Matura Wiki - Benutzerbeiträge [de]

Veröffentlichte Maturen: AHS

2019-03-08T09:47:56Z

Bernhard:

= 2014 =
=== Haupttermin ===
* [https://www.srdp.at/downloads/dl/haupttermin-201314-mathematik-ahs/?tx_downloads_download%5Baction%5D=download&cHash=b0b1d3372737c0b995073bf8e887a441 Angabe und Lösung]

=== 1. Nebentermin ===
* [https://www.srdp.at/downloads/dl/nebentermin-1-201314-mathematik-ahs/?tx_downloads_download%5Baction%5D=download&cHash=1d467c654199c7c7535b60572e0d4f30 Angabe und Lösung]

=== 2. Nebentermin ===
* [https://www.srdp.at/downloads/dl/nebentermin-2-201314-mathematik-ahs/?tx_downloads_download%5Baction%5D=download&cHash=278069d545d27ce073c882eb6852e3f4 Angabe und Lösung]

= 2015 =
=== Haupttermin ===

* [https://www.srdp.at/downloads/dl/haupttermin-201415-mathematik-ahs/?tx_downloads_download%5Baction%5D=download&cHash=3d871a95b401a767e96b03b81d312e09 Angabe und Lösung]

=== 1. Nebentermin ===
* [https://www.srdp.at/downloads/dl/nebentermin-1-201415-mathematik-ahs/?tx_downloads_download%5Baction%5D=download&cHash=f4d47953fce4f3c50c190a1dec16d283 Angabe und Lösung]

=== 2. Nebentermin ===

* [https://www.srdp.at/downloads/dl/nebentermin-2-201415-mathematik-ahs/?tx_downloads_download%5Baction%5D=download&cHash=151a3c786524596f06a9b8d27eb3babe Angabe und Lösung]

= 2016 =

===Haupttermin ===
* [https://www.srdp.at/downloads/dl/haupttermin-201516-mathematik-ahs/?tx_downloads_download%5Baction%5D=download&cHash=2c38595d438a225de006d35f87c1e91b Angabe und Lösung]

=== 1. Nebentermin ===

* [https://www.srdp.at/downloads/dl/nebentermin-1-201516-mathematik-ahs/?tx_downloads_download%5Baction%5D=download&cHash=08727b93dae76c56b30096ebeb74d9c0 Angabe und Lösung]

=== 2. Nebentermin ===

* [https://www.srdp.at/downloads/dl/nebentermin-2-201516-mathematik-ahs/?tx_downloads_download%5Baction%5D=download&cHash=4400018485a81ecdffc0ed644ffd76d6 Angabe und Lösung]

=2017=
=== Haupttermin ===
* [https://www.srdp.at/downloads/dl/haupttermin-201617-mathematik-ahs/?tx_downloads_download%5Baction%5D=download&cHash=dbcc898ea998b16d8da0e6a0db144167 Angabe und Lösung]

=== 1. Nebentermin ===
* [https://www.srdp.at/downloads/dl/nebentermin-1-201617-mathematik-ahs/?tx_downloads_download%5Baction%5D=download&cHash=30ffa066e7677de78615263369828d6d Angabe und Lösung]

=== 2. Nebentermin ===
* [https://www.srdp.at/downloads/dl/nebentermin-2-201617-mathematik-ahs/?tx_downloads_download%5Baction%5D=download&cHash=694c3312ea6e457e828b7617a3e2d186 Angabe und Lösung]

=2018=
=== Haupttermin ===
* [https://www.srdp.at/downloads/dl/haupttermin-201718-mathematik-ahs/?tx_downloads_download%5Baction%5D=download&cHash=2b4d5638e30660cc3462588adffe56c4 Angabe und Lösung]

=== 1. Nebentermin ===
* [https://www.srdp.at/downloads/dl/nebentermin-1-201718-mathematik-ahs/?tx_downloads_download%5Baction%5D=download&cHash=4e926d6c5bb03a47b7b054f850e6325c Angabe und Lösung]

=== 2. Nebentermin ===
* [https://www.srdp.at/downloads/dl/nebentermin-2-201718-mathematik-ahs/?tx_downloads_download%5Baction%5D=download&cHash=677fd5e43a334bee70703cda6a497c8b Angabe und Lösung]

Veröffentlichte Maturen: AHS

2019-03-08T09:45:39Z

Bernhard: /* Haupttermin */

Veröffentlichte Maturen: AHS

2019-03-08T09:45:26Z

Bernhard: /* Haupttermin */

Veröffentlichte Maturen: AHS

2017-01-25T14:50:15Z

Bernhard:

Veröffentlichte Maturen: AHS

2016-12-01T19:36:24Z

Bernhard: Links noch einmal korrigiert

= 2014 =
=== Haupttermin ===
*[https://www.bifie.at/system/files/dl/KL14_PT1_AHS_MAT_T1_CC_AU.pdf Aufgabenheft Teil 1]
:* [https://www.bifie.at/system/files/dl/KL14_PT1_AHS_MAT_T1_CC_LO_0.pdf Korrekturheft Teil 1]

*[https://www.bifie.at/system/files/dl/KL14_PT1_AHS_MAT_T2_CC_AU.pdf Aufgabenheft Teil 2]
:* [https://www.bifie.at/system/files/dl/KL14_PT1_AHS_MAT_T2_CC_LO_0.pdf Korrekturheft Teil 2]

=== 2. Nebentermin ===
*[https://www.bifie.at/system/files/dl/KL14_PT3_AHS_MAT_T1_CC_AU.pdf Aufgabenheft Teil 1]
:* [https://www.bifie.at/system/files/dl/KL14_PT3_AHS_MAT_T1_CC_LO_2.pdf Korrekturheft Teil 1]

*[https://www.bifie.at/system/files/dl/KL14_PT3_AHS_MAT_T2_CC_AU.pdf Aufgabenheft Teil 2]
:* [https://www.bifie.at/system/files/dl/KL14_PT3_AHS_MAT_T2_CC_LO_0.pdf Korrekturheft Teil 2]

= 2015 =
=== Haupttermin ===

*[https://www.bifie.at/system/files/dl/KL15_PT1_AHS_MAT_T1_CC_AU_0.pdf Aufgabenheft Teil 1]
:* [https://www.bifie.at/system/files/dl/KL15_PT1_AHS_MAT_T1_CC_LO_0.pdf Korrekturheft Teil 1]

*[https://www.bifie.at/system/files/dl/KL15_PT1_AHS_MAT_T2_CC_AU_0.pdf Aufgabenheft Teil 2]
:* [https://www.bifie.at/system/files/dl/KL15_PT1_AHS_MAT_T2_CC_LO_0.pdf Korrekturheft Teil 2]

=== 1. Nebentermin ===

*[https://www.bifie.at/system/files/dl/KL15_PT2_AHS_MAT_T1_CC_AU.pdf Aufgabenheft Teil 1]
:* [https://www.bifie.at/system/files/dl/KL15_PT2_AHS_MAT_T1_CC_LO_0.pdf Korrekturheft Teil 1]

*[https://www.bifie.at/system/files/dl/KL15_PT2_AHS_MAT_T2_CC_AU.pdf Aufgabenheft Teil 2]
:* [https://www.bifie.at/system/files/dl/KL15_PT2_AHS_MAT_T2_CC_LO_0.pdf Korrekturheft Teil 2]

=== 2. Nebentermin ===

*[https://www.bifie.at/system/files/dl/KL15_PT3_AHS_MAT_T1_CC_AU.pdf Aufgabenheft Teil 1]
:* [https://www.bifie.at/system/files/dl/KL15_PT3_AHS_MAT_T1_CC_LO_0.pdf Korrekturheft Teil 1]

*[https://www.bifie.at/system/files/dl/KL15_PT3_AHS_MAT_T2_CC_AU.pdf Aufgabenheft Teil 2]
:* [https://www.bifie.at/system/files/dl/KL15_PT3_AHS_MAT_T2_CC_LO_0.pdf Korrekturheft Teil 2]

= 2016 =

===Haupttermin ===
* [https://www.bifie.at/system/files/dl/KL16_PT1_AHS_MAT_T1_CC_AU.pdf Aufgabenheft Teil 1]
:* [https://www.bifie.at/system/files/dl/KL16_PT1_AHS_MAT_T1_CC_LO_0.pdf Korrekturheft Teil 1]

* [https://www.bifie.at/system/files/dl/KL16_PT1_AHS_MAT_T2_CC_AU.pdf Aufgabenheft Teil 2]
:* [https://www.bifie.at/system/files/dl/KL16_PT1_AHS_MAT_T2_CC_LO_0.pdf Korrekturheft Teil 2]

=== 1. Nebentermin ===

*[https://www.bifie.at/system/files/dl/KL16_PT2_AHS_MAT_T1_CC_AU.pdf Aufgabenheft Teil 1]
:* [https://www.bifie.at/system/files/dl/KL16_PT2_AHS_MAT_T1_CC_LO_0.pdf Korrekturheft Teil 1]

*[https://www.bifie.at/system/files/dl/KL16_PT2_AHS_MAT_T2_CC_AU.pdf Aufgabenheft Teil 2]
:* [https://www.bifie.at/system/files/dl/KL16_PT2_AHS_MAT_T2_CC_LO_0.pdf Korrekturheft Teil 2]

Veröffentlichte Maturen: AHS

2016-12-01T19:29:52Z

Bernhard:

= 2014 =
=== Haupttermin ===
*[https://www.bifie.at/system/files/dl/KL14_PT1_AHS_MAT_T1_CC_AU.pdf Aufgabenheft Teil 1]
:* [https://www.bifie.at/system/files/dl/KL14_PT1_AHS_MAT_T1_CC_LO_0.pdf Korrekturheft Teil 1]

*[https://www.bifie.at/system/files/dl/KL14_PT1_AHS_MAT_T2_CC_AU.pdf Aufgabenheft Teil 2]
:* [https://www.bifie.at/system/files/dl/KL14_PT1_AHS_MAT_T2_CC_LO_0.pdf Korrekturheft Teil 2]

=== 2. Nebentermin ===
*[https://www.bifie.at/system/files/dl/KL14_PT3_AHS_MAT_T1_CC_AU.pdf Aufgabenheft Teil 1]
:* [https://www.bifie.at/system/files/dl/KL14_PT3_AHS_MAT_T1_CC_LO_2.pdf Korrekturheft Teil 1]

*[https://www.bifie.at/system/files/dl/KL14_PT3_AHS_MAT_T2_CC_AU.pdf Aufgabenheft Teil 2]
:* [https://www.bifie.at/system/files/dl/KL14_PT3_AHS_MAT_T2_CC_LO_0.pdf Korrekturheft Teil 2]

= 2015 =
=== Haupttermin ===

*[https://www.bifie.at/system/files/dl/KL15_PT1_AHS_MAT_T1_CC_AU.pdf Aufgabenheft Teil 1]
:* [https://www.bifie.at/system/files/dl/KL15_PT1_AHS_MAT_T1_CC_LO_0.pdf Korrekturheft Teil 1]

*[https://www.bifie.at/system/files/dl/KL15_PT1_AHS_MAT_T2_CC_AU.pdf Aufgabenheft Teil 2]
:* [https://www.bifie.at/system/files/dl/KL15_PT1_AHS_MAT_T2_CC_LO_0.pdf Korrekturheft Teil 2]

=== 1. Nebentermin ===

*[https://www.bifie.at/system/files/dl/KL15_PT2_AHS_MAT_T1_CC_AU.pdf Aufgabenheft Teil 1]
:* [https://www.bifie.at/system/files/dl/KL15_PT2_AHS_MAT_T2_CC_AU.pdf Korrekturheft Teil 1]

*[https://www.bifie.at/system/files/dl/KL15_PT2_AHS_MAT_T1_CC_LO_0.pdf Aufgabenheft Teil 2]
:* [https://www.bifie.at/system/files/dl/KL15_PT2_AHS_MAT_T2_CC_LO_0.pdf Korrekturheft Teil 2]

=== 2. Nebentermin ===

*[https://www.bifie.at/system/files/dl/KL15_PT3_AHS_MAT_T1_CC_AU.pdf Aufgabenheft Teil 1]
:* [https://www.bifie.at/system/files/dl/KL15_PT3_AHS_MAT_T1_CC_LO_0.pdf Korrekturheft Teil 1]

*[https://www.bifie.at/system/files/dl/KL15_PT3_AHS_MAT_T2_CC_AU.pdf Aufgabenheft Teil 2]
:* [https://www.bifie.at/system/files/dl/KL15_PT3_AHS_MAT_T2_CC_LO_0.pdf Korrekturheft Teil 2]

= 2016 =

===Haupttermin ===
* [https://www.bifie.at/system/files/dl/KL16_PT1_AHS_MAT_T1_CC_AU.pdf Aufgabenheft Teil 1]
:* [https://www.bifie.at/system/files/dl/KL16_PT1_AHS_MAT_T1_CC_LO_0.pdf Korrekturheft Teil 1]

* [https://www.bifie.at/system/files/dl/KL16_PT1_AHS_MAT_T2_CC_AU.pdf Aufgabenheft Teil 2]
:* [https://www.bifie.at/system/files/dl/KL16_PT1_AHS_MAT_T2_CC_LO_0.pdf Korrekturheft Teil 2]

=== 1. Nebentermin ===

*[https://www.bifie.at/system/files/dl/KL16_PT2_AHS_MAT_T1_CC_AU.pdf Aufgabenheft Teil 1]
:* [https://www.bifie.at/system/files/dl/KL16_PT2_AHS_MAT_T2_CC_AU.pdf Korrekturheft Teil 1]

*[https://www.bifie.at/system/files/dl/KL16_PT2_AHS_MAT_T1_CC_LO_0.pdf Aufgabenheft Teil 2]
:* [https://www.bifie.at/system/files/dl/KL16_PT2_AHS_MAT_T2_CC_LO_0.pdf Korrekturheft Teil 2]

Veröffentlichte Maturen: AHS

2016-12-01T19:29:12Z

Bernhard: Links zu Haupttermin 2015 korrigiert und 1. NT 2016 hinzugefügt

= 2014 =
=== Haupttermin ===
*[https://www.bifie.at/system/files/dl/KL14_PT1_AHS_MAT_T1_CC_AU.pdf Aufgabenheft Teil 1]
:* [https://www.bifie.at/system/files/dl/KL14_PT1_AHS_MAT_T1_CC_LO_0.pdf Korrekturheft Teil 1]

*[https://www.bifie.at/system/files/dl/KL14_PT1_AHS_MAT_T2_CC_AU.pdf Aufgabenheft Teil 2]
:* [https://www.bifie.at/system/files/dl/KL14_PT1_AHS_MAT_T2_CC_LO_0.pdf Korrekturheft Teil 2]

=== 2. Nebentermin ===
*[https://www.bifie.at/system/files/dl/KL14_PT3_AHS_MAT_T1_CC_AU.pdf Aufgabenheft Teil 1]
:* [https://www.bifie.at/system/files/dl/KL14_PT3_AHS_MAT_T1_CC_LO_2.pdf Korrekturheft Teil 1]

*[https://www.bifie.at/system/files/dl/KL14_PT3_AHS_MAT_T2_CC_AU.pdf Aufgabenheft Teil 2]
:* [https://www.bifie.at/system/files/dl/KL14_PT3_AHS_MAT_T2_CC_LO_0.pdf Korrekturheft Teil 2]

= 2015 =
=== Haupttermin ===

*[https://www.bifie.at/system/files/dl/KL15_PT1_AHS_MAT_T1_CC_AU.pdf Aufgabenheft Teil 1]
:* [https://www.bifie.at/system/files/dl/KL15_PT1_AHS_MAT_T1_CC_LO_0.pdf Korrekturheft Teil 1]

*[https://www.bifie.at/system/files/dl/KL15_PT1_AHS_MAT_T2_CC_AU.pdf Aufgabenheft Teil 2]
:* [https://www.bifie.at/system/files/dl/KL15_PT1_AHS_MAT_T2_CC_LO_0.pdf Korrekturheft Teil 2]

=== 1. Nebentermin ===

*[https://www.bifie.at/system/files/dl/KL15_PT2_AHS_MAT_T1_CC_AU.pdf Aufgabenheft Teil 1]
:* [https://www.bifie.at/system/files/dl/KL15_PT2_AHS_MAT_T2_CC_AU.pdf Korrekturheft Teil 1]

*[https://www.bifie.at/system/files/dl/KL15_PT2_AHS_MAT_T1_CC_LO_0.pdf Aufgabenheft Teil 2]
:* [https://www.bifie.at/system/files/dl/KL15_PT2_AHS_MAT_T2_CC_LO_0.pdf Korrekturheft Teil 2]

=== 2. Nebentermin ===

*[https://www.bifie.at/system/files/dl/KL15_PT3_AHS_MAT_T1_CC_AU.pdf Aufgabenheft Teil 1]
:* [https://www.bifie.at/system/files/dl/KL15_PT3_AHS_MAT_T1_CC_LO_0.pdf Korrekturheft Teil 1]

*[https://www.bifie.at/system/files/dl/KL15_PT3_AHS_MAT_T2_CC_AU.pdf Aufgabenheft Teil 2]
:* [https://www.bifie.at/system/files/dl/KL15_PT3_AHS_MAT_T2_CC_LO_0.pdf Korrekturheft Teil 2]

= 2016 =

===Haupttermin ===
* [https://www.bifie.at/system/files/dl/KL16_PT1_AHS_MAT_T1_CC_AU.pdf Aufgabenheft Teil 1]
:* [https://www.bifie.at/system/files/dl/KL16_PT1_AHS_MAT_T1_CC_LO_0.pdf Korrekturheft Teil 1]

* [https://www.bifie.at/system/files/dl/KL16_PT1_AHS_MAT_T2_CC_AU.pdf Aufgabenheft Teil 2]
:* [https://www.bifie.at/system/files/dl/KL16_PT1_AHS_MAT_T2_CC_LO_0.pdf Korrekturheft Teil 2]

=== 1. Nebentermin ===

*[https://www.bifie.at/system/files/dl/KL16_PT2_AHS_MAT_T1_CC_AU.pdf Aufgabenheft Teil 1]
:* [https://www.bifie.at/system/files/dl/KL16_PT2_AHS_MAT_T2_CC_AU.pdf Korrekturheft Teil 1]

*[https://www.bifie.at/system/files/dl/KL16_PT2_AHS_MAT_T1_CC_LO_0.pdf Aufgabenheft Teil 2]
:* [https://www.bifie.at/system/files/dl/KL16_PT2_AHS_MAT_T2_CC_LO_0.pdf Korrekturheft Teil 2]

Grundkompetenzen AHS

2016-10-08T18:07:53Z

Bernhard: /* Vektoren */

Die folgenden Tabellen listen alle Grundkompetenzen für die AHS auf.

Die Grundkompetenzen sind in insgesamt 4 Inhaltsbereiche gegliedert:

==Algebra und Geometrie==
===Grundbegriffe der Algebra===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AG 1.1
||Wissen über die Zahlenmengen ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, ℂ verständig einsetzen können
||[[Zahlenmengen | Theorie]]
||[[Zahlenmengen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 1.2
||Wissen über algebraische Begriffe angemessen einsetzen können: Variable, Terme, Formeln, (Un-)Gleichungen, Gleichungssysteme, Äquivalenz, Umformungen, Lösbarkeit
||[[Potenzen | Theorie]]
||[[Potenzen #Beispiele | Beispiele]]
|}
<small>Anmerkungen:

Bei den Zahlenmengen soll man die Mengenbezeichnungen und die Teilmengen
beziehungen kennen, Elemente angeben sowie zuordnen können und die reellen Zahlen als Grundlage kontinuierlicher Modelle kennen. Zum Wissen
über die reellen Zahlen gehört auch, dass es Zahlenbereiche gibt, die über
ℝ hinausgehen.

Die algebraischen Begriffe soll man anhand von einfachen Beispielen beschreiben/erklären und verständig verwenden können.</small>

===(Un-)Gleichungen und Gleichungssysteme===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AG 2.1
|| einfache Terme und Formeln aufstellen, umformen und im Kontext deuten können
||[[Formeln| Theorie]]
||[[Formeln #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 2.2
|| lineare Gleichungen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen und die Lösung im Kontext deuten können
||[[lineare Gleichungen mit einer Variablen | Theorie]]
||[[lineare Gleichungen mit einer Variablen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 2.3
|| quadratische Gleichungen in einer Variablen umformen/lösen, über Lösungsfälle Bescheid wissen, Lösungen und Lösungsfälle (auch geometrisch) deuten können
||[[Quadratische Gleichungen | Theorie]]
||[[Quadratische Gleichungen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 2.4
||lineare Ungleichungen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen, Lösungen (auch geometrisch) deuten können
||[[Lineare Ungleichungen mit 2 Variablen | Theorie]]
||[[Lineare Ungleichungen mit 2 Variablen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 2.5
||lineare Gleichungssysteme in zwei Variablen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen, über Lösungsfälle Bescheid wissen, Lösungen und Lösungsfälle (auch geometrisch) deuten können
||[[Gleichungssysteme | Theorie]]
||[[Gleichungssysteme #Matura-Aufgaben| Beispiele]]
|}
<small>Anmerkungen:

Einfache Terme können auch Potenzen, Wurzeln, Logarithmen, Sinus
etc. beinhalten.

Mit dem Einsatz elektronischer Hilfsmittel können auch komplexere Umformungen von Termen, Formeln und Gleichungen, Ungleichungen und Gleichungssystemen durchgeführt werden.</small>

===Vektoren===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AG 3.1
||Vektoren als Zahlentupel verständig einsetzen und im Kontext deuten können
||[[Vektorrechnung | Theorie]]
||[[Vektorrechnung #Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|-
||AG 3.2
||Vektoren geometrisch (als Punkte bzw. Pfeile) deuten und verständig einsetzen können
||[[Vektorrechnung | Theorie]]
||[[Vektorrechnung #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 3.3
||Definition der Rechenoperationen mit Vektoren (Addition, Multiplikation mit einem Skalar, Skalarmultiplikation) kennen, Rechenoperationen verständig einsetzen und (auch geometrisch) deuten können
||[[Vektorrechnung | Theorie]]
||[[Vektorrechnung #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 3.4
||Geraden durch (Parameter-)Gleichungen in $ℝ^2$ und $ℝ^3$ angeben können; Geradengleichungen interpretieren können; Lagebeziehungen (zwischen Geraden und zwischen Punkt und Gerade) analysieren, Schnittpunkte ermitteln können
||[[Geraden | Theorie]]
||[[Geraden #Beispiele| Beispiele]]
|-
||AG 3.5
||Normalvektoren in ℝ² aufstellen, verständig einsetzen und interpretieren können
||[[Vektorrechnung | Theorie]]
||[[Vektorrechnung #Beispiele | Beispiele]]
|}
<small>Anmerkungen:

Vektoren sind als Zahlentupel, also als algebraische Objekte, zu verstehen und in entsprechenden Kontexten ver-ständig einzusetzen. Punkte und Pfeile in der Ebene und im Raum müssen als geometrische Veranschaulichung dieser algebraischen Objekte interpretiert werden können.

Die geometrische Deutung der Skalarmultiplikation (in ℝ² und ℝ³) meint hier nur den Spezialfall $a\cdot b= 0$. Geraden sollen in Parameterform, in ℝ² auch in parameterfreier Form, angegeben und interpretiert werden können.</small>

===Trigonometrie===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AG 4.1
||Definitionen von ''Sinus'', ''Cosinus'' und ''Tangens'' im rechtwinkeligen Dreieck kennen und zur Auflösung rechtwinkeliger Dreiecke einsetzen können
||[[Trigonometrie | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|-
||AG 4.2
||Definitionen von ''Sinus'' und ''Cosinus'' für Winkel größer als 90° kennen und einsetzen können
||[[Trigonometrie | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|}
<small>Anmerkungen:

Die Kontexte beschränken sich auf einfache Fälle in der Ebene und im Raum, komplexe (Vermessungs-)Aufgaben sind hier nicht gemeint; Sinus- und Cosinussatz werden dabei nicht benötigt.</small>
<br />

== Funktionale Abhängigkeiten ==

===Funktionsbegriff, reelle Funktionen, Darstellungsformen und Eigenschaften===
{| border="1"
!|Inhalt$\ \ \ $
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|FA 1.1
| für gegebene Zusammenhänge entscheiden können, ob man sie als Funktionen betrachten kann
| [[Funktionen | Theorie]]
| [[Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
|FA 1.2
| Formeln als Darstellung von Funktionen interpretieren und dem Funktionstyp zuordnen können.
| [[Funktionen | Theorie]]
| [[Funktionen #Schularbeiten- und Testaufgaben | Beispiele]]
|-
|FA 1.3
| zwischen tabellarischen und grafischen Darstellungen funktionaler Zusammenhänge wechseln können
| [[Funktionen | Theorie]]
| [[Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
|FA 1.4
| aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Funktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können
| [[Funktionen | Theorie]]
| [[Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
|FA 1.5
| Eigenschaften von Funktionen erkennen, benennen, im Kontext deuten und zum Erstellen von Funktionsgraphen einsetzen können: Monotonie, Monotoniewechsel (lokale Extrema), Wendepunkte, Periodizität, Achsensymmetrie, asymptotisches Verhalten, Schnittpunkte mit den Achsen
| [[Funktionen | Theorie]]
| [[Funktionen #Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|-
|FA 1.6
| Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen grafisch und rechnerisch ermitteln und im Kontext interpretieren können
| [[Schnittpunkt zweier Funktionen | Theorie]]
| [[Schnittpunkt zweier Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
|FA 1.7
| Funktionen als mathematische Modelle verstehen und damit verständig arbeiten können
| [[mathematische Modelle | Theorie]]
| [[mathematische Modelle #Beispiele | Beispiele]]
|-
|FA 1.8
| durch Gleichungen (Formeln) gegebene Funktionen mit mehreren Veränderlichen im Kontext deuten können, Funktionswerte ermitteln können
| [[Funktionen in mehreren Unbekannten | Theorie]]
| [[Funktionen in mehreren Unbekannten #Beispiele | Beispiele]]
|-
|FA 1.9
| einen Überblick über die wichtigsten (unten angeführten) Typen mathematischer Funktionen geben, ihre Eigenschaften vergleichen können
| [[Funktionen | Theorie]]
| [[Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-

|}
<br>
<br>
Anmerkungen:
Auf eine sichere Unterscheidung zwischen funktionalen und nichtfunktionalen Zusammenhängen wird Wert gelegt,auf theoretisch bedeutsame Eigenschaften (z. B. Injektivität, Surjektivität, Umkehrbarkeit)wird aber nicht fokussiert.
Im Vordergrund steht die Rolle von Funktionen als Modelle und die verständige Nutzung grundlegender Funktionstypen und deren Eigenschaften sowie der verschiedenen Darstellungsformen von Funktionen (auch f:A→B,x↦f(x) ).
Die Bearbeitung von Funktionen mit mehreren Veränderlichen beschränkt sich auf die Interpretation der Funktionsgleichung im jeweiligen Kontext sowie auf die Ermittlung von Funktionswerten.
Der Verlauf von Funktionen soll nicht nur mathematisch beschrieben, sondern auch im jeweiligen Kontext gedeutet werden können.

===Lineare Funktion [ $f(x)=k\cdot x+d$ ]===
{| border="1"
!|Inhalt$\ \ \ $
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|FA 2.1
| verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene lineare Zusammenhänge als lineare Funktionen erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können
| [[Lineare Funktionen| Theorie]]
| [[Lineare Funktionen #Schularbeiten- und Testaufgaben | Beispiele]]
|-
|FA 2.2
| aus Tabellen, Graphen und Gleichungen linearer Funktionen Werte(paare) sowie die Parameter k und d ermitteln und im Kontext deuten können
| [[Lineare Funktionen | Theorie]]
| [[Lineare Funktionen #Schularbeiten- und Testaufgaben | Beispiele]]
|-
|FA 2.3
| die Wirkung der Parameter k und d kennen und die Parameter in unterschiedlichen Kontexten deuten können
| [[Lineare Funktionen| Theorie]]
| [[Lineare Funktionen #Schularbeiten- und Testaufgaben | Beispiele]]
|-
|FA 2.4
| charakteristische Eigenschaften kennen und im Kontext deuten können: $f(x+1)=f(x)+k; \frac {f(x_2)-f(x_1)} {x_2-x_1}=k=[f´(x)]$
| [[Lineare Funktionen | Theorie]]
| [[Lineare Funktionen #Schularbeiten- und Testaufgaben | Beispiele]]
|-
|FA 2.5
| die Angemessenheit einer Beschreibung mittels linearer Funktion bewerten können
| [[Lineare Funktionen | Theorie]]
| [[Lineare Funktionen #Schularbeiten- und Testaufgaben | Beispiele]]
|-

|FA 2.6
| direkte Proportionalität als lineare Funktion vom Typ $f(x)=k\cdot x$
beschreiben können
| [[Lineare Funktionen | Theorie]]
| [[Lineare Funktionen #Schularbeiten- und Testaufgaben | Beispiele]]
|-

|}
<br>
<br>
Anmerkungen:
Die Parameter k und d sollen sowohl für konkrete Werte als auch allgemein im jeweiligen Kontext interpretiert werden können. Entsprechendes gilt für die Wirkung der Parameter und deren Änderung.
<br>
<br>

===Potenzfunktion mit $f(x)=a\cdot x^z+b, z\in \mathbb{Z}$ oder mit $f(x)=a \cdot x^{ \frac{1}{2} } +b$===
{| border="1"
!|Inhalt$\ \ \ $
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|FA 3.1
| verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene Zusammenhänge dieser Art als entsprechende Potenzfunktionen erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können
| [[Potenzfunktionen | Theorie]]
| [[Potenzfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
|FA 3.2
| aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Potenzfunktionen Werte(paare) sowie die Parameter a und b ermitteln und im Kontext deuten können
| [[Potenzfunktionen | Theorie]]
| [[Potenzfunktionen #Schularbeiten- und Testaufgaben | Beispiele]]
|-
|FA 3.3
| die Wirkung der Parameter a und b kennen und die Parameter im Kontext deuten können
| [[Potenzfunktionen | Theorie]]
| [[Potenzfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
|FA 3.4
| indirekte Proportionalität als Potenzfunktion vom Typ $f(x)=\frac {a} {x}$ (bzw.$f(x)=a\cdot x^{–1}$beschreiben können $f(x+1)=f(x)+k; \frac {f(x_2)-f(x_1)} {x_2-x_1}=k=[f´(x)]$
| [[Potenzfunktionen | Theorie]]
| [[Potenzfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-

|}
<br>
<br>
Anmerkungen:
Wurzelfunktionen bleiben auf den quadratischen Fall $a\cdot x^\frac {1} {2}+b$ beschränkt.
<br>
<br>

===Polynomfunktion [ $f(x)=\sum_{i=0}^{n} a_i \cdot x^i$ mit $ n \in ℕ$ ]===
{| border="1"
!|Inhalt$\ \ \ $
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|FA 4.1
| typische Verläufe von Graphen in Abhängigkeit vom Grad der Polynomfunktion (er)kennen
| [[Polynomfunktionen | Theorie]]
| [[Polynomfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
|FA 4.2
| zwischen tabellarischen und grafischen Darstellungen von Zusammenhängen dieser Art wechseln können
| [[Polynomfunktionen | Theorie]]
| [[Polynomfunktionen #Schularbeiten- und Testaufgaben | Beispiele]]
|-
|FA 4.3
| aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Polynomfunktionen Funktionswerte, aus Tabellen und Graphen sowie aus einer quadratischen Funktionsgleichung Argumentwerte ermitteln können
| [[Polynomfunktionen | Theorie]]
| [[Polynomfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
|FA 4.4
| den Zusammenhang zwischen dem Grad der Polynomfunktion und der Anzahl der Null- ,Extrem- und Wendestellen wissen
| [[Polynomfunktionen | Theorie]]
| [[Polynomfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-

|}
<br>
<br>
Anmerkungen:
Der Zusammenhang zwischen dem Grad der Polynomfunktion und der Anzahl der Null-, Extrem- und Wendestellen sollte für beliebige n bekannt sein, konkrete Aufgabenstellungen beschränken sich auf Polynomfunktionen mit $ n\le4$

Mithilfe elektronischer Hilfsmittel können Argumentwerte auch für Polynomfunktionen höheren Grades ermittelt werden.
<br>
<br>

===Exponentialfunktion [ $f(x)=a\cdot b^x$ bzw. $f(x)=a\cdot e^{\lambda \cdot x}$ mit a,b $\in ℝ^+$ , \ λ $\in $ ℝ ] ===
{| border="1"
!|Inhalt$\ \ \ $
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|FA 5.1
| verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene exponentielle Zusammenhänge als Exponentialfunktion erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können
| [[Exponentialfunktionen | Theorie]]
| [[Exponentialfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
|FA 5.2
| aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Exponentialfunktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können
| [[Exponentialfunktionen | Theorie]]
| [[Exponentialfunktionen #Schularbeiten- und Testaufgaben | Beispiele]]
|-
|FA 5.3
| die Wirkung der Parameter a und b (bzw.$e^\lambda$) kennen und die Parameter in unterschiedlichen Kontexten deuten können
| [[Exponentialfunktionen | Theorie]]
| [[Exponentialfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
|FA 5.4
| charakteristische Eigenschaften $(f(x +1)= b\cdot f(x); [e^x]´=e^x])$ kennen und im Kontext deuten können
| [[Exponentialfunktionen | Theorie]]
| [[Exponentialfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
|FA 5.5
| die Begriffe ''Halbwertszeit'' und ''Verdoppelungszeit'' kennen, die entsprechenden Werte berechnen und im Kontext deuten können
| [[Exponentialfunktionen | Theorie]]
| [[Exponentialfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
|FA 5.6
| die Angemessenheit einer Beschreibung mittels Exponentialfunktion bewerten können
| [[Exponentialfunktionen | Theorie]]
| [[Exponentialfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-

|}
<br>
<br>
Anmerkungen:Die Parameter a und b (bzw. $e^λ$) sollen sowohl für konkrete Werte als auch allgemein im jeweiligen Kontext interpretiert werden können. Entsprechendes gilt für die Wirkung der Parameter und deren Änderung.

===Sinusfunktion, Cosinusfunktion ===
{| border="1"
!|Inhalt$\ \ \ $
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|FA 6.1
| grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene Zusammenhänge der Art $f(x)=a\cdot sin(b\cdot x)$ als allgemeine Sinusfunktion erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können
| [[Trigonometrie | Theorie]]
| [[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|-
|FA 6.2
| aus Graphen und Gleichungen von allgemeinen Sinusfunktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können
| [[Trigonometrie | Theorie]]
| [[Trigonometrie #Schularbeiten- und Testaufgaben | Beispiele]]
|-
|FA 6.3
| die Wirkung der Parameter a und b kennen und die Parameter im Kontext deuten können
| [[Trigonometrie | Theorie]]
| [[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|-
|FA 6.4
| Periodizität als charakteristische Eigenschaft kennen und im Kontext deuten können
| [[Trigonometrie | Theorie]]
| [[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|-
|FA 6.5
| wissen, dass $cos(x)= sin(x + \frac {\pi} {2})$
| [[Trigonometrie | Theorie]]
| [[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|-
|FA 6.6
| wissen, dass gilt: $[sin(x)]`=cos(x), [cos(x)]`=-sin(x)$
| [[Trigonometrie | Theorie]]
| [[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|-

|}
<br>
<br>
Anmerkungen:Während zur Auflösung von rechtwinkeligen Dreiecken Sinus, Cosinus und
Tangens verwendet werden, beschränkt sich die funktionale Betrachtung (weitgehend) auf die allgemeine Sinusfunktion. Wesentlich dabei sind die Interpretation der Parameter (im Graphen wie auch in entsprechenden Kontexten) sowie der Verlauf des Funktionsgraphen und die Periodizität.

== Analysis ==
===Änderungsmaße===
{| border="1"
!|Inhalt$\ \ \ $
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|AN 1.1.
| absolute und relative (prozentuelle) Änderungsmaße unterscheiden und angemessen verwenden können
| [[Änderungsmaße| Theorie]]
| [[Änderungsmaße #Beispiele | Beispiele]]
|-
|AN 1.2.
| den Zusammenhang ''Differenzenquotient (mittlere Änderungsrate) – Differenzialquotient („momentane“ Änderungsrate)'' auf der Grundlage eines intuitiven Grenzwertbegriffes kennen und damit (verbal sowie in formaler Schreibweise) auch kontextbezogen anwenden können
| [[Differenzen- und Differentialquotient | Theorie]]
| [[Differenzen- und Differentialquotient #Maturabeispiele| Beispiele]]
|-
|AN 1.3.
| den Differenzen- und Differenzialquotienten in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverhalte durch den Differenzen- bzw. Differenzialquotienten beschreiben können
| [[Differenzieren: Rechnerisches Bestimmen von f'|Theorie]]
| [[Differenzen-_und_Differentialquotient #Maturabeispiele| Beispiele]]
|-
|AN 1.4.
| das systemdynamische Verhalten von Größen durch Differenzengleichungen beschreiben bzw. diese im Kontext deuten können
| [[Differenzengleichungen | Theorie]]
| [[Differenzengleichungen #Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|}
<br>
<small>Anmerkungen:
Der Fokus liegt auf dem Darstellen von Änderungen durch Differenzen von Funktionswerten, durch prozentuelle Veränderungen, durch Differenzenquotienten und durch Differenzialquotienten, ganz besonders aber auch auf der Interpretation dieser Veränderungsmaße im jeweiligen Kontext.
Durch den Einsatz elektronischer Hilfsmittel ist auch die Berechnung von Differenzen- und Differenzialquotienten beliebiger (differenzierbarer) Funktionen möglich.</small>
<br>
<br>

===Regeln für das Differenzieren===
{| border="1"
!|Inhalt$\ \ \ $
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|AN 2.1.
| einfache Regeln des Differenzierens kennen und anwenden können: Potenzregel, Summenregel, Regeln für $[k \cdot f(x)]′$ und $[f(k \cdot x)]′$ (vgl. Inhaltsbereich ''Funktionale Abhängigkeiten'')
| [[Differenzieren: Rechnerisches Bestimmen von f' | Theorie]]
| [[Differenzieren: Rechnerisches Bestimmen von f' #Beispiele | Beispiele]]
|}
<br>
<br>

===Ableitungsfunktion/Stammfunktion===
{| border="1"
!|Inhalt$\ \ \ $
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|AN 3.1.
| den Begriff ''Ableitungsfunktion/Stammfunktion'' kennen und zur Beschreibung von Funktionen einsetzen können
| [[Integration| Theorie]]
| [[Integration#Beispiele | Beispiele]]
|-
|AN 3.2.
| den Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitungsfunktion (bzw. Funktion und Stammfunktion) in deren grafischer Darstellung (er)kennen und beschreiben können
| [[Integration| Theorie]]
| [[Integration#Beispiele | Beispiele]]
|-
|AN 3.3.
| Eigenschaften von Funktionen mithilfe der Ableitung(sfunktion) beschreiben können: Monotonie, lokale Extrema, Links- und Rechtskrümmung, Wendestellen
| [[Integration| Theorie]]
| [[Integration#Beispiele | Beispiele]]
|}
<br>
<small>Anmerkungen:

Der Begriff der ''Ableitung(sfunktion)'' soll verständig und zweckmäßig zur Beschreibung von Funktionen eingesetzt werden.

Durch den Einsatz elektronischer Hilfsmittel ist das Ableiten von Funktionen nicht durch die in den Grundkompetenzen angeführten Differenziationsregeln eingeschränkt.</small>
<br>
<br>

===Summation und Integral===
{| border="1"
!|Inhalt$\ \ \ $
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|AN 4.1.
| den Begriff des bestimmten Integrals als Grenzwert einer Summe von Produkten deuten und beschreiben können
| [[Integration| Theorie]]
| [[Integration#Beispiele | Beispiele]]
|-
|AN 4.2.
| einfache Regeln des Integrierens kennen und anwenden können: Potenzregel, Summenregel, $\int k\cdot f(x)\,dx$, $\int f(k\cdot x)\,dx$ (vgl. Inhaltsbereich ''Funktionale Abhängigkeiten''), bestimmte Integrale von Polynomfunktionen ermitteln können
| [[Integration| Theorie]]
| [[Integration#Beispiele | Beispiele]]
|-
|AN 4.3.
| das bestimmte Integral in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverhalte durch Integrale beschreiben können
| [[Integration| Theorie]]
| [[Integration#Beispiele | Beispiele]]
|}
<br>
<small>Anmerkungen:

Analog zum Differenzialquotienten liegt der Fokus beim bestimmten Integral auf der Beschreibung entsprechender Sachverhalte durch bestimmte Integrale sowie vor allem auf der angemessenen Interpretation des bestimmten Integrals im jeweiligen Kontext.

Durch den Einsatz elektronischer Hilfsmittel ist die Berechnung von bestimmten Integralen nicht durch die in den Grundkompetenzen angeführten Integrationsregeln eingeschränkt.</small>
<br>
<br>

== Wahrscheinlichkeit und Statistik==
=== Beschreibende Statistik ===
{| border="1"
!|Inhalt$\ \ \ $
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|WS 1.1
|Werte aus tabellarischen und elementaren grafischen Darstellungen ablesen (bzw. zusammengesetzte Werte ermitteln) und im jeweiligen Kontext angemessen interpretieren können
| [[Statistik:Daten und Diagramme| Theorie]]
| [[Beschreibende_Statistik#tab=Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|}
<br />
<small>Anmerkungen:<br />
(un-)geordnete Liste, Strichliste, Piktogramm, Säulen-, Balken-, Linien-, Stängel-Blatt-, Punktwolkendiagramm, Histogramm (als Spezialfall eines Säulendiagramms), Prozentstreifen, Kastenschaubild (Boxplot)</small>
<br />
<br />
{| border="1"
|-
|WS 1.2 $\ \ \ $
| Tabellen und einfache statistische Grafiken erstellen, zwischen Darstellungsformen wechseln können.

| [[Beschreibende_Statistik#tab=Zentralma_C3_9Fe_-_statistische_Kennzahlen_f_C3_BCr_das_Mittel| Theorie]]
| [[Beschreibende_Statistik#tab=Matura-Aufgaben| Beispiele]]
|-
|WS 1.3
| statistische Kennzahlen (absoluteund relative Häufigkeiten; arithmetisches Mittel, Median, Modus, Quartile, Spannweite, empirische Varianz/Standardabweichung) im jeweiligen Kontext interpretieren können; die angeführten Kennzahlen für einfache Datensätze ermitteln können

| [[Wahrscheinlichkeit:_Grundlagen| Theorie]]
| [[Wahrscheinlichkeitsrechnung#Matura-Aufgaben| Beispiele]]
|-
|WS 1.4
|Definition und wichtige Eigenschaften des arithmetischen Mittels und des Medians angeben und nutzen, Quartile ermitteln und interpretieren können, die Entscheidung für die Verwen-dung einer bestimmten Kennzahl begründen können

| [[Wahrscheinlichkeit:_Baumdiagramme_und_Pfadregeln| Theorie]]
| [[Wahrscheinlichkeitsrechnung#Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|}
<br />
<small>Anmerkungen:<br />
Wenn auch statistische Kennzahlen (für einfache Datensätze) ermittelt und elementare statistische Grafiken erstellt werden sollen, liegt das Hauptaugenmerk auf verständigen Interpretationen von Grafiken (unter Beachtung von Manipulationen) und Kennzahlen. Speziell für das arithmetische Mittel und den Median (auch als Quartile) müssen die wichtigsten Eigenschaften (definitorische Eigenschaften, Datentyp-Verträglichkeit, Ausreißerempfindlichkeit) gekannt und verständig eingesetzt bzw. berücksichtigt werden. Beim arithmetischen Mittelsind allenfalls erforderliche Gewichtungen zu beachten („gewogenes arithmetisches Mittel“) und zu nutzen (Bildung des arithmetischen Mittels aus arithmetischen Mitteln von Teilmengen).</small>
<br />
<br />

=== Wahrscheinlichkeitsrechnung ===
{| border="1"
!|Inhalt$\ \ \ $
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|WS 2.1
|Grundraum und Ereignisse in angemessenen Situationen verbal beziehungsweise formal angeben können.
| [[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung| Theorie]]
| [[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]
|-
|WS 2.2
|relative Häufigkeit als Schätzwert von Wahrscheinlichkeit verwenden und anwenden können

| [[Wahrscheinlichkeit: Normalverteilung und Stetige Zufallsvariablen#Normalverteilung| Theorie]]
| [[Wahrscheinlichkeit: Normalverteilung und Stetige Zufallsvariablen#Beispiele | Beispiele]]
|-
|WS 2.3
| Wahrscheinlichkeit unter der Verwendung der Laplace-Annahme (Laplace-Wahrscheinlichkeit) berechnen und interpretieren können, Additionsregel und Multiplikationsregel anwenden und interpretieren können

| [[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung| Theorie]]
| [[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]
|-
|}
<br />
<small>Anmerkungen:<br />
Die Multiplikationsregel kann unter Verwendung der kombinatorischen Grundlagen und der Anwendung der Laplace-Regel (auch) umgangen werden.
<br /></small>
<br />
{| border="1"
|-
|WS 2.4
| Binomialkoeffizient berechnen und interpretieren können.

| [[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung| Theorie]]
| [[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]

|}
<br />

<br />
<br />

=== Wahrscheinlichkeitsverteilungen ===
{| border="1"
!|Inhalt$\ \ \ $
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|WS 3.1
| die Begriffe ''Zufallsvariable'', ''(Wahrscheinlichkeits-)Verteilung'', ''Erwartungswert'' und ''Standard-abweichung'' verständig deuten und einsetzen können.

| [[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung| Theorie]]
| [[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]

|-
|WS 3.2
| Binomialverteilung als Modell einer diskreten Verteilung kennen – Erwartungswert sowie Varianz/Standardabweichung binomialverteilterZufallsgrößen ermitteln können, Wahrscheinlichkeitsverteilung binomialverteilter Zufallsgrößen angeben können, Arbeiten mit der Binomialverteilung in anwendungsorientierten Bereichen

| [[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung| Theorie]]
| [[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]

|-
|WS 3.3
| Wahrscheinlichkeit unter der Verwendung der Laplace-Annahme (Laplace-Wahrscheinlichkeit) berechnen und interpretieren können, Additionsregel und Multiplikationsregel anwenden und interpretieren können

| [[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung| Theorie]]
| [[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]
|-
|WS 3.4
| Normalapproximation der Binomialverteilung interpretieren und anwenden können

| [[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung| Theorie]]
| [[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]
|-
|}
<br />
<small>Anmerkungen:<br />
Kennen und Anwenden der Faustregel, dass die Normalapproximation der Binomialverteilung mit den Parametern n und p dann anzuwenden ist und gute Näherungswerte liefert, wenn die Bedingung $n\cdot p \cdot (1–p)\geq 9 $ erfüllt ist. Die Anwendung der Stetigkeitskorrektur ist nicht notwendig und daher für Berechnungen im Zuge von Prüfungsbeispielen vernachlässigbar. Kennen des Verlaufs der Dichtefunktion φ der Standardnormalverteilung mit Erwartungswert μ und Standardabweichung σ. Arbeiten mit der Verteilungsfunktion Φ der Standardnormalverteilung und korrektes Ablesen der entsprechenden Wert.</small>
<br />
<br />
{| border="1"
|-
|}
<br />

<br />
<br />

=== Schließende/Beurteilende Statistik ===
{| border="1"
!|Inhalt$\ \ \ $
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|WS 4.1
| Konfidenzintervalle als Schätzung für eine Wahrscheinlichkeit oder einen unbekannten Anteil pinterpretieren (frequentistische Deutung) und verwenden können, Berechnungen auf Basis der Binomialverteilung oder einer durch die Normalverteilung approximierten Binomialvertei-lung durchführen können

| [[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung| Theorie]]
| [[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]

|}

Prozentrechnung

2016-06-30T15:51:43Z

Bernhard:

{{Vorlage:Definition|1= $$1 \% = \frac{1}{100}$$}}

Beispiele:

$100 \% = \frac{100}{100}=1$

$20 \% = \frac{20}{100}=\frac{1}{5}=0,2$

==Prozentsatz berechnen==
Den Prozentsatz (den relativen Anteil in Prozent) erhält man, indem man den absoluten Anteil durch den Grundwert dividiert.

{{Vorlage:Merke|1= $$relativer Anteil=\frac{absoluter Anteil}{Grundwert}$$ $$p =\frac{A}{G}$$}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Im März 2010 lebten 369800 Menschen in Vorarlberg. 5 Jahre später waren es schon 386500. Um wie viel Prozent hat die Einwohnerzahl zugenommen?|2= 1. Möglichkeit: $A=386500-369800=16700$
$p=16700:369800\approx 0,045 = 4,5 \%$

2. Möglichkeit: $p=386500/369800\approx 1,045= 104,5 \%$

Die Bevölkerung ist um 4,5 % gewachsen.

}}

==Anteil berechnen==
Eine Formel für die Berechnung des Anteils erhält man durch Umformung des oberen Zusammenhangs:

$$A=p\cdot G$$

{{Vorlage:Beispiel|1=
|2=

}}

==Grundwert berechnen==
Die Formel für die Berechnung des Grundwerts erhält man auf die gleiche Weise wie oben:

$$G=\frac{A}{p}$$

{{Vorlage:Beispiel|1= Eine Handtasche kostet inklusive Mehrwertsteuer (20 %) 60 €. Wie viel würde die Handtasche exklusive Steuer kosten? Wie hoch ist die zu zahlende Mehrwertsteuer?
|2= 60 € sind in diesem Beispiel nicht der Grundwert sondern der Anteil, da der Preis exklusive Mehrwertsteuer der ursprüngliche Preis war.

A=60 €
p=120 %=1,2
$G=60:1,2=50€$
Die Handtasche würde ohne Mehrwertsteuer 50 € kosten. Die Steuer beträgt 10 €.

}}
==Übungen==
{{#widget:Iframe
|url= http://LearningApps.org/view445054
|width= 900
|height= 500
|border=0
}}

== Matura-Aufgaben ==

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=116&file=Kleidungs-_und_Schuhproduktion.pdf Kleidungs- und Schuhproduktion] (Bifie-Aufgabe: mittel-mittel-leicht-mittel)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: Für a) und b) [[Lineare Funktionen]]

Prozentrechnung

2016-06-30T15:50:34Z

Bernhard:

{{Vorlage:Definition|1= $$1 \% = \frac{1}{100}$$}}

Beispiele:

$100 \% = \frac{100}{100}=1$

$20 \% = \frac{20}{100}=\frac{1}{5}=0,2$

==Prozentsatz berechnen==
Den Prozentsatz (den relativen Anteil in Prozent) erhält man, indem man den absoluten Anteil durch den Grundwert dividiert.

{{Vorlage:Merke|1= $$relativer Anteil=\frac{absoluter Anteil}{Grundwert}$$ $$p =\frac{A}{G}$$}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Im März 2010 lebten 369800 Menschen in Vorarlberg. 5 Jahre später waren es schon 386500. Um wie viel Prozent hat die Einwohnerzahl zugenommen?|2= 1. Möglichkeit: $A=386500-369800=16700$
$p=16700:369800\approx 0,045 = 4,5 \%$

2. Möglichkeit: $p=386500/369800\approx 1,045= 104,5 \%$

Die Bevölkerung ist um 4,5 % gewachsen.

}}

==Anteil berechnen==
Eine Formel für die Berechnung des Anteils erhält man durch Umformung des oberen Zusammenhangs:

$$A=p\cdot G$$

{{Vorlage:Beispiel|1=
|2=

}}

==Grundwert berechnen==
Die Formel für die Berechnung des Grundwerts erhält man auf die gleiche Weise wie oben:

$$G=\frac{A}{p}$$

{{Vorlage:Beispiel|1= Eine Handtasche kostet inklusive Mehrwertsteuer (20 %) 60 €. Wie viel würde die Handtasche exklusive Steuer kosten? Wie hoch ist die zu zahlende Mehrwertsteuer?
|2= 60 € sind in diesem Beispiel nicht der Grundwert sondern der Anteil, da der Preis exklusive Mehrwertsteuer der ursprüngliche Preis war.

A=60 €
p=120 %=1,2
$G=60:1,2=50€$
Die Handtasche würde ohne Mehrwertsteuer 50 € kosten. Die Steuer beträgt 10 €.

}}

== Matura-Aufgaben ==

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=116&file=Kleidungs-_und_Schuhproduktion.pdf Kleidungs- und Schuhproduktion] (Bifie-Aufgabe: mittel-mittel-leicht-mittel)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: Für a) und b) [[Lineare Funktionen]]

Prozentrechnung

2016-06-30T15:36:53Z

Bernhard: /* Anteil berechnen */

Prozentrechnung

2016-06-30T15:24:51Z

Bernhard:

Direkte und indirekte Proportionalität

2016-06-30T14:45:03Z

Bernhard:

=direkte Proportionalität=

{{Vorlage:Definition|1= Eine direkt proportionaler Zusammenhang kann mathematisch mit einer homogenen lineare Funktion der Form $y=k\cdot x$ mit $k \ \in \mathbb{R}$ beschrieben werden.}}

== Wichtige Eigenschaften ==

* Wird x verdoppelt, so verdoppelt sich auch y.
* Wird x halbiert, so halbiert sich auch y.

{{Vorlage:Beispiel|1= Für die Autofahrt von Bregenz nach Salzburg (330 km) werden 29,4 Liter Benzin verbraucht.
<br />
<br />

* Begründe, warum hier unter der Annahme, dass die Geschwindigkeit konstant ist, ein direkt proportionaler Zusammenhang besteht.
* Wie viel Benzin wird für die Strecke von Bregenz nach Wien (640 km) verbraucht, wenn die Voraussetzungen identisch sind?
|2= Lösung
* Wenn man doppelt so weit fährt, benötigt man die doppelte Benzinmenge, weshalb ein direkt proportionaler Zusammenhang vorliegt.
* Für 100 km, benötigt das Fahrzeug $x=29,4\cdot \frac{100}{330}= 8,9 Liter$
<br /> Für 640 km benötigt das Fahrzeug dann entsprechend $x=29,4\cdot \frac{640}{330}= 57 Liter$
}}

=indirekte Proportionalität=
{{Vorlage:Definition|1= Ein indirekt proportionaler Zusammenhang kann mathematisch mit der rationalen Funktion $y=\frac{c}{a}$ mit $c\in \mathbb{R}$ beschrieben werden.}}

== Wichtige Eigenschaften ==

* Wird x verdoppelt, so halbiert sich y.
* Wird x halbiert, so verdoppelt sich y.

{{Vorlage:Beispiel|1= Ein Vorrat an Heizöl reicht 12 Stunden, wenn der Verbrauch 0,65 Liter pro Stunde beträgt.
<br>
Berechne, um wie viel Stunden der Ölofen länger in Betrieb bleiben kann, wenn der Ofen auf niedriger Stufe nur 0,2 l pro Stunde verbraucht!

|2= Lösung
Wenn der Ofen bei einem Verbrauch von 0,65 l/h 12 Stunden hält, sind insgesamt $12\cdot 0,65=7,8$ Liter Öl im Tank.
<br />
Wenn der Ofen auf 0,2 l/h gedrosselt wird, hält der Tank $7,8:0,2=39$ Stunden lang.

Der Ofen kann also 27 Stunden länger in Betrieb bleiben.
}}

=Aufgaben=
{{#widget:Iframe
|url= http://LearningApps.org/view828984
|width= 900
|height= 500
|border=0
}}

<br>
<br>
<br>

{{#widget:Iframe
|url= http://LearningApps.org/view920351
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}}

Direkte und indirekte Proportionalität

2016-06-30T14:36:41Z

Bernhard:

=direkte Proportionalität=

{{Vorlage:Definition|1= Eine direkt proportionaler Zusammenhang kann mathematisch mit einer homogenen lineare Funktion der Form $y=k\cdot x$ mit $k \ \in \mathbb{R}$ beschrieben werden.}}

== Wichtige Eigenschaften ==

* Wird x verdoppelt, so verdoppelt sich auch y.
* Wird x halbiert, so halbiert sich auch y.

{{Vorlage:Beispiel|1= Für die Autofahrt von Bregenz nach Salzburg (330 km) werden 29,4 Liter Benzin verbraucht.
<br />
<br />

* Begründe, warum hier unter der Annahme, dass die Geschwindigkeit konstant ist, ein direkt proportionaler Zusammenhang besteht.
* Wie viel Benzin wird für die Strecke von Bregenz nach Wien (640 km) verbraucht, wenn die Voraussetzungen identisch sind?
|2= Lösung
* Wenn man doppelt so weit fährt, benötigt man die doppelte Benzinmenge, weshalb ein direkt proportionaler Zusammenhang vorliegt.
* Für 100 km, benötigt das Fahrzeug $x=29,4\cdot \frac{100}{330}= 8,9 Liter$
<br /> Für 640 km benötigt das Fahrzeug dann entsprechend $x=29,4\cdot \frac{640}{330}= 57 Liter$
}}

=indirekte Proportionalität=
{{Vorlage:Definition|1= Ein indirekt proportionaler Zusammenhang kann mathematisch mit der rationalen Funktion $y=\frac{c}{a}$ mit $c\in \mathbb{R}$ beschrieben werden.}}

== Wichtige Eigenschaften ==

* Wird x verdoppelt, so halbiert sich y.
* Wird x halbiert, so verdoppelt sich y.

=Aufgaben=
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}}

<br>
<br>
<br>

{{#widget:Iframe
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Direkte und indirekte Proportionalität

2016-06-30T14:24:20Z

Bernhard: Die Seite wurde neu angelegt: „=direkte Proportionalität= {{Vorlage:Definition|1= Eine homogene lineare Funktion der Form $y=k\cdot x \ \ mit \ \ k \ \in \mathbb{R}$ ist eine direkte P…“

=direkte Proportionalität=

{{Vorlage:Definition|1= Eine homogene lineare Funktion der Form $y=k\cdot x \ \ mit \ \ k \ \in \mathbb{R}$ ist eine direkte Proportion}}

== Wichtige Eigenschaften ==

* Wird x verdoppelt, so verdoppelt sich auch y.
* Wird x halbiert, so halbiert sich auch y.

{{Vorlage:Beispiel|1= Für die Autofahrt von Bregenz nach Salzburg (330 km) werden 29,4 Liter Benzin verbraucht.
<br />
<br />

* Begründe, warum hier unter der Annahme, dass die Geschwindigkeit konstant ist, ein direkt proportionaler Zusammenhang besteht.
* Wie viel Benzin wird für die Strecke von Bregenz nach Wien (640 km) verbraucht, wenn die Voraussetzungen identisch sind?
|2= Lösung
* Wenn man doppelt so weit fährt, benötigt man die doppelte Benzinmenge, weshalb ein direkt proportionaler Zusammenhang vorliegt.
* Für 100 km, benötigt das Fahrzeug $x=29,4\cdot \frac{100}{330}= 8,9 Liter$
<br /> Für 640 km benötigt das Fahrzeug dann entsprechend $x=29,4\cdot \frac{640}{330}= 57 Liter$
}}

=indirekte Proportionalität=

Direkte Proportion

2016-06-30T14:22:29Z

Bernhard: Weiterleitung nach Direkte Proportionalität erstellt

#WEITERLEITUNG [[Direkte Proportionalität]]

Sekante

2016-06-26T12:38:50Z

Bernhard:

{{Vorlage:Definition|1= Eine Sekante ist eine Gerade, die eine Kurve in zwei Punkten schneidet.}}

== Bestimmung der Geradengleichung einer Sekante ==

Zur Bestimmung der Geradengleichung ($y=k\cdot x + d$) einer Sekanten benötigt man ihre Steigung k und den Ordinatenabschnitt d.

Die Steigung k erhält man mithilfe des [[Differenzen-_und_Differentialquotient#tab= Der Differenzenquotient (=durchschnittliche Steigung)|Differenzenquotienten]].

Den Ordinatenabschnitt erhält man, indem man einen Schnittpunkt mit der Kurve und die Steigung k in die Geradengleichung einsetzt und die Gleichung nach d auflöst.

Tangente

2016-06-26T12:38:41Z

Bernhard: /* Bestimmung der Geradengleichung einer Tangente */

{{Vorlage:Definition|1= Eine Tangente ist eine Gerade, die eine Kurve in einem Punkt berührt.}}

{{Vorlage:Merke|1= Zwei Kurven berühren sich, wenn sie im Berührungspunkte dieselbe Steigung haben.}}

== Bestimmung der Geradengleichung einer Tangente ==

Zur Bestimmung der Geradengleichung ($y=k\cdot x + d$) einer Tangenten benötigt man ihre Steigung k und den Ordinatenabschnitt d.

Die Steigung k erhält man mithilfe des [[Differenzen-_und_Differentialquotient#tab=Der Differentialquotient (= momentane Steigung, f')|Differentialquotienten]].

Den Ordinatenabschnitt erhält man, indem man einen Schnittpunkt mit der Kurve und die Steigung k in die Geradengleichung einsetzt und die Gleichung nach d auflöst.

Tangente

2016-06-26T12:38:28Z

Bernhard: Die Seite wurde neu angelegt: „{{Vorlage:Definition|1= Eine Tangente ist eine Gerade, die eine Kurve in einem Punkt berührt.}} {{Vorlage:Merke|1= Zwei Kurven berühren sich, wenn sie im…“

Sekante

2016-06-26T12:34:46Z

Bernhard: Die Seite wurde neu angelegt: „{{Vorlage:Definition|1= Eine Sekante ist eine Gerade, die eine Kurve in zwei Punkten schneidet.}} == Bestimmung der Geradengleichung einer Sekante == Zur…“

Lineare Funktionen

2016-06-23T21:25:50Z

Bernhard: /* d = Abstand auf der y-Achse ("Ordinatenabschnitt") */

[[Datei:Linfkt2.png|rechts]]

{{Vorlage:Definition|1=Die Funktionsgleichung einer linearen [[Funktionen|Funktion]] lautet $$ y=k\cdot x+d$$
mit $k,d\in$ [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)|$\mathbb{R} $]] }}

<br>
{{Vorlage:Merke|1=Der Graph einer linearen Funktion ist IMMER eine Gerade! }}
<br>

== Steigung k ==
[[Datei:Linfkt-k-klein.gif|right]]
<br>
<br>
Der [[Parameter]] k gibt die '''(prozentuelle) Steigung''' der Geraden an. Die Steigung k kann graphisch aus einer Zeichnung oder rechnerisch bestimmt werden.

===Steigungsdreieck===
[[Datei:Steigungsdreieck.png|thumb|Graph mit zwei Steigungsdreiecken]]

Wenn man von einem beliebigen Punkt auf der Geraden 1 nach rechts und anschließend hinauf bzw. hinab zeichnet, um wieder auf der Geraden zu landen, erhält man ein rechtwinkliges Dreieck. Man nennt es Steigungsdreieck. Der Höhenunterschied des Dreiecks entspricht dann der Steigung k.
{{Vorlage:Merke|1="Sinkt" der Graph einer linearen Funktion, so ist k negativ. <br>
"Steigt" der Graph einer linearen Funktion, so ist k positiv.}}

Oft wäre diese Vorgehensweise zu ungenau. Man kann deshalb auch größere Steigungsdreiecke einzeichnen. Dann muss man jedoch die Länge der senkrechten Kathete durch die Länge der waagrechten Kathete dividieren und es gilt:
$$k=\frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied}=\frac{\Delta y}{\Delta x}$$
$\Delta y$ ... Länge der senkrechten Kathete (inkl. Vorzeichen!)

$\Delta x$ ... Länge der waagrechten Kathete

===Steigung aus Zahlenpaaren===
Wenn man von einer linearen Funktion zwei Zahlenpaare $(x|f(x))=(x|y)$ kennt oder aus einem Graph abgelesen oder berechnet hat, kann man ihre Steigung k einfach bestimmen:

Aus den Punkten $P(x_1|y_1)$ und $Q(x_2|y_2)$ erhält man die Steigung k durch
$$k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} $$ (siehe [[Differenzen- und Differentialquotient | Differenzenquotient]])
{{Vorlage:Merke|1=Die Reihenfolge der Punkte ist egal. Die Koordinaten der Punkte müssen aber zusammenpassen. Also "erster Punkt minus zweiter Punkt" oder "zweiter Punkt minus erster Punkt"!}}

{{Vorlage:Beispiel|1=Ermittle die Steigung der Geraden, auf der die Punkte $P(-1,3)$ und $Q(2,-3)$ liegen!
<br>

|2= '''Lösung:'''[[Datei:Beispiel_k_2Punkte.png|mini|250px]]
'''Möglichkeit 1:''' Zeichne die zwei Punkte P und Q in ein Koordinatensystem und zeichne die verbindende Gerade ein.

<br>
Durch Einzeichnen des Steigungsdreiecks zwischen P und Q können auch $\Delta x $ und $\Delta y$ leicht abgelesen werden (siehe Abb.).
Es folgt daraus $k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{-6}{3}=-2$
<br>
<br>
'''Möglichkeit 2:''' Nachdem die Gerade eingezeichnet wurde, kann ein Steigungsdreieck der Breite 1 eingezeichnet werden, aus dem $k=-2$ sofort abgelesen werden kann.
<br>
<br>
'''Möglichkeit 3:''' Direkte rechnerische Bestimmung mittels Differenzenquotient:
$k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{-3-3}{2-(-1) }=\frac{-6}{3}=-2$
<br>
<br>
}}

===Steigungswinkel===
[[Datei:Steigungswinkel.png|right|200px|Steigungswinkel]]
Manchmal ist der Steiungswinkel einer linearen Funktion gegeben oder gesucht. Das Steigungsdreieck führt zum Zusammenhang zwischen der Steigung k und Steigungswinkel $\alpha$. Aus $\tan(\alpha)=\frac{GK}{AK}$ folgt
$$k=\tan(\alpha)$$
(siehe [[Trigonometrie|Trigonometrie]])

<br>
<br>
<br>

== d = Abstand auf der y-Achse ("Ordinatenabschnitt")==
<br>
[[Datei:Linfkt-d-neu-klein.gif|right]]
d gibt den y-Wert des Schnittpunkts der Geraden mit der y-Achse an.

d kann aus dem Graph abgelesen werden (manchmal nur ungenau) oder berechnet werden, indem man $x=0$ setzt.

Eigenschaften:
* ist $d=0$, so geht die Gerade durch den Ursprung. Solche Funktionen nennt man '''''homogene'' lineare Funktionen'''. Ist $d\neq 0$, so nennt man die Funktion '''inhomogen.
* bei Kostenfunktionen gibt d die Fixkosten an.

<br>
===Berechnung von d===
Wenn d noch nicht bekannt ist, kann es aus zwei Punkten, die auf der Geraden liegen, berechnet werden. Diese Punkte sind entweder bekannt oder können aus dem Graph abgelesen werden.

1. Schritt: Berechnung von k (siehe oben)

2. Schritt: k und einen der beiden Punkte in $y=k\cdot x+d$ einsetzen. d sollte dann die einzige Unbekannte in einer linearen Gleichung sein. Durch Lösen der Gleichung erhält man d.
<br>
<br>
{{Vorlage:Beispiel|1=Ermittle d jener Geraden, auf der die Punkte $P(-1,3)$ und $Q(2,-3)$ liegen!
<br>

|2= '''Lösung:'''[[Datei:Beispiel_k_2Punkte.png|mini|250px]]
'''Möglichkeit 1:''' Zeichne die zwei Punkte P und Q in ein Koordinatensystem und zeichne die verbindende Gerade ein.

<br>
Man sieht, dass die Gerade die y-Achse bei 1 schneidet. d ist also 1.
<br>
<br>
'''Möglichkeit 2:''' Direkte rechnerische Bestimmung mittels Gleichung:
$3=-2 \cdot (-1)+d \Leftrightarrow 3=2+d \Leftrightarrow 1=d$
<br>
<br>
}}
<br>
<br>

== Verschiebung von k und d ==

Sollte die folgende Animation nicht funktionieren, klicke [http://www.geogebratube.org/student/m56792 auf diesen Link ]
<ggb_applet width="1000" height="600" version="5.0" id="56792" />

== Graph zeichnen (Gerade) ==
[[Datei:Linfkt-k-als-bruch.png|rechts]]
Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Man kann sie entweder mithilfe zweier Zahlenpaare (Wertetabelle) oder k und d zeichnen.
===Zahlenpaare===
Zeichne zwei Zahlenpaare als Punkte in ein Koordinatensystem und lege eine Gerade durch sie. Wenn du noch keine Zahlenpaare hast, kannst du sie aus der Wertetabelle der Funktion nehmen bzw. x-Werte in die Funktionsgleichung einsetzen. Achte darauf, dass die Punkte weit voneinander entfernt liegen, dann wird die Zeichnung genauer!

===k und d===
# d hinauf/hinab
# eins nach rechts
# k hinauf/hinab

Ist k ein Bruch, d.h. $k=\frac{Zähler}{Nenner}$, dann kannst du
# d hinauf/hinab
# Nenner nach rechts
# Zähler hinauf/hinab

<br>
<br>

== Besondere Eigenschaften ==
Lineare Funktionen erfüllen die Eigenschaft $f(x+1)=f(x)+k$

Beweis: $f(x+1)=k\dot (x+1)+d=kx+k+d=kx+d+k=f(x)+k$

Außerdem ist die Ableitung der linearen Funktion gleich k: $\frac {f(x_2)-f(x_1)} {x_2-x_1}=k=f´(x)$

<br>
<br>

'''Teste dich selbst:'''

{{#widget:Iframe
|url= http://LearningApps.org/view2039028
|width= 900
|height= 500
|border=0
}}
<br>
Anmerkung 1: Durch Klicken auf den Graphen, wird die Abbildung größer angezeigt.
Anmerkung 2: Im Quiz sollte es natürlich "schneidet" heißen.

<br>
<br>
'''Was nicht fehlen darf - ein Lied von DorFuchs:''' ''(Anmerkung: In Deutschland werden anstatt k und d die Variablen m und n verwendet)''
{{Vorlage:Video| blY2qdFV4ag }}

== Anwendungen ==
# Lineare Kosten (siehe Beispiele)
# [[Wachstums- und Zerfallsprozesse#Lineares Wachstum N(t)=k⋅t+N0 | Wachstums- und Zerfallsprozesse]]
# [[Kurvendiskussionen#Wendepunkt_und_Wendetangente | Kurvendiskussionen]]
<br>
<br>
<br>

== Online-Materialien ==
=== Theorie ===
# [[Orange: Präsentationen | <span style="background-color:#FFA500"> $Schau!\ $ </span>]]: Hier findest du eine [http://prezi.com/nasit_qd-hgs/?utm_campaign=share&utm_medium=copy Prezi-Überblickpräsentation] (erstellt von Raimund Porod)
# [[Gelb: Lernpfad | <span style="background-color:#FFD700"> $Step\ by\ Step!$ </span> ]]: Hier findest du einen [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/lernpfade/lernpfade_lineare_funktion/ Online-Lehrpfad zu den linearen Funktionen]

=== Online-Übungen ===
# [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter |<span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Selbstest zum Thema [http://www.geogebratube.org/student/m79482 Geradengleichung bestimmen (Wichtig!!)]
# [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Übung zur [https://www.geogebratube.org/student/m82256 Bestimmung der Funktionsgleichung]
# [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter |<span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: weitere Aufgaben zum [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/diff_einfuehrung/lernpfad/content/01_lineare_funktion.htm Bestimmen der Funktionsgleichung]
<br>
<br>
<br>

== Offizielle Bifie-Aufgaben ==

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=131&file=Gletschermarathon_Pitztal_-_Imst.pdf Gletschermarathon]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=212&file=Skipiste.pdf Skipiste]
*: Siehe auch: [[Bewegungsaufgaben - Weg/Geschwindigkeit/Beschleunigung]] und [[Steigung und Steigungswinkel]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=17&file=Wanderweg.pdf Wanderweg]
*: Siehe auch: [[Bewegungsaufgaben - Weg/Geschwindigkeit/Beschleunigung]] und [[Gleichungssysteme (2.7.) |Gleichungssysteme]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=24&file=Kleintransporte.pdf Kleintransporter]
*: Siehe auch: [[Gleichungssysteme (2.7.) |Gleichungssysteme]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=29&file=Planetenbahnen.pdf Planetenbahnen] (leicht-mittel-leicht)
*: Siehe auch: [[Gleitkommazahlen und Zehnerpotenzen (1.2. und 1.3)|Gleitkommazahlen]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=116&file=Kleidungs-_und_Schuhproduktion.pdf Kleidungs- und Schuhproduktion] (Bifie-Aufgabe: mittel-mittel-leicht-mittel)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: Für c) und d) [[Prozentrechnung (1.5.)]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=134&file=Hochbeet.pdf Hochbeet] (Bifie-Aufgabe: leicht-mittel-mittel)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Formeln]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=215&file=Impfstoff.pdf Impfstoff]
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Gleichungssysteme (2.7.)|Gleichungssystme]]

<br>
<br>
<br>

== Schularbeiten- und Testaufgaben ==
<br>
<br>

1. Gib zwei Geradengleichungen in y=kx+d-Form an, bei denen die entsprechenden Geraden parallel zueinander sind. Wie erkennt man bei den Gleichungen auf einen Blick, dass die Geraden parallel sind?

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung1.png]]
</div>
</div>

----
----
<br>
<br>

2. Aufgabe

[[Datei:Aufgabe2.png]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung2.png]]
</div>
</div>
----

3. Aufgabe

[[Datei:Aufgabe3.png]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung3.png]]
</div>
</div>

----

4. Aufgabe: Die Gerade der Form y=kx+d geht durch die Punkte (1,1) und (4,3). Ermittle k und d !

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung4.png]]
</div>
</div>

----

5 Aufgabe. Lineare Kosten

Die Kommunikationsfirma P-Mobile plant einen Handytarif mit € 5 Grundgebühren. Aus wirtschaftlichen Gründen will sie, dass ein Kunde bei 500 verbrauchten Gesprächsminuten eine Rechnung von insgesamt € 20 zahlen muss.
Ermittle die Kosten für eine Gesprächsminute. Bestimme die lineare Kostenfunktion des Tarifs.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung5.png]]
</div>
</div>

----

6. Die Grundgebühr eines Handytarifs beträgt € 5. Für jede Gesprächsminute werden zusätzlich 20 Cent verrechnet. Stelle die Gesamtkosten in Abhängigkeit der Gesprächsminuten in einem passenden Koordinatensystem graphisch dar.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung6.png]]
</div>
</div>

[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Lineare Funktionen

2016-06-23T21:17:07Z

Bernhard: /* d = Abstand auf der y-Achse ("Ordinatenabschnitt") */

[[Datei:Linfkt2.png|rechts]]

{{Vorlage:Definition|1=Die Funktionsgleichung einer linearen [[Funktionen|Funktion]] lautet $$ y=k\cdot x+d$$
mit $k,d\in$ [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)|$\mathbb{R} $]] }}

<br>
{{Vorlage:Merke|1=Der Graph einer linearen Funktion ist IMMER eine Gerade! }}
<br>

== Steigung k ==
[[Datei:Linfkt-k-klein.gif|right]]
<br>
<br>
Der [[Parameter]] k gibt die '''(prozentuelle) Steigung''' der Geraden an. Die Steigung k kann graphisch aus einer Zeichnung oder rechnerisch bestimmt werden.

===Steigungsdreieck===
[[Datei:Steigungsdreieck.png|thumb|Graph mit zwei Steigungsdreiecken]]

Wenn man von einem beliebigen Punkt auf der Geraden 1 nach rechts und anschließend hinauf bzw. hinab zeichnet, um wieder auf der Geraden zu landen, erhält man ein rechtwinkliges Dreieck. Man nennt es Steigungsdreieck. Der Höhenunterschied des Dreiecks entspricht dann der Steigung k.
{{Vorlage:Merke|1="Sinkt" der Graph einer linearen Funktion, so ist k negativ. <br>
"Steigt" der Graph einer linearen Funktion, so ist k positiv.}}

Oft wäre diese Vorgehensweise zu ungenau. Man kann deshalb auch größere Steigungsdreiecke einzeichnen. Dann muss man jedoch die Länge der senkrechten Kathete durch die Länge der waagrechten Kathete dividieren und es gilt:
$$k=\frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied}=\frac{\Delta y}{\Delta x}$$
$\Delta y$ ... Länge der senkrechten Kathete (inkl. Vorzeichen!)

$\Delta x$ ... Länge der waagrechten Kathete

===Steigung aus Zahlenpaaren===
Wenn man von einer linearen Funktion zwei Zahlenpaare $(x|f(x))=(x|y)$ kennt oder aus einem Graph abgelesen oder berechnet hat, kann man ihre Steigung k einfach bestimmen:

Aus den Punkten $P(x_1|y_1)$ und $Q(x_2|y_2)$ erhält man die Steigung k durch
$$k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} $$ (siehe [[Differenzen- und Differentialquotient | Differenzenquotient]])
{{Vorlage:Merke|1=Die Reihenfolge der Punkte ist egal. Die Koordinaten der Punkte müssen aber zusammenpassen. Also "erster Punkt minus zweiter Punkt" oder "zweiter Punkt minus erster Punkt"!}}

{{Vorlage:Beispiel|1=Ermittle die Steigung der Geraden, auf der die Punkte $P(-1,3)$ und $Q(2,-3)$ liegen!
<br>

|2= '''Lösung:'''[[Datei:Beispiel_k_2Punkte.png|mini|250px]]
'''Möglichkeit 1:''' Zeichne die zwei Punkte P und Q in ein Koordinatensystem und zeichne die verbindende Gerade ein.

<br>
Durch Einzeichnen des Steigungsdreiecks zwischen P und Q können auch $\Delta x $ und $\Delta y$ leicht abgelesen werden (siehe Abb.).
Es folgt daraus $k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{-6}{3}=-2$
<br>
<br>
'''Möglichkeit 2:''' Nachdem die Gerade eingezeichnet wurde, kann ein Steigungsdreieck der Breite 1 eingezeichnet werden, aus dem $k=-2$ sofort abgelesen werden kann.
<br>
<br>
'''Möglichkeit 3:''' Direkte rechnerische Bestimmung mittels Differenzenquotient:
$k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{-3-3}{2-(-1) }=\frac{-6}{3}=-2$
<br>
<br>
}}

===Steigungswinkel===
[[Datei:Steigungswinkel.png|right|200px|Steigungswinkel]]
Manchmal ist der Steiungswinkel einer linearen Funktion gegeben oder gesucht. Das Steigungsdreieck führt zum Zusammenhang zwischen der Steigung k und Steigungswinkel $\alpha$. Aus $\tan(\alpha)=\frac{GK}{AK}$ folgt
$$k=\tan(\alpha)$$
(siehe [[Trigonometrie|Trigonometrie]])

<br>
<br>
<br>

== d = Abstand auf der y-Achse ("Ordinatenabschnitt")==
<br>
[[Datei:Linfkt-d-neu-klein.gif|right]]
d gibt den y-Wert des Schnittpunkts der Geraden mit der y-Achse an.

d kann aus dem Graph abgelesen werden (manchmal nur ungenau) oder berechnet werden, indem man $x=0$ setzt.

Eigenschaften:
* ist $d=0$, so geht die Gerade durch den Ursprung. Solche Funktionen nennt man '''''homogene'' lineare Funktionen'''. Ist $d\neq 0$, so nennt man die Funktion '''inhomogen
* bei Kostenfunktionen gibt d die Fixkosten an.

<br>
===Berechnung von d===
Wenn d noch nicht bekannt ist, kann es aus zwei Punkten, die auf der Geraden liegen, berechnet werden. Diese Punkte sind entweder bekannt oder können aus dem Graph abgelesen werden.

1. Schritt: Berechnung von k (siehe oben)
2. Schritt: k und einen den der beiden Punkte in $y=k\cdot x+d$ einsetzen. d sollte dann die einzige Unbekannte in einer linearen Gleichung sein. Durch Lösen der Gleichung erhält man d.
<br>
<br>
{{Vorlage:Beispiel|1=Ermittle d der Geraden, die durch die Punkte $P(-1,3)$ und $Q(2,-3)$ geht.
<br>

|2= '''Lösung:'''[[Datei:Beispiel_k_2Punkte.png|mini|250px]]
'''Möglichkeit 1:''' Zeichne die zwei Punkte P und Q in ein Koordinatensystem und zeichne die verbindende Gerade ein.

<br>
Man sieht, dass die Gerade die y-Achse bei 1 schneidet. d ist also 1.
<br>
<br>
'''Möglichkeit 2:''' Direkte rechnerische Bestimmung mittels Gleichung:
$3=-2 \cdot (-1)+d \Leftrightarrow 3=2+d \Leftrightarrow 1=d$
<br>
<br>
}}
<br>
<br>

== Verschiebung von k und d ==

Sollte die folgende Animation nicht funktionieren, klicke [http://www.geogebratube.org/student/m56792 auf diesen Link ]
<ggb_applet width="1000" height="600" version="5.0" id="56792" />

== Graph zeichnen (Gerade) ==
[[Datei:Linfkt-k-als-bruch.png|rechts]]
Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Man kann sie entweder mithilfe zweier Zahlenpaare (Wertetabelle) oder k und d zeichnen.
===Zahlenpaare===
Zeichne zwei Zahlenpaare als Punkte in ein Koordinatensystem und lege eine Gerade durch sie. Wenn du noch keine Zahlenpaare hast, kannst du sie aus der Wertetabelle der Funktion nehmen bzw. x-Werte in die Funktionsgleichung einsetzen. Achte darauf, dass die Punkte weit voneinander entfernt liegen, dann wird die Zeichnung genauer!

===k und d===
# d hinauf/hinab
# eins nach rechts
# k hinauf/hinab

Ist k ein Bruch, d.h. $k=\frac{Zähler}{Nenner}$, dann kannst du
# d hinauf/hinab
# Nenner nach rechts
# Zähler hinauf/hinab

<br>
<br>

== Besondere Eigenschaften ==
Lineare Funktionen erfüllen die Eigenschaft $f(x+1)=f(x)+k$

Beweis: $f(x+1)=k\dot (x+1)+d=kx+k+d=kx+d+k=f(x)+k$

Außerdem ist die Ableitung der linearen Funktion gleich k: $\frac {f(x_2)-f(x_1)} {x_2-x_1}=k=f´(x)$

<br>
<br>

'''Teste dich selbst:'''

{{#widget:Iframe
|url= http://LearningApps.org/view2039028
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|border=0
}}
<br>
Anmerkung 1: Durch Klicken auf den Graphen, wird die Abbildung größer angezeigt.
Anmerkung 2: Im Quiz sollte es natürlich "schneidet" heißen.

<br>
<br>
'''Was nicht fehlen darf - ein Lied von DorFuchs:''' ''(Anmerkung: In Deutschland werden anstatt k und d die Variablen m und n verwendet)''
{{Vorlage:Video| blY2qdFV4ag }}

== Anwendungen ==
# Lineare Kosten (siehe Beispiele)
# [[Wachstums- und Zerfallsprozesse#Lineares Wachstum N(t)=k⋅t+N0 | Wachstums- und Zerfallsprozesse]]
# [[Kurvendiskussionen#Wendepunkt_und_Wendetangente | Kurvendiskussionen]]
<br>
<br>
<br>

== Online-Materialien ==
=== Theorie ===
# [[Orange: Präsentationen | <span style="background-color:#FFA500"> $Schau!\ $ </span>]]: Hier findest du eine [http://prezi.com/nasit_qd-hgs/?utm_campaign=share&utm_medium=copy Prezi-Überblickpräsentation] (erstellt von Raimund Porod)
# [[Gelb: Lernpfad | <span style="background-color:#FFD700"> $Step\ by\ Step!$ </span> ]]: Hier findest du einen [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/lernpfade/lernpfade_lineare_funktion/ Online-Lehrpfad zu den linearen Funktionen]

=== Online-Übungen ===
# [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter |<span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Selbstest zum Thema [http://www.geogebratube.org/student/m79482 Geradengleichung bestimmen (Wichtig!!)]
# [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Übung zur [https://www.geogebratube.org/student/m82256 Bestimmung der Funktionsgleichung]
# [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter |<span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: weitere Aufgaben zum [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/diff_einfuehrung/lernpfad/content/01_lineare_funktion.htm Bestimmen der Funktionsgleichung]
<br>
<br>
<br>

== Offizielle Bifie-Aufgaben ==

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=131&file=Gletschermarathon_Pitztal_-_Imst.pdf Gletschermarathon]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=212&file=Skipiste.pdf Skipiste]
*: Siehe auch: [[Bewegungsaufgaben - Weg/Geschwindigkeit/Beschleunigung]] und [[Steigung und Steigungswinkel]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=17&file=Wanderweg.pdf Wanderweg]
*: Siehe auch: [[Bewegungsaufgaben - Weg/Geschwindigkeit/Beschleunigung]] und [[Gleichungssysteme (2.7.) |Gleichungssysteme]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=24&file=Kleintransporte.pdf Kleintransporter]
*: Siehe auch: [[Gleichungssysteme (2.7.) |Gleichungssysteme]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=29&file=Planetenbahnen.pdf Planetenbahnen] (leicht-mittel-leicht)
*: Siehe auch: [[Gleitkommazahlen und Zehnerpotenzen (1.2. und 1.3)|Gleitkommazahlen]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=116&file=Kleidungs-_und_Schuhproduktion.pdf Kleidungs- und Schuhproduktion] (Bifie-Aufgabe: mittel-mittel-leicht-mittel)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: Für c) und d) [[Prozentrechnung (1.5.)]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=134&file=Hochbeet.pdf Hochbeet] (Bifie-Aufgabe: leicht-mittel-mittel)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Formeln]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=215&file=Impfstoff.pdf Impfstoff]
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Gleichungssysteme (2.7.)|Gleichungssystme]]

<br>
<br>
<br>

== Schularbeiten- und Testaufgaben ==
<br>
<br>

1. Gib zwei Geradengleichungen in y=kx+d-Form an, bei denen die entsprechenden Geraden parallel zueinander sind. Wie erkennt man bei den Gleichungen auf einen Blick, dass die Geraden parallel sind?

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung1.png]]
</div>
</div>

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<br>
<br>

2. Aufgabe

[[Datei:Aufgabe2.png]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung2.png]]
</div>
</div>
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3. Aufgabe

[[Datei:Aufgabe3.png]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung3.png]]
</div>
</div>

----

4. Aufgabe: Die Gerade der Form y=kx+d geht durch die Punkte (1,1) und (4,3). Ermittle k und d !

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung4.png]]
</div>
</div>

----

5 Aufgabe. Lineare Kosten

Die Kommunikationsfirma P-Mobile plant einen Handytarif mit € 5 Grundgebühren. Aus wirtschaftlichen Gründen will sie, dass ein Kunde bei 500 verbrauchten Gesprächsminuten eine Rechnung von insgesamt € 20 zahlen muss.
Ermittle die Kosten für eine Gesprächsminute. Bestimme die lineare Kostenfunktion des Tarifs.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung5.png]]
</div>
</div>

----

6. Die Grundgebühr eines Handytarifs beträgt € 5. Für jede Gesprächsminute werden zusätzlich 20 Cent verrechnet. Stelle die Gesamtkosten in Abhängigkeit der Gesprächsminuten in einem passenden Koordinatensystem graphisch dar.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung6.png]]
</div>
</div>

[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Lineare Funktionen

2016-06-23T21:16:22Z

Bernhard: /* Steigung aus Zahlenpaaren */

[[Datei:Linfkt2.png|rechts]]

{{Vorlage:Definition|1=Die Funktionsgleichung einer linearen [[Funktionen|Funktion]] lautet $$ y=k\cdot x+d$$
mit $k,d\in$ [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)|$\mathbb{R} $]] }}

<br>
{{Vorlage:Merke|1=Der Graph einer linearen Funktion ist IMMER eine Gerade! }}
<br>

== Steigung k ==
[[Datei:Linfkt-k-klein.gif|right]]
<br>
<br>
Der [[Parameter]] k gibt die '''(prozentuelle) Steigung''' der Geraden an. Die Steigung k kann graphisch aus einer Zeichnung oder rechnerisch bestimmt werden.

===Steigungsdreieck===
[[Datei:Steigungsdreieck.png|thumb|Graph mit zwei Steigungsdreiecken]]

Wenn man von einem beliebigen Punkt auf der Geraden 1 nach rechts und anschließend hinauf bzw. hinab zeichnet, um wieder auf der Geraden zu landen, erhält man ein rechtwinkliges Dreieck. Man nennt es Steigungsdreieck. Der Höhenunterschied des Dreiecks entspricht dann der Steigung k.
{{Vorlage:Merke|1="Sinkt" der Graph einer linearen Funktion, so ist k negativ. <br>
"Steigt" der Graph einer linearen Funktion, so ist k positiv.}}

Oft wäre diese Vorgehensweise zu ungenau. Man kann deshalb auch größere Steigungsdreiecke einzeichnen. Dann muss man jedoch die Länge der senkrechten Kathete durch die Länge der waagrechten Kathete dividieren und es gilt:
$$k=\frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied}=\frac{\Delta y}{\Delta x}$$
$\Delta y$ ... Länge der senkrechten Kathete (inkl. Vorzeichen!)

$\Delta x$ ... Länge der waagrechten Kathete

===Steigung aus Zahlenpaaren===
Wenn man von einer linearen Funktion zwei Zahlenpaare $(x|f(x))=(x|y)$ kennt oder aus einem Graph abgelesen oder berechnet hat, kann man ihre Steigung k einfach bestimmen:

Aus den Punkten $P(x_1|y_1)$ und $Q(x_2|y_2)$ erhält man die Steigung k durch
$$k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} $$ (siehe [[Differenzen- und Differentialquotient | Differenzenquotient]])
{{Vorlage:Merke|1=Die Reihenfolge der Punkte ist egal. Die Koordinaten der Punkte müssen aber zusammenpassen. Also "erster Punkt minus zweiter Punkt" oder "zweiter Punkt minus erster Punkt"!}}

{{Vorlage:Beispiel|1=Ermittle die Steigung der Geraden, auf der die Punkte $P(-1,3)$ und $Q(2,-3)$ liegen!
<br>

|2= '''Lösung:'''[[Datei:Beispiel_k_2Punkte.png|mini|250px]]
'''Möglichkeit 1:''' Zeichne die zwei Punkte P und Q in ein Koordinatensystem und zeichne die verbindende Gerade ein.

<br>
Durch Einzeichnen des Steigungsdreiecks zwischen P und Q können auch $\Delta x $ und $\Delta y$ leicht abgelesen werden (siehe Abb.).
Es folgt daraus $k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{-6}{3}=-2$
<br>
<br>
'''Möglichkeit 2:''' Nachdem die Gerade eingezeichnet wurde, kann ein Steigungsdreieck der Breite 1 eingezeichnet werden, aus dem $k=-2$ sofort abgelesen werden kann.
<br>
<br>
'''Möglichkeit 3:''' Direkte rechnerische Bestimmung mittels Differenzenquotient:
$k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{-3-3}{2-(-1) }=\frac{-6}{3}=-2$
<br>
<br>
}}

===Steigungswinkel===
[[Datei:Steigungswinkel.png|right|200px|Steigungswinkel]]
Manchmal ist der Steiungswinkel einer linearen Funktion gegeben oder gesucht. Das Steigungsdreieck führt zum Zusammenhang zwischen der Steigung k und Steigungswinkel $\alpha$. Aus $\tan(\alpha)=\frac{GK}{AK}$ folgt
$$k=\tan(\alpha)$$
(siehe [[Trigonometrie|Trigonometrie]])

<br>
<br>
<br>

== d = Abstand auf der y-Achse ("Ordinatenabschnitt")==
<br>
[[Datei:Linfkt-d-neu-klein.gif|right]]
d gibt den y-Wert des Schnittpunkts der Geraden mit der y-Achse an.

d kann aus dem Graph abgelesen werden (möglicherweise nur ungenau) oder berechnet werden, indem man $x=0$ setzt.

Eigenschaften:
* ist $d=0$, so geht die Gerade durch den Ursprung. Solche Funktionen nennt man '''''homogene'' lineare Funktionen'''. Ist $d\neq 0$, so nennt man die Funktion '''inhomogen
* bei Kostenfunktionen gibt d die Fixkosten an.

<br>
===Berechnung von d===
Wenn d noch nicht bekannt ist, kann es aus zwei Punkten, die auf der Geraden liegen, berechnet werden. Diese Punkte sind entweder bekannt oder können aus dem Graph abgelesen werden.

1. Schritt: Berechnung von k (siehe oben)
2. Schritt: k und einen den der beiden Punkte in $y=k\cdot x+d$ einsetzen. d sollte dann die einzige Unbekannte in einer linearen Gleichung sein. Durch Lösen der Gleichung erhält man d.
<br>
<br>
{{Vorlage:Beispiel|1=Ermittle d der Geraden, die durch die Punkte $P(-1,3)$ und $Q(2,-3)$ geht.
<br>

|2= '''Lösung:'''[[Datei:Beispiel_k_2Punkte.png|mini|250px]]
'''Möglichkeit 1:''' Zeichne die zwei Punkte P und Q in ein Koordinatensystem und zeichne die verbindende Gerade ein.

<br>
Man sieht, dass die Gerade die y-Achse bei 1 schneidet. d ist also 1.
<br>
<br>
'''Möglichkeit 2:''' Direkte rechnerische Bestimmung mittels Gleichung:
$3=-2 \cdot (-1)+d \Leftrightarrow 3=2+d \Leftrightarrow 1=d$
<br>
<br>
}}
<br>
<br>

== Verschiebung von k und d ==

Sollte die folgende Animation nicht funktionieren, klicke [http://www.geogebratube.org/student/m56792 auf diesen Link ]
<ggb_applet width="1000" height="600" version="5.0" id="56792" />

== Graph zeichnen (Gerade) ==
[[Datei:Linfkt-k-als-bruch.png|rechts]]
Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Man kann sie entweder mithilfe zweier Zahlenpaare (Wertetabelle) oder k und d zeichnen.
===Zahlenpaare===
Zeichne zwei Zahlenpaare als Punkte in ein Koordinatensystem und lege eine Gerade durch sie. Wenn du noch keine Zahlenpaare hast, kannst du sie aus der Wertetabelle der Funktion nehmen bzw. x-Werte in die Funktionsgleichung einsetzen. Achte darauf, dass die Punkte weit voneinander entfernt liegen, dann wird die Zeichnung genauer!

===k und d===
# d hinauf/hinab
# eins nach rechts
# k hinauf/hinab

Ist k ein Bruch, d.h. $k=\frac{Zähler}{Nenner}$, dann kannst du
# d hinauf/hinab
# Nenner nach rechts
# Zähler hinauf/hinab

<br>
<br>

== Besondere Eigenschaften ==
Lineare Funktionen erfüllen die Eigenschaft $f(x+1)=f(x)+k$

Beweis: $f(x+1)=k\dot (x+1)+d=kx+k+d=kx+d+k=f(x)+k$

Außerdem ist die Ableitung der linearen Funktion gleich k: $\frac {f(x_2)-f(x_1)} {x_2-x_1}=k=f´(x)$

<br>
<br>

'''Teste dich selbst:'''

{{#widget:Iframe
|url= http://LearningApps.org/view2039028
|width= 900
|height= 500
|border=0
}}
<br>
Anmerkung 1: Durch Klicken auf den Graphen, wird die Abbildung größer angezeigt.
Anmerkung 2: Im Quiz sollte es natürlich "schneidet" heißen.

<br>
<br>
'''Was nicht fehlen darf - ein Lied von DorFuchs:''' ''(Anmerkung: In Deutschland werden anstatt k und d die Variablen m und n verwendet)''
{{Vorlage:Video| blY2qdFV4ag }}

== Anwendungen ==
# Lineare Kosten (siehe Beispiele)
# [[Wachstums- und Zerfallsprozesse#Lineares Wachstum N(t)=k⋅t+N0 | Wachstums- und Zerfallsprozesse]]
# [[Kurvendiskussionen#Wendepunkt_und_Wendetangente | Kurvendiskussionen]]
<br>
<br>
<br>

== Online-Materialien ==
=== Theorie ===
# [[Orange: Präsentationen | <span style="background-color:#FFA500"> $Schau!\ $ </span>]]: Hier findest du eine [http://prezi.com/nasit_qd-hgs/?utm_campaign=share&utm_medium=copy Prezi-Überblickpräsentation] (erstellt von Raimund Porod)
# [[Gelb: Lernpfad | <span style="background-color:#FFD700"> $Step\ by\ Step!$ </span> ]]: Hier findest du einen [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/lernpfade/lernpfade_lineare_funktion/ Online-Lehrpfad zu den linearen Funktionen]

=== Online-Übungen ===
# [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter |<span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Selbstest zum Thema [http://www.geogebratube.org/student/m79482 Geradengleichung bestimmen (Wichtig!!)]
# [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Übung zur [https://www.geogebratube.org/student/m82256 Bestimmung der Funktionsgleichung]
# [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter |<span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: weitere Aufgaben zum [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/diff_einfuehrung/lernpfad/content/01_lineare_funktion.htm Bestimmen der Funktionsgleichung]
<br>
<br>
<br>

== Offizielle Bifie-Aufgaben ==

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=131&file=Gletschermarathon_Pitztal_-_Imst.pdf Gletschermarathon]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=212&file=Skipiste.pdf Skipiste]
*: Siehe auch: [[Bewegungsaufgaben - Weg/Geschwindigkeit/Beschleunigung]] und [[Steigung und Steigungswinkel]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=17&file=Wanderweg.pdf Wanderweg]
*: Siehe auch: [[Bewegungsaufgaben - Weg/Geschwindigkeit/Beschleunigung]] und [[Gleichungssysteme (2.7.) |Gleichungssysteme]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=24&file=Kleintransporte.pdf Kleintransporter]
*: Siehe auch: [[Gleichungssysteme (2.7.) |Gleichungssysteme]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=29&file=Planetenbahnen.pdf Planetenbahnen] (leicht-mittel-leicht)
*: Siehe auch: [[Gleitkommazahlen und Zehnerpotenzen (1.2. und 1.3)|Gleitkommazahlen]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=116&file=Kleidungs-_und_Schuhproduktion.pdf Kleidungs- und Schuhproduktion] (Bifie-Aufgabe: mittel-mittel-leicht-mittel)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: Für c) und d) [[Prozentrechnung (1.5.)]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=134&file=Hochbeet.pdf Hochbeet] (Bifie-Aufgabe: leicht-mittel-mittel)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Formeln]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=215&file=Impfstoff.pdf Impfstoff]
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Gleichungssysteme (2.7.)|Gleichungssystme]]

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== Schularbeiten- und Testaufgaben ==
<br>
<br>

1. Gib zwei Geradengleichungen in y=kx+d-Form an, bei denen die entsprechenden Geraden parallel zueinander sind. Wie erkennt man bei den Gleichungen auf einen Blick, dass die Geraden parallel sind?

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung1.png]]
</div>
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2. Aufgabe

[[Datei:Aufgabe2.png]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung2.png]]
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3. Aufgabe

[[Datei:Aufgabe3.png]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung3.png]]
</div>
</div>

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4. Aufgabe: Die Gerade der Form y=kx+d geht durch die Punkte (1,1) und (4,3). Ermittle k und d !

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung4.png]]
</div>
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5 Aufgabe. Lineare Kosten

Die Kommunikationsfirma P-Mobile plant einen Handytarif mit € 5 Grundgebühren. Aus wirtschaftlichen Gründen will sie, dass ein Kunde bei 500 verbrauchten Gesprächsminuten eine Rechnung von insgesamt € 20 zahlen muss.
Ermittle die Kosten für eine Gesprächsminute. Bestimme die lineare Kostenfunktion des Tarifs.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung5.png]]
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6. Die Grundgebühr eines Handytarifs beträgt € 5. Für jede Gesprächsminute werden zusätzlich 20 Cent verrechnet. Stelle die Gesamtkosten in Abhängigkeit der Gesprächsminuten in einem passenden Koordinatensystem graphisch dar.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung6.png]]
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</div>

[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Lineare Funktionen

2016-06-23T21:13:08Z

Bernhard: /* Steigung aus Zahlenpaaren */

[[Datei:Linfkt2.png|rechts]]

{{Vorlage:Definition|1=Die Funktionsgleichung einer linearen [[Funktionen|Funktion]] lautet $$ y=k\cdot x+d$$
mit $k,d\in$ [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)|$\mathbb{R} $]] }}

<br>
{{Vorlage:Merke|1=Der Graph einer linearen Funktion ist IMMER eine Gerade! }}
<br>

== Steigung k ==
[[Datei:Linfkt-k-klein.gif|right]]
<br>
<br>
Der [[Parameter]] k gibt die '''(prozentuelle) Steigung''' der Geraden an. Die Steigung k kann graphisch aus einer Zeichnung oder rechnerisch bestimmt werden.

===Steigungsdreieck===
[[Datei:Steigungsdreieck.png|thumb|Graph mit zwei Steigungsdreiecken]]

Wenn man von einem beliebigen Punkt auf der Geraden 1 nach rechts und anschließend hinauf bzw. hinab zeichnet, um wieder auf der Geraden zu landen, erhält man ein rechtwinkliges Dreieck. Man nennt es Steigungsdreieck. Der Höhenunterschied des Dreiecks entspricht dann der Steigung k.
{{Vorlage:Merke|1="Sinkt" der Graph einer linearen Funktion, so ist k negativ. <br>
"Steigt" der Graph einer linearen Funktion, so ist k positiv.}}

Oft wäre diese Vorgehensweise zu ungenau. Man kann deshalb auch größere Steigungsdreiecke einzeichnen. Dann muss man jedoch die Länge der senkrechten Kathete durch die Länge der waagrechten Kathete dividieren und es gilt:
$$k=\frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied}=\frac{\Delta y}{\Delta x}$$
$\Delta y$ ... Länge der senkrechten Kathete (inkl. Vorzeichen!)

$\Delta x$ ... Länge der waagrechten Kathete

===Steigung aus Zahlenpaaren===
Wenn man von einer linearen Funktion zwei Zahlenpaare $(x|f(x))=(x|y)$ kennt oder aus einem Graph abgelesen oder berechnet hat, kann man ihre Steigung k einfach bestimmen:

Aus den Punkten $P(x_1|y_1)$ und $Q(x_2|y_2)$ erhält man die Steigung k durch
$$k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} $$ (siehe [[Differenzen- und Differentialquotient | Differenzenquotient]])
{{Vorlage:Merke|1=Die Reihenfolge der Punkte ist egal. Die Koordinaten der Punkte müssen aber zusammenpassen. Also "erster Punkt minus zweiter Punkt" oder "zweiter Punkt minus erster Punkt"!}}

{{Vorlage:Beispiel|1=Ermittle die Steigung der Geraden, die durch die Punkte $P(-1,3)$ und $Q(2,-3)$ geht.
<br>

|2= '''Lösung:'''[[Datei:Beispiel_k_2Punkte.png|mini|250px]]
'''Möglichkeit 1:''' Zeichne die zwei Punkte P und Q in ein Koordinatensystem und zeichne die verbindende Gerade ein.

<br>
Durch Einzeichnen des Steigungsdreiecks zwischen P und Q können auch $\Delta x $ und $\Delta y$ leicht abgelesen werden (siehe Abb.).
Es folgt daraus $k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{-6}{3}=-2$
<br>
<br>
'''Möglichkeit 2:''' Nachdem die Gerade eingezeichnet wurde, kann ein Steigungsdreieck der Breite 1 eingezeichnet werden, aus dem $k=-2$ sofort abgelesen werden kann.
<br>
<br>
'''Möglichkeit 3:''' Direkte rechnerische Bestimmung mittels Differenzenquotient:
$k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{-3-3}{2-(-1) }=\frac{-6}{3}=-2$
<br>
<br>
}}

===Steigungswinkel===
[[Datei:Steigungswinkel.png|right|200px|Steigungswinkel]]
Manchmal ist der Steiungswinkel einer linearen Funktion gegeben oder gesucht. Das Steigungsdreieck führt zum Zusammenhang zwischen der Steigung k und Steigungswinkel $\alpha$. Aus $\tan(\alpha)=\frac{GK}{AK}$ folgt
$$k=\tan(\alpha)$$
(siehe [[Trigonometrie|Trigonometrie]])

<br>
<br>
<br>

== d = Abstand auf der y-Achse ("Ordinatenabschnitt")==
<br>
[[Datei:Linfkt-d-neu-klein.gif|right]]
d gibt den y-Wert des Schnittpunkts der Geraden mit der y-Achse an.

d kann aus dem Graph abgelesen werden (möglicherweise nur ungenau) oder berechnet werden, indem man $x=0$ setzt.

Eigenschaften:
* ist $d=0$, so geht die Gerade durch den Ursprung. Solche Funktionen nennt man '''''homogene'' lineare Funktionen'''. Ist $d\neq 0$, so nennt man die Funktion '''inhomogen
* bei Kostenfunktionen gibt d die Fixkosten an.

<br>
===Berechnung von d===
Wenn d noch nicht bekannt ist, kann es aus zwei Punkten, die auf der Geraden liegen, berechnet werden. Diese Punkte sind entweder bekannt oder können aus dem Graph abgelesen werden.

1. Schritt: Berechnung von k (siehe oben)
2. Schritt: k und einen den der beiden Punkte in $y=k\cdot x+d$ einsetzen. d sollte dann die einzige Unbekannte in einer linearen Gleichung sein. Durch Lösen der Gleichung erhält man d.
<br>
<br>
{{Vorlage:Beispiel|1=Ermittle d der Geraden, die durch die Punkte $P(-1,3)$ und $Q(2,-3)$ geht.
<br>

|2= '''Lösung:'''[[Datei:Beispiel_k_2Punkte.png|mini|250px]]
'''Möglichkeit 1:''' Zeichne die zwei Punkte P und Q in ein Koordinatensystem und zeichne die verbindende Gerade ein.

<br>
Man sieht, dass die Gerade die y-Achse bei 1 schneidet. d ist also 1.
<br>
<br>
'''Möglichkeit 2:''' Direkte rechnerische Bestimmung mittels Gleichung:
$3=-2 \cdot (-1)+d \Leftrightarrow 3=2+d \Leftrightarrow 1=d$
<br>
<br>
}}
<br>
<br>

== Verschiebung von k und d ==

Sollte die folgende Animation nicht funktionieren, klicke [http://www.geogebratube.org/student/m56792 auf diesen Link ]
<ggb_applet width="1000" height="600" version="5.0" id="56792" />

== Graph zeichnen (Gerade) ==
[[Datei:Linfkt-k-als-bruch.png|rechts]]
Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Man kann sie entweder mithilfe zweier Zahlenpaare (Wertetabelle) oder k und d zeichnen.
===Zahlenpaare===
Zeichne zwei Zahlenpaare als Punkte in ein Koordinatensystem und lege eine Gerade durch sie. Wenn du noch keine Zahlenpaare hast, kannst du sie aus der Wertetabelle der Funktion nehmen bzw. x-Werte in die Funktionsgleichung einsetzen. Achte darauf, dass die Punkte weit voneinander entfernt liegen, dann wird die Zeichnung genauer!

===k und d===
# d hinauf/hinab
# eins nach rechts
# k hinauf/hinab

Ist k ein Bruch, d.h. $k=\frac{Zähler}{Nenner}$, dann kannst du
# d hinauf/hinab
# Nenner nach rechts
# Zähler hinauf/hinab

<br>
<br>

== Besondere Eigenschaften ==
Lineare Funktionen erfüllen die Eigenschaft $f(x+1)=f(x)+k$

Beweis: $f(x+1)=k\dot (x+1)+d=kx+k+d=kx+d+k=f(x)+k$

Außerdem ist die Ableitung der linearen Funktion gleich k: $\frac {f(x_2)-f(x_1)} {x_2-x_1}=k=f´(x)$

<br>
<br>

'''Teste dich selbst:'''

{{#widget:Iframe
|url= http://LearningApps.org/view2039028
|width= 900
|height= 500
|border=0
}}
<br>
Anmerkung 1: Durch Klicken auf den Graphen, wird die Abbildung größer angezeigt.
Anmerkung 2: Im Quiz sollte es natürlich "schneidet" heißen.

<br>
<br>
'''Was nicht fehlen darf - ein Lied von DorFuchs:''' ''(Anmerkung: In Deutschland werden anstatt k und d die Variablen m und n verwendet)''
{{Vorlage:Video| blY2qdFV4ag }}

== Anwendungen ==
# Lineare Kosten (siehe Beispiele)
# [[Wachstums- und Zerfallsprozesse#Lineares Wachstum N(t)=k⋅t+N0 | Wachstums- und Zerfallsprozesse]]
# [[Kurvendiskussionen#Wendepunkt_und_Wendetangente | Kurvendiskussionen]]
<br>
<br>
<br>

== Online-Materialien ==
=== Theorie ===
# [[Orange: Präsentationen | <span style="background-color:#FFA500"> $Schau!\ $ </span>]]: Hier findest du eine [http://prezi.com/nasit_qd-hgs/?utm_campaign=share&utm_medium=copy Prezi-Überblickpräsentation] (erstellt von Raimund Porod)
# [[Gelb: Lernpfad | <span style="background-color:#FFD700"> $Step\ by\ Step!$ </span> ]]: Hier findest du einen [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/lernpfade/lernpfade_lineare_funktion/ Online-Lehrpfad zu den linearen Funktionen]

=== Online-Übungen ===
# [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter |<span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Selbstest zum Thema [http://www.geogebratube.org/student/m79482 Geradengleichung bestimmen (Wichtig!!)]
# [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Übung zur [https://www.geogebratube.org/student/m82256 Bestimmung der Funktionsgleichung]
# [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter |<span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: weitere Aufgaben zum [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/diff_einfuehrung/lernpfad/content/01_lineare_funktion.htm Bestimmen der Funktionsgleichung]
<br>
<br>
<br>

== Offizielle Bifie-Aufgaben ==

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=131&file=Gletschermarathon_Pitztal_-_Imst.pdf Gletschermarathon]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=212&file=Skipiste.pdf Skipiste]
*: Siehe auch: [[Bewegungsaufgaben - Weg/Geschwindigkeit/Beschleunigung]] und [[Steigung und Steigungswinkel]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=17&file=Wanderweg.pdf Wanderweg]
*: Siehe auch: [[Bewegungsaufgaben - Weg/Geschwindigkeit/Beschleunigung]] und [[Gleichungssysteme (2.7.) |Gleichungssysteme]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=24&file=Kleintransporte.pdf Kleintransporter]
*: Siehe auch: [[Gleichungssysteme (2.7.) |Gleichungssysteme]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=29&file=Planetenbahnen.pdf Planetenbahnen] (leicht-mittel-leicht)
*: Siehe auch: [[Gleitkommazahlen und Zehnerpotenzen (1.2. und 1.3)|Gleitkommazahlen]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=116&file=Kleidungs-_und_Schuhproduktion.pdf Kleidungs- und Schuhproduktion] (Bifie-Aufgabe: mittel-mittel-leicht-mittel)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: Für c) und d) [[Prozentrechnung (1.5.)]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=134&file=Hochbeet.pdf Hochbeet] (Bifie-Aufgabe: leicht-mittel-mittel)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Formeln]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=215&file=Impfstoff.pdf Impfstoff]
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Gleichungssysteme (2.7.)|Gleichungssystme]]

<br>
<br>
<br>

== Schularbeiten- und Testaufgaben ==
<br>
<br>

1. Gib zwei Geradengleichungen in y=kx+d-Form an, bei denen die entsprechenden Geraden parallel zueinander sind. Wie erkennt man bei den Gleichungen auf einen Blick, dass die Geraden parallel sind?

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung1.png]]
</div>
</div>

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----
<br>
<br>

2. Aufgabe

[[Datei:Aufgabe2.png]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung2.png]]
</div>
</div>
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3. Aufgabe

[[Datei:Aufgabe3.png]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung3.png]]
</div>
</div>

----

4. Aufgabe: Die Gerade der Form y=kx+d geht durch die Punkte (1,1) und (4,3). Ermittle k und d !

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung4.png]]
</div>
</div>

----

5 Aufgabe. Lineare Kosten

Die Kommunikationsfirma P-Mobile plant einen Handytarif mit € 5 Grundgebühren. Aus wirtschaftlichen Gründen will sie, dass ein Kunde bei 500 verbrauchten Gesprächsminuten eine Rechnung von insgesamt € 20 zahlen muss.
Ermittle die Kosten für eine Gesprächsminute. Bestimme die lineare Kostenfunktion des Tarifs.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung5.png]]
</div>
</div>

----

6. Die Grundgebühr eines Handytarifs beträgt € 5. Für jede Gesprächsminute werden zusätzlich 20 Cent verrechnet. Stelle die Gesamtkosten in Abhängigkeit der Gesprächsminuten in einem passenden Koordinatensystem graphisch dar.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung6.png]]
</div>
</div>

[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Lineare Funktionen

2016-05-08T07:17:14Z

Bernhard: /* Besondere Eigenschaften */

[[Datei:Linfkt2.png|rechts]]

{{Vorlage:Definition|1=Die Funktionsgleichung einer linearen [[Funktionen|Funktion]] lautet $$ y=k\cdot x+d$$
mit $k,d\in$ [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)|$\mathbb{R} $]] }}

<br>
{{Vorlage:Merke|1=Der Graph einer linearen Funktion ist IMMER eine Gerade! }}
<br>

== Steigung k ==
[[Datei:Linfkt-k-klein.gif|right]]
<br>
<br>
Der [[Parameter]] k gibt die '''(prozentuelle) Steigung''' der Geraden an. Die Steigung k kann graphisch aus einer Zeichnung oder rechnerisch bestimmt werden.

===Steigungsdreieck===
[[Datei:Steigungsdreieck.png|thumb|Graph mit zwei Steigungsdreiecken]]

Wenn man von einem beliebigen Punkt auf der Geraden 1 nach rechts und anschließend hinauf bzw. hinab zeichnet, um wieder auf der Geraden zu landen, erhält man ein rechtwinkliges Dreieck. Man nennt es Steigungsdreieck. Der Höhenunterschied des Dreiecks entspricht dann der Steigung k.
{{Vorlage:Merke|1="Sinkt" der Graph einer linearen Funktion, so ist k negativ. <br>
"Steigt" der Graph einer linearen Funktion, so ist k positiv.}}

Oft wäre diese Vorgehensweise zu ungenau. Man kann deshalb auch größere Steigungsdreiecke einzeichnen. Dann muss man jedoch die Länge der senkrechten Kathete durch die Länge der waagrechten Kathete dividieren und es gilt:
$$k=\frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied}=\frac{\Delta y}{\Delta x}$$
$\Delta y$ ... Länge der senkrechten Kathete (inkl. Vorzeichen!)

$\Delta x$ ... Länge der waagrechten Kathete

===Steigung aus Zahlenpaaren===
Wenn man von einer linearen Funktion zwei Zahlenpaare $(x|f(x))=(x|y)$ kennt oder aus einem Graph abgelesen oder berechnet hat dann kann man ihre Steigung k einfach bestimmen:

Aus den Punkten $P(x_1|y_1)$ und $Q(x_2|y_2)$ erhält man die Steigung k durch
$$k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} $$ (siehe [[Differenzen- und Differentialquotient | Differenzenquotient]])
{{Vorlage:Merke|1=Die Reihenfolge der Punkte ist egal. Die Koordinaten der Punkte müssen aber zusammenpassen. Also "erster Punkt minus zweiter Punkt" oder "zweiter Punkt minus erster Punkt"!}}

{{Vorlage:Beispiel|1=Ermittle die Steigung der Geraden, die durch die Punkte $P(-1,3)$ und $Q(2,-3)$ geht.
<br>

|2= '''Lösung:'''[[Datei:Beispiel_k_2Punkte.png|mini|250px]]
'''Möglichkeit 1:''' Zeichne die zwei Punkte P und Q in ein Koordinatensystem und zeichne die verbindende Gerade ein.

<br>
Durch Einzeichnen des Steigungsdreiecks zwischen P und Q können auch $\Delta x $ und $\Delta y$ leicht abgelesen werden (siehe Abb.).
Es folgt daraus $k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{-6}{3}=-2$
<br>
<br>
'''Möglichkeit 2:''' Nachdem die Gerade eingezeichnet wurde, kann ein Steigungsdreieck der Breite 1 eingezeichnet werden, aus dem $k=-2$ sofort abgelesen werden kann.
<br>
<br>
'''Möglichkeit 3:''' Direkte rechnerische Bestimmung mittels Differenzenquotient:
$k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{-3-3}{2-(-1) }=\frac{-6}{3}=-2$
<br>
<br>
}}

===Steigungswinkel===
[[Datei:Steigungswinkel.png|right|200px|Steigungswinkel]]
Manchmal ist der Steiungswinkel einer linearen Funktion gegeben oder gesucht. Das Steigungsdreieck führt zum Zusammenhang zwischen der Steigung k und Steigungswinkel $\alpha$. Aus $\tan(\alpha)=\frac{GK}{AK}$ folgt
$$k=\tan(\alpha)$$
(siehe [[Trigonometrie|Trigonometrie]])

<br>
<br>
<br>

== d = Abstand auf der y-Achse ("Ordinatenabschnitt")==
<br>
[[Datei:Linfkt-d-neu-klein.gif|right]]
d gibt den y-Wert des Schnittpunkts der Geraden mit der y-Achse an.

d kann aus dem Graph abgelesen werden (möglicherweise nur ungenau) oder berechnet werden, indem man $x=0$ setzt.

Eigenschaften:
* ist $d=0$, so geht die Gerade durch den Ursprung. Solche Funktionen nennt man '''''homogene'' lineare Funktionen'''. Ist $d\neq 0$, so nennt man die Funktion '''inhomogen
* bei Kostenfunktionen gibt d die Fixkosten an.

<br>
===Berechnung von d===
Wenn d noch nicht bekannt ist, kann es aus zwei Punkten, die auf der Geraden liegen, berechnet werden. Diese Punkte sind entweder bekannt oder können aus dem Graph abgelesen werden.

1. Schritt: Berechnung von k (siehe oben)
2. Schritt: k und einen den der beiden Punkte in $y=k\cdot x+d$ einsetzen. d sollte dann die einzige Unbekannte in einer linearen Gleichung sein. Durch Lösen der Gleichung erhält man d.
<br>
<br>
{{Vorlage:Beispiel|1=Ermittle d der Geraden, die durch die Punkte $P(-1,3)$ und $Q(2,-3)$ geht.
<br>

|2= '''Lösung:'''[[Datei:Beispiel_k_2Punkte.png|mini|250px]]
'''Möglichkeit 1:''' Zeichne die zwei Punkte P und Q in ein Koordinatensystem und zeichne die verbindende Gerade ein.

<br>
Man sieht, dass die Gerade die y-Achse bei 1 schneidet. d ist also 1.
<br>
<br>
'''Möglichkeit 2:''' Direkte rechnerische Bestimmung mittels Gleichung:
$3=-2 \cdot (-1)+d \Leftrightarrow 3=2+d \Leftrightarrow 1=d$
<br>
<br>
}}
<br>
<br>

== Verschiebung von k und d ==

Sollte die folgende Animation nicht funktionieren, klicke [http://www.geogebratube.org/student/m56792 auf diesen Link ]
<ggb_applet width="1000" height="600" version="5.0" id="56792" />

== Graph zeichnen (Gerade) ==
[[Datei:Linfkt-k-als-bruch.png|rechts]]
Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Man kann sie entweder mithilfe zweier Zahlenpaare (Wertetabelle) oder k und d zeichnen.
===Zahlenpaare===
Zeichne zwei Zahlenpaare als Punkte in ein Koordinatensystem und lege eine Gerade durch sie. Wenn du noch keine Zahlenpaare hast, kannst du sie aus der Wertetabelle der Funktion nehmen bzw. x-Werte in die Funktionsgleichung einsetzen. Achte darauf, dass die Punkte weit voneinander entfernt liegen, dann wird die Zeichnung genauer!

===k und d===
# d hinauf/hinab
# eins nach rechts
# k hinauf/hinab

Ist k ein Bruch, d.h. $k=\frac{Zähler}{Nenner}$, dann kannst du
# d hinauf/hinab
# Nenner nach rechts
# Zähler hinauf/hinab

<br>
<br>

== Besondere Eigenschaften ==
Lineare Funktionen erfüllen die Eigenschaft $f(x+1)=f(x)+k$

Beweis: $f(x+1)=k\dot (x+1)+d=kx+k+d=kx+d+k=f(x)+k$

Außerdem ist die Ableitung der linearen Funktion gleich k: $\frac {f(x_2)-f(x_1)} {x_2-x_1}=k=f´(x)$

<br>
<br>

'''Teste dich selbst:'''

{{#widget:Iframe
|url= http://LearningApps.org/view2039028
|width= 900
|height= 500
|border=0
}}
<br>
Anmerkung 1: Durch Klicken auf den Graphen, wird die Abbildung größer angezeigt.
Anmerkung 2: Im Quiz sollte es natürlich "schneidet" heißen.

<br>
<br>
'''Was nicht fehlen darf - ein Lied von DorFuchs:''' ''(Anmerkung: In Deutschland werden anstatt k und d die Variablen m und n verwendet)''
{{Vorlage:Video| blY2qdFV4ag }}

== Anwendungen ==
# Lineare Kosten (siehe Beispiele)
# [[Wachstums- und Zerfallsprozesse#Lineares Wachstum N(t)=k⋅t+N0 | Wachstums- und Zerfallsprozesse]]
# [[Kurvendiskussionen#Wendepunkt_und_Wendetangente | Kurvendiskussionen]]
<br>
<br>
<br>

== Online-Materialien ==
=== Theorie ===
# [[Orange: Präsentationen | <span style="background-color:#FFA500"> $Schau!\ $ </span>]]: Hier findest du eine [http://prezi.com/nasit_qd-hgs/?utm_campaign=share&utm_medium=copy Prezi-Überblickpräsentation] (erstellt von Raimund Porod)
# [[Gelb: Lernpfad | <span style="background-color:#FFD700"> $Step\ by\ Step!$ </span> ]]: Hier findest du einen [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/lernpfade/lernpfade_lineare_funktion/ Online-Lehrpfad zu den linearen Funktionen]

=== Online-Übungen ===
# [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter |<span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Selbstest zum Thema [http://www.geogebratube.org/student/m79482 Geradengleichung bestimmen (Wichtig!!)]
# [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Übung zur [https://www.geogebratube.org/student/m82256 Bestimmung der Funktionsgleichung]
# [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter |<span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: weitere Aufgaben zum [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/diff_einfuehrung/lernpfad/content/01_lineare_funktion.htm Bestimmen der Funktionsgleichung]
<br>
<br>
<br>

== Offizielle Bifie-Aufgaben ==

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=131&file=Gletschermarathon_Pitztal_-_Imst.pdf Gletschermarathon]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=212&file=Skipiste.pdf Skipiste]
*: Siehe auch: [[Bewegungsaufgaben - Weg/Geschwindigkeit/Beschleunigung]] und [[Steigung und Steigungswinkel]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=17&file=Wanderweg.pdf Wanderweg]
*: Siehe auch: [[Bewegungsaufgaben - Weg/Geschwindigkeit/Beschleunigung]] und [[Gleichungssysteme (2.7.) |Gleichungssysteme]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=24&file=Kleintransporte.pdf Kleintransporter]
*: Siehe auch: [[Gleichungssysteme (2.7.) |Gleichungssysteme]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=29&file=Planetenbahnen.pdf Planetenbahnen] (leicht-mittel-leicht)
*: Siehe auch: [[Gleitkommazahlen und Zehnerpotenzen (1.2. und 1.3)|Gleitkommazahlen]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=116&file=Kleidungs-_und_Schuhproduktion.pdf Kleidungs- und Schuhproduktion] (Bifie-Aufgabe: mittel-mittel-leicht-mittel)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: Für c) und d) [[Prozentrechnung (1.5.)]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=134&file=Hochbeet.pdf Hochbeet] (Bifie-Aufgabe: leicht-mittel-mittel)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Formeln]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=215&file=Impfstoff.pdf Impfstoff]
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Gleichungssysteme (2.7.)|Gleichungssystme]]

<br>
<br>
<br>

== Schularbeiten- und Testaufgaben ==
<br>
<br>

1. Gib zwei Geradengleichungen in y=kx+d-Form an, bei denen die entsprechenden Geraden parallel zueinander sind. Wie erkennt man bei den Gleichungen auf einen Blick, dass die Geraden parallel sind?

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung1.png]]
</div>
</div>

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2. Aufgabe

[[Datei:Aufgabe2.png]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung2.png]]
</div>
</div>
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3. Aufgabe

[[Datei:Aufgabe3.png]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung3.png]]
</div>
</div>

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4. Aufgabe: Die Gerade der Form y=kx+d geht durch die Punkte (1,1) und (4,3). Ermittle k und d !

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung4.png]]
</div>
</div>

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5 Aufgabe. Lineare Kosten

Die Kommunikationsfirma P-Mobile plant einen Handytarif mit € 5 Grundgebühren. Aus wirtschaftlichen Gründen will sie, dass ein Kunde bei 500 verbrauchten Gesprächsminuten eine Rechnung von insgesamt € 20 zahlen muss.
Ermittle die Kosten für eine Gesprächsminute. Bestimme die lineare Kostenfunktion des Tarifs.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung5.png]]
</div>
</div>

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6. Die Grundgebühr eines Handytarifs beträgt € 5. Für jede Gesprächsminute werden zusätzlich 20 Cent verrechnet. Stelle die Gesamtkosten in Abhängigkeit der Gesprächsminuten in einem passenden Koordinatensystem graphisch dar.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung6.png]]
</div>
</div>

[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Lineare Funktionen

2016-05-08T07:16:18Z

Bernhard:

[[Datei:Linfkt2.png|rechts]]

{{Vorlage:Definition|1=Die Funktionsgleichung einer linearen [[Funktionen|Funktion]] lautet $$ y=k\cdot x+d$$
mit $k,d\in$ [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)|$\mathbb{R} $]] }}

<br>
{{Vorlage:Merke|1=Der Graph einer linearen Funktion ist IMMER eine Gerade! }}
<br>

== Steigung k ==
[[Datei:Linfkt-k-klein.gif|right]]
<br>
<br>
Der [[Parameter]] k gibt die '''(prozentuelle) Steigung''' der Geraden an. Die Steigung k kann graphisch aus einer Zeichnung oder rechnerisch bestimmt werden.

===Steigungsdreieck===
[[Datei:Steigungsdreieck.png|thumb|Graph mit zwei Steigungsdreiecken]]

Wenn man von einem beliebigen Punkt auf der Geraden 1 nach rechts und anschließend hinauf bzw. hinab zeichnet, um wieder auf der Geraden zu landen, erhält man ein rechtwinkliges Dreieck. Man nennt es Steigungsdreieck. Der Höhenunterschied des Dreiecks entspricht dann der Steigung k.
{{Vorlage:Merke|1="Sinkt" der Graph einer linearen Funktion, so ist k negativ. <br>
"Steigt" der Graph einer linearen Funktion, so ist k positiv.}}

Oft wäre diese Vorgehensweise zu ungenau. Man kann deshalb auch größere Steigungsdreiecke einzeichnen. Dann muss man jedoch die Länge der senkrechten Kathete durch die Länge der waagrechten Kathete dividieren und es gilt:
$$k=\frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied}=\frac{\Delta y}{\Delta x}$$
$\Delta y$ ... Länge der senkrechten Kathete (inkl. Vorzeichen!)

$\Delta x$ ... Länge der waagrechten Kathete

===Steigung aus Zahlenpaaren===
Wenn man von einer linearen Funktion zwei Zahlenpaare $(x|f(x))=(x|y)$ kennt oder aus einem Graph abgelesen oder berechnet hat dann kann man ihre Steigung k einfach bestimmen:

Aus den Punkten $P(x_1|y_1)$ und $Q(x_2|y_2)$ erhält man die Steigung k durch
$$k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} $$ (siehe [[Differenzen- und Differentialquotient | Differenzenquotient]])
{{Vorlage:Merke|1=Die Reihenfolge der Punkte ist egal. Die Koordinaten der Punkte müssen aber zusammenpassen. Also "erster Punkt minus zweiter Punkt" oder "zweiter Punkt minus erster Punkt"!}}

{{Vorlage:Beispiel|1=Ermittle die Steigung der Geraden, die durch die Punkte $P(-1,3)$ und $Q(2,-3)$ geht.
<br>

|2= '''Lösung:'''[[Datei:Beispiel_k_2Punkte.png|mini|250px]]
'''Möglichkeit 1:''' Zeichne die zwei Punkte P und Q in ein Koordinatensystem und zeichne die verbindende Gerade ein.

<br>
Durch Einzeichnen des Steigungsdreiecks zwischen P und Q können auch $\Delta x $ und $\Delta y$ leicht abgelesen werden (siehe Abb.).
Es folgt daraus $k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{-6}{3}=-2$
<br>
<br>
'''Möglichkeit 2:''' Nachdem die Gerade eingezeichnet wurde, kann ein Steigungsdreieck der Breite 1 eingezeichnet werden, aus dem $k=-2$ sofort abgelesen werden kann.
<br>
<br>
'''Möglichkeit 3:''' Direkte rechnerische Bestimmung mittels Differenzenquotient:
$k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{-3-3}{2-(-1) }=\frac{-6}{3}=-2$
<br>
<br>
}}

===Steigungswinkel===
[[Datei:Steigungswinkel.png|right|200px|Steigungswinkel]]
Manchmal ist der Steiungswinkel einer linearen Funktion gegeben oder gesucht. Das Steigungsdreieck führt zum Zusammenhang zwischen der Steigung k und Steigungswinkel $\alpha$. Aus $\tan(\alpha)=\frac{GK}{AK}$ folgt
$$k=\tan(\alpha)$$
(siehe [[Trigonometrie|Trigonometrie]])

<br>
<br>
<br>

== d = Abstand auf der y-Achse ("Ordinatenabschnitt")==
<br>
[[Datei:Linfkt-d-neu-klein.gif|right]]
d gibt den y-Wert des Schnittpunkts der Geraden mit der y-Achse an.

d kann aus dem Graph abgelesen werden (möglicherweise nur ungenau) oder berechnet werden, indem man $x=0$ setzt.

Eigenschaften:
* ist $d=0$, so geht die Gerade durch den Ursprung. Solche Funktionen nennt man '''''homogene'' lineare Funktionen'''. Ist $d\neq 0$, so nennt man die Funktion '''inhomogen
* bei Kostenfunktionen gibt d die Fixkosten an.

<br>
===Berechnung von d===
Wenn d noch nicht bekannt ist, kann es aus zwei Punkten, die auf der Geraden liegen, berechnet werden. Diese Punkte sind entweder bekannt oder können aus dem Graph abgelesen werden.

1. Schritt: Berechnung von k (siehe oben)
2. Schritt: k und einen den der beiden Punkte in $y=k\cdot x+d$ einsetzen. d sollte dann die einzige Unbekannte in einer linearen Gleichung sein. Durch Lösen der Gleichung erhält man d.
<br>
<br>
{{Vorlage:Beispiel|1=Ermittle d der Geraden, die durch die Punkte $P(-1,3)$ und $Q(2,-3)$ geht.
<br>

|2= '''Lösung:'''[[Datei:Beispiel_k_2Punkte.png|mini|250px]]
'''Möglichkeit 1:''' Zeichne die zwei Punkte P und Q in ein Koordinatensystem und zeichne die verbindende Gerade ein.

<br>
Man sieht, dass die Gerade die y-Achse bei 1 schneidet. d ist also 1.
<br>
<br>
'''Möglichkeit 2:''' Direkte rechnerische Bestimmung mittels Gleichung:
$3=-2 \cdot (-1)+d \Leftrightarrow 3=2+d \Leftrightarrow 1=d$
<br>
<br>
}}
<br>
<br>

== Verschiebung von k und d ==

Sollte die folgende Animation nicht funktionieren, klicke [http://www.geogebratube.org/student/m56792 auf diesen Link ]
<ggb_applet width="1000" height="600" version="5.0" id="56792" />

== Graph zeichnen (Gerade) ==
[[Datei:Linfkt-k-als-bruch.png|rechts]]
Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Man kann sie entweder mithilfe zweier Zahlenpaare (Wertetabelle) oder k und d zeichnen.
===Zahlenpaare===
Zeichne zwei Zahlenpaare als Punkte in ein Koordinatensystem und lege eine Gerade durch sie. Wenn du noch keine Zahlenpaare hast, kannst du sie aus der Wertetabelle der Funktion nehmen bzw. x-Werte in die Funktionsgleichung einsetzen. Achte darauf, dass die Punkte weit voneinander entfernt liegen, dann wird die Zeichnung genauer!

===k und d===
# d hinauf/hinab
# eins nach rechts
# k hinauf/hinab

Ist k ein Bruch, d.h. $k=\frac{Zähler}{Nenner}$, dann kannst du
# d hinauf/hinab
# Nenner nach rechts
# Zähler hinauf/hinab

<br>
<br>

== Besondere Eigenschaften ==
Lineare Funktionen erfüllen die Eigenschaft $f(x+1)=f(x)+k$

Beweis: $f(x+1)=k\dot (x+1)+d=kx+k+d=kx+d+k=f(x)+k$

Außerdem ist die Ableitung der linearen Funktion gleich k: $\frac {f(x_2)-f(x_1)} {x_2-x_1}=k=[f´(x)]$

<br>
<br>

'''Teste dich selbst:'''

{{#widget:Iframe
|url= http://LearningApps.org/view2039028
|width= 900
|height= 500
|border=0
}}
<br>
Anmerkung 1: Durch Klicken auf den Graphen, wird die Abbildung größer angezeigt.
Anmerkung 2: Im Quiz sollte es natürlich "schneidet" heißen.

<br>
<br>
'''Was nicht fehlen darf - ein Lied von DorFuchs:''' ''(Anmerkung: In Deutschland werden anstatt k und d die Variablen m und n verwendet)''
{{Vorlage:Video| blY2qdFV4ag }}

== Anwendungen ==
# Lineare Kosten (siehe Beispiele)
# [[Wachstums- und Zerfallsprozesse#Lineares Wachstum N(t)=k⋅t+N0 | Wachstums- und Zerfallsprozesse]]
# [[Kurvendiskussionen#Wendepunkt_und_Wendetangente | Kurvendiskussionen]]
<br>
<br>
<br>

== Online-Materialien ==
=== Theorie ===
# [[Orange: Präsentationen | <span style="background-color:#FFA500"> $Schau!\ $ </span>]]: Hier findest du eine [http://prezi.com/nasit_qd-hgs/?utm_campaign=share&utm_medium=copy Prezi-Überblickpräsentation] (erstellt von Raimund Porod)
# [[Gelb: Lernpfad | <span style="background-color:#FFD700"> $Step\ by\ Step!$ </span> ]]: Hier findest du einen [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/lernpfade/lernpfade_lineare_funktion/ Online-Lehrpfad zu den linearen Funktionen]

=== Online-Übungen ===
# [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter |<span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Selbstest zum Thema [http://www.geogebratube.org/student/m79482 Geradengleichung bestimmen (Wichtig!!)]
# [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Übung zur [https://www.geogebratube.org/student/m82256 Bestimmung der Funktionsgleichung]
# [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter |<span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: weitere Aufgaben zum [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/diff_einfuehrung/lernpfad/content/01_lineare_funktion.htm Bestimmen der Funktionsgleichung]
<br>
<br>
<br>

== Offizielle Bifie-Aufgaben ==

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=131&file=Gletschermarathon_Pitztal_-_Imst.pdf Gletschermarathon]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=212&file=Skipiste.pdf Skipiste]
*: Siehe auch: [[Bewegungsaufgaben - Weg/Geschwindigkeit/Beschleunigung]] und [[Steigung und Steigungswinkel]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=17&file=Wanderweg.pdf Wanderweg]
*: Siehe auch: [[Bewegungsaufgaben - Weg/Geschwindigkeit/Beschleunigung]] und [[Gleichungssysteme (2.7.) |Gleichungssysteme]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=24&file=Kleintransporte.pdf Kleintransporter]
*: Siehe auch: [[Gleichungssysteme (2.7.) |Gleichungssysteme]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=29&file=Planetenbahnen.pdf Planetenbahnen] (leicht-mittel-leicht)
*: Siehe auch: [[Gleitkommazahlen und Zehnerpotenzen (1.2. und 1.3)|Gleitkommazahlen]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=116&file=Kleidungs-_und_Schuhproduktion.pdf Kleidungs- und Schuhproduktion] (Bifie-Aufgabe: mittel-mittel-leicht-mittel)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: Für c) und d) [[Prozentrechnung (1.5.)]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=134&file=Hochbeet.pdf Hochbeet] (Bifie-Aufgabe: leicht-mittel-mittel)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Formeln]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=215&file=Impfstoff.pdf Impfstoff]
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Gleichungssysteme (2.7.)|Gleichungssystme]]

<br>
<br>
<br>

== Schularbeiten- und Testaufgaben ==
<br>
<br>

1. Gib zwei Geradengleichungen in y=kx+d-Form an, bei denen die entsprechenden Geraden parallel zueinander sind. Wie erkennt man bei den Gleichungen auf einen Blick, dass die Geraden parallel sind?

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung1.png]]
</div>
</div>

----
----
<br>
<br>

2. Aufgabe

[[Datei:Aufgabe2.png]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung2.png]]
</div>
</div>
----

3. Aufgabe

[[Datei:Aufgabe3.png]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung3.png]]
</div>
</div>

----

4. Aufgabe: Die Gerade der Form y=kx+d geht durch die Punkte (1,1) und (4,3). Ermittle k und d !

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung4.png]]
</div>
</div>

----

5 Aufgabe. Lineare Kosten

Die Kommunikationsfirma P-Mobile plant einen Handytarif mit € 5 Grundgebühren. Aus wirtschaftlichen Gründen will sie, dass ein Kunde bei 500 verbrauchten Gesprächsminuten eine Rechnung von insgesamt € 20 zahlen muss.
Ermittle die Kosten für eine Gesprächsminute. Bestimme die lineare Kostenfunktion des Tarifs.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung5.png]]
</div>
</div>

----

6. Die Grundgebühr eines Handytarifs beträgt € 5. Für jede Gesprächsminute werden zusätzlich 20 Cent verrechnet. Stelle die Gesamtkosten in Abhängigkeit der Gesprächsminuten in einem passenden Koordinatensystem graphisch dar.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung6.png]]
</div>
</div>

[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Lineare Funktionen

2016-05-08T07:15:14Z

Bernhard:

[[Datei:Linfkt2.png|rechts]]

{{Vorlage:Definition|1=Die Funktionsgleichung einer linearen [[Funktionen|Funktion]] lautet $$ y=k\cdot x+d$$
mit $k,d\in$ [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)|$\mathbb{R} $]] }}

<br>
{{Vorlage:Merke|1=Der Graph einer linearen Funktion ist IMMER eine Gerade! }}
<br>

== Steigung k ==
[[Datei:Linfkt-k-klein.gif|right]]
<br>
<br>
Der [[Parameter]] k gibt die '''(prozentuelle) Steigung''' der Geraden an. Die Steigung k kann graphisch aus einer Zeichnung oder rechnerisch bestimmt werden.

===Steigungsdreieck===
[[Datei:Steigungsdreieck.png|thumb|Graph mit zwei Steigungsdreiecken]]

Wenn man von einem beliebigen Punkt auf der Geraden 1 nach rechts und anschließend hinauf bzw. hinab zeichnet, um wieder auf der Geraden zu landen, erhält man ein rechtwinkliges Dreieck. Man nennt es Steigungsdreieck. Der Höhenunterschied des Dreiecks entspricht dann der Steigung k.
{{Vorlage:Merke|1="Sinkt" der Graph einer linearen Funktion, so ist k negativ. <br>
"Steigt" der Graph einer linearen Funktion, so ist k positiv.}}

Oft wäre diese Vorgehensweise zu ungenau. Man kann deshalb auch größere Steigungsdreiecke einzeichnen. Dann muss man jedoch die Länge der senkrechten Kathete durch die Länge der waagrechten Kathete dividieren und es gilt:
$$k=\frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied}=\frac{\Delta y}{\Delta x}$$
$\Delta y$ ... Länge der senkrechten Kathete (inkl. Vorzeichen!)

$\Delta x$ ... Länge der waagrechten Kathete

===Steigung aus Zahlenpaaren===
Wenn man von einer linearen Funktion zwei Zahlenpaare $(x|f(x))=(x|y)$ kennt oder aus einem Graph abgelesen oder berechnet hat dann kann man ihre Steigung k einfach bestimmen:

Aus den Punkten $P(x_1|y_1)$ und $Q(x_2|y_2)$ erhält man die Steigung k durch
$$k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} $$ (siehe [[Differenzen- und Differentialquotient | Differenzenquotient]])
{{Vorlage:Merke|1=Die Reihenfolge der Punkte ist egal. Die Koordinaten der Punkte müssen aber zusammenpassen. Also "erster Punkt minus zweiter Punkt" oder "zweiter Punkt minus erster Punkt"!}}

{{Vorlage:Beispiel|1=Ermittle die Steigung der Geraden, die durch die Punkte $P(-1|3)$ und $Q(2|-3)$ geht.
<br>

|2= '''Lösung:'''[[Datei:Beispiel_k_2Punkte.png|mini|250px]]
'''Möglichkeit 1:''' Zeichne die zwei Punkte P und Q in ein Koordinatensystem und zeichne die verbindende Gerade ein.

<br>
Durch Einzeichnen des Steigungsdreiecks zwischen P und Q können auch $\Delta x $ und $\Delta y$ leicht abgelesen werden (siehe Abb.).
Es folgt daraus $k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{-6}{3}=-2$
<br>
<br>
'''Möglichkeit 2:''' Nachdem die Gerade eingezeichnet wurde, kann ein Steigungsdreieck der Breite 1 eingezeichnet werden, aus dem $k=-2$ sofort abgelesen werden kann.
<br>
<br>
'''Möglichkeit 3:''' Direkte rechnerische Bestimmung mittels Differenzenquotient:
$k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{-3-3}{2-(-1) }=\frac{-6}{3}=-2$
<br>
<br>
}}

===Steigungswinkel===
[[Datei:Steigungswinkel.png|right|200px|Steigungswinkel]]
Manchmal ist der Steiungswinkel einer linearen Funktion gegeben oder gesucht. Das Steigungsdreieck führt zum Zusammenhang zwischen der Steigung k und Steigungswinkel $\alpha$. Aus $\tan(\alpha)=\frac{GK}{AK}$ folgt
$$k=\tan(\alpha)$$
(siehe [[Trigonometrie|Trigonometrie]])

<br>
<br>
<br>

== d = Abstand auf der y-Achse ("Ordinatenabschnitt")==
<br>
[[Datei:Linfkt-d-neu-klein.gif|right]]
d gibt den y-Wert des Schnittpunkts der Geraden mit der y-Achse an.

d kann aus dem Graph abgelesen werden (möglicherweise nur ungenau) oder berechnet werden, indem man $x=0$ setzt.

Eigenschaften:
* ist $d=0$, so geht die Gerade durch den Ursprung. Solche Funktionen nennt man '''''homogene'' lineare Funktionen'''. Ist $d\neq 0$, so nennt man die Funktion '''inhomogen
* bei Kostenfunktionen gibt d die Fixkosten an.

<br>
===Berechnung von d===
Wenn d noch nicht bekannt ist, kann es aus zwei Punkten, die auf der Geraden liegen, berechnet werden. Diese Punkte sind entweder bekannt oder können aus dem Graph abgelesen werden.

1. Schritt: Berechnung von k (siehe oben)
2. Schritt: k und einen den der beiden Punkte in $y=k\cdot x+d$ einsetzen. d sollte dann die einzige Unbekannte in einer linearen Gleichung sein. Durch Lösen der Gleichung erhält man d.
<br>
<br>
{{Vorlage:Beispiel|1=Ermittle d der Geraden, die durch die Punkte $P(-1|3)$ und $Q(2|-3)$ geht.
<br>

|2= '''Lösung:'''[[Datei:Beispiel_k_2Punkte.png|mini|250px]]
'''Möglichkeit 1:''' Zeichne die zwei Punkte P und Q in ein Koordinatensystem und zeichne die verbindende Gerade ein.

<br>
Man sieht, dass die Gerade die y-Achse bei 1 schneidet. d ist also 1.
<br>
<br>
'''Möglichkeit 2:''' Direkte rechnerische Bestimmung mittels Gleichung:
$3=-2 \cdot (-1)+d \Leftrightarrow 3=2+d \Leftrightarrow 1=d$
<br>
<br>
}}
<br>
<br>

== Verschiebung von k und d ==

Sollte die folgende Animation nicht funktionieren, klicke [http://www.geogebratube.org/student/m56792 auf diesen Link ]
<ggb_applet width="1000" height="600" version="5.0" id="56792" />

== Graph zeichnen (Gerade) ==
[[Datei:Linfkt-k-als-bruch.png|rechts]]
Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Man kann sie entweder mithilfe zweier Zahlenpaare (Wertetabelle) oder k und d zeichnen.
===Zahlenpaare===
Zeichne zwei Zahlenpaare als Punkte in ein Koordinatensystem und lege eine Gerade durch sie. Wenn du noch keine Zahlenpaare hast, kannst du sie aus der Wertetabelle der Funktion nehmen bzw. x-Werte in die Funktionsgleichung einsetzen. Achte darauf, dass die Punkte weit voneinander entfernt liegen, dann wird die Zeichnung genauer!

===k und d===
# d hinauf/hinab
# eins nach rechts
# k hinauf/hinab

Ist k ein Bruch, d.h. $k=\frac{Zähler}{Nenner}$, dann kannst du
# d hinauf/hinab
# Nenner nach rechts
# Zähler hinauf/hinab

<br>
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== Besondere Eigenschaften ==
Lineare Funktionen erfüllen die Eigenschaft $f(x+1)=f(x)+k$

Beweis: $f(x+1)=k\dot (x+1)+d=kx+k+d=kx+d+k=f(x)+k$

Außerdem ist die Ableitung der linearen Funktion gleich k: $\frac {f(x_2)-f(x_1)} {x_2-x_1}=k=[f´(x)]$

<br>
<br>

'''Teste dich selbst:'''

{{#widget:Iframe
|url= http://LearningApps.org/view2039028
|width= 900
|height= 500
|border=0
}}
<br>
Anmerkung 1: Durch Klicken auf den Graphen, wird die Abbildung größer angezeigt.
Anmerkung 2: Im Quiz sollte es natürlich "schneidet" heißen.

<br>
<br>
'''Was nicht fehlen darf - ein Lied von DorFuchs:''' ''(Anmerkung: In Deutschland werden anstatt k und d die Variablen m und n verwendet)''
{{Vorlage:Video| blY2qdFV4ag }}

== Anwendungen ==
# Lineare Kosten (siehe Beispiele)
# [[Wachstums- und Zerfallsprozesse#Lineares Wachstum N(t)=k⋅t+N0 | Wachstums- und Zerfallsprozesse]]
# [[Kurvendiskussionen#Wendepunkt_und_Wendetangente | Kurvendiskussionen]]
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== Online-Materialien ==
=== Theorie ===
# [[Orange: Präsentationen | <span style="background-color:#FFA500"> $Schau!\ $ </span>]]: Hier findest du eine [http://prezi.com/nasit_qd-hgs/?utm_campaign=share&utm_medium=copy Prezi-Überblickpräsentation] (erstellt von Raimund Porod)
# [[Gelb: Lernpfad | <span style="background-color:#FFD700"> $Step\ by\ Step!$ </span> ]]: Hier findest du einen [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/lernpfade/lernpfade_lineare_funktion/ Online-Lehrpfad zu den linearen Funktionen]

=== Online-Übungen ===
# [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter |<span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Selbstest zum Thema [http://www.geogebratube.org/student/m79482 Geradengleichung bestimmen (Wichtig!!)]
# [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Übung zur [https://www.geogebratube.org/student/m82256 Bestimmung der Funktionsgleichung]
# [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter |<span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: weitere Aufgaben zum [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/diff_einfuehrung/lernpfad/content/01_lineare_funktion.htm Bestimmen der Funktionsgleichung]
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== Offizielle Bifie-Aufgaben ==

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=131&file=Gletschermarathon_Pitztal_-_Imst.pdf Gletschermarathon]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=212&file=Skipiste.pdf Skipiste]
*: Siehe auch: [[Bewegungsaufgaben - Weg/Geschwindigkeit/Beschleunigung]] und [[Steigung und Steigungswinkel]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=17&file=Wanderweg.pdf Wanderweg]
*: Siehe auch: [[Bewegungsaufgaben - Weg/Geschwindigkeit/Beschleunigung]] und [[Gleichungssysteme (2.7.) |Gleichungssysteme]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=24&file=Kleintransporte.pdf Kleintransporter]
*: Siehe auch: [[Gleichungssysteme (2.7.) |Gleichungssysteme]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=29&file=Planetenbahnen.pdf Planetenbahnen] (leicht-mittel-leicht)
*: Siehe auch: [[Gleitkommazahlen und Zehnerpotenzen (1.2. und 1.3)|Gleitkommazahlen]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=116&file=Kleidungs-_und_Schuhproduktion.pdf Kleidungs- und Schuhproduktion] (Bifie-Aufgabe: mittel-mittel-leicht-mittel)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: Für c) und d) [[Prozentrechnung (1.5.)]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=134&file=Hochbeet.pdf Hochbeet] (Bifie-Aufgabe: leicht-mittel-mittel)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Formeln]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=215&file=Impfstoff.pdf Impfstoff]
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Gleichungssysteme (2.7.)|Gleichungssystme]]

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== Schularbeiten- und Testaufgaben ==
<br>
<br>

1. Gib zwei Geradengleichungen in y=kx+d-Form an, bei denen die entsprechenden Geraden parallel zueinander sind. Wie erkennt man bei den Gleichungen auf einen Blick, dass die Geraden parallel sind?

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
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[[Datei:Lösung1.png]]
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2. Aufgabe

[[Datei:Aufgabe2.png]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung2.png]]
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3. Aufgabe

[[Datei:Aufgabe3.png]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung3.png]]
</div>
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4. Aufgabe: Die Gerade der Form y=kx+d geht durch die Punkte (1,1) und (4,3). Ermittle k und d !

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung4.png]]
</div>
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5 Aufgabe. Lineare Kosten

Die Kommunikationsfirma P-Mobile plant einen Handytarif mit € 5 Grundgebühren. Aus wirtschaftlichen Gründen will sie, dass ein Kunde bei 500 verbrauchten Gesprächsminuten eine Rechnung von insgesamt € 20 zahlen muss.
Ermittle die Kosten für eine Gesprächsminute. Bestimme die lineare Kostenfunktion des Tarifs.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung5.png]]
</div>
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6. Die Grundgebühr eines Handytarifs beträgt € 5. Für jede Gesprächsminute werden zusätzlich 20 Cent verrechnet. Stelle die Gesamtkosten in Abhängigkeit der Gesprächsminuten in einem passenden Koordinatensystem graphisch dar.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung6.png]]
</div>
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[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Exponent

2016-05-08T06:53:11Z

Bernhard: Weiterleitung nach Potenzen#Definition erstellt

#WEITERLEITUNG [[Potenzen#Definition]]

Lineare Funktionen

2016-03-24T17:44:54Z

Bernhard: /* Gerade zeichnen */

Lineare Funktionen

2016-03-24T17:38:19Z

Bernhard: /* Verschiebung von k und d */

Lineare Funktionen

2016-03-24T17:37:45Z

Bernhard: /* Verschiebung von k und d */

Lineare Funktionen

2016-03-24T17:35:49Z

Bernhard: /* d = Abstand auf der y-Achse ("Ordinatenabschnitt") */

Lineare Funktionen

2016-03-24T17:35:07Z

Bernhard: /* Verschiebung von k und d */

Lineare Funktionen

2016-03-24T17:33:03Z

Bernhard: /* d = Abstand auf der y-Achse ("Ordinatenabschnitt") */

[[Datei:Linfkt2.png|rechts]]

{{Vorlage:Definition|1=Die Funktionsgleichung einer linearen [[Funktionen|Funktion]] lautet $$ y=k\cdot x+d$$
mit $k,d\in$ [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)|$\mathbb{R} $]] }}

<br>

<br>
<span style="background-color:#00FFFF">!Wichtig! </span> Der Graph einer linearen Funktion ist IMMER eine Gerade!
<br>
<br>

== Steigung k ==
[[Datei:Linfkt-k-klein.gif|right]]
<br>
<br>
Der [[Parameter]] k gibt die '''(prozentuelle) Steigung''' der Geraden an. Die Steigung k kann graphisch aus einer Zeichnung oder rechnerisch bestimmt werden.

===Steigungsdreieck===
[[Datei:Steigungsdreieck.png|thumb|Graph mit zwei Steigungsdreiecken]]

Wenn man von einem beliebigen Punkt auf der Geraden 1 nach rechts und anschließend hinauf bzw. hinab zeichnet, um wieder auf der Geraden zu landen, erhält man ein rechtwinkliges Dreieck. Man nennt es Steigungsdreieck. Der Höhenunterschied des Dreiecks entspricht dann der Steigung k.
{{Vorlage:Merke|1="Sinkt" der Graph einer linearen Funktion, so ist k negativ. <br>
"Steigt" der Graph einer linearen Funktion, so ist k positiv.}}

Oft wäre diese Vorgehensweise zu ungenau. Man kann deshalb auch größere Steigungsdreiecke einzeichnen. Dann muss man jedoch die Länge der senkrechten Kathete durch die Länge der waagrechten Kathete dividieren und es gilt:
$$k=\frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied}=\frac{\Delta y}{\Delta x}$$
$\Delta y$ ... Länge der senkrechten Kathete

$\Delta x$ ... Länge der waagrechten Kathete

===Steigung aus Zahlenpaaren===
Wenn man von einer linearen Funktion zwei Zahlenpaare $(x|f(x))=(x|y)$ kennt, aus einem Graph abgelesen oder berechnet hat (durch Einsetzen von x Werten in die Funktionsgleichung), dann kann man ihre Steigung k einfach bestimmen:

Aus den Punkten $P(x_1|y_1)$ und $Q(x_2|y_2)$ erhält man die Steigung k durch
$$k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} $$ (siehe [[Differenzen- und Differentialquotient | Differenzenquotient]])
{{Vorlage:Merke|1=Die Reihenfolge der Punkte ist egal. Die Koordinaten der Punkte müssen aber zusammenpassen. Also "erster Punkt minus zweiter Punkt" oder "zweiter Punkt minus erster Punkt"!}}

===Steigungswinkel===
[[Datei:Steigungswinkel.png|right|200px|Steigungswinkel]]
Manchmal ist der Steiungswinkel einer linearen Funktion gegeben oder gesucht. Das Steigungsdreieck führt zum Zusammenhang zwischen der Steigung k und Steigungswinkel $\alpha$. Aus $\tan(\alpha)=\frac{GK}{AK}$ folgt
$$k=\tan(\alpha)$$
(siehe [[Trigonometrie|Trigonometrie]])

<br>
<br>
<br>

== d = Abstand auf der y-Achse ("Ordinatenabschnitt")==
<br>
[[Datei:Linfkt-d-neu-klein.gif|right]]
d gibt den y-Wert des Schnittpunkts der Geraden mit der y-Achse an.

d kann aus dem Graph abgelesen werden (möglicherweise nur ungenau) oder berechnet werden, indem man $x=0$ setzt.

Eigenschaften:
* ist d=0, so geht die Gerade durch den Ursprung. Solche Funktionen nennt man '''''homogene'' lineare Funktionen'''. Ist d$\neq$0, so nennt man die Funktion '''inhomogen
* bei Kostenfunktionen gibt d die Fixkosten an.

<br>
<br>
<br>
<br>
<br>

== Verschiebung von k und d ==

Sollte die folgende Animation nicht funktionieren, klicke [http://www.geogebratube.org/student/m56792 auf diesen Link ]


== Gerade zeichnen ==
[[Datei:Linfkt-k-als-bruch.png|rechts]]
Um eine Gerade mit der Geradengleichung $y=kx+d$ zu zeichnen, musst du
# d hinauf/hinab
# eins nach rechts
# k hinauf/hinab

Ist k ein Bruch, d.h. $k=\frac{Zähler}{Nenner}$, dann kannst du
# d hinauf/hinab
# Nenner nach rechts
# Zähler hinauf/hinab

<br>
<br>
<br>
<br>
{{Vorlage:Video| blY2qdFV4ag }}

== Anwendungen ==
# Lineare Kosten (siehe Beispiele)
# [[Wachstums- und Zerfallsprozesse#Lineares Wachstum N(t)=k⋅t+N0 | Wachstums- und Zerfallsprozesse]]
# [[Kurvendiskussionen#Wendepunkt_und_Wendetangente | Kurvendiskussionen]]
<br>
<br>
<br>

== Online-Materialien ==
=== Theorie ===
# [[Orange: Präsentationen | <span style="background-color:#FFA500"> $Schau!\ $ </span>]]: Hier findest du eine [http://prezi.com/nasit_qd-hgs/?utm_campaign=share&utm_medium=copy Prezi-Überblickpräsentation] (erstellt von Raimund Porod)
# [[Gelb: Lernpfad | <span style="background-color:#FFD700"> $Step\ by\ Step!$ </span> ]]: Hier findest du einen [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/lernpfade/lernpfade_lineare_funktion/ Online-Lehrpfad zu den linearen Funktionen]

=== Online-Übungen ===
# [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter |<span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Selbstest zum Thema [http://www.geogebratube.org/student/m79482 Geradengleichung bestimmen (Wichtig!!)]
# [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Übung zur [https://www.geogebratube.org/student/m82256 Bestimmung der Funktionsgleichung]
# [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter |<span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: weitere Aufgaben zum [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/diff_einfuehrung/lernpfad/content/01_lineare_funktion.htm Bestimmen der Funktionsgleichung]
<br>
<br>
<br>

== Offizielle Bifie-Aufgaben ==

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=131&file=Gletschermarathon_Pitztal_-_Imst.pdf Gletschermarathon]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=212&file=Skipiste.pdf Skipiste]
*: Siehe auch: [[Bewegungsaufgaben - Weg/Geschwindigkeit/Beschleunigung]] und [[Steigung und Steigungswinkel]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=17&file=Wanderweg.pdf Wanderweg]
*: Siehe auch: [[Bewegungsaufgaben - Weg/Geschwindigkeit/Beschleunigung]] und [[Gleichungssysteme (2.7.) |Gleichungssysteme]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=24&file=Kleintransporte.pdf Kleintransporter]
*: Siehe auch: [[Gleichungssysteme (2.7.) |Gleichungssysteme]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=29&file=Planetenbahnen.pdf Planetenbahnen] (leicht-mittel-leicht)
*: Siehe auch: [[Gleitkommazahlen und Zehnerpotenzen (1.2. und 1.3)|Gleitkommazahlen]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=116&file=Kleidungs-_und_Schuhproduktion.pdf Kleidungs- und Schuhproduktion] (Bifie-Aufgabe: mittel-mittel-leicht-mittel)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: Für c) und d) [[Prozentrechnung (1.5.)]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=134&file=Hochbeet.pdf Hochbeet] (Bifie-Aufgabe: leicht-mittel-mittel)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Formeln]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=215&file=Impfstoff.pdf Impfstoff]
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Gleichungssysteme (2.7.)|Gleichungssystme]]

<br>
<br>
<br>

== Schularbeiten- und Testaufgaben ==
<br>
<br>

1. Gib zwei Geradengleichungen in y=kx+d-Form an, bei denen die entsprechenden Geraden parallel zueinander sind. Wie erkennt man bei den Gleichungen auf einen Blick, dass die Geraden parallel sind?

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung1.png]]
</div>
</div>

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<br>
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2. Aufgabe

[[Datei:Aufgabe2.png]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung2.png]]
</div>
</div>
----

3. Aufgabe

[[Datei:Aufgabe3.png]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung3.png]]
</div>
</div>

----

4. Aufgabe: Die Gerade der Form y=kx+d geht durch die Punkte (1,1) und (4,3). Ermittle k und d !

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung4.png]]
</div>
</div>

----

5 Aufgabe. Lineare Kosten

Die Kommunikationsfirma P-Mobile plant einen Handytarif mit € 5 Grundgebühren. Aus wirtschaftlichen Gründen will sie, dass ein Kunde bei 500 verbrauchten Gesprächsminuten eine Rechnung von insgesamt € 20 zahlen muss.
Ermittle die Kosten für eine Gesprächsminute. Bestimme die lineare Kostenfunktion des Tarifs.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung5.png]]
</div>
</div>

----

6. Die Grundgebühr eines Handytarifs beträgt € 5. Für jede Gesprächsminute werden zusätzlich 20 Cent verrechnet. Stelle die Gesamtkosten in Abhängigkeit der Gesprächsminuten in einem passenden Koordinatensystem graphisch dar.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung6.png]]
</div>
</div>

[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Lineare Funktionen

2016-03-24T17:30:05Z

Bernhard: /* Steigung k */

[[Datei:Linfkt2.png|rechts]]

{{Vorlage:Definition|1=Die Funktionsgleichung einer linearen [[Funktionen|Funktion]] lautet $$ y=k\cdot x+d$$
mit $k,d\in$ [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)|$\mathbb{R} $]] }}

<br>

<br>
<span style="background-color:#00FFFF">!Wichtig! </span> Der Graph einer linearen Funktion ist IMMER eine Gerade!
<br>
<br>

== Steigung k ==
[[Datei:Linfkt-k-klein.gif|right]]
<br>
<br>
Der [[Parameter]] k gibt die '''(prozentuelle) Steigung''' der Geraden an. Die Steigung k kann graphisch aus einer Zeichnung oder rechnerisch bestimmt werden.

===Steigungsdreieck===
[[Datei:Steigungsdreieck.png|thumb|Graph mit zwei Steigungsdreiecken]]

Wenn man von einem beliebigen Punkt auf der Geraden 1 nach rechts und anschließend hinauf bzw. hinab zeichnet, um wieder auf der Geraden zu landen, erhält man ein rechtwinkliges Dreieck. Man nennt es Steigungsdreieck. Der Höhenunterschied des Dreiecks entspricht dann der Steigung k.
{{Vorlage:Merke|1="Sinkt" der Graph einer linearen Funktion, so ist k negativ. <br>
"Steigt" der Graph einer linearen Funktion, so ist k positiv.}}

Oft wäre diese Vorgehensweise zu ungenau. Man kann deshalb auch größere Steigungsdreiecke einzeichnen. Dann muss man jedoch die Länge der senkrechten Kathete durch die Länge der waagrechten Kathete dividieren und es gilt:
$$k=\frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied}=\frac{\Delta y}{\Delta x}$$
$\Delta y$ ... Länge der senkrechten Kathete

$\Delta x$ ... Länge der waagrechten Kathete

===Steigung aus Zahlenpaaren===
Wenn man von einer linearen Funktion zwei Zahlenpaare $(x|f(x))=(x|y)$ kennt, aus einem Graph abgelesen oder berechnet hat (durch Einsetzen von x Werten in die Funktionsgleichung), dann kann man ihre Steigung k einfach bestimmen:

Aus den Punkten $P(x_1|y_1)$ und $Q(x_2|y_2)$ erhält man die Steigung k durch
$$k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} $$ (siehe [[Differenzen- und Differentialquotient | Differenzenquotient]])
{{Vorlage:Merke|1=Die Reihenfolge der Punkte ist egal. Die Koordinaten der Punkte müssen aber zusammenpassen. Also "erster Punkt minus zweiter Punkt" oder "zweiter Punkt minus erster Punkt"!}}

===Steigungswinkel===
[[Datei:Steigungswinkel.png|right|200px|Steigungswinkel]]
Manchmal ist der Steiungswinkel einer linearen Funktion gegeben oder gesucht. Das Steigungsdreieck führt zum Zusammenhang zwischen der Steigung k und Steigungswinkel $\alpha$. Aus $\tan(\alpha)=\frac{GK}{AK}$ folgt
$$k=\tan(\alpha)$$
(siehe [[Trigonometrie|Trigonometrie]])

<br>
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== d = Abstand auf der y-Achse ("Ordinatenabschnitt")==
<br>
[[Datei:Linfkt-d-neu-klein.gif|right]]
d ist der Abstand zwischen Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse und dem Koordinatenursprung.

Eigenschaften:
* ist d=0, so geht die Gerade durch den Ursprung. Solche Funktionen nennt man '''''homogene'' lineare Funktionen'''. Ist d$\neq$0, so nennt man die Funktion '''inhomogen
* bei Kostenfunktionen gibt d die Fixkosten an.

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== Verschiebung von k und d ==

Sollte die folgende Animation nicht funktionieren, klicke [http://www.geogebratube.org/student/m56792 auf diesen Link ]


== Gerade zeichnen ==
[[Datei:Linfkt-k-als-bruch.png|rechts]]
Um eine Gerade mit der Geradengleichung $y=kx+d$ zu zeichnen, musst du
# d hinauf/hinab
# eins nach rechts
# k hinauf/hinab

Ist k ein Bruch, d.h. $k=\frac{Zähler}{Nenner}$, dann kannst du
# d hinauf/hinab
# Nenner nach rechts
# Zähler hinauf/hinab

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{{Vorlage:Video| blY2qdFV4ag }}

== Anwendungen ==
# Lineare Kosten (siehe Beispiele)
# [[Wachstums- und Zerfallsprozesse#Lineares Wachstum N(t)=k⋅t+N0 | Wachstums- und Zerfallsprozesse]]
# [[Kurvendiskussionen#Wendepunkt_und_Wendetangente | Kurvendiskussionen]]
<br>
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== Online-Materialien ==
=== Theorie ===
# [[Orange: Präsentationen | <span style="background-color:#FFA500"> $Schau!\ $ </span>]]: Hier findest du eine [http://prezi.com/nasit_qd-hgs/?utm_campaign=share&utm_medium=copy Prezi-Überblickpräsentation] (erstellt von Raimund Porod)
# [[Gelb: Lernpfad | <span style="background-color:#FFD700"> $Step\ by\ Step!$ </span> ]]: Hier findest du einen [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/lernpfade/lernpfade_lineare_funktion/ Online-Lehrpfad zu den linearen Funktionen]

=== Online-Übungen ===
# [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter |<span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Selbstest zum Thema [http://www.geogebratube.org/student/m79482 Geradengleichung bestimmen (Wichtig!!)]
# [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Übung zur [https://www.geogebratube.org/student/m82256 Bestimmung der Funktionsgleichung]
# [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter |<span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: weitere Aufgaben zum [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/diff_einfuehrung/lernpfad/content/01_lineare_funktion.htm Bestimmen der Funktionsgleichung]
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== Offizielle Bifie-Aufgaben ==

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=131&file=Gletschermarathon_Pitztal_-_Imst.pdf Gletschermarathon]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=212&file=Skipiste.pdf Skipiste]
*: Siehe auch: [[Bewegungsaufgaben - Weg/Geschwindigkeit/Beschleunigung]] und [[Steigung und Steigungswinkel]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=17&file=Wanderweg.pdf Wanderweg]
*: Siehe auch: [[Bewegungsaufgaben - Weg/Geschwindigkeit/Beschleunigung]] und [[Gleichungssysteme (2.7.) |Gleichungssysteme]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=24&file=Kleintransporte.pdf Kleintransporter]
*: Siehe auch: [[Gleichungssysteme (2.7.) |Gleichungssysteme]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=29&file=Planetenbahnen.pdf Planetenbahnen] (leicht-mittel-leicht)
*: Siehe auch: [[Gleitkommazahlen und Zehnerpotenzen (1.2. und 1.3)|Gleitkommazahlen]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=116&file=Kleidungs-_und_Schuhproduktion.pdf Kleidungs- und Schuhproduktion] (Bifie-Aufgabe: mittel-mittel-leicht-mittel)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: Für c) und d) [[Prozentrechnung (1.5.)]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=134&file=Hochbeet.pdf Hochbeet] (Bifie-Aufgabe: leicht-mittel-mittel)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Formeln]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=215&file=Impfstoff.pdf Impfstoff]
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Gleichungssysteme (2.7.)|Gleichungssystme]]

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== Schularbeiten- und Testaufgaben ==
<br>
<br>

1. Gib zwei Geradengleichungen in y=kx+d-Form an, bei denen die entsprechenden Geraden parallel zueinander sind. Wie erkennt man bei den Gleichungen auf einen Blick, dass die Geraden parallel sind?

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung1.png]]
</div>
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2. Aufgabe

[[Datei:Aufgabe2.png]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung2.png]]
</div>
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3. Aufgabe

[[Datei:Aufgabe3.png]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung3.png]]
</div>
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4. Aufgabe: Die Gerade der Form y=kx+d geht durch die Punkte (1,1) und (4,3). Ermittle k und d !

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung4.png]]
</div>
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5 Aufgabe. Lineare Kosten

Die Kommunikationsfirma P-Mobile plant einen Handytarif mit € 5 Grundgebühren. Aus wirtschaftlichen Gründen will sie, dass ein Kunde bei 500 verbrauchten Gesprächsminuten eine Rechnung von insgesamt € 20 zahlen muss.
Ermittle die Kosten für eine Gesprächsminute. Bestimme die lineare Kostenfunktion des Tarifs.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung5.png]]
</div>
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6. Die Grundgebühr eines Handytarifs beträgt € 5. Für jede Gesprächsminute werden zusätzlich 20 Cent verrechnet. Stelle die Gesamtkosten in Abhängigkeit der Gesprächsminuten in einem passenden Koordinatensystem graphisch dar.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung6.png]]
</div>
</div>

[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Datei:Steigungswinkel.png

2016-03-24T17:28:05Z

Bernhard: User created page with UploadWizard

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|description={{en|1=Steigungswinkel}}
|date=2016-03-24
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[[Kategorie:Uploaded with UploadWizard]]

Lineare Funktionen

2016-03-24T17:12:22Z

Bernhard: /* Steigung aus Zahlenpaaren */

[[Datei:Linfkt2.png|rechts]]

{{Vorlage:Definition|1=Die Funktionsgleichung einer linearen [[Funktionen|Funktion]] lautet $$ y=k\cdot x+d$$
mit $k,d\in$ [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)|$\mathbb{R} $]] }}

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<span style="background-color:#00FFFF">!Wichtig! </span> Der Graph einer linearen Funktion ist IMMER eine Gerade!
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== Steigung k ==
[[Datei:Linfkt-k-klein.gif|right]]
<br>
<br>
Der [[Parameter]] k gibt die '''(prozentuelle) Steigung''' der Geraden an. Die Steigung k kann graphisch aus einer Zeichnung oder rechnerisch bestimmt werden.

===Steigungsdreieck===
[[Datei:Steigungsdreieck.png|thumb|Graph mit zwei Steigungsdreiecken]]

Wenn man von einem beliebigen Punkt auf der Geraden 1 nach rechts und anschließend hinauf bzw. hinab zeichnet, um wieder auf der Geraden zu landen, erhält man ein rechtwinkliges Dreieck. Man nennt es Steigungsdreieck. Der Höhenunterschied des Dreiecks entspricht dann der Steigung k.

"Sinkt" der Graph einer linearen Funktion, so ist k negativ. <br>
"Steigt" der Graph einer linearen Funktion, so ist k positiv.

Oft wäre diese Vorgehensweise zu ungenau. Man kann deshalb auch größere Steigungsdreiecke einzeichnen. Dann muss man jedoch die Länge der senkrechten Kathete durch die Länge der waagrechten Kathete dividieren und es gilt:
$$k=\frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied}=\frac{\Delta y}{\Delta x}$$
$\Delta y$ ... Länge der senkrechten Kathete

$\Delta x$ ... Länge der waagrechten Kathete

===Steigung aus Zahlenpaaren===
Wenn man von einer linearen Funktion zwei Zahlenpaare $(x|f(x))=(x|y)$ kennt, aus einem Graph abgelesen oder berechnet hat (durch Einsetzen von x Werten in die Funktionsgleichung), dann kann man ihre Steigung k einfach bestimmen:

Aus den Punkten $P(x_1|y_1)$ und $Q(x_2|y_2)$ erhält man die Steigung k durch
$$k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} $$ (siehe [[Differenzen- und Differentialquotient | Differenzenquotient]])

===Steigungswinkel===
$ k=\tan{\alpha} $, wobei $\alpha$ der
Steigungswinkel ist (siehe [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)|Trigonometrie]])

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== d = Abstand auf der y-Achse ("Ordinatenabschnitt")==
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[[Datei:Linfkt-d-neu-klein.gif|right]]
d ist der Abstand zwischen Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse und dem Koordinatenursprung.

Eigenschaften:
* ist d=0, so geht die Gerade durch den Ursprung. Solche Funktionen nennt man '''''homogene'' lineare Funktionen'''. Ist d$\neq$0, so nennt man die Funktion '''inhomogen
* bei Kostenfunktionen gibt d die Fixkosten an.

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== Verschiebung von k und d ==

Sollte die folgende Animation nicht funktionieren, klicke [http://www.geogebratube.org/student/m56792 auf diesen Link ]


== Gerade zeichnen ==
[[Datei:Linfkt-k-als-bruch.png|rechts]]
Um eine Gerade mit der Geradengleichung $y=kx+d$ zu zeichnen, musst du
# d hinauf/hinab
# eins nach rechts
# k hinauf/hinab

Ist k ein Bruch, d.h. $k=\frac{Zähler}{Nenner}$, dann kannst du
# d hinauf/hinab
# Nenner nach rechts
# Zähler hinauf/hinab

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{{Vorlage:Video| blY2qdFV4ag }}

== Anwendungen ==
# Lineare Kosten (siehe Beispiele)
# [[Wachstums- und Zerfallsprozesse#Lineares Wachstum N(t)=k⋅t+N0 | Wachstums- und Zerfallsprozesse]]
# [[Kurvendiskussionen#Wendepunkt_und_Wendetangente | Kurvendiskussionen]]
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== Online-Materialien ==
=== Theorie ===
# [[Orange: Präsentationen | <span style="background-color:#FFA500"> $Schau!\ $ </span>]]: Hier findest du eine [http://prezi.com/nasit_qd-hgs/?utm_campaign=share&utm_medium=copy Prezi-Überblickpräsentation] (erstellt von Raimund Porod)
# [[Gelb: Lernpfad | <span style="background-color:#FFD700"> $Step\ by\ Step!$ </span> ]]: Hier findest du einen [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/lernpfade/lernpfade_lineare_funktion/ Online-Lehrpfad zu den linearen Funktionen]

=== Online-Übungen ===
# [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter |<span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Selbstest zum Thema [http://www.geogebratube.org/student/m79482 Geradengleichung bestimmen (Wichtig!!)]
# [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Übung zur [https://www.geogebratube.org/student/m82256 Bestimmung der Funktionsgleichung]
# [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter |<span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: weitere Aufgaben zum [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/diff_einfuehrung/lernpfad/content/01_lineare_funktion.htm Bestimmen der Funktionsgleichung]
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== Offizielle Bifie-Aufgaben ==

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=131&file=Gletschermarathon_Pitztal_-_Imst.pdf Gletschermarathon]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=212&file=Skipiste.pdf Skipiste]
*: Siehe auch: [[Bewegungsaufgaben - Weg/Geschwindigkeit/Beschleunigung]] und [[Steigung und Steigungswinkel]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=17&file=Wanderweg.pdf Wanderweg]
*: Siehe auch: [[Bewegungsaufgaben - Weg/Geschwindigkeit/Beschleunigung]] und [[Gleichungssysteme (2.7.) |Gleichungssysteme]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=24&file=Kleintransporte.pdf Kleintransporter]
*: Siehe auch: [[Gleichungssysteme (2.7.) |Gleichungssysteme]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=29&file=Planetenbahnen.pdf Planetenbahnen] (leicht-mittel-leicht)
*: Siehe auch: [[Gleitkommazahlen und Zehnerpotenzen (1.2. und 1.3)|Gleitkommazahlen]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=116&file=Kleidungs-_und_Schuhproduktion.pdf Kleidungs- und Schuhproduktion] (Bifie-Aufgabe: mittel-mittel-leicht-mittel)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: Für c) und d) [[Prozentrechnung (1.5.)]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=134&file=Hochbeet.pdf Hochbeet] (Bifie-Aufgabe: leicht-mittel-mittel)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Formeln]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=215&file=Impfstoff.pdf Impfstoff]
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Gleichungssysteme (2.7.)|Gleichungssystme]]

<br>
<br>
<br>

== Schularbeiten- und Testaufgaben ==
<br>
<br>

1. Gib zwei Geradengleichungen in y=kx+d-Form an, bei denen die entsprechenden Geraden parallel zueinander sind. Wie erkennt man bei den Gleichungen auf einen Blick, dass die Geraden parallel sind?

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung1.png]]
</div>
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2. Aufgabe

[[Datei:Aufgabe2.png]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung2.png]]
</div>
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3. Aufgabe

[[Datei:Aufgabe3.png]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung3.png]]
</div>
</div>

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4. Aufgabe: Die Gerade der Form y=kx+d geht durch die Punkte (1,1) und (4,3). Ermittle k und d !

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung4.png]]
</div>
</div>

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5 Aufgabe. Lineare Kosten

Die Kommunikationsfirma P-Mobile plant einen Handytarif mit € 5 Grundgebühren. Aus wirtschaftlichen Gründen will sie, dass ein Kunde bei 500 verbrauchten Gesprächsminuten eine Rechnung von insgesamt € 20 zahlen muss.
Ermittle die Kosten für eine Gesprächsminute. Bestimme die lineare Kostenfunktion des Tarifs.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung5.png]]
</div>
</div>

----

6. Die Grundgebühr eines Handytarifs beträgt € 5. Für jede Gesprächsminute werden zusätzlich 20 Cent verrechnet. Stelle die Gesamtkosten in Abhängigkeit der Gesprächsminuten in einem passenden Koordinatensystem graphisch dar.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung6.png]]
</div>
</div>

[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Lineare Funktionen

2016-03-24T17:08:11Z

Bernhard: /* Steigungsdreieck */

[[Datei:Linfkt2.png|rechts]]

{{Vorlage:Definition|1=Die Funktionsgleichung einer linearen [[Funktionen|Funktion]] lautet $$ y=k\cdot x+d$$
mit $k,d\in$ [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)|$\mathbb{R} $]] }}

<br>

<br>
<span style="background-color:#00FFFF">!Wichtig! </span> Der Graph einer linearen Funktion ist IMMER eine Gerade!
<br>
<br>

== Steigung k ==
[[Datei:Linfkt-k-klein.gif|right]]
<br>
<br>
Der [[Parameter]] k gibt die '''(prozentuelle) Steigung''' der Geraden an. Die Steigung k kann graphisch aus einer Zeichnung oder rechnerisch bestimmt werden.

===Steigungsdreieck===
[[Datei:Steigungsdreieck.png|thumb|Graph mit zwei Steigungsdreiecken]]

Wenn man von einem beliebigen Punkt auf der Geraden 1 nach rechts und anschließend hinauf bzw. hinab zeichnet, um wieder auf der Geraden zu landen, erhält man ein rechtwinkliges Dreieck. Man nennt es Steigungsdreieck. Der Höhenunterschied des Dreiecks entspricht dann der Steigung k.

"Sinkt" der Graph einer linearen Funktion, so ist k negativ. <br>
"Steigt" der Graph einer linearen Funktion, so ist k positiv.

Oft wäre diese Vorgehensweise zu ungenau. Man kann deshalb auch größere Steigungsdreiecke einzeichnen. Dann muss man jedoch die Länge der senkrechten Kathete durch die Länge der waagrechten Kathete dividieren und es gilt:
$$k=\frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied}=\frac{\Delta y}{\Delta x}$$
$\Delta y$ ... Länge der senkrechten Kathete

$\Delta x$ ... Länge der waagrechten Kathete

===Steigung aus Zahlenpaaren===
$k=\frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied}=\frac{\Delta y}{\Delta x} $ (siehe [[Differenzen- und Differentialquotient | Differenzenquotient]])

===Steigungswinkel===
$ k=\tan{\alpha} $, wobei $\alpha$ der
Steigungswinkel ist (siehe [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)|Trigonometrie]])

<br>
<br>
<br>

== d = Abstand auf der y-Achse ("Ordinatenabschnitt")==
<br>
[[Datei:Linfkt-d-neu-klein.gif|right]]
d ist der Abstand zwischen Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse und dem Koordinatenursprung.

Eigenschaften:
* ist d=0, so geht die Gerade durch den Ursprung. Solche Funktionen nennt man '''''homogene'' lineare Funktionen'''. Ist d$\neq$0, so nennt man die Funktion '''inhomogen
* bei Kostenfunktionen gibt d die Fixkosten an.

<br>
<br>
<br>
<br>
<br>

== Verschiebung von k und d ==

Sollte die folgende Animation nicht funktionieren, klicke [http://www.geogebratube.org/student/m56792 auf diesen Link ]


== Gerade zeichnen ==
[[Datei:Linfkt-k-als-bruch.png|rechts]]
Um eine Gerade mit der Geradengleichung $y=kx+d$ zu zeichnen, musst du
# d hinauf/hinab
# eins nach rechts
# k hinauf/hinab

Ist k ein Bruch, d.h. $k=\frac{Zähler}{Nenner}$, dann kannst du
# d hinauf/hinab
# Nenner nach rechts
# Zähler hinauf/hinab

<br>
<br>
<br>
<br>
{{Vorlage:Video| blY2qdFV4ag }}

== Anwendungen ==
# Lineare Kosten (siehe Beispiele)
# [[Wachstums- und Zerfallsprozesse#Lineares Wachstum N(t)=k⋅t+N0 | Wachstums- und Zerfallsprozesse]]
# [[Kurvendiskussionen#Wendepunkt_und_Wendetangente | Kurvendiskussionen]]
<br>
<br>
<br>

== Online-Materialien ==
=== Theorie ===
# [[Orange: Präsentationen | <span style="background-color:#FFA500"> $Schau!\ $ </span>]]: Hier findest du eine [http://prezi.com/nasit_qd-hgs/?utm_campaign=share&utm_medium=copy Prezi-Überblickpräsentation] (erstellt von Raimund Porod)
# [[Gelb: Lernpfad | <span style="background-color:#FFD700"> $Step\ by\ Step!$ </span> ]]: Hier findest du einen [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/lernpfade/lernpfade_lineare_funktion/ Online-Lehrpfad zu den linearen Funktionen]

=== Online-Übungen ===
# [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter |<span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Selbstest zum Thema [http://www.geogebratube.org/student/m79482 Geradengleichung bestimmen (Wichtig!!)]
# [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Übung zur [https://www.geogebratube.org/student/m82256 Bestimmung der Funktionsgleichung]
# [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter |<span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: weitere Aufgaben zum [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/diff_einfuehrung/lernpfad/content/01_lineare_funktion.htm Bestimmen der Funktionsgleichung]
<br>
<br>
<br>

== Offizielle Bifie-Aufgaben ==

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=131&file=Gletschermarathon_Pitztal_-_Imst.pdf Gletschermarathon]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=212&file=Skipiste.pdf Skipiste]
*: Siehe auch: [[Bewegungsaufgaben - Weg/Geschwindigkeit/Beschleunigung]] und [[Steigung und Steigungswinkel]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=17&file=Wanderweg.pdf Wanderweg]
*: Siehe auch: [[Bewegungsaufgaben - Weg/Geschwindigkeit/Beschleunigung]] und [[Gleichungssysteme (2.7.) |Gleichungssysteme]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=24&file=Kleintransporte.pdf Kleintransporter]
*: Siehe auch: [[Gleichungssysteme (2.7.) |Gleichungssysteme]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=29&file=Planetenbahnen.pdf Planetenbahnen] (leicht-mittel-leicht)
*: Siehe auch: [[Gleitkommazahlen und Zehnerpotenzen (1.2. und 1.3)|Gleitkommazahlen]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=116&file=Kleidungs-_und_Schuhproduktion.pdf Kleidungs- und Schuhproduktion] (Bifie-Aufgabe: mittel-mittel-leicht-mittel)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: Für c) und d) [[Prozentrechnung (1.5.)]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=134&file=Hochbeet.pdf Hochbeet] (Bifie-Aufgabe: leicht-mittel-mittel)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Formeln]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=215&file=Impfstoff.pdf Impfstoff]
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Gleichungssysteme (2.7.)|Gleichungssystme]]

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== Schularbeiten- und Testaufgaben ==
<br>
<br>

1. Gib zwei Geradengleichungen in y=kx+d-Form an, bei denen die entsprechenden Geraden parallel zueinander sind. Wie erkennt man bei den Gleichungen auf einen Blick, dass die Geraden parallel sind?

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung1.png]]
</div>
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2. Aufgabe

[[Datei:Aufgabe2.png]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung2.png]]
</div>
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3. Aufgabe

[[Datei:Aufgabe3.png]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
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[[Datei:Lösung3.png]]
</div>
</div>

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4. Aufgabe: Die Gerade der Form y=kx+d geht durch die Punkte (1,1) und (4,3). Ermittle k und d !

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung4.png]]
</div>
</div>

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5 Aufgabe. Lineare Kosten

Die Kommunikationsfirma P-Mobile plant einen Handytarif mit € 5 Grundgebühren. Aus wirtschaftlichen Gründen will sie, dass ein Kunde bei 500 verbrauchten Gesprächsminuten eine Rechnung von insgesamt € 20 zahlen muss.
Ermittle die Kosten für eine Gesprächsminute. Bestimme die lineare Kostenfunktion des Tarifs.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung5.png]]
</div>
</div>

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6. Die Grundgebühr eines Handytarifs beträgt € 5. Für jede Gesprächsminute werden zusätzlich 20 Cent verrechnet. Stelle die Gesamtkosten in Abhängigkeit der Gesprächsminuten in einem passenden Koordinatensystem graphisch dar.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung6.png]]
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[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Datei:Steigungsdreieck.png

2016-03-24T17:07:10Z

Bernhard: User created page with UploadWizard

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Lineare Funktionen

2016-03-24T16:41:58Z

Bernhard: /* Steigungsdreieck */

[[Datei:Linfkt2.png|rechts]]

{{Vorlage:Definition|1=Die Funktionsgleichung einer linearen [[Funktionen|Funktion]] lautet $$ y=k\cdot x+d$$
mit $k,d\in$ [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)|$\mathbb{R} $]] }}

<br>

<br>
<span style="background-color:#00FFFF">!Wichtig! </span> Der Graph einer linearen Funktion ist IMMER eine Gerade!
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<br>

== Steigung k ==
[[Datei:Linfkt-k-klein.gif|right]]
<br>
<br>
Der [[Parameter]] k gibt die '''(prozentuelle) Steigung''' der Geraden an. Die Steigung k kann graphisch aus einer Zeichnung oder rechnerisch bestimmt werden.

===Steigungsdreieck===
Wenn man von einem beliebigen Punkt auf der Geraden 1 nach rechts und anschließend hinauf bzw. hinab zeichnet, um wieder auf der Geraden zu landen, erhält man ein rechtwinkliges Dreieck. Man nennt es Steigungsdreieck. Die senkrechte Kathete des Dreiecks entspricht dann der Steigung k.

Oft wäre diese Vorgehensweise zu ungenau. Man kann deshalb auch größere Steigungsdreiecke einzeichnen. Dann muss man jedoch die Länge der senkrechten Kathete durch die Länge der waagrechten Kathete dividieren und es gilt:
$$k=\frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied}=\frac{\Delta y}{\Delta x}$$
$\Delta y$ ... Länge der senkrechten Kathete
$\Delta x$ ... Länge der waagrechten Kathete

===Steigung aus Zahlenpaaren===
$k=\frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied}=\frac{\Delta y}{\Delta x} $ (siehe [[Differenzen- und Differentialquotient | Differenzenquotient]])

===Steigungswinkel===
$ k=\tan{\alpha} $, wobei $\alpha$ der
Steigungswinkel ist (siehe [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)|Trigonometrie]])

<br>
<br>
<br>

== d = Abstand auf der y-Achse ("Ordinatenabschnitt")==
<br>
[[Datei:Linfkt-d-neu-klein.gif|right]]
d ist der Abstand zwischen Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse und dem Koordinatenursprung.

Eigenschaften:
* ist d=0, so geht die Gerade durch den Ursprung. Solche Funktionen nennt man '''''homogene'' lineare Funktionen'''. Ist d$\neq$0, so nennt man die Funktion '''inhomogen
* bei Kostenfunktionen gibt d die Fixkosten an.

<br>
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<br>
<br>

== Verschiebung von k und d ==

Sollte die folgende Animation nicht funktionieren, klicke [http://www.geogebratube.org/student/m56792 auf diesen Link ]


== Gerade zeichnen ==
[[Datei:Linfkt-k-als-bruch.png|rechts]]
Um eine Gerade mit der Geradengleichung $y=kx+d$ zu zeichnen, musst du
# d hinauf/hinab
# eins nach rechts
# k hinauf/hinab

Ist k ein Bruch, d.h. $k=\frac{Zähler}{Nenner}$, dann kannst du
# d hinauf/hinab
# Nenner nach rechts
# Zähler hinauf/hinab

<br>
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{{Vorlage:Video| blY2qdFV4ag }}

== Anwendungen ==
# Lineare Kosten (siehe Beispiele)
# [[Wachstums- und Zerfallsprozesse#Lineares Wachstum N(t)=k⋅t+N0 | Wachstums- und Zerfallsprozesse]]
# [[Kurvendiskussionen#Wendepunkt_und_Wendetangente | Kurvendiskussionen]]
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== Online-Materialien ==
=== Theorie ===
# [[Orange: Präsentationen | <span style="background-color:#FFA500"> $Schau!\ $ </span>]]: Hier findest du eine [http://prezi.com/nasit_qd-hgs/?utm_campaign=share&utm_medium=copy Prezi-Überblickpräsentation] (erstellt von Raimund Porod)
# [[Gelb: Lernpfad | <span style="background-color:#FFD700"> $Step\ by\ Step!$ </span> ]]: Hier findest du einen [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/lernpfade/lernpfade_lineare_funktion/ Online-Lehrpfad zu den linearen Funktionen]

=== Online-Übungen ===
# [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter |<span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Selbstest zum Thema [http://www.geogebratube.org/student/m79482 Geradengleichung bestimmen (Wichtig!!)]
# [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Übung zur [https://www.geogebratube.org/student/m82256 Bestimmung der Funktionsgleichung]
# [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter |<span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: weitere Aufgaben zum [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/diff_einfuehrung/lernpfad/content/01_lineare_funktion.htm Bestimmen der Funktionsgleichung]
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== Offizielle Bifie-Aufgaben ==

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=131&file=Gletschermarathon_Pitztal_-_Imst.pdf Gletschermarathon]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=212&file=Skipiste.pdf Skipiste]
*: Siehe auch: [[Bewegungsaufgaben - Weg/Geschwindigkeit/Beschleunigung]] und [[Steigung und Steigungswinkel]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=17&file=Wanderweg.pdf Wanderweg]
*: Siehe auch: [[Bewegungsaufgaben - Weg/Geschwindigkeit/Beschleunigung]] und [[Gleichungssysteme (2.7.) |Gleichungssysteme]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=24&file=Kleintransporte.pdf Kleintransporter]
*: Siehe auch: [[Gleichungssysteme (2.7.) |Gleichungssysteme]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=29&file=Planetenbahnen.pdf Planetenbahnen] (leicht-mittel-leicht)
*: Siehe auch: [[Gleitkommazahlen und Zehnerpotenzen (1.2. und 1.3)|Gleitkommazahlen]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=116&file=Kleidungs-_und_Schuhproduktion.pdf Kleidungs- und Schuhproduktion] (Bifie-Aufgabe: mittel-mittel-leicht-mittel)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: Für c) und d) [[Prozentrechnung (1.5.)]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=134&file=Hochbeet.pdf Hochbeet] (Bifie-Aufgabe: leicht-mittel-mittel)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Formeln]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=215&file=Impfstoff.pdf Impfstoff]
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Gleichungssysteme (2.7.)|Gleichungssystme]]

<br>
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== Schularbeiten- und Testaufgaben ==
<br>
<br>

1. Gib zwei Geradengleichungen in y=kx+d-Form an, bei denen die entsprechenden Geraden parallel zueinander sind. Wie erkennt man bei den Gleichungen auf einen Blick, dass die Geraden parallel sind?

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
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[[Datei:Lösung1.png]]
</div>
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2. Aufgabe

[[Datei:Aufgabe2.png]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung2.png]]
</div>
</div>
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3. Aufgabe

[[Datei:Aufgabe3.png]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung3.png]]
</div>
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4. Aufgabe: Die Gerade der Form y=kx+d geht durch die Punkte (1,1) und (4,3). Ermittle k und d !

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung4.png]]
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5 Aufgabe. Lineare Kosten

Die Kommunikationsfirma P-Mobile plant einen Handytarif mit € 5 Grundgebühren. Aus wirtschaftlichen Gründen will sie, dass ein Kunde bei 500 verbrauchten Gesprächsminuten eine Rechnung von insgesamt € 20 zahlen muss.
Ermittle die Kosten für eine Gesprächsminute. Bestimme die lineare Kostenfunktion des Tarifs.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung5.png]]
</div>
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6. Die Grundgebühr eines Handytarifs beträgt € 5. Für jede Gesprächsminute werden zusätzlich 20 Cent verrechnet. Stelle die Gesamtkosten in Abhängigkeit der Gesprächsminuten in einem passenden Koordinatensystem graphisch dar.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung6.png]]
</div>
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[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Lineare Funktionen

2016-03-24T16:41:26Z

Bernhard: /* Steigungsdreieck */

[[Datei:Linfkt2.png|rechts]]

{{Vorlage:Definition|1=Die Funktionsgleichung einer linearen [[Funktionen|Funktion]] lautet $$ y=k\cdot x+d$$
mit $k,d\in$ [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)|$\mathbb{R} $]] }}

<br>

<br>
<span style="background-color:#00FFFF">!Wichtig! </span> Der Graph einer linearen Funktion ist IMMER eine Gerade!
<br>
<br>

== Steigung k ==
[[Datei:Linfkt-k-klein.gif|right]]
<br>
<br>
Der [[Parameter]] k gibt die '''(prozentuelle) Steigung''' der Geraden an. Die Steigung k kann graphisch aus einer Zeichnung oder rechnerisch bestimmt werden.

===Steigungsdreieck===
Wenn man von irgendeinem Punkt auf der Geraden 1 nach rechts und anschließend hinauf bzw. hinab zeichnet, um wieder auf der Geraden zu landen, erhält man ein rechtwinkliges Dreieck. Man nennt es Steigungsdreieck. Die senkrechte Kathete des Dreiecks entspricht dann der Steigung k.

Oft wäre diese Vorgehensweise zu ungenau. Man kann deshalb auch größere Steigungsdreiecke einzeichnen. Dann muss man jedoch die Länge der senkrechten Kathete durch die Länge der waagrechten Kathete dividieren und es gilt:
$$k=\frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied}=\frac{\Delta y}{\Delta x}$$
$\Delta y$ ... Länge der senkrechten Kathete
$\Delta x$ ... Länge der waagrechten Kathete

===Steigung aus Zahlenpaaren===
$k=\frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied}=\frac{\Delta y}{\Delta x} $ (siehe [[Differenzen- und Differentialquotient | Differenzenquotient]])

===Steigungswinkel===
$ k=\tan{\alpha} $, wobei $\alpha$ der
Steigungswinkel ist (siehe [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)|Trigonometrie]])

<br>
<br>
<br>

== d = Abstand auf der y-Achse ("Ordinatenabschnitt")==
<br>
[[Datei:Linfkt-d-neu-klein.gif|right]]
d ist der Abstand zwischen Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse und dem Koordinatenursprung.

Eigenschaften:
* ist d=0, so geht die Gerade durch den Ursprung. Solche Funktionen nennt man '''''homogene'' lineare Funktionen'''. Ist d$\neq$0, so nennt man die Funktion '''inhomogen
* bei Kostenfunktionen gibt d die Fixkosten an.

<br>
<br>
<br>
<br>
<br>

== Verschiebung von k und d ==

Sollte die folgende Animation nicht funktionieren, klicke [http://www.geogebratube.org/student/m56792 auf diesen Link ]


== Gerade zeichnen ==
[[Datei:Linfkt-k-als-bruch.png|rechts]]
Um eine Gerade mit der Geradengleichung $y=kx+d$ zu zeichnen, musst du
# d hinauf/hinab
# eins nach rechts
# k hinauf/hinab

Ist k ein Bruch, d.h. $k=\frac{Zähler}{Nenner}$, dann kannst du
# d hinauf/hinab
# Nenner nach rechts
# Zähler hinauf/hinab

<br>
<br>
<br>
<br>
{{Vorlage:Video| blY2qdFV4ag }}

== Anwendungen ==
# Lineare Kosten (siehe Beispiele)
# [[Wachstums- und Zerfallsprozesse#Lineares Wachstum N(t)=k⋅t+N0 | Wachstums- und Zerfallsprozesse]]
# [[Kurvendiskussionen#Wendepunkt_und_Wendetangente | Kurvendiskussionen]]
<br>
<br>
<br>

== Online-Materialien ==
=== Theorie ===
# [[Orange: Präsentationen | <span style="background-color:#FFA500"> $Schau!\ $ </span>]]: Hier findest du eine [http://prezi.com/nasit_qd-hgs/?utm_campaign=share&utm_medium=copy Prezi-Überblickpräsentation] (erstellt von Raimund Porod)
# [[Gelb: Lernpfad | <span style="background-color:#FFD700"> $Step\ by\ Step!$ </span> ]]: Hier findest du einen [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/lernpfade/lernpfade_lineare_funktion/ Online-Lehrpfad zu den linearen Funktionen]

=== Online-Übungen ===
# [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter |<span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Selbstest zum Thema [http://www.geogebratube.org/student/m79482 Geradengleichung bestimmen (Wichtig!!)]
# [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Übung zur [https://www.geogebratube.org/student/m82256 Bestimmung der Funktionsgleichung]
# [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter |<span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: weitere Aufgaben zum [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/diff_einfuehrung/lernpfad/content/01_lineare_funktion.htm Bestimmen der Funktionsgleichung]
<br>
<br>
<br>

== Offizielle Bifie-Aufgaben ==

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=131&file=Gletschermarathon_Pitztal_-_Imst.pdf Gletschermarathon]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=212&file=Skipiste.pdf Skipiste]
*: Siehe auch: [[Bewegungsaufgaben - Weg/Geschwindigkeit/Beschleunigung]] und [[Steigung und Steigungswinkel]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=17&file=Wanderweg.pdf Wanderweg]
*: Siehe auch: [[Bewegungsaufgaben - Weg/Geschwindigkeit/Beschleunigung]] und [[Gleichungssysteme (2.7.) |Gleichungssysteme]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=24&file=Kleintransporte.pdf Kleintransporter]
*: Siehe auch: [[Gleichungssysteme (2.7.) |Gleichungssysteme]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=29&file=Planetenbahnen.pdf Planetenbahnen] (leicht-mittel-leicht)
*: Siehe auch: [[Gleitkommazahlen und Zehnerpotenzen (1.2. und 1.3)|Gleitkommazahlen]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=116&file=Kleidungs-_und_Schuhproduktion.pdf Kleidungs- und Schuhproduktion] (Bifie-Aufgabe: mittel-mittel-leicht-mittel)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: Für c) und d) [[Prozentrechnung (1.5.)]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=134&file=Hochbeet.pdf Hochbeet] (Bifie-Aufgabe: leicht-mittel-mittel)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Formeln]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=215&file=Impfstoff.pdf Impfstoff]
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Gleichungssysteme (2.7.)|Gleichungssystme]]

<br>
<br>
<br>

== Schularbeiten- und Testaufgaben ==
<br>
<br>

1. Gib zwei Geradengleichungen in y=kx+d-Form an, bei denen die entsprechenden Geraden parallel zueinander sind. Wie erkennt man bei den Gleichungen auf einen Blick, dass die Geraden parallel sind?

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung1.png]]
</div>
</div>

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----
<br>
<br>

2. Aufgabe

[[Datei:Aufgabe2.png]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung2.png]]
</div>
</div>
----

3. Aufgabe

[[Datei:Aufgabe3.png]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung3.png]]
</div>
</div>

----

4. Aufgabe: Die Gerade der Form y=kx+d geht durch die Punkte (1,1) und (4,3). Ermittle k und d !

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung4.png]]
</div>
</div>

----

5 Aufgabe. Lineare Kosten

Die Kommunikationsfirma P-Mobile plant einen Handytarif mit € 5 Grundgebühren. Aus wirtschaftlichen Gründen will sie, dass ein Kunde bei 500 verbrauchten Gesprächsminuten eine Rechnung von insgesamt € 20 zahlen muss.
Ermittle die Kosten für eine Gesprächsminute. Bestimme die lineare Kostenfunktion des Tarifs.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung5.png]]
</div>
</div>

----

6. Die Grundgebühr eines Handytarifs beträgt € 5. Für jede Gesprächsminute werden zusätzlich 20 Cent verrechnet. Stelle die Gesamtkosten in Abhängigkeit der Gesprächsminuten in einem passenden Koordinatensystem graphisch dar.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung6.png]]
</div>
</div>

[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Lineare Funktionen

2016-03-24T16:34:26Z

Bernhard: /* Steigung k */

[[Datei:Linfkt2.png|rechts]]

{{Vorlage:Definition|1=Die Funktionsgleichung einer linearen [[Funktionen|Funktion]] lautet $$ y=k\cdot x+d$$
mit $k,d\in$ [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)|$\mathbb{R} $]] }}

<br>

<br>
<span style="background-color:#00FFFF">!Wichtig! </span> Der Graph einer linearen Funktion ist IMMER eine Gerade!
<br>
<br>

== Steigung k ==
[[Datei:Linfkt-k-klein.gif|right]]
<br>
<br>
Der [[Parameter]] k gibt die '''(prozentuelle) Steigung''' der Geraden an. Die Steigung k kann graphisch aus einer Zeichnung oder rechnerisch bestimmt werden.

===Steigungsdreieck===
Wenn man von irgendeinem Punkt auf der Geraden 1 nach rechts und anschließend k hinauf bzw. hinab, um wieder auf der Geraden zu landen, zeichnet, erhält man ein rechtwinkliges Dreieck. Man nennt es Steigungsdreieck.
# '''k wird berechnet''', indem $k=\frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied}=\frac{\Delta y}{\Delta x} $ (siehe [[Differenzen- und Differentialquotient | Differenzenquotient]])
# '''k und der Steigungswinkel''': $ k=\tan{\alpha} $, wobei $\alpha$ der
Steigungswinkel ist (siehe [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)|Trigonometrie]])

<br>
<br>
<br>

== d = Abstand auf der y-Achse ("Ordinatenabschnitt")==
<br>
[[Datei:Linfkt-d-neu-klein.gif|right]]
d ist der Abstand zwischen Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse und dem Koordinatenursprung.

Eigenschaften:
* ist d=0, so geht die Gerade durch den Ursprung. Solche Funktionen nennt man '''''homogene'' lineare Funktionen'''. Ist d$\neq$0, so nennt man die Funktion '''inhomogen
* bei Kostenfunktionen gibt d die Fixkosten an.

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== Verschiebung von k und d ==

Sollte die folgende Animation nicht funktionieren, klicke [http://www.geogebratube.org/student/m56792 auf diesen Link ]


== Gerade zeichnen ==
[[Datei:Linfkt-k-als-bruch.png|rechts]]
Um eine Gerade mit der Geradengleichung $y=kx+d$ zu zeichnen, musst du
# d hinauf/hinab
# eins nach rechts
# k hinauf/hinab

Ist k ein Bruch, d.h. $k=\frac{Zähler}{Nenner}$, dann kannst du
# d hinauf/hinab
# Nenner nach rechts
# Zähler hinauf/hinab

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{{Vorlage:Video| blY2qdFV4ag }}

== Anwendungen ==
# Lineare Kosten (siehe Beispiele)
# [[Wachstums- und Zerfallsprozesse#Lineares Wachstum N(t)=k⋅t+N0 | Wachstums- und Zerfallsprozesse]]
# [[Kurvendiskussionen#Wendepunkt_und_Wendetangente | Kurvendiskussionen]]
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== Online-Materialien ==
=== Theorie ===
# [[Orange: Präsentationen | <span style="background-color:#FFA500"> $Schau!\ $ </span>]]: Hier findest du eine [http://prezi.com/nasit_qd-hgs/?utm_campaign=share&utm_medium=copy Prezi-Überblickpräsentation] (erstellt von Raimund Porod)
# [[Gelb: Lernpfad | <span style="background-color:#FFD700"> $Step\ by\ Step!$ </span> ]]: Hier findest du einen [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/lernpfade/lernpfade_lineare_funktion/ Online-Lehrpfad zu den linearen Funktionen]

=== Online-Übungen ===
# [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter |<span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Selbstest zum Thema [http://www.geogebratube.org/student/m79482 Geradengleichung bestimmen (Wichtig!!)]
# [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Übung zur [https://www.geogebratube.org/student/m82256 Bestimmung der Funktionsgleichung]
# [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter |<span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: weitere Aufgaben zum [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/diff_einfuehrung/lernpfad/content/01_lineare_funktion.htm Bestimmen der Funktionsgleichung]
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== Offizielle Bifie-Aufgaben ==

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=131&file=Gletschermarathon_Pitztal_-_Imst.pdf Gletschermarathon]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=212&file=Skipiste.pdf Skipiste]
*: Siehe auch: [[Bewegungsaufgaben - Weg/Geschwindigkeit/Beschleunigung]] und [[Steigung und Steigungswinkel]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=17&file=Wanderweg.pdf Wanderweg]
*: Siehe auch: [[Bewegungsaufgaben - Weg/Geschwindigkeit/Beschleunigung]] und [[Gleichungssysteme (2.7.) |Gleichungssysteme]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=24&file=Kleintransporte.pdf Kleintransporter]
*: Siehe auch: [[Gleichungssysteme (2.7.) |Gleichungssysteme]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=29&file=Planetenbahnen.pdf Planetenbahnen] (leicht-mittel-leicht)
*: Siehe auch: [[Gleitkommazahlen und Zehnerpotenzen (1.2. und 1.3)|Gleitkommazahlen]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=116&file=Kleidungs-_und_Schuhproduktion.pdf Kleidungs- und Schuhproduktion] (Bifie-Aufgabe: mittel-mittel-leicht-mittel)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: Für c) und d) [[Prozentrechnung (1.5.)]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=134&file=Hochbeet.pdf Hochbeet] (Bifie-Aufgabe: leicht-mittel-mittel)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Formeln]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=215&file=Impfstoff.pdf Impfstoff]
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Gleichungssysteme (2.7.)|Gleichungssystme]]

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== Schularbeiten- und Testaufgaben ==
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1. Gib zwei Geradengleichungen in y=kx+d-Form an, bei denen die entsprechenden Geraden parallel zueinander sind. Wie erkennt man bei den Gleichungen auf einen Blick, dass die Geraden parallel sind?

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung1.png]]
</div>
</div>

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2. Aufgabe

[[Datei:Aufgabe2.png]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung2.png]]
</div>
</div>
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3. Aufgabe

[[Datei:Aufgabe3.png]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung3.png]]
</div>
</div>

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4. Aufgabe: Die Gerade der Form y=kx+d geht durch die Punkte (1,1) und (4,3). Ermittle k und d !

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung4.png]]
</div>
</div>

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5 Aufgabe. Lineare Kosten

Die Kommunikationsfirma P-Mobile plant einen Handytarif mit € 5 Grundgebühren. Aus wirtschaftlichen Gründen will sie, dass ein Kunde bei 500 verbrauchten Gesprächsminuten eine Rechnung von insgesamt € 20 zahlen muss.
Ermittle die Kosten für eine Gesprächsminute. Bestimme die lineare Kostenfunktion des Tarifs.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung5.png]]
</div>
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6. Die Grundgebühr eines Handytarifs beträgt € 5. Für jede Gesprächsminute werden zusätzlich 20 Cent verrechnet. Stelle die Gesamtkosten in Abhängigkeit der Gesprächsminuten in einem passenden Koordinatensystem graphisch dar.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Lösung6.png]]
</div>
</div>

[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Grundkompetenzen AHS

2016-03-24T16:28:56Z

Bernhard: /* Wahrscheinlichkeit und Statistik */

Die folgenden Tabellen listen alle Grundkompetenzen für die AHS auf.

Die Grundkompetenzen sind in insgesamt 4 Inhaltsbereiche gegliedert:

==Algebra und Geometrie==
===Grundbegriffe der Algebra===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AG 1.1
||Wissen über die Zahlenmengen ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, ℂ verständig einsetzen können
||[[Zahlenmengen | Theorie]]
||[[Zahlenmengen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 1.2
||Wissen über algebraische Begriffe angemessen einsetzen können: Variable, Terme, Formeln, (Un-)Gleichungen, Gleichungssysteme, Äquivalenz, Umformungen, Lösbarkeit
||[[Potenzen | Theorie]]
||[[Potenzen #Beispiele | Beispiele]]
|}
<small>Anmerkungen:

Bei den Zahlenmengen soll man die Mengenbezeichnungen und die Teilmengen
beziehungen kennen, Elemente angeben sowie zuordnen können und die reellen Zahlen als Grundlage kontinuierlicher Modelle kennen. Zum Wissen
über die reellen Zahlen gehört auch, dass es Zahlenbereiche gibt, die über
ℝ hinausgehen.

Die algebraischen Begriffe soll man anhand von einfachen Beispielen beschreiben/erklären und verständig verwenden können.</small>

===(Un-)Gleichungen und Gleichungssysteme===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AG 2.1
|| einfache Terme und Formeln aufstellen, umformen und im Kontext deuten können
||[[Formeln| Theorie]]
||[[Formeln #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 2.2
|| lineare Gleichungen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen und die Lösung im Kontext deuten können
||[[lineare Gleichungen mit einer Variablen | Theorie]]
||[[lineare Gleichungen mit einer Variablen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 2.3
|| quadratische Gleichungen in einer Variablen umformen/lösen, über Lösungsfälle Bescheid wissen, Lösungen und Lösungsfälle (auch geometrisch) deuten können
||[[Quadratische Gleichungen | Theorie]]
||[[Quadratische Gleichungen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 2.4
||lineare Ungleichungen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen, Lösungen (auch geometrisch) deuten können
||[[Lineare Ungleichungen mit 2 Variablen | Theorie]]
||[[Lineare Ungleichungen mit 2 Variablen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 2.5
||lineare Gleichungssysteme in zwei Variablen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen, über Lösungsfälle Bescheid wissen, Lösungen und Lösungsfälle (auch geometrisch) deuten können
||[[Gleichungssysteme | Theorie]]
||[[Gleichungssysteme #Matura-Aufgaben| Beispiele]]
|}
<small>Anmerkungen:

Einfache Terme können auch Potenzen, Wurzeln, Logarithmen, Sinus
etc. beinhalten.

Mit dem Einsatz elektronischer Hilfsmittel können auch komplexere Umformungen von Termen, Formeln und Gleichungen, Ungleichungen und Gleichungssystemen durchgeführt werden.</small>

===Vektoren===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AG 3.1
||Vektoren als Zahlentupel verständig einsetzen und im Kontext deuten können
||[[Vektorrechnung | Theorie]]
||[[Vektorrechnung #Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|-
||AG 3.2
||Vektoren geometrisch (als Punkte bzw. Pfeile) deuten und verständig einsetzen können
||[[Vektorrechnung | Theorie]]
||[[Vektorrechnung #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 3.3
||Definition der Rechenoperationen mit Vektoren (Addition, Multiplikation mit einem Skalar, Skalarmultiplikation) kennen, Rechenoperationen verständig einsetzen und (auch geometrisch) deuten können
||[[Vektorrechnung | Theorie]]
||[[Vektorrechnung #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 3.4
||Geraden durch (Parameter-)Gleichungen in $ℝ^2$ und $ℝ^3$ angeben können; Geradengleichungen interpretieren können; Lagebeziehungen (zwischen Geraden und zwischen Punkt und Gerade) analysieren, Schnittpunkte ermitteln können
||[[Geraden | Theorie]]
||[[Geraden #Beispiele| Beispiele]]
|-
||AG 3.5
||Normalvektoren in ℝ² aufstellen, verständig einsetzen und interpretieren
können
||[[Vektorrechnung | Theorie]]
||[[Vektorrechnung #Beispiele | Beispiele]]
|}
<small>Anmerkungen:

Vektoren sind als Zahlentupel, also als algebraische Objekte, zu verstehen und in entsprechenden Kontexten ver-ständig einzusetzen. Punkte und Pfeile in der Ebene und im Raum müssen als geometrische Veranschaulichung dieser algebraischen Objekte interpretiert werden können.

Die geometrische Deutung der Skalarmultiplikation (in ℝ² und ℝ³) meint hier nur den Spezialfall $a\cdot b= 0$. Geraden sollen in Parameterform, in ℝ² auch in parameterfreier Form, angegeben und interpretiert werden können.</small>

===Trigonometrie===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AG 4.1
||Definitionen von ''Sinus'', ''Cosinus'' und ''Tangens'' im rechtwinkeligen Dreieck kennen und zur Auflösung rechtwinkeliger Dreiecke einsetzen können
||[[Trigonometrie | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|-
||AG 4.2
||Definitionen von ''Sinus'' und ''Cosinus'' für Winkel größer als 90° kennen und einsetzen können
||[[Trigonometrie | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|}
<small>Anmerkungen:

Die Kontexte beschränken sich auf einfache Fälle in der Ebene und im Raum, komplexe (Vermessungs-)Aufgaben sind hier nicht gemeint; Sinus- und Cosinussatz werden dabei nicht benötigt.</small>
<br />

== Funktionale Abhängigkeiten ==

===Funktionsbegriff, reelle Funktionen, Darstellungsformen und Eigenschaften===
{| border="1"
!|Inhalt$\ \ \ $
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|FA 1.1
| für gegebene Zusammenhänge entscheiden können, ob man sie als Funktionen betrachten kann
| [[Funktionen | Theorie]]
| [[Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
|FA 1.2
| Formeln als Darstellung von Funktionen interpretieren und dem Funktionstyp zuordnen können.
| [[Funktionen | Theorie]]
| [[Funktionen #Schularbeiten- und Testaufgaben | Beispiele]]
|-
|FA 1.3
| zwischen tabellarischen und grafischen Darstellungen funktionaler Zusammenhänge wechseln können
| [[Funktionen | Theorie]]
| [[Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
|FA 1.4
| aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Funktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können
| [[Funktionen | Theorie]]
| [[Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
|FA 1.5
| Eigenschaften von Funktionen erkennen, benennen, im Kontext deuten und zum Erstellen von Funktionsgraphen einsetzen können: Monotonie, Monotoniewechsel (lokale Extrema), Wendepunkte, Periodizität, Achsensymmetrie, asymptotisches Verhalten, Schnittpunkte mit den Achsen
| [[Funktionen | Theorie]]
| [[Funktionen #Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|-
|FA 1.6
| Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen grafisch und rechnerisch ermitteln und im Kontext interpretieren können
| [[Schnittpunkt zweier Funktionen | Theorie]]
| [[Schnittpunkt zweier Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
|FA 1.7
| Funktionen als mathematische Modelle verstehen und damit verständig arbeiten können
| [[mathematische Modelle | Theorie]]
| [[mathematische Modelle #Beispiele | Beispiele]]
|-
|FA 1.8
| durch Gleichungen (Formeln) gegebene Funktionen mit mehreren Veränderlichen im Kontext deuten können, Funktionswerte ermitteln können
| [[Funktionen in mehreren Unbekannten | Theorie]]
| [[Funktionen in mehreren Unbekannten #Beispiele | Beispiele]]
|-
|FA 1.9
| einen Überblick über die wichtigsten (unten angeführten) Typen mathematischer Funktionen geben, ihre Eigenschaften vergleichen können
| [[Funktionen | Theorie]]
| [[Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-

|}
<br>
<br>
Anmerkungen:
Auf eine sichere Unterscheidung zwischen funktionalen und nichtfunktionalen Zusammenhängen wird Wert gelegt,auf theoretisch bedeutsame Eigenschaften (z. B. Injektivität, Surjektivität, Umkehrbarkeit)wird aber nicht fokussiert.
Im Vordergrund steht die Rolle von Funktionen als Modelle und die verständige Nutzung grundlegender Funktionstypen und deren Eigenschaften sowie der verschiedenen Darstellungsformen von Funktionen (auch f:A→B,x↦f(x) ).
Die Bearbeitung von Funktionen mit mehreren Veränderlichen beschränkt sich auf die Interpretation der Funktionsgleichung im jeweiligen Kontext sowie auf die Ermittlung von Funktionswerten.
Der Verlauf von Funktionen soll nicht nur mathematisch beschrieben, sondern auch im jeweiligen Kontext gedeutet werden können.

===Lineare Funktion [ $f(x)=k\cdot x+d$ ]===
{| border="1"
!|Inhalt$\ \ \ $
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|FA 2.1
| verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene lineare Zusammenhänge als lineare Funktionen erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können
| [[Lineare Funktionen| Theorie]]
| [[Lineare Funktionen #Schularbeiten- und Testaufgaben | Beispiele]]
|-
|FA 2.2
| aus Tabellen, Graphen und Gleichungen linearer Funktionen Werte(paare) sowie die Parameter k und d ermitteln und im Kontext deuten können
| [[Lineare Funktionen | Theorie]]
| [[Lineare Funktionen #Schularbeiten- und Testaufgaben | Beispiele]]
|-
|FA 2.3
| die Wirkung der Parameter k und d kennen und die Parameter in unterschiedlichen Kontexten deuten können
| [[Lineare Funktionen| Theorie]]
| [[Lineare Funktionen #Schularbeiten- und Testaufgaben | Beispiele]]
|-
|FA 2.4
| charakteristische Eigenschaften kennen und im Kontext deuten können: $f(x+1)=f(x)+k; \frac {f(x_2)-f(x_1)} {x_2-x_1}=k=[f´(x)]$
| [[Lineare Funktionen | Theorie]]
| [[Lineare Funktionen #Schularbeiten- und Testaufgaben | Beispiele]]
|-
|FA 2.5
| die Angemessenheit einer Beschreibung mittels linearer Funktion bewerten können
| [[Lineare Funktionen | Theorie]]
| [[Lineare Funktionen #Schularbeiten- und Testaufgaben | Beispiele]]
|-

|FA 2.6
| direkte Proportionalität als lineare Funktion vom Typ $f(x)=k\cdot x$
beschreiben können
| [[Lineare Funktionen | Theorie]]
| [[Lineare Funktionen #Schularbeiten- und Testaufgaben | Beispiele]]
|-

|}
<br>
<br>
Anmerkungen:
Die Parameter k und d sollen sowohl für konkrete Werte als auch allgemein im jeweiligen Kontext interpretiert werden können. Entsprechendes gilt für die Wirkung der Parameter und deren Änderung.
<br>
<br>

===Potenzfunktion mit $f(x)=a\cdot x^z+b, z\in \mathbb{Z}$ oder mit $f(x)=a \cdot x^{ \frac{1}{2} } +b$===
{| border="1"
!|Inhalt$\ \ \ $
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|FA 3.1
| verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene Zusammenhänge dieser Art als entsprechende Potenzfunktionen erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können
| [[Potenzfunktionen | Theorie]]
| [[Potenzfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
|FA 3.2
| aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Potenzfunktionen Werte(paare) sowie die Parameter a und b ermitteln und im Kontext deuten können
| [[Potenzfunktionen | Theorie]]
| [[Potenzfunktionen #Schularbeiten- und Testaufgaben | Beispiele]]
|-
|FA 3.3
| die Wirkung der Parameter a und b kennen und die Parameter im Kontext deuten können
| [[Potenzfunktionen | Theorie]]
| [[Potenzfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
|FA 3.4
| indirekte Proportionalität als Potenzfunktion vom Typ $f(x)=\frac {a} {x}$ (bzw.$f(x)=a\cdot x^{–1}$beschreiben können $f(x+1)=f(x)+k; \frac {f(x_2)-f(x_1)} {x_2-x_1}=k=[f´(x)]$
| [[Potenzfunktionen | Theorie]]
| [[Potenzfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-

|}
<br>
<br>
Anmerkungen:
Wurzelfunktionen bleiben auf den quadratischen Fall $a\cdot x^\frac {1} {2}+b$ beschränkt.
<br>
<br>

===Polynomfunktion [ $f(x)=\sum_{i=0}^{n} a_i \cdot x^i$ mit $ n \in ℕ$ ]===
{| border="1"
!|Inhalt$\ \ \ $
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|FA 4.1
| typische Verläufe von Graphen in Abhängigkeit vom Grad der Polynomfunktion (er)kennen
| [[Polynomfunktionen | Theorie]]
| [[Polynomfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
|FA 4.2
| zwischen tabellarischen und grafischen Darstellungen von Zusammenhängen dieser Art wechseln können
| [[Polynomfunktionen | Theorie]]
| [[Polynomfunktionen #Schularbeiten- und Testaufgaben | Beispiele]]
|-
|FA 4.3
| aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Polynomfunktionen Funktionswerte, aus Tabellen und Graphen sowie aus einer quadratischen Funktionsgleichung Argumentwerte ermitteln können
| [[Polynomfunktionen | Theorie]]
| [[Polynomfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
|FA 4.4
| den Zusammenhang zwischen dem Grad der Polynomfunktion und der Anzahl der Null- ,Extrem- und Wendestellen wissen
| [[Polynomfunktionen | Theorie]]
| [[Polynomfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-

|}
<br>
<br>
Anmerkungen:
Der Zusammenhang zwischen dem Grad der Polynomfunktion und der Anzahl der Null-, Extrem- und Wendestellen sollte für beliebige n bekannt sein, konkrete Aufgabenstellungen beschränken sich auf Polynomfunktionen mit $ n\le4$

Mithilfe elektronischer Hilfsmittel können Argumentwerte auch für Polynomfunktionen höheren Grades ermittelt werden.
<br>
<br>

===Exponentialfunktion [ $f(x)=a\cdot b^x$ bzw. $f(x)=a\cdot e^{\lambda \cdot x}$ mit a,b $\in ℝ^+$ , \ λ $\in $ ℝ ] ===
{| border="1"
!|Inhalt$\ \ \ $
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|FA 5.1
| verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene exponentielle Zusammenhänge als Exponentialfunktion erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können
| [[Exponentialfunktionen | Theorie]]
| [[Exponentialfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
|FA 5.2
| aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Exponentialfunktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können
| [[Exponentialfunktionen | Theorie]]
| [[Exponentialfunktionen #Schularbeiten- und Testaufgaben | Beispiele]]
|-
|FA 5.3
| die Wirkung der Parameter a und b (bzw.$e^\lambda$) kennen und die Parameter in unterschiedlichen Kontexten deuten können
| [[Exponentialfunktionen | Theorie]]
| [[Exponentialfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
|FA 5.4
| charakteristische Eigenschaften $(f(x +1)= b\cdot f(x); [e^x]´=e^x])$ kennen und im Kontext deuten können
| [[Exponentialfunktionen | Theorie]]
| [[Exponentialfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
|FA 5.5
| die Begriffe ''Halbwertszeit'' und ''Verdoppelungszeit'' kennen, die entsprechenden Werte berechnen und im Kontext deuten können
| [[Exponentialfunktionen | Theorie]]
| [[Exponentialfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
|FA 5.6
| die Angemessenheit einer Beschreibung mittels Exponentialfunktion bewerten können
| [[Exponentialfunktionen | Theorie]]
| [[Exponentialfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-

|}
<br>
<br>
Anmerkungen:Die Parameter a und b (bzw. $e^λ$) sollen sowohl für konkrete Werte als auch allgemein im jeweiligen Kontext interpretiert werden können. Entsprechendes gilt für die Wirkung der Parameter und deren Änderung.

===Sinusfunktion, Cosinusfunktion ===
{| border="1"
!|Inhalt$\ \ \ $
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|FA 6.1
| grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene Zusammenhänge der Art $f(x)=a\cdot sin(b\cdot x)$ als allgemeine Sinusfunktion erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können
| [[Trigonometrie | Theorie]]
| [[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|-
|FA 6.2
| aus Graphen und Gleichungen von allgemeinen Sinusfunktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können
| [[Trigonometrie | Theorie]]
| [[Trigonometrie #Schularbeiten- und Testaufgaben | Beispiele]]
|-
|FA 6.3
| die Wirkung der Parameter a und b kennen und die Parameter im Kontext deuten können
| [[Trigonometrie | Theorie]]
| [[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|-
|FA 6.4
| Periodizität als charakteristische Eigenschaft kennen und im Kontext deuten können
| [[Trigonometrie | Theorie]]
| [[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|-
|FA 6.5
| wissen, dass $cos(x)= sin(x + \frac {\pi} {2})$
| [[Trigonometrie | Theorie]]
| [[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|-
|FA 6.6
| wissen, dass gilt: $[sin(x)]`=cos(x), [cos(x)]`=-sin(x)$
| [[Trigonometrie | Theorie]]
| [[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|-

|}
<br>
<br>
Anmerkungen:Während zur Auflösung von rechtwinkeligen Dreiecken Sinus, Cosinus und
Tangens verwendet werden, beschränkt sich die funktionale Betrachtung (weitgehend) auf die allgemeine Sinusfunktion. Wesentlich dabei sind die Interpretation der Parameter (im Graphen wie auch in entsprechenden Kontexten) sowie der Verlauf des Funktionsgraphen und die Periodizität.

== Analysis ==
===Änderungsmaße===
{| border="1"
!|Inhalt$\ \ \ $
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|AN 1.1.
| absolute und relative (prozentuelle) Änderungsmaße unterscheiden und angemessen verwenden können
| [[Änderungsmaße| Theorie]]
| [[Änderungsmaße #Beispiele | Beispiele]]
|-
|AN 1.2.
| den Zusammenhang ''Differenzenquotient (mittlere Änderungsrate) – Differenzialquotient („momentane“ Änderungsrate)'' auf der Grundlage eines intuitiven Grenzwertbegriffes kennen und damit (verbal sowie in formaler Schreibweise) auch kontextbezogen anwenden können
| [[Differenzen- und Differentialquotient | Theorie]]
| [[Differenzen- und Differentialquotient #Maturabeispiele| Beispiele]]
|-
|AN 1.3.
| den Differenzen- und Differenzialquotienten in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverhalte durch den Differenzen- bzw. Differenzialquotienten beschreiben können
| [[Differenzieren: Rechnerisches Bestimmen von f'|Theorie]]
| [[Differenzen-_und_Differentialquotient #Maturabeispiele| Beispiele]]
|-
|AN 1.4.
| das systemdynamische Verhalten von Größen durch Differenzengleichungen beschreiben bzw. diese im Kontext deuten können
| [[Differenzengleichungen | Theorie]]
| [[Differenzengleichungen #Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|}
<br>
<small>Anmerkungen:
Der Fokus liegt auf dem Darstellen von Änderungen durch Differenzen von Funktionswerten, durch prozentuelle Veränderungen, durch Differenzenquotienten und durch Differenzialquotienten, ganz besonders aber auch auf der Interpretation dieser Veränderungsmaße im jeweiligen Kontext.
Durch den Einsatz elektronischer Hilfsmittel ist auch die Berechnung von Differenzen- und Differenzialquotienten beliebiger (differenzierbarer) Funktionen möglich.</small>
<br>
<br>

===Regeln für das Differenzieren===
{| border="1"
!|Inhalt$\ \ \ $
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|AN 2.1.
| einfache Regeln des Differenzierens kennen und anwenden können: Potenzregel, Summenregel, Regeln für $[k \cdot f(x)]′$ und $[f(k \cdot x)]′$ (vgl. Inhaltsbereich ''Funktionale Abhängigkeiten'')
| [[Differenzieren: Rechnerisches Bestimmen von f' | Theorie]]
| [[Differenzieren: Rechnerisches Bestimmen von f' #Beispiele | Beispiele]]
|}
<br>
<br>

===Ableitungsfunktion/Stammfunktion===
{| border="1"
!|Inhalt$\ \ \ $
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|AN 3.1.
| den Begriff ''Ableitungsfunktion/Stammfunktion'' kennen und zur Beschreibung von Funktionen einsetzen können
| [[Integration| Theorie]]
| [[Integration#Beispiele | Beispiele]]
|-
|AN 3.2.
| den Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitungsfunktion (bzw. Funktion und Stammfunktion) in deren grafischer Darstellung (er)kennen und beschreiben können
| [[Integration| Theorie]]
| [[Integration#Beispiele | Beispiele]]
|-
|AN 3.3.
| Eigenschaften von Funktionen mithilfe der Ableitung(sfunktion) beschreiben können: Monotonie, lokale Extrema, Links- und Rechtskrümmung, Wendestellen
| [[Integration| Theorie]]
| [[Integration#Beispiele | Beispiele]]
|}
<br>
<small>Anmerkungen:

Der Begriff der ''Ableitung(sfunktion)'' soll verständig und zweckmäßig zur Beschreibung von Funktionen eingesetzt werden.

Durch den Einsatz elektronischer Hilfsmittel ist das Ableiten von Funktionen nicht durch die in den Grundkompetenzen angeführten Differenziationsregeln eingeschränkt.</small>
<br>
<br>

===Summation und Integral===
{| border="1"
!|Inhalt$\ \ \ $
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|AN 4.1.
| den Begriff des bestimmten Integrals als Grenzwert einer Summe von Produkten deuten und beschreiben können
| [[Integration| Theorie]]
| [[Integration#Beispiele | Beispiele]]
|-
|AN 4.2.
| einfache Regeln des Integrierens kennen und anwenden können: Potenzregel, Summenregel, $\int k\cdot f(x)\,dx$, $\int f(k\cdot x)\,dx$ (vgl. Inhaltsbereich ''Funktionale Abhängigkeiten''), bestimmte Integrale von Polynomfunktionen ermitteln können
| [[Integration| Theorie]]
| [[Integration#Beispiele | Beispiele]]
|-
|AN 4.3.
| das bestimmte Integral in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverhalte durch Integrale beschreiben können
| [[Integration| Theorie]]
| [[Integration#Beispiele | Beispiele]]
|}
<br>
<small>Anmerkungen:

Analog zum Differenzialquotienten liegt der Fokus beim bestimmten Integral auf der Beschreibung entsprechender Sachverhalte durch bestimmte Integrale sowie vor allem auf der angemessenen Interpretation des bestimmten Integrals im jeweiligen Kontext.

Durch den Einsatz elektronischer Hilfsmittel ist die Berechnung von bestimmten Integralen nicht durch die in den Grundkompetenzen angeführten Integrationsregeln eingeschränkt.</small>
<br>
<br>

== Wahrscheinlichkeit und Statistik==
=== Beschreibende Statistik ===
{| border="1"
!|Inhalt$\ \ \ $
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|WS 1.1
|Werte aus tabellarischen und elementaren grafischen Darstellungen ablesen (bzw. zusammengesetzte Werte ermitteln) und im jeweiligen Kontext angemessen interpretieren können
| [[Statistik:Daten und Diagramme| Theorie]]
| [[Beschreibende_Statistik#tab=Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|}
<br />
<small>Anmerkungen:<br />
(un-)geordnete Liste, Strichliste, Piktogramm, Säulen-, Balken-, Linien-, Stängel-Blatt-, Punktwolkendiagramm, Histogramm (als Spezialfall eines Säulendiagramms), Prozentstreifen, Kastenschaubild (Boxplot)</small>
<br />
<br />
{| border="1"
|-
|WS 1.2 $\ \ \ $
| Tabellen und einfache statistische Grafiken erstellen, zwischen Darstellungsformen wechseln können.

| [[Beschreibende_Statistik#tab=Zentralma_C3_9Fe_-_statistische_Kennzahlen_f_C3_BCr_das_Mittel| Theorie]]
| [[Beschreibende_Statistik#tab=Matura-Aufgaben| Beispiele]]
|-
|WS 1.3
| statistische Kennzahlen (absoluteund relative Häufigkeiten; arithmetisches Mittel, Median, Modus, Quartile, Spannweite, empirische Varianz/Standardabweichung) im jeweiligen Kontext interpretieren können; die angeführten Kennzahlen für einfache Datensätze ermitteln können

| [[Wahrscheinlichkeit:_Grundlagen| Theorie]]
| [[Wahrscheinlichkeitsrechnung#Matura-Aufgaben| Beispiele]]
|-
|WS 1.4
|Definition und wichtige Eigenschaften des arithmetischen Mittels und des Medians angeben und nutzen, Quartile ermitteln und interpretieren können, die Entscheidung für die Verwen-dung einer bestimmten Kennzahl begründen können

| [[Wahrscheinlichkeit:_Baumdiagramme_und_Pfadregeln| Theorie]]
| [[Wahrscheinlichkeitsrechnung#Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|}
<br />
<small>Anmerkungen:<br />
Wenn auch statistische Kennzahlen (für einfache Datensätze) ermittelt und elementare statistische Grafiken erstellt werden sollen, liegt das Hauptaugenmerk auf verständigen Interpretationen von Grafiken (unter Beachtung von Manipulationen) und Kennzahlen. Speziell für das arithmetische Mittel und den Median (auch als Quartile) müssen die wichtigsten Eigenschaften (definitorische Eigenschaften, Datentyp-Verträglichkeit, Ausreißerempfindlichkeit) gekannt und verständig eingesetzt bzw. berücksichtigt werden. Beim arithmetischen Mittelsind allenfalls erforderliche Gewichtungen zu beachten („gewogenes arithmetisches Mittel“) und zu nutzen (Bildung des arithmetischen Mittels aus arithmetischen Mitteln von Teilmengen).</small>
<br />
<br />

=== Wahrscheinlichkeitsrechnung ===
{| border="1"
!|Inhalt$\ \ \ $
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|WS 2.1
|Grundraum und Ereignisse in angemessenen Situationen verbal beziehungsweise formal angeben können.
| [[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung| Theorie]]
| [[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]
|-
|WS 2.2
|relative Häufigkeit als Schätzwert von Wahrscheinlichkeit verwenden und anwenden können

| [[Wahrscheinlichkeit: Normalverteilung und Stetige Zufallsvariablen#Normalverteilung| Theorie]]
| [[Wahrscheinlichkeit: Normalverteilung und Stetige Zufallsvariablen#Beispiele | Beispiele]]
|-
|WS 2.3
| Wahrscheinlichkeit unter der Verwendung der Laplace-Annahme (Laplace-Wahrscheinlichkeit) berechnen und interpretieren können, Additionsregel und Multiplikationsregel anwenden und interpretieren können

| [[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung| Theorie]]
| [[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]
|-
|}
<br />
<small>Anmerkungen:<br />
Die Multiplikationsregel kann unter Verwendung der kombinatorischen Grundlagen und der Anwendung der Laplace-Regel (auch) umgangen werden.
<br /></small>
<br />
{| border="1"
|-
|WS 2.4
| Binomialkoeffizient berechnen und interpretieren können.

| [[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung| Theorie]]
| [[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]

|}
<br />

<br />
<br />

=== Wahrscheinlichkeitsverteilungen ===
{| border="1"
!|Inhalt$\ \ \ $
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|WS 3.1
| die Begriffe ''Zufallsvariable'', ''(Wahrscheinlichkeits-)Verteilung'', ''Erwartungswert'' und ''Standard-abweichung'' verständig deuten und einsetzen können.

| [[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung| Theorie]]
| [[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]

|-
|WS 3.2
| Binomialverteilung als Modell einer diskreten Verteilung kennen – Erwartungswert sowie Varianz/Standardabweichung binomialverteilterZufallsgrößen ermitteln können, Wahrscheinlichkeitsverteilung binomialverteilter Zufallsgrößen angeben können, Arbeiten mit der Binomialverteilung in anwendungsorientierten Bereichen

| [[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung| Theorie]]
| [[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]

|-
|WS 3.3
| Wahrscheinlichkeit unter der Verwendung der Laplace-Annahme (Laplace-Wahrscheinlichkeit) berechnen und interpretieren können, Additionsregel und Multiplikationsregel anwenden und interpretieren können

| [[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung| Theorie]]
| [[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]
|-
|WS 3.4
| Normalapproximation der Binomialverteilung interpretieren und anwenden können

| [[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung| Theorie]]
| [[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]
|-
|}
<br />
<small>Anmerkungen:<br />
Kennen und Anwenden der Faustregel, dass die Normalapproximation der Binomialverteilung mit den Parametern n und p dann anzuwenden ist und gute Näherungswerte liefert, wenn die Bedingung $n\cdot p \cdot (1–p)\geq 9 $ erfüllt ist. Die Anwendung der Stetigkeitskorrektur ist nicht notwendig und daher für Berechnungen im Zuge von Prüfungsbeispielen vernachlässigbar. Kennen des Verlaufs der Dichtefunktion φ der Standardnormalverteilung mit Erwartungswert μ und Standardabweichung σ. Arbeiten mit der Verteilungsfunktion Φ der Standardnormalverteilung und korrektes Ablesen der entsprechenden Wert.</small>
<br />
<br />
{| border="1"
|-
|}
<br />

<br />
<br />

=== Schließende/Beurteilende Statistik ===
{| border="1"
!|Inhalt$\ \ \ $
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|WS 4.1
| Konfidenzintervalle als Schätzung für eine Wahrscheinlichkeit oder einen unbekannten Anteil pinterpretieren (frequentistische Deutung) und verwenden können, Berechnungen auf Basis der Binomialverteilung oder einer durch die Normalverteilung approximierten Binomialvertei-lung durchführen können

| [[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung| Theorie]]
| [[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]

|}

Grundkompetenzen AHS

2016-03-24T16:26:30Z

Bernhard: /* Vektoren */

Die folgenden Tabellen listen alle Grundkompetenzen für die AHS auf.

Die Grundkompetenzen sind in insgesamt 4 Inhaltsbereiche gegliedert:

==Algebra und Geometrie==
===Grundbegriffe der Algebra===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AG 1.1
||Wissen über die Zahlenmengen ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, ℂ verständig einsetzen können
||[[Zahlenmengen | Theorie]]
||[[Zahlenmengen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 1.2
||Wissen über algebraische Begriffe angemessen einsetzen können: Variable, Terme, Formeln, (Un-)Gleichungen, Gleichungssysteme, Äquivalenz, Umformungen, Lösbarkeit
||[[Potenzen | Theorie]]
||[[Potenzen #Beispiele | Beispiele]]
|}
<small>Anmerkungen:

Bei den Zahlenmengen soll man die Mengenbezeichnungen und die Teilmengen
beziehungen kennen, Elemente angeben sowie zuordnen können und die reellen Zahlen als Grundlage kontinuierlicher Modelle kennen. Zum Wissen
über die reellen Zahlen gehört auch, dass es Zahlenbereiche gibt, die über
ℝ hinausgehen.

Die algebraischen Begriffe soll man anhand von einfachen Beispielen beschreiben/erklären und verständig verwenden können.</small>

===(Un-)Gleichungen und Gleichungssysteme===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AG 2.1
|| einfache Terme und Formeln aufstellen, umformen und im Kontext deuten können
||[[Formeln| Theorie]]
||[[Formeln #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 2.2
|| lineare Gleichungen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen und die Lösung im Kontext deuten können
||[[lineare Gleichungen mit einer Variablen | Theorie]]
||[[lineare Gleichungen mit einer Variablen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 2.3
|| quadratische Gleichungen in einer Variablen umformen/lösen, über Lösungsfälle Bescheid wissen, Lösungen und Lösungsfälle (auch geometrisch) deuten können
||[[Quadratische Gleichungen | Theorie]]
||[[Quadratische Gleichungen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 2.4
||lineare Ungleichungen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen, Lösungen (auch geometrisch) deuten können
||[[Lineare Ungleichungen mit 2 Variablen | Theorie]]
||[[Lineare Ungleichungen mit 2 Variablen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 2.5
||lineare Gleichungssysteme in zwei Variablen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen, über Lösungsfälle Bescheid wissen, Lösungen und Lösungsfälle (auch geometrisch) deuten können
||[[Gleichungssysteme | Theorie]]
||[[Gleichungssysteme #Matura-Aufgaben| Beispiele]]
|}
<small>Anmerkungen:

Einfache Terme können auch Potenzen, Wurzeln, Logarithmen, Sinus
etc. beinhalten.

Mit dem Einsatz elektronischer Hilfsmittel können auch komplexere Umformungen von Termen, Formeln und Gleichungen, Ungleichungen und Gleichungssystemen durchgeführt werden.</small>

===Vektoren===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AG 3.1
||Vektoren als Zahlentupel verständig einsetzen und im Kontext deuten können
||[[Vektorrechnung | Theorie]]
||[[Vektorrechnung #Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|-
||AG 3.2
||Vektoren geometrisch (als Punkte bzw. Pfeile) deuten und verständig einsetzen können
||[[Vektorrechnung | Theorie]]
||[[Vektorrechnung #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 3.3
||Definition der Rechenoperationen mit Vektoren (Addition, Multiplikation mit einem Skalar, Skalarmultiplikation) kennen, Rechenoperationen verständig einsetzen und (auch geometrisch) deuten können
||[[Vektorrechnung | Theorie]]
||[[Vektorrechnung #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 3.4
||Geraden durch (Parameter-)Gleichungen in $ℝ^2$ und $ℝ^3$ angeben können; Geradengleichungen interpretieren können; Lagebeziehungen (zwischen Geraden und zwischen Punkt und Gerade) analysieren, Schnittpunkte ermitteln können
||[[Geraden | Theorie]]
||[[Geraden #Beispiele| Beispiele]]
|-
||AG 3.5
||Normalvektoren in ℝ² aufstellen, verständig einsetzen und interpretieren
können
||[[Vektorrechnung | Theorie]]
||[[Vektorrechnung #Beispiele | Beispiele]]
|}
<small>Anmerkungen:

Vektoren sind als Zahlentupel, also als algebraische Objekte, zu verstehen und in entsprechenden Kontexten ver-ständig einzusetzen. Punkte und Pfeile in der Ebene und im Raum müssen als geometrische Veranschaulichung dieser algebraischen Objekte interpretiert werden können.

Die geometrische Deutung der Skalarmultiplikation (in ℝ² und ℝ³) meint hier nur den Spezialfall $a\cdot b= 0$. Geraden sollen in Parameterform, in ℝ² auch in parameterfreier Form, angegeben und interpretiert werden können.</small>

===Trigonometrie===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AG 4.1
||Definitionen von ''Sinus'', ''Cosinus'' und ''Tangens'' im rechtwinkeligen Dreieck kennen und zur Auflösung rechtwinkeliger Dreiecke einsetzen können
||[[Trigonometrie | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|-
||AG 4.2
||Definitionen von ''Sinus'' und ''Cosinus'' für Winkel größer als 90° kennen und einsetzen können
||[[Trigonometrie | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|}
<small>Anmerkungen:

Die Kontexte beschränken sich auf einfache Fälle in der Ebene und im Raum, komplexe (Vermessungs-)Aufgaben sind hier nicht gemeint; Sinus- und Cosinussatz werden dabei nicht benötigt.</small>
<br />

== Funktionale Abhängigkeiten ==

===Funktionsbegriff, reelle Funktionen, Darstellungsformen und Eigenschaften===
{| border="1"
!|Inhalt$\ \ \ $
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|FA 1.1
| für gegebene Zusammenhänge entscheiden können, ob man sie als Funktionen betrachten kann
| [[Funktionen | Theorie]]
| [[Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
|FA 1.2
| Formeln als Darstellung von Funktionen interpretieren und dem Funktionstyp zuordnen können.
| [[Funktionen | Theorie]]
| [[Funktionen #Schularbeiten- und Testaufgaben | Beispiele]]
|-
|FA 1.3
| zwischen tabellarischen und grafischen Darstellungen funktionaler Zusammenhänge wechseln können
| [[Funktionen | Theorie]]
| [[Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
|FA 1.4
| aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Funktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können
| [[Funktionen | Theorie]]
| [[Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
|FA 1.5
| Eigenschaften von Funktionen erkennen, benennen, im Kontext deuten und zum Erstellen von Funktionsgraphen einsetzen können: Monotonie, Monotoniewechsel (lokale Extrema), Wendepunkte, Periodizität, Achsensymmetrie, asymptotisches Verhalten, Schnittpunkte mit den Achsen
| [[Funktionen | Theorie]]
| [[Funktionen #Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|-
|FA 1.6
| Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen grafisch und rechnerisch ermitteln und im Kontext interpretieren können
| [[Schnittpunkt zweier Funktionen | Theorie]]
| [[Schnittpunkt zweier Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
|FA 1.7
| Funktionen als mathematische Modelle verstehen und damit verständig arbeiten können
| [[mathematische Modelle | Theorie]]
| [[mathematische Modelle #Beispiele | Beispiele]]
|-
|FA 1.8
| durch Gleichungen (Formeln) gegebene Funktionen mit mehreren Veränderlichen im Kontext deuten können, Funktionswerte ermitteln können
| [[Funktionen in mehreren Unbekannten | Theorie]]
| [[Funktionen in mehreren Unbekannten #Beispiele | Beispiele]]
|-
|FA 1.9
| einen Überblick über die wichtigsten (unten angeführten) Typen mathematischer Funktionen geben, ihre Eigenschaften vergleichen können
| [[Funktionen | Theorie]]
| [[Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-

|}
<br>
<br>
Anmerkungen:
Auf eine sichere Unterscheidung zwischen funktionalen und nichtfunktionalen Zusammenhängen wird Wert gelegt,auf theoretisch bedeutsame Eigenschaften (z. B. Injektivität, Surjektivität, Umkehrbarkeit)wird aber nicht fokussiert.
Im Vordergrund steht die Rolle von Funktionen als Modelle und die verständige Nutzung grundlegender Funktionstypen und deren Eigenschaften sowie der verschiedenen Darstellungsformen von Funktionen (auch f:A→B,x↦f(x) ).
Die Bearbeitung von Funktionen mit mehreren Veränderlichen beschränkt sich auf die Interpretation der Funktionsgleichung im jeweiligen Kontext sowie auf die Ermittlung von Funktionswerten.
Der Verlauf von Funktionen soll nicht nur mathematisch beschrieben, sondern auch im jeweiligen Kontext gedeutet werden können.

===Lineare Funktion [ $f(x)=k\cdot x+d$ ]===
{| border="1"
!|Inhalt$\ \ \ $
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|FA 2.1
| verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene lineare Zusammenhänge als lineare Funktionen erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können
| [[Lineare Funktionen| Theorie]]
| [[Lineare Funktionen #Schularbeiten- und Testaufgaben | Beispiele]]
|-
|FA 2.2
| aus Tabellen, Graphen und Gleichungen linearer Funktionen Werte(paare) sowie die Parameter k und d ermitteln und im Kontext deuten können
| [[Lineare Funktionen | Theorie]]
| [[Lineare Funktionen #Schularbeiten- und Testaufgaben | Beispiele]]
|-
|FA 2.3
| die Wirkung der Parameter k und d kennen und die Parameter in unterschiedlichen Kontexten deuten können
| [[Lineare Funktionen| Theorie]]
| [[Lineare Funktionen #Schularbeiten- und Testaufgaben | Beispiele]]
|-
|FA 2.4
| charakteristische Eigenschaften kennen und im Kontext deuten können: $f(x+1)=f(x)+k; \frac {f(x_2)-f(x_1)} {x_2-x_1}=k=[f´(x)]$
| [[Lineare Funktionen | Theorie]]
| [[Lineare Funktionen #Schularbeiten- und Testaufgaben | Beispiele]]
|-
|FA 2.5
| die Angemessenheit einer Beschreibung mittels linearer Funktion bewerten können
| [[Lineare Funktionen | Theorie]]
| [[Lineare Funktionen #Schularbeiten- und Testaufgaben | Beispiele]]
|-

|FA 2.6
| direkte Proportionalität als lineare Funktion vom Typ $f(x)=k\cdot x$
beschreiben können
| [[Lineare Funktionen | Theorie]]
| [[Lineare Funktionen #Schularbeiten- und Testaufgaben | Beispiele]]
|-

|}
<br>
<br>
Anmerkungen:
Die Parameter k und d sollen sowohl für konkrete Werte als auch allgemein im jeweiligen Kontext interpretiert werden können. Entsprechendes gilt für die Wirkung der Parameter und deren Änderung.
<br>
<br>

===Potenzfunktion mit $f(x)=a\cdot x^z+b, z\in \mathbb{Z}$ oder mit $f(x)=a \cdot x^{ \frac{1}{2} } +b$===
{| border="1"
!|Inhalt$\ \ \ $
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|FA 3.1
| verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene Zusammenhänge dieser Art als entsprechende Potenzfunktionen erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können
| [[Potenzfunktionen | Theorie]]
| [[Potenzfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
|FA 3.2
| aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Potenzfunktionen Werte(paare) sowie die Parameter a und b ermitteln und im Kontext deuten können
| [[Potenzfunktionen | Theorie]]
| [[Potenzfunktionen #Schularbeiten- und Testaufgaben | Beispiele]]
|-
|FA 3.3
| die Wirkung der Parameter a und b kennen und die Parameter im Kontext deuten können
| [[Potenzfunktionen | Theorie]]
| [[Potenzfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
|FA 3.4
| indirekte Proportionalität als Potenzfunktion vom Typ $f(x)=\frac {a} {x}$ (bzw.$f(x)=a\cdot x^{–1}$beschreiben können $f(x+1)=f(x)+k; \frac {f(x_2)-f(x_1)} {x_2-x_1}=k=[f´(x)]$
| [[Potenzfunktionen | Theorie]]
| [[Potenzfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-

|}
<br>
<br>
Anmerkungen:
Wurzelfunktionen bleiben auf den quadratischen Fall $a\cdot x^\frac {1} {2}+b$ beschränkt.
<br>
<br>

===Polynomfunktion [ $f(x)=\sum_{i=0}^{n} a_i \cdot x^i$ mit $ n \in ℕ$ ]===
{| border="1"
!|Inhalt$\ \ \ $
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|FA 4.1
| typische Verläufe von Graphen in Abhängigkeit vom Grad der Polynomfunktion (er)kennen
| [[Polynomfunktionen | Theorie]]
| [[Polynomfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
|FA 4.2
| zwischen tabellarischen und grafischen Darstellungen von Zusammenhängen dieser Art wechseln können
| [[Polynomfunktionen | Theorie]]
| [[Polynomfunktionen #Schularbeiten- und Testaufgaben | Beispiele]]
|-
|FA 4.3
| aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Polynomfunktionen Funktionswerte, aus Tabellen und Graphen sowie aus einer quadratischen Funktionsgleichung Argumentwerte ermitteln können
| [[Polynomfunktionen | Theorie]]
| [[Polynomfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
|FA 4.4
| den Zusammenhang zwischen dem Grad der Polynomfunktion und der Anzahl der Null- ,Extrem- und Wendestellen wissen
| [[Polynomfunktionen | Theorie]]
| [[Polynomfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-

|}
<br>
<br>
Anmerkungen:
Der Zusammenhang zwischen dem Grad der Polynomfunktion und der Anzahl der Null-, Extrem- und Wendestellen sollte für beliebige n bekannt sein, konkrete Aufgabenstellungen beschränken sich auf Polynomfunktionen mit $ n\le4$

Mithilfe elektronischer Hilfsmittel können Argumentwerte auch für Polynomfunktionen höheren Grades ermittelt werden.
<br>
<br>

===Exponentialfunktion [ $f(x)=a\cdot b^x$ bzw. $f(x)=a\cdot e^{\lambda \cdot x}$ mit a,b $\in ℝ^+$ , \ λ $\in $ ℝ ] ===
{| border="1"
!|Inhalt$\ \ \ $
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|FA 5.1
| verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene exponentielle Zusammenhänge als Exponentialfunktion erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können
| [[Exponentialfunktionen | Theorie]]
| [[Exponentialfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
|FA 5.2
| aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Exponentialfunktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können
| [[Exponentialfunktionen | Theorie]]
| [[Exponentialfunktionen #Schularbeiten- und Testaufgaben | Beispiele]]
|-
|FA 5.3
| die Wirkung der Parameter a und b (bzw.$e^\lambda$) kennen und die Parameter in unterschiedlichen Kontexten deuten können
| [[Exponentialfunktionen | Theorie]]
| [[Exponentialfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
|FA 5.4
| charakteristische Eigenschaften $(f(x +1)= b\cdot f(x); [e^x]´=e^x])$ kennen und im Kontext deuten können
| [[Exponentialfunktionen | Theorie]]
| [[Exponentialfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
|FA 5.5
| die Begriffe ''Halbwertszeit'' und ''Verdoppelungszeit'' kennen, die entsprechenden Werte berechnen und im Kontext deuten können
| [[Exponentialfunktionen | Theorie]]
| [[Exponentialfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
|FA 5.6
| die Angemessenheit einer Beschreibung mittels Exponentialfunktion bewerten können
| [[Exponentialfunktionen | Theorie]]
| [[Exponentialfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-

|}
<br>
<br>
Anmerkungen:Die Parameter a und b (bzw. $e^λ$) sollen sowohl für konkrete Werte als auch allgemein im jeweiligen Kontext interpretiert werden können. Entsprechendes gilt für die Wirkung der Parameter und deren Änderung.

===Sinusfunktion, Cosinusfunktion ===
{| border="1"
!|Inhalt$\ \ \ $
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|FA 6.1
| grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene Zusammenhänge der Art $f(x)=a\cdot sin(b\cdot x)$ als allgemeine Sinusfunktion erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können
| [[Trigonometrie | Theorie]]
| [[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|-
|FA 6.2
| aus Graphen und Gleichungen von allgemeinen Sinusfunktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können
| [[Trigonometrie | Theorie]]
| [[Trigonometrie #Schularbeiten- und Testaufgaben | Beispiele]]
|-
|FA 6.3
| die Wirkung der Parameter a und b kennen und die Parameter im Kontext deuten können
| [[Trigonometrie | Theorie]]
| [[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|-
|FA 6.4
| Periodizität als charakteristische Eigenschaft kennen und im Kontext deuten können
| [[Trigonometrie | Theorie]]
| [[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|-
|FA 6.5
| wissen, dass $cos(x)= sin(x + \frac {\pi} {2})$
| [[Trigonometrie | Theorie]]
| [[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|-
|FA 6.6
| wissen, dass gilt: $[sin(x)]`=cos(x), [cos(x)]`=-sin(x)$
| [[Trigonometrie | Theorie]]
| [[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|-

|}
<br>
<br>
Anmerkungen:Während zur Auflösung von rechtwinkeligen Dreiecken Sinus, Cosinus und
Tangens verwendet werden, beschränkt sich die funktionale Betrachtung (weitgehend) auf die allgemeine Sinusfunktion. Wesentlich dabei sind die Interpretation der Parameter (im Graphen wie auch in entsprechenden Kontexten) sowie der Verlauf des Funktionsgraphen und die Periodizität.

== Analysis ==
===Änderungsmaße===
{| border="1"
!|Inhalt$\ \ \ $
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|AN 1.1.
| absolute und relative (prozentuelle) Änderungsmaße unterscheiden und angemessen verwenden können
| [[Änderungsmaße| Theorie]]
| [[Änderungsmaße #Beispiele | Beispiele]]
|-
|AN 1.2.
| den Zusammenhang ''Differenzenquotient (mittlere Änderungsrate) – Differenzialquotient („momentane“ Änderungsrate)'' auf der Grundlage eines intuitiven Grenzwertbegriffes kennen und damit (verbal sowie in formaler Schreibweise) auch kontextbezogen anwenden können
| [[Differenzen- und Differentialquotient | Theorie]]
| [[Differenzen- und Differentialquotient #Maturabeispiele| Beispiele]]
|-
|AN 1.3.
| den Differenzen- und Differenzialquotienten in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverhalte durch den Differenzen- bzw. Differenzialquotienten beschreiben können
| [[Differenzieren: Rechnerisches Bestimmen von f'|Theorie]]
| [[Differenzen-_und_Differentialquotient #Maturabeispiele| Beispiele]]
|-
|AN 1.4.
| das systemdynamische Verhalten von Größen durch Differenzengleichungen beschreiben bzw. diese im Kontext deuten können
| [[Differenzengleichungen | Theorie]]
| [[Differenzengleichungen #Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|}
<br>
<small>Anmerkungen:
Der Fokus liegt auf dem Darstellen von Änderungen durch Differenzen von Funktionswerten, durch prozentuelle Veränderungen, durch Differenzenquotienten und durch Differenzialquotienten, ganz besonders aber auch auf der Interpretation dieser Veränderungsmaße im jeweiligen Kontext.
Durch den Einsatz elektronischer Hilfsmittel ist auch die Berechnung von Differenzen- und Differenzialquotienten beliebiger (differenzierbarer) Funktionen möglich.</small>
<br>
<br>

===Regeln für das Differenzieren===
{| border="1"
!|Inhalt$\ \ \ $
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|AN 2.1.
| einfache Regeln des Differenzierens kennen und anwenden können: Potenzregel, Summenregel, Regeln für $[k \cdot f(x)]′$ und $[f(k \cdot x)]′$ (vgl. Inhaltsbereich ''Funktionale Abhängigkeiten'')
| [[Differenzieren: Rechnerisches Bestimmen von f' | Theorie]]
| [[Differenzieren: Rechnerisches Bestimmen von f' #Beispiele | Beispiele]]
|}
<br>
<br>

===Ableitungsfunktion/Stammfunktion===
{| border="1"
!|Inhalt$\ \ \ $
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|AN 3.1.
| den Begriff ''Ableitungsfunktion/Stammfunktion'' kennen und zur Beschreibung von Funktionen einsetzen können
| [[Integration| Theorie]]
| [[Integration#Beispiele | Beispiele]]
|-
|AN 3.2.
| den Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitungsfunktion (bzw. Funktion und Stammfunktion) in deren grafischer Darstellung (er)kennen und beschreiben können
| [[Integration| Theorie]]
| [[Integration#Beispiele | Beispiele]]
|-
|AN 3.3.
| Eigenschaften von Funktionen mithilfe der Ableitung(sfunktion) beschreiben können: Monotonie, lokale Extrema, Links- und Rechtskrümmung, Wendestellen
| [[Integration| Theorie]]
| [[Integration#Beispiele | Beispiele]]
|}
<br>
<small>Anmerkungen:

Der Begriff der ''Ableitung(sfunktion)'' soll verständig und zweckmäßig zur Beschreibung von Funktionen eingesetzt werden.

Durch den Einsatz elektronischer Hilfsmittel ist das Ableiten von Funktionen nicht durch die in den Grundkompetenzen angeführten Differenziationsregeln eingeschränkt.</small>
<br>
<br>

===Summation und Integral===
{| border="1"
!|Inhalt$\ \ \ $
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|AN 4.1.
| den Begriff des bestimmten Integrals als Grenzwert einer Summe von Produkten deuten und beschreiben können
| [[Integration| Theorie]]
| [[Integration#Beispiele | Beispiele]]
|-
|AN 4.2.
| einfache Regeln des Integrierens kennen und anwenden können: Potenzregel, Summenregel, $\int k\cdot f(x)\,dx$, $\int f(k\cdot x)\,dx$ (vgl. Inhaltsbereich ''Funktionale Abhängigkeiten''), bestimmte Integrale von Polynomfunktionen ermitteln können
| [[Integration| Theorie]]
| [[Integration#Beispiele | Beispiele]]
|-
|AN 4.3.
| das bestimmte Integral in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverhalte durch Integrale beschreiben können
| [[Integration| Theorie]]
| [[Integration#Beispiele | Beispiele]]
|}
<br>
<small>Anmerkungen:

Analog zum Differenzialquotienten liegt der Fokus beim bestimmten Integral auf der Beschreibung entsprechender Sachverhalte durch bestimmte Integrale sowie vor allem auf der angemessenen Interpretation des bestimmten Integrals im jeweiligen Kontext.

Durch den Einsatz elektronischer Hilfsmittel ist die Berechnung von bestimmten Integralen nicht durch die in den Grundkompetenzen angeführten Integrationsregeln eingeschränkt.</small>
<br>
<br>

== Wahrscheinlichkeit und Statistik==
=== Beschreibende Statistik ===
{| border="1"
!|Inhalt$\ \ \ $
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|WS 1.1
|Werte aus tabellarischen und elementaren grafischen Darstellungen ablesen (bzw. zusammengesetzte Werte ermitteln) und im jeweiligen Kontext angemessen interpretieren können
| [[Statistik:Daten und Diagramme| Theorie]]
| [[Beschreibende_Statistik#tab=Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|}
<br />
Anmerkungen:<br />
(un-)geordnete Liste, Strichliste, Piktogramm, Säulen-, Balken-, Linien-, Stängel-Blatt-, Punktwolkendiagramm, Histogramm (als Spezialfall eines Säulendiagramms), Prozentstreifen, Kastenschaubild (Boxplot)
<br />
<br />
{| border="1"
|-
|WS 1.2 $\ \ \ $
| Tabellen und einfache statistische Grafiken erstellen, zwischen Darstellungsformen wechseln können.

| [[Beschreibende_Statistik#tab=Zentralma_C3_9Fe_-_statistische_Kennzahlen_f_C3_BCr_das_Mittel| Theorie]]
| [[Beschreibende_Statistik#tab=Matura-Aufgaben| Beispiele]]
|-
|WS 1.3
| statistische Kennzahlen (absoluteund relative Häufigkeiten; arithmetisches Mittel, Median, Modus, Quartile, Spannweite, empirische Varianz/Standardabweichung) im jeweiligen Kontext interpretieren können; die angeführten Kennzahlen für einfache Datensätze ermitteln können

| [[Wahrscheinlichkeit:_Grundlagen| Theorie]]
| [[Wahrscheinlichkeitsrechnung#Matura-Aufgaben| Beispiele]]
|-
|WS 1.4
|Definition und wichtige Eigenschaften des arithmetischen Mittels und des Medians angeben und nutzen, Quartile ermitteln und interpretieren können, die Entscheidung für die Verwen-dung einer bestimmten Kennzahl begründen können

| [[Wahrscheinlichkeit:_Baumdiagramme_und_Pfadregeln| Theorie]]
| [[Wahrscheinlichkeitsrechnung#Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|}
<br />
Anmerkungen:<br />
Wenn auch statistische Kennzahlen (für einfache Datensätze) ermittelt und elementare statistische Grafiken erstellt werden sollen, liegt das Hauptaugenmerk auf verständigen Interpretationen von Grafiken (unter Beachtung von Manipulationen) und Kennzahlen. Speziell für das arithmetische Mittel und den Median (auch als Quartile) müssen die wichtigsten Eigenschaften (definitorische Eigenschaften, Datentyp-Verträglichkeit, Ausreißerempfindlichkeit) gekannt und verständig eingesetzt bzw. berücksichtigt werden. Beim arithmetischen Mittelsind allenfalls erforderliche Gewichtungen zu beachten („gewogenes arithmetisches Mittel“) und zu nutzen (Bildung des arithmetischen Mittels aus arithmetischen Mitteln von Teilmengen).
<br />
<br />

=== Wahrscheinlichkeitsrechnung ===
{| border="1"
!|Inhalt$\ \ \ $
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|WS 2.1
|Grundraum und Ereignisse in angemessenen Situationen verbal beziehungsweise formal angeben können.
| [[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung| Theorie]]
| [[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]
|-
|WS 2.2
|relative Häufigkeit als Schätzwert von Wahrscheinlichkeit verwenden und anwenden können

| [[Wahrscheinlichkeit: Normalverteilung und Stetige Zufallsvariablen#Normalverteilung| Theorie]]
| [[Wahrscheinlichkeit: Normalverteilung und Stetige Zufallsvariablen#Beispiele | Beispiele]]
|-
|WS 2.3
| Wahrscheinlichkeit unter der Verwendung der Laplace-Annahme (Laplace-Wahrscheinlichkeit) berechnen und interpretieren können, Additionsregel und Multiplikationsregel anwenden und interpretieren können

| [[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung| Theorie]]
| [[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]
|-
|}
<br />
Anmerkungen:<br />
Die Multiplikationsregel kann unter Verwendung der kombinatorischen Grundlagen und der Anwendung der Laplace-Regel (auch) umgangen werden.
<br />
<br />
{| border="1"
|-
|WS 2.4
| Binomialkoeffizient berechnen und interpretieren können.

| [[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung| Theorie]]
| [[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]

|}
<br />

<br />
<br />

=== Wahrscheinlichkeitsverteilungen ===
{| border="1"
!|Inhalt$\ \ \ $
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|WS 3.1
| die Begriffe ''Zufallsvariable'', ''(Wahrscheinlichkeits-)Verteilung'', ''Erwartungswert'' und ''Standard-abweichung'' verständig deuten und einsetzen können.

| [[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung| Theorie]]
| [[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]

|-
|WS 3.2
| Binomialverteilung als Modell einer diskreten Verteilung kennen – Erwartungswert sowie Varianz/Standardabweichung binomialverteilterZufallsgrößen ermitteln können, Wahrscheinlichkeitsverteilung binomialverteilter Zufallsgrößen angeben können, Arbeiten mit der Binomialverteilung in anwendungsorientierten Bereichen

| [[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung| Theorie]]
| [[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]

|-
|WS 3.3
| Wahrscheinlichkeit unter der Verwendung der Laplace-Annahme (Laplace-Wahrscheinlichkeit) berechnen und interpretieren können, Additionsregel und Multiplikationsregel anwenden und interpretieren können

| [[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung| Theorie]]
| [[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]
|-
|WS 3.4
| Normalapproximation der Binomialverteilung interpretieren und anwenden können

| [[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung| Theorie]]
| [[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]
|-
|}
<br />
Anmerkungen:<br />
Kennen und Anwenden der Faustregel, dass die Normalapproximation der Binomialverteilung mit den Parametern n und p dann anzuwenden ist und gute Näherungswerte liefert, wenn die Bedingung n · p · (1 – p) ≥ 9 erfüllt ist. Die Anwendung der Stetigkeitskorrektur ist nicht notwendig und daher für Berechnungen im Zuge von Prüfungsbeispielen vernachlässigbar. Kennen des Verlaufs der Dichtefunktion φ der Standardnormalverteilung mit Erwartungswert μ und Standardabweichung σ. Arbeiten mit der Verteilungsfunktion Φ der Standardnormalverteilung und korrektes Ablesen der entsprechenden Wert.
<br />
<br />
{| border="1"
|-
|}
<br />

<br />
<br />

=== Schließende/Beurteilende Statistik ===
{| border="1"
!|Inhalt$\ \ \ $
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|WS 4.1
| Konfidenzintervalle als Schätzung für eine Wahrscheinlichkeit oder einen unbekannten Anteil pinterpretieren (frequentistische Deutung) und verwenden können, Berechnungen auf Basis der Binomialverteilung oder einer durch die Normalverteilung approximierten Binomialvertei-lung durchführen können

| [[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung| Theorie]]
| [[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]

|}

Grundkompetenzen AHS

2016-03-24T16:25:53Z

Bernhard:

Die folgenden Tabellen listen alle Grundkompetenzen für die AHS auf.

Die Grundkompetenzen sind in insgesamt 4 Inhaltsbereiche gegliedert:

==Algebra und Geometrie==
===Grundbegriffe der Algebra===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AG 1.1
||Wissen über die Zahlenmengen ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, ℂ verständig einsetzen können
||[[Zahlenmengen | Theorie]]
||[[Zahlenmengen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 1.2
||Wissen über algebraische Begriffe angemessen einsetzen können: Variable, Terme, Formeln, (Un-)Gleichungen, Gleichungssysteme, Äquivalenz, Umformungen, Lösbarkeit
||[[Potenzen | Theorie]]
||[[Potenzen #Beispiele | Beispiele]]
|}
<small>Anmerkungen:

Bei den Zahlenmengen soll man die Mengenbezeichnungen und die Teilmengen
beziehungen kennen, Elemente angeben sowie zuordnen können und die reellen Zahlen als Grundlage kontinuierlicher Modelle kennen. Zum Wissen
über die reellen Zahlen gehört auch, dass es Zahlenbereiche gibt, die über
ℝ hinausgehen.

Die algebraischen Begriffe soll man anhand von einfachen Beispielen beschreiben/erklären und verständig verwenden können.</small>

===(Un-)Gleichungen und Gleichungssysteme===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AG 2.1
|| einfache Terme und Formeln aufstellen, umformen und im Kontext deuten können
||[[Formeln| Theorie]]
||[[Formeln #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 2.2
|| lineare Gleichungen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen und die Lösung im Kontext deuten können
||[[lineare Gleichungen mit einer Variablen | Theorie]]
||[[lineare Gleichungen mit einer Variablen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 2.3
|| quadratische Gleichungen in einer Variablen umformen/lösen, über Lösungsfälle Bescheid wissen, Lösungen und Lösungsfälle (auch geometrisch) deuten können
||[[Quadratische Gleichungen | Theorie]]
||[[Quadratische Gleichungen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 2.4
||lineare Ungleichungen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen, Lösungen (auch geometrisch) deuten können
||[[Lineare Ungleichungen mit 2 Variablen | Theorie]]
||[[Lineare Ungleichungen mit 2 Variablen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 2.5
||lineare Gleichungssysteme in zwei Variablen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen, über Lösungsfälle Bescheid wissen, Lösungen und Lösungsfälle (auch geometrisch) deuten können
||[[Gleichungssysteme | Theorie]]
||[[Gleichungssysteme #Matura-Aufgaben| Beispiele]]
|}
<small>Anmerkungen:

Einfache Terme können auch Potenzen, Wurzeln, Logarithmen, Sinus
etc. beinhalten.

Mit dem Einsatz elektronischer Hilfsmittel können auch komplexere Umformungen von Termen, Formeln und Gleichungen, Ungleichungen und Gleichungssystemen durchgeführt werden.</small>

===Vektoren===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AG 3.1
||Vektoren als Zahlentupel verständig einsetzen und im Kontext deuten können
||[[Vektorrechnung | Theorie]]
||[[Vektorrechnung #Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|-
||AG 3.2
||Vektoren geometrisch (als Punkte bzw. Pfeile) deuten und verständig einsetzen können
||[[Vektorrechnung | Theorie]]
||[[Vektorrechnung #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 3.3
||Definition der Rechenoperationen mit Vektoren (Addition, Multiplikatio
n mit einem Skalar, Skalarmultiplikation) kennen, Rechenoperationen verständig einsetzen und (auch geometrisch) deuten können
||[[Vektorrechnung | Theorie]]
||[[Vektorrechnung #Beispiele | Beispiele]]
|-
||AG 3.4
||Geraden durch (Parameter-)Gleichungen in $ℝ^2$ und $ℝ^3$ angeben können; Geradengleichungen interpretieren können; Lagebeziehungen (zwischen Geraden und zwischen Punkt und Gerade) analysieren, Schnittpunkte ermitteln können
||[[Geraden | Theorie]]
||[[Geraden #Beispiele| Beispiele]]
|-
||AG 3.5
||Normalvektoren in ℝ² aufstellen, verständig einsetzen und interpretieren
können
||[[Vektorrechnung | Theorie]]
||[[Vektorrechnung #Beispiele | Beispiele]]
|}
<small>Anmerkungen:

Vektoren sind als Zahlentupel, also als algebraische Objekte, zu verstehen und in entsprechenden Kontexten ver-ständig einzusetzen. Punkte und Pfeile in der Ebene und im Raum müssen als geometrische Veranschaulichung dieser algebraischen Objekte interpretiert werden können.

Die geometrische Deutung der Skalarmultiplikation (in ℝ² und ℝ³) meint hier nur den Spezialfall $a\cdot b= 0$. Geraden sollen in Parameterform, in ℝ² auch in parameterfreier Form, angegeben und interpretiert werden können.</small>

===Trigonometrie===
{| border="1"
|-
!|Inhalt$\ \ \ $
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||AG 4.1
||Definitionen von ''Sinus'', ''Cosinus'' und ''Tangens'' im rechtwinkeligen Dreieck kennen und zur Auflösung rechtwinkeliger Dreiecke einsetzen können
||[[Trigonometrie | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|-
||AG 4.2
||Definitionen von ''Sinus'' und ''Cosinus'' für Winkel größer als 90° kennen und einsetzen können
||[[Trigonometrie | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|}
<small>Anmerkungen:

Die Kontexte beschränken sich auf einfache Fälle in der Ebene und im Raum, komplexe (Vermessungs-)Aufgaben sind hier nicht gemeint; Sinus- und Cosinussatz werden dabei nicht benötigt.</small>
<br />

== Funktionale Abhängigkeiten ==

===Funktionsbegriff, reelle Funktionen, Darstellungsformen und Eigenschaften===
{| border="1"
!|Inhalt$\ \ \ $
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|FA 1.1
| für gegebene Zusammenhänge entscheiden können, ob man sie als Funktionen betrachten kann
| [[Funktionen | Theorie]]
| [[Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
|FA 1.2
| Formeln als Darstellung von Funktionen interpretieren und dem Funktionstyp zuordnen können.
| [[Funktionen | Theorie]]
| [[Funktionen #Schularbeiten- und Testaufgaben | Beispiele]]
|-
|FA 1.3
| zwischen tabellarischen und grafischen Darstellungen funktionaler Zusammenhänge wechseln können
| [[Funktionen | Theorie]]
| [[Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
|FA 1.4
| aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Funktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können
| [[Funktionen | Theorie]]
| [[Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
|FA 1.5
| Eigenschaften von Funktionen erkennen, benennen, im Kontext deuten und zum Erstellen von Funktionsgraphen einsetzen können: Monotonie, Monotoniewechsel (lokale Extrema), Wendepunkte, Periodizität, Achsensymmetrie, asymptotisches Verhalten, Schnittpunkte mit den Achsen
| [[Funktionen | Theorie]]
| [[Funktionen #Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|-
|FA 1.6
| Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen grafisch und rechnerisch ermitteln und im Kontext interpretieren können
| [[Schnittpunkt zweier Funktionen | Theorie]]
| [[Schnittpunkt zweier Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
|FA 1.7
| Funktionen als mathematische Modelle verstehen und damit verständig arbeiten können
| [[mathematische Modelle | Theorie]]
| [[mathematische Modelle #Beispiele | Beispiele]]
|-
|FA 1.8
| durch Gleichungen (Formeln) gegebene Funktionen mit mehreren Veränderlichen im Kontext deuten können, Funktionswerte ermitteln können
| [[Funktionen in mehreren Unbekannten | Theorie]]
| [[Funktionen in mehreren Unbekannten #Beispiele | Beispiele]]
|-
|FA 1.9
| einen Überblick über die wichtigsten (unten angeführten) Typen mathematischer Funktionen geben, ihre Eigenschaften vergleichen können
| [[Funktionen | Theorie]]
| [[Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-

|}
<br>
<br>
Anmerkungen:
Auf eine sichere Unterscheidung zwischen funktionalen und nichtfunktionalen Zusammenhängen wird Wert gelegt,auf theoretisch bedeutsame Eigenschaften (z. B. Injektivität, Surjektivität, Umkehrbarkeit)wird aber nicht fokussiert.
Im Vordergrund steht die Rolle von Funktionen als Modelle und die verständige Nutzung grundlegender Funktionstypen und deren Eigenschaften sowie der verschiedenen Darstellungsformen von Funktionen (auch f:A→B,x↦f(x) ).
Die Bearbeitung von Funktionen mit mehreren Veränderlichen beschränkt sich auf die Interpretation der Funktionsgleichung im jeweiligen Kontext sowie auf die Ermittlung von Funktionswerten.
Der Verlauf von Funktionen soll nicht nur mathematisch beschrieben, sondern auch im jeweiligen Kontext gedeutet werden können.

===Lineare Funktion [ $f(x)=k\cdot x+d$ ]===
{| border="1"
!|Inhalt$\ \ \ $
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|FA 2.1
| verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene lineare Zusammenhänge als lineare Funktionen erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können
| [[Lineare Funktionen| Theorie]]
| [[Lineare Funktionen #Schularbeiten- und Testaufgaben | Beispiele]]
|-
|FA 2.2
| aus Tabellen, Graphen und Gleichungen linearer Funktionen Werte(paare) sowie die Parameter k und d ermitteln und im Kontext deuten können
| [[Lineare Funktionen | Theorie]]
| [[Lineare Funktionen #Schularbeiten- und Testaufgaben | Beispiele]]
|-
|FA 2.3
| die Wirkung der Parameter k und d kennen und die Parameter in unterschiedlichen Kontexten deuten können
| [[Lineare Funktionen| Theorie]]
| [[Lineare Funktionen #Schularbeiten- und Testaufgaben | Beispiele]]
|-
|FA 2.4
| charakteristische Eigenschaften kennen und im Kontext deuten können: $f(x+1)=f(x)+k; \frac {f(x_2)-f(x_1)} {x_2-x_1}=k=[f´(x)]$
| [[Lineare Funktionen | Theorie]]
| [[Lineare Funktionen #Schularbeiten- und Testaufgaben | Beispiele]]
|-
|FA 2.5
| die Angemessenheit einer Beschreibung mittels linearer Funktion bewerten können
| [[Lineare Funktionen | Theorie]]
| [[Lineare Funktionen #Schularbeiten- und Testaufgaben | Beispiele]]
|-

|FA 2.6
| direkte Proportionalität als lineare Funktion vom Typ $f(x)=k\cdot x$
beschreiben können
| [[Lineare Funktionen | Theorie]]
| [[Lineare Funktionen #Schularbeiten- und Testaufgaben | Beispiele]]
|-

|}
<br>
<br>
Anmerkungen:
Die Parameter k und d sollen sowohl für konkrete Werte als auch allgemein im jeweiligen Kontext interpretiert werden können. Entsprechendes gilt für die Wirkung der Parameter und deren Änderung.
<br>
<br>

===Potenzfunktion mit $f(x)=a\cdot x^z+b, z\in \mathbb{Z}$ oder mit $f(x)=a \cdot x^{ \frac{1}{2} } +b$===
{| border="1"
!|Inhalt$\ \ \ $
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|FA 3.1
| verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene Zusammenhänge dieser Art als entsprechende Potenzfunktionen erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können
| [[Potenzfunktionen | Theorie]]
| [[Potenzfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
|FA 3.2
| aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Potenzfunktionen Werte(paare) sowie die Parameter a und b ermitteln und im Kontext deuten können
| [[Potenzfunktionen | Theorie]]
| [[Potenzfunktionen #Schularbeiten- und Testaufgaben | Beispiele]]
|-
|FA 3.3
| die Wirkung der Parameter a und b kennen und die Parameter im Kontext deuten können
| [[Potenzfunktionen | Theorie]]
| [[Potenzfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
|FA 3.4
| indirekte Proportionalität als Potenzfunktion vom Typ $f(x)=\frac {a} {x}$ (bzw.$f(x)=a\cdot x^{–1}$beschreiben können $f(x+1)=f(x)+k; \frac {f(x_2)-f(x_1)} {x_2-x_1}=k=[f´(x)]$
| [[Potenzfunktionen | Theorie]]
| [[Potenzfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-

|}
<br>
<br>
Anmerkungen:
Wurzelfunktionen bleiben auf den quadratischen Fall $a\cdot x^\frac {1} {2}+b$ beschränkt.
<br>
<br>

===Polynomfunktion [ $f(x)=\sum_{i=0}^{n} a_i \cdot x^i$ mit $ n \in ℕ$ ]===
{| border="1"
!|Inhalt$\ \ \ $
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|FA 4.1
| typische Verläufe von Graphen in Abhängigkeit vom Grad der Polynomfunktion (er)kennen
| [[Polynomfunktionen | Theorie]]
| [[Polynomfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
|FA 4.2
| zwischen tabellarischen und grafischen Darstellungen von Zusammenhängen dieser Art wechseln können
| [[Polynomfunktionen | Theorie]]
| [[Polynomfunktionen #Schularbeiten- und Testaufgaben | Beispiele]]
|-
|FA 4.3
| aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Polynomfunktionen Funktionswerte, aus Tabellen und Graphen sowie aus einer quadratischen Funktionsgleichung Argumentwerte ermitteln können
| [[Polynomfunktionen | Theorie]]
| [[Polynomfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
|FA 4.4
| den Zusammenhang zwischen dem Grad der Polynomfunktion und der Anzahl der Null- ,Extrem- und Wendestellen wissen
| [[Polynomfunktionen | Theorie]]
| [[Polynomfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-

|}
<br>
<br>
Anmerkungen:
Der Zusammenhang zwischen dem Grad der Polynomfunktion und der Anzahl der Null-, Extrem- und Wendestellen sollte für beliebige n bekannt sein, konkrete Aufgabenstellungen beschränken sich auf Polynomfunktionen mit $ n\le4$

Mithilfe elektronischer Hilfsmittel können Argumentwerte auch für Polynomfunktionen höheren Grades ermittelt werden.
<br>
<br>

===Exponentialfunktion [ $f(x)=a\cdot b^x$ bzw. $f(x)=a\cdot e^{\lambda \cdot x}$ mit a,b $\in ℝ^+$ , \ λ $\in $ ℝ ] ===
{| border="1"
!|Inhalt$\ \ \ $
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|FA 5.1
| verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene exponentielle Zusammenhänge als Exponentialfunktion erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können
| [[Exponentialfunktionen | Theorie]]
| [[Exponentialfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
|FA 5.2
| aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Exponentialfunktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können
| [[Exponentialfunktionen | Theorie]]
| [[Exponentialfunktionen #Schularbeiten- und Testaufgaben | Beispiele]]
|-
|FA 5.3
| die Wirkung der Parameter a und b (bzw.$e^\lambda$) kennen und die Parameter in unterschiedlichen Kontexten deuten können
| [[Exponentialfunktionen | Theorie]]
| [[Exponentialfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
|FA 5.4
| charakteristische Eigenschaften $(f(x +1)= b\cdot f(x); [e^x]´=e^x])$ kennen und im Kontext deuten können
| [[Exponentialfunktionen | Theorie]]
| [[Exponentialfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
|FA 5.5
| die Begriffe ''Halbwertszeit'' und ''Verdoppelungszeit'' kennen, die entsprechenden Werte berechnen und im Kontext deuten können
| [[Exponentialfunktionen | Theorie]]
| [[Exponentialfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
|FA 5.6
| die Angemessenheit einer Beschreibung mittels Exponentialfunktion bewerten können
| [[Exponentialfunktionen | Theorie]]
| [[Exponentialfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-

|}
<br>
<br>
Anmerkungen:Die Parameter a und b (bzw. $e^λ$) sollen sowohl für konkrete Werte als auch allgemein im jeweiligen Kontext interpretiert werden können. Entsprechendes gilt für die Wirkung der Parameter und deren Änderung.

===Sinusfunktion, Cosinusfunktion ===
{| border="1"
!|Inhalt$\ \ \ $
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|FA 6.1
| grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene Zusammenhänge der Art $f(x)=a\cdot sin(b\cdot x)$ als allgemeine Sinusfunktion erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können
| [[Trigonometrie | Theorie]]
| [[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|-
|FA 6.2
| aus Graphen und Gleichungen von allgemeinen Sinusfunktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können
| [[Trigonometrie | Theorie]]
| [[Trigonometrie #Schularbeiten- und Testaufgaben | Beispiele]]
|-
|FA 6.3
| die Wirkung der Parameter a und b kennen und die Parameter im Kontext deuten können
| [[Trigonometrie | Theorie]]
| [[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|-
|FA 6.4
| Periodizität als charakteristische Eigenschaft kennen und im Kontext deuten können
| [[Trigonometrie | Theorie]]
| [[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|-
|FA 6.5
| wissen, dass $cos(x)= sin(x + \frac {\pi} {2})$
| [[Trigonometrie | Theorie]]
| [[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|-
|FA 6.6
| wissen, dass gilt: $[sin(x)]`=cos(x), [cos(x)]`=-sin(x)$
| [[Trigonometrie | Theorie]]
| [[Trigonometrie #Beispiele | Beispiele]]
|-

|}
<br>
<br>
Anmerkungen:Während zur Auflösung von rechtwinkeligen Dreiecken Sinus, Cosinus und
Tangens verwendet werden, beschränkt sich die funktionale Betrachtung (weitgehend) auf die allgemeine Sinusfunktion. Wesentlich dabei sind die Interpretation der Parameter (im Graphen wie auch in entsprechenden Kontexten) sowie der Verlauf des Funktionsgraphen und die Periodizität.

== Analysis ==
===Änderungsmaße===
{| border="1"
!|Inhalt$\ \ \ $
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|AN 1.1.
| absolute und relative (prozentuelle) Änderungsmaße unterscheiden und angemessen verwenden können
| [[Änderungsmaße| Theorie]]
| [[Änderungsmaße #Beispiele | Beispiele]]
|-
|AN 1.2.
| den Zusammenhang ''Differenzenquotient (mittlere Änderungsrate) – Differenzialquotient („momentane“ Änderungsrate)'' auf der Grundlage eines intuitiven Grenzwertbegriffes kennen und damit (verbal sowie in formaler Schreibweise) auch kontextbezogen anwenden können
| [[Differenzen- und Differentialquotient | Theorie]]
| [[Differenzen- und Differentialquotient #Maturabeispiele| Beispiele]]
|-
|AN 1.3.
| den Differenzen- und Differenzialquotienten in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverhalte durch den Differenzen- bzw. Differenzialquotienten beschreiben können
| [[Differenzieren: Rechnerisches Bestimmen von f'|Theorie]]
| [[Differenzen-_und_Differentialquotient #Maturabeispiele| Beispiele]]
|-
|AN 1.4.
| das systemdynamische Verhalten von Größen durch Differenzengleichungen beschreiben bzw. diese im Kontext deuten können
| [[Differenzengleichungen | Theorie]]
| [[Differenzengleichungen #Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|}
<br>
<small>Anmerkungen:
Der Fokus liegt auf dem Darstellen von Änderungen durch Differenzen von Funktionswerten, durch prozentuelle Veränderungen, durch Differenzenquotienten und durch Differenzialquotienten, ganz besonders aber auch auf der Interpretation dieser Veränderungsmaße im jeweiligen Kontext.
Durch den Einsatz elektronischer Hilfsmittel ist auch die Berechnung von Differenzen- und Differenzialquotienten beliebiger (differenzierbarer) Funktionen möglich.</small>
<br>
<br>

===Regeln für das Differenzieren===
{| border="1"
!|Inhalt$\ \ \ $
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|AN 2.1.
| einfache Regeln des Differenzierens kennen und anwenden können: Potenzregel, Summenregel, Regeln für $[k \cdot f(x)]′$ und $[f(k \cdot x)]′$ (vgl. Inhaltsbereich ''Funktionale Abhängigkeiten'')
| [[Differenzieren: Rechnerisches Bestimmen von f' | Theorie]]
| [[Differenzieren: Rechnerisches Bestimmen von f' #Beispiele | Beispiele]]
|}
<br>
<br>

===Ableitungsfunktion/Stammfunktion===
{| border="1"
!|Inhalt$\ \ \ $
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|AN 3.1.
| den Begriff ''Ableitungsfunktion/Stammfunktion'' kennen und zur Beschreibung von Funktionen einsetzen können
| [[Integration| Theorie]]
| [[Integration#Beispiele | Beispiele]]
|-
|AN 3.2.
| den Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitungsfunktion (bzw. Funktion und Stammfunktion) in deren grafischer Darstellung (er)kennen und beschreiben können
| [[Integration| Theorie]]
| [[Integration#Beispiele | Beispiele]]
|-
|AN 3.3.
| Eigenschaften von Funktionen mithilfe der Ableitung(sfunktion) beschreiben können: Monotonie, lokale Extrema, Links- und Rechtskrümmung, Wendestellen
| [[Integration| Theorie]]
| [[Integration#Beispiele | Beispiele]]
|}
<br>
<small>Anmerkungen:

Der Begriff der ''Ableitung(sfunktion)'' soll verständig und zweckmäßig zur Beschreibung von Funktionen eingesetzt werden.

Durch den Einsatz elektronischer Hilfsmittel ist das Ableiten von Funktionen nicht durch die in den Grundkompetenzen angeführten Differenziationsregeln eingeschränkt.</small>
<br>
<br>

===Summation und Integral===
{| border="1"
!|Inhalt$\ \ \ $
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|AN 4.1.
| den Begriff des bestimmten Integrals als Grenzwert einer Summe von Produkten deuten und beschreiben können
| [[Integration| Theorie]]
| [[Integration#Beispiele | Beispiele]]
|-
|AN 4.2.
| einfache Regeln des Integrierens kennen und anwenden können: Potenzregel, Summenregel, $\int k\cdot f(x)\,dx$, $\int f(k\cdot x)\,dx$ (vgl. Inhaltsbereich ''Funktionale Abhängigkeiten''), bestimmte Integrale von Polynomfunktionen ermitteln können
| [[Integration| Theorie]]
| [[Integration#Beispiele | Beispiele]]
|-
|AN 4.3.
| das bestimmte Integral in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverhalte durch Integrale beschreiben können
| [[Integration| Theorie]]
| [[Integration#Beispiele | Beispiele]]
|}
<br>
<small>Anmerkungen:

Analog zum Differenzialquotienten liegt der Fokus beim bestimmten Integral auf der Beschreibung entsprechender Sachverhalte durch bestimmte Integrale sowie vor allem auf der angemessenen Interpretation des bestimmten Integrals im jeweiligen Kontext.

Durch den Einsatz elektronischer Hilfsmittel ist die Berechnung von bestimmten Integralen nicht durch die in den Grundkompetenzen angeführten Integrationsregeln eingeschränkt.</small>
<br>
<br>

== Wahrscheinlichkeit und Statistik==
=== Beschreibende Statistik ===
{| border="1"
!|Inhalt$\ \ \ $
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|WS 1.1
|Werte aus tabellarischen und elementaren grafischen Darstellungen ablesen (bzw. zusammengesetzte Werte ermitteln) und im jeweiligen Kontext angemessen interpretieren können
| [[Statistik:Daten und Diagramme| Theorie]]
| [[Beschreibende_Statistik#tab=Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|}
<br />
Anmerkungen:<br />
(un-)geordnete Liste, Strichliste, Piktogramm, Säulen-, Balken-, Linien-, Stängel-Blatt-, Punktwolkendiagramm, Histogramm (als Spezialfall eines Säulendiagramms), Prozentstreifen, Kastenschaubild (Boxplot)
<br />
<br />
{| border="1"
|-
|WS 1.2 $\ \ \ $
| Tabellen und einfache statistische Grafiken erstellen, zwischen Darstellungsformen wechseln können.

| [[Beschreibende_Statistik#tab=Zentralma_C3_9Fe_-_statistische_Kennzahlen_f_C3_BCr_das_Mittel| Theorie]]
| [[Beschreibende_Statistik#tab=Matura-Aufgaben| Beispiele]]
|-
|WS 1.3
| statistische Kennzahlen (absoluteund relative Häufigkeiten; arithmetisches Mittel, Median, Modus, Quartile, Spannweite, empirische Varianz/Standardabweichung) im jeweiligen Kontext interpretieren können; die angeführten Kennzahlen für einfache Datensätze ermitteln können

| [[Wahrscheinlichkeit:_Grundlagen| Theorie]]
| [[Wahrscheinlichkeitsrechnung#Matura-Aufgaben| Beispiele]]
|-
|WS 1.4
|Definition und wichtige Eigenschaften des arithmetischen Mittels und des Medians angeben und nutzen, Quartile ermitteln und interpretieren können, die Entscheidung für die Verwen-dung einer bestimmten Kennzahl begründen können

| [[Wahrscheinlichkeit:_Baumdiagramme_und_Pfadregeln| Theorie]]
| [[Wahrscheinlichkeitsrechnung#Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|}
<br />
Anmerkungen:<br />
Wenn auch statistische Kennzahlen (für einfache Datensätze) ermittelt und elementare statistische Grafiken erstellt werden sollen, liegt das Hauptaugenmerk auf verständigen Interpretationen von Grafiken (unter Beachtung von Manipulationen) und Kennzahlen. Speziell für das arithmetische Mittel und den Median (auch als Quartile) müssen die wichtigsten Eigenschaften (definitorische Eigenschaften, Datentyp-Verträglichkeit, Ausreißerempfindlichkeit) gekannt und verständig eingesetzt bzw. berücksichtigt werden. Beim arithmetischen Mittelsind allenfalls erforderliche Gewichtungen zu beachten („gewogenes arithmetisches Mittel“) und zu nutzen (Bildung des arithmetischen Mittels aus arithmetischen Mitteln von Teilmengen).
<br />
<br />

=== Wahrscheinlichkeitsrechnung ===
{| border="1"
!|Inhalt$\ \ \ $
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|WS 2.1
|Grundraum und Ereignisse in angemessenen Situationen verbal beziehungsweise formal angeben können.
| [[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung| Theorie]]
| [[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]
|-
|WS 2.2
|relative Häufigkeit als Schätzwert von Wahrscheinlichkeit verwenden und anwenden können

| [[Wahrscheinlichkeit: Normalverteilung und Stetige Zufallsvariablen#Normalverteilung| Theorie]]
| [[Wahrscheinlichkeit: Normalverteilung und Stetige Zufallsvariablen#Beispiele | Beispiele]]
|-
|WS 2.3
| Wahrscheinlichkeit unter der Verwendung der Laplace-Annahme (Laplace-Wahrscheinlichkeit) berechnen und interpretieren können, Additionsregel und Multiplikationsregel anwenden und interpretieren können

| [[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung| Theorie]]
| [[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]
|-
|}
<br />
Anmerkungen:<br />
Die Multiplikationsregel kann unter Verwendung der kombinatorischen Grundlagen und der Anwendung der Laplace-Regel (auch) umgangen werden.
<br />
<br />
{| border="1"
|-
|WS 2.4
| Binomialkoeffizient berechnen und interpretieren können.

| [[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung| Theorie]]
| [[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]

|}
<br />

<br />
<br />

=== Wahrscheinlichkeitsverteilungen ===
{| border="1"
!|Inhalt$\ \ \ $
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|WS 3.1
| die Begriffe ''Zufallsvariable'', ''(Wahrscheinlichkeits-)Verteilung'', ''Erwartungswert'' und ''Standard-abweichung'' verständig deuten und einsetzen können.

| [[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung| Theorie]]
| [[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]

|-
|WS 3.2
| Binomialverteilung als Modell einer diskreten Verteilung kennen – Erwartungswert sowie Varianz/Standardabweichung binomialverteilterZufallsgrößen ermitteln können, Wahrscheinlichkeitsverteilung binomialverteilter Zufallsgrößen angeben können, Arbeiten mit der Binomialverteilung in anwendungsorientierten Bereichen

| [[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung| Theorie]]
| [[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]

|-
|WS 3.3
| Wahrscheinlichkeit unter der Verwendung der Laplace-Annahme (Laplace-Wahrscheinlichkeit) berechnen und interpretieren können, Additionsregel und Multiplikationsregel anwenden und interpretieren können

| [[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung| Theorie]]
| [[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]
|-
|WS 3.4
| Normalapproximation der Binomialverteilung interpretieren und anwenden können

| [[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung| Theorie]]
| [[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]
|-
|}
<br />
Anmerkungen:<br />
Kennen und Anwenden der Faustregel, dass die Normalapproximation der Binomialverteilung mit den Parametern n und p dann anzuwenden ist und gute Näherungswerte liefert, wenn die Bedingung n · p · (1 – p) ≥ 9 erfüllt ist. Die Anwendung der Stetigkeitskorrektur ist nicht notwendig und daher für Berechnungen im Zuge von Prüfungsbeispielen vernachlässigbar. Kennen des Verlaufs der Dichtefunktion φ der Standardnormalverteilung mit Erwartungswert μ und Standardabweichung σ. Arbeiten mit der Verteilungsfunktion Φ der Standardnormalverteilung und korrektes Ablesen der entsprechenden Wert.
<br />
<br />
{| border="1"
|-
|}
<br />

<br />
<br />

=== Schließende/Beurteilende Statistik ===
{| border="1"
!|Inhalt$\ \ \ $
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|WS 4.1
| Konfidenzintervalle als Schätzung für eine Wahrscheinlichkeit oder einen unbekannten Anteil pinterpretieren (frequentistische Deutung) und verwenden können, Berechnungen auf Basis der Binomialverteilung oder einer durch die Normalverteilung approximierten Binomialvertei-lung durchführen können

| [[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung| Theorie]]
| [[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]

|}

Grundkompetenzen Teil A

2016-03-24T16:10:27Z

Bernhard: /* Stochastik */

Die folgenden Tabellen listen alle Grundkompetenzen des gemeinsamen Teils (Teil A) auf. Für jene Kompetenzen, die in allen HLWs zusätzlich noch verlangt werden, klicke auf [[Kompetenzen Teil B: Cluster 6]]

Die Grundkompetenzen sind in insgesamt 5 Inhaltsbereiche gegliedert:

==Zahlen und Maße==
{| border="1"
|-
!|Inhalt
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||1.1.
||mit natürlichen, ganzen, rationalen und reellen Zahlen rechnen, ihre Beziehungen argumentieren und auf der Zahlengeraden veranschaulichen
||[[Zahlenmengen| Theorie]]
||[[Zahlenmengen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||1.2.
||Zahlen in Fest- und Gleitkommadarstellung in der Form $\pm a\cdot 10^{k} $ mit $ 1 \leq a < 10 $ und $ a \in \mathbb{R} ,\ k \in \mathbb{Z} $ darstellen und damit grundlegende Rechenoperationen durchführen
||[[Gleitkommazahlen und Zehnerpotenzen | Theorie]]
||[[Gleitkommazahlen und Zehnerpotenzen#Beispiele | Beispiele]]
|-
||1.3.
||Vielfache und Teile von Einheiten mit den entsprechenden Zehnerpotenzen darstellen (Nano bis Tera); Größen als Maßzahl mal Maßeinheit darstellen
||[[Gleitkommazahlen und Zehnerpotenzen | Theorie]]
||[[Gleitkommazahlen und Zehnerpotenzen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||1.4.
||Überschlagsrechnen und Runden, Ergebnisse beim Rechnen mit Zahlen abschätzen und in kontextbezogener Genauigkeit angeben
||[[Überschlagsrechnen und Abschätzen | Theorie]]
||[[Überschlagsrechnen und Abschätzen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||1.5.
||Zahlenangaben in Prozent und Promille im Kontext anwenden und mit Prozentsätzen und Promillesätzen rechnen
||[[Prozentrechnung | Theorie]]
||[[Prozentrechnung #Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|-
||1.6.
||den Betrag einer Zahl verstehen und anwenden
||[[Betrag einer Zahl | Theorie]]
||[[Betrag einer Zahl #Beispiele | Beispiele]]
|}
<br />

==Algebra und Geometrie==
{| border="1"
|-
!|Inhalt
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||2.1.
||Rechnen mit Termen
||[[Rechnen mit Termen | Theorie]]
||[[Rechnen mit Termen #Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|-
||2.2.
||Rechenregeln für Potenzen mit ganzzahligen und mit rationalen Exponenten anwenden;
Potenz- und Wurzelschreibweise ineinander überführen

||[[Potenzen | Theorie]]
||[[Potenzen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||2.3.
||Rechengesetze für Logarithmen anwenden
||[[Logarithmus | Theorie]]
||[[Logarithmus #Beispiele | Beispiele]]
|-
||2.4.
||lineare Gleichungen in einer Variablen anwendungsbezogen aufstellen, lösen, die Lösungen
interpretieren und argumentieren
||[[Theorie lineare Gleichungen mit einer Variablen | Theorie]]
||[[Theorie lineare Gleichungen mit einer Variablen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||2.5.
||Formeln aus der elementaren Geometrie anwenden, erstellen, begründen und interpretieren
||[[Formeln | Theorie]]
||[[Formeln #Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|-
||2.6.
||eine Formel nach einer der variablen Größen umformen und die gegenseitige Abhängigkeit
der Größen in einer Formel interpretieren und erklären
||[[Formeln | Theorie]]
||[[Formeln #Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|-
||2.7.
||lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen anwendungsbezogen aufstellen, lösen und die
verschiedenen möglichen Lösungsfälle argumentieren, interpretieren und grafisch veranschaulichen
||[[Gleichungssysteme | Theorie]]
||[[Gleichungssysteme #Matura-Aufgaben| Beispiele]]
|-
||2.8.
||lineare Gleichungssysteme mit mehreren Variablen anwendungsbezogen aufstellen, mithilfe
von Technologieeinsatz lösen und das Ergebnis in Bezug auf die Problemstellung interpretieren und argumentieren
||[[Gleichungssysteme #Lineare_Gleichungssysteme_mit_3_oder_mehreren_Variablen | Theorie]]
||[[Gleichungssysteme #Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|-
||2.9.
||quadratische Gleichungen in einer Variablen anwendungsbezogen aufstellen, lösen und die
verschiedenen möglichen Lösungsfälle interpretieren und argumentieren
||[[Quadratische Gleichungen | Theorie]]
||[[Quadratische Gleichungen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||2.10.
||Exponentialgleichungen vom Typ $ a^{k\cdot x}=b $ nach der Variablen
x auflösen
||[[Logarithmus #Gleichungen_mithilfe_des_Logarithmus_l.C3.B6sen | Theorie]]
||[[Logarithmus #Beispiele | Beispiele]]
|-
||2.11.
||Exponentialgleichungen oder Gleichungen mit trigonometrischen Funktionen in einer Variablen mit Einsatz von Technologie auflösen und das Ergebnis interpretieren
||[[Exponentialgleichungen oder Gleichungen mit trigonometrischen Funktionen lösen| Theorie]]
||[[Exponentialgleichungen oder Gleichungen mit trigonometrischen Funktionen lösen#Beispiele| Beispiele]]
|-
||2.12.
||Seitenverhältnisse im rechtwinkeligen Dreieck durch Sinus, Cosinus und Tangens eines
Winkels angeben; Seiten und Winkel anwendungsbezogen berechnen
||[[Trigonometrie | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|}
<br />

== Funktionale Abhängigkeiten ==
{| border="1"
!|Inhalt
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|3.1.
| eine Funktion als eindeutige Zuordnung erklären und als Modell zur Beschreibung der Abhängigkeit zwischen Größen interpretieren; den Graphen einer gegebenen Funktion mit Technologie darstellen, Funktionswerte ermitteln und den Verlauf des Graphen im Kontext interpretieren
| [[Funktionen | Theorie]]
| [[Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
|3.2.
| lineare Funktionen anwendungsbezogen modellieren, damit Berechnungen durchführen, die Ergebnisse interpretieren und damit argumentieren; den Graphen einer linearen Funktion im Koordinatensystem darstellen und die Bedeutung der Parameter für Steigung und Ordinatenabschnitt kontextbezogen interpretieren; eine lineare Gleichung in zwei Variablen als Beschreibung einer linearen Funktion interpretieren.
| [[Lineare Funktionen | Theorie]]
| [[Lineare Funktionen #Schularbeiten- und Testaufgaben | Beispiele]]
|-
|3.3.
| Potenzfunktionen ($y=c\cdot x^n$ mit $n \in \mathbb{Z}, c \in \mathbb{R} $ sowie $y=\sqrt{x}$) grafisch darstellen und ihre Eigenschaften (Definitions- und Wertemenge, Symmetrie, Polstelle, asymptotisches Verhalten) anhand ihres Graphen interpretieren und damit argumentieren
| [[Potenzfunktionen | Theorie]]
| [[Potenzfunktionen #Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|-
|3.4.
| Polynomfunktionen grafisch darstellen und ihre Eigenschaften bis zum Grad 3 (Null-, Extrem- und Wendestellen, Monotonieverhalten) interpretieren und damit argumentieren
| [[Polynomfunktionen | Theorie]]
| [[Polynomfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
|3.5.
| Exponentialfunktionen grafisch darstellen, als Wachstums- und Abnahmemodelle interpretieren, die Verdoppelungszeit und die Halbwertszeit berechnen und im Kontext deuten sowie den Einfluss der Parameter von Exponentialfunktionen interpretieren
| [[Exponentialfunktionen | Theorie]]
| [[Exponentialfunktionen #Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|-
|3.6.
| lineare Funktionen und Exponentialfunktionen strukturell vergleichen, die Angemessenheit einer Beschreibung mittels linearer Funktionen oder mittels Exponentialfunktionen argumentieren
| [[Wachstums- und Zerfallsprozesse #Unterschied: Lineares und Exponentielles Wachstum | Theorie]]
| [[Wachstums- und Zerfallsprozesse #Durchmischte Beispiele | Beispiele]]
|-
|3.7.
| die Nullstelle(n) einer Funktion gegebenenfalls mit Technologieeinsatz bestimmen und als Lösung(en) einer Gleichung interpretieren
| [[Nullstelle | Theorie]]
| [[Nullstelle #Beispiele | Beispiele]]
|-
|3.8.
| Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen gegebenenfalls mit Technologieeinsatz bestimmen und diese im Kontext interpretieren
| [[Schnittpunkt zweier Funktionen | Theorie]]
| [[Schnittpunkt zweier Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
|3.9.
| anwendungsbezogene Problemstellungen mit geeigneten Funktionstypen (lineare Funktion, quadratische Funktion und Exponentialfunktion) modellieren
| [[Funktionen | Theorie]]
| [[Funktionen #Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|-
|3.10.
| Sinus-, Cosinus- und Tangensfunktionen mit Winkeln im Bogenmaß grafisch darstellen und die Eigenschaften dieser Funktionen interpretieren und argumentieren
| [[Trigonometrie | Theorie]]
| [[Trigonometrie #Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|}
<br>
<br>

== Analysis ==
{| border="1"
!|Inhalt
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|4.1.
|Grenzwert und Stetigkeit von Funktionen auf der Basis eines intuitiven Begriffsverständnisses argumentieren
| [[Grenzwert| Theorie]]
| [[Grenzwert #Beispiele | Beispiele]]
|-
|4.2.
| Differenzen- und Differenzialquotient als Änderungsraten interpretieren, damit anwendungsbezogen modellieren, rechnen und damit argumentieren
| [[Differenzen- und Differentialquotient | Theorie]]
| [[Differenzen- und Differentialquotient #Matura-Aufgaben| Beispiele]]
|-
|4.3.
| die Ableitungsfunktionen von Potenz-, Polynom- und Exponentialfunktionen und Funktionen, die aus diesen zusammengesetzt sind, berechnen
| [[Differenzieren: Rechnerisches Bestimmen von f'|Theorie]]
| [[Differenzen-_und_Differentialquotient #Matura-Aufgaben| Beispiele]]
|-
|4.4.
| Monotonieverhalten, Steigung der Tangente und Steigungswinkel, lokale Extrema, Krümmungsverhalten, Wendepunkte von Funktionen am Graphen ablesen, mithilfe der Ableitungen modellieren, berechnen, interpretieren und argumentieren
| [[Kurvendiskussionen | Theorie]]
| [[Kurvendiskussionen #Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|-
|4.5.
|den Zusammenhang zwischen Funktion und ihrer Ableitungsfunktion bzw. einer Stammfunktion beschreiben; in ihrer grafischen Darstellung interpretieren und argumentieren
| [[Ableitung bestimmen | Theorie]]
| [[Ableitung bestimmen #Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|-
|4.6.
| Stammfunktionen von Potenz- und Polynomfunktionen berechnen
| [[Integration| Theorie]]
| [[Integration #Übungs- und Maturaaufgaben | Beispiele]]
|-
|4.7.
| das bestimmte Integral auf der Grundlage eines intuitiven Grenzwertbegriffes als Grenzwert einer Summe von Produkten interpretieren und damit argumentieren
| [[Integration | Theorie]]
| [[Integration #Übungs- und Maturaaufgaben | Beispiele]]
|-
|4.8.
| Stammfunktionen von Potenz- und Polynomfunktionen berechnen
| [[Integration| Theorie]]
| [[Integration #Übungs- und Maturaaufgaben | Beispiele]]
|}
<br>
<br>

== Stochastik==
{| border="1"
!|Inhalt
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|5.1.
|Daten statistisch aufbereiten, Häufigkeitsverteilungen (absolute und relative Häufigkeiten) grafisch darstellen und interpretieren sowie die Auswahl einer bestimmten Darstellungsweise
anwendungsbezogen argumentieren (Kreis-, Stab- und Balken-/Säulendiagramme, Boxplot)
| [[Statistik:Daten und Diagramme| Theorie]]
| [[Beschreibende_Statistik #tab=Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|-
|5.2.
| Mittelwerte und Streuungsmaße von Häufigkeitsverteilungen berechnen, interpretieren und argumentieren
| [[Beschreibende_Statistik#tab=Zentralma_C3_9Fe_-_statistische_Kennzahlen_f_C3_BCr_das_Mittel| Theorie]]
| [[Beschreibende_Statistik#tab=Matura-Aufgaben| Beispiele]]
|-
|5.3.
| die Wahrscheinlichkeit als intuitiven Grenzwert relativer Häufigkeit interpretieren
| [[Wahrscheinlichkeit:_Grundlagen| Theorie]]
| [[Wahrscheinlichkeitsrechnung#Matura-Aufgaben| Beispiele]]
|-
|5.4.
| die Additionsregel auf einander ausschließende Ereignisse und die Multiplikationsregel auf unabhängige Ereignisse anwenden; Zufallsexperimente als Baumdiagramm darstellen, modellieren, berechnen, interpretieren und argumentieren
| [[Wahrscheinlichkeit:_Baumdiagramme_und_Pfadregeln| Theorie]]
| [[Wahrscheinlichkeitsrechnung#Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|-
|5.5.
|mit der Binomialverteilung modellieren, ihre Anwendung begründen, Wahrscheinlichkeiten berechnen und die Ergebnisse kontextbezogen interpretieren
| [[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung| Theorie]]
| [[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]
|-
|5.6.
|mit der Wahrscheinlichkeitsdichte und der Verteilungsfunktion der Normalverteilung modellieren, Wahrscheinlichkeiten berechnen und die Ergebnisse kontextbezogen interpretieren, Erwartungswert $\mu$ und Standardabweichung $\sigma$ interpretieren und Auswirkungen auf die Wahrscheinlichkeitsdichte argumentieren
| [[Wahrscheinlichkeit: Normalverteilung und Stetige Zufallsvariablen#Normalverteilung| Theorie]]
| [[Wahrscheinlichkeit: Normalverteilung und Stetige Zufallsvariablen#Beispiele | Beispiele]]
|}

[[Kategorie: Angewandte Mathematik]]

Grundkompetenzen Teil A

2016-03-24T16:08:09Z

Bernhard: /* Stochastik */

Die folgenden Tabellen listen alle Grundkompetenzen des gemeinsamen Teils (Teil A) auf. Für jene Kompetenzen, die in allen HLWs zusätzlich noch verlangt werden, klicke auf [[Kompetenzen Teil B: Cluster 6]]

Die Grundkompetenzen sind in insgesamt 5 Inhaltsbereiche gegliedert:

==Zahlen und Maße==
{| border="1"
|-
!|Inhalt
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||1.1.
||mit natürlichen, ganzen, rationalen und reellen Zahlen rechnen, ihre Beziehungen argumentieren und auf der Zahlengeraden veranschaulichen
||[[Zahlenmengen| Theorie]]
||[[Zahlenmengen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||1.2.
||Zahlen in Fest- und Gleitkommadarstellung in der Form $\pm a\cdot 10^{k} $ mit $ 1 \leq a < 10 $ und $ a \in \mathbb{R} ,\ k \in \mathbb{Z} $ darstellen und damit grundlegende Rechenoperationen durchführen
||[[Gleitkommazahlen und Zehnerpotenzen | Theorie]]
||[[Gleitkommazahlen und Zehnerpotenzen#Beispiele | Beispiele]]
|-
||1.3.
||Vielfache und Teile von Einheiten mit den entsprechenden Zehnerpotenzen darstellen (Nano bis Tera); Größen als Maßzahl mal Maßeinheit darstellen
||[[Gleitkommazahlen und Zehnerpotenzen | Theorie]]
||[[Gleitkommazahlen und Zehnerpotenzen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||1.4.
||Überschlagsrechnen und Runden, Ergebnisse beim Rechnen mit Zahlen abschätzen und in kontextbezogener Genauigkeit angeben
||[[Überschlagsrechnen und Abschätzen | Theorie]]
||[[Überschlagsrechnen und Abschätzen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||1.5.
||Zahlenangaben in Prozent und Promille im Kontext anwenden und mit Prozentsätzen und Promillesätzen rechnen
||[[Prozentrechnung | Theorie]]
||[[Prozentrechnung #Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|-
||1.6.
||den Betrag einer Zahl verstehen und anwenden
||[[Betrag einer Zahl | Theorie]]
||[[Betrag einer Zahl #Beispiele | Beispiele]]
|}
<br />

==Algebra und Geometrie==
{| border="1"
|-
!|Inhalt
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||2.1.
||Rechnen mit Termen
||[[Rechnen mit Termen | Theorie]]
||[[Rechnen mit Termen #Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|-
||2.2.
||Rechenregeln für Potenzen mit ganzzahligen und mit rationalen Exponenten anwenden;
Potenz- und Wurzelschreibweise ineinander überführen

||[[Potenzen | Theorie]]
||[[Potenzen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||2.3.
||Rechengesetze für Logarithmen anwenden
||[[Logarithmus | Theorie]]
||[[Logarithmus #Beispiele | Beispiele]]
|-
||2.4.
||lineare Gleichungen in einer Variablen anwendungsbezogen aufstellen, lösen, die Lösungen
interpretieren und argumentieren
||[[Theorie lineare Gleichungen mit einer Variablen | Theorie]]
||[[Theorie lineare Gleichungen mit einer Variablen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||2.5.
||Formeln aus der elementaren Geometrie anwenden, erstellen, begründen und interpretieren
||[[Formeln | Theorie]]
||[[Formeln #Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|-
||2.6.
||eine Formel nach einer der variablen Größen umformen und die gegenseitige Abhängigkeit
der Größen in einer Formel interpretieren und erklären
||[[Formeln | Theorie]]
||[[Formeln #Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|-
||2.7.
||lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen anwendungsbezogen aufstellen, lösen und die
verschiedenen möglichen Lösungsfälle argumentieren, interpretieren und grafisch veranschaulichen
||[[Gleichungssysteme | Theorie]]
||[[Gleichungssysteme #Matura-Aufgaben| Beispiele]]
|-
||2.8.
||lineare Gleichungssysteme mit mehreren Variablen anwendungsbezogen aufstellen, mithilfe
von Technologieeinsatz lösen und das Ergebnis in Bezug auf die Problemstellung interpretieren und argumentieren
||[[Gleichungssysteme #Lineare_Gleichungssysteme_mit_3_oder_mehreren_Variablen | Theorie]]
||[[Gleichungssysteme #Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|-
||2.9.
||quadratische Gleichungen in einer Variablen anwendungsbezogen aufstellen, lösen und die
verschiedenen möglichen Lösungsfälle interpretieren und argumentieren
||[[Quadratische Gleichungen | Theorie]]
||[[Quadratische Gleichungen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||2.10.
||Exponentialgleichungen vom Typ $ a^{k\cdot x}=b $ nach der Variablen
x auflösen
||[[Logarithmus #Gleichungen_mithilfe_des_Logarithmus_l.C3.B6sen | Theorie]]
||[[Logarithmus #Beispiele | Beispiele]]
|-
||2.11.
||Exponentialgleichungen oder Gleichungen mit trigonometrischen Funktionen in einer Variablen mit Einsatz von Technologie auflösen und das Ergebnis interpretieren
||[[Exponentialgleichungen oder Gleichungen mit trigonometrischen Funktionen lösen| Theorie]]
||[[Exponentialgleichungen oder Gleichungen mit trigonometrischen Funktionen lösen#Beispiele| Beispiele]]
|-
||2.12.
||Seitenverhältnisse im rechtwinkeligen Dreieck durch Sinus, Cosinus und Tangens eines
Winkels angeben; Seiten und Winkel anwendungsbezogen berechnen
||[[Trigonometrie | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|}
<br />

== Funktionale Abhängigkeiten ==
{| border="1"
!|Inhalt
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|3.1.
| eine Funktion als eindeutige Zuordnung erklären und als Modell zur Beschreibung der Abhängigkeit zwischen Größen interpretieren; den Graphen einer gegebenen Funktion mit Technologie darstellen, Funktionswerte ermitteln und den Verlauf des Graphen im Kontext interpretieren
| [[Funktionen | Theorie]]
| [[Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
|3.2.
| lineare Funktionen anwendungsbezogen modellieren, damit Berechnungen durchführen, die Ergebnisse interpretieren und damit argumentieren; den Graphen einer linearen Funktion im Koordinatensystem darstellen und die Bedeutung der Parameter für Steigung und Ordinatenabschnitt kontextbezogen interpretieren; eine lineare Gleichung in zwei Variablen als Beschreibung einer linearen Funktion interpretieren.
| [[Lineare Funktionen | Theorie]]
| [[Lineare Funktionen #Schularbeiten- und Testaufgaben | Beispiele]]
|-
|3.3.
| Potenzfunktionen ($y=c\cdot x^n$ mit $n \in \mathbb{Z}, c \in \mathbb{R} $ sowie $y=\sqrt{x}$) grafisch darstellen und ihre Eigenschaften (Definitions- und Wertemenge, Symmetrie, Polstelle, asymptotisches Verhalten) anhand ihres Graphen interpretieren und damit argumentieren
| [[Potenzfunktionen | Theorie]]
| [[Potenzfunktionen #Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|-
|3.4.
| Polynomfunktionen grafisch darstellen und ihre Eigenschaften bis zum Grad 3 (Null-, Extrem- und Wendestellen, Monotonieverhalten) interpretieren und damit argumentieren
| [[Polynomfunktionen | Theorie]]
| [[Polynomfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
|3.5.
| Exponentialfunktionen grafisch darstellen, als Wachstums- und Abnahmemodelle interpretieren, die Verdoppelungszeit und die Halbwertszeit berechnen und im Kontext deuten sowie den Einfluss der Parameter von Exponentialfunktionen interpretieren
| [[Exponentialfunktionen | Theorie]]
| [[Exponentialfunktionen #Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|-
|3.6.
| lineare Funktionen und Exponentialfunktionen strukturell vergleichen, die Angemessenheit einer Beschreibung mittels linearer Funktionen oder mittels Exponentialfunktionen argumentieren
| [[Wachstums- und Zerfallsprozesse #Unterschied: Lineares und Exponentielles Wachstum | Theorie]]
| [[Wachstums- und Zerfallsprozesse #Durchmischte Beispiele | Beispiele]]
|-
|3.7.
| die Nullstelle(n) einer Funktion gegebenenfalls mit Technologieeinsatz bestimmen und als Lösung(en) einer Gleichung interpretieren
| [[Nullstelle | Theorie]]
| [[Nullstelle #Beispiele | Beispiele]]
|-
|3.8.
| Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen gegebenenfalls mit Technologieeinsatz bestimmen und diese im Kontext interpretieren
| [[Schnittpunkt zweier Funktionen | Theorie]]
| [[Schnittpunkt zweier Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
|3.9.
| anwendungsbezogene Problemstellungen mit geeigneten Funktionstypen (lineare Funktion, quadratische Funktion und Exponentialfunktion) modellieren
| [[Funktionen | Theorie]]
| [[Funktionen #Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|-
|3.10.
| Sinus-, Cosinus- und Tangensfunktionen mit Winkeln im Bogenmaß grafisch darstellen und die Eigenschaften dieser Funktionen interpretieren und argumentieren
| [[Trigonometrie | Theorie]]
| [[Trigonometrie #Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|}
<br>
<br>

== Analysis ==
{| border="1"
!|Inhalt
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|4.1.
|Grenzwert und Stetigkeit von Funktionen auf der Basis eines intuitiven Begriffsverständnisses argumentieren
| [[Grenzwert| Theorie]]
| [[Grenzwert #Beispiele | Beispiele]]
|-
|4.2.
| Differenzen- und Differenzialquotient als Änderungsraten interpretieren, damit anwendungsbezogen modellieren, rechnen und damit argumentieren
| [[Differenzen- und Differentialquotient | Theorie]]
| [[Differenzen- und Differentialquotient #Matura-Aufgaben| Beispiele]]
|-
|4.3.
| die Ableitungsfunktionen von Potenz-, Polynom- und Exponentialfunktionen und Funktionen, die aus diesen zusammengesetzt sind, berechnen
| [[Differenzieren: Rechnerisches Bestimmen von f'|Theorie]]
| [[Differenzen-_und_Differentialquotient #Matura-Aufgaben| Beispiele]]
|-
|4.4.
| Monotonieverhalten, Steigung der Tangente und Steigungswinkel, lokale Extrema, Krümmungsverhalten, Wendepunkte von Funktionen am Graphen ablesen, mithilfe der Ableitungen modellieren, berechnen, interpretieren und argumentieren
| [[Kurvendiskussionen | Theorie]]
| [[Kurvendiskussionen #Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|-
|4.5.
|den Zusammenhang zwischen Funktion und ihrer Ableitungsfunktion bzw. einer Stammfunktion beschreiben; in ihrer grafischen Darstellung interpretieren und argumentieren
| [[Ableitung bestimmen | Theorie]]
| [[Ableitung bestimmen #Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|-
|4.6.
| Stammfunktionen von Potenz- und Polynomfunktionen berechnen
| [[Integration| Theorie]]
| [[Integration #Übungs- und Maturaaufgaben | Beispiele]]
|-
|4.7.
| das bestimmte Integral auf der Grundlage eines intuitiven Grenzwertbegriffes als Grenzwert einer Summe von Produkten interpretieren und damit argumentieren
| [[Integration | Theorie]]
| [[Integration #Übungs- und Maturaaufgaben | Beispiele]]
|-
|4.8.
| Stammfunktionen von Potenz- und Polynomfunktionen berechnen
| [[Integration| Theorie]]
| [[Integration #Übungs- und Maturaaufgaben | Beispiele]]
|}
<br>
<br>

== Stochastik==
{| border="1"
!|Inhalt
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|5.1.
|Daten statistisch aufbereiten, Häufigkeitsverteilungen (absolute und relative Häufigkeiten) grafisch darstellen und interpretieren sowie die Auswahl einer bestimmten Darstellungsweise
anwendungsbezogen argumentieren (Kreis-, Stab- und Balken-/Säulendiagramme,
Boxplot)
| [[Statistik:Daten und Diagramme| Theorie]]
| [[Beschreibende_Statistik #Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|-
|5.2.
| Mittelwerte und Streuungsmaße von Häufigkeitsverteilungen berechnen, interpretieren und
argumentieren
| [[Beschreibende_Statistik#tab=Zentralma_C3_9Fe_-_statistische_Kennzahlen_f_C3_BCr_das_Mittel| Theorie]]
| [[Beschreibende_Statistik#tab=Matura-Aufgaben| Beispiele]]
|-
|5.3.
| die Wahrscheinlichkeit als intuitiven Grenzwert relativer Häufigkeit interpretieren
| [[Wahrscheinlichkeit:_Grundlagen| Theorie]]
| [[Wahrscheinlichkeitsrechnung#Matura-Aufgaben| Beispiele]]
|-
|5.4.
| die Additionsregel auf einander ausschließende Ereignisse und die Multiplikationsregel auf
unabhängige Ereignisse anwenden; Zufallsexperimente als Baumdiagramm darstellen
modellieren, berechnen, interpretieren und argumentieren
| [[Wahrscheinlichkeit:_Baumdiagramme_und_Pfadregeln| Theorie]]
| [[Wahrscheinlichkeitsrechnung#Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|-
|5.5.
|mit der Binomialverteilung modellieren, ihre Anwendung begründen, Wahrscheinlichkeiten
berechnen und die Ergebnisse kontextbezogen interpretieren
| [[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung| Theorie]]
| [[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]
|-
|5.6.
|mit der Wahrscheinlichkeitsdichte und der Verteilungsfunktion der Normalverteilung modellieren, Wahrscheinlichkeiten berechnen und die Ergebnisse kontextbezogen interpretieren, Erwartungswert $\mu$ und Standardabweichung $\sigma$ interpretieren und Auswirkungen auf die Wahrscheinlichkeitsdichte argumentieren
| [[Wahrscheinlichkeit: Normalverteilung und Stetige Zufallsvariablen#Normalverteilung| Theorie]]
| [[Wahrscheinlichkeit: Normalverteilung und Stetige Zufallsvariablen#Beispiele | Beispiele]]
|}

[[Kategorie: Angewandte Mathematik]]

Grundkompetenzen Teil A

2016-03-24T16:06:58Z

Bernhard: /* Analysis */

Die folgenden Tabellen listen alle Grundkompetenzen des gemeinsamen Teils (Teil A) auf. Für jene Kompetenzen, die in allen HLWs zusätzlich noch verlangt werden, klicke auf [[Kompetenzen Teil B: Cluster 6]]

Die Grundkompetenzen sind in insgesamt 5 Inhaltsbereiche gegliedert:

==Zahlen und Maße==
{| border="1"
|-
!|Inhalt
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||1.1.
||mit natürlichen, ganzen, rationalen und reellen Zahlen rechnen, ihre Beziehungen argumentieren und auf der Zahlengeraden veranschaulichen
||[[Zahlenmengen| Theorie]]
||[[Zahlenmengen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||1.2.
||Zahlen in Fest- und Gleitkommadarstellung in der Form $\pm a\cdot 10^{k} $ mit $ 1 \leq a < 10 $ und $ a \in \mathbb{R} ,\ k \in \mathbb{Z} $ darstellen und damit grundlegende Rechenoperationen durchführen
||[[Gleitkommazahlen und Zehnerpotenzen | Theorie]]
||[[Gleitkommazahlen und Zehnerpotenzen#Beispiele | Beispiele]]
|-
||1.3.
||Vielfache und Teile von Einheiten mit den entsprechenden Zehnerpotenzen darstellen (Nano bis Tera); Größen als Maßzahl mal Maßeinheit darstellen
||[[Gleitkommazahlen und Zehnerpotenzen | Theorie]]
||[[Gleitkommazahlen und Zehnerpotenzen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||1.4.
||Überschlagsrechnen und Runden, Ergebnisse beim Rechnen mit Zahlen abschätzen und in kontextbezogener Genauigkeit angeben
||[[Überschlagsrechnen und Abschätzen | Theorie]]
||[[Überschlagsrechnen und Abschätzen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||1.5.
||Zahlenangaben in Prozent und Promille im Kontext anwenden und mit Prozentsätzen und Promillesätzen rechnen
||[[Prozentrechnung | Theorie]]
||[[Prozentrechnung #Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|-
||1.6.
||den Betrag einer Zahl verstehen und anwenden
||[[Betrag einer Zahl | Theorie]]
||[[Betrag einer Zahl #Beispiele | Beispiele]]
|}
<br />

==Algebra und Geometrie==
{| border="1"
|-
!|Inhalt
!|Kompetenz
!|Theorie
!|Beispiele
|-
||2.1.
||Rechnen mit Termen
||[[Rechnen mit Termen | Theorie]]
||[[Rechnen mit Termen #Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|-
||2.2.
||Rechenregeln für Potenzen mit ganzzahligen und mit rationalen Exponenten anwenden;
Potenz- und Wurzelschreibweise ineinander überführen

||[[Potenzen | Theorie]]
||[[Potenzen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||2.3.
||Rechengesetze für Logarithmen anwenden
||[[Logarithmus | Theorie]]
||[[Logarithmus #Beispiele | Beispiele]]
|-
||2.4.
||lineare Gleichungen in einer Variablen anwendungsbezogen aufstellen, lösen, die Lösungen
interpretieren und argumentieren
||[[Theorie lineare Gleichungen mit einer Variablen | Theorie]]
||[[Theorie lineare Gleichungen mit einer Variablen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||2.5.
||Formeln aus der elementaren Geometrie anwenden, erstellen, begründen und interpretieren
||[[Formeln | Theorie]]
||[[Formeln #Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|-
||2.6.
||eine Formel nach einer der variablen Größen umformen und die gegenseitige Abhängigkeit
der Größen in einer Formel interpretieren und erklären
||[[Formeln | Theorie]]
||[[Formeln #Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|-
||2.7.
||lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen anwendungsbezogen aufstellen, lösen und die
verschiedenen möglichen Lösungsfälle argumentieren, interpretieren und grafisch veranschaulichen
||[[Gleichungssysteme | Theorie]]
||[[Gleichungssysteme #Matura-Aufgaben| Beispiele]]
|-
||2.8.
||lineare Gleichungssysteme mit mehreren Variablen anwendungsbezogen aufstellen, mithilfe
von Technologieeinsatz lösen und das Ergebnis in Bezug auf die Problemstellung interpretieren und argumentieren
||[[Gleichungssysteme #Lineare_Gleichungssysteme_mit_3_oder_mehreren_Variablen | Theorie]]
||[[Gleichungssysteme #Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|-
||2.9.
||quadratische Gleichungen in einer Variablen anwendungsbezogen aufstellen, lösen und die
verschiedenen möglichen Lösungsfälle interpretieren und argumentieren
||[[Quadratische Gleichungen | Theorie]]
||[[Quadratische Gleichungen #Beispiele | Beispiele]]
|-
||2.10.
||Exponentialgleichungen vom Typ $ a^{k\cdot x}=b $ nach der Variablen
x auflösen
||[[Logarithmus #Gleichungen_mithilfe_des_Logarithmus_l.C3.B6sen | Theorie]]
||[[Logarithmus #Beispiele | Beispiele]]
|-
||2.11.
||Exponentialgleichungen oder Gleichungen mit trigonometrischen Funktionen in einer Variablen mit Einsatz von Technologie auflösen und das Ergebnis interpretieren
||[[Exponentialgleichungen oder Gleichungen mit trigonometrischen Funktionen lösen| Theorie]]
||[[Exponentialgleichungen oder Gleichungen mit trigonometrischen Funktionen lösen#Beispiele| Beispiele]]
|-
||2.12.
||Seitenverhältnisse im rechtwinkeligen Dreieck durch Sinus, Cosinus und Tangens eines
Winkels angeben; Seiten und Winkel anwendungsbezogen berechnen
||[[Trigonometrie | Theorie]]
||[[Trigonometrie #Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|}
<br />

== Funktionale Abhängigkeiten ==
{| border="1"
!|Inhalt
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|3.1.
| eine Funktion als eindeutige Zuordnung erklären und als Modell zur Beschreibung der Abhängigkeit zwischen Größen interpretieren; den Graphen einer gegebenen Funktion mit Technologie darstellen, Funktionswerte ermitteln und den Verlauf des Graphen im Kontext interpretieren
| [[Funktionen | Theorie]]
| [[Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
|3.2.
| lineare Funktionen anwendungsbezogen modellieren, damit Berechnungen durchführen, die Ergebnisse interpretieren und damit argumentieren; den Graphen einer linearen Funktion im Koordinatensystem darstellen und die Bedeutung der Parameter für Steigung und Ordinatenabschnitt kontextbezogen interpretieren; eine lineare Gleichung in zwei Variablen als Beschreibung einer linearen Funktion interpretieren.
| [[Lineare Funktionen | Theorie]]
| [[Lineare Funktionen #Schularbeiten- und Testaufgaben | Beispiele]]
|-
|3.3.
| Potenzfunktionen ($y=c\cdot x^n$ mit $n \in \mathbb{Z}, c \in \mathbb{R} $ sowie $y=\sqrt{x}$) grafisch darstellen und ihre Eigenschaften (Definitions- und Wertemenge, Symmetrie, Polstelle, asymptotisches Verhalten) anhand ihres Graphen interpretieren und damit argumentieren
| [[Potenzfunktionen | Theorie]]
| [[Potenzfunktionen #Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|-
|3.4.
| Polynomfunktionen grafisch darstellen und ihre Eigenschaften bis zum Grad 3 (Null-, Extrem- und Wendestellen, Monotonieverhalten) interpretieren und damit argumentieren
| [[Polynomfunktionen | Theorie]]
| [[Polynomfunktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
|3.5.
| Exponentialfunktionen grafisch darstellen, als Wachstums- und Abnahmemodelle interpretieren, die Verdoppelungszeit und die Halbwertszeit berechnen und im Kontext deuten sowie den Einfluss der Parameter von Exponentialfunktionen interpretieren
| [[Exponentialfunktionen | Theorie]]
| [[Exponentialfunktionen #Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|-
|3.6.
| lineare Funktionen und Exponentialfunktionen strukturell vergleichen, die Angemessenheit einer Beschreibung mittels linearer Funktionen oder mittels Exponentialfunktionen argumentieren
| [[Wachstums- und Zerfallsprozesse #Unterschied: Lineares und Exponentielles Wachstum | Theorie]]
| [[Wachstums- und Zerfallsprozesse #Durchmischte Beispiele | Beispiele]]
|-
|3.7.
| die Nullstelle(n) einer Funktion gegebenenfalls mit Technologieeinsatz bestimmen und als Lösung(en) einer Gleichung interpretieren
| [[Nullstelle | Theorie]]
| [[Nullstelle #Beispiele | Beispiele]]
|-
|3.8.
| Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen gegebenenfalls mit Technologieeinsatz bestimmen und diese im Kontext interpretieren
| [[Schnittpunkt zweier Funktionen | Theorie]]
| [[Schnittpunkt zweier Funktionen #Beispiele | Beispiele]]
|-
|3.9.
| anwendungsbezogene Problemstellungen mit geeigneten Funktionstypen (lineare Funktion, quadratische Funktion und Exponentialfunktion) modellieren
| [[Funktionen | Theorie]]
| [[Funktionen #Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|-
|3.10.
| Sinus-, Cosinus- und Tangensfunktionen mit Winkeln im Bogenmaß grafisch darstellen und die Eigenschaften dieser Funktionen interpretieren und argumentieren
| [[Trigonometrie | Theorie]]
| [[Trigonometrie #Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|}
<br>
<br>

== Analysis ==
{| border="1"
!|Inhalt
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|4.1.
|Grenzwert und Stetigkeit von Funktionen auf der Basis eines intuitiven Begriffsverständnisses argumentieren
| [[Grenzwert| Theorie]]
| [[Grenzwert #Beispiele | Beispiele]]
|-
|4.2.
| Differenzen- und Differenzialquotient als Änderungsraten interpretieren, damit anwendungsbezogen modellieren, rechnen und damit argumentieren
| [[Differenzen- und Differentialquotient | Theorie]]
| [[Differenzen- und Differentialquotient #Matura-Aufgaben| Beispiele]]
|-
|4.3.
| die Ableitungsfunktionen von Potenz-, Polynom- und Exponentialfunktionen und Funktionen, die aus diesen zusammengesetzt sind, berechnen
| [[Differenzieren: Rechnerisches Bestimmen von f'|Theorie]]
| [[Differenzen-_und_Differentialquotient #Matura-Aufgaben| Beispiele]]
|-
|4.4.
| Monotonieverhalten, Steigung der Tangente und Steigungswinkel, lokale Extrema, Krümmungsverhalten, Wendepunkte von Funktionen am Graphen ablesen, mithilfe der Ableitungen modellieren, berechnen, interpretieren und argumentieren
| [[Kurvendiskussionen | Theorie]]
| [[Kurvendiskussionen #Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|-
|4.5.
|den Zusammenhang zwischen Funktion und ihrer Ableitungsfunktion bzw. einer Stammfunktion beschreiben; in ihrer grafischen Darstellung interpretieren und argumentieren
| [[Ableitung bestimmen | Theorie]]
| [[Ableitung bestimmen #Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|-
|4.6.
| Stammfunktionen von Potenz- und Polynomfunktionen berechnen
| [[Integration| Theorie]]
| [[Integration #Übungs- und Maturaaufgaben | Beispiele]]
|-
|4.7.
| das bestimmte Integral auf der Grundlage eines intuitiven Grenzwertbegriffes als Grenzwert einer Summe von Produkten interpretieren und damit argumentieren
| [[Integration | Theorie]]
| [[Integration #Übungs- und Maturaaufgaben | Beispiele]]
|-
|4.8.
| Stammfunktionen von Potenz- und Polynomfunktionen berechnen
| [[Integration| Theorie]]
| [[Integration #Übungs- und Maturaaufgaben | Beispiele]]
|}
<br>
<br>

== Stochastik==
{| border="1"
!|Inhalt
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|5.1.
|Daten statistisch aufbereiten, Häufigkeitsverteilungen (absolute und relative Häufigkeiten)
grafisch darstellen und interpretieren sowie die Auswahl einer bestimmten Darstellungsweise
anwendungsbezogen argumentieren (Kreis-, Stab- und Balken-/Säulendiagramme,
Boxplot)
| [[Statistik:Daten und Diagramme| Theorie]]
| [[Beschreibende_Statistik#tab=Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|-
|5.2.
| Mittelwerte und Streuungsmaße von Häufigkeitsverteilungen berechnen, interpretieren und
argumentieren
| [[Beschreibende_Statistik#tab=Zentralma_C3_9Fe_-_statistische_Kennzahlen_f_C3_BCr_das_Mittel| Theorie]]
| [[Beschreibende_Statistik#tab=Matura-Aufgaben| Beispiele]]
|-
|5.3.
| die Wahrscheinlichkeit als intuitiven Grenzwert relativer Häufigkeit interpretieren
| [[Wahrscheinlichkeit:_Grundlagen| Theorie]]
| [[Wahrscheinlichkeitsrechnung#Matura-Aufgaben| Beispiele]]
|-
|5.4.
| die Additionsregel auf einander ausschließende Ereignisse und die Multiplikationsregel auf
unabhängige Ereignisse anwenden; Zufallsexperimente als Baumdiagramm darstellen
modellieren, berechnen, interpretieren und argumentieren
| [[Wahrscheinlichkeit:_Baumdiagramme_und_Pfadregeln| Theorie]]
| [[Wahrscheinlichkeitsrechnung#Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|-
|5.5.
|mit der Binomialverteilung modellieren, ihre Anwendung begründen, Wahrscheinlichkeiten
berechnen und die Ergebnisse kontextbezogen interpretieren
| [[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung| Theorie]]
| [[Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]
|-
|5.6.
|mit der Wahrscheinlichkeitsdichte und der Verteilungsfunktion der Normalverteilung modellieren, Wahrscheinlichkeiten berechnen und die Ergebnisse kontextbezogen interpretieren, Erwartungswert $\mu$ und Standardabweichung $\sigma$ interpretieren und Auswirkungen auf die Wahrscheinlichkeitsdichte argumentieren
| [[Wahrscheinlichkeit: Normalverteilung und Stetige Zufallsvariablen#Normalverteilung| Theorie]]
| [[Wahrscheinlichkeit: Normalverteilung und Stetige Zufallsvariablen#Beispiele | Beispiele]]
|}

[[Kategorie: Angewandte Mathematik]]

Kurvendiskussionen

2016-03-24T16:05:39Z

Bernhard:

__NUMBEREDHEADINGS__

== Überblick und Einleitung ==

Beim Thema Kurvendiskussionen geht es darum, Eigenschaften von Funktionen (bzw. Kurven) zu ermitteln. Für die Matura sind die folgenden Eigenschaften wichtig:
* [[Kurvendiskussionen#Nullstellen | Nullstellen]]
* [[Kurvendiskussionen#Extremstellen: Hoch- und Tiefpunkte | Extremwerte]]
* [[Kurvendiskussionen#Wendepunkt und Wendetangente | Wendepunkt und Wendetangente]]

{| align="center"
|-
|
{{#ev:youtube|epCBOgwafp8}}
|}

'''Wichtig!''': Die folgenden Punkte gehören ebenfalls zum Thema Kurvendiskussionen, werden aber auf anderen Seiten behandelt:
* [[Steigung und Steigungswinkel]]

<br>
<br>
<br>

== Grundwissen über f(x), f<nowiki>'</nowiki>(x) und f<nowiki>''</nowiki>(x) ==

Die folgende Tabelle gibt dir an, was mit der Funktion f(x), ihrer 1. Ableitung und ihrer 2. Ableitung berechnet werden kann..

{| border="1"
|- style="background:#e0e0e0"
!|
!| $f(x)$
!| $f'(x)$
!| $f''(x)$
|-

!| Gibt an ...
| den '''[[Funktionswert]]''' an der Stelle x
| die '''[[Steigung und Steigungswinkel|Steigung]]''' von f an der Stelle x
| die '''[[Krümmung]]''' von f an der Stelle x (=Steigung der Steigung)

|-
!| physikalische Interpretation
| Entfernung vom Ursprung in einem Zeit-Weg-Diagramm
oder
Höhe eines Objektes etc.
| [[Differenzen- und Differentialquotient#Der Differentialquotient (= momentane Steigung) | '''momentane''' Änderungsrate/Geschwindigkeit]] an der Stelle x
| Beschleunigung an der Stelle x

|-
!| wenn $>0$
| Funktionswert ist positiv und oberhalb der x-Achse
| $f'(x)>0 \rightarrow$ Funktion ist monoton steigend.
| $f''(x)>0 \rightarrow$ die Funktion ist linksgekrümmt (U-förmig). Die Steigung nimmt zu.

|-
!| wenn $<0$
| Funktionswert ist netagiv und unterhalb der x-Achse
| $f '(x)<0 \rightarrow$ Funktion ist monoton fallend.
|$f''(x)<0 \rightarrow$ die Funktion macht hier eine Rechtskurve (n-förmig)
Die Steigung nimmt ab.

|-
!| wenn $=0$
| [[Kurvendiskussionen#Nullstellen | Nullstellen]]
| Die Funktion steigt und fällt hier nicht. Möglicherweise befindet sich hier ein [[Kurvendiskussionen#Extremstellen: Hoch- und Tiefpunkte | Extremum]].
| Möglicherweise befindet sich hier ein [[Kurvendiskussionen#Wendepunkt und Wendetangente | Wendepunkt ]].

|}
<br>
<br>
<br>

== Nullstellen ==

{{Inhalt:Nullstelle}}

<br>
<br>
<br>
== Extremstellen: Hoch- und Tiefpunkte ==

{{Inhalt:Extremstelle}}

<br>
<br>
<br>

== Wendepunkt und Wendetangente ==
{{Inhalt:Wendepunkt und Wendetangente}}

<br>
<br>
<br>

== Zusatzvideos zur Vertiefung ==

{| border="1" align=center
|-
|
{{#ev:youtube|x6PCkKP3PT4}}
|
{{#ev:youtube|tmrpkUuQgj4}}
|}

== Online-Musterbeispiele und -Übungen ==

* [http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/musterkd.htm Musterbeispiel von Jutta Gut]
* [http://matheguru.com/analysis/192-beispiel-einer-kurvendiskussion.html Musterbeispiel von "Matheguru"]
* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]] [http://www.mathe-online.at/tests/anwdiff/kurvendiskussion.html Quiz zu Kurvendiskussionen (mathe-online)]
* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]] [http://www.geogebratube.org/student/m84598 Online-Übung zu Kurvendisskussionen (GeoGebra)] <span style="background-color:yellow"> WICHTIG </span>

* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]] [http://matheguru.com/rechner/kurvendiskussion/ Online-Rechner zur Kurvendisskussionen (MatheGuru)]

== Matura-Aufgaben ==

# [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=16&file=Steinschleuder.pdf Steinschleuder] (Bifie-Aufgabe: mittel)
#: Welche Inhalte brauchst du hier noch: [[Differenzen- und Differentialquotient#Der Differentialquotient (= momentane Steigung) | Differentialquotient]]
# [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]]:[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=144&file=Zylindrische_Gefaesse.pdf Zylindrisches Gefäß] (Bifie-Aufgabe: mittel-leicht-leicht)
# [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]]:[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=128&file=Tagestemperaturverlauf.pdf Tagestemperaturaverlauf] (Bifie-Aufgabe: leicht-leicht-mittel)
# [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]]:[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=143&file=Gelaendewagen.pdf Geländewagen] (Bifie-Aufgabe: schwer-mittel-schwer)
#: Welche Inhalte brauchst du hier noch: [[Differenzen- und Differentialquotient | Differenzenquotient]]
# [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]]:[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=74&file=Hefepilze.pdf Hefepilz] (Bifie-Aufgabe: mittel-leicht-mittel)
# [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]]:[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=70&file=Strassenbahn.pdf Straßenbahn] (Bifie-Aufgabe: mittel-leicht-mittel)
# [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]]:[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=39&file=Simulation_eines_Golfballflugs.pdf Simulation eines Golfballflugs] (Bifie-Aufgabe: leicht-mittel-mittel-schwer)
#: Hier brauchst du auch Wissen über [[Steigung und Steigungswinkel]]
# [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]]:[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=34&file=Schispringen.pdf Schispringen] (Bifie-Aufgabe: leicht-mittel-mittel)
#: Welche Inhalte brauchst du hier noch: [[Quadratische Funktionen]] und [[Bewegungsaufgaben - Weg/Geschwindigkeit/Beschleunigung]]
# [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]]:[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=126&file=Kugelstossen.pdf Kugelstoßen] (leicht-mittel-mittel)
#: siehe hier auch das Thema [[Steigung und Steigungswinkel]]
# [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=193&file=Minirampe.pdf Minirampe] (mittel)
#: Hier brauchst du auch Wissen über [[Integration]] (Aufgabe a) sowie über [[Steigung und Steigungswinkel]] und über [[Umkehraufgaben]] (Aufgabe d)
# [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=214&file=Leistungskurve.pdf Leistungskurve]
#: hier musst du die [[Ableitung bestimmen#Graphisches Bestimmen der 1. Ableitung| Ableitungsfunktion graphisch bestimmen]]!

[[Kategorie: Differenzieren]]
[[Kategorie: Kurvendiskussionen]]

Differenzen- und Differentialquotient

2016-03-24T16:00:47Z

Bernhard:

= Was lernst du hier =
* Wie berechne ich die '''durchschnittliche Steigung''' einer Funktion mithilfe des Differenzenquotienten und der Steigung der [[Sekante]]?
* Wie berechne ich die '''momentane Steigung''' einer Funktion mithilfe des Differentialquotienten und der Steigung der [[Tangente]]?

{| align="right"
| <div class="testbutton-blue"> {{#switchtablink:Der Differenzenquotient (=durchschnittliche Steigung)|$\rightarrow$ nächste Seite ...}} </div>
|}

= Der Differenzenquotient (=durchschnittliche Steigung)=

<span style="font-size:2em"> Der Differenzenquotient (=durchschnittliche Steigung)</span>
== Definition ==
[[Datei:Diffquotient.png|thumb|500px|right| Der '''Differenzenquotient''' berechnet die Steigung der [[Sekante]] s.]]
<br>
<br>
<br>
{{Vorlage:Definition|1=Die durchschnittliche Änderungsrate einer Funktion $f$:
$$ \bar{k}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)- x} $$
wird als '''Differenzenquotient''' bezeichnet.
Er gibt die durchschnittliche Steigung der Sekante durch die Punkte $A=(x \vert f(x))$ und $B=(f(x+\Delta x) \vert x+\Delta x )$ an (siehe Abbildung rechts). }}

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<br>
<br>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Bemerkungen:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
* $\Delta$ (=Delta (4. Buchstabe im griechischen Alphabet)) steht für "Unterschied". $\Delta x$ ist der Unterschied auf der x-Achse, $\Delta y$ der Unterschied auf der y-Achse.
* Wie aus der rechten Abbildung hervorgeht ist $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\textrm{Höhenunterschied}}{\textrm{Längenunterschied}}$
* Der Name ''Differenzenquotient'' kommt daher, dass er aus dem Quotienten (= Ergebnis einer Division) zweier Differenzen (= Ergebnis einer Subtraktion) entsteht:
$$ \bar{k}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-\Delta x} $$
* [[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]] Hier findest du ein [[Applet zum Differenzen- und Differentialquotienten |Arbeitsblatt zum Differenzenquotienten]]
</div>
</div>

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== Video-Erklärung ==
{| border ="1" align="center"
!| Video zum Differenzenquotienten
|-
| Hinweise zum Video:
* Anstelle von $\bar{k}$ wird hier $m$ für die Steigung verwendet.
* WICHTIG: Die Steigung in einem solchen Zeit-Weg-Diagramm ist immer die Geschwindigkeit!
$$ \textrm{Steigung}=\textrm{Geschwindigkeit} $$
|-
|
{|
|{{#ev:youtube|m8QvU2ezu48}}
| {{#ev:youtube|IuaWZ6CLniM}}
|}
|-
|<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Aufgaben''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
# Zum linken Video: Bestimme mithilfe der Tabelle bei der Stelle [http://www.youtube.com/watch?feature=player_detailpage&v=m8QvU2ezu48#t=203 3:23min] eine [[Regression|quadratische Regression]], um die Gleichung der Parabel zu bestimmen. Achtung: x-Achse=Zeit und y-Achse=Weg (in der Tabelle ist es gerade umgekehrt!!)
# Berechne mithilfe der Lösung von 1., nach wie vielen Sekunden der Läufer 30m zurückgelegt hat.
# Begründe, warum bei der Lösung für 1. der konstante Term c bei der Funktionsgleichung $y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ annähernd den Wert 0 haben muss.
</div>
</div>
|-
|<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:BspRegression.png|thumb|150px|right|Tabelle]]
# $y=0.95\cdot x^2 + 2.4\cdot x-0.07$
# $30=0.95\cdot x^2 + 2.4\cdot x-0.07 \rightarrow x=4.5 \textrm{ Sekunden} $
# Der Sprinter startet aus dem Stehen, deshalb ist der Weg nach 0 Sekunden y(0)=0. Da die Punkte nicht alle genau auf einer Parabel liegen, erhält man bei der Regression einen kleinen "Fehler" (hier von -0.07)
</div>
</div>
|}

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== Beispiele ==
{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben ist die Funktion f mit $f(x)=0.1x³ - x² + 2x$.
<br>
a) Berechnen Sie den Differenzenquotienten im Intervall [4,8]
<br>
b) Stellen Sie diesen auch graphisch in einem Koordinatensystem mit dem Graphen der Funktion f dar.

|2= a) Gesucht ist $\bar{k}_{[a,b]}$ mit $a=4$ und $b=8$.
Zuerst machen wir eine [[Wertetabelle]] :

[[Datei:Beispiel 1 - Differenzenquotient - Wertetabelle.png|200px|zentriert]]

Nun setzen wir ein:
$$\bar{k}_{[4,8]}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(8)-f(4)}{8-4}=\frac{3.2-(-1.6)}{8-4}=\frac{4.8}{4}=\underline{\underline{1.2} }$$

b) Der Differenzenquotient ist die '''Steigung der [[Sekante]]''' durch die beiden Punkte $(4,-1.6)$ und $(8,3.2)$.
[[Datei:Beispiel 1-differenzenqu-großes Steigungsdreieck.png|350px|miniatur|left|Der Differenzenquotient $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ gibt die durchschnittliche Steigung zwischen den beiden Punkten an.]]
[[Datei:Beispiel 1-differenzenqu.png|350px|right|miniatur|Der Differenzenquotient gibt die Steigung der [[Sekante]] an.]]
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}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Der zurückgelgete Weg eines anfahrenden Fahrzeuges entlang der Zeit kann mithilfe der quadratischen Funktion $s$ mit $s(t)=0.1\cdot t^2$ beschrieben werden.
<br>
<br>
$t...$ Zeit in Sekunden (s) (es gilt: $t\geq 0$)
<br>
$s(t)...$ Weg in Metern (m)
<br>
<br>
a) Berechnen Sie den Weg, den das Fahrzeug nach 5 s zurückgelegt hat?
<br>
b) Ermitteln Sie, nach wie vielen Sekunden das Fahrzeug 8.1 m weit gefahren ist?
<br>
c) Berechnen Sie die durchschnittliche Geschwindigkeit zwischen der 5. und 9. Sekunde in km/h.

|2=
a) $t=5$ s und gesucht ist der [[Funktionswert]] $s(5)$:
$$s(t)=0.1\cdot t^2$$
$$s(5)=0.1\cdot 5^2=2.5\ m$$
A: Nach 5 Sekunden hat das Fahrzeug einen Weg von 2.5 m zurückgelegt.
<br>
<br>

b) $s(t)=8.1$ m und gesucht ist das passende $t$:
$$s(t)=0.1\cdot t^2$$
$$8.1=0.1\cdot t^2$$
$$81=t^2$$
$$\pm 9=t$$
A: Da die negative Lösung nicht infrage kommt (das Auto fährt an, somit betrachten wir nur positive Werte für die Zeit) hat das Fahrzeug nach 9 s eine Distanz von 8.1 m erreicht.
<br>
<br>
[[Datei:Beispiel 2-differenzenquotient.png|300px|miniatur|right|Graph von $s(t)$ samt der Sekante durch die beiden Punkte aus a) und b).]]
c) Die durchschnittliche Geschwindigkeit zwischen der 5. und 9. Sekunde entspricht der durchschnittlichen Steigung des Graphen von $s(t)$ im Intervall [5;9] (siehe Abbildung rechts).

Die durchschnittliche Steigung kann mit dem Differenzenquotienten berechnet werden:
$$\bar{k}_{[5;9]}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{s(9)-s(5)}{9-5}\underbrace{=}_{\textrm{siehe a) und b)} } \frac{8.1-2.5}{9-5}=\frac{5.6}{4}=1.4\textrm{ m/s}$$

'''!!Achtung!!''' Da wir im Differenzenquotient die Meter (=im Zähler) durch die Sekunden (=im Nenner) dividiert haben, erhalten wir als Einheit "Meter pro Sekunde" (m/s).

Laut Angabe sind aber km/h gefordert, somit wandeln wir noch um:
$$ 1.4\ m/s \underbrace{=}_{:1000}0.0014\ km/s \underbrace{=}_{\cdot 60\ \textrm{min}\cdot 60\ \textrm{sek} }5.04\ km/h$$
(Alternativ hätten wir die 1.4 m/s einfach mit $3.6=\frac{60\cdot 60}{1000}$ multiplizieren können)

Somit hat das Fahrzeug zwischen der 5. und 9. Sekunde eine durchschnittliche Geschwindigkeit von 5.04 km/h.

}}

{| align="center"
! Beispiel zum Differenzenquotienten
|-
| {{#ev:youtube|VFVL_5OFwMc}}
|}

Weitere Beispiele finden sich:
3. Klasse-Buch: S. 41

{| align="right"
| <div class="testbutton-blue"> {{#switchtablink:Der Differentialquotient (= momentane Steigung, f')|$\rightarrow$ nächste Seite ...}} </div>
|}

= Der Differentialquotient (= momentane Steigung, f') =
<span style="font-size:2em"> Der Differentialquotient (= momentane Steigung, f')</span>

Im oberen Abschnitt haben wir uns überlegt, wie wir die durchschnittliche Steigung in einem vorgegebenen Intervall bestimmen können. Dies gelang uns mithilfe des '''Differenzenquotienten'''.

Nun überlegen wir uns, wie wir die '''momentane Steigung''' an einem bestimmten Punkt berechnen können. Dies wird uns nämlich der sogenannte '''Differentialquotient''' liefern.

<br>
<br>
<br>
== Definition ==
[[Datei:Differentialquotient.png|thumb|450px| Der Differentialquotient berechnet die Steigung der [[Tangente]] t.]]
<br>
<br>

{{Vorlage:Definition|1=Die momentane Änderungsrate einer Funktion $f$ an der Stelle x
$$ {k}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)- x} $$
wird als '''Differentialquotient''' bezeichnet.
<br>
<br>
Er gibt die momentane Steigung der Tangente durch den Punkte $A=(x\vert f(x))$ an. }}

<br>
<br>
<br>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Bemerkungen:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
* Der Ausdruck $\lim_{\Delta x \rightarrow 0} $ bedeutet, dass der Abstand auf der x-Achse der beiden Punkte A und B immer näher gegen 0 gehen soll. An der unteren Abbildung erkennst du, dass sich dadurch die Sekante (blau) immer mehr der Tangente (rot) nähert.
[[Datei:Difquotuebergang.gif]]
* [[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]] $\ \ $[[Applet zum Differenzen- und Differentialquotienten | Klicke hier um zu einem interaktiven Applet zum Differenzenquotienten zu gelangen]]
* Anstelle von $k$ wird auch $f'(x)$ geschrieben und damit gilt:
$$ {f'(x)}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)- x} $$
</div>
</div>

<br>
<br>
<br>
<br>
<br>

== Video-Erklärung ==

{| border ="1" align="center"
!| Video zum Differentialquotienten
|-
| Hinweise zum Video:
* Dieses Video ist die Fortsetzung des [[Differenzen- und Differentialquotient#Video-Erklärung | ersten Videos zum Differenzenquotienten]].
* Anstelle von $\bar{k}$ wird hier $m$ für die Steigung verwendet.
* WICHTIG: Die Steigung in einem solchen Zeit-Weg-Diagramm ist immer die Geschwindigkeit!
$$ \textrm{Steigung}=\textrm{Geschwindigkeit} $$
|-
|{{#ev:youtube|9PJT83cU7tA}}
|-
|<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Aufgaben''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
# Bestimme mithilfe des Differentialquotienten die momentane Steigung f'(x) (=k) der Funktion $f(x)=x^2$ an der Stelle $x$.
# Bestimme mithilfe des Differentialquotienten die momentane Steigung der Funktion $f(x)=x^2$ an der Stelle $x=2$.
</div>
</div>
|-
|<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
* 1. Bestimmen der momentanen Steigung $f'(x)$
$\begin{align}
f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-\Delta x}\\
f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(x+\Delta x)^2-x^2}{(x+\Delta x)-\Delta x}\\
f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(x^2+2\cdot x\cdot \Delta x+ \Delta x^2)-x^2}{\Delta x}\\
f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{2\cdot x\cdot \Delta x+ \Delta x^2}{\Delta x}\\
f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta x(2\cdot x+ \Delta x)}{\Delta x}\\
f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(2\cdot x+ \Delta x)}{1}\\
f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} 2\cdot x+ \underbrace{\Delta x}_{\rightarrow 0}\\
f'(x)= 2\cdot x
\end{align}$

<br>
<br>
[[Datei:Bsp-diffquotient.png|thumb|400px|right|Graphische Lösung der Aufgabe 2]]
*2. Bestimmen der momentanen Steigung bei x=2:
$$f'(x)=2x$$
$$f'(2)=2\cdot 2$$
$$f'(2)=4$$
Die Steigung der Funktion an der Stelle x=2 beträgt 4.
</div>
</div>
|}

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{| align="right"
| <div class="testbutton-blue"> {{#switchtablink:Differentialquotient ist 1. Ableitung|$\rightarrow$ nächste Seite ...}} </div>
|}

= Differentialquotient ist 1. Ableitung =
<span style="font-size:2em"> 1. Ableitung f' </span>
{{Inhalt:Differenzieren:Was ist f'}}

{| align="right"
| <div class="testbutton-blue"> {{#switchtablink:Graphisches Bestimmen von $f'$ |$\rightarrow$ nächste Seite ...}} </div>
|}
= Graphisches Bestimmen von $f'$ =
<span style="font-size:2em"> Graphisches Bestimmen von $f'$ </span>
{{Inhalt:Differenzieren:Graphisches Bestimmen von f'}}

{| align="right"
| <div class="testbutton-blue"> {{#switchtablink:Rechnerisches Bestimmen von $f'$ - Ableitungsregeln|$\rightarrow$ nächste Seite ...}} </div>
|}
= Rechnerisches Bestimmen von $f'$ - Ableitungsregeln =
<span style="font-size:2em"> Rechnerisches Bestimmen von $f'$ - Ableitungsregeln </span>
{{Inhalt:Differenzieren: Rechnerisches Bestimmen von f'}}

{| align="right"
| <div class="testbutton-blue"> {{#switchtablink:Maturabeispiele|$\rightarrow$ nächste Seite ...}} </div>
|}

=Matura-Aufgaben=
<span style="font-size:2em"> Maturabeispiele </span>
* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=217&file=U-Bahn.pdf U-Bahn]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=38&file=Beleuchtungsstaerke.pdf Beleuchtungsstärke] (schwer-mittel-schwer)
*: Welche Inhalte brauchst du hier noch: [[indirekte Proportion]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=205&file=Bungeejumping.pdf Bungeejumping] (leicht-mittel-mittel)
*: Hier werden Ableitungsregeln benötigt!

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=214&file=Leistungskurve.pdf Leistungskurve]
*: Hier musst du die Ableitungsfunktion graphisch bestimmen!

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=181&file=Bevoelkerungswachstum_in_den_USA.pdf Bevölkerung der USA] (leicht-leicht-mittel)
: Siehe für Aufgabe a) auch [[Wachstums- und Zerfallsprozesse]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=142&file=Energieverbrauch_und_Joggen.pdf Energieverbrauch beim Joggen] (mittel)
*: Welche Inhalte brauchst du hier noch: [[Wachstums- und Zerfallsprozesse | exponentielle Abnahme]] und [[Integration]]

[[Kategorie: Differenzieren]]