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Theorie Zahlenmengen (1.1.)

2014-09-02T15:41:30Z

91.115.98.43: /* die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ */

= Theorie =

[[Datei:ZahlenmengenI.png|thumb|500px|right|Zahlenmengen]]

Was unterscheidet 2, -8, 3.5 oder $\sqrt{7}$?

Es sind alles Zahlen. Allerdings sind sie unterschiedlich.

*Einerseits ist ihr Wert unterschiedlich (2 ≠ -8 ≠ 3.5 ≠ $ \sqrt{7} $).
*Andererseits gehören die Zahlen unterschiedlichen '''Zahlenmengen''' an.
 
Folgenden Zahlenmengen wirst du in der Schule und im Studium begegnen:
 
 

== die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ ==
{{Vorlage:Definition|1=Die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ sind die Zahlenmenge $\mathbb{N}$={0,1,2,3,.....} }}

Sie sind "''abgeschlossen''" bezüglich der Addition. Das heißt, wenn man zwei natürliche Zahlen addiert, so landet man wieder bei einer natürlichen Zahl.

'''Beispiel:''' $ 7+15=22 $

Sowohl die beiden [[Summe|Summanden]] links, als auch die [[Summe]] rechts sind natürliche Zahlen. Es ist nicht möglich, zwei natürliche Zahlen zu addieren und dabei eine "nicht-natürliche" Zahl zu erhalten.
 
 
 

== die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ ==
{{Vorlage:Definition|1=Die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ sind die Zahlenmenge $\mathbb{Z}=$ {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,.....}.}}

Beachte, dass jede natürliche Zahl auch eine ganze Zahl ist! Um auf die ganzen Zahlen zu kommen, fügt man den natürlichen Zahlen eifnach alle negativen ganzen Zahlen hinzu.

$\mathbb{Z}$ ist "''abgeschlossen''" bezüglich der Addition '''und der Subtraktion'''.

'''Beispiele'''
* $-3+7=4$
*$ -8-17=-25$

Was ist nun aber, wenn man zwei ganze Zahlen dividiert?
Beispiel:
$$ -2:4= \frac{-2}{4}=-\frac{1}{2} $$
Die Zahl$ -\frac{1}{2} $ ist ein Bruch und sicherlich keine ganze Zahl mehr. Hier sind wir in der nächsten Zahlenmenge gelandet:

Deshalb fügt man nun zu den ganzen Zahlen alle Brüche hinzu und erhält.
 
 
 

== die rationalen Zahlen $\mathbb{Q} $ ==

{{Vorlage:Definition|1=Zu den '''rationalen Zahlen''' gehören alle Brüche mit [[Bruch|Zähler]] und [[Bruch|Nenner]] aus den ganzen Zahlen, wobei im Nenner natürlich keine 0 stehen darf. Formal kann man das folgendermaßen schreiben:
$$ \mathbb{Q} = \left\{ \frac{a}{b} \vert\ a,b \in \mathbb{Z}, b \neq 0\right\} $$ }}

Da man jeden Bruch in eine endliche oder unendlich periodische Dezimalzahl verwandeln kann, indem man Zähler mit Nenner dividiert, gehören zu '''$\mathbb{Q} $ auch alle endlichen ODER unendlich periodischen Dezimalzahlen'''

Beispiel: $$ \frac{1}{3}=0.333333...$$
oder
$$ \frac{1}{5}=1:5=0.2 $$

Nun gibt es aber noch Dezimalzahlen, die unendlich lang, aber niemals periodisch sind, diese liegen außerhalb von $\mathbb{Q} $ und heißen die ''irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$''
 
 
 

== die irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$ ==

{{Vorlage:Definition|1=Zu den '''irrationalen Zahlen''' $\mathbb{I}$ gehören alle Dezimalzahlen, die '''undendlich lang UND niemals periodisch''' sind }}

'''Beispiele:'''
* $0,1001000100001....$ (immer eine 0 mehr)
* $\pi =3.14159.... $
* $e =2.718...$, die [[eulersche Zahl e|eulersche Zahl]]
* $\sqrt{2}=1.414...$ (und alle weiteren Wurzeln von [[Primzahlen]]).
 
 
 

== die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ ==
[[Datei:Qundi.gif|right|$\mathbb{Q}$ und $\mathbb{I}$=$\mathbb{R}$]]

Fasst man nun alle Dezimahlzahlen zusammen, die
# endlichen oder unendlich periodischen (=rationale Zahlen) und die
# unendlichen aber niemals periodischen (irrationale Zahlen)
so erhält man die reellen Zahlen $\mathbb{R}$.

{{Vorlage:Definition|1=$$ \mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I} $$
Vereinfacht gesagt: $ \mathbb{R}= $ Menge aller Dezimalzahlen }}

 
 
 

== die imaginären Zahlen ==

 Stoff der 2. Klasse 

Während in den reellen Zahlen $\mathbb{R}$ addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert werden kann, kann man aber NICHT die '''Wurzel aus negativen Zahlen berechnen'''.

'''Beispiel''':
$ \sqrt{-1} \notin $

Aus diesem Grund erweitert man die reellen Zahlen mit allen negativen Wurzeln und nennt

{{Vorlage:Definition|1=$\begin{align} \textrm{die imaginären Zahlen} &=& \textrm{die Menge der negativen Wurzeln} \\
&=&\left\{ \sqrt{-b} \vert\ b\in \mathbb{R}^+\right\}\end{align}$ }}

'''Weitere Beispiele:'''
* $ \sqrt{-1}=i$
* $ \sqrt{-4}=4i\ \ $ (weil $\sqrt{4\cdot (-1)}= \sqrt{4}\cdot \sqrt{-1}=2\cdot i $)

Imaginäre Zahlen treten bei den [[Quadratische Gleichungen (2.7.)| quadratischen Gleichungen]] auf, wenn die entsprechende [[Quadratische Funktionen|Parabel]] keine [[Nullstelle]] hat.
 
 
 

== die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ ==

[[Datei:RundIm.png|right|$\mathbb{R}$ und die Imaginären Zahlen $=\mathbb{C}$]]
Die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ erhält man, wenn man die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ und die imaginären Zahlen zusammenfügt.

{{Vorlage:Definition|1= $$ \mathbb{C} = \mathbb{R} \cup \textrm{imaginäre Zahlen}$$ }}

Setzt man also eine reelle Zahl (z.B. 5) und eine imaginäre Zahl (z.B. 7i) zusammen, so erhält man die komplexe Zahl $$5+7i$$

'''Beispiele'''
* 2 + 3i 
(jede komplexe Zahl besteht aus einer reellen Zahl, dem sogenannten Realteil (hier: 2) und einer imaginären Zahl (hier 3i), wobei 3 der sogennante Imaginärteil ist.
* -9+18i (Realteil=-9 und Imaginärteil=18)
* 4 $\ \ $ (hier ist der Imaginärteil 0)
* 8i $\ \ $(hier ist der Realteil 0)

 
 
 

= Beispiele Zahlenmengen (1.1.) =

==a) Zuordnung==
[[Datei:Zuordnung.png]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
 '''Lösung''' 
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Zuordnung-Lösung.png]]
</div>
</div>

[[Kategorie: Zahlen und Maße]]

Theorie Zahlenmengen (1.1.)

2014-09-02T15:40:29Z

91.115.98.43: /* die imaginären Zahlen */

= Theorie =

[[Datei:ZahlenmengenI.png|thumb|500px|right|Zahlenmengen]]

Was unterscheidet 2, -8, 3.5 oder $\sqrt{7}$?

Es sind alles Zahlen. Allerdings sind sie unterschiedlich.

*Einerseits ist ihr Wert unterschiedlich (2 ≠ -8 ≠ 3.5 ≠ $ \sqrt{7} $).
*Andererseits gehören die Zahlen unterschiedlichen '''Zahlenmengen''' an.
 
Folgenden Zahlenmengen wirst du in der Schule und im Studium begegnen:
 
 

== die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ ==
{{Vorlage:Definition|1=Die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ sind die Zahlenmenge $\mathbb{N}$={0,1,2,3,.....} }}

Sie sind "''abgeschlossen''" bezüglich der Addition. Das heißt, wenn man zwei natürliche Zahlen addiert, so landet man wieder bei einer natürlichen Zahl.

'''Beispiel:''' $ 7+15=22 $

Sowohl die beiden [[Summe|Summanden]] links, als auch die [[Summe]] rechts sind natürliche Zahlen. Es ist nicht möglich, zwei natürliche Zahlen zu addieren und dabei eine "nicht-natürliche" Zahl zu erhalten.
 
 
 

== die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ ==
{{Vorlage:Definition|1=Die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ sind die Zahlenmenge $\mathbb{Z}=$ {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,.....}.}}

Beachte, dass jede natürliche Zahl auch eine ganze Zahl ist! Um auf die ganzen Zahlen zu kommen, fügt man den natürlichen Zahlen eifnach alle negativen ganzen Zahlen hinzu.

$\mathbb{Z}$ ist "''abgeschlossen''" bezüglich der Addition '''und der Subtraktion'''.

'''Beispiele'''
* $-3+7=4$
*$ -8-17=-25$

Was ist nun aber, wenn man zwei ganze Zahlen dividiert?
Beispiel:
$$ -2:4= \frac{-2}{4}=-\frac{1}{2} $$
Die Zahl$ -\frac{1}{2} $ ist ein Bruch und sicherlich keine ganze Zahl mehr. Hier sind wir in der nächsten Zahlenmenge gelandet:

Deshalb fügt man nun zu den ganzen Zahlen alle Brüche hinzu und erhält.
 
 
 

== die rationalen Zahlen $\mathbb{Q} $ ==

{{Vorlage:Definition|1=Zu den '''rationalen Zahlen''' gehören alle Brüche mit [[Bruch|Zähler]] und [[Bruch|Nenner]] aus den ganzen Zahlen, wobei im Nenner natürlich keine 0 stehen darf. Formal kann man das folgendermaßen schreiben:
$$ \mathbb{Q} = \left\{ \frac{a}{b} \vert\ a,b \in \mathbb{Z}, b \neq 0\right\} $$ }}

Da man jeden Bruch in eine endliche oder unendlich periodische Dezimalzahl verwandeln kann, indem man Zähler mit Nenner dividiert, gehören zu '''$\mathbb{Q} $ auch alle endlichen ODER unendlich periodischen Dezimalzahlen'''

Beispiel: $$ \frac{1}{3}=0.333333...$$
oder
$$ \frac{1}{5}=1:5=0.2 $$

Nun gibt es aber noch Dezimalzahlen, die unendlich lang, aber niemals periodisch sind, diese liegen außerhalb von $\mathbb{Q} $ und heißen die ''irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$''
 
 
 

== die irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$ ==

{{Vorlage:Definition|1=Zu den '''irrationalen Zahlen''' $\mathbb{I}$ gehören alle Dezimalzahlen, die '''undendlich lang UND niemals periodisch''' sind }}

'''Beispiele:'''
* $0,1001000100001....$ (immer eine 0 mehr)
* $\pi =3.14159.... $
* $e =2.718...$, die [[eulersche Zahl e|eulersche Zahl]]
* $\sqrt{2}=1.414...$ (und alle weiteren Wurzeln von [[Primzahlen]]).
 
 
 

== die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ ==
[[Datei:Qundi.gif|right|$\mathbb{Q}$ und $\mathbb{I}$=$\mathbb{R}$]]

Fasst man nun alle Dezimahlzahlen zusammen, die
# endlichen oder unendlich periodischen (=rationale Zahlen) und die
# unendlichen aber niemals periodischen (irrationale Zahlen)
so erhält man die reellen Zahlen $\mathbb{R}$.

{{Vorlage:Definition|1=$$ \mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I} $$
Vereinfacht gesagt: $ \mathbb{R}= $ Menge aller Dezimalzahlen }}

 
 
 

== die imaginären Zahlen ==

 Stoff der 2. Klasse 

Während in den reellen Zahlen $\mathbb{R}$ addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert werden kann, kann man aber NICHT die '''Wurzel aus negativen Zahlen berechnen'''.

'''Beispiel''':
$ \sqrt{-1} \notin $

Aus diesem Grund erweitert man die reellen Zahlen mit allen negativen Wurzeln und nennt

{{Vorlage:Definition|1=$\begin{align} \textrm{die imaginären Zahlen} &=& \textrm{die Menge der negativen Wurzeln} \\
&=&\left\{ \sqrt{-b} \vert\ b\in \mathbb{R}^+\right\}\end{align}$ }}

'''Weitere Beispiele:'''
* $ \sqrt{-1}=i$
* $ \sqrt{-4}=4i\ \ $ (weil $\sqrt{4\cdot (-1)}= \sqrt{4}\cdot \sqrt{-1}=2\cdot i $)

Imaginäre Zahlen treten bei den [[Quadratische Gleichungen (2.7.)| quadratischen Gleichungen]] auf, wenn die entsprechende [[Quadratische Funktionen|Parabel]] keine [[Nullstelle]] hat.
 
 
 

== die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ ==

[[Datei:RundIm.png|right|$\mathbb{R}$ und die Imaginären Zahlen $=\mathbb{C}$]]
Die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ erhält man, wenn man die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ und die imaginären Zahlen zusammenfügt.

{| border ="1"
| '''Definition:'''

|
$$ \mathbb{C} = \mathbb{R} \cup \textrm{imaginäre Zahlen}$$ 
|}

Setzt man also eine reelle Zahl (z.B. 5) und eine imaginäre Zahl (z.B. 7i) zusammen, so erhält man die komplexe Zahl $$5+7i$$

'''Beispiele'''
* 2 + 3i 
(jede komplexe Zahl besteht aus einer reellen Zahl, dem sogenannten Realteil (hier: 2) und einer imaginären Zahl (hier 3i), wobei 3 der sogennante Imaginärteil ist.
* -9+18i (Realteil=-9 und Imaginärteil=18)
* 4 $\ \ $ (hier ist der Imaginärteil 0)
* 8i $\ \ $(hier ist der Realteil 0)

 
 
 

= Beispiele Zahlenmengen (1.1.) =

==a) Zuordnung==
[[Datei:Zuordnung.png]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
 '''Lösung''' 
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Zuordnung-Lösung.png]]
</div>
</div>

[[Kategorie: Zahlen und Maße]]

Theorie Zahlenmengen (1.1.)

2014-09-02T15:39:33Z

91.115.98.43: /* die imaginären Zahlen */

= Theorie =

[[Datei:ZahlenmengenI.png|thumb|500px|right|Zahlenmengen]]

Was unterscheidet 2, -8, 3.5 oder $\sqrt{7}$?

Es sind alles Zahlen. Allerdings sind sie unterschiedlich.

*Einerseits ist ihr Wert unterschiedlich (2 ≠ -8 ≠ 3.5 ≠ $ \sqrt{7} $).
*Andererseits gehören die Zahlen unterschiedlichen '''Zahlenmengen''' an.
 
Folgenden Zahlenmengen wirst du in der Schule und im Studium begegnen:
 
 

== die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ ==
{{Vorlage:Definition|1=Die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ sind die Zahlenmenge $\mathbb{N}$={0,1,2,3,.....} }}

Sie sind "''abgeschlossen''" bezüglich der Addition. Das heißt, wenn man zwei natürliche Zahlen addiert, so landet man wieder bei einer natürlichen Zahl.

'''Beispiel:''' $ 7+15=22 $

Sowohl die beiden [[Summe|Summanden]] links, als auch die [[Summe]] rechts sind natürliche Zahlen. Es ist nicht möglich, zwei natürliche Zahlen zu addieren und dabei eine "nicht-natürliche" Zahl zu erhalten.
 
 
 

== die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ ==
{{Vorlage:Definition|1=Die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ sind die Zahlenmenge $\mathbb{Z}=$ {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,.....}.}}

Beachte, dass jede natürliche Zahl auch eine ganze Zahl ist! Um auf die ganzen Zahlen zu kommen, fügt man den natürlichen Zahlen eifnach alle negativen ganzen Zahlen hinzu.

$\mathbb{Z}$ ist "''abgeschlossen''" bezüglich der Addition '''und der Subtraktion'''.

'''Beispiele'''
* $-3+7=4$
*$ -8-17=-25$

Was ist nun aber, wenn man zwei ganze Zahlen dividiert?
Beispiel:
$$ -2:4= \frac{-2}{4}=-\frac{1}{2} $$
Die Zahl$ -\frac{1}{2} $ ist ein Bruch und sicherlich keine ganze Zahl mehr. Hier sind wir in der nächsten Zahlenmenge gelandet:

Deshalb fügt man nun zu den ganzen Zahlen alle Brüche hinzu und erhält.
 
 
 

== die rationalen Zahlen $\mathbb{Q} $ ==

{{Vorlage:Definition|1=Zu den '''rationalen Zahlen''' gehören alle Brüche mit [[Bruch|Zähler]] und [[Bruch|Nenner]] aus den ganzen Zahlen, wobei im Nenner natürlich keine 0 stehen darf. Formal kann man das folgendermaßen schreiben:
$$ \mathbb{Q} = \left\{ \frac{a}{b} \vert\ a,b \in \mathbb{Z}, b \neq 0\right\} $$ }}

Da man jeden Bruch in eine endliche oder unendlich periodische Dezimalzahl verwandeln kann, indem man Zähler mit Nenner dividiert, gehören zu '''$\mathbb{Q} $ auch alle endlichen ODER unendlich periodischen Dezimalzahlen'''

Beispiel: $$ \frac{1}{3}=0.333333...$$
oder
$$ \frac{1}{5}=1:5=0.2 $$

Nun gibt es aber noch Dezimalzahlen, die unendlich lang, aber niemals periodisch sind, diese liegen außerhalb von $\mathbb{Q} $ und heißen die ''irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$''
 
 
 

== die irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$ ==

{{Vorlage:Definition|1=Zu den '''irrationalen Zahlen''' $\mathbb{I}$ gehören alle Dezimalzahlen, die '''undendlich lang UND niemals periodisch''' sind }}

'''Beispiele:'''
* $0,1001000100001....$ (immer eine 0 mehr)
* $\pi =3.14159.... $
* $e =2.718...$, die [[eulersche Zahl e|eulersche Zahl]]
* $\sqrt{2}=1.414...$ (und alle weiteren Wurzeln von [[Primzahlen]]).
 
 
 

== die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ ==
[[Datei:Qundi.gif|right|$\mathbb{Q}$ und $\mathbb{I}$=$\mathbb{R}$]]

Fasst man nun alle Dezimahlzahlen zusammen, die
# endlichen oder unendlich periodischen (=rationale Zahlen) und die
# unendlichen aber niemals periodischen (irrationale Zahlen)
so erhält man die reellen Zahlen $\mathbb{R}$.

{{Vorlage:Definition|1=$$ \mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I} $$
Vereinfacht gesagt: $ \mathbb{R}= $ Menge aller Dezimalzahlen }}

 
 
 

== die imaginären Zahlen ==

 Stoff der 2. Klasse 

Während in den reellen Zahlen $\mathbb{R}$ addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert werden kann, kann man aber NICHT die '''Wurzel aus negativen Zahlen berechnen'''.

'''Beispiel''':
$ \sqrt{-1} \notin $

Aus diesem Grund erweitert man die reellen Zahlen mit allen negativen Wurzeln und nennt

{{Vorlage:Definition|1=$\begin{align} \textrm{die imaginären Zahlen} &=& \textrm{die Menge der negativen Wurzeln} \\
&=&\left\{ \sqrt{-b} \vert\ b\in \mathbb{R}^+\right\}\end{align}$ }}

'''Weitere Beispiele:'''
* $ \sqrt{-1}=i$
* $ \sqrt{-4}=4i\ \ $ (weil $\sqrt{4\cdot (-1)}= \sqrt{4}\cdot \sqrt{-1}=2\cdot i $)

Imaginäre Zahlen treten bei den [[Quadratische Gleichungen (2.7.)| quadratischen Gleichungen]] auf, wenn die entsprechende [[Parabel]] keine [[Nullstelle]] hat.
 
 
 

== die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ ==

[[Datei:RundIm.png|right|$\mathbb{R}$ und die Imaginären Zahlen $=\mathbb{C}$]]
Die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ erhält man, wenn man die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ und die imaginären Zahlen zusammenfügt.

{| border ="1"
| '''Definition:'''

|
$$ \mathbb{C} = \mathbb{R} \cup \textrm{imaginäre Zahlen}$$ 
|}

Setzt man also eine reelle Zahl (z.B. 5) und eine imaginäre Zahl (z.B. 7i) zusammen, so erhält man die komplexe Zahl $$5+7i$$

'''Beispiele'''
* 2 + 3i 
(jede komplexe Zahl besteht aus einer reellen Zahl, dem sogenannten Realteil (hier: 2) und einer imaginären Zahl (hier 3i), wobei 3 der sogennante Imaginärteil ist.
* -9+18i (Realteil=-9 und Imaginärteil=18)
* 4 $\ \ $ (hier ist der Imaginärteil 0)
* 8i $\ \ $(hier ist der Realteil 0)

 
 
 

= Beispiele Zahlenmengen (1.1.) =

==a) Zuordnung==
[[Datei:Zuordnung.png]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
 '''Lösung''' 
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Zuordnung-Lösung.png]]
</div>
</div>

[[Kategorie: Zahlen und Maße]]

Theorie Zahlenmengen (1.1.)

2014-09-02T15:33:52Z

91.115.98.43: /* die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ */

= Theorie =

[[Datei:ZahlenmengenI.png|thumb|500px|right|Zahlenmengen]]

Was unterscheidet 2, -8, 3.5 oder $\sqrt{7}$?

Es sind alles Zahlen. Allerdings sind sie unterschiedlich.

*Einerseits ist ihr Wert unterschiedlich (2 ≠ -8 ≠ 3.5 ≠ $ \sqrt{7} $).
*Andererseits gehören die Zahlen unterschiedlichen '''Zahlenmengen''' an.
 
Folgenden Zahlenmengen wirst du in der Schule und im Studium begegnen:
 
 

== die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ ==
{{Vorlage:Definition|1=Die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ sind die Zahlenmenge $\mathbb{N}$={0,1,2,3,.....} }}

Sie sind "''abgeschlossen''" bezüglich der Addition. Das heißt, wenn man zwei natürliche Zahlen addiert, so landet man wieder bei einer natürlichen Zahl.

'''Beispiel:''' $ 7+15=22 $

Sowohl die beiden [[Summe|Summanden]] links, als auch die [[Summe]] rechts sind natürliche Zahlen. Es ist nicht möglich, zwei natürliche Zahlen zu addieren und dabei eine "nicht-natürliche" Zahl zu erhalten.
 
 
 

== die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ ==
{{Vorlage:Definition|1=Die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ sind die Zahlenmenge $\mathbb{Z}=$ {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,.....}.}}

Beachte, dass jede natürliche Zahl auch eine ganze Zahl ist! Um auf die ganzen Zahlen zu kommen, fügt man den natürlichen Zahlen eifnach alle negativen ganzen Zahlen hinzu.

$\mathbb{Z}$ ist "''abgeschlossen''" bezüglich der Addition '''und der Subtraktion'''.

'''Beispiele'''
* $-3+7=4$
*$ -8-17=-25$

Was ist nun aber, wenn man zwei ganze Zahlen dividiert?
Beispiel:
$$ -2:4= \frac{-2}{4}=-\frac{1}{2} $$
Die Zahl$ -\frac{1}{2} $ ist ein Bruch und sicherlich keine ganze Zahl mehr. Hier sind wir in der nächsten Zahlenmenge gelandet:

Deshalb fügt man nun zu den ganzen Zahlen alle Brüche hinzu und erhält.
 
 
 

== die rationalen Zahlen $\mathbb{Q} $ ==

{{Vorlage:Definition|1=Zu den '''rationalen Zahlen''' gehören alle Brüche mit [[Bruch|Zähler]] und [[Bruch|Nenner]] aus den ganzen Zahlen, wobei im Nenner natürlich keine 0 stehen darf. Formal kann man das folgendermaßen schreiben:
$$ \mathbb{Q} = \left\{ \frac{a}{b} \vert\ a,b \in \mathbb{Z}, b \neq 0\right\} $$ }}

Da man jeden Bruch in eine endliche oder unendlich periodische Dezimalzahl verwandeln kann, indem man Zähler mit Nenner dividiert, gehören zu '''$\mathbb{Q} $ auch alle endlichen ODER unendlich periodischen Dezimalzahlen'''

Beispiel: $$ \frac{1}{3}=0.333333...$$
oder
$$ \frac{1}{5}=1:5=0.2 $$

Nun gibt es aber noch Dezimalzahlen, die unendlich lang, aber niemals periodisch sind, diese liegen außerhalb von $\mathbb{Q} $ und heißen die ''irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$''
 
 
 

== die irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$ ==

{{Vorlage:Definition|1=Zu den '''irrationalen Zahlen''' $\mathbb{I}$ gehören alle Dezimalzahlen, die '''undendlich lang UND niemals periodisch''' sind }}

'''Beispiele:'''
* $0,1001000100001....$ (immer eine 0 mehr)
* $\pi =3.14159.... $
* $e =2.718...$, die [[eulersche Zahl e|eulersche Zahl]]
* $\sqrt{2}=1.414...$ (und alle weiteren Wurzeln von [[Primzahlen]]).
 
 
 

== die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ ==
[[Datei:Qundi.gif|right|$\mathbb{Q}$ und $\mathbb{I}$=$\mathbb{R}$]]

Fasst man nun alle Dezimahlzahlen zusammen, die
# endlichen oder unendlich periodischen (=rationale Zahlen) und die
# unendlichen aber niemals periodischen (irrationale Zahlen)
so erhält man die reellen Zahlen $\mathbb{R}$.

{{Vorlage:Definition|1=$$ \mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I} $$
Vereinfacht gesagt: $ \mathbb{R}= $ Menge aller Dezimalzahlen }}

 
 
 

== die imaginären Zahlen ==

 Stoff der 2. Klasse 

Während in den reellen Zahlen $\mathbb{R}$ addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert werden kann, kann man aber NICHT die '''Wurzel aus negativen Zahlen berechnen'''.

'''Beispiel''':
$ \sqrt{-1} $

Aus diesem Grund erweitert man die reellen Zahlen mit allen negativen Wurzeln und nennt

{{Vorlage:Definition|1=$\begin{align} \textrm{die imaginären Zahlen} &=& \textrm{die Menge der negativen Wurzeln} \\
&=&\left\{ \sqrt{-b} \vert\ b\in \mathbb{R}^+\right\}\end{align}$ }}

'''Weitere Beispiele:'''
* $ \sqrt{-1}=i$
* $ \sqrt{-4}=4i\ \ $ (weil $\sqrt{4\cdot (-1)}= \sqrt{4}\cdot \sqrt{-1}=2\cdot i $)

Imaginäre Zahlen treten bei den [[Quadratische Gleichungen (2.7.)| quadratischen Gleichungen]] auf, wenn die entsprechende [[Parabel]] keine [[Nullstelle]] hat.
 
 
 

== die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ ==

[[Datei:RundIm.png|right|$\mathbb{R}$ und die Imaginären Zahlen $=\mathbb{C}$]]
Die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ erhält man, wenn man die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ und die imaginären Zahlen zusammenfügt.

{| border ="1"
| '''Definition:'''

|
$$ \mathbb{C} = \mathbb{R} \cup \textrm{imaginäre Zahlen}$$ 
|}

Setzt man also eine reelle Zahl (z.B. 5) und eine imaginäre Zahl (z.B. 7i) zusammen, so erhält man die komplexe Zahl $$5+7i$$

'''Beispiele'''
* 2 + 3i 
(jede komplexe Zahl besteht aus einer reellen Zahl, dem sogenannten Realteil (hier: 2) und einer imaginären Zahl (hier 3i), wobei 3 der sogennante Imaginärteil ist.
* -9+18i (Realteil=-9 und Imaginärteil=18)
* 4 $\ \ $ (hier ist der Imaginärteil 0)
* 8i $\ \ $(hier ist der Realteil 0)

 
 
 

= Beispiele Zahlenmengen (1.1.) =

==a) Zuordnung==
[[Datei:Zuordnung.png]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
 '''Lösung''' 
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Zuordnung-Lösung.png]]
</div>
</div>

[[Kategorie: Zahlen und Maße]]

Theorie Zahlenmengen (1.1.)

2014-09-02T15:32:45Z

91.115.98.43: /* die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ */

= Theorie =

[[Datei:ZahlenmengenI.png|thumb|500px|right|Zahlenmengen]]

Was unterscheidet 2, -8, 3.5 oder $\sqrt{7}$?

Es sind alles Zahlen. Allerdings sind sie unterschiedlich.

*Einerseits ist ihr Wert unterschiedlich (2 ≠ -8 ≠ 3.5 ≠ $ \sqrt{7} $).
*Andererseits gehören die Zahlen unterschiedlichen '''Zahlenmengen''' an.
 
Folgenden Zahlenmengen wirst du in der Schule und im Studium begegnen:
 
 

== die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ ==
{{Vorlage:Definition|1=Die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ sind die Zahlenmenge $\mathbb{N}$={0,1,2,3,.....} }}

Sie sind "''abgeschlossen''" bezüglich der Addition. Das heißt, wenn man zwei natürliche Zahlen addiert, so landet man wieder bei einer natürlichen Zahl.

'''Beispiel:''' $ 7+15=22 $

Sowohl die beiden [[Summe|Summanden]] links, als auch die [[Summe]] rechts sind natürliche Zahlen. Es ist nicht möglich, zwei natürliche Zahlen zu addieren und dabei eine "nicht-natürliche" Zahl zu erhalten.
 
 
 

== die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ ==
{{Vorlage:Definition|1=Die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ sind die Zahlenmenge $\mathbb{Z}=$ {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,.....}.}}

Beachte, dass jede natürliche Zahl auch eine ganze Zahl ist! Um auf die ganzen Zahlen zu kommen, fügt man den natürlichen Zahlen eifnach alle negativen ganzen Zahlen hinzu.

$\mathbb{Z}$ ist "''abgeschlossen''" bezüglich der Addition '''und der Subtraktion'''.

'''Beispiele'''
* $-3+7=4$
*$ -8-17=-25$

Was ist nun aber, wenn man zwei ganze Zahlen dividiert?
Beispiel:
$$ -2:4= \frac{-2}{4}=-\frac{1}{2} $$
Die Zahl$ -\frac{1}{2} $ ist ein Bruch und sicherlich keine ganze Zahl mehr. Hier sind wir in der nächsten Zahlenmenge gelandet:

Deshalb fügt man nun zu den ganzen Zahlen alle Brüche hinzu und erhält.
 
 
 

== die rationalen Zahlen $\mathbb{Q} $ ==

{{Vorlage:Definition|1=Zu den '''rationalen Zahlen''' gehören alle Brüche mit [[Bruch|Zähler]] und [[Bruch|Nenner]] aus den ganzen Zahlen, wobei im Nenner natürlich keine 0 stehen darf. Formal kann man das folgendermaßen schreiben:
$$ \mathbb{Q} = \left\{ \frac{a}{b} \vert\ a,b \in \mathbb{Z}, b \neq 0\right\} $$ }}

Da man jeden Bruch in eine endliche oder unendlich periodische Dezimalzahl verwandeln kann, indem man Zähler mit Nenner dividiert, gehören zu '''$\mathbb{Q} $ auch alle endlichen ODER unendlich periodischen Dezimalzahlen'''

Beispiel: $$ \frac{1}{3}=0.333333...$$
oder
$$ \frac{1}{5}=1:5=0.2 $$

Nun gibt es aber noch Dezimalzahlen, die unendlich lang, aber niemals periodisch sind, diese liegen außerhalb von $\mathbb{Q} $ und heißen die ''irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$''
 
 
 

== die irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$ ==

{{Vorlage:Definition|1=Zu den '''irrationalen Zahlen''' $\mathbb{I}$ gehören alle Dezimalzahlen, die '''undendlich lang UND niemals periodisch''' sind }}

'''Beispiele:'''
* $0,1001000100001....$ (immer eine 0 mehr)
* $\pi =3.14159.... $
* $e =2.718...$, die [[eulersche Zahl e|eulersche Zahl]]
* $\sqrt{2}=1.414...$ (und alle weiteren Wurzeln von [[Primzahlen]]).
 
 
 

== die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ ==
[[Datei:Qundi.gif|right|$\mathbb{Q}$ und $\mathbb{I}$=$\mathbb{R}$]]

Fasst man nun alle Dezimahlzahlen zusammen, die
# endlichen oder unendlich periodischen (=rationale Zahlen) und die
# unendlichen aber niemals periodischen (irrationale Zahlen)
so erhält man die reellen Zahlen $\mathbb{R}$.

{{Vorlage:Definition|1=$$ \mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I} $$
Vereinfacht gesagt: $ \mathbb{R}= $ alle Dezimalzahlen }}

 
 
 

== die imaginären Zahlen ==

 Stoff der 2. Klasse 

Während in den reellen Zahlen $\mathbb{R}$ addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert werden kann, kann man aber NICHT die '''Wurzel aus negativen Zahlen berechnen'''.

'''Beispiel''':
$ \sqrt{-1} $

Aus diesem Grund erweitert man die reellen Zahlen mit allen negativen Wurzeln und nennt

{{Vorlage:Definition|1=$\begin{align} \textrm{die imaginären Zahlen} &=& \textrm{die Menge der negativen Wurzeln} \\
&=&\left\{ \sqrt{-b} \vert\ b\in \mathbb{R}^+\right\}\end{align}$ }}

'''Weitere Beispiele:'''
* $ \sqrt{-1}=i$
* $ \sqrt{-4}=4i\ \ $ (weil $\sqrt{4\cdot (-1)}= \sqrt{4}\cdot \sqrt{-1}=2\cdot i $)

Imaginäre Zahlen treten bei den [[Quadratische Gleichungen (2.7.)| quadratischen Gleichungen]] auf, wenn die entsprechende [[Parabel]] keine [[Nullstelle]] hat.
 
 
 

== die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ ==

[[Datei:RundIm.png|right|$\mathbb{R}$ und die Imaginären Zahlen $=\mathbb{C}$]]
Die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ erhält man, wenn man die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ und die imaginären Zahlen zusammenfügt.

{| border ="1"
| '''Definition:'''

|
$$ \mathbb{C} = \mathbb{R} \cup \textrm{imaginäre Zahlen}$$ 
|}

Setzt man also eine reelle Zahl (z.B. 5) und eine imaginäre Zahl (z.B. 7i) zusammen, so erhält man die komplexe Zahl $$5+7i$$

'''Beispiele'''
* 2 + 3i 
(jede komplexe Zahl besteht aus einer reellen Zahl, dem sogenannten Realteil (hier: 2) und einer imaginären Zahl (hier 3i), wobei 3 der sogennante Imaginärteil ist.
* -9+18i (Realteil=-9 und Imaginärteil=18)
* 4 $\ \ $ (hier ist der Imaginärteil 0)
* 8i $\ \ $(hier ist der Realteil 0)

 
 
 

= Beispiele Zahlenmengen (1.1.) =

==a) Zuordnung==
[[Datei:Zuordnung.png]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
 '''Lösung''' 
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Zuordnung-Lösung.png]]
</div>
</div>

[[Kategorie: Zahlen und Maße]]