Quadratische Funktionen

2014-12-13T08:18:46Z

93.82.127.14: /* Umwandlung von der Scheitelpunktform $y=a\cdot (x+w)^2+s$ in die Normalform $y=ax^2+bx+c$ */

[[Datei:Parabeln.png | thumb| right| 450px | Abbildung zweier Parabeln samt zugehörigen Funktionsgleichungen]]

{{Vorlage:Definition|1=Die Funktionsgleichung einer quadratischen [[Funktionen|Funktion]] (auch [[Potenz- und Polynomfunktionen|Polynomfunktion]] 2. [[Grades]] genannt) lautet $$y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$$
<div align="right">mit $a,b,c\in$ [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)| $\mathbb{R} $ ]]. </div> }}

'''Hinweis:'''
* <span style="background-color:#00FFFF">!Wichtig! </span> Der Graph einer quadratischen Funktion ist IMMER eine '''Parabel''' und damit $\cup$- oder $\cap$-förmig (siehe Abbildungen rechts).

* Quadratische Funktionen haben immer genau einen [[Extremstellen | Hoch- oder Tiefpunkt]]. Diesen nennt man '''Scheitelpunkt''' (oder '''Scheitel''')

* Die Gleichung $ y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ wird als '''Normalform''' bezeichnet (sozusagen: ''im Normalfall ist die Funktion in dieser Form gegeben'').
: Neben der Normalform gibt es auch noch die [[Quadratische Funktionen#Scheitelpunktform |Scheitelpunktform $y=a\cdot (x-w)^2+s$]]

== Graph, Parameter und Eigenschaften ==

[[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]] $\ $ Schau dir [http://www.geogebratube.org/student/m137538 dieses Arbeitsblatt] an und beantworte die darin angeführten Fragen.

Gegeben [[sei]] eine quadratische Funktion der Form
$$f(x)= a\cdot x^2+b\cdot x+c$$

Dann haben die [[Parameter]] $a,\ b$ und $c$ folgende Auswirkungen auf den Graphen der quadratischen Funktion:
----
[[Datei:Graph mit a.gif|right]]

'''$a$ gibt an, wie stark der Graph steigt oder fällt'''

* Ist $a>0$, so ist die Parabel nach '''oben''' offen.
* Ist $a<0$, so ist die Parabel nach '''unten''' offen.
* Je größer [[Betrag einer Zahl (1.6.)| $|a|$ ]] ist, desto steiler ist der Graph.
* $a$ kann abgelesen werden, indem man vom Scheitelpunkt aus '''eins''' nach rechts und dann senkrecht zum Graphen geht.

{| style="background-color:#D3D3D3"
|'''Achtung:''' Im Gegensatz zu den [[lineare Funktionen | linearen Funktionen]] darf man hier immer nur 1 nach rechts, niemals mehr. Der Grund: Die Steigung der Parabel ändert sich (sie wird immer steiler). Dagegen ist die Steigung der quadratischen Funktion immer konstant.

Allgemein gilt: Ist eine Steigung konstant, so ist es egal, ob man z.B. 1 nach rechts und 3 hinauf, oder 2 nach rechts und 6 hinauf geht.
|}

----
[[Datei:Graph mit b1.gif | right]]

'''$b$ verschiebt den den Scheitelpunkt entlang einer Kurve nach rechts oder links:'''

* Ist $b<0$, so liegt der Scheitelpunkt '''rechts''' (!) der y-Achse.
* Ist $b>0$, so liegt der Scheitelpunkt '''links''' (!) der y-Achse.

'''!Achtung! Merke dir:'''
* $b<0\rightarrow$ rechts
* $b>0\rightarrow$ links

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Zusatz für Interessierte''' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Die Kurve, entlang derer die Parabel verschoben wird, ist die Spiegelung der Parabel parallel zur x-Achse.

Wer dies selbständig beweisen kann, warum dies so ist, dem ist der 1er so gut wie sicher.

</div>

</div>

----
[[Datei:Graph mit c1.gif|right]]

$c$ gibt den Schnittpunkt mit der y-Achse an (vgl. das [[Lineare Funktionen#d = Abstand auf der y-Achse ("Ordinatenabschnitt") |d bei den linearen Funktionen]]).

* Ist $c>0$, so liegt der Schnittpunkt oberhalb der x-Achse.
* Ist $c=0$, so geht die Parabel durch den Koodrinatenurspruch.
* Ist $c<0$, so schneidet die Parabel die y-Achse unterhalb der x-Achse.

<br>
<br>
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== Nullstellen quadratischer Funktionen ==

[[Datei:Nullstellen.png|thumb|right|400px| Parabeln mit 0, 1 oder 2 Nullstellen]]

Die [[Nullstelle | Nullstellen]] einer quadratischen Funktion sind die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse.

Je nachdem, wie die Parabel im Koordinatensystem liegt gibt es:
* 2 Nullstellen
* 1 Nullstelle (=Scheitelpunkt liegt auf der x-Achse)
* 0 Nullstellen.

Die Nullstellen einer quadratischen Funktion werden berechnet, indem man $f(x)=0$ setzt und dann die [[qudratische Gleichungen | quadratische Gleichung]] $$f(x)=0$$ löst.

Siehe auch [[qudratische Gleichungen]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Musterbeispiel:''' Bestimme die Nullstelle der quadratischen Funktion $f(x)=-x^2+6x-5$ </span>

<div class="mw-collapsible-content">

'''Lösung:'''
Zuerst setzen wir die Funktion 0:
$$0=-x^2 + 6 \cdot x - 5$$
Nun verwenden wir die [[quadratische Gleichungen#die große Lösungsformel | große Lösungsformel]] mit a=-1, b=6 und c=-5
$$ x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}$$
[[Datei:Quadfkt-nullstelle.png|thumb|200px|right]]
$$x_{1,2}=\frac{-6\pm \sqrt{6^2-4\cdot (-1)\cdot (-5)}}{2\cdot (-1)}$$
$$x_{1,2}=\frac{-6\pm \sqrt{36-20}}{-2}$$
$$ x_1=\frac{-6+4}{-2}=1$$
$$ x_2=\frac{-6-4}{-2}=5$$
'''Antwort:''' Der Graph der Funktion schneidet bei $N_1(1|0)$ und $N_2(5|0)$ die x-Achse.
</div>
</div>

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<br>

== Typische Rechenbeispiele bei gegebener Funktionsgleichung ==
{{Vorlage:Beispiel|1=Ein Ball wird in die Höhe geworfen. Die Funktion $h(t)=-0.1x^2+0.3x+3$ gibt die Höhe des Balles in Metern (m) nach t Sekunden (s) an.
<br>
<br>
<br>
a) Bestimmen Sie die Abwurfhöhe des Balles.
<br>
b) Ermitteln Sie die Höhe des Balles nach 6 Sekunden.
<br>
c) Berechnen Sie, zu welchem Zeitpunkt der Ball auf dem Boden aufkommt.
<br>
d) Ermitteln Sie, zu welchem Zeiptung der Ball eine Höhe von 2 m hat.
<br>
e) Skizzieren Sie den Graphen von h(t) im Intervall $[-2;8]$
<br>
f) Erklären Sie, wie mithilfe der Nullstellen der Funktion h(t) jener Zeitpunkt bestimmt werden kann, bei dem der Ball seine maximale Höhe erreicht.
|2=
a) Es gilt $$h(t)=-0.1t^2+0.3t+3$$. Bereits am $c=3$ erkennt man, dass die Anfangshöhe 3m ist. Alternativ kann man auch für $t=0$ einsetzen (da hier der Beginn ist):
$$h(0)=-0.1\cdot 0^2+0.3\cdot 0+3$$
$$h(0)=3$$

b) Laut Angabe ist $t=6$. Setzen wir dies in die Funktionsgleichung ein, so erhalten wir:
$$h(6)=-0.1\cdot 6^2+0.3\cdot 6+3$$
$$h(6)=1.2\ m$$

c) Gesucht ist die Nullstelle der Funktion. D.h. für welches t gilt, dass $h(t)=0$ ist:
$$0=h(t)$$
$$0-0.1t^2+0.3t+3$$
Nun löst man die Gleichung z.B. mit der [[großen Lösungsformel]] oder mit dem [[GeoGebra|Löse-Befehl]] und erhält:
$$t_1=-4.18\ \ \ \textrm{ und }\ \ \ t_2=7.18$$
Der Ball landet nach 7.18 s auf dem Boden.

d) Für welches t ist $h(t)=2$?
$$2=h(t)$$
$$2=-0.1t^2+0.3t+3\ \ \ \vert -2$$
$$0=-0.1t^2+0.3t+1$$
Nun löst man die Gleichung z.B. mit der [[großen Lösungsformel]] oder mit dem [[GeoGebra|Löse-Befehl]] und erhält:
$$t_1=-2\ \ \ \textrm{ und }\ \ \ t_2=5$$
Somit hat der Ball nach 5 Sekunden eine Höhe von 5 m.

e)
[[Datei:Quadratische-fkten-Bsp.png|700px|miniatur|zentriert|Graph der Funktion $h(t)$]]

d) Nach c) lauten die Nullstellen $t_1=-4.18$ und $t_2=7.18$. Da die Parabel symmetrisch zum Scheitelpunkt ist und die Parabel nach unten offen ist ($a=-0.1<0$), liegt der Scheitelpunkt/Hochpunkt genau zwischen den beiden Nullstellen:
$t_{max}=\frac{-4.18+7.18}{2}=1.5$

Nach 1.5 s erreicht der Ball seine maximale Höhe.

}}

== Scheitelpunktform ==
=== Allgemein ===
[[Datei:Scheitelpunktform1.gif|right]]
Neben der Normalform ($f(x)=ax^2+bx+c$) gibt es auch noch die sogenannte Scheitelpunktform der Parabel:
$$\textrm{Scheitelpunktform: } f(x)=a\cdot (x-w)^2+s$$
<br>
<br>
$a$... gibt die Steigung (genauso wie bei der Normalform) an.

$w$... waagrechte Verschiebung des Scheitelpunktes vom Ursprung

$s$... senkrechte Verschiebung des Scheitelpunktes vom Ursprung

<br>

[[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]] $\ $ In diesem [http://www.geogebratube.org/student/m137542 diesem Arbeitsblatt] kannst du die Bedeutung der Scheitelpunktform genauer lernen.

[[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]] $\ $ Und hier findest du eine [http://www.geogebratube.org/student/m79503 Aufgabe zur Scheitelpunktform]

<br>
<br>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Musteraufgabe:'''
Zeichnen Sie den Graphen der Funktion $f(x)=0.5\cdot (x-2)^2+1$ in ein Koordinatensystem. Wählen Sie dabei einen passenden Maßstab. </span>

<div class="mw-collapsible-content">

[[Datei:Scheitelpunktformbsp.png|right]]

'''Lösung:'''
* $w=-2$... somit wird die Parabel nach 2 nach rechts verschoben
* $s=1$... somit wird die Parabel um 1 hinauf verschoben
* Der Scheitelpunkt S hat folglich die Koordinaten S(2|1).
* $a=0.5$... damit erhält man die Steigung, wenn man 1 nach rechts und 0.5 hinauf geht.

</div>

</div>

=== Vor- und Nachteil der Scheitelpunktform ===
Die Scheitelpunktform hat den Vorteil, dass

a) bei gegebener Funktionsgleichung direkt die Koordinaten des Scheitelpunktes bestimmt werden können bzw.

b) bei gegebenem Graphen direkt mithilfe des Scheitelpunktes w uns s bestimmt werden können.

=== Umwandlung von der Scheitelpunktform $y=a\cdot (x+w)^2+s$ in die Normalform $y=ax^2+bx+c$ ===

'''Methode''':
Quadriere die Klammer aus und vereinfache den Term!

{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben ist die quadratische Funktion $f(x)=0.5\cdot (x-2)^2+1$ in Scheitelpunktform.

a) Bestimmen Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes.

b) Wandeln Sie die Funktion in die Normalform $f(x)=ax^2+bx+c$ um.
|2= a) $S(2\vert 1)$, da die Parabel 1 hinauf (=s...senkrecht) und 2 nach rechts (-2=w=waagrecht) verschoben wurden.

b) Wir quadrieren die Klammer aus und vereinfachen (siehe [[Binomische Formeln]]:
$$f(x)=0.5\cdot (x-2)^2+1$$
1. Schritt: ausquadrieren
$$f(x)=0.5\cdot (x^2-4x+4)+1$$
2. Schritt: vereinfachen
$$f(x)=0.5x^2-2x+2+1$$
$$f(x)=0.5x^2-2x+3$$
Die Normalform von $f$ lautet $\underline{\underline{f(x)=0.5x^2-2x+3} }$.}}

=== Umwandlung von der Normalform in die Scheitelpunktform ===

'''Methode:'''
Um von der Normalform auf die Scheitelpunktform zu kommen, muss man den Funktionsterm [[Quadratisches Ergänzen | quadratisch ergänzen]].

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben ist eine quadratische Funktion in Normalform: $f(x)=x^2-2x+3$
Bestimmen Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes, indem sie die Funktionsgleichung zuerst in die Scheitelpunktform umformen.|2=Quadratisches Ergänzen bedeutet, den Funktionsterm so umzuformen, bis eine [[Binomische Formeln|binomische Formel]] entsteht:

$$f(x)=x^2-2x+3$$
$$f(x)=x^2-(2\cdot 1)\cdot x+3$$
$$f(x)=x^2-2\cdot 1\cdot x+(1+2)$$
$$f(x)=(x^2-2\cdot 1\cdot x+1)+2$$
nun die binomische Formel $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$ verwenden:
$$\underline{\underline{f(x)=(x-1)^2+2} }$$
Somit haben wir die Scheitelpunktform $f(x)=(x-1)^2+2$ und die Koordinaten des Scheitelpunktes lauten: $(1\vert 2)$ ($s=1$ und $w=+1\rightarrow$ 1 nach rechts) }}

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== Funktionsgleichung bestimmen ==
'''Typische Aufgabenstellung''':
: ''Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der quadratischen Funktion, wenn mehrere Punkte auf der Parabel (=Graph der quadratischen Funktion) gegeben sind''

'''Lösungsweg:''' Je nachdem, ob der Scheitelpunkt gegeben ist, gibt es zwei verschiedene Lösungswege:

a) Wenn der Scheitelpunkt gegeben ist verwendet man die Scheitelpunktform und bestimmt anhand der Koordinaten des Scheitelpunktes $w$ und $s$ und anschließend $a$

b) Wenn der Scheitelpunkt nicht gegeben ist, verwendet man die Normalform und stellt mithilfe von 3 Punkten insgesamt 3 Gleichungen auf, indem man die Punkte in die Funktionsgleichung $y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ einsetzt.
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<br>
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'''Musterbeispiel'''

{| border="1"
!| Normalform $y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$
!| Scheitelpunktform $ y=a\cdot(x-w)^2+s$
|-
| '''Wird verwendet, wenn:'''
* Scheitelpunkt nicht bekannt ist.
* 3 Punkte auf dem Graphen bekannt sind.
* [[Nullstelle|Nullstellen]] berechnet werden müssen.
|'''Wird verwendet, wenn:'''
* Scheitelpunkt bekannt oder ablesbar ist.
|-
| '''Berechnung der [[Parameter]]'''
# Man bestimmt 3 Punkte des Graphen und setzt sie in die Funktionsgleichung.
# Das daraus entstehende [[Gleichungssysteme (2.7.)#Gleichungssysteme mit 3 oder mehreren Variablen | Gleichungssystem]] wird gelöst.
| '''Berechnung der [[Parameter]]'''
# w und s können mithilfe des Scheitelpunktes $S=(w,s)$ bestimmt werden.
# a erhält man, entweder, indem man einen weiteren Punkt aus dem Graphen in die Funktionsgleichung einsetzt oder $a$ aus dem Graphen abliest (''eins nach rechts, a hinauf/hinab'')

|-
|colspan="2" align="center" | '''Typische Aufgabenstellung:'''
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der abgebildeten Graphen
|-
|
<br>
[[Datei:Bsp-Funktionsgleichung bestimmen.png|thumb|300px|center]]

<br>

Da der Scheitelpunkt nicht bekannt ist, setzen wir die drei Punkte in die Normalform $y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ ein:

$$(0,3)\rightarrow \ 3=a\cdot 0^2+b\cdot 0+c$$
$$ (1,1)\rightarrow\ 1=a\cdot 1^2+b\cdot 1+c$$
$$ (4,0)\rightarrow\ 0=a\cdot 4^2+b\cdot 4+c$$

Daraus ergibt sich das folgende Gleichungssystem:
$$I:\ 0\cdot a+0\cdot b+c=3$$
$$II: \ 1\cdot a+1\cdot b+c=1$$
$$III:\ 16\cdot+4\cdot b+c=0$$

Löst man dieses, so erhält man:
$a=0.42,\ b=-2.42$ und $c=3$
$$\rightarrow \underline{\underline{y=0.42x^2-2.24x+3}}$$
|[[Datei:Bsp-Funktionsgleichung bestimmen2.png|thumb|center|300px]]
<br>

Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten $S(2|-1)$. Somit gilt:

$w=2$, da der Graph um 2 nach rechts verschoben wurde

$s=-1$, da der Graph um 1 hinunter verschoben wurde
$$\rightarrow y=a\cdot(x-2)^2-1$$

Um $a$ zu berechnen, setzen wir nun den Punkt (0,3) ein und erhalten:
$$3=a\cdot (0-2)^2-1$$
$$3=a\cdot 4-1$$
$$4=4\dot a$$
$$a=1$$
$$\rightarrow \underline{\underline{y=1\cdot(x-2)^2-1}}$$

Hinweis: Dass $a=1$ ist, wäre auch einfacher aus dem Graphen ablesbar gewesen.

|}

== Online-Übungsmaterialien ==

* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Übung zur [https://www.geogebratube.org/student/m82256 Bestimmung der Funktionsgleichung in Normalform]

== Matura-Beispiele ==
* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=18&file=Wasserstrahl.pdf Wasserstrahl] (Bifie-Aufgabe: mittel-mittel-leicht)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Nullstelle]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=133&file=Laptops.pdf Laptops] (Bifie-Aufgabe: mittel-leicht-leicht)
*: siehe auch: [[Quadratische Gleichungen]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=205&file=Bungeejumping.pdf Bungeejumping] (leicht-mittel-mittel)
*: für b) <span style="background-color:yellow"> brauchst du den [[Differenzen- und Differentialquotient]] (erst in der 4. Klasse!) </span>

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=34&file=Schispringen.pdf Skispringen] (leicht-mittel-mittel)
*: Aufgabe b) lernst du <span style="background-color:yellow"> erst [[Kurvendiskussionen | in der 4. Klasse (Kurvendiskussionen)]] </span>

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=25&file=Ortsumfahrung.pdf Ortsumfahrung] (Bifie-Aufgabe: mittel-mittel)
*: <span style="background-color:yellow"> Aufgabe a) kannst du erst ab der 4. Klasse lösen </span> da du hier [[Bestimmen der Tangentengleichung | die Tangentengleichung bestimmen musst.]]

[[Kategorie: Funktionen]]

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