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Exponentialfunktionen(3.5.)

2014-07-14T12:20:05Z

93.82.121.26: /* Beispiele */

Diese Seite behandelt grundlegende Eigenschaften der Exponentialfunktion. Die Anwendungsbeispiele findest du auf der Seite [[Wachstums- und Zerfallsprozesse]]!
[[Datei:Exp-fkt-allgemein-250.png|thumb|right|300px|Graph der Exponentialfunktion]]

{| border ="1"

| '''Definition:'''

|<p style="background-color:#E0E0E0"> Exponentialfunktionen sind [[Funktionen | Funktionen]], deren Funktionsgleichung die Form
$$f(x)=b\cdot a^x \textrm{ mit } b \textrm{ und } a \in \mathbb{R}^+$$
oder
$$ f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x} \textrm{ mit } b \in \mathbb{R}^+,\ \lambda \in \mathbb{R} $$
</p>
|}

'''Hinweise'''
* In Exponentialfunktionen steht die Variable immer im [[Exponent | Exponenten]]
* Im Term $a^x$ ist $a$ die [[Basis]]
* $e$ steht für die [[Eulersche Zahl e | Eulersche Zahl]]
* $a=e^\lambda \rightarrow$ Dies ist der Zusammenhang der beiden Funktionsgleichungen

== Graph der Exponentialfunktion ==
Je nach Größe der [[Parameter]] a und b bzw. λ verändert sich der Graph. Im Folgenden werden die Auswirkungen der einzelnen Parameter auf den Graphen der Funktion besprochen:

----
{| border=“0“
|-
|'''b gibt den Schnittpunkt mit der y-Achse an.'''
Begründung: Beim Schnittpunkt mit der y-Achse ist die x-Koordinate gleich 0. Die dazugehörige y-Koordinate erhält man dann durch:
$f(0)=b\cdot a^0 =b\cdot 1=b$
(mit der $e^\lambda$-Formel funktioniert es genauso)
| [[Datei:Exp-fkt.gif|right]]
|}

----

{| border="0"
|-
| '''a und $\lambda$ geben an, ob der Graph steigt oder fällt.'''
|-
| für $a>1$ oder $\lambda>0$
|
ist der Graph [[Monotonie | monoton steigend]]. '''Je größer a bzw. $\lambda$ ist, desto stärker steigt der Graph'''
|[[Datei:Amimation für ag1.gif]]
|-
|für $0<a<1$ oder $\lambda<0$
|ist der Graph [[Monotonie | monoton fallend]] und nähert sich immer mehr der x-Achse
| [[Datei:Amimation für ak1-280.gif]]
|}

----
* [[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]]: In diesem [https://www.geogebratube.org/student/m116630 Arbeitsblatt] kannst du noch einmal die obigen Schritte nachvollziehen (Achtung: Anstelle von "b" wurde hier der Buchstabe "c" verwendet!)
* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Hier findest du ein [http://LearningApps.org/watch?v=p71pgtywt01 Quiz, in dem du das gelernte überprüfen kannst].

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== Weitere Eigenschaften der Exponentialfunktion ==

* Die x-Achse ist eine [[Asymptote]] des Graphen. D.h. der Graph der Exponentialfunktion nähert sich dieser beliebig nahe, ohne sie jemals zu schneiden.
* Die Exponentialfunktion hat die besondere Eigenschaft, dass sie sich in bestimmten Abständen immer um ‚‘‘denselben Faktor‘‘‘ vermehrt (wenn a>1) oder vermindert (wenn 0<a<1) $\rightarrow $ siehe Abbildung rechts.
* Aufgrund der letzten Eigenschaft werden Exponentialfunktionen für die Beschreibung von Wachstumsprozessen (z.B. Wachstum einer Bakterienpopulation) oder Zerfallsprozessen (z.B. Zerfall eines radioaktiven Elements) verwendet.
Siehe [[Wachstums- und Zerfallsprozesse]]

{| align="center"
|-
| [[Datei:Exp-fkt mit vielen as-png.png|thumb|300px|left|Graph mit $a>0$]]
| [[Datei:Exp-fkt mit vielen as u a 0.png|thumb|300px|right|Graph mit $0<a<1$]]
|}

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== Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung ==
Allgemeiner Lösungsweg: Die Funktionsgleichung wird bestimmt, indem man 2 Punkte auf dem Funktionsgraphen bestimmt und diese dann in die Funktionsgleichung einsetzt. Am einfachsten ist es, wenn einer der Punkte der Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse ist, da so b einfach bestimmt werden kann.

=== 1. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (einfach) ===

'''Angabe:''' Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot a^x$ geht durch die Punkte (0|3) und (2|12) bestimme die [[Parameter]] a und b.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0>
'''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Um a und b zu bestimmen, setzen wir die Punkte in die Funktonsgleichung ein:
{|
|-
|

{| border="1"
!|x
!|y
|-
|0
|3
|-
|2
|12
|}
| $\ \ \ \ \ y=b\cdot a^x$

$\rightarrow 3=b\cdot a^0\ \ \ \ \ \rightarrow \underline{3=b}\ \ $ (Hinweis: Da f bei (0|3) die y-Achse schneidet, hätten wir schon vorher gewusst, dass $b=3$ ist.)

$\rightarrow 12=3\cdot a^2 \ \ \ \rightarrow 4=a^2 \rightarrow \underline{a=2}$

|}
Somit gilt: $\underline{\underline{f(x)=3\cdot 2^x }}$

</div>

</div>

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=== 2. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (mittel) ===

'''Angabe:''' Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot a^x$ geht durch die Punkte (1|4) und (2|16) bestimme die [[Parameter]] a und b.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0>
'''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Um a und b zu bestimmen, setzen wir die Punkte in die Funktonsgleichung ein:
{|
|-
|

{| border="1"
!|x
!|y
|-
|1
|4
|-
|2
|16
|}

!| $\ \ \ \ \ y=b\cdot a^x$
$\rightarrow I:\ 4=b\cdot a^1$

$\ \rightarrow II: 16=b\cdot a^2$

|}
Hier haben wir nun ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und zwei Unbekannten. Dieses können wir mithilfe des [[Gleichungssysteme (2.7.)#Einsetzungsverfahren (Substitutionsverfahren) | Einsetzungsverfahren]] lösen:
Hierzu stellen wir in I die Unbekannte $a$ frei:
$I:\ 4=b\cdot a^1 \ \ \rightarrow a=$<span style="background-color:yellow"> $\frac{4}{b}$ </span>
und setzen dies nun in II ein:

$II:\ 16=b\cdot ($ <span style="background-color:yellow">$\frac{4}{b}$ </span> $)^2$
$$II:\ 16=b\cdot (\frac{4}{b})^2$$
$$II: \ 16=b\cdot (\frac{16}{b^2})\ \ \ |\cdot 16$$
$$II: \ 16\cdot b^2 = 16 \ \ \ |:16 $$
$$II: \ b^2=1 $$
$$II: \ b=\pm 1$$
Da laut der Definition (ganz oben) $b>0$ ist, muss gelten $\underline{b=1}$

Damit erhalten wir $a=\frac{4}{b} \rightarrow \underline{a=4}$

Antowrt: Somit lautet die Funktionsgleichung $\underline{\underline{f(x)=1\cdot 4^x}}$ bzw. $\underline{\underline{f(x)=4^x}}$

</div>

</div>

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=== 3. Beispiel mit $f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$ (einfach) ===

Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$ geht durch die Punkte (0|3) und (2|27) bestimme die [[Parameter]] $\lambda$ und b

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung:'''</span>

<div class="mw-collapsible-content">

'''1. Punkt (0|3)''': Da der Graph die y-Achse hier schneidet, muss gelten $\underline{b=3}$ (siehe oben Beispiel 1)

'''2. Punkt (2|27)''': Wir setzen diesen Punkt und b=3 nun in die Funktionsgleichung um $\lambda$ zu erhalten:
$$f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$$
$$27=3\cdot e^{\lambda \cdot 2}$$
Nun wenden wir den [[Logarithmus]] an:
$$9=e^{\lambda \cdot 2} \ \ \ | \ln(\ )$$
$$\ln(9)=\ln(e^{\lambda \cdot 2})$$
$$\ln(9)=\lambda \cdot 2\cdot \ln(e) \ \ \ |ln(e)=1 \ \ |:2$$
$$\frac{ln(9)}{2}=\lambda$$
$$\underline{1.1=\lambda}$$

Somit lautet die Funktionsgleichung $\underline{\underline{f(x)=3\cdot e^{1.1\cdot x}}}$

</div>

</div>

=== 4. Beispiel mit $f(x)=b\cdot e^{\lambda\cdot x}$ (leicht) ===
Gegeben ist die Funktion $f(x)=2\cdot e^{-0.4\cdot x}$. Bestimmen Sie jene [[Argument | Argumente]] für die gilt
* a) $f(x)=0.3$
* b) $f(x)=0$
* c) $f(x)=-0.5$

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung für a)''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

[[Datei:Beispiel 0 3.png|thumb|350px|right|Graphische Lösung der Aufgabe]]

Es gilt die Gleichung $f(x)=0.3$ zu lösen, wobei $f(x)=2\cdot e^{-0.4\cdot x}$ ist:
$$2\cdot e^{-0.4\cdot x}=0.3$$
$$ e^{-0.4\cdot x}=\frac{0.3}{2} \ \ \ \ | ln()$$
$$ -0.4\cdot x \cdot \ln(e)=\ln(\frac{0.3}{2})\ \ \ \ |ln(e)=1 \ \ \ |:(-0.4) $$
$$x=\frac{\ln(\frac{0.3}{2})}{-0.4}$$
$$\underline{\underline{x = 4.74}}$$
Alternative Lösungswege:
* Graphisch den Schnittpunkt zwischen f(x) und y=0.3 ermitteln (siehe Abbildung rechts)
* [[Solve-Befehl | Solve-Befehl im TR]] oder [[Löse-Befehl | Löse-Befehl mit GeoGebra]]

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung für b)''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Da die x-Achse des Graphen von f(x) eine [[Asymptote]] ist, hat f(x) keine Nullstellen und somit gibt es kein x für das gilt $f(x)=0$
Alternativer Lösungsweg:
* [[Löse-Befehl | Löse-Befehl mit GeoGebra]] $\rightarrow$ als Lösung erhält man die leere Menge $\mathbb{L}=\{ \}$
* Rechnerisch:
$$ f(x)=0$$
$$2\cdot e^{-0.4\cdot x}=0 \ \ \ |:2$$
$$ e^{-0.4\cdot x}=0 \ \ \ |ln $$
$$ -0.4\cdot x\cdot \ln(e)=\ln(0)$$
Da der [[Logarithmus]] nur für positive x-Werte definiert ist ($\mathbb{D}=\mathbb{R}^+$) ist $\ln(0)$ nicht definiert (was du leicht im TR mit der Rechnung ln(0) überprüfen kannst).
Somit hat die Gleichung $ -0.4\cdot x\cdot \ln(e)=\ln(0)$ keine Lösung.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung für c)''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Auch hier gibt es keine Lösung, da der [[Wertebereich]] der Exponentialfunktion $2\cdot e^{-0.4\cdot x}$ oberhalb der x-Achse liegt und $f(x)$ somit niemals negative Funktionswerte annimmt.
(Siehe Abbildung bei Lösung a) )

</div>

</div>

</div>

</div>

== Weitere Materialien ==
* [[Gelb: Lernpfad | <span style="background-color:#FFD700"> $Step\ by\ Step!$ </span>]]: Ein [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_exponentialfunktionen/Exponentialfunktionen_NEU/ Online-Lernpfad von G. Jauck und A. Lindner]
* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Ein [http://LearningApps.org/watch?v=p71pgtywt01 Quiz in dem du den Graph und die Funktionsgleichung zusammenführen musst]

== Beispiele ==

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=204&file=Mount_Everest.pdf Mount Everest] (bifie-Aufgabe: leicht-mittel-schwer)
: Siehe auch [[Der Logarithmus | Logarithmus]]

[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Orange: Präsentationen

2014-07-14T12:19:32Z

93.82.121.26:

Mit dem orangen <span style="background-color:#FFA500"> $Schau!\ $ </span> werden Seiten für Präsentationen gekennzeichnet, die dir helfen sollen, den Stoff besser zu verstehen.

Einfüge-Code

<nowiki>
[[Orange: Präsentationen | <span style="background-color:#FFA500"> $Schau!\ $ </span>]]
</nowiki>

[[Kategorie: Hilfsmaterialien]]

Grün: Arbeitsblätter

2014-07-14T12:18:43Z

93.82.121.26:

Mit dem grünen [[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]]$\ $ werden Arbeitsblätter gekennzeichnet, die dir helfen sollen, den Stoff besser zu verstehen.

Oft handelt es sich hierbei um Seiten auf [http://geogebratube.org/ GeoGebra-Tube].

Einfüge-Code

<nowiki>
[[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]]
</nowiki>

[[Kategorie : Hilfsmaterialien]]

Gelb: Lernpfad

2014-07-14T12:17:59Z

93.82.121.26:

Mit dem gelben [[Gelb: Lernpfad | <span style="background-color:#FFD700"> $Step\ by\ Step!$ </span>]] $\ $ werden Links auf Online-Lernpfade gekennzeichnet, in denen du noch einmal Schritt für Schritt den Stoff lernen kannst.

Einfüge-Code
<nowiki>
[[Gelb: Lernpfad | <span style="background-color:#FFD700"> $Step\ by\ Step!$ </span>]]
</nowiki>

[[Kategorie: Hilfsmaterialien]]

Gelb: Lernpfad

2014-07-14T12:17:29Z

93.82.121.26:

Mit dem gelben [[Gelb: Lernpfad | <span style="background-color:#FFD700"> $Step\ by\ Step!$ </span>]] $\ $ werden Links auf Online-Lernpfade gekennzeichnet, in denen du noch einmal Schritt für Schritt den Stoff lernen kannst.

<nowiki>
[[Gelb: Lernpfad | <span style="background-color:#FFD700"> $Step\ by\ Step!$ </span>]]
</nowiki>

[[Kategorie: Hilfsmaterialien]]

Exponentialfunktionen(3.5.)

2014-07-14T12:16:43Z

93.82.121.26: /* Beispiele */

Diese Seite behandelt grundlegende Eigenschaften der Exponentialfunktion. Die Anwendungsbeispiele findest du auf der Seite [[Wachstums- und Zerfallsprozesse]]!
[[Datei:Exp-fkt-allgemein-250.png|thumb|right|300px|Graph der Exponentialfunktion]]

{| border ="1"

| '''Definition:'''

|<p style="background-color:#E0E0E0"> Exponentialfunktionen sind [[Funktionen | Funktionen]], deren Funktionsgleichung die Form
$$f(x)=b\cdot a^x \textrm{ mit } b \textrm{ und } a \in \mathbb{R}^+$$
oder
$$ f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x} \textrm{ mit } b \in \mathbb{R}^+,\ \lambda \in \mathbb{R} $$
</p>
|}

'''Hinweise'''
* In Exponentialfunktionen steht die Variable immer im [[Exponent | Exponenten]]
* Im Term $a^x$ ist $a$ die [[Basis]]
* $e$ steht für die [[Eulersche Zahl e | Eulersche Zahl]]
* $a=e^\lambda \rightarrow$ Dies ist der Zusammenhang der beiden Funktionsgleichungen

== Graph der Exponentialfunktion ==
Je nach Größe der [[Parameter]] a und b bzw. λ verändert sich der Graph. Im Folgenden werden die Auswirkungen der einzelnen Parameter auf den Graphen der Funktion besprochen:

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{| border=“0“
|-
|'''b gibt den Schnittpunkt mit der y-Achse an.'''
Begründung: Beim Schnittpunkt mit der y-Achse ist die x-Koordinate gleich 0. Die dazugehörige y-Koordinate erhält man dann durch:
$f(0)=b\cdot a^0 =b\cdot 1=b$
(mit der $e^\lambda$-Formel funktioniert es genauso)
| [[Datei:Exp-fkt.gif|right]]
|}

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| '''a und $\lambda$ geben an, ob der Graph steigt oder fällt.'''
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| für $a>1$ oder $\lambda>0$
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ist der Graph [[Monotonie | monoton steigend]]. '''Je größer a bzw. $\lambda$ ist, desto stärker steigt der Graph'''
|[[Datei:Amimation für ag1.gif]]
|-
|für $0<a<1$ oder $\lambda<0$
|ist der Graph [[Monotonie | monoton fallend]] und nähert sich immer mehr der x-Achse
| [[Datei:Amimation für ak1-280.gif]]
|}

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* [[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]]: In diesem [https://www.geogebratube.org/student/m116630 Arbeitsblatt] kannst du noch einmal die obigen Schritte nachvollziehen (Achtung: Anstelle von "b" wurde hier der Buchstabe "c" verwendet!)
* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Hier findest du ein [http://LearningApps.org/watch?v=p71pgtywt01 Quiz, in dem du das gelernte überprüfen kannst].

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== Weitere Eigenschaften der Exponentialfunktion ==

* Die x-Achse ist eine [[Asymptote]] des Graphen. D.h. der Graph der Exponentialfunktion nähert sich dieser beliebig nahe, ohne sie jemals zu schneiden.
* Die Exponentialfunktion hat die besondere Eigenschaft, dass sie sich in bestimmten Abständen immer um ‚‘‘denselben Faktor‘‘‘ vermehrt (wenn a>1) oder vermindert (wenn 0<a<1) $\rightarrow $ siehe Abbildung rechts.
* Aufgrund der letzten Eigenschaft werden Exponentialfunktionen für die Beschreibung von Wachstumsprozessen (z.B. Wachstum einer Bakterienpopulation) oder Zerfallsprozessen (z.B. Zerfall eines radioaktiven Elements) verwendet.
Siehe [[Wachstums- und Zerfallsprozesse]]

{| align="center"
|-
| [[Datei:Exp-fkt mit vielen as-png.png|thumb|300px|left|Graph mit $a>0$]]
| [[Datei:Exp-fkt mit vielen as u a 0.png|thumb|300px|right|Graph mit $0<a<1$]]
|}

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== Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung ==
Allgemeiner Lösungsweg: Die Funktionsgleichung wird bestimmt, indem man 2 Punkte auf dem Funktionsgraphen bestimmt und diese dann in die Funktionsgleichung einsetzt. Am einfachsten ist es, wenn einer der Punkte der Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse ist, da so b einfach bestimmt werden kann.

=== 1. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (einfach) ===

'''Angabe:''' Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot a^x$ geht durch die Punkte (0|3) und (2|12) bestimme die [[Parameter]] a und b.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0>
'''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Um a und b zu bestimmen, setzen wir die Punkte in die Funktonsgleichung ein:
{|
|-
|

{| border="1"
!|x
!|y
|-
|0
|3
|-
|2
|12
|}
| $\ \ \ \ \ y=b\cdot a^x$

$\rightarrow 3=b\cdot a^0\ \ \ \ \ \rightarrow \underline{3=b}\ \ $ (Hinweis: Da f bei (0|3) die y-Achse schneidet, hätten wir schon vorher gewusst, dass $b=3$ ist.)

$\rightarrow 12=3\cdot a^2 \ \ \ \rightarrow 4=a^2 \rightarrow \underline{a=2}$

|}
Somit gilt: $\underline{\underline{f(x)=3\cdot 2^x }}$

</div>

</div>

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=== 2. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (mittel) ===

'''Angabe:''' Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot a^x$ geht durch die Punkte (1|4) und (2|16) bestimme die [[Parameter]] a und b.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0>
'''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Um a und b zu bestimmen, setzen wir die Punkte in die Funktonsgleichung ein:
{|
|-
|

{| border="1"
!|x
!|y
|-
|1
|4
|-
|2
|16
|}

!| $\ \ \ \ \ y=b\cdot a^x$
$\rightarrow I:\ 4=b\cdot a^1$

$\ \rightarrow II: 16=b\cdot a^2$

|}
Hier haben wir nun ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und zwei Unbekannten. Dieses können wir mithilfe des [[Gleichungssysteme (2.7.)#Einsetzungsverfahren (Substitutionsverfahren) | Einsetzungsverfahren]] lösen:
Hierzu stellen wir in I die Unbekannte $a$ frei:
$I:\ 4=b\cdot a^1 \ \ \rightarrow a=$<span style="background-color:yellow"> $\frac{4}{b}$ </span>
und setzen dies nun in II ein:

$II:\ 16=b\cdot ($ <span style="background-color:yellow">$\frac{4}{b}$ </span> $)^2$
$$II:\ 16=b\cdot (\frac{4}{b})^2$$
$$II: \ 16=b\cdot (\frac{16}{b^2})\ \ \ |\cdot 16$$
$$II: \ 16\cdot b^2 = 16 \ \ \ |:16 $$
$$II: \ b^2=1 $$
$$II: \ b=\pm 1$$
Da laut der Definition (ganz oben) $b>0$ ist, muss gelten $\underline{b=1}$

Damit erhalten wir $a=\frac{4}{b} \rightarrow \underline{a=4}$

Antowrt: Somit lautet die Funktionsgleichung $\underline{\underline{f(x)=1\cdot 4^x}}$ bzw. $\underline{\underline{f(x)=4^x}}$

</div>

</div>

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=== 3. Beispiel mit $f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$ (einfach) ===

Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$ geht durch die Punkte (0|3) und (2|27) bestimme die [[Parameter]] $\lambda$ und b

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung:'''</span>

<div class="mw-collapsible-content">

'''1. Punkt (0|3)''': Da der Graph die y-Achse hier schneidet, muss gelten $\underline{b=3}$ (siehe oben Beispiel 1)

'''2. Punkt (2|27)''': Wir setzen diesen Punkt und b=3 nun in die Funktionsgleichung um $\lambda$ zu erhalten:
$$f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$$
$$27=3\cdot e^{\lambda \cdot 2}$$
Nun wenden wir den [[Logarithmus]] an:
$$9=e^{\lambda \cdot 2} \ \ \ | \ln(\ )$$
$$\ln(9)=\ln(e^{\lambda \cdot 2})$$
$$\ln(9)=\lambda \cdot 2\cdot \ln(e) \ \ \ |ln(e)=1 \ \ |:2$$
$$\frac{ln(9)}{2}=\lambda$$
$$\underline{1.1=\lambda}$$

Somit lautet die Funktionsgleichung $\underline{\underline{f(x)=3\cdot e^{1.1\cdot x}}}$

</div>

</div>

=== 4. Beispiel mit $f(x)=b\cdot e^{\lambda\cdot x}$ (leicht) ===
Gegeben ist die Funktion $f(x)=2\cdot e^{-0.4\cdot x}$. Bestimmen Sie jene [[Argument | Argumente]] für die gilt
* a) $f(x)=0.3$
* b) $f(x)=0$
* c) $f(x)=-0.5$

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung für a)''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

[[Datei:Beispiel 0 3.png|thumb|350px|right|Graphische Lösung der Aufgabe]]

Es gilt die Gleichung $f(x)=0.3$ zu lösen, wobei $f(x)=2\cdot e^{-0.4\cdot x}$ ist:
$$2\cdot e^{-0.4\cdot x}=0.3$$
$$ e^{-0.4\cdot x}=\frac{0.3}{2} \ \ \ \ | ln()$$
$$ -0.4\cdot x \cdot \ln(e)=\ln(\frac{0.3}{2})\ \ \ \ |ln(e)=1 \ \ \ |:(-0.4) $$
$$x=\frac{\ln(\frac{0.3}{2})}{-0.4}$$
$$\underline{\underline{x = 4.74}}$$
Alternative Lösungswege:
* Graphisch den Schnittpunkt zwischen f(x) und y=0.3 ermitteln (siehe Abbildung rechts)
* [[Solve-Befehl | Solve-Befehl im TR]] oder [[Löse-Befehl | Löse-Befehl mit GeoGebra]]

</div>

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<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung für b)''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Da die x-Achse des Graphen von f(x) eine [[Asymptote]] ist, hat f(x) keine Nullstellen und somit gibt es kein x für das gilt $f(x)=0$
Alternativer Lösungsweg:
* [[Löse-Befehl | Löse-Befehl mit GeoGebra]] $\rightarrow$ als Lösung erhält man die leere Menge $\mathbb{L}=\{ \}$
* Rechnerisch:
$$ f(x)=0$$
$$2\cdot e^{-0.4\cdot x}=0 \ \ \ |:2$$
$$ e^{-0.4\cdot x}=0 \ \ \ |ln $$
$$ -0.4\cdot x\cdot \ln(e)=\ln(0)$$
Da der [[Logarithmus]] nur für positive x-Werte definiert ist ($\mathbb{D}=\mathbb{R}^+$) ist $\ln(0)$ nicht definiert (was du leicht im TR mit der Rechnung ln(0) überprüfen kannst).
Somit hat die Gleichung $ -0.4\cdot x\cdot \ln(e)=\ln(0)$ keine Lösung.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung für c)''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Auch hier gibt es keine Lösung, da der [[Wertebereich]] der Exponentialfunktion $2\cdot e^{-0.4\cdot x}$ oberhalb der x-Achse liegt und $f(x)$ somit niemals negative Funktionswerte annimmt.
(Siehe Abbildung bei Lösung a) )

</div>

</div>

</div>

</div>

== Weitere Materialien ==
* [[Gelb: Lernpfad | <span style="background-color:#FFD700"> $Step\ by\ Step!$ </span>]]: Ein [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_exponentialfunktionen/Exponentialfunktionen_NEU/ Online-Lernpfad von G. Jauck und A. Lindner]
* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Ein [http://LearningApps.org/watch?v=p71pgtywt01 Quiz in dem du den Graph und die Funktionsgleichung zusammenführen musst]

== Beispiele ==

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=204&file=Mount_Everest.pdf Mount Everest] (bifie-Aufgabe: leicht-mittel-schwer)
: Siehe auch [[Der Logarithmus | Logarithmus]]

[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Bifie-grün: Aufgaben des Bifie

2014-07-14T12:16:29Z

93.82.121.26:

Mit dem bifie-grünen [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]$\ $ werden offizielle Aufgaben des bifie gekennzeichnet, mit denen du dich auf die Prüfungen vorbereiten kannst.

Die Aufgaben Stammen vom [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/index.php?action=14 Bifie-Aufgabenpool für die BHS].

Einfüge-Code:
<nowiki>
[[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]
</nowiki>

[[Kategorie : Hilfsmaterialien]]

Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter

2014-07-14T12:15:35Z

93.82.121.26:

Mit dem violetten [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]] $\ $ werden Links zu einem Quiz, einem Selbstest oder einem dynamischen Aufgabenblatt gekennzeichnet, in dennen du selbst überprüfen kannst, ob du das Thema verstanden hast.

Einfüge-Code:
<nowiki>
[[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]
</nowiki>

[[Kategorie : Hilfsmaterialien]]

Exponentialfunktionen(3.5.)

2014-07-14T12:14:27Z

93.82.121.26: /* Weitere Materialien */

Diese Seite behandelt grundlegende Eigenschaften der Exponentialfunktion. Die Anwendungsbeispiele findest du auf der Seite [[Wachstums- und Zerfallsprozesse]]!
[[Datei:Exp-fkt-allgemein-250.png|thumb|right|300px|Graph der Exponentialfunktion]]

{| border ="1"

| '''Definition:'''

|<p style="background-color:#E0E0E0"> Exponentialfunktionen sind [[Funktionen | Funktionen]], deren Funktionsgleichung die Form
$$f(x)=b\cdot a^x \textrm{ mit } b \textrm{ und } a \in \mathbb{R}^+$$
oder
$$ f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x} \textrm{ mit } b \in \mathbb{R}^+,\ \lambda \in \mathbb{R} $$
</p>
|}

'''Hinweise'''
* In Exponentialfunktionen steht die Variable immer im [[Exponent | Exponenten]]
* Im Term $a^x$ ist $a$ die [[Basis]]
* $e$ steht für die [[Eulersche Zahl e | Eulersche Zahl]]
* $a=e^\lambda \rightarrow$ Dies ist der Zusammenhang der beiden Funktionsgleichungen

== Graph der Exponentialfunktion ==
Je nach Größe der [[Parameter]] a und b bzw. λ verändert sich der Graph. Im Folgenden werden die Auswirkungen der einzelnen Parameter auf den Graphen der Funktion besprochen:

----
{| border=“0“
|-
|'''b gibt den Schnittpunkt mit der y-Achse an.'''
Begründung: Beim Schnittpunkt mit der y-Achse ist die x-Koordinate gleich 0. Die dazugehörige y-Koordinate erhält man dann durch:
$f(0)=b\cdot a^0 =b\cdot 1=b$
(mit der $e^\lambda$-Formel funktioniert es genauso)
| [[Datei:Exp-fkt.gif|right]]
|}

----

{| border="0"
|-
| '''a und $\lambda$ geben an, ob der Graph steigt oder fällt.'''
|-
| für $a>1$ oder $\lambda>0$
|
ist der Graph [[Monotonie | monoton steigend]]. '''Je größer a bzw. $\lambda$ ist, desto stärker steigt der Graph'''
|[[Datei:Amimation für ag1.gif]]
|-
|für $0<a<1$ oder $\lambda<0$
|ist der Graph [[Monotonie | monoton fallend]] und nähert sich immer mehr der x-Achse
| [[Datei:Amimation für ak1-280.gif]]
|}

----
* [[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]]: In diesem [https://www.geogebratube.org/student/m116630 Arbeitsblatt] kannst du noch einmal die obigen Schritte nachvollziehen (Achtung: Anstelle von "b" wurde hier der Buchstabe "c" verwendet!)
* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Hier findest du ein [http://LearningApps.org/watch?v=p71pgtywt01 Quiz, in dem du das gelernte überprüfen kannst].

<br>
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== Weitere Eigenschaften der Exponentialfunktion ==

* Die x-Achse ist eine [[Asymptote]] des Graphen. D.h. der Graph der Exponentialfunktion nähert sich dieser beliebig nahe, ohne sie jemals zu schneiden.
* Die Exponentialfunktion hat die besondere Eigenschaft, dass sie sich in bestimmten Abständen immer um ‚‘‘denselben Faktor‘‘‘ vermehrt (wenn a>1) oder vermindert (wenn 0<a<1) $\rightarrow $ siehe Abbildung rechts.
* Aufgrund der letzten Eigenschaft werden Exponentialfunktionen für die Beschreibung von Wachstumsprozessen (z.B. Wachstum einer Bakterienpopulation) oder Zerfallsprozessen (z.B. Zerfall eines radioaktiven Elements) verwendet.
Siehe [[Wachstums- und Zerfallsprozesse]]

{| align="center"
|-
| [[Datei:Exp-fkt mit vielen as-png.png|thumb|300px|left|Graph mit $a>0$]]
| [[Datei:Exp-fkt mit vielen as u a 0.png|thumb|300px|right|Graph mit $0<a<1$]]
|}

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<br>

== Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung ==
Allgemeiner Lösungsweg: Die Funktionsgleichung wird bestimmt, indem man 2 Punkte auf dem Funktionsgraphen bestimmt und diese dann in die Funktionsgleichung einsetzt. Am einfachsten ist es, wenn einer der Punkte der Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse ist, da so b einfach bestimmt werden kann.

=== 1. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (einfach) ===

'''Angabe:''' Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot a^x$ geht durch die Punkte (0|3) und (2|12) bestimme die [[Parameter]] a und b.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0>
'''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Um a und b zu bestimmen, setzen wir die Punkte in die Funktonsgleichung ein:
{|
|-
|

{| border="1"
!|x
!|y
|-
|0
|3
|-
|2
|12
|}
| $\ \ \ \ \ y=b\cdot a^x$

$\rightarrow 3=b\cdot a^0\ \ \ \ \ \rightarrow \underline{3=b}\ \ $ (Hinweis: Da f bei (0|3) die y-Achse schneidet, hätten wir schon vorher gewusst, dass $b=3$ ist.)

$\rightarrow 12=3\cdot a^2 \ \ \ \rightarrow 4=a^2 \rightarrow \underline{a=2}$

|}
Somit gilt: $\underline{\underline{f(x)=3\cdot 2^x }}$

</div>

</div>

<br>
<br>
<br>

=== 2. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (mittel) ===

'''Angabe:''' Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot a^x$ geht durch die Punkte (1|4) und (2|16) bestimme die [[Parameter]] a und b.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0>
'''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Um a und b zu bestimmen, setzen wir die Punkte in die Funktonsgleichung ein:
{|
|-
|

{| border="1"
!|x
!|y
|-
|1
|4
|-
|2
|16
|}

!| $\ \ \ \ \ y=b\cdot a^x$
$\rightarrow I:\ 4=b\cdot a^1$

$\ \rightarrow II: 16=b\cdot a^2$

|}
Hier haben wir nun ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und zwei Unbekannten. Dieses können wir mithilfe des [[Gleichungssysteme (2.7.)#Einsetzungsverfahren (Substitutionsverfahren) | Einsetzungsverfahren]] lösen:
Hierzu stellen wir in I die Unbekannte $a$ frei:
$I:\ 4=b\cdot a^1 \ \ \rightarrow a=$<span style="background-color:yellow"> $\frac{4}{b}$ </span>
und setzen dies nun in II ein:

$II:\ 16=b\cdot ($ <span style="background-color:yellow">$\frac{4}{b}$ </span> $)^2$
$$II:\ 16=b\cdot (\frac{4}{b})^2$$
$$II: \ 16=b\cdot (\frac{16}{b^2})\ \ \ |\cdot 16$$
$$II: \ 16\cdot b^2 = 16 \ \ \ |:16 $$
$$II: \ b^2=1 $$
$$II: \ b=\pm 1$$
Da laut der Definition (ganz oben) $b>0$ ist, muss gelten $\underline{b=1}$

Damit erhalten wir $a=\frac{4}{b} \rightarrow \underline{a=4}$

Antowrt: Somit lautet die Funktionsgleichung $\underline{\underline{f(x)=1\cdot 4^x}}$ bzw. $\underline{\underline{f(x)=4^x}}$

</div>

</div>

<br>
<br>
<br>
=== 3. Beispiel mit $f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$ (einfach) ===

Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$ geht durch die Punkte (0|3) und (2|27) bestimme die [[Parameter]] $\lambda$ und b

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung:'''</span>

<div class="mw-collapsible-content">

'''1. Punkt (0|3)''': Da der Graph die y-Achse hier schneidet, muss gelten $\underline{b=3}$ (siehe oben Beispiel 1)

'''2. Punkt (2|27)''': Wir setzen diesen Punkt und b=3 nun in die Funktionsgleichung um $\lambda$ zu erhalten:
$$f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$$
$$27=3\cdot e^{\lambda \cdot 2}$$
Nun wenden wir den [[Logarithmus]] an:
$$9=e^{\lambda \cdot 2} \ \ \ | \ln(\ )$$
$$\ln(9)=\ln(e^{\lambda \cdot 2})$$
$$\ln(9)=\lambda \cdot 2\cdot \ln(e) \ \ \ |ln(e)=1 \ \ |:2$$
$$\frac{ln(9)}{2}=\lambda$$
$$\underline{1.1=\lambda}$$

Somit lautet die Funktionsgleichung $\underline{\underline{f(x)=3\cdot e^{1.1\cdot x}}}$

</div>

</div>

=== 4. Beispiel mit $f(x)=b\cdot e^{\lambda\cdot x}$ (leicht) ===
Gegeben ist die Funktion $f(x)=2\cdot e^{-0.4\cdot x}$. Bestimmen Sie jene [[Argument | Argumente]] für die gilt
* a) $f(x)=0.3$
* b) $f(x)=0$
* c) $f(x)=-0.5$

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung für a)''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

[[Datei:Beispiel 0 3.png|thumb|350px|right|Graphische Lösung der Aufgabe]]

Es gilt die Gleichung $f(x)=0.3$ zu lösen, wobei $f(x)=2\cdot e^{-0.4\cdot x}$ ist:
$$2\cdot e^{-0.4\cdot x}=0.3$$
$$ e^{-0.4\cdot x}=\frac{0.3}{2} \ \ \ \ | ln()$$
$$ -0.4\cdot x \cdot \ln(e)=\ln(\frac{0.3}{2})\ \ \ \ |ln(e)=1 \ \ \ |:(-0.4) $$
$$x=\frac{\ln(\frac{0.3}{2})}{-0.4}$$
$$\underline{\underline{x = 4.74}}$$
Alternative Lösungswege:
* Graphisch den Schnittpunkt zwischen f(x) und y=0.3 ermitteln (siehe Abbildung rechts)
* [[Solve-Befehl | Solve-Befehl im TR]] oder [[Löse-Befehl | Löse-Befehl mit GeoGebra]]

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung für b)''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Da die x-Achse des Graphen von f(x) eine [[Asymptote]] ist, hat f(x) keine Nullstellen und somit gibt es kein x für das gilt $f(x)=0$
Alternativer Lösungsweg:
* [[Löse-Befehl | Löse-Befehl mit GeoGebra]] $\rightarrow$ als Lösung erhält man die leere Menge $\mathbb{L}=\{ \}$
* Rechnerisch:
$$ f(x)=0$$
$$2\cdot e^{-0.4\cdot x}=0 \ \ \ |:2$$
$$ e^{-0.4\cdot x}=0 \ \ \ |ln $$
$$ -0.4\cdot x\cdot \ln(e)=\ln(0)$$
Da der [[Logarithmus]] nur für positive x-Werte definiert ist ($\mathbb{D}=\mathbb{R}^+$) ist $\ln(0)$ nicht definiert (was du leicht im TR mit der Rechnung ln(0) überprüfen kannst).
Somit hat die Gleichung $ -0.4\cdot x\cdot \ln(e)=\ln(0)$ keine Lösung.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung für c)''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Auch hier gibt es keine Lösung, da der [[Wertebereich]] der Exponentialfunktion $2\cdot e^{-0.4\cdot x}$ oberhalb der x-Achse liegt und $f(x)$ somit niemals negative Funktionswerte annimmt.
(Siehe Abbildung bei Lösung a) )

</div>

</div>

</div>

</div>

== Weitere Materialien ==
* [[Gelb: Lernpfad | <span style="background-color:#FFD700"> $Step\ by\ Step!$ </span>]]: Ein [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_exponentialfunktionen/Exponentialfunktionen_NEU/ Online-Lernpfad von G. Jauck und A. Lindner]
* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Ein [http://LearningApps.org/watch?v=p71pgtywt01 Quiz in dem du den Graph und die Funktionsgleichung zusammenführen musst]

== Beispiele ==

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=204&file=Mount_Everest.pdf Mount Everest] (bifie-Aufgabe: leicht-mittel-schwer)
: Siehe auch [[Der Logarithmus | Logarithmus]]

[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Gelb: Lernpfad

2014-07-14T12:13:08Z

93.82.121.26:

Exponentialfunktionen(3.5.)

2014-07-14T12:11:52Z

93.82.121.26: /* Graph der Exponentialfunktion */

Diese Seite behandelt grundlegende Eigenschaften der Exponentialfunktion. Die Anwendungsbeispiele findest du auf der Seite [[Wachstums- und Zerfallsprozesse]]!
[[Datei:Exp-fkt-allgemein-250.png|thumb|right|300px|Graph der Exponentialfunktion]]

{| border ="1"

| '''Definition:'''

|<p style="background-color:#E0E0E0"> Exponentialfunktionen sind [[Funktionen | Funktionen]], deren Funktionsgleichung die Form
$$f(x)=b\cdot a^x \textrm{ mit } b \textrm{ und } a \in \mathbb{R}^+$$
oder
$$ f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x} \textrm{ mit } b \in \mathbb{R}^+,\ \lambda \in \mathbb{R} $$
</p>
|}

'''Hinweise'''
* In Exponentialfunktionen steht die Variable immer im [[Exponent | Exponenten]]
* Im Term $a^x$ ist $a$ die [[Basis]]
* $e$ steht für die [[Eulersche Zahl e | Eulersche Zahl]]
* $a=e^\lambda \rightarrow$ Dies ist der Zusammenhang der beiden Funktionsgleichungen

== Graph der Exponentialfunktion ==
Je nach Größe der [[Parameter]] a und b bzw. λ verändert sich der Graph. Im Folgenden werden die Auswirkungen der einzelnen Parameter auf den Graphen der Funktion besprochen:

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{| border=“0“
|-
|'''b gibt den Schnittpunkt mit der y-Achse an.'''
Begründung: Beim Schnittpunkt mit der y-Achse ist die x-Koordinate gleich 0. Die dazugehörige y-Koordinate erhält man dann durch:
$f(0)=b\cdot a^0 =b\cdot 1=b$
(mit der $e^\lambda$-Formel funktioniert es genauso)
| [[Datei:Exp-fkt.gif|right]]
|}

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{| border="0"
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| '''a und $\lambda$ geben an, ob der Graph steigt oder fällt.'''
|-
| für $a>1$ oder $\lambda>0$
|
ist der Graph [[Monotonie | monoton steigend]]. '''Je größer a bzw. $\lambda$ ist, desto stärker steigt der Graph'''
|[[Datei:Amimation für ag1.gif]]
|-
|für $0<a<1$ oder $\lambda<0$
|ist der Graph [[Monotonie | monoton fallend]] und nähert sich immer mehr der x-Achse
| [[Datei:Amimation für ak1-280.gif]]
|}

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* [[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]]: In diesem [https://www.geogebratube.org/student/m116630 Arbeitsblatt] kannst du noch einmal die obigen Schritte nachvollziehen (Achtung: Anstelle von "b" wurde hier der Buchstabe "c" verwendet!)
* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Hier findest du ein [http://LearningApps.org/watch?v=p71pgtywt01 Quiz, in dem du das gelernte überprüfen kannst].

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== Weitere Eigenschaften der Exponentialfunktion ==

* Die x-Achse ist eine [[Asymptote]] des Graphen. D.h. der Graph der Exponentialfunktion nähert sich dieser beliebig nahe, ohne sie jemals zu schneiden.
* Die Exponentialfunktion hat die besondere Eigenschaft, dass sie sich in bestimmten Abständen immer um ‚‘‘denselben Faktor‘‘‘ vermehrt (wenn a>1) oder vermindert (wenn 0<a<1) $\rightarrow $ siehe Abbildung rechts.
* Aufgrund der letzten Eigenschaft werden Exponentialfunktionen für die Beschreibung von Wachstumsprozessen (z.B. Wachstum einer Bakterienpopulation) oder Zerfallsprozessen (z.B. Zerfall eines radioaktiven Elements) verwendet.
Siehe [[Wachstums- und Zerfallsprozesse]]

{| align="center"
|-
| [[Datei:Exp-fkt mit vielen as-png.png|thumb|300px|left|Graph mit $a>0$]]
| [[Datei:Exp-fkt mit vielen as u a 0.png|thumb|300px|right|Graph mit $0<a<1$]]
|}

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== Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung ==
Allgemeiner Lösungsweg: Die Funktionsgleichung wird bestimmt, indem man 2 Punkte auf dem Funktionsgraphen bestimmt und diese dann in die Funktionsgleichung einsetzt. Am einfachsten ist es, wenn einer der Punkte der Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse ist, da so b einfach bestimmt werden kann.

=== 1. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (einfach) ===

'''Angabe:''' Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot a^x$ geht durch die Punkte (0|3) und (2|12) bestimme die [[Parameter]] a und b.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0>
'''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Um a und b zu bestimmen, setzen wir die Punkte in die Funktonsgleichung ein:
{|
|-
|

{| border="1"
!|x
!|y
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|0
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|}
| $\ \ \ \ \ y=b\cdot a^x$

$\rightarrow 3=b\cdot a^0\ \ \ \ \ \rightarrow \underline{3=b}\ \ $ (Hinweis: Da f bei (0|3) die y-Achse schneidet, hätten wir schon vorher gewusst, dass $b=3$ ist.)

$\rightarrow 12=3\cdot a^2 \ \ \ \rightarrow 4=a^2 \rightarrow \underline{a=2}$

|}
Somit gilt: $\underline{\underline{f(x)=3\cdot 2^x }}$

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=== 2. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (mittel) ===

'''Angabe:''' Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot a^x$ geht durch die Punkte (1|4) und (2|16) bestimme die [[Parameter]] a und b.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0>
'''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Um a und b zu bestimmen, setzen wir die Punkte in die Funktonsgleichung ein:
{|
|-
|

{| border="1"
!|x
!|y
|-
|1
|4
|-
|2
|16
|}

!| $\ \ \ \ \ y=b\cdot a^x$
$\rightarrow I:\ 4=b\cdot a^1$

$\ \rightarrow II: 16=b\cdot a^2$

|}
Hier haben wir nun ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und zwei Unbekannten. Dieses können wir mithilfe des [[Gleichungssysteme (2.7.)#Einsetzungsverfahren (Substitutionsverfahren) | Einsetzungsverfahren]] lösen:
Hierzu stellen wir in I die Unbekannte $a$ frei:
$I:\ 4=b\cdot a^1 \ \ \rightarrow a=$<span style="background-color:yellow"> $\frac{4}{b}$ </span>
und setzen dies nun in II ein:

$II:\ 16=b\cdot ($ <span style="background-color:yellow">$\frac{4}{b}$ </span> $)^2$
$$II:\ 16=b\cdot (\frac{4}{b})^2$$
$$II: \ 16=b\cdot (\frac{16}{b^2})\ \ \ |\cdot 16$$
$$II: \ 16\cdot b^2 = 16 \ \ \ |:16 $$
$$II: \ b^2=1 $$
$$II: \ b=\pm 1$$
Da laut der Definition (ganz oben) $b>0$ ist, muss gelten $\underline{b=1}$

Damit erhalten wir $a=\frac{4}{b} \rightarrow \underline{a=4}$

Antowrt: Somit lautet die Funktionsgleichung $\underline{\underline{f(x)=1\cdot 4^x}}$ bzw. $\underline{\underline{f(x)=4^x}}$

</div>

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=== 3. Beispiel mit $f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$ (einfach) ===

Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$ geht durch die Punkte (0|3) und (2|27) bestimme die [[Parameter]] $\lambda$ und b

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung:'''</span>

<div class="mw-collapsible-content">

'''1. Punkt (0|3)''': Da der Graph die y-Achse hier schneidet, muss gelten $\underline{b=3}$ (siehe oben Beispiel 1)

'''2. Punkt (2|27)''': Wir setzen diesen Punkt und b=3 nun in die Funktionsgleichung um $\lambda$ zu erhalten:
$$f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$$
$$27=3\cdot e^{\lambda \cdot 2}$$
Nun wenden wir den [[Logarithmus]] an:
$$9=e^{\lambda \cdot 2} \ \ \ | \ln(\ )$$
$$\ln(9)=\ln(e^{\lambda \cdot 2})$$
$$\ln(9)=\lambda \cdot 2\cdot \ln(e) \ \ \ |ln(e)=1 \ \ |:2$$
$$\frac{ln(9)}{2}=\lambda$$
$$\underline{1.1=\lambda}$$

Somit lautet die Funktionsgleichung $\underline{\underline{f(x)=3\cdot e^{1.1\cdot x}}}$

</div>

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=== 4. Beispiel mit $f(x)=b\cdot e^{\lambda\cdot x}$ (leicht) ===
Gegeben ist die Funktion $f(x)=2\cdot e^{-0.4\cdot x}$. Bestimmen Sie jene [[Argument | Argumente]] für die gilt
* a) $f(x)=0.3$
* b) $f(x)=0$
* c) $f(x)=-0.5$

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

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<span style="color:#A020F0> '''Lösung für a)''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

[[Datei:Beispiel 0 3.png|thumb|350px|right|Graphische Lösung der Aufgabe]]

Es gilt die Gleichung $f(x)=0.3$ zu lösen, wobei $f(x)=2\cdot e^{-0.4\cdot x}$ ist:
$$2\cdot e^{-0.4\cdot x}=0.3$$
$$ e^{-0.4\cdot x}=\frac{0.3}{2} \ \ \ \ | ln()$$
$$ -0.4\cdot x \cdot \ln(e)=\ln(\frac{0.3}{2})\ \ \ \ |ln(e)=1 \ \ \ |:(-0.4) $$
$$x=\frac{\ln(\frac{0.3}{2})}{-0.4}$$
$$\underline{\underline{x = 4.74}}$$
Alternative Lösungswege:
* Graphisch den Schnittpunkt zwischen f(x) und y=0.3 ermitteln (siehe Abbildung rechts)
* [[Solve-Befehl | Solve-Befehl im TR]] oder [[Löse-Befehl | Löse-Befehl mit GeoGebra]]

</div>

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<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung für b)''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Da die x-Achse des Graphen von f(x) eine [[Asymptote]] ist, hat f(x) keine Nullstellen und somit gibt es kein x für das gilt $f(x)=0$
Alternativer Lösungsweg:
* [[Löse-Befehl | Löse-Befehl mit GeoGebra]] $\rightarrow$ als Lösung erhält man die leere Menge $\mathbb{L}=\{ \}$
* Rechnerisch:
$$ f(x)=0$$
$$2\cdot e^{-0.4\cdot x}=0 \ \ \ |:2$$
$$ e^{-0.4\cdot x}=0 \ \ \ |ln $$
$$ -0.4\cdot x\cdot \ln(e)=\ln(0)$$
Da der [[Logarithmus]] nur für positive x-Werte definiert ist ($\mathbb{D}=\mathbb{R}^+$) ist $\ln(0)$ nicht definiert (was du leicht im TR mit der Rechnung ln(0) überprüfen kannst).
Somit hat die Gleichung $ -0.4\cdot x\cdot \ln(e)=\ln(0)$ keine Lösung.

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<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung für c)''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Auch hier gibt es keine Lösung, da der [[Wertebereich]] der Exponentialfunktion $2\cdot e^{-0.4\cdot x}$ oberhalb der x-Achse liegt und $f(x)$ somit niemals negative Funktionswerte annimmt.
(Siehe Abbildung bei Lösung a) )

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</div>

== Weitere Materialien ==
* [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_exponentialfunktionen/Exponentialfunktionen_NEU/ Online-Lernpfad von G. Jauck und A. Lindner]
* [http://LearningApps.org/watch?v=p71pgtywt01 Quiz: Graph und Funktionsgleichung]

== Beispiele ==

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=204&file=Mount_Everest.pdf Mount Everest] (bifie-Aufgabe: leicht-mittel-schwer)
: Siehe auch [[Der Logarithmus | Logarithmus]]

[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Exponentialfunktionen(3.5.)

2014-07-14T12:11:25Z

93.82.121.26: /* Graph der Exponentialfunktion */

Diese Seite behandelt grundlegende Eigenschaften der Exponentialfunktion. Die Anwendungsbeispiele findest du auf der Seite [[Wachstums- und Zerfallsprozesse]]!
[[Datei:Exp-fkt-allgemein-250.png|thumb|right|300px|Graph der Exponentialfunktion]]

{| border ="1"

| '''Definition:'''

|<p style="background-color:#E0E0E0"> Exponentialfunktionen sind [[Funktionen | Funktionen]], deren Funktionsgleichung die Form
$$f(x)=b\cdot a^x \textrm{ mit } b \textrm{ und } a \in \mathbb{R}^+$$
oder
$$ f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x} \textrm{ mit } b \in \mathbb{R}^+,\ \lambda \in \mathbb{R} $$
</p>
|}

'''Hinweise'''
* In Exponentialfunktionen steht die Variable immer im [[Exponent | Exponenten]]
* Im Term $a^x$ ist $a$ die [[Basis]]
* $e$ steht für die [[Eulersche Zahl e | Eulersche Zahl]]
* $a=e^\lambda \rightarrow$ Dies ist der Zusammenhang der beiden Funktionsgleichungen

== Graph der Exponentialfunktion ==
Je nach Größe der [[Parameter]] a und b bzw. λ verändert sich der Graph. Im Folgenden werden die Auswirkungen der einzelnen Parameter auf den Graphen der Funktion besprochen:

----
{| border=“0“
|-
|'''b gibt den Schnittpunkt mit der y-Achse an.'''
Begründung: Beim Schnittpunkt mit der y-Achse ist die x-Koordinate gleich 0. Die dazugehörige y-Koordinate erhält man dann durch:
$f(0)=b\cdot a^0 =b\cdot 1=b$
(mit der $e^\lambda$-Formel funktioniert es genauso)
| [[Datei:Exp-fkt.gif|right]]
|}

----

{| border="0"
|-
| '''a und $\lambda$ geben an, ob der Graph steigt oder fällt.'''
|-
| für $a>1$ oder $\lambda>0$
|
ist der Graph [[Monotonie | monoton steigend]]. '''Je größer a bzw. $\lambda$ ist, desto stärker steigt der Graph'''
|[[Datei:Amimation für ag1.gif]]
|-
|für $0<a<1$ oder $\lambda<0$
|ist der Graph [[Monotonie | monoton fallend]] und nähert sich immer mehr der x-Achse
| [[Datei:Amimation für ak1-280.gif]]
|}

----
* [[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]]]: In diesem [https://www.geogebratube.org/student/m116630 Arbeitsblatt] kannst du noch einmal die obigen Schritte nachvollziehen (Achtung: Anstelle von "b" wurde hier der Buchstabe "c" verwendet!)
* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Hier findest du ein [http://LearningApps.org/watch?v=p71pgtywt01 Quiz, in dem du das gelernte überprüfen kannst].

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== Weitere Eigenschaften der Exponentialfunktion ==

* Die x-Achse ist eine [[Asymptote]] des Graphen. D.h. der Graph der Exponentialfunktion nähert sich dieser beliebig nahe, ohne sie jemals zu schneiden.
* Die Exponentialfunktion hat die besondere Eigenschaft, dass sie sich in bestimmten Abständen immer um ‚‘‘denselben Faktor‘‘‘ vermehrt (wenn a>1) oder vermindert (wenn 0<a<1) $\rightarrow $ siehe Abbildung rechts.
* Aufgrund der letzten Eigenschaft werden Exponentialfunktionen für die Beschreibung von Wachstumsprozessen (z.B. Wachstum einer Bakterienpopulation) oder Zerfallsprozessen (z.B. Zerfall eines radioaktiven Elements) verwendet.
Siehe [[Wachstums- und Zerfallsprozesse]]

{| align="center"
|-
| [[Datei:Exp-fkt mit vielen as-png.png|thumb|300px|left|Graph mit $a>0$]]
| [[Datei:Exp-fkt mit vielen as u a 0.png|thumb|300px|right|Graph mit $0<a<1$]]
|}

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== Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung ==
Allgemeiner Lösungsweg: Die Funktionsgleichung wird bestimmt, indem man 2 Punkte auf dem Funktionsgraphen bestimmt und diese dann in die Funktionsgleichung einsetzt. Am einfachsten ist es, wenn einer der Punkte der Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse ist, da so b einfach bestimmt werden kann.

=== 1. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (einfach) ===

'''Angabe:''' Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot a^x$ geht durch die Punkte (0|3) und (2|12) bestimme die [[Parameter]] a und b.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0>
'''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Um a und b zu bestimmen, setzen wir die Punkte in die Funktonsgleichung ein:
{|
|-
|

{| border="1"
!|x
!|y
|-
|0
|3
|-
|2
|12
|}
| $\ \ \ \ \ y=b\cdot a^x$

$\rightarrow 3=b\cdot a^0\ \ \ \ \ \rightarrow \underline{3=b}\ \ $ (Hinweis: Da f bei (0|3) die y-Achse schneidet, hätten wir schon vorher gewusst, dass $b=3$ ist.)

$\rightarrow 12=3\cdot a^2 \ \ \ \rightarrow 4=a^2 \rightarrow \underline{a=2}$

|}
Somit gilt: $\underline{\underline{f(x)=3\cdot 2^x }}$

</div>

</div>

<br>
<br>
<br>

=== 2. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (mittel) ===

'''Angabe:''' Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot a^x$ geht durch die Punkte (1|4) und (2|16) bestimme die [[Parameter]] a und b.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0>
'''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Um a und b zu bestimmen, setzen wir die Punkte in die Funktonsgleichung ein:
{|
|-
|

{| border="1"
!|x
!|y
|-
|1
|4
|-
|2
|16
|}

!| $\ \ \ \ \ y=b\cdot a^x$
$\rightarrow I:\ 4=b\cdot a^1$

$\ \rightarrow II: 16=b\cdot a^2$

|}
Hier haben wir nun ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und zwei Unbekannten. Dieses können wir mithilfe des [[Gleichungssysteme (2.7.)#Einsetzungsverfahren (Substitutionsverfahren) | Einsetzungsverfahren]] lösen:
Hierzu stellen wir in I die Unbekannte $a$ frei:
$I:\ 4=b\cdot a^1 \ \ \rightarrow a=$<span style="background-color:yellow"> $\frac{4}{b}$ </span>
und setzen dies nun in II ein:

$II:\ 16=b\cdot ($ <span style="background-color:yellow">$\frac{4}{b}$ </span> $)^2$
$$II:\ 16=b\cdot (\frac{4}{b})^2$$
$$II: \ 16=b\cdot (\frac{16}{b^2})\ \ \ |\cdot 16$$
$$II: \ 16\cdot b^2 = 16 \ \ \ |:16 $$
$$II: \ b^2=1 $$
$$II: \ b=\pm 1$$
Da laut der Definition (ganz oben) $b>0$ ist, muss gelten $\underline{b=1}$

Damit erhalten wir $a=\frac{4}{b} \rightarrow \underline{a=4}$

Antowrt: Somit lautet die Funktionsgleichung $\underline{\underline{f(x)=1\cdot 4^x}}$ bzw. $\underline{\underline{f(x)=4^x}}$

</div>

</div>

<br>
<br>
<br>
=== 3. Beispiel mit $f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$ (einfach) ===

Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$ geht durch die Punkte (0|3) und (2|27) bestimme die [[Parameter]] $\lambda$ und b

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung:'''</span>

<div class="mw-collapsible-content">

'''1. Punkt (0|3)''': Da der Graph die y-Achse hier schneidet, muss gelten $\underline{b=3}$ (siehe oben Beispiel 1)

'''2. Punkt (2|27)''': Wir setzen diesen Punkt und b=3 nun in die Funktionsgleichung um $\lambda$ zu erhalten:
$$f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$$
$$27=3\cdot e^{\lambda \cdot 2}$$
Nun wenden wir den [[Logarithmus]] an:
$$9=e^{\lambda \cdot 2} \ \ \ | \ln(\ )$$
$$\ln(9)=\ln(e^{\lambda \cdot 2})$$
$$\ln(9)=\lambda \cdot 2\cdot \ln(e) \ \ \ |ln(e)=1 \ \ |:2$$
$$\frac{ln(9)}{2}=\lambda$$
$$\underline{1.1=\lambda}$$

Somit lautet die Funktionsgleichung $\underline{\underline{f(x)=3\cdot e^{1.1\cdot x}}}$

</div>

</div>

=== 4. Beispiel mit $f(x)=b\cdot e^{\lambda\cdot x}$ (leicht) ===
Gegeben ist die Funktion $f(x)=2\cdot e^{-0.4\cdot x}$. Bestimmen Sie jene [[Argument | Argumente]] für die gilt
* a) $f(x)=0.3$
* b) $f(x)=0$
* c) $f(x)=-0.5$

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung für a)''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

[[Datei:Beispiel 0 3.png|thumb|350px|right|Graphische Lösung der Aufgabe]]

Es gilt die Gleichung $f(x)=0.3$ zu lösen, wobei $f(x)=2\cdot e^{-0.4\cdot x}$ ist:
$$2\cdot e^{-0.4\cdot x}=0.3$$
$$ e^{-0.4\cdot x}=\frac{0.3}{2} \ \ \ \ | ln()$$
$$ -0.4\cdot x \cdot \ln(e)=\ln(\frac{0.3}{2})\ \ \ \ |ln(e)=1 \ \ \ |:(-0.4) $$
$$x=\frac{\ln(\frac{0.3}{2})}{-0.4}$$
$$\underline{\underline{x = 4.74}}$$
Alternative Lösungswege:
* Graphisch den Schnittpunkt zwischen f(x) und y=0.3 ermitteln (siehe Abbildung rechts)
* [[Solve-Befehl | Solve-Befehl im TR]] oder [[Löse-Befehl | Löse-Befehl mit GeoGebra]]

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung für b)''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Da die x-Achse des Graphen von f(x) eine [[Asymptote]] ist, hat f(x) keine Nullstellen und somit gibt es kein x für das gilt $f(x)=0$
Alternativer Lösungsweg:
* [[Löse-Befehl | Löse-Befehl mit GeoGebra]] $\rightarrow$ als Lösung erhält man die leere Menge $\mathbb{L}=\{ \}$
* Rechnerisch:
$$ f(x)=0$$
$$2\cdot e^{-0.4\cdot x}=0 \ \ \ |:2$$
$$ e^{-0.4\cdot x}=0 \ \ \ |ln $$
$$ -0.4\cdot x\cdot \ln(e)=\ln(0)$$
Da der [[Logarithmus]] nur für positive x-Werte definiert ist ($\mathbb{D}=\mathbb{R}^+$) ist $\ln(0)$ nicht definiert (was du leicht im TR mit der Rechnung ln(0) überprüfen kannst).
Somit hat die Gleichung $ -0.4\cdot x\cdot \ln(e)=\ln(0)$ keine Lösung.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung für c)''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Auch hier gibt es keine Lösung, da der [[Wertebereich]] der Exponentialfunktion $2\cdot e^{-0.4\cdot x}$ oberhalb der x-Achse liegt und $f(x)$ somit niemals negative Funktionswerte annimmt.
(Siehe Abbildung bei Lösung a) )

</div>

</div>

</div>

</div>

== Weitere Materialien ==
* [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_exponentialfunktionen/Exponentialfunktionen_NEU/ Online-Lernpfad von G. Jauck und A. Lindner]
* [http://LearningApps.org/watch?v=p71pgtywt01 Quiz: Graph und Funktionsgleichung]

== Beispiele ==

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=204&file=Mount_Everest.pdf Mount Everest] (bifie-Aufgabe: leicht-mittel-schwer)
: Siehe auch [[Der Logarithmus | Logarithmus]]

[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Farbverwendung

2014-07-14T12:10:18Z

93.82.121.26:

Diese Seite gibt an, welche Farbmarkierungen bereits in Verwendung sind:

# Für Arbeitsblätter: [[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]]
# Für Bifie-Aufgaben: [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]
# Für wichtige Kennzeichnungen: <span style="background-color:#00FFFF"> '''Wichtig''' </span>
# Für interaktive Quiz-Seiten oder Tests zur Selbstkontrolle: <span style="background-color:#FF3E96"> '''?''' </span>
# Für Präsentationen zum Stoff: <span style="background-color:#FFA500"> $Schau!\ $ </span>
# Für Online-Lernpfade: <span style="background-color:#FFD700"> $Step\ by\ Step!$ </span>

Farbverwendung

2014-07-14T12:09:04Z

93.82.121.26:

Diese Seite gibt an, welche Farbmarkierungen bereits in Verwendung sind:

# Für Arbeitsblätter: <span style="background-color:#7CFC00"> $Aha!$ </span>
# Für Bifie-Aufgaben: [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]
# Für wichtige Kennzeichnungen: <span style="background-color:#00FFFF"> '''Wichtig''' </span>
# Für interaktive Quiz-Seiten oder Tests zur Selbstkontrolle: <span style="background-color:#FF3E96"> '''?''' </span>
# Für Präsentationen zum Stoff: <span style="background-color:#FFA500"> $Schau!\ $ </span>
# Für Online-Lernpfade: <span style="background-color:#FFD700"> $Step\ by\ Step!$ </span>

Bifie-grün: Aufgaben des Bifie

2014-07-14T12:08:02Z

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Grün: Arbeitsblätter

2014-07-14T12:04:45Z

93.82.121.26:

Exponentialfunktionen(3.5.)

2014-07-14T11:50:24Z

93.82.121.26:

Diese Seite behandelt grundlegende Eigenschaften der Exponentialfunktion. Die Anwendungsbeispiele findest du auf der Seite [[Wachstums- und Zerfallsprozesse]]!
[[Datei:Exp-fkt-allgemein-250.png|thumb|right|300px|Graph der Exponentialfunktion]]

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| '''Definition:'''

|<p style="background-color:#E0E0E0"> Exponentialfunktionen sind [[Funktionen | Funktionen]], deren Funktionsgleichung die Form
$$f(x)=b\cdot a^x \textrm{ mit } b \textrm{ und } a \in \mathbb{R}^+$$
oder
$$ f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x} \textrm{ mit } b \in \mathbb{R}^+,\ \lambda \in \mathbb{R} $$
</p>
|}

'''Hinweise'''
* In Exponentialfunktionen steht die Variable immer im [[Exponent | Exponenten]]
* Im Term $a^x$ ist $a$ die [[Basis]]
* $e$ steht für die [[Eulersche Zahl e | Eulersche Zahl]]
* $a=e^\lambda \rightarrow$ Dies ist der Zusammenhang der beiden Funktionsgleichungen

== Graph der Exponentialfunktion ==
Je nach Größe der [[Parameter]] a und b bzw. λ verändert sich der Graph. Im Folgenden werden die Auswirkungen der einzelnen Parameter auf den Graphen der Funktion besprochen:

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{| border=“0“
|-
|'''b gibt den Schnittpunkt mit der y-Achse an.'''
Begründung: Beim Schnittpunkt mit der y-Achse ist die x-Koordinate gleich 0. Die dazugehörige y-Koordinate erhält man dann durch:
$f(0)=b\cdot a^0 =b\cdot 1=b$
(mit der $e^\lambda$-Formel funktioniert es genauso)
| [[Datei:Exp-fkt.gif|right]]
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| '''a und $\lambda$ geben an, ob der Graph steigt oder fällt.'''
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| für $a>1$ oder $\lambda>0$
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ist der Graph [[Monotonie | monoton steigend]]. '''Je größer a bzw. $\lambda$ ist, desto stärker steigt der Graph'''
|[[Datei:Amimation für ag1.gif]]
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|für $0<a<1$ oder $\lambda<0$
|ist der Graph [[Monotonie | monoton fallend]] und nähert sich immer mehr der x-Achse
| [[Datei:Amimation für ak1-280.gif]]
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[http://LearningApps.org/watch?v=p71pgtywt01 Hier findest du ein Quiz],wo du das gelernte überprüfen kannst.

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== Weitere Eigenschaften der Exponentialfunktion ==

* Die x-Achse ist eine [[Asymptote]] des Graphen. D.h. der Graph der Exponentialfunktion nähert sich dieser beliebig nahe, ohne sie jemals zu schneiden.
* Die Exponentialfunktion hat die besondere Eigenschaft, dass sie sich in bestimmten Abständen immer um ‚‘‘denselben Faktor‘‘‘ vermehrt (wenn a>1) oder vermindert (wenn 0<a<1) $\rightarrow $ siehe Abbildung rechts.
* Aufgrund der letzten Eigenschaft werden Exponentialfunktionen für die Beschreibung von Wachstumsprozessen (z.B. Wachstum einer Bakterienpopulation) oder Zerfallsprozessen (z.B. Zerfall eines radioaktiven Elements) verwendet.
Siehe [[Wachstums- und Zerfallsprozesse]]

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| [[Datei:Exp-fkt mit vielen as-png.png|thumb|300px|left|Graph mit $a>0$]]
| [[Datei:Exp-fkt mit vielen as u a 0.png|thumb|300px|right|Graph mit $0<a<1$]]
|}

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== Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung ==
Allgemeiner Lösungsweg: Die Funktionsgleichung wird bestimmt, indem man 2 Punkte auf dem Funktionsgraphen bestimmt und diese dann in die Funktionsgleichung einsetzt. Am einfachsten ist es, wenn einer der Punkte der Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse ist, da so b einfach bestimmt werden kann.

=== 1. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (einfach) ===

'''Angabe:''' Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot a^x$ geht durch die Punkte (0|3) und (2|12) bestimme die [[Parameter]] a und b.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0>
'''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Um a und b zu bestimmen, setzen wir die Punkte in die Funktonsgleichung ein:
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|-
|

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!|x
!|y
|-
|0
|3
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|}
| $\ \ \ \ \ y=b\cdot a^x$

$\rightarrow 3=b\cdot a^0\ \ \ \ \ \rightarrow \underline{3=b}\ \ $ (Hinweis: Da f bei (0|3) die y-Achse schneidet, hätten wir schon vorher gewusst, dass $b=3$ ist.)

$\rightarrow 12=3\cdot a^2 \ \ \ \rightarrow 4=a^2 \rightarrow \underline{a=2}$

|}
Somit gilt: $\underline{\underline{f(x)=3\cdot 2^x }}$

</div>

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=== 2. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (mittel) ===

'''Angabe:''' Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot a^x$ geht durch die Punkte (1|4) und (2|16) bestimme die [[Parameter]] a und b.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0>
'''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Um a und b zu bestimmen, setzen wir die Punkte in die Funktonsgleichung ein:
{|
|-
|

{| border="1"
!|x
!|y
|-
|1
|4
|-
|2
|16
|}

!| $\ \ \ \ \ y=b\cdot a^x$
$\rightarrow I:\ 4=b\cdot a^1$

$\ \rightarrow II: 16=b\cdot a^2$

|}
Hier haben wir nun ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und zwei Unbekannten. Dieses können wir mithilfe des [[Gleichungssysteme (2.7.)#Einsetzungsverfahren (Substitutionsverfahren) | Einsetzungsverfahren]] lösen:
Hierzu stellen wir in I die Unbekannte $a$ frei:
$I:\ 4=b\cdot a^1 \ \ \rightarrow a=$<span style="background-color:yellow"> $\frac{4}{b}$ </span>
und setzen dies nun in II ein:

$II:\ 16=b\cdot ($ <span style="background-color:yellow">$\frac{4}{b}$ </span> $)^2$
$$II:\ 16=b\cdot (\frac{4}{b})^2$$
$$II: \ 16=b\cdot (\frac{16}{b^2})\ \ \ |\cdot 16$$
$$II: \ 16\cdot b^2 = 16 \ \ \ |:16 $$
$$II: \ b^2=1 $$
$$II: \ b=\pm 1$$
Da laut der Definition (ganz oben) $b>0$ ist, muss gelten $\underline{b=1}$

Damit erhalten wir $a=\frac{4}{b} \rightarrow \underline{a=4}$

Antowrt: Somit lautet die Funktionsgleichung $\underline{\underline{f(x)=1\cdot 4^x}}$ bzw. $\underline{\underline{f(x)=4^x}}$

</div>

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=== 3. Beispiel mit $f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$ (einfach) ===

Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$ geht durch die Punkte (0|3) und (2|27) bestimme die [[Parameter]] $\lambda$ und b

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung:'''</span>

<div class="mw-collapsible-content">

'''1. Punkt (0|3)''': Da der Graph die y-Achse hier schneidet, muss gelten $\underline{b=3}$ (siehe oben Beispiel 1)

'''2. Punkt (2|27)''': Wir setzen diesen Punkt und b=3 nun in die Funktionsgleichung um $\lambda$ zu erhalten:
$$f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$$
$$27=3\cdot e^{\lambda \cdot 2}$$
Nun wenden wir den [[Logarithmus]] an:
$$9=e^{\lambda \cdot 2} \ \ \ | \ln(\ )$$
$$\ln(9)=\ln(e^{\lambda \cdot 2})$$
$$\ln(9)=\lambda \cdot 2\cdot \ln(e) \ \ \ |ln(e)=1 \ \ |:2$$
$$\frac{ln(9)}{2}=\lambda$$
$$\underline{1.1=\lambda}$$

Somit lautet die Funktionsgleichung $\underline{\underline{f(x)=3\cdot e^{1.1\cdot x}}}$

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=== 4. Beispiel mit $f(x)=b\cdot e^{\lambda\cdot x}$ (leicht) ===
Gegeben ist die Funktion $f(x)=2\cdot e^{-0.4\cdot x}$. Bestimmen Sie jene [[Argument | Argumente]] für die gilt
* a) $f(x)=0.3$
* b) $f(x)=0$
* c) $f(x)=-0.5$

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung für a)''' </span>

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[[Datei:Beispiel 0 3.png|thumb|350px|right|Graphische Lösung der Aufgabe]]

Es gilt die Gleichung $f(x)=0.3$ zu lösen, wobei $f(x)=2\cdot e^{-0.4\cdot x}$ ist:
$$2\cdot e^{-0.4\cdot x}=0.3$$
$$ e^{-0.4\cdot x}=\frac{0.3}{2} \ \ \ \ | ln()$$
$$ -0.4\cdot x \cdot \ln(e)=\ln(\frac{0.3}{2})\ \ \ \ |ln(e)=1 \ \ \ |:(-0.4) $$
$$x=\frac{\ln(\frac{0.3}{2})}{-0.4}$$
$$\underline{\underline{x = 4.74}}$$
Alternative Lösungswege:
* Graphisch den Schnittpunkt zwischen f(x) und y=0.3 ermitteln (siehe Abbildung rechts)
* [[Solve-Befehl | Solve-Befehl im TR]] oder [[Löse-Befehl | Löse-Befehl mit GeoGebra]]

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<span style="color:#A020F0> '''Lösung für b)''' </span>

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Da die x-Achse des Graphen von f(x) eine [[Asymptote]] ist, hat f(x) keine Nullstellen und somit gibt es kein x für das gilt $f(x)=0$
Alternativer Lösungsweg:
* [[Löse-Befehl | Löse-Befehl mit GeoGebra]] $\rightarrow$ als Lösung erhält man die leere Menge $\mathbb{L}=\{ \}$
* Rechnerisch:
$$ f(x)=0$$
$$2\cdot e^{-0.4\cdot x}=0 \ \ \ |:2$$
$$ e^{-0.4\cdot x}=0 \ \ \ |ln $$
$$ -0.4\cdot x\cdot \ln(e)=\ln(0)$$
Da der [[Logarithmus]] nur für positive x-Werte definiert ist ($\mathbb{D}=\mathbb{R}^+$) ist $\ln(0)$ nicht definiert (was du leicht im TR mit der Rechnung ln(0) überprüfen kannst).
Somit hat die Gleichung $ -0.4\cdot x\cdot \ln(e)=\ln(0)$ keine Lösung.

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<span style="color:#A020F0> '''Lösung für c)''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Auch hier gibt es keine Lösung, da der [[Wertebereich]] der Exponentialfunktion $2\cdot e^{-0.4\cdot x}$ oberhalb der x-Achse liegt und $f(x)$ somit niemals negative Funktionswerte annimmt.
(Siehe Abbildung bei Lösung a) )

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== Weitere Materialien ==
* [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_exponentialfunktionen/Exponentialfunktionen_NEU/ Online-Lernpfad von G. Jauck und A. Lindner]
* [http://LearningApps.org/watch?v=p71pgtywt01 Quiz: Graph und Funktionsgleichung]

== Beispiele ==

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=204&file=Mount_Everest.pdf Mount Everest] (bifie-Aufgabe: leicht-mittel-schwer)
: Siehe auch [[Der Logarithmus | Logarithmus]]

[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Funktionen

2014-07-14T11:49:42Z

93.82.121.26:

Wichtige Funktiontypen:
* [[Lineare Funktionen]]
* [[Quadratische Funktionen]]
* [[Kubische Funktionen]]
* [[Exponentialfunktionen(3.5.) | Exponentialfunktionen]]
* [[Direkte und indirekte Proportion]]

== Übungen ==

* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Übung, in der du lernst [http://www.geogebratube.org/student/m82256 Funktionsgleichung anhand gegebener Punkte berechnen]
: Hierfür musst du [[Gleichungssysteme (2.7.) | Gleichungssysteme]] lösen.

* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Aufgabe von echteinfach.tv, in der du [http://www.echteinfach.tv/mathe-spiele/funktionen-quiz Funktionsgleichungen den jeweiligen Graphen zuordnest]

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=38&file=Beleuchtungsstaerke.pdf Beleuchtungsstärke] (bifie-Aufgabe)

Funktionen

2014-07-14T11:49:03Z

93.82.121.26:

Wichtige Funktiontypen:
* [[Lineare Funktionen]]
* [[Quadratische Funktionen]]
* [[Kubische Funktionen]]
* [[Exponentialfunktionen(3.5.) | Exponentialfunktionen]]

== Übungen ==

* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Übung, in der du lernst [http://www.geogebratube.org/student/m82256 Funktionsgleichung anhand gegebener Punkte berechnen]
: Hierfür musst du [[Gleichungssysteme (2.7.) | Gleichungssysteme]] lösen.

* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Aufgabe von echteinfach.tv, in der du [http://www.echteinfach.tv/mathe-spiele/funktionen-quiz Funktionsgleichungen den jeweiligen Graphen zuordnest]

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=38&file=Beleuchtungsstaerke.pdf Beleuchtungsstärke] (bifie-Aufgabe)

Funktionen

2014-07-14T11:48:34Z

93.82.121.26: /* Übungen */

Wichtige Funktiontypen:
* [[Lineare Funktionen]]
* [[Quadratische Funktionen]]
* [[Kubische Funktionen]]
* [[Exponentialfunktionen(3.5.) | Exponentialfunktionen]]

== Übungen ==

* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Übung, in der du lernst [http://www.geogebratube.org/student/m82256 Funktionsgleichung anhand gegebener Punkte berechnen]
: Hierfür musst du [[Gleichungssysteme (2.7.) | Gleichungssysteme]] lösen.

* [Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Aufgabe von echteinfach.tv, in der du [http://www.echteinfach.tv/mathe-spiele/funktionen-quiz Funktionsgleichungen den jeweiligen Graphen zuordnest]

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=38&file=Beleuchtungsstaerke.pdf Beleuchtungsstärke] (bifie-Aufgabe)