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Zins- und Zinseszinsrechnung

2016-08-08T19:21:10Z

Istvan.baksa: Am Ende habe ich i_{12}=0.3322 auf i_{12}=0.003322 abgeändert.

== Warum gibt es Zinsen? ==

#Leihgebür
#: Wenn jemand einem anderen Geld verleiht, verlangt er dafür eine Leihgebür in Form von Zinsen
# Risiko-Gebühr
#: Jeder, der Geld verleiht, geht das Risiko ein, dass er das Geld nicht wieder zurückbekommt. Die Zinsen können hierbei als Absicherung gesehen werden. Je höher das Risiko eines Verlusts, desto größer sind auch die Zinsen.

== Begriffe ==
* $K_0 \dots $ Anfangskapital (=Kapital am Anfang/ im Jahre 0)
* $n \dots $ Anzahl der Verzinsungen
* $K_n \dots $ Kapital nach n Jahren
* $i \dots $ Zinssatz (z.B. 4 % p.a.)
* $i_{eff}\dots $ effektiver Zinssatz = Zinssatz mit abgezogener Kapitalertragssteuer (KESt). Im Allgemeinen gilt bei 25 % KESt: $$ i_{eff}=i\cdot 0.75$$ (z.B. i=4 % $ \rightarrow i_{eff}=4\cdot 0.75=3$ %)
* $r\dots $ Aufzinsungsfaktor ($r=1+\frac{i}{100})$
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== Einfache Zinsen ==
=== Formel für die einfachen Zinsen ===
{| border="1" align="center"
!| Formel für die einfache Verzinsung
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer '''in Jahren''', dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0 + n\cdot \frac{i_{eff}}{100} \cdot K_0 $$
und vereinfacht:
$$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i_{eff}}{100} ) $$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Herleitung der Formel für die einfache Verzinsung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
Anna hat $K_0$ Euro auf der Bank bei einer jährichen Verzinsung von i % p.a. (per anno = pro Jahr). Somit erhält sie nach einem Jahr zusätzlich "i % von $K_0$".
Das Kapital nach einem Jahr beträgt dann
$$K_1=K_0+\textrm{ i % von } K_0$$
$$K_1=K_0+\frac{i}{100}\cdot K_0$$
$$K_1=K_0\cdot (1+\frac{i}{100} )$$

Nun will Anna das Geld aber schon nach 7 Monaten abheben. Da die Bank ihr 5 % für das ganze Jahr versprochen hat, Anna das Geld aber bereits nach $\frac{7}{12}$ des Jahres abhebt, erhält sie nur $\frac{7}{12}$ der Zinsen.
Damit ergibt sich:
$$K_{ \frac{7}{12}}=K_0+\frac{7}{12}\textrm{ der i }\% \textrm{ von } K_0$$
$$K_{\frac{7}{12}}=K_0 + \frac{7}{12} \frac{i}{100}\cdot K_0$$
$$K_{\frac{7}{12}}=K_0\cdot (1+ \frac{i}{100} \cdot \frac{7}{12})$$

'''Verallgemeinerung:'''

Angenommen das Kapital liegt nicht $\frac{7}{12})$ des Jahres auf dem Konto, sondern $n$, wobei $n$ die Zeit in Jahren angibt, so gilt:
$$K_{\frac{7}{12}}=K_0\cdot (1+ \frac{i}{100} \cdot n)$$
</div>
</div>

{{Vorlage:Merke|1=Die einfachen Zinsen werden verwendet, wenn ...

: '''Variante 1:''' ... VOR dem Ende der Zinsperiode das Geld abgehoben wird (z.B.: es wird einmal im Jahr verzinst, aber das Geld wir bereits nach 7 Monaten abgehoben.)

:ODER

: '''Variante 2:'''... alle Zinsen erst am Ende der Laufzeit ausbezahlt werden, wodurch kein [[Zins- und Zinseszinsrechnung#Zinseszinsen|Zinseszinseffekt]] entsteht.

Bei den einfachen Zinsen handelt es sich um ein [[Wachstums- und Zerfallsprozesse#Definition und Verwendung|lineares Wachstum]]
}}

<br>
{{Vorlage:Beispiel|1='''Variante 1: Kapital wird vor dem Ende der Zinsperiode abgehoben'''

€ 30 Euro werden mit einem effektiven Zinssatz von 5 % p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst. Wie hoch ist das Kapital nach 9 Monaten.
|2=Lösung:
* $K_0 =30 $
* $n = \frac{9}{12} $
* $K_{\frac{9}{12} } = $?
* $i_{eff} = 5$ %
<br>
<br>
$$ K_{\frac{9}{12} }=30\cdot (1+\frac{5}{100}\cdot \frac{9}{12} ) $$
$$ \underline{\underline{K_1 = 31.13} } $$
<br>
<br>
Antwort: Nach 9 Monaten beträgt das Endkapital € 31.13.}}
<br>
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{{Vorlage:Beispiel|1=
'''Variante 2: Zinsen werden erst am Ende der Laufzeit ausbezahlt'''

€ 30 sollen 4 Jahre lang mit effektiv 5 % p.a. '''einfach''' verzinst werden. Wie hoch ist das Endkapital? ('''einfach''' bedeutet hier: die Zinsen werden erst am Ende der 4 Jahre auf das Konto überwiesen)
|2= Lösung
* $K_0=30$
* $K_n=$ ?
* $i_{eff}=5$ %
* $n=4$
<br>
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+\frac{i_{eff} }{100}\cdot n$$
$$ K_4 = 30 \cdot (1+\frac{5}{100} \cdot 4)$$
$$ K_4=36$$
$$ \underline{\underline{K_n=36} }$$
<br>
Antwort: Nach 4 Jahren beträgt das Kapital € 36.
}}
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=== Musterbeispiel für die einfache Verzinsung ===
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Aufgabe:'''
Ein Kapital von € 75 wird 4 Monate bei einem Zinssatz von 4 % p.a. veranlagt. Bestimme die Höhe des Kapitals nach der Veranlagungsdauer! </span>
<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung'''
* $K_0=75$
* $n=4 \textrm{ Monate }= \frac{4}{12}$ Jahre.
* $K_\frac{4}{12}=$?
* $i=4$ %
<br>
$$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i}{100} ) $$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{4}{12}\cdot \frac{4}{100}$$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{25}$$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{75}) $$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (\frac{76}{75}) $$
$$ K_\frac{4}{12}=76 $$
<br>
<br>
'''Antwort:''' Nach 4 Monaten hat das Kapital eine Höhe von € 76.
</div>
</div>
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== Zinseszinsen ==
=== Zinseszinsformel ===
Bei einem Sparbuch erhält man für gewöhnlich jährlich Zinsen. Diese Zinsen werden im Anschluss wieder auf das Sparbuch gelegt.
Im nächsten Jahr erhält man nun nicht nur Zinsen auf das ursprüngliche Kapital, sondern auch auf die Zinsen des letzten Jahrens - dies nennt man die ''Zinseszinsen''.

{| border="1" align="center"
!| Video: Herleitung der Zineszinsformel
|-
| {{#ev:youtube|QSNXWUQ8wRA}}
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Formale Herleitung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
# $K_1=K_0+K_0\cdot \frac{i_{eff}}{100}=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})$
# $K_2=\underbrace{K_1\cdot}_{K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})} (1+ \frac{i_{eff}}{100})=(K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100}))\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^2$
# $K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$
</div>
</div>

{| border="1" align="center"
!| Formel für die einfache Verzinsung
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer, dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
|}

{{Vorlage:Merke| 1=Die Zinseszinsformel wird verwendet, wenn über '''mehrere volle Jahre''' verzinst wird
}}

=== Musterbeispiele ===
* '''$K_n$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Auf einem Sparbuch werden € 800 mit 2,5 % p.a. verzinst. Wie hoch ist das Guthaben nach 2 Jahren, wenn die KESt noch abgezogen werden muss?
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=800$
:* $n=2$
:* $i=2.5\ \% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\ \%$
:* $K_2=$?
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ K_n=800\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^2$$
$$ \underline{\underline{K_n=830.28}}$$
</div>
</div>

* '''$K_0$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Welcher Betrag muss angespart werden, damit man nach 3 Jahren bei einem Zinssatz von 2,5 % p.a. über ein Guthaben von € 1500 verfügt, wenn die KESt zu berücksichtigen ist?
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=$?
:* $n=3$
:* $i=2.5 \% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875 \%$
:* $K_3=1500$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 1500=K_0\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^3 $$
$$ \frac{1500}{(1+ \frac{1.875}{100})^3}=K_0$$
$$ \underline{\underline{K_0=1418.69}} $$
</div>
</div>

* '''$n$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Wie viele volle Jahre muss ein Kapital von € 100 angespart werden, um bei einem Zinssatz von 2,5 % p.a. bei Berücksichtigung der KESt über ein Guthaben von mehr als € 200 zu verfügen?
''Siehe hier auch [[Wachstums- und Zerfallsprozesse#Verdoppelungszeit|Verdoppelungszeit]]''
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=100$
:* $n=?$
:* $i=2.5 \% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875 \%$
:* $K_n=200$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 200=100\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^n \ \ |:100$$
$$ 2= (1+ \frac{1.875}{100})^n \ \ |\log() $$
$$ \log{2}=n\cdot \log{(1+ \frac{1.875}{100})} \ \ |:\log{(1+ \frac{1.875}{100})} $$
$$\frac{\log{2}}{\log{(1+ \frac{1.875}{100})}}=n $$
$$ \underline{\underline{n = 37.31}} $$
Antwort: Nach 38 vollen Jahren sind aus den € 100 mehr als € 200 geworden.
</div>
</div>

* '''$i$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Mit welchem Zinssatz muss ein Sparbuch verzinst werden, damit ein Kapital von anfangs € 100 in 7 Jahren auf € 118.87 anwächst.
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=100$?
:* $n=7$
:* $i=? \%$
:* $K_7=118.87$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 118.87=100\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^7 \ \ |:100 \textrm{ und } |\sqrt[7]{ } $$
$$ \sqrt[7]{\frac{118.87}{100}}=1+ \frac{i_{eff}}{100}\ \ |-1 \textrm{ und } | \cdot 100 $$
$$ (\sqrt[7]{\frac{118.87}{100}}-1)\cdot 100 = i_{eff} $$
$$ \underline{\underline{i_{eff}=2.5}} $$
Antwort: Der effektive Zinssatz muss bei $i_{eff}=2.5$ % p.a. Somit muss der Zinssatz der Bank bei $i=\frac{i_{eff}}{0.75}=\frac{2.5}{0.75}=3.33$ % p.a. liegen.
</div>
</div>

----

=== Aufzinsungsfaktor ===

Der Term
$$ r=(1+\frac{i_{eff} }{100}) $$
wird als '''Aufzinsungsfaktor''' bezeichnet. Damit vereinfacht sich die Zinseszinsformel zu:
{| border="1" align="center"
!| Zinseszinsformel
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer, dann gilt:

$$ K_n=K_0\cdot r^n$$
|}

{{Vorlage:Merke|1= $ $
* Um von $K_0$ zu $K_n$ zu gelangen, muss n-mal mit r "aufgezinst" (=multipliziert) werden.

* Um umgekehrt von $K_n$ zu $K_0$ zu gelangen, muss n-mal mit r "abgezinst" (=dividiert) werden.}}

{| border="1" align="center" cellpadding="10"
| [[Datei:Aufzinsung.png|thumb|500px|center|Beispiel für eine 4-jährige Aufzinsung]]
| [[Datei:Abzinsung.png|thumb|500px|center|Beispiel für eine 4-jährige Abzinsung]]
|}
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== Unterjährige Verzinsung ==

Nun betrachten wir auch Verzinsungen, die mehrmals im Jahr ("unterjährig") durchgeführt werden.

'''Begriffe:'''
Sei $m$ die Anzahl der Verzinsungen in einem Jahr, dann ist
* m=2: halbjährige Verzinsung und $i_2$ % p.s. (pro Semester) der halbjährige Zinssatz
* m=4: vierteljährliche Verzinsung und $i_4$ % p.q. (pro Quartal) der Quartalszinssatz
* m=12: monatliche Verzinsung und $i_{12}$ % p.m. (pro Monat) der Monatszinssatz

Es gibt nun zwei Arten, den unterjährigen Zinssatz zu bestimmen:

[[Datei:Unterjährige Zinssätze.png|thumb|750px|center]]

=== a) nomineller Jahreszins und relativer unterjähriger Zinssatz $i_m=\frac{i}{m}$ ===

Der relative unterjährige Zinssatz wird verwendet, wenn der '''''nominelle'' Jahreszins gegeben''' ist, aber m'''ehrmals im Jahr verzinst wird'''

{{Vorlage:Definition|1=Sei i der nominelle Jahreszinssatz. Dann berechnet sich der nominelle unterjährige Zinssatz $i_m$:
$$ i_m=\frac{i}{m} $$ }}

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<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0>
'''Beispiel:'''
Der Nominalzinssatz beträgt $i=8$ % p.a.. Berechne den Quartalszinssatz $i_4$ </span>
<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung''': $i=m\cdot i_m \rightarrow 8=4\cdot i_4 \rightarrow \frac{8}{2}=i_4 \rightarrow 2=i$

'''Antwort''': Der Halbjahreszinssatz beträgt 2 % p.q.
</div>
</div>
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{{Vorlage:Merke|1= Beim Verzinsen mit dem relativen unterjährigen Zinssatz erhält man über das ganze Jahr aufgrund des Zinseszinseffektes schlussendlich mehr als bei der einmaligen Verzinsung mit dem nominellen Jahreszinssatz!}}
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<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Das Problem mit dem nominellen Zinssatz ODER Warum gibt es den [[Zins- und Zinseszinsrechnung# | konformen Zinssatz]]''' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Die Methode mithilfe des nominellen Jahreszinssatzes liefert aber einen verfälschten Zinssatz. Dies soll an einem Beispiel genauer erklärt werden:

'''Problem:'''
Nehmen wir an, wir verzinsen € 100 mit einem nominellen Jahreszinssatz von $i=4$ %.
Nun fragt uns der Bankberater, ob wir einmal im Jahr verzinsen wollen mit $i=4$ %p.a., oder zweimal (d.h. halbjährlich) mit dem Halbjahreszinssatz von $i_2=\frac{4}{2}=2$ %p.s.
Für was sollen wir uns entscheiden?

'''Antwort''':
#Bei der jährlichen Verzinsung beträgt $K_1=104$ Euro.
#Aber bei der halbjährlichen Verzinsung erhalten wir:
$$K_1=K_0\cdot (1+\frac{2}{100})^2$$
$$K_1=104.04$$

D.h. Mit der halbjährlichen Verzinsung würden wir 4 Cent mehr erhalten. Würde man sogar monatlich verzinsen, so erhielte man nach einem Jahr $K_1=100\cdot (1+\frac{i_12}{100})^{12}=104.07$ Euro, also 7 Cent mehr. Dies schaut zwar nicht nach viel aus. Wenn die Bank aber jedem seiner Kunden 4 oder 7 Cent mehr gibt und jeder Sparer nicht nur € 100, sondern sogar € 1000 oder noch mehr auf der Bank hat, wird dieser Betrag schnell sehr groß.

Aus diesem Grund gibt es eine Methode, um den '''passenden (=konformen) unterjährigen Zinssatz''' zu berechnen.

</div>

</div>

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=== b) der konforme (äquivalente) Zinssatz ===

Der konforme Zinsssatz wird auch als '''gleichwertiger Zinssatz''' oder äquivalenter (=lat. gleichwertig) Zinssatz bezeichnet.
Er wird verwendet, wenn während '''einer Zinsperiode mehrmals eingezahlt wird''' (z.B. jährliche Verzinsung, aber monatliche Einzahlungen)

{{Vorlage:Definition|1='''Äquivalenter Aufzinsungsfaktor'''

Sei $r_1$ der Aufzinsungsfaktor bei jährlicher Verzinsung und $r_m$ der Aufzinsungsfaktor bei m-maliger Verzinsung innerhalb eines Jahres, dann muss folgende Gleichung gelten, damit beide Aufzinsungsfaktoren gleichwertig (konform) sind:
$$r_1=(r_m)^m$$
bzw.
$$ \sqrt[m]{r_1}=r_m $$ }}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Herleitung und Erklärung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Es soll gelten, dass der jährliche Zinssatz gleich hoch ist wie der m-mal angewandte unterjährige ZS (insgesamt sollen in einem Jahr gleich viele Zinsen zusammenkommen)

$$K_0\cdot r_1 = K_0\cdot (r_m)^m$$
Kürzt man $K_0$, so erhält man:
$$r_1=(r_m)^m$$
bzw.
$$ \sqrt[m]{r_1}=r_m $$

</div>

</div>

Der '''konforme''' (=äquivalente) unterjährige Zinssatz $i_m$ kann dann mit der Gleichung
{| border="1" align="center"
|-
|$$r_m=1+\frac{i_m}{100}$$
|}
bestimmt werden.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Musterbeispiel 1:''' Ein Kredit wird mit 5 % p.a. verzinst. Wenn nun die ganze Schuld bereits nach einem Quartal beglichen wird, muss der konforme Quartalszinssatz berechnet werden. Bestimme diesen. </span>
<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung''':
$i_1=5$ % p.a. $\rightarrow r_{1}=1.05 \rightarrow (r_{4})^{4}=r_1 \rightarrow r_4=\sqrt[4]{r_1}=1.0123 \rightarrow i_4=1.23$ % p.q.

'''Antwort''': Der Quartalszinssatz beträgt 1.23 % p.a.
</div>
</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Musterbeispiel 2:''' Ein Kredit wird monatlich mit 2 % p.m. verzinst. Bestimme den konformen Jahreszinssatz. </span>
<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung''':
$i_{12}=2$ % p.m. $\rightarrow r_{12}=1.02 \rightarrow r_1=(r_{12})^{12}=1.2682 \rightarrow i_1=26.82$ % p.a.

'''Antwort''': Die jährliche Verzinsung beträgt 26.82 % p.a.
</div>
</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Musterbeispiel 3: relativer/nomineller Zinssatz und konformer Zinssatz gemeinsam:'''

Ein Kredit wird nominell mit 4 % p.a. quartalsmäßig verzinst. Da die Raten monatlich eingezahlt werden, muss der konforme Monatszinssatz bestimmt werden. Berechnen Sie diesen. </span>

<div class="mw-collapsible-content">

'''Lösung'''
'''1. Schritt''': Zuerst muss mithilfe des nominellen Jahreszinssatzes von 4 % p.a. der relative Quartalszinssatz bestimmt werden:
$$ i_4=\frac{i}{4}=\frac{4 \textrm{ %}}{4}=1 \textrm{ % p.q.} $$

'''2. Schritt:''' Anschließend wird mithilfe des Quartalszinssatzes der konforme Monatszinssatz berechnet.
$$ (r_{12})^3=r_4 $$
$$\textrm{ Hinweis: Wenn man drei Monate verzinst (=}(r_{12})^3 \textrm{), so verzinst man insgesamt ein ganzes Quartal (=}r_4 ) $$
$$ r_{12}=\sqrt[3]{1.01} $$
$$ r_{12}=1.003322 \rightarrow i_{12}=0.003322 \textrm{ % p.m.} $$
A: Der konforme Monatszinssatz beträgt 0.3322 % p.m.

</div>

</div>

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Beispiel mit 2 unterschiedlichen Zinssätzen

Quiz - was nehme ich wann?

== Beispiele ==

* [http://www.brinkmann-du.de/mathe/aufgabenportal/p0_zinseszins_01/p0_zinseszins_01.htm Aufgaben zur Zinseszinsformel von R. Brinkmann]
* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]] <span style="background-color:yellow"> Wichtig! </span> [http://www.geogebratube.org/student/m79721 Übungs-Rechner zum konformen Zinssatz]
* Aufgaben zu allen Themen: siehe Trauner 2. Klasse, Buch S. 86-90

[[Kategorie:Finanzmathematik]]

Theorie Zahlenmengen (1.1.)

2015-09-08T20:22:00Z

Istvan.baksa: Wurzel aus -4 war gleich 4i statt 2i am Anfang der Zeile * $ \sqrt{-4}=2i\ \ $ (weil $\sqrt{4\cdot (-1)}= \sqrt{4}\cdot \sqrt{-1}=2\cdot i $)

= Theorie =

[[Datei:ZahlenmengenI.png|thumb|500px|right|Zahlenmengen]]

Was unterscheidet 2, -8, 3.5 oder $\sqrt{7}$?

Es sind alles Zahlen. Allerdings sind sie unterschiedlich.

*Einerseits ist ihr Wert unterschiedlich (2 ≠ -8 ≠ 3.5 ≠ $ \sqrt{7} $).
*Andererseits gehören die Zahlen unterschiedlichen '''Zahlenmengen''' an.
<br>
Folgenden Zahlenmengen wirst du in der Schule und im Studium begegnen:
<br>
<br>

== die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ ==
{{Vorlage:Definition|1=Die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ sind die Zahlenmenge $\mathbb{N}$={0,1,2,3,.....} }}

Sie sind "''abgeschlossen''" bezüglich der Addition. Das heißt, wenn man zwei natürliche Zahlen addiert, so landet man wieder bei einer natürlichen Zahl.

'''Beispiel:''' $ 7+15=22 $

Sowohl die beiden [[Summe|Summanden]] links als auch die [[Summe]] rechts sind natürliche Zahlen. Es ist nicht möglich, zwei natürliche Zahlen zu addieren und dabei eine "nicht-natürliche" Zahl zu erhalten.
<br>
<br>
<br>

== die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ ==
{{Vorlage:Definition|1=Die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ sind die Zahlenmenge $\mathbb{Z}=$ {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,.....}.}}

Beachte, dass jede natürliche Zahl auch eine ganze Zahl ist! Um auf die ganzen Zahlen zu kommen, fügt man den natürlichen Zahlen einfach alle negativen ganzen Zahlen hinzu.

$\mathbb{Z}$ ist "''abgeschlossen''" bezüglich der Addition '''und der Subtraktion'''.

'''Beispiele'''
* $-3+7=4$
*$ -8-17=-25$

Was ist nun aber, wenn man zwei ganze Zahlen dividiert?
Beispiel:
$$ -2:4= \frac{-2}{4}=-\frac{1}{2} $$
Die Zahl$ -\frac{1}{2} $ ist ein Bruch und sicherlich keine ganze Zahl mehr. Hier sind wir in der nächsten Zahlenmenge gelandet:

Deshalb fügt man nun zu den ganzen Zahlen alle Brüche hinzu und erhält.
<br>
<br>
<br>

== die rationalen Zahlen $\mathbb{Q} $ ==

{{Vorlage:Definition|1=Zu den '''rationalen Zahlen''' gehören alle Brüche mit [[Bruch|Zähler]] und [[Bruch|Nenner]] aus den ganzen Zahlen, wobei im Nenner natürlich keine 0 stehen darf. Formal kann man das folgendermaßen schreiben:
$$ \mathbb{Q} = \left\{ \frac{a}{b} \vert\ a,b \in \mathbb{Z}, b \neq 0\right\} $$ }}

Da man jeden Bruch in eine endliche oder unendlich periodische Dezimalzahl verwandeln kann, indem man Zähler mit Nenner dividiert, gehören zu '''$\mathbb{Q} $ auch alle endlichen ODER unendlich periodischen Dezimalzahlen'''

Beispiel: $$ \frac{1}{3}=0.333333...$$
oder
$$ \frac{1}{5}=1:5=0.2 $$

Nun gibt es aber noch Dezimalzahlen, die unendlich lang, aber niemals periodisch sind, diese liegen außerhalb von $\mathbb{Q} $ und heißen die ''irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$''
<br>
<br>
<br>

== die irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$ ==

{{Vorlage:Definition|1=Zu den '''irrationalen Zahlen''' $\mathbb{I}$ gehören alle Dezimalzahlen, die '''unendlich lang UND niemals periodisch''' sind }}

'''Beispiele:'''
* $0,1001000100001....$ (immer eine 0 mehr)
* $\pi =3.14159.... $
* $e =2.718...$, die [[eulersche Zahl e|eulersche Zahl]]
* $\sqrt{2}=1.414...$ (und alle weiteren Wurzeln von [[Primzahlen]]).
<br>
<br>
<br>

== die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ ==
[[Datei:Qundi.gif|right|$\mathbb{Q}$ und $\mathbb{I}$=$\mathbb{R}$]]

Fasst man nun alle Dezimahlzahlen zusammen, die
# endlichen oder unendlich periodischen (=rationale Zahlen) und die
# unendlichen aber niemals periodischen (irrationale Zahlen)
so erhält man die reellen Zahlen $\mathbb{R}$.

{{Vorlage:Definition|1=$$ \mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I} $$
Vereinfacht gesagt: $ \mathbb{R}= $ Menge aller Dezimalzahlen }}

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== die imaginären Zahlen ==

<span style="background-color:yellow"> Stoff der 2. Klasse </span>

Während in den reellen Zahlen $\mathbb{R}$ addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert werden kann, kann man aber die '''Wurzel aus negativen Zahlen NICHT berechnen'''.

'''Beispiel''':
$ \sqrt{-1} \notin \mathbb{R} $

Aus diesem Grund erweitert man die reellen Zahlen mit allen negativen Wurzeln und nennt

{{Vorlage:Definition|1=$\begin{align} \textrm{die imaginären Zahlen} &=& \textrm{die Menge der negativen Wurzeln} \\
&=&\left\{ \sqrt{-b} \vert\ b\in \mathbb{R}^+\right\}\end{align}$ }}

'''Weitere Beispiele:'''
* $ \sqrt{-1}=i$
* $ \sqrt{-4}=2i\ \ $ (weil $\sqrt{4\cdot (-1)}= \sqrt{4}\cdot \sqrt{-1}=2\cdot i $)

Imaginäre Zahlen treten bei den [[Quadratische Gleichungen (2.7.)| quadratischen Gleichungen]] auf, wenn die entsprechende [[Quadratische Funktionen|Parabel]] keine [[Nullstelle]] hat.
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== die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ ==

[[Datei:RundIm.png|right|miniatur|'''$\mathbb{R}$ und die Imaginären Zahlen $=\mathbb{C}$'''. <br> <br> Achtung! Die Abbildung gaukelt vor, dass es in $\mathbb{C}$ noch weitere Zahlen gibt außerhalb von $\mathbb{R}$ und den Imaginären Zahlen. Dies ist aber FALSCH! $\mathbb{R}$ und die Im.Zahlen füllen $\mathbb{C}$ ganz aus!]]
Die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ erhält man, wenn man die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ und die imaginären Zahlen zusammenfügt.

{{Vorlage:Definition|1= $$ \mathbb{C} = \mathbb{R} \cup \textrm{imaginäre Zahlen}$$ }}

Setzt man also eine reelle Zahl (z.B. 5) und eine imaginäre Zahl (z.B. 7i) zusammen, so erhält man die komplexe Zahl $$5+7i$$

'''Beispiele'''
* <span style="background-color:yellow"> 2 </span> + <span style="background-color:#EEA9B8"> 3i </span>
(jede komplexe Zahl besteht aus einer reellen Zahl, dem sogenannten <span style="background-color:yellow"> Realteil </span> (hier: 2) und einer imaginären Zahl (hier 3i), wobei 3 der sogenannte <span style="background-color:#EEA9B8"> Imaginärteil </span> ist.
* -9+18i (Realteil=-9 und Imaginärteil=18)
* 4 $\ \ $ (hier ist der Imaginärteil 0)
* 8i $\ \ $(hier ist der Realteil 0)

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= Beispiele Zahlenmengen (1.1.) =

==a) Zuordnung==
[[Datei:Zuordnung.png]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Zuordnung-Lösung.png]]
</div>
</div>

[[Kategorie: Zahlen und Maße]]

Datei:Desert.jpg

2014-10-23T16:34:20Z

Istvan.baksa: Istvan.baksa lud eine neue Version von „Datei:Desert.jpg“ hoch

Datei:Blabla Blabla Blabla Blabla.docx

2014-10-23T16:24:31Z

Istvan.baksa: Blabla

Blabla

Benutzer:Istvan.baksa

2014-10-23T15:56:31Z

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Mein Name ist '''Istvan'''.