot \vec{a}$ eine Gerade in Parameterform, so ist

<div align="center">$g: \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x_P \\ y_P \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right)$</div>

dieselbe Gerade in Normalform, wobei $\vec{0X}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right), \ \vec{0P}=\left( \begin{array}{c} x_P \\ y_P \end{array} \right), \ \vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right)$ und $\vec{n}=\left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right)$ ein Normalvektor von $\vec{a}$ (hier kann man natürlich auch den anderen Normalvektor verwenden).

====Allgemeine Geradengleichung====
Diese Form der Darstellung heißt auch Normalform, da man den Normalvektor der Gerade direkt ablesen kann.Um von der Parameterdarstellung auf diese Form zu kommen, gibt es 2 Möglichkeiten:

'''1. Multiplikation mit Normalvektor:'''
Hierzu muss man einfach die Normalform ausmultiplizieren und es ergibt sich:

$$g: y_a \cdot x + -x_a \cdot y = y_a \cdot x_P + -x_a \cdot y_P$$

'''2. Elimination des Parameters:'''
Hierbei gehen wir von der Geradenform $g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \end{cases}$ aus, eliminieren $t$, und kommen ebenfalls auf die obige allgemeine Geradengleichung.
Auf der rechten Seite der Gleichung stehen nur bekannte Größen, auf der linken Seiten stehen Vielfache von x und y. Diese Gleichung kann man weiter auch auf die Form y=kx+d umformen.

===Lagebeziehungen zwischen Geraden===
Mehrere Geraden können im $\mathbb{R^2}$

* ident sein, d.h. sie haben unendlich viele gemeinsame Punkte
* parallel sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt
* einander schneiden, d.h. sie haben genau ein gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt)

 Sind uns 2 Geraden in '''Parameterdarstellung''' gegeben, betrachten wir zuerst ihre Richtungsvektoren. 
Sind diese parallel zueinander, so sind auch die Geraden parallel zueinander. Nun bleibt noch die Frage offen, ob die Geraden ident sind. Dazu überprüfen wir einfach, ob der gegebene Punkt der einen Geraden auch auf der anderen Geraden liegt. Dazu Setzen wir den bekannten Punkt der einen Geraden für den unbekannten Punkt der anderen Geraden ein und erhalten 2 Gleichungen in einer Unbekannten (Parameter der zweiten Gerade). Erhalten wir nun für den Parameter zweimal dasselbe Ergebnis, so sind die 2 Geraden ident, erhalten wir unterschiedliche Ergebnisse, so sind sie nur parallel. 
Sind die Richtungsvektoren nicht parallel zueinander, so sind es auch die 2 Geraden nicht, und wir können uns sicher sein, dass diese einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen.
Doch wie erhalten wir den Schnittpunkt? Ganz einfach, indem wir die 2 Geraden schneiden. Dazu müssen wir sie gleichsetzen, und dann das dadurch erhaltene Gleichungssystem in 2 Unbekannten (die 2 Parameter) lösen. Wenn wir den Wert eines Parameters ausgerechnet haben, setzen wir ihn einfach in die entsprechende Geradengleichung ein und erhalten so den Schnittpunkt!

Sind die 2 Geraden in der '''allgemeinen Geradenform''' gegeben, so haben wir bereits 2 Gleichungen gegeben, die wir nach x und y auflösen. Dieses x und y sind die Koordinaten des Schnittpunktes.

Um das Schneiden von Geraden besser zu verstehen, schau dir das Lösen von [[ Gleichungssysteme (2.7.) |Gleichungssystemen]] genauer an, wirf einen Blick auf die Beispiele zum $\mathbb{R^2}$ unter dem Tab 'Beispiele', oder sieh dir dieses Video an:

<div align="center">{{#ev:youtube|ZrFE3LRisn0}}</div>

===Normalabstand Punkt - Gerade===
[[Datei:Normalabstand.gif|right]]Gegeben sei ein Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und eine Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$. Um den Normalabstand $d(Q,g)$ zwischen Q und g zu berechnen, gehe wie folgt vor:
{{Vorlage:Merke|1=1. Bestimme die Gerade $q: X = Q + s \cdot \vec{n}$, die durch $Q$ geht und den Normalvektor $\vec{n}$ von $\vec{a}$ als Richtungsvektor besitzt.
2. Schneide $g$ und $q$ und die erhältst ihren Schnittpunkt $S$. 
3. Berechne $\parallel \vec{QS} \parallel$.}}
In der Graphik rechts hätten wir z.B. die Angabe $g: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right) + \lambda \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array} \right)$ und $Q(3/4)$. Du kannst das zur Übung durchrechnen.

====Hesse'sche Abstandsformel====
Mithilfe dieser Formel kann man ebenfalls den Abstand $d(Q,g)$ zwischen Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$ bestimmen. <big>$d(Q,g) = | \vec{PQ} \cdot \vec{n_0} | $</big>, wobei $\vec{n_0}$ der normierte (Länge 1) Normalvektor des Richtungsvektors $\vec{a}$ der Geraden $g$ ist.

====Spiegelung eines Punktes an einer Geraden====
[[Datei:Spiegeln.png|thumb|right|250px|Gespiegelter Punkt Q']]Gegeben sei ein Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und eine Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$. Es gilt den Punkt $Q$ an der Gerade $g$ zu spiegeln, und so den Punkt $Q'$ zu erhalten. Dazu befolgst du die Vorgehensweise von "Normalabstand Punkt - Gerade" bis du den Vektor $\vec{QS}$ erhältst, und trägst diesen vom Punkt $S$ ab, also: 
$Q' = S + \vec{QS}$

=Im $\mathbb{R^3}$=
==Vektoren==
===Kreuzprodukt===
Im $\mathbb{R^3}$ gibt es neben dem Skalarprodukt, bei dem wir als Ergebnis ein Skalar erhalten, eine weitere Möglichkeit, zwei Vektoren miteinander zu multiplizieren: das sog. Kreuz- oder Vektorprodukt, bei dem wir als Ergebnis einen Vektor erhalten.{{Vorlage:Merke|1=Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren des $\mathbb{R^3}$, dann ist ihr Kreuzprodukt
$$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} y_a \cdot z_b - z_a \cdot y_b \\ z_a \cdot x_b - x_a \cdot z_b \\ x_a \cdot y_b - y_a \cdot x_b \end{array} \right)$$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ -3 \end{array} \right)$, gesucht ist ihr Kreuzprodukt.|

2=$$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \cdot (-3) - 3 \cdot 4 \\ 3 \cdot 5 - 1 \cdot (-3) \\ 1 \cdot 4 - 2 \cdot 5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-6) - 12 \\ 15 - (-3) \\ 4 - 10 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -18 \\ 18 \\ -6 \end{array} \right)$$}}

Wozu wir das Kreuzprodukt überhaupt benötigen, sehen wir an den nächsten 2 Punkten.

====Normalvektoren====
Im $\mathbb{R^3}$ gibt es zu einem Vektor unendlich viele Normalvektoren. Auf eine Ebene allerdings gibt es genau 2 Normalvektoren (wie im $\mathbb{R^2}$ auf eine Gerade). Eine Ebene wird von 2 Vektoren aufgespannt, deren Kreuzprodukt ergibt einen Normalvektor $\vec{n_1}$ auf die Ebene bzw. die zwei Vektoren; der zweite Normalvektor hat die entgegengesetzte Orientierung ($\vec{n_2} = -\vec{n_1}$). Also:$$\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$$

====Fläche eines von zwei Vektoren aufgespannten Parallelogramms oder Dreiecks====
[[Datei:FlächeNormalvektor.png|thumb|right|none|250px|2 Vektoren spannen ein Dreieck bzw. Parallelogramm auf]] 
{{Vorlage:Merke|1=Die Länge $\parallel \vec{n} \parallel = \parallel \vec{a} \times \vec{b} \parallel$ des Normalvektors $\vec{n}$ zu den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ entspricht der Maßzahl des Flächeninhaltes des Parallelogramms, das $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aufspannen (im Bild die gesamte grüne Fläche).
Die Hälfte dieser Fläche entspricht der Fläche des aufgespannten Dreiecks.}}

===Skalarprodukt, Orthogonalitätskriterium, Winkel zwischen zwei Vektoren===
Diese drei Dinge "funktionieren" im $\mathbb{R^3}$ wie im $\mathbb{R^2}$. Also hier nur eine kurze Wiederholung: 

'''Skalarprodukt''' 
Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\z_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren, dann ist $$\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right) = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b + z_a \cdot z_b$$ gleich ihr Skalarprodukt.
 

'''Orthogonalitätskriterium''' 
Ergibt das Skalarprodukt zweier Vektoren $0$, so stehen diese zwei Vektoren normal zueinander (und umgekehrt!)
$$\vec{a} \cdot \vec{b} \ = \ 0 \ \Leftrightarrow \ \vec{a} \bot \vec{b}$$
Auch das gibt es im $\mathbb{R^3}$. Bedenke aber, dass es hier, anders als im $\mathbb{R^2}$, unendlich viele Normalvektoren auf einen Vektor gibt.
 

'''Winkel zwischen zwei Vektoren'''
$$cos{\varphi} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel} = \vec{a_0} \cdot \vec{b_0}$$

==Geraden==
===Darstellungsformen===
====Parameterdarstellung====
Die Parameterdarstellung im $\mathbb{R^3}$ sieht genauso aus wie im $\mathbb{R^2}$, einziger Unterschied ist, dass unsere Punkte und Vektoren hier jeweils 3 Koordinaten haben.$$g: X = P + t \cdot \vec{a}$$ bzw. $$g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \\ z = z_P + t \cdot z_a \end{cases}$$
Mehr Infos zu den einzelnen Komponenten findest du im Tab 'Im $\mathbb{R^2}$'.

====Parameterfreie Darstellungsform====
Diese besteht aus 2 Gleichungen und wir erhalten sie durch Eliminierung des Parameters.

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sei die Parameterform der Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ -4 \\ 1 \end{array} \right)$. Zuerst schreiben wir das in die 3 Koordinatengleichungen um:
$$g : \begin{cases} x = 2 + 3t \\ y = 0 - 4t \\ z = 1 + t \end{cases}$$

|2=Wir multiplizieren die erste Gleichung mit $4$ und die zweite Gleichung mit $3$ und addieren die beiden: $$+ \begin{cases} 4x = 8 + 12t \\ 3y = 0 - 12t \end{cases}$$ und erhalten so die Gleichung $4x + 3y = 8$.
Wir multiplizieren die dritte Gleichung mit $3$ und subtrahieren diese von der ersten Gleichung: $$- \begin{cases} x = 2 + 3t \\ 3z = 3 + 3t \end{cases}$$ und erhalten so die Gleichung $x - 3z = -1$.

Die parameterfreie Darstellung unserer Gerade lautet somit $$g : \begin{cases} 4x + 3y = 8 \\ x - 3z = -1 \end{cases}$$.}}

Die zwei Gleichungen in der parameterfreien Darstellung sind übrigens Ebenengleichungen. Die eigentliche Gerade ist der Schnitt dieser zwei Ebenen!

===Lagebeziehungen zwischen Geraden===
Mehrere Geraden können im $\mathbb{R^3}$

* ident sein, d.h. sie haben unendlich viele gemeinsame Punkte
* parallel sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt
* einander schneiden, d.h. sie haben genau ein gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt)
* windschief sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt und sind nicht parallel

Um herauszufinden, wie 2 gegebene Geraden in Parameterform zueinander stehen, gehst du am besten wie folgt vor:

'''Betrachtung der Richtungsvektoren:''' Auch im $\mathbb{R^3}$ gilt, sind die Richtungsvektoren zweier Geraden parallel zueinander (d.h. man kann einen Vektor als Vielfaches des anderen Vektors darstellen), so sind es auch die Geraden.

'''Fall 1: Die Vektoren sind parallel:''' Sollte sich herausstellen, dass die zwei Geraden parallel zueinander sind, überprüfst du als nächstes, ob sie einen gemeinsamen Punkt haben; am einfachsten funktioniert das, indem du den bekannten Punkt ($P$) der einen Geraden in die zweite Gerade (für den unbekannten Punkt $X$) einsetzt. Wir erhalten drei Gleichungen in einer Unbekannten (Parameter der zweiten Gerade). 
'''Fall 1a:''' Erhalten wir nun für den Parameter dreimal dasselbe Ergebnis, so sind die 2 Geraden '''ident''' (und parallel), da der überprüfte Punkt, und somit unendlich weitere, auf beiden Geraden liegen. 
'''Fall 1b:''' Erhalten wir unterschiedliche Ergebnisse, so sind sie nur '''parallel''', da der überprüfte Punkt nicht, und somit auch kein anderer, auf beiden Geraden liegen.

'''Fall 2: Die Vektoren sind nicht parallel:''' Nun gibt es nur noch zwei Möglichkeiten: Entweder die zwei Geraden haben einen gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt), oder sie sind windschief. 
Um das wiederum herauszufinden, setzt du die beiden Geraden gleich, d.h. du stellst ein lineares Gleichungssystem (LGS) mit drei Gleichungen und in drei Unbekannten auf, und versuchst, dieses zu lösen. 
'''Fall 2a:''' Solltest du nun eine Lösung erhalten, d.h. du erhältst den Wert für den Parameter einer der zwei Geraden (und hast diesen Wert überprüft), so weißt du, dass die zwei Geraden einander '''schneiden'''. Den Schnittpunkt erhältst du jetzt, indem du den erhaltenen Wert für den Parameter in die entsprechende Geradengleichung einsetzt. 
'''Fall 2b:''' Sollte dein LGS keine Lösung ergeben (also sich eine falsche Aussage oder ein Widerspruch ergeben, z.B. $2=13$, oder $t=4$ und $t=-1$), dann weißt du, dass deine beiden Geraden keinen Schnittpunkt haben und somit '''windschief''' sind.

Zum besseren Verständnis siehst du dir am besten das folgende Video und die beiden folgenden Beispiele an.

<div align="center">{{#ev:youtube|u0QoYlEE094}}</div>
{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die beiden Geraden $g: X = \left( \begin{array}{c} 0 \\ -11 \\ -3 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right)$ und $h: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ -3 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right)$. Überprüfe deren gegenseitige Lage und gegebenenfalls ihren Schnittpunkt!|2=Zuerst überprüfen wir die Richtungsvektoren der beiden Geraden, um festzustellen, ob diese parallel zueinander sind oder nicht:$$\nexists \lambda : \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) = \lambda \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) \nparallel \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g \nparallel h$$
$g$ und $h$ sind also nicht parallel. Sie können also noch entweder einander schneiden oder windschief sein. Stellen wir nun ein LGS auf, indem wir die beiden Geraden gleichsetzen:
$$\begin{align}
I: \ &&&s&=&2&+&t \\
II: \ &-11&+&2s&=&3&-&3t \\
III: \ &-3&+&s&=&-3&+&2t
\end{align}$$ 
Wir subtrahieren $III$ von $I$: $- \begin{cases} &s &=& 2 + t \\ -3 + &s &=& -3 + 2t \end{cases} \ \rightarrow \ 3 = 5 - t \Rightarrow t = 2$ 
Wir überprüfen dieses Ergebnis für $t$, indem wir $t=2$ in alle 3 Gleichungen einsetzen. Wir sehen dann, dass wir überall dasselbe Ergebnis für $s$ erhalten, nämlich $s=4$. Daraus folgt, dass die Geraden einander '''schneiden'''. Setzen wir nun $t=2$ oder $s=4$ in die entsprechende Geradengleichung, so erhalten wir den Schnittpunkt $S(4/-3/1)$ der beiden Geraden.}}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die beiden Geraden $g: X = \left( \begin{array}{c} 3 \\ -2 \\ 0 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right)$ und $h: X = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$. Überprüfe deren gegenseitige Lage und ggf. ihren Schnittpunkt!|2=Zuerst überprüfen wir wieder die Richtungsvektoren der beiden Geraden:$$\nexists \lambda : \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) = \lambda \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) \nparallel \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g \nparallel h$$
Nun stellen wir wieder ein LGS auf:
$$\begin{align}
I: \ &3&+&2s&=&4&-&t \\
II: \ &-2&-&2s&=&3&& \\
III: \ &&&s&=&1&+&t
\end{align}$$ 
Aus der zweiten Gleichung lässt sich direkt berechnen, dass $s=- \frac{5}{2}$. Dies setzen wir nun in die erste und zweite Gleichung ein und erhalten einmal $3 - 5 = 4 - t \ \Rightarrow \ t=6$ und einmal $- \frac{5}{2} = 1 + t \ \Rightarrow \ t=- \frac{7}{2}$. Diese beiden Werte für $t$ sind offensichtlich voneinander unterschiedlich, daraus folgt, dass die beiden Geraden $g$ und $h$ '''windschief''' sind.
}}

==Ebenen==
Eine Ebene ist durch 3 Punkte oder 1 Punkt und 2 (voneinander linear unabhängigen) Vektoren eindeutig festgelegt.

===Darstellungsformen===
====Parameterdarstellung====
[[Datei:ebene2.png|thumb|right|350px|von Punkt und Vektoren aufgespannte Ebene]]
$$\epsilon : X = P + s \cdot \vec{a} + t \cdot \vec{b}$$
bzw.
$$\epsilon : \begin{cases} x = x_P + s \cdot x_a + t \cdot x_b \\ y = y_P + s \cdot y_a + t \cdot y_b \\ z = z_P + s \cdot z_a + t \cdot z_b \end{cases}$$
wobei

* $X \in \epsilon$ ist ein '''beliebiger''' Punkt auf der unendlichen Ebene
* $P \in \epsilon$ ist ein '''bekannter''' Punkt auf der Ebene
* $s, t \in \mathbb{R}$ sind freie Parameter
* $\vec{a}, \vec{b} \in \mathbb{R^3}$ sind zwei Vektoren, die parallel zur Ebene liegen

====Normalvektorform====
Man multipliziert die Parameterdarstellung der Ebene mit ihrem Normalvektor $\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$ und erhält$$\vec{n} \cdot \vec{X} = \vec{n} \cdot \vec{P}$$

====Allgemeine Ebenengleichung====
$$ax + by + cz = d$$Diese Form der Darstellung heißt auch Normalform, da man den Normalvektor der Ebene direkt ablesen kann. Um von der Parameterdarstellung auf diese Form zu kommen, gibt es 2 Möglichkeiten:

'''1. Multiplikation mit Normalvektor:'''
Hierzu muss man einfach die Normalform ausmultiplizieren und es ergibt sich:

$$\epsilon: x_n \cdot x + y_n \cdot y + z_n \cdot z = x_n \cdot x_P + y_n \cdot y_P + z_n \cdot z_P$$

'''2. Elimination des Parameters:'''
Hierbei gehen wir von der Ebenengleichung $\epsilon : \begin{cases} x = x_P + s \cdot x_a + t \cdot x_b \\ y = y_P + s \cdot y_a + t \cdot y_b \\ z = z_P + s \cdot z_a + t \cdot z_b \end{cases}$ aus, eliminieren $s$ und $t$, und kommen ebenfalls auf die obige allgemeine Ebenengleichung.

Zur Veranschaulichung ein Beispiel zu den verschiedenen Darstellungsformen:
{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die drei Punkte $A(1/1/1), B(-1/-4/2), C(0/3/-1)$. Gib die Ebene, die diese drei Punkte aufspannen, in Parameterform, Normalform und allgemeiner Ebenengleichung an!|2=Für die Parameterform berechnen wir erst zwei beliebige Vektoren aus den 3 Punkten, z.B. $\vec{AB} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{AC} = \left( \begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right)$. Als Parameterform erhalten wir schließlich:
$$\epsilon: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right)$$ Um auf die Normalform zu kommen, bestimmen wir als erstes den Normalvektor der Ebenen: $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-5) \cdot (-2) - 1 \cdot 2 \\ 1 \cdot (-1) - (-2) \cdot (-2) \\ (-2) \cdot 2 - (-5) \cdot (-1) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right)$. 
Nun die Parametergleichung mit dem Normalvektor multiplizieren und wir erhalten auch die Normalform:
$$\epsilon: \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)$$ 
Um nun noch die allg. Ebenenform zu erhalten, multipliziert man am einfachsten die Normalform aus und erhält:
$$\epsilon: 8x - 5y -9z =-6$$ 
Aber auch die Elimination der Parameter soll hier gezeigt werden. Wir gehen aus von: $$\epsilon : \begin{cases} x = 1 - 2s - t \\ y = 1 - 5s + 2t \\ z = 1 + s - 2t\end{cases}$$
Addieren wir die y- und die z-Gleichung, können wir $t$ eliminieren: $+ \begin{cases} y = 1 - 5s + 2t \\ z = 1 + s - 2t \end{cases} \ \Rightarrow \ y + z = 2 - 4s$. 
Wir können $t$ ebenfalls eliminieren, indem wir die y-Gleichung zum 2-fachen der x-Gleichung addieren: $+ \begin{cases} 2x = 2 - 4s - 2t \\ y = 1 - 5s + 2t \end{cases} \ \Rightarrow \ 2x + y = 3 -9s$. 
Nun haben wir zwei Gleichungen, die nur mehr von $s$ abhängig sind. Um diesen Parameter nun auch noch zu eliminieren, multiplizieren wir die erste Gleichung mit $(-9)$ und die zweite mit $4$ und addieren diese, um nochmals auf die allg. Ebenengleichung zu kommen.
$$+ \begin{cases} 8x + 4y = 12 - 36s \\ -9y - 9z = -18 + 36s \end{cases} \ \Rightarrow \ \epsilon: 8x - 5y -9z =-6$$
}}

===Lagebeziehungen===
====...zwischen zwei Ebenen====
Zwei Ebenen können im $\mathbb{R^3}$

* ident sein: die Ebenengleichungen (allg. Form) sind Vielfache voneinander;

z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : 2x + 2y + 2z = 6 \Rightarrow \epsilon _2 = 2 \cdot \epsilon _1$

* parallel sein: die Normalvektoren der Ebenen sind Vielfache voneinander;

z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : 2x + 2y + 2z = 5 \Rightarrow \vec{n_2} = 2 \cdot \vec{n_1}$

* einander schneiden (in einer Gerade): die Normalvektoren der Ebenen sind keine Vielfache voneinander;

z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : x - 3y + 2z = 1 \Rightarrow \nexists \lambda \in \mathbb{R} : \vec{n_1} = \lambda \cdot \vec{n_2}$

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:Ebenenident2.png|2 Ebenen sind ident
Datei:Ebenenparallel2.png|2 Ebenen sind parallel
Datei:Ebenenschnittgerade2.png|2 Ebenen schneiden einander in einer Geraden
</gallery>

 
'''Berechnen der Schnittgerade''' 
Erkennt man durch Betrachtung der Normalvektoren zweier Ebenen, dass diese einander schneiden müssen, so kann man diese Schnittgerade berechnen. Dazu erstellt man aus den beiden Ebenengleichungen ein lineares Gleichungssystem in 3 Unbekannten. 2 Gleichungen - 3 Unbekannte: wir werden hier nicht für alle Unbekannten einen Zahlenwert erhalten, können aber 2 Unbekannte in Abhängigkeit der dritten darstellen. Diese dritte Unbekannte wird uns als Parameter für die Darstellung der Geraden dienen. Zur Veranschaulichung ein Beispiel:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die beiden Ebenen $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : x - 3y + 2z = 1$. Wie wir weiter oben schon festgestellt haben, müssen diese Ebenen einander schneiden, da die beiden Noramlvektoren der Ebenen $\vec{n_1}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{n_2}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right)$ linear unabhängig voneinander sind, also $\nexists \lambda \in \mathbb{R} : \vec{n_1} = \lambda \cdot \vec{n_2}$. 
Wir wählen nun eine der Koordinaten als Parameter, z.B. $z=t$ und stellen das Gleichungssystem auf.

|2=

$$\begin{align}I: \ &x&+&y&+&t&=&3 \\
II: \ &x&-&3y&+&2t&=&1
\end{align}$$

Wir subtrahieren $I-II$ und erhalten
$$4y - t = 2 \ \Rightarrow \ y = \frac{1}{2} + t \cdot \frac{1}{4}$$
Nun setzen wir unser erhaltenes $y$ in die erste Gleichung ein, um $x$ zu erhalten:

$$I: \ x + \frac{1}{2} + t \cdot \frac{1}{4} + t = 3 \ \Rightarrow \ x = \frac{5}{2} - t \cdot \frac{5}{4}$$
Somit haben wir alle Ausdrücke der Koordinaten gefunden ($z=t$ haben wir anfangs festgelegt) und können die Parameterdarstellung der Schnittgerade angeben:
$$g: X = \left( \begin{array}{c} \frac{5}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 0 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} - \frac{5}{4} \\ \frac{1}{4} \\ 1 \end{array} \right)$$
}}

====...zwischen 3 Ebenen====
Drei Ebenen können im $\mathbb{R^3}$

* alle ident sein
* 2 ident, 1 parallel sein
* alle parallel sein
* 3 Schnittgeraden haben
* 2 Schnittgeraden haben (2 Ebenen parallel)
* 1 Schnittgerade haben
* 1 Schnittpunkt haben

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:Ebenenident3.png|3 Ebenen sind ident
Datei:Ebenenidentparallel.png|2 Ebenen sind ident, 1 parallel
Datei:Ebenenparallel3.png|3 Ebenen sind parallel
Datei:Ebenenschnittgeraden33.png|3 Ebenen schneiden einander in 3 Geraden
Datei:Ebenenschnittgeraden32.png|3 Ebenen schneiden einander in 2 Geraden (2 Ebenen parallel)
Datei:Ebenenschnittgerade3.png|3 Ebenen schneiden einander in einer Gerade
Datei:Ebenenschnittgerade31.png|3 Ebenen schneiden einander in einer Gerade (2 Ebenen ident)
Datei:Ebenenschnittpunkt3.png|3 Ebenen schneiden einander in einem Punkt
</gallery>

====...zwischen Ebene und Gerade====
Eine Ebene und eine Gerade können im $\mathbb{R^3}$

* $g \subset \epsilon$, die Gerade liegt auf der Ebene

Hierbei haben die Gerade und die Ebene einen gemeinsamen Punkt und der Richtungsvektor der Gerade steht normal auf den Normalvektor der Ebene, daraus folgt, dass sie unendlich gemeinsame Punkte haben.

* parallel sein

Irgendein Punkt der Gerade liegt nicht auf der Ebene, der Richtungsvektor der Gerade steht normal auf den Normalvektor der Ebene, daraus folgt, dass sie keinen einzigen gemeinsamen Punkt haben.

* 1 Schnittpunkt haben

Der Richtungsvektor der Geraden steht nicht normal auf den Normalvektor der Ebene.

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:GeradeinEbene.png|Gerade liegt auf der Ebene
Datei:GeradepararallelEbene.png|Gerade und Ebene sind parallel zueinander
Datei:GeradeSchnittpunktEbene.png|Gerade und Ebene schneiden einander (Schnittpunkt)
</gallery>

Zur Überprüfung der Lagebeziehung gibt es allerdings noch eine andere (schnellere) Methode. Hier "schneiden" wir die Gerade und die Ebene mathematisch, d.h. wir setzen sie gleich (wenn beide in Parameterform gegeben sind) oder setzen die Gerade $g$ (Parameterform) in die Ebene $\epsilon$ (allg. Ebenengleichung) ein. 
Wir erhalten dadurch ein Gleichungssystem oder eine einzelne Gleichung.

Sei die Gerade gegeben als $g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \\ z = z_P + t \cdot z_a \end{cases}$ und die Ebene als $\epsilon : \begin{cases} x = x_Q + s \cdot x_b + u \cdot x_c \\ y = y_Q + s \cdot y_b + u \cdot y_c \\ z = z_Q + s \cdot z_b + u \cdot z_c \end{cases}$ (Parameterform) oder $\epsilon : ax + by + cz = d$ (allg. Ebenengleichung).

Wir erhalten als Gleichungssystem durch Gleichsetzen der Gleichungen der Parameterformen:
$$\begin{cases} x_P + t \cdot x_a = x_Q + s \cdot x_b + u \cdot x_c \\ y_P + t \cdot y_a = y_Q + s \cdot y_b + u \cdot y_c \\ z_P + t \cdot z_a = z_Q + s \cdot z_b + u \cdot z_c \end{cases}$$ 
Wir erhalten durch Einsetzen der Gerade in die Ebene (allg. Ebenengleichung):
$$a \cdot (x_P + t \cdot x_a) + b \cdot (y_P + t \cdot y_a) + c \cdot (z_P + t \cdot z_a) = d$$

Ergibt sich hier eine wahre Aussage (z.B. $1=1$), also unendlich viele Lösungen, so liegt die Gerade in der Ebene. 
Ergibt sich eine falsche Aussage (z.B. $1=2$), also keine Lösung, so schneiden die beiden Objekte einander nicht, also sie sind parallel. 
Gibt es genau eine Lösung (z.B. $t=2$), so existiert genau ein gemeinsamer Punkt = Schnittpunkt. Diesen erhält man, indem man den ermittelten Wert für den Parameter $t$ der Geraden in die Geradengleichung einsetzt (oder, wenn die Ebene in Parameterform gegeben war, die beiden Werte für die Parameter $s$ und $u$ der Ebene in die Ebenengleichung einsetzt). Dazu 2 Beispiele, wobei wir im ersten mit der Ebene in Parameterform rechnen werden:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right)$ und die Ebene $\epsilon : X = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -1 \\ -3 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) + u \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 0 \end{array} \right)$. Stellen wir nun also unser Gleichungssystem auf:

|2=\begin{align}

I: \ & \ 1&-t&=&4& &+2u \\
II: \ &-3& &=&-1&+s&-u \\
III: \ & \ 2&+2t&=&-3&+s&
\end{align}

In der ersten Gleichung drücken wir $u$ in $t$ aus: $u = - \frac{3}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$ 
In der zweiten Gleichung drücken wir $s$ in $u$ aus: $s = -2 + u$ 
Das $u$ von oben setzen wir nun hier ein und erhalten $s$ in Abhängigkeit von $t$: $s = - \frac{7}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$.

Dieses $s$ setzen wir nun in die dritte Gleichung ein und wir erhalten: $2 + 2t = -3 - \frac{7}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$ und in weiterer Folge $t = - \frac{17}{5}$. 
Es ergibt sich also genau eine Lösung für das Gleichungssystem, was bedeutet, dass die Gerade und die Ebene einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen. Diesen erhalten wir, indem wir den errechneten Wert für $t$ in die Geradengleichung einsetzen (Man könnte natürlich auch noch die Werte für $s$ und $u$ berechnen, und diese in die Ebenengleichung einsetzen; zur Übung kannst du das gerne tun):
$$g: S = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) - \frac{17}{5} \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \frac{23}{5} \\ -3 \\ - \frac{24}{5} \end{array} \right)$$
}}

Betrachten wir nun dasselbe Beispiel, mit dem Unterschied, dass die Ebene in Normalform gegeben ist und wir auch gleich mit dieser Form rechnen:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right)$ und die Ebene $\epsilon : x + 2y - 2z = 8$. Wir setzen die Koordinatengleichungen der Gerade in die Normalform der Ebene:

|2= $g$ in $\epsilon$: $$1 - t - 6 - 4 -4t =8$$

Wenn wir diese Gleichung lösen, erhalten wir, wie im ersten Bespiel, $t = - \frac{17}{5}$. Dies noch in die Geradengleichung einsetzen, und wir erhalten den Schnittpunkt.}}

Da man bei der zweiten Methode meistens weniger Rechenaufwand hat, zahlt es sich oft aus die Parameterdarstellung der Ebene in die Normalform (= allg. Ebenengleichung) umzurechnen.

==Pyramidenbeispiel==
[[Datei:Pyramidebsp.png|thumb|right|350px|Pyramide]]Gegeben seien 3 Eckpunkte $A(-2/-2/1), B(2/-2/1), C(2/2/1)$ der quadratischen Grundfläche und der Spitzpunkt $S(0/0/6)$ einer geraden (gerade bedeutet, dass die Spitze in einem rechten Winkel über dem Mittelpunkt der Grundfläche der Pyramide liegt) Pyramide.
Gesucht sind:

# der vierte Eckpunkt $D$ der Grundfläche
# die Parameterdarstellung der Trägergeraden $h$ der Höhe
# die Fläche der Grundfläche
# die Geradengleichung der Geraden $g_{AS}$ auf der $A$ und $S$ liegen in a)Parameterform und b)parameterfreier Form
# Der Winkel $\alpha$ zwischen den Vektoren $\vec{AS}$ und $\vec{AC}$
# Zeige, dass der Schnittpunkt der Geraden $g_{AS}$ und $h$ gleich die Spitze $S$ ist
# Gib die Ebenengleichung $\epsilon$ der Grundfläche in a)Parameterform, b)Normalform und c)allgemeiner Ebenengleichung an
# Berechne den Fußpunkt $M$ der Höhe, indem du $h$ und $\epsilon$ schneidest

1. $D = A + \vec{BC} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -2 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right)$ 
2. $h: X = S + t \cdot \vec{h}$
$$\vec{AB} \times \vec{BC} = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 16 \end{array} \right) \ \parallel \ \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) = \vec{h}$$
$$h: X = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$$ 
3. $G = \parallel \vec{AB} \times \vec{BC} \parallel = \parallel \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 16 \end{array} \right) \parallel = 16FE$ 
4. a) $g_{AS}: X = A + u \cdot \vec{AS}$
$$\vec{AS} = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g_{AS}: X = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + u \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right)$$ oder $$g_{AS}:\begin{cases} x = -2 + 2u \\ y = -2 + 2u \\ z = 1 + 5u \end{cases}$$
b) Parameter elimieren:
$$x - y: x-y = 0$$
$$5x - 2z: 5x - 2z = -12$$
$$\Rightarrow g_{AS}:\begin{cases} x - y = 0 \\ 5x - 2z = -12 \end{cases}$$ 
5. $\measuredangle \vec{AS},\vec{AC} = \alpha = arccos{\frac{\vec{AS} \cdot \vec{AC}}{\parallel \vec{AS} \parallel \cdot \parallel \vec{AC} \parallel}} = arccos{\frac{\left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right)}{\parallel \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) \parallel \cdot \parallel \left( \begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) \parallel}} = arccos{\frac{16}{\sqrt{33 \cdot 32}}} = 60,5°$ 
6. $g_{AS}$ und $h$ gleichsetzen:
$$\begin{align}
I: \ &-2&+&2u&=&0&& \\
II: \ &-2&+&2u&=&0&& \\
III: \ & \ \ 1&+&5u&=&6&+&t
\end{align}
\ \ \ \rightarrow u=1$$
$$g_{AS}: S = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + 1 \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array} \right)$$ 
7. a) $\epsilon: X = A + v \cdot \vec{AB} + w \cdot \vec{BC} \ \rightarrow \ \epsilon: X = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + v \cdot \left( \begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) + w \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right)$ 
b) $\epsilon: \vec{n} \cdot \vec{X} = \vec{n} \cdot \vec{A} \ \rightarrow \ \epsilon: \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right)$ 
c) $\epsilon: z = 1$ 
8. $h:\begin{cases} x=0 \\ y=0 \\ z=6+t \end{cases} \ \ \epsilon: z=1 \ \ \rightarrow \ 1 = 6 + t \ \Rightarrow \ t=-5$ 
$h: M = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array} \right) -5 \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$

=Beispiele=
Hier findest du Beispiele zu den behandelten Themen:

===Grundlagen der Vektorrechnung===
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/9/99/VektorrechnungGLBspAngabe.pdf VektorrechnungGLBspAngabe.pdf] 
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/0/00/VektorrechnungGLBspL%C3%B6sung.pdf VektorrechnungGLBspLösung.pdf]

===Vektorrechnung im $\mathbb{R^2}$===
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/7/7f/VektorrechnungR2BspAngabe.pdf VektorrechnungR2BspAngabe.pdf] 
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/f/ff/VektorrechnungR2BspL%C3%B6sung.pdf VektorrechnungR2BspLösung.pdf]

Vektorrechnung

2016-06-11T09:55:04Z

Lajtos: /* Parameterfreie Darstellungsform */

=Grundlagen=
==Koordinatensystem==
[[Datei:Quadranten.png|thumb|Coordinate System|thumb|right|350px|Koordinatengitter im $\mathbb{R^2}$ mit den 4 Quadranten]]

Für die Vektorrechnung sind Koordinatensysteme essentiell.
Im zweidimensionalen Raum besitzt ein Koordinatensystem 2 Achsen:

* die x-Achse (waagrecht) und
* die y-Achse (senkrecht)

 
Diese sind unendlich lang und Spannen die vier sogenannten Quadranten auf, die meist mit den römischen Ziffern I-IV beschriftet werden (gesprochen: Erster Quadrant, Zweiter Quadrant etc.). Die rechte Graphik zeigt die die Position der Quadranten. Dort, wo die 2 Achsen einander treffen, liegt der sog. Ursprung (kurz: $\vec{0}$); seine Koordinaten sind (0/0).

Was es außerdem noch zu beachten gibt, hast du vielleicht bereits selbst erkannt:
An den gegenüberliegenden Seiten der x- und y-Achsen werden unterschiedliche Vorzeichen verwendet. So spricht man "links" des Ursprungs von der negativen, bzw. "rechts" des Ursprungs von der positiven x-Achse. Analog spricht man "oben" und "unten" von der positiven und negativen y-Achse.

Im dreidimensionalen Raum kommt eine dritte Achse - die z-Achse - dazu. Punkte und Vektoren besitzen dementsprechend dann auch 3 Koordinaten. Dies kann man bis ins n-dimensionale weiterführen.

==Punkte==
In ein Koordinatensystem lassen sich Punkte eintragen. Diese besitzen, entsprechend ihrer Lage, Koordinaten. Im obigen Bild z.B. haben wir die Punkte A und B, wobei sich A im ersten Quadranten befindet und B im vierten Quadranten. Man schreibt: A(2/3,5) B(1/-2).

[[Datei:Punkte Abstand.png|thumb|right|350px|Punkte im $\mathbb{R^2}$]]

{{Vorlage:Merke |''Einen'' '''allgemeinen Punkt''' ''schreibt man an als'' $P(x_1/x_2/.../x_n)$ (im n-dimensionalen Raum $\mathbb{R^n}$) ''bzw.'' $P(x/y)$ (im 2-dimensionalen Raum $ \mathbb{R^2}$) ''oder'' $P(x/y/z)$ (im 3-dimensionalen Raum $\mathbb{R^3}$).
 
Die erste Koordinate entspricht der x-Koordinate, die zweite der y-Koordinate, die eventuelle dritte der z-Koordinate.

Punkte werden in der Regel mit Großbuchstaben bezeichnet.}}

Koordinaten von Punkten lassen sich also ganz einfach ablesen. Die x/y-Koordinate entspricht dabei dem Abstand vom Ursprung zum Punkt in Richtung der jeweiligen Koordinatenachse. So erkennen wir im Bild rechts die folgenden Punkte:

* A(2/0)
* B(0/-2)
* C(-1/2)

=Vektoren=

==Definition & Darstellung von Vektoren==
{{Vorlage:Definition |1= Ein Zahlenpaar $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \in \mathbb{R^2}$ wird als '''Vektor aus $\mathbb{R^2}$ ''' bezeichnet.
Analog bezeichnet man ein Zahlentripel $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) \in \mathbb{R^3}$ als '''Vektor aus $\mathbb{R^3}$ '''. 
Ein '''allgemeiner Vektor''' wird $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) \ \in \mathbb{R^n}$ geschrieben.

}}

Da sowohl die Rechenoperationen als auch die geometrischen Darstellungen leicht vom $\mathbb{R^2}$ in den $\mathbb{R^3}$ übertragen werden können, werden wir meistens nur die Vorgangsweise für Zahlenpaare aus dem $\mathbb{R^2}$ beschreiben.

===Geometrische Darstellung von Vektoren===

Es gibt zwei Möglichkeiten, wie wir einen Vektor $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right) \ \in \mathbb{R^2}$ geometrisch darstellen können:
* '''Darstellung als Punkt''': Dabei gibt $a$ die x-Koordinate und $b$ die y-Koordinate des Punktes an. Die Beschriftung erfolgt mit Großbuchstaben.
* '''Darstellung als Pfeil''': Dabei gibt $a$ die x-Richtung des Pfeils (wie weit zeigt der Pfeil nach links bzw. rechts) und $b$ die y-Richtung des Pfeils (wie weit zeigt der Pfeil nach oben bzw. nach unten) an. Pfeile werden mit Kleinbuchstaben (oft mit Pfeil $\vec{v}$) beschriftet.

Die Darstellung als Punkt ist eindeutig! Einem Zahlenpaar (=Vektor) entspricht genau ein Punkt!
Die Darstellung als Pfeil ist nicht eindeutig! Es gibt unendlich viele Pfeile, die denselben Vektor darstellen. Diese Pfeile sind aber alle parallel, gleich lang und gleich gerichtet.

'''Beispiel:''' Darstellung des Vektors $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$
{| class="wikitable"
|-
| '''Punktdarstellung des Vektors'''|| '''Mögliche Pfeildarstellungen des Vektors'''
|-
| [[Datei:Punkt.png|thumb|300px]]|| [[Datei:Pfeile.png|thumb|300px]]
|}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 3 \\ -4 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 5 \end{array} \right)$. Stelle $\vec{a}$ und $\vec{b}$ als Punkte und als Pfeile dar.
|2=[[Datei:Punkt Pfeil Bsp.png|300px]] 
'''Anmerkungen:'''
* Für die Pfeildarstellungen gibt es mehrere (unendlich viele) Möglichkeiten. Der von dir gezeichnete Pfeil muss jedenfalls parallel, gleich gerichtet und gleich lang wie der abgebildete Pfeil sein!
* Aus "Bequemlichkeitsgründen" zeichnet man die Pfeile oft beginnend beim Ursprung ein:
[[Datei:Punkt Pfeil Bsp2.png|300px]]
 
}}

Vektoren des $\mathbb{R^3}$ können auch auf diese zwei Arten dargestellt werden. Der einzige Unterschied dabei ist, dass die Punkte bzw. Pfeile im dreidimensionalen Raum liegen. Es gibt also noch eine dritte Richtung, die durch die z-Koordinate des Vektors angegeben wird.

===Ortsvektoren===
[[Datei:Ortsvektor.png|thumb|right|250px|Punkt und zugehöriger Ortsvektor]]Der Ortsvektor von einem Punkt ist der Vektor, der vom Ursprung aus auf den Punkt zeigt. Die Koordinaten bleiben deshalb gleich, es ändert sich quasi nur die Schreibweise:

Sei $A(x_1/x_2/.../x_n)$ ein Punkt in der Dimension $n$, dann ist $\vec{0A} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ dessen Ortsvektor.
 
 
 
 
 

==Rechnen mit Vektoren==

===Addition und Subtraktion von Vektoren===
{{Vorlage:Merke|1=Wenn du Vektoren addieren oder subtrahieren möchtest, musst du dazu die entsprechenden Koordinaten addieren: 
$\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) \pm \left( \begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ ... \\ y_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x_1 \pm y_1 \\ x_2 \pm y_2 \\ ... \\ x_n \pm y_n \end{array} \right)$ 
Wichtig ist dabei, dass die Vektoren, die du addieren oder subtrahieren möchtest, derselben Dimension $n$ angehören! D.h. sie haben gleich viele Koordinaten.}}
{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben seien die beiden Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right)$. Berechne erst $\vec{a} + \vec{b}$, dann $\vec{a} - \vec{b}$ und zuletzt $\vec{b} - \vec{a}$!
|2= $\vec{a} + \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 5+1 \\ 2+(-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 6 \\ -1 \end{array} \right)$
$\vec{a} - \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 5-1 \\ 2-(-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 5 \end{array} \right)$ 
$\vec{b} - \vec{a} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 1-5 \\ -3-2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -4 \\ -5 \end{array} \right)$}}

===Vektoren bestimmen: "Spitze minus Schaft" ("Ziel minus Start")===
[[Datei:Spitzeschaft.png|thumb|right|300px|"Spitze minus Schaft"]]Zwischen 2 Punkten kann man nun einen Vektor definieren. Dabei gilt: Die '''"Spitze minus Schaft"'''-Regel Im Bild rechts wollen wir den Vektor berechnen, der von A nach B geht, also den Vektor $\vec{AB}$. Der Punkt B(3/3,5) entspricht hierbei der Spitze, und der Punkt A(1/0,5) dem Schaft. Da das Rechnen mit Punkten allerdings keinen Sinn ergibt, rechnet man stattdessen mit deren Ortsvektoren (siehe oben).

Für unser Beispiel bedeutet das: $\vec{0B} - \vec{0A} = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 3,5 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0,5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 3-1 \\ 3,5-0,5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right) = \vec{AB}$

'''Beachte außerdem:'''

* Man schreibt der Einfachheit halber oft nur $B-A$, obwohl eigentlich $\vec{0B} - \vec{0A}$ gemeint ist.
* Der Vektor $\vec{AB}$ zeigt in die entgegengesetzte Richtung von $\vec{BA}$. Das bedeutet, dass diese beiden Vektoren entgegengesetzte Vorzeichen haben: $\vec{AB} = - \vec{BA}$

 

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die Punkte A=(1/2); B=(-3/1); C=(-4,-1). Bilde die folgenden Verbindungsvektoren: 
 
# $\vec{AB}$
# $\vec{BA}$
# $\vec{AC}$
# $\vec{BC}$

|2=
$\ $
# $\vec{AB}=B-A=\left( \begin{array}{c} -3 \\ 1\end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} -4 \\ -1\end{array} \right)$
# $\vec{BA}=-\vec{AB}=\left( \begin{array}{c} 4 \\ 1 \end{array} \right)$
# $\vec{AC}=\left( \begin{array}{c} -4 \\ -1\end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} -5 \\ -3\end{array} \right)$
# $\vec{BC}=\left( \begin{array}{c} -4 \\ -1\end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} -3 \\ 1 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} -1 \\ -2\end{array} \right)$
 
'''Tipps:'''
* Pass gut auf die Vorzeichen auf! Beim Subtrahieren von Vektoren passieren leider häufig Vorzeichenfehler! Sei deshalb besonders achtsam!
* Zeichne die Punkte in ein Koordinatensystem und zeichne die Verbindungsvektoren ein. Bei einfachen Koordinaten kannst du den Verbindungsvektor ohne Rechnung ablesen (Probiere es aus!).

 
}}

===Produkt eines Vektors mit einem Skalar===
Wenn man einen Vektor $\vec{v}$ mit einer [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)|reellen Zahl]] $k$ , einem sogenannten "Skalar", multipliziert, werden dabei die einzelnen Koordinaten mit dem Skalar multipliziert:

$k \cdot \vec{v} = k \cdot \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} k \cdot x_1 \\ k \cdot x_2 \\ ... \\ k \cdot x_n \end{array} \right)$

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sei der Vektor $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right)$. Multipliziere diesen einmal mit $2$ und einmal mit $-5$!
|2= $2 \cdot \vec{a} = 2 \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \cdot 2 \\ 2 \cdot (-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -6 \end{array} \right)$
$(-5) \cdot \vec{a} = (-5) \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-5) \cdot 2 \\ (-5) \cdot (-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -10 \\ 15 \end{array} \right)$}}

==Geometrische Darstellung der Rechenoperationen==
===Geometrische Darstellung der Vektoraddition===
Die Addition zweier Vektoren kann auf zwei verschiedene Arten geometrisch gedeutet werden. Wir illustrieren die beiden Möglichkeiten anhand des Beispiels $\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2\end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$

{| class="wikitable"
|-
| '''Punkt + Pfeil - Darstellung:'''|| '''Pfeil + Pfeil - Darstellung'''
|-
| ''An einen Punkt wird ein Pfeil angehängt.'' In unserem Beispiel wird an den Punkt (1/2) ein Pfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$ angehängt. Das Ergebnis der Addition ist der Punkt am Ende des Pfeils (5/5). || ''Zwei Pfeile werden aneinandergehängt. In unserem Beispiel wird also ein Pfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$ und ein Pfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)$ aneinandergehängt. Das Ergebnis der Addition ist der entstehende Verbindungspfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 5 \\ 5 \end{array} \right)$
|-
| [[Datei:Vektoraddition1.png|left|400px]]|| [[Datei:Vektoraddition2.png|left|500px]]
|-
| '''Anmerkung:''' Diese Darstellung ist hilfreich, wenn wir von einem Punkt ausgehen und zu einem neuen Punkt gelangen wollen.|| Es spielt keine Rolle, in welcher Reihenfolge die Vektoren angehängt werden. Die Addition ist kommutativ!
|}

===Geometrische Darstellung der Multiplikation mit einem Skalar===

Eine Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl $a$ (Skalar) entspricht einer Streckung (für $|a|>1$) bzw. einer Stauchung (für $|a|<1$) des zugehörigen Pfeiles.
Ist das Vorzeichen des Skalars negativ, so dreht sich die Richtung des Pfeils in die entgegengesetzte Richtung.

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sei wiederum der Vektor $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right)$. Stelle die Multiplikation mit $2$, mit $-5$ und mit $0.5$ graphisch dar!
|2= Rechnerische Lösung und graphische Interpretation:
* $2 \cdot \vec{a} = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -6 \end{array} \right)$. Der Vektor $2\cdot \vec{a}$ hat die doppelte Länge und dieselbe Richtung wie $\vec{a}$
* $(-5) \cdot \vec{a} = \left( \begin{array}{c} -10 \\ 15 \end{array} \right)$. Der Vektor $(-5)\cdot \vec{a}$ ist fünfmal so lang wie $\vec{a}$ und zeigt in die entgegengesetzte Richtung wie $\vec{a}$
* $(0.5) \cdot \vec{a} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1.5 \end{array} \right)$ Der Vektor $0.5\cdot \vec{a}$ ist halb so lang wie $\vec{a}$ und zeigt in dieselbe Richtung wie $\vec{a}$
}}

{{#widget:Iframe
|url= http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_vektorrechnung/MV_Vektor1/MV_Vektor1/sites/Vektortest.html
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}}
[http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_vektorrechnung/MV_Vektor1/MV_Vektor1/ (Quelle dieses Applets)]

Hilfe zum Applet: Gib in die Eingabezeile den Buchstaben des Vektors bzw. die entsprechende Summe / Differenz an. (z.B. $u=a$)

===Wie Vektoren zueinander stehen===
Vektoren können unterschiedliche Richtungen haben, aber auch parallel zueinander oder gar identisch sein. Optisch lässt sich das oft sehr leicht erkennen. Die Lage von Vektoren zueinander kann aber auch rechnerisch überprüft werden.

{{Vorlage:Definition |Unter einem Vektor versteht man die Menge aller gleichlangen, gleichgerichteten und gleichorientierten Pfeile.

Der Start/Endpunkt spielen dabei keine Rolle!}}

{{Vorlage:Merke|2 Vektoren stehen parallel zueinander, wenn ein Vektor als Vielfaches des anderen Vektors angeschrieben werden kann. 
Man sagt auch: Die Vektoren sind [[linear abhängig]].}}

Sehen wir uns die verschiedenen Fälle an:

{| class="wikitable"
|-
|ident: gleiche Richtung, gleiche Orientierung, gleiche Länge
||[[Datei:Vektorv1.png|none|250px]]
||$\vec{v} = \vec{u} \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$
||z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$
|-
||parallel (gleiche Orientierung): gleiche Richtung, gleiche Orientierung, unterschiedliche Länge
| [[Datei:Vektorenlänge.png|none|250px]]
||$\exists k>0 : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$
||z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} \frac{4}{3} \\ 2 \end{array} \right)$, $k = \frac{2}{3} $
|-
||parallel (unterschiedliche Orientierung): 
| [[Datei:Vektororientierung1.png|none|250px]]
||$\exists k<0 : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$
||z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} -2 \\ -3 \end{array} \right)$, $k=-1$

|-
||linear unabhängig
| [[Datei:Vektorrichtung1.png|none|250px]]
||$\nexists k : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \nparallel \vec{u}$
||z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 3 \end{array} \right)$
|}

{{Vorlage:Beispiel|1=Überprüfe ob die Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 5 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$ linear unabhängig voneinander sind.

|2=Wenn es ein k gibt, sodass $k \cdot \vec{a} = \vec{b}$, dann sind die beiden Vektoren voneinander linear abhängig, und somit auch parallel zueinander.

Es gibt mehrere Lösungsmöglichkeiten:
*Möglichkeit 1: Lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen
$I: 2k = 4 \ \ \rightarrow k=2$
$II: 5k = 3 \ \ \rightarrow k=\frac{3}{5}$

Aus der ersten Gleichung ergibt sich $k=2$, in der zweiten aber $k=\frac{3}{5}$. $k$ kann aber nicht beides sein, somit haben wir eine falsche Aussage erhalten. Daraus folgt, dass die beiden Vektoren '''linear unabhängig''' und somit nicht parallel zueinander sind.

* Möglichkeit 2: "Vergleichen und Probieren"
Vergleicht man die x-Koordinaten der beiden Vektoren, so sieht man, dass $4$ doppelt so groß wie $2$ ist. Daraus ergibt sich, dass ein etwaiges $k=2$ sein müsste.
Probiert man, auch die zweite Zeile mit $2$ zu multiplizieren, so erhält man $10$. Die y-Koordinate von $\vec{b}$ müsste also $10$ sein, damit die beiden Vektoren parallel zueinander sind.
}}

 

===Betrag und Einheitsvektor===
[[Datei:PythagorasVektor.png|thumb|right|350px|Betrag eines Vektors; Einheitsvektor]]Wie anfangs bereits erwähnt, besitzen Vektoren eine Länge, auch '''Betrag''' eines Vektors genannt. Dieser wird mit Hilfe des pythagoräischen Lehrsatzes wie folgt berechnet:

<div align="center">$\parallel \vec{v} \parallel = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2} \ $ wenn $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ ein Vektor der Dimension $n$ ist.</div>
Sehen wir uns die Grafik rechts an, können wir mit dieser Formel die Länge des zweidimensionalen Vektors $\parallel \vec{v} \parallel$ berechnen:

<div align="center">$\parallel \vec{v} \parallel = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$</div>
 Der '''Einheitsvektor''' $\vec{a_0}$ eines Vektors $\vec{a}$ ist ein zu $\vec{a}$ paralleler Vektor mit Länge 1. Rechnerisch erhält man $\vec{a_0}$, indem man $\vec{a}$ durch seine Länge dividiert. $ \vec{a_0}

=\frac{\vec{a}}{\parallel \vec{a}\parallel}$
bzw.
$ \vec{a_0}=\frac{1}{\parallel\vec{a}\parallel}\cdot \vec{a}$

Daraus ergibt sich ein Vektor, der dieselbe Richtung des ursprünglichen Vektors hat, allerdings die Länge 1 besitzt.

{{Vorlage:Merke|1=
Sei $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ ein Vektor der Dimension $n$ und $\parallel \vec{v} \parallel$ sein Betrag, dann ist $\vec{v_0} = \frac{1}{\parallel \vec{v} \parallel} \cdot \vec{v} \ $ der Einheitsvektor zu $\vec{v}$.}}

In unserem Beispiel würde das folgendes bedeuten:

{{Vorlage:Beispiel|1= Bestimme den Einheitsvektor von $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$

|2=<div align="center">$\vec{v_0} = \frac{1}{\sqrt{13} } \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \frac{2}{\sqrt{13} } \\ \frac{3}{\sqrt{13} } \end{array} \right)$</div>
}}

===Vektoren bestimmter Länge===
Da wir nun gelernt haben, Einheitsvektoren zu bilden und Vektoren mit Zahlen zu multiplizieren (und ich das hier so schön betone), könnt ihr euch vielleicht schon vorstellen, wie man aus einem beliebigen Vektor einen Vektor derselben Richtung, allerdings unterschiedlicher Länge bekommt. Wir haben also einen Vektor $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ mit der Länge $\parallel \vec{v} \parallel = k$ gegeben, und hätten gerne den Vektor $\vec{w} \ \parallel \ \vec{v}$ mit der Länge $l$. Dazu berechnen wir zuerst den Einheitsvektor $\vec{v_0}$ von $\vec{v}$ und multiplizieren diesen dann mit $l$. So erhalten wir schließlich $\vec{w} = l \cdot \vec{v_0}$.

==Mittelpunkt einer Strecke==
[[Datei:Mittelpunkt.png|thumb|right|300px|Mittelpunkt M der Strecke AB]]Willst du den Mittelpunkt zwischen 2 Punkten $A$ und $B$ berechnen, musst du wie folgt vorgehen:
Zuerst berechnest du einen Vektor zwischen den Punkten ($\vec{AB}$ oder $\vec{BA}$). Dann halbierst du diesen Vektor, und erhältst $\vec{AM}$ bzw. $\vec{BM}$. Addierst du dann diesen Vektor zum entsprechenden Punkt ($A$ bzw. $B$), erhältst so den Mittelpunkt. Also:

<div align="center">$\vec{0M} = \vec{0A} + \frac{\vec{AB}}{2} = \vec{0B} + \frac{\vec{BA}}{2}$</div>

Kurzschreibweise:
<div align="center">$M = \vec{A} + \frac{\vec{AB}}{2}$ </div>

=Im $\mathbb{R^2}$=
Dieser Artikel befasst sich mit der Vektorrechnung im zweidimensionalen Raum. Grundlegende Informationen zur Vektorrechnung, so wie Punkte und Vektoren, findest du unter dem Tab ''Grundlagen der Vektorrechnung''.

==Vektoren==
===Normalvektoren===
[[Datei:Normalvektoren.png|thumb|right|350px|Normalvektoren]]Normalvektoren zu einem Vektor sind alle Vektoren, die normal (im rechten Winkel) auf den Vektor stehen. Im $\mathbb{R^2}$ gibt es zu jedem Vektor genau 2 Normalvektoren, die dieselbe Länge wie der ursprüngliche Vektor haben. Alle anderen Normalvektoren sind Vielfache eines dieser 2 Normalvektoren.

{{Vorlage:Merke | 1=Sei $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ ein Vektor, dann ist $\vec{n_1}=\left( \begin{array}{c} -y \\ x \end{array} \right)$ sein nach links gekippter, und $\vec{n_2}=\left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right)$ sein nach rechts gekippter Normalvektor.
''Vertausche die Koordinaten und ändere '''ein''' Vorzeichen''
}}

===Skalarprodukt===
Unter dem Skalarprodukt versteht man die Multiplikation zweier Vektoren, bei der als Ergebnis ein Skalar (eine Zahl) entsteht.

{{Vorlage:Merke|1=Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren, dann ist $\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \end{array} \right) = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b$ gleich ihr Skalarprodukt.
}}

Das Skalarprodukt wirkt auf den ersten Blick etwas "eigenartig". Man kann sich die Bedeutung des Skalarproduktes besonders gut an einem Anwendungsbeispiel erklären:
Angenommen in einer Preisliste stehen 10 Kugelschreiber, die jeweils 2€ kosten und 20 Bleistifte, die jeweils 0,50€ kosten.
In Tabellenform sieht das folgendermaßen aus:

{| class="wikitable"
|-
! Produkt !! Stückzahl !! Preis pro Stück (in €)
|-
| Kugelschreiber || 10 || 2
|-
| Bleistift || 20 || 0,50
|}

Aus dieser Tabelle kann ein Stückzahlvektor $\left( \begin{array}{c} 10 \\ 20 \end{array} \right)$ und ein Preisvektor $\left( \begin{array}{c} 2 \\ 0,50 \end{array} \right)$ abgelesen werden.

Möchte man den Gesamtwert der Produkte berechnen, so müssen jeweils die Einzelpreise mit der Stückzahl multipliziert werden und anschließend die Summe gebildet werden.
Genau das macht das Skalarprodukt!
$\left( \begin{array}{c} 10 \\ 20\end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0.50 \end{array} \right) = 10 \cdot 2 + 20 \cdot 0.50 = 20 + 10 = 30€ $

===Winkel zwischen zwei Vektoren===
[[Datei:Winkel.png|thumb|right|350px|Winkel zwischen 2 Vektoren]]<big>$$cos{\varphi} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel} = \vec{a_0} \cdot \vec{b_0}$$
bzw.
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = \parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel \cdot cos{\varphi}$$</big>

Heißt es, den Winkel zwischen 2 Vektoren/Geraden zu bestimmen, ist damit immer der kleinere Winkel gemeint. Solltest du einmal ein Ergebnis erhalten, das größer als 180° ist (nennen wir dieses Ergebnis $\varphi'$), dann ziehe dieses Ergebnis von 360° ab und du erhältst den kleineren Winkel ($\varphi = 360° - \varphi'$). 
Bei einem Winkel von $\varphi = 90°$ erhalten wir $cos{\varphi} = 0$, was bedeutet, dass auch $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$. Daraus ergibt sich das Orthogonalitätskriterium.

====Orthogonalitätskriterium====
{{Vorlage:Merke|1=Ergibt das Skalarprodukt zweier Vektoren $0$, so stehen diese zwei Vektoren normal zueinander (und umgekehrt!)$$\vec{a} \cdot \vec{b} \ = \ 0 \ \Leftrightarrow \ \vec{a} \bot \vec{b}$$}}

Mithilfe des Orthogonalitätskriteriums kann man auch zeigen, dass $\vec{n}=\left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right)$ stets ein Normalvektor von $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ ist.
$$\vec{v} \cdot \vec{n} = \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right) = xy - yx = 0$$

==Geraden==
===Darstellungsformen===
Geraden lassen sich in unterschiedlichen Formen darstellen. In der Vektorrechnung ist die Parameterdarstellung populär, da man dazu nur einen Punkt und Vektor kennen muss. Die Normalform allerdings hat den Vorteil, dass man den Normalvektor zur Geraden auf einen Blick ablesen kann. Je nachdem, was man mit der Gerade vorhat, können die verschiedenen Formen ineinander umgewandelt werden.

====Parameterdarstellung====
[[Datei:Parameterdarstellung.png|thumb|right|350px|Parameterdarstellung einer Geraden]]$$g: \vec{0X} = \vec{0P} + t \cdot \vec{a}$$ 
wobei

* $X \in g$ ist ein '''beliebiger''' Punkt auf der unendlichen Geraden (steht für alle Punkte auf der Geraden)
* $P \in g$ ist ein '''bekannter''' Punkt auf der Geraden
* $t \in \mathbb{R}$ ist ein freier Parameter (in der Graphik rechts $\lambda$)
* $\vec{a} \in \mathbb{R^2}$ ist ein Vektor parallel zur Geraden, der die Richtung dieser angibt ("Richtungsvektor")

 
Beachte, dass in der Parameterdarstellung keine Punkte, sondern Ortsvektoren verwendet werden! (Info zu Ortsvektoren findest du unter ''Grundlagen der Vektorrechnung''.) Wenn man das weiß, kann man der Einfachheit halber die Gerade auch folgendermaßen beschreiben: $g: X = P + t \cdot \vec{a}$

 
Eine andere Schreibweise ist, die Koordinaten einzeln zu betrachten und 2 Gleichungen aufzustellen:
$$g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \end{cases}$$

====Normalvektorform====
Hierzu benötigt man einen Normalvektor des Richtungsvektors und multipliziert dann die Geradengleichung mit diesem Normalvektor. Da $\vec{a} \cdot \vec{n} = 0$, bleibt über:

Sei $g: \vec{0X} = \vec{0P} + t \cdot \vec{a}$ eine Gerade in Parameterform, so ist

<div align="center">$g: \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x_P \\ y_P \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right)$</div>

dieselbe Gerade in Normalform, wobei $\vec{0X}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right), \ \vec{0P}=\left( \begin{array}{c} x_P \\ y_P \end{array} \right), \ \vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right)$ und $\vec{n}=\left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right)$ ein Normalvektor von $\vec{a}$ (hier kann man natürlich auch den anderen Normalvektor verwenden).

====Allgemeine Geradengleichung====
Diese Form der Darstellung heißt auch Normalform, da man den Normalvektor der Gerade direkt ablesen kann.Um von der Parameterdarstellung auf diese Form zu kommen, gibt es 2 Möglichkeiten:

'''1. Multiplikation mit Normalvektor:'''
Hierzu muss man einfach die Normalform ausmultiplizieren und es ergibt sich:

$$g: y_a \cdot x + -x_a \cdot y = y_a \cdot x_P + -x_a \cdot y_P$$

'''2. Elimination des Parameters:'''
Hierbei gehen wir von der Geradenform $g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \end{cases}$ aus, eliminieren $t$, und kommen ebenfalls auf die obige allgemeine Geradengleichung.
Auf der rechten Seite der Gleichung stehen nur bekannte Größen, auf der linken Seiten stehen Vielfache von x und y. Diese Gleichung kann man weiter auch auf die Form y=kx+d umformen.

===Lagebeziehungen zwischen Geraden===
Mehrere Geraden können im $\mathbb{R^2}$

* ident sein, d.h. sie haben unendlich viele gemeinsame Punkte
* parallel sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt
* einander schneiden, d.h. sie haben genau ein gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt)

 Sind uns 2 Geraden in '''Parameterdarstellung''' gegeben, betrachten wir zuerst ihre Richtungsvektoren. 
Sind diese parallel zueinander, so sind auch die Geraden parallel zueinander. Nun bleibt noch die Frage offen, ob die Geraden ident sind. Dazu überprüfen wir einfach, ob der gegebene Punkt der einen Geraden auch auf der anderen Geraden liegt. Dazu Setzen wir den bekannten Punkt der einen Geraden für den unbekannten Punkt der anderen Geraden ein und erhalten 2 Gleichungen in einer Unbekannten (Parameter der zweiten Gerade). Erhalten wir nun für den Parameter zweimal dasselbe Ergebnis, so sind die 2 Geraden ident, erhalten wir unterschiedliche Ergebnisse, so sind sie nur parallel. 
Sind die Richtungsvektoren nicht parallel zueinander, so sind es auch die 2 Geraden nicht, und wir können uns sicher sein, dass diese einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen.
Doch wie erhalten wir den Schnittpunkt? Ganz einfach, indem wir die 2 Geraden schneiden. Dazu müssen wir sie gleichsetzen, und dann das dadurch erhaltene Gleichungssystem in 2 Unbekannten (die 2 Parameter) lösen. Wenn wir den Wert eines Parameters ausgerechnet haben, setzen wir ihn einfach in die entsprechende Geradengleichung ein und erhalten so den Schnittpunkt!

Sind die 2 Geraden in der '''allgemeinen Geradenform''' gegeben, so haben wir bereits 2 Gleichungen gegeben, die wir nach x und y auflösen. Dieses x und y sind die Koordinaten des Schnittpunktes.

Um das Schneiden von Geraden besser zu verstehen, schau dir das Lösen von [[ Gleichungssysteme (2.7.) |Gleichungssystemen]] genauer an, wirf einen Blick auf die Beispiele zum $\mathbb{R^2}$ unter dem Tab 'Beispiele', oder sieh dir dieses Video an:

<div align="center">{{#ev:youtube|ZrFE3LRisn0}}</div>

===Normalabstand Punkt - Gerade===
[[Datei:Normalabstand.gif|right]]Gegeben sei ein Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und eine Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$. Um den Normalabstand $d(Q,g)$ zwischen Q und g zu berechnen, gehe wie folgt vor:
{{Vorlage:Merke|1=1. Bestimme die Gerade $q: X = Q + s \cdot \vec{n}$, die durch $Q$ geht und den Normalvektor $\vec{n}$ von $\vec{a}$ als Richtungsvektor besitzt.
2. Schneide $g$ und $q$ und die erhältst ihren Schnittpunkt $S$. 
3. Berechne $\parallel \vec{QS} \parallel$.}}
In der Graphik rechts hätten wir z.B. die Angabe $g: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right) + \lambda \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array} \right)$ und $Q(3/4)$. Du kannst das zur Übung durchrechnen.

====Hesse'sche Abstandsformel====
Mithilfe dieser Formel kann man ebenfalls den Abstand $d(Q,g)$ zwischen Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$ bestimmen. <big>$d(Q,g) = | \vec{PQ} \cdot \vec{n_0} | $</big>, wobei $\vec{n_0}$ der normierte (Länge 1) Normalvektor des Richtungsvektors $\vec{a}$ der Geraden $g$ ist.

====Spiegelung eines Punktes an einer Geraden====
[[Datei:Spiegeln.png|thumb|right|250px|Gespiegelter Punkt Q']]Gegeben sei ein Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und eine Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$. Es gilt den Punkt $Q$ an der Gerade $g$ zu spiegeln, und so den Punkt $Q'$ zu erhalten. Dazu befolgst du die Vorgehensweise von "Normalabstand Punkt - Gerade" bis du den Vektor $\vec{QS}$ erhältst, und trägst diesen vom Punkt $S$ ab, also: 
$Q' = S + \vec{QS}$

=Im $\mathbb{R^3}$=
==Vektoren==
===Kreuzprodukt===
Im $\mathbb{R^3}$ gibt es neben dem Skalarprodukt, bei dem wir als Ergebnis ein Skalar erhalten, eine weitere Möglichkeit, zwei Vektoren miteinander zu multiplizieren: das sog. Kreuz- oder Vektorprodukt, bei dem wir als Ergebnis einen Vektor erhalten.{{Vorlage:Merke|1=Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren des $\mathbb{R^3}$, dann ist ihr Kreuzprodukt
$$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} y_a \cdot z_b - z_a \cdot y_b \\ z_a \cdot x_b - x_a \cdot z_b \\ x_a \cdot y_b - y_a \cdot x_b \end{array} \right)$$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ -3 \end{array} \right)$, gesucht ist ihr Kreuzprodukt.|

2=$$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \cdot (-3) - 3 \cdot 4 \\ 3 \cdot 5 - 1 \cdot (-3) \\ 1 \cdot 4 - 2 \cdot 5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-6) - 12 \\ 15 - (-3) \\ 4 - 10 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -18 \\ 18 \\ -6 \end{array} \right)$$}}

Wozu wir das Kreuzprodukt überhaupt benötigen, sehen wir an den nächsten 2 Punkten.

====Normalvektoren====
Im $\mathbb{R^3}$ gibt es zu einem Vektor unendlich viele Normalvektoren. Auf eine Ebene allerdings gibt es genau 2 Normalvektoren (wie im $\mathbb{R^2}$ auf eine Gerade). Eine Ebene wird von 2 Vektoren aufgespannt, deren Kreuzprodukt ergibt einen Normalvektor $\vec{n_1}$ auf die Ebene bzw. die zwei Vektoren; der zweite Normalvektor hat die entgegengesetzte Orientierung ($\vec{n_2} = -\vec{n_1}$). Also:$$\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$$

====Fläche eines von zwei Vektoren aufgespannten Parallelogramms oder Dreiecks====
[[Datei:FlächeNormalvektor.png|thumb|right|none|250px|2 Vektoren spannen ein Dreieck bzw. Parallelogramm auf]] 
{{Vorlage:Merke|1=Die Länge $\parallel \vec{n} \parallel = \parallel \vec{a} \times \vec{b} \parallel$ des Normalvektors $\vec{n}$ zu den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ entspricht der Maßzahl des Flächeninhaltes des Parallelogramms, das $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aufspannen (im Bild die gesamte grüne Fläche).
Die Hälfte dieser Fläche entspricht der Fläche des aufgespannten Dreiecks.}}

===Skalarprodukt, Orthogonalitätskriterium, Winkel zwischen zwei Vektoren===
Diese drei Dinge "funktionieren" im $\mathbb{R^3}$ wie im $\mathbb{R^2}$. Also hier nur eine kurze Wiederholung: 

'''Skalarprodukt''' 
Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\z_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren, dann ist $$\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right) = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b + z_a \cdot z_b$$ gleich ihr Skalarprodukt.
 

'''Orthogonalitätskriterium''' 
Ergibt das Skalarprodukt zweier Vektoren $0$, so stehen diese zwei Vektoren normal zueinander (und umgekehrt!)
$$\vec{a} \cdot \vec{b} \ = \ 0 \ \Leftrightarrow \ \vec{a} \bot \vec{b}$$
Auch das gibt es im $\mathbb{R^3}$. Bedenke aber, dass es hier, anders als im $\mathbb{R^2}$, unendlich viele Normalvektoren auf einen Vektor gibt.
 

'''Winkel zwischen zwei Vektoren'''
$$cos{\varphi} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel} = \vec{a_0} \cdot \vec{b_0}$$

==Geraden==
===Darstellungsformen===
====Parameterdarstellung====
Die Parameterdarstellung im $\mathbb{R^3}$ sieht genauso aus wie im $\mathbb{R^2}$, einziger Unterschied ist, dass unsere Punkte und Vektoren hier jeweils 3 Koordinaten haben.$$g: X = P + t \cdot \vec{a}$$ bzw. $$g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \\ z = z_P + t \cdot z_a \end{cases}$$
Mehr Infos zu den einzelnen Komponenten findest du im Tab 'Im $\mathbb{R^2}$'.

====Parameterfreie Darstellungsform====
Diese besteht aus 2 Gleichungen und wir erhalten sie durch Eliminierung des Parameters.

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sei die Parameterform der Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ -4 \\ 1 \end{array} \right)$. Zuerst schreiben wir das in die 3 Koordinatengleichungen um:
$$g : \begin{cases} x = 2 + 3t \\ y = 0 - 4t \\ z = 1 + t \end{cases}$$

|2=Wir multiplizieren die erste Gleichung mit $4$ und die zweite Gleichung mit $3$ und addieren die beiden: $$+ \begin{cases} 4x = 8 + 12t \\ 3y = 0 - 12t \end{cases}$$ und erhalten so die Gleichung $4x + 3y = 8$.
Wir multiplizieren die dritte Gleichung mit $3$ und subtrahieren diese von der ersten Gleichung: $$- \begin{cases} x = 2 + 3t \\ 3z = 3 + 3t \end{cases}$$ und erhalten so die Gleichung $x - 3z = -1$.

Die parameterfreie Darstellung unserer Gerade lautet somit $$g : \begin{cases} 4x + 3y = 8 \\ x - 3z = -1 \end{cases}$$.}}

Die zwei Gleichungen in der parameterfreien Darstellung sind übrigens Ebenengleichungen. Die eigentliche Gerade ist der Schnitt dieser zwei Ebenen!

===Lagebeziehungen zwischen Geraden===
Mehrere Geraden können im $\mathbb{R^3}$

* ident sein, d.h. sie haben unendlich viele gemeinsame Punkte
* parallel sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt
* einander schneiden, d.h. sie haben genau ein gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt)
* windschief sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt und sind nicht parallel

Um herauszufinden, wie 2 gegebene Geraden in Parameterform zueinander stehen, gehst du am besten wie folgt vor:

'''Betrachtung der Richtungsvektoren:''' Auch im $\mathbb{R^3}$ gilt, sind die Richtungsvektoren zweier Geraden parallel zueinander (d.h. man kann einen Vektor als Vielfaches des anderen Vektors darstellen), so sind es auch die Geraden.

'''Fall 1: Die Vektoren sind parallel:''' Sollte sich herausstellen, dass die zwei Geraden parallel zueinander sind, überprüfst du als nächstes, ob sie einen gemeinsamen Punkt haben; am einfachsten funktioniert das, indem du den bekannten Punkt ($P$) der einen Geraden in die zweite Gerade (für den unbekannten Punkt $X$) einsetzt. Wir erhalten drei Gleichungen in einer Unbekannten (Parameter der zweiten Gerade). 
'''Fall 1a:''' Erhalten wir nun für den Parameter dreimal dasselbe Ergebnis, so sind die 2 Geraden '''ident''' (und parallel), da der überprüfte Punkt, und somit unendlich weitere, auf beiden Geraden liegen. 
'''Fall 1b:''' Erhalten wir unterschiedliche Ergebnisse, so sind sie nur '''parallel''', da der überprüfte Punkt nicht, und somit auch kein anderer, auf beiden Geraden liegen.

'''Fall 2: Die Vektoren sind nicht parallel:''' Nun gibt es nur noch zwei Möglichkeiten: Entweder die zwei Geraden haben einen gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt), oder sie sind windschief. 
Um das wiederum herauszufinden, setzt du die beiden Geraden gleich, d.h. du stellst ein lineares Gleichungssystem (LGS) mit drei Gleichungen und in drei Unbekannten auf, und versuchst, dieses zu lösen. 
'''Fall 2a:''' Solltest du nun eine Lösung erhalten, d.h. du erhältst den Wert für den Parameter einer der zwei Geraden (und hast diesen Wert überprüft), so weißt du, dass die zwei Geraden einander '''schneiden'''. Den Schnittpunkt erhältst du jetzt, indem du den erhaltenen Wert für den Parameter in die entsprechende Geradengleichung einsetzt. 
'''Fall 2b:''' Sollte dein LGS keine Lösung ergeben (also sich eine falsche Aussage oder ein Widerspruch ergeben, z.B. $2=13$, oder $t=4$ und $t=-1$), dann weißt du, dass deine beiden Geraden keinen Schnittpunkt haben und somit '''windschief''' sind.

Zum besseren Verständnis siehst du dir am besten das folgende Video und die beiden folgenden Beispiele an.

<div align="center">{{#ev:youtube|u0QoYlEE094}}</div>
{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die beiden Geraden $g: X = \left( \begin{array}{c} 0 \\ -11 \\ -3 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right)$ und $h: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ -3 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right)$. Überprüfe deren gegenseitige Lage und gegebenenfalls ihren Schnittpunkt!|2=Zuerst überprüfen wir die Richtungsvektoren der beiden Geraden, um festzustellen, ob diese parallel zueinander sind oder nicht:$$\nexists \lambda : \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) = \lambda \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) \nparallel \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g \nparallel h$$
$g$ und $h$ sind also nicht parallel. Sie können also noch entweder einander schneiden oder windschief sein. Stellen wir nun ein LGS auf, indem wir die beiden Geraden gleichsetzen:
$$\begin{align}
I: \ &&&s&=&2&+&t \\
II: \ &-11&+&2s&=&3&-&3t \\
III: \ &-3&+&s&=&-3&+&2t
\end{align}$$ 
Wir subtrahieren $III$ von $I$: $- \begin{cases} &s &=& 2 + t \\ -3 + &s &=& -3 + 2t \end{cases} \ \rightarrow \ 3 = 5 - t \Rightarrow t = 2$ 
Wir überprüfen dieses Ergebnis für $t$, indem wir $t=2$ in alle 3 Gleichungen einsetzen. Wir sehen dann, dass wir überall dasselbe Ergebnis für $s$ erhalten, nämlich $s=4$. Daraus folgt, dass die Geraden einander '''schneiden'''. Setzen wir nun $t=2$ oder $s=4$ in die entsprechende Geradengleichung, so erhalten wir den Schnittpunkt $S(4/-3/1)$ der beiden Geraden.}}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die beiden Geraden $g: X = \left( \begin{array}{c} 3 \\ -2 \\ 0 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right)$ und $h: X = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$. Überprüfe deren gegenseitige Lage und ggf. ihren Schnittpunkt!|2=Zuerst überprüfen wir wieder die Richtungsvektoren der beiden Geraden:$$\nexists \lambda : \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) = \lambda \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) \nparallel \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g \nparallel h$$
Nun stellen wir wieder ein LGS auf:
$$\begin{align}
I: \ &3&+&2s&=&4&-&t \\
II: \ &-2&-&2s&=&3&& \\
III: \ &&&s&=&1&+&t
\end{align}$$ 
Aus der zweiten Gleichung lässt sich direkt berechnen, dass $s=- \frac{5}{2}$. Dies setzen wir nun in die erste und zweite Gleichung ein und erhalten einmal $3 - 5 = 4 - t \ \Rightarrow \ t=6$ und einmal $- \frac{5}{2} = 1 + t \ \Rightarrow \ t=- \frac{7}{2}$. Diese beiden Werte für $t$ sind offensichtlich voneinander unterschiedlich, daraus folgt, dass die beiden Geraden $g$ und $h$ '''windschief''' sind.
}}

==Ebenen==
Eine Ebene ist durch 3 Punkte oder 1 Punkt und 2 (voneinander linear unabhängigen) Vektoren eindeutig festgelegt.

===Darstellungsformen===
====Parameterdarstellung====
[[Datei:ebene2.png|thumb|right|350px|von Punkt und Vektoren aufgespannte Ebene]]
$$\epsilon : X = P + s \cdot \vec{a} + t \cdot \vec{b}$$
bzw.
$$\epsilon : \begin{cases} x = x_P + s \cdot x_a + t \cdot x_b \\ y = y_P + s \cdot y_a + t \cdot y_b \\ z = z_P + s \cdot z_a + t \cdot z_b \end{cases}$$
wobei

* $X \in \epsilon$ ist ein '''beliebiger''' Punkt auf der unendlichen Ebene
* $P \in \epsilon$ ist ein '''bekannter''' Punkt auf der Ebene
* $s, t \in \mathbb{R}$ sind freie Parameter
* $\vec{a}, \vec{b} \in \mathbb{R^3}$ sind zwei Vektoren, die parallel zur Ebene liegen

====Normalvektorform====
Man multipliziert die Parameterdarstellung der Ebene mit ihrem Normalvektor $\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$ und erhält$$\vec{n} \cdot \vec{X} = \vec{n} \cdot \vec{P}$$

====Allgemeine Ebenengleichung====
$$ax + by + cz = d$$Diese Form der Darstellung heißt auch Normalform, da man den Normalvektor der Ebene direkt ablesen kann. Um von der Parameterdarstellung auf diese Form zu kommen, gibt es 2 Möglichkeiten:

'''1. Multiplikation mit Normalvektor:'''
Hierzu muss man einfach die Normalform ausmultiplizieren und es ergibt sich:

$$\epsilon: x_n \cdot x + y_n \cdot y + z_n \cdot z = x_n \cdot x_P + y_n \cdot y_P + z_n \cdot z_P$$

'''2. Elimination des Parameters:'''
Hierbei gehen wir von der Ebenengleichung $\epsilon : \begin{cases} x = x_P + s \cdot x_a + t \cdot x_b \\ y = y_P + s \cdot y_a + t \cdot y_b \\ z = z_P + s \cdot z_a + t \cdot z_b \end{cases}$ aus, eliminieren $s$ und $t$, und kommen ebenfalls auf die obige allgemeine Ebenengleichung.

Zur Veranschaulichung ein Beispiel zu den verschiedenen Darstellungsformen:
{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die drei Punkte $A(1/1/1), B(-1/-4/2), C(0/3/-1)$. Gib die Ebene, die diese drei Punkte aufspannen, in Parameterform, Normalform und allgemeiner Ebenengleichung an!|2=Für die Parameterform berechnen wir erst zwei beliebige Vektoren aus den 3 Punkten, z.B. $\vec{AB} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{AC} = \left( \begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right)$. Als Parameterform erhalten wir schließlich:
$$\epsilon: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right)$$ Um auf die Normalform zu kommen, bestimmen wir als erstes den Normalvektor der Ebenen: $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-5) \cdot (-2) - 1 \cdot 2 \\ 1 \cdot (-1) - (-2) \cdot (-2) \\ (-2) \cdot 2 - (-5) \cdot (-1) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right)$. 
Nun die Parametergleichung mit dem Normalvektor multiplizieren und wir erhalten auch die Normalform:
$$\epsilon: \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)$$ 
Um nun noch die allg. Ebenenform zu erhalten, multipliziert man am einfachsten die Normalform aus und erhält:
$$\epsilon: 8x - 5y -9z =-6$$ 
Aber auch die Elimination der Parameter soll hier gezeigt werden. Wir gehen aus von: $$\epsilon : \begin{cases} x = 1 - 2s - t \\ y = 1 - 5s + 2t \\ z = 1 + s - 2t\end{cases}$$
Addieren wir die y- und die z-Gleichung, können wir $t$ eliminieren: $+ \begin{cases} y = 1 - 5s + 2t \\ z = 1 + s - 2t \end{cases} \ \Rightarrow \ y + z = 2 - 4s$. 
Wir können $t$ ebenfalls eliminieren, indem wir die y-Gleichung zum 2-fachen der x-Gleichung addieren: $+ \begin{cases} 2x = 2 - 4s - 2t \\ y = 1 - 5s + 2t \end{cases} \ \Rightarrow \ 2x + y = 3 -9s$. 
Nun haben wir zwei Gleichungen, die nur mehr von $s$ abhängig sind. Um diesen Parameter nun auch noch zu eliminieren, multiplizieren wir die erste Gleichung mit $(-9)$ und die zweite mit $4$ und addieren diese, um nochmals auf die allg. Ebenengleichung zu kommen.
$$+ \begin{cases} 8x + 4y = 12 - 36s \\ -9y - 9z = -18 + 36s \end{cases} \ \Rightarrow \ \epsilon: 8x - 5y -9z =-6$$
}}

===Lagebeziehungen===
====...zwischen zwei Ebenen====
Zwei Ebenen können im $\mathbb{R^3}$

* ident sein: die Ebenengleichungen (allg. Form) sind Vielfache voneinander;

z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : 2x + 2y + 2z = 6 \Rightarrow \epsilon _2 = 2 \cdot \epsilon _1$

* parallel sein: die Normalvektoren der Ebenen sind Vielfache voneinander;

z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : 2x + 2y + 2z = 5 \Rightarrow \vec{n_2} = 2 \cdot \vec{n_1}$

* einander schneiden (in einer Gerade): die Normalvektoren der Ebenen sind keine Vielfache voneinander;

z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : x - 3y + 2z = 1 \Rightarrow \nexists \lambda \in \mathbb{R} : \vec{n_1} = \lambda \cdot \vec{n_2}$

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:Ebenenident2.png|2 Ebenen sind ident
Datei:Ebenenparallel2.png|2 Ebenen sind parallel
Datei:Ebenenschnittgerade2.png|2 Ebenen schneiden einander in einer Geraden
</gallery>

 
'''Berechnen der Schnittgerade''' 
Erkennt man durch Betrachtung der Normalvektoren zweier Ebenen, dass diese einander schneiden müssen, so kann man diese Schnittgerade berechnen. Dazu erstellt man aus den beiden Ebenengleichungen ein lineares Gleichungssystem in 3 Unbekannten. 2 Gleichungen - 3 Unbekannte: wir werden hier nicht für alle Unbekannten einen Zahlenwert erhalten, können aber 2 Unbekannte in Abhängigkeit der dritten darstellen. Diese dritte Unbekannte wird uns als Parameter für die Darstellung der Geraden dienen. Zur Veranschaulichung ein Beispiel:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die beiden Ebenen $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : x - 3y + 2z = 1$. Wie wir weiter oben schon festgestellt haben, müssen diese Ebenen einander schneiden, da die beiden Noramlvektoren der Ebenen $\vec{n_1}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{n_2}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right)$ linear unabhängig voneinander sind, also $\nexists \lambda \in \mathbb{R} : \vec{n_1} = \lambda \cdot \vec{n_2}$. 
Wir wählen nun eine der Koordinaten als Parameter, z.B. $z=t$ und stellen das Gleichungssystem auf.

|2=

$$\begin{align}I: \ &x&+&y&+&t&=&3 \\
II: \ &x&-&3y&+&2t&=&1
\end{align}$$

Wir subtrahieren $I-II$ und erhalten
$$4y - t = 2 \ \Rightarrow \ y = \frac{1}{2} + t \cdot \frac{1}{4}$$
Nun setzen wir unser erhaltenes $y$ in die erste Gleichung ein, um $x$ zu erhalten:

$$I: \ x + \frac{1}{2} + t \cdot \frac{1}{4} + t = 3 \ \Rightarrow \ x = \frac{5}{2} - t \cdot \frac{5}{4}$$
Somit haben wir alle Ausdrücke der Koordinaten gefunden ($z=t$ haben wir anfangs festgelegt) und können die Parameterdarstellung der Schnittgerade angeben:
$$g: X = \left( \begin{array}{c} \frac{5}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 0 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} - \frac{5}{4} \\ \frac{1}{4} \\ 1 \end{array} \right)$$
}}

====...zwischen 3 Ebenen====
Drei Ebenen können im $\mathbb{R^3}$

* alle ident sein
* 2 ident, 1 parallel sein
* alle parallel sein
* 3 Schnittgeraden haben
* 2 Schnittgeraden haben (2 Ebenen parallel)
* 1 Schnittgerade haben
* 1 Schnittpunkt haben

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:Ebenenident3.png|3 Ebenen sind ident
Datei:Ebenenidentparallel.png|2 Ebenen sind ident, 1 parallel
Datei:Ebenenparallel3.png|3 Ebenen sind parallel
Datei:Ebenenschnittgeraden33.png|3 Ebenen schneiden einander in 3 Geraden
Datei:Ebenenschnittgeraden32.png|3 Ebenen schneiden einander in 2 Geraden (2 Ebenen parallel)
Datei:Ebenenschnittgerade3.png|3 Ebenen schneiden einander in einer Gerade
Datei:Ebenenschnittgerade31.png|3 Ebenen schneiden einander in einer Gerade (2 Ebenen ident)
Datei:Ebenenschnittpunkt3.png|3 Ebenen schneiden einander in einem Punkt
</gallery>

====...zwischen Ebene und Gerade====
Eine Ebene und eine Gerade können im $\mathbb{R^3}$

* $g \subset \epsilon$, die Gerade liegt auf der Ebene

Hierbei haben die Gerade und die Ebene einen gemeinsamen Punkt und der Richtungsvektor der Gerade steht normal auf den Normalvektor der Ebene, daraus folgt, dass sie unendlich gemeinsame Punkte haben.

* parallel sein

Irgendein Punkt der Gerade liegt nicht auf der Ebene, der Richtungsvektor der Gerade steht normal auf den Normalvektor der Ebene, daraus folgt, dass sie keinen einzigen gemeinsamen Punkt haben.

* 1 Schnittpunkt haben

Der Richtungsvektor der Geraden steht nicht normal auf den Normalvektor der Ebene.

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:GeradeinEbene.png|Gerade liegt auf der Ebene
Datei:GeradepararallelEbene.png|Gerade und Ebene sind parallel zueinander
Datei:GeradeSchnittpunktEbene.png|Gerade und Ebene schneiden einander (Schnittpunkt)
</gallery>

Zur Überprüfung der Lagebeziehung gibt es allerdings noch eine andere (schnellere) Methode. Hier "schneiden" wir die Gerade und die Ebene mathematisch, d.h. wir setzen sie gleich (wenn beide in Parameterform gegeben sind) oder setzen die Gerade $g$ (Parameterform) in die Ebene $\epsilon$ (allg. Ebenengleichung) ein. 
Wir erhalten dadurch ein Gleichungssystem oder eine einzelne Gleichung.

Sei die Gerade gegeben als $g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \\ z = z_P + t \cdot z_a \end{cases}$ und die Ebene als $\epsilon : \begin{cases} x = x_Q + s \cdot x_b + u \cdot x_c \\ y = y_Q + s \cdot y_b + u \cdot y_c \\ z = z_Q + s \cdot z_b + u \cdot z_c \end{cases}$ (Parameterform) oder $\epsilon : ax + by + cz = d$ (allg. Ebenengleichung).

Wir erhalten als Gleichungssystem durch Gleichsetzen der Gleichungen der Parameterformen:
$$\begin{cases} x_P + t \cdot x_a = x_Q + s \cdot x_b + u \cdot x_c \\ y_P + t \cdot y_a = y_Q + s \cdot y_b + u \cdot y_c \\ z_P + t \cdot z_a = z_Q + s \cdot z_b + u \cdot z_c \end{cases}$$ 
Wir erhalten durch Einsetzen der Gerade in die Ebene (allg. Ebenengleichung):
$$a \cdot (x_P + t \cdot x_a) + b \cdot (y_P + t \cdot y_a) + c \cdot (z_P + t \cdot z_a) = d$$

Ergibt sich hier eine wahre Aussage (z.B. $1=1$), also unendlich viele Lösungen, so liegt die Gerade in der Ebene. 
Ergibt sich eine falsche Aussage (z.B. $1=2$), also keine Lösung, so schneiden die beiden Objekte einander nicht, also sie sind parallel. 
Gibt es genau eine Lösung (z.B. $t=2$), so existiert genau ein gemeinsamer Punkt = Schnittpunkt. Diesen erhält man, indem man den ermittelten Wert für den Parameter $t$ der Geraden in die Geradengleichung einsetzt (oder, wenn die Ebene in Parameterform gegeben war, die beiden Werte für die Parameter $s$ und $u$ der Ebene in die Ebenengleichung einsetzt). Dazu 2 Beispiele, wobei wir im ersten mit der Ebene in Parameterform rechnen werden:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right)$ und die Ebene $\epsilon : X = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -1 \\ -3 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) + u \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 0 \end{array} \right)$. Stellen wir nun also unser Gleichungssystem auf:

|2=\begin{align}

I: \ & \ 1&-t&=&4& &+2u \\
II: \ &-3& &=&-1&+s&-u \\
III: \ & \ 2&+2t&=&-3&+s&
\end{align}

In der ersten Gleichung drücken wir $u$ in $t$ aus: $u = - \frac{3}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$ 
In der zweiten Gleichung drücken wir $s$ in $u$ aus: $s = -2 + u$ 
Das $u$ von oben setzen wir nun hier ein und erhalten $s$ in Abhängigkeit von $t$: $s = - \frac{7}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$.

Dieses $s$ setzen wir nun in die dritte Gleichung ein und wir erhalten: $2 + 2t = -3 - \frac{7}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$ und in weiterer Folge $t = - \frac{17}{5}$. 
Es ergibt sich also genau eine Lösung für das Gleichungssystem, was bedeutet, dass die Gerade und die Ebene einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen. Diesen erhalten wir, indem wir den errechneten Wert für $t$ in die Geradengleichung einsetzen (Man könnte natürlich auch noch die Werte für $s$ und $u$ berechnen, und diese in die Ebenengleichung einsetzen; zur Übung kannst du das gerne tun):
$$g: S = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) - \frac{17}{5} \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \frac{23}{5} \\ -3 \\ - \frac{24}{5} \end{array} \right)$$
}}

Betrachten wir nun dasselbe Beispiel, mit dem Unterschied, dass die Ebene in Normalform gegeben ist und wir auch gleich mit dieser Form rechnen:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right)$ und die Ebene $\epsilon : x + 2y - 2z = 8$. Wir setzen die Koordinatengleichungen der Gerade in die Normalform der Ebene:

|2= $g$ in $\epsilon$: $$1 - t - 6 - 4 -4t =8$$

Wenn wir diese Gleichung lösen, erhalten wir, wie im ersten Bespiel, $t = - \frac{17}{5}$. Dies noch in die Geradengleichung einsetzen, und wir erhalten den Schnittpunkt.}}

Da man bei der zweiten Methode meistens weniger Rechenaufwand hat, zahlt es sich oft aus die Parameterdarstellung der Ebene in die Normalform (= allg. Ebenengleichung) umzurechnen.

==Pyramidenbeispiel==
[[Datei:Pyramidebsp.png|thumb|right|350px|Pyramide]]Gegeben seien 3 Eckpunkte $A(-2/-2/1), B(2/-2/1), C(2/2/1)$ der quadratischen Grundfläche und der Spitzpunkt $S(0/0/6)$ einer geraden (gerade bedeutet, dass die Spitze in einem rechten Winkel über dem Mittelpunkt der Grundfläche der Pyramide liegt) Pyramide.
Gesucht sind:

# der vierte Eckpunkt $D$ der Grundfläche
# die Parameterdarstellung der Trägergeraden $h$ der Höhe
# die Fläche der Grundfläche
# die Geradengleichung der Geraden $g_{AS}$ auf der $A$ und $S$ liegen in a)Parameterform und b)parameterfreier Form
# Der Winkel $\alpha$ zwischen den Vektoren $\vec{AS}$ und $\vec{AC}$
# Zeige, dass der Schnittpunkt der Geraden $g_{AS}$ und $h$ gleich die Spitze $S$ ist
# Gib die Ebenengleichung $\epsilon$ der Grundfläche in a)Parameterform, b)Normalform und c)allgemeiner Ebenengleichung an
# Berechne den Fußpunkt $M$ der Höhe, indem du $h$ und $\epsilon$ schneidest

1. $D = A + \vec{BC} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -2 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right)$ 
2. $h: X = S + t \cdot \vec{h}$
$$\vec{AB} \times \vec{BC} = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 16 \end{array} \right) \ \parallel \ \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) = \vec{h}$$
$$h: X = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$$ 
3. $G = \parallel \vec{AB} \times \vec{BC} \parallel = \parallel \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 16 \end{array} \right) \parallel = 16FE$ 
4. a) $g_{AS}: X = A + u \cdot \vec{AS}$
$$\vec{AS} = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g_{AS}: X = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + u \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right)$$ oder $$g_{AS}:\begin{cases} x = -2 + 2u \\ y = -2 + 2u \\ z = 1 + 5u \end{cases}$$
b) Parameter elimieren:
$$x - y: x-y = 0$$
$$5x - 2z: 5x - 2z = -12$$
$$\Rightarrow g_{AS}:\begin{cases} x - y = 0 \\ 5x - 2z = -12 \end{cases}$$ 
5. $\measuredangle \vec{AS},\vec{AC} = \alpha = arccos{\frac{\vec{AS} \cdot \vec{AC}}{\parallel \vec{AS} \parallel \cdot \parallel \vec{AC} \parallel}} = arccos{\frac{\left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right)}{\parallel \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) \parallel \cdot \parallel \left( \begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) \parallel}} = arccos{\frac{16}{\sqrt{33 \cdot 32}}} = 60,5°$ 
6. $g_{AS}$ und $h$ gleichsetzen:
$$\begin{align}
I: \ &-2&+&2u&=&0&& \\
II: \ &-2&+&2u&=&0&& \\
III: \ & \ \ 1&+&5u&=&6&+&t
\end{align}
\ \ \ \rightarrow u=1$$
$$g_{AS}: S = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + 1 \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array} \right)$$ 
7. a) $\epsilon: X = A + v \cdot \vec{AB} + w \cdot \vec{BC} \ \rightarrow \ \epsilon: X = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + v \cdot \left( \begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) + w \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right)$ 
b) $\epsilon: \vec{n} \cdot \vec{X} = \vec{n} \cdot \vec{A} \ \rightarrow \ \epsilon: \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right)$ 
c) $\epsilon: z = 1$ 
8. $h:\begin{cases} x=0 \\ y=0 \\ z=6+t \end{cases} \ \ \epsilon: z=1 \ \ \rightarrow \ 1 = 6 + t \ \Rightarrow \ t=-5$ 
$h: M = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array} \right) -5 \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$

=Beispiele=
Hier findest du Beispiele zu den behandelten Themen:

===Grundlagen der Vektorrechnung===
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/9/99/VektorrechnungGLBspAngabe.pdf VektorrechnungGLBspAngabe.pdf] 
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/0/00/VektorrechnungGLBspL%C3%B6sung.pdf VektorrechnungGLBspLösung.pdf]

===Vektorrechnung im $\mathbb{R^2}$===
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/7/7f/VektorrechnungR2BspAngabe.pdf VektorrechnungR2BspAngabe.pdf] 
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/f/ff/VektorrechnungR2BspL%C3%B6sung.pdf VektorrechnungR2BspLösung.pdf]

Vektorrechnung

2016-06-11T09:53:15Z

Lajtos: /* ...zwischen zwei Ebenen */

=Grundlagen=
==Koordinatensystem==
[[Datei:Quadranten.png|thumb|Coordinate System|thumb|right|350px|Koordinatengitter im $\mathbb{R^2}$ mit den 4 Quadranten]]

Für die Vektorrechnung sind Koordinatensysteme essentiell.
Im zweidimensionalen Raum besitzt ein Koordinatensystem 2 Achsen:

* die x-Achse (waagrecht) und
* die y-Achse (senkrecht)

 
Diese sind unendlich lang und Spannen die vier sogenannten Quadranten auf, die meist mit den römischen Ziffern I-IV beschriftet werden (gesprochen: Erster Quadrant, Zweiter Quadrant etc.). Die rechte Graphik zeigt die die Position der Quadranten. Dort, wo die 2 Achsen einander treffen, liegt der sog. Ursprung (kurz: $\vec{0}$); seine Koordinaten sind (0/0).

Was es außerdem noch zu beachten gibt, hast du vielleicht bereits selbst erkannt:
An den gegenüberliegenden Seiten der x- und y-Achsen werden unterschiedliche Vorzeichen verwendet. So spricht man "links" des Ursprungs von der negativen, bzw. "rechts" des Ursprungs von der positiven x-Achse. Analog spricht man "oben" und "unten" von der positiven und negativen y-Achse.

Im dreidimensionalen Raum kommt eine dritte Achse - die z-Achse - dazu. Punkte und Vektoren besitzen dementsprechend dann auch 3 Koordinaten. Dies kann man bis ins n-dimensionale weiterführen.

==Punkte==
In ein Koordinatensystem lassen sich Punkte eintragen. Diese besitzen, entsprechend ihrer Lage, Koordinaten. Im obigen Bild z.B. haben wir die Punkte A und B, wobei sich A im ersten Quadranten befindet und B im vierten Quadranten. Man schreibt: A(2/3,5) B(1/-2).

[[Datei:Punkte Abstand.png|thumb|right|350px|Punkte im $\mathbb{R^2}$]]

{{Vorlage:Merke |''Einen'' '''allgemeinen Punkt''' ''schreibt man an als'' $P(x_1/x_2/.../x_n)$ (im n-dimensionalen Raum $\mathbb{R^n}$) ''bzw.'' $P(x/y)$ (im 2-dimensionalen Raum $ \mathbb{R^2}$) ''oder'' $P(x/y/z)$ (im 3-dimensionalen Raum $\mathbb{R^3}$).
 
Die erste Koordinate entspricht der x-Koordinate, die zweite der y-Koordinate, die eventuelle dritte der z-Koordinate.

Punkte werden in der Regel mit Großbuchstaben bezeichnet.}}

Koordinaten von Punkten lassen sich also ganz einfach ablesen. Die x/y-Koordinate entspricht dabei dem Abstand vom Ursprung zum Punkt in Richtung der jeweiligen Koordinatenachse. So erkennen wir im Bild rechts die folgenden Punkte:

* A(2/0)
* B(0/-2)
* C(-1/2)

=Vektoren=

==Definition & Darstellung von Vektoren==
{{Vorlage:Definition |1= Ein Zahlenpaar $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \in \mathbb{R^2}$ wird als '''Vektor aus $\mathbb{R^2}$ ''' bezeichnet.
Analog bezeichnet man ein Zahlentripel $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) \in \mathbb{R^3}$ als '''Vektor aus $\mathbb{R^3}$ '''. 
Ein '''allgemeiner Vektor''' wird $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) \ \in \mathbb{R^n}$ geschrieben.

}}

Da sowohl die Rechenoperationen als auch die geometrischen Darstellungen leicht vom $\mathbb{R^2}$ in den $\mathbb{R^3}$ übertragen werden können, werden wir meistens nur die Vorgangsweise für Zahlenpaare aus dem $\mathbb{R^2}$ beschreiben.

===Geometrische Darstellung von Vektoren===

Es gibt zwei Möglichkeiten, wie wir einen Vektor $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right) \ \in \mathbb{R^2}$ geometrisch darstellen können:
* '''Darstellung als Punkt''': Dabei gibt $a$ die x-Koordinate und $b$ die y-Koordinate des Punktes an. Die Beschriftung erfolgt mit Großbuchstaben.
* '''Darstellung als Pfeil''': Dabei gibt $a$ die x-Richtung des Pfeils (wie weit zeigt der Pfeil nach links bzw. rechts) und $b$ die y-Richtung des Pfeils (wie weit zeigt der Pfeil nach oben bzw. nach unten) an. Pfeile werden mit Kleinbuchstaben (oft mit Pfeil $\vec{v}$) beschriftet.

Die Darstellung als Punkt ist eindeutig! Einem Zahlenpaar (=Vektor) entspricht genau ein Punkt!
Die Darstellung als Pfeil ist nicht eindeutig! Es gibt unendlich viele Pfeile, die denselben Vektor darstellen. Diese Pfeile sind aber alle parallel, gleich lang und gleich gerichtet.

'''Beispiel:''' Darstellung des Vektors $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$
{| class="wikitable"
|-
| '''Punktdarstellung des Vektors'''|| '''Mögliche Pfeildarstellungen des Vektors'''
|-
| [[Datei:Punkt.png|thumb|300px]]|| [[Datei:Pfeile.png|thumb|300px]]
|}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 3 \\ -4 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 5 \end{array} \right)$. Stelle $\vec{a}$ und $\vec{b}$ als Punkte und als Pfeile dar.
|2=[[Datei:Punkt Pfeil Bsp.png|300px]] 
'''Anmerkungen:'''
* Für die Pfeildarstellungen gibt es mehrere (unendlich viele) Möglichkeiten. Der von dir gezeichnete Pfeil muss jedenfalls parallel, gleich gerichtet und gleich lang wie der abgebildete Pfeil sein!
* Aus "Bequemlichkeitsgründen" zeichnet man die Pfeile oft beginnend beim Ursprung ein:
[[Datei:Punkt Pfeil Bsp2.png|300px]]
 
}}

Vektoren des $\mathbb{R^3}$ können auch auf diese zwei Arten dargestellt werden. Der einzige Unterschied dabei ist, dass die Punkte bzw. Pfeile im dreidimensionalen Raum liegen. Es gibt also noch eine dritte Richtung, die durch die z-Koordinate des Vektors angegeben wird.

===Ortsvektoren===
[[Datei:Ortsvektor.png|thumb|right|250px|Punkt und zugehöriger Ortsvektor]]Der Ortsvektor von einem Punkt ist der Vektor, der vom Ursprung aus auf den Punkt zeigt. Die Koordinaten bleiben deshalb gleich, es ändert sich quasi nur die Schreibweise:

Sei $A(x_1/x_2/.../x_n)$ ein Punkt in der Dimension $n$, dann ist $\vec{0A} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ dessen Ortsvektor.
 
 
 
 
 

==Rechnen mit Vektoren==

===Addition und Subtraktion von Vektoren===
{{Vorlage:Merke|1=Wenn du Vektoren addieren oder subtrahieren möchtest, musst du dazu die entsprechenden Koordinaten addieren: 
$\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) \pm \left( \begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ ... \\ y_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x_1 \pm y_1 \\ x_2 \pm y_2 \\ ... \\ x_n \pm y_n \end{array} \right)$ 
Wichtig ist dabei, dass die Vektoren, die du addieren oder subtrahieren möchtest, derselben Dimension $n$ angehören! D.h. sie haben gleich viele Koordinaten.}}
{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben seien die beiden Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right)$. Berechne erst $\vec{a} + \vec{b}$, dann $\vec{a} - \vec{b}$ und zuletzt $\vec{b} - \vec{a}$!
|2= $\vec{a} + \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 5+1 \\ 2+(-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 6 \\ -1 \end{array} \right)$
$\vec{a} - \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 5-1 \\ 2-(-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 5 \end{array} \right)$ 
$\vec{b} - \vec{a} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 1-5 \\ -3-2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -4 \\ -5 \end{array} \right)$}}

===Vektoren bestimmen: "Spitze minus Schaft" ("Ziel minus Start")===
[[Datei:Spitzeschaft.png|thumb|right|300px|"Spitze minus Schaft"]]Zwischen 2 Punkten kann man nun einen Vektor definieren. Dabei gilt: Die '''"Spitze minus Schaft"'''-Regel Im Bild rechts wollen wir den Vektor berechnen, der von A nach B geht, also den Vektor $\vec{AB}$. Der Punkt B(3/3,5) entspricht hierbei der Spitze, und der Punkt A(1/0,5) dem Schaft. Da das Rechnen mit Punkten allerdings keinen Sinn ergibt, rechnet man stattdessen mit deren Ortsvektoren (siehe oben).

Für unser Beispiel bedeutet das: $\vec{0B} - \vec{0A} = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 3,5 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0,5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 3-1 \\ 3,5-0,5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right) = \vec{AB}$

'''Beachte außerdem:'''

* Man schreibt der Einfachheit halber oft nur $B-A$, obwohl eigentlich $\vec{0B} - \vec{0A}$ gemeint ist.
* Der Vektor $\vec{AB}$ zeigt in die entgegengesetzte Richtung von $\vec{BA}$. Das bedeutet, dass diese beiden Vektoren entgegengesetzte Vorzeichen haben: $\vec{AB} = - \vec{BA}$

 

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die Punkte A=(1/2); B=(-3/1); C=(-4,-1). Bilde die folgenden Verbindungsvektoren: 
 
# $\vec{AB}$
# $\vec{BA}$
# $\vec{AC}$
# $\vec{BC}$

|2=
$\ $
# $\vec{AB}=B-A=\left( \begin{array}{c} -3 \\ 1\end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} -4 \\ -1\end{array} \right)$
# $\vec{BA}=-\vec{AB}=\left( \begin{array}{c} 4 \\ 1 \end{array} \right)$
# $\vec{AC}=\left( \begin{array}{c} -4 \\ -1\end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} -5 \\ -3\end{array} \right)$
# $\vec{BC}=\left( \begin{array}{c} -4 \\ -1\end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} -3 \\ 1 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} -1 \\ -2\end{array} \right)$
 
'''Tipps:'''
* Pass gut auf die Vorzeichen auf! Beim Subtrahieren von Vektoren passieren leider häufig Vorzeichenfehler! Sei deshalb besonders achtsam!
* Zeichne die Punkte in ein Koordinatensystem und zeichne die Verbindungsvektoren ein. Bei einfachen Koordinaten kannst du den Verbindungsvektor ohne Rechnung ablesen (Probiere es aus!).

 
}}

===Produkt eines Vektors mit einem Skalar===
Wenn man einen Vektor $\vec{v}$ mit einer [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)|reellen Zahl]] $k$ , einem sogenannten "Skalar", multipliziert, werden dabei die einzelnen Koordinaten mit dem Skalar multipliziert:

$k \cdot \vec{v} = k \cdot \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} k \cdot x_1 \\ k \cdot x_2 \\ ... \\ k \cdot x_n \end{array} \right)$

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sei der Vektor $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right)$. Multipliziere diesen einmal mit $2$ und einmal mit $-5$!
|2= $2 \cdot \vec{a} = 2 \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \cdot 2 \\ 2 \cdot (-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -6 \end{array} \right)$
$(-5) \cdot \vec{a} = (-5) \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-5) \cdot 2 \\ (-5) \cdot (-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -10 \\ 15 \end{array} \right)$}}

==Geometrische Darstellung der Rechenoperationen==
===Geometrische Darstellung der Vektoraddition===
Die Addition zweier Vektoren kann auf zwei verschiedene Arten geometrisch gedeutet werden. Wir illustrieren die beiden Möglichkeiten anhand des Beispiels $\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2\end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$

{| class="wikitable"
|-
| '''Punkt + Pfeil - Darstellung:'''|| '''Pfeil + Pfeil - Darstellung'''
|-
| ''An einen Punkt wird ein Pfeil angehängt.'' In unserem Beispiel wird an den Punkt (1/2) ein Pfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$ angehängt. Das Ergebnis der Addition ist der Punkt am Ende des Pfeils (5/5). || ''Zwei Pfeile werden aneinandergehängt. In unserem Beispiel wird also ein Pfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$ und ein Pfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)$ aneinandergehängt. Das Ergebnis der Addition ist der entstehende Verbindungspfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 5 \\ 5 \end{array} \right)$
|-
| [[Datei:Vektoraddition1.png|left|400px]]|| [[Datei:Vektoraddition2.png|left|500px]]
|-
| '''Anmerkung:''' Diese Darstellung ist hilfreich, wenn wir von einem Punkt ausgehen und zu einem neuen Punkt gelangen wollen.|| Es spielt keine Rolle, in welcher Reihenfolge die Vektoren angehängt werden. Die Addition ist kommutativ!
|}

===Geometrische Darstellung der Multiplikation mit einem Skalar===

Eine Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl $a$ (Skalar) entspricht einer Streckung (für $|a|>1$) bzw. einer Stauchung (für $|a|<1$) des zugehörigen Pfeiles.
Ist das Vorzeichen des Skalars negativ, so dreht sich die Richtung des Pfeils in die entgegengesetzte Richtung.

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sei wiederum der Vektor $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right)$. Stelle die Multiplikation mit $2$, mit $-5$ und mit $0.5$ graphisch dar!
|2= Rechnerische Lösung und graphische Interpretation:
* $2 \cdot \vec{a} = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -6 \end{array} \right)$. Der Vektor $2\cdot \vec{a}$ hat die doppelte Länge und dieselbe Richtung wie $\vec{a}$
* $(-5) \cdot \vec{a} = \left( \begin{array}{c} -10 \\ 15 \end{array} \right)$. Der Vektor $(-5)\cdot \vec{a}$ ist fünfmal so lang wie $\vec{a}$ und zeigt in die entgegengesetzte Richtung wie $\vec{a}$
* $(0.5) \cdot \vec{a} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1.5 \end{array} \right)$ Der Vektor $0.5\cdot \vec{a}$ ist halb so lang wie $\vec{a}$ und zeigt in dieselbe Richtung wie $\vec{a}$
}}

{{#widget:Iframe
|url= http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_vektorrechnung/MV_Vektor1/MV_Vektor1/sites/Vektortest.html
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}}
[http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_vektorrechnung/MV_Vektor1/MV_Vektor1/ (Quelle dieses Applets)]

Hilfe zum Applet: Gib in die Eingabezeile den Buchstaben des Vektors bzw. die entsprechende Summe / Differenz an. (z.B. $u=a$)

===Wie Vektoren zueinander stehen===
Vektoren können unterschiedliche Richtungen haben, aber auch parallel zueinander oder gar identisch sein. Optisch lässt sich das oft sehr leicht erkennen. Die Lage von Vektoren zueinander kann aber auch rechnerisch überprüft werden.

{{Vorlage:Definition |Unter einem Vektor versteht man die Menge aller gleichlangen, gleichgerichteten und gleichorientierten Pfeile.

Der Start/Endpunkt spielen dabei keine Rolle!}}

{{Vorlage:Merke|2 Vektoren stehen parallel zueinander, wenn ein Vektor als Vielfaches des anderen Vektors angeschrieben werden kann. 
Man sagt auch: Die Vektoren sind [[linear abhängig]].}}

Sehen wir uns die verschiedenen Fälle an:

{| class="wikitable"
|-
|ident: gleiche Richtung, gleiche Orientierung, gleiche Länge
||[[Datei:Vektorv1.png|none|250px]]
||$\vec{v} = \vec{u} \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$
||z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$
|-
||parallel (gleiche Orientierung): gleiche Richtung, gleiche Orientierung, unterschiedliche Länge
| [[Datei:Vektorenlänge.png|none|250px]]
||$\exists k>0 : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$
||z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} \frac{4}{3} \\ 2 \end{array} \right)$, $k = \frac{2}{3} $
|-
||parallel (unterschiedliche Orientierung): 
| [[Datei:Vektororientierung1.png|none|250px]]
||$\exists k<0 : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$
||z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} -2 \\ -3 \end{array} \right)$, $k=-1$

|-
||linear unabhängig
| [[Datei:Vektorrichtung1.png|none|250px]]
||$\nexists k : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \nparallel \vec{u}$
||z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 3 \end{array} \right)$
|}

{{Vorlage:Beispiel|1=Überprüfe ob die Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 5 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$ linear unabhängig voneinander sind.

|2=Wenn es ein k gibt, sodass $k \cdot \vec{a} = \vec{b}$, dann sind die beiden Vektoren voneinander linear abhängig, und somit auch parallel zueinander.

Es gibt mehrere Lösungsmöglichkeiten:
*Möglichkeit 1: Lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen
$I: 2k = 4 \ \ \rightarrow k=2$
$II: 5k = 3 \ \ \rightarrow k=\frac{3}{5}$

Aus der ersten Gleichung ergibt sich $k=2$, in der zweiten aber $k=\frac{3}{5}$. $k$ kann aber nicht beides sein, somit haben wir eine falsche Aussage erhalten. Daraus folgt, dass die beiden Vektoren '''linear unabhängig''' und somit nicht parallel zueinander sind.

* Möglichkeit 2: "Vergleichen und Probieren"
Vergleicht man die x-Koordinaten der beiden Vektoren, so sieht man, dass $4$ doppelt so groß wie $2$ ist. Daraus ergibt sich, dass ein etwaiges $k=2$ sein müsste.
Probiert man, auch die zweite Zeile mit $2$ zu multiplizieren, so erhält man $10$. Die y-Koordinate von $\vec{b}$ müsste also $10$ sein, damit die beiden Vektoren parallel zueinander sind.
}}

 

===Betrag und Einheitsvektor===
[[Datei:PythagorasVektor.png|thumb|right|350px|Betrag eines Vektors; Einheitsvektor]]Wie anfangs bereits erwähnt, besitzen Vektoren eine Länge, auch '''Betrag''' eines Vektors genannt. Dieser wird mit Hilfe des pythagoräischen Lehrsatzes wie folgt berechnet:

<div align="center">$\parallel \vec{v} \parallel = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2} \ $ wenn $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ ein Vektor der Dimension $n$ ist.</div>
Sehen wir uns die Grafik rechts an, können wir mit dieser Formel die Länge des zweidimensionalen Vektors $\parallel \vec{v} \parallel$ berechnen:

<div align="center">$\parallel \vec{v} \parallel = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$</div>
 Der '''Einheitsvektor''' $\vec{a_0}$ eines Vektors $\vec{a}$ ist ein zu $\vec{a}$ paralleler Vektor mit Länge 1. Rechnerisch erhält man $\vec{a_0}$, indem man $\vec{a}$ durch seine Länge dividiert. $ \vec{a_0}

=\frac{\vec{a}}{\parallel \vec{a}\parallel}$
bzw.
$ \vec{a_0}=\frac{1}{\parallel\vec{a}\parallel}\cdot \vec{a}$

Daraus ergibt sich ein Vektor, der dieselbe Richtung des ursprünglichen Vektors hat, allerdings die Länge 1 besitzt.

{{Vorlage:Merke|1=
Sei $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ ein Vektor der Dimension $n$ und $\parallel \vec{v} \parallel$ sein Betrag, dann ist $\vec{v_0} = \frac{1}{\parallel \vec{v} \parallel} \cdot \vec{v} \ $ der Einheitsvektor zu $\vec{v}$.}}

In unserem Beispiel würde das folgendes bedeuten:

{{Vorlage:Beispiel|1= Bestimme den Einheitsvektor von $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$

|2=<div align="center">$\vec{v_0} = \frac{1}{\sqrt{13} } \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \frac{2}{\sqrt{13} } \\ \frac{3}{\sqrt{13} } \end{array} \right)$</div>
}}

===Vektoren bestimmter Länge===
Da wir nun gelernt haben, Einheitsvektoren zu bilden und Vektoren mit Zahlen zu multiplizieren (und ich das hier so schön betone), könnt ihr euch vielleicht schon vorstellen, wie man aus einem beliebigen Vektor einen Vektor derselben Richtung, allerdings unterschiedlicher Länge bekommt. Wir haben also einen Vektor $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ mit der Länge $\parallel \vec{v} \parallel = k$ gegeben, und hätten gerne den Vektor $\vec{w} \ \parallel \ \vec{v}$ mit der Länge $l$. Dazu berechnen wir zuerst den Einheitsvektor $\vec{v_0}$ von $\vec{v}$ und multiplizieren diesen dann mit $l$. So erhalten wir schließlich $\vec{w} = l \cdot \vec{v_0}$.

==Mittelpunkt einer Strecke==
[[Datei:Mittelpunkt.png|thumb|right|300px|Mittelpunkt M der Strecke AB]]Willst du den Mittelpunkt zwischen 2 Punkten $A$ und $B$ berechnen, musst du wie folgt vorgehen:
Zuerst berechnest du einen Vektor zwischen den Punkten ($\vec{AB}$ oder $\vec{BA}$). Dann halbierst du diesen Vektor, und erhältst $\vec{AM}$ bzw. $\vec{BM}$. Addierst du dann diesen Vektor zum entsprechenden Punkt ($A$ bzw. $B$), erhältst so den Mittelpunkt. Also:

<div align="center">$\vec{0M} = \vec{0A} + \frac{\vec{AB}}{2} = \vec{0B} + \frac{\vec{BA}}{2}$</div>

Kurzschreibweise:
<div align="center">$M = \vec{A} + \frac{\vec{AB}}{2}$ </div>

=Im $\mathbb{R^2}$=
Dieser Artikel befasst sich mit der Vektorrechnung im zweidimensionalen Raum. Grundlegende Informationen zur Vektorrechnung, so wie Punkte und Vektoren, findest du unter dem Tab ''Grundlagen der Vektorrechnung''.

==Vektoren==
===Normalvektoren===
[[Datei:Normalvektoren.png|thumb|right|350px|Normalvektoren]]Normalvektoren zu einem Vektor sind alle Vektoren, die normal (im rechten Winkel) auf den Vektor stehen. Im $\mathbb{R^2}$ gibt es zu jedem Vektor genau 2 Normalvektoren, die dieselbe Länge wie der ursprüngliche Vektor haben. Alle anderen Normalvektoren sind Vielfache eines dieser 2 Normalvektoren.

{{Vorlage:Merke | 1=Sei $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ ein Vektor, dann ist $\vec{n_1}=\left( \begin{array}{c} -y \\ x \end{array} \right)$ sein nach links gekippter, und $\vec{n_2}=\left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right)$ sein nach rechts gekippter Normalvektor.
''Vertausche die Koordinaten und ändere '''ein''' Vorzeichen''
}}

===Skalarprodukt===
Unter dem Skalarprodukt versteht man die Multiplikation zweier Vektoren, bei der als Ergebnis ein Skalar (eine Zahl) entsteht.

{{Vorlage:Merke|1=Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren, dann ist $\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \end{array} \right) = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b$ gleich ihr Skalarprodukt.
}}

Das Skalarprodukt wirkt auf den ersten Blick etwas "eigenartig". Man kann sich die Bedeutung des Skalarproduktes besonders gut an einem Anwendungsbeispiel erklären:
Angenommen in einer Preisliste stehen 10 Kugelschreiber, die jeweils 2€ kosten und 20 Bleistifte, die jeweils 0,50€ kosten.
In Tabellenform sieht das folgendermaßen aus:

{| class="wikitable"
|-
! Produkt !! Stückzahl !! Preis pro Stück (in €)
|-
| Kugelschreiber || 10 || 2
|-
| Bleistift || 20 || 0,50
|}

Aus dieser Tabelle kann ein Stückzahlvektor $\left( \begin{array}{c} 10 \\ 20 \end{array} \right)$ und ein Preisvektor $\left( \begin{array}{c} 2 \\ 0,50 \end{array} \right)$ abgelesen werden.

Möchte man den Gesamtwert der Produkte berechnen, so müssen jeweils die Einzelpreise mit der Stückzahl multipliziert werden und anschließend die Summe gebildet werden.
Genau das macht das Skalarprodukt!
$\left( \begin{array}{c} 10 \\ 20\end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0.50 \end{array} \right) = 10 \cdot 2 + 20 \cdot 0.50 = 20 + 10 = 30€ $

===Winkel zwischen zwei Vektoren===
[[Datei:Winkel.png|thumb|right|350px|Winkel zwischen 2 Vektoren]]<big>$$cos{\varphi} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel} = \vec{a_0} \cdot \vec{b_0}$$
bzw.
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = \parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel \cdot cos{\varphi}$$</big>

Heißt es, den Winkel zwischen 2 Vektoren/Geraden zu bestimmen, ist damit immer der kleinere Winkel gemeint. Solltest du einmal ein Ergebnis erhalten, das größer als 180° ist (nennen wir dieses Ergebnis $\varphi'$), dann ziehe dieses Ergebnis von 360° ab und du erhältst den kleineren Winkel ($\varphi = 360° - \varphi'$). 
Bei einem Winkel von $\varphi = 90°$ erhalten wir $cos{\varphi} = 0$, was bedeutet, dass auch $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$. Daraus ergibt sich das Orthogonalitätskriterium.

====Orthogonalitätskriterium====
{{Vorlage:Merke|1=Ergibt das Skalarprodukt zweier Vektoren $0$, so stehen diese zwei Vektoren normal zueinander (und umgekehrt!)$$\vec{a} \cdot \vec{b} \ = \ 0 \ \Leftrightarrow \ \vec{a} \bot \vec{b}$$}}

Mithilfe des Orthogonalitätskriteriums kann man auch zeigen, dass $\vec{n}=\left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right)$ stets ein Normalvektor von $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ ist.
$$\vec{v} \cdot \vec{n} = \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right) = xy - yx = 0$$

==Geraden==
===Darstellungsformen===
Geraden lassen sich in unterschiedlichen Formen darstellen. In der Vektorrechnung ist die Parameterdarstellung populär, da man dazu nur einen Punkt und Vektor kennen muss. Die Normalform allerdings hat den Vorteil, dass man den Normalvektor zur Geraden auf einen Blick ablesen kann. Je nachdem, was man mit der Gerade vorhat, können die verschiedenen Formen ineinander umgewandelt werden.

====Parameterdarstellung====
[[Datei:Parameterdarstellung.png|thumb|right|350px|Parameterdarstellung einer Geraden]]$$g: \vec{0X} = \vec{0P} + t \cdot \vec{a}$$ 
wobei

* $X \in g$ ist ein '''beliebiger''' Punkt auf der unendlichen Geraden (steht für alle Punkte auf der Geraden)
* $P \in g$ ist ein '''bekannter''' Punkt auf der Geraden
* $t \in \mathbb{R}$ ist ein freier Parameter (in der Graphik rechts $\lambda$)
* $\vec{a} \in \mathbb{R^2}$ ist ein Vektor parallel zur Geraden, der die Richtung dieser angibt ("Richtungsvektor")

 
Beachte, dass in der Parameterdarstellung keine Punkte, sondern Ortsvektoren verwendet werden! (Info zu Ortsvektoren findest du unter ''Grundlagen der Vektorrechnung''.) Wenn man das weiß, kann man der Einfachheit halber die Gerade auch folgendermaßen beschreiben: $g: X = P + t \cdot \vec{a}$

 
Eine andere Schreibweise ist, die Koordinaten einzeln zu betrachten und 2 Gleichungen aufzustellen:
$$g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \end{cases}$$

====Normalvektorform====
Hierzu benötigt man einen Normalvektor des Richtungsvektors und multipliziert dann die Geradengleichung mit diesem Normalvektor. Da $\vec{a} \cdot \vec{n} = 0$, bleibt über:

Sei $g: \vec{0X} = \vec{0P} + t \cdot \vec{a}$ eine Gerade in Parameterform, so ist

<div align="center">$g: \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x_P \\ y_P \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right)$</div>

dieselbe Gerade in Normalform, wobei $\vec{0X}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right), \ \vec{0P}=\left( \begin{array}{c} x_P \\ y_P \end{array} \right), \ \vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right)$ und $\vec{n}=\left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right)$ ein Normalvektor von $\vec{a}$ (hier kann man natürlich auch den anderen Normalvektor verwenden).

====Allgemeine Geradengleichung====
Diese Form der Darstellung heißt auch Normalform, da man den Normalvektor der Gerade direkt ablesen kann.Um von der Parameterdarstellung auf diese Form zu kommen, gibt es 2 Möglichkeiten:

'''1. Multiplikation mit Normalvektor:'''
Hierzu muss man einfach die Normalform ausmultiplizieren und es ergibt sich:

$$g: y_a \cdot x + -x_a \cdot y = y_a \cdot x_P + -x_a \cdot y_P$$

'''2. Elimination des Parameters:'''
Hierbei gehen wir von der Geradenform $g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \end{cases}$ aus, eliminieren $t$, und kommen ebenfalls auf die obige allgemeine Geradengleichung.
Auf der rechten Seite der Gleichung stehen nur bekannte Größen, auf der linken Seiten stehen Vielfache von x und y. Diese Gleichung kann man weiter auch auf die Form y=kx+d umformen.

===Lagebeziehungen zwischen Geraden===
Mehrere Geraden können im $\mathbb{R^2}$

* ident sein, d.h. sie haben unendlich viele gemeinsame Punkte
* parallel sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt
* einander schneiden, d.h. sie haben genau ein gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt)

 Sind uns 2 Geraden in '''Parameterdarstellung''' gegeben, betrachten wir zuerst ihre Richtungsvektoren. 
Sind diese parallel zueinander, so sind auch die Geraden parallel zueinander. Nun bleibt noch die Frage offen, ob die Geraden ident sind. Dazu überprüfen wir einfach, ob der gegebene Punkt der einen Geraden auch auf der anderen Geraden liegt. Dazu Setzen wir den bekannten Punkt der einen Geraden für den unbekannten Punkt der anderen Geraden ein und erhalten 2 Gleichungen in einer Unbekannten (Parameter der zweiten Gerade). Erhalten wir nun für den Parameter zweimal dasselbe Ergebnis, so sind die 2 Geraden ident, erhalten wir unterschiedliche Ergebnisse, so sind sie nur parallel. 
Sind die Richtungsvektoren nicht parallel zueinander, so sind es auch die 2 Geraden nicht, und wir können uns sicher sein, dass diese einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen.
Doch wie erhalten wir den Schnittpunkt? Ganz einfach, indem wir die 2 Geraden schneiden. Dazu müssen wir sie gleichsetzen, und dann das dadurch erhaltene Gleichungssystem in 2 Unbekannten (die 2 Parameter) lösen. Wenn wir den Wert eines Parameters ausgerechnet haben, setzen wir ihn einfach in die entsprechende Geradengleichung ein und erhalten so den Schnittpunkt!

Sind die 2 Geraden in der '''allgemeinen Geradenform''' gegeben, so haben wir bereits 2 Gleichungen gegeben, die wir nach x und y auflösen. Dieses x und y sind die Koordinaten des Schnittpunktes.

Um das Schneiden von Geraden besser zu verstehen, schau dir das Lösen von [[ Gleichungssysteme (2.7.) |Gleichungssystemen]] genauer an, wirf einen Blick auf die Beispiele zum $\mathbb{R^2}$ unter dem Tab 'Beispiele', oder sieh dir dieses Video an:

<div align="center">{{#ev:youtube|ZrFE3LRisn0}}</div>

===Normalabstand Punkt - Gerade===
[[Datei:Normalabstand.gif|right]]Gegeben sei ein Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und eine Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$. Um den Normalabstand $d(Q,g)$ zwischen Q und g zu berechnen, gehe wie folgt vor:
{{Vorlage:Merke|1=1. Bestimme die Gerade $q: X = Q + s \cdot \vec{n}$, die durch $Q$ geht und den Normalvektor $\vec{n}$ von $\vec{a}$ als Richtungsvektor besitzt.
2. Schneide $g$ und $q$ und die erhältst ihren Schnittpunkt $S$. 
3. Berechne $\parallel \vec{QS} \parallel$.}}
In der Graphik rechts hätten wir z.B. die Angabe $g: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right) + \lambda \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array} \right)$ und $Q(3/4)$. Du kannst das zur Übung durchrechnen.

====Hesse'sche Abstandsformel====
Mithilfe dieser Formel kann man ebenfalls den Abstand $d(Q,g)$ zwischen Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$ bestimmen. <big>$d(Q,g) = | \vec{PQ} \cdot \vec{n_0} | $</big>, wobei $\vec{n_0}$ der normierte (Länge 1) Normalvektor des Richtungsvektors $\vec{a}$ der Geraden $g$ ist.

====Spiegelung eines Punktes an einer Geraden====
[[Datei:Spiegeln.png|thumb|right|250px|Gespiegelter Punkt Q']]Gegeben sei ein Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und eine Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$. Es gilt den Punkt $Q$ an der Gerade $g$ zu spiegeln, und so den Punkt $Q'$ zu erhalten. Dazu befolgst du die Vorgehensweise von "Normalabstand Punkt - Gerade" bis du den Vektor $\vec{QS}$ erhältst, und trägst diesen vom Punkt $S$ ab, also: 
$Q' = S + \vec{QS}$

=Im $\mathbb{R^3}$=
==Vektoren==
===Kreuzprodukt===
Im $\mathbb{R^3}$ gibt es neben dem Skalarprodukt, bei dem wir als Ergebnis ein Skalar erhalten, eine weitere Möglichkeit, zwei Vektoren miteinander zu multiplizieren: das sog. Kreuz- oder Vektorprodukt, bei dem wir als Ergebnis einen Vektor erhalten.{{Vorlage:Merke|1=Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren des $\mathbb{R^3}$, dann ist ihr Kreuzprodukt
$$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} y_a \cdot z_b - z_a \cdot y_b \\ z_a \cdot x_b - x_a \cdot z_b \\ x_a \cdot y_b - y_a \cdot x_b \end{array} \right)$$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ -3 \end{array} \right)$, gesucht ist ihr Kreuzprodukt.|

2=$$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \cdot (-3) - 3 \cdot 4 \\ 3 \cdot 5 - 1 \cdot (-3) \\ 1 \cdot 4 - 2 \cdot 5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-6) - 12 \\ 15 - (-3) \\ 4 - 10 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -18 \\ 18 \\ -6 \end{array} \right)$$}}

Wozu wir das Kreuzprodukt überhaupt benötigen, sehen wir an den nächsten 2 Punkten.

====Normalvektoren====
Im $\mathbb{R^3}$ gibt es zu einem Vektor unendlich viele Normalvektoren. Auf eine Ebene allerdings gibt es genau 2 Normalvektoren (wie im $\mathbb{R^2}$ auf eine Gerade). Eine Ebene wird von 2 Vektoren aufgespannt, deren Kreuzprodukt ergibt einen Normalvektor $\vec{n_1}$ auf die Ebene bzw. die zwei Vektoren; der zweite Normalvektor hat die entgegengesetzte Orientierung ($\vec{n_2} = -\vec{n_1}$). Also:$$\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$$

====Fläche eines von zwei Vektoren aufgespannten Parallelogramms oder Dreiecks====
[[Datei:FlächeNormalvektor.png|thumb|right|none|250px|2 Vektoren spannen ein Dreieck bzw. Parallelogramm auf]] 
{{Vorlage:Merke|1=Die Länge $\parallel \vec{n} \parallel = \parallel \vec{a} \times \vec{b} \parallel$ des Normalvektors $\vec{n}$ zu den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ entspricht der Maßzahl des Flächeninhaltes des Parallelogramms, das $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aufspannen (im Bild die gesamte grüne Fläche).
Die Hälfte dieser Fläche entspricht der Fläche des aufgespannten Dreiecks.}}

===Skalarprodukt, Orthogonalitätskriterium, Winkel zwischen zwei Vektoren===
Diese drei Dinge "funktionieren" im $\mathbb{R^3}$ wie im $\mathbb{R^2}$. Also hier nur eine kurze Wiederholung: 

'''Skalarprodukt''' 
Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\z_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren, dann ist $$\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right) = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b + z_a \cdot z_b$$ gleich ihr Skalarprodukt.
 

'''Orthogonalitätskriterium''' 
Ergibt das Skalarprodukt zweier Vektoren $0$, so stehen diese zwei Vektoren normal zueinander (und umgekehrt!)
$$\vec{a} \cdot \vec{b} \ = \ 0 \ \Leftrightarrow \ \vec{a} \bot \vec{b}$$
Auch das gibt es im $\mathbb{R^3}$. Bedenke aber, dass es hier, anders als im $\mathbb{R^2}$, unendlich viele Normalvektoren auf einen Vektor gibt.
 

'''Winkel zwischen zwei Vektoren'''
$$cos{\varphi} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel} = \vec{a_0} \cdot \vec{b_0}$$

==Geraden==
===Darstellungsformen===
====Parameterdarstellung====
Die Parameterdarstellung im $\mathbb{R^3}$ sieht genauso aus wie im $\mathbb{R^2}$, einziger Unterschied ist, dass unsere Punkte und Vektoren hier jeweils 3 Koordinaten haben.$$g: X = P + t \cdot \vec{a}$$ bzw. $$g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \\ z = z_P + t \cdot z_a \end{cases}$$
Mehr Infos zu den einzelnen Komponenten findest du im Tab 'Im $\mathbb{R^2}$'.

====Parameterfreie Darstellungsform====
Diese besteht aus 2 Gleichungen und wir erhalten sie durch Eliminierung des Parameters.

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sei die Parameterform der Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ -4 \\ 1 \end{array} \right)$. Zuerst schreiben wir das in die 3 Koordinatengleichungen um:
$$g : \begin{cases} x = 2 + 3t \\ y = 0 - 4t \\ z = 1 + t \end{cases}$$

2=Wir multiplizieren die erste Gleichung mit $4$ und die zweite Gleichung mit $3$ und addieren die beiden: $$+ \begin{cases} 4x = 8 + 12t \\ 3y = 0 - 12t \end{cases}$$ und erhalten so die Gleichung $4x + 3y = 8$.
Wir multiplizieren die dritte Gleichung mit $3$ und subtrahieren diese von der ersten Gleichung: $$- \begin{cases} x = 2 + 3t \\ 3z = 3 + 3t \end{cases}$$ und erhalten so die Gleichung $x - 3z = -1$.

Die parameterfreie Darstellung unserer Gerade lautet somit $$g : \begin{cases} 4x + 3y = 8 \\ x - 3z = -1 \end{cases}$$.}}

Die zwei Gleichungen in der parameterfreien Darstellung sind übrigens Ebenengleichungen. Die eigentliche Gerade ist der Schnitt dieser zwei Ebenen!

===Lagebeziehungen zwischen Geraden===
Mehrere Geraden können im $\mathbb{R^3}$

* ident sein, d.h. sie haben unendlich viele gemeinsame Punkte
* parallel sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt
* einander schneiden, d.h. sie haben genau ein gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt)
* windschief sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt und sind nicht parallel

Um herauszufinden, wie 2 gegebene Geraden in Parameterform zueinander stehen, gehst du am besten wie folgt vor:

'''Betrachtung der Richtungsvektoren:''' Auch im $\mathbb{R^3}$ gilt, sind die Richtungsvektoren zweier Geraden parallel zueinander (d.h. man kann einen Vektor als Vielfaches des anderen Vektors darstellen), so sind es auch die Geraden.

'''Fall 1: Die Vektoren sind parallel:''' Sollte sich herausstellen, dass die zwei Geraden parallel zueinander sind, überprüfst du als nächstes, ob sie einen gemeinsamen Punkt haben; am einfachsten funktioniert das, indem du den bekannten Punkt ($P$) der einen Geraden in die zweite Gerade (für den unbekannten Punkt $X$) einsetzt. Wir erhalten drei Gleichungen in einer Unbekannten (Parameter der zweiten Gerade). 
'''Fall 1a:''' Erhalten wir nun für den Parameter dreimal dasselbe Ergebnis, so sind die 2 Geraden '''ident''' (und parallel), da der überprüfte Punkt, und somit unendlich weitere, auf beiden Geraden liegen. 
'''Fall 1b:''' Erhalten wir unterschiedliche Ergebnisse, so sind sie nur '''parallel''', da der überprüfte Punkt nicht, und somit auch kein anderer, auf beiden Geraden liegen.

'''Fall 2: Die Vektoren sind nicht parallel:''' Nun gibt es nur noch zwei Möglichkeiten: Entweder die zwei Geraden haben einen gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt), oder sie sind windschief. 
Um das wiederum herauszufinden, setzt du die beiden Geraden gleich, d.h. du stellst ein lineares Gleichungssystem (LGS) mit drei Gleichungen und in drei Unbekannten auf, und versuchst, dieses zu lösen. 
'''Fall 2a:''' Solltest du nun eine Lösung erhalten, d.h. du erhältst den Wert für den Parameter einer der zwei Geraden (und hast diesen Wert überprüft), so weißt du, dass die zwei Geraden einander '''schneiden'''. Den Schnittpunkt erhältst du jetzt, indem du den erhaltenen Wert für den Parameter in die entsprechende Geradengleichung einsetzt. 
'''Fall 2b:''' Sollte dein LGS keine Lösung ergeben (also sich eine falsche Aussage oder ein Widerspruch ergeben, z.B. $2=13$, oder $t=4$ und $t=-1$), dann weißt du, dass deine beiden Geraden keinen Schnittpunkt haben und somit '''windschief''' sind.

Zum besseren Verständnis siehst du dir am besten das folgende Video und die beiden folgenden Beispiele an.

<div align="center">{{#ev:youtube|u0QoYlEE094}}</div>
{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die beiden Geraden $g: X = \left( \begin{array}{c} 0 \\ -11 \\ -3 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right)$ und $h: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ -3 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right)$. Überprüfe deren gegenseitige Lage und gegebenenfalls ihren Schnittpunkt!|2=Zuerst überprüfen wir die Richtungsvektoren der beiden Geraden, um festzustellen, ob diese parallel zueinander sind oder nicht:$$\nexists \lambda : \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) = \lambda \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) \nparallel \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g \nparallel h$$
$g$ und $h$ sind also nicht parallel. Sie können also noch entweder einander schneiden oder windschief sein. Stellen wir nun ein LGS auf, indem wir die beiden Geraden gleichsetzen:
$$\begin{align}
I: \ &&&s&=&2&+&t \\
II: \ &-11&+&2s&=&3&-&3t \\
III: \ &-3&+&s&=&-3&+&2t
\end{align}$$ 
Wir subtrahieren $III$ von $I$: $- \begin{cases} &s &=& 2 + t \\ -3 + &s &=& -3 + 2t \end{cases} \ \rightarrow \ 3 = 5 - t \Rightarrow t = 2$ 
Wir überprüfen dieses Ergebnis für $t$, indem wir $t=2$ in alle 3 Gleichungen einsetzen. Wir sehen dann, dass wir überall dasselbe Ergebnis für $s$ erhalten, nämlich $s=4$. Daraus folgt, dass die Geraden einander '''schneiden'''. Setzen wir nun $t=2$ oder $s=4$ in die entsprechende Geradengleichung, so erhalten wir den Schnittpunkt $S(4/-3/1)$ der beiden Geraden.}}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die beiden Geraden $g: X = \left( \begin{array}{c} 3 \\ -2 \\ 0 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right)$ und $h: X = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$. Überprüfe deren gegenseitige Lage und ggf. ihren Schnittpunkt!|2=Zuerst überprüfen wir wieder die Richtungsvektoren der beiden Geraden:$$\nexists \lambda : \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) = \lambda \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) \nparallel \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g \nparallel h$$
Nun stellen wir wieder ein LGS auf:
$$\begin{align}
I: \ &3&+&2s&=&4&-&t \\
II: \ &-2&-&2s&=&3&& \\
III: \ &&&s&=&1&+&t
\end{align}$$ 
Aus der zweiten Gleichung lässt sich direkt berechnen, dass $s=- \frac{5}{2}$. Dies setzen wir nun in die erste und zweite Gleichung ein und erhalten einmal $3 - 5 = 4 - t \ \Rightarrow \ t=6$ und einmal $- \frac{5}{2} = 1 + t \ \Rightarrow \ t=- \frac{7}{2}$. Diese beiden Werte für $t$ sind offensichtlich voneinander unterschiedlich, daraus folgt, dass die beiden Geraden $g$ und $h$ '''windschief''' sind.
}}

==Ebenen==
Eine Ebene ist durch 3 Punkte oder 1 Punkt und 2 (voneinander linear unabhängigen) Vektoren eindeutig festgelegt.

===Darstellungsformen===
====Parameterdarstellung====
[[Datei:ebene2.png|thumb|right|350px|von Punkt und Vektoren aufgespannte Ebene]]
$$\epsilon : X = P + s \cdot \vec{a} + t \cdot \vec{b}$$
bzw.
$$\epsilon : \begin{cases} x = x_P + s \cdot x_a + t \cdot x_b \\ y = y_P + s \cdot y_a + t \cdot y_b \\ z = z_P + s \cdot z_a + t \cdot z_b \end{cases}$$
wobei

* $X \in \epsilon$ ist ein '''beliebiger''' Punkt auf der unendlichen Ebene
* $P \in \epsilon$ ist ein '''bekannter''' Punkt auf der Ebene
* $s, t \in \mathbb{R}$ sind freie Parameter
* $\vec{a}, \vec{b} \in \mathbb{R^3}$ sind zwei Vektoren, die parallel zur Ebene liegen

====Normalvektorform====
Man multipliziert die Parameterdarstellung der Ebene mit ihrem Normalvektor $\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$ und erhält$$\vec{n} \cdot \vec{X} = \vec{n} \cdot \vec{P}$$

====Allgemeine Ebenengleichung====
$$ax + by + cz = d$$Diese Form der Darstellung heißt auch Normalform, da man den Normalvektor der Ebene direkt ablesen kann. Um von der Parameterdarstellung auf diese Form zu kommen, gibt es 2 Möglichkeiten:

'''1. Multiplikation mit Normalvektor:'''
Hierzu muss man einfach die Normalform ausmultiplizieren und es ergibt sich:

$$\epsilon: x_n \cdot x + y_n \cdot y + z_n \cdot z = x_n \cdot x_P + y_n \cdot y_P + z_n \cdot z_P$$

'''2. Elimination des Parameters:'''
Hierbei gehen wir von der Ebenengleichung $\epsilon : \begin{cases} x = x_P + s \cdot x_a + t \cdot x_b \\ y = y_P + s \cdot y_a + t \cdot y_b \\ z = z_P + s \cdot z_a + t \cdot z_b \end{cases}$ aus, eliminieren $s$ und $t$, und kommen ebenfalls auf die obige allgemeine Ebenengleichung.

Zur Veranschaulichung ein Beispiel zu den verschiedenen Darstellungsformen:
{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die drei Punkte $A(1/1/1), B(-1/-4/2), C(0/3/-1)$. Gib die Ebene, die diese drei Punkte aufspannen, in Parameterform, Normalform und allgemeiner Ebenengleichung an!|2=Für die Parameterform berechnen wir erst zwei beliebige Vektoren aus den 3 Punkten, z.B. $\vec{AB} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{AC} = \left( \begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right)$. Als Parameterform erhalten wir schließlich:
$$\epsilon: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right)$$ Um auf die Normalform zu kommen, bestimmen wir als erstes den Normalvektor der Ebenen: $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-5) \cdot (-2) - 1 \cdot 2 \\ 1 \cdot (-1) - (-2) \cdot (-2) \\ (-2) \cdot 2 - (-5) \cdot (-1) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right)$. 
Nun die Parametergleichung mit dem Normalvektor multiplizieren und wir erhalten auch die Normalform:
$$\epsilon: \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)$$ 
Um nun noch die allg. Ebenenform zu erhalten, multipliziert man am einfachsten die Normalform aus und erhält:
$$\epsilon: 8x - 5y -9z =-6$$ 
Aber auch die Elimination der Parameter soll hier gezeigt werden. Wir gehen aus von: $$\epsilon : \begin{cases} x = 1 - 2s - t \\ y = 1 - 5s + 2t \\ z = 1 + s - 2t\end{cases}$$
Addieren wir die y- und die z-Gleichung, können wir $t$ eliminieren: $+ \begin{cases} y = 1 - 5s + 2t \\ z = 1 + s - 2t \end{cases} \ \Rightarrow \ y + z = 2 - 4s$. 
Wir können $t$ ebenfalls eliminieren, indem wir die y-Gleichung zum 2-fachen der x-Gleichung addieren: $+ \begin{cases} 2x = 2 - 4s - 2t \\ y = 1 - 5s + 2t \end{cases} \ \Rightarrow \ 2x + y = 3 -9s$. 
Nun haben wir zwei Gleichungen, die nur mehr von $s$ abhängig sind. Um diesen Parameter nun auch noch zu eliminieren, multiplizieren wir die erste Gleichung mit $(-9)$ und die zweite mit $4$ und addieren diese, um nochmals auf die allg. Ebenengleichung zu kommen.
$$+ \begin{cases} 8x + 4y = 12 - 36s \\ -9y - 9z = -18 + 36s \end{cases} \ \Rightarrow \ \epsilon: 8x - 5y -9z =-6$$
}}

===Lagebeziehungen===
====...zwischen zwei Ebenen====
Zwei Ebenen können im $\mathbb{R^3}$

* ident sein: die Ebenengleichungen (allg. Form) sind Vielfache voneinander;

z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : 2x + 2y + 2z = 6 \Rightarrow \epsilon _2 = 2 \cdot \epsilon _1$

* parallel sein: die Normalvektoren der Ebenen sind Vielfache voneinander;

z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : 2x + 2y + 2z = 5 \Rightarrow \vec{n_2} = 2 \cdot \vec{n_1}$

* einander schneiden (in einer Gerade): die Normalvektoren der Ebenen sind keine Vielfache voneinander;

z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : x - 3y + 2z = 1 \Rightarrow \nexists \lambda \in \mathbb{R} : \vec{n_1} = \lambda \cdot \vec{n_2}$

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:Ebenenident2.png|2 Ebenen sind ident
Datei:Ebenenparallel2.png|2 Ebenen sind parallel
Datei:Ebenenschnittgerade2.png|2 Ebenen schneiden einander in einer Geraden
</gallery>

 
'''Berechnen der Schnittgerade''' 
Erkennt man durch Betrachtung der Normalvektoren zweier Ebenen, dass diese einander schneiden müssen, so kann man diese Schnittgerade berechnen. Dazu erstellt man aus den beiden Ebenengleichungen ein lineares Gleichungssystem in 3 Unbekannten. 2 Gleichungen - 3 Unbekannte: wir werden hier nicht für alle Unbekannten einen Zahlenwert erhalten, können aber 2 Unbekannte in Abhängigkeit der dritten darstellen. Diese dritte Unbekannte wird uns als Parameter für die Darstellung der Geraden dienen. Zur Veranschaulichung ein Beispiel:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die beiden Ebenen $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : x - 3y + 2z = 1$. Wie wir weiter oben schon festgestellt haben, müssen diese Ebenen einander schneiden, da die beiden Noramlvektoren der Ebenen $\vec{n_1}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{n_2}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right)$ linear unabhängig voneinander sind, also $\nexists \lambda \in \mathbb{R} : \vec{n_1} = \lambda \cdot \vec{n_2}$. 
Wir wählen nun eine der Koordinaten als Parameter, z.B. $z=t$ und stellen das Gleichungssystem auf.

|2=

$$\begin{align}I: \ &x&+&y&+&t&=&3 \\
II: \ &x&-&3y&+&2t&=&1
\end{align}$$

Wir subtrahieren $I-II$ und erhalten
$$4y - t = 2 \ \Rightarrow \ y = \frac{1}{2} + t \cdot \frac{1}{4}$$
Nun setzen wir unser erhaltenes $y$ in die erste Gleichung ein, um $x$ zu erhalten:

$$I: \ x + \frac{1}{2} + t \cdot \frac{1}{4} + t = 3 \ \Rightarrow \ x = \frac{5}{2} - t \cdot \frac{5}{4}$$
Somit haben wir alle Ausdrücke der Koordinaten gefunden ($z=t$ haben wir anfangs festgelegt) und können die Parameterdarstellung der Schnittgerade angeben:
$$g: X = \left( \begin{array}{c} \frac{5}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 0 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} - \frac{5}{4} \\ \frac{1}{4} \\ 1 \end{array} \right)$$
}}

====...zwischen 3 Ebenen====
Drei Ebenen können im $\mathbb{R^3}$

* alle ident sein
* 2 ident, 1 parallel sein
* alle parallel sein
* 3 Schnittgeraden haben
* 2 Schnittgeraden haben (2 Ebenen parallel)
* 1 Schnittgerade haben
* 1 Schnittpunkt haben

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:Ebenenident3.png|3 Ebenen sind ident
Datei:Ebenenidentparallel.png|2 Ebenen sind ident, 1 parallel
Datei:Ebenenparallel3.png|3 Ebenen sind parallel
Datei:Ebenenschnittgeraden33.png|3 Ebenen schneiden einander in 3 Geraden
Datei:Ebenenschnittgeraden32.png|3 Ebenen schneiden einander in 2 Geraden (2 Ebenen parallel)
Datei:Ebenenschnittgerade3.png|3 Ebenen schneiden einander in einer Gerade
Datei:Ebenenschnittgerade31.png|3 Ebenen schneiden einander in einer Gerade (2 Ebenen ident)
Datei:Ebenenschnittpunkt3.png|3 Ebenen schneiden einander in einem Punkt
</gallery>

====...zwischen Ebene und Gerade====
Eine Ebene und eine Gerade können im $\mathbb{R^3}$

* $g \subset \epsilon$, die Gerade liegt auf der Ebene

Hierbei haben die Gerade und die Ebene einen gemeinsamen Punkt und der Richtungsvektor der Gerade steht normal auf den Normalvektor der Ebene, daraus folgt, dass sie unendlich gemeinsame Punkte haben.

* parallel sein

Irgendein Punkt der Gerade liegt nicht auf der Ebene, der Richtungsvektor der Gerade steht normal auf den Normalvektor der Ebene, daraus folgt, dass sie keinen einzigen gemeinsamen Punkt haben.

* 1 Schnittpunkt haben

Der Richtungsvektor der Geraden steht nicht normal auf den Normalvektor der Ebene.

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:GeradeinEbene.png|Gerade liegt auf der Ebene
Datei:GeradepararallelEbene.png|Gerade und Ebene sind parallel zueinander
Datei:GeradeSchnittpunktEbene.png|Gerade und Ebene schneiden einander (Schnittpunkt)
</gallery>

Zur Überprüfung der Lagebeziehung gibt es allerdings noch eine andere (schnellere) Methode. Hier "schneiden" wir die Gerade und die Ebene mathematisch, d.h. wir setzen sie gleich (wenn beide in Parameterform gegeben sind) oder setzen die Gerade $g$ (Parameterform) in die Ebene $\epsilon$ (allg. Ebenengleichung) ein. 
Wir erhalten dadurch ein Gleichungssystem oder eine einzelne Gleichung.

Sei die Gerade gegeben als $g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \\ z = z_P + t \cdot z_a \end{cases}$ und die Ebene als $\epsilon : \begin{cases} x = x_Q + s \cdot x_b + u \cdot x_c \\ y = y_Q + s \cdot y_b + u \cdot y_c \\ z = z_Q + s \cdot z_b + u \cdot z_c \end{cases}$ (Parameterform) oder $\epsilon : ax + by + cz = d$ (allg. Ebenengleichung).

Wir erhalten als Gleichungssystem durch Gleichsetzen der Gleichungen der Parameterformen:
$$\begin{cases} x_P + t \cdot x_a = x_Q + s \cdot x_b + u \cdot x_c \\ y_P + t \cdot y_a = y_Q + s \cdot y_b + u \cdot y_c \\ z_P + t \cdot z_a = z_Q + s \cdot z_b + u \cdot z_c \end{cases}$$ 
Wir erhalten durch Einsetzen der Gerade in die Ebene (allg. Ebenengleichung):
$$a \cdot (x_P + t \cdot x_a) + b \cdot (y_P + t \cdot y_a) + c \cdot (z_P + t \cdot z_a) = d$$

Ergibt sich hier eine wahre Aussage (z.B. $1=1$), also unendlich viele Lösungen, so liegt die Gerade in der Ebene. 
Ergibt sich eine falsche Aussage (z.B. $1=2$), also keine Lösung, so schneiden die beiden Objekte einander nicht, also sie sind parallel. 
Gibt es genau eine Lösung (z.B. $t=2$), so existiert genau ein gemeinsamer Punkt = Schnittpunkt. Diesen erhält man, indem man den ermittelten Wert für den Parameter $t$ der Geraden in die Geradengleichung einsetzt (oder, wenn die Ebene in Parameterform gegeben war, die beiden Werte für die Parameter $s$ und $u$ der Ebene in die Ebenengleichung einsetzt). Dazu 2 Beispiele, wobei wir im ersten mit der Ebene in Parameterform rechnen werden:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right)$ und die Ebene $\epsilon : X = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -1 \\ -3 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) + u \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 0 \end{array} \right)$. Stellen wir nun also unser Gleichungssystem auf:

|2=\begin{align}

I: \ & \ 1&-t&=&4& &+2u \\
II: \ &-3& &=&-1&+s&-u \\
III: \ & \ 2&+2t&=&-3&+s&
\end{align}

In der ersten Gleichung drücken wir $u$ in $t$ aus: $u = - \frac{3}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$ 
In der zweiten Gleichung drücken wir $s$ in $u$ aus: $s = -2 + u$ 
Das $u$ von oben setzen wir nun hier ein und erhalten $s$ in Abhängigkeit von $t$: $s = - \frac{7}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$.

Dieses $s$ setzen wir nun in die dritte Gleichung ein und wir erhalten: $2 + 2t = -3 - \frac{7}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$ und in weiterer Folge $t = - \frac{17}{5}$. 
Es ergibt sich also genau eine Lösung für das Gleichungssystem, was bedeutet, dass die Gerade und die Ebene einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen. Diesen erhalten wir, indem wir den errechneten Wert für $t$ in die Geradengleichung einsetzen (Man könnte natürlich auch noch die Werte für $s$ und $u$ berechnen, und diese in die Ebenengleichung einsetzen; zur Übung kannst du das gerne tun):
$$g: S = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) - \frac{17}{5} \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \frac{23}{5} \\ -3 \\ - \frac{24}{5} \end{array} \right)$$
}}

Betrachten wir nun dasselbe Beispiel, mit dem Unterschied, dass die Ebene in Normalform gegeben ist und wir auch gleich mit dieser Form rechnen:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right)$ und die Ebene $\epsilon : x + 2y - 2z = 8$. Wir setzen die Koordinatengleichungen der Gerade in die Normalform der Ebene:

|2= $g$ in $\epsilon$: $$1 - t - 6 - 4 -4t =8$$

Wenn wir diese Gleichung lösen, erhalten wir, wie im ersten Bespiel, $t = - \frac{17}{5}$. Dies noch in die Geradengleichung einsetzen, und wir erhalten den Schnittpunkt.}}

Da man bei der zweiten Methode meistens weniger Rechenaufwand hat, zahlt es sich oft aus die Parameterdarstellung der Ebene in die Normalform (= allg. Ebenengleichung) umzurechnen.

==Pyramidenbeispiel==
[[Datei:Pyramidebsp.png|thumb|right|350px|Pyramide]]Gegeben seien 3 Eckpunkte $A(-2/-2/1), B(2/-2/1), C(2/2/1)$ der quadratischen Grundfläche und der Spitzpunkt $S(0/0/6)$ einer geraden (gerade bedeutet, dass die Spitze in einem rechten Winkel über dem Mittelpunkt der Grundfläche der Pyramide liegt) Pyramide.
Gesucht sind:

# der vierte Eckpunkt $D$ der Grundfläche
# die Parameterdarstellung der Trägergeraden $h$ der Höhe
# die Fläche der Grundfläche
# die Geradengleichung der Geraden $g_{AS}$ auf der $A$ und $S$ liegen in a)Parameterform und b)parameterfreier Form
# Der Winkel $\alpha$ zwischen den Vektoren $\vec{AS}$ und $\vec{AC}$
# Zeige, dass der Schnittpunkt der Geraden $g_{AS}$ und $h$ gleich die Spitze $S$ ist
# Gib die Ebenengleichung $\epsilon$ der Grundfläche in a)Parameterform, b)Normalform und c)allgemeiner Ebenengleichung an
# Berechne den Fußpunkt $M$ der Höhe, indem du $h$ und $\epsilon$ schneidest

1. $D = A + \vec{BC} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -2 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right)$ 
2. $h: X = S + t \cdot \vec{h}$
$$\vec{AB} \times \vec{BC} = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 16 \end{array} \right) \ \parallel \ \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) = \vec{h}$$
$$h: X = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$$ 
3. $G = \parallel \vec{AB} \times \vec{BC} \parallel = \parallel \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 16 \end{array} \right) \parallel = 16FE$ 
4. a) $g_{AS}: X = A + u \cdot \vec{AS}$
$$\vec{AS} = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g_{AS}: X = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + u \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right)$$ oder $$g_{AS}:\begin{cases} x = -2 + 2u \\ y = -2 + 2u \\ z = 1 + 5u \end{cases}$$
b) Parameter elimieren:
$$x - y: x-y = 0$$
$$5x - 2z: 5x - 2z = -12$$
$$\Rightarrow g_{AS}:\begin{cases} x - y = 0 \\ 5x - 2z = -12 \end{cases}$$ 
5. $\measuredangle \vec{AS},\vec{AC} = \alpha = arccos{\frac{\vec{AS} \cdot \vec{AC}}{\parallel \vec{AS} \parallel \cdot \parallel \vec{AC} \parallel}} = arccos{\frac{\left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right)}{\parallel \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) \parallel \cdot \parallel \left( \begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) \parallel}} = arccos{\frac{16}{\sqrt{33 \cdot 32}}} = 60,5°$ 
6. $g_{AS}$ und $h$ gleichsetzen:
$$\begin{align}
I: \ &-2&+&2u&=&0&& \\
II: \ &-2&+&2u&=&0&& \\
III: \ & \ \ 1&+&5u&=&6&+&t
\end{align}
\ \ \ \rightarrow u=1$$
$$g_{AS}: S = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + 1 \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array} \right)$$ 
7. a) $\epsilon: X = A + v \cdot \vec{AB} + w \cdot \vec{BC} \ \rightarrow \ \epsilon: X = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + v \cdot \left( \begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) + w \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right)$ 
b) $\epsilon: \vec{n} \cdot \vec{X} = \vec{n} \cdot \vec{A} \ \rightarrow \ \epsilon: \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right)$ 
c) $\epsilon: z = 1$ 
8. $h:\begin{cases} x=0 \\ y=0 \\ z=6+t \end{cases} \ \ \epsilon: z=1 \ \ \rightarrow \ 1 = 6 + t \ \Rightarrow \ t=-5$ 
$h: M = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array} \right) -5 \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$

=Beispiele=
Hier findest du Beispiele zu den behandelten Themen:

===Grundlagen der Vektorrechnung===
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/9/99/VektorrechnungGLBspAngabe.pdf VektorrechnungGLBspAngabe.pdf] 
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/0/00/VektorrechnungGLBspL%C3%B6sung.pdf VektorrechnungGLBspLösung.pdf]

===Vektorrechnung im $\mathbb{R^2}$===
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/7/7f/VektorrechnungR2BspAngabe.pdf VektorrechnungR2BspAngabe.pdf] 
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/f/ff/VektorrechnungR2BspL%C3%B6sung.pdf VektorrechnungR2BspLösung.pdf]

Vektorrechnung

2016-06-11T09:52:06Z

Lajtos: /* ...zwischen Ebene und Gerade */

=Grundlagen=
==Koordinatensystem==
[[Datei:Quadranten.png|thumb|Coordinate System|thumb|right|350px|Koordinatengitter im $\mathbb{R^2}$ mit den 4 Quadranten]]

Für die Vektorrechnung sind Koordinatensysteme essentiell.
Im zweidimensionalen Raum besitzt ein Koordinatensystem 2 Achsen:

* die x-Achse (waagrecht) und
* die y-Achse (senkrecht)

 
Diese sind unendlich lang und Spannen die vier sogenannten Quadranten auf, die meist mit den römischen Ziffern I-IV beschriftet werden (gesprochen: Erster Quadrant, Zweiter Quadrant etc.). Die rechte Graphik zeigt die die Position der Quadranten. Dort, wo die 2 Achsen einander treffen, liegt der sog. Ursprung (kurz: $\vec{0}$); seine Koordinaten sind (0/0).

Was es außerdem noch zu beachten gibt, hast du vielleicht bereits selbst erkannt:
An den gegenüberliegenden Seiten der x- und y-Achsen werden unterschiedliche Vorzeichen verwendet. So spricht man "links" des Ursprungs von der negativen, bzw. "rechts" des Ursprungs von der positiven x-Achse. Analog spricht man "oben" und "unten" von der positiven und negativen y-Achse.

Im dreidimensionalen Raum kommt eine dritte Achse - die z-Achse - dazu. Punkte und Vektoren besitzen dementsprechend dann auch 3 Koordinaten. Dies kann man bis ins n-dimensionale weiterführen.

==Punkte==
In ein Koordinatensystem lassen sich Punkte eintragen. Diese besitzen, entsprechend ihrer Lage, Koordinaten. Im obigen Bild z.B. haben wir die Punkte A und B, wobei sich A im ersten Quadranten befindet und B im vierten Quadranten. Man schreibt: A(2/3,5) B(1/-2).

[[Datei:Punkte Abstand.png|thumb|right|350px|Punkte im $\mathbb{R^2}$]]

{{Vorlage:Merke |''Einen'' '''allgemeinen Punkt''' ''schreibt man an als'' $P(x_1/x_2/.../x_n)$ (im n-dimensionalen Raum $\mathbb{R^n}$) ''bzw.'' $P(x/y)$ (im 2-dimensionalen Raum $ \mathbb{R^2}$) ''oder'' $P(x/y/z)$ (im 3-dimensionalen Raum $\mathbb{R^3}$).
 
Die erste Koordinate entspricht der x-Koordinate, die zweite der y-Koordinate, die eventuelle dritte der z-Koordinate.

Punkte werden in der Regel mit Großbuchstaben bezeichnet.}}

Koordinaten von Punkten lassen sich also ganz einfach ablesen. Die x/y-Koordinate entspricht dabei dem Abstand vom Ursprung zum Punkt in Richtung der jeweiligen Koordinatenachse. So erkennen wir im Bild rechts die folgenden Punkte:

* A(2/0)
* B(0/-2)
* C(-1/2)

=Vektoren=

==Definition & Darstellung von Vektoren==
{{Vorlage:Definition |1= Ein Zahlenpaar $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \in \mathbb{R^2}$ wird als '''Vektor aus $\mathbb{R^2}$ ''' bezeichnet.
Analog bezeichnet man ein Zahlentripel $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) \in \mathbb{R^3}$ als '''Vektor aus $\mathbb{R^3}$ '''. 
Ein '''allgemeiner Vektor''' wird $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) \ \in \mathbb{R^n}$ geschrieben.

}}

Da sowohl die Rechenoperationen als auch die geometrischen Darstellungen leicht vom $\mathbb{R^2}$ in den $\mathbb{R^3}$ übertragen werden können, werden wir meistens nur die Vorgangsweise für Zahlenpaare aus dem $\mathbb{R^2}$ beschreiben.

===Geometrische Darstellung von Vektoren===

Es gibt zwei Möglichkeiten, wie wir einen Vektor $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right) \ \in \mathbb{R^2}$ geometrisch darstellen können:
* '''Darstellung als Punkt''': Dabei gibt $a$ die x-Koordinate und $b$ die y-Koordinate des Punktes an. Die Beschriftung erfolgt mit Großbuchstaben.
* '''Darstellung als Pfeil''': Dabei gibt $a$ die x-Richtung des Pfeils (wie weit zeigt der Pfeil nach links bzw. rechts) und $b$ die y-Richtung des Pfeils (wie weit zeigt der Pfeil nach oben bzw. nach unten) an. Pfeile werden mit Kleinbuchstaben (oft mit Pfeil $\vec{v}$) beschriftet.

Die Darstellung als Punkt ist eindeutig! Einem Zahlenpaar (=Vektor) entspricht genau ein Punkt!
Die Darstellung als Pfeil ist nicht eindeutig! Es gibt unendlich viele Pfeile, die denselben Vektor darstellen. Diese Pfeile sind aber alle parallel, gleich lang und gleich gerichtet.

'''Beispiel:''' Darstellung des Vektors $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$
{| class="wikitable"
|-
| '''Punktdarstellung des Vektors'''|| '''Mögliche Pfeildarstellungen des Vektors'''
|-
| [[Datei:Punkt.png|thumb|300px]]|| [[Datei:Pfeile.png|thumb|300px]]
|}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 3 \\ -4 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 5 \end{array} \right)$. Stelle $\vec{a}$ und $\vec{b}$ als Punkte und als Pfeile dar.
|2=[[Datei:Punkt Pfeil Bsp.png|300px]] 
'''Anmerkungen:'''
* Für die Pfeildarstellungen gibt es mehrere (unendlich viele) Möglichkeiten. Der von dir gezeichnete Pfeil muss jedenfalls parallel, gleich gerichtet und gleich lang wie der abgebildete Pfeil sein!
* Aus "Bequemlichkeitsgründen" zeichnet man die Pfeile oft beginnend beim Ursprung ein:
[[Datei:Punkt Pfeil Bsp2.png|300px]]
 
}}

Vektoren des $\mathbb{R^3}$ können auch auf diese zwei Arten dargestellt werden. Der einzige Unterschied dabei ist, dass die Punkte bzw. Pfeile im dreidimensionalen Raum liegen. Es gibt also noch eine dritte Richtung, die durch die z-Koordinate des Vektors angegeben wird.

===Ortsvektoren===
[[Datei:Ortsvektor.png|thumb|right|250px|Punkt und zugehöriger Ortsvektor]]Der Ortsvektor von einem Punkt ist der Vektor, der vom Ursprung aus auf den Punkt zeigt. Die Koordinaten bleiben deshalb gleich, es ändert sich quasi nur die Schreibweise:

Sei $A(x_1/x_2/.../x_n)$ ein Punkt in der Dimension $n$, dann ist $\vec{0A} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ dessen Ortsvektor.
 
 
 
 
 

==Rechnen mit Vektoren==

===Addition und Subtraktion von Vektoren===
{{Vorlage:Merke|1=Wenn du Vektoren addieren oder subtrahieren möchtest, musst du dazu die entsprechenden Koordinaten addieren: 
$\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) \pm \left( \begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ ... \\ y_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x_1 \pm y_1 \\ x_2 \pm y_2 \\ ... \\ x_n \pm y_n \end{array} \right)$ 
Wichtig ist dabei, dass die Vektoren, die du addieren oder subtrahieren möchtest, derselben Dimension $n$ angehören! D.h. sie haben gleich viele Koordinaten.}}
{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben seien die beiden Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right)$. Berechne erst $\vec{a} + \vec{b}$, dann $\vec{a} - \vec{b}$ und zuletzt $\vec{b} - \vec{a}$!
|2= $\vec{a} + \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 5+1 \\ 2+(-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 6 \\ -1 \end{array} \right)$
$\vec{a} - \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 5-1 \\ 2-(-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 5 \end{array} \right)$ 
$\vec{b} - \vec{a} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 1-5 \\ -3-2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -4 \\ -5 \end{array} \right)$}}

===Vektoren bestimmen: "Spitze minus Schaft" ("Ziel minus Start")===
[[Datei:Spitzeschaft.png|thumb|right|300px|"Spitze minus Schaft"]]Zwischen 2 Punkten kann man nun einen Vektor definieren. Dabei gilt: Die '''"Spitze minus Schaft"'''-Regel Im Bild rechts wollen wir den Vektor berechnen, der von A nach B geht, also den Vektor $\vec{AB}$. Der Punkt B(3/3,5) entspricht hierbei der Spitze, und der Punkt A(1/0,5) dem Schaft. Da das Rechnen mit Punkten allerdings keinen Sinn ergibt, rechnet man stattdessen mit deren Ortsvektoren (siehe oben).

Für unser Beispiel bedeutet das: $\vec{0B} - \vec{0A} = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 3,5 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0,5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 3-1 \\ 3,5-0,5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right) = \vec{AB}$

'''Beachte außerdem:'''

* Man schreibt der Einfachheit halber oft nur $B-A$, obwohl eigentlich $\vec{0B} - \vec{0A}$ gemeint ist.
* Der Vektor $\vec{AB}$ zeigt in die entgegengesetzte Richtung von $\vec{BA}$. Das bedeutet, dass diese beiden Vektoren entgegengesetzte Vorzeichen haben: $\vec{AB} = - \vec{BA}$

 

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die Punkte A=(1/2); B=(-3/1); C=(-4,-1). Bilde die folgenden Verbindungsvektoren: 
 
# $\vec{AB}$
# $\vec{BA}$
# $\vec{AC}$
# $\vec{BC}$

|2=
$\ $
# $\vec{AB}=B-A=\left( \begin{array}{c} -3 \\ 1\end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} -4 \\ -1\end{array} \right)$
# $\vec{BA}=-\vec{AB}=\left( \begin{array}{c} 4 \\ 1 \end{array} \right)$
# $\vec{AC}=\left( \begin{array}{c} -4 \\ -1\end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} -5 \\ -3\end{array} \right)$
# $\vec{BC}=\left( \begin{array}{c} -4 \\ -1\end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} -3 \\ 1 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} -1 \\ -2\end{array} \right)$
 
'''Tipps:'''
* Pass gut auf die Vorzeichen auf! Beim Subtrahieren von Vektoren passieren leider häufig Vorzeichenfehler! Sei deshalb besonders achtsam!
* Zeichne die Punkte in ein Koordinatensystem und zeichne die Verbindungsvektoren ein. Bei einfachen Koordinaten kannst du den Verbindungsvektor ohne Rechnung ablesen (Probiere es aus!).

 
}}

===Produkt eines Vektors mit einem Skalar===
Wenn man einen Vektor $\vec{v}$ mit einer [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)|reellen Zahl]] $k$ , einem sogenannten "Skalar", multipliziert, werden dabei die einzelnen Koordinaten mit dem Skalar multipliziert:

$k \cdot \vec{v} = k \cdot \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} k \cdot x_1 \\ k \cdot x_2 \\ ... \\ k \cdot x_n \end{array} \right)$

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sei der Vektor $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right)$. Multipliziere diesen einmal mit $2$ und einmal mit $-5$!
|2= $2 \cdot \vec{a} = 2 \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \cdot 2 \\ 2 \cdot (-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -6 \end{array} \right)$
$(-5) \cdot \vec{a} = (-5) \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-5) \cdot 2 \\ (-5) \cdot (-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -10 \\ 15 \end{array} \right)$}}

==Geometrische Darstellung der Rechenoperationen==
===Geometrische Darstellung der Vektoraddition===
Die Addition zweier Vektoren kann auf zwei verschiedene Arten geometrisch gedeutet werden. Wir illustrieren die beiden Möglichkeiten anhand des Beispiels $\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2\end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$

{| class="wikitable"
|-
| '''Punkt + Pfeil - Darstellung:'''|| '''Pfeil + Pfeil - Darstellung'''
|-
| ''An einen Punkt wird ein Pfeil angehängt.'' In unserem Beispiel wird an den Punkt (1/2) ein Pfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$ angehängt. Das Ergebnis der Addition ist der Punkt am Ende des Pfeils (5/5). || ''Zwei Pfeile werden aneinandergehängt. In unserem Beispiel wird also ein Pfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$ und ein Pfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)$ aneinandergehängt. Das Ergebnis der Addition ist der entstehende Verbindungspfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 5 \\ 5 \end{array} \right)$
|-
| [[Datei:Vektoraddition1.png|left|400px]]|| [[Datei:Vektoraddition2.png|left|500px]]
|-
| '''Anmerkung:''' Diese Darstellung ist hilfreich, wenn wir von einem Punkt ausgehen und zu einem neuen Punkt gelangen wollen.|| Es spielt keine Rolle, in welcher Reihenfolge die Vektoren angehängt werden. Die Addition ist kommutativ!
|}

===Geometrische Darstellung der Multiplikation mit einem Skalar===

Eine Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl $a$ (Skalar) entspricht einer Streckung (für $|a|>1$) bzw. einer Stauchung (für $|a|<1$) des zugehörigen Pfeiles.
Ist das Vorzeichen des Skalars negativ, so dreht sich die Richtung des Pfeils in die entgegengesetzte Richtung.

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sei wiederum der Vektor $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right)$. Stelle die Multiplikation mit $2$, mit $-5$ und mit $0.5$ graphisch dar!
|2= Rechnerische Lösung und graphische Interpretation:
* $2 \cdot \vec{a} = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -6 \end{array} \right)$. Der Vektor $2\cdot \vec{a}$ hat die doppelte Länge und dieselbe Richtung wie $\vec{a}$
* $(-5) \cdot \vec{a} = \left( \begin{array}{c} -10 \\ 15 \end{array} \right)$. Der Vektor $(-5)\cdot \vec{a}$ ist fünfmal so lang wie $\vec{a}$ und zeigt in die entgegengesetzte Richtung wie $\vec{a}$
* $(0.5) \cdot \vec{a} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1.5 \end{array} \right)$ Der Vektor $0.5\cdot \vec{a}$ ist halb so lang wie $\vec{a}$ und zeigt in dieselbe Richtung wie $\vec{a}$
}}

{{#widget:Iframe
|url= http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_vektorrechnung/MV_Vektor1/MV_Vektor1/sites/Vektortest.html
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|height= 600
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}}
[http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_vektorrechnung/MV_Vektor1/MV_Vektor1/ (Quelle dieses Applets)]

Hilfe zum Applet: Gib in die Eingabezeile den Buchstaben des Vektors bzw. die entsprechende Summe / Differenz an. (z.B. $u=a$)

===Wie Vektoren zueinander stehen===
Vektoren können unterschiedliche Richtungen haben, aber auch parallel zueinander oder gar identisch sein. Optisch lässt sich das oft sehr leicht erkennen. Die Lage von Vektoren zueinander kann aber auch rechnerisch überprüft werden.

{{Vorlage:Definition |Unter einem Vektor versteht man die Menge aller gleichlangen, gleichgerichteten und gleichorientierten Pfeile.

Der Start/Endpunkt spielen dabei keine Rolle!}}

{{Vorlage:Merke|2 Vektoren stehen parallel zueinander, wenn ein Vektor als Vielfaches des anderen Vektors angeschrieben werden kann. 
Man sagt auch: Die Vektoren sind [[linear abhängig]].}}

Sehen wir uns die verschiedenen Fälle an:

{| class="wikitable"
|-
|ident: gleiche Richtung, gleiche Orientierung, gleiche Länge
||[[Datei:Vektorv1.png|none|250px]]
||$\vec{v} = \vec{u} \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$
||z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$
|-
||parallel (gleiche Orientierung): gleiche Richtung, gleiche Orientierung, unterschiedliche Länge
| [[Datei:Vektorenlänge.png|none|250px]]
||$\exists k>0 : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$
||z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} \frac{4}{3} \\ 2 \end{array} \right)$, $k = \frac{2}{3} $
|-
||parallel (unterschiedliche Orientierung): 
| [[Datei:Vektororientierung1.png|none|250px]]
||$\exists k<0 : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$
||z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} -2 \\ -3 \end{array} \right)$, $k=-1$

|-
||linear unabhängig
| [[Datei:Vektorrichtung1.png|none|250px]]
||$\nexists k : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \nparallel \vec{u}$
||z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 3 \end{array} \right)$
|}

{{Vorlage:Beispiel|1=Überprüfe ob die Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 5 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$ linear unabhängig voneinander sind.

|2=Wenn es ein k gibt, sodass $k \cdot \vec{a} = \vec{b}$, dann sind die beiden Vektoren voneinander linear abhängig, und somit auch parallel zueinander.

Es gibt mehrere Lösungsmöglichkeiten:
*Möglichkeit 1: Lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen
$I: 2k = 4 \ \ \rightarrow k=2$
$II: 5k = 3 \ \ \rightarrow k=\frac{3}{5}$

Aus der ersten Gleichung ergibt sich $k=2$, in der zweiten aber $k=\frac{3}{5}$. $k$ kann aber nicht beides sein, somit haben wir eine falsche Aussage erhalten. Daraus folgt, dass die beiden Vektoren '''linear unabhängig''' und somit nicht parallel zueinander sind.

* Möglichkeit 2: "Vergleichen und Probieren"
Vergleicht man die x-Koordinaten der beiden Vektoren, so sieht man, dass $4$ doppelt so groß wie $2$ ist. Daraus ergibt sich, dass ein etwaiges $k=2$ sein müsste.
Probiert man, auch die zweite Zeile mit $2$ zu multiplizieren, so erhält man $10$. Die y-Koordinate von $\vec{b}$ müsste also $10$ sein, damit die beiden Vektoren parallel zueinander sind.
}}

 

===Betrag und Einheitsvektor===
[[Datei:PythagorasVektor.png|thumb|right|350px|Betrag eines Vektors; Einheitsvektor]]Wie anfangs bereits erwähnt, besitzen Vektoren eine Länge, auch '''Betrag''' eines Vektors genannt. Dieser wird mit Hilfe des pythagoräischen Lehrsatzes wie folgt berechnet:

<div align="center">$\parallel \vec{v} \parallel = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2} \ $ wenn $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ ein Vektor der Dimension $n$ ist.</div>
Sehen wir uns die Grafik rechts an, können wir mit dieser Formel die Länge des zweidimensionalen Vektors $\parallel \vec{v} \parallel$ berechnen:

<div align="center">$\parallel \vec{v} \parallel = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$</div>
 Der '''Einheitsvektor''' $\vec{a_0}$ eines Vektors $\vec{a}$ ist ein zu $\vec{a}$ paralleler Vektor mit Länge 1. Rechnerisch erhält man $\vec{a_0}$, indem man $\vec{a}$ durch seine Länge dividiert. $ \vec{a_0}

=\frac{\vec{a}}{\parallel \vec{a}\parallel}$
bzw.
$ \vec{a_0}=\frac{1}{\parallel\vec{a}\parallel}\cdot \vec{a}$

Daraus ergibt sich ein Vektor, der dieselbe Richtung des ursprünglichen Vektors hat, allerdings die Länge 1 besitzt.

{{Vorlage:Merke|1=
Sei $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ ein Vektor der Dimension $n$ und $\parallel \vec{v} \parallel$ sein Betrag, dann ist $\vec{v_0} = \frac{1}{\parallel \vec{v} \parallel} \cdot \vec{v} \ $ der Einheitsvektor zu $\vec{v}$.}}

In unserem Beispiel würde das folgendes bedeuten:

{{Vorlage:Beispiel|1= Bestimme den Einheitsvektor von $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$

|2=<div align="center">$\vec{v_0} = \frac{1}{\sqrt{13} } \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \frac{2}{\sqrt{13} } \\ \frac{3}{\sqrt{13} } \end{array} \right)$</div>
}}

===Vektoren bestimmter Länge===
Da wir nun gelernt haben, Einheitsvektoren zu bilden und Vektoren mit Zahlen zu multiplizieren (und ich das hier so schön betone), könnt ihr euch vielleicht schon vorstellen, wie man aus einem beliebigen Vektor einen Vektor derselben Richtung, allerdings unterschiedlicher Länge bekommt. Wir haben also einen Vektor $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ mit der Länge $\parallel \vec{v} \parallel = k$ gegeben, und hätten gerne den Vektor $\vec{w} \ \parallel \ \vec{v}$ mit der Länge $l$. Dazu berechnen wir zuerst den Einheitsvektor $\vec{v_0}$ von $\vec{v}$ und multiplizieren diesen dann mit $l$. So erhalten wir schließlich $\vec{w} = l \cdot \vec{v_0}$.

==Mittelpunkt einer Strecke==
[[Datei:Mittelpunkt.png|thumb|right|300px|Mittelpunkt M der Strecke AB]]Willst du den Mittelpunkt zwischen 2 Punkten $A$ und $B$ berechnen, musst du wie folgt vorgehen:
Zuerst berechnest du einen Vektor zwischen den Punkten ($\vec{AB}$ oder $\vec{BA}$). Dann halbierst du diesen Vektor, und erhältst $\vec{AM}$ bzw. $\vec{BM}$. Addierst du dann diesen Vektor zum entsprechenden Punkt ($A$ bzw. $B$), erhältst so den Mittelpunkt. Also:

<div align="center">$\vec{0M} = \vec{0A} + \frac{\vec{AB}}{2} = \vec{0B} + \frac{\vec{BA}}{2}$</div>

Kurzschreibweise:
<div align="center">$M = \vec{A} + \frac{\vec{AB}}{2}$ </div>

=Im $\mathbb{R^2}$=
Dieser Artikel befasst sich mit der Vektorrechnung im zweidimensionalen Raum. Grundlegende Informationen zur Vektorrechnung, so wie Punkte und Vektoren, findest du unter dem Tab ''Grundlagen der Vektorrechnung''.

==Vektoren==
===Normalvektoren===
[[Datei:Normalvektoren.png|thumb|right|350px|Normalvektoren]]Normalvektoren zu einem Vektor sind alle Vektoren, die normal (im rechten Winkel) auf den Vektor stehen. Im $\mathbb{R^2}$ gibt es zu jedem Vektor genau 2 Normalvektoren, die dieselbe Länge wie der ursprüngliche Vektor haben. Alle anderen Normalvektoren sind Vielfache eines dieser 2 Normalvektoren.

{{Vorlage:Merke | 1=Sei $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ ein Vektor, dann ist $\vec{n_1}=\left( \begin{array}{c} -y \\ x \end{array} \right)$ sein nach links gekippter, und $\vec{n_2}=\left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right)$ sein nach rechts gekippter Normalvektor.
''Vertausche die Koordinaten und ändere '''ein''' Vorzeichen''
}}

===Skalarprodukt===
Unter dem Skalarprodukt versteht man die Multiplikation zweier Vektoren, bei der als Ergebnis ein Skalar (eine Zahl) entsteht.

{{Vorlage:Merke|1=Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren, dann ist $\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \end{array} \right) = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b$ gleich ihr Skalarprodukt.
}}

Das Skalarprodukt wirkt auf den ersten Blick etwas "eigenartig". Man kann sich die Bedeutung des Skalarproduktes besonders gut an einem Anwendungsbeispiel erklären:
Angenommen in einer Preisliste stehen 10 Kugelschreiber, die jeweils 2€ kosten und 20 Bleistifte, die jeweils 0,50€ kosten.
In Tabellenform sieht das folgendermaßen aus:

{| class="wikitable"
|-
! Produkt !! Stückzahl !! Preis pro Stück (in €)
|-
| Kugelschreiber || 10 || 2
|-
| Bleistift || 20 || 0,50
|}

Aus dieser Tabelle kann ein Stückzahlvektor $\left( \begin{array}{c} 10 \\ 20 \end{array} \right)$ und ein Preisvektor $\left( \begin{array}{c} 2 \\ 0,50 \end{array} \right)$ abgelesen werden.

Möchte man den Gesamtwert der Produkte berechnen, so müssen jeweils die Einzelpreise mit der Stückzahl multipliziert werden und anschließend die Summe gebildet werden.
Genau das macht das Skalarprodukt!
$\left( \begin{array}{c} 10 \\ 20\end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0.50 \end{array} \right) = 10 \cdot 2 + 20 \cdot 0.50 = 20 + 10 = 30€ $

===Winkel zwischen zwei Vektoren===
[[Datei:Winkel.png|thumb|right|350px|Winkel zwischen 2 Vektoren]]<big>$$cos{\varphi} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel} = \vec{a_0} \cdot \vec{b_0}$$
bzw.
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = \parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel \cdot cos{\varphi}$$</big>

Heißt es, den Winkel zwischen 2 Vektoren/Geraden zu bestimmen, ist damit immer der kleinere Winkel gemeint. Solltest du einmal ein Ergebnis erhalten, das größer als 180° ist (nennen wir dieses Ergebnis $\varphi'$), dann ziehe dieses Ergebnis von 360° ab und du erhältst den kleineren Winkel ($\varphi = 360° - \varphi'$). 
Bei einem Winkel von $\varphi = 90°$ erhalten wir $cos{\varphi} = 0$, was bedeutet, dass auch $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$. Daraus ergibt sich das Orthogonalitätskriterium.

====Orthogonalitätskriterium====
{{Vorlage:Merke|1=Ergibt das Skalarprodukt zweier Vektoren $0$, so stehen diese zwei Vektoren normal zueinander (und umgekehrt!)$$\vec{a} \cdot \vec{b} \ = \ 0 \ \Leftrightarrow \ \vec{a} \bot \vec{b}$$}}

Mithilfe des Orthogonalitätskriteriums kann man auch zeigen, dass $\vec{n}=\left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right)$ stets ein Normalvektor von $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ ist.
$$\vec{v} \cdot \vec{n} = \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right) = xy - yx = 0$$

==Geraden==
===Darstellungsformen===
Geraden lassen sich in unterschiedlichen Formen darstellen. In der Vektorrechnung ist die Parameterdarstellung populär, da man dazu nur einen Punkt und Vektor kennen muss. Die Normalform allerdings hat den Vorteil, dass man den Normalvektor zur Geraden auf einen Blick ablesen kann. Je nachdem, was man mit der Gerade vorhat, können die verschiedenen Formen ineinander umgewandelt werden.

====Parameterdarstellung====
[[Datei:Parameterdarstellung.png|thumb|right|350px|Parameterdarstellung einer Geraden]]$$g: \vec{0X} = \vec{0P} + t \cdot \vec{a}$$ 
wobei

* $X \in g$ ist ein '''beliebiger''' Punkt auf der unendlichen Geraden (steht für alle Punkte auf der Geraden)
* $P \in g$ ist ein '''bekannter''' Punkt auf der Geraden
* $t \in \mathbb{R}$ ist ein freier Parameter (in der Graphik rechts $\lambda$)
* $\vec{a} \in \mathbb{R^2}$ ist ein Vektor parallel zur Geraden, der die Richtung dieser angibt ("Richtungsvektor")

 
Beachte, dass in der Parameterdarstellung keine Punkte, sondern Ortsvektoren verwendet werden! (Info zu Ortsvektoren findest du unter ''Grundlagen der Vektorrechnung''.) Wenn man das weiß, kann man der Einfachheit halber die Gerade auch folgendermaßen beschreiben: $g: X = P + t \cdot \vec{a}$

 
Eine andere Schreibweise ist, die Koordinaten einzeln zu betrachten und 2 Gleichungen aufzustellen:
$$g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \end{cases}$$

====Normalvektorform====
Hierzu benötigt man einen Normalvektor des Richtungsvektors und multipliziert dann die Geradengleichung mit diesem Normalvektor. Da $\vec{a} \cdot \vec{n} = 0$, bleibt über:

Sei $g: \vec{0X} = \vec{0P} + t \cdot \vec{a}$ eine Gerade in Parameterform, so ist

<div align="center">$g: \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x_P \\ y_P \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right)$</div>

dieselbe Gerade in Normalform, wobei $\vec{0X}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right), \ \vec{0P}=\left( \begin{array}{c} x_P \\ y_P \end{array} \right), \ \vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right)$ und $\vec{n}=\left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right)$ ein Normalvektor von $\vec{a}$ (hier kann man natürlich auch den anderen Normalvektor verwenden).

====Allgemeine Geradengleichung====
Diese Form der Darstellung heißt auch Normalform, da man den Normalvektor der Gerade direkt ablesen kann.Um von der Parameterdarstellung auf diese Form zu kommen, gibt es 2 Möglichkeiten:

'''1. Multiplikation mit Normalvektor:'''
Hierzu muss man einfach die Normalform ausmultiplizieren und es ergibt sich:

$$g: y_a \cdot x + -x_a \cdot y = y_a \cdot x_P + -x_a \cdot y_P$$

'''2. Elimination des Parameters:'''
Hierbei gehen wir von der Geradenform $g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \end{cases}$ aus, eliminieren $t$, und kommen ebenfalls auf die obige allgemeine Geradengleichung.
Auf der rechten Seite der Gleichung stehen nur bekannte Größen, auf der linken Seiten stehen Vielfache von x und y. Diese Gleichung kann man weiter auch auf die Form y=kx+d umformen.

===Lagebeziehungen zwischen Geraden===
Mehrere Geraden können im $\mathbb{R^2}$

* ident sein, d.h. sie haben unendlich viele gemeinsame Punkte
* parallel sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt
* einander schneiden, d.h. sie haben genau ein gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt)

 Sind uns 2 Geraden in '''Parameterdarstellung''' gegeben, betrachten wir zuerst ihre Richtungsvektoren. 
Sind diese parallel zueinander, so sind auch die Geraden parallel zueinander. Nun bleibt noch die Frage offen, ob die Geraden ident sind. Dazu überprüfen wir einfach, ob der gegebene Punkt der einen Geraden auch auf der anderen Geraden liegt. Dazu Setzen wir den bekannten Punkt der einen Geraden für den unbekannten Punkt der anderen Geraden ein und erhalten 2 Gleichungen in einer Unbekannten (Parameter der zweiten Gerade). Erhalten wir nun für den Parameter zweimal dasselbe Ergebnis, so sind die 2 Geraden ident, erhalten wir unterschiedliche Ergebnisse, so sind sie nur parallel. 
Sind die Richtungsvektoren nicht parallel zueinander, so sind es auch die 2 Geraden nicht, und wir können uns sicher sein, dass diese einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen.
Doch wie erhalten wir den Schnittpunkt? Ganz einfach, indem wir die 2 Geraden schneiden. Dazu müssen wir sie gleichsetzen, und dann das dadurch erhaltene Gleichungssystem in 2 Unbekannten (die 2 Parameter) lösen. Wenn wir den Wert eines Parameters ausgerechnet haben, setzen wir ihn einfach in die entsprechende Geradengleichung ein und erhalten so den Schnittpunkt!

Sind die 2 Geraden in der '''allgemeinen Geradenform''' gegeben, so haben wir bereits 2 Gleichungen gegeben, die wir nach x und y auflösen. Dieses x und y sind die Koordinaten des Schnittpunktes.

Um das Schneiden von Geraden besser zu verstehen, schau dir das Lösen von [[ Gleichungssysteme (2.7.) |Gleichungssystemen]] genauer an, wirf einen Blick auf die Beispiele zum $\mathbb{R^2}$ unter dem Tab 'Beispiele', oder sieh dir dieses Video an:

<div align="center">{{#ev:youtube|ZrFE3LRisn0}}</div>

===Normalabstand Punkt - Gerade===
[[Datei:Normalabstand.gif|right]]Gegeben sei ein Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und eine Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$. Um den Normalabstand $d(Q,g)$ zwischen Q und g zu berechnen, gehe wie folgt vor:
{{Vorlage:Merke|1=1. Bestimme die Gerade $q: X = Q + s \cdot \vec{n}$, die durch $Q$ geht und den Normalvektor $\vec{n}$ von $\vec{a}$ als Richtungsvektor besitzt.
2. Schneide $g$ und $q$ und die erhältst ihren Schnittpunkt $S$. 
3. Berechne $\parallel \vec{QS} \parallel$.}}
In der Graphik rechts hätten wir z.B. die Angabe $g: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right) + \lambda \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array} \right)$ und $Q(3/4)$. Du kannst das zur Übung durchrechnen.

====Hesse'sche Abstandsformel====
Mithilfe dieser Formel kann man ebenfalls den Abstand $d(Q,g)$ zwischen Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$ bestimmen. <big>$d(Q,g) = | \vec{PQ} \cdot \vec{n_0} | $</big>, wobei $\vec{n_0}$ der normierte (Länge 1) Normalvektor des Richtungsvektors $\vec{a}$ der Geraden $g$ ist.

====Spiegelung eines Punktes an einer Geraden====
[[Datei:Spiegeln.png|thumb|right|250px|Gespiegelter Punkt Q']]Gegeben sei ein Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und eine Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$. Es gilt den Punkt $Q$ an der Gerade $g$ zu spiegeln, und so den Punkt $Q'$ zu erhalten. Dazu befolgst du die Vorgehensweise von "Normalabstand Punkt - Gerade" bis du den Vektor $\vec{QS}$ erhältst, und trägst diesen vom Punkt $S$ ab, also: 
$Q' = S + \vec{QS}$

=Im $\mathbb{R^3}$=
==Vektoren==
===Kreuzprodukt===
Im $\mathbb{R^3}$ gibt es neben dem Skalarprodukt, bei dem wir als Ergebnis ein Skalar erhalten, eine weitere Möglichkeit, zwei Vektoren miteinander zu multiplizieren: das sog. Kreuz- oder Vektorprodukt, bei dem wir als Ergebnis einen Vektor erhalten.{{Vorlage:Merke|1=Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren des $\mathbb{R^3}$, dann ist ihr Kreuzprodukt
$$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} y_a \cdot z_b - z_a \cdot y_b \\ z_a \cdot x_b - x_a \cdot z_b \\ x_a \cdot y_b - y_a \cdot x_b \end{array} \right)$$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ -3 \end{array} \right)$, gesucht ist ihr Kreuzprodukt.|

2=$$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \cdot (-3) - 3 \cdot 4 \\ 3 \cdot 5 - 1 \cdot (-3) \\ 1 \cdot 4 - 2 \cdot 5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-6) - 12 \\ 15 - (-3) \\ 4 - 10 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -18 \\ 18 \\ -6 \end{array} \right)$$}}

Wozu wir das Kreuzprodukt überhaupt benötigen, sehen wir an den nächsten 2 Punkten.

====Normalvektoren====
Im $\mathbb{R^3}$ gibt es zu einem Vektor unendlich viele Normalvektoren. Auf eine Ebene allerdings gibt es genau 2 Normalvektoren (wie im $\mathbb{R^2}$ auf eine Gerade). Eine Ebene wird von 2 Vektoren aufgespannt, deren Kreuzprodukt ergibt einen Normalvektor $\vec{n_1}$ auf die Ebene bzw. die zwei Vektoren; der zweite Normalvektor hat die entgegengesetzte Orientierung ($\vec{n_2} = -\vec{n_1}$). Also:$$\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$$

====Fläche eines von zwei Vektoren aufgespannten Parallelogramms oder Dreiecks====
[[Datei:FlächeNormalvektor.png|thumb|right|none|250px|2 Vektoren spannen ein Dreieck bzw. Parallelogramm auf]] 
{{Vorlage:Merke|1=Die Länge $\parallel \vec{n} \parallel = \parallel \vec{a} \times \vec{b} \parallel$ des Normalvektors $\vec{n}$ zu den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ entspricht der Maßzahl des Flächeninhaltes des Parallelogramms, das $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aufspannen (im Bild die gesamte grüne Fläche).
Die Hälfte dieser Fläche entspricht der Fläche des aufgespannten Dreiecks.}}

===Skalarprodukt, Orthogonalitätskriterium, Winkel zwischen zwei Vektoren===
Diese drei Dinge "funktionieren" im $\mathbb{R^3}$ wie im $\mathbb{R^2}$. Also hier nur eine kurze Wiederholung: 

'''Skalarprodukt''' 
Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\z_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren, dann ist $$\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right) = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b + z_a \cdot z_b$$ gleich ihr Skalarprodukt.
 

'''Orthogonalitätskriterium''' 
Ergibt das Skalarprodukt zweier Vektoren $0$, so stehen diese zwei Vektoren normal zueinander (und umgekehrt!)
$$\vec{a} \cdot \vec{b} \ = \ 0 \ \Leftrightarrow \ \vec{a} \bot \vec{b}$$
Auch das gibt es im $\mathbb{R^3}$. Bedenke aber, dass es hier, anders als im $\mathbb{R^2}$, unendlich viele Normalvektoren auf einen Vektor gibt.
 

'''Winkel zwischen zwei Vektoren'''
$$cos{\varphi} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel} = \vec{a_0} \cdot \vec{b_0}$$

==Geraden==
===Darstellungsformen===
====Parameterdarstellung====
Die Parameterdarstellung im $\mathbb{R^3}$ sieht genauso aus wie im $\mathbb{R^2}$, einziger Unterschied ist, dass unsere Punkte und Vektoren hier jeweils 3 Koordinaten haben.$$g: X = P + t \cdot \vec{a}$$ bzw. $$g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \\ z = z_P + t \cdot z_a \end{cases}$$
Mehr Infos zu den einzelnen Komponenten findest du im Tab 'Im $\mathbb{R^2}$'.

====Parameterfreie Darstellungsform====
Diese besteht aus 2 Gleichungen und wir erhalten sie durch Eliminierung des Parameters.

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sei die Parameterform der Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ -4 \\ 1 \end{array} \right)$. Zuerst schreiben wir das in die 3 Koordinatengleichungen um:
$$g : \begin{cases} x = 2 + 3t \\ y = 0 - 4t \\ z = 1 + t \end{cases}$$

2=Wir multiplizieren die erste Gleichung mit $4$ und die zweite Gleichung mit $3$ und addieren die beiden: $$+ \begin{cases} 4x = 8 + 12t \\ 3y = 0 - 12t \end{cases}$$ und erhalten so die Gleichung $4x + 3y = 8$.
Wir multiplizieren die dritte Gleichung mit $3$ und subtrahieren diese von der ersten Gleichung: $$- \begin{cases} x = 2 + 3t \\ 3z = 3 + 3t \end{cases}$$ und erhalten so die Gleichung $x - 3z = -1$.

Die parameterfreie Darstellung unserer Gerade lautet somit $$g : \begin{cases} 4x + 3y = 8 \\ x - 3z = -1 \end{cases}$$.}}

Die zwei Gleichungen in der parameterfreien Darstellung sind übrigens Ebenengleichungen. Die eigentliche Gerade ist der Schnitt dieser zwei Ebenen!

===Lagebeziehungen zwischen Geraden===
Mehrere Geraden können im $\mathbb{R^3}$

* ident sein, d.h. sie haben unendlich viele gemeinsame Punkte
* parallel sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt
* einander schneiden, d.h. sie haben genau ein gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt)
* windschief sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt und sind nicht parallel

Um herauszufinden, wie 2 gegebene Geraden in Parameterform zueinander stehen, gehst du am besten wie folgt vor:

'''Betrachtung der Richtungsvektoren:''' Auch im $\mathbb{R^3}$ gilt, sind die Richtungsvektoren zweier Geraden parallel zueinander (d.h. man kann einen Vektor als Vielfaches des anderen Vektors darstellen), so sind es auch die Geraden.

'''Fall 1: Die Vektoren sind parallel:''' Sollte sich herausstellen, dass die zwei Geraden parallel zueinander sind, überprüfst du als nächstes, ob sie einen gemeinsamen Punkt haben; am einfachsten funktioniert das, indem du den bekannten Punkt ($P$) der einen Geraden in die zweite Gerade (für den unbekannten Punkt $X$) einsetzt. Wir erhalten drei Gleichungen in einer Unbekannten (Parameter der zweiten Gerade). 
'''Fall 1a:''' Erhalten wir nun für den Parameter dreimal dasselbe Ergebnis, so sind die 2 Geraden '''ident''' (und parallel), da der überprüfte Punkt, und somit unendlich weitere, auf beiden Geraden liegen. 
'''Fall 1b:''' Erhalten wir unterschiedliche Ergebnisse, so sind sie nur '''parallel''', da der überprüfte Punkt nicht, und somit auch kein anderer, auf beiden Geraden liegen.

'''Fall 2: Die Vektoren sind nicht parallel:''' Nun gibt es nur noch zwei Möglichkeiten: Entweder die zwei Geraden haben einen gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt), oder sie sind windschief. 
Um das wiederum herauszufinden, setzt du die beiden Geraden gleich, d.h. du stellst ein lineares Gleichungssystem (LGS) mit drei Gleichungen und in drei Unbekannten auf, und versuchst, dieses zu lösen. 
'''Fall 2a:''' Solltest du nun eine Lösung erhalten, d.h. du erhältst den Wert für den Parameter einer der zwei Geraden (und hast diesen Wert überprüft), so weißt du, dass die zwei Geraden einander '''schneiden'''. Den Schnittpunkt erhältst du jetzt, indem du den erhaltenen Wert für den Parameter in die entsprechende Geradengleichung einsetzt. 
'''Fall 2b:''' Sollte dein LGS keine Lösung ergeben (also sich eine falsche Aussage oder ein Widerspruch ergeben, z.B. $2=13$, oder $t=4$ und $t=-1$), dann weißt du, dass deine beiden Geraden keinen Schnittpunkt haben und somit '''windschief''' sind.

Zum besseren Verständnis siehst du dir am besten das folgende Video und die beiden folgenden Beispiele an.

<div align="center">{{#ev:youtube|u0QoYlEE094}}</div>
{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die beiden Geraden $g: X = \left( \begin{array}{c} 0 \\ -11 \\ -3 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right)$ und $h: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ -3 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right)$. Überprüfe deren gegenseitige Lage und gegebenenfalls ihren Schnittpunkt!|2=Zuerst überprüfen wir die Richtungsvektoren der beiden Geraden, um festzustellen, ob diese parallel zueinander sind oder nicht:$$\nexists \lambda : \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) = \lambda \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) \nparallel \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g \nparallel h$$
$g$ und $h$ sind also nicht parallel. Sie können also noch entweder einander schneiden oder windschief sein. Stellen wir nun ein LGS auf, indem wir die beiden Geraden gleichsetzen:
$$\begin{align}
I: \ &&&s&=&2&+&t \\
II: \ &-11&+&2s&=&3&-&3t \\
III: \ &-3&+&s&=&-3&+&2t
\end{align}$$ 
Wir subtrahieren $III$ von $I$: $- \begin{cases} &s &=& 2 + t \\ -3 + &s &=& -3 + 2t \end{cases} \ \rightarrow \ 3 = 5 - t \Rightarrow t = 2$ 
Wir überprüfen dieses Ergebnis für $t$, indem wir $t=2$ in alle 3 Gleichungen einsetzen. Wir sehen dann, dass wir überall dasselbe Ergebnis für $s$ erhalten, nämlich $s=4$. Daraus folgt, dass die Geraden einander '''schneiden'''. Setzen wir nun $t=2$ oder $s=4$ in die entsprechende Geradengleichung, so erhalten wir den Schnittpunkt $S(4/-3/1)$ der beiden Geraden.}}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die beiden Geraden $g: X = \left( \begin{array}{c} 3 \\ -2 \\ 0 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right)$ und $h: X = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$. Überprüfe deren gegenseitige Lage und ggf. ihren Schnittpunkt!|2=Zuerst überprüfen wir wieder die Richtungsvektoren der beiden Geraden:$$\nexists \lambda : \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) = \lambda \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) \nparallel \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g \nparallel h$$
Nun stellen wir wieder ein LGS auf:
$$\begin{align}
I: \ &3&+&2s&=&4&-&t \\
II: \ &-2&-&2s&=&3&& \\
III: \ &&&s&=&1&+&t
\end{align}$$ 
Aus der zweiten Gleichung lässt sich direkt berechnen, dass $s=- \frac{5}{2}$. Dies setzen wir nun in die erste und zweite Gleichung ein und erhalten einmal $3 - 5 = 4 - t \ \Rightarrow \ t=6$ und einmal $- \frac{5}{2} = 1 + t \ \Rightarrow \ t=- \frac{7}{2}$. Diese beiden Werte für $t$ sind offensichtlich voneinander unterschiedlich, daraus folgt, dass die beiden Geraden $g$ und $h$ '''windschief''' sind.
}}

==Ebenen==
Eine Ebene ist durch 3 Punkte oder 1 Punkt und 2 (voneinander linear unabhängigen) Vektoren eindeutig festgelegt.

===Darstellungsformen===
====Parameterdarstellung====
[[Datei:ebene2.png|thumb|right|350px|von Punkt und Vektoren aufgespannte Ebene]]
$$\epsilon : X = P + s \cdot \vec{a} + t \cdot \vec{b}$$
bzw.
$$\epsilon : \begin{cases} x = x_P + s \cdot x_a + t \cdot x_b \\ y = y_P + s \cdot y_a + t \cdot y_b \\ z = z_P + s \cdot z_a + t \cdot z_b \end{cases}$$
wobei

* $X \in \epsilon$ ist ein '''beliebiger''' Punkt auf der unendlichen Ebene
* $P \in \epsilon$ ist ein '''bekannter''' Punkt auf der Ebene
* $s, t \in \mathbb{R}$ sind freie Parameter
* $\vec{a}, \vec{b} \in \mathbb{R^3}$ sind zwei Vektoren, die parallel zur Ebene liegen

====Normalvektorform====
Man multipliziert die Parameterdarstellung der Ebene mit ihrem Normalvektor $\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$ und erhält$$\vec{n} \cdot \vec{X} = \vec{n} \cdot \vec{P}$$

====Allgemeine Ebenengleichung====
$$ax + by + cz = d$$Diese Form der Darstellung heißt auch Normalform, da man den Normalvektor der Ebene direkt ablesen kann. Um von der Parameterdarstellung auf diese Form zu kommen, gibt es 2 Möglichkeiten:

'''1. Multiplikation mit Normalvektor:'''
Hierzu muss man einfach die Normalform ausmultiplizieren und es ergibt sich:

$$\epsilon: x_n \cdot x + y_n \cdot y + z_n \cdot z = x_n \cdot x_P + y_n \cdot y_P + z_n \cdot z_P$$

'''2. Elimination des Parameters:'''
Hierbei gehen wir von der Ebenengleichung $\epsilon : \begin{cases} x = x_P + s \cdot x_a + t \cdot x_b \\ y = y_P + s \cdot y_a + t \cdot y_b \\ z = z_P + s \cdot z_a + t \cdot z_b \end{cases}$ aus, eliminieren $s$ und $t$, und kommen ebenfalls auf die obige allgemeine Ebenengleichung.

Zur Veranschaulichung ein Beispiel zu den verschiedenen Darstellungsformen:
{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die drei Punkte $A(1/1/1), B(-1/-4/2), C(0/3/-1)$. Gib die Ebene, die diese drei Punkte aufspannen, in Parameterform, Normalform und allgemeiner Ebenengleichung an!|2=Für die Parameterform berechnen wir erst zwei beliebige Vektoren aus den 3 Punkten, z.B. $\vec{AB} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{AC} = \left( \begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right)$. Als Parameterform erhalten wir schließlich:
$$\epsilon: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right)$$ Um auf die Normalform zu kommen, bestimmen wir als erstes den Normalvektor der Ebenen: $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-5) \cdot (-2) - 1 \cdot 2 \\ 1 \cdot (-1) - (-2) \cdot (-2) \\ (-2) \cdot 2 - (-5) \cdot (-1) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right)$. 
Nun die Parametergleichung mit dem Normalvektor multiplizieren und wir erhalten auch die Normalform:
$$\epsilon: \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)$$ 
Um nun noch die allg. Ebenenform zu erhalten, multipliziert man am einfachsten die Normalform aus und erhält:
$$\epsilon: 8x - 5y -9z =-6$$ 
Aber auch die Elimination der Parameter soll hier gezeigt werden. Wir gehen aus von: $$\epsilon : \begin{cases} x = 1 - 2s - t \\ y = 1 - 5s + 2t \\ z = 1 + s - 2t\end{cases}$$
Addieren wir die y- und die z-Gleichung, können wir $t$ eliminieren: $+ \begin{cases} y = 1 - 5s + 2t \\ z = 1 + s - 2t \end{cases} \ \Rightarrow \ y + z = 2 - 4s$. 
Wir können $t$ ebenfalls eliminieren, indem wir die y-Gleichung zum 2-fachen der x-Gleichung addieren: $+ \begin{cases} 2x = 2 - 4s - 2t \\ y = 1 - 5s + 2t \end{cases} \ \Rightarrow \ 2x + y = 3 -9s$. 
Nun haben wir zwei Gleichungen, die nur mehr von $s$ abhängig sind. Um diesen Parameter nun auch noch zu eliminieren, multiplizieren wir die erste Gleichung mit $(-9)$ und die zweite mit $4$ und addieren diese, um nochmals auf die allg. Ebenengleichung zu kommen.
$$+ \begin{cases} 8x + 4y = 12 - 36s \\ -9y - 9z = -18 + 36s \end{cases} \ \Rightarrow \ \epsilon: 8x - 5y -9z =-6$$
}}

===Lagebeziehungen===
====...zwischen zwei Ebenen====
Zwei Ebenen können im $\mathbb{R^3}$

* ident sein: die Ebenengleichungen (allg. Form) sind Vielfache voneinander;

z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : 2x + 2y + 2z = 6 \Rightarrow \epsilon _2 = 2 \cdot \epsilon _1$

* parallel sein: die Normalvektoren der Ebenen sind Vielfache voneinander;

z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : 2x + 2y + 2z = 5 \Rightarrow \vec{n_2} = 2 \cdot \vec{n_1}$

* einander schneiden (in einer Gerade): die Normalvektoren der Ebenen sind keine Vielfache voneinander;

z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : x - 3y + 2z = 1 \Rightarrow \nexists \lambda \in \mathbb{R} : \vec{n_1} = \lambda \cdot \vec{n_2}$

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:Ebenenident2.png|2 Ebenen sind ident
Datei:Ebenenparallel2.png|2 Ebenen sind parallel
Datei:Ebenenschnittgerade2.png|2 Ebenen schneiden einander in einer Geraden
</gallery>

 
'''Berechnen der Schnittgerade''' 
Erkennt man durch Betrachtung der Normalvektoren zweier Ebenen, dass diese einander schneiden müssen, so kann man diese Schnittgerade berechnen. Dazu erstellt man aus den beiden Ebenengleichungen ein lineares Gleichungssystem in 3 Unbekannten. 2 Gleichungen - 3 Unbekannte: wir werden hier nicht für alle Unbekannten einen Zahlenwert erhalten, können aber 2 Unbekannte in Abhängigkeit der dritten darstellen. Diese dritte Unbekannte wird uns als Parameter für die Darstellung der Geraden dienen. Zur Veranschaulichung ein Beispiel:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die beiden Ebenen $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : x - 3y + 2z = 1$. Wie wir weiter oben schon festgestellt haben, müssen diese Ebenen einander schneiden, da die beiden Noramlvektoren der Ebenen $\vec{n_1}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{n_2}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right)$ linear unabhängig voneinander sind, also $\nexists \lambda \in \mathbb{R} : \vec{n_1} = \lambda \cdot \vec{n_2}$. 
Wir wählen nun eine der Koordinaten als Parameter, z.B. $z=t$ und stellen das Gleichungssystem auf.

2=

$$\begin{align}I: \ &x&+&y&+&t&=&3 \\
II: \ &x&-&3y&+&2t&=&1
\end{align}$$

Wir subtrahieren $I-II$ und erhalten
$$4y - t = 2 \ \Rightarrow \ y = \frac{1}{2} + t \cdot \frac{1}{4}$$
Nun setzen wir unser erhaltenes $y$ in die erste Gleichung ein, um $x$ zu erhalten:

$$I: \ x + \frac{1}{2} + t \cdot \frac{1}{4} + t = 3 \ \Rightarrow \ x = \frac{5}{2} - t \cdot \frac{5}{4}$$
Somit haben wir alle Ausdrücke der Koordinaten gefunden ($z=t$ haben wir anfangs festgelegt) und können die Parameterdarstellung der Schnittgerade angeben:
$$g: X = \left( \begin{array}{c} \frac{5}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 0 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} - \frac{5}{4} \\ \frac{1}{4} \\ 1 \end{array} \right)$$
}}

====...zwischen 3 Ebenen====
Drei Ebenen können im $\mathbb{R^3}$

* alle ident sein
* 2 ident, 1 parallel sein
* alle parallel sein
* 3 Schnittgeraden haben
* 2 Schnittgeraden haben (2 Ebenen parallel)
* 1 Schnittgerade haben
* 1 Schnittpunkt haben

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:Ebenenident3.png|3 Ebenen sind ident
Datei:Ebenenidentparallel.png|2 Ebenen sind ident, 1 parallel
Datei:Ebenenparallel3.png|3 Ebenen sind parallel
Datei:Ebenenschnittgeraden33.png|3 Ebenen schneiden einander in 3 Geraden
Datei:Ebenenschnittgeraden32.png|3 Ebenen schneiden einander in 2 Geraden (2 Ebenen parallel)
Datei:Ebenenschnittgerade3.png|3 Ebenen schneiden einander in einer Gerade
Datei:Ebenenschnittgerade31.png|3 Ebenen schneiden einander in einer Gerade (2 Ebenen ident)
Datei:Ebenenschnittpunkt3.png|3 Ebenen schneiden einander in einem Punkt
</gallery>

====...zwischen Ebene und Gerade====
Eine Ebene und eine Gerade können im $\mathbb{R^3}$

* $g \subset \epsilon$, die Gerade liegt auf der Ebene

Hierbei haben die Gerade und die Ebene einen gemeinsamen Punkt und der Richtungsvektor der Gerade steht normal auf den Normalvektor der Ebene, daraus folgt, dass sie unendlich gemeinsame Punkte haben.

* parallel sein

Irgendein Punkt der Gerade liegt nicht auf der Ebene, der Richtungsvektor der Gerade steht normal auf den Normalvektor der Ebene, daraus folgt, dass sie keinen einzigen gemeinsamen Punkt haben.

* 1 Schnittpunkt haben

Der Richtungsvektor der Geraden steht nicht normal auf den Normalvektor der Ebene.

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:GeradeinEbene.png|Gerade liegt auf der Ebene
Datei:GeradepararallelEbene.png|Gerade und Ebene sind parallel zueinander
Datei:GeradeSchnittpunktEbene.png|Gerade und Ebene schneiden einander (Schnittpunkt)
</gallery>

Zur Überprüfung der Lagebeziehung gibt es allerdings noch eine andere (schnellere) Methode. Hier "schneiden" wir die Gerade und die Ebene mathematisch, d.h. wir setzen sie gleich (wenn beide in Parameterform gegeben sind) oder setzen die Gerade $g$ (Parameterform) in die Ebene $\epsilon$ (allg. Ebenengleichung) ein. 
Wir erhalten dadurch ein Gleichungssystem oder eine einzelne Gleichung.

Sei die Gerade gegeben als $g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \\ z = z_P + t \cdot z_a \end{cases}$ und die Ebene als $\epsilon : \begin{cases} x = x_Q + s \cdot x_b + u \cdot x_c \\ y = y_Q + s \cdot y_b + u \cdot y_c \\ z = z_Q + s \cdot z_b + u \cdot z_c \end{cases}$ (Parameterform) oder $\epsilon : ax + by + cz = d$ (allg. Ebenengleichung).

Wir erhalten als Gleichungssystem durch Gleichsetzen der Gleichungen der Parameterformen:
$$\begin{cases} x_P + t \cdot x_a = x_Q + s \cdot x_b + u \cdot x_c \\ y_P + t \cdot y_a = y_Q + s \cdot y_b + u \cdot y_c \\ z_P + t \cdot z_a = z_Q + s \cdot z_b + u \cdot z_c \end{cases}$$ 
Wir erhalten durch Einsetzen der Gerade in die Ebene (allg. Ebenengleichung):
$$a \cdot (x_P + t \cdot x_a) + b \cdot (y_P + t \cdot y_a) + c \cdot (z_P + t \cdot z_a) = d$$

Ergibt sich hier eine wahre Aussage (z.B. $1=1$), also unendlich viele Lösungen, so liegt die Gerade in der Ebene. 
Ergibt sich eine falsche Aussage (z.B. $1=2$), also keine Lösung, so schneiden die beiden Objekte einander nicht, also sie sind parallel. 
Gibt es genau eine Lösung (z.B. $t=2$), so existiert genau ein gemeinsamer Punkt = Schnittpunkt. Diesen erhält man, indem man den ermittelten Wert für den Parameter $t$ der Geraden in die Geradengleichung einsetzt (oder, wenn die Ebene in Parameterform gegeben war, die beiden Werte für die Parameter $s$ und $u$ der Ebene in die Ebenengleichung einsetzt). Dazu 2 Beispiele, wobei wir im ersten mit der Ebene in Parameterform rechnen werden:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right)$ und die Ebene $\epsilon : X = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -1 \\ -3 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) + u \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 0 \end{array} \right)$. Stellen wir nun also unser Gleichungssystem auf:

|2=\begin{align}

I: \ & \ 1&-t&=&4& &+2u \\
II: \ &-3& &=&-1&+s&-u \\
III: \ & \ 2&+2t&=&-3&+s&
\end{align}

In der ersten Gleichung drücken wir $u$ in $t$ aus: $u = - \frac{3}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$ 
In der zweiten Gleichung drücken wir $s$ in $u$ aus: $s = -2 + u$ 
Das $u$ von oben setzen wir nun hier ein und erhalten $s$ in Abhängigkeit von $t$: $s = - \frac{7}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$.

Dieses $s$ setzen wir nun in die dritte Gleichung ein und wir erhalten: $2 + 2t = -3 - \frac{7}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$ und in weiterer Folge $t = - \frac{17}{5}$. 
Es ergibt sich also genau eine Lösung für das Gleichungssystem, was bedeutet, dass die Gerade und die Ebene einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen. Diesen erhalten wir, indem wir den errechneten Wert für $t$ in die Geradengleichung einsetzen (Man könnte natürlich auch noch die Werte für $s$ und $u$ berechnen, und diese in die Ebenengleichung einsetzen; zur Übung kannst du das gerne tun):
$$g: S = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) - \frac{17}{5} \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \frac{23}{5} \\ -3 \\ - \frac{24}{5} \end{array} \right)$$
}}

Betrachten wir nun dasselbe Beispiel, mit dem Unterschied, dass die Ebene in Normalform gegeben ist und wir auch gleich mit dieser Form rechnen:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right)$ und die Ebene $\epsilon : x + 2y - 2z = 8$. Wir setzen die Koordinatengleichungen der Gerade in die Normalform der Ebene:

|2= $g$ in $\epsilon$: $$1 - t - 6 - 4 -4t =8$$

Wenn wir diese Gleichung lösen, erhalten wir, wie im ersten Bespiel, $t = - \frac{17}{5}$. Dies noch in die Geradengleichung einsetzen, und wir erhalten den Schnittpunkt.}}

Da man bei der zweiten Methode meistens weniger Rechenaufwand hat, zahlt es sich oft aus die Parameterdarstellung der Ebene in die Normalform (= allg. Ebenengleichung) umzurechnen.

==Pyramidenbeispiel==
[[Datei:Pyramidebsp.png|thumb|right|350px|Pyramide]]Gegeben seien 3 Eckpunkte $A(-2/-2/1), B(2/-2/1), C(2/2/1)$ der quadratischen Grundfläche und der Spitzpunkt $S(0/0/6)$ einer geraden (gerade bedeutet, dass die Spitze in einem rechten Winkel über dem Mittelpunkt der Grundfläche der Pyramide liegt) Pyramide.
Gesucht sind:

# der vierte Eckpunkt $D$ der Grundfläche
# die Parameterdarstellung der Trägergeraden $h$ der Höhe
# die Fläche der Grundfläche
# die Geradengleichung der Geraden $g_{AS}$ auf der $A$ und $S$ liegen in a)Parameterform und b)parameterfreier Form
# Der Winkel $\alpha$ zwischen den Vektoren $\vec{AS}$ und $\vec{AC}$
# Zeige, dass der Schnittpunkt der Geraden $g_{AS}$ und $h$ gleich die Spitze $S$ ist
# Gib die Ebenengleichung $\epsilon$ der Grundfläche in a)Parameterform, b)Normalform und c)allgemeiner Ebenengleichung an
# Berechne den Fußpunkt $M$ der Höhe, indem du $h$ und $\epsilon$ schneidest

1. $D = A + \vec{BC} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -2 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right)$ 
2. $h: X = S + t \cdot \vec{h}$
$$\vec{AB} \times \vec{BC} = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 16 \end{array} \right) \ \parallel \ \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) = \vec{h}$$
$$h: X = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$$ 
3. $G = \parallel \vec{AB} \times \vec{BC} \parallel = \parallel \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 16 \end{array} \right) \parallel = 16FE$ 
4. a) $g_{AS}: X = A + u \cdot \vec{AS}$
$$\vec{AS} = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g_{AS}: X = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + u \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right)$$ oder $$g_{AS}:\begin{cases} x = -2 + 2u \\ y = -2 + 2u \\ z = 1 + 5u \end{cases}$$
b) Parameter elimieren:
$$x - y: x-y = 0$$
$$5x - 2z: 5x - 2z = -12$$
$$\Rightarrow g_{AS}:\begin{cases} x - y = 0 \\ 5x - 2z = -12 \end{cases}$$ 
5. $\measuredangle \vec{AS},\vec{AC} = \alpha = arccos{\frac{\vec{AS} \cdot \vec{AC}}{\parallel \vec{AS} \parallel \cdot \parallel \vec{AC} \parallel}} = arccos{\frac{\left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right)}{\parallel \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) \parallel \cdot \parallel \left( \begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) \parallel}} = arccos{\frac{16}{\sqrt{33 \cdot 32}}} = 60,5°$ 
6. $g_{AS}$ und $h$ gleichsetzen:
$$\begin{align}
I: \ &-2&+&2u&=&0&& \\
II: \ &-2&+&2u&=&0&& \\
III: \ & \ \ 1&+&5u&=&6&+&t
\end{align}
\ \ \ \rightarrow u=1$$
$$g_{AS}: S = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + 1 \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array} \right)$$ 
7. a) $\epsilon: X = A + v \cdot \vec{AB} + w \cdot \vec{BC} \ \rightarrow \ \epsilon: X = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + v \cdot \left( \begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) + w \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right)$ 
b) $\epsilon: \vec{n} \cdot \vec{X} = \vec{n} \cdot \vec{A} \ \rightarrow \ \epsilon: \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right)$ 
c) $\epsilon: z = 1$ 
8. $h:\begin{cases} x=0 \\ y=0 \\ z=6+t \end{cases} \ \ \epsilon: z=1 \ \ \rightarrow \ 1 = 6 + t \ \Rightarrow \ t=-5$ 
$h: M = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array} \right) -5 \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$

=Beispiele=
Hier findest du Beispiele zu den behandelten Themen:

===Grundlagen der Vektorrechnung===
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/9/99/VektorrechnungGLBspAngabe.pdf VektorrechnungGLBspAngabe.pdf] 
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/0/00/VektorrechnungGLBspL%C3%B6sung.pdf VektorrechnungGLBspLösung.pdf]

===Vektorrechnung im $\mathbb{R^2}$===
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/7/7f/VektorrechnungR2BspAngabe.pdf VektorrechnungR2BspAngabe.pdf] 
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/f/ff/VektorrechnungR2BspL%C3%B6sung.pdf VektorrechnungR2BspLösung.pdf]

Vektorrechnung

2016-06-11T09:44:20Z

Lajtos: /* Wie Vektoren zueinander stehen */

=Grundlagen=
==Koordinatensystem==
[[Datei:Quadranten.png|thumb|Coordinate System|thumb|right|350px|Koordinatengitter im $\mathbb{R^2}$ mit den 4 Quadranten]]

Für die Vektorrechnung sind Koordinatensysteme essentiell.
Im zweidimensionalen Raum besitzt ein Koordinatensystem 2 Achsen:

* die x-Achse (waagrecht) und
* die y-Achse (senkrecht)

 
Diese sind unendlich lang und Spannen die vier sogenannten Quadranten auf, die meist mit den römischen Ziffern I-IV beschriftet werden (gesprochen: Erster Quadrant, Zweiter Quadrant etc.). Die rechte Graphik zeigt die die Position der Quadranten. Dort, wo die 2 Achsen einander treffen, liegt der sog. Ursprung (kurz: $\vec{0}$); seine Koordinaten sind (0/0).

Was es außerdem noch zu beachten gibt, hast du vielleicht bereits selbst erkannt:
An den gegenüberliegenden Seiten der x- und y-Achsen werden unterschiedliche Vorzeichen verwendet. So spricht man "links" des Ursprungs von der negativen, bzw. "rechts" des Ursprungs von der positiven x-Achse. Analog spricht man "oben" und "unten" von der positiven und negativen y-Achse.

Im dreidimensionalen Raum kommt eine dritte Achse - die z-Achse - dazu. Punkte und Vektoren besitzen dementsprechend dann auch 3 Koordinaten. Dies kann man bis ins n-dimensionale weiterführen.

==Punkte==
In ein Koordinatensystem lassen sich Punkte eintragen. Diese besitzen, entsprechend ihrer Lage, Koordinaten. Im obigen Bild z.B. haben wir die Punkte A und B, wobei sich A im ersten Quadranten befindet und B im vierten Quadranten. Man schreibt: A(2/3,5) B(1/-2).

[[Datei:Punkte Abstand.png|thumb|right|350px|Punkte im $\mathbb{R^2}$]]

{{Vorlage:Merke |''Einen'' '''allgemeinen Punkt''' ''schreibt man an als'' $P(x_1/x_2/.../x_n)$ (im n-dimensionalen Raum $\mathbb{R^n}$) ''bzw.'' $P(x/y)$ (im 2-dimensionalen Raum $ \mathbb{R^2}$) ''oder'' $P(x/y/z)$ (im 3-dimensionalen Raum $\mathbb{R^3}$).
 
Die erste Koordinate entspricht der x-Koordinate, die zweite der y-Koordinate, die eventuelle dritte der z-Koordinate.

Punkte werden in der Regel mit Großbuchstaben bezeichnet.}}

Koordinaten von Punkten lassen sich also ganz einfach ablesen. Die x/y-Koordinate entspricht dabei dem Abstand vom Ursprung zum Punkt in Richtung der jeweiligen Koordinatenachse. So erkennen wir im Bild rechts die folgenden Punkte:

* A(2/0)
* B(0/-2)
* C(-1/2)

=Vektoren=

==Definition & Darstellung von Vektoren==
{{Vorlage:Definition |1= Ein Zahlenpaar $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \in \mathbb{R^2}$ wird als '''Vektor aus $\mathbb{R^2}$ ''' bezeichnet.
Analog bezeichnet man ein Zahlentripel $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) \in \mathbb{R^3}$ als '''Vektor aus $\mathbb{R^3}$ '''. 
Ein '''allgemeiner Vektor''' wird $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) \ \in \mathbb{R^n}$ geschrieben.

}}

Da sowohl die Rechenoperationen als auch die geometrischen Darstellungen leicht vom $\mathbb{R^2}$ in den $\mathbb{R^3}$ übertragen werden können, werden wir meistens nur die Vorgangsweise für Zahlenpaare aus dem $\mathbb{R^2}$ beschreiben.

===Geometrische Darstellung von Vektoren===

Es gibt zwei Möglichkeiten, wie wir einen Vektor $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right) \ \in \mathbb{R^2}$ geometrisch darstellen können:
* '''Darstellung als Punkt''': Dabei gibt $a$ die x-Koordinate und $b$ die y-Koordinate des Punktes an. Die Beschriftung erfolgt mit Großbuchstaben.
* '''Darstellung als Pfeil''': Dabei gibt $a$ die x-Richtung des Pfeils (wie weit zeigt der Pfeil nach links bzw. rechts) und $b$ die y-Richtung des Pfeils (wie weit zeigt der Pfeil nach oben bzw. nach unten) an. Pfeile werden mit Kleinbuchstaben (oft mit Pfeil $\vec{v}$) beschriftet.

Die Darstellung als Punkt ist eindeutig! Einem Zahlenpaar (=Vektor) entspricht genau ein Punkt!
Die Darstellung als Pfeil ist nicht eindeutig! Es gibt unendlich viele Pfeile, die denselben Vektor darstellen. Diese Pfeile sind aber alle parallel, gleich lang und gleich gerichtet.

'''Beispiel:''' Darstellung des Vektors $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$
{| class="wikitable"
|-
| '''Punktdarstellung des Vektors'''|| '''Mögliche Pfeildarstellungen des Vektors'''
|-
| [[Datei:Punkt.png|thumb|300px]]|| [[Datei:Pfeile.png|thumb|300px]]
|}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 3 \\ -4 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 5 \end{array} \right)$. Stelle $\vec{a}$ und $\vec{b}$ als Punkte und als Pfeile dar.
|2=[[Datei:Punkt Pfeil Bsp.png|300px]] 
'''Anmerkungen:'''
* Für die Pfeildarstellungen gibt es mehrere (unendlich viele) Möglichkeiten. Der von dir gezeichnete Pfeil muss jedenfalls parallel, gleich gerichtet und gleich lang wie der abgebildete Pfeil sein!
* Aus "Bequemlichkeitsgründen" zeichnet man die Pfeile oft beginnend beim Ursprung ein:
[[Datei:Punkt Pfeil Bsp2.png|300px]]
 
}}

Vektoren des $\mathbb{R^3}$ können auch auf diese zwei Arten dargestellt werden. Der einzige Unterschied dabei ist, dass die Punkte bzw. Pfeile im dreidimensionalen Raum liegen. Es gibt also noch eine dritte Richtung, die durch die z-Koordinate des Vektors angegeben wird.

===Ortsvektoren===
[[Datei:Ortsvektor.png|thumb|right|250px|Punkt und zugehöriger Ortsvektor]]Der Ortsvektor von einem Punkt ist der Vektor, der vom Ursprung aus auf den Punkt zeigt. Die Koordinaten bleiben deshalb gleich, es ändert sich quasi nur die Schreibweise:

Sei $A(x_1/x_2/.../x_n)$ ein Punkt in der Dimension $n$, dann ist $\vec{0A} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ dessen Ortsvektor.
 
 
 
 
 

==Rechnen mit Vektoren==

===Addition und Subtraktion von Vektoren===
{{Vorlage:Merke|1=Wenn du Vektoren addieren oder subtrahieren möchtest, musst du dazu die entsprechenden Koordinaten addieren: 
$\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) \pm \left( \begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ ... \\ y_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x_1 \pm y_1 \\ x_2 \pm y_2 \\ ... \\ x_n \pm y_n \end{array} \right)$ 
Wichtig ist dabei, dass die Vektoren, die du addieren oder subtrahieren möchtest, derselben Dimension $n$ angehören! D.h. sie haben gleich viele Koordinaten.}}
{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben seien die beiden Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right)$. Berechne erst $\vec{a} + \vec{b}$, dann $\vec{a} - \vec{b}$ und zuletzt $\vec{b} - \vec{a}$!
|2= $\vec{a} + \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 5+1 \\ 2+(-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 6 \\ -1 \end{array} \right)$
$\vec{a} - \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 5-1 \\ 2-(-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 5 \end{array} \right)$ 
$\vec{b} - \vec{a} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 1-5 \\ -3-2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -4 \\ -5 \end{array} \right)$}}

===Vektoren bestimmen: "Spitze minus Schaft" ("Ziel minus Start")===
[[Datei:Spitzeschaft.png|thumb|right|300px|"Spitze minus Schaft"]]Zwischen 2 Punkten kann man nun einen Vektor definieren. Dabei gilt: Die '''"Spitze minus Schaft"'''-Regel Im Bild rechts wollen wir den Vektor berechnen, der von A nach B geht, also den Vektor $\vec{AB}$. Der Punkt B(3/3,5) entspricht hierbei der Spitze, und der Punkt A(1/0,5) dem Schaft. Da das Rechnen mit Punkten allerdings keinen Sinn ergibt, rechnet man stattdessen mit deren Ortsvektoren (siehe oben).

Für unser Beispiel bedeutet das: $\vec{0B} - \vec{0A} = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 3,5 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0,5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 3-1 \\ 3,5-0,5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right) = \vec{AB}$

'''Beachte außerdem:'''

* Man schreibt der Einfachheit halber oft nur $B-A$, obwohl eigentlich $\vec{0B} - \vec{0A}$ gemeint ist.
* Der Vektor $\vec{AB}$ zeigt in die entgegengesetzte Richtung von $\vec{BA}$. Das bedeutet, dass diese beiden Vektoren entgegengesetzte Vorzeichen haben: $\vec{AB} = - \vec{BA}$

 

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die Punkte A=(1/2); B=(-3/1); C=(-4,-1). Bilde die folgenden Verbindungsvektoren: 
 
# $\vec{AB}$
# $\vec{BA}$
# $\vec{AC}$
# $\vec{BC}$

|2=
$\ $
# $\vec{AB}=B-A=\left( \begin{array}{c} -3 \\ 1\end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} -4 \\ -1\end{array} \right)$
# $\vec{BA}=-\vec{AB}=\left( \begin{array}{c} 4 \\ 1 \end{array} \right)$
# $\vec{AC}=\left( \begin{array}{c} -4 \\ -1\end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} -5 \\ -3\end{array} \right)$
# $\vec{BC}=\left( \begin{array}{c} -4 \\ -1\end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} -3 \\ 1 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} -1 \\ -2\end{array} \right)$
 
'''Tipps:'''
* Pass gut auf die Vorzeichen auf! Beim Subtrahieren von Vektoren passieren leider häufig Vorzeichenfehler! Sei deshalb besonders achtsam!
* Zeichne die Punkte in ein Koordinatensystem und zeichne die Verbindungsvektoren ein. Bei einfachen Koordinaten kannst du den Verbindungsvektor ohne Rechnung ablesen (Probiere es aus!).

 
}}

===Produkt eines Vektors mit einem Skalar===
Wenn man einen Vektor $\vec{v}$ mit einer [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)|reellen Zahl]] $k$ , einem sogenannten "Skalar", multipliziert, werden dabei die einzelnen Koordinaten mit dem Skalar multipliziert:

$k \cdot \vec{v} = k \cdot \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} k \cdot x_1 \\ k \cdot x_2 \\ ... \\ k \cdot x_n \end{array} \right)$

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sei der Vektor $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right)$. Multipliziere diesen einmal mit $2$ und einmal mit $-5$!
|2= $2 \cdot \vec{a} = 2 \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \cdot 2 \\ 2 \cdot (-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -6 \end{array} \right)$
$(-5) \cdot \vec{a} = (-5) \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-5) \cdot 2 \\ (-5) \cdot (-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -10 \\ 15 \end{array} \right)$}}

==Geometrische Darstellung der Rechenoperationen==
===Geometrische Darstellung der Vektoraddition===
Die Addition zweier Vektoren kann auf zwei verschiedene Arten geometrisch gedeutet werden. Wir illustrieren die beiden Möglichkeiten anhand des Beispiels $\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2\end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$

{| class="wikitable"
|-
| '''Punkt + Pfeil - Darstellung:'''|| '''Pfeil + Pfeil - Darstellung'''
|-
| ''An einen Punkt wird ein Pfeil angehängt.'' In unserem Beispiel wird an den Punkt (1/2) ein Pfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$ angehängt. Das Ergebnis der Addition ist der Punkt am Ende des Pfeils (5/5). || ''Zwei Pfeile werden aneinandergehängt. In unserem Beispiel wird also ein Pfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$ und ein Pfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)$ aneinandergehängt. Das Ergebnis der Addition ist der entstehende Verbindungspfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 5 \\ 5 \end{array} \right)$
|-
| [[Datei:Vektoraddition1.png|left|400px]]|| [[Datei:Vektoraddition2.png|left|500px]]
|-
| '''Anmerkung:''' Diese Darstellung ist hilfreich, wenn wir von einem Punkt ausgehen und zu einem neuen Punkt gelangen wollen.|| Es spielt keine Rolle, in welcher Reihenfolge die Vektoren angehängt werden. Die Addition ist kommutativ!
|}

===Geometrische Darstellung der Multiplikation mit einem Skalar===

Eine Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl $a$ (Skalar) entspricht einer Streckung (für $|a|>1$) bzw. einer Stauchung (für $|a|<1$) des zugehörigen Pfeiles.
Ist das Vorzeichen des Skalars negativ, so dreht sich die Richtung des Pfeils in die entgegengesetzte Richtung.

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sei wiederum der Vektor $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right)$. Stelle die Multiplikation mit $2$, mit $-5$ und mit $0.5$ graphisch dar!
|2= Rechnerische Lösung und graphische Interpretation:
* $2 \cdot \vec{a} = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -6 \end{array} \right)$. Der Vektor $2\cdot \vec{a}$ hat die doppelte Länge und dieselbe Richtung wie $\vec{a}$
* $(-5) \cdot \vec{a} = \left( \begin{array}{c} -10 \\ 15 \end{array} \right)$. Der Vektor $(-5)\cdot \vec{a}$ ist fünfmal so lang wie $\vec{a}$ und zeigt in die entgegengesetzte Richtung wie $\vec{a}$
* $(0.5) \cdot \vec{a} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1.5 \end{array} \right)$ Der Vektor $0.5\cdot \vec{a}$ ist halb so lang wie $\vec{a}$ und zeigt in dieselbe Richtung wie $\vec{a}$
}}

{{#widget:Iframe
|url= http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_vektorrechnung/MV_Vektor1/MV_Vektor1/sites/Vektortest.html
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}}
[http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_vektorrechnung/MV_Vektor1/MV_Vektor1/ (Quelle dieses Applets)]

Hilfe zum Applet: Gib in die Eingabezeile den Buchstaben des Vektors bzw. die entsprechende Summe / Differenz an. (z.B. $u=a$)

===Wie Vektoren zueinander stehen===
Vektoren können unterschiedliche Richtungen haben, aber auch parallel zueinander oder gar identisch sein. Optisch lässt sich das oft sehr leicht erkennen. Die Lage von Vektoren zueinander kann aber auch rechnerisch überprüft werden.

{{Vorlage:Definition |Unter einem Vektor versteht man die Menge aller gleichlangen, gleichgerichteten und gleichorientierten Pfeile.

Der Start/Endpunkt spielen dabei keine Rolle!}}

{{Vorlage:Merke|2 Vektoren stehen parallel zueinander, wenn ein Vektor als Vielfaches des anderen Vektors angeschrieben werden kann. 
Man sagt auch: Die Vektoren sind [[linear abhängig]].}}

Sehen wir uns die verschiedenen Fälle an:

{| class="wikitable"
|-
|ident: gleiche Richtung, gleiche Orientierung, gleiche Länge
||[[Datei:Vektorv1.png|none|250px]]
||$\vec{v} = \vec{u} \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$
||z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$
|-
||parallel (gleiche Orientierung): gleiche Richtung, gleiche Orientierung, unterschiedliche Länge
| [[Datei:Vektorenlänge.png|none|250px]]
||$\exists k>0 : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$
||z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} \frac{4}{3} \\ 2 \end{array} \right)$, $k = \frac{2}{3} $
|-
||parallel (unterschiedliche Orientierung): 
| [[Datei:Vektororientierung1.png|none|250px]]
||$\exists k<0 : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$
||z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} -2 \\ -3 \end{array} \right)$, $k=-1$

|-
||linear unabhängig
| [[Datei:Vektorrichtung1.png|none|250px]]
||$\nexists k : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \nparallel \vec{u}$
||z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 3 \end{array} \right)$
|}

{{Vorlage:Beispiel|1=Überprüfe ob die Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 5 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$ linear unabhängig voneinander sind.

|2=Wenn es ein k gibt, sodass $k \cdot \vec{a} = \vec{b}$, dann sind die beiden Vektoren voneinander linear abhängig, und somit auch parallel zueinander.

Es gibt mehrere Lösungsmöglichkeiten:
*Möglichkeit 1: Lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen
$I: 2k = 4 \ \ \rightarrow k=2$
$II: 5k = 3 \ \ \rightarrow k=\frac{3}{5}$

Aus der ersten Gleichung ergibt sich $k=2$, in der zweiten aber $k=\frac{3}{5}$. $k$ kann aber nicht beides sein, somit haben wir eine falsche Aussage erhalten. Daraus folgt, dass die beiden Vektoren '''linear unabhängig''' und somit nicht parallel zueinander sind.

* Möglichkeit 2: "Vergleichen und Probieren"
Vergleicht man die x-Koordinaten der beiden Vektoren, so sieht man, dass $4$ doppelt so groß wie $2$ ist. Daraus ergibt sich, dass ein etwaiges $k=2$ sein müsste.
Probiert man, auch die zweite Zeile mit $2$ zu multiplizieren, so erhält man $10$. Die y-Koordinate von $\vec{b}$ müsste also $10$ sein, damit die beiden Vektoren parallel zueinander sind.
}}

 

===Betrag und Einheitsvektor===
[[Datei:PythagorasVektor.png|thumb|right|350px|Betrag eines Vektors; Einheitsvektor]]Wie anfangs bereits erwähnt, besitzen Vektoren eine Länge, auch '''Betrag''' eines Vektors genannt. Dieser wird mit Hilfe des pythagoräischen Lehrsatzes wie folgt berechnet:

<div align="center">$\parallel \vec{v} \parallel = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2} \ $ wenn $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ ein Vektor der Dimension $n$ ist.</div>
Sehen wir uns die Grafik rechts an, können wir mit dieser Formel die Länge des zweidimensionalen Vektors $\parallel \vec{v} \parallel$ berechnen:

<div align="center">$\parallel \vec{v} \parallel = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$</div>
 Der '''Einheitsvektor''' $\vec{a_0}$ eines Vektors $\vec{a}$ ist ein zu $\vec{a}$ paralleler Vektor mit Länge 1. Rechnerisch erhält man $\vec{a_0}$, indem man $\vec{a}$ durch seine Länge dividiert. $ \vec{a_0}

=\frac{\vec{a}}{\parallel \vec{a}\parallel}$
bzw.
$ \vec{a_0}=\frac{1}{\parallel\vec{a}\parallel}\cdot \vec{a}$

Daraus ergibt sich ein Vektor, der dieselbe Richtung des ursprünglichen Vektors hat, allerdings die Länge 1 besitzt.

{{Vorlage:Merke|1=
Sei $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ ein Vektor der Dimension $n$ und $\parallel \vec{v} \parallel$ sein Betrag, dann ist $\vec{v_0} = \frac{1}{\parallel \vec{v} \parallel} \cdot \vec{v} \ $ der Einheitsvektor zu $\vec{v}$.}}

In unserem Beispiel würde das folgendes bedeuten:

{{Vorlage:Beispiel|1= Bestimme den Einheitsvektor von $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$

|2=<div align="center">$\vec{v_0} = \frac{1}{\sqrt{13} } \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \frac{2}{\sqrt{13} } \\ \frac{3}{\sqrt{13} } \end{array} \right)$</div>
}}

===Vektoren bestimmter Länge===
Da wir nun gelernt haben, Einheitsvektoren zu bilden und Vektoren mit Zahlen zu multiplizieren (und ich das hier so schön betone), könnt ihr euch vielleicht schon vorstellen, wie man aus einem beliebigen Vektor einen Vektor derselben Richtung, allerdings unterschiedlicher Länge bekommt. Wir haben also einen Vektor $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ mit der Länge $\parallel \vec{v} \parallel = k$ gegeben, und hätten gerne den Vektor $\vec{w} \ \parallel \ \vec{v}$ mit der Länge $l$. Dazu berechnen wir zuerst den Einheitsvektor $\vec{v_0}$ von $\vec{v}$ und multiplizieren diesen dann mit $l$. So erhalten wir schließlich $\vec{w} = l \cdot \vec{v_0}$.

==Mittelpunkt einer Strecke==
[[Datei:Mittelpunkt.png|thumb|right|300px|Mittelpunkt M der Strecke AB]]Willst du den Mittelpunkt zwischen 2 Punkten $A$ und $B$ berechnen, musst du wie folgt vorgehen:
Zuerst berechnest du einen Vektor zwischen den Punkten ($\vec{AB}$ oder $\vec{BA}$). Dann halbierst du diesen Vektor, und erhältst $\vec{AM}$ bzw. $\vec{BM}$. Addierst du dann diesen Vektor zum entsprechenden Punkt ($A$ bzw. $B$), erhältst so den Mittelpunkt. Also:

<div align="center">$\vec{0M} = \vec{0A} + \frac{\vec{AB}}{2} = \vec{0B} + \frac{\vec{BA}}{2}$</div>

Kurzschreibweise:
<div align="center">$M = \vec{A} + \frac{\vec{AB}}{2}$ </div>

=Im $\mathbb{R^2}$=
Dieser Artikel befasst sich mit der Vektorrechnung im zweidimensionalen Raum. Grundlegende Informationen zur Vektorrechnung, so wie Punkte und Vektoren, findest du unter dem Tab ''Grundlagen der Vektorrechnung''.

==Vektoren==
===Normalvektoren===
[[Datei:Normalvektoren.png|thumb|right|350px|Normalvektoren]]Normalvektoren zu einem Vektor sind alle Vektoren, die normal (im rechten Winkel) auf den Vektor stehen. Im $\mathbb{R^2}$ gibt es zu jedem Vektor genau 2 Normalvektoren, die dieselbe Länge wie der ursprüngliche Vektor haben. Alle anderen Normalvektoren sind Vielfache eines dieser 2 Normalvektoren.

{{Vorlage:Merke | 1=Sei $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ ein Vektor, dann ist $\vec{n_1}=\left( \begin{array}{c} -y \\ x \end{array} \right)$ sein nach links gekippter, und $\vec{n_2}=\left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right)$ sein nach rechts gekippter Normalvektor.
''Vertausche die Koordinaten und ändere '''ein''' Vorzeichen''
}}

===Skalarprodukt===
Unter dem Skalarprodukt versteht man die Multiplikation zweier Vektoren, bei der als Ergebnis ein Skalar (eine Zahl) entsteht.

{{Vorlage:Merke|1=Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren, dann ist $\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \end{array} \right) = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b$ gleich ihr Skalarprodukt.
}}

Das Skalarprodukt wirkt auf den ersten Blick etwas "eigenartig". Man kann sich die Bedeutung des Skalarproduktes besonders gut an einem Anwendungsbeispiel erklären:
Angenommen in einer Preisliste stehen 10 Kugelschreiber, die jeweils 2€ kosten und 20 Bleistifte, die jeweils 0,50€ kosten.
In Tabellenform sieht das folgendermaßen aus:

{| class="wikitable"
|-
! Produkt !! Stückzahl !! Preis pro Stück (in €)
|-
| Kugelschreiber || 10 || 2
|-
| Bleistift || 20 || 0,50
|}

Aus dieser Tabelle kann ein Stückzahlvektor $\left( \begin{array}{c} 10 \\ 20 \end{array} \right)$ und ein Preisvektor $\left( \begin{array}{c} 2 \\ 0,50 \end{array} \right)$ abgelesen werden.

Möchte man den Gesamtwert der Produkte berechnen, so müssen jeweils die Einzelpreise mit der Stückzahl multipliziert werden und anschließend die Summe gebildet werden.
Genau das macht das Skalarprodukt!
$\left( \begin{array}{c} 10 \\ 20\end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0.50 \end{array} \right) = 10 \cdot 2 + 20 \cdot 0.50 = 20 + 10 = 30€ $

===Winkel zwischen zwei Vektoren===
[[Datei:Winkel.png|thumb|right|350px|Winkel zwischen 2 Vektoren]]<big>$$cos{\varphi} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel} = \vec{a_0} \cdot \vec{b_0}$$
bzw.
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = \parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel \cdot cos{\varphi}$$</big>

Heißt es, den Winkel zwischen 2 Vektoren/Geraden zu bestimmen, ist damit immer der kleinere Winkel gemeint. Solltest du einmal ein Ergebnis erhalten, das größer als 180° ist (nennen wir dieses Ergebnis $\varphi'$), dann ziehe dieses Ergebnis von 360° ab und du erhältst den kleineren Winkel ($\varphi = 360° - \varphi'$). 
Bei einem Winkel von $\varphi = 90°$ erhalten wir $cos{\varphi} = 0$, was bedeutet, dass auch $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$. Daraus ergibt sich das Orthogonalitätskriterium.

====Orthogonalitätskriterium====
{{Vorlage:Merke|1=Ergibt das Skalarprodukt zweier Vektoren $0$, so stehen diese zwei Vektoren normal zueinander (und umgekehrt!)$$\vec{a} \cdot \vec{b} \ = \ 0 \ \Leftrightarrow \ \vec{a} \bot \vec{b}$$}}

Mithilfe des Orthogonalitätskriteriums kann man auch zeigen, dass $\vec{n}=\left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right)$ stets ein Normalvektor von $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ ist.
$$\vec{v} \cdot \vec{n} = \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right) = xy - yx = 0$$

==Geraden==
===Darstellungsformen===
Geraden lassen sich in unterschiedlichen Formen darstellen. In der Vektorrechnung ist die Parameterdarstellung populär, da man dazu nur einen Punkt und Vektor kennen muss. Die Normalform allerdings hat den Vorteil, dass man den Normalvektor zur Geraden auf einen Blick ablesen kann. Je nachdem, was man mit der Gerade vorhat, können die verschiedenen Formen ineinander umgewandelt werden.

====Parameterdarstellung====
[[Datei:Parameterdarstellung.png|thumb|right|350px|Parameterdarstellung einer Geraden]]$$g: \vec{0X} = \vec{0P} + t \cdot \vec{a}$$ 
wobei

* $X \in g$ ist ein '''beliebiger''' Punkt auf der unendlichen Geraden (steht für alle Punkte auf der Geraden)
* $P \in g$ ist ein '''bekannter''' Punkt auf der Geraden
* $t \in \mathbb{R}$ ist ein freier Parameter (in der Graphik rechts $\lambda$)
* $\vec{a} \in \mathbb{R^2}$ ist ein Vektor parallel zur Geraden, der die Richtung dieser angibt ("Richtungsvektor")

 
Beachte, dass in der Parameterdarstellung keine Punkte, sondern Ortsvektoren verwendet werden! (Info zu Ortsvektoren findest du unter ''Grundlagen der Vektorrechnung''.) Wenn man das weiß, kann man der Einfachheit halber die Gerade auch folgendermaßen beschreiben: $g: X = P + t \cdot \vec{a}$

 
Eine andere Schreibweise ist, die Koordinaten einzeln zu betrachten und 2 Gleichungen aufzustellen:
$$g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \end{cases}$$

====Normalvektorform====
Hierzu benötigt man einen Normalvektor des Richtungsvektors und multipliziert dann die Geradengleichung mit diesem Normalvektor. Da $\vec{a} \cdot \vec{n} = 0$, bleibt über:

Sei $g: \vec{0X} = \vec{0P} + t \cdot \vec{a}$ eine Gerade in Parameterform, so ist

<div align="center">$g: \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x_P \\ y_P \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right)$</div>

dieselbe Gerade in Normalform, wobei $\vec{0X}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right), \ \vec{0P}=\left( \begin{array}{c} x_P \\ y_P \end{array} \right), \ \vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right)$ und $\vec{n}=\left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right)$ ein Normalvektor von $\vec{a}$ (hier kann man natürlich auch den anderen Normalvektor verwenden).

====Allgemeine Geradengleichung====
Diese Form der Darstellung heißt auch Normalform, da man den Normalvektor der Gerade direkt ablesen kann.Um von der Parameterdarstellung auf diese Form zu kommen, gibt es 2 Möglichkeiten:

'''1. Multiplikation mit Normalvektor:'''
Hierzu muss man einfach die Normalform ausmultiplizieren und es ergibt sich:

$$g: y_a \cdot x + -x_a \cdot y = y_a \cdot x_P + -x_a \cdot y_P$$

'''2. Elimination des Parameters:'''
Hierbei gehen wir von der Geradenform $g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \end{cases}$ aus, eliminieren $t$, und kommen ebenfalls auf die obige allgemeine Geradengleichung.
Auf der rechten Seite der Gleichung stehen nur bekannte Größen, auf der linken Seiten stehen Vielfache von x und y. Diese Gleichung kann man weiter auch auf die Form y=kx+d umformen.

===Lagebeziehungen zwischen Geraden===
Mehrere Geraden können im $\mathbb{R^2}$

* ident sein, d.h. sie haben unendlich viele gemeinsame Punkte
* parallel sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt
* einander schneiden, d.h. sie haben genau ein gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt)

 Sind uns 2 Geraden in '''Parameterdarstellung''' gegeben, betrachten wir zuerst ihre Richtungsvektoren. 
Sind diese parallel zueinander, so sind auch die Geraden parallel zueinander. Nun bleibt noch die Frage offen, ob die Geraden ident sind. Dazu überprüfen wir einfach, ob der gegebene Punkt der einen Geraden auch auf der anderen Geraden liegt. Dazu Setzen wir den bekannten Punkt der einen Geraden für den unbekannten Punkt der anderen Geraden ein und erhalten 2 Gleichungen in einer Unbekannten (Parameter der zweiten Gerade). Erhalten wir nun für den Parameter zweimal dasselbe Ergebnis, so sind die 2 Geraden ident, erhalten wir unterschiedliche Ergebnisse, so sind sie nur parallel. 
Sind die Richtungsvektoren nicht parallel zueinander, so sind es auch die 2 Geraden nicht, und wir können uns sicher sein, dass diese einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen.
Doch wie erhalten wir den Schnittpunkt? Ganz einfach, indem wir die 2 Geraden schneiden. Dazu müssen wir sie gleichsetzen, und dann das dadurch erhaltene Gleichungssystem in 2 Unbekannten (die 2 Parameter) lösen. Wenn wir den Wert eines Parameters ausgerechnet haben, setzen wir ihn einfach in die entsprechende Geradengleichung ein und erhalten so den Schnittpunkt!

Sind die 2 Geraden in der '''allgemeinen Geradenform''' gegeben, so haben wir bereits 2 Gleichungen gegeben, die wir nach x und y auflösen. Dieses x und y sind die Koordinaten des Schnittpunktes.

Um das Schneiden von Geraden besser zu verstehen, schau dir das Lösen von [[ Gleichungssysteme (2.7.) |Gleichungssystemen]] genauer an, wirf einen Blick auf die Beispiele zum $\mathbb{R^2}$ unter dem Tab 'Beispiele', oder sieh dir dieses Video an:

<div align="center">{{#ev:youtube|ZrFE3LRisn0}}</div>

===Normalabstand Punkt - Gerade===
[[Datei:Normalabstand.gif|right]]Gegeben sei ein Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und eine Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$. Um den Normalabstand $d(Q,g)$ zwischen Q und g zu berechnen, gehe wie folgt vor:
{{Vorlage:Merke|1=1. Bestimme die Gerade $q: X = Q + s \cdot \vec{n}$, die durch $Q$ geht und den Normalvektor $\vec{n}$ von $\vec{a}$ als Richtungsvektor besitzt.
2. Schneide $g$ und $q$ und die erhältst ihren Schnittpunkt $S$. 
3. Berechne $\parallel \vec{QS} \parallel$.}}
In der Graphik rechts hätten wir z.B. die Angabe $g: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right) + \lambda \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array} \right)$ und $Q(3/4)$. Du kannst das zur Übung durchrechnen.

====Hesse'sche Abstandsformel====
Mithilfe dieser Formel kann man ebenfalls den Abstand $d(Q,g)$ zwischen Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$ bestimmen. <big>$d(Q,g) = | \vec{PQ} \cdot \vec{n_0} | $</big>, wobei $\vec{n_0}$ der normierte (Länge 1) Normalvektor des Richtungsvektors $\vec{a}$ der Geraden $g$ ist.

====Spiegelung eines Punktes an einer Geraden====
[[Datei:Spiegeln.png|thumb|right|250px|Gespiegelter Punkt Q']]Gegeben sei ein Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und eine Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$. Es gilt den Punkt $Q$ an der Gerade $g$ zu spiegeln, und so den Punkt $Q'$ zu erhalten. Dazu befolgst du die Vorgehensweise von "Normalabstand Punkt - Gerade" bis du den Vektor $\vec{QS}$ erhältst, und trägst diesen vom Punkt $S$ ab, also: 
$Q' = S + \vec{QS}$

=Im $\mathbb{R^3}$=
==Vektoren==
===Kreuzprodukt===
Im $\mathbb{R^3}$ gibt es neben dem Skalarprodukt, bei dem wir als Ergebnis ein Skalar erhalten, eine weitere Möglichkeit, zwei Vektoren miteinander zu multiplizieren: das sog. Kreuz- oder Vektorprodukt, bei dem wir als Ergebnis einen Vektor erhalten.{{Vorlage:Merke|1=Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren des $\mathbb{R^3}$, dann ist ihr Kreuzprodukt
$$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} y_a \cdot z_b - z_a \cdot y_b \\ z_a \cdot x_b - x_a \cdot z_b \\ x_a \cdot y_b - y_a \cdot x_b \end{array} \right)$$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ -3 \end{array} \right)$, gesucht ist ihr Kreuzprodukt.|

2=$$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \cdot (-3) - 3 \cdot 4 \\ 3 \cdot 5 - 1 \cdot (-3) \\ 1 \cdot 4 - 2 \cdot 5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-6) - 12 \\ 15 - (-3) \\ 4 - 10 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -18 \\ 18 \\ -6 \end{array} \right)$$}}

Wozu wir das Kreuzprodukt überhaupt benötigen, sehen wir an den nächsten 2 Punkten.

====Normalvektoren====
Im $\mathbb{R^3}$ gibt es zu einem Vektor unendlich viele Normalvektoren. Auf eine Ebene allerdings gibt es genau 2 Normalvektoren (wie im $\mathbb{R^2}$ auf eine Gerade). Eine Ebene wird von 2 Vektoren aufgespannt, deren Kreuzprodukt ergibt einen Normalvektor $\vec{n_1}$ auf die Ebene bzw. die zwei Vektoren; der zweite Normalvektor hat die entgegengesetzte Orientierung ($\vec{n_2} = -\vec{n_1}$). Also:$$\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$$

====Fläche eines von zwei Vektoren aufgespannten Parallelogramms oder Dreiecks====
[[Datei:FlächeNormalvektor.png|thumb|right|none|250px|2 Vektoren spannen ein Dreieck bzw. Parallelogramm auf]] 
{{Vorlage:Merke|1=Die Länge $\parallel \vec{n} \parallel = \parallel \vec{a} \times \vec{b} \parallel$ des Normalvektors $\vec{n}$ zu den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ entspricht der Maßzahl des Flächeninhaltes des Parallelogramms, das $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aufspannen (im Bild die gesamte grüne Fläche).
Die Hälfte dieser Fläche entspricht der Fläche des aufgespannten Dreiecks.}}

===Skalarprodukt, Orthogonalitätskriterium, Winkel zwischen zwei Vektoren===
Diese drei Dinge "funktionieren" im $\mathbb{R^3}$ wie im $\mathbb{R^2}$. Also hier nur eine kurze Wiederholung: 

'''Skalarprodukt''' 
Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\z_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren, dann ist $$\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right) = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b + z_a \cdot z_b$$ gleich ihr Skalarprodukt.
 

'''Orthogonalitätskriterium''' 
Ergibt das Skalarprodukt zweier Vektoren $0$, so stehen diese zwei Vektoren normal zueinander (und umgekehrt!)
$$\vec{a} \cdot \vec{b} \ = \ 0 \ \Leftrightarrow \ \vec{a} \bot \vec{b}$$
Auch das gibt es im $\mathbb{R^3}$. Bedenke aber, dass es hier, anders als im $\mathbb{R^2}$, unendlich viele Normalvektoren auf einen Vektor gibt.
 

'''Winkel zwischen zwei Vektoren'''
$$cos{\varphi} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel} = \vec{a_0} \cdot \vec{b_0}$$

==Geraden==
===Darstellungsformen===
====Parameterdarstellung====
Die Parameterdarstellung im $\mathbb{R^3}$ sieht genauso aus wie im $\mathbb{R^2}$, einziger Unterschied ist, dass unsere Punkte und Vektoren hier jeweils 3 Koordinaten haben.$$g: X = P + t \cdot \vec{a}$$ bzw. $$g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \\ z = z_P + t \cdot z_a \end{cases}$$
Mehr Infos zu den einzelnen Komponenten findest du im Tab 'Im $\mathbb{R^2}$'.

====Parameterfreie Darstellungsform====
Diese besteht aus 2 Gleichungen und wir erhalten sie durch Eliminierung des Parameters.

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sei die Parameterform der Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ -4 \\ 1 \end{array} \right)$. Zuerst schreiben wir das in die 3 Koordinatengleichungen um:
$$g : \begin{cases} x = 2 + 3t \\ y = 0 - 4t \\ z = 1 + t \end{cases}$$

2=Wir multiplizieren die erste Gleichung mit $4$ und die zweite Gleichung mit $3$ und addieren die beiden: $$+ \begin{cases} 4x = 8 + 12t \\ 3y = 0 - 12t \end{cases}$$ und erhalten so die Gleichung $4x + 3y = 8$.
Wir multiplizieren die dritte Gleichung mit $3$ und subtrahieren diese von der ersten Gleichung: $$- \begin{cases} x = 2 + 3t \\ 3z = 3 + 3t \end{cases}$$ und erhalten so die Gleichung $x - 3z = -1$.

Die parameterfreie Darstellung unserer Gerade lautet somit $$g : \begin{cases} 4x + 3y = 8 \\ x - 3z = -1 \end{cases}$$.}}

Die zwei Gleichungen in der parameterfreien Darstellung sind übrigens Ebenengleichungen. Die eigentliche Gerade ist der Schnitt dieser zwei Ebenen!

===Lagebeziehungen zwischen Geraden===
Mehrere Geraden können im $\mathbb{R^3}$

* ident sein, d.h. sie haben unendlich viele gemeinsame Punkte
* parallel sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt
* einander schneiden, d.h. sie haben genau ein gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt)
* windschief sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt und sind nicht parallel

Um herauszufinden, wie 2 gegebene Geraden in Parameterform zueinander stehen, gehst du am besten wie folgt vor:

'''Betrachtung der Richtungsvektoren:''' Auch im $\mathbb{R^3}$ gilt, sind die Richtungsvektoren zweier Geraden parallel zueinander (d.h. man kann einen Vektor als Vielfaches des anderen Vektors darstellen), so sind es auch die Geraden.

'''Fall 1: Die Vektoren sind parallel:''' Sollte sich herausstellen, dass die zwei Geraden parallel zueinander sind, überprüfst du als nächstes, ob sie einen gemeinsamen Punkt haben; am einfachsten funktioniert das, indem du den bekannten Punkt ($P$) der einen Geraden in die zweite Gerade (für den unbekannten Punkt $X$) einsetzt. Wir erhalten drei Gleichungen in einer Unbekannten (Parameter der zweiten Gerade). 
'''Fall 1a:''' Erhalten wir nun für den Parameter dreimal dasselbe Ergebnis, so sind die 2 Geraden '''ident''' (und parallel), da der überprüfte Punkt, und somit unendlich weitere, auf beiden Geraden liegen. 
'''Fall 1b:''' Erhalten wir unterschiedliche Ergebnisse, so sind sie nur '''parallel''', da der überprüfte Punkt nicht, und somit auch kein anderer, auf beiden Geraden liegen.

'''Fall 2: Die Vektoren sind nicht parallel:''' Nun gibt es nur noch zwei Möglichkeiten: Entweder die zwei Geraden haben einen gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt), oder sie sind windschief. 
Um das wiederum herauszufinden, setzt du die beiden Geraden gleich, d.h. du stellst ein lineares Gleichungssystem (LGS) mit drei Gleichungen und in drei Unbekannten auf, und versuchst, dieses zu lösen. 
'''Fall 2a:''' Solltest du nun eine Lösung erhalten, d.h. du erhältst den Wert für den Parameter einer der zwei Geraden (und hast diesen Wert überprüft), so weißt du, dass die zwei Geraden einander '''schneiden'''. Den Schnittpunkt erhältst du jetzt, indem du den erhaltenen Wert für den Parameter in die entsprechende Geradengleichung einsetzt. 
'''Fall 2b:''' Sollte dein LGS keine Lösung ergeben (also sich eine falsche Aussage oder ein Widerspruch ergeben, z.B. $2=13$, oder $t=4$ und $t=-1$), dann weißt du, dass deine beiden Geraden keinen Schnittpunkt haben und somit '''windschief''' sind.

Zum besseren Verständnis siehst du dir am besten das folgende Video und die beiden folgenden Beispiele an.

<div align="center">{{#ev:youtube|u0QoYlEE094}}</div>
{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die beiden Geraden $g: X = \left( \begin{array}{c} 0 \\ -11 \\ -3 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right)$ und $h: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ -3 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right)$. Überprüfe deren gegenseitige Lage und gegebenenfalls ihren Schnittpunkt!|2=Zuerst überprüfen wir die Richtungsvektoren der beiden Geraden, um festzustellen, ob diese parallel zueinander sind oder nicht:$$\nexists \lambda : \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) = \lambda \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) \nparallel \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g \nparallel h$$
$g$ und $h$ sind also nicht parallel. Sie können also noch entweder einander schneiden oder windschief sein. Stellen wir nun ein LGS auf, indem wir die beiden Geraden gleichsetzen:
$$\begin{align}
I: \ &&&s&=&2&+&t \\
II: \ &-11&+&2s&=&3&-&3t \\
III: \ &-3&+&s&=&-3&+&2t
\end{align}$$ 
Wir subtrahieren $III$ von $I$: $- \begin{cases} &s &=& 2 + t \\ -3 + &s &=& -3 + 2t \end{cases} \ \rightarrow \ 3 = 5 - t \Rightarrow t = 2$ 
Wir überprüfen dieses Ergebnis für $t$, indem wir $t=2$ in alle 3 Gleichungen einsetzen. Wir sehen dann, dass wir überall dasselbe Ergebnis für $s$ erhalten, nämlich $s=4$. Daraus folgt, dass die Geraden einander '''schneiden'''. Setzen wir nun $t=2$ oder $s=4$ in die entsprechende Geradengleichung, so erhalten wir den Schnittpunkt $S(4/-3/1)$ der beiden Geraden.}}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die beiden Geraden $g: X = \left( \begin{array}{c} 3 \\ -2 \\ 0 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right)$ und $h: X = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$. Überprüfe deren gegenseitige Lage und ggf. ihren Schnittpunkt!|2=Zuerst überprüfen wir wieder die Richtungsvektoren der beiden Geraden:$$\nexists \lambda : \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) = \lambda \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) \nparallel \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g \nparallel h$$
Nun stellen wir wieder ein LGS auf:
$$\begin{align}
I: \ &3&+&2s&=&4&-&t \\
II: \ &-2&-&2s&=&3&& \\
III: \ &&&s&=&1&+&t
\end{align}$$ 
Aus der zweiten Gleichung lässt sich direkt berechnen, dass $s=- \frac{5}{2}$. Dies setzen wir nun in die erste und zweite Gleichung ein und erhalten einmal $3 - 5 = 4 - t \ \Rightarrow \ t=6$ und einmal $- \frac{5}{2} = 1 + t \ \Rightarrow \ t=- \frac{7}{2}$. Diese beiden Werte für $t$ sind offensichtlich voneinander unterschiedlich, daraus folgt, dass die beiden Geraden $g$ und $h$ '''windschief''' sind.
}}

==Ebenen==
Eine Ebene ist durch 3 Punkte oder 1 Punkt und 2 (voneinander linear unabhängigen) Vektoren eindeutig festgelegt.

===Darstellungsformen===
====Parameterdarstellung====
[[Datei:ebene2.png|thumb|right|350px|von Punkt und Vektoren aufgespannte Ebene]]
$$\epsilon : X = P + s \cdot \vec{a} + t \cdot \vec{b}$$
bzw.
$$\epsilon : \begin{cases} x = x_P + s \cdot x_a + t \cdot x_b \\ y = y_P + s \cdot y_a + t \cdot y_b \\ z = z_P + s \cdot z_a + t \cdot z_b \end{cases}$$
wobei

* $X \in \epsilon$ ist ein '''beliebiger''' Punkt auf der unendlichen Ebene
* $P \in \epsilon$ ist ein '''bekannter''' Punkt auf der Ebene
* $s, t \in \mathbb{R}$ sind freie Parameter
* $\vec{a}, \vec{b} \in \mathbb{R^3}$ sind zwei Vektoren, die parallel zur Ebene liegen

====Normalvektorform====
Man multipliziert die Parameterdarstellung der Ebene mit ihrem Normalvektor $\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$ und erhält$$\vec{n} \cdot \vec{X} = \vec{n} \cdot \vec{P}$$

====Allgemeine Ebenengleichung====
$$ax + by + cz = d$$Diese Form der Darstellung heißt auch Normalform, da man den Normalvektor der Ebene direkt ablesen kann. Um von der Parameterdarstellung auf diese Form zu kommen, gibt es 2 Möglichkeiten:

'''1. Multiplikation mit Normalvektor:'''
Hierzu muss man einfach die Normalform ausmultiplizieren und es ergibt sich:

$$\epsilon: x_n \cdot x + y_n \cdot y + z_n \cdot z = x_n \cdot x_P + y_n \cdot y_P + z_n \cdot z_P$$

'''2. Elimination des Parameters:'''
Hierbei gehen wir von der Ebenengleichung $\epsilon : \begin{cases} x = x_P + s \cdot x_a + t \cdot x_b \\ y = y_P + s \cdot y_a + t \cdot y_b \\ z = z_P + s \cdot z_a + t \cdot z_b \end{cases}$ aus, eliminieren $s$ und $t$, und kommen ebenfalls auf die obige allgemeine Ebenengleichung.

Zur Veranschaulichung ein Beispiel zu den verschiedenen Darstellungsformen:
{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die drei Punkte $A(1/1/1), B(-1/-4/2), C(0/3/-1)$. Gib die Ebene, die diese drei Punkte aufspannen, in Parameterform, Normalform und allgemeiner Ebenengleichung an!|2=Für die Parameterform berechnen wir erst zwei beliebige Vektoren aus den 3 Punkten, z.B. $\vec{AB} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{AC} = \left( \begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right)$. Als Parameterform erhalten wir schließlich:
$$\epsilon: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right)$$ Um auf die Normalform zu kommen, bestimmen wir als erstes den Normalvektor der Ebenen: $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-5) \cdot (-2) - 1 \cdot 2 \\ 1 \cdot (-1) - (-2) \cdot (-2) \\ (-2) \cdot 2 - (-5) \cdot (-1) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right)$. 
Nun die Parametergleichung mit dem Normalvektor multiplizieren und wir erhalten auch die Normalform:
$$\epsilon: \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)$$ 
Um nun noch die allg. Ebenenform zu erhalten, multipliziert man am einfachsten die Normalform aus und erhält:
$$\epsilon: 8x - 5y -9z =-6$$ 
Aber auch die Elimination der Parameter soll hier gezeigt werden. Wir gehen aus von: $$\epsilon : \begin{cases} x = 1 - 2s - t \\ y = 1 - 5s + 2t \\ z = 1 + s - 2t\end{cases}$$
Addieren wir die y- und die z-Gleichung, können wir $t$ eliminieren: $+ \begin{cases} y = 1 - 5s + 2t \\ z = 1 + s - 2t \end{cases} \ \Rightarrow \ y + z = 2 - 4s$. 
Wir können $t$ ebenfalls eliminieren, indem wir die y-Gleichung zum 2-fachen der x-Gleichung addieren: $+ \begin{cases} 2x = 2 - 4s - 2t \\ y = 1 - 5s + 2t \end{cases} \ \Rightarrow \ 2x + y = 3 -9s$. 
Nun haben wir zwei Gleichungen, die nur mehr von $s$ abhängig sind. Um diesen Parameter nun auch noch zu eliminieren, multiplizieren wir die erste Gleichung mit $(-9)$ und die zweite mit $4$ und addieren diese, um nochmals auf die allg. Ebenengleichung zu kommen.
$$+ \begin{cases} 8x + 4y = 12 - 36s \\ -9y - 9z = -18 + 36s \end{cases} \ \Rightarrow \ \epsilon: 8x - 5y -9z =-6$$
}}

===Lagebeziehungen===
====...zwischen zwei Ebenen====
Zwei Ebenen können im $\mathbb{R^3}$

* ident sein: die Ebenengleichungen (allg. Form) sind Vielfache voneinander;

z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : 2x + 2y + 2z = 6 \Rightarrow \epsilon _2 = 2 \cdot \epsilon _1$

* parallel sein: die Normalvektoren der Ebenen sind Vielfache voneinander;

z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : 2x + 2y + 2z = 5 \Rightarrow \vec{n_2} = 2 \cdot \vec{n_1}$

* einander schneiden (in einer Gerade): die Normalvektoren der Ebenen sind keine Vielfache voneinander;

z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : x - 3y + 2z = 1 \Rightarrow \nexists \lambda \in \mathbb{R} : \vec{n_1} = \lambda \cdot \vec{n_2}$

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:Ebenenident2.png|2 Ebenen sind ident
Datei:Ebenenparallel2.png|2 Ebenen sind parallel
Datei:Ebenenschnittgerade2.png|2 Ebenen schneiden einander in einer Geraden
</gallery>

 
'''Berechnen der Schnittgerade''' 
Erkennt man durch Betrachtung der Normalvektoren zweier Ebenen, dass diese einander schneiden müssen, so kann man diese Schnittgerade berechnen. Dazu erstellt man aus den beiden Ebenengleichungen ein lineares Gleichungssystem in 3 Unbekannten. 2 Gleichungen - 3 Unbekannte: wir werden hier nicht für alle Unbekannten einen Zahlenwert erhalten, können aber 2 Unbekannte in Abhängigkeit der dritten darstellen. Diese dritte Unbekannte wird uns als Parameter für die Darstellung der Geraden dienen. Zur Veranschaulichung ein Beispiel:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die beiden Ebenen $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : x - 3y + 2z = 1$. Wie wir weiter oben schon festgestellt haben, müssen diese Ebenen einander schneiden, da die beiden Noramlvektoren der Ebenen $\vec{n_1}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{n_2}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right)$ linear unabhängig voneinander sind, also $\nexists \lambda \in \mathbb{R} : \vec{n_1} = \lambda \cdot \vec{n_2}$. 
Wir wählen nun eine der Koordinaten als Parameter, z.B. $z=t$ und stellen das Gleichungssystem auf.

2=

$$\begin{align}I: \ &x&+&y&+&t&=&3 \\
II: \ &x&-&3y&+&2t&=&1
\end{align}$$

Wir subtrahieren $I-II$ und erhalten
$$4y - t = 2 \ \Rightarrow \ y = \frac{1}{2} + t \cdot \frac{1}{4}$$
Nun setzen wir unser erhaltenes $y$ in die erste Gleichung ein, um $x$ zu erhalten:

$$I: \ x + \frac{1}{2} + t \cdot \frac{1}{4} + t = 3 \ \Rightarrow \ x = \frac{5}{2} - t \cdot \frac{5}{4}$$
Somit haben wir alle Ausdrücke der Koordinaten gefunden ($z=t$ haben wir anfangs festgelegt) und können die Parameterdarstellung der Schnittgerade angeben:
$$g: X = \left( \begin{array}{c} \frac{5}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 0 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} - \frac{5}{4} \\ \frac{1}{4} \\ 1 \end{array} \right)$$
}}

====...zwischen 3 Ebenen====
Drei Ebenen können im $\mathbb{R^3}$

* alle ident sein
* 2 ident, 1 parallel sein
* alle parallel sein
* 3 Schnittgeraden haben
* 2 Schnittgeraden haben (2 Ebenen parallel)
* 1 Schnittgerade haben
* 1 Schnittpunkt haben

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:Ebenenident3.png|3 Ebenen sind ident
Datei:Ebenenidentparallel.png|2 Ebenen sind ident, 1 parallel
Datei:Ebenenparallel3.png|3 Ebenen sind parallel
Datei:Ebenenschnittgeraden33.png|3 Ebenen schneiden einander in 3 Geraden
Datei:Ebenenschnittgeraden32.png|3 Ebenen schneiden einander in 2 Geraden (2 Ebenen parallel)
Datei:Ebenenschnittgerade3.png|3 Ebenen schneiden einander in einer Gerade
Datei:Ebenenschnittgerade31.png|3 Ebenen schneiden einander in einer Gerade (2 Ebenen ident)
Datei:Ebenenschnittpunkt3.png|3 Ebenen schneiden einander in einem Punkt
</gallery>

====...zwischen Ebene und Gerade====
Eine Ebene und eine Gerade können im $\mathbb{R^3}$

* $g \subset \epsilon$, die Gerade liegt auf der Ebene

Hierbei haben die Gerade und die Ebene einen gemeinsamen Punkt und der Richtungsvektor der Gerade steht normal auf den Normalvektor der Ebene, daraus folgt, dass sie unendlich gemeinsame Punkte haben.

* parallel sein

Irgendein Punkt der Gerade liegt nicht auf der Ebene, der Richtungsvektor der Gerade steht normal auf den Normalvektor der Ebene, daraus folgt, dass sie keinen einzigen gemeinsamen Punkt haben.

* 1 Schnittpunkt haben

Der Richtungsvektor der Geraden steht nicht normal auf den Normalvektor der Ebene.

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:GeradeinEbene.png|Gerade liegt auf der Ebene
Datei:GeradepararallelEbene.png|Gerade und Ebene sind parallel zueinander
Datei:GeradeSchnittpunktEbene.png|Gerade und Ebene schneiden einander (Schnittpunkt)
</gallery>

Zur Überprüfung der Lagebeziehung gibt es allerdings noch eine andere (schnellere) Methode. Hier "schneiden" wir die Gerade und die Ebene mathematisch, d.h. wir setzen sie gleich (wenn beide in Parameterform gegeben sind) oder setzen die Gerade $g$ (Parameterform) in die Ebene $\epsilon$ (allg. Ebenengleichung) ein. 
Wir erhalten dadurch ein Gleichungssystem oder eine einzelne Gleichung.

Sei die Gerade gegeben als $g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \\ z = z_P + t \cdot z_a \end{cases}$ und die Ebene als $\epsilon : \begin{cases} x = x_Q + s \cdot x_b + u \cdot x_c \\ y = y_Q + s \cdot y_b + u \cdot y_c \\ z = z_Q + s \cdot z_b + u \cdot z_c \end{cases}$ (Parameterform) oder $\epsilon : ax + by + cz = d$ (allg. Ebenengleichung).

Wir erhalten als Gleichungssystem durch Gleichsetzen der Gleichungen der Parameterformen:
$$\begin{cases} x_P + t \cdot x_a = x_Q + s \cdot x_b + u \cdot x_c \\ y_P + t \cdot y_a = y_Q + s \cdot y_b + u \cdot y_c \\ z_P + t \cdot z_a = z_Q + s \cdot z_b + u \cdot z_c \end{cases}$$ 
Wir erhalten durch Einsetzen der Gerade in die Ebene (allg. Ebenengleichung):
$$a \cdot (x_P + t \cdot x_a) + b \cdot (y_P + t \cdot y_a) + c \cdot (z_P + t \cdot z_a) = d$$

Ergibt sich hier eine wahre Aussage (z.B. $1=1$), also unendlich viele Lösungen, so liegt die Gerade in der Ebene. 
Ergibt sich eine falsche Aussage (z.B. $1=2$), also keine Lösung, so schneiden die beiden Objekte einander nicht, also sie sind parallel. 
Gibt es genau eine Lösung (z.B. $t=2$), so existiert genau ein gemeinsamer Punkt = Schnittpunkt. Diesen erhält man, indem man den ermittelten Wert für den Parameter $t$ der Geraden in die Geradengleichung einsetzt (oder, wenn die Ebene in Parameterform gegeben war, die beiden Werte für die Parameter $s$ und $u$ der Ebene in die Ebenengleichung einsetzt). Dazu 2 Beispiele, wobei wir im ersten mit der Ebene in Parameterform rechnen werden:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right)$ und die Ebene $\epsilon : X = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -1 \\ -3 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) + u \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 0 \end{array} \right)$. Stellen wir nun also unser Gleichungssystem auf:

2=\begin{align}

I: \ & \ 1&-t&=&4& &+2u \\
II: \ &-3& &=&-1&+s&-u \\
III: \ & \ 2&+2t&=&-3&+s&
\end{align}

In der ersten Gleichung drücken wir $u$ in $t$ aus: $u = - \frac{3}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$ 
In der zweiten Gleichung drücken wir $s$ in $u$ aus: $s = -2 + u$ 
Das $u$ von oben setzen wir nun hier ein und erhalten $s$ in Abhängigkeit von $t$: $s = - \frac{7}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$.

Dieses $s$ setzen wir nun in die dritte Gleichung ein und wir erhalten: $2 + 2t = -3 - \frac{7}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$ und in weiterer Folge $t = - \frac{17}{5}$. 
Es ergibt sich also genau eine Lösung für das Gleichungssystem, was bedeutet, dass die Gerade und die Ebene einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen. Diesen erhalten wir, indem wir den errechneten Wert für $t$ in die Geradengleichung einsetzen (Man könnte natürlich auch noch die Werte für $s$ und $u$ berechnen, und diese in die Ebenengleichung einsetzen; zur Übung kannst du das gerne tun):
$$g: S = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) - \frac{17}{5} \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \frac{23}{5} \\ -3 \\ - \frac{24}{5} \end{array} \right)$$
}}

Betrachten wir nun dasselbe Beispiel, mit dem Unterschied, dass die Ebene in Normalform gegeben ist und wir auch gleich mit dieser Form rechnen:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right)$ und die Ebene $\epsilon : x + 2y - 2z = 8$. Wir setzen die Koordinatengleichungen der Gerade in die Normalform der Ebene:

2= $g$ in $\epsilon$: $$1 - t - 6 - 4 -4t =8$$

Wenn wir diese Gleichung lösen, erhalten wir, wie im ersten Bespiel, $t = - \frac{17}{5}$. Dies noch in die Geradengleichung einsetzen, und wir erhalten den Schnittpunkt.}}

Da man bei der zweiten Methode meistens weniger Rechenaufwand hat, zahlt es sich oft aus die Parameterdarstellung der Ebene in die Normalform (= allg. Ebenengleichung) umzurechnen.

==Pyramidenbeispiel==
[[Datei:Pyramidebsp.png|thumb|right|350px|Pyramide]]Gegeben seien 3 Eckpunkte $A(-2/-2/1), B(2/-2/1), C(2/2/1)$ der quadratischen Grundfläche und der Spitzpunkt $S(0/0/6)$ einer geraden (gerade bedeutet, dass die Spitze in einem rechten Winkel über dem Mittelpunkt der Grundfläche der Pyramide liegt) Pyramide.
Gesucht sind:

# der vierte Eckpunkt $D$ der Grundfläche
# die Parameterdarstellung der Trägergeraden $h$ der Höhe
# die Fläche der Grundfläche
# die Geradengleichung der Geraden $g_{AS}$ auf der $A$ und $S$ liegen in a)Parameterform und b)parameterfreier Form
# Der Winkel $\alpha$ zwischen den Vektoren $\vec{AS}$ und $\vec{AC}$
# Zeige, dass der Schnittpunkt der Geraden $g_{AS}$ und $h$ gleich die Spitze $S$ ist
# Gib die Ebenengleichung $\epsilon$ der Grundfläche in a)Parameterform, b)Normalform und c)allgemeiner Ebenengleichung an
# Berechne den Fußpunkt $M$ der Höhe, indem du $h$ und $\epsilon$ schneidest

1. $D = A + \vec{BC} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -2 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right)$ 
2. $h: X = S + t \cdot \vec{h}$
$$\vec{AB} \times \vec{BC} = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 16 \end{array} \right) \ \parallel \ \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) = \vec{h}$$
$$h: X = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$$ 
3. $G = \parallel \vec{AB} \times \vec{BC} \parallel = \parallel \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 16 \end{array} \right) \parallel = 16FE$ 
4. a) $g_{AS}: X = A + u \cdot \vec{AS}$
$$\vec{AS} = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g_{AS}: X = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + u \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right)$$ oder $$g_{AS}:\begin{cases} x = -2 + 2u \\ y = -2 + 2u \\ z = 1 + 5u \end{cases}$$
b) Parameter elimieren:
$$x - y: x-y = 0$$
$$5x - 2z: 5x - 2z = -12$$
$$\Rightarrow g_{AS}:\begin{cases} x - y = 0 \\ 5x - 2z = -12 \end{cases}$$ 
5. $\measuredangle \vec{AS},\vec{AC} = \alpha = arccos{\frac{\vec{AS} \cdot \vec{AC}}{\parallel \vec{AS} \parallel \cdot \parallel \vec{AC} \parallel}} = arccos{\frac{\left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right)}{\parallel \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) \parallel \cdot \parallel \left( \begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) \parallel}} = arccos{\frac{16}{\sqrt{33 \cdot 32}}} = 60,5°$ 
6. $g_{AS}$ und $h$ gleichsetzen:
$$\begin{align}
I: \ &-2&+&2u&=&0&& \\
II: \ &-2&+&2u&=&0&& \\
III: \ & \ \ 1&+&5u&=&6&+&t
\end{align}
\ \ \ \rightarrow u=1$$
$$g_{AS}: S = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + 1 \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array} \right)$$ 
7. a) $\epsilon: X = A + v \cdot \vec{AB} + w \cdot \vec{BC} \ \rightarrow \ \epsilon: X = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + v \cdot \left( \begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) + w \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right)$ 
b) $\epsilon: \vec{n} \cdot \vec{X} = \vec{n} \cdot \vec{A} \ \rightarrow \ \epsilon: \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right)$ 
c) $\epsilon: z = 1$ 
8. $h:\begin{cases} x=0 \\ y=0 \\ z=6+t \end{cases} \ \ \epsilon: z=1 \ \ \rightarrow \ 1 = 6 + t \ \Rightarrow \ t=-5$ 
$h: M = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array} \right) -5 \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$

=Beispiele=
Hier findest du Beispiele zu den behandelten Themen:

===Grundlagen der Vektorrechnung===
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/9/99/VektorrechnungGLBspAngabe.pdf VektorrechnungGLBspAngabe.pdf] 
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/0/00/VektorrechnungGLBspL%C3%B6sung.pdf VektorrechnungGLBspLösung.pdf]

===Vektorrechnung im $\mathbb{R^2}$===
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/7/7f/VektorrechnungR2BspAngabe.pdf VektorrechnungR2BspAngabe.pdf] 
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/f/ff/VektorrechnungR2BspL%C3%B6sung.pdf VektorrechnungR2BspLösung.pdf]

Vektorrechnung

2016-06-11T09:41:10Z

Lajtos: /* Wie Vektoren zueinander stehen */

=Grundlagen=
==Koordinatensystem==
[[Datei:Quadranten.png|thumb|Coordinate System|thumb|right|350px|Koordinatengitter im $\mathbb{R^2}$ mit den 4 Quadranten]]

Für die Vektorrechnung sind Koordinatensysteme essentiell.
Im zweidimensionalen Raum besitzt ein Koordinatensystem 2 Achsen:

* die x-Achse (waagrecht) und
* die y-Achse (senkrecht)

 
Diese sind unendlich lang und Spannen die vier sogenannten Quadranten auf, die meist mit den römischen Ziffern I-IV beschriftet werden (gesprochen: Erster Quadrant, Zweiter Quadrant etc.). Die rechte Graphik zeigt die die Position der Quadranten. Dort, wo die 2 Achsen einander treffen, liegt der sog. Ursprung (kurz: $\vec{0}$); seine Koordinaten sind (0/0).

Was es außerdem noch zu beachten gibt, hast du vielleicht bereits selbst erkannt:
An den gegenüberliegenden Seiten der x- und y-Achsen werden unterschiedliche Vorzeichen verwendet. So spricht man "links" des Ursprungs von der negativen, bzw. "rechts" des Ursprungs von der positiven x-Achse. Analog spricht man "oben" und "unten" von der positiven und negativen y-Achse.

Im dreidimensionalen Raum kommt eine dritte Achse - die z-Achse - dazu. Punkte und Vektoren besitzen dementsprechend dann auch 3 Koordinaten. Dies kann man bis ins n-dimensionale weiterführen.

==Punkte==
In ein Koordinatensystem lassen sich Punkte eintragen. Diese besitzen, entsprechend ihrer Lage, Koordinaten. Im obigen Bild z.B. haben wir die Punkte A und B, wobei sich A im ersten Quadranten befindet und B im vierten Quadranten. Man schreibt: A(2/3,5) B(1/-2).

[[Datei:Punkte Abstand.png|thumb|right|350px|Punkte im $\mathbb{R^2}$]]

{{Vorlage:Merke |''Einen'' '''allgemeinen Punkt''' ''schreibt man an als'' $P(x_1/x_2/.../x_n)$ (im n-dimensionalen Raum $\mathbb{R^n}$) ''bzw.'' $P(x/y)$ (im 2-dimensionalen Raum $ \mathbb{R^2}$) ''oder'' $P(x/y/z)$ (im 3-dimensionalen Raum $\mathbb{R^3}$).
 
Die erste Koordinate entspricht der x-Koordinate, die zweite der y-Koordinate, die eventuelle dritte der z-Koordinate.

Punkte werden in der Regel mit Großbuchstaben bezeichnet.}}

Koordinaten von Punkten lassen sich also ganz einfach ablesen. Die x/y-Koordinate entspricht dabei dem Abstand vom Ursprung zum Punkt in Richtung der jeweiligen Koordinatenachse. So erkennen wir im Bild rechts die folgenden Punkte:

* A(2/0)
* B(0/-2)
* C(-1/2)

=Vektoren=

==Definition & Darstellung von Vektoren==
{{Vorlage:Definition |1= Ein Zahlenpaar $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \in \mathbb{R^2}$ wird als '''Vektor aus $\mathbb{R^2}$ ''' bezeichnet.
Analog bezeichnet man ein Zahlentripel $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) \in \mathbb{R^3}$ als '''Vektor aus $\mathbb{R^3}$ '''. 
Ein '''allgemeiner Vektor''' wird $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) \ \in \mathbb{R^n}$ geschrieben.

}}

Da sowohl die Rechenoperationen als auch die geometrischen Darstellungen leicht vom $\mathbb{R^2}$ in den $\mathbb{R^3}$ übertragen werden können, werden wir meistens nur die Vorgangsweise für Zahlenpaare aus dem $\mathbb{R^2}$ beschreiben.

===Geometrische Darstellung von Vektoren===

Es gibt zwei Möglichkeiten, wie wir einen Vektor $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right) \ \in \mathbb{R^2}$ geometrisch darstellen können:
* '''Darstellung als Punkt''': Dabei gibt $a$ die x-Koordinate und $b$ die y-Koordinate des Punktes an. Die Beschriftung erfolgt mit Großbuchstaben.
* '''Darstellung als Pfeil''': Dabei gibt $a$ die x-Richtung des Pfeils (wie weit zeigt der Pfeil nach links bzw. rechts) und $b$ die y-Richtung des Pfeils (wie weit zeigt der Pfeil nach oben bzw. nach unten) an. Pfeile werden mit Kleinbuchstaben (oft mit Pfeil $\vec{v}$) beschriftet.

Die Darstellung als Punkt ist eindeutig! Einem Zahlenpaar (=Vektor) entspricht genau ein Punkt!
Die Darstellung als Pfeil ist nicht eindeutig! Es gibt unendlich viele Pfeile, die denselben Vektor darstellen. Diese Pfeile sind aber alle parallel, gleich lang und gleich gerichtet.

'''Beispiel:''' Darstellung des Vektors $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$
{| class="wikitable"
|-
| '''Punktdarstellung des Vektors'''|| '''Mögliche Pfeildarstellungen des Vektors'''
|-
| [[Datei:Punkt.png|thumb|300px]]|| [[Datei:Pfeile.png|thumb|300px]]
|}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 3 \\ -4 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 5 \end{array} \right)$. Stelle $\vec{a}$ und $\vec{b}$ als Punkte und als Pfeile dar.
|2=[[Datei:Punkt Pfeil Bsp.png|300px]] 
'''Anmerkungen:'''
* Für die Pfeildarstellungen gibt es mehrere (unendlich viele) Möglichkeiten. Der von dir gezeichnete Pfeil muss jedenfalls parallel, gleich gerichtet und gleich lang wie der abgebildete Pfeil sein!
* Aus "Bequemlichkeitsgründen" zeichnet man die Pfeile oft beginnend beim Ursprung ein:
[[Datei:Punkt Pfeil Bsp2.png|300px]]
 
}}

Vektoren des $\mathbb{R^3}$ können auch auf diese zwei Arten dargestellt werden. Der einzige Unterschied dabei ist, dass die Punkte bzw. Pfeile im dreidimensionalen Raum liegen. Es gibt also noch eine dritte Richtung, die durch die z-Koordinate des Vektors angegeben wird.

===Ortsvektoren===
[[Datei:Ortsvektor.png|thumb|right|250px|Punkt und zugehöriger Ortsvektor]]Der Ortsvektor von einem Punkt ist der Vektor, der vom Ursprung aus auf den Punkt zeigt. Die Koordinaten bleiben deshalb gleich, es ändert sich quasi nur die Schreibweise:

Sei $A(x_1/x_2/.../x_n)$ ein Punkt in der Dimension $n$, dann ist $\vec{0A} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ dessen Ortsvektor.
 
 
 
 
 

==Rechnen mit Vektoren==

===Addition und Subtraktion von Vektoren===
{{Vorlage:Merke|1=Wenn du Vektoren addieren oder subtrahieren möchtest, musst du dazu die entsprechenden Koordinaten addieren: 
$\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) \pm \left( \begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ ... \\ y_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x_1 \pm y_1 \\ x_2 \pm y_2 \\ ... \\ x_n \pm y_n \end{array} \right)$ 
Wichtig ist dabei, dass die Vektoren, die du addieren oder subtrahieren möchtest, derselben Dimension $n$ angehören! D.h. sie haben gleich viele Koordinaten.}}
{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben seien die beiden Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right)$. Berechne erst $\vec{a} + \vec{b}$, dann $\vec{a} - \vec{b}$ und zuletzt $\vec{b} - \vec{a}$!
|2= $\vec{a} + \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 5+1 \\ 2+(-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 6 \\ -1 \end{array} \right)$
$\vec{a} - \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 5-1 \\ 2-(-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 5 \end{array} \right)$ 
$\vec{b} - \vec{a} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 1-5 \\ -3-2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -4 \\ -5 \end{array} \right)$}}

===Vektoren bestimmen: "Spitze minus Schaft" ("Ziel minus Start")===
[[Datei:Spitzeschaft.png|thumb|right|300px|"Spitze minus Schaft"]]Zwischen 2 Punkten kann man nun einen Vektor definieren. Dabei gilt: Die '''"Spitze minus Schaft"'''-Regel Im Bild rechts wollen wir den Vektor berechnen, der von A nach B geht, also den Vektor $\vec{AB}$. Der Punkt B(3/3,5) entspricht hierbei der Spitze, und der Punkt A(1/0,5) dem Schaft. Da das Rechnen mit Punkten allerdings keinen Sinn ergibt, rechnet man stattdessen mit deren Ortsvektoren (siehe oben).

Für unser Beispiel bedeutet das: $\vec{0B} - \vec{0A} = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 3,5 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0,5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 3-1 \\ 3,5-0,5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right) = \vec{AB}$

'''Beachte außerdem:'''

* Man schreibt der Einfachheit halber oft nur $B-A$, obwohl eigentlich $\vec{0B} - \vec{0A}$ gemeint ist.
* Der Vektor $\vec{AB}$ zeigt in die entgegengesetzte Richtung von $\vec{BA}$. Das bedeutet, dass diese beiden Vektoren entgegengesetzte Vorzeichen haben: $\vec{AB} = - \vec{BA}$

 

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die Punkte A=(1/2); B=(-3/1); C=(-4,-1). Bilde die folgenden Verbindungsvektoren: 
 
# $\vec{AB}$
# $\vec{BA}$
# $\vec{AC}$
# $\vec{BC}$

|2=
$\ $
# $\vec{AB}=B-A=\left( \begin{array}{c} -3 \\ 1\end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} -4 \\ -1\end{array} \right)$
# $\vec{BA}=-\vec{AB}=\left( \begin{array}{c} 4 \\ 1 \end{array} \right)$
# $\vec{AC}=\left( \begin{array}{c} -4 \\ -1\end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} -5 \\ -3\end{array} \right)$
# $\vec{BC}=\left( \begin{array}{c} -4 \\ -1\end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} -3 \\ 1 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} -1 \\ -2\end{array} \right)$
 
'''Tipps:'''
* Pass gut auf die Vorzeichen auf! Beim Subtrahieren von Vektoren passieren leider häufig Vorzeichenfehler! Sei deshalb besonders achtsam!
* Zeichne die Punkte in ein Koordinatensystem und zeichne die Verbindungsvektoren ein. Bei einfachen Koordinaten kannst du den Verbindungsvektor ohne Rechnung ablesen (Probiere es aus!).

 
}}

===Produkt eines Vektors mit einem Skalar===
Wenn man einen Vektor $\vec{v}$ mit einer [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)|reellen Zahl]] $k$ , einem sogenannten "Skalar", multipliziert, werden dabei die einzelnen Koordinaten mit dem Skalar multipliziert:

$k \cdot \vec{v} = k \cdot \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} k \cdot x_1 \\ k \cdot x_2 \\ ... \\ k \cdot x_n \end{array} \right)$

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sei der Vektor $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right)$. Multipliziere diesen einmal mit $2$ und einmal mit $-5$!
|2= $2 \cdot \vec{a} = 2 \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \cdot 2 \\ 2 \cdot (-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -6 \end{array} \right)$
$(-5) \cdot \vec{a} = (-5) \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-5) \cdot 2 \\ (-5) \cdot (-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -10 \\ 15 \end{array} \right)$}}

==Geometrische Darstellung der Rechenoperationen==
===Geometrische Darstellung der Vektoraddition===
Die Addition zweier Vektoren kann auf zwei verschiedene Arten geometrisch gedeutet werden. Wir illustrieren die beiden Möglichkeiten anhand des Beispiels $\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2\end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$

{| class="wikitable"
|-
| '''Punkt + Pfeil - Darstellung:'''|| '''Pfeil + Pfeil - Darstellung'''
|-
| ''An einen Punkt wird ein Pfeil angehängt.'' In unserem Beispiel wird an den Punkt (1/2) ein Pfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$ angehängt. Das Ergebnis der Addition ist der Punkt am Ende des Pfeils (5/5). || ''Zwei Pfeile werden aneinandergehängt. In unserem Beispiel wird also ein Pfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$ und ein Pfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)$ aneinandergehängt. Das Ergebnis der Addition ist der entstehende Verbindungspfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 5 \\ 5 \end{array} \right)$
|-
| [[Datei:Vektoraddition1.png|left|400px]]|| [[Datei:Vektoraddition2.png|left|500px]]
|-
| '''Anmerkung:''' Diese Darstellung ist hilfreich, wenn wir von einem Punkt ausgehen und zu einem neuen Punkt gelangen wollen.|| Es spielt keine Rolle, in welcher Reihenfolge die Vektoren angehängt werden. Die Addition ist kommutativ!
|}

===Geometrische Darstellung der Multiplikation mit einem Skalar===

Eine Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl $a$ (Skalar) entspricht einer Streckung (für $|a|>1$) bzw. einer Stauchung (für $|a|<1$) des zugehörigen Pfeiles.
Ist das Vorzeichen des Skalars negativ, so dreht sich die Richtung des Pfeils in die entgegengesetzte Richtung.

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sei wiederum der Vektor $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right)$. Stelle die Multiplikation mit $2$, mit $-5$ und mit $0.5$ graphisch dar!
|2= Rechnerische Lösung und graphische Interpretation:
* $2 \cdot \vec{a} = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -6 \end{array} \right)$. Der Vektor $2\cdot \vec{a}$ hat die doppelte Länge und dieselbe Richtung wie $\vec{a}$
* $(-5) \cdot \vec{a} = \left( \begin{array}{c} -10 \\ 15 \end{array} \right)$. Der Vektor $(-5)\cdot \vec{a}$ ist fünfmal so lang wie $\vec{a}$ und zeigt in die entgegengesetzte Richtung wie $\vec{a}$
* $(0.5) \cdot \vec{a} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1.5 \end{array} \right)$ Der Vektor $0.5\cdot \vec{a}$ ist halb so lang wie $\vec{a}$ und zeigt in dieselbe Richtung wie $\vec{a}$
}}

{{#widget:Iframe
|url= http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_vektorrechnung/MV_Vektor1/MV_Vektor1/sites/Vektortest.html
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}}
[http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_vektorrechnung/MV_Vektor1/MV_Vektor1/ (Quelle dieses Applets)]

Hilfe zum Applet: Gib in die Eingabezeile den Buchstaben des Vektors bzw. die entsprechende Summe / Differenz an. (z.B. $u=a$)

===Wie Vektoren zueinander stehen===
Vektoren können unterschiedliche Richtungen haben, aber auch parallel zueinander oder gar identisch sein. Optisch lässt sich das oft sehr leicht erkennen. Die Lage von Vektoren zueinander kann aber auch rechnerisch überprüft werden.

{{Vorlage:Definition |Unter einem Vektor versteht man die Menge aller gleichlangen, gleichgerichteten und gleichorientierten Pfeile.

Der Start/Endpunkt spielen dabei keine Rolle!}}

{{Vorlage:Merke|2 Vektoren stehen parallel zueinander, wenn ein Vektor als Vielfaches des anderen Vektors angeschrieben werden kann. 
Man sagt auch: Die Vektoren sind [[linear abhängig]].}}

Sehen wir uns die verschiedenen Fälle an:

{| class="wikitable"
|-
|ident: gleiche Richtung, gleiche Orientierung, gleiche Länge
||[[Datei:Vektorv1.png|none|250px]]
||$\vec{v} = \vec{u} \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$
||z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$
|-
||parallel (gleiche Orientierung): gleiche Richtung, gleiche Orientierung, unterschiedliche Länge
| [[Datei:Vektorenlänge.png|none|250px]]
||$\exists k>0 : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$
||z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} \frac{4}{3} \\ 2 \end{array} \right)$, $k = \frac{2}{3} $
|-
||parallel (unterschiedliche Orientierung): 
| [[Datei:Vektororientierung1.png|none|250px]]
||$\exists k<0 : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$
||z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} -2 \\ -3 \end{array} \right)$, $k=-1$

|-
||linear unabhängig
| [[Datei:Vektorrichtung1.png|none|250px]]
||$\nexists k : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \nparallel \vec{u}$
||z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 3 \end{array} \right)$
|}

{{Vorlage:Beispiel|1=Überprüfe ob die Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 5 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$ linear unabhängig voneinander sind.

|2=Wenn es ein k gibt, sodass $k \cdot \vec{a} = \vec{b}$, dann sind die beiden Vektoren voneinander linear abhängig, und somit auch parallel zueinander.

Es gibt mehrere Lösungsmöglichkeiten:
*Möglichkeit 1: Lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen
$I: 2k = 4 \ \ \rightarrow k=2$
$II: 5k = 3 \ \ \rightarrow k=\frac{3}{5}$

Aus der ersten Gleichung ergibt sich k=2, in der zweiten aber $k=\frac{3}{5}$. $k$ kann aber nicht beides sein, somit haben wir eine falsche Aussage erhalten. Daraus folgt, dass die beiden Vektoren '''linear unabhängig''' und somit nicht parallel zueinander sind.

* Möglichkeit 2: "Vergleichen und Probieren"
Vergleicht man die x-Koordinaten der beiden Vektoren, so sieht man, dass 4 doppelt so groß wie 2 ist. Daraus ergibt sich, dass ein etwaiges k=2 sein müsste.
Probiert man auch die zweite Zeile mit 2 zu multiplizieren, so erhält man 10. Die y-Koordinate von b müsste also 10 sein, damit die beiden Vektoren parallel zueinander sind.
}}

 

===Betrag und Einheitsvektor===
[[Datei:PythagorasVektor.png|thumb|right|350px|Betrag eines Vektors; Einheitsvektor]]Wie anfangs bereits erwähnt, besitzen Vektoren eine Länge, auch '''Betrag''' eines Vektors genannt. Dieser wird mit Hilfe des pythagoräischen Lehrsatzes wie folgt berechnet:

<div align="center">$\parallel \vec{v} \parallel = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2} \ $ wenn $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ ein Vektor der Dimension $n$ ist.</div>
Sehen wir uns die Grafik rechts an, können wir mit dieser Formel die Länge des zweidimensionalen Vektors $\parallel \vec{v} \parallel$ berechnen:

<div align="center">$\parallel \vec{v} \parallel = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$</div>
 Der '''Einheitsvektor''' $\vec{a_0}$ eines Vektors $\vec{a}$ ist ein zu $\vec{a}$ paralleler Vektor mit Länge 1. Rechnerisch erhält man $\vec{a_0}$, indem man $\vec{a}$ durch seine Länge dividiert. $ \vec{a_0}

=\frac{\vec{a}}{\parallel \vec{a}\parallel}$
bzw.
$ \vec{a_0}=\frac{1}{\parallel\vec{a}\parallel}\cdot \vec{a}$

Daraus ergibt sich ein Vektor, der dieselbe Richtung des ursprünglichen Vektors hat, allerdings die Länge 1 besitzt.

{{Vorlage:Merke|1=
Sei $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ ein Vektor der Dimension $n$ und $\parallel \vec{v} \parallel$ sein Betrag, dann ist $\vec{v_0} = \frac{1}{\parallel \vec{v} \parallel} \cdot \vec{v} \ $ der Einheitsvektor zu $\vec{v}$.}}

In unserem Beispiel würde das folgendes bedeuten:

{{Vorlage:Beispiel|1= Bestimme den Einheitsvektor von $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$

|2=<div align="center">$\vec{v_0} = \frac{1}{\sqrt{13} } \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \frac{2}{\sqrt{13} } \\ \frac{3}{\sqrt{13} } \end{array} \right)$</div>
}}

===Vektoren bestimmter Länge===
Da wir nun gelernt haben, Einheitsvektoren zu bilden und Vektoren mit Zahlen zu multiplizieren (und ich das hier so schön betone), könnt ihr euch vielleicht schon vorstellen, wie man aus einem beliebigen Vektor einen Vektor derselben Richtung, allerdings unterschiedlicher Länge bekommt. Wir haben also einen Vektor $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ mit der Länge $\parallel \vec{v} \parallel = k$ gegeben, und hätten gerne den Vektor $\vec{w} \ \parallel \ \vec{v}$ mit der Länge $l$. Dazu berechnen wir zuerst den Einheitsvektor $\vec{v_0}$ von $\vec{v}$ und multiplizieren diesen dann mit $l$. So erhalten wir schließlich $\vec{w} = l \cdot \vec{v_0}$.

==Mittelpunkt einer Strecke==
[[Datei:Mittelpunkt.png|thumb|right|300px|Mittelpunkt M der Strecke AB]]Willst du den Mittelpunkt zwischen 2 Punkten $A$ und $B$ berechnen, musst du wie folgt vorgehen:
Zuerst berechnest du einen Vektor zwischen den Punkten ($\vec{AB}$ oder $\vec{BA}$). Dann halbierst du diesen Vektor, und erhältst $\vec{AM}$ bzw. $\vec{BM}$. Addierst du dann diesen Vektor zum entsprechenden Punkt ($A$ bzw. $B$), erhältst so den Mittelpunkt. Also:

<div align="center">$\vec{0M} = \vec{0A} + \frac{\vec{AB}}{2} = \vec{0B} + \frac{\vec{BA}}{2}$</div>

Kurzschreibweise:
<div align="center">$M = \vec{A} + \frac{\vec{AB}}{2}$ </div>

=Im $\mathbb{R^2}$=
Dieser Artikel befasst sich mit der Vektorrechnung im zweidimensionalen Raum. Grundlegende Informationen zur Vektorrechnung, so wie Punkte und Vektoren, findest du unter dem Tab ''Grundlagen der Vektorrechnung''.

==Vektoren==
===Normalvektoren===
[[Datei:Normalvektoren.png|thumb|right|350px|Normalvektoren]]Normalvektoren zu einem Vektor sind alle Vektoren, die normal (im rechten Winkel) auf den Vektor stehen. Im $\mathbb{R^2}$ gibt es zu jedem Vektor genau 2 Normalvektoren, die dieselbe Länge wie der ursprüngliche Vektor haben. Alle anderen Normalvektoren sind Vielfache eines dieser 2 Normalvektoren.

{{Vorlage:Merke | 1=Sei $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ ein Vektor, dann ist $\vec{n_1}=\left( \begin{array}{c} -y \\ x \end{array} \right)$ sein nach links gekippter, und $\vec{n_2}=\left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right)$ sein nach rechts gekippter Normalvektor.
''Vertausche die Koordinaten und ändere '''ein''' Vorzeichen''
}}

===Skalarprodukt===
Unter dem Skalarprodukt versteht man die Multiplikation zweier Vektoren, bei der als Ergebnis ein Skalar (eine Zahl) entsteht.

{{Vorlage:Merke|1=Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren, dann ist $\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \end{array} \right) = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b$ gleich ihr Skalarprodukt.
}}

Das Skalarprodukt wirkt auf den ersten Blick etwas "eigenartig". Man kann sich die Bedeutung des Skalarproduktes besonders gut an einem Anwendungsbeispiel erklären:
Angenommen in einer Preisliste stehen 10 Kugelschreiber, die jeweils 2€ kosten und 20 Bleistifte, die jeweils 0,50€ kosten.
In Tabellenform sieht das folgendermaßen aus:

{| class="wikitable"
|-
! Produkt !! Stückzahl !! Preis pro Stück (in €)
|-
| Kugelschreiber || 10 || 2
|-
| Bleistift || 20 || 0,50
|}

Aus dieser Tabelle kann ein Stückzahlvektor $\left( \begin{array}{c} 10 \\ 20 \end{array} \right)$ und ein Preisvektor $\left( \begin{array}{c} 2 \\ 0,50 \end{array} \right)$ abgelesen werden.

Möchte man den Gesamtwert der Produkte berechnen, so müssen jeweils die Einzelpreise mit der Stückzahl multipliziert werden und anschließend die Summe gebildet werden.
Genau das macht das Skalarprodukt!
$\left( \begin{array}{c} 10 \\ 20\end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0.50 \end{array} \right) = 10 \cdot 2 + 20 \cdot 0.50 = 20 + 10 = 30€ $

===Winkel zwischen zwei Vektoren===
[[Datei:Winkel.png|thumb|right|350px|Winkel zwischen 2 Vektoren]]<big>$$cos{\varphi} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel} = \vec{a_0} \cdot \vec{b_0}$$
bzw.
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = \parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel \cdot cos{\varphi}$$</big>

Heißt es, den Winkel zwischen 2 Vektoren/Geraden zu bestimmen, ist damit immer der kleinere Winkel gemeint. Solltest du einmal ein Ergebnis erhalten, das größer als 180° ist (nennen wir dieses Ergebnis $\varphi'$), dann ziehe dieses Ergebnis von 360° ab und du erhältst den kleineren Winkel ($\varphi = 360° - \varphi'$). 
Bei einem Winkel von $\varphi = 90°$ erhalten wir $cos{\varphi} = 0$, was bedeutet, dass auch $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$. Daraus ergibt sich das Orthogonalitätskriterium.

====Orthogonalitätskriterium====
{{Vorlage:Merke|1=Ergibt das Skalarprodukt zweier Vektoren $0$, so stehen diese zwei Vektoren normal zueinander (und umgekehrt!)$$\vec{a} \cdot \vec{b} \ = \ 0 \ \Leftrightarrow \ \vec{a} \bot \vec{b}$$}}

Mithilfe des Orthogonalitätskriteriums kann man auch zeigen, dass $\vec{n}=\left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right)$ stets ein Normalvektor von $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ ist.
$$\vec{v} \cdot \vec{n} = \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right) = xy - yx = 0$$

==Geraden==
===Darstellungsformen===
Geraden lassen sich in unterschiedlichen Formen darstellen. In der Vektorrechnung ist die Parameterdarstellung populär, da man dazu nur einen Punkt und Vektor kennen muss. Die Normalform allerdings hat den Vorteil, dass man den Normalvektor zur Geraden auf einen Blick ablesen kann. Je nachdem, was man mit der Gerade vorhat, können die verschiedenen Formen ineinander umgewandelt werden.

====Parameterdarstellung====
[[Datei:Parameterdarstellung.png|thumb|right|350px|Parameterdarstellung einer Geraden]]$$g: \vec{0X} = \vec{0P} + t \cdot \vec{a}$$ 
wobei

* $X \in g$ ist ein '''beliebiger''' Punkt auf der unendlichen Geraden (steht für alle Punkte auf der Geraden)
* $P \in g$ ist ein '''bekannter''' Punkt auf der Geraden
* $t \in \mathbb{R}$ ist ein freier Parameter (in der Graphik rechts $\lambda$)
* $\vec{a} \in \mathbb{R^2}$ ist ein Vektor parallel zur Geraden, der die Richtung dieser angibt ("Richtungsvektor")

 
Beachte, dass in der Parameterdarstellung keine Punkte, sondern Ortsvektoren verwendet werden! (Info zu Ortsvektoren findest du unter ''Grundlagen der Vektorrechnung''.) Wenn man das weiß, kann man der Einfachheit halber die Gerade auch folgendermaßen beschreiben: $g: X = P + t \cdot \vec{a}$

 
Eine andere Schreibweise ist, die Koordinaten einzeln zu betrachten und 2 Gleichungen aufzustellen:
$$g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \end{cases}$$

====Normalvektorform====
Hierzu benötigt man einen Normalvektor des Richtungsvektors und multipliziert dann die Geradengleichung mit diesem Normalvektor. Da $\vec{a} \cdot \vec{n} = 0$, bleibt über:

Sei $g: \vec{0X} = \vec{0P} + t \cdot \vec{a}$ eine Gerade in Parameterform, so ist

<div align="center">$g: \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x_P \\ y_P \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right)$</div>

dieselbe Gerade in Normalform, wobei $\vec{0X}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right), \ \vec{0P}=\left( \begin{array}{c} x_P \\ y_P \end{array} \right), \ \vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right)$ und $\vec{n}=\left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right)$ ein Normalvektor von $\vec{a}$ (hier kann man natürlich auch den anderen Normalvektor verwenden).

====Allgemeine Geradengleichung====
Diese Form der Darstellung heißt auch Normalform, da man den Normalvektor der Gerade direkt ablesen kann.Um von der Parameterdarstellung auf diese Form zu kommen, gibt es 2 Möglichkeiten:

'''1. Multiplikation mit Normalvektor:'''
Hierzu muss man einfach die Normalform ausmultiplizieren und es ergibt sich:

$$g: y_a \cdot x + -x_a \cdot y = y_a \cdot x_P + -x_a \cdot y_P$$

'''2. Elimination des Parameters:'''
Hierbei gehen wir von der Geradenform $g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \end{cases}$ aus, eliminieren $t$, und kommen ebenfalls auf die obige allgemeine Geradengleichung.
Auf der rechten Seite der Gleichung stehen nur bekannte Größen, auf der linken Seiten stehen Vielfache von x und y. Diese Gleichung kann man weiter auch auf die Form y=kx+d umformen.

===Lagebeziehungen zwischen Geraden===
Mehrere Geraden können im $\mathbb{R^2}$

* ident sein, d.h. sie haben unendlich viele gemeinsame Punkte
* parallel sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt
* einander schneiden, d.h. sie haben genau ein gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt)

 Sind uns 2 Geraden in '''Parameterdarstellung''' gegeben, betrachten wir zuerst ihre Richtungsvektoren. 
Sind diese parallel zueinander, so sind auch die Geraden parallel zueinander. Nun bleibt noch die Frage offen, ob die Geraden ident sind. Dazu überprüfen wir einfach, ob der gegebene Punkt der einen Geraden auch auf der anderen Geraden liegt. Dazu Setzen wir den bekannten Punkt der einen Geraden für den unbekannten Punkt der anderen Geraden ein und erhalten 2 Gleichungen in einer Unbekannten (Parameter der zweiten Gerade). Erhalten wir nun für den Parameter zweimal dasselbe Ergebnis, so sind die 2 Geraden ident, erhalten wir unterschiedliche Ergebnisse, so sind sie nur parallel. 
Sind die Richtungsvektoren nicht parallel zueinander, so sind es auch die 2 Geraden nicht, und wir können uns sicher sein, dass diese einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen.
Doch wie erhalten wir den Schnittpunkt? Ganz einfach, indem wir die 2 Geraden schneiden. Dazu müssen wir sie gleichsetzen, und dann das dadurch erhaltene Gleichungssystem in 2 Unbekannten (die 2 Parameter) lösen. Wenn wir den Wert eines Parameters ausgerechnet haben, setzen wir ihn einfach in die entsprechende Geradengleichung ein und erhalten so den Schnittpunkt!

Sind die 2 Geraden in der '''allgemeinen Geradenform''' gegeben, so haben wir bereits 2 Gleichungen gegeben, die wir nach x und y auflösen. Dieses x und y sind die Koordinaten des Schnittpunktes.

Um das Schneiden von Geraden besser zu verstehen, schau dir das Lösen von [[ Gleichungssysteme (2.7.) |Gleichungssystemen]] genauer an, wirf einen Blick auf die Beispiele zum $\mathbb{R^2}$ unter dem Tab 'Beispiele', oder sieh dir dieses Video an:

<div align="center">{{#ev:youtube|ZrFE3LRisn0}}</div>

===Normalabstand Punkt - Gerade===
[[Datei:Normalabstand.gif|right]]Gegeben sei ein Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und eine Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$. Um den Normalabstand $d(Q,g)$ zwischen Q und g zu berechnen, gehe wie folgt vor:
{{Vorlage:Merke|1=1. Bestimme die Gerade $q: X = Q + s \cdot \vec{n}$, die durch $Q$ geht und den Normalvektor $\vec{n}$ von $\vec{a}$ als Richtungsvektor besitzt.
2. Schneide $g$ und $q$ und die erhältst ihren Schnittpunkt $S$. 
3. Berechne $\parallel \vec{QS} \parallel$.}}
In der Graphik rechts hätten wir z.B. die Angabe $g: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right) + \lambda \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array} \right)$ und $Q(3/4)$. Du kannst das zur Übung durchrechnen.

====Hesse'sche Abstandsformel====
Mithilfe dieser Formel kann man ebenfalls den Abstand $d(Q,g)$ zwischen Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$ bestimmen. <big>$d(Q,g) = | \vec{PQ} \cdot \vec{n_0} | $</big>, wobei $\vec{n_0}$ der normierte (Länge 1) Normalvektor des Richtungsvektors $\vec{a}$ der Geraden $g$ ist.

====Spiegelung eines Punktes an einer Geraden====
[[Datei:Spiegeln.png|thumb|right|250px|Gespiegelter Punkt Q']]Gegeben sei ein Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und eine Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$. Es gilt den Punkt $Q$ an der Gerade $g$ zu spiegeln, und so den Punkt $Q'$ zu erhalten. Dazu befolgst du die Vorgehensweise von "Normalabstand Punkt - Gerade" bis du den Vektor $\vec{QS}$ erhältst, und trägst diesen vom Punkt $S$ ab, also: 
$Q' = S + \vec{QS}$

=Im $\mathbb{R^3}$=
==Vektoren==
===Kreuzprodukt===
Im $\mathbb{R^3}$ gibt es neben dem Skalarprodukt, bei dem wir als Ergebnis ein Skalar erhalten, eine weitere Möglichkeit, zwei Vektoren miteinander zu multiplizieren: das sog. Kreuz- oder Vektorprodukt, bei dem wir als Ergebnis einen Vektor erhalten.{{Vorlage:Merke|1=Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren des $\mathbb{R^3}$, dann ist ihr Kreuzprodukt
$$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} y_a \cdot z_b - z_a \cdot y_b \\ z_a \cdot x_b - x_a \cdot z_b \\ x_a \cdot y_b - y_a \cdot x_b \end{array} \right)$$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ -3 \end{array} \right)$, gesucht ist ihr Kreuzprodukt.|

2=$$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \cdot (-3) - 3 \cdot 4 \\ 3 \cdot 5 - 1 \cdot (-3) \\ 1 \cdot 4 - 2 \cdot 5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-6) - 12 \\ 15 - (-3) \\ 4 - 10 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -18 \\ 18 \\ -6 \end{array} \right)$$}}

Wozu wir das Kreuzprodukt überhaupt benötigen, sehen wir an den nächsten 2 Punkten.

====Normalvektoren====
Im $\mathbb{R^3}$ gibt es zu einem Vektor unendlich viele Normalvektoren. Auf eine Ebene allerdings gibt es genau 2 Normalvektoren (wie im $\mathbb{R^2}$ auf eine Gerade). Eine Ebene wird von 2 Vektoren aufgespannt, deren Kreuzprodukt ergibt einen Normalvektor $\vec{n_1}$ auf die Ebene bzw. die zwei Vektoren; der zweite Normalvektor hat die entgegengesetzte Orientierung ($\vec{n_2} = -\vec{n_1}$). Also:$$\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$$

====Fläche eines von zwei Vektoren aufgespannten Parallelogramms oder Dreiecks====
[[Datei:FlächeNormalvektor.png|thumb|right|none|250px|2 Vektoren spannen ein Dreieck bzw. Parallelogramm auf]] 
{{Vorlage:Merke|1=Die Länge $\parallel \vec{n} \parallel = \parallel \vec{a} \times \vec{b} \parallel$ des Normalvektors $\vec{n}$ zu den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ entspricht der Maßzahl des Flächeninhaltes des Parallelogramms, das $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aufspannen (im Bild die gesamte grüne Fläche).
Die Hälfte dieser Fläche entspricht der Fläche des aufgespannten Dreiecks.}}

===Skalarprodukt, Orthogonalitätskriterium, Winkel zwischen zwei Vektoren===
Diese drei Dinge "funktionieren" im $\mathbb{R^3}$ wie im $\mathbb{R^2}$. Also hier nur eine kurze Wiederholung: 

'''Skalarprodukt''' 
Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\z_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren, dann ist $$\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right) = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b + z_a \cdot z_b$$ gleich ihr Skalarprodukt.
 

'''Orthogonalitätskriterium''' 
Ergibt das Skalarprodukt zweier Vektoren $0$, so stehen diese zwei Vektoren normal zueinander (und umgekehrt!)
$$\vec{a} \cdot \vec{b} \ = \ 0 \ \Leftrightarrow \ \vec{a} \bot \vec{b}$$
Auch das gibt es im $\mathbb{R^3}$. Bedenke aber, dass es hier, anders als im $\mathbb{R^2}$, unendlich viele Normalvektoren auf einen Vektor gibt.
 

'''Winkel zwischen zwei Vektoren'''
$$cos{\varphi} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel} = \vec{a_0} \cdot \vec{b_0}$$

==Geraden==
===Darstellungsformen===
====Parameterdarstellung====
Die Parameterdarstellung im $\mathbb{R^3}$ sieht genauso aus wie im $\mathbb{R^2}$, einziger Unterschied ist, dass unsere Punkte und Vektoren hier jeweils 3 Koordinaten haben.$$g: X = P + t \cdot \vec{a}$$ bzw. $$g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \\ z = z_P + t \cdot z_a \end{cases}$$
Mehr Infos zu den einzelnen Komponenten findest du im Tab 'Im $\mathbb{R^2}$'.

====Parameterfreie Darstellungsform====
Diese besteht aus 2 Gleichungen und wir erhalten sie durch Eliminierung des Parameters.

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sei die Parameterform der Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ -4 \\ 1 \end{array} \right)$. Zuerst schreiben wir das in die 3 Koordinatengleichungen um:
$$g : \begin{cases} x = 2 + 3t \\ y = 0 - 4t \\ z = 1 + t \end{cases}$$

2=Wir multiplizieren die erste Gleichung mit $4$ und die zweite Gleichung mit $3$ und addieren die beiden: $$+ \begin{cases} 4x = 8 + 12t \\ 3y = 0 - 12t \end{cases}$$ und erhalten so die Gleichung $4x + 3y = 8$.
Wir multiplizieren die dritte Gleichung mit $3$ und subtrahieren diese von der ersten Gleichung: $$- \begin{cases} x = 2 + 3t \\ 3z = 3 + 3t \end{cases}$$ und erhalten so die Gleichung $x - 3z = -1$.

Die parameterfreie Darstellung unserer Gerade lautet somit $$g : \begin{cases} 4x + 3y = 8 \\ x - 3z = -1 \end{cases}$$.}}

Die zwei Gleichungen in der parameterfreien Darstellung sind übrigens Ebenengleichungen. Die eigentliche Gerade ist der Schnitt dieser zwei Ebenen!

===Lagebeziehungen zwischen Geraden===
Mehrere Geraden können im $\mathbb{R^3}$

* ident sein, d.h. sie haben unendlich viele gemeinsame Punkte
* parallel sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt
* einander schneiden, d.h. sie haben genau ein gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt)
* windschief sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt und sind nicht parallel

Um herauszufinden, wie 2 gegebene Geraden in Parameterform zueinander stehen, gehst du am besten wie folgt vor:

'''Betrachtung der Richtungsvektoren:''' Auch im $\mathbb{R^3}$ gilt, sind die Richtungsvektoren zweier Geraden parallel zueinander (d.h. man kann einen Vektor als Vielfaches des anderen Vektors darstellen), so sind es auch die Geraden.

'''Fall 1: Die Vektoren sind parallel:''' Sollte sich herausstellen, dass die zwei Geraden parallel zueinander sind, überprüfst du als nächstes, ob sie einen gemeinsamen Punkt haben; am einfachsten funktioniert das, indem du den bekannten Punkt ($P$) der einen Geraden in die zweite Gerade (für den unbekannten Punkt $X$) einsetzt. Wir erhalten drei Gleichungen in einer Unbekannten (Parameter der zweiten Gerade). 
'''Fall 1a:''' Erhalten wir nun für den Parameter dreimal dasselbe Ergebnis, so sind die 2 Geraden '''ident''' (und parallel), da der überprüfte Punkt, und somit unendlich weitere, auf beiden Geraden liegen. 
'''Fall 1b:''' Erhalten wir unterschiedliche Ergebnisse, so sind sie nur '''parallel''', da der überprüfte Punkt nicht, und somit auch kein anderer, auf beiden Geraden liegen.

'''Fall 2: Die Vektoren sind nicht parallel:''' Nun gibt es nur noch zwei Möglichkeiten: Entweder die zwei Geraden haben einen gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt), oder sie sind windschief. 
Um das wiederum herauszufinden, setzt du die beiden Geraden gleich, d.h. du stellst ein lineares Gleichungssystem (LGS) mit drei Gleichungen und in drei Unbekannten auf, und versuchst, dieses zu lösen. 
'''Fall 2a:''' Solltest du nun eine Lösung erhalten, d.h. du erhältst den Wert für den Parameter einer der zwei Geraden (und hast diesen Wert überprüft), so weißt du, dass die zwei Geraden einander '''schneiden'''. Den Schnittpunkt erhältst du jetzt, indem du den erhaltenen Wert für den Parameter in die entsprechende Geradengleichung einsetzt. 
'''Fall 2b:''' Sollte dein LGS keine Lösung ergeben (also sich eine falsche Aussage oder ein Widerspruch ergeben, z.B. $2=13$, oder $t=4$ und $t=-1$), dann weißt du, dass deine beiden Geraden keinen Schnittpunkt haben und somit '''windschief''' sind.

Zum besseren Verständnis siehst du dir am besten das folgende Video und die beiden folgenden Beispiele an.

<div align="center">{{#ev:youtube|u0QoYlEE094}}</div>
{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die beiden Geraden $g: X = \left( \begin{array}{c} 0 \\ -11 \\ -3 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right)$ und $h: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ -3 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right)$. Überprüfe deren gegenseitige Lage und gegebenenfalls ihren Schnittpunkt!|2=Zuerst überprüfen wir die Richtungsvektoren der beiden Geraden, um festzustellen, ob diese parallel zueinander sind oder nicht:$$\nexists \lambda : \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) = \lambda \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) \nparallel \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g \nparallel h$$
$g$ und $h$ sind also nicht parallel. Sie können also noch entweder einander schneiden oder windschief sein. Stellen wir nun ein LGS auf, indem wir die beiden Geraden gleichsetzen:
$$\begin{align}
I: \ &&&s&=&2&+&t \\
II: \ &-11&+&2s&=&3&-&3t \\
III: \ &-3&+&s&=&-3&+&2t
\end{align}$$ 
Wir subtrahieren $III$ von $I$: $- \begin{cases} &s &=& 2 + t \\ -3 + &s &=& -3 + 2t \end{cases} \ \rightarrow \ 3 = 5 - t \Rightarrow t = 2$ 
Wir überprüfen dieses Ergebnis für $t$, indem wir $t=2$ in alle 3 Gleichungen einsetzen. Wir sehen dann, dass wir überall dasselbe Ergebnis für $s$ erhalten, nämlich $s=4$. Daraus folgt, dass die Geraden einander '''schneiden'''. Setzen wir nun $t=2$ oder $s=4$ in die entsprechende Geradengleichung, so erhalten wir den Schnittpunkt $S(4/-3/1)$ der beiden Geraden.}}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die beiden Geraden $g: X = \left( \begin{array}{c} 3 \\ -2 \\ 0 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right)$ und $h: X = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$. Überprüfe deren gegenseitige Lage und ggf. ihren Schnittpunkt!|2=Zuerst überprüfen wir wieder die Richtungsvektoren der beiden Geraden:$$\nexists \lambda : \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) = \lambda \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) \nparallel \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g \nparallel h$$
Nun stellen wir wieder ein LGS auf:
$$\begin{align}
I: \ &3&+&2s&=&4&-&t \\
II: \ &-2&-&2s&=&3&& \\
III: \ &&&s&=&1&+&t
\end{align}$$ 
Aus der zweiten Gleichung lässt sich direkt berechnen, dass $s=- \frac{5}{2}$. Dies setzen wir nun in die erste und zweite Gleichung ein und erhalten einmal $3 - 5 = 4 - t \ \Rightarrow \ t=6$ und einmal $- \frac{5}{2} = 1 + t \ \Rightarrow \ t=- \frac{7}{2}$. Diese beiden Werte für $t$ sind offensichtlich voneinander unterschiedlich, daraus folgt, dass die beiden Geraden $g$ und $h$ '''windschief''' sind.
}}

==Ebenen==
Eine Ebene ist durch 3 Punkte oder 1 Punkt und 2 (voneinander linear unabhängigen) Vektoren eindeutig festgelegt.

===Darstellungsformen===
====Parameterdarstellung====
[[Datei:ebene2.png|thumb|right|350px|von Punkt und Vektoren aufgespannte Ebene]]
$$\epsilon : X = P + s \cdot \vec{a} + t \cdot \vec{b}$$
bzw.
$$\epsilon : \begin{cases} x = x_P + s \cdot x_a + t \cdot x_b \\ y = y_P + s \cdot y_a + t \cdot y_b \\ z = z_P + s \cdot z_a + t \cdot z_b \end{cases}$$
wobei

* $X \in \epsilon$ ist ein '''beliebiger''' Punkt auf der unendlichen Ebene
* $P \in \epsilon$ ist ein '''bekannter''' Punkt auf der Ebene
* $s, t \in \mathbb{R}$ sind freie Parameter
* $\vec{a}, \vec{b} \in \mathbb{R^3}$ sind zwei Vektoren, die parallel zur Ebene liegen

====Normalvektorform====
Man multipliziert die Parameterdarstellung der Ebene mit ihrem Normalvektor $\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$ und erhält$$\vec{n} \cdot \vec{X} = \vec{n} \cdot \vec{P}$$

====Allgemeine Ebenengleichung====
$$ax + by + cz = d$$Diese Form der Darstellung heißt auch Normalform, da man den Normalvektor der Ebene direkt ablesen kann. Um von der Parameterdarstellung auf diese Form zu kommen, gibt es 2 Möglichkeiten:

'''1. Multiplikation mit Normalvektor:'''
Hierzu muss man einfach die Normalform ausmultiplizieren und es ergibt sich:

$$\epsilon: x_n \cdot x + y_n \cdot y + z_n \cdot z = x_n \cdot x_P + y_n \cdot y_P + z_n \cdot z_P$$

'''2. Elimination des Parameters:'''
Hierbei gehen wir von der Ebenengleichung $\epsilon : \begin{cases} x = x_P + s \cdot x_a + t \cdot x_b \\ y = y_P + s \cdot y_a + t \cdot y_b \\ z = z_P + s \cdot z_a + t \cdot z_b \end{cases}$ aus, eliminieren $s$ und $t$, und kommen ebenfalls auf die obige allgemeine Ebenengleichung.

Zur Veranschaulichung ein Beispiel zu den verschiedenen Darstellungsformen:
{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die drei Punkte $A(1/1/1), B(-1/-4/2), C(0/3/-1)$. Gib die Ebene, die diese drei Punkte aufspannen, in Parameterform, Normalform und allgemeiner Ebenengleichung an!|2=Für die Parameterform berechnen wir erst zwei beliebige Vektoren aus den 3 Punkten, z.B. $\vec{AB} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{AC} = \left( \begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right)$. Als Parameterform erhalten wir schließlich:
$$\epsilon: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right)$$ Um auf die Normalform zu kommen, bestimmen wir als erstes den Normalvektor der Ebenen: $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-5) \cdot (-2) - 1 \cdot 2 \\ 1 \cdot (-1) - (-2) \cdot (-2) \\ (-2) \cdot 2 - (-5) \cdot (-1) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right)$. 
Nun die Parametergleichung mit dem Normalvektor multiplizieren und wir erhalten auch die Normalform:
$$\epsilon: \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)$$ 
Um nun noch die allg. Ebenenform zu erhalten, multipliziert man am einfachsten die Normalform aus und erhält:
$$\epsilon: 8x - 5y -9z =-6$$ 
Aber auch die Elimination der Parameter soll hier gezeigt werden. Wir gehen aus von: $$\epsilon : \begin{cases} x = 1 - 2s - t \\ y = 1 - 5s + 2t \\ z = 1 + s - 2t\end{cases}$$
Addieren wir die y- und die z-Gleichung, können wir $t$ eliminieren: $+ \begin{cases} y = 1 - 5s + 2t \\ z = 1 + s - 2t \end{cases} \ \Rightarrow \ y + z = 2 - 4s$. 
Wir können $t$ ebenfalls eliminieren, indem wir die y-Gleichung zum 2-fachen der x-Gleichung addieren: $+ \begin{cases} 2x = 2 - 4s - 2t \\ y = 1 - 5s + 2t \end{cases} \ \Rightarrow \ 2x + y = 3 -9s$. 
Nun haben wir zwei Gleichungen, die nur mehr von $s$ abhängig sind. Um diesen Parameter nun auch noch zu eliminieren, multiplizieren wir die erste Gleichung mit $(-9)$ und die zweite mit $4$ und addieren diese, um nochmals auf die allg. Ebenengleichung zu kommen.
$$+ \begin{cases} 8x + 4y = 12 - 36s \\ -9y - 9z = -18 + 36s \end{cases} \ \Rightarrow \ \epsilon: 8x - 5y -9z =-6$$
}}

===Lagebeziehungen===
====...zwischen zwei Ebenen====
Zwei Ebenen können im $\mathbb{R^3}$

* ident sein: die Ebenengleichungen (allg. Form) sind Vielfache voneinander;

z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : 2x + 2y + 2z = 6 \Rightarrow \epsilon _2 = 2 \cdot \epsilon _1$

* parallel sein: die Normalvektoren der Ebenen sind Vielfache voneinander;

z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : 2x + 2y + 2z = 5 \Rightarrow \vec{n_2} = 2 \cdot \vec{n_1}$

* einander schneiden (in einer Gerade): die Normalvektoren der Ebenen sind keine Vielfache voneinander;

z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : x - 3y + 2z = 1 \Rightarrow \nexists \lambda \in \mathbb{R} : \vec{n_1} = \lambda \cdot \vec{n_2}$

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:Ebenenident2.png|2 Ebenen sind ident
Datei:Ebenenparallel2.png|2 Ebenen sind parallel
Datei:Ebenenschnittgerade2.png|2 Ebenen schneiden einander in einer Geraden
</gallery>

 
'''Berechnen der Schnittgerade''' 
Erkennt man durch Betrachtung der Normalvektoren zweier Ebenen, dass diese einander schneiden müssen, so kann man diese Schnittgerade berechnen. Dazu erstellt man aus den beiden Ebenengleichungen ein lineares Gleichungssystem in 3 Unbekannten. 2 Gleichungen - 3 Unbekannte: wir werden hier nicht für alle Unbekannten einen Zahlenwert erhalten, können aber 2 Unbekannte in Abhängigkeit der dritten darstellen. Diese dritte Unbekannte wird uns als Parameter für die Darstellung der Geraden dienen. Zur Veranschaulichung ein Beispiel:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die beiden Ebenen $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : x - 3y + 2z = 1$. Wie wir weiter oben schon festgestellt haben, müssen diese Ebenen einander schneiden, da die beiden Noramlvektoren der Ebenen $\vec{n_1}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{n_2}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right)$ linear unabhängig voneinander sind, also $\nexists \lambda \in \mathbb{R} : \vec{n_1} = \lambda \cdot \vec{n_2}$. 
Wir wählen nun eine der Koordinaten als Parameter, z.B. $z=t$ und stellen das Gleichungssystem auf.

2=

$$\begin{align}I: \ &x&+&y&+&t&=&3 \\
II: \ &x&-&3y&+&2t&=&1
\end{align}$$

Wir subtrahieren $I-II$ und erhalten
$$4y - t = 2 \ \Rightarrow \ y = \frac{1}{2} + t \cdot \frac{1}{4}$$
Nun setzen wir unser erhaltenes $y$ in die erste Gleichung ein, um $x$ zu erhalten:

$$I: \ x + \frac{1}{2} + t \cdot \frac{1}{4} + t = 3 \ \Rightarrow \ x = \frac{5}{2} - t \cdot \frac{5}{4}$$
Somit haben wir alle Ausdrücke der Koordinaten gefunden ($z=t$ haben wir anfangs festgelegt) und können die Parameterdarstellung der Schnittgerade angeben:
$$g: X = \left( \begin{array}{c} \frac{5}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 0 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} - \frac{5}{4} \\ \frac{1}{4} \\ 1 \end{array} \right)$$
}}

====...zwischen 3 Ebenen====
Drei Ebenen können im $\mathbb{R^3}$

* alle ident sein
* 2 ident, 1 parallel sein
* alle parallel sein
* 3 Schnittgeraden haben
* 2 Schnittgeraden haben (2 Ebenen parallel)
* 1 Schnittgerade haben
* 1 Schnittpunkt haben

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:Ebenenident3.png|3 Ebenen sind ident
Datei:Ebenenidentparallel.png|2 Ebenen sind ident, 1 parallel
Datei:Ebenenparallel3.png|3 Ebenen sind parallel
Datei:Ebenenschnittgeraden33.png|3 Ebenen schneiden einander in 3 Geraden
Datei:Ebenenschnittgeraden32.png|3 Ebenen schneiden einander in 2 Geraden (2 Ebenen parallel)
Datei:Ebenenschnittgerade3.png|3 Ebenen schneiden einander in einer Gerade
Datei:Ebenenschnittgerade31.png|3 Ebenen schneiden einander in einer Gerade (2 Ebenen ident)
Datei:Ebenenschnittpunkt3.png|3 Ebenen schneiden einander in einem Punkt
</gallery>

====...zwischen Ebene und Gerade====
Eine Ebene und eine Gerade können im $\mathbb{R^3}$

* $g \subset \epsilon$, die Gerade liegt auf der Ebene

Hierbei haben die Gerade und die Ebene einen gemeinsamen Punkt und der Richtungsvektor der Gerade steht normal auf den Normalvektor der Ebene, daraus folgt, dass sie unendlich gemeinsame Punkte haben.

* parallel sein

Irgendein Punkt der Gerade liegt nicht auf der Ebene, der Richtungsvektor der Gerade steht normal auf den Normalvektor der Ebene, daraus folgt, dass sie keinen einzigen gemeinsamen Punkt haben.

* 1 Schnittpunkt haben

Der Richtungsvektor der Geraden steht nicht normal auf den Normalvektor der Ebene.

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:GeradeinEbene.png|Gerade liegt auf der Ebene
Datei:GeradepararallelEbene.png|Gerade und Ebene sind parallel zueinander
Datei:GeradeSchnittpunktEbene.png|Gerade und Ebene schneiden einander (Schnittpunkt)
</gallery>

Zur Überprüfung der Lagebeziehung gibt es allerdings noch eine andere (schnellere) Methode. Hier "schneiden" wir die Gerade und die Ebene mathematisch, d.h. wir setzen sie gleich (wenn beide in Parameterform gegeben sind) oder setzen die Gerade $g$ (Parameterform) in die Ebene $\epsilon$ (allg. Ebenengleichung) ein. 
Wir erhalten dadurch ein Gleichungssystem oder eine einzelne Gleichung.

Sei die Gerade gegeben als $g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \\ z = z_P + t \cdot z_a \end{cases}$ und die Ebene als $\epsilon : \begin{cases} x = x_Q + s \cdot x_b + u \cdot x_c \\ y = y_Q + s \cdot y_b + u \cdot y_c \\ z = z_Q + s \cdot z_b + u \cdot z_c \end{cases}$ (Parameterform) oder $\epsilon : ax + by + cz = d$ (allg. Ebenengleichung).

Wir erhalten als Gleichungssystem durch Gleichsetzen der Gleichungen der Parameterformen:
$$\begin{cases} x_P + t \cdot x_a = x_Q + s \cdot x_b + u \cdot x_c \\ y_P + t \cdot y_a = y_Q + s \cdot y_b + u \cdot y_c \\ z_P + t \cdot z_a = z_Q + s \cdot z_b + u \cdot z_c \end{cases}$$ 
Wir erhalten durch Einsetzen der Gerade in die Ebene (allg. Ebenengleichung):
$$a \cdot (x_P + t \cdot x_a) + b \cdot (y_P + t \cdot y_a) + c \cdot (z_P + t \cdot z_a) = d$$

Ergibt sich hier eine wahre Aussage (z.B. $1=1$), also unendlich viele Lösungen, so liegt die Gerade in der Ebene. 
Ergibt sich eine falsche Aussage (z.B. $1=2$), also keine Lösung, so schneiden die beiden Objekte einander nicht, also sie sind parallel. 
Gibt es genau eine Lösung (z.B. $t=2$), so existiert genau ein gemeinsamer Punkt = Schnittpunkt. Diesen erhält man, indem man den ermittelten Wert für den Parameter $t$ der Geraden in die Geradengleichung einsetzt (oder, wenn die Ebene in Parameterform gegeben war, die beiden Werte für die Parameter $s$ und $u$ der Ebene in die Ebenengleichung einsetzt). Dazu 2 Beispiele, wobei wir im ersten mit der Ebene in Parameterform rechnen werden:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right)$ und die Ebene $\epsilon : X = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -1 \\ -3 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) + u \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 0 \end{array} \right)$. Stellen wir nun also unser Gleichungssystem auf:

2=\begin{align}

I: \ & \ 1&-t&=&4& &+2u \\
II: \ &-3& &=&-1&+s&-u \\
III: \ & \ 2&+2t&=&-3&+s&
\end{align}

In der ersten Gleichung drücken wir $u$ in $t$ aus: $u = - \frac{3}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$ 
In der zweiten Gleichung drücken wir $s$ in $u$ aus: $s = -2 + u$ 
Das $u$ von oben setzen wir nun hier ein und erhalten $s$ in Abhängigkeit von $t$: $s = - \frac{7}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$.

Dieses $s$ setzen wir nun in die dritte Gleichung ein und wir erhalten: $2 + 2t = -3 - \frac{7}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$ und in weiterer Folge $t = - \frac{17}{5}$. 
Es ergibt sich also genau eine Lösung für das Gleichungssystem, was bedeutet, dass die Gerade und die Ebene einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen. Diesen erhalten wir, indem wir den errechneten Wert für $t$ in die Geradengleichung einsetzen (Man könnte natürlich auch noch die Werte für $s$ und $u$ berechnen, und diese in die Ebenengleichung einsetzen; zur Übung kannst du das gerne tun):
$$g: S = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) - \frac{17}{5} \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \frac{23}{5} \\ -3 \\ - \frac{24}{5} \end{array} \right)$$
}}

Betrachten wir nun dasselbe Beispiel, mit dem Unterschied, dass die Ebene in Normalform gegeben ist und wir auch gleich mit dieser Form rechnen:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right)$ und die Ebene $\epsilon : x + 2y - 2z = 8$. Wir setzen die Koordinatengleichungen der Gerade in die Normalform der Ebene:

2= $g$ in $\epsilon$: $$1 - t - 6 - 4 -4t =8$$

Wenn wir diese Gleichung lösen, erhalten wir, wie im ersten Bespiel, $t = - \frac{17}{5}$. Dies noch in die Geradengleichung einsetzen, und wir erhalten den Schnittpunkt.}}

Da man bei der zweiten Methode meistens weniger Rechenaufwand hat, zahlt es sich oft aus die Parameterdarstellung der Ebene in die Normalform (= allg. Ebenengleichung) umzurechnen.

==Pyramidenbeispiel==
[[Datei:Pyramidebsp.png|thumb|right|350px|Pyramide]]Gegeben seien 3 Eckpunkte $A(-2/-2/1), B(2/-2/1), C(2/2/1)$ der quadratischen Grundfläche und der Spitzpunkt $S(0/0/6)$ einer geraden (gerade bedeutet, dass die Spitze in einem rechten Winkel über dem Mittelpunkt der Grundfläche der Pyramide liegt) Pyramide.
Gesucht sind:

# der vierte Eckpunkt $D$ der Grundfläche
# die Parameterdarstellung der Trägergeraden $h$ der Höhe
# die Fläche der Grundfläche
# die Geradengleichung der Geraden $g_{AS}$ auf der $A$ und $S$ liegen in a)Parameterform und b)parameterfreier Form
# Der Winkel $\alpha$ zwischen den Vektoren $\vec{AS}$ und $\vec{AC}$
# Zeige, dass der Schnittpunkt der Geraden $g_{AS}$ und $h$ gleich die Spitze $S$ ist
# Gib die Ebenengleichung $\epsilon$ der Grundfläche in a)Parameterform, b)Normalform und c)allgemeiner Ebenengleichung an
# Berechne den Fußpunkt $M$ der Höhe, indem du $h$ und $\epsilon$ schneidest

1. $D = A + \vec{BC} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -2 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right)$ 
2. $h: X = S + t \cdot \vec{h}$
$$\vec{AB} \times \vec{BC} = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 16 \end{array} \right) \ \parallel \ \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) = \vec{h}$$
$$h: X = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$$ 
3. $G = \parallel \vec{AB} \times \vec{BC} \parallel = \parallel \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 16 \end{array} \right) \parallel = 16FE$ 
4. a) $g_{AS}: X = A + u \cdot \vec{AS}$
$$\vec{AS} = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g_{AS}: X = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + u \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right)$$ oder $$g_{AS}:\begin{cases} x = -2 + 2u \\ y = -2 + 2u \\ z = 1 + 5u \end{cases}$$
b) Parameter elimieren:
$$x - y: x-y = 0$$
$$5x - 2z: 5x - 2z = -12$$
$$\Rightarrow g_{AS}:\begin{cases} x - y = 0 \\ 5x - 2z = -12 \end{cases}$$ 
5. $\measuredangle \vec{AS},\vec{AC} = \alpha = arccos{\frac{\vec{AS} \cdot \vec{AC}}{\parallel \vec{AS} \parallel \cdot \parallel \vec{AC} \parallel}} = arccos{\frac{\left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right)}{\parallel \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) \parallel \cdot \parallel \left( \begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) \parallel}} = arccos{\frac{16}{\sqrt{33 \cdot 32}}} = 60,5°$ 
6. $g_{AS}$ und $h$ gleichsetzen:
$$\begin{align}
I: \ &-2&+&2u&=&0&& \\
II: \ &-2&+&2u&=&0&& \\
III: \ & \ \ 1&+&5u&=&6&+&t
\end{align}
\ \ \ \rightarrow u=1$$
$$g_{AS}: S = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + 1 \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array} \right)$$ 
7. a) $\epsilon: X = A + v \cdot \vec{AB} + w \cdot \vec{BC} \ \rightarrow \ \epsilon: X = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + v \cdot \left( \begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) + w \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right)$ 
b) $\epsilon: \vec{n} \cdot \vec{X} = \vec{n} \cdot \vec{A} \ \rightarrow \ \epsilon: \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right)$ 
c) $\epsilon: z = 1$ 
8. $h:\begin{cases} x=0 \\ y=0 \\ z=6+t \end{cases} \ \ \epsilon: z=1 \ \ \rightarrow \ 1 = 6 + t \ \Rightarrow \ t=-5$ 
$h: M = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array} \right) -5 \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$

=Beispiele=
Hier findest du Beispiele zu den behandelten Themen:

===Grundlagen der Vektorrechnung===
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/9/99/VektorrechnungGLBspAngabe.pdf VektorrechnungGLBspAngabe.pdf] 
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/0/00/VektorrechnungGLBspL%C3%B6sung.pdf VektorrechnungGLBspLösung.pdf]

===Vektorrechnung im $\mathbb{R^2}$===
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/7/7f/VektorrechnungR2BspAngabe.pdf VektorrechnungR2BspAngabe.pdf] 
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/f/ff/VektorrechnungR2BspL%C3%B6sung.pdf VektorrechnungR2BspLösung.pdf]

Vektorrechnung

2016-06-11T09:39:39Z

Lajtos: /* Wie Vektoren zueinander stehen */

=Grundlagen=
==Koordinatensystem==
[[Datei:Quadranten.png|thumb|Coordinate System|thumb|right|350px|Koordinatengitter im $\mathbb{R^2}$ mit den 4 Quadranten]]

Für die Vektorrechnung sind Koordinatensysteme essentiell.
Im zweidimensionalen Raum besitzt ein Koordinatensystem 2 Achsen:

* die x-Achse (waagrecht) und
* die y-Achse (senkrecht)

 
Diese sind unendlich lang und Spannen die vier sogenannten Quadranten auf, die meist mit den römischen Ziffern I-IV beschriftet werden (gesprochen: Erster Quadrant, Zweiter Quadrant etc.). Die rechte Graphik zeigt die die Position der Quadranten. Dort, wo die 2 Achsen einander treffen, liegt der sog. Ursprung (kurz: $\vec{0}$); seine Koordinaten sind (0/0).

Was es außerdem noch zu beachten gibt, hast du vielleicht bereits selbst erkannt:
An den gegenüberliegenden Seiten der x- und y-Achsen werden unterschiedliche Vorzeichen verwendet. So spricht man "links" des Ursprungs von der negativen, bzw. "rechts" des Ursprungs von der positiven x-Achse. Analog spricht man "oben" und "unten" von der positiven und negativen y-Achse.

Im dreidimensionalen Raum kommt eine dritte Achse - die z-Achse - dazu. Punkte und Vektoren besitzen dementsprechend dann auch 3 Koordinaten. Dies kann man bis ins n-dimensionale weiterführen.

==Punkte==
In ein Koordinatensystem lassen sich Punkte eintragen. Diese besitzen, entsprechend ihrer Lage, Koordinaten. Im obigen Bild z.B. haben wir die Punkte A und B, wobei sich A im ersten Quadranten befindet und B im vierten Quadranten. Man schreibt: A(2/3,5) B(1/-2).

[[Datei:Punkte Abstand.png|thumb|right|350px|Punkte im $\mathbb{R^2}$]]

{{Vorlage:Merke |''Einen'' '''allgemeinen Punkt''' ''schreibt man an als'' $P(x_1/x_2/.../x_n)$ (im n-dimensionalen Raum $\mathbb{R^n}$) ''bzw.'' $P(x/y)$ (im 2-dimensionalen Raum $ \mathbb{R^2}$) ''oder'' $P(x/y/z)$ (im 3-dimensionalen Raum $\mathbb{R^3}$).
 
Die erste Koordinate entspricht der x-Koordinate, die zweite der y-Koordinate, die eventuelle dritte der z-Koordinate.

Punkte werden in der Regel mit Großbuchstaben bezeichnet.}}

Koordinaten von Punkten lassen sich also ganz einfach ablesen. Die x/y-Koordinate entspricht dabei dem Abstand vom Ursprung zum Punkt in Richtung der jeweiligen Koordinatenachse. So erkennen wir im Bild rechts die folgenden Punkte:

* A(2/0)
* B(0/-2)
* C(-1/2)

=Vektoren=

==Definition & Darstellung von Vektoren==
{{Vorlage:Definition |1= Ein Zahlenpaar $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \in \mathbb{R^2}$ wird als '''Vektor aus $\mathbb{R^2}$ ''' bezeichnet.
Analog bezeichnet man ein Zahlentripel $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) \in \mathbb{R^3}$ als '''Vektor aus $\mathbb{R^3}$ '''. 
Ein '''allgemeiner Vektor''' wird $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) \ \in \mathbb{R^n}$ geschrieben.

}}

Da sowohl die Rechenoperationen als auch die geometrischen Darstellungen leicht vom $\mathbb{R^2}$ in den $\mathbb{R^3}$ übertragen werden können, werden wir meistens nur die Vorgangsweise für Zahlenpaare aus dem $\mathbb{R^2}$ beschreiben.

===Geometrische Darstellung von Vektoren===

Es gibt zwei Möglichkeiten, wie wir einen Vektor $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right) \ \in \mathbb{R^2}$ geometrisch darstellen können:
* '''Darstellung als Punkt''': Dabei gibt $a$ die x-Koordinate und $b$ die y-Koordinate des Punktes an. Die Beschriftung erfolgt mit Großbuchstaben.
* '''Darstellung als Pfeil''': Dabei gibt $a$ die x-Richtung des Pfeils (wie weit zeigt der Pfeil nach links bzw. rechts) und $b$ die y-Richtung des Pfeils (wie weit zeigt der Pfeil nach oben bzw. nach unten) an. Pfeile werden mit Kleinbuchstaben (oft mit Pfeil $\vec{v}$) beschriftet.

Die Darstellung als Punkt ist eindeutig! Einem Zahlenpaar (=Vektor) entspricht genau ein Punkt!
Die Darstellung als Pfeil ist nicht eindeutig! Es gibt unendlich viele Pfeile, die denselben Vektor darstellen. Diese Pfeile sind aber alle parallel, gleich lang und gleich gerichtet.

'''Beispiel:''' Darstellung des Vektors $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$
{| class="wikitable"
|-
| '''Punktdarstellung des Vektors'''|| '''Mögliche Pfeildarstellungen des Vektors'''
|-
| [[Datei:Punkt.png|thumb|300px]]|| [[Datei:Pfeile.png|thumb|300px]]
|}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 3 \\ -4 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 5 \end{array} \right)$. Stelle $\vec{a}$ und $\vec{b}$ als Punkte und als Pfeile dar.
|2=[[Datei:Punkt Pfeil Bsp.png|300px]] 
'''Anmerkungen:'''
* Für die Pfeildarstellungen gibt es mehrere (unendlich viele) Möglichkeiten. Der von dir gezeichnete Pfeil muss jedenfalls parallel, gleich gerichtet und gleich lang wie der abgebildete Pfeil sein!
* Aus "Bequemlichkeitsgründen" zeichnet man die Pfeile oft beginnend beim Ursprung ein:
[[Datei:Punkt Pfeil Bsp2.png|300px]]
 
}}

Vektoren des $\mathbb{R^3}$ können auch auf diese zwei Arten dargestellt werden. Der einzige Unterschied dabei ist, dass die Punkte bzw. Pfeile im dreidimensionalen Raum liegen. Es gibt also noch eine dritte Richtung, die durch die z-Koordinate des Vektors angegeben wird.

===Ortsvektoren===
[[Datei:Ortsvektor.png|thumb|right|250px|Punkt und zugehöriger Ortsvektor]]Der Ortsvektor von einem Punkt ist der Vektor, der vom Ursprung aus auf den Punkt zeigt. Die Koordinaten bleiben deshalb gleich, es ändert sich quasi nur die Schreibweise:

Sei $A(x_1/x_2/.../x_n)$ ein Punkt in der Dimension $n$, dann ist $\vec{0A} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ dessen Ortsvektor.
 
 
 
 
 

==Rechnen mit Vektoren==

===Addition und Subtraktion von Vektoren===
{{Vorlage:Merke|1=Wenn du Vektoren addieren oder subtrahieren möchtest, musst du dazu die entsprechenden Koordinaten addieren: 
$\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) \pm \left( \begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ ... \\ y_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x_1 \pm y_1 \\ x_2 \pm y_2 \\ ... \\ x_n \pm y_n \end{array} \right)$ 
Wichtig ist dabei, dass die Vektoren, die du addieren oder subtrahieren möchtest, derselben Dimension $n$ angehören! D.h. sie haben gleich viele Koordinaten.}}
{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben seien die beiden Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right)$. Berechne erst $\vec{a} + \vec{b}$, dann $\vec{a} - \vec{b}$ und zuletzt $\vec{b} - \vec{a}$!
|2= $\vec{a} + \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 5+1 \\ 2+(-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 6 \\ -1 \end{array} \right)$
$\vec{a} - \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 5-1 \\ 2-(-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 5 \end{array} \right)$ 
$\vec{b} - \vec{a} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 1-5 \\ -3-2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -4 \\ -5 \end{array} \right)$}}

===Vektoren bestimmen: "Spitze minus Schaft" ("Ziel minus Start")===
[[Datei:Spitzeschaft.png|thumb|right|300px|"Spitze minus Schaft"]]Zwischen 2 Punkten kann man nun einen Vektor definieren. Dabei gilt: Die '''"Spitze minus Schaft"'''-Regel Im Bild rechts wollen wir den Vektor berechnen, der von A nach B geht, also den Vektor $\vec{AB}$. Der Punkt B(3/3,5) entspricht hierbei der Spitze, und der Punkt A(1/0,5) dem Schaft. Da das Rechnen mit Punkten allerdings keinen Sinn ergibt, rechnet man stattdessen mit deren Ortsvektoren (siehe oben).

Für unser Beispiel bedeutet das: $\vec{0B} - \vec{0A} = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 3,5 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0,5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 3-1 \\ 3,5-0,5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right) = \vec{AB}$

'''Beachte außerdem:'''

* Man schreibt der Einfachheit halber oft nur $B-A$, obwohl eigentlich $\vec{0B} - \vec{0A}$ gemeint ist.
* Der Vektor $\vec{AB}$ zeigt in die entgegengesetzte Richtung von $\vec{BA}$. Das bedeutet, dass diese beiden Vektoren entgegengesetzte Vorzeichen haben: $\vec{AB} = - \vec{BA}$

 

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die Punkte A=(1/2); B=(-3/1); C=(-4,-1). Bilde die folgenden Verbindungsvektoren: 
 
# $\vec{AB}$
# $\vec{BA}$
# $\vec{AC}$
# $\vec{BC}$

|2=
$\ $
# $\vec{AB}=B-A=\left( \begin{array}{c} -3 \\ 1\end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} -4 \\ -1\end{array} \right)$
# $\vec{BA}=-\vec{AB}=\left( \begin{array}{c} 4 \\ 1 \end{array} \right)$
# $\vec{AC}=\left( \begin{array}{c} -4 \\ -1\end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} -5 \\ -3\end{array} \right)$
# $\vec{BC}=\left( \begin{array}{c} -4 \\ -1\end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} -3 \\ 1 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} -1 \\ -2\end{array} \right)$
 
'''Tipps:'''
* Pass gut auf die Vorzeichen auf! Beim Subtrahieren von Vektoren passieren leider häufig Vorzeichenfehler! Sei deshalb besonders achtsam!
* Zeichne die Punkte in ein Koordinatensystem und zeichne die Verbindungsvektoren ein. Bei einfachen Koordinaten kannst du den Verbindungsvektor ohne Rechnung ablesen (Probiere es aus!).

 
}}

===Produkt eines Vektors mit einem Skalar===
Wenn man einen Vektor $\vec{v}$ mit einer [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)|reellen Zahl]] $k$ , einem sogenannten "Skalar", multipliziert, werden dabei die einzelnen Koordinaten mit dem Skalar multipliziert:

$k \cdot \vec{v} = k \cdot \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} k \cdot x_1 \\ k \cdot x_2 \\ ... \\ k \cdot x_n \end{array} \right)$

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sei der Vektor $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right)$. Multipliziere diesen einmal mit $2$ und einmal mit $-5$!
|2= $2 \cdot \vec{a} = 2 \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \cdot 2 \\ 2 \cdot (-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -6 \end{array} \right)$
$(-5) \cdot \vec{a} = (-5) \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-5) \cdot 2 \\ (-5) \cdot (-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -10 \\ 15 \end{array} \right)$}}

==Geometrische Darstellung der Rechenoperationen==
===Geometrische Darstellung der Vektoraddition===
Die Addition zweier Vektoren kann auf zwei verschiedene Arten geometrisch gedeutet werden. Wir illustrieren die beiden Möglichkeiten anhand des Beispiels $\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2\end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$

{| class="wikitable"
|-
| '''Punkt + Pfeil - Darstellung:'''|| '''Pfeil + Pfeil - Darstellung'''
|-
| ''An einen Punkt wird ein Pfeil angehängt.'' In unserem Beispiel wird an den Punkt (1/2) ein Pfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$ angehängt. Das Ergebnis der Addition ist der Punkt am Ende des Pfeils (5/5). || ''Zwei Pfeile werden aneinandergehängt. In unserem Beispiel wird also ein Pfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$ und ein Pfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)$ aneinandergehängt. Das Ergebnis der Addition ist der entstehende Verbindungspfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 5 \\ 5 \end{array} \right)$
|-
| [[Datei:Vektoraddition1.png|left|400px]]|| [[Datei:Vektoraddition2.png|left|500px]]
|-
| '''Anmerkung:''' Diese Darstellung ist hilfreich, wenn wir von einem Punkt ausgehen und zu einem neuen Punkt gelangen wollen.|| Es spielt keine Rolle, in welcher Reihenfolge die Vektoren angehängt werden. Die Addition ist kommutativ!
|}

===Geometrische Darstellung der Multiplikation mit einem Skalar===

Eine Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl $a$ (Skalar) entspricht einer Streckung (für $|a|>1$) bzw. einer Stauchung (für $|a|<1$) des zugehörigen Pfeiles.
Ist das Vorzeichen des Skalars negativ, so dreht sich die Richtung des Pfeils in die entgegengesetzte Richtung.

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sei wiederum der Vektor $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right)$. Stelle die Multiplikation mit $2$, mit $-5$ und mit $0.5$ graphisch dar!
|2= Rechnerische Lösung und graphische Interpretation:
* $2 \cdot \vec{a} = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -6 \end{array} \right)$. Der Vektor $2\cdot \vec{a}$ hat die doppelte Länge und dieselbe Richtung wie $\vec{a}$
* $(-5) \cdot \vec{a} = \left( \begin{array}{c} -10 \\ 15 \end{array} \right)$. Der Vektor $(-5)\cdot \vec{a}$ ist fünfmal so lang wie $\vec{a}$ und zeigt in die entgegengesetzte Richtung wie $\vec{a}$
* $(0.5) \cdot \vec{a} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1.5 \end{array} \right)$ Der Vektor $0.5\cdot \vec{a}$ ist halb so lang wie $\vec{a}$ und zeigt in dieselbe Richtung wie $\vec{a}$
}}

{{#widget:Iframe
|url= http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_vektorrechnung/MV_Vektor1/MV_Vektor1/sites/Vektortest.html
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}}
[http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_vektorrechnung/MV_Vektor1/MV_Vektor1/ (Quelle dieses Applets)]

Hilfe zum Applet: Gib in die Eingabezeile den Buchstaben des Vektors bzw. die entsprechende Summe / Differenz an. (z.B. $u=a$)

===Wie Vektoren zueinander stehen===
Vektoren können unterschiedliche Richtungen haben, aber auch parallel zueinander oder gar identisch sein. Optisch lässt sich das oft sehr leicht erkennen. Die Lage von Vektoren zueinander kann aber auch rechnerisch überprüft werden.

{{Vorlage:Definition |Unter einem Vektor versteht man die Menge aller gleichlangen, gleichgerichteten und gleichorientierten Pfeile.

Der Start/Endpunkt spielen dabei keine Rolle!}}

{{Vorlage:Merke|2 Vektoren stehen parallel zueinander, wenn ein Vektor als Vielfaches des anderen Vektors angeschrieben werden kann. 
Man sagt auch: Die Vektoren sind [[linear abhängig]].}}

Sehen wir uns die verschiedenen Fälle an:

{| class="wikitable"
|-
|ident: gleiche Richtung, gleiche Orientierung, gleiche Länge
||[[Datei:Vektorv1.png|none|250px]]
||$\vec{v} = \vec{u} \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$
||z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$
|-
||parallel (gleiche Orientierung): gleiche Richtung, gleiche Orientierung, unterschiedliche Länge
| [[Datei:Vektorenlänge.png|none|250px]]
||$\exists k>0 : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$
||z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} \frac{4}{3} \\ 2 \end{array} \right)$, $\frac{2}{3} $
|-
||parallel (unterschiedliche Orientierung): 
| [[Datei:Vektororientierung1.png|none|250px]]
||$\exists k<0 : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$
||z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} -2 \\ -3 \end{array} \right)$, $k=-1$

|-
||linear unabhängig
| [[Datei:Vektorrichtung1.png|none|250px]]
||$\nexists k : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \nparallel \vec{u}$
||z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 3 \end{array} \right)$
|}

{{Vorlage:Beispiel|1=Überprüfe ob die Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 5 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$ linear unabhängig voneinander sind.

|2=Wenn es ein k gibt, sodass $k \cdot \vec{a} = \vec{b}$, dann sind die beiden Vektoren voneinander linear abhängig, und somit auch parallel zueinander.

Es gibt mehrere Lösungsmöglichkeiten:
*Möglichkeit 1: Lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen
$I: 2k = 4 \ \ \rightarrow k=2$
$II: 5k = 3 \ \ \rightarrow k=\frac{3}{5}$

Aus der ersten Gleichung ergibt sich k=2, in der zweiten aber $k=\frac{3}{5}$. $k$ kann aber nicht beides sein, somit haben wir eine falsche Aussage erhalten. Daraus folgt, dass die beiden Vektoren '''linear unabhängig''' und somit nicht parallel zueinander sind.

* Möglichkeit 2: "Vergleichen und Probieren"
Vergleicht man die x-Koordinaten der beiden Vektoren, so sieht man, dass 4 doppelt so groß wie 2 ist. Daraus ergibt sich, dass ein etwaiges k=2 sein müsste.
Probiert man auch die zweite Zeile mit 2 zu multiplizieren, so erhält man 10. Die y-Koordinate von b müsste also 10 sein, damit die beiden Vektoren parallel zueinander sind.
}}

 

===Betrag und Einheitsvektor===
[[Datei:PythagorasVektor.png|thumb|right|350px|Betrag eines Vektors; Einheitsvektor]]Wie anfangs bereits erwähnt, besitzen Vektoren eine Länge, auch '''Betrag''' eines Vektors genannt. Dieser wird mit Hilfe des pythagoräischen Lehrsatzes wie folgt berechnet:

<div align="center">$\parallel \vec{v} \parallel = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2} \ $ wenn $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ ein Vektor der Dimension $n$ ist.</div>
Sehen wir uns die Grafik rechts an, können wir mit dieser Formel die Länge des zweidimensionalen Vektors $\parallel \vec{v} \parallel$ berechnen:

<div align="center">$\parallel \vec{v} \parallel = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$</div>
 Der '''Einheitsvektor''' $\vec{a_0}$ eines Vektors $\vec{a}$ ist ein zu $\vec{a}$ paralleler Vektor mit Länge 1. Rechnerisch erhält man $\vec{a_0}$, indem man $\vec{a}$ durch seine Länge dividiert. $ \vec{a_0}

=\frac{\vec{a}}{\parallel \vec{a}\parallel}$
bzw.
$ \vec{a_0}=\frac{1}{\parallel\vec{a}\parallel}\cdot \vec{a}$

Daraus ergibt sich ein Vektor, der dieselbe Richtung des ursprünglichen Vektors hat, allerdings die Länge 1 besitzt.

{{Vorlage:Merke|1=
Sei $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ ein Vektor der Dimension $n$ und $\parallel \vec{v} \parallel$ sein Betrag, dann ist $\vec{v_0} = \frac{1}{\parallel \vec{v} \parallel} \cdot \vec{v} \ $ der Einheitsvektor zu $\vec{v}$.}}

In unserem Beispiel würde das folgendes bedeuten:

{{Vorlage:Beispiel|1= Bestimme den Einheitsvektor von $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$

|2=<div align="center">$\vec{v_0} = \frac{1}{\sqrt{13} } \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \frac{2}{\sqrt{13} } \\ \frac{3}{\sqrt{13} } \end{array} \right)$</div>
}}

===Vektoren bestimmter Länge===
Da wir nun gelernt haben, Einheitsvektoren zu bilden und Vektoren mit Zahlen zu multiplizieren (und ich das hier so schön betone), könnt ihr euch vielleicht schon vorstellen, wie man aus einem beliebigen Vektor einen Vektor derselben Richtung, allerdings unterschiedlicher Länge bekommt. Wir haben also einen Vektor $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ mit der Länge $\parallel \vec{v} \parallel = k$ gegeben, und hätten gerne den Vektor $\vec{w} \ \parallel \ \vec{v}$ mit der Länge $l$. Dazu berechnen wir zuerst den Einheitsvektor $\vec{v_0}$ von $\vec{v}$ und multiplizieren diesen dann mit $l$. So erhalten wir schließlich $\vec{w} = l \cdot \vec{v_0}$.

==Mittelpunkt einer Strecke==
[[Datei:Mittelpunkt.png|thumb|right|300px|Mittelpunkt M der Strecke AB]]Willst du den Mittelpunkt zwischen 2 Punkten $A$ und $B$ berechnen, musst du wie folgt vorgehen:
Zuerst berechnest du einen Vektor zwischen den Punkten ($\vec{AB}$ oder $\vec{BA}$). Dann halbierst du diesen Vektor, und erhältst $\vec{AM}$ bzw. $\vec{BM}$. Addierst du dann diesen Vektor zum entsprechenden Punkt ($A$ bzw. $B$), erhältst so den Mittelpunkt. Also:

<div align="center">$\vec{0M} = \vec{0A} + \frac{\vec{AB}}{2} = \vec{0B} + \frac{\vec{BA}}{2}$</div>

Kurzschreibweise:
<div align="center">$M = \vec{A} + \frac{\vec{AB}}{2}$ </div>

=Im $\mathbb{R^2}$=
Dieser Artikel befasst sich mit der Vektorrechnung im zweidimensionalen Raum. Grundlegende Informationen zur Vektorrechnung, so wie Punkte und Vektoren, findest du unter dem Tab ''Grundlagen der Vektorrechnung''.

==Vektoren==
===Normalvektoren===
[[Datei:Normalvektoren.png|thumb|right|350px|Normalvektoren]]Normalvektoren zu einem Vektor sind alle Vektoren, die normal (im rechten Winkel) auf den Vektor stehen. Im $\mathbb{R^2}$ gibt es zu jedem Vektor genau 2 Normalvektoren, die dieselbe Länge wie der ursprüngliche Vektor haben. Alle anderen Normalvektoren sind Vielfache eines dieser 2 Normalvektoren.

{{Vorlage:Merke | 1=Sei $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ ein Vektor, dann ist $\vec{n_1}=\left( \begin{array}{c} -y \\ x \end{array} \right)$ sein nach links gekippter, und $\vec{n_2}=\left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right)$ sein nach rechts gekippter Normalvektor.
''Vertausche die Koordinaten und ändere '''ein''' Vorzeichen''
}}

===Skalarprodukt===
Unter dem Skalarprodukt versteht man die Multiplikation zweier Vektoren, bei der als Ergebnis ein Skalar (eine Zahl) entsteht.

{{Vorlage:Merke|1=Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren, dann ist $\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \end{array} \right) = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b$ gleich ihr Skalarprodukt.
}}

Das Skalarprodukt wirkt auf den ersten Blick etwas "eigenartig". Man kann sich die Bedeutung des Skalarproduktes besonders gut an einem Anwendungsbeispiel erklären:
Angenommen in einer Preisliste stehen 10 Kugelschreiber, die jeweils 2€ kosten und 20 Bleistifte, die jeweils 0,50€ kosten.
In Tabellenform sieht das folgendermaßen aus:

{| class="wikitable"
|-
! Produkt !! Stückzahl !! Preis pro Stück (in €)
|-
| Kugelschreiber || 10 || 2
|-
| Bleistift || 20 || 0,50
|}

Aus dieser Tabelle kann ein Stückzahlvektor $\left( \begin{array}{c} 10 \\ 20 \end{array} \right)$ und ein Preisvektor $\left( \begin{array}{c} 2 \\ 0,50 \end{array} \right)$ abgelesen werden.

Möchte man den Gesamtwert der Produkte berechnen, so müssen jeweils die Einzelpreise mit der Stückzahl multipliziert werden und anschließend die Summe gebildet werden.
Genau das macht das Skalarprodukt!
$\left( \begin{array}{c} 10 \\ 20\end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0.50 \end{array} \right) = 10 \cdot 2 + 20 \cdot 0.50 = 20 + 10 = 30€ $

===Winkel zwischen zwei Vektoren===
[[Datei:Winkel.png|thumb|right|350px|Winkel zwischen 2 Vektoren]]<big>$$cos{\varphi} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel} = \vec{a_0} \cdot \vec{b_0}$$
bzw.
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = \parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel \cdot cos{\varphi}$$</big>

Heißt es, den Winkel zwischen 2 Vektoren/Geraden zu bestimmen, ist damit immer der kleinere Winkel gemeint. Solltest du einmal ein Ergebnis erhalten, das größer als 180° ist (nennen wir dieses Ergebnis $\varphi'$), dann ziehe dieses Ergebnis von 360° ab und du erhältst den kleineren Winkel ($\varphi = 360° - \varphi'$). 
Bei einem Winkel von $\varphi = 90°$ erhalten wir $cos{\varphi} = 0$, was bedeutet, dass auch $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$. Daraus ergibt sich das Orthogonalitätskriterium.

====Orthogonalitätskriterium====
{{Vorlage:Merke|1=Ergibt das Skalarprodukt zweier Vektoren $0$, so stehen diese zwei Vektoren normal zueinander (und umgekehrt!)$$\vec{a} \cdot \vec{b} \ = \ 0 \ \Leftrightarrow \ \vec{a} \bot \vec{b}$$}}

Mithilfe des Orthogonalitätskriteriums kann man auch zeigen, dass $\vec{n}=\left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right)$ stets ein Normalvektor von $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ ist.
$$\vec{v} \cdot \vec{n} = \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right) = xy - yx = 0$$

==Geraden==
===Darstellungsformen===
Geraden lassen sich in unterschiedlichen Formen darstellen. In der Vektorrechnung ist die Parameterdarstellung populär, da man dazu nur einen Punkt und Vektor kennen muss. Die Normalform allerdings hat den Vorteil, dass man den Normalvektor zur Geraden auf einen Blick ablesen kann. Je nachdem, was man mit der Gerade vorhat, können die verschiedenen Formen ineinander umgewandelt werden.

====Parameterdarstellung====
[[Datei:Parameterdarstellung.png|thumb|right|350px|Parameterdarstellung einer Geraden]]$$g: \vec{0X} = \vec{0P} + t \cdot \vec{a}$$ 
wobei

* $X \in g$ ist ein '''beliebiger''' Punkt auf der unendlichen Geraden (steht für alle Punkte auf der Geraden)
* $P \in g$ ist ein '''bekannter''' Punkt auf der Geraden
* $t \in \mathbb{R}$ ist ein freier Parameter (in der Graphik rechts $\lambda$)
* $\vec{a} \in \mathbb{R^2}$ ist ein Vektor parallel zur Geraden, der die Richtung dieser angibt ("Richtungsvektor")

 
Beachte, dass in der Parameterdarstellung keine Punkte, sondern Ortsvektoren verwendet werden! (Info zu Ortsvektoren findest du unter ''Grundlagen der Vektorrechnung''.) Wenn man das weiß, kann man der Einfachheit halber die Gerade auch folgendermaßen beschreiben: $g: X = P + t \cdot \vec{a}$

 
Eine andere Schreibweise ist, die Koordinaten einzeln zu betrachten und 2 Gleichungen aufzustellen:
$$g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \end{cases}$$

====Normalvektorform====
Hierzu benötigt man einen Normalvektor des Richtungsvektors und multipliziert dann die Geradengleichung mit diesem Normalvektor. Da $\vec{a} \cdot \vec{n} = 0$, bleibt über:

Sei $g: \vec{0X} = \vec{0P} + t \cdot \vec{a}$ eine Gerade in Parameterform, so ist

<div align="center">$g: \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x_P \\ y_P \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right)$</div>

dieselbe Gerade in Normalform, wobei $\vec{0X}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right), \ \vec{0P}=\left( \begin{array}{c} x_P \\ y_P \end{array} \right), \ \vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right)$ und $\vec{n}=\left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right)$ ein Normalvektor von $\vec{a}$ (hier kann man natürlich auch den anderen Normalvektor verwenden).

====Allgemeine Geradengleichung====
Diese Form der Darstellung heißt auch Normalform, da man den Normalvektor der Gerade direkt ablesen kann.Um von der Parameterdarstellung auf diese Form zu kommen, gibt es 2 Möglichkeiten:

'''1. Multiplikation mit Normalvektor:'''
Hierzu muss man einfach die Normalform ausmultiplizieren und es ergibt sich:

$$g: y_a \cdot x + -x_a \cdot y = y_a \cdot x_P + -x_a \cdot y_P$$

'''2. Elimination des Parameters:'''
Hierbei gehen wir von der Geradenform $g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \end{cases}$ aus, eliminieren $t$, und kommen ebenfalls auf die obige allgemeine Geradengleichung.
Auf der rechten Seite der Gleichung stehen nur bekannte Größen, auf der linken Seiten stehen Vielfache von x und y. Diese Gleichung kann man weiter auch auf die Form y=kx+d umformen.

===Lagebeziehungen zwischen Geraden===
Mehrere Geraden können im $\mathbb{R^2}$

* ident sein, d.h. sie haben unendlich viele gemeinsame Punkte
* parallel sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt
* einander schneiden, d.h. sie haben genau ein gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt)

 Sind uns 2 Geraden in '''Parameterdarstellung''' gegeben, betrachten wir zuerst ihre Richtungsvektoren. 
Sind diese parallel zueinander, so sind auch die Geraden parallel zueinander. Nun bleibt noch die Frage offen, ob die Geraden ident sind. Dazu überprüfen wir einfach, ob der gegebene Punkt der einen Geraden auch auf der anderen Geraden liegt. Dazu Setzen wir den bekannten Punkt der einen Geraden für den unbekannten Punkt der anderen Geraden ein und erhalten 2 Gleichungen in einer Unbekannten (Parameter der zweiten Gerade). Erhalten wir nun für den Parameter zweimal dasselbe Ergebnis, so sind die 2 Geraden ident, erhalten wir unterschiedliche Ergebnisse, so sind sie nur parallel. 
Sind die Richtungsvektoren nicht parallel zueinander, so sind es auch die 2 Geraden nicht, und wir können uns sicher sein, dass diese einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen.
Doch wie erhalten wir den Schnittpunkt? Ganz einfach, indem wir die 2 Geraden schneiden. Dazu müssen wir sie gleichsetzen, und dann das dadurch erhaltene Gleichungssystem in 2 Unbekannten (die 2 Parameter) lösen. Wenn wir den Wert eines Parameters ausgerechnet haben, setzen wir ihn einfach in die entsprechende Geradengleichung ein und erhalten so den Schnittpunkt!

Sind die 2 Geraden in der '''allgemeinen Geradenform''' gegeben, so haben wir bereits 2 Gleichungen gegeben, die wir nach x und y auflösen. Dieses x und y sind die Koordinaten des Schnittpunktes.

Um das Schneiden von Geraden besser zu verstehen, schau dir das Lösen von [[ Gleichungssysteme (2.7.) |Gleichungssystemen]] genauer an, wirf einen Blick auf die Beispiele zum $\mathbb{R^2}$ unter dem Tab 'Beispiele', oder sieh dir dieses Video an:

<div align="center">{{#ev:youtube|ZrFE3LRisn0}}</div>

===Normalabstand Punkt - Gerade===
[[Datei:Normalabstand.gif|right]]Gegeben sei ein Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und eine Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$. Um den Normalabstand $d(Q,g)$ zwischen Q und g zu berechnen, gehe wie folgt vor:
{{Vorlage:Merke|1=1. Bestimme die Gerade $q: X = Q + s \cdot \vec{n}$, die durch $Q$ geht und den Normalvektor $\vec{n}$ von $\vec{a}$ als Richtungsvektor besitzt.
2. Schneide $g$ und $q$ und die erhältst ihren Schnittpunkt $S$. 
3. Berechne $\parallel \vec{QS} \parallel$.}}
In der Graphik rechts hätten wir z.B. die Angabe $g: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right) + \lambda \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array} \right)$ und $Q(3/4)$. Du kannst das zur Übung durchrechnen.

====Hesse'sche Abstandsformel====
Mithilfe dieser Formel kann man ebenfalls den Abstand $d(Q,g)$ zwischen Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$ bestimmen. <big>$d(Q,g) = | \vec{PQ} \cdot \vec{n_0} | $</big>, wobei $\vec{n_0}$ der normierte (Länge 1) Normalvektor des Richtungsvektors $\vec{a}$ der Geraden $g$ ist.

====Spiegelung eines Punktes an einer Geraden====
[[Datei:Spiegeln.png|thumb|right|250px|Gespiegelter Punkt Q']]Gegeben sei ein Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und eine Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$. Es gilt den Punkt $Q$ an der Gerade $g$ zu spiegeln, und so den Punkt $Q'$ zu erhalten. Dazu befolgst du die Vorgehensweise von "Normalabstand Punkt - Gerade" bis du den Vektor $\vec{QS}$ erhältst, und trägst diesen vom Punkt $S$ ab, also: 
$Q' = S + \vec{QS}$

=Im $\mathbb{R^3}$=
==Vektoren==
===Kreuzprodukt===
Im $\mathbb{R^3}$ gibt es neben dem Skalarprodukt, bei dem wir als Ergebnis ein Skalar erhalten, eine weitere Möglichkeit, zwei Vektoren miteinander zu multiplizieren: das sog. Kreuz- oder Vektorprodukt, bei dem wir als Ergebnis einen Vektor erhalten.{{Vorlage:Merke|1=Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren des $\mathbb{R^3}$, dann ist ihr Kreuzprodukt
$$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} y_a \cdot z_b - z_a \cdot y_b \\ z_a \cdot x_b - x_a \cdot z_b \\ x_a \cdot y_b - y_a \cdot x_b \end{array} \right)$$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ -3 \end{array} \right)$, gesucht ist ihr Kreuzprodukt.|

2=$$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \cdot (-3) - 3 \cdot 4 \\ 3 \cdot 5 - 1 \cdot (-3) \\ 1 \cdot 4 - 2 \cdot 5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-6) - 12 \\ 15 - (-3) \\ 4 - 10 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -18 \\ 18 \\ -6 \end{array} \right)$$}}

Wozu wir das Kreuzprodukt überhaupt benötigen, sehen wir an den nächsten 2 Punkten.

====Normalvektoren====
Im $\mathbb{R^3}$ gibt es zu einem Vektor unendlich viele Normalvektoren. Auf eine Ebene allerdings gibt es genau 2 Normalvektoren (wie im $\mathbb{R^2}$ auf eine Gerade). Eine Ebene wird von 2 Vektoren aufgespannt, deren Kreuzprodukt ergibt einen Normalvektor $\vec{n_1}$ auf die Ebene bzw. die zwei Vektoren; der zweite Normalvektor hat die entgegengesetzte Orientierung ($\vec{n_2} = -\vec{n_1}$). Also:$$\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$$

====Fläche eines von zwei Vektoren aufgespannten Parallelogramms oder Dreiecks====
[[Datei:FlächeNormalvektor.png|thumb|right|none|250px|2 Vektoren spannen ein Dreieck bzw. Parallelogramm auf]] 
{{Vorlage:Merke|1=Die Länge $\parallel \vec{n} \parallel = \parallel \vec{a} \times \vec{b} \parallel$ des Normalvektors $\vec{n}$ zu den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ entspricht der Maßzahl des Flächeninhaltes des Parallelogramms, das $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aufspannen (im Bild die gesamte grüne Fläche).
Die Hälfte dieser Fläche entspricht der Fläche des aufgespannten Dreiecks.}}

===Skalarprodukt, Orthogonalitätskriterium, Winkel zwischen zwei Vektoren===
Diese drei Dinge "funktionieren" im $\mathbb{R^3}$ wie im $\mathbb{R^2}$. Also hier nur eine kurze Wiederholung: 

'''Skalarprodukt''' 
Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\z_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren, dann ist $$\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right) = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b + z_a \cdot z_b$$ gleich ihr Skalarprodukt.
 

'''Orthogonalitätskriterium''' 
Ergibt das Skalarprodukt zweier Vektoren $0$, so stehen diese zwei Vektoren normal zueinander (und umgekehrt!)
$$\vec{a} \cdot \vec{b} \ = \ 0 \ \Leftrightarrow \ \vec{a} \bot \vec{b}$$
Auch das gibt es im $\mathbb{R^3}$. Bedenke aber, dass es hier, anders als im $\mathbb{R^2}$, unendlich viele Normalvektoren auf einen Vektor gibt.
 

'''Winkel zwischen zwei Vektoren'''
$$cos{\varphi} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel} = \vec{a_0} \cdot \vec{b_0}$$

==Geraden==
===Darstellungsformen===
====Parameterdarstellung====
Die Parameterdarstellung im $\mathbb{R^3}$ sieht genauso aus wie im $\mathbb{R^2}$, einziger Unterschied ist, dass unsere Punkte und Vektoren hier jeweils 3 Koordinaten haben.$$g: X = P + t \cdot \vec{a}$$ bzw. $$g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \\ z = z_P + t \cdot z_a \end{cases}$$
Mehr Infos zu den einzelnen Komponenten findest du im Tab 'Im $\mathbb{R^2}$'.

====Parameterfreie Darstellungsform====
Diese besteht aus 2 Gleichungen und wir erhalten sie durch Eliminierung des Parameters.

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sei die Parameterform der Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ -4 \\ 1 \end{array} \right)$. Zuerst schreiben wir das in die 3 Koordinatengleichungen um:
$$g : \begin{cases} x = 2 + 3t \\ y = 0 - 4t \\ z = 1 + t \end{cases}$$

2=Wir multiplizieren die erste Gleichung mit $4$ und die zweite Gleichung mit $3$ und addieren die beiden: $$+ \begin{cases} 4x = 8 + 12t \\ 3y = 0 - 12t \end{cases}$$ und erhalten so die Gleichung $4x + 3y = 8$.
Wir multiplizieren die dritte Gleichung mit $3$ und subtrahieren diese von der ersten Gleichung: $$- \begin{cases} x = 2 + 3t \\ 3z = 3 + 3t \end{cases}$$ und erhalten so die Gleichung $x - 3z = -1$.

Die parameterfreie Darstellung unserer Gerade lautet somit $$g : \begin{cases} 4x + 3y = 8 \\ x - 3z = -1 \end{cases}$$.}}

Die zwei Gleichungen in der parameterfreien Darstellung sind übrigens Ebenengleichungen. Die eigentliche Gerade ist der Schnitt dieser zwei Ebenen!

===Lagebeziehungen zwischen Geraden===
Mehrere Geraden können im $\mathbb{R^3}$

* ident sein, d.h. sie haben unendlich viele gemeinsame Punkte
* parallel sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt
* einander schneiden, d.h. sie haben genau ein gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt)
* windschief sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt und sind nicht parallel

Um herauszufinden, wie 2 gegebene Geraden in Parameterform zueinander stehen, gehst du am besten wie folgt vor:

'''Betrachtung der Richtungsvektoren:''' Auch im $\mathbb{R^3}$ gilt, sind die Richtungsvektoren zweier Geraden parallel zueinander (d.h. man kann einen Vektor als Vielfaches des anderen Vektors darstellen), so sind es auch die Geraden.

'''Fall 1: Die Vektoren sind parallel:''' Sollte sich herausstellen, dass die zwei Geraden parallel zueinander sind, überprüfst du als nächstes, ob sie einen gemeinsamen Punkt haben; am einfachsten funktioniert das, indem du den bekannten Punkt ($P$) der einen Geraden in die zweite Gerade (für den unbekannten Punkt $X$) einsetzt. Wir erhalten drei Gleichungen in einer Unbekannten (Parameter der zweiten Gerade). 
'''Fall 1a:''' Erhalten wir nun für den Parameter dreimal dasselbe Ergebnis, so sind die 2 Geraden '''ident''' (und parallel), da der überprüfte Punkt, und somit unendlich weitere, auf beiden Geraden liegen. 
'''Fall 1b:''' Erhalten wir unterschiedliche Ergebnisse, so sind sie nur '''parallel''', da der überprüfte Punkt nicht, und somit auch kein anderer, auf beiden Geraden liegen.

'''Fall 2: Die Vektoren sind nicht parallel:''' Nun gibt es nur noch zwei Möglichkeiten: Entweder die zwei Geraden haben einen gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt), oder sie sind windschief. 
Um das wiederum herauszufinden, setzt du die beiden Geraden gleich, d.h. du stellst ein lineares Gleichungssystem (LGS) mit drei Gleichungen und in drei Unbekannten auf, und versuchst, dieses zu lösen. 
'''Fall 2a:''' Solltest du nun eine Lösung erhalten, d.h. du erhältst den Wert für den Parameter einer der zwei Geraden (und hast diesen Wert überprüft), so weißt du, dass die zwei Geraden einander '''schneiden'''. Den Schnittpunkt erhältst du jetzt, indem du den erhaltenen Wert für den Parameter in die entsprechende Geradengleichung einsetzt. 
'''Fall 2b:''' Sollte dein LGS keine Lösung ergeben (also sich eine falsche Aussage oder ein Widerspruch ergeben, z.B. $2=13$, oder $t=4$ und $t=-1$), dann weißt du, dass deine beiden Geraden keinen Schnittpunkt haben und somit '''windschief''' sind.

Zum besseren Verständnis siehst du dir am besten das folgende Video und die beiden folgenden Beispiele an.

<div align="center">{{#ev:youtube|u0QoYlEE094}}</div>
{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die beiden Geraden $g: X = \left( \begin{array}{c} 0 \\ -11 \\ -3 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right)$ und $h: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ -3 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right)$. Überprüfe deren gegenseitige Lage und gegebenenfalls ihren Schnittpunkt!|2=Zuerst überprüfen wir die Richtungsvektoren der beiden Geraden, um festzustellen, ob diese parallel zueinander sind oder nicht:$$\nexists \lambda : \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) = \lambda \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) \nparallel \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g \nparallel h$$
$g$ und $h$ sind also nicht parallel. Sie können also noch entweder einander schneiden oder windschief sein. Stellen wir nun ein LGS auf, indem wir die beiden Geraden gleichsetzen:
$$\begin{align}
I: \ &&&s&=&2&+&t \\
II: \ &-11&+&2s&=&3&-&3t \\
III: \ &-3&+&s&=&-3&+&2t
\end{align}$$ 
Wir subtrahieren $III$ von $I$: $- \begin{cases} &s &=& 2 + t \\ -3 + &s &=& -3 + 2t \end{cases} \ \rightarrow \ 3 = 5 - t \Rightarrow t = 2$ 
Wir überprüfen dieses Ergebnis für $t$, indem wir $t=2$ in alle 3 Gleichungen einsetzen. Wir sehen dann, dass wir überall dasselbe Ergebnis für $s$ erhalten, nämlich $s=4$. Daraus folgt, dass die Geraden einander '''schneiden'''. Setzen wir nun $t=2$ oder $s=4$ in die entsprechende Geradengleichung, so erhalten wir den Schnittpunkt $S(4/-3/1)$ der beiden Geraden.}}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die beiden Geraden $g: X = \left( \begin{array}{c} 3 \\ -2 \\ 0 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right)$ und $h: X = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$. Überprüfe deren gegenseitige Lage und ggf. ihren Schnittpunkt!|2=Zuerst überprüfen wir wieder die Richtungsvektoren der beiden Geraden:$$\nexists \lambda : \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) = \lambda \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) \nparallel \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g \nparallel h$$
Nun stellen wir wieder ein LGS auf:
$$\begin{align}
I: \ &3&+&2s&=&4&-&t \\
II: \ &-2&-&2s&=&3&& \\
III: \ &&&s&=&1&+&t
\end{align}$$ 
Aus der zweiten Gleichung lässt sich direkt berechnen, dass $s=- \frac{5}{2}$. Dies setzen wir nun in die erste und zweite Gleichung ein und erhalten einmal $3 - 5 = 4 - t \ \Rightarrow \ t=6$ und einmal $- \frac{5}{2} = 1 + t \ \Rightarrow \ t=- \frac{7}{2}$. Diese beiden Werte für $t$ sind offensichtlich voneinander unterschiedlich, daraus folgt, dass die beiden Geraden $g$ und $h$ '''windschief''' sind.
}}

==Ebenen==
Eine Ebene ist durch 3 Punkte oder 1 Punkt und 2 (voneinander linear unabhängigen) Vektoren eindeutig festgelegt.

===Darstellungsformen===
====Parameterdarstellung====
[[Datei:ebene2.png|thumb|right|350px|von Punkt und Vektoren aufgespannte Ebene]]
$$\epsilon : X = P + s \cdot \vec{a} + t \cdot \vec{b}$$
bzw.
$$\epsilon : \begin{cases} x = x_P + s \cdot x_a + t \cdot x_b \\ y = y_P + s \cdot y_a + t \cdot y_b \\ z = z_P + s \cdot z_a + t \cdot z_b \end{cases}$$
wobei

* $X \in \epsilon$ ist ein '''beliebiger''' Punkt auf der unendlichen Ebene
* $P \in \epsilon$ ist ein '''bekannter''' Punkt auf der Ebene
* $s, t \in \mathbb{R}$ sind freie Parameter
* $\vec{a}, \vec{b} \in \mathbb{R^3}$ sind zwei Vektoren, die parallel zur Ebene liegen

====Normalvektorform====
Man multipliziert die Parameterdarstellung der Ebene mit ihrem Normalvektor $\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$ und erhält$$\vec{n} \cdot \vec{X} = \vec{n} \cdot \vec{P}$$

====Allgemeine Ebenengleichung====
$$ax + by + cz = d$$Diese Form der Darstellung heißt auch Normalform, da man den Normalvektor der Ebene direkt ablesen kann. Um von der Parameterdarstellung auf diese Form zu kommen, gibt es 2 Möglichkeiten:

'''1. Multiplikation mit Normalvektor:'''
Hierzu muss man einfach die Normalform ausmultiplizieren und es ergibt sich:

$$\epsilon: x_n \cdot x + y_n \cdot y + z_n \cdot z = x_n \cdot x_P + y_n \cdot y_P + z_n \cdot z_P$$

'''2. Elimination des Parameters:'''
Hierbei gehen wir von der Ebenengleichung $\epsilon : \begin{cases} x = x_P + s \cdot x_a + t \cdot x_b \\ y = y_P + s \cdot y_a + t \cdot y_b \\ z = z_P + s \cdot z_a + t \cdot z_b \end{cases}$ aus, eliminieren $s$ und $t$, und kommen ebenfalls auf die obige allgemeine Ebenengleichung.

Zur Veranschaulichung ein Beispiel zu den verschiedenen Darstellungsformen:
{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die drei Punkte $A(1/1/1), B(-1/-4/2), C(0/3/-1)$. Gib die Ebene, die diese drei Punkte aufspannen, in Parameterform, Normalform und allgemeiner Ebenengleichung an!|2=Für die Parameterform berechnen wir erst zwei beliebige Vektoren aus den 3 Punkten, z.B. $\vec{AB} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{AC} = \left( \begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right)$. Als Parameterform erhalten wir schließlich:
$$\epsilon: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right)$$ Um auf die Normalform zu kommen, bestimmen wir als erstes den Normalvektor der Ebenen: $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-5) \cdot (-2) - 1 \cdot 2 \\ 1 \cdot (-1) - (-2) \cdot (-2) \\ (-2) \cdot 2 - (-5) \cdot (-1) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right)$. 
Nun die Parametergleichung mit dem Normalvektor multiplizieren und wir erhalten auch die Normalform:
$$\epsilon: \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)$$ 
Um nun noch die allg. Ebenenform zu erhalten, multipliziert man am einfachsten die Normalform aus und erhält:
$$\epsilon: 8x - 5y -9z =-6$$ 
Aber auch die Elimination der Parameter soll hier gezeigt werden. Wir gehen aus von: $$\epsilon : \begin{cases} x = 1 - 2s - t \\ y = 1 - 5s + 2t \\ z = 1 + s - 2t\end{cases}$$
Addieren wir die y- und die z-Gleichung, können wir $t$ eliminieren: $+ \begin{cases} y = 1 - 5s + 2t \\ z = 1 + s - 2t \end{cases} \ \Rightarrow \ y + z = 2 - 4s$. 
Wir können $t$ ebenfalls eliminieren, indem wir die y-Gleichung zum 2-fachen der x-Gleichung addieren: $+ \begin{cases} 2x = 2 - 4s - 2t \\ y = 1 - 5s + 2t \end{cases} \ \Rightarrow \ 2x + y = 3 -9s$. 
Nun haben wir zwei Gleichungen, die nur mehr von $s$ abhängig sind. Um diesen Parameter nun auch noch zu eliminieren, multiplizieren wir die erste Gleichung mit $(-9)$ und die zweite mit $4$ und addieren diese, um nochmals auf die allg. Ebenengleichung zu kommen.
$$+ \begin{cases} 8x + 4y = 12 - 36s \\ -9y - 9z = -18 + 36s \end{cases} \ \Rightarrow \ \epsilon: 8x - 5y -9z =-6$$
}}

===Lagebeziehungen===
====...zwischen zwei Ebenen====
Zwei Ebenen können im $\mathbb{R^3}$

* ident sein: die Ebenengleichungen (allg. Form) sind Vielfache voneinander;

z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : 2x + 2y + 2z = 6 \Rightarrow \epsilon _2 = 2 \cdot \epsilon _1$

* parallel sein: die Normalvektoren der Ebenen sind Vielfache voneinander;

z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : 2x + 2y + 2z = 5 \Rightarrow \vec{n_2} = 2 \cdot \vec{n_1}$

* einander schneiden (in einer Gerade): die Normalvektoren der Ebenen sind keine Vielfache voneinander;

z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : x - 3y + 2z = 1 \Rightarrow \nexists \lambda \in \mathbb{R} : \vec{n_1} = \lambda \cdot \vec{n_2}$

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:Ebenenident2.png|2 Ebenen sind ident
Datei:Ebenenparallel2.png|2 Ebenen sind parallel
Datei:Ebenenschnittgerade2.png|2 Ebenen schneiden einander in einer Geraden
</gallery>

 
'''Berechnen der Schnittgerade''' 
Erkennt man durch Betrachtung der Normalvektoren zweier Ebenen, dass diese einander schneiden müssen, so kann man diese Schnittgerade berechnen. Dazu erstellt man aus den beiden Ebenengleichungen ein lineares Gleichungssystem in 3 Unbekannten. 2 Gleichungen - 3 Unbekannte: wir werden hier nicht für alle Unbekannten einen Zahlenwert erhalten, können aber 2 Unbekannte in Abhängigkeit der dritten darstellen. Diese dritte Unbekannte wird uns als Parameter für die Darstellung der Geraden dienen. Zur Veranschaulichung ein Beispiel:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die beiden Ebenen $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : x - 3y + 2z = 1$. Wie wir weiter oben schon festgestellt haben, müssen diese Ebenen einander schneiden, da die beiden Noramlvektoren der Ebenen $\vec{n_1}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{n_2}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right)$ linear unabhängig voneinander sind, also $\nexists \lambda \in \mathbb{R} : \vec{n_1} = \lambda \cdot \vec{n_2}$. 
Wir wählen nun eine der Koordinaten als Parameter, z.B. $z=t$ und stellen das Gleichungssystem auf.

2=

$$\begin{align}I: \ &x&+&y&+&t&=&3 \\
II: \ &x&-&3y&+&2t&=&1
\end{align}$$

Wir subtrahieren $I-II$ und erhalten
$$4y - t = 2 \ \Rightarrow \ y = \frac{1}{2} + t \cdot \frac{1}{4}$$
Nun setzen wir unser erhaltenes $y$ in die erste Gleichung ein, um $x$ zu erhalten:

$$I: \ x + \frac{1}{2} + t \cdot \frac{1}{4} + t = 3 \ \Rightarrow \ x = \frac{5}{2} - t \cdot \frac{5}{4}$$
Somit haben wir alle Ausdrücke der Koordinaten gefunden ($z=t$ haben wir anfangs festgelegt) und können die Parameterdarstellung der Schnittgerade angeben:
$$g: X = \left( \begin{array}{c} \frac{5}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 0 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} - \frac{5}{4} \\ \frac{1}{4} \\ 1 \end{array} \right)$$
}}

====...zwischen 3 Ebenen====
Drei Ebenen können im $\mathbb{R^3}$

* alle ident sein
* 2 ident, 1 parallel sein
* alle parallel sein
* 3 Schnittgeraden haben
* 2 Schnittgeraden haben (2 Ebenen parallel)
* 1 Schnittgerade haben
* 1 Schnittpunkt haben

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:Ebenenident3.png|3 Ebenen sind ident
Datei:Ebenenidentparallel.png|2 Ebenen sind ident, 1 parallel
Datei:Ebenenparallel3.png|3 Ebenen sind parallel
Datei:Ebenenschnittgeraden33.png|3 Ebenen schneiden einander in 3 Geraden
Datei:Ebenenschnittgeraden32.png|3 Ebenen schneiden einander in 2 Geraden (2 Ebenen parallel)
Datei:Ebenenschnittgerade3.png|3 Ebenen schneiden einander in einer Gerade
Datei:Ebenenschnittgerade31.png|3 Ebenen schneiden einander in einer Gerade (2 Ebenen ident)
Datei:Ebenenschnittpunkt3.png|3 Ebenen schneiden einander in einem Punkt
</gallery>

====...zwischen Ebene und Gerade====
Eine Ebene und eine Gerade können im $\mathbb{R^3}$

* $g \subset \epsilon$, die Gerade liegt auf der Ebene

Hierbei haben die Gerade und die Ebene einen gemeinsamen Punkt und der Richtungsvektor der Gerade steht normal auf den Normalvektor der Ebene, daraus folgt, dass sie unendlich gemeinsame Punkte haben.

* parallel sein

Irgendein Punkt der Gerade liegt nicht auf der Ebene, der Richtungsvektor der Gerade steht normal auf den Normalvektor der Ebene, daraus folgt, dass sie keinen einzigen gemeinsamen Punkt haben.

* 1 Schnittpunkt haben

Der Richtungsvektor der Geraden steht nicht normal auf den Normalvektor der Ebene.

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:GeradeinEbene.png|Gerade liegt auf der Ebene
Datei:GeradepararallelEbene.png|Gerade und Ebene sind parallel zueinander
Datei:GeradeSchnittpunktEbene.png|Gerade und Ebene schneiden einander (Schnittpunkt)
</gallery>

Zur Überprüfung der Lagebeziehung gibt es allerdings noch eine andere (schnellere) Methode. Hier "schneiden" wir die Gerade und die Ebene mathematisch, d.h. wir setzen sie gleich (wenn beide in Parameterform gegeben sind) oder setzen die Gerade $g$ (Parameterform) in die Ebene $\epsilon$ (allg. Ebenengleichung) ein. 
Wir erhalten dadurch ein Gleichungssystem oder eine einzelne Gleichung.

Sei die Gerade gegeben als $g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \\ z = z_P + t \cdot z_a \end{cases}$ und die Ebene als $\epsilon : \begin{cases} x = x_Q + s \cdot x_b + u \cdot x_c \\ y = y_Q + s \cdot y_b + u \cdot y_c \\ z = z_Q + s \cdot z_b + u \cdot z_c \end{cases}$ (Parameterform) oder $\epsilon : ax + by + cz = d$ (allg. Ebenengleichung).

Wir erhalten als Gleichungssystem durch Gleichsetzen der Gleichungen der Parameterformen:
$$\begin{cases} x_P + t \cdot x_a = x_Q + s \cdot x_b + u \cdot x_c \\ y_P + t \cdot y_a = y_Q + s \cdot y_b + u \cdot y_c \\ z_P + t \cdot z_a = z_Q + s \cdot z_b + u \cdot z_c \end{cases}$$ 
Wir erhalten durch Einsetzen der Gerade in die Ebene (allg. Ebenengleichung):
$$a \cdot (x_P + t \cdot x_a) + b \cdot (y_P + t \cdot y_a) + c \cdot (z_P + t \cdot z_a) = d$$

Ergibt sich hier eine wahre Aussage (z.B. $1=1$), also unendlich viele Lösungen, so liegt die Gerade in der Ebene. 
Ergibt sich eine falsche Aussage (z.B. $1=2$), also keine Lösung, so schneiden die beiden Objekte einander nicht, also sie sind parallel. 
Gibt es genau eine Lösung (z.B. $t=2$), so existiert genau ein gemeinsamer Punkt = Schnittpunkt. Diesen erhält man, indem man den ermittelten Wert für den Parameter $t$ der Geraden in die Geradengleichung einsetzt (oder, wenn die Ebene in Parameterform gegeben war, die beiden Werte für die Parameter $s$ und $u$ der Ebene in die Ebenengleichung einsetzt). Dazu 2 Beispiele, wobei wir im ersten mit der Ebene in Parameterform rechnen werden:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right)$ und die Ebene $\epsilon : X = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -1 \\ -3 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) + u \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 0 \end{array} \right)$. Stellen wir nun also unser Gleichungssystem auf:

2=\begin{align}

I: \ & \ 1&-t&=&4& &+2u \\
II: \ &-3& &=&-1&+s&-u \\
III: \ & \ 2&+2t&=&-3&+s&
\end{align}

In der ersten Gleichung drücken wir $u$ in $t$ aus: $u = - \frac{3}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$ 
In der zweiten Gleichung drücken wir $s$ in $u$ aus: $s = -2 + u$ 
Das $u$ von oben setzen wir nun hier ein und erhalten $s$ in Abhängigkeit von $t$: $s = - \frac{7}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$.

Dieses $s$ setzen wir nun in die dritte Gleichung ein und wir erhalten: $2 + 2t = -3 - \frac{7}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$ und in weiterer Folge $t = - \frac{17}{5}$. 
Es ergibt sich also genau eine Lösung für das Gleichungssystem, was bedeutet, dass die Gerade und die Ebene einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen. Diesen erhalten wir, indem wir den errechneten Wert für $t$ in die Geradengleichung einsetzen (Man könnte natürlich auch noch die Werte für $s$ und $u$ berechnen, und diese in die Ebenengleichung einsetzen; zur Übung kannst du das gerne tun):
$$g: S = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) - \frac{17}{5} \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \frac{23}{5} \\ -3 \\ - \frac{24}{5} \end{array} \right)$$
}}

Betrachten wir nun dasselbe Beispiel, mit dem Unterschied, dass die Ebene in Normalform gegeben ist und wir auch gleich mit dieser Form rechnen:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right)$ und die Ebene $\epsilon : x + 2y - 2z = 8$. Wir setzen die Koordinatengleichungen der Gerade in die Normalform der Ebene:

2= $g$ in $\epsilon$: $$1 - t - 6 - 4 -4t =8$$

Wenn wir diese Gleichung lösen, erhalten wir, wie im ersten Bespiel, $t = - \frac{17}{5}$. Dies noch in die Geradengleichung einsetzen, und wir erhalten den Schnittpunkt.}}

Da man bei der zweiten Methode meistens weniger Rechenaufwand hat, zahlt es sich oft aus die Parameterdarstellung der Ebene in die Normalform (= allg. Ebenengleichung) umzurechnen.

==Pyramidenbeispiel==
[[Datei:Pyramidebsp.png|thumb|right|350px|Pyramide]]Gegeben seien 3 Eckpunkte $A(-2/-2/1), B(2/-2/1), C(2/2/1)$ der quadratischen Grundfläche und der Spitzpunkt $S(0/0/6)$ einer geraden (gerade bedeutet, dass die Spitze in einem rechten Winkel über dem Mittelpunkt der Grundfläche der Pyramide liegt) Pyramide.
Gesucht sind:

# der vierte Eckpunkt $D$ der Grundfläche
# die Parameterdarstellung der Trägergeraden $h$ der Höhe
# die Fläche der Grundfläche
# die Geradengleichung der Geraden $g_{AS}$ auf der $A$ und $S$ liegen in a)Parameterform und b)parameterfreier Form
# Der Winkel $\alpha$ zwischen den Vektoren $\vec{AS}$ und $\vec{AC}$
# Zeige, dass der Schnittpunkt der Geraden $g_{AS}$ und $h$ gleich die Spitze $S$ ist
# Gib die Ebenengleichung $\epsilon$ der Grundfläche in a)Parameterform, b)Normalform und c)allgemeiner Ebenengleichung an
# Berechne den Fußpunkt $M$ der Höhe, indem du $h$ und $\epsilon$ schneidest

1. $D = A + \vec{BC} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -2 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right)$ 
2. $h: X = S + t \cdot \vec{h}$
$$\vec{AB} \times \vec{BC} = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 16 \end{array} \right) \ \parallel \ \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) = \vec{h}$$
$$h: X = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$$ 
3. $G = \parallel \vec{AB} \times \vec{BC} \parallel = \parallel \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 16 \end{array} \right) \parallel = 16FE$ 
4. a) $g_{AS}: X = A + u \cdot \vec{AS}$
$$\vec{AS} = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g_{AS}: X = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + u \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right)$$ oder $$g_{AS}:\begin{cases} x = -2 + 2u \\ y = -2 + 2u \\ z = 1 + 5u \end{cases}$$
b) Parameter elimieren:
$$x - y: x-y = 0$$
$$5x - 2z: 5x - 2z = -12$$
$$\Rightarrow g_{AS}:\begin{cases} x - y = 0 \\ 5x - 2z = -12 \end{cases}$$ 
5. $\measuredangle \vec{AS},\vec{AC} = \alpha = arccos{\frac{\vec{AS} \cdot \vec{AC}}{\parallel \vec{AS} \parallel \cdot \parallel \vec{AC} \parallel}} = arccos{\frac{\left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right)}{\parallel \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) \parallel \cdot \parallel \left( \begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) \parallel}} = arccos{\frac{16}{\sqrt{33 \cdot 32}}} = 60,5°$ 
6. $g_{AS}$ und $h$ gleichsetzen:
$$\begin{align}
I: \ &-2&+&2u&=&0&& \\
II: \ &-2&+&2u&=&0&& \\
III: \ & \ \ 1&+&5u&=&6&+&t
\end{align}
\ \ \ \rightarrow u=1$$
$$g_{AS}: S = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + 1 \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array} \right)$$ 
7. a) $\epsilon: X = A + v \cdot \vec{AB} + w \cdot \vec{BC} \ \rightarrow \ \epsilon: X = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + v \cdot \left( \begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) + w \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right)$ 
b) $\epsilon: \vec{n} \cdot \vec{X} = \vec{n} \cdot \vec{A} \ \rightarrow \ \epsilon: \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right)$ 
c) $\epsilon: z = 1$ 
8. $h:\begin{cases} x=0 \\ y=0 \\ z=6+t \end{cases} \ \ \epsilon: z=1 \ \ \rightarrow \ 1 = 6 + t \ \Rightarrow \ t=-5$ 
$h: M = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array} \right) -5 \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$

=Beispiele=
Hier findest du Beispiele zu den behandelten Themen:

===Grundlagen der Vektorrechnung===
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/9/99/VektorrechnungGLBspAngabe.pdf VektorrechnungGLBspAngabe.pdf] 
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/0/00/VektorrechnungGLBspL%C3%B6sung.pdf VektorrechnungGLBspLösung.pdf]

===Vektorrechnung im $\mathbb{R^2}$===
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/7/7f/VektorrechnungR2BspAngabe.pdf VektorrechnungR2BspAngabe.pdf] 
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/f/ff/VektorrechnungR2BspL%C3%B6sung.pdf VektorrechnungR2BspLösung.pdf]

Vektorrechnung

2016-06-11T09:18:36Z

Lajtos: /* Geometrische Darstellung der Multiplikation mit einem Skalar */

=Grundlagen=
==Koordinatensystem==
[[Datei:Quadranten.png|thumb|Coordinate System|thumb|right|350px|Koordinatengitter im $\mathbb{R^2}$ mit den 4 Quadranten]]

Für die Vektorrechnung sind Koordinatensysteme essentiell.
Im zweidimensionalen Raum besitzt ein Koordinatensystem 2 Achsen:

* die x-Achse (waagrecht) und
* die y-Achse (senkrecht)

 
Diese sind unendlich lang und Spannen die vier sogenannten Quadranten auf, die meist mit den römischen Ziffern I-IV beschriftet werden (gesprochen: Erster Quadrant, Zweiter Quadrant etc.). Die rechte Graphik zeigt die die Position der Quadranten. Dort, wo die 2 Achsen einander treffen, liegt der sog. Ursprung (kurz: $\vec{0}$); seine Koordinaten sind (0/0).

Was es außerdem noch zu beachten gibt, hast du vielleicht bereits selbst erkannt:
An den gegenüberliegenden Seiten der x- und y-Achsen werden unterschiedliche Vorzeichen verwendet. So spricht man "links" des Ursprungs von der negativen, bzw. "rechts" des Ursprungs von der positiven x-Achse. Analog spricht man "oben" und "unten" von der positiven und negativen y-Achse.

Im dreidimensionalen Raum kommt eine dritte Achse - die z-Achse - dazu. Punkte und Vektoren besitzen dementsprechend dann auch 3 Koordinaten. Dies kann man bis ins n-dimensionale weiterführen.

==Punkte==
In ein Koordinatensystem lassen sich Punkte eintragen. Diese besitzen, entsprechend ihrer Lage, Koordinaten. Im obigen Bild z.B. haben wir die Punkte A und B, wobei sich A im ersten Quadranten befindet und B im vierten Quadranten. Man schreibt: A(2/3,5) B(1/-2).

[[Datei:Punkte Abstand.png|thumb|right|350px|Punkte im $\mathbb{R^2}$]]

{{Vorlage:Merke |''Einen'' '''allgemeinen Punkt''' ''schreibt man an als'' $P(x_1/x_2/.../x_n)$ (im n-dimensionalen Raum $\mathbb{R^n}$) ''bzw.'' $P(x/y)$ (im 2-dimensionalen Raum $ \mathbb{R^2}$) ''oder'' $P(x/y/z)$ (im 3-dimensionalen Raum $\mathbb{R^3}$).
 
Die erste Koordinate entspricht der x-Koordinate, die zweite der y-Koordinate, die eventuelle dritte der z-Koordinate.

Punkte werden in der Regel mit Großbuchstaben bezeichnet.}}

Koordinaten von Punkten lassen sich also ganz einfach ablesen. Die x/y-Koordinate entspricht dabei dem Abstand vom Ursprung zum Punkt in Richtung der jeweiligen Koordinatenachse. So erkennen wir im Bild rechts die folgenden Punkte:

* A(2/0)
* B(0/-2)
* C(-1/2)

=Vektoren=

==Definition & Darstellung von Vektoren==
{{Vorlage:Definition |1= Ein Zahlenpaar $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \in \mathbb{R^2}$ wird als '''Vektor aus $\mathbb{R^2}$ ''' bezeichnet.
Analog bezeichnet man ein Zahlentripel $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) \in \mathbb{R^3}$ als '''Vektor aus $\mathbb{R^3}$ '''. 
Ein '''allgemeiner Vektor''' wird $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) \ \in \mathbb{R^n}$ geschrieben.

}}

Da sowohl die Rechenoperationen als auch die geometrischen Darstellungen leicht vom $\mathbb{R^2}$ in den $\mathbb{R^3}$ übertragen werden können, werden wir meistens nur die Vorgangsweise für Zahlenpaare aus dem $\mathbb{R^2}$ beschreiben.

===Geometrische Darstellung von Vektoren===

Es gibt zwei Möglichkeiten, wie wir einen Vektor $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right) \ \in \mathbb{R^2}$ geometrisch darstellen können:
* '''Darstellung als Punkt''': Dabei gibt $a$ die x-Koordinate und $b$ die y-Koordinate des Punktes an. Die Beschriftung erfolgt mit Großbuchstaben.
* '''Darstellung als Pfeil''': Dabei gibt $a$ die x-Richtung des Pfeils (wie weit zeigt der Pfeil nach links bzw. rechts) und $b$ die y-Richtung des Pfeils (wie weit zeigt der Pfeil nach oben bzw. nach unten) an. Pfeile werden mit Kleinbuchstaben (oft mit Pfeil $\vec{v}$) beschriftet.

Die Darstellung als Punkt ist eindeutig! Einem Zahlenpaar (=Vektor) entspricht genau ein Punkt!
Die Darstellung als Pfeil ist nicht eindeutig! Es gibt unendlich viele Pfeile, die denselben Vektor darstellen. Diese Pfeile sind aber alle parallel, gleich lang und gleich gerichtet.

'''Beispiel:''' Darstellung des Vektors $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$
{| class="wikitable"
|-
| '''Punktdarstellung des Vektors'''|| '''Mögliche Pfeildarstellungen des Vektors'''
|-
| [[Datei:Punkt.png|thumb|300px]]|| [[Datei:Pfeile.png|thumb|300px]]
|}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 3 \\ -4 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 5 \end{array} \right)$. Stelle $\vec{a}$ und $\vec{b}$ als Punkte und als Pfeile dar.
|2=[[Datei:Punkt Pfeil Bsp.png|300px]] 
'''Anmerkungen:'''
* Für die Pfeildarstellungen gibt es mehrere (unendlich viele) Möglichkeiten. Der von dir gezeichnete Pfeil muss jedenfalls parallel, gleich gerichtet und gleich lang wie der abgebildete Pfeil sein!
* Aus "Bequemlichkeitsgründen" zeichnet man die Pfeile oft beginnend beim Ursprung ein:
[[Datei:Punkt Pfeil Bsp2.png|300px]]
 
}}

Vektoren des $\mathbb{R^3}$ können auch auf diese zwei Arten dargestellt werden. Der einzige Unterschied dabei ist, dass die Punkte bzw. Pfeile im dreidimensionalen Raum liegen. Es gibt also noch eine dritte Richtung, die durch die z-Koordinate des Vektors angegeben wird.

===Ortsvektoren===
[[Datei:Ortsvektor.png|thumb|right|250px|Punkt und zugehöriger Ortsvektor]]Der Ortsvektor von einem Punkt ist der Vektor, der vom Ursprung aus auf den Punkt zeigt. Die Koordinaten bleiben deshalb gleich, es ändert sich quasi nur die Schreibweise:

Sei $A(x_1/x_2/.../x_n)$ ein Punkt in der Dimension $n$, dann ist $\vec{0A} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ dessen Ortsvektor.
 
 
 
 
 

==Rechnen mit Vektoren==

===Addition und Subtraktion von Vektoren===
{{Vorlage:Merke|1=Wenn du Vektoren addieren oder subtrahieren möchtest, musst du dazu die entsprechenden Koordinaten addieren: 
$\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) \pm \left( \begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ ... \\ y_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x_1 \pm y_1 \\ x_2 \pm y_2 \\ ... \\ x_n \pm y_n \end{array} \right)$ 
Wichtig ist dabei, dass die Vektoren, die du addieren oder subtrahieren möchtest, derselben Dimension $n$ angehören! D.h. sie haben gleich viele Koordinaten.}}
{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben seien die beiden Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right)$. Berechne erst $\vec{a} + \vec{b}$, dann $\vec{a} - \vec{b}$ und zuletzt $\vec{b} - \vec{a}$!
|2= $\vec{a} + \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 5+1 \\ 2+(-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 6 \\ -1 \end{array} \right)$
$\vec{a} - \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 5-1 \\ 2-(-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 5 \end{array} \right)$ 
$\vec{b} - \vec{a} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 1-5 \\ -3-2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -4 \\ -5 \end{array} \right)$}}

===Vektoren bestimmen: "Spitze minus Schaft" ("Ziel minus Start")===
[[Datei:Spitzeschaft.png|thumb|right|300px|"Spitze minus Schaft"]]Zwischen 2 Punkten kann man nun einen Vektor definieren. Dabei gilt: Die '''"Spitze minus Schaft"'''-Regel Im Bild rechts wollen wir den Vektor berechnen, der von A nach B geht, also den Vektor $\vec{AB}$. Der Punkt B(3/3,5) entspricht hierbei der Spitze, und der Punkt A(1/0,5) dem Schaft. Da das Rechnen mit Punkten allerdings keinen Sinn ergibt, rechnet man stattdessen mit deren Ortsvektoren (siehe oben).

Für unser Beispiel bedeutet das: $\vec{0B} - \vec{0A} = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 3,5 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0,5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 3-1 \\ 3,5-0,5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right) = \vec{AB}$

'''Beachte außerdem:'''

* Man schreibt der Einfachheit halber oft nur $B-A$, obwohl eigentlich $\vec{0B} - \vec{0A}$ gemeint ist.
* Der Vektor $\vec{AB}$ zeigt in die entgegengesetzte Richtung von $\vec{BA}$. Das bedeutet, dass diese beiden Vektoren entgegengesetzte Vorzeichen haben: $\vec{AB} = - \vec{BA}$

 

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die Punkte A=(1/2); B=(-3/1); C=(-4,-1). Bilde die folgenden Verbindungsvektoren: 
 
# $\vec{AB}$
# $\vec{BA}$
# $\vec{AC}$
# $\vec{BC}$

|2=
$\ $
# $\vec{AB}=B-A=\left( \begin{array}{c} -3 \\ 1\end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} -4 \\ -1\end{array} \right)$
# $\vec{BA}=-\vec{AB}=\left( \begin{array}{c} 4 \\ 1 \end{array} \right)$
# $\vec{AC}=\left( \begin{array}{c} -4 \\ -1\end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} -5 \\ -3\end{array} \right)$
# $\vec{BC}=\left( \begin{array}{c} -4 \\ -1\end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} -3 \\ 1 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} -1 \\ -2\end{array} \right)$
 
'''Tipps:'''
* Pass gut auf die Vorzeichen auf! Beim Subtrahieren von Vektoren passieren leider häufig Vorzeichenfehler! Sei deshalb besonders achtsam!
* Zeichne die Punkte in ein Koordinatensystem und zeichne die Verbindungsvektoren ein. Bei einfachen Koordinaten kannst du den Verbindungsvektor ohne Rechnung ablesen (Probiere es aus!).

 
}}

===Produkt eines Vektors mit einem Skalar===
Wenn man einen Vektor $\vec{v}$ mit einer [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)|reellen Zahl]] $k$ , einem sogenannten "Skalar", multipliziert, werden dabei die einzelnen Koordinaten mit dem Skalar multipliziert:

$k \cdot \vec{v} = k \cdot \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} k \cdot x_1 \\ k \cdot x_2 \\ ... \\ k \cdot x_n \end{array} \right)$

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sei der Vektor $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right)$. Multipliziere diesen einmal mit $2$ und einmal mit $-5$!
|2= $2 \cdot \vec{a} = 2 \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \cdot 2 \\ 2 \cdot (-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -6 \end{array} \right)$
$(-5) \cdot \vec{a} = (-5) \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-5) \cdot 2 \\ (-5) \cdot (-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -10 \\ 15 \end{array} \right)$}}

==Geometrische Darstellung der Rechenoperationen==
===Geometrische Darstellung der Vektoraddition===
Die Addition zweier Vektoren kann auf zwei verschiedene Arten geometrisch gedeutet werden. Wir illustrieren die beiden Möglichkeiten anhand des Beispiels $\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2\end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$

{| class="wikitable"
|-
| '''Punkt + Pfeil - Darstellung:'''|| '''Pfeil + Pfeil - Darstellung'''
|-
| ''An einen Punkt wird ein Pfeil angehängt.'' In unserem Beispiel wird an den Punkt (1/2) ein Pfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$ angehängt. Das Ergebnis der Addition ist der Punkt am Ende des Pfeils (5/5). || ''Zwei Pfeile werden aneinandergehängt. In unserem Beispiel wird also ein Pfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$ und ein Pfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)$ aneinandergehängt. Das Ergebnis der Addition ist der entstehende Verbindungspfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 5 \\ 5 \end{array} \right)$
|-
| [[Datei:Vektoraddition1.png|left|400px]]|| [[Datei:Vektoraddition2.png|left|500px]]
|-
| '''Anmerkung:''' Diese Darstellung ist hilfreich, wenn wir von einem Punkt ausgehen und zu einem neuen Punkt gelangen wollen.|| Es spielt keine Rolle, in welcher Reihenfolge die Vektoren angehängt werden. Die Addition ist kommutativ!
|}

===Geometrische Darstellung der Multiplikation mit einem Skalar===

Eine Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl $a$ (Skalar) entspricht einer Streckung (für $|a|>1$) bzw. einer Stauchung (für $|a|<1$) des zugehörigen Pfeiles.
Ist das Vorzeichen des Skalars negativ, so dreht sich die Richtung des Pfeils in die entgegengesetzte Richtung.

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sei wiederum der Vektor $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right)$. Stelle die Multiplikation mit $2$, mit $-5$ und mit $0.5$ graphisch dar!
|2= Rechnerische Lösung und graphische Interpretation:
* $2 \cdot \vec{a} = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -6 \end{array} \right)$. Der Vektor $2\cdot \vec{a}$ hat die doppelte Länge und dieselbe Richtung wie $\vec{a}$
* $(-5) \cdot \vec{a} = \left( \begin{array}{c} -10 \\ 15 \end{array} \right)$. Der Vektor $(-5)\cdot \vec{a}$ ist fünfmal so lang wie $\vec{a}$ und zeigt in die entgegengesetzte Richtung wie $\vec{a}$
* $(0.5) \cdot \vec{a} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1.5 \end{array} \right)$ Der Vektor $0.5\cdot \vec{a}$ ist halb so lang wie $\vec{a}$ und zeigt in dieselbe Richtung wie $\vec{a}$
}}

{{#widget:Iframe
|url= http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_vektorrechnung/MV_Vektor1/MV_Vektor1/sites/Vektortest.html
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}}
[http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_vektorrechnung/MV_Vektor1/MV_Vektor1/ (Quelle dieses Applets)]

Hilfe zum Applet: Gib in die Eingabezeile den Buchstaben des Vektors bzw. die entsprechende Summe / Differenz an. (z.B. $u=a$)

===Wie Vektoren zueinander stehen===
Vektoren können unterschiedliche Richtungen haben, aber auch parallel zueinander oder gar identisch sein. Optisch lässt sich das oft sehr leicht erkennen. Die Lage von Vektoren zueinander kann auch rechnerisch überprüft werden.

{{Vorlage:Definition |Unter einem Vektor versteht man die Menge aller gleichlangen, gleichgerichteten und gleichorientierten Pfeile.

Der Start/Endpunkt spielen dabei keine Rolle!}}

{{Vorlage:Merke|2 Vektoren stehen parallel zueinander, wenn ein Vektor als Vielfaches des anderen Vektors angeschrieben werden kann. 
Man sagt auch: Die Vektoren sind [[linear abhängig]] (linear abhängig zu sein bedeutet, dass ein Vektor als Vielfaches eines anderen Vektors dargestellt werden kann).}}

Sehen wir uns die verschiedenen Fälle an:

{| class="wikitable"
|-
|ident: gleiche Richtung, gleiche Orientierung, gleiche Länge
||[[Datei:Vektorv1.png|none|250px]]
||$\vec{v} = \vec{u} \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$
||z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$
|-
||parallel (gleiche Orientierung): gleiche Richtung, gleiche Orientierung, unterschiedliche Länge
| [[Datei:Vektorenlänge.png|none|250px]]
||$\exists k>0 : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$
||z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} \frac{4}{3} \\ 2 \end{array} \right)$, $\frac{2}{3} $
|-
||parallel (unterschiedliche Orientierung): 
| [[Datei:Vektororientierung1.png|none|250px]]
||$\exists k<0 : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$
||z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} -2 \\ -3 \end{array} \right)$, $k=-1$

|-
||linear unabhängig
| [[Datei:Vektorrichtung1.png|none|250px]]
||$\nexists k : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \nparallel \vec{u}$
||z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 3 \end{array} \right)$
|}

{{Vorlage:Beispiel|1=Überprüfe ob die Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 5 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$ linear unabhängig voneinander sind.

|2=Wenn es ein k gibt, sodass $k \cdot \vec{a} = \vec{b}$, dann sind die beiden Vektoren voneinander linear abhängig, und somit auch parallel zueinander.

Es gibt mehrere Lösungsmöglichkeiten:
*Möglichkeit 1: Lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen
$I: 2k = 4 \ \ \rightarrow k=2$
$II: 5k = 3 \ \ \rightarrow k=\frac{3}{5}$

Aus der ersten Gleichung ergibt sich k=2, in der zweiten aber $k=\frac{3}{5}$. $k$ kann aber nicht beides sein, somit haben wir eine falsche Aussage erhalten. Daraus folgt, dass die beiden Vektoren '''linear unabhängig''' und somit nicht parallel zueinander sind.

* Möglichkeit 2: "Vergleichen und Probieren"
Vergleicht man die x-Koordinaten der beiden Vektoren, so sieht man, dass 4 doppelt so groß wie 2 ist. Daraus ergibt sich, dass ein etwaiges k=2 sein müsste.
Probiert man auch die zweite Zeile mit 2 zu multiplizieren, so erhält man 10. Die y-Koordinate von b müsste also 10 sein, damit die beiden Vektoren parallel zueinander sind.
}}

 

===Betrag und Einheitsvektor===
[[Datei:PythagorasVektor.png|thumb|right|350px|Betrag eines Vektors; Einheitsvektor]]Wie anfangs bereits erwähnt, besitzen Vektoren eine Länge, auch '''Betrag''' eines Vektors genannt. Dieser wird mit Hilfe des pythagoräischen Lehrsatzes wie folgt berechnet:

<div align="center">$\parallel \vec{v} \parallel = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2} \ $ wenn $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ ein Vektor der Dimension $n$ ist.</div>
Sehen wir uns die Grafik rechts an, können wir mit dieser Formel die Länge des zweidimensionalen Vektors $\parallel \vec{v} \parallel$ berechnen:

<div align="center">$\parallel \vec{v} \parallel = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$</div>
 Der '''Einheitsvektor''' $\vec{a_0}$ eines Vektors $\vec{a}$ ist ein zu $\vec{a}$ paralleler Vektor mit Länge 1. Rechnerisch erhält man $\vec{a_0}$, indem man $\vec{a}$ durch seine Länge dividiert. $ \vec{a_0}

=\frac{\vec{a}}{\parallel \vec{a}\parallel}$
bzw.
$ \vec{a_0}=\frac{1}{\parallel\vec{a}\parallel}\cdot \vec{a}$

Daraus ergibt sich ein Vektor, der dieselbe Richtung des ursprünglichen Vektors hat, allerdings die Länge 1 besitzt.

{{Vorlage:Merke|1=
Sei $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ ein Vektor der Dimension $n$ und $\parallel \vec{v} \parallel$ sein Betrag, dann ist $\vec{v_0} = \frac{1}{\parallel \vec{v} \parallel} \cdot \vec{v} \ $ der Einheitsvektor zu $\vec{v}$.}}

In unserem Beispiel würde das folgendes bedeuten:

{{Vorlage:Beispiel|1= Bestimme den Einheitsvektor von $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$

|2=<div align="center">$\vec{v_0} = \frac{1}{\sqrt{13} } \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \frac{2}{\sqrt{13} } \\ \frac{3}{\sqrt{13} } \end{array} \right)$</div>
}}

===Vektoren bestimmter Länge===
Da wir nun gelernt haben, Einheitsvektoren zu bilden und Vektoren mit Zahlen zu multiplizieren (und ich das hier so schön betone), könnt ihr euch vielleicht schon vorstellen, wie man aus einem beliebigen Vektor einen Vektor derselben Richtung, allerdings unterschiedlicher Länge bekommt. Wir haben also einen Vektor $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ mit der Länge $\parallel \vec{v} \parallel = k$ gegeben, und hätten gerne den Vektor $\vec{w} \ \parallel \ \vec{v}$ mit der Länge $l$. Dazu berechnen wir zuerst den Einheitsvektor $\vec{v_0}$ von $\vec{v}$ und multiplizieren diesen dann mit $l$. So erhalten wir schließlich $\vec{w} = l \cdot \vec{v_0}$.

==Mittelpunkt einer Strecke==
[[Datei:Mittelpunkt.png|thumb|right|300px|Mittelpunkt M der Strecke AB]]Willst du den Mittelpunkt zwischen 2 Punkten $A$ und $B$ berechnen, musst du wie folgt vorgehen:
Zuerst berechnest du einen Vektor zwischen den Punkten ($\vec{AB}$ oder $\vec{BA}$). Dann halbierst du diesen Vektor, und erhältst $\vec{AM}$ bzw. $\vec{BM}$. Addierst du dann diesen Vektor zum entsprechenden Punkt ($A$ bzw. $B$), erhältst so den Mittelpunkt. Also:

<div align="center">$\vec{0M} = \vec{0A} + \frac{\vec{AB}}{2} = \vec{0B} + \frac{\vec{BA}}{2}$</div>

Kurzschreibweise:
<div align="center">$M = \vec{A} + \frac{\vec{AB}}{2}$ </div>

=Im $\mathbb{R^2}$=
Dieser Artikel befasst sich mit der Vektorrechnung im zweidimensionalen Raum. Grundlegende Informationen zur Vektorrechnung, so wie Punkte und Vektoren, findest du unter dem Tab ''Grundlagen der Vektorrechnung''.

==Vektoren==
===Normalvektoren===
[[Datei:Normalvektoren.png|thumb|right|350px|Normalvektoren]]Normalvektoren zu einem Vektor sind alle Vektoren, die normal (im rechten Winkel) auf den Vektor stehen. Im $\mathbb{R^2}$ gibt es zu jedem Vektor genau 2 Normalvektoren, die dieselbe Länge wie der ursprüngliche Vektor haben. Alle anderen Normalvektoren sind Vielfache eines dieser 2 Normalvektoren.

{{Vorlage:Merke | 1=Sei $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ ein Vektor, dann ist $\vec{n_1}=\left( \begin{array}{c} -y \\ x \end{array} \right)$ sein nach links gekippter, und $\vec{n_2}=\left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right)$ sein nach rechts gekippter Normalvektor.
''Vertausche die Koordinaten und ändere '''ein''' Vorzeichen''
}}

===Skalarprodukt===
Unter dem Skalarprodukt versteht man die Multiplikation zweier Vektoren, bei der als Ergebnis ein Skalar (eine Zahl) entsteht.

{{Vorlage:Merke|1=Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren, dann ist $\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \end{array} \right) = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b$ gleich ihr Skalarprodukt.
}}

Das Skalarprodukt wirkt auf den ersten Blick etwas "eigenartig". Man kann sich die Bedeutung des Skalarproduktes besonders gut an einem Anwendungsbeispiel erklären:
Angenommen in einer Preisliste stehen 10 Kugelschreiber, die jeweils 2€ kosten und 20 Bleistifte, die jeweils 0,50€ kosten.
In Tabellenform sieht das folgendermaßen aus:

{| class="wikitable"
|-
! Produkt !! Stückzahl !! Preis pro Stück (in €)
|-
| Kugelschreiber || 10 || 2
|-
| Bleistift || 20 || 0,50
|}

Aus dieser Tabelle kann ein Stückzahlvektor $\left( \begin{array}{c} 10 \\ 20 \end{array} \right)$ und ein Preisvektor $\left( \begin{array}{c} 2 \\ 0,50 \end{array} \right)$ abgelesen werden.

Möchte man den Gesamtwert der Produkte berechnen, so müssen jeweils die Einzelpreise mit der Stückzahl multipliziert werden und anschließend die Summe gebildet werden.
Genau das macht das Skalarprodukt!
$\left( \begin{array}{c} 10 \\ 20\end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0.50 \end{array} \right) = 10 \cdot 2 + 20 \cdot 0.50 = 20 + 10 = 30€ $

===Winkel zwischen zwei Vektoren===
[[Datei:Winkel.png|thumb|right|350px|Winkel zwischen 2 Vektoren]]<big>$$cos{\varphi} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel} = \vec{a_0} \cdot \vec{b_0}$$
bzw.
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = \parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel \cdot cos{\varphi}$$</big>

Heißt es, den Winkel zwischen 2 Vektoren/Geraden zu bestimmen, ist damit immer der kleinere Winkel gemeint. Solltest du einmal ein Ergebnis erhalten, das größer als 180° ist (nennen wir dieses Ergebnis $\varphi'$), dann ziehe dieses Ergebnis von 360° ab und du erhältst den kleineren Winkel ($\varphi = 360° - \varphi'$). 
Bei einem Winkel von $\varphi = 90°$ erhalten wir $cos{\varphi} = 0$, was bedeutet, dass auch $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$. Daraus ergibt sich das Orthogonalitätskriterium.

====Orthogonalitätskriterium====
{{Vorlage:Merke|1=Ergibt das Skalarprodukt zweier Vektoren $0$, so stehen diese zwei Vektoren normal zueinander (und umgekehrt!)$$\vec{a} \cdot \vec{b} \ = \ 0 \ \Leftrightarrow \ \vec{a} \bot \vec{b}$$}}

Mithilfe des Orthogonalitätskriteriums kann man auch zeigen, dass $\vec{n}=\left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right)$ stets ein Normalvektor von $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ ist.
$$\vec{v} \cdot \vec{n} = \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right) = xy - yx = 0$$

==Geraden==
===Darstellungsformen===
Geraden lassen sich in unterschiedlichen Formen darstellen. In der Vektorrechnung ist die Parameterdarstellung populär, da man dazu nur einen Punkt und Vektor kennen muss. Die Normalform allerdings hat den Vorteil, dass man den Normalvektor zur Geraden auf einen Blick ablesen kann. Je nachdem, was man mit der Gerade vorhat, können die verschiedenen Formen ineinander umgewandelt werden.

====Parameterdarstellung====
[[Datei:Parameterdarstellung.png|thumb|right|350px|Parameterdarstellung einer Geraden]]$$g: \vec{0X} = \vec{0P} + t \cdot \vec{a}$$ 
wobei

* $X \in g$ ist ein '''beliebiger''' Punkt auf der unendlichen Geraden (steht für alle Punkte auf der Geraden)
* $P \in g$ ist ein '''bekannter''' Punkt auf der Geraden
* $t \in \mathbb{R}$ ist ein freier Parameter (in der Graphik rechts $\lambda$)
* $\vec{a} \in \mathbb{R^2}$ ist ein Vektor parallel zur Geraden, der die Richtung dieser angibt ("Richtungsvektor")

 
Beachte, dass in der Parameterdarstellung keine Punkte, sondern Ortsvektoren verwendet werden! (Info zu Ortsvektoren findest du unter ''Grundlagen der Vektorrechnung''.) Wenn man das weiß, kann man der Einfachheit halber die Gerade auch folgendermaßen beschreiben: $g: X = P + t \cdot \vec{a}$

 
Eine andere Schreibweise ist, die Koordinaten einzeln zu betrachten und 2 Gleichungen aufzustellen:
$$g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \end{cases}$$

====Normalvektorform====
Hierzu benötigt man einen Normalvektor des Richtungsvektors und multipliziert dann die Geradengleichung mit diesem Normalvektor. Da $\vec{a} \cdot \vec{n} = 0$, bleibt über:

Sei $g: \vec{0X} = \vec{0P} + t \cdot \vec{a}$ eine Gerade in Parameterform, so ist

<div align="center">$g: \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x_P \\ y_P \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right)$</div>

dieselbe Gerade in Normalform, wobei $\vec{0X}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right), \ \vec{0P}=\left( \begin{array}{c} x_P \\ y_P \end{array} \right), \ \vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right)$ und $\vec{n}=\left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right)$ ein Normalvektor von $\vec{a}$ (hier kann man natürlich auch den anderen Normalvektor verwenden).

====Allgemeine Geradengleichung====
Diese Form der Darstellung heißt auch Normalform, da man den Normalvektor der Gerade direkt ablesen kann.Um von der Parameterdarstellung auf diese Form zu kommen, gibt es 2 Möglichkeiten:

'''1. Multiplikation mit Normalvektor:'''
Hierzu muss man einfach die Normalform ausmultiplizieren und es ergibt sich:

$$g: y_a \cdot x + -x_a \cdot y = y_a \cdot x_P + -x_a \cdot y_P$$

'''2. Elimination des Parameters:'''
Hierbei gehen wir von der Geradenform $g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \end{cases}$ aus, eliminieren $t$, und kommen ebenfalls auf die obige allgemeine Geradengleichung.
Auf der rechten Seite der Gleichung stehen nur bekannte Größen, auf der linken Seiten stehen Vielfache von x und y. Diese Gleichung kann man weiter auch auf die Form y=kx+d umformen.

===Lagebeziehungen zwischen Geraden===
Mehrere Geraden können im $\mathbb{R^2}$

* ident sein, d.h. sie haben unendlich viele gemeinsame Punkte
* parallel sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt
* einander schneiden, d.h. sie haben genau ein gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt)

 Sind uns 2 Geraden in '''Parameterdarstellung''' gegeben, betrachten wir zuerst ihre Richtungsvektoren. 
Sind diese parallel zueinander, so sind auch die Geraden parallel zueinander. Nun bleibt noch die Frage offen, ob die Geraden ident sind. Dazu überprüfen wir einfach, ob der gegebene Punkt der einen Geraden auch auf der anderen Geraden liegt. Dazu Setzen wir den bekannten Punkt der einen Geraden für den unbekannten Punkt der anderen Geraden ein und erhalten 2 Gleichungen in einer Unbekannten (Parameter der zweiten Gerade). Erhalten wir nun für den Parameter zweimal dasselbe Ergebnis, so sind die 2 Geraden ident, erhalten wir unterschiedliche Ergebnisse, so sind sie nur parallel. 
Sind die Richtungsvektoren nicht parallel zueinander, so sind es auch die 2 Geraden nicht, und wir können uns sicher sein, dass diese einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen.
Doch wie erhalten wir den Schnittpunkt? Ganz einfach, indem wir die 2 Geraden schneiden. Dazu müssen wir sie gleichsetzen, und dann das dadurch erhaltene Gleichungssystem in 2 Unbekannten (die 2 Parameter) lösen. Wenn wir den Wert eines Parameters ausgerechnet haben, setzen wir ihn einfach in die entsprechende Geradengleichung ein und erhalten so den Schnittpunkt!

Sind die 2 Geraden in der '''allgemeinen Geradenform''' gegeben, so haben wir bereits 2 Gleichungen gegeben, die wir nach x und y auflösen. Dieses x und y sind die Koordinaten des Schnittpunktes.

Um das Schneiden von Geraden besser zu verstehen, schau dir das Lösen von [[ Gleichungssysteme (2.7.) |Gleichungssystemen]] genauer an, wirf einen Blick auf die Beispiele zum $\mathbb{R^2}$ unter dem Tab 'Beispiele', oder sieh dir dieses Video an:

<div align="center">{{#ev:youtube|ZrFE3LRisn0}}</div>

===Normalabstand Punkt - Gerade===
[[Datei:Normalabstand.gif|right]]Gegeben sei ein Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und eine Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$. Um den Normalabstand $d(Q,g)$ zwischen Q und g zu berechnen, gehe wie folgt vor:
{{Vorlage:Merke|1=1. Bestimme die Gerade $q: X = Q + s \cdot \vec{n}$, die durch $Q$ geht und den Normalvektor $\vec{n}$ von $\vec{a}$ als Richtungsvektor besitzt.
2. Schneide $g$ und $q$ und die erhältst ihren Schnittpunkt $S$. 
3. Berechne $\parallel \vec{QS} \parallel$.}}
In der Graphik rechts hätten wir z.B. die Angabe $g: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right) + \lambda \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array} \right)$ und $Q(3/4)$. Du kannst das zur Übung durchrechnen.

====Hesse'sche Abstandsformel====
Mithilfe dieser Formel kann man ebenfalls den Abstand $d(Q,g)$ zwischen Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$ bestimmen. <big>$d(Q,g) = | \vec{PQ} \cdot \vec{n_0} | $</big>, wobei $\vec{n_0}$ der normierte (Länge 1) Normalvektor des Richtungsvektors $\vec{a}$ der Geraden $g$ ist.

====Spiegelung eines Punktes an einer Geraden====
[[Datei:Spiegeln.png|thumb|right|250px|Gespiegelter Punkt Q']]Gegeben sei ein Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und eine Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$. Es gilt den Punkt $Q$ an der Gerade $g$ zu spiegeln, und so den Punkt $Q'$ zu erhalten. Dazu befolgst du die Vorgehensweise von "Normalabstand Punkt - Gerade" bis du den Vektor $\vec{QS}$ erhältst, und trägst diesen vom Punkt $S$ ab, also: 
$Q' = S + \vec{QS}$

=Im $\mathbb{R^3}$=
==Vektoren==
===Kreuzprodukt===
Im $\mathbb{R^3}$ gibt es neben dem Skalarprodukt, bei dem wir als Ergebnis ein Skalar erhalten, eine weitere Möglichkeit, zwei Vektoren miteinander zu multiplizieren: das sog. Kreuz- oder Vektorprodukt, bei dem wir als Ergebnis einen Vektor erhalten.{{Vorlage:Merke|1=Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren des $\mathbb{R^3}$, dann ist ihr Kreuzprodukt
$$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} y_a \cdot z_b - z_a \cdot y_b \\ z_a \cdot x_b - x_a \cdot z_b \\ x_a \cdot y_b - y_a \cdot x_b \end{array} \right)$$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ -3 \end{array} \right)$, gesucht ist ihr Kreuzprodukt.|

2=$$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \cdot (-3) - 3 \cdot 4 \\ 3 \cdot 5 - 1 \cdot (-3) \\ 1 \cdot 4 - 2 \cdot 5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-6) - 12 \\ 15 - (-3) \\ 4 - 10 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -18 \\ 18 \\ -6 \end{array} \right)$$}}

Wozu wir das Kreuzprodukt überhaupt benötigen, sehen wir an den nächsten 2 Punkten.

====Normalvektoren====
Im $\mathbb{R^3}$ gibt es zu einem Vektor unendlich viele Normalvektoren. Auf eine Ebene allerdings gibt es genau 2 Normalvektoren (wie im $\mathbb{R^2}$ auf eine Gerade). Eine Ebene wird von 2 Vektoren aufgespannt, deren Kreuzprodukt ergibt einen Normalvektor $\vec{n_1}$ auf die Ebene bzw. die zwei Vektoren; der zweite Normalvektor hat die entgegengesetzte Orientierung ($\vec{n_2} = -\vec{n_1}$). Also:$$\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$$

====Fläche eines von zwei Vektoren aufgespannten Parallelogramms oder Dreiecks====
[[Datei:FlächeNormalvektor.png|thumb|right|none|250px|2 Vektoren spannen ein Dreieck bzw. Parallelogramm auf]] 
{{Vorlage:Merke|1=Die Länge $\parallel \vec{n} \parallel = \parallel \vec{a} \times \vec{b} \parallel$ des Normalvektors $\vec{n}$ zu den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ entspricht der Maßzahl des Flächeninhaltes des Parallelogramms, das $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aufspannen (im Bild die gesamte grüne Fläche).
Die Hälfte dieser Fläche entspricht der Fläche des aufgespannten Dreiecks.}}

===Skalarprodukt, Orthogonalitätskriterium, Winkel zwischen zwei Vektoren===
Diese drei Dinge "funktionieren" im $\mathbb{R^3}$ wie im $\mathbb{R^2}$. Also hier nur eine kurze Wiederholung: 

'''Skalarprodukt''' 
Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\z_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren, dann ist $$\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right) = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b + z_a \cdot z_b$$ gleich ihr Skalarprodukt.
 

'''Orthogonalitätskriterium''' 
Ergibt das Skalarprodukt zweier Vektoren $0$, so stehen diese zwei Vektoren normal zueinander (und umgekehrt!)
$$\vec{a} \cdot \vec{b} \ = \ 0 \ \Leftrightarrow \ \vec{a} \bot \vec{b}$$
Auch das gibt es im $\mathbb{R^3}$. Bedenke aber, dass es hier, anders als im $\mathbb{R^2}$, unendlich viele Normalvektoren auf einen Vektor gibt.
 

'''Winkel zwischen zwei Vektoren'''
$$cos{\varphi} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel} = \vec{a_0} \cdot \vec{b_0}$$

==Geraden==
===Darstellungsformen===
====Parameterdarstellung====
Die Parameterdarstellung im $\mathbb{R^3}$ sieht genauso aus wie im $\mathbb{R^2}$, einziger Unterschied ist, dass unsere Punkte und Vektoren hier jeweils 3 Koordinaten haben.$$g: X = P + t \cdot \vec{a}$$ bzw. $$g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \\ z = z_P + t \cdot z_a \end{cases}$$
Mehr Infos zu den einzelnen Komponenten findest du im Tab 'Im $\mathbb{R^2}$'.

====Parameterfreie Darstellungsform====
Diese besteht aus 2 Gleichungen und wir erhalten sie durch Eliminierung des Parameters.

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sei die Parameterform der Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ -4 \\ 1 \end{array} \right)$. Zuerst schreiben wir das in die 3 Koordinatengleichungen um:
$$g : \begin{cases} x = 2 + 3t \\ y = 0 - 4t \\ z = 1 + t \end{cases}$$

2=Wir multiplizieren die erste Gleichung mit $4$ und die zweite Gleichung mit $3$ und addieren die beiden: $$+ \begin{cases} 4x = 8 + 12t \\ 3y = 0 - 12t \end{cases}$$ und erhalten so die Gleichung $4x + 3y = 8$.
Wir multiplizieren die dritte Gleichung mit $3$ und subtrahieren diese von der ersten Gleichung: $$- \begin{cases} x = 2 + 3t \\ 3z = 3 + 3t \end{cases}$$ und erhalten so die Gleichung $x - 3z = -1$.

Die parameterfreie Darstellung unserer Gerade lautet somit $$g : \begin{cases} 4x + 3y = 8 \\ x - 3z = -1 \end{cases}$$.}}

Die zwei Gleichungen in der parameterfreien Darstellung sind übrigens Ebenengleichungen. Die eigentliche Gerade ist der Schnitt dieser zwei Ebenen!

===Lagebeziehungen zwischen Geraden===
Mehrere Geraden können im $\mathbb{R^3}$

* ident sein, d.h. sie haben unendlich viele gemeinsame Punkte
* parallel sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt
* einander schneiden, d.h. sie haben genau ein gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt)
* windschief sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt und sind nicht parallel

Um herauszufinden, wie 2 gegebene Geraden in Parameterform zueinander stehen, gehst du am besten wie folgt vor:

'''Betrachtung der Richtungsvektoren:''' Auch im $\mathbb{R^3}$ gilt, sind die Richtungsvektoren zweier Geraden parallel zueinander (d.h. man kann einen Vektor als Vielfaches des anderen Vektors darstellen), so sind es auch die Geraden.

'''Fall 1: Die Vektoren sind parallel:''' Sollte sich herausstellen, dass die zwei Geraden parallel zueinander sind, überprüfst du als nächstes, ob sie einen gemeinsamen Punkt haben; am einfachsten funktioniert das, indem du den bekannten Punkt ($P$) der einen Geraden in die zweite Gerade (für den unbekannten Punkt $X$) einsetzt. Wir erhalten drei Gleichungen in einer Unbekannten (Parameter der zweiten Gerade). 
'''Fall 1a:''' Erhalten wir nun für den Parameter dreimal dasselbe Ergebnis, so sind die 2 Geraden '''ident''' (und parallel), da der überprüfte Punkt, und somit unendlich weitere, auf beiden Geraden liegen. 
'''Fall 1b:''' Erhalten wir unterschiedliche Ergebnisse, so sind sie nur '''parallel''', da der überprüfte Punkt nicht, und somit auch kein anderer, auf beiden Geraden liegen.

'''Fall 2: Die Vektoren sind nicht parallel:''' Nun gibt es nur noch zwei Möglichkeiten: Entweder die zwei Geraden haben einen gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt), oder sie sind windschief. 
Um das wiederum herauszufinden, setzt du die beiden Geraden gleich, d.h. du stellst ein lineares Gleichungssystem (LGS) mit drei Gleichungen und in drei Unbekannten auf, und versuchst, dieses zu lösen. 
'''Fall 2a:''' Solltest du nun eine Lösung erhalten, d.h. du erhältst den Wert für den Parameter einer der zwei Geraden (und hast diesen Wert überprüft), so weißt du, dass die zwei Geraden einander '''schneiden'''. Den Schnittpunkt erhältst du jetzt, indem du den erhaltenen Wert für den Parameter in die entsprechende Geradengleichung einsetzt. 
'''Fall 2b:''' Sollte dein LGS keine Lösung ergeben (also sich eine falsche Aussage oder ein Widerspruch ergeben, z.B. $2=13$, oder $t=4$ und $t=-1$), dann weißt du, dass deine beiden Geraden keinen Schnittpunkt haben und somit '''windschief''' sind.

Zum besseren Verständnis siehst du dir am besten das folgende Video und die beiden folgenden Beispiele an.

<div align="center">{{#ev:youtube|u0QoYlEE094}}</div>
{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die beiden Geraden $g: X = \left( \begin{array}{c} 0 \\ -11 \\ -3 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right)$ und $h: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ -3 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right)$. Überprüfe deren gegenseitige Lage und gegebenenfalls ihren Schnittpunkt!|2=Zuerst überprüfen wir die Richtungsvektoren der beiden Geraden, um festzustellen, ob diese parallel zueinander sind oder nicht:$$\nexists \lambda : \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) = \lambda \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) \nparallel \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g \nparallel h$$
$g$ und $h$ sind also nicht parallel. Sie können also noch entweder einander schneiden oder windschief sein. Stellen wir nun ein LGS auf, indem wir die beiden Geraden gleichsetzen:
$$\begin{align}
I: \ &&&s&=&2&+&t \\
II: \ &-11&+&2s&=&3&-&3t \\
III: \ &-3&+&s&=&-3&+&2t
\end{align}$$ 
Wir subtrahieren $III$ von $I$: $- \begin{cases} &s &=& 2 + t \\ -3 + &s &=& -3 + 2t \end{cases} \ \rightarrow \ 3 = 5 - t \Rightarrow t = 2$ 
Wir überprüfen dieses Ergebnis für $t$, indem wir $t=2$ in alle 3 Gleichungen einsetzen. Wir sehen dann, dass wir überall dasselbe Ergebnis für $s$ erhalten, nämlich $s=4$. Daraus folgt, dass die Geraden einander '''schneiden'''. Setzen wir nun $t=2$ oder $s=4$ in die entsprechende Geradengleichung, so erhalten wir den Schnittpunkt $S(4/-3/1)$ der beiden Geraden.}}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die beiden Geraden $g: X = \left( \begin{array}{c} 3 \\ -2 \\ 0 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right)$ und $h: X = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$. Überprüfe deren gegenseitige Lage und ggf. ihren Schnittpunkt!|2=Zuerst überprüfen wir wieder die Richtungsvektoren der beiden Geraden:$$\nexists \lambda : \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) = \lambda \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) \nparallel \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g \nparallel h$$
Nun stellen wir wieder ein LGS auf:
$$\begin{align}
I: \ &3&+&2s&=&4&-&t \\
II: \ &-2&-&2s&=&3&& \\
III: \ &&&s&=&1&+&t
\end{align}$$ 
Aus der zweiten Gleichung lässt sich direkt berechnen, dass $s=- \frac{5}{2}$. Dies setzen wir nun in die erste und zweite Gleichung ein und erhalten einmal $3 - 5 = 4 - t \ \Rightarrow \ t=6$ und einmal $- \frac{5}{2} = 1 + t \ \Rightarrow \ t=- \frac{7}{2}$. Diese beiden Werte für $t$ sind offensichtlich voneinander unterschiedlich, daraus folgt, dass die beiden Geraden $g$ und $h$ '''windschief''' sind.
}}

==Ebenen==
Eine Ebene ist durch 3 Punkte oder 1 Punkt und 2 (voneinander linear unabhängigen) Vektoren eindeutig festgelegt.

===Darstellungsformen===
====Parameterdarstellung====
[[Datei:ebene2.png|thumb|right|350px|von Punkt und Vektoren aufgespannte Ebene]]
$$\epsilon : X = P + s \cdot \vec{a} + t \cdot \vec{b}$$
bzw.
$$\epsilon : \begin{cases} x = x_P + s \cdot x_a + t \cdot x_b \\ y = y_P + s \cdot y_a + t \cdot y_b \\ z = z_P + s \cdot z_a + t \cdot z_b \end{cases}$$
wobei

* $X \in \epsilon$ ist ein '''beliebiger''' Punkt auf der unendlichen Ebene
* $P \in \epsilon$ ist ein '''bekannter''' Punkt auf der Ebene
* $s, t \in \mathbb{R}$ sind freie Parameter
* $\vec{a}, \vec{b} \in \mathbb{R^3}$ sind zwei Vektoren, die parallel zur Ebene liegen

====Normalvektorform====
Man multipliziert die Parameterdarstellung der Ebene mit ihrem Normalvektor $\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$ und erhält$$\vec{n} \cdot \vec{X} = \vec{n} \cdot \vec{P}$$

====Allgemeine Ebenengleichung====
$$ax + by + cz = d$$Diese Form der Darstellung heißt auch Normalform, da man den Normalvektor der Ebene direkt ablesen kann. Um von der Parameterdarstellung auf diese Form zu kommen, gibt es 2 Möglichkeiten:

'''1. Multiplikation mit Normalvektor:'''
Hierzu muss man einfach die Normalform ausmultiplizieren und es ergibt sich:

$$\epsilon: x_n \cdot x + y_n \cdot y + z_n \cdot z = x_n \cdot x_P + y_n \cdot y_P + z_n \cdot z_P$$

'''2. Elimination des Parameters:'''
Hierbei gehen wir von der Ebenengleichung $\epsilon : \begin{cases} x = x_P + s \cdot x_a + t \cdot x_b \\ y = y_P + s \cdot y_a + t \cdot y_b \\ z = z_P + s \cdot z_a + t \cdot z_b \end{cases}$ aus, eliminieren $s$ und $t$, und kommen ebenfalls auf die obige allgemeine Ebenengleichung.

Zur Veranschaulichung ein Beispiel zu den verschiedenen Darstellungsformen:
{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die drei Punkte $A(1/1/1), B(-1/-4/2), C(0/3/-1)$. Gib die Ebene, die diese drei Punkte aufspannen, in Parameterform, Normalform und allgemeiner Ebenengleichung an!|2=Für die Parameterform berechnen wir erst zwei beliebige Vektoren aus den 3 Punkten, z.B. $\vec{AB} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{AC} = \left( \begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right)$. Als Parameterform erhalten wir schließlich:
$$\epsilon: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right)$$ Um auf die Normalform zu kommen, bestimmen wir als erstes den Normalvektor der Ebenen: $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-5) \cdot (-2) - 1 \cdot 2 \\ 1 \cdot (-1) - (-2) \cdot (-2) \\ (-2) \cdot 2 - (-5) \cdot (-1) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right)$. 
Nun die Parametergleichung mit dem Normalvektor multiplizieren und wir erhalten auch die Normalform:
$$\epsilon: \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)$$ 
Um nun noch die allg. Ebenenform zu erhalten, multipliziert man am einfachsten die Normalform aus und erhält:
$$\epsilon: 8x - 5y -9z =-6$$ 
Aber auch die Elimination der Parameter soll hier gezeigt werden. Wir gehen aus von: $$\epsilon : \begin{cases} x = 1 - 2s - t \\ y = 1 - 5s + 2t \\ z = 1 + s - 2t\end{cases}$$
Addieren wir die y- und die z-Gleichung, können wir $t$ eliminieren: $+ \begin{cases} y = 1 - 5s + 2t \\ z = 1 + s - 2t \end{cases} \ \Rightarrow \ y + z = 2 - 4s$. 
Wir können $t$ ebenfalls eliminieren, indem wir die y-Gleichung zum 2-fachen der x-Gleichung addieren: $+ \begin{cases} 2x = 2 - 4s - 2t \\ y = 1 - 5s + 2t \end{cases} \ \Rightarrow \ 2x + y = 3 -9s$. 
Nun haben wir zwei Gleichungen, die nur mehr von $s$ abhängig sind. Um diesen Parameter nun auch noch zu eliminieren, multiplizieren wir die erste Gleichung mit $(-9)$ und die zweite mit $4$ und addieren diese, um nochmals auf die allg. Ebenengleichung zu kommen.
$$+ \begin{cases} 8x + 4y = 12 - 36s \\ -9y - 9z = -18 + 36s \end{cases} \ \Rightarrow \ \epsilon: 8x - 5y -9z =-6$$
}}

===Lagebeziehungen===
====...zwischen zwei Ebenen====
Zwei Ebenen können im $\mathbb{R^3}$

* ident sein: die Ebenengleichungen (allg. Form) sind Vielfache voneinander;

z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : 2x + 2y + 2z = 6 \Rightarrow \epsilon _2 = 2 \cdot \epsilon _1$

* parallel sein: die Normalvektoren der Ebenen sind Vielfache voneinander;

z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : 2x + 2y + 2z = 5 \Rightarrow \vec{n_2} = 2 \cdot \vec{n_1}$

* einander schneiden (in einer Gerade): die Normalvektoren der Ebenen sind keine Vielfache voneinander;

z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : x - 3y + 2z = 1 \Rightarrow \nexists \lambda \in \mathbb{R} : \vec{n_1} = \lambda \cdot \vec{n_2}$

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:Ebenenident2.png|2 Ebenen sind ident
Datei:Ebenenparallel2.png|2 Ebenen sind parallel
Datei:Ebenenschnittgerade2.png|2 Ebenen schneiden einander in einer Geraden
</gallery>

 
'''Berechnen der Schnittgerade''' 
Erkennt man durch Betrachtung der Normalvektoren zweier Ebenen, dass diese einander schneiden müssen, so kann man diese Schnittgerade berechnen. Dazu erstellt man aus den beiden Ebenengleichungen ein lineares Gleichungssystem in 3 Unbekannten. 2 Gleichungen - 3 Unbekannte: wir werden hier nicht für alle Unbekannten einen Zahlenwert erhalten, können aber 2 Unbekannte in Abhängigkeit der dritten darstellen. Diese dritte Unbekannte wird uns als Parameter für die Darstellung der Geraden dienen. Zur Veranschaulichung ein Beispiel:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die beiden Ebenen $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : x - 3y + 2z = 1$. Wie wir weiter oben schon festgestellt haben, müssen diese Ebenen einander schneiden, da die beiden Noramlvektoren der Ebenen $\vec{n_1}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{n_2}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right)$ linear unabhängig voneinander sind, also $\nexists \lambda \in \mathbb{R} : \vec{n_1} = \lambda \cdot \vec{n_2}$. 
Wir wählen nun eine der Koordinaten als Parameter, z.B. $z=t$ und stellen das Gleichungssystem auf.

2=

$$\begin{align}I: \ &x&+&y&+&t&=&3 \\
II: \ &x&-&3y&+&2t&=&1
\end{align}$$

Wir subtrahieren $I-II$ und erhalten
$$4y - t = 2 \ \Rightarrow \ y = \frac{1}{2} + t \cdot \frac{1}{4}$$
Nun setzen wir unser erhaltenes $y$ in die erste Gleichung ein, um $x$ zu erhalten:

$$I: \ x + \frac{1}{2} + t \cdot \frac{1}{4} + t = 3 \ \Rightarrow \ x = \frac{5}{2} - t \cdot \frac{5}{4}$$
Somit haben wir alle Ausdrücke der Koordinaten gefunden ($z=t$ haben wir anfangs festgelegt) und können die Parameterdarstellung der Schnittgerade angeben:
$$g: X = \left( \begin{array}{c} \frac{5}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 0 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} - \frac{5}{4} \\ \frac{1}{4} \\ 1 \end{array} \right)$$
}}

====...zwischen 3 Ebenen====
Drei Ebenen können im $\mathbb{R^3}$

* alle ident sein
* 2 ident, 1 parallel sein
* alle parallel sein
* 3 Schnittgeraden haben
* 2 Schnittgeraden haben (2 Ebenen parallel)
* 1 Schnittgerade haben
* 1 Schnittpunkt haben

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:Ebenenident3.png|3 Ebenen sind ident
Datei:Ebenenidentparallel.png|2 Ebenen sind ident, 1 parallel
Datei:Ebenenparallel3.png|3 Ebenen sind parallel
Datei:Ebenenschnittgeraden33.png|3 Ebenen schneiden einander in 3 Geraden
Datei:Ebenenschnittgeraden32.png|3 Ebenen schneiden einander in 2 Geraden (2 Ebenen parallel)
Datei:Ebenenschnittgerade3.png|3 Ebenen schneiden einander in einer Gerade
Datei:Ebenenschnittgerade31.png|3 Ebenen schneiden einander in einer Gerade (2 Ebenen ident)
Datei:Ebenenschnittpunkt3.png|3 Ebenen schneiden einander in einem Punkt
</gallery>

====...zwischen Ebene und Gerade====
Eine Ebene und eine Gerade können im $\mathbb{R^3}$

* $g \subset \epsilon$, die Gerade liegt auf der Ebene

Hierbei haben die Gerade und die Ebene einen gemeinsamen Punkt und der Richtungsvektor der Gerade steht normal auf den Normalvektor der Ebene, daraus folgt, dass sie unendlich gemeinsame Punkte haben.

* parallel sein

Irgendein Punkt der Gerade liegt nicht auf der Ebene, der Richtungsvektor der Gerade steht normal auf den Normalvektor der Ebene, daraus folgt, dass sie keinen einzigen gemeinsamen Punkt haben.

* 1 Schnittpunkt haben

Der Richtungsvektor der Geraden steht nicht normal auf den Normalvektor der Ebene.

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:GeradeinEbene.png|Gerade liegt auf der Ebene
Datei:GeradepararallelEbene.png|Gerade und Ebene sind parallel zueinander
Datei:GeradeSchnittpunktEbene.png|Gerade und Ebene schneiden einander (Schnittpunkt)
</gallery>

Zur Überprüfung der Lagebeziehung gibt es allerdings noch eine andere (schnellere) Methode. Hier "schneiden" wir die Gerade und die Ebene mathematisch, d.h. wir setzen sie gleich (wenn beide in Parameterform gegeben sind) oder setzen die Gerade $g$ (Parameterform) in die Ebene $\epsilon$ (allg. Ebenengleichung) ein. 
Wir erhalten dadurch ein Gleichungssystem oder eine einzelne Gleichung.

Sei die Gerade gegeben als $g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \\ z = z_P + t \cdot z_a \end{cases}$ und die Ebene als $\epsilon : \begin{cases} x = x_Q + s \cdot x_b + u \cdot x_c \\ y = y_Q + s \cdot y_b + u \cdot y_c \\ z = z_Q + s \cdot z_b + u \cdot z_c \end{cases}$ (Parameterform) oder $\epsilon : ax + by + cz = d$ (allg. Ebenengleichung).

Wir erhalten als Gleichungssystem durch Gleichsetzen der Gleichungen der Parameterformen:
$$\begin{cases} x_P + t \cdot x_a = x_Q + s \cdot x_b + u \cdot x_c \\ y_P + t \cdot y_a = y_Q + s \cdot y_b + u \cdot y_c \\ z_P + t \cdot z_a = z_Q + s \cdot z_b + u \cdot z_c \end{cases}$$ 
Wir erhalten durch Einsetzen der Gerade in die Ebene (allg. Ebenengleichung):
$$a \cdot (x_P + t \cdot x_a) + b \cdot (y_P + t \cdot y_a) + c \cdot (z_P + t \cdot z_a) = d$$

Ergibt sich hier eine wahre Aussage (z.B. $1=1$), also unendlich viele Lösungen, so liegt die Gerade in der Ebene. 
Ergibt sich eine falsche Aussage (z.B. $1=2$), also keine Lösung, so schneiden die beiden Objekte einander nicht, also sie sind parallel. 
Gibt es genau eine Lösung (z.B. $t=2$), so existiert genau ein gemeinsamer Punkt = Schnittpunkt. Diesen erhält man, indem man den ermittelten Wert für den Parameter $t$ der Geraden in die Geradengleichung einsetzt (oder, wenn die Ebene in Parameterform gegeben war, die beiden Werte für die Parameter $s$ und $u$ der Ebene in die Ebenengleichung einsetzt). Dazu 2 Beispiele, wobei wir im ersten mit der Ebene in Parameterform rechnen werden:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right)$ und die Ebene $\epsilon : X = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -1 \\ -3 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) + u \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 0 \end{array} \right)$. Stellen wir nun also unser Gleichungssystem auf:

2=\begin{align}

I: \ & \ 1&-t&=&4& &+2u \\
II: \ &-3& &=&-1&+s&-u \\
III: \ & \ 2&+2t&=&-3&+s&
\end{align}

In der ersten Gleichung drücken wir $u$ in $t$ aus: $u = - \frac{3}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$ 
In der zweiten Gleichung drücken wir $s$ in $u$ aus: $s = -2 + u$ 
Das $u$ von oben setzen wir nun hier ein und erhalten $s$ in Abhängigkeit von $t$: $s = - \frac{7}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$.

Dieses $s$ setzen wir nun in die dritte Gleichung ein und wir erhalten: $2 + 2t = -3 - \frac{7}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$ und in weiterer Folge $t = - \frac{17}{5}$. 
Es ergibt sich also genau eine Lösung für das Gleichungssystem, was bedeutet, dass die Gerade und die Ebene einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen. Diesen erhalten wir, indem wir den errechneten Wert für $t$ in die Geradengleichung einsetzen (Man könnte natürlich auch noch die Werte für $s$ und $u$ berechnen, und diese in die Ebenengleichung einsetzen; zur Übung kannst du das gerne tun):
$$g: S = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) - \frac{17}{5} \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \frac{23}{5} \\ -3 \\ - \frac{24}{5} \end{array} \right)$$
}}

Betrachten wir nun dasselbe Beispiel, mit dem Unterschied, dass die Ebene in Normalform gegeben ist und wir auch gleich mit dieser Form rechnen:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right)$ und die Ebene $\epsilon : x + 2y - 2z = 8$. Wir setzen die Koordinatengleichungen der Gerade in die Normalform der Ebene:

2= $g$ in $\epsilon$: $$1 - t - 6 - 4 -4t =8$$

Wenn wir diese Gleichung lösen, erhalten wir, wie im ersten Bespiel, $t = - \frac{17}{5}$. Dies noch in die Geradengleichung einsetzen, und wir erhalten den Schnittpunkt.}}

Da man bei der zweiten Methode meistens weniger Rechenaufwand hat, zahlt es sich oft aus die Parameterdarstellung der Ebene in die Normalform (= allg. Ebenengleichung) umzurechnen.

==Pyramidenbeispiel==
[[Datei:Pyramidebsp.png|thumb|right|350px|Pyramide]]Gegeben seien 3 Eckpunkte $A(-2/-2/1), B(2/-2/1), C(2/2/1)$ der quadratischen Grundfläche und der Spitzpunkt $S(0/0/6)$ einer geraden (gerade bedeutet, dass die Spitze in einem rechten Winkel über dem Mittelpunkt der Grundfläche der Pyramide liegt) Pyramide.
Gesucht sind:

# der vierte Eckpunkt $D$ der Grundfläche
# die Parameterdarstellung der Trägergeraden $h$ der Höhe
# die Fläche der Grundfläche
# die Geradengleichung der Geraden $g_{AS}$ auf der $A$ und $S$ liegen in a)Parameterform und b)parameterfreier Form
# Der Winkel $\alpha$ zwischen den Vektoren $\vec{AS}$ und $\vec{AC}$
# Zeige, dass der Schnittpunkt der Geraden $g_{AS}$ und $h$ gleich die Spitze $S$ ist
# Gib die Ebenengleichung $\epsilon$ der Grundfläche in a)Parameterform, b)Normalform und c)allgemeiner Ebenengleichung an
# Berechne den Fußpunkt $M$ der Höhe, indem du $h$ und $\epsilon$ schneidest

1. $D = A + \vec{BC} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -2 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right)$ 
2. $h: X = S + t \cdot \vec{h}$
$$\vec{AB} \times \vec{BC} = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 16 \end{array} \right) \ \parallel \ \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) = \vec{h}$$
$$h: X = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$$ 
3. $G = \parallel \vec{AB} \times \vec{BC} \parallel = \parallel \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 16 \end{array} \right) \parallel = 16FE$ 
4. a) $g_{AS}: X = A + u \cdot \vec{AS}$
$$\vec{AS} = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g_{AS}: X = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + u \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right)$$ oder $$g_{AS}:\begin{cases} x = -2 + 2u \\ y = -2 + 2u \\ z = 1 + 5u \end{cases}$$
b) Parameter elimieren:
$$x - y: x-y = 0$$
$$5x - 2z: 5x - 2z = -12$$
$$\Rightarrow g_{AS}:\begin{cases} x - y = 0 \\ 5x - 2z = -12 \end{cases}$$ 
5. $\measuredangle \vec{AS},\vec{AC} = \alpha = arccos{\frac{\vec{AS} \cdot \vec{AC}}{\parallel \vec{AS} \parallel \cdot \parallel \vec{AC} \parallel}} = arccos{\frac{\left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right)}{\parallel \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) \parallel \cdot \parallel \left( \begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) \parallel}} = arccos{\frac{16}{\sqrt{33 \cdot 32}}} = 60,5°$ 
6. $g_{AS}$ und $h$ gleichsetzen:
$$\begin{align}
I: \ &-2&+&2u&=&0&& \\
II: \ &-2&+&2u&=&0&& \\
III: \ & \ \ 1&+&5u&=&6&+&t
\end{align}
\ \ \ \rightarrow u=1$$
$$g_{AS}: S = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + 1 \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array} \right)$$ 
7. a) $\epsilon: X = A + v \cdot \vec{AB} + w \cdot \vec{BC} \ \rightarrow \ \epsilon: X = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + v \cdot \left( \begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) + w \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right)$ 
b) $\epsilon: \vec{n} \cdot \vec{X} = \vec{n} \cdot \vec{A} \ \rightarrow \ \epsilon: \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right)$ 
c) $\epsilon: z = 1$ 
8. $h:\begin{cases} x=0 \\ y=0 \\ z=6+t \end{cases} \ \ \epsilon: z=1 \ \ \rightarrow \ 1 = 6 + t \ \Rightarrow \ t=-5$ 
$h: M = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array} \right) -5 \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$

=Beispiele=
Hier findest du Beispiele zu den behandelten Themen:

===Grundlagen der Vektorrechnung===
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/9/99/VektorrechnungGLBspAngabe.pdf VektorrechnungGLBspAngabe.pdf] 
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/0/00/VektorrechnungGLBspL%C3%B6sung.pdf VektorrechnungGLBspLösung.pdf]

===Vektorrechnung im $\mathbb{R^2}$===
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/7/7f/VektorrechnungR2BspAngabe.pdf VektorrechnungR2BspAngabe.pdf] 
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/f/ff/VektorrechnungR2BspL%C3%B6sung.pdf VektorrechnungR2BspLösung.pdf]

Vektorrechnung

2016-06-11T09:14:38Z

Lajtos: /* Addition und Subtraktion von Vektoren */

=Grundlagen=
==Koordinatensystem==
[[Datei:Quadranten.png|thumb|Coordinate System|thumb|right|350px|Koordinatengitter im $\mathbb{R^2}$ mit den 4 Quadranten]]

Für die Vektorrechnung sind Koordinatensysteme essentiell.
Im zweidimensionalen Raum besitzt ein Koordinatensystem 2 Achsen:

* die x-Achse (waagrecht) und
* die y-Achse (senkrecht)

 
Diese sind unendlich lang und Spannen die vier sogenannten Quadranten auf, die meist mit den römischen Ziffern I-IV beschriftet werden (gesprochen: Erster Quadrant, Zweiter Quadrant etc.). Die rechte Graphik zeigt die die Position der Quadranten. Dort, wo die 2 Achsen einander treffen, liegt der sog. Ursprung (kurz: $\vec{0}$); seine Koordinaten sind (0/0).

Was es außerdem noch zu beachten gibt, hast du vielleicht bereits selbst erkannt:
An den gegenüberliegenden Seiten der x- und y-Achsen werden unterschiedliche Vorzeichen verwendet. So spricht man "links" des Ursprungs von der negativen, bzw. "rechts" des Ursprungs von der positiven x-Achse. Analog spricht man "oben" und "unten" von der positiven und negativen y-Achse.

Im dreidimensionalen Raum kommt eine dritte Achse - die z-Achse - dazu. Punkte und Vektoren besitzen dementsprechend dann auch 3 Koordinaten. Dies kann man bis ins n-dimensionale weiterführen.

==Punkte==
In ein Koordinatensystem lassen sich Punkte eintragen. Diese besitzen, entsprechend ihrer Lage, Koordinaten. Im obigen Bild z.B. haben wir die Punkte A und B, wobei sich A im ersten Quadranten befindet und B im vierten Quadranten. Man schreibt: A(2/3,5) B(1/-2).

[[Datei:Punkte Abstand.png|thumb|right|350px|Punkte im $\mathbb{R^2}$]]

{{Vorlage:Merke |''Einen'' '''allgemeinen Punkt''' ''schreibt man an als'' $P(x_1/x_2/.../x_n)$ (im n-dimensionalen Raum $\mathbb{R^n}$) ''bzw.'' $P(x/y)$ (im 2-dimensionalen Raum $ \mathbb{R^2}$) ''oder'' $P(x/y/z)$ (im 3-dimensionalen Raum $\mathbb{R^3}$).
 
Die erste Koordinate entspricht der x-Koordinate, die zweite der y-Koordinate, die eventuelle dritte der z-Koordinate.

Punkte werden in der Regel mit Großbuchstaben bezeichnet.}}

Koordinaten von Punkten lassen sich also ganz einfach ablesen. Die x/y-Koordinate entspricht dabei dem Abstand vom Ursprung zum Punkt in Richtung der jeweiligen Koordinatenachse. So erkennen wir im Bild rechts die folgenden Punkte:

* A(2/0)
* B(0/-2)
* C(-1/2)

=Vektoren=

==Definition & Darstellung von Vektoren==
{{Vorlage:Definition |1= Ein Zahlenpaar $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \in \mathbb{R^2}$ wird als '''Vektor aus $\mathbb{R^2}$ ''' bezeichnet.
Analog bezeichnet man ein Zahlentripel $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) \in \mathbb{R^3}$ als '''Vektor aus $\mathbb{R^3}$ '''. 
Ein '''allgemeiner Vektor''' wird $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) \ \in \mathbb{R^n}$ geschrieben.

}}

Da sowohl die Rechenoperationen als auch die geometrischen Darstellungen leicht vom $\mathbb{R^2}$ in den $\mathbb{R^3}$ übertragen werden können, werden wir meistens nur die Vorgangsweise für Zahlenpaare aus dem $\mathbb{R^2}$ beschreiben.

===Geometrische Darstellung von Vektoren===

Es gibt zwei Möglichkeiten, wie wir einen Vektor $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right) \ \in \mathbb{R^2}$ geometrisch darstellen können:
* '''Darstellung als Punkt''': Dabei gibt $a$ die x-Koordinate und $b$ die y-Koordinate des Punktes an. Die Beschriftung erfolgt mit Großbuchstaben.
* '''Darstellung als Pfeil''': Dabei gibt $a$ die x-Richtung des Pfeils (wie weit zeigt der Pfeil nach links bzw. rechts) und $b$ die y-Richtung des Pfeils (wie weit zeigt der Pfeil nach oben bzw. nach unten) an. Pfeile werden mit Kleinbuchstaben (oft mit Pfeil $\vec{v}$) beschriftet.

Die Darstellung als Punkt ist eindeutig! Einem Zahlenpaar (=Vektor) entspricht genau ein Punkt!
Die Darstellung als Pfeil ist nicht eindeutig! Es gibt unendlich viele Pfeile, die denselben Vektor darstellen. Diese Pfeile sind aber alle parallel, gleich lang und gleich gerichtet.

'''Beispiel:''' Darstellung des Vektors $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$
{| class="wikitable"
|-
| '''Punktdarstellung des Vektors'''|| '''Mögliche Pfeildarstellungen des Vektors'''
|-
| [[Datei:Punkt.png|thumb|300px]]|| [[Datei:Pfeile.png|thumb|300px]]
|}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 3 \\ -4 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 5 \end{array} \right)$. Stelle $\vec{a}$ und $\vec{b}$ als Punkte und als Pfeile dar.
|2=[[Datei:Punkt Pfeil Bsp.png|300px]] 
'''Anmerkungen:'''
* Für die Pfeildarstellungen gibt es mehrere (unendlich viele) Möglichkeiten. Der von dir gezeichnete Pfeil muss jedenfalls parallel, gleich gerichtet und gleich lang wie der abgebildete Pfeil sein!
* Aus "Bequemlichkeitsgründen" zeichnet man die Pfeile oft beginnend beim Ursprung ein:
[[Datei:Punkt Pfeil Bsp2.png|300px]]
 
}}

Vektoren des $\mathbb{R^3}$ können auch auf diese zwei Arten dargestellt werden. Der einzige Unterschied dabei ist, dass die Punkte bzw. Pfeile im dreidimensionalen Raum liegen. Es gibt also noch eine dritte Richtung, die durch die z-Koordinate des Vektors angegeben wird.

===Ortsvektoren===
[[Datei:Ortsvektor.png|thumb|right|250px|Punkt und zugehöriger Ortsvektor]]Der Ortsvektor von einem Punkt ist der Vektor, der vom Ursprung aus auf den Punkt zeigt. Die Koordinaten bleiben deshalb gleich, es ändert sich quasi nur die Schreibweise:

Sei $A(x_1/x_2/.../x_n)$ ein Punkt in der Dimension $n$, dann ist $\vec{0A} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ dessen Ortsvektor.
 
 
 
 
 

==Rechnen mit Vektoren==

===Addition und Subtraktion von Vektoren===
{{Vorlage:Merke|1=Wenn du Vektoren addieren oder subtrahieren möchtest, musst du dazu die entsprechenden Koordinaten addieren: 
$\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) \pm \left( \begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ ... \\ y_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x_1 \pm y_1 \\ x_2 \pm y_2 \\ ... \\ x_n \pm y_n \end{array} \right)$ 
Wichtig ist dabei, dass die Vektoren, die du addieren oder subtrahieren möchtest, derselben Dimension $n$ angehören! D.h. sie haben gleich viele Koordinaten.}}
{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben seien die beiden Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right)$. Berechne erst $\vec{a} + \vec{b}$, dann $\vec{a} - \vec{b}$ und zuletzt $\vec{b} - \vec{a}$!
|2= $\vec{a} + \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 5+1 \\ 2+(-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 6 \\ -1 \end{array} \right)$
$\vec{a} - \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 5-1 \\ 2-(-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 5 \end{array} \right)$ 
$\vec{b} - \vec{a} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 1-5 \\ -3-2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -4 \\ -5 \end{array} \right)$}}

===Vektoren bestimmen: "Spitze minus Schaft" ("Ziel minus Start")===
[[Datei:Spitzeschaft.png|thumb|right|300px|"Spitze minus Schaft"]]Zwischen 2 Punkten kann man nun einen Vektor definieren. Dabei gilt: Die '''"Spitze minus Schaft"'''-Regel Im Bild rechts wollen wir den Vektor berechnen, der von A nach B geht, also den Vektor $\vec{AB}$. Der Punkt B(3/3,5) entspricht hierbei der Spitze, und der Punkt A(1/0,5) dem Schaft. Da das Rechnen mit Punkten allerdings keinen Sinn ergibt, rechnet man stattdessen mit deren Ortsvektoren (siehe oben).

Für unser Beispiel bedeutet das: $\vec{0B} - \vec{0A} = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 3,5 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0,5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 3-1 \\ 3,5-0,5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right) = \vec{AB}$

'''Beachte außerdem:'''

* Man schreibt der Einfachheit halber oft nur $B-A$, obwohl eigentlich $\vec{0B} - \vec{0A}$ gemeint ist.
* Der Vektor $\vec{AB}$ zeigt in die entgegengesetzte Richtung von $\vec{BA}$. Das bedeutet, dass diese beiden Vektoren entgegengesetzte Vorzeichen haben: $\vec{AB} = - \vec{BA}$

 

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die Punkte A=(1/2); B=(-3/1); C=(-4,-1). Bilde die folgenden Verbindungsvektoren: 
 
# $\vec{AB}$
# $\vec{BA}$
# $\vec{AC}$
# $\vec{BC}$

|2=
$\ $
# $\vec{AB}=B-A=\left( \begin{array}{c} -3 \\ 1\end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} -4 \\ -1\end{array} \right)$
# $\vec{BA}=-\vec{AB}=\left( \begin{array}{c} 4 \\ 1 \end{array} \right)$
# $\vec{AC}=\left( \begin{array}{c} -4 \\ -1\end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} -5 \\ -3\end{array} \right)$
# $\vec{BC}=\left( \begin{array}{c} -4 \\ -1\end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} -3 \\ 1 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} -1 \\ -2\end{array} \right)$
 
'''Tipps:'''
* Pass gut auf die Vorzeichen auf! Beim Subtrahieren von Vektoren passieren leider häufig Vorzeichenfehler! Sei deshalb besonders achtsam!
* Zeichne die Punkte in ein Koordinatensystem und zeichne die Verbindungsvektoren ein. Bei einfachen Koordinaten kannst du den Verbindungsvektor ohne Rechnung ablesen (Probiere es aus!).

 
}}

===Produkt eines Vektors mit einem Skalar===
Wenn man einen Vektor $\vec{v}$ mit einer [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)|reellen Zahl]] $k$ , einem sogenannten "Skalar", multipliziert, werden dabei die einzelnen Koordinaten mit dem Skalar multipliziert:

$k \cdot \vec{v} = k \cdot \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} k \cdot x_1 \\ k \cdot x_2 \\ ... \\ k \cdot x_n \end{array} \right)$

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sei der Vektor $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right)$. Multipliziere diesen einmal mit $2$ und einmal mit $-5$!
|2= $2 \cdot \vec{a} = 2 \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \cdot 2 \\ 2 \cdot (-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -6 \end{array} \right)$
$(-5) \cdot \vec{a} = (-5) \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-5) \cdot 2 \\ (-5) \cdot (-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -10 \\ 15 \end{array} \right)$}}

==Geometrische Darstellung der Rechenoperationen==
===Geometrische Darstellung der Vektoraddition===
Die Addition zweier Vektoren kann auf zwei verschiedene Arten geometrisch gedeutet werden. Wir illustrieren die beiden Möglichkeiten anhand des Beispiels $\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2\end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$

{| class="wikitable"
|-
| '''Punkt + Pfeil - Darstellung:'''|| '''Pfeil + Pfeil - Darstellung'''
|-
| ''An einen Punkt wird ein Pfeil angehängt.'' In unserem Beispiel wird an den Punkt (1/2) ein Pfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$ angehängt. Das Ergebnis der Addition ist der Punkt am Ende des Pfeils (5/5). || ''Zwei Pfeile werden aneinandergehängt. In unserem Beispiel wird also ein Pfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$ und ein Pfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)$ aneinandergehängt. Das Ergebnis der Addition ist der entstehende Verbindungspfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 5 \\ 5 \end{array} \right)$
|-
| [[Datei:Vektoraddition1.png|left|400px]]|| [[Datei:Vektoraddition2.png|left|500px]]
|-
| '''Anmerkung:''' Diese Darstellung ist hilfreich, wenn wir von einem Punkt ausgehen und zu einem neuen Punkt gelangen wollen.|| Es spielt keine Rolle, in welcher Reihenfolge die Vektoren angehängt werden. Die Addition ist kommutativ!
|}

===Geometrische Darstellung der Multiplikation mit einem Skalar===

Eine Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl a (Skalar) entspricht einer Streckung (für |a|>1) bzw. einer Stauchung (für |a|<1) des zugehörigen Pfeiles.
Ist das Vorzeichen des Skalars negativ, so dreht sich die Richtung des Pfeils in die entgegengesetzte Richtung.

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sei wiederum der Vektor $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right)$. Stelle die Multiplikation mit $2$, mit $-5$ und mit $0.5$ graphisch dar!
|2= Rechnerische Lösung und graphische Interpretation:
* $2 \cdot \vec{a} = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -6 \end{array} \right)$. Der Vektor $2\cdot \vec{a}$ hat die doppelte Länge und dieselbe Richtung wie $\vec{a}$
* $(-5) \cdot \vec{a} = \left( \begin{array}{c} -10 \\ 15 \end{array} \right)$. Der Vektor $(-5)\cdot \vec{a}$ ist fünfmal so lang wie $\vec{a}$ und zeigt in die entgegengesetzte Richtung wie $\vec{a}$
* $(0.5) \cdot \vec{a} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1.5 \end{array} \right)$ Der Vektor $0.5\cdot \vec{a}$ ist halb so lang wie $\vec{a}$ und zeigt in dieselbe Richtung wie $\vec{a}$
}}

{{#widget:Iframe
|url= http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_vektorrechnung/MV_Vektor1/MV_Vektor1/sites/Vektortest.html
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}}
[http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_vektorrechnung/MV_Vektor1/MV_Vektor1/ (Quelle dieses Applets)]

Hilfe zum Applet: Gib in die Eingabezeile den Buchstaben des Vektors bzw. die entsprechende Summe / Differenz an. (z.B. $u=a$)

===Wie Vektoren zueinander stehen===
Vektoren können unterschiedliche Richtungen haben, aber auch parallel zueinander oder gar identisch sein. Optisch lässt sich das oft sehr leicht erkennen. Die Lage von Vektoren zueinander kann auch rechnerisch überprüft werden.

{{Vorlage:Definition |Unter einem Vektor versteht man die Menge aller gleichlangen, gleichgerichteten und gleichorientierten Pfeile.

Der Start/Endpunkt spielen dabei keine Rolle!}}

{{Vorlage:Merke|2 Vektoren stehen parallel zueinander, wenn ein Vektor als Vielfaches des anderen Vektors angeschrieben werden kann. 
Man sagt auch: Die Vektoren sind [[linear abhängig]] (linear abhängig zu sein bedeutet, dass ein Vektor als Vielfaches eines anderen Vektors dargestellt werden kann).}}

Sehen wir uns die verschiedenen Fälle an:

{| class="wikitable"
|-
|ident: gleiche Richtung, gleiche Orientierung, gleiche Länge
||[[Datei:Vektorv1.png|none|250px]]
||$\vec{v} = \vec{u} \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$
||z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$
|-
||parallel (gleiche Orientierung): gleiche Richtung, gleiche Orientierung, unterschiedliche Länge
| [[Datei:Vektorenlänge.png|none|250px]]
||$\exists k>0 : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$
||z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} \frac{4}{3} \\ 2 \end{array} \right)$, $\frac{2}{3} $
|-
||parallel (unterschiedliche Orientierung): 
| [[Datei:Vektororientierung1.png|none|250px]]
||$\exists k<0 : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$
||z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} -2 \\ -3 \end{array} \right)$, $k=-1$

|-
||linear unabhängig
| [[Datei:Vektorrichtung1.png|none|250px]]
||$\nexists k : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \nparallel \vec{u}$
||z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 3 \end{array} \right)$
|}

{{Vorlage:Beispiel|1=Überprüfe ob die Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 5 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$ linear unabhängig voneinander sind.

|2=Wenn es ein k gibt, sodass $k \cdot \vec{a} = \vec{b}$, dann sind die beiden Vektoren voneinander linear abhängig, und somit auch parallel zueinander.

Es gibt mehrere Lösungsmöglichkeiten:
*Möglichkeit 1: Lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen
$I: 2k = 4 \ \ \rightarrow k=2$
$II: 5k = 3 \ \ \rightarrow k=\frac{3}{5}$

Aus der ersten Gleichung ergibt sich k=2, in der zweiten aber $k=\frac{3}{5}$. $k$ kann aber nicht beides sein, somit haben wir eine falsche Aussage erhalten. Daraus folgt, dass die beiden Vektoren '''linear unabhängig''' und somit nicht parallel zueinander sind.

* Möglichkeit 2: "Vergleichen und Probieren"
Vergleicht man die x-Koordinaten der beiden Vektoren, so sieht man, dass 4 doppelt so groß wie 2 ist. Daraus ergibt sich, dass ein etwaiges k=2 sein müsste.
Probiert man auch die zweite Zeile mit 2 zu multiplizieren, so erhält man 10. Die y-Koordinate von b müsste also 10 sein, damit die beiden Vektoren parallel zueinander sind.
}}

 

===Betrag und Einheitsvektor===
[[Datei:PythagorasVektor.png|thumb|right|350px|Betrag eines Vektors; Einheitsvektor]]Wie anfangs bereits erwähnt, besitzen Vektoren eine Länge, auch '''Betrag''' eines Vektors genannt. Dieser wird mit Hilfe des pythagoräischen Lehrsatzes wie folgt berechnet:

<div align="center">$\parallel \vec{v} \parallel = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2} \ $ wenn $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ ein Vektor der Dimension $n$ ist.</div>
Sehen wir uns die Grafik rechts an, können wir mit dieser Formel die Länge des zweidimensionalen Vektors $\parallel \vec{v} \parallel$ berechnen:

<div align="center">$\parallel \vec{v} \parallel = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$</div>
 Der '''Einheitsvektor''' $\vec{a_0}$ eines Vektors $\vec{a}$ ist ein zu $\vec{a}$ paralleler Vektor mit Länge 1. Rechnerisch erhält man $\vec{a_0}$, indem man $\vec{a}$ durch seine Länge dividiert. $ \vec{a_0}

=\frac{\vec{a}}{\parallel \vec{a}\parallel}$
bzw.
$ \vec{a_0}=\frac{1}{\parallel\vec{a}\parallel}\cdot \vec{a}$

Daraus ergibt sich ein Vektor, der dieselbe Richtung des ursprünglichen Vektors hat, allerdings die Länge 1 besitzt.

{{Vorlage:Merke|1=
Sei $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ ein Vektor der Dimension $n$ und $\parallel \vec{v} \parallel$ sein Betrag, dann ist $\vec{v_0} = \frac{1}{\parallel \vec{v} \parallel} \cdot \vec{v} \ $ der Einheitsvektor zu $\vec{v}$.}}

In unserem Beispiel würde das folgendes bedeuten:

{{Vorlage:Beispiel|1= Bestimme den Einheitsvektor von $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$

|2=<div align="center">$\vec{v_0} = \frac{1}{\sqrt{13} } \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \frac{2}{\sqrt{13} } \\ \frac{3}{\sqrt{13} } \end{array} \right)$</div>
}}

===Vektoren bestimmter Länge===
Da wir nun gelernt haben, Einheitsvektoren zu bilden und Vektoren mit Zahlen zu multiplizieren (und ich das hier so schön betone), könnt ihr euch vielleicht schon vorstellen, wie man aus einem beliebigen Vektor einen Vektor derselben Richtung, allerdings unterschiedlicher Länge bekommt. Wir haben also einen Vektor $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ mit der Länge $\parallel \vec{v} \parallel = k$ gegeben, und hätten gerne den Vektor $\vec{w} \ \parallel \ \vec{v}$ mit der Länge $l$. Dazu berechnen wir zuerst den Einheitsvektor $\vec{v_0}$ von $\vec{v}$ und multiplizieren diesen dann mit $l$. So erhalten wir schließlich $\vec{w} = l \cdot \vec{v_0}$.

==Mittelpunkt einer Strecke==
[[Datei:Mittelpunkt.png|thumb|right|300px|Mittelpunkt M der Strecke AB]]Willst du den Mittelpunkt zwischen 2 Punkten $A$ und $B$ berechnen, musst du wie folgt vorgehen:
Zuerst berechnest du einen Vektor zwischen den Punkten ($\vec{AB}$ oder $\vec{BA}$). Dann halbierst du diesen Vektor, und erhältst $\vec{AM}$ bzw. $\vec{BM}$. Addierst du dann diesen Vektor zum entsprechenden Punkt ($A$ bzw. $B$), erhältst so den Mittelpunkt. Also:

<div align="center">$\vec{0M} = \vec{0A} + \frac{\vec{AB}}{2} = \vec{0B} + \frac{\vec{BA}}{2}$</div>

Kurzschreibweise:
<div align="center">$M = \vec{A} + \frac{\vec{AB}}{2}$ </div>

=Im $\mathbb{R^2}$=
Dieser Artikel befasst sich mit der Vektorrechnung im zweidimensionalen Raum. Grundlegende Informationen zur Vektorrechnung, so wie Punkte und Vektoren, findest du unter dem Tab ''Grundlagen der Vektorrechnung''.

==Vektoren==
===Normalvektoren===
[[Datei:Normalvektoren.png|thumb|right|350px|Normalvektoren]]Normalvektoren zu einem Vektor sind alle Vektoren, die normal (im rechten Winkel) auf den Vektor stehen. Im $\mathbb{R^2}$ gibt es zu jedem Vektor genau 2 Normalvektoren, die dieselbe Länge wie der ursprüngliche Vektor haben. Alle anderen Normalvektoren sind Vielfache eines dieser 2 Normalvektoren.

{{Vorlage:Merke | 1=Sei $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ ein Vektor, dann ist $\vec{n_1}=\left( \begin{array}{c} -y \\ x \end{array} \right)$ sein nach links gekippter, und $\vec{n_2}=\left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right)$ sein nach rechts gekippter Normalvektor.
''Vertausche die Koordinaten und ändere '''ein''' Vorzeichen''
}}

===Skalarprodukt===
Unter dem Skalarprodukt versteht man die Multiplikation zweier Vektoren, bei der als Ergebnis ein Skalar (eine Zahl) entsteht.

{{Vorlage:Merke|1=Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren, dann ist $\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \end{array} \right) = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b$ gleich ihr Skalarprodukt.
}}

Das Skalarprodukt wirkt auf den ersten Blick etwas "eigenartig". Man kann sich die Bedeutung des Skalarproduktes besonders gut an einem Anwendungsbeispiel erklären:
Angenommen in einer Preisliste stehen 10 Kugelschreiber, die jeweils 2€ kosten und 20 Bleistifte, die jeweils 0,50€ kosten.
In Tabellenform sieht das folgendermaßen aus:

{| class="wikitable"
|-
! Produkt !! Stückzahl !! Preis pro Stück (in €)
|-
| Kugelschreiber || 10 || 2
|-
| Bleistift || 20 || 0,50
|}

Aus dieser Tabelle kann ein Stückzahlvektor $\left( \begin{array}{c} 10 \\ 20 \end{array} \right)$ und ein Preisvektor $\left( \begin{array}{c} 2 \\ 0,50 \end{array} \right)$ abgelesen werden.

Möchte man den Gesamtwert der Produkte berechnen, so müssen jeweils die Einzelpreise mit der Stückzahl multipliziert werden und anschließend die Summe gebildet werden.
Genau das macht das Skalarprodukt!
$\left( \begin{array}{c} 10 \\ 20\end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0.50 \end{array} \right) = 10 \cdot 2 + 20 \cdot 0.50 = 20 + 10 = 30€ $

===Winkel zwischen zwei Vektoren===
[[Datei:Winkel.png|thumb|right|350px|Winkel zwischen 2 Vektoren]]<big>$$cos{\varphi} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel} = \vec{a_0} \cdot \vec{b_0}$$
bzw.
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = \parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel \cdot cos{\varphi}$$</big>

Heißt es, den Winkel zwischen 2 Vektoren/Geraden zu bestimmen, ist damit immer der kleinere Winkel gemeint. Solltest du einmal ein Ergebnis erhalten, das größer als 180° ist (nennen wir dieses Ergebnis $\varphi'$), dann ziehe dieses Ergebnis von 360° ab und du erhältst den kleineren Winkel ($\varphi = 360° - \varphi'$). 
Bei einem Winkel von $\varphi = 90°$ erhalten wir $cos{\varphi} = 0$, was bedeutet, dass auch $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$. Daraus ergibt sich das Orthogonalitätskriterium.

====Orthogonalitätskriterium====
{{Vorlage:Merke|1=Ergibt das Skalarprodukt zweier Vektoren $0$, so stehen diese zwei Vektoren normal zueinander (und umgekehrt!)$$\vec{a} \cdot \vec{b} \ = \ 0 \ \Leftrightarrow \ \vec{a} \bot \vec{b}$$}}

Mithilfe des Orthogonalitätskriteriums kann man auch zeigen, dass $\vec{n}=\left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right)$ stets ein Normalvektor von $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ ist.
$$\vec{v} \cdot \vec{n} = \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right) = xy - yx = 0$$

==Geraden==
===Darstellungsformen===
Geraden lassen sich in unterschiedlichen Formen darstellen. In der Vektorrechnung ist die Parameterdarstellung populär, da man dazu nur einen Punkt und Vektor kennen muss. Die Normalform allerdings hat den Vorteil, dass man den Normalvektor zur Geraden auf einen Blick ablesen kann. Je nachdem, was man mit der Gerade vorhat, können die verschiedenen Formen ineinander umgewandelt werden.

====Parameterdarstellung====
[[Datei:Parameterdarstellung.png|thumb|right|350px|Parameterdarstellung einer Geraden]]$$g: \vec{0X} = \vec{0P} + t \cdot \vec{a}$$ 
wobei

* $X \in g$ ist ein '''beliebiger''' Punkt auf der unendlichen Geraden (steht für alle Punkte auf der Geraden)
* $P \in g$ ist ein '''bekannter''' Punkt auf der Geraden
* $t \in \mathbb{R}$ ist ein freier Parameter (in der Graphik rechts $\lambda$)
* $\vec{a} \in \mathbb{R^2}$ ist ein Vektor parallel zur Geraden, der die Richtung dieser angibt ("Richtungsvektor")

 
Beachte, dass in der Parameterdarstellung keine Punkte, sondern Ortsvektoren verwendet werden! (Info zu Ortsvektoren findest du unter ''Grundlagen der Vektorrechnung''.) Wenn man das weiß, kann man der Einfachheit halber die Gerade auch folgendermaßen beschreiben: $g: X = P + t \cdot \vec{a}$

 
Eine andere Schreibweise ist, die Koordinaten einzeln zu betrachten und 2 Gleichungen aufzustellen:
$$g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \end{cases}$$

====Normalvektorform====
Hierzu benötigt man einen Normalvektor des Richtungsvektors und multipliziert dann die Geradengleichung mit diesem Normalvektor. Da $\vec{a} \cdot \vec{n} = 0$, bleibt über:

Sei $g: \vec{0X} = \vec{0P} + t \cdot \vec{a}$ eine Gerade in Parameterform, so ist

<div align="center">$g: \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x_P \\ y_P \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right)$</div>

dieselbe Gerade in Normalform, wobei $\vec{0X}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right), \ \vec{0P}=\left( \begin{array}{c} x_P \\ y_P \end{array} \right), \ \vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right)$ und $\vec{n}=\left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right)$ ein Normalvektor von $\vec{a}$ (hier kann man natürlich auch den anderen Normalvektor verwenden).

====Allgemeine Geradengleichung====
Diese Form der Darstellung heißt auch Normalform, da man den Normalvektor der Gerade direkt ablesen kann.Um von der Parameterdarstellung auf diese Form zu kommen, gibt es 2 Möglichkeiten:

'''1. Multiplikation mit Normalvektor:'''
Hierzu muss man einfach die Normalform ausmultiplizieren und es ergibt sich:

$$g: y_a \cdot x + -x_a \cdot y = y_a \cdot x_P + -x_a \cdot y_P$$

'''2. Elimination des Parameters:'''
Hierbei gehen wir von der Geradenform $g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \end{cases}$ aus, eliminieren $t$, und kommen ebenfalls auf die obige allgemeine Geradengleichung.
Auf der rechten Seite der Gleichung stehen nur bekannte Größen, auf der linken Seiten stehen Vielfache von x und y. Diese Gleichung kann man weiter auch auf die Form y=kx+d umformen.

===Lagebeziehungen zwischen Geraden===
Mehrere Geraden können im $\mathbb{R^2}$

* ident sein, d.h. sie haben unendlich viele gemeinsame Punkte
* parallel sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt
* einander schneiden, d.h. sie haben genau ein gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt)

 Sind uns 2 Geraden in '''Parameterdarstellung''' gegeben, betrachten wir zuerst ihre Richtungsvektoren. 
Sind diese parallel zueinander, so sind auch die Geraden parallel zueinander. Nun bleibt noch die Frage offen, ob die Geraden ident sind. Dazu überprüfen wir einfach, ob der gegebene Punkt der einen Geraden auch auf der anderen Geraden liegt. Dazu Setzen wir den bekannten Punkt der einen Geraden für den unbekannten Punkt der anderen Geraden ein und erhalten 2 Gleichungen in einer Unbekannten (Parameter der zweiten Gerade). Erhalten wir nun für den Parameter zweimal dasselbe Ergebnis, so sind die 2 Geraden ident, erhalten wir unterschiedliche Ergebnisse, so sind sie nur parallel. 
Sind die Richtungsvektoren nicht parallel zueinander, so sind es auch die 2 Geraden nicht, und wir können uns sicher sein, dass diese einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen.
Doch wie erhalten wir den Schnittpunkt? Ganz einfach, indem wir die 2 Geraden schneiden. Dazu müssen wir sie gleichsetzen, und dann das dadurch erhaltene Gleichungssystem in 2 Unbekannten (die 2 Parameter) lösen. Wenn wir den Wert eines Parameters ausgerechnet haben, setzen wir ihn einfach in die entsprechende Geradengleichung ein und erhalten so den Schnittpunkt!

Sind die 2 Geraden in der '''allgemeinen Geradenform''' gegeben, so haben wir bereits 2 Gleichungen gegeben, die wir nach x und y auflösen. Dieses x und y sind die Koordinaten des Schnittpunktes.

Um das Schneiden von Geraden besser zu verstehen, schau dir das Lösen von [[ Gleichungssysteme (2.7.) |Gleichungssystemen]] genauer an, wirf einen Blick auf die Beispiele zum $\mathbb{R^2}$ unter dem Tab 'Beispiele', oder sieh dir dieses Video an:

<div align="center">{{#ev:youtube|ZrFE3LRisn0}}</div>

===Normalabstand Punkt - Gerade===
[[Datei:Normalabstand.gif|right]]Gegeben sei ein Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und eine Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$. Um den Normalabstand $d(Q,g)$ zwischen Q und g zu berechnen, gehe wie folgt vor:
{{Vorlage:Merke|1=1. Bestimme die Gerade $q: X = Q + s \cdot \vec{n}$, die durch $Q$ geht und den Normalvektor $\vec{n}$ von $\vec{a}$ als Richtungsvektor besitzt.
2. Schneide $g$ und $q$ und die erhältst ihren Schnittpunkt $S$. 
3. Berechne $\parallel \vec{QS} \parallel$.}}
In der Graphik rechts hätten wir z.B. die Angabe $g: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right) + \lambda \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array} \right)$ und $Q(3/4)$. Du kannst das zur Übung durchrechnen.

====Hesse'sche Abstandsformel====
Mithilfe dieser Formel kann man ebenfalls den Abstand $d(Q,g)$ zwischen Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$ bestimmen. <big>$d(Q,g) = | \vec{PQ} \cdot \vec{n_0} | $</big>, wobei $\vec{n_0}$ der normierte (Länge 1) Normalvektor des Richtungsvektors $\vec{a}$ der Geraden $g$ ist.

====Spiegelung eines Punktes an einer Geraden====
[[Datei:Spiegeln.png|thumb|right|250px|Gespiegelter Punkt Q']]Gegeben sei ein Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und eine Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$. Es gilt den Punkt $Q$ an der Gerade $g$ zu spiegeln, und so den Punkt $Q'$ zu erhalten. Dazu befolgst du die Vorgehensweise von "Normalabstand Punkt - Gerade" bis du den Vektor $\vec{QS}$ erhältst, und trägst diesen vom Punkt $S$ ab, also: 
$Q' = S + \vec{QS}$

=Im $\mathbb{R^3}$=
==Vektoren==
===Kreuzprodukt===
Im $\mathbb{R^3}$ gibt es neben dem Skalarprodukt, bei dem wir als Ergebnis ein Skalar erhalten, eine weitere Möglichkeit, zwei Vektoren miteinander zu multiplizieren: das sog. Kreuz- oder Vektorprodukt, bei dem wir als Ergebnis einen Vektor erhalten.{{Vorlage:Merke|1=Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren des $\mathbb{R^3}$, dann ist ihr Kreuzprodukt
$$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} y_a \cdot z_b - z_a \cdot y_b \\ z_a \cdot x_b - x_a \cdot z_b \\ x_a \cdot y_b - y_a \cdot x_b \end{array} \right)$$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ -3 \end{array} \right)$, gesucht ist ihr Kreuzprodukt.|

2=$$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \cdot (-3) - 3 \cdot 4 \\ 3 \cdot 5 - 1 \cdot (-3) \\ 1 \cdot 4 - 2 \cdot 5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-6) - 12 \\ 15 - (-3) \\ 4 - 10 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -18 \\ 18 \\ -6 \end{array} \right)$$}}

Wozu wir das Kreuzprodukt überhaupt benötigen, sehen wir an den nächsten 2 Punkten.

====Normalvektoren====
Im $\mathbb{R^3}$ gibt es zu einem Vektor unendlich viele Normalvektoren. Auf eine Ebene allerdings gibt es genau 2 Normalvektoren (wie im $\mathbb{R^2}$ auf eine Gerade). Eine Ebene wird von 2 Vektoren aufgespannt, deren Kreuzprodukt ergibt einen Normalvektor $\vec{n_1}$ auf die Ebene bzw. die zwei Vektoren; der zweite Normalvektor hat die entgegengesetzte Orientierung ($\vec{n_2} = -\vec{n_1}$). Also:$$\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$$

====Fläche eines von zwei Vektoren aufgespannten Parallelogramms oder Dreiecks====
[[Datei:FlächeNormalvektor.png|thumb|right|none|250px|2 Vektoren spannen ein Dreieck bzw. Parallelogramm auf]] 
{{Vorlage:Merke|1=Die Länge $\parallel \vec{n} \parallel = \parallel \vec{a} \times \vec{b} \parallel$ des Normalvektors $\vec{n}$ zu den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ entspricht der Maßzahl des Flächeninhaltes des Parallelogramms, das $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aufspannen (im Bild die gesamte grüne Fläche).
Die Hälfte dieser Fläche entspricht der Fläche des aufgespannten Dreiecks.}}

===Skalarprodukt, Orthogonalitätskriterium, Winkel zwischen zwei Vektoren===
Diese drei Dinge "funktionieren" im $\mathbb{R^3}$ wie im $\mathbb{R^2}$. Also hier nur eine kurze Wiederholung: 

'''Skalarprodukt''' 
Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\z_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren, dann ist $$\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right) = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b + z_a \cdot z_b$$ gleich ihr Skalarprodukt.
 

'''Orthogonalitätskriterium''' 
Ergibt das Skalarprodukt zweier Vektoren $0$, so stehen diese zwei Vektoren normal zueinander (und umgekehrt!)
$$\vec{a} \cdot \vec{b} \ = \ 0 \ \Leftrightarrow \ \vec{a} \bot \vec{b}$$
Auch das gibt es im $\mathbb{R^3}$. Bedenke aber, dass es hier, anders als im $\mathbb{R^2}$, unendlich viele Normalvektoren auf einen Vektor gibt.
 

'''Winkel zwischen zwei Vektoren'''
$$cos{\varphi} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel} = \vec{a_0} \cdot \vec{b_0}$$

==Geraden==
===Darstellungsformen===
====Parameterdarstellung====
Die Parameterdarstellung im $\mathbb{R^3}$ sieht genauso aus wie im $\mathbb{R^2}$, einziger Unterschied ist, dass unsere Punkte und Vektoren hier jeweils 3 Koordinaten haben.$$g: X = P + t \cdot \vec{a}$$ bzw. $$g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \\ z = z_P + t \cdot z_a \end{cases}$$
Mehr Infos zu den einzelnen Komponenten findest du im Tab 'Im $\mathbb{R^2}$'.

====Parameterfreie Darstellungsform====
Diese besteht aus 2 Gleichungen und wir erhalten sie durch Eliminierung des Parameters.

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sei die Parameterform der Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ -4 \\ 1 \end{array} \right)$. Zuerst schreiben wir das in die 3 Koordinatengleichungen um:
$$g : \begin{cases} x = 2 + 3t \\ y = 0 - 4t \\ z = 1 + t \end{cases}$$

2=Wir multiplizieren die erste Gleichung mit $4$ und die zweite Gleichung mit $3$ und addieren die beiden: $$+ \begin{cases} 4x = 8 + 12t \\ 3y = 0 - 12t \end{cases}$$ und erhalten so die Gleichung $4x + 3y = 8$.
Wir multiplizieren die dritte Gleichung mit $3$ und subtrahieren diese von der ersten Gleichung: $$- \begin{cases} x = 2 + 3t \\ 3z = 3 + 3t \end{cases}$$ und erhalten so die Gleichung $x - 3z = -1$.

Die parameterfreie Darstellung unserer Gerade lautet somit $$g : \begin{cases} 4x + 3y = 8 \\ x - 3z = -1 \end{cases}$$.}}

Die zwei Gleichungen in der parameterfreien Darstellung sind übrigens Ebenengleichungen. Die eigentliche Gerade ist der Schnitt dieser zwei Ebenen!

===Lagebeziehungen zwischen Geraden===
Mehrere Geraden können im $\mathbb{R^3}$

* ident sein, d.h. sie haben unendlich viele gemeinsame Punkte
* parallel sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt
* einander schneiden, d.h. sie haben genau ein gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt)
* windschief sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt und sind nicht parallel

Um herauszufinden, wie 2 gegebene Geraden in Parameterform zueinander stehen, gehst du am besten wie folgt vor:

'''Betrachtung der Richtungsvektoren:''' Auch im $\mathbb{R^3}$ gilt, sind die Richtungsvektoren zweier Geraden parallel zueinander (d.h. man kann einen Vektor als Vielfaches des anderen Vektors darstellen), so sind es auch die Geraden.

'''Fall 1: Die Vektoren sind parallel:''' Sollte sich herausstellen, dass die zwei Geraden parallel zueinander sind, überprüfst du als nächstes, ob sie einen gemeinsamen Punkt haben; am einfachsten funktioniert das, indem du den bekannten Punkt ($P$) der einen Geraden in die zweite Gerade (für den unbekannten Punkt $X$) einsetzt. Wir erhalten drei Gleichungen in einer Unbekannten (Parameter der zweiten Gerade). 
'''Fall 1a:''' Erhalten wir nun für den Parameter dreimal dasselbe Ergebnis, so sind die 2 Geraden '''ident''' (und parallel), da der überprüfte Punkt, und somit unendlich weitere, auf beiden Geraden liegen. 
'''Fall 1b:''' Erhalten wir unterschiedliche Ergebnisse, so sind sie nur '''parallel''', da der überprüfte Punkt nicht, und somit auch kein anderer, auf beiden Geraden liegen.

'''Fall 2: Die Vektoren sind nicht parallel:''' Nun gibt es nur noch zwei Möglichkeiten: Entweder die zwei Geraden haben einen gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt), oder sie sind windschief. 
Um das wiederum herauszufinden, setzt du die beiden Geraden gleich, d.h. du stellst ein lineares Gleichungssystem (LGS) mit drei Gleichungen und in drei Unbekannten auf, und versuchst, dieses zu lösen. 
'''Fall 2a:''' Solltest du nun eine Lösung erhalten, d.h. du erhältst den Wert für den Parameter einer der zwei Geraden (und hast diesen Wert überprüft), so weißt du, dass die zwei Geraden einander '''schneiden'''. Den Schnittpunkt erhältst du jetzt, indem du den erhaltenen Wert für den Parameter in die entsprechende Geradengleichung einsetzt. 
'''Fall 2b:''' Sollte dein LGS keine Lösung ergeben (also sich eine falsche Aussage oder ein Widerspruch ergeben, z.B. $2=13$, oder $t=4$ und $t=-1$), dann weißt du, dass deine beiden Geraden keinen Schnittpunkt haben und somit '''windschief''' sind.

Zum besseren Verständnis siehst du dir am besten das folgende Video und die beiden folgenden Beispiele an.

<div align="center">{{#ev:youtube|u0QoYlEE094}}</div>
{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die beiden Geraden $g: X = \left( \begin{array}{c} 0 \\ -11 \\ -3 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right)$ und $h: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ -3 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right)$. Überprüfe deren gegenseitige Lage und gegebenenfalls ihren Schnittpunkt!|2=Zuerst überprüfen wir die Richtungsvektoren der beiden Geraden, um festzustellen, ob diese parallel zueinander sind oder nicht:$$\nexists \lambda : \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) = \lambda \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) \nparallel \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g \nparallel h$$
$g$ und $h$ sind also nicht parallel. Sie können also noch entweder einander schneiden oder windschief sein. Stellen wir nun ein LGS auf, indem wir die beiden Geraden gleichsetzen:
$$\begin{align}
I: \ &&&s&=&2&+&t \\
II: \ &-11&+&2s&=&3&-&3t \\
III: \ &-3&+&s&=&-3&+&2t
\end{align}$$ 
Wir subtrahieren $III$ von $I$: $- \begin{cases} &s &=& 2 + t \\ -3 + &s &=& -3 + 2t \end{cases} \ \rightarrow \ 3 = 5 - t \Rightarrow t = 2$ 
Wir überprüfen dieses Ergebnis für $t$, indem wir $t=2$ in alle 3 Gleichungen einsetzen. Wir sehen dann, dass wir überall dasselbe Ergebnis für $s$ erhalten, nämlich $s=4$. Daraus folgt, dass die Geraden einander '''schneiden'''. Setzen wir nun $t=2$ oder $s=4$ in die entsprechende Geradengleichung, so erhalten wir den Schnittpunkt $S(4/-3/1)$ der beiden Geraden.}}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die beiden Geraden $g: X = \left( \begin{array}{c} 3 \\ -2 \\ 0 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right)$ und $h: X = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$. Überprüfe deren gegenseitige Lage und ggf. ihren Schnittpunkt!|2=Zuerst überprüfen wir wieder die Richtungsvektoren der beiden Geraden:$$\nexists \lambda : \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) = \lambda \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) \nparallel \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g \nparallel h$$
Nun stellen wir wieder ein LGS auf:
$$\begin{align}
I: \ &3&+&2s&=&4&-&t \\
II: \ &-2&-&2s&=&3&& \\
III: \ &&&s&=&1&+&t
\end{align}$$ 
Aus der zweiten Gleichung lässt sich direkt berechnen, dass $s=- \frac{5}{2}$. Dies setzen wir nun in die erste und zweite Gleichung ein und erhalten einmal $3 - 5 = 4 - t \ \Rightarrow \ t=6$ und einmal $- \frac{5}{2} = 1 + t \ \Rightarrow \ t=- \frac{7}{2}$. Diese beiden Werte für $t$ sind offensichtlich voneinander unterschiedlich, daraus folgt, dass die beiden Geraden $g$ und $h$ '''windschief''' sind.
}}

==Ebenen==
Eine Ebene ist durch 3 Punkte oder 1 Punkt und 2 (voneinander linear unabhängigen) Vektoren eindeutig festgelegt.

===Darstellungsformen===
====Parameterdarstellung====
[[Datei:ebene2.png|thumb|right|350px|von Punkt und Vektoren aufgespannte Ebene]]
$$\epsilon : X = P + s \cdot \vec{a} + t \cdot \vec{b}$$
bzw.
$$\epsilon : \begin{cases} x = x_P + s \cdot x_a + t \cdot x_b \\ y = y_P + s \cdot y_a + t \cdot y_b \\ z = z_P + s \cdot z_a + t \cdot z_b \end{cases}$$
wobei

* $X \in \epsilon$ ist ein '''beliebiger''' Punkt auf der unendlichen Ebene
* $P \in \epsilon$ ist ein '''bekannter''' Punkt auf der Ebene
* $s, t \in \mathbb{R}$ sind freie Parameter
* $\vec{a}, \vec{b} \in \mathbb{R^3}$ sind zwei Vektoren, die parallel zur Ebene liegen

====Normalvektorform====
Man multipliziert die Parameterdarstellung der Ebene mit ihrem Normalvektor $\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$ und erhält$$\vec{n} \cdot \vec{X} = \vec{n} \cdot \vec{P}$$

====Allgemeine Ebenengleichung====
$$ax + by + cz = d$$Diese Form der Darstellung heißt auch Normalform, da man den Normalvektor der Ebene direkt ablesen kann. Um von der Parameterdarstellung auf diese Form zu kommen, gibt es 2 Möglichkeiten:

'''1. Multiplikation mit Normalvektor:'''
Hierzu muss man einfach die Normalform ausmultiplizieren und es ergibt sich:

$$\epsilon: x_n \cdot x + y_n \cdot y + z_n \cdot z = x_n \cdot x_P + y_n \cdot y_P + z_n \cdot z_P$$

'''2. Elimination des Parameters:'''
Hierbei gehen wir von der Ebenengleichung $\epsilon : \begin{cases} x = x_P + s \cdot x_a + t \cdot x_b \\ y = y_P + s \cdot y_a + t \cdot y_b \\ z = z_P + s \cdot z_a + t \cdot z_b \end{cases}$ aus, eliminieren $s$ und $t$, und kommen ebenfalls auf die obige allgemeine Ebenengleichung.

Zur Veranschaulichung ein Beispiel zu den verschiedenen Darstellungsformen:
{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die drei Punkte $A(1/1/1), B(-1/-4/2), C(0/3/-1)$. Gib die Ebene, die diese drei Punkte aufspannen, in Parameterform, Normalform und allgemeiner Ebenengleichung an!|2=Für die Parameterform berechnen wir erst zwei beliebige Vektoren aus den 3 Punkten, z.B. $\vec{AB} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{AC} = \left( \begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right)$. Als Parameterform erhalten wir schließlich:
$$\epsilon: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right)$$ Um auf die Normalform zu kommen, bestimmen wir als erstes den Normalvektor der Ebenen: $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-5) \cdot (-2) - 1 \cdot 2 \\ 1 \cdot (-1) - (-2) \cdot (-2) \\ (-2) \cdot 2 - (-5) \cdot (-1) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right)$. 
Nun die Parametergleichung mit dem Normalvektor multiplizieren und wir erhalten auch die Normalform:
$$\epsilon: \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)$$ 
Um nun noch die allg. Ebenenform zu erhalten, multipliziert man am einfachsten die Normalform aus und erhält:
$$\epsilon: 8x - 5y -9z =-6$$ 
Aber auch die Elimination der Parameter soll hier gezeigt werden. Wir gehen aus von: $$\epsilon : \begin{cases} x = 1 - 2s - t \\ y = 1 - 5s + 2t \\ z = 1 + s - 2t\end{cases}$$
Addieren wir die y- und die z-Gleichung, können wir $t$ eliminieren: $+ \begin{cases} y = 1 - 5s + 2t \\ z = 1 + s - 2t \end{cases} \ \Rightarrow \ y + z = 2 - 4s$. 
Wir können $t$ ebenfalls eliminieren, indem wir die y-Gleichung zum 2-fachen der x-Gleichung addieren: $+ \begin{cases} 2x = 2 - 4s - 2t \\ y = 1 - 5s + 2t \end{cases} \ \Rightarrow \ 2x + y = 3 -9s$. 
Nun haben wir zwei Gleichungen, die nur mehr von $s$ abhängig sind. Um diesen Parameter nun auch noch zu eliminieren, multiplizieren wir die erste Gleichung mit $(-9)$ und die zweite mit $4$ und addieren diese, um nochmals auf die allg. Ebenengleichung zu kommen.
$$+ \begin{cases} 8x + 4y = 12 - 36s \\ -9y - 9z = -18 + 36s \end{cases} \ \Rightarrow \ \epsilon: 8x - 5y -9z =-6$$
}}

===Lagebeziehungen===
====...zwischen zwei Ebenen====
Zwei Ebenen können im $\mathbb{R^3}$

* ident sein: die Ebenengleichungen (allg. Form) sind Vielfache voneinander;

z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : 2x + 2y + 2z = 6 \Rightarrow \epsilon _2 = 2 \cdot \epsilon _1$

* parallel sein: die Normalvektoren der Ebenen sind Vielfache voneinander;

z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : 2x + 2y + 2z = 5 \Rightarrow \vec{n_2} = 2 \cdot \vec{n_1}$

* einander schneiden (in einer Gerade): die Normalvektoren der Ebenen sind keine Vielfache voneinander;

z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : x - 3y + 2z = 1 \Rightarrow \nexists \lambda \in \mathbb{R} : \vec{n_1} = \lambda \cdot \vec{n_2}$

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:Ebenenident2.png|2 Ebenen sind ident
Datei:Ebenenparallel2.png|2 Ebenen sind parallel
Datei:Ebenenschnittgerade2.png|2 Ebenen schneiden einander in einer Geraden
</gallery>

 
'''Berechnen der Schnittgerade''' 
Erkennt man durch Betrachtung der Normalvektoren zweier Ebenen, dass diese einander schneiden müssen, so kann man diese Schnittgerade berechnen. Dazu erstellt man aus den beiden Ebenengleichungen ein lineares Gleichungssystem in 3 Unbekannten. 2 Gleichungen - 3 Unbekannte: wir werden hier nicht für alle Unbekannten einen Zahlenwert erhalten, können aber 2 Unbekannte in Abhängigkeit der dritten darstellen. Diese dritte Unbekannte wird uns als Parameter für die Darstellung der Geraden dienen. Zur Veranschaulichung ein Beispiel:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die beiden Ebenen $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : x - 3y + 2z = 1$. Wie wir weiter oben schon festgestellt haben, müssen diese Ebenen einander schneiden, da die beiden Noramlvektoren der Ebenen $\vec{n_1}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{n_2}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right)$ linear unabhängig voneinander sind, also $\nexists \lambda \in \mathbb{R} : \vec{n_1} = \lambda \cdot \vec{n_2}$. 
Wir wählen nun eine der Koordinaten als Parameter, z.B. $z=t$ und stellen das Gleichungssystem auf.

2=

$$\begin{align}I: \ &x&+&y&+&t&=&3 \\
II: \ &x&-&3y&+&2t&=&1
\end{align}$$

Wir subtrahieren $I-II$ und erhalten
$$4y - t = 2 \ \Rightarrow \ y = \frac{1}{2} + t \cdot \frac{1}{4}$$
Nun setzen wir unser erhaltenes $y$ in die erste Gleichung ein, um $x$ zu erhalten:

$$I: \ x + \frac{1}{2} + t \cdot \frac{1}{4} + t = 3 \ \Rightarrow \ x = \frac{5}{2} - t \cdot \frac{5}{4}$$
Somit haben wir alle Ausdrücke der Koordinaten gefunden ($z=t$ haben wir anfangs festgelegt) und können die Parameterdarstellung der Schnittgerade angeben:
$$g: X = \left( \begin{array}{c} \frac{5}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 0 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} - \frac{5}{4} \\ \frac{1}{4} \\ 1 \end{array} \right)$$
}}

====...zwischen 3 Ebenen====
Drei Ebenen können im $\mathbb{R^3}$

* alle ident sein
* 2 ident, 1 parallel sein
* alle parallel sein
* 3 Schnittgeraden haben
* 2 Schnittgeraden haben (2 Ebenen parallel)
* 1 Schnittgerade haben
* 1 Schnittpunkt haben

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:Ebenenident3.png|3 Ebenen sind ident
Datei:Ebenenidentparallel.png|2 Ebenen sind ident, 1 parallel
Datei:Ebenenparallel3.png|3 Ebenen sind parallel
Datei:Ebenenschnittgeraden33.png|3 Ebenen schneiden einander in 3 Geraden
Datei:Ebenenschnittgeraden32.png|3 Ebenen schneiden einander in 2 Geraden (2 Ebenen parallel)
Datei:Ebenenschnittgerade3.png|3 Ebenen schneiden einander in einer Gerade
Datei:Ebenenschnittgerade31.png|3 Ebenen schneiden einander in einer Gerade (2 Ebenen ident)
Datei:Ebenenschnittpunkt3.png|3 Ebenen schneiden einander in einem Punkt
</gallery>

====...zwischen Ebene und Gerade====
Eine Ebene und eine Gerade können im $\mathbb{R^3}$

* $g \subset \epsilon$, die Gerade liegt auf der Ebene

Hierbei haben die Gerade und die Ebene einen gemeinsamen Punkt und der Richtungsvektor der Gerade steht normal auf den Normalvektor der Ebene, daraus folgt, dass sie unendlich gemeinsame Punkte haben.

* parallel sein

Irgendein Punkt der Gerade liegt nicht auf der Ebene, der Richtungsvektor der Gerade steht normal auf den Normalvektor der Ebene, daraus folgt, dass sie keinen einzigen gemeinsamen Punkt haben.

* 1 Schnittpunkt haben

Der Richtungsvektor der Geraden steht nicht normal auf den Normalvektor der Ebene.

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:GeradeinEbene.png|Gerade liegt auf der Ebene
Datei:GeradepararallelEbene.png|Gerade und Ebene sind parallel zueinander
Datei:GeradeSchnittpunktEbene.png|Gerade und Ebene schneiden einander (Schnittpunkt)
</gallery>

Zur Überprüfung der Lagebeziehung gibt es allerdings noch eine andere (schnellere) Methode. Hier "schneiden" wir die Gerade und die Ebene mathematisch, d.h. wir setzen sie gleich (wenn beide in Parameterform gegeben sind) oder setzen die Gerade $g$ (Parameterform) in die Ebene $\epsilon$ (allg. Ebenengleichung) ein. 
Wir erhalten dadurch ein Gleichungssystem oder eine einzelne Gleichung.

Sei die Gerade gegeben als $g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \\ z = z_P + t \cdot z_a \end{cases}$ und die Ebene als $\epsilon : \begin{cases} x = x_Q + s \cdot x_b + u \cdot x_c \\ y = y_Q + s \cdot y_b + u \cdot y_c \\ z = z_Q + s \cdot z_b + u \cdot z_c \end{cases}$ (Parameterform) oder $\epsilon : ax + by + cz = d$ (allg. Ebenengleichung).

Wir erhalten als Gleichungssystem durch Gleichsetzen der Gleichungen der Parameterformen:
$$\begin{cases} x_P + t \cdot x_a = x_Q + s \cdot x_b + u \cdot x_c \\ y_P + t \cdot y_a = y_Q + s \cdot y_b + u \cdot y_c \\ z_P + t \cdot z_a = z_Q + s \cdot z_b + u \cdot z_c \end{cases}$$ 
Wir erhalten durch Einsetzen der Gerade in die Ebene (allg. Ebenengleichung):
$$a \cdot (x_P + t \cdot x_a) + b \cdot (y_P + t \cdot y_a) + c \cdot (z_P + t \cdot z_a) = d$$

Ergibt sich hier eine wahre Aussage (z.B. $1=1$), also unendlich viele Lösungen, so liegt die Gerade in der Ebene. 
Ergibt sich eine falsche Aussage (z.B. $1=2$), also keine Lösung, so schneiden die beiden Objekte einander nicht, also sie sind parallel. 
Gibt es genau eine Lösung (z.B. $t=2$), so existiert genau ein gemeinsamer Punkt = Schnittpunkt. Diesen erhält man, indem man den ermittelten Wert für den Parameter $t$ der Geraden in die Geradengleichung einsetzt (oder, wenn die Ebene in Parameterform gegeben war, die beiden Werte für die Parameter $s$ und $u$ der Ebene in die Ebenengleichung einsetzt). Dazu 2 Beispiele, wobei wir im ersten mit der Ebene in Parameterform rechnen werden:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right)$ und die Ebene $\epsilon : X = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -1 \\ -3 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) + u \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 0 \end{array} \right)$. Stellen wir nun also unser Gleichungssystem auf:

2=\begin{align}

I: \ & \ 1&-t&=&4& &+2u \\
II: \ &-3& &=&-1&+s&-u \\
III: \ & \ 2&+2t&=&-3&+s&
\end{align}

In der ersten Gleichung drücken wir $u$ in $t$ aus: $u = - \frac{3}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$ 
In der zweiten Gleichung drücken wir $s$ in $u$ aus: $s = -2 + u$ 
Das $u$ von oben setzen wir nun hier ein und erhalten $s$ in Abhängigkeit von $t$: $s = - \frac{7}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$.

Dieses $s$ setzen wir nun in die dritte Gleichung ein und wir erhalten: $2 + 2t = -3 - \frac{7}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$ und in weiterer Folge $t = - \frac{17}{5}$. 
Es ergibt sich also genau eine Lösung für das Gleichungssystem, was bedeutet, dass die Gerade und die Ebene einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen. Diesen erhalten wir, indem wir den errechneten Wert für $t$ in die Geradengleichung einsetzen (Man könnte natürlich auch noch die Werte für $s$ und $u$ berechnen, und diese in die Ebenengleichung einsetzen; zur Übung kannst du das gerne tun):
$$g: S = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) - \frac{17}{5} \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \frac{23}{5} \\ -3 \\ - \frac{24}{5} \end{array} \right)$$
}}

Betrachten wir nun dasselbe Beispiel, mit dem Unterschied, dass die Ebene in Normalform gegeben ist und wir auch gleich mit dieser Form rechnen:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right)$ und die Ebene $\epsilon : x + 2y - 2z = 8$. Wir setzen die Koordinatengleichungen der Gerade in die Normalform der Ebene:

2= $g$ in $\epsilon$: $$1 - t - 6 - 4 -4t =8$$

Wenn wir diese Gleichung lösen, erhalten wir, wie im ersten Bespiel, $t = - \frac{17}{5}$. Dies noch in die Geradengleichung einsetzen, und wir erhalten den Schnittpunkt.}}

Da man bei der zweiten Methode meistens weniger Rechenaufwand hat, zahlt es sich oft aus die Parameterdarstellung der Ebene in die Normalform (= allg. Ebenengleichung) umzurechnen.

==Pyramidenbeispiel==
[[Datei:Pyramidebsp.png|thumb|right|350px|Pyramide]]Gegeben seien 3 Eckpunkte $A(-2/-2/1), B(2/-2/1), C(2/2/1)$ der quadratischen Grundfläche und der Spitzpunkt $S(0/0/6)$ einer geraden (gerade bedeutet, dass die Spitze in einem rechten Winkel über dem Mittelpunkt der Grundfläche der Pyramide liegt) Pyramide.
Gesucht sind:

# der vierte Eckpunkt $D$ der Grundfläche
# die Parameterdarstellung der Trägergeraden $h$ der Höhe
# die Fläche der Grundfläche
# die Geradengleichung der Geraden $g_{AS}$ auf der $A$ und $S$ liegen in a)Parameterform und b)parameterfreier Form
# Der Winkel $\alpha$ zwischen den Vektoren $\vec{AS}$ und $\vec{AC}$
# Zeige, dass der Schnittpunkt der Geraden $g_{AS}$ und $h$ gleich die Spitze $S$ ist
# Gib die Ebenengleichung $\epsilon$ der Grundfläche in a)Parameterform, b)Normalform und c)allgemeiner Ebenengleichung an
# Berechne den Fußpunkt $M$ der Höhe, indem du $h$ und $\epsilon$ schneidest

1. $D = A + \vec{BC} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -2 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right)$ 
2. $h: X = S + t \cdot \vec{h}$
$$\vec{AB} \times \vec{BC} = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 16 \end{array} \right) \ \parallel \ \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) = \vec{h}$$
$$h: X = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$$ 
3. $G = \parallel \vec{AB} \times \vec{BC} \parallel = \parallel \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 16 \end{array} \right) \parallel = 16FE$ 
4. a) $g_{AS}: X = A + u \cdot \vec{AS}$
$$\vec{AS} = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g_{AS}: X = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + u \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right)$$ oder $$g_{AS}:\begin{cases} x = -2 + 2u \\ y = -2 + 2u \\ z = 1 + 5u \end{cases}$$
b) Parameter elimieren:
$$x - y: x-y = 0$$
$$5x - 2z: 5x - 2z = -12$$
$$\Rightarrow g_{AS}:\begin{cases} x - y = 0 \\ 5x - 2z = -12 \end{cases}$$ 
5. $\measuredangle \vec{AS},\vec{AC} = \alpha = arccos{\frac{\vec{AS} \cdot \vec{AC}}{\parallel \vec{AS} \parallel \cdot \parallel \vec{AC} \parallel}} = arccos{\frac{\left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right)}{\parallel \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) \parallel \cdot \parallel \left( \begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) \parallel}} = arccos{\frac{16}{\sqrt{33 \cdot 32}}} = 60,5°$ 
6. $g_{AS}$ und $h$ gleichsetzen:
$$\begin{align}
I: \ &-2&+&2u&=&0&& \\
II: \ &-2&+&2u&=&0&& \\
III: \ & \ \ 1&+&5u&=&6&+&t
\end{align}
\ \ \ \rightarrow u=1$$
$$g_{AS}: S = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + 1 \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array} \right)$$ 
7. a) $\epsilon: X = A + v \cdot \vec{AB} + w \cdot \vec{BC} \ \rightarrow \ \epsilon: X = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + v \cdot \left( \begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) + w \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right)$ 
b) $\epsilon: \vec{n} \cdot \vec{X} = \vec{n} \cdot \vec{A} \ \rightarrow \ \epsilon: \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right)$ 
c) $\epsilon: z = 1$ 
8. $h:\begin{cases} x=0 \\ y=0 \\ z=6+t \end{cases} \ \ \epsilon: z=1 \ \ \rightarrow \ 1 = 6 + t \ \Rightarrow \ t=-5$ 
$h: M = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array} \right) -5 \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$

=Beispiele=
Hier findest du Beispiele zu den behandelten Themen:

===Grundlagen der Vektorrechnung===
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/9/99/VektorrechnungGLBspAngabe.pdf VektorrechnungGLBspAngabe.pdf] 
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/0/00/VektorrechnungGLBspL%C3%B6sung.pdf VektorrechnungGLBspLösung.pdf]

===Vektorrechnung im $\mathbb{R^2}$===
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/7/7f/VektorrechnungR2BspAngabe.pdf VektorrechnungR2BspAngabe.pdf] 
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/f/ff/VektorrechnungR2BspL%C3%B6sung.pdf VektorrechnungR2BspLösung.pdf]

Vektorrechnung

2016-06-11T09:01:45Z

Lajtos: /* Ortsvektoren */

=Grundlagen=
==Koordinatensystem==
[[Datei:Quadranten.png|thumb|Coordinate System|thumb|right|350px|Koordinatengitter im $\mathbb{R^2}$ mit den 4 Quadranten]]

Für die Vektorrechnung sind Koordinatensysteme essentiell.
Im zweidimensionalen Raum besitzt ein Koordinatensystem 2 Achsen:

* die x-Achse (waagrecht) und
* die y-Achse (senkrecht)

 
Diese sind unendlich lang und Spannen die vier sogenannten Quadranten auf, die meist mit den römischen Ziffern I-IV beschriftet werden (gesprochen: Erster Quadrant, Zweiter Quadrant etc.). Die rechte Graphik zeigt die die Position der Quadranten. Dort, wo die 2 Achsen einander treffen, liegt der sog. Ursprung (kurz: $\vec{0}$); seine Koordinaten sind (0/0).

Was es außerdem noch zu beachten gibt, hast du vielleicht bereits selbst erkannt:
An den gegenüberliegenden Seiten der x- und y-Achsen werden unterschiedliche Vorzeichen verwendet. So spricht man "links" des Ursprungs von der negativen, bzw. "rechts" des Ursprungs von der positiven x-Achse. Analog spricht man "oben" und "unten" von der positiven und negativen y-Achse.

Im dreidimensionalen Raum kommt eine dritte Achse - die z-Achse - dazu. Punkte und Vektoren besitzen dementsprechend dann auch 3 Koordinaten. Dies kann man bis ins n-dimensionale weiterführen.

==Punkte==
In ein Koordinatensystem lassen sich Punkte eintragen. Diese besitzen, entsprechend ihrer Lage, Koordinaten. Im obigen Bild z.B. haben wir die Punkte A und B, wobei sich A im ersten Quadranten befindet und B im vierten Quadranten. Man schreibt: A(2/3,5) B(1/-2).

[[Datei:Punkte Abstand.png|thumb|right|350px|Punkte im $\mathbb{R^2}$]]

{{Vorlage:Merke |''Einen'' '''allgemeinen Punkt''' ''schreibt man an als'' $P(x_1/x_2/.../x_n)$ (im n-dimensionalen Raum $\mathbb{R^n}$) ''bzw.'' $P(x/y)$ (im 2-dimensionalen Raum $ \mathbb{R^2}$) ''oder'' $P(x/y/z)$ (im 3-dimensionalen Raum $\mathbb{R^3}$).
 
Die erste Koordinate entspricht der x-Koordinate, die zweite der y-Koordinate, die eventuelle dritte der z-Koordinate.

Punkte werden in der Regel mit Großbuchstaben bezeichnet.}}

Koordinaten von Punkten lassen sich also ganz einfach ablesen. Die x/y-Koordinate entspricht dabei dem Abstand vom Ursprung zum Punkt in Richtung der jeweiligen Koordinatenachse. So erkennen wir im Bild rechts die folgenden Punkte:

* A(2/0)
* B(0/-2)
* C(-1/2)

=Vektoren=

==Definition & Darstellung von Vektoren==
{{Vorlage:Definition |1= Ein Zahlenpaar $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \in \mathbb{R^2}$ wird als '''Vektor aus $\mathbb{R^2}$ ''' bezeichnet.
Analog bezeichnet man ein Zahlentripel $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) \in \mathbb{R^3}$ als '''Vektor aus $\mathbb{R^3}$ '''. 
Ein '''allgemeiner Vektor''' wird $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) \ \in \mathbb{R^n}$ geschrieben.

}}

Da sowohl die Rechenoperationen als auch die geometrischen Darstellungen leicht vom $\mathbb{R^2}$ in den $\mathbb{R^3}$ übertragen werden können, werden wir meistens nur die Vorgangsweise für Zahlenpaare aus dem $\mathbb{R^2}$ beschreiben.

===Geometrische Darstellung von Vektoren===

Es gibt zwei Möglichkeiten, wie wir einen Vektor $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right) \ \in \mathbb{R^2}$ geometrisch darstellen können:
* '''Darstellung als Punkt''': Dabei gibt $a$ die x-Koordinate und $b$ die y-Koordinate des Punktes an. Die Beschriftung erfolgt mit Großbuchstaben.
* '''Darstellung als Pfeil''': Dabei gibt $a$ die x-Richtung des Pfeils (wie weit zeigt der Pfeil nach links bzw. rechts) und $b$ die y-Richtung des Pfeils (wie weit zeigt der Pfeil nach oben bzw. nach unten) an. Pfeile werden mit Kleinbuchstaben (oft mit Pfeil $\vec{v}$) beschriftet.

Die Darstellung als Punkt ist eindeutig! Einem Zahlenpaar (=Vektor) entspricht genau ein Punkt!
Die Darstellung als Pfeil ist nicht eindeutig! Es gibt unendlich viele Pfeile, die denselben Vektor darstellen. Diese Pfeile sind aber alle parallel, gleich lang und gleich gerichtet.

'''Beispiel:''' Darstellung des Vektors $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$
{| class="wikitable"
|-
| '''Punktdarstellung des Vektors'''|| '''Mögliche Pfeildarstellungen des Vektors'''
|-
| [[Datei:Punkt.png|thumb|300px]]|| [[Datei:Pfeile.png|thumb|300px]]
|}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 3 \\ -4 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 5 \end{array} \right)$. Stelle $\vec{a}$ und $\vec{b}$ als Punkte und als Pfeile dar.
|2=[[Datei:Punkt Pfeil Bsp.png|300px]] 
'''Anmerkungen:'''
* Für die Pfeildarstellungen gibt es mehrere (unendlich viele) Möglichkeiten. Der von dir gezeichnete Pfeil muss jedenfalls parallel, gleich gerichtet und gleich lang wie der abgebildete Pfeil sein!
* Aus "Bequemlichkeitsgründen" zeichnet man die Pfeile oft beginnend beim Ursprung ein:
[[Datei:Punkt Pfeil Bsp2.png|300px]]
 
}}

Vektoren des $\mathbb{R^3}$ können auch auf diese zwei Arten dargestellt werden. Der einzige Unterschied dabei ist, dass die Punkte bzw. Pfeile im dreidimensionalen Raum liegen. Es gibt also noch eine dritte Richtung, die durch die z-Koordinate des Vektors angegeben wird.

===Ortsvektoren===
[[Datei:Ortsvektor.png|thumb|right|250px|Punkt und zugehöriger Ortsvektor]]Der Ortsvektor von einem Punkt ist der Vektor, der vom Ursprung aus auf den Punkt zeigt. Die Koordinaten bleiben deshalb gleich, es ändert sich quasi nur die Schreibweise:

Sei $A(x_1/x_2/.../x_n)$ ein Punkt in der Dimension $n$, dann ist $\vec{0A} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ dessen Ortsvektor.
 
 
 
 
 

==Rechnen mit Vektoren==

===Addition und Subtraktion von Vektoren===
{{Vorlage:Merke|1=Wenn du Vektoren addieren oder subtrahieren möchtest, musst du dazu die entsprechenden Koordinaten addieren: 
$\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) \pm \left( \begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ ... \\ y_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x_1 \pm y_1 \\ x_2 \pm y_2 \\ ... \\ x_n \pm y_n \end{array} \right)$ 
Wichtig ist dabei, dass die Vektoren, die du addieren oder subtrahieren möchtest, derselben Dimension $n$ angehören! D.h. sie haben gleich viele Koordinaten.}}
{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben seien die beiden Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right)$. Berechne erst $\vec{a} + \vec{b}$, dann $\vec{a} - \vec{b}$ und zuletzt $\vec{b} - \vec{a}$!
|2= $\vec{a} + \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 5+1 \\ 2+(-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 6 \\ -1 \end{array} \right)$
$\vec{a} - \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 5-1 \\ 2-(-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 5 \end{array} \right)$
$\vec{b} - \vec{a} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 1-5 \\ -3-2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -4 \\ -5 \end{array} \right)$}}

===Vektoren bestimmen: "Spitze minus Schaft" ("Ziel minus Start")===
[[Datei:Spitzeschaft.png|thumb|right|300px|"Spitze minus Schaft"]]Zwischen 2 Punkten kann man nun einen Vektor definieren. Dabei gilt: Die '''"Spitze minus Schaft"'''-Regel Im Bild rechts wollen wir den Vektor berechnen, der von A nach B geht, also den Vektor $\vec{AB}$. Der Punkt B(3/3,5) entspricht hierbei der Spitze, und der Punkt A(1/0,5) dem Schaft. Da das Rechnen mit Punkten allerdings keinen Sinn ergibt, rechnet man stattdessen mit deren Ortsvektoren (siehe oben).

Für unser Beispiel bedeutet das: $\vec{0B} - \vec{0A} = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 3,5 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0,5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 3-1 \\ 3,5-0,5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right) = \vec{AB}$

'''Beachte außerdem:'''

* Man schreibt der Einfachheit halber oft nur $B-A$, obwohl eigentlich $\vec{0B} - \vec{0A}$ gemeint ist.
* Der Vektor $\vec{AB}$ zeigt in die entgegengesetzte Richtung von $\vec{BA}$. Das bedeutet, dass diese beiden Vektoren entgegengesetzte Vorzeichen haben: $\vec{AB} = - \vec{BA}$

 

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die Punkte A=(1/2); B=(-3/1); C=(-4,-1). Bilde die folgenden Verbindungsvektoren: 
 
# $\vec{AB}$
# $\vec{BA}$
# $\vec{AC}$
# $\vec{BC}$

|2=
$\ $
# $\vec{AB}=B-A=\left( \begin{array}{c} -3 \\ 1\end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} -4 \\ -1\end{array} \right)$
# $\vec{BA}=-\vec{AB}=\left( \begin{array}{c} 4 \\ 1 \end{array} \right)$
# $\vec{AC}=\left( \begin{array}{c} -4 \\ -1\end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} -5 \\ -3\end{array} \right)$
# $\vec{BC}=\left( \begin{array}{c} -4 \\ -1\end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} -3 \\ 1 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} -1 \\ -2\end{array} \right)$
 
'''Tipps:'''
* Pass gut auf die Vorzeichen auf! Beim Subtrahieren von Vektoren passieren leider häufig Vorzeichenfehler! Sei deshalb besonders achtsam!
* Zeichne die Punkte in ein Koordinatensystem und zeichne die Verbindungsvektoren ein. Bei einfachen Koordinaten kannst du den Verbindungsvektor ohne Rechnung ablesen (Probiere es aus!).

 
}}

===Produkt eines Vektors mit einem Skalar===
Wenn man einen Vektor $\vec{v}$ mit einer [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)|reellen Zahl]] $k$ , einem sogenannten "Skalar", multipliziert, werden dabei die einzelnen Koordinaten mit dem Skalar multipliziert:

$k \cdot \vec{v} = k \cdot \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} k \cdot x_1 \\ k \cdot x_2 \\ ... \\ k \cdot x_n \end{array} \right)$

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sei der Vektor $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right)$. Multipliziere diesen einmal mit $2$ und einmal mit $-5$!
|2= $2 \cdot \vec{a} = 2 \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \cdot 2 \\ 2 \cdot (-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -6 \end{array} \right)$
$(-5) \cdot \vec{a} = (-5) \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-5) \cdot 2 \\ (-5) \cdot (-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -10 \\ 15 \end{array} \right)$}}

==Geometrische Darstellung der Rechenoperationen==
===Geometrische Darstellung der Vektoraddition===
Die Addition zweier Vektoren kann auf zwei verschiedene Arten geometrisch gedeutet werden. Wir illustrieren die beiden Möglichkeiten anhand des Beispiels $\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2\end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$

{| class="wikitable"
|-
| '''Punkt + Pfeil - Darstellung:'''|| '''Pfeil + Pfeil - Darstellung'''
|-
| ''An einen Punkt wird ein Pfeil angehängt.'' In unserem Beispiel wird an den Punkt (1/2) ein Pfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$ angehängt. Das Ergebnis der Addition ist der Punkt am Ende des Pfeils (5/5). || ''Zwei Pfeile werden aneinandergehängt. In unserem Beispiel wird also ein Pfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$ und ein Pfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)$ aneinandergehängt. Das Ergebnis der Addition ist der entstehende Verbindungspfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 5 \\ 5 \end{array} \right)$
|-
| [[Datei:Vektoraddition1.png|left|400px]]|| [[Datei:Vektoraddition2.png|left|500px]]
|-
| '''Anmerkung:''' Diese Darstellung ist hilfreich, wenn wir von einem Punkt ausgehen und zu einem neuen Punkt gelangen wollen.|| Es spielt keine Rolle, in welcher Reihenfolge die Vektoren angehängt werden. Die Addition ist kommutativ!
|}

===Geometrische Darstellung der Multiplikation mit einem Skalar===

Eine Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl a (Skalar) entspricht einer Streckung (für |a|>1) bzw. einer Stauchung (für |a|<1) des zugehörigen Pfeiles.
Ist das Vorzeichen des Skalars negativ, so dreht sich die Richtung des Pfeils in die entgegengesetzte Richtung.

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sei wiederum der Vektor $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right)$. Stelle die Multiplikation mit $2$, mit $-5$ und mit $0.5$ graphisch dar!
|2= Rechnerische Lösung und graphische Interpretation:
* $2 \cdot \vec{a} = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -6 \end{array} \right)$. Der Vektor $2\cdot \vec{a}$ hat die doppelte Länge und dieselbe Richtung wie $\vec{a}$
* $(-5) \cdot \vec{a} = \left( \begin{array}{c} -10 \\ 15 \end{array} \right)$. Der Vektor $(-5)\cdot \vec{a}$ ist fünfmal so lang wie $\vec{a}$ und zeigt in die entgegengesetzte Richtung wie $\vec{a}$
* $(0.5) \cdot \vec{a} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1.5 \end{array} \right)$ Der Vektor $0.5\cdot \vec{a}$ ist halb so lang wie $\vec{a}$ und zeigt in dieselbe Richtung wie $\vec{a}$
}}

{{#widget:Iframe
|url= http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_vektorrechnung/MV_Vektor1/MV_Vektor1/sites/Vektortest.html
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}}
[http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_vektorrechnung/MV_Vektor1/MV_Vektor1/ (Quelle dieses Applets)]

Hilfe zum Applet: Gib in die Eingabezeile den Buchstaben des Vektors bzw. die entsprechende Summe / Differenz an. (z.B. $u=a$)

===Wie Vektoren zueinander stehen===
Vektoren können unterschiedliche Richtungen haben, aber auch parallel zueinander oder gar identisch sein. Optisch lässt sich das oft sehr leicht erkennen. Die Lage von Vektoren zueinander kann auch rechnerisch überprüft werden.

{{Vorlage:Definition |Unter einem Vektor versteht man die Menge aller gleichlangen, gleichgerichteten und gleichorientierten Pfeile.

Der Start/Endpunkt spielen dabei keine Rolle!}}

{{Vorlage:Merke|2 Vektoren stehen parallel zueinander, wenn ein Vektor als Vielfaches des anderen Vektors angeschrieben werden kann. 
Man sagt auch: Die Vektoren sind [[linear abhängig]] (linear abhängig zu sein bedeutet, dass ein Vektor als Vielfaches eines anderen Vektors dargestellt werden kann).}}

Sehen wir uns die verschiedenen Fälle an:

{| class="wikitable"
|-
|ident: gleiche Richtung, gleiche Orientierung, gleiche Länge
||[[Datei:Vektorv1.png|none|250px]]
||$\vec{v} = \vec{u} \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$
||z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$
|-
||parallel (gleiche Orientierung): gleiche Richtung, gleiche Orientierung, unterschiedliche Länge
| [[Datei:Vektorenlänge.png|none|250px]]
||$\exists k>0 : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$
||z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} \frac{4}{3} \\ 2 \end{array} \right)$, $\frac{2}{3} $
|-
||parallel (unterschiedliche Orientierung): 
| [[Datei:Vektororientierung1.png|none|250px]]
||$\exists k<0 : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$
||z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} -2 \\ -3 \end{array} \right)$, $k=-1$

|-
||linear unabhängig
| [[Datei:Vektorrichtung1.png|none|250px]]
||$\nexists k : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \nparallel \vec{u}$
||z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 3 \end{array} \right)$
|}

{{Vorlage:Beispiel|1=Überprüfe ob die Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 5 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$ linear unabhängig voneinander sind.

|2=Wenn es ein k gibt, sodass $k \cdot \vec{a} = \vec{b}$, dann sind die beiden Vektoren voneinander linear abhängig, und somit auch parallel zueinander.

Es gibt mehrere Lösungsmöglichkeiten:
*Möglichkeit 1: Lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen
$I: 2k = 4 \ \ \rightarrow k=2$
$II: 5k = 3 \ \ \rightarrow k=\frac{3}{5}$

Aus der ersten Gleichung ergibt sich k=2, in der zweiten aber $k=\frac{3}{5}$. $k$ kann aber nicht beides sein, somit haben wir eine falsche Aussage erhalten. Daraus folgt, dass die beiden Vektoren '''linear unabhängig''' und somit nicht parallel zueinander sind.

* Möglichkeit 2: "Vergleichen und Probieren"
Vergleicht man die x-Koordinaten der beiden Vektoren, so sieht man, dass 4 doppelt so groß wie 2 ist. Daraus ergibt sich, dass ein etwaiges k=2 sein müsste.
Probiert man auch die zweite Zeile mit 2 zu multiplizieren, so erhält man 10. Die y-Koordinate von b müsste also 10 sein, damit die beiden Vektoren parallel zueinander sind.
}}

 

===Betrag und Einheitsvektor===
[[Datei:PythagorasVektor.png|thumb|right|350px|Betrag eines Vektors; Einheitsvektor]]Wie anfangs bereits erwähnt, besitzen Vektoren eine Länge, auch '''Betrag''' eines Vektors genannt. Dieser wird mit Hilfe des pythagoräischen Lehrsatzes wie folgt berechnet:

<div align="center">$\parallel \vec{v} \parallel = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2} \ $ wenn $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ ein Vektor der Dimension $n$ ist.</div>
Sehen wir uns die Grafik rechts an, können wir mit dieser Formel die Länge des zweidimensionalen Vektors $\parallel \vec{v} \parallel$ berechnen:

<div align="center">$\parallel \vec{v} \parallel = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$</div>
 Der '''Einheitsvektor''' $\vec{a_0}$ eines Vektors $\vec{a}$ ist ein zu $\vec{a}$ paralleler Vektor mit Länge 1. Rechnerisch erhält man $\vec{a_0}$, indem man $\vec{a}$ durch seine Länge dividiert. $ \vec{a_0}

=\frac{\vec{a}}{\parallel \vec{a}\parallel}$
bzw.
$ \vec{a_0}=\frac{1}{\parallel\vec{a}\parallel}\cdot \vec{a}$

Daraus ergibt sich ein Vektor, der dieselbe Richtung des ursprünglichen Vektors hat, allerdings die Länge 1 besitzt.

{{Vorlage:Merke|1=
Sei $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ ein Vektor der Dimension $n$ und $\parallel \vec{v} \parallel$ sein Betrag, dann ist $\vec{v_0} = \frac{1}{\parallel \vec{v} \parallel} \cdot \vec{v} \ $ der Einheitsvektor zu $\vec{v}$.}}

In unserem Beispiel würde das folgendes bedeuten:

{{Vorlage:Beispiel|1= Bestimme den Einheitsvektor von $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$

|2=<div align="center">$\vec{v_0} = \frac{1}{\sqrt{13} } \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \frac{2}{\sqrt{13} } \\ \frac{3}{\sqrt{13} } \end{array} \right)$</div>
}}

===Vektoren bestimmter Länge===
Da wir nun gelernt haben, Einheitsvektoren zu bilden und Vektoren mit Zahlen zu multiplizieren (und ich das hier so schön betone), könnt ihr euch vielleicht schon vorstellen, wie man aus einem beliebigen Vektor einen Vektor derselben Richtung, allerdings unterschiedlicher Länge bekommt. Wir haben also einen Vektor $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ mit der Länge $\parallel \vec{v} \parallel = k$ gegeben, und hätten gerne den Vektor $\vec{w} \ \parallel \ \vec{v}$ mit der Länge $l$. Dazu berechnen wir zuerst den Einheitsvektor $\vec{v_0}$ von $\vec{v}$ und multiplizieren diesen dann mit $l$. So erhalten wir schließlich $\vec{w} = l \cdot \vec{v_0}$.

==Mittelpunkt einer Strecke==
[[Datei:Mittelpunkt.png|thumb|right|300px|Mittelpunkt M der Strecke AB]]Willst du den Mittelpunkt zwischen 2 Punkten $A$ und $B$ berechnen, musst du wie folgt vorgehen:
Zuerst berechnest du einen Vektor zwischen den Punkten ($\vec{AB}$ oder $\vec{BA}$). Dann halbierst du diesen Vektor, und erhältst $\vec{AM}$ bzw. $\vec{BM}$. Addierst du dann diesen Vektor zum entsprechenden Punkt ($A$ bzw. $B$), erhältst so den Mittelpunkt. Also:

<div align="center">$\vec{0M} = \vec{0A} + \frac{\vec{AB}}{2} = \vec{0B} + \frac{\vec{BA}}{2}$</div>

Kurzschreibweise:
<div align="center">$M = \vec{A} + \frac{\vec{AB}}{2}$ </div>

=Im $\mathbb{R^2}$=
Dieser Artikel befasst sich mit der Vektorrechnung im zweidimensionalen Raum. Grundlegende Informationen zur Vektorrechnung, so wie Punkte und Vektoren, findest du unter dem Tab ''Grundlagen der Vektorrechnung''.

==Vektoren==
===Normalvektoren===
[[Datei:Normalvektoren.png|thumb|right|350px|Normalvektoren]]Normalvektoren zu einem Vektor sind alle Vektoren, die normal (im rechten Winkel) auf den Vektor stehen. Im $\mathbb{R^2}$ gibt es zu jedem Vektor genau 2 Normalvektoren, die dieselbe Länge wie der ursprüngliche Vektor haben. Alle anderen Normalvektoren sind Vielfache eines dieser 2 Normalvektoren.

{{Vorlage:Merke | 1=Sei $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ ein Vektor, dann ist $\vec{n_1}=\left( \begin{array}{c} -y \\ x \end{array} \right)$ sein nach links gekippter, und $\vec{n_2}=\left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right)$ sein nach rechts gekippter Normalvektor.
''Vertausche die Koordinaten und ändere '''ein''' Vorzeichen''
}}

===Skalarprodukt===
Unter dem Skalarprodukt versteht man die Multiplikation zweier Vektoren, bei der als Ergebnis ein Skalar (eine Zahl) entsteht.

{{Vorlage:Merke|1=Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren, dann ist $\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \end{array} \right) = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b$ gleich ihr Skalarprodukt.
}}

Das Skalarprodukt wirkt auf den ersten Blick etwas "eigenartig". Man kann sich die Bedeutung des Skalarproduktes besonders gut an einem Anwendungsbeispiel erklären:
Angenommen in einer Preisliste stehen 10 Kugelschreiber, die jeweils 2€ kosten und 20 Bleistifte, die jeweils 0,50€ kosten.
In Tabellenform sieht das folgendermaßen aus:

{| class="wikitable"
|-
! Produkt !! Stückzahl !! Preis pro Stück (in €)
|-
| Kugelschreiber || 10 || 2
|-
| Bleistift || 20 || 0,50
|}

Aus dieser Tabelle kann ein Stückzahlvektor $\left( \begin{array}{c} 10 \\ 20 \end{array} \right)$ und ein Preisvektor $\left( \begin{array}{c} 2 \\ 0,50 \end{array} \right)$ abgelesen werden.

Möchte man den Gesamtwert der Produkte berechnen, so müssen jeweils die Einzelpreise mit der Stückzahl multipliziert werden und anschließend die Summe gebildet werden.
Genau das macht das Skalarprodukt!
$\left( \begin{array}{c} 10 \\ 20\end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0.50 \end{array} \right) = 10 \cdot 2 + 20 \cdot 0.50 = 20 + 10 = 30€ $

===Winkel zwischen zwei Vektoren===
[[Datei:Winkel.png|thumb|right|350px|Winkel zwischen 2 Vektoren]]<big>$$cos{\varphi} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel} = \vec{a_0} \cdot \vec{b_0}$$
bzw.
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = \parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel \cdot cos{\varphi}$$</big>

Heißt es, den Winkel zwischen 2 Vektoren/Geraden zu bestimmen, ist damit immer der kleinere Winkel gemeint. Solltest du einmal ein Ergebnis erhalten, das größer als 180° ist (nennen wir dieses Ergebnis $\varphi'$), dann ziehe dieses Ergebnis von 360° ab und du erhältst den kleineren Winkel ($\varphi = 360° - \varphi'$). 
Bei einem Winkel von $\varphi = 90°$ erhalten wir $cos{\varphi} = 0$, was bedeutet, dass auch $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$. Daraus ergibt sich das Orthogonalitätskriterium.

====Orthogonalitätskriterium====
{{Vorlage:Merke|1=Ergibt das Skalarprodukt zweier Vektoren $0$, so stehen diese zwei Vektoren normal zueinander (und umgekehrt!)$$\vec{a} \cdot \vec{b} \ = \ 0 \ \Leftrightarrow \ \vec{a} \bot \vec{b}$$}}

Mithilfe des Orthogonalitätskriteriums kann man auch zeigen, dass $\vec{n}=\left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right)$ stets ein Normalvektor von $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ ist.
$$\vec{v} \cdot \vec{n} = \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right) = xy - yx = 0$$

==Geraden==
===Darstellungsformen===
Geraden lassen sich in unterschiedlichen Formen darstellen. In der Vektorrechnung ist die Parameterdarstellung populär, da man dazu nur einen Punkt und Vektor kennen muss. Die Normalform allerdings hat den Vorteil, dass man den Normalvektor zur Geraden auf einen Blick ablesen kann. Je nachdem, was man mit der Gerade vorhat, können die verschiedenen Formen ineinander umgewandelt werden.

====Parameterdarstellung====
[[Datei:Parameterdarstellung.png|thumb|right|350px|Parameterdarstellung einer Geraden]]$$g: \vec{0X} = \vec{0P} + t \cdot \vec{a}$$ 
wobei

* $X \in g$ ist ein '''beliebiger''' Punkt auf der unendlichen Geraden (steht für alle Punkte auf der Geraden)
* $P \in g$ ist ein '''bekannter''' Punkt auf der Geraden
* $t \in \mathbb{R}$ ist ein freier Parameter (in der Graphik rechts $\lambda$)
* $\vec{a} \in \mathbb{R^2}$ ist ein Vektor parallel zur Geraden, der die Richtung dieser angibt ("Richtungsvektor")

 
Beachte, dass in der Parameterdarstellung keine Punkte, sondern Ortsvektoren verwendet werden! (Info zu Ortsvektoren findest du unter ''Grundlagen der Vektorrechnung''.) Wenn man das weiß, kann man der Einfachheit halber die Gerade auch folgendermaßen beschreiben: $g: X = P + t \cdot \vec{a}$

 
Eine andere Schreibweise ist, die Koordinaten einzeln zu betrachten und 2 Gleichungen aufzustellen:
$$g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \end{cases}$$

====Normalvektorform====
Hierzu benötigt man einen Normalvektor des Richtungsvektors und multipliziert dann die Geradengleichung mit diesem Normalvektor. Da $\vec{a} \cdot \vec{n} = 0$, bleibt über:

Sei $g: \vec{0X} = \vec{0P} + t \cdot \vec{a}$ eine Gerade in Parameterform, so ist

<div align="center">$g: \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x_P \\ y_P \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right)$</div>

dieselbe Gerade in Normalform, wobei $\vec{0X}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right), \ \vec{0P}=\left( \begin{array}{c} x_P \\ y_P \end{array} \right), \ \vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right)$ und $\vec{n}=\left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right)$ ein Normalvektor von $\vec{a}$ (hier kann man natürlich auch den anderen Normalvektor verwenden).

====Allgemeine Geradengleichung====
Diese Form der Darstellung heißt auch Normalform, da man den Normalvektor der Gerade direkt ablesen kann.Um von der Parameterdarstellung auf diese Form zu kommen, gibt es 2 Möglichkeiten:

'''1. Multiplikation mit Normalvektor:'''
Hierzu muss man einfach die Normalform ausmultiplizieren und es ergibt sich:

$$g: y_a \cdot x + -x_a \cdot y = y_a \cdot x_P + -x_a \cdot y_P$$

'''2. Elimination des Parameters:'''
Hierbei gehen wir von der Geradenform $g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \end{cases}$ aus, eliminieren $t$, und kommen ebenfalls auf die obige allgemeine Geradengleichung.
Auf der rechten Seite der Gleichung stehen nur bekannte Größen, auf der linken Seiten stehen Vielfache von x und y. Diese Gleichung kann man weiter auch auf die Form y=kx+d umformen.

===Lagebeziehungen zwischen Geraden===
Mehrere Geraden können im $\mathbb{R^2}$

* ident sein, d.h. sie haben unendlich viele gemeinsame Punkte
* parallel sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt
* einander schneiden, d.h. sie haben genau ein gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt)

 Sind uns 2 Geraden in '''Parameterdarstellung''' gegeben, betrachten wir zuerst ihre Richtungsvektoren. 
Sind diese parallel zueinander, so sind auch die Geraden parallel zueinander. Nun bleibt noch die Frage offen, ob die Geraden ident sind. Dazu überprüfen wir einfach, ob der gegebene Punkt der einen Geraden auch auf der anderen Geraden liegt. Dazu Setzen wir den bekannten Punkt der einen Geraden für den unbekannten Punkt der anderen Geraden ein und erhalten 2 Gleichungen in einer Unbekannten (Parameter der zweiten Gerade). Erhalten wir nun für den Parameter zweimal dasselbe Ergebnis, so sind die 2 Geraden ident, erhalten wir unterschiedliche Ergebnisse, so sind sie nur parallel. 
Sind die Richtungsvektoren nicht parallel zueinander, so sind es auch die 2 Geraden nicht, und wir können uns sicher sein, dass diese einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen.
Doch wie erhalten wir den Schnittpunkt? Ganz einfach, indem wir die 2 Geraden schneiden. Dazu müssen wir sie gleichsetzen, und dann das dadurch erhaltene Gleichungssystem in 2 Unbekannten (die 2 Parameter) lösen. Wenn wir den Wert eines Parameters ausgerechnet haben, setzen wir ihn einfach in die entsprechende Geradengleichung ein und erhalten so den Schnittpunkt!

Sind die 2 Geraden in der '''allgemeinen Geradenform''' gegeben, so haben wir bereits 2 Gleichungen gegeben, die wir nach x und y auflösen. Dieses x und y sind die Koordinaten des Schnittpunktes.

Um das Schneiden von Geraden besser zu verstehen, schau dir das Lösen von [[ Gleichungssysteme (2.7.) |Gleichungssystemen]] genauer an, wirf einen Blick auf die Beispiele zum $\mathbb{R^2}$ unter dem Tab 'Beispiele', oder sieh dir dieses Video an:

<div align="center">{{#ev:youtube|ZrFE3LRisn0}}</div>

===Normalabstand Punkt - Gerade===
[[Datei:Normalabstand.gif|right]]Gegeben sei ein Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und eine Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$. Um den Normalabstand $d(Q,g)$ zwischen Q und g zu berechnen, gehe wie folgt vor:
{{Vorlage:Merke|1=1. Bestimme die Gerade $q: X = Q + s \cdot \vec{n}$, die durch $Q$ geht und den Normalvektor $\vec{n}$ von $\vec{a}$ als Richtungsvektor besitzt.
2. Schneide $g$ und $q$ und die erhältst ihren Schnittpunkt $S$. 
3. Berechne $\parallel \vec{QS} \parallel$.}}
In der Graphik rechts hätten wir z.B. die Angabe $g: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right) + \lambda \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array} \right)$ und $Q(3/4)$. Du kannst das zur Übung durchrechnen.

====Hesse'sche Abstandsformel====
Mithilfe dieser Formel kann man ebenfalls den Abstand $d(Q,g)$ zwischen Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$ bestimmen. <big>$d(Q,g) = | \vec{PQ} \cdot \vec{n_0} | $</big>, wobei $\vec{n_0}$ der normierte (Länge 1) Normalvektor des Richtungsvektors $\vec{a}$ der Geraden $g$ ist.

====Spiegelung eines Punktes an einer Geraden====
[[Datei:Spiegeln.png|thumb|right|250px|Gespiegelter Punkt Q']]Gegeben sei ein Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und eine Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$. Es gilt den Punkt $Q$ an der Gerade $g$ zu spiegeln, und so den Punkt $Q'$ zu erhalten. Dazu befolgst du die Vorgehensweise von "Normalabstand Punkt - Gerade" bis du den Vektor $\vec{QS}$ erhältst, und trägst diesen vom Punkt $S$ ab, also: 
$Q' = S + \vec{QS}$

=Im $\mathbb{R^3}$=
==Vektoren==
===Kreuzprodukt===
Im $\mathbb{R^3}$ gibt es neben dem Skalarprodukt, bei dem wir als Ergebnis ein Skalar erhalten, eine weitere Möglichkeit, zwei Vektoren miteinander zu multiplizieren: das sog. Kreuz- oder Vektorprodukt, bei dem wir als Ergebnis einen Vektor erhalten.{{Vorlage:Merke|1=Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren des $\mathbb{R^3}$, dann ist ihr Kreuzprodukt
$$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} y_a \cdot z_b - z_a \cdot y_b \\ z_a \cdot x_b - x_a \cdot z_b \\ x_a \cdot y_b - y_a \cdot x_b \end{array} \right)$$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ -3 \end{array} \right)$, gesucht ist ihr Kreuzprodukt.|

2=$$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \cdot (-3) - 3 \cdot 4 \\ 3 \cdot 5 - 1 \cdot (-3) \\ 1 \cdot 4 - 2 \cdot 5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-6) - 12 \\ 15 - (-3) \\ 4 - 10 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -18 \\ 18 \\ -6 \end{array} \right)$$}}

Wozu wir das Kreuzprodukt überhaupt benötigen, sehen wir an den nächsten 2 Punkten.

====Normalvektoren====
Im $\mathbb{R^3}$ gibt es zu einem Vektor unendlich viele Normalvektoren. Auf eine Ebene allerdings gibt es genau 2 Normalvektoren (wie im $\mathbb{R^2}$ auf eine Gerade). Eine Ebene wird von 2 Vektoren aufgespannt, deren Kreuzprodukt ergibt einen Normalvektor $\vec{n_1}$ auf die Ebene bzw. die zwei Vektoren; der zweite Normalvektor hat die entgegengesetzte Orientierung ($\vec{n_2} = -\vec{n_1}$). Also:$$\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$$

====Fläche eines von zwei Vektoren aufgespannten Parallelogramms oder Dreiecks====
[[Datei:FlächeNormalvektor.png|thumb|right|none|250px|2 Vektoren spannen ein Dreieck bzw. Parallelogramm auf]] 
{{Vorlage:Merke|1=Die Länge $\parallel \vec{n} \parallel = \parallel \vec{a} \times \vec{b} \parallel$ des Normalvektors $\vec{n}$ zu den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ entspricht der Maßzahl des Flächeninhaltes des Parallelogramms, das $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aufspannen (im Bild die gesamte grüne Fläche).
Die Hälfte dieser Fläche entspricht der Fläche des aufgespannten Dreiecks.}}

===Skalarprodukt, Orthogonalitätskriterium, Winkel zwischen zwei Vektoren===
Diese drei Dinge "funktionieren" im $\mathbb{R^3}$ wie im $\mathbb{R^2}$. Also hier nur eine kurze Wiederholung: 

'''Skalarprodukt''' 
Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\z_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren, dann ist $$\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right) = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b + z_a \cdot z_b$$ gleich ihr Skalarprodukt.
 

'''Orthogonalitätskriterium''' 
Ergibt das Skalarprodukt zweier Vektoren $0$, so stehen diese zwei Vektoren normal zueinander (und umgekehrt!)
$$\vec{a} \cdot \vec{b} \ = \ 0 \ \Leftrightarrow \ \vec{a} \bot \vec{b}$$
Auch das gibt es im $\mathbb{R^3}$. Bedenke aber, dass es hier, anders als im $\mathbb{R^2}$, unendlich viele Normalvektoren auf einen Vektor gibt.
 

'''Winkel zwischen zwei Vektoren'''
$$cos{\varphi} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel} = \vec{a_0} \cdot \vec{b_0}$$

==Geraden==
===Darstellungsformen===
====Parameterdarstellung====
Die Parameterdarstellung im $\mathbb{R^3}$ sieht genauso aus wie im $\mathbb{R^2}$, einziger Unterschied ist, dass unsere Punkte und Vektoren hier jeweils 3 Koordinaten haben.$$g: X = P + t \cdot \vec{a}$$ bzw. $$g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \\ z = z_P + t \cdot z_a \end{cases}$$
Mehr Infos zu den einzelnen Komponenten findest du im Tab 'Im $\mathbb{R^2}$'.

====Parameterfreie Darstellungsform====
Diese besteht aus 2 Gleichungen und wir erhalten sie durch Eliminierung des Parameters.

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sei die Parameterform der Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ -4 \\ 1 \end{array} \right)$. Zuerst schreiben wir das in die 3 Koordinatengleichungen um:
$$g : \begin{cases} x = 2 + 3t \\ y = 0 - 4t \\ z = 1 + t \end{cases}$$

2=Wir multiplizieren die erste Gleichung mit $4$ und die zweite Gleichung mit $3$ und addieren die beiden: $$+ \begin{cases} 4x = 8 + 12t \\ 3y = 0 - 12t \end{cases}$$ und erhalten so die Gleichung $4x + 3y = 8$.
Wir multiplizieren die dritte Gleichung mit $3$ und subtrahieren diese von der ersten Gleichung: $$- \begin{cases} x = 2 + 3t \\ 3z = 3 + 3t \end{cases}$$ und erhalten so die Gleichung $x - 3z = -1$.

Die parameterfreie Darstellung unserer Gerade lautet somit $$g : \begin{cases} 4x + 3y = 8 \\ x - 3z = -1 \end{cases}$$.}}

Die zwei Gleichungen in der parameterfreien Darstellung sind übrigens Ebenengleichungen. Die eigentliche Gerade ist der Schnitt dieser zwei Ebenen!

===Lagebeziehungen zwischen Geraden===
Mehrere Geraden können im $\mathbb{R^3}$

* ident sein, d.h. sie haben unendlich viele gemeinsame Punkte
* parallel sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt
* einander schneiden, d.h. sie haben genau ein gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt)
* windschief sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt und sind nicht parallel

Um herauszufinden, wie 2 gegebene Geraden in Parameterform zueinander stehen, gehst du am besten wie folgt vor:

'''Betrachtung der Richtungsvektoren:''' Auch im $\mathbb{R^3}$ gilt, sind die Richtungsvektoren zweier Geraden parallel zueinander (d.h. man kann einen Vektor als Vielfaches des anderen Vektors darstellen), so sind es auch die Geraden.

'''Fall 1: Die Vektoren sind parallel:''' Sollte sich herausstellen, dass die zwei Geraden parallel zueinander sind, überprüfst du als nächstes, ob sie einen gemeinsamen Punkt haben; am einfachsten funktioniert das, indem du den bekannten Punkt ($P$) der einen Geraden in die zweite Gerade (für den unbekannten Punkt $X$) einsetzt. Wir erhalten drei Gleichungen in einer Unbekannten (Parameter der zweiten Gerade). 
'''Fall 1a:''' Erhalten wir nun für den Parameter dreimal dasselbe Ergebnis, so sind die 2 Geraden '''ident''' (und parallel), da der überprüfte Punkt, und somit unendlich weitere, auf beiden Geraden liegen. 
'''Fall 1b:''' Erhalten wir unterschiedliche Ergebnisse, so sind sie nur '''parallel''', da der überprüfte Punkt nicht, und somit auch kein anderer, auf beiden Geraden liegen.

'''Fall 2: Die Vektoren sind nicht parallel:''' Nun gibt es nur noch zwei Möglichkeiten: Entweder die zwei Geraden haben einen gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt), oder sie sind windschief. 
Um das wiederum herauszufinden, setzt du die beiden Geraden gleich, d.h. du stellst ein lineares Gleichungssystem (LGS) mit drei Gleichungen und in drei Unbekannten auf, und versuchst, dieses zu lösen. 
'''Fall 2a:''' Solltest du nun eine Lösung erhalten, d.h. du erhältst den Wert für den Parameter einer der zwei Geraden (und hast diesen Wert überprüft), so weißt du, dass die zwei Geraden einander '''schneiden'''. Den Schnittpunkt erhältst du jetzt, indem du den erhaltenen Wert für den Parameter in die entsprechende Geradengleichung einsetzt. 
'''Fall 2b:''' Sollte dein LGS keine Lösung ergeben (also sich eine falsche Aussage oder ein Widerspruch ergeben, z.B. $2=13$, oder $t=4$ und $t=-1$), dann weißt du, dass deine beiden Geraden keinen Schnittpunkt haben und somit '''windschief''' sind.

Zum besseren Verständnis siehst du dir am besten das folgende Video und die beiden folgenden Beispiele an.

<div align="center">{{#ev:youtube|u0QoYlEE094}}</div>
{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die beiden Geraden $g: X = \left( \begin{array}{c} 0 \\ -11 \\ -3 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right)$ und $h: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ -3 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right)$. Überprüfe deren gegenseitige Lage und gegebenenfalls ihren Schnittpunkt!|2=Zuerst überprüfen wir die Richtungsvektoren der beiden Geraden, um festzustellen, ob diese parallel zueinander sind oder nicht:$$\nexists \lambda : \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) = \lambda \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) \nparallel \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g \nparallel h$$
$g$ und $h$ sind also nicht parallel. Sie können also noch entweder einander schneiden oder windschief sein. Stellen wir nun ein LGS auf, indem wir die beiden Geraden gleichsetzen:
$$\begin{align}
I: \ &&&s&=&2&+&t \\
II: \ &-11&+&2s&=&3&-&3t \\
III: \ &-3&+&s&=&-3&+&2t
\end{align}$$ 
Wir subtrahieren $III$ von $I$: $- \begin{cases} &s &=& 2 + t \\ -3 + &s &=& -3 + 2t \end{cases} \ \rightarrow \ 3 = 5 - t \Rightarrow t = 2$ 
Wir überprüfen dieses Ergebnis für $t$, indem wir $t=2$ in alle 3 Gleichungen einsetzen. Wir sehen dann, dass wir überall dasselbe Ergebnis für $s$ erhalten, nämlich $s=4$. Daraus folgt, dass die Geraden einander '''schneiden'''. Setzen wir nun $t=2$ oder $s=4$ in die entsprechende Geradengleichung, so erhalten wir den Schnittpunkt $S(4/-3/1)$ der beiden Geraden.}}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die beiden Geraden $g: X = \left( \begin{array}{c} 3 \\ -2 \\ 0 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right)$ und $h: X = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$. Überprüfe deren gegenseitige Lage und ggf. ihren Schnittpunkt!|2=Zuerst überprüfen wir wieder die Richtungsvektoren der beiden Geraden:$$\nexists \lambda : \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) = \lambda \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) \nparallel \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g \nparallel h$$
Nun stellen wir wieder ein LGS auf:
$$\begin{align}
I: \ &3&+&2s&=&4&-&t \\
II: \ &-2&-&2s&=&3&& \\
III: \ &&&s&=&1&+&t
\end{align}$$ 
Aus der zweiten Gleichung lässt sich direkt berechnen, dass $s=- \frac{5}{2}$. Dies setzen wir nun in die erste und zweite Gleichung ein und erhalten einmal $3 - 5 = 4 - t \ \Rightarrow \ t=6$ und einmal $- \frac{5}{2} = 1 + t \ \Rightarrow \ t=- \frac{7}{2}$. Diese beiden Werte für $t$ sind offensichtlich voneinander unterschiedlich, daraus folgt, dass die beiden Geraden $g$ und $h$ '''windschief''' sind.
}}

==Ebenen==
Eine Ebene ist durch 3 Punkte oder 1 Punkt und 2 (voneinander linear unabhängigen) Vektoren eindeutig festgelegt.

===Darstellungsformen===
====Parameterdarstellung====
[[Datei:ebene2.png|thumb|right|350px|von Punkt und Vektoren aufgespannte Ebene]]
$$\epsilon : X = P + s \cdot \vec{a} + t \cdot \vec{b}$$
bzw.
$$\epsilon : \begin{cases} x = x_P + s \cdot x_a + t \cdot x_b \\ y = y_P + s \cdot y_a + t \cdot y_b \\ z = z_P + s \cdot z_a + t \cdot z_b \end{cases}$$
wobei

* $X \in \epsilon$ ist ein '''beliebiger''' Punkt auf der unendlichen Ebene
* $P \in \epsilon$ ist ein '''bekannter''' Punkt auf der Ebene
* $s, t \in \mathbb{R}$ sind freie Parameter
* $\vec{a}, \vec{b} \in \mathbb{R^3}$ sind zwei Vektoren, die parallel zur Ebene liegen

====Normalvektorform====
Man multipliziert die Parameterdarstellung der Ebene mit ihrem Normalvektor $\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$ und erhält$$\vec{n} \cdot \vec{X} = \vec{n} \cdot \vec{P}$$

====Allgemeine Ebenengleichung====
$$ax + by + cz = d$$Diese Form der Darstellung heißt auch Normalform, da man den Normalvektor der Ebene direkt ablesen kann. Um von der Parameterdarstellung auf diese Form zu kommen, gibt es 2 Möglichkeiten:

'''1. Multiplikation mit Normalvektor:'''
Hierzu muss man einfach die Normalform ausmultiplizieren und es ergibt sich:

$$\epsilon: x_n \cdot x + y_n \cdot y + z_n \cdot z = x_n \cdot x_P + y_n \cdot y_P + z_n \cdot z_P$$

'''2. Elimination des Parameters:'''
Hierbei gehen wir von der Ebenengleichung $\epsilon : \begin{cases} x = x_P + s \cdot x_a + t \cdot x_b \\ y = y_P + s \cdot y_a + t \cdot y_b \\ z = z_P + s \cdot z_a + t \cdot z_b \end{cases}$ aus, eliminieren $s$ und $t$, und kommen ebenfalls auf die obige allgemeine Ebenengleichung.

Zur Veranschaulichung ein Beispiel zu den verschiedenen Darstellungsformen:
{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die drei Punkte $A(1/1/1), B(-1/-4/2), C(0/3/-1)$. Gib die Ebene, die diese drei Punkte aufspannen, in Parameterform, Normalform und allgemeiner Ebenengleichung an!|2=Für die Parameterform berechnen wir erst zwei beliebige Vektoren aus den 3 Punkten, z.B. $\vec{AB} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{AC} = \left( \begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right)$. Als Parameterform erhalten wir schließlich:
$$\epsilon: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right)$$ Um auf die Normalform zu kommen, bestimmen wir als erstes den Normalvektor der Ebenen: $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-5) \cdot (-2) - 1 \cdot 2 \\ 1 \cdot (-1) - (-2) \cdot (-2) \\ (-2) \cdot 2 - (-5) \cdot (-1) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right)$. 
Nun die Parametergleichung mit dem Normalvektor multiplizieren und wir erhalten auch die Normalform:
$$\epsilon: \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)$$ 
Um nun noch die allg. Ebenenform zu erhalten, multipliziert man am einfachsten die Normalform aus und erhält:
$$\epsilon: 8x - 5y -9z =-6$$ 
Aber auch die Elimination der Parameter soll hier gezeigt werden. Wir gehen aus von: $$\epsilon : \begin{cases} x = 1 - 2s - t \\ y = 1 - 5s + 2t \\ z = 1 + s - 2t\end{cases}$$
Addieren wir die y- und die z-Gleichung, können wir $t$ eliminieren: $+ \begin{cases} y = 1 - 5s + 2t \\ z = 1 + s - 2t \end{cases} \ \Rightarrow \ y + z = 2 - 4s$. 
Wir können $t$ ebenfalls eliminieren, indem wir die y-Gleichung zum 2-fachen der x-Gleichung addieren: $+ \begin{cases} 2x = 2 - 4s - 2t \\ y = 1 - 5s + 2t \end{cases} \ \Rightarrow \ 2x + y = 3 -9s$. 
Nun haben wir zwei Gleichungen, die nur mehr von $s$ abhängig sind. Um diesen Parameter nun auch noch zu eliminieren, multiplizieren wir die erste Gleichung mit $(-9)$ und die zweite mit $4$ und addieren diese, um nochmals auf die allg. Ebenengleichung zu kommen.
$$+ \begin{cases} 8x + 4y = 12 - 36s \\ -9y - 9z = -18 + 36s \end{cases} \ \Rightarrow \ \epsilon: 8x - 5y -9z =-6$$
}}

===Lagebeziehungen===
====...zwischen zwei Ebenen====
Zwei Ebenen können im $\mathbb{R^3}$

* ident sein: die Ebenengleichungen (allg. Form) sind Vielfache voneinander;

z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : 2x + 2y + 2z = 6 \Rightarrow \epsilon _2 = 2 \cdot \epsilon _1$

* parallel sein: die Normalvektoren der Ebenen sind Vielfache voneinander;

z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : 2x + 2y + 2z = 5 \Rightarrow \vec{n_2} = 2 \cdot \vec{n_1}$

* einander schneiden (in einer Gerade): die Normalvektoren der Ebenen sind keine Vielfache voneinander;

z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : x - 3y + 2z = 1 \Rightarrow \nexists \lambda \in \mathbb{R} : \vec{n_1} = \lambda \cdot \vec{n_2}$

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:Ebenenident2.png|2 Ebenen sind ident
Datei:Ebenenparallel2.png|2 Ebenen sind parallel
Datei:Ebenenschnittgerade2.png|2 Ebenen schneiden einander in einer Geraden
</gallery>

 
'''Berechnen der Schnittgerade''' 
Erkennt man durch Betrachtung der Normalvektoren zweier Ebenen, dass diese einander schneiden müssen, so kann man diese Schnittgerade berechnen. Dazu erstellt man aus den beiden Ebenengleichungen ein lineares Gleichungssystem in 3 Unbekannten. 2 Gleichungen - 3 Unbekannte: wir werden hier nicht für alle Unbekannten einen Zahlenwert erhalten, können aber 2 Unbekannte in Abhängigkeit der dritten darstellen. Diese dritte Unbekannte wird uns als Parameter für die Darstellung der Geraden dienen. Zur Veranschaulichung ein Beispiel:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die beiden Ebenen $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : x - 3y + 2z = 1$. Wie wir weiter oben schon festgestellt haben, müssen diese Ebenen einander schneiden, da die beiden Noramlvektoren der Ebenen $\vec{n_1}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{n_2}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right)$ linear unabhängig voneinander sind, also $\nexists \lambda \in \mathbb{R} : \vec{n_1} = \lambda \cdot \vec{n_2}$. 
Wir wählen nun eine der Koordinaten als Parameter, z.B. $z=t$ und stellen das Gleichungssystem auf.

2=

$$\begin{align}I: \ &x&+&y&+&t&=&3 \\
II: \ &x&-&3y&+&2t&=&1
\end{align}$$

Wir subtrahieren $I-II$ und erhalten
$$4y - t = 2 \ \Rightarrow \ y = \frac{1}{2} + t \cdot \frac{1}{4}$$
Nun setzen wir unser erhaltenes $y$ in die erste Gleichung ein, um $x$ zu erhalten:

$$I: \ x + \frac{1}{2} + t \cdot \frac{1}{4} + t = 3 \ \Rightarrow \ x = \frac{5}{2} - t \cdot \frac{5}{4}$$
Somit haben wir alle Ausdrücke der Koordinaten gefunden ($z=t$ haben wir anfangs festgelegt) und können die Parameterdarstellung der Schnittgerade angeben:
$$g: X = \left( \begin{array}{c} \frac{5}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 0 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} - \frac{5}{4} \\ \frac{1}{4} \\ 1 \end{array} \right)$$
}}

====...zwischen 3 Ebenen====
Drei Ebenen können im $\mathbb{R^3}$

* alle ident sein
* 2 ident, 1 parallel sein
* alle parallel sein
* 3 Schnittgeraden haben
* 2 Schnittgeraden haben (2 Ebenen parallel)
* 1 Schnittgerade haben
* 1 Schnittpunkt haben

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:Ebenenident3.png|3 Ebenen sind ident
Datei:Ebenenidentparallel.png|2 Ebenen sind ident, 1 parallel
Datei:Ebenenparallel3.png|3 Ebenen sind parallel
Datei:Ebenenschnittgeraden33.png|3 Ebenen schneiden einander in 3 Geraden
Datei:Ebenenschnittgeraden32.png|3 Ebenen schneiden einander in 2 Geraden (2 Ebenen parallel)
Datei:Ebenenschnittgerade3.png|3 Ebenen schneiden einander in einer Gerade
Datei:Ebenenschnittgerade31.png|3 Ebenen schneiden einander in einer Gerade (2 Ebenen ident)
Datei:Ebenenschnittpunkt3.png|3 Ebenen schneiden einander in einem Punkt
</gallery>

====...zwischen Ebene und Gerade====
Eine Ebene und eine Gerade können im $\mathbb{R^3}$

* $g \subset \epsilon$, die Gerade liegt auf der Ebene

Hierbei haben die Gerade und die Ebene einen gemeinsamen Punkt und der Richtungsvektor der Gerade steht normal auf den Normalvektor der Ebene, daraus folgt, dass sie unendlich gemeinsame Punkte haben.

* parallel sein

Irgendein Punkt der Gerade liegt nicht auf der Ebene, der Richtungsvektor der Gerade steht normal auf den Normalvektor der Ebene, daraus folgt, dass sie keinen einzigen gemeinsamen Punkt haben.

* 1 Schnittpunkt haben

Der Richtungsvektor der Geraden steht nicht normal auf den Normalvektor der Ebene.

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:GeradeinEbene.png|Gerade liegt auf der Ebene
Datei:GeradepararallelEbene.png|Gerade und Ebene sind parallel zueinander
Datei:GeradeSchnittpunktEbene.png|Gerade und Ebene schneiden einander (Schnittpunkt)
</gallery>

Zur Überprüfung der Lagebeziehung gibt es allerdings noch eine andere (schnellere) Methode. Hier "schneiden" wir die Gerade und die Ebene mathematisch, d.h. wir setzen sie gleich (wenn beide in Parameterform gegeben sind) oder setzen die Gerade $g$ (Parameterform) in die Ebene $\epsilon$ (allg. Ebenengleichung) ein. 
Wir erhalten dadurch ein Gleichungssystem oder eine einzelne Gleichung.

Sei die Gerade gegeben als $g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \\ z = z_P + t \cdot z_a \end{cases}$ und die Ebene als $\epsilon : \begin{cases} x = x_Q + s \cdot x_b + u \cdot x_c \\ y = y_Q + s \cdot y_b + u \cdot y_c \\ z = z_Q + s \cdot z_b + u \cdot z_c \end{cases}$ (Parameterform) oder $\epsilon : ax + by + cz = d$ (allg. Ebenengleichung).

Wir erhalten als Gleichungssystem durch Gleichsetzen der Gleichungen der Parameterformen:
$$\begin{cases} x_P + t \cdot x_a = x_Q + s \cdot x_b + u \cdot x_c \\ y_P + t \cdot y_a = y_Q + s \cdot y_b + u \cdot y_c \\ z_P + t \cdot z_a = z_Q + s \cdot z_b + u \cdot z_c \end{cases}$$ 
Wir erhalten durch Einsetzen der Gerade in die Ebene (allg. Ebenengleichung):
$$a \cdot (x_P + t \cdot x_a) + b \cdot (y_P + t \cdot y_a) + c \cdot (z_P + t \cdot z_a) = d$$

Ergibt sich hier eine wahre Aussage (z.B. $1=1$), also unendlich viele Lösungen, so liegt die Gerade in der Ebene. 
Ergibt sich eine falsche Aussage (z.B. $1=2$), also keine Lösung, so schneiden die beiden Objekte einander nicht, also sie sind parallel. 
Gibt es genau eine Lösung (z.B. $t=2$), so existiert genau ein gemeinsamer Punkt = Schnittpunkt. Diesen erhält man, indem man den ermittelten Wert für den Parameter $t$ der Geraden in die Geradengleichung einsetzt (oder, wenn die Ebene in Parameterform gegeben war, die beiden Werte für die Parameter $s$ und $u$ der Ebene in die Ebenengleichung einsetzt). Dazu 2 Beispiele, wobei wir im ersten mit der Ebene in Parameterform rechnen werden:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right)$ und die Ebene $\epsilon : X = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -1 \\ -3 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) + u \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 0 \end{array} \right)$. Stellen wir nun also unser Gleichungssystem auf:

2=\begin{align}

I: \ & \ 1&-t&=&4& &+2u \\
II: \ &-3& &=&-1&+s&-u \\
III: \ & \ 2&+2t&=&-3&+s&
\end{align}

In der ersten Gleichung drücken wir $u$ in $t$ aus: $u = - \frac{3}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$ 
In der zweiten Gleichung drücken wir $s$ in $u$ aus: $s = -2 + u$ 
Das $u$ von oben setzen wir nun hier ein und erhalten $s$ in Abhängigkeit von $t$: $s = - \frac{7}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$.

Dieses $s$ setzen wir nun in die dritte Gleichung ein und wir erhalten: $2 + 2t = -3 - \frac{7}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$ und in weiterer Folge $t = - \frac{17}{5}$. 
Es ergibt sich also genau eine Lösung für das Gleichungssystem, was bedeutet, dass die Gerade und die Ebene einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen. Diesen erhalten wir, indem wir den errechneten Wert für $t$ in die Geradengleichung einsetzen (Man könnte natürlich auch noch die Werte für $s$ und $u$ berechnen, und diese in die Ebenengleichung einsetzen; zur Übung kannst du das gerne tun):
$$g: S = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) - \frac{17}{5} \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \frac{23}{5} \\ -3 \\ - \frac{24}{5} \end{array} \right)$$
}}

Betrachten wir nun dasselbe Beispiel, mit dem Unterschied, dass die Ebene in Normalform gegeben ist und wir auch gleich mit dieser Form rechnen:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right)$ und die Ebene $\epsilon : x + 2y - 2z = 8$. Wir setzen die Koordinatengleichungen der Gerade in die Normalform der Ebene:

2= $g$ in $\epsilon$: $$1 - t - 6 - 4 -4t =8$$

Wenn wir diese Gleichung lösen, erhalten wir, wie im ersten Bespiel, $t = - \frac{17}{5}$. Dies noch in die Geradengleichung einsetzen, und wir erhalten den Schnittpunkt.}}

Da man bei der zweiten Methode meistens weniger Rechenaufwand hat, zahlt es sich oft aus die Parameterdarstellung der Ebene in die Normalform (= allg. Ebenengleichung) umzurechnen.

==Pyramidenbeispiel==
[[Datei:Pyramidebsp.png|thumb|right|350px|Pyramide]]Gegeben seien 3 Eckpunkte $A(-2/-2/1), B(2/-2/1), C(2/2/1)$ der quadratischen Grundfläche und der Spitzpunkt $S(0/0/6)$ einer geraden (gerade bedeutet, dass die Spitze in einem rechten Winkel über dem Mittelpunkt der Grundfläche der Pyramide liegt) Pyramide.
Gesucht sind:

# der vierte Eckpunkt $D$ der Grundfläche
# die Parameterdarstellung der Trägergeraden $h$ der Höhe
# die Fläche der Grundfläche
# die Geradengleichung der Geraden $g_{AS}$ auf der $A$ und $S$ liegen in a)Parameterform und b)parameterfreier Form
# Der Winkel $\alpha$ zwischen den Vektoren $\vec{AS}$ und $\vec{AC}$
# Zeige, dass der Schnittpunkt der Geraden $g_{AS}$ und $h$ gleich die Spitze $S$ ist
# Gib die Ebenengleichung $\epsilon$ der Grundfläche in a)Parameterform, b)Normalform und c)allgemeiner Ebenengleichung an
# Berechne den Fußpunkt $M$ der Höhe, indem du $h$ und $\epsilon$ schneidest

1. $D = A + \vec{BC} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -2 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right)$ 
2. $h: X = S + t \cdot \vec{h}$
$$\vec{AB} \times \vec{BC} = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 16 \end{array} \right) \ \parallel \ \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) = \vec{h}$$
$$h: X = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$$ 
3. $G = \parallel \vec{AB} \times \vec{BC} \parallel = \parallel \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 16 \end{array} \right) \parallel = 16FE$ 
4. a) $g_{AS}: X = A + u \cdot \vec{AS}$
$$\vec{AS} = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g_{AS}: X = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + u \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right)$$ oder $$g_{AS}:\begin{cases} x = -2 + 2u \\ y = -2 + 2u \\ z = 1 + 5u \end{cases}$$
b) Parameter elimieren:
$$x - y: x-y = 0$$
$$5x - 2z: 5x - 2z = -12$$
$$\Rightarrow g_{AS}:\begin{cases} x - y = 0 \\ 5x - 2z = -12 \end{cases}$$ 
5. $\measuredangle \vec{AS},\vec{AC} = \alpha = arccos{\frac{\vec{AS} \cdot \vec{AC}}{\parallel \vec{AS} \parallel \cdot \parallel \vec{AC} \parallel}} = arccos{\frac{\left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right)}{\parallel \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) \parallel \cdot \parallel \left( \begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) \parallel}} = arccos{\frac{16}{\sqrt{33 \cdot 32}}} = 60,5°$ 
6. $g_{AS}$ und $h$ gleichsetzen:
$$\begin{align}
I: \ &-2&+&2u&=&0&& \\
II: \ &-2&+&2u&=&0&& \\
III: \ & \ \ 1&+&5u&=&6&+&t
\end{align}
\ \ \ \rightarrow u=1$$
$$g_{AS}: S = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + 1 \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array} \right)$$ 
7. a) $\epsilon: X = A + v \cdot \vec{AB} + w \cdot \vec{BC} \ \rightarrow \ \epsilon: X = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + v \cdot \left( \begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) + w \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right)$ 
b) $\epsilon: \vec{n} \cdot \vec{X} = \vec{n} \cdot \vec{A} \ \rightarrow \ \epsilon: \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right)$ 
c) $\epsilon: z = 1$ 
8. $h:\begin{cases} x=0 \\ y=0 \\ z=6+t \end{cases} \ \ \epsilon: z=1 \ \ \rightarrow \ 1 = 6 + t \ \Rightarrow \ t=-5$ 
$h: M = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array} \right) -5 \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$

=Beispiele=
Hier findest du Beispiele zu den behandelten Themen:

===Grundlagen der Vektorrechnung===
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/9/99/VektorrechnungGLBspAngabe.pdf VektorrechnungGLBspAngabe.pdf] 
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/0/00/VektorrechnungGLBspL%C3%B6sung.pdf VektorrechnungGLBspLösung.pdf]

===Vektorrechnung im $\mathbb{R^2}$===
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/7/7f/VektorrechnungR2BspAngabe.pdf VektorrechnungR2BspAngabe.pdf] 
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/f/ff/VektorrechnungR2BspL%C3%B6sung.pdf VektorrechnungR2BspLösung.pdf]

Vektorrechnung

2016-06-11T08:50:07Z

Lajtos: /* Geometrische Darstellung von Vektoren */

=Grundlagen=
==Koordinatensystem==
[[Datei:Quadranten.png|thumb|Coordinate System|thumb|right|350px|Koordinatengitter im $\mathbb{R^2}$ mit den 4 Quadranten]]

Für die Vektorrechnung sind Koordinatensysteme essentiell.
Im zweidimensionalen Raum besitzt ein Koordinatensystem 2 Achsen:

* die x-Achse (waagrecht) und
* die y-Achse (senkrecht)

 
Diese sind unendlich lang und Spannen die vier sogenannten Quadranten auf, die meist mit den römischen Ziffern I-IV beschriftet werden (gesprochen: Erster Quadrant, Zweiter Quadrant etc.). Die rechte Graphik zeigt die die Position der Quadranten. Dort, wo die 2 Achsen einander treffen, liegt der sog. Ursprung (kurz: $\vec{0}$); seine Koordinaten sind (0/0).

Was es außerdem noch zu beachten gibt, hast du vielleicht bereits selbst erkannt:
An den gegenüberliegenden Seiten der x- und y-Achsen werden unterschiedliche Vorzeichen verwendet. So spricht man "links" des Ursprungs von der negativen, bzw. "rechts" des Ursprungs von der positiven x-Achse. Analog spricht man "oben" und "unten" von der positiven und negativen y-Achse.

Im dreidimensionalen Raum kommt eine dritte Achse - die z-Achse - dazu. Punkte und Vektoren besitzen dementsprechend dann auch 3 Koordinaten. Dies kann man bis ins n-dimensionale weiterführen.

==Punkte==
In ein Koordinatensystem lassen sich Punkte eintragen. Diese besitzen, entsprechend ihrer Lage, Koordinaten. Im obigen Bild z.B. haben wir die Punkte A und B, wobei sich A im ersten Quadranten befindet und B im vierten Quadranten. Man schreibt: A(2/3,5) B(1/-2).

[[Datei:Punkte Abstand.png|thumb|right|350px|Punkte im $\mathbb{R^2}$]]

{{Vorlage:Merke |''Einen'' '''allgemeinen Punkt''' ''schreibt man an als'' $P(x_1/x_2/.../x_n)$ (im n-dimensionalen Raum $\mathbb{R^n}$) ''bzw.'' $P(x/y)$ (im 2-dimensionalen Raum $ \mathbb{R^2}$) ''oder'' $P(x/y/z)$ (im 3-dimensionalen Raum $\mathbb{R^3}$).
 
Die erste Koordinate entspricht der x-Koordinate, die zweite der y-Koordinate, die eventuelle dritte der z-Koordinate.

Punkte werden in der Regel mit Großbuchstaben bezeichnet.}}

Koordinaten von Punkten lassen sich also ganz einfach ablesen. Die x/y-Koordinate entspricht dabei dem Abstand vom Ursprung zum Punkt in Richtung der jeweiligen Koordinatenachse. So erkennen wir im Bild rechts die folgenden Punkte:

* A(2/0)
* B(0/-2)
* C(-1/2)

=Vektoren=

==Definition & Darstellung von Vektoren==
{{Vorlage:Definition |1= Ein Zahlenpaar $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \in \mathbb{R^2}$ wird als '''Vektor aus $\mathbb{R^2}$ ''' bezeichnet.
Analog bezeichnet man ein Zahlentripel $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) \in \mathbb{R^3}$ als '''Vektor aus $\mathbb{R^3}$ '''. 
Ein '''allgemeiner Vektor''' wird $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) \ \in \mathbb{R^n}$ geschrieben.

}}

Da sowohl die Rechenoperationen als auch die geometrischen Darstellungen leicht vom $\mathbb{R^2}$ in den $\mathbb{R^3}$ übertragen werden können, werden wir meistens nur die Vorgangsweise für Zahlenpaare aus dem $\mathbb{R^2}$ beschreiben.

===Geometrische Darstellung von Vektoren===

Es gibt zwei Möglichkeiten, wie wir einen Vektor $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right) \ \in \mathbb{R^2}$ geometrisch darstellen können:
* '''Darstellung als Punkt''': Dabei gibt $a$ die x-Koordinate und $b$ die y-Koordinate des Punktes an. Die Beschriftung erfolgt mit Großbuchstaben.
* '''Darstellung als Pfeil''': Dabei gibt $a$ die x-Richtung des Pfeils (wie weit zeigt der Pfeil nach links bzw. rechts) und $b$ die y-Richtung des Pfeils (wie weit zeigt der Pfeil nach oben bzw. nach unten) an. Pfeile werden mit Kleinbuchstaben (oft mit Pfeil $\vec{v}$) beschriftet.

Die Darstellung als Punkt ist eindeutig! Einem Zahlenpaar (=Vektor) entspricht genau ein Punkt!
Die Darstellung als Pfeil ist nicht eindeutig! Es gibt unendlich viele Pfeile, die denselben Vektor darstellen. Diese Pfeile sind aber alle parallel, gleich lang und gleich gerichtet.

'''Beispiel:''' Darstellung des Vektors $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$
{| class="wikitable"
|-
| '''Punktdarstellung des Vektors'''|| '''Mögliche Pfeildarstellungen des Vektors'''
|-
| [[Datei:Punkt.png|thumb|300px]]|| [[Datei:Pfeile.png|thumb|300px]]
|}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 3 \\ -4 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 5 \end{array} \right)$. Stelle $\vec{a}$ und $\vec{b}$ als Punkte und als Pfeile dar.
|2=[[Datei:Punkt Pfeil Bsp.png|300px]] 
'''Anmerkungen:'''
* Für die Pfeildarstellungen gibt es mehrere (unendlich viele) Möglichkeiten. Der von dir gezeichnete Pfeil muss jedenfalls parallel, gleich gerichtet und gleich lang wie der abgebildete Pfeil sein!
* Aus "Bequemlichkeitsgründen" zeichnet man die Pfeile oft beginnend beim Ursprung ein:
[[Datei:Punkt Pfeil Bsp2.png|300px]]
 
}}

Vektoren des $\mathbb{R^3}$ können auch auf diese zwei Arten dargestellt werden. Der einzige Unterschied dabei ist, dass die Punkte bzw. Pfeile im dreidimensionalen Raum liegen. Es gibt also noch eine dritte Richtung, die durch die z-Koordinate des Vektors angegeben wird.

===Ortsvektoren===
[[Datei:Ortsvektor.png|thumb|right|300px|Punkt und zugehöriger Ortsvektor]]Der Ortsvektor von einem Punkt ist der Vektor, der vom Ursprung aus auf den Punkt zeigt. Die Koordinaten bleiben deshalb gleich, es ändert sich quasi nur die Schreibweise:

Sei $A(x_1/x_2/.../x_n)$ ein Punkt in der Dimension $n$, dann ist $\vec{0A} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ dessen Ortsvektor.
 
 
 
 
 

==Rechnen mit Vektoren==

===Addition und Subtraktion von Vektoren===
{{Vorlage:Merke|1=Wenn du Vektoren addieren oder subtrahieren möchtest, musst du dazu die entsprechenden Koordinaten addieren: 
$\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) \pm \left( \begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ ... \\ y_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x_1 \pm y_1 \\ x_2 \pm y_2 \\ ... \\ x_n \pm y_n \end{array} \right)$ 
Wichtig ist dabei, dass die Vektoren, die du addieren oder subtrahieren möchtest, derselben Dimension $n$ angehören! D.h. sie haben gleich viele Koordinaten.}}
{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben seien die beiden Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right)$. Berechne erst $\vec{a} + \vec{b}$, dann $\vec{a} - \vec{b}$ und zuletzt $\vec{b} - \vec{a}$!
|2= $\vec{a} + \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 5+1 \\ 2+(-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 6 \\ -1 \end{array} \right)$
$\vec{a} - \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 5-1 \\ 2-(-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 5 \end{array} \right)$
$\vec{b} - \vec{a} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 1-5 \\ -3-2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -4 \\ -5 \end{array} \right)$}}

===Vektoren bestimmen: "Spitze minus Schaft" ("Ziel minus Start")===
[[Datei:Spitzeschaft.png|thumb|right|300px|"Spitze minus Schaft"]]Zwischen 2 Punkten kann man nun einen Vektor definieren. Dabei gilt: Die '''"Spitze minus Schaft"'''-Regel Im Bild rechts wollen wir den Vektor berechnen, der von A nach B geht, also den Vektor $\vec{AB}$. Der Punkt B(3/3,5) entspricht hierbei der Spitze, und der Punkt A(1/0,5) dem Schaft. Da das Rechnen mit Punkten allerdings keinen Sinn ergibt, rechnet man stattdessen mit deren Ortsvektoren (siehe oben).

Für unser Beispiel bedeutet das: $\vec{0B} - \vec{0A} = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 3,5 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0,5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 3-1 \\ 3,5-0,5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right) = \vec{AB}$

'''Beachte außerdem:'''

* Man schreibt der Einfachheit halber oft nur $B-A$, obwohl eigentlich $\vec{0B} - \vec{0A}$ gemeint ist.
* Der Vektor $\vec{AB}$ zeigt in die entgegengesetzte Richtung von $\vec{BA}$. Das bedeutet, dass diese beiden Vektoren entgegengesetzte Vorzeichen haben: $\vec{AB} = - \vec{BA}$

 

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die Punkte A=(1/2); B=(-3/1); C=(-4,-1). Bilde die folgenden Verbindungsvektoren: 
 
# $\vec{AB}$
# $\vec{BA}$
# $\vec{AC}$
# $\vec{BC}$

|2=
$\ $
# $\vec{AB}=B-A=\left( \begin{array}{c} -3 \\ 1\end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} -4 \\ -1\end{array} \right)$
# $\vec{BA}=-\vec{AB}=\left( \begin{array}{c} 4 \\ 1 \end{array} \right)$
# $\vec{AC}=\left( \begin{array}{c} -4 \\ -1\end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} -5 \\ -3\end{array} \right)$
# $\vec{BC}=\left( \begin{array}{c} -4 \\ -1\end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} -3 \\ 1 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} -1 \\ -2\end{array} \right)$
 
'''Tipps:'''
* Pass gut auf die Vorzeichen auf! Beim Subtrahieren von Vektoren passieren leider häufig Vorzeichenfehler! Sei deshalb besonders achtsam!
* Zeichne die Punkte in ein Koordinatensystem und zeichne die Verbindungsvektoren ein. Bei einfachen Koordinaten kannst du den Verbindungsvektor ohne Rechnung ablesen (Probiere es aus!).

 
}}

===Produkt eines Vektors mit einem Skalar===
Wenn man einen Vektor $\vec{v}$ mit einer [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)|reellen Zahl]] $k$ , einem sogenannten "Skalar", multipliziert, werden dabei die einzelnen Koordinaten mit dem Skalar multipliziert:

$k \cdot \vec{v} = k \cdot \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} k \cdot x_1 \\ k \cdot x_2 \\ ... \\ k \cdot x_n \end{array} \right)$

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sei der Vektor $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right)$. Multipliziere diesen einmal mit $2$ und einmal mit $-5$!
|2= $2 \cdot \vec{a} = 2 \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \cdot 2 \\ 2 \cdot (-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -6 \end{array} \right)$
$(-5) \cdot \vec{a} = (-5) \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-5) \cdot 2 \\ (-5) \cdot (-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -10 \\ 15 \end{array} \right)$}}

==Geometrische Darstellung der Rechenoperationen==
===Geometrische Darstellung der Vektoraddition===
Die Addition zweier Vektoren kann auf zwei verschiedene Arten geometrisch gedeutet werden. Wir illustrieren die beiden Möglichkeiten anhand des Beispiels $\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2\end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$

{| class="wikitable"
|-
| '''Punkt + Pfeil - Darstellung:'''|| '''Pfeil + Pfeil - Darstellung'''
|-
| ''An einen Punkt wird ein Pfeil angehängt.'' In unserem Beispiel wird an den Punkt (1/2) ein Pfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$ angehängt. Das Ergebnis der Addition ist der Punkt am Ende des Pfeils (5/5). || ''Zwei Pfeile werden aneinandergehängt. In unserem Beispiel wird also ein Pfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$ und ein Pfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)$ aneinandergehängt. Das Ergebnis der Addition ist der entstehende Verbindungspfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 5 \\ 5 \end{array} \right)$
|-
| [[Datei:Vektoraddition1.png|left|400px]]|| [[Datei:Vektoraddition2.png|left|500px]]
|-
| '''Anmerkung:''' Diese Darstellung ist hilfreich, wenn wir von einem Punkt ausgehen und zu einem neuen Punkt gelangen wollen.|| Es spielt keine Rolle, in welcher Reihenfolge die Vektoren angehängt werden. Die Addition ist kommutativ!
|}

===Geometrische Darstellung der Multiplikation mit einem Skalar===

Eine Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl a (Skalar) entspricht einer Streckung (für |a|>1) bzw. einer Stauchung (für |a|<1) des zugehörigen Pfeiles.
Ist das Vorzeichen des Skalars negativ, so dreht sich die Richtung des Pfeils in die entgegengesetzte Richtung.

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sei wiederum der Vektor $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right)$. Stelle die Multiplikation mit $2$, mit $-5$ und mit $0.5$ graphisch dar!
|2= Rechnerische Lösung und graphische Interpretation:
* $2 \cdot \vec{a} = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -6 \end{array} \right)$. Der Vektor $2\cdot \vec{a}$ hat die doppelte Länge und dieselbe Richtung wie $\vec{a}$
* $(-5) \cdot \vec{a} = \left( \begin{array}{c} -10 \\ 15 \end{array} \right)$. Der Vektor $(-5)\cdot \vec{a}$ ist fünfmal so lang wie $\vec{a}$ und zeigt in die entgegengesetzte Richtung wie $\vec{a}$
* $(0.5) \cdot \vec{a} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1.5 \end{array} \right)$ Der Vektor $0.5\cdot \vec{a}$ ist halb so lang wie $\vec{a}$ und zeigt in dieselbe Richtung wie $\vec{a}$
}}

{{#widget:Iframe
|url= http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_vektorrechnung/MV_Vektor1/MV_Vektor1/sites/Vektortest.html
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}}
[http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_vektorrechnung/MV_Vektor1/MV_Vektor1/ (Quelle dieses Applets)]

Hilfe zum Applet: Gib in die Eingabezeile den Buchstaben des Vektors bzw. die entsprechende Summe / Differenz an. (z.B. $u=a$)

===Wie Vektoren zueinander stehen===
Vektoren können unterschiedliche Richtungen haben, aber auch parallel zueinander oder gar identisch sein. Optisch lässt sich das oft sehr leicht erkennen. Die Lage von Vektoren zueinander kann auch rechnerisch überprüft werden.

{{Vorlage:Definition |Unter einem Vektor versteht man die Menge aller gleichlangen, gleichgerichteten und gleichorientierten Pfeile.

Der Start/Endpunkt spielen dabei keine Rolle!}}

{{Vorlage:Merke|2 Vektoren stehen parallel zueinander, wenn ein Vektor als Vielfaches des anderen Vektors angeschrieben werden kann. 
Man sagt auch: Die Vektoren sind [[linear abhängig]] (linear abhängig zu sein bedeutet, dass ein Vektor als Vielfaches eines anderen Vektors dargestellt werden kann).}}

Sehen wir uns die verschiedenen Fälle an:

{| class="wikitable"
|-
|ident: gleiche Richtung, gleiche Orientierung, gleiche Länge
||[[Datei:Vektorv1.png|none|250px]]
||$\vec{v} = \vec{u} \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$
||z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$
|-
||parallel (gleiche Orientierung): gleiche Richtung, gleiche Orientierung, unterschiedliche Länge
| [[Datei:Vektorenlänge.png|none|250px]]
||$\exists k>0 : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$
||z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} \frac{4}{3} \\ 2 \end{array} \right)$, $\frac{2}{3} $
|-
||parallel (unterschiedliche Orientierung): 
| [[Datei:Vektororientierung1.png|none|250px]]
||$\exists k<0 : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$
||z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} -2 \\ -3 \end{array} \right)$, $k=-1$

|-
||linear unabhängig
| [[Datei:Vektorrichtung1.png|none|250px]]
||$\nexists k : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \nparallel \vec{u}$
||z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 3 \end{array} \right)$
|}

{{Vorlage:Beispiel|1=Überprüfe ob die Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 5 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$ linear unabhängig voneinander sind.

|2=Wenn es ein k gibt, sodass $k \cdot \vec{a} = \vec{b}$, dann sind die beiden Vektoren voneinander linear abhängig, und somit auch parallel zueinander.

Es gibt mehrere Lösungsmöglichkeiten:
*Möglichkeit 1: Lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen
$I: 2k = 4 \ \ \rightarrow k=2$
$II: 5k = 3 \ \ \rightarrow k=\frac{3}{5}$

Aus der ersten Gleichung ergibt sich k=2, in der zweiten aber $k=\frac{3}{5}$. $k$ kann aber nicht beides sein, somit haben wir eine falsche Aussage erhalten. Daraus folgt, dass die beiden Vektoren '''linear unabhängig''' und somit nicht parallel zueinander sind.

* Möglichkeit 2: "Vergleichen und Probieren"
Vergleicht man die x-Koordinaten der beiden Vektoren, so sieht man, dass 4 doppelt so groß wie 2 ist. Daraus ergibt sich, dass ein etwaiges k=2 sein müsste.
Probiert man auch die zweite Zeile mit 2 zu multiplizieren, so erhält man 10. Die y-Koordinate von b müsste also 10 sein, damit die beiden Vektoren parallel zueinander sind.
}}

 

===Betrag und Einheitsvektor===
[[Datei:PythagorasVektor.png|thumb|right|350px|Betrag eines Vektors; Einheitsvektor]]Wie anfangs bereits erwähnt, besitzen Vektoren eine Länge, auch '''Betrag''' eines Vektors genannt. Dieser wird mit Hilfe des pythagoräischen Lehrsatzes wie folgt berechnet:

<div align="center">$\parallel \vec{v} \parallel = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2} \ $ wenn $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ ein Vektor der Dimension $n$ ist.</div>
Sehen wir uns die Grafik rechts an, können wir mit dieser Formel die Länge des zweidimensionalen Vektors $\parallel \vec{v} \parallel$ berechnen:

<div align="center">$\parallel \vec{v} \parallel = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$</div>
 Der '''Einheitsvektor''' $\vec{a_0}$ eines Vektors $\vec{a}$ ist ein zu $\vec{a}$ paralleler Vektor mit Länge 1. Rechnerisch erhält man $\vec{a_0}$, indem man $\vec{a}$ durch seine Länge dividiert. $ \vec{a_0}

=\frac{\vec{a}}{\parallel \vec{a}\parallel}$
bzw.
$ \vec{a_0}=\frac{1}{\parallel\vec{a}\parallel}\cdot \vec{a}$

Daraus ergibt sich ein Vektor, der dieselbe Richtung des ursprünglichen Vektors hat, allerdings die Länge 1 besitzt.

{{Vorlage:Merke|1=
Sei $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ ein Vektor der Dimension $n$ und $\parallel \vec{v} \parallel$ sein Betrag, dann ist $\vec{v_0} = \frac{1}{\parallel \vec{v} \parallel} \cdot \vec{v} \ $ der Einheitsvektor zu $\vec{v}$.}}

In unserem Beispiel würde das folgendes bedeuten:

{{Vorlage:Beispiel|1= Bestimme den Einheitsvektor von $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$

|2=<div align="center">$\vec{v_0} = \frac{1}{\sqrt{13} } \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \frac{2}{\sqrt{13} } \\ \frac{3}{\sqrt{13} } \end{array} \right)$</div>
}}

===Vektoren bestimmter Länge===
Da wir nun gelernt haben, Einheitsvektoren zu bilden und Vektoren mit Zahlen zu multiplizieren (und ich das hier so schön betone), könnt ihr euch vielleicht schon vorstellen, wie man aus einem beliebigen Vektor einen Vektor derselben Richtung, allerdings unterschiedlicher Länge bekommt. Wir haben also einen Vektor $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ mit der Länge $\parallel \vec{v} \parallel = k$ gegeben, und hätten gerne den Vektor $\vec{w} \ \parallel \ \vec{v}$ mit der Länge $l$. Dazu berechnen wir zuerst den Einheitsvektor $\vec{v_0}$ von $\vec{v}$ und multiplizieren diesen dann mit $l$. So erhalten wir schließlich $\vec{w} = l \cdot \vec{v_0}$.

==Mittelpunkt einer Strecke==
[[Datei:Mittelpunkt.png|thumb|right|300px|Mittelpunkt M der Strecke AB]]Willst du den Mittelpunkt zwischen 2 Punkten $A$ und $B$ berechnen, musst du wie folgt vorgehen:
Zuerst berechnest du einen Vektor zwischen den Punkten ($\vec{AB}$ oder $\vec{BA}$). Dann halbierst du diesen Vektor, und erhältst $\vec{AM}$ bzw. $\vec{BM}$. Addierst du dann diesen Vektor zum entsprechenden Punkt ($A$ bzw. $B$), erhältst so den Mittelpunkt. Also:

<div align="center">$\vec{0M} = \vec{0A} + \frac{\vec{AB}}{2} = \vec{0B} + \frac{\vec{BA}}{2}$</div>

Kurzschreibweise:
<div align="center">$M = \vec{A} + \frac{\vec{AB}}{2}$ </div>

=Im $\mathbb{R^2}$=
Dieser Artikel befasst sich mit der Vektorrechnung im zweidimensionalen Raum. Grundlegende Informationen zur Vektorrechnung, so wie Punkte und Vektoren, findest du unter dem Tab ''Grundlagen der Vektorrechnung''.

==Vektoren==
===Normalvektoren===
[[Datei:Normalvektoren.png|thumb|right|350px|Normalvektoren]]Normalvektoren zu einem Vektor sind alle Vektoren, die normal (im rechten Winkel) auf den Vektor stehen. Im $\mathbb{R^2}$ gibt es zu jedem Vektor genau 2 Normalvektoren, die dieselbe Länge wie der ursprüngliche Vektor haben. Alle anderen Normalvektoren sind Vielfache eines dieser 2 Normalvektoren.

{{Vorlage:Merke | 1=Sei $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ ein Vektor, dann ist $\vec{n_1}=\left( \begin{array}{c} -y \\ x \end{array} \right)$ sein nach links gekippter, und $\vec{n_2}=\left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right)$ sein nach rechts gekippter Normalvektor.
''Vertausche die Koordinaten und ändere '''ein''' Vorzeichen''
}}

===Skalarprodukt===
Unter dem Skalarprodukt versteht man die Multiplikation zweier Vektoren, bei der als Ergebnis ein Skalar (eine Zahl) entsteht.

{{Vorlage:Merke|1=Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren, dann ist $\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \end{array} \right) = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b$ gleich ihr Skalarprodukt.
}}

Das Skalarprodukt wirkt auf den ersten Blick etwas "eigenartig". Man kann sich die Bedeutung des Skalarproduktes besonders gut an einem Anwendungsbeispiel erklären:
Angenommen in einer Preisliste stehen 10 Kugelschreiber, die jeweils 2€ kosten und 20 Bleistifte, die jeweils 0,50€ kosten.
In Tabellenform sieht das folgendermaßen aus:

{| class="wikitable"
|-
! Produkt !! Stückzahl !! Preis pro Stück (in €)
|-
| Kugelschreiber || 10 || 2
|-
| Bleistift || 20 || 0,50
|}

Aus dieser Tabelle kann ein Stückzahlvektor $\left( \begin{array}{c} 10 \\ 20 \end{array} \right)$ und ein Preisvektor $\left( \begin{array}{c} 2 \\ 0,50 \end{array} \right)$ abgelesen werden.

Möchte man den Gesamtwert der Produkte berechnen, so müssen jeweils die Einzelpreise mit der Stückzahl multipliziert werden und anschließend die Summe gebildet werden.
Genau das macht das Skalarprodukt!
$\left( \begin{array}{c} 10 \\ 20\end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0.50 \end{array} \right) = 10 \cdot 2 + 20 \cdot 0.50 = 20 + 10 = 30€ $

===Winkel zwischen zwei Vektoren===
[[Datei:Winkel.png|thumb|right|350px|Winkel zwischen 2 Vektoren]]<big>$$cos{\varphi} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel} = \vec{a_0} \cdot \vec{b_0}$$
bzw.
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = \parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel \cdot cos{\varphi}$$</big>

Heißt es, den Winkel zwischen 2 Vektoren/Geraden zu bestimmen, ist damit immer der kleinere Winkel gemeint. Solltest du einmal ein Ergebnis erhalten, das größer als 180° ist (nennen wir dieses Ergebnis $\varphi'$), dann ziehe dieses Ergebnis von 360° ab und du erhältst den kleineren Winkel ($\varphi = 360° - \varphi'$). 
Bei einem Winkel von $\varphi = 90°$ erhalten wir $cos{\varphi} = 0$, was bedeutet, dass auch $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$. Daraus ergibt sich das Orthogonalitätskriterium.

====Orthogonalitätskriterium====
{{Vorlage:Merke|1=Ergibt das Skalarprodukt zweier Vektoren $0$, so stehen diese zwei Vektoren normal zueinander (und umgekehrt!)$$\vec{a} \cdot \vec{b} \ = \ 0 \ \Leftrightarrow \ \vec{a} \bot \vec{b}$$}}

Mithilfe des Orthogonalitätskriteriums kann man auch zeigen, dass $\vec{n}=\left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right)$ stets ein Normalvektor von $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ ist.
$$\vec{v} \cdot \vec{n} = \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right) = xy - yx = 0$$

==Geraden==
===Darstellungsformen===
Geraden lassen sich in unterschiedlichen Formen darstellen. In der Vektorrechnung ist die Parameterdarstellung populär, da man dazu nur einen Punkt und Vektor kennen muss. Die Normalform allerdings hat den Vorteil, dass man den Normalvektor zur Geraden auf einen Blick ablesen kann. Je nachdem, was man mit der Gerade vorhat, können die verschiedenen Formen ineinander umgewandelt werden.

====Parameterdarstellung====
[[Datei:Parameterdarstellung.png|thumb|right|350px|Parameterdarstellung einer Geraden]]$$g: \vec{0X} = \vec{0P} + t \cdot \vec{a}$$ 
wobei

* $X \in g$ ist ein '''beliebiger''' Punkt auf der unendlichen Geraden (steht für alle Punkte auf der Geraden)
* $P \in g$ ist ein '''bekannter''' Punkt auf der Geraden
* $t \in \mathbb{R}$ ist ein freier Parameter (in der Graphik rechts $\lambda$)
* $\vec{a} \in \mathbb{R^2}$ ist ein Vektor parallel zur Geraden, der die Richtung dieser angibt ("Richtungsvektor")

 
Beachte, dass in der Parameterdarstellung keine Punkte, sondern Ortsvektoren verwendet werden! (Info zu Ortsvektoren findest du unter ''Grundlagen der Vektorrechnung''.) Wenn man das weiß, kann man der Einfachheit halber die Gerade auch folgendermaßen beschreiben: $g: X = P + t \cdot \vec{a}$

 
Eine andere Schreibweise ist, die Koordinaten einzeln zu betrachten und 2 Gleichungen aufzustellen:
$$g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \end{cases}$$

====Normalvektorform====
Hierzu benötigt man einen Normalvektor des Richtungsvektors und multipliziert dann die Geradengleichung mit diesem Normalvektor. Da $\vec{a} \cdot \vec{n} = 0$, bleibt über:

Sei $g: \vec{0X} = \vec{0P} + t \cdot \vec{a}$ eine Gerade in Parameterform, so ist

<div align="center">$g: \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x_P \\ y_P \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right)$</div>

dieselbe Gerade in Normalform, wobei $\vec{0X}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right), \ \vec{0P}=\left( \begin{array}{c} x_P \\ y_P \end{array} \right), \ \vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right)$ und $\vec{n}=\left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right)$ ein Normalvektor von $\vec{a}$ (hier kann man natürlich auch den anderen Normalvektor verwenden).

====Allgemeine Geradengleichung====
Diese Form der Darstellung heißt auch Normalform, da man den Normalvektor der Gerade direkt ablesen kann.Um von der Parameterdarstellung auf diese Form zu kommen, gibt es 2 Möglichkeiten:

'''1. Multiplikation mit Normalvektor:'''
Hierzu muss man einfach die Normalform ausmultiplizieren und es ergibt sich:

$$g: y_a \cdot x + -x_a \cdot y = y_a \cdot x_P + -x_a \cdot y_P$$

'''2. Elimination des Parameters:'''
Hierbei gehen wir von der Geradenform $g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \end{cases}$ aus, eliminieren $t$, und kommen ebenfalls auf die obige allgemeine Geradengleichung.
Auf der rechten Seite der Gleichung stehen nur bekannte Größen, auf der linken Seiten stehen Vielfache von x und y. Diese Gleichung kann man weiter auch auf die Form y=kx+d umformen.

===Lagebeziehungen zwischen Geraden===
Mehrere Geraden können im $\mathbb{R^2}$

* ident sein, d.h. sie haben unendlich viele gemeinsame Punkte
* parallel sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt
* einander schneiden, d.h. sie haben genau ein gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt)

 Sind uns 2 Geraden in '''Parameterdarstellung''' gegeben, betrachten wir zuerst ihre Richtungsvektoren. 
Sind diese parallel zueinander, so sind auch die Geraden parallel zueinander. Nun bleibt noch die Frage offen, ob die Geraden ident sind. Dazu überprüfen wir einfach, ob der gegebene Punkt der einen Geraden auch auf der anderen Geraden liegt. Dazu Setzen wir den bekannten Punkt der einen Geraden für den unbekannten Punkt der anderen Geraden ein und erhalten 2 Gleichungen in einer Unbekannten (Parameter der zweiten Gerade). Erhalten wir nun für den Parameter zweimal dasselbe Ergebnis, so sind die 2 Geraden ident, erhalten wir unterschiedliche Ergebnisse, so sind sie nur parallel. 
Sind die Richtungsvektoren nicht parallel zueinander, so sind es auch die 2 Geraden nicht, und wir können uns sicher sein, dass diese einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen.
Doch wie erhalten wir den Schnittpunkt? Ganz einfach, indem wir die 2 Geraden schneiden. Dazu müssen wir sie gleichsetzen, und dann das dadurch erhaltene Gleichungssystem in 2 Unbekannten (die 2 Parameter) lösen. Wenn wir den Wert eines Parameters ausgerechnet haben, setzen wir ihn einfach in die entsprechende Geradengleichung ein und erhalten so den Schnittpunkt!

Sind die 2 Geraden in der '''allgemeinen Geradenform''' gegeben, so haben wir bereits 2 Gleichungen gegeben, die wir nach x und y auflösen. Dieses x und y sind die Koordinaten des Schnittpunktes.

Um das Schneiden von Geraden besser zu verstehen, schau dir das Lösen von [[ Gleichungssysteme (2.7.) |Gleichungssystemen]] genauer an, wirf einen Blick auf die Beispiele zum $\mathbb{R^2}$ unter dem Tab 'Beispiele', oder sieh dir dieses Video an:

<div align="center">{{#ev:youtube|ZrFE3LRisn0}}</div>

===Normalabstand Punkt - Gerade===
[[Datei:Normalabstand.gif|right]]Gegeben sei ein Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und eine Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$. Um den Normalabstand $d(Q,g)$ zwischen Q und g zu berechnen, gehe wie folgt vor:
{{Vorlage:Merke|1=1. Bestimme die Gerade $q: X = Q + s \cdot \vec{n}$, die durch $Q$ geht und den Normalvektor $\vec{n}$ von $\vec{a}$ als Richtungsvektor besitzt.
2. Schneide $g$ und $q$ und die erhältst ihren Schnittpunkt $S$. 
3. Berechne $\parallel \vec{QS} \parallel$.}}
In der Graphik rechts hätten wir z.B. die Angabe $g: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right) + \lambda \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array} \right)$ und $Q(3/4)$. Du kannst das zur Übung durchrechnen.

====Hesse'sche Abstandsformel====
Mithilfe dieser Formel kann man ebenfalls den Abstand $d(Q,g)$ zwischen Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$ bestimmen. <big>$d(Q,g) = | \vec{PQ} \cdot \vec{n_0} | $</big>, wobei $\vec{n_0}$ der normierte (Länge 1) Normalvektor des Richtungsvektors $\vec{a}$ der Geraden $g$ ist.

====Spiegelung eines Punktes an einer Geraden====
[[Datei:Spiegeln.png|thumb|right|250px|Gespiegelter Punkt Q']]Gegeben sei ein Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und eine Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$. Es gilt den Punkt $Q$ an der Gerade $g$ zu spiegeln, und so den Punkt $Q'$ zu erhalten. Dazu befolgst du die Vorgehensweise von "Normalabstand Punkt - Gerade" bis du den Vektor $\vec{QS}$ erhältst, und trägst diesen vom Punkt $S$ ab, also: 
$Q' = S + \vec{QS}$

=Im $\mathbb{R^3}$=
==Vektoren==
===Kreuzprodukt===
Im $\mathbb{R^3}$ gibt es neben dem Skalarprodukt, bei dem wir als Ergebnis ein Skalar erhalten, eine weitere Möglichkeit, zwei Vektoren miteinander zu multiplizieren: das sog. Kreuz- oder Vektorprodukt, bei dem wir als Ergebnis einen Vektor erhalten.{{Vorlage:Merke|1=Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren des $\mathbb{R^3}$, dann ist ihr Kreuzprodukt
$$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} y_a \cdot z_b - z_a \cdot y_b \\ z_a \cdot x_b - x_a \cdot z_b \\ x_a \cdot y_b - y_a \cdot x_b \end{array} \right)$$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ -3 \end{array} \right)$, gesucht ist ihr Kreuzprodukt.|

2=$$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \cdot (-3) - 3 \cdot 4 \\ 3 \cdot 5 - 1 \cdot (-3) \\ 1 \cdot 4 - 2 \cdot 5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-6) - 12 \\ 15 - (-3) \\ 4 - 10 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -18 \\ 18 \\ -6 \end{array} \right)$$}}

Wozu wir das Kreuzprodukt überhaupt benötigen, sehen wir an den nächsten 2 Punkten.

====Normalvektoren====
Im $\mathbb{R^3}$ gibt es zu einem Vektor unendlich viele Normalvektoren. Auf eine Ebene allerdings gibt es genau 2 Normalvektoren (wie im $\mathbb{R^2}$ auf eine Gerade). Eine Ebene wird von 2 Vektoren aufgespannt, deren Kreuzprodukt ergibt einen Normalvektor $\vec{n_1}$ auf die Ebene bzw. die zwei Vektoren; der zweite Normalvektor hat die entgegengesetzte Orientierung ($\vec{n_2} = -\vec{n_1}$). Also:$$\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$$

====Fläche eines von zwei Vektoren aufgespannten Parallelogramms oder Dreiecks====
[[Datei:FlächeNormalvektor.png|thumb|right|none|250px|2 Vektoren spannen ein Dreieck bzw. Parallelogramm auf]] 
{{Vorlage:Merke|1=Die Länge $\parallel \vec{n} \parallel = \parallel \vec{a} \times \vec{b} \parallel$ des Normalvektors $\vec{n}$ zu den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ entspricht der Maßzahl des Flächeninhaltes des Parallelogramms, das $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aufspannen (im Bild die gesamte grüne Fläche).
Die Hälfte dieser Fläche entspricht der Fläche des aufgespannten Dreiecks.}}

===Skalarprodukt, Orthogonalitätskriterium, Winkel zwischen zwei Vektoren===
Diese drei Dinge "funktionieren" im $\mathbb{R^3}$ wie im $\mathbb{R^2}$. Also hier nur eine kurze Wiederholung: 

'''Skalarprodukt''' 
Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\z_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren, dann ist $$\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right) = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b + z_a \cdot z_b$$ gleich ihr Skalarprodukt.
 

'''Orthogonalitätskriterium''' 
Ergibt das Skalarprodukt zweier Vektoren $0$, so stehen diese zwei Vektoren normal zueinander (und umgekehrt!)
$$\vec{a} \cdot \vec{b} \ = \ 0 \ \Leftrightarrow \ \vec{a} \bot \vec{b}$$
Auch das gibt es im $\mathbb{R^3}$. Bedenke aber, dass es hier, anders als im $\mathbb{R^2}$, unendlich viele Normalvektoren auf einen Vektor gibt.
 

'''Winkel zwischen zwei Vektoren'''
$$cos{\varphi} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel} = \vec{a_0} \cdot \vec{b_0}$$

==Geraden==
===Darstellungsformen===
====Parameterdarstellung====
Die Parameterdarstellung im $\mathbb{R^3}$ sieht genauso aus wie im $\mathbb{R^2}$, einziger Unterschied ist, dass unsere Punkte und Vektoren hier jeweils 3 Koordinaten haben.$$g: X = P + t \cdot \vec{a}$$ bzw. $$g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \\ z = z_P + t \cdot z_a \end{cases}$$
Mehr Infos zu den einzelnen Komponenten findest du im Tab 'Im $\mathbb{R^2}$'.

====Parameterfreie Darstellungsform====
Diese besteht aus 2 Gleichungen und wir erhalten sie durch Eliminierung des Parameters.

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sei die Parameterform der Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ -4 \\ 1 \end{array} \right)$. Zuerst schreiben wir das in die 3 Koordinatengleichungen um:
$$g : \begin{cases} x = 2 + 3t \\ y = 0 - 4t \\ z = 1 + t \end{cases}$$

2=Wir multiplizieren die erste Gleichung mit $4$ und die zweite Gleichung mit $3$ und addieren die beiden: $$+ \begin{cases} 4x = 8 + 12t \\ 3y = 0 - 12t \end{cases}$$ und erhalten so die Gleichung $4x + 3y = 8$.
Wir multiplizieren die dritte Gleichung mit $3$ und subtrahieren diese von der ersten Gleichung: $$- \begin{cases} x = 2 + 3t \\ 3z = 3 + 3t \end{cases}$$ und erhalten so die Gleichung $x - 3z = -1$.

Die parameterfreie Darstellung unserer Gerade lautet somit $$g : \begin{cases} 4x + 3y = 8 \\ x - 3z = -1 \end{cases}$$.}}

Die zwei Gleichungen in der parameterfreien Darstellung sind übrigens Ebenengleichungen. Die eigentliche Gerade ist der Schnitt dieser zwei Ebenen!

===Lagebeziehungen zwischen Geraden===
Mehrere Geraden können im $\mathbb{R^3}$

* ident sein, d.h. sie haben unendlich viele gemeinsame Punkte
* parallel sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt
* einander schneiden, d.h. sie haben genau ein gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt)
* windschief sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt und sind nicht parallel

Um herauszufinden, wie 2 gegebene Geraden in Parameterform zueinander stehen, gehst du am besten wie folgt vor:

'''Betrachtung der Richtungsvektoren:''' Auch im $\mathbb{R^3}$ gilt, sind die Richtungsvektoren zweier Geraden parallel zueinander (d.h. man kann einen Vektor als Vielfaches des anderen Vektors darstellen), so sind es auch die Geraden.

'''Fall 1: Die Vektoren sind parallel:''' Sollte sich herausstellen, dass die zwei Geraden parallel zueinander sind, überprüfst du als nächstes, ob sie einen gemeinsamen Punkt haben; am einfachsten funktioniert das, indem du den bekannten Punkt ($P$) der einen Geraden in die zweite Gerade (für den unbekannten Punkt $X$) einsetzt. Wir erhalten drei Gleichungen in einer Unbekannten (Parameter der zweiten Gerade). 
'''Fall 1a:''' Erhalten wir nun für den Parameter dreimal dasselbe Ergebnis, so sind die 2 Geraden '''ident''' (und parallel), da der überprüfte Punkt, und somit unendlich weitere, auf beiden Geraden liegen. 
'''Fall 1b:''' Erhalten wir unterschiedliche Ergebnisse, so sind sie nur '''parallel''', da der überprüfte Punkt nicht, und somit auch kein anderer, auf beiden Geraden liegen.

'''Fall 2: Die Vektoren sind nicht parallel:''' Nun gibt es nur noch zwei Möglichkeiten: Entweder die zwei Geraden haben einen gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt), oder sie sind windschief. 
Um das wiederum herauszufinden, setzt du die beiden Geraden gleich, d.h. du stellst ein lineares Gleichungssystem (LGS) mit drei Gleichungen und in drei Unbekannten auf, und versuchst, dieses zu lösen. 
'''Fall 2a:''' Solltest du nun eine Lösung erhalten, d.h. du erhältst den Wert für den Parameter einer der zwei Geraden (und hast diesen Wert überprüft), so weißt du, dass die zwei Geraden einander '''schneiden'''. Den Schnittpunkt erhältst du jetzt, indem du den erhaltenen Wert für den Parameter in die entsprechende Geradengleichung einsetzt. 
'''Fall 2b:''' Sollte dein LGS keine Lösung ergeben (also sich eine falsche Aussage oder ein Widerspruch ergeben, z.B. $2=13$, oder $t=4$ und $t=-1$), dann weißt du, dass deine beiden Geraden keinen Schnittpunkt haben und somit '''windschief''' sind.

Zum besseren Verständnis siehst du dir am besten das folgende Video und die beiden folgenden Beispiele an.

<div align="center">{{#ev:youtube|u0QoYlEE094}}</div>
{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die beiden Geraden $g: X = \left( \begin{array}{c} 0 \\ -11 \\ -3 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right)$ und $h: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ -3 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right)$. Überprüfe deren gegenseitige Lage und gegebenenfalls ihren Schnittpunkt!|2=Zuerst überprüfen wir die Richtungsvektoren der beiden Geraden, um festzustellen, ob diese parallel zueinander sind oder nicht:$$\nexists \lambda : \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) = \lambda \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) \nparallel \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g \nparallel h$$
$g$ und $h$ sind also nicht parallel. Sie können also noch entweder einander schneiden oder windschief sein. Stellen wir nun ein LGS auf, indem wir die beiden Geraden gleichsetzen:
$$\begin{align}
I: \ &&&s&=&2&+&t \\
II: \ &-11&+&2s&=&3&-&3t \\
III: \ &-3&+&s&=&-3&+&2t
\end{align}$$ 
Wir subtrahieren $III$ von $I$: $- \begin{cases} &s &=& 2 + t \\ -3 + &s &=& -3 + 2t \end{cases} \ \rightarrow \ 3 = 5 - t \Rightarrow t = 2$ 
Wir überprüfen dieses Ergebnis für $t$, indem wir $t=2$ in alle 3 Gleichungen einsetzen. Wir sehen dann, dass wir überall dasselbe Ergebnis für $s$ erhalten, nämlich $s=4$. Daraus folgt, dass die Geraden einander '''schneiden'''. Setzen wir nun $t=2$ oder $s=4$ in die entsprechende Geradengleichung, so erhalten wir den Schnittpunkt $S(4/-3/1)$ der beiden Geraden.}}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die beiden Geraden $g: X = \left( \begin{array}{c} 3 \\ -2 \\ 0 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right)$ und $h: X = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$. Überprüfe deren gegenseitige Lage und ggf. ihren Schnittpunkt!|2=Zuerst überprüfen wir wieder die Richtungsvektoren der beiden Geraden:$$\nexists \lambda : \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) = \lambda \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) \nparallel \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g \nparallel h$$
Nun stellen wir wieder ein LGS auf:
$$\begin{align}
I: \ &3&+&2s&=&4&-&t \\
II: \ &-2&-&2s&=&3&& \\
III: \ &&&s&=&1&+&t
\end{align}$$ 
Aus der zweiten Gleichung lässt sich direkt berechnen, dass $s=- \frac{5}{2}$. Dies setzen wir nun in die erste und zweite Gleichung ein und erhalten einmal $3 - 5 = 4 - t \ \Rightarrow \ t=6$ und einmal $- \frac{5}{2} = 1 + t \ \Rightarrow \ t=- \frac{7}{2}$. Diese beiden Werte für $t$ sind offensichtlich voneinander unterschiedlich, daraus folgt, dass die beiden Geraden $g$ und $h$ '''windschief''' sind.
}}

==Ebenen==
Eine Ebene ist durch 3 Punkte oder 1 Punkt und 2 (voneinander linear unabhängigen) Vektoren eindeutig festgelegt.

===Darstellungsformen===
====Parameterdarstellung====
[[Datei:ebene2.png|thumb|right|350px|von Punkt und Vektoren aufgespannte Ebene]]
$$\epsilon : X = P + s \cdot \vec{a} + t \cdot \vec{b}$$
bzw.
$$\epsilon : \begin{cases} x = x_P + s \cdot x_a + t \cdot x_b \\ y = y_P + s \cdot y_a + t \cdot y_b \\ z = z_P + s \cdot z_a + t \cdot z_b \end{cases}$$
wobei

* $X \in \epsilon$ ist ein '''beliebiger''' Punkt auf der unendlichen Ebene
* $P \in \epsilon$ ist ein '''bekannter''' Punkt auf der Ebene
* $s, t \in \mathbb{R}$ sind freie Parameter
* $\vec{a}, \vec{b} \in \mathbb{R^3}$ sind zwei Vektoren, die parallel zur Ebene liegen

====Normalvektorform====
Man multipliziert die Parameterdarstellung der Ebene mit ihrem Normalvektor $\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$ und erhält$$\vec{n} \cdot \vec{X} = \vec{n} \cdot \vec{P}$$

====Allgemeine Ebenengleichung====
$$ax + by + cz = d$$Diese Form der Darstellung heißt auch Normalform, da man den Normalvektor der Ebene direkt ablesen kann. Um von der Parameterdarstellung auf diese Form zu kommen, gibt es 2 Möglichkeiten:

'''1. Multiplikation mit Normalvektor:'''
Hierzu muss man einfach die Normalform ausmultiplizieren und es ergibt sich:

$$\epsilon: x_n \cdot x + y_n \cdot y + z_n \cdot z = x_n \cdot x_P + y_n \cdot y_P + z_n \cdot z_P$$

'''2. Elimination des Parameters:'''
Hierbei gehen wir von der Ebenengleichung $\epsilon : \begin{cases} x = x_P + s \cdot x_a + t \cdot x_b \\ y = y_P + s \cdot y_a + t \cdot y_b \\ z = z_P + s \cdot z_a + t \cdot z_b \end{cases}$ aus, eliminieren $s$ und $t$, und kommen ebenfalls auf die obige allgemeine Ebenengleichung.

Zur Veranschaulichung ein Beispiel zu den verschiedenen Darstellungsformen:
{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die drei Punkte $A(1/1/1), B(-1/-4/2), C(0/3/-1)$. Gib die Ebene, die diese drei Punkte aufspannen, in Parameterform, Normalform und allgemeiner Ebenengleichung an!|2=Für die Parameterform berechnen wir erst zwei beliebige Vektoren aus den 3 Punkten, z.B. $\vec{AB} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{AC} = \left( \begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right)$. Als Parameterform erhalten wir schließlich:
$$\epsilon: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right)$$ Um auf die Normalform zu kommen, bestimmen wir als erstes den Normalvektor der Ebenen: $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-5) \cdot (-2) - 1 \cdot 2 \\ 1 \cdot (-1) - (-2) \cdot (-2) \\ (-2) \cdot 2 - (-5) \cdot (-1) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right)$. 
Nun die Parametergleichung mit dem Normalvektor multiplizieren und wir erhalten auch die Normalform:
$$\epsilon: \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)$$ 
Um nun noch die allg. Ebenenform zu erhalten, multipliziert man am einfachsten die Normalform aus und erhält:
$$\epsilon: 8x - 5y -9z =-6$$ 
Aber auch die Elimination der Parameter soll hier gezeigt werden. Wir gehen aus von: $$\epsilon : \begin{cases} x = 1 - 2s - t \\ y = 1 - 5s + 2t \\ z = 1 + s - 2t\end{cases}$$
Addieren wir die y- und die z-Gleichung, können wir $t$ eliminieren: $+ \begin{cases} y = 1 - 5s + 2t \\ z = 1 + s - 2t \end{cases} \ \Rightarrow \ y + z = 2 - 4s$. 
Wir können $t$ ebenfalls eliminieren, indem wir die y-Gleichung zum 2-fachen der x-Gleichung addieren: $+ \begin{cases} 2x = 2 - 4s - 2t \\ y = 1 - 5s + 2t \end{cases} \ \Rightarrow \ 2x + y = 3 -9s$. 
Nun haben wir zwei Gleichungen, die nur mehr von $s$ abhängig sind. Um diesen Parameter nun auch noch zu eliminieren, multiplizieren wir die erste Gleichung mit $(-9)$ und die zweite mit $4$ und addieren diese, um nochmals auf die allg. Ebenengleichung zu kommen.
$$+ \begin{cases} 8x + 4y = 12 - 36s \\ -9y - 9z = -18 + 36s \end{cases} \ \Rightarrow \ \epsilon: 8x - 5y -9z =-6$$
}}

===Lagebeziehungen===
====...zwischen zwei Ebenen====
Zwei Ebenen können im $\mathbb{R^3}$

* ident sein: die Ebenengleichungen (allg. Form) sind Vielfache voneinander;

z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : 2x + 2y + 2z = 6 \Rightarrow \epsilon _2 = 2 \cdot \epsilon _1$

* parallel sein: die Normalvektoren der Ebenen sind Vielfache voneinander;

z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : 2x + 2y + 2z = 5 \Rightarrow \vec{n_2} = 2 \cdot \vec{n_1}$

* einander schneiden (in einer Gerade): die Normalvektoren der Ebenen sind keine Vielfache voneinander;

z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : x - 3y + 2z = 1 \Rightarrow \nexists \lambda \in \mathbb{R} : \vec{n_1} = \lambda \cdot \vec{n_2}$

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:Ebenenident2.png|2 Ebenen sind ident
Datei:Ebenenparallel2.png|2 Ebenen sind parallel
Datei:Ebenenschnittgerade2.png|2 Ebenen schneiden einander in einer Geraden
</gallery>

 
'''Berechnen der Schnittgerade''' 
Erkennt man durch Betrachtung der Normalvektoren zweier Ebenen, dass diese einander schneiden müssen, so kann man diese Schnittgerade berechnen. Dazu erstellt man aus den beiden Ebenengleichungen ein lineares Gleichungssystem in 3 Unbekannten. 2 Gleichungen - 3 Unbekannte: wir werden hier nicht für alle Unbekannten einen Zahlenwert erhalten, können aber 2 Unbekannte in Abhängigkeit der dritten darstellen. Diese dritte Unbekannte wird uns als Parameter für die Darstellung der Geraden dienen. Zur Veranschaulichung ein Beispiel:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die beiden Ebenen $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : x - 3y + 2z = 1$. Wie wir weiter oben schon festgestellt haben, müssen diese Ebenen einander schneiden, da die beiden Noramlvektoren der Ebenen $\vec{n_1}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{n_2}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right)$ linear unabhängig voneinander sind, also $\nexists \lambda \in \mathbb{R} : \vec{n_1} = \lambda \cdot \vec{n_2}$. 
Wir wählen nun eine der Koordinaten als Parameter, z.B. $z=t$ und stellen das Gleichungssystem auf.

2=

$$\begin{align}I: \ &x&+&y&+&t&=&3 \\
II: \ &x&-&3y&+&2t&=&1
\end{align}$$

Wir subtrahieren $I-II$ und erhalten
$$4y - t = 2 \ \Rightarrow \ y = \frac{1}{2} + t \cdot \frac{1}{4}$$
Nun setzen wir unser erhaltenes $y$ in die erste Gleichung ein, um $x$ zu erhalten:

$$I: \ x + \frac{1}{2} + t \cdot \frac{1}{4} + t = 3 \ \Rightarrow \ x = \frac{5}{2} - t \cdot \frac{5}{4}$$
Somit haben wir alle Ausdrücke der Koordinaten gefunden ($z=t$ haben wir anfangs festgelegt) und können die Parameterdarstellung der Schnittgerade angeben:
$$g: X = \left( \begin{array}{c} \frac{5}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 0 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} - \frac{5}{4} \\ \frac{1}{4} \\ 1 \end{array} \right)$$
}}

====...zwischen 3 Ebenen====
Drei Ebenen können im $\mathbb{R^3}$

* alle ident sein
* 2 ident, 1 parallel sein
* alle parallel sein
* 3 Schnittgeraden haben
* 2 Schnittgeraden haben (2 Ebenen parallel)
* 1 Schnittgerade haben
* 1 Schnittpunkt haben

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:Ebenenident3.png|3 Ebenen sind ident
Datei:Ebenenidentparallel.png|2 Ebenen sind ident, 1 parallel
Datei:Ebenenparallel3.png|3 Ebenen sind parallel
Datei:Ebenenschnittgeraden33.png|3 Ebenen schneiden einander in 3 Geraden
Datei:Ebenenschnittgeraden32.png|3 Ebenen schneiden einander in 2 Geraden (2 Ebenen parallel)
Datei:Ebenenschnittgerade3.png|3 Ebenen schneiden einander in einer Gerade
Datei:Ebenenschnittgerade31.png|3 Ebenen schneiden einander in einer Gerade (2 Ebenen ident)
Datei:Ebenenschnittpunkt3.png|3 Ebenen schneiden einander in einem Punkt
</gallery>

====...zwischen Ebene und Gerade====
Eine Ebene und eine Gerade können im $\mathbb{R^3}$

* $g \subset \epsilon$, die Gerade liegt auf der Ebene

Hierbei haben die Gerade und die Ebene einen gemeinsamen Punkt und der Richtungsvektor der Gerade steht normal auf den Normalvektor der Ebene, daraus folgt, dass sie unendlich gemeinsame Punkte haben.

* parallel sein

Irgendein Punkt der Gerade liegt nicht auf der Ebene, der Richtungsvektor der Gerade steht normal auf den Normalvektor der Ebene, daraus folgt, dass sie keinen einzigen gemeinsamen Punkt haben.

* 1 Schnittpunkt haben

Der Richtungsvektor der Geraden steht nicht normal auf den Normalvektor der Ebene.

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:GeradeinEbene.png|Gerade liegt auf der Ebene
Datei:GeradepararallelEbene.png|Gerade und Ebene sind parallel zueinander
Datei:GeradeSchnittpunktEbene.png|Gerade und Ebene schneiden einander (Schnittpunkt)
</gallery>

Zur Überprüfung der Lagebeziehung gibt es allerdings noch eine andere (schnellere) Methode. Hier "schneiden" wir die Gerade und die Ebene mathematisch, d.h. wir setzen sie gleich (wenn beide in Parameterform gegeben sind) oder setzen die Gerade $g$ (Parameterform) in die Ebene $\epsilon$ (allg. Ebenengleichung) ein. 
Wir erhalten dadurch ein Gleichungssystem oder eine einzelne Gleichung.

Sei die Gerade gegeben als $g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \\ z = z_P + t \cdot z_a \end{cases}$ und die Ebene als $\epsilon : \begin{cases} x = x_Q + s \cdot x_b + u \cdot x_c \\ y = y_Q + s \cdot y_b + u \cdot y_c \\ z = z_Q + s \cdot z_b + u \cdot z_c \end{cases}$ (Parameterform) oder $\epsilon : ax + by + cz = d$ (allg. Ebenengleichung).

Wir erhalten als Gleichungssystem durch Gleichsetzen der Gleichungen der Parameterformen:
$$\begin{cases} x_P + t \cdot x_a = x_Q + s \cdot x_b + u \cdot x_c \\ y_P + t \cdot y_a = y_Q + s \cdot y_b + u \cdot y_c \\ z_P + t \cdot z_a = z_Q + s \cdot z_b + u \cdot z_c \end{cases}$$ 
Wir erhalten durch Einsetzen der Gerade in die Ebene (allg. Ebenengleichung):
$$a \cdot (x_P + t \cdot x_a) + b \cdot (y_P + t \cdot y_a) + c \cdot (z_P + t \cdot z_a) = d$$

Ergibt sich hier eine wahre Aussage (z.B. $1=1$), also unendlich viele Lösungen, so liegt die Gerade in der Ebene. 
Ergibt sich eine falsche Aussage (z.B. $1=2$), also keine Lösung, so schneiden die beiden Objekte einander nicht, also sie sind parallel. 
Gibt es genau eine Lösung (z.B. $t=2$), so existiert genau ein gemeinsamer Punkt = Schnittpunkt. Diesen erhält man, indem man den ermittelten Wert für den Parameter $t$ der Geraden in die Geradengleichung einsetzt (oder, wenn die Ebene in Parameterform gegeben war, die beiden Werte für die Parameter $s$ und $u$ der Ebene in die Ebenengleichung einsetzt). Dazu 2 Beispiele, wobei wir im ersten mit der Ebene in Parameterform rechnen werden:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right)$ und die Ebene $\epsilon : X = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -1 \\ -3 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) + u \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 0 \end{array} \right)$. Stellen wir nun also unser Gleichungssystem auf:

2=\begin{align}

I: \ & \ 1&-t&=&4& &+2u \\
II: \ &-3& &=&-1&+s&-u \\
III: \ & \ 2&+2t&=&-3&+s&
\end{align}

In der ersten Gleichung drücken wir $u$ in $t$ aus: $u = - \frac{3}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$ 
In der zweiten Gleichung drücken wir $s$ in $u$ aus: $s = -2 + u$ 
Das $u$ von oben setzen wir nun hier ein und erhalten $s$ in Abhängigkeit von $t$: $s = - \frac{7}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$.

Dieses $s$ setzen wir nun in die dritte Gleichung ein und wir erhalten: $2 + 2t = -3 - \frac{7}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$ und in weiterer Folge $t = - \frac{17}{5}$. 
Es ergibt sich also genau eine Lösung für das Gleichungssystem, was bedeutet, dass die Gerade und die Ebene einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen. Diesen erhalten wir, indem wir den errechneten Wert für $t$ in die Geradengleichung einsetzen (Man könnte natürlich auch noch die Werte für $s$ und $u$ berechnen, und diese in die Ebenengleichung einsetzen; zur Übung kannst du das gerne tun):
$$g: S = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) - \frac{17}{5} \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \frac{23}{5} \\ -3 \\ - \frac{24}{5} \end{array} \right)$$
}}

Betrachten wir nun dasselbe Beispiel, mit dem Unterschied, dass die Ebene in Normalform gegeben ist und wir auch gleich mit dieser Form rechnen:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right)$ und die Ebene $\epsilon : x + 2y - 2z = 8$. Wir setzen die Koordinatengleichungen der Gerade in die Normalform der Ebene:

2= $g$ in $\epsilon$: $$1 - t - 6 - 4 -4t =8$$

Wenn wir diese Gleichung lösen, erhalten wir, wie im ersten Bespiel, $t = - \frac{17}{5}$. Dies noch in die Geradengleichung einsetzen, und wir erhalten den Schnittpunkt.}}

Da man bei der zweiten Methode meistens weniger Rechenaufwand hat, zahlt es sich oft aus die Parameterdarstellung der Ebene in die Normalform (= allg. Ebenengleichung) umzurechnen.

==Pyramidenbeispiel==
[[Datei:Pyramidebsp.png|thumb|right|350px|Pyramide]]Gegeben seien 3 Eckpunkte $A(-2/-2/1), B(2/-2/1), C(2/2/1)$ der quadratischen Grundfläche und der Spitzpunkt $S(0/0/6)$ einer geraden (gerade bedeutet, dass die Spitze in einem rechten Winkel über dem Mittelpunkt der Grundfläche der Pyramide liegt) Pyramide.
Gesucht sind:

# der vierte Eckpunkt $D$ der Grundfläche
# die Parameterdarstellung der Trägergeraden $h$ der Höhe
# die Fläche der Grundfläche
# die Geradengleichung der Geraden $g_{AS}$ auf der $A$ und $S$ liegen in a)Parameterform und b)parameterfreier Form
# Der Winkel $\alpha$ zwischen den Vektoren $\vec{AS}$ und $\vec{AC}$
# Zeige, dass der Schnittpunkt der Geraden $g_{AS}$ und $h$ gleich die Spitze $S$ ist
# Gib die Ebenengleichung $\epsilon$ der Grundfläche in a)Parameterform, b)Normalform und c)allgemeiner Ebenengleichung an
# Berechne den Fußpunkt $M$ der Höhe, indem du $h$ und $\epsilon$ schneidest

1. $D = A + \vec{BC} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -2 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right)$ 
2. $h: X = S + t \cdot \vec{h}$
$$\vec{AB} \times \vec{BC} = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 16 \end{array} \right) \ \parallel \ \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) = \vec{h}$$
$$h: X = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$$ 
3. $G = \parallel \vec{AB} \times \vec{BC} \parallel = \parallel \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 16 \end{array} \right) \parallel = 16FE$ 
4. a) $g_{AS}: X = A + u \cdot \vec{AS}$
$$\vec{AS} = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g_{AS}: X = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + u \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right)$$ oder $$g_{AS}:\begin{cases} x = -2 + 2u \\ y = -2 + 2u \\ z = 1 + 5u \end{cases}$$
b) Parameter elimieren:
$$x - y: x-y = 0$$
$$5x - 2z: 5x - 2z = -12$$
$$\Rightarrow g_{AS}:\begin{cases} x - y = 0 \\ 5x - 2z = -12 \end{cases}$$ 
5. $\measuredangle \vec{AS},\vec{AC} = \alpha = arccos{\frac{\vec{AS} \cdot \vec{AC}}{\parallel \vec{AS} \parallel \cdot \parallel \vec{AC} \parallel}} = arccos{\frac{\left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right)}{\parallel \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) \parallel \cdot \parallel \left( \begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) \parallel}} = arccos{\frac{16}{\sqrt{33 \cdot 32}}} = 60,5°$ 
6. $g_{AS}$ und $h$ gleichsetzen:
$$\begin{align}
I: \ &-2&+&2u&=&0&& \\
II: \ &-2&+&2u&=&0&& \\
III: \ & \ \ 1&+&5u&=&6&+&t
\end{align}
\ \ \ \rightarrow u=1$$
$$g_{AS}: S = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + 1 \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array} \right)$$ 
7. a) $\epsilon: X = A + v \cdot \vec{AB} + w \cdot \vec{BC} \ \rightarrow \ \epsilon: X = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + v \cdot \left( \begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) + w \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right)$ 
b) $\epsilon: \vec{n} \cdot \vec{X} = \vec{n} \cdot \vec{A} \ \rightarrow \ \epsilon: \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right)$ 
c) $\epsilon: z = 1$ 
8. $h:\begin{cases} x=0 \\ y=0 \\ z=6+t \end{cases} \ \ \epsilon: z=1 \ \ \rightarrow \ 1 = 6 + t \ \Rightarrow \ t=-5$ 
$h: M = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array} \right) -5 \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$

=Beispiele=
Hier findest du Beispiele zu den behandelten Themen:

===Grundlagen der Vektorrechnung===
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/9/99/VektorrechnungGLBspAngabe.pdf VektorrechnungGLBspAngabe.pdf] 
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/0/00/VektorrechnungGLBspL%C3%B6sung.pdf VektorrechnungGLBspLösung.pdf]

===Vektorrechnung im $\mathbb{R^2}$===
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/7/7f/VektorrechnungR2BspAngabe.pdf VektorrechnungR2BspAngabe.pdf] 
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/f/ff/VektorrechnungR2BspL%C3%B6sung.pdf VektorrechnungR2BspLösung.pdf]

Vektorrechnung

2016-05-26T19:38:35Z

Lajtos: /* Kreuzprodukt */

=Grundlagen=
==Koordinatensystem==
[[Datei:Quadranten.png|thumb|Coordinate System|thumb|right|350px|Koordinatengitter im $\mathbb{R^2}$ mit den 4 Quadranten]]

Für die Vektorrechnung sind Koordinatensysteme essentiell.
Im zweidimensionalen Raum besitzt ein Koordinatensystem 2 Achsen:

* die x-Achse (waagrecht) und
* die y-Achse (senkrecht)

 
Diese sind unendlich lang und Spannen die vier sogenannten Quadranten auf, die meist mit den römischen Ziffern I-IV beschriftet werden (gesprochen: Erster Quadrant, Zweiter Quadrant etc.). Die rechte Graphik zeigt die die Position der Quadranten. Dort, wo die 2 Achsen einander treffen, liegt der sog. Ursprung (kurz: $\vec{0}$); seine Koordinaten sind (0/0).

Was es außerdem noch zu beachten gibt, hast du vielleicht bereits selbst erkannt:
An den gegenüberliegenden Seiten der x- und y-Achsen werden unterschiedliche Vorzeichen verwendet. So spricht man "links" des Ursprungs von der negativen, bzw. "rechts" des Ursprungs von der positiven x-Achse. Analog spricht man "oben" und "unten" von der positiven und negativen y-Achse.

Im dreidimensionalen Raum kommt eine dritte Achse - die z-Achse - dazu. Punkte und Vektoren besitzen dementsprechend dann auch 3 Koordinaten. Dies kann man bis ins n-dimensionale weiterführen.

==Punkte==
In ein Koordinatensystem lassen sich Punkte eintragen. Diese besitzen, entsprechend ihrer Lage, Koordinaten. Im obigen Bild z.B. haben wir die Punkte A und B, wobei sich A im ersten Quadranten befindet und B im vierten Quadranten. Man schreibt: A(2/3,5) B(1/-2).

[[Datei:Punkte Abstand.png|thumb|right|350px|Punkte im $\mathbb{R^2}$]]

{{Vorlage:Merke |''Einen'' '''allgemeinen Punkt''' ''schreibt man an als'' $P(x_1/x_2/.../x_n)$ (im n-dimensionalen Raum $\mathbb{R^n}$) ''bzw.'' $P(x/y)$ (im 2-dimensionalen Raum $ \mathbb{R^2}$) ''oder'' $P(x/y/z)$ (im 3-dimensionalen Raum $\mathbb{R^3}$).
 
Die erste Koordinate entspricht der x-Koordinate, die zweite der y-Koordinate, die eventuelle dritte der z-Koordinate.

Punkte werden in der Regel mit Großbuchstaben bezeichnet.}}

Koordinaten von Punkten lassen sich also ganz einfach ablesen. Die x/y-Koordinate entspricht dabei dem Abstand vom Ursprung zum Punkt in Richtung der jeweiligen Koordinatenachse. So erkennen wir im Bild rechts die folgenden Punkte:

* A(2/0)
* B(0/-2)
* C(-1/2)

=Vektoren=

==Definition & Darstellung von Vektoren==
{{Vorlage:Definition |1= Ein Zahlenpaar $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \in \mathbb{R^2}$ wird als '''Vektor aus $\mathbb{R^2}$ ''' bezeichnet.
Analog bezeichnet man ein Zahlentripel $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) \in \mathbb{R^3}$ als '''Vektor aus $\mathbb{R^3}$ '''. 
Ein '''allgemeiner Vektor''' wird $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) \ \in \mathbb{R^n}$ geschrieben.

}}

Da sowohl die Rechenoperationen als auch die geometrischen Darstellungen leicht vom $\mathbb{R^2}$ in den $\mathbb{R^3}$ übertragen werden können, werden wir meistens nur die Vorgangsweise für Zahlenpaare aus dem $\mathbb{R^2}$ beschreiben.

===Geometrische Darstellung von Vektoren===

Es gibt zwei Möglichkeiten, wie wir einen Vektor $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right) \ \in \mathbb{R^2}$ geometrisch darstellen können:
* '''Darstellung als Punkt''': Dabei gibt a die x-Koordinate und b die y-Koordinate des Punktes an. Die Beschriftung erfolgt mit Großbuchstaben.
* '''Darstellung als Pfeil''': Dabei gibt a die x-Richtung des Pfeils (wie weit zeigt der Pfeil nach links bzw. rechts) und b die y-Richtung des Pfeils (wie weit zeigt der Pfeil nach oben bzw. nach unten) an. Pfeile werden mit Kleinbuchstaben (oft mit Pfeil $\vec{v}$) beschriftet.

Die Darstellung als Punkt ist eindeutig! Einem Zahlenpaar (=Vektor) entspricht genau ein Punkt!
Die Darstellung als Pfeil ist nicht eindeutig! Es gibt unendlich viele Pfeile, die denselben Vektor darstellen. Diese Pfeile sind aber alle parallel, gleich lang und gleich gerichtet.

'''Beispiel:''' Darstellung des Vektors $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$
{| class="wikitable"
|-
| '''Punktdarstellung des Vektors'''|| '''Mögliche Pfeildarstellungen des Vektors'''
|-
| [[Datei:Punkt.png|thumb|300px]]|| [[Datei:Pfeile.png|thumb|300px]]
|}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 3 \\ -4 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 5 \end{array} \right)$. Stelle $\vec{a}$ und $\vec{b}$ als Punkte und als Pfeile dar.
|2=[[Datei:Punkt Pfeil Bsp.png|300px]] 
'''Anmerkungen:'''
* Für die Pfeildarstellungen gibt es mehrere (unendlich viele) Möglichkeiten. Der von dir gezeichnete Pfeil muss jedenfalls parallel, gleich gerichtet und gleich lang wie der abgebildete Pfeil sein!
* Aus "Bequemlichkeitsgründen" zeichnet man die Pfeile oft beginnend beim Ursprung ein:
[[Datei:Punkt Pfeil Bsp2.png|300px]]
 
}}

Vektoren des $\mathbb{R^3}$ können auch auf diese zwei Arten dargestellt werden. Der einzige Unterschied dabei ist, dass die Punkte bzw. Pfeile im dreidimensionalen Raum liegen. Es gibt also noch eine dritte Richtung, die durch die z-Koordinate des Vektors angegeben wird.

===Ortsvektoren===
[[Datei:Ortsvektor.png|thumb|right|300px|Punkt und zugehöriger Ortsvektor]]Der Ortsvektor von einem Punkt ist der Vektor, der vom Ursprung aus auf den Punkt zeigt. Die Koordinaten bleiben deshalb gleich, es ändert sich quasi nur die Schreibweise:

Sei $A(x_1/x_2/.../x_n)$ ein Punkt in der Dimension $n$, dann ist $\vec{0A} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ dessen Ortsvektor.
 
 
 
 
 

==Rechnen mit Vektoren==

===Addition und Subtraktion von Vektoren===
{{Vorlage:Merke|1=Wenn du Vektoren addieren oder subtrahieren möchtest, musst du dazu die entsprechenden Koordinaten addieren: 
$\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) \pm \left( \begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ ... \\ y_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x_1 \pm y_1 \\ x_2 \pm y_2 \\ ... \\ x_n \pm y_n \end{array} \right)$ 
Wichtig ist dabei, dass die Vektoren, die du addieren oder subtrahieren möchtest, derselben Dimension $n$ angehören! D.h. sie haben gleich viele Koordinaten.}}
{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben seien die beiden Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right)$. Berechne erst $\vec{a} + \vec{b}$, dann $\vec{a} - \vec{b}$ und zuletzt $\vec{b} - \vec{a}$!
|2= $\vec{a} + \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 5+1 \\ 2+(-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 6 \\ -1 \end{array} \right)$
$\vec{a} - \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 5-1 \\ 2-(-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 5 \end{array} \right)$
$\vec{b} - \vec{a} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 1-5 \\ -3-2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -4 \\ -5 \end{array} \right)$}}

===Vektoren bestimmen: "Spitze minus Schaft" ("Ziel minus Start")===
[[Datei:Spitzeschaft.png|thumb|right|300px|"Spitze minus Schaft"]]Zwischen 2 Punkten kann man nun einen Vektor definieren. Dabei gilt: Die '''"Spitze minus Schaft"'''-Regel Im Bild rechts wollen wir den Vektor berechnen, der von A nach B geht, also den Vektor $\vec{AB}$. Der Punkt B(3/3,5) entspricht hierbei der Spitze, und der Punkt A(1/0,5) dem Schaft. Da das Rechnen mit Punkten allerdings keinen Sinn ergibt, rechnet man stattdessen mit deren Ortsvektoren (siehe oben).

Für unser Beispiel bedeutet das: $\vec{0B} - \vec{0A} = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 3,5 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0,5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 3-1 \\ 3,5-3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right) = \vec{AB}$

'''Beachte außerdem:'''

* Man schreibt der Einfachheit halber oft nur $B-A$, obwohl eigentlich $\vec{0B} - \vec{0A}$ gemeint ist.
* Der Vektor $\vec{AB}$ zeigt in die entgegengesetzte Richtung von $\vec{BA}$. Das bedeutet, dass diese beiden Vektoren entgegengesetzte Vorzeichen haben: $\vec{AB} = - \vec{BA}$

 

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die Punkte A=(1/2); B=(-3/1); C=(-4,-1). Bilde die folgenden Verbindungsvektoren: 

# $\vec{AB}$
# $\vec{BA}$
# $\vec{AC}$
# $\vec{BC}$

|2=

# $\vec{AB}=B-A=\left( \begin{array}{c} -3 \\ 1\end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} -4 \\ -1\end{array} \right)$
# $\vec{BA}=-\vec{AB}=\left( \begin{array}{c} 4 \\ 1 \end{array} \right)$
# $\vec{AC}=\left( \begin{array}{c} -4 \\ -1\end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} -5 \\ -3\end{array} \right)$
# $\vec{BC}=\left( \begin{array}{c} -4 \\ -1\end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} -3 \\ 1 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} -1 \\ -2\end{array} \right)$
 
'''Tipps:'''
* Pass gut auf die Vorzeichen auf! Beim Subtrahieren von Vektoren passieren leider häufig Vorzeichenfehler! Sei deshalb besonders achtsam!
* Zeichne die Punkte in ein Koordinatensystem und zeichne die Verbindungsvektoren ein. Bei einfachen Koordinaten kannst du den Verbindungsvektor ohne Rechnung ablesen (Probiere es aus!).

 
}}

===Produkt eines Vektors mit einem Skalar===
Wenn man einen Vektor $\vec{v}$ mit einer [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)|reellen Zahl]] $k$ , einem sogenannten "Skalar", multipliziert, werden dabei die einzelnen Koordinaten mit dem Skalar multipliziert:

$k \cdot \vec{v} = k \cdot \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} k \cdot x_1 \\ k \cdot x_2 \\ ... \\ k \cdot x_n \end{array} \right)$

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sei der Vektor $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right)$. Multipliziere diesen einmal mit $2$ und einmal mit $-5$!
|2= $2 \cdot \vec{a} = 2 \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \cdot 2 \\ 2 \cdot (-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -6 \end{array} \right)$
$(-5) \cdot \vec{a} = (-5) \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-5) \cdot 2 \\ (-5) \cdot (-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -10 \\ 15 \end{array} \right)$}}

==Geometrische Darstellung der Rechenoperationen==
===Geometrische Darstellung der Vektoraddition===
Die Addition zweier Vektoren kann auf zwei verschiedene Arten geometrisch gedeutet werden. Wir illustrieren die beiden Möglichkeiten anhand des Beispiels $\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2\end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$

{| class="wikitable"
|-
| '''Punkt + Pfeil - Darstellung:'''|| '''Pfeil + Pfeil - Darstellung'''
|-
| ''An einen Punkt wird ein Pfeil angehängt.'' In unserem Beispiel wird an den Punkt (1/2) ein Pfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$ angehängt. Das Ergebnis der Addition ist der Punkt am Ende des Pfeils (5/5). || ''Zwei Pfeile werden aneinandergehängt. In unserem Beispiel wird also ein Pfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$ und ein Pfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)$ aneinandergehängt. Das Ergebnis der Addition ist der entstehende Verbindungspfeil mit der Richtung $\left( \begin{array}{c} 5 \\ 5 \end{array} \right)$
|-
| [[Datei:Vektoraddition1.png|left|400px]]|| [[Datei:Vektoraddition2.png|left|500px]]
|-
| '''Anmerkung:''' Diese Darstellung ist hilfreich, wenn wir von einem Punkt ausgehen und zu einem neuen Punkt gelangen wollen.|| Es spielt keine Rolle, in welcher Reihenfolge die Vektoren angehängt werden. Die Addition ist kommutativ!
|}

===Geometrische Darstellung der Multiplikation mit einem Skalar===

Eine Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl a (Skalar) entspricht einer Streckung (für |a|>1) bzw. einer Stauchung (für |a|<1) des zugehörigen Pfeiles.
Ist das Vorzeichen des Skalars negativ, so dreht sich die Richtung des Pfeils in die entgegengesetzte Richtung.

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sei wiederum der Vektor $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right)$. Stelle die Multiplikation mit $2$, mit $-5$ und mit $0.5$ graphisch dar!
|2= Rechnerische Lösung und graphische Interpretation:
* $2 \cdot \vec{a} = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -6 \end{array} \right)$. Der Vektor $2\cdot \vec{a}$ hat die doppelte Länge und dieselbe Richtung wie $\vec{a}$
* $(-5) \cdot \vec{a} = \left( \begin{array}{c} -10 \\ 15 \end{array} \right)$. Der Vektor $(-5)\cdot \vec{a}$ ist fünfmal so lang wie $\vec{a}$ und zeigt in die entgegengesetzte Richtung wie $\vec{a}$
* $(0.5) \cdot \vec{a} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1.5 \end{array} \right)$ Der Vektor $0.5\cdot \vec{a}$ ist halb so lang wie $\vec{a}$ und zeigt in dieselbe Richtung wie $\vec{a}$
}}

{{#widget:Iframe
|url= http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_vektorrechnung/MV_Vektor1/MV_Vektor1/sites/Vektortest.html
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}}
[http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_vektorrechnung/MV_Vektor1/MV_Vektor1/ (Quelle dieses Applets)]

Hilfe zum Applet: Gib in die Eingabezeile den Buchstaben des Vektors bzw. die entsprechende Summe / Differenz an. (z.B. $u=a$)

===Wie Vektoren zueinander stehen===
Vektoren können unterschiedliche Richtungen haben, aber auch parallel zueinander oder gar identisch sein. Optisch lässt sich das oft sehr leicht erkennen. Die Lage von Vektoren zueinander kann auch rechnerisch überprüft werden.

{{Vorlage:Definition |Unter einem Vektor versteht man die Menge aller gleichlangen, gleichgerichteten und gleichorientierten Pfeile.

Der Start/Endpunkt spielen dabei keine Rolle!}}

{{Vorlage:Merke|2 Vektoren stehen parallel zueinander, wenn ein Vektor als Vielfaches des anderen Vektors angeschrieben werden kann. 
Man sagt auch: Die Vektoren sind [[linear abhängig]] (linear abhängig zu sein bedeutet, dass ein Vektor als Vielfaches eines anderen Vektors dargestellt werden kann).}}

Sehen wir uns die verschiedenen Fälle an:

{| class="wikitable"
|-
|ident: gleiche Richtung, gleiche Orientierung, gleiche Länge
||[[Datei:Vektorv1.png|none|250px]]
||$\vec{v} = \vec{u} \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$
||z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$
|-
||parallel (gleiche Orientierung): gleiche Richtung, gleiche Orientierung, unterschiedliche Länge
| [[Datei:Vektorenlänge.png|none|250px]]
||$\exists k>0 : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$
||z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} \frac{4}{3} \\ 2 \end{array} \right)$, $\frac{2}{3} $
|-
||parallel (unterschiedliche Orientierung): 
| [[Datei:Vektororientierung1.png|none|250px]]
||$\exists k<0 : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$
||z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} -2 \\ -3 \end{array} \right)$, $k=-1$

|-
||linear unabhängig
| [[Datei:Vektorrichtung1.png|none|250px]]
||$\nexists k : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \nparallel \vec{u}$
||z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 3 \end{array} \right)$
|}

{{Vorlage:Beispiel|1=Überprüfe ob die Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 5 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$ linear unabhängig voneinander sind.

|2=Wenn es ein k gibt, sodass $k \cdot \vec{a} = \vec{b}$, dann sind die beiden Vektoren voneinander linear abhängig, und somit auch parallel zueinander.

Es gibt mehrere Lösungsmöglichkeiten:
*Möglichkeit 1: Lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen
$I: 2k = 4 \ \ \rightarrow k=2$
$II: 5k = 3 \ \ \rightarrow k=\frac{3}{5}$

Aus der ersten Gleichung ergibt sich k=2, in der zweiten aber $k=\frac{3}{5}$. $k$ kann aber nicht beides sein, somit haben wir eine falsche Aussage erhalten. Daraus folgt, dass die beiden Vektoren '''linear unabhängig''' und somit nicht parallel zueinander sind.

* Möglichkeit 2: "Vergleichen und Probieren"
Vergleicht man die x-Koordinaten der beiden Vektoren, so sieht man, dass 4 doppelt so groß wie 2 ist. Daraus ergibt sich, dass ein etwaiges k=2 sein müsste.
Probiert man auch die zweite Zeile mit 2 zu multiplizieren, so erhält man 10. Die y-Koordinate von b müsste also 10 sein, damit die beiden Vektoren parallel zueinander sind.
}}

 

===Betrag und Einheitsvektor===
[[Datei:PythagorasVektor.png|thumb|right|350px|Betrag eines Vektors; Einheitsvektor]]Wie anfangs bereits erwähnt, besitzen Vektoren eine Länge, auch '''Betrag''' eines Vektors genannt. Dieser wird mit Hilfe des pythagoräischen Lehrsatzes wie folgt berechnet:

<div align="center">$\parallel \vec{v} \parallel = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2} \ $ wenn $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ ein Vektor der Dimension $n$ ist.</div>
Sehen wir uns die Grafik rechts an, können wir mit dieser Formel die Länge des zweidimensionalen Vektors $\parallel \vec{v} \parallel$ berechnen:

<div align="center">$\parallel \vec{v} \parallel = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$</div>
 Der '''Einheitsvektor''' $\vec{a_0}$ eines Vektors $\vec{a}$ ist ein zu $\vec{a}$ paralleler Vektor mit Länge 1. Rechnerisch erhält man $\vec{a_0}$, indem man $\vec{a}$ durch seine Länge dividiert. $ \vec{a_0}

=\frac{\vec{a}}{\parallel \vec{a}\parallel}$
bzw.
$ \vec{a_0}=\frac{1}{\parallel\vec{a}\parallel}\cdot \vec{a}$

Daraus ergibt sich ein Vektor, der dieselbe Richtung des ursprünglichen Vektors hat, allerdings die Länge 1 besitzt.

{{Vorlage:Merke|1=
Sei $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ ein Vektor der Dimension $n$ und $\parallel \vec{v} \parallel$ sein Betrag, dann ist $\vec{v_0} = \frac{1}{\parallel \vec{v} \parallel} \cdot \vec{v} \ $ der Einheitsvektor zu $\vec{v}$.}}

In unserem Beispiel würde das folgendes bedeuten:

{{Vorlage:Beispiel|1= Bestimme den Einheitsvektor von $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$

|2=<div align="center">$\vec{v_0} = \frac{1}{\sqrt{13} } \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \frac{2}{\sqrt{13} } \\ \frac{3}{\sqrt{13} } \end{array} \right)$</div>
}}

===Vektoren bestimmter Länge===
Da wir nun gelernt haben, Einheitsvektoren zu bilden und Vektoren mit Zahlen zu multiplizieren (und ich das hier so schön betone), könnt ihr euch vielleicht schon vorstellen, wie man aus einem beliebigen Vektor einen Vektor derselben Richtung, allerdings unterschiedlicher Länge bekommt. Wir haben also einen Vektor $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ mit der Länge $\parallel \vec{v} \parallel = k$ gegeben, und hätten gerne den Vektor $\vec{w} \ \parallel \ \vec{v}$ mit der Länge $l$. Dazu berechnen wir zuerst den Einheitsvektor $\vec{v_0}$ von $\vec{v}$ und multiplizieren diesen dann mit $l$. So erhalten wir schließlich $\vec{w} = l \cdot \vec{v_0}$.

==Mittelpunkt einer Strecke==
[[Datei:Mittelpunkt.png|thumb|right|300px|Mittelpunkt M der Strecke AB]]Willst du den Mittelpunkt zwischen 2 Punkten $A$ und $B$ berechnen, musst du wie folgt vorgehen:
Zuerst berechnest du einen Vektor zwischen den Punkten ($\vec{AB}$ oder $\vec{BA}$). Dann halbierst du diesen Vektor, und erhältst $\vec{AM}$ bzw. $\vec{BM}$. Addierst du dann diesen Vektor zum entsprechenden Punkt ($A$ bzw. $B$), erhältst so den Mittelpunkt. Also:

<div align="center">$\vec{0M} = \vec{0A} + \frac{\vec{AB}}{2} = \vec{0B} + \frac{\vec{BA}}{2}$</div>

Kurzschreibweise:
<div align="center">$M = \vec{A} + \frac{\vec{AB}}{2}$ </div>

=Im $\mathbb{R^2}$=
Dieser Artikel befasst sich mit der Vektorrechnung im zweidimensionalen Raum. Grundlegende Informationen zur Vektorrechnung, so wie Punkte und Vektoren, findest du unter dem Tab ''Grundlagen der Vektorrechnung''.

==Vektoren==
===Normalvektoren===
[[Datei:Normalvektoren.png|thumb|right|350px|Normalvektoren]]Normalvektoren zu einem Vektor sind alle Vektoren, die normal (im rechten Winkel) auf den Vektor stehen. Im $\mathbb{R^2}$ gibt es zu jedem Vektor genau 2 Normalvektoren, die dieselbe Länge wie der ursprüngliche Vektor haben. Alle anderen Normalvektoren sind Vielfache eines dieser 2 Normalvektoren.

{{Vorlage:Merke | 1=Sei $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ ein Vektor, dann ist $\vec{n_1}=\left( \begin{array}{c} -y \\ x \end{array} \right)$ sein nach links gekippter, und $\vec{n_2}=\left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right)$ sein nach rechts gekippter Normalvektor.
''Vertausche die Koordinaten und ändere '''ein''' Vorzeichen''
}}

===Skalarprodukt===
Unter dem Skalarprodukt versteht man die Multiplikation zweier Vektoren, bei der als Ergebnis ein Skalar (eine Zahl) entsteht.

{{Vorlage:Merke|1=Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren, dann ist $\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \end{array} \right) = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b$ gleich ihr Skalarprodukt.
}}

Das Skalarprodukt wirkt auf den ersten Blick etwas "eigenartig". Man kann sich die Bedeutung des Skalarproduktes besonders gut an einem Anwendungsbeispiel erklären:
Angenommen in einer Preisliste stehen 10 Kugelschreiber, die jeweils 2€ kosten und 20 Bleistifte, die jeweils 0,50€ kosten.
In Tabellenform sieht das folgendermaßen aus:

{| class="wikitable"
|-
! Produkt !! Stückzahl !! Preis pro Stück (in €)
|-
| Kugelschreiber || 10 || 2
|-
| Bleistift || 20 || 0,50
|}

Aus dieser Tabelle kann ein Stückzahlvektor $\left( \begin{array}{c} 10 \\ 20 \end{array} \right)$ und ein Preisvektor $\left( \begin{array}{c} 2 \\ 0,50 \end{array} \right)$ abgelesen werden.

Möchte man den Gesamtwert der Produkte berechnen, so müssen jeweils die Einzelpreise mit der Stückzahl multipliziert werden und anschließend die Summe gebildet werden.
Genau das macht das Skalarprodukt!
$\left( \begin{array}{c} 10 \\ 20\end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0.50 \end{array} \right) = 10 \cdot 2 + 20 \cdot 0.50 = 20 + 10 = 30€ $

===Winkel zwischen zwei Vektoren===
[[Datei:Winkel.png|thumb|right|350px|Winkel zwischen 2 Vektoren]]<big>$$cos{\varphi} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel} = \vec{a_0} \cdot \vec{b_0}$$
bzw.
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = \parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel \cdot cos{\varphi}$$</big>

Heißt es, den Winkel zwischen 2 Vektoren/Geraden zu bestimmen, ist damit immer der kleinere Winkel gemeint. Solltest du einmal ein Ergebnis erhalten, das größer als 180° ist (nennen wir dieses Ergebnis $\varphi'$), dann ziehe dieses Ergebnis von 360° ab und du erhältst den kleineren Winkel ($\varphi = 360° - \varphi'$). 
Bei einem Winkel von $\varphi = 90°$ erhalten wir $cos{\varphi} = 0$, was bedeutet, dass auch $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$. Daraus ergibt sich das Orthogonalitätskriterium.

====Orthogonalitätskriterium====
{{Vorlage:Merke|1=Ergibt das Skalarprodukt zweier Vektoren $0$, so stehen diese zwei Vektoren normal zueinander (und umgekehrt!)$$\vec{a} \cdot \vec{b} \ = \ 0 \ \Leftrightarrow \ \vec{a} \bot \vec{b}$$}}

Mithilfe des Orthogonalitätskriteriums kann man auch zeigen, dass $\vec{n}=\left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right)$ stets ein Normalvektor von $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ ist.
$$\vec{v} \cdot \vec{n} = \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right) = xy - yx = 0$$

==Geraden==
===Darstellungsformen===
Geraden lassen sich in unterschiedlichen Formen darstellen. In der Vektorrechnung ist die Parameterdarstellung populär, da man dazu nur einen Punkt und Vektor kennen muss. Die Normalform allerdings hat den Vorteil, dass man den Normalvektor zur Geraden auf einen Blick ablesen kann. Je nachdem, was man mit der Gerade vorhat, können die verschiedenen Formen ineinander umgewandelt werden.

====Parameterdarstellung====
[[Datei:Parameterdarstellung.png|thumb|right|350px|Parameterdarstellung einer Geraden]]$$g: \vec{0X} = \vec{0P} + t \cdot \vec{a}$$ 
wobei

* $X \in g$ ist ein '''beliebiger''' Punkt auf der unendlichen Geraden (steht für alle Punkte auf der Geraden)
* $P \in g$ ist ein '''bekannter''' Punkt auf der Geraden
* $t \in \mathbb{R}$ ist ein freier Parameter (in der Graphik rechts $\lambda$)
* $\vec{a} \in \mathbb{R^2}$ ist ein Vektor parallel zur Geraden, der die Richtung dieser angibt ("Richtungsvektor")

 
Beachte, dass in der Parameterdarstellung keine Punkte, sondern Ortsvektoren verwendet werden! (Info zu Ortsvektoren findest du unter ''Grundlagen der Vektorrechnung''.) Wenn man das weiß, kann man der Einfachheit halber die Gerade auch folgendermaßen beschreiben: $g: X = P + t \cdot \vec{a}$

 
Eine andere Schreibweise ist, die Koordinaten einzeln zu betrachten und 2 Gleichungen aufzustellen:
$$g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \end{cases}$$

====Normalvektorform====
Hierzu benötigt man einen Normalvektor des Richtungsvektors und multipliziert dann die Geradengleichung mit diesem Normalvektor. Da $\vec{a} \cdot \vec{n} = 0$, bleibt über:

Sei $g: \vec{0X} = \vec{0P} + t \cdot \vec{a}$ eine Gerade in Parameterform, so ist

<div align="center">$g: \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x_P \\ y_P \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right)$</div>

dieselbe Gerade in Normalform, wobei $\vec{0X}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right), \ \vec{0P}=\left( \begin{array}{c} x_P \\ y_P \end{array} \right), \ \vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right)$ und $\vec{n}=\left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right)$ ein Normalvektor von $\vec{a}$ (hier kann man natürlich auch den anderen Normalvektor verwenden).

====Allgemeine Geradengleichung====
Diese Form der Darstellung heißt auch Normalform, da man den Normalvektor der Gerade direkt ablesen kann.Um von der Parameterdarstellung auf diese Form zu kommen, gibt es 2 Möglichkeiten:

'''1. Multiplikation mit Normalvektor:'''
Hierzu muss man einfach die Normalform ausmultiplizieren und es ergibt sich:

$$g: y_a \cdot x + -x_a \cdot y = y_a \cdot x_P + -x_a \cdot y_P$$

'''2. Elimination des Parameters:'''
Hierbei gehen wir von der Geradenform $g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \end{cases}$ aus, eliminieren $t$, und kommen ebenfalls auf die obige allgemeine Geradengleichung.
Auf der rechten Seite der Gleichung stehen nur bekannte Größen, auf der linken Seiten stehen Vielfache von x und y. Diese Gleichung kann man weiter auch auf die Form y=kx+d umformen.

===Lagebeziehungen zwischen Geraden===
Mehrere Geraden können im $\mathbb{R^2}$

* ident sein, d.h. sie haben unendlich viele gemeinsame Punkte
* parallel sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt
* einander schneiden, d.h. sie haben genau ein gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt)

 Sind uns 2 Geraden in '''Parameterdarstellung''' gegeben, betrachten wir zuerst ihre Richtungsvektoren. 
Sind diese parallel zueinander, so sind auch die Geraden parallel zueinander. Nun bleibt noch die Frage offen, ob die Geraden ident sind. Dazu überprüfen wir einfach, ob der gegebene Punkt der einen Geraden auch auf der anderen Geraden liegt. Dazu Setzen wir den bekannten Punkt der einen Geraden für den unbekannten Punkt der anderen Geraden ein und erhalten 2 Gleichungen in einer Unbekannten (Parameter der zweiten Gerade). Erhalten wir nun für den Parameter zweimal dasselbe Ergebnis, so sind die 2 Geraden ident, erhalten wir unterschiedliche Ergebnisse, so sind sie nur parallel. 
Sind die Richtungsvektoren nicht parallel zueinander, so sind es auch die 2 Geraden nicht, und wir können uns sicher sein, dass diese einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen.
Doch wie erhalten wir den Schnittpunkt? Ganz einfach, indem wir die 2 Geraden schneiden. Dazu müssen wir sie gleichsetzen, und dann das dadurch erhaltene Gleichungssystem in 2 Unbekannten (die 2 Parameter) lösen. Wenn wir den Wert eines Parameters ausgerechnet haben, setzen wir ihn einfach in die entsprechende Geradengleichung ein und erhalten so den Schnittpunkt!

Sind die 2 Geraden in der '''allgemeinen Geradenform''' gegeben, so haben wir bereits 2 Gleichungen gegeben, die wir nach x und y auflösen. Dieses x und y sind die Koordinaten des Schnittpunktes.

Um das Schneiden von Geraden besser zu verstehen, schau dir das Lösen von [[ Gleichungssysteme (2.7.) |Gleichungssystemen]] genauer an, wirf einen Blick auf die Beispiele zum $\mathbb{R^2}$ unter dem Tab 'Beispiele', oder sieh dir dieses Video an:

<div align="center">{{#ev:youtube|ZrFE3LRisn0}}</div>

===Normalabstand Punkt - Gerade===
[[Datei:Normalabstand.gif|right]]Gegeben sei ein Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und eine Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$. Um den Normalabstand $d(Q,g)$ zwischen Q und g zu berechnen, gehe wie folgt vor:
{{Vorlage:Merke|1=1. Bestimme die Gerade $q: X = Q + s \cdot \vec{n}$, die durch $Q$ geht und den Normalvektor $\vec{n}$ von $\vec{a}$ als Richtungsvektor besitzt.
2. Schneide $g$ und $q$ und die erhältst ihren Schnittpunkt $S$. 
3. Berechne $\parallel \vec{QS} \parallel$.}}
In der Graphik rechts hätten wir z.B. die Angabe $g: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right) + \lambda \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array} \right)$ und $Q(3/4)$. Du kannst das zur Übung durchrechnen.

====Hesse'sche Abstandsformel====
Mithilfe dieser Formel kann man ebenfalls den Abstand $d(Q,g)$ zwischen Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$ bestimmen. <big>$d(Q,g) = | \vec{PQ} \cdot \vec{n_0} | $</big>, wobei $\vec{n_0}$ der normierte (Länge 1) Normalvektor des Richtungsvektors $\vec{a}$ der Geraden $g$ ist.

====Spiegelung eines Punktes an einer Geraden====
[[Datei:Spiegeln.png|thumb|right|250px|Gespiegelter Punkt Q']]Gegeben sei ein Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und eine Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$. Es gilt den Punkt $Q$ an der Gerade $g$ zu spiegeln, und so den Punkt $Q'$ zu erhalten. Dazu befolgst du die Vorgehensweise von "Normalabstand Punkt - Gerade" bis du den Vektor $\vec{QS}$ erhältst, und trägst diesen vom Punkt $S$ ab, also: 
$Q' = S + \vec{QS}$

=Im $\mathbb{R^3}$=
==Vektoren==
===Kreuzprodukt===
Im $\mathbb{R^3}$ gibt es neben dem Skalarprodukt, bei dem wir als Ergebnis ein Skalar erhalten, eine weitere Möglichkeit, zwei Vektoren miteinander zu multiplizieren: das sog. Kreuz- oder Vektorprodukt, bei dem wir als Ergebnis einen Vektor erhalten.{{Vorlage:Merke|1=Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren des $\mathbb{R^3}$, dann ist ihr Kreuzprodukt
$$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} y_a \cdot z_b - z_a \cdot y_b \\ z_a \cdot x_b - x_a \cdot z_b \\ x_a \cdot y_b - y_a \cdot x_b \end{array} \right)$$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ -3 \end{array} \right)$, gesucht ist ihr Kreuzprodukt.|

2=$$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \cdot (-3) - 3 \cdot 4 \\ 3 \cdot 5 - 1 \cdot (-3) \\ 1 \cdot 4 - 2 \cdot 5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-6) - 12 \\ 15 - (-3) \\ 4 - 10 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -18 \\ 18 \\ -6 \end{array} \right)$$}}

Wozu wir das Kreuzprodukt überhaupt benötigen, sehen wir an den nächsten 2 Punkten.

====Normalvektoren====
Im $\mathbb{R^3}$ gibt es zu einem Vektor unendlich viele Normalvektoren. Auf eine Ebene allerdings gibt es genau 2 Normalvektoren (wie im $\mathbb{R^2}$ auf eine Gerade). Eine Ebene wird von 2 Vektoren aufgespannt, deren Kreuzprodukt ergibt einen Normalvektor $\vec{n_1}$ auf die Ebene bzw. die zwei Vektoren; der zweite Normalvektor hat die entgegengesetzte Orientierung ($\vec{n_2} = -\vec{n_1}$). Also:$$\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$$

====Fläche eines von zwei Vektoren aufgespannten Parallelogramms oder Dreiecks====
[[Datei:FlächeNormalvektor.png|thumb|right|none|250px|2 Vektoren spannen ein Dreieck bzw. Parallelogramm auf]] 
{{Vorlage:Merke|1=Die Länge $\parallel \vec{n} \parallel = \parallel \vec{a} \times \vec{b} \parallel$ des Normalvektors $\vec{n}$ zu den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ entspricht der Maßzahl des Flächeninhaltes des Parallelogramms, das $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aufspannen (im Bild die gesamte grüne Fläche).
Die Hälfte dieser Fläche entspricht der Fläche des aufgespannten Dreiecks.}}

===Skalarprodukt, Orthogonalitätskriterium, Winkel zwischen zwei Vektoren===
Diese drei Dinge "funktionieren" im $\mathbb{R^3}$ wie im $\mathbb{R^2}$. Also hier nur eine kurze Wiederholung: 

'''Skalarprodukt''' 
Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\z_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren, dann ist $$\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right) = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b + z_a \cdot z_b$$ gleich ihr Skalarprodukt.
 

'''Orthogonalitätskriterium''' 
Ergibt das Skalarprodukt zweier Vektoren $0$, so stehen diese zwei Vektoren normal zueinander (und umgekehrt!)
$$\vec{a} \cdot \vec{b} \ = \ 0 \ \Leftrightarrow \ \vec{a} \bot \vec{b}$$
Auch das gibt es im $\mathbb{R^3}$. Bedenke aber, dass es hier, anders als im $\mathbb{R^2}$, unendlich viele Normalvektoren auf einen Vektor gibt.
 

'''Winkel zwischen zwei Vektoren'''
$$cos{\varphi} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel} = \vec{a_0} \cdot \vec{b_0}$$

==Geraden==
===Darstellungsformen===
====Parameterdarstellung====
Die Parameterdarstellung im $\mathbb{R^3}$ sieht genauso aus wie im $\mathbb{R^2}$, einziger Unterschied ist, dass unsere Punkte und Vektoren hier jeweils 3 Koordinaten haben.$$g: X = P + t \cdot \vec{a}$$ bzw. $$g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \\ z = z_P + t \cdot z_a \end{cases}$$
Mehr Infos zu den einzelnen Komponenten findest du im Tab 'Im $\mathbb{R^2}$'.

====Parameterfreie Darstellungsform====
Diese besteht aus 2 Gleichungen und wir erhalten sie durch Eliminierung des Parameters.

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sei die Parameterform der Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ -4 \\ 1 \end{array} \right)$. Zuerst schreiben wir das in die 3 Koordinatengleichungen um:
$$g : \begin{cases} x = 2 + 3t \\ y = 0 - 4t \\ z = 1 + t \end{cases}$$

2=Wir multiplizieren die erste Gleichung mit $4$ und die zweite Gleichung mit $3$ und addieren die beiden: $$+ \begin{cases} 4x = 8 + 12t \\ 3y = 0 - 12t \end{cases}$$ und erhalten so die Gleichung $4x + 3y = 8$.
Wir multiplizieren die dritte Gleichung mit $3$ und subtrahieren diese von der ersten Gleichung: $$- \begin{cases} x = 2 + 3t \\ 3z = 3 + 3t \end{cases}$$ und erhalten so die Gleichung $x - 3z = -1$.

Die parameterfreie Darstellung unserer Gerade lautet somit $$g : \begin{cases} 4x + 3y = 8 \\ x - 3z = -1 \end{cases}$$.}}

Die zwei Gleichungen in der parameterfreien Darstellung sind übrigens Ebenengleichungen. Die eigentliche Gerade ist der Schnitt dieser zwei Ebenen!

===Lagebeziehungen zwischen Geraden===
Mehrere Geraden können im $\mathbb{R^3}$

* ident sein, d.h. sie haben unendlich viele gemeinsame Punkte
* parallel sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt
* einander schneiden, d.h. sie haben genau ein gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt)
* windschief sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt und sind nicht parallel

Um herauszufinden, wie 2 gegebene Geraden in Parameterform zueinander stehen, gehst du am besten wie folgt vor:

'''Betrachtung der Richtungsvektoren:''' Auch im $\mathbb{R^3}$ gilt, sind die Richtungsvektoren zweier Geraden parallel zueinander (d.h. man kann einen Vektor als Vielfaches des anderen Vektors darstellen), so sind es auch die Geraden.

'''Fall 1: Die Vektoren sind parallel:''' Sollte sich herausstellen, dass die zwei Geraden parallel zueinander sind, überprüfst du als nächstes, ob sie einen gemeinsamen Punkt haben; am einfachsten funktioniert das, indem du den bekannten Punkt ($P$) der einen Geraden in die zweite Gerade (für den unbekannten Punkt $X$) einsetzt. Wir erhalten drei Gleichungen in einer Unbekannten (Parameter der zweiten Gerade). 
'''Fall 1a:''' Erhalten wir nun für den Parameter dreimal dasselbe Ergebnis, so sind die 2 Geraden '''ident''' (und parallel), da der überprüfte Punkt, und somit unendlich weitere, auf beiden Geraden liegen. 
'''Fall 1b:''' Erhalten wir unterschiedliche Ergebnisse, so sind sie nur '''parallel''', da der überprüfte Punkt nicht, und somit auch kein anderer, auf beiden Geraden liegen.

'''Fall 2: Die Vektoren sind nicht parallel:''' Nun gibt es nur noch zwei Möglichkeiten: Entweder die zwei Geraden haben einen gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt), oder sie sind windschief. 
Um das wiederum herauszufinden, setzt du die beiden Geraden gleich, d.h. du stellst ein lineares Gleichungssystem (LGS) mit drei Gleichungen und in drei Unbekannten auf, und versuchst, dieses zu lösen. 
'''Fall 2a:''' Solltest du nun eine Lösung erhalten, d.h. du erhältst den Wert für den Parameter einer der zwei Geraden (und hast diesen Wert überprüft), so weißt du, dass die zwei Geraden einander '''schneiden'''. Den Schnittpunkt erhältst du jetzt, indem du den erhaltenen Wert für den Parameter in die entsprechende Geradengleichung einsetzt. 
'''Fall 2b:''' Sollte dein LGS keine Lösung ergeben (also sich eine falsche Aussage oder ein Widerspruch ergeben, z.B. $2=13$, oder $t=4$ und $t=-1$), dann weißt du, dass deine beiden Geraden keinen Schnittpunkt haben und somit '''windschief''' sind.

Zum besseren Verständnis siehst du dir am besten das folgende Video und die beiden folgenden Beispiele an.

<div align="center">{{#ev:youtube|u0QoYlEE094}}</div>
{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die beiden Geraden $g: X = \left( \begin{array}{c} 0 \\ -11 \\ -3 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right)$ und $h: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ -3 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right)$. Überprüfe deren gegenseitige Lage und gegebenenfalls ihren Schnittpunkt!|2=Zuerst überprüfen wir die Richtungsvektoren der beiden Geraden, um festzustellen, ob diese parallel zueinander sind oder nicht:$$\nexists \lambda : \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) = \lambda \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) \nparallel \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g \nparallel h$$
$g$ und $h$ sind also nicht parallel. Sie können also noch entweder einander schneiden oder windschief sein. Stellen wir nun ein LGS auf, indem wir die beiden Geraden gleichsetzen:
$$\begin{align}
I: \ &&&s&=&2&+&t \\
II: \ &-11&+&2s&=&3&-&3t \\
III: \ &-3&+&s&=&-3&+&2t
\end{align}$$ 
Wir subtrahieren $III$ von $I$: $- \begin{cases} &s &=& 2 + t \\ -3 + &s &=& -3 + 2t \end{cases} \ \rightarrow \ 3 = 5 - t \Rightarrow t = 2$ 
Wir überprüfen dieses Ergebnis für $t$, indem wir $t=2$ in alle 3 Gleichungen einsetzen. Wir sehen dann, dass wir überall dasselbe Ergebnis für $s$ erhalten, nämlich $s=4$. Daraus folgt, dass die Geraden einander '''schneiden'''. Setzen wir nun $t=2$ oder $s=4$ in die entsprechende Geradengleichung, so erhalten wir den Schnittpunkt $S(4/-3/1)$ der beiden Geraden.}}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die beiden Geraden $g: X = \left( \begin{array}{c} 3 \\ -2 \\ 0 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right)$ und $h: X = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$. Überprüfe deren gegenseitige Lage und ggf. ihren Schnittpunkt!|2=Zuerst überprüfen wir wieder die Richtungsvektoren der beiden Geraden:$$\nexists \lambda : \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) = \lambda \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) \nparallel \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g \nparallel h$$
Nun stellen wir wieder ein LGS auf:
$$\begin{align}
I: \ &3&+&2s&=&4&-&t \\
II: \ &-2&-&2s&=&3&& \\
III: \ &&&s&=&1&+&t
\end{align}$$ 
Aus der zweiten Gleichung lässt sich direkt berechnen, dass $s=- \frac{5}{2}$. Dies setzen wir nun in die erste und zweite Gleichung ein und erhalten einmal $3 - 5 = 4 - t \ \Rightarrow \ t=6$ und einmal $- \frac{5}{2} = 1 + t \ \Rightarrow \ t=- \frac{7}{2}$. Diese beiden Werte für $t$ sind offensichtlich voneinander unterschiedlich, daraus folgt, dass die beiden Geraden $g$ und $h$ '''windschief''' sind.
}}

==Ebenen==
Eine Ebene ist durch 3 Punkte oder 1 Punkt und 2 (voneinander linear unabhängigen) Vektoren eindeutig festgelegt.

===Darstellungsformen===
====Parameterdarstellung====
[[Datei:ebene2.png|thumb|right|350px|von Punkt und Vektoren aufgespannte Ebene]]
$$\epsilon : X = P + s \cdot \vec{a} + t \cdot \vec{b}$$
bzw.
$$\epsilon : \begin{cases} x = x_P + s \cdot x_a + t \cdot x_b \\ y = y_P + s \cdot y_a + t \cdot y_b \\ z = z_P + s \cdot z_a + t \cdot z_b \end{cases}$$
wobei

* $X \in \epsilon$ ist ein '''beliebiger''' Punkt auf der unendlichen Ebene
* $P \in \epsilon$ ist ein '''bekannter''' Punkt auf der Ebene
* $s, t \in \mathbb{R}$ sind freie Parameter
* $\vec{a}, \vec{b} \in \mathbb{R^3}$ sind zwei Vektoren, die parallel zur Ebene liegen

====Normalvektorform====
Man multipliziert die Parameterdarstellung der Ebene mit ihrem Normalvektor $\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$ und erhält$$\vec{n} \cdot \vec{X} = \vec{n} \cdot \vec{P}$$

====Allgemeine Ebenengleichung====
$$ax + by + cz = d$$Diese Form der Darstellung heißt auch Normalform, da man den Normalvektor der Ebene direkt ablesen kann. Um von der Parameterdarstellung auf diese Form zu kommen, gibt es 2 Möglichkeiten:

'''1. Multiplikation mit Normalvektor:'''
Hierzu muss man einfach die Normalform ausmultiplizieren und es ergibt sich:

$$\epsilon: x_n \cdot x + y_n \cdot y + z_n \cdot z = x_n \cdot x_P + y_n \cdot y_P + z_n \cdot z_P$$

'''2. Elimination des Parameters:'''
Hierbei gehen wir von der Ebenengleichung $\epsilon : \begin{cases} x = x_P + s \cdot x_a + t \cdot x_b \\ y = y_P + s \cdot y_a + t \cdot y_b \\ z = z_P + s \cdot z_a + t \cdot z_b \end{cases}$ aus, eliminieren $s$ und $t$, und kommen ebenfalls auf die obige allgemeine Ebenengleichung.

Zur Veranschaulichung ein Beispiel zu den verschiedenen Darstellungsformen:
{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die drei Punkte $A(1/1/1), B(-1/-4/2), C(0/3/-1)$. Gib die Ebene, die diese drei Punkte aufspannen, in Parameterform, Normalform und allgemeiner Ebenengleichung an!|2=Für die Parameterform berechnen wir erst zwei beliebige Vektoren aus den 3 Punkten, z.B. $\vec{AB} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{AC} = \left( \begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right)$. Als Parameterform erhalten wir schließlich:
$$\epsilon: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right)$$ Um auf die Normalform zu kommen, bestimmen wir als erstes den Normalvektor der Ebenen: $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-5) \cdot (-2) - 1 \cdot 2 \\ 1 \cdot (-1) - (-2) \cdot (-2) \\ (-2) \cdot 2 - (-5) \cdot (-1) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right)$. 
Nun die Parametergleichung mit dem Normalvektor multiplizieren und wir erhalten auch die Normalform:
$$\epsilon: \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)$$ 
Um nun noch die allg. Ebenenform zu erhalten, multipliziert man am einfachsten die Normalform aus und erhält:
$$\epsilon: 8x - 5y -9z =-6$$ 
Aber auch die Elimination der Parameter soll hier gezeigt werden. Wir gehen aus von: $$\epsilon : \begin{cases} x = 1 - 2s - t \\ y = 1 - 5s + 2t \\ z = 1 + s - 2t\end{cases}$$
Addieren wir die y- und die z-Gleichung, können wir $t$ eliminieren: $+ \begin{cases} y = 1 - 5s + 2t \\ z = 1 + s - 2t \end{cases} \ \Rightarrow \ y + z = 2 - 4s$. 
Wir können $t$ ebenfalls eliminieren, indem wir die y-Gleichung zum 2-fachen der x-Gleichung addieren: $+ \begin{cases} 2x = 2 - 4s - 2t \\ y = 1 - 5s + 2t \end{cases} \ \Rightarrow \ 2x + y = 3 -9s$. 
Nun haben wir zwei Gleichungen, die nur mehr von $s$ abhängig sind. Um diesen Parameter nun auch noch zu eliminieren, multiplizieren wir die erste Gleichung mit $(-9)$ und die zweite mit $4$ und addieren diese, um nochmals auf die allg. Ebenengleichung zu kommen.
$$+ \begin{cases} 8x + 4y = 12 - 36s \\ -9y - 9z = -18 + 36s \end{cases} \ \Rightarrow \ \epsilon: 8x - 5y -9z =-6$$
}}

===Lagebeziehungen===
====...zwischen zwei Ebenen====
Zwei Ebenen können im $\mathbb{R^3}$

* ident sein: die Ebenengleichungen (allg. Form) sind Vielfache voneinander;

z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : 2x + 2y + 2z = 6 \Rightarrow \epsilon _2 = 2 \cdot \epsilon _1$

* parallel sein: die Normalvektoren der Ebenen sind Vielfache voneinander;

z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : 2x + 2y + 2z = 5 \Rightarrow \vec{n_2} = 2 \cdot \vec{n_1}$

* einander schneiden (in einer Gerade): die Normalvektoren der Ebenen sind keine Vielfache voneinander;

z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : x - 3y + 2z = 1 \Rightarrow \nexists \lambda \in \mathbb{R} : \vec{n_1} = \lambda \cdot \vec{n_2}$

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:Ebenenident2.png|2 Ebenen sind ident
Datei:Ebenenparallel2.png|2 Ebenen sind parallel
Datei:Ebenenschnittgerade2.png|2 Ebenen schneiden einander in einer Geraden
</gallery>

 
'''Berechnen der Schnittgerade''' 
Erkennt man durch Betrachtung der Normalvektoren zweier Ebenen, dass diese einander schneiden müssen, so kann man diese Schnittgerade berechnen. Dazu erstellt man aus den beiden Ebenengleichungen ein lineares Gleichungssystem in 3 Unbekannten. 2 Gleichungen - 3 Unbekannte: wir werden hier nicht für alle Unbekannten einen Zahlenwert erhalten, können aber 2 Unbekannte in Abhängigkeit der dritten darstellen. Diese dritte Unbekannte wird uns als Parameter für die Darstellung der Geraden dienen. Zur Veranschaulichung ein Beispiel:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die beiden Ebenen $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : x - 3y + 2z = 1$. Wie wir weiter oben schon festgestellt haben, müssen diese Ebenen einander schneiden, da die beiden Noramlvektoren der Ebenen $\vec{n_1}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{n_2}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right)$ linear unabhängig voneinander sind, also $\nexists \lambda \in \mathbb{R} : \vec{n_1} = \lambda \cdot \vec{n_2}$. 
Wir wählen nun eine der Koordinaten als Parameter, z.B. $z=t$ und stellen das Gleichungssystem auf.

2=

$$\begin{align}I: \ &x&+&y&+&t&=&3 \\
II: \ &x&-&3y&+&2t&=&1
\end{align}$$

Wir subtrahieren $I-II$ und erhalten
$$4y - t = 2 \ \Rightarrow \ y = \frac{1}{2} + t \cdot \frac{1}{4}$$
Nun setzen wir unser erhaltenes $y$ in die erste Gleichung ein, um $x$ zu erhalten:

$$I: \ x + \frac{1}{2} + t \cdot \frac{1}{4} + t = 3 \ \Rightarrow \ x = \frac{5}{2} - t \cdot \frac{5}{4}$$
Somit haben wir alle Ausdrücke der Koordinaten gefunden ($z=t$ haben wir anfangs festgelegt) und können die Parameterdarstellung der Schnittgerade angeben:
$$g: X = \left( \begin{array}{c} \frac{5}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 0 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} - \frac{5}{4} \\ \frac{1}{4} \\ 1 \end{array} \right)$$
}}

====...zwischen 3 Ebenen====
Drei Ebenen können im $\mathbb{R^3}$

* alle ident sein
* 2 ident, 1 parallel sein
* alle parallel sein
* 3 Schnittgeraden haben
* 2 Schnittgeraden haben (2 Ebenen parallel)
* 1 Schnittgerade haben
* 1 Schnittpunkt haben

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:Ebenenident3.png|3 Ebenen sind ident
Datei:Ebenenidentparallel.png|2 Ebenen sind ident, 1 parallel
Datei:Ebenenparallel3.png|3 Ebenen sind parallel
Datei:Ebenenschnittgeraden33.png|3 Ebenen schneiden einander in 3 Geraden
Datei:Ebenenschnittgeraden32.png|3 Ebenen schneiden einander in 2 Geraden (2 Ebenen parallel)
Datei:Ebenenschnittgerade3.png|3 Ebenen schneiden einander in einer Gerade
Datei:Ebenenschnittgerade31.png|3 Ebenen schneiden einander in einer Gerade (2 Ebenen ident)
Datei:Ebenenschnittpunkt3.png|3 Ebenen schneiden einander in einem Punkt
</gallery>

====...zwischen Ebene und Gerade====
Eine Ebene und eine Gerade können im $\mathbb{R^3}$

* $g \subset \epsilon$, die Gerade liegt auf der Ebene

Hierbei haben die Gerade und die Ebene einen gemeinsamen Punkt und der Richtungsvektor der Gerade steht normal auf den Normalvektor der Ebene, daraus folgt, dass sie unendlich gemeinsame Punkte haben.

* parallel sein

Irgendein Punkt der Gerade liegt nicht auf der Ebene, der Richtungsvektor der Gerade steht normal auf den Normalvektor der Ebene, daraus folgt, dass sie keinen einzigen gemeinsamen Punkt haben.

* 1 Schnittpunkt haben

Der Richtungsvektor der Geraden steht nicht normal auf den Normalvektor der Ebene.

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:GeradeinEbene.png|Gerade liegt auf der Ebene
Datei:GeradepararallelEbene.png|Gerade und Ebene sind parallel zueinander
Datei:GeradeSchnittpunktEbene.png|Gerade und Ebene schneiden einander (Schnittpunkt)
</gallery>

Zur Überprüfung der Lagebeziehung gibt es allerdings noch eine andere (schnellere) Methode. Hier "schneiden" wir die Gerade und die Ebene mathematisch, d.h. wir setzen sie gleich (wenn beide in Parameterform gegeben sind) oder setzen die Gerade $g$ (Parameterform) in die Ebene $\epsilon$ (allg. Ebenengleichung) ein. 
Wir erhalten dadurch ein Gleichungssystem oder eine einzelne Gleichung.

Sei die Gerade gegeben als $g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \\ z = z_P + t \cdot z_a \end{cases}$ und die Ebene als $\epsilon : \begin{cases} x = x_Q + s \cdot x_b + u \cdot x_c \\ y = y_Q + s \cdot y_b + u \cdot y_c \\ z = z_Q + s \cdot z_b + u \cdot z_c \end{cases}$ (Parameterform) oder $\epsilon : ax + by + cz = d$ (allg. Ebenengleichung).

Wir erhalten als Gleichungssystem durch Gleichsetzen der Gleichungen der Parameterformen:
$$\begin{cases} x_P + t \cdot x_a = x_Q + s \cdot x_b + u \cdot x_c \\ y_P + t \cdot y_a = y_Q + s \cdot y_b + u \cdot y_c \\ z_P + t \cdot z_a = z_Q + s \cdot z_b + u \cdot z_c \end{cases}$$ 
Wir erhalten durch Einsetzen der Gerade in die Ebene (allg. Ebenengleichung):
$$a \cdot (x_P + t \cdot x_a) + b \cdot (y_P + t \cdot y_a) + c \cdot (z_P + t \cdot z_a) = d$$

Ergibt sich hier eine wahre Aussage (z.B. $1=1$), also unendlich viele Lösungen, so liegt die Gerade in der Ebene. 
Ergibt sich eine falsche Aussage (z.B. $1=2$), also keine Lösung, so schneiden die beiden Objekte einander nicht, also sie sind parallel. 
Gibt es genau eine Lösung (z.B. $t=2$), so existiert genau ein gemeinsamer Punkt = Schnittpunkt. Diesen erhält man, indem man den ermittelten Wert für den Parameter $t$ der Geraden in die Geradengleichung einsetzt (oder, wenn die Ebene in Parameterform gegeben war, die beiden Werte für die Parameter $s$ und $u$ der Ebene in die Ebenengleichung einsetzt). Dazu 2 Beispiele, wobei wir im ersten mit der Ebene in Parameterform rechnen werden:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right)$ und die Ebene $\epsilon : X = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -1 \\ -3 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) + u \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 0 \end{array} \right)$. Stellen wir nun also unser Gleichungssystem auf:

2=\begin{align}

I: \ & \ 1&-t&=&4& &+2u \\
II: \ &-3& &=&-1&+s&-u \\
III: \ & \ 2&+2t&=&-3&+s&
\end{align}

In der ersten Gleichung drücken wir $u$ in $t$ aus: $u = - \frac{3}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$ 
In der zweiten Gleichung drücken wir $s$ in $u$ aus: $s = -2 + u$ 
Das $u$ von oben setzen wir nun hier ein und erhalten $s$ in Abhängigkeit von $t$: $s = - \frac{7}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$.

Dieses $s$ setzen wir nun in die dritte Gleichung ein und wir erhalten: $2 + 2t = -3 - \frac{7}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$ und in weiterer Folge $t = - \frac{17}{5}$. 
Es ergibt sich also genau eine Lösung für das Gleichungssystem, was bedeutet, dass die Gerade und die Ebene einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen. Diesen erhalten wir, indem wir den errechneten Wert für $t$ in die Geradengleichung einsetzen (Man könnte natürlich auch noch die Werte für $s$ und $u$ berechnen, und diese in die Ebenengleichung einsetzen; zur Übung kannst du das gerne tun):
$$g: S = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) - \frac{17}{5} \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \frac{23}{5} \\ -3 \\ - \frac{24}{5} \end{array} \right)$$
}}

Betrachten wir nun dasselbe Beispiel, mit dem Unterschied, dass die Ebene in Normalform gegeben ist und wir auch gleich mit dieser Form rechnen:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right)$ und die Ebene $\epsilon : x + 2y - 2z = 8$. Wir setzen die Koordinatengleichungen der Gerade in die Normalform der Ebene:

2= $g$ in $\epsilon$: $$1 - t - 6 - 4 -4t =8$$

Wenn wir diese Gleichung lösen, erhalten wir, wie im ersten Bespiel, $t = - \frac{17}{5}$. Dies noch in die Geradengleichung einsetzen, und wir erhalten den Schnittpunkt.}}

Da man bei der zweiten Methode meistens weniger Rechenaufwand hat, zahlt es sich oft aus die Parameterdarstellung der Ebene in die Normalform (= allg. Ebenengleichung) umzurechnen.

==Pyramidenbeispiel==
[[Datei:Pyramidebsp.png|thumb|right|350px|Pyramide]]Gegeben seien 3 Eckpunkte $A(-2/-2/1), B(2/-2/1), C(2/2/1)$ der quadratischen Grundfläche und der Spitzpunkt $S(0/0/6)$ einer geraden (gerade bedeutet, dass die Spitze in einem rechten Winkel über dem Mittelpunkt der Grundfläche der Pyramide liegt) Pyramide.
Gesucht sind:

# der vierte Eckpunkt $D$ der Grundfläche
# die Parameterdarstellung der Trägergeraden $h$ der Höhe
# die Fläche der Grundfläche
# die Geradengleichung der Geraden $g_{AS}$ auf der $A$ und $S$ liegen in a)Parameterform und b)parameterfreier Form
# Der Winkel $\alpha$ zwischen den Vektoren $\vec{AS}$ und $\vec{AC}$
# Zeige, dass der Schnittpunkt der Geraden $g_{AS}$ und $h$ gleich die Spitze $S$ ist
# Gib die Ebenengleichung $\epsilon$ der Grundfläche in a)Parameterform, b)Normalform und c)allgemeiner Ebenengleichung an
# Berechne den Fußpunkt $M$ der Höhe, indem du $h$ und $\epsilon$ schneidest

1. $D = A + \vec{BC} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -2 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right)$ 
2. $h: X = S + t \cdot \vec{h}$
$$\vec{AB} \times \vec{BC} = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 16 \end{array} \right) \ \parallel \ \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) = \vec{h}$$
$$h: X = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$$ 
3. $G = \parallel \vec{AB} \times \vec{BC} \parallel = \parallel \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 16 \end{array} \right) \parallel = 16FE$ 
4. a) $g_{AS}: X = A + u \cdot \vec{AS}$
$$\vec{AS} = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g_{AS}: X = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + u \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right)$$ oder $$g_{AS}:\begin{cases} x = -2 + 2u \\ y = -2 + 2u \\ z = 1 + 5u \end{cases}$$
b) Parameter elimieren:
$$x - y: x-y = 0$$
$$5x - 2z: 5x - 2z = -12$$
$$\Rightarrow g_{AS}:\begin{cases} x - y = 0 \\ 5x - 2z = -12 \end{cases}$$ 
5. $\measuredangle \vec{AS},\vec{AC} = \alpha = arccos{\frac{\vec{AS} \cdot \vec{AC}}{\parallel \vec{AS} \parallel \cdot \parallel \vec{AC} \parallel}} = arccos{\frac{\left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right)}{\parallel \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) \parallel \cdot \parallel \left( \begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) \parallel}} = arccos{\frac{16}{\sqrt{33 \cdot 32}}} = 60,5°$ 
6. $g_{AS}$ und $h$ gleichsetzen:
$$\begin{align}
I: \ &-2&+&2u&=&0&& \\
II: \ &-2&+&2u&=&0&& \\
III: \ & \ \ 1&+&5u&=&6&+&t
\end{align}
\ \ \ \rightarrow u=1$$
$$g_{AS}: S = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + 1 \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array} \right)$$ 
7. a) $\epsilon: X = A + v \cdot \vec{AB} + w \cdot \vec{BC} \ \rightarrow \ \epsilon: X = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + v \cdot \left( \begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) + w \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right)$ 
b) $\epsilon: \vec{n} \cdot \vec{X} = \vec{n} \cdot \vec{A} \ \rightarrow \ \epsilon: \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right)$ 
c) $\epsilon: z = 1$ 
8. $h:\begin{cases} x=0 \\ y=0 \\ z=6+t \end{cases} \ \ \epsilon: z=1 \ \ \rightarrow \ 1 = 6 + t \ \Rightarrow \ t=-5$ 
$h: M = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array} \right) -5 \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$

=Beispiele=
Hier findest du Beispiele zu den behandelten Themen:

===Grundlagen der Vektorrechnung===
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/9/99/VektorrechnungGLBspAngabe.pdf VektorrechnungGLBspAngabe.pdf] 
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/0/00/VektorrechnungGLBspL%C3%B6sung.pdf VektorrechnungGLBspLösung.pdf]

===Vektorrechnung im $\mathbb{R^2}$===
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/7/7f/VektorrechnungR2BspAngabe.pdf VektorrechnungR2BspAngabe.pdf] 
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/f/ff/VektorrechnungR2BspL%C3%B6sung.pdf VektorrechnungR2BspLösung.pdf]

Vektorrechnung

2016-05-01T11:39:47Z

Lajtos: /* Kreuzprodukt */

= Grundlagen der Vektorrechnung =

==Koordinatensystem==
[[Datei:Koordinatengitter.png|thumb|right|350px|Koordinatengitter im $\mathbb{R^2}$ mit den 4 Quadranten]]

Für die Vektorrechnung sind Koordinatensysteme essentiell.
Im zweidimensionalen Raum besitzt ein Koordinatensystem 2 Achsen:

* die x-Achse (waagrecht) und
* die y-Achse (senkrecht)

 
Diese sind unendlich lang und Spannen die vier sogenannten Quadranten auf, die meist mit den römischen Ziffern I-IV beschriftet werden (gesprochen: Erster Quadrant, Zweiter Quadrant etc.). Die rechte Graphik zeigt die die Position der Quadranten. Dort, wo die 2 Achsen einander treffen, liegt der sog. Ursprung (kurz: $\vec{0}$); seine Koordinaten sind (0/0).

Was es außerdem noch zu beachten gibt, hast du vielleicht bereits selbst erkannt:
An den gegenüberliegenden Seiten der x- und y-Achsen werden unterschiedliche Vorzeichen verwendet. So spricht man "links" des Ursprungs von der negativen, bzw. "rechts" des Ursprungs von der positiven x-Achse. Analog spricht man "oben" und "unten" von der positiven und negativen y-Achse.

Im dreidimensionalen Raum kommt eine dritte Achse - die z-Achse - dazu. Punkte und Vektoren besitzen dementsprechend dann auch 3 Koordinaten. Dies kann man bis ins n-dimensionale weiterführen.

==Punkte==
In ein Koordinatensystem lassen sich Punkte eintragen. Diese besitzen, entsprechend ihrer Lage, Koordinaten. Im obigen Bild z.B. haben wir die Punkte A und B, wobei sich A im ersten Quadranten befindet und B im vierten. Man schreibt: A(2/3,5) B(1/-2).

[[Datei:PunkteR2.png|thumb|right|250px|Punkte im $\mathbb{R^2}$]]

{{Vorlage:Merke |''Einen'' '''allgemeinen Punkt''' ''schreibt man an als'' $P(x_1/x_2/.../x_n)$ (im n-dimensionalen Raum $\mathbb{R^n}$) ''bzw.'' $P(x/y)$ (im 2-dimensionalen Raum $ \mathbb{R^2}$) ''oder'' $P(x/y/z)$ (im 3-dimensionalen Raum $\mathbb{R^3}$).
 
Die erste Koordinate entspricht der x-Koordinate, die zweite der y-Koordinate, die eventuelle dritte der z-Koordinate.

Punkte werden in der Regel mit Großbuchstaben bezeichnet.}}

Koordinaten von Punkten lassen sich also ganz einfach ablesen. Die x/y-Koordinate entspricht dabei dem Abstand vom Ursprung zum Punkt in Richtung der jeweiligen Koordinatenachse. So erkennen wir im Bild rechts die folgenden Punkte:

* A(2/0)
* B(0/-2)
* C(-1/2)

==Vektoren==
Vektoren kann man sich wie '' eine Menge von Pfeilen'' vorstellen. Sie besitzen eine '''Länge''' (Betrag) und eine '''Richtung'''. Auch sie bestehen, wie Punkte, je nach Dimension aus 2 bzw. 3 Koordinaten. Der Unterschied dabei ist, dass die Koordinaten hier keine Position im Koordinatensystem darstellen, sondern eine Bewegung. Auch die Schreibweise unterscheidet sich:

{{Vorlage:Merke |1=''Einen'' '''allgemeinen Vektor''' ''schreibt man an als'' $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ (im $\mathbb{R^n}$) ''bzw.'' $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ (im $\mathbb{R^2}$) oder $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right)$ (im $\mathbb{R^3}$).

Vektoren werden in der Regeln mit Kleinbuchstaben mit Pfeil darüber bezeichnet.}}

===Ortsvektoren===
[[Datei:Ortsvektor.png|thumb|right|300px|Punkt und zugehöriger Ortsvektor]]
Der Ortsvektor von einem Punkt ist der Vektor, der vom Ursprung aus auf den Punkt zeigt. Die Koordinaten bleiben deshalb gleich, es ändert sich quasi nur die Schreibweise:

Sei $A(x_1/x_2/.../x_n)$ ein Punkt in der Dimension $n$, dann ist $\vec{0A} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ dessen Ortsvektor.

 

 

 
 

=== Addition und Subtraktion von Vektoren ===
{{Vorlage:Merke|1=Wenn du Vektoren addieren oder subtrahieren möchtest, musst du dazu einfach die entsprechenden Koordinaten betrachten: 
$\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) \pm \left( \begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ ... \\ y_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x_1 \pm y_1 \\ x_2 \pm y_2 \\ ... \\ x_n \pm y_n \end{array} \right)$ 
Wichtig ist dabei, dass die Vektoren, die du addieren oder subtrahieren möchtest, derselben Dimension $n$ angehören! D.h. sie haben gleich viele Koordinaten.}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben seien die beiden Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right)$. Berechne erst $\vec{a} + \vec{b}$, dann $\vec{a} - \vec{b}$ und zuletzt $\vec{b} - \vec{a}$!
|2= $$\vec{a} + \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 5+1 \\ 2+(-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 6 \\ -1 \end{array} \right)$$
$$\vec{a} - \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 5-1 \\ 2-(-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 5 \end{array} \right)$$
$$\vec{b} - \vec{a} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 1-5 \\ -3-2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -4 \\ -5 \end{array} \right)$$}}

===Vektoren bestimmen: Spitze-minus-Schaft===
[[Datei:Spitzeschaft.png|thumb|right|300px|"Spitze minus Schaft"]]
Zwischen 2 Punkten kann man nun einen Vektor definieren. Dabei gilt: Die '''"Spitze minus Schaft"'''-Regel Im Bild rechts wollen wir den Vektor berechnen, der von A nach B geht, also den Vektor $\vec{AB}$. Der Punkt B(3/3,5) entspricht hierbei der Spitze, und der Punkt A(1/0,5) dem Schaft. Da das Rechnen mit Punkten allerdings keinen Sinn ergibt, rechnet man stattdessen mit deren Ortsvektoren (siehe oben).

Für unser Beispiel bedeutet das folgendes: $\vec{0B} - \vec{0A} = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 3,5 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0,5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 3-1 \\ 3,5-3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right) = \vec{AB}$

Beachte außerdem:

* Man schreibt der Einfachheit halber oft nur $B-A$, wenn damit eigentlich $\vec{0B} - \vec{0A}$ gemeint ist.
* $\vec{AB} = -\vec{BA}$

 

===Produkt eines Vektors mit einem Skalar===
Wenn man einen Vektor $\vec{v}$ mit einer [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)|reellen Zahl]] $k$ , einem sogenannten "Skalar", multipliziert, werden dabei die einzelnen Koordinaten mit dem Skalar multipliziert:

$k \cdot \vec{v} = k \cdot \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} k \cdot x_1 \\ k \cdot x_2 \\ ... \\ k \cdot x_n \end{array} \right)$
 

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sei der Vektor $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right)$. Multipliziere diesen einmal mit $2$ und einmal mit $-5$!
|2=$$2 \cdot \vec{a} = 2 \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \cdot 2 \\ 2 \cdot (-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -6 \end{array} \right)$$
$$(-5) \cdot \vec{a} = (-5) \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-5) \cdot 2 \\ (-5) \cdot (-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -10 \\ 15 \end{array} \right)$$}}

{{#widget:Iframe
|url= http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_vektorrechnung/MV_Vektor1/MV_Vektor1/sites/Vektortest.html
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|height= 600
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}}
[http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_vektorrechnung/MV_Vektor1/MV_Vektor1/ (Quelle dieses Applets)]

===Wie Vektoren zueinander stehen===
Vektoren können unterschiedliche Richtungen haben, aber auch parallel zueinander oder gar identisch sein. Optisch lässt sich das oft sehr leicht erkennen, rechnerisch sind diese Feststellungen allerdings ebenfalls überprüfbar.

{{Vorlage:Definition |Unter einem Vektor versteht man die Menge aller gleichlangen, gleichgerichteten und gleichorientierten Pfeile.

Der Start/Endpunkt spielen dabei keine Rolle!}}

{{Vorlage:Merke|2 Vektoren stehen parallel zueinander, wenn ein Vektor als Vielfaches des anderen Vektors angeschrieben werden kann. 
Man sagt auch: Die Vektoren sind [[linear abhängig]] (linear abhängig zu sein bedeutet, dass ein Vektor als Vielfaches eines anderen Vektors dargestellt werden kann).}}

Sehen wir uns die verschiedenen Fälle an:

{| class="wikitable"
|-
| ident: gleiche Richtung, gleiche Orientierung, gleiche Länge || [[Datei:Vektorv1.png|none|250px]] || $\vec{v} = \vec{u} \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$ || z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$
|-
| parallel (gleiche Orientierung): gleiche Richtung, gleiche Orientierung || [[Datei:Vektorenlänge.png|none|250px]] || $\exists k>0 : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$ || z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \end{array} \right)$, $k=2$
|-
| parallel (unterschiedliche Orientierung): gleiche Richtung || [[Datei:Vektororientierung1.png|none|250px]] || $\exists k<0 : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$ || z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} -1 \\ -1 \end{array} \right)$, $k=-1$ 
aber auch: $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \end{array} \right)$, $k=-2$
|-
| linear unabhängig || [[Datei:Vektorrichtung1.png|none|250px]] || $\nexists k : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \nparallel \vec{u}$ || z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)$
|}

{{Vorlage:Beispiel|1=für linear unabhängige Vektoren:

Sei $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 5 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$.

Wenn es ein k gibt, sodass $k \cdot \vec{a} = \vec{b}$, dann sind die beiden Vektoren voneinander linear abhängig, und somit auch parallel zueinander.

Wir lösen dieses Problem mit Hilfe von 2 Gleichungen in einer Unbekannten:

|2=$I: 2k = 4 \ \ \rightarrow k=2$
$II: 5k = 3 \ \ \rightarrow k=\frac{3}{5}$

Aus der ersten Gleichung ergibt sich k=2, in der zweiten aber $k=\frac{3}{5}$. $k$ kann aber nicht beides sein, somit haben wir eine falsche Aussage erhalten. Daraus folgt, dass die beiden Vektoren '''linear unabhängig''' und somit nicht parallel zueinander sind.}}
 

===Betrag und Einheitsvektor===

[[Datei:PythagorasVektor.png|thumb|right|350px|Betrag eines Vektors; Einheitsvektor]]Wie anfangs bereits erwähnt, besitzen Vektoren eine Länge, auch '''Betrag''' eines Vektors genannt. Dieser wird mit Hilfe des pythagoräischen Lehrsatzes wie folgt berechnet:

<div align="center">$\parallel \vec{v} \parallel = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2} \ $ wenn $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ ein Vektor der Dimension $n$ ist.</div>
Sehen wir uns die Grafik rechts an, können wir mit dieser Formel die Länge des zweidimensionalen Vektors $\parallel \vec{v} \parallel$ berechnen:

<div align="center">$\parallel \vec{v} \parallel = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$</div>
 Der '''Einheitsvektor''' $\vec{a_0}$ eines Vektors $\vec{a}$ ist ein zu $\vec{a}$ paralleler Vektor mit Länge 1. Rechnerisch erhält man $\vec{a_0}$, indem man $\vec{a}$ durch seine Länge dividiert.
$$ \vec{a_0}=\frac{\vec{a}}{\parallel \vec{a}\parallel}$$
bzw.
$$ \vec{a_0}=\frac{1}{\parallel\vec{a}\parallel}\cdot \vec{a}$$

Daraus ergibt sich ein Vektor, der dieselbe Richtung des ursprünglichen Vektors hat, allerdings die Länge 1 besitzt.

{{Vorlage:Merke|1=
Sei $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ ein Vektor der Dimension $n$ und $\parallel \vec{v} \parallel$ sein Betrag, dann ist $\vec{v_0} = \frac{1}{\parallel \vec{v} \parallel} \cdot \vec{v} \ $ der Einheitsvektor zu $\vec{v}$.
}}

In unserem Beispiel würde das folgendes bedeuten:

{{Vorlage:Beispiel|1= Bestimmen Sie den Einheitsvektor von $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$
|2=

<div align="center"> $\vec{v_0} = \frac{1}{\sqrt{13} } \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \frac{2}{\sqrt{13} } \\ \frac{3}{\sqrt{13} } \end{array} \right)$ </div>
}}

===Vektoren bestimmter Länge===
Da wir nun gelernt haben, Einheitsvektoren zu bilden und Vektoren mit Zahlen zu multiplizieren (und ich das hier so schön betone), könnt ihr euch vielleicht schon vorstellen, wie man aus einem beliebigen Vektor einen Vektor derselben Richtung, allerdings unterschiedlicher Länge bekommt. Wir haben also einen Vektor $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ mit der Länge $\parallel \vec{v} \parallel = k$ gegeben, und hätten gerne den Vektor $\vec{w} \ \parallel \ \vec{v}$ mit der Länge $l$. Dazu berechnen wir zuerst den Einheitsvektor $\vec{v_0}$ von $\vec{v}$ und multiplizieren diesen dann mit $l$. So erhalten wir schließlich $\vec{w} = l \cdot \vec{v_0}$.

==Mittelpunkt einer Strecke==
[[Datei:Mittelpunkt.png|thumb|300px|Mittelpunkt M der Strecke AB]]
Willst du den Mittelpunkt zwischen 2 Punkten $A$ und $B$ berechnen, musst du wie folgt vorgehen:
Zuerst berechnest du einen Vektor zwischen den Punkten ($\vec{AB}$ oder $\vec{BA}$). Dann halbierst du diesen Vektor, und erhältst $\vec{AM}$ bzw. $\vec{BM}$. Addierst du dann diesen Vektor zum entsprechenden Punkt ($A$ bzw. $B$), erhältst so den Mittelpunkt. Also:
 

<big><div align="center">$\vec{0M} = \vec{0A} + \frac{\vec{AB}}{2} = \vec{0B} + \frac{\vec{BA}}{2}$</div></big>

= Im $\mathbb{R^2}$ =
Dieser Artikel befasst sich mit der Vektorrechnung im zweidimensionalen Raum. Grundlegende Informationen zur Vektorrechnung, so wie Punkte und Vektoren, findest du unter dem Tab ''Grundlagen der Vektorrechnung''.

==Vektoren==

===Normalvektoren===
[[Datei:Normalvektoren.png|thumb|350px|Normalvektoren]]
Normalvektoren zu einem Vektor sind alle Vektoren, die normal (90°) auf den Vektor stehen. Im $\mathbb{R^2}$ gibt es zu jedem Vektor genau 2 Normalvektoren, die dieselbe Länge wie der ursprüngliche Vektor haben. Alle anderen Normalvektoren sind Vielfache eines dieser 2 Normalvektoren.

{{Vorlage:Merke | 1=Sei $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ ein Vektor, dann ist $\vec{n_1}=\left( \begin{array}{c} -y \\ x \end{array} \right)$ sein nach links gekippter, und $\vec{n_2}=\left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right)$ sein nach rechts gekippter Normalvektor.}}

 

===Skalarprodukt===
Unter dem Skalarprodukt versteht man die Multiplikation zweier Vektoren, bei der als Ergebnis ein Skalar (eine Zahl) entsteht.

{{Vorlage:Merke|1=Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren, dann ist $\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \end{array} \right) = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b$ gleich ihr Skalarprodukt.}}

 

===Winkel zwischen zwei Vektoren===
[[Datei:Winkel.png|thumb|350px|Winkel zwischen 2 Vektoren]]
<big>$$cos{\varphi} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel} = \vec{a_0} \cdot \vec{b_0}$$
bzw.
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = \parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel \cdot cos{\varphi}$$</big>

Heißt es, den Winkel zwischen 2 Vektoren/Geraden zu bestimmen, ist damit immer der kleinere Winkel gemeint. Solltest du einmal ein Ergebnis erhalten, das größer als 180° ist (nennen wir dieses Ergebnis $\varphi'$), dann ziehe dieses Ergebnis von 360° ab und du erhältst den kleineren Winkel ($\varphi = 360° - \varphi'$). 
Bei einem Winkel von $\varphi = 90°$ erhalten wir $cos{\varphi} = 0$, was bedeutet, dass auch $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$. Daraus ergibt sich das Orthogonalitätskriterium.

 

====Orthogonalitätskriterium====
{{Vorlage:Merke|1=Ergibt das Skalarprodukt zweier Vektoren $0$, so stehen diese zwei Vektoren normal zueinander (und umgekehrt!)
$$\vec{a} \cdot \vec{b} \ = \ 0 \ \Leftrightarrow \ \vec{a} \bot \vec{b}$$}}

Das ist nicht überraschend, denn multipliziert man einen Vektor $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ mit seinem Normalvektor $\vec{n}=\left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right)$ erhalten wir:
$$\vec{v} \cdot \vec{n} = \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right) = xy - yx = 0$$

 

==Geraden==
===Darstellungsformen===
Geraden lassen sich in unterschiedlichen Formen darstellen. In der Vektorrechnung ist die Parameterdarstellung populär, da man dazu nur einen Punkt und Vektor kennen muss. Die Normalform allerdings hat den Vorteil, dass man den Normalvektor zur Geraden auf einen Blick ablesen kann. Je nachdem, was man mit der Gerade vorhat, können die verschiedenen Formen ineinander umgewandelt werden.

====Parameterdarstellung====
[[Datei:Parameterdarstellung.png|thumb|350px|Parameterdarstellung einer Geraden]]
$$g: \vec{0X} = \vec{0P} + t \cdot \vec{a}$$ 
wobei
*$X \in g$ ist ein '''beliebiger''' Punkt auf der unendlichen Geraden (steht für alle Punkte auf der Geraden)
*$P \in g$ ist ein '''bekannter''' Punkt auf der Geraden
*$t \in \mathbb{R}$ ist ein freier Parameter (in der Graphik rechts $\lambda$)
*$\vec{a} \in \mathbb{R^2}$ ist ein Vektor parallel zur Geraden, der die Richtung dieser angibt ("Richtungsvektor")
 
Beachte, dass in der Parameterdarstellung keine Punkte, sondern Ortsvektoren verwendet werden! (Info zu Ortsvektoren findest du unter ''Grundlagen der Vektorrechnung''.) 
Wenn man das weiß, kann man der Einfachheit halber die Gerade auch folgendermaßen beschreiben: $g: X = P + t \cdot \vec{a}$

 
Eine andere Schreibweise ist, die Koordinaten einzeln zu betrachten und 2 Gleichungen aufzustellen:
$$g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \end{cases}$$

 

====Normalvektorform====
Hierzu benötigt man einen Normalvektor des Richtungsvektors und multipliziert dann die Geradengleichung mit diesem Normalvektor. Da $\vec{a} \cdot \vec{n} = 0$, bleibt über:

Sei $g: \vec{0X} = \vec{0P} + t \cdot \vec{a}$ eine Gerade in Parameterform, so ist 

<div align="center">$g: \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x_P \\ y_P \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right)$</div> 

dieselbe Gerade in Normalform, wobei $\vec{0X}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right), \ \vec{0P}=\left( \begin{array}{c} x_P \\ y_P \end{array} \right), \ \vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right)$ und $\vec{n}=\left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right)$ ein Normalvektor von $\vec{a}$ (hier kann man natürlich auch den anderen Normalvektor verwenden).

 

====Allgemeine Geradengleichung====
Diese Form der Darstellung heißt auch Normalform, da man den Normalvektor der Gerade direkt ablesen kann.Um von der Parameterdarstellung auf diese Form zu kommen, gibt es 2 Möglichkeiten:

'''1. Multiplikation mit Normalvektor:'''
Hierzu muss man einfach die Normalform ausmultiplizieren und es ergibt sich: 

$$g: y_a \cdot x + -x_a \cdot y = y_a \cdot x_P + -x_a \cdot y_P$$
 

'''2. Elimination des Parameters:'''
Hierbei gehen wir von der Geradenform $g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \end{cases}$ aus, eliminieren $t$, und kommen ebenfalls auf die obige allgemeine Geradengleichung.
Auf der rechten Seite der Gleichung stehen nur bekannte Größen, auf der linken Seiten stehen Vielfache von x und y. Diese Gleichung kann man weiter auch auf die Form y=kx+d umformen.

 

===Lagebeziehungen zwischen Geraden===
Mehrere Geraden können im $\mathbb{R^2}$

*ident sein, d.h. sie haben unendlich viele gemeinsame Punkte
*parallel sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt
*einander schneiden, d.h. sie haben genau ein gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt)
 
Sind uns 2 Geraden in '''Parameterdarstellung''' gegeben, betrachten wir zuerst ihre Richtungsvektoren. 
Sind diese parallel zueinander, so sind auch die Geraden parallel zueinander. Nun bleibt noch die Frage offen, ob die Geraden ident sind. Dazu überprüfen wir einfach, ob der gegebene Punkt der einen Geraden auch auf der anderen Geraden liegt. Dazu Setzen wir den bekannten Punkt der einen Geraden für den unbekannten Punkt der anderen Geraden ein und erhalten 2 Gleichungen in einer Unbekannten (Parameter der zweiten Gerade). Erhalten wir nun für den Parameter zweimal dasselbe Ergebnis, so sind die 2 Geraden ident, erhalten wir unterschiedliche Ergebnisse, so sind sie nur parallel. 
Sind die Richtungsvektoren nicht parallel zueinander, so sind es auch die 2 Geraden nicht, und wir können uns sicher sein, dass diese einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen.
Doch wie erhalten wir den Schnittpunkt? Ganz einfach, indem wir die 2 Geraden schneiden. Dazu müssen wir sie gleichsetzen, und dann das dadurch erhaltene Gleichungssystem in 2 Unbekannten (die 2 Parameter) lösen. Wenn wir den Wert eines Parameters ausgerechnet haben, setzen wir ihn einfach in die entsprechende Geradengleichung ein und erhalten so den Schnittpunkt!

 

Sind die 2 Geraden in der '''allgemeinen Geradenform''' gegeben, so haben wir bereits 2 Gleichungen gegeben, die wir nach x und y auflösen. Dieses x und y sind die Koordinaten des Schnittpunktes.

 

Um das Schneiden von Geraden besser zu verstehen, schau dir das Lösen von [[ Gleichungssysteme (2.7.) |Gleichungssystemen]] genauer an, wirf einen Blick auf die Beispiele zum $\mathbb{R^2}$ unter dem Tab 'Beispiele', oder sieh dir dieses Video an:

<div align="center">{{#ev:youtube|ZrFE3LRisn0}}</div>

 

===Normalabstand Punkt - Gerade===
[[Datei:Normalabstand.gif|right]]
Gegeben sei ein Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und eine Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$. Um den Normalabstand $d(Q,g)$ zwischen Q und g zu berechnen, gehe wie folgt vor:
{{Vorlage:Merke|1=1. Bestimme die Gerade $q: X = Q + s \cdot \vec{n}$, die durch $Q$ geht und den Normalvektor $\vec{n}$ von $\vec{a}$ als Richtungsvektor besitzt.
2. Schneide $g$ und $q$ und die erhältst ihren Schnittpunkt $S$. 
3. Berechne $\parallel \vec{QS} \parallel$.}}
In der Graphik rechts hätten wir z.B. die Angabe $g: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right) + \lambda \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array} \right)$ und $Q(3/4)$. Du kannst das zur Übung durchrechnen.

 

====Hesse'sche Abstandsformel====
Mithilfe dieser Formel kann man ebenfalls den Abstand $d(Q,g)$ zwischen Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$ bestimmen. 
<big>$d(Q,g) = | \vec{PQ} \cdot \vec{n_0} | $</big>, wobei $\vec{n_0}$ der normierte (Länge 1) Normalvektor des Richtungsvektors $\vec{a}$ der Geraden $g$ ist.

 

====Spiegelung eines Punktes an einer Geraden====
[[Datei:Spiegeln.png|thumb|250px|Gespiegelter Punkt Q']]
Gegeben sei ein Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und eine Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$. Es gilt den Punkt $Q$ an der Gerade $g$ zu spiegeln, und so den Punkt $Q'$ zu erhalten. Dazu befolgst du die Vorgehensweise von "Normalabstand Punkt - Gerade" bis du den Vektor $\vec{QS}$ erhältst, und trägst diesen vom Punkt $S$ ab, also: 
$Q' = S + \vec{QS}$

= Im $\mathbb{R^3}$ =

== Vektoren ==

=== Kreuzprodukt ===
Im $\mathbb{R^3}$ gibt es neben dem Skalarprodukt, bei dem wir als Ergebnis ein Skalar erhalten, eine weitere Möglichkeit, zwei Vektoren miteinander zu multiplizieren: das sog. Kreuz- oder Vektorprodukt, bei dem wir als Ergebnis einen Vektor erhalten.
{{Vorlage:Merke|1=Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren des $\mathbb{R^3}$, dann ist ihr Kreuzprodukt
$$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} y_a \cdot z_b - z_a \cdot y_b \\ z_a \cdot x_b - x_a \cdot z_b \\ x_a \cdot y_b - y_a \cdot x_b \end{array} \right)$$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ -3 \end{array} \right)$, gesucht ist ihr Kreuzprodukt.
|2=$$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \cdot (-3) - 3 \cdot 4 \\ 3 \cdot 5 - 1 \cdot (-3) \\ 1 \cdot 4 - 2 \cdot 5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-6) - 12 \\ 15 - (-3) \\ 4 - 10 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -18 \\ 18 \\ -6 \end{array} \right)$$}}

Wozu wir das Kreuzprodukt überhaupt benötigen, sehen wir an den nächsten 2 Punkten.

 

==== Normalvektoren ====
Im $\mathbb{R^3}$ gibt es zu einem Vektor unendlich viele Normalvektoren. Auf eine Ebene allerdings gibt es genau 2 Normalvektoren (wie im $\mathbb{R^2}$ auf eine Gerade). Eine Ebene wird von 2 Vektoren aufgespannt, deren Kreuzprodukt ergibt einen Normalvektor $\vec{n_1}$ auf die Ebene bzw. die zwei Vektoren; der zweite Normalvektor hat die entgegengesetzte Orientierung ($\vec{n_2} = -\vec{n_1}$). Also:
$$\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$$

 

==== Fläche eines von zwei Vektoren aufgespannten Parallelogramms oder Dreiecks ====
[[Datei:FlächeNormalvektor.png|thumb|right|ohne|250px|2 Vektoren spannen ein Dreieck bzw. Parallelogramm auf]]
 
{{Vorlage:Merke|1=Die Länge $\parallel \vec{n} \parallel = \parallel \vec{a} \times \vec{b} \parallel$ des Normalvektors $\vec{n}$ zu den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ entspricht der Maßzahl des Flächeninhaltes des Parallelogramms, das $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aufspannen (im Bild die gesamte grüne Fläche).
Die Hälfte dieser Fläche entspricht der Fläche des aufgespannten Dreiecks.}}

 

=== Skalarprodukt, Orthogonalitätskriterium, Winkel zwischen zwei Vektoren ===
Diese drei Dinge "funktionieren" im $\mathbb{R^3}$ wie im $\mathbb{R^2}$. Also hier nur eine kurze Wiederholung:
 

'''Skalarprodukt''' 
Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\z_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren, dann ist $$\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right) = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b + z_a \cdot z_b$$ gleich ihr Skalarprodukt.
 

'''Orthogonalitätskriterium''' 
Ergibt das Skalarprodukt zweier Vektoren $0$, so stehen diese zwei Vektoren normal zueinander (und umgekehrt!)
$$\vec{a} \cdot \vec{b} \ = \ 0 \ \Leftrightarrow \ \vec{a} \bot \vec{b}$$
Auch das gibt es im $\mathbb{R^3}$. Bedenke aber, dass es hier, anders als im $\mathbb{R^2}$, unendlich viele Normalvektoren auf einen Vektor gibt.
 

'''Winkel zwischen zwei Vektoren'''
$$cos{\varphi} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel} = \vec{a_0} \cdot \vec{b_0}$$

 

== Geraden ==
=== Darstellungsformen ===
==== Parameterdarstellung ====
Die Parameterdarstellung im $\mathbb{R^3}$ sieht genauso aus wie im $\mathbb{R^2}$, einziger Unterschied ist, dass unsere Punkte und Vektoren hier jeweils 3 Koordinaten haben.
$$g: X = P + t \cdot \vec{a}$$ bzw. $$g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \\ z = z_P + t \cdot z_a \end{cases}$$
Mehr Infos zu den einzelnen Komponenten findest du im Tab 'Im $\mathbb{R^2}$'.

 

==== Parameterfreie Darstellungsform ====
Diese besteht aus 2 Gleichungen und wir erhalten sie durch Eliminierung des Parameters.

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sei die Parameterform der Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ -4 \\ 1 \end{array} \right)$. Zuerst schreiben wir das in die 3 Koordinatengleichungen um:
$$g : \begin{cases} x = 2 + 3t \\ y = 0 - 4t \\ z = 1 + t \end{cases}$$

|2=Wir multiplizieren die erste Gleichung mit $4$ und die zweite Gleichung mit $3$ und addieren die beiden: $$+ \begin{cases} 4x = 8 + 12t \\ 3y = 0 - 12t \end{cases}$$ und erhalten so die Gleichung $4x + 3y = 8$.
Wir multiplizieren die dritte Gleichung mit $3$ und subtrahieren diese von der ersten Gleichung: $$- \begin{cases} x = 2 + 3t \\ 3z = 3 + 3t \end{cases}$$ und erhalten so die Gleichung $x - 3z = -1$.

Die parameterfreie Darstellung unserer Gerade lautet somit $$g : \begin{cases} 4x + 3y = 8 \\ x - 3z = -1 \end{cases}$$.}}

Die zwei Gleichungen in der parameterfreien Darstellung sind übrigens Ebenengleichungen. Die eigentliche Gerade ist der Schnitt dieser zwei Ebenen!

 

=== Lagebeziehungen zwischen Geraden ===
Mehrere Geraden können im $\mathbb{R^3}$

*ident sein, d.h. sie haben unendlich viele gemeinsame Punkte
*parallel sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt
*einander schneiden, d.h. sie haben genau ein gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt)
*windschief sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt und sind nicht parallel
 

Um herauszufinden, wie 2 gegebene Geraden in Parameterform zueinander stehen, gehst du am besten wie folgt vor:

'''Betrachtung der Richtungsvektoren:''' Auch im $\mathbb{R^3}$ gilt, sind die Richtungsvektoren zweier Geraden parallel zueinander (d.h. man kann einen Vektor als Vielfaches des anderen Vektors darstellen), so sind es auch die Geraden.
 

'''Fall 1: Die Vektoren sind parallel:''' Sollte sich herausstellen, dass die zwei Geraden parallel zueinander sind, überprüfst du als nächstes, ob sie einen gemeinsamen Punkt haben; am einfachsten funktioniert das, indem du den bekannten Punkt ($P$) der einen Geraden in die zweite Gerade (für den unbekannten Punkt $X$) einsetzt. Wir erhalten drei Gleichungen in einer Unbekannten (Parameter der zweiten Gerade). 
'''Fall 1a:''' Erhalten wir nun für den Parameter dreimal dasselbe Ergebnis, so sind die 2 Geraden '''ident''' (und parallel), da der überprüfte Punkt, und somit unendlich weitere, auf beiden Geraden liegen. 
'''Fall 1b:''' Erhalten wir unterschiedliche Ergebnisse, so sind sie nur '''parallel''', da der überprüfte Punkt nicht, und somit auch kein anderer, auf beiden Geraden liegen.
 

'''Fall 2: Die Vektoren sind nicht parallel:''' Nun gibt es nur noch zwei Möglichkeiten: Entweder die zwei Geraden haben einen gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt), oder sie sind windschief. 
Um das wiederum herauszufinden, setzt du die beiden Geraden gleich, d.h. du stellst ein lineares Gleichungssystem (LGS) mit drei Gleichungen und in drei Unbekannten auf, und versuchst, dieses zu lösen. 
'''Fall 2a:''' Solltest du nun eine Lösung erhalten, d.h. du erhältst den Wert für den Parameter einer der zwei Geraden (und hast diesen Wert überprüft), so weißt du, dass die zwei Geraden einander '''schneiden'''. Den Schnittpunkt erhältst du jetzt, indem du den erhaltenen Wert für den Parameter in die entsprechende Geradengleichung einsetzt. 
'''Fall 2b:''' Sollte dein LGS keine Lösung ergeben (also sich eine falsche Aussage oder ein Widerspruch ergeben, z.B. $2=13$, oder $t=4$ und $t=-1$), dann weißt du, dass deine beiden Geraden keinen Schnittpunkt haben und somit '''windschief''' sind.
 

Zum besseren Verständnis siehst du dir am besten das folgende Video und die beiden folgenden Beispiele an.

<div align="center">{{#ev:youtube|u0QoYlEE094}}</div>

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die beiden Geraden $g: X = \left( \begin{array}{c} 0 \\ -11 \\ -3 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right)$ und $h: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ -3 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right)$. Überprüfe deren gegenseitige Lage und gegebenenfalls ihren Schnittpunkt!|
2=Zuerst überprüfen wir die Richtungsvektoren der beiden Geraden, um festzustellen, ob diese parallel zueinander sind oder nicht:
$$\nexists \lambda : \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) = \lambda \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) \nparallel \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g \nparallel h$$
$g$ und $h$ sind also nicht parallel. Sie können also noch entweder einander schneiden oder windschief sein. Stellen wir nun ein LGS auf, indem wir die beiden Geraden gleichsetzen:
$$\begin{align}
I: \ &&&s&=&2&+&t \\
II: \ &-11&+&2s&=&3&-&3t \\
III: \ &-3&+&s&=&-3&+&2t
\end{align}$$ 
Wir subtrahieren $III$ von $I$: $- \begin{cases} &s &=& 2 + t \\ -3 + &s &=& -3 + 2t \end{cases} \ \rightarrow \ 3 = 5 - t \Rightarrow t = 2$ 
Wir überprüfen dieses Ergebnis für $t$, indem wir $t=2$ in alle 3 Gleichungen einsetzen. Wir sehen dann, dass wir überall dasselbe Ergebnis für $s$ erhalten, nämlich $s=4$. Daraus folgt, dass die Geraden einander '''schneiden'''. Setzen wir nun $t=2$ oder $s=4$ in die entsprechende Geradengleichung, so erhalten wir den Schnittpunkt $S(4/-3/1)$ der beiden Geraden.}}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die beiden Geraden $g: X = \left( \begin{array}{c} 3 \\ -2 \\ 0 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right)$ und $h: X = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$. Überprüfe deren gegenseitige Lage und ggf. ihren Schnittpunkt!|
2=Zuerst überprüfen wir wieder die Richtungsvektoren der beiden Geraden:
$$\nexists \lambda : \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) = \lambda \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) \nparallel \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g \nparallel h$$
Nun stellen wir wieder ein LGS auf:
$$\begin{align}
I: \ &3&+&2s&=&4&-&t \\
II: \ &-2&-&2s&=&3&& \\
III: \ &&&s&=&1&+&t
\end{align}$$ 
Aus der zweiten Gleichung lässt sich direkt berechnen, dass $s=- \frac{5}{2}$. Dies setzen wir nun in die erste und zweite Gleichung ein und erhalten einmal $3 - 5 = 4 - t \ \Rightarrow \ t=6$ und einmal $- \frac{5}{2} = 1 + t \ \Rightarrow \ t=- \frac{7}{2}$. Diese beiden Werte für $t$ sind offensichtlich voneinander unterschiedlich, daraus folgt, dass die beiden Geraden $g$ und $h$ '''windschief''' sind.
}}
 

== Ebenen ==
Eine Ebene ist durch 3 Punkte oder 1 Punkt und 2 (voneinander linear unabhängigen) Vektoren eindeutig festgelegt.
=== Darstellungsformen ===
==== Parameterdarstellung ====
[[Datei:ebene2.png|thumb|right|350px|von Punkt und Vektoren aufgespannte Ebene]]
$$\epsilon : X = P + s \cdot \vec{a} + t \cdot \vec{b}$$
bzw.
$$\epsilon : \begin{cases} x = x_P + s \cdot x_a + t \cdot x_b \\ y = y_P + s \cdot y_a + t \cdot y_b \\ z = z_P + s \cdot z_a + t \cdot z_b \end{cases}$$
wobei
*$X \in \epsilon$ ist ein '''beliebiger''' Punkt auf der unendlichen Ebene
*$P \in \epsilon$ ist ein '''bekannter''' Punkt auf der Ebene
*$s, t \in \mathbb{R}$ sind freie Parameter
*$\vec{a}, \vec{b} \in \mathbb{R^3}$ sind zwei Vektoren, die parallel zur Ebene liegen

 

==== Normalvektorform ====
Man multipliziert die Parameterdarstellung der Ebene mit ihrem Normalvektor $\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$ und erhält
$$\vec{n} \cdot \vec{X} = \vec{n} \cdot \vec{P}$$

 

==== Allgemeine Ebenengleichung ====
$$ax + by + cz = d$$
Diese Form der Darstellung heißt auch Normalform, da man den Normalvektor der Ebene direkt ablesen kann. Um von der Parameterdarstellung auf diese Form zu kommen, gibt es 2 Möglichkeiten:

'''1. Multiplikation mit Normalvektor:'''
Hierzu muss man einfach die Normalform ausmultiplizieren und es ergibt sich: 

$$\epsilon: x_n \cdot x + y_n \cdot y + z_n \cdot z = x_n \cdot x_P + y_n \cdot y_P + z_n \cdot z_P$$
 

'''2. Elimination des Parameters:'''
Hierbei gehen wir von der Ebenengleichung $\epsilon : \begin{cases} x = x_P + s \cdot x_a + t \cdot x_b \\ y = y_P + s \cdot y_a + t \cdot y_b \\ z = z_P + s \cdot z_a + t \cdot z_b \end{cases}$ aus, eliminieren $s$ und $t$, und kommen ebenfalls auf die obige allgemeine Ebenengleichung.

 

Zur Veranschaulichung ein Beispiel zu den verschiedenen Darstellungsformen:
{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die drei Punkte $A(1/1/1), B(-1/-4/2), C(0/3/-1)$. Gib die Ebene, die diese drei Punkte aufspannen, in Parameterform, Normalform und allgemeiner Ebenengleichung an!|
2=Für die Parameterform berechnen wir erst zwei beliebige Vektoren aus den 3 Punkten, z.B. $\vec{AB} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{AC} = \left( \begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right)$. Als Parameterform erhalten wir schließlich:
$$\epsilon: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right)$$ 
Um auf die Normalform zu kommen, bestimmen wir als erstes den Normalvektor der Ebenen: $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-5) \cdot (-2) - 1 \cdot 2 \\ 1 \cdot (-1) - (-2) \cdot (-2) \\ (-2) \cdot 2 - (-5) \cdot (-1) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right)$. 
Nun die Parametergleichung mit dem Normalvektor multiplizieren und wir erhalten auch die Normalform:
$$\epsilon: \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)$$ 
Um nun noch die allg. Ebenenform zu erhalten, multipliziert man am einfachsten die Normalform aus und erhält:
$$\epsilon: 8x - 5y -9z =-6$$ 
Aber auch die Elimination der Parameter soll hier gezeigt werden. Wir gehen aus von: $$\epsilon : \begin{cases} x = 1 - 2s - t \\ y = 1 - 5s + 2t \\ z = 1 + s - 2t\end{cases}$$
Addieren wir die y- und die z-Gleichung, können wir $t$ eliminieren: $+ \begin{cases} y = 1 - 5s + 2t \\ z = 1 + s - 2t \end{cases} \ \Rightarrow \ y + z = 2 - 4s$. 
Wir können $t$ ebenfalls eliminieren, indem wir die y-Gleichung zum 2-fachen der x-Gleichung addieren: $+ \begin{cases} 2x = 2 - 4s - 2t \\ y = 1 - 5s + 2t \end{cases} \ \Rightarrow \ 2x + y = 3 -9s$. 
Nun haben wir zwei Gleichungen, die nur mehr von $s$ abhängig sind. Um diesen Parameter nun auch noch zu eliminieren, multiplizieren wir die erste Gleichung mit $(-9)$ und die zweite mit $4$ und addieren diese, um nochmals auf die allg. Ebenengleichung zu kommen.
$$+ \begin{cases} 8x + 4y = 12 - 36s \\ -9y - 9z = -18 + 36s \end{cases} \ \Rightarrow \ \epsilon: 8x - 5y -9z =-6$$
}}

=== Lagebeziehungen ===
==== ...zwischen zwei Ebenen ====
Zwei Ebenen können im $\mathbb{R^3}$
*ident sein: die Ebenengleichungen (allg. Form) sind Vielfache voneinander; 
z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : 2x + 2y + 2z = 6 \Rightarrow \epsilon _2 = 2 \cdot \epsilon _1$
*parallel sein: die Normalvektoren der Ebenen sind Vielfache voneinander; 
z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : 2x + 2y + 2z = 5 \Rightarrow \vec{n_2} = 2 \cdot \vec{n_1}$
*einander schneiden (in einer Gerade): die Normalvektoren der Ebenen sind keine Vielfache voneinander; 
z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : x - 3y + 2z = 1 \Rightarrow \nexists \lambda \in \mathbb{R} : \vec{n_1} = \lambda \cdot \vec{n_2}$

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:Ebenenident2.png|2 Ebenen sind ident
Datei:Ebenenparallel2.png|2 Ebenen sind parallel
Datei:Ebenenschnittgerade2.png|2 Ebenen schneiden einander in einer Geraden
</gallery>

 
'''Berechnen der Schnittgerade''' 
Erkennt man durch Betrachtung der Normalvektoren zweier Ebenen, dass diese einander schneiden müssen, so kann man diese Schnittgerade berechnen. Dazu erstellt man aus den beiden Ebenengleichungen ein lineares Gleichungssystem in 3 Unbekannten. 2 Gleichungen - 3 Unbekannte: wir werden hier nicht für alle Unbekannten einen Zahlenwert erhalten, können aber 2 Unbekannte in Abhängigkeit der dritten darstellen. Diese dritte Unbekannte wird uns als Parameter für die Darstellung der Geraden dienen. Zur Veranschaulichung ein Beispiel:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die beiden Ebenen $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : x - 3y + 2z = 1$. Wie wir weiter oben schon festgestellt haben, müssen diese Ebenen einander schneiden, da die beiden Noramlvektoren der Ebenen $\vec{n_1}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{n_2}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right)$ linear unabhängig voneinander sind, also $\nexists \lambda \in \mathbb{R} : \vec{n_1} = \lambda \cdot \vec{n_2}$. 
Wir wählen nun eine der Koordinaten als Parameter, z.B. $z=t$ und stellen das Gleichungssystem auf.

|2=
$$\begin{align}
I: \ &x&+&y&+&t&=&3 \\
II: \ &x&-&3y&+&2t&=&1
\end{align}$$

Wir subtrahieren $I-II$ und erhalten
$$4y - t = 2 \ \Rightarrow \ y = \frac{1}{2} + t \cdot \frac{1}{4}$$
Nun setzen wir unser erhaltenes $y$ in die erste Gleichung ein, um $x$ zu erhalten:

$$I: \ x + \frac{1}{2} + t \cdot \frac{1}{4} + t = 3 \ \Rightarrow \ x = \frac{5}{2} - t \cdot \frac{5}{4}$$
Somit haben wir alle Ausdrücke der Koordinaten gefunden ($z=t$ haben wir anfangs festgelegt) und können die Parameterdarstellung der Schnittgerade angeben:
$$g: X = \left( \begin{array}{c} \frac{5}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 0 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} - \frac{5}{4} \\ \frac{1}{4} \\ 1 \end{array} \right)$$
}}

 

==== ...zwischen 3 Ebenen ====
Drei Ebenen können im $\mathbb{R^3}$
*alle ident sein
*2 ident, 1 parallel sein
*alle parallel sein
*3 Schnittgeraden haben
*2 Schnittgeraden haben (2 Ebenen parallel)
*1 Schnittgerade haben
*1 Schnittpunkt haben

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:Ebenenident3.png|3 Ebenen sind ident
Datei:Ebenenidentparallel.png|2 Ebenen sind ident, 1 parallel
Datei:Ebenenparallel3.png|3 Ebenen sind parallel
Datei:Ebenenschnittgeraden33.png|3 Ebenen schneiden einander in 3 Geraden
Datei:Ebenenschnittgeraden32.png|3 Ebenen schneiden einander in 2 Geraden (2 Ebenen parallel)
Datei:Ebenenschnittgerade3.png|3 Ebenen schneiden einander in einer Gerade
Datei:Ebenenschnittgerade31.png|3 Ebenen schneiden einander in einer Gerade (2 Ebenen ident)
Datei:Ebenenschnittpunkt3.png|3 Ebenen schneiden einander in einem Punkt
</gallery>

 

==== ...zwischen Ebene und Gerade ====
Eine Ebene und eine Gerade können im $\mathbb{R^3}$
*$g \subset \epsilon$, die Gerade liegt auf der Ebene 
Hierbei haben die Gerade und die Ebene einen gemeinsamen Punkt und der Richtungsvektor der Gerade steht normal auf den Normalvektor der Ebene, daraus folgt, dass sie unendlich gemeinsame Punkte haben.
*parallel sein 
Irgendein Punkt der Gerade liegt nicht auf der Ebene, der Richtungsvektor der Gerade steht normal auf den Normalvektor der Ebene, daraus folgt, dass sie keinen einzigen gemeinsamen Punkt haben.
*1 Schnittpunkt haben 
Der Richtungsvektor der Geraden steht nicht normal auf den Normalvektor der Ebene.

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:GeradeinEbene.png|Gerade liegt auf der Ebene
Datei:GeradepararallelEbene.png|Gerade und Ebene sind parallel zueinander
Datei:GeradeSchnittpunktEbene.png|Gerade und Ebene schneiden einander (Schnittpunkt)
</gallery>

Zur Überprüfung der Lagebeziehung gibt es allerdings noch eine andere (schnellere) Methode. Hier "schneiden" wir die Gerade und die Ebene mathematisch, d.h. wir setzen sie gleich (wenn beide in Parameterform gegeben sind) oder setzen die Gerade $g$ (Parameterform) in die Ebene $\epsilon$ (allg. Ebenengleichung) ein. 
Wir erhalten dadurch ein Gleichungssystem oder eine einzelne Gleichung. 

Sei die Gerade gegeben als $g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \\ z = z_P + t \cdot z_a \end{cases}$ und die Ebene als $\epsilon : \begin{cases} x = x_Q + s \cdot x_b + u \cdot x_c \\ y = y_Q + s \cdot y_b + u \cdot y_c \\ z = z_Q + s \cdot z_b + u \cdot z_c \end{cases}$ (Parameterform) oder $\epsilon : ax + by + cz = d$ (allg. Ebenengleichung). 

Wir erhalten als Gleichungssystem durch Gleichsetzen der Gleichungen der Parameterformen:
$$\begin{cases} x_P + t \cdot x_a = x_Q + s \cdot x_b + u \cdot x_c \\ y_P + t \cdot y_a = y_Q + s \cdot y_b + u \cdot y_c \\ z_P + t \cdot z_a = z_Q + s \cdot z_b + u \cdot z_c \end{cases}$$ 
Wir erhalten durch Einsetzen der Gerade in die Ebene (allg. Ebenengleichung):
$$a \cdot (x_P + t \cdot x_a) + b \cdot (y_P + t \cdot y_a) + c \cdot (z_P + t \cdot z_a) = d$$ 

Ergibt sich hier eine wahre Aussage (z.B. $1=1$), also unendlich viele Lösungen, so liegt die Gerade in der Ebene. 
Ergibt sich eine falsche Aussage (z.B. $1=2$), also keine Lösung, so schneiden die beiden Objekte einander nicht, also sie sind parallel. 
Gibt es genau eine Lösung (z.B. $t=2$), so existiert genau ein gemeinsamer Punkt = Schnittpunkt. Diesen erhält man, indem man den ermittelten Wert für den Parameter $t$ der Geraden in die Geradengleichung einsetzt (oder, wenn die Ebene in Parameterform gegeben war, die beiden Werte für die Parameter $s$ und $u$ der Ebene in die Ebenengleichung einsetzt). Dazu 2 Beispiele, wobei wir im ersten mit der Ebene in Parameterform rechnen werden:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right)$ und die Ebene $\epsilon : X = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -1 \\ -3 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) + u \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 0 \end{array} \right)$. Stellen wir nun also unser Gleichungssystem auf:
|2=\begin{align}
I: \ & \ 1&-t&=&4& &+2u \\
II: \ &-3& &=&-1&+s&-u \\
III: \ & \ 2&+2t&=&-3&+s&
\end{align}

In der ersten Gleichung drücken wir $u$ in $t$ aus: $u = - \frac{3}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$ 
In der zweiten Gleichung drücken wir $s$ in $u$ aus: $s = -2 + u$ 
Das $u$ von oben setzen wir nun hier ein und erhalten $s$ in Abhängigkeit von $t$: $s = - \frac{7}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$. 

Dieses $s$ setzen wir nun in die dritte Gleichung ein und wir erhalten: $2 + 2t = -3 - \frac{7}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$ und in weiterer Folge $t = - \frac{17}{5}$. 
Es ergibt sich also genau eine Lösung für das Gleichungssystem, was bedeutet, dass die Gerade und die Ebene einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen. Diesen erhalten wir, indem wir den errechneten Wert für $t$ in die Geradengleichung einsetzen (Man könnte natürlich auch noch die Werte für $s$ und $u$ berechnen, und diese in die Ebenengleichung einsetzen; zur Übung kannst du das gerne tun):
$$g: S = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) - \frac{17}{5} \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \frac{23}{5} \\ -3 \\ - \frac{24}{5} \end{array} \right)$$
}} 

Betrachten wir nun dasselbe Beispiel, mit dem Unterschied, dass die Ebene in Normalform gegeben ist und wir auch gleich mit dieser Form rechnen:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right)$ und die Ebene $\epsilon : x + 2y - 2z = 8$. Wir setzen die Koordinatengleichungen der Gerade in die Normalform der Ebene:
|2= $g$ in $\epsilon$: $$1 - t - 6 - 4 -4t =8$$
Wenn wir diese Gleichung lösen, erhalten wir, wie im ersten Bespiel, $t = - \frac{17}{5}$. Dies noch in die Geradengleichung einsetzen, und wir erhalten den Schnittpunkt.}}

Da man bei der zweiten Methode meistens weniger Rechenaufwand hat, zahlt es sich oft aus die Parameterdarstellung der Ebene in die Normalform (= allg. Ebenengleichung) umzurechnen.

==Pyramidenbeispiel==
[[Datei:Pyramidebsp.png|thumb|right|350px|Pyramide]]
Gegeben seien 3 Eckpunkte $A(-2/-2/1), B(2/-2/1), C(2/2/1)$ der quadratischen Grundfläche und der Spitzpunkt $S(0/0/6)$ einer geraden (gerade bedeutet, dass die Spitze in einem rechten Winkel über dem Mittelpunkt der Grundfläche der Pyramide liegt) Pyramide.
Gesucht sind:
#der vierte Eckpunkt $D$ der Grundfläche
#die Parameterdarstellung der Trägergeraden $h$ der Höhe
#die Fläche der Grundfläche
#die Geradengleichung der Geraden $g_{AS}$ auf der $A$ und $S$ liegen in a)Parameterform und b)parameterfreier Form
#Der Winkel $\alpha$ zwischen den Vektoren $\vec{AS}$ und $\vec{AC}$
#Zeige, dass der Schnittpunkt der Geraden $g_{AS}$ und $h$ gleich die Spitze $S$ ist
#Gib die Ebenengleichung $\epsilon$ der Grundfläche in a)Parameterform, b)Normalform und c)allgemeiner Ebenengleichung an
#Berechne den Fußpunkt $M$ der Höhe, indem du $h$ und $\epsilon$ schneidest

1. $D = A + \vec{BC} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -2 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right)$ 
2. $h: X = S + t \cdot \vec{h}$
$$\vec{AB} \times \vec{BC} = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 16 \end{array} \right) \ \parallel \ \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) = \vec{h}$$
$$h: X = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$$ 
3. $G = \parallel \vec{AB} \times \vec{BC} \parallel = \parallel \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 16 \end{array} \right) \parallel = 16FE$ 
4. a) $g_{AS}: X = A + u \cdot \vec{AS}$
$$\vec{AS} = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g_{AS}: X = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + u \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right)$$ oder $$g_{AS}:\begin{cases} x = -2 + 2u \\ y = -2 + 2u \\ z = 1 + 5u \end{cases}$$
b) Parameter elimieren:
$$x - y: x-y = 0$$
$$5x - 2z: 5x - 2z = -12$$
$$\Rightarrow g_{AS}:\begin{cases} x - y = 0 \\ 5x - 2z = -12 \end{cases}$$ 
5. $\measuredangle \vec{AS},\vec{AC} = \alpha = arccos{\frac{\vec{AS} \cdot \vec{AC}}{\parallel \vec{AS} \parallel \cdot \parallel \vec{AC} \parallel}} = arccos{\frac{\left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right)}{\parallel \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) \parallel \cdot \parallel \left( \begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) \parallel}} = arccos{\frac{16}{\sqrt{33 \cdot 32}}} = 60,5°$ 
6. $g_{AS}$ und $h$ gleichsetzen:
$$\begin{align}
I: \ &-2&+&2u&=&0&& \\
II: \ &-2&+&2u&=&0&& \\
III: \ & \ \ 1&+&5u&=&6&+&t
\end{align}
\ \ \ \rightarrow u=1$$
$$g_{AS}: S = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + 1 \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array} \right)$$ 
7. a) $\epsilon: X = A + v \cdot \vec{AB} + w \cdot \vec{BC} \ \rightarrow \ \epsilon: X = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + v \cdot \left( \begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) + w \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right)$ 
b) $\epsilon: \vec{n} \cdot \vec{X} = \vec{n} \cdot \vec{A} \ \rightarrow \ \epsilon: \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right)$ 
c) $\epsilon: z = 1$ 
8. $h:\begin{cases} x=0 \\ y=0 \\ z=6+t \end{cases} \ \ \epsilon: z=1 \ \ \rightarrow \ 1 = 6 + t \ \Rightarrow \ t=-5$ 
$h: M = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array} \right) -5 \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$

= Beispiele =
Hier findest du Beispiele zu den behandelten Themen:

===Grundlagen der Vektorrechnung===
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/9/99/VektorrechnungGLBspAngabe.pdf VektorrechnungGLBspAngabe.pdf]
 
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/0/00/VektorrechnungGLBspL%C3%B6sung.pdf VektorrechnungGLBspLösung.pdf]

===Vektorrechnung im $\mathbb{R^2}$===
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/7/7f/VektorrechnungR2BspAngabe.pdf VektorrechnungR2BspAngabe.pdf]
 
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/f/ff/VektorrechnungR2BspL%C3%B6sung.pdf VektorrechnungR2BspLösung.pdf]

Vektorrechnung

2016-03-12T11:06:03Z

Lajtos: /* Pyramidenbeispiel */

= Grundlagen der Vektorrechnung =

==Koordinatensystem==
[[Datei:Koordinatengitter.png|thumb|right|350px|Koordinatengitter im $\mathbb{R^2}$ mit den 4 Quadranten]]

Für die Vektorrechnung sind Koordinatensysteme essentiell.
Im zweidimensionalen Raum besitzt ein Koordinatensystem 2 Achsen:

* die x-Achse (waagrecht) und
* die y-Achse (senkrecht)

 
Diese sind unendlich lang und Spannen die vier sogenannten Quadranten auf, die meist mit den römischen Ziffern I-IV beschriftet werden (gesprochen: Erster Quadrant, Zweiter Quadrant etc.). Die rechte Graphik zeigt die die Position der Quadranten. Dort, wo die 2 Achsen einander treffen, liegt der sog. Ursprung (kurz: $\vec{0}$); seine Koordinaten sind (0/0).

Was es außerdem noch zu beachten gibt, hast du vielleicht bereits selbst erkannt:
An den gegenüberliegenden Seiten der x- und y-Achsen werden unterschiedliche Vorzeichen verwendet. So spricht man "links" des Ursprungs von der negativen, bzw. "rechts" des Ursprungs von der positiven x-Achse. Analog spricht man "oben" und "unten" von der positiven und negativen y-Achse.

Im dreidimensionalen Raum kommt eine dritte Achse - die z-Achse - dazu. Punkte und Vektoren besitzen dementsprechend dann auch 3 Koordinaten. Dies kann man bis ins n-dimensionale weiterführen.

==Punkte==
In ein Koordinatensystem lassen sich Punkte eintragen. Diese besitzen, entsprechend ihrer Lage, Koordinaten. Im obigen Bild z.B. haben wir die Punkte A und B, wobei sich A im ersten Quadranten befindet und B im vierten. Man schreibt: A(2/3,5) B(1/-2).

[[Datei:PunkteR2.png|thumb|right|250px|Punkte im $\mathbb{R^2}$]]

{{Vorlage:Merke |''Einen'' '''allgemeinen Punkt''' ''schreibt man an als'' $P(x_1/x_2/.../x_n)$ (im n-dimensionalen Raum $\mathbb{R^n}$) ''bzw.'' $P(x/y)$ (im 2-dimensionalen Raum $ \mathbb{R^2}$) ''oder'' $P(x/y/z)$ (im 3-dimensionalen Raum $\mathbb{R^3}$).
 
Die erste Koordinate entspricht der x-Koordinate, die zweite der y-Koordinate, die eventuelle dritte der z-Koordinate.

Punkte werden in der Regel mit Großbuchstaben bezeichnet.}}

Koordinaten von Punkten lassen sich also ganz einfach ablesen. Die x/y-Koordinate entspricht dabei dem Abstand vom Ursprung zum Punkt in Richtung der jeweiligen Koordinatenachse. So erkennen wir im Bild rechts die folgenden Punkte:

* A(2/0)
* B(0/-2)
* C(-1/2)

==Vektoren==
Vektoren kann man sich wie '' eine Menge von Pfeilen'' vorstellen. Sie besitzen eine '''Länge''' (Betrag) und eine '''Richtung'''. Auch sie bestehen, wie Punkte, je nach Dimension aus 2 bzw. 3 Koordinaten. Der Unterschied dabei ist, dass die Koordinaten hier keine Position im Koordinatensystem darstellen, sondern eine Bewegung. Auch die Schreibweise unterscheidet sich:

{{Vorlage:Merke |1=''Einen'' '''allgemeinen Vektor''' ''schreibt man an als'' $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ (im $\mathbb{R^n}$) ''bzw.'' $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ (im $\mathbb{R^2}$) oder $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right)$ (im $\mathbb{R^3}$).

Vektoren werden in der Regeln mit Kleinbuchstaben mit Pfeil darüber bezeichnet.}}

===Ortsvektoren===
[[Datei:Ortsvektor.png|thumb|right|300px|Punkt und zugehöriger Ortsvektor]]
Der Ortsvektor von einem Punkt ist der Vektor, der vom Ursprung aus auf den Punkt zeigt. Die Koordinaten bleiben deshalb gleich, es ändert sich quasi nur die Schreibweise:

Sei $A(x_1/x_2/.../x_n)$ ein Punkt in der Dimension $n$, dann ist $\vec{0A} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ dessen Ortsvektor.

 

 

 
 

=== Addition und Subtraktion von Vektoren ===
{{Vorlage:Merke|1=Wenn du Vektoren addieren oder subtrahieren möchtest, musst du dazu einfach die entsprechenden Koordinaten betrachten: 
$\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) \pm \left( \begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ ... \\ y_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x_1 \pm y_1 \\ x_2 \pm y_2 \\ ... \\ x_n \pm y_n \end{array} \right)$ 
Wichtig ist dabei, dass die Vektoren, die du addieren oder subtrahieren möchtest, derselben Dimension $n$ angehören! D.h. sie haben gleich viele Koordinaten.}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben seien die beiden Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right)$. Berechne erst $\vec{a} + \vec{b}$, dann $\vec{a} - \vec{b}$ und zuletzt $\vec{b} - \vec{a}$!
|2= $$\vec{a} + \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 5+1 \\ 2+(-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 6 \\ -1 \end{array} \right)$$
$$\vec{a} - \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 5-1 \\ 2-(-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 5 \end{array} \right)$$
$$\vec{b} - \vec{a} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 1-5 \\ -3-2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -4 \\ -5 \end{array} \right)$$}}

===Vektoren bestimmen: Spitze-minus-Schaft===
[[Datei:Spitzeschaft.png|thumb|right|300px|"Spitze minus Schaft"]]
Zwischen 2 Punkten kann man nun einen Vektor definieren. Dabei gilt: Die '''"Spitze minus Schaft"'''-Regel Im Bild rechts wollen wir den Vektor berechnen, der von A nach B geht, also den Vektor $\vec{AB}$. Der Punkt B(3/3,5) entspricht hierbei der Spitze, und der Punkt A(1/0,5) dem Schaft. Da das Rechnen mit Punkten allerdings keinen Sinn ergibt, rechnet man stattdessen mit deren Ortsvektoren (siehe oben).

Für unser Beispiel bedeutet das folgendes: $\vec{0B} - \vec{0A} = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 3,5 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0,5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 3-1 \\ 3,5-3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right) = \vec{AB}$

Beachte außerdem:

* Man schreibt der Einfachheit halber oft nur $B-A$, wenn damit eigentlich $\vec{0B} - \vec{0A}$ gemeint ist.
* $\vec{AB} = -\vec{BA}$

 

===Produkt eines Vektors mit einem Skalar===
Wenn man einen Vektor $\vec{v}$ mit einer [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)|reellen Zahl]] $k$ , einem sogenannten "Skalar", multipliziert, werden dabei die einzelnen Koordinaten mit dem Skalar multipliziert:

$k \cdot \vec{v} = k \cdot \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} k \cdot x_1 \\ k \cdot x_2 \\ ... \\ k \cdot x_n \end{array} \right)$
 

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sei der Vektor $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right)$. Multipliziere diesen einmal mit $2$ und einmal mit $-5$!
|2=$$2 \cdot \vec{a} = 2 \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \cdot 2 \\ 2 \cdot (-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -6 \end{array} \right)$$
$$(-5) \cdot \vec{a} = (-5) \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-5) \cdot 2 \\ (-5) \cdot (-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -10 \\ 15 \end{array} \right)$$}}

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[http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_vektorrechnung/MV_Vektor1/MV_Vektor1/ (Quelle dieses Applets)]

===Wie Vektoren zueinander stehen===
Vektoren können unterschiedliche Richtungen haben, aber auch parallel zueinander oder gar identisch sein. Optisch lässt sich das oft sehr leicht erkennen, rechnerisch sind diese Feststellungen allerdings ebenfalls überprüfbar.

{{Vorlage:Definition |Unter einem Vektor versteht man die Menge aller gleichlangen, gleichgerichteten und gleichorientierten Pfeile.

Der Start/Endpunkt spielen dabei keine Rolle!}}

{{Vorlage:Merke|2 Vektoren stehen parallel zueinander, wenn ein Vektor als Vielfaches des anderen Vektors angeschrieben werden kann. 
Man sagt auch: Die Vektoren sind [[linear abhängig]] (linear abhängig zu sein bedeutet, dass ein Vektor als Vielfaches eines anderen Vektors dargestellt werden kann).}}

Sehen wir uns die verschiedenen Fälle an:

{| class="wikitable"
|-
| ident: gleiche Richtung, gleiche Orientierung, gleiche Länge || [[Datei:Vektorv1.png|none|250px]] || $\vec{v} = \vec{u} \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$ || z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$
|-
| parallel (gleiche Orientierung): gleiche Richtung, gleiche Orientierung || [[Datei:Vektorenlänge.png|none|250px]] || $\exists k>0 : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$ || z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \end{array} \right)$, $k=2$
|-
| parallel (unterschiedliche Orientierung): gleiche Richtung || [[Datei:Vektororientierung1.png|none|250px]] || $\exists k<0 : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$ || z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} -1 \\ -1 \end{array} \right)$, $k=-1$ 
aber auch: $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \end{array} \right)$, $k=-2$
|-
| linear unabhängig || [[Datei:Vektorrichtung1.png|none|250px]] || $\nexists k : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \nparallel \vec{u}$ || z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)$
|}

{{Vorlage:Beispiel|1=für linear unabhängige Vektoren:

Sei $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 5 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$.

Wenn es ein k gibt, sodass $k \cdot \vec{a} = \vec{b}$, dann sind die beiden Vektoren voneinander linear abhängig, und somit auch parallel zueinander.

Wir lösen dieses Problem mit Hilfe von 2 Gleichungen in einer Unbekannten:

|2=$I: 2k = 4 \ \ \rightarrow k=2$
$II: 5k = 3 \ \ \rightarrow k=\frac{3}{5}$

Aus der ersten Gleichung ergibt sich k=2, in der zweiten aber $k=\frac{3}{5}$. $k$ kann aber nicht beides sein, somit haben wir eine falsche Aussage erhalten. Daraus folgt, dass die beiden Vektoren '''linear unabhängig''' und somit nicht parallel zueinander sind.}}
 

===Betrag und Einheitsvektor===

[[Datei:PythagorasVektor.png|thumb|right|350px|Betrag eines Vektors; Einheitsvektor]]Wie anfangs bereits erwähnt, besitzen Vektoren eine Länge, auch '''Betrag''' eines Vektors genannt. Dieser wird mit Hilfe des pythagoräischen Lehrsatzes wie folgt berechnet:

<div align="center">$\parallel \vec{v} \parallel = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2} \ $ wenn $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ ein Vektor der Dimension $n$ ist.</div>
Sehen wir uns die Grafik rechts an, können wir mit dieser Formel die Länge des zweidimensionalen Vektors $\parallel \vec{v} \parallel$ berechnen:

<div align="center">$\parallel \vec{v} \parallel = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$</div>
 Der '''Einheitsvektor''' $\vec{a_0}$ eines Vektors $\vec{a}$ ist ein zu $\vec{a}$ paralleler Vektor mit Länge 1. Rechnerisch erhält man $\vec{a_0}$, indem man $\vec{a}$ durch seine Länge dividiert.
$$ \vec{a_0}=\frac{\vec{a}}{\parallel \vec{a}\parallel}$$
bzw.
$$ \vec{a_0}=\frac{1}{\parallel\vec{a}\parallel}\cdot \vec{a}$$

Daraus ergibt sich ein Vektor, der dieselbe Richtung des ursprünglichen Vektors hat, allerdings die Länge 1 besitzt.

{{Vorlage:Merke|1=
Sei $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ ein Vektor der Dimension $n$ und $\parallel \vec{v} \parallel$ sein Betrag, dann ist $\vec{v_0} = \frac{1}{\parallel \vec{v} \parallel} \cdot \vec{v} \ $ der Einheitsvektor zu $\vec{v}$.
}}

In unserem Beispiel würde das folgendes bedeuten:

{{Vorlage:Beispiel|1= Bestimmen Sie den Einheitsvektor von $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$
|2=

<div align="center"> $\vec{v_0} = \frac{1}{\sqrt{13} } \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \frac{2}{\sqrt{13} } \\ \frac{3}{\sqrt{13} } \end{array} \right)$ </div>
}}

===Vektoren bestimmter Länge===
Da wir nun gelernt haben, Einheitsvektoren zu bilden und Vektoren mit Zahlen zu multiplizieren (und ich das hier so schön betone), könnt ihr euch vielleicht schon vorstellen, wie man aus einem beliebigen Vektor einen Vektor derselben Richtung, allerdings unterschiedlicher Länge bekommt. Wir haben also einen Vektor $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ mit der Länge $\parallel \vec{v} \parallel = k$ gegeben, und hätten gerne den Vektor $\vec{w} \ \parallel \ \vec{v}$ mit der Länge $l$. Dazu berechnen wir zuerst den Einheitsvektor $\vec{v_0}$ von $\vec{v}$ und multiplizieren diesen dann mit $l$. So erhalten wir schließlich $\vec{w} = l \cdot \vec{v_0}$.

==Mittelpunkt einer Strecke==
[[Datei:Mittelpunkt.png|thumb|300px|Mittelpunkt M der Strecke AB]]
Willst du den Mittelpunkt zwischen 2 Punkten $A$ und $B$ berechnen, musst du wie folgt vorgehen:
Zuerst berechnest du einen Vektor zwischen den Punkten ($\vec{AB}$ oder $\vec{BA}$). Dann halbierst du diesen Vektor, und erhältst $\vec{AM}$ bzw. $\vec{BM}$. Addierst du dann diesen Vektor zum entsprechenden Punkt ($A$ bzw. $B$), erhältst so den Mittelpunkt. Also:
 

<big><div align="center">$\vec{0M} = \vec{0A} + \frac{\vec{AB}}{2} = \vec{0B} + \frac{\vec{BA}}{2}$</div></big>

= Im $\mathbb{R^2}$ =
Dieser Artikel befasst sich mit der Vektorrechnung im zweidimensionalen Raum. Grundlegende Informationen zur Vektorrechnung, so wie Punkte und Vektoren, findest du unter dem Tab ''Grundlagen der Vektorrechnung''.

==Vektoren==

===Normalvektoren===
[[Datei:Normalvektoren.png|thumb|350px|Normalvektoren]]
Normalvektoren zu einem Vektor sind alle Vektoren, die normal (90°) auf den Vektor stehen. Im $\mathbb{R^2}$ gibt es zu jedem Vektor genau 2 Normalvektoren, die dieselbe Länge wie der ursprüngliche Vektor haben. Alle anderen Normalvektoren sind Vielfache eines dieser 2 Normalvektoren.

{{Vorlage:Merke | 1=Sei $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ ein Vektor, dann ist $\vec{n_1}=\left( \begin{array}{c} -y \\ x \end{array} \right)$ sein nach links gekippter, und $\vec{n_2}=\left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right)$ sein nach rechts gekippter Normalvektor.}}

 

===Skalarprodukt===
Unter dem Skalarprodukt versteht man die Multiplikation zweier Vektoren, bei der als Ergebnis ein Skalar (eine Zahl) entsteht.

{{Vorlage:Merke|1=Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren, dann ist $\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \end{array} \right) = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b$ gleich ihr Skalarprodukt.}}

 

===Winkel zwischen zwei Vektoren===
[[Datei:Winkel.png|thumb|350px|Winkel zwischen 2 Vektoren]]
<big>$$cos{\varphi} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel} = \vec{a_0} \cdot \vec{b_0}$$
bzw.
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = \parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel \cdot cos{\varphi}$$</big>

Heißt es, den Winkel zwischen 2 Vektoren/Geraden zu bestimmen, ist damit immer der kleinere Winkel gemeint. Solltest du einmal ein Ergebnis erhalten, das größer als 180° ist (nennen wir dieses Ergebnis $\varphi'$), dann ziehe dieses Ergebnis von 360° ab und du erhältst den kleineren Winkel ($\varphi = 360° - \varphi'$). 
Bei einem Winkel von $\varphi = 90°$ erhalten wir $cos{\varphi} = 0$, was bedeutet, dass auch $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$. Daraus ergibt sich das Orthogonalitätskriterium.

 

====Orthogonalitätskriterium====
{{Vorlage:Merke|1=Ergibt das Skalarprodukt zweier Vektoren $0$, so stehen diese zwei Vektoren normal zueinander (und umgekehrt!)
$$\vec{a} \cdot \vec{b} \ = \ 0 \ \Leftrightarrow \ \vec{a} \bot \vec{b}$$}}

Das ist nicht überraschend, denn multipliziert man einen Vektor $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ mit seinem Normalvektor $\vec{n}=\left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right)$ erhalten wir:
$$\vec{v} \cdot \vec{n} = \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right) = xy - yx = 0$$

 

==Geraden==
===Darstellungsformen===
Geraden lassen sich in unterschiedlichen Formen darstellen. In der Vektorrechnung ist die Parameterdarstellung populär, da man dazu nur einen Punkt und Vektor kennen muss. Die Normalform allerdings hat den Vorteil, dass man den Normalvektor zur Geraden auf einen Blick ablesen kann. Je nachdem, was man mit der Gerade vorhat, können die verschiedenen Formen ineinander umgewandelt werden.

====Parameterdarstellung====
[[Datei:Parameterdarstellung.png|thumb|350px|Parameterdarstellung einer Geraden]]
$$g: \vec{0X} = \vec{0P} + t \cdot \vec{a}$$ 
wobei
*$X \in g$ ist ein '''beliebiger''' Punkt auf der unendlichen Geraden (steht für alle Punkte auf der Geraden)
*$P \in g$ ist ein '''bekannter''' Punkt auf der Geraden
*$t \in \mathbb{R}$ ist ein freier Parameter (in der Graphik rechts $\lambda$)
*$\vec{a} \in \mathbb{R^2}$ ist ein Vektor parallel zur Geraden, der die Richtung dieser angibt ("Richtungsvektor")
 
Beachte, dass in der Parameterdarstellung keine Punkte, sondern Ortsvektoren verwendet werden! (Info zu Ortsvektoren findest du unter ''Grundlagen der Vektorrechnung''.) 
Wenn man das weiß, kann man der Einfachheit halber die Gerade auch folgendermaßen beschreiben: $g: X = P + t \cdot \vec{a}$

 
Eine andere Schreibweise ist, die Koordinaten einzeln zu betrachten und 2 Gleichungen aufzustellen:
$$g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \end{cases}$$

 

====Normalvektorform====
Hierzu benötigt man einen Normalvektor des Richtungsvektors und multipliziert dann die Geradengleichung mit diesem Normalvektor. Da $\vec{a} \cdot \vec{n} = 0$, bleibt über:

Sei $g: \vec{0X} = \vec{0P} + t \cdot \vec{a}$ eine Gerade in Parameterform, so ist 

<div align="center">$g: \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x_P \\ y_P \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right)$</div> 

dieselbe Gerade in Normalform, wobei $\vec{0X}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right), \ \vec{0P}=\left( \begin{array}{c} x_P \\ y_P \end{array} \right), \ \vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right)$ und $\vec{n}=\left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right)$ ein Normalvektor von $\vec{a}$ (hier kann man natürlich auch den anderen Normalvektor verwenden).

 

====Allgemeine Geradengleichung====
Diese Form der Darstellung heißt auch Normalform, da man den Normalvektor der Gerade direkt ablesen kann.Um von der Parameterdarstellung auf diese Form zu kommen, gibt es 2 Möglichkeiten:

'''1. Multiplikation mit Normalvektor:'''
Hierzu muss man einfach die Normalform ausmultiplizieren und es ergibt sich: 

$$g: y_a \cdot x + -x_a \cdot y = y_a \cdot x_P + -x_a \cdot y_P$$
 

'''2. Elimination des Parameters:'''
Hierbei gehen wir von der Geradenform $g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \end{cases}$ aus, eliminieren $t$, und kommen ebenfalls auf die obige allgemeine Geradengleichung.
Auf der rechten Seite der Gleichung stehen nur bekannte Größen, auf der linken Seiten stehen Vielfache von x und y. Diese Gleichung kann man weiter auch auf die Form y=kx+d umformen.

 

===Lagebeziehungen zwischen Geraden===
Mehrere Geraden können im $\mathbb{R^2}$

*ident sein, d.h. sie haben unendlich viele gemeinsame Punkte
*parallel sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt
*einander schneiden, d.h. sie haben genau ein gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt)
 
Sind uns 2 Geraden in '''Parameterdarstellung''' gegeben, betrachten wir zuerst ihre Richtungsvektoren. 
Sind diese parallel zueinander, so sind auch die Geraden parallel zueinander. Nun bleibt noch die Frage offen, ob die Geraden ident sind. Dazu überprüfen wir einfach, ob der gegebene Punkt der einen Geraden auch auf der anderen Geraden liegt. Dazu Setzen wir den bekannten Punkt der einen Geraden für den unbekannten Punkt der anderen Geraden ein und erhalten 2 Gleichungen in einer Unbekannten (Parameter der zweiten Gerade). Erhalten wir nun für den Parameter zweimal dasselbe Ergebnis, so sind die 2 Geraden ident, erhalten wir unterschiedliche Ergebnisse, so sind sie nur parallel. 
Sind die Richtungsvektoren nicht parallel zueinander, so sind es auch die 2 Geraden nicht, und wir können uns sicher sein, dass diese einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen.
Doch wie erhalten wir den Schnittpunkt? Ganz einfach, indem wir die 2 Geraden schneiden. Dazu müssen wir sie gleichsetzen, und dann das dadurch erhaltene Gleichungssystem in 2 Unbekannten (die 2 Parameter) lösen. Wenn wir den Wert eines Parameters ausgerechnet haben, setzen wir ihn einfach in die entsprechende Geradengleichung ein und erhalten so den Schnittpunkt!

 

Sind die 2 Geraden in der '''allgemeinen Geradenform''' gegeben, so haben wir bereits 2 Gleichungen gegeben, die wir nach x und y auflösen. Dieses x und y sind die Koordinaten des Schnittpunktes.

 

Um das Schneiden von Geraden besser zu verstehen, schau dir das Lösen von [[ Gleichungssysteme (2.7.) |Gleichungssystemen]] genauer an, wirf einen Blick auf die Beispiele zum $\mathbb{R^2}$ unter dem Tab 'Beispiele', oder sieh dir dieses Video an:

<div align="center">{{#ev:youtube|ZrFE3LRisn0}}</div>

 

===Normalabstand Punkt - Gerade===
[[Datei:Normalabstand.gif|right]]
Gegeben sei ein Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und eine Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$. Um den Normalabstand $d(Q,g)$ zwischen Q und g zu berechnen, gehe wie folgt vor:
{{Vorlage:Merke|1=1. Bestimme die Gerade $q: X = Q + s \cdot \vec{n}$, die durch $Q$ geht und den Normalvektor $\vec{n}$ von $\vec{a}$ als Richtungsvektor besitzt.
2. Schneide $g$ und $q$ und die erhältst ihren Schnittpunkt $S$. 
3. Berechne $\parallel \vec{QS} \parallel$.}}
In der Graphik rechts hätten wir z.B. die Angabe $g: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right) + \lambda \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array} \right)$ und $Q(3/4)$. Du kannst das zur Übung durchrechnen.

 

====Hesse'sche Abstandsformel====
Mithilfe dieser Formel kann man ebenfalls den Abstand $d(Q,g)$ zwischen Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$ bestimmen. 
<big>$d(Q,g) = | \vec{PQ} \cdot \vec{n_0} | $</big>, wobei $\vec{n_0}$ der normierte (Länge 1) Normalvektor des Richtungsvektors $\vec{a}$ der Geraden $g$ ist.

 

====Spiegelung eines Punktes an einer Geraden====
[[Datei:Spiegeln.png|thumb|250px|Gespiegelter Punkt Q']]
Gegeben sei ein Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und eine Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$. Es gilt den Punkt $Q$ an der Gerade $g$ zu spiegeln, und so den Punkt $Q'$ zu erhalten. Dazu befolgst du die Vorgehensweise von "Normalabstand Punkt - Gerade" bis du den Vektor $\vec{QS}$ erhältst, und trägst diesen vom Punkt $S$ ab, also: 
$Q' = S + \vec{QS}$

= Im $\mathbb{R^3}$ =

== Vektoren ==

=== Kreuzprodukt ===
Im $\mathbb{R^3}$ gibt es neben dem Skalarprodukt, bei dem wir als Ergebnis ein Skalar erhalten, eine weitere Möglichkeit, zwei Vektoren mit einander zu multiplizieren: das sog. Kreuz- oder Vektorprodukt, bei dem wir als Ergebnis einen Vektor erhalten.
{{Vorlage:Merke|1=Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren des $\mathbb{R^3}$, dann ist ihr Kreuzprodukt
$$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} y_a \cdot z_b - z_a \cdot y_b \\ z_a \cdot x_b - x_a \cdot z_b \\ x_a \cdot y_b - y_a \cdot x_b \end{array} \right)$$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ -3 \end{array} \right)$, gesucht ist ihr Kreuzprodukt.
|2=$$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \cdot (-3) - 3 \cdot 4 \\ 3 \cdot 5 - 1 \cdot (-3) \\ 1 \cdot 4 - 2 \cdot 5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-6) - 12 \\ 15 - (-3) \\ 4 - 10 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -18 \\ 18 \\ -6 \end{array} \right)$$}}

Wozu wir das Kreuzprodukt überhaupt benötigen, sehen wir an den nächsten 2 Punkten.

 

==== Normalvektoren ====
Im $\mathbb{R^3}$ gibt es zu einem Vektor unendlich viele Normalvektoren. Auf eine Ebene allerdings gibt es genau 2 Normalvektoren (wie im $\mathbb{R^2}$ auf eine Gerade). Eine Ebene wird von 2 Vektoren aufgespannt, deren Kreuzprodukt ergibt einen Normalvektor $\vec{n_1}$ auf die Ebene bzw. die zwei Vektoren; der zweite Normalvektor hat die entgegengesetzte Orientierung ($\vec{n_2} = -\vec{n_1}$). Also:
$$\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$$

 

==== Fläche eines von zwei Vektoren aufgespannten Parallelogramms oder Dreiecks ====
[[Datei:FlächeNormalvektor.png|thumb|right|ohne|250px|2 Vektoren spannen ein Dreieck bzw. Parallelogramm auf]]
 
{{Vorlage:Merke|1=Die Länge $\parallel \vec{n} \parallel = \parallel \vec{a} \times \vec{b} \parallel$ des Normalvektors $\vec{n}$ zu den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ entspricht der Maßzahl des Flächeninhaltes des Parallelogramms, das $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aufspannen (im Bild die gesamte grüne Fläche).
Die Hälfte dieser Fläche entspricht der Fläche des aufgespannten Dreiecks.}}

 

=== Skalarprodukt, Orthogonalitätskriterium, Winkel zwischen zwei Vektoren ===
Diese drei Dinge "funktionieren" im $\mathbb{R^3}$ wie im $\mathbb{R^2}$. Also hier nur eine kurze Wiederholung:
 

'''Skalarprodukt''' 
Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\z_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren, dann ist $$\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right) = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b + z_a \cdot z_b$$ gleich ihr Skalarprodukt.
 

'''Orthogonalitätskriterium''' 
Ergibt das Skalarprodukt zweier Vektoren $0$, so stehen diese zwei Vektoren normal zueinander (und umgekehrt!)
$$\vec{a} \cdot \vec{b} \ = \ 0 \ \Leftrightarrow \ \vec{a} \bot \vec{b}$$
Auch das gibt es im $\mathbb{R^3}$. Bedenke aber, dass es hier, anders als im $\mathbb{R^2}$, unendlich viele Normalvektoren auf einen Vektor gibt.
 

'''Winkel zwischen zwei Vektoren'''
$$cos{\varphi} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel} = \vec{a_0} \cdot \vec{b_0}$$

 

== Geraden ==
=== Darstellungsformen ===
==== Parameterdarstellung ====
Die Parameterdarstellung im $\mathbb{R^3}$ sieht genauso aus wie im $\mathbb{R^2}$, einziger Unterschied ist, dass unsere Punkte und Vektoren hier jeweils 3 Koordinaten haben.
$$g: X = P + t \cdot \vec{a}$$ bzw. $$g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \\ z = z_P + t \cdot z_a \end{cases}$$
Mehr Infos zu den einzelnen Komponenten findest du im Tab 'Im $\mathbb{R^2}$'.

 

==== Parameterfreie Darstellungsform ====
Diese besteht aus 2 Gleichungen und wir erhalten sie durch Eliminierung des Parameters.

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sei die Parameterform der Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ -4 \\ 1 \end{array} \right)$. Zuerst schreiben wir das in die 3 Koordinatengleichungen um:
$$g : \begin{cases} x = 2 + 3t \\ y = 0 - 4t \\ z = 1 + t \end{cases}$$

|2=Wir multiplizieren die erste Gleichung mit $4$ und die zweite Gleichung mit $3$ und addieren die beiden: $$+ \begin{cases} 4x = 8 + 12t \\ 3y = 0 - 12t \end{cases}$$ und erhalten so die Gleichung $4x + 3y = 8$.
Wir multiplizieren die dritte Gleichung mit $3$ und subtrahieren diese von der ersten Gleichung: $$- \begin{cases} x = 2 + 3t \\ 3z = 3 + 3t \end{cases}$$ und erhalten so die Gleichung $x - 3z = -1$.

Die parameterfreie Darstellung unserer Gerade lautet somit $$g : \begin{cases} 4x + 3y = 8 \\ x - 3z = -1 \end{cases}$$.}}

Die zwei Gleichungen in der parameterfreien Darstellung sind übrigens Ebenengleichungen. Die eigentliche Gerade ist der Schnitt dieser zwei Ebenen!

 

=== Lagebeziehungen zwischen Geraden ===
Mehrere Geraden können im $\mathbb{R^3}$

*ident sein, d.h. sie haben unendlich viele gemeinsame Punkte
*parallel sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt
*einander schneiden, d.h. sie haben genau ein gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt)
*windschief sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt und sind nicht parallel
 

Um herauszufinden, wie 2 gegebene Geraden in Parameterform zueinander stehen, gehst du am besten wie folgt vor:

'''Betrachtung der Richtungsvektoren:''' Auch im $\mathbb{R^3}$ gilt, sind die Richtungsvektoren zweier Geraden parallel zueinander (d.h. man kann einen Vektor als Vielfaches des anderen Vektors darstellen), so sind es auch die Geraden.
 

'''Fall 1: Die Vektoren sind parallel:''' Sollte sich herausstellen, dass die zwei Geraden parallel zueinander sind, überprüfst du als nächstes, ob sie einen gemeinsamen Punkt haben; am einfachsten funktioniert das, indem du den bekannten Punkt ($P$) der einen Geraden in die zweite Gerade (für den unbekannten Punkt $X$) einsetzt. Wir erhalten drei Gleichungen in einer Unbekannten (Parameter der zweiten Gerade). 
'''Fall 1a:''' Erhalten wir nun für den Parameter dreimal dasselbe Ergebnis, so sind die 2 Geraden '''ident''' (und parallel), da der überprüfte Punkt, und somit unendlich weitere, auf beiden Geraden liegen. 
'''Fall 1b:''' Erhalten wir unterschiedliche Ergebnisse, so sind sie nur '''parallel''', da der überprüfte Punkt nicht, und somit auch kein anderer, auf beiden Geraden liegen.
 

'''Fall 2: Die Vektoren sind nicht parallel:''' Nun gibt es nur noch zwei Möglichkeiten: Entweder die zwei Geraden haben einen gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt), oder sie sind windschief. 
Um das wiederum herauszufinden, setzt du die beiden Geraden gleich, d.h. du stellst ein lineares Gleichungssystem (LGS) mit drei Gleichungen und in drei Unbekannten auf, und versuchst, dieses zu lösen. 
'''Fall 2a:''' Solltest du nun eine Lösung erhalten, d.h. du erhältst den Wert für den Parameter einer der zwei Geraden (und hast diesen Wert überprüft), so weißt du, dass die zwei Geraden einander '''schneiden'''. Den Schnittpunkt erhältst du jetzt, indem du den erhaltenen Wert für den Parameter in die entsprechende Geradengleichung einsetzt. 
'''Fall 2b:''' Sollte dein LGS keine Lösung ergeben (also sich eine falsche Aussage oder ein Widerspruch ergeben, z.B. $2=13$, oder $t=4$ und $t=-1$), dann weißt du, dass deine beiden Geraden keinen Schnittpunkt haben und somit '''windschief''' sind.
 

Zum besseren Verständnis siehst du dir am besten das folgende Video und die beiden folgenden Beispiele an.

<div align="center">{{#ev:youtube|u0QoYlEE094}}</div>

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die beiden Geraden $g: X = \left( \begin{array}{c} 0 \\ -11 \\ -3 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right)$ und $h: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ -3 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right)$. Überprüfe deren gegenseitige Lage und gegebenenfalls ihren Schnittpunkt!|
2=Zuerst überprüfen wir die Richtungsvektoren der beiden Geraden, um festzustellen, ob diese parallel zueinander sind oder nicht:
$$\nexists \lambda : \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) = \lambda \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) \nparallel \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g \nparallel h$$
$g$ und $h$ sind also nicht parallel. Sie können also noch entweder einander schneiden oder windschief sein. Stellen wir nun ein LGS auf, indem wir die beiden Geraden gleichsetzen:
$$\begin{align}
I: \ &&&s&=&2&+&t \\
II: \ &-11&+&2s&=&3&-&3t \\
III: \ &-3&+&s&=&-3&+&2t
\end{align}$$ 
Wir subtrahieren $III$ von $I$: $- \begin{cases} &s &=& 2 + t \\ -3 + &s &=& -3 + 2t \end{cases} \ \rightarrow \ 3 = 5 - t \Rightarrow t = 2$ 
Wir überprüfen dieses Ergebnis für $t$, indem wir $t=2$ in alle 3 Gleichungen einsetzen. Wir sehen dann, dass wir überall dasselbe Ergebnis für $s$ erhalten, nämlich $s=4$. Daraus folgt, dass die Geraden einander '''schneiden'''. Setzen wir nun $t=2$ oder $s=4$ in die entsprechende Geradengleichung, so erhalten wir den Schnittpunkt $S(4/-3/1)$ der beiden Geraden.}}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die beiden Geraden $g: X = \left( \begin{array}{c} 3 \\ -2 \\ 0 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right)$ und $h: X = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$. Überprüfe deren gegenseitige Lage und ggf. ihren Schnittpunkt!|
2=Zuerst überprüfen wir wieder die Richtungsvektoren der beiden Geraden:
$$\nexists \lambda : \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) = \lambda \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) \nparallel \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g \nparallel h$$
Nun stellen wir wieder ein LGS auf:
$$\begin{align}
I: \ &3&+&2s&=&4&-&t \\
II: \ &-2&-&2s&=&3&& \\
III: \ &&&s&=&1&+&t
\end{align}$$ 
Aus der zweiten Gleichung lässt sich direkt berechnen, dass $s=- \frac{5}{2}$. Dies setzen wir nun in die erste und zweite Gleichung ein und erhalten einmal $3 - 5 = 4 - t \ \Rightarrow \ t=6$ und einmal $- \frac{5}{2} = 1 + t \ \Rightarrow \ t=- \frac{7}{2}$. Diese beiden Werte für $t$ sind offensichtlich voneinander unterschiedlich, daraus folgt, dass die beiden Geraden $g$ und $h$ '''windschief''' sind.
}}
 

== Ebenen ==
Eine Ebene ist durch 3 Punkte oder 1 Punkt und 2 (voneinander linear unabhängigen) Vektoren eindeutig festgelegt.
=== Darstellungsformen ===
==== Parameterdarstellung ====
[[Datei:ebene2.png|thumb|right|350px|von Punkt und Vektoren aufgespannte Ebene]]
$$\epsilon : X = P + s \cdot \vec{a} + t \cdot \vec{b}$$
bzw.
$$\epsilon : \begin{cases} x = x_P + s \cdot x_a + t \cdot x_b \\ y = y_P + s \cdot y_a + t \cdot y_b \\ z = z_P + s \cdot z_a + t \cdot z_b \end{cases}$$
wobei
*$X \in \epsilon$ ist ein '''beliebiger''' Punkt auf der unendlichen Ebene
*$P \in \epsilon$ ist ein '''bekannter''' Punkt auf der Ebene
*$s, t \in \mathbb{R}$ sind freie Parameter
*$\vec{a}, \vec{b} \in \mathbb{R^3}$ sind zwei Vektoren, die parallel zur Ebene liegen

 

==== Normalvektorform ====
Man multipliziert die Parameterdarstellung der Ebene mit ihrem Normalvektor $\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$ und erhält
$$\vec{n} \cdot \vec{X} = \vec{n} \cdot \vec{P}$$

 

==== Allgemeine Ebenengleichung ====
$$ax + by + cz = d$$
Diese Form der Darstellung heißt auch Normalform, da man den Normalvektor der Ebene direkt ablesen kann. Um von der Parameterdarstellung auf diese Form zu kommen, gibt es 2 Möglichkeiten:

'''1. Multiplikation mit Normalvektor:'''
Hierzu muss man einfach die Normalform ausmultiplizieren und es ergibt sich: 

$$\epsilon: x_n \cdot x + y_n \cdot y + z_n \cdot z = x_n \cdot x_P + y_n \cdot y_P + z_n \cdot z_P$$
 

'''2. Elimination des Parameters:'''
Hierbei gehen wir von der Ebenengleichung $\epsilon : \begin{cases} x = x_P + s \cdot x_a + t \cdot x_b \\ y = y_P + s \cdot y_a + t \cdot y_b \\ z = z_P + s \cdot z_a + t \cdot z_b \end{cases}$ aus, eliminieren $s$ und $t$, und kommen ebenfalls auf die obige allgemeine Ebenengleichung.

 

Zur Veranschaulichung ein Beispiel zu den verschiedenen Darstellungsformen:
{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die drei Punkte $A(1/1/1), B(-1/-4/2), C(0/3/-1)$. Gib die Ebene, die diese drei Punkte aufspannen, in Parameterform, Normalform und allgemeiner Ebenengleichung an!|
2=Für die Parameterform berechnen wir erst zwei beliebige Vektoren aus den 3 Punkten, z.B. $\vec{AB} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{AC} = \left( \begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right)$. Als Parameterform erhalten wir schließlich:
$$\epsilon: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right)$$ 
Um auf die Normalform zu kommen, bestimmen wir als erstes den Normalvektor der Ebenen: $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-5) \cdot (-2) - 1 \cdot 2 \\ 1 \cdot (-1) - (-2) \cdot (-2) \\ (-2) \cdot 2 - (-5) \cdot (-1) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right)$. 
Nun die Parametergleichung mit dem Normalvektor multiplizieren und wir erhalten auch die Normalform:
$$\epsilon: \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)$$ 
Um nun noch die allg. Ebenenform zu erhalten, multipliziert man am einfachsten die Normalform aus und erhält:
$$\epsilon: 8x - 5y -9z =-6$$ 
Aber auch die Elimination der Parameter soll hier gezeigt werden. Wir gehen aus von: $$\epsilon : \begin{cases} x = 1 - 2s - t \\ y = 1 - 5s + 2t \\ z = 1 + s - 2t\end{cases}$$
Addieren wir die y- und die z-Gleichung, können wir $t$ eliminieren: $+ \begin{cases} y = 1 - 5s + 2t \\ z = 1 + s - 2t \end{cases} \ \Rightarrow \ y + z = 2 - 4s$. 
Wir können $t$ ebenfalls eliminieren, indem wir die y-Gleichung zum 2-fachen der x-Gleichung addieren: $+ \begin{cases} 2x = 2 - 4s - 2t \\ y = 1 - 5s + 2t \end{cases} \ \Rightarrow \ 2x + y = 3 -9s$. 
Nun haben wir zwei Gleichungen, die nur mehr von $s$ abhängig sind. Um diesen Parameter nun auch noch zu eliminieren, multiplizieren wir die erste Gleichung mit $(-9)$ und die zweite mit $4$ und addieren diese, um nochmals auf die allg. Ebenengleichung zu kommen.
$$+ \begin{cases} 8x + 4y = 12 - 36s \\ -9y - 9z = -18 + 36s \end{cases} \ \Rightarrow \ \epsilon: 8x - 5y -9z =-6$$
}}

=== Lagebeziehungen ===
==== ...zwischen zwei Ebenen ====
Zwei Ebenen können im $\mathbb{R^3}$
*ident sein: die Ebenengleichungen (allg. Form) sind Vielfache voneinander; 
z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : 2x + 2y + 2z = 6 \Rightarrow \epsilon _2 = 2 \cdot \epsilon _1$
*parallel sein: die Normalvektoren der Ebenen sind Vielfache voneinander; 
z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : 2x + 2y + 2z = 5 \Rightarrow \vec{n_2} = 2 \cdot \vec{n_1}$
*einander schneiden (in einer Gerade): die Normalvektoren der Ebenen sind keine Vielfache voneinander; 
z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : x - 3y + 2z = 1 \Rightarrow \nexists \lambda \in \mathbb{R} : \vec{n_1} = \lambda \cdot \vec{n_2}$

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:Ebenenident2.png|2 Ebenen sind ident
Datei:Ebenenparallel2.png|2 Ebenen sind parallel
Datei:Ebenenschnittgerade2.png|2 Ebenen schneiden einander in einer Geraden
</gallery>

 
'''Berechnen der Schnittgerade''' 
Erkennt man durch Betrachtung der Normalvektoren zweier Ebenen, dass diese einander schneiden müssen, so kann man diese Schnittgerade berechnen. Dazu erstellt man aus den beiden Ebenengleichungen ein lineares Gleichungssystem in 3 Unbekannten. 2 Gleichungen - 3 Unbekannte: wir werden hier nicht für alle Unbekannten einen Zahlenwert erhalten, können aber 2 Unbekannte in Abhängigkeit der dritten darstellen. Diese dritte Unbekannte wird uns als Parameter für die Darstellung der Geraden dienen. Zur Veranschaulichung ein Beispiel:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die beiden Ebenen $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : x - 3y + 2z = 1$. Wie wir weiter oben schon festgestellt haben, müssen diese Ebenen einander schneiden, da die beiden Noramlvektoren der Ebenen $\vec{n_1}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{n_2}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right)$ linear unabhängig voneinander sind, also $\nexists \lambda \in \mathbb{R} : \vec{n_1} = \lambda \cdot \vec{n_2}$. 
Wir wählen nun eine der Koordinaten als Parameter, z.B. $z=t$ und stellen das Gleichungssystem auf.

|2=
$$\begin{align}
I: \ &x&+&y&+&t&=&3 \\
II: \ &x&-&3y&+&2t&=&1
\end{align}$$

Wir subtrahieren $I-II$ und erhalten
$$4y - t = 2 \ \Rightarrow \ y = \frac{1}{2} + t \cdot \frac{1}{4}$$
Nun setzen wir unser erhaltenes $y$ in die erste Gleichung ein, um $x$ zu erhalten:

$$I: \ x + \frac{1}{2} + t \cdot \frac{1}{4} + t = 3 \ \Rightarrow \ x = \frac{5}{2} - t \cdot \frac{5}{4}$$
Somit haben wir alle Ausdrücke der Koordinaten gefunden ($z=t$ haben wir anfangs festgelegt) und können die Parameterdarstellung der Schnittgerade angeben:
$$g: X = \left( \begin{array}{c} \frac{5}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 0 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} - \frac{5}{4} \\ \frac{1}{4} \\ 1 \end{array} \right)$$
}}

 

==== ...zwischen 3 Ebenen ====
Drei Ebenen können im $\mathbb{R^3}$
*alle ident sein
*2 ident, 1 parallel sein
*alle parallel sein
*3 Schnittgeraden haben
*2 Schnittgeraden haben (2 Ebenen parallel)
*1 Schnittgerade haben
*1 Schnittpunkt haben

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:Ebenenident3.png|3 Ebenen sind ident
Datei:Ebenenidentparallel.png|2 Ebenen sind ident, 1 parallel
Datei:Ebenenparallel3.png|3 Ebenen sind parallel
Datei:Ebenenschnittgeraden33.png|3 Ebenen schneiden einander in 3 Geraden
Datei:Ebenenschnittgeraden32.png|3 Ebenen schneiden einander in 2 Geraden (2 Ebenen parallel)
Datei:Ebenenschnittgerade3.png|3 Ebenen schneiden einander in einer Gerade
Datei:Ebenenschnittgerade31.png|3 Ebenen schneiden einander in einer Gerade (2 Ebenen ident)
Datei:Ebenenschnittpunkt3.png|3 Ebenen schneiden einander in einem Punkt
</gallery>

 

==== ...zwischen Ebene und Gerade ====
Eine Ebene und eine Gerade können im $\mathbb{R^3}$
*$g \subset \epsilon$, die Gerade liegt auf der Ebene 
Hierbei haben die Gerade und die Ebene einen gemeinsamen Punkt und der Richtungsvektor der Gerade steht normal auf den Normalvektor der Ebene, daraus folgt, dass sie unendlich gemeinsame Punkte haben.
*parallel sein 
Irgendein Punkt der Gerade liegt nicht auf der Ebene, der Richtungsvektor der Gerade steht normal auf den Normalvektor der Ebene, daraus folgt, dass sie keinen einzigen gemeinsamen Punkt haben.
*1 Schnittpunkt haben 
Der Richtungsvektor der Geraden steht nicht normal auf den Normalvektor der Ebene.

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:GeradeinEbene.png|Gerade liegt auf der Ebene
Datei:GeradepararallelEbene.png|Gerade und Ebene sind parallel zueinander
Datei:GeradeSchnittpunktEbene.png|Gerade und Ebene schneiden einander (Schnittpunkt)
</gallery>

Zur Überprüfung der Lagebeziehung gibt es allerdings noch eine andere (schnellere) Methode. Hier "schneiden" wir die Gerade und die Ebene mathematisch, d.h. wir setzen sie gleich (wenn beide in Parameterform gegeben sind) oder setzen die Gerade $g$ (Parameterform) in die Ebene $\epsilon$ (allg. Ebenengleichung) ein. 
Wir erhalten dadurch ein Gleichungssystem oder eine einzelne Gleichung. 

Sei die Gerade gegeben als $g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \\ z = z_P + t \cdot z_a \end{cases}$ und die Ebene als $\epsilon : \begin{cases} x = x_Q + s \cdot x_b + u \cdot x_c \\ y = y_Q + s \cdot y_b + u \cdot y_c \\ z = z_Q + s \cdot z_b + u \cdot z_c \end{cases}$ (Parameterform) oder $\epsilon : ax + by + cz = d$ (allg. Ebenengleichung). 

Wir erhalten als Gleichungssystem durch Gleichsetzen der Gleichungen der Parameterformen:
$$\begin{cases} x_P + t \cdot x_a = x_Q + s \cdot x_b + u \cdot x_c \\ y_P + t \cdot y_a = y_Q + s \cdot y_b + u \cdot y_c \\ z_P + t \cdot z_a = z_Q + s \cdot z_b + u \cdot z_c \end{cases}$$ 
Wir erhalten durch Einsetzen der Gerade in die Ebene (allg. Ebenengleichung):
$$a \cdot (x_P + t \cdot x_a) + b \cdot (y_P + t \cdot y_a) + c \cdot (z_P + t \cdot z_a) = d$$ 

Ergibt sich hier eine wahre Aussage (z.B. $1=1$), also unendlich viele Lösungen, so liegt die Gerade in der Ebene. 
Ergibt sich eine falsche Aussage (z.B. $1=2$), also keine Lösung, so schneiden die beiden Objekte einander nicht, also sie sind parallel. 
Gibt es genau eine Lösung (z.B. $t=2$), so existiert genau ein gemeinsamer Punkt = Schnittpunkt. Diesen erhält man, indem man den ermittelten Wert für den Parameter $t$ der Geraden in die Geradengleichung einsetzt (oder, wenn die Ebene in Parameterform gegeben war, die beiden Werte für die Parameter $s$ und $u$ der Ebene in die Ebenengleichung einsetzt). Dazu 2 Beispiele, wobei wir im ersten mit der Ebene in Parameterform rechnen werden:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right)$ und die Ebene $\epsilon : X = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -1 \\ -3 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) + u \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 0 \end{array} \right)$. Stellen wir nun also unser Gleichungssystem auf:
|2=\begin{align}
I: \ & \ 1&-t&=&4& &+2u \\
II: \ &-3& &=&-1&+s&-u \\
III: \ & \ 2&+2t&=&-3&+s&
\end{align}

In der ersten Gleichung drücken wir $u$ in $t$ aus: $u = - \frac{3}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$ 
In der zweiten Gleichung drücken wir $s$ in $u$ aus: $s = -2 + u$ 
Das $u$ von oben setzen wir nun hier ein und erhalten $s$ in Abhängigkeit von $t$: $s = - \frac{7}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$. 

Dieses $s$ setzen wir nun in die dritte Gleichung ein und wir erhalten: $2 + 2t = -3 - \frac{7}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$ und in weiterer Folge $t = - \frac{17}{5}$. 
Es ergibt sich also genau eine Lösung für das Gleichungssystem, was bedeutet, dass die Gerade und die Ebene einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen. Diesen erhalten wir, indem wir den errechneten Wert für $t$ in die Geradengleichung einsetzen (Man könnte natürlich auch noch die Werte für $s$ und $u$ berechnen, und diese in die Ebenengleichung einsetzen; zur Übung kannst du das gerne tun):
$$g: S = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) - \frac{17}{5} \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \frac{23}{5} \\ -3 \\ - \frac{24}{5} \end{array} \right)$$
}} 

Betrachten wir nun dasselbe Beispiel, mit dem Unterschied, dass die Ebene in Normalform gegeben ist und wir auch gleich mit dieser Form rechnen:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right)$ und die Ebene $\epsilon : x + 2y - 2z = 8$. Wir setzen die Koordinatengleichungen der Gerade in die Normalform der Ebene:
|2= $g$ in $\epsilon$: $$1 - t - 6 - 4 -4t =8$$
Wenn wir diese Gleichung lösen, erhalten wir, wie im ersten Bespiel, $t = - \frac{17}{5}$. Dies noch in die Geradengleichung einsetzen, und wir erhalten den Schnittpunkt.}}

Da man bei der zweiten Methode meistens weniger Rechenaufwand hat, zahlt es sich oft aus die Parameterdarstellung der Ebene in die Normalform (= allg. Ebenengleichung) umzurechnen.

==Pyramidenbeispiel==
[[Datei:Pyramidebsp.png|thumb|right|350px|Pyramide]]
Gegeben seien 3 Eckpunkte $A(-2/-2/1), B(2/-2/1), C(2/2/1)$ der quadratischen Grundfläche und der Spitzpunkt $S(0/0/6)$ einer geraden (gerade bedeutet, dass die Spitze in einem rechten Winkel über dem Mittelpunkt der Grundfläche der Pyramide liegt) Pyramide.
Gesucht sind:
#der vierte Eckpunkt $D$ der Grundfläche
#die Parameterdarstellung der Trägergeraden $h$ der Höhe
#die Fläche der Grundfläche
#die Geradengleichung der Geraden $g_{AS}$ auf der $A$ und $S$ liegen in a)Parameterform und b)parameterfreier Form
#Der Winkel $\alpha$ zwischen den Vektoren $\vec{AS}$ und $\vec{AC}$
#Zeige, dass der Schnittpunkt der Geraden $g_{AS}$ und $h$ gleich die Spitze $S$ ist
#Gib die Ebenengleichung $\epsilon$ der Grundfläche in a)Parameterform, b)Normalform und c)allgemeiner Ebenengleichung an
#Berechne den Fußpunkt $M$ der Höhe, indem du $h$ und $\epsilon$ schneidest

1. $D = A + \vec{BC} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -2 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right)$ 
2. $h: X = S + t \cdot \vec{h}$
$$\vec{AB} \times \vec{BC} = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 16 \end{array} \right) \ \parallel \ \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) = \vec{h}$$
$$h: X = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$$ 
3. $G = \parallel \vec{AB} \times \vec{BC} \parallel = \parallel \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 16 \end{array} \right) \parallel = 16FE$ 
4. a) $g_{AS}: X = A + u \cdot \vec{AS}$
$$\vec{AS} = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g_{AS}: X = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + u \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right)$$ oder $$g_{AS}:\begin{cases} x = -2 + 2u \\ y = -2 + 2u \\ z = 1 + 5u \end{cases}$$
b) Parameter elimieren:
$$x - y: x-y = 0$$
$$5x - 2z: 5x - 2z = -12$$
$$\Rightarrow g_{AS}:\begin{cases} x - y = 0 \\ 5x - 2z = -12 \end{cases}$$ 
5. $\measuredangle \vec{AS},\vec{AC} = \alpha = arccos{\frac{\vec{AS} \cdot \vec{AC}}{\parallel \vec{AS} \parallel \cdot \parallel \vec{AC} \parallel}} = arccos{\frac{\left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right)}{\parallel \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) \parallel \cdot \parallel \left( \begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) \parallel}} = arccos{\frac{16}{\sqrt{33 \cdot 32}}} = 60,5°$ 
6. $g_{AS}$ und $h$ gleichsetzen:
$$\begin{align}
I: \ &-2&+&2u&=&0&& \\
II: \ &-2&+&2u&=&0&& \\
III: \ & \ \ 1&+&5u&=&6&+&t
\end{align}
\ \ \ \rightarrow u=1$$
$$g_{AS}: S = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + 1 \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array} \right)$$ 
7. a) $\epsilon: X = A + v \cdot \vec{AB} + w \cdot \vec{BC} \ \rightarrow \ \epsilon: X = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + v \cdot \left( \begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) + w \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right)$ 
b) $\epsilon: \vec{n} \cdot \vec{X} = \vec{n} \cdot \vec{A} \ \rightarrow \ \epsilon: \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right)$ 
c) $\epsilon: z = 1$ 
8. $h:\begin{cases} x=0 \\ y=0 \\ z=6+t \end{cases} \ \ \epsilon: z=1 \ \ \rightarrow \ 1 = 6 + t \ \Rightarrow \ t=-5$ 
$h: M = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array} \right) -5 \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$

= Beispiele =
Hier findest du Beispiele zu den behandelten Themen:

===Grundlagen der Vektorrechnung===
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/9/99/VektorrechnungGLBspAngabe.pdf VektorrechnungGLBspAngabe.pdf]
 
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/0/00/VektorrechnungGLBspL%C3%B6sung.pdf VektorrechnungGLBspLösung.pdf]

===Vektorrechnung im $\mathbb{R^2}$===
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/7/7f/VektorrechnungR2BspAngabe.pdf VektorrechnungR2BspAngabe.pdf]
 
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/f/ff/VektorrechnungR2BspL%C3%B6sung.pdf VektorrechnungR2BspLösung.pdf]

Vektorrechnung

2016-03-12T10:31:55Z

Lajtos: /* Pyramidenbeispiel */

= Grundlagen der Vektorrechnung =

==Koordinatensystem==
[[Datei:Koordinatengitter.png|thumb|right|350px|Koordinatengitter im $\mathbb{R^2}$ mit den 4 Quadranten]]

Für die Vektorrechnung sind Koordinatensysteme essentiell.
Im zweidimensionalen Raum besitzt ein Koordinatensystem 2 Achsen:

* die x-Achse (waagrecht) und
* die y-Achse (senkrecht)

 
Diese sind unendlich lang und Spannen die vier sogenannten Quadranten auf, die meist mit den römischen Ziffern I-IV beschriftet werden (gesprochen: Erster Quadrant, Zweiter Quadrant etc.). Die rechte Graphik zeigt die die Position der Quadranten. Dort, wo die 2 Achsen einander treffen, liegt der sog. Ursprung (kurz: $\vec{0}$); seine Koordinaten sind (0/0).

Was es außerdem noch zu beachten gibt, hast du vielleicht bereits selbst erkannt:
An den gegenüberliegenden Seiten der x- und y-Achsen werden unterschiedliche Vorzeichen verwendet. So spricht man "links" des Ursprungs von der negativen, bzw. "rechts" des Ursprungs von der positiven x-Achse. Analog spricht man "oben" und "unten" von der positiven und negativen y-Achse.

Im dreidimensionalen Raum kommt eine dritte Achse - die z-Achse - dazu. Punkte und Vektoren besitzen dementsprechend dann auch 3 Koordinaten. Dies kann man bis ins n-dimensionale weiterführen.

==Punkte==
In ein Koordinatensystem lassen sich Punkte eintragen. Diese besitzen, entsprechend ihrer Lage, Koordinaten. Im obigen Bild z.B. haben wir die Punkte A und B, wobei sich A im ersten Quadranten befindet und B im vierten. Man schreibt: A(2/3,5) B(1/-2).

[[Datei:PunkteR2.png|thumb|right|250px|Punkte im $\mathbb{R^2}$]]

{{Vorlage:Merke |''Einen'' '''allgemeinen Punkt''' ''schreibt man an als'' $P(x_1/x_2/.../x_n)$ (im n-dimensionalen Raum $\mathbb{R^n}$) ''bzw.'' $P(x/y)$ (im 2-dimensionalen Raum $ \mathbb{R^2}$) ''oder'' $P(x/y/z)$ (im 3-dimensionalen Raum $\mathbb{R^3}$).
 
Die erste Koordinate entspricht der x-Koordinate, die zweite der y-Koordinate, die eventuelle dritte der z-Koordinate.

Punkte werden in der Regel mit Großbuchstaben bezeichnet.}}

Koordinaten von Punkten lassen sich also ganz einfach ablesen. Die x/y-Koordinate entspricht dabei dem Abstand vom Ursprung zum Punkt in Richtung der jeweiligen Koordinatenachse. So erkennen wir im Bild rechts die folgenden Punkte:

* A(2/0)
* B(0/-2)
* C(-1/2)

==Vektoren==
Vektoren kann man sich wie '' eine Menge von Pfeilen'' vorstellen. Sie besitzen eine '''Länge''' (Betrag) und eine '''Richtung'''. Auch sie bestehen, wie Punkte, je nach Dimension aus 2 bzw. 3 Koordinaten. Der Unterschied dabei ist, dass die Koordinaten hier keine Position im Koordinatensystem darstellen, sondern eine Bewegung. Auch die Schreibweise unterscheidet sich:

{{Vorlage:Merke |1=''Einen'' '''allgemeinen Vektor''' ''schreibt man an als'' $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ (im $\mathbb{R^n}$) ''bzw.'' $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ (im $\mathbb{R^2}$) oder $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right)$ (im $\mathbb{R^3}$).

Vektoren werden in der Regeln mit Kleinbuchstaben mit Pfeil darüber bezeichnet.}}

===Ortsvektoren===
[[Datei:Ortsvektor.png|thumb|right|300px|Punkt und zugehöriger Ortsvektor]]
Der Ortsvektor von einem Punkt ist der Vektor, der vom Ursprung aus auf den Punkt zeigt. Die Koordinaten bleiben deshalb gleich, es ändert sich quasi nur die Schreibweise:

Sei $A(x_1/x_2/.../x_n)$ ein Punkt in der Dimension $n$, dann ist $\vec{0A} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ dessen Ortsvektor.

 

 

 
 

=== Addition und Subtraktion von Vektoren ===
{{Vorlage:Merke|1=Wenn du Vektoren addieren oder subtrahieren möchtest, musst du dazu einfach die entsprechenden Koordinaten betrachten: 
$\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) \pm \left( \begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ ... \\ y_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x_1 \pm y_1 \\ x_2 \pm y_2 \\ ... \\ x_n \pm y_n \end{array} \right)$ 
Wichtig ist dabei, dass die Vektoren, die du addieren oder subtrahieren möchtest, derselben Dimension $n$ angehören! D.h. sie haben gleich viele Koordinaten.}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben seien die beiden Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right)$. Berechne erst $\vec{a} + \vec{b}$, dann $\vec{a} - \vec{b}$ und zuletzt $\vec{b} - \vec{a}$!
|2= $$\vec{a} + \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 5+1 \\ 2+(-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 6 \\ -1 \end{array} \right)$$
$$\vec{a} - \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 5-1 \\ 2-(-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 5 \end{array} \right)$$
$$\vec{b} - \vec{a} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 1-5 \\ -3-2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -4 \\ -5 \end{array} \right)$$}}

===Vektoren bestimmen: Spitze-minus-Schaft===
[[Datei:Spitzeschaft.png|thumb|right|300px|"Spitze minus Schaft"]]
Zwischen 2 Punkten kann man nun einen Vektor definieren. Dabei gilt: Die '''"Spitze minus Schaft"'''-Regel Im Bild rechts wollen wir den Vektor berechnen, der von A nach B geht, also den Vektor $\vec{AB}$. Der Punkt B(3/3,5) entspricht hierbei der Spitze, und der Punkt A(1/0,5) dem Schaft. Da das Rechnen mit Punkten allerdings keinen Sinn ergibt, rechnet man stattdessen mit deren Ortsvektoren (siehe oben).

Für unser Beispiel bedeutet das folgendes: $\vec{0B} - \vec{0A} = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 3,5 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0,5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 3-1 \\ 3,5-3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right) = \vec{AB}$

Beachte außerdem:

* Man schreibt der Einfachheit halber oft nur $B-A$, wenn damit eigentlich $\vec{0B} - \vec{0A}$ gemeint ist.
* $\vec{AB} = -\vec{BA}$

 

===Produkt eines Vektors mit einem Skalar===
Wenn man einen Vektor $\vec{v}$ mit einer [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)|reellen Zahl]] $k$ , einem sogenannten "Skalar", multipliziert, werden dabei die einzelnen Koordinaten mit dem Skalar multipliziert:

$k \cdot \vec{v} = k \cdot \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} k \cdot x_1 \\ k \cdot x_2 \\ ... \\ k \cdot x_n \end{array} \right)$
 

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sei der Vektor $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right)$. Multipliziere diesen einmal mit $2$ und einmal mit $-5$!
|2=$$2 \cdot \vec{a} = 2 \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \cdot 2 \\ 2 \cdot (-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -6 \end{array} \right)$$
$$(-5) \cdot \vec{a} = (-5) \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-5) \cdot 2 \\ (-5) \cdot (-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -10 \\ 15 \end{array} \right)$$}}

{{#widget:Iframe
|url= http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_vektorrechnung/MV_Vektor1/MV_Vektor1/sites/Vektortest.html
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[http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_vektorrechnung/MV_Vektor1/MV_Vektor1/ (Quelle dieses Applets)]

===Wie Vektoren zueinander stehen===
Vektoren können unterschiedliche Richtungen haben, aber auch parallel zueinander oder gar identisch sein. Optisch lässt sich das oft sehr leicht erkennen, rechnerisch sind diese Feststellungen allerdings ebenfalls überprüfbar.

{{Vorlage:Definition |Unter einem Vektor versteht man die Menge aller gleichlangen, gleichgerichteten und gleichorientierten Pfeile.

Der Start/Endpunkt spielen dabei keine Rolle!}}

{{Vorlage:Merke|2 Vektoren stehen parallel zueinander, wenn ein Vektor als Vielfaches des anderen Vektors angeschrieben werden kann. 
Man sagt auch: Die Vektoren sind [[linear abhängig]] (linear abhängig zu sein bedeutet, dass ein Vektor als Vielfaches eines anderen Vektors dargestellt werden kann).}}

Sehen wir uns die verschiedenen Fälle an:

{| class="wikitable"
|-
| ident: gleiche Richtung, gleiche Orientierung, gleiche Länge || [[Datei:Vektorv1.png|none|250px]] || $\vec{v} = \vec{u} \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$ || z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$
|-
| parallel (gleiche Orientierung): gleiche Richtung, gleiche Orientierung || [[Datei:Vektorenlänge.png|none|250px]] || $\exists k>0 : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$ || z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \end{array} \right)$, $k=2$
|-
| parallel (unterschiedliche Orientierung): gleiche Richtung || [[Datei:Vektororientierung1.png|none|250px]] || $\exists k<0 : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$ || z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} -1 \\ -1 \end{array} \right)$, $k=-1$ 
aber auch: $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \end{array} \right)$, $k=-2$
|-
| linear unabhängig || [[Datei:Vektorrichtung1.png|none|250px]] || $\nexists k : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \nparallel \vec{u}$ || z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)$
|}

{{Vorlage:Beispiel|1=für linear unabhängige Vektoren:

Sei $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 5 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$.

Wenn es ein k gibt, sodass $k \cdot \vec{a} = \vec{b}$, dann sind die beiden Vektoren voneinander linear abhängig, und somit auch parallel zueinander.

Wir lösen dieses Problem mit Hilfe von 2 Gleichungen in einer Unbekannten:

|2=$I: 2k = 4 \ \ \rightarrow k=2$
$II: 5k = 3 \ \ \rightarrow k=\frac{3}{5}$

Aus der ersten Gleichung ergibt sich k=2, in der zweiten aber $k=\frac{3}{5}$. $k$ kann aber nicht beides sein, somit haben wir eine falsche Aussage erhalten. Daraus folgt, dass die beiden Vektoren '''linear unabhängig''' und somit nicht parallel zueinander sind.}}
 

===Betrag und Einheitsvektor===

[[Datei:PythagorasVektor.png|thumb|right|350px|Betrag eines Vektors; Einheitsvektor]]Wie anfangs bereits erwähnt, besitzen Vektoren eine Länge, auch '''Betrag''' eines Vektors genannt. Dieser wird mit Hilfe des pythagoräischen Lehrsatzes wie folgt berechnet:

<div align="center">$\parallel \vec{v} \parallel = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2} \ $ wenn $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ ein Vektor der Dimension $n$ ist.</div>
Sehen wir uns die Grafik rechts an, können wir mit dieser Formel die Länge des zweidimensionalen Vektors $\parallel \vec{v} \parallel$ berechnen:

<div align="center">$\parallel \vec{v} \parallel = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$</div>
 Der '''Einheitsvektor''' $\vec{a_0}$ eines Vektors $\vec{a}$ ist ein zu $\vec{a}$ paralleler Vektor mit Länge 1. Rechnerisch erhält man $\vec{a_0}$, indem man $\vec{a}$ durch seine Länge dividiert.
$$ \vec{a_0}=\frac{\vec{a}}{\parallel \vec{a}\parallel}$$
bzw.
$$ \vec{a_0}=\frac{1}{\parallel\vec{a}\parallel}\cdot \vec{a}$$

Daraus ergibt sich ein Vektor, der dieselbe Richtung des ursprünglichen Vektors hat, allerdings die Länge 1 besitzt.

{{Vorlage:Merke|1=
Sei $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ ein Vektor der Dimension $n$ und $\parallel \vec{v} \parallel$ sein Betrag, dann ist $\vec{v_0} = \frac{1}{\parallel \vec{v} \parallel} \cdot \vec{v} \ $ der Einheitsvektor zu $\vec{v}$.
}}

In unserem Beispiel würde das folgendes bedeuten:

{{Vorlage:Beispiel|1= Bestimmen Sie den Einheitsvektor von $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$
|2=

<div align="center"> $\vec{v_0} = \frac{1}{\sqrt{13} } \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \frac{2}{\sqrt{13} } \\ \frac{3}{\sqrt{13} } \end{array} \right)$ </div>
}}

===Vektoren bestimmter Länge===
Da wir nun gelernt haben, Einheitsvektoren zu bilden und Vektoren mit Zahlen zu multiplizieren (und ich das hier so schön betone), könnt ihr euch vielleicht schon vorstellen, wie man aus einem beliebigen Vektor einen Vektor derselben Richtung, allerdings unterschiedlicher Länge bekommt. Wir haben also einen Vektor $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ mit der Länge $\parallel \vec{v} \parallel = k$ gegeben, und hätten gerne den Vektor $\vec{w} \ \parallel \ \vec{v}$ mit der Länge $l$. Dazu berechnen wir zuerst den Einheitsvektor $\vec{v_0}$ von $\vec{v}$ und multiplizieren diesen dann mit $l$. So erhalten wir schließlich $\vec{w} = l \cdot \vec{v_0}$.

==Mittelpunkt einer Strecke==
[[Datei:Mittelpunkt.png|thumb|300px|Mittelpunkt M der Strecke AB]]
Willst du den Mittelpunkt zwischen 2 Punkten $A$ und $B$ berechnen, musst du wie folgt vorgehen:
Zuerst berechnest du einen Vektor zwischen den Punkten ($\vec{AB}$ oder $\vec{BA}$). Dann halbierst du diesen Vektor, und erhältst $\vec{AM}$ bzw. $\vec{BM}$. Addierst du dann diesen Vektor zum entsprechenden Punkt ($A$ bzw. $B$), erhältst so den Mittelpunkt. Also:
 

<big><div align="center">$\vec{0M} = \vec{0A} + \frac{\vec{AB}}{2} = \vec{0B} + \frac{\vec{BA}}{2}$</div></big>

= Im $\mathbb{R^2}$ =
Dieser Artikel befasst sich mit der Vektorrechnung im zweidimensionalen Raum. Grundlegende Informationen zur Vektorrechnung, so wie Punkte und Vektoren, findest du unter dem Tab ''Grundlagen der Vektorrechnung''.

==Vektoren==

===Normalvektoren===
[[Datei:Normalvektoren.png|thumb|350px|Normalvektoren]]
Normalvektoren zu einem Vektor sind alle Vektoren, die normal (90°) auf den Vektor stehen. Im $\mathbb{R^2}$ gibt es zu jedem Vektor genau 2 Normalvektoren, die dieselbe Länge wie der ursprüngliche Vektor haben. Alle anderen Normalvektoren sind Vielfache eines dieser 2 Normalvektoren.

{{Vorlage:Merke | 1=Sei $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ ein Vektor, dann ist $\vec{n_1}=\left( \begin{array}{c} -y \\ x \end{array} \right)$ sein nach links gekippter, und $\vec{n_2}=\left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right)$ sein nach rechts gekippter Normalvektor.}}

 

===Skalarprodukt===
Unter dem Skalarprodukt versteht man die Multiplikation zweier Vektoren, bei der als Ergebnis ein Skalar (eine Zahl) entsteht.

{{Vorlage:Merke|1=Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren, dann ist $\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \end{array} \right) = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b$ gleich ihr Skalarprodukt.}}

 

===Winkel zwischen zwei Vektoren===
[[Datei:Winkel.png|thumb|350px|Winkel zwischen 2 Vektoren]]
<big>$$cos{\varphi} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel} = \vec{a_0} \cdot \vec{b_0}$$
bzw.
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = \parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel \cdot cos{\varphi}$$</big>

Heißt es, den Winkel zwischen 2 Vektoren/Geraden zu bestimmen, ist damit immer der kleinere Winkel gemeint. Solltest du einmal ein Ergebnis erhalten, das größer als 180° ist (nennen wir dieses Ergebnis $\varphi'$), dann ziehe dieses Ergebnis von 360° ab und du erhältst den kleineren Winkel ($\varphi = 360° - \varphi'$). 
Bei einem Winkel von $\varphi = 90°$ erhalten wir $cos{\varphi} = 0$, was bedeutet, dass auch $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$. Daraus ergibt sich das Orthogonalitätskriterium.

 

====Orthogonalitätskriterium====
{{Vorlage:Merke|1=Ergibt das Skalarprodukt zweier Vektoren $0$, so stehen diese zwei Vektoren normal zueinander (und umgekehrt!)
$$\vec{a} \cdot \vec{b} \ = \ 0 \ \Leftrightarrow \ \vec{a} \bot \vec{b}$$}}

Das ist nicht überraschend, denn multipliziert man einen Vektor $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ mit seinem Normalvektor $\vec{n}=\left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right)$ erhalten wir:
$$\vec{v} \cdot \vec{n} = \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right) = xy - yx = 0$$

 

==Geraden==
===Darstellungsformen===
Geraden lassen sich in unterschiedlichen Formen darstellen. In der Vektorrechnung ist die Parameterdarstellung populär, da man dazu nur einen Punkt und Vektor kennen muss. Die Normalform allerdings hat den Vorteil, dass man den Normalvektor zur Geraden auf einen Blick ablesen kann. Je nachdem, was man mit der Gerade vorhat, können die verschiedenen Formen ineinander umgewandelt werden.

====Parameterdarstellung====
[[Datei:Parameterdarstellung.png|thumb|350px|Parameterdarstellung einer Geraden]]
$$g: \vec{0X} = \vec{0P} + t \cdot \vec{a}$$ 
wobei
*$X \in g$ ist ein '''beliebiger''' Punkt auf der unendlichen Geraden (steht für alle Punkte auf der Geraden)
*$P \in g$ ist ein '''bekannter''' Punkt auf der Geraden
*$t \in \mathbb{R}$ ist ein freier Parameter (in der Graphik rechts $\lambda$)
*$\vec{a} \in \mathbb{R^2}$ ist ein Vektor parallel zur Geraden, der die Richtung dieser angibt ("Richtungsvektor")
 
Beachte, dass in der Parameterdarstellung keine Punkte, sondern Ortsvektoren verwendet werden! (Info zu Ortsvektoren findest du unter ''Grundlagen der Vektorrechnung''.) 
Wenn man das weiß, kann man der Einfachheit halber die Gerade auch folgendermaßen beschreiben: $g: X = P + t \cdot \vec{a}$

 
Eine andere Schreibweise ist, die Koordinaten einzeln zu betrachten und 2 Gleichungen aufzustellen:
$$g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \end{cases}$$

 

====Normalvektorform====
Hierzu benötigt man einen Normalvektor des Richtungsvektors und multipliziert dann die Geradengleichung mit diesem Normalvektor. Da $\vec{a} \cdot \vec{n} = 0$, bleibt über:

Sei $g: \vec{0X} = \vec{0P} + t \cdot \vec{a}$ eine Gerade in Parameterform, so ist 

<div align="center">$g: \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x_P \\ y_P \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right)$</div> 

dieselbe Gerade in Normalform, wobei $\vec{0X}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right), \ \vec{0P}=\left( \begin{array}{c} x_P \\ y_P \end{array} \right), \ \vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right)$ und $\vec{n}=\left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right)$ ein Normalvektor von $\vec{a}$ (hier kann man natürlich auch den anderen Normalvektor verwenden).

 

====Allgemeine Geradengleichung====
Diese Form der Darstellung heißt auch Normalform, da man den Normalvektor der Gerade direkt ablesen kann.Um von der Parameterdarstellung auf diese Form zu kommen, gibt es 2 Möglichkeiten:

'''1. Multiplikation mit Normalvektor:'''
Hierzu muss man einfach die Normalform ausmultiplizieren und es ergibt sich: 

$$g: y_a \cdot x + -x_a \cdot y = y_a \cdot x_P + -x_a \cdot y_P$$
 

'''2. Elimination des Parameters:'''
Hierbei gehen wir von der Geradenform $g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \end{cases}$ aus, eliminieren $t$, und kommen ebenfalls auf die obige allgemeine Geradengleichung.
Auf der rechten Seite der Gleichung stehen nur bekannte Größen, auf der linken Seiten stehen Vielfache von x und y. Diese Gleichung kann man weiter auch auf die Form y=kx+d umformen.

 

===Lagebeziehungen zwischen Geraden===
Mehrere Geraden können im $\mathbb{R^2}$

*ident sein, d.h. sie haben unendlich viele gemeinsame Punkte
*parallel sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt
*einander schneiden, d.h. sie haben genau ein gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt)
 
Sind uns 2 Geraden in '''Parameterdarstellung''' gegeben, betrachten wir zuerst ihre Richtungsvektoren. 
Sind diese parallel zueinander, so sind auch die Geraden parallel zueinander. Nun bleibt noch die Frage offen, ob die Geraden ident sind. Dazu überprüfen wir einfach, ob der gegebene Punkt der einen Geraden auch auf der anderen Geraden liegt. Dazu Setzen wir den bekannten Punkt der einen Geraden für den unbekannten Punkt der anderen Geraden ein und erhalten 2 Gleichungen in einer Unbekannten (Parameter der zweiten Gerade). Erhalten wir nun für den Parameter zweimal dasselbe Ergebnis, so sind die 2 Geraden ident, erhalten wir unterschiedliche Ergebnisse, so sind sie nur parallel. 
Sind die Richtungsvektoren nicht parallel zueinander, so sind es auch die 2 Geraden nicht, und wir können uns sicher sein, dass diese einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen.
Doch wie erhalten wir den Schnittpunkt? Ganz einfach, indem wir die 2 Geraden schneiden. Dazu müssen wir sie gleichsetzen, und dann das dadurch erhaltene Gleichungssystem in 2 Unbekannten (die 2 Parameter) lösen. Wenn wir den Wert eines Parameters ausgerechnet haben, setzen wir ihn einfach in die entsprechende Geradengleichung ein und erhalten so den Schnittpunkt!

 

Sind die 2 Geraden in der '''allgemeinen Geradenform''' gegeben, so haben wir bereits 2 Gleichungen gegeben, die wir nach x und y auflösen. Dieses x und y sind die Koordinaten des Schnittpunktes.

 

Um das Schneiden von Geraden besser zu verstehen, schau dir das Lösen von [[ Gleichungssysteme (2.7.) |Gleichungssystemen]] genauer an, wirf einen Blick auf die Beispiele zum $\mathbb{R^2}$ unter dem Tab 'Beispiele', oder sieh dir dieses Video an:

<div align="center">{{#ev:youtube|ZrFE3LRisn0}}</div>

 

===Normalabstand Punkt - Gerade===
[[Datei:Normalabstand.gif|right]]
Gegeben sei ein Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und eine Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$. Um den Normalabstand $d(Q,g)$ zwischen Q und g zu berechnen, gehe wie folgt vor:
{{Vorlage:Merke|1=1. Bestimme die Gerade $q: X = Q + s \cdot \vec{n}$, die durch $Q$ geht und den Normalvektor $\vec{n}$ von $\vec{a}$ als Richtungsvektor besitzt.
2. Schneide $g$ und $q$ und die erhältst ihren Schnittpunkt $S$. 
3. Berechne $\parallel \vec{QS} \parallel$.}}
In der Graphik rechts hätten wir z.B. die Angabe $g: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right) + \lambda \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array} \right)$ und $Q(3/4)$. Du kannst das zur Übung durchrechnen.

 

====Hesse'sche Abstandsformel====
Mithilfe dieser Formel kann man ebenfalls den Abstand $d(Q,g)$ zwischen Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$ bestimmen. 
<big>$d(Q,g) = | \vec{PQ} \cdot \vec{n_0} | $</big>, wobei $\vec{n_0}$ der normierte (Länge 1) Normalvektor des Richtungsvektors $\vec{a}$ der Geraden $g$ ist.

 

====Spiegelung eines Punktes an einer Geraden====
[[Datei:Spiegeln.png|thumb|250px|Gespiegelter Punkt Q']]
Gegeben sei ein Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und eine Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$. Es gilt den Punkt $Q$ an der Gerade $g$ zu spiegeln, und so den Punkt $Q'$ zu erhalten. Dazu befolgst du die Vorgehensweise von "Normalabstand Punkt - Gerade" bis du den Vektor $\vec{QS}$ erhältst, und trägst diesen vom Punkt $S$ ab, also: 
$Q' = S + \vec{QS}$

= Im $\mathbb{R^3}$ =

== Vektoren ==

=== Kreuzprodukt ===
Im $\mathbb{R^3}$ gibt es neben dem Skalarprodukt, bei dem wir als Ergebnis ein Skalar erhalten, eine weitere Möglichkeit, zwei Vektoren mit einander zu multiplizieren: das sog. Kreuz- oder Vektorprodukt, bei dem wir als Ergebnis einen Vektor erhalten.
{{Vorlage:Merke|1=Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren des $\mathbb{R^3}$, dann ist ihr Kreuzprodukt
$$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} y_a \cdot z_b - z_a \cdot y_b \\ z_a \cdot x_b - x_a \cdot z_b \\ x_a \cdot y_b - y_a \cdot x_b \end{array} \right)$$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ -3 \end{array} \right)$, gesucht ist ihr Kreuzprodukt.
|2=$$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \cdot (-3) - 3 \cdot 4 \\ 3 \cdot 5 - 1 \cdot (-3) \\ 1 \cdot 4 - 2 \cdot 5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-6) - 12 \\ 15 - (-3) \\ 4 - 10 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -18 \\ 18 \\ -6 \end{array} \right)$$}}

Wozu wir das Kreuzprodukt überhaupt benötigen, sehen wir an den nächsten 2 Punkten.

 

==== Normalvektoren ====
Im $\mathbb{R^3}$ gibt es zu einem Vektor unendlich viele Normalvektoren. Auf eine Ebene allerdings gibt es genau 2 Normalvektoren (wie im $\mathbb{R^2}$ auf eine Gerade). Eine Ebene wird von 2 Vektoren aufgespannt, deren Kreuzprodukt ergibt einen Normalvektor $\vec{n_1}$ auf die Ebene bzw. die zwei Vektoren; der zweite Normalvektor hat die entgegengesetzte Orientierung ($\vec{n_2} = -\vec{n_1}$). Also:
$$\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$$

 

==== Fläche eines von zwei Vektoren aufgespannten Parallelogramms oder Dreiecks ====
[[Datei:FlächeNormalvektor.png|thumb|right|ohne|250px|2 Vektoren spannen ein Dreieck bzw. Parallelogramm auf]]
 
{{Vorlage:Merke|1=Die Länge $\parallel \vec{n} \parallel = \parallel \vec{a} \times \vec{b} \parallel$ des Normalvektors $\vec{n}$ zu den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ entspricht der Maßzahl des Flächeninhaltes des Parallelogramms, das $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aufspannen (im Bild die gesamte grüne Fläche).
Die Hälfte dieser Fläche entspricht der Fläche des aufgespannten Dreiecks.}}

 

=== Skalarprodukt, Orthogonalitätskriterium, Winkel zwischen zwei Vektoren ===
Diese drei Dinge "funktionieren" im $\mathbb{R^3}$ wie im $\mathbb{R^2}$. Also hier nur eine kurze Wiederholung:
 

'''Skalarprodukt''' 
Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\z_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren, dann ist $$\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right) = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b + z_a \cdot z_b$$ gleich ihr Skalarprodukt.
 

'''Orthogonalitätskriterium''' 
Ergibt das Skalarprodukt zweier Vektoren $0$, so stehen diese zwei Vektoren normal zueinander (und umgekehrt!)
$$\vec{a} \cdot \vec{b} \ = \ 0 \ \Leftrightarrow \ \vec{a} \bot \vec{b}$$
Auch das gibt es im $\mathbb{R^3}$. Bedenke aber, dass es hier, anders als im $\mathbb{R^2}$, unendlich viele Normalvektoren auf einen Vektor gibt.
 

'''Winkel zwischen zwei Vektoren'''
$$cos{\varphi} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel} = \vec{a_0} \cdot \vec{b_0}$$

 

== Geraden ==
=== Darstellungsformen ===
==== Parameterdarstellung ====
Die Parameterdarstellung im $\mathbb{R^3}$ sieht genauso aus wie im $\mathbb{R^2}$, einziger Unterschied ist, dass unsere Punkte und Vektoren hier jeweils 3 Koordinaten haben.
$$g: X = P + t \cdot \vec{a}$$ bzw. $$g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \\ z = z_P + t \cdot z_a \end{cases}$$
Mehr Infos zu den einzelnen Komponenten findest du im Tab 'Im $\mathbb{R^2}$'.

 

==== Parameterfreie Darstellungsform ====
Diese besteht aus 2 Gleichungen und wir erhalten sie durch Eliminierung des Parameters.

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sei die Parameterform der Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ -4 \\ 1 \end{array} \right)$. Zuerst schreiben wir das in die 3 Koordinatengleichungen um:
$$g : \begin{cases} x = 2 + 3t \\ y = 0 - 4t \\ z = 1 + t \end{cases}$$

|2=Wir multiplizieren die erste Gleichung mit $4$ und die zweite Gleichung mit $3$ und addieren die beiden: $$+ \begin{cases} 4x = 8 + 12t \\ 3y = 0 - 12t \end{cases}$$ und erhalten so die Gleichung $4x + 3y = 8$.
Wir multiplizieren die dritte Gleichung mit $3$ und subtrahieren diese von der ersten Gleichung: $$- \begin{cases} x = 2 + 3t \\ 3z = 3 + 3t \end{cases}$$ und erhalten so die Gleichung $x - 3z = -1$.

Die parameterfreie Darstellung unserer Gerade lautet somit $$g : \begin{cases} 4x + 3y = 8 \\ x - 3z = -1 \end{cases}$$.}}

Die zwei Gleichungen in der parameterfreien Darstellung sind übrigens Ebenengleichungen. Die eigentliche Gerade ist der Schnitt dieser zwei Ebenen!

 

=== Lagebeziehungen zwischen Geraden ===
Mehrere Geraden können im $\mathbb{R^3}$

*ident sein, d.h. sie haben unendlich viele gemeinsame Punkte
*parallel sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt
*einander schneiden, d.h. sie haben genau ein gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt)
*windschief sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt und sind nicht parallel
 

Um herauszufinden, wie 2 gegebene Geraden in Parameterform zueinander stehen, gehst du am besten wie folgt vor:

'''Betrachtung der Richtungsvektoren:''' Auch im $\mathbb{R^3}$ gilt, sind die Richtungsvektoren zweier Geraden parallel zueinander (d.h. man kann einen Vektor als Vielfaches des anderen Vektors darstellen), so sind es auch die Geraden.
 

'''Fall 1: Die Vektoren sind parallel:''' Sollte sich herausstellen, dass die zwei Geraden parallel zueinander sind, überprüfst du als nächstes, ob sie einen gemeinsamen Punkt haben; am einfachsten funktioniert das, indem du den bekannten Punkt ($P$) der einen Geraden in die zweite Gerade (für den unbekannten Punkt $X$) einsetzt. Wir erhalten drei Gleichungen in einer Unbekannten (Parameter der zweiten Gerade). 
'''Fall 1a:''' Erhalten wir nun für den Parameter dreimal dasselbe Ergebnis, so sind die 2 Geraden '''ident''' (und parallel), da der überprüfte Punkt, und somit unendlich weitere, auf beiden Geraden liegen. 
'''Fall 1b:''' Erhalten wir unterschiedliche Ergebnisse, so sind sie nur '''parallel''', da der überprüfte Punkt nicht, und somit auch kein anderer, auf beiden Geraden liegen.
 

'''Fall 2: Die Vektoren sind nicht parallel:''' Nun gibt es nur noch zwei Möglichkeiten: Entweder die zwei Geraden haben einen gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt), oder sie sind windschief. 
Um das wiederum herauszufinden, setzt du die beiden Geraden gleich, d.h. du stellst ein lineares Gleichungssystem (LGS) mit drei Gleichungen und in drei Unbekannten auf, und versuchst, dieses zu lösen. 
'''Fall 2a:''' Solltest du nun eine Lösung erhalten, d.h. du erhältst den Wert für den Parameter einer der zwei Geraden (und hast diesen Wert überprüft), so weißt du, dass die zwei Geraden einander '''schneiden'''. Den Schnittpunkt erhältst du jetzt, indem du den erhaltenen Wert für den Parameter in die entsprechende Geradengleichung einsetzt. 
'''Fall 2b:''' Sollte dein LGS keine Lösung ergeben (also sich eine falsche Aussage oder ein Widerspruch ergeben, z.B. $2=13$, oder $t=4$ und $t=-1$), dann weißt du, dass deine beiden Geraden keinen Schnittpunkt haben und somit '''windschief''' sind.
 

Zum besseren Verständnis siehst du dir am besten das folgende Video und die beiden folgenden Beispiele an.

<div align="center">{{#ev:youtube|u0QoYlEE094}}</div>

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die beiden Geraden $g: X = \left( \begin{array}{c} 0 \\ -11 \\ -3 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right)$ und $h: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ -3 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right)$. Überprüfe deren gegenseitige Lage und gegebenenfalls ihren Schnittpunkt!|
2=Zuerst überprüfen wir die Richtungsvektoren der beiden Geraden, um festzustellen, ob diese parallel zueinander sind oder nicht:
$$\nexists \lambda : \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) = \lambda \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) \nparallel \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g \nparallel h$$
$g$ und $h$ sind also nicht parallel. Sie können also noch entweder einander schneiden oder windschief sein. Stellen wir nun ein LGS auf, indem wir die beiden Geraden gleichsetzen:
$$\begin{align}
I: \ &&&s&=&2&+&t \\
II: \ &-11&+&2s&=&3&-&3t \\
III: \ &-3&+&s&=&-3&+&2t
\end{align}$$ 
Wir subtrahieren $III$ von $I$: $- \begin{cases} &s &=& 2 + t \\ -3 + &s &=& -3 + 2t \end{cases} \ \rightarrow \ 3 = 5 - t \Rightarrow t = 2$ 
Wir überprüfen dieses Ergebnis für $t$, indem wir $t=2$ in alle 3 Gleichungen einsetzen. Wir sehen dann, dass wir überall dasselbe Ergebnis für $s$ erhalten, nämlich $s=4$. Daraus folgt, dass die Geraden einander '''schneiden'''. Setzen wir nun $t=2$ oder $s=4$ in die entsprechende Geradengleichung, so erhalten wir den Schnittpunkt $S(4/-3/1)$ der beiden Geraden.}}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die beiden Geraden $g: X = \left( \begin{array}{c} 3 \\ -2 \\ 0 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right)$ und $h: X = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$. Überprüfe deren gegenseitige Lage und ggf. ihren Schnittpunkt!|
2=Zuerst überprüfen wir wieder die Richtungsvektoren der beiden Geraden:
$$\nexists \lambda : \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) = \lambda \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) \nparallel \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g \nparallel h$$
Nun stellen wir wieder ein LGS auf:
$$\begin{align}
I: \ &3&+&2s&=&4&-&t \\
II: \ &-2&-&2s&=&3&& \\
III: \ &&&s&=&1&+&t
\end{align}$$ 
Aus der zweiten Gleichung lässt sich direkt berechnen, dass $s=- \frac{5}{2}$. Dies setzen wir nun in die erste und zweite Gleichung ein und erhalten einmal $3 - 5 = 4 - t \ \Rightarrow \ t=6$ und einmal $- \frac{5}{2} = 1 + t \ \Rightarrow \ t=- \frac{7}{2}$. Diese beiden Werte für $t$ sind offensichtlich voneinander unterschiedlich, daraus folgt, dass die beiden Geraden $g$ und $h$ '''windschief''' sind.
}}
 

== Ebenen ==
Eine Ebene ist durch 3 Punkte oder 1 Punkt und 2 (voneinander linear unabhängigen) Vektoren eindeutig festgelegt.
=== Darstellungsformen ===
==== Parameterdarstellung ====
[[Datei:ebene2.png|thumb|right|350px|von Punkt und Vektoren aufgespannte Ebene]]
$$\epsilon : X = P + s \cdot \vec{a} + t \cdot \vec{b}$$
bzw.
$$\epsilon : \begin{cases} x = x_P + s \cdot x_a + t \cdot x_b \\ y = y_P + s \cdot y_a + t \cdot y_b \\ z = z_P + s \cdot z_a + t \cdot z_b \end{cases}$$
wobei
*$X \in \epsilon$ ist ein '''beliebiger''' Punkt auf der unendlichen Ebene
*$P \in \epsilon$ ist ein '''bekannter''' Punkt auf der Ebene
*$s, t \in \mathbb{R}$ sind freie Parameter
*$\vec{a}, \vec{b} \in \mathbb{R^3}$ sind zwei Vektoren, die parallel zur Ebene liegen

 

==== Normalvektorform ====
Man multipliziert die Parameterdarstellung der Ebene mit ihrem Normalvektor $\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$ und erhält
$$\vec{n} \cdot \vec{X} = \vec{n} \cdot \vec{P}$$

 

==== Allgemeine Ebenengleichung ====
$$ax + by + cz = d$$
Diese Form der Darstellung heißt auch Normalform, da man den Normalvektor der Ebene direkt ablesen kann. Um von der Parameterdarstellung auf diese Form zu kommen, gibt es 2 Möglichkeiten:

'''1. Multiplikation mit Normalvektor:'''
Hierzu muss man einfach die Normalform ausmultiplizieren und es ergibt sich: 

$$\epsilon: x_n \cdot x + y_n \cdot y + z_n \cdot z = x_n \cdot x_P + y_n \cdot y_P + z_n \cdot z_P$$
 

'''2. Elimination des Parameters:'''
Hierbei gehen wir von der Ebenengleichung $\epsilon : \begin{cases} x = x_P + s \cdot x_a + t \cdot x_b \\ y = y_P + s \cdot y_a + t \cdot y_b \\ z = z_P + s \cdot z_a + t \cdot z_b \end{cases}$ aus, eliminieren $s$ und $t$, und kommen ebenfalls auf die obige allgemeine Ebenengleichung.

 

Zur Veranschaulichung ein Beispiel zu den verschiedenen Darstellungsformen:
{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die drei Punkte $A(1/1/1), B(-1/-4/2), C(0/3/-1)$. Gib die Ebene, die diese drei Punkte aufspannen, in Parameterform, Normalform und allgemeiner Ebenengleichung an!|
2=Für die Parameterform berechnen wir erst zwei beliebige Vektoren aus den 3 Punkten, z.B. $\vec{AB} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{AC} = \left( \begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right)$. Als Parameterform erhalten wir schließlich:
$$\epsilon: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right)$$ 
Um auf die Normalform zu kommen, bestimmen wir als erstes den Normalvektor der Ebenen: $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-5) \cdot (-2) - 1 \cdot 2 \\ 1 \cdot (-1) - (-2) \cdot (-2) \\ (-2) \cdot 2 - (-5) \cdot (-1) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right)$. 
Nun die Parametergleichung mit dem Normalvektor multiplizieren und wir erhalten auch die Normalform:
$$\epsilon: \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)$$ 
Um nun noch die allg. Ebenenform zu erhalten, multipliziert man am einfachsten die Normalform aus und erhält:
$$\epsilon: 8x - 5y -9z =-6$$ 
Aber auch die Elimination der Parameter soll hier gezeigt werden. Wir gehen aus von: $$\epsilon : \begin{cases} x = 1 - 2s - t \\ y = 1 - 5s + 2t \\ z = 1 + s - 2t\end{cases}$$
Addieren wir die y- und die z-Gleichung, können wir $t$ eliminieren: $+ \begin{cases} y = 1 - 5s + 2t \\ z = 1 + s - 2t \end{cases} \ \Rightarrow \ y + z = 2 - 4s$. 
Wir können $t$ ebenfalls eliminieren, indem wir die y-Gleichung zum 2-fachen der x-Gleichung addieren: $+ \begin{cases} 2x = 2 - 4s - 2t \\ y = 1 - 5s + 2t \end{cases} \ \Rightarrow \ 2x + y = 3 -9s$. 
Nun haben wir zwei Gleichungen, die nur mehr von $s$ abhängig sind. Um diesen Parameter nun auch noch zu eliminieren, multiplizieren wir die erste Gleichung mit $(-9)$ und die zweite mit $4$ und addieren diese, um nochmals auf die allg. Ebenengleichung zu kommen.
$$+ \begin{cases} 8x + 4y = 12 - 36s \\ -9y - 9z = -18 + 36s \end{cases} \ \Rightarrow \ \epsilon: 8x - 5y -9z =-6$$
}}

=== Lagebeziehungen ===
==== ...zwischen zwei Ebenen ====
Zwei Ebenen können im $\mathbb{R^3}$
*ident sein: die Ebenengleichungen (allg. Form) sind Vielfache voneinander; 
z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : 2x + 2y + 2z = 6 \Rightarrow \epsilon _2 = 2 \cdot \epsilon _1$
*parallel sein: die Normalvektoren der Ebenen sind Vielfache voneinander; 
z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : 2x + 2y + 2z = 5 \Rightarrow \vec{n_2} = 2 \cdot \vec{n_1}$
*einander schneiden (in einer Gerade): die Normalvektoren der Ebenen sind keine Vielfache voneinander; 
z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : x - 3y + 2z = 1 \Rightarrow \nexists \lambda \in \mathbb{R} : \vec{n_1} = \lambda \cdot \vec{n_2}$

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:Ebenenident2.png|2 Ebenen sind ident
Datei:Ebenenparallel2.png|2 Ebenen sind parallel
Datei:Ebenenschnittgerade2.png|2 Ebenen schneiden einander in einer Geraden
</gallery>

 
'''Berechnen der Schnittgerade''' 
Erkennt man durch Betrachtung der Normalvektoren zweier Ebenen, dass diese einander schneiden müssen, so kann man diese Schnittgerade berechnen. Dazu erstellt man aus den beiden Ebenengleichungen ein lineares Gleichungssystem in 3 Unbekannten. 2 Gleichungen - 3 Unbekannte: wir werden hier nicht für alle Unbekannten einen Zahlenwert erhalten, können aber 2 Unbekannte in Abhängigkeit der dritten darstellen. Diese dritte Unbekannte wird uns als Parameter für die Darstellung der Geraden dienen. Zur Veranschaulichung ein Beispiel:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die beiden Ebenen $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : x - 3y + 2z = 1$. Wie wir weiter oben schon festgestellt haben, müssen diese Ebenen einander schneiden, da die beiden Noramlvektoren der Ebenen $\vec{n_1}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{n_2}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right)$ linear unabhängig voneinander sind, also $\nexists \lambda \in \mathbb{R} : \vec{n_1} = \lambda \cdot \vec{n_2}$. 
Wir wählen nun eine der Koordinaten als Parameter, z.B. $z=t$ und stellen das Gleichungssystem auf.

|2=
$$\begin{align}
I: \ &x&+&y&+&t&=&3 \\
II: \ &x&-&3y&+&2t&=&1
\end{align}$$

Wir subtrahieren $I-II$ und erhalten
$$4y - t = 2 \ \Rightarrow \ y = \frac{1}{2} + t \cdot \frac{1}{4}$$
Nun setzen wir unser erhaltenes $y$ in die erste Gleichung ein, um $x$ zu erhalten:

$$I: \ x + \frac{1}{2} + t \cdot \frac{1}{4} + t = 3 \ \Rightarrow \ x = \frac{5}{2} - t \cdot \frac{5}{4}$$
Somit haben wir alle Ausdrücke der Koordinaten gefunden ($z=t$ haben wir anfangs festgelegt) und können die Parameterdarstellung der Schnittgerade angeben:
$$g: X = \left( \begin{array}{c} \frac{5}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 0 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} - \frac{5}{4} \\ \frac{1}{4} \\ 1 \end{array} \right)$$
}}

 

==== ...zwischen 3 Ebenen ====
Drei Ebenen können im $\mathbb{R^3}$
*alle ident sein
*2 ident, 1 parallel sein
*alle parallel sein
*3 Schnittgeraden haben
*2 Schnittgeraden haben (2 Ebenen parallel)
*1 Schnittgerade haben
*1 Schnittpunkt haben

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:Ebenenident3.png|3 Ebenen sind ident
Datei:Ebenenidentparallel.png|2 Ebenen sind ident, 1 parallel
Datei:Ebenenparallel3.png|3 Ebenen sind parallel
Datei:Ebenenschnittgeraden33.png|3 Ebenen schneiden einander in 3 Geraden
Datei:Ebenenschnittgeraden32.png|3 Ebenen schneiden einander in 2 Geraden (2 Ebenen parallel)
Datei:Ebenenschnittgerade3.png|3 Ebenen schneiden einander in einer Gerade
Datei:Ebenenschnittgerade31.png|3 Ebenen schneiden einander in einer Gerade (2 Ebenen ident)
Datei:Ebenenschnittpunkt3.png|3 Ebenen schneiden einander in einem Punkt
</gallery>

 

==== ...zwischen Ebene und Gerade ====
Eine Ebene und eine Gerade können im $\mathbb{R^3}$
*$g \subset \epsilon$, die Gerade liegt auf der Ebene 
Hierbei haben die Gerade und die Ebene einen gemeinsamen Punkt und der Richtungsvektor der Gerade steht normal auf den Normalvektor der Ebene, daraus folgt, dass sie unendlich gemeinsame Punkte haben.
*parallel sein 
Irgendein Punkt der Gerade liegt nicht auf der Ebene, der Richtungsvektor der Gerade steht normal auf den Normalvektor der Ebene, daraus folgt, dass sie keinen einzigen gemeinsamen Punkt haben.
*1 Schnittpunkt haben 
Der Richtungsvektor der Geraden steht nicht normal auf den Normalvektor der Ebene.

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:GeradeinEbene.png|Gerade liegt auf der Ebene
Datei:GeradepararallelEbene.png|Gerade und Ebene sind parallel zueinander
Datei:GeradeSchnittpunktEbene.png|Gerade und Ebene schneiden einander (Schnittpunkt)
</gallery>

Zur Überprüfung der Lagebeziehung gibt es allerdings noch eine andere (schnellere) Methode. Hier "schneiden" wir die Gerade und die Ebene mathematisch, d.h. wir setzen sie gleich (wenn beide in Parameterform gegeben sind) oder setzen die Gerade $g$ (Parameterform) in die Ebene $\epsilon$ (allg. Ebenengleichung) ein. 
Wir erhalten dadurch ein Gleichungssystem oder eine einzelne Gleichung. 

Sei die Gerade gegeben als $g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \\ z = z_P + t \cdot z_a \end{cases}$ und die Ebene als $\epsilon : \begin{cases} x = x_Q + s \cdot x_b + u \cdot x_c \\ y = y_Q + s \cdot y_b + u \cdot y_c \\ z = z_Q + s \cdot z_b + u \cdot z_c \end{cases}$ (Parameterform) oder $\epsilon : ax + by + cz = d$ (allg. Ebenengleichung). 

Wir erhalten als Gleichungssystem durch Gleichsetzen der Gleichungen der Parameterformen:
$$\begin{cases} x_P + t \cdot x_a = x_Q + s \cdot x_b + u \cdot x_c \\ y_P + t \cdot y_a = y_Q + s \cdot y_b + u \cdot y_c \\ z_P + t \cdot z_a = z_Q + s \cdot z_b + u \cdot z_c \end{cases}$$ 
Wir erhalten durch Einsetzen der Gerade in die Ebene (allg. Ebenengleichung):
$$a \cdot (x_P + t \cdot x_a) + b \cdot (y_P + t \cdot y_a) + c \cdot (z_P + t \cdot z_a) = d$$ 

Ergibt sich hier eine wahre Aussage (z.B. $1=1$), also unendlich viele Lösungen, so liegt die Gerade in der Ebene. 
Ergibt sich eine falsche Aussage (z.B. $1=2$), also keine Lösung, so schneiden die beiden Objekte einander nicht, also sie sind parallel. 
Gibt es genau eine Lösung (z.B. $t=2$), so existiert genau ein gemeinsamer Punkt = Schnittpunkt. Diesen erhält man, indem man den ermittelten Wert für den Parameter $t$ der Geraden in die Geradengleichung einsetzt (oder, wenn die Ebene in Parameterform gegeben war, die beiden Werte für die Parameter $s$ und $u$ der Ebene in die Ebenengleichung einsetzt). Dazu 2 Beispiele, wobei wir im ersten mit der Ebene in Parameterform rechnen werden:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right)$ und die Ebene $\epsilon : X = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -1 \\ -3 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) + u \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 0 \end{array} \right)$. Stellen wir nun also unser Gleichungssystem auf:
|2=\begin{align}
I: \ & \ 1&-t&=&4& &+2u \\
II: \ &-3& &=&-1&+s&-u \\
III: \ & \ 2&+2t&=&-3&+s&
\end{align}

In der ersten Gleichung drücken wir $u$ in $t$ aus: $u = - \frac{3}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$ 
In der zweiten Gleichung drücken wir $s$ in $u$ aus: $s = -2 + u$ 
Das $u$ von oben setzen wir nun hier ein und erhalten $s$ in Abhängigkeit von $t$: $s = - \frac{7}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$. 

Dieses $s$ setzen wir nun in die dritte Gleichung ein und wir erhalten: $2 + 2t = -3 - \frac{7}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$ und in weiterer Folge $t = - \frac{17}{5}$. 
Es ergibt sich also genau eine Lösung für das Gleichungssystem, was bedeutet, dass die Gerade und die Ebene einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen. Diesen erhalten wir, indem wir den errechneten Wert für $t$ in die Geradengleichung einsetzen (Man könnte natürlich auch noch die Werte für $s$ und $u$ berechnen, und diese in die Ebenengleichung einsetzen; zur Übung kannst du das gerne tun):
$$g: S = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) - \frac{17}{5} \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \frac{23}{5} \\ -3 \\ - \frac{24}{5} \end{array} \right)$$
}} 

Betrachten wir nun dasselbe Beispiel, mit dem Unterschied, dass die Ebene in Normalform gegeben ist und wir auch gleich mit dieser Form rechnen:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right)$ und die Ebene $\epsilon : x + 2y - 2z = 8$. Wir setzen die Koordinatengleichungen der Gerade in die Normalform der Ebene:
|2= $g$ in $\epsilon$: $$1 - t - 6 - 4 -4t =8$$
Wenn wir diese Gleichung lösen, erhalten wir, wie im ersten Bespiel, $t = - \frac{17}{5}$. Dies noch in die Geradengleichung einsetzen, und wir erhalten den Schnittpunkt.}}

Da man bei der zweiten Methode meistens weniger Rechenaufwand hat, zahlt es sich oft aus die Parameterdarstellung der Ebene in die Normalform (= allg. Ebenengleichung) umzurechnen.

==Pyramidenbeispiel==
[[Datei:Pyramidebsp.png|thumb|right|350px|Pyramide]]
Gegeben seien 3 Eckpunkte $A(-2/-2/1), B(2/-2/1), C(2/2/1)$ der quadratischen Grundfläche und der Spitzpunkt $S(0/0/6)$ einer geraden (gerade bedeutet, dass die Spitze in einem rechten Winkel über dem Mittelpunkt der Grundfläche der Pyramide liegt) Pyramide.
Gesucht sind:
#der vierte Eckpunkt $D$ der Grundfläche
#die Parameterdarstellung der Trägergeraden $h$ der Höhe
#die Fläche der Grundfläche
#die Geradengleichung der Geraden $g_{AS}$ auf der $A$ und $S$ liegen in a)Parameterform und b)parameterfreier Form
#Der Winkel $\alpha$ zwischen den Vektoren $\vec{AS}$ und $\vec{AC}$
#Zeige, dass der Schnittpunkt der Geraden $g_{AS}$ und $h$ gleich die Spitze $S$ ist
#Gib die Ebenengleichung $\epsilon$ der Grundfläche in a)Parameterform, b)Normalform und c)allgemeiner Ebenengleichung an
#Berechne den Fußpunkt $M$ der Höhe, indem du $h$ und $\epsilon$ schneidest

1. $D = A + \vec{BC} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -2 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right)$ 
2. $h: X = S + t \cdot \vec{h}$
$$\vec{AB} \times \vec{BC} = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 16 \end{array} \right) \ \parallel \ \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) = \vec{h}$$
$$h: X = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$$ 
3. $G = \parallel \vec{AB} \times \vec{BC} \parallel = \parallel \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 16 \end{array} \right) \parallel = 16FE$ 
4. a) $g_{AS}: X = A + u \cdot \vec{AS}$
$$\vec{AS} = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g_{AS}: X = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + u \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right)$$ oder $$g_{AS}:\begin{cases} x = -2 + 2u \\ y = -2 + 2u \\ z = 1 + 5u \end{cases}$$
b) Parameter elimieren:
$$x - y: x-y = 0$$
$$5x - 2z: 5x - 2z = -12$$
$$\Rightarrow g_{AS}:\begin{cases} x - y = 0 \\ 5x - 2z = -12 \end{cases}$$ 
5. $\measuredangle \vec{AS},\vec{AC} = \alpha = arccos{\frac{\vec{AS} \cdot \vec{AC}}{\parallel \vec{AS} \parallel \cdot \parallel \vec{AC} \parallel}} = arccos{\frac{\left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right)}{\parallel \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) \parallel \cdot \parallel \left( \begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) \parallel}} = arccos{\frac{16}{\sqrt{33 \cdot 32}}} = 60,5°$

= Beispiele =
Hier findest du Beispiele zu den behandelten Themen:

===Grundlagen der Vektorrechnung===
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/9/99/VektorrechnungGLBspAngabe.pdf VektorrechnungGLBspAngabe.pdf]
 
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/0/00/VektorrechnungGLBspL%C3%B6sung.pdf VektorrechnungGLBspLösung.pdf]

===Vektorrechnung im $\mathbb{R^2}$===
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/7/7f/VektorrechnungR2BspAngabe.pdf VektorrechnungR2BspAngabe.pdf]
 
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/f/ff/VektorrechnungR2BspL%C3%B6sung.pdf VektorrechnungR2BspLösung.pdf]

Vektorrechnung

2016-03-10T13:31:58Z

Lajtos: /* Pyramidenbeispiel */

= Grundlagen der Vektorrechnung =

==Koordinatensystem==
[[Datei:Koordinatengitter.png|thumb|right|350px|Koordinatengitter im $\mathbb{R^2}$ mit den 4 Quadranten]]

Für die Vektorrechnung sind Koordinatensysteme essentiell.
Im zweidimensionalen Raum besitzt ein Koordinatensystem 2 Achsen:

* die x-Achse (waagrecht) und
* die y-Achse (senkrecht)

 
Diese sind unendlich lang und Spannen die vier sogenannten Quadranten auf, die meist mit den römischen Ziffern I-IV beschriftet werden (gesprochen: Erster Quadrant, Zweiter Quadrant etc.). Die rechte Graphik zeigt die die Position der Quadranten. Dort, wo die 2 Achsen einander treffen, liegt der sog. Ursprung (kurz: $\vec{0}$); seine Koordinaten sind (0/0).

Was es außerdem noch zu beachten gibt, hast du vielleicht bereits selbst erkannt:
An den gegenüberliegenden Seiten der x- und y-Achsen werden unterschiedliche Vorzeichen verwendet. So spricht man "links" des Ursprungs von der negativen, bzw. "rechts" des Ursprungs von der positiven x-Achse. Analog spricht man "oben" und "unten" von der positiven und negativen y-Achse.

Im dreidimensionalen Raum kommt eine dritte Achse - die z-Achse - dazu. Punkte und Vektoren besitzen dementsprechend dann auch 3 Koordinaten. Dies kann man bis ins n-dimensionale weiterführen.

==Punkte==
In ein Koordinatensystem lassen sich Punkte eintragen. Diese besitzen, entsprechend ihrer Lage, Koordinaten. Im obigen Bild z.B. haben wir die Punkte A und B, wobei sich A im ersten Quadranten befindet und B im vierten. Man schreibt: A(2/3,5) B(1/-2).

[[Datei:PunkteR2.png|thumb|right|250px|Punkte im $\mathbb{R^2}$]]

{{Vorlage:Merke |''Einen'' '''allgemeinen Punkt''' ''schreibt man an als'' $P(x_1/x_2/.../x_n)$ (im n-dimensionalen Raum $\mathbb{R^n}$) ''bzw.'' $P(x/y)$ (im 2-dimensionalen Raum $ \mathbb{R^2}$) ''oder'' $P(x/y/z)$ (im 3-dimensionalen Raum $\mathbb{R^3}$).
 
Die erste Koordinate entspricht der x-Koordinate, die zweite der y-Koordinate, die eventuelle dritte der z-Koordinate.

Punkte werden in der Regel mit Großbuchstaben bezeichnet.}}

Koordinaten von Punkten lassen sich also ganz einfach ablesen. Die x/y-Koordinate entspricht dabei dem Abstand vom Ursprung zum Punkt in Richtung der jeweiligen Koordinatenachse. So erkennen wir im Bild rechts die folgenden Punkte:

* A(2/0)
* B(0/-2)
* C(-1/2)

==Vektoren==
Vektoren kann man sich wie '' eine Menge von Pfeilen'' vorstellen. Sie besitzen eine '''Länge''' (Betrag) und eine '''Richtung'''. Auch sie bestehen, wie Punkte, je nach Dimension aus 2 bzw. 3 Koordinaten. Der Unterschied dabei ist, dass die Koordinaten hier keine Position im Koordinatensystem darstellen, sondern eine Bewegung. Auch die Schreibweise unterscheidet sich:

{{Vorlage:Merke |1=''Einen'' '''allgemeinen Vektor''' ''schreibt man an als'' $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ (im $\mathbb{R^n}$) ''bzw.'' $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ (im $\mathbb{R^2}$) oder $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right)$ (im $\mathbb{R^3}$).

Vektoren werden in der Regeln mit Kleinbuchstaben mit Pfeil darüber bezeichnet.}}

===Ortsvektoren===
[[Datei:Ortsvektor.png|thumb|right|300px|Punkt und zugehöriger Ortsvektor]]
Der Ortsvektor von einem Punkt ist der Vektor, der vom Ursprung aus auf den Punkt zeigt. Die Koordinaten bleiben deshalb gleich, es ändert sich quasi nur die Schreibweise:

Sei $A(x_1/x_2/.../x_n)$ ein Punkt in der Dimension $n$, dann ist $\vec{0A} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ dessen Ortsvektor.

 

 

 
 

=== Addition und Subtraktion von Vektoren ===
{{Vorlage:Merke|1=Wenn du Vektoren addieren oder subtrahieren möchtest, musst du dazu einfach die entsprechenden Koordinaten betrachten: 
$\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) \pm \left( \begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ ... \\ y_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x_1 \pm y_1 \\ x_2 \pm y_2 \\ ... \\ x_n \pm y_n \end{array} \right)$ 
Wichtig ist dabei, dass die Vektoren, die du addieren oder subtrahieren möchtest, derselben Dimension $n$ angehören! D.h. sie haben gleich viele Koordinaten.}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben seien die beiden Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right)$. Berechne erst $\vec{a} + \vec{b}$, dann $\vec{a} - \vec{b}$ und zuletzt $\vec{b} - \vec{a}$!
|2= $$\vec{a} + \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 5+1 \\ 2+(-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 6 \\ -1 \end{array} \right)$$
$$\vec{a} - \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 5-1 \\ 2-(-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 5 \end{array} \right)$$
$$\vec{b} - \vec{a} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 1-5 \\ -3-2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -4 \\ -5 \end{array} \right)$$}}

===Vektoren bestimmen: Spitze-minus-Schaft===
[[Datei:Spitzeschaft.png|thumb|right|300px|"Spitze minus Schaft"]]
Zwischen 2 Punkten kann man nun einen Vektor definieren. Dabei gilt: Die '''"Spitze minus Schaft"'''-Regel Im Bild rechts wollen wir den Vektor berechnen, der von A nach B geht, also den Vektor $\vec{AB}$. Der Punkt B(3/3,5) entspricht hierbei der Spitze, und der Punkt A(1/0,5) dem Schaft. Da das Rechnen mit Punkten allerdings keinen Sinn ergibt, rechnet man stattdessen mit deren Ortsvektoren (siehe oben).

Für unser Beispiel bedeutet das folgendes: $\vec{0B} - \vec{0A} = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 3,5 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0,5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 3-1 \\ 3,5-3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right) = \vec{AB}$

Beachte außerdem:

* Man schreibt der Einfachheit halber oft nur $B-A$, wenn damit eigentlich $\vec{0B} - \vec{0A}$ gemeint ist.
* $\vec{AB} = -\vec{BA}$

 

===Produkt eines Vektors mit einem Skalar===
Wenn man einen Vektor $\vec{v}$ mit einer [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)|reellen Zahl]] $k$ , einem sogenannten "Skalar", multipliziert, werden dabei die einzelnen Koordinaten mit dem Skalar multipliziert:

$k \cdot \vec{v} = k \cdot \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} k \cdot x_1 \\ k \cdot x_2 \\ ... \\ k \cdot x_n \end{array} \right)$
 

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sei der Vektor $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right)$. Multipliziere diesen einmal mit $2$ und einmal mit $-5$!
|2=$$2 \cdot \vec{a} = 2 \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \cdot 2 \\ 2 \cdot (-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -6 \end{array} \right)$$
$$(-5) \cdot \vec{a} = (-5) \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-5) \cdot 2 \\ (-5) \cdot (-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -10 \\ 15 \end{array} \right)$$}}

{{#widget:Iframe
|url= http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_vektorrechnung/MV_Vektor1/MV_Vektor1/sites/Vektortest.html
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[http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_vektorrechnung/MV_Vektor1/MV_Vektor1/ (Quelle dieses Applets)]

===Wie Vektoren zueinander stehen===
Vektoren können unterschiedliche Richtungen haben, aber auch parallel zueinander oder gar identisch sein. Optisch lässt sich das oft sehr leicht erkennen, rechnerisch sind diese Feststellungen allerdings ebenfalls überprüfbar.

{{Vorlage:Definition |Unter einem Vektor versteht man die Menge aller gleichlangen, gleichgerichteten und gleichorientierten Pfeile.

Der Start/Endpunkt spielen dabei keine Rolle!}}

{{Vorlage:Merke|2 Vektoren stehen parallel zueinander, wenn ein Vektor als Vielfaches des anderen Vektors angeschrieben werden kann. 
Man sagt auch: Die Vektoren sind [[linear abhängig]] (linear abhängig zu sein bedeutet, dass ein Vektor als Vielfaches eines anderen Vektors dargestellt werden kann).}}

Sehen wir uns die verschiedenen Fälle an:

{| class="wikitable"
|-
| ident: gleiche Richtung, gleiche Orientierung, gleiche Länge || [[Datei:Vektorv1.png|none|250px]] || $\vec{v} = \vec{u} \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$ || z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$
|-
| parallel (gleiche Orientierung): gleiche Richtung, gleiche Orientierung || [[Datei:Vektorenlänge.png|none|250px]] || $\exists k>0 : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$ || z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \end{array} \right)$, $k=2$
|-
| parallel (unterschiedliche Orientierung): gleiche Richtung || [[Datei:Vektororientierung1.png|none|250px]] || $\exists k<0 : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$ || z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} -1 \\ -1 \end{array} \right)$, $k=-1$ 
aber auch: $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \end{array} \right)$, $k=-2$
|-
| linear unabhängig || [[Datei:Vektorrichtung1.png|none|250px]] || $\nexists k : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \nparallel \vec{u}$ || z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)$
|}

{{Vorlage:Beispiel|1=für linear unabhängige Vektoren:

Sei $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 5 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$.

Wenn es ein k gibt, sodass $k \cdot \vec{a} = \vec{b}$, dann sind die beiden Vektoren voneinander linear abhängig, und somit auch parallel zueinander.

Wir lösen dieses Problem mit Hilfe von 2 Gleichungen in einer Unbekannten:

|2=$I: 2k = 4 \ \ \rightarrow k=2$
$II: 5k = 3 \ \ \rightarrow k=\frac{3}{5}$

Aus der ersten Gleichung ergibt sich k=2, in der zweiten aber $k=\frac{3}{5}$. $k$ kann aber nicht beides sein, somit haben wir eine falsche Aussage erhalten. Daraus folgt, dass die beiden Vektoren '''linear unabhängig''' und somit nicht parallel zueinander sind.}}
 

===Betrag und Einheitsvektor===

[[Datei:PythagorasVektor.png|thumb|right|350px|Betrag eines Vektors; Einheitsvektor]]Wie anfangs bereits erwähnt, besitzen Vektoren eine Länge, auch '''Betrag''' eines Vektors genannt. Dieser wird mit Hilfe des pythagoräischen Lehrsatzes wie folgt berechnet:

<div align="center">$\parallel \vec{v} \parallel = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2} \ $ wenn $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ ein Vektor der Dimension $n$ ist.</div>
Sehen wir uns die Grafik rechts an, können wir mit dieser Formel die Länge des zweidimensionalen Vektors $\parallel \vec{v} \parallel$ berechnen:

<div align="center">$\parallel \vec{v} \parallel = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$</div>
 Der '''Einheitsvektor''' $\vec{a_0}$ eines Vektors $\vec{a}$ ist ein zu $\vec{a}$ paralleler Vektor mit Länge 1. Rechnerisch erhält man $\vec{a_0}$, indem man $\vec{a}$ durch seine Länge dividiert.
$$ \vec{a_0}=\frac{\vec{a}}{\parallel \vec{a}\parallel}$$
bzw.
$$ \vec{a_0}=\frac{1}{\parallel\vec{a}\parallel}\cdot \vec{a}$$

Daraus ergibt sich ein Vektor, der dieselbe Richtung des ursprünglichen Vektors hat, allerdings die Länge 1 besitzt.

{{Vorlage:Merke|1=
Sei $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ ein Vektor der Dimension $n$ und $\parallel \vec{v} \parallel$ sein Betrag, dann ist $\vec{v_0} = \frac{1}{\parallel \vec{v} \parallel} \cdot \vec{v} \ $ der Einheitsvektor zu $\vec{v}$.
}}

In unserem Beispiel würde das folgendes bedeuten:

{{Vorlage:Beispiel|1= Bestimmen Sie den Einheitsvektor von $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$
|2=

<div align="center"> $\vec{v_0} = \frac{1}{\sqrt{13} } \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \frac{2}{\sqrt{13} } \\ \frac{3}{\sqrt{13} } \end{array} \right)$ </div>
}}

===Vektoren bestimmter Länge===
Da wir nun gelernt haben, Einheitsvektoren zu bilden und Vektoren mit Zahlen zu multiplizieren (und ich das hier so schön betone), könnt ihr euch vielleicht schon vorstellen, wie man aus einem beliebigen Vektor einen Vektor derselben Richtung, allerdings unterschiedlicher Länge bekommt. Wir haben also einen Vektor $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ mit der Länge $\parallel \vec{v} \parallel = k$ gegeben, und hätten gerne den Vektor $\vec{w} \ \parallel \ \vec{v}$ mit der Länge $l$. Dazu berechnen wir zuerst den Einheitsvektor $\vec{v_0}$ von $\vec{v}$ und multiplizieren diesen dann mit $l$. So erhalten wir schließlich $\vec{w} = l \cdot \vec{v_0}$.

==Mittelpunkt einer Strecke==
[[Datei:Mittelpunkt.png|thumb|300px|Mittelpunkt M der Strecke AB]]
Willst du den Mittelpunkt zwischen 2 Punkten $A$ und $B$ berechnen, musst du wie folgt vorgehen:
Zuerst berechnest du einen Vektor zwischen den Punkten ($\vec{AB}$ oder $\vec{BA}$). Dann halbierst du diesen Vektor, und erhältst $\vec{AM}$ bzw. $\vec{BM}$. Addierst du dann diesen Vektor zum entsprechenden Punkt ($A$ bzw. $B$), erhältst so den Mittelpunkt. Also:
 

<big><div align="center">$\vec{0M} = \vec{0A} + \frac{\vec{AB}}{2} = \vec{0B} + \frac{\vec{BA}}{2}$</div></big>

= Im $\mathbb{R^2}$ =
Dieser Artikel befasst sich mit der Vektorrechnung im zweidimensionalen Raum. Grundlegende Informationen zur Vektorrechnung, so wie Punkte und Vektoren, findest du unter dem Tab ''Grundlagen der Vektorrechnung''.

==Vektoren==

===Normalvektoren===
[[Datei:Normalvektoren.png|thumb|350px|Normalvektoren]]
Normalvektoren zu einem Vektor sind alle Vektoren, die normal (90°) auf den Vektor stehen. Im $\mathbb{R^2}$ gibt es zu jedem Vektor genau 2 Normalvektoren, die dieselbe Länge wie der ursprüngliche Vektor haben. Alle anderen Normalvektoren sind Vielfache eines dieser 2 Normalvektoren.

{{Vorlage:Merke | 1=Sei $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ ein Vektor, dann ist $\vec{n_1}=\left( \begin{array}{c} -y \\ x \end{array} \right)$ sein nach links gekippter, und $\vec{n_2}=\left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right)$ sein nach rechts gekippter Normalvektor.}}

 

===Skalarprodukt===
Unter dem Skalarprodukt versteht man die Multiplikation zweier Vektoren, bei der als Ergebnis ein Skalar (eine Zahl) entsteht.

{{Vorlage:Merke|1=Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren, dann ist $\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \end{array} \right) = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b$ gleich ihr Skalarprodukt.}}

 

===Winkel zwischen zwei Vektoren===
[[Datei:Winkel.png|thumb|350px|Winkel zwischen 2 Vektoren]]
<big>$$cos{\varphi} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel} = \vec{a_0} \cdot \vec{b_0}$$
bzw.
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = \parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel \cdot cos{\varphi}$$</big>

Heißt es, den Winkel zwischen 2 Vektoren/Geraden zu bestimmen, ist damit immer der kleinere Winkel gemeint. Solltest du einmal ein Ergebnis erhalten, das größer als 180° ist (nennen wir dieses Ergebnis $\varphi'$), dann ziehe dieses Ergebnis von 360° ab und du erhältst den kleineren Winkel ($\varphi = 360° - \varphi'$). 
Bei einem Winkel von $\varphi = 90°$ erhalten wir $cos{\varphi} = 0$, was bedeutet, dass auch $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$. Daraus ergibt sich das Orthogonalitätskriterium.

 

====Orthogonalitätskriterium====
{{Vorlage:Merke|1=Ergibt das Skalarprodukt zweier Vektoren $0$, so stehen diese zwei Vektoren normal zueinander (und umgekehrt!)
$$\vec{a} \cdot \vec{b} \ = \ 0 \ \Leftrightarrow \ \vec{a} \bot \vec{b}$$}}

Das ist nicht überraschend, denn multipliziert man einen Vektor $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ mit seinem Normalvektor $\vec{n}=\left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right)$ erhalten wir:
$$\vec{v} \cdot \vec{n} = \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right) = xy - yx = 0$$

 

==Geraden==
===Darstellungsformen===
Geraden lassen sich in unterschiedlichen Formen darstellen. In der Vektorrechnung ist die Parameterdarstellung populär, da man dazu nur einen Punkt und Vektor kennen muss. Die Normalform allerdings hat den Vorteil, dass man den Normalvektor zur Geraden auf einen Blick ablesen kann. Je nachdem, was man mit der Gerade vorhat, können die verschiedenen Formen ineinander umgewandelt werden.

====Parameterdarstellung====
[[Datei:Parameterdarstellung.png|thumb|350px|Parameterdarstellung einer Geraden]]
$$g: \vec{0X} = \vec{0P} + t \cdot \vec{a}$$ 
wobei
*$X \in g$ ist ein '''beliebiger''' Punkt auf der unendlichen Geraden (steht für alle Punkte auf der Geraden)
*$P \in g$ ist ein '''bekannter''' Punkt auf der Geraden
*$t \in \mathbb{R}$ ist ein freier Parameter (in der Graphik rechts $\lambda$)
*$\vec{a} \in \mathbb{R^2}$ ist ein Vektor parallel zur Geraden, der die Richtung dieser angibt ("Richtungsvektor")
 
Beachte, dass in der Parameterdarstellung keine Punkte, sondern Ortsvektoren verwendet werden! (Info zu Ortsvektoren findest du unter ''Grundlagen der Vektorrechnung''.) 
Wenn man das weiß, kann man der Einfachheit halber die Gerade auch folgendermaßen beschreiben: $g: X = P + t \cdot \vec{a}$

 
Eine andere Schreibweise ist, die Koordinaten einzeln zu betrachten und 2 Gleichungen aufzustellen:
$$g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \end{cases}$$

 

====Normalvektorform====
Hierzu benötigt man einen Normalvektor des Richtungsvektors und multipliziert dann die Geradengleichung mit diesem Normalvektor. Da $\vec{a} \cdot \vec{n} = 0$, bleibt über:

Sei $g: \vec{0X} = \vec{0P} + t \cdot \vec{a}$ eine Gerade in Parameterform, so ist 

<div align="center">$g: \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x_P \\ y_P \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right)$</div> 

dieselbe Gerade in Normalform, wobei $\vec{0X}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right), \ \vec{0P}=\left( \begin{array}{c} x_P \\ y_P \end{array} \right), \ \vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right)$ und $\vec{n}=\left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right)$ ein Normalvektor von $\vec{a}$ (hier kann man natürlich auch den anderen Normalvektor verwenden).

 

====Allgemeine Geradengleichung====
Diese Form der Darstellung heißt auch Normalform, da man den Normalvektor der Gerade direkt ablesen kann.Um von der Parameterdarstellung auf diese Form zu kommen, gibt es 2 Möglichkeiten:

'''1. Multiplikation mit Normalvektor:'''
Hierzu muss man einfach die Normalform ausmultiplizieren und es ergibt sich: 

$$g: y_a \cdot x + -x_a \cdot y = y_a \cdot x_P + -x_a \cdot y_P$$
 

'''2. Elimination des Parameters:'''
Hierbei gehen wir von der Geradenform $g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \end{cases}$ aus, eliminieren $t$, und kommen ebenfalls auf die obige allgemeine Geradengleichung.
Auf der rechten Seite der Gleichung stehen nur bekannte Größen, auf der linken Seiten stehen Vielfache von x und y. Diese Gleichung kann man weiter auch auf die Form y=kx+d umformen.

 

===Lagebeziehungen zwischen Geraden===
Mehrere Geraden können im $\mathbb{R^2}$

*ident sein, d.h. sie haben unendlich viele gemeinsame Punkte
*parallel sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt
*einander schneiden, d.h. sie haben genau ein gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt)
 
Sind uns 2 Geraden in '''Parameterdarstellung''' gegeben, betrachten wir zuerst ihre Richtungsvektoren. 
Sind diese parallel zueinander, so sind auch die Geraden parallel zueinander. Nun bleibt noch die Frage offen, ob die Geraden ident sind. Dazu überprüfen wir einfach, ob der gegebene Punkt der einen Geraden auch auf der anderen Geraden liegt. Dazu Setzen wir den bekannten Punkt der einen Geraden für den unbekannten Punkt der anderen Geraden ein und erhalten 2 Gleichungen in einer Unbekannten (Parameter der zweiten Gerade). Erhalten wir nun für den Parameter zweimal dasselbe Ergebnis, so sind die 2 Geraden ident, erhalten wir unterschiedliche Ergebnisse, so sind sie nur parallel. 
Sind die Richtungsvektoren nicht parallel zueinander, so sind es auch die 2 Geraden nicht, und wir können uns sicher sein, dass diese einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen.
Doch wie erhalten wir den Schnittpunkt? Ganz einfach, indem wir die 2 Geraden schneiden. Dazu müssen wir sie gleichsetzen, und dann das dadurch erhaltene Gleichungssystem in 2 Unbekannten (die 2 Parameter) lösen. Wenn wir den Wert eines Parameters ausgerechnet haben, setzen wir ihn einfach in die entsprechende Geradengleichung ein und erhalten so den Schnittpunkt!

 

Sind die 2 Geraden in der '''allgemeinen Geradenform''' gegeben, so haben wir bereits 2 Gleichungen gegeben, die wir nach x und y auflösen. Dieses x und y sind die Koordinaten des Schnittpunktes.

 

Um das Schneiden von Geraden besser zu verstehen, schau dir das Lösen von [[ Gleichungssysteme (2.7.) |Gleichungssystemen]] genauer an, wirf einen Blick auf die Beispiele zum $\mathbb{R^2}$ unter dem Tab 'Beispiele', oder sieh dir dieses Video an:

<div align="center">{{#ev:youtube|ZrFE3LRisn0}}</div>

 

===Normalabstand Punkt - Gerade===
[[Datei:Normalabstand.gif|right]]
Gegeben sei ein Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und eine Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$. Um den Normalabstand $d(Q,g)$ zwischen Q und g zu berechnen, gehe wie folgt vor:
{{Vorlage:Merke|1=1. Bestimme die Gerade $q: X = Q + s \cdot \vec{n}$, die durch $Q$ geht und den Normalvektor $\vec{n}$ von $\vec{a}$ als Richtungsvektor besitzt.
2. Schneide $g$ und $q$ und die erhältst ihren Schnittpunkt $S$. 
3. Berechne $\parallel \vec{QS} \parallel$.}}
In der Graphik rechts hätten wir z.B. die Angabe $g: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right) + \lambda \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array} \right)$ und $Q(3/4)$. Du kannst das zur Übung durchrechnen.

 

====Hesse'sche Abstandsformel====
Mithilfe dieser Formel kann man ebenfalls den Abstand $d(Q,g)$ zwischen Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$ bestimmen. 
<big>$d(Q,g) = | \vec{PQ} \cdot \vec{n_0} | $</big>, wobei $\vec{n_0}$ der normierte (Länge 1) Normalvektor des Richtungsvektors $\vec{a}$ der Geraden $g$ ist.

 

====Spiegelung eines Punktes an einer Geraden====
[[Datei:Spiegeln.png|thumb|250px|Gespiegelter Punkt Q']]
Gegeben sei ein Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und eine Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$. Es gilt den Punkt $Q$ an der Gerade $g$ zu spiegeln, und so den Punkt $Q'$ zu erhalten. Dazu befolgst du die Vorgehensweise von "Normalabstand Punkt - Gerade" bis du den Vektor $\vec{QS}$ erhältst, und trägst diesen vom Punkt $S$ ab, also: 
$Q' = S + \vec{QS}$

= Im $\mathbb{R^3}$ =

== Vektoren ==

=== Kreuzprodukt ===
Im $\mathbb{R^3}$ gibt es neben dem Skalarprodukt, bei dem wir als Ergebnis ein Skalar erhalten, eine weitere Möglichkeit, zwei Vektoren mit einander zu multiplizieren: das sog. Kreuz- oder Vektorprodukt, bei dem wir als Ergebnis einen Vektor erhalten.
{{Vorlage:Merke|1=Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren des $\mathbb{R^3}$, dann ist ihr Kreuzprodukt
$$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} y_a \cdot z_b - z_a \cdot y_b \\ z_a \cdot x_b - x_a \cdot z_b \\ x_a \cdot y_b - y_a \cdot x_b \end{array} \right)$$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ -3 \end{array} \right)$, gesucht ist ihr Kreuzprodukt.
|2=$$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \cdot (-3) - 3 \cdot 4 \\ 3 \cdot 5 - 1 \cdot (-3) \\ 1 \cdot 4 - 2 \cdot 5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-6) - 12 \\ 15 - (-3) \\ 4 - 10 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -18 \\ 18 \\ -6 \end{array} \right)$$}}

Wozu wir das Kreuzprodukt überhaupt benötigen, sehen wir an den nächsten 2 Punkten.

 

==== Normalvektoren ====
Im $\mathbb{R^3}$ gibt es zu einem Vektor unendlich viele Normalvektoren. Auf eine Ebene allerdings gibt es genau 2 Normalvektoren (wie im $\mathbb{R^2}$ auf eine Gerade). Eine Ebene wird von 2 Vektoren aufgespannt, deren Kreuzprodukt ergibt einen Normalvektor $\vec{n_1}$ auf die Ebene bzw. die zwei Vektoren; der zweite Normalvektor hat die entgegengesetzte Orientierung ($\vec{n_2} = -\vec{n_1}$). Also:
$$\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$$

 

==== Fläche eines von zwei Vektoren aufgespannten Parallelogramms oder Dreiecks ====
[[Datei:FlächeNormalvektor.png|thumb|right|ohne|250px|2 Vektoren spannen ein Dreieck bzw. Parallelogramm auf]]
 
{{Vorlage:Merke|1=Die Länge $\parallel \vec{n} \parallel = \parallel \vec{a} \times \vec{b} \parallel$ des Normalvektors $\vec{n}$ zu den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ entspricht der Maßzahl des Flächeninhaltes des Parallelogramms, das $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aufspannen (im Bild die gesamte grüne Fläche).
Die Hälfte dieser Fläche entspricht der Fläche des aufgespannten Dreiecks.}}

 

=== Skalarprodukt, Orthogonalitätskriterium, Winkel zwischen zwei Vektoren ===
Diese drei Dinge "funktionieren" im $\mathbb{R^3}$ wie im $\mathbb{R^2}$. Also hier nur eine kurze Wiederholung:
 

'''Skalarprodukt''' 
Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\z_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren, dann ist $$\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right) = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b + z_a \cdot z_b$$ gleich ihr Skalarprodukt.
 

'''Orthogonalitätskriterium''' 
Ergibt das Skalarprodukt zweier Vektoren $0$, so stehen diese zwei Vektoren normal zueinander (und umgekehrt!)
$$\vec{a} \cdot \vec{b} \ = \ 0 \ \Leftrightarrow \ \vec{a} \bot \vec{b}$$
Auch das gibt es im $\mathbb{R^3}$. Bedenke aber, dass es hier, anders als im $\mathbb{R^2}$, unendlich viele Normalvektoren auf einen Vektor gibt.
 

'''Winkel zwischen zwei Vektoren'''
$$cos{\varphi} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel} = \vec{a_0} \cdot \vec{b_0}$$

 

== Geraden ==
=== Darstellungsformen ===
==== Parameterdarstellung ====
Die Parameterdarstellung im $\mathbb{R^3}$ sieht genauso aus wie im $\mathbb{R^2}$, einziger Unterschied ist, dass unsere Punkte und Vektoren hier jeweils 3 Koordinaten haben.
$$g: X = P + t \cdot \vec{a}$$ bzw. $$g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \\ z = z_P + t \cdot z_a \end{cases}$$
Mehr Infos zu den einzelnen Komponenten findest du im Tab 'Im $\mathbb{R^2}$'.

 

==== Parameterfreie Darstellungsform ====
Diese besteht aus 2 Gleichungen und wir erhalten sie durch Eliminierung des Parameters.

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sei die Parameterform der Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ -4 \\ 1 \end{array} \right)$. Zuerst schreiben wir das in die 3 Koordinatengleichungen um:
$$g : \begin{cases} x = 2 + 3t \\ y = 0 - 4t \\ z = 1 + t \end{cases}$$

|2=Wir multiplizieren die erste Gleichung mit $4$ und die zweite Gleichung mit $3$ und addieren die beiden: $$+ \begin{cases} 4x = 8 + 12t \\ 3y = 0 - 12t \end{cases}$$ und erhalten so die Gleichung $4x + 3y = 8$.
Wir multiplizieren die dritte Gleichung mit $3$ und subtrahieren diese von der ersten Gleichung: $$- \begin{cases} x = 2 + 3t \\ 3z = 3 + 3t \end{cases}$$ und erhalten so die Gleichung $x - 3z = -1$.

Die parameterfreie Darstellung unserer Gerade lautet somit $$g : \begin{cases} 4x + 3y = 8 \\ x - 3z = -1 \end{cases}$$.}}

Die zwei Gleichungen in der parameterfreien Darstellung sind übrigens Ebenengleichungen. Die eigentliche Gerade ist der Schnitt dieser zwei Ebenen!

 

=== Lagebeziehungen zwischen Geraden ===
Mehrere Geraden können im $\mathbb{R^3}$

*ident sein, d.h. sie haben unendlich viele gemeinsame Punkte
*parallel sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt
*einander schneiden, d.h. sie haben genau ein gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt)
*windschief sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt und sind nicht parallel
 

Um herauszufinden, wie 2 gegebene Geraden in Parameterform zueinander stehen, gehst du am besten wie folgt vor:

'''Betrachtung der Richtungsvektoren:''' Auch im $\mathbb{R^3}$ gilt, sind die Richtungsvektoren zweier Geraden parallel zueinander (d.h. man kann einen Vektor als Vielfaches des anderen Vektors darstellen), so sind es auch die Geraden.
 

'''Fall 1: Die Vektoren sind parallel:''' Sollte sich herausstellen, dass die zwei Geraden parallel zueinander sind, überprüfst du als nächstes, ob sie einen gemeinsamen Punkt haben; am einfachsten funktioniert das, indem du den bekannten Punkt ($P$) der einen Geraden in die zweite Gerade (für den unbekannten Punkt $X$) einsetzt. Wir erhalten drei Gleichungen in einer Unbekannten (Parameter der zweiten Gerade). 
'''Fall 1a:''' Erhalten wir nun für den Parameter dreimal dasselbe Ergebnis, so sind die 2 Geraden '''ident''' (und parallel), da der überprüfte Punkt, und somit unendlich weitere, auf beiden Geraden liegen. 
'''Fall 1b:''' Erhalten wir unterschiedliche Ergebnisse, so sind sie nur '''parallel''', da der überprüfte Punkt nicht, und somit auch kein anderer, auf beiden Geraden liegen.
 

'''Fall 2: Die Vektoren sind nicht parallel:''' Nun gibt es nur noch zwei Möglichkeiten: Entweder die zwei Geraden haben einen gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt), oder sie sind windschief. 
Um das wiederum herauszufinden, setzt du die beiden Geraden gleich, d.h. du stellst ein lineares Gleichungssystem (LGS) mit drei Gleichungen und in drei Unbekannten auf, und versuchst, dieses zu lösen. 
'''Fall 2a:''' Solltest du nun eine Lösung erhalten, d.h. du erhältst den Wert für den Parameter einer der zwei Geraden (und hast diesen Wert überprüft), so weißt du, dass die zwei Geraden einander '''schneiden'''. Den Schnittpunkt erhältst du jetzt, indem du den erhaltenen Wert für den Parameter in die entsprechende Geradengleichung einsetzt. 
'''Fall 2b:''' Sollte dein LGS keine Lösung ergeben (also sich eine falsche Aussage oder ein Widerspruch ergeben, z.B. $2=13$, oder $t=4$ und $t=-1$), dann weißt du, dass deine beiden Geraden keinen Schnittpunkt haben und somit '''windschief''' sind.
 

Zum besseren Verständnis siehst du dir am besten das folgende Video und die beiden folgenden Beispiele an.

<div align="center">{{#ev:youtube|u0QoYlEE094}}</div>

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die beiden Geraden $g: X = \left( \begin{array}{c} 0 \\ -11 \\ -3 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right)$ und $h: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ -3 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right)$. Überprüfe deren gegenseitige Lage und gegebenenfalls ihren Schnittpunkt!|
2=Zuerst überprüfen wir die Richtungsvektoren der beiden Geraden, um festzustellen, ob diese parallel zueinander sind oder nicht:
$$\nexists \lambda : \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) = \lambda \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) \nparallel \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g \nparallel h$$
$g$ und $h$ sind also nicht parallel. Sie können also noch entweder einander schneiden oder windschief sein. Stellen wir nun ein LGS auf, indem wir die beiden Geraden gleichsetzen:
$$\begin{align}
I: \ &&&s&=&2&+&t \\
II: \ &-11&+&2s&=&3&-&3t \\
III: \ &-3&+&s&=&-3&+&2t
\end{align}$$ 
Wir subtrahieren $III$ von $I$: $- \begin{cases} &s &=& 2 + t \\ -3 + &s &=& -3 + 2t \end{cases} \ \rightarrow \ 3 = 5 - t \Rightarrow t = 2$ 
Wir überprüfen dieses Ergebnis für $t$, indem wir $t=2$ in alle 3 Gleichungen einsetzen. Wir sehen dann, dass wir überall dasselbe Ergebnis für $s$ erhalten, nämlich $s=4$. Daraus folgt, dass die Geraden einander '''schneiden'''. Setzen wir nun $t=2$ oder $s=4$ in die entsprechende Geradengleichung, so erhalten wir den Schnittpunkt $S(4/-3/1)$ der beiden Geraden.}}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die beiden Geraden $g: X = \left( \begin{array}{c} 3 \\ -2 \\ 0 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right)$ und $h: X = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$. Überprüfe deren gegenseitige Lage und ggf. ihren Schnittpunkt!|
2=Zuerst überprüfen wir wieder die Richtungsvektoren der beiden Geraden:
$$\nexists \lambda : \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) = \lambda \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) \nparallel \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g \nparallel h$$
Nun stellen wir wieder ein LGS auf:
$$\begin{align}
I: \ &3&+&2s&=&4&-&t \\
II: \ &-2&-&2s&=&3&& \\
III: \ &&&s&=&1&+&t
\end{align}$$ 
Aus der zweiten Gleichung lässt sich direkt berechnen, dass $s=- \frac{5}{2}$. Dies setzen wir nun in die erste und zweite Gleichung ein und erhalten einmal $3 - 5 = 4 - t \ \Rightarrow \ t=6$ und einmal $- \frac{5}{2} = 1 + t \ \Rightarrow \ t=- \frac{7}{2}$. Diese beiden Werte für $t$ sind offensichtlich voneinander unterschiedlich, daraus folgt, dass die beiden Geraden $g$ und $h$ '''windschief''' sind.
}}
 

== Ebenen ==
Eine Ebene ist durch 3 Punkte oder 1 Punkt und 2 (voneinander linear unabhängigen) Vektoren eindeutig festgelegt.
=== Darstellungsformen ===
==== Parameterdarstellung ====
[[Datei:ebene2.png|thumb|right|350px|von Punkt und Vektoren aufgespannte Ebene]]
$$\epsilon : X = P + s \cdot \vec{a} + t \cdot \vec{b}$$
bzw.
$$\epsilon : \begin{cases} x = x_P + s \cdot x_a + t \cdot x_b \\ y = y_P + s \cdot y_a + t \cdot y_b \\ z = z_P + s \cdot z_a + t \cdot z_b \end{cases}$$
wobei
*$X \in \epsilon$ ist ein '''beliebiger''' Punkt auf der unendlichen Ebene
*$P \in \epsilon$ ist ein '''bekannter''' Punkt auf der Ebene
*$s, t \in \mathbb{R}$ sind freie Parameter
*$\vec{a}, \vec{b} \in \mathbb{R^3}$ sind zwei Vektoren, die parallel zur Ebene liegen

 

==== Normalvektorform ====
Man multipliziert die Parameterdarstellung der Ebene mit ihrem Normalvektor $\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$ und erhält
$$\vec{n} \cdot \vec{X} = \vec{n} \cdot \vec{P}$$

 

==== Allgemeine Ebenengleichung ====
$$ax + by + cz = d$$
Diese Form der Darstellung heißt auch Normalform, da man den Normalvektor der Ebene direkt ablesen kann. Um von der Parameterdarstellung auf diese Form zu kommen, gibt es 2 Möglichkeiten:

'''1. Multiplikation mit Normalvektor:'''
Hierzu muss man einfach die Normalform ausmultiplizieren und es ergibt sich: 

$$\epsilon: x_n \cdot x + y_n \cdot y + z_n \cdot z = x_n \cdot x_P + y_n \cdot y_P + z_n \cdot z_P$$
 

'''2. Elimination des Parameters:'''
Hierbei gehen wir von der Ebenengleichung $\epsilon : \begin{cases} x = x_P + s \cdot x_a + t \cdot x_b \\ y = y_P + s \cdot y_a + t \cdot y_b \\ z = z_P + s \cdot z_a + t \cdot z_b \end{cases}$ aus, eliminieren $s$ und $t$, und kommen ebenfalls auf die obige allgemeine Ebenengleichung.

 

Zur Veranschaulichung ein Beispiel zu den verschiedenen Darstellungsformen:
{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die drei Punkte $A(1/1/1), B(-1/-4/2), C(0/3/-1)$. Gib die Ebene, die diese drei Punkte aufspannen, in Parameterform, Normalform und allgemeiner Ebenengleichung an!|
2=Für die Parameterform berechnen wir erst zwei beliebige Vektoren aus den 3 Punkten, z.B. $\vec{AB} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{AC} = \left( \begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right)$. Als Parameterform erhalten wir schließlich:
$$\epsilon: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right)$$ 
Um auf die Normalform zu kommen, bestimmen wir als erstes den Normalvektor der Ebenen: $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-5) \cdot (-2) - 1 \cdot 2 \\ 1 \cdot (-1) - (-2) \cdot (-2) \\ (-2) \cdot 2 - (-5) \cdot (-1) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right)$. 
Nun die Parametergleichung mit dem Normalvektor multiplizieren und wir erhalten auch die Normalform:
$$\epsilon: \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)$$ 
Um nun noch die allg. Ebenenform zu erhalten, multipliziert man am einfachsten die Normalform aus und erhält:
$$\epsilon: 8x - 5y -9z =-6$$ 
Aber auch die Elimination der Parameter soll hier gezeigt werden. Wir gehen aus von: $$\epsilon : \begin{cases} x = 1 - 2s - t \\ y = 1 - 5s + 2t \\ z = 1 + s - 2t\end{cases}$$
Addieren wir die y- und die z-Gleichung, können wir $t$ eliminieren: $+ \begin{cases} y = 1 - 5s + 2t \\ z = 1 + s - 2t \end{cases} \ \Rightarrow \ y + z = 2 - 4s$. 
Wir können $t$ ebenfalls eliminieren, indem wir die y-Gleichung zum 2-fachen der x-Gleichung addieren: $+ \begin{cases} 2x = 2 - 4s - 2t \\ y = 1 - 5s + 2t \end{cases} \ \Rightarrow \ 2x + y = 3 -9s$. 
Nun haben wir zwei Gleichungen, die nur mehr von $s$ abhängig sind. Um diesen Parameter nun auch noch zu eliminieren, multiplizieren wir die erste Gleichung mit $(-9)$ und die zweite mit $4$ und addieren diese, um nochmals auf die allg. Ebenengleichung zu kommen.
$$+ \begin{cases} 8x + 4y = 12 - 36s \\ -9y - 9z = -18 + 36s \end{cases} \ \Rightarrow \ \epsilon: 8x - 5y -9z =-6$$
}}

=== Lagebeziehungen ===
==== ...zwischen zwei Ebenen ====
Zwei Ebenen können im $\mathbb{R^3}$
*ident sein: die Ebenengleichungen (allg. Form) sind Vielfache voneinander; 
z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : 2x + 2y + 2z = 6 \Rightarrow \epsilon _2 = 2 \cdot \epsilon _1$
*parallel sein: die Normalvektoren der Ebenen sind Vielfache voneinander; 
z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : 2x + 2y + 2z = 5 \Rightarrow \vec{n_2} = 2 \cdot \vec{n_1}$
*einander schneiden (in einer Gerade): die Normalvektoren der Ebenen sind keine Vielfache voneinander; 
z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : x - 3y + 2z = 1 \Rightarrow \nexists \lambda \in \mathbb{R} : \vec{n_1} = \lambda \cdot \vec{n_2}$

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:Ebenenident2.png|2 Ebenen sind ident
Datei:Ebenenparallel2.png|2 Ebenen sind parallel
Datei:Ebenenschnittgerade2.png|2 Ebenen schneiden einander in einer Geraden
</gallery>

 
'''Berechnen der Schnittgerade''' 
Erkennt man durch Betrachtung der Normalvektoren zweier Ebenen, dass diese einander schneiden müssen, so kann man diese Schnittgerade berechnen. Dazu erstellt man aus den beiden Ebenengleichungen ein lineares Gleichungssystem in 3 Unbekannten. 2 Gleichungen - 3 Unbekannte: wir werden hier nicht für alle Unbekannten einen Zahlenwert erhalten, können aber 2 Unbekannte in Abhängigkeit der dritten darstellen. Diese dritte Unbekannte wird uns als Parameter für die Darstellung der Geraden dienen. Zur Veranschaulichung ein Beispiel:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die beiden Ebenen $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : x - 3y + 2z = 1$. Wie wir weiter oben schon festgestellt haben, müssen diese Ebenen einander schneiden, da die beiden Noramlvektoren der Ebenen $\vec{n_1}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{n_2}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right)$ linear unabhängig voneinander sind, also $\nexists \lambda \in \mathbb{R} : \vec{n_1} = \lambda \cdot \vec{n_2}$. 
Wir wählen nun eine der Koordinaten als Parameter, z.B. $z=t$ und stellen das Gleichungssystem auf.

|2=
$$\begin{align}
I: \ &x&+&y&+&t&=&3 \\
II: \ &x&-&3y&+&2t&=&1
\end{align}$$

Wir subtrahieren $I-II$ und erhalten
$$4y - t = 2 \ \Rightarrow \ y = \frac{1}{2} + t \cdot \frac{1}{4}$$
Nun setzen wir unser erhaltenes $y$ in die erste Gleichung ein, um $x$ zu erhalten:

$$I: \ x + \frac{1}{2} + t \cdot \frac{1}{4} + t = 3 \ \Rightarrow \ x = \frac{5}{2} - t \cdot \frac{5}{4}$$
Somit haben wir alle Ausdrücke der Koordinaten gefunden ($z=t$ haben wir anfangs festgelegt) und können die Parameterdarstellung der Schnittgerade angeben:
$$g: X = \left( \begin{array}{c} \frac{5}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 0 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} - \frac{5}{4} \\ \frac{1}{4} \\ 1 \end{array} \right)$$
}}

 

==== ...zwischen 3 Ebenen ====
Drei Ebenen können im $\mathbb{R^3}$
*alle ident sein
*2 ident, 1 parallel sein
*alle parallel sein
*3 Schnittgeraden haben
*2 Schnittgeraden haben (2 Ebenen parallel)
*1 Schnittgerade haben
*1 Schnittpunkt haben

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:Ebenenident3.png|3 Ebenen sind ident
Datei:Ebenenidentparallel.png|2 Ebenen sind ident, 1 parallel
Datei:Ebenenparallel3.png|3 Ebenen sind parallel
Datei:Ebenenschnittgeraden33.png|3 Ebenen schneiden einander in 3 Geraden
Datei:Ebenenschnittgeraden32.png|3 Ebenen schneiden einander in 2 Geraden (2 Ebenen parallel)
Datei:Ebenenschnittgerade3.png|3 Ebenen schneiden einander in einer Gerade
Datei:Ebenenschnittgerade31.png|3 Ebenen schneiden einander in einer Gerade (2 Ebenen ident)
Datei:Ebenenschnittpunkt3.png|3 Ebenen schneiden einander in einem Punkt
</gallery>

 

==== ...zwischen Ebene und Gerade ====
Eine Ebene und eine Gerade können im $\mathbb{R^3}$
*$g \subset \epsilon$, die Gerade liegt auf der Ebene 
Hierbei haben die Gerade und die Ebene einen gemeinsamen Punkt und der Richtungsvektor der Gerade steht normal auf den Normalvektor der Ebene, daraus folgt, dass sie unendlich gemeinsame Punkte haben.
*parallel sein 
Irgendein Punkt der Gerade liegt nicht auf der Ebene, der Richtungsvektor der Gerade steht normal auf den Normalvektor der Ebene, daraus folgt, dass sie keinen einzigen gemeinsamen Punkt haben.
*1 Schnittpunkt haben 
Der Richtungsvektor der Geraden steht nicht normal auf den Normalvektor der Ebene.

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:GeradeinEbene.png|Gerade liegt auf der Ebene
Datei:GeradepararallelEbene.png|Gerade und Ebene sind parallel zueinander
Datei:GeradeSchnittpunktEbene.png|Gerade und Ebene schneiden einander (Schnittpunkt)
</gallery>

Zur Überprüfung der Lagebeziehung gibt es allerdings noch eine andere (schnellere) Methode. Hier "schneiden" wir die Gerade und die Ebene mathematisch, d.h. wir setzen sie gleich (wenn beide in Parameterform gegeben sind) oder setzen die Gerade $g$ (Parameterform) in die Ebene $\epsilon$ (allg. Ebenengleichung) ein. 
Wir erhalten dadurch ein Gleichungssystem oder eine einzelne Gleichung. 

Sei die Gerade gegeben als $g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \\ z = z_P + t \cdot z_a \end{cases}$ und die Ebene als $\epsilon : \begin{cases} x = x_Q + s \cdot x_b + u \cdot x_c \\ y = y_Q + s \cdot y_b + u \cdot y_c \\ z = z_Q + s \cdot z_b + u \cdot z_c \end{cases}$ (Parameterform) oder $\epsilon : ax + by + cz = d$ (allg. Ebenengleichung). 

Wir erhalten als Gleichungssystem durch Gleichsetzen der Gleichungen der Parameterformen:
$$\begin{cases} x_P + t \cdot x_a = x_Q + s \cdot x_b + u \cdot x_c \\ y_P + t \cdot y_a = y_Q + s \cdot y_b + u \cdot y_c \\ z_P + t \cdot z_a = z_Q + s \cdot z_b + u \cdot z_c \end{cases}$$ 
Wir erhalten durch Einsetzen der Gerade in die Ebene (allg. Ebenengleichung):
$$a \cdot (x_P + t \cdot x_a) + b \cdot (y_P + t \cdot y_a) + c \cdot (z_P + t \cdot z_a) = d$$ 

Ergibt sich hier eine wahre Aussage (z.B. $1=1$), also unendlich viele Lösungen, so liegt die Gerade in der Ebene. 
Ergibt sich eine falsche Aussage (z.B. $1=2$), also keine Lösung, so schneiden die beiden Objekte einander nicht, also sie sind parallel. 
Gibt es genau eine Lösung (z.B. $t=2$), so existiert genau ein gemeinsamer Punkt = Schnittpunkt. Diesen erhält man, indem man den ermittelten Wert für den Parameter $t$ der Geraden in die Geradengleichung einsetzt (oder, wenn die Ebene in Parameterform gegeben war, die beiden Werte für die Parameter $s$ und $u$ der Ebene in die Ebenengleichung einsetzt). Dazu 2 Beispiele, wobei wir im ersten mit der Ebene in Parameterform rechnen werden:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right)$ und die Ebene $\epsilon : X = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -1 \\ -3 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) + u \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 0 \end{array} \right)$. Stellen wir nun also unser Gleichungssystem auf:
|2=\begin{align}
I: \ & \ 1&-t&=&4& &+2u \\
II: \ &-3& &=&-1&+s&-u \\
III: \ & \ 2&+2t&=&-3&+s&
\end{align}

In der ersten Gleichung drücken wir $u$ in $t$ aus: $u = - \frac{3}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$ 
In der zweiten Gleichung drücken wir $s$ in $u$ aus: $s = -2 + u$ 
Das $u$ von oben setzen wir nun hier ein und erhalten $s$ in Abhängigkeit von $t$: $s = - \frac{7}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$. 

Dieses $s$ setzen wir nun in die dritte Gleichung ein und wir erhalten: $2 + 2t = -3 - \frac{7}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$ und in weiterer Folge $t = - \frac{17}{5}$. 
Es ergibt sich also genau eine Lösung für das Gleichungssystem, was bedeutet, dass die Gerade und die Ebene einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen. Diesen erhalten wir, indem wir den errechneten Wert für $t$ in die Geradengleichung einsetzen (Man könnte natürlich auch noch die Werte für $s$ und $u$ berechnen, und diese in die Ebenengleichung einsetzen; zur Übung kannst du das gerne tun):
$$g: S = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) - \frac{17}{5} \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \frac{23}{5} \\ -3 \\ - \frac{24}{5} \end{array} \right)$$
}} 

Betrachten wir nun dasselbe Beispiel, mit dem Unterschied, dass die Ebene in Normalform gegeben ist und wir auch gleich mit dieser Form rechnen:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right)$ und die Ebene $\epsilon : x + 2y - 2z = 8$. Wir setzen die Koordinatengleichungen der Gerade in die Normalform der Ebene:
|2= $g$ in $\epsilon$: $$1 - t - 6 - 4 -4t =8$$
Wenn wir diese Gleichung lösen, erhalten wir, wie im ersten Bespiel, $t = - \frac{17}{5}$. Dies noch in die Geradengleichung einsetzen, und wir erhalten den Schnittpunkt.}}

Da man bei der zweiten Methode meistens weniger Rechenaufwand hat, zahlt es sich oft aus die Parameterdarstellung der Ebene in die Normalform (= allg. Ebenengleichung) umzurechnen.

==Pyramidenbeispiel==
[[Datei:Pyramidebsp.png|thumb|right|350px|Pyramide]]
Gegeben seien 3 Eckpunkte $A(-2/-2/1), B(2/-2/1), C(2/2/1)$ der quadratischen Grundfläche und der Spitzpunkt $S(0/0/6)$ einer geraden (gerade bedeutet, dass die Spitze in einem rechten Winkel über dem Mittelpunkt der Grundfläche der Pyramide liegt) Pyramide.
Gesucht sind:
#der vierte Eckpunkt $D$ der Grundfläche
#die Parameterdarstellung der Trägergeraden $h$ der Höhe
#die Fläche der Grundfläche
#die Geradengleichung der Geraden $g_{AS}$ auf der $A$ und $S$ liegen in a)Parameterform und b)parameterfreier Form
#Der Winkel $\alpha$ zwischen den Vektoren $\vec{AS}$ und $\vec{AC}$
#Zeige, dass der Schnittpunkt der Geraden $g_{AS}$ und $h$ gleich die Spitze $S$ ist
#Gib die Ebenengleichung $\epsilon$ der Grundfläche in a)Parameterform, b)Normalform und c)allgemeiner Ebenengleichung an
#Berechne den Fußpunkt $M$ der Höhe, indem du $h$ und $\epsilon$ schneidest

1. $D = A + \vec{BC} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -2 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right)$ 
2. $h: X = S + t \cdot \vec{h}$
$$\vec{AB} \times \vec{BC} = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 16 \end{array} \right) \ \parallel \ \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) = \vec{h}$$
$$h: X = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$$ 
3. $G = \parallel \vec{AB} \times \vec{BC} \parallel = \parallel \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 16 \end{array} \right) \parallel = 16FE$ 
4. a)$g_{AS}: X = A + u \cdot \vec{AS}$
$$\vec{AS} = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g_{AS}: X = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + u \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right)$$ oder $$g_{AS}:\begin{cases} x = -2 + 2u \\ y = -2 + 2u \\ z = 1 + 5u \end{cases}$$
b) Parameter elimieren:
$$x - y: x-y = 0$$
$$5x - 2z: 5x - 2z = -12$$
$$\Rightarrow g_{AS}:\begin{cases} x - y = 0 \\ 5x - 2z = -12 \end{cases}$$ 
5. $\measuredangle \vec{AS},\vec{AC} = \alpha = arccos{\frac{\vec{AS} \cdot \vec{AC}}{\parallel \vec{AS} \parallel \cdot \parallel \vec{AC} \parallel}} = arccos{\frac{\left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right)}{\parallel \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) \parallel \cdot \parallel \left( \begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) \parallel}}$

= Beispiele =
Hier findest du Beispiele zu den behandelten Themen:

===Grundlagen der Vektorrechnung===
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/9/99/VektorrechnungGLBspAngabe.pdf VektorrechnungGLBspAngabe.pdf]
 
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/0/00/VektorrechnungGLBspL%C3%B6sung.pdf VektorrechnungGLBspLösung.pdf]

===Vektorrechnung im $\mathbb{R^2}$===
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/7/7f/VektorrechnungR2BspAngabe.pdf VektorrechnungR2BspAngabe.pdf]
 
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/f/ff/VektorrechnungR2BspL%C3%B6sung.pdf VektorrechnungR2BspLösung.pdf]

Vektorrechnung

2016-03-10T09:02:42Z

Lajtos: /* Pyramidenbeispiel */

= Grundlagen der Vektorrechnung =

==Koordinatensystem==
[[Datei:Koordinatengitter.png|thumb|right|350px|Koordinatengitter im $\mathbb{R^2}$ mit den 4 Quadranten]]

Für die Vektorrechnung sind Koordinatensysteme essentiell.
Im zweidimensionalen Raum besitzt ein Koordinatensystem 2 Achsen:

* die x-Achse (waagrecht) und
* die y-Achse (senkrecht)

 
Diese sind unendlich lang und Spannen die vier sogenannten Quadranten auf, die meist mit den römischen Ziffern I-IV beschriftet werden (gesprochen: Erster Quadrant, Zweiter Quadrant etc.). Die rechte Graphik zeigt die die Position der Quadranten. Dort, wo die 2 Achsen einander treffen, liegt der sog. Ursprung (kurz: $\vec{0}$); seine Koordinaten sind (0/0).

Was es außerdem noch zu beachten gibt, hast du vielleicht bereits selbst erkannt:
An den gegenüberliegenden Seiten der x- und y-Achsen werden unterschiedliche Vorzeichen verwendet. So spricht man "links" des Ursprungs von der negativen, bzw. "rechts" des Ursprungs von der positiven x-Achse. Analog spricht man "oben" und "unten" von der positiven und negativen y-Achse.

Im dreidimensionalen Raum kommt eine dritte Achse - die z-Achse - dazu. Punkte und Vektoren besitzen dementsprechend dann auch 3 Koordinaten. Dies kann man bis ins n-dimensionale weiterführen.

==Punkte==
In ein Koordinatensystem lassen sich Punkte eintragen. Diese besitzen, entsprechend ihrer Lage, Koordinaten. Im obigen Bild z.B. haben wir die Punkte A und B, wobei sich A im ersten Quadranten befindet und B im vierten. Man schreibt: A(2/3,5) B(1/-2).

[[Datei:PunkteR2.png|thumb|right|250px|Punkte im $\mathbb{R^2}$]]

{{Vorlage:Merke |''Einen'' '''allgemeinen Punkt''' ''schreibt man an als'' $P(x_1/x_2/.../x_n)$ (im n-dimensionalen Raum $\mathbb{R^n}$) ''bzw.'' $P(x/y)$ (im 2-dimensionalen Raum $ \mathbb{R^2}$) ''oder'' $P(x/y/z)$ (im 3-dimensionalen Raum $\mathbb{R^3}$).
 
Die erste Koordinate entspricht der x-Koordinate, die zweite der y-Koordinate, die eventuelle dritte der z-Koordinate.

Punkte werden in der Regel mit Großbuchstaben bezeichnet.}}

Koordinaten von Punkten lassen sich also ganz einfach ablesen. Die x/y-Koordinate entspricht dabei dem Abstand vom Ursprung zum Punkt in Richtung der jeweiligen Koordinatenachse. So erkennen wir im Bild rechts die folgenden Punkte:

* A(2/0)
* B(0/-2)
* C(-1/2)

==Vektoren==
Vektoren kann man sich wie '' eine Menge von Pfeilen'' vorstellen. Sie besitzen eine '''Länge''' (Betrag) und eine '''Richtung'''. Auch sie bestehen, wie Punkte, je nach Dimension aus 2 bzw. 3 Koordinaten. Der Unterschied dabei ist, dass die Koordinaten hier keine Position im Koordinatensystem darstellen, sondern eine Bewegung. Auch die Schreibweise unterscheidet sich:

{{Vorlage:Merke |1=''Einen'' '''allgemeinen Vektor''' ''schreibt man an als'' $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ (im $\mathbb{R^n}$) ''bzw.'' $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ (im $\mathbb{R^2}$) oder $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right)$ (im $\mathbb{R^3}$).

Vektoren werden in der Regeln mit Kleinbuchstaben mit Pfeil darüber bezeichnet.}}

===Ortsvektoren===
[[Datei:Ortsvektor.png|thumb|right|300px|Punkt und zugehöriger Ortsvektor]]
Der Ortsvektor von einem Punkt ist der Vektor, der vom Ursprung aus auf den Punkt zeigt. Die Koordinaten bleiben deshalb gleich, es ändert sich quasi nur die Schreibweise:

Sei $A(x_1/x_2/.../x_n)$ ein Punkt in der Dimension $n$, dann ist $\vec{0A} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ dessen Ortsvektor.

 

 

 
 

=== Addition und Subtraktion von Vektoren ===
{{Vorlage:Merke|1=Wenn du Vektoren addieren oder subtrahieren möchtest, musst du dazu einfach die entsprechenden Koordinaten betrachten: 
$\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) \pm \left( \begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ ... \\ y_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x_1 \pm y_1 \\ x_2 \pm y_2 \\ ... \\ x_n \pm y_n \end{array} \right)$ 
Wichtig ist dabei, dass die Vektoren, die du addieren oder subtrahieren möchtest, derselben Dimension $n$ angehören! D.h. sie haben gleich viele Koordinaten.}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben seien die beiden Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right)$. Berechne erst $\vec{a} + \vec{b}$, dann $\vec{a} - \vec{b}$ und zuletzt $\vec{b} - \vec{a}$!
|2= $$\vec{a} + \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 5+1 \\ 2+(-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 6 \\ -1 \end{array} \right)$$
$$\vec{a} - \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 5-1 \\ 2-(-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 5 \end{array} \right)$$
$$\vec{b} - \vec{a} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 1-5 \\ -3-2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -4 \\ -5 \end{array} \right)$$}}

===Vektoren bestimmen: Spitze-minus-Schaft===
[[Datei:Spitzeschaft.png|thumb|right|300px|"Spitze minus Schaft"]]
Zwischen 2 Punkten kann man nun einen Vektor definieren. Dabei gilt: Die '''"Spitze minus Schaft"'''-Regel Im Bild rechts wollen wir den Vektor berechnen, der von A nach B geht, also den Vektor $\vec{AB}$. Der Punkt B(3/3,5) entspricht hierbei der Spitze, und der Punkt A(1/0,5) dem Schaft. Da das Rechnen mit Punkten allerdings keinen Sinn ergibt, rechnet man stattdessen mit deren Ortsvektoren (siehe oben).

Für unser Beispiel bedeutet das folgendes: $\vec{0B} - \vec{0A} = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 3,5 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0,5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 3-1 \\ 3,5-3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right) = \vec{AB}$

Beachte außerdem:

* Man schreibt der Einfachheit halber oft nur $B-A$, wenn damit eigentlich $\vec{0B} - \vec{0A}$ gemeint ist.
* $\vec{AB} = -\vec{BA}$

 

===Produkt eines Vektors mit einem Skalar===
Wenn man einen Vektor $\vec{v}$ mit einer [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)|reellen Zahl]] $k$ , einem sogenannten "Skalar", multipliziert, werden dabei die einzelnen Koordinaten mit dem Skalar multipliziert:

$k \cdot \vec{v} = k \cdot \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} k \cdot x_1 \\ k \cdot x_2 \\ ... \\ k \cdot x_n \end{array} \right)$
 

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sei der Vektor $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right)$. Multipliziere diesen einmal mit $2$ und einmal mit $-5$!
|2=$$2 \cdot \vec{a} = 2 \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \cdot 2 \\ 2 \cdot (-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -6 \end{array} \right)$$
$$(-5) \cdot \vec{a} = (-5) \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-5) \cdot 2 \\ (-5) \cdot (-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -10 \\ 15 \end{array} \right)$$}}

{{#widget:Iframe
|url= http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_vektorrechnung/MV_Vektor1/MV_Vektor1/sites/Vektortest.html
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|height= 600
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}}
[http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_vektorrechnung/MV_Vektor1/MV_Vektor1/ (Quelle dieses Applets)]

===Wie Vektoren zueinander stehen===
Vektoren können unterschiedliche Richtungen haben, aber auch parallel zueinander oder gar identisch sein. Optisch lässt sich das oft sehr leicht erkennen, rechnerisch sind diese Feststellungen allerdings ebenfalls überprüfbar.

{{Vorlage:Definition |Unter einem Vektor versteht man die Menge aller gleichlangen, gleichgerichteten und gleichorientierten Pfeile.

Der Start/Endpunkt spielen dabei keine Rolle!}}

{{Vorlage:Merke|2 Vektoren stehen parallel zueinander, wenn ein Vektor als Vielfaches des anderen Vektors angeschrieben werden kann. 
Man sagt auch: Die Vektoren sind [[linear abhängig]] (linear abhängig zu sein bedeutet, dass ein Vektor als Vielfaches eines anderen Vektors dargestellt werden kann).}}

Sehen wir uns die verschiedenen Fälle an:

{| class="wikitable"
|-
| ident: gleiche Richtung, gleiche Orientierung, gleiche Länge || [[Datei:Vektorv1.png|none|250px]] || $\vec{v} = \vec{u} \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$ || z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$
|-
| parallel (gleiche Orientierung): gleiche Richtung, gleiche Orientierung || [[Datei:Vektorenlänge.png|none|250px]] || $\exists k>0 : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$ || z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \end{array} \right)$, $k=2$
|-
| parallel (unterschiedliche Orientierung): gleiche Richtung || [[Datei:Vektororientierung1.png|none|250px]] || $\exists k<0 : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$ || z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} -1 \\ -1 \end{array} \right)$, $k=-1$ 
aber auch: $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \end{array} \right)$, $k=-2$
|-
| linear unabhängig || [[Datei:Vektorrichtung1.png|none|250px]] || $\nexists k : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \nparallel \vec{u}$ || z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)$
|}

{{Vorlage:Beispiel|1=für linear unabhängige Vektoren:

Sei $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 5 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$.

Wenn es ein k gibt, sodass $k \cdot \vec{a} = \vec{b}$, dann sind die beiden Vektoren voneinander linear abhängig, und somit auch parallel zueinander.

Wir lösen dieses Problem mit Hilfe von 2 Gleichungen in einer Unbekannten:

|2=$I: 2k = 4 \ \ \rightarrow k=2$
$II: 5k = 3 \ \ \rightarrow k=\frac{3}{5}$

Aus der ersten Gleichung ergibt sich k=2, in der zweiten aber $k=\frac{3}{5}$. $k$ kann aber nicht beides sein, somit haben wir eine falsche Aussage erhalten. Daraus folgt, dass die beiden Vektoren '''linear unabhängig''' und somit nicht parallel zueinander sind.}}
 

===Betrag und Einheitsvektor===

[[Datei:PythagorasVektor.png|thumb|right|350px|Betrag eines Vektors; Einheitsvektor]]Wie anfangs bereits erwähnt, besitzen Vektoren eine Länge, auch '''Betrag''' eines Vektors genannt. Dieser wird mit Hilfe des pythagoräischen Lehrsatzes wie folgt berechnet:

<div align="center">$\parallel \vec{v} \parallel = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2} \ $ wenn $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ ein Vektor der Dimension $n$ ist.</div>
Sehen wir uns die Grafik rechts an, können wir mit dieser Formel die Länge des zweidimensionalen Vektors $\parallel \vec{v} \parallel$ berechnen:

<div align="center">$\parallel \vec{v} \parallel = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$</div>
 Der '''Einheitsvektor''' $\vec{a_0}$ eines Vektors $\vec{a}$ ist ein zu $\vec{a}$ paralleler Vektor mit Länge 1. Rechnerisch erhält man $\vec{a_0}$, indem man $\vec{a}$ durch seine Länge dividiert.
$$ \vec{a_0}=\frac{\vec{a}}{\parallel \vec{a}\parallel}$$
bzw.
$$ \vec{a_0}=\frac{1}{\parallel\vec{a}\parallel}\cdot \vec{a}$$

Daraus ergibt sich ein Vektor, der dieselbe Richtung des ursprünglichen Vektors hat, allerdings die Länge 1 besitzt.

{{Vorlage:Merke|1=
Sei $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ ein Vektor der Dimension $n$ und $\parallel \vec{v} \parallel$ sein Betrag, dann ist $\vec{v_0} = \frac{1}{\parallel \vec{v} \parallel} \cdot \vec{v} \ $ der Einheitsvektor zu $\vec{v}$.
}}

In unserem Beispiel würde das folgendes bedeuten:

{{Vorlage:Beispiel|1= Bestimmen Sie den Einheitsvektor von $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$
|2=

<div align="center"> $\vec{v_0} = \frac{1}{\sqrt{13} } \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \frac{2}{\sqrt{13} } \\ \frac{3}{\sqrt{13} } \end{array} \right)$ </div>
}}

===Vektoren bestimmter Länge===
Da wir nun gelernt haben, Einheitsvektoren zu bilden und Vektoren mit Zahlen zu multiplizieren (und ich das hier so schön betone), könnt ihr euch vielleicht schon vorstellen, wie man aus einem beliebigen Vektor einen Vektor derselben Richtung, allerdings unterschiedlicher Länge bekommt. Wir haben also einen Vektor $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ mit der Länge $\parallel \vec{v} \parallel = k$ gegeben, und hätten gerne den Vektor $\vec{w} \ \parallel \ \vec{v}$ mit der Länge $l$. Dazu berechnen wir zuerst den Einheitsvektor $\vec{v_0}$ von $\vec{v}$ und multiplizieren diesen dann mit $l$. So erhalten wir schließlich $\vec{w} = l \cdot \vec{v_0}$.

==Mittelpunkt einer Strecke==
[[Datei:Mittelpunkt.png|thumb|300px|Mittelpunkt M der Strecke AB]]
Willst du den Mittelpunkt zwischen 2 Punkten $A$ und $B$ berechnen, musst du wie folgt vorgehen:
Zuerst berechnest du einen Vektor zwischen den Punkten ($\vec{AB}$ oder $\vec{BA}$). Dann halbierst du diesen Vektor, und erhältst $\vec{AM}$ bzw. $\vec{BM}$. Addierst du dann diesen Vektor zum entsprechenden Punkt ($A$ bzw. $B$), erhältst so den Mittelpunkt. Also:
 

<big><div align="center">$\vec{0M} = \vec{0A} + \frac{\vec{AB}}{2} = \vec{0B} + \frac{\vec{BA}}{2}$</div></big>

= Im $\mathbb{R^2}$ =
Dieser Artikel befasst sich mit der Vektorrechnung im zweidimensionalen Raum. Grundlegende Informationen zur Vektorrechnung, so wie Punkte und Vektoren, findest du unter dem Tab ''Grundlagen der Vektorrechnung''.

==Vektoren==

===Normalvektoren===
[[Datei:Normalvektoren.png|thumb|350px|Normalvektoren]]
Normalvektoren zu einem Vektor sind alle Vektoren, die normal (90°) auf den Vektor stehen. Im $\mathbb{R^2}$ gibt es zu jedem Vektor genau 2 Normalvektoren, die dieselbe Länge wie der ursprüngliche Vektor haben. Alle anderen Normalvektoren sind Vielfache eines dieser 2 Normalvektoren.

{{Vorlage:Merke | 1=Sei $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ ein Vektor, dann ist $\vec{n_1}=\left( \begin{array}{c} -y \\ x \end{array} \right)$ sein nach links gekippter, und $\vec{n_2}=\left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right)$ sein nach rechts gekippter Normalvektor.}}

 

===Skalarprodukt===
Unter dem Skalarprodukt versteht man die Multiplikation zweier Vektoren, bei der als Ergebnis ein Skalar (eine Zahl) entsteht.

{{Vorlage:Merke|1=Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren, dann ist $\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \end{array} \right) = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b$ gleich ihr Skalarprodukt.}}

 

===Winkel zwischen zwei Vektoren===
[[Datei:Winkel.png|thumb|350px|Winkel zwischen 2 Vektoren]]
<big>$$cos{\varphi} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel} = \vec{a_0} \cdot \vec{b_0}$$
bzw.
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = \parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel \cdot cos{\varphi}$$</big>

Heißt es, den Winkel zwischen 2 Vektoren/Geraden zu bestimmen, ist damit immer der kleinere Winkel gemeint. Solltest du einmal ein Ergebnis erhalten, das größer als 180° ist (nennen wir dieses Ergebnis $\varphi'$), dann ziehe dieses Ergebnis von 360° ab und du erhältst den kleineren Winkel ($\varphi = 360° - \varphi'$). 
Bei einem Winkel von $\varphi = 90°$ erhalten wir $cos{\varphi} = 0$, was bedeutet, dass auch $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$. Daraus ergibt sich das Orthogonalitätskriterium.

 

====Orthogonalitätskriterium====
{{Vorlage:Merke|1=Ergibt das Skalarprodukt zweier Vektoren $0$, so stehen diese zwei Vektoren normal zueinander (und umgekehrt!)
$$\vec{a} \cdot \vec{b} \ = \ 0 \ \Leftrightarrow \ \vec{a} \bot \vec{b}$$}}

Das ist nicht überraschend, denn multipliziert man einen Vektor $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ mit seinem Normalvektor $\vec{n}=\left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right)$ erhalten wir:
$$\vec{v} \cdot \vec{n} = \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right) = xy - yx = 0$$

 

==Geraden==
===Darstellungsformen===
Geraden lassen sich in unterschiedlichen Formen darstellen. In der Vektorrechnung ist die Parameterdarstellung populär, da man dazu nur einen Punkt und Vektor kennen muss. Die Normalform allerdings hat den Vorteil, dass man den Normalvektor zur Geraden auf einen Blick ablesen kann. Je nachdem, was man mit der Gerade vorhat, können die verschiedenen Formen ineinander umgewandelt werden.

====Parameterdarstellung====
[[Datei:Parameterdarstellung.png|thumb|350px|Parameterdarstellung einer Geraden]]
$$g: \vec{0X} = \vec{0P} + t \cdot \vec{a}$$ 
wobei
*$X \in g$ ist ein '''beliebiger''' Punkt auf der unendlichen Geraden (steht für alle Punkte auf der Geraden)
*$P \in g$ ist ein '''bekannter''' Punkt auf der Geraden
*$t \in \mathbb{R}$ ist ein freier Parameter (in der Graphik rechts $\lambda$)
*$\vec{a} \in \mathbb{R^2}$ ist ein Vektor parallel zur Geraden, der die Richtung dieser angibt ("Richtungsvektor")
 
Beachte, dass in der Parameterdarstellung keine Punkte, sondern Ortsvektoren verwendet werden! (Info zu Ortsvektoren findest du unter ''Grundlagen der Vektorrechnung''.) 
Wenn man das weiß, kann man der Einfachheit halber die Gerade auch folgendermaßen beschreiben: $g: X = P + t \cdot \vec{a}$

 
Eine andere Schreibweise ist, die Koordinaten einzeln zu betrachten und 2 Gleichungen aufzustellen:
$$g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \end{cases}$$

 

====Normalvektorform====
Hierzu benötigt man einen Normalvektor des Richtungsvektors und multipliziert dann die Geradengleichung mit diesem Normalvektor. Da $\vec{a} \cdot \vec{n} = 0$, bleibt über:

Sei $g: \vec{0X} = \vec{0P} + t \cdot \vec{a}$ eine Gerade in Parameterform, so ist 

<div align="center">$g: \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x_P \\ y_P \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right)$</div> 

dieselbe Gerade in Normalform, wobei $\vec{0X}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right), \ \vec{0P}=\left( \begin{array}{c} x_P \\ y_P \end{array} \right), \ \vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right)$ und $\vec{n}=\left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right)$ ein Normalvektor von $\vec{a}$ (hier kann man natürlich auch den anderen Normalvektor verwenden).

 

====Allgemeine Geradengleichung====
Diese Form der Darstellung heißt auch Normalform, da man den Normalvektor der Gerade direkt ablesen kann.Um von der Parameterdarstellung auf diese Form zu kommen, gibt es 2 Möglichkeiten:

'''1. Multiplikation mit Normalvektor:'''
Hierzu muss man einfach die Normalform ausmultiplizieren und es ergibt sich: 

$$g: y_a \cdot x + -x_a \cdot y = y_a \cdot x_P + -x_a \cdot y_P$$
 

'''2. Elimination des Parameters:'''
Hierbei gehen wir von der Geradenform $g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \end{cases}$ aus, eliminieren $t$, und kommen ebenfalls auf die obige allgemeine Geradengleichung.
Auf der rechten Seite der Gleichung stehen nur bekannte Größen, auf der linken Seiten stehen Vielfache von x und y. Diese Gleichung kann man weiter auch auf die Form y=kx+d umformen.

 

===Lagebeziehungen zwischen Geraden===
Mehrere Geraden können im $\mathbb{R^2}$

*ident sein, d.h. sie haben unendlich viele gemeinsame Punkte
*parallel sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt
*einander schneiden, d.h. sie haben genau ein gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt)
 
Sind uns 2 Geraden in '''Parameterdarstellung''' gegeben, betrachten wir zuerst ihre Richtungsvektoren. 
Sind diese parallel zueinander, so sind auch die Geraden parallel zueinander. Nun bleibt noch die Frage offen, ob die Geraden ident sind. Dazu überprüfen wir einfach, ob der gegebene Punkt der einen Geraden auch auf der anderen Geraden liegt. Dazu Setzen wir den bekannten Punkt der einen Geraden für den unbekannten Punkt der anderen Geraden ein und erhalten 2 Gleichungen in einer Unbekannten (Parameter der zweiten Gerade). Erhalten wir nun für den Parameter zweimal dasselbe Ergebnis, so sind die 2 Geraden ident, erhalten wir unterschiedliche Ergebnisse, so sind sie nur parallel. 
Sind die Richtungsvektoren nicht parallel zueinander, so sind es auch die 2 Geraden nicht, und wir können uns sicher sein, dass diese einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen.
Doch wie erhalten wir den Schnittpunkt? Ganz einfach, indem wir die 2 Geraden schneiden. Dazu müssen wir sie gleichsetzen, und dann das dadurch erhaltene Gleichungssystem in 2 Unbekannten (die 2 Parameter) lösen. Wenn wir den Wert eines Parameters ausgerechnet haben, setzen wir ihn einfach in die entsprechende Geradengleichung ein und erhalten so den Schnittpunkt!

 

Sind die 2 Geraden in der '''allgemeinen Geradenform''' gegeben, so haben wir bereits 2 Gleichungen gegeben, die wir nach x und y auflösen. Dieses x und y sind die Koordinaten des Schnittpunktes.

 

Um das Schneiden von Geraden besser zu verstehen, schau dir das Lösen von [[ Gleichungssysteme (2.7.) |Gleichungssystemen]] genauer an, wirf einen Blick auf die Beispiele zum $\mathbb{R^2}$ unter dem Tab 'Beispiele', oder sieh dir dieses Video an:

<div align="center">{{#ev:youtube|ZrFE3LRisn0}}</div>

 

===Normalabstand Punkt - Gerade===
[[Datei:Normalabstand.gif|right]]
Gegeben sei ein Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und eine Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$. Um den Normalabstand $d(Q,g)$ zwischen Q und g zu berechnen, gehe wie folgt vor:
{{Vorlage:Merke|1=1. Bestimme die Gerade $q: X = Q + s \cdot \vec{n}$, die durch $Q$ geht und den Normalvektor $\vec{n}$ von $\vec{a}$ als Richtungsvektor besitzt.
2. Schneide $g$ und $q$ und die erhältst ihren Schnittpunkt $S$. 
3. Berechne $\parallel \vec{QS} \parallel$.}}
In der Graphik rechts hätten wir z.B. die Angabe $g: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right) + \lambda \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array} \right)$ und $Q(3/4)$. Du kannst das zur Übung durchrechnen.

 

====Hesse'sche Abstandsformel====
Mithilfe dieser Formel kann man ebenfalls den Abstand $d(Q,g)$ zwischen Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$ bestimmen. 
<big>$d(Q,g) = | \vec{PQ} \cdot \vec{n_0} | $</big>, wobei $\vec{n_0}$ der normierte (Länge 1) Normalvektor des Richtungsvektors $\vec{a}$ der Geraden $g$ ist.

 

====Spiegelung eines Punktes an einer Geraden====
[[Datei:Spiegeln.png|thumb|250px|Gespiegelter Punkt Q']]
Gegeben sei ein Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und eine Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$. Es gilt den Punkt $Q$ an der Gerade $g$ zu spiegeln, und so den Punkt $Q'$ zu erhalten. Dazu befolgst du die Vorgehensweise von "Normalabstand Punkt - Gerade" bis du den Vektor $\vec{QS}$ erhältst, und trägst diesen vom Punkt $S$ ab, also: 
$Q' = S + \vec{QS}$

= Im $\mathbb{R^3}$ =

== Vektoren ==

=== Kreuzprodukt ===
Im $\mathbb{R^3}$ gibt es neben dem Skalarprodukt, bei dem wir als Ergebnis ein Skalar erhalten, eine weitere Möglichkeit, zwei Vektoren mit einander zu multiplizieren: das sog. Kreuz- oder Vektorprodukt, bei dem wir als Ergebnis einen Vektor erhalten.
{{Vorlage:Merke|1=Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren des $\mathbb{R^3}$, dann ist ihr Kreuzprodukt
$$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} y_a \cdot z_b - z_a \cdot y_b \\ z_a \cdot x_b - x_a \cdot z_b \\ x_a \cdot y_b - y_a \cdot x_b \end{array} \right)$$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ -3 \end{array} \right)$, gesucht ist ihr Kreuzprodukt.
|2=$$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \cdot (-3) - 3 \cdot 4 \\ 3 \cdot 5 - 1 \cdot (-3) \\ 1 \cdot 4 - 2 \cdot 5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-6) - 12 \\ 15 - (-3) \\ 4 - 10 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -18 \\ 18 \\ -6 \end{array} \right)$$}}

Wozu wir das Kreuzprodukt überhaupt benötigen, sehen wir an den nächsten 2 Punkten.

 

==== Normalvektoren ====
Im $\mathbb{R^3}$ gibt es zu einem Vektor unendlich viele Normalvektoren. Auf eine Ebene allerdings gibt es genau 2 Normalvektoren (wie im $\mathbb{R^2}$ auf eine Gerade). Eine Ebene wird von 2 Vektoren aufgespannt, deren Kreuzprodukt ergibt einen Normalvektor $\vec{n_1}$ auf die Ebene bzw. die zwei Vektoren; der zweite Normalvektor hat die entgegengesetzte Orientierung ($\vec{n_2} = -\vec{n_1}$). Also:
$$\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$$

 

==== Fläche eines von zwei Vektoren aufgespannten Parallelogramms oder Dreiecks ====
[[Datei:FlächeNormalvektor.png|thumb|right|ohne|250px|2 Vektoren spannen ein Dreieck bzw. Parallelogramm auf]]
 
{{Vorlage:Merke|1=Die Länge $\parallel \vec{n} \parallel = \parallel \vec{a} \times \vec{b} \parallel$ des Normalvektors $\vec{n}$ zu den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ entspricht der Maßzahl des Flächeninhaltes des Parallelogramms, das $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aufspannen (im Bild die gesamte grüne Fläche).
Die Hälfte dieser Fläche entspricht der Fläche des aufgespannten Dreiecks.}}

 

=== Skalarprodukt, Orthogonalitätskriterium, Winkel zwischen zwei Vektoren ===
Diese drei Dinge "funktionieren" im $\mathbb{R^3}$ wie im $\mathbb{R^2}$. Also hier nur eine kurze Wiederholung:
 

'''Skalarprodukt''' 
Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\z_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren, dann ist $$\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right) = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b + z_a \cdot z_b$$ gleich ihr Skalarprodukt.
 

'''Orthogonalitätskriterium''' 
Ergibt das Skalarprodukt zweier Vektoren $0$, so stehen diese zwei Vektoren normal zueinander (und umgekehrt!)
$$\vec{a} \cdot \vec{b} \ = \ 0 \ \Leftrightarrow \ \vec{a} \bot \vec{b}$$
Auch das gibt es im $\mathbb{R^3}$. Bedenke aber, dass es hier, anders als im $\mathbb{R^2}$, unendlich viele Normalvektoren auf einen Vektor gibt.
 

'''Winkel zwischen zwei Vektoren'''
$$cos{\varphi} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel} = \vec{a_0} \cdot \vec{b_0}$$

 

== Geraden ==
=== Darstellungsformen ===
==== Parameterdarstellung ====
Die Parameterdarstellung im $\mathbb{R^3}$ sieht genauso aus wie im $\mathbb{R^2}$, einziger Unterschied ist, dass unsere Punkte und Vektoren hier jeweils 3 Koordinaten haben.
$$g: X = P + t \cdot \vec{a}$$ bzw. $$g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \\ z = z_P + t \cdot z_a \end{cases}$$
Mehr Infos zu den einzelnen Komponenten findest du im Tab 'Im $\mathbb{R^2}$'.

 

==== Parameterfreie Darstellungsform ====
Diese besteht aus 2 Gleichungen und wir erhalten sie durch Eliminierung des Parameters.

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sei die Parameterform der Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ -4 \\ 1 \end{array} \right)$. Zuerst schreiben wir das in die 3 Koordinatengleichungen um:
$$g : \begin{cases} x = 2 + 3t \\ y = 0 - 4t \\ z = 1 + t \end{cases}$$

|2=Wir multiplizieren die erste Gleichung mit $4$ und die zweite Gleichung mit $3$ und addieren die beiden: $$+ \begin{cases} 4x = 8 + 12t \\ 3y = 0 - 12t \end{cases}$$ und erhalten so die Gleichung $4x + 3y = 8$.
Wir multiplizieren die dritte Gleichung mit $3$ und subtrahieren diese von der ersten Gleichung: $$- \begin{cases} x = 2 + 3t \\ 3z = 3 + 3t \end{cases}$$ und erhalten so die Gleichung $x - 3z = -1$.

Die parameterfreie Darstellung unserer Gerade lautet somit $$g : \begin{cases} 4x + 3y = 8 \\ x - 3z = -1 \end{cases}$$.}}

Die zwei Gleichungen in der parameterfreien Darstellung sind übrigens Ebenengleichungen. Die eigentliche Gerade ist der Schnitt dieser zwei Ebenen!

 

=== Lagebeziehungen zwischen Geraden ===
Mehrere Geraden können im $\mathbb{R^3}$

*ident sein, d.h. sie haben unendlich viele gemeinsame Punkte
*parallel sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt
*einander schneiden, d.h. sie haben genau ein gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt)
*windschief sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt und sind nicht parallel
 

Um herauszufinden, wie 2 gegebene Geraden in Parameterform zueinander stehen, gehst du am besten wie folgt vor:

'''Betrachtung der Richtungsvektoren:''' Auch im $\mathbb{R^3}$ gilt, sind die Richtungsvektoren zweier Geraden parallel zueinander (d.h. man kann einen Vektor als Vielfaches des anderen Vektors darstellen), so sind es auch die Geraden.
 

'''Fall 1: Die Vektoren sind parallel:''' Sollte sich herausstellen, dass die zwei Geraden parallel zueinander sind, überprüfst du als nächstes, ob sie einen gemeinsamen Punkt haben; am einfachsten funktioniert das, indem du den bekannten Punkt ($P$) der einen Geraden in die zweite Gerade (für den unbekannten Punkt $X$) einsetzt. Wir erhalten drei Gleichungen in einer Unbekannten (Parameter der zweiten Gerade). 
'''Fall 1a:''' Erhalten wir nun für den Parameter dreimal dasselbe Ergebnis, so sind die 2 Geraden '''ident''' (und parallel), da der überprüfte Punkt, und somit unendlich weitere, auf beiden Geraden liegen. 
'''Fall 1b:''' Erhalten wir unterschiedliche Ergebnisse, so sind sie nur '''parallel''', da der überprüfte Punkt nicht, und somit auch kein anderer, auf beiden Geraden liegen.
 

'''Fall 2: Die Vektoren sind nicht parallel:''' Nun gibt es nur noch zwei Möglichkeiten: Entweder die zwei Geraden haben einen gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt), oder sie sind windschief. 
Um das wiederum herauszufinden, setzt du die beiden Geraden gleich, d.h. du stellst ein lineares Gleichungssystem (LGS) mit drei Gleichungen und in drei Unbekannten auf, und versuchst, dieses zu lösen. 
'''Fall 2a:''' Solltest du nun eine Lösung erhalten, d.h. du erhältst den Wert für den Parameter einer der zwei Geraden (und hast diesen Wert überprüft), so weißt du, dass die zwei Geraden einander '''schneiden'''. Den Schnittpunkt erhältst du jetzt, indem du den erhaltenen Wert für den Parameter in die entsprechende Geradengleichung einsetzt. 
'''Fall 2b:''' Sollte dein LGS keine Lösung ergeben (also sich eine falsche Aussage oder ein Widerspruch ergeben, z.B. $2=13$, oder $t=4$ und $t=-1$), dann weißt du, dass deine beiden Geraden keinen Schnittpunkt haben und somit '''windschief''' sind.
 

Zum besseren Verständnis siehst du dir am besten das folgende Video und die beiden folgenden Beispiele an.

<div align="center">{{#ev:youtube|u0QoYlEE094}}</div>

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die beiden Geraden $g: X = \left( \begin{array}{c} 0 \\ -11 \\ -3 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right)$ und $h: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ -3 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right)$. Überprüfe deren gegenseitige Lage und gegebenenfalls ihren Schnittpunkt!|
2=Zuerst überprüfen wir die Richtungsvektoren der beiden Geraden, um festzustellen, ob diese parallel zueinander sind oder nicht:
$$\nexists \lambda : \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) = \lambda \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) \nparallel \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g \nparallel h$$
$g$ und $h$ sind also nicht parallel. Sie können also noch entweder einander schneiden oder windschief sein. Stellen wir nun ein LGS auf, indem wir die beiden Geraden gleichsetzen:
$$\begin{align}
I: \ &&&s&=&2&+&t \\
II: \ &-11&+&2s&=&3&-&3t \\
III: \ &-3&+&s&=&-3&+&2t
\end{align}$$ 
Wir subtrahieren $III$ von $I$: $- \begin{cases} &s &=& 2 + t \\ -3 + &s &=& -3 + 2t \end{cases} \ \rightarrow \ 3 = 5 - t \Rightarrow t = 2$ 
Wir überprüfen dieses Ergebnis für $t$, indem wir $t=2$ in alle 3 Gleichungen einsetzen. Wir sehen dann, dass wir überall dasselbe Ergebnis für $s$ erhalten, nämlich $s=4$. Daraus folgt, dass die Geraden einander '''schneiden'''. Setzen wir nun $t=2$ oder $s=4$ in die entsprechende Geradengleichung, so erhalten wir den Schnittpunkt $S(4/-3/1)$ der beiden Geraden.}}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die beiden Geraden $g: X = \left( \begin{array}{c} 3 \\ -2 \\ 0 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right)$ und $h: X = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$. Überprüfe deren gegenseitige Lage und ggf. ihren Schnittpunkt!|
2=Zuerst überprüfen wir wieder die Richtungsvektoren der beiden Geraden:
$$\nexists \lambda : \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) = \lambda \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) \nparallel \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g \nparallel h$$
Nun stellen wir wieder ein LGS auf:
$$\begin{align}
I: \ &3&+&2s&=&4&-&t \\
II: \ &-2&-&2s&=&3&& \\
III: \ &&&s&=&1&+&t
\end{align}$$ 
Aus der zweiten Gleichung lässt sich direkt berechnen, dass $s=- \frac{5}{2}$. Dies setzen wir nun in die erste und zweite Gleichung ein und erhalten einmal $3 - 5 = 4 - t \ \Rightarrow \ t=6$ und einmal $- \frac{5}{2} = 1 + t \ \Rightarrow \ t=- \frac{7}{2}$. Diese beiden Werte für $t$ sind offensichtlich voneinander unterschiedlich, daraus folgt, dass die beiden Geraden $g$ und $h$ '''windschief''' sind.
}}
 

== Ebenen ==
Eine Ebene ist durch 3 Punkte oder 1 Punkt und 2 (voneinander linear unabhängigen) Vektoren eindeutig festgelegt.
=== Darstellungsformen ===
==== Parameterdarstellung ====
[[Datei:ebene2.png|thumb|right|350px|von Punkt und Vektoren aufgespannte Ebene]]
$$\epsilon : X = P + s \cdot \vec{a} + t \cdot \vec{b}$$
bzw.
$$\epsilon : \begin{cases} x = x_P + s \cdot x_a + t \cdot x_b \\ y = y_P + s \cdot y_a + t \cdot y_b \\ z = z_P + s \cdot z_a + t \cdot z_b \end{cases}$$
wobei
*$X \in \epsilon$ ist ein '''beliebiger''' Punkt auf der unendlichen Ebene
*$P \in \epsilon$ ist ein '''bekannter''' Punkt auf der Ebene
*$s, t \in \mathbb{R}$ sind freie Parameter
*$\vec{a}, \vec{b} \in \mathbb{R^3}$ sind zwei Vektoren, die parallel zur Ebene liegen

 

==== Normalvektorform ====
Man multipliziert die Parameterdarstellung der Ebene mit ihrem Normalvektor $\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$ und erhält
$$\vec{n} \cdot \vec{X} = \vec{n} \cdot \vec{P}$$

 

==== Allgemeine Ebenengleichung ====
$$ax + by + cz = d$$
Diese Form der Darstellung heißt auch Normalform, da man den Normalvektor der Ebene direkt ablesen kann. Um von der Parameterdarstellung auf diese Form zu kommen, gibt es 2 Möglichkeiten:

'''1. Multiplikation mit Normalvektor:'''
Hierzu muss man einfach die Normalform ausmultiplizieren und es ergibt sich: 

$$\epsilon: x_n \cdot x + y_n \cdot y + z_n \cdot z = x_n \cdot x_P + y_n \cdot y_P + z_n \cdot z_P$$
 

'''2. Elimination des Parameters:'''
Hierbei gehen wir von der Ebenengleichung $\epsilon : \begin{cases} x = x_P + s \cdot x_a + t \cdot x_b \\ y = y_P + s \cdot y_a + t \cdot y_b \\ z = z_P + s \cdot z_a + t \cdot z_b \end{cases}$ aus, eliminieren $s$ und $t$, und kommen ebenfalls auf die obige allgemeine Ebenengleichung.

 

Zur Veranschaulichung ein Beispiel zu den verschiedenen Darstellungsformen:
{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die drei Punkte $A(1/1/1), B(-1/-4/2), C(0/3/-1)$. Gib die Ebene, die diese drei Punkte aufspannen, in Parameterform, Normalform und allgemeiner Ebenengleichung an!|
2=Für die Parameterform berechnen wir erst zwei beliebige Vektoren aus den 3 Punkten, z.B. $\vec{AB} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{AC} = \left( \begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right)$. Als Parameterform erhalten wir schließlich:
$$\epsilon: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right)$$ 
Um auf die Normalform zu kommen, bestimmen wir als erstes den Normalvektor der Ebenen: $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-5) \cdot (-2) - 1 \cdot 2 \\ 1 \cdot (-1) - (-2) \cdot (-2) \\ (-2) \cdot 2 - (-5) \cdot (-1) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right)$. 
Nun die Parametergleichung mit dem Normalvektor multiplizieren und wir erhalten auch die Normalform:
$$\epsilon: \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)$$ 
Um nun noch die allg. Ebenenform zu erhalten, multipliziert man am einfachsten die Normalform aus und erhält:
$$\epsilon: 8x - 5y -9z =-6$$ 
Aber auch die Elimination der Parameter soll hier gezeigt werden. Wir gehen aus von: $$\epsilon : \begin{cases} x = 1 - 2s - t \\ y = 1 - 5s + 2t \\ z = 1 + s - 2t\end{cases}$$
Addieren wir die y- und die z-Gleichung, können wir $t$ eliminieren: $+ \begin{cases} y = 1 - 5s + 2t \\ z = 1 + s - 2t \end{cases} \ \Rightarrow \ y + z = 2 - 4s$. 
Wir können $t$ ebenfalls eliminieren, indem wir die y-Gleichung zum 2-fachen der x-Gleichung addieren: $+ \begin{cases} 2x = 2 - 4s - 2t \\ y = 1 - 5s + 2t \end{cases} \ \Rightarrow \ 2x + y = 3 -9s$. 
Nun haben wir zwei Gleichungen, die nur mehr von $s$ abhängig sind. Um diesen Parameter nun auch noch zu eliminieren, multiplizieren wir die erste Gleichung mit $(-9)$ und die zweite mit $4$ und addieren diese, um nochmals auf die allg. Ebenengleichung zu kommen.
$$+ \begin{cases} 8x + 4y = 12 - 36s \\ -9y - 9z = -18 + 36s \end{cases} \ \Rightarrow \ \epsilon: 8x - 5y -9z =-6$$
}}

=== Lagebeziehungen ===
==== ...zwischen zwei Ebenen ====
Zwei Ebenen können im $\mathbb{R^3}$
*ident sein: die Ebenengleichungen (allg. Form) sind Vielfache voneinander; 
z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : 2x + 2y + 2z = 6 \Rightarrow \epsilon _2 = 2 \cdot \epsilon _1$
*parallel sein: die Normalvektoren der Ebenen sind Vielfache voneinander; 
z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : 2x + 2y + 2z = 5 \Rightarrow \vec{n_2} = 2 \cdot \vec{n_1}$
*einander schneiden (in einer Gerade): die Normalvektoren der Ebenen sind keine Vielfache voneinander; 
z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : x - 3y + 2z = 1 \Rightarrow \nexists \lambda \in \mathbb{R} : \vec{n_1} = \lambda \cdot \vec{n_2}$

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:Ebenenident2.png|2 Ebenen sind ident
Datei:Ebenenparallel2.png|2 Ebenen sind parallel
Datei:Ebenenschnittgerade2.png|2 Ebenen schneiden einander in einer Geraden
</gallery>

 
'''Berechnen der Schnittgerade''' 
Erkennt man durch Betrachtung der Normalvektoren zweier Ebenen, dass diese einander schneiden müssen, so kann man diese Schnittgerade berechnen. Dazu erstellt man aus den beiden Ebenengleichungen ein lineares Gleichungssystem in 3 Unbekannten. 2 Gleichungen - 3 Unbekannte: wir werden hier nicht für alle Unbekannten einen Zahlenwert erhalten, können aber 2 Unbekannte in Abhängigkeit der dritten darstellen. Diese dritte Unbekannte wird uns als Parameter für die Darstellung der Geraden dienen. Zur Veranschaulichung ein Beispiel:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die beiden Ebenen $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : x - 3y + 2z = 1$. Wie wir weiter oben schon festgestellt haben, müssen diese Ebenen einander schneiden, da die beiden Noramlvektoren der Ebenen $\vec{n_1}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{n_2}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right)$ linear unabhängig voneinander sind, also $\nexists \lambda \in \mathbb{R} : \vec{n_1} = \lambda \cdot \vec{n_2}$. 
Wir wählen nun eine der Koordinaten als Parameter, z.B. $z=t$ und stellen das Gleichungssystem auf.

|2=
$$\begin{align}
I: \ &x&+&y&+&t&=&3 \\
II: \ &x&-&3y&+&2t&=&1
\end{align}$$

Wir subtrahieren $I-II$ und erhalten
$$4y - t = 2 \ \Rightarrow \ y = \frac{1}{2} + t \cdot \frac{1}{4}$$
Nun setzen wir unser erhaltenes $y$ in die erste Gleichung ein, um $x$ zu erhalten:

$$I: \ x + \frac{1}{2} + t \cdot \frac{1}{4} + t = 3 \ \Rightarrow \ x = \frac{5}{2} - t \cdot \frac{5}{4}$$
Somit haben wir alle Ausdrücke der Koordinaten gefunden ($z=t$ haben wir anfangs festgelegt) und können die Parameterdarstellung der Schnittgerade angeben:
$$g: X = \left( \begin{array}{c} \frac{5}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 0 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} - \frac{5}{4} \\ \frac{1}{4} \\ 1 \end{array} \right)$$
}}

 

==== ...zwischen 3 Ebenen ====
Drei Ebenen können im $\mathbb{R^3}$
*alle ident sein
*2 ident, 1 parallel sein
*alle parallel sein
*3 Schnittgeraden haben
*2 Schnittgeraden haben (2 Ebenen parallel)
*1 Schnittgerade haben
*1 Schnittpunkt haben

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:Ebenenident3.png|3 Ebenen sind ident
Datei:Ebenenidentparallel.png|2 Ebenen sind ident, 1 parallel
Datei:Ebenenparallel3.png|3 Ebenen sind parallel
Datei:Ebenenschnittgeraden33.png|3 Ebenen schneiden einander in 3 Geraden
Datei:Ebenenschnittgeraden32.png|3 Ebenen schneiden einander in 2 Geraden (2 Ebenen parallel)
Datei:Ebenenschnittgerade3.png|3 Ebenen schneiden einander in einer Gerade
Datei:Ebenenschnittgerade31.png|3 Ebenen schneiden einander in einer Gerade (2 Ebenen ident)
Datei:Ebenenschnittpunkt3.png|3 Ebenen schneiden einander in einem Punkt
</gallery>

 

==== ...zwischen Ebene und Gerade ====
Eine Ebene und eine Gerade können im $\mathbb{R^3}$
*$g \subset \epsilon$, die Gerade liegt auf der Ebene 
Hierbei haben die Gerade und die Ebene einen gemeinsamen Punkt und der Richtungsvektor der Gerade steht normal auf den Normalvektor der Ebene, daraus folgt, dass sie unendlich gemeinsame Punkte haben.
*parallel sein 
Irgendein Punkt der Gerade liegt nicht auf der Ebene, der Richtungsvektor der Gerade steht normal auf den Normalvektor der Ebene, daraus folgt, dass sie keinen einzigen gemeinsamen Punkt haben.
*1 Schnittpunkt haben 
Der Richtungsvektor der Geraden steht nicht normal auf den Normalvektor der Ebene.

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:GeradeinEbene.png|Gerade liegt auf der Ebene
Datei:GeradepararallelEbene.png|Gerade und Ebene sind parallel zueinander
Datei:GeradeSchnittpunktEbene.png|Gerade und Ebene schneiden einander (Schnittpunkt)
</gallery>

Zur Überprüfung der Lagebeziehung gibt es allerdings noch eine andere (schnellere) Methode. Hier "schneiden" wir die Gerade und die Ebene mathematisch, d.h. wir setzen sie gleich (wenn beide in Parameterform gegeben sind) oder setzen die Gerade $g$ (Parameterform) in die Ebene $\epsilon$ (allg. Ebenengleichung) ein. 
Wir erhalten dadurch ein Gleichungssystem oder eine einzelne Gleichung. 

Sei die Gerade gegeben als $g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \\ z = z_P + t \cdot z_a \end{cases}$ und die Ebene als $\epsilon : \begin{cases} x = x_Q + s \cdot x_b + u \cdot x_c \\ y = y_Q + s \cdot y_b + u \cdot y_c \\ z = z_Q + s \cdot z_b + u \cdot z_c \end{cases}$ (Parameterform) oder $\epsilon : ax + by + cz = d$ (allg. Ebenengleichung). 

Wir erhalten als Gleichungssystem durch Gleichsetzen der Gleichungen der Parameterformen:
$$\begin{cases} x_P + t \cdot x_a = x_Q + s \cdot x_b + u \cdot x_c \\ y_P + t \cdot y_a = y_Q + s \cdot y_b + u \cdot y_c \\ z_P + t \cdot z_a = z_Q + s \cdot z_b + u \cdot z_c \end{cases}$$ 
Wir erhalten durch Einsetzen der Gerade in die Ebene (allg. Ebenengleichung):
$$a \cdot (x_P + t \cdot x_a) + b \cdot (y_P + t \cdot y_a) + c \cdot (z_P + t \cdot z_a) = d$$ 

Ergibt sich hier eine wahre Aussage (z.B. $1=1$), also unendlich viele Lösungen, so liegt die Gerade in der Ebene. 
Ergibt sich eine falsche Aussage (z.B. $1=2$), also keine Lösung, so schneiden die beiden Objekte einander nicht, also sie sind parallel. 
Gibt es genau eine Lösung (z.B. $t=2$), so existiert genau ein gemeinsamer Punkt = Schnittpunkt. Diesen erhält man, indem man den ermittelten Wert für den Parameter $t$ der Geraden in die Geradengleichung einsetzt (oder, wenn die Ebene in Parameterform gegeben war, die beiden Werte für die Parameter $s$ und $u$ der Ebene in die Ebenengleichung einsetzt). Dazu 2 Beispiele, wobei wir im ersten mit der Ebene in Parameterform rechnen werden:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right)$ und die Ebene $\epsilon : X = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -1 \\ -3 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) + u \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 0 \end{array} \right)$. Stellen wir nun also unser Gleichungssystem auf:
|2=\begin{align}
I: \ & \ 1&-t&=&4& &+2u \\
II: \ &-3& &=&-1&+s&-u \\
III: \ & \ 2&+2t&=&-3&+s&
\end{align}

In der ersten Gleichung drücken wir $u$ in $t$ aus: $u = - \frac{3}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$ 
In der zweiten Gleichung drücken wir $s$ in $u$ aus: $s = -2 + u$ 
Das $u$ von oben setzen wir nun hier ein und erhalten $s$ in Abhängigkeit von $t$: $s = - \frac{7}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$. 

Dieses $s$ setzen wir nun in die dritte Gleichung ein und wir erhalten: $2 + 2t = -3 - \frac{7}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$ und in weiterer Folge $t = - \frac{17}{5}$. 
Es ergibt sich also genau eine Lösung für das Gleichungssystem, was bedeutet, dass die Gerade und die Ebene einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen. Diesen erhalten wir, indem wir den errechneten Wert für $t$ in die Geradengleichung einsetzen (Man könnte natürlich auch noch die Werte für $s$ und $u$ berechnen, und diese in die Ebenengleichung einsetzen; zur Übung kannst du das gerne tun):
$$g: S = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) - \frac{17}{5} \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \frac{23}{5} \\ -3 \\ - \frac{24}{5} \end{array} \right)$$
}} 

Betrachten wir nun dasselbe Beispiel, mit dem Unterschied, dass die Ebene in Normalform gegeben ist und wir auch gleich mit dieser Form rechnen:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right)$ und die Ebene $\epsilon : x + 2y - 2z = 8$. Wir setzen die Koordinatengleichungen der Gerade in die Normalform der Ebene:
|2= $g$ in $\epsilon$: $$1 - t - 6 - 4 -4t =8$$
Wenn wir diese Gleichung lösen, erhalten wir, wie im ersten Bespiel, $t = - \frac{17}{5}$. Dies noch in die Geradengleichung einsetzen, und wir erhalten den Schnittpunkt.}}

Da man bei der zweiten Methode meistens weniger Rechenaufwand hat, zahlt es sich oft aus die Parameterdarstellung der Ebene in die Normalform (= allg. Ebenengleichung) umzurechnen.

==Pyramidenbeispiel==
[[Datei:Pyramidebsp.png|thumb|right|350px|Pyramide]]
Gegeben seien 3 Eckpunkte $A(-2/-2/1), B(2/-2/1), C(2/2/1)$ der quadratischen Grundfläche und der Spitzpunkt $S(0/0/6)$ einer geraden (gerade bedeutet, dass die Spitze in einem rechten Winkel über dem Mittelpunkt der Grundfläche der Pyramide liegt) Pyramide.
Gesucht sind:
#der vierte Eckpunkt $D$ der Grundfläche
#die Parameterdarstellung der Trägergeraden $h$ der Höhe
#die Fläche der Grundfläche
#die Geradengleichung der Geraden $g_{AS}$ auf der $A$ und $S$ liegen in Parameterform und parameterfreien Form
#Der Winkel $\alpha$ zwischen den Vektoren $\vec{AS}$ und $\vec{AC}$
#Zeige, dass der Schnittpunkt der Geraden $g_{AS}$ und $h$ gleich die Spitze $S$ ist
#Gib die Ebenengleichung $\epsilon$ der Grundfläche in Parameterform, Normalform und allgemeiner Ebenengleichung an
#Berechne den Fußpunkt $M$ der Höhe, indem du $h$ und $\epsilon$ schneidest

#$D = A + \vec{BC} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -2 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right)$
#$h: X = S + t \cdot \vec{h}$
$$\vec{AB} \times \vec{BC} = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 16 \end{array} \right) \ \parallel \ \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) = \vec{h}$$
$$h: X = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$$
#$G = \parallel \vec{AB} \times \vec{BC} \parallel = \parallel \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 16 \end{array} \right) \parallel = 16FE$
#$g_{AS}: X = A + u \cdot \vec{AS}$
$$\vec{AS} = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g_{AS}: X = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + u \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right)$$ oder $$g_{AS}:\begin{cases} x = -2 + 2u \\ y = -2 + 2u \\ z = 1 + 5u \end{cases}$$

= Beispiele =
Hier findest du Beispiele zu den behandelten Themen:

===Grundlagen der Vektorrechnung===
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/9/99/VektorrechnungGLBspAngabe.pdf VektorrechnungGLBspAngabe.pdf]
 
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/0/00/VektorrechnungGLBspL%C3%B6sung.pdf VektorrechnungGLBspLösung.pdf]

===Vektorrechnung im $\mathbb{R^2}$===
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/7/7f/VektorrechnungR2BspAngabe.pdf VektorrechnungR2BspAngabe.pdf]
 
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/f/ff/VektorrechnungR2BspL%C3%B6sung.pdf VektorrechnungR2BspLösung.pdf]

Vektorrechnung

2016-03-09T13:15:15Z

Lajtos: /* Pyramidenbeispiel */

= Grundlagen der Vektorrechnung =

==Koordinatensystem==
[[Datei:Koordinatengitter.png|thumb|right|350px|Koordinatengitter im $\mathbb{R^2}$ mit den 4 Quadranten]]

Für die Vektorrechnung sind Koordinatensysteme essentiell.
Im zweidimensionalen Raum besitzt ein Koordinatensystem 2 Achsen:

* die x-Achse (waagrecht) und
* die y-Achse (senkrecht)

 
Diese sind unendlich lang und Spannen die vier sogenannten Quadranten auf, die meist mit den römischen Ziffern I-IV beschriftet werden (gesprochen: Erster Quadrant, Zweiter Quadrant etc.). Die rechte Graphik zeigt die die Position der Quadranten. Dort, wo die 2 Achsen einander treffen, liegt der sog. Ursprung (kurz: $\vec{0}$); seine Koordinaten sind (0/0).

Was es außerdem noch zu beachten gibt, hast du vielleicht bereits selbst erkannt:
An den gegenüberliegenden Seiten der x- und y-Achsen werden unterschiedliche Vorzeichen verwendet. So spricht man "links" des Ursprungs von der negativen, bzw. "rechts" des Ursprungs von der positiven x-Achse. Analog spricht man "oben" und "unten" von der positiven und negativen y-Achse.

Im dreidimensionalen Raum kommt eine dritte Achse - die z-Achse - dazu. Punkte und Vektoren besitzen dementsprechend dann auch 3 Koordinaten. Dies kann man bis ins n-dimensionale weiterführen.

==Punkte==
In ein Koordinatensystem lassen sich Punkte eintragen. Diese besitzen, entsprechend ihrer Lage, Koordinaten. Im obigen Bild z.B. haben wir die Punkte A und B, wobei sich A im ersten Quadranten befindet und B im vierten. Man schreibt: A(2/3,5) B(1/-2).

[[Datei:PunkteR2.png|thumb|right|250px|Punkte im $\mathbb{R^2}$]]

{{Vorlage:Merke |''Einen'' '''allgemeinen Punkt''' ''schreibt man an als'' $P(x_1/x_2/.../x_n)$ (im n-dimensionalen Raum $\mathbb{R^n}$) ''bzw.'' $P(x/y)$ (im 2-dimensionalen Raum $ \mathbb{R^2}$) ''oder'' $P(x/y/z)$ (im 3-dimensionalen Raum $\mathbb{R^3}$).
 
Die erste Koordinate entspricht der x-Koordinate, die zweite der y-Koordinate, die eventuelle dritte der z-Koordinate.

Punkte werden in der Regel mit Großbuchstaben bezeichnet.}}

Koordinaten von Punkten lassen sich also ganz einfach ablesen. Die x/y-Koordinate entspricht dabei dem Abstand vom Ursprung zum Punkt in Richtung der jeweiligen Koordinatenachse. So erkennen wir im Bild rechts die folgenden Punkte:

* A(2/0)
* B(0/-2)
* C(-1/2)

==Vektoren==
Vektoren kann man sich wie '' eine Menge von Pfeilen'' vorstellen. Sie besitzen eine '''Länge''' (Betrag) und eine '''Richtung'''. Auch sie bestehen, wie Punkte, je nach Dimension aus 2 bzw. 3 Koordinaten. Der Unterschied dabei ist, dass die Koordinaten hier keine Position im Koordinatensystem darstellen, sondern eine Bewegung. Auch die Schreibweise unterscheidet sich:

{{Vorlage:Merke |1=''Einen'' '''allgemeinen Vektor''' ''schreibt man an als'' $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ (im $\mathbb{R^n}$) ''bzw.'' $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ (im $\mathbb{R^2}$) oder $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right)$ (im $\mathbb{R^3}$).

Vektoren werden in der Regeln mit Kleinbuchstaben mit Pfeil darüber bezeichnet.}}

===Ortsvektoren===
[[Datei:Ortsvektor.png|thumb|right|300px|Punkt und zugehöriger Ortsvektor]]
Der Ortsvektor von einem Punkt ist der Vektor, der vom Ursprung aus auf den Punkt zeigt. Die Koordinaten bleiben deshalb gleich, es ändert sich quasi nur die Schreibweise:

Sei $A(x_1/x_2/.../x_n)$ ein Punkt in der Dimension $n$, dann ist $\vec{0A} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ dessen Ortsvektor.

 

 

 
 

=== Addition und Subtraktion von Vektoren ===
{{Vorlage:Merke|1=Wenn du Vektoren addieren oder subtrahieren möchtest, musst du dazu einfach die entsprechenden Koordinaten betrachten: 
$\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) \pm \left( \begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ ... \\ y_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x_1 \pm y_1 \\ x_2 \pm y_2 \\ ... \\ x_n \pm y_n \end{array} \right)$ 
Wichtig ist dabei, dass die Vektoren, die du addieren oder subtrahieren möchtest, derselben Dimension $n$ angehören! D.h. sie haben gleich viele Koordinaten.}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben seien die beiden Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right)$. Berechne erst $\vec{a} + \vec{b}$, dann $\vec{a} - \vec{b}$ und zuletzt $\vec{b} - \vec{a}$!
|2= $$\vec{a} + \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 5+1 \\ 2+(-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 6 \\ -1 \end{array} \right)$$
$$\vec{a} - \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 5-1 \\ 2-(-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 5 \end{array} \right)$$
$$\vec{b} - \vec{a} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 1-5 \\ -3-2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -4 \\ -5 \end{array} \right)$$}}

===Vektoren bestimmen: Spitze-minus-Schaft===
[[Datei:Spitzeschaft.png|thumb|right|300px|"Spitze minus Schaft"]]
Zwischen 2 Punkten kann man nun einen Vektor definieren. Dabei gilt: Die '''"Spitze minus Schaft"'''-Regel Im Bild rechts wollen wir den Vektor berechnen, der von A nach B geht, also den Vektor $\vec{AB}$. Der Punkt B(3/3,5) entspricht hierbei der Spitze, und der Punkt A(1/0,5) dem Schaft. Da das Rechnen mit Punkten allerdings keinen Sinn ergibt, rechnet man stattdessen mit deren Ortsvektoren (siehe oben).

Für unser Beispiel bedeutet das folgendes: $\vec{0B} - \vec{0A} = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 3,5 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0,5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 3-1 \\ 3,5-3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right) = \vec{AB}$

Beachte außerdem:

* Man schreibt der Einfachheit halber oft nur $B-A$, wenn damit eigentlich $\vec{0B} - \vec{0A}$ gemeint ist.
* $\vec{AB} = -\vec{BA}$

 

===Produkt eines Vektors mit einem Skalar===
Wenn man einen Vektor $\vec{v}$ mit einer [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)|reellen Zahl]] $k$ , einem sogenannten "Skalar", multipliziert, werden dabei die einzelnen Koordinaten mit dem Skalar multipliziert:

$k \cdot \vec{v} = k \cdot \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} k \cdot x_1 \\ k \cdot x_2 \\ ... \\ k \cdot x_n \end{array} \right)$
 

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sei der Vektor $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right)$. Multipliziere diesen einmal mit $2$ und einmal mit $-5$!
|2=$$2 \cdot \vec{a} = 2 \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \cdot 2 \\ 2 \cdot (-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -6 \end{array} \right)$$
$$(-5) \cdot \vec{a} = (-5) \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-5) \cdot 2 \\ (-5) \cdot (-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -10 \\ 15 \end{array} \right)$$}}

{{#widget:Iframe
|url= http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_vektorrechnung/MV_Vektor1/MV_Vektor1/sites/Vektortest.html
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}}
[http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_vektorrechnung/MV_Vektor1/MV_Vektor1/ (Quelle dieses Applets)]

===Wie Vektoren zueinander stehen===
Vektoren können unterschiedliche Richtungen haben, aber auch parallel zueinander oder gar identisch sein. Optisch lässt sich das oft sehr leicht erkennen, rechnerisch sind diese Feststellungen allerdings ebenfalls überprüfbar.

{{Vorlage:Definition |Unter einem Vektor versteht man die Menge aller gleichlangen, gleichgerichteten und gleichorientierten Pfeile.

Der Start/Endpunkt spielen dabei keine Rolle!}}

{{Vorlage:Merke|2 Vektoren stehen parallel zueinander, wenn ein Vektor als Vielfaches des anderen Vektors angeschrieben werden kann. 
Man sagt auch: Die Vektoren sind [[linear abhängig]] (linear abhängig zu sein bedeutet, dass ein Vektor als Vielfaches eines anderen Vektors dargestellt werden kann).}}

Sehen wir uns die verschiedenen Fälle an:

{| class="wikitable"
|-
| ident: gleiche Richtung, gleiche Orientierung, gleiche Länge || [[Datei:Vektorv1.png|none|250px]] || $\vec{v} = \vec{u} \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$ || z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$
|-
| parallel (gleiche Orientierung): gleiche Richtung, gleiche Orientierung || [[Datei:Vektorenlänge.png|none|250px]] || $\exists k>0 : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$ || z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \end{array} \right)$, $k=2$
|-
| parallel (unterschiedliche Orientierung): gleiche Richtung || [[Datei:Vektororientierung1.png|none|250px]] || $\exists k<0 : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$ || z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} -1 \\ -1 \end{array} \right)$, $k=-1$ 
aber auch: $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \end{array} \right)$, $k=-2$
|-
| linear unabhängig || [[Datei:Vektorrichtung1.png|none|250px]] || $\nexists k : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \nparallel \vec{u}$ || z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)$
|}

{{Vorlage:Beispiel|1=für linear unabhängige Vektoren:

Sei $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 5 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$.

Wenn es ein k gibt, sodass $k \cdot \vec{a} = \vec{b}$, dann sind die beiden Vektoren voneinander linear abhängig, und somit auch parallel zueinander.

Wir lösen dieses Problem mit Hilfe von 2 Gleichungen in einer Unbekannten:

|2=$I: 2k = 4 \ \ \rightarrow k=2$
$II: 5k = 3 \ \ \rightarrow k=\frac{3}{5}$

Aus der ersten Gleichung ergibt sich k=2, in der zweiten aber $k=\frac{3}{5}$. $k$ kann aber nicht beides sein, somit haben wir eine falsche Aussage erhalten. Daraus folgt, dass die beiden Vektoren '''linear unabhängig''' und somit nicht parallel zueinander sind.}}
 

===Betrag und Einheitsvektor===

[[Datei:PythagorasVektor.png|thumb|right|350px|Betrag eines Vektors; Einheitsvektor]]Wie anfangs bereits erwähnt, besitzen Vektoren eine Länge, auch '''Betrag''' eines Vektors genannt. Dieser wird mit Hilfe des pythagoräischen Lehrsatzes wie folgt berechnet:

<div align="center">$\parallel \vec{v} \parallel = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2} \ $ wenn $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ ein Vektor der Dimension $n$ ist.</div>
Sehen wir uns die Grafik rechts an, können wir mit dieser Formel die Länge des zweidimensionalen Vektors $\parallel \vec{v} \parallel$ berechnen:

<div align="center">$\parallel \vec{v} \parallel = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$</div>
 Der '''Einheitsvektor''' $\vec{a_0}$ eines Vektors $\vec{a}$ ist ein zu $\vec{a}$ paralleler Vektor mit Länge 1. Rechnerisch erhält man $\vec{a_0}$, indem man $\vec{a}$ durch seine Länge dividiert.
$$ \vec{a_0}=\frac{\vec{a}}{\parallel \vec{a}\parallel}$$
bzw.
$$ \vec{a_0}=\frac{1}{\parallel\vec{a}\parallel}\cdot \vec{a}$$

Daraus ergibt sich ein Vektor, der dieselbe Richtung des ursprünglichen Vektors hat, allerdings die Länge 1 besitzt.

{{Vorlage:Merke|1=
Sei $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ ein Vektor der Dimension $n$ und $\parallel \vec{v} \parallel$ sein Betrag, dann ist $\vec{v_0} = \frac{1}{\parallel \vec{v} \parallel} \cdot \vec{v} \ $ der Einheitsvektor zu $\vec{v}$.
}}

In unserem Beispiel würde das folgendes bedeuten:

{{Vorlage:Beispiel|1= Bestimmen Sie den Einheitsvektor von $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$
|2=

<div align="center"> $\vec{v_0} = \frac{1}{\sqrt{13} } \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \frac{2}{\sqrt{13} } \\ \frac{3}{\sqrt{13} } \end{array} \right)$ </div>
}}

===Vektoren bestimmter Länge===
Da wir nun gelernt haben, Einheitsvektoren zu bilden und Vektoren mit Zahlen zu multiplizieren (und ich das hier so schön betone), könnt ihr euch vielleicht schon vorstellen, wie man aus einem beliebigen Vektor einen Vektor derselben Richtung, allerdings unterschiedlicher Länge bekommt. Wir haben also einen Vektor $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ mit der Länge $\parallel \vec{v} \parallel = k$ gegeben, und hätten gerne den Vektor $\vec{w} \ \parallel \ \vec{v}$ mit der Länge $l$. Dazu berechnen wir zuerst den Einheitsvektor $\vec{v_0}$ von $\vec{v}$ und multiplizieren diesen dann mit $l$. So erhalten wir schließlich $\vec{w} = l \cdot \vec{v_0}$.

==Mittelpunkt einer Strecke==
[[Datei:Mittelpunkt.png|thumb|300px|Mittelpunkt M der Strecke AB]]
Willst du den Mittelpunkt zwischen 2 Punkten $A$ und $B$ berechnen, musst du wie folgt vorgehen:
Zuerst berechnest du einen Vektor zwischen den Punkten ($\vec{AB}$ oder $\vec{BA}$). Dann halbierst du diesen Vektor, und erhältst $\vec{AM}$ bzw. $\vec{BM}$. Addierst du dann diesen Vektor zum entsprechenden Punkt ($A$ bzw. $B$), erhältst so den Mittelpunkt. Also:
 

<big><div align="center">$\vec{0M} = \vec{0A} + \frac{\vec{AB}}{2} = \vec{0B} + \frac{\vec{BA}}{2}$</div></big>

= Im $\mathbb{R^2}$ =
Dieser Artikel befasst sich mit der Vektorrechnung im zweidimensionalen Raum. Grundlegende Informationen zur Vektorrechnung, so wie Punkte und Vektoren, findest du unter dem Tab ''Grundlagen der Vektorrechnung''.

==Vektoren==

===Normalvektoren===
[[Datei:Normalvektoren.png|thumb|350px|Normalvektoren]]
Normalvektoren zu einem Vektor sind alle Vektoren, die normal (90°) auf den Vektor stehen. Im $\mathbb{R^2}$ gibt es zu jedem Vektor genau 2 Normalvektoren, die dieselbe Länge wie der ursprüngliche Vektor haben. Alle anderen Normalvektoren sind Vielfache eines dieser 2 Normalvektoren.

{{Vorlage:Merke | 1=Sei $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ ein Vektor, dann ist $\vec{n_1}=\left( \begin{array}{c} -y \\ x \end{array} \right)$ sein nach links gekippter, und $\vec{n_2}=\left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right)$ sein nach rechts gekippter Normalvektor.}}

 

===Skalarprodukt===
Unter dem Skalarprodukt versteht man die Multiplikation zweier Vektoren, bei der als Ergebnis ein Skalar (eine Zahl) entsteht.

{{Vorlage:Merke|1=Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren, dann ist $\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \end{array} \right) = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b$ gleich ihr Skalarprodukt.}}

 

===Winkel zwischen zwei Vektoren===
[[Datei:Winkel.png|thumb|350px|Winkel zwischen 2 Vektoren]]
<big>$$cos{\varphi} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel} = \vec{a_0} \cdot \vec{b_0}$$
bzw.
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = \parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel \cdot cos{\varphi}$$</big>

Heißt es, den Winkel zwischen 2 Vektoren/Geraden zu bestimmen, ist damit immer der kleinere Winkel gemeint. Solltest du einmal ein Ergebnis erhalten, das größer als 180° ist (nennen wir dieses Ergebnis $\varphi'$), dann ziehe dieses Ergebnis von 360° ab und du erhältst den kleineren Winkel ($\varphi = 360° - \varphi'$). 
Bei einem Winkel von $\varphi = 90°$ erhalten wir $cos{\varphi} = 0$, was bedeutet, dass auch $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$. Daraus ergibt sich das Orthogonalitätskriterium.

 

====Orthogonalitätskriterium====
{{Vorlage:Merke|1=Ergibt das Skalarprodukt zweier Vektoren $0$, so stehen diese zwei Vektoren normal zueinander (und umgekehrt!)
$$\vec{a} \cdot \vec{b} \ = \ 0 \ \Leftrightarrow \ \vec{a} \bot \vec{b}$$}}

Das ist nicht überraschend, denn multipliziert man einen Vektor $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ mit seinem Normalvektor $\vec{n}=\left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right)$ erhalten wir:
$$\vec{v} \cdot \vec{n} = \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right) = xy - yx = 0$$

 

==Geraden==
===Darstellungsformen===
Geraden lassen sich in unterschiedlichen Formen darstellen. In der Vektorrechnung ist die Parameterdarstellung populär, da man dazu nur einen Punkt und Vektor kennen muss. Die Normalform allerdings hat den Vorteil, dass man den Normalvektor zur Geraden auf einen Blick ablesen kann. Je nachdem, was man mit der Gerade vorhat, können die verschiedenen Formen ineinander umgewandelt werden.

====Parameterdarstellung====
[[Datei:Parameterdarstellung.png|thumb|350px|Parameterdarstellung einer Geraden]]
$$g: \vec{0X} = \vec{0P} + t \cdot \vec{a}$$ 
wobei
*$X \in g$ ist ein '''beliebiger''' Punkt auf der unendlichen Geraden (steht für alle Punkte auf der Geraden)
*$P \in g$ ist ein '''bekannter''' Punkt auf der Geraden
*$t \in \mathbb{R}$ ist ein freier Parameter (in der Graphik rechts $\lambda$)
*$\vec{a} \in \mathbb{R^2}$ ist ein Vektor parallel zur Geraden, der die Richtung dieser angibt ("Richtungsvektor")
 
Beachte, dass in der Parameterdarstellung keine Punkte, sondern Ortsvektoren verwendet werden! (Info zu Ortsvektoren findest du unter ''Grundlagen der Vektorrechnung''.) 
Wenn man das weiß, kann man der Einfachheit halber die Gerade auch folgendermaßen beschreiben: $g: X = P + t \cdot \vec{a}$

 
Eine andere Schreibweise ist, die Koordinaten einzeln zu betrachten und 2 Gleichungen aufzustellen:
$$g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \end{cases}$$

 

====Normalvektorform====
Hierzu benötigt man einen Normalvektor des Richtungsvektors und multipliziert dann die Geradengleichung mit diesem Normalvektor. Da $\vec{a} \cdot \vec{n} = 0$, bleibt über:

Sei $g: \vec{0X} = \vec{0P} + t \cdot \vec{a}$ eine Gerade in Parameterform, so ist 

<div align="center">$g: \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x_P \\ y_P \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right)$</div> 

dieselbe Gerade in Normalform, wobei $\vec{0X}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right), \ \vec{0P}=\left( \begin{array}{c} x_P \\ y_P \end{array} \right), \ \vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right)$ und $\vec{n}=\left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right)$ ein Normalvektor von $\vec{a}$ (hier kann man natürlich auch den anderen Normalvektor verwenden).

 

====Allgemeine Geradengleichung====
Diese Form der Darstellung heißt auch Normalform, da man den Normalvektor der Gerade direkt ablesen kann.Um von der Parameterdarstellung auf diese Form zu kommen, gibt es 2 Möglichkeiten:

'''1. Multiplikation mit Normalvektor:'''
Hierzu muss man einfach die Normalform ausmultiplizieren und es ergibt sich: 

$$g: y_a \cdot x + -x_a \cdot y = y_a \cdot x_P + -x_a \cdot y_P$$
 

'''2. Elimination des Parameters:'''
Hierbei gehen wir von der Geradenform $g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \end{cases}$ aus, eliminieren $t$, und kommen ebenfalls auf die obige allgemeine Geradengleichung.
Auf der rechten Seite der Gleichung stehen nur bekannte Größen, auf der linken Seiten stehen Vielfache von x und y. Diese Gleichung kann man weiter auch auf die Form y=kx+d umformen.

 

===Lagebeziehungen zwischen Geraden===
Mehrere Geraden können im $\mathbb{R^2}$

*ident sein, d.h. sie haben unendlich viele gemeinsame Punkte
*parallel sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt
*einander schneiden, d.h. sie haben genau ein gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt)
 
Sind uns 2 Geraden in '''Parameterdarstellung''' gegeben, betrachten wir zuerst ihre Richtungsvektoren. 
Sind diese parallel zueinander, so sind auch die Geraden parallel zueinander. Nun bleibt noch die Frage offen, ob die Geraden ident sind. Dazu überprüfen wir einfach, ob der gegebene Punkt der einen Geraden auch auf der anderen Geraden liegt. Dazu Setzen wir den bekannten Punkt der einen Geraden für den unbekannten Punkt der anderen Geraden ein und erhalten 2 Gleichungen in einer Unbekannten (Parameter der zweiten Gerade). Erhalten wir nun für den Parameter zweimal dasselbe Ergebnis, so sind die 2 Geraden ident, erhalten wir unterschiedliche Ergebnisse, so sind sie nur parallel. 
Sind die Richtungsvektoren nicht parallel zueinander, so sind es auch die 2 Geraden nicht, und wir können uns sicher sein, dass diese einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen.
Doch wie erhalten wir den Schnittpunkt? Ganz einfach, indem wir die 2 Geraden schneiden. Dazu müssen wir sie gleichsetzen, und dann das dadurch erhaltene Gleichungssystem in 2 Unbekannten (die 2 Parameter) lösen. Wenn wir den Wert eines Parameters ausgerechnet haben, setzen wir ihn einfach in die entsprechende Geradengleichung ein und erhalten so den Schnittpunkt!

 

Sind die 2 Geraden in der '''allgemeinen Geradenform''' gegeben, so haben wir bereits 2 Gleichungen gegeben, die wir nach x und y auflösen. Dieses x und y sind die Koordinaten des Schnittpunktes.

 

Um das Schneiden von Geraden besser zu verstehen, schau dir das Lösen von [[ Gleichungssysteme (2.7.) |Gleichungssystemen]] genauer an, wirf einen Blick auf die Beispiele zum $\mathbb{R^2}$ unter dem Tab 'Beispiele', oder sieh dir dieses Video an:

<div align="center">{{#ev:youtube|ZrFE3LRisn0}}</div>

 

===Normalabstand Punkt - Gerade===
[[Datei:Normalabstand.gif|right]]
Gegeben sei ein Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und eine Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$. Um den Normalabstand $d(Q,g)$ zwischen Q und g zu berechnen, gehe wie folgt vor:
{{Vorlage:Merke|1=1. Bestimme die Gerade $q: X = Q + s \cdot \vec{n}$, die durch $Q$ geht und den Normalvektor $\vec{n}$ von $\vec{a}$ als Richtungsvektor besitzt.
2. Schneide $g$ und $q$ und die erhältst ihren Schnittpunkt $S$. 
3. Berechne $\parallel \vec{QS} \parallel$.}}
In der Graphik rechts hätten wir z.B. die Angabe $g: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right) + \lambda \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array} \right)$ und $Q(3/4)$. Du kannst das zur Übung durchrechnen.

 

====Hesse'sche Abstandsformel====
Mithilfe dieser Formel kann man ebenfalls den Abstand $d(Q,g)$ zwischen Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$ bestimmen. 
<big>$d(Q,g) = | \vec{PQ} \cdot \vec{n_0} | $</big>, wobei $\vec{n_0}$ der normierte (Länge 1) Normalvektor des Richtungsvektors $\vec{a}$ der Geraden $g$ ist.

 

====Spiegelung eines Punktes an einer Geraden====
[[Datei:Spiegeln.png|thumb|250px|Gespiegelter Punkt Q']]
Gegeben sei ein Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und eine Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$. Es gilt den Punkt $Q$ an der Gerade $g$ zu spiegeln, und so den Punkt $Q'$ zu erhalten. Dazu befolgst du die Vorgehensweise von "Normalabstand Punkt - Gerade" bis du den Vektor $\vec{QS}$ erhältst, und trägst diesen vom Punkt $S$ ab, also: 
$Q' = S + \vec{QS}$

= Im $\mathbb{R^3}$ =

== Vektoren ==

=== Kreuzprodukt ===
Im $\mathbb{R^3}$ gibt es neben dem Skalarprodukt, bei dem wir als Ergebnis ein Skalar erhalten, eine weitere Möglichkeit, zwei Vektoren mit einander zu multiplizieren: das sog. Kreuz- oder Vektorprodukt, bei dem wir als Ergebnis einen Vektor erhalten.
{{Vorlage:Merke|1=Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren des $\mathbb{R^3}$, dann ist ihr Kreuzprodukt
$$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} y_a \cdot z_b - z_a \cdot y_b \\ z_a \cdot x_b - x_a \cdot z_b \\ x_a \cdot y_b - y_a \cdot x_b \end{array} \right)$$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ -3 \end{array} \right)$, gesucht ist ihr Kreuzprodukt.
|2=$$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \cdot (-3) - 3 \cdot 4 \\ 3 \cdot 5 - 1 \cdot (-3) \\ 1 \cdot 4 - 2 \cdot 5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-6) - 12 \\ 15 - (-3) \\ 4 - 10 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -18 \\ 18 \\ -6 \end{array} \right)$$}}

Wozu wir das Kreuzprodukt überhaupt benötigen, sehen wir an den nächsten 2 Punkten.

 

==== Normalvektoren ====
Im $\mathbb{R^3}$ gibt es zu einem Vektor unendlich viele Normalvektoren. Auf eine Ebene allerdings gibt es genau 2 Normalvektoren (wie im $\mathbb{R^2}$ auf eine Gerade). Eine Ebene wird von 2 Vektoren aufgespannt, deren Kreuzprodukt ergibt einen Normalvektor $\vec{n_1}$ auf die Ebene bzw. die zwei Vektoren; der zweite Normalvektor hat die entgegengesetzte Orientierung ($\vec{n_2} = -\vec{n_1}$). Also:
$$\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$$

 

==== Fläche eines von zwei Vektoren aufgespannten Parallelogramms oder Dreiecks ====
[[Datei:FlächeNormalvektor.png|thumb|right|ohne|250px|2 Vektoren spannen ein Dreieck bzw. Parallelogramm auf]]
 
{{Vorlage:Merke|1=Die Länge $\parallel \vec{n} \parallel = \parallel \vec{a} \times \vec{b} \parallel$ des Normalvektors $\vec{n}$ zu den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ entspricht der Maßzahl des Flächeninhaltes des Parallelogramms, das $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aufspannen (im Bild die gesamte grüne Fläche).
Die Hälfte dieser Fläche entspricht der Fläche des aufgespannten Dreiecks.}}

 

=== Skalarprodukt, Orthogonalitätskriterium, Winkel zwischen zwei Vektoren ===
Diese drei Dinge "funktionieren" im $\mathbb{R^3}$ wie im $\mathbb{R^2}$. Also hier nur eine kurze Wiederholung:
 

'''Skalarprodukt''' 
Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\z_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren, dann ist $$\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right) = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b + z_a \cdot z_b$$ gleich ihr Skalarprodukt.
 

'''Orthogonalitätskriterium''' 
Ergibt das Skalarprodukt zweier Vektoren $0$, so stehen diese zwei Vektoren normal zueinander (und umgekehrt!)
$$\vec{a} \cdot \vec{b} \ = \ 0 \ \Leftrightarrow \ \vec{a} \bot \vec{b}$$
Auch das gibt es im $\mathbb{R^3}$. Bedenke aber, dass es hier, anders als im $\mathbb{R^2}$, unendlich viele Normalvektoren auf einen Vektor gibt.
 

'''Winkel zwischen zwei Vektoren'''
$$cos{\varphi} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel} = \vec{a_0} \cdot \vec{b_0}$$

 

== Geraden ==
=== Darstellungsformen ===
==== Parameterdarstellung ====
Die Parameterdarstellung im $\mathbb{R^3}$ sieht genauso aus wie im $\mathbb{R^2}$, einziger Unterschied ist, dass unsere Punkte und Vektoren hier jeweils 3 Koordinaten haben.
$$g: X = P + t \cdot \vec{a}$$ bzw. $$g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \\ z = z_P + t \cdot z_a \end{cases}$$
Mehr Infos zu den einzelnen Komponenten findest du im Tab 'Im $\mathbb{R^2}$'.

 

==== Parameterfreie Darstellungsform ====
Diese besteht aus 2 Gleichungen und wir erhalten sie durch Eliminierung des Parameters.

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sei die Parameterform der Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ -4 \\ 1 \end{array} \right)$. Zuerst schreiben wir das in die 3 Koordinatengleichungen um:
$$g : \begin{cases} x = 2 + 3t \\ y = 0 - 4t \\ z = 1 + t \end{cases}$$

|2=Wir multiplizieren die erste Gleichung mit $4$ und die zweite Gleichung mit $3$ und addieren die beiden: $$+ \begin{cases} 4x = 8 + 12t \\ 3y = 0 - 12t \end{cases}$$ und erhalten so die Gleichung $4x + 3y = 8$.
Wir multiplizieren die dritte Gleichung mit $3$ und subtrahieren diese von der ersten Gleichung: $$- \begin{cases} x = 2 + 3t \\ 3z = 3 + 3t \end{cases}$$ und erhalten so die Gleichung $x - 3z = -1$.

Die parameterfreie Darstellung unserer Gerade lautet somit $$g : \begin{cases} 4x + 3y = 8 \\ x - 3z = -1 \end{cases}$$.}}

Die zwei Gleichungen in der parameterfreien Darstellung sind übrigens Ebenengleichungen. Die eigentliche Gerade ist der Schnitt dieser zwei Ebenen!

 

=== Lagebeziehungen zwischen Geraden ===
Mehrere Geraden können im $\mathbb{R^3}$

*ident sein, d.h. sie haben unendlich viele gemeinsame Punkte
*parallel sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt
*einander schneiden, d.h. sie haben genau ein gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt)
*windschief sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt und sind nicht parallel
 

Um herauszufinden, wie 2 gegebene Geraden in Parameterform zueinander stehen, gehst du am besten wie folgt vor:

'''Betrachtung der Richtungsvektoren:''' Auch im $\mathbb{R^3}$ gilt, sind die Richtungsvektoren zweier Geraden parallel zueinander (d.h. man kann einen Vektor als Vielfaches des anderen Vektors darstellen), so sind es auch die Geraden.
 

'''Fall 1: Die Vektoren sind parallel:''' Sollte sich herausstellen, dass die zwei Geraden parallel zueinander sind, überprüfst du als nächstes, ob sie einen gemeinsamen Punkt haben; am einfachsten funktioniert das, indem du den bekannten Punkt ($P$) der einen Geraden in die zweite Gerade (für den unbekannten Punkt $X$) einsetzt. Wir erhalten drei Gleichungen in einer Unbekannten (Parameter der zweiten Gerade). 
'''Fall 1a:''' Erhalten wir nun für den Parameter dreimal dasselbe Ergebnis, so sind die 2 Geraden '''ident''' (und parallel), da der überprüfte Punkt, und somit unendlich weitere, auf beiden Geraden liegen. 
'''Fall 1b:''' Erhalten wir unterschiedliche Ergebnisse, so sind sie nur '''parallel''', da der überprüfte Punkt nicht, und somit auch kein anderer, auf beiden Geraden liegen.
 

'''Fall 2: Die Vektoren sind nicht parallel:''' Nun gibt es nur noch zwei Möglichkeiten: Entweder die zwei Geraden haben einen gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt), oder sie sind windschief. 
Um das wiederum herauszufinden, setzt du die beiden Geraden gleich, d.h. du stellst ein lineares Gleichungssystem (LGS) mit drei Gleichungen und in drei Unbekannten auf, und versuchst, dieses zu lösen. 
'''Fall 2a:''' Solltest du nun eine Lösung erhalten, d.h. du erhältst den Wert für den Parameter einer der zwei Geraden (und hast diesen Wert überprüft), so weißt du, dass die zwei Geraden einander '''schneiden'''. Den Schnittpunkt erhältst du jetzt, indem du den erhaltenen Wert für den Parameter in die entsprechende Geradengleichung einsetzt. 
'''Fall 2b:''' Sollte dein LGS keine Lösung ergeben (also sich eine falsche Aussage oder ein Widerspruch ergeben, z.B. $2=13$, oder $t=4$ und $t=-1$), dann weißt du, dass deine beiden Geraden keinen Schnittpunkt haben und somit '''windschief''' sind.
 

Zum besseren Verständnis siehst du dir am besten das folgende Video und die beiden folgenden Beispiele an.

<div align="center">{{#ev:youtube|u0QoYlEE094}}</div>

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die beiden Geraden $g: X = \left( \begin{array}{c} 0 \\ -11 \\ -3 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right)$ und $h: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ -3 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right)$. Überprüfe deren gegenseitige Lage und gegebenenfalls ihren Schnittpunkt!|
2=Zuerst überprüfen wir die Richtungsvektoren der beiden Geraden, um festzustellen, ob diese parallel zueinander sind oder nicht:
$$\nexists \lambda : \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) = \lambda \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) \nparallel \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g \nparallel h$$
$g$ und $h$ sind also nicht parallel. Sie können also noch entweder einander schneiden oder windschief sein. Stellen wir nun ein LGS auf, indem wir die beiden Geraden gleichsetzen:
$$\begin{align}
I: \ &&&s&=&2&+&t \\
II: \ &-11&+&2s&=&3&-&3t \\
III: \ &-3&+&s&=&-3&+&2t
\end{align}$$ 
Wir subtrahieren $III$ von $I$: $- \begin{cases} &s &=& 2 + t \\ -3 + &s &=& -3 + 2t \end{cases} \ \rightarrow \ 3 = 5 - t \Rightarrow t = 2$ 
Wir überprüfen dieses Ergebnis für $t$, indem wir $t=2$ in alle 3 Gleichungen einsetzen. Wir sehen dann, dass wir überall dasselbe Ergebnis für $s$ erhalten, nämlich $s=4$. Daraus folgt, dass die Geraden einander '''schneiden'''. Setzen wir nun $t=2$ oder $s=4$ in die entsprechende Geradengleichung, so erhalten wir den Schnittpunkt $S(4/-3/1)$ der beiden Geraden.}}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die beiden Geraden $g: X = \left( \begin{array}{c} 3 \\ -2 \\ 0 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right)$ und $h: X = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$. Überprüfe deren gegenseitige Lage und ggf. ihren Schnittpunkt!|
2=Zuerst überprüfen wir wieder die Richtungsvektoren der beiden Geraden:
$$\nexists \lambda : \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) = \lambda \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) \nparallel \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g \nparallel h$$
Nun stellen wir wieder ein LGS auf:
$$\begin{align}
I: \ &3&+&2s&=&4&-&t \\
II: \ &-2&-&2s&=&3&& \\
III: \ &&&s&=&1&+&t
\end{align}$$ 
Aus der zweiten Gleichung lässt sich direkt berechnen, dass $s=- \frac{5}{2}$. Dies setzen wir nun in die erste und zweite Gleichung ein und erhalten einmal $3 - 5 = 4 - t \ \Rightarrow \ t=6$ und einmal $- \frac{5}{2} = 1 + t \ \Rightarrow \ t=- \frac{7}{2}$. Diese beiden Werte für $t$ sind offensichtlich voneinander unterschiedlich, daraus folgt, dass die beiden Geraden $g$ und $h$ '''windschief''' sind.
}}
 

== Ebenen ==
Eine Ebene ist durch 3 Punkte oder 1 Punkt und 2 (voneinander linear unabhängigen) Vektoren eindeutig festgelegt.
=== Darstellungsformen ===
==== Parameterdarstellung ====
[[Datei:ebene2.png|thumb|right|350px|von Punkt und Vektoren aufgespannte Ebene]]
$$\epsilon : X = P + s \cdot \vec{a} + t \cdot \vec{b}$$
bzw.
$$\epsilon : \begin{cases} x = x_P + s \cdot x_a + t \cdot x_b \\ y = y_P + s \cdot y_a + t \cdot y_b \\ z = z_P + s \cdot z_a + t \cdot z_b \end{cases}$$
wobei
*$X \in \epsilon$ ist ein '''beliebiger''' Punkt auf der unendlichen Ebene
*$P \in \epsilon$ ist ein '''bekannter''' Punkt auf der Ebene
*$s, t \in \mathbb{R}$ sind freie Parameter
*$\vec{a}, \vec{b} \in \mathbb{R^3}$ sind zwei Vektoren, die parallel zur Ebene liegen

 

==== Normalvektorform ====
Man multipliziert die Parameterdarstellung der Ebene mit ihrem Normalvektor $\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$ und erhält
$$\vec{n} \cdot \vec{X} = \vec{n} \cdot \vec{P}$$

 

==== Allgemeine Ebenengleichung ====
$$ax + by + cz = d$$
Diese Form der Darstellung heißt auch Normalform, da man den Normalvektor der Ebene direkt ablesen kann. Um von der Parameterdarstellung auf diese Form zu kommen, gibt es 2 Möglichkeiten:

'''1. Multiplikation mit Normalvektor:'''
Hierzu muss man einfach die Normalform ausmultiplizieren und es ergibt sich: 

$$\epsilon: x_n \cdot x + y_n \cdot y + z_n \cdot z = x_n \cdot x_P + y_n \cdot y_P + z_n \cdot z_P$$
 

'''2. Elimination des Parameters:'''
Hierbei gehen wir von der Ebenengleichung $\epsilon : \begin{cases} x = x_P + s \cdot x_a + t \cdot x_b \\ y = y_P + s \cdot y_a + t \cdot y_b \\ z = z_P + s \cdot z_a + t \cdot z_b \end{cases}$ aus, eliminieren $s$ und $t$, und kommen ebenfalls auf die obige allgemeine Ebenengleichung.

 

Zur Veranschaulichung ein Beispiel zu den verschiedenen Darstellungsformen:
{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die drei Punkte $A(1/1/1), B(-1/-4/2), C(0/3/-1)$. Gib die Ebene, die diese drei Punkte aufspannen, in Parameterform, Normalform und allgemeiner Ebenengleichung an!|
2=Für die Parameterform berechnen wir erst zwei beliebige Vektoren aus den 3 Punkten, z.B. $\vec{AB} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{AC} = \left( \begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right)$. Als Parameterform erhalten wir schließlich:
$$\epsilon: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right)$$ 
Um auf die Normalform zu kommen, bestimmen wir als erstes den Normalvektor der Ebenen: $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-5) \cdot (-2) - 1 \cdot 2 \\ 1 \cdot (-1) - (-2) \cdot (-2) \\ (-2) \cdot 2 - (-5) \cdot (-1) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right)$. 
Nun die Parametergleichung mit dem Normalvektor multiplizieren und wir erhalten auch die Normalform:
$$\epsilon: \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)$$ 
Um nun noch die allg. Ebenenform zu erhalten, multipliziert man am einfachsten die Normalform aus und erhält:
$$\epsilon: 8x - 5y -9z =-6$$ 
Aber auch die Elimination der Parameter soll hier gezeigt werden. Wir gehen aus von: $$\epsilon : \begin{cases} x = 1 - 2s - t \\ y = 1 - 5s + 2t \\ z = 1 + s - 2t\end{cases}$$
Addieren wir die y- und die z-Gleichung, können wir $t$ eliminieren: $+ \begin{cases} y = 1 - 5s + 2t \\ z = 1 + s - 2t \end{cases} \ \Rightarrow \ y + z = 2 - 4s$. 
Wir können $t$ ebenfalls eliminieren, indem wir die y-Gleichung zum 2-fachen der x-Gleichung addieren: $+ \begin{cases} 2x = 2 - 4s - 2t \\ y = 1 - 5s + 2t \end{cases} \ \Rightarrow \ 2x + y = 3 -9s$. 
Nun haben wir zwei Gleichungen, die nur mehr von $s$ abhängig sind. Um diesen Parameter nun auch noch zu eliminieren, multiplizieren wir die erste Gleichung mit $(-9)$ und die zweite mit $4$ und addieren diese, um nochmals auf die allg. Ebenengleichung zu kommen.
$$+ \begin{cases} 8x + 4y = 12 - 36s \\ -9y - 9z = -18 + 36s \end{cases} \ \Rightarrow \ \epsilon: 8x - 5y -9z =-6$$
}}

=== Lagebeziehungen ===
==== ...zwischen zwei Ebenen ====
Zwei Ebenen können im $\mathbb{R^3}$
*ident sein: die Ebenengleichungen (allg. Form) sind Vielfache voneinander; 
z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : 2x + 2y + 2z = 6 \Rightarrow \epsilon _2 = 2 \cdot \epsilon _1$
*parallel sein: die Normalvektoren der Ebenen sind Vielfache voneinander; 
z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : 2x + 2y + 2z = 5 \Rightarrow \vec{n_2} = 2 \cdot \vec{n_1}$
*einander schneiden (in einer Gerade): die Normalvektoren der Ebenen sind keine Vielfache voneinander; 
z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : x - 3y + 2z = 1 \Rightarrow \nexists \lambda \in \mathbb{R} : \vec{n_1} = \lambda \cdot \vec{n_2}$

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:Ebenenident2.png|2 Ebenen sind ident
Datei:Ebenenparallel2.png|2 Ebenen sind parallel
Datei:Ebenenschnittgerade2.png|2 Ebenen schneiden einander in einer Geraden
</gallery>

 
'''Berechnen der Schnittgerade''' 
Erkennt man durch Betrachtung der Normalvektoren zweier Ebenen, dass diese einander schneiden müssen, so kann man diese Schnittgerade berechnen. Dazu erstellt man aus den beiden Ebenengleichungen ein lineares Gleichungssystem in 3 Unbekannten. 2 Gleichungen - 3 Unbekannte: wir werden hier nicht für alle Unbekannten einen Zahlenwert erhalten, können aber 2 Unbekannte in Abhängigkeit der dritten darstellen. Diese dritte Unbekannte wird uns als Parameter für die Darstellung der Geraden dienen. Zur Veranschaulichung ein Beispiel:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die beiden Ebenen $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : x - 3y + 2z = 1$. Wie wir weiter oben schon festgestellt haben, müssen diese Ebenen einander schneiden, da die beiden Noramlvektoren der Ebenen $\vec{n_1}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{n_2}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right)$ linear unabhängig voneinander sind, also $\nexists \lambda \in \mathbb{R} : \vec{n_1} = \lambda \cdot \vec{n_2}$. 
Wir wählen nun eine der Koordinaten als Parameter, z.B. $z=t$ und stellen das Gleichungssystem auf.

|2=
$$\begin{align}
I: \ &x&+&y&+&t&=&3 \\
II: \ &x&-&3y&+&2t&=&1
\end{align}$$

Wir subtrahieren $I-II$ und erhalten
$$4y - t = 2 \ \Rightarrow \ y = \frac{1}{2} + t \cdot \frac{1}{4}$$
Nun setzen wir unser erhaltenes $y$ in die erste Gleichung ein, um $x$ zu erhalten:

$$I: \ x + \frac{1}{2} + t \cdot \frac{1}{4} + t = 3 \ \Rightarrow \ x = \frac{5}{2} - t \cdot \frac{5}{4}$$
Somit haben wir alle Ausdrücke der Koordinaten gefunden ($z=t$ haben wir anfangs festgelegt) und können die Parameterdarstellung der Schnittgerade angeben:
$$g: X = \left( \begin{array}{c} \frac{5}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 0 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} - \frac{5}{4} \\ \frac{1}{4} \\ 1 \end{array} \right)$$
}}

 

==== ...zwischen 3 Ebenen ====
Drei Ebenen können im $\mathbb{R^3}$
*alle ident sein
*2 ident, 1 parallel sein
*alle parallel sein
*3 Schnittgeraden haben
*2 Schnittgeraden haben (2 Ebenen parallel)
*1 Schnittgerade haben
*1 Schnittpunkt haben

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:Ebenenident3.png|3 Ebenen sind ident
Datei:Ebenenidentparallel.png|2 Ebenen sind ident, 1 parallel
Datei:Ebenenparallel3.png|3 Ebenen sind parallel
Datei:Ebenenschnittgeraden33.png|3 Ebenen schneiden einander in 3 Geraden
Datei:Ebenenschnittgeraden32.png|3 Ebenen schneiden einander in 2 Geraden (2 Ebenen parallel)
Datei:Ebenenschnittgerade3.png|3 Ebenen schneiden einander in einer Gerade
Datei:Ebenenschnittgerade31.png|3 Ebenen schneiden einander in einer Gerade (2 Ebenen ident)
Datei:Ebenenschnittpunkt3.png|3 Ebenen schneiden einander in einem Punkt
</gallery>

 

==== ...zwischen Ebene und Gerade ====
Eine Ebene und eine Gerade können im $\mathbb{R^3}$
*$g \subset \epsilon$, die Gerade liegt auf der Ebene 
Hierbei haben die Gerade und die Ebene einen gemeinsamen Punkt und der Richtungsvektor der Gerade steht normal auf den Normalvektor der Ebene, daraus folgt, dass sie unendlich gemeinsame Punkte haben.
*parallel sein 
Irgendein Punkt der Gerade liegt nicht auf der Ebene, der Richtungsvektor der Gerade steht normal auf den Normalvektor der Ebene, daraus folgt, dass sie keinen einzigen gemeinsamen Punkt haben.
*1 Schnittpunkt haben 
Der Richtungsvektor der Geraden steht nicht normal auf den Normalvektor der Ebene.

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:GeradeinEbene.png|Gerade liegt auf der Ebene
Datei:GeradepararallelEbene.png|Gerade und Ebene sind parallel zueinander
Datei:GeradeSchnittpunktEbene.png|Gerade und Ebene schneiden einander (Schnittpunkt)
</gallery>

Zur Überprüfung der Lagebeziehung gibt es allerdings noch eine andere (schnellere) Methode. Hier "schneiden" wir die Gerade und die Ebene mathematisch, d.h. wir setzen sie gleich (wenn beide in Parameterform gegeben sind) oder setzen die Gerade $g$ (Parameterform) in die Ebene $\epsilon$ (allg. Ebenengleichung) ein. 
Wir erhalten dadurch ein Gleichungssystem oder eine einzelne Gleichung. 

Sei die Gerade gegeben als $g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \\ z = z_P + t \cdot z_a \end{cases}$ und die Ebene als $\epsilon : \begin{cases} x = x_Q + s \cdot x_b + u \cdot x_c \\ y = y_Q + s \cdot y_b + u \cdot y_c \\ z = z_Q + s \cdot z_b + u \cdot z_c \end{cases}$ (Parameterform) oder $\epsilon : ax + by + cz = d$ (allg. Ebenengleichung). 

Wir erhalten als Gleichungssystem durch Gleichsetzen der Gleichungen der Parameterformen:
$$\begin{cases} x_P + t \cdot x_a = x_Q + s \cdot x_b + u \cdot x_c \\ y_P + t \cdot y_a = y_Q + s \cdot y_b + u \cdot y_c \\ z_P + t \cdot z_a = z_Q + s \cdot z_b + u \cdot z_c \end{cases}$$ 
Wir erhalten durch Einsetzen der Gerade in die Ebene (allg. Ebenengleichung):
$$a \cdot (x_P + t \cdot x_a) + b \cdot (y_P + t \cdot y_a) + c \cdot (z_P + t \cdot z_a) = d$$ 

Ergibt sich hier eine wahre Aussage (z.B. $1=1$), also unendlich viele Lösungen, so liegt die Gerade in der Ebene. 
Ergibt sich eine falsche Aussage (z.B. $1=2$), also keine Lösung, so schneiden die beiden Objekte einander nicht, also sie sind parallel. 
Gibt es genau eine Lösung (z.B. $t=2$), so existiert genau ein gemeinsamer Punkt = Schnittpunkt. Diesen erhält man, indem man den ermittelten Wert für den Parameter $t$ der Geraden in die Geradengleichung einsetzt (oder, wenn die Ebene in Parameterform gegeben war, die beiden Werte für die Parameter $s$ und $u$ der Ebene in die Ebenengleichung einsetzt). Dazu 2 Beispiele, wobei wir im ersten mit der Ebene in Parameterform rechnen werden:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right)$ und die Ebene $\epsilon : X = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -1 \\ -3 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) + u \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 0 \end{array} \right)$. Stellen wir nun also unser Gleichungssystem auf:
|2=\begin{align}
I: \ & \ 1&-t&=&4& &+2u \\
II: \ &-3& &=&-1&+s&-u \\
III: \ & \ 2&+2t&=&-3&+s&
\end{align}

In der ersten Gleichung drücken wir $u$ in $t$ aus: $u = - \frac{3}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$ 
In der zweiten Gleichung drücken wir $s$ in $u$ aus: $s = -2 + u$ 
Das $u$ von oben setzen wir nun hier ein und erhalten $s$ in Abhängigkeit von $t$: $s = - \frac{7}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$. 

Dieses $s$ setzen wir nun in die dritte Gleichung ein und wir erhalten: $2 + 2t = -3 - \frac{7}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$ und in weiterer Folge $t = - \frac{17}{5}$. 
Es ergibt sich also genau eine Lösung für das Gleichungssystem, was bedeutet, dass die Gerade und die Ebene einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen. Diesen erhalten wir, indem wir den errechneten Wert für $t$ in die Geradengleichung einsetzen (Man könnte natürlich auch noch die Werte für $s$ und $u$ berechnen, und diese in die Ebenengleichung einsetzen; zur Übung kannst du das gerne tun):
$$g: S = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) - \frac{17}{5} \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \frac{23}{5} \\ -3 \\ - \frac{24}{5} \end{array} \right)$$
}} 

Betrachten wir nun dasselbe Beispiel, mit dem Unterschied, dass die Ebene in Normalform gegeben ist und wir auch gleich mit dieser Form rechnen:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right)$ und die Ebene $\epsilon : x + 2y - 2z = 8$. Wir setzen die Koordinatengleichungen der Gerade in die Normalform der Ebene:
|2= $g$ in $\epsilon$: $$1 - t - 6 - 4 -4t =8$$
Wenn wir diese Gleichung lösen, erhalten wir, wie im ersten Bespiel, $t = - \frac{17}{5}$. Dies noch in die Geradengleichung einsetzen, und wir erhalten den Schnittpunkt.}}

Da man bei der zweiten Methode meistens weniger Rechenaufwand hat, zahlt es sich oft aus die Parameterdarstellung der Ebene in die Normalform (= allg. Ebenengleichung) umzurechnen.

==Pyramidenbeispiel==
[[Datei:Pyramidebsp.png|thumb|right|350px|Pyramide]]
Gegeben seien 3 Eckpunkte $A(-2/-2/1), B(2/-2/1), C(2/2/1)$ der quadratischen Grundfläche und der Spitzpunkt $S(0/0/6)$ einer geraden (gerade bedeutet, dass die Spitze in einem rechten Winkel über dem Mittelpunkt der Grundfläche der Pyramide liegt) Pyramide.
Gesucht sind:
#der vierte Eckpunkt $D$ der Grundfläche
#die Parameterdarstellung der Trägergeraden $h$ der Höhe
#die Fläche der Grundfläche
#die Geradengleichung der Geraden $g_{AS}$ auf der $A$ und $S$ liegen in Parameterform und parameterfreien Form
#Der Winkel $\alpha$ zwischen den Vektoren $\vec{AS}$ und $\vec{AC}$
#Zeige, dass der Schnittpunkt der Geraden $g_{AS}$ und $h$ gleich die Spitze $S$ ist
#Gib die Ebenengleichung $\epsilon$ der Grundfläche in Parameterform, Normalform und allgemeiner Ebenengleichung an
#Berechne den Fußpunkt $M$ der Höhe, indem du $h$ und $\epsilon$ schneidest

#$D = A + \vec{BC} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -2 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right)$
#$h: X = S + t \cdot \vec{h}$
$$\vec{AB} \times \vec{BC} = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 16 \end{array} \right) \ \parallel \ \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) = \vec{h}$$
$$h: X = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$$
#$G = \parallel \vec{AB} \times \vec{BC} \parallel = \parallel \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 16 \end{array} \right) \parallel = 16FE$

= Beispiele =
Hier findest du Beispiele zu den behandelten Themen:

===Grundlagen der Vektorrechnung===
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/9/99/VektorrechnungGLBspAngabe.pdf VektorrechnungGLBspAngabe.pdf]
 
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/0/00/VektorrechnungGLBspL%C3%B6sung.pdf VektorrechnungGLBspLösung.pdf]

===Vektorrechnung im $\mathbb{R^2}$===
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/7/7f/VektorrechnungR2BspAngabe.pdf VektorrechnungR2BspAngabe.pdf]
 
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/f/ff/VektorrechnungR2BspL%C3%B6sung.pdf VektorrechnungR2BspLösung.pdf]

Datei:Pyramidebsp.png

2016-03-09T12:57:13Z

Lajtos: User created page with UploadWizard

=={{int:filedesc}}==
{{Information
|description={{en|1=Pyramide}}
|date=2016-03-09
|source={{own}}
|author=[[User:Lajtos|Lajtos]]
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=={{int:license-header}}==
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[[Kategorie:Uploaded with UploadWizard]]
[[Kategorie:Vektorrechnung]]

Vektorrechnung

2016-03-08T20:31:56Z

Lajtos: /* Pyramidenbeispiel */

= Grundlagen der Vektorrechnung =

==Koordinatensystem==
[[Datei:Koordinatengitter.png|thumb|right|350px|Koordinatengitter im $\mathbb{R^2}$ mit den 4 Quadranten]]

Für die Vektorrechnung sind Koordinatensysteme essentiell.
Im zweidimensionalen Raum besitzt ein Koordinatensystem 2 Achsen:

* die x-Achse (waagrecht) und
* die y-Achse (senkrecht)

 
Diese sind unendlich lang und Spannen die vier sogenannten Quadranten auf, die meist mit den römischen Ziffern I-IV beschriftet werden (gesprochen: Erster Quadrant, Zweiter Quadrant etc.). Die rechte Graphik zeigt die die Position der Quadranten. Dort, wo die 2 Achsen einander treffen, liegt der sog. Ursprung (kurz: $\vec{0}$); seine Koordinaten sind (0/0).

Was es außerdem noch zu beachten gibt, hast du vielleicht bereits selbst erkannt:
An den gegenüberliegenden Seiten der x- und y-Achsen werden unterschiedliche Vorzeichen verwendet. So spricht man "links" des Ursprungs von der negativen, bzw. "rechts" des Ursprungs von der positiven x-Achse. Analog spricht man "oben" und "unten" von der positiven und negativen y-Achse.

Im dreidimensionalen Raum kommt eine dritte Achse - die z-Achse - dazu. Punkte und Vektoren besitzen dementsprechend dann auch 3 Koordinaten. Dies kann man bis ins n-dimensionale weiterführen.

==Punkte==
In ein Koordinatensystem lassen sich Punkte eintragen. Diese besitzen, entsprechend ihrer Lage, Koordinaten. Im obigen Bild z.B. haben wir die Punkte A und B, wobei sich A im ersten Quadranten befindet und B im vierten. Man schreibt: A(2/3,5) B(1/-2).

[[Datei:PunkteR2.png|thumb|right|250px|Punkte im $\mathbb{R^2}$]]

{{Vorlage:Merke |''Einen'' '''allgemeinen Punkt''' ''schreibt man an als'' $P(x_1/x_2/.../x_n)$ (im n-dimensionalen Raum $\mathbb{R^n}$) ''bzw.'' $P(x/y)$ (im 2-dimensionalen Raum $ \mathbb{R^2}$) ''oder'' $P(x/y/z)$ (im 3-dimensionalen Raum $\mathbb{R^3}$).
 
Die erste Koordinate entspricht der x-Koordinate, die zweite der y-Koordinate, die eventuelle dritte der z-Koordinate.

Punkte werden in der Regel mit Großbuchstaben bezeichnet.}}

Koordinaten von Punkten lassen sich also ganz einfach ablesen. Die x/y-Koordinate entspricht dabei dem Abstand vom Ursprung zum Punkt in Richtung der jeweiligen Koordinatenachse. So erkennen wir im Bild rechts die folgenden Punkte:

* A(2/0)
* B(0/-2)
* C(-1/2)

==Vektoren==
Vektoren kann man sich wie '' eine Menge von Pfeilen'' vorstellen. Sie besitzen eine '''Länge''' (Betrag) und eine '''Richtung'''. Auch sie bestehen, wie Punkte, je nach Dimension aus 2 bzw. 3 Koordinaten. Der Unterschied dabei ist, dass die Koordinaten hier keine Position im Koordinatensystem darstellen, sondern eine Bewegung. Auch die Schreibweise unterscheidet sich:

{{Vorlage:Merke |1=''Einen'' '''allgemeinen Vektor''' ''schreibt man an als'' $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ (im $\mathbb{R^n}$) ''bzw.'' $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ (im $\mathbb{R^2}$) oder $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right)$ (im $\mathbb{R^3}$).

Vektoren werden in der Regeln mit Kleinbuchstaben mit Pfeil darüber bezeichnet.}}

===Ortsvektoren===
[[Datei:Ortsvektor.png|thumb|right|300px|Punkt und zugehöriger Ortsvektor]]
Der Ortsvektor von einem Punkt ist der Vektor, der vom Ursprung aus auf den Punkt zeigt. Die Koordinaten bleiben deshalb gleich, es ändert sich quasi nur die Schreibweise:

Sei $A(x_1/x_2/.../x_n)$ ein Punkt in der Dimension $n$, dann ist $\vec{0A} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ dessen Ortsvektor.

 

 

 
 

=== Addition und Subtraktion von Vektoren ===
{{Vorlage:Merke|1=Wenn du Vektoren addieren oder subtrahieren möchtest, musst du dazu einfach die entsprechenden Koordinaten betrachten: 
$\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) \pm \left( \begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ ... \\ y_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x_1 \pm y_1 \\ x_2 \pm y_2 \\ ... \\ x_n \pm y_n \end{array} \right)$ 
Wichtig ist dabei, dass die Vektoren, die du addieren oder subtrahieren möchtest, derselben Dimension $n$ angehören! D.h. sie haben gleich viele Koordinaten.}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben seien die beiden Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right)$. Berechne erst $\vec{a} + \vec{b}$, dann $\vec{a} - \vec{b}$ und zuletzt $\vec{b} - \vec{a}$!
|2= $$\vec{a} + \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 5+1 \\ 2+(-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 6 \\ -1 \end{array} \right)$$
$$\vec{a} - \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 5-1 \\ 2-(-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 5 \end{array} \right)$$
$$\vec{b} - \vec{a} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 1-5 \\ -3-2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -4 \\ -5 \end{array} \right)$$}}

===Vektoren bestimmen: Spitze-minus-Schaft===
[[Datei:Spitzeschaft.png|thumb|right|300px|"Spitze minus Schaft"]]
Zwischen 2 Punkten kann man nun einen Vektor definieren. Dabei gilt: Die '''"Spitze minus Schaft"'''-Regel Im Bild rechts wollen wir den Vektor berechnen, der von A nach B geht, also den Vektor $\vec{AB}$. Der Punkt B(3/3,5) entspricht hierbei der Spitze, und der Punkt A(1/0,5) dem Schaft. Da das Rechnen mit Punkten allerdings keinen Sinn ergibt, rechnet man stattdessen mit deren Ortsvektoren (siehe oben).

Für unser Beispiel bedeutet das folgendes: $\vec{0B} - \vec{0A} = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 3,5 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0,5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 3-1 \\ 3,5-3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right) = \vec{AB}$

Beachte außerdem:

* Man schreibt der Einfachheit halber oft nur $B-A$, wenn damit eigentlich $\vec{0B} - \vec{0A}$ gemeint ist.
* $\vec{AB} = -\vec{BA}$

 

===Produkt eines Vektors mit einem Skalar===
Wenn man einen Vektor $\vec{v}$ mit einer [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)|reellen Zahl]] $k$ , einem sogenannten "Skalar", multipliziert, werden dabei die einzelnen Koordinaten mit dem Skalar multipliziert:

$k \cdot \vec{v} = k \cdot \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} k \cdot x_1 \\ k \cdot x_2 \\ ... \\ k \cdot x_n \end{array} \right)$
 

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sei der Vektor $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right)$. Multipliziere diesen einmal mit $2$ und einmal mit $-5$!
|2=$$2 \cdot \vec{a} = 2 \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \cdot 2 \\ 2 \cdot (-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -6 \end{array} \right)$$
$$(-5) \cdot \vec{a} = (-5) \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-5) \cdot 2 \\ (-5) \cdot (-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -10 \\ 15 \end{array} \right)$$}}

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[http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_vektorrechnung/MV_Vektor1/MV_Vektor1/ (Quelle dieses Applets)]

===Wie Vektoren zueinander stehen===
Vektoren können unterschiedliche Richtungen haben, aber auch parallel zueinander oder gar identisch sein. Optisch lässt sich das oft sehr leicht erkennen, rechnerisch sind diese Feststellungen allerdings ebenfalls überprüfbar.

{{Vorlage:Definition |Unter einem Vektor versteht man die Menge aller gleichlangen, gleichgerichteten und gleichorientierten Pfeile.

Der Start/Endpunkt spielen dabei keine Rolle!}}

{{Vorlage:Merke|2 Vektoren stehen parallel zueinander, wenn ein Vektor als Vielfaches des anderen Vektors angeschrieben werden kann. 
Man sagt auch: Die Vektoren sind [[linear abhängig]] (linear abhängig zu sein bedeutet, dass ein Vektor als Vielfaches eines anderen Vektors dargestellt werden kann).}}

Sehen wir uns die verschiedenen Fälle an:

{| class="wikitable"
|-
| ident: gleiche Richtung, gleiche Orientierung, gleiche Länge || [[Datei:Vektorv1.png|none|250px]] || $\vec{v} = \vec{u} \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$ || z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$
|-
| parallel (gleiche Orientierung): gleiche Richtung, gleiche Orientierung || [[Datei:Vektorenlänge.png|none|250px]] || $\exists k>0 : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$ || z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \end{array} \right)$, $k=2$
|-
| parallel (unterschiedliche Orientierung): gleiche Richtung || [[Datei:Vektororientierung1.png|none|250px]] || $\exists k<0 : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$ || z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} -1 \\ -1 \end{array} \right)$, $k=-1$ 
aber auch: $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \end{array} \right)$, $k=-2$
|-
| linear unabhängig || [[Datei:Vektorrichtung1.png|none|250px]] || $\nexists k : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \nparallel \vec{u}$ || z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)$
|}

{{Vorlage:Beispiel|1=für linear unabhängige Vektoren:

Sei $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 5 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$.

Wenn es ein k gibt, sodass $k \cdot \vec{a} = \vec{b}$, dann sind die beiden Vektoren voneinander linear abhängig, und somit auch parallel zueinander.

Wir lösen dieses Problem mit Hilfe von 2 Gleichungen in einer Unbekannten:

|2=$I: 2k = 4 \ \ \rightarrow k=2$
$II: 5k = 3 \ \ \rightarrow k=\frac{3}{5}$

Aus der ersten Gleichung ergibt sich k=2, in der zweiten aber $k=\frac{3}{5}$. $k$ kann aber nicht beides sein, somit haben wir eine falsche Aussage erhalten. Daraus folgt, dass die beiden Vektoren '''linear unabhängig''' und somit nicht parallel zueinander sind.}}
 

===Betrag und Einheitsvektor===

[[Datei:PythagorasVektor.png|thumb|right|350px|Betrag eines Vektors; Einheitsvektor]]Wie anfangs bereits erwähnt, besitzen Vektoren eine Länge, auch '''Betrag''' eines Vektors genannt. Dieser wird mit Hilfe des pythagoräischen Lehrsatzes wie folgt berechnet:

<div align="center">$\parallel \vec{v} \parallel = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2} \ $ wenn $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ ein Vektor der Dimension $n$ ist.</div>
Sehen wir uns die Grafik rechts an, können wir mit dieser Formel die Länge des zweidimensionalen Vektors $\parallel \vec{v} \parallel$ berechnen:

<div align="center">$\parallel \vec{v} \parallel = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$</div>
 Der '''Einheitsvektor''' $\vec{a_0}$ eines Vektors $\vec{a}$ ist ein zu $\vec{a}$ paralleler Vektor mit Länge 1. Rechnerisch erhält man $\vec{a_0}$, indem man $\vec{a}$ durch seine Länge dividiert.
$$ \vec{a_0}=\frac{\vec{a}}{\parallel \vec{a}\parallel}$$
bzw.
$$ \vec{a_0}=\frac{1}{\parallel\vec{a}\parallel}\cdot \vec{a}$$

Daraus ergibt sich ein Vektor, der dieselbe Richtung des ursprünglichen Vektors hat, allerdings die Länge 1 besitzt.

{{Vorlage:Merke|1=
Sei $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ ein Vektor der Dimension $n$ und $\parallel \vec{v} \parallel$ sein Betrag, dann ist $\vec{v_0} = \frac{1}{\parallel \vec{v} \parallel} \cdot \vec{v} \ $ der Einheitsvektor zu $\vec{v}$.
}}

In unserem Beispiel würde das folgendes bedeuten:

{{Vorlage:Beispiel|1= Bestimmen Sie den Einheitsvektor von $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$
|2=

<div align="center"> $\vec{v_0} = \frac{1}{\sqrt{13} } \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \frac{2}{\sqrt{13} } \\ \frac{3}{\sqrt{13} } \end{array} \right)$ </div>
}}

===Vektoren bestimmter Länge===
Da wir nun gelernt haben, Einheitsvektoren zu bilden und Vektoren mit Zahlen zu multiplizieren (und ich das hier so schön betone), könnt ihr euch vielleicht schon vorstellen, wie man aus einem beliebigen Vektor einen Vektor derselben Richtung, allerdings unterschiedlicher Länge bekommt. Wir haben also einen Vektor $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ mit der Länge $\parallel \vec{v} \parallel = k$ gegeben, und hätten gerne den Vektor $\vec{w} \ \parallel \ \vec{v}$ mit der Länge $l$. Dazu berechnen wir zuerst den Einheitsvektor $\vec{v_0}$ von $\vec{v}$ und multiplizieren diesen dann mit $l$. So erhalten wir schließlich $\vec{w} = l \cdot \vec{v_0}$.

==Mittelpunkt einer Strecke==
[[Datei:Mittelpunkt.png|thumb|300px|Mittelpunkt M der Strecke AB]]
Willst du den Mittelpunkt zwischen 2 Punkten $A$ und $B$ berechnen, musst du wie folgt vorgehen:
Zuerst berechnest du einen Vektor zwischen den Punkten ($\vec{AB}$ oder $\vec{BA}$). Dann halbierst du diesen Vektor, und erhältst $\vec{AM}$ bzw. $\vec{BM}$. Addierst du dann diesen Vektor zum entsprechenden Punkt ($A$ bzw. $B$), erhältst so den Mittelpunkt. Also:
 

<big><div align="center">$\vec{0M} = \vec{0A} + \frac{\vec{AB}}{2} = \vec{0B} + \frac{\vec{BA}}{2}$</div></big>

= Im $\mathbb{R^2}$ =
Dieser Artikel befasst sich mit der Vektorrechnung im zweidimensionalen Raum. Grundlegende Informationen zur Vektorrechnung, so wie Punkte und Vektoren, findest du unter dem Tab ''Grundlagen der Vektorrechnung''.

==Vektoren==

===Normalvektoren===
[[Datei:Normalvektoren.png|thumb|350px|Normalvektoren]]
Normalvektoren zu einem Vektor sind alle Vektoren, die normal (90°) auf den Vektor stehen. Im $\mathbb{R^2}$ gibt es zu jedem Vektor genau 2 Normalvektoren, die dieselbe Länge wie der ursprüngliche Vektor haben. Alle anderen Normalvektoren sind Vielfache eines dieser 2 Normalvektoren.

{{Vorlage:Merke | 1=Sei $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ ein Vektor, dann ist $\vec{n_1}=\left( \begin{array}{c} -y \\ x \end{array} \right)$ sein nach links gekippter, und $\vec{n_2}=\left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right)$ sein nach rechts gekippter Normalvektor.}}

 

===Skalarprodukt===
Unter dem Skalarprodukt versteht man die Multiplikation zweier Vektoren, bei der als Ergebnis ein Skalar (eine Zahl) entsteht.

{{Vorlage:Merke|1=Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren, dann ist $\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \end{array} \right) = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b$ gleich ihr Skalarprodukt.}}

 

===Winkel zwischen zwei Vektoren===
[[Datei:Winkel.png|thumb|350px|Winkel zwischen 2 Vektoren]]
<big>$$cos{\varphi} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel} = \vec{a_0} \cdot \vec{b_0}$$
bzw.
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = \parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel \cdot cos{\varphi}$$</big>

Heißt es, den Winkel zwischen 2 Vektoren/Geraden zu bestimmen, ist damit immer der kleinere Winkel gemeint. Solltest du einmal ein Ergebnis erhalten, das größer als 180° ist (nennen wir dieses Ergebnis $\varphi'$), dann ziehe dieses Ergebnis von 360° ab und du erhältst den kleineren Winkel ($\varphi = 360° - \varphi'$). 
Bei einem Winkel von $\varphi = 90°$ erhalten wir $cos{\varphi} = 0$, was bedeutet, dass auch $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$. Daraus ergibt sich das Orthogonalitätskriterium.

 

====Orthogonalitätskriterium====
{{Vorlage:Merke|1=Ergibt das Skalarprodukt zweier Vektoren $0$, so stehen diese zwei Vektoren normal zueinander (und umgekehrt!)
$$\vec{a} \cdot \vec{b} \ = \ 0 \ \Leftrightarrow \ \vec{a} \bot \vec{b}$$}}

Das ist nicht überraschend, denn multipliziert man einen Vektor $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ mit seinem Normalvektor $\vec{n}=\left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right)$ erhalten wir:
$$\vec{v} \cdot \vec{n} = \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right) = xy - yx = 0$$

 

==Geraden==
===Darstellungsformen===
Geraden lassen sich in unterschiedlichen Formen darstellen. In der Vektorrechnung ist die Parameterdarstellung populär, da man dazu nur einen Punkt und Vektor kennen muss. Die Normalform allerdings hat den Vorteil, dass man den Normalvektor zur Geraden auf einen Blick ablesen kann. Je nachdem, was man mit der Gerade vorhat, können die verschiedenen Formen ineinander umgewandelt werden.

====Parameterdarstellung====
[[Datei:Parameterdarstellung.png|thumb|350px|Parameterdarstellung einer Geraden]]
$$g: \vec{0X} = \vec{0P} + t \cdot \vec{a}$$ 
wobei
*$X \in g$ ist ein '''beliebiger''' Punkt auf der unendlichen Geraden (steht für alle Punkte auf der Geraden)
*$P \in g$ ist ein '''bekannter''' Punkt auf der Geraden
*$t \in \mathbb{R}$ ist ein freier Parameter (in der Graphik rechts $\lambda$)
*$\vec{a} \in \mathbb{R^2}$ ist ein Vektor parallel zur Geraden, der die Richtung dieser angibt ("Richtungsvektor")
 
Beachte, dass in der Parameterdarstellung keine Punkte, sondern Ortsvektoren verwendet werden! (Info zu Ortsvektoren findest du unter ''Grundlagen der Vektorrechnung''.) 
Wenn man das weiß, kann man der Einfachheit halber die Gerade auch folgendermaßen beschreiben: $g: X = P + t \cdot \vec{a}$

 
Eine andere Schreibweise ist, die Koordinaten einzeln zu betrachten und 2 Gleichungen aufzustellen:
$$g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \end{cases}$$

 

====Normalvektorform====
Hierzu benötigt man einen Normalvektor des Richtungsvektors und multipliziert dann die Geradengleichung mit diesem Normalvektor. Da $\vec{a} \cdot \vec{n} = 0$, bleibt über:

Sei $g: \vec{0X} = \vec{0P} + t \cdot \vec{a}$ eine Gerade in Parameterform, so ist 

<div align="center">$g: \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x_P \\ y_P \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right)$</div> 

dieselbe Gerade in Normalform, wobei $\vec{0X}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right), \ \vec{0P}=\left( \begin{array}{c} x_P \\ y_P \end{array} \right), \ \vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right)$ und $\vec{n}=\left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right)$ ein Normalvektor von $\vec{a}$ (hier kann man natürlich auch den anderen Normalvektor verwenden).

 

====Allgemeine Geradengleichung====
Diese Form der Darstellung heißt auch Normalform, da man den Normalvektor der Gerade direkt ablesen kann.Um von der Parameterdarstellung auf diese Form zu kommen, gibt es 2 Möglichkeiten:

'''1. Multiplikation mit Normalvektor:'''
Hierzu muss man einfach die Normalform ausmultiplizieren und es ergibt sich: 

$$g: y_a \cdot x + -x_a \cdot y = y_a \cdot x_P + -x_a \cdot y_P$$
 

'''2. Elimination des Parameters:'''
Hierbei gehen wir von der Geradenform $g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \end{cases}$ aus, eliminieren $t$, und kommen ebenfalls auf die obige allgemeine Geradengleichung.
Auf der rechten Seite der Gleichung stehen nur bekannte Größen, auf der linken Seiten stehen Vielfache von x und y. Diese Gleichung kann man weiter auch auf die Form y=kx+d umformen.

 

===Lagebeziehungen zwischen Geraden===
Mehrere Geraden können im $\mathbb{R^2}$

*ident sein, d.h. sie haben unendlich viele gemeinsame Punkte
*parallel sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt
*einander schneiden, d.h. sie haben genau ein gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt)
 
Sind uns 2 Geraden in '''Parameterdarstellung''' gegeben, betrachten wir zuerst ihre Richtungsvektoren. 
Sind diese parallel zueinander, so sind auch die Geraden parallel zueinander. Nun bleibt noch die Frage offen, ob die Geraden ident sind. Dazu überprüfen wir einfach, ob der gegebene Punkt der einen Geraden auch auf der anderen Geraden liegt. Dazu Setzen wir den bekannten Punkt der einen Geraden für den unbekannten Punkt der anderen Geraden ein und erhalten 2 Gleichungen in einer Unbekannten (Parameter der zweiten Gerade). Erhalten wir nun für den Parameter zweimal dasselbe Ergebnis, so sind die 2 Geraden ident, erhalten wir unterschiedliche Ergebnisse, so sind sie nur parallel. 
Sind die Richtungsvektoren nicht parallel zueinander, so sind es auch die 2 Geraden nicht, und wir können uns sicher sein, dass diese einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen.
Doch wie erhalten wir den Schnittpunkt? Ganz einfach, indem wir die 2 Geraden schneiden. Dazu müssen wir sie gleichsetzen, und dann das dadurch erhaltene Gleichungssystem in 2 Unbekannten (die 2 Parameter) lösen. Wenn wir den Wert eines Parameters ausgerechnet haben, setzen wir ihn einfach in die entsprechende Geradengleichung ein und erhalten so den Schnittpunkt!

 

Sind die 2 Geraden in der '''allgemeinen Geradenform''' gegeben, so haben wir bereits 2 Gleichungen gegeben, die wir nach x und y auflösen. Dieses x und y sind die Koordinaten des Schnittpunktes.

 

Um das Schneiden von Geraden besser zu verstehen, schau dir das Lösen von [[ Gleichungssysteme (2.7.) |Gleichungssystemen]] genauer an, wirf einen Blick auf die Beispiele zum $\mathbb{R^2}$ unter dem Tab 'Beispiele', oder sieh dir dieses Video an:

<div align="center">{{#ev:youtube|ZrFE3LRisn0}}</div>

 

===Normalabstand Punkt - Gerade===
[[Datei:Normalabstand.gif|right]]
Gegeben sei ein Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und eine Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$. Um den Normalabstand $d(Q,g)$ zwischen Q und g zu berechnen, gehe wie folgt vor:
{{Vorlage:Merke|1=1. Bestimme die Gerade $q: X = Q + s \cdot \vec{n}$, die durch $Q$ geht und den Normalvektor $\vec{n}$ von $\vec{a}$ als Richtungsvektor besitzt.
2. Schneide $g$ und $q$ und die erhältst ihren Schnittpunkt $S$. 
3. Berechne $\parallel \vec{QS} \parallel$.}}
In der Graphik rechts hätten wir z.B. die Angabe $g: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right) + \lambda \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array} \right)$ und $Q(3/4)$. Du kannst das zur Übung durchrechnen.

 

====Hesse'sche Abstandsformel====
Mithilfe dieser Formel kann man ebenfalls den Abstand $d(Q,g)$ zwischen Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$ bestimmen. 
<big>$d(Q,g) = | \vec{PQ} \cdot \vec{n_0} | $</big>, wobei $\vec{n_0}$ der normierte (Länge 1) Normalvektor des Richtungsvektors $\vec{a}$ der Geraden $g$ ist.

 

====Spiegelung eines Punktes an einer Geraden====
[[Datei:Spiegeln.png|thumb|250px|Gespiegelter Punkt Q']]
Gegeben sei ein Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und eine Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$. Es gilt den Punkt $Q$ an der Gerade $g$ zu spiegeln, und so den Punkt $Q'$ zu erhalten. Dazu befolgst du die Vorgehensweise von "Normalabstand Punkt - Gerade" bis du den Vektor $\vec{QS}$ erhältst, und trägst diesen vom Punkt $S$ ab, also: 
$Q' = S + \vec{QS}$

= Im $\mathbb{R^3}$ =

== Vektoren ==

=== Kreuzprodukt ===
Im $\mathbb{R^3}$ gibt es neben dem Skalarprodukt, bei dem wir als Ergebnis ein Skalar erhalten, eine weitere Möglichkeit, zwei Vektoren mit einander zu multiplizieren: das sog. Kreuz- oder Vektorprodukt, bei dem wir als Ergebnis einen Vektor erhalten.
{{Vorlage:Merke|1=Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren des $\mathbb{R^3}$, dann ist ihr Kreuzprodukt
$$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} y_a \cdot z_b - z_a \cdot y_b \\ z_a \cdot x_b - x_a \cdot z_b \\ x_a \cdot y_b - y_a \cdot x_b \end{array} \right)$$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ -3 \end{array} \right)$, gesucht ist ihr Kreuzprodukt.
|2=$$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \cdot (-3) - 3 \cdot 4 \\ 3 \cdot 5 - 1 \cdot (-3) \\ 1 \cdot 4 - 2 \cdot 5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-6) - 12 \\ 15 - (-3) \\ 4 - 10 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -18 \\ 18 \\ -6 \end{array} \right)$$}}

Wozu wir das Kreuzprodukt überhaupt benötigen, sehen wir an den nächsten 2 Punkten.

 

==== Normalvektoren ====
Im $\mathbb{R^3}$ gibt es zu einem Vektor unendlich viele Normalvektoren. Auf eine Ebene allerdings gibt es genau 2 Normalvektoren (wie im $\mathbb{R^2}$ auf eine Gerade). Eine Ebene wird von 2 Vektoren aufgespannt, deren Kreuzprodukt ergibt einen Normalvektor $\vec{n_1}$ auf die Ebene bzw. die zwei Vektoren; der zweite Normalvektor hat die entgegengesetzte Orientierung ($\vec{n_2} = -\vec{n_1}$). Also:
$$\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$$

 

==== Fläche eines von zwei Vektoren aufgespannten Parallelogramms oder Dreiecks ====
[[Datei:FlächeNormalvektor.png|thumb|right|ohne|250px|2 Vektoren spannen ein Dreieck bzw. Parallelogramm auf]]
 
{{Vorlage:Merke|1=Die Länge $\parallel \vec{n} \parallel = \parallel \vec{a} \times \vec{b} \parallel$ des Normalvektors $\vec{n}$ zu den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ entspricht der Maßzahl des Flächeninhaltes des Parallelogramms, das $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aufspannen (im Bild die gesamte grüne Fläche).
Die Hälfte dieser Fläche entspricht der Fläche des aufgespannten Dreiecks.}}

 

=== Skalarprodukt, Orthogonalitätskriterium, Winkel zwischen zwei Vektoren ===
Diese drei Dinge "funktionieren" im $\mathbb{R^3}$ wie im $\mathbb{R^2}$. Also hier nur eine kurze Wiederholung:
 

'''Skalarprodukt''' 
Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\z_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren, dann ist $$\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right) = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b + z_a \cdot z_b$$ gleich ihr Skalarprodukt.
 

'''Orthogonalitätskriterium''' 
Ergibt das Skalarprodukt zweier Vektoren $0$, so stehen diese zwei Vektoren normal zueinander (und umgekehrt!)
$$\vec{a} \cdot \vec{b} \ = \ 0 \ \Leftrightarrow \ \vec{a} \bot \vec{b}$$
Auch das gibt es im $\mathbb{R^3}$. Bedenke aber, dass es hier, anders als im $\mathbb{R^2}$, unendlich viele Normalvektoren auf einen Vektor gibt.
 

'''Winkel zwischen zwei Vektoren'''
$$cos{\varphi} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel} = \vec{a_0} \cdot \vec{b_0}$$

 

== Geraden ==
=== Darstellungsformen ===
==== Parameterdarstellung ====
Die Parameterdarstellung im $\mathbb{R^3}$ sieht genauso aus wie im $\mathbb{R^2}$, einziger Unterschied ist, dass unsere Punkte und Vektoren hier jeweils 3 Koordinaten haben.
$$g: X = P + t \cdot \vec{a}$$ bzw. $$g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \\ z = z_P + t \cdot z_a \end{cases}$$
Mehr Infos zu den einzelnen Komponenten findest du im Tab 'Im $\mathbb{R^2}$'.

 

==== Parameterfreie Darstellungsform ====
Diese besteht aus 2 Gleichungen und wir erhalten sie durch Eliminierung des Parameters.

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sei die Parameterform der Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ -4 \\ 1 \end{array} \right)$. Zuerst schreiben wir das in die 3 Koordinatengleichungen um:
$$g : \begin{cases} x = 2 + 3t \\ y = 0 - 4t \\ z = 1 + t \end{cases}$$

|2=Wir multiplizieren die erste Gleichung mit $4$ und die zweite Gleichung mit $3$ und addieren die beiden: $$+ \begin{cases} 4x = 8 + 12t \\ 3y = 0 - 12t \end{cases}$$ und erhalten so die Gleichung $4x + 3y = 8$.
Wir multiplizieren die dritte Gleichung mit $3$ und subtrahieren diese von der ersten Gleichung: $$- \begin{cases} x = 2 + 3t \\ 3z = 3 + 3t \end{cases}$$ und erhalten so die Gleichung $x - 3z = -1$.

Die parameterfreie Darstellung unserer Gerade lautet somit $$g : \begin{cases} 4x + 3y = 8 \\ x - 3z = -1 \end{cases}$$.}}

Die zwei Gleichungen in der parameterfreien Darstellung sind übrigens Ebenengleichungen. Die eigentliche Gerade ist der Schnitt dieser zwei Ebenen!

 

=== Lagebeziehungen zwischen Geraden ===
Mehrere Geraden können im $\mathbb{R^3}$

*ident sein, d.h. sie haben unendlich viele gemeinsame Punkte
*parallel sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt
*einander schneiden, d.h. sie haben genau ein gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt)
*windschief sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt und sind nicht parallel
 

Um herauszufinden, wie 2 gegebene Geraden in Parameterform zueinander stehen, gehst du am besten wie folgt vor:

'''Betrachtung der Richtungsvektoren:''' Auch im $\mathbb{R^3}$ gilt, sind die Richtungsvektoren zweier Geraden parallel zueinander (d.h. man kann einen Vektor als Vielfaches des anderen Vektors darstellen), so sind es auch die Geraden.
 

'''Fall 1: Die Vektoren sind parallel:''' Sollte sich herausstellen, dass die zwei Geraden parallel zueinander sind, überprüfst du als nächstes, ob sie einen gemeinsamen Punkt haben; am einfachsten funktioniert das, indem du den bekannten Punkt ($P$) der einen Geraden in die zweite Gerade (für den unbekannten Punkt $X$) einsetzt. Wir erhalten drei Gleichungen in einer Unbekannten (Parameter der zweiten Gerade). 
'''Fall 1a:''' Erhalten wir nun für den Parameter dreimal dasselbe Ergebnis, so sind die 2 Geraden '''ident''' (und parallel), da der überprüfte Punkt, und somit unendlich weitere, auf beiden Geraden liegen. 
'''Fall 1b:''' Erhalten wir unterschiedliche Ergebnisse, so sind sie nur '''parallel''', da der überprüfte Punkt nicht, und somit auch kein anderer, auf beiden Geraden liegen.
 

'''Fall 2: Die Vektoren sind nicht parallel:''' Nun gibt es nur noch zwei Möglichkeiten: Entweder die zwei Geraden haben einen gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt), oder sie sind windschief. 
Um das wiederum herauszufinden, setzt du die beiden Geraden gleich, d.h. du stellst ein lineares Gleichungssystem (LGS) mit drei Gleichungen und in drei Unbekannten auf, und versuchst, dieses zu lösen. 
'''Fall 2a:''' Solltest du nun eine Lösung erhalten, d.h. du erhältst den Wert für den Parameter einer der zwei Geraden (und hast diesen Wert überprüft), so weißt du, dass die zwei Geraden einander '''schneiden'''. Den Schnittpunkt erhältst du jetzt, indem du den erhaltenen Wert für den Parameter in die entsprechende Geradengleichung einsetzt. 
'''Fall 2b:''' Sollte dein LGS keine Lösung ergeben (also sich eine falsche Aussage oder ein Widerspruch ergeben, z.B. $2=13$, oder $t=4$ und $t=-1$), dann weißt du, dass deine beiden Geraden keinen Schnittpunkt haben und somit '''windschief''' sind.
 

Zum besseren Verständnis siehst du dir am besten das folgende Video und die beiden folgenden Beispiele an.

<div align="center">{{#ev:youtube|u0QoYlEE094}}</div>

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die beiden Geraden $g: X = \left( \begin{array}{c} 0 \\ -11 \\ -3 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right)$ und $h: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ -3 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right)$. Überprüfe deren gegenseitige Lage und gegebenenfalls ihren Schnittpunkt!|
2=Zuerst überprüfen wir die Richtungsvektoren der beiden Geraden, um festzustellen, ob diese parallel zueinander sind oder nicht:
$$\nexists \lambda : \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) = \lambda \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) \nparallel \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g \nparallel h$$
$g$ und $h$ sind also nicht parallel. Sie können also noch entweder einander schneiden oder windschief sein. Stellen wir nun ein LGS auf, indem wir die beiden Geraden gleichsetzen:
$$\begin{align}
I: \ &&&s&=&2&+&t \\
II: \ &-11&+&2s&=&3&-&3t \\
III: \ &-3&+&s&=&-3&+&2t
\end{align}$$ 
Wir subtrahieren $III$ von $I$: $- \begin{cases} &s &=& 2 + t \\ -3 + &s &=& -3 + 2t \end{cases} \ \rightarrow \ 3 = 5 - t \Rightarrow t = 2$ 
Wir überprüfen dieses Ergebnis für $t$, indem wir $t=2$ in alle 3 Gleichungen einsetzen. Wir sehen dann, dass wir überall dasselbe Ergebnis für $s$ erhalten, nämlich $s=4$. Daraus folgt, dass die Geraden einander '''schneiden'''. Setzen wir nun $t=2$ oder $s=4$ in die entsprechende Geradengleichung, so erhalten wir den Schnittpunkt $S(4/-3/1)$ der beiden Geraden.}}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die beiden Geraden $g: X = \left( \begin{array}{c} 3 \\ -2 \\ 0 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right)$ und $h: X = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$. Überprüfe deren gegenseitige Lage und ggf. ihren Schnittpunkt!|
2=Zuerst überprüfen wir wieder die Richtungsvektoren der beiden Geraden:
$$\nexists \lambda : \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) = \lambda \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) \nparallel \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g \nparallel h$$
Nun stellen wir wieder ein LGS auf:
$$\begin{align}
I: \ &3&+&2s&=&4&-&t \\
II: \ &-2&-&2s&=&3&& \\
III: \ &&&s&=&1&+&t
\end{align}$$ 
Aus der zweiten Gleichung lässt sich direkt berechnen, dass $s=- \frac{5}{2}$. Dies setzen wir nun in die erste und zweite Gleichung ein und erhalten einmal $3 - 5 = 4 - t \ \Rightarrow \ t=6$ und einmal $- \frac{5}{2} = 1 + t \ \Rightarrow \ t=- \frac{7}{2}$. Diese beiden Werte für $t$ sind offensichtlich voneinander unterschiedlich, daraus folgt, dass die beiden Geraden $g$ und $h$ '''windschief''' sind.
}}
 

== Ebenen ==
Eine Ebene ist durch 3 Punkte oder 1 Punkt und 2 (voneinander linear unabhängigen) Vektoren eindeutig festgelegt.
=== Darstellungsformen ===
==== Parameterdarstellung ====
[[Datei:ebene2.png|thumb|right|350px|von Punkt und Vektoren aufgespannte Ebene]]
$$\epsilon : X = P + s \cdot \vec{a} + t \cdot \vec{b}$$
bzw.
$$\epsilon : \begin{cases} x = x_P + s \cdot x_a + t \cdot x_b \\ y = y_P + s \cdot y_a + t \cdot y_b \\ z = z_P + s \cdot z_a + t \cdot z_b \end{cases}$$
wobei
*$X \in \epsilon$ ist ein '''beliebiger''' Punkt auf der unendlichen Ebene
*$P \in \epsilon$ ist ein '''bekannter''' Punkt auf der Ebene
*$s, t \in \mathbb{R}$ sind freie Parameter
*$\vec{a}, \vec{b} \in \mathbb{R^3}$ sind zwei Vektoren, die parallel zur Ebene liegen

 

==== Normalvektorform ====
Man multipliziert die Parameterdarstellung der Ebene mit ihrem Normalvektor $\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$ und erhält
$$\vec{n} \cdot \vec{X} = \vec{n} \cdot \vec{P}$$

 

==== Allgemeine Ebenengleichung ====
$$ax + by + cz = d$$
Diese Form der Darstellung heißt auch Normalform, da man den Normalvektor der Ebene direkt ablesen kann. Um von der Parameterdarstellung auf diese Form zu kommen, gibt es 2 Möglichkeiten:

'''1. Multiplikation mit Normalvektor:'''
Hierzu muss man einfach die Normalform ausmultiplizieren und es ergibt sich: 

$$\epsilon: x_n \cdot x + y_n \cdot y + z_n \cdot z = x_n \cdot x_P + y_n \cdot y_P + z_n \cdot z_P$$
 

'''2. Elimination des Parameters:'''
Hierbei gehen wir von der Ebenengleichung $\epsilon : \begin{cases} x = x_P + s \cdot x_a + t \cdot x_b \\ y = y_P + s \cdot y_a + t \cdot y_b \\ z = z_P + s \cdot z_a + t \cdot z_b \end{cases}$ aus, eliminieren $s$ und $t$, und kommen ebenfalls auf die obige allgemeine Ebenengleichung.

 

Zur Veranschaulichung ein Beispiel zu den verschiedenen Darstellungsformen:
{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die drei Punkte $A(1/1/1), B(-1/-4/2), C(0/3/-1)$. Gib die Ebene, die diese drei Punkte aufspannen, in Parameterform, Normalform und allgemeiner Ebenengleichung an!|
2=Für die Parameterform berechnen wir erst zwei beliebige Vektoren aus den 3 Punkten, z.B. $\vec{AB} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{AC} = \left( \begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right)$. Als Parameterform erhalten wir schließlich:
$$\epsilon: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right)$$ 
Um auf die Normalform zu kommen, bestimmen wir als erstes den Normalvektor der Ebenen: $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-5) \cdot (-2) - 1 \cdot 2 \\ 1 \cdot (-1) - (-2) \cdot (-2) \\ (-2) \cdot 2 - (-5) \cdot (-1) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right)$. 
Nun die Parametergleichung mit dem Normalvektor multiplizieren und wir erhalten auch die Normalform:
$$\epsilon: \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)$$ 
Um nun noch die allg. Ebenenform zu erhalten, multipliziert man am einfachsten die Normalform aus und erhält:
$$\epsilon: 8x - 5y -9z =-6$$ 
Aber auch die Elimination der Parameter soll hier gezeigt werden. Wir gehen aus von: $$\epsilon : \begin{cases} x = 1 - 2s - t \\ y = 1 - 5s + 2t \\ z = 1 + s - 2t\end{cases}$$
Addieren wir die y- und die z-Gleichung, können wir $t$ eliminieren: $+ \begin{cases} y = 1 - 5s + 2t \\ z = 1 + s - 2t \end{cases} \ \Rightarrow \ y + z = 2 - 4s$. 
Wir können $t$ ebenfalls eliminieren, indem wir die y-Gleichung zum 2-fachen der x-Gleichung addieren: $+ \begin{cases} 2x = 2 - 4s - 2t \\ y = 1 - 5s + 2t \end{cases} \ \Rightarrow \ 2x + y = 3 -9s$. 
Nun haben wir zwei Gleichungen, die nur mehr von $s$ abhängig sind. Um diesen Parameter nun auch noch zu eliminieren, multiplizieren wir die erste Gleichung mit $(-9)$ und die zweite mit $4$ und addieren diese, um nochmals auf die allg. Ebenengleichung zu kommen.
$$+ \begin{cases} 8x + 4y = 12 - 36s \\ -9y - 9z = -18 + 36s \end{cases} \ \Rightarrow \ \epsilon: 8x - 5y -9z =-6$$
}}

=== Lagebeziehungen ===
==== ...zwischen zwei Ebenen ====
Zwei Ebenen können im $\mathbb{R^3}$
*ident sein: die Ebenengleichungen (allg. Form) sind Vielfache voneinander; 
z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : 2x + 2y + 2z = 6 \Rightarrow \epsilon _2 = 2 \cdot \epsilon _1$
*parallel sein: die Normalvektoren der Ebenen sind Vielfache voneinander; 
z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : 2x + 2y + 2z = 5 \Rightarrow \vec{n_2} = 2 \cdot \vec{n_1}$
*einander schneiden (in einer Gerade): die Normalvektoren der Ebenen sind keine Vielfache voneinander; 
z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : x - 3y + 2z = 1 \Rightarrow \nexists \lambda \in \mathbb{R} : \vec{n_1} = \lambda \cdot \vec{n_2}$

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:Ebenenident2.png|2 Ebenen sind ident
Datei:Ebenenparallel2.png|2 Ebenen sind parallel
Datei:Ebenenschnittgerade2.png|2 Ebenen schneiden einander in einer Geraden
</gallery>

 
'''Berechnen der Schnittgerade''' 
Erkennt man durch Betrachtung der Normalvektoren zweier Ebenen, dass diese einander schneiden müssen, so kann man diese Schnittgerade berechnen. Dazu erstellt man aus den beiden Ebenengleichungen ein lineares Gleichungssystem in 3 Unbekannten. 2 Gleichungen - 3 Unbekannte: wir werden hier nicht für alle Unbekannten einen Zahlenwert erhalten, können aber 2 Unbekannte in Abhängigkeit der dritten darstellen. Diese dritte Unbekannte wird uns als Parameter für die Darstellung der Geraden dienen. Zur Veranschaulichung ein Beispiel:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die beiden Ebenen $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : x - 3y + 2z = 1$. Wie wir weiter oben schon festgestellt haben, müssen diese Ebenen einander schneiden, da die beiden Noramlvektoren der Ebenen $\vec{n_1}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{n_2}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right)$ linear unabhängig voneinander sind, also $\nexists \lambda \in \mathbb{R} : \vec{n_1} = \lambda \cdot \vec{n_2}$. 
Wir wählen nun eine der Koordinaten als Parameter, z.B. $z=t$ und stellen das Gleichungssystem auf.

|2=
$$\begin{align}
I: \ &x&+&y&+&t&=&3 \\
II: \ &x&-&3y&+&2t&=&1
\end{align}$$

Wir subtrahieren $I-II$ und erhalten
$$4y - t = 2 \ \Rightarrow \ y = \frac{1}{2} + t \cdot \frac{1}{4}$$
Nun setzen wir unser erhaltenes $y$ in die erste Gleichung ein, um $x$ zu erhalten:

$$I: \ x + \frac{1}{2} + t \cdot \frac{1}{4} + t = 3 \ \Rightarrow \ x = \frac{5}{2} - t \cdot \frac{5}{4}$$
Somit haben wir alle Ausdrücke der Koordinaten gefunden ($z=t$ haben wir anfangs festgelegt) und können die Parameterdarstellung der Schnittgerade angeben:
$$g: X = \left( \begin{array}{c} \frac{5}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 0 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} - \frac{5}{4} \\ \frac{1}{4} \\ 1 \end{array} \right)$$
}}

 

==== ...zwischen 3 Ebenen ====
Drei Ebenen können im $\mathbb{R^3}$
*alle ident sein
*2 ident, 1 parallel sein
*alle parallel sein
*3 Schnittgeraden haben
*2 Schnittgeraden haben (2 Ebenen parallel)
*1 Schnittgerade haben
*1 Schnittpunkt haben

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:Ebenenident3.png|3 Ebenen sind ident
Datei:Ebenenidentparallel.png|2 Ebenen sind ident, 1 parallel
Datei:Ebenenparallel3.png|3 Ebenen sind parallel
Datei:Ebenenschnittgeraden33.png|3 Ebenen schneiden einander in 3 Geraden
Datei:Ebenenschnittgeraden32.png|3 Ebenen schneiden einander in 2 Geraden (2 Ebenen parallel)
Datei:Ebenenschnittgerade3.png|3 Ebenen schneiden einander in einer Gerade
Datei:Ebenenschnittgerade31.png|3 Ebenen schneiden einander in einer Gerade (2 Ebenen ident)
Datei:Ebenenschnittpunkt3.png|3 Ebenen schneiden einander in einem Punkt
</gallery>

 

==== ...zwischen Ebene und Gerade ====
Eine Ebene und eine Gerade können im $\mathbb{R^3}$
*$g \subset \epsilon$, die Gerade liegt auf der Ebene 
Hierbei haben die Gerade und die Ebene einen gemeinsamen Punkt und der Richtungsvektor der Gerade steht normal auf den Normalvektor der Ebene, daraus folgt, dass sie unendlich gemeinsame Punkte haben.
*parallel sein 
Irgendein Punkt der Gerade liegt nicht auf der Ebene, der Richtungsvektor der Gerade steht normal auf den Normalvektor der Ebene, daraus folgt, dass sie keinen einzigen gemeinsamen Punkt haben.
*1 Schnittpunkt haben 
Der Richtungsvektor der Geraden steht nicht normal auf den Normalvektor der Ebene.

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:GeradeinEbene.png|Gerade liegt auf der Ebene
Datei:GeradepararallelEbene.png|Gerade und Ebene sind parallel zueinander
Datei:GeradeSchnittpunktEbene.png|Gerade und Ebene schneiden einander (Schnittpunkt)
</gallery>

Zur Überprüfung der Lagebeziehung gibt es allerdings noch eine andere (schnellere) Methode. Hier "schneiden" wir die Gerade und die Ebene mathematisch, d.h. wir setzen sie gleich (wenn beide in Parameterform gegeben sind) oder setzen die Gerade $g$ (Parameterform) in die Ebene $\epsilon$ (allg. Ebenengleichung) ein. 
Wir erhalten dadurch ein Gleichungssystem oder eine einzelne Gleichung. 

Sei die Gerade gegeben als $g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \\ z = z_P + t \cdot z_a \end{cases}$ und die Ebene als $\epsilon : \begin{cases} x = x_Q + s \cdot x_b + u \cdot x_c \\ y = y_Q + s \cdot y_b + u \cdot y_c \\ z = z_Q + s \cdot z_b + u \cdot z_c \end{cases}$ (Parameterform) oder $\epsilon : ax + by + cz = d$ (allg. Ebenengleichung). 

Wir erhalten als Gleichungssystem durch Gleichsetzen der Gleichungen der Parameterformen:
$$\begin{cases} x_P + t \cdot x_a = x_Q + s \cdot x_b + u \cdot x_c \\ y_P + t \cdot y_a = y_Q + s \cdot y_b + u \cdot y_c \\ z_P + t \cdot z_a = z_Q + s \cdot z_b + u \cdot z_c \end{cases}$$ 
Wir erhalten durch Einsetzen der Gerade in die Ebene (allg. Ebenengleichung):
$$a \cdot (x_P + t \cdot x_a) + b \cdot (y_P + t \cdot y_a) + c \cdot (z_P + t \cdot z_a) = d$$ 

Ergibt sich hier eine wahre Aussage (z.B. $1=1$), also unendlich viele Lösungen, so liegt die Gerade in der Ebene. 
Ergibt sich eine falsche Aussage (z.B. $1=2$), also keine Lösung, so schneiden die beiden Objekte einander nicht, also sie sind parallel. 
Gibt es genau eine Lösung (z.B. $t=2$), so existiert genau ein gemeinsamer Punkt = Schnittpunkt. Diesen erhält man, indem man den ermittelten Wert für den Parameter $t$ der Geraden in die Geradengleichung einsetzt (oder, wenn die Ebene in Parameterform gegeben war, die beiden Werte für die Parameter $s$ und $u$ der Ebene in die Ebenengleichung einsetzt). Dazu 2 Beispiele, wobei wir im ersten mit der Ebene in Parameterform rechnen werden:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right)$ und die Ebene $\epsilon : X = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -1 \\ -3 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) + u \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 0 \end{array} \right)$. Stellen wir nun also unser Gleichungssystem auf:
|2=\begin{align}
I: \ & \ 1&-t&=&4& &+2u \\
II: \ &-3& &=&-1&+s&-u \\
III: \ & \ 2&+2t&=&-3&+s&
\end{align}

In der ersten Gleichung drücken wir $u$ in $t$ aus: $u = - \frac{3}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$ 
In der zweiten Gleichung drücken wir $s$ in $u$ aus: $s = -2 + u$ 
Das $u$ von oben setzen wir nun hier ein und erhalten $s$ in Abhängigkeit von $t$: $s = - \frac{7}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$. 

Dieses $s$ setzen wir nun in die dritte Gleichung ein und wir erhalten: $2 + 2t = -3 - \frac{7}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$ und in weiterer Folge $t = - \frac{17}{5}$. 
Es ergibt sich also genau eine Lösung für das Gleichungssystem, was bedeutet, dass die Gerade und die Ebene einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen. Diesen erhalten wir, indem wir den errechneten Wert für $t$ in die Geradengleichung einsetzen (Man könnte natürlich auch noch die Werte für $s$ und $u$ berechnen, und diese in die Ebenengleichung einsetzen; zur Übung kannst du das gerne tun):
$$g: S = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) - \frac{17}{5} \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \frac{23}{5} \\ -3 \\ - \frac{24}{5} \end{array} \right)$$
}} 

Betrachten wir nun dasselbe Beispiel, mit dem Unterschied, dass die Ebene in Normalform gegeben ist und wir auch gleich mit dieser Form rechnen:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right)$ und die Ebene $\epsilon : x + 2y - 2z = 8$. Wir setzen die Koordinatengleichungen der Gerade in die Normalform der Ebene:
|2= $g$ in $\epsilon$: $$1 - t - 6 - 4 -4t =8$$
Wenn wir diese Gleichung lösen, erhalten wir, wie im ersten Bespiel, $t = - \frac{17}{5}$. Dies noch in die Geradengleichung einsetzen, und wir erhalten den Schnittpunkt.}}

Da man bei der zweiten Methode meistens weniger Rechenaufwand hat, zahlt es sich oft aus die Parameterdarstellung der Ebene in die Normalform (= allg. Ebenengleichung) umzurechnen.

==Pyramidenbeispiel==
Gegeben seien 3 Eckpunkte $A(-2/-2/1), B(2/-2/1), C(2/2/1)$ der quadratischen Grundfläche und der Spitzpunkt $S(0/0/6)$ einer geraden (gerade bedeutet, dass die Spitze in einem rechten Winkel über dem Mittelpunkt der Grundfläche der Pyramide liegt) Pyramide.
Gesucht sind:
#der vierte Eckpunkt $D$ der Grundfläche
#die Parameterdarstellung der Trägergeraden $h$ der Höhe
#die Fläche der Grundfläche
#die Geradengleichung der Geraden $g_{AS}$ auf der $A$ und $S$ liegen in Parameterform und parameterfreien Form
#Der Winkel $\alpha$ zwischen den Vektoren $\vec{AS}$ und $\vec{AC}$
#Zeige, dass der Schnittpunkt der Geraden $g_{AS}$ und $h$ gleich die Spitze $S$ ist
#Gib die Ebenengleichung $\epsilon$ der Grundfläche in Parameterform, Normalform und allgemeiner Ebenengleichung an
#Berechne den Fußpunkt $M$ der Höhe, indem du $h$ und $\epsilon$ schneidest

#$$D = A + \vec{BC} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -2 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right)$$

= Beispiele =
Hier findest du Beispiele zu den behandelten Themen:

===Grundlagen der Vektorrechnung===
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/9/99/VektorrechnungGLBspAngabe.pdf VektorrechnungGLBspAngabe.pdf]
 
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/0/00/VektorrechnungGLBspL%C3%B6sung.pdf VektorrechnungGLBspLösung.pdf]

===Vektorrechnung im $\mathbb{R^2}$===
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/7/7f/VektorrechnungR2BspAngabe.pdf VektorrechnungR2BspAngabe.pdf]
 
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/f/ff/VektorrechnungR2BspL%C3%B6sung.pdf VektorrechnungR2BspLösung.pdf]

Vektorrechnung

2016-03-08T14:34:00Z

Lajtos: /* ...zwischen Ebene und Gerade */

= Grundlagen der Vektorrechnung =

==Koordinatensystem==
[[Datei:Koordinatengitter.png|thumb|right|350px|Koordinatengitter im $\mathbb{R^2}$ mit den 4 Quadranten]]

Für die Vektorrechnung sind Koordinatensysteme essentiell.
Im zweidimensionalen Raum besitzt ein Koordinatensystem 2 Achsen:

* die x-Achse (waagrecht) und
* die y-Achse (senkrecht)

 
Diese sind unendlich lang und Spannen die vier sogenannten Quadranten auf, die meist mit den römischen Ziffern I-IV beschriftet werden (gesprochen: Erster Quadrant, Zweiter Quadrant etc.). Die rechte Graphik zeigt die die Position der Quadranten. Dort, wo die 2 Achsen einander treffen, liegt der sog. Ursprung (kurz: $\vec{0}$); seine Koordinaten sind (0/0).

Was es außerdem noch zu beachten gibt, hast du vielleicht bereits selbst erkannt:
An den gegenüberliegenden Seiten der x- und y-Achsen werden unterschiedliche Vorzeichen verwendet. So spricht man "links" des Ursprungs von der negativen, bzw. "rechts" des Ursprungs von der positiven x-Achse. Analog spricht man "oben" und "unten" von der positiven und negativen y-Achse.

Im dreidimensionalen Raum kommt eine dritte Achse - die z-Achse - dazu. Punkte und Vektoren besitzen dementsprechend dann auch 3 Koordinaten. Dies kann man bis ins n-dimensionale weiterführen.

==Punkte==
In ein Koordinatensystem lassen sich Punkte eintragen. Diese besitzen, entsprechend ihrer Lage, Koordinaten. Im obigen Bild z.B. haben wir die Punkte A und B, wobei sich A im ersten Quadranten befindet und B im vierten. Man schreibt: A(2/3,5) B(1/-2).

[[Datei:PunkteR2.png|thumb|right|250px|Punkte im $\mathbb{R^2}$]]

{{Vorlage:Merke |''Einen'' '''allgemeinen Punkt''' ''schreibt man an als'' $P(x_1/x_2/.../x_n)$ (im n-dimensionalen Raum $\mathbb{R^n}$) ''bzw.'' $P(x/y)$ (im 2-dimensionalen Raum $ \mathbb{R^2}$) ''oder'' $P(x/y/z)$ (im 3-dimensionalen Raum $\mathbb{R^3}$).
 
Die erste Koordinate entspricht der x-Koordinate, die zweite der y-Koordinate, die eventuelle dritte der z-Koordinate.

Punkte werden in der Regel mit Großbuchstaben bezeichnet.}}

Koordinaten von Punkten lassen sich also ganz einfach ablesen. Die x/y-Koordinate entspricht dabei dem Abstand vom Ursprung zum Punkt in Richtung der jeweiligen Koordinatenachse. So erkennen wir im Bild rechts die folgenden Punkte:

* A(2/0)
* B(0/-2)
* C(-1/2)

==Vektoren==
Vektoren kann man sich wie '' eine Menge von Pfeilen'' vorstellen. Sie besitzen eine '''Länge''' (Betrag) und eine '''Richtung'''. Auch sie bestehen, wie Punkte, je nach Dimension aus 2 bzw. 3 Koordinaten. Der Unterschied dabei ist, dass die Koordinaten hier keine Position im Koordinatensystem darstellen, sondern eine Bewegung. Auch die Schreibweise unterscheidet sich:

{{Vorlage:Merke |1=''Einen'' '''allgemeinen Vektor''' ''schreibt man an als'' $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ (im $\mathbb{R^n}$) ''bzw.'' $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ (im $\mathbb{R^2}$) oder $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right)$ (im $\mathbb{R^3}$).

Vektoren werden in der Regeln mit Kleinbuchstaben mit Pfeil darüber bezeichnet.}}

===Ortsvektoren===
[[Datei:Ortsvektor.png|thumb|right|300px|Punkt und zugehöriger Ortsvektor]]
Der Ortsvektor von einem Punkt ist der Vektor, der vom Ursprung aus auf den Punkt zeigt. Die Koordinaten bleiben deshalb gleich, es ändert sich quasi nur die Schreibweise:

Sei $A(x_1/x_2/.../x_n)$ ein Punkt in der Dimension $n$, dann ist $\vec{0A} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ dessen Ortsvektor.

 

 

 
 

=== Addition und Subtraktion von Vektoren ===
{{Vorlage:Merke|1=Wenn du Vektoren addieren oder subtrahieren möchtest, musst du dazu einfach die entsprechenden Koordinaten betrachten: 
$\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) \pm \left( \begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ ... \\ y_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x_1 \pm y_1 \\ x_2 \pm y_2 \\ ... \\ x_n \pm y_n \end{array} \right)$ 
Wichtig ist dabei, dass die Vektoren, die du addieren oder subtrahieren möchtest, derselben Dimension $n$ angehören! D.h. sie haben gleich viele Koordinaten.}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben seien die beiden Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right)$. Berechne erst $\vec{a} + \vec{b}$, dann $\vec{a} - \vec{b}$ und zuletzt $\vec{b} - \vec{a}$!
|2= $$\vec{a} + \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 5+1 \\ 2+(-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 6 \\ -1 \end{array} \right)$$
$$\vec{a} - \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 5-1 \\ 2-(-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 5 \end{array} \right)$$
$$\vec{b} - \vec{a} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 1-5 \\ -3-2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -4 \\ -5 \end{array} \right)$$}}

===Vektoren bestimmen: Spitze-minus-Schaft===
[[Datei:Spitzeschaft.png|thumb|right|300px|"Spitze minus Schaft"]]
Zwischen 2 Punkten kann man nun einen Vektor definieren. Dabei gilt: Die '''"Spitze minus Schaft"'''-Regel Im Bild rechts wollen wir den Vektor berechnen, der von A nach B geht, also den Vektor $\vec{AB}$. Der Punkt B(3/3,5) entspricht hierbei der Spitze, und der Punkt A(1/0,5) dem Schaft. Da das Rechnen mit Punkten allerdings keinen Sinn ergibt, rechnet man stattdessen mit deren Ortsvektoren (siehe oben).

Für unser Beispiel bedeutet das folgendes: $\vec{0B} - \vec{0A} = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 3,5 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0,5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 3-1 \\ 3,5-3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right) = \vec{AB}$

Beachte außerdem:

* Man schreibt der Einfachheit halber oft nur $B-A$, wenn damit eigentlich $\vec{0B} - \vec{0A}$ gemeint ist.
* $\vec{AB} = -\vec{BA}$

 

===Produkt eines Vektors mit einem Skalar===
Wenn man einen Vektor $\vec{v}$ mit einer [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)|reellen Zahl]] $k$ , einem sogenannten "Skalar", multipliziert, werden dabei die einzelnen Koordinaten mit dem Skalar multipliziert:

$k \cdot \vec{v} = k \cdot \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} k \cdot x_1 \\ k \cdot x_2 \\ ... \\ k \cdot x_n \end{array} \right)$
 

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sei der Vektor $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right)$. Multipliziere diesen einmal mit $2$ und einmal mit $-5$!
|2=$$2 \cdot \vec{a} = 2 \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \cdot 2 \\ 2 \cdot (-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -6 \end{array} \right)$$
$$(-5) \cdot \vec{a} = (-5) \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-5) \cdot 2 \\ (-5) \cdot (-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -10 \\ 15 \end{array} \right)$$}}

{{#widget:Iframe
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[http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_vektorrechnung/MV_Vektor1/MV_Vektor1/ (Quelle dieses Applets)]

===Wie Vektoren zueinander stehen===
Vektoren können unterschiedliche Richtungen haben, aber auch parallel zueinander oder gar identisch sein. Optisch lässt sich das oft sehr leicht erkennen, rechnerisch sind diese Feststellungen allerdings ebenfalls überprüfbar.

{{Vorlage:Definition |Unter einem Vektor versteht man die Menge aller gleichlangen, gleichgerichteten und gleichorientierten Pfeile.

Der Start/Endpunkt spielen dabei keine Rolle!}}

{{Vorlage:Merke|2 Vektoren stehen parallel zueinander, wenn ein Vektor als Vielfaches des anderen Vektors angeschrieben werden kann. 
Man sagt auch: Die Vektoren sind [[linear abhängig]] (linear abhängig zu sein bedeutet, dass ein Vektor als Vielfaches eines anderen Vektors dargestellt werden kann).}}

Sehen wir uns die verschiedenen Fälle an:

{| class="wikitable"
|-
| ident: gleiche Richtung, gleiche Orientierung, gleiche Länge || [[Datei:Vektorv1.png|none|250px]] || $\vec{v} = \vec{u} \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$ || z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$
|-
| parallel (gleiche Orientierung): gleiche Richtung, gleiche Orientierung || [[Datei:Vektorenlänge.png|none|250px]] || $\exists k>0 : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$ || z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \end{array} \right)$, $k=2$
|-
| parallel (unterschiedliche Orientierung): gleiche Richtung || [[Datei:Vektororientierung1.png|none|250px]] || $\exists k<0 : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$ || z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} -1 \\ -1 \end{array} \right)$, $k=-1$ 
aber auch: $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \end{array} \right)$, $k=-2$
|-
| linear unabhängig || [[Datei:Vektorrichtung1.png|none|250px]] || $\nexists k : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \nparallel \vec{u}$ || z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)$
|}

{{Vorlage:Beispiel|1=für linear unabhängige Vektoren:

Sei $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 5 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$.

Wenn es ein k gibt, sodass $k \cdot \vec{a} = \vec{b}$, dann sind die beiden Vektoren voneinander linear abhängig, und somit auch parallel zueinander.

Wir lösen dieses Problem mit Hilfe von 2 Gleichungen in einer Unbekannten:

|2=$I: 2k = 4 \ \ \rightarrow k=2$
$II: 5k = 3 \ \ \rightarrow k=\frac{3}{5}$

Aus der ersten Gleichung ergibt sich k=2, in der zweiten aber $k=\frac{3}{5}$. $k$ kann aber nicht beides sein, somit haben wir eine falsche Aussage erhalten. Daraus folgt, dass die beiden Vektoren '''linear unabhängig''' und somit nicht parallel zueinander sind.}}
 

===Betrag und Einheitsvektor===

[[Datei:PythagorasVektor.png|thumb|right|350px|Betrag eines Vektors; Einheitsvektor]]Wie anfangs bereits erwähnt, besitzen Vektoren eine Länge, auch '''Betrag''' eines Vektors genannt. Dieser wird mit Hilfe des pythagoräischen Lehrsatzes wie folgt berechnet:

<div align="center">$\parallel \vec{v} \parallel = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2} \ $ wenn $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ ein Vektor der Dimension $n$ ist.</div>
Sehen wir uns die Grafik rechts an, können wir mit dieser Formel die Länge des zweidimensionalen Vektors $\parallel \vec{v} \parallel$ berechnen:

<div align="center">$\parallel \vec{v} \parallel = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$</div>
 Der '''Einheitsvektor''' $\vec{a_0}$ eines Vektors $\vec{a}$ ist ein zu $\vec{a}$ paralleler Vektor mit Länge 1. Rechnerisch erhält man $\vec{a_0}$, indem man $\vec{a}$ durch seine Länge dividiert.
$$ \vec{a_0}=\frac{\vec{a}}{\parallel \vec{a}\parallel}$$
bzw.
$$ \vec{a_0}=\frac{1}{\parallel\vec{a}\parallel}\cdot \vec{a}$$

Daraus ergibt sich ein Vektor, der dieselbe Richtung des ursprünglichen Vektors hat, allerdings die Länge 1 besitzt.

{{Vorlage:Merke|1=
Sei $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ ein Vektor der Dimension $n$ und $\parallel \vec{v} \parallel$ sein Betrag, dann ist $\vec{v_0} = \frac{1}{\parallel \vec{v} \parallel} \cdot \vec{v} \ $ der Einheitsvektor zu $\vec{v}$.
}}

In unserem Beispiel würde das folgendes bedeuten:

{{Vorlage:Beispiel|1= Bestimmen Sie den Einheitsvektor von $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$
|2=

<div align="center"> $\vec{v_0} = \frac{1}{\sqrt{13} } \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \frac{2}{\sqrt{13} } \\ \frac{3}{\sqrt{13} } \end{array} \right)$ </div>
}}

===Vektoren bestimmter Länge===
Da wir nun gelernt haben, Einheitsvektoren zu bilden und Vektoren mit Zahlen zu multiplizieren (und ich das hier so schön betone), könnt ihr euch vielleicht schon vorstellen, wie man aus einem beliebigen Vektor einen Vektor derselben Richtung, allerdings unterschiedlicher Länge bekommt. Wir haben also einen Vektor $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ mit der Länge $\parallel \vec{v} \parallel = k$ gegeben, und hätten gerne den Vektor $\vec{w} \ \parallel \ \vec{v}$ mit der Länge $l$. Dazu berechnen wir zuerst den Einheitsvektor $\vec{v_0}$ von $\vec{v}$ und multiplizieren diesen dann mit $l$. So erhalten wir schließlich $\vec{w} = l \cdot \vec{v_0}$.

==Mittelpunkt einer Strecke==
[[Datei:Mittelpunkt.png|thumb|300px|Mittelpunkt M der Strecke AB]]
Willst du den Mittelpunkt zwischen 2 Punkten $A$ und $B$ berechnen, musst du wie folgt vorgehen:
Zuerst berechnest du einen Vektor zwischen den Punkten ($\vec{AB}$ oder $\vec{BA}$). Dann halbierst du diesen Vektor, und erhältst $\vec{AM}$ bzw. $\vec{BM}$. Addierst du dann diesen Vektor zum entsprechenden Punkt ($A$ bzw. $B$), erhältst so den Mittelpunkt. Also:
 

<big><div align="center">$\vec{0M} = \vec{0A} + \frac{\vec{AB}}{2} = \vec{0B} + \frac{\vec{BA}}{2}$</div></big>

= Im $\mathbb{R^2}$ =
Dieser Artikel befasst sich mit der Vektorrechnung im zweidimensionalen Raum. Grundlegende Informationen zur Vektorrechnung, so wie Punkte und Vektoren, findest du unter dem Tab ''Grundlagen der Vektorrechnung''.

==Vektoren==

===Normalvektoren===
[[Datei:Normalvektoren.png|thumb|350px|Normalvektoren]]
Normalvektoren zu einem Vektor sind alle Vektoren, die normal (90°) auf den Vektor stehen. Im $\mathbb{R^2}$ gibt es zu jedem Vektor genau 2 Normalvektoren, die dieselbe Länge wie der ursprüngliche Vektor haben. Alle anderen Normalvektoren sind Vielfache eines dieser 2 Normalvektoren.

{{Vorlage:Merke | 1=Sei $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ ein Vektor, dann ist $\vec{n_1}=\left( \begin{array}{c} -y \\ x \end{array} \right)$ sein nach links gekippter, und $\vec{n_2}=\left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right)$ sein nach rechts gekippter Normalvektor.}}

 

===Skalarprodukt===
Unter dem Skalarprodukt versteht man die Multiplikation zweier Vektoren, bei der als Ergebnis ein Skalar (eine Zahl) entsteht.

{{Vorlage:Merke|1=Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren, dann ist $\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \end{array} \right) = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b$ gleich ihr Skalarprodukt.}}

 

===Winkel zwischen zwei Vektoren===
[[Datei:Winkel.png|thumb|350px|Winkel zwischen 2 Vektoren]]
<big>$$cos{\varphi} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel} = \vec{a_0} \cdot \vec{b_0}$$
bzw.
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = \parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel \cdot cos{\varphi}$$</big>

Heißt es, den Winkel zwischen 2 Vektoren/Geraden zu bestimmen, ist damit immer der kleinere Winkel gemeint. Solltest du einmal ein Ergebnis erhalten, das größer als 180° ist (nennen wir dieses Ergebnis $\varphi'$), dann ziehe dieses Ergebnis von 360° ab und du erhältst den kleineren Winkel ($\varphi = 360° - \varphi'$). 
Bei einem Winkel von $\varphi = 90°$ erhalten wir $cos{\varphi} = 0$, was bedeutet, dass auch $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$. Daraus ergibt sich das Orthogonalitätskriterium.

 

====Orthogonalitätskriterium====
{{Vorlage:Merke|1=Ergibt das Skalarprodukt zweier Vektoren $0$, so stehen diese zwei Vektoren normal zueinander (und umgekehrt!)
$$\vec{a} \cdot \vec{b} \ = \ 0 \ \Leftrightarrow \ \vec{a} \bot \vec{b}$$}}

Das ist nicht überraschend, denn multipliziert man einen Vektor $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ mit seinem Normalvektor $\vec{n}=\left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right)$ erhalten wir:
$$\vec{v} \cdot \vec{n} = \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right) = xy - yx = 0$$

 

==Geraden==
===Darstellungsformen===
Geraden lassen sich in unterschiedlichen Formen darstellen. In der Vektorrechnung ist die Parameterdarstellung populär, da man dazu nur einen Punkt und Vektor kennen muss. Die Normalform allerdings hat den Vorteil, dass man den Normalvektor zur Geraden auf einen Blick ablesen kann. Je nachdem, was man mit der Gerade vorhat, können die verschiedenen Formen ineinander umgewandelt werden.

====Parameterdarstellung====
[[Datei:Parameterdarstellung.png|thumb|350px|Parameterdarstellung einer Geraden]]
$$g: \vec{0X} = \vec{0P} + t \cdot \vec{a}$$ 
wobei
*$X \in g$ ist ein '''beliebiger''' Punkt auf der unendlichen Geraden (steht für alle Punkte auf der Geraden)
*$P \in g$ ist ein '''bekannter''' Punkt auf der Geraden
*$t \in \mathbb{R}$ ist ein freier Parameter (in der Graphik rechts $\lambda$)
*$\vec{a} \in \mathbb{R^2}$ ist ein Vektor parallel zur Geraden, der die Richtung dieser angibt ("Richtungsvektor")
 
Beachte, dass in der Parameterdarstellung keine Punkte, sondern Ortsvektoren verwendet werden! (Info zu Ortsvektoren findest du unter ''Grundlagen der Vektorrechnung''.) 
Wenn man das weiß, kann man der Einfachheit halber die Gerade auch folgendermaßen beschreiben: $g: X = P + t \cdot \vec{a}$

 
Eine andere Schreibweise ist, die Koordinaten einzeln zu betrachten und 2 Gleichungen aufzustellen:
$$g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \end{cases}$$

 

====Normalvektorform====
Hierzu benötigt man einen Normalvektor des Richtungsvektors und multipliziert dann die Geradengleichung mit diesem Normalvektor. Da $\vec{a} \cdot \vec{n} = 0$, bleibt über:

Sei $g: \vec{0X} = \vec{0P} + t \cdot \vec{a}$ eine Gerade in Parameterform, so ist 

<div align="center">$g: \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x_P \\ y_P \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right)$</div> 

dieselbe Gerade in Normalform, wobei $\vec{0X}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right), \ \vec{0P}=\left( \begin{array}{c} x_P \\ y_P \end{array} \right), \ \vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right)$ und $\vec{n}=\left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right)$ ein Normalvektor von $\vec{a}$ (hier kann man natürlich auch den anderen Normalvektor verwenden).

 

====Allgemeine Geradengleichung====
Diese Form der Darstellung heißt auch Normalform, da man den Normalvektor der Gerade direkt ablesen kann.Um von der Parameterdarstellung auf diese Form zu kommen, gibt es 2 Möglichkeiten:

'''1. Multiplikation mit Normalvektor:'''
Hierzu muss man einfach die Normalform ausmultiplizieren und es ergibt sich: 

$$g: y_a \cdot x + -x_a \cdot y = y_a \cdot x_P + -x_a \cdot y_P$$
 

'''2. Elimination des Parameters:'''
Hierbei gehen wir von der Geradenform $g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \end{cases}$ aus, eliminieren $t$, und kommen ebenfalls auf die obige allgemeine Geradengleichung.
Auf der rechten Seite der Gleichung stehen nur bekannte Größen, auf der linken Seiten stehen Vielfache von x und y. Diese Gleichung kann man weiter auch auf die Form y=kx+d umformen.

 

===Lagebeziehungen zwischen Geraden===
Mehrere Geraden können im $\mathbb{R^2}$

*ident sein, d.h. sie haben unendlich viele gemeinsame Punkte
*parallel sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt
*einander schneiden, d.h. sie haben genau ein gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt)
 
Sind uns 2 Geraden in '''Parameterdarstellung''' gegeben, betrachten wir zuerst ihre Richtungsvektoren. 
Sind diese parallel zueinander, so sind auch die Geraden parallel zueinander. Nun bleibt noch die Frage offen, ob die Geraden ident sind. Dazu überprüfen wir einfach, ob der gegebene Punkt der einen Geraden auch auf der anderen Geraden liegt. Dazu Setzen wir den bekannten Punkt der einen Geraden für den unbekannten Punkt der anderen Geraden ein und erhalten 2 Gleichungen in einer Unbekannten (Parameter der zweiten Gerade). Erhalten wir nun für den Parameter zweimal dasselbe Ergebnis, so sind die 2 Geraden ident, erhalten wir unterschiedliche Ergebnisse, so sind sie nur parallel. 
Sind die Richtungsvektoren nicht parallel zueinander, so sind es auch die 2 Geraden nicht, und wir können uns sicher sein, dass diese einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen.
Doch wie erhalten wir den Schnittpunkt? Ganz einfach, indem wir die 2 Geraden schneiden. Dazu müssen wir sie gleichsetzen, und dann das dadurch erhaltene Gleichungssystem in 2 Unbekannten (die 2 Parameter) lösen. Wenn wir den Wert eines Parameters ausgerechnet haben, setzen wir ihn einfach in die entsprechende Geradengleichung ein und erhalten so den Schnittpunkt!

 

Sind die 2 Geraden in der '''allgemeinen Geradenform''' gegeben, so haben wir bereits 2 Gleichungen gegeben, die wir nach x und y auflösen. Dieses x und y sind die Koordinaten des Schnittpunktes.

 

Um das Schneiden von Geraden besser zu verstehen, schau dir das Lösen von [[ Gleichungssysteme (2.7.) |Gleichungssystemen]] genauer an, wirf einen Blick auf die Beispiele zum $\mathbb{R^2}$ unter dem Tab 'Beispiele', oder sieh dir dieses Video an:

<div align="center">{{#ev:youtube|ZrFE3LRisn0}}</div>

 

===Normalabstand Punkt - Gerade===
[[Datei:Normalabstand.gif|right]]
Gegeben sei ein Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und eine Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$. Um den Normalabstand $d(Q,g)$ zwischen Q und g zu berechnen, gehe wie folgt vor:
{{Vorlage:Merke|1=1. Bestimme die Gerade $q: X = Q + s \cdot \vec{n}$, die durch $Q$ geht und den Normalvektor $\vec{n}$ von $\vec{a}$ als Richtungsvektor besitzt.
2. Schneide $g$ und $q$ und die erhältst ihren Schnittpunkt $S$. 
3. Berechne $\parallel \vec{QS} \parallel$.}}
In der Graphik rechts hätten wir z.B. die Angabe $g: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right) + \lambda \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array} \right)$ und $Q(3/4)$. Du kannst das zur Übung durchrechnen.

 

====Hesse'sche Abstandsformel====
Mithilfe dieser Formel kann man ebenfalls den Abstand $d(Q,g)$ zwischen Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$ bestimmen. 
<big>$d(Q,g) = | \vec{PQ} \cdot \vec{n_0} | $</big>, wobei $\vec{n_0}$ der normierte (Länge 1) Normalvektor des Richtungsvektors $\vec{a}$ der Geraden $g$ ist.

 

====Spiegelung eines Punktes an einer Geraden====
[[Datei:Spiegeln.png|thumb|250px|Gespiegelter Punkt Q']]
Gegeben sei ein Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und eine Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$. Es gilt den Punkt $Q$ an der Gerade $g$ zu spiegeln, und so den Punkt $Q'$ zu erhalten. Dazu befolgst du die Vorgehensweise von "Normalabstand Punkt - Gerade" bis du den Vektor $\vec{QS}$ erhältst, und trägst diesen vom Punkt $S$ ab, also: 
$Q' = S + \vec{QS}$

= Im $\mathbb{R^3}$ =

== Vektoren ==

=== Kreuzprodukt ===
Im $\mathbb{R^3}$ gibt es neben dem Skalarprodukt, bei dem wir als Ergebnis ein Skalar erhalten, eine weitere Möglichkeit, zwei Vektoren mit einander zu multiplizieren: das sog. Kreuz- oder Vektorprodukt, bei dem wir als Ergebnis einen Vektor erhalten.
{{Vorlage:Merke|1=Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren des $\mathbb{R^3}$, dann ist ihr Kreuzprodukt
$$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} y_a \cdot z_b - z_a \cdot y_b \\ z_a \cdot x_b - x_a \cdot z_b \\ x_a \cdot y_b - y_a \cdot x_b \end{array} \right)$$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ -3 \end{array} \right)$, gesucht ist ihr Kreuzprodukt.
|2=$$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \cdot (-3) - 3 \cdot 4 \\ 3 \cdot 5 - 1 \cdot (-3) \\ 1 \cdot 4 - 2 \cdot 5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-6) - 12 \\ 15 - (-3) \\ 4 - 10 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -18 \\ 18 \\ -6 \end{array} \right)$$}}

Wozu wir das Kreuzprodukt überhaupt benötigen, sehen wir an den nächsten 2 Punkten.

 

==== Normalvektoren ====
Im $\mathbb{R^3}$ gibt es zu einem Vektor unendlich viele Normalvektoren. Auf eine Ebene allerdings gibt es genau 2 Normalvektoren (wie im $\mathbb{R^2}$ auf eine Gerade). Eine Ebene wird von 2 Vektoren aufgespannt, deren Kreuzprodukt ergibt einen Normalvektor $\vec{n_1}$ auf die Ebene bzw. die zwei Vektoren; der zweite Normalvektor hat die entgegengesetzte Orientierung ($\vec{n_2} = -\vec{n_1}$). Also:
$$\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$$

 

==== Fläche eines von zwei Vektoren aufgespannten Parallelogramms oder Dreiecks ====
[[Datei:FlächeNormalvektor.png|thumb|right|ohne|250px|2 Vektoren spannen ein Dreieck bzw. Parallelogramm auf]]
 
{{Vorlage:Merke|1=Die Länge $\parallel \vec{n} \parallel = \parallel \vec{a} \times \vec{b} \parallel$ des Normalvektors $\vec{n}$ zu den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ entspricht der Maßzahl des Flächeninhaltes des Parallelogramms, das $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aufspannen (im Bild die gesamte grüne Fläche).
Die Hälfte dieser Fläche entspricht der Fläche des aufgespannten Dreiecks.}}

 

=== Skalarprodukt, Orthogonalitätskriterium, Winkel zwischen zwei Vektoren ===
Diese drei Dinge "funktionieren" im $\mathbb{R^3}$ wie im $\mathbb{R^2}$. Also hier nur eine kurze Wiederholung:
 

'''Skalarprodukt''' 
Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\z_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren, dann ist $$\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right) = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b + z_a \cdot z_b$$ gleich ihr Skalarprodukt.
 

'''Orthogonalitätskriterium''' 
Ergibt das Skalarprodukt zweier Vektoren $0$, so stehen diese zwei Vektoren normal zueinander (und umgekehrt!)
$$\vec{a} \cdot \vec{b} \ = \ 0 \ \Leftrightarrow \ \vec{a} \bot \vec{b}$$
Auch das gibt es im $\mathbb{R^3}$. Bedenke aber, dass es hier, anders als im $\mathbb{R^2}$, unendlich viele Normalvektoren auf einen Vektor gibt.
 

'''Winkel zwischen zwei Vektoren'''
$$cos{\varphi} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel} = \vec{a_0} \cdot \vec{b_0}$$

 

== Geraden ==
=== Darstellungsformen ===
==== Parameterdarstellung ====
Die Parameterdarstellung im $\mathbb{R^3}$ sieht genauso aus wie im $\mathbb{R^2}$, einziger Unterschied ist, dass unsere Punkte und Vektoren hier jeweils 3 Koordinaten haben.
$$g: X = P + t \cdot \vec{a}$$ bzw. $$g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \\ z = z_P + t \cdot z_a \end{cases}$$
Mehr Infos zu den einzelnen Komponenten findest du im Tab 'Im $\mathbb{R^2}$'.

 

==== Parameterfreie Darstellungsform ====
Diese besteht aus 2 Gleichungen und wir erhalten sie durch Eliminierung des Parameters.

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sei die Parameterform der Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ -4 \\ 1 \end{array} \right)$. Zuerst schreiben wir das in die 3 Koordinatengleichungen um:
$$g : \begin{cases} x = 2 + 3t \\ y = 0 - 4t \\ z = 1 + t \end{cases}$$

|2=Wir multiplizieren die erste Gleichung mit $4$ und die zweite Gleichung mit $3$ und addieren die beiden: $$+ \begin{cases} 4x = 8 + 12t \\ 3y = 0 - 12t \end{cases}$$ und erhalten so die Gleichung $4x + 3y = 8$.
Wir multiplizieren die dritte Gleichung mit $3$ und subtrahieren diese von der ersten Gleichung: $$- \begin{cases} x = 2 + 3t \\ 3z = 3 + 3t \end{cases}$$ und erhalten so die Gleichung $x - 3z = -1$.

Die parameterfreie Darstellung unserer Gerade lautet somit $$g : \begin{cases} 4x + 3y = 8 \\ x - 3z = -1 \end{cases}$$.}}

Die zwei Gleichungen in der parameterfreien Darstellung sind übrigens Ebenengleichungen. Die eigentliche Gerade ist der Schnitt dieser zwei Ebenen!

 

=== Lagebeziehungen zwischen Geraden ===
Mehrere Geraden können im $\mathbb{R^3}$

*ident sein, d.h. sie haben unendlich viele gemeinsame Punkte
*parallel sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt
*einander schneiden, d.h. sie haben genau ein gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt)
*windschief sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt und sind nicht parallel
 

Um herauszufinden, wie 2 gegebene Geraden in Parameterform zueinander stehen, gehst du am besten wie folgt vor:

'''Betrachtung der Richtungsvektoren:''' Auch im $\mathbb{R^3}$ gilt, sind die Richtungsvektoren zweier Geraden parallel zueinander (d.h. man kann einen Vektor als Vielfaches des anderen Vektors darstellen), so sind es auch die Geraden.
 

'''Fall 1: Die Vektoren sind parallel:''' Sollte sich herausstellen, dass die zwei Geraden parallel zueinander sind, überprüfst du als nächstes, ob sie einen gemeinsamen Punkt haben; am einfachsten funktioniert das, indem du den bekannten Punkt ($P$) der einen Geraden in die zweite Gerade (für den unbekannten Punkt $X$) einsetzt. Wir erhalten drei Gleichungen in einer Unbekannten (Parameter der zweiten Gerade). 
'''Fall 1a:''' Erhalten wir nun für den Parameter dreimal dasselbe Ergebnis, so sind die 2 Geraden '''ident''' (und parallel), da der überprüfte Punkt, und somit unendlich weitere, auf beiden Geraden liegen. 
'''Fall 1b:''' Erhalten wir unterschiedliche Ergebnisse, so sind sie nur '''parallel''', da der überprüfte Punkt nicht, und somit auch kein anderer, auf beiden Geraden liegen.
 

'''Fall 2: Die Vektoren sind nicht parallel:''' Nun gibt es nur noch zwei Möglichkeiten: Entweder die zwei Geraden haben einen gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt), oder sie sind windschief. 
Um das wiederum herauszufinden, setzt du die beiden Geraden gleich, d.h. du stellst ein lineares Gleichungssystem (LGS) mit drei Gleichungen und in drei Unbekannten auf, und versuchst, dieses zu lösen. 
'''Fall 2a:''' Solltest du nun eine Lösung erhalten, d.h. du erhältst den Wert für den Parameter einer der zwei Geraden (und hast diesen Wert überprüft), so weißt du, dass die zwei Geraden einander '''schneiden'''. Den Schnittpunkt erhältst du jetzt, indem du den erhaltenen Wert für den Parameter in die entsprechende Geradengleichung einsetzt. 
'''Fall 2b:''' Sollte dein LGS keine Lösung ergeben (also sich eine falsche Aussage oder ein Widerspruch ergeben, z.B. $2=13$, oder $t=4$ und $t=-1$), dann weißt du, dass deine beiden Geraden keinen Schnittpunkt haben und somit '''windschief''' sind.
 

Zum besseren Verständnis siehst du dir am besten das folgende Video und die beiden folgenden Beispiele an.

<div align="center">{{#ev:youtube|u0QoYlEE094}}</div>

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die beiden Geraden $g: X = \left( \begin{array}{c} 0 \\ -11 \\ -3 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right)$ und $h: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ -3 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right)$. Überprüfe deren gegenseitige Lage und gegebenenfalls ihren Schnittpunkt!|
2=Zuerst überprüfen wir die Richtungsvektoren der beiden Geraden, um festzustellen, ob diese parallel zueinander sind oder nicht:
$$\nexists \lambda : \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) = \lambda \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) \nparallel \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g \nparallel h$$
$g$ und $h$ sind also nicht parallel. Sie können also noch entweder einander schneiden oder windschief sein. Stellen wir nun ein LGS auf, indem wir die beiden Geraden gleichsetzen:
$$\begin{align}
I: \ &&&s&=&2&+&t \\
II: \ &-11&+&2s&=&3&-&3t \\
III: \ &-3&+&s&=&-3&+&2t
\end{align}$$ 
Wir subtrahieren $III$ von $I$: $- \begin{cases} &s &=& 2 + t \\ -3 + &s &=& -3 + 2t \end{cases} \ \rightarrow \ 3 = 5 - t \Rightarrow t = 2$ 
Wir überprüfen dieses Ergebnis für $t$, indem wir $t=2$ in alle 3 Gleichungen einsetzen. Wir sehen dann, dass wir überall dasselbe Ergebnis für $s$ erhalten, nämlich $s=4$. Daraus folgt, dass die Geraden einander '''schneiden'''. Setzen wir nun $t=2$ oder $s=4$ in die entsprechende Geradengleichung, so erhalten wir den Schnittpunkt $S(4/-3/1)$ der beiden Geraden.}}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die beiden Geraden $g: X = \left( \begin{array}{c} 3 \\ -2 \\ 0 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right)$ und $h: X = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$. Überprüfe deren gegenseitige Lage und ggf. ihren Schnittpunkt!|
2=Zuerst überprüfen wir wieder die Richtungsvektoren der beiden Geraden:
$$\nexists \lambda : \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) = \lambda \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) \nparallel \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g \nparallel h$$
Nun stellen wir wieder ein LGS auf:
$$\begin{align}
I: \ &3&+&2s&=&4&-&t \\
II: \ &-2&-&2s&=&3&& \\
III: \ &&&s&=&1&+&t
\end{align}$$ 
Aus der zweiten Gleichung lässt sich direkt berechnen, dass $s=- \frac{5}{2}$. Dies setzen wir nun in die erste und zweite Gleichung ein und erhalten einmal $3 - 5 = 4 - t \ \Rightarrow \ t=6$ und einmal $- \frac{5}{2} = 1 + t \ \Rightarrow \ t=- \frac{7}{2}$. Diese beiden Werte für $t$ sind offensichtlich voneinander unterschiedlich, daraus folgt, dass die beiden Geraden $g$ und $h$ '''windschief''' sind.
}}
 

== Ebenen ==
Eine Ebene ist durch 3 Punkte oder 1 Punkt und 2 (voneinander linear unabhängigen) Vektoren eindeutig festgelegt.
=== Darstellungsformen ===
==== Parameterdarstellung ====
[[Datei:ebene2.png|thumb|right|350px|von Punkt und Vektoren aufgespannte Ebene]]
$$\epsilon : X = P + s \cdot \vec{a} + t \cdot \vec{b}$$
bzw.
$$\epsilon : \begin{cases} x = x_P + s \cdot x_a + t \cdot x_b \\ y = y_P + s \cdot y_a + t \cdot y_b \\ z = z_P + s \cdot z_a + t \cdot z_b \end{cases}$$
wobei
*$X \in \epsilon$ ist ein '''beliebiger''' Punkt auf der unendlichen Ebene
*$P \in \epsilon$ ist ein '''bekannter''' Punkt auf der Ebene
*$s, t \in \mathbb{R}$ sind freie Parameter
*$\vec{a}, \vec{b} \in \mathbb{R^3}$ sind zwei Vektoren, die parallel zur Ebene liegen

 

==== Normalvektorform ====
Man multipliziert die Parameterdarstellung der Ebene mit ihrem Normalvektor $\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$ und erhält
$$\vec{n} \cdot \vec{X} = \vec{n} \cdot \vec{P}$$

 

==== Allgemeine Ebenengleichung ====
$$ax + by + cz = d$$
Diese Form der Darstellung heißt auch Normalform, da man den Normalvektor der Ebene direkt ablesen kann. Um von der Parameterdarstellung auf diese Form zu kommen, gibt es 2 Möglichkeiten:

'''1. Multiplikation mit Normalvektor:'''
Hierzu muss man einfach die Normalform ausmultiplizieren und es ergibt sich: 

$$\epsilon: x_n \cdot x + y_n \cdot y + z_n \cdot z = x_n \cdot x_P + y_n \cdot y_P + z_n \cdot z_P$$
 

'''2. Elimination des Parameters:'''
Hierbei gehen wir von der Ebenengleichung $\epsilon : \begin{cases} x = x_P + s \cdot x_a + t \cdot x_b \\ y = y_P + s \cdot y_a + t \cdot y_b \\ z = z_P + s \cdot z_a + t \cdot z_b \end{cases}$ aus, eliminieren $s$ und $t$, und kommen ebenfalls auf die obige allgemeine Ebenengleichung.

 

Zur Veranschaulichung ein Beispiel zu den verschiedenen Darstellungsformen:
{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die drei Punkte $A(1/1/1), B(-1/-4/2), C(0/3/-1)$. Gib die Ebene, die diese drei Punkte aufspannen, in Parameterform, Normalform und allgemeiner Ebenengleichung an!|
2=Für die Parameterform berechnen wir erst zwei beliebige Vektoren aus den 3 Punkten, z.B. $\vec{AB} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{AC} = \left( \begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right)$. Als Parameterform erhalten wir schließlich:
$$\epsilon: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right)$$ 
Um auf die Normalform zu kommen, bestimmen wir als erstes den Normalvektor der Ebenen: $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-5) \cdot (-2) - 1 \cdot 2 \\ 1 \cdot (-1) - (-2) \cdot (-2) \\ (-2) \cdot 2 - (-5) \cdot (-1) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right)$. 
Nun die Parametergleichung mit dem Normalvektor multiplizieren und wir erhalten auch die Normalform:
$$\epsilon: \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)$$ 
Um nun noch die allg. Ebenenform zu erhalten, multipliziert man am einfachsten die Normalform aus und erhält:
$$\epsilon: 8x - 5y -9z =-6$$ 
Aber auch die Elimination der Parameter soll hier gezeigt werden. Wir gehen aus von: $$\epsilon : \begin{cases} x = 1 - 2s - t \\ y = 1 - 5s + 2t \\ z = 1 + s - 2t\end{cases}$$
Addieren wir die y- und die z-Gleichung, können wir $t$ eliminieren: $+ \begin{cases} y = 1 - 5s + 2t \\ z = 1 + s - 2t \end{cases} \ \Rightarrow \ y + z = 2 - 4s$. 
Wir können $t$ ebenfalls eliminieren, indem wir die y-Gleichung zum 2-fachen der x-Gleichung addieren: $+ \begin{cases} 2x = 2 - 4s - 2t \\ y = 1 - 5s + 2t \end{cases} \ \Rightarrow \ 2x + y = 3 -9s$. 
Nun haben wir zwei Gleichungen, die nur mehr von $s$ abhängig sind. Um diesen Parameter nun auch noch zu eliminieren, multiplizieren wir die erste Gleichung mit $(-9)$ und die zweite mit $4$ und addieren diese, um nochmals auf die allg. Ebenengleichung zu kommen.
$$+ \begin{cases} 8x + 4y = 12 - 36s \\ -9y - 9z = -18 + 36s \end{cases} \ \Rightarrow \ \epsilon: 8x - 5y -9z =-6$$
}}

=== Lagebeziehungen ===
==== ...zwischen zwei Ebenen ====
Zwei Ebenen können im $\mathbb{R^3}$
*ident sein: die Ebenengleichungen (allg. Form) sind Vielfache voneinander; 
z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : 2x + 2y + 2z = 6 \Rightarrow \epsilon _2 = 2 \cdot \epsilon _1$
*parallel sein: die Normalvektoren der Ebenen sind Vielfache voneinander; 
z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : 2x + 2y + 2z = 5 \Rightarrow \vec{n_2} = 2 \cdot \vec{n_1}$
*einander schneiden (in einer Gerade): die Normalvektoren der Ebenen sind keine Vielfache voneinander; 
z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : x - 3y + 2z = 1 \Rightarrow \nexists \lambda \in \mathbb{R} : \vec{n_1} = \lambda \cdot \vec{n_2}$

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:Ebenenident2.png|2 Ebenen sind ident
Datei:Ebenenparallel2.png|2 Ebenen sind parallel
Datei:Ebenenschnittgerade2.png|2 Ebenen schneiden einander in einer Geraden
</gallery>

 
'''Berechnen der Schnittgerade''' 
Erkennt man durch Betrachtung der Normalvektoren zweier Ebenen, dass diese einander schneiden müssen, so kann man diese Schnittgerade berechnen. Dazu erstellt man aus den beiden Ebenengleichungen ein lineares Gleichungssystem in 3 Unbekannten. 2 Gleichungen - 3 Unbekannte: wir werden hier nicht für alle Unbekannten einen Zahlenwert erhalten, können aber 2 Unbekannte in Abhängigkeit der dritten darstellen. Diese dritte Unbekannte wird uns als Parameter für die Darstellung der Geraden dienen. Zur Veranschaulichung ein Beispiel:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die beiden Ebenen $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : x - 3y + 2z = 1$. Wie wir weiter oben schon festgestellt haben, müssen diese Ebenen einander schneiden, da die beiden Noramlvektoren der Ebenen $\vec{n_1}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{n_2}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right)$ linear unabhängig voneinander sind, also $\nexists \lambda \in \mathbb{R} : \vec{n_1} = \lambda \cdot \vec{n_2}$. 
Wir wählen nun eine der Koordinaten als Parameter, z.B. $z=t$ und stellen das Gleichungssystem auf.

|2=
$$\begin{align}
I: \ &x&+&y&+&t&=&3 \\
II: \ &x&-&3y&+&2t&=&1
\end{align}$$

Wir subtrahieren $I-II$ und erhalten
$$4y - t = 2 \ \Rightarrow \ y = \frac{1}{2} + t \cdot \frac{1}{4}$$
Nun setzen wir unser erhaltenes $y$ in die erste Gleichung ein, um $x$ zu erhalten:

$$I: \ x + \frac{1}{2} + t \cdot \frac{1}{4} + t = 3 \ \Rightarrow \ x = \frac{5}{2} - t \cdot \frac{5}{4}$$
Somit haben wir alle Ausdrücke der Koordinaten gefunden ($z=t$ haben wir anfangs festgelegt) und können die Parameterdarstellung der Schnittgerade angeben:
$$g: X = \left( \begin{array}{c} \frac{5}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 0 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} - \frac{5}{4} \\ \frac{1}{4} \\ 1 \end{array} \right)$$
}}

 

==== ...zwischen 3 Ebenen ====
Drei Ebenen können im $\mathbb{R^3}$
*alle ident sein
*2 ident, 1 parallel sein
*alle parallel sein
*3 Schnittgeraden haben
*2 Schnittgeraden haben (2 Ebenen parallel)
*1 Schnittgerade haben
*1 Schnittpunkt haben

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:Ebenenident3.png|3 Ebenen sind ident
Datei:Ebenenidentparallel.png|2 Ebenen sind ident, 1 parallel
Datei:Ebenenparallel3.png|3 Ebenen sind parallel
Datei:Ebenenschnittgeraden33.png|3 Ebenen schneiden einander in 3 Geraden
Datei:Ebenenschnittgeraden32.png|3 Ebenen schneiden einander in 2 Geraden (2 Ebenen parallel)
Datei:Ebenenschnittgerade3.png|3 Ebenen schneiden einander in einer Gerade
Datei:Ebenenschnittgerade31.png|3 Ebenen schneiden einander in einer Gerade (2 Ebenen ident)
Datei:Ebenenschnittpunkt3.png|3 Ebenen schneiden einander in einem Punkt
</gallery>

 

==== ...zwischen Ebene und Gerade ====
Eine Ebene und eine Gerade können im $\mathbb{R^3}$
*$g \subset \epsilon$, die Gerade liegt auf der Ebene 
Hierbei haben die Gerade und die Ebene einen gemeinsamen Punkt und der Richtungsvektor der Gerade steht normal auf den Normalvektor der Ebene, daraus folgt, dass sie unendlich gemeinsame Punkte haben.
*parallel sein 
Irgendein Punkt der Gerade liegt nicht auf der Ebene, der Richtungsvektor der Gerade steht normal auf den Normalvektor der Ebene, daraus folgt, dass sie keinen einzigen gemeinsamen Punkt haben.
*1 Schnittpunkt haben 
Der Richtungsvektor der Geraden steht nicht normal auf den Normalvektor der Ebene.

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:GeradeinEbene.png|Gerade liegt auf der Ebene
Datei:GeradepararallelEbene.png|Gerade und Ebene sind parallel zueinander
Datei:GeradeSchnittpunktEbene.png|Gerade und Ebene schneiden einander (Schnittpunkt)
</gallery>

Zur Überprüfung der Lagebeziehung gibt es allerdings noch eine andere (schnellere) Methode. Hier "schneiden" wir die Gerade und die Ebene mathematisch, d.h. wir setzen sie gleich (wenn beide in Parameterform gegeben sind) oder setzen die Gerade $g$ (Parameterform) in die Ebene $\epsilon$ (allg. Ebenengleichung) ein. 
Wir erhalten dadurch ein Gleichungssystem oder eine einzelne Gleichung. 

Sei die Gerade gegeben als $g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \\ z = z_P + t \cdot z_a \end{cases}$ und die Ebene als $\epsilon : \begin{cases} x = x_Q + s \cdot x_b + u \cdot x_c \\ y = y_Q + s \cdot y_b + u \cdot y_c \\ z = z_Q + s \cdot z_b + u \cdot z_c \end{cases}$ (Parameterform) oder $\epsilon : ax + by + cz = d$ (allg. Ebenengleichung). 

Wir erhalten als Gleichungssystem durch Gleichsetzen der Gleichungen der Parameterformen:
$$\begin{cases} x_P + t \cdot x_a = x_Q + s \cdot x_b + u \cdot x_c \\ y_P + t \cdot y_a = y_Q + s \cdot y_b + u \cdot y_c \\ z_P + t \cdot z_a = z_Q + s \cdot z_b + u \cdot z_c \end{cases}$$ 
Wir erhalten durch Einsetzen der Gerade in die Ebene (allg. Ebenengleichung):
$$a \cdot (x_P + t \cdot x_a) + b \cdot (y_P + t \cdot y_a) + c \cdot (z_P + t \cdot z_a) = d$$ 

Ergibt sich hier eine wahre Aussage (z.B. $1=1$), also unendlich viele Lösungen, so liegt die Gerade in der Ebene. 
Ergibt sich eine falsche Aussage (z.B. $1=2$), also keine Lösung, so schneiden die beiden Objekte einander nicht, also sie sind parallel. 
Gibt es genau eine Lösung (z.B. $t=2$), so existiert genau ein gemeinsamer Punkt = Schnittpunkt. Diesen erhält man, indem man den ermittelten Wert für den Parameter $t$ der Geraden in die Geradengleichung einsetzt (oder, wenn die Ebene in Parameterform gegeben war, die beiden Werte für die Parameter $s$ und $u$ der Ebene in die Ebenengleichung einsetzt). Dazu 2 Beispiele, wobei wir im ersten mit der Ebene in Parameterform rechnen werden:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right)$ und die Ebene $\epsilon : X = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -1 \\ -3 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) + u \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 0 \end{array} \right)$. Stellen wir nun also unser Gleichungssystem auf:
|2=\begin{align}
I: \ & \ 1&-t&=&4& &+2u \\
II: \ &-3& &=&-1&+s&-u \\
III: \ & \ 2&+2t&=&-3&+s&
\end{align}

In der ersten Gleichung drücken wir $u$ in $t$ aus: $u = - \frac{3}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$ 
In der zweiten Gleichung drücken wir $s$ in $u$ aus: $s = -2 + u$ 
Das $u$ von oben setzen wir nun hier ein und erhalten $s$ in Abhängigkeit von $t$: $s = - \frac{7}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$. 

Dieses $s$ setzen wir nun in die dritte Gleichung ein und wir erhalten: $2 + 2t = -3 - \frac{7}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$ und in weiterer Folge $t = - \frac{17}{5}$. 
Es ergibt sich also genau eine Lösung für das Gleichungssystem, was bedeutet, dass die Gerade und die Ebene einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen. Diesen erhalten wir, indem wir den errechneten Wert für $t$ in die Geradengleichung einsetzen (Man könnte natürlich auch noch die Werte für $s$ und $u$ berechnen, und diese in die Ebenengleichung einsetzen; zur Übung kannst du das gerne tun):
$$g: S = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) - \frac{17}{5} \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \frac{23}{5} \\ -3 \\ - \frac{24}{5} \end{array} \right)$$
}} 

Betrachten wir nun dasselbe Beispiel, mit dem Unterschied, dass die Ebene in Normalform gegeben ist und wir auch gleich mit dieser Form rechnen:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right)$ und die Ebene $\epsilon : x + 2y - 2z = 8$. Wir setzen die Koordinatengleichungen der Gerade in die Normalform der Ebene:
|2= $g$ in $\epsilon$: $$1 - t - 6 - 4 -4t =8$$
Wenn wir diese Gleichung lösen, erhalten wir, wie im ersten Bespiel, $t = - \frac{17}{5}$. Dies noch in die Geradengleichung einsetzen, und wir erhalten den Schnittpunkt.}}

Da man bei der zweiten Methode meistens weniger Rechenaufwand hat, zahlt es sich oft aus die Parameterdarstellung der Ebene in die Normalform (= allg. Ebenengleichung) umzurechnen.

==Pyramidenbeispiel==
Gegeben seien 3 Eckpunkte $A(-2/-2/1), B(2/-2/1), C(2/2/1)$ der quadratischen Grundfläche und der Spitzpunkt $S(0/0/6)$ einer geraden (gerade bedeutet, dass die Spitze in einem rechten Winkel über dem Mittelpunkt der Grundfläche der Pyramide liegt) Pyramide.
Gesucht sind:
*der vierte Eckpunkt $D$ der Grundfläche
*die Parameterdarstellung der Trägergeraden $h$ der Höhe
*die Fläche der Grundfläche
*die Geradengleichung der Geraden $g_{AS}$ auf der $A$ und $S$ liegen in Parameterform und parameterfreien Form
*Der Winkel $\alpha$ zwischen den Vektoren $\vec{AS}$ und $\vec{AC}$
*Zeige, dass der Schnittpunkt der Geraden $g_{AS}$ und $h$ gleich die Spitze $S$ ist
*Gib die Ebenengleichung $\epsilon$ der Grundfläche in Parameterform, Normalform und allgemeiner Ebenengleichung an
*Berechne den Fußpunkt $M$ der Höhe, indem du $h$ und $\epsilon$ schneidest

'''D'''
$$D = A + \vec{BC} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -2 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right)$$

= Beispiele =
Hier findest du Beispiele zu den behandelten Themen:

===Grundlagen der Vektorrechnung===
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/9/99/VektorrechnungGLBspAngabe.pdf VektorrechnungGLBspAngabe.pdf]
 
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/0/00/VektorrechnungGLBspL%C3%B6sung.pdf VektorrechnungGLBspLösung.pdf]

===Vektorrechnung im $\mathbb{R^2}$===
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/7/7f/VektorrechnungR2BspAngabe.pdf VektorrechnungR2BspAngabe.pdf]
 
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/f/ff/VektorrechnungR2BspL%C3%B6sung.pdf VektorrechnungR2BspLösung.pdf]

Vektorrechnung

2016-03-08T12:56:53Z

Lajtos: /* Orthogonalitätskriterium */

= Grundlagen der Vektorrechnung =

==Koordinatensystem==
[[Datei:Koordinatengitter.png|thumb|right|350px|Koordinatengitter im $\mathbb{R^2}$ mit den 4 Quadranten]]

Für die Vektorrechnung sind Koordinatensysteme essentiell.
Im zweidimensionalen Raum besitzt ein Koordinatensystem 2 Achsen:

* die x-Achse (waagrecht) und
* die y-Achse (senkrecht)

 
Diese sind unendlich lang und Spannen die vier sogenannten Quadranten auf, die meist mit den römischen Ziffern I-IV beschriftet werden (gesprochen: Erster Quadrant, Zweiter Quadrant etc.). Die rechte Graphik zeigt die die Position der Quadranten. Dort, wo die 2 Achsen einander treffen, liegt der sog. Ursprung (kurz: $\vec{0}$); seine Koordinaten sind (0/0).

Was es außerdem noch zu beachten gibt, hast du vielleicht bereits selbst erkannt:
An den gegenüberliegenden Seiten der x- und y-Achsen werden unterschiedliche Vorzeichen verwendet. So spricht man "links" des Ursprungs von der negativen, bzw. "rechts" des Ursprungs von der positiven x-Achse. Analog spricht man "oben" und "unten" von der positiven und negativen y-Achse.

Im dreidimensionalen Raum kommt eine dritte Achse - die z-Achse - dazu. Punkte und Vektoren besitzen dementsprechend dann auch 3 Koordinaten. Dies kann man bis ins n-dimensionale weiterführen.

==Punkte==
In ein Koordinatensystem lassen sich Punkte eintragen. Diese besitzen, entsprechend ihrer Lage, Koordinaten. Im obigen Bild z.B. haben wir die Punkte A und B, wobei sich A im ersten Quadranten befindet und B im vierten. Man schreibt: A(2/3,5) B(1/-2).

[[Datei:PunkteR2.png|thumb|right|250px|Punkte im $\mathbb{R^2}$]]

{{Vorlage:Merke |''Einen'' '''allgemeinen Punkt''' ''schreibt man an als'' $P(x_1/x_2/.../x_n)$ (im n-dimensionalen Raum $\mathbb{R^n}$) ''bzw.'' $P(x/y)$ (im 2-dimensionalen Raum $ \mathbb{R^2}$) ''oder'' $P(x/y/z)$ (im 3-dimensionalen Raum $\mathbb{R^3}$).
 
Die erste Koordinate entspricht der x-Koordinate, die zweite der y-Koordinate, die eventuelle dritte der z-Koordinate.

Punkte werden in der Regel mit Großbuchstaben bezeichnet.}}

Koordinaten von Punkten lassen sich also ganz einfach ablesen. Die x/y-Koordinate entspricht dabei dem Abstand vom Ursprung zum Punkt in Richtung der jeweiligen Koordinatenachse. So erkennen wir im Bild rechts die folgenden Punkte:

* A(2/0)
* B(0/-2)
* C(-1/2)

==Vektoren==
Vektoren kann man sich wie '' eine Menge von Pfeilen'' vorstellen. Sie besitzen eine '''Länge''' (Betrag) und eine '''Richtung'''. Auch sie bestehen, wie Punkte, je nach Dimension aus 2 bzw. 3 Koordinaten. Der Unterschied dabei ist, dass die Koordinaten hier keine Position im Koordinatensystem darstellen, sondern eine Bewegung. Auch die Schreibweise unterscheidet sich:

{{Vorlage:Merke |1=''Einen'' '''allgemeinen Vektor''' ''schreibt man an als'' $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ (im $\mathbb{R^n}$) ''bzw.'' $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ (im $\mathbb{R^2}$) oder $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right)$ (im $\mathbb{R^3}$).

Vektoren werden in der Regeln mit Kleinbuchstaben mit Pfeil darüber bezeichnet.}}

===Ortsvektoren===
[[Datei:Ortsvektor.png|thumb|right|300px|Punkt und zugehöriger Ortsvektor]]
Der Ortsvektor von einem Punkt ist der Vektor, der vom Ursprung aus auf den Punkt zeigt. Die Koordinaten bleiben deshalb gleich, es ändert sich quasi nur die Schreibweise:

Sei $A(x_1/x_2/.../x_n)$ ein Punkt in der Dimension $n$, dann ist $\vec{0A} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ dessen Ortsvektor.

 

 

 
 

=== Addition und Subtraktion von Vektoren ===
{{Vorlage:Merke|1=Wenn du Vektoren addieren oder subtrahieren möchtest, musst du dazu einfach die entsprechenden Koordinaten betrachten: 
$\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) \pm \left( \begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ ... \\ y_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x_1 \pm y_1 \\ x_2 \pm y_2 \\ ... \\ x_n \pm y_n \end{array} \right)$ 
Wichtig ist dabei, dass die Vektoren, die du addieren oder subtrahieren möchtest, derselben Dimension $n$ angehören! D.h. sie haben gleich viele Koordinaten.}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben seien die beiden Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right)$. Berechne erst $\vec{a} + \vec{b}$, dann $\vec{a} - \vec{b}$ und zuletzt $\vec{b} - \vec{a}$!
|2= $$\vec{a} + \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 5+1 \\ 2+(-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 6 \\ -1 \end{array} \right)$$
$$\vec{a} - \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 5-1 \\ 2-(-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 5 \end{array} \right)$$
$$\vec{b} - \vec{a} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 1-5 \\ -3-2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -4 \\ -5 \end{array} \right)$$}}

===Vektoren bestimmen: Spitze-minus-Schaft===
[[Datei:Spitzeschaft.png|thumb|right|300px|"Spitze minus Schaft"]]
Zwischen 2 Punkten kann man nun einen Vektor definieren. Dabei gilt: Die '''"Spitze minus Schaft"'''-Regel Im Bild rechts wollen wir den Vektor berechnen, der von A nach B geht, also den Vektor $\vec{AB}$. Der Punkt B(3/3,5) entspricht hierbei der Spitze, und der Punkt A(1/0,5) dem Schaft. Da das Rechnen mit Punkten allerdings keinen Sinn ergibt, rechnet man stattdessen mit deren Ortsvektoren (siehe oben).

Für unser Beispiel bedeutet das folgendes: $\vec{0B} - \vec{0A} = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 3,5 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0,5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 3-1 \\ 3,5-3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right) = \vec{AB}$

Beachte außerdem:

* Man schreibt der Einfachheit halber oft nur $B-A$, wenn damit eigentlich $\vec{0B} - \vec{0A}$ gemeint ist.
* $\vec{AB} = -\vec{BA}$

 

===Produkt eines Vektors mit einem Skalar===
Wenn man einen Vektor $\vec{v}$ mit einer [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)|reellen Zahl]] $k$ , einem sogenannten "Skalar", multipliziert, werden dabei die einzelnen Koordinaten mit dem Skalar multipliziert:

$k \cdot \vec{v} = k \cdot \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} k \cdot x_1 \\ k \cdot x_2 \\ ... \\ k \cdot x_n \end{array} \right)$
 

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sei der Vektor $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right)$. Multipliziere diesen einmal mit $2$ und einmal mit $-5$!
|2=$$2 \cdot \vec{a} = 2 \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \cdot 2 \\ 2 \cdot (-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -6 \end{array} \right)$$
$$(-5) \cdot \vec{a} = (-5) \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-5) \cdot 2 \\ (-5) \cdot (-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -10 \\ 15 \end{array} \right)$$}}

{{#widget:Iframe
|url= http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_vektorrechnung/MV_Vektor1/MV_Vektor1/sites/Vektortest.html
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}}
[http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_vektorrechnung/MV_Vektor1/MV_Vektor1/ (Quelle dieses Applets)]

===Wie Vektoren zueinander stehen===
Vektoren können unterschiedliche Richtungen haben, aber auch parallel zueinander oder gar identisch sein. Optisch lässt sich das oft sehr leicht erkennen, rechnerisch sind diese Feststellungen allerdings ebenfalls überprüfbar.

{{Vorlage:Definition |Unter einem Vektor versteht man die Menge aller gleichlangen, gleichgerichteten und gleichorientierten Pfeile.

Der Start/Endpunkt spielen dabei keine Rolle!}}

{{Vorlage:Merke|2 Vektoren stehen parallel zueinander, wenn ein Vektor als Vielfaches des anderen Vektors angeschrieben werden kann. 
Man sagt auch: Die Vektoren sind [[linear abhängig]] (linear abhängig zu sein bedeutet, dass ein Vektor als Vielfaches eines anderen Vektors dargestellt werden kann).}}

Sehen wir uns die verschiedenen Fälle an:

{| class="wikitable"
|-
| ident: gleiche Richtung, gleiche Orientierung, gleiche Länge || [[Datei:Vektorv1.png|none|250px]] || $\vec{v} = \vec{u} \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$ || z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$
|-
| parallel (gleiche Orientierung): gleiche Richtung, gleiche Orientierung || [[Datei:Vektorenlänge.png|none|250px]] || $\exists k>0 : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$ || z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \end{array} \right)$, $k=2$
|-
| parallel (unterschiedliche Orientierung): gleiche Richtung || [[Datei:Vektororientierung1.png|none|250px]] || $\exists k<0 : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$ || z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} -1 \\ -1 \end{array} \right)$, $k=-1$ 
aber auch: $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \end{array} \right)$, $k=-2$
|-
| linear unabhängig || [[Datei:Vektorrichtung1.png|none|250px]] || $\nexists k : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \nparallel \vec{u}$ || z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)$
|}

{{Vorlage:Beispiel|1=für linear unabhängige Vektoren:

Sei $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 5 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$.

Wenn es ein k gibt, sodass $k \cdot \vec{a} = \vec{b}$, dann sind die beiden Vektoren voneinander linear abhängig, und somit auch parallel zueinander.

Wir lösen dieses Problem mit Hilfe von 2 Gleichungen in einer Unbekannten:

|2=$I: 2k = 4 \ \ \rightarrow k=2$
$II: 5k = 3 \ \ \rightarrow k=\frac{3}{5}$

Aus der ersten Gleichung ergibt sich k=2, in der zweiten aber $k=\frac{3}{5}$. $k$ kann aber nicht beides sein, somit haben wir eine falsche Aussage erhalten. Daraus folgt, dass die beiden Vektoren '''linear unabhängig''' und somit nicht parallel zueinander sind.}}
 

===Betrag und Einheitsvektor===

[[Datei:PythagorasVektor.png|thumb|right|350px|Betrag eines Vektors; Einheitsvektor]]Wie anfangs bereits erwähnt, besitzen Vektoren eine Länge, auch '''Betrag''' eines Vektors genannt. Dieser wird mit Hilfe des pythagoräischen Lehrsatzes wie folgt berechnet:

<div align="center">$\parallel \vec{v} \parallel = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2} \ $ wenn $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ ein Vektor der Dimension $n$ ist.</div>
Sehen wir uns die Grafik rechts an, können wir mit dieser Formel die Länge des zweidimensionalen Vektors $\parallel \vec{v} \parallel$ berechnen:

<div align="center">$\parallel \vec{v} \parallel = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$</div>
 Der '''Einheitsvektor''' $\vec{a_0}$ eines Vektors $\vec{a}$ ist ein zu $\vec{a}$ paralleler Vektor mit Länge 1. Rechnerisch erhält man $\vec{a_0}$, indem man $\vec{a}$ durch seine Länge dividiert.
$$ \vec{a_0}=\frac{\vec{a}}{\parallel \vec{a}\parallel}$$
bzw.
$$ \vec{a_0}=\frac{1}{\parallel\vec{a}\parallel}\cdot \vec{a}$$

Daraus ergibt sich ein Vektor, der dieselbe Richtung des ursprünglichen Vektors hat, allerdings die Länge 1 besitzt.

{{Vorlage:Merke|1=
Sei $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ ein Vektor der Dimension $n$ und $\parallel \vec{v} \parallel$ sein Betrag, dann ist $\vec{v_0} = \frac{1}{\parallel \vec{v} \parallel} \cdot \vec{v} \ $ der Einheitsvektor zu $\vec{v}$.
}}

In unserem Beispiel würde das folgendes bedeuten:

{{Vorlage:Beispiel|1= Bestimmen Sie den Einheitsvektor von $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$
|2=

<div align="center"> $\vec{v_0} = \frac{1}{\sqrt{13} } \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \frac{2}{\sqrt{13} } \\ \frac{3}{\sqrt{13} } \end{array} \right)$ </div>
}}

===Vektoren bestimmter Länge===
Da wir nun gelernt haben, Einheitsvektoren zu bilden und Vektoren mit Zahlen zu multiplizieren (und ich das hier so schön betone), könnt ihr euch vielleicht schon vorstellen, wie man aus einem beliebigen Vektor einen Vektor derselben Richtung, allerdings unterschiedlicher Länge bekommt. Wir haben also einen Vektor $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ mit der Länge $\parallel \vec{v} \parallel = k$ gegeben, und hätten gerne den Vektor $\vec{w} \ \parallel \ \vec{v}$ mit der Länge $l$. Dazu berechnen wir zuerst den Einheitsvektor $\vec{v_0}$ von $\vec{v}$ und multiplizieren diesen dann mit $l$. So erhalten wir schließlich $\vec{w} = l \cdot \vec{v_0}$.

==Mittelpunkt einer Strecke==
[[Datei:Mittelpunkt.png|thumb|300px|Mittelpunkt M der Strecke AB]]
Willst du den Mittelpunkt zwischen 2 Punkten $A$ und $B$ berechnen, musst du wie folgt vorgehen:
Zuerst berechnest du einen Vektor zwischen den Punkten ($\vec{AB}$ oder $\vec{BA}$). Dann halbierst du diesen Vektor, und erhältst $\vec{AM}$ bzw. $\vec{BM}$. Addierst du dann diesen Vektor zum entsprechenden Punkt ($A$ bzw. $B$), erhältst so den Mittelpunkt. Also:
 

<big><div align="center">$\vec{0M} = \vec{0A} + \frac{\vec{AB}}{2} = \vec{0B} + \frac{\vec{BA}}{2}$</div></big>

= Im $\mathbb{R^2}$ =
Dieser Artikel befasst sich mit der Vektorrechnung im zweidimensionalen Raum. Grundlegende Informationen zur Vektorrechnung, so wie Punkte und Vektoren, findest du unter dem Tab ''Grundlagen der Vektorrechnung''.

==Vektoren==

===Normalvektoren===
[[Datei:Normalvektoren.png|thumb|350px|Normalvektoren]]
Normalvektoren zu einem Vektor sind alle Vektoren, die normal (90°) auf den Vektor stehen. Im $\mathbb{R^2}$ gibt es zu jedem Vektor genau 2 Normalvektoren, die dieselbe Länge wie der ursprüngliche Vektor haben. Alle anderen Normalvektoren sind Vielfache eines dieser 2 Normalvektoren.

{{Vorlage:Merke | 1=Sei $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ ein Vektor, dann ist $\vec{n_1}=\left( \begin{array}{c} -y \\ x \end{array} \right)$ sein nach links gekippter, und $\vec{n_2}=\left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right)$ sein nach rechts gekippter Normalvektor.}}

 

===Skalarprodukt===
Unter dem Skalarprodukt versteht man die Multiplikation zweier Vektoren, bei der als Ergebnis ein Skalar (eine Zahl) entsteht.

{{Vorlage:Merke|1=Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren, dann ist $\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \end{array} \right) = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b$ gleich ihr Skalarprodukt.}}

 

===Winkel zwischen zwei Vektoren===
[[Datei:Winkel.png|thumb|350px|Winkel zwischen 2 Vektoren]]
<big>$$cos{\varphi} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel} = \vec{a_0} \cdot \vec{b_0}$$
bzw.
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = \parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel \cdot cos{\varphi}$$</big>

Heißt es, den Winkel zwischen 2 Vektoren/Geraden zu bestimmen, ist damit immer der kleinere Winkel gemeint. Solltest du einmal ein Ergebnis erhalten, das größer als 180° ist (nennen wir dieses Ergebnis $\varphi'$), dann ziehe dieses Ergebnis von 360° ab und du erhältst den kleineren Winkel ($\varphi = 360° - \varphi'$). 
Bei einem Winkel von $\varphi = 90°$ erhalten wir $cos{\varphi} = 0$, was bedeutet, dass auch $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$. Daraus ergibt sich das Orthogonalitätskriterium.

 

====Orthogonalitätskriterium====
{{Vorlage:Merke|1=Ergibt das Skalarprodukt zweier Vektoren $0$, so stehen diese zwei Vektoren normal zueinander (und umgekehrt!)
$$\vec{a} \cdot \vec{b} \ = \ 0 \ \Leftrightarrow \ \vec{a} \bot \vec{b}$$}}

Das ist nicht überraschend, denn multipliziert man einen Vektor $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ mit seinem Normalvektor $\vec{n}=\left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right)$ erhalten wir:
$$\vec{v} \cdot \vec{n} = \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right) = xy - yx = 0$$

 

==Geraden==
===Darstellungsformen===
Geraden lassen sich in unterschiedlichen Formen darstellen. In der Vektorrechnung ist die Parameterdarstellung populär, da man dazu nur einen Punkt und Vektor kennen muss. Die Normalform allerdings hat den Vorteil, dass man den Normalvektor zur Geraden auf einen Blick ablesen kann. Je nachdem, was man mit der Gerade vorhat, können die verschiedenen Formen ineinander umgewandelt werden.

====Parameterdarstellung====
[[Datei:Parameterdarstellung.png|thumb|350px|Parameterdarstellung einer Geraden]]
$$g: \vec{0X} = \vec{0P} + t \cdot \vec{a}$$ 
wobei
*$X \in g$ ist ein '''beliebiger''' Punkt auf der unendlichen Geraden (steht für alle Punkte auf der Geraden)
*$P \in g$ ist ein '''bekannter''' Punkt auf der Geraden
*$t \in \mathbb{R}$ ist ein freier Parameter (in der Graphik rechts $\lambda$)
*$\vec{a} \in \mathbb{R^2}$ ist ein Vektor parallel zur Geraden, der die Richtung dieser angibt ("Richtungsvektor")
 
Beachte, dass in der Parameterdarstellung keine Punkte, sondern Ortsvektoren verwendet werden! (Info zu Ortsvektoren findest du unter ''Grundlagen der Vektorrechnung''.) 
Wenn man das weiß, kann man der Einfachheit halber die Gerade auch folgendermaßen beschreiben: $g: X = P + t \cdot \vec{a}$

 
Eine andere Schreibweise ist, die Koordinaten einzeln zu betrachten und 2 Gleichungen aufzustellen:
$$g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \end{cases}$$

 

====Normalvektorform====
Hierzu benötigt man einen Normalvektor des Richtungsvektors und multipliziert dann die Geradengleichung mit diesem Normalvektor. Da $\vec{a} \cdot \vec{n} = 0$, bleibt über:

Sei $g: \vec{0X} = \vec{0P} + t \cdot \vec{a}$ eine Gerade in Parameterform, so ist 

<div align="center">$g: \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x_P \\ y_P \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right)$</div> 

dieselbe Gerade in Normalform, wobei $\vec{0X}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right), \ \vec{0P}=\left( \begin{array}{c} x_P \\ y_P \end{array} \right), \ \vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right)$ und $\vec{n}=\left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right)$ ein Normalvektor von $\vec{a}$ (hier kann man natürlich auch den anderen Normalvektor verwenden).

 

====Allgemeine Geradengleichung====
Diese Form der Darstellung heißt auch Normalform, da man den Normalvektor der Gerade direkt ablesen kann.Um von der Parameterdarstellung auf diese Form zu kommen, gibt es 2 Möglichkeiten:

'''1. Multiplikation mit Normalvektor:'''
Hierzu muss man einfach die Normalform ausmultiplizieren und es ergibt sich: 

$$g: y_a \cdot x + -x_a \cdot y = y_a \cdot x_P + -x_a \cdot y_P$$
 

'''2. Elimination des Parameters:'''
Hierbei gehen wir von der Geradenform $g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \end{cases}$ aus, eliminieren $t$, und kommen ebenfalls auf die obige allgemeine Geradengleichung.
Auf der rechten Seite der Gleichung stehen nur bekannte Größen, auf der linken Seiten stehen Vielfache von x und y. Diese Gleichung kann man weiter auch auf die Form y=kx+d umformen.

 

===Lagebeziehungen zwischen Geraden===
Mehrere Geraden können im $\mathbb{R^2}$

*ident sein, d.h. sie haben unendlich viele gemeinsame Punkte
*parallel sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt
*einander schneiden, d.h. sie haben genau ein gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt)
 
Sind uns 2 Geraden in '''Parameterdarstellung''' gegeben, betrachten wir zuerst ihre Richtungsvektoren. 
Sind diese parallel zueinander, so sind auch die Geraden parallel zueinander. Nun bleibt noch die Frage offen, ob die Geraden ident sind. Dazu überprüfen wir einfach, ob der gegebene Punkt der einen Geraden auch auf der anderen Geraden liegt. Dazu Setzen wir den bekannten Punkt der einen Geraden für den unbekannten Punkt der anderen Geraden ein und erhalten 2 Gleichungen in einer Unbekannten (Parameter der zweiten Gerade). Erhalten wir nun für den Parameter zweimal dasselbe Ergebnis, so sind die 2 Geraden ident, erhalten wir unterschiedliche Ergebnisse, so sind sie nur parallel. 
Sind die Richtungsvektoren nicht parallel zueinander, so sind es auch die 2 Geraden nicht, und wir können uns sicher sein, dass diese einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen.
Doch wie erhalten wir den Schnittpunkt? Ganz einfach, indem wir die 2 Geraden schneiden. Dazu müssen wir sie gleichsetzen, und dann das dadurch erhaltene Gleichungssystem in 2 Unbekannten (die 2 Parameter) lösen. Wenn wir den Wert eines Parameters ausgerechnet haben, setzen wir ihn einfach in die entsprechende Geradengleichung ein und erhalten so den Schnittpunkt!

 

Sind die 2 Geraden in der '''allgemeinen Geradenform''' gegeben, so haben wir bereits 2 Gleichungen gegeben, die wir nach x und y auflösen. Dieses x und y sind die Koordinaten des Schnittpunktes.

 

Um das Schneiden von Geraden besser zu verstehen, schau dir das Lösen von [[ Gleichungssysteme (2.7.) |Gleichungssystemen]] genauer an, wirf einen Blick auf die Beispiele zum $\mathbb{R^2}$ unter dem Tab 'Beispiele', oder sieh dir dieses Video an:

<div align="center">{{#ev:youtube|ZrFE3LRisn0}}</div>

 

===Normalabstand Punkt - Gerade===
[[Datei:Normalabstand.gif|right]]
Gegeben sei ein Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und eine Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$. Um den Normalabstand $d(Q,g)$ zwischen Q und g zu berechnen, gehe wie folgt vor:
{{Vorlage:Merke|1=1. Bestimme die Gerade $q: X = Q + s \cdot \vec{n}$, die durch $Q$ geht und den Normalvektor $\vec{n}$ von $\vec{a}$ als Richtungsvektor besitzt.
2. Schneide $g$ und $q$ und die erhältst ihren Schnittpunkt $S$. 
3. Berechne $\parallel \vec{QS} \parallel$.}}
In der Graphik rechts hätten wir z.B. die Angabe $g: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right) + \lambda \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array} \right)$ und $Q(3/4)$. Du kannst das zur Übung durchrechnen.

 

====Hesse'sche Abstandsformel====
Mithilfe dieser Formel kann man ebenfalls den Abstand $d(Q,g)$ zwischen Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$ bestimmen. 
<big>$d(Q,g) = | \vec{PQ} \cdot \vec{n_0} | $</big>, wobei $\vec{n_0}$ der normierte (Länge 1) Normalvektor des Richtungsvektors $\vec{a}$ der Geraden $g$ ist.

 

====Spiegelung eines Punktes an einer Geraden====
[[Datei:Spiegeln.png|thumb|250px|Gespiegelter Punkt Q']]
Gegeben sei ein Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und eine Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$. Es gilt den Punkt $Q$ an der Gerade $g$ zu spiegeln, und so den Punkt $Q'$ zu erhalten. Dazu befolgst du die Vorgehensweise von "Normalabstand Punkt - Gerade" bis du den Vektor $\vec{QS}$ erhältst, und trägst diesen vom Punkt $S$ ab, also: 
$Q' = S + \vec{QS}$

= Im $\mathbb{R^3}$ =

== Vektoren ==

=== Kreuzprodukt ===
Im $\mathbb{R^3}$ gibt es neben dem Skalarprodukt, bei dem wir als Ergebnis ein Skalar erhalten, eine weitere Möglichkeit, zwei Vektoren mit einander zu multiplizieren: das sog. Kreuz- oder Vektorprodukt, bei dem wir als Ergebnis einen Vektor erhalten.
{{Vorlage:Merke|1=Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren des $\mathbb{R^3}$, dann ist ihr Kreuzprodukt
$$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} y_a \cdot z_b - z_a \cdot y_b \\ z_a \cdot x_b - x_a \cdot z_b \\ x_a \cdot y_b - y_a \cdot x_b \end{array} \right)$$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ -3 \end{array} \right)$, gesucht ist ihr Kreuzprodukt.
|2=$$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \cdot (-3) - 3 \cdot 4 \\ 3 \cdot 5 - 1 \cdot (-3) \\ 1 \cdot 4 - 2 \cdot 5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-6) - 12 \\ 15 - (-3) \\ 4 - 10 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -18 \\ 18 \\ -6 \end{array} \right)$$}}

Wozu wir das Kreuzprodukt überhaupt benötigen, sehen wir an den nächsten 2 Punkten.

 

==== Normalvektoren ====
Im $\mathbb{R^3}$ gibt es zu einem Vektor unendlich viele Normalvektoren. Auf eine Ebene allerdings gibt es genau 2 Normalvektoren (wie im $\mathbb{R^2}$ auf eine Gerade). Eine Ebene wird von 2 Vektoren aufgespannt, deren Kreuzprodukt ergibt einen Normalvektor $\vec{n_1}$ auf die Ebene bzw. die zwei Vektoren; der zweite Normalvektor hat die entgegengesetzte Orientierung ($\vec{n_2} = -\vec{n_1}$). Also:
$$\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$$

 

==== Fläche eines von zwei Vektoren aufgespannten Parallelogramms oder Dreiecks ====
[[Datei:FlächeNormalvektor.png|thumb|right|ohne|250px|2 Vektoren spannen ein Dreieck bzw. Parallelogramm auf]]
 
{{Vorlage:Merke|1=Die Länge $\parallel \vec{n} \parallel = \parallel \vec{a} \times \vec{b} \parallel$ des Normalvektors $\vec{n}$ zu den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ entspricht der Maßzahl des Flächeninhaltes des Parallelogramms, das $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aufspannen (im Bild die gesamte grüne Fläche).
Die Hälfte dieser Fläche entspricht der Fläche des aufgespannten Dreiecks.}}

 

=== Skalarprodukt, Orthogonalitätskriterium, Winkel zwischen zwei Vektoren ===
Diese drei Dinge "funktionieren" im $\mathbb{R^3}$ wie im $\mathbb{R^2}$. Also hier nur eine kurze Wiederholung:
 

'''Skalarprodukt''' 
Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\z_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren, dann ist $$\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right) = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b + z_a \cdot z_b$$ gleich ihr Skalarprodukt.
 

'''Orthogonalitätskriterium''' 
Ergibt das Skalarprodukt zweier Vektoren $0$, so stehen diese zwei Vektoren normal zueinander (und umgekehrt!)
$$\vec{a} \cdot \vec{b} \ = \ 0 \ \Leftrightarrow \ \vec{a} \bot \vec{b}$$
Auch das gibt es im $\mathbb{R^3}$. Bedenke aber, dass es hier, anders als im $\mathbb{R^2}$, unendlich viele Normalvektoren auf einen Vektor gibt.
 

'''Winkel zwischen zwei Vektoren'''
$$cos{\varphi} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel} = \vec{a_0} \cdot \vec{b_0}$$

 

== Geraden ==
=== Darstellungsformen ===
==== Parameterdarstellung ====
Die Parameterdarstellung im $\mathbb{R^3}$ sieht genauso aus wie im $\mathbb{R^2}$, einziger Unterschied ist, dass unsere Punkte und Vektoren hier jeweils 3 Koordinaten haben.
$$g: X = P + t \cdot \vec{a}$$ bzw. $$g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \\ z = z_P + t \cdot z_a \end{cases}$$
Mehr Infos zu den einzelnen Komponenten findest du im Tab 'Im $\mathbb{R^2}$'.

 

==== Parameterfreie Darstellungsform ====
Diese besteht aus 2 Gleichungen und wir erhalten sie durch Eliminierung des Parameters.

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sei die Parameterform der Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ -4 \\ 1 \end{array} \right)$. Zuerst schreiben wir das in die 3 Koordinatengleichungen um:
$$g : \begin{cases} x = 2 + 3t \\ y = 0 - 4t \\ z = 1 + t \end{cases}$$

|2=Wir multiplizieren die erste Gleichung mit $4$ und die zweite Gleichung mit $3$ und addieren die beiden: $$+ \begin{cases} 4x = 8 + 12t \\ 3y = 0 - 12t \end{cases}$$ und erhalten so die Gleichung $4x + 3y = 8$.
Wir multiplizieren die dritte Gleichung mit $3$ und subtrahieren diese von der ersten Gleichung: $$- \begin{cases} x = 2 + 3t \\ 3z = 3 + 3t \end{cases}$$ und erhalten so die Gleichung $x - 3z = -1$.

Die parameterfreie Darstellung unserer Gerade lautet somit $$g : \begin{cases} 4x + 3y = 8 \\ x - 3z = -1 \end{cases}$$.}}

Die zwei Gleichungen in der parameterfreien Darstellung sind übrigens Ebenengleichungen. Die eigentliche Gerade ist der Schnitt dieser zwei Ebenen!

 

=== Lagebeziehungen zwischen Geraden ===
Mehrere Geraden können im $\mathbb{R^3}$

*ident sein, d.h. sie haben unendlich viele gemeinsame Punkte
*parallel sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt
*einander schneiden, d.h. sie haben genau ein gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt)
*windschief sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt und sind nicht parallel
 

Um herauszufinden, wie 2 gegebene Geraden in Parameterform zueinander stehen, gehst du am besten wie folgt vor:

'''Betrachtung der Richtungsvektoren:''' Auch im $\mathbb{R^3}$ gilt, sind die Richtungsvektoren zweier Geraden parallel zueinander (d.h. man kann einen Vektor als Vielfaches des anderen Vektors darstellen), so sind es auch die Geraden.
 

'''Fall 1: Die Vektoren sind parallel:''' Sollte sich herausstellen, dass die zwei Geraden parallel zueinander sind, überprüfst du als nächstes, ob sie einen gemeinsamen Punkt haben; am einfachsten funktioniert das, indem du den bekannten Punkt ($P$) der einen Geraden in die zweite Gerade (für den unbekannten Punkt $X$) einsetzt. Wir erhalten drei Gleichungen in einer Unbekannten (Parameter der zweiten Gerade). 
'''Fall 1a:''' Erhalten wir nun für den Parameter dreimal dasselbe Ergebnis, so sind die 2 Geraden '''ident''' (und parallel), da der überprüfte Punkt, und somit unendlich weitere, auf beiden Geraden liegen. 
'''Fall 1b:''' Erhalten wir unterschiedliche Ergebnisse, so sind sie nur '''parallel''', da der überprüfte Punkt nicht, und somit auch kein anderer, auf beiden Geraden liegen.
 

'''Fall 2: Die Vektoren sind nicht parallel:''' Nun gibt es nur noch zwei Möglichkeiten: Entweder die zwei Geraden haben einen gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt), oder sie sind windschief. 
Um das wiederum herauszufinden, setzt du die beiden Geraden gleich, d.h. du stellst ein lineares Gleichungssystem (LGS) mit drei Gleichungen und in drei Unbekannten auf, und versuchst, dieses zu lösen. 
'''Fall 2a:''' Solltest du nun eine Lösung erhalten, d.h. du erhältst den Wert für den Parameter einer der zwei Geraden (und hast diesen Wert überprüft), so weißt du, dass die zwei Geraden einander '''schneiden'''. Den Schnittpunkt erhältst du jetzt, indem du den erhaltenen Wert für den Parameter in die entsprechende Geradengleichung einsetzt. 
'''Fall 2b:''' Sollte dein LGS keine Lösung ergeben (also sich eine falsche Aussage oder ein Widerspruch ergeben, z.B. $2=13$, oder $t=4$ und $t=-1$), dann weißt du, dass deine beiden Geraden keinen Schnittpunkt haben und somit '''windschief''' sind.
 

Zum besseren Verständnis siehst du dir am besten das folgende Video und die beiden folgenden Beispiele an.

<div align="center">{{#ev:youtube|u0QoYlEE094}}</div>

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die beiden Geraden $g: X = \left( \begin{array}{c} 0 \\ -11 \\ -3 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right)$ und $h: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ -3 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right)$. Überprüfe deren gegenseitige Lage und gegebenenfalls ihren Schnittpunkt!|
2=Zuerst überprüfen wir die Richtungsvektoren der beiden Geraden, um festzustellen, ob diese parallel zueinander sind oder nicht:
$$\nexists \lambda : \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) = \lambda \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) \nparallel \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g \nparallel h$$
$g$ und $h$ sind also nicht parallel. Sie können also noch entweder einander schneiden oder windschief sein. Stellen wir nun ein LGS auf, indem wir die beiden Geraden gleichsetzen:
$$\begin{align}
I: \ &&&s&=&2&+&t \\
II: \ &-11&+&2s&=&3&-&3t \\
III: \ &-3&+&s&=&-3&+&2t
\end{align}$$ 
Wir subtrahieren $III$ von $I$: $- \begin{cases} &s &=& 2 + t \\ -3 + &s &=& -3 + 2t \end{cases} \ \rightarrow \ 3 = 5 - t \Rightarrow t = 2$ 
Wir überprüfen dieses Ergebnis für $t$, indem wir $t=2$ in alle 3 Gleichungen einsetzen. Wir sehen dann, dass wir überall dasselbe Ergebnis für $s$ erhalten, nämlich $s=4$. Daraus folgt, dass die Geraden einander '''schneiden'''. Setzen wir nun $t=2$ oder $s=4$ in die entsprechende Geradengleichung, so erhalten wir den Schnittpunkt $S(4/-3/1)$ der beiden Geraden.}}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die beiden Geraden $g: X = \left( \begin{array}{c} 3 \\ -2 \\ 0 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right)$ und $h: X = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$. Überprüfe deren gegenseitige Lage und ggf. ihren Schnittpunkt!|
2=Zuerst überprüfen wir wieder die Richtungsvektoren der beiden Geraden:
$$\nexists \lambda : \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) = \lambda \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) \nparallel \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g \nparallel h$$
Nun stellen wir wieder ein LGS auf:
$$\begin{align}
I: \ &3&+&2s&=&4&-&t \\
II: \ &-2&-&2s&=&3&& \\
III: \ &&&s&=&1&+&t
\end{align}$$ 
Aus der zweiten Gleichung lässt sich direkt berechnen, dass $s=- \frac{5}{2}$. Dies setzen wir nun in die erste und zweite Gleichung ein und erhalten einmal $3 - 5 = 4 - t \ \Rightarrow \ t=6$ und einmal $- \frac{5}{2} = 1 + t \ \Rightarrow \ t=- \frac{7}{2}$. Diese beiden Werte für $t$ sind offensichtlich voneinander unterschiedlich, daraus folgt, dass die beiden Geraden $g$ und $h$ '''windschief''' sind.
}}
 

== Ebenen ==
Eine Ebene ist durch 3 Punkte oder 1 Punkt und 2 (voneinander linear unabhängigen) Vektoren eindeutig festgelegt.
=== Darstellungsformen ===
==== Parameterdarstellung ====
[[Datei:ebene2.png|thumb|right|350px|von Punkt und Vektoren aufgespannte Ebene]]
$$\epsilon : X = P + s \cdot \vec{a} + t \cdot \vec{b}$$
bzw.
$$\epsilon : \begin{cases} x = x_P + s \cdot x_a + t \cdot x_b \\ y = y_P + s \cdot y_a + t \cdot y_b \\ z = z_P + s \cdot z_a + t \cdot z_b \end{cases}$$
wobei
*$X \in \epsilon$ ist ein '''beliebiger''' Punkt auf der unendlichen Ebene
*$P \in \epsilon$ ist ein '''bekannter''' Punkt auf der Ebene
*$s, t \in \mathbb{R}$ sind freie Parameter
*$\vec{a}, \vec{b} \in \mathbb{R^3}$ sind zwei Vektoren, die parallel zur Ebene liegen

 

==== Normalvektorform ====
Man multipliziert die Parameterdarstellung der Ebene mit ihrem Normalvektor $\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$ und erhält
$$\vec{n} \cdot \vec{X} = \vec{n} \cdot \vec{P}$$

 

==== Allgemeine Ebenengleichung ====
$$ax + by + cz = d$$
Diese Form der Darstellung heißt auch Normalform, da man den Normalvektor der Ebene direkt ablesen kann. Um von der Parameterdarstellung auf diese Form zu kommen, gibt es 2 Möglichkeiten:

'''1. Multiplikation mit Normalvektor:'''
Hierzu muss man einfach die Normalform ausmultiplizieren und es ergibt sich: 

$$\epsilon: x_n \cdot x + y_n \cdot y + z_n \cdot z = x_n \cdot x_P + y_n \cdot y_P + z_n \cdot z_P$$
 

'''2. Elimination des Parameters:'''
Hierbei gehen wir von der Ebenengleichung $\epsilon : \begin{cases} x = x_P + s \cdot x_a + t \cdot x_b \\ y = y_P + s \cdot y_a + t \cdot y_b \\ z = z_P + s \cdot z_a + t \cdot z_b \end{cases}$ aus, eliminieren $s$ und $t$, und kommen ebenfalls auf die obige allgemeine Ebenengleichung.

 

Zur Veranschaulichung ein Beispiel zu den verschiedenen Darstellungsformen:
{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die drei Punkte $A(1/1/1), B(-1/-4/2), C(0/3/-1)$. Gib die Ebene, die diese drei Punkte aufspannen, in Parameterform, Normalform und allgemeiner Ebenengleichung an!|
2=Für die Parameterform berechnen wir erst zwei beliebige Vektoren aus den 3 Punkten, z.B. $\vec{AB} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{AC} = \left( \begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right)$. Als Parameterform erhalten wir schließlich:
$$\epsilon: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right)$$ 
Um auf die Normalform zu kommen, bestimmen wir als erstes den Normalvektor der Ebenen: $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-5) \cdot (-2) - 1 \cdot 2 \\ 1 \cdot (-1) - (-2) \cdot (-2) \\ (-2) \cdot 2 - (-5) \cdot (-1) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right)$. 
Nun die Parametergleichung mit dem Normalvektor multiplizieren und wir erhalten auch die Normalform:
$$\epsilon: \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)$$ 
Um nun noch die allg. Ebenenform zu erhalten, multipliziert man am einfachsten die Normalform aus und erhält:
$$\epsilon: 8x - 5y -9z =-6$$ 
Aber auch die Elimination der Parameter soll hier gezeigt werden. Wir gehen aus von: $$\epsilon : \begin{cases} x = 1 - 2s - t \\ y = 1 - 5s + 2t \\ z = 1 + s - 2t\end{cases}$$
Addieren wir die y- und die z-Gleichung, können wir $t$ eliminieren: $+ \begin{cases} y = 1 - 5s + 2t \\ z = 1 + s - 2t \end{cases} \ \Rightarrow \ y + z = 2 - 4s$. 
Wir können $t$ ebenfalls eliminieren, indem wir die y-Gleichung zum 2-fachen der x-Gleichung addieren: $+ \begin{cases} 2x = 2 - 4s - 2t \\ y = 1 - 5s + 2t \end{cases} \ \Rightarrow \ 2x + y = 3 -9s$. 
Nun haben wir zwei Gleichungen, die nur mehr von $s$ abhängig sind. Um diesen Parameter nun auch noch zu eliminieren, multiplizieren wir die erste Gleichung mit $(-9)$ und die zweite mit $4$ und addieren diese, um nochmals auf die allg. Ebenengleichung zu kommen.
$$+ \begin{cases} 8x + 4y = 12 - 36s \\ -9y - 9z = -18 + 36s \end{cases} \ \Rightarrow \ \epsilon: 8x - 5y -9z =-6$$
}}

=== Lagebeziehungen ===
==== ...zwischen zwei Ebenen ====
Zwei Ebenen können im $\mathbb{R^3}$
*ident sein: die Ebenengleichungen (allg. Form) sind Vielfache voneinander; 
z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : 2x + 2y + 2z = 6 \Rightarrow \epsilon _2 = 2 \cdot \epsilon _1$
*parallel sein: die Normalvektoren der Ebenen sind Vielfache voneinander; 
z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : 2x + 2y + 2z = 5 \Rightarrow \vec{n_2} = 2 \cdot \vec{n_1}$
*einander schneiden (in einer Gerade): die Normalvektoren der Ebenen sind keine Vielfache voneinander; 
z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : x - 3y + 2z = 1 \Rightarrow \nexists \lambda \in \mathbb{R} : \vec{n_1} = \lambda \cdot \vec{n_2}$

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:Ebenenident2.png|2 Ebenen sind ident
Datei:Ebenenparallel2.png|2 Ebenen sind parallel
Datei:Ebenenschnittgerade2.png|2 Ebenen schneiden einander in einer Geraden
</gallery>

 
'''Berechnen der Schnittgerade''' 
Erkennt man durch Betrachtung der Normalvektoren zweier Ebenen, dass diese einander schneiden müssen, so kann man diese Schnittgerade berechnen. Dazu erstellt man aus den beiden Ebenengleichungen ein lineares Gleichungssystem in 3 Unbekannten. 2 Gleichungen - 3 Unbekannte: wir werden hier nicht für alle Unbekannten einen Zahlenwert erhalten, können aber 2 Unbekannte in Abhängigkeit der dritten darstellen. Diese dritte Unbekannte wird uns als Parameter für die Darstellung der Geraden dienen. Zur Veranschaulichung ein Beispiel:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die beiden Ebenen $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : x - 3y + 2z = 1$. Wie wir weiter oben schon festgestellt haben, müssen diese Ebenen einander schneiden, da die beiden Noramlvektoren der Ebenen $\vec{n_1}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{n_2}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right)$ linear unabhängig voneinander sind, also $\nexists \lambda \in \mathbb{R} : \vec{n_1} = \lambda \cdot \vec{n_2}$. 
Wir wählen nun eine der Koordinaten als Parameter, z.B. $z=t$ und stellen das Gleichungssystem auf.

|2=
$$\begin{align}
I: \ &x&+&y&+&t&=&3 \\
II: \ &x&-&3y&+&2t&=&1
\end{align}$$

Wir subtrahieren $I-II$ und erhalten
$$4y - t = 2 \ \Rightarrow \ y = \frac{1}{2} + t \cdot \frac{1}{4}$$
Nun setzen wir unser erhaltenes $y$ in die erste Gleichung ein, um $x$ zu erhalten:

$$I: \ x + \frac{1}{2} + t \cdot \frac{1}{4} + t = 3 \ \Rightarrow \ x = \frac{5}{2} - t \cdot \frac{5}{4}$$
Somit haben wir alle Ausdrücke der Koordinaten gefunden ($z=t$ haben wir anfangs festgelegt) und können die Parameterdarstellung der Schnittgerade angeben:
$$g: X = \left( \begin{array}{c} \frac{5}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 0 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} - \frac{5}{4} \\ \frac{1}{4} \\ 1 \end{array} \right)$$
}}

 

==== ...zwischen 3 Ebenen ====
Drei Ebenen können im $\mathbb{R^3}$
*alle ident sein
*2 ident, 1 parallel sein
*alle parallel sein
*3 Schnittgeraden haben
*2 Schnittgeraden haben (2 Ebenen parallel)
*1 Schnittgerade haben
*1 Schnittpunkt haben

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:Ebenenident3.png|3 Ebenen sind ident
Datei:Ebenenidentparallel.png|2 Ebenen sind ident, 1 parallel
Datei:Ebenenparallel3.png|3 Ebenen sind parallel
Datei:Ebenenschnittgeraden33.png|3 Ebenen schneiden einander in 3 Geraden
Datei:Ebenenschnittgeraden32.png|3 Ebenen schneiden einander in 2 Geraden (2 Ebenen parallel)
Datei:Ebenenschnittgerade3.png|3 Ebenen schneiden einander in einer Gerade
Datei:Ebenenschnittgerade31.png|3 Ebenen schneiden einander in einer Gerade (2 Ebenen ident)
Datei:Ebenenschnittpunkt3.png|3 Ebenen schneiden einander in einem Punkt
</gallery>

 

==== ...zwischen Ebene und Gerade ====
Eine Ebene und eine Gerade können im $\mathbb{R^3}$
*$g \subset \epsilon$, die Gerade liegt auf der Ebene 
Hierbei haben die Gerade und die Ebene einen gemeinsamen Punkt und der Richtungsvektor der Gerade steht normal auf den Normalvektor der Ebene, daraus folgt, dass sie unendlich gemeinsame Punkte haben.
*parallel sein 
Irgendein Punkt der Gerade liegt nicht auf der Ebene, der Richtungsvektor der Gerade steht normal auf den Normalvektor der Ebene, daraus folgt, dass sie keinen einzigen gemeinsamen Punkt haben.
*1 Schnittpunkt haben 
Der Richtungsvektor der Geraden steht nicht normal auf den Normalvektor der Ebene.

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:GeradeinEbene.png|Gerade liegt auf der Ebene
Datei:GeradepararallelEbene.png|Gerade und Ebene sind parallel zueinander
Datei:GeradeSchnittpunktEbene.png|Gerade und Ebene schneiden einander (Schnittpunkt)
</gallery>

Zur Überprüfung der Lagebeziehung gibt es allerdings noch eine andere (schnellere) Methode. Hier "schneiden" wir die Gerade und die Ebene mathematisch, d.h. wir setzen sie gleich (wenn beide in Parameterform gegeben sind) oder setzen die Gerade $g$ (Parameterform) in die Ebene $\epsilon$ (allg. Ebenengleichung) ein. 
Wir erhalten dadurch ein Gleichungssystem oder eine einzelne Gleichung. 

Sei die Gerade gegeben als $g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \\ z = z_P + t \cdot z_a \end{cases}$ und die Ebene als $\epsilon : \begin{cases} x = x_Q + s \cdot x_b + u \cdot x_c \\ y = y_Q + s \cdot y_b + u \cdot y_c \\ z = z_Q + s \cdot z_b + u \cdot z_c \end{cases}$ (Parameterform) oder $\epsilon : ax + by + cz = d$ (allg. Ebenengleichung). 

Wir erhalten als Gleichungssystem durch Gleichsetzen der Gleichungen der Parameterformen:
$$\begin{cases} x_P + t \cdot x_a = x_Q + s \cdot x_b + u \cdot x_c \\ y_P + t \cdot y_a = y_Q + s \cdot y_b + u \cdot y_c \\ z_P + t \cdot z_a = z_Q + s \cdot z_b + u \cdot z_c \end{cases}$$ 
Wir erhalten durch Einsetzen der Gerade in die Ebene (allg. Ebenengleichung):
$$a \cdot (x_P + t \cdot x_a) + b \cdot (y_P + t \cdot y_a) + c \cdot (z_P + t \cdot z_a) = d$$ 

Ergibt sich hier eine wahre Aussage (z.B. $1=1$), also unendlich viele Lösungen, so liegt die Gerade in der Ebene. 
Ergibt sich eine falsche Aussage (z.B. $1=2$), also keine Lösung, so schneiden die beiden Objekte einander nicht, also sie sind parallel. 
Gibt es genau eine Lösung (z.B. $t=2$), so existiert genau ein gemeinsamer Punkt = Schnittpunkt. Diesen erhält man, indem man den ermittelten Wert für den Parameter $t$ der Geraden in die Geradengleichung einsetzt (oder, wenn die Ebene in Parameterform gegeben war, die beiden Werte für die Parameter $s$ und $u$ der Ebene in die Ebenengleichung einsetzt). Dazu 2 Beispiele, wobei wir im ersten mit der Ebene in Parameterform rechnen werden:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right)$ und die Ebene $\epsilon : X = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -1 \\ -3 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) + u \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 0 \end{array} \right)$. Stellen wir nun also unser Gleichungssystem auf:
|2=\begin{align}
I: \ & \ 1&-t&=&4& &+2u \\
II: \ &-3& &=&-1&+s&-u \\
III: \ & \ 2&+2t&=&-3&+s&
\end{align}

In der ersten Gleichung drücken wir $u$ in $t$ aus: $u = - \frac{3}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$ 
In der zweiten Gleichung drücken wir $s$ in $u$ aus: $s = -2 + u$ 
Das $u$ von oben setzen wir nun hier ein und erhalten $s$ in Abhängigkeit von $t$: $s = - \frac{7}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$. 

Dieses $s$ setzen wir nun in die dritte Gleichung ein und wir erhalten: $2 + 2t = -3 - \frac{7}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$ und in weiterer Folge $t = - \frac{17}{5}$. 
Es ergibt sich also genau eine Lösung für das Gleichungssystem, was bedeutet, dass die Gerade und die Ebene einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen. Diesen erhalten wir, indem wir den errechneten Wert für $t$ in die Geradengleichung einsetzen (Man könnte natürlich auch noch die Werte für $s$ und $u$ berechnen, und diese in die Ebenengleichung einsetzen; zur Übung kannst du das gerne tun):
$$g: S = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) - \frac{17}{5} \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \frac{23}{5} \\ -3 \\ - \frac{24}{5} \end{array} \right)$$
}} 

Betrachten wir nun dasselbe Beispiel, mit dem Unterschied, dass die Ebene in Normalform gegeben ist und wir auch gleich mit dieser Form rechnen:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right)$ und die Ebene $\epsilon : x + 2y - 2z = 8$. Wir setzen die Koordinatengleichungen der Gerade in die Normalform der Ebene:
|2= $g$ in $\epsilon$: $$1 - t - 6 - 4 -4t =8$$
Wenn wir diese Gleichung lösen, erhalten wir, wie im ersten Bespiel, $t = - \frac{17}{5}$. Dies noch in die Geradengleichung einsetzen, und wir erhalten den Schnittpunkt.}}

Da man bei der zweiten Methode meistens weniger zu rechnen hat, zahlt es sich oft aus die Parameterdarstellung der Ebene in die Normalform (= allg. Ebenengleichung) umzurechnen.

= Beispiele =
Hier findest du Beispiele zu den behandelten Themen:

===Grundlagen der Vektorrechnung===
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/9/99/VektorrechnungGLBspAngabe.pdf VektorrechnungGLBspAngabe.pdf]
 
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/0/00/VektorrechnungGLBspL%C3%B6sung.pdf VektorrechnungGLBspLösung.pdf]

===Vektorrechnung im $\mathbb{R^2}$===
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/7/7f/VektorrechnungR2BspAngabe.pdf VektorrechnungR2BspAngabe.pdf]
 
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/f/ff/VektorrechnungR2BspL%C3%B6sung.pdf VektorrechnungR2BspLösung.pdf]

Vektorrechnung

2016-03-08T12:55:51Z

Lajtos: /* Orthogonalitätskriterium */

= Grundlagen der Vektorrechnung =

==Koordinatensystem==
[[Datei:Koordinatengitter.png|thumb|right|350px|Koordinatengitter im $\mathbb{R^2}$ mit den 4 Quadranten]]

Für die Vektorrechnung sind Koordinatensysteme essentiell.
Im zweidimensionalen Raum besitzt ein Koordinatensystem 2 Achsen:

* die x-Achse (waagrecht) und
* die y-Achse (senkrecht)

 
Diese sind unendlich lang und Spannen die vier sogenannten Quadranten auf, die meist mit den römischen Ziffern I-IV beschriftet werden (gesprochen: Erster Quadrant, Zweiter Quadrant etc.). Die rechte Graphik zeigt die die Position der Quadranten. Dort, wo die 2 Achsen einander treffen, liegt der sog. Ursprung (kurz: $\vec{0}$); seine Koordinaten sind (0/0).

Was es außerdem noch zu beachten gibt, hast du vielleicht bereits selbst erkannt:
An den gegenüberliegenden Seiten der x- und y-Achsen werden unterschiedliche Vorzeichen verwendet. So spricht man "links" des Ursprungs von der negativen, bzw. "rechts" des Ursprungs von der positiven x-Achse. Analog spricht man "oben" und "unten" von der positiven und negativen y-Achse.

Im dreidimensionalen Raum kommt eine dritte Achse - die z-Achse - dazu. Punkte und Vektoren besitzen dementsprechend dann auch 3 Koordinaten. Dies kann man bis ins n-dimensionale weiterführen.

==Punkte==
In ein Koordinatensystem lassen sich Punkte eintragen. Diese besitzen, entsprechend ihrer Lage, Koordinaten. Im obigen Bild z.B. haben wir die Punkte A und B, wobei sich A im ersten Quadranten befindet und B im vierten. Man schreibt: A(2/3,5) B(1/-2).

[[Datei:PunkteR2.png|thumb|right|250px|Punkte im $\mathbb{R^2}$]]

{{Vorlage:Merke |''Einen'' '''allgemeinen Punkt''' ''schreibt man an als'' $P(x_1/x_2/.../x_n)$ (im n-dimensionalen Raum $\mathbb{R^n}$) ''bzw.'' $P(x/y)$ (im 2-dimensionalen Raum $ \mathbb{R^2}$) ''oder'' $P(x/y/z)$ (im 3-dimensionalen Raum $\mathbb{R^3}$).
 
Die erste Koordinate entspricht der x-Koordinate, die zweite der y-Koordinate, die eventuelle dritte der z-Koordinate.

Punkte werden in der Regel mit Großbuchstaben bezeichnet.}}

Koordinaten von Punkten lassen sich also ganz einfach ablesen. Die x/y-Koordinate entspricht dabei dem Abstand vom Ursprung zum Punkt in Richtung der jeweiligen Koordinatenachse. So erkennen wir im Bild rechts die folgenden Punkte:

* A(2/0)
* B(0/-2)
* C(-1/2)

==Vektoren==
Vektoren kann man sich wie '' eine Menge von Pfeilen'' vorstellen. Sie besitzen eine '''Länge''' (Betrag) und eine '''Richtung'''. Auch sie bestehen, wie Punkte, je nach Dimension aus 2 bzw. 3 Koordinaten. Der Unterschied dabei ist, dass die Koordinaten hier keine Position im Koordinatensystem darstellen, sondern eine Bewegung. Auch die Schreibweise unterscheidet sich:

{{Vorlage:Merke |1=''Einen'' '''allgemeinen Vektor''' ''schreibt man an als'' $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ (im $\mathbb{R^n}$) ''bzw.'' $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ (im $\mathbb{R^2}$) oder $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right)$ (im $\mathbb{R^3}$).

Vektoren werden in der Regeln mit Kleinbuchstaben mit Pfeil darüber bezeichnet.}}

===Ortsvektoren===
[[Datei:Ortsvektor.png|thumb|right|300px|Punkt und zugehöriger Ortsvektor]]
Der Ortsvektor von einem Punkt ist der Vektor, der vom Ursprung aus auf den Punkt zeigt. Die Koordinaten bleiben deshalb gleich, es ändert sich quasi nur die Schreibweise:

Sei $A(x_1/x_2/.../x_n)$ ein Punkt in der Dimension $n$, dann ist $\vec{0A} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ dessen Ortsvektor.

 

 

 
 

=== Addition und Subtraktion von Vektoren ===
{{Vorlage:Merke|1=Wenn du Vektoren addieren oder subtrahieren möchtest, musst du dazu einfach die entsprechenden Koordinaten betrachten: 
$\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) \pm \left( \begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ ... \\ y_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x_1 \pm y_1 \\ x_2 \pm y_2 \\ ... \\ x_n \pm y_n \end{array} \right)$ 
Wichtig ist dabei, dass die Vektoren, die du addieren oder subtrahieren möchtest, derselben Dimension $n$ angehören! D.h. sie haben gleich viele Koordinaten.}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben seien die beiden Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right)$. Berechne erst $\vec{a} + \vec{b}$, dann $\vec{a} - \vec{b}$ und zuletzt $\vec{b} - \vec{a}$!
|2= $$\vec{a} + \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 5+1 \\ 2+(-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 6 \\ -1 \end{array} \right)$$
$$\vec{a} - \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 5-1 \\ 2-(-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 5 \end{array} \right)$$
$$\vec{b} - \vec{a} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 1-5 \\ -3-2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -4 \\ -5 \end{array} \right)$$}}

===Vektoren bestimmen: Spitze-minus-Schaft===
[[Datei:Spitzeschaft.png|thumb|right|300px|"Spitze minus Schaft"]]
Zwischen 2 Punkten kann man nun einen Vektor definieren. Dabei gilt: Die '''"Spitze minus Schaft"'''-Regel Im Bild rechts wollen wir den Vektor berechnen, der von A nach B geht, also den Vektor $\vec{AB}$. Der Punkt B(3/3,5) entspricht hierbei der Spitze, und der Punkt A(1/0,5) dem Schaft. Da das Rechnen mit Punkten allerdings keinen Sinn ergibt, rechnet man stattdessen mit deren Ortsvektoren (siehe oben).

Für unser Beispiel bedeutet das folgendes: $\vec{0B} - \vec{0A} = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 3,5 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0,5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 3-1 \\ 3,5-3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right) = \vec{AB}$

Beachte außerdem:

* Man schreibt der Einfachheit halber oft nur $B-A$, wenn damit eigentlich $\vec{0B} - \vec{0A}$ gemeint ist.
* $\vec{AB} = -\vec{BA}$

 

===Produkt eines Vektors mit einem Skalar===
Wenn man einen Vektor $\vec{v}$ mit einer [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)|reellen Zahl]] $k$ , einem sogenannten "Skalar", multipliziert, werden dabei die einzelnen Koordinaten mit dem Skalar multipliziert:

$k \cdot \vec{v} = k \cdot \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} k \cdot x_1 \\ k \cdot x_2 \\ ... \\ k \cdot x_n \end{array} \right)$
 

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sei der Vektor $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right)$. Multipliziere diesen einmal mit $2$ und einmal mit $-5$!
|2=$$2 \cdot \vec{a} = 2 \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \cdot 2 \\ 2 \cdot (-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -6 \end{array} \right)$$
$$(-5) \cdot \vec{a} = (-5) \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-5) \cdot 2 \\ (-5) \cdot (-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -10 \\ 15 \end{array} \right)$$}}

{{#widget:Iframe
|url= http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_vektorrechnung/MV_Vektor1/MV_Vektor1/sites/Vektortest.html
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}}
[http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_vektorrechnung/MV_Vektor1/MV_Vektor1/ (Quelle dieses Applets)]

===Wie Vektoren zueinander stehen===
Vektoren können unterschiedliche Richtungen haben, aber auch parallel zueinander oder gar identisch sein. Optisch lässt sich das oft sehr leicht erkennen, rechnerisch sind diese Feststellungen allerdings ebenfalls überprüfbar.

{{Vorlage:Definition |Unter einem Vektor versteht man die Menge aller gleichlangen, gleichgerichteten und gleichorientierten Pfeile.

Der Start/Endpunkt spielen dabei keine Rolle!}}

{{Vorlage:Merke|2 Vektoren stehen parallel zueinander, wenn ein Vektor als Vielfaches des anderen Vektors angeschrieben werden kann. 
Man sagt auch: Die Vektoren sind [[linear abhängig]] (linear abhängig zu sein bedeutet, dass ein Vektor als Vielfaches eines anderen Vektors dargestellt werden kann).}}

Sehen wir uns die verschiedenen Fälle an:

{| class="wikitable"
|-
| ident: gleiche Richtung, gleiche Orientierung, gleiche Länge || [[Datei:Vektorv1.png|none|250px]] || $\vec{v} = \vec{u} \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$ || z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$
|-
| parallel (gleiche Orientierung): gleiche Richtung, gleiche Orientierung || [[Datei:Vektorenlänge.png|none|250px]] || $\exists k>0 : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$ || z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \end{array} \right)$, $k=2$
|-
| parallel (unterschiedliche Orientierung): gleiche Richtung || [[Datei:Vektororientierung1.png|none|250px]] || $\exists k<0 : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$ || z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} -1 \\ -1 \end{array} \right)$, $k=-1$ 
aber auch: $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \end{array} \right)$, $k=-2$
|-
| linear unabhängig || [[Datei:Vektorrichtung1.png|none|250px]] || $\nexists k : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \nparallel \vec{u}$ || z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)$
|}

{{Vorlage:Beispiel|1=für linear unabhängige Vektoren:

Sei $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 5 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$.

Wenn es ein k gibt, sodass $k \cdot \vec{a} = \vec{b}$, dann sind die beiden Vektoren voneinander linear abhängig, und somit auch parallel zueinander.

Wir lösen dieses Problem mit Hilfe von 2 Gleichungen in einer Unbekannten:

|2=$I: 2k = 4 \ \ \rightarrow k=2$
$II: 5k = 3 \ \ \rightarrow k=\frac{3}{5}$

Aus der ersten Gleichung ergibt sich k=2, in der zweiten aber $k=\frac{3}{5}$. $k$ kann aber nicht beides sein, somit haben wir eine falsche Aussage erhalten. Daraus folgt, dass die beiden Vektoren '''linear unabhängig''' und somit nicht parallel zueinander sind.}}
 

===Betrag und Einheitsvektor===

[[Datei:PythagorasVektor.png|thumb|right|350px|Betrag eines Vektors; Einheitsvektor]]Wie anfangs bereits erwähnt, besitzen Vektoren eine Länge, auch '''Betrag''' eines Vektors genannt. Dieser wird mit Hilfe des pythagoräischen Lehrsatzes wie folgt berechnet:

<div align="center">$\parallel \vec{v} \parallel = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2} \ $ wenn $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ ein Vektor der Dimension $n$ ist.</div>
Sehen wir uns die Grafik rechts an, können wir mit dieser Formel die Länge des zweidimensionalen Vektors $\parallel \vec{v} \parallel$ berechnen:

<div align="center">$\parallel \vec{v} \parallel = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$</div>
 Der '''Einheitsvektor''' $\vec{a_0}$ eines Vektors $\vec{a}$ ist ein zu $\vec{a}$ paralleler Vektor mit Länge 1. Rechnerisch erhält man $\vec{a_0}$, indem man $\vec{a}$ durch seine Länge dividiert.
$$ \vec{a_0}=\frac{\vec{a}}{\parallel \vec{a}\parallel}$$
bzw.
$$ \vec{a_0}=\frac{1}{\parallel\vec{a}\parallel}\cdot \vec{a}$$

Daraus ergibt sich ein Vektor, der dieselbe Richtung des ursprünglichen Vektors hat, allerdings die Länge 1 besitzt.

{{Vorlage:Merke|1=
Sei $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ ein Vektor der Dimension $n$ und $\parallel \vec{v} \parallel$ sein Betrag, dann ist $\vec{v_0} = \frac{1}{\parallel \vec{v} \parallel} \cdot \vec{v} \ $ der Einheitsvektor zu $\vec{v}$.
}}

In unserem Beispiel würde das folgendes bedeuten:

{{Vorlage:Beispiel|1= Bestimmen Sie den Einheitsvektor von $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$
|2=

<div align="center"> $\vec{v_0} = \frac{1}{\sqrt{13} } \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \frac{2}{\sqrt{13} } \\ \frac{3}{\sqrt{13} } \end{array} \right)$ </div>
}}

===Vektoren bestimmter Länge===
Da wir nun gelernt haben, Einheitsvektoren zu bilden und Vektoren mit Zahlen zu multiplizieren (und ich das hier so schön betone), könnt ihr euch vielleicht schon vorstellen, wie man aus einem beliebigen Vektor einen Vektor derselben Richtung, allerdings unterschiedlicher Länge bekommt. Wir haben also einen Vektor $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ mit der Länge $\parallel \vec{v} \parallel = k$ gegeben, und hätten gerne den Vektor $\vec{w} \ \parallel \ \vec{v}$ mit der Länge $l$. Dazu berechnen wir zuerst den Einheitsvektor $\vec{v_0}$ von $\vec{v}$ und multiplizieren diesen dann mit $l$. So erhalten wir schließlich $\vec{w} = l \cdot \vec{v_0}$.

==Mittelpunkt einer Strecke==
[[Datei:Mittelpunkt.png|thumb|300px|Mittelpunkt M der Strecke AB]]
Willst du den Mittelpunkt zwischen 2 Punkten $A$ und $B$ berechnen, musst du wie folgt vorgehen:
Zuerst berechnest du einen Vektor zwischen den Punkten ($\vec{AB}$ oder $\vec{BA}$). Dann halbierst du diesen Vektor, und erhältst $\vec{AM}$ bzw. $\vec{BM}$. Addierst du dann diesen Vektor zum entsprechenden Punkt ($A$ bzw. $B$), erhältst so den Mittelpunkt. Also:
 

<big><div align="center">$\vec{0M} = \vec{0A} + \frac{\vec{AB}}{2} = \vec{0B} + \frac{\vec{BA}}{2}$</div></big>

= Im $\mathbb{R^2}$ =
Dieser Artikel befasst sich mit der Vektorrechnung im zweidimensionalen Raum. Grundlegende Informationen zur Vektorrechnung, so wie Punkte und Vektoren, findest du unter dem Tab ''Grundlagen der Vektorrechnung''.

==Vektoren==

===Normalvektoren===
[[Datei:Normalvektoren.png|thumb|350px|Normalvektoren]]
Normalvektoren zu einem Vektor sind alle Vektoren, die normal (90°) auf den Vektor stehen. Im $\mathbb{R^2}$ gibt es zu jedem Vektor genau 2 Normalvektoren, die dieselbe Länge wie der ursprüngliche Vektor haben. Alle anderen Normalvektoren sind Vielfache eines dieser 2 Normalvektoren.

{{Vorlage:Merke | 1=Sei $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ ein Vektor, dann ist $\vec{n_1}=\left( \begin{array}{c} -y \\ x \end{array} \right)$ sein nach links gekippter, und $\vec{n_2}=\left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right)$ sein nach rechts gekippter Normalvektor.}}

 

===Skalarprodukt===
Unter dem Skalarprodukt versteht man die Multiplikation zweier Vektoren, bei der als Ergebnis ein Skalar (eine Zahl) entsteht.

{{Vorlage:Merke|1=Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren, dann ist $\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \end{array} \right) = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b$ gleich ihr Skalarprodukt.}}

 

===Winkel zwischen zwei Vektoren===
[[Datei:Winkel.png|thumb|350px|Winkel zwischen 2 Vektoren]]
<big>$$cos{\varphi} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel} = \vec{a_0} \cdot \vec{b_0}$$
bzw.
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = \parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel \cdot cos{\varphi}$$</big>

Heißt es, den Winkel zwischen 2 Vektoren/Geraden zu bestimmen, ist damit immer der kleinere Winkel gemeint. Solltest du einmal ein Ergebnis erhalten, das größer als 180° ist (nennen wir dieses Ergebnis $\varphi'$), dann ziehe dieses Ergebnis von 360° ab und du erhältst den kleineren Winkel ($\varphi = 360° - \varphi'$). 
Bei einem Winkel von $\varphi = 90°$ erhalten wir $cos{\varphi} = 0$, was bedeutet, dass auch $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$. Daraus ergibt sich das Orthogonalitätskriterium.

 

====Orthogonalitätskriterium====
{{Vorlage:Merke|1=Ergibt das Skalarprodukt zweier Vektoren $0$, so stehen diese zwei Vektoren normal zueinander (und umgekehrt!)
 
$$\vec{a} \cdot \vec{b} \ = \ 0 \ \Leftrightarrow \ \vec{a} \bot \vec{b}$$}}

Das ist nicht überraschend, denn multipliziert man einen Vektor $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ mit seinem Notmalvektor $\vec{n}=\left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right)$ erhalten wir:
 
<div align="center">$\vec{v} \cdot \vec{n} = \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right) = xy - yx = 0$</div>

 

==Geraden==
===Darstellungsformen===
Geraden lassen sich in unterschiedlichen Formen darstellen. In der Vektorrechnung ist die Parameterdarstellung populär, da man dazu nur einen Punkt und Vektor kennen muss. Die Normalform allerdings hat den Vorteil, dass man den Normalvektor zur Geraden auf einen Blick ablesen kann. Je nachdem, was man mit der Gerade vorhat, können die verschiedenen Formen ineinander umgewandelt werden.

====Parameterdarstellung====
[[Datei:Parameterdarstellung.png|thumb|350px|Parameterdarstellung einer Geraden]]
$$g: \vec{0X} = \vec{0P} + t \cdot \vec{a}$$ 
wobei
*$X \in g$ ist ein '''beliebiger''' Punkt auf der unendlichen Geraden (steht für alle Punkte auf der Geraden)
*$P \in g$ ist ein '''bekannter''' Punkt auf der Geraden
*$t \in \mathbb{R}$ ist ein freier Parameter (in der Graphik rechts $\lambda$)
*$\vec{a} \in \mathbb{R^2}$ ist ein Vektor parallel zur Geraden, der die Richtung dieser angibt ("Richtungsvektor")
 
Beachte, dass in der Parameterdarstellung keine Punkte, sondern Ortsvektoren verwendet werden! (Info zu Ortsvektoren findest du unter ''Grundlagen der Vektorrechnung''.) 
Wenn man das weiß, kann man der Einfachheit halber die Gerade auch folgendermaßen beschreiben: $g: X = P + t \cdot \vec{a}$

 
Eine andere Schreibweise ist, die Koordinaten einzeln zu betrachten und 2 Gleichungen aufzustellen:
$$g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \end{cases}$$

 

====Normalvektorform====
Hierzu benötigt man einen Normalvektor des Richtungsvektors und multipliziert dann die Geradengleichung mit diesem Normalvektor. Da $\vec{a} \cdot \vec{n} = 0$, bleibt über:

Sei $g: \vec{0X} = \vec{0P} + t \cdot \vec{a}$ eine Gerade in Parameterform, so ist 

<div align="center">$g: \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x_P \\ y_P \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right)$</div> 

dieselbe Gerade in Normalform, wobei $\vec{0X}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right), \ \vec{0P}=\left( \begin{array}{c} x_P \\ y_P \end{array} \right), \ \vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right)$ und $\vec{n}=\left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right)$ ein Normalvektor von $\vec{a}$ (hier kann man natürlich auch den anderen Normalvektor verwenden).

 

====Allgemeine Geradengleichung====
Diese Form der Darstellung heißt auch Normalform, da man den Normalvektor der Gerade direkt ablesen kann.Um von der Parameterdarstellung auf diese Form zu kommen, gibt es 2 Möglichkeiten:

'''1. Multiplikation mit Normalvektor:'''
Hierzu muss man einfach die Normalform ausmultiplizieren und es ergibt sich: 

$$g: y_a \cdot x + -x_a \cdot y = y_a \cdot x_P + -x_a \cdot y_P$$
 

'''2. Elimination des Parameters:'''
Hierbei gehen wir von der Geradenform $g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \end{cases}$ aus, eliminieren $t$, und kommen ebenfalls auf die obige allgemeine Geradengleichung.
Auf der rechten Seite der Gleichung stehen nur bekannte Größen, auf der linken Seiten stehen Vielfache von x und y. Diese Gleichung kann man weiter auch auf die Form y=kx+d umformen.

 

===Lagebeziehungen zwischen Geraden===
Mehrere Geraden können im $\mathbb{R^2}$

*ident sein, d.h. sie haben unendlich viele gemeinsame Punkte
*parallel sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt
*einander schneiden, d.h. sie haben genau ein gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt)
 
Sind uns 2 Geraden in '''Parameterdarstellung''' gegeben, betrachten wir zuerst ihre Richtungsvektoren. 
Sind diese parallel zueinander, so sind auch die Geraden parallel zueinander. Nun bleibt noch die Frage offen, ob die Geraden ident sind. Dazu überprüfen wir einfach, ob der gegebene Punkt der einen Geraden auch auf der anderen Geraden liegt. Dazu Setzen wir den bekannten Punkt der einen Geraden für den unbekannten Punkt der anderen Geraden ein und erhalten 2 Gleichungen in einer Unbekannten (Parameter der zweiten Gerade). Erhalten wir nun für den Parameter zweimal dasselbe Ergebnis, so sind die 2 Geraden ident, erhalten wir unterschiedliche Ergebnisse, so sind sie nur parallel. 
Sind die Richtungsvektoren nicht parallel zueinander, so sind es auch die 2 Geraden nicht, und wir können uns sicher sein, dass diese einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen.
Doch wie erhalten wir den Schnittpunkt? Ganz einfach, indem wir die 2 Geraden schneiden. Dazu müssen wir sie gleichsetzen, und dann das dadurch erhaltene Gleichungssystem in 2 Unbekannten (die 2 Parameter) lösen. Wenn wir den Wert eines Parameters ausgerechnet haben, setzen wir ihn einfach in die entsprechende Geradengleichung ein und erhalten so den Schnittpunkt!

 

Sind die 2 Geraden in der '''allgemeinen Geradenform''' gegeben, so haben wir bereits 2 Gleichungen gegeben, die wir nach x und y auflösen. Dieses x und y sind die Koordinaten des Schnittpunktes.

 

Um das Schneiden von Geraden besser zu verstehen, schau dir das Lösen von [[ Gleichungssysteme (2.7.) |Gleichungssystemen]] genauer an, wirf einen Blick auf die Beispiele zum $\mathbb{R^2}$ unter dem Tab 'Beispiele', oder sieh dir dieses Video an:

<div align="center">{{#ev:youtube|ZrFE3LRisn0}}</div>

 

===Normalabstand Punkt - Gerade===
[[Datei:Normalabstand.gif|right]]
Gegeben sei ein Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und eine Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$. Um den Normalabstand $d(Q,g)$ zwischen Q und g zu berechnen, gehe wie folgt vor:
{{Vorlage:Merke|1=1. Bestimme die Gerade $q: X = Q + s \cdot \vec{n}$, die durch $Q$ geht und den Normalvektor $\vec{n}$ von $\vec{a}$ als Richtungsvektor besitzt.
2. Schneide $g$ und $q$ und die erhältst ihren Schnittpunkt $S$. 
3. Berechne $\parallel \vec{QS} \parallel$.}}
In der Graphik rechts hätten wir z.B. die Angabe $g: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right) + \lambda \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array} \right)$ und $Q(3/4)$. Du kannst das zur Übung durchrechnen.

 

====Hesse'sche Abstandsformel====
Mithilfe dieser Formel kann man ebenfalls den Abstand $d(Q,g)$ zwischen Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$ bestimmen. 
<big>$d(Q,g) = | \vec{PQ} \cdot \vec{n_0} | $</big>, wobei $\vec{n_0}$ der normierte (Länge 1) Normalvektor des Richtungsvektors $\vec{a}$ der Geraden $g$ ist.

 

====Spiegelung eines Punktes an einer Geraden====
[[Datei:Spiegeln.png|thumb|250px|Gespiegelter Punkt Q']]
Gegeben sei ein Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und eine Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$. Es gilt den Punkt $Q$ an der Gerade $g$ zu spiegeln, und so den Punkt $Q'$ zu erhalten. Dazu befolgst du die Vorgehensweise von "Normalabstand Punkt - Gerade" bis du den Vektor $\vec{QS}$ erhältst, und trägst diesen vom Punkt $S$ ab, also: 
$Q' = S + \vec{QS}$

= Im $\mathbb{R^3}$ =

== Vektoren ==

=== Kreuzprodukt ===
Im $\mathbb{R^3}$ gibt es neben dem Skalarprodukt, bei dem wir als Ergebnis ein Skalar erhalten, eine weitere Möglichkeit, zwei Vektoren mit einander zu multiplizieren: das sog. Kreuz- oder Vektorprodukt, bei dem wir als Ergebnis einen Vektor erhalten.
{{Vorlage:Merke|1=Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren des $\mathbb{R^3}$, dann ist ihr Kreuzprodukt
$$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} y_a \cdot z_b - z_a \cdot y_b \\ z_a \cdot x_b - x_a \cdot z_b \\ x_a \cdot y_b - y_a \cdot x_b \end{array} \right)$$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ -3 \end{array} \right)$, gesucht ist ihr Kreuzprodukt.
|2=$$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \cdot (-3) - 3 \cdot 4 \\ 3 \cdot 5 - 1 \cdot (-3) \\ 1 \cdot 4 - 2 \cdot 5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-6) - 12 \\ 15 - (-3) \\ 4 - 10 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -18 \\ 18 \\ -6 \end{array} \right)$$}}

Wozu wir das Kreuzprodukt überhaupt benötigen, sehen wir an den nächsten 2 Punkten.

 

==== Normalvektoren ====
Im $\mathbb{R^3}$ gibt es zu einem Vektor unendlich viele Normalvektoren. Auf eine Ebene allerdings gibt es genau 2 Normalvektoren (wie im $\mathbb{R^2}$ auf eine Gerade). Eine Ebene wird von 2 Vektoren aufgespannt, deren Kreuzprodukt ergibt einen Normalvektor $\vec{n_1}$ auf die Ebene bzw. die zwei Vektoren; der zweite Normalvektor hat die entgegengesetzte Orientierung ($\vec{n_2} = -\vec{n_1}$). Also:
$$\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$$

 

==== Fläche eines von zwei Vektoren aufgespannten Parallelogramms oder Dreiecks ====
[[Datei:FlächeNormalvektor.png|thumb|right|ohne|250px|2 Vektoren spannen ein Dreieck bzw. Parallelogramm auf]]
 
{{Vorlage:Merke|1=Die Länge $\parallel \vec{n} \parallel = \parallel \vec{a} \times \vec{b} \parallel$ des Normalvektors $\vec{n}$ zu den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ entspricht der Maßzahl des Flächeninhaltes des Parallelogramms, das $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aufspannen (im Bild die gesamte grüne Fläche).
Die Hälfte dieser Fläche entspricht der Fläche des aufgespannten Dreiecks.}}

 

=== Skalarprodukt, Orthogonalitätskriterium, Winkel zwischen zwei Vektoren ===
Diese drei Dinge "funktionieren" im $\mathbb{R^3}$ wie im $\mathbb{R^2}$. Also hier nur eine kurze Wiederholung:
 

'''Skalarprodukt''' 
Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\z_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren, dann ist $$\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right) = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b + z_a \cdot z_b$$ gleich ihr Skalarprodukt.
 

'''Orthogonalitätskriterium''' 
Ergibt das Skalarprodukt zweier Vektoren $0$, so stehen diese zwei Vektoren normal zueinander (und umgekehrt!)
$$\vec{a} \cdot \vec{b} \ = \ 0 \ \Leftrightarrow \ \vec{a} \bot \vec{b}$$
Auch das gibt es im $\mathbb{R^3}$. Bedenke aber, dass es hier, anders als im $\mathbb{R^2}$, unendlich viele Normalvektoren auf einen Vektor gibt.
 

'''Winkel zwischen zwei Vektoren'''
$$cos{\varphi} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel} = \vec{a_0} \cdot \vec{b_0}$$

 

== Geraden ==
=== Darstellungsformen ===
==== Parameterdarstellung ====
Die Parameterdarstellung im $\mathbb{R^3}$ sieht genauso aus wie im $\mathbb{R^2}$, einziger Unterschied ist, dass unsere Punkte und Vektoren hier jeweils 3 Koordinaten haben.
$$g: X = P + t \cdot \vec{a}$$ bzw. $$g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \\ z = z_P + t \cdot z_a \end{cases}$$
Mehr Infos zu den einzelnen Komponenten findest du im Tab 'Im $\mathbb{R^2}$'.

 

==== Parameterfreie Darstellungsform ====
Diese besteht aus 2 Gleichungen und wir erhalten sie durch Eliminierung des Parameters.

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sei die Parameterform der Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ -4 \\ 1 \end{array} \right)$. Zuerst schreiben wir das in die 3 Koordinatengleichungen um:
$$g : \begin{cases} x = 2 + 3t \\ y = 0 - 4t \\ z = 1 + t \end{cases}$$

|2=Wir multiplizieren die erste Gleichung mit $4$ und die zweite Gleichung mit $3$ und addieren die beiden: $$+ \begin{cases} 4x = 8 + 12t \\ 3y = 0 - 12t \end{cases}$$ und erhalten so die Gleichung $4x + 3y = 8$.
Wir multiplizieren die dritte Gleichung mit $3$ und subtrahieren diese von der ersten Gleichung: $$- \begin{cases} x = 2 + 3t \\ 3z = 3 + 3t \end{cases}$$ und erhalten so die Gleichung $x - 3z = -1$.

Die parameterfreie Darstellung unserer Gerade lautet somit $$g : \begin{cases} 4x + 3y = 8 \\ x - 3z = -1 \end{cases}$$.}}

Die zwei Gleichungen in der parameterfreien Darstellung sind übrigens Ebenengleichungen. Die eigentliche Gerade ist der Schnitt dieser zwei Ebenen!

 

=== Lagebeziehungen zwischen Geraden ===
Mehrere Geraden können im $\mathbb{R^3}$

*ident sein, d.h. sie haben unendlich viele gemeinsame Punkte
*parallel sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt
*einander schneiden, d.h. sie haben genau ein gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt)
*windschief sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt und sind nicht parallel
 

Um herauszufinden, wie 2 gegebene Geraden in Parameterform zueinander stehen, gehst du am besten wie folgt vor:

'''Betrachtung der Richtungsvektoren:''' Auch im $\mathbb{R^3}$ gilt, sind die Richtungsvektoren zweier Geraden parallel zueinander (d.h. man kann einen Vektor als Vielfaches des anderen Vektors darstellen), so sind es auch die Geraden.
 

'''Fall 1: Die Vektoren sind parallel:''' Sollte sich herausstellen, dass die zwei Geraden parallel zueinander sind, überprüfst du als nächstes, ob sie einen gemeinsamen Punkt haben; am einfachsten funktioniert das, indem du den bekannten Punkt ($P$) der einen Geraden in die zweite Gerade (für den unbekannten Punkt $X$) einsetzt. Wir erhalten drei Gleichungen in einer Unbekannten (Parameter der zweiten Gerade). 
'''Fall 1a:''' Erhalten wir nun für den Parameter dreimal dasselbe Ergebnis, so sind die 2 Geraden '''ident''' (und parallel), da der überprüfte Punkt, und somit unendlich weitere, auf beiden Geraden liegen. 
'''Fall 1b:''' Erhalten wir unterschiedliche Ergebnisse, so sind sie nur '''parallel''', da der überprüfte Punkt nicht, und somit auch kein anderer, auf beiden Geraden liegen.
 

'''Fall 2: Die Vektoren sind nicht parallel:''' Nun gibt es nur noch zwei Möglichkeiten: Entweder die zwei Geraden haben einen gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt), oder sie sind windschief. 
Um das wiederum herauszufinden, setzt du die beiden Geraden gleich, d.h. du stellst ein lineares Gleichungssystem (LGS) mit drei Gleichungen und in drei Unbekannten auf, und versuchst, dieses zu lösen. 
'''Fall 2a:''' Solltest du nun eine Lösung erhalten, d.h. du erhältst den Wert für den Parameter einer der zwei Geraden (und hast diesen Wert überprüft), so weißt du, dass die zwei Geraden einander '''schneiden'''. Den Schnittpunkt erhältst du jetzt, indem du den erhaltenen Wert für den Parameter in die entsprechende Geradengleichung einsetzt. 
'''Fall 2b:''' Sollte dein LGS keine Lösung ergeben (also sich eine falsche Aussage oder ein Widerspruch ergeben, z.B. $2=13$, oder $t=4$ und $t=-1$), dann weißt du, dass deine beiden Geraden keinen Schnittpunkt haben und somit '''windschief''' sind.
 

Zum besseren Verständnis siehst du dir am besten das folgende Video und die beiden folgenden Beispiele an.

<div align="center">{{#ev:youtube|u0QoYlEE094}}</div>

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die beiden Geraden $g: X = \left( \begin{array}{c} 0 \\ -11 \\ -3 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right)$ und $h: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ -3 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right)$. Überprüfe deren gegenseitige Lage und gegebenenfalls ihren Schnittpunkt!|
2=Zuerst überprüfen wir die Richtungsvektoren der beiden Geraden, um festzustellen, ob diese parallel zueinander sind oder nicht:
$$\nexists \lambda : \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) = \lambda \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) \nparallel \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g \nparallel h$$
$g$ und $h$ sind also nicht parallel. Sie können also noch entweder einander schneiden oder windschief sein. Stellen wir nun ein LGS auf, indem wir die beiden Geraden gleichsetzen:
$$\begin{align}
I: \ &&&s&=&2&+&t \\
II: \ &-11&+&2s&=&3&-&3t \\
III: \ &-3&+&s&=&-3&+&2t
\end{align}$$ 
Wir subtrahieren $III$ von $I$: $- \begin{cases} &s &=& 2 + t \\ -3 + &s &=& -3 + 2t \end{cases} \ \rightarrow \ 3 = 5 - t \Rightarrow t = 2$ 
Wir überprüfen dieses Ergebnis für $t$, indem wir $t=2$ in alle 3 Gleichungen einsetzen. Wir sehen dann, dass wir überall dasselbe Ergebnis für $s$ erhalten, nämlich $s=4$. Daraus folgt, dass die Geraden einander '''schneiden'''. Setzen wir nun $t=2$ oder $s=4$ in die entsprechende Geradengleichung, so erhalten wir den Schnittpunkt $S(4/-3/1)$ der beiden Geraden.}}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die beiden Geraden $g: X = \left( \begin{array}{c} 3 \\ -2 \\ 0 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right)$ und $h: X = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$. Überprüfe deren gegenseitige Lage und ggf. ihren Schnittpunkt!|
2=Zuerst überprüfen wir wieder die Richtungsvektoren der beiden Geraden:
$$\nexists \lambda : \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) = \lambda \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) \nparallel \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g \nparallel h$$
Nun stellen wir wieder ein LGS auf:
$$\begin{align}
I: \ &3&+&2s&=&4&-&t \\
II: \ &-2&-&2s&=&3&& \\
III: \ &&&s&=&1&+&t
\end{align}$$ 
Aus der zweiten Gleichung lässt sich direkt berechnen, dass $s=- \frac{5}{2}$. Dies setzen wir nun in die erste und zweite Gleichung ein und erhalten einmal $3 - 5 = 4 - t \ \Rightarrow \ t=6$ und einmal $- \frac{5}{2} = 1 + t \ \Rightarrow \ t=- \frac{7}{2}$. Diese beiden Werte für $t$ sind offensichtlich voneinander unterschiedlich, daraus folgt, dass die beiden Geraden $g$ und $h$ '''windschief''' sind.
}}
 

== Ebenen ==
Eine Ebene ist durch 3 Punkte oder 1 Punkt und 2 (voneinander linear unabhängigen) Vektoren eindeutig festgelegt.
=== Darstellungsformen ===
==== Parameterdarstellung ====
[[Datei:ebene2.png|thumb|right|350px|von Punkt und Vektoren aufgespannte Ebene]]
$$\epsilon : X = P + s \cdot \vec{a} + t \cdot \vec{b}$$
bzw.
$$\epsilon : \begin{cases} x = x_P + s \cdot x_a + t \cdot x_b \\ y = y_P + s \cdot y_a + t \cdot y_b \\ z = z_P + s \cdot z_a + t \cdot z_b \end{cases}$$
wobei
*$X \in \epsilon$ ist ein '''beliebiger''' Punkt auf der unendlichen Ebene
*$P \in \epsilon$ ist ein '''bekannter''' Punkt auf der Ebene
*$s, t \in \mathbb{R}$ sind freie Parameter
*$\vec{a}, \vec{b} \in \mathbb{R^3}$ sind zwei Vektoren, die parallel zur Ebene liegen

 

==== Normalvektorform ====
Man multipliziert die Parameterdarstellung der Ebene mit ihrem Normalvektor $\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$ und erhält
$$\vec{n} \cdot \vec{X} = \vec{n} \cdot \vec{P}$$

 

==== Allgemeine Ebenengleichung ====
$$ax + by + cz = d$$
Diese Form der Darstellung heißt auch Normalform, da man den Normalvektor der Ebene direkt ablesen kann. Um von der Parameterdarstellung auf diese Form zu kommen, gibt es 2 Möglichkeiten:

'''1. Multiplikation mit Normalvektor:'''
Hierzu muss man einfach die Normalform ausmultiplizieren und es ergibt sich: 

$$\epsilon: x_n \cdot x + y_n \cdot y + z_n \cdot z = x_n \cdot x_P + y_n \cdot y_P + z_n \cdot z_P$$
 

'''2. Elimination des Parameters:'''
Hierbei gehen wir von der Ebenengleichung $\epsilon : \begin{cases} x = x_P + s \cdot x_a + t \cdot x_b \\ y = y_P + s \cdot y_a + t \cdot y_b \\ z = z_P + s \cdot z_a + t \cdot z_b \end{cases}$ aus, eliminieren $s$ und $t$, und kommen ebenfalls auf die obige allgemeine Ebenengleichung.

 

Zur Veranschaulichung ein Beispiel zu den verschiedenen Darstellungsformen:
{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die drei Punkte $A(1/1/1), B(-1/-4/2), C(0/3/-1)$. Gib die Ebene, die diese drei Punkte aufspannen, in Parameterform, Normalform und allgemeiner Ebenengleichung an!|
2=Für die Parameterform berechnen wir erst zwei beliebige Vektoren aus den 3 Punkten, z.B. $\vec{AB} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{AC} = \left( \begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right)$. Als Parameterform erhalten wir schließlich:
$$\epsilon: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right)$$ 
Um auf die Normalform zu kommen, bestimmen wir als erstes den Normalvektor der Ebenen: $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-5) \cdot (-2) - 1 \cdot 2 \\ 1 \cdot (-1) - (-2) \cdot (-2) \\ (-2) \cdot 2 - (-5) \cdot (-1) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right)$. 
Nun die Parametergleichung mit dem Normalvektor multiplizieren und wir erhalten auch die Normalform:
$$\epsilon: \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)$$ 
Um nun noch die allg. Ebenenform zu erhalten, multipliziert man am einfachsten die Normalform aus und erhält:
$$\epsilon: 8x - 5y -9z =-6$$ 
Aber auch die Elimination der Parameter soll hier gezeigt werden. Wir gehen aus von: $$\epsilon : \begin{cases} x = 1 - 2s - t \\ y = 1 - 5s + 2t \\ z = 1 + s - 2t\end{cases}$$
Addieren wir die y- und die z-Gleichung, können wir $t$ eliminieren: $+ \begin{cases} y = 1 - 5s + 2t \\ z = 1 + s - 2t \end{cases} \ \Rightarrow \ y + z = 2 - 4s$. 
Wir können $t$ ebenfalls eliminieren, indem wir die y-Gleichung zum 2-fachen der x-Gleichung addieren: $+ \begin{cases} 2x = 2 - 4s - 2t \\ y = 1 - 5s + 2t \end{cases} \ \Rightarrow \ 2x + y = 3 -9s$. 
Nun haben wir zwei Gleichungen, die nur mehr von $s$ abhängig sind. Um diesen Parameter nun auch noch zu eliminieren, multiplizieren wir die erste Gleichung mit $(-9)$ und die zweite mit $4$ und addieren diese, um nochmals auf die allg. Ebenengleichung zu kommen.
$$+ \begin{cases} 8x + 4y = 12 - 36s \\ -9y - 9z = -18 + 36s \end{cases} \ \Rightarrow \ \epsilon: 8x - 5y -9z =-6$$
}}

=== Lagebeziehungen ===
==== ...zwischen zwei Ebenen ====
Zwei Ebenen können im $\mathbb{R^3}$
*ident sein: die Ebenengleichungen (allg. Form) sind Vielfache voneinander; 
z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : 2x + 2y + 2z = 6 \Rightarrow \epsilon _2 = 2 \cdot \epsilon _1$
*parallel sein: die Normalvektoren der Ebenen sind Vielfache voneinander; 
z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : 2x + 2y + 2z = 5 \Rightarrow \vec{n_2} = 2 \cdot \vec{n_1}$
*einander schneiden (in einer Gerade): die Normalvektoren der Ebenen sind keine Vielfache voneinander; 
z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : x - 3y + 2z = 1 \Rightarrow \nexists \lambda \in \mathbb{R} : \vec{n_1} = \lambda \cdot \vec{n_2}$

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:Ebenenident2.png|2 Ebenen sind ident
Datei:Ebenenparallel2.png|2 Ebenen sind parallel
Datei:Ebenenschnittgerade2.png|2 Ebenen schneiden einander in einer Geraden
</gallery>

 
'''Berechnen der Schnittgerade''' 
Erkennt man durch Betrachtung der Normalvektoren zweier Ebenen, dass diese einander schneiden müssen, so kann man diese Schnittgerade berechnen. Dazu erstellt man aus den beiden Ebenengleichungen ein lineares Gleichungssystem in 3 Unbekannten. 2 Gleichungen - 3 Unbekannte: wir werden hier nicht für alle Unbekannten einen Zahlenwert erhalten, können aber 2 Unbekannte in Abhängigkeit der dritten darstellen. Diese dritte Unbekannte wird uns als Parameter für die Darstellung der Geraden dienen. Zur Veranschaulichung ein Beispiel:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die beiden Ebenen $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : x - 3y + 2z = 1$. Wie wir weiter oben schon festgestellt haben, müssen diese Ebenen einander schneiden, da die beiden Noramlvektoren der Ebenen $\vec{n_1}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{n_2}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right)$ linear unabhängig voneinander sind, also $\nexists \lambda \in \mathbb{R} : \vec{n_1} = \lambda \cdot \vec{n_2}$. 
Wir wählen nun eine der Koordinaten als Parameter, z.B. $z=t$ und stellen das Gleichungssystem auf.

|2=
$$\begin{align}
I: \ &x&+&y&+&t&=&3 \\
II: \ &x&-&3y&+&2t&=&1
\end{align}$$

Wir subtrahieren $I-II$ und erhalten
$$4y - t = 2 \ \Rightarrow \ y = \frac{1}{2} + t \cdot \frac{1}{4}$$
Nun setzen wir unser erhaltenes $y$ in die erste Gleichung ein, um $x$ zu erhalten:

$$I: \ x + \frac{1}{2} + t \cdot \frac{1}{4} + t = 3 \ \Rightarrow \ x = \frac{5}{2} - t \cdot \frac{5}{4}$$
Somit haben wir alle Ausdrücke der Koordinaten gefunden ($z=t$ haben wir anfangs festgelegt) und können die Parameterdarstellung der Schnittgerade angeben:
$$g: X = \left( \begin{array}{c} \frac{5}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 0 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} - \frac{5}{4} \\ \frac{1}{4} \\ 1 \end{array} \right)$$
}}

 

==== ...zwischen 3 Ebenen ====
Drei Ebenen können im $\mathbb{R^3}$
*alle ident sein
*2 ident, 1 parallel sein
*alle parallel sein
*3 Schnittgeraden haben
*2 Schnittgeraden haben (2 Ebenen parallel)
*1 Schnittgerade haben
*1 Schnittpunkt haben

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:Ebenenident3.png|3 Ebenen sind ident
Datei:Ebenenidentparallel.png|2 Ebenen sind ident, 1 parallel
Datei:Ebenenparallel3.png|3 Ebenen sind parallel
Datei:Ebenenschnittgeraden33.png|3 Ebenen schneiden einander in 3 Geraden
Datei:Ebenenschnittgeraden32.png|3 Ebenen schneiden einander in 2 Geraden (2 Ebenen parallel)
Datei:Ebenenschnittgerade3.png|3 Ebenen schneiden einander in einer Gerade
Datei:Ebenenschnittgerade31.png|3 Ebenen schneiden einander in einer Gerade (2 Ebenen ident)
Datei:Ebenenschnittpunkt3.png|3 Ebenen schneiden einander in einem Punkt
</gallery>

 

==== ...zwischen Ebene und Gerade ====
Eine Ebene und eine Gerade können im $\mathbb{R^3}$
*$g \subset \epsilon$, die Gerade liegt auf der Ebene 
Hierbei haben die Gerade und die Ebene einen gemeinsamen Punkt und der Richtungsvektor der Gerade steht normal auf den Normalvektor der Ebene, daraus folgt, dass sie unendlich gemeinsame Punkte haben.
*parallel sein 
Irgendein Punkt der Gerade liegt nicht auf der Ebene, der Richtungsvektor der Gerade steht normal auf den Normalvektor der Ebene, daraus folgt, dass sie keinen einzigen gemeinsamen Punkt haben.
*1 Schnittpunkt haben 
Der Richtungsvektor der Geraden steht nicht normal auf den Normalvektor der Ebene.

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:GeradeinEbene.png|Gerade liegt auf der Ebene
Datei:GeradepararallelEbene.png|Gerade und Ebene sind parallel zueinander
Datei:GeradeSchnittpunktEbene.png|Gerade und Ebene schneiden einander (Schnittpunkt)
</gallery>

Zur Überprüfung der Lagebeziehung gibt es allerdings noch eine andere (schnellere) Methode. Hier "schneiden" wir die Gerade und die Ebene mathematisch, d.h. wir setzen sie gleich (wenn beide in Parameterform gegeben sind) oder setzen die Gerade $g$ (Parameterform) in die Ebene $\epsilon$ (allg. Ebenengleichung) ein. 
Wir erhalten dadurch ein Gleichungssystem oder eine einzelne Gleichung. 

Sei die Gerade gegeben als $g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \\ z = z_P + t \cdot z_a \end{cases}$ und die Ebene als $\epsilon : \begin{cases} x = x_Q + s \cdot x_b + u \cdot x_c \\ y = y_Q + s \cdot y_b + u \cdot y_c \\ z = z_Q + s \cdot z_b + u \cdot z_c \end{cases}$ (Parameterform) oder $\epsilon : ax + by + cz = d$ (allg. Ebenengleichung). 

Wir erhalten als Gleichungssystem durch Gleichsetzen der Gleichungen der Parameterformen:
$$\begin{cases} x_P + t \cdot x_a = x_Q + s \cdot x_b + u \cdot x_c \\ y_P + t \cdot y_a = y_Q + s \cdot y_b + u \cdot y_c \\ z_P + t \cdot z_a = z_Q + s \cdot z_b + u \cdot z_c \end{cases}$$ 
Wir erhalten durch Einsetzen der Gerade in die Ebene (allg. Ebenengleichung):
$$a \cdot (x_P + t \cdot x_a) + b \cdot (y_P + t \cdot y_a) + c \cdot (z_P + t \cdot z_a) = d$$ 

Ergibt sich hier eine wahre Aussage (z.B. $1=1$), also unendlich viele Lösungen, so liegt die Gerade in der Ebene. 
Ergibt sich eine falsche Aussage (z.B. $1=2$), also keine Lösung, so schneiden die beiden Objekte einander nicht, also sie sind parallel. 
Gibt es genau eine Lösung (z.B. $t=2$), so existiert genau ein gemeinsamer Punkt = Schnittpunkt. Diesen erhält man, indem man den ermittelten Wert für den Parameter $t$ der Geraden in die Geradengleichung einsetzt (oder, wenn die Ebene in Parameterform gegeben war, die beiden Werte für die Parameter $s$ und $u$ der Ebene in die Ebenengleichung einsetzt). Dazu 2 Beispiele, wobei wir im ersten mit der Ebene in Parameterform rechnen werden:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right)$ und die Ebene $\epsilon : X = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -1 \\ -3 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) + u \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 0 \end{array} \right)$. Stellen wir nun also unser Gleichungssystem auf:
|2=\begin{align}
I: \ & \ 1&-t&=&4& &+2u \\
II: \ &-3& &=&-1&+s&-u \\
III: \ & \ 2&+2t&=&-3&+s&
\end{align}

In der ersten Gleichung drücken wir $u$ in $t$ aus: $u = - \frac{3}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$ 
In der zweiten Gleichung drücken wir $s$ in $u$ aus: $s = -2 + u$ 
Das $u$ von oben setzen wir nun hier ein und erhalten $s$ in Abhängigkeit von $t$: $s = - \frac{7}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$. 

Dieses $s$ setzen wir nun in die dritte Gleichung ein und wir erhalten: $2 + 2t = -3 - \frac{7}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$ und in weiterer Folge $t = - \frac{17}{5}$. 
Es ergibt sich also genau eine Lösung für das Gleichungssystem, was bedeutet, dass die Gerade und die Ebene einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen. Diesen erhalten wir, indem wir den errechneten Wert für $t$ in die Geradengleichung einsetzen (Man könnte natürlich auch noch die Werte für $s$ und $u$ berechnen, und diese in die Ebenengleichung einsetzen; zur Übung kannst du das gerne tun):
$$g: S = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) - \frac{17}{5} \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \frac{23}{5} \\ -3 \\ - \frac{24}{5} \end{array} \right)$$
}} 

Betrachten wir nun dasselbe Beispiel, mit dem Unterschied, dass die Ebene in Normalform gegeben ist und wir auch gleich mit dieser Form rechnen:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right)$ und die Ebene $\epsilon : x + 2y - 2z = 8$. Wir setzen die Koordinatengleichungen der Gerade in die Normalform der Ebene:
|2= $g$ in $\epsilon$: $$1 - t - 6 - 4 -4t =8$$
Wenn wir diese Gleichung lösen, erhalten wir, wie im ersten Bespiel, $t = - \frac{17}{5}$. Dies noch in die Geradengleichung einsetzen, und wir erhalten den Schnittpunkt.}}

Da man bei der zweiten Methode meistens weniger zu rechnen hat, zahlt es sich oft aus die Parameterdarstellung der Ebene in die Normalform (= allg. Ebenengleichung) umzurechnen.

= Beispiele =
Hier findest du Beispiele zu den behandelten Themen:

===Grundlagen der Vektorrechnung===
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/9/99/VektorrechnungGLBspAngabe.pdf VektorrechnungGLBspAngabe.pdf]
 
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/0/00/VektorrechnungGLBspL%C3%B6sung.pdf VektorrechnungGLBspLösung.pdf]

===Vektorrechnung im $\mathbb{R^2}$===
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/7/7f/VektorrechnungR2BspAngabe.pdf VektorrechnungR2BspAngabe.pdf]
 
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/f/ff/VektorrechnungR2BspL%C3%B6sung.pdf VektorrechnungR2BspLösung.pdf]

Vektorrechnung

2016-03-06T14:48:22Z

Lajtos: /* Lagebeziehungen zwischen Geraden */

= Grundlagen der Vektorrechnung =

==Koordinatensystem==
[[Datei:Koordinatengitter.png|thumb|right|350px|Koordinatengitter im $\mathbb{R^2}$ mit den 4 Quadranten]]

Für die Vektorrechnung sind Koordinatensysteme essentiell.
Im zweidimensionalen Raum besitzt ein Koordinatensystem 2 Achsen:

* die x-Achse (waagrecht) und
* die y-Achse (senkrecht)

 
Diese sind unendlich lang und Spannen die vier sogenannten Quadranten auf, die meist mit den römischen Ziffern I-IV beschriftet werden (gesprochen: Erster Quadrant, Zweiter Quadrant etc.). Die rechte Graphik zeigt die die Position der Quadranten. Dort, wo die 2 Achsen einander treffen, liegt der sog. Ursprung (kurz: $\vec{0}$); seine Koordinaten sind (0/0).

Was es außerdem noch zu beachten gibt, hast du vielleicht bereits selbst erkannt:
An den gegenüberliegenden Seiten der x- und y-Achsen werden unterschiedliche Vorzeichen verwendet. So spricht man "links" des Ursprungs von der negativen, bzw. "rechts" des Ursprungs von der positiven x-Achse. Analog spricht man "oben" und "unten" von der positiven und negativen y-Achse.

Im dreidimensionalen Raum kommt eine dritte Achse - die z-Achse - dazu. Punkte und Vektoren besitzen dementsprechend dann auch 3 Koordinaten. Dies kann man bis ins n-dimensionale weiterführen.

==Punkte==
In ein Koordinatensystem lassen sich Punkte eintragen. Diese besitzen, entsprechend ihrer Lage, Koordinaten. Im obigen Bild z.B. haben wir die Punkte A und B, wobei sich A im ersten Quadranten befindet und B im vierten. Man schreibt: A(2/3,5) B(1/-2).

[[Datei:PunkteR2.png|thumb|right|250px|Punkte im $\mathbb{R^2}$]]

{{Vorlage:Merke |''Einen'' '''allgemeinen Punkt''' ''schreibt man an als'' $P(x_1/x_2/.../x_n)$ (im n-dimensionalen Raum $\mathbb{R^n}$) ''bzw.'' $P(x/y)$ (im 2-dimensionalen Raum $ \mathbb{R^2}$) ''oder'' $P(x/y/z)$ (im 3-dimensionalen Raum $\mathbb{R^3}$).
 
Die erste Koordinate entspricht der x-Koordinate, die zweite der y-Koordinate, die eventuelle dritte der z-Koordinate.

Punkte werden in der Regel mit Großbuchstaben bezeichnet.}}

Koordinaten von Punkten lassen sich also ganz einfach ablesen. Die x/y-Koordinate entspricht dabei dem Abstand vom Ursprung zum Punkt in Richtung der jeweiligen Koordinatenachse. So erkennen wir im Bild rechts die folgenden Punkte:

* A(2/0)
* B(0/-2)
* C(-1/2)

==Vektoren==
Vektoren kann man sich wie '' eine Menge von Pfeilen'' vorstellen. Sie besitzen eine '''Länge''' (Betrag) und eine '''Richtung'''. Auch sie bestehen, wie Punkte, je nach Dimension aus 2 bzw. 3 Koordinaten. Der Unterschied dabei ist, dass die Koordinaten hier keine Position im Koordinatensystem darstellen, sondern eine Bewegung. Auch die Schreibweise unterscheidet sich:

{{Vorlage:Merke |1=''Einen'' '''allgemeinen Vektor''' ''schreibt man an als'' $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ (im $\mathbb{R^n}$) ''bzw.'' $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ (im $\mathbb{R^2}$) oder $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right)$ (im $\mathbb{R^3}$).

Vektoren werden in der Regeln mit Kleinbuchstaben mit Pfeil darüber bezeichnet.}}

===Ortsvektoren===
[[Datei:Ortsvektor.png|thumb|right|300px|Punkt und zugehöriger Ortsvektor]]
Der Ortsvektor von einem Punkt ist der Vektor, der vom Ursprung aus auf den Punkt zeigt. Die Koordinaten bleiben deshalb gleich, es ändert sich quasi nur die Schreibweise:

Sei $A(x_1/x_2/.../x_n)$ ein Punkt in der Dimension $n$, dann ist $\vec{0A} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ dessen Ortsvektor.

 

 

 
 

=== Addition und Subtraktion von Vektoren ===
{{Vorlage:Merke|1=Wenn du Vektoren addieren oder subtrahieren möchtest, musst du dazu einfach die entsprechenden Koordinaten betrachten: 
$\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) \pm \left( \begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ ... \\ y_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x_1 \pm y_1 \\ x_2 \pm y_2 \\ ... \\ x_n \pm y_n \end{array} \right)$ 
Wichtig ist dabei, dass die Vektoren, die du addieren oder subtrahieren möchtest, derselben Dimension $n$ angehören! D.h. sie haben gleich viele Koordinaten.}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben seien die beiden Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right)$. Berechne erst $\vec{a} + \vec{b}$, dann $\vec{a} - \vec{b}$ und zuletzt $\vec{b} - \vec{a}$!
|2= $$\vec{a} + \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 5+1 \\ 2+(-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 6 \\ -1 \end{array} \right)$$
$$\vec{a} - \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 5-1 \\ 2-(-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 5 \end{array} \right)$$
$$\vec{b} - \vec{a} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 1-5 \\ -3-2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -4 \\ -5 \end{array} \right)$$}}

===Vektoren bestimmen: Spitze-minus-Schaft===
[[Datei:Spitzeschaft.png|thumb|right|300px|"Spitze minus Schaft"]]
Zwischen 2 Punkten kann man nun einen Vektor definieren. Dabei gilt: Die '''"Spitze minus Schaft"'''-Regel Im Bild rechts wollen wir den Vektor berechnen, der von A nach B geht, also den Vektor $\vec{AB}$. Der Punkt B(3/3,5) entspricht hierbei der Spitze, und der Punkt A(1/0,5) dem Schaft. Da das Rechnen mit Punkten allerdings keinen Sinn ergibt, rechnet man stattdessen mit deren Ortsvektoren (siehe oben).

Für unser Beispiel bedeutet das folgendes: $\vec{0B} - \vec{0A} = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 3,5 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0,5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 3-1 \\ 3,5-3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right) = \vec{AB}$

Beachte außerdem:

* Man schreibt der Einfachheit halber oft nur $B-A$, wenn damit eigentlich $\vec{0B} - \vec{0A}$ gemeint ist.
* $\vec{AB} = -\vec{BA}$

 

===Produkt eines Vektors mit einem Skalar===
Wenn man einen Vektor $\vec{v}$ mit einer [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)|reellen Zahl]] $k$ , einem sogenannten "Skalar", multipliziert, werden dabei die einzelnen Koordinaten mit dem Skalar multipliziert:

$k \cdot \vec{v} = k \cdot \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} k \cdot x_1 \\ k \cdot x_2 \\ ... \\ k \cdot x_n \end{array} \right)$
 

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sei der Vektor $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right)$. Multipliziere diesen einmal mit $2$ und einmal mit $-5$!
|2=$$2 \cdot \vec{a} = 2 \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \cdot 2 \\ 2 \cdot (-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -6 \end{array} \right)$$
$$(-5) \cdot \vec{a} = (-5) \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-5) \cdot 2 \\ (-5) \cdot (-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -10 \\ 15 \end{array} \right)$$}}

{{#widget:Iframe
|url= http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_vektorrechnung/MV_Vektor1/MV_Vektor1/sites/Vektortest.html
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}}
[http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_vektorrechnung/MV_Vektor1/MV_Vektor1/ (Quelle dieses Applets)]

===Wie Vektoren zueinander stehen===
Vektoren können unterschiedliche Richtungen haben, aber auch parallel zueinander oder gar identisch sein. Optisch lässt sich das oft sehr leicht erkennen, rechnerisch sind diese Feststellungen allerdings ebenfalls überprüfbar.

{{Vorlage:Definition |Unter einem Vektor versteht man die Menge aller gleichlangen, gleichgerichteten und gleichorientierten Pfeile.

Der Start/Endpunkt spielen dabei keine Rolle!}}

{{Vorlage:Merke|2 Vektoren stehen parallel zueinander, wenn ein Vektor als Vielfaches des anderen Vektors angeschrieben werden kann. 
Man sagt auch: Die Vektoren sind [[linear abhängig]] (linear abhängig zu sein bedeutet, dass ein Vektor als Vielfaches eines anderen Vektors dargestellt werden kann).}}

Sehen wir uns die verschiedenen Fälle an:

{| class="wikitable"
|-
| ident: gleiche Richtung, gleiche Orientierung, gleiche Länge || [[Datei:Vektorv1.png|none|250px]] || $\vec{v} = \vec{u} \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$ || z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$
|-
| parallel (gleiche Orientierung): gleiche Richtung, gleiche Orientierung || [[Datei:Vektorenlänge.png|none|250px]] || $\exists k>0 : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$ || z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \end{array} \right)$, $k=2$
|-
| parallel (unterschiedliche Orientierung): gleiche Richtung || [[Datei:Vektororientierung1.png|none|250px]] || $\exists k<0 : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$ || z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} -1 \\ -1 \end{array} \right)$, $k=-1$ 
aber auch: $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \end{array} \right)$, $k=-2$
|-
| linear unabhängig || [[Datei:Vektorrichtung1.png|none|250px]] || $\nexists k : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \nparallel \vec{u}$ || z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)$
|}

{{Vorlage:Beispiel|1=für linear unabhängige Vektoren:

Sei $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 5 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$.

Wenn es ein k gibt, sodass $k \cdot \vec{a} = \vec{b}$, dann sind die beiden Vektoren voneinander linear abhängig, und somit auch parallel zueinander.

Wir lösen dieses Problem mit Hilfe von 2 Gleichungen in einer Unbekannten:

|2=$I: 2k = 4 \ \ \rightarrow k=2$
$II: 5k = 3 \ \ \rightarrow k=\frac{3}{5}$

Aus der ersten Gleichung ergibt sich k=2, in der zweiten aber $k=\frac{3}{5}$. $k$ kann aber nicht beides sein, somit haben wir eine falsche Aussage erhalten. Daraus folgt, dass die beiden Vektoren '''linear unabhängig''' und somit nicht parallel zueinander sind.}}
 

===Betrag und Einheitsvektor===

[[Datei:PythagorasVektor.png|thumb|right|350px|Betrag eines Vektors; Einheitsvektor]]Wie anfangs bereits erwähnt, besitzen Vektoren eine Länge, auch '''Betrag''' eines Vektors genannt. Dieser wird mit Hilfe des pythagoräischen Lehrsatzes wie folgt berechnet:

<div align="center">$\parallel \vec{v} \parallel = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2} \ $ wenn $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ ein Vektor der Dimension $n$ ist.</div>
Sehen wir uns die Grafik rechts an, können wir mit dieser Formel die Länge des zweidimensionalen Vektors $\parallel \vec{v} \parallel$ berechnen:

<div align="center">$\parallel \vec{v} \parallel = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$</div>
 Der '''Einheitsvektor''' $\vec{a_0}$ eines Vektors $\vec{a}$ ist ein zu $\vec{a}$ paralleler Vektor mit Länge 1. Rechnerisch erhält man $\vec{a_0}$, indem man $\vec{a}$ durch seine Länge dividiert.
$$ \vec{a_0}=\frac{\vec{a}}{\parallel \vec{a}\parallel}$$
bzw.
$$ \vec{a_0}=\frac{1}{\parallel\vec{a}\parallel}\cdot \vec{a}$$

Daraus ergibt sich ein Vektor, der dieselbe Richtung des ursprünglichen Vektors hat, allerdings die Länge 1 besitzt.

{{Vorlage:Merke|1=
Sei $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ ein Vektor der Dimension $n$ und $\parallel \vec{v} \parallel$ sein Betrag, dann ist $\vec{v_0} = \frac{1}{\parallel \vec{v} \parallel} \cdot \vec{v} \ $ der Einheitsvektor zu $\vec{v}$.
}}

In unserem Beispiel würde das folgendes bedeuten:

{{Vorlage:Beispiel|1= Bestimmen Sie den Einheitsvektor von $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$
|2=

<div align="center"> $\vec{v_0} = \frac{1}{\sqrt{13} } \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \frac{2}{\sqrt{13} } \\ \frac{3}{\sqrt{13} } \end{array} \right)$ </div>
}}

===Vektoren bestimmter Länge===
Da wir nun gelernt haben, Einheitsvektoren zu bilden und Vektoren mit Zahlen zu multiplizieren (und ich das hier so schön betone), könnt ihr euch vielleicht schon vorstellen, wie man aus einem beliebigen Vektor einen Vektor derselben Richtung, allerdings unterschiedlicher Länge bekommt. Wir haben also einen Vektor $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ mit der Länge $\parallel \vec{v} \parallel = k$ gegeben, und hätten gerne den Vektor $\vec{w} \ \parallel \ \vec{v}$ mit der Länge $l$. Dazu berechnen wir zuerst den Einheitsvektor $\vec{v_0}$ von $\vec{v}$ und multiplizieren diesen dann mit $l$. So erhalten wir schließlich $\vec{w} = l \cdot \vec{v_0}$.

==Mittelpunkt einer Strecke==
[[Datei:Mittelpunkt.png|thumb|300px|Mittelpunkt M der Strecke AB]]
Willst du den Mittelpunkt zwischen 2 Punkten $A$ und $B$ berechnen, musst du wie folgt vorgehen:
Zuerst berechnest du einen Vektor zwischen den Punkten ($\vec{AB}$ oder $\vec{BA}$). Dann halbierst du diesen Vektor, und erhältst $\vec{AM}$ bzw. $\vec{BM}$. Addierst du dann diesen Vektor zum entsprechenden Punkt ($A$ bzw. $B$), erhältst so den Mittelpunkt. Also:
 

<big><div align="center">$\vec{0M} = \vec{0A} + \frac{\vec{AB}}{2} = \vec{0B} + \frac{\vec{BA}}{2}$</div></big>

= Im $\mathbb{R^2}$ =
Dieser Artikel befasst sich mit der Vektorrechnung im zweidimensionalen Raum. Grundlegende Informationen zur Vektorrechnung, so wie Punkte und Vektoren, findest du unter dem Tab ''Grundlagen der Vektorrechnung''.

==Vektoren==

===Normalvektoren===
[[Datei:Normalvektoren.png|thumb|350px|Normalvektoren]]
Normalvektoren zu einem Vektor sind alle Vektoren, die normal (90°) auf den Vektor stehen. Im $\mathbb{R^2}$ gibt es zu jedem Vektor genau 2 Normalvektoren, die dieselbe Länge wie der ursprüngliche Vektor haben. Alle anderen Normalvektoren sind Vielfache eines dieser 2 Normalvektoren.

{{Vorlage:Merke | 1=Sei $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ ein Vektor, dann ist $\vec{n_1}=\left( \begin{array}{c} -y \\ x \end{array} \right)$ sein nach links gekippter, und $\vec{n_2}=\left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right)$ sein nach rechts gekippter Normalvektor.}}

 

===Skalarprodukt===
Unter dem Skalarprodukt versteht man die Multiplikation zweier Vektoren, bei der als Ergebnis ein Skalar (eine Zahl) entsteht.

{{Vorlage:Merke|1=Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren, dann ist $\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \end{array} \right) = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b$ gleich ihr Skalarprodukt.}}

 

===Winkel zwischen zwei Vektoren===
[[Datei:Winkel.png|thumb|350px|Winkel zwischen 2 Vektoren]]
<big>$$cos{\varphi} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel} = \vec{a_0} \cdot \vec{b_0}$$
bzw.
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = \parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel \cdot cos{\varphi}$$</big>

Heißt es, den Winkel zwischen 2 Vektoren/Geraden zu bestimmen, ist damit immer der kleinere Winkel gemeint. Solltest du einmal ein Ergebnis erhalten, das größer als 180° ist (nennen wir dieses Ergebnis $\varphi'$), dann ziehe dieses Ergebnis von 360° ab und du erhältst den kleineren Winkel ($\varphi = 360° - \varphi'$). 
Bei einem Winkel von $\varphi = 90°$ erhalten wir $cos{\varphi} = 0$, was bedeutet, dass auch $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$. Daraus ergibt sich das Orthogonalitätskriterium.

 

====Orthogonalitätskriterium====
{{Vorlage:Merke|1=Ergibt das Skalarprodukt zweier Vektoren $0$, so stehen diese zwei Vektoren normal zueinander (und umgekehrt!)
 
<div align="center">$\vec{a} \cdot \vec{b} \ = \ 0 \ \Leftrightarrow \ \vec{a} \bot \vec{b}$</div>}}

Das ist nicht überraschend, denn multipliziert man einen Vektor $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ mit seinem Notmalvektor $\vec{n}=\left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right)$ erhalten wir:
 
<div align="center">$\vec{v} \cdot \vec{n} = \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right) = xy - yx = 0$</div>

 

==Geraden==
===Darstellungsformen===
Geraden lassen sich in unterschiedlichen Formen darstellen. In der Vektorrechnung ist die Parameterdarstellung populär, da man dazu nur einen Punkt und Vektor kennen muss. Die Normalform allerdings hat den Vorteil, dass man den Normalvektor zur Geraden auf einen Blick ablesen kann. Je nachdem, was man mit der Gerade vorhat, können die verschiedenen Formen ineinander umgewandelt werden.

====Parameterdarstellung====
[[Datei:Parameterdarstellung.png|thumb|350px|Parameterdarstellung einer Geraden]]
$$g: \vec{0X} = \vec{0P} + t \cdot \vec{a}$$ 
wobei
*$X \in g$ ist ein '''beliebiger''' Punkt auf der unendlichen Geraden (steht für alle Punkte auf der Geraden)
*$P \in g$ ist ein '''bekannter''' Punkt auf der Geraden
*$t \in \mathbb{R}$ ist ein freier Parameter (in der Graphik rechts $\lambda$)
*$\vec{a} \in \mathbb{R^2}$ ist ein Vektor parallel zur Geraden, der die Richtung dieser angibt ("Richtungsvektor")
 
Beachte, dass in der Parameterdarstellung keine Punkte, sondern Ortsvektoren verwendet werden! (Info zu Ortsvektoren findest du unter ''Grundlagen der Vektorrechnung''.) 
Wenn man das weiß, kann man der Einfachheit halber die Gerade auch folgendermaßen beschreiben: $g: X = P + t \cdot \vec{a}$

 
Eine andere Schreibweise ist, die Koordinaten einzeln zu betrachten und 2 Gleichungen aufzustellen:
$$g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \end{cases}$$

 

====Normalvektorform====
Hierzu benötigt man einen Normalvektor des Richtungsvektors und multipliziert dann die Geradengleichung mit diesem Normalvektor. Da $\vec{a} \cdot \vec{n} = 0$, bleibt über:

Sei $g: \vec{0X} = \vec{0P} + t \cdot \vec{a}$ eine Gerade in Parameterform, so ist 

<div align="center">$g: \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x_P \\ y_P \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right)$</div> 

dieselbe Gerade in Normalform, wobei $\vec{0X}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right), \ \vec{0P}=\left( \begin{array}{c} x_P \\ y_P \end{array} \right), \ \vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right)$ und $\vec{n}=\left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right)$ ein Normalvektor von $\vec{a}$ (hier kann man natürlich auch den anderen Normalvektor verwenden).

 

====Allgemeine Geradengleichung====
Diese Form der Darstellung heißt auch Normalform, da man den Normalvektor der Gerade direkt ablesen kann.Um von der Parameterdarstellung auf diese Form zu kommen, gibt es 2 Möglichkeiten:

'''1. Multiplikation mit Normalvektor:'''
Hierzu muss man einfach die Normalform ausmultiplizieren und es ergibt sich: 

$$g: y_a \cdot x + -x_a \cdot y = y_a \cdot x_P + -x_a \cdot y_P$$
 

'''2. Elimination des Parameters:'''
Hierbei gehen wir von der Geradenform $g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \end{cases}$ aus, eliminieren $t$, und kommen ebenfalls auf die obige allgemeine Geradengleichung.
Auf der rechten Seite der Gleichung stehen nur bekannte Größen, auf der linken Seiten stehen Vielfache von x und y. Diese Gleichung kann man weiter auch auf die Form y=kx+d umformen.

 

===Lagebeziehungen zwischen Geraden===
Mehrere Geraden können im $\mathbb{R^2}$

*ident sein, d.h. sie haben unendlich viele gemeinsame Punkte
*parallel sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt
*einander schneiden, d.h. sie haben genau ein gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt)
 
Sind uns 2 Geraden in '''Parameterdarstellung''' gegeben, betrachten wir zuerst ihre Richtungsvektoren. 
Sind diese parallel zueinander, so sind auch die Geraden parallel zueinander. Nun bleibt noch die Frage offen, ob die Geraden ident sind. Dazu überprüfen wir einfach, ob der gegebene Punkt der einen Geraden auch auf der anderen Geraden liegt. Dazu Setzen wir den bekannten Punkt der einen Geraden für den unbekannten Punkt der anderen Geraden ein und erhalten 2 Gleichungen in einer Unbekannten (Parameter der zweiten Gerade). Erhalten wir nun für den Parameter zweimal dasselbe Ergebnis, so sind die 2 Geraden ident, erhalten wir unterschiedliche Ergebnisse, so sind sie nur parallel. 
Sind die Richtungsvektoren nicht parallel zueinander, so sind es auch die 2 Geraden nicht, und wir können uns sicher sein, dass diese einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen.
Doch wie erhalten wir den Schnittpunkt? Ganz einfach, indem wir die 2 Geraden schneiden. Dazu müssen wir sie gleichsetzen, und dann das dadurch erhaltene Gleichungssystem in 2 Unbekannten (die 2 Parameter) lösen. Wenn wir den Wert eines Parameters ausgerechnet haben, setzen wir ihn einfach in die entsprechende Geradengleichung ein und erhalten so den Schnittpunkt!

 

Sind die 2 Geraden in der '''allgemeinen Geradenform''' gegeben, so haben wir bereits 2 Gleichungen gegeben, die wir nach x und y auflösen. Dieses x und y sind die Koordinaten des Schnittpunktes.

 

Um das Schneiden von Geraden besser zu verstehen, schau dir das Lösen von [[ Gleichungssysteme (2.7.) |Gleichungssystemen]] genauer an, wirf einen Blick auf die Beispiele zum $\mathbb{R^2}$ unter dem Tab 'Beispiele', oder sieh dir dieses Video an:

<div align="center">{{#ev:youtube|ZrFE3LRisn0}}</div>

 

===Normalabstand Punkt - Gerade===
[[Datei:Normalabstand.gif|right]]
Gegeben sei ein Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und eine Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$. Um den Normalabstand $d(Q,g)$ zwischen Q und g zu berechnen, gehe wie folgt vor:
{{Vorlage:Merke|1=1. Bestimme die Gerade $q: X = Q + s \cdot \vec{n}$, die durch $Q$ geht und den Normalvektor $\vec{n}$ von $\vec{a}$ als Richtungsvektor besitzt.
2. Schneide $g$ und $q$ und die erhältst ihren Schnittpunkt $S$. 
3. Berechne $\parallel \vec{QS} \parallel$.}}
In der Graphik rechts hätten wir z.B. die Angabe $g: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right) + \lambda \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array} \right)$ und $Q(3/4)$. Du kannst das zur Übung durchrechnen.

 

====Hesse'sche Abstandsformel====
Mithilfe dieser Formel kann man ebenfalls den Abstand $d(Q,g)$ zwischen Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$ bestimmen. 
<big>$d(Q,g) = | \vec{PQ} \cdot \vec{n_0} | $</big>, wobei $\vec{n_0}$ der normierte (Länge 1) Normalvektor des Richtungsvektors $\vec{a}$ der Geraden $g$ ist.

 

====Spiegelung eines Punktes an einer Geraden====
[[Datei:Spiegeln.png|thumb|250px|Gespiegelter Punkt Q']]
Gegeben sei ein Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und eine Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$. Es gilt den Punkt $Q$ an der Gerade $g$ zu spiegeln, und so den Punkt $Q'$ zu erhalten. Dazu befolgst du die Vorgehensweise von "Normalabstand Punkt - Gerade" bis du den Vektor $\vec{QS}$ erhältst, und trägst diesen vom Punkt $S$ ab, also: 
$Q' = S + \vec{QS}$

= Im $\mathbb{R^3}$ =

== Vektoren ==

=== Kreuzprodukt ===
Im $\mathbb{R^3}$ gibt es neben dem Skalarprodukt, bei dem wir als Ergebnis ein Skalar erhalten, eine weitere Möglichkeit, zwei Vektoren mit einander zu multiplizieren: das sog. Kreuz- oder Vektorprodukt, bei dem wir als Ergebnis einen Vektor erhalten.
{{Vorlage:Merke|1=Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren des $\mathbb{R^3}$, dann ist ihr Kreuzprodukt
$$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} y_a \cdot z_b - z_a \cdot y_b \\ z_a \cdot x_b - x_a \cdot z_b \\ x_a \cdot y_b - y_a \cdot x_b \end{array} \right)$$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ -3 \end{array} \right)$, gesucht ist ihr Kreuzprodukt.
|2=$$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \cdot (-3) - 3 \cdot 4 \\ 3 \cdot 5 - 1 \cdot (-3) \\ 1 \cdot 4 - 2 \cdot 5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-6) - 12 \\ 15 - (-3) \\ 4 - 10 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -18 \\ 18 \\ -6 \end{array} \right)$$}}

Wozu wir das Kreuzprodukt überhaupt benötigen, sehen wir an den nächsten 2 Punkten.

 

==== Normalvektoren ====
Im $\mathbb{R^3}$ gibt es zu einem Vektor unendlich viele Normalvektoren. Auf eine Ebene allerdings gibt es genau 2 Normalvektoren (wie im $\mathbb{R^2}$ auf eine Gerade). Eine Ebene wird von 2 Vektoren aufgespannt, deren Kreuzprodukt ergibt einen Normalvektor $\vec{n_1}$ auf die Ebene bzw. die zwei Vektoren; der zweite Normalvektor hat die entgegengesetzte Orientierung ($\vec{n_2} = -\vec{n_1}$). Also:
$$\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$$

 

==== Fläche eines von zwei Vektoren aufgespannten Parallelogramms oder Dreiecks ====
[[Datei:FlächeNormalvektor.png|thumb|right|ohne|250px|2 Vektoren spannen ein Dreieck bzw. Parallelogramm auf]]
 
{{Vorlage:Merke|1=Die Länge $\parallel \vec{n} \parallel = \parallel \vec{a} \times \vec{b} \parallel$ des Normalvektors $\vec{n}$ zu den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ entspricht der Maßzahl des Flächeninhaltes des Parallelogramms, das $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aufspannen (im Bild die gesamte grüne Fläche).
Die Hälfte dieser Fläche entspricht der Fläche des aufgespannten Dreiecks.}}

 

=== Skalarprodukt, Orthogonalitätskriterium, Winkel zwischen zwei Vektoren ===
Diese drei Dinge "funktionieren" im $\mathbb{R^3}$ wie im $\mathbb{R^2}$. Also hier nur eine kurze Wiederholung:
 

'''Skalarprodukt''' 
Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\z_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren, dann ist $$\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right) = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b + z_a \cdot z_b$$ gleich ihr Skalarprodukt.
 

'''Orthogonalitätskriterium''' 
Ergibt das Skalarprodukt zweier Vektoren $0$, so stehen diese zwei Vektoren normal zueinander (und umgekehrt!)
$$\vec{a} \cdot \vec{b} \ = \ 0 \ \Leftrightarrow \ \vec{a} \bot \vec{b}$$
Auch das gibt es im $\mathbb{R^3}$. Bedenke aber, dass es hier, anders als im $\mathbb{R^2}$, unendlich viele Normalvektoren auf einen Vektor gibt.
 

'''Winkel zwischen zwei Vektoren'''
$$cos{\varphi} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel} = \vec{a_0} \cdot \vec{b_0}$$

 

== Geraden ==
=== Darstellungsformen ===
==== Parameterdarstellung ====
Die Parameterdarstellung im $\mathbb{R^3}$ sieht genauso aus wie im $\mathbb{R^2}$, einziger Unterschied ist, dass unsere Punkte und Vektoren hier jeweils 3 Koordinaten haben.
$$g: X = P + t \cdot \vec{a}$$ bzw. $$g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \\ z = z_P + t \cdot z_a \end{cases}$$
Mehr Infos zu den einzelnen Komponenten findest du im Tab 'Im $\mathbb{R^2}$'.

 

==== Parameterfreie Darstellungsform ====
Diese besteht aus 2 Gleichungen und wir erhalten sie durch Eliminierung des Parameters.

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sei die Parameterform der Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ -4 \\ 1 \end{array} \right)$. Zuerst schreiben wir das in die 3 Koordinatengleichungen um:
$$g : \begin{cases} x = 2 + 3t \\ y = 0 - 4t \\ z = 1 + t \end{cases}$$

|2=Wir multiplizieren die erste Gleichung mit $4$ und die zweite Gleichung mit $3$ und addieren die beiden: $$+ \begin{cases} 4x = 8 + 12t \\ 3y = 0 - 12t \end{cases}$$ und erhalten so die Gleichung $4x + 3y = 8$.
Wir multiplizieren die dritte Gleichung mit $3$ und subtrahieren diese von der ersten Gleichung: $$- \begin{cases} x = 2 + 3t \\ 3z = 3 + 3t \end{cases}$$ und erhalten so die Gleichung $x - 3z = -1$.

Die parameterfreie Darstellung unserer Gerade lautet somit $$g : \begin{cases} 4x + 3y = 8 \\ x - 3z = -1 \end{cases}$$.}}

Die zwei Gleichungen in der parameterfreien Darstellung sind übrigens Ebenengleichungen. Die eigentliche Gerade ist der Schnitt dieser zwei Ebenen!

 

=== Lagebeziehungen zwischen Geraden ===
Mehrere Geraden können im $\mathbb{R^3}$

*ident sein, d.h. sie haben unendlich viele gemeinsame Punkte
*parallel sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt
*einander schneiden, d.h. sie haben genau ein gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt)
*windschief sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt und sind nicht parallel
 

Um herauszufinden, wie 2 gegebene Geraden in Parameterform zueinander stehen, gehst du am besten wie folgt vor:

'''Betrachtung der Richtungsvektoren:''' Auch im $\mathbb{R^3}$ gilt, sind die Richtungsvektoren zweier Geraden parallel zueinander (d.h. man kann einen Vektor als Vielfaches des anderen Vektors darstellen), so sind es auch die Geraden.
 

'''Fall 1: Die Vektoren sind parallel:''' Sollte sich herausstellen, dass die zwei Geraden parallel zueinander sind, überprüfst du als nächstes, ob sie einen gemeinsamen Punkt haben; am einfachsten funktioniert das, indem du den bekannten Punkt ($P$) der einen Geraden in die zweite Gerade (für den unbekannten Punkt $X$) einsetzt. Wir erhalten drei Gleichungen in einer Unbekannten (Parameter der zweiten Gerade). 
'''Fall 1a:''' Erhalten wir nun für den Parameter dreimal dasselbe Ergebnis, so sind die 2 Geraden '''ident''' (und parallel), da der überprüfte Punkt, und somit unendlich weitere, auf beiden Geraden liegen. 
'''Fall 1b:''' Erhalten wir unterschiedliche Ergebnisse, so sind sie nur '''parallel''', da der überprüfte Punkt nicht, und somit auch kein anderer, auf beiden Geraden liegen.
 

'''Fall 2: Die Vektoren sind nicht parallel:''' Nun gibt es nur noch zwei Möglichkeiten: Entweder die zwei Geraden haben einen gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt), oder sie sind windschief. 
Um das wiederum herauszufinden, setzt du die beiden Geraden gleich, d.h. du stellst ein lineares Gleichungssystem (LGS) mit drei Gleichungen und in drei Unbekannten auf, und versuchst, dieses zu lösen. 
'''Fall 2a:''' Solltest du nun eine Lösung erhalten, d.h. du erhältst den Wert für den Parameter einer der zwei Geraden (und hast diesen Wert überprüft), so weißt du, dass die zwei Geraden einander '''schneiden'''. Den Schnittpunkt erhältst du jetzt, indem du den erhaltenen Wert für den Parameter in die entsprechende Geradengleichung einsetzt. 
'''Fall 2b:''' Sollte dein LGS keine Lösung ergeben (also sich eine falsche Aussage oder ein Widerspruch ergeben, z.B. $2=13$, oder $t=4$ und $t=-1$), dann weißt du, dass deine beiden Geraden keinen Schnittpunkt haben und somit '''windschief''' sind.
 

Zum besseren Verständnis siehst du dir am besten das folgende Video und die beiden folgenden Beispiele an.

<div align="center">{{#ev:youtube|u0QoYlEE094}}</div>

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die beiden Geraden $g: X = \left( \begin{array}{c} 0 \\ -11 \\ -3 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right)$ und $h: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ -3 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right)$. Überprüfe deren gegenseitige Lage und gegebenenfalls ihren Schnittpunkt!|
2=Zuerst überprüfen wir die Richtungsvektoren der beiden Geraden, um festzustellen, ob diese parallel zueinander sind oder nicht:
$$\nexists \lambda : \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) = \lambda \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) \nparallel \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g \nparallel h$$
$g$ und $h$ sind also nicht parallel. Sie können also noch entweder einander schneiden oder windschief sein. Stellen wir nun ein LGS auf, indem wir die beiden Geraden gleichsetzen:
$$\begin{align}
I: \ &&&s&=&2&+&t \\
II: \ &-11&+&2s&=&3&-&3t \\
III: \ &-3&+&s&=&-3&+&2t
\end{align}$$ 
Wir subtrahieren $III$ von $I$: $- \begin{cases} &s &=& 2 + t \\ -3 + &s &=& -3 + 2t \end{cases} \ \rightarrow \ 3 = 5 - t \Rightarrow t = 2$ 
Wir überprüfen dieses Ergebnis für $t$, indem wir $t=2$ in alle 3 Gleichungen einsetzen. Wir sehen dann, dass wir überall dasselbe Ergebnis für $s$ erhalten, nämlich $s=4$. Daraus folgt, dass die Geraden einander '''schneiden'''. Setzen wir nun $t=2$ oder $s=4$ in die entsprechende Geradengleichung, so erhalten wir den Schnittpunkt $S(4/-3/1)$ der beiden Geraden.}}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sind die beiden Geraden $g: X = \left( \begin{array}{c} 3 \\ -2 \\ 0 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right)$ und $h: X = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$. Überprüfe deren gegenseitige Lage und ggf. ihren Schnittpunkt!|
2=Zuerst überprüfen wir wieder die Richtungsvektoren der beiden Geraden:
$$\nexists \lambda : \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) = \lambda \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) \nparallel \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \ \Rightarrow \ g \nparallel h$$
Nun stellen wir wieder ein LGS auf:
$$\begin{align}
I: \ &3&+&2s&=&4&-&t \\
II: \ &-2&-&2s&=&3&& \\
III: \ &&&s&=&1&+&t
\end{align}$$ 
Aus der zweiten Gleichung lässt sich direkt berechnen, dass $s=- \frac{5}{2}$. Dies setzen wir nun in die erste und zweite Gleichung ein und erhalten einmal $3 - 5 = 4 - t \ \Rightarrow \ t=6$ und einmal $- \frac{5}{2} = 1 + t \ \Rightarrow \ t=- \frac{7}{2}$. Diese beiden Werte für $t$ sind offensichtlich voneinander unterschiedlich, daraus folgt, dass die beiden Geraden $g$ und $h$ '''windschief''' sind.
}}
 

== Ebenen ==
Eine Ebene ist durch 3 Punkte oder 1 Punkt und 2 (voneinander linear unabhängigen) Vektoren eindeutig festgelegt.
=== Darstellungsformen ===
==== Parameterdarstellung ====
[[Datei:ebene2.png|thumb|right|350px|von Punkt und Vektoren aufgespannte Ebene]]
$$\epsilon : X = P + s \cdot \vec{a} + t \cdot \vec{b}$$
bzw.
$$\epsilon : \begin{cases} x = x_P + s \cdot x_a + t \cdot x_b \\ y = y_P + s \cdot y_a + t \cdot y_b \\ z = z_P + s \cdot z_a + t \cdot z_b \end{cases}$$
wobei
*$X \in \epsilon$ ist ein '''beliebiger''' Punkt auf der unendlichen Ebene
*$P \in \epsilon$ ist ein '''bekannter''' Punkt auf der Ebene
*$s, t \in \mathbb{R}$ sind freie Parameter
*$\vec{a}, \vec{b} \in \mathbb{R^3}$ sind zwei Vektoren, die parallel zur Ebene liegen

 

==== Normalvektorform ====
Man multipliziert die Parameterdarstellung der Ebene mit ihrem Normalvektor $\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$ und erhält
$$\vec{n} \cdot \vec{X} = \vec{n} \cdot \vec{P}$$

 

==== Allgemeine Ebenengleichung ====
$$ax + by + cz = d$$
Diese Form der Darstellung heißt auch Normalform, da man den Normalvektor der Ebene direkt ablesen kann. Um von der Parameterdarstellung auf diese Form zu kommen, gibt es 2 Möglichkeiten:

'''1. Multiplikation mit Normalvektor:'''
Hierzu muss man einfach die Normalform ausmultiplizieren und es ergibt sich: 

$$\epsilon: x_n \cdot x + y_n \cdot y + z_n \cdot z = x_n \cdot x_P + y_n \cdot y_P + z_n \cdot z_P$$
 

'''2. Elimination des Parameters:'''
Hierbei gehen wir von der Ebenengleichung $\epsilon : \begin{cases} x = x_P + s \cdot x_a + t \cdot x_b \\ y = y_P + s \cdot y_a + t \cdot y_b \\ z = z_P + s \cdot z_a + t \cdot z_b \end{cases}$ aus, eliminieren $s$ und $t$, und kommen ebenfalls auf die obige allgemeine Ebenengleichung.

 

Zur Veranschaulichung ein Beispiel zu den verschiedenen Darstellungsformen:
{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die drei Punkte $A(1/1/1), B(-1/-4/2), C(0/3/-1)$. Gib die Ebene, die diese drei Punkte aufspannen, in Parameterform, Normalform und allgemeiner Ebenengleichung an!|
2=Für die Parameterform berechnen wir erst zwei beliebige Vektoren aus den 3 Punkten, z.B. $\vec{AB} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{AC} = \left( \begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right)$. Als Parameterform erhalten wir schließlich:
$$\epsilon: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right)$$ 
Um auf die Normalform zu kommen, bestimmen wir als erstes den Normalvektor der Ebenen: $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-5) \cdot (-2) - 1 \cdot 2 \\ 1 \cdot (-1) - (-2) \cdot (-2) \\ (-2) \cdot 2 - (-5) \cdot (-1) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right)$. 
Nun die Parametergleichung mit dem Normalvektor multiplizieren und wir erhalten auch die Normalform:
$$\epsilon: \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)$$ 
Um nun noch die allg. Ebenenform zu erhalten, multipliziert man am einfachsten die Normalform aus und erhält:
$$\epsilon: 8x - 5y -9z =-6$$ 
Aber auch die Elimination der Parameter soll hier gezeigt werden. Wir gehen aus von: $$\epsilon : \begin{cases} x = 1 - 2s - t \\ y = 1 - 5s + 2t \\ z = 1 + s - 2t\end{cases}$$
Addieren wir die y- und die z-Gleichung, können wir $t$ eliminieren: $+ \begin{cases} y = 1 - 5s + 2t \\ z = 1 + s - 2t \end{cases} \ \Rightarrow \ y + z = 2 - 4s$. 
Wir können $t$ ebenfalls eliminieren, indem wir die y-Gleichung zum 2-fachen der x-Gleichung addieren: $+ \begin{cases} 2x = 2 - 4s - 2t \\ y = 1 - 5s + 2t \end{cases} \ \Rightarrow \ 2x + y = 3 -9s$. 
Nun haben wir zwei Gleichungen, die nur mehr von $s$ abhängig sind. Um diesen Parameter nun auch noch zu eliminieren, multiplizieren wir die erste Gleichung mit $(-9)$ und die zweite mit $4$ und addieren diese, um nochmals auf die allg. Ebenengleichung zu kommen.
$$+ \begin{cases} 8x + 4y = 12 - 36s \\ -9y - 9z = -18 + 36s \end{cases} \ \Rightarrow \ \epsilon: 8x - 5y -9z =-6$$
}}

=== Lagebeziehungen ===
==== ...zwischen zwei Ebenen ====
Zwei Ebenen können im $\mathbb{R^3}$
*ident sein: die Ebenengleichungen (allg. Form) sind Vielfache voneinander; 
z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : 2x + 2y + 2z = 6 \Rightarrow \epsilon _2 = 2 \cdot \epsilon _1$
*parallel sein: die Normalvektoren der Ebenen sind Vielfache voneinander; 
z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : 2x + 2y + 2z = 5 \Rightarrow \vec{n_2} = 2 \cdot \vec{n_1}$
*einander schneiden (in einer Gerade): die Normalvektoren der Ebenen sind keine Vielfache voneinander; 
z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : x - 3y + 2z = 1 \Rightarrow \nexists \lambda \in \mathbb{R} : \vec{n_1} = \lambda \cdot \vec{n_2}$

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:Ebenenident2.png|2 Ebenen sind ident
Datei:Ebenenparallel2.png|2 Ebenen sind parallel
Datei:Ebenenschnittgerade2.png|2 Ebenen schneiden einander in einer Geraden
</gallery>

 
'''Berechnen der Schnittgerade''' 
Erkennt man durch Betrachtung der Normalvektoren zweier Ebenen, dass diese einander schneiden müssen, so kann man diese Schnittgerade berechnen. Dazu erstellt man aus den beiden Ebenengleichungen ein lineares Gleichungssystem in 3 Unbekannten. 2 Gleichungen - 3 Unbekannte: wir werden hier nicht für alle Unbekannten einen Zahlenwert erhalten, können aber 2 Unbekannte in Abhängigkeit der dritten darstellen. Diese dritte Unbekannte wird uns als Parameter für die Darstellung der Geraden dienen. Zur Veranschaulichung ein Beispiel:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die beiden Ebenen $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : x - 3y + 2z = 1$. Wie wir weiter oben schon festgestellt haben, müssen diese Ebenen einander schneiden, da die beiden Noramlvektoren der Ebenen $\vec{n_1}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{n_2}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right)$ linear unabhängig voneinander sind, also $\nexists \lambda \in \mathbb{R} : \vec{n_1} = \lambda \cdot \vec{n_2}$. 
Wir wählen nun eine der Koordinaten als Parameter, z.B. $z=t$ und stellen das Gleichungssystem auf.

|2=
$$\begin{align}
I: \ &x&+&y&+&t&=&3 \\
II: \ &x&-&3y&+&2t&=&1
\end{align}$$

Wir subtrahieren $I-II$ und erhalten
$$4y - t = 2 \ \Rightarrow \ y = \frac{1}{2} + t \cdot \frac{1}{4}$$
Nun setzen wir unser erhaltenes $y$ in die erste Gleichung ein, um $x$ zu erhalten:

$$I: \ x + \frac{1}{2} + t \cdot \frac{1}{4} + t = 3 \ \Rightarrow \ x = \frac{5}{2} - t \cdot \frac{5}{4}$$
Somit haben wir alle Ausdrücke der Koordinaten gefunden ($z=t$ haben wir anfangs festgelegt) und können die Parameterdarstellung der Schnittgerade angeben:
$$g: X = \left( \begin{array}{c} \frac{5}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 0 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} - \frac{5}{4} \\ \frac{1}{4} \\ 1 \end{array} \right)$$
}}

 

==== ...zwischen 3 Ebenen ====
Drei Ebenen können im $\mathbb{R^3}$
*alle ident sein
*2 ident, 1 parallel sein
*alle parallel sein
*3 Schnittgeraden haben
*2 Schnittgeraden haben (2 Ebenen parallel)
*1 Schnittgerade haben
*1 Schnittpunkt haben

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:Ebenenident3.png|3 Ebenen sind ident
Datei:Ebenenidentparallel.png|2 Ebenen sind ident, 1 parallel
Datei:Ebenenparallel3.png|3 Ebenen sind parallel
Datei:Ebenenschnittgeraden33.png|3 Ebenen schneiden einander in 3 Geraden
Datei:Ebenenschnittgeraden32.png|3 Ebenen schneiden einander in 2 Geraden (2 Ebenen parallel)
Datei:Ebenenschnittgerade3.png|3 Ebenen schneiden einander in einer Gerade
Datei:Ebenenschnittgerade31.png|3 Ebenen schneiden einander in einer Gerade (2 Ebenen ident)
Datei:Ebenenschnittpunkt3.png|3 Ebenen schneiden einander in einem Punkt
</gallery>

 

==== ...zwischen Ebene und Gerade ====
Eine Ebene und eine Gerade können im $\mathbb{R^3}$
*$g \subset \epsilon$, die Gerade liegt auf der Ebene 
Hierbei haben die Gerade und die Ebene einen gemeinsamen Punkt und der Richtungsvektor der Gerade steht normal auf den Normalvektor der Ebene, daraus folgt, dass sie unendlich gemeinsame Punkte haben.
*parallel sein 
Irgendein Punkt der Gerade liegt nicht auf der Ebene, der Richtungsvektor der Gerade steht normal auf den Normalvektor der Ebene, daraus folgt, dass sie keinen einzigen gemeinsamen Punkt haben.
*1 Schnittpunkt haben 
Der Richtungsvektor der Geraden steht nicht normal auf den Normalvektor der Ebene.

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:GeradeinEbene.png|Gerade liegt auf der Ebene
Datei:GeradepararallelEbene.png|Gerade und Ebene sind parallel zueinander
Datei:GeradeSchnittpunktEbene.png|Gerade und Ebene schneiden einander (Schnittpunkt)
</gallery>

Zur Überprüfung der Lagebeziehung gibt es allerdings noch eine andere (schnellere) Methode. Hier "schneiden" wir die Gerade und die Ebene mathematisch, d.h. wir setzen sie gleich (wenn beide in Parameterform gegeben sind) oder setzen die Gerade $g$ (Parameterform) in die Ebene $\epsilon$ (allg. Ebenengleichung) ein. 
Wir erhalten dadurch ein Gleichungssystem oder eine einzelne Gleichung. 

Sei die Gerade gegeben als $g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \\ z = z_P + t \cdot z_a \end{cases}$ und die Ebene als $\epsilon : \begin{cases} x = x_Q + s \cdot x_b + u \cdot x_c \\ y = y_Q + s \cdot y_b + u \cdot y_c \\ z = z_Q + s \cdot z_b + u \cdot z_c \end{cases}$ (Parameterform) oder $\epsilon : ax + by + cz = d$ (allg. Ebenengleichung). 

Wir erhalten als Gleichungssystem durch Gleichsetzen der Gleichungen der Parameterformen:
$$\begin{cases} x_P + t \cdot x_a = x_Q + s \cdot x_b + u \cdot x_c \\ y_P + t \cdot y_a = y_Q + s \cdot y_b + u \cdot y_c \\ z_P + t \cdot z_a = z_Q + s \cdot z_b + u \cdot z_c \end{cases}$$ 
Wir erhalten durch Einsetzen der Gerade in die Ebene (allg. Ebenengleichung):
$$a \cdot (x_P + t \cdot x_a) + b \cdot (y_P + t \cdot y_a) + c \cdot (z_P + t \cdot z_a) = d$$ 

Ergibt sich hier eine wahre Aussage (z.B. $1=1$), also unendlich viele Lösungen, so liegt die Gerade in der Ebene. 
Ergibt sich eine falsche Aussage (z.B. $1=2$), also keine Lösung, so schneiden die beiden Objekte einander nicht, also sie sind parallel. 
Gibt es genau eine Lösung (z.B. $t=2$), so existiert genau ein gemeinsamer Punkt = Schnittpunkt. Diesen erhält man, indem man den ermittelten Wert für den Parameter $t$ der Geraden in die Geradengleichung einsetzt (oder, wenn die Ebene in Parameterform gegeben war, die beiden Werte für die Parameter $s$ und $u$ der Ebene in die Ebenengleichung einsetzt). Dazu 2 Beispiele, wobei wir im ersten mit der Ebene in Parameterform rechnen werden:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right)$ und die Ebene $\epsilon : X = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -1 \\ -3 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) + u \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 0 \end{array} \right)$. Stellen wir nun also unser Gleichungssystem auf:
|2=\begin{align}
I: \ & \ 1&-t&=&4& &+2u \\
II: \ &-3& &=&-1&+s&-u \\
III: \ & \ 2&+2t&=&-3&+s&
\end{align}

In der ersten Gleichung drücken wir $u$ in $t$ aus: $u = - \frac{3}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$ 
In der zweiten Gleichung drücken wir $s$ in $u$ aus: $s = -2 + u$ 
Das $u$ von oben setzen wir nun hier ein und erhalten $s$ in Abhängigkeit von $t$: $s = - \frac{7}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$. 

Dieses $s$ setzen wir nun in die dritte Gleichung ein und wir erhalten: $2 + 2t = -3 - \frac{7}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$ und in weiterer Folge $t = - \frac{17}{5}$. 
Es ergibt sich also genau eine Lösung für das Gleichungssystem, was bedeutet, dass die Gerade und die Ebene einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen. Diesen erhalten wir, indem wir den errechneten Wert für $t$ in die Geradengleichung einsetzen (Man könnte natürlich auch noch die Werte für $s$ und $u$ berechnen, und diese in die Ebenengleichung einsetzen; zur Übung kannst du das gerne tun):
$$g: S = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) - \frac{17}{5} \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \frac{23}{5} \\ -3 \\ - \frac{24}{5} \end{array} \right)$$
}} 

Betrachten wir nun dasselbe Beispiel, mit dem Unterschied, dass die Ebene in Normalform gegeben ist und wir auch gleich mit dieser Form rechnen:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right)$ und die Ebene $\epsilon : x + 2y - 2z = 8$. Wir setzen die Koordinatengleichungen der Gerade in die Normalform der Ebene:
|2= $g$ in $\epsilon$: $$1 - t - 6 - 4 -4t =8$$
Wenn wir diese Gleichung lösen, erhalten wir, wie im ersten Bespiel, $t = - \frac{17}{5}$. Dies noch in die Geradengleichung einsetzen, und wir erhalten den Schnittpunkt.}}

Da man bei der zweiten Methode meistens weniger zu rechnen hat, zahlt es sich oft aus die Parameterdarstellung der Ebene in die Normalform (= allg. Ebenengleichung) umzurechnen.

= Beispiele =
Hier findest du Beispiele zu den behandelten Themen:

===Grundlagen der Vektorrechnung===
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/9/99/VektorrechnungGLBspAngabe.pdf VektorrechnungGLBspAngabe.pdf]
 
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/0/00/VektorrechnungGLBspL%C3%B6sung.pdf VektorrechnungGLBspLösung.pdf]

===Vektorrechnung im $\mathbb{R^2}$===
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/7/7f/VektorrechnungR2BspAngabe.pdf VektorrechnungR2BspAngabe.pdf]
 
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/f/ff/VektorrechnungR2BspL%C3%B6sung.pdf VektorrechnungR2BspLösung.pdf]

Vektorrechnung

2016-03-06T09:33:04Z

Lajtos: /* Ortsvektoren */

= Grundlagen der Vektorrechnung =

==Koordinatensystem==
[[Datei:Koordinatengitter.png|thumb|right|350px|Koordinatengitter im $\mathbb{R^2}$ mit den 4 Quadranten]]

Für die Vektorrechnung sind Koordinatensysteme essentiell.
Im zweidimensionalen Raum besitzt ein Koordinatensystem 2 Achsen:

* die x-Achse (waagrecht) und
* die y-Achse (senkrecht)

 
Diese sind unendlich lang und Spannen die vier sogenannten Quadranten auf, die meist mit den römischen Ziffern I-IV beschriftet werden (gesprochen: Erster Quadrant, Zweiter Quadrant etc.). Die rechte Graphik zeigt die die Position der Quadranten. Dort, wo die 2 Achsen einander treffen, liegt der sog. Ursprung (kurz: $\vec{0}$); seine Koordinaten sind (0/0).

Was es außerdem noch zu beachten gibt, hast du vielleicht bereits selbst erkannt:
An den gegenüberliegenden Seiten der x- und y-Achsen werden unterschiedliche Vorzeichen verwendet. So spricht man "links" des Ursprungs von der negativen, bzw. "rechts" des Ursprungs von der positiven x-Achse. Analog spricht man "oben" und "unten" von der positiven und negativen y-Achse.

Im dreidimensionalen Raum kommt eine dritte Achse - die z-Achse - dazu. Punkte und Vektoren besitzen dementsprechend dann auch 3 Koordinaten. Dies kann man bis ins n-dimensionale weiterführen.

==Punkte==
In ein Koordinatensystem lassen sich Punkte eintragen. Diese besitzen, entsprechend ihrer Lage, Koordinaten. Im obigen Bild z.B. haben wir die Punkte A und B, wobei sich A im ersten Quadranten befindet und B im vierten. Man schreibt: A(2/3,5) B(1/-2).

[[Datei:PunkteR2.png|thumb|right|250px|Punkte im $\mathbb{R^2}$]]

{{Vorlage:Merke |''Einen'' '''allgemeinen Punkt''' ''schreibt man an als'' $P(x_1/x_2/.../x_n)$ (im n-dimensionalen Raum $\mathbb{R^n}$) ''bzw.'' $P(x/y)$ (im 2-dimensionalen Raum $ \mathbb{R^2}$) ''oder'' $P(x/y/z)$ (im 3-dimensionalen Raum $\mathbb{R^3}$).
 
Die erste Koordinate entspricht der x-Koordinate, die zweite der y-Koordinate, die eventuelle dritte der z-Koordinate.

Punkte werden in der Regel mit Großbuchstaben bezeichnet.}}

Koordinaten von Punkten lassen sich also ganz einfach ablesen. Die x/y-Koordinate entspricht dabei dem Abstand vom Ursprung zum Punkt in Richtung der jeweiligen Koordinatenachse. So erkennen wir im Bild rechts die folgenden Punkte:

* A(2/0)
* B(0/-2)
* C(-1/2)

==Vektoren==
Vektoren kann man sich wie '' eine Menge von Pfeilen'' vorstellen. Sie besitzen eine '''Länge''' (Betrag) und eine '''Richtung'''. Auch sie bestehen, wie Punkte, je nach Dimension aus 2 bzw. 3 Koordinaten. Der Unterschied dabei ist, dass die Koordinaten hier keine Position im Koordinatensystem darstellen, sondern eine Bewegung. Auch die Schreibweise unterscheidet sich:

{{Vorlage:Merke |1=''Einen'' '''allgemeinen Vektor''' ''schreibt man an als'' $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ (im $\mathbb{R^n}$) ''bzw.'' $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ (im $\mathbb{R^2}$) oder $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right)$ (im $\mathbb{R^3}$).

Vektoren werden in der Regeln mit Kleinbuchstaben mit Pfeil darüber bezeichnet.}}

===Ortsvektoren===
[[Datei:Ortsvektor.png|thumb|right|300px|Punkt und zugehöriger Ortsvektor]]
Der Ortsvektor von einem Punkt ist der Vektor, der vom Ursprung aus auf den Punkt zeigt. Die Koordinaten bleiben deshalb gleich, es ändert sich quasi nur die Schreibweise:

Sei $A(x_1/x_2/.../x_n)$ ein Punkt in der Dimension $n$, dann ist $\vec{0A} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ dessen Ortsvektor.

 

 

 
 

=== Addition und Subtraktion von Vektoren ===
{{Vorlage:Merke|1=Wenn du Vektoren addieren oder subtrahieren möchtest, musst du dazu einfach die entsprechenden Koordinaten betrachten: 
$\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) \pm \left( \begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ ... \\ y_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x_1 \pm y_1 \\ x_2 \pm y_2 \\ ... \\ x_n \pm y_n \end{array} \right)$ 
Wichtig ist dabei, dass die Vektoren, die du addieren oder subtrahieren möchtest, derselben Dimension $n$ angehören! D.h. sie haben gleich viele Koordinaten.}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben seien die beiden Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right)$. Berechne erst $\vec{a} + \vec{b}$, dann $\vec{a} - \vec{b}$ und zuletzt $\vec{b} - \vec{a}$!
|2= $$\vec{a} + \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 5+1 \\ 2+(-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 6 \\ -1 \end{array} \right)$$
$$\vec{a} - \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 5-1 \\ 2-(-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 5 \end{array} \right)$$
$$\vec{b} - \vec{a} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 1-5 \\ -3-2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -4 \\ -5 \end{array} \right)$$}}

===Vektoren bestimmen: Spitze-minus-Schaft===
[[Datei:Spitzeschaft.png|thumb|right|300px|"Spitze minus Schaft"]]
Zwischen 2 Punkten kann man nun einen Vektor definieren. Dabei gilt: Die '''"Spitze minus Schaft"'''-Regel Im Bild rechts wollen wir den Vektor berechnen, der von A nach B geht, also den Vektor $\vec{AB}$. Der Punkt B(3/3,5) entspricht hierbei der Spitze, und der Punkt A(1/0,5) dem Schaft. Da das Rechnen mit Punkten allerdings keinen Sinn ergibt, rechnet man stattdessen mit deren Ortsvektoren (siehe oben).

Für unser Beispiel bedeutet das folgendes: $\vec{0B} - \vec{0A} = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 3,5 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0,5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 3-1 \\ 3,5-3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right) = \vec{AB}$

Beachte außerdem:

* Man schreibt der Einfachheit halber oft nur $B-A$, wenn damit eigentlich $\vec{0B} - \vec{0A}$ gemeint ist.
* $\vec{AB} = -\vec{BA}$

 

===Produkt eines Vektors mit einem Skalar===
Wenn man einen Vektor $\vec{v}$ mit einer [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)|reellen Zahl]] $k$ , einem sogenannten "Skalar", multipliziert, werden dabei die einzelnen Koordinaten mit dem Skalar multipliziert:

$k \cdot \vec{v} = k \cdot \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} k \cdot x_1 \\ k \cdot x_2 \\ ... \\ k \cdot x_n \end{array} \right)$
 

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sei der Vektor $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right)$. Multipliziere diesen einmal mit $2$ und einmal mit $-5$!
|2=$$2 \cdot \vec{a} = 2 \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \cdot 2 \\ 2 \cdot (-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -6 \end{array} \right)$$
$$(-5) \cdot \vec{a} = (-5) \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-5) \cdot 2 \\ (-5) \cdot (-3) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -10 \\ 15 \end{array} \right)$$}}

{{#widget:Iframe
|url= http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_vektorrechnung/MV_Vektor1/MV_Vektor1/sites/Vektortest.html
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}}
[http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_vektorrechnung/MV_Vektor1/MV_Vektor1/ (Quelle dieses Applets)]

===Wie Vektoren zueinander stehen===
Vektoren können unterschiedliche Richtungen haben, aber auch parallel zueinander oder gar identisch sein. Optisch lässt sich das oft sehr leicht erkennen, rechnerisch sind diese Feststellungen allerdings ebenfalls überprüfbar.

{{Vorlage:Definition |Unter einem Vektor versteht man die Menge aller gleichlangen, gleichgerichteten und gleichorientierten Pfeile.

Der Start/Endpunkt spielen dabei keine Rolle!}}

{{Vorlage:Merke|2 Vektoren stehen parallel zueinander, wenn ein Vektor als Vielfaches des anderen Vektors angeschrieben werden kann. 
Man sagt auch: Die Vektoren sind [[linear abhängig]] (linear abhängig zu sein bedeutet, dass ein Vektor als Vielfaches eines anderen Vektors dargestellt werden kann).}}

Sehen wir uns die verschiedenen Fälle an:

{| class="wikitable"
|-
| ident: gleiche Richtung, gleiche Orientierung, gleiche Länge || [[Datei:Vektorv1.png|none|250px]] || $\vec{v} = \vec{u} \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$ || z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$
|-
| parallel (gleiche Orientierung): gleiche Richtung, gleiche Orientierung || [[Datei:Vektorenlänge.png|none|250px]] || $\exists k>0 : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$ || z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \end{array} \right)$, $k=2$
|-
| parallel (unterschiedliche Orientierung): gleiche Richtung || [[Datei:Vektororientierung1.png|none|250px]] || $\exists k<0 : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \parallel \vec{u}$ || z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} -1 \\ -1 \end{array} \right)$, $k=-1$ 
aber auch: $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} -2 \\ -2 \end{array} \right)$, $k=-2$
|-
| linear unabhängig || [[Datei:Vektorrichtung1.png|none|250px]] || $\nexists k : k \cdot \vec{v} = \vec{u} \ \ \Rightarrow \vec{v} \nparallel \vec{u}$ || z.B. $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)$
|}

{{Vorlage:Beispiel|1=für linear unabhängige Vektoren:

Sei $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 5 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$.

Wenn es ein k gibt, sodass $k \cdot \vec{a} = \vec{b}$, dann sind die beiden Vektoren voneinander linear abhängig, und somit auch parallel zueinander.

Wir lösen dieses Problem mit Hilfe von 2 Gleichungen in einer Unbekannten:

|2=$I: 2k = 4 \ \ \rightarrow k=2$
$II: 5k = 3 \ \ \rightarrow k=\frac{3}{5}$

Aus der ersten Gleichung ergibt sich k=2, in der zweiten aber $k=\frac{3}{5}$. $k$ kann aber nicht beides sein, somit haben wir eine falsche Aussage erhalten. Daraus folgt, dass die beiden Vektoren '''linear unabhängig''' und somit nicht parallel zueinander sind.}}
 

===Betrag und Einheitsvektor===

[[Datei:PythagorasVektor.png|thumb|right|350px|Betrag eines Vektors; Einheitsvektor]]Wie anfangs bereits erwähnt, besitzen Vektoren eine Länge, auch '''Betrag''' eines Vektors genannt. Dieser wird mit Hilfe des pythagoräischen Lehrsatzes wie folgt berechnet:

<div align="center">$\parallel \vec{v} \parallel = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2} \ $ wenn $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ ein Vektor der Dimension $n$ ist.</div>
Sehen wir uns die Grafik rechts an, können wir mit dieser Formel die Länge des zweidimensionalen Vektors $\parallel \vec{v} \parallel$ berechnen:

<div align="center">$\parallel \vec{v} \parallel = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$</div>
 Der '''Einheitsvektor''' $\vec{a_0}$ eines Vektors $\vec{a}$ ist ein zu $\vec{a}$ paralleler Vektor mit Länge 1. Rechnerisch erhält man $\vec{a_0}$, indem man $\vec{a}$ durch seine Länge dividiert.
$$ \vec{a_0}=\frac{\vec{a}}{\parallel \vec{a}\parallel}$$
bzw.
$$ \vec{a_0}=\frac{1}{\parallel\vec{a}\parallel}\cdot \vec{a}$$

Daraus ergibt sich ein Vektor, der dieselbe Richtung des ursprünglichen Vektors hat, allerdings die Länge 1 besitzt.

{{Vorlage:Merke|1=
Sei $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{array} \right)$ ein Vektor der Dimension $n$ und $\parallel \vec{v} \parallel$ sein Betrag, dann ist $\vec{v_0} = \frac{1}{\parallel \vec{v} \parallel} \cdot \vec{v} \ $ der Einheitsvektor zu $\vec{v}$.
}}

In unserem Beispiel würde das folgendes bedeuten:

{{Vorlage:Beispiel|1= Bestimmen Sie den Einheitsvektor von $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)$
|2=

<div align="center"> $\vec{v_0} = \frac{1}{\sqrt{13} } \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \frac{2}{\sqrt{13} } \\ \frac{3}{\sqrt{13} } \end{array} \right)$ </div>
}}

===Vektoren bestimmter Länge===
Da wir nun gelernt haben, Einheitsvektoren zu bilden und Vektoren mit Zahlen zu multiplizieren (und ich das hier so schön betone), könnt ihr euch vielleicht schon vorstellen, wie man aus einem beliebigen Vektor einen Vektor derselben Richtung, allerdings unterschiedlicher Länge bekommt. Wir haben also einen Vektor $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ mit der Länge $\parallel \vec{v} \parallel = k$ gegeben, und hätten gerne den Vektor $\vec{w} \ \parallel \ \vec{v}$ mit der Länge $l$. Dazu berechnen wir zuerst den Einheitsvektor $\vec{v_0}$ von $\vec{v}$ und multiplizieren diesen dann mit $l$. So erhalten wir schließlich $\vec{w} = l \cdot \vec{v_0}$.

==Mittelpunkt einer Strecke==
[[Datei:Mittelpunkt.png|thumb|300px|Mittelpunkt M der Strecke AB]]
Willst du den Mittelpunkt zwischen 2 Punkten $A$ und $B$ berechnen, musst du wie folgt vorgehen:
Zuerst berechnest du einen Vektor zwischen den Punkten ($\vec{AB}$ oder $\vec{BA}$). Dann halbierst du diesen Vektor, und erhältst $\vec{AM}$ bzw. $\vec{BM}$. Addierst du dann diesen Vektor zum entsprechenden Punkt ($A$ bzw. $B$), erhältst so den Mittelpunkt. Also:
 

<big><div align="center">$\vec{0M} = \vec{0A} + \frac{\vec{AB}}{2} = \vec{0B} + \frac{\vec{BA}}{2}$</div></big>

= Im $\mathbb{R^2}$ =
Dieser Artikel befasst sich mit der Vektorrechnung im zweidimensionalen Raum. Grundlegende Informationen zur Vektorrechnung, so wie Punkte und Vektoren, findest du unter dem Tab ''Grundlagen der Vektorrechnung''.

==Vektoren==

===Normalvektoren===
[[Datei:Normalvektoren.png|thumb|350px|Normalvektoren]]
Normalvektoren zu einem Vektor sind alle Vektoren, die normal (90°) auf den Vektor stehen. Im $\mathbb{R^2}$ gibt es zu jedem Vektor genau 2 Normalvektoren, die dieselbe Länge wie der ursprüngliche Vektor haben. Alle anderen Normalvektoren sind Vielfache eines dieser 2 Normalvektoren.

{{Vorlage:Merke | 1=Sei $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ ein Vektor, dann ist $\vec{n_1}=\left( \begin{array}{c} -y \\ x \end{array} \right)$ sein nach links gekippter, und $\vec{n_2}=\left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right)$ sein nach rechts gekippter Normalvektor.}}

 

===Skalarprodukt===
Unter dem Skalarprodukt versteht man die Multiplikation zweier Vektoren, bei der als Ergebnis ein Skalar (eine Zahl) entsteht.

{{Vorlage:Merke|1=Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren, dann ist $\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \end{array} \right) = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b$ gleich ihr Skalarprodukt.}}

 

===Winkel zwischen zwei Vektoren===
[[Datei:Winkel.png|thumb|350px|Winkel zwischen 2 Vektoren]]
<big>$$cos{\varphi} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel} = \vec{a_0} \cdot \vec{b_0}$$
bzw.
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = \parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel \cdot cos{\varphi}$$</big>

Heißt es, den Winkel zwischen 2 Vektoren/Geraden zu bestimmen, ist damit immer der kleinere Winkel gemeint. Solltest du einmal ein Ergebnis erhalten, das größer als 180° ist (nennen wir dieses Ergebnis $\varphi'$), dann ziehe dieses Ergebnis von 360° ab und du erhältst den kleineren Winkel ($\varphi = 360° - \varphi'$). 
Bei einem Winkel von $\varphi = 90°$ erhalten wir $cos{\varphi} = 0$, was bedeutet, dass auch $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$. Daraus ergibt sich das Orthogonalitätskriterium.

 

====Orthogonalitätskriterium====
{{Vorlage:Merke|1=Ergibt das Skalarprodukt zweier Vektoren $0$, so stehen diese zwei Vektoren normal zueinander (und umgekehrt!)
 
<div align="center">$\vec{a} \cdot \vec{b} \ = \ 0 \ \Leftrightarrow \ \vec{a} \bot \vec{b}$</div>}}

Das ist nicht überraschend, denn multipliziert man einen Vektor $\vec{v}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ mit seinem Notmalvektor $\vec{n}=\left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right)$ erhalten wir:
 
<div align="center">$\vec{v} \cdot \vec{n} = \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y \\ -x \end{array} \right) = xy - yx = 0$</div>

 

==Geraden==
===Darstellungsformen===
Geraden lassen sich in unterschiedlichen Formen darstellen. In der Vektorrechnung ist die Parameterdarstellung populär, da man dazu nur einen Punkt und Vektor kennen muss. Die Normalform allerdings hat den Vorteil, dass man den Normalvektor zur Geraden auf einen Blick ablesen kann. Je nachdem, was man mit der Gerade vorhat, können die verschiedenen Formen ineinander umgewandelt werden.

====Parameterdarstellung====
[[Datei:Parameterdarstellung.png|thumb|350px|Parameterdarstellung einer Geraden]]
$$g: \vec{0X} = \vec{0P} + t \cdot \vec{a}$$ 
wobei
*$X \in g$ ist ein '''beliebiger''' Punkt auf der unendlichen Geraden (steht für alle Punkte auf der Geraden)
*$P \in g$ ist ein '''bekannter''' Punkt auf der Geraden
*$t \in \mathbb{R}$ ist ein freier Parameter (in der Graphik rechts $\lambda$)
*$\vec{a} \in \mathbb{R^2}$ ist ein Vektor parallel zur Geraden, der die Richtung dieser angibt ("Richtungsvektor")
 
Beachte, dass in der Parameterdarstellung keine Punkte, sondern Ortsvektoren verwendet werden! (Info zu Ortsvektoren findest du unter ''Grundlagen der Vektorrechnung''.) 
Wenn man das weiß, kann man der Einfachheit halber die Gerade auch folgendermaßen beschreiben: $g: X = P + t \cdot \vec{a}$

 
Eine andere Schreibweise ist, die Koordinaten einzeln zu betrachten und 2 Gleichungen aufzustellen:
$$g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \end{cases}$$

 

====Normalvektorform====
Hierzu benötigt man einen Normalvektor des Richtungsvektors und multipliziert dann die Geradengleichung mit diesem Normalvektor. Da $\vec{a} \cdot \vec{n} = 0$, bleibt über:

Sei $g: \vec{0X} = \vec{0P} + t \cdot \vec{a}$ eine Gerade in Parameterform, so ist 

<div align="center">$g: \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x_P \\ y_P \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right)$</div> 

dieselbe Gerade in Normalform, wobei $\vec{0X}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right), \ \vec{0P}=\left( \begin{array}{c} x_P \\ y_P \end{array} \right), \ \vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \end{array} \right)$ und $\vec{n}=\left( \begin{array}{c} y_a \\ -x_a \end{array} \right)$ ein Normalvektor von $\vec{a}$ (hier kann man natürlich auch den anderen Normalvektor verwenden).

 

====Allgemeine Geradengleichung====
Diese Form der Darstellung heißt auch Normalform, da man den Normalvektor der Gerade direkt ablesen kann.Um von der Parameterdarstellung auf diese Form zu kommen, gibt es 2 Möglichkeiten:

'''1. Multiplikation mit Normalvektor:'''
Hierzu muss man einfach die Normalform ausmultiplizieren und es ergibt sich: 

$$g: y_a \cdot x + -x_a \cdot y = y_a \cdot x_P + -x_a \cdot y_P$$
 

'''2. Elimination des Parameters:'''
Hierbei gehen wir von der Geradenform $g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \end{cases}$ aus, eliminieren $t$, und kommen ebenfalls auf die obige allgemeine Geradengleichung.
Auf der rechten Seite der Gleichung stehen nur bekannte Größen, auf der linken Seiten stehen Vielfache von x und y. Diese Gleichung kann man weiter auch auf die Form y=kx+d umformen.

 

===Lagebeziehungen zwischen Geraden===
Mehrere Geraden können im $\mathbb{R^2}$

*ident sein, d.h. sie haben unendlich viele gemeinsame Punkte
*parallel sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt
*einander schneiden, d.h. sie haben genau ein gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt)
 
Sind uns 2 Geraden in '''Parameterdarstellung''' gegeben, betrachten wir zuerst ihre Richtungsvektoren. 
Sind diese parallel zueinander, so sind auch die Geraden parallel zueinander. Nun bleibt noch die Frage offen, ob die Geraden ident sind. Dazu überprüfen wir einfach, ob der gegebene Punkt der einen Geraden auch auf der anderen Geraden liegt. Dazu Setzen wir den bekannten Punkt der einen Geraden für den unbekannten Punkt der anderen Geraden ein und erhalten 2 Gleichungen in einer Unbekannten (Parameter der zweiten Gerade). Erhalten wir nun für den Parameter zweimal dasselbe Ergebnis, so sind die 2 Geraden ident, erhalten wir unterschiedliche Ergebnisse, so sind sie nur parallel. 
Sind die Richtungsvektoren nicht parallel zueinander, so sind es auch die 2 Geraden nicht, und wir können uns sicher sein, dass diese einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen.
Doch wie erhalten wir den Schnittpunkt? Ganz einfach, indem wir die 2 Geraden schneiden. Dazu müssen wir sie gleichsetzen, und dann das dadurch erhaltene Gleichungssystem in 2 Unbekannten (die 2 Parameter) lösen. Wenn wir den Wert eines Parameters ausgerechnet haben, setzen wir ihn einfach in die entsprechende Geradengleichung ein und erhalten so den Schnittpunkt!

 

Sind die 2 Geraden in der '''allgemeinen Geradenform''' gegeben, so haben wir bereits 2 Gleichungen gegeben, die wir nach x und y auflösen. Dieses x und y sind die Koordinaten des Schnittpunktes.

 

Um das Schneiden von Geraden besser zu verstehen, schau dir das Lösen von [[ Gleichungssysteme (2.7.) |Gleichungssystemen]] genauer an, wirf einen Blick auf die Beispiele zum $\mathbb{R^2}$ unter dem Tab 'Beispiele', oder sieh dir dieses Video an:

<div align="center">{{#ev:youtube|ZrFE3LRisn0}}</div>

 

===Normalabstand Punkt - Gerade===
[[Datei:Normalabstand.gif|right]]
Gegeben sei ein Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und eine Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$. Um den Normalabstand $d(Q,g)$ zwischen Q und g zu berechnen, gehe wie folgt vor:
{{Vorlage:Merke|1=1. Bestimme die Gerade $q: X = Q + s \cdot \vec{n}$, die durch $Q$ geht und den Normalvektor $\vec{n}$ von $\vec{a}$ als Richtungsvektor besitzt.
2. Schneide $g$ und $q$ und die erhältst ihren Schnittpunkt $S$. 
3. Berechne $\parallel \vec{QS} \parallel$.}}
In der Graphik rechts hätten wir z.B. die Angabe $g: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right) + \lambda \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array} \right)$ und $Q(3/4)$. Du kannst das zur Übung durchrechnen.

 

====Hesse'sche Abstandsformel====
Mithilfe dieser Formel kann man ebenfalls den Abstand $d(Q,g)$ zwischen Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$ bestimmen. 
<big>$d(Q,g) = | \vec{PQ} \cdot \vec{n_0} | $</big>, wobei $\vec{n_0}$ der normierte (Länge 1) Normalvektor des Richtungsvektors $\vec{a}$ der Geraden $g$ ist.

 

====Spiegelung eines Punktes an einer Geraden====
[[Datei:Spiegeln.png|thumb|250px|Gespiegelter Punkt Q']]
Gegeben sei ein Punkt $Q(x_Q/y_Q)$ und eine Gerade $g: X = P + t \cdot \vec{a}$. Es gilt den Punkt $Q$ an der Gerade $g$ zu spiegeln, und so den Punkt $Q'$ zu erhalten. Dazu befolgst du die Vorgehensweise von "Normalabstand Punkt - Gerade" bis du den Vektor $\vec{QS}$ erhältst, und trägst diesen vom Punkt $S$ ab, also: 
$Q' = S + \vec{QS}$

= Im $\mathbb{R^3}$ =

== Vektoren ==

=== Kreuzprodukt ===
Im $\mathbb{R^3}$ gibt es neben dem Skalarprodukt, bei dem wir als Ergebnis ein Skalar erhalten, eine weitere Möglichkeit, zwei Vektoren mit einander zu multiplizieren: das sog. Kreuz- oder Vektorprodukt, bei dem wir als Ergebnis einen Vektor erhalten.
{{Vorlage:Merke|1=Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren des $\mathbb{R^3}$, dann ist ihr Kreuzprodukt
$$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} y_a \cdot z_b - z_a \cdot y_b \\ z_a \cdot x_b - x_a \cdot z_b \\ x_a \cdot y_b - y_a \cdot x_b \end{array} \right)$$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Vektoren $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ -3 \end{array} \right)$, gesucht ist ihr Kreuzprodukt.
|2=$$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \cdot (-3) - 3 \cdot 4 \\ 3 \cdot 5 - 1 \cdot (-3) \\ 1 \cdot 4 - 2 \cdot 5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-6) - 12 \\ 15 - (-3) \\ 4 - 10 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -18 \\ 18 \\ -6 \end{array} \right)$$}}

Wozu wir das Kreuzprodukt überhaupt benötigen, sehen wir an den nächsten 2 Punkten.

 

==== Normalvektoren ====
Im $\mathbb{R^3}$ gibt es zu einem Vektor unendlich viele Normalvektoren. Auf eine Ebene allerdings gibt es genau 2 Normalvektoren (wie im $\mathbb{R^2}$ auf eine Gerade). Eine Ebene wird von 2 Vektoren aufgespannt, deren Kreuzprodukt ergibt einen Normalvektor $\vec{n_1}$ auf die Ebene bzw. die zwei Vektoren; der zweite Normalvektor hat die entgegengesetzte Orientierung ($\vec{n_2} = -\vec{n_1}$). Also:
$$\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$$

 

==== Fläche eines von zwei Vektoren aufgespannten Parallelogramms oder Dreiecks ====
[[Datei:FlächeNormalvektor.png|thumb|right|ohne|250px|2 Vektoren spannen ein Dreieck bzw. Parallelogramm auf]]
 
{{Vorlage:Merke|1=Die Länge $\parallel \vec{n} \parallel = \parallel \vec{a} \times \vec{b} \parallel$ des Normalvektors $\vec{n}$ zu den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ entspricht der Maßzahl des Flächeninhaltes des Parallelogramms, das $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aufspannen (im Bild die gesamte grüne Fläche).
Die Hälfte dieser Fläche entspricht der Fläche des aufgespannten Dreiecks.}}

 

=== Skalarprodukt, Orthogonalitätskriterium, Winkel zwischen zwei Vektoren ===
Diese drei Dinge "funktionieren" im $\mathbb{R^3}$ wie im $\mathbb{R^2}$. Also hier nur eine kurze Wiederholung:
 

'''Skalarprodukt''' 
Seien $\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right)$ und $\vec{b}=\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\z_b \end{array} \right)$ zwei Vektoren, dann ist $$\vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ z_a \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ z_b \end{array} \right) = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b + z_a \cdot z_b$$ gleich ihr Skalarprodukt.
 

'''Orthogonalitätskriterium''' 
Ergibt das Skalarprodukt zweier Vektoren $0$, so stehen diese zwei Vektoren normal zueinander (und umgekehrt!)
$$\vec{a} \cdot \vec{b} \ = \ 0 \ \Leftrightarrow \ \vec{a} \bot \vec{b}$$
Auch das gibt es im $\mathbb{R^3}$. Bedenke aber, dass es hier, anders als im $\mathbb{R^2}$, unendlich viele Normalvektoren auf einen Vektor gibt.
 

'''Winkel zwischen zwei Vektoren'''
$$cos{\varphi} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{\parallel \vec{a} \parallel \cdot \parallel \vec{b} \parallel} = \vec{a_0} \cdot \vec{b_0}$$

 

== Geraden ==
=== Darstellungsformen ===
==== Parameterdarstellung ====
Die Parameterdarstellung im $\mathbb{R^3}$ sieht genauso aus wie im $\mathbb{R^2}$, einziger Unterschied ist, dass unsere Punkte und Vektoren hier jeweils 3 Koordinaten haben.
$$g: X = P + t \cdot \vec{a}$$ bzw. $$g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \\ z = z_P + t \cdot z_a \end{cases}$$
Mehr Infos zu den einzelnen Komponenten findest du im Tab 'Im $\mathbb{R^2}$'.

 

==== Parameterfreie Darstellungsform ====
Diese besteht aus 2 Gleichungen und wir erhalten sie durch Eliminierung des Parameters.

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben sei die Parameterform der Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ -4 \\ 1 \end{array} \right)$. Zuerst schreiben wir das in die 3 Koordinatengleichungen um:
$$g : \begin{cases} x = 2 + 3t \\ y = 0 - 4t \\ z = 1 + t \end{cases}$$

|2=Wir multiplizieren die erste Gleichung mit $4$ und die zweite Gleichung mit $3$ und addieren die beiden: $$+ \begin{cases} 4x = 8 + 12t \\ 3y = 0 - 12t \end{cases}$$ und erhalten so die Gleichung $4x + 3y = 8$.
Wir multiplizieren die dritte Gleichung mit $3$ und subtrahieren diese von der ersten Gleichung: $$- \begin{cases} x = 2 + 3t \\ 3z = 3 + 3t \end{cases}$$ und erhalten so die Gleichung $x - 3z = -1$.

Die parameterfreie Darstellung unserer Gerade lautet somit $$g : \begin{cases} 4x + 3y = 8 \\ x - 3z = -1 \end{cases}$$.}}

Die zwei Gleichungen in der parameterfreien Darstellung sind übrigens Ebenengleichungen. Die eigentliche Gerade ist der Schnitt dieser zwei Ebenen!

 

=== Lagebeziehungen zwischen Geraden ===
Mehrere Geraden können im $\mathbb{R^3}$

*ident sein, d.h. sie haben unendlich viele gemeinsame Punkte
*parallel sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt
*einander schneiden, d.h. sie haben genau ein gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt)
*windschief sein, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt und sind nicht parallel
 

Um herauszufinden, wie 2 gegebene Geraden in Parameterform zueinander stehen, gehst du am besten wie folgt vor:

'''Betrachtung der Richtungsvektoren:''' Auch im $\mathbb{R^3}$ gilt, sind die Richtungsvektoren zweier Geraden parallel zueinander (d.h. man kann einen Vektor als Vielfaches des anderen Vektors darstellen), so sind es auch die Geraden.
 

'''Fall 1: Die Vektoren sind parallel:''' Sollte sich herausstellen, dass die zwei Geraden parallel zueinander sind, überprüfst du als nächstes, ob sie einen gemeinsamen Punkt haben; am einfachsten funktioniert das, indem du den bekannten Punkt ($P$) der einen Geraden in die zweite Gerade (für den unbekannten Punkt $X$) einsetzt. Wir erhalten drei Gleichungen in einer Unbekannten (Parameter der zweiten Gerade). 
'''Fall 1a:''' Erhalten wir nun für den Parameter dreimal dasselbe Ergebnis, so sind die 2 Geraden '''ident''' (und parallel), da der überprüfte Punkt, und somit unendlich weitere, auf beiden Geraden liegen. 
'''Fall 1b:''' Erhalten wir unterschiedliche Ergebnisse, so sind sie nur '''parallel''', da der überprüfte Punkt nicht, und somit auch kein anderer, auf beiden Geraden liegen.
 

'''Fall 2: Die Vektoren sind nicht parallel:''' Nun gibt es nur noch zwei Möglichkeiten: Entweder die zwei Geraden haben einen gemeinsamen Punkt (Schnittpunkt), oder sie sind windschief. 
Um das wiederum herauszufinden, setzt du die beiden Geraden gleich, d.h. du stellst ein lineares Gleichungssystem (LGS) mit drei Gleichungen und in drei Unbekannten auf, und versuchst, dieses zu lösen. 
'''Fall 2a:''' Solltest du nun eine Lösung erhalten, d.h. du erhältst den Wert für den Parameter einer der zwei Geraden (und hast diesen Wert überprüft), so weißt du, dass die zwei Geraden einander '''schneiden'''. Den Schnittpunkt erhältst du jetzt, indem du den erhaltenen Wert für den Parameter in die entsprechende Geradengleichung einsetzt. 
'''Fall 2b:''' Sollte dein LGS keine Lösung ergeben (also sich eine falsche Aussage oder ein Widerspruch ergeben, z.B. $2=13$, oder $t=4$ und $t=-1$), dann weißt du, dass deine beiden Geraden keinen Schnittpunkt haben und somit '''windschief''' sind.
 

Um das oben Beschriebene besser nachvollziehen zu können und zu festigen, siehst du dir am besten das folgende Video an, oder du wirfst einen Blick auf passende Beispiele zum $\mathbb{R^3}$ im Tab 'Beispiele' (kommt noch).

<div align="center">{{#ev:youtube|u0QoYlEE094}}</div>

 

== Ebenen ==
Eine Ebene ist durch 3 Punkte oder 1 Punkt und 2 (voneinander linear unabhängigen) Vektoren eindeutig festgelegt.
=== Darstellungsformen ===
==== Parameterdarstellung ====
[[Datei:ebene2.png|thumb|right|350px|von Punkt und Vektoren aufgespannte Ebene]]
$$\epsilon : X = P + s \cdot \vec{a} + t \cdot \vec{b}$$
bzw.
$$\epsilon : \begin{cases} x = x_P + s \cdot x_a + t \cdot x_b \\ y = y_P + s \cdot y_a + t \cdot y_b \\ z = z_P + s \cdot z_a + t \cdot z_b \end{cases}$$
wobei
*$X \in \epsilon$ ist ein '''beliebiger''' Punkt auf der unendlichen Ebene
*$P \in \epsilon$ ist ein '''bekannter''' Punkt auf der Ebene
*$s, t \in \mathbb{R}$ sind freie Parameter
*$\vec{a}, \vec{b} \in \mathbb{R^3}$ sind zwei Vektoren, die parallel zur Ebene liegen

 

==== Normalvektorform ====
Man multipliziert die Parameterdarstellung der Ebene mit ihrem Normalvektor $\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$ und erhält
$$\vec{n} \cdot \vec{X} = \vec{n} \cdot \vec{P}$$

 

==== Allgemeine Ebenengleichung ====
$$ax + by + cz = d$$
Diese Form der Darstellung heißt auch Normalform, da man den Normalvektor der Ebene direkt ablesen kann. Um von der Parameterdarstellung auf diese Form zu kommen, gibt es 2 Möglichkeiten:

'''1. Multiplikation mit Normalvektor:'''
Hierzu muss man einfach die Normalform ausmultiplizieren und es ergibt sich: 

$$\epsilon: x_n \cdot x + y_n \cdot y + z_n \cdot z = x_n \cdot x_P + y_n \cdot y_P + z_n \cdot z_P$$
 

'''2. Elimination des Parameters:'''
Hierbei gehen wir von der Ebenengleichung $\epsilon : \begin{cases} x = x_P + s \cdot x_a + t \cdot x_b \\ y = y_P + s \cdot y_a + t \cdot y_b \\ z = z_P + s \cdot z_a + t \cdot z_b \end{cases}$ aus, eliminieren $s$ und $t$, und kommen ebenfalls auf die obige allgemeine Ebenengleichung.

 

Zur Veranschaulichung ein Beispiel zu den verschiedenen Darstellungsformen:
{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die drei Punkte $A(1/1/1), B(-1/-4/2), C(0/3/-1)$. Gib die Ebene, die diese drei Punkte aufspannen, in Parameterform, Normalform und allgemeiner Ebenengleichung an!|
2=Für die Parameterform berechnen wir erst zwei beliebige Vektoren aus den 3 Punkten, z.B. $\vec{AB} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{AC} = \left( \begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right)$. Als Parameterform erhalten wir schließlich:
$$\epsilon: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right)$$ 
Um auf die Normalform zu kommen, bestimmen wir als erstes den Normalvektor der Ebenen: $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -5 \\ 1 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} (-5) \cdot (-2) - 1 \cdot 2 \\ 1 \cdot (-1) - (-2) \cdot (-2) \\ (-2) \cdot 2 - (-5) \cdot (-1) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right)$. 
Nun die Parametergleichung mit dem Normalvektor multiplizieren und wir erhalten auch die Normalform:
$$\epsilon: \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 8 \\ -5 \\ -9 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)$$ 
Um nun noch die allg. Ebenenform zu erhalten, multipliziert man am einfachsten die Normalform aus und erhält:
$$\epsilon: 8x - 5y -9z =-6$$ 
Aber auch die Elimination der Parameter soll hier gezeigt werden. Wir gehen aus von: $$\epsilon : \begin{cases} x = 1 - 2s - t \\ y = 1 - 5s + 2t \\ z = 1 + s - 2t\end{cases}$$
Addieren wir die y- und die z-Gleichung, können wir $t$ eliminieren: $+ \begin{cases} y = 1 - 5s + 2t \\ z = 1 + s - 2t \end{cases} \ \Rightarrow \ y + z = 2 - 4s$. 
Wir können $t$ ebenfalls eliminieren, indem wir die y-Gleichung zum 2-fachen der x-Gleichung addieren: $+ \begin{cases} 2x = 2 - 4s - 2t \\ y = 1 - 5s + 2t \end{cases} \ \Rightarrow \ 2x + y = 3 -9s$. 
Nun haben wir zwei Gleichungen, die nur mehr von $s$ abhängig sind. Um diesen Parameter nun auch noch zu eliminieren, multiplizieren wir die erste Gleichung mit $(-9)$ und die zweite mit $4$ und addieren diese, um nochmals auf die allg. Ebenengleichung zu kommen.
$$+ \begin{cases} 8x + 4y = 12 - 36s \\ -9y - 9z = -18 + 36s \end{cases} \ \Rightarrow \ \epsilon: 8x - 5y -9z =-6$$
}}

=== Lagebeziehungen ===
==== ...zwischen zwei Ebenen ====
Zwei Ebenen können im $\mathbb{R^3}$
*ident sein: die Ebenengleichungen (allg. Form) sind Vielfache voneinander; 
z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : 2x + 2y + 2z = 6 \Rightarrow \epsilon _2 = 2 \cdot \epsilon _1$
*parallel sein: die Normalvektoren der Ebenen sind Vielfache voneinander; 
z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : 2x + 2y + 2z = 5 \Rightarrow \vec{n_2} = 2 \cdot \vec{n_1}$
*einander schneiden (in einer Gerade): die Normalvektoren der Ebenen sind keine Vielfache voneinander; 
z.B. $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : x - 3y + 2z = 1 \Rightarrow \nexists \lambda \in \mathbb{R} : \vec{n_1} = \lambda \cdot \vec{n_2}$

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:Ebenenident2.png|2 Ebenen sind ident
Datei:Ebenenparallel2.png|2 Ebenen sind parallel
Datei:Ebenenschnittgerade2.png|2 Ebenen schneiden einander in einer Geraden
</gallery>

 
'''Berechnen der Schnittgerade''' 
Erkennt man durch Betrachtung der Normalvektoren zweier Ebenen, dass diese einander schneiden müssen, so kann man diese Schnittgerade berechnen. Dazu erstellt man aus den beiden Ebenengleichungen ein lineares Gleichungssystem in 3 Unbekannten. 2 Gleichungen - 3 Unbekannte: wir werden hier nicht für alle Unbekannten einen Zahlenwert erhalten, können aber 2 Unbekannte in Abhängigkeit der dritten darstellen. Diese dritte Unbekannte wird uns als Parameter für die Darstellung der Geraden dienen. Zur Veranschaulichung ein Beispiel:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die beiden Ebenen $\epsilon _1 : x + y + z = 3$ und $\epsilon _2 : x - 3y + 2z = 1$. Wie wir weiter oben schon festgestellt haben, müssen diese Ebenen einander schneiden, da die beiden Noramlvektoren der Ebenen $\vec{n_1}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)$ und $\vec{n_2}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right)$ linear unabhängig voneinander sind, also $\nexists \lambda \in \mathbb{R} : \vec{n_1} = \lambda \cdot \vec{n_2}$. 
Wir wählen nun eine der Koordinaten als Parameter, z.B. $z=t$ und stellen das Gleichungssystem auf.

|2=
$$\begin{align}
I: \ &x&+&y&+&t&=&3 \\
II: \ &x&-&3y&+&2t&=&1
\end{align}$$

Wir subtrahieren $I-II$ und erhalten
$$4y - t = 2 \ \Rightarrow \ y = \frac{1}{2} + t \cdot \frac{1}{4}$$
Nun setzen wir unser erhaltenes $y$ in die erste Gleichung ein, um $x$ zu erhalten:

$$I: \ x + \frac{1}{2} + t \cdot \frac{1}{4} + t = 3 \ \Rightarrow \ x = \frac{5}{2} - t \cdot \frac{5}{4}$$
Somit haben wir alle Ausdrücke der Koordinaten gefunden ($z=t$ haben wir anfangs festgelegt) und können die Parameterdarstellung der Schnittgerade angeben:
$$g: X = \left( \begin{array}{c} \frac{5}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 0 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} - \frac{5}{4} \\ \frac{1}{4} \\ 1 \end{array} \right)$$
}}

 

==== ...zwischen 3 Ebenen ====
Drei Ebenen können im $\mathbb{R^3}$
*alle ident sein
*2 ident, 1 parallel sein
*alle parallel sein
*3 Schnittgeraden haben
*2 Schnittgeraden haben (2 Ebenen parallel)
*1 Schnittgerade haben
*1 Schnittpunkt haben

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:Ebenenident3.png|3 Ebenen sind ident
Datei:Ebenenidentparallel.png|2 Ebenen sind ident, 1 parallel
Datei:Ebenenparallel3.png|3 Ebenen sind parallel
Datei:Ebenenschnittgeraden33.png|3 Ebenen schneiden einander in 3 Geraden
Datei:Ebenenschnittgeraden32.png|3 Ebenen schneiden einander in 2 Geraden (2 Ebenen parallel)
Datei:Ebenenschnittgerade3.png|3 Ebenen schneiden einander in einer Gerade
Datei:Ebenenschnittgerade31.png|3 Ebenen schneiden einander in einer Gerade (2 Ebenen ident)
Datei:Ebenenschnittpunkt3.png|3 Ebenen schneiden einander in einem Punkt
</gallery>

 

==== ...zwischen Ebene und Gerade ====
Eine Ebene und eine Gerade können im $\mathbb{R^3}$
*$g \subset \epsilon$, die Gerade liegt auf der Ebene 
Hierbei haben die Gerade und die Ebene einen gemeinsamen Punkt und der Richtungsvektor der Gerade steht normal auf den Normalvektor der Ebene, daraus folgt, dass sie unendlich gemeinsame Punkte haben.
*parallel sein 
Irgendein Punkt der Gerade liegt nicht auf der Ebene, der Richtungsvektor der Gerade steht normal auf den Normalvektor der Ebene, daraus folgt, dass sie keinen einzigen gemeinsamen Punkt haben.
*1 Schnittpunkt haben 
Der Richtungsvektor der Geraden steht nicht normal auf den Normalvektor der Ebene.

<gallery widths="200" heights="150">
Datei:GeradeinEbene.png|Gerade liegt auf der Ebene
Datei:GeradepararallelEbene.png|Gerade und Ebene sind parallel zueinander
Datei:GeradeSchnittpunktEbene.png|Gerade und Ebene schneiden einander (Schnittpunkt)
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Zur Überprüfung der Lagebeziehung gibt es allerdings noch eine andere (schnellere) Methode. Hier "schneiden" wir die Gerade und die Ebene mathematisch, d.h. wir setzen sie gleich (wenn beide in Parameterform gegeben sind) oder setzen die Gerade $g$ (Parameterform) in die Ebene $\epsilon$ (allg. Ebenengleichung) ein. 
Wir erhalten dadurch ein Gleichungssystem oder eine einzelne Gleichung. 

Sei die Gerade gegeben als $g : \begin{cases} x = x_P + t \cdot x_a \\ y = y_P + t \cdot y_a \\ z = z_P + t \cdot z_a \end{cases}$ und die Ebene als $\epsilon : \begin{cases} x = x_Q + s \cdot x_b + u \cdot x_c \\ y = y_Q + s \cdot y_b + u \cdot y_c \\ z = z_Q + s \cdot z_b + u \cdot z_c \end{cases}$ (Parameterform) oder $\epsilon : ax + by + cz = d$ (allg. Ebenengleichung). 

Wir erhalten als Gleichungssystem durch Gleichsetzen der Gleichungen der Parameterformen:
$$\begin{cases} x_P + t \cdot x_a = x_Q + s \cdot x_b + u \cdot x_c \\ y_P + t \cdot y_a = y_Q + s \cdot y_b + u \cdot y_c \\ z_P + t \cdot z_a = z_Q + s \cdot z_b + u \cdot z_c \end{cases}$$ 
Wir erhalten durch Einsetzen der Gerade in die Ebene (allg. Ebenengleichung):
$$a \cdot (x_P + t \cdot x_a) + b \cdot (y_P + t \cdot y_a) + c \cdot (z_P + t \cdot z_a) = d$$ 

Ergibt sich hier eine wahre Aussage (z.B. $1=1$), also unendlich viele Lösungen, so liegt die Gerade in der Ebene. 
Ergibt sich eine falsche Aussage (z.B. $1=2$), also keine Lösung, so schneiden die beiden Objekte einander nicht, also sie sind parallel. 
Gibt es genau eine Lösung (z.B. $t=2$), so existiert genau ein gemeinsamer Punkt = Schnittpunkt. Diesen erhält man, indem man den ermittelten Wert für den Parameter $t$ der Geraden in die Geradengleichung einsetzt (oder, wenn die Ebene in Parameterform gegeben war, die beiden Werte für die Parameter $s$ und $u$ der Ebene in die Ebenengleichung einsetzt). Dazu 2 Beispiele, wobei wir im ersten mit der Ebene in Parameterform rechnen werden:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right)$ und die Ebene $\epsilon : X = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -1 \\ -3 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) + u \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 0 \end{array} \right)$. Stellen wir nun also unser Gleichungssystem auf:
|2=\begin{align}
I: \ & \ 1&-t&=&4& &+2u \\
II: \ &-3& &=&-1&+s&-u \\
III: \ & \ 2&+2t&=&-3&+s&
\end{align}

In der ersten Gleichung drücken wir $u$ in $t$ aus: $u = - \frac{3}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$ 
In der zweiten Gleichung drücken wir $s$ in $u$ aus: $s = -2 + u$ 
Das $u$ von oben setzen wir nun hier ein und erhalten $s$ in Abhängigkeit von $t$: $s = - \frac{7}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$. 

Dieses $s$ setzen wir nun in die dritte Gleichung ein und wir erhalten: $2 + 2t = -3 - \frac{7}{2} - t \cdot \frac{1}{2}$ und in weiterer Folge $t = - \frac{17}{5}$. 
Es ergibt sich also genau eine Lösung für das Gleichungssystem, was bedeutet, dass die Gerade und die Ebene einen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen. Diesen erhalten wir, indem wir den errechneten Wert für $t$ in die Geradengleichung einsetzen (Man könnte natürlich auch noch die Werte für $s$ und $u$ berechnen, und diese in die Ebenengleichung einsetzen; zur Übung kannst du das gerne tun):
$$g: S = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) - \frac{17}{5} \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \frac{23}{5} \\ -3 \\ - \frac{24}{5} \end{array} \right)$$
}} 

Betrachten wir nun dasselbe Beispiel, mit dem Unterschied, dass die Ebene in Normalform gegeben ist und wir auch gleich mit dieser Form rechnen:

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben seien die Gerade $g: X = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right)$ und die Ebene $\epsilon : x + 2y - 2z = 8$. Wir setzen die Koordinatengleichungen der Gerade in die Normalform der Ebene:
|2= $g$ in $\epsilon$: $$1 - t - 6 - 4 -4t =8$$
Wenn wir diese Gleichung lösen, erhalten wir, wie im ersten Bespiel, $t = - \frac{17}{5}$. Dies noch in die Geradengleichung einsetzen, und wir erhalten den Schnittpunkt.}}

Da man bei der zweiten Methode meistens weniger zu rechnen hat, zahlt es sich oft aus die Parameterdarstellung der Ebene in die Normalform (= allg. Ebenengleichung) umzurechnen.

= Beispiele =
Hier findest du Beispiele zu den behandelten Themen:

===Grundlagen der Vektorrechnung===
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/9/99/VektorrechnungGLBspAngabe.pdf VektorrechnungGLBspAngabe.pdf]
 
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/0/00/VektorrechnungGLBspL%C3%B6sung.pdf VektorrechnungGLBspLösung.pdf]

===Vektorrechnung im $\mathbb{R^2}$===
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/7/7f/VektorrechnungR2BspAngabe.pdf VektorrechnungR2BspAngabe.pdf]
 
[http://snvbrwvobs2.snv.at/matura.wiki/index.php?action=ajax&title=-&rs=SecureFileStore::getFile&f=/f/ff/VektorrechnungR2BspL%C3%B6sung.pdf VektorrechnungR2BspLösung.pdf]