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Schuldentilgung

2014-04-16T12:43:41Z

91.115.36.63: /* Online-Materialien und Übungsbeispiele */

== Einleitung und Begriffe ==

Die Schuldentilgung beschäftigt sich mit dem Tilgen (= Zurückzahlen) einer Schuld. Das typische Beispiel ist das Tilgen eines Bankredits.

Hierbei unterscheidet man zwischen den folgenden Begriffen:
{| align="right"
|-
|{{#ev:youtube|bId7a4W6Vko}}
|}

{|
|-
|

* '''Annuität'''
| = der Betrag, der regelmäßig (z.B. jährlich) zurückgezahlt wird.
|-
|

* '''Zinsenanteil'''
| = jener Anteil der Annuität, der für die Zinsen aufgewendet wird.
|-
|

* '''Tilgungsanteil'''
| = jener Anteil der Annuität, um den die Schuld vermindert wird.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Erklärung der Begriffe anhand eines Beispiels''': </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Peter hat einen [[Rentenrechnung#Begriffe | nachschüssigen]] Kredit von 10.000 € bei 1 % p.a. aufgenommen. Somit fallen nach einem Jahr € 100 Zinsen an. Am Ende jedes Jahres zahlt Peter € 1.100 zurück.
* Die Annuität beträgt € 1.100.
* Der Zinsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 100.
* Der Tilgungsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 1000 (Von den € 1.100 werden € 100 für die Zinsen verwendet und nur € 1.000 reduzieren die Schuld).
* Die Restschuld nach dem 1. Jahr begrägt noch € 9.000.

</div>

</div>

{| border ="1" align="center" width="800px"
| style="background:#f0f0f0" | '''Merke:'''

| style="background:#f0f0f0" align="center"|

'''Annuität = Zinsanteil + Tilgungsanteil'''

|}

Je nachdem, wie die Schuld beglichen wird, unterscheidet man zwischen folgenden Formen:
* '''[[Schuldentilgung#Annuitätenschuld - Anniutät bleibt konstant | Annuitätenschuld]]''' - Anniutät bleibt konstant über die ganze Laufzeit konstant.
* '''[[Schuldentilgung#Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant |Ratenschuld]]''' - Tilgungsanteil bleibt konstant
* '''[[Schuldentilgung#Zinsenschuld - nur die Zinsen werden beglichen|Zinsenschuld]]''' - nur die Zinsen werden während der Laufzeit beglichen und der Rest erst am Ende der Laufzeit.

== Tilgungsplan ==

Der Tilgungsplan ist eine tabellarische Aufstellung der Kreditrückzahlung.
Er listet für jedes Jahr auf, wie hoch der Zinsen, der Tilgungsanteil, die Annuität und die Restschuld sind.
Für eine nachschüssige Schuldentilgung ist er folgendermaßen aufgebaut:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |Schuld zu Beginn

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1$
Zinsanteil bei der ersten Zahlung
| align="center" |$TA_1$
Tilgungsanteil der ersten Zahlung
| align="center" |$A_1$
Annuität$_1$ (=Höhe der ersten Zahlung)
| align="center" |$RS_1$
Restschuld nach einem Jahr
|-
| align="center" | 2
| align="center" |$ZA_2$
Zinsanteil bei der zweiten Zahlung
|align="center" | $TA_2$
Tilgungsanteil der zweiten Zahlung
| align="center" |$A_2$
Annuität$_2$ (=Höhe der zweiten Zahlung)
| align="center" | $RS_2$
Restschuld nach dem 2. Jahr

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> ''' Hinweise ''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
*Der Zinsanteil errechnet sich immer mithilfe der Schuld aus dem Vorjahr:
$$ ZA_1=\textrm{Schuld}\cdot \frac{i}{100} $$
* Am Ende eines Tilgungsplanes sollte ganz rechts unten bei der letzten Restschuld natürlich eine 0 stehen (vorausgesetzt die ganze Schuld wird zurückbezahlt).
* '''Vorteile des Tilgungsplans sind:'''
:* Der Tilgungsplan ermöglicht einen schönen Überblck über alle Zahlungen.
:* Die einzelnen Werte können Schritt für Schritt ausgerechnet werden.

</div>

</div>

=== Musterbeispiel Tilgungsplan ===

Peter hat einen nachschüssigen Kredit von 100 € bei einer Verzinsung von 1 % p.a. aufgenommen. Er zahlt jährlich € 10 zurück. Erstelle einen Tilgungsplan!

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''1. Schritt: Beginn des Tilgungsplans''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Die Anfangsschuld ist € 100.
* Die Anniuität ist konstant € 10.
* $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1 $.
* $TA_1=A_1-ZA_1=9$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
* Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_1=100-9=91$

Damit erstellen wir nun die ersten zwei Zeilen des Tilgungsplanes:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $100\cdot \frac{1}{100}=1$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$</p>
| align="center" |$10-1=9$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $TA=A-ZA$ </p>
| align="center" |$10$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $A=TA+ZA$ </p>
| align="center" |$100-9=91$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$ </p>

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''2. Schritt: Fortsetzung des Tilgungsplans ''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Für das 2. Jahr des Tilgungsplans, nimmt man nun aus Ausgangswert die obere Zeile:

* Die alte Restschuld beträgt € 91.
* Die Anniuität ist konstant € 10.
* $ZA_2=91\cdot \frac{1}{100}=0.91 $.
* $TA_2=A_2-ZA_2=9.09$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
* Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_2=91-9.09=81.91$

Dies setzt man nun in den Tilgungsplan ein:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $100\cdot \frac{1}{100}=1$
| align="center" |$10-1=9$
| align="center" |$10$
| align="center" |$100-9=91$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $91\cdot \frac{1}{100}=0.91$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$</p>
| align="center" |$10-0.91=9.09$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $TA=A-ZA$ </p>
| align="center" |$10$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $A=TA+ZA$ </p>
| align="center" |$91-9.09=81.91$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$ </p>

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''3. Schritt: Vollständiger Tilgungsplan''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $100\cdot \frac{1}{100}=1$
| align="center" |$10-1=9$
| align="center" |$10$
| align="center" |$100-9=91$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $0.91$
| align="center" |$9.09$
| align="center" |$10$
| align="center" |$81.91$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $0.82$
| align="center" |$9.18$
| align="center" |$10$
| align="center" |$72.73$

|-
| align="center" | 4
| align="center" | $0.73$
| align="center" |$9.27$
| align="center" |$10$
| align="center" |$63.46$

|-
| align="center" | 5
| align="center" | $0.63$
| align="center" |$9.37$
| align="center" |$10$
| align="center" |$54.09$

|-
| align="center" | 6
| align="center" | $0.54$
| align="center" |$9.46$
| align="center" |$10$
| align="center" |$44.63$

|-
| align="center" | 7
| align="center" | $0.45$
| align="center" |$9.55$
| align="center" |$10$
| align="center" |$35.08$

|-
| align="center" | 8
| align="center" | $0.35$
| align="center" |$9.65$
| align="center" |$10$
| align="center" |$25.43$

|-
| align="center" | 9
| align="center" | $0.25$
| align="center" |$9.75$
| align="center" |$10$
| align="center" |$15.68$

|-
| align="center" | 10
| align="center" | $0.16$
| align="center" |$9.84$
| align="center" |$10$
| align="center" |<span style="background-color:yellow"> '''$5.84$''' </span>

|-
| align="center" | 11
| align="center" | $0.06$
| align="center" | <span style="background-color:yellow"> '''$5.84$''' </span>
Die Restschuld von 5.84 wird getilgt.
| align="center" |'''$5.90$'''
$A=ZA+TA$
| align="center" |$0$

|}

'''Achtung!'''
Bei der 11. Zahlung muss nur noch eine Schuld von 5.84 (gelb unterlegt!) getilgt werden. Aus diesem Grund beträgt der Tilgungsanteil € 5.84!
Die Annuität beträgt dann nicht mehr € 10 (sonst würden wir ja zuviel zurückzahlen) sondern nur noch
$$ A = \textrm{Höhe des Tilgungsanteiles} + \textrm{die Höhe der Zinsen} $$
$$ A= 5.84+0.06 $$
$$A= 5.90$$

</div>

</div>

</div>

</div>

Weitere Beispiele findest du im 3. Klasse Buch (Trauner) auf den Seiten 174ff....

== Annuitätenschuld - Annuität bleibt konstant ==

Bei einer Anniutätenschuld bleibt die Höhe der Annuität (Betrag der regelmäßig eingezahlt wird) konstant. Somit handelt es sich bei der Annuitätenschuld um eine [[Rentenrechnung | Rente]], da
* ein konstanter Betrag (=Annuität)
* in konstanten Zeitabständen
eingezahlt wird.
Wichtig:
# Die Annuität entspricht dabei der Rate R.
# Die Schuld entspricht dem Barwert B (Wert aller Zahlungen am Beginn = Anfangsschuld)

Somit benötigt man bei der Annuitätenschuld die [[Rentenrechnung#Formeln | Formeln für den Barwert]].

=== Musterbeispiele Annuitätenschuld ===

----

==== Beispiel für jährliche Zahlungen ====
Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 gleich hohen, jährlichen Raten bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Rate ist am Ende des 1. Jahres fällig.

a) Berechne die Höhe der Raten.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

c) Begründe, warum der Tilgungsanteil von Jahr zu Jahr größer wird.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* B=10.000
* n=5
* i=4 % p.a. $\rightarrow$ r=1.05 $\rightarrow$ $v=\frac{1}{r}=0.9615$
* nachschüssig

$$ B=R\cdot v\cdot \frac{v^5-1}{v-1} $$
$$ 10.000 = R\cdot 0.95238\cdot \frac{0.95238^5-1}{0.95238-1} $$
$$ \underline{\underline{R= 2246.27}} $$

A: Die Höhe der Annuität (=Rate) beträgt € 2246.27.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Die Anzahl der Jahre ist 5 $\rightarrow$ somit brauchen wir 6 Zeilen (von 0 bis 5).
* Die Annuität A ist konstant € 2246.27. Somit kann in der Spalte Annuität für alle 5 Jahre 2246.27 eingesetzt werden.
* Anfangsschuld = 10.000

Somit kann man bereits die Rohform des Tilgungsplanes erstellen:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 2
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 3
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 4
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 5
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|}

Nun berechnen wir von links nach rechts und von oben nach unden die einzelnen Werte:

* $i=4$ % $\rightarrow$ $ZA_1=10.000\cdot \frac{4}{100} =400$
* $TA_1=A_1-ZA_1 = 2246,27-400 = 1846.27$
* $RS_1=10.000-1846.27=8153.73$
* usw.

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $400$
| align="center" |$1846.272$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$
8153.73$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $326.15$
| align="center" |$1920.12$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$6233,61$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $249.34$
| align="center" |$1996.93$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$4236,68$

|-
| align="center" | 4
| align="center" | $169.47$
| align="center" |$2076.80$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$2159.88$

|-
| align="center" | 5
| align="center" | $86.40$
| align="center" |$2159.87$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$
0.01$

|}

'''Achtung!''' Die Restschuld im 5. Jahr (=0.01) ist aufgrund der Rundungen, die wir durchgeführt haben nicht genau 0.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung von c) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Weil die Schuld von Jahr zu Jahr abnimmt, wird der Zinsanteil ebenfalls immer kleiner. Da die Annuität konstant bleibt, wird deshalb der Tilgungsanteil immer größer (Erinnerung: Tilgungsanteil ist $TA=A-ZA$ ist).

</div>

</div>

</div>

</div>

==== Beispiel: Monatliche Zahlungen ====
Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch gleich hohe, monatliche Zahlunge bei i=4% p.a. zu tilgen.

a) Berechne die Höhe der Raten.

b) Stelle den Tilgungsplan für die ersten 3 Monate auf und berechne damit die Restschuld nach 3 Monaten.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* R=?
* B=10.000
* n=$5\cdot 12=60$
* i=4 % p.a. $\rightarrow$ r=1.04 $\rightarrow$ $r_{12}=\sqrt[12]{1.04}=1.00327$ $\rightarrow$ $v_{12}=\frac{1}{r_{12}}=0.9967$
!!'''Achtung'''!! Bei unterjährien Einzahlungen (z.B. monatliche) muss der [[Zins- und Zinseszinsrechnung#b) der konforme (äquivalente) Zinssatz|konforme Zinssatz]] berechnet werden!!
* nachschüssig

$$ B=R\cdot v_{12}\cdot \frac{v_{12}^{60}-1}{v_{12}-1} $$
$$ \underline{\underline{R=184.17}}$$

A: Die monatliche Annuität beträgt € 184.17.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Da $r_{12}=1.00327$ (siehe a) beträgt der Monatszinssatz $i_{12}=0.327$ % p.m.
* Die Annuität ist konstant 284.17 (siehe a)
* Anfangsschuld = 10.000

Somit kann der Tilgungsplan aufgestellt werden:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Monat
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $32,70$
| align="center" | $251,47$
| align="center" |$284,17$
| align="center" | $9748,53$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $31,88$
| align="center" |$252,29$
| align="center" |$284,17$
| align="center" |$9496,24$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $31,05$
| align="center" | $253,12$
| align="center" |$284,17$
| align="center" | $9243,12$

|}

A: Nach 3 Monaten beträgt die Restschuld noch € 9243,12.

</div>

</div>

</div>

</div>

<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>

== Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant ==

Bei einer Ratenschuld bleit der Tilgungsanteil TA immer gleich groß, wodruch die Schuld sich immer um denselben Wert verringert.

Es gilt
{| border="1" align="center"
|-
| $$TA=\frac{\textrm{Schuld}}{n}$$
|}

'''Begründung''': Da die ganze Schuld durch n Zahlungen zurückgezahlt wird, muss jedes Mal ein "n-tel" der Gesamtschuld getilgt werden.

=== Musterbeispiel Ratenschuld ===

Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch gleich hohe Tilgungsanteile bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Rate ist am Ende des 1. Jahres fällig.

a) Berechne die Höhe des Tilgungsanteiles.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

c) Begründe, warum die Annuität von Jahr zu Jahr kleiner wird.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

$$ TA=\frac{\textrm{Schuld}}{n}=\frac{10.000}{5}$$
$$ \underline{\underline{TA=2.000}}$$

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* i=4%
* TA=2000 für alle 5 Jahre
* Anfangsschuld = 10.000

Somit setzen wir alles ein, was wir schon wissen:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS

|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" |
| align="center" | 2.000
| align="center" |
| align="center" | 8.000
<p style="color:darkred"> $10.000-2.000$ </p>

|-
| align="center" | 2
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |6.000

|-
| align="center" | 3
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |4.000

|-
| align="center" | 4
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |2.000

|-
| align="center" | 5
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |0

|}

Nun können alle weiteren Beträge (Zinsen und Annuitäten) berechnet und eingesetzt werden:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | 400
<p style="color:darkred"> $ZA_1=10.000\cdot 0.04$ </p>
| align="center" | 2.000
| align="center" | 2.400
<p style="color:darkred"> $A_1=ZA_1+TA_1$</p>
| align="center" | 8.000

|-
| align="center" | 2
| align="center" | 320
| align="center" |2.000
| align="center" | 2.320
| align="center" |6.000

|-
| align="center" | 3
| align="center" | 240
| align="center" |2.000
| align="center" | 2.240
| align="center" |4.000

|-
| align="center" | 4
| align="center" | 160
| align="center" |2.000
| align="center" | 2160
| align="center" |2.000

|-
| align="center" | 5
| align="center" | 80
| align="center" |2.000
| align="center" |2.080
| align="center" |0

|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für c) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Da der Zinsanteil immer kleiner wird (die Schuld verringert sich!), der Tilgungsanteil aber konstant bleibt, muss folglich die Annuität ebenfalls kleiner werden, da gilt:
$$ \textrm{Annuität = Zinsanteil + Tilgungsanteil} $$

</div>

</div>

</div>

</div>

<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
== Zinsenschuld - nur die Zinsen werden beglichen ==

Hier wird während der gesamten Laufzeit nichts vom Kreditgetilgt (d.h. TA=0), sondern nur die Zinsen bezahlt. Erst am Ende der Laufzeit wird die ganze Schuld durch eine Einmalzahlung beglichen.

=== Musterbeispiel Zinsenschuld ===

Eine Zinsschuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Annuität ist am Ende des 1. Jahres fällig.

a) Berechne die Höhe der Zinsanteile.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* i=4%
* Anfangsschuld = 10.000

Somit beträgt der Zinsanteil konstant
$$ZA= 10.000\cdot 0.04=400$$.

Nun setzen wir alle Zinsanteile und Restschulden in den Tilgungsplan ein und berechnen zusätzlich noch die Annuitäten:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS

|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | 400
| align="center" | 0
| align="center" | 400
<p style="color:darkred"> $A_1=ZA_1+TA_1=400+0$ </p>
| align="center" | 10.000

|-
| align="center" | 2
| align="center" |400
| align="center" |0
| align="center" | 400
| align="center" |10.000

|-
| align="center" | 3
| align="center" |400
| align="center" |0
| align="center" | 400
| align="center" |10.000

|-
| align="center" | 4
| align="center" | 400
| align="center" |0
| align="center" | 400
| align="center" |<span style="background-color:yellow"> 10.000</span>

|-
| align="center" | 5
| align="center" | 400
| align="center" |<span style="background-color:yellow"> 10.000</span>
| align="center" |10.400
| align="center" |0

|}

</div>

</div>

<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>

== Online-Materialien und Übungsbeispiele ==
* 3. Klasse-Buch (Trauner): S. 181-182
* [http://fbmathe.bbs-bingen.de/Tilgungsrechnung/Aufgaben_Tilgungsrechnung.htm Beispiele und Lösungen von Ansgar Schiffler]
* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=198&file=Wohnungsrenovierung.pdf Wohnungsrenovierung(Bifie-Aufgabe) ]
: siehe auch
::* [[Rentenrechnung | Rentenrechnung]]
::* [[Zins- und Zinseszinsrechnung#b) der konforme (äquivalente) Zinssatz | konformer Zinssatz]]
* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=91&file=Immobilienhandel.pdf Immobielienhandel (Bifie-Aufgabe)]
: siehe auch
::* [[Äquivalenzprinzip (Vergleich von Einzahlungen) | Äquivalenzprinzip]]
::* [[Rentenrechnung | Rentenrechnung]]

[[Kategorie:Finanzmathematik]]

Zins- und Zinseszinsrechnung

2014-04-16T12:41:28Z

91.115.36.63: /* b) der konforme (äquivalente) Zinssatz */

== Warum gibt es Zinsen? ==

#Leihgebür
#: Wenn jemand einem anderen Geld verleiht, verlangt er dafür eine Leihgebür in Form von Zinsen
# Risiko-Gebühr
#: Jeder, der Geld verleiht, geht das Risiko ein, dass er das Geld nicht wieder zurückbekommt. Die Zinsen können hierbei als Absicherung gesehen werden. Je höher das Risiko eines Verlusts, desto größer sind auch die Zinsen.

== Begriffe ==
* $K_0 \dots $ Anfangskapital (=Kapital am Anfang/ im Jahre 0)
* $n \dots $ Anzahl der Verzinsungen
* $K_n \dots $ Kapital nach n Jahren
* $i \dots $ Zinssatz (z.B. 4% p.a.)
* $i_{eff}\dots $ effektiver Zinssatz = Zinssatz mit abgezogener Kapitalertragssteuer (KESt). Im Allgemeinen gilt bei 25% KESt: $$ i_{eff}=i\cdot 0.75$$ (z.B. i=4% $ \rightarrow i_{eff}=4\cdot 0.75=3$%)
* $r\dots $ Aufzinsungsfaktor ($r=1+\frac{i}{100})$
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>

== Einfache Zinsen ==
{| Merke:
|Die Formel für die einfachen Zinsen wird verwendet wenn entweder
* das Kapital weniger als 1 Jahr auf der Bank liegt oder
* alle Zinsen erst ganz am Ende ausgezahlt werden.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Herleitung der Formel für die einfache Verzinsung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
{| border="1"
|'''Merke''': Bei der einfachen Verzinsung erhält man die ganzen Zinsen am Ende der Laufzeit.
|}
<br>
Einfaches Beispiel:
€ 30 Euro werden mit einem effektiven Zinssatz von 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst. Wie hoch ist das Kapital nach einem Jahr, '''wenn man die Zinsen erst ganz am Ende ausbezahlt bekommt'''.
<br>
Lösung:
* $K_0 =30 $
* $n = 1 $
* $K_1 = $?
* $i_{eff} = 5$%
<br>
$$ K_1=K_0 + 5\% \textrm{ von } K_0 $$
<br>
$$ K_1=30 + \frac{5}{100} \cdot 30 $$
$$ K_1 = 30 + 1.5 $$
$$ \underline{\underline{K_1 = 31.5}} $$
<br>
<br>
Antwort: Nach n-Jahre beträgt das Endkapital € 31.5.
<br>
<br>
<br>
{| border="1"
|'''Merke''': Wenn über mehrere Zinsperioden (z.B. über mehrere Jahre) verzinst wird, werden '''bei der einfachen Verzinsung''' die Zinsen mit der Laufzeit multipliziert. Die einfache Verzinsung entspricht deshalb einem [[linearen Wachstum]]
|}
<br>
Beispiel:
€ 30 sollen 4 Jahre lang mit effektiv 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst werden. Wie hoch ist das Endkapital?
<br>
Lösung
* $K_0=30$
* $K_n=$ ?
* $i_{eff}=5$%
* $n=4$
<br>
<br>
$$ K_n=K_0+\textrm{ n-mal } i_{eff}\% \textrm{ von } K_0 $$
$$ K_n = 30 + 4\cdot \frac{5}{100} \cdot 30 $$
$$ K_n=30 + 4\cdot 1.5 $$
$$ K_n=30+6$$
$$ \underline{\underline{K_n=36}}$$
<br>
Antwort: Nach 4 Jahren beträgt das Kapital € 36.
<br>
</div>
</div>

{| border="1" align="center"
!| Formel für die einfache Verzinsung
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer '''in Jahren''', dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0 + n\cdot \frac{i_{eff}}{100} \cdot K_0 $$
und vereinfacht:
$$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i_{eff}}{100} ) $$
|}

<br>
<br>
=== Musterbeispiel für die einfache Verzinsung ===
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Aufgabe:'''
Ein Kapital von € 75 wird 4 Monate bei einem Zinssatz von 4% p.a. veranlagt. Bestimme die Höhe des Kapitals nach der Veranlagungsdauer! </span>
<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung'''
* $K_0=75$
* $n=4 \textrm{ Monate }= \frac{4}{12}$ Jahre.
* $K_\frac{4}{12}=$?
* $i=4$%
<br>
$$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i}{100} ) $$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{4}{12}\cdot \frac{4}{100}$$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{25}$$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{75}) $$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (\frac{76}{75}) $$
$$ K_\frac{4}{12}=76 $$
<br>
<br>
'''Antwort:''' Nach 4 Monaten hat das Kapital eine Höhe von € 76.
</div>
</div>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
== Zinseszinsen ==
=== Zinseszinsformel ===
Bei einem Sparbuch erhält man für gewöhnlich jährlich Zinsen. Diese Zinsen werden im Anschluss wieder auf das Sparbuch gelegt.
Im nächsten Jahr erhält man nun nicht nur Zinsen auf das ursprüngliche Kapital, sondern auch auf die Zinsen des letzten Jahrens - dies nennt man die sogenannten ''Zinseszinsen''.

{| border="1" align="center"
!| Video: Herleitung der Zineszinsformel
|-
| {{#ev:youtube|QSNXWUQ8wRA}}
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Formale Herleitung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
# $K_1=K_0+K_0\cdot \frac{i_{eff}}{100}=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})$
# $K_2=\underbrace{K_1\cdot}_{K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})} (1+ \frac{i_{eff}}{100})=(K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100}))\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^2$
# $K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$
</div>
</div>

{| border="1" align="center"
!| Formel für die einfache Verzinsung
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer, dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
|}

{| border="1"
|'''Merke:'''
| Die Zinseszinsformel wird verwendet, wenn über '''mehrere volle Jahre''' verzinst wird
|}

=== Musterbeispiele ===
* '''$K_n$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Auf einem Sparbuch werden € 800 mit 2,5% p.a. verzinst. Wie hoch ist das Guthaben nach 2 Jahren, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=800$
:* $n=2$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_2=$?
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ K_n=800\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^2$$
$$ \underline{\underline{K_n=830.28}}$$
</div>
</div>

* '''$K_0$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Welcher Betrag muss angespart werden, damit man nach 3 Jahren bei einem Zinssatz von 2,5% p.a. über ein Guthaben von € 1500 verfügt, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=$?
:* $n=3$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_3=1500$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 1500=K_0\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^3 $$
$$ \frac{1500}{(1+ \frac{1.875}{100})^3}=K_0$$
$$ \underline{\underline{K_0=1418.69}} $$
</div>
</div>

* '''$n$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Wie viele volle Jahre muss ein Kapital von € 100 angespart werden, um bei einem Zinssatz von 2,5% p.a. über ein Guthaben von mehr als € 200 zu verfügen, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
''Siehe hier auch [[Verdoppelungszeit]]''
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=100$
:* $n=?$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_n=200$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 200=100\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^n \ \ |:100$$
$$ 2= (1+ \frac{1.875}{100})^n \ \ |\log() $$
$$ \log{2}=n\cdot \log{(1+ \frac{1.875}{100})} \ \ |:\log{(1+ \frac{1.875}{100})} $$
$$\frac{\log{2}}{\log{(1+ \frac{1.875}{100})}}=n $$
$$ \underline{\underline{n = 37.31}} $$
Antwort: Nach 38 vollen Jahren sind aus den € 100 mehr als € 200 geworden.
</div>
</div>

* '''$i$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Mit welchem Zinssatz muss ein Sparbuch verzinst werden, damit ein Kapital von anfangs € 100 in 7 Jahren auf € 118.87 anwächst.
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=100$?
:* $n=7$
:* $i=?\%$
:* $K_7=118.87$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 118.87=100\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^7 \ \ |:100 \textrm{ und } |\sqrt[7]{ } $$
$$ \sqrt[7]{\frac{118.87}{100}}=1+ \frac{i_{eff}}{100}\ \ |-1 \textrm{ und } | \cdot 100 $$
$$ (\sqrt[7]{\frac{118.87}{100}}-1)\cdot 100 = i_{eff} $$
$$ \underline{\underline{i_{eff}=2.5}} $$
Antwort: Der effektive Zinssatz muss bei $i_{eff}=2.5$% p.a. Somit muss der Zinssatz der Bank bei $i=\frac{i_{eff}}{0.75}=\frac{2.5}{0.75}=3.33$% p.a. liegen.
</div>
</div>

----

=== Aufzinsungsfaktor ===

Der Term
$$ r=(1+\frac{i_eff}{100}) $$
wird als '''Aufzinsungsfaktor''' bezeichnet. Damit vereinfacht sich die Zinseszinsformel zu:
{| border="1" align="center"
!| Zinseszinsformel
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer, dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0\cdot r^n$$
|}

{| border="1"
|'''Merke:'''
|
* Um von $K_0$ zu $K_n$ zu gelangen, muss n-mal mit r "aufgezinst" (=multipliziert) werden.
* Um umgekehrt von $K_n$ zu $K_0$ zu gelangen, muss n-mal mit r "abgezinst" (=dividiert) werden.
|}

Füge Abbildung mit Aufzinsung und Abzinsung noch ein
<br>
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<br>
<br>
<br>
== Unterjährige Verzinsung ==

Nun betrachten wir auch Verzinsungen, die mehrmals im Jahr ("unterjährig") durchgeführt werden.

'''Begriffe:'''
Sei $m$ die Anzahl der Verzinsungen in einem Jahr, dann ist
* m=2 halbjährige Verzinsung und $i_2$% p.s. (pro Semester) der haljährige Zinssatz
* m=4 vierteljährliche Verzinsung und $i_4$% p.q. (pro Quartal) der Quartalszinssatz
* m=12 monatliche Verzinsung und $i_{12}$% p.m. (pro Monat) der Monatszinssatz

Es gibt nun zwei Arten, den unterfährigen Zinssatz zu bestimmen:

=== a) nomineller unterjähriger Zinssatz $i_m=\frac{i}{m}$ ===

{| border="1"
|'''Definition:'''
|
Sei i der nominelle Jahreszinssatz. Dann berechnet sich der nominelle unterjährige Zinssatz $i_m$:
$$ i_m=\frac{i}{m} $$
|}

<br>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0>
'''Beispiel:'''
Der Nominalzinssatz beträgt $i=8$% p.a.. Berechne den Quartalszinssatz $i_4$ </span>
<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung''': $i=m\cdot i_m \rightarrow 8=4\cdot i_4 \rightarrow \frac{8}{2}=i_4 \rightarrow 2=i$

'''Antwort''': Der Halbjahreszinssatz beträgt 2% p.q.
</div>
</div>
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<br>
'''Wichtig!!:''' Beim Verzinsen mit dem nominellen unterjährigen Zinssatz erhält man schlussendlich mehr, als bei der Verzinsung mit dem Jahreszinssatz!
<br>
<br>
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Das Problem mit dem nominellen Zinssatz ODER Warum gibt es den [[Zins- und Zinseszinsrechnung# | konformen Zinssatz]]''' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Die Methode mithilfe des nominellen Jahreszinssatzes liefert aber einen verfälschten Zinssatz. Dies soll an einem Beispiel genauer erklärt werden:

'''Problem:'''
Nehmen wir an, wir verzinsen € 100 mit einem nominellen Jahreszinssatz von $i=4$%.
Nun fragt uns der Bankberater, ob wir einaml im Jahr verzinsen wollen mit $i=4$%p.a., oder zweimal (d.h. halbjährlich) mit dem Halbjahreszinssatz von $i_2=\frac{4}{2}=2$%p.s.
Für was sollen wir uns entscheiden?

'''Antwort''':
#Bei der jährlichen Verzinsung beträgt $K_1=104$ Euro.
#Aber bei der halbjährlichen Verzinsung erhalten wir:
$$K_1=K_0\cdot (1+\frac{2}{100})^2$$
$$K_1=104.04$$

D.h. Mit der halbjährlichen Verzinsung würden wir 4 Cent mehr erhalten. Würde man sogar monatlich verzinsen, so erhielte man nach einem Jahr $K_1=100\cdot (1+\frac{i_12}{100})^{12}=104.07$ Euro, also 7 Cent mehr. Dies schaut zwar nicht nach viel aus. Wenn die Bank aber jedem seiner Kunden 4 oder 7 Cent mehr gibt und jeder Sparer nicht nur € 100, sondern sogar € 1000 oder noch mehr auf der Bank hat, wird dieser Betrag schnell sehr groß.

Aus diesem Grund gibt es eine Methode, um den '''passenden (=konformen) unterjährigen Zinssatz''' zu berechnen.

</div>

</div>

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=== b) der konforme (äquivalente) Zinssatz ===

Der konforme Zinsssatz wird auch als '''gleichwertiger Zinssatz''' oder äquivalenter (=lat. gleichwertig) Zinssatz bezeichnet.

{| border="1"
|'''Definition:
äquivalneter Aufzinsungsfaktor'''
|
Sei $r_1$ der Aufzinsungsfaktor bei jährlicher Verzinsung und $r_m$ der Aufzinsungsfaktor bei m-maliger Verzinsung innerhalb eines Jahres, dann muss folgende Gleichung gelten, damit beide Aufzinsungsfaktoren gleichwertig (konform) sind:
$$r_1=(r_m)^m$$
bzw.
$$ \sqrt[m]{r_1}=r_m $$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Herleitung und Erklärung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Es soll gelten, dass der jährliche Zinssatz gleich hoch ist, wie der m mal angewandte unterjährige ZS (insgesamt sollen in einem Jahr gleich viele Zinsen zusammenkommen)

$$K_0\cdot r_1 = K_0\cdot (r_m)^m$$
Kürzt man $K_0$, so erhält man:
$$r_1=(r_m)^m$$
bzw.
$$ \sqrt[m]{r_1}=r_m $$

</div>

</div>

Der '''konforme''' (=äquivalente) unterjährige Zinssatz $i_m$ kann dann mit der Gleichung
{| border="1" align="center"
|-
|$$r_m=1+\frac{i_m}{100}$$
|}
bestimmt werden.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Musterbeispiel 1:''' Ein Kredit wird mit 5% p.a. verzinst. Wenn nun die ganze Schuld bereits nach einem Quartal beglichen wird, muss der konforme Quartalszinssatz berechnet werden. Bestimme diesen. </span>
<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung''':
$i_1=5$% p.m. $\rightarrow r_{1}=1.05 \rightarrow (r_{4})^{4}=r_1 \rightarrow r_4=\sqrt[4]{r_1}=1.0123 \rightarrow i_4=1.23$% p.q.

'''Antwort''': Der Quartalszinssatz beträgt 1.23% p.a.
</div>
</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Musterbeispiel 2:''' Ein Kredit wird monatlich mit 2% p.m. verzinst. Bestimme den konformen Jahreszinssatz. </span>
<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung''':
$i_{12}=2$% p.m. $\rightarrow r_{12}=1.02 \rightarrow r_1=(r_{12})^{12}=1.2682 \rightarrow i_1=26.82$% p.a.

'''Antwort''': Die jährliche Verzinsung beträgt 26.82% p.a.
</div>
</div>

<br>
<br>
<br>
<br>

== Beispiele ==

* [http://www.brinkmann-du.de/mathe/aufgabenportal/p0_zinseszins_01/p0_zinseszins_01.htm Aufgaben zur Zinseszinsformel]
* <span style="background-color:yellow"> Wichtig! </span> [http://www.geogebratube.org/student/m79721 Übungs-Rechner zum konformen Zinssatz]
* Aufgaben zu allen Themen: siehe Trauner 2. Klasse, Buch S. 86-90

[[Kategorie:Finanzmathematik]]

Schuldentilgung

2014-04-16T12:39:43Z

91.115.36.63: /* Online-Materialien */

== Einleitung und Begriffe ==

Die Schuldentilgung beschäftigt sich mit dem Tilgen (= Zurückzahlen) einer Schuld. Das typische Beispiel ist das Tilgen eines Bankredits.

Hierbei unterscheidet man zwischen den folgenden Begriffen:
{| align="right"
|-
|{{#ev:youtube|bId7a4W6Vko}}
|}

{|
|-
|

* '''Annuität'''
| = der Betrag, der regelmäßig (z.B. jährlich) zurückgezahlt wird.
|-
|

* '''Zinsenanteil'''
| = jener Anteil der Annuität, der für die Zinsen aufgewendet wird.
|-
|

* '''Tilgungsanteil'''
| = jener Anteil der Annuität, um den die Schuld vermindert wird.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Erklärung der Begriffe anhand eines Beispiels''': </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Peter hat einen [[Rentenrechnung#Begriffe | nachschüssigen]] Kredit von 10.000 € bei 1 % p.a. aufgenommen. Somit fallen nach einem Jahr € 100 Zinsen an. Am Ende jedes Jahres zahlt Peter € 1.100 zurück.
* Die Annuität beträgt € 1.100.
* Der Zinsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 100.
* Der Tilgungsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 1000 (Von den € 1.100 werden € 100 für die Zinsen verwendet und nur € 1.000 reduzieren die Schuld).
* Die Restschuld nach dem 1. Jahr begrägt noch € 9.000.

</div>

</div>

{| border ="1" align="center" width="800px"
| style="background:#f0f0f0" | '''Merke:'''

| style="background:#f0f0f0" align="center"|

'''Annuität = Zinsanteil + Tilgungsanteil'''

|}

Je nachdem, wie die Schuld beglichen wird, unterscheidet man zwischen folgenden Formen:
* '''[[Schuldentilgung#Annuitätenschuld - Anniutät bleibt konstant | Annuitätenschuld]]''' - Anniutät bleibt konstant über die ganze Laufzeit konstant.
* '''[[Schuldentilgung#Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant |Ratenschuld]]''' - Tilgungsanteil bleibt konstant
* '''[[Schuldentilgung#Zinsenschuld - nur die Zinsen werden beglichen|Zinsenschuld]]''' - nur die Zinsen werden während der Laufzeit beglichen und der Rest erst am Ende der Laufzeit.

== Tilgungsplan ==

Der Tilgungsplan ist eine tabellarische Aufstellung der Kreditrückzahlung.
Er listet für jedes Jahr auf, wie hoch der Zinsen, der Tilgungsanteil, die Annuität und die Restschuld sind.
Für eine nachschüssige Schuldentilgung ist er folgendermaßen aufgebaut:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |Schuld zu Beginn

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1$
Zinsanteil bei der ersten Zahlung
| align="center" |$TA_1$
Tilgungsanteil der ersten Zahlung
| align="center" |$A_1$
Annuität$_1$ (=Höhe der ersten Zahlung)
| align="center" |$RS_1$
Restschuld nach einem Jahr
|-
| align="center" | 2
| align="center" |$ZA_2$
Zinsanteil bei der zweiten Zahlung
|align="center" | $TA_2$
Tilgungsanteil der zweiten Zahlung
| align="center" |$A_2$
Annuität$_2$ (=Höhe der zweiten Zahlung)
| align="center" | $RS_2$
Restschuld nach dem 2. Jahr

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> ''' Hinweise ''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
*Der Zinsanteil errechnet sich immer mithilfe der Schuld aus dem Vorjahr:
$$ ZA_1=\textrm{Schuld}\cdot \frac{i}{100} $$
* Am Ende eines Tilgungsplanes sollte ganz rechts unten bei der letzten Restschuld natürlich eine 0 stehen (vorausgesetzt die ganze Schuld wird zurückbezahlt).
* '''Vorteile des Tilgungsplans sind:'''
:* Der Tilgungsplan ermöglicht einen schönen Überblck über alle Zahlungen.
:* Die einzelnen Werte können Schritt für Schritt ausgerechnet werden.

</div>

</div>

=== Musterbeispiel Tilgungsplan ===

Peter hat einen nachschüssigen Kredit von 100 € bei einer Verzinsung von 1 % p.a. aufgenommen. Er zahlt jährlich € 10 zurück. Erstelle einen Tilgungsplan!

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''1. Schritt: Beginn des Tilgungsplans''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Die Anfangsschuld ist € 100.
* Die Anniuität ist konstant € 10.
* $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1 $.
* $TA_1=A_1-ZA_1=9$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
* Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_1=100-9=91$

Damit erstellen wir nun die ersten zwei Zeilen des Tilgungsplanes:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $100\cdot \frac{1}{100}=1$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$</p>
| align="center" |$10-1=9$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $TA=A-ZA$ </p>
| align="center" |$10$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $A=TA+ZA$ </p>
| align="center" |$100-9=91$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$ </p>

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''2. Schritt: Fortsetzung des Tilgungsplans ''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Für das 2. Jahr des Tilgungsplans, nimmt man nun aus Ausgangswert die obere Zeile:

* Die alte Restschuld beträgt € 91.
* Die Anniuität ist konstant € 10.
* $ZA_2=91\cdot \frac{1}{100}=0.91 $.
* $TA_2=A_2-ZA_2=9.09$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
* Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_2=91-9.09=81.91$

Dies setzt man nun in den Tilgungsplan ein:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $100\cdot \frac{1}{100}=1$
| align="center" |$10-1=9$
| align="center" |$10$
| align="center" |$100-9=91$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $91\cdot \frac{1}{100}=0.91$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$</p>
| align="center" |$10-0.91=9.09$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $TA=A-ZA$ </p>
| align="center" |$10$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $A=TA+ZA$ </p>
| align="center" |$91-9.09=81.91$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$ </p>

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''3. Schritt: Vollständiger Tilgungsplan''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $100\cdot \frac{1}{100}=1$
| align="center" |$10-1=9$
| align="center" |$10$
| align="center" |$100-9=91$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $0.91$
| align="center" |$9.09$
| align="center" |$10$
| align="center" |$81.91$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $0.82$
| align="center" |$9.18$
| align="center" |$10$
| align="center" |$72.73$

|-
| align="center" | 4
| align="center" | $0.73$
| align="center" |$9.27$
| align="center" |$10$
| align="center" |$63.46$

|-
| align="center" | 5
| align="center" | $0.63$
| align="center" |$9.37$
| align="center" |$10$
| align="center" |$54.09$

|-
| align="center" | 6
| align="center" | $0.54$
| align="center" |$9.46$
| align="center" |$10$
| align="center" |$44.63$

|-
| align="center" | 7
| align="center" | $0.45$
| align="center" |$9.55$
| align="center" |$10$
| align="center" |$35.08$

|-
| align="center" | 8
| align="center" | $0.35$
| align="center" |$9.65$
| align="center" |$10$
| align="center" |$25.43$

|-
| align="center" | 9
| align="center" | $0.25$
| align="center" |$9.75$
| align="center" |$10$
| align="center" |$15.68$

|-
| align="center" | 10
| align="center" | $0.16$
| align="center" |$9.84$
| align="center" |$10$
| align="center" |<span style="background-color:yellow"> '''$5.84$''' </span>

|-
| align="center" | 11
| align="center" | $0.06$
| align="center" | <span style="background-color:yellow"> '''$5.84$''' </span>
Die Restschuld von 5.84 wird getilgt.
| align="center" |'''$5.90$'''
$A=ZA+TA$
| align="center" |$0$

|}

'''Achtung!'''
Bei der 11. Zahlung muss nur noch eine Schuld von 5.84 (gelb unterlegt!) getilgt werden. Aus diesem Grund beträgt der Tilgungsanteil € 5.84!
Die Annuität beträgt dann nicht mehr € 10 (sonst würden wir ja zuviel zurückzahlen) sondern nur noch
$$ A = \textrm{Höhe des Tilgungsanteiles} + \textrm{die Höhe der Zinsen} $$
$$ A= 5.84+0.06 $$
$$A= 5.90$$

</div>

</div>

</div>

</div>

Weitere Beispiele findest du im 3. Klasse Buch (Trauner) auf den Seiten 174ff....

== Annuitätenschuld - Annuität bleibt konstant ==

Bei einer Anniutätenschuld bleibt die Höhe der Annuität (Betrag der regelmäßig eingezahlt wird) konstant. Somit handelt es sich bei der Annuitätenschuld um eine [[Rentenrechnung | Rente]], da
* ein konstanter Betrag (=Annuität)
* in konstanten Zeitabständen
eingezahlt wird.
Wichtig:
# Die Annuität entspricht dabei der Rate R.
# Die Schuld entspricht dem Barwert B (Wert aller Zahlungen am Beginn = Anfangsschuld)

Somit benötigt man bei der Annuitätenschuld die [[Rentenrechnung#Formeln | Formeln für den Barwert]].

=== Musterbeispiele Annuitätenschuld ===

----

==== Beispiel für jährliche Zahlungen ====
Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 gleich hohen, jährlichen Raten bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Rate ist am Ende des 1. Jahres fällig.

a) Berechne die Höhe der Raten.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

c) Begründe, warum der Tilgungsanteil von Jahr zu Jahr größer wird.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* B=10.000
* n=5
* i=4 % p.a. $\rightarrow$ r=1.05 $\rightarrow$ $v=\frac{1}{r}=0.9615$
* nachschüssig

$$ B=R\cdot v\cdot \frac{v^5-1}{v-1} $$
$$ 10.000 = R\cdot 0.95238\cdot \frac{0.95238^5-1}{0.95238-1} $$
$$ \underline{\underline{R= 2246.27}} $$

A: Die Höhe der Annuität (=Rate) beträgt € 2246.27.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Die Anzahl der Jahre ist 5 $\rightarrow$ somit brauchen wir 6 Zeilen (von 0 bis 5).
* Die Annuität A ist konstant € 2246.27. Somit kann in der Spalte Annuität für alle 5 Jahre 2246.27 eingesetzt werden.
* Anfangsschuld = 10.000

Somit kann man bereits die Rohform des Tilgungsplanes erstellen:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 2
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 3
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 4
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 5
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|}

Nun berechnen wir von links nach rechts und von oben nach unden die einzelnen Werte:

* $i=4$ % $\rightarrow$ $ZA_1=10.000\cdot \frac{4}{100} =400$
* $TA_1=A_1-ZA_1 = 2246,27-400 = 1846.27$
* $RS_1=10.000-1846.27=8153.73$
* usw.

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $400$
| align="center" |$1846.272$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$
8153.73$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $326.15$
| align="center" |$1920.12$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$6233,61$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $249.34$
| align="center" |$1996.93$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$4236,68$

|-
| align="center" | 4
| align="center" | $169.47$
| align="center" |$2076.80$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$2159.88$

|-
| align="center" | 5
| align="center" | $86.40$
| align="center" |$2159.87$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$
0.01$

|}

'''Achtung!''' Die Restschuld im 5. Jahr (=0.01) ist aufgrund der Rundungen, die wir durchgeführt haben nicht genau 0.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung von c) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Weil die Schuld von Jahr zu Jahr abnimmt, wird der Zinsanteil ebenfalls immer kleiner. Da die Annuität konstant bleibt, wird deshalb der Tilgungsanteil immer größer (Erinnerung: Tilgungsanteil ist $TA=A-ZA$ ist).

</div>

</div>

</div>

</div>

==== Beispiel: Monatliche Zahlungen ====
Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch gleich hohe, monatliche Zahlunge bei i=4% p.a. zu tilgen.

a) Berechne die Höhe der Raten.

b) Stelle den Tilgungsplan für die ersten 3 Monate auf und berechne damit die Restschuld nach 3 Monaten.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* R=?
* B=10.000
* n=$5\cdot 12=60$
* i=4 % p.a. $\rightarrow$ r=1.04 $\rightarrow$ $r_{12}=\sqrt[12]{1.04}=1.00327$ $\rightarrow$ $v_{12}=\frac{1}{r_{12}}=0.9967$
!!'''Achtung'''!! Bei unterjährien Einzahlungen (z.B. monatliche) muss der [[Zins- und Zinseszinsrechnung#b) der konforme (äquivalente) Zinssatz|konforme Zinssatz]] berechnet werden!!
* nachschüssig

$$ B=R\cdot v_{12}\cdot \frac{v_{12}^{60}-1}{v_{12}-1} $$
$$ \underline{\underline{R=184.17}}$$

A: Die monatliche Annuität beträgt € 184.17.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Da $r_{12}=1.00327$ (siehe a) beträgt der Monatszinssatz $i_{12}=0.327$ % p.m.
* Die Annuität ist konstant 284.17 (siehe a)
* Anfangsschuld = 10.000

Somit kann der Tilgungsplan aufgestellt werden:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Monat
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $32,70$
| align="center" | $251,47$
| align="center" |$284,17$
| align="center" | $9748,53$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $31,88$
| align="center" |$252,29$
| align="center" |$284,17$
| align="center" |$9496,24$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $31,05$
| align="center" | $253,12$
| align="center" |$284,17$
| align="center" | $9243,12$

|}

A: Nach 3 Monaten beträgt die Restschuld noch € 9243,12.

</div>

</div>

</div>

</div>

<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>

== Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant ==

Bei einer Ratenschuld bleit der Tilgungsanteil TA immer gleich groß, wodruch die Schuld sich immer um denselben Wert verringert.

Es gilt
{| border="1" align="center"
|-
| $$TA=\frac{\textrm{Schuld}}{n}$$
|}

'''Begründung''': Da die ganze Schuld durch n Zahlungen zurückgezahlt wird, muss jedes Mal ein "n-tel" der Gesamtschuld getilgt werden.

=== Musterbeispiel Ratenschuld ===

Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch gleich hohe Tilgungsanteile bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Rate ist am Ende des 1. Jahres fällig.

a) Berechne die Höhe des Tilgungsanteiles.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

c) Begründe, warum die Annuität von Jahr zu Jahr kleiner wird.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

$$ TA=\frac{\textrm{Schuld}}{n}=\frac{10.000}{5}$$
$$ \underline{\underline{TA=2.000}}$$

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* i=4%
* TA=2000 für alle 5 Jahre
* Anfangsschuld = 10.000

Somit setzen wir alles ein, was wir schon wissen:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS

|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" |
| align="center" | 2.000
| align="center" |
| align="center" | 8.000
<p style="color:darkred"> $10.000-2.000$ </p>

|-
| align="center" | 2
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |6.000

|-
| align="center" | 3
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |4.000

|-
| align="center" | 4
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |2.000

|-
| align="center" | 5
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |0

|}

Nun können alle weiteren Beträge (Zinsen und Annuitäten) berechnet und eingesetzt werden:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | 400
<p style="color:darkred"> $ZA_1=10.000\cdot 0.04$ </p>
| align="center" | 2.000
| align="center" | 2.400
<p style="color:darkred"> $A_1=ZA_1+TA_1$</p>
| align="center" | 8.000

|-
| align="center" | 2
| align="center" | 320
| align="center" |2.000
| align="center" | 2.320
| align="center" |6.000

|-
| align="center" | 3
| align="center" | 240
| align="center" |2.000
| align="center" | 2.240
| align="center" |4.000

|-
| align="center" | 4
| align="center" | 160
| align="center" |2.000
| align="center" | 2160
| align="center" |2.000

|-
| align="center" | 5
| align="center" | 80
| align="center" |2.000
| align="center" |2.080
| align="center" |0

|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für c) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Da der Zinsanteil immer kleiner wird (die Schuld verringert sich!), der Tilgungsanteil aber konstant bleibt, muss folglich die Annuität ebenfalls kleiner werden, da gilt:
$$ \textrm{Annuität = Zinsanteil + Tilgungsanteil} $$

</div>

</div>

</div>

</div>

<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
== Zinsenschuld - nur die Zinsen werden beglichen ==

Hier wird während der gesamten Laufzeit nichts vom Kreditgetilgt (d.h. TA=0), sondern nur die Zinsen bezahlt. Erst am Ende der Laufzeit wird die ganze Schuld durch eine Einmalzahlung beglichen.

=== Musterbeispiel Zinsenschuld ===

Eine Zinsschuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Annuität ist am Ende des 1. Jahres fällig.

a) Berechne die Höhe der Zinsanteile.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* i=4%
* Anfangsschuld = 10.000

Somit beträgt der Zinsanteil konstant
$$ZA= 10.000\cdot 0.04=400$$.

Nun setzen wir alle Zinsanteile und Restschulden in den Tilgungsplan ein und berechnen zusätzlich noch die Annuitäten:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS

|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | 400
| align="center" | 0
| align="center" | 400
<p style="color:darkred"> $A_1=ZA_1+TA_1=400+0$ </p>
| align="center" | 10.000

|-
| align="center" | 2
| align="center" |400
| align="center" |0
| align="center" | 400
| align="center" |10.000

|-
| align="center" | 3
| align="center" |400
| align="center" |0
| align="center" | 400
| align="center" |10.000

|-
| align="center" | 4
| align="center" | 400
| align="center" |0
| align="center" | 400
| align="center" |<span style="background-color:yellow"> 10.000</span>

|-
| align="center" | 5
| align="center" | 400
| align="center" |<span style="background-color:yellow"> 10.000</span>
| align="center" |10.400
| align="center" |0

|}

</div>

</div>

<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>

== Online-Materialien und Übungsbeispiele ==
* 3. Klasse-Buch (Trauner): S. 181-182
* [http://fbmathe.bbs-bingen.de/Tilgungsrechnung/Aufgaben_Tilgungsrechnung.htm Beispiele und Lösungen von Ansgar Schiffler]
* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=198&file=Wohnungsrenovierung.pdf Wohnungsrenovierung(Bifie-Aufgabe) ]
:* siehe auch
::* [[Rentenrechnung | Rentenrechnung]]
::* [[Zins- und Zinseszinsrechnung#b) der konforme (äquivalente) Zinssatz | konformer Zinssatz]]
* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=91&file=Immobilienhandel.pdf Immobielienhandel (Bifie-Aufgabe)]

[[Kategorie:Finanzmathematik]]

Schuldentilgung

2014-04-16T12:32:59Z

91.115.36.63: /* Einleitung und Begriffe */

== Einleitung und Begriffe ==

Die Schuldentilgung beschäftigt sich mit dem Tilgen (= Zurückzahlen) einer Schuld. Das typische Beispiel ist das Tilgen eines Bankredits.

Hierbei unterscheidet man zwischen den folgenden Begriffen:
{| align="right"
|-
|{{#ev:youtube|bId7a4W6Vko}}
|}

{|
|-
|

* '''Annuität'''
| = der Betrag, der regelmäßig (z.B. jährlich) zurückgezahlt wird.
|-
|

* '''Zinsenanteil'''
| = jener Anteil der Annuität, der für die Zinsen aufgewendet wird.
|-
|

* '''Tilgungsanteil'''
| = jener Anteil der Annuität, um den die Schuld vermindert wird.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Erklärung der Begriffe anhand eines Beispiels''': </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Peter hat einen [[Rentenrechnung#Begriffe | nachschüssigen]] Kredit von 10.000 € bei 1 % p.a. aufgenommen. Somit fallen nach einem Jahr € 100 Zinsen an. Am Ende jedes Jahres zahlt Peter € 1.100 zurück.
* Die Annuität beträgt € 1.100.
* Der Zinsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 100.
* Der Tilgungsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 1000 (Von den € 1.100 werden € 100 für die Zinsen verwendet und nur € 1.000 reduzieren die Schuld).
* Die Restschuld nach dem 1. Jahr begrägt noch € 9.000.

</div>

</div>

{| border ="1" align="center" width="800px"
| style="background:#f0f0f0" | '''Merke:'''

| style="background:#f0f0f0" align="center"|

'''Annuität = Zinsanteil + Tilgungsanteil'''

|}

Je nachdem, wie die Schuld beglichen wird, unterscheidet man zwischen folgenden Formen:
* '''[[Schuldentilgung#Annuitätenschuld - Anniutät bleibt konstant | Annuitätenschuld]]''' - Anniutät bleibt konstant über die ganze Laufzeit konstant.
* '''[[Schuldentilgung#Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant |Ratenschuld]]''' - Tilgungsanteil bleibt konstant
* '''[[Schuldentilgung#Zinsenschuld - nur die Zinsen werden beglichen|Zinsenschuld]]''' - nur die Zinsen werden während der Laufzeit beglichen und der Rest erst am Ende der Laufzeit.

== Tilgungsplan ==

Der Tilgungsplan ist eine tabellarische Aufstellung der Kreditrückzahlung.
Er listet für jedes Jahr auf, wie hoch der Zinsen, der Tilgungsanteil, die Annuität und die Restschuld sind.
Für eine nachschüssige Schuldentilgung ist er folgendermaßen aufgebaut:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |Schuld zu Beginn

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1$
Zinsanteil bei der ersten Zahlung
| align="center" |$TA_1$
Tilgungsanteil der ersten Zahlung
| align="center" |$A_1$
Annuität$_1$ (=Höhe der ersten Zahlung)
| align="center" |$RS_1$
Restschuld nach einem Jahr
|-
| align="center" | 2
| align="center" |$ZA_2$
Zinsanteil bei der zweiten Zahlung
|align="center" | $TA_2$
Tilgungsanteil der zweiten Zahlung
| align="center" |$A_2$
Annuität$_2$ (=Höhe der zweiten Zahlung)
| align="center" | $RS_2$
Restschuld nach dem 2. Jahr

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> ''' Hinweise ''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
*Der Zinsanteil errechnet sich immer mithilfe der Schuld aus dem Vorjahr:
$$ ZA_1=\textrm{Schuld}\cdot \frac{i}{100} $$
* Am Ende eines Tilgungsplanes sollte ganz rechts unten bei der letzten Restschuld natürlich eine 0 stehen (vorausgesetzt die ganze Schuld wird zurückbezahlt).
* '''Vorteile des Tilgungsplans sind:'''
:* Der Tilgungsplan ermöglicht einen schönen Überblck über alle Zahlungen.
:* Die einzelnen Werte können Schritt für Schritt ausgerechnet werden.

</div>

</div>

=== Musterbeispiel Tilgungsplan ===

Peter hat einen nachschüssigen Kredit von 100 € bei einer Verzinsung von 1 % p.a. aufgenommen. Er zahlt jährlich € 10 zurück. Erstelle einen Tilgungsplan!

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''1. Schritt: Beginn des Tilgungsplans''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Die Anfangsschuld ist € 100.
* Die Anniuität ist konstant € 10.
* $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1 $.
* $TA_1=A_1-ZA_1=9$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
* Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_1=100-9=91$

Damit erstellen wir nun die ersten zwei Zeilen des Tilgungsplanes:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $100\cdot \frac{1}{100}=1$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$</p>
| align="center" |$10-1=9$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $TA=A-ZA$ </p>
| align="center" |$10$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $A=TA+ZA$ </p>
| align="center" |$100-9=91$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$ </p>

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''2. Schritt: Fortsetzung des Tilgungsplans ''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Für das 2. Jahr des Tilgungsplans, nimmt man nun aus Ausgangswert die obere Zeile:

* Die alte Restschuld beträgt € 91.
* Die Anniuität ist konstant € 10.
* $ZA_2=91\cdot \frac{1}{100}=0.91 $.
* $TA_2=A_2-ZA_2=9.09$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
* Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_2=91-9.09=81.91$

Dies setzt man nun in den Tilgungsplan ein:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $100\cdot \frac{1}{100}=1$
| align="center" |$10-1=9$
| align="center" |$10$
| align="center" |$100-9=91$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $91\cdot \frac{1}{100}=0.91$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$</p>
| align="center" |$10-0.91=9.09$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $TA=A-ZA$ </p>
| align="center" |$10$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $A=TA+ZA$ </p>
| align="center" |$91-9.09=81.91$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$ </p>

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''3. Schritt: Vollständiger Tilgungsplan''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $100\cdot \frac{1}{100}=1$
| align="center" |$10-1=9$
| align="center" |$10$
| align="center" |$100-9=91$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $0.91$
| align="center" |$9.09$
| align="center" |$10$
| align="center" |$81.91$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $0.82$
| align="center" |$9.18$
| align="center" |$10$
| align="center" |$72.73$

|-
| align="center" | 4
| align="center" | $0.73$
| align="center" |$9.27$
| align="center" |$10$
| align="center" |$63.46$

|-
| align="center" | 5
| align="center" | $0.63$
| align="center" |$9.37$
| align="center" |$10$
| align="center" |$54.09$

|-
| align="center" | 6
| align="center" | $0.54$
| align="center" |$9.46$
| align="center" |$10$
| align="center" |$44.63$

|-
| align="center" | 7
| align="center" | $0.45$
| align="center" |$9.55$
| align="center" |$10$
| align="center" |$35.08$

|-
| align="center" | 8
| align="center" | $0.35$
| align="center" |$9.65$
| align="center" |$10$
| align="center" |$25.43$

|-
| align="center" | 9
| align="center" | $0.25$
| align="center" |$9.75$
| align="center" |$10$
| align="center" |$15.68$

|-
| align="center" | 10
| align="center" | $0.16$
| align="center" |$9.84$
| align="center" |$10$
| align="center" |<span style="background-color:yellow"> '''$5.84$''' </span>

|-
| align="center" | 11
| align="center" | $0.06$
| align="center" | <span style="background-color:yellow"> '''$5.84$''' </span>
Die Restschuld von 5.84 wird getilgt.
| align="center" |'''$5.90$'''
$A=ZA+TA$
| align="center" |$0$

|}

'''Achtung!'''
Bei der 11. Zahlung muss nur noch eine Schuld von 5.84 (gelb unterlegt!) getilgt werden. Aus diesem Grund beträgt der Tilgungsanteil € 5.84!
Die Annuität beträgt dann nicht mehr € 10 (sonst würden wir ja zuviel zurückzahlen) sondern nur noch
$$ A = \textrm{Höhe des Tilgungsanteiles} + \textrm{die Höhe der Zinsen} $$
$$ A= 5.84+0.06 $$
$$A= 5.90$$

</div>

</div>

</div>

</div>

Weitere Beispiele findest du im 3. Klasse Buch (Trauner) auf den Seiten 174ff....

== Annuitätenschuld - Annuität bleibt konstant ==

Bei einer Anniutätenschuld bleibt die Höhe der Annuität (Betrag der regelmäßig eingezahlt wird) konstant. Somit handelt es sich bei der Annuitätenschuld um eine [[Rentenrechnung | Rente]], da
* ein konstanter Betrag (=Annuität)
* in konstanten Zeitabständen
eingezahlt wird.
Wichtig:
# Die Annuität entspricht dabei der Rate R.
# Die Schuld entspricht dem Barwert B (Wert aller Zahlungen am Beginn = Anfangsschuld)

Somit benötigt man bei der Annuitätenschuld die [[Rentenrechnung#Formeln | Formeln für den Barwert]].

=== Musterbeispiele Annuitätenschuld ===

----

==== Beispiel für jährliche Zahlungen ====
Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 gleich hohen, jährlichen Raten bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Rate ist am Ende des 1. Jahres fällig.

a) Berechne die Höhe der Raten.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

c) Begründe, warum der Tilgungsanteil von Jahr zu Jahr größer wird.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* B=10.000
* n=5
* i=4 % p.a. $\rightarrow$ r=1.05 $\rightarrow$ $v=\frac{1}{r}=0.9615$
* nachschüssig

$$ B=R\cdot v\cdot \frac{v^5-1}{v-1} $$
$$ 10.000 = R\cdot 0.95238\cdot \frac{0.95238^5-1}{0.95238-1} $$
$$ \underline{\underline{R= 2246.27}} $$

A: Die Höhe der Annuität (=Rate) beträgt € 2246.27.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Die Anzahl der Jahre ist 5 $\rightarrow$ somit brauchen wir 6 Zeilen (von 0 bis 5).
* Die Annuität A ist konstant € 2246.27. Somit kann in der Spalte Annuität für alle 5 Jahre 2246.27 eingesetzt werden.
* Anfangsschuld = 10.000

Somit kann man bereits die Rohform des Tilgungsplanes erstellen:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 2
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 3
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 4
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 5
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|}

Nun berechnen wir von links nach rechts und von oben nach unden die einzelnen Werte:

* $i=4$ % $\rightarrow$ $ZA_1=10.000\cdot \frac{4}{100} =400$
* $TA_1=A_1-ZA_1 = 2246,27-400 = 1846.27$
* $RS_1=10.000-1846.27=8153.73$
* usw.

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $400$
| align="center" |$1846.272$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$
8153.73$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $326.15$
| align="center" |$1920.12$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$6233,61$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $249.34$
| align="center" |$1996.93$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$4236,68$

|-
| align="center" | 4
| align="center" | $169.47$
| align="center" |$2076.80$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$2159.88$

|-
| align="center" | 5
| align="center" | $86.40$
| align="center" |$2159.87$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$
0.01$

|}

'''Achtung!''' Die Restschuld im 5. Jahr (=0.01) ist aufgrund der Rundungen, die wir durchgeführt haben nicht genau 0.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung von c) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Weil die Schuld von Jahr zu Jahr abnimmt, wird der Zinsanteil ebenfalls immer kleiner. Da die Annuität konstant bleibt, wird deshalb der Tilgungsanteil immer größer (Erinnerung: Tilgungsanteil ist $TA=A-ZA$ ist).

</div>

</div>

</div>

</div>

==== Beispiel: Monatliche Zahlungen ====
Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch gleich hohe, monatliche Zahlunge bei i=4% p.a. zu tilgen.

a) Berechne die Höhe der Raten.

b) Stelle den Tilgungsplan für die ersten 3 Monate auf und berechne damit die Restschuld nach 3 Monaten.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* R=?
* B=10.000
* n=$5\cdot 12=60$
* i=4 % p.a. $\rightarrow$ r=1.04 $\rightarrow$ $r_{12}=\sqrt[12]{1.04}=1.00327$ $\rightarrow$ $v_{12}=\frac{1}{r_{12}}=0.9967$
!!'''Achtung'''!! Bei unterjährien Einzahlungen (z.B. monatliche) muss der [[Zins- und Zinseszinsrechnung#b) der konforme (äquivalente) Zinssatz|konforme Zinssatz]] berechnet werden!!
* nachschüssig

$$ B=R\cdot v_{12}\cdot \frac{v_{12}^{60}-1}{v_{12}-1} $$
$$ \underline{\underline{R=184.17}}$$

A: Die monatliche Annuität beträgt € 184.17.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Da $r_{12}=1.00327$ (siehe a) beträgt der Monatszinssatz $i_{12}=0.327$ % p.m.
* Die Annuität ist konstant 284.17 (siehe a)
* Anfangsschuld = 10.000

Somit kann der Tilgungsplan aufgestellt werden:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Monat
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $32,70$
| align="center" | $251,47$
| align="center" |$284,17$
| align="center" | $9748,53$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $31,88$
| align="center" |$252,29$
| align="center" |$284,17$
| align="center" |$9496,24$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $31,05$
| align="center" | $253,12$
| align="center" |$284,17$
| align="center" | $9243,12$

|}

A: Nach 3 Monaten beträgt die Restschuld noch € 9243,12.

</div>

</div>

</div>

</div>

<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>

== Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant ==

Bei einer Ratenschuld bleit der Tilgungsanteil TA immer gleich groß, wodruch die Schuld sich immer um denselben Wert verringert.

Es gilt
{| border="1" align="center"
|-
| $$TA=\frac{\textrm{Schuld}}{n}$$
|}

'''Begründung''': Da die ganze Schuld durch n Zahlungen zurückgezahlt wird, muss jedes Mal ein "n-tel" der Gesamtschuld getilgt werden.

=== Musterbeispiel Ratenschuld ===

Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch gleich hohe Tilgungsanteile bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Rate ist am Ende des 1. Jahres fällig.

a) Berechne die Höhe des Tilgungsanteiles.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

c) Begründe, warum die Annuität von Jahr zu Jahr kleiner wird.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

$$ TA=\frac{\textrm{Schuld}}{n}=\frac{10.000}{5}$$
$$ \underline{\underline{TA=2.000}}$$

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* i=4%
* TA=2000 für alle 5 Jahre
* Anfangsschuld = 10.000

Somit setzen wir alles ein, was wir schon wissen:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS

|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" |
| align="center" | 2.000
| align="center" |
| align="center" | 8.000
<p style="color:darkred"> $10.000-2.000$ </p>

|-
| align="center" | 2
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |6.000

|-
| align="center" | 3
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |4.000

|-
| align="center" | 4
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |2.000

|-
| align="center" | 5
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |0

|}

Nun können alle weiteren Beträge (Zinsen und Annuitäten) berechnet und eingesetzt werden:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | 400
<p style="color:darkred"> $ZA_1=10.000\cdot 0.04$ </p>
| align="center" | 2.000
| align="center" | 2.400
<p style="color:darkred"> $A_1=ZA_1+TA_1$</p>
| align="center" | 8.000

|-
| align="center" | 2
| align="center" | 320
| align="center" |2.000
| align="center" | 2.320
| align="center" |6.000

|-
| align="center" | 3
| align="center" | 240
| align="center" |2.000
| align="center" | 2.240
| align="center" |4.000

|-
| align="center" | 4
| align="center" | 160
| align="center" |2.000
| align="center" | 2160
| align="center" |2.000

|-
| align="center" | 5
| align="center" | 80
| align="center" |2.000
| align="center" |2.080
| align="center" |0

|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für c) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Da der Zinsanteil immer kleiner wird (die Schuld verringert sich!), der Tilgungsanteil aber konstant bleibt, muss folglich die Annuität ebenfalls kleiner werden, da gilt:
$$ \textrm{Annuität = Zinsanteil + Tilgungsanteil} $$

</div>

</div>

</div>

</div>

<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
== Zinsenschuld - nur die Zinsen werden beglichen ==

Hier wird während der gesamten Laufzeit nichts vom Kreditgetilgt (d.h. TA=0), sondern nur die Zinsen bezahlt. Erst am Ende der Laufzeit wird die ganze Schuld durch eine Einmalzahlung beglichen.

=== Musterbeispiel Zinsenschuld ===

Eine Zinsschuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Annuität ist am Ende des 1. Jahres fällig.

a) Berechne die Höhe der Zinsanteile.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* i=4%
* Anfangsschuld = 10.000

Somit beträgt der Zinsanteil konstant
$$ZA= 10.000\cdot 0.04=400$$.

Nun setzen wir alle Zinsanteile und Restschulden in den Tilgungsplan ein und berechnen zusätzlich noch die Annuitäten:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS

|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | 400
| align="center" | 0
| align="center" | 400
<p style="color:darkred"> $A_1=ZA_1+TA_1=400+0$ </p>
| align="center" | 10.000

|-
| align="center" | 2
| align="center" |400
| align="center" |0
| align="center" | 400
| align="center" |10.000

|-
| align="center" | 3
| align="center" |400
| align="center" |0
| align="center" | 400
| align="center" |10.000

|-
| align="center" | 4
| align="center" | 400
| align="center" |0
| align="center" | 400
| align="center" |<span style="background-color:yellow"> 10.000</span>

|-
| align="center" | 5
| align="center" | 400
| align="center" |<span style="background-color:yellow"> 10.000</span>
| align="center" |10.400
| align="center" |0

|}

</div>

</div>

<br>
<br>
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<br>
<br>

== Online-Materialien ==
* [http://fbmathe.bbs-bingen.de/Tilgungsrechnung/Aufgaben_Tilgungsrechnung.htm Beispiele und Lösungen von Ansgar Schiffler]

[[Kategorie:Finanzmathematik]]

Schuldentilgung

2014-04-16T12:24:27Z

91.115.36.63: /* Zinsenschuld - nur die Zinsen werden beglichen */

== Einleitung und Begriffe ==

Die Schuldentilgung beschäftigt sich mit dem Tilgen (= Zurückzahlen) einer Schuld. Das typische Beispiel ist das Tilgen eines Bankredits.

{| align="right"
|-
|{{#ev:youtube|bId7a4W6Vko}}
|}

Hierbei unterscheidet man zwischen den folgenden Begriffen:
{|
|-
|
* '''Annuität'''
| = der Betrag, der regelmäßig (z.B. jährlich) zurückgezahlt wird.
|-
|
* '''Zinsenanteil'''
| = jener Anteil der Annuität, der für die Zinsen aufgewendet wird.
|-
|
* '''Tilgungsanteil'''
| = jener Anteil der Annuität, um den die Schuld vermindert wird.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Erklärung der Begriffe anhand eines Beispiels''': </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Peter hat einen [[Rentenrechnung#Begriffe | nachschüssigen]] Kredit von 10.000 € bei 1 % p.a. aufgenommen. Somit fallen nach einem Jahr € 100 Zinsen an. Am Ende jedes Jahres zahlt Peter € 1.100 zurück.
* Die Annuität beträgt € 1.100.
* Der Zinsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 100.
* Der Tilgungsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 1000 (Von den € 1.100 werden € 100 für die Zinsen verwendet und nur € 1.000 reduzieren die Schuld).
* Die Restschuld nach dem 1. Jahr begrägt noch € 9.000.

</div>

</div>

{| border ="1" align="center"
| style="background:#e0e0e0" | Text '''Merke:'''

| style="background:#e0e0e0" | Text

align="center" '''Annuität = Zinsanteil + Tilgungsanteil'''

|}

Je nachdem, wie die Schuld beglichen wird, unterscheidet man zwischen folgenden Formen:
* '''[[Schuldentilgung#Annuitätenschuld - Anniutät bleibt konstant | Annuitätenschuld]]''' - Anniutät bleibt konstant über die ganze Laufzeit konstant.
* '''[[Schuldentilgung#Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant |Ratenschuld]]''' - Tilgungsanteil bleibt konstant
* '''[[Schuldentilgung#Zinsenschuld - nur die Zinsen werden beglichen|Zinsenschuld]]''' - nur die Zinsen werden während der Laufzeit beglichen und der Rest erst am Ende der Laufzeit.

== Tilgungsplan ==

Der Tilgungsplan ist eine tabellarische Aufstellung der Kreditrückzahlung.
Er listet für jedes Jahr auf, wie hoch der Zinsen, der Tilgungsanteil, die Annuität und die Restschuld sind.
Für eine nachschüssige Schuldentilgung ist er folgendermaßen aufgebaut:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |Schuld zu Beginn

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1$
Zinsanteil bei der ersten Zahlung
| align="center" |$TA_1$
Tilgungsanteil der ersten Zahlung
| align="center" |$A_1$
Annuität$_1$ (=Höhe der ersten Zahlung)
| align="center" |$RS_1$
Restschuld nach einem Jahr
|-
| align="center" | 2
| align="center" |$ZA_2$
Zinsanteil bei der zweiten Zahlung
|align="center" | $TA_2$
Tilgungsanteil der zweiten Zahlung
| align="center" |$A_2$
Annuität$_2$ (=Höhe der zweiten Zahlung)
| align="center" | $RS_2$
Restschuld nach dem 2. Jahr

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> ''' Hinweise ''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
*Der Zinsanteil errechnet sich immer mithilfe der Schuld aus dem Vorjahr:
$$ ZA_1=\textrm{Schuld}\cdot \frac{i}{100} $$
* Am Ende eines Tilgungsplanes sollte ganz rechts unten bei der letzten Restschuld natürlich eine 0 stehen (vorausgesetzt die ganze Schuld wird zurückbezahlt).
* '''Vorteile des Tilgungsplans sind:'''
:* Der Tilgungsplan ermöglicht einen schönen Überblck über alle Zahlungen.
:* Die einzelnen Werte können Schritt für Schritt ausgerechnet werden.

</div>

</div>

=== Musterbeispiel Tilgungsplan ===

Peter hat einen nachschüssigen Kredit von 100 € bei einer Verzinsung von 1 % p.a. aufgenommen. Er zahlt jährlich € 10 zurück. Erstelle einen Tilgungsplan!

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''1. Schritt: Beginn des Tilgungsplans''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Die Anfangsschuld ist € 100.
* Die Anniuität ist konstant € 10.
* $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1 $.
* $TA_1=A_1-ZA_1=9$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
* Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_1=100-9=91$

Damit erstellen wir nun die ersten zwei Zeilen des Tilgungsplanes:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $100\cdot \frac{1}{100}=1$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$</p>
| align="center" |$10-1=9$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $TA=A-ZA$ </p>
| align="center" |$10$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $A=TA+ZA$ </p>
| align="center" |$100-9=91$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$ </p>

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''2. Schritt: Fortsetzung des Tilgungsplans ''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Für das 2. Jahr des Tilgungsplans, nimmt man nun aus Ausgangswert die obere Zeile:

* Die alte Restschuld beträgt € 91.
* Die Anniuität ist konstant € 10.
* $ZA_2=91\cdot \frac{1}{100}=0.91 $.
* $TA_2=A_2-ZA_2=9.09$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
* Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_2=91-9.09=81.91$

Dies setzt man nun in den Tilgungsplan ein:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $100\cdot \frac{1}{100}=1$
| align="center" |$10-1=9$
| align="center" |$10$
| align="center" |$100-9=91$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $91\cdot \frac{1}{100}=0.91$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$</p>
| align="center" |$10-0.91=9.09$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $TA=A-ZA$ </p>
| align="center" |$10$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $A=TA+ZA$ </p>
| align="center" |$91-9.09=81.91$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$ </p>

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''3. Schritt: Vollständiger Tilgungsplan''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $100\cdot \frac{1}{100}=1$
| align="center" |$10-1=9$
| align="center" |$10$
| align="center" |$100-9=91$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $0.91$
| align="center" |$9.09$
| align="center" |$10$
| align="center" |$81.91$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $0.82$
| align="center" |$9.18$
| align="center" |$10$
| align="center" |$72.73$

|-
| align="center" | 4
| align="center" | $0.73$
| align="center" |$9.27$
| align="center" |$10$
| align="center" |$63.46$

|-
| align="center" | 5
| align="center" | $0.63$
| align="center" |$9.37$
| align="center" |$10$
| align="center" |$54.09$

|-
| align="center" | 6
| align="center" | $0.54$
| align="center" |$9.46$
| align="center" |$10$
| align="center" |$44.63$

|-
| align="center" | 7
| align="center" | $0.45$
| align="center" |$9.55$
| align="center" |$10$
| align="center" |$35.08$

|-
| align="center" | 8
| align="center" | $0.35$
| align="center" |$9.65$
| align="center" |$10$
| align="center" |$25.43$

|-
| align="center" | 9
| align="center" | $0.25$
| align="center" |$9.75$
| align="center" |$10$
| align="center" |$15.68$

|-
| align="center" | 10
| align="center" | $0.16$
| align="center" |$9.84$
| align="center" |$10$
| align="center" |<span style="background-color:yellow"> '''$5.84$''' </span>

|-
| align="center" | 11
| align="center" | $0.06$
| align="center" | <span style="background-color:yellow"> '''$5.84$''' </span>
Die Restschuld von 5.84 wird getilgt.
| align="center" |'''$5.90$'''
$A=ZA+TA$
| align="center" |$0$

|}

'''Achtung!'''
Bei der 11. Zahlung muss nur noch eine Schuld von 5.84 (gelb unterlegt!) getilgt werden. Aus diesem Grund beträgt der Tilgungsanteil € 5.84!
Die Annuität beträgt dann nicht mehr € 10 (sonst würden wir ja zuviel zurückzahlen) sondern nur noch
$$ A = \textrm{Höhe des Tilgungsanteiles} + \textrm{die Höhe der Zinsen} $$
$$ A= 5.84+0.06 $$
$$A= 5.90$$

</div>

</div>

</div>

</div>

Weitere Beispiele findest du im 3. Klasse Buch (Trauner) auf den Seiten 174ff....

== Annuitätenschuld - Annuität bleibt konstant ==

Bei einer Anniutätenschuld bleibt die Höhe der Annuität (Betrag der regelmäßig eingezahlt wird) konstant. Somit handelt es sich bei der Annuitätenschuld um eine [[Rentenrechnung | Rente]], da
* ein konstanter Betrag (=Annuität)
* in konstanten Zeitabständen
eingezahlt wird.
Wichtig:
# Die Annuität entspricht dabei der Rate R.
# Die Schuld entspricht dem Barwert B (Wert aller Zahlungen am Beginn = Anfangsschuld)

Somit benötigt man bei der Annuitätenschuld die [[Rentenrechnung#Formeln | Formeln für den Barwert]].

=== Musterbeispiele Annuitätenschuld ===

----

==== Beispiel für jährliche Zahlungen ====
Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 gleich hohen, jährlichen Raten bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Rate ist am Ende des 1. Jahres fällig.

a) Berechne die Höhe der Raten.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

c) Begründe, warum der Tilgungsanteil von Jahr zu Jahr größer wird.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* B=10.000
* n=5
* i=4 % p.a. $\rightarrow$ r=1.05 $\rightarrow$ $v=\frac{1}{r}=0.9615$
* nachschüssig

$$ B=R\cdot v\cdot \frac{v^5-1}{v-1} $$
$$ 10.000 = R\cdot 0.95238\cdot \frac{0.95238^5-1}{0.95238-1} $$
$$ \underline{\underline{R= 2246.27}} $$

A: Die Höhe der Annuität (=Rate) beträgt € 2246.27.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Die Anzahl der Jahre ist 5 $\rightarrow$ somit brauchen wir 6 Zeilen (von 0 bis 5).
* Die Annuität A ist konstant € 2246.27. Somit kann in der Spalte Annuität für alle 5 Jahre 2246.27 eingesetzt werden.
* Anfangsschuld = 10.000

Somit kann man bereits die Rohform des Tilgungsplanes erstellen:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 2
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 3
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 4
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 5
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|}

Nun berechnen wir von links nach rechts und von oben nach unden die einzelnen Werte:

* $i=4$ % $\rightarrow$ $ZA_1=10.000\cdot \frac{4}{100} =400$
* $TA_1=A_1-ZA_1 = 2246,27-400 = 1846.27$
* $RS_1=10.000-1846.27=8153.73$
* usw.

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $400$
| align="center" |$1846.272$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$
8153.73$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $326.15$
| align="center" |$1920.12$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$6233,61$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $249.34$
| align="center" |$1996.93$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$4236,68$

|-
| align="center" | 4
| align="center" | $169.47$
| align="center" |$2076.80$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$2159.88$

|-
| align="center" | 5
| align="center" | $86.40$
| align="center" |$2159.87$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$
0.01$

|}

'''Achtung!''' Die Restschuld im 5. Jahr (=0.01) ist aufgrund der Rundungen, die wir durchgeführt haben nicht genau 0.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung von c) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Weil die Schuld von Jahr zu Jahr abnimmt, wird der Zinsanteil ebenfalls immer kleiner. Da die Annuität konstant bleibt, wird deshalb der Tilgungsanteil immer größer (Erinnerung: Tilgungsanteil ist $TA=A-ZA$ ist).

</div>

</div>

</div>

</div>

==== Beispiel: Monatliche Zahlungen ====
Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch gleich hohe, monatliche Zahlunge bei i=4% p.a. zu tilgen.

a) Berechne die Höhe der Raten.

b) Stelle den Tilgungsplan für die ersten 3 Monate auf und berechne damit die Restschuld nach 3 Monaten.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* R=?
* B=10.000
* n=$5\cdot 12=60$
* i=4 % p.a. $\rightarrow$ r=1.04 $\rightarrow$ $r_{12}=\sqrt[12]{1.04}=1.00327$ $\rightarrow$ $v_{12}=\frac{1}{r_{12}}=0.9967$
!!'''Achtung'''!! Bei unterjährien Einzahlungen (z.B. monatliche) muss der [[Zins- und Zinseszinsrechnung#b) der konforme (äquivalente) Zinssatz|konforme Zinssatz]] berechnet werden!!
* nachschüssig

$$ B=R\cdot v_{12}\cdot \frac{v_{12}^{60}-1}{v_{12}-1} $$
$$ \underline{\underline{R=184.17}}$$

A: Die monatliche Annuität beträgt € 184.17.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Da $r_{12}=1.00327$ (siehe a) beträgt der Monatszinssatz $i_{12}=0.327$ % p.m.
* Die Annuität ist konstant 284.17 (siehe a)
* Anfangsschuld = 10.000

Somit kann der Tilgungsplan aufgestellt werden:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Monat
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $32,70$
| align="center" | $251,47$
| align="center" |$284,17$
| align="center" | $9748,53$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $31,88$
| align="center" |$252,29$
| align="center" |$284,17$
| align="center" |$9496,24$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $31,05$
| align="center" | $253,12$
| align="center" |$284,17$
| align="center" | $9243,12$

|}

A: Nach 3 Monaten beträgt die Restschuld noch € 9243,12.

</div>

</div>

</div>

</div>

<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>

== Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant ==

Bei einer Ratenschuld bleit der Tilgungsanteil TA immer gleich groß, wodruch die Schuld sich immer um denselben Wert verringert.

Es gilt
{| border="1" align="center"
|-
| $$TA=\frac{\textrm{Schuld}}{n}$$
|}

'''Begründung''': Da die ganze Schuld durch n Zahlungen zurückgezahlt wird, muss jedes Mal ein "n-tel" der Gesamtschuld getilgt werden.

=== Musterbeispiel Ratenschuld ===

Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch gleich hohe Tilgungsanteile bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Rate ist am Ende des 1. Jahres fällig.

a) Berechne die Höhe des Tilgungsanteiles.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

c) Begründe, warum die Annuität von Jahr zu Jahr kleiner wird.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

$$ TA=\frac{\textrm{Schuld}}{n}=\frac{10.000}{5}$$
$$ \underline{\underline{TA=2.000}}$$

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* i=4%
* TA=2000 für alle 5 Jahre
* Anfangsschuld = 10.000

Somit setzen wir alles ein, was wir schon wissen:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS

|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" |
| align="center" | 2.000
| align="center" |
| align="center" | 8.000
<p style="color:darkred"> $10.000-2.000$ </p>

|-
| align="center" | 2
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |6.000

|-
| align="center" | 3
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |4.000

|-
| align="center" | 4
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |2.000

|-
| align="center" | 5
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |0

|}

Nun können alle weiteren Beträge (Zinsen und Annuitäten) berechnet und eingesetzt werden:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | 400
<p style="color:darkred"> $ZA_1=10.000\cdot 0.04$ </p>
| align="center" | 2.000
| align="center" | 2.400
<p style="color:darkred"> $A_1=ZA_1+TA_1$</p>
| align="center" | 8.000

|-
| align="center" | 2
| align="center" | 320
| align="center" |2.000
| align="center" | 2.320
| align="center" |6.000

|-
| align="center" | 3
| align="center" | 240
| align="center" |2.000
| align="center" | 2.240
| align="center" |4.000

|-
| align="center" | 4
| align="center" | 160
| align="center" |2.000
| align="center" | 2160
| align="center" |2.000

|-
| align="center" | 5
| align="center" | 80
| align="center" |2.000
| align="center" |2.080
| align="center" |0

|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für c) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Da der Zinsanteil immer kleiner wird (die Schuld verringert sich!), der Tilgungsanteil aber konstant bleibt, muss folglich die Annuität ebenfalls kleiner werden, da gilt:
$$ \textrm{Annuität = Zinsanteil + Tilgungsanteil} $$

</div>

</div>

</div>

</div>

<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
== Zinsenschuld - nur die Zinsen werden beglichen ==

Hier wird während der gesamten Laufzeit nichts vom Kreditgetilgt (d.h. TA=0), sondern nur die Zinsen bezahlt. Erst am Ende der Laufzeit wird die ganze Schuld durch eine Einmalzahlung beglichen.

=== Musterbeispiel Zinsenschuld ===

Eine Zinsschuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Annuität ist am Ende des 1. Jahres fällig.

a) Berechne die Höhe der Zinsanteile.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* i=4%
* Anfangsschuld = 10.000

Somit beträgt der Zinsanteil konstant
$$ZA= 10.000\cdot 0.04=400$$.

Nun setzen wir alle Zinsanteile und Restschulden in den Tilgungsplan ein und berechnen zusätzlich noch die Annuitäten:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS

|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | 400
| align="center" | 0
| align="center" | 400
<p style="color:darkred"> $A_1=ZA_1+TA_1=400+0$ </p>
| align="center" | 10.000

|-
| align="center" | 2
| align="center" |400
| align="center" |0
| align="center" | 400
| align="center" |10.000

|-
| align="center" | 3
| align="center" |400
| align="center" |0
| align="center" | 400
| align="center" |10.000

|-
| align="center" | 4
| align="center" | 400
| align="center" |0
| align="center" | 400
| align="center" |<span style="background-color:yellow"> 10.000</span>

|-
| align="center" | 5
| align="center" | 400
| align="center" |<span style="background-color:yellow"> 10.000</span>
| align="center" |10.400
| align="center" |0

|}

</div>

</div>

<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>

== Online-Materialien ==
* [http://fbmathe.bbs-bingen.de/Tilgungsrechnung/Aufgaben_Tilgungsrechnung.htm Beispiele und Lösungen von Ansgar Schiffler]

[[Kategorie:Finanzmathematik]]

Schuldentilgung

2014-04-16T12:23:54Z

91.115.36.63: /* Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant */

== Einleitung und Begriffe ==

Die Schuldentilgung beschäftigt sich mit dem Tilgen (= Zurückzahlen) einer Schuld. Das typische Beispiel ist das Tilgen eines Bankredits.

{| align="right"
|-
|{{#ev:youtube|bId7a4W6Vko}}
|}

Hierbei unterscheidet man zwischen den folgenden Begriffen:
{|
|-
|
* '''Annuität'''
| = der Betrag, der regelmäßig (z.B. jährlich) zurückgezahlt wird.
|-
|
* '''Zinsenanteil'''
| = jener Anteil der Annuität, der für die Zinsen aufgewendet wird.
|-
|
* '''Tilgungsanteil'''
| = jener Anteil der Annuität, um den die Schuld vermindert wird.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Erklärung der Begriffe anhand eines Beispiels''': </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Peter hat einen [[Rentenrechnung#Begriffe | nachschüssigen]] Kredit von 10.000 € bei 1 % p.a. aufgenommen. Somit fallen nach einem Jahr € 100 Zinsen an. Am Ende jedes Jahres zahlt Peter € 1.100 zurück.
* Die Annuität beträgt € 1.100.
* Der Zinsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 100.
* Der Tilgungsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 1000 (Von den € 1.100 werden € 100 für die Zinsen verwendet und nur € 1.000 reduzieren die Schuld).
* Die Restschuld nach dem 1. Jahr begrägt noch € 9.000.

</div>

</div>

{| border ="1" align="center"
| style="background:#e0e0e0" | Text '''Merke:'''

| style="background:#e0e0e0" | Text

align="center" '''Annuität = Zinsanteil + Tilgungsanteil'''

|}

Je nachdem, wie die Schuld beglichen wird, unterscheidet man zwischen folgenden Formen:
* '''[[Schuldentilgung#Annuitätenschuld - Anniutät bleibt konstant | Annuitätenschuld]]''' - Anniutät bleibt konstant über die ganze Laufzeit konstant.
* '''[[Schuldentilgung#Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant |Ratenschuld]]''' - Tilgungsanteil bleibt konstant
* '''[[Schuldentilgung#Zinsenschuld - nur die Zinsen werden beglichen|Zinsenschuld]]''' - nur die Zinsen werden während der Laufzeit beglichen und der Rest erst am Ende der Laufzeit.

== Tilgungsplan ==

Der Tilgungsplan ist eine tabellarische Aufstellung der Kreditrückzahlung.
Er listet für jedes Jahr auf, wie hoch der Zinsen, der Tilgungsanteil, die Annuität und die Restschuld sind.
Für eine nachschüssige Schuldentilgung ist er folgendermaßen aufgebaut:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |Schuld zu Beginn

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1$
Zinsanteil bei der ersten Zahlung
| align="center" |$TA_1$
Tilgungsanteil der ersten Zahlung
| align="center" |$A_1$
Annuität$_1$ (=Höhe der ersten Zahlung)
| align="center" |$RS_1$
Restschuld nach einem Jahr
|-
| align="center" | 2
| align="center" |$ZA_2$
Zinsanteil bei der zweiten Zahlung
|align="center" | $TA_2$
Tilgungsanteil der zweiten Zahlung
| align="center" |$A_2$
Annuität$_2$ (=Höhe der zweiten Zahlung)
| align="center" | $RS_2$
Restschuld nach dem 2. Jahr

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> ''' Hinweise ''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
*Der Zinsanteil errechnet sich immer mithilfe der Schuld aus dem Vorjahr:
$$ ZA_1=\textrm{Schuld}\cdot \frac{i}{100} $$
* Am Ende eines Tilgungsplanes sollte ganz rechts unten bei der letzten Restschuld natürlich eine 0 stehen (vorausgesetzt die ganze Schuld wird zurückbezahlt).
* '''Vorteile des Tilgungsplans sind:'''
:* Der Tilgungsplan ermöglicht einen schönen Überblck über alle Zahlungen.
:* Die einzelnen Werte können Schritt für Schritt ausgerechnet werden.

</div>

</div>

=== Musterbeispiel Tilgungsplan ===

Peter hat einen nachschüssigen Kredit von 100 € bei einer Verzinsung von 1 % p.a. aufgenommen. Er zahlt jährlich € 10 zurück. Erstelle einen Tilgungsplan!

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''1. Schritt: Beginn des Tilgungsplans''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Die Anfangsschuld ist € 100.
* Die Anniuität ist konstant € 10.
* $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1 $.
* $TA_1=A_1-ZA_1=9$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
* Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_1=100-9=91$

Damit erstellen wir nun die ersten zwei Zeilen des Tilgungsplanes:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $100\cdot \frac{1}{100}=1$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$</p>
| align="center" |$10-1=9$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $TA=A-ZA$ </p>
| align="center" |$10$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $A=TA+ZA$ </p>
| align="center" |$100-9=91$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$ </p>

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''2. Schritt: Fortsetzung des Tilgungsplans ''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Für das 2. Jahr des Tilgungsplans, nimmt man nun aus Ausgangswert die obere Zeile:

* Die alte Restschuld beträgt € 91.
* Die Anniuität ist konstant € 10.
* $ZA_2=91\cdot \frac{1}{100}=0.91 $.
* $TA_2=A_2-ZA_2=9.09$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
* Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_2=91-9.09=81.91$

Dies setzt man nun in den Tilgungsplan ein:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $100\cdot \frac{1}{100}=1$
| align="center" |$10-1=9$
| align="center" |$10$
| align="center" |$100-9=91$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $91\cdot \frac{1}{100}=0.91$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$</p>
| align="center" |$10-0.91=9.09$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $TA=A-ZA$ </p>
| align="center" |$10$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $A=TA+ZA$ </p>
| align="center" |$91-9.09=81.91$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$ </p>

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''3. Schritt: Vollständiger Tilgungsplan''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $100\cdot \frac{1}{100}=1$
| align="center" |$10-1=9$
| align="center" |$10$
| align="center" |$100-9=91$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $0.91$
| align="center" |$9.09$
| align="center" |$10$
| align="center" |$81.91$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $0.82$
| align="center" |$9.18$
| align="center" |$10$
| align="center" |$72.73$

|-
| align="center" | 4
| align="center" | $0.73$
| align="center" |$9.27$
| align="center" |$10$
| align="center" |$63.46$

|-
| align="center" | 5
| align="center" | $0.63$
| align="center" |$9.37$
| align="center" |$10$
| align="center" |$54.09$

|-
| align="center" | 6
| align="center" | $0.54$
| align="center" |$9.46$
| align="center" |$10$
| align="center" |$44.63$

|-
| align="center" | 7
| align="center" | $0.45$
| align="center" |$9.55$
| align="center" |$10$
| align="center" |$35.08$

|-
| align="center" | 8
| align="center" | $0.35$
| align="center" |$9.65$
| align="center" |$10$
| align="center" |$25.43$

|-
| align="center" | 9
| align="center" | $0.25$
| align="center" |$9.75$
| align="center" |$10$
| align="center" |$15.68$

|-
| align="center" | 10
| align="center" | $0.16$
| align="center" |$9.84$
| align="center" |$10$
| align="center" |<span style="background-color:yellow"> '''$5.84$''' </span>

|-
| align="center" | 11
| align="center" | $0.06$
| align="center" | <span style="background-color:yellow"> '''$5.84$''' </span>
Die Restschuld von 5.84 wird getilgt.
| align="center" |'''$5.90$'''
$A=ZA+TA$
| align="center" |$0$

|}

'''Achtung!'''
Bei der 11. Zahlung muss nur noch eine Schuld von 5.84 (gelb unterlegt!) getilgt werden. Aus diesem Grund beträgt der Tilgungsanteil € 5.84!
Die Annuität beträgt dann nicht mehr € 10 (sonst würden wir ja zuviel zurückzahlen) sondern nur noch
$$ A = \textrm{Höhe des Tilgungsanteiles} + \textrm{die Höhe der Zinsen} $$
$$ A= 5.84+0.06 $$
$$A= 5.90$$

</div>

</div>

</div>

</div>

Weitere Beispiele findest du im 3. Klasse Buch (Trauner) auf den Seiten 174ff....

== Annuitätenschuld - Annuität bleibt konstant ==

Bei einer Anniutätenschuld bleibt die Höhe der Annuität (Betrag der regelmäßig eingezahlt wird) konstant. Somit handelt es sich bei der Annuitätenschuld um eine [[Rentenrechnung | Rente]], da
* ein konstanter Betrag (=Annuität)
* in konstanten Zeitabständen
eingezahlt wird.
Wichtig:
# Die Annuität entspricht dabei der Rate R.
# Die Schuld entspricht dem Barwert B (Wert aller Zahlungen am Beginn = Anfangsschuld)

Somit benötigt man bei der Annuitätenschuld die [[Rentenrechnung#Formeln | Formeln für den Barwert]].

=== Musterbeispiele Annuitätenschuld ===

----

==== Beispiel für jährliche Zahlungen ====
Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 gleich hohen, jährlichen Raten bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Rate ist am Ende des 1. Jahres fällig.

a) Berechne die Höhe der Raten.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

c) Begründe, warum der Tilgungsanteil von Jahr zu Jahr größer wird.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* B=10.000
* n=5
* i=4 % p.a. $\rightarrow$ r=1.05 $\rightarrow$ $v=\frac{1}{r}=0.9615$
* nachschüssig

$$ B=R\cdot v\cdot \frac{v^5-1}{v-1} $$
$$ 10.000 = R\cdot 0.95238\cdot \frac{0.95238^5-1}{0.95238-1} $$
$$ \underline{\underline{R= 2246.27}} $$

A: Die Höhe der Annuität (=Rate) beträgt € 2246.27.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Die Anzahl der Jahre ist 5 $\rightarrow$ somit brauchen wir 6 Zeilen (von 0 bis 5).
* Die Annuität A ist konstant € 2246.27. Somit kann in der Spalte Annuität für alle 5 Jahre 2246.27 eingesetzt werden.
* Anfangsschuld = 10.000

Somit kann man bereits die Rohform des Tilgungsplanes erstellen:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 2
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 3
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 4
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 5
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|}

Nun berechnen wir von links nach rechts und von oben nach unden die einzelnen Werte:

* $i=4$ % $\rightarrow$ $ZA_1=10.000\cdot \frac{4}{100} =400$
* $TA_1=A_1-ZA_1 = 2246,27-400 = 1846.27$
* $RS_1=10.000-1846.27=8153.73$
* usw.

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $400$
| align="center" |$1846.272$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$
8153.73$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $326.15$
| align="center" |$1920.12$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$6233,61$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $249.34$
| align="center" |$1996.93$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$4236,68$

|-
| align="center" | 4
| align="center" | $169.47$
| align="center" |$2076.80$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$2159.88$

|-
| align="center" | 5
| align="center" | $86.40$
| align="center" |$2159.87$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$
0.01$

|}

'''Achtung!''' Die Restschuld im 5. Jahr (=0.01) ist aufgrund der Rundungen, die wir durchgeführt haben nicht genau 0.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung von c) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Weil die Schuld von Jahr zu Jahr abnimmt, wird der Zinsanteil ebenfalls immer kleiner. Da die Annuität konstant bleibt, wird deshalb der Tilgungsanteil immer größer (Erinnerung: Tilgungsanteil ist $TA=A-ZA$ ist).

</div>

</div>

</div>

</div>

==== Beispiel: Monatliche Zahlungen ====
Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch gleich hohe, monatliche Zahlunge bei i=4% p.a. zu tilgen.

a) Berechne die Höhe der Raten.

b) Stelle den Tilgungsplan für die ersten 3 Monate auf und berechne damit die Restschuld nach 3 Monaten.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* R=?
* B=10.000
* n=$5\cdot 12=60$
* i=4 % p.a. $\rightarrow$ r=1.04 $\rightarrow$ $r_{12}=\sqrt[12]{1.04}=1.00327$ $\rightarrow$ $v_{12}=\frac{1}{r_{12}}=0.9967$
!!'''Achtung'''!! Bei unterjährien Einzahlungen (z.B. monatliche) muss der [[Zins- und Zinseszinsrechnung#b) der konforme (äquivalente) Zinssatz|konforme Zinssatz]] berechnet werden!!
* nachschüssig

$$ B=R\cdot v_{12}\cdot \frac{v_{12}^{60}-1}{v_{12}-1} $$
$$ \underline{\underline{R=184.17}}$$

A: Die monatliche Annuität beträgt € 184.17.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Da $r_{12}=1.00327$ (siehe a) beträgt der Monatszinssatz $i_{12}=0.327$ % p.m.
* Die Annuität ist konstant 284.17 (siehe a)
* Anfangsschuld = 10.000

Somit kann der Tilgungsplan aufgestellt werden:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Monat
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $32,70$
| align="center" | $251,47$
| align="center" |$284,17$
| align="center" | $9748,53$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $31,88$
| align="center" |$252,29$
| align="center" |$284,17$
| align="center" |$9496,24$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $31,05$
| align="center" | $253,12$
| align="center" |$284,17$
| align="center" | $9243,12$

|}

A: Nach 3 Monaten beträgt die Restschuld noch € 9243,12.

</div>

</div>

</div>

</div>

<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>

== Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant ==

Bei einer Ratenschuld bleit der Tilgungsanteil TA immer gleich groß, wodruch die Schuld sich immer um denselben Wert verringert.

Es gilt
{| border="1" align="center"
|-
| $$TA=\frac{\textrm{Schuld}}{n}$$
|}

'''Begründung''': Da die ganze Schuld durch n Zahlungen zurückgezahlt wird, muss jedes Mal ein "n-tel" der Gesamtschuld getilgt werden.

=== Musterbeispiel Ratenschuld ===

Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch gleich hohe Tilgungsanteile bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Rate ist am Ende des 1. Jahres fällig.

a) Berechne die Höhe des Tilgungsanteiles.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

c) Begründe, warum die Annuität von Jahr zu Jahr kleiner wird.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

$$ TA=\frac{\textrm{Schuld}}{n}=\frac{10.000}{5}$$
$$ \underline{\underline{TA=2.000}}$$

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* i=4%
* TA=2000 für alle 5 Jahre
* Anfangsschuld = 10.000

Somit setzen wir alles ein, was wir schon wissen:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS

|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" |
| align="center" | 2.000
| align="center" |
| align="center" | 8.000
<p style="color:darkred"> $10.000-2.000$ </p>

|-
| align="center" | 2
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |6.000

|-
| align="center" | 3
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |4.000

|-
| align="center" | 4
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |2.000

|-
| align="center" | 5
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |0

|}

Nun können alle weiteren Beträge (Zinsen und Annuitäten) berechnet und eingesetzt werden:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | 400
<p style="color:darkred"> $ZA_1=10.000\cdot 0.04$ </p>
| align="center" | 2.000
| align="center" | 2.400
<p style="color:darkred"> $A_1=ZA_1+TA_1$</p>
| align="center" | 8.000

|-
| align="center" | 2
| align="center" | 320
| align="center" |2.000
| align="center" | 2.320
| align="center" |6.000

|-
| align="center" | 3
| align="center" | 240
| align="center" |2.000
| align="center" | 2.240
| align="center" |4.000

|-
| align="center" | 4
| align="center" | 160
| align="center" |2.000
| align="center" | 2160
| align="center" |2.000

|-
| align="center" | 5
| align="center" | 80
| align="center" |2.000
| align="center" |2.080
| align="center" |0

|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für c) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Da der Zinsanteil immer kleiner wird (die Schuld verringert sich!), der Tilgungsanteil aber konstant bleibt, muss folglich die Annuität ebenfalls kleiner werden, da gilt:
$$ \textrm{Annuität = Zinsanteil + Tilgungsanteil} $$

</div>

</div>

</div>

</div>

== Zinsenschuld - nur die Zinsen werden beglichen ==

Hier wird während der gesamten Laufzeit nichts vom Kreditgetilgt (d.h. TA=0), sondern nur die Zinsen bezahlt. Erst am Ende der Laufzeit wird die ganze Schuld durch eine Einmalzahlung beglichen.

=== Musterbeispiel Zinsenschuld ===

Eine Zinsschuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Annuität ist am Ende des 1. Jahres fällig.

a) Berechne die Höhe der Zinsanteile.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* i=4%
* Anfangsschuld = 10.000

Somit beträgt der Zinsanteil konstant
$$ZA= 10.000\cdot 0.04=400$$.

Nun setzen wir alle Zinsanteile und Restschulden in den Tilgungsplan ein und berechnen zusätzlich noch die Annuitäten:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS

|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | 400
| align="center" | 0
| align="center" | 400
<p style="color:darkred"> $A_1=ZA_1+TA_1=400+0$ </p>
| align="center" | 10.000

|-
| align="center" | 2
| align="center" |400
| align="center" |0
| align="center" | 400
| align="center" |10.000

|-
| align="center" | 3
| align="center" |400
| align="center" |0
| align="center" | 400
| align="center" |10.000

|-
| align="center" | 4
| align="center" | 400
| align="center" |0
| align="center" | 400
| align="center" |<span style="background-color:yellow"> 10.000</span>

|-
| align="center" | 5
| align="center" | 400
| align="center" |<span style="background-color:yellow"> 10.000</span>
| align="center" |10.400
| align="center" |0

|}

</div>

</div>

== Online-Materialien ==
* [http://fbmathe.bbs-bingen.de/Tilgungsrechnung/Aufgaben_Tilgungsrechnung.htm Beispiele und Lösungen von Ansgar Schiffler]

[[Kategorie:Finanzmathematik]]

Schuldentilgung

2014-04-16T12:23:13Z

91.115.36.63: /* Zinsenschuld - nur die Zinsen werden beglichen */

== Einleitung und Begriffe ==

Die Schuldentilgung beschäftigt sich mit dem Tilgen (= Zurückzahlen) einer Schuld. Das typische Beispiel ist das Tilgen eines Bankredits.

{| align="right"
|-
|{{#ev:youtube|bId7a4W6Vko}}
|}

Hierbei unterscheidet man zwischen den folgenden Begriffen:
{|
|-
|
* '''Annuität'''
| = der Betrag, der regelmäßig (z.B. jährlich) zurückgezahlt wird.
|-
|
* '''Zinsenanteil'''
| = jener Anteil der Annuität, der für die Zinsen aufgewendet wird.
|-
|
* '''Tilgungsanteil'''
| = jener Anteil der Annuität, um den die Schuld vermindert wird.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Erklärung der Begriffe anhand eines Beispiels''': </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Peter hat einen [[Rentenrechnung#Begriffe | nachschüssigen]] Kredit von 10.000 € bei 1 % p.a. aufgenommen. Somit fallen nach einem Jahr € 100 Zinsen an. Am Ende jedes Jahres zahlt Peter € 1.100 zurück.
* Die Annuität beträgt € 1.100.
* Der Zinsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 100.
* Der Tilgungsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 1000 (Von den € 1.100 werden € 100 für die Zinsen verwendet und nur € 1.000 reduzieren die Schuld).
* Die Restschuld nach dem 1. Jahr begrägt noch € 9.000.

</div>

</div>

{| border ="1" align="center"
| style="background:#e0e0e0" | Text '''Merke:'''

| style="background:#e0e0e0" | Text

align="center" '''Annuität = Zinsanteil + Tilgungsanteil'''

|}

Je nachdem, wie die Schuld beglichen wird, unterscheidet man zwischen folgenden Formen:
* '''[[Schuldentilgung#Annuitätenschuld - Anniutät bleibt konstant | Annuitätenschuld]]''' - Anniutät bleibt konstant über die ganze Laufzeit konstant.
* '''[[Schuldentilgung#Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant |Ratenschuld]]''' - Tilgungsanteil bleibt konstant
* '''[[Schuldentilgung#Zinsenschuld - nur die Zinsen werden beglichen|Zinsenschuld]]''' - nur die Zinsen werden während der Laufzeit beglichen und der Rest erst am Ende der Laufzeit.

== Tilgungsplan ==

Der Tilgungsplan ist eine tabellarische Aufstellung der Kreditrückzahlung.
Er listet für jedes Jahr auf, wie hoch der Zinsen, der Tilgungsanteil, die Annuität und die Restschuld sind.
Für eine nachschüssige Schuldentilgung ist er folgendermaßen aufgebaut:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |Schuld zu Beginn

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1$
Zinsanteil bei der ersten Zahlung
| align="center" |$TA_1$
Tilgungsanteil der ersten Zahlung
| align="center" |$A_1$
Annuität$_1$ (=Höhe der ersten Zahlung)
| align="center" |$RS_1$
Restschuld nach einem Jahr
|-
| align="center" | 2
| align="center" |$ZA_2$
Zinsanteil bei der zweiten Zahlung
|align="center" | $TA_2$
Tilgungsanteil der zweiten Zahlung
| align="center" |$A_2$
Annuität$_2$ (=Höhe der zweiten Zahlung)
| align="center" | $RS_2$
Restschuld nach dem 2. Jahr

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> ''' Hinweise ''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
*Der Zinsanteil errechnet sich immer mithilfe der Schuld aus dem Vorjahr:
$$ ZA_1=\textrm{Schuld}\cdot \frac{i}{100} $$
* Am Ende eines Tilgungsplanes sollte ganz rechts unten bei der letzten Restschuld natürlich eine 0 stehen (vorausgesetzt die ganze Schuld wird zurückbezahlt).
* '''Vorteile des Tilgungsplans sind:'''
:* Der Tilgungsplan ermöglicht einen schönen Überblck über alle Zahlungen.
:* Die einzelnen Werte können Schritt für Schritt ausgerechnet werden.

</div>

</div>

=== Musterbeispiel Tilgungsplan ===

Peter hat einen nachschüssigen Kredit von 100 € bei einer Verzinsung von 1 % p.a. aufgenommen. Er zahlt jährlich € 10 zurück. Erstelle einen Tilgungsplan!

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''1. Schritt: Beginn des Tilgungsplans''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Die Anfangsschuld ist € 100.
* Die Anniuität ist konstant € 10.
* $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1 $.
* $TA_1=A_1-ZA_1=9$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
* Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_1=100-9=91$

Damit erstellen wir nun die ersten zwei Zeilen des Tilgungsplanes:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $100\cdot \frac{1}{100}=1$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$</p>
| align="center" |$10-1=9$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $TA=A-ZA$ </p>
| align="center" |$10$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $A=TA+ZA$ </p>
| align="center" |$100-9=91$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$ </p>

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''2. Schritt: Fortsetzung des Tilgungsplans ''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Für das 2. Jahr des Tilgungsplans, nimmt man nun aus Ausgangswert die obere Zeile:

* Die alte Restschuld beträgt € 91.
* Die Anniuität ist konstant € 10.
* $ZA_2=91\cdot \frac{1}{100}=0.91 $.
* $TA_2=A_2-ZA_2=9.09$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
* Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_2=91-9.09=81.91$

Dies setzt man nun in den Tilgungsplan ein:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $100\cdot \frac{1}{100}=1$
| align="center" |$10-1=9$
| align="center" |$10$
| align="center" |$100-9=91$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $91\cdot \frac{1}{100}=0.91$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$</p>
| align="center" |$10-0.91=9.09$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $TA=A-ZA$ </p>
| align="center" |$10$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $A=TA+ZA$ </p>
| align="center" |$91-9.09=81.91$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$ </p>

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''3. Schritt: Vollständiger Tilgungsplan''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $100\cdot \frac{1}{100}=1$
| align="center" |$10-1=9$
| align="center" |$10$
| align="center" |$100-9=91$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $0.91$
| align="center" |$9.09$
| align="center" |$10$
| align="center" |$81.91$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $0.82$
| align="center" |$9.18$
| align="center" |$10$
| align="center" |$72.73$

|-
| align="center" | 4
| align="center" | $0.73$
| align="center" |$9.27$
| align="center" |$10$
| align="center" |$63.46$

|-
| align="center" | 5
| align="center" | $0.63$
| align="center" |$9.37$
| align="center" |$10$
| align="center" |$54.09$

|-
| align="center" | 6
| align="center" | $0.54$
| align="center" |$9.46$
| align="center" |$10$
| align="center" |$44.63$

|-
| align="center" | 7
| align="center" | $0.45$
| align="center" |$9.55$
| align="center" |$10$
| align="center" |$35.08$

|-
| align="center" | 8
| align="center" | $0.35$
| align="center" |$9.65$
| align="center" |$10$
| align="center" |$25.43$

|-
| align="center" | 9
| align="center" | $0.25$
| align="center" |$9.75$
| align="center" |$10$
| align="center" |$15.68$

|-
| align="center" | 10
| align="center" | $0.16$
| align="center" |$9.84$
| align="center" |$10$
| align="center" |<span style="background-color:yellow"> '''$5.84$''' </span>

|-
| align="center" | 11
| align="center" | $0.06$
| align="center" | <span style="background-color:yellow"> '''$5.84$''' </span>
Die Restschuld von 5.84 wird getilgt.
| align="center" |'''$5.90$'''
$A=ZA+TA$
| align="center" |$0$

|}

'''Achtung!'''
Bei der 11. Zahlung muss nur noch eine Schuld von 5.84 (gelb unterlegt!) getilgt werden. Aus diesem Grund beträgt der Tilgungsanteil € 5.84!
Die Annuität beträgt dann nicht mehr € 10 (sonst würden wir ja zuviel zurückzahlen) sondern nur noch
$$ A = \textrm{Höhe des Tilgungsanteiles} + \textrm{die Höhe der Zinsen} $$
$$ A= 5.84+0.06 $$
$$A= 5.90$$

</div>

</div>

</div>

</div>

Weitere Beispiele findest du im 3. Klasse Buch (Trauner) auf den Seiten 174ff....

== Annuitätenschuld - Annuität bleibt konstant ==

Bei einer Anniutätenschuld bleibt die Höhe der Annuität (Betrag der regelmäßig eingezahlt wird) konstant. Somit handelt es sich bei der Annuitätenschuld um eine [[Rentenrechnung | Rente]], da
* ein konstanter Betrag (=Annuität)
* in konstanten Zeitabständen
eingezahlt wird.
Wichtig:
# Die Annuität entspricht dabei der Rate R.
# Die Schuld entspricht dem Barwert B (Wert aller Zahlungen am Beginn = Anfangsschuld)

Somit benötigt man bei der Annuitätenschuld die [[Rentenrechnung#Formeln | Formeln für den Barwert]].

=== Musterbeispiele Annuitätenschuld ===

----

==== Beispiel für jährliche Zahlungen ====
Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 gleich hohen, jährlichen Raten bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Rate ist am Ende des 1. Jahres fällig.

a) Berechne die Höhe der Raten.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

c) Begründe, warum der Tilgungsanteil von Jahr zu Jahr größer wird.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* B=10.000
* n=5
* i=4 % p.a. $\rightarrow$ r=1.05 $\rightarrow$ $v=\frac{1}{r}=0.9615$
* nachschüssig

$$ B=R\cdot v\cdot \frac{v^5-1}{v-1} $$
$$ 10.000 = R\cdot 0.95238\cdot \frac{0.95238^5-1}{0.95238-1} $$
$$ \underline{\underline{R= 2246.27}} $$

A: Die Höhe der Annuität (=Rate) beträgt € 2246.27.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Die Anzahl der Jahre ist 5 $\rightarrow$ somit brauchen wir 6 Zeilen (von 0 bis 5).
* Die Annuität A ist konstant € 2246.27. Somit kann in der Spalte Annuität für alle 5 Jahre 2246.27 eingesetzt werden.
* Anfangsschuld = 10.000

Somit kann man bereits die Rohform des Tilgungsplanes erstellen:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 2
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 3
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 4
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 5
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|}

Nun berechnen wir von links nach rechts und von oben nach unden die einzelnen Werte:

* $i=4$ % $\rightarrow$ $ZA_1=10.000\cdot \frac{4}{100} =400$
* $TA_1=A_1-ZA_1 = 2246,27-400 = 1846.27$
* $RS_1=10.000-1846.27=8153.73$
* usw.

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $400$
| align="center" |$1846.272$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$
8153.73$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $326.15$
| align="center" |$1920.12$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$6233,61$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $249.34$
| align="center" |$1996.93$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$4236,68$

|-
| align="center" | 4
| align="center" | $169.47$
| align="center" |$2076.80$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$2159.88$

|-
| align="center" | 5
| align="center" | $86.40$
| align="center" |$2159.87$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$
0.01$

|}

'''Achtung!''' Die Restschuld im 5. Jahr (=0.01) ist aufgrund der Rundungen, die wir durchgeführt haben nicht genau 0.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung von c) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Weil die Schuld von Jahr zu Jahr abnimmt, wird der Zinsanteil ebenfalls immer kleiner. Da die Annuität konstant bleibt, wird deshalb der Tilgungsanteil immer größer (Erinnerung: Tilgungsanteil ist $TA=A-ZA$ ist).

</div>

</div>

</div>

</div>

==== Beispiel: Monatliche Zahlungen ====
Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch gleich hohe, monatliche Zahlunge bei i=4% p.a. zu tilgen.

a) Berechne die Höhe der Raten.

b) Stelle den Tilgungsplan für die ersten 3 Monate auf und berechne damit die Restschuld nach 3 Monaten.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* R=?
* B=10.000
* n=$5\cdot 12=60$
* i=4 % p.a. $\rightarrow$ r=1.04 $\rightarrow$ $r_{12}=\sqrt[12]{1.04}=1.00327$ $\rightarrow$ $v_{12}=\frac{1}{r_{12}}=0.9967$
!!'''Achtung'''!! Bei unterjährien Einzahlungen (z.B. monatliche) muss der [[Zins- und Zinseszinsrechnung#b) der konforme (äquivalente) Zinssatz|konforme Zinssatz]] berechnet werden!!
* nachschüssig

$$ B=R\cdot v_{12}\cdot \frac{v_{12}^{60}-1}{v_{12}-1} $$
$$ \underline{\underline{R=184.17}}$$

A: Die monatliche Annuität beträgt € 184.17.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Da $r_{12}=1.00327$ (siehe a) beträgt der Monatszinssatz $i_{12}=0.327$ % p.m.
* Die Annuität ist konstant 284.17 (siehe a)
* Anfangsschuld = 10.000

Somit kann der Tilgungsplan aufgestellt werden:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Monat
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $32,70$
| align="center" | $251,47$
| align="center" |$284,17$
| align="center" | $9748,53$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $31,88$
| align="center" |$252,29$
| align="center" |$284,17$
| align="center" |$9496,24$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $31,05$
| align="center" | $253,12$
| align="center" |$284,17$
| align="center" | $9243,12$

|}

A: Nach 3 Monaten beträgt die Restschuld noch € 9243,12.

</div>

</div>

</div>

</div>

== Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant ==

Bei einer Ratenschuld bleit der Tilgungsanteil TA immer gleich groß, wodruch die Schuld sich immer um denselben Wert verringert.

Es gilt
{| border="1" align="center"
|-
| $$TA=\frac{\textrm{Schuld}}{n}$$
|}

'''Begründung''': Da die ganze Schuld durch n Zahlungen zurückgezahlt wird, muss jedes Mal ein "n-tel" der Gesamtschuld getilgt werden.

=== Musterbeispiel Ratenschuld ===

Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch gleich hohe Tilgungsanteile bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Rate ist am Ende des 1. Jahres fällig.

a) Berechne die Höhe des Tilgungsanteiles.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

c) Begründe, warum die Annuität von Jahr zu Jahr kleiner wird.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

$$ TA=\frac{\textrm{Schuld}}{n}=\frac{10.000}{5}$$
$$ \underline{\underline{TA=2.000}}$$

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* i=4%
* TA=2000 für alle 5 Jahre
* Anfangsschuld = 10.000

Somit setzen wir alles ein, was wir schon wissen:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS

|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" |
| align="center" | 2.000
| align="center" |
| align="center" | 8.000
<p style="color:darkred"> $10.000-2.000$ </p>

|-
| align="center" | 2
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |6.000

|-
| align="center" | 3
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |4.000

|-
| align="center" | 4
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |2.000

|-
| align="center" | 5
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |0

|}

Nun können alle weiteren Beträge (Zinsen und Annuitäten) berechnet und eingesetzt werden:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | 400
<p style="color:darkred"> $ZA_1=10.000\cdot 0.04$ </p>
| align="center" | 2.000
| align="center" | 2.400
<p style="color:darkred"> $A_1=ZA_1+TA_1$</p>
| align="center" | 8.000

|-
| align="center" | 2
| align="center" | 320
| align="center" |2.000
| align="center" | 2.320
| align="center" |6.000

|-
| align="center" | 3
| align="center" | 240
| align="center" |2.000
| align="center" | 2.240
| align="center" |4.000

|-
| align="center" | 4
| align="center" | 160
| align="center" |2.000
| align="center" | 2160
| align="center" |2.000

|-
| align="center" | 5
| align="center" | 80
| align="center" |2.000
| align="center" |2.080
| align="center" |0

|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für c) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Da der Zinsanteil immer kleiner wird (die Schuld verringert sich!), der Tilgungsanteil aber konstant bleibt, muss folglich die Annuität ebenfalls kleiner werden, da gilt:
$$ \textrm{Annuität = Zinsanteil + Tilgungsanteil} $$

</div>

</div>

</div>

</div>

== Zinsenschuld - nur die Zinsen werden beglichen ==

Hier wird während der gesamten Laufzeit nichts vom Kreditgetilgt (d.h. TA=0), sondern nur die Zinsen bezahlt. Erst am Ende der Laufzeit wird die ganze Schuld durch eine Einmalzahlung beglichen.

=== Musterbeispiel Zinsenschuld ===

Eine Zinsschuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Annuität ist am Ende des 1. Jahres fällig.

a) Berechne die Höhe der Zinsanteile.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* i=4%
* Anfangsschuld = 10.000

Somit beträgt der Zinsanteil konstant
$$ZA= 10.000\cdot 0.04=400$$.

Nun setzen wir alle Zinsanteile und Restschulden in den Tilgungsplan ein und berechnen zusätzlich noch die Annuitäten:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS

|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | 400
| align="center" | 0
| align="center" | 400
<p style="color:darkred"> $A_1=ZA_1+TA_1=400+0$ </p>
| align="center" | 10.000

|-
| align="center" | 2
| align="center" |400
| align="center" |0
| align="center" | 400
| align="center" |10.000

|-
| align="center" | 3
| align="center" |400
| align="center" |0
| align="center" | 400
| align="center" |10.000

|-
| align="center" | 4
| align="center" | 400
| align="center" |0
| align="center" | 400
| align="center" |<span style="background-color:yellow"> 10.000</span>

|-
| align="center" | 5
| align="center" | 400
| align="center" |<span style="background-color:yellow"> 10.000</span>
| align="center" |10.400
| align="center" |0

|}

</div>

</div>

== Online-Materialien ==
* [http://fbmathe.bbs-bingen.de/Tilgungsrechnung/Aufgaben_Tilgungsrechnung.htm Beispiele und Lösungen von Ansgar Schiffler]

[[Kategorie:Finanzmathematik]]

Schuldentilgung

2014-04-16T12:22:37Z

91.115.36.63: /* Musterbeispiel */

== Einleitung und Begriffe ==

Die Schuldentilgung beschäftigt sich mit dem Tilgen (= Zurückzahlen) einer Schuld. Das typische Beispiel ist das Tilgen eines Bankredits.

{| align="right"
|-
|{{#ev:youtube|bId7a4W6Vko}}
|}

Hierbei unterscheidet man zwischen den folgenden Begriffen:
{|
|-
|
* '''Annuität'''
| = der Betrag, der regelmäßig (z.B. jährlich) zurückgezahlt wird.
|-
|
* '''Zinsenanteil'''
| = jener Anteil der Annuität, der für die Zinsen aufgewendet wird.
|-
|
* '''Tilgungsanteil'''
| = jener Anteil der Annuität, um den die Schuld vermindert wird.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Erklärung der Begriffe anhand eines Beispiels''': </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Peter hat einen [[Rentenrechnung#Begriffe | nachschüssigen]] Kredit von 10.000 € bei 1 % p.a. aufgenommen. Somit fallen nach einem Jahr € 100 Zinsen an. Am Ende jedes Jahres zahlt Peter € 1.100 zurück.
* Die Annuität beträgt € 1.100.
* Der Zinsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 100.
* Der Tilgungsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 1000 (Von den € 1.100 werden € 100 für die Zinsen verwendet und nur € 1.000 reduzieren die Schuld).
* Die Restschuld nach dem 1. Jahr begrägt noch € 9.000.

</div>

</div>

{| border ="1" align="center"
| style="background:#e0e0e0" | Text '''Merke:'''

| style="background:#e0e0e0" | Text

align="center" '''Annuität = Zinsanteil + Tilgungsanteil'''

|}

Je nachdem, wie die Schuld beglichen wird, unterscheidet man zwischen folgenden Formen:
* '''[[Schuldentilgung#Annuitätenschuld - Anniutät bleibt konstant | Annuitätenschuld]]''' - Anniutät bleibt konstant über die ganze Laufzeit konstant.
* '''[[Schuldentilgung#Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant |Ratenschuld]]''' - Tilgungsanteil bleibt konstant
* '''[[Schuldentilgung#Zinsenschuld - nur die Zinsen werden beglichen|Zinsenschuld]]''' - nur die Zinsen werden während der Laufzeit beglichen und der Rest erst am Ende der Laufzeit.

== Tilgungsplan ==

Der Tilgungsplan ist eine tabellarische Aufstellung der Kreditrückzahlung.
Er listet für jedes Jahr auf, wie hoch der Zinsen, der Tilgungsanteil, die Annuität und die Restschuld sind.
Für eine nachschüssige Schuldentilgung ist er folgendermaßen aufgebaut:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |Schuld zu Beginn

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1$
Zinsanteil bei der ersten Zahlung
| align="center" |$TA_1$
Tilgungsanteil der ersten Zahlung
| align="center" |$A_1$
Annuität$_1$ (=Höhe der ersten Zahlung)
| align="center" |$RS_1$
Restschuld nach einem Jahr
|-
| align="center" | 2
| align="center" |$ZA_2$
Zinsanteil bei der zweiten Zahlung
|align="center" | $TA_2$
Tilgungsanteil der zweiten Zahlung
| align="center" |$A_2$
Annuität$_2$ (=Höhe der zweiten Zahlung)
| align="center" | $RS_2$
Restschuld nach dem 2. Jahr

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> ''' Hinweise ''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
*Der Zinsanteil errechnet sich immer mithilfe der Schuld aus dem Vorjahr:
$$ ZA_1=\textrm{Schuld}\cdot \frac{i}{100} $$
* Am Ende eines Tilgungsplanes sollte ganz rechts unten bei der letzten Restschuld natürlich eine 0 stehen (vorausgesetzt die ganze Schuld wird zurückbezahlt).
* '''Vorteile des Tilgungsplans sind:'''
:* Der Tilgungsplan ermöglicht einen schönen Überblck über alle Zahlungen.
:* Die einzelnen Werte können Schritt für Schritt ausgerechnet werden.

</div>

</div>

=== Musterbeispiel Tilgungsplan ===

Peter hat einen nachschüssigen Kredit von 100 € bei einer Verzinsung von 1 % p.a. aufgenommen. Er zahlt jährlich € 10 zurück. Erstelle einen Tilgungsplan!

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''1. Schritt: Beginn des Tilgungsplans''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Die Anfangsschuld ist € 100.
* Die Anniuität ist konstant € 10.
* $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1 $.
* $TA_1=A_1-ZA_1=9$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
* Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_1=100-9=91$

Damit erstellen wir nun die ersten zwei Zeilen des Tilgungsplanes:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $100\cdot \frac{1}{100}=1$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$</p>
| align="center" |$10-1=9$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $TA=A-ZA$ </p>
| align="center" |$10$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $A=TA+ZA$ </p>
| align="center" |$100-9=91$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$ </p>

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''2. Schritt: Fortsetzung des Tilgungsplans ''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Für das 2. Jahr des Tilgungsplans, nimmt man nun aus Ausgangswert die obere Zeile:

* Die alte Restschuld beträgt € 91.
* Die Anniuität ist konstant € 10.
* $ZA_2=91\cdot \frac{1}{100}=0.91 $.
* $TA_2=A_2-ZA_2=9.09$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
* Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_2=91-9.09=81.91$

Dies setzt man nun in den Tilgungsplan ein:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $100\cdot \frac{1}{100}=1$
| align="center" |$10-1=9$
| align="center" |$10$
| align="center" |$100-9=91$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $91\cdot \frac{1}{100}=0.91$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$</p>
| align="center" |$10-0.91=9.09$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $TA=A-ZA$ </p>
| align="center" |$10$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $A=TA+ZA$ </p>
| align="center" |$91-9.09=81.91$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$ </p>

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''3. Schritt: Vollständiger Tilgungsplan''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $100\cdot \frac{1}{100}=1$
| align="center" |$10-1=9$
| align="center" |$10$
| align="center" |$100-9=91$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $0.91$
| align="center" |$9.09$
| align="center" |$10$
| align="center" |$81.91$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $0.82$
| align="center" |$9.18$
| align="center" |$10$
| align="center" |$72.73$

|-
| align="center" | 4
| align="center" | $0.73$
| align="center" |$9.27$
| align="center" |$10$
| align="center" |$63.46$

|-
| align="center" | 5
| align="center" | $0.63$
| align="center" |$9.37$
| align="center" |$10$
| align="center" |$54.09$

|-
| align="center" | 6
| align="center" | $0.54$
| align="center" |$9.46$
| align="center" |$10$
| align="center" |$44.63$

|-
| align="center" | 7
| align="center" | $0.45$
| align="center" |$9.55$
| align="center" |$10$
| align="center" |$35.08$

|-
| align="center" | 8
| align="center" | $0.35$
| align="center" |$9.65$
| align="center" |$10$
| align="center" |$25.43$

|-
| align="center" | 9
| align="center" | $0.25$
| align="center" |$9.75$
| align="center" |$10$
| align="center" |$15.68$

|-
| align="center" | 10
| align="center" | $0.16$
| align="center" |$9.84$
| align="center" |$10$
| align="center" |<span style="background-color:yellow"> '''$5.84$''' </span>

|-
| align="center" | 11
| align="center" | $0.06$
| align="center" | <span style="background-color:yellow"> '''$5.84$''' </span>
Die Restschuld von 5.84 wird getilgt.
| align="center" |'''$5.90$'''
$A=ZA+TA$
| align="center" |$0$

|}

'''Achtung!'''
Bei der 11. Zahlung muss nur noch eine Schuld von 5.84 (gelb unterlegt!) getilgt werden. Aus diesem Grund beträgt der Tilgungsanteil € 5.84!
Die Annuität beträgt dann nicht mehr € 10 (sonst würden wir ja zuviel zurückzahlen) sondern nur noch
$$ A = \textrm{Höhe des Tilgungsanteiles} + \textrm{die Höhe der Zinsen} $$
$$ A= 5.84+0.06 $$
$$A= 5.90$$

</div>

</div>

</div>

</div>

Weitere Beispiele findest du im 3. Klasse Buch (Trauner) auf den Seiten 174ff....

== Annuitätenschuld - Annuität bleibt konstant ==

Bei einer Anniutätenschuld bleibt die Höhe der Annuität (Betrag der regelmäßig eingezahlt wird) konstant. Somit handelt es sich bei der Annuitätenschuld um eine [[Rentenrechnung | Rente]], da
* ein konstanter Betrag (=Annuität)
* in konstanten Zeitabständen
eingezahlt wird.
Wichtig:
# Die Annuität entspricht dabei der Rate R.
# Die Schuld entspricht dem Barwert B (Wert aller Zahlungen am Beginn = Anfangsschuld)

Somit benötigt man bei der Annuitätenschuld die [[Rentenrechnung#Formeln | Formeln für den Barwert]].

=== Musterbeispiele Annuitätenschuld ===

----

==== Beispiel für jährliche Zahlungen ====
Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 gleich hohen, jährlichen Raten bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Rate ist am Ende des 1. Jahres fällig.

a) Berechne die Höhe der Raten.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

c) Begründe, warum der Tilgungsanteil von Jahr zu Jahr größer wird.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* B=10.000
* n=5
* i=4 % p.a. $\rightarrow$ r=1.05 $\rightarrow$ $v=\frac{1}{r}=0.9615$
* nachschüssig

$$ B=R\cdot v\cdot \frac{v^5-1}{v-1} $$
$$ 10.000 = R\cdot 0.95238\cdot \frac{0.95238^5-1}{0.95238-1} $$
$$ \underline{\underline{R= 2246.27}} $$

A: Die Höhe der Annuität (=Rate) beträgt € 2246.27.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Die Anzahl der Jahre ist 5 $\rightarrow$ somit brauchen wir 6 Zeilen (von 0 bis 5).
* Die Annuität A ist konstant € 2246.27. Somit kann in der Spalte Annuität für alle 5 Jahre 2246.27 eingesetzt werden.
* Anfangsschuld = 10.000

Somit kann man bereits die Rohform des Tilgungsplanes erstellen:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 2
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 3
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 4
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 5
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|}

Nun berechnen wir von links nach rechts und von oben nach unden die einzelnen Werte:

* $i=4$ % $\rightarrow$ $ZA_1=10.000\cdot \frac{4}{100} =400$
* $TA_1=A_1-ZA_1 = 2246,27-400 = 1846.27$
* $RS_1=10.000-1846.27=8153.73$
* usw.

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $400$
| align="center" |$1846.272$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$
8153.73$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $326.15$
| align="center" |$1920.12$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$6233,61$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $249.34$
| align="center" |$1996.93$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$4236,68$

|-
| align="center" | 4
| align="center" | $169.47$
| align="center" |$2076.80$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$2159.88$

|-
| align="center" | 5
| align="center" | $86.40$
| align="center" |$2159.87$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$
0.01$

|}

'''Achtung!''' Die Restschuld im 5. Jahr (=0.01) ist aufgrund der Rundungen, die wir durchgeführt haben nicht genau 0.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung von c) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Weil die Schuld von Jahr zu Jahr abnimmt, wird der Zinsanteil ebenfalls immer kleiner. Da die Annuität konstant bleibt, wird deshalb der Tilgungsanteil immer größer (Erinnerung: Tilgungsanteil ist $TA=A-ZA$ ist).

</div>

</div>

</div>

</div>

==== Beispiel: Monatliche Zahlungen ====
Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch gleich hohe, monatliche Zahlunge bei i=4% p.a. zu tilgen.

a) Berechne die Höhe der Raten.

b) Stelle den Tilgungsplan für die ersten 3 Monate auf und berechne damit die Restschuld nach 3 Monaten.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* R=?
* B=10.000
* n=$5\cdot 12=60$
* i=4 % p.a. $\rightarrow$ r=1.04 $\rightarrow$ $r_{12}=\sqrt[12]{1.04}=1.00327$ $\rightarrow$ $v_{12}=\frac{1}{r_{12}}=0.9967$
!!'''Achtung'''!! Bei unterjährien Einzahlungen (z.B. monatliche) muss der [[Zins- und Zinseszinsrechnung#b) der konforme (äquivalente) Zinssatz|konforme Zinssatz]] berechnet werden!!
* nachschüssig

$$ B=R\cdot v_{12}\cdot \frac{v_{12}^{60}-1}{v_{12}-1} $$
$$ \underline{\underline{R=184.17}}$$

A: Die monatliche Annuität beträgt € 184.17.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Da $r_{12}=1.00327$ (siehe a) beträgt der Monatszinssatz $i_{12}=0.327$ % p.m.
* Die Annuität ist konstant 284.17 (siehe a)
* Anfangsschuld = 10.000

Somit kann der Tilgungsplan aufgestellt werden:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Monat
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $32,70$
| align="center" | $251,47$
| align="center" |$284,17$
| align="center" | $9748,53$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $31,88$
| align="center" |$252,29$
| align="center" |$284,17$
| align="center" |$9496,24$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $31,05$
| align="center" | $253,12$
| align="center" |$284,17$
| align="center" | $9243,12$

|}

A: Nach 3 Monaten beträgt die Restschuld noch € 9243,12.

</div>

</div>

</div>

</div>

== Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant ==

Bei einer Ratenschuld bleit der Tilgungsanteil TA immer gleich groß, wodruch die Schuld sich immer um denselben Wert verringert.

Es gilt
{| border="1" align="center"
|-
| $$TA=\frac{\textrm{Schuld}}{n}$$
|}

'''Begründung''': Da die ganze Schuld durch n Zahlungen zurückgezahlt wird, muss jedes Mal ein "n-tel" der Gesamtschuld getilgt werden.

=== Musterbeispiel Ratenschuld ===

Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch gleich hohe Tilgungsanteile bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Rate ist am Ende des 1. Jahres fällig.

a) Berechne die Höhe des Tilgungsanteiles.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

c) Begründe, warum die Annuität von Jahr zu Jahr kleiner wird.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

$$ TA=\frac{\textrm{Schuld}}{n}=\frac{10.000}{5}$$
$$ \underline{\underline{TA=2.000}}$$

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* i=4%
* TA=2000 für alle 5 Jahre
* Anfangsschuld = 10.000

Somit setzen wir alles ein, was wir schon wissen:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS

|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" |
| align="center" | 2.000
| align="center" |
| align="center" | 8.000
<p style="color:darkred"> $10.000-2.000$ </p>

|-
| align="center" | 2
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |6.000

|-
| align="center" | 3
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |4.000

|-
| align="center" | 4
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |2.000

|-
| align="center" | 5
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |0

|}

Nun können alle weiteren Beträge (Zinsen und Annuitäten) berechnet und eingesetzt werden:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | 400
<p style="color:darkred"> $ZA_1=10.000\cdot 0.04$ </p>
| align="center" | 2.000
| align="center" | 2.400
<p style="color:darkred"> $A_1=ZA_1+TA_1$</p>
| align="center" | 8.000

|-
| align="center" | 2
| align="center" | 320
| align="center" |2.000
| align="center" | 2.320
| align="center" |6.000

|-
| align="center" | 3
| align="center" | 240
| align="center" |2.000
| align="center" | 2.240
| align="center" |4.000

|-
| align="center" | 4
| align="center" | 160
| align="center" |2.000
| align="center" | 2160
| align="center" |2.000

|-
| align="center" | 5
| align="center" | 80
| align="center" |2.000
| align="center" |2.080
| align="center" |0

|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für c) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Da der Zinsanteil immer kleiner wird (die Schuld verringert sich!), der Tilgungsanteil aber konstant bleibt, muss folglich die Annuität ebenfalls kleiner werden, da gilt:
$$ \textrm{Annuität = Zinsanteil + Tilgungsanteil} $$

</div>

</div>

</div>

</div>

== Zinsenschuld - nur die Zinsen werden beglichen ==

Hier wird während der gesamten Laufzeit nichts vom Kreditgetilgt (d.h. TA=0), sondern nur die Zinsen bezahlt. Erst am Ende der Laufzeit wird die ganze Schuld durch eine Einmalzahlung beglichen.

=== Musterbeispiel Zinsenschuld ===

Eine Zinsschuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Annuität ist am Ende des 1. Jahres fällig.

a) Berechne die Höhe der Zinsanteile.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* i=4%
* Anfangsschuld = 10.000

Somit beträgt der Zinsanteil konstant
$$ZA= 10.000\cdot 0.04=400$$.

Nun setzen wir alle Zinsanteile und Restschulden in den Tilgungsplan ein und berechnen zusätzlich noch die Annuitäten:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS

|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | 400
| align="center" | 0
| align="center" | 400
<p style="color:darkred"> $A_1=ZA_1+TA_1=400+0$ </p>
| align="center" | 10.000

|-
| align="center" | 2
| align="center" |400
| align="center" |0
| align="center" | 400
| align="center" |10.000

|-
| align="center" | 3
| align="center" |400
| align="center" |0
| align="center" | 400
| align="center" |10.000

|-
| align="center" | 4
| align="center" | 400
| align="center" |0
| align="center" | 400
| align="center" |<span style="background-color:yellow"> 10.000</span>

|-
| align="center" | 5
| align="center" | 400
| align="center" |<span style="background-color:yellow"> 10.000</span>
| align="center" |10.400
| align="center" |0

|}

</div>

</div>

== Online-Materialien ==
* [http://fbmathe.bbs-bingen.de/Tilgungsrechnung/Aufgaben_Tilgungsrechnung.htm Beispiele und Lösungen von Ansgar Schiffler]

[[Kategorie:Finanzmathematik]]

Schuldentilgung

2014-04-16T12:22:11Z

91.115.36.63: /* Musterbeispiel */

== Einleitung und Begriffe ==

Die Schuldentilgung beschäftigt sich mit dem Tilgen (= Zurückzahlen) einer Schuld. Das typische Beispiel ist das Tilgen eines Bankredits.

{| align="right"
|-
|{{#ev:youtube|bId7a4W6Vko}}
|}

Hierbei unterscheidet man zwischen den folgenden Begriffen:
{|
|-
|
* '''Annuität'''
| = der Betrag, der regelmäßig (z.B. jährlich) zurückgezahlt wird.
|-
|
* '''Zinsenanteil'''
| = jener Anteil der Annuität, der für die Zinsen aufgewendet wird.
|-
|
* '''Tilgungsanteil'''
| = jener Anteil der Annuität, um den die Schuld vermindert wird.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Erklärung der Begriffe anhand eines Beispiels''': </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Peter hat einen [[Rentenrechnung#Begriffe | nachschüssigen]] Kredit von 10.000 € bei 1 % p.a. aufgenommen. Somit fallen nach einem Jahr € 100 Zinsen an. Am Ende jedes Jahres zahlt Peter € 1.100 zurück.
* Die Annuität beträgt € 1.100.
* Der Zinsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 100.
* Der Tilgungsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 1000 (Von den € 1.100 werden € 100 für die Zinsen verwendet und nur € 1.000 reduzieren die Schuld).
* Die Restschuld nach dem 1. Jahr begrägt noch € 9.000.

</div>

</div>

{| border ="1" align="center"
| style="background:#e0e0e0" | Text '''Merke:'''

| style="background:#e0e0e0" | Text

align="center" '''Annuität = Zinsanteil + Tilgungsanteil'''

|}

Je nachdem, wie die Schuld beglichen wird, unterscheidet man zwischen folgenden Formen:
* '''[[Schuldentilgung#Annuitätenschuld - Anniutät bleibt konstant | Annuitätenschuld]]''' - Anniutät bleibt konstant über die ganze Laufzeit konstant.
* '''[[Schuldentilgung#Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant |Ratenschuld]]''' - Tilgungsanteil bleibt konstant
* '''[[Schuldentilgung#Zinsenschuld - nur die Zinsen werden beglichen|Zinsenschuld]]''' - nur die Zinsen werden während der Laufzeit beglichen und der Rest erst am Ende der Laufzeit.

== Tilgungsplan ==

Der Tilgungsplan ist eine tabellarische Aufstellung der Kreditrückzahlung.
Er listet für jedes Jahr auf, wie hoch der Zinsen, der Tilgungsanteil, die Annuität und die Restschuld sind.
Für eine nachschüssige Schuldentilgung ist er folgendermaßen aufgebaut:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |Schuld zu Beginn

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1$
Zinsanteil bei der ersten Zahlung
| align="center" |$TA_1$
Tilgungsanteil der ersten Zahlung
| align="center" |$A_1$
Annuität$_1$ (=Höhe der ersten Zahlung)
| align="center" |$RS_1$
Restschuld nach einem Jahr
|-
| align="center" | 2
| align="center" |$ZA_2$
Zinsanteil bei der zweiten Zahlung
|align="center" | $TA_2$
Tilgungsanteil der zweiten Zahlung
| align="center" |$A_2$
Annuität$_2$ (=Höhe der zweiten Zahlung)
| align="center" | $RS_2$
Restschuld nach dem 2. Jahr

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> ''' Hinweise ''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
*Der Zinsanteil errechnet sich immer mithilfe der Schuld aus dem Vorjahr:
$$ ZA_1=\textrm{Schuld}\cdot \frac{i}{100} $$
* Am Ende eines Tilgungsplanes sollte ganz rechts unten bei der letzten Restschuld natürlich eine 0 stehen (vorausgesetzt die ganze Schuld wird zurückbezahlt).
* '''Vorteile des Tilgungsplans sind:'''
:* Der Tilgungsplan ermöglicht einen schönen Überblck über alle Zahlungen.
:* Die einzelnen Werte können Schritt für Schritt ausgerechnet werden.

</div>

</div>

=== Musterbeispiel Tilgungsplan ===

Peter hat einen nachschüssigen Kredit von 100 € bei einer Verzinsung von 1 % p.a. aufgenommen. Er zahlt jährlich € 10 zurück. Erstelle einen Tilgungsplan!

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''1. Schritt: Beginn des Tilgungsplans''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Die Anfangsschuld ist € 100.
* Die Anniuität ist konstant € 10.
* $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1 $.
* $TA_1=A_1-ZA_1=9$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
* Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_1=100-9=91$

Damit erstellen wir nun die ersten zwei Zeilen des Tilgungsplanes:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $100\cdot \frac{1}{100}=1$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$</p>
| align="center" |$10-1=9$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $TA=A-ZA$ </p>
| align="center" |$10$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $A=TA+ZA$ </p>
| align="center" |$100-9=91$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$ </p>

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''2. Schritt: Fortsetzung des Tilgungsplans ''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Für das 2. Jahr des Tilgungsplans, nimmt man nun aus Ausgangswert die obere Zeile:

* Die alte Restschuld beträgt € 91.
* Die Anniuität ist konstant € 10.
* $ZA_2=91\cdot \frac{1}{100}=0.91 $.
* $TA_2=A_2-ZA_2=9.09$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
* Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_2=91-9.09=81.91$

Dies setzt man nun in den Tilgungsplan ein:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $100\cdot \frac{1}{100}=1$
| align="center" |$10-1=9$
| align="center" |$10$
| align="center" |$100-9=91$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $91\cdot \frac{1}{100}=0.91$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$</p>
| align="center" |$10-0.91=9.09$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $TA=A-ZA$ </p>
| align="center" |$10$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $A=TA+ZA$ </p>
| align="center" |$91-9.09=81.91$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$ </p>

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''3. Schritt: Vollständiger Tilgungsplan''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $100\cdot \frac{1}{100}=1$
| align="center" |$10-1=9$
| align="center" |$10$
| align="center" |$100-9=91$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $0.91$
| align="center" |$9.09$
| align="center" |$10$
| align="center" |$81.91$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $0.82$
| align="center" |$9.18$
| align="center" |$10$
| align="center" |$72.73$

|-
| align="center" | 4
| align="center" | $0.73$
| align="center" |$9.27$
| align="center" |$10$
| align="center" |$63.46$

|-
| align="center" | 5
| align="center" | $0.63$
| align="center" |$9.37$
| align="center" |$10$
| align="center" |$54.09$

|-
| align="center" | 6
| align="center" | $0.54$
| align="center" |$9.46$
| align="center" |$10$
| align="center" |$44.63$

|-
| align="center" | 7
| align="center" | $0.45$
| align="center" |$9.55$
| align="center" |$10$
| align="center" |$35.08$

|-
| align="center" | 8
| align="center" | $0.35$
| align="center" |$9.65$
| align="center" |$10$
| align="center" |$25.43$

|-
| align="center" | 9
| align="center" | $0.25$
| align="center" |$9.75$
| align="center" |$10$
| align="center" |$15.68$

|-
| align="center" | 10
| align="center" | $0.16$
| align="center" |$9.84$
| align="center" |$10$
| align="center" |<span style="background-color:yellow"> '''$5.84$''' </span>

|-
| align="center" | 11
| align="center" | $0.06$
| align="center" | <span style="background-color:yellow"> '''$5.84$''' </span>
Die Restschuld von 5.84 wird getilgt.
| align="center" |'''$5.90$'''
$A=ZA+TA$
| align="center" |$0$

|}

'''Achtung!'''
Bei der 11. Zahlung muss nur noch eine Schuld von 5.84 (gelb unterlegt!) getilgt werden. Aus diesem Grund beträgt der Tilgungsanteil € 5.84!
Die Annuität beträgt dann nicht mehr € 10 (sonst würden wir ja zuviel zurückzahlen) sondern nur noch
$$ A = \textrm{Höhe des Tilgungsanteiles} + \textrm{die Höhe der Zinsen} $$
$$ A= 5.84+0.06 $$
$$A= 5.90$$

</div>

</div>

</div>

</div>

Weitere Beispiele findest du im 3. Klasse Buch (Trauner) auf den Seiten 174ff....

== Annuitätenschuld - Annuität bleibt konstant ==

Bei einer Anniutätenschuld bleibt die Höhe der Annuität (Betrag der regelmäßig eingezahlt wird) konstant. Somit handelt es sich bei der Annuitätenschuld um eine [[Rentenrechnung | Rente]], da
* ein konstanter Betrag (=Annuität)
* in konstanten Zeitabständen
eingezahlt wird.
Wichtig:
# Die Annuität entspricht dabei der Rate R.
# Die Schuld entspricht dem Barwert B (Wert aller Zahlungen am Beginn = Anfangsschuld)

Somit benötigt man bei der Annuitätenschuld die [[Rentenrechnung#Formeln | Formeln für den Barwert]].

=== Musterbeispiele Annuitätenschuld ===

----

==== Beispiel für jährliche Zahlungen ====
Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 gleich hohen, jährlichen Raten bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Rate ist am Ende des 1. Jahres fällig.

a) Berechne die Höhe der Raten.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

c) Begründe, warum der Tilgungsanteil von Jahr zu Jahr größer wird.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* B=10.000
* n=5
* i=4 % p.a. $\rightarrow$ r=1.05 $\rightarrow$ $v=\frac{1}{r}=0.9615$
* nachschüssig

$$ B=R\cdot v\cdot \frac{v^5-1}{v-1} $$
$$ 10.000 = R\cdot 0.95238\cdot \frac{0.95238^5-1}{0.95238-1} $$
$$ \underline{\underline{R= 2246.27}} $$

A: Die Höhe der Annuität (=Rate) beträgt € 2246.27.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Die Anzahl der Jahre ist 5 $\rightarrow$ somit brauchen wir 6 Zeilen (von 0 bis 5).
* Die Annuität A ist konstant € 2246.27. Somit kann in der Spalte Annuität für alle 5 Jahre 2246.27 eingesetzt werden.
* Anfangsschuld = 10.000

Somit kann man bereits die Rohform des Tilgungsplanes erstellen:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 2
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 3
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 4
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 5
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|}

Nun berechnen wir von links nach rechts und von oben nach unden die einzelnen Werte:

* $i=4$ % $\rightarrow$ $ZA_1=10.000\cdot \frac{4}{100} =400$
* $TA_1=A_1-ZA_1 = 2246,27-400 = 1846.27$
* $RS_1=10.000-1846.27=8153.73$
* usw.

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $400$
| align="center" |$1846.272$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$
8153.73$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $326.15$
| align="center" |$1920.12$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$6233,61$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $249.34$
| align="center" |$1996.93$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$4236,68$

|-
| align="center" | 4
| align="center" | $169.47$
| align="center" |$2076.80$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$2159.88$

|-
| align="center" | 5
| align="center" | $86.40$
| align="center" |$2159.87$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$
0.01$

|}

'''Achtung!''' Die Restschuld im 5. Jahr (=0.01) ist aufgrund der Rundungen, die wir durchgeführt haben nicht genau 0.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung von c) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Weil die Schuld von Jahr zu Jahr abnimmt, wird der Zinsanteil ebenfalls immer kleiner. Da die Annuität konstant bleibt, wird deshalb der Tilgungsanteil immer größer (Erinnerung: Tilgungsanteil ist $TA=A-ZA$ ist).

</div>

</div>

</div>

</div>

==== Beispiel: Monatliche Zahlungen ====
Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch gleich hohe, monatliche Zahlunge bei i=4% p.a. zu tilgen.

a) Berechne die Höhe der Raten.

b) Stelle den Tilgungsplan für die ersten 3 Monate auf und berechne damit die Restschuld nach 3 Monaten.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* R=?
* B=10.000
* n=$5\cdot 12=60$
* i=4 % p.a. $\rightarrow$ r=1.04 $\rightarrow$ $r_{12}=\sqrt[12]{1.04}=1.00327$ $\rightarrow$ $v_{12}=\frac{1}{r_{12}}=0.9967$
!!'''Achtung'''!! Bei unterjährien Einzahlungen (z.B. monatliche) muss der [[Zins- und Zinseszinsrechnung#b) der konforme (äquivalente) Zinssatz|konforme Zinssatz]] berechnet werden!!
* nachschüssig

$$ B=R\cdot v_{12}\cdot \frac{v_{12}^{60}-1}{v_{12}-1} $$
$$ \underline{\underline{R=184.17}}$$

A: Die monatliche Annuität beträgt € 184.17.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Da $r_{12}=1.00327$ (siehe a) beträgt der Monatszinssatz $i_{12}=0.327$ % p.m.
* Die Annuität ist konstant 284.17 (siehe a)
* Anfangsschuld = 10.000

Somit kann der Tilgungsplan aufgestellt werden:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Monat
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $32,70$
| align="center" | $251,47$
| align="center" |$284,17$
| align="center" | $9748,53$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $31,88$
| align="center" |$252,29$
| align="center" |$284,17$
| align="center" |$9496,24$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $31,05$
| align="center" | $253,12$
| align="center" |$284,17$
| align="center" | $9243,12$

|}

A: Nach 3 Monaten beträgt die Restschuld noch € 9243,12.

</div>

</div>

</div>

</div>

== Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant ==

Bei einer Ratenschuld bleit der Tilgungsanteil TA immer gleich groß, wodruch die Schuld sich immer um denselben Wert verringert.

Es gilt
{| border="1" align="center"
|-
| $$TA=\frac{\textrm{Schuld}}{n}$$
|}

'''Begründung''': Da die ganze Schuld durch n Zahlungen zurückgezahlt wird, muss jedes Mal ein "n-tel" der Gesamtschuld getilgt werden.

=== Musterbeispiel ===

Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch gleich hohe Tilgungsanteile bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Rate ist am Ende des 1. Jahres fällig.

a) Berechne die Höhe des Tilgungsanteiles.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

c) Begründe, warum die Annuität von Jahr zu Jahr kleiner wird.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

$$ TA=\frac{\textrm{Schuld}}{n}=\frac{10.000}{5}$$
$$ \underline{\underline{TA=2.000}}$$

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* i=4%
* TA=2000 für alle 5 Jahre
* Anfangsschuld = 10.000

Somit setzen wir alles ein, was wir schon wissen:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS

|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" |
| align="center" | 2.000
| align="center" |
| align="center" | 8.000
<p style="color:darkred"> $10.000-2.000$ </p>

|-
| align="center" | 2
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |6.000

|-
| align="center" | 3
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |4.000

|-
| align="center" | 4
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |2.000

|-
| align="center" | 5
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |0

|}

Nun können alle weiteren Beträge (Zinsen und Annuitäten) berechnet und eingesetzt werden:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | 400
<p style="color:darkred"> $ZA_1=10.000\cdot 0.04$ </p>
| align="center" | 2.000
| align="center" | 2.400
<p style="color:darkred"> $A_1=ZA_1+TA_1$</p>
| align="center" | 8.000

|-
| align="center" | 2
| align="center" | 320
| align="center" |2.000
| align="center" | 2.320
| align="center" |6.000

|-
| align="center" | 3
| align="center" | 240
| align="center" |2.000
| align="center" | 2.240
| align="center" |4.000

|-
| align="center" | 4
| align="center" | 160
| align="center" |2.000
| align="center" | 2160
| align="center" |2.000

|-
| align="center" | 5
| align="center" | 80
| align="center" |2.000
| align="center" |2.080
| align="center" |0

|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für c) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Da der Zinsanteil immer kleiner wird (die Schuld verringert sich!), der Tilgungsanteil aber konstant bleibt, muss folglich die Annuität ebenfalls kleiner werden, da gilt:
$$ \textrm{Annuität = Zinsanteil + Tilgungsanteil} $$

</div>

</div>

</div>

</div>

== Zinsenschuld - nur die Zinsen werden beglichen ==

Hier wird während der gesamten Laufzeit nichts vom Kreditgetilgt (d.h. TA=0), sondern nur die Zinsen bezahlt. Erst am Ende der Laufzeit wird die ganze Schuld durch eine Einmalzahlung beglichen.

=== Musterbeispiel Zinsenschuld ===

Eine Zinsschuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Annuität ist am Ende des 1. Jahres fällig.

a) Berechne die Höhe der Zinsanteile.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* i=4%
* Anfangsschuld = 10.000

Somit beträgt der Zinsanteil konstant
$$ZA= 10.000\cdot 0.04=400$$.

Nun setzen wir alle Zinsanteile und Restschulden in den Tilgungsplan ein und berechnen zusätzlich noch die Annuitäten:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS

|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | 400
| align="center" | 0
| align="center" | 400
<p style="color:darkred"> $A_1=ZA_1+TA_1=400+0$ </p>
| align="center" | 10.000

|-
| align="center" | 2
| align="center" |400
| align="center" |0
| align="center" | 400
| align="center" |10.000

|-
| align="center" | 3
| align="center" |400
| align="center" |0
| align="center" | 400
| align="center" |10.000

|-
| align="center" | 4
| align="center" | 400
| align="center" |0
| align="center" | 400
| align="center" |<span style="background-color:yellow"> 10.000</span>

|-
| align="center" | 5
| align="center" | 400
| align="center" |<span style="background-color:yellow"> 10.000</span>
| align="center" |10.400
| align="center" |0

|}

</div>

</div>

== Online-Materialien ==
* [http://fbmathe.bbs-bingen.de/Tilgungsrechnung/Aufgaben_Tilgungsrechnung.htm Beispiele und Lösungen von Ansgar Schiffler]

[[Kategorie:Finanzmathematik]]

Schuldentilgung

2014-04-16T12:21:48Z

91.115.36.63: /* Musterbeispiele */

== Einleitung und Begriffe ==

Die Schuldentilgung beschäftigt sich mit dem Tilgen (= Zurückzahlen) einer Schuld. Das typische Beispiel ist das Tilgen eines Bankredits.

{| align="right"
|-
|{{#ev:youtube|bId7a4W6Vko}}
|}

Hierbei unterscheidet man zwischen den folgenden Begriffen:
{|
|-
|
* '''Annuität'''
| = der Betrag, der regelmäßig (z.B. jährlich) zurückgezahlt wird.
|-
|
* '''Zinsenanteil'''
| = jener Anteil der Annuität, der für die Zinsen aufgewendet wird.
|-
|
* '''Tilgungsanteil'''
| = jener Anteil der Annuität, um den die Schuld vermindert wird.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Erklärung der Begriffe anhand eines Beispiels''': </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Peter hat einen [[Rentenrechnung#Begriffe | nachschüssigen]] Kredit von 10.000 € bei 1 % p.a. aufgenommen. Somit fallen nach einem Jahr € 100 Zinsen an. Am Ende jedes Jahres zahlt Peter € 1.100 zurück.
* Die Annuität beträgt € 1.100.
* Der Zinsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 100.
* Der Tilgungsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 1000 (Von den € 1.100 werden € 100 für die Zinsen verwendet und nur € 1.000 reduzieren die Schuld).
* Die Restschuld nach dem 1. Jahr begrägt noch € 9.000.

</div>

</div>

{| border ="1" align="center"
| style="background:#e0e0e0" | Text '''Merke:'''

| style="background:#e0e0e0" | Text

align="center" '''Annuität = Zinsanteil + Tilgungsanteil'''

|}

Je nachdem, wie die Schuld beglichen wird, unterscheidet man zwischen folgenden Formen:
* '''[[Schuldentilgung#Annuitätenschuld - Anniutät bleibt konstant | Annuitätenschuld]]''' - Anniutät bleibt konstant über die ganze Laufzeit konstant.
* '''[[Schuldentilgung#Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant |Ratenschuld]]''' - Tilgungsanteil bleibt konstant
* '''[[Schuldentilgung#Zinsenschuld - nur die Zinsen werden beglichen|Zinsenschuld]]''' - nur die Zinsen werden während der Laufzeit beglichen und der Rest erst am Ende der Laufzeit.

== Tilgungsplan ==

Der Tilgungsplan ist eine tabellarische Aufstellung der Kreditrückzahlung.
Er listet für jedes Jahr auf, wie hoch der Zinsen, der Tilgungsanteil, die Annuität und die Restschuld sind.
Für eine nachschüssige Schuldentilgung ist er folgendermaßen aufgebaut:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |Schuld zu Beginn

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1$
Zinsanteil bei der ersten Zahlung
| align="center" |$TA_1$
Tilgungsanteil der ersten Zahlung
| align="center" |$A_1$
Annuität$_1$ (=Höhe der ersten Zahlung)
| align="center" |$RS_1$
Restschuld nach einem Jahr
|-
| align="center" | 2
| align="center" |$ZA_2$
Zinsanteil bei der zweiten Zahlung
|align="center" | $TA_2$
Tilgungsanteil der zweiten Zahlung
| align="center" |$A_2$
Annuität$_2$ (=Höhe der zweiten Zahlung)
| align="center" | $RS_2$
Restschuld nach dem 2. Jahr

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> ''' Hinweise ''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
*Der Zinsanteil errechnet sich immer mithilfe der Schuld aus dem Vorjahr:
$$ ZA_1=\textrm{Schuld}\cdot \frac{i}{100} $$
* Am Ende eines Tilgungsplanes sollte ganz rechts unten bei der letzten Restschuld natürlich eine 0 stehen (vorausgesetzt die ganze Schuld wird zurückbezahlt).
* '''Vorteile des Tilgungsplans sind:'''
:* Der Tilgungsplan ermöglicht einen schönen Überblck über alle Zahlungen.
:* Die einzelnen Werte können Schritt für Schritt ausgerechnet werden.

</div>

</div>

=== Musterbeispiel Tilgungsplan ===

Peter hat einen nachschüssigen Kredit von 100 € bei einer Verzinsung von 1 % p.a. aufgenommen. Er zahlt jährlich € 10 zurück. Erstelle einen Tilgungsplan!

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''1. Schritt: Beginn des Tilgungsplans''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Die Anfangsschuld ist € 100.
* Die Anniuität ist konstant € 10.
* $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1 $.
* $TA_1=A_1-ZA_1=9$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
* Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_1=100-9=91$

Damit erstellen wir nun die ersten zwei Zeilen des Tilgungsplanes:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $100\cdot \frac{1}{100}=1$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$</p>
| align="center" |$10-1=9$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $TA=A-ZA$ </p>
| align="center" |$10$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $A=TA+ZA$ </p>
| align="center" |$100-9=91$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$ </p>

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''2. Schritt: Fortsetzung des Tilgungsplans ''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Für das 2. Jahr des Tilgungsplans, nimmt man nun aus Ausgangswert die obere Zeile:

* Die alte Restschuld beträgt € 91.
* Die Anniuität ist konstant € 10.
* $ZA_2=91\cdot \frac{1}{100}=0.91 $.
* $TA_2=A_2-ZA_2=9.09$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
* Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_2=91-9.09=81.91$

Dies setzt man nun in den Tilgungsplan ein:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $100\cdot \frac{1}{100}=1$
| align="center" |$10-1=9$
| align="center" |$10$
| align="center" |$100-9=91$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $91\cdot \frac{1}{100}=0.91$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$</p>
| align="center" |$10-0.91=9.09$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $TA=A-ZA$ </p>
| align="center" |$10$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $A=TA+ZA$ </p>
| align="center" |$91-9.09=81.91$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$ </p>

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''3. Schritt: Vollständiger Tilgungsplan''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $100\cdot \frac{1}{100}=1$
| align="center" |$10-1=9$
| align="center" |$10$
| align="center" |$100-9=91$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $0.91$
| align="center" |$9.09$
| align="center" |$10$
| align="center" |$81.91$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $0.82$
| align="center" |$9.18$
| align="center" |$10$
| align="center" |$72.73$

|-
| align="center" | 4
| align="center" | $0.73$
| align="center" |$9.27$
| align="center" |$10$
| align="center" |$63.46$

|-
| align="center" | 5
| align="center" | $0.63$
| align="center" |$9.37$
| align="center" |$10$
| align="center" |$54.09$

|-
| align="center" | 6
| align="center" | $0.54$
| align="center" |$9.46$
| align="center" |$10$
| align="center" |$44.63$

|-
| align="center" | 7
| align="center" | $0.45$
| align="center" |$9.55$
| align="center" |$10$
| align="center" |$35.08$

|-
| align="center" | 8
| align="center" | $0.35$
| align="center" |$9.65$
| align="center" |$10$
| align="center" |$25.43$

|-
| align="center" | 9
| align="center" | $0.25$
| align="center" |$9.75$
| align="center" |$10$
| align="center" |$15.68$

|-
| align="center" | 10
| align="center" | $0.16$
| align="center" |$9.84$
| align="center" |$10$
| align="center" |<span style="background-color:yellow"> '''$5.84$''' </span>

|-
| align="center" | 11
| align="center" | $0.06$
| align="center" | <span style="background-color:yellow"> '''$5.84$''' </span>
Die Restschuld von 5.84 wird getilgt.
| align="center" |'''$5.90$'''
$A=ZA+TA$
| align="center" |$0$

|}

'''Achtung!'''
Bei der 11. Zahlung muss nur noch eine Schuld von 5.84 (gelb unterlegt!) getilgt werden. Aus diesem Grund beträgt der Tilgungsanteil € 5.84!
Die Annuität beträgt dann nicht mehr € 10 (sonst würden wir ja zuviel zurückzahlen) sondern nur noch
$$ A = \textrm{Höhe des Tilgungsanteiles} + \textrm{die Höhe der Zinsen} $$
$$ A= 5.84+0.06 $$
$$A= 5.90$$

</div>

</div>

</div>

</div>

Weitere Beispiele findest du im 3. Klasse Buch (Trauner) auf den Seiten 174ff....

== Annuitätenschuld - Annuität bleibt konstant ==

Bei einer Anniutätenschuld bleibt die Höhe der Annuität (Betrag der regelmäßig eingezahlt wird) konstant. Somit handelt es sich bei der Annuitätenschuld um eine [[Rentenrechnung | Rente]], da
* ein konstanter Betrag (=Annuität)
* in konstanten Zeitabständen
eingezahlt wird.
Wichtig:
# Die Annuität entspricht dabei der Rate R.
# Die Schuld entspricht dem Barwert B (Wert aller Zahlungen am Beginn = Anfangsschuld)

Somit benötigt man bei der Annuitätenschuld die [[Rentenrechnung#Formeln | Formeln für den Barwert]].

=== Musterbeispiele Annuitätenschuld ===

----

==== Beispiel für jährliche Zahlungen ====
Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 gleich hohen, jährlichen Raten bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Rate ist am Ende des 1. Jahres fällig.

a) Berechne die Höhe der Raten.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

c) Begründe, warum der Tilgungsanteil von Jahr zu Jahr größer wird.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* B=10.000
* n=5
* i=4 % p.a. $\rightarrow$ r=1.05 $\rightarrow$ $v=\frac{1}{r}=0.9615$
* nachschüssig

$$ B=R\cdot v\cdot \frac{v^5-1}{v-1} $$
$$ 10.000 = R\cdot 0.95238\cdot \frac{0.95238^5-1}{0.95238-1} $$
$$ \underline{\underline{R= 2246.27}} $$

A: Die Höhe der Annuität (=Rate) beträgt € 2246.27.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Die Anzahl der Jahre ist 5 $\rightarrow$ somit brauchen wir 6 Zeilen (von 0 bis 5).
* Die Annuität A ist konstant € 2246.27. Somit kann in der Spalte Annuität für alle 5 Jahre 2246.27 eingesetzt werden.
* Anfangsschuld = 10.000

Somit kann man bereits die Rohform des Tilgungsplanes erstellen:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 2
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 3
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 4
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 5
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|}

Nun berechnen wir von links nach rechts und von oben nach unden die einzelnen Werte:

* $i=4$ % $\rightarrow$ $ZA_1=10.000\cdot \frac{4}{100} =400$
* $TA_1=A_1-ZA_1 = 2246,27-400 = 1846.27$
* $RS_1=10.000-1846.27=8153.73$
* usw.

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $400$
| align="center" |$1846.272$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$
8153.73$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $326.15$
| align="center" |$1920.12$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$6233,61$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $249.34$
| align="center" |$1996.93$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$4236,68$

|-
| align="center" | 4
| align="center" | $169.47$
| align="center" |$2076.80$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$2159.88$

|-
| align="center" | 5
| align="center" | $86.40$
| align="center" |$2159.87$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$
0.01$

|}

'''Achtung!''' Die Restschuld im 5. Jahr (=0.01) ist aufgrund der Rundungen, die wir durchgeführt haben nicht genau 0.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung von c) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Weil die Schuld von Jahr zu Jahr abnimmt, wird der Zinsanteil ebenfalls immer kleiner. Da die Annuität konstant bleibt, wird deshalb der Tilgungsanteil immer größer (Erinnerung: Tilgungsanteil ist $TA=A-ZA$ ist).

</div>

</div>

</div>

</div>

==== Beispiel: Monatliche Zahlungen ====
Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch gleich hohe, monatliche Zahlunge bei i=4% p.a. zu tilgen.

a) Berechne die Höhe der Raten.

b) Stelle den Tilgungsplan für die ersten 3 Monate auf und berechne damit die Restschuld nach 3 Monaten.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* R=?
* B=10.000
* n=$5\cdot 12=60$
* i=4 % p.a. $\rightarrow$ r=1.04 $\rightarrow$ $r_{12}=\sqrt[12]{1.04}=1.00327$ $\rightarrow$ $v_{12}=\frac{1}{r_{12}}=0.9967$
!!'''Achtung'''!! Bei unterjährien Einzahlungen (z.B. monatliche) muss der [[Zins- und Zinseszinsrechnung#b) der konforme (äquivalente) Zinssatz|konforme Zinssatz]] berechnet werden!!
* nachschüssig

$$ B=R\cdot v_{12}\cdot \frac{v_{12}^{60}-1}{v_{12}-1} $$
$$ \underline{\underline{R=184.17}}$$

A: Die monatliche Annuität beträgt € 184.17.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Da $r_{12}=1.00327$ (siehe a) beträgt der Monatszinssatz $i_{12}=0.327$ % p.m.
* Die Annuität ist konstant 284.17 (siehe a)
* Anfangsschuld = 10.000

Somit kann der Tilgungsplan aufgestellt werden:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Monat
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $32,70$
| align="center" | $251,47$
| align="center" |$284,17$
| align="center" | $9748,53$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $31,88$
| align="center" |$252,29$
| align="center" |$284,17$
| align="center" |$9496,24$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $31,05$
| align="center" | $253,12$
| align="center" |$284,17$
| align="center" | $9243,12$

|}

A: Nach 3 Monaten beträgt die Restschuld noch € 9243,12.

</div>

</div>

</div>

</div>

== Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant ==

Bei einer Ratenschuld bleit der Tilgungsanteil TA immer gleich groß, wodruch die Schuld sich immer um denselben Wert verringert.

Es gilt
{| border="1" align="center"
|-
| $$TA=\frac{\textrm{Schuld}}{n}$$
|}

'''Begründung''': Da die ganze Schuld durch n Zahlungen zurückgezahlt wird, muss jedes Mal ein "n-tel" der Gesamtschuld getilgt werden.

=== Musterbeispiel ===

Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch gleich hohe Tilgungsanteile bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Rate ist am Ende des 1. Jahres fällig.

a) Berechne die Höhe des Tilgungsanteiles.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

c) Begründe, warum die Annuität von Jahr zu Jahr kleiner wird.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

$$ TA=\frac{\textrm{Schuld}}{n}=\frac{10.000}{5}$$
$$ \underline{\underline{TA=2.000}}$$

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* i=4%
* TA=2000 für alle 5 Jahre
* Anfangsschuld = 10.000

Somit setzen wir alles ein, was wir schon wissen:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS

|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" |
| align="center" | 2.000
| align="center" |
| align="center" | 8.000
<p style="color:darkred"> $10.000-2.000$ </p>

|-
| align="center" | 2
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |6.000

|-
| align="center" | 3
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |4.000

|-
| align="center" | 4
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |2.000

|-
| align="center" | 5
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |0

|}

Nun können alle weiteren Beträge (Zinsen und Annuitäten) berechnet und eingesetzt werden:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | 400
<p style="color:darkred"> $ZA_1=10.000\cdot 0.04$ </p>
| align="center" | 2.000
| align="center" | 2.400
<p style="color:darkred"> $A_1=ZA_1+TA_1$</p>
| align="center" | 8.000

|-
| align="center" | 2
| align="center" | 320
| align="center" |2.000
| align="center" | 2.320
| align="center" |6.000

|-
| align="center" | 3
| align="center" | 240
| align="center" |2.000
| align="center" | 2.240
| align="center" |4.000

|-
| align="center" | 4
| align="center" | 160
| align="center" |2.000
| align="center" | 2160
| align="center" |2.000

|-
| align="center" | 5
| align="center" | 80
| align="center" |2.000
| align="center" |2.080
| align="center" |0

|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für c) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Da der Zinsanteil immer kleiner wird (die Schuld verringert sich!), der Tilgungsanteil aber konstant bleibt, muss folglich die Annuität ebenfalls kleiner werden, da gilt:
$$ \textrm{Annuität = Zinsanteil + Tilgungsanteil} $$

</div>

</div>

</div>

</div>

== Zinsenschuld - nur die Zinsen werden beglichen ==

Hier wird während der gesamten Laufzeit nichts vom Kreditgetilgt (d.h. TA=0), sondern nur die Zinsen bezahlt. Erst am Ende der Laufzeit wird die ganze Schuld durch eine Einmalzahlung beglichen.

=== Musterbeispiel ===

Eine Zinsschuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Annuität ist am Ende des 1. Jahres fällig.

a) Berechne die Höhe der Zinsanteile.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* i=4%
* Anfangsschuld = 10.000

Somit beträgt der Zinsanteil konstant
$$ZA= 10.000\cdot 0.04=400$$.

Nun setzen wir alle Zinsanteile und Restschulden in den Tilgungsplan ein und berechnen zusätzlich noch die Annuitäten:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS

|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | 400
| align="center" | 0
| align="center" | 400
<p style="color:darkred"> $A_1=ZA_1+TA_1=400+0$ </p>
| align="center" | 10.000

|-
| align="center" | 2
| align="center" |400
| align="center" |0
| align="center" | 400
| align="center" |10.000

|-
| align="center" | 3
| align="center" |400
| align="center" |0
| align="center" | 400
| align="center" |10.000

|-
| align="center" | 4
| align="center" | 400
| align="center" |0
| align="center" | 400
| align="center" |<span style="background-color:yellow"> 10.000</span>

|-
| align="center" | 5
| align="center" | 400
| align="center" |<span style="background-color:yellow"> 10.000</span>
| align="center" |10.400
| align="center" |0

|}

</div>

</div>

== Online-Materialien ==
* [http://fbmathe.bbs-bingen.de/Tilgungsrechnung/Aufgaben_Tilgungsrechnung.htm Beispiele und Lösungen von Ansgar Schiffler]

[[Kategorie:Finanzmathematik]]

Schuldentilgung

2014-04-16T12:20:58Z

91.115.36.63: /* Annuitätenschuld - Annuität bleibt konstant */

== Einleitung und Begriffe ==

Die Schuldentilgung beschäftigt sich mit dem Tilgen (= Zurückzahlen) einer Schuld. Das typische Beispiel ist das Tilgen eines Bankredits.

{| align="right"
|-
|{{#ev:youtube|bId7a4W6Vko}}
|}

Hierbei unterscheidet man zwischen den folgenden Begriffen:
{|
|-
|
* '''Annuität'''
| = der Betrag, der regelmäßig (z.B. jährlich) zurückgezahlt wird.
|-
|
* '''Zinsenanteil'''
| = jener Anteil der Annuität, der für die Zinsen aufgewendet wird.
|-
|
* '''Tilgungsanteil'''
| = jener Anteil der Annuität, um den die Schuld vermindert wird.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Erklärung der Begriffe anhand eines Beispiels''': </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Peter hat einen [[Rentenrechnung#Begriffe | nachschüssigen]] Kredit von 10.000 € bei 1 % p.a. aufgenommen. Somit fallen nach einem Jahr € 100 Zinsen an. Am Ende jedes Jahres zahlt Peter € 1.100 zurück.
* Die Annuität beträgt € 1.100.
* Der Zinsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 100.
* Der Tilgungsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 1000 (Von den € 1.100 werden € 100 für die Zinsen verwendet und nur € 1.000 reduzieren die Schuld).
* Die Restschuld nach dem 1. Jahr begrägt noch € 9.000.

</div>

</div>

{| border ="1" align="center"
| style="background:#e0e0e0" | Text '''Merke:'''

| style="background:#e0e0e0" | Text

align="center" '''Annuität = Zinsanteil + Tilgungsanteil'''

|}

Je nachdem, wie die Schuld beglichen wird, unterscheidet man zwischen folgenden Formen:
* '''[[Schuldentilgung#Annuitätenschuld - Anniutät bleibt konstant | Annuitätenschuld]]''' - Anniutät bleibt konstant über die ganze Laufzeit konstant.
* '''[[Schuldentilgung#Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant |Ratenschuld]]''' - Tilgungsanteil bleibt konstant
* '''[[Schuldentilgung#Zinsenschuld - nur die Zinsen werden beglichen|Zinsenschuld]]''' - nur die Zinsen werden während der Laufzeit beglichen und der Rest erst am Ende der Laufzeit.

== Tilgungsplan ==

Der Tilgungsplan ist eine tabellarische Aufstellung der Kreditrückzahlung.
Er listet für jedes Jahr auf, wie hoch der Zinsen, der Tilgungsanteil, die Annuität und die Restschuld sind.
Für eine nachschüssige Schuldentilgung ist er folgendermaßen aufgebaut:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |Schuld zu Beginn

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1$
Zinsanteil bei der ersten Zahlung
| align="center" |$TA_1$
Tilgungsanteil der ersten Zahlung
| align="center" |$A_1$
Annuität$_1$ (=Höhe der ersten Zahlung)
| align="center" |$RS_1$
Restschuld nach einem Jahr
|-
| align="center" | 2
| align="center" |$ZA_2$
Zinsanteil bei der zweiten Zahlung
|align="center" | $TA_2$
Tilgungsanteil der zweiten Zahlung
| align="center" |$A_2$
Annuität$_2$ (=Höhe der zweiten Zahlung)
| align="center" | $RS_2$
Restschuld nach dem 2. Jahr

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> ''' Hinweise ''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
*Der Zinsanteil errechnet sich immer mithilfe der Schuld aus dem Vorjahr:
$$ ZA_1=\textrm{Schuld}\cdot \frac{i}{100} $$
* Am Ende eines Tilgungsplanes sollte ganz rechts unten bei der letzten Restschuld natürlich eine 0 stehen (vorausgesetzt die ganze Schuld wird zurückbezahlt).
* '''Vorteile des Tilgungsplans sind:'''
:* Der Tilgungsplan ermöglicht einen schönen Überblck über alle Zahlungen.
:* Die einzelnen Werte können Schritt für Schritt ausgerechnet werden.

</div>

</div>

=== Musterbeispiel Tilgungsplan ===

Peter hat einen nachschüssigen Kredit von 100 € bei einer Verzinsung von 1 % p.a. aufgenommen. Er zahlt jährlich € 10 zurück. Erstelle einen Tilgungsplan!

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''1. Schritt: Beginn des Tilgungsplans''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Die Anfangsschuld ist € 100.
* Die Anniuität ist konstant € 10.
* $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1 $.
* $TA_1=A_1-ZA_1=9$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
* Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_1=100-9=91$

Damit erstellen wir nun die ersten zwei Zeilen des Tilgungsplanes:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $100\cdot \frac{1}{100}=1$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$</p>
| align="center" |$10-1=9$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $TA=A-ZA$ </p>
| align="center" |$10$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $A=TA+ZA$ </p>
| align="center" |$100-9=91$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$ </p>

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''2. Schritt: Fortsetzung des Tilgungsplans ''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Für das 2. Jahr des Tilgungsplans, nimmt man nun aus Ausgangswert die obere Zeile:

* Die alte Restschuld beträgt € 91.
* Die Anniuität ist konstant € 10.
* $ZA_2=91\cdot \frac{1}{100}=0.91 $.
* $TA_2=A_2-ZA_2=9.09$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
* Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_2=91-9.09=81.91$

Dies setzt man nun in den Tilgungsplan ein:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $100\cdot \frac{1}{100}=1$
| align="center" |$10-1=9$
| align="center" |$10$
| align="center" |$100-9=91$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $91\cdot \frac{1}{100}=0.91$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$</p>
| align="center" |$10-0.91=9.09$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $TA=A-ZA$ </p>
| align="center" |$10$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $A=TA+ZA$ </p>
| align="center" |$91-9.09=81.91$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$ </p>

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''3. Schritt: Vollständiger Tilgungsplan''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $100\cdot \frac{1}{100}=1$
| align="center" |$10-1=9$
| align="center" |$10$
| align="center" |$100-9=91$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $0.91$
| align="center" |$9.09$
| align="center" |$10$
| align="center" |$81.91$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $0.82$
| align="center" |$9.18$
| align="center" |$10$
| align="center" |$72.73$

|-
| align="center" | 4
| align="center" | $0.73$
| align="center" |$9.27$
| align="center" |$10$
| align="center" |$63.46$

|-
| align="center" | 5
| align="center" | $0.63$
| align="center" |$9.37$
| align="center" |$10$
| align="center" |$54.09$

|-
| align="center" | 6
| align="center" | $0.54$
| align="center" |$9.46$
| align="center" |$10$
| align="center" |$44.63$

|-
| align="center" | 7
| align="center" | $0.45$
| align="center" |$9.55$
| align="center" |$10$
| align="center" |$35.08$

|-
| align="center" | 8
| align="center" | $0.35$
| align="center" |$9.65$
| align="center" |$10$
| align="center" |$25.43$

|-
| align="center" | 9
| align="center" | $0.25$
| align="center" |$9.75$
| align="center" |$10$
| align="center" |$15.68$

|-
| align="center" | 10
| align="center" | $0.16$
| align="center" |$9.84$
| align="center" |$10$
| align="center" |<span style="background-color:yellow"> '''$5.84$''' </span>

|-
| align="center" | 11
| align="center" | $0.06$
| align="center" | <span style="background-color:yellow"> '''$5.84$''' </span>
Die Restschuld von 5.84 wird getilgt.
| align="center" |'''$5.90$'''
$A=ZA+TA$
| align="center" |$0$

|}

'''Achtung!'''
Bei der 11. Zahlung muss nur noch eine Schuld von 5.84 (gelb unterlegt!) getilgt werden. Aus diesem Grund beträgt der Tilgungsanteil € 5.84!
Die Annuität beträgt dann nicht mehr € 10 (sonst würden wir ja zuviel zurückzahlen) sondern nur noch
$$ A = \textrm{Höhe des Tilgungsanteiles} + \textrm{die Höhe der Zinsen} $$
$$ A= 5.84+0.06 $$
$$A= 5.90$$

</div>

</div>

</div>

</div>

Weitere Beispiele findest du im 3. Klasse Buch (Trauner) auf den Seiten 174ff....

== Annuitätenschuld - Annuität bleibt konstant ==

Bei einer Anniutätenschuld bleibt die Höhe der Annuität (Betrag der regelmäßig eingezahlt wird) konstant. Somit handelt es sich bei der Annuitätenschuld um eine [[Rentenrechnung | Rente]], da
* ein konstanter Betrag (=Annuität)
* in konstanten Zeitabständen
eingezahlt wird.
Wichtig:
# Die Annuität entspricht dabei der Rate R.
# Die Schuld entspricht dem Barwert B (Wert aller Zahlungen am Beginn = Anfangsschuld)

Somit benötigt man bei der Annuitätenschuld die [[Rentenrechnung#Formeln | Formeln für den Barwert]].

=== Musterbeispiele ===

----

==== Beispiel für jährliche Zahlungen ====
Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 gleich hohen, jährlichen Raten bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Rate ist am Ende des 1. Jahres fällig.

a) Berechne die Höhe der Raten.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

c) Begründe, warum der Tilgungsanteil von Jahr zu Jahr größer wird.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* B=10.000
* n=5
* i=4 % p.a. $\rightarrow$ r=1.05 $\rightarrow$ $v=\frac{1}{r}=0.9615$
* nachschüssig

$$ B=R\cdot v\cdot \frac{v^5-1}{v-1} $$
$$ 10.000 = R\cdot 0.95238\cdot \frac{0.95238^5-1}{0.95238-1} $$
$$ \underline{\underline{R= 2246.27}} $$

A: Die Höhe der Annuität (=Rate) beträgt € 2246.27.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Die Anzahl der Jahre ist 5 $\rightarrow$ somit brauchen wir 6 Zeilen (von 0 bis 5).
* Die Annuität A ist konstant € 2246.27. Somit kann in der Spalte Annuität für alle 5 Jahre 2246.27 eingesetzt werden.
* Anfangsschuld = 10.000

Somit kann man bereits die Rohform des Tilgungsplanes erstellen:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 2
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 3
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 4
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 5
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|}

Nun berechnen wir von links nach rechts und von oben nach unden die einzelnen Werte:

* $i=4$ % $\rightarrow$ $ZA_1=10.000\cdot \frac{4}{100} =400$
* $TA_1=A_1-ZA_1 = 2246,27-400 = 1846.27$
* $RS_1=10.000-1846.27=8153.73$
* usw.

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $400$
| align="center" |$1846.272$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$
8153.73$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $326.15$
| align="center" |$1920.12$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$6233,61$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $249.34$
| align="center" |$1996.93$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$4236,68$

|-
| align="center" | 4
| align="center" | $169.47$
| align="center" |$2076.80$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$2159.88$

|-
| align="center" | 5
| align="center" | $86.40$
| align="center" |$2159.87$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$
0.01$

|}

'''Achtung!''' Die Restschuld im 5. Jahr (=0.01) ist aufgrund der Rundungen, die wir durchgeführt haben nicht genau 0.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung von c) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Weil die Schuld von Jahr zu Jahr abnimmt, wird der Zinsanteil ebenfalls immer kleiner. Da die Annuität konstant bleibt, wird deshalb der Tilgungsanteil immer größer (Erinnerung: Tilgungsanteil ist $TA=A-ZA$ ist).

</div>

</div>

</div>

</div>

==== Beispiel: Monatliche Zahlungen ====
Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch gleich hohe, monatliche Zahlunge bei i=4% p.a. zu tilgen.

a) Berechne die Höhe der Raten.

b) Stelle den Tilgungsplan für die ersten 3 Monate auf und berechne damit die Restschuld nach 3 Monaten.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* R=?
* B=10.000
* n=$5\cdot 12=60$
* i=4 % p.a. $\rightarrow$ r=1.04 $\rightarrow$ $r_{12}=\sqrt[12]{1.04}=1.00327$ $\rightarrow$ $v_{12}=\frac{1}{r_{12}}=0.9967$
!!'''Achtung'''!! Bei unterjährien Einzahlungen (z.B. monatliche) muss der [[Zins- und Zinseszinsrechnung#b) der konforme (äquivalente) Zinssatz|konforme Zinssatz]] berechnet werden!!
* nachschüssig

$$ B=R\cdot v_{12}\cdot \frac{v_{12}^{60}-1}{v_{12}-1} $$
$$ \underline{\underline{R=184.17}}$$

A: Die monatliche Annuität beträgt € 184.17.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Da $r_{12}=1.00327$ (siehe a) beträgt der Monatszinssatz $i_{12}=0.327$ % p.m.
* Die Annuität ist konstant 284.17 (siehe a)
* Anfangsschuld = 10.000

Somit kann der Tilgungsplan aufgestellt werden:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Monat
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $32,70$
| align="center" | $251,47$
| align="center" |$284,17$
| align="center" | $9748,53$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $31,88$
| align="center" |$252,29$
| align="center" |$284,17$
| align="center" |$9496,24$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $31,05$
| align="center" | $253,12$
| align="center" |$284,17$
| align="center" | $9243,12$

|}

A: Nach 3 Monaten beträgt die Restschuld noch € 9243,12.

</div>

</div>

</div>

</div>

== Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant ==

Bei einer Ratenschuld bleit der Tilgungsanteil TA immer gleich groß, wodruch die Schuld sich immer um denselben Wert verringert.

Es gilt
{| border="1" align="center"
|-
| $$TA=\frac{\textrm{Schuld}}{n}$$
|}

'''Begründung''': Da die ganze Schuld durch n Zahlungen zurückgezahlt wird, muss jedes Mal ein "n-tel" der Gesamtschuld getilgt werden.

=== Musterbeispiel ===

Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch gleich hohe Tilgungsanteile bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Rate ist am Ende des 1. Jahres fällig.

a) Berechne die Höhe des Tilgungsanteiles.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

c) Begründe, warum die Annuität von Jahr zu Jahr kleiner wird.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

$$ TA=\frac{\textrm{Schuld}}{n}=\frac{10.000}{5}$$
$$ \underline{\underline{TA=2.000}}$$

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* i=4%
* TA=2000 für alle 5 Jahre
* Anfangsschuld = 10.000

Somit setzen wir alles ein, was wir schon wissen:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS

|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" |
| align="center" | 2.000
| align="center" |
| align="center" | 8.000
<p style="color:darkred"> $10.000-2.000$ </p>

|-
| align="center" | 2
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |6.000

|-
| align="center" | 3
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |4.000

|-
| align="center" | 4
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |2.000

|-
| align="center" | 5
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |0

|}

Nun können alle weiteren Beträge (Zinsen und Annuitäten) berechnet und eingesetzt werden:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | 400
<p style="color:darkred"> $ZA_1=10.000\cdot 0.04$ </p>
| align="center" | 2.000
| align="center" | 2.400
<p style="color:darkred"> $A_1=ZA_1+TA_1$</p>
| align="center" | 8.000

|-
| align="center" | 2
| align="center" | 320
| align="center" |2.000
| align="center" | 2.320
| align="center" |6.000

|-
| align="center" | 3
| align="center" | 240
| align="center" |2.000
| align="center" | 2.240
| align="center" |4.000

|-
| align="center" | 4
| align="center" | 160
| align="center" |2.000
| align="center" | 2160
| align="center" |2.000

|-
| align="center" | 5
| align="center" | 80
| align="center" |2.000
| align="center" |2.080
| align="center" |0

|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für c) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Da der Zinsanteil immer kleiner wird (die Schuld verringert sich!), der Tilgungsanteil aber konstant bleibt, muss folglich die Annuität ebenfalls kleiner werden, da gilt:
$$ \textrm{Annuität = Zinsanteil + Tilgungsanteil} $$

</div>

</div>

</div>

</div>

== Zinsenschuld - nur die Zinsen werden beglichen ==

Hier wird während der gesamten Laufzeit nichts vom Kreditgetilgt (d.h. TA=0), sondern nur die Zinsen bezahlt. Erst am Ende der Laufzeit wird die ganze Schuld durch eine Einmalzahlung beglichen.

=== Musterbeispiel ===

Eine Zinsschuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Annuität ist am Ende des 1. Jahres fällig.

a) Berechne die Höhe der Zinsanteile.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* i=4%
* Anfangsschuld = 10.000

Somit beträgt der Zinsanteil konstant
$$ZA= 10.000\cdot 0.04=400$$.

Nun setzen wir alle Zinsanteile und Restschulden in den Tilgungsplan ein und berechnen zusätzlich noch die Annuitäten:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS

|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | 400
| align="center" | 0
| align="center" | 400
<p style="color:darkred"> $A_1=ZA_1+TA_1=400+0$ </p>
| align="center" | 10.000

|-
| align="center" | 2
| align="center" |400
| align="center" |0
| align="center" | 400
| align="center" |10.000

|-
| align="center" | 3
| align="center" |400
| align="center" |0
| align="center" | 400
| align="center" |10.000

|-
| align="center" | 4
| align="center" | 400
| align="center" |0
| align="center" | 400
| align="center" |<span style="background-color:yellow"> 10.000</span>

|-
| align="center" | 5
| align="center" | 400
| align="center" |<span style="background-color:yellow"> 10.000</span>
| align="center" |10.400
| align="center" |0

|}

</div>

</div>

== Online-Materialien ==
* [http://fbmathe.bbs-bingen.de/Tilgungsrechnung/Aufgaben_Tilgungsrechnung.htm Beispiele und Lösungen von Ansgar Schiffler]

[[Kategorie:Finanzmathematik]]

Schuldentilgung

2014-04-16T12:19:07Z

91.115.36.63: /* Musterbeispiel Tilgungsplan */

== Einleitung und Begriffe ==

Die Schuldentilgung beschäftigt sich mit dem Tilgen (= Zurückzahlen) einer Schuld. Das typische Beispiel ist das Tilgen eines Bankredits.

{| align="right"
|-
|{{#ev:youtube|bId7a4W6Vko}}
|}

Hierbei unterscheidet man zwischen den folgenden Begriffen:
{|
|-
|
* '''Annuität'''
| = der Betrag, der regelmäßig (z.B. jährlich) zurückgezahlt wird.
|-
|
* '''Zinsenanteil'''
| = jener Anteil der Annuität, der für die Zinsen aufgewendet wird.
|-
|
* '''Tilgungsanteil'''
| = jener Anteil der Annuität, um den die Schuld vermindert wird.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Erklärung der Begriffe anhand eines Beispiels''': </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Peter hat einen [[Rentenrechnung#Begriffe | nachschüssigen]] Kredit von 10.000 € bei 1 % p.a. aufgenommen. Somit fallen nach einem Jahr € 100 Zinsen an. Am Ende jedes Jahres zahlt Peter € 1.100 zurück.
* Die Annuität beträgt € 1.100.
* Der Zinsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 100.
* Der Tilgungsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 1000 (Von den € 1.100 werden € 100 für die Zinsen verwendet und nur € 1.000 reduzieren die Schuld).
* Die Restschuld nach dem 1. Jahr begrägt noch € 9.000.

</div>

</div>

{| border ="1" align="center"
| style="background:#e0e0e0" | Text '''Merke:'''

| style="background:#e0e0e0" | Text

align="center" '''Annuität = Zinsanteil + Tilgungsanteil'''

|}

Je nachdem, wie die Schuld beglichen wird, unterscheidet man zwischen folgenden Formen:
* '''[[Schuldentilgung#Annuitätenschuld - Anniutät bleibt konstant | Annuitätenschuld]]''' - Anniutät bleibt konstant über die ganze Laufzeit konstant.
* '''[[Schuldentilgung#Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant |Ratenschuld]]''' - Tilgungsanteil bleibt konstant
* '''[[Schuldentilgung#Zinsenschuld - nur die Zinsen werden beglichen|Zinsenschuld]]''' - nur die Zinsen werden während der Laufzeit beglichen und der Rest erst am Ende der Laufzeit.

== Tilgungsplan ==

Der Tilgungsplan ist eine tabellarische Aufstellung der Kreditrückzahlung.
Er listet für jedes Jahr auf, wie hoch der Zinsen, der Tilgungsanteil, die Annuität und die Restschuld sind.
Für eine nachschüssige Schuldentilgung ist er folgendermaßen aufgebaut:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |Schuld zu Beginn

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1$
Zinsanteil bei der ersten Zahlung
| align="center" |$TA_1$
Tilgungsanteil der ersten Zahlung
| align="center" |$A_1$
Annuität$_1$ (=Höhe der ersten Zahlung)
| align="center" |$RS_1$
Restschuld nach einem Jahr
|-
| align="center" | 2
| align="center" |$ZA_2$
Zinsanteil bei der zweiten Zahlung
|align="center" | $TA_2$
Tilgungsanteil der zweiten Zahlung
| align="center" |$A_2$
Annuität$_2$ (=Höhe der zweiten Zahlung)
| align="center" | $RS_2$
Restschuld nach dem 2. Jahr

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> ''' Hinweise ''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
*Der Zinsanteil errechnet sich immer mithilfe der Schuld aus dem Vorjahr:
$$ ZA_1=\textrm{Schuld}\cdot \frac{i}{100} $$
* Am Ende eines Tilgungsplanes sollte ganz rechts unten bei der letzten Restschuld natürlich eine 0 stehen (vorausgesetzt die ganze Schuld wird zurückbezahlt).
* '''Vorteile des Tilgungsplans sind:'''
:* Der Tilgungsplan ermöglicht einen schönen Überblck über alle Zahlungen.
:* Die einzelnen Werte können Schritt für Schritt ausgerechnet werden.

</div>

</div>

=== Musterbeispiel Tilgungsplan ===

Peter hat einen nachschüssigen Kredit von 100 € bei einer Verzinsung von 1 % p.a. aufgenommen. Er zahlt jährlich € 10 zurück. Erstelle einen Tilgungsplan!

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''1. Schritt: Beginn des Tilgungsplans''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Die Anfangsschuld ist € 100.
* Die Anniuität ist konstant € 10.
* $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1 $.
* $TA_1=A_1-ZA_1=9$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
* Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_1=100-9=91$

Damit erstellen wir nun die ersten zwei Zeilen des Tilgungsplanes:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $100\cdot \frac{1}{100}=1$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$</p>
| align="center" |$10-1=9$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $TA=A-ZA$ </p>
| align="center" |$10$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $A=TA+ZA$ </p>
| align="center" |$100-9=91$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$ </p>

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''2. Schritt: Fortsetzung des Tilgungsplans ''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Für das 2. Jahr des Tilgungsplans, nimmt man nun aus Ausgangswert die obere Zeile:

* Die alte Restschuld beträgt € 91.
* Die Anniuität ist konstant € 10.
* $ZA_2=91\cdot \frac{1}{100}=0.91 $.
* $TA_2=A_2-ZA_2=9.09$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
* Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_2=91-9.09=81.91$

Dies setzt man nun in den Tilgungsplan ein:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $100\cdot \frac{1}{100}=1$
| align="center" |$10-1=9$
| align="center" |$10$
| align="center" |$100-9=91$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $91\cdot \frac{1}{100}=0.91$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$</p>
| align="center" |$10-0.91=9.09$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $TA=A-ZA$ </p>
| align="center" |$10$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $A=TA+ZA$ </p>
| align="center" |$91-9.09=81.91$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$ </p>

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''3. Schritt: Vollständiger Tilgungsplan''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $100\cdot \frac{1}{100}=1$
| align="center" |$10-1=9$
| align="center" |$10$
| align="center" |$100-9=91$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $0.91$
| align="center" |$9.09$
| align="center" |$10$
| align="center" |$81.91$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $0.82$
| align="center" |$9.18$
| align="center" |$10$
| align="center" |$72.73$

|-
| align="center" | 4
| align="center" | $0.73$
| align="center" |$9.27$
| align="center" |$10$
| align="center" |$63.46$

|-
| align="center" | 5
| align="center" | $0.63$
| align="center" |$9.37$
| align="center" |$10$
| align="center" |$54.09$

|-
| align="center" | 6
| align="center" | $0.54$
| align="center" |$9.46$
| align="center" |$10$
| align="center" |$44.63$

|-
| align="center" | 7
| align="center" | $0.45$
| align="center" |$9.55$
| align="center" |$10$
| align="center" |$35.08$

|-
| align="center" | 8
| align="center" | $0.35$
| align="center" |$9.65$
| align="center" |$10$
| align="center" |$25.43$

|-
| align="center" | 9
| align="center" | $0.25$
| align="center" |$9.75$
| align="center" |$10$
| align="center" |$15.68$

|-
| align="center" | 10
| align="center" | $0.16$
| align="center" |$9.84$
| align="center" |$10$
| align="center" |<span style="background-color:yellow"> '''$5.84$''' </span>

|-
| align="center" | 11
| align="center" | $0.06$
| align="center" | <span style="background-color:yellow"> '''$5.84$''' </span>
Die Restschuld von 5.84 wird getilgt.
| align="center" |'''$5.90$'''
$A=ZA+TA$
| align="center" |$0$

|}

'''Achtung!'''
Bei der 11. Zahlung muss nur noch eine Schuld von 5.84 (gelb unterlegt!) getilgt werden. Aus diesem Grund beträgt der Tilgungsanteil € 5.84!
Die Annuität beträgt dann nicht mehr € 10 (sonst würden wir ja zuviel zurückzahlen) sondern nur noch
$$ A = \textrm{Höhe des Tilgungsanteiles} + \textrm{die Höhe der Zinsen} $$
$$ A= 5.84+0.06 $$
$$A= 5.90$$

</div>

</div>

</div>

</div>

Weitere Beispiele findest du im 3. Klasse Buch (Trauner) auf den Seiten 174ff....

== Annuitätenschuld - Annuität bleibt konstant ==

Bei einer Anniutätenschuld bleibt die Höhe der Annuität (Betrag der regelmäßig eingezahlt wird) konstant. Somit handelt es sich bei der Annuitätenschuld um eine [[Rentenrechnung | Rente]], da
* ein konstanter Betrag (=Annuität)
* in konstanten Zeitabständen
eingezahlt wird.
Wichtig:
# Die Annuität entspricht dabei der Rate R.
# Die Schuld entspricht dem Barwert B (Wert aller Zahlungen am Beginn = Anfangsschuld)

Somit benötigt man bei der Annuitätenschuld die [[Rentenrechnung#Formeln | Formeln für den Barwert]].

=== Musterbeispiele ===

==== Beispiel für jährliche Zahlungen ====
Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 gleich hohen, jährlichen Raten bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Rate ist am Ende des 1. Jahres fällig.

a) Berechne die Höhe der Raten.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

c) Begründe, warum der Tilgungsanteil von Jahr zu Jahr größer wird.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* B=10.000
* n=5
* i=4 % p.a. $\rightarrow$ r=1.05 $\rightarrow$ $v=\frac{1}{r}=0.9615$
* nachschüssig

$$ B=R\cdot v\cdot \frac{v^5-1}{v-1} $$
$$ 10.000 = R\cdot 0.95238\cdot \frac{0.95238^5-1}{0.95238-1} $$
$$ \underline{\underline{R= 2246.27}} $$

A: Die Höhe der Annuität (=Rate) beträgt € 2246.27.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Die Anzahl der Jahre ist 5 $\rightarrow$ somit brauchen wir 6 Zeilen (von 0 bis 5).
* Die Annuität A ist konstant € 2246.27. Somit kann in der Spalte Annuität für alle 5 Jahre 2246.27 eingesetzt werden.
* Anfangsschuld = 10.000

Somit kann man bereits die Rohform des Tilgungsplanes erstellen:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 2
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 3
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 4
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 5
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|}

Nun berechnen wir von links nach rechts und von oben nach unden die einzelnen Werte:

* $i=4$ % $\rightarrow$ $ZA_1=10.000\cdot \frac{4}{100} =400$
* $TA_1=A_1-ZA_1 = 2246,27-400 = 1846.27$
* $RS_1=10.000-1846.27=8153.73$
* usw.

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $400$
| align="center" |$1846.272$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$
8153.73$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $326.15$
| align="center" |$1920.12$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$6233,61$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $249.34$
| align="center" |$1996.93$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$4236,68$

|-
| align="center" | 4
| align="center" | $169.47$
| align="center" |$2076.80$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$2159.88$

|-
| align="center" | 5
| align="center" | $86.40$
| align="center" |$2159.87$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$
0.01$

|}

'''Achtung!''' Die Restschuld im 5. Jahr (=0.01) ist aufgrund der Rundungen, die wir durchgeführt haben nicht genau 0.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung von c) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Weil die Schuld von Jahr zu Jahr abnimmt, wird der Zinsanteil ebenfalls immer kleiner. Da die Annuität konstant bleibt, wird deshalb der Tilgungsanteil immer größer (Erinnerung: Tilgungsanteil ist $TA=A-ZA$ ist).

</div>

</div>

</div>

</div>

==== Beispiel: Monatliche Zahlungen ====
Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch gleich hohe, monatliche Zahlunge bei i=4% p.a. zu tilgen.

a) Berechne die Höhe der Raten.

b) Stelle den Tilgungsplan für die ersten 3 Monate auf und berechne damit die Restschuld nach 3 Monaten.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* R=?
* B=10.000
* n=$5\cdot 12=60$
* i=4 % p.a. $\rightarrow$ r=1.04 $\rightarrow$ $r_{12}=\sqrt[12]{1.04}=1.00327$ $\rightarrow$ $v_{12}=\frac{1}{r_{12}}=0.9967$
!!'''Achtung'''!! Bei unterjährien Einzahlungen (z.B. monatliche) muss der [[Zins- und Zinseszinsrechnung#b) der konforme (äquivalente) Zinssatz|konforme Zinssatz]] berechnet werden!!
* nachschüssig

$$ B=R\cdot v_{12}\cdot \frac{v_{12}^{60}-1}{v_{12}-1} $$
$$ \underline{\underline{R=184.17}}$$

A: Die monatliche Annuität beträgt € 184.17.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Da $r_{12}=1.00327$ (siehe a) beträgt der Monatszinssatz $i_{12}=0.327$ % p.m.
* Die Annuität ist konstant 284.17 (siehe a)
* Anfangsschuld = 10.000

Somit kann der Tilgungsplan aufgestellt werden:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Monat
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $32,70$
| align="center" | $251,47$
| align="center" |$284,17$
| align="center" | $9748,53$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $31,88$
| align="center" |$252,29$
| align="center" |$284,17$
| align="center" |$9496,24$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $31,05$
| align="center" | $253,12$
| align="center" |$284,17$
| align="center" | $9243,12$

|}

A: Nach 3 Monaten beträgt die Restschuld noch € 9243,12.

</div>

</div>

</div>

</div>

== Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant ==

Bei einer Ratenschuld bleit der Tilgungsanteil TA immer gleich groß, wodruch die Schuld sich immer um denselben Wert verringert.

Es gilt
{| border="1" align="center"
|-
| $$TA=\frac{\textrm{Schuld}}{n}$$
|}

'''Begründung''': Da die ganze Schuld durch n Zahlungen zurückgezahlt wird, muss jedes Mal ein "n-tel" der Gesamtschuld getilgt werden.

=== Musterbeispiel ===

Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch gleich hohe Tilgungsanteile bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Rate ist am Ende des 1. Jahres fällig.

a) Berechne die Höhe des Tilgungsanteiles.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

c) Begründe, warum die Annuität von Jahr zu Jahr kleiner wird.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

$$ TA=\frac{\textrm{Schuld}}{n}=\frac{10.000}{5}$$
$$ \underline{\underline{TA=2.000}}$$

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* i=4%
* TA=2000 für alle 5 Jahre
* Anfangsschuld = 10.000

Somit setzen wir alles ein, was wir schon wissen:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS

|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" |
| align="center" | 2.000
| align="center" |
| align="center" | 8.000
<p style="color:darkred"> $10.000-2.000$ </p>

|-
| align="center" | 2
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |6.000

|-
| align="center" | 3
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |4.000

|-
| align="center" | 4
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |2.000

|-
| align="center" | 5
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |0

|}

Nun können alle weiteren Beträge (Zinsen und Annuitäten) berechnet und eingesetzt werden:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | 400
<p style="color:darkred"> $ZA_1=10.000\cdot 0.04$ </p>
| align="center" | 2.000
| align="center" | 2.400
<p style="color:darkred"> $A_1=ZA_1+TA_1$</p>
| align="center" | 8.000

|-
| align="center" | 2
| align="center" | 320
| align="center" |2.000
| align="center" | 2.320
| align="center" |6.000

|-
| align="center" | 3
| align="center" | 240
| align="center" |2.000
| align="center" | 2.240
| align="center" |4.000

|-
| align="center" | 4
| align="center" | 160
| align="center" |2.000
| align="center" | 2160
| align="center" |2.000

|-
| align="center" | 5
| align="center" | 80
| align="center" |2.000
| align="center" |2.080
| align="center" |0

|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für c) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Da der Zinsanteil immer kleiner wird (die Schuld verringert sich!), der Tilgungsanteil aber konstant bleibt, muss folglich die Annuität ebenfalls kleiner werden, da gilt:
$$ \textrm{Annuität = Zinsanteil + Tilgungsanteil} $$

</div>

</div>

</div>

</div>

== Zinsenschuld - nur die Zinsen werden beglichen ==

Hier wird während der gesamten Laufzeit nichts vom Kreditgetilgt (d.h. TA=0), sondern nur die Zinsen bezahlt. Erst am Ende der Laufzeit wird die ganze Schuld durch eine Einmalzahlung beglichen.

=== Musterbeispiel ===

Eine Zinsschuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Annuität ist am Ende des 1. Jahres fällig.

a) Berechne die Höhe der Zinsanteile.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* i=4%
* Anfangsschuld = 10.000

Somit beträgt der Zinsanteil konstant
$$ZA= 10.000\cdot 0.04=400$$.

Nun setzen wir alle Zinsanteile und Restschulden in den Tilgungsplan ein und berechnen zusätzlich noch die Annuitäten:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS

|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | 400
| align="center" | 0
| align="center" | 400
<p style="color:darkred"> $A_1=ZA_1+TA_1=400+0$ </p>
| align="center" | 10.000

|-
| align="center" | 2
| align="center" |400
| align="center" |0
| align="center" | 400
| align="center" |10.000

|-
| align="center" | 3
| align="center" |400
| align="center" |0
| align="center" | 400
| align="center" |10.000

|-
| align="center" | 4
| align="center" | 400
| align="center" |0
| align="center" | 400
| align="center" |<span style="background-color:yellow"> 10.000</span>

|-
| align="center" | 5
| align="center" | 400
| align="center" |<span style="background-color:yellow"> 10.000</span>
| align="center" |10.400
| align="center" |0

|}

</div>

</div>

== Online-Materialien ==
* [http://fbmathe.bbs-bingen.de/Tilgungsrechnung/Aufgaben_Tilgungsrechnung.htm Beispiele und Lösungen von Ansgar Schiffler]

[[Kategorie:Finanzmathematik]]

Schuldentilgung

2014-04-16T12:18:11Z

91.115.36.63: /* Musterbeispiel Tilgungsplan */

== Einleitung und Begriffe ==

Die Schuldentilgung beschäftigt sich mit dem Tilgen (= Zurückzahlen) einer Schuld. Das typische Beispiel ist das Tilgen eines Bankredits.

{| align="right"
|-
|{{#ev:youtube|bId7a4W6Vko}}
|}

Hierbei unterscheidet man zwischen den folgenden Begriffen:
{|
|-
|
* '''Annuität'''
| = der Betrag, der regelmäßig (z.B. jährlich) zurückgezahlt wird.
|-
|
* '''Zinsenanteil'''
| = jener Anteil der Annuität, der für die Zinsen aufgewendet wird.
|-
|
* '''Tilgungsanteil'''
| = jener Anteil der Annuität, um den die Schuld vermindert wird.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Erklärung der Begriffe anhand eines Beispiels''': </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Peter hat einen [[Rentenrechnung#Begriffe | nachschüssigen]] Kredit von 10.000 € bei 1 % p.a. aufgenommen. Somit fallen nach einem Jahr € 100 Zinsen an. Am Ende jedes Jahres zahlt Peter € 1.100 zurück.
* Die Annuität beträgt € 1.100.
* Der Zinsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 100.
* Der Tilgungsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 1000 (Von den € 1.100 werden € 100 für die Zinsen verwendet und nur € 1.000 reduzieren die Schuld).
* Die Restschuld nach dem 1. Jahr begrägt noch € 9.000.

</div>

</div>

{| border ="1" align="center"
| style="background:#e0e0e0" | Text '''Merke:'''

| style="background:#e0e0e0" | Text

align="center" '''Annuität = Zinsanteil + Tilgungsanteil'''

|}

Je nachdem, wie die Schuld beglichen wird, unterscheidet man zwischen folgenden Formen:
* '''[[Schuldentilgung#Annuitätenschuld - Anniutät bleibt konstant | Annuitätenschuld]]''' - Anniutät bleibt konstant über die ganze Laufzeit konstant.
* '''[[Schuldentilgung#Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant |Ratenschuld]]''' - Tilgungsanteil bleibt konstant
* '''[[Schuldentilgung#Zinsenschuld - nur die Zinsen werden beglichen|Zinsenschuld]]''' - nur die Zinsen werden während der Laufzeit beglichen und der Rest erst am Ende der Laufzeit.

== Tilgungsplan ==

Der Tilgungsplan ist eine tabellarische Aufstellung der Kreditrückzahlung.
Er listet für jedes Jahr auf, wie hoch der Zinsen, der Tilgungsanteil, die Annuität und die Restschuld sind.
Für eine nachschüssige Schuldentilgung ist er folgendermaßen aufgebaut:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |Schuld zu Beginn

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1$
Zinsanteil bei der ersten Zahlung
| align="center" |$TA_1$
Tilgungsanteil der ersten Zahlung
| align="center" |$A_1$
Annuität$_1$ (=Höhe der ersten Zahlung)
| align="center" |$RS_1$
Restschuld nach einem Jahr
|-
| align="center" | 2
| align="center" |$ZA_2$
Zinsanteil bei der zweiten Zahlung
|align="center" | $TA_2$
Tilgungsanteil der zweiten Zahlung
| align="center" |$A_2$
Annuität$_2$ (=Höhe der zweiten Zahlung)
| align="center" | $RS_2$
Restschuld nach dem 2. Jahr

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> ''' Hinweise ''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
*Der Zinsanteil errechnet sich immer mithilfe der Schuld aus dem Vorjahr:
$$ ZA_1=\textrm{Schuld}\cdot \frac{i}{100} $$
* Am Ende eines Tilgungsplanes sollte ganz rechts unten bei der letzten Restschuld natürlich eine 0 stehen (vorausgesetzt die ganze Schuld wird zurückbezahlt).
* '''Vorteile des Tilgungsplans sind:'''
:* Der Tilgungsplan ermöglicht einen schönen Überblck über alle Zahlungen.
:* Die einzelnen Werte können Schritt für Schritt ausgerechnet werden.

</div>

</div>

=== Musterbeispiel Tilgungsplan ===

Peter hat einen nachschüssigen Kredit von 100 € bei einer Verzinsung von 1 % p.a. aufgenommen. Er zahlt jährlich € 10 zurück. Erstelle einen Tilgungsplan!

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''1. Schritt: Beginn des Tilgungsplans''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Die Anfangsschuld ist € 100.
* Die Anniuität ist konstant € 10.
* $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1 $.
* $TA_1=A_1-ZA_1=9$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
* Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_1=100-9=91$

Damit erstellen wir nun die ersten zwei Zeilen des Tilgungsplanes:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $100\cdot \frac{1}{100}=1$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$</p>
| align="center" |$10-1=9$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $TA=A-ZA$ </p>
| align="center" |$10$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $A=TA+ZA$ </p>
| align="center" |$100-9=91$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$ </p>

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''2. Schritt: Fortsetzung des Tilgungsplans ''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Für das 2. Jahr des Tilgungsplans, nimmt man nun aus Ausgangswert die obere Zeile:

* Die alte Restschuld beträgt € 91.
* Die Anniuität ist konstant € 10.
* $ZA_2=91\cdot \frac{1}{100}=0.91 $.
* $TA_2=A_2-ZA_2=9.09$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
* Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_2=91-9.09=81.91$

Dies setzt man nun in den Tilgungsplan ein:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $100\cdot \frac{1}{100}=1$
| align="center" |$10-1=9$
| align="center" |$10$
| align="center" |$100-9=91$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $91\cdot \frac{1}{100}=0.91$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$</p>
| align="center" |$10-0.91=9.09$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $TA=A-ZA$ </p>
| align="center" |$10$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $A=TA+ZA$ </p>
| align="center" |$91-9.09=81.91$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$ </p>

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''3. Schritt: Vollständiger Tilgungsplan''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1$
| align="center" |$10-1=9$
| align="center" |$10$
| align="center" |$100-9=91$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $.91$
| align="center" |$9.09$
| align="center" |$10$
| align="center" |$81.91$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $0.82$
| align="center" |$9.18$
| align="center" |$10$
| align="center" |$72.73$

|-
| align="center" | 4
| align="center" | $0.73$
| align="center" |$9.27$
| align="center" |$10$
| align="center" |$63.46$

|-
| align="center" | 5
| align="center" | $0.63$
| align="center" |$9.37$
| align="center" |$10$
| align="center" |$54.09$

|-
| align="center" | 6
| align="center" | $0.54$
| align="center" |$9.46$
| align="center" |$10$
| align="center" |$44.63$

|-
| align="center" | 7
| align="center" | $0.45$
| align="center" |$9.55$
| align="center" |$10$
| align="center" |$35.08$

|-
| align="center" | 8
| align="center" | $0.35$
| align="center" |$9.65$
| align="center" |$10$
| align="center" |$25.43$

|-
| align="center" | 9
| align="center" | $0.25$
| align="center" |$9.75$
| align="center" |$10$
| align="center" |$15.68$

|-
| align="center" | 10
| align="center" | $0.16$
| align="center" |$9.84$
| align="center" |$10$
| align="center" |<span style="background-color:yellow"> '''$5.84$''' </span>

|-
| align="center" | 11
| align="center" | $0.06$
| align="center" | <span style="background-color:yellow"> '''$5.84$''' </span>
Die Restschuld von 5.84 wird getilgt.
| align="center" |'''$5.90$'''
$A=ZA+TA$
| align="center" |$0$

|}

'''Achtung!'''
Bei der 11. Zahlung muss nur noch eine Schuld von 5.84 (gelb unterlegt!) getilgt werden. Aus diesem Grund beträgt der Tilgungsanteil € 5.84!
Die Annuität beträgt dann nicht mehr € 10 (sonst würden wir ja zuviel zurückzahlen) sondern nur noch
$$ A = \textrm{Höhe des Tilgungsanteiles} + \textrm{die Höhe der Zinsen} $$
$$ A= 5.84+0.06 $$
$$A= 5.90$$

</div>

</div>

</div>

</div>

Weitere Beispiele findest du im 3. Klasse Buch (Trauner) auf den Seiten 174ff....

== Annuitätenschuld - Annuität bleibt konstant ==

Bei einer Anniutätenschuld bleibt die Höhe der Annuität (Betrag der regelmäßig eingezahlt wird) konstant. Somit handelt es sich bei der Annuitätenschuld um eine [[Rentenrechnung | Rente]], da
* ein konstanter Betrag (=Annuität)
* in konstanten Zeitabständen
eingezahlt wird.
Wichtig:
# Die Annuität entspricht dabei der Rate R.
# Die Schuld entspricht dem Barwert B (Wert aller Zahlungen am Beginn = Anfangsschuld)

Somit benötigt man bei der Annuitätenschuld die [[Rentenrechnung#Formeln | Formeln für den Barwert]].

=== Musterbeispiele ===

==== Beispiel für jährliche Zahlungen ====
Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 gleich hohen, jährlichen Raten bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Rate ist am Ende des 1. Jahres fällig.

a) Berechne die Höhe der Raten.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

c) Begründe, warum der Tilgungsanteil von Jahr zu Jahr größer wird.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* B=10.000
* n=5
* i=4 % p.a. $\rightarrow$ r=1.05 $\rightarrow$ $v=\frac{1}{r}=0.9615$
* nachschüssig

$$ B=R\cdot v\cdot \frac{v^5-1}{v-1} $$
$$ 10.000 = R\cdot 0.95238\cdot \frac{0.95238^5-1}{0.95238-1} $$
$$ \underline{\underline{R= 2246.27}} $$

A: Die Höhe der Annuität (=Rate) beträgt € 2246.27.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Die Anzahl der Jahre ist 5 $\rightarrow$ somit brauchen wir 6 Zeilen (von 0 bis 5).
* Die Annuität A ist konstant € 2246.27. Somit kann in der Spalte Annuität für alle 5 Jahre 2246.27 eingesetzt werden.
* Anfangsschuld = 10.000

Somit kann man bereits die Rohform des Tilgungsplanes erstellen:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 2
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 3
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 4
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 5
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|}

Nun berechnen wir von links nach rechts und von oben nach unden die einzelnen Werte:

* $i=4$ % $\rightarrow$ $ZA_1=10.000\cdot \frac{4}{100} =400$
* $TA_1=A_1-ZA_1 = 2246,27-400 = 1846.27$
* $RS_1=10.000-1846.27=8153.73$
* usw.

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $400$
| align="center" |$1846.272$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$
8153.73$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $326.15$
| align="center" |$1920.12$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$6233,61$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $249.34$
| align="center" |$1996.93$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$4236,68$

|-
| align="center" | 4
| align="center" | $169.47$
| align="center" |$2076.80$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$2159.88$

|-
| align="center" | 5
| align="center" | $86.40$
| align="center" |$2159.87$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$
0.01$

|}

'''Achtung!''' Die Restschuld im 5. Jahr (=0.01) ist aufgrund der Rundungen, die wir durchgeführt haben nicht genau 0.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung von c) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Weil die Schuld von Jahr zu Jahr abnimmt, wird der Zinsanteil ebenfalls immer kleiner. Da die Annuität konstant bleibt, wird deshalb der Tilgungsanteil immer größer (Erinnerung: Tilgungsanteil ist $TA=A-ZA$ ist).

</div>

</div>

</div>

</div>

==== Beispiel: Monatliche Zahlungen ====
Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch gleich hohe, monatliche Zahlunge bei i=4% p.a. zu tilgen.

a) Berechne die Höhe der Raten.

b) Stelle den Tilgungsplan für die ersten 3 Monate auf und berechne damit die Restschuld nach 3 Monaten.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* R=?
* B=10.000
* n=$5\cdot 12=60$
* i=4 % p.a. $\rightarrow$ r=1.04 $\rightarrow$ $r_{12}=\sqrt[12]{1.04}=1.00327$ $\rightarrow$ $v_{12}=\frac{1}{r_{12}}=0.9967$
!!'''Achtung'''!! Bei unterjährien Einzahlungen (z.B. monatliche) muss der [[Zins- und Zinseszinsrechnung#b) der konforme (äquivalente) Zinssatz|konforme Zinssatz]] berechnet werden!!
* nachschüssig

$$ B=R\cdot v_{12}\cdot \frac{v_{12}^{60}-1}{v_{12}-1} $$
$$ \underline{\underline{R=184.17}}$$

A: Die monatliche Annuität beträgt € 184.17.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Da $r_{12}=1.00327$ (siehe a) beträgt der Monatszinssatz $i_{12}=0.327$ % p.m.
* Die Annuität ist konstant 284.17 (siehe a)
* Anfangsschuld = 10.000

Somit kann der Tilgungsplan aufgestellt werden:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Monat
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $32,70$
| align="center" | $251,47$
| align="center" |$284,17$
| align="center" | $9748,53$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $31,88$
| align="center" |$252,29$
| align="center" |$284,17$
| align="center" |$9496,24$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $31,05$
| align="center" | $253,12$
| align="center" |$284,17$
| align="center" | $9243,12$

|}

A: Nach 3 Monaten beträgt die Restschuld noch € 9243,12.

</div>

</div>

</div>

</div>

== Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant ==

Bei einer Ratenschuld bleit der Tilgungsanteil TA immer gleich groß, wodruch die Schuld sich immer um denselben Wert verringert.

Es gilt
{| border="1" align="center"
|-
| $$TA=\frac{\textrm{Schuld}}{n}$$
|}

'''Begründung''': Da die ganze Schuld durch n Zahlungen zurückgezahlt wird, muss jedes Mal ein "n-tel" der Gesamtschuld getilgt werden.

=== Musterbeispiel ===

Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch gleich hohe Tilgungsanteile bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Rate ist am Ende des 1. Jahres fällig.

a) Berechne die Höhe des Tilgungsanteiles.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

c) Begründe, warum die Annuität von Jahr zu Jahr kleiner wird.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

$$ TA=\frac{\textrm{Schuld}}{n}=\frac{10.000}{5}$$
$$ \underline{\underline{TA=2.000}}$$

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* i=4%
* TA=2000 für alle 5 Jahre
* Anfangsschuld = 10.000

Somit setzen wir alles ein, was wir schon wissen:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS

|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" |
| align="center" | 2.000
| align="center" |
| align="center" | 8.000
<p style="color:darkred"> $10.000-2.000$ </p>

|-
| align="center" | 2
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |6.000

|-
| align="center" | 3
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |4.000

|-
| align="center" | 4
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |2.000

|-
| align="center" | 5
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |0

|}

Nun können alle weiteren Beträge (Zinsen und Annuitäten) berechnet und eingesetzt werden:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | 400
<p style="color:darkred"> $ZA_1=10.000\cdot 0.04$ </p>
| align="center" | 2.000
| align="center" | 2.400
<p style="color:darkred"> $A_1=ZA_1+TA_1$</p>
| align="center" | 8.000

|-
| align="center" | 2
| align="center" | 320
| align="center" |2.000
| align="center" | 2.320
| align="center" |6.000

|-
| align="center" | 3
| align="center" | 240
| align="center" |2.000
| align="center" | 2.240
| align="center" |4.000

|-
| align="center" | 4
| align="center" | 160
| align="center" |2.000
| align="center" | 2160
| align="center" |2.000

|-
| align="center" | 5
| align="center" | 80
| align="center" |2.000
| align="center" |2.080
| align="center" |0

|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für c) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Da der Zinsanteil immer kleiner wird (die Schuld verringert sich!), der Tilgungsanteil aber konstant bleibt, muss folglich die Annuität ebenfalls kleiner werden, da gilt:
$$ \textrm{Annuität = Zinsanteil + Tilgungsanteil} $$

</div>

</div>

</div>

</div>

== Zinsenschuld - nur die Zinsen werden beglichen ==

Hier wird während der gesamten Laufzeit nichts vom Kreditgetilgt (d.h. TA=0), sondern nur die Zinsen bezahlt. Erst am Ende der Laufzeit wird die ganze Schuld durch eine Einmalzahlung beglichen.

=== Musterbeispiel ===

Eine Zinsschuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Annuität ist am Ende des 1. Jahres fällig.

a) Berechne die Höhe der Zinsanteile.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* i=4%
* Anfangsschuld = 10.000

Somit beträgt der Zinsanteil konstant
$$ZA= 10.000\cdot 0.04=400$$.

Nun setzen wir alle Zinsanteile und Restschulden in den Tilgungsplan ein und berechnen zusätzlich noch die Annuitäten:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS

|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | 400
| align="center" | 0
| align="center" | 400
<p style="color:darkred"> $A_1=ZA_1+TA_1=400+0$ </p>
| align="center" | 10.000

|-
| align="center" | 2
| align="center" |400
| align="center" |0
| align="center" | 400
| align="center" |10.000

|-
| align="center" | 3
| align="center" |400
| align="center" |0
| align="center" | 400
| align="center" |10.000

|-
| align="center" | 4
| align="center" | 400
| align="center" |0
| align="center" | 400
| align="center" |<span style="background-color:yellow"> 10.000</span>

|-
| align="center" | 5
| align="center" | 400
| align="center" |<span style="background-color:yellow"> 10.000</span>
| align="center" |10.400
| align="center" |0

|}

</div>

</div>

== Online-Materialien ==
* [http://fbmathe.bbs-bingen.de/Tilgungsrechnung/Aufgaben_Tilgungsrechnung.htm Beispiele und Lösungen von Ansgar Schiffler]

[[Kategorie:Finanzmathematik]]

Schuldentilgung

2014-04-16T12:17:05Z

91.115.36.63: /* Musterbeispiel Tilgungsplan */

== Einleitung und Begriffe ==

Die Schuldentilgung beschäftigt sich mit dem Tilgen (= Zurückzahlen) einer Schuld. Das typische Beispiel ist das Tilgen eines Bankredits.

{| align="right"
|-
|{{#ev:youtube|bId7a4W6Vko}}
|}

Hierbei unterscheidet man zwischen den folgenden Begriffen:
{|
|-
|
* '''Annuität'''
| = der Betrag, der regelmäßig (z.B. jährlich) zurückgezahlt wird.
|-
|
* '''Zinsenanteil'''
| = jener Anteil der Annuität, der für die Zinsen aufgewendet wird.
|-
|
* '''Tilgungsanteil'''
| = jener Anteil der Annuität, um den die Schuld vermindert wird.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Erklärung der Begriffe anhand eines Beispiels''': </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Peter hat einen [[Rentenrechnung#Begriffe | nachschüssigen]] Kredit von 10.000 € bei 1 % p.a. aufgenommen. Somit fallen nach einem Jahr € 100 Zinsen an. Am Ende jedes Jahres zahlt Peter € 1.100 zurück.
* Die Annuität beträgt € 1.100.
* Der Zinsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 100.
* Der Tilgungsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 1000 (Von den € 1.100 werden € 100 für die Zinsen verwendet und nur € 1.000 reduzieren die Schuld).
* Die Restschuld nach dem 1. Jahr begrägt noch € 9.000.

</div>

</div>

{| border ="1" align="center"
| style="background:#e0e0e0" | Text '''Merke:'''

| style="background:#e0e0e0" | Text

align="center" '''Annuität = Zinsanteil + Tilgungsanteil'''

|}

Je nachdem, wie die Schuld beglichen wird, unterscheidet man zwischen folgenden Formen:
* '''[[Schuldentilgung#Annuitätenschuld - Anniutät bleibt konstant | Annuitätenschuld]]''' - Anniutät bleibt konstant über die ganze Laufzeit konstant.
* '''[[Schuldentilgung#Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant |Ratenschuld]]''' - Tilgungsanteil bleibt konstant
* '''[[Schuldentilgung#Zinsenschuld - nur die Zinsen werden beglichen|Zinsenschuld]]''' - nur die Zinsen werden während der Laufzeit beglichen und der Rest erst am Ende der Laufzeit.

== Tilgungsplan ==

Der Tilgungsplan ist eine tabellarische Aufstellung der Kreditrückzahlung.
Er listet für jedes Jahr auf, wie hoch der Zinsen, der Tilgungsanteil, die Annuität und die Restschuld sind.
Für eine nachschüssige Schuldentilgung ist er folgendermaßen aufgebaut:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |Schuld zu Beginn

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1$
Zinsanteil bei der ersten Zahlung
| align="center" |$TA_1$
Tilgungsanteil der ersten Zahlung
| align="center" |$A_1$
Annuität$_1$ (=Höhe der ersten Zahlung)
| align="center" |$RS_1$
Restschuld nach einem Jahr
|-
| align="center" | 2
| align="center" |$ZA_2$
Zinsanteil bei der zweiten Zahlung
|align="center" | $TA_2$
Tilgungsanteil der zweiten Zahlung
| align="center" |$A_2$
Annuität$_2$ (=Höhe der zweiten Zahlung)
| align="center" | $RS_2$
Restschuld nach dem 2. Jahr

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> ''' Hinweise ''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
*Der Zinsanteil errechnet sich immer mithilfe der Schuld aus dem Vorjahr:
$$ ZA_1=\textrm{Schuld}\cdot \frac{i}{100} $$
* Am Ende eines Tilgungsplanes sollte ganz rechts unten bei der letzten Restschuld natürlich eine 0 stehen (vorausgesetzt die ganze Schuld wird zurückbezahlt).
* '''Vorteile des Tilgungsplans sind:'''
:* Der Tilgungsplan ermöglicht einen schönen Überblck über alle Zahlungen.
:* Die einzelnen Werte können Schritt für Schritt ausgerechnet werden.

</div>

</div>

=== Musterbeispiel Tilgungsplan ===

Peter hat einen nachschüssigen Kredit von 100 € bei einer Verzinsung von 1 % p.a. aufgenommen. Er zahlt jährlich € 10 zurück. Erstelle einen Tilgungsplan!

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''1. Schritt: Beginn des Tilgungsplans''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Die Anfangsschuld ist € 100.
* Die Anniuität ist konstant € 10.
* $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1 $.
* $TA_1=A_1-ZA_1=9$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
* Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_1=100-9=91$

Damit erstellen wir nun die ersten zwei Zeilen des Tilgungsplanes:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$</p>
| align="center" |$10-1=9$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $TA=A-ZA$ </p>
| align="center" |$10$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $A=TA+ZA$ </p>
| align="center" |$100-9=91$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$ </p>

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''2. Schritt: Fortsetzung des Tilgungsplans ''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Für das 2. Jahr des Tilgungsplans, nimmt man nun aus Ausgangswert die obere Zeile:

* Die alte Restschuld beträgt € 91.
* Die Anniuität ist konstant € 10.
* $ZA_2=91\cdot \frac{1}{100}=0.91 $.
* $TA_2=A_2-ZA_2=9.09$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
* Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_2=91-9.09=81.91$

Dies setzt man nun in den Tilgungsplan ein:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1$
| align="center" |$10-1=9$
| align="center" |$10$
| align="center" |$100-9=91$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $ZA_2=91\cdot \frac{1}{100}=0.91$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$</p>
| align="center" |$10-0.91=9.09$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $TA=A-ZA$ </p>
| align="center" |$10$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $A=TA+ZA$ </p>
| align="center" |$91-9.09=81.91$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$ </p>

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''3. Schritt: Vollständiger Tilgungsplan''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1$
| align="center" |$10-1=9$
| align="center" |$10$
| align="center" |$100-9=91$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $.91$
| align="center" |$9.09$
| align="center" |$10$
| align="center" |$81.91$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $0.82$
| align="center" |$9.18$
| align="center" |$10$
| align="center" |$72.73$

|-
| align="center" | 4
| align="center" | $0.73$
| align="center" |$9.27$
| align="center" |$10$
| align="center" |$63.46$

|-
| align="center" | 5
| align="center" | $0.63$
| align="center" |$9.37$
| align="center" |$10$
| align="center" |$54.09$

|-
| align="center" | 6
| align="center" | $0.54$
| align="center" |$9.46$
| align="center" |$10$
| align="center" |$44.63$

|-
| align="center" | 7
| align="center" | $0.45$
| align="center" |$9.55$
| align="center" |$10$
| align="center" |$35.08$

|-
| align="center" | 8
| align="center" | $0.35$
| align="center" |$9.65$
| align="center" |$10$
| align="center" |$25.43$

|-
| align="center" | 9
| align="center" | $0.25$
| align="center" |$9.75$
| align="center" |$10$
| align="center" |$15.68$

|-
| align="center" | 10
| align="center" | $0.16$
| align="center" |$9.84$
| align="center" |$10$
| align="center" |<span style="background-color:yellow"> '''$5.84$''' </span>

|-
| align="center" | 11
| align="center" | $0.06$
| align="center" | <span style="background-color:yellow"> '''$5.84$''' </span>
Die Restschuld von 5.84 wird getilgt.
| align="center" |'''$5.90$'''
$A=ZA+TA$
| align="center" |$0$

|}

'''Achtung!'''
Bei der 11. Zahlung muss nur noch eine Schuld von 5.84 (gelb unterlegt!) getilgt werden. Aus diesem Grund beträgt der Tilgungsanteil € 5.84!
Die Annuität beträgt dann nicht mehr € 10 (sonst würden wir ja zuviel zurückzahlen) sondern nur noch
$$ A = \textrm{Höhe des Tilgungsanteiles} + \textrm{die Höhe der Zinsen} $$
$$ A= 5.84+0.06 $$
$$A= 5.90$$

</div>

</div>

</div>

</div>

Weitere Beispiele findest du im 3. Klasse Buch (Trauner) auf den Seiten 174ff....

== Annuitätenschuld - Annuität bleibt konstant ==

Bei einer Anniutätenschuld bleibt die Höhe der Annuität (Betrag der regelmäßig eingezahlt wird) konstant. Somit handelt es sich bei der Annuitätenschuld um eine [[Rentenrechnung | Rente]], da
* ein konstanter Betrag (=Annuität)
* in konstanten Zeitabständen
eingezahlt wird.
Wichtig:
# Die Annuität entspricht dabei der Rate R.
# Die Schuld entspricht dem Barwert B (Wert aller Zahlungen am Beginn = Anfangsschuld)

Somit benötigt man bei der Annuitätenschuld die [[Rentenrechnung#Formeln | Formeln für den Barwert]].

=== Musterbeispiele ===

==== Beispiel für jährliche Zahlungen ====
Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 gleich hohen, jährlichen Raten bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Rate ist am Ende des 1. Jahres fällig.

a) Berechne die Höhe der Raten.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

c) Begründe, warum der Tilgungsanteil von Jahr zu Jahr größer wird.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* B=10.000
* n=5
* i=4 % p.a. $\rightarrow$ r=1.05 $\rightarrow$ $v=\frac{1}{r}=0.9615$
* nachschüssig

$$ B=R\cdot v\cdot \frac{v^5-1}{v-1} $$
$$ 10.000 = R\cdot 0.95238\cdot \frac{0.95238^5-1}{0.95238-1} $$
$$ \underline{\underline{R= 2246.27}} $$

A: Die Höhe der Annuität (=Rate) beträgt € 2246.27.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Die Anzahl der Jahre ist 5 $\rightarrow$ somit brauchen wir 6 Zeilen (von 0 bis 5).
* Die Annuität A ist konstant € 2246.27. Somit kann in der Spalte Annuität für alle 5 Jahre 2246.27 eingesetzt werden.
* Anfangsschuld = 10.000

Somit kann man bereits die Rohform des Tilgungsplanes erstellen:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 2
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 3
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 4
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 5
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|}

Nun berechnen wir von links nach rechts und von oben nach unden die einzelnen Werte:

* $i=4$ % $\rightarrow$ $ZA_1=10.000\cdot \frac{4}{100} =400$
* $TA_1=A_1-ZA_1 = 2246,27-400 = 1846.27$
* $RS_1=10.000-1846.27=8153.73$
* usw.

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $400$
| align="center" |$1846.272$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$
8153.73$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $326.15$
| align="center" |$1920.12$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$6233,61$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $249.34$
| align="center" |$1996.93$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$4236,68$

|-
| align="center" | 4
| align="center" | $169.47$
| align="center" |$2076.80$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$2159.88$

|-
| align="center" | 5
| align="center" | $86.40$
| align="center" |$2159.87$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$
0.01$

|}

'''Achtung!''' Die Restschuld im 5. Jahr (=0.01) ist aufgrund der Rundungen, die wir durchgeführt haben nicht genau 0.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung von c) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Weil die Schuld von Jahr zu Jahr abnimmt, wird der Zinsanteil ebenfalls immer kleiner. Da die Annuität konstant bleibt, wird deshalb der Tilgungsanteil immer größer (Erinnerung: Tilgungsanteil ist $TA=A-ZA$ ist).

</div>

</div>

</div>

</div>

==== Beispiel: Monatliche Zahlungen ====
Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch gleich hohe, monatliche Zahlunge bei i=4% p.a. zu tilgen.

a) Berechne die Höhe der Raten.

b) Stelle den Tilgungsplan für die ersten 3 Monate auf und berechne damit die Restschuld nach 3 Monaten.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* R=?
* B=10.000
* n=$5\cdot 12=60$
* i=4 % p.a. $\rightarrow$ r=1.04 $\rightarrow$ $r_{12}=\sqrt[12]{1.04}=1.00327$ $\rightarrow$ $v_{12}=\frac{1}{r_{12}}=0.9967$
!!'''Achtung'''!! Bei unterjährien Einzahlungen (z.B. monatliche) muss der [[Zins- und Zinseszinsrechnung#b) der konforme (äquivalente) Zinssatz|konforme Zinssatz]] berechnet werden!!
* nachschüssig

$$ B=R\cdot v_{12}\cdot \frac{v_{12}^{60}-1}{v_{12}-1} $$
$$ \underline{\underline{R=184.17}}$$

A: Die monatliche Annuität beträgt € 184.17.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Da $r_{12}=1.00327$ (siehe a) beträgt der Monatszinssatz $i_{12}=0.327$ % p.m.
* Die Annuität ist konstant 284.17 (siehe a)
* Anfangsschuld = 10.000

Somit kann der Tilgungsplan aufgestellt werden:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Monat
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $32,70$
| align="center" | $251,47$
| align="center" |$284,17$
| align="center" | $9748,53$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $31,88$
| align="center" |$252,29$
| align="center" |$284,17$
| align="center" |$9496,24$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $31,05$
| align="center" | $253,12$
| align="center" |$284,17$
| align="center" | $9243,12$

|}

A: Nach 3 Monaten beträgt die Restschuld noch € 9243,12.

</div>

</div>

</div>

</div>

== Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant ==

Bei einer Ratenschuld bleit der Tilgungsanteil TA immer gleich groß, wodruch die Schuld sich immer um denselben Wert verringert.

Es gilt
{| border="1" align="center"
|-
| $$TA=\frac{\textrm{Schuld}}{n}$$
|}

'''Begründung''': Da die ganze Schuld durch n Zahlungen zurückgezahlt wird, muss jedes Mal ein "n-tel" der Gesamtschuld getilgt werden.

=== Musterbeispiel ===

Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch gleich hohe Tilgungsanteile bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Rate ist am Ende des 1. Jahres fällig.

a) Berechne die Höhe des Tilgungsanteiles.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

c) Begründe, warum die Annuität von Jahr zu Jahr kleiner wird.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

$$ TA=\frac{\textrm{Schuld}}{n}=\frac{10.000}{5}$$
$$ \underline{\underline{TA=2.000}}$$

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* i=4%
* TA=2000 für alle 5 Jahre
* Anfangsschuld = 10.000

Somit setzen wir alles ein, was wir schon wissen:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS

|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" |
| align="center" | 2.000
| align="center" |
| align="center" | 8.000
<p style="color:darkred"> $10.000-2.000$ </p>

|-
| align="center" | 2
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |6.000

|-
| align="center" | 3
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |4.000

|-
| align="center" | 4
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |2.000

|-
| align="center" | 5
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |0

|}

Nun können alle weiteren Beträge (Zinsen und Annuitäten) berechnet und eingesetzt werden:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | 400
<p style="color:darkred"> $ZA_1=10.000\cdot 0.04$ </p>
| align="center" | 2.000
| align="center" | 2.400
<p style="color:darkred"> $A_1=ZA_1+TA_1$</p>
| align="center" | 8.000

|-
| align="center" | 2
| align="center" | 320
| align="center" |2.000
| align="center" | 2.320
| align="center" |6.000

|-
| align="center" | 3
| align="center" | 240
| align="center" |2.000
| align="center" | 2.240
| align="center" |4.000

|-
| align="center" | 4
| align="center" | 160
| align="center" |2.000
| align="center" | 2160
| align="center" |2.000

|-
| align="center" | 5
| align="center" | 80
| align="center" |2.000
| align="center" |2.080
| align="center" |0

|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für c) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Da der Zinsanteil immer kleiner wird (die Schuld verringert sich!), der Tilgungsanteil aber konstant bleibt, muss folglich die Annuität ebenfalls kleiner werden, da gilt:
$$ \textrm{Annuität = Zinsanteil + Tilgungsanteil} $$

</div>

</div>

</div>

</div>

== Zinsenschuld - nur die Zinsen werden beglichen ==

Hier wird während der gesamten Laufzeit nichts vom Kreditgetilgt (d.h. TA=0), sondern nur die Zinsen bezahlt. Erst am Ende der Laufzeit wird die ganze Schuld durch eine Einmalzahlung beglichen.

=== Musterbeispiel ===

Eine Zinsschuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Annuität ist am Ende des 1. Jahres fällig.

a) Berechne die Höhe der Zinsanteile.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* i=4%
* Anfangsschuld = 10.000

Somit beträgt der Zinsanteil konstant
$$ZA= 10.000\cdot 0.04=400$$.

Nun setzen wir alle Zinsanteile und Restschulden in den Tilgungsplan ein und berechnen zusätzlich noch die Annuitäten:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS

|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | 400
| align="center" | 0
| align="center" | 400
<p style="color:darkred"> $A_1=ZA_1+TA_1=400+0$ </p>
| align="center" | 10.000

|-
| align="center" | 2
| align="center" |400
| align="center" |0
| align="center" | 400
| align="center" |10.000

|-
| align="center" | 3
| align="center" |400
| align="center" |0
| align="center" | 400
| align="center" |10.000

|-
| align="center" | 4
| align="center" | 400
| align="center" |0
| align="center" | 400
| align="center" |<span style="background-color:yellow"> 10.000</span>

|-
| align="center" | 5
| align="center" | 400
| align="center" |<span style="background-color:yellow"> 10.000</span>
| align="center" |10.400
| align="center" |0

|}

</div>

</div>

== Online-Materialien ==
* [http://fbmathe.bbs-bingen.de/Tilgungsrechnung/Aufgaben_Tilgungsrechnung.htm Beispiele und Lösungen von Ansgar Schiffler]

[[Kategorie:Finanzmathematik]]

Schuldentilgung

2014-04-16T12:14:48Z

91.115.36.63: /* Musterbeispiel Tilgungsplan */

== Einleitung und Begriffe ==

Die Schuldentilgung beschäftigt sich mit dem Tilgen (= Zurückzahlen) einer Schuld. Das typische Beispiel ist das Tilgen eines Bankredits.

{| align="right"
|-
|{{#ev:youtube|bId7a4W6Vko}}
|}

Hierbei unterscheidet man zwischen den folgenden Begriffen:
{|
|-
|
* '''Annuität'''
| = der Betrag, der regelmäßig (z.B. jährlich) zurückgezahlt wird.
|-
|
* '''Zinsenanteil'''
| = jener Anteil der Annuität, der für die Zinsen aufgewendet wird.
|-
|
* '''Tilgungsanteil'''
| = jener Anteil der Annuität, um den die Schuld vermindert wird.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Erklärung der Begriffe anhand eines Beispiels''': </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Peter hat einen [[Rentenrechnung#Begriffe | nachschüssigen]] Kredit von 10.000 € bei 1 % p.a. aufgenommen. Somit fallen nach einem Jahr € 100 Zinsen an. Am Ende jedes Jahres zahlt Peter € 1.100 zurück.
* Die Annuität beträgt € 1.100.
* Der Zinsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 100.
* Der Tilgungsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 1000 (Von den € 1.100 werden € 100 für die Zinsen verwendet und nur € 1.000 reduzieren die Schuld).
* Die Restschuld nach dem 1. Jahr begrägt noch € 9.000.

</div>

</div>

{| border ="1" align="center"
| style="background:#e0e0e0" | Text '''Merke:'''

| style="background:#e0e0e0" | Text

align="center" '''Annuität = Zinsanteil + Tilgungsanteil'''

|}

Je nachdem, wie die Schuld beglichen wird, unterscheidet man zwischen folgenden Formen:
* '''[[Schuldentilgung#Annuitätenschuld - Anniutät bleibt konstant | Annuitätenschuld]]''' - Anniutät bleibt konstant über die ganze Laufzeit konstant.
* '''[[Schuldentilgung#Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant |Ratenschuld]]''' - Tilgungsanteil bleibt konstant
* '''[[Schuldentilgung#Zinsenschuld - nur die Zinsen werden beglichen|Zinsenschuld]]''' - nur die Zinsen werden während der Laufzeit beglichen und der Rest erst am Ende der Laufzeit.

== Tilgungsplan ==

Der Tilgungsplan ist eine tabellarische Aufstellung der Kreditrückzahlung.
Er listet für jedes Jahr auf, wie hoch der Zinsen, der Tilgungsanteil, die Annuität und die Restschuld sind.
Für eine nachschüssige Schuldentilgung ist er folgendermaßen aufgebaut:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |Schuld zu Beginn

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1$
Zinsanteil bei der ersten Zahlung
| align="center" |$TA_1$
Tilgungsanteil der ersten Zahlung
| align="center" |$A_1$
Annuität$_1$ (=Höhe der ersten Zahlung)
| align="center" |$RS_1$
Restschuld nach einem Jahr
|-
| align="center" | 2
| align="center" |$ZA_2$
Zinsanteil bei der zweiten Zahlung
|align="center" | $TA_2$
Tilgungsanteil der zweiten Zahlung
| align="center" |$A_2$
Annuität$_2$ (=Höhe der zweiten Zahlung)
| align="center" | $RS_2$
Restschuld nach dem 2. Jahr

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> ''' Hinweise ''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
*Der Zinsanteil errechnet sich immer mithilfe der Schuld aus dem Vorjahr:
$$ ZA_1=\textrm{Schuld}\cdot \frac{i}{100} $$
* Am Ende eines Tilgungsplanes sollte ganz rechts unten bei der letzten Restschuld natürlich eine 0 stehen (vorausgesetzt die ganze Schuld wird zurückbezahlt).
* '''Vorteile des Tilgungsplans sind:'''
:* Der Tilgungsplan ermöglicht einen schönen Überblck über alle Zahlungen.
:* Die einzelnen Werte können Schritt für Schritt ausgerechnet werden.

</div>

</div>

=== Musterbeispiel Tilgungsplan ===

Peter hat einen nachschüssigen Kredit von 100 € bei einer Verzinsung von 1 % p.a. aufgenommen. Er zahlt jährlich € 10 zurück. Erstelle einen Tilgungsplan!

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''1. Schritt: Beginn des Tilgungsplans''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Die Anfangsschuld ist € 100.
* Die Anniuität ist konstant € 10.
* $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1 $.
* $TA_1=A_1-ZA_1=9$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
* Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_1=100-9=91$

Damit erstellen wir nun die ersten zwei Zeilen des Tilgungsplanes:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$</p>
| align="center" |$10-1=9$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $TA=A-ZA$ </p>
| align="center" |$10$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $A=TA+ZA$ </p>
| align="center" |$100-9=91$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$ </p>

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''2. Schritt: Fortsetzung des Tilgungsplans ''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Für das 2. Jahr des Tilgungsplans, nimmt man nun aus Ausgangswert die obere Zeile:

* Die alte Restschuld beträgt € 91.
* Die Anniuität ist konstant € 10.
* $ZA_2=91\cdot \frac{1}{100}=0.91 $.
* $TA_2=A_2-ZA_2=9.09$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
* Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_2=91-9.09=81.91$

Dies setzt man nun in den Tilgungsplan ein:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1$
| align="center" |$10-1=9$
| align="center" |$10$
| align="center" |$100-9=91$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $ZA_1=91\cdot \frac{1}{100}=0.91$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$</p>
| align="center" |$10-0.91=9.09$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $TA=A-ZA$ </p>
| align="center" |$10$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $A=TA+ZA$ </p>
| align="center" |$91-9.09=81.91$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$ </p>

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''3. Schritt: Vollständiger Tilgungsplan''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1$
| align="center" |$10-1=9$
| align="center" |$10$
| align="center" |$100-9=91$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $.91$
| align="center" |$9.09$
| align="center" |$10$
| align="center" |$81.91$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $0.82$
| align="center" |$9.18$
| align="center" |$10$
| align="center" |$72.73$

|-
| align="center" | 4
| align="center" | $0.73$
| align="center" |$9.27$
| align="center" |$10$
| align="center" |$63.46$

|-
| align="center" | 5
| align="center" | $0.63$
| align="center" |$9.37$
| align="center" |$10$
| align="center" |$54.09$

|-
| align="center" | 6
| align="center" | $0.54$
| align="center" |$9.46$
| align="center" |$10$
| align="center" |$44.63$

|-
| align="center" | 7
| align="center" | $0.45$
| align="center" |$9.55$
| align="center" |$10$
| align="center" |$35.08$

|-
| align="center" | 8
| align="center" | $0.35$
| align="center" |$9.65$
| align="center" |$10$
| align="center" |$25.43$

|-
| align="center" | 9
| align="center" | $0.25$
| align="center" |$9.75$
| align="center" |$10$
| align="center" |$15.68$

|-
| align="center" | 10
| align="center" | $0.16$
| align="center" |$9.84$
| align="center" |$10$
| align="center" |<span style="background-color:yellow"> '''$5.84$''' </span>

|-
| align="center" | 11
| align="center" | $0.06$
| align="center" | <span style="background-color:yellow"> '''$5.84$''' </span>
Die Restschuld von 5.84 wird getilgt.
| align="center" |'''$5.90$'''
$A=ZA+TA$
| align="center" |$0$

|}

'''Achtung!'''
Bei der 11. Zahlung muss nur noch eine Schuld von 5.84 (gelb unterlegt!) getilgt werden. Aus diesem Grund beträgt der Tilgungsanteil € 5.84!
Die Annuität beträgt dann nicht mehr € 10 (sonst würden wir ja zuviel zurückzahlen) sondern nur noch
$$ A = \textrm{Höhe des Tilgungsanteiles} + \textrm{die Höhe der Zinsen} $$
$$ A= 5.84+0.06 $$
$$A= 5.90$$

</div>

</div>

</div>

</div>

Weitere Beispiele findest du im 3. Klasse Buch (Trauner) auf den Seiten 174ff....

== Annuitätenschuld - Annuität bleibt konstant ==

Bei einer Anniutätenschuld bleibt die Höhe der Annuität (Betrag der regelmäßig eingezahlt wird) konstant. Somit handelt es sich bei der Annuitätenschuld um eine [[Rentenrechnung | Rente]], da
* ein konstanter Betrag (=Annuität)
* in konstanten Zeitabständen
eingezahlt wird.
Wichtig:
# Die Annuität entspricht dabei der Rate R.
# Die Schuld entspricht dem Barwert B (Wert aller Zahlungen am Beginn = Anfangsschuld)

Somit benötigt man bei der Annuitätenschuld die [[Rentenrechnung#Formeln | Formeln für den Barwert]].

=== Musterbeispiele ===

==== Beispiel für jährliche Zahlungen ====
Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 gleich hohen, jährlichen Raten bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Rate ist am Ende des 1. Jahres fällig.

a) Berechne die Höhe der Raten.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

c) Begründe, warum der Tilgungsanteil von Jahr zu Jahr größer wird.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* B=10.000
* n=5
* i=4 % p.a. $\rightarrow$ r=1.05 $\rightarrow$ $v=\frac{1}{r}=0.9615$
* nachschüssig

$$ B=R\cdot v\cdot \frac{v^5-1}{v-1} $$
$$ 10.000 = R\cdot 0.95238\cdot \frac{0.95238^5-1}{0.95238-1} $$
$$ \underline{\underline{R= 2246.27}} $$

A: Die Höhe der Annuität (=Rate) beträgt € 2246.27.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Die Anzahl der Jahre ist 5 $\rightarrow$ somit brauchen wir 6 Zeilen (von 0 bis 5).
* Die Annuität A ist konstant € 2246.27. Somit kann in der Spalte Annuität für alle 5 Jahre 2246.27 eingesetzt werden.
* Anfangsschuld = 10.000

Somit kann man bereits die Rohform des Tilgungsplanes erstellen:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 2
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 3
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 4
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 5
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|}

Nun berechnen wir von links nach rechts und von oben nach unden die einzelnen Werte:

* $i=4$ % $\rightarrow$ $ZA_1=10.000\cdot \frac{4}{100} =400$
* $TA_1=A_1-ZA_1 = 2246,27-400 = 1846.27$
* $RS_1=10.000-1846.27=8153.73$
* usw.

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $400$
| align="center" |$1846.272$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$
8153.73$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $326.15$
| align="center" |$1920.12$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$6233,61$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $249.34$
| align="center" |$1996.93$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$4236,68$

|-
| align="center" | 4
| align="center" | $169.47$
| align="center" |$2076.80$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$2159.88$

|-
| align="center" | 5
| align="center" | $86.40$
| align="center" |$2159.87$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$
0.01$

|}

'''Achtung!''' Die Restschuld im 5. Jahr (=0.01) ist aufgrund der Rundungen, die wir durchgeführt haben nicht genau 0.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung von c) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Weil die Schuld von Jahr zu Jahr abnimmt, wird der Zinsanteil ebenfalls immer kleiner. Da die Annuität konstant bleibt, wird deshalb der Tilgungsanteil immer größer (Erinnerung: Tilgungsanteil ist $TA=A-ZA$ ist).

</div>

</div>

</div>

</div>

==== Beispiel: Monatliche Zahlungen ====
Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch gleich hohe, monatliche Zahlunge bei i=4% p.a. zu tilgen.

a) Berechne die Höhe der Raten.

b) Stelle den Tilgungsplan für die ersten 3 Monate auf und berechne damit die Restschuld nach 3 Monaten.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* R=?
* B=10.000
* n=$5\cdot 12=60$
* i=4 % p.a. $\rightarrow$ r=1.04 $\rightarrow$ $r_{12}=\sqrt[12]{1.04}=1.00327$ $\rightarrow$ $v_{12}=\frac{1}{r_{12}}=0.9967$
!!'''Achtung'''!! Bei unterjährien Einzahlungen (z.B. monatliche) muss der [[Zins- und Zinseszinsrechnung#b) der konforme (äquivalente) Zinssatz|konforme Zinssatz]] berechnet werden!!
* nachschüssig

$$ B=R\cdot v_{12}\cdot \frac{v_{12}^{60}-1}{v_{12}-1} $$
$$ \underline{\underline{R=184.17}}$$

A: Die monatliche Annuität beträgt € 184.17.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Da $r_{12}=1.00327$ (siehe a) beträgt der Monatszinssatz $i_{12}=0.327$ % p.m.
* Die Annuität ist konstant 284.17 (siehe a)
* Anfangsschuld = 10.000

Somit kann der Tilgungsplan aufgestellt werden:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Monat
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $32,70$
| align="center" | $251,47$
| align="center" |$284,17$
| align="center" | $9748,53$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $31,88$
| align="center" |$252,29$
| align="center" |$284,17$
| align="center" |$9496,24$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $31,05$
| align="center" | $253,12$
| align="center" |$284,17$
| align="center" | $9243,12$

|}

A: Nach 3 Monaten beträgt die Restschuld noch € 9243,12.

</div>

</div>

</div>

</div>

== Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant ==

Bei einer Ratenschuld bleit der Tilgungsanteil TA immer gleich groß, wodruch die Schuld sich immer um denselben Wert verringert.

Es gilt
{| border="1" align="center"
|-
| $$TA=\frac{\textrm{Schuld}}{n}$$
|}

'''Begründung''': Da die ganze Schuld durch n Zahlungen zurückgezahlt wird, muss jedes Mal ein "n-tel" der Gesamtschuld getilgt werden.

=== Musterbeispiel ===

Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch gleich hohe Tilgungsanteile bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Rate ist am Ende des 1. Jahres fällig.

a) Berechne die Höhe des Tilgungsanteiles.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

c) Begründe, warum die Annuität von Jahr zu Jahr kleiner wird.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

$$ TA=\frac{\textrm{Schuld}}{n}=\frac{10.000}{5}$$
$$ \underline{\underline{TA=2.000}}$$

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* i=4%
* TA=2000 für alle 5 Jahre
* Anfangsschuld = 10.000

Somit setzen wir alles ein, was wir schon wissen:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS

|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" |
| align="center" | 2.000
| align="center" |
| align="center" | 8.000
<p style="color:darkred"> $10.000-2.000$ </p>

|-
| align="center" | 2
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |6.000

|-
| align="center" | 3
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |4.000

|-
| align="center" | 4
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |2.000

|-
| align="center" | 5
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |0

|}

Nun können alle weiteren Beträge (Zinsen und Annuitäten) berechnet und eingesetzt werden:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | 400
<p style="color:darkred"> $ZA_1=10.000\cdot 0.04$ </p>
| align="center" | 2.000
| align="center" | 2.400
<p style="color:darkred"> $A_1=ZA_1+TA_1$</p>
| align="center" | 8.000

|-
| align="center" | 2
| align="center" | 320
| align="center" |2.000
| align="center" | 2.320
| align="center" |6.000

|-
| align="center" | 3
| align="center" | 240
| align="center" |2.000
| align="center" | 2.240
| align="center" |4.000

|-
| align="center" | 4
| align="center" | 160
| align="center" |2.000
| align="center" | 2160
| align="center" |2.000

|-
| align="center" | 5
| align="center" | 80
| align="center" |2.000
| align="center" |2.080
| align="center" |0

|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für c) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Da der Zinsanteil immer kleiner wird (die Schuld verringert sich!), der Tilgungsanteil aber konstant bleibt, muss folglich die Annuität ebenfalls kleiner werden, da gilt:
$$ \textrm{Annuität = Zinsanteil + Tilgungsanteil} $$

</div>

</div>

</div>

</div>

== Zinsenschuld - nur die Zinsen werden beglichen ==

Hier wird während der gesamten Laufzeit nichts vom Kreditgetilgt (d.h. TA=0), sondern nur die Zinsen bezahlt. Erst am Ende der Laufzeit wird die ganze Schuld durch eine Einmalzahlung beglichen.

=== Musterbeispiel ===

Eine Zinsschuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Annuität ist am Ende des 1. Jahres fällig.

a) Berechne die Höhe der Zinsanteile.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* i=4%
* Anfangsschuld = 10.000

Somit beträgt der Zinsanteil konstant
$$ZA= 10.000\cdot 0.04=400$$.

Nun setzen wir alle Zinsanteile und Restschulden in den Tilgungsplan ein und berechnen zusätzlich noch die Annuitäten:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS

|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | 400
| align="center" | 0
| align="center" | 400
<p style="color:darkred"> $A_1=ZA_1+TA_1=400+0$ </p>
| align="center" | 10.000

|-
| align="center" | 2
| align="center" |400
| align="center" |0
| align="center" | 400
| align="center" |10.000

|-
| align="center" | 3
| align="center" |400
| align="center" |0
| align="center" | 400
| align="center" |10.000

|-
| align="center" | 4
| align="center" | 400
| align="center" |0
| align="center" | 400
| align="center" |<span style="background-color:yellow"> 10.000</span>

|-
| align="center" | 5
| align="center" | 400
| align="center" |<span style="background-color:yellow"> 10.000</span>
| align="center" |10.400
| align="center" |0

|}

</div>

</div>

== Online-Materialien ==
* [http://fbmathe.bbs-bingen.de/Tilgungsrechnung/Aufgaben_Tilgungsrechnung.htm Beispiele und Lösungen von Ansgar Schiffler]

[[Kategorie:Finanzmathematik]]

Schuldentilgung

2014-04-16T12:13:44Z

91.115.36.63:

== Einleitung und Begriffe ==

Die Schuldentilgung beschäftigt sich mit dem Tilgen (= Zurückzahlen) einer Schuld. Das typische Beispiel ist das Tilgen eines Bankredits.

{| align="right"
|-
|{{#ev:youtube|bId7a4W6Vko}}
|}

Hierbei unterscheidet man zwischen den folgenden Begriffen:
{|
|-
|
* '''Annuität'''
| = der Betrag, der regelmäßig (z.B. jährlich) zurückgezahlt wird.
|-
|
* '''Zinsenanteil'''
| = jener Anteil der Annuität, der für die Zinsen aufgewendet wird.
|-
|
* '''Tilgungsanteil'''
| = jener Anteil der Annuität, um den die Schuld vermindert wird.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Erklärung der Begriffe anhand eines Beispiels''': </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Peter hat einen [[Rentenrechnung#Begriffe | nachschüssigen]] Kredit von 10.000 € bei 1 % p.a. aufgenommen. Somit fallen nach einem Jahr € 100 Zinsen an. Am Ende jedes Jahres zahlt Peter € 1.100 zurück.
* Die Annuität beträgt € 1.100.
* Der Zinsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 100.
* Der Tilgungsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 1000 (Von den € 1.100 werden € 100 für die Zinsen verwendet und nur € 1.000 reduzieren die Schuld).
* Die Restschuld nach dem 1. Jahr begrägt noch € 9.000.

</div>

</div>

{| border ="1" align="center"
| style="background:#e0e0e0" | Text '''Merke:'''

| style="background:#e0e0e0" | Text

align="center" '''Annuität = Zinsanteil + Tilgungsanteil'''

|}

Je nachdem, wie die Schuld beglichen wird, unterscheidet man zwischen folgenden Formen:
* '''[[Schuldentilgung#Annuitätenschuld - Anniutät bleibt konstant | Annuitätenschuld]]''' - Anniutät bleibt konstant über die ganze Laufzeit konstant.
* '''[[Schuldentilgung#Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant |Ratenschuld]]''' - Tilgungsanteil bleibt konstant
* '''[[Schuldentilgung#Zinsenschuld - nur die Zinsen werden beglichen|Zinsenschuld]]''' - nur die Zinsen werden während der Laufzeit beglichen und der Rest erst am Ende der Laufzeit.

== Tilgungsplan ==

Der Tilgungsplan ist eine tabellarische Aufstellung der Kreditrückzahlung.
Er listet für jedes Jahr auf, wie hoch der Zinsen, der Tilgungsanteil, die Annuität und die Restschuld sind.
Für eine nachschüssige Schuldentilgung ist er folgendermaßen aufgebaut:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |Schuld zu Beginn

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1$
Zinsanteil bei der ersten Zahlung
| align="center" |$TA_1$
Tilgungsanteil der ersten Zahlung
| align="center" |$A_1$
Annuität$_1$ (=Höhe der ersten Zahlung)
| align="center" |$RS_1$
Restschuld nach einem Jahr
|-
| align="center" | 2
| align="center" |$ZA_2$
Zinsanteil bei der zweiten Zahlung
|align="center" | $TA_2$
Tilgungsanteil der zweiten Zahlung
| align="center" |$A_2$
Annuität$_2$ (=Höhe der zweiten Zahlung)
| align="center" | $RS_2$
Restschuld nach dem 2. Jahr

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> ''' Hinweise ''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
*Der Zinsanteil errechnet sich immer mithilfe der Schuld aus dem Vorjahr:
$$ ZA_1=\textrm{Schuld}\cdot \frac{i}{100} $$
* Am Ende eines Tilgungsplanes sollte ganz rechts unten bei der letzten Restschuld natürlich eine 0 stehen (vorausgesetzt die ganze Schuld wird zurückbezahlt).
* '''Vorteile des Tilgungsplans sind:'''
:* Der Tilgungsplan ermöglicht einen schönen Überblck über alle Zahlungen.
:* Die einzelnen Werte können Schritt für Schritt ausgerechnet werden.

</div>

</div>

=== Musterbeispiel Tilgungsplan ===

'''Peter hat einen nachschüssigen Kredit von 100 € bei einer Verzinsung von 1 % p.a. aufgenommen. Er zahlt jährlich € 10 zurück. Erstelle einen Tilgungsplan!'''

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''1. Schritt: Beginn des Tilgungsplans''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Die Anfangsschuld ist € 100.
* Die Anniuität ist konstant € 10.
* $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1 $.
* $TA_1=A_1-ZA_1=9$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
* Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_1=100-9=91$

Damit erstellen wir nun die ersten zwei Zeilen des Tilgungsplanes:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$</p>
| align="center" |$10-1=9$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $TA=A-ZA$ </p>
| align="center" |$10$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $A=TA+ZA$ </p>
| align="center" |$100-9=91$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$ </p>

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''2. Schritt: Fortsetzung des Tilgungsplans ''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Für das 2. Jahr des Tilgungsplans, nimmt man nun aus Ausgangswert die obere Zeile:

* Die alte Restschuld beträgt € 91.
* Die Anniuität ist konstant € 10.
* $ZA_2=91\cdot \frac{1}{100}=0.91 $.
* $TA_2=A_2-ZA_2=9.09$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
* Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_2=91-9.09=81.91$

Dies setzt man nun in den Tilgungsplan ein:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1$
| align="center" |$10-1=9$
| align="center" |$10$
| align="center" |$100-9=91$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $ZA_1=91\cdot \frac{1}{100}=0.91$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$</p>
| align="center" |$10-0.91=9.09$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $TA=A-ZA$ </p>
| align="center" |$10$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $A=TA+ZA$ </p>
| align="center" |$91-9.09=81.91$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$ </p>

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''3. Schritt: Vollständiger Tilgungsplan''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1$
| align="center" |$10-1=9$
| align="center" |$10$
| align="center" |$100-9=91$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $.91$
| align="center" |$9.09$
| align="center" |$10$
| align="center" |$81.91$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $0.82$
| align="center" |$9.18$
| align="center" |$10$
| align="center" |$72.73$

|-
| align="center" | 4
| align="center" | $0.73$
| align="center" |$9.27$
| align="center" |$10$
| align="center" |$63.46$

|-
| align="center" | 5
| align="center" | $0.63$
| align="center" |$9.37$
| align="center" |$10$
| align="center" |$54.09$

|-
| align="center" | 6
| align="center" | $0.54$
| align="center" |$9.46$
| align="center" |$10$
| align="center" |$44.63$

|-
| align="center" | 7
| align="center" | $0.45$
| align="center" |$9.55$
| align="center" |$10$
| align="center" |$35.08$

|-
| align="center" | 8
| align="center" | $0.35$
| align="center" |$9.65$
| align="center" |$10$
| align="center" |$25.43$

|-
| align="center" | 9
| align="center" | $0.25$
| align="center" |$9.75$
| align="center" |$10$
| align="center" |$15.68$

|-
| align="center" | 10
| align="center" | $0.16$
| align="center" |$9.84$
| align="center" |$10$
| align="center" |<span style="background-color:yellow"> '''$5.84$''' </span>

|-
| align="center" | 11
| align="center" | $0.06$
| align="center" | <span style="background-color:yellow"> '''$5.84$''' </span>
Die Restschuld von 5.84 wird getilgt.
| align="center" |'''$5.90$'''
$A=ZA+TA$
| align="center" |$0$

|}

'''Achtung!'''
Bei der 11. Zahlung muss nur noch eine Schuld von 5.84 (gelb unterlegt!) getilgt werden. Aus diesem Grund beträgt der Tilgungsanteil € 5.84!
Die Annuität beträgt dann nicht mehr € 10 (sonst würden wir ja zuviel zurückzahlen) sondern nur noch
$$ A = \textrm{Höhe des Tilgungsanteiles} + \textrm{die Höhe der Zinsen} $$
$$ A= 5.84+0.06 $$
$$A= 5.90$$

</div>

</div>

</div>

</div>

Weitere Beispiele findest du im 3. Klasse Buch (Trauner) auf den Seiten 174ff....

== Annuitätenschuld - Annuität bleibt konstant ==

Bei einer Anniutätenschuld bleibt die Höhe der Annuität (Betrag der regelmäßig eingezahlt wird) konstant. Somit handelt es sich bei der Annuitätenschuld um eine [[Rentenrechnung | Rente]], da
* ein konstanter Betrag (=Annuität)
* in konstanten Zeitabständen
eingezahlt wird.
Wichtig:
# Die Annuität entspricht dabei der Rate R.
# Die Schuld entspricht dem Barwert B (Wert aller Zahlungen am Beginn = Anfangsschuld)

Somit benötigt man bei der Annuitätenschuld die [[Rentenrechnung#Formeln | Formeln für den Barwert]].

=== Musterbeispiele ===

==== Beispiel für jährliche Zahlungen ====
Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 gleich hohen, jährlichen Raten bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Rate ist am Ende des 1. Jahres fällig.

a) Berechne die Höhe der Raten.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

c) Begründe, warum der Tilgungsanteil von Jahr zu Jahr größer wird.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* B=10.000
* n=5
* i=4 % p.a. $\rightarrow$ r=1.05 $\rightarrow$ $v=\frac{1}{r}=0.9615$
* nachschüssig

$$ B=R\cdot v\cdot \frac{v^5-1}{v-1} $$
$$ 10.000 = R\cdot 0.95238\cdot \frac{0.95238^5-1}{0.95238-1} $$
$$ \underline{\underline{R= 2246.27}} $$

A: Die Höhe der Annuität (=Rate) beträgt € 2246.27.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Die Anzahl der Jahre ist 5 $\rightarrow$ somit brauchen wir 6 Zeilen (von 0 bis 5).
* Die Annuität A ist konstant € 2246.27. Somit kann in der Spalte Annuität für alle 5 Jahre 2246.27 eingesetzt werden.
* Anfangsschuld = 10.000

Somit kann man bereits die Rohform des Tilgungsplanes erstellen:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 2
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 3
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 4
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 5
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|}

Nun berechnen wir von links nach rechts und von oben nach unden die einzelnen Werte:

* $i=4$ % $\rightarrow$ $ZA_1=10.000\cdot \frac{4}{100} =400$
* $TA_1=A_1-ZA_1 = 2246,27-400 = 1846.27$
* $RS_1=10.000-1846.27=8153.73$
* usw.

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $400$
| align="center" |$1846.272$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$
8153.73$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $326.15$
| align="center" |$1920.12$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$6233,61$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $249.34$
| align="center" |$1996.93$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$4236,68$

|-
| align="center" | 4
| align="center" | $169.47$
| align="center" |$2076.80$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$2159.88$

|-
| align="center" | 5
| align="center" | $86.40$
| align="center" |$2159.87$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$
0.01$

|}

'''Achtung!''' Die Restschuld im 5. Jahr (=0.01) ist aufgrund der Rundungen, die wir durchgeführt haben nicht genau 0.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung von c) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Weil die Schuld von Jahr zu Jahr abnimmt, wird der Zinsanteil ebenfalls immer kleiner. Da die Annuität konstant bleibt, wird deshalb der Tilgungsanteil immer größer (Erinnerung: Tilgungsanteil ist $TA=A-ZA$ ist).

</div>

</div>

</div>

</div>

==== Beispiel: Monatliche Zahlungen ====
Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch gleich hohe, monatliche Zahlunge bei i=4% p.a. zu tilgen.

a) Berechne die Höhe der Raten.

b) Stelle den Tilgungsplan für die ersten 3 Monate auf und berechne damit die Restschuld nach 3 Monaten.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* R=?
* B=10.000
* n=$5\cdot 12=60$
* i=4 % p.a. $\rightarrow$ r=1.04 $\rightarrow$ $r_{12}=\sqrt[12]{1.04}=1.00327$ $\rightarrow$ $v_{12}=\frac{1}{r_{12}}=0.9967$
!!'''Achtung'''!! Bei unterjährien Einzahlungen (z.B. monatliche) muss der [[Zins- und Zinseszinsrechnung#b) der konforme (äquivalente) Zinssatz|konforme Zinssatz]] berechnet werden!!
* nachschüssig

$$ B=R\cdot v_{12}\cdot \frac{v_{12}^{60}-1}{v_{12}-1} $$
$$ \underline{\underline{R=184.17}}$$

A: Die monatliche Annuität beträgt € 184.17.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Da $r_{12}=1.00327$ (siehe a) beträgt der Monatszinssatz $i_{12}=0.327$ % p.m.
* Die Annuität ist konstant 284.17 (siehe a)
* Anfangsschuld = 10.000

Somit kann der Tilgungsplan aufgestellt werden:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Monat
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $32,70$
| align="center" | $251,47$
| align="center" |$284,17$
| align="center" | $9748,53$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $31,88$
| align="center" |$252,29$
| align="center" |$284,17$
| align="center" |$9496,24$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $31,05$
| align="center" | $253,12$
| align="center" |$284,17$
| align="center" | $9243,12$

|}

A: Nach 3 Monaten beträgt die Restschuld noch € 9243,12.

</div>

</div>

</div>

</div>

== Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant ==

Bei einer Ratenschuld bleit der Tilgungsanteil TA immer gleich groß, wodruch die Schuld sich immer um denselben Wert verringert.

Es gilt
{| border="1" align="center"
|-
| $$TA=\frac{\textrm{Schuld}}{n}$$
|}

'''Begründung''': Da die ganze Schuld durch n Zahlungen zurückgezahlt wird, muss jedes Mal ein "n-tel" der Gesamtschuld getilgt werden.

=== Musterbeispiel ===

Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch gleich hohe Tilgungsanteile bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Rate ist am Ende des 1. Jahres fällig.

a) Berechne die Höhe des Tilgungsanteiles.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

c) Begründe, warum die Annuität von Jahr zu Jahr kleiner wird.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

$$ TA=\frac{\textrm{Schuld}}{n}=\frac{10.000}{5}$$
$$ \underline{\underline{TA=2.000}}$$

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* i=4%
* TA=2000 für alle 5 Jahre
* Anfangsschuld = 10.000

Somit setzen wir alles ein, was wir schon wissen:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS

|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" |
| align="center" | 2.000
| align="center" |
| align="center" | 8.000
<p style="color:darkred"> $10.000-2.000$ </p>

|-
| align="center" | 2
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |6.000

|-
| align="center" | 3
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |4.000

|-
| align="center" | 4
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |2.000

|-
| align="center" | 5
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |0

|}

Nun können alle weiteren Beträge (Zinsen und Annuitäten) berechnet und eingesetzt werden:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | 400
<p style="color:darkred"> $ZA_1=10.000\cdot 0.04$ </p>
| align="center" | 2.000
| align="center" | 2.400
<p style="color:darkred"> $A_1=ZA_1+TA_1$</p>
| align="center" | 8.000

|-
| align="center" | 2
| align="center" | 320
| align="center" |2.000
| align="center" | 2.320
| align="center" |6.000

|-
| align="center" | 3
| align="center" | 240
| align="center" |2.000
| align="center" | 2.240
| align="center" |4.000

|-
| align="center" | 4
| align="center" | 160
| align="center" |2.000
| align="center" | 2160
| align="center" |2.000

|-
| align="center" | 5
| align="center" | 80
| align="center" |2.000
| align="center" |2.080
| align="center" |0

|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für c) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Da der Zinsanteil immer kleiner wird (die Schuld verringert sich!), der Tilgungsanteil aber konstant bleibt, muss folglich die Annuität ebenfalls kleiner werden, da gilt:
$$ \textrm{Annuität = Zinsanteil + Tilgungsanteil} $$

</div>

</div>

</div>

</div>

== Zinsenschuld - nur die Zinsen werden beglichen ==

Hier wird während der gesamten Laufzeit nichts vom Kreditgetilgt (d.h. TA=0), sondern nur die Zinsen bezahlt. Erst am Ende der Laufzeit wird die ganze Schuld durch eine Einmalzahlung beglichen.

=== Musterbeispiel ===

Eine Zinsschuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Annuität ist am Ende des 1. Jahres fällig.

a) Berechne die Höhe der Zinsanteile.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* i=4%
* Anfangsschuld = 10.000

Somit beträgt der Zinsanteil konstant
$$ZA= 10.000\cdot 0.04=400$$.

Nun setzen wir alle Zinsanteile und Restschulden in den Tilgungsplan ein und berechnen zusätzlich noch die Annuitäten:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS

|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | 400
| align="center" | 0
| align="center" | 400
<p style="color:darkred"> $A_1=ZA_1+TA_1=400+0$ </p>
| align="center" | 10.000

|-
| align="center" | 2
| align="center" |400
| align="center" |0
| align="center" | 400
| align="center" |10.000

|-
| align="center" | 3
| align="center" |400
| align="center" |0
| align="center" | 400
| align="center" |10.000

|-
| align="center" | 4
| align="center" | 400
| align="center" |0
| align="center" | 400
| align="center" |<span style="background-color:yellow"> 10.000</span>

|-
| align="center" | 5
| align="center" | 400
| align="center" |<span style="background-color:yellow"> 10.000</span>
| align="center" |10.400
| align="center" |0

|}

</div>

</div>

== Online-Materialien ==
* [http://fbmathe.bbs-bingen.de/Tilgungsrechnung/Aufgaben_Tilgungsrechnung.htm Beispiele und Lösungen von Ansgar Schiffler]

[[Kategorie:Finanzmathematik]]

Schuldentilgung

2014-04-16T12:07:32Z

91.115.36.63: /* Annuitätenschuld - Anniutät bleibt konstant */

== Einleitung und Begriffe ==

Die Schuldentilgung beschäftigt sich mit dem Tilgen (= Zurückzahlen) einer Schuld. Das typische Beispiel ist das Tilgen eines Bankredits.

{| align="right"
|-
|{{#ev:youtube|bId7a4W6Vko}}
|}

Hierbei unterscheidet man zwischen den folgenden Begriffen:
{|
|-
|
* '''Annuität'''
| = der Betrag, der regelmäßig (z.B. jährlich) zurückgezahlt wird.
|-
|
* '''Zinsenanteil'''
| = jener Anteil der Annuität, der für die Zinsen aufgewendet wird.
|-
|
* '''Tilgungsanteil'''
| = jener Anteil der Annuität, um den die Schuld vermindert wird.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Erklärung der Begriffe anhand eines Beispiels''': </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Peter hat einen [[Rentenrechnung#Begriffe | nachschüssigen]] Kredit von 10.000 € bei 1 % p.a. aufgenommen. Somit fallen nach einem Jahr € 100 Zinsen an. Am Ende jedes Jahres zahlt Peter € 1.100 zurück.
* Die Annuität beträgt € 1.100.
* Der Zinsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 100.
* Der Tilgungsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 1000 (Von den € 1.100 werden € 100 für die Zinsen verwendet und nur € 1.000 reduzieren die Schuld).
* Die Restschuld nach dem 1. Jahr begrägt noch € 9.000.

</div>

</div>

{| border ="1" align="center"
| '''Merke:'''

|

Annuität = Zinsanteil + Tilgungsanteil

|}

Je nachdem, wie die Schuld beglichen wird, unterscheidet man zwischen folgenden Formen:
* '''[[Schuldentilgung#Annuitätenschuld - Anniutät bleibt konstant | Annuitätenschuld]]''' - Anniutät bleibt konstant über die ganze Laufzeit konstant.
* '''[[Schuldentilgung#Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant |Ratenschuld]]''' - Tilgungsanteil bleibt konstant
* '''[[Schuldentilgung#Zinsenschuld - nur die Zinsen werden beglichen|Zinsenschuld]]''' - nur die Zinsen werden während der Laufzeit beglichen und der Rest erst am Ende der Laufzeit.

== Tilgungsplan ==

Der Tilgungsplan ist eine tabellarische Aufstellung der Kreditrückzahlung.
Er listet für jedes Jahr auf, wie hoch der Zinsen, der Tilgungsanteil, die Annuität und die Restschuld sind.
Für eine nachschüssige Schuldentilgung ist er folgendermaßen aufgebaut:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |Schuld zu Beginn

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1$
Zinsanteil bei der ersten Zahlung
| align="center" |$TA_1$
Tilgungsanteil der ersten Zahlung
| align="center" |$A_1$
Annuität$_1$ (=Höhe der ersten Zahlung)
| align="center" |$RS_1$
Restschuld nach einem Jahr
|-
| align="center" | 2
| align="center" |$ZA_2$
Zinsanteil bei der zweiten Zahlung
|align="center" | $TA_2$
Tilgungsanteil der zweiten Zahlung
| align="center" |$A_2$
Annuität$_2$ (=Höhe der zweiten Zahlung)
| align="center" | $RS_2$
Restschuld nach dem 2. Jahr

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

''' Hinweise '''
*Der Zinsanteil errechnet sich immer mithilfe der Schuld aus dem Vorjahr:
$$ ZA_1=\textrm{Schuld}\cdot \frac{i}{100} $$
* Am Ende eines Tilgungsplanes sollte ganz rechts unten bei der letzten Restschuld natürlich eine 0 stehen (vorausgesetzt die ganze Schuld wird zurückbezahlt).

'''Vorteile '''
* Der Tilgungsplan ermöglicht einen schönen Überblck über alle Zahlungen.
* Die einzelnen Werte können Schritt für Schritt ausgerechnet werden.

=== Musterbeispiel ===

'''Peter hat einen nachschüssigen Kredit von 100 € bei einer Verzinsung von 1 % p.a. aufgenommen. Er zahlt jährlich € 10 zurück. Erstelle einen Tilgungsplan!'''

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''1. Schritt: Beginn des Tilgungsplans''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Die Anfangsschuld ist € 100.
* Die Anniuität ist konstant € 10.
* $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1 $.
* $TA_1=A_1-ZA_1=9$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
* Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_1=100-9=91$

Damit erstellen wir nun die ersten zwei Zeilen des Tilgungsplanes:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$</p>
| align="center" |$10-1=9$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $TA=A-ZA$ </p>
| align="center" |$10$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $A=TA+ZA$ </p>
| align="center" |$100-9=91$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$ </p>

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''2. Schritt: Fortsetzung des Tilgungsplans ''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Für das 2. Jahr des Tilgungsplans, nimmt man nun aus Ausgangswert die obere Zeile:

* Die alte Restschuld beträgt € 91.
* Die Anniuität ist konstant € 10.
* $ZA_2=91\cdot \frac{1}{100}=0.91 $.
* $TA_2=A_2-ZA_2=9.09$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
* Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_2=91-9.09=81.91$

Dies setzt man nun in den Tilgungsplan ein:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1$
| align="center" |$10-1=9$
| align="center" |$10$
| align="center" |$100-9=91$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $ZA_1=91\cdot \frac{1}{100}=0.91$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$</p>
| align="center" |$10-0.91=9.09$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $TA=A-ZA$ </p>
| align="center" |$10$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $A=TA+ZA$ </p>
| align="center" |$91-9.09=81.91$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$ </p>

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''3. Schritt: Vollständiger Tilgungsplan''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1$
| align="center" |$10-1=9$
| align="center" |$10$
| align="center" |$100-9=91$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $.91$
| align="center" |$9.09$
| align="center" |$10$
| align="center" |$81.91$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $0.82$
| align="center" |$9.18$
| align="center" |$10$
| align="center" |$72.73$

|-
| align="center" | 4
| align="center" | $0.73$
| align="center" |$9.27$
| align="center" |$10$
| align="center" |$63.46$

|-
| align="center" | 5
| align="center" | $0.63$
| align="center" |$9.37$
| align="center" |$10$
| align="center" |$54.09$

|-
| align="center" | 6
| align="center" | $0.54$
| align="center" |$9.46$
| align="center" |$10$
| align="center" |$44.63$

|-
| align="center" | 7
| align="center" | $0.45$
| align="center" |$9.55$
| align="center" |$10$
| align="center" |$35.08$

|-
| align="center" | 8
| align="center" | $0.35$
| align="center" |$9.65$
| align="center" |$10$
| align="center" |$25.43$

|-
| align="center" | 9
| align="center" | $0.25$
| align="center" |$9.75$
| align="center" |$10$
| align="center" |$15.68$

|-
| align="center" | 10
| align="center" | $0.16$
| align="center" |$9.84$
| align="center" |$10$
| align="center" |<span style="background-color:yellow"> '''$5.84$''' </span>

|-
| align="center" | 11
| align="center" | $0.06$
| align="center" | <span style="background-color:yellow"> '''$5.84$''' </span>
Die Restschuld von 5.84 wird getilgt.
| align="center" |'''$5.90$'''
$A=ZA+TA$
| align="center" |$0$

|}

'''Achtung!'''
Bei der 11. Zahlung muss nur noch eine Schuld von 5.84 (gelb unterlegt!) getilgt werden. Aus diesem Grund beträgt der Tilgungsanteil € 5.84!
Die Annuität beträgt dann nicht mehr € 10 (sonst würden wir ja zuviel zurückzahlen) sondern nur noch
$$ A = \textrm{Höhe des Tilgungsanteiles} + \textrm{die Höhe der Zinsen} $$
$$ A= 5.84+0.06 $$
$$A= 5.90$$

</div>

</div>

</div>

</div>

Weitere Beispiele findest du im 3. Klasse Buch (Trauner) auf den Seiten 174ff....

== Annuitätenschuld - Annuität bleibt konstant ==

Bei einer Anniutätenschuld bleibt die Höhe der Annuität (Betrag der regelmäßig eingezahlt wird) konstant. Somit handelt es sich bei der Annuitätenschuld um eine [[Rentenrechnung | Rente]], da
* ein konstanter Betrag (=Annuität)
* in konstanten Zeitabständen
eingezahlt wird.
Wichtig:
# Die Annuität entspricht dabei der Rate R.
# Die Schuld entspricht dem Barwert B (Wert aller Zahlungen am Beginn = Anfangsschuld)

Somit benötigt man bei der Annuitätenschuld die [[Rentenrechnung#Formeln | Formeln für den Barwert]].

=== Musterbeispiele ===

==== Beispiel für jährliche Zahlungen ====
Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 gleich hohen, jährlichen Raten bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Rate ist am Ende des 1. Jahres fällig.

a) Berechne die Höhe der Raten.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

c) Begründe, warum der Tilgungsanteil von Jahr zu Jahr größer wird.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* B=10.000
* n=5
* i=4 % p.a. $\rightarrow$ r=1.05 $\rightarrow$ $v=\frac{1}{r}=0.9615$
* nachschüssig

$$ B=R\cdot v\cdot \frac{v^5-1}{v-1} $$
$$ 10.000 = R\cdot 0.95238\cdot \frac{0.95238^5-1}{0.95238-1} $$
$$ \underline{\underline{R= 2246.27}} $$

A: Die Höhe der Annuität (=Rate) beträgt € 2246.27.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Die Anzahl der Jahre ist 5 $\rightarrow$ somit brauchen wir 6 Zeilen (von 0 bis 5).
* Die Annuität A ist konstant € 2246.27. Somit kann in der Spalte Annuität für alle 5 Jahre 2246.27 eingesetzt werden.
* Anfangsschuld = 10.000

Somit kann man bereits die Rohform des Tilgungsplanes erstellen:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 2
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 3
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 4
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 5
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|}

Nun berechnen wir von links nach rechts und von oben nach unden die einzelnen Werte:

* $i=4$ % $\rightarrow$ $ZA_1=10.000\cdot \frac{4}{100} =400$
* $TA_1=A_1-ZA_1 = 2246,27-400 = 1846.27$
* $RS_1=10.000-1846.27=8153.73$
* usw.

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $400$
| align="center" |$1846.272$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$
8153.73$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $326.15$
| align="center" |$1920.12$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$6233,61$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $249.34$
| align="center" |$1996.93$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$4236,68$

|-
| align="center" | 4
| align="center" | $169.47$
| align="center" |$2076.80$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$2159.88$

|-
| align="center" | 5
| align="center" | $86.40$
| align="center" |$2159.87$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$
0.01$

|}

'''Achtung!''' Die Restschuld im 5. Jahr (=0.01) ist aufgrund der Rundungen, die wir durchgeführt haben nicht genau 0.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung von c) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Weil die Schuld von Jahr zu Jahr abnimmt, wird der Zinsanteil ebenfalls immer kleiner. Da die Annuität konstant bleibt, wird deshalb der Tilgungsanteil immer größer (Erinnerung: Tilgungsanteil ist $TA=A-ZA$ ist).

</div>

</div>

</div>

</div>

==== Beispiel: Monatliche Zahlungen ====
Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch gleich hohe, monatliche Zahlunge bei i=4% p.a. zu tilgen.

a) Berechne die Höhe der Raten.

b) Stelle den Tilgungsplan für die ersten 3 Monate auf und berechne damit die Restschuld nach 3 Monaten.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* R=?
* B=10.000
* n=$5\cdot 12=60$
* i=4 % p.a. $\rightarrow$ r=1.04 $\rightarrow$ $r_{12}=\sqrt[12]{1.04}=1.00327$ $\rightarrow$ $v_{12}=\frac{1}{r_{12}}=0.9967$
!!'''Achtung'''!! Bei unterjährien Einzahlungen (z.B. monatliche) muss der [[Zins- und Zinseszinsrechnung#b) der konforme (äquivalente) Zinssatz|konforme Zinssatz]] berechnet werden!!
* nachschüssig

$$ B=R\cdot v_{12}\cdot \frac{v_{12}^{60}-1}{v_{12}-1} $$
$$ \underline{\underline{R=184.17}}$$

A: Die monatliche Annuität beträgt € 184.17.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Da $r_{12}=1.00327$ (siehe a) beträgt der Monatszinssatz $i_{12}=0.327$ % p.m.
* Die Annuität ist konstant 284.17 (siehe a)
* Anfangsschuld = 10.000

Somit kann der Tilgungsplan aufgestellt werden:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Monat
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $32,70$
| align="center" | $251,47$
| align="center" |$284,17$
| align="center" | $9748,53$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $31,88$
| align="center" |$252,29$
| align="center" |$284,17$
| align="center" |$9496,24$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $31,05$
| align="center" | $253,12$
| align="center" |$284,17$
| align="center" | $9243,12$

|}

A: Nach 3 Monaten beträgt die Restschuld noch € 9243,12.

</div>

</div>

</div>

</div>

== Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant ==

Bei einer Ratenschuld bleit der Tilgungsanteil TA immer gleich groß, wodruch die Schuld sich immer um denselben Wert verringert.

Es gilt
{| border="1" align="center"
|-
| $$TA=\frac{\textrm{Schuld}}{n}$$
|}

'''Begründung''': Da die ganze Schuld durch n Zahlungen zurückgezahlt wird, muss jedes Mal ein "n-tel" der Gesamtschuld getilgt werden.

=== Musterbeispiel ===

Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch gleich hohe Tilgungsanteile bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Rate ist am Ende des 1. Jahres fällig.

a) Berechne die Höhe des Tilgungsanteiles.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

c) Begründe, warum die Annuität von Jahr zu Jahr kleiner wird.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

$$ TA=\frac{\textrm{Schuld}}{n}=\frac{10.000}{5}$$
$$ \underline{\underline{TA=2.000}}$$

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* i=4%
* TA=2000 für alle 5 Jahre
* Anfangsschuld = 10.000

Somit setzen wir alles ein, was wir schon wissen:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS

|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" |
| align="center" | 2.000
| align="center" |
| align="center" | 8.000
<p style="color:darkred"> $10.000-2.000$ </p>

|-
| align="center" | 2
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |6.000

|-
| align="center" | 3
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |4.000

|-
| align="center" | 4
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |2.000

|-
| align="center" | 5
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |0

|}

Nun können alle weiteren Beträge (Zinsen und Annuitäten) berechnet und eingesetzt werden:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | 400
<p style="color:darkred"> $ZA_1=10.000\cdot 0.04$ </p>
| align="center" | 2.000
| align="center" | 2.400
<p style="color:darkred"> $A_1=ZA_1+TA_1$</p>
| align="center" | 8.000

|-
| align="center" | 2
| align="center" | 320
| align="center" |2.000
| align="center" | 2.320
| align="center" |6.000

|-
| align="center" | 3
| align="center" | 240
| align="center" |2.000
| align="center" | 2.240
| align="center" |4.000

|-
| align="center" | 4
| align="center" | 160
| align="center" |2.000
| align="center" | 2160
| align="center" |2.000

|-
| align="center" | 5
| align="center" | 80
| align="center" |2.000
| align="center" |2.080
| align="center" |0

|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für c) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Da der Zinsanteil immer kleiner wird (die Schuld verringert sich!), der Tilgungsanteil aber konstant bleibt, muss folglich die Annuität ebenfalls kleiner werden, da gilt:
$$ \textrm{Annuität = Zinsanteil + Tilgungsanteil} $$

</div>

</div>

</div>

</div>

== Zinsenschuld - nur die Zinsen werden beglichen ==

Hier wird während der gesamten Laufzeit nichts vom Kreditgetilgt (d.h. TA=0), sondern nur die Zinsen bezahlt. Erst am Ende der Laufzeit wird die ganze Schuld durch eine Einmalzahlung beglichen.

=== Musterbeispiel ===

Eine Zinsschuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Annuität ist am Ende des 1. Jahres fällig.

a) Berechne die Höhe der Zinsanteile.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* i=4%
* Anfangsschuld = 10.000

Somit beträgt der Zinsanteil konstant
$$ZA= 10.000\cdot 0.04=400$$.

Nun setzen wir alle Zinsanteile und Restschulden in den Tilgungsplan ein und berechnen zusätzlich noch die Annuitäten:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS

|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | 400
| align="center" | 0
| align="center" | 400
<p style="color:darkred"> $A_1=ZA_1+TA_1=400+0$ </p>
| align="center" | 10.000

|-
| align="center" | 2
| align="center" |400
| align="center" |0
| align="center" | 400
| align="center" |10.000

|-
| align="center" | 3
| align="center" |400
| align="center" |0
| align="center" | 400
| align="center" |10.000

|-
| align="center" | 4
| align="center" | 400
| align="center" |0
| align="center" | 400
| align="center" |<span style="background-color:yellow"> 10.000</span>

|-
| align="center" | 5
| align="center" | 400
| align="center" |<span style="background-color:yellow"> 10.000</span>
| align="center" |10.400
| align="center" |0

|}

</div>

</div>

== Online-Materialien ==
* [http://fbmathe.bbs-bingen.de/Tilgungsrechnung/Aufgaben_Tilgungsrechnung.htm Beispiele und Lösungen von Ansgar Schiffler]

[[Kategorie:Finanzmathematik]]

Schuldentilgung

2014-04-16T12:05:49Z

91.115.36.63: /* Musterbeispiel */

== Einleitung und Begriffe ==

Die Schuldentilgung beschäftigt sich mit dem Tilgen (= Zurückzahlen) einer Schuld. Das typische Beispiel ist das Tilgen eines Bankredits.

{| align="right"
|-
|{{#ev:youtube|bId7a4W6Vko}}
|}

Hierbei unterscheidet man zwischen den folgenden Begriffen:
{|
|-
|
* '''Annuität'''
| = der Betrag, der regelmäßig (z.B. jährlich) zurückgezahlt wird.
|-
|
* '''Zinsenanteil'''
| = jener Anteil der Annuität, der für die Zinsen aufgewendet wird.
|-
|
* '''Tilgungsanteil'''
| = jener Anteil der Annuität, um den die Schuld vermindert wird.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Erklärung der Begriffe anhand eines Beispiels''': </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Peter hat einen [[Rentenrechnung#Begriffe | nachschüssigen]] Kredit von 10.000 € bei 1 % p.a. aufgenommen. Somit fallen nach einem Jahr € 100 Zinsen an. Am Ende jedes Jahres zahlt Peter € 1.100 zurück.
* Die Annuität beträgt € 1.100.
* Der Zinsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 100.
* Der Tilgungsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 1000 (Von den € 1.100 werden € 100 für die Zinsen verwendet und nur € 1.000 reduzieren die Schuld).
* Die Restschuld nach dem 1. Jahr begrägt noch € 9.000.

</div>

</div>

{| border ="1" align="center"
| '''Merke:'''

|

Annuität = Zinsanteil + Tilgungsanteil

|}

Je nachdem, wie die Schuld beglichen wird, unterscheidet man zwischen folgenden Formen:
* '''[[Schuldentilgung#Annuitätenschuld - Anniutät bleibt konstant | Annuitätenschuld]]''' - Anniutät bleibt konstant über die ganze Laufzeit konstant.
* '''[[Schuldentilgung#Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant |Ratenschuld]]''' - Tilgungsanteil bleibt konstant
* '''[[Schuldentilgung#Zinsenschuld - nur die Zinsen werden beglichen|Zinsenschuld]]''' - nur die Zinsen werden während der Laufzeit beglichen und der Rest erst am Ende der Laufzeit.

== Tilgungsplan ==

Der Tilgungsplan ist eine tabellarische Aufstellung der Kreditrückzahlung.
Er listet für jedes Jahr auf, wie hoch der Zinsen, der Tilgungsanteil, die Annuität und die Restschuld sind.
Für eine nachschüssige Schuldentilgung ist er folgendermaßen aufgebaut:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |Schuld zu Beginn

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1$
Zinsanteil bei der ersten Zahlung
| align="center" |$TA_1$
Tilgungsanteil der ersten Zahlung
| align="center" |$A_1$
Annuität$_1$ (=Höhe der ersten Zahlung)
| align="center" |$RS_1$
Restschuld nach einem Jahr
|-
| align="center" | 2
| align="center" |$ZA_2$
Zinsanteil bei der zweiten Zahlung
|align="center" | $TA_2$
Tilgungsanteil der zweiten Zahlung
| align="center" |$A_2$
Annuität$_2$ (=Höhe der zweiten Zahlung)
| align="center" | $RS_2$
Restschuld nach dem 2. Jahr

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

''' Hinweise '''
*Der Zinsanteil errechnet sich immer mithilfe der Schuld aus dem Vorjahr:
$$ ZA_1=\textrm{Schuld}\cdot \frac{i}{100} $$
* Am Ende eines Tilgungsplanes sollte ganz rechts unten bei der letzten Restschuld natürlich eine 0 stehen (vorausgesetzt die ganze Schuld wird zurückbezahlt).

'''Vorteile '''
* Der Tilgungsplan ermöglicht einen schönen Überblck über alle Zahlungen.
* Die einzelnen Werte können Schritt für Schritt ausgerechnet werden.

=== Musterbeispiel ===

'''Peter hat einen nachschüssigen Kredit von 100 € bei einer Verzinsung von 1 % p.a. aufgenommen. Er zahlt jährlich € 10 zurück. Erstelle einen Tilgungsplan!'''

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''1. Schritt: Beginn des Tilgungsplans''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Die Anfangsschuld ist € 100.
* Die Anniuität ist konstant € 10.
* $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1 $.
* $TA_1=A_1-ZA_1=9$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
* Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_1=100-9=91$

Damit erstellen wir nun die ersten zwei Zeilen des Tilgungsplanes:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$</p>
| align="center" |$10-1=9$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $TA=A-ZA$ </p>
| align="center" |$10$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $A=TA+ZA$ </p>
| align="center" |$100-9=91$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$ </p>

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''2. Schritt: Fortsetzung des Tilgungsplans ''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Für das 2. Jahr des Tilgungsplans, nimmt man nun aus Ausgangswert die obere Zeile:

* Die alte Restschuld beträgt € 91.
* Die Anniuität ist konstant € 10.
* $ZA_2=91\cdot \frac{1}{100}=0.91 $.
* $TA_2=A_2-ZA_2=9.09$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
* Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_2=91-9.09=81.91$

Dies setzt man nun in den Tilgungsplan ein:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1$
| align="center" |$10-1=9$
| align="center" |$10$
| align="center" |$100-9=91$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $ZA_1=91\cdot \frac{1}{100}=0.91$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$</p>
| align="center" |$10-0.91=9.09$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $TA=A-ZA$ </p>
| align="center" |$10$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $A=TA+ZA$ </p>
| align="center" |$91-9.09=81.91$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$ </p>

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''3. Schritt: Vollständiger Tilgungsplan''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1$
| align="center" |$10-1=9$
| align="center" |$10$
| align="center" |$100-9=91$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $.91$
| align="center" |$9.09$
| align="center" |$10$
| align="center" |$81.91$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $0.82$
| align="center" |$9.18$
| align="center" |$10$
| align="center" |$72.73$

|-
| align="center" | 4
| align="center" | $0.73$
| align="center" |$9.27$
| align="center" |$10$
| align="center" |$63.46$

|-
| align="center" | 5
| align="center" | $0.63$
| align="center" |$9.37$
| align="center" |$10$
| align="center" |$54.09$

|-
| align="center" | 6
| align="center" | $0.54$
| align="center" |$9.46$
| align="center" |$10$
| align="center" |$44.63$

|-
| align="center" | 7
| align="center" | $0.45$
| align="center" |$9.55$
| align="center" |$10$
| align="center" |$35.08$

|-
| align="center" | 8
| align="center" | $0.35$
| align="center" |$9.65$
| align="center" |$10$
| align="center" |$25.43$

|-
| align="center" | 9
| align="center" | $0.25$
| align="center" |$9.75$
| align="center" |$10$
| align="center" |$15.68$

|-
| align="center" | 10
| align="center" | $0.16$
| align="center" |$9.84$
| align="center" |$10$
| align="center" |<span style="background-color:yellow"> '''$5.84$''' </span>

|-
| align="center" | 11
| align="center" | $0.06$
| align="center" | <span style="background-color:yellow"> '''$5.84$''' </span>
Die Restschuld von 5.84 wird getilgt.
| align="center" |'''$5.90$'''
$A=ZA+TA$
| align="center" |$0$

|}

'''Achtung!'''
Bei der 11. Zahlung muss nur noch eine Schuld von 5.84 (gelb unterlegt!) getilgt werden. Aus diesem Grund beträgt der Tilgungsanteil € 5.84!
Die Annuität beträgt dann nicht mehr € 10 (sonst würden wir ja zuviel zurückzahlen) sondern nur noch
$$ A = \textrm{Höhe des Tilgungsanteiles} + \textrm{die Höhe der Zinsen} $$
$$ A= 5.84+0.06 $$
$$A= 5.90$$

</div>

</div>

</div>

</div>

Weitere Beispiele findest du im 3. Klasse Buch (Trauner) auf den Seiten 174ff....

== Annuitätenschuld - Anniutät bleibt konstant ==

Bei einer Anniutätenschuld bleibt die Höhe der Annuität (Betrag der regelmäßig eingezahlt wird) konstant. Somit handelt es sich bei der Annuitätenschuld um eine [[Rentenrechnung | Rente]], da
* ein konstanter Betrag (=Annuität)
* in konstanten Zeitabständen
eingezahlt wird.
Wichtig:
# Die Annuität entspricht dabei der Rate R.
# Die Schuld entspricht dem Barwert B (Wert aller Zahlungen am Beginn = Anfangsschuld)

Somit benötigt man bei der Annuitätenschuld die [[Rentenrechnung#Formeln | Formeln für den Barwert]].

=== Musterbeispiele ===

==== Beispiel für jährliche Zahlungen ====
Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 gleich hohen, jährlichen Raten bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Rate ist am Ende des 1. Jahres fällig.

a) Berechne die Höhe der Raten.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

c) Begründe, warum der Tilgungsanteil von Jahr zu Jahr größer wird.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* B=10.000
* n=5
* i=4 % p.a. $\rightarrow$ r=1.05 $\rightarrow$ $v=\frac{1}{r}=0.9615$
* nachschüssig

$$ B=R\cdot v\cdot \frac{v^5-1}{v-1} $$
$$ 10.000 = R\cdot 0.95238\cdot \frac{0.95238^5-1}{0.95238-1} $$
$$ \underline{\underline{R= 2246.27}} $$

A: Die Höhe der Annuität (=Rate) beträgt € 2246.27.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Die Anzahl der Jahre ist 5 $\rightarrow$ somit brauchen wir 6 Zeilen (von 0 bis 5).
* Die Annuität A ist konstant € 2246.27. Somit kann in der Spalte Annuität für alle 5 Jahre 2246.27 eingesetzt werden.
* Anfangsschuld = 10.000

Somit kann man bereits die Rohform des Tilgungsplanes erstellen:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 2
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 3
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 4
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 5
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|}

Nun berechnen wir von links nach rechts und von oben nach unden die einzelnen Werte:

* $i=4$ % $\rightarrow$ $ZA_1=10.000\cdot \frac{4}{100} =400$
* $TA_1=A_1-ZA_1 = 2246,27-400 = 1846.27$
* $RS_1=10.000-1846.27=8153.73$
* usw.

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $400$
| align="center" |$1846.272$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$
8153.73$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $326.15$
| align="center" |$1920.12$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$6233,61$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $249.34$
| align="center" |$1996.93$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$4236,68$

|-
| align="center" | 4
| align="center" | $169.47$
| align="center" |$2076.80$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$2159.88$

|-
| align="center" | 5
| align="center" | $86.40$
| align="center" |$2159.87$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$
0.01$

|}

'''Achtung!''' Die Restschuld im 5. Jahr (=0.01) ist aufgrund der Rundungen, die wir durchgeführt haben nicht genau 0.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung von c) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Weil die Schuld von Jahr zu Jahr abnimmt, wird der Zinsanteil ebenfalls immer kleiner. Da die Annuität konstant bleibt, wird deshalb der Tilgungsanteil immer größer (Erinnerung: Tilgungsanteil ist $TA=A-ZA$ ist).

</div>

</div>

</div>

</div>

==== Beispiel: Monatliche Zahlungen ====
Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch gleich hohe, monatliche Zahlunge bei i=4% p.a. zu tilgen.

a) Berechne die Höhe der Raten.

b) Stelle den Tilgungsplan für die ersten 3 Monate auf und berechne damit die Restschuld nach 3 Monaten.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* R=?
* B=10.000
* n=$5\cdot 12=60$
* i=4 % p.a. $\rightarrow$ r=1.04 $\rightarrow$ $r_{12}=\sqrt[12]{1.04}=1.00327$ $\rightarrow$ $v_{12}=\frac{1}{r_{12}}=0.9967$
!!'''Achtung'''!! Bei unterjährien Einzahlungen (z.B. monatliche) muss der [[Zins- und Zinseszinsrechnung#b) der konforme (äquivalente) Zinssatz|konforme Zinssatz]] berechnet werden!!
* nachschüssig

$$ B=R\cdot v_{12}\cdot \frac{v_{12}^{60}-1}{v_{12}-1} $$
$$ \underline{\underline{R=184.17}}$$

A: Die monatliche Annuität beträgt € 184.17.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Da $r_{12}=1.00327$ (siehe a) beträgt der Monatszinssatz $i_{12}=0.327$ % p.m.
* Die Annuität ist konstant 284.17 (siehe a)
* Anfangsschuld = 10.000

Somit kann der Tilgungsplan aufgestellt werden:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Monat
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $32,70$
| align="center" | $251,47$
| align="center" |$284,17$
| align="center" | $9748,53$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $31,88$
| align="center" |$252,29$
| align="center" |$284,17$
| align="center" |$9496,24$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $31,05$
| align="center" | $253,12$
| align="center" |$284,17$
| align="center" | $9243,12$

|}

A: Nach 3 Monaten beträgt die Restschuld noch € 9243,12.

</div>

</div>

</div>

</div>

== Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant ==

Bei einer Ratenschuld bleit der Tilgungsanteil TA immer gleich groß, wodruch die Schuld sich immer um denselben Wert verringert.

Es gilt
{| border="1" align="center"
|-
| $$TA=\frac{\textrm{Schuld}}{n}$$
|}

'''Begründung''': Da die ganze Schuld durch n Zahlungen zurückgezahlt wird, muss jedes Mal ein "n-tel" der Gesamtschuld getilgt werden.

=== Musterbeispiel ===

Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch gleich hohe Tilgungsanteile bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Rate ist am Ende des 1. Jahres fällig.

a) Berechne die Höhe des Tilgungsanteiles.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

c) Begründe, warum die Annuität von Jahr zu Jahr kleiner wird.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

$$ TA=\frac{\textrm{Schuld}}{n}=\frac{10.000}{5}$$
$$ \underline{\underline{TA=2.000}}$$

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* i=4%
* TA=2000 für alle 5 Jahre
* Anfangsschuld = 10.000

Somit setzen wir alles ein, was wir schon wissen:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS

|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" |
| align="center" | 2.000
| align="center" |
| align="center" | 8.000
<p style="color:darkred"> $10.000-2.000$ </p>

|-
| align="center" | 2
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |6.000

|-
| align="center" | 3
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |4.000

|-
| align="center" | 4
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |2.000

|-
| align="center" | 5
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |0

|}

Nun können alle weiteren Beträge (Zinsen und Annuitäten) berechnet und eingesetzt werden:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | 400
<p style="color:darkred"> $ZA_1=10.000\cdot 0.04$ </p>
| align="center" | 2.000
| align="center" | 2.400
<p style="color:darkred"> $A_1=ZA_1+TA_1$</p>
| align="center" | 8.000

|-
| align="center" | 2
| align="center" | 320
| align="center" |2.000
| align="center" | 2.320
| align="center" |6.000

|-
| align="center" | 3
| align="center" | 240
| align="center" |2.000
| align="center" | 2.240
| align="center" |4.000

|-
| align="center" | 4
| align="center" | 160
| align="center" |2.000
| align="center" | 2160
| align="center" |2.000

|-
| align="center" | 5
| align="center" | 80
| align="center" |2.000
| align="center" |2.080
| align="center" |0

|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für c) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Da der Zinsanteil immer kleiner wird (die Schuld verringert sich!), der Tilgungsanteil aber konstant bleibt, muss folglich die Annuität ebenfalls kleiner werden, da gilt:
$$ \textrm{Annuität = Zinsanteil + Tilgungsanteil} $$

</div>

</div>

</div>

</div>

== Zinsenschuld - nur die Zinsen werden beglichen ==

Hier wird während der gesamten Laufzeit nichts vom Kreditgetilgt (d.h. TA=0), sondern nur die Zinsen bezahlt. Erst am Ende der Laufzeit wird die ganze Schuld durch eine Einmalzahlung beglichen.

=== Musterbeispiel ===

Eine Zinsschuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Annuität ist am Ende des 1. Jahres fällig.

a) Berechne die Höhe der Zinsanteile.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* i=4%
* Anfangsschuld = 10.000

Somit beträgt der Zinsanteil konstant
$$ZA= 10.000\cdot 0.04=400$$.

Nun setzen wir alle Zinsanteile und Restschulden in den Tilgungsplan ein und berechnen zusätzlich noch die Annuitäten:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS

|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | 400
| align="center" | 0
| align="center" | 400
<p style="color:darkred"> $A_1=ZA_1+TA_1=400+0$ </p>
| align="center" | 10.000

|-
| align="center" | 2
| align="center" |400
| align="center" |0
| align="center" | 400
| align="center" |10.000

|-
| align="center" | 3
| align="center" |400
| align="center" |0
| align="center" | 400
| align="center" |10.000

|-
| align="center" | 4
| align="center" | 400
| align="center" |0
| align="center" | 400
| align="center" |<span style="background-color:yellow"> 10.000</span>

|-
| align="center" | 5
| align="center" | 400
| align="center" |<span style="background-color:yellow"> 10.000</span>
| align="center" |10.400
| align="center" |0

|}

</div>

</div>

== Online-Materialien ==
* [http://fbmathe.bbs-bingen.de/Tilgungsrechnung/Aufgaben_Tilgungsrechnung.htm Beispiele und Lösungen von Ansgar Schiffler]

[[Kategorie:Finanzmathematik]]

Schuldentilgung

2014-04-16T12:03:35Z

91.115.36.63: /* 2. Beispiel: Monatliche Zahlungen */

== Einleitung und Begriffe ==

Die Schuldentilgung beschäftigt sich mit dem Tilgen (= Zurückzahlen) einer Schuld. Das typische Beispiel ist das Tilgen eines Bankredits.

{| align="right"
|-
|{{#ev:youtube|bId7a4W6Vko}}
|}

Hierbei unterscheidet man zwischen den folgenden Begriffen:
{|
|-
|
* '''Annuität'''
| = der Betrag, der regelmäßig (z.B. jährlich) zurückgezahlt wird.
|-
|
* '''Zinsenanteil'''
| = jener Anteil der Annuität, der für die Zinsen aufgewendet wird.
|-
|
* '''Tilgungsanteil'''
| = jener Anteil der Annuität, um den die Schuld vermindert wird.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Erklärung der Begriffe anhand eines Beispiels''': </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Peter hat einen [[Rentenrechnung#Begriffe | nachschüssigen]] Kredit von 10.000 € bei 1 % p.a. aufgenommen. Somit fallen nach einem Jahr € 100 Zinsen an. Am Ende jedes Jahres zahlt Peter € 1.100 zurück.
* Die Annuität beträgt € 1.100.
* Der Zinsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 100.
* Der Tilgungsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 1000 (Von den € 1.100 werden € 100 für die Zinsen verwendet und nur € 1.000 reduzieren die Schuld).
* Die Restschuld nach dem 1. Jahr begrägt noch € 9.000.

</div>

</div>

{| border ="1" align="center"
| '''Merke:'''

|

Annuität = Zinsanteil + Tilgungsanteil

|}

Je nachdem, wie die Schuld beglichen wird, unterscheidet man zwischen folgenden Formen:
* '''[[Schuldentilgung#Annuitätenschuld - Anniutät bleibt konstant | Annuitätenschuld]]''' - Anniutät bleibt konstant über die ganze Laufzeit konstant.
* '''[[Schuldentilgung#Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant |Ratenschuld]]''' - Tilgungsanteil bleibt konstant
* '''[[Schuldentilgung#Zinsenschuld - nur die Zinsen werden beglichen|Zinsenschuld]]''' - nur die Zinsen werden während der Laufzeit beglichen und der Rest erst am Ende der Laufzeit.

== Tilgungsplan ==

Der Tilgungsplan ist eine tabellarische Aufstellung der Kreditrückzahlung.
Er listet für jedes Jahr auf, wie hoch der Zinsen, der Tilgungsanteil, die Annuität und die Restschuld sind.
Für eine nachschüssige Schuldentilgung ist er folgendermaßen aufgebaut:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |Schuld zu Beginn

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1$
Zinsanteil bei der ersten Zahlung
| align="center" |$TA_1$
Tilgungsanteil der ersten Zahlung
| align="center" |$A_1$
Annuität$_1$ (=Höhe der ersten Zahlung)
| align="center" |$RS_1$
Restschuld nach einem Jahr
|-
| align="center" | 2
| align="center" |$ZA_2$
Zinsanteil bei der zweiten Zahlung
|align="center" | $TA_2$
Tilgungsanteil der zweiten Zahlung
| align="center" |$A_2$
Annuität$_2$ (=Höhe der zweiten Zahlung)
| align="center" | $RS_2$
Restschuld nach dem 2. Jahr

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

''' Hinweise '''
*Der Zinsanteil errechnet sich immer mithilfe der Schuld aus dem Vorjahr:
$$ ZA_1=\textrm{Schuld}\cdot \frac{i}{100} $$
* Am Ende eines Tilgungsplanes sollte ganz rechts unten bei der letzten Restschuld natürlich eine 0 stehen (vorausgesetzt die ganze Schuld wird zurückbezahlt).

'''Vorteile '''
* Der Tilgungsplan ermöglicht einen schönen Überblck über alle Zahlungen.
* Die einzelnen Werte können Schritt für Schritt ausgerechnet werden.

=== Musterbeispiel ===

'''Peter hat einen nachschüssigen Kredit von 100 € bei einer Verzinsung von 1 % p.a. aufgenommen. Er zahlt jährlich € 10 zurück. Erstelle einen Tilgungsplan!'''

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''1. Schritt: Beginn des Tilgungsplans''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Die Anfangsschuld ist € 100.
* Die Anniuität ist konstant € 10.
* $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1 $.
* $TA_1=A_1-ZA_1=9$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
* Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_1=100-9=91$

Damit erstellen wir nun die ersten zwei Zeilen des Tilgungsplanes:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$</p>
| align="center" |$10-1=9$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $TA=A-ZA$ </p>
| align="center" |$10$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $A=TA+ZA$ </p>
| align="center" |$100-9=91$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$ </p>

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''2. Schritt: Fortsetzung des Tilgungsplans ''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Für das 2. Jahr des Tilgungsplans, nimmt man nun aus Ausgangswert die obere Zeile:

* Die alte Restschuld beträgt € 91.
* Die Anniuität ist konstant € 10.
* $ZA_2=91\cdot \frac{1}{100}=0.91 $.
* $TA_2=A_2-ZA_2=9.09$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
* Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_2=91-9.09=81.91$

Dies setzt man nun in den Tilgungsplan ein:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1$
| align="center" |$10-1=9$
| align="center" |$10$
| align="center" |$100-9=91$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $ZA_1=91\cdot \frac{1}{100}=0.91$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$</p>
| align="center" |$10-0.91=9.09$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $TA=A-ZA$ </p>
| align="center" |$10$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $A=TA+ZA$ </p>
| align="center" |$91-9.09=81.91$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$ </p>

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''3. Schritt: Vollständiger Tilgungsplan''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1$
| align="center" |$10-1=9$
| align="center" |$10$
| align="center" |$100-9=91$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $.91$
| align="center" |$9.09$
| align="center" |$10$
| align="center" |$81.91$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $0.82$
| align="center" |$9.18$
| align="center" |$10$
| align="center" |$72.73$

|-
| align="center" | 4
| align="center" | $0.73$
| align="center" |$9.27$
| align="center" |$10$
| align="center" |$63.46$

|-
| align="center" | 5
| align="center" | $0.63$
| align="center" |$9.37$
| align="center" |$10$
| align="center" |$54.09$

|-
| align="center" | 6
| align="center" | $0.54$
| align="center" |$9.46$
| align="center" |$10$
| align="center" |$44.63$

|-
| align="center" | 7
| align="center" | $0.45$
| align="center" |$9.55$
| align="center" |$10$
| align="center" |$35.08$

|-
| align="center" | 8
| align="center" | $0.35$
| align="center" |$9.65$
| align="center" |$10$
| align="center" |$25.43$

|-
| align="center" | 9
| align="center" | $0.25$
| align="center" |$9.75$
| align="center" |$10$
| align="center" |$15.68$

|-
| align="center" | 10
| align="center" | $0.16$
| align="center" |$9.84$
| align="center" |$10$
| align="center" |<span style="background-color:yellow"> '''$5.84$''' </span>

|-
| align="center" | 11
| align="center" | $0.06$
| align="center" | <span style="background-color:yellow"> '''$5.84$''' </span>
Die Restschuld von 5.84 wird getilgt.
| align="center" |'''$5.90$'''
$A=ZA+TA$
| align="center" |$0$

|}

'''Achtung!'''
Bei der 11. Zahlung muss nur noch eine Schuld von 5.84 (gelb unterlegt!) getilgt werden. Aus diesem Grund beträgt der Tilgungsanteil € 5.84!
Die Annuität beträgt dann nicht mehr € 10 (sonst würden wir ja zuviel zurückzahlen) sondern nur noch
$$ A = \textrm{Höhe des Tilgungsanteiles} + \textrm{die Höhe der Zinsen} $$
$$ A= 5.84+0.06 $$
$$A= 5.90$$

</div>

</div>

</div>

</div>

Weitere Beispiele findest du im 3. Klasse Buch (Trauner) auf den Seiten 174ff....

== Annuitätenschuld - Anniutät bleibt konstant ==

Bei einer Anniutätenschuld bleibt die Höhe der Annuität (Betrag der regelmäßig eingezahlt wird) konstant. Somit handelt es sich bei der Annuitätenschuld um eine [[Rentenrechnung | Rente]], da
* ein konstanter Betrag (=Annuität)
* in konstanten Zeitabständen
eingezahlt wird.
Wichtig:
# Die Annuität entspricht dabei der Rate R.
# Die Schuld entspricht dem Barwert B (Wert aller Zahlungen am Beginn = Anfangsschuld)

Somit benötigt man bei der Annuitätenschuld die [[Rentenrechnung#Formeln | Formeln für den Barwert]].

=== Musterbeispiele ===

==== Beispiel für jährliche Zahlungen ====
Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 gleich hohen, jährlichen Raten bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Rate ist am Ende des 1. Jahres fällig.

a) Berechne die Höhe der Raten.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

c) Begründe, warum der Tilgungsanteil von Jahr zu Jahr größer wird.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* B=10.000
* n=5
* i=4 % p.a. $\rightarrow$ r=1.05 $\rightarrow$ $v=\frac{1}{r}=0.9615$
* nachschüssig

$$ B=R\cdot v\cdot \frac{v^5-1}{v-1} $$
$$ 10.000 = R\cdot 0.95238\cdot \frac{0.95238^5-1}{0.95238-1} $$
$$ \underline{\underline{R= 2246.27}} $$

A: Die Höhe der Annuität (=Rate) beträgt € 2246.27.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Die Anzahl der Jahre ist 5 $\rightarrow$ somit brauchen wir 6 Zeilen (von 0 bis 5).
* Die Annuität A ist konstant € 2246.27. Somit kann in der Spalte Annuität für alle 5 Jahre 2246.27 eingesetzt werden.
* Anfangsschuld = 10.000

Somit kann man bereits die Rohform des Tilgungsplanes erstellen:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 2
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 3
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 4
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 5
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|}

Nun berechnen wir von links nach rechts und von oben nach unden die einzelnen Werte:

* $i=4$ % $\rightarrow$ $ZA_1=10.000\cdot \frac{4}{100} =400$
* $TA_1=A_1-ZA_1 = 2246,27-400 = 1846.27$
* $RS_1=10.000-1846.27=8153.73$
* usw.

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $400$
| align="center" |$1846.272$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$
8153.73$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $326.15$
| align="center" |$1920.12$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$6233,61$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $249.34$
| align="center" |$1996.93$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$4236,68$

|-
| align="center" | 4
| align="center" | $169.47$
| align="center" |$2076.80$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$2159.88$

|-
| align="center" | 5
| align="center" | $86.40$
| align="center" |$2159.87$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$
0.01$

|}

'''Achtung!''' Die Restschuld im 5. Jahr (=0.01) ist aufgrund der Rundungen, die wir durchgeführt haben nicht genau 0.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung von c) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Weil die Schuld von Jahr zu Jahr abnimmt, wird der Zinsanteil ebenfalls immer kleiner. Da die Annuität konstant bleibt, wird deshalb der Tilgungsanteil immer größer (Erinnerung: Tilgungsanteil ist $TA=A-ZA$ ist).

</div>

</div>

</div>

</div>

==== Beispiel: Monatliche Zahlungen ====
Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch gleich hohe, monatliche Zahlunge bei i=4% p.a. zu tilgen.

a) Berechne die Höhe der Raten.

b) Stelle den Tilgungsplan für die ersten 3 Monate auf und berechne damit die Restschuld nach 3 Monaten.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* R=?
* B=10.000
* n=$5\cdot 12=60$
* i=4 % p.a. $\rightarrow$ r=1.04 $\rightarrow$ $r_{12}=\sqrt[12]{1.04}=1.00327$ $\rightarrow$ $v_{12}=\frac{1}{r_{12}}=0.9967$
!!'''Achtung'''!! Bei unterjährien Einzahlungen (z.B. monatliche) muss der [[Zins- und Zinseszinsrechnung#b) der konforme (äquivalente) Zinssatz|konforme Zinssatz]] berechnet werden!!
* nachschüssig

$$ B=R\cdot v_{12}\cdot \frac{v_{12}^{60}-1}{v_{12}-1} $$
$$ \underline{\underline{R=184.17}}$$

A: Die monatliche Annuität beträgt € 184.17.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Da $r_{12}=1.00327$ (siehe a) beträgt der Monatszinssatz $i_{12}=0.327$ % p.m.
* Die Annuität ist konstant 284.17 (siehe a)
* Anfangsschuld = 10.000

Somit kann der Tilgungsplan aufgestellt werden:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Monat
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $32,70$
| align="center" | $251,47$
| align="center" |$284,17$
| align="center" | $9748,53$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $31,88$
| align="center" |$252,29$
| align="center" |$284,17$
| align="center" |$9496,24$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $31,05$
| align="center" | $253,12$
| align="center" |$284,17$
| align="center" | $9243,12$

|}

A: Nach 3 Monaten beträgt die Restschuld noch € 9243,12.

</div>

</div>

</div>

</div>

== Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant ==

Bei einer Ratenschuld bleit der Tilgungsanteil TA immer gleich groß, wodruch die Schuld sich immer um denselben Wert verringert.

Es gilt
{| border="1" align="center"
|-
| $$TA=\frac{\textrm{Schuld}}{n}$$
|}

'''Begründung''': Da die ganze Schuld durch n Zahlungen zurückgezahlt wird, muss jedes Mal ein "n-tel" der Gesamtschuld getilgt werden.

=== Musterbeispiel ===

Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch gleich hohe Tilgungsanteile bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Rate ist am Ende des 1. Jahres fällig.

a) Berechne die Höhe des Tilgungsanteiles.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

c) Begründe, warum die Annuität von Jahr zu Jahr kleiner wird.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

$$ TA=\frac{\textrm{Schuld}}{n}=\frac{10.000}{5}$$
$$ \underline{\underline{TA=2.000}}$$

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* i=4%
* TA=2000 für alle 5 Jahre
* Anfangsschuld = 10.000

Somit setzen wir alles ein, was wir schon wissen:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS

|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" |
| align="center" | 2.000
| align="center" |
| align="center" | 8.000
<p style="color:darkred"> $10.000-2.000$ </p>

|-
| align="center" | 2
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |6.000

|-
| align="center" | 3
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |4.000

|-
| align="center" | 4
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |2.000

|-
| align="center" | 5
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |0

|}

Nun können alle weiteren Beträge (Zinsen und Annuitäten) berechnet und eingesetzt werden:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | 400
<p style="color:darkred"> $ZA_1=10.000\cdot 0.04$ </p>
| align="center" | 2.000
| align="center" | 2.400
<p style="color:darkred"> $A_1=ZA_1+TA_1$</p>
| align="center" | 8.000

|-
| align="center" | 2
| align="center" | 320
| align="center" |2.000
| align="center" | 2.320
| align="center" |6.000

|-
| align="center" | 3
| align="center" | 240
| align="center" |2.000
| align="center" | 2.240
| align="center" |4.000

|-
| align="center" | 4
| align="center" | 160
| align="center" |2.000
| align="center" | 2160
| align="center" |2.000

|-
| align="center" | 5
| align="center" | 80
| align="center" |2.000
| align="center" |2.080
| align="center" |0

|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für c) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Da der Zinsanteil immer kleiner wird (die Schuld verringert sich!), der Tilgungsanteil aber konstant bleibt, muss folglich die Annuität ebenfalls kleiner werden, da gilt:
$$ \textrm{Annuität = Zinsanteil + Tilgungsanteil} $$

</div>

</div>

</div>

</div>

== Zinsenschuld - nur die Zinsen werden beglichen ==

Hier wird während der gesamten Laufzeit nichts vom Kreditgetilgt (d.h. TA=0), sondern nur die Zinsen bezahlt. Erst am Ende der Laufzeit wird die ganze Schuld durch eine Einmalzahlung beglichen.

=== Musterbeispiel ===

Eine Zinsschuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Annuität ist am Ende des 1. Jahres fällig.

a) Berechne die Höhe der Zinsanteile.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* i=4%
* Anfangsschuld = 10.000

Somit beträgt der Zinsanteil konstant $10.000\cdot 0.04=400$. Dies setzen wir nun alles ein.

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS

|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | 400
| align="center" | 0
| align="center" | 400
<p style="color:darkred"> $A_1=ZA_1+TA_1=400+0$ </p>
| align="center" | 10.000

|-
| align="center" | 2
| align="center" |400
| align="center" |0
| align="center" | 400
| align="center" |10.000

|-
| align="center" | 3
| align="center" |400
| align="center" |0
| align="center" | 400
| align="center" |10.000

|-
| align="center" | 4
| align="center" | 400
| align="center" |0
| align="center" | 400
| align="center" |<span style="background-color:yellow"> 10.000</span>

|-
| align="center" | 5
| align="center" | 400
| align="center" |<span style="background-color:yellow"> 10.000</span>
| align="center" |10.400
| align="center" |0

|}

</div>

</div>

== Online-Materialien ==
* [http://fbmathe.bbs-bingen.de/Tilgungsrechnung/Aufgaben_Tilgungsrechnung.htm Beispiele und Lösungen von Ansgar Schiffler]

[[Kategorie:Finanzmathematik]]

Schuldentilgung

2014-04-16T12:03:13Z

91.115.36.63: /* 1. Beispiel: Jährliche Zahlungen */

== Einleitung und Begriffe ==

Die Schuldentilgung beschäftigt sich mit dem Tilgen (= Zurückzahlen) einer Schuld. Das typische Beispiel ist das Tilgen eines Bankredits.

{| align="right"
|-
|{{#ev:youtube|bId7a4W6Vko}}
|}

Hierbei unterscheidet man zwischen den folgenden Begriffen:
{|
|-
|
* '''Annuität'''
| = der Betrag, der regelmäßig (z.B. jährlich) zurückgezahlt wird.
|-
|
* '''Zinsenanteil'''
| = jener Anteil der Annuität, der für die Zinsen aufgewendet wird.
|-
|
* '''Tilgungsanteil'''
| = jener Anteil der Annuität, um den die Schuld vermindert wird.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Erklärung der Begriffe anhand eines Beispiels''': </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Peter hat einen [[Rentenrechnung#Begriffe | nachschüssigen]] Kredit von 10.000 € bei 1 % p.a. aufgenommen. Somit fallen nach einem Jahr € 100 Zinsen an. Am Ende jedes Jahres zahlt Peter € 1.100 zurück.
* Die Annuität beträgt € 1.100.
* Der Zinsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 100.
* Der Tilgungsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 1000 (Von den € 1.100 werden € 100 für die Zinsen verwendet und nur € 1.000 reduzieren die Schuld).
* Die Restschuld nach dem 1. Jahr begrägt noch € 9.000.

</div>

</div>

{| border ="1" align="center"
| '''Merke:'''

|

Annuität = Zinsanteil + Tilgungsanteil

|}

Je nachdem, wie die Schuld beglichen wird, unterscheidet man zwischen folgenden Formen:
* '''[[Schuldentilgung#Annuitätenschuld - Anniutät bleibt konstant | Annuitätenschuld]]''' - Anniutät bleibt konstant über die ganze Laufzeit konstant.
* '''[[Schuldentilgung#Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant |Ratenschuld]]''' - Tilgungsanteil bleibt konstant
* '''[[Schuldentilgung#Zinsenschuld - nur die Zinsen werden beglichen|Zinsenschuld]]''' - nur die Zinsen werden während der Laufzeit beglichen und der Rest erst am Ende der Laufzeit.

== Tilgungsplan ==

Der Tilgungsplan ist eine tabellarische Aufstellung der Kreditrückzahlung.
Er listet für jedes Jahr auf, wie hoch der Zinsen, der Tilgungsanteil, die Annuität und die Restschuld sind.
Für eine nachschüssige Schuldentilgung ist er folgendermaßen aufgebaut:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |Schuld zu Beginn

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1$
Zinsanteil bei der ersten Zahlung
| align="center" |$TA_1$
Tilgungsanteil der ersten Zahlung
| align="center" |$A_1$
Annuität$_1$ (=Höhe der ersten Zahlung)
| align="center" |$RS_1$
Restschuld nach einem Jahr
|-
| align="center" | 2
| align="center" |$ZA_2$
Zinsanteil bei der zweiten Zahlung
|align="center" | $TA_2$
Tilgungsanteil der zweiten Zahlung
| align="center" |$A_2$
Annuität$_2$ (=Höhe der zweiten Zahlung)
| align="center" | $RS_2$
Restschuld nach dem 2. Jahr

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

''' Hinweise '''
*Der Zinsanteil errechnet sich immer mithilfe der Schuld aus dem Vorjahr:
$$ ZA_1=\textrm{Schuld}\cdot \frac{i}{100} $$
* Am Ende eines Tilgungsplanes sollte ganz rechts unten bei der letzten Restschuld natürlich eine 0 stehen (vorausgesetzt die ganze Schuld wird zurückbezahlt).

'''Vorteile '''
* Der Tilgungsplan ermöglicht einen schönen Überblck über alle Zahlungen.
* Die einzelnen Werte können Schritt für Schritt ausgerechnet werden.

=== Musterbeispiel ===

'''Peter hat einen nachschüssigen Kredit von 100 € bei einer Verzinsung von 1 % p.a. aufgenommen. Er zahlt jährlich € 10 zurück. Erstelle einen Tilgungsplan!'''

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''1. Schritt: Beginn des Tilgungsplans''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Die Anfangsschuld ist € 100.
* Die Anniuität ist konstant € 10.
* $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1 $.
* $TA_1=A_1-ZA_1=9$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
* Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_1=100-9=91$

Damit erstellen wir nun die ersten zwei Zeilen des Tilgungsplanes:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$</p>
| align="center" |$10-1=9$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $TA=A-ZA$ </p>
| align="center" |$10$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $A=TA+ZA$ </p>
| align="center" |$100-9=91$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$ </p>

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''2. Schritt: Fortsetzung des Tilgungsplans ''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Für das 2. Jahr des Tilgungsplans, nimmt man nun aus Ausgangswert die obere Zeile:

* Die alte Restschuld beträgt € 91.
* Die Anniuität ist konstant € 10.
* $ZA_2=91\cdot \frac{1}{100}=0.91 $.
* $TA_2=A_2-ZA_2=9.09$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
* Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_2=91-9.09=81.91$

Dies setzt man nun in den Tilgungsplan ein:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1$
| align="center" |$10-1=9$
| align="center" |$10$
| align="center" |$100-9=91$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $ZA_1=91\cdot \frac{1}{100}=0.91$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$</p>
| align="center" |$10-0.91=9.09$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $TA=A-ZA$ </p>
| align="center" |$10$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $A=TA+ZA$ </p>
| align="center" |$91-9.09=81.91$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$ </p>

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''3. Schritt: Vollständiger Tilgungsplan''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1$
| align="center" |$10-1=9$
| align="center" |$10$
| align="center" |$100-9=91$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $.91$
| align="center" |$9.09$
| align="center" |$10$
| align="center" |$81.91$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $0.82$
| align="center" |$9.18$
| align="center" |$10$
| align="center" |$72.73$

|-
| align="center" | 4
| align="center" | $0.73$
| align="center" |$9.27$
| align="center" |$10$
| align="center" |$63.46$

|-
| align="center" | 5
| align="center" | $0.63$
| align="center" |$9.37$
| align="center" |$10$
| align="center" |$54.09$

|-
| align="center" | 6
| align="center" | $0.54$
| align="center" |$9.46$
| align="center" |$10$
| align="center" |$44.63$

|-
| align="center" | 7
| align="center" | $0.45$
| align="center" |$9.55$
| align="center" |$10$
| align="center" |$35.08$

|-
| align="center" | 8
| align="center" | $0.35$
| align="center" |$9.65$
| align="center" |$10$
| align="center" |$25.43$

|-
| align="center" | 9
| align="center" | $0.25$
| align="center" |$9.75$
| align="center" |$10$
| align="center" |$15.68$

|-
| align="center" | 10
| align="center" | $0.16$
| align="center" |$9.84$
| align="center" |$10$
| align="center" |<span style="background-color:yellow"> '''$5.84$''' </span>

|-
| align="center" | 11
| align="center" | $0.06$
| align="center" | <span style="background-color:yellow"> '''$5.84$''' </span>
Die Restschuld von 5.84 wird getilgt.
| align="center" |'''$5.90$'''
$A=ZA+TA$
| align="center" |$0$

|}

'''Achtung!'''
Bei der 11. Zahlung muss nur noch eine Schuld von 5.84 (gelb unterlegt!) getilgt werden. Aus diesem Grund beträgt der Tilgungsanteil € 5.84!
Die Annuität beträgt dann nicht mehr € 10 (sonst würden wir ja zuviel zurückzahlen) sondern nur noch
$$ A = \textrm{Höhe des Tilgungsanteiles} + \textrm{die Höhe der Zinsen} $$
$$ A= 5.84+0.06 $$
$$A= 5.90$$

</div>

</div>

</div>

</div>

Weitere Beispiele findest du im 3. Klasse Buch (Trauner) auf den Seiten 174ff....

== Annuitätenschuld - Anniutät bleibt konstant ==

Bei einer Anniutätenschuld bleibt die Höhe der Annuität (Betrag der regelmäßig eingezahlt wird) konstant. Somit handelt es sich bei der Annuitätenschuld um eine [[Rentenrechnung | Rente]], da
* ein konstanter Betrag (=Annuität)
* in konstanten Zeitabständen
eingezahlt wird.
Wichtig:
# Die Annuität entspricht dabei der Rate R.
# Die Schuld entspricht dem Barwert B (Wert aller Zahlungen am Beginn = Anfangsschuld)

Somit benötigt man bei der Annuitätenschuld die [[Rentenrechnung#Formeln | Formeln für den Barwert]].

=== Musterbeispiele ===

==== Beispiel für jährliche Zahlungen ====
Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 gleich hohen, jährlichen Raten bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Rate ist am Ende des 1. Jahres fällig.

a) Berechne die Höhe der Raten.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

c) Begründe, warum der Tilgungsanteil von Jahr zu Jahr größer wird.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* B=10.000
* n=5
* i=4 % p.a. $\rightarrow$ r=1.05 $\rightarrow$ $v=\frac{1}{r}=0.9615$
* nachschüssig

$$ B=R\cdot v\cdot \frac{v^5-1}{v-1} $$
$$ 10.000 = R\cdot 0.95238\cdot \frac{0.95238^5-1}{0.95238-1} $$
$$ \underline{\underline{R= 2246.27}} $$

A: Die Höhe der Annuität (=Rate) beträgt € 2246.27.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Die Anzahl der Jahre ist 5 $\rightarrow$ somit brauchen wir 6 Zeilen (von 0 bis 5).
* Die Annuität A ist konstant € 2246.27. Somit kann in der Spalte Annuität für alle 5 Jahre 2246.27 eingesetzt werden.
* Anfangsschuld = 10.000

Somit kann man bereits die Rohform des Tilgungsplanes erstellen:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 2
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 3
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 4
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 5
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|}

Nun berechnen wir von links nach rechts und von oben nach unden die einzelnen Werte:

* $i=4$ % $\rightarrow$ $ZA_1=10.000\cdot \frac{4}{100} =400$
* $TA_1=A_1-ZA_1 = 2246,27-400 = 1846.27$
* $RS_1=10.000-1846.27=8153.73$
* usw.

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $400$
| align="center" |$1846.272$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$
8153.73$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $326.15$
| align="center" |$1920.12$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$6233,61$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $249.34$
| align="center" |$1996.93$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$4236,68$

|-
| align="center" | 4
| align="center" | $169.47$
| align="center" |$2076.80$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$2159.88$

|-
| align="center" | 5
| align="center" | $86.40$
| align="center" |$2159.87$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$
0.01$

|}

'''Achtung!''' Die Restschuld im 5. Jahr (=0.01) ist aufgrund der Rundungen, die wir durchgeführt haben nicht genau 0.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung von c) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Weil die Schuld von Jahr zu Jahr abnimmt, wird der Zinsanteil ebenfalls immer kleiner. Da die Annuität konstant bleibt, wird deshalb der Tilgungsanteil immer größer (Erinnerung: Tilgungsanteil ist $TA=A-ZA$ ist).

</div>

</div>

</div>

</div>

==== 2. Beispiel: Monatliche Zahlungen ====
Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch gleich hohe, monatliche Zahlunge bei i=4% p.a. zu tilgen.

a) Berechne die Höhe der Raten.

b) Stelle den Tilgungsplan für die ersten 3 Monate auf und berechne damit die Restschuld nach 3 Monaten.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* R=?
* B=10.000
* n=$5\cdot 12=60$
* i=4 % p.a. $\rightarrow$ r=1.04 $\rightarrow$ $r_{12}=\sqrt[12]{1.04}=1.00327$ $\rightarrow$ $v_{12}=\frac{1}{r_{12}}=0.9967$
!!'''Achtung'''!! Bei unterjährien Einzahlungen (z.B. monatliche) muss der [[Zins- und Zinseszinsrechnung#b) der konforme (äquivalente) Zinssatz|konforme Zinssatz]] berechnet werden!!
* nachschüssig

$$ B=R\cdot v_{12}\cdot \frac{v_{12}^{60}-1}{v_{12}-1} $$
$$ \underline{\underline{R=184.17}}$$

A: Die monatliche Annuität beträgt € 184.17.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Da $r_{12}=1.00327$ (siehe a) beträgt der Monatszinssatz $i_{12}=0.327$ % p.m.
* Die Annuität ist konstant 284.17 (siehe a)
* Anfangsschuld = 10.000

Somit kann der Tilgungsplan aufgestellt werden:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Monat
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $32,70$
| align="center" | $251,47$
| align="center" |$284,17$
| align="center" | $9748,53$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $31,88$
| align="center" |$252,29$
| align="center" |$284,17$
| align="center" |$9496,24$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $31,05$
| align="center" | $253,12$
| align="center" |$284,17$
| align="center" | $9243,12$

|}

A: Nach 3 Monaten beträgt die Restschuld noch € 9243,12.

</div>

</div>

</div>

</div>

== Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant ==

Bei einer Ratenschuld bleit der Tilgungsanteil TA immer gleich groß, wodruch die Schuld sich immer um denselben Wert verringert.

Es gilt
{| border="1" align="center"
|-
| $$TA=\frac{\textrm{Schuld}}{n}$$
|}

'''Begründung''': Da die ganze Schuld durch n Zahlungen zurückgezahlt wird, muss jedes Mal ein "n-tel" der Gesamtschuld getilgt werden.

=== Musterbeispiel ===

Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch gleich hohe Tilgungsanteile bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Rate ist am Ende des 1. Jahres fällig.

a) Berechne die Höhe des Tilgungsanteiles.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

c) Begründe, warum die Annuität von Jahr zu Jahr kleiner wird.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

$$ TA=\frac{\textrm{Schuld}}{n}=\frac{10.000}{5}$$
$$ \underline{\underline{TA=2.000}}$$

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* i=4%
* TA=2000 für alle 5 Jahre
* Anfangsschuld = 10.000

Somit setzen wir alles ein, was wir schon wissen:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS

|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" |
| align="center" | 2.000
| align="center" |
| align="center" | 8.000
<p style="color:darkred"> $10.000-2.000$ </p>

|-
| align="center" | 2
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |6.000

|-
| align="center" | 3
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |4.000

|-
| align="center" | 4
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |2.000

|-
| align="center" | 5
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |0

|}

Nun können alle weiteren Beträge (Zinsen und Annuitäten) berechnet und eingesetzt werden:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | 400
<p style="color:darkred"> $ZA_1=10.000\cdot 0.04$ </p>
| align="center" | 2.000
| align="center" | 2.400
<p style="color:darkred"> $A_1=ZA_1+TA_1$</p>
| align="center" | 8.000

|-
| align="center" | 2
| align="center" | 320
| align="center" |2.000
| align="center" | 2.320
| align="center" |6.000

|-
| align="center" | 3
| align="center" | 240
| align="center" |2.000
| align="center" | 2.240
| align="center" |4.000

|-
| align="center" | 4
| align="center" | 160
| align="center" |2.000
| align="center" | 2160
| align="center" |2.000

|-
| align="center" | 5
| align="center" | 80
| align="center" |2.000
| align="center" |2.080
| align="center" |0

|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für c) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Da der Zinsanteil immer kleiner wird (die Schuld verringert sich!), der Tilgungsanteil aber konstant bleibt, muss folglich die Annuität ebenfalls kleiner werden, da gilt:
$$ \textrm{Annuität = Zinsanteil + Tilgungsanteil} $$

</div>

</div>

</div>

</div>

== Zinsenschuld - nur die Zinsen werden beglichen ==

Hier wird während der gesamten Laufzeit nichts vom Kreditgetilgt (d.h. TA=0), sondern nur die Zinsen bezahlt. Erst am Ende der Laufzeit wird die ganze Schuld durch eine Einmalzahlung beglichen.

=== Musterbeispiel ===

Eine Zinsschuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Annuität ist am Ende des 1. Jahres fällig.

a) Berechne die Höhe der Zinsanteile.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* i=4%
* Anfangsschuld = 10.000

Somit beträgt der Zinsanteil konstant $10.000\cdot 0.04=400$. Dies setzen wir nun alles ein.

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS

|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | 400
| align="center" | 0
| align="center" | 400
<p style="color:darkred"> $A_1=ZA_1+TA_1=400+0$ </p>
| align="center" | 10.000

|-
| align="center" | 2
| align="center" |400
| align="center" |0
| align="center" | 400
| align="center" |10.000

|-
| align="center" | 3
| align="center" |400
| align="center" |0
| align="center" | 400
| align="center" |10.000

|-
| align="center" | 4
| align="center" | 400
| align="center" |0
| align="center" | 400
| align="center" |<span style="background-color:yellow"> 10.000</span>

|-
| align="center" | 5
| align="center" | 400
| align="center" |<span style="background-color:yellow"> 10.000</span>
| align="center" |10.400
| align="center" |0

|}

</div>

</div>

== Online-Materialien ==
* [http://fbmathe.bbs-bingen.de/Tilgungsrechnung/Aufgaben_Tilgungsrechnung.htm Beispiele und Lösungen von Ansgar Schiffler]

[[Kategorie:Finanzmathematik]]

Schuldentilgung

2014-04-16T12:02:39Z

91.115.36.63: /* Zinsenschuld - nur die Zinsen werden beglichen */

== Einleitung und Begriffe ==

Die Schuldentilgung beschäftigt sich mit dem Tilgen (= Zurückzahlen) einer Schuld. Das typische Beispiel ist das Tilgen eines Bankredits.

{| align="right"
|-
|{{#ev:youtube|bId7a4W6Vko}}
|}

Hierbei unterscheidet man zwischen den folgenden Begriffen:
{|
|-
|
* '''Annuität'''
| = der Betrag, der regelmäßig (z.B. jährlich) zurückgezahlt wird.
|-
|
* '''Zinsenanteil'''
| = jener Anteil der Annuität, der für die Zinsen aufgewendet wird.
|-
|
* '''Tilgungsanteil'''
| = jener Anteil der Annuität, um den die Schuld vermindert wird.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Erklärung der Begriffe anhand eines Beispiels''': </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Peter hat einen [[Rentenrechnung#Begriffe | nachschüssigen]] Kredit von 10.000 € bei 1 % p.a. aufgenommen. Somit fallen nach einem Jahr € 100 Zinsen an. Am Ende jedes Jahres zahlt Peter € 1.100 zurück.
* Die Annuität beträgt € 1.100.
* Der Zinsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 100.
* Der Tilgungsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 1000 (Von den € 1.100 werden € 100 für die Zinsen verwendet und nur € 1.000 reduzieren die Schuld).
* Die Restschuld nach dem 1. Jahr begrägt noch € 9.000.

</div>

</div>

{| border ="1" align="center"
| '''Merke:'''

|

Annuität = Zinsanteil + Tilgungsanteil

|}

Je nachdem, wie die Schuld beglichen wird, unterscheidet man zwischen folgenden Formen:
* '''[[Schuldentilgung#Annuitätenschuld - Anniutät bleibt konstant | Annuitätenschuld]]''' - Anniutät bleibt konstant über die ganze Laufzeit konstant.
* '''[[Schuldentilgung#Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant |Ratenschuld]]''' - Tilgungsanteil bleibt konstant
* '''[[Schuldentilgung#Zinsenschuld - nur die Zinsen werden beglichen|Zinsenschuld]]''' - nur die Zinsen werden während der Laufzeit beglichen und der Rest erst am Ende der Laufzeit.

== Tilgungsplan ==

Der Tilgungsplan ist eine tabellarische Aufstellung der Kreditrückzahlung.
Er listet für jedes Jahr auf, wie hoch der Zinsen, der Tilgungsanteil, die Annuität und die Restschuld sind.
Für eine nachschüssige Schuldentilgung ist er folgendermaßen aufgebaut:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |Schuld zu Beginn

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1$
Zinsanteil bei der ersten Zahlung
| align="center" |$TA_1$
Tilgungsanteil der ersten Zahlung
| align="center" |$A_1$
Annuität$_1$ (=Höhe der ersten Zahlung)
| align="center" |$RS_1$
Restschuld nach einem Jahr
|-
| align="center" | 2
| align="center" |$ZA_2$
Zinsanteil bei der zweiten Zahlung
|align="center" | $TA_2$
Tilgungsanteil der zweiten Zahlung
| align="center" |$A_2$
Annuität$_2$ (=Höhe der zweiten Zahlung)
| align="center" | $RS_2$
Restschuld nach dem 2. Jahr

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

''' Hinweise '''
*Der Zinsanteil errechnet sich immer mithilfe der Schuld aus dem Vorjahr:
$$ ZA_1=\textrm{Schuld}\cdot \frac{i}{100} $$
* Am Ende eines Tilgungsplanes sollte ganz rechts unten bei der letzten Restschuld natürlich eine 0 stehen (vorausgesetzt die ganze Schuld wird zurückbezahlt).

'''Vorteile '''
* Der Tilgungsplan ermöglicht einen schönen Überblck über alle Zahlungen.
* Die einzelnen Werte können Schritt für Schritt ausgerechnet werden.

=== Musterbeispiel ===

'''Peter hat einen nachschüssigen Kredit von 100 € bei einer Verzinsung von 1 % p.a. aufgenommen. Er zahlt jährlich € 10 zurück. Erstelle einen Tilgungsplan!'''

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''1. Schritt: Beginn des Tilgungsplans''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Die Anfangsschuld ist € 100.
* Die Anniuität ist konstant € 10.
* $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1 $.
* $TA_1=A_1-ZA_1=9$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
* Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_1=100-9=91$

Damit erstellen wir nun die ersten zwei Zeilen des Tilgungsplanes:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$</p>
| align="center" |$10-1=9$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $TA=A-ZA$ </p>
| align="center" |$10$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $A=TA+ZA$ </p>
| align="center" |$100-9=91$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$ </p>

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''2. Schritt: Fortsetzung des Tilgungsplans ''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Für das 2. Jahr des Tilgungsplans, nimmt man nun aus Ausgangswert die obere Zeile:

* Die alte Restschuld beträgt € 91.
* Die Anniuität ist konstant € 10.
* $ZA_2=91\cdot \frac{1}{100}=0.91 $.
* $TA_2=A_2-ZA_2=9.09$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
* Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_2=91-9.09=81.91$

Dies setzt man nun in den Tilgungsplan ein:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1$
| align="center" |$10-1=9$
| align="center" |$10$
| align="center" |$100-9=91$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $ZA_1=91\cdot \frac{1}{100}=0.91$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$</p>
| align="center" |$10-0.91=9.09$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $TA=A-ZA$ </p>
| align="center" |$10$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $A=TA+ZA$ </p>
| align="center" |$91-9.09=81.91$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$ </p>

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''3. Schritt: Vollständiger Tilgungsplan''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1$
| align="center" |$10-1=9$
| align="center" |$10$
| align="center" |$100-9=91$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $.91$
| align="center" |$9.09$
| align="center" |$10$
| align="center" |$81.91$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $0.82$
| align="center" |$9.18$
| align="center" |$10$
| align="center" |$72.73$

|-
| align="center" | 4
| align="center" | $0.73$
| align="center" |$9.27$
| align="center" |$10$
| align="center" |$63.46$

|-
| align="center" | 5
| align="center" | $0.63$
| align="center" |$9.37$
| align="center" |$10$
| align="center" |$54.09$

|-
| align="center" | 6
| align="center" | $0.54$
| align="center" |$9.46$
| align="center" |$10$
| align="center" |$44.63$

|-
| align="center" | 7
| align="center" | $0.45$
| align="center" |$9.55$
| align="center" |$10$
| align="center" |$35.08$

|-
| align="center" | 8
| align="center" | $0.35$
| align="center" |$9.65$
| align="center" |$10$
| align="center" |$25.43$

|-
| align="center" | 9
| align="center" | $0.25$
| align="center" |$9.75$
| align="center" |$10$
| align="center" |$15.68$

|-
| align="center" | 10
| align="center" | $0.16$
| align="center" |$9.84$
| align="center" |$10$
| align="center" |<span style="background-color:yellow"> '''$5.84$''' </span>

|-
| align="center" | 11
| align="center" | $0.06$
| align="center" | <span style="background-color:yellow"> '''$5.84$''' </span>
Die Restschuld von 5.84 wird getilgt.
| align="center" |'''$5.90$'''
$A=ZA+TA$
| align="center" |$0$

|}

'''Achtung!'''
Bei der 11. Zahlung muss nur noch eine Schuld von 5.84 (gelb unterlegt!) getilgt werden. Aus diesem Grund beträgt der Tilgungsanteil € 5.84!
Die Annuität beträgt dann nicht mehr € 10 (sonst würden wir ja zuviel zurückzahlen) sondern nur noch
$$ A = \textrm{Höhe des Tilgungsanteiles} + \textrm{die Höhe der Zinsen} $$
$$ A= 5.84+0.06 $$
$$A= 5.90$$

</div>

</div>

</div>

</div>

Weitere Beispiele findest du im 3. Klasse Buch (Trauner) auf den Seiten 174ff....

== Annuitätenschuld - Anniutät bleibt konstant ==

Bei einer Anniutätenschuld bleibt die Höhe der Annuität (Betrag der regelmäßig eingezahlt wird) konstant. Somit handelt es sich bei der Annuitätenschuld um eine [[Rentenrechnung | Rente]], da
* ein konstanter Betrag (=Annuität)
* in konstanten Zeitabständen
eingezahlt wird.
Wichtig:
# Die Annuität entspricht dabei der Rate R.
# Die Schuld entspricht dem Barwert B (Wert aller Zahlungen am Beginn = Anfangsschuld)

Somit benötigt man bei der Annuitätenschuld die [[Rentenrechnung#Formeln | Formeln für den Barwert]].

=== Musterbeispiele ===

==== 1. Beispiel: Jährliche Zahlungen ====
Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 gleich hohen, jährlichen Raten bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Rate ist am Ende des 1. Jahres fällig.

a) Berechne die Höhe der Raten.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

c) Begründe, warum der Tilgungsanteil von Jahr zu Jahr größer wird.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* B=10.000
* n=5
* i=4 % p.a. $\rightarrow$ r=1.05 $\rightarrow$ $v=\frac{1}{r}=0.9615$
* nachschüssig

$$ B=R\cdot v\cdot \frac{v^5-1}{v-1} $$
$$ 10.000 = R\cdot 0.95238\cdot \frac{0.95238^5-1}{0.95238-1} $$
$$ \underline{\underline{R= 2246.27}} $$

A: Die Höhe der Annuität (=Rate) beträgt € 2246.27.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Die Anzahl der Jahre ist 5 $\rightarrow$ somit brauchen wir 6 Zeilen (von 0 bis 5).
* Die Annuität A ist konstant € 2246.27. Somit kann in der Spalte Annuität für alle 5 Jahre 2246.27 eingesetzt werden.
* Anfangsschuld = 10.000

Somit kann man bereits die Rohform des Tilgungsplanes erstellen:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 2
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 3
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 4
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 5
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|}

Nun berechnen wir von links nach rechts und von oben nach unden die einzelnen Werte:

* $i=4$ % $\rightarrow$ $ZA_1=10.000\cdot \frac{4}{100} =400$
* $TA_1=A_1-ZA_1 = 2246,27-400 = 1846.27$
* $RS_1=10.000-1846.27=8153.73$
* usw.

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $400$
| align="center" |$1846.272$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$
8153.73$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $326.15$
| align="center" |$1920.12$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$6233,61$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $249.34$
| align="center" |$1996.93$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$4236,68$

|-
| align="center" | 4
| align="center" | $169.47$
| align="center" |$2076.80$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$2159.88$

|-
| align="center" | 5
| align="center" | $86.40$
| align="center" |$2159.87$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$
0.01$

|}

'''Achtung!''' Die Restschuld im 5. Jahr (=0.01) ist aufgrund der Rundungen, die wir durchgeführt haben nicht genau 0.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung von c) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Weil die Schuld von Jahr zu Jahr abnimmt, wird der Zinsanteil ebenfalls immer kleiner. Da die Annuität konstant bleibt, wird deshalb der Tilgungsanteil immer größer (Erinnerung: Tilgungsanteil ist $TA=A-ZA$ ist).

</div>

</div>

</div>

</div>

==== 2. Beispiel: Monatliche Zahlungen ====
Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch gleich hohe, monatliche Zahlunge bei i=4% p.a. zu tilgen.

a) Berechne die Höhe der Raten.

b) Stelle den Tilgungsplan für die ersten 3 Monate auf und berechne damit die Restschuld nach 3 Monaten.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* R=?
* B=10.000
* n=$5\cdot 12=60$
* i=4 % p.a. $\rightarrow$ r=1.04 $\rightarrow$ $r_{12}=\sqrt[12]{1.04}=1.00327$ $\rightarrow$ $v_{12}=\frac{1}{r_{12}}=0.9967$
!!'''Achtung'''!! Bei unterjährien Einzahlungen (z.B. monatliche) muss der [[Zins- und Zinseszinsrechnung#b) der konforme (äquivalente) Zinssatz|konforme Zinssatz]] berechnet werden!!
* nachschüssig

$$ B=R\cdot v_{12}\cdot \frac{v_{12}^{60}-1}{v_{12}-1} $$
$$ \underline{\underline{R=184.17}}$$

A: Die monatliche Annuität beträgt € 184.17.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Da $r_{12}=1.00327$ (siehe a) beträgt der Monatszinssatz $i_{12}=0.327$ % p.m.
* Die Annuität ist konstant 284.17 (siehe a)
* Anfangsschuld = 10.000

Somit kann der Tilgungsplan aufgestellt werden:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Monat
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $32,70$
| align="center" | $251,47$
| align="center" |$284,17$
| align="center" | $9748,53$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $31,88$
| align="center" |$252,29$
| align="center" |$284,17$
| align="center" |$9496,24$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $31,05$
| align="center" | $253,12$
| align="center" |$284,17$
| align="center" | $9243,12$

|}

A: Nach 3 Monaten beträgt die Restschuld noch € 9243,12.

</div>

</div>

</div>

</div>

== Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant ==

Bei einer Ratenschuld bleit der Tilgungsanteil TA immer gleich groß, wodruch die Schuld sich immer um denselben Wert verringert.

Es gilt
{| border="1" align="center"
|-
| $$TA=\frac{\textrm{Schuld}}{n}$$
|}

'''Begründung''': Da die ganze Schuld durch n Zahlungen zurückgezahlt wird, muss jedes Mal ein "n-tel" der Gesamtschuld getilgt werden.

=== Musterbeispiel ===

Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch gleich hohe Tilgungsanteile bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Rate ist am Ende des 1. Jahres fällig.

a) Berechne die Höhe des Tilgungsanteiles.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

c) Begründe, warum die Annuität von Jahr zu Jahr kleiner wird.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

$$ TA=\frac{\textrm{Schuld}}{n}=\frac{10.000}{5}$$
$$ \underline{\underline{TA=2.000}}$$

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* i=4%
* TA=2000 für alle 5 Jahre
* Anfangsschuld = 10.000

Somit setzen wir alles ein, was wir schon wissen:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS

|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" |
| align="center" | 2.000
| align="center" |
| align="center" | 8.000
<p style="color:darkred"> $10.000-2.000$ </p>

|-
| align="center" | 2
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |6.000

|-
| align="center" | 3
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |4.000

|-
| align="center" | 4
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |2.000

|-
| align="center" | 5
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |0

|}

Nun können alle weiteren Beträge (Zinsen und Annuitäten) berechnet und eingesetzt werden:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | 400
<p style="color:darkred"> $ZA_1=10.000\cdot 0.04$ </p>
| align="center" | 2.000
| align="center" | 2.400
<p style="color:darkred"> $A_1=ZA_1+TA_1$</p>
| align="center" | 8.000

|-
| align="center" | 2
| align="center" | 320
| align="center" |2.000
| align="center" | 2.320
| align="center" |6.000

|-
| align="center" | 3
| align="center" | 240
| align="center" |2.000
| align="center" | 2.240
| align="center" |4.000

|-
| align="center" | 4
| align="center" | 160
| align="center" |2.000
| align="center" | 2160
| align="center" |2.000

|-
| align="center" | 5
| align="center" | 80
| align="center" |2.000
| align="center" |2.080
| align="center" |0

|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für c) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Da der Zinsanteil immer kleiner wird (die Schuld verringert sich!), der Tilgungsanteil aber konstant bleibt, muss folglich die Annuität ebenfalls kleiner werden, da gilt:
$$ \textrm{Annuität = Zinsanteil + Tilgungsanteil} $$

</div>

</div>

</div>

</div>

== Zinsenschuld - nur die Zinsen werden beglichen ==

Hier wird während der gesamten Laufzeit nichts vom Kreditgetilgt (d.h. TA=0), sondern nur die Zinsen bezahlt. Erst am Ende der Laufzeit wird die ganze Schuld durch eine Einmalzahlung beglichen.

=== Musterbeispiel ===

Eine Zinsschuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Annuität ist am Ende des 1. Jahres fällig.

a) Berechne die Höhe der Zinsanteile.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* i=4%
* Anfangsschuld = 10.000

Somit beträgt der Zinsanteil konstant $10.000\cdot 0.04=400$. Dies setzen wir nun alles ein.

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS

|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | 400
| align="center" | 0
| align="center" | 400
<p style="color:darkred"> $A_1=ZA_1+TA_1=400+0$ </p>
| align="center" | 10.000

|-
| align="center" | 2
| align="center" |400
| align="center" |0
| align="center" | 400
| align="center" |10.000

|-
| align="center" | 3
| align="center" |400
| align="center" |0
| align="center" | 400
| align="center" |10.000

|-
| align="center" | 4
| align="center" | 400
| align="center" |0
| align="center" | 400
| align="center" |<span style="background-color:yellow"> 10.000</span>

|-
| align="center" | 5
| align="center" | 400
| align="center" |<span style="background-color:yellow"> 10.000</span>
| align="center" |10.400
| align="center" |0

|}

</div>

</div>

== Online-Materialien ==
* [http://fbmathe.bbs-bingen.de/Tilgungsrechnung/Aufgaben_Tilgungsrechnung.htm Beispiele und Lösungen von Ansgar Schiffler]

[[Kategorie:Finanzmathematik]]

Schuldentilgung

2014-04-16T11:53:58Z

91.115.36.63: /* Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant */

== Einleitung und Begriffe ==

Die Schuldentilgung beschäftigt sich mit dem Tilgen (= Zurückzahlen) einer Schuld. Das typische Beispiel ist das Tilgen eines Bankredits.

{| align="right"
|-
|{{#ev:youtube|bId7a4W6Vko}}
|}

Hierbei unterscheidet man zwischen den folgenden Begriffen:
{|
|-
|
* '''Annuität'''
| = der Betrag, der regelmäßig (z.B. jährlich) zurückgezahlt wird.
|-
|
* '''Zinsenanteil'''
| = jener Anteil der Annuität, der für die Zinsen aufgewendet wird.
|-
|
* '''Tilgungsanteil'''
| = jener Anteil der Annuität, um den die Schuld vermindert wird.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Erklärung der Begriffe anhand eines Beispiels''': </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Peter hat einen [[Rentenrechnung#Begriffe | nachschüssigen]] Kredit von 10.000 € bei 1 % p.a. aufgenommen. Somit fallen nach einem Jahr € 100 Zinsen an. Am Ende jedes Jahres zahlt Peter € 1.100 zurück.
* Die Annuität beträgt € 1.100.
* Der Zinsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 100.
* Der Tilgungsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 1000 (Von den € 1.100 werden € 100 für die Zinsen verwendet und nur € 1.000 reduzieren die Schuld).
* Die Restschuld nach dem 1. Jahr begrägt noch € 9.000.

</div>

</div>

{| border ="1" align="center"
| '''Merke:'''

|

Annuität = Zinsanteil + Tilgungsanteil

|}

Je nachdem, wie die Schuld beglichen wird, unterscheidet man zwischen folgenden Formen:
* '''[[Schuldentilgung#Annuitätenschuld - Anniutät bleibt konstant | Annuitätenschuld]]''' - Anniutät bleibt konstant über die ganze Laufzeit konstant.
* '''[[Schuldentilgung#Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant |Ratenschuld]]''' - Tilgungsanteil bleibt konstant
* '''[[Schuldentilgung#Zinsenschuld - nur die Zinsen werden beglichen|Zinsenschuld]]''' - nur die Zinsen werden während der Laufzeit beglichen und der Rest erst am Ende der Laufzeit.

== Tilgungsplan ==

Der Tilgungsplan ist eine tabellarische Aufstellung der Kreditrückzahlung.
Er listet für jedes Jahr auf, wie hoch der Zinsen, der Tilgungsanteil, die Annuität und die Restschuld sind.
Für eine nachschüssige Schuldentilgung ist er folgendermaßen aufgebaut:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |Schuld zu Beginn

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1$
Zinsanteil bei der ersten Zahlung
| align="center" |$TA_1$
Tilgungsanteil der ersten Zahlung
| align="center" |$A_1$
Annuität$_1$ (=Höhe der ersten Zahlung)
| align="center" |$RS_1$
Restschuld nach einem Jahr
|-
| align="center" | 2
| align="center" |$ZA_2$
Zinsanteil bei der zweiten Zahlung
|align="center" | $TA_2$
Tilgungsanteil der zweiten Zahlung
| align="center" |$A_2$
Annuität$_2$ (=Höhe der zweiten Zahlung)
| align="center" | $RS_2$
Restschuld nach dem 2. Jahr

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

''' Hinweise '''
*Der Zinsanteil errechnet sich immer mithilfe der Schuld aus dem Vorjahr:
$$ ZA_1=\textrm{Schuld}\cdot \frac{i}{100} $$
* Am Ende eines Tilgungsplanes sollte ganz rechts unten bei der letzten Restschuld natürlich eine 0 stehen (vorausgesetzt die ganze Schuld wird zurückbezahlt).

'''Vorteile '''
* Der Tilgungsplan ermöglicht einen schönen Überblck über alle Zahlungen.
* Die einzelnen Werte können Schritt für Schritt ausgerechnet werden.

=== Musterbeispiel ===

'''Peter hat einen nachschüssigen Kredit von 100 € bei einer Verzinsung von 1 % p.a. aufgenommen. Er zahlt jährlich € 10 zurück. Erstelle einen Tilgungsplan!'''

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''1. Schritt: Beginn des Tilgungsplans''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Die Anfangsschuld ist € 100.
* Die Anniuität ist konstant € 10.
* $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1 $.
* $TA_1=A_1-ZA_1=9$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
* Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_1=100-9=91$

Damit erstellen wir nun die ersten zwei Zeilen des Tilgungsplanes:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$</p>
| align="center" |$10-1=9$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $TA=A-ZA$ </p>
| align="center" |$10$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $A=TA+ZA$ </p>
| align="center" |$100-9=91$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$ </p>

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''2. Schritt: Fortsetzung des Tilgungsplans ''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Für das 2. Jahr des Tilgungsplans, nimmt man nun aus Ausgangswert die obere Zeile:

* Die alte Restschuld beträgt € 91.
* Die Anniuität ist konstant € 10.
* $ZA_2=91\cdot \frac{1}{100}=0.91 $.
* $TA_2=A_2-ZA_2=9.09$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
* Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_2=91-9.09=81.91$

Dies setzt man nun in den Tilgungsplan ein:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1$
| align="center" |$10-1=9$
| align="center" |$10$
| align="center" |$100-9=91$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $ZA_1=91\cdot \frac{1}{100}=0.91$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$</p>
| align="center" |$10-0.91=9.09$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $TA=A-ZA$ </p>
| align="center" |$10$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $A=TA+ZA$ </p>
| align="center" |$91-9.09=81.91$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$ </p>

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''3. Schritt: Vollständiger Tilgungsplan''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1$
| align="center" |$10-1=9$
| align="center" |$10$
| align="center" |$100-9=91$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $.91$
| align="center" |$9.09$
| align="center" |$10$
| align="center" |$81.91$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $0.82$
| align="center" |$9.18$
| align="center" |$10$
| align="center" |$72.73$

|-
| align="center" | 4
| align="center" | $0.73$
| align="center" |$9.27$
| align="center" |$10$
| align="center" |$63.46$

|-
| align="center" | 5
| align="center" | $0.63$
| align="center" |$9.37$
| align="center" |$10$
| align="center" |$54.09$

|-
| align="center" | 6
| align="center" | $0.54$
| align="center" |$9.46$
| align="center" |$10$
| align="center" |$44.63$

|-
| align="center" | 7
| align="center" | $0.45$
| align="center" |$9.55$
| align="center" |$10$
| align="center" |$35.08$

|-
| align="center" | 8
| align="center" | $0.35$
| align="center" |$9.65$
| align="center" |$10$
| align="center" |$25.43$

|-
| align="center" | 9
| align="center" | $0.25$
| align="center" |$9.75$
| align="center" |$10$
| align="center" |$15.68$

|-
| align="center" | 10
| align="center" | $0.16$
| align="center" |$9.84$
| align="center" |$10$
| align="center" |<span style="background-color:yellow"> '''$5.84$''' </span>

|-
| align="center" | 11
| align="center" | $0.06$
| align="center" | <span style="background-color:yellow"> '''$5.84$''' </span>
Die Restschuld von 5.84 wird getilgt.
| align="center" |'''$5.90$'''
$A=ZA+TA$
| align="center" |$0$

|}

'''Achtung!'''
Bei der 11. Zahlung muss nur noch eine Schuld von 5.84 (gelb unterlegt!) getilgt werden. Aus diesem Grund beträgt der Tilgungsanteil € 5.84!
Die Annuität beträgt dann nicht mehr € 10 (sonst würden wir ja zuviel zurückzahlen) sondern nur noch
$$ A = \textrm{Höhe des Tilgungsanteiles} + \textrm{die Höhe der Zinsen} $$
$$ A= 5.84+0.06 $$
$$A= 5.90$$

</div>

</div>

</div>

</div>

Weitere Beispiele findest du im 3. Klasse Buch (Trauner) auf den Seiten 174ff....

== Annuitätenschuld - Anniutät bleibt konstant ==

Bei einer Anniutätenschuld bleibt die Höhe der Annuität (Betrag der regelmäßig eingezahlt wird) konstant. Somit handelt es sich bei der Annuitätenschuld um eine [[Rentenrechnung | Rente]], da
* ein konstanter Betrag (=Annuität)
* in konstanten Zeitabständen
eingezahlt wird.
Wichtig:
# Die Annuität entspricht dabei der Rate R.
# Die Schuld entspricht dem Barwert B (Wert aller Zahlungen am Beginn = Anfangsschuld)

Somit benötigt man bei der Annuitätenschuld die [[Rentenrechnung#Formeln | Formeln für den Barwert]].

=== Musterbeispiele ===

==== 1. Beispiel: Jährliche Zahlungen ====
Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 gleich hohen, jährlichen Raten bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Rate ist am Ende des 1. Jahres fällig.

a) Berechne die Höhe der Raten.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

c) Begründe, warum der Tilgungsanteil von Jahr zu Jahr größer wird.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* B=10.000
* n=5
* i=4 % p.a. $\rightarrow$ r=1.05 $\rightarrow$ $v=\frac{1}{r}=0.9615$
* nachschüssig

$$ B=R\cdot v\cdot \frac{v^5-1}{v-1} $$
$$ 10.000 = R\cdot 0.95238\cdot \frac{0.95238^5-1}{0.95238-1} $$
$$ \underline{\underline{R= 2246.27}} $$

A: Die Höhe der Annuität (=Rate) beträgt € 2246.27.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Die Anzahl der Jahre ist 5 $\rightarrow$ somit brauchen wir 6 Zeilen (von 0 bis 5).
* Die Annuität A ist konstant € 2246.27. Somit kann in der Spalte Annuität für alle 5 Jahre 2246.27 eingesetzt werden.
* Anfangsschuld = 10.000

Somit kann man bereits die Rohform des Tilgungsplanes erstellen:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 2
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 3
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 4
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 5
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|}

Nun berechnen wir von links nach rechts und von oben nach unden die einzelnen Werte:

* $i=4$ % $\rightarrow$ $ZA_1=10.000\cdot \frac{4}{100} =400$
* $TA_1=A_1-ZA_1 = 2246,27-400 = 1846.27$
* $RS_1=10.000-1846.27=8153.73$
* usw.

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $400$
| align="center" |$1846.272$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$
8153.73$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $326.15$
| align="center" |$1920.12$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$6233,61$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $249.34$
| align="center" |$1996.93$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$4236,68$

|-
| align="center" | 4
| align="center" | $169.47$
| align="center" |$2076.80$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$2159.88$

|-
| align="center" | 5
| align="center" | $86.40$
| align="center" |$2159.87$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$
0.01$

|}

'''Achtung!''' Die Restschuld im 5. Jahr (=0.01) ist aufgrund der Rundungen, die wir durchgeführt haben nicht genau 0.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung von c) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Weil die Schuld von Jahr zu Jahr abnimmt, wird der Zinsanteil ebenfalls immer kleiner. Da die Annuität konstant bleibt, wird deshalb der Tilgungsanteil immer größer (Erinnerung: Tilgungsanteil ist $TA=A-ZA$ ist).

</div>

</div>

</div>

</div>

==== 2. Beispiel: Monatliche Zahlungen ====
Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch gleich hohe, monatliche Zahlunge bei i=4% p.a. zu tilgen.

a) Berechne die Höhe der Raten.

b) Stelle den Tilgungsplan für die ersten 3 Monate auf und berechne damit die Restschuld nach 3 Monaten.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* R=?
* B=10.000
* n=$5\cdot 12=60$
* i=4 % p.a. $\rightarrow$ r=1.04 $\rightarrow$ $r_{12}=\sqrt[12]{1.04}=1.00327$ $\rightarrow$ $v_{12}=\frac{1}{r_{12}}=0.9967$
!!'''Achtung'''!! Bei unterjährien Einzahlungen (z.B. monatliche) muss der [[Zins- und Zinseszinsrechnung#b) der konforme (äquivalente) Zinssatz|konforme Zinssatz]] berechnet werden!!
* nachschüssig

$$ B=R\cdot v_{12}\cdot \frac{v_{12}^{60}-1}{v_{12}-1} $$
$$ \underline{\underline{R=184.17}}$$

A: Die monatliche Annuität beträgt € 184.17.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Da $r_{12}=1.00327$ (siehe a) beträgt der Monatszinssatz $i_{12}=0.327$ % p.m.
* Die Annuität ist konstant 284.17 (siehe a)
* Anfangsschuld = 10.000

Somit kann der Tilgungsplan aufgestellt werden:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Monat
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $32,70$
| align="center" | $251,47$
| align="center" |$284,17$
| align="center" | $9748,53$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $31,88$
| align="center" |$252,29$
| align="center" |$284,17$
| align="center" |$9496,24$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $31,05$
| align="center" | $253,12$
| align="center" |$284,17$
| align="center" | $9243,12$

|}

A: Nach 3 Monaten beträgt die Restschuld noch € 9243,12.

</div>

</div>

</div>

</div>

== Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant ==

Bei einer Ratenschuld bleit der Tilgungsanteil TA immer gleich groß, wodruch die Schuld sich immer um denselben Wert verringert.

Es gilt
{| border="1" align="center"
|-
| $$TA=\frac{\textrm{Schuld}}{n}$$
|}

'''Begründung''': Da die ganze Schuld durch n Zahlungen zurückgezahlt wird, muss jedes Mal ein "n-tel" der Gesamtschuld getilgt werden.

=== Musterbeispiel ===

Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch gleich hohe Tilgungsanteile bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Rate ist am Ende des 1. Jahres fällig.

a) Berechne die Höhe des Tilgungsanteiles.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

c) Begründe, warum die Annuität von Jahr zu Jahr kleiner wird.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

$$ TA=\frac{\textrm{Schuld}}{n}=\frac{10.000}{5}$$
$$ \underline{\underline{TA=2.000}}$$

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* i=4%
* TA=2000 für alle 5 Jahre
* Anfangsschuld = 10.000

Somit setzen wir alles ein, was wir schon wissen:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS

|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" |
| align="center" | 2.000
| align="center" |
| align="center" | 8.000
<p style="color:darkred"> $10.000-2.000$ </p>

|-
| align="center" | 2
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |6.000

|-
| align="center" | 3
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |4.000

|-
| align="center" | 4
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |2.000

|-
| align="center" | 5
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |0

|}

Nun können alle weiteren Beträge (Zinsen und Annuitäten) berechnet und eingesetzt werden:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | 400
<p style="color:darkred"> $ZA_1=10.000\cdot 0.04$ </p>
| align="center" | 2.000
| align="center" | 2.400
<p style="color:darkred"> $A_1=ZA_1+TA_1$</p>
| align="center" | 8.000

|-
| align="center" | 2
| align="center" | 320
| align="center" |2.000
| align="center" | 2.320
| align="center" |6.000

|-
| align="center" | 3
| align="center" | 240
| align="center" |2.000
| align="center" | 2.240
| align="center" |4.000

|-
| align="center" | 4
| align="center" | 160
| align="center" |2.000
| align="center" | 2160
| align="center" |2.000

|-
| align="center" | 5
| align="center" | 80
| align="center" |2.000
| align="center" |2.080
| align="center" |0

|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für c) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Da der Zinsanteil immer kleiner wird (die Schuld verringert sich!), der Tilgungsanteil aber konstant bleibt, muss folglich die Annuität ebenfalls kleiner werden, da gilt:
$$ \textrm{Annuität = Zinsanteil + Tilgungsanteil} $$

</div>

</div>

</div>

</div>

== Zinsenschuld - nur die Zinsen werden beglichen ==

Online-Materialien:
* [http://fbmathe.bbs-bingen.de/Tilgungsrechnung/Aufgaben_Tilgungsrechnung.htm Beispiele und Lösungen von Ansgar Schiffler]

[[Kategorie:Finanzmathematik]]

Schuldentilgung

2014-04-16T11:52:33Z

91.115.36.63: /* Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant */

== Einleitung und Begriffe ==

Die Schuldentilgung beschäftigt sich mit dem Tilgen (= Zurückzahlen) einer Schuld. Das typische Beispiel ist das Tilgen eines Bankredits.

{| align="right"
|-
|{{#ev:youtube|bId7a4W6Vko}}
|}

Hierbei unterscheidet man zwischen den folgenden Begriffen:
{|
|-
|
* '''Annuität'''
| = der Betrag, der regelmäßig (z.B. jährlich) zurückgezahlt wird.
|-
|
* '''Zinsenanteil'''
| = jener Anteil der Annuität, der für die Zinsen aufgewendet wird.
|-
|
* '''Tilgungsanteil'''
| = jener Anteil der Annuität, um den die Schuld vermindert wird.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Erklärung der Begriffe anhand eines Beispiels''': </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Peter hat einen [[Rentenrechnung#Begriffe | nachschüssigen]] Kredit von 10.000 € bei 1 % p.a. aufgenommen. Somit fallen nach einem Jahr € 100 Zinsen an. Am Ende jedes Jahres zahlt Peter € 1.100 zurück.
* Die Annuität beträgt € 1.100.
* Der Zinsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 100.
* Der Tilgungsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 1000 (Von den € 1.100 werden € 100 für die Zinsen verwendet und nur € 1.000 reduzieren die Schuld).
* Die Restschuld nach dem 1. Jahr begrägt noch € 9.000.

</div>

</div>

{| border ="1" align="center"
| '''Merke:'''

|

Annuität = Zinsanteil + Tilgungsanteil

|}

Je nachdem, wie die Schuld beglichen wird, unterscheidet man zwischen folgenden Formen:
* '''[[Schuldentilgung#Annuitätenschuld - Anniutät bleibt konstant | Annuitätenschuld]]''' - Anniutät bleibt konstant über die ganze Laufzeit konstant.
* '''[[Schuldentilgung#Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant |Ratenschuld]]''' - Tilgungsanteil bleibt konstant
* '''[[Schuldentilgung#Zinsenschuld - nur die Zinsen werden beglichen|Zinsenschuld]]''' - nur die Zinsen werden während der Laufzeit beglichen und der Rest erst am Ende der Laufzeit.

== Tilgungsplan ==

Der Tilgungsplan ist eine tabellarische Aufstellung der Kreditrückzahlung.
Er listet für jedes Jahr auf, wie hoch der Zinsen, der Tilgungsanteil, die Annuität und die Restschuld sind.
Für eine nachschüssige Schuldentilgung ist er folgendermaßen aufgebaut:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |Schuld zu Beginn

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1$
Zinsanteil bei der ersten Zahlung
| align="center" |$TA_1$
Tilgungsanteil der ersten Zahlung
| align="center" |$A_1$
Annuität$_1$ (=Höhe der ersten Zahlung)
| align="center" |$RS_1$
Restschuld nach einem Jahr
|-
| align="center" | 2
| align="center" |$ZA_2$
Zinsanteil bei der zweiten Zahlung
|align="center" | $TA_2$
Tilgungsanteil der zweiten Zahlung
| align="center" |$A_2$
Annuität$_2$ (=Höhe der zweiten Zahlung)
| align="center" | $RS_2$
Restschuld nach dem 2. Jahr

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

''' Hinweise '''
*Der Zinsanteil errechnet sich immer mithilfe der Schuld aus dem Vorjahr:
$$ ZA_1=\textrm{Schuld}\cdot \frac{i}{100} $$
* Am Ende eines Tilgungsplanes sollte ganz rechts unten bei der letzten Restschuld natürlich eine 0 stehen (vorausgesetzt die ganze Schuld wird zurückbezahlt).

'''Vorteile '''
* Der Tilgungsplan ermöglicht einen schönen Überblck über alle Zahlungen.
* Die einzelnen Werte können Schritt für Schritt ausgerechnet werden.

=== Musterbeispiel ===

'''Peter hat einen nachschüssigen Kredit von 100 € bei einer Verzinsung von 1 % p.a. aufgenommen. Er zahlt jährlich € 10 zurück. Erstelle einen Tilgungsplan!'''

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''1. Schritt: Beginn des Tilgungsplans''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Die Anfangsschuld ist € 100.
* Die Anniuität ist konstant € 10.
* $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1 $.
* $TA_1=A_1-ZA_1=9$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
* Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_1=100-9=91$

Damit erstellen wir nun die ersten zwei Zeilen des Tilgungsplanes:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$</p>
| align="center" |$10-1=9$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $TA=A-ZA$ </p>
| align="center" |$10$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $A=TA+ZA$ </p>
| align="center" |$100-9=91$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$ </p>

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''2. Schritt: Fortsetzung des Tilgungsplans ''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Für das 2. Jahr des Tilgungsplans, nimmt man nun aus Ausgangswert die obere Zeile:

* Die alte Restschuld beträgt € 91.
* Die Anniuität ist konstant € 10.
* $ZA_2=91\cdot \frac{1}{100}=0.91 $.
* $TA_2=A_2-ZA_2=9.09$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
* Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_2=91-9.09=81.91$

Dies setzt man nun in den Tilgungsplan ein:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1$
| align="center" |$10-1=9$
| align="center" |$10$
| align="center" |$100-9=91$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $ZA_1=91\cdot \frac{1}{100}=0.91$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$</p>
| align="center" |$10-0.91=9.09$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $TA=A-ZA$ </p>
| align="center" |$10$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $A=TA+ZA$ </p>
| align="center" |$91-9.09=81.91$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$ </p>

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''3. Schritt: Vollständiger Tilgungsplan''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1$
| align="center" |$10-1=9$
| align="center" |$10$
| align="center" |$100-9=91$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $.91$
| align="center" |$9.09$
| align="center" |$10$
| align="center" |$81.91$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $0.82$
| align="center" |$9.18$
| align="center" |$10$
| align="center" |$72.73$

|-
| align="center" | 4
| align="center" | $0.73$
| align="center" |$9.27$
| align="center" |$10$
| align="center" |$63.46$

|-
| align="center" | 5
| align="center" | $0.63$
| align="center" |$9.37$
| align="center" |$10$
| align="center" |$54.09$

|-
| align="center" | 6
| align="center" | $0.54$
| align="center" |$9.46$
| align="center" |$10$
| align="center" |$44.63$

|-
| align="center" | 7
| align="center" | $0.45$
| align="center" |$9.55$
| align="center" |$10$
| align="center" |$35.08$

|-
| align="center" | 8
| align="center" | $0.35$
| align="center" |$9.65$
| align="center" |$10$
| align="center" |$25.43$

|-
| align="center" | 9
| align="center" | $0.25$
| align="center" |$9.75$
| align="center" |$10$
| align="center" |$15.68$

|-
| align="center" | 10
| align="center" | $0.16$
| align="center" |$9.84$
| align="center" |$10$
| align="center" |<span style="background-color:yellow"> '''$5.84$''' </span>

|-
| align="center" | 11
| align="center" | $0.06$
| align="center" | <span style="background-color:yellow"> '''$5.84$''' </span>
Die Restschuld von 5.84 wird getilgt.
| align="center" |'''$5.90$'''
$A=ZA+TA$
| align="center" |$0$

|}

'''Achtung!'''
Bei der 11. Zahlung muss nur noch eine Schuld von 5.84 (gelb unterlegt!) getilgt werden. Aus diesem Grund beträgt der Tilgungsanteil € 5.84!
Die Annuität beträgt dann nicht mehr € 10 (sonst würden wir ja zuviel zurückzahlen) sondern nur noch
$$ A = \textrm{Höhe des Tilgungsanteiles} + \textrm{die Höhe der Zinsen} $$
$$ A= 5.84+0.06 $$
$$A= 5.90$$

</div>

</div>

</div>

</div>

Weitere Beispiele findest du im 3. Klasse Buch (Trauner) auf den Seiten 174ff....

== Annuitätenschuld - Anniutät bleibt konstant ==

Bei einer Anniutätenschuld bleibt die Höhe der Annuität (Betrag der regelmäßig eingezahlt wird) konstant. Somit handelt es sich bei der Annuitätenschuld um eine [[Rentenrechnung | Rente]], da
* ein konstanter Betrag (=Annuität)
* in konstanten Zeitabständen
eingezahlt wird.
Wichtig:
# Die Annuität entspricht dabei der Rate R.
# Die Schuld entspricht dem Barwert B (Wert aller Zahlungen am Beginn = Anfangsschuld)

Somit benötigt man bei der Annuitätenschuld die [[Rentenrechnung#Formeln | Formeln für den Barwert]].

=== Musterbeispiele ===

==== 1. Beispiel: Jährliche Zahlungen ====
Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 gleich hohen, jährlichen Raten bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Rate ist am Ende des 1. Jahres fällig.

a) Berechne die Höhe der Raten.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

c) Begründe, warum der Tilgungsanteil von Jahr zu Jahr größer wird.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* B=10.000
* n=5
* i=4 % p.a. $\rightarrow$ r=1.05 $\rightarrow$ $v=\frac{1}{r}=0.9615$
* nachschüssig

$$ B=R\cdot v\cdot \frac{v^5-1}{v-1} $$
$$ 10.000 = R\cdot 0.95238\cdot \frac{0.95238^5-1}{0.95238-1} $$
$$ \underline{\underline{R= 2246.27}} $$

A: Die Höhe der Annuität (=Rate) beträgt € 2246.27.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Die Anzahl der Jahre ist 5 $\rightarrow$ somit brauchen wir 6 Zeilen (von 0 bis 5).
* Die Annuität A ist konstant € 2246.27. Somit kann in der Spalte Annuität für alle 5 Jahre 2246.27 eingesetzt werden.
* Anfangsschuld = 10.000

Somit kann man bereits die Rohform des Tilgungsplanes erstellen:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 2
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 3
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 4
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 5
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|}

Nun berechnen wir von links nach rechts und von oben nach unden die einzelnen Werte:

* $i=4$ % $\rightarrow$ $ZA_1=10.000\cdot \frac{4}{100} =400$
* $TA_1=A_1-ZA_1 = 2246,27-400 = 1846.27$
* $RS_1=10.000-1846.27=8153.73$
* usw.

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $400$
| align="center" |$1846.272$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$
8153.73$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $326.15$
| align="center" |$1920.12$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$6233,61$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $249.34$
| align="center" |$1996.93$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$4236,68$

|-
| align="center" | 4
| align="center" | $169.47$
| align="center" |$2076.80$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$2159.88$

|-
| align="center" | 5
| align="center" | $86.40$
| align="center" |$2159.87$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$
0.01$

|}

'''Achtung!''' Die Restschuld im 5. Jahr (=0.01) ist aufgrund der Rundungen, die wir durchgeführt haben nicht genau 0.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung von c) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Weil die Schuld von Jahr zu Jahr abnimmt, wird der Zinsanteil ebenfalls immer kleiner. Da die Annuität konstant bleibt, wird deshalb der Tilgungsanteil immer größer (Erinnerung: Tilgungsanteil ist $TA=A-ZA$ ist).

</div>

</div>

</div>

</div>

==== 2. Beispiel: Monatliche Zahlungen ====
Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch gleich hohe, monatliche Zahlunge bei i=4% p.a. zu tilgen.

a) Berechne die Höhe der Raten.

b) Stelle den Tilgungsplan für die ersten 3 Monate auf und berechne damit die Restschuld nach 3 Monaten.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* R=?
* B=10.000
* n=$5\cdot 12=60$
* i=4 % p.a. $\rightarrow$ r=1.04 $\rightarrow$ $r_{12}=\sqrt[12]{1.04}=1.00327$ $\rightarrow$ $v_{12}=\frac{1}{r_{12}}=0.9967$
!!'''Achtung'''!! Bei unterjährien Einzahlungen (z.B. monatliche) muss der [[Zins- und Zinseszinsrechnung#b) der konforme (äquivalente) Zinssatz|konforme Zinssatz]] berechnet werden!!
* nachschüssig

$$ B=R\cdot v_{12}\cdot \frac{v_{12}^{60}-1}{v_{12}-1} $$
$$ \underline{\underline{R=184.17}}$$

A: Die monatliche Annuität beträgt € 184.17.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Da $r_{12}=1.00327$ (siehe a) beträgt der Monatszinssatz $i_{12}=0.327$ % p.m.
* Die Annuität ist konstant 284.17 (siehe a)
* Anfangsschuld = 10.000

Somit kann der Tilgungsplan aufgestellt werden:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Monat
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $32,70$
| align="center" | $251,47$
| align="center" |$284,17$
| align="center" | $9748,53$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $31,88$
| align="center" |$252,29$
| align="center" |$284,17$
| align="center" |$9496,24$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $31,05$
| align="center" | $253,12$
| align="center" |$284,17$
| align="center" | $9243,12$

|}

A: Nach 3 Monaten beträgt die Restschuld noch € 9243,12.

</div>

</div>

</div>

</div>

== Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant ==

Bei einer Ratenschuld bleit der Tilgungsanteil TA immer gleich groß, wodruch die Schuld sich immer um denselben Wert verringert.

Es gilt
{| border="1" align="center"
|-
| $$TA=\frac{\textrm{Schuld}}{n}$$
|}

'''Begründung''': Da die ganze Schuld durch n Zahlungen zurückgezahlt wird, muss jedes Mal ein "n-tel" der Gesamtschuld getilgt werden.

=== Musterbeispiel ===

Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch gleich hohe Tilgungsanteile bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Rate ist am Ende des 1. Jahres fällig.

a) Berechne die Höhe des Tilgungsanteiles.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

c) Begründe, warum die Annuität von Jahr zu Jahr kleiner wird.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

$$ TA=\frac{\textrm{Schuld}}{n}=\frac{10.000}{5}$$
$$ \underline{\underline{TA=2.000}}$$

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* i=4%
* TA=2000 für alle 5 Jahre
* Anfangsschuld = 10.000

Somit setzen wir alles ein, was wir schon wissen:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS

|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" |
| align="center" | 2.000
| align="center" |
| align="center" | 8.000
<p style="color:darkred"> $10.000-2.000$ </p>

|-
| align="center" | 2
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |6.000

|-
| align="center" | 3
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |4.000

|-
| align="center" | 4
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |2.000

|-
| align="center" | 5
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |0

|}

Nun können alle weiteren Beträge (Zinsen und Annuitäten) berechnet und eingesetzt werden:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | 400
<p style="color:darkred"> $ZA_1=10.000\cdot 0.04$ </p>
| align="center" | 2.000
| align="center" | 2.400
<p style="color:darkred"> $A_1=ZA_1+TA_1$</p>
| align="center" | 8.000

|-
| align="center" | 2
| align="center" | 320
| align="center" |2.000
| align="center" | 2.320
| align="center" |6.000

|-
| align="center" | 3
| align="center" | 240
| align="center" |2.000
| align="center" | 2.240
| align="center" |4.000

|-
| align="center" | 4
| align="center" | 160
| align="center" |2.000
| align="center" | 2160
| align="center" |2.000

|-
| align="center" | 5
| align="center" | 80
| align="center" |2.000
| align="center" |2.080
| align="center" |0

|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für c) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Da der Zinsanteil immer kleiner wird (die Schuld verringert sich!), der Tilgungsanteil aber konstant bleibt, muss folglich die Annuität ebenfalls kleiner werden, da gilt:
$$ \textrm{Annuität = Zinsanteil + Tilgungsanteil} $$

</div>

</div>

</div>

</div>

== Zinsenschuld - nur die Zinsen werden beglichen ==

Online-Materialien:
* [http://fbmathe.bbs-bingen.de/Tilgungsrechnung/Aufgaben_Tilgungsrechnung.htm Beispiele und Lösungen von Ansgar Schiffler]

[[Kategorie:Finanzmathematik]]

Schuldentilgung

2014-04-16T10:52:03Z

91.115.36.63: /* 2. Beispiel: Monatliche Zahlungen */

== Einleitung und Begriffe ==

Die Schuldentilgung beschäftigt sich mit dem Tilgen (= Zurückzahlen) einer Schuld. Das typische Beispiel ist das Tilgen eines Bankredits.

{| align="right"
|-
|{{#ev:youtube|bId7a4W6Vko}}
|}

Hierbei unterscheidet man zwischen den folgenden Begriffen:
{|
|-
|
* '''Annuität'''
| = der Betrag, der regelmäßig (z.B. jährlich) zurückgezahlt wird.
|-
|
* '''Zinsenanteil'''
| = jener Anteil der Annuität, der für die Zinsen aufgewendet wird.
|-
|
* '''Tilgungsanteil'''
| = jener Anteil der Annuität, um den die Schuld vermindert wird.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Erklärung der Begriffe anhand eines Beispiels''': </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Peter hat einen [[Rentenrechnung#Begriffe | nachschüssigen]] Kredit von 10.000 € bei 1 % p.a. aufgenommen. Somit fallen nach einem Jahr € 100 Zinsen an. Am Ende jedes Jahres zahlt Peter € 1.100 zurück.
* Die Annuität beträgt € 1.100.
* Der Zinsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 100.
* Der Tilgungsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 1000 (Von den € 1.100 werden € 100 für die Zinsen verwendet und nur € 1.000 reduzieren die Schuld).
* Die Restschuld nach dem 1. Jahr begrägt noch € 9.000.

</div>

</div>

{| border ="1" align="center"
| '''Merke:'''

|

Annuität = Zinsanteil + Tilgungsanteil

|}

Je nachdem, wie die Schuld beglichen wird, unterscheidet man zwischen folgenden Formen:
* '''[[Schuldentilgung#Annuitätenschuld - Anniutät bleibt konstant | Annuitätenschuld]]''' - Anniutät bleibt konstant über die ganze Laufzeit konstant.
* '''[[Schuldentilgung#Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant |Ratenschuld]]''' - Tilgungsanteil bleibt konstant
* '''[[Schuldentilgung#Zinsenschuld - nur die Zinsen werden beglichen|Zinsenschuld]]''' - nur die Zinsen werden während der Laufzeit beglichen und der Rest erst am Ende der Laufzeit.

== Tilgungsplan ==

Der Tilgungsplan ist eine tabellarische Aufstellung der Kreditrückzahlung.
Er listet für jedes Jahr auf, wie hoch der Zinsen, der Tilgungsanteil, die Annuität und die Restschuld sind.
Für eine nachschüssige Schuldentilgung ist er folgendermaßen aufgebaut:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |Schuld zu Beginn

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1$
Zinsanteil bei der ersten Zahlung
| align="center" |$TA_1$
Tilgungsanteil der ersten Zahlung
| align="center" |$A_1$
Annuität$_1$ (=Höhe der ersten Zahlung)
| align="center" |$RS_1$
Restschuld nach einem Jahr
|-
| align="center" | 2
| align="center" |$ZA_2$
Zinsanteil bei der zweiten Zahlung
|align="center" | $TA_2$
Tilgungsanteil der zweiten Zahlung
| align="center" |$A_2$
Annuität$_2$ (=Höhe der zweiten Zahlung)
| align="center" | $RS_2$
Restschuld nach dem 2. Jahr

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

''' Hinweise '''
*Der Zinsanteil errechnet sich immer mithilfe der Schuld aus dem Vorjahr:
$$ ZA_1=\textrm{Schuld}\cdot \frac{i}{100} $$
* Am Ende eines Tilgungsplanes sollte ganz rechts unten bei der letzten Restschuld natürlich eine 0 stehen (vorausgesetzt die ganze Schuld wird zurückbezahlt).

'''Vorteile '''
* Der Tilgungsplan ermöglicht einen schönen Überblck über alle Zahlungen.
* Die einzelnen Werte können Schritt für Schritt ausgerechnet werden.

=== Musterbeispiel ===

'''Peter hat einen nachschüssigen Kredit von 100 € bei einer Verzinsung von 1 % p.a. aufgenommen. Er zahlt jährlich € 10 zurück. Erstelle einen Tilgungsplan!'''

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''1. Schritt: Beginn des Tilgungsplans''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Die Anfangsschuld ist € 100.
* Die Anniuität ist konstant € 10.
* $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1 $.
* $TA_1=A_1-ZA_1=9$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
* Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_1=100-9=91$

Damit erstellen wir nun die ersten zwei Zeilen des Tilgungsplanes:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$</p>
| align="center" |$10-1=9$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $TA=A-ZA$ </p>
| align="center" |$10$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $A=TA+ZA$ </p>
| align="center" |$100-9=91$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$ </p>

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''2. Schritt: Fortsetzung des Tilgungsplans ''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Für das 2. Jahr des Tilgungsplans, nimmt man nun aus Ausgangswert die obere Zeile:

* Die alte Restschuld beträgt € 91.
* Die Anniuität ist konstant € 10.
* $ZA_2=91\cdot \frac{1}{100}=0.91 $.
* $TA_2=A_2-ZA_2=9.09$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
* Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_2=91-9.09=81.91$

Dies setzt man nun in den Tilgungsplan ein:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1$
| align="center" |$10-1=9$
| align="center" |$10$
| align="center" |$100-9=91$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $ZA_1=91\cdot \frac{1}{100}=0.91$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$</p>
| align="center" |$10-0.91=9.09$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $TA=A-ZA$ </p>
| align="center" |$10$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $A=TA+ZA$ </p>
| align="center" |$91-9.09=81.91$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$ </p>

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''3. Schritt: Vollständiger Tilgungsplan''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1$
| align="center" |$10-1=9$
| align="center" |$10$
| align="center" |$100-9=91$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $.91$
| align="center" |$9.09$
| align="center" |$10$
| align="center" |$81.91$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $0.82$
| align="center" |$9.18$
| align="center" |$10$
| align="center" |$72.73$

|-
| align="center" | 4
| align="center" | $0.73$
| align="center" |$9.27$
| align="center" |$10$
| align="center" |$63.46$

|-
| align="center" | 5
| align="center" | $0.63$
| align="center" |$9.37$
| align="center" |$10$
| align="center" |$54.09$

|-
| align="center" | 6
| align="center" | $0.54$
| align="center" |$9.46$
| align="center" |$10$
| align="center" |$44.63$

|-
| align="center" | 7
| align="center" | $0.45$
| align="center" |$9.55$
| align="center" |$10$
| align="center" |$35.08$

|-
| align="center" | 8
| align="center" | $0.35$
| align="center" |$9.65$
| align="center" |$10$
| align="center" |$25.43$

|-
| align="center" | 9
| align="center" | $0.25$
| align="center" |$9.75$
| align="center" |$10$
| align="center" |$15.68$

|-
| align="center" | 10
| align="center" | $0.16$
| align="center" |$9.84$
| align="center" |$10$
| align="center" |<span style="background-color:yellow"> '''$5.84$''' </span>

|-
| align="center" | 11
| align="center" | $0.06$
| align="center" | <span style="background-color:yellow"> '''$5.84$''' </span>
Die Restschuld von 5.84 wird getilgt.
| align="center" |'''$5.90$'''
$A=ZA+TA$
| align="center" |$0$

|}

'''Achtung!'''
Bei der 11. Zahlung muss nur noch eine Schuld von 5.84 (gelb unterlegt!) getilgt werden. Aus diesem Grund beträgt der Tilgungsanteil € 5.84!
Die Annuität beträgt dann nicht mehr € 10 (sonst würden wir ja zuviel zurückzahlen) sondern nur noch
$$ A = \textrm{Höhe des Tilgungsanteiles} + \textrm{die Höhe der Zinsen} $$
$$ A= 5.84+0.06 $$
$$A= 5.90$$

</div>

</div>

</div>

</div>

Weitere Beispiele findest du im 3. Klasse Buch (Trauner) auf den Seiten 174ff....

== Annuitätenschuld - Anniutät bleibt konstant ==

Bei einer Anniutätenschuld bleibt die Höhe der Annuität (Betrag der regelmäßig eingezahlt wird) konstant. Somit handelt es sich bei der Annuitätenschuld um eine [[Rentenrechnung | Rente]], da
* ein konstanter Betrag (=Annuität)
* in konstanten Zeitabständen
eingezahlt wird.
Wichtig:
# Die Annuität entspricht dabei der Rate R.
# Die Schuld entspricht dem Barwert B (Wert aller Zahlungen am Beginn = Anfangsschuld)

Somit benötigt man bei der Annuitätenschuld die [[Rentenrechnung#Formeln | Formeln für den Barwert]].

=== Musterbeispiele ===

==== 1. Beispiel: Jährliche Zahlungen ====
Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 gleich hohen, jährlichen Raten bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Rate ist am Ende des 1. Jahres fällig.

a) Berechne die Höhe der Raten.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

c) Begründe, warum der Tilgungsanteil von Jahr zu Jahr größer wird.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* B=10.000
* n=5
* i=4 % p.a. $\rightarrow$ r=1.05 $\rightarrow$ $v=\frac{1}{r}=0.9615$
* nachschüssig

$$ B=R\cdot v\cdot \frac{v^5-1}{v-1} $$
$$ 10.000 = R\cdot 0.95238\cdot \frac{0.95238^5-1}{0.95238-1} $$
$$ \underline{\underline{R= 2246.27}} $$

A: Die Höhe der Annuität (=Rate) beträgt € 2246.27.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Die Anzahl der Jahre ist 5 $\rightarrow$ somit brauchen wir 6 Zeilen (von 0 bis 5).
* Die Annuität A ist konstant € 2246.27. Somit kann in der Spalte Annuität für alle 5 Jahre 2246.27 eingesetzt werden.
* Anfangsschuld = 10.000

Somit kann man bereits die Rohform des Tilgungsplanes erstellen:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 2
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 3
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 4
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 5
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|}

Nun berechnen wir von links nach rechts und von oben nach unden die einzelnen Werte:

* $i=4$ % $\rightarrow$ $ZA_1=10.000\cdot \frac{4}{100} =400$
* $TA_1=A_1-ZA_1 = 2246,27-400 = 1846.27$
* $RS_1=10.000-1846.27=8153.73$
* usw.

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $400$
| align="center" |$1846.272$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$
8153.73$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $326.15$
| align="center" |$1920.12$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$6233,61$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $249.34$
| align="center" |$1996.93$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$4236,68$

|-
| align="center" | 4
| align="center" | $169.47$
| align="center" |$2076.80$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$2159.88$

|-
| align="center" | 5
| align="center" | $86.40$
| align="center" |$2159.87$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$
0.01$

|}

'''Achtung!''' Die Restschuld im 5. Jahr (=0.01) ist aufgrund der Rundungen, die wir durchgeführt haben nicht genau 0.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung von c) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Weil die Schuld von Jahr zu Jahr abnimmt, wird der Zinsanteil ebenfalls immer kleiner. Da die Annuität konstant bleibt, wird deshalb der Tilgungsanteil immer größer (Erinnerung: Tilgungsanteil ist $TA=A-ZA$ ist).

</div>

</div>

</div>

</div>

==== 2. Beispiel: Monatliche Zahlungen ====
Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch gleich hohe, monatliche Zahlunge bei i=4% p.a. zu tilgen.

a) Berechne die Höhe der Raten.

b) Stelle den Tilgungsplan für die ersten 3 Monate auf und berechne damit die Restschuld nach 3 Monaten.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* R=?
* B=10.000
* n=$5\cdot 12=60$
* i=4 % p.a. $\rightarrow$ r=1.04 $\rightarrow$ $r_{12}=\sqrt[12]{1.04}=1.00327$ $\rightarrow$ $v_{12}=\frac{1}{r_{12}}=0.9967$
!!'''Achtung'''!! Bei unterjährien Einzahlungen (z.B. monatliche) muss der [[Zins- und Zinseszinsrechnung#b) der konforme (äquivalente) Zinssatz|konforme Zinssatz]] berechnet werden!!
* nachschüssig

$$ B=R\cdot v_{12}\cdot \frac{v_{12}^{60}-1}{v_{12}-1} $$
$$ \underline{\underline{R=184.17}}$$

A: Die monatliche Annuität beträgt € 184.17.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Da $r_{12}=1.00327$ (siehe a) beträgt der Monatszinssatz $i_{12}=0.327$ % p.m.
* Die Annuität ist konstant 284.17 (siehe a)
* Anfangsschuld = 10.000

Somit kann der Tilgungsplan aufgestellt werden:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Monat
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $32,70$
| align="center" | $251,47$
| align="center" |$284,17$
| align="center" | $9748,53$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $31,88$
| align="center" |$252,29$
| align="center" |$284,17$
| align="center" |$9496,24$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $31,05$
| align="center" | $253,12$
| align="center" |$284,17$
| align="center" | $9243,12$

|}

A: Nach 3 Monaten beträgt die Restschuld noch € 9243,12.

</div>

</div>

</div>

</div>

== Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant ==

== Zinsenschuld - nur die Zinsen werden beglichen ==

Online-Materialien:
* [http://fbmathe.bbs-bingen.de/Tilgungsrechnung/Aufgaben_Tilgungsrechnung.htm Beispiele und Lösungen von Ansgar Schiffler]

[[Kategorie:Finanzmathematik]]

Schuldentilgung

2014-04-16T10:51:07Z

91.115.36.63: /* Musterbeispiel */

== Einleitung und Begriffe ==

Die Schuldentilgung beschäftigt sich mit dem Tilgen (= Zurückzahlen) einer Schuld. Das typische Beispiel ist das Tilgen eines Bankredits.

{| align="right"
|-
|{{#ev:youtube|bId7a4W6Vko}}
|}

Hierbei unterscheidet man zwischen den folgenden Begriffen:
{|
|-
|
* '''Annuität'''
| = der Betrag, der regelmäßig (z.B. jährlich) zurückgezahlt wird.
|-
|
* '''Zinsenanteil'''
| = jener Anteil der Annuität, der für die Zinsen aufgewendet wird.
|-
|
* '''Tilgungsanteil'''
| = jener Anteil der Annuität, um den die Schuld vermindert wird.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Erklärung der Begriffe anhand eines Beispiels''': </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Peter hat einen [[Rentenrechnung#Begriffe | nachschüssigen]] Kredit von 10.000 € bei 1 % p.a. aufgenommen. Somit fallen nach einem Jahr € 100 Zinsen an. Am Ende jedes Jahres zahlt Peter € 1.100 zurück.
* Die Annuität beträgt € 1.100.
* Der Zinsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 100.
* Der Tilgungsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 1000 (Von den € 1.100 werden € 100 für die Zinsen verwendet und nur € 1.000 reduzieren die Schuld).
* Die Restschuld nach dem 1. Jahr begrägt noch € 9.000.

</div>

</div>

{| border ="1" align="center"
| '''Merke:'''

|

Annuität = Zinsanteil + Tilgungsanteil

|}

Je nachdem, wie die Schuld beglichen wird, unterscheidet man zwischen folgenden Formen:
* '''[[Schuldentilgung#Annuitätenschuld - Anniutät bleibt konstant | Annuitätenschuld]]''' - Anniutät bleibt konstant über die ganze Laufzeit konstant.
* '''[[Schuldentilgung#Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant |Ratenschuld]]''' - Tilgungsanteil bleibt konstant
* '''[[Schuldentilgung#Zinsenschuld - nur die Zinsen werden beglichen|Zinsenschuld]]''' - nur die Zinsen werden während der Laufzeit beglichen und der Rest erst am Ende der Laufzeit.

== Tilgungsplan ==

Der Tilgungsplan ist eine tabellarische Aufstellung der Kreditrückzahlung.
Er listet für jedes Jahr auf, wie hoch der Zinsen, der Tilgungsanteil, die Annuität und die Restschuld sind.
Für eine nachschüssige Schuldentilgung ist er folgendermaßen aufgebaut:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |Schuld zu Beginn

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1$
Zinsanteil bei der ersten Zahlung
| align="center" |$TA_1$
Tilgungsanteil der ersten Zahlung
| align="center" |$A_1$
Annuität$_1$ (=Höhe der ersten Zahlung)
| align="center" |$RS_1$
Restschuld nach einem Jahr
|-
| align="center" | 2
| align="center" |$ZA_2$
Zinsanteil bei der zweiten Zahlung
|align="center" | $TA_2$
Tilgungsanteil der zweiten Zahlung
| align="center" |$A_2$
Annuität$_2$ (=Höhe der zweiten Zahlung)
| align="center" | $RS_2$
Restschuld nach dem 2. Jahr

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

''' Hinweise '''
*Der Zinsanteil errechnet sich immer mithilfe der Schuld aus dem Vorjahr:
$$ ZA_1=\textrm{Schuld}\cdot \frac{i}{100} $$
* Am Ende eines Tilgungsplanes sollte ganz rechts unten bei der letzten Restschuld natürlich eine 0 stehen (vorausgesetzt die ganze Schuld wird zurückbezahlt).

'''Vorteile '''
* Der Tilgungsplan ermöglicht einen schönen Überblck über alle Zahlungen.
* Die einzelnen Werte können Schritt für Schritt ausgerechnet werden.

=== Musterbeispiel ===

'''Peter hat einen nachschüssigen Kredit von 100 € bei einer Verzinsung von 1 % p.a. aufgenommen. Er zahlt jährlich € 10 zurück. Erstelle einen Tilgungsplan!'''

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''1. Schritt: Beginn des Tilgungsplans''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Die Anfangsschuld ist € 100.
* Die Anniuität ist konstant € 10.
* $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1 $.
* $TA_1=A_1-ZA_1=9$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
* Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_1=100-9=91$

Damit erstellen wir nun die ersten zwei Zeilen des Tilgungsplanes:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$</p>
| align="center" |$10-1=9$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $TA=A-ZA$ </p>
| align="center" |$10$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $A=TA+ZA$ </p>
| align="center" |$100-9=91$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$ </p>

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''2. Schritt: Fortsetzung des Tilgungsplans ''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Für das 2. Jahr des Tilgungsplans, nimmt man nun aus Ausgangswert die obere Zeile:

* Die alte Restschuld beträgt € 91.
* Die Anniuität ist konstant € 10.
* $ZA_2=91\cdot \frac{1}{100}=0.91 $.
* $TA_2=A_2-ZA_2=9.09$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
* Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_2=91-9.09=81.91$

Dies setzt man nun in den Tilgungsplan ein:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1$
| align="center" |$10-1=9$
| align="center" |$10$
| align="center" |$100-9=91$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $ZA_1=91\cdot \frac{1}{100}=0.91$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$</p>
| align="center" |$10-0.91=9.09$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $TA=A-ZA$ </p>
| align="center" |$10$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $A=TA+ZA$ </p>
| align="center" |$91-9.09=81.91$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$ </p>

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''3. Schritt: Vollständiger Tilgungsplan''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1$
| align="center" |$10-1=9$
| align="center" |$10$
| align="center" |$100-9=91$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $.91$
| align="center" |$9.09$
| align="center" |$10$
| align="center" |$81.91$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $0.82$
| align="center" |$9.18$
| align="center" |$10$
| align="center" |$72.73$

|-
| align="center" | 4
| align="center" | $0.73$
| align="center" |$9.27$
| align="center" |$10$
| align="center" |$63.46$

|-
| align="center" | 5
| align="center" | $0.63$
| align="center" |$9.37$
| align="center" |$10$
| align="center" |$54.09$

|-
| align="center" | 6
| align="center" | $0.54$
| align="center" |$9.46$
| align="center" |$10$
| align="center" |$44.63$

|-
| align="center" | 7
| align="center" | $0.45$
| align="center" |$9.55$
| align="center" |$10$
| align="center" |$35.08$

|-
| align="center" | 8
| align="center" | $0.35$
| align="center" |$9.65$
| align="center" |$10$
| align="center" |$25.43$

|-
| align="center" | 9
| align="center" | $0.25$
| align="center" |$9.75$
| align="center" |$10$
| align="center" |$15.68$

|-
| align="center" | 10
| align="center" | $0.16$
| align="center" |$9.84$
| align="center" |$10$
| align="center" |<span style="background-color:yellow"> '''$5.84$''' </span>

|-
| align="center" | 11
| align="center" | $0.06$
| align="center" | <span style="background-color:yellow"> '''$5.84$''' </span>
Die Restschuld von 5.84 wird getilgt.
| align="center" |'''$5.90$'''
$A=ZA+TA$
| align="center" |$0$

|}

'''Achtung!'''
Bei der 11. Zahlung muss nur noch eine Schuld von 5.84 (gelb unterlegt!) getilgt werden. Aus diesem Grund beträgt der Tilgungsanteil € 5.84!
Die Annuität beträgt dann nicht mehr € 10 (sonst würden wir ja zuviel zurückzahlen) sondern nur noch
$$ A = \textrm{Höhe des Tilgungsanteiles} + \textrm{die Höhe der Zinsen} $$
$$ A= 5.84+0.06 $$
$$A= 5.90$$

</div>

</div>

</div>

</div>

Weitere Beispiele findest du im 3. Klasse Buch (Trauner) auf den Seiten 174ff....

== Annuitätenschuld - Anniutät bleibt konstant ==

Bei einer Anniutätenschuld bleibt die Höhe der Annuität (Betrag der regelmäßig eingezahlt wird) konstant. Somit handelt es sich bei der Annuitätenschuld um eine [[Rentenrechnung | Rente]], da
* ein konstanter Betrag (=Annuität)
* in konstanten Zeitabständen
eingezahlt wird.
Wichtig:
# Die Annuität entspricht dabei der Rate R.
# Die Schuld entspricht dem Barwert B (Wert aller Zahlungen am Beginn = Anfangsschuld)

Somit benötigt man bei der Annuitätenschuld die [[Rentenrechnung#Formeln | Formeln für den Barwert]].

=== Musterbeispiele ===

==== 1. Beispiel: Jährliche Zahlungen ====
Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 gleich hohen, jährlichen Raten bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Rate ist am Ende des 1. Jahres fällig.

a) Berechne die Höhe der Raten.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

c) Begründe, warum der Tilgungsanteil von Jahr zu Jahr größer wird.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* B=10.000
* n=5
* i=4 % p.a. $\rightarrow$ r=1.05 $\rightarrow$ $v=\frac{1}{r}=0.9615$
* nachschüssig

$$ B=R\cdot v\cdot \frac{v^5-1}{v-1} $$
$$ 10.000 = R\cdot 0.95238\cdot \frac{0.95238^5-1}{0.95238-1} $$
$$ \underline{\underline{R= 2246.27}} $$

A: Die Höhe der Annuität (=Rate) beträgt € 2246.27.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Die Anzahl der Jahre ist 5 $\rightarrow$ somit brauchen wir 6 Zeilen (von 0 bis 5).
* Die Annuität A ist konstant € 2246.27. Somit kann in der Spalte Annuität für alle 5 Jahre 2246.27 eingesetzt werden.
* Anfangsschuld = 10.000

Somit kann man bereits die Rohform des Tilgungsplanes erstellen:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 2
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 3
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 4
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 5
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|}

Nun berechnen wir von links nach rechts und von oben nach unden die einzelnen Werte:

* $i=4$ % $\rightarrow$ $ZA_1=10.000\cdot \frac{4}{100} =400$
* $TA_1=A_1-ZA_1 = 2246,27-400 = 1846.27$
* $RS_1=10.000-1846.27=8153.73$
* usw.

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $400$
| align="center" |$1846.272$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$
8153.73$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $326.15$
| align="center" |$1920.12$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$6233,61$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $249.34$
| align="center" |$1996.93$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$4236,68$

|-
| align="center" | 4
| align="center" | $169.47$
| align="center" |$2076.80$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$2159.88$

|-
| align="center" | 5
| align="center" | $86.40$
| align="center" |$2159.87$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$
0.01$

|}

'''Achtung!''' Die Restschuld im 5. Jahr (=0.01) ist aufgrund der Rundungen, die wir durchgeführt haben nicht genau 0.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung von c) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Weil die Schuld von Jahr zu Jahr abnimmt, wird der Zinsanteil ebenfalls immer kleiner. Da die Annuität konstant bleibt, wird deshalb der Tilgungsanteil immer größer (Erinnerung: Tilgungsanteil ist $TA=A-ZA$ ist).

</div>

</div>

</div>

</div>

==== 2. Beispiel: Monatliche Zahlungen ====
Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch gleich hohe, monatliche Zahlunge bei i=4% p.a. zu tilgen.

a) Berechne die Höhe der Raten.

b) Stelle den Tilgungsplan für die ersten 3 Monate auf und berechne damit die Restschuld nach 3 Monaten.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* R=?
* B=10.000
* n=$5\cdot 12=60$
* i=4 % p.a. $\rightarrow$ r=1.04 $\rightarrow$ $r_{12}=sqrt[12]{1.04}=1.00327$ $\rightarrow$ $v_{12}=\frac{1}{r_{12}}=0.9967$
!!'''Achtung'''!! Bei unterjährien Einzahlungen (z.B. monatliche) muss der [[Zins- und Zinseszinsrechnung#b) der konforme (äquivalente) Zinssatz|konforme Zinssatz]] berechnet werden!!
* nachschüssig

$$ B=R\cdot v_{12}\cdot \frac{v_{12}^{60}-1}{v_{12}-1} $$
$$ \underline{\underline{R=184.17}}$$

A: Die monatliche Annuität beträgt € 184.17.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Da $r_{12}=1.00327$ (siehe a) beträgt der Monatszinssatz $i_{12}=0.327$ % p.m.
* Die Annuität ist konstant 284.17 (siehe a)
* Anfangsschuld = 10.000

Somit kann der Tilgungsplan aufgestellt werden:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Monat
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $32,70$
| align="center" | $251,47$
| align="center" |$284,17$
| align="center" | $9748,53$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $31,88$
| align="center" |$252,29$
| align="center" |$284,17$
| align="center" |$9496,24$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $31,05$
| align="center" | $253,12$
| align="center" |$284,17$
| align="center" | $9243,12$

|}

A: Nach 3 Monaten beträgt die Restschuld noch € 9243,12.

</div>

</div>

</div>

</div>

== Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant ==

== Zinsenschuld - nur die Zinsen werden beglichen ==

Online-Materialien:
* [http://fbmathe.bbs-bingen.de/Tilgungsrechnung/Aufgaben_Tilgungsrechnung.htm Beispiele und Lösungen von Ansgar Schiffler]

[[Kategorie:Finanzmathematik]]

Schuldentilgung

2014-04-16T10:49:26Z

91.115.36.63: /* Musterbeispiel */

== Einleitung und Begriffe ==

Die Schuldentilgung beschäftigt sich mit dem Tilgen (= Zurückzahlen) einer Schuld. Das typische Beispiel ist das Tilgen eines Bankredits.

{| align="right"
|-
|{{#ev:youtube|bId7a4W6Vko}}
|}

Hierbei unterscheidet man zwischen den folgenden Begriffen:
{|
|-
|
* '''Annuität'''
| = der Betrag, der regelmäßig (z.B. jährlich) zurückgezahlt wird.
|-
|
* '''Zinsenanteil'''
| = jener Anteil der Annuität, der für die Zinsen aufgewendet wird.
|-
|
* '''Tilgungsanteil'''
| = jener Anteil der Annuität, um den die Schuld vermindert wird.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Erklärung der Begriffe anhand eines Beispiels''': </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Peter hat einen [[Rentenrechnung#Begriffe | nachschüssigen]] Kredit von 10.000 € bei 1 % p.a. aufgenommen. Somit fallen nach einem Jahr € 100 Zinsen an. Am Ende jedes Jahres zahlt Peter € 1.100 zurück.
* Die Annuität beträgt € 1.100.
* Der Zinsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 100.
* Der Tilgungsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 1000 (Von den € 1.100 werden € 100 für die Zinsen verwendet und nur € 1.000 reduzieren die Schuld).
* Die Restschuld nach dem 1. Jahr begrägt noch € 9.000.

</div>

</div>

{| border ="1" align="center"
| '''Merke:'''

|

Annuität = Zinsanteil + Tilgungsanteil

|}

Je nachdem, wie die Schuld beglichen wird, unterscheidet man zwischen folgenden Formen:
* '''[[Schuldentilgung#Annuitätenschuld - Anniutät bleibt konstant | Annuitätenschuld]]''' - Anniutät bleibt konstant über die ganze Laufzeit konstant.
* '''[[Schuldentilgung#Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant |Ratenschuld]]''' - Tilgungsanteil bleibt konstant
* '''[[Schuldentilgung#Zinsenschuld - nur die Zinsen werden beglichen|Zinsenschuld]]''' - nur die Zinsen werden während der Laufzeit beglichen und der Rest erst am Ende der Laufzeit.

== Tilgungsplan ==

Der Tilgungsplan ist eine tabellarische Aufstellung der Kreditrückzahlung.
Er listet für jedes Jahr auf, wie hoch der Zinsen, der Tilgungsanteil, die Annuität und die Restschuld sind.
Für eine nachschüssige Schuldentilgung ist er folgendermaßen aufgebaut:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |Schuld zu Beginn

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1$
Zinsanteil bei der ersten Zahlung
| align="center" |$TA_1$
Tilgungsanteil der ersten Zahlung
| align="center" |$A_1$
Annuität$_1$ (=Höhe der ersten Zahlung)
| align="center" |$RS_1$
Restschuld nach einem Jahr
|-
| align="center" | 2
| align="center" |$ZA_2$
Zinsanteil bei der zweiten Zahlung
|align="center" | $TA_2$
Tilgungsanteil der zweiten Zahlung
| align="center" |$A_2$
Annuität$_2$ (=Höhe der zweiten Zahlung)
| align="center" | $RS_2$
Restschuld nach dem 2. Jahr

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

''' Hinweise '''
*Der Zinsanteil errechnet sich immer mithilfe der Schuld aus dem Vorjahr:
$$ ZA_1=\textrm{Schuld}\cdot \frac{i}{100} $$
* Am Ende eines Tilgungsplanes sollte ganz rechts unten bei der letzten Restschuld natürlich eine 0 stehen (vorausgesetzt die ganze Schuld wird zurückbezahlt).

'''Vorteile '''
* Der Tilgungsplan ermöglicht einen schönen Überblck über alle Zahlungen.
* Die einzelnen Werte können Schritt für Schritt ausgerechnet werden.

=== Musterbeispiel ===

'''Peter hat einen nachschüssigen Kredit von 100 € bei einer Verzinsung von 1 % p.a. aufgenommen. Er zahlt jährlich € 10 zurück. Erstelle einen Tilgungsplan!'''

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''1. Schritt: Beginn des Tilgungsplans''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Die Anfangsschuld ist € 100.
* Die Anniuität ist konstant € 10.
* $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1 $.
* $TA_1=A_1-ZA_1=9$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
* Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_1=100-9=91$

Damit erstellen wir nun die ersten zwei Zeilen des Tilgungsplanes:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$</p>
| align="center" |$10-1=9$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $TA=A-ZA$ </p>
| align="center" |$10$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $A=TA+ZA$ </p>
| align="center" |$100-9=91$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$ </p>

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''2. Schritt: Fortsetzung des Tilgungsplans ''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Für das 2. Jahr des Tilgungsplans, nimmt man nun aus Ausgangswert die obere Zeile:

* Die alte Restschuld beträgt € 91.
* Die Anniuität ist konstant € 10.
* $ZA_2=91\cdot \frac{1}{100}=0.91 $.
* $TA_2=A_2-ZA_2=9.09$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
* Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_2=91-9.09=81.91$

Dies setzt man nun in den Tilgungsplan ein:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1$
| align="center" |$10-1=9$
| align="center" |$10$
| align="center" |$100-9=91$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $ZA_1=91\cdot \frac{1}{100}=0.91$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$</p>
| align="center" |$10-0.91=9.09$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $TA=A-ZA$ </p>
| align="center" |$10$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $A=TA+ZA$ </p>
| align="center" |$91-9.09=81.91$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$ </p>

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''3. Schritt: Vollständiger Tilgungsplan''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1$
| align="center" |$10-1=9$
| align="center" |$10$
| align="center" |$100-9=91$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $.91$
| align="center" |$9.09$
| align="center" |$10$
| align="center" |$81.91$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $0.82$
| align="center" |$9.18$
| align="center" |$10$
| align="center" |$72.73$

|-
| align="center" | 4
| align="center" | $0.73$
| align="center" |$9.27$
| align="center" |$10$
| align="center" |$63.46$

|-
| align="center" | 5
| align="center" | $0.63$
| align="center" |$9.37$
| align="center" |$10$
| align="center" |$54.09$

|-
| align="center" | 6
| align="center" | $0.54$
| align="center" |$9.46$
| align="center" |$10$
| align="center" |$44.63$

|-
| align="center" | 7
| align="center" | $0.45$
| align="center" |$9.55$
| align="center" |$10$
| align="center" |$35.08$

|-
| align="center" | 8
| align="center" | $0.35$
| align="center" |$9.65$
| align="center" |$10$
| align="center" |$25.43$

|-
| align="center" | 9
| align="center" | $0.25$
| align="center" |$9.75$
| align="center" |$10$
| align="center" |$15.68$

|-
| align="center" | 10
| align="center" | $0.16$
| align="center" |$9.84$
| align="center" |$10$
| align="center" |<span style="background-color:yellow"> '''$5.84$''' </span>

|-
| align="center" | 11
| align="center" | $0.06$
| align="center" | <span style="background-color:yellow"> '''$5.84$''' </span>
Die Restschuld von 5.84 wird getilgt.
| align="center" |'''$5.90$'''
$A=ZA+TA$
| align="center" |$0$

|}

'''Achtung!'''
Bei der 11. Zahlung muss nur noch eine Schuld von 5.84 getilgt werden. Aus diesem Grund beträgt der Tilgungsanteil € 5.84!
Die Annuität beträgt dann nicht mehr € 10 (so würden wir ja zuviel zurückzahlen) sondern nur noch
$$ A = \textrm{Höhe des Tilgungsanteiles} + \textrm{die Höhe der Zinsen} $$
$$ A= 5.84+0.06 $$
$$A= 6.90$$

</div>

</div>

</div>

</div>

Weitere Beispiele findest du im 3. Klasse Buch (Trauner) auf den Seiten 174ff....

== Annuitätenschuld - Anniutät bleibt konstant ==

Bei einer Anniutätenschuld bleibt die Höhe der Annuität (Betrag der regelmäßig eingezahlt wird) konstant. Somit handelt es sich bei der Annuitätenschuld um eine [[Rentenrechnung | Rente]], da
* ein konstanter Betrag (=Annuität)
* in konstanten Zeitabständen
eingezahlt wird.
Wichtig:
# Die Annuität entspricht dabei der Rate R.
# Die Schuld entspricht dem Barwert B (Wert aller Zahlungen am Beginn = Anfangsschuld)

Somit benötigt man bei der Annuitätenschuld die [[Rentenrechnung#Formeln | Formeln für den Barwert]].

=== Musterbeispiele ===

==== 1. Beispiel: Jährliche Zahlungen ====
Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 gleich hohen, jährlichen Raten bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Rate ist am Ende des 1. Jahres fällig.

a) Berechne die Höhe der Raten.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

c) Begründe, warum der Tilgungsanteil von Jahr zu Jahr größer wird.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* B=10.000
* n=5
* i=4 % p.a. $\rightarrow$ r=1.05 $\rightarrow$ $v=\frac{1}{r}=0.9615$
* nachschüssig

$$ B=R\cdot v\cdot \frac{v^5-1}{v-1} $$
$$ 10.000 = R\cdot 0.95238\cdot \frac{0.95238^5-1}{0.95238-1} $$
$$ \underline{\underline{R= 2246.27}} $$

A: Die Höhe der Annuität (=Rate) beträgt € 2246.27.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Die Anzahl der Jahre ist 5 $\rightarrow$ somit brauchen wir 6 Zeilen (von 0 bis 5).
* Die Annuität A ist konstant € 2246.27. Somit kann in der Spalte Annuität für alle 5 Jahre 2246.27 eingesetzt werden.
* Anfangsschuld = 10.000

Somit kann man bereits die Rohform des Tilgungsplanes erstellen:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 2
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 3
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 4
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 5
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|}

Nun berechnen wir von links nach rechts und von oben nach unden die einzelnen Werte:

* $i=4$ % $\rightarrow$ $ZA_1=10.000\cdot \frac{4}{100} =400$
* $TA_1=A_1-ZA_1 = 2246,27-400 = 1846.27$
* $RS_1=10.000-1846.27=8153.73$
* usw.

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $400$
| align="center" |$1846.272$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$
8153.73$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $326.15$
| align="center" |$1920.12$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$6233,61$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $249.34$
| align="center" |$1996.93$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$4236,68$

|-
| align="center" | 4
| align="center" | $169.47$
| align="center" |$2076.80$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$2159.88$

|-
| align="center" | 5
| align="center" | $86.40$
| align="center" |$2159.87$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$
0.01$

|}

'''Achtung!''' Die Restschuld im 5. Jahr (=0.01) ist aufgrund der Rundungen, die wir durchgeführt haben nicht genau 0.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung von c) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Weil die Schuld von Jahr zu Jahr abnimmt, wird der Zinsanteil ebenfalls immer kleiner. Da die Annuität konstant bleibt, wird deshalb der Tilgungsanteil immer größer (Erinnerung: Tilgungsanteil ist $TA=A-ZA$ ist).

</div>

</div>

</div>

</div>

==== 2. Beispiel: Monatliche Zahlungen ====
Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch gleich hohe, monatliche Zahlunge bei i=4% p.a. zu tilgen.

a) Berechne die Höhe der Raten.

b) Stelle den Tilgungsplan für die ersten 3 Monate auf und berechne damit die Restschuld nach 3 Monaten.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* R=?
* B=10.000
* n=$5\cdot 12=60$
* i=4 % p.a. $\rightarrow$ r=1.04 $\rightarrow$ $r_{12}=sqrt[12]{1.04}=1.00327$ $\rightarrow$ $v_{12}=\frac{1}{r_{12}}=0.9967$
!!'''Achtung'''!! Bei unterjährien Einzahlungen (z.B. monatliche) muss der [[Zins- und Zinseszinsrechnung#b) der konforme (äquivalente) Zinssatz|konforme Zinssatz]] berechnet werden!!
* nachschüssig

$$ B=R\cdot v_{12}\cdot \frac{v_{12}^{60}-1}{v_{12}-1} $$
$$ \underline{\underline{R=184.17}}$$

A: Die monatliche Annuität beträgt € 184.17.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Da $r_{12}=1.00327$ (siehe a) beträgt der Monatszinssatz $i_{12}=0.327$ % p.m.
* Die Annuität ist konstant 284.17 (siehe a)
* Anfangsschuld = 10.000

Somit kann der Tilgungsplan aufgestellt werden:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Monat
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $32,70$
| align="center" | $251,47$
| align="center" |$284,17$
| align="center" | $9748,53$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $31,88$
| align="center" |$252,29$
| align="center" |$284,17$
| align="center" |$9496,24$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $31,05$
| align="center" | $253,12$
| align="center" |$284,17$
| align="center" | $9243,12$

|}

A: Nach 3 Monaten beträgt die Restschuld noch € 9243,12.

</div>

</div>

</div>

</div>

== Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant ==

== Zinsenschuld - nur die Zinsen werden beglichen ==

Online-Materialien:
* [http://fbmathe.bbs-bingen.de/Tilgungsrechnung/Aufgaben_Tilgungsrechnung.htm Beispiele und Lösungen von Ansgar Schiffler]

[[Kategorie:Finanzmathematik]]

Schuldentilgung

2014-04-16T10:43:30Z

91.115.36.63: /* Einleitung und Begriffe */

== Einleitung und Begriffe ==

Die Schuldentilgung beschäftigt sich mit dem Tilgen (= Zurückzahlen) einer Schuld. Das typische Beispiel ist das Tilgen eines Bankredits.

{| align="right"
|-
|{{#ev:youtube|bId7a4W6Vko}}
|}

Hierbei unterscheidet man zwischen den folgenden Begriffen:
{|
|-
|
* '''Annuität'''
| = der Betrag, der regelmäßig (z.B. jährlich) zurückgezahlt wird.
|-
|
* '''Zinsenanteil'''
| = jener Anteil der Annuität, der für die Zinsen aufgewendet wird.
|-
|
* '''Tilgungsanteil'''
| = jener Anteil der Annuität, um den die Schuld vermindert wird.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Erklärung der Begriffe anhand eines Beispiels''': </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Peter hat einen [[Rentenrechnung#Begriffe | nachschüssigen]] Kredit von 10.000 € bei 1 % p.a. aufgenommen. Somit fallen nach einem Jahr € 100 Zinsen an. Am Ende jedes Jahres zahlt Peter € 1.100 zurück.
* Die Annuität beträgt € 1.100.
* Der Zinsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 100.
* Der Tilgungsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 1000 (Von den € 1.100 werden € 100 für die Zinsen verwendet und nur € 1.000 reduzieren die Schuld).
* Die Restschuld nach dem 1. Jahr begrägt noch € 9.000.

</div>

</div>

{| border ="1" align="center"
| '''Merke:'''

|

Annuität = Zinsanteil + Tilgungsanteil

|}

Je nachdem, wie die Schuld beglichen wird, unterscheidet man zwischen folgenden Formen:
* '''[[Schuldentilgung#Annuitätenschuld - Anniutät bleibt konstant | Annuitätenschuld]]''' - Anniutät bleibt konstant über die ganze Laufzeit konstant.
* '''[[Schuldentilgung#Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant |Ratenschuld]]''' - Tilgungsanteil bleibt konstant
* '''[[Schuldentilgung#Zinsenschuld - nur die Zinsen werden beglichen|Zinsenschuld]]''' - nur die Zinsen werden während der Laufzeit beglichen und der Rest erst am Ende der Laufzeit.

== Tilgungsplan ==

Der Tilgungsplan ist eine tabellarische Aufstellung der Kreditrückzahlung.
Er listet für jedes Jahr auf, wie hoch der Zinsen, der Tilgungsanteil, die Annuität und die Restschuld sind.
Für eine nachschüssige Schuldentilgung ist er folgendermaßen aufgebaut:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |Schuld zu Beginn

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1$
Zinsanteil bei der ersten Zahlung
| align="center" |$TA_1$
Tilgungsanteil der ersten Zahlung
| align="center" |$A_1$
Annuität$_1$ (=Höhe der ersten Zahlung)
| align="center" |$RS_1$
Restschuld nach einem Jahr
|-
| align="center" | 2
| align="center" |$ZA_2$
Zinsanteil bei der zweiten Zahlung
|align="center" | $TA_2$
Tilgungsanteil der zweiten Zahlung
| align="center" |$A_2$
Annuität$_2$ (=Höhe der zweiten Zahlung)
| align="center" | $RS_2$
Restschuld nach dem 2. Jahr

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

''' Hinweise '''
*Der Zinsanteil errechnet sich immer mithilfe der Schuld aus dem Vorjahr:
$$ ZA_1=\textrm{Schuld}\cdot \frac{i}{100} $$
* Am Ende eines Tilgungsplanes sollte ganz rechts unten bei der letzten Restschuld natürlich eine 0 stehen (vorausgesetzt die ganze Schuld wird zurückbezahlt).

'''Vorteile '''
* Der Tilgungsplan ermöglicht einen schönen Überblck über alle Zahlungen.
* Die einzelnen Werte können Schritt für Schritt ausgerechnet werden.

=== Musterbeispiel ===

'''Peter hat einen nachschüssigen Kredit von 100 € bei einer Verzinsung von 1 % p.a. aufgenommen. Er zahlt jährlich € 10 zurück. Erstelle einen Tilgungsplan!'''

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''1. Schritt: Beginn des Tilgungsplans''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Die Anfangsschuld ist € 100.
* Die Anniuität ist konstant € 10.
* $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1 $.
* $TA_1=A_1-ZA_1=9$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
* Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_1=100-9=91$

Damit erstellen wir nun die ersten zwei Zeilen des Tilgungsplanes:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1$
Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$
| align="center" |$10-1=9$
Allgemein: $TA=A-ZA$
| align="center" |$10$
Allgemein: $A=TA+ZA$
| align="center" |$100-9=91$
Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''2. Schritt: Fortsetzung des Tilgungsplans ''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Für das 2. Jahr des Tilgungsplans, nimmt man nun aus Ausgangswert die obere Zeile:

* Die alte Restschuld beträgt € 91.
* Die Anniuität ist konstant € 10.
* $ZA_2=91\cdot \frac{1}{100}=0.91 $.
* $TA_2=A_2-ZA_2=9.09$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
* Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_2=91-9.09=81.91$

Dies setzt man nun in den Tilgungsplan ein:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1$
| align="center" |$10-1=9$
| align="center" |$10$
| align="center" |$100-9=91$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $ZA_1=91\cdot \frac{1}{100}=0.91$
Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$
| align="center" |$10-0.91=9.09$
Allgemein: $TA=A-ZA$
| align="center" |$10$
Allgemein: $A=TA+ZA$
| align="center" |$91-9.09=81.91$
Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''3. Schritt: Vollständiger Tilgungsplan''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1$
| align="center" |$10-1=9$
| align="center" |$10$
| align="center" |$100-9=91$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $.91$
| align="center" |$9.09$
| align="center" |$10$
| align="center" |$81.91$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $0.82$
| align="center" |$9.18$
| align="center" |$10$
| align="center" |$72.73$

|-
| align="center" | 4
| align="center" | $0.73$
| align="center" |$9.27$
| align="center" |$10$
| align="center" |$63.46$

|-
| align="center" | 5
| align="center" | $0.63$
| align="center" |$9.37$
| align="center" |$10$
| align="center" |$54.09$

|-
| align="center" | 6
| align="center" | $0.54$
| align="center" |$9.46$
| align="center" |$10$
| align="center" |$44.63$

|-
| align="center" | 7
| align="center" | $0.45$
| align="center" |$9.55$
| align="center" |$10$
| align="center" |$35.08$

|-
| align="center" | 8
| align="center" | $0.35$
| align="center" |$9.65$
| align="center" |$10$
| align="center" |$25.43$

|-
| align="center" | 9
| align="center" | $0.25$
| align="center" |$9.75$
| align="center" |$10$
| align="center" |$15.68$

|-
| align="center" | 10
| align="center" | $0.16$
| align="center" |$9.84$
| align="center" |$10$
| align="center" |$5.84$

|-
| align="center" | 11
| align="center" | $0.06$
| align="center" |'''$5.84$'''
Die Restschuld von 5.84 wird getilgt.
| align="center" |'''$5.90$'''
$A=ZA+TA$
| align="center" |$0$

|}

'''Achtung!'''
Bei der 11. Zahlung muss nur noch eine Schuld von 5.84 getilgt werden. Aus diesem Grund beträgt der Tilgungsanteil € 5.84!
Die Annuität beträgt dann nicht mehr € 10 (so würden wir ja zuviel zurückzahlen) sondern nur noch
$$ A = \textrm{Höhe des Tilgungsanteiles} + \textrm{die Höhe der Zinsen} $$
$$ A= 5.84+0.06 $$
$$A= 6.90$$

</div>

</div>

</div>

</div>

Weitere Beispiele findest du im 3. Klasse Buch (Trauner) auf den Seiten 174ff....

== Annuitätenschuld - Anniutät bleibt konstant ==

Bei einer Anniutätenschuld bleibt die Höhe der Annuität (Betrag der regelmäßig eingezahlt wird) konstant. Somit handelt es sich bei der Annuitätenschuld um eine [[Rentenrechnung | Rente]], da
* ein konstanter Betrag (=Annuität)
* in konstanten Zeitabständen
eingezahlt wird.
Wichtig:
# Die Annuität entspricht dabei der Rate R.
# Die Schuld entspricht dem Barwert B (Wert aller Zahlungen am Beginn = Anfangsschuld)

Somit benötigt man bei der Annuitätenschuld die [[Rentenrechnung#Formeln | Formeln für den Barwert]].

=== Musterbeispiele ===

==== 1. Beispiel: Jährliche Zahlungen ====
Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 gleich hohen, jährlichen Raten bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Rate ist am Ende des 1. Jahres fällig.

a) Berechne die Höhe der Raten.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

c) Begründe, warum der Tilgungsanteil von Jahr zu Jahr größer wird.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* B=10.000
* n=5
* i=4 % p.a. $\rightarrow$ r=1.05 $\rightarrow$ $v=\frac{1}{r}=0.9615$
* nachschüssig

$$ B=R\cdot v\cdot \frac{v^5-1}{v-1} $$
$$ 10.000 = R\cdot 0.95238\cdot \frac{0.95238^5-1}{0.95238-1} $$
$$ \underline{\underline{R= 2246.27}} $$

A: Die Höhe der Annuität (=Rate) beträgt € 2246.27.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Die Anzahl der Jahre ist 5 $\rightarrow$ somit brauchen wir 6 Zeilen (von 0 bis 5).
* Die Annuität A ist konstant € 2246.27. Somit kann in der Spalte Annuität für alle 5 Jahre 2246.27 eingesetzt werden.
* Anfangsschuld = 10.000

Somit kann man bereits die Rohform des Tilgungsplanes erstellen:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 2
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 3
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 4
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 5
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|}

Nun berechnen wir von links nach rechts und von oben nach unden die einzelnen Werte:

* $i=4$ % $\rightarrow$ $ZA_1=10.000\cdot \frac{4}{100} =400$
* $TA_1=A_1-ZA_1 = 2246,27-400 = 1846.27$
* $RS_1=10.000-1846.27=8153.73$
* usw.

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $400$
| align="center" |$1846.272$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$
8153.73$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $326.15$
| align="center" |$1920.12$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$6233,61$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $249.34$
| align="center" |$1996.93$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$4236,68$

|-
| align="center" | 4
| align="center" | $169.47$
| align="center" |$2076.80$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$2159.88$

|-
| align="center" | 5
| align="center" | $86.40$
| align="center" |$2159.87$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$
0.01$

|}

'''Achtung!''' Die Restschuld im 5. Jahr (=0.01) ist aufgrund der Rundungen, die wir durchgeführt haben nicht genau 0.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung von c) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Weil die Schuld von Jahr zu Jahr abnimmt, wird der Zinsanteil ebenfalls immer kleiner. Da die Annuität konstant bleibt, wird deshalb der Tilgungsanteil immer größer (Erinnerung: Tilgungsanteil ist $TA=A-ZA$ ist).

</div>

</div>

</div>

</div>

==== 2. Beispiel: Monatliche Zahlungen ====
Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch gleich hohe, monatliche Zahlunge bei i=4% p.a. zu tilgen.

a) Berechne die Höhe der Raten.

b) Stelle den Tilgungsplan für die ersten 3 Monate auf und berechne damit die Restschuld nach 3 Monaten.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* R=?
* B=10.000
* n=$5\cdot 12=60$
* i=4 % p.a. $\rightarrow$ r=1.04 $\rightarrow$ $r_{12}=sqrt[12]{1.04}=1.00327$ $\rightarrow$ $v_{12}=\frac{1}{r_{12}}=0.9967$
!!'''Achtung'''!! Bei unterjährien Einzahlungen (z.B. monatliche) muss der [[Zins- und Zinseszinsrechnung#b) der konforme (äquivalente) Zinssatz|konforme Zinssatz]] berechnet werden!!
* nachschüssig

$$ B=R\cdot v_{12}\cdot \frac{v_{12}^{60}-1}{v_{12}-1} $$
$$ \underline{\underline{R=184.17}}$$

A: Die monatliche Annuität beträgt € 184.17.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Da $r_{12}=1.00327$ (siehe a) beträgt der Monatszinssatz $i_{12}=0.327$ % p.m.
* Die Annuität ist konstant 284.17 (siehe a)
* Anfangsschuld = 10.000

Somit kann der Tilgungsplan aufgestellt werden:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Monat
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $32,70$
| align="center" | $251,47$
| align="center" |$284,17$
| align="center" | $9748,53$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $31,88$
| align="center" |$252,29$
| align="center" |$284,17$
| align="center" |$9496,24$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $31,05$
| align="center" | $253,12$
| align="center" |$284,17$
| align="center" | $9243,12$

|}

A: Nach 3 Monaten beträgt die Restschuld noch € 9243,12.

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== Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant ==

== Zinsenschuld - nur die Zinsen werden beglichen ==

Online-Materialien:
* [http://fbmathe.bbs-bingen.de/Tilgungsrechnung/Aufgaben_Tilgungsrechnung.htm Beispiele und Lösungen von Ansgar Schiffler]

[[Kategorie:Finanzmathematik]]