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|description={{en|1=Schiebung eines Würfels}}
|date=2017-03-01
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Matrizen

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Carina: http://www.texample.net/tikz/examples/matrix-multiplication/

http://www.texample.net/tikz/examples/matrix-multiplication/

Matrizen

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Matrizen

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Matrizen

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Matrizen

2016-09-21T10:23:02Z

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<bs:pageaccess groups="Editor" />

Matrizen sind eine n\"utzliche Darstellung, um ein Gleichungssystem mit vielen linearen Gleichungenzu l\"osen oder auch um Tabellen \"ubersichtlich darzustellen, also um lineare Zusammenh\"ange zwischen mehreren Gr\"o"sen herzustellen.

== Einführung ==

Eine $2\times2$ Matrix besteht aus 2 Zeilen und 2 Spalten, sie sieht zum Beispiel so aus

$
\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} \\
\end{pmatrix}
$

Der erste Index gibt dabei an in der welcher Zeile und der zweite Index in welcher Spalte sich die Zahl befindet. Hier bilden zum Beispiel $a_{11}$ und $ a_{12}$ die erste Zeile, $a_{21}$ und $ a_{22} $ die zweite Zeile, $a_{11}$ und $ a_{21}$ die erste Spalte und $a_{12}$ und $a_{22}$ die zweite Spalte.

Beispiel: $a_{11}=3 \qquad a_{12}=6 \qquad a_{21}=7 \qquad a_{22}=8$

$
\qquad A= \begin{pmatrix}
3 & 6 \\
7 & 8 \\
\end{pmatrix}
$

{{Vorlage:Beispiel|1= Was ist die erste Zeile der Matrix $\quad F= \begin{pmatrix}
8 & 12 &17 \\
3,9 & 5 & 84,7 \\
4,5 &63 & 9,6\\
\end{pmatrix} $ und was ist die 3. Spalte der Matrix $F$?

|2= 1.Zeile $\left( 8 \quad 12 \quad 17 \right) $

3.Spalte $\left(\begin{array}{c} 17 \\ 84,7 \\ 9,6 \end{array}\right)$}}

{{Vorlage:Definition|1= $m \times n$ Matrix
$
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} &\dots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots &\ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn}
\end{pmatrix}
$

Die $m\times n$ Matrix hat $m$ Zeilen und $n$ Spalten.}}

{{Vorlage:Merke|1=Eine quadratische Matrix hat die gleiche Anzahl an Zeilen und Spalten.}}

{{Vorlage:Merke|1= Bei der Addition von Matrizen, werden die einzelnen Komponenten miteinander addiert.

Sei die Matrix
$
A= \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} &\dots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots &\ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn}
\end{pmatrix} $
und die Matrix
$
B= \begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1n} \\
b_{21} & b_{22} &\dots & b_{2n} \\
\vdots & \vdots &\ddots & \vdots \\
b_{m1} & b_{m2} & \dots & b_{mn}
\end{pmatrix}
$

dann ist
$$A+B =
\begin{pmatrix}
a_{11} + b_{11} & a_{12}+ b_{12} & \dots & a_{1n}+ b_{1n} \\
a_{21}+ b_{21} & a_{22} +b_{22} &\dots & a_{1n}+ b_{2n} \\
\vdots & \vdots &\ddots & \vdots \\
a_{m1}+ b_{m1} &a_{m2}+ b_{m2} & \dots & a_{mn}+ b_{mn}
\end{pmatrix}
$$ }}

Bei der $2\times 2$ Matrix schaut das wie folgt aus

$
A= \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} \\
\end{pmatrix}
$

$
B= \begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12} \\
b_{21} & b_{22} \\
\end{pmatrix}
$

dann ist $ \qquad \qquad \qquad A+B =
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12} \\
b_{21} & b_{22}
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} \\
a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} \\
\end{pmatrix}$

{{Vorlage:Beispiel|1= Addiere die Matrizen $\quad C= \begin{pmatrix}
8 & 6 \\
0 & -4 \\
\end{pmatrix} \quad $ und
$\quad D= \begin{pmatrix}
2 & -1 \\
5 & 3 \\
\end{pmatrix}$.

|2= $C+D=
\begin{pmatrix}
10 & 5 \\
5 & -1 \\
\end{pmatrix}$}}

{{Vorlage:Merke|1= Bei der Multiplikation mit einem Skalar $k$ (einer reellen Zahl), wird jede Komponente einzeln mit dem Skalar multipliziert.

$
k \cdot A= \begin{pmatrix}
k \cdot a_{11} & k \cdot a_{12} & \dots & k \cdot a_{1n} \\
k \cdot a_{21} & k \cdot a_{22} & \dots & k \cdot a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
k \cdot a_{m1} &k \cdot a_{m2} & \dots & k \cdot a_{mn} \\
\end{pmatrix}
$

}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Multipliziere die Matrix $\quad E= \begin{pmatrix}
7 & 2 \\
9 & 0 \\
\end{pmatrix} \quad $ mit $3$.

|2= $3 \cdot E=
\begin{pmatrix}
21 & 6 \\
27 & 0 \\
\end{pmatrix}$}}

{{Vorlage:Definition|1=Nullmatrix
Die Nullmatrix sieht wie folgt aus:

$
0= \begin{pmatrix}
0 & \dots & 0 \\

\vdots & & \vdots \\
0 & \dots & 0 \\
\end{pmatrix}
$ }}

{{Vorlage:Definition|1=Einheitsmatrix
Die Einheitsmatrix hat nur in der Hauptdiagonale (von links oben nach rechts unten) Einsen stehen. Sonst befinden sich \"uberall Nullen. Zudem ist sie ein quadratische Matrix.

$
I_n= \begin{pmatrix}
1 & 0 & \dots & 0 \\
0 & 1 & \dots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 &0 & \dots & 1 \\
\end{pmatrix}
$
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Wie sieht die Einheitsmatrix im dreidimensionalen Raum aus?

|2= $I_3= \begin{pmatrix}
1 & 0 &0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 &0 & 1\\
\end{pmatrix} $ }}

{{Vorlage:Definition|1=Transponierte Matrix
Bei einer transponierten Matrix werden die Zeilen und Spalten miteinander vertauscht. Sei $A$ die ursprüngliche Matrix und $A^T$ die transponierte:
$A= \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} &a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} &a_{32} & a_{33} \\
\end{pmatrix} $

dann ist

$A^T= \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{21} &a_{31} \\
a_{12} & a_{22} & a_{32} \\
a_{13} &a_{23} & a_{33} \\
\end{pmatrix} $
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Wie sieht die transponierten Matrizen zu der Matrix $B$ und $C$ aus?\\
$\quad B= \begin{pmatrix}
9 & 4 \\
654 & 274 \\
\end{pmatrix} $

$\quad C= \begin{pmatrix}
65 & 4,7 &6 &9 &89 \\
8,3 & 2,4 & 7 & 3&1 \\
4 & 2 & 0 & 7,9 & 5\\
\end{pmatrix} $

|2= $\quad B^T= \begin{pmatrix}
9 & 654 \\
4 & 274 \\
\end{pmatrix} $ \\

$\quad C^T= \begin{pmatrix}
65 & 8,3 & 4\\
4,7 & 2,4 & 2\\
6 & 7& 0 \\
9& 3 & 7,9\\
89 & 1 & 5\\
\end{pmatrix} $
}}

{{Vorlage:Definition|1=Matrizenmultiplikation

Zwei Matrizen werden nach der Regel: Zeile mal Spalte multipliziert.
Die Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ, das heißt: $A\cdot B \neq B \cdot A$.
Um $A \cdot B =C$ zu erhalten muss die Anzahl der Spalten von $A$ die selbe sein wie die Anzahl der Zeilen von $B$. Also wenn $A$ eine $m \times n$ Matrix ist, so $B$ eine $n \times p$ Matrix sein, wobei $m$ und $p$ beliebig sind und $n$ bei $A$ und $B$ die gleichen sein müssen. Au\"serdem ist dann $C$ eine $m \times p$ Matrix, sie hat also dieselbe Anzahl der Zeilen wie die Matrix $A$ und die selbe Spaltenanzahl wie die Matrix $B$.}}

Sei die Matrix $A$ zum Beispiel eine $2 \times 2$ Matrix und $B$ eine $2 \times 3$ Matrix. Dann ist die Matrix $A \cdot B = C$ eine $2 \times 3$ Matrix.

Wie erhält man nun die einzelnen Koeffizienten der Matrix $C$?
\url{https://www.youtube.com/watch?v=iLgfkgscafQ}

Die Durchführung der Matrizenmultiplikation kann mit Hilfe der
Falk'schen Anordnung erfolgen:
{|
|-
| Beispiel || Beispiel
|-
| Beispiel || Beispiel
|}

== Überschrift 3 == Gozinto-Graphen

== Matura-Aufgaben==

{{Vorlage:Bifie-Aufgabe|1= "URL1" "Aufgabentitel1"}}