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Integration: Berechnung von Flächen zwischen zwei Kurven

2014-10-12T18:52:31Z

91.115.97.4: /* Beispiele aus dem Buch ... */

=Berechnung der Fläche zwischen zwei Kurven=

==Wie berechnet man die Fläche zwischen zwei Kurven?==

{{Vorlage:Definition |1=Zuerst wird die Fläche zwischen dem oberen Graphen und der x-Achse berechnet, dann wird die Fläche zwischen dem unteren Graphen und der x-Achse berechnet. Anschließend wird die Fläche des unteren Graphen von der Fläche des oberen Graphen abgezogen.}}

==Wie werden Schnittpunkte berechnet und warum sind diese wichtig?==
Der Schnittpunkt ist jener Punkt, an dem beide Funktionen den gleichen y-Wert haben. Man setzt die y-Werte der Funktion gleich. Die entstandene Gleichung wird nach x aufgelöst. Man erhält den x-Wert des Schnittpunkts. Für den y-Wert des Schnittpunktes muss jetzt der x-Wert in eine der Funktionen eingesetzt werden. (Es ist egal in welche Funktion da der y-Wert bei beiden der selbe ist)

$f(x)=2x+1$

$g(x)=x−1$

Funktion gleichsetzen

$2x+1=x−1$

nach x auflösen

$2x=x−2$

$x=−2$

y-Wert

$f(-2)=2*(-2)+1$

$y=-3$

Schnittpunkt

$(-2/-3)$

{{Vorlage:Merke |1=Schnittpunkte sind wichtig, weil sie uns zeigen in welchem Bereich wir integrieren müssen.}}

==Beispiele aus dem Buch ... ==
S.30/1.031c

{{Vorlage:Beispiel|1=Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von den beiden Funktionen f und g umschlossen wird. 
$f(x)=x^2$ 
$g(x)=4$

|2= 
[[Datei:1.031.jpg.png|400px|miniatur]]
$A=A_{ \Box }-A_{\cup}$ 

$f(x)=A_{\cup}$ 
$g(x)=A_{ \Box }$ 
 

$A_{ \Box }=a*a$ 
$A_{ \Box }=4*4$ 
$A_{ \Box }=16$ 
 

f(x) und umformen 

$f(x)=x^2$ 
$f(x)=\frac{x^3}{3}$ 

$A_{ \Box }=\int_{a}^{b} f (x)\,=F_(b)-F_(a) $ 
$=\frac{2^3}{3}-\frac{(-2^3)}{3}=5,33$ 

$A=A_{ \Box }-A_{\cup}$ 
$A=16-5,33=10,67$ 

 
 
 
}}

S.30/1.032a
{{Vorlage:Beispiel|1=Der Inhalt der Fläche ist zu berechnen, die von den Kurven mit den angegebenen Gleichungen begrenzt wird. Skizzieren Sie die Fläche.
|2=
 

$x^2=6y \rightarrow y=\frac{x^2}{6}$ 

$x^2+36=12y \rightarrow y_1=\frac{x^2+36}{12}$

Schnittpunkt wurde mit GeoGebra berechnet:
SP_A:(-6/6)
SP_B:(6/6)

$y=\frac{x^2}{6} = f(x)=\frac{x^2}{6}\Rightarrow\frac{x^3}{6*3}$

$y_1=\frac{x^2+36}{12} = g(x)=\frac{x^2+36}{12}\Rightarrow\frac{x^3}{36}+\frac{36}{12}x$

Berechnung der Fläche a (rot gestichelt):
$\int_{-6}^{6} f (x)\,dx=f(6)-f(-6)=\frac{6^3}{6*3}-(\frac{-6^3}{36}+\frac{36*(-6)}{12})=24 $

Berechnung der Fläche b (braun):
$\int_{-6}^{6} f (x)\,dx=g(6)-g(-6)=\frac{6^3}{36}+\frac{}{12}-(\frac{-6^3}{36}+\frac{36*(-6}{12})=48$

Fläche e (blau)= Fläche b (braun)- Fläche a (rot gestrichelt) 

Fläche e (blau)= 48 - 24= 24 
[[Datei:1.032 1.jpg|miniatur]] 

[[Datei:1.032 2.jpg|miniatur]] 
[[Datei:1.032 3.jpg|miniatur]]

}}

S.30/1.034

{{Vorlage:Beispiel|1=Berechnen Sie den Inhalt der Fläche.

$f(x)=\frac{x^3}{3}-x^2+\frac{7}{3}$|2=

$\Rightarrow \frac{x^4}{3*4}-\frac{x^3}{3}+\frac{7}{3x}$

$\Rightarrow F(x)= \frac{x^4}{12}-\frac{4x^3}{12}+\frac{28}{12x}$

$$\int_{-1}^{2} f (x)\,dx = F(2)-F(-1) =\frac{2^4}{12}-\frac{4*2^3}{12}+\frac{28}{12}*2-(-\frac{1^4}{12}-\frac{4*-1^3}{12}+\frac{28}{12}*-1)$$

$=\frac{4}{3}-\frac{8}{3}+\frac{14}{3}-\frac{1}{12}+\frac{4}{12}-\frac{7}{3}$

$=\frac{4}{3}-\frac{8}{3}+\frac{14}{3}-\frac{1}{12}-\frac{4}{12}+\frac{7}{3}$

$=\frac{16}{12}-\frac{32}{12}+\frac{56}{12}-\frac{1}{12}-\frac{4}{12}+\frac{28}{12}$

$=\frac{63}{12}$

$=5,25$

$A\Box=3*1=3$

$A\triangle= A\triangle\Box-A\Box$

$\Rightarrow 5,25-3= 2,25$
[[Datei:1.034.jpg|miniatur]]

}}

==Lernvideo==
{{#ev:youtube|-6vRkqsQvM4}}
 
{{#ev:youtube|TcKANBl3sTs}} 
ab Minute 3:23

==Übungs- und Lernlinks==
http://www.brinkmann-du.de/mathe/gost/int_01_05.htm 
http://matheguru.com/30-flaeche-zwischen-funktionen.html 
http://nibis.ni.schule.de/~lbs-gym/AnalysisTeil1pdf/FlaechezwischenGraphen.pdf 
Seite 1, 2, 3

Spezial:Badtitle/NS3000:Integration: Berechnung von Flächen, die oberhalb und unterhalb der x-Achse liegen

2014-10-12T18:42:31Z

91.115.97.4: /* Formel für die Berechnung der orientierten Fläche */

= '''Flächen oberhalb und unterhalb von Kurven berechnen (2.Integral-Hauptsatz)''' =

[[Datei:Orientierte Fläche.gif|400px|miniatur|Orientierte Fläche, Quelle: https://www.google.at/search?newwindow=1&biw=1366&bih=643&tbm=isch&sa=1&q=orientierete+Fl%C3%A4che&oq=orientierete+Fl%C3%A4che&gs_l=img.3...16733.21835.0.22036.19.16.0.2.2.0.226.1562.0j5j3.8.0....0...1c.1.54.img..14.5.565.l3keoQSpHAg#facrc=_&imgdii=_&imgrc=1KLT6xpZDAQQFM%253A%3BkNDM6EFFYeB9nM%3Bhttp%253A%252F%252Fwww.mathe-online.at%252Fmathint%252Fint%252Fgrafiken%252Fflaeche6.gif%3Bhttp%253A%252F%252Fwww.mathe-online.at%252Fmathint%252Fint%252Fi.html%3B220%3B138]]

{{Vorlage:Definition |1= Orientierte Fläche: Fläche oberhalb der x-Achse ist positiv und unterhalb der x-Achse negativ }}

1.Grenzen bestimmen = Nullstellen berechnen (um zwischen positiver und negativer Fläche unterscheiden zu können)

2. Nun in den 2. Hauptsatz integrieren. (positive Fläche + positiver Wert der negativen Fläche)

{{Vorlage:Definition |1= Damit die negative Fläche die Berechnung nicht behindert, werden Betragsstriche eingefügt. }}

== Formel des 2. Hauptsatzes ==
$$ \int_{a}^{b} f (x)\,*dx = F(x) \vert_a^b= F(b)-F(a)$$

== Formel für die Berechnung der Fläche oberhalb und unterhalb der x-Achse ==

[[Datei:Komisches Bild, das Julia nicht mag.png|rechts|300px]]
$$ \int_{a}^{b} f (x)\,*dx + \vert \int_{b}^{c} f (x)\,dx \vert $$

 
 
 
 
 
 
 
 

== Beispiele ==

{{Vorlage:Beispiel

|1=Welchen Inhalt hat die Fläche, die der Graf von f mit y=f(X) und die x-Achse im Interball [a;b] einschließen?
Zeichnen Sie die Funktion und schraffieren Sie die Fläche.

|2=Trauner: Mathematik IV, Seite 29 Übung 1.024
c) $f(x)=\frac{x^2}{4}-1$ [0;3]

Nullstelle berechnen: f(x)=0 -> -2,2

$\int_{0}^{2} f (x)\,dx f(x) + \int_{2}^{3} f (x)\,dx f(x)$

$7/12 + \vert -4/3 \vert = 23/12$

[[Datei:GeoGebra 1 024 c neu.png]]

}}

{{Vorlage:Beispiel

|1=Welchen Inhalt hat die Fläche, die der Graf von f mit y=f(X) und die x-Achse im Interball [a;b] einschließen?
Zeichnen Sie die Funktion und schraffieren Sie die Fläche.

|2=Trauner: Mathematik IV, Seite 29 Übung 1.024
e) $f(x)=x^3+1$ [-2;2]

Nullstelle berechnen: f(x)=0 -> -1

$\int_{-2}^{-1} f (x)\,dx f(x) + \int_{-1}^{2} f (x)\,dx f(x)$

$6,75 + \vert -2.75 \vert = 9,5$

[[Datei:GeoGebra 1 024 e neu.png]]
}}

{{Vorlage:Beispiel

|1= Welchen Inhalt hat die Fläche, die der Graf von f mit y=f(X) und die x-Achse im Interball [a;b] einschließen?
Zeichnen Sie die Funktion und schraffieren Sie die Fläche.

|2= Trauner: Mathematik IV, Seite 29 Übung
1.024 a) $f(x)=x^2+2x$ [-2;1]

Nullstelle berechnen: f(x)=0 -> -2,0

$\int_{-2}^{0} f (x)\,dx f(x) + \int_{0}^{1} f (x)\,dx f(x)$

$1,33 + \vert -1,33 \vert = 2,66$
[[Datei:Geogebra 1 024 a.png|400px|miniatur|links]]

}}

== Youtube-Video 2. Hauptsatz der Integralrechnung ==

{{#ev:youtube|_hoyqfGrVCw}}

oder klicke hier: [http://www.youtube.com/watch?v=_hoyqfGrVCw Video/Erklärung]

Spezial:Badtitle/NS3000:Integration: Berechnung von Flächen, die oberhalb und unterhalb der x-Achse liegen

2014-10-12T18:41:38Z

91.115.97.4: /* Flächen oberhalb und unterhalb von Kurven berechnen (2.Integral-Hauptsatz) */

= '''Flächen oberhalb und unterhalb von Kurven berechnen (2.Integral-Hauptsatz)''' =

[[Datei:Orientierte Fläche.gif|400px|miniatur|Orientierte Fläche, Quelle: https://www.google.at/search?newwindow=1&biw=1366&bih=643&tbm=isch&sa=1&q=orientierete+Fl%C3%A4che&oq=orientierete+Fl%C3%A4che&gs_l=img.3...16733.21835.0.22036.19.16.0.2.2.0.226.1562.0j5j3.8.0....0...1c.1.54.img..14.5.565.l3keoQSpHAg#facrc=_&imgdii=_&imgrc=1KLT6xpZDAQQFM%253A%3BkNDM6EFFYeB9nM%3Bhttp%253A%252F%252Fwww.mathe-online.at%252Fmathint%252Fint%252Fgrafiken%252Fflaeche6.gif%3Bhttp%253A%252F%252Fwww.mathe-online.at%252Fmathint%252Fint%252Fi.html%3B220%3B138]]

{{Vorlage:Definition |1= Orientierte Fläche: Fläche oberhalb der x-Achse ist positiv und unterhalb der x-Achse negativ }}

1.Grenzen bestimmen = Nullstellen berechnen (um zwischen positiver und negativer Fläche unterscheiden zu können)

2. Nun in den 2. Hauptsatz integrieren. (positive Fläche + positiver Wert der negativen Fläche)

{{Vorlage:Definition |1= Damit die negative Fläche die Berechnung nicht behindert, werden Betragsstriche eingefügt. }}

== Formel des 2. Hauptsatzes ==
$$ \int_{a}^{b} f (x)\,*dx = F(x) \vert_a^b= F(b)-F(a)$$

== Formel für die Berechnung der orientierten Fläche ==

[[Datei:Komisches Bild, das Julia nicht mag.png|rechts|300px]]
$$ \int_{a}^{b} f (x)\,*dx + \vert \int_{b}^{c} f (x)\,dx \vert $$

 
 
 
 
 
 
 
 
== Beispiele ==

{{Vorlage:Beispiel

|1=Welchen Inhalt hat die Fläche, die der Graf von f mit y=f(X) und die x-Achse im Interball [a;b] einschließen?
Zeichnen Sie die Funktion und schraffieren Sie die Fläche.

|2=Trauner: Mathematik IV, Seite 29 Übung 1.024
c) $f(x)=\frac{x^2}{4}-1$ [0;3]

Nullstelle berechnen: f(x)=0 -> -2,2

$\int_{0}^{2} f (x)\,dx f(x) + \int_{2}^{3} f (x)\,dx f(x)$

$7/12 + \vert -4/3 \vert = 23/12$

[[Datei:GeoGebra 1 024 c neu.png]]

}}

{{Vorlage:Beispiel

|1=Welchen Inhalt hat die Fläche, die der Graf von f mit y=f(X) und die x-Achse im Interball [a;b] einschließen?
Zeichnen Sie die Funktion und schraffieren Sie die Fläche.

|2=Trauner: Mathematik IV, Seite 29 Übung 1.024
e) $f(x)=x^3+1$ [-2;2]

Nullstelle berechnen: f(x)=0 -> -1

$\int_{-2}^{-1} f (x)\,dx f(x) + \int_{-1}^{2} f (x)\,dx f(x)$

$6,75 + \vert -2.75 \vert = 9,5$

[[Datei:GeoGebra 1 024 e neu.png]]
}}

{{Vorlage:Beispiel

|1= Welchen Inhalt hat die Fläche, die der Graf von f mit y=f(X) und die x-Achse im Interball [a;b] einschließen?
Zeichnen Sie die Funktion und schraffieren Sie die Fläche.

|2= Trauner: Mathematik IV, Seite 29 Übung
1.024 a) $f(x)=x^2+2x$ [-2;1]

Nullstelle berechnen: f(x)=0 -> -2,0

$\int_{-2}^{0} f (x)\,dx f(x) + \int_{0}^{1} f (x)\,dx f(x)$

$1,33 + \vert -1,33 \vert = 2,66$
[[Datei:Geogebra 1 024 a.png|400px|miniatur|links]]

}}

== Youtube-Video 2. Hauptsatz der Integralrechnung ==

{{#ev:youtube|_hoyqfGrVCw}}

oder klicke hier: [http://www.youtube.com/watch?v=_hoyqfGrVCw Video/Erklärung]

Ableitung bestimmen

2014-10-12T16:18:46Z

91.115.97.4: /* Graphisches Bestimmen der 1. Ableitung */

In diesem Artikel geht es darum, die erste Ableitung $f'(x)$ einer Funktion $f(x)$ zu bestimmen.

Vorausgesetzt sei im Folgenden, dass die Funktion $f(x)$ auf ihrem Definitionsbereich immer differenzierbar ist (d.h. f'(x) existiert). Dies muss, streng mathematisch genommen, vorausgesestzt werden)

== Was ist $f'(x)$? ==
[[Datei:Abb für diffquotient1.png|thumb|350px| Der [[Differenzen- und Differentialquotient#Differentialquotient]]|Differentialquotient $f'(x)$ berechnet die Steigung der [[Tangente]] t und damit die Steigung von $f$ an der Stelle $x$.]]

{{Vorlage:Definition|1=Die Ableitungsfunktion $f'(x)$ ist der sogenannte [[Differenzen- und Differentialquotient#Differentialquotient| Differentialquotient]] von $f(x)$.

$$ f'(x)={k}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)- x} $$

und gibt die '''momentane''' [[Steigung und Steigungswinkel|Steigung]] der Funktion $f$ an der [[Stelle]] x an.

$f'(x)$ wird auch als '''1. Ableitung von f(x)''' bezeichnet. }}

 
 
 

== Graphisches Bestimmen der 1. Ableitung ==

Die Ableitungsfunktion $f'(x)$ kann allein durch betrachtung der ursprünglichen Funktion $f(x)$ bestimmt werden.

[[Grün: Arbeitsblätter | $Aha!$ ]] Dieses [https://www.geogebratube.org/student/m92514 GeoGebra-Applet zeigt dir, wie das funktioniert.].

{{Merke|1=$f'(x)$ gibt die Steigung von $f(x)$ an. Somit muss gelten: }}

{| cellspacing="0" border="1" cellpadding="20"
!| $f(x)$
!| $f'(x)$
|-
| 1. $f(x)$ hat bei $a$ eine [[Extremstellen|Extremstelle]]
|$\rightarrow$ Hier ist die Steigung $f'(x)=0$
|-
| 2. $f(x)$ hat bei $b$ einen [[Wendepunkt und Wendetangente|Wendepunkt]]
|$\rightarrow$ Hier ist der Graph lokal am steilsten oder am flachsten $\rightarrow$ die Steigung $f'$ hat hier einen Hoch- oder Tiefpunkt.
|-
| 3. $f(x)$ ist monoton wachsend
|$\rightarrow$ $f'(x)$ ist positiv, d.h. oberhalb der x-Achse.
|-
| 4. $f(x)$ ist monoton fallend
|$\rightarrow$ $f'(x)$ ist negativ, d.h. unterhalb der x-Achse.
|}

[[Datei:Bsp.png|left]]
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px" style="background-color:#CEE3F6">

Skizzieren Sie zum gegebenen Graphen von $f(x)$ den Graphen von $f'(x)$!
[[Datei:Ausgangsfunktion.png|miniatur|500px|center|Graph von f(x)]]

<div class="mw-collapsible-content" style="background-color:#E6F6CE" >

{| border="1"
|[[Datei:NullstellenderAbl.png|miniatur|370px|1. Schritt: Zeichne die Nullstellen von $f'(x)$ (=Extremwerte von $f(x)$ ein)]]
|[[Datei:Hoch-TiefpunkterderAbleitung.png|miniatur|370px|2. Schritt: Zeichne die Extremwerte von $f'(x)$ (=Wendepunkte von $f(x)$ ein. Die Höhen entprechen den Steigungen von $f(x)$ bei den Wendepunkten.]]
|-
|[[Datei:Ausgangsfunktion1.png|miniatur|370px| 3. und 4. Schritt: Aufgrund des Monotonierverhaltens von $f(x)$ wissen wir, wann $f'(x)$ positiv oder negativ ist.]]
| [[Datei:Endfkt.png|miniatur|370px|$f'(x)$ schön eingezeichnet]]
|}

</div>

</div>

[[Grün: Arbeitsblätter | $Aha!$ ]] Dieses [http://geogebratube.org/material/show/id/83408 Applet zeigt noch einmal die schrittweise Bestimmung der Ableitungsfunktion]

* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| ? ]] [http://geogebratube.org/material/show/id/46089 Ableitungsquiz]
* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| ? ]] [http://www.mathe-online.at/tests/diff1/ablerkennen.html Ableitungspuzzle (mathe online)]

== Rechnerisches bestimmen von $f'(x)$ - Ableitungsregeln==

Im folgenden sind Regeln aufgelistet, mit der $f'(x)$ berechnet werden kann.

=== Grundlegende Regeln ===
{| border="1" align="center" cellpadding="10"
! Allgemeine Regeln
|-
| {{#ev:youtube|4_e-KRJbXUg}}
|}

{| class="wikitable"
|-
!Regel !! $f(x)$ !! $f'(x)$ !!Bemerkung
|-
|Potenzregel || $x^n$ || $n\cdot x^{n-1}$ || Exponent kommt herunter, dann wird Hochzahl um 1 vermindert.
|-
| Konstantenregel
$c\in \mathbb{R}$
|| c || 0 ||konstante Funktionen haben Steigung $= 0$
|-
|[[Faktor|Faktorregel]]
$a\in \mathbb{R}$
|| $a\cdot f(x)$|| $a\cdot f'(x)$ || Ein konstanter Faktor ist von der Ableitung nicht betroffen.
|-
|Summenregel || $f(x)+g(x)$ || $f'(x)+g'(x)$ || Eine Summe wird abegeleitet, indem jeder einzelne Summand einzeln abgeleitet wird.
|-
| [[Exponentialfunktionen(3.5.)|$e$-Funktion]] || $e^x$ || $e^x$ || Die bsondere Eigenschaft von $e^x$ ist, dass es durch Ableiten nicht verändert wird

(d.h. Funktionswert bei x =Steigung bei x)
|-
| [[Logarithmus]] || $ln|x|$ || $\frac{1}{x}$ ||
|-
| [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)|Trigonometrische Funktionen]] || $sin(x)$ $cos(x)$ || $cos(x)$ $-sin(x)$ ||
[[Datei:Sin-cos-kreis.png|miniatur|300px|center|Durch mehrmaliges Ableiten der Sinus- oder Cosinusfunktion, kommt man immer wieder zur Ausgangsfunktion zurück. In [http://geogebratube.org/student/m43313 diesem Arbeitsblatt] findest du eine Begründung dafür.]]

|}

{{Vorlage:Beispiel|1=Bestimme zu den folgenden Funktionen die Ableitungsfunktion:

 
 
 
#$f(x)=x^3$
#$f(x)=4x$
#$f(x)=3$
#$f(x)=5\cdot x^2$
#$x^3+5x^2-4x+3$
#$x+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^3}+\sqrt[5]{x^2}$
#$f(x)=\frac{x^4}{5}+2\cdot e^x-ln\vert x\vert $

|2=
Wir wenden die einzelnen Regeln Schritt für Schritt an:
#$f(x)=x^3 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel} 3\cdot x^{3-1}=3\cdot x^2$ 
#$f(x)=4\cdot x=4\cdot x^1 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel} 4\cdot 1\cdot x^{1-1}=4\cdot x^0=4\cdot 1=4$ 
#$f(x)=3 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Konstantenregel} 0$ 
#$f(x)=5\cdot x^2\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Faktorregel}5\cdot (x^2)' \underbrace{=}_{Potenzregel}=5\cdot 5\cdot 2\cdot x^{2-1}=10\cdot x$ 
#$x^3+5x^2-4x+3\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Summenregel}(x^3)'+(5x^2)'-(4x)'+(3)' \underbrace{=}_{Potenzregel}3x^2+10x-4+0$
#$x+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^3}+\sqrt[5]{x^2}\underbrace{=}_{umformen} x+x^{-1}-x^{-3}+x^{\frac{2}{5} }$ $$\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel}1\cdot x^0+(-1)\cdot x^{-2}-(-3)\cdot x^{-4}+\frac{2}{5}\cdot x^{(\frac{2}{5}-1)}=$$ $$=1-x^{-2}+3\cdot x^{-4}+\frac{2}{5}\cdot x^{-\frac{3}{5} }$$ $$=1+\frac{1}{x^2}+\frac{3}{x^4}+\frac{2}{5\sqrt[5]{x^3} }$$ 
#$f(x)=\frac{x^4}{5}+2\cdot e^x-ln \vert x \vert \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel/Faktorregel,\ e-\ und\ ln-Regel}\frac{4x^3}{5}+2\cdot e^x-\frac{1}{x}$
}}

[[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| ? ]] [http://www.mathe-online.at/tests/diff1/poldiff.html Online-Übung (mathe-online)]

=== Produktregel ===
Im Gegensatz zur Summe zweier Funktionen $( (f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)$, siehe oben 'Summenregel'$)$ kann man das [[Produkt]] zweier Funktionen $f(x)\cdot g(x)$ nicht mehr so einfach ableiten. Hierfür braucht es die sogenannte ...

{{Vorlage:Merke|1= '''Produktregel'''
$$(f(x)\cdot g(x))'=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$$
"Zuerst den ersten [[Faktor]] ableiten, den zweiten stehen lassen,
$$\textrm{Plus}$$
den ersten Faktor stehen lassen, den anderen ableten." }}

{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben ist die Funktion $h(x)=(x^2-1)\cdot (3x^2-4x+1)$. Bestimmen Sie $h'(x)$.

|2= Da es sich hierbei um ein [[Produkt]] handelt, müssen wir die Produktregel andwenden:
$$h(x)=\underbrace{(x^2-1)}_{f(x)} \cdot \underbrace{(3x^2-4x+1)}_{g(x)}$$
Zuerst berechnen wir in einer Nebenrechnung die Ableitungen der Faktoren:
$$f(x)=x^2-1\rightarrow f'(x)=2x$$
$$g(x)=3x^2-4x-+1\rightarrow g'(x)=6x-4$$

Nun setzen wir die Formel zusammen:
$$h'(x)=\underbrace{2x}_{f'(x)}\cdot \underbrace{(3x^2-4x+1)}_{g(x)}+\underbrace{(x^2-1)}_{f(x)}\cdot \underbrace{(6x-4)}_{g'(x)}$$

Zuletzt vereinfachen wir noch das Ergebnis:
$$h'(x)=6x^3-8x^2+2x+6x^3-4x^2-6x+4$$
$$\underline{\underline{h'(x)=12x^3-12x^2-4x+4} }$$

}}

=== Quotientenregel ===

Um die Ableitung einer Division von 2 Funktionen (=Quotienten) zu berechnen, verwendet man die

{{Vorlage:Merke|1= '''Quotientenregel'''
$$h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\ \rightarrow \ h'(x)=\frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g(x)}{(g(x))^2 }$$

Im Nenner steht bis auf das $Minus$ die Produktregel. Im Zähler wird die Nenner-Funktion quadriert.
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Bestimmen Sie die Ableitung von $h(x)=\frac{x^2-x}{x+1}$.
|2=
Da es sich um einen Quotienten handelt, wenden wir die Quotientenregel an. Zuerst berechnen wir die Ableitung des Zählers (f(x)) und des Nenners (g(x)):

* Zähler: $f(x)=x^2-x\ \rightarrow f'(x)=2x-1$
* Nenner: $g(x)=x+1\ \rightarrow g'(x)=1$

Nun setzen wir die Quotientenregel zusammen:
$$h'(x)=\frac{(2x-1)\cdot (x+1)-(x^2-x)\cdot 1 }{(x+1)^2}$$
$$h'(x)=\frac{2x^2+x-1}{x^2+2x+1}$$
}}

=== Kettenregel ===
Um Klammerausdrücke oder verkette Funktionen wie zum Beispiel $f(x)=\sqrt[3]{x^2-1}$ oder $e^{2x-1}$ abzuleiten, verwenden wir die

{{Vorlage:Merke|1='''Kettenregel'''
$$h(x)=f[g(x)]\ \ \rightarrow \ \ h'(x)=\underbrace{f'(g(x))}_{\textrm{äußere Ableitung} } \cdot \underbrace{h'(x)}_{\textrm{innere Ableitung} }$$

$f(x)$ wird als ''äußere Funktion'', $g(x)$ als ''innere Funktion'' bezeichnet.
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben ist $h(x)=\sqrt[3]{x^2-1}$. Bestimmen Sie $h'(x)$
|2=
Zuerst schreiben wir die Wurzel in der [[Rechnen mit Potenzen|Exponentenschreibweise]]:
$$h(x)=(x^2-1)^{\frac{1}{3} }$$

* Die äußere Funktion ist nun $f(x)=(\ \ )^{\frac{1}{3} }$. Damit ist $f'(x)=\frac{1}{3}\cdot (\ \ )^{\frac{1}{3}-1}=\frac{1}{3}\cdot (\ \ )^{-\frac{2}{3} }$

* Die innere Funktion ist $g(x)=x^2-1$. Damit ist $g'(x)=2x$

Nun setzen wir die Kettenregel zusammen:
$$ h'(x)=\underbrace{\frac{1}{3}\cdot (x^2-1)^{-\frac{2}{3} } }_{\textrm{äußere Ableitung} } \cdot \underbrace{2x}_{\textrm{innere Ableitung} }$$

$$ h'(x)=\frac{2x}{3\cdot \sqrt[3]{(x^2-1)^2} }$$
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion von $f(x)=e^{2x-1}$
|2=
Zuerst kümmern wir uns um die äußere und innere Funktion getrennt:
* Die äußere Funktion ist die Exponentialfunktion $f(x)=e\textrm{^}\ \rightarrow\ f'(x)=e\textrm{^}$
* Die innere Funktion ist $g(x)=2x-1 \ \rightarrow g'(x)=2$

Nun setzen wir die Kettenregel wieder zusammen:

$$ h'(x)=\underbrace{e^{2x-1} }_{\textrm{äußere Ableitung} } \cdot \underbrace{2}_{\textrm{innere Ableitung} }$$
$$h'(x)=2\cdot e^{2x-1} $$
}}

=== Videos ===
{| align="center" border="1"
! Produkt-, Quotienten- und Kettenregel
! Ableitung der Exponentialfunktion
|-
|{{#ev:youtube|47bKq2lXGs8}}
|{{#ev:youtube|XVCBYo2_OoM}}
|}

== Matura-Aufgaben ==
* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$ ]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=214&file=Leistungskurve.pdf Leistungskurve]
*: hier musst du die Ableitungsfunktion graphisch bestimmen!

[[Kategorie:Differenzieren]]
[[Kategorie:Kurvendiskussionen]]

Ableitung bestimmen

2014-10-12T16:17:39Z

91.115.97.4: /* Produktregel */

In diesem Artikel geht es darum, die erste Ableitung $f'(x)$ einer Funktion $f(x)$ zu bestimmen.

Vorausgesetzt sei im Folgenden, dass die Funktion $f(x)$ auf ihrem Definitionsbereich immer differenzierbar ist (d.h. f'(x) existiert). Dies muss, streng mathematisch genommen, vorausgesestzt werden)

== Was ist $f'(x)$? ==
[[Datei:Abb für diffquotient1.png|thumb|350px| Der [[Differenzen- und Differentialquotient#Differentialquotient]]|Differentialquotient $f'(x)$ berechnet die Steigung der [[Tangente]] t und damit die Steigung von $f$ an der Stelle $x$.]]

{{Vorlage:Definition|1=Die Ableitungsfunktion $f'(x)$ ist der sogenannte [[Differenzen- und Differentialquotient#Differentialquotient| Differentialquotient]] von $f(x)$.

$$ f'(x)={k}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)- x} $$

und gibt die '''momentane''' [[Steigung und Steigungswinkel|Steigung]] der Funktion $f$ an der [[Stelle]] x an.

$f'(x)$ wird auch als '''1. Ableitung von f(x)''' bezeichnet. }}

 
 
 

== Graphisches Bestimmen der 1. Ableitung ==

Die Ableitungsfunktion $f'(x)$ kann allein durch betrachtung der ursprünglichen Funktion $f(x)$ bestimmt werden.

[[Grün: Arbeitsblätter | $Aha!$ ]] Dieses [https://www.geogebratube.org/student/m92514 GeoGebra-Applet zeigt dir, wie das funktioniert.].

{{Merke|1=$f'(x)$ gibt die Steigung von $f(x)$ an. Somit muss gelten: }}

{| cellspacing="0" border="1" cellpadding="20"
!| $f(x)$
!| $f'(x)$
|-
| 1. $f(x)$ hat bei $a$ eine [[Extremstellen|Extremstelle]]
|$\rightarrow$ Hier ist die Steigung $f'(x)=0$
|-
| 2. $f(x)$ hat bei $b$ einen [[Wendepunkt und Wendetangente|Wendepunkt]]
|$\rightarrow$ Hier ist der Graph lokal am steilsten oder am flachsten $\rightarrow$ die Steigung $f'$ hat hier einen Hoch- oder Tiefpunkt.
|-
| 3. $f(x)$ ist monoton wachsend
|$\rightarrow$ $f'(x)$ ist positiv, d.h. oberhalb der x-Achse.
|-
| 4. $f(x)$ ist monoton fallend
|$\rightarrow$ $f'(x)$ ist negativ, d.h. unterhalb der x-Achse.
|}

[[Datei:Bsp.png|left]]
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px" style="background-color:#CEE3F6">

Skizzieren Sie zum gegebenen Graphen von $f(x)$ den Graphen von $f'(x)$!
[[Datei:Ausgangsfunktion.png|miniatur|500px|center|Graph von f(x)]]

<div class="mw-collapsible-content" style="background-color:#E6F6CE" >

{| border="1"
|[[Datei:NullstellenderAbl.png|miniatur|370px|1. Schritt: Zeichne die Nullstellen von $f'(x)$ (=Extremwerte von $f(x)$ ein)]]
|[[Datei:Hoch-TiefpunkterderAbleitung.png|miniatur|370px|2. Schritt: Zeichne die Extremwerte von $f'(x)$ (=Wendepunkte von $f(x)$ ein. Die Höhen entprechen den Steigungen von $f(x)$ bei den Wendepunkten.]]
|-
|[[Datei:Ausgangsfunktion1.png|miniatur|370px| 3. und 4. Schritt: Aufgrund des Monotonierverhaltens von $f(x)$ wissen wir, wann $f'(x)$ positiv oder negativ ist.]]
| [[Datei:Endfkt.png|miniatur|370px|$f'(x)$ schön eingezeichnet]]
|}

</div>

</div>

[[Grün: Arbeitsblätter | $Aha!$ ]] Dieses [http://geogebratube.org/material/show/id/83408 Applet zeigt noch einmal die schrittweise Bestimmung der Ableitungsfunktion]

* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| ? ]] [http://geogebratube.org/material/show/id/46089 Ableitungsquiz]
* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| ? ]] [http://www.mathe-online.at/tests/diff1/ablerkennen.html Ableitungspuzzle (mathe online)]

//* * http://geogebratube.org/material/show/id/43313

== Rechnerisches bestimmen von $f'(x)$ - Ableitungsregeln==

Im folgenden sind Regeln aufgelistet, mit der $f'(x)$ berechnet werden kann.

=== Grundlegende Regeln ===
{| border="1" align="center" cellpadding="10"
! Allgemeine Regeln
|-
| {{#ev:youtube|4_e-KRJbXUg}}
|}

{| class="wikitable"
|-
!Regel !! $f(x)$ !! $f'(x)$ !!Bemerkung
|-
|Potenzregel || $x^n$ || $n\cdot x^{n-1}$ || Exponent kommt herunter, dann wird Hochzahl um 1 vermindert.
|-
| Konstantenregel
$c\in \mathbb{R}$
|| c || 0 ||konstante Funktionen haben Steigung $= 0$
|-
|[[Faktor|Faktorregel]]
$a\in \mathbb{R}$
|| $a\cdot f(x)$|| $a\cdot f'(x)$ || Ein konstanter Faktor ist von der Ableitung nicht betroffen.
|-
|Summenregel || $f(x)+g(x)$ || $f'(x)+g'(x)$ || Eine Summe wird abegeleitet, indem jeder einzelne Summand einzeln abgeleitet wird.
|-
| [[Exponentialfunktionen(3.5.)|$e$-Funktion]] || $e^x$ || $e^x$ || Die bsondere Eigenschaft von $e^x$ ist, dass es durch Ableiten nicht verändert wird

(d.h. Funktionswert bei x =Steigung bei x)
|-
| [[Logarithmus]] || $ln|x|$ || $\frac{1}{x}$ ||
|-
| [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)|Trigonometrische Funktionen]] || $sin(x)$ $cos(x)$ || $cos(x)$ $-sin(x)$ ||
[[Datei:Sin-cos-kreis.png|miniatur|300px|center|Durch mehrmaliges Ableiten der Sinus- oder Cosinusfunktion, kommt man immer wieder zur Ausgangsfunktion zurück. In [http://geogebratube.org/student/m43313 diesem Arbeitsblatt] findest du eine Begründung dafür.]]

|}

{{Vorlage:Beispiel|1=Bestimme zu den folgenden Funktionen die Ableitungsfunktion:

 
 
 
#$f(x)=x^3$
#$f(x)=4x$
#$f(x)=3$
#$f(x)=5\cdot x^2$
#$x^3+5x^2-4x+3$
#$x+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^3}+\sqrt[5]{x^2}$
#$f(x)=\frac{x^4}{5}+2\cdot e^x-ln\vert x\vert $

|2=
Wir wenden die einzelnen Regeln Schritt für Schritt an:
#$f(x)=x^3 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel} 3\cdot x^{3-1}=3\cdot x^2$ 
#$f(x)=4\cdot x=4\cdot x^1 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel} 4\cdot 1\cdot x^{1-1}=4\cdot x^0=4\cdot 1=4$ 
#$f(x)=3 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Konstantenregel} 0$ 
#$f(x)=5\cdot x^2\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Faktorregel}5\cdot (x^2)' \underbrace{=}_{Potenzregel}=5\cdot 5\cdot 2\cdot x^{2-1}=10\cdot x$ 
#$x^3+5x^2-4x+3\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Summenregel}(x^3)'+(5x^2)'-(4x)'+(3)' \underbrace{=}_{Potenzregel}3x^2+10x-4+0$
#$x+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^3}+\sqrt[5]{x^2}\underbrace{=}_{umformen} x+x^{-1}-x^{-3}+x^{\frac{2}{5} }$ $$\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel}1\cdot x^0+(-1)\cdot x^{-2}-(-3)\cdot x^{-4}+\frac{2}{5}\cdot x^{(\frac{2}{5}-1)}=$$ $$=1-x^{-2}+3\cdot x^{-4}+\frac{2}{5}\cdot x^{-\frac{3}{5} }$$ $$=1+\frac{1}{x^2}+\frac{3}{x^4}+\frac{2}{5\sqrt[5]{x^3} }$$ 
#$f(x)=\frac{x^4}{5}+2\cdot e^x-ln \vert x \vert \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel/Faktorregel,\ e-\ und\ ln-Regel}\frac{4x^3}{5}+2\cdot e^x-\frac{1}{x}$
}}

[[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| ? ]] [http://www.mathe-online.at/tests/diff1/poldiff.html Online-Übung (mathe-online)]

=== Produktregel ===
Im Gegensatz zur Summe zweier Funktionen $( (f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)$, siehe oben 'Summenregel'$)$ kann man das [[Produkt]] zweier Funktionen $f(x)\cdot g(x)$ nicht mehr so einfach ableiten. Hierfür braucht es die sogenannte ...

{{Vorlage:Merke|1= '''Produktregel'''
$$(f(x)\cdot g(x))'=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$$
"Zuerst den ersten [[Faktor]] ableiten, den zweiten stehen lassen,
$$\textrm{Plus}$$
den ersten Faktor stehen lassen, den anderen ableten." }}

{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben ist die Funktion $h(x)=(x^2-1)\cdot (3x^2-4x+1)$. Bestimmen Sie $h'(x)$.

|2= Da es sich hierbei um ein [[Produkt]] handelt, müssen wir die Produktregel andwenden:
$$h(x)=\underbrace{(x^2-1)}_{f(x)} \cdot \underbrace{(3x^2-4x+1)}_{g(x)}$$
Zuerst berechnen wir in einer Nebenrechnung die Ableitungen der Faktoren:
$$f(x)=x^2-1\rightarrow f'(x)=2x$$
$$g(x)=3x^2-4x-+1\rightarrow g'(x)=6x-4$$

Nun setzen wir die Formel zusammen:
$$h'(x)=\underbrace{2x}_{f'(x)}\cdot \underbrace{(3x^2-4x+1)}_{g(x)}+\underbrace{(x^2-1)}_{f(x)}\cdot \underbrace{(6x-4)}_{g'(x)}$$

Zuletzt vereinfachen wir noch das Ergebnis:
$$h'(x)=6x^3-8x^2+2x+6x^3-4x^2-6x+4$$
$$\underline{\underline{h'(x)=12x^3-12x^2-4x+4} }$$

}}

=== Quotientenregel ===

Um die Ableitung einer Division von 2 Funktionen (=Quotienten) zu berechnen, verwendet man die

{{Vorlage:Merke|1= '''Quotientenregel'''
$$h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\ \rightarrow \ h'(x)=\frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g(x)}{(g(x))^2 }$$

Im Nenner steht bis auf das $Minus$ die Produktregel. Im Zähler wird die Nenner-Funktion quadriert.
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Bestimmen Sie die Ableitung von $h(x)=\frac{x^2-x}{x+1}$.
|2=
Da es sich um einen Quotienten handelt, wenden wir die Quotientenregel an. Zuerst berechnen wir die Ableitung des Zählers (f(x)) und des Nenners (g(x)):

* Zähler: $f(x)=x^2-x\ \rightarrow f'(x)=2x-1$
* Nenner: $g(x)=x+1\ \rightarrow g'(x)=1$

Nun setzen wir die Quotientenregel zusammen:
$$h'(x)=\frac{(2x-1)\cdot (x+1)-(x^2-x)\cdot 1 }{(x+1)^2}$$
$$h'(x)=\frac{2x^2+x-1}{x^2+2x+1}$$
}}

=== Kettenregel ===
Um Klammerausdrücke oder verkette Funktionen wie zum Beispiel $f(x)=\sqrt[3]{x^2-1}$ oder $e^{2x-1}$ abzuleiten, verwenden wir die

{{Vorlage:Merke|1='''Kettenregel'''
$$h(x)=f[g(x)]\ \ \rightarrow \ \ h'(x)=\underbrace{f'(g(x))}_{\textrm{äußere Ableitung} } \cdot \underbrace{h'(x)}_{\textrm{innere Ableitung} }$$

$f(x)$ wird als ''äußere Funktion'', $g(x)$ als ''innere Funktion'' bezeichnet.
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben ist $h(x)=\sqrt[3]{x^2-1}$. Bestimmen Sie $h'(x)$
|2=
Zuerst schreiben wir die Wurzel in der [[Rechnen mit Potenzen|Exponentenschreibweise]]:
$$h(x)=(x^2-1)^{\frac{1}{3} }$$

* Die äußere Funktion ist nun $f(x)=(\ \ )^{\frac{1}{3} }$. Damit ist $f'(x)=\frac{1}{3}\cdot (\ \ )^{\frac{1}{3}-1}=\frac{1}{3}\cdot (\ \ )^{-\frac{2}{3} }$

* Die innere Funktion ist $g(x)=x^2-1$. Damit ist $g'(x)=2x$

Nun setzen wir die Kettenregel zusammen:
$$ h'(x)=\underbrace{\frac{1}{3}\cdot (x^2-1)^{-\frac{2}{3} } }_{\textrm{äußere Ableitung} } \cdot \underbrace{2x}_{\textrm{innere Ableitung} }$$

$$ h'(x)=\frac{2x}{3\cdot \sqrt[3]{(x^2-1)^2} }$$
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion von $f(x)=e^{2x-1}$
|2=
Zuerst kümmern wir uns um die äußere und innere Funktion getrennt:
* Die äußere Funktion ist die Exponentialfunktion $f(x)=e\textrm{^}\ \rightarrow\ f'(x)=e\textrm{^}$
* Die innere Funktion ist $g(x)=2x-1 \ \rightarrow g'(x)=2$

Nun setzen wir die Kettenregel wieder zusammen:

$$ h'(x)=\underbrace{e^{2x-1} }_{\textrm{äußere Ableitung} } \cdot \underbrace{2}_{\textrm{innere Ableitung} }$$
$$h'(x)=2\cdot e^{2x-1} $$
}}

=== Videos ===
{| align="center" border="1"
! Produkt-, Quotienten- und Kettenregel
! Ableitung der Exponentialfunktion
|-
|{{#ev:youtube|47bKq2lXGs8}}
|{{#ev:youtube|XVCBYo2_OoM}}
|}

== Matura-Aufgaben ==
* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$ ]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=214&file=Leistungskurve.pdf Leistungskurve]
*: hier musst du die Ableitungsfunktion graphisch bestimmen!

[[Kategorie:Differenzieren]]
[[Kategorie:Kurvendiskussionen]]

Ableitung bestimmen

2014-10-12T16:15:05Z

91.115.97.4: /* Grundlegende Regeln */

In diesem Artikel geht es darum, die erste Ableitung $f'(x)$ einer Funktion $f(x)$ zu bestimmen.

Vorausgesetzt sei im Folgenden, dass die Funktion $f(x)$ auf ihrem Definitionsbereich immer differenzierbar ist (d.h. f'(x) existiert). Dies muss, streng mathematisch genommen, vorausgesestzt werden)

== Was ist $f'(x)$? ==
[[Datei:Abb für diffquotient1.png|thumb|350px| Der [[Differenzen- und Differentialquotient#Differentialquotient]]|Differentialquotient $f'(x)$ berechnet die Steigung der [[Tangente]] t und damit die Steigung von $f$ an der Stelle $x$.]]

{{Vorlage:Definition|1=Die Ableitungsfunktion $f'(x)$ ist der sogenannte [[Differenzen- und Differentialquotient#Differentialquotient| Differentialquotient]] von $f(x)$.

$$ f'(x)={k}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)- x} $$

und gibt die '''momentane''' [[Steigung und Steigungswinkel|Steigung]] der Funktion $f$ an der [[Stelle]] x an.

$f'(x)$ wird auch als '''1. Ableitung von f(x)''' bezeichnet. }}

 
 
 

== Graphisches Bestimmen der 1. Ableitung ==

Die Ableitungsfunktion $f'(x)$ kann allein durch betrachtung der ursprünglichen Funktion $f(x)$ bestimmt werden.

[[Grün: Arbeitsblätter | $Aha!$ ]] Dieses [https://www.geogebratube.org/student/m92514 GeoGebra-Applet zeigt dir, wie das funktioniert.].

{{Merke|1=$f'(x)$ gibt die Steigung von $f(x)$ an. Somit muss gelten: }}

{| cellspacing="0" border="1" cellpadding="20"
!| $f(x)$
!| $f'(x)$
|-
| 1. $f(x)$ hat bei $a$ eine [[Extremstellen|Extremstelle]]
|$\rightarrow$ Hier ist die Steigung $f'(x)=0$
|-
| 2. $f(x)$ hat bei $b$ einen [[Wendepunkt und Wendetangente|Wendepunkt]]
|$\rightarrow$ Hier ist der Graph lokal am steilsten oder am flachsten $\rightarrow$ die Steigung $f'$ hat hier einen Hoch- oder Tiefpunkt.
|-
| 3. $f(x)$ ist monoton wachsend
|$\rightarrow$ $f'(x)$ ist positiv, d.h. oberhalb der x-Achse.
|-
| 4. $f(x)$ ist monoton fallend
|$\rightarrow$ $f'(x)$ ist negativ, d.h. unterhalb der x-Achse.
|}

[[Datei:Bsp.png|left]]
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px" style="background-color:#CEE3F6">

Skizzieren Sie zum gegebenen Graphen von $f(x)$ den Graphen von $f'(x)$!
[[Datei:Ausgangsfunktion.png|miniatur|500px|center|Graph von f(x)]]

<div class="mw-collapsible-content" style="background-color:#E6F6CE" >

{| border="1"
|[[Datei:NullstellenderAbl.png|miniatur|370px|1. Schritt: Zeichne die Nullstellen von $f'(x)$ (=Extremwerte von $f(x)$ ein)]]
|[[Datei:Hoch-TiefpunkterderAbleitung.png|miniatur|370px|2. Schritt: Zeichne die Extremwerte von $f'(x)$ (=Wendepunkte von $f(x)$ ein. Die Höhen entprechen den Steigungen von $f(x)$ bei den Wendepunkten.]]
|-
|[[Datei:Ausgangsfunktion1.png|miniatur|370px| 3. und 4. Schritt: Aufgrund des Monotonierverhaltens von $f(x)$ wissen wir, wann $f'(x)$ positiv oder negativ ist.]]
| [[Datei:Endfkt.png|miniatur|370px|$f'(x)$ schön eingezeichnet]]
|}

</div>

</div>

[[Grün: Arbeitsblätter | $Aha!$ ]] Dieses [http://geogebratube.org/material/show/id/83408 Applet zeigt noch einmal die schrittweise Bestimmung der Ableitungsfunktion]

* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| ? ]] [http://geogebratube.org/material/show/id/46089 Ableitungsquiz]
* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| ? ]] [http://www.mathe-online.at/tests/diff1/ablerkennen.html Ableitungspuzzle (mathe online)]

//* * http://geogebratube.org/material/show/id/43313

== Rechnerisches bestimmen von $f'(x)$ - Ableitungsregeln==

Im folgenden sind Regeln aufgelistet, mit der $f'(x)$ berechnet werden kann.

=== Grundlegende Regeln ===
{| border="1" align="center" cellpadding="10"
! Allgemeine Regeln
|-
| {{#ev:youtube|4_e-KRJbXUg}}
|}

{| class="wikitable"
|-
!Regel !! $f(x)$ !! $f'(x)$ !!Bemerkung
|-
|Potenzregel || $x^n$ || $n\cdot x^{n-1}$ || Exponent kommt herunter, dann wird Hochzahl um 1 vermindert.
|-
| Konstantenregel
$c\in \mathbb{R}$
|| c || 0 ||konstante Funktionen haben Steigung $= 0$
|-
|[[Faktor|Faktorregel]]
$a\in \mathbb{R}$
|| $a\cdot f(x)$|| $a\cdot f'(x)$ || Ein konstanter Faktor ist von der Ableitung nicht betroffen.
|-
|Summenregel || $f(x)+g(x)$ || $f'(x)+g'(x)$ || Eine Summe wird abegeleitet, indem jeder einzelne Summand einzeln abgeleitet wird.
|-
| [[Exponentialfunktionen(3.5.)|$e$-Funktion]] || $e^x$ || $e^x$ || Die bsondere Eigenschaft von $e^x$ ist, dass es durch Ableiten nicht verändert wird

(d.h. Funktionswert bei x =Steigung bei x)
|-
| [[Logarithmus]] || $ln|x|$ || $\frac{1}{x}$ ||
|-
| [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)|Trigonometrische Funktionen]] || $sin(x)$ $cos(x)$ || $cos(x)$ $-sin(x)$ ||
[[Datei:Sin-cos-kreis.png|miniatur|300px|center|Durch mehrmaliges Ableiten der Sinus- oder Cosinusfunktion, kommt man immer wieder zur Ausgangsfunktion zurück. In [http://geogebratube.org/student/m43313 diesem Arbeitsblatt] findest du eine Begründung dafür.]]

|}

{{Vorlage:Beispiel|1=Bestimme zu den folgenden Funktionen die Ableitungsfunktion:

 
 
 
#$f(x)=x^3$
#$f(x)=4x$
#$f(x)=3$
#$f(x)=5\cdot x^2$
#$x^3+5x^2-4x+3$
#$x+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^3}+\sqrt[5]{x^2}$
#$f(x)=\frac{x^4}{5}+2\cdot e^x-ln\vert x\vert $

|2=
Wir wenden die einzelnen Regeln Schritt für Schritt an:
#$f(x)=x^3 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel} 3\cdot x^{3-1}=3\cdot x^2$ 
#$f(x)=4\cdot x=4\cdot x^1 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel} 4\cdot 1\cdot x^{1-1}=4\cdot x^0=4\cdot 1=4$ 
#$f(x)=3 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Konstantenregel} 0$ 
#$f(x)=5\cdot x^2\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Faktorregel}5\cdot (x^2)' \underbrace{=}_{Potenzregel}=5\cdot 5\cdot 2\cdot x^{2-1}=10\cdot x$ 
#$x^3+5x^2-4x+3\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Summenregel}(x^3)'+(5x^2)'-(4x)'+(3)' \underbrace{=}_{Potenzregel}3x^2+10x-4+0$
#$x+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^3}+\sqrt[5]{x^2}\underbrace{=}_{umformen} x+x^{-1}-x^{-3}+x^{\frac{2}{5} }$ $$\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel}1\cdot x^0+(-1)\cdot x^{-2}-(-3)\cdot x^{-4}+\frac{2}{5}\cdot x^{(\frac{2}{5}-1)}=$$ $$=1-x^{-2}+3\cdot x^{-4}+\frac{2}{5}\cdot x^{-\frac{3}{5} }$$ $$=1+\frac{1}{x^2}+\frac{3}{x^4}+\frac{2}{5\sqrt[5]{x^3} }$$ 
#$f(x)=\frac{x^4}{5}+2\cdot e^x-ln \vert x \vert \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel/Faktorregel,\ e-\ und\ ln-Regel}\frac{4x^3}{5}+2\cdot e^x-\frac{1}{x}$
}}

[[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| ? ]] [http://www.mathe-online.at/tests/diff1/poldiff.html Online-Übung (mathe-online)]

=== Produktregel ===
Im Gegensatz zur Summe zweier Funktionen $( (f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)$, siehe oben 'Summenregel'$)$ kann man das [[Produkt]] zweier Funktionen $f(x)\cdot g(x)$ nicht mehr so einfach ableiten. Hierfür braucht es die sogenannte ...

{{Vorlage:Merke|1= '''Produktregel'''
$$(f(x)\cdot g(x))'=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$$
"Zuerst den ersten [[Faktor]] ableiten, den zweiten stehen lassen,
$$\textrm{Plus}$$
den ersten stehen Faktor lassen, den anderen ableten." }}

{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben ist die Funktion $h(x)=(x^2-1)\cdot (3x^2-4x+1)$. Bestimmen Sie $h'(x)$.

|2= Da es sich hierbei um ein [[Produkt]] handelt, müssen wir die Produktregel andwenden:
$$h(x)=\underbrace{(x^2-1)}_{f(x)} \cdot \underbrace{(3x^2-4x+1)}_{g(x)}$$
Zuerst berechnen wir in einer Nebenrechnung die Ableitungen der Faktoren:
$$f(x)=x^2-1\rightarrow f'(x)=2x$$
$$g(x)=3x^2-4x-+1\rightarrow g'(x)=6x-4$$

Nun setzen wir die Formel zusammen:
$$h'(x)=\underbrace{2x}_{f'(x)}\cdot \underbrace{(3x^2-4x+1)}_{g(x)}+\underbrace{(x^2-1)}_{f(x)}\cdot \underbrace{(6x-4)}_{g'(x)}$$

Zuletzt vereinfachen wir noch das Ergebnis:
$$h'(x)=6x^3-8x^2+2x+6x^3-4x^2-6x+4$$
$$\underline{\underline{h'(x)=12x^3-12x^2-4x+4} }$$

}}

=== Quotientenregel ===

Um die Ableitung einer Division von 2 Funktionen (=Quotienten) zu berechnen, verwendet man die

{{Vorlage:Merke|1= '''Quotientenregel'''
$$h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\ \rightarrow \ h'(x)=\frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g(x)}{(g(x))^2 }$$

Im Nenner steht bis auf das $Minus$ die Produktregel. Im Zähler wird die Nenner-Funktion quadriert.
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Bestimmen Sie die Ableitung von $h(x)=\frac{x^2-x}{x+1}$.
|2=
Da es sich um einen Quotienten handelt, wenden wir die Quotientenregel an. Zuerst berechnen wir die Ableitung des Zählers (f(x)) und des Nenners (g(x)):

* Zähler: $f(x)=x^2-x\ \rightarrow f'(x)=2x-1$
* Nenner: $g(x)=x+1\ \rightarrow g'(x)=1$

Nun setzen wir die Quotientenregel zusammen:
$$h'(x)=\frac{(2x-1)\cdot (x+1)-(x^2-x)\cdot 1 }{(x+1)^2}$$
$$h'(x)=\frac{2x^2+x-1}{x^2+2x+1}$$
}}

=== Kettenregel ===
Um Klammerausdrücke oder verkette Funktionen wie zum Beispiel $f(x)=\sqrt[3]{x^2-1}$ oder $e^{2x-1}$ abzuleiten, verwenden wir die

{{Vorlage:Merke|1='''Kettenregel'''
$$h(x)=f[g(x)]\ \ \rightarrow \ \ h'(x)=\underbrace{f'(g(x))}_{\textrm{äußere Ableitung} } \cdot \underbrace{h'(x)}_{\textrm{innere Ableitung} }$$

$f(x)$ wird als ''äußere Funktion'', $g(x)$ als ''innere Funktion'' bezeichnet.
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben ist $h(x)=\sqrt[3]{x^2-1}$. Bestimmen Sie $h'(x)$
|2=
Zuerst schreiben wir die Wurzel in der [[Rechnen mit Potenzen|Exponentenschreibweise]]:
$$h(x)=(x^2-1)^{\frac{1}{3} }$$

* Die äußere Funktion ist nun $f(x)=(\ \ )^{\frac{1}{3} }$. Damit ist $f'(x)=\frac{1}{3}\cdot (\ \ )^{\frac{1}{3}-1}=\frac{1}{3}\cdot (\ \ )^{-\frac{2}{3} }$

* Die innere Funktion ist $g(x)=x^2-1$. Damit ist $g'(x)=2x$

Nun setzen wir die Kettenregel zusammen:
$$ h'(x)=\underbrace{\frac{1}{3}\cdot (x^2-1)^{-\frac{2}{3} } }_{\textrm{äußere Ableitung} } \cdot \underbrace{2x}_{\textrm{innere Ableitung} }$$

$$ h'(x)=\frac{2x}{3\cdot \sqrt[3]{(x^2-1)^2} }$$
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion von $f(x)=e^{2x-1}$
|2=
Zuerst kümmern wir uns um die äußere und innere Funktion getrennt:
* Die äußere Funktion ist die Exponentialfunktion $f(x)=e\textrm{^}\ \rightarrow\ f'(x)=e\textrm{^}$
* Die innere Funktion ist $g(x)=2x-1 \ \rightarrow g'(x)=2$

Nun setzen wir die Kettenregel wieder zusammen:

$$ h'(x)=\underbrace{e^{2x-1} }_{\textrm{äußere Ableitung} } \cdot \underbrace{2}_{\textrm{innere Ableitung} }$$
$$h'(x)=2\cdot e^{2x-1} $$
}}

=== Videos ===
{| align="center" border="1"
! Produkt-, Quotienten- und Kettenregel
! Ableitung der Exponentialfunktion
|-
|{{#ev:youtube|47bKq2lXGs8}}
|{{#ev:youtube|XVCBYo2_OoM}}
|}

== Matura-Aufgaben ==
* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$ ]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=214&file=Leistungskurve.pdf Leistungskurve]
*: hier musst du die Ableitungsfunktion graphisch bestimmen!

[[Kategorie:Differenzieren]]
[[Kategorie:Kurvendiskussionen]]

Ableitung bestimmen

2014-10-12T15:40:19Z

91.115.97.4: /* Matura-Aufgaben */

In diesem Artikel geht es darum, die erste Ableitung $f'(x)$ einer Funktion $f(x)$ zu bestimmen.

Vorausgesetzt sei im Folgenden, dass die Funktion $f(x)$ auf ihrem Definitionsbereich immer differenzierbar ist (d.h. f'(x) existiert). Dies muss, streng mathematisch genommen, vorausgesestzt werden)

== Was ist $f'(x)$? ==
[[Datei:Abb für diffquotient1.png|thumb|350px| Der [[Differenzen- und Differentialquotient#Differentialquotient]]|Differentialquotient $f'(x)$ berechnet die Steigung der [[Tangente]] t und damit die Steigung von $f$ an der Stelle $x$.]]

{{Vorlage:Definition|1=Die Ableitungsfunktion $f'(x)$ ist der sogenannte [[Differenzen- und Differentialquotient#Differentialquotient| Differentialquotient]] von $f(x)$.

$$ f'(x)={k}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)- x} $$

und gibt die '''momentane''' [[Steigung und Steigungswinkel|Steigung]] der Funktion $f$ an der [[Stelle]] x an.

$f'(x)$ wird auch als '''1. Ableitung von f(x)''' bezeichnet. }}

 
 
 

== Graphisches Bestimmen der 1. Ableitung ==

Die Ableitungsfunktion $f'(x)$ kann allein durch betrachtung der ursprünglichen Funktion $f(x)$ bestimmt werden.

[[Grün: Arbeitsblätter | $Aha!$ ]] Dieses [https://www.geogebratube.org/student/m92514 GeoGebra-Applet zeigt dir, wie das funktioniert.].

{{Merke|1=$f'(x)$ gibt die Steigung von $f(x)$ an. Somit muss gelten: }}

{| cellspacing="0" border="1" cellpadding="20"
!| $f(x)$
!| $f'(x)$
|-
| 1. $f(x)$ hat bei $a$ eine [[Extremstellen|Extremstelle]]
|$\rightarrow$ Hier ist die Steigung $f'(x)=0$
|-
| 2. $f(x)$ hat bei $b$ einen [[Wendepunkt und Wendetangente|Wendepunkt]]
|$\rightarrow$ Hier ist der Graph lokal am steilsten oder am flachsten $\rightarrow$ die Steigung $f'$ hat hier einen Hoch- oder Tiefpunkt.
|-
| 3. $f(x)$ ist monoton wachsend
|$\rightarrow$ $f'(x)$ ist positiv, d.h. oberhalb der x-Achse.
|-
| 4. $f(x)$ ist monoton fallend
|$\rightarrow$ $f'(x)$ ist negativ, d.h. unterhalb der x-Achse.
|}

[[Datei:Bsp.png|left]]
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px" style="background-color:#CEE3F6">

Skizzieren Sie zum gegebenen Graphen von $f(x)$ den Graphen von $f'(x)$!
[[Datei:Ausgangsfunktion.png|miniatur|500px|center|Graph von f(x)]]

<div class="mw-collapsible-content" style="background-color:#E6F6CE" >

{| border="1"
|[[Datei:NullstellenderAbl.png|miniatur|370px|1. Schritt: Zeichne die Nullstellen von $f'(x)$ (=Extremwerte von $f(x)$ ein)]]
|[[Datei:Hoch-TiefpunkterderAbleitung.png|miniatur|370px|2. Schritt: Zeichne die Extremwerte von $f'(x)$ (=Wendepunkte von $f(x)$ ein. Die Höhen entprechen den Steigungen von $f(x)$ bei den Wendepunkten.]]
|-
|[[Datei:Ausgangsfunktion1.png|miniatur|370px| 3. und 4. Schritt: Aufgrund des Monotonierverhaltens von $f(x)$ wissen wir, wann $f'(x)$ positiv oder negativ ist.]]
| [[Datei:Endfkt.png|miniatur|370px|$f'(x)$ schön eingezeichnet]]
|}

</div>

</div>

[[Grün: Arbeitsblätter | $Aha!$ ]] Dieses [http://geogebratube.org/material/show/id/83408 Applet zeigt noch einmal die schrittweise Bestimmung der Ableitungsfunktion]

* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| ? ]] [http://geogebratube.org/material/show/id/46089 Ableitungsquiz]
* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| ? ]] [http://www.mathe-online.at/tests/diff1/ablerkennen.html Ableitungspuzzle (mathe online)]

//* * http://geogebratube.org/material/show/id/43313

== Rechnerisches bestimmen von $f'(x)$ - Ableitungsregeln==

Im folgenden sind Regeln aufgelistet, mit der $f'(x)$ berechnet werden kann.

=== Grundlegende Regeln ===
{| border="1" align="center" cellpadding="10"
! Allgemeine Regeln
|-
| {{#ev:youtube|4_e-KRJbXUg}}
|}

{| class="wikitable"
|-
!Regel !! $f(x)$ !! $f'(x)$ !!Bemerkung
|-
|Potenzregel || $x^n$ || $n\cdot x^{n-1}$ || Exponent kommt herunter, dann wird Hochzahl um 1 vermindert.
|-
| Konstantenregel
$c\in \mathbb{R}$
|| c || 0 ||konstante Funktionen haben Steigung $= 0$
|-
|[[Faktor|Faktorregel]]
$a\in \mathbb{R}$
|| $a\cdot f(x)$|| $a\cdot f'(x)$ || Ein konstanter Faktor ist von der Ableitung nicht betroffen.
|-
|Summenregel || $f(x)+g(x)$ || $f'(x)+g'(x)$ || Eine Summe wird abegeleitet, indem jeder einzelne Summand einzeln abgeleitet wird.
|-
| [[Exponentialfunktionen(3.5.)|$e$-Funktion]] || $e^x$ || $e^x$ || Die bsondere Eigenschaft von $e^x$ ist, dass es durch Ableiten nicht verändert wird

(d.h. Funktionswert bei x =Steigung bei x)
|-
| [[Logarithmus]] || $ln|x|$ || $\frac{1}{x}$ ||
|-
| [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)|Trigonometrische Funktionen]] || $sin(x)$ $cos(x)$ || $cos(x)$ $-sin(x)$ ||
[[Datei:Sin-cos-kreis.png|miniatur|300px|center|Durch mehrmaliges Ableiten der Sinus- oder Cosinusfunktion, kommt man immer wieder zur Ausgangsfunktion zurück.]]

|}

{{Vorlage:Beispiel|1=Bestimme zu den folgenden Funktionen die Ableitungsfunktion:

 
 
 
#$f(x)=x^3$
#$f(x)=4x$
#$f(x)=3$
#$f(x)=5\cdot x^2$
#$x^3+5x^2-4x+3$
#$x+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^3}+\sqrt[5]{x^2}$
#$f(x)=\frac{x^4}{5}+2\cdot e^x-ln\vert x\vert $

|2=
Wir wenden die einzelnen Regeln Schritt für Schritt an:
#$f(x)=x^3 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel} 3\cdot x^{3-1}=3\cdot x^2$ 
#$f(x)=4\cdot x=4\cdot x^1 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel} 4\cdot 1\cdot x^{1-1}=4\cdot x^0=4\cdot 1=4$ 
#$f(x)=3 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Konstantenregel} 0$ 
#$f(x)=5\cdot x^2\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Faktorregel}5\cdot (x^2)' \underbrace{=}_{Potenzregel}=5\cdot 5\cdot 2\cdot x^{2-1}=10\cdot x$ 
#$x^3+5x^2-4x+3\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Summenregel}(x^3)'+(5x^2)'-(4x)'+(3)' \underbrace{=}_{Potenzregel}3x^2+10x-4+0$
#$x+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^3}+\sqrt[5]{x^2}\underbrace{=}_{umformen} x+x^{-1}-x^{-3}+x^{\frac{2}{5} }$ $$\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel}1\cdot x^0+(-1)\cdot x^{-2}-(-3)\cdot x^{-4}+\frac{2}{5}\cdot x^{(\frac{2}{5}-1)}=$$ $$=1-x^{-2}+3\cdot x^{-4}+\frac{2}{5}\cdot x^{-\frac{3}{5} }$$ $$=1+\frac{1}{x^2}+\frac{3}{x^4}+\frac{2}{5\sqrt[5]{x^3} }$$ 
#$f(x)=\frac{x^4}{5}+2\cdot e^x-ln \vert x \vert \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel/Faktorregel,\ e-\ und\ ln-Regel}\frac{4x^3}{5}+2\cdot e^x-\frac{1}{x}$
}}

[[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| ? ]] [http://www.mathe-online.at/tests/diff1/poldiff.html Online-Übung (mathe-online)]

=== Produktregel ===
Im Gegensatz zur Summe zweier Funktionen $( (f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)$, siehe oben 'Summenregel'$)$ kann man das [[Produkt]] zweier Funktionen $f(x)\cdot g(x)$ nicht mehr so einfach ableiten. Hierfür braucht es die sogenannte ...

{{Vorlage:Merke|1= '''Produktregel'''
$$(f(x)\cdot g(x))'=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$$
"Zuerst den ersten [[Faktor]] ableiten, den zweiten stehen lassen,
$$\textrm{Plus}$$
den ersten stehen Faktor lassen, den anderen ableten." }}

{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben ist die Funktion $h(x)=(x^2-1)\cdot (3x^2-4x+1)$. Bestimmen Sie $h'(x)$.

|2= Da es sich hierbei um ein [[Produkt]] handelt, müssen wir die Produktregel andwenden:
$$h(x)=\underbrace{(x^2-1)}_{f(x)} \cdot \underbrace{(3x^2-4x+1)}_{g(x)}$$
Zuerst berechnen wir in einer Nebenrechnung die Ableitungen der Faktoren:
$$f(x)=x^2-1\rightarrow f'(x)=2x$$
$$g(x)=3x^2-4x-+1\rightarrow g'(x)=6x-4$$

Nun setzen wir die Formel zusammen:
$$h'(x)=\underbrace{2x}_{f'(x)}\cdot \underbrace{(3x^2-4x+1)}_{g(x)}+\underbrace{(x^2-1)}_{f(x)}\cdot \underbrace{(6x-4)}_{g'(x)}$$

Zuletzt vereinfachen wir noch das Ergebnis:
$$h'(x)=6x^3-8x^2+2x+6x^3-4x^2-6x+4$$
$$\underline{\underline{h'(x)=12x^3-12x^2-4x+4} }$$

}}

=== Quotientenregel ===

Um die Ableitung einer Division von 2 Funktionen (=Quotienten) zu berechnen, verwendet man die

{{Vorlage:Merke|1= '''Quotientenregel'''
$$h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\ \rightarrow \ h'(x)=\frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g(x)}{(g(x))^2 }$$

Im Nenner steht bis auf das $Minus$ die Produktregel. Im Zähler wird die Nenner-Funktion quadriert.
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Bestimmen Sie die Ableitung von $h(x)=\frac{x^2-x}{x+1}$.
|2=
Da es sich um einen Quotienten handelt, wenden wir die Quotientenregel an. Zuerst berechnen wir die Ableitung des Zählers (f(x)) und des Nenners (g(x)):

* Zähler: $f(x)=x^2-x\ \rightarrow f'(x)=2x-1$
* Nenner: $g(x)=x+1\ \rightarrow g'(x)=1$

Nun setzen wir die Quotientenregel zusammen:
$$h'(x)=\frac{(2x-1)\cdot (x+1)-(x^2-x)\cdot 1 }{(x+1)^2}$$
$$h'(x)=\frac{2x^2+x-1}{x^2+2x+1}$$
}}

=== Kettenregel ===
Um Klammerausdrücke oder verkette Funktionen wie zum Beispiel $f(x)=\sqrt[3]{x^2-1}$ oder $e^{2x-1}$ abzuleiten, verwenden wir die

{{Vorlage:Merke|1='''Kettenregel'''
$$h(x)=f[g(x)]\ \ \rightarrow \ \ h'(x)=\underbrace{f'(g(x))}_{\textrm{äußere Ableitung} } \cdot \underbrace{h'(x)}_{\textrm{innere Ableitung} }$$

$f(x)$ wird als ''äußere Funktion'', $g(x)$ als ''innere Funktion'' bezeichnet.
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben ist $h(x)=\sqrt[3]{x^2-1}$. Bestimmen Sie $h'(x)$
|2=
Zuerst schreiben wir die Wurzel in der [[Rechnen mit Potenzen|Exponentenschreibweise]]:
$$h(x)=(x^2-1)^{\frac{1}{3} }$$

* Die äußere Funktion ist nun $f(x)=(\ \ )^{\frac{1}{3} }$. Damit ist $f'(x)=\frac{1}{3}\cdot (\ \ )^{\frac{1}{3}-1}=\frac{1}{3}\cdot (\ \ )^{-\frac{2}{3} }$

* Die innere Funktion ist $g(x)=x^2-1$. Damit ist $g'(x)=2x$

Nun setzen wir die Kettenregel zusammen:
$$ h'(x)=\underbrace{\frac{1}{3}\cdot (x^2-1)^{-\frac{2}{3} } }_{\textrm{äußere Ableitung} } \cdot \underbrace{2x}_{\textrm{innere Ableitung} }$$

$$ h'(x)=\frac{2x}{3\cdot \sqrt[3]{(x^2-1)^2} }$$
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion von $f(x)=e^{2x-1}$
|2=
Zuerst kümmern wir uns um die äußere und innere Funktion getrennt:
* Die äußere Funktion ist die Exponentialfunktion $f(x)=e\textrm{^}\ \rightarrow\ f'(x)=e\textrm{^}$
* Die innere Funktion ist $g(x)=2x-1 \ \rightarrow g'(x)=2$

Nun setzen wir die Kettenregel wieder zusammen:

$$ h'(x)=\underbrace{e^{2x-1} }_{\textrm{äußere Ableitung} } \cdot \underbrace{2}_{\textrm{innere Ableitung} }$$
$$h'(x)=2\cdot e^{2x-1} $$
}}

=== Videos ===
{| align="center" border="1"
! Produkt-, Quotienten- und Kettenregel
! Ableitung der Exponentialfunktion
|-
|{{#ev:youtube|47bKq2lXGs8}}
|{{#ev:youtube|XVCBYo2_OoM}}
|}

== Matura-Aufgaben ==
* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$ ]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=214&file=Leistungskurve.pdf Leistungskurve]
*: hier musst du die Ableitungsfunktion graphisch bestimmen!

[[Kategorie:Differenzieren]]
[[Kategorie:Kurvendiskussionen]]

Ableitung bestimmen

2014-10-12T15:36:36Z

91.115.97.4: /* Grundlegende Regeln */

In diesem Artikel geht es darum, die erste Ableitung $f'(x)$ einer Funktion $f(x)$ zu bestimmen.

Vorausgesetzt sei im Folgenden, dass die Funktion $f(x)$ auf ihrem Definitionsbereich immer differenzierbar ist (d.h. f'(x) existiert). Dies muss, streng mathematisch genommen, vorausgesestzt werden)

== Was ist $f'(x)$? ==
[[Datei:Abb für diffquotient1.png|thumb|350px| Der [[Differenzen- und Differentialquotient#Differentialquotient]]|Differentialquotient $f'(x)$ berechnet die Steigung der [[Tangente]] t und damit die Steigung von $f$ an der Stelle $x$.]]

{{Vorlage:Definition|1=Die Ableitungsfunktion $f'(x)$ ist der sogenannte [[Differenzen- und Differentialquotient#Differentialquotient| Differentialquotient]] von $f(x)$.

$$ f'(x)={k}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)- x} $$

und gibt die '''momentane''' [[Steigung und Steigungswinkel|Steigung]] der Funktion $f$ an der [[Stelle]] x an.

$f'(x)$ wird auch als '''1. Ableitung von f(x)''' bezeichnet. }}

 
 
 

== Graphisches Bestimmen der 1. Ableitung ==

Die Ableitungsfunktion $f'(x)$ kann allein durch betrachtung der ursprünglichen Funktion $f(x)$ bestimmt werden.

[[Grün: Arbeitsblätter | $Aha!$ ]] Dieses [https://www.geogebratube.org/student/m92514 GeoGebra-Applet zeigt dir, wie das funktioniert.].

{{Merke|1=$f'(x)$ gibt die Steigung von $f(x)$ an. Somit muss gelten: }}

{| cellspacing="0" border="1" cellpadding="20"
!| $f(x)$
!| $f'(x)$
|-
| 1. $f(x)$ hat bei $a$ eine [[Extremstellen|Extremstelle]]
|$\rightarrow$ Hier ist die Steigung $f'(x)=0$
|-
| 2. $f(x)$ hat bei $b$ einen [[Wendepunkt und Wendetangente|Wendepunkt]]
|$\rightarrow$ Hier ist der Graph lokal am steilsten oder am flachsten $\rightarrow$ die Steigung $f'$ hat hier einen Hoch- oder Tiefpunkt.
|-
| 3. $f(x)$ ist monoton wachsend
|$\rightarrow$ $f'(x)$ ist positiv, d.h. oberhalb der x-Achse.
|-
| 4. $f(x)$ ist monoton fallend
|$\rightarrow$ $f'(x)$ ist negativ, d.h. unterhalb der x-Achse.
|}

[[Datei:Bsp.png|left]]
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px" style="background-color:#CEE3F6">

Skizzieren Sie zum gegebenen Graphen von $f(x)$ den Graphen von $f'(x)$!
[[Datei:Ausgangsfunktion.png|miniatur|500px|center|Graph von f(x)]]

<div class="mw-collapsible-content" style="background-color:#E6F6CE" >

{| border="1"
|[[Datei:NullstellenderAbl.png|miniatur|370px|1. Schritt: Zeichne die Nullstellen von $f'(x)$ (=Extremwerte von $f(x)$ ein)]]
|[[Datei:Hoch-TiefpunkterderAbleitung.png|miniatur|370px|2. Schritt: Zeichne die Extremwerte von $f'(x)$ (=Wendepunkte von $f(x)$ ein. Die Höhen entprechen den Steigungen von $f(x)$ bei den Wendepunkten.]]
|-
|[[Datei:Ausgangsfunktion1.png|miniatur|370px| 3. und 4. Schritt: Aufgrund des Monotonierverhaltens von $f(x)$ wissen wir, wann $f'(x)$ positiv oder negativ ist.]]
| [[Datei:Endfkt.png|miniatur|370px|$f'(x)$ schön eingezeichnet]]
|}

</div>

</div>

[[Grün: Arbeitsblätter | $Aha!$ ]] Dieses [http://geogebratube.org/material/show/id/83408 Applet zeigt noch einmal die schrittweise Bestimmung der Ableitungsfunktion]

* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| ? ]] [http://geogebratube.org/material/show/id/46089 Ableitungsquiz]
* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| ? ]] [http://www.mathe-online.at/tests/diff1/ablerkennen.html Ableitungspuzzle (mathe online)]

//* * http://geogebratube.org/material/show/id/43313

== Rechnerisches bestimmen von $f'(x)$ - Ableitungsregeln==

Im folgenden sind Regeln aufgelistet, mit der $f'(x)$ berechnet werden kann.

=== Grundlegende Regeln ===
{| border="1" align="center" cellpadding="10"
! Allgemeine Regeln
|-
| {{#ev:youtube|4_e-KRJbXUg}}
|}

{| class="wikitable"
|-
!Regel !! $f(x)$ !! $f'(x)$ !!Bemerkung
|-
|Potenzregel || $x^n$ || $n\cdot x^{n-1}$ || Exponent kommt herunter, dann wird Hochzahl um 1 vermindert.
|-
| Konstantenregel
$c\in \mathbb{R}$
|| c || 0 ||konstante Funktionen haben Steigung $= 0$
|-
|[[Faktor|Faktorregel]]
$a\in \mathbb{R}$
|| $a\cdot f(x)$|| $a\cdot f'(x)$ || Ein konstanter Faktor ist von der Ableitung nicht betroffen.
|-
|Summenregel || $f(x)+g(x)$ || $f'(x)+g'(x)$ || Eine Summe wird abegeleitet, indem jeder einzelne Summand einzeln abgeleitet wird.
|-
| [[Exponentialfunktionen(3.5.)|$e$-Funktion]] || $e^x$ || $e^x$ || Die bsondere Eigenschaft von $e^x$ ist, dass es durch Ableiten nicht verändert wird

(d.h. Funktionswert bei x =Steigung bei x)
|-
| [[Logarithmus]] || $ln|x|$ || $\frac{1}{x}$ ||
|-
| [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)|Trigonometrische Funktionen]] || $sin(x)$ $cos(x)$ || $cos(x)$ $-sin(x)$ ||
[[Datei:Sin-cos-kreis.png|miniatur|300px|center|Durch mehrmaliges Ableiten der Sinus- oder Cosinusfunktion, kommt man immer wieder zur Ausgangsfunktion zurück.]]

|}

{{Vorlage:Beispiel|1=Bestimme zu den folgenden Funktionen die Ableitungsfunktion:

 
 
 
#$f(x)=x^3$
#$f(x)=4x$
#$f(x)=3$
#$f(x)=5\cdot x^2$
#$x^3+5x^2-4x+3$
#$x+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^3}+\sqrt[5]{x^2}$
#$f(x)=\frac{x^4}{5}+2\cdot e^x-ln\vert x\vert $

|2=
Wir wenden die einzelnen Regeln Schritt für Schritt an:
#$f(x)=x^3 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel} 3\cdot x^{3-1}=3\cdot x^2$ 
#$f(x)=4\cdot x=4\cdot x^1 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel} 4\cdot 1\cdot x^{1-1}=4\cdot x^0=4\cdot 1=4$ 
#$f(x)=3 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Konstantenregel} 0$ 
#$f(x)=5\cdot x^2\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Faktorregel}5\cdot (x^2)' \underbrace{=}_{Potenzregel}=5\cdot 5\cdot 2\cdot x^{2-1}=10\cdot x$ 
#$x^3+5x^2-4x+3\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Summenregel}(x^3)'+(5x^2)'-(4x)'+(3)' \underbrace{=}_{Potenzregel}3x^2+10x-4+0$
#$x+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^3}+\sqrt[5]{x^2}\underbrace{=}_{umformen} x+x^{-1}-x^{-3}+x^{\frac{2}{5} }$ $$\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel}1\cdot x^0+(-1)\cdot x^{-2}-(-3)\cdot x^{-4}+\frac{2}{5}\cdot x^{(\frac{2}{5}-1)}=$$ $$=1-x^{-2}+3\cdot x^{-4}+\frac{2}{5}\cdot x^{-\frac{3}{5} }$$ $$=1+\frac{1}{x^2}+\frac{3}{x^4}+\frac{2}{5\sqrt[5]{x^3} }$$ 
#$f(x)=\frac{x^4}{5}+2\cdot e^x-ln \vert x \vert \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel/Faktorregel,\ e-\ und\ ln-Regel}\frac{4x^3}{5}+2\cdot e^x-\frac{1}{x}$
}}

[[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| ? ]] [http://www.mathe-online.at/tests/diff1/poldiff.html Online-Übung (mathe-online)]

=== Produktregel ===
Im Gegensatz zur Summe zweier Funktionen $( (f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)$, siehe oben 'Summenregel'$)$ kann man das [[Produkt]] zweier Funktionen $f(x)\cdot g(x)$ nicht mehr so einfach ableiten. Hierfür braucht es die sogenannte ...

{{Vorlage:Merke|1= '''Produktregel'''
$$(f(x)\cdot g(x))'=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$$
"Zuerst den ersten [[Faktor]] ableiten, den zweiten stehen lassen,
$$\textrm{Plus}$$
den ersten stehen Faktor lassen, den anderen ableten." }}

{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben ist die Funktion $h(x)=(x^2-1)\cdot (3x^2-4x+1)$. Bestimmen Sie $h'(x)$.

|2= Da es sich hierbei um ein [[Produkt]] handelt, müssen wir die Produktregel andwenden:
$$h(x)=\underbrace{(x^2-1)}_{f(x)} \cdot \underbrace{(3x^2-4x+1)}_{g(x)}$$
Zuerst berechnen wir in einer Nebenrechnung die Ableitungen der Faktoren:
$$f(x)=x^2-1\rightarrow f'(x)=2x$$
$$g(x)=3x^2-4x-+1\rightarrow g'(x)=6x-4$$

Nun setzen wir die Formel zusammen:
$$h'(x)=\underbrace{2x}_{f'(x)}\cdot \underbrace{(3x^2-4x+1)}_{g(x)}+\underbrace{(x^2-1)}_{f(x)}\cdot \underbrace{(6x-4)}_{g'(x)}$$

Zuletzt vereinfachen wir noch das Ergebnis:
$$h'(x)=6x^3-8x^2+2x+6x^3-4x^2-6x+4$$
$$\underline{\underline{h'(x)=12x^3-12x^2-4x+4} }$$

}}

=== Quotientenregel ===

Um die Ableitung einer Division von 2 Funktionen (=Quotienten) zu berechnen, verwendet man die

{{Vorlage:Merke|1= '''Quotientenregel'''
$$h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\ \rightarrow \ h'(x)=\frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g(x)}{(g(x))^2 }$$

Im Nenner steht bis auf das $Minus$ die Produktregel. Im Zähler wird die Nenner-Funktion quadriert.
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Bestimmen Sie die Ableitung von $h(x)=\frac{x^2-x}{x+1}$.
|2=
Da es sich um einen Quotienten handelt, wenden wir die Quotientenregel an. Zuerst berechnen wir die Ableitung des Zählers (f(x)) und des Nenners (g(x)):

* Zähler: $f(x)=x^2-x\ \rightarrow f'(x)=2x-1$
* Nenner: $g(x)=x+1\ \rightarrow g'(x)=1$

Nun setzen wir die Quotientenregel zusammen:
$$h'(x)=\frac{(2x-1)\cdot (x+1)-(x^2-x)\cdot 1 }{(x+1)^2}$$
$$h'(x)=\frac{2x^2+x-1}{x^2+2x+1}$$
}}

=== Kettenregel ===
Um Klammerausdrücke oder verkette Funktionen wie zum Beispiel $f(x)=\sqrt[3]{x^2-1}$ oder $e^{2x-1}$ abzuleiten, verwenden wir die

{{Vorlage:Merke|1='''Kettenregel'''
$$h(x)=f[g(x)]\ \ \rightarrow \ \ h'(x)=\underbrace{f'(g(x))}_{\textrm{äußere Ableitung} } \cdot \underbrace{h'(x)}_{\textrm{innere Ableitung} }$$

$f(x)$ wird als ''äußere Funktion'', $g(x)$ als ''innere Funktion'' bezeichnet.
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben ist $h(x)=\sqrt[3]{x^2-1}$. Bestimmen Sie $h'(x)$
|2=
Zuerst schreiben wir die Wurzel in der [[Rechnen mit Potenzen|Exponentenschreibweise]]:
$$h(x)=(x^2-1)^{\frac{1}{3} }$$

* Die äußere Funktion ist nun $f(x)=(\ \ )^{\frac{1}{3} }$. Damit ist $f'(x)=\frac{1}{3}\cdot (\ \ )^{\frac{1}{3}-1}=\frac{1}{3}\cdot (\ \ )^{-\frac{2}{3} }$

* Die innere Funktion ist $g(x)=x^2-1$. Damit ist $g'(x)=2x$

Nun setzen wir die Kettenregel zusammen:
$$ h'(x)=\underbrace{\frac{1}{3}\cdot (x^2-1)^{-\frac{2}{3} } }_{\textrm{äußere Ableitung} } \cdot \underbrace{2x}_{\textrm{innere Ableitung} }$$

$$ h'(x)=\frac{2x}{3\cdot \sqrt[3]{(x^2-1)^2} }$$
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion von $f(x)=e^{2x-1}$
|2=
Zuerst kümmern wir uns um die äußere und innere Funktion getrennt:
* Die äußere Funktion ist die Exponentialfunktion $f(x)=e\textrm{^}\ \rightarrow\ f'(x)=e\textrm{^}$
* Die innere Funktion ist $g(x)=2x-1 \ \rightarrow g'(x)=2$

Nun setzen wir die Kettenregel wieder zusammen:

$$ h'(x)=\underbrace{e^{2x-1} }_{\textrm{äußere Ableitung} } \cdot \underbrace{2}_{\textrm{innere Ableitung} }$$
$$h'(x)=2\cdot e^{2x-1} $$
}}

=== Matura-Aufgaben ===
* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$ ]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=214&file=Leistungskurve.pdf Leistungskurve]
*: hier musst du die Ableitungsfunktion graphisch bestimmen!

[[Kategorie:Differenzieren]]
[[Kategorie:Kurvendiskussionen]]

Ableitung bestimmen

2014-10-12T15:35:22Z

91.115.97.4: /* Grundlegende Regeln */

In diesem Artikel geht es darum, die erste Ableitung $f'(x)$ einer Funktion $f(x)$ zu bestimmen.

Vorausgesetzt sei im Folgenden, dass die Funktion $f(x)$ auf ihrem Definitionsbereich immer differenzierbar ist (d.h. f'(x) existiert). Dies muss, streng mathematisch genommen, vorausgesestzt werden)

== Was ist $f'(x)$? ==
[[Datei:Abb für diffquotient1.png|thumb|350px| Der [[Differenzen- und Differentialquotient#Differentialquotient]]|Differentialquotient $f'(x)$ berechnet die Steigung der [[Tangente]] t und damit die Steigung von $f$ an der Stelle $x$.]]

{{Vorlage:Definition|1=Die Ableitungsfunktion $f'(x)$ ist der sogenannte [[Differenzen- und Differentialquotient#Differentialquotient| Differentialquotient]] von $f(x)$.

$$ f'(x)={k}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)- x} $$

und gibt die '''momentane''' [[Steigung und Steigungswinkel|Steigung]] der Funktion $f$ an der [[Stelle]] x an.

$f'(x)$ wird auch als '''1. Ableitung von f(x)''' bezeichnet. }}

 
 
 

== Graphisches Bestimmen der 1. Ableitung ==

Die Ableitungsfunktion $f'(x)$ kann allein durch betrachtung der ursprünglichen Funktion $f(x)$ bestimmt werden.

[[Grün: Arbeitsblätter | $Aha!$ ]] Dieses [https://www.geogebratube.org/student/m92514 GeoGebra-Applet zeigt dir, wie das funktioniert.].

{{Merke|1=$f'(x)$ gibt die Steigung von $f(x)$ an. Somit muss gelten: }}

{| cellspacing="0" border="1" cellpadding="20"
!| $f(x)$
!| $f'(x)$
|-
| 1. $f(x)$ hat bei $a$ eine [[Extremstellen|Extremstelle]]
|$\rightarrow$ Hier ist die Steigung $f'(x)=0$
|-
| 2. $f(x)$ hat bei $b$ einen [[Wendepunkt und Wendetangente|Wendepunkt]]
|$\rightarrow$ Hier ist der Graph lokal am steilsten oder am flachsten $\rightarrow$ die Steigung $f'$ hat hier einen Hoch- oder Tiefpunkt.
|-
| 3. $f(x)$ ist monoton wachsend
|$\rightarrow$ $f'(x)$ ist positiv, d.h. oberhalb der x-Achse.
|-
| 4. $f(x)$ ist monoton fallend
|$\rightarrow$ $f'(x)$ ist negativ, d.h. unterhalb der x-Achse.
|}

[[Datei:Bsp.png|left]]
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px" style="background-color:#CEE3F6">

Skizzieren Sie zum gegebenen Graphen von $f(x)$ den Graphen von $f'(x)$!
[[Datei:Ausgangsfunktion.png|miniatur|500px|center|Graph von f(x)]]

<div class="mw-collapsible-content" style="background-color:#E6F6CE" >

{| border="1"
|[[Datei:NullstellenderAbl.png|miniatur|370px|1. Schritt: Zeichne die Nullstellen von $f'(x)$ (=Extremwerte von $f(x)$ ein)]]
|[[Datei:Hoch-TiefpunkterderAbleitung.png|miniatur|370px|2. Schritt: Zeichne die Extremwerte von $f'(x)$ (=Wendepunkte von $f(x)$ ein. Die Höhen entprechen den Steigungen von $f(x)$ bei den Wendepunkten.]]
|-
|[[Datei:Ausgangsfunktion1.png|miniatur|370px| 3. und 4. Schritt: Aufgrund des Monotonierverhaltens von $f(x)$ wissen wir, wann $f'(x)$ positiv oder negativ ist.]]
| [[Datei:Endfkt.png|miniatur|370px|$f'(x)$ schön eingezeichnet]]
|}

</div>

</div>

[[Grün: Arbeitsblätter | $Aha!$ ]] Dieses [http://geogebratube.org/material/show/id/83408 Applet zeigt noch einmal die schrittweise Bestimmung der Ableitungsfunktion]

* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| ? ]] [http://geogebratube.org/material/show/id/46089 Ableitungsquiz]
* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| ? ]] [http://www.mathe-online.at/tests/diff1/ablerkennen.html Ableitungspuzzle (mathe online)]

//* * http://geogebratube.org/material/show/id/43313

== Rechnerisches bestimmen von $f'(x)$ - Ableitungsregeln==

Im folgenden sind Regeln aufgelistet, mit der $f'(x)$ berechnet werden kann.

=== Grundlegende Regeln ===
{| border="1" align="center" cellpadding="10"
! Allgemeine Regeln
! Regel für die Exponentialfunktion
|-
| {{#ev:youtube|4_e-KRJbXUg}}
| {{#ev:youtube|XVCBYo2_OoM}}

{| class="wikitable"
|-
!Regel !! $f(x)$ !! $f'(x)$ !!Bemerkung
|-
|Potenzregel || $x^n$ || $n\cdot x^{n-1}$ || Exponent kommt herunter, dann wird Hochzahl um 1 vermindert.
|-
| Konstantenregel
$c\in \mathbb{R}$
|| c || 0 ||konstante Funktionen haben Steigung $= 0$
|-
|[[Faktor|Faktorregel]]
$a\in \mathbb{R}$
|| $a\cdot f(x)$|| $a\cdot f'(x)$ || Ein konstanter Faktor ist von der Ableitung nicht betroffen.
|-
|Summenregel || $f(x)+g(x)$ || $f'(x)+g'(x)$ || Eine Summe wird abegeleitet, indem jeder einzelne Summand einzeln abgeleitet wird.
|-
| [[Exponentialfunktionen(3.5.)|$e$-Funktion]] || $e^x$ || $e^x$ || Die bsondere Eigenschaft von $e^x$ ist, dass es durch Ableiten nicht verändert wird

(d.h. Funktionswert bei x =Steigung bei x)
|-
| [[Logarithmus]] || $ln|x|$ || $\frac{1}{x}$ ||
|-
| [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)|Trigonometrische Funktionen]] || $sin(x)$ $cos(x)$ || $cos(x)$ $-sin(x)$ ||
[[Datei:Sin-cos-kreis.png|miniatur|300px|center|Durch mehrmaliges Ableiten der Sinus- oder Cosinusfunktion, kommt man immer wieder zur Ausgangsfunktion zurück.]]

|}

{{Vorlage:Beispiel|1=Bestimme zu den folgenden Funktionen die Ableitungsfunktion:

 
 
 
#$f(x)=x^3$
#$f(x)=4x$
#$f(x)=3$
#$f(x)=5\cdot x^2$
#$x^3+5x^2-4x+3$
#$x+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^3}+\sqrt[5]{x^2}$
#$f(x)=\frac{x^4}{5}+2\cdot e^x-ln\vert x\vert $

|2=
Wir wenden die einzelnen Regeln Schritt für Schritt an:
#$f(x)=x^3 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel} 3\cdot x^{3-1}=3\cdot x^2$ 
#$f(x)=4\cdot x=4\cdot x^1 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel} 4\cdot 1\cdot x^{1-1}=4\cdot x^0=4\cdot 1=4$ 
#$f(x)=3 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Konstantenregel} 0$ 
#$f(x)=5\cdot x^2\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Faktorregel}5\cdot (x^2)' \underbrace{=}_{Potenzregel}=5\cdot 5\cdot 2\cdot x^{2-1}=10\cdot x$ 
#$x^3+5x^2-4x+3\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Summenregel}(x^3)'+(5x^2)'-(4x)'+(3)' \underbrace{=}_{Potenzregel}3x^2+10x-4+0$
#$x+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^3}+\sqrt[5]{x^2}\underbrace{=}_{umformen} x+x^{-1}-x^{-3}+x^{\frac{2}{5} }$ $$\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel}1\cdot x^0+(-1)\cdot x^{-2}-(-3)\cdot x^{-4}+\frac{2}{5}\cdot x^{(\frac{2}{5}-1)}=$$ $$=1-x^{-2}+3\cdot x^{-4}+\frac{2}{5}\cdot x^{-\frac{3}{5} }$$ $$=1+\frac{1}{x^2}+\frac{3}{x^4}+\frac{2}{5\sqrt[5]{x^3} }$$ 
#$f(x)=\frac{x^4}{5}+2\cdot e^x-ln \vert x \vert \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel/Faktorregel,\ e-\ und\ ln-Regel}\frac{4x^3}{5}+2\cdot e^x-\frac{1}{x}$
}}

[[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| ? ]] [http://www.mathe-online.at/tests/diff1/poldiff.html Online-Übung (mathe-online)]

=== Produktregel ===
Im Gegensatz zur Summe zweier Funktionen $( (f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)$, siehe oben 'Summenregel'$)$ kann man das [[Produkt]] zweier Funktionen $f(x)\cdot g(x)$ nicht mehr so einfach ableiten. Hierfür braucht es die sogenannte ...

{{Vorlage:Merke|1= '''Produktregel'''
$$(f(x)\cdot g(x))'=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$$
"Zuerst den ersten [[Faktor]] ableiten, den zweiten stehen lassen,
$$\textrm{Plus}$$
den ersten stehen Faktor lassen, den anderen ableten." }}

{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben ist die Funktion $h(x)=(x^2-1)\cdot (3x^2-4x+1)$. Bestimmen Sie $h'(x)$.

|2= Da es sich hierbei um ein [[Produkt]] handelt, müssen wir die Produktregel andwenden:
$$h(x)=\underbrace{(x^2-1)}_{f(x)} \cdot \underbrace{(3x^2-4x+1)}_{g(x)}$$
Zuerst berechnen wir in einer Nebenrechnung die Ableitungen der Faktoren:
$$f(x)=x^2-1\rightarrow f'(x)=2x$$
$$g(x)=3x^2-4x-+1\rightarrow g'(x)=6x-4$$

Nun setzen wir die Formel zusammen:
$$h'(x)=\underbrace{2x}_{f'(x)}\cdot \underbrace{(3x^2-4x+1)}_{g(x)}+\underbrace{(x^2-1)}_{f(x)}\cdot \underbrace{(6x-4)}_{g'(x)}$$

Zuletzt vereinfachen wir noch das Ergebnis:
$$h'(x)=6x^3-8x^2+2x+6x^3-4x^2-6x+4$$
$$\underline{\underline{h'(x)=12x^3-12x^2-4x+4} }$$

}}

=== Quotientenregel ===

Um die Ableitung einer Division von 2 Funktionen (=Quotienten) zu berechnen, verwendet man die

{{Vorlage:Merke|1= '''Quotientenregel'''
$$h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\ \rightarrow \ h'(x)=\frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g(x)}{(g(x))^2 }$$

Im Nenner steht bis auf das $Minus$ die Produktregel. Im Zähler wird die Nenner-Funktion quadriert.
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Bestimmen Sie die Ableitung von $h(x)=\frac{x^2-x}{x+1}$.
|2=
Da es sich um einen Quotienten handelt, wenden wir die Quotientenregel an. Zuerst berechnen wir die Ableitung des Zählers (f(x)) und des Nenners (g(x)):

* Zähler: $f(x)=x^2-x\ \rightarrow f'(x)=2x-1$
* Nenner: $g(x)=x+1\ \rightarrow g'(x)=1$

Nun setzen wir die Quotientenregel zusammen:
$$h'(x)=\frac{(2x-1)\cdot (x+1)-(x^2-x)\cdot 1 }{(x+1)^2}$$
$$h'(x)=\frac{2x^2+x-1}{x^2+2x+1}$$
}}

=== Kettenregel ===
Um Klammerausdrücke oder verkette Funktionen wie zum Beispiel $f(x)=\sqrt[3]{x^2-1}$ oder $e^{2x-1}$ abzuleiten, verwenden wir die

{{Vorlage:Merke|1='''Kettenregel'''
$$h(x)=f[g(x)]\ \ \rightarrow \ \ h'(x)=\underbrace{f'(g(x))}_{\textrm{äußere Ableitung} } \cdot \underbrace{h'(x)}_{\textrm{innere Ableitung} }$$

$f(x)$ wird als ''äußere Funktion'', $g(x)$ als ''innere Funktion'' bezeichnet.
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben ist $h(x)=\sqrt[3]{x^2-1}$. Bestimmen Sie $h'(x)$
|2=
Zuerst schreiben wir die Wurzel in der [[Rechnen mit Potenzen|Exponentenschreibweise]]:
$$h(x)=(x^2-1)^{\frac{1}{3} }$$

* Die äußere Funktion ist nun $f(x)=(\ \ )^{\frac{1}{3} }$. Damit ist $f'(x)=\frac{1}{3}\cdot (\ \ )^{\frac{1}{3}-1}=\frac{1}{3}\cdot (\ \ )^{-\frac{2}{3} }$

* Die innere Funktion ist $g(x)=x^2-1$. Damit ist $g'(x)=2x$

Nun setzen wir die Kettenregel zusammen:
$$ h'(x)=\underbrace{\frac{1}{3}\cdot (x^2-1)^{-\frac{2}{3} } }_{\textrm{äußere Ableitung} } \cdot \underbrace{2x}_{\textrm{innere Ableitung} }$$

$$ h'(x)=\frac{2x}{3\cdot \sqrt[3]{(x^2-1)^2} }$$
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion von $f(x)=e^{2x-1}$
|2=
Zuerst kümmern wir uns um die äußere und innere Funktion getrennt:
* Die äußere Funktion ist die Exponentialfunktion $f(x)=e\textrm{^}\ \rightarrow\ f'(x)=e\textrm{^}$
* Die innere Funktion ist $g(x)=2x-1 \ \rightarrow g'(x)=2$

Nun setzen wir die Kettenregel wieder zusammen:

$$ h'(x)=\underbrace{e^{2x-1} }_{\textrm{äußere Ableitung} } \cdot \underbrace{2}_{\textrm{innere Ableitung} }$$
$$h'(x)=2\cdot e^{2x-1} $$
}}

=== Matura-Aufgaben ===
* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$ ]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=214&file=Leistungskurve.pdf Leistungskurve]
*: hier musst du die Ableitungsfunktion graphisch bestimmen!

[[Kategorie:Differenzieren]]
[[Kategorie:Kurvendiskussionen]]

Ableitung bestimmen

2014-10-12T15:32:07Z

91.115.97.4: /* Was ist $f'(x)$? */

In diesem Artikel geht es darum, die erste Ableitung $f'(x)$ einer Funktion $f(x)$ zu bestimmen.

Vorausgesetzt sei im Folgenden, dass die Funktion $f(x)$ auf ihrem Definitionsbereich immer differenzierbar ist (d.h. f'(x) existiert). Dies muss, streng mathematisch genommen, vorausgesestzt werden)

== Was ist $f'(x)$? ==
[[Datei:Abb für diffquotient1.png|thumb|350px| Der [[Differenzen- und Differentialquotient#Differentialquotient]]|Differentialquotient $f'(x)$ berechnet die Steigung der [[Tangente]] t und damit die Steigung von $f$ an der Stelle $x$.]]

{{Vorlage:Definition|1=Die Ableitungsfunktion $f'(x)$ ist der sogenannte [[Differenzen- und Differentialquotient#Differentialquotient| Differentialquotient]] von $f(x)$.

$$ f'(x)={k}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)- x} $$

und gibt die '''momentane''' [[Steigung und Steigungswinkel|Steigung]] der Funktion $f$ an der [[Stelle]] x an.

$f'(x)$ wird auch als '''1. Ableitung von f(x)''' bezeichnet. }}

 
 
 

== Graphisches Bestimmen der 1. Ableitung ==

Die Ableitungsfunktion $f'(x)$ kann allein durch betrachtung der ursprünglichen Funktion $f(x)$ bestimmt werden.

[[Grün: Arbeitsblätter | $Aha!$ ]] Dieses [https://www.geogebratube.org/student/m92514 GeoGebra-Applet zeigt dir, wie das funktioniert.].

{{Merke|1=$f'(x)$ gibt die Steigung von $f(x)$ an. Somit muss gelten: }}

{| cellspacing="0" border="1" cellpadding="20"
!| $f(x)$
!| $f'(x)$
|-
| 1. $f(x)$ hat bei $a$ eine [[Extremstellen|Extremstelle]]
|$\rightarrow$ Hier ist die Steigung $f'(x)=0$
|-
| 2. $f(x)$ hat bei $b$ einen [[Wendepunkt und Wendetangente|Wendepunkt]]
|$\rightarrow$ Hier ist der Graph lokal am steilsten oder am flachsten $\rightarrow$ die Steigung $f'$ hat hier einen Hoch- oder Tiefpunkt.
|-
| 3. $f(x)$ ist monoton wachsend
|$\rightarrow$ $f'(x)$ ist positiv, d.h. oberhalb der x-Achse.
|-
| 4. $f(x)$ ist monoton fallend
|$\rightarrow$ $f'(x)$ ist negativ, d.h. unterhalb der x-Achse.
|}

[[Datei:Bsp.png|left]]
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px" style="background-color:#CEE3F6">

Skizzieren Sie zum gegebenen Graphen von $f(x)$ den Graphen von $f'(x)$!
[[Datei:Ausgangsfunktion.png|miniatur|500px|center|Graph von f(x)]]

<div class="mw-collapsible-content" style="background-color:#E6F6CE" >

{| border="1"
|[[Datei:NullstellenderAbl.png|miniatur|370px|1. Schritt: Zeichne die Nullstellen von $f'(x)$ (=Extremwerte von $f(x)$ ein)]]
|[[Datei:Hoch-TiefpunkterderAbleitung.png|miniatur|370px|2. Schritt: Zeichne die Extremwerte von $f'(x)$ (=Wendepunkte von $f(x)$ ein. Die Höhen entprechen den Steigungen von $f(x)$ bei den Wendepunkten.]]
|-
|[[Datei:Ausgangsfunktion1.png|miniatur|370px| 3. und 4. Schritt: Aufgrund des Monotonierverhaltens von $f(x)$ wissen wir, wann $f'(x)$ positiv oder negativ ist.]]
| [[Datei:Endfkt.png|miniatur|370px|$f'(x)$ schön eingezeichnet]]
|}

</div>

</div>

[[Grün: Arbeitsblätter | $Aha!$ ]] Dieses [http://geogebratube.org/material/show/id/83408 Applet zeigt noch einmal die schrittweise Bestimmung der Ableitungsfunktion]

* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| ? ]] [http://geogebratube.org/material/show/id/46089 Ableitungsquiz]
* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| ? ]] [http://www.mathe-online.at/tests/diff1/ablerkennen.html Ableitungspuzzle (mathe online)]

//* * http://geogebratube.org/material/show/id/43313

== Rechnerisches bestimmen von $f'(x)$ - Ableitungsregeln==

Im folgenden sind Regeln aufgelistet, mit der $f'(x)$ berechnet werden kann.

=== Grundlegende Regeln ===

{| class="wikitable"
|-
!Regel !! $f(x)$ !! $f'(x)$ !!Bemerkung
|-
|Potenzregel || $x^n$ || $n\cdot x^{n-1}$ || Exponent kommt herunter, dann wird Hochzahl um 1 vermindert.
|-
| Konstantenregel
$c\in \mathbb{R}$
|| c || 0 ||konstante Funktionen haben Steigung $= 0$
|-
|[[Faktor|Faktorregel]]
$a\in \mathbb{R}$
|| $a\cdot f(x)$|| $a\cdot f'(x)$ || Ein konstanter Faktor ist von der Ableitung nicht betroffen.
|-
|Summenregel || $f(x)+g(x)$ || $f'(x)+g'(x)$ || Eine Summe wird abegeleitet, indem jeder einzelne Summand einzeln abgeleitet wird.
|-
| [[Exponentialfunktionen(3.5.)|$e$-Funktion]] || $e^x$ || $e^x$ || Die bsondere Eigenschaft von $e^x$ ist, dass es durch Ableiten nicht verändert wird

(d.h. Funktionswert bei x =Steigung bei x)
|-
| [[Logarithmus]] || $ln|x|$ || $\frac{1}{x}$ ||
|-
| [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)|Trigonometrische Funktionen]] || $sin(x)$ $cos(x)$ || $cos(x)$ $-sin(x)$ ||
[[Datei:Sin-cos-kreis.png|miniatur|300px|center|Durch mehrmaliges Ableiten der Sinus- oder Cosinusfunktion, kommt man immer wieder zur Ausgangsfunktion zurück.]]

|}

{{Vorlage:Beispiel|1=Bestimme zu den folgenden Funktionen die Ableitungsfunktion:

 
 
 
#$f(x)=x^3$
#$f(x)=4x$
#$f(x)=3$
#$f(x)=5\cdot x^2$
#$x^3+5x^2-4x+3$
#$x+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^3}+\sqrt[5]{x^2}$
#$f(x)=\frac{x^4}{5}+2\cdot e^x-ln\vert x\vert $

|2=
Wir wenden die einzelnen Regeln Schritt für Schritt an:
#$f(x)=x^3 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel} 3\cdot x^{3-1}=3\cdot x^2$ 
#$f(x)=4\cdot x=4\cdot x^1 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel} 4\cdot 1\cdot x^{1-1}=4\cdot x^0=4\cdot 1=4$ 
#$f(x)=3 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Konstantenregel} 0$ 
#$f(x)=5\cdot x^2\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Faktorregel}5\cdot (x^2)' \underbrace{=}_{Potenzregel}=5\cdot 5\cdot 2\cdot x^{2-1}=10\cdot x$ 
#$x^3+5x^2-4x+3\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Summenregel}(x^3)'+(5x^2)'-(4x)'+(3)' \underbrace{=}_{Potenzregel}3x^2+10x-4+0$
#$x+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^3}+\sqrt[5]{x^2}\underbrace{=}_{umformen} x+x^{-1}-x^{-3}+x^{\frac{2}{5} }$ $$\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel}1\cdot x^0+(-1)\cdot x^{-2}-(-3)\cdot x^{-4}+\frac{2}{5}\cdot x^{(\frac{2}{5}-1)}=$$ $$=1-x^{-2}+3\cdot x^{-4}+\frac{2}{5}\cdot x^{-\frac{3}{5} }$$ $$=1+\frac{1}{x^2}+\frac{3}{x^4}+\frac{2}{5\sqrt[5]{x^3} }$$ 
#$f(x)=\frac{x^4}{5}+2\cdot e^x-ln \vert x \vert \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel/Faktorregel,\ e-\ und\ ln-Regel}\frac{4x^3}{5}+2\cdot e^x-\frac{1}{x}$
}}

[[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| ? ]] [http://www.mathe-online.at/tests/diff1/poldiff.html Online-Übung (mathe-online)]

=== Produktregel ===
Im Gegensatz zur Summe zweier Funktionen $( (f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)$, siehe oben 'Summenregel'$)$ kann man das [[Produkt]] zweier Funktionen $f(x)\cdot g(x)$ nicht mehr so einfach ableiten. Hierfür braucht es die sogenannte ...

{{Vorlage:Merke|1= '''Produktregel'''
$$(f(x)\cdot g(x))'=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$$
"Zuerst den ersten [[Faktor]] ableiten, den zweiten stehen lassen,
$$\textrm{Plus}$$
den ersten stehen Faktor lassen, den anderen ableten." }}

{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben ist die Funktion $h(x)=(x^2-1)\cdot (3x^2-4x+1)$. Bestimmen Sie $h'(x)$.

|2= Da es sich hierbei um ein [[Produkt]] handelt, müssen wir die Produktregel andwenden:
$$h(x)=\underbrace{(x^2-1)}_{f(x)} \cdot \underbrace{(3x^2-4x+1)}_{g(x)}$$
Zuerst berechnen wir in einer Nebenrechnung die Ableitungen der Faktoren:
$$f(x)=x^2-1\rightarrow f'(x)=2x$$
$$g(x)=3x^2-4x-+1\rightarrow g'(x)=6x-4$$

Nun setzen wir die Formel zusammen:
$$h'(x)=\underbrace{2x}_{f'(x)}\cdot \underbrace{(3x^2-4x+1)}_{g(x)}+\underbrace{(x^2-1)}_{f(x)}\cdot \underbrace{(6x-4)}_{g'(x)}$$

Zuletzt vereinfachen wir noch das Ergebnis:
$$h'(x)=6x^3-8x^2+2x+6x^3-4x^2-6x+4$$
$$\underline{\underline{h'(x)=12x^3-12x^2-4x+4} }$$

}}

=== Quotientenregel ===

Um die Ableitung einer Division von 2 Funktionen (=Quotienten) zu berechnen, verwendet man die

{{Vorlage:Merke|1= '''Quotientenregel'''
$$h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\ \rightarrow \ h'(x)=\frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g(x)}{(g(x))^2 }$$

Im Nenner steht bis auf das $Minus$ die Produktregel. Im Zähler wird die Nenner-Funktion quadriert.
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Bestimmen Sie die Ableitung von $h(x)=\frac{x^2-x}{x+1}$.
|2=
Da es sich um einen Quotienten handelt, wenden wir die Quotientenregel an. Zuerst berechnen wir die Ableitung des Zählers (f(x)) und des Nenners (g(x)):

* Zähler: $f(x)=x^2-x\ \rightarrow f'(x)=2x-1$
* Nenner: $g(x)=x+1\ \rightarrow g'(x)=1$

Nun setzen wir die Quotientenregel zusammen:
$$h'(x)=\frac{(2x-1)\cdot (x+1)-(x^2-x)\cdot 1 }{(x+1)^2}$$
$$h'(x)=\frac{2x^2+x-1}{x^2+2x+1}$$
}}

=== Kettenregel ===
Um Klammerausdrücke oder verkette Funktionen wie zum Beispiel $f(x)=\sqrt[3]{x^2-1}$ oder $e^{2x-1}$ abzuleiten, verwenden wir die

{{Vorlage:Merke|1='''Kettenregel'''
$$h(x)=f[g(x)]\ \ \rightarrow \ \ h'(x)=\underbrace{f'(g(x))}_{\textrm{äußere Ableitung} } \cdot \underbrace{h'(x)}_{\textrm{innere Ableitung} }$$

$f(x)$ wird als ''äußere Funktion'', $g(x)$ als ''innere Funktion'' bezeichnet.
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben ist $h(x)=\sqrt[3]{x^2-1}$. Bestimmen Sie $h'(x)$
|2=
Zuerst schreiben wir die Wurzel in der [[Rechnen mit Potenzen|Exponentenschreibweise]]:
$$h(x)=(x^2-1)^{\frac{1}{3} }$$

* Die äußere Funktion ist nun $f(x)=(\ \ )^{\frac{1}{3} }$. Damit ist $f'(x)=\frac{1}{3}\cdot (\ \ )^{\frac{1}{3}-1}=\frac{1}{3}\cdot (\ \ )^{-\frac{2}{3} }$

* Die innere Funktion ist $g(x)=x^2-1$. Damit ist $g'(x)=2x$

Nun setzen wir die Kettenregel zusammen:
$$ h'(x)=\underbrace{\frac{1}{3}\cdot (x^2-1)^{-\frac{2}{3} } }_{\textrm{äußere Ableitung} } \cdot \underbrace{2x}_{\textrm{innere Ableitung} }$$

$$ h'(x)=\frac{2x}{3\cdot \sqrt[3]{(x^2-1)^2} }$$
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion von $f(x)=e^{2x-1}$
|2=
Zuerst kümmern wir uns um die äußere und innere Funktion getrennt:
* Die äußere Funktion ist die Exponentialfunktion $f(x)=e\textrm{^}\ \rightarrow\ f'(x)=e\textrm{^}$
* Die innere Funktion ist $g(x)=2x-1 \ \rightarrow g'(x)=2$

Nun setzen wir die Kettenregel wieder zusammen:

$$ h'(x)=\underbrace{e^{2x-1} }_{\textrm{äußere Ableitung} } \cdot \underbrace{2}_{\textrm{innere Ableitung} }$$
$$h'(x)=2\cdot e^{2x-1} $$
}}

=== Matura-Aufgaben ===
* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$ ]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=214&file=Leistungskurve.pdf Leistungskurve]
*: hier musst du die Ableitungsfunktion graphisch bestimmen!

[[Kategorie:Differenzieren]]
[[Kategorie:Kurvendiskussionen]]