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Schuldentilgung

2014-04-15T10:55:14Z

91.115.36.148: /* Annuitätenschuld - Anniutät bleibt konstant */

== Einleitung und Begriffe ==

Die Schuldentilgung beschäftigt sich mit dem Tilgen (= Zurückzahlen) einer Schuld. Das typische Beispiel ist das Tilgen eines Bankredits.

Hierbei unterscheidet man zwischen den folgenden Begriffen:
{|
|-
|
* '''Annuität'''
| = der Betrag, der regelmäßig (z.B. jährlich) zurückgezahlt wird.
|-
|
* '''Zinsenanteil'''
| = jener Anteil der Annuität, der für die Zinsen aufgewendet wird.
|-
|
* '''Tilgungsanteil'''
| = jener Anteil der Annuität, um den die Schuld vermindert wird.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Erklärung der Begriffe anhand eines Beispiels''': </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Peter hat einen [[Rentenrechnung#Begriffe | nachschüssigen]] Kredit von 100 € bei 1 % p.a. aufgenommen. Somit fallen nach einem Jahr € 1 Zinsen an. Am Ende jedes Jahres zahlt Peter € 10 zurück.
* Die Annuität beträgt € 10.
* Der Zinsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 1.
* Der Tilgungsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 9 (Von den € 10 wird € 1 für die Zinsen verwendet und nur € 9 reduzieren die Schuld).
* Die Restschuld nach dem 1. Jahr begrägt noch € 91.

</div>

</div>

{| border ="1" align="center"
| '''Merke:'''

|

Annuität = Zinsanteil + Tilgungsanteil

|}

Je nachdem, wie die Schuld beglichen wird, unterscheidet man zwischen folgenden Formen:
* '''[[Schuldentilgung#Annuitätenschuld - Anniutät bleibt konstant | Annuitätenschuld]]''' - Anniutät bleibt konstant über die ganze Laufzeit konstant.
* '''[[Schuldentilgung#Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant |Ratenschuld]]''' - Tilgungsanteil bleibt konstant
* '''[[Schuldentilgung#Zinsenschuld - nur die Zinsen werden beglichen|Zinsenschuld]]''' - nur die Zinsen werden während der Laufzeit beglichen und der Rest erst am Ende der Laufzeit.

== Tilgungsplan ==

Der Tilgungsplan ist eine tabellarische Aufstellung der Kreditrückzahlung.
Er listet für jedes Jahr auf, wie hoch der Zinsen, der Tilgungsanteil, die Annuität und die Restschuld sind.
Für eine nachschüssige Schuldentilgung ist er folgendermaßen aufgebaut:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |Schuld zu Beginn

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1$
Zinsanteil bei der ersten Zahlung
| align="center" |$TA_1$
Tilgungsanteil der ersten Zahlung
| align="center" |$A_1$
Annuität$_1$ (=Höhe der ersten Zahlung)
| align="center" |$RS_1$
Restschuld nach einem Jahr
|-
| align="center" | 2
| align="center" |$ZA_2$
Zinsanteil bei der zweiten Zahlung
|align="center" | $TA_2$
Tilgungsanteil der zweiten Zahlung
| align="center" |$A_2$
Annuität$_2$ (=Höhe der zweiten Zahlung)
| align="center" | $RS_2$
Restschuld nach dem 2. Jahr

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

''' Hinweise '''
*Der Zinsanteil errechnet sich immer mithilfe der Schuld aus dem Vorjahr:
$$ ZA_1=\textrm{Schuld}\cdot \frac{i}{100} $$
* Am Ende eines Tilgungsplanes sollte ganz rechts unten bei der letzten Restschuld natürlich eine 0 stehen (vorausgesetzt die ganze Schuld wird zurückbezahlt).

'''Vorteile '''
* Der Tilgungsplan ermöglicht einen schönen Überblck über alle Zahlungen.
* Die einzelnen Werte können Schritt für Schritt ausgerechnet werden.

=== Musterbeispiel ===

'''Peter hat einen nachschüssigen Kredit von 100 € bei einer Verzinsung von 1 % p.a. aufgenommen. Er zahlt jährlich € 10 zurück. Erstelle einen Tilgungsplan!'''

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''1. Schritt: Beginn des Tilgungsplans''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Die Anfangsschuld ist € 100.
* Die Anniuität ist konstant € 10.
* $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1 $.
* $TA_1=A_1-ZA_1=9$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
* Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_1=100-9=91$

Damit erstellen wir nun die ersten zwei Zeilen des Tilgungsplanes:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1$
Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$
| align="center" |$10-1=9$
Allgemein: $TA=A-ZA$
| align="center" |$10$
Allgemein: $A=TA+ZA$
| align="center" |$100-9=91$
Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''2. Schritt: Fortsetzung des Tilgungsplans ''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Für das 2. Jahr des Tilgungsplans, nimmt man nun aus Ausgangswert die obere Zeile:

* Die alte Restschuld beträgt € 91.
* Die Anniuität ist konstant € 10.
* $ZA_2=91\cdot \frac{1}{100}=0.91 $.
* $TA_2=A_2-ZA_2=9.09$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
* Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_2=91-9.09=81.91$

Dies setzt man nun in den Tilgungsplan ein:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1$
| align="center" |$10-1=9$
| align="center" |$10$
| align="center" |$100-9=91$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $ZA_1=91\cdot \frac{1}{100}=0.91$
Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$
| align="center" |$10-0.91=9.09$
Allgemein: $TA=A-ZA$
| align="center" |$10$
Allgemein: $A=TA+ZA$
| align="center" |$91-9.09=81.91$
Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''3. Schritt: Vollständiger Tilgungsplan''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1$
| align="center" |$10-1=9$
| align="center" |$10$
| align="center" |$100-9=91$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $.91$
| align="center" |$9.09$
| align="center" |$10$
| align="center" |$81.91$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $0.82$
| align="center" |$9.18$
| align="center" |$10$
| align="center" |$72.73$

|-
| align="center" | 4
| align="center" | $0.73$
| align="center" |$9.27$
| align="center" |$10$
| align="center" |$63.46$

|-
| align="center" | 5
| align="center" | $0.63$
| align="center" |$9.37$
| align="center" |$10$
| align="center" |$54.09$

|-
| align="center" | 6
| align="center" | $0.54$
| align="center" |$9.46$
| align="center" |$10$
| align="center" |$44.63$

|-
| align="center" | 7
| align="center" | $0.45$
| align="center" |$9.55$
| align="center" |$10$
| align="center" |$35.08$

|-
| align="center" | 8
| align="center" | $0.35$
| align="center" |$9.65$
| align="center" |$10$
| align="center" |$25.43$

|-
| align="center" | 9
| align="center" | $0.25$
| align="center" |$9.75$
| align="center" |$10$
| align="center" |$15.68$

|-
| align="center" | 10
| align="center" | $0.16$
| align="center" |$9.84$
| align="center" |$10$
| align="center" |$5.84$

|-
| align="center" | 11
| align="center" | $0.06$
| align="center" |'''$5.84$'''
Die Restschuld von 5.84 wird getilgt.
| align="center" |'''$5.90$'''
$A=ZA+TA$
| align="center" |$0$

|}

'''Achtung!'''
Bei der 11. Zahlung muss nur noch eine Schuld von 5.84 getilgt werden. Aus diesem Grund beträgt der Tilgungsanteil € 5.84!
Die Annuität beträgt dann nicht mehr € 10 (so würden wir ja zuviel zurückzahlen) sondern nur noch
$$ A = \textrm{Höhe des Tilgungsanteiles} + \textrm{die Höhe der Zinsen} $$
$$ A= 5.84+0.06 $$
$$A= 6.90$$

</div>

</div>

</div>

</div>

Weitere Beispiele findest du im 3. Klasse Buch (Trauner) auf den Seiten 174ff....

== Annuitätenschuld - Anniutät bleibt konstant ==

Bei einer Anniutätenschuld bleibt die Höhe der Annuität (Betrag der regelmäßig eingezahlt wird) konstant. Somit handelt es sich bei der Annuitätenschuld um eine [[Rentenrechnung | Rente]], da
* ein konstanter Betrag (=Annuität)
* in konstanten Zeitabständen
eingezahlt wird.
Wichtig:
# Die Annuität entspricht dabei der Rate R.
# Die Schuld entspricht dem Barwert B (Wert aller Zahlungen am Beginn = Anfangsschuld)

Somit benötigt man bei der Annuitätenschuld die [[Rentenrechnung#Formeln | Formeln für den Barwert]].

=== Musterbeispiele ===

1. Beispiel: Jährliche Zahlungen
Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 gleich hohen, jährlichen Raten bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Rate ist am Ende des 1. Jahres fällig.
a) Berechne die Höhe der Raten.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

c) Begründe, warum der Tilgungsanteil von Jahr z?
* B=10.000
* n=5
* i=4 % p.a. $\rightarrow$ r=1.05 $\rightarrow$ $v=\frac{1}{r}=0.95238$
* nachschüssig

$$ B=R\cdot v\cdot \frac{v^5-1}{v-1} $$
$$ 10.000 = R\cdot 0.95238\cdot \frac{0.95238^5-1}{0.95238-1} $$
$$ \underline{\underline{R= 2309.75}} $$

A: Die Höhe der Annuität (=Rate) beträgt € 2309.75.

2. Beispiel: Monatliche Zahlungen
Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch gleich hohe, monatliche Zahlunge bei i=4% p.a. zu tilgen.
a) Berechne die Höhe der Raten.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

== Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant ==

== Zinsenschuld - nur die Zinsen werden beglichen ==

Online-Materialien:
* [http://fbmathe.bbs-bingen.de/Tilgungsrechnung/Aufgaben_Tilgungsrechnung.htm Beispiele und Lösungen von Ansgar Schiffler]

[[Kategorie:Finanzmathematik]]

Rentenrechnung

2014-04-15T10:40:30Z

91.115.36.148: /* Begriffe */

== Definition: Rente==
{| border ="1"
|Definition
|Unter einer '''Rente''' versteht man Einzahlungen, die
*<p style="background-color:#E0E0E0"> in gleichen Zeitabständen </p> UND
*<p style="background-color:#E0E0E0"> immer in gleicher Höhe </p>
getätigt werden.
Die Einzahlungen werden als '''Raten''' (R) bezeichnet.
|}

Typische Beispiele einer Rente sind:
* Taschengeld (jeden Monat erhälst du denselben Betrag von deinen Eltern)
* Bausparer (jeden Monat oder jedes Jahr wird ein konstanter Betrag eingezahlt)
* "Rente" in der Pension (der Pensionist erhält monatlich einen fixen Betrag überwiesen)

== Begriffe ==
Neben der '''Rate R (=Betrag, der regelmäßig eingezahlt wird)''' unterscheidet man folgende Punkte:

{|align="center" border="2"
!|Unterscheidungsmerkmal
!|Anfang
!|Ende
|- align="center"
|<p style="background-color:#E0E0E0"> Zeitpunkt der Einzahlung </p> || '''vorschüssig'''
= am Anfang der Zahlungsperiode
|| '''nachschüssig'''
= am Ende der Zahlungsperiode
|- align="center"
|<p style="background-color:#E0E0E0"> Zeitpunkt des Gesamtwertes </p>
|'''[[Barwert und Endwert|Barwert]]'''
= Gesamtwert am Anfang der Rentenzahlungen (z.B.: welche Schuld muss abgezahlt werden)
|'''[[Barwert und Endwert|Endwert]]'''
= Gesamtwert am Ende der Rentenzahlungen (Welcher Betrag wurde angespart)
|-align="center"
|<p style="background-color:#E0E0E0"> Einzahlungsperiode </p>
|Ganzjährige Rente
=Einzahlungen erfolgen jährlich
|Unterjährige Rente
= Einzahlungen erfolgen mehrmals im Jahr (z.B. monatlich).
|}

<span style="background-color:#00FFFF">!Wichtig! </span> Bei '''unterjährigen Renten''' muss der [[Zins- und Zinseszinsrechnung#b) der konforme (äquivalente) Zinssatz |äquivalente Zinssatz]] berechnet werden.

== Musterbeispiel ==

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Anna schließt für sich einen Bausparvertrag mit 4% Verzinsung ab, bei dem sie am Ende jeden Jahres 1200 € einzahlt. Wie hoch ist der angesparte Betrag nach 5 Jahren (ohne staatliche Prämie)? Rechne mit einer [[Berechnung der KESt |KESt von 25%]]. </span>

<div class="mw-collapsible-content">

'''Lösung'''
# Gegeben und Gesucht
#* Rate R=1200
#* nachschüssig (Zahlungen am Ende des Jahres)
#* ganzjährige Rente (Zahlungen einmal jährlich)
#* $i=4\%$ <br> $\begin{align} \rightarrow& i_{eff}=4\cdot 0.75 = 3\%\\
\rightarrow& r=1+\frac{i_{eff}}{100}=1.03 \end{align} $
#* Endwert E=? (Anna will wissen, wie viel sie am Ende angespart hat) <br> <br> [[Datei:Rentenrechnung3.png|center]]
# Berechnung $$ 1200\cdot 1.03^4 + 1200\cdot 1.03^3 + 1200\cdot 1.03^2 + 1200\cdot 1.03 + 1200 = E $$ $$ \underline{\underline{6370.96=E}} $$ <br>
# Antwortsatz
#: Nach 5 Jahren hat Anna einen Betrag von € 6370.96 angespart.

</div>

</div>

== Formeln ==
Sei
: $ n\dots$ die Anzahl der Einzahlungen
: $ r\dots $ der (äuqivalente) [[Zins- und Zinseszinsrechnung#Aufzinsungsfaktor |Aufzinsungsfaktor]]
: $ v\dots $ der (äquivalente) Abzinsungsfaktor $v=\frac{1}{r}$
<br>
<br>
<br>
{|align="center" border="2"
!|
!|vorschüssig
!|nachschüssig
|- align="center"
!| Endwert
|$$E=R\cdot r\cdot\frac{r^n-1}{r-1}$$
|$$E=R\cdot \frac{r^n-1}{r-1}$$

|- align="center"
!|Barwert
|$$B=R\cdot \frac{v^n-1}{v-1}$$
|$$B=R\cdot v\cdot \frac{v^n-1}{v-1}$$

|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Herleitung der Formeln''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Hier siehst du die Herleitung der Formel für den nachschüssigen Endwert.$$E=R\cdot \frac{1-r^n}{1-r} $$
Die Herleitungen für die restlichen Formeln funktionieren ähnlich.
Der Endwert setzt sich aus der Summe aller Einzahlungen zusammen. Nehmen wir an, wir berechnen den Endwert einer nachschüssigen Rente über n Jahre, dann erhält man den Endwert, indem man alle Einzahlung auf das Ende verzinst und dann zusammenaddiert:

$$ E= R + R\cdot r+ R\cdot r^2 + R\cdot r^3+\dots + R\cdot r^{n-1} $$
wobei $R\cdot r^{n-1}$ die erste Zahlung ist, die $n-1$ Jahre aufgezinst werden muss und $R$ die letzte Zahlung ist.

Dies ist nun eine sogenannte geometrische Reihe, da jeder Summand sich nur durch die Multiplikation mit r unterscheidet.
Unter folgendem Link findest du die Herleitung der für die geometrische Formel $s_n=a_0\cdot \frac{1-q^n}{1-q} $, wobei $E=s_n$, $R=a_0$ und $r=q$ ist: [http://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe#Herleitung_der_Formel_f.C3.BCr_die_Partialsummen Herleitung der Endwertformel]

</div>

</div>

== Musterbeispiel einer ganzjährigen Rente ==

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Angabe:''' Frau Aah zahlt 15 Jahre lang am Anfang jedes Jahres € 1.000 auf ein mit 4% verzinstes Sparbuch ein.

a) Bestimme den nach 15 Jahren angesparten Betrag. Beachte dabei die [[KESt]] von 25%.

b)Von dem ersparten Geld will sie 20 vorschüssige Jahresraten beheben, die 5 Jahre nach der letzten Einzahlung beginnen. Berechnen Sie die Höhe der Rate. </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung a)'''</span>

<div class="mw-collapsible-content">
* $R=1000$
* $i_{eff}=4\cdot 0.75=3\% \rightarrow r=1.03$
* $n=15$
* vorschüssig (da am Anfang vom Jahr eingezahlt wird)
* $E_{15} = $?

Mithilfe der vorschüssigen Endwertformel erhalten wir:
$$ E_{15}=R\cdot r\cdot \frac{r^n-1}{r-1} $$
$$ E_{15}=1000 \cdot 1.03 \frac{1.03^{15}-1}{1.03-1} $$
$$\underline{\underline{E_{15}=19156.88}} $$

Somit hat Frau Aah nach 15 Jahren € 19156.88 angespart.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung b)''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Der Satz "''die 5 Jahre nach der letzten Einzahlung beginnen''" sagt uns, dass der Betrag $E_{15}$ fünf Jahre lang auf der Bank liegen bleibt. Durch Aufzinsen erhalten wir nun den Betrag nach diesen 5 Jahren (d.h. nach insgesamt 20 Jahren von Beginn weg):
$$ E_{20}=E_{15}\cdot r^5$$
$$ E_{20}=19156.88\cdot 1.03^5$$
$$ E_{20}=22208.07$$

Nach 20 Jahren liegen somit € 22208.07 auf der Bank. Nun will Frau Aah von diesem Betrag 20 vorschüssige Jahresraten abheben.
Das Angesparte Geld $E_{20}$ ist jener Wert ''am ANFANG'' der Auszahlungen. Somit ist $E_{20}=B$, der neue Barwert.

*$B=E_{20}=22208.07$
*$n=20$
*$r=1.03 \rightarrow v=0.97087\dots $
*$R=?$
*vorschüssig

Mit der Formel für den vorschüssigen Barwert erhalten wir:
$$ B=R\cdot \frac{v^{20}-1}{v-1} $$
$$ B\cdot (v-1)=R\cdot (v^{20}-1) $$
$$ \frac{B\cdot (v-1)}{(v^{20}-1)}=R $$
$$ \frac{22208.07\cdot (0.97087-1)}{(0.97087^{20}-1)}=R $$
$$ \underline{\underline{1449.25=R}}$$

Antwort: Frau Aah kann 20 Jahre lang € 1449.25 abheben.

FN (N =20, I% = 4, PV =Ergebnis von a) aufgezinst, PMT = solve, FV = 0, P/Y = 1, C/Y = 1, Beginn)

</div>

</div>

</div>

</div>

== Musterbeispiel einer unterjährigen Rente ==
Wichtig!! Wenn die Raten mehrmals im Jahr eingezahlt werden, muss mit dem [[Zins- und Zinseszinsrechnung#b) der konforme (äquivalente) Zinssatz | äquivalenter Zinssatz]] gerechnet werden.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Angabe:''' Frau Des nimmt einen Kredit von € 15.000,‐ mit einer Laufzeit von 10 Jahren auf, den sie in
nachschüssigen Monatsraten zurückzahlen will (i = 5%). Berechnen Sie die Höhe der Raten.
<br> </span>

<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung'''
*$B=15000$
*$n=10\cdot 12=120$
*$i=5\% \rightarrow r_1=1.05 \rightarrow r_{12}=\sqrt[12]{1.05} \rightarrow r_{12}=1.00407\dots \rightarrow v_{12}=0.99594\dots$
*nachschüssig
*$R=$?

Durch Verwendung der [[Rentenrechnung#Formeln |nachschüssigen Barwertformel]] ergibt sich:

$\begin{align}
B&=R\cdot v\cdot \frac{v^{120}-1}{v-1} & & |\cdot (v-1) & \textrm{und} :(v\cdot (v^{120}-1))\\
\end{align}$

$\begin{align}
\frac{B\cdot (v-1)}{v\cdot(v^{120}-1)}&=R &&\\
\end{align}$

$$ \underline{\underline{158.29=R}} $$

Antwort: Sie muss monatilich € 158.29 einzahlen.

FN (N = 120, I% =100(1,05^(1/12)‐1), PV = 0, PMT = solve, FV =0, P/Y = 1, C/Y= 1, END) 158.29
Achtung: P/Y bezeichnet die Einzahlungen pro Zinsperiode. Diese ist nun aber 1!
(Alternative: FN (N = 120, I% =5, PV = 0, PMT = solve, FV =0, P/Y = 12, C/Y= 1, END) 158.29 … Y ist das Jahr)

</div>

</div>

== TVM-Solver (Rechnen im TR) ==

Im Ti 82 kannst du die Beispiele auch im Taschenrechner mit dem TVM-Solver lösen.

Hier findest du eine [http://matura.marienberg.at/images/3/33/TVM-Solver.pdf Erklärung des Programms]

<br>
<br>

== Beispiele ==

[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=47&file=Sparkonto.pdf Sparkonto (Bifie-Aufgabe)]

[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=49&file=Kreditkonditionen.pdf Kreditkonditionen (Bifie-Aufgabe)]

[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=54&file=Bausparen_bis_2011.pdf Bausparen (Bifie-Aufgabe)]

[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=91&file=Immobilienhandel.pdf Immobilienhandel (Bifie-Aufgabe mit Schuldentilgung)] Siehe [[Schuldentilgung]]

[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=92&file=Ruecklage.pdf Rücklage (Bifie-Aufgabe)]

[[Kategorie:Finanzmathematik]]

Schuldentilgung

2014-04-15T10:38:25Z

91.115.36.148: /* Einleitung und Begriffe */

== Einleitung und Begriffe ==

Die Schuldentilgung beschäftigt sich mit dem Tilgen (= Zurückzahlen) einer Schuld. Das typische Beispiel ist das Tilgen eines Bankredits.

Hierbei unterscheidet man zwischen den folgenden Begriffen:
{|
|-
|
* '''Annuität'''
| = der Betrag, der regelmäßig (z.B. jährlich) zurückgezahlt wird.
|-
|
* '''Zinsenanteil'''
| = jener Anteil der Annuität, der für die Zinsen aufgewendet wird.
|-
|
* '''Tilgungsanteil'''
| = jener Anteil der Annuität, um den die Schuld vermindert wird.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Erklärung der Begriffe anhand eines Beispiels''': </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Peter hat einen [[Rentenrechnung#Begriffe | nachschüssigen]] Kredit von 100 € bei 1 % p.a. aufgenommen. Somit fallen nach einem Jahr € 1 Zinsen an. Am Ende jedes Jahres zahlt Peter € 10 zurück.
* Die Annuität beträgt € 10.
* Der Zinsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 1.
* Der Tilgungsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 9 (Von den € 10 wird € 1 für die Zinsen verwendet und nur € 9 reduzieren die Schuld).
* Die Restschuld nach dem 1. Jahr begrägt noch € 91.

</div>

</div>

{| border ="1" align="center"
| '''Merke:'''

|

Annuität = Zinsanteil + Tilgungsanteil

|}

Je nachdem, wie die Schuld beglichen wird, unterscheidet man zwischen folgenden Formen:
* '''[[Schuldentilgung#Annuitätenschuld - Anniutät bleibt konstant | Annuitätenschuld]]''' - Anniutät bleibt konstant über die ganze Laufzeit konstant.
* '''[[Schuldentilgung#Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant |Ratenschuld]]''' - Tilgungsanteil bleibt konstant
* '''[[Schuldentilgung#Zinsenschuld - nur die Zinsen werden beglichen|Zinsenschuld]]''' - nur die Zinsen werden während der Laufzeit beglichen und der Rest erst am Ende der Laufzeit.

== Tilgungsplan ==

Der Tilgungsplan ist eine tabellarische Aufstellung der Kreditrückzahlung.
Er listet für jedes Jahr auf, wie hoch der Zinsen, der Tilgungsanteil, die Annuität und die Restschuld sind.
Für eine nachschüssige Schuldentilgung ist er folgendermaßen aufgebaut:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |Schuld zu Beginn

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1$
Zinsanteil bei der ersten Zahlung
| align="center" |$TA_1$
Tilgungsanteil der ersten Zahlung
| align="center" |$A_1$
Annuität$_1$ (=Höhe der ersten Zahlung)
| align="center" |$RS_1$
Restschuld nach einem Jahr
|-
| align="center" | 2
| align="center" |$ZA_2$
Zinsanteil bei der zweiten Zahlung
|align="center" | $TA_2$
Tilgungsanteil der zweiten Zahlung
| align="center" |$A_2$
Annuität$_2$ (=Höhe der zweiten Zahlung)
| align="center" | $RS_2$
Restschuld nach dem 2. Jahr

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

''' Hinweise '''
*Der Zinsanteil errechnet sich immer mithilfe der Schuld aus dem Vorjahr:
$$ ZA_1=\textrm{Schuld}\cdot \frac{i}{100} $$
* Am Ende eines Tilgungsplanes sollte ganz rechts unten bei der letzten Restschuld natürlich eine 0 stehen (vorausgesetzt die ganze Schuld wird zurückbezahlt).

'''Vorteile '''
* Der Tilgungsplan ermöglicht einen schönen Überblck über alle Zahlungen.
* Die einzelnen Werte können Schritt für Schritt ausgerechnet werden.

=== Musterbeispiel ===

'''Peter hat einen nachschüssigen Kredit von 100 € bei einer Verzinsung von 1 % p.a. aufgenommen. Er zahlt jährlich € 10 zurück. Erstelle einen Tilgungsplan!'''

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''1. Schritt: Beginn des Tilgungsplans''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Die Anfangsschuld ist € 100.
* Die Anniuität ist konstant € 10.
* $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1 $.
* $TA_1=A_1-ZA_1=9$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
* Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_1=100-9=91$

Damit erstellen wir nun die ersten zwei Zeilen des Tilgungsplanes:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1$
Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$
| align="center" |$10-1=9$
Allgemein: $TA=A-ZA$
| align="center" |$10$
Allgemein: $A=TA+ZA$
| align="center" |$100-9=91$
Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''2. Schritt: Fortsetzung des Tilgungsplans ''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Für das 2. Jahr des Tilgungsplans, nimmt man nun aus Ausgangswert die obere Zeile:

* Die alte Restschuld beträgt € 91.
* Die Anniuität ist konstant € 10.
* $ZA_2=91\cdot \frac{1}{100}=0.91 $.
* $TA_2=A_2-ZA_2=9.09$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
* Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_2=91-9.09=81.91$

Dies setzt man nun in den Tilgungsplan ein:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1$
| align="center" |$10-1=9$
| align="center" |$10$
| align="center" |$100-9=91$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $ZA_1=91\cdot \frac{1}{100}=0.91$
Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$
| align="center" |$10-0.91=9.09$
Allgemein: $TA=A-ZA$
| align="center" |$10$
Allgemein: $A=TA+ZA$
| align="center" |$91-9.09=81.91$
Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''3. Schritt: Vollständiger Tilgungsplan''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1$
| align="center" |$10-1=9$
| align="center" |$10$
| align="center" |$100-9=91$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $.91$
| align="center" |$9.09$
| align="center" |$10$
| align="center" |$81.91$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $0.82$
| align="center" |$9.18$
| align="center" |$10$
| align="center" |$72.73$

|-
| align="center" | 4
| align="center" | $0.73$
| align="center" |$9.27$
| align="center" |$10$
| align="center" |$63.46$

|-
| align="center" | 5
| align="center" | $0.63$
| align="center" |$9.37$
| align="center" |$10$
| align="center" |$54.09$

|-
| align="center" | 6
| align="center" | $0.54$
| align="center" |$9.46$
| align="center" |$10$
| align="center" |$44.63$

|-
| align="center" | 7
| align="center" | $0.45$
| align="center" |$9.55$
| align="center" |$10$
| align="center" |$35.08$

|-
| align="center" | 8
| align="center" | $0.35$
| align="center" |$9.65$
| align="center" |$10$
| align="center" |$25.43$

|-
| align="center" | 9
| align="center" | $0.25$
| align="center" |$9.75$
| align="center" |$10$
| align="center" |$15.68$

|-
| align="center" | 10
| align="center" | $0.16$
| align="center" |$9.84$
| align="center" |$10$
| align="center" |$5.84$

|-
| align="center" | 11
| align="center" | $0.06$
| align="center" |'''$5.84$'''
Die Restschuld von 5.84 wird getilgt.
| align="center" |'''$5.90$'''
$A=ZA+TA$
| align="center" |$0$

|}

'''Achtung!'''
Bei der 11. Zahlung muss nur noch eine Schuld von 5.84 getilgt werden. Aus diesem Grund beträgt der Tilgungsanteil € 5.84!
Die Annuität beträgt dann nicht mehr € 10 (so würden wir ja zuviel zurückzahlen) sondern nur noch
$$ A = \textrm{Höhe des Tilgungsanteiles} + \textrm{die Höhe der Zinsen} $$
$$ A= 5.84+0.06 $$
$$A= 6.90$$

</div>

</div>

</div>

</div>

Weitere Beispiele findest du im 3. Klasse Buch (Trauner) auf den Seiten 174ff....

== Annuitätenschuld - Anniutät bleibt konstant ==

Bei einer Anniutätenschuld bleibt die Höhe der Annuität (Betrag der regelmäßig eingezahlt wird) konstant.

== Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant ==

== Zinsenschuld - nur die Zinsen werden beglichen ==

Online-Materialien:
* [http://fbmathe.bbs-bingen.de/Tilgungsrechnung/Aufgaben_Tilgungsrechnung.htm Beispiele und Lösungen von Ansgar Schiffler]

[[Kategorie:Finanzmathematik]]

Schuldentilgung

2014-04-15T10:37:24Z

91.115.36.148: /* Annuitätenschuld - Anniutät bleibt konstant */

== Einleitung und Begriffe ==

Die Schuldentilgung beschäftigt sich mit dem Tilgen (= Zurückzahlen) einer Schuld. Das typische Beispiel ist das Tilgen eines Bankredits.

Hierbei unterscheidet man zwischen den folgenden Begriffen:
{|
|-
|
* '''Annuität'''
| = der Betrag, der regelmäßig (z.B. jährlich) zurückgezahlt wird. In der [[Rentenrechnung]] ist dies die Rate R.
|-
|
* '''Zinsenanteil'''
| = jener Anteil der Annuität, der für die Zinsen aufgewendet wird.
|-
|
* '''Tilgungsanteil'''
| = jener Anteil der Annuität, um den die Schuld vermindert wird.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Erklärung der Begriffe anhand eines Beispiels''': </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Peter hat einen [[Rentenrechnung#Begriffe | nachschüssigen]] Kredit von 100 € bei 1 % p.a. aufgenommen. Somit fallen nach einem Jahr € 1 Zinsen an. Am Ende jedes Jahres zahlt Peter € 10 zurück.
* Die Annuität beträgt € 10.
* Der Zinsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 1.
* Der Tilgungsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 9 (Von den € 10 wird € 1 für die Zinsen verwendet und nur € 9 reduzieren die Schuld).
* Die Restschuld nach dem 1. Jahr begrägt noch € 91.

</div>

</div>

{| border ="1" align="center"
| '''Merke:'''

|

Annuität = Zinsanteil + Tilgungsanteil

|}

Je nachdem, wie die Schuld beglichen wird, unterscheidet man zwischen folgenden Formen:
* '''[[Schuldentilgung#Annuitätenschuld - Anniutät bleibt konstant | Annuitätenschuld]]''' - Anniutät bleibt konstant über die ganze Laufzeit konstant.
* '''[[Schuldentilgung#Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant |Ratenschuld]]''' - Tilgungsanteil bleibt konstant
* '''[[Schuldentilgung#Zinsenschuld - nur die Zinsen werden beglichen|Zinsenschuld]]''' - nur die Zinsen werden während der Laufzeit beglichen und der Rest erst am Ende der Laufzeit.

== Tilgungsplan ==

Der Tilgungsplan ist eine tabellarische Aufstellung der Kreditrückzahlung.
Er listet für jedes Jahr auf, wie hoch der Zinsen, der Tilgungsanteil, die Annuität und die Restschuld sind.
Für eine nachschüssige Schuldentilgung ist er folgendermaßen aufgebaut:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |Schuld zu Beginn

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1$
Zinsanteil bei der ersten Zahlung
| align="center" |$TA_1$
Tilgungsanteil der ersten Zahlung
| align="center" |$A_1$
Annuität$_1$ (=Höhe der ersten Zahlung)
| align="center" |$RS_1$
Restschuld nach einem Jahr
|-
| align="center" | 2
| align="center" |$ZA_2$
Zinsanteil bei der zweiten Zahlung
|align="center" | $TA_2$
Tilgungsanteil der zweiten Zahlung
| align="center" |$A_2$
Annuität$_2$ (=Höhe der zweiten Zahlung)
| align="center" | $RS_2$
Restschuld nach dem 2. Jahr

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

''' Hinweise '''
*Der Zinsanteil errechnet sich immer mithilfe der Schuld aus dem Vorjahr:
$$ ZA_1=\textrm{Schuld}\cdot \frac{i}{100} $$
* Am Ende eines Tilgungsplanes sollte ganz rechts unten bei der letzten Restschuld natürlich eine 0 stehen (vorausgesetzt die ganze Schuld wird zurückbezahlt).

'''Vorteile '''
* Der Tilgungsplan ermöglicht einen schönen Überblck über alle Zahlungen.
* Die einzelnen Werte können Schritt für Schritt ausgerechnet werden.

=== Musterbeispiel ===

'''Peter hat einen nachschüssigen Kredit von 100 € bei einer Verzinsung von 1 % p.a. aufgenommen. Er zahlt jährlich € 10 zurück. Erstelle einen Tilgungsplan!'''

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''1. Schritt: Beginn des Tilgungsplans''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Die Anfangsschuld ist € 100.
* Die Anniuität ist konstant € 10.
* $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1 $.
* $TA_1=A_1-ZA_1=9$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
* Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_1=100-9=91$

Damit erstellen wir nun die ersten zwei Zeilen des Tilgungsplanes:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1$
Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$
| align="center" |$10-1=9$
Allgemein: $TA=A-ZA$
| align="center" |$10$
Allgemein: $A=TA+ZA$
| align="center" |$100-9=91$
Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''2. Schritt: Fortsetzung des Tilgungsplans ''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Für das 2. Jahr des Tilgungsplans, nimmt man nun aus Ausgangswert die obere Zeile:

* Die alte Restschuld beträgt € 91.
* Die Anniuität ist konstant € 10.
* $ZA_2=91\cdot \frac{1}{100}=0.91 $.
* $TA_2=A_2-ZA_2=9.09$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
* Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_2=91-9.09=81.91$

Dies setzt man nun in den Tilgungsplan ein:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1$
| align="center" |$10-1=9$
| align="center" |$10$
| align="center" |$100-9=91$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $ZA_1=91\cdot \frac{1}{100}=0.91$
Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$
| align="center" |$10-0.91=9.09$
Allgemein: $TA=A-ZA$
| align="center" |$10$
Allgemein: $A=TA+ZA$
| align="center" |$91-9.09=81.91$
Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''3. Schritt: Vollständiger Tilgungsplan''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1$
| align="center" |$10-1=9$
| align="center" |$10$
| align="center" |$100-9=91$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $.91$
| align="center" |$9.09$
| align="center" |$10$
| align="center" |$81.91$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $0.82$
| align="center" |$9.18$
| align="center" |$10$
| align="center" |$72.73$

|-
| align="center" | 4
| align="center" | $0.73$
| align="center" |$9.27$
| align="center" |$10$
| align="center" |$63.46$

|-
| align="center" | 5
| align="center" | $0.63$
| align="center" |$9.37$
| align="center" |$10$
| align="center" |$54.09$

|-
| align="center" | 6
| align="center" | $0.54$
| align="center" |$9.46$
| align="center" |$10$
| align="center" |$44.63$

|-
| align="center" | 7
| align="center" | $0.45$
| align="center" |$9.55$
| align="center" |$10$
| align="center" |$35.08$

|-
| align="center" | 8
| align="center" | $0.35$
| align="center" |$9.65$
| align="center" |$10$
| align="center" |$25.43$

|-
| align="center" | 9
| align="center" | $0.25$
| align="center" |$9.75$
| align="center" |$10$
| align="center" |$15.68$

|-
| align="center" | 10
| align="center" | $0.16$
| align="center" |$9.84$
| align="center" |$10$
| align="center" |$5.84$

|-
| align="center" | 11
| align="center" | $0.06$
| align="center" |'''$5.84$'''
Die Restschuld von 5.84 wird getilgt.
| align="center" |'''$5.90$'''
$A=ZA+TA$
| align="center" |$0$

|}

'''Achtung!'''
Bei der 11. Zahlung muss nur noch eine Schuld von 5.84 getilgt werden. Aus diesem Grund beträgt der Tilgungsanteil € 5.84!
Die Annuität beträgt dann nicht mehr € 10 (so würden wir ja zuviel zurückzahlen) sondern nur noch
$$ A = \textrm{Höhe des Tilgungsanteiles} + \textrm{die Höhe der Zinsen} $$
$$ A= 5.84+0.06 $$
$$A= 6.90$$

</div>

</div>

</div>

</div>

Weitere Beispiele findest du im 3. Klasse Buch (Trauner) auf den Seiten 174ff....

== Annuitätenschuld - Anniutät bleibt konstant ==

Bei einer Anniutätenschuld bleibt die Höhe der Annuität (Betrag der regelmäßig eingezahlt wird) konstant.

== Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant ==

== Zinsenschuld - nur die Zinsen werden beglichen ==

Online-Materialien:
* [http://fbmathe.bbs-bingen.de/Tilgungsrechnung/Aufgaben_Tilgungsrechnung.htm Beispiele und Lösungen von Ansgar Schiffler]

[[Kategorie:Finanzmathematik]]

Schuldentilgung

2014-04-15T10:37:17Z

91.115.36.148: /* Einleitung und Begriffe */

== Einleitung und Begriffe ==

Die Schuldentilgung beschäftigt sich mit dem Tilgen (= Zurückzahlen) einer Schuld. Das typische Beispiel ist das Tilgen eines Bankredits.

Hierbei unterscheidet man zwischen den folgenden Begriffen:
{|
|-
|
* '''Annuität'''
| = der Betrag, der regelmäßig (z.B. jährlich) zurückgezahlt wird. In der [[Rentenrechnung]] ist dies die Rate R.
|-
|
* '''Zinsenanteil'''
| = jener Anteil der Annuität, der für die Zinsen aufgewendet wird.
|-
|
* '''Tilgungsanteil'''
| = jener Anteil der Annuität, um den die Schuld vermindert wird.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Erklärung der Begriffe anhand eines Beispiels''': </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Peter hat einen [[Rentenrechnung#Begriffe | nachschüssigen]] Kredit von 100 € bei 1 % p.a. aufgenommen. Somit fallen nach einem Jahr € 1 Zinsen an. Am Ende jedes Jahres zahlt Peter € 10 zurück.
* Die Annuität beträgt € 10.
* Der Zinsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 1.
* Der Tilgungsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 9 (Von den € 10 wird € 1 für die Zinsen verwendet und nur € 9 reduzieren die Schuld).
* Die Restschuld nach dem 1. Jahr begrägt noch € 91.

</div>

</div>

{| border ="1" align="center"
| '''Merke:'''

|

Annuität = Zinsanteil + Tilgungsanteil

|}

Je nachdem, wie die Schuld beglichen wird, unterscheidet man zwischen folgenden Formen:
* '''[[Schuldentilgung#Annuitätenschuld - Anniutät bleibt konstant | Annuitätenschuld]]''' - Anniutät bleibt konstant über die ganze Laufzeit konstant.
* '''[[Schuldentilgung#Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant |Ratenschuld]]''' - Tilgungsanteil bleibt konstant
* '''[[Schuldentilgung#Zinsenschuld - nur die Zinsen werden beglichen|Zinsenschuld]]''' - nur die Zinsen werden während der Laufzeit beglichen und der Rest erst am Ende der Laufzeit.

== Tilgungsplan ==

Der Tilgungsplan ist eine tabellarische Aufstellung der Kreditrückzahlung.
Er listet für jedes Jahr auf, wie hoch der Zinsen, der Tilgungsanteil, die Annuität und die Restschuld sind.
Für eine nachschüssige Schuldentilgung ist er folgendermaßen aufgebaut:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |Schuld zu Beginn

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1$
Zinsanteil bei der ersten Zahlung
| align="center" |$TA_1$
Tilgungsanteil der ersten Zahlung
| align="center" |$A_1$
Annuität$_1$ (=Höhe der ersten Zahlung)
| align="center" |$RS_1$
Restschuld nach einem Jahr
|-
| align="center" | 2
| align="center" |$ZA_2$
Zinsanteil bei der zweiten Zahlung
|align="center" | $TA_2$
Tilgungsanteil der zweiten Zahlung
| align="center" |$A_2$
Annuität$_2$ (=Höhe der zweiten Zahlung)
| align="center" | $RS_2$
Restschuld nach dem 2. Jahr

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

''' Hinweise '''
*Der Zinsanteil errechnet sich immer mithilfe der Schuld aus dem Vorjahr:
$$ ZA_1=\textrm{Schuld}\cdot \frac{i}{100} $$
* Am Ende eines Tilgungsplanes sollte ganz rechts unten bei der letzten Restschuld natürlich eine 0 stehen (vorausgesetzt die ganze Schuld wird zurückbezahlt).

'''Vorteile '''
* Der Tilgungsplan ermöglicht einen schönen Überblck über alle Zahlungen.
* Die einzelnen Werte können Schritt für Schritt ausgerechnet werden.

=== Musterbeispiel ===

'''Peter hat einen nachschüssigen Kredit von 100 € bei einer Verzinsung von 1 % p.a. aufgenommen. Er zahlt jährlich € 10 zurück. Erstelle einen Tilgungsplan!'''

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''1. Schritt: Beginn des Tilgungsplans''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Die Anfangsschuld ist € 100.
* Die Anniuität ist konstant € 10.
* $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1 $.
* $TA_1=A_1-ZA_1=9$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
* Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_1=100-9=91$

Damit erstellen wir nun die ersten zwei Zeilen des Tilgungsplanes:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1$
Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$
| align="center" |$10-1=9$
Allgemein: $TA=A-ZA$
| align="center" |$10$
Allgemein: $A=TA+ZA$
| align="center" |$100-9=91$
Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''2. Schritt: Fortsetzung des Tilgungsplans ''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Für das 2. Jahr des Tilgungsplans, nimmt man nun aus Ausgangswert die obere Zeile:

* Die alte Restschuld beträgt € 91.
* Die Anniuität ist konstant € 10.
* $ZA_2=91\cdot \frac{1}{100}=0.91 $.
* $TA_2=A_2-ZA_2=9.09$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
* Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_2=91-9.09=81.91$

Dies setzt man nun in den Tilgungsplan ein:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1$
| align="center" |$10-1=9$
| align="center" |$10$
| align="center" |$100-9=91$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $ZA_1=91\cdot \frac{1}{100}=0.91$
Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$
| align="center" |$10-0.91=9.09$
Allgemein: $TA=A-ZA$
| align="center" |$10$
Allgemein: $A=TA+ZA$
| align="center" |$91-9.09=81.91$
Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''3. Schritt: Vollständiger Tilgungsplan''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1$
| align="center" |$10-1=9$
| align="center" |$10$
| align="center" |$100-9=91$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $.91$
| align="center" |$9.09$
| align="center" |$10$
| align="center" |$81.91$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $0.82$
| align="center" |$9.18$
| align="center" |$10$
| align="center" |$72.73$

|-
| align="center" | 4
| align="center" | $0.73$
| align="center" |$9.27$
| align="center" |$10$
| align="center" |$63.46$

|-
| align="center" | 5
| align="center" | $0.63$
| align="center" |$9.37$
| align="center" |$10$
| align="center" |$54.09$

|-
| align="center" | 6
| align="center" | $0.54$
| align="center" |$9.46$
| align="center" |$10$
| align="center" |$44.63$

|-
| align="center" | 7
| align="center" | $0.45$
| align="center" |$9.55$
| align="center" |$10$
| align="center" |$35.08$

|-
| align="center" | 8
| align="center" | $0.35$
| align="center" |$9.65$
| align="center" |$10$
| align="center" |$25.43$

|-
| align="center" | 9
| align="center" | $0.25$
| align="center" |$9.75$
| align="center" |$10$
| align="center" |$15.68$

|-
| align="center" | 10
| align="center" | $0.16$
| align="center" |$9.84$
| align="center" |$10$
| align="center" |$5.84$

|-
| align="center" | 11
| align="center" | $0.06$
| align="center" |'''$5.84$'''
Die Restschuld von 5.84 wird getilgt.
| align="center" |'''$5.90$'''
$A=ZA+TA$
| align="center" |$0$

|}

'''Achtung!'''
Bei der 11. Zahlung muss nur noch eine Schuld von 5.84 getilgt werden. Aus diesem Grund beträgt der Tilgungsanteil € 5.84!
Die Annuität beträgt dann nicht mehr € 10 (so würden wir ja zuviel zurückzahlen) sondern nur noch
$$ A = \textrm{Höhe des Tilgungsanteiles} + \textrm{die Höhe der Zinsen} $$
$$ A= 5.84+0.06 $$
$$A= 6.90$$

</div>

</div>

</div>

</div>

Weitere Beispiele findest du im 3. Klasse Buch (Trauner) auf den Seiten 174ff....

== Annuitätenschuld - Anniutät bleibt konstant ==

== Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant ==

== Zinsenschuld - nur die Zinsen werden beglichen ==

Online-Materialien:
* [http://fbmathe.bbs-bingen.de/Tilgungsrechnung/Aufgaben_Tilgungsrechnung.htm Beispiele und Lösungen von Ansgar Schiffler]

[[Kategorie:Finanzmathematik]]

Schuldentilgung

2014-04-15T10:35:33Z

91.115.36.148: /* Ratenschuld - nur die Zinsen werden beglichen */

== Einleitung und Begriffe ==

Die Schuldentilgung beschäftigt sich mit dem Tilgen (= Zurückzahlen) einer Schuld. Das typische Beispiel ist das Tilgen eines Bankredits.

Hierbei unterscheidet man zwischen den folgenden Begriffen:
{|
|-
|
* '''Annuität'''
| = der Betrag, der regelmäßig (z.B. jährlich) zurückgezahlt wird.
|-
|
* '''Zinsenanteil'''
| = jener Anteil der Annuität, der für die Zinsen aufgewendet wird.
|-
|
* '''Tilgungsanteil'''
| = jener Anteil der Annuität, um den die Schuld vermindert wird.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Erklärung der Begriffe anhand eines Beispiels''': </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Peter hat einen [[Rentenrechnung#Begriffe | nachschüssigen]] Kredit von 100 € bei 1 % p.a. aufgenommen. Somit fallen nach einem Jahr € 1 Zinsen an. Am Ende jedes Jahres zahlt Peter € 10 zurück.
* Die Annuität beträgt € 10.
* Der Zinsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 1.
* Der Tilgungsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 9 (Von den € 10 wird € 1 für die Zinsen verwendet und nur € 9 reduzieren die Schuld).
* Die Restschuld nach dem 1. Jahr begrägt noch € 91.

</div>

</div>

{| border ="1" align="center"
| '''Merke:'''

|

Annuität = Zinsanteil + Tilgungsanteil

|}

Je nachdem, wie die Schuld beglichen wird, unterscheidet man zwischen folgenden Formen:
* '''[[Schuldentilgung#Annuitätenschuld - Anniutät bleibt konstant | Annuitätenschuld]]''' - Anniutät bleibt konstant über die ganze Laufzeit konstant.
* '''[[Schuldentilgung#Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant |Ratenschuld]]''' - Tilgungsanteil bleibt konstant
* '''[[Schuldentilgung#Zinsenschuld - nur die Zinsen werden beglichen|Zinsenschuld]]''' - nur die Zinsen werden während der Laufzeit beglichen und der Rest erst am Ende der Laufzeit.

== Tilgungsplan ==

Der Tilgungsplan ist eine tabellarische Aufstellung der Kreditrückzahlung.
Er listet für jedes Jahr auf, wie hoch der Zinsen, der Tilgungsanteil, die Annuität und die Restschuld sind.
Für eine nachschüssige Schuldentilgung ist er folgendermaßen aufgebaut:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |Schuld zu Beginn

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1$
Zinsanteil bei der ersten Zahlung
| align="center" |$TA_1$
Tilgungsanteil der ersten Zahlung
| align="center" |$A_1$
Annuität$_1$ (=Höhe der ersten Zahlung)
| align="center" |$RS_1$
Restschuld nach einem Jahr
|-
| align="center" | 2
| align="center" |$ZA_2$
Zinsanteil bei der zweiten Zahlung
|align="center" | $TA_2$
Tilgungsanteil der zweiten Zahlung
| align="center" |$A_2$
Annuität$_2$ (=Höhe der zweiten Zahlung)
| align="center" | $RS_2$
Restschuld nach dem 2. Jahr

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

''' Hinweise '''
*Der Zinsanteil errechnet sich immer mithilfe der Schuld aus dem Vorjahr:
$$ ZA_1=\textrm{Schuld}\cdot \frac{i}{100} $$
* Am Ende eines Tilgungsplanes sollte ganz rechts unten bei der letzten Restschuld natürlich eine 0 stehen (vorausgesetzt die ganze Schuld wird zurückbezahlt).

'''Vorteile '''
* Der Tilgungsplan ermöglicht einen schönen Überblck über alle Zahlungen.
* Die einzelnen Werte können Schritt für Schritt ausgerechnet werden.

=== Musterbeispiel ===

'''Peter hat einen nachschüssigen Kredit von 100 € bei einer Verzinsung von 1 % p.a. aufgenommen. Er zahlt jährlich € 10 zurück. Erstelle einen Tilgungsplan!'''

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''1. Schritt: Beginn des Tilgungsplans''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Die Anfangsschuld ist € 100.
* Die Anniuität ist konstant € 10.
* $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1 $.
* $TA_1=A_1-ZA_1=9$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
* Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_1=100-9=91$

Damit erstellen wir nun die ersten zwei Zeilen des Tilgungsplanes:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1$
Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$
| align="center" |$10-1=9$
Allgemein: $TA=A-ZA$
| align="center" |$10$
Allgemein: $A=TA+ZA$
| align="center" |$100-9=91$
Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''2. Schritt: Fortsetzung des Tilgungsplans ''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Für das 2. Jahr des Tilgungsplans, nimmt man nun aus Ausgangswert die obere Zeile:

* Die alte Restschuld beträgt € 91.
* Die Anniuität ist konstant € 10.
* $ZA_2=91\cdot \frac{1}{100}=0.91 $.
* $TA_2=A_2-ZA_2=9.09$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
* Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_2=91-9.09=81.91$

Dies setzt man nun in den Tilgungsplan ein:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1$
| align="center" |$10-1=9$
| align="center" |$10$
| align="center" |$100-9=91$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $ZA_1=91\cdot \frac{1}{100}=0.91$
Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$
| align="center" |$10-0.91=9.09$
Allgemein: $TA=A-ZA$
| align="center" |$10$
Allgemein: $A=TA+ZA$
| align="center" |$91-9.09=81.91$
Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''3. Schritt: Vollständiger Tilgungsplan''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1$
| align="center" |$10-1=9$
| align="center" |$10$
| align="center" |$100-9=91$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $.91$
| align="center" |$9.09$
| align="center" |$10$
| align="center" |$81.91$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $0.82$
| align="center" |$9.18$
| align="center" |$10$
| align="center" |$72.73$

|-
| align="center" | 4
| align="center" | $0.73$
| align="center" |$9.27$
| align="center" |$10$
| align="center" |$63.46$

|-
| align="center" | 5
| align="center" | $0.63$
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| align="center" |$10$
| align="center" |$54.09$

|-
| align="center" | 6
| align="center" | $0.54$
| align="center" |$9.46$
| align="center" |$10$
| align="center" |$44.63$

|-
| align="center" | 7
| align="center" | $0.45$
| align="center" |$9.55$
| align="center" |$10$
| align="center" |$35.08$

|-
| align="center" | 8
| align="center" | $0.35$
| align="center" |$9.65$
| align="center" |$10$
| align="center" |$25.43$

|-
| align="center" | 9
| align="center" | $0.25$
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| align="center" |$10$
| align="center" |$15.68$

|-
| align="center" | 10
| align="center" | $0.16$
| align="center" |$9.84$
| align="center" |$10$
| align="center" |$5.84$

|-
| align="center" | 11
| align="center" | $0.06$
| align="center" |'''$5.84$'''
Die Restschuld von 5.84 wird getilgt.
| align="center" |'''$5.90$'''
$A=ZA+TA$
| align="center" |$0$

|}

'''Achtung!'''
Bei der 11. Zahlung muss nur noch eine Schuld von 5.84 getilgt werden. Aus diesem Grund beträgt der Tilgungsanteil € 5.84!
Die Annuität beträgt dann nicht mehr € 10 (so würden wir ja zuviel zurückzahlen) sondern nur noch
$$ A = \textrm{Höhe des Tilgungsanteiles} + \textrm{die Höhe der Zinsen} $$
$$ A= 5.84+0.06 $$
$$A= 6.90$$

</div>

</div>

</div>

</div>

Weitere Beispiele findest du im 3. Klasse Buch (Trauner) auf den Seiten 174ff....

== Annuitätenschuld - Anniutät bleibt konstant ==

== Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant ==

== Zinsenschuld - nur die Zinsen werden beglichen ==

Online-Materialien:
* [http://fbmathe.bbs-bingen.de/Tilgungsrechnung/Aufgaben_Tilgungsrechnung.htm Beispiele und Lösungen von Ansgar Schiffler]

[[Kategorie:Finanzmathematik]]

Schuldentilgung

2014-04-15T10:35:09Z

91.115.36.148: /* Einleitung und Begriffe */

== Einleitung und Begriffe ==

Die Schuldentilgung beschäftigt sich mit dem Tilgen (= Zurückzahlen) einer Schuld. Das typische Beispiel ist das Tilgen eines Bankredits.

Hierbei unterscheidet man zwischen den folgenden Begriffen:
{|
|-
|
* '''Annuität'''
| = der Betrag, der regelmäßig (z.B. jährlich) zurückgezahlt wird.
|-
|
* '''Zinsenanteil'''
| = jener Anteil der Annuität, der für die Zinsen aufgewendet wird.
|-
|
* '''Tilgungsanteil'''
| = jener Anteil der Annuität, um den die Schuld vermindert wird.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Erklärung der Begriffe anhand eines Beispiels''': </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Peter hat einen [[Rentenrechnung#Begriffe | nachschüssigen]] Kredit von 100 € bei 1 % p.a. aufgenommen. Somit fallen nach einem Jahr € 1 Zinsen an. Am Ende jedes Jahres zahlt Peter € 10 zurück.
* Die Annuität beträgt € 10.
* Der Zinsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 1.
* Der Tilgungsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 9 (Von den € 10 wird € 1 für die Zinsen verwendet und nur € 9 reduzieren die Schuld).
* Die Restschuld nach dem 1. Jahr begrägt noch € 91.

</div>

</div>

{| border ="1" align="center"
| '''Merke:'''

|

Annuität = Zinsanteil + Tilgungsanteil

|}

Je nachdem, wie die Schuld beglichen wird, unterscheidet man zwischen folgenden Formen:
* '''[[Schuldentilgung#Annuitätenschuld - Anniutät bleibt konstant | Annuitätenschuld]]''' - Anniutät bleibt konstant über die ganze Laufzeit konstant.
* '''[[Schuldentilgung#Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant |Ratenschuld]]''' - Tilgungsanteil bleibt konstant
* '''[[Schuldentilgung#Zinsenschuld - nur die Zinsen werden beglichen|Zinsenschuld]]''' - nur die Zinsen werden während der Laufzeit beglichen und der Rest erst am Ende der Laufzeit.

== Tilgungsplan ==

Der Tilgungsplan ist eine tabellarische Aufstellung der Kreditrückzahlung.
Er listet für jedes Jahr auf, wie hoch der Zinsen, der Tilgungsanteil, die Annuität und die Restschuld sind.
Für eine nachschüssige Schuldentilgung ist er folgendermaßen aufgebaut:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |Schuld zu Beginn

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1$
Zinsanteil bei der ersten Zahlung
| align="center" |$TA_1$
Tilgungsanteil der ersten Zahlung
| align="center" |$A_1$
Annuität$_1$ (=Höhe der ersten Zahlung)
| align="center" |$RS_1$
Restschuld nach einem Jahr
|-
| align="center" | 2
| align="center" |$ZA_2$
Zinsanteil bei der zweiten Zahlung
|align="center" | $TA_2$
Tilgungsanteil der zweiten Zahlung
| align="center" |$A_2$
Annuität$_2$ (=Höhe der zweiten Zahlung)
| align="center" | $RS_2$
Restschuld nach dem 2. Jahr

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

''' Hinweise '''
*Der Zinsanteil errechnet sich immer mithilfe der Schuld aus dem Vorjahr:
$$ ZA_1=\textrm{Schuld}\cdot \frac{i}{100} $$
* Am Ende eines Tilgungsplanes sollte ganz rechts unten bei der letzten Restschuld natürlich eine 0 stehen (vorausgesetzt die ganze Schuld wird zurückbezahlt).

'''Vorteile '''
* Der Tilgungsplan ermöglicht einen schönen Überblck über alle Zahlungen.
* Die einzelnen Werte können Schritt für Schritt ausgerechnet werden.

=== Musterbeispiel ===

'''Peter hat einen nachschüssigen Kredit von 100 € bei einer Verzinsung von 1 % p.a. aufgenommen. Er zahlt jährlich € 10 zurück. Erstelle einen Tilgungsplan!'''

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''1. Schritt: Beginn des Tilgungsplans''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Die Anfangsschuld ist € 100.
* Die Anniuität ist konstant € 10.
* $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1 $.
* $TA_1=A_1-ZA_1=9$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
* Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_1=100-9=91$

Damit erstellen wir nun die ersten zwei Zeilen des Tilgungsplanes:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1$
Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$
| align="center" |$10-1=9$
Allgemein: $TA=A-ZA$
| align="center" |$10$
Allgemein: $A=TA+ZA$
| align="center" |$100-9=91$
Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''2. Schritt: Fortsetzung des Tilgungsplans ''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Für das 2. Jahr des Tilgungsplans, nimmt man nun aus Ausgangswert die obere Zeile:

* Die alte Restschuld beträgt € 91.
* Die Anniuität ist konstant € 10.
* $ZA_2=91\cdot \frac{1}{100}=0.91 $.
* $TA_2=A_2-ZA_2=9.09$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
* Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_2=91-9.09=81.91$

Dies setzt man nun in den Tilgungsplan ein:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1$
| align="center" |$10-1=9$
| align="center" |$10$
| align="center" |$100-9=91$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $ZA_1=91\cdot \frac{1}{100}=0.91$
Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$
| align="center" |$10-0.91=9.09$
Allgemein: $TA=A-ZA$
| align="center" |$10$
Allgemein: $A=TA+ZA$
| align="center" |$91-9.09=81.91$
Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''3. Schritt: Vollständiger Tilgungsplan''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1$
| align="center" |$10-1=9$
| align="center" |$10$
| align="center" |$100-9=91$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $.91$
| align="center" |$9.09$
| align="center" |$10$
| align="center" |$81.91$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $0.82$
| align="center" |$9.18$
| align="center" |$10$
| align="center" |$72.73$

|-
| align="center" | 4
| align="center" | $0.73$
| align="center" |$9.27$
| align="center" |$10$
| align="center" |$63.46$

|-
| align="center" | 5
| align="center" | $0.63$
| align="center" |$9.37$
| align="center" |$10$
| align="center" |$54.09$

|-
| align="center" | 6
| align="center" | $0.54$
| align="center" |$9.46$
| align="center" |$10$
| align="center" |$44.63$

|-
| align="center" | 7
| align="center" | $0.45$
| align="center" |$9.55$
| align="center" |$10$
| align="center" |$35.08$

|-
| align="center" | 8
| align="center" | $0.35$
| align="center" |$9.65$
| align="center" |$10$
| align="center" |$25.43$

|-
| align="center" | 9
| align="center" | $0.25$
| align="center" |$9.75$
| align="center" |$10$
| align="center" |$15.68$

|-
| align="center" | 10
| align="center" | $0.16$
| align="center" |$9.84$
| align="center" |$10$
| align="center" |$5.84$

|-
| align="center" | 11
| align="center" | $0.06$
| align="center" |'''$5.84$'''
Die Restschuld von 5.84 wird getilgt.
| align="center" |'''$5.90$'''
$A=ZA+TA$
| align="center" |$0$

|}

'''Achtung!'''
Bei der 11. Zahlung muss nur noch eine Schuld von 5.84 getilgt werden. Aus diesem Grund beträgt der Tilgungsanteil € 5.84!
Die Annuität beträgt dann nicht mehr € 10 (so würden wir ja zuviel zurückzahlen) sondern nur noch
$$ A = \textrm{Höhe des Tilgungsanteiles} + \textrm{die Höhe der Zinsen} $$
$$ A= 5.84+0.06 $$
$$A= 6.90$$

</div>

</div>

</div>

</div>

Weitere Beispiele findest du im 3. Klasse Buch (Trauner) auf den Seiten 174ff....

== Annuitätenschuld - Anniutät bleibt konstant ==

== Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant ==

== Ratenschuld - nur die Zinsen werden beglichen ==

Online-Materialien:
* [http://fbmathe.bbs-bingen.de/Tilgungsrechnung/Aufgaben_Tilgungsrechnung.htm Beispiele und Lösungen von Ansgar Schiffler]

[[Kategorie:Finanzmathematik]]

Schuldentilgung

2014-04-15T10:32:51Z

91.115.36.148: /* Einleitung und Begriffe */

== Einleitung und Begriffe ==

Die Schuldentilgung beschäftigt sich mit dem Tilgen (= Zurückzahlen) einer Schuld. Das typische Beispiel ist das Tilgen eines Bankredits.

Hierbei unterscheidet man zwischen den folgenden Begriffen:
{|
|-
|
* '''Annuität'''
| = der Betrag, der regelmäßig (z.B. jährlich) zurückgezahlt wird.
|-
|
* '''Zinsenanteil'''
| = jener Anteil der Annuität, der für die Zinsen aufgewendet wird.
|-
|
* '''Tilgungsanteil'''
| = jener Anteil der Annuität, um den die Schuld vermindert wird.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Erklärung der Begriffe anhand eines Beispiels''': </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Peter hat einen [[Rentenrechnung#Begriffe | nachschüssigen]] Kredit von 100 € bei 1 % p.a. aufgenommen. Somit fallen nach einem Jahr € 1 Zinsen an. Am Ende jedes Jahres zahlt Peter € 10 zurück.
* Die Annuität beträgt € 10.
* Der Zinsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 1.
* Der Tilgungsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 9 (Von den € 10 wird € 1 für die Zinsen verwendet und nur € 9 reduzieren die Schuld).
* Die Restschuld nach dem 1. Jahr begrägt noch € 91.

</div>

</div>

{| border ="1" align="center"
| '''Merke:'''

|

Annuität = Zinsanteil + Tilgungsanteil

|}

Je nachdem, wie die Schuld beglichen wird, unterscheidet man zwischen folgenden Formen:
* '''[[Schuldentilgung#Annuitätenschuld | Annuitätenschuld]]''' - Anniutät bleibt konstant über die ganze Laufzeit konstant.
* '''[[Schuldentilgung#Ratenschuld |Ratenschuld]]''' - Tilgungsanteil bleibt konstant
* '''[[Schuldentilgung#Zinsenschuld |Zinsenschuld]]''' - nur die Zinsen werden während der Laufzeit beglichen und der Rest erst am Ende der Laufzeit.

== Tilgungsplan ==

Der Tilgungsplan ist eine tabellarische Aufstellung der Kreditrückzahlung.
Er listet für jedes Jahr auf, wie hoch der Zinsen, der Tilgungsanteil, die Annuität und die Restschuld sind.
Für eine nachschüssige Schuldentilgung ist er folgendermaßen aufgebaut:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |Schuld zu Beginn

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1$
Zinsanteil bei der ersten Zahlung
| align="center" |$TA_1$
Tilgungsanteil der ersten Zahlung
| align="center" |$A_1$
Annuität$_1$ (=Höhe der ersten Zahlung)
| align="center" |$RS_1$
Restschuld nach einem Jahr
|-
| align="center" | 2
| align="center" |$ZA_2$
Zinsanteil bei der zweiten Zahlung
|align="center" | $TA_2$
Tilgungsanteil der zweiten Zahlung
| align="center" |$A_2$
Annuität$_2$ (=Höhe der zweiten Zahlung)
| align="center" | $RS_2$
Restschuld nach dem 2. Jahr

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

''' Hinweise '''
*Der Zinsanteil errechnet sich immer mithilfe der Schuld aus dem Vorjahr:
$$ ZA_1=\textrm{Schuld}\cdot \frac{i}{100} $$
* Am Ende eines Tilgungsplanes sollte ganz rechts unten bei der letzten Restschuld natürlich eine 0 stehen (vorausgesetzt die ganze Schuld wird zurückbezahlt).

'''Vorteile '''
* Der Tilgungsplan ermöglicht einen schönen Überblck über alle Zahlungen.
* Die einzelnen Werte können Schritt für Schritt ausgerechnet werden.

=== Musterbeispiel ===

'''Peter hat einen nachschüssigen Kredit von 100 € bei einer Verzinsung von 1 % p.a. aufgenommen. Er zahlt jährlich € 10 zurück. Erstelle einen Tilgungsplan!'''

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''1. Schritt: Beginn des Tilgungsplans''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Die Anfangsschuld ist € 100.
* Die Anniuität ist konstant € 10.
* $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1 $.
* $TA_1=A_1-ZA_1=9$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
* Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_1=100-9=91$

Damit erstellen wir nun die ersten zwei Zeilen des Tilgungsplanes:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1$
Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$
| align="center" |$10-1=9$
Allgemein: $TA=A-ZA$
| align="center" |$10$
Allgemein: $A=TA+ZA$
| align="center" |$100-9=91$
Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''2. Schritt: Fortsetzung des Tilgungsplans ''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Für das 2. Jahr des Tilgungsplans, nimmt man nun aus Ausgangswert die obere Zeile:

* Die alte Restschuld beträgt € 91.
* Die Anniuität ist konstant € 10.
* $ZA_2=91\cdot \frac{1}{100}=0.91 $.
* $TA_2=A_2-ZA_2=9.09$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
* Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_2=91-9.09=81.91$

Dies setzt man nun in den Tilgungsplan ein:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1$
| align="center" |$10-1=9$
| align="center" |$10$
| align="center" |$100-9=91$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $ZA_1=91\cdot \frac{1}{100}=0.91$
Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$
| align="center" |$10-0.91=9.09$
Allgemein: $TA=A-ZA$
| align="center" |$10$
Allgemein: $A=TA+ZA$
| align="center" |$91-9.09=81.91$
Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''3. Schritt: Vollständiger Tilgungsplan''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1$
| align="center" |$10-1=9$
| align="center" |$10$
| align="center" |$100-9=91$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $.91$
| align="center" |$9.09$
| align="center" |$10$
| align="center" |$81.91$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $0.82$
| align="center" |$9.18$
| align="center" |$10$
| align="center" |$72.73$

|-
| align="center" | 4
| align="center" | $0.73$
| align="center" |$9.27$
| align="center" |$10$
| align="center" |$63.46$

|-
| align="center" | 5
| align="center" | $0.63$
| align="center" |$9.37$
| align="center" |$10$
| align="center" |$54.09$

|-
| align="center" | 6
| align="center" | $0.54$
| align="center" |$9.46$
| align="center" |$10$
| align="center" |$44.63$

|-
| align="center" | 7
| align="center" | $0.45$
| align="center" |$9.55$
| align="center" |$10$
| align="center" |$35.08$

|-
| align="center" | 8
| align="center" | $0.35$
| align="center" |$9.65$
| align="center" |$10$
| align="center" |$25.43$

|-
| align="center" | 9
| align="center" | $0.25$
| align="center" |$9.75$
| align="center" |$10$
| align="center" |$15.68$

|-
| align="center" | 10
| align="center" | $0.16$
| align="center" |$9.84$
| align="center" |$10$
| align="center" |$5.84$

|-
| align="center" | 11
| align="center" | $0.06$
| align="center" |'''$5.84$'''
Die Restschuld von 5.84 wird getilgt.
| align="center" |'''$5.90$'''
$A=ZA+TA$
| align="center" |$0$

|}

'''Achtung!'''
Bei der 11. Zahlung muss nur noch eine Schuld von 5.84 getilgt werden. Aus diesem Grund beträgt der Tilgungsanteil € 5.84!
Die Annuität beträgt dann nicht mehr € 10 (so würden wir ja zuviel zurückzahlen) sondern nur noch
$$ A = \textrm{Höhe des Tilgungsanteiles} + \textrm{die Höhe der Zinsen} $$
$$ A= 5.84+0.06 $$
$$A= 6.90$$

</div>

</div>

</div>

</div>

Weitere Beispiele findest du im 3. Klasse Buch (Trauner) auf den Seiten 174ff....

== Annuitätenschuld - Anniutät bleibt konstant ==

== Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant ==

== Ratenschuld - nur die Zinsen werden beglichen ==

Online-Materialien:
* [http://fbmathe.bbs-bingen.de/Tilgungsrechnung/Aufgaben_Tilgungsrechnung.htm Beispiele und Lösungen von Ansgar Schiffler]

[[Kategorie:Finanzmathematik]]

Schuldentilgung

2014-04-15T10:26:24Z

91.115.36.148: /* Musterbeispiel */

== Einleitung und Begriffe ==

Die Schuldentilgung beschäftigt sich mit dem Tilgen (= Zurückzahlen) einer Schuld. Das typische Beispiel ist das Tilgen eines Bankredits.

Hierbei unterscheidet man zwischen den folgenden Begriffen:
{|
|-
|
* '''Annuität'''
| = der Betrag, der regelmäßig (z.B. jährlich) zurückgezahlt wird.
|-
|
* '''Zinsenanteil'''
| = jener Anteil der Annuität, der für die Zinsen aufgewendet wird.
|-
|
* '''Tilgungsanteil'''
| = jener Anteil der Annuität, um den die Schuld vermindert wird.
|}

'''Erklärung der Begriffe anhand eines Beispiels''':
Peter hat einen [[Rentenrechnung#Begriffe | nachschüssigen]] Kredit von 100 € bei 1 % p.a. aufgenommen. Somit fallen nach einem Jahr € 1 Zinsen an. Am Ende jedes Jahres zahlt Peter € 10 zurück.
* Die Annuität beträgt € 10.
* Der Zinsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 1.
* Der Tilgungsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 9 (Von den € 10 wird € 1 für die Zinsen verwendet und nur € 9 reduzieren die Schuld).
* Die Restschuld nach dem 1. Jahr begrägt noch € 91.

{| border ="1" align="center"
| '''Merke:'''

|

Annuität = Zinsanteil + Tilgungsanteil

|}

== Tilgungsplan ==

Der Tilgungsplan ist eine tabellarische Aufstellung der Kreditrückzahlung.
Er listet für jedes Jahr auf, wie hoch der Zinsen, der Tilgungsanteil, die Annuität und die Restschuld sind.
Für eine nachschüssige Schuldentilgung ist er folgendermaßen aufgebaut:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |Schuld zu Beginn

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1$
Zinsanteil bei der ersten Zahlung
| align="center" |$TA_1$
Tilgungsanteil der ersten Zahlung
| align="center" |$A_1$
Annuität$_1$ (=Höhe der ersten Zahlung)
| align="center" |$RS_1$
Restschuld nach einem Jahr
|-
| align="center" | 2
| align="center" |$ZA_2$
Zinsanteil bei der zweiten Zahlung
|align="center" | $TA_2$
Tilgungsanteil der zweiten Zahlung
| align="center" |$A_2$
Annuität$_2$ (=Höhe der zweiten Zahlung)
| align="center" | $RS_2$
Restschuld nach dem 2. Jahr

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

''' Hinweise '''
*Der Zinsanteil errechnet sich immer mithilfe der Schuld aus dem Vorjahr:
$$ ZA_1=\textrm{Schuld}\cdot \frac{i}{100} $$
* Am Ende eines Tilgungsplanes sollte ganz rechts unten bei der letzten Restschuld natürlich eine 0 stehen (vorausgesetzt die ganze Schuld wird zurückbezahlt).

'''Vorteile '''
* Der Tilgungsplan ermöglicht einen schönen Überblck über alle Zahlungen.
* Die einzelnen Werte können Schritt für Schritt ausgerechnet werden.

=== Musterbeispiel ===

'''Peter hat einen nachschüssigen Kredit von 100 € bei einer Verzinsung von 1 % p.a. aufgenommen. Er zahlt jährlich € 10 zurück. Erstelle einen Tilgungsplan!'''

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''1. Schritt: Beginn des Tilgungsplans''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Die Anfangsschuld ist € 100.
* Die Anniuität ist konstant € 10.
* $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1 $.
* $TA_1=A_1-ZA_1=9$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
* Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_1=100-9=91$

Damit erstellen wir nun die ersten zwei Zeilen des Tilgungsplanes:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1$
Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$
| align="center" |$10-1=9$
Allgemein: $TA=A-ZA$
| align="center" |$10$
Allgemein: $A=TA+ZA$
| align="center" |$100-9=91$
Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''2. Schritt: Fortsetzung des Tilgungsplans ''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Für das 2. Jahr des Tilgungsplans, nimmt man nun aus Ausgangswert die obere Zeile:

* Die alte Restschuld beträgt € 91.
* Die Anniuität ist konstant € 10.
* $ZA_2=91\cdot \frac{1}{100}=0.91 $.
* $TA_2=A_2-ZA_2=9.09$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
* Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_2=91-9.09=81.91$

Dies setzt man nun in den Tilgungsplan ein:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
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|-
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| align="center" | $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1$
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|-
| align="center" | 2
| align="center" | $ZA_1=91\cdot \frac{1}{100}=0.91$
Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$
| align="center" |$10-0.91=9.09$
Allgemein: $TA=A-ZA$
| align="center" |$10$
Allgemein: $A=TA+ZA$
| align="center" |$91-9.09=81.91$
Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''3. Schritt: Vollständiger Tilgungsplan''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1$
| align="center" |$10-1=9$
| align="center" |$10$
| align="center" |$100-9=91$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $.91$
| align="center" |$9.09$
| align="center" |$10$
| align="center" |$81.91$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $0.82$
| align="center" |$9.18$
| align="center" |$10$
| align="center" |$72.73$

|-
| align="center" | 4
| align="center" | $0.73$
| align="center" |$9.27$
| align="center" |$10$
| align="center" |$63.46$

|-
| align="center" | 5
| align="center" | $0.63$
| align="center" |$9.37$
| align="center" |$10$
| align="center" |$54.09$

|-
| align="center" | 6
| align="center" | $0.54$
| align="center" |$9.46$
| align="center" |$10$
| align="center" |$44.63$

|-
| align="center" | 7
| align="center" | $0.45$
| align="center" |$9.55$
| align="center" |$10$
| align="center" |$35.08$

|-
| align="center" | 8
| align="center" | $0.35$
| align="center" |$9.65$
| align="center" |$10$
| align="center" |$25.43$

|-
| align="center" | 9
| align="center" | $0.25$
| align="center" |$9.75$
| align="center" |$10$
| align="center" |$15.68$

|-
| align="center" | 10
| align="center" | $0.16$
| align="center" |$9.84$
| align="center" |$10$
| align="center" |$5.84$

|-
| align="center" | 11
| align="center" | $0.06$
| align="center" |'''$5.84$'''
Die Restschuld von 5.84 wird getilgt.
| align="center" |'''$5.90$'''
$A=ZA+TA$
| align="center" |$0$

|}

'''Achtung!'''
Bei der 11. Zahlung muss nur noch eine Schuld von 5.84 getilgt werden. Aus diesem Grund beträgt der Tilgungsanteil € 5.84!
Die Annuität beträgt dann nicht mehr € 10 (so würden wir ja zuviel zurückzahlen) sondern nur noch
$$ A = \textrm{Höhe des Tilgungsanteiles} + \textrm{die Höhe der Zinsen} $$
$$ A= 5.84+0.06 $$
$$A= 6.90$$

</div>

</div>

</div>

</div>

Weitere Beispiele findest du im 3. Klasse Buch (Trauner) auf den Seiten 174ff....

== Annuitätenschuld - Anniutät bleibt konstant ==

== Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant ==

== Ratenschuld - nur die Zinsen werden beglichen ==

Online-Materialien:
* [http://fbmathe.bbs-bingen.de/Tilgungsrechnung/Aufgaben_Tilgungsrechnung.htm Beispiele und Lösungen von Ansgar Schiffler]

[[Kategorie:Finanzmathematik]]

Schuldentilgung

2014-04-15T09:28:05Z

91.115.36.148: /* Musterbeispiel */

== Einleitung und Begriffe ==

Die Schuldentilgung beschäftigt sich mit dem Tilgen (= Zurückzahlen) einer Schuld. Das typische Beispiel ist das Tilgen eines Bankredits.

Hierbei unterscheidet man zwischen den folgenden Begriffen:
{|
|-
|
* '''Annuität'''
| = der Betrag, der regelmäßig (z.B. jährlich) zurückgezahlt wird.
|-
|
* '''Zinsenanteil'''
| = jener Anteil der Annuität, der für die Zinsen aufgewendet wird.
|-
|
* '''Tilgungsanteil'''
| = jener Anteil der Annuität, um den die Schuld vermindert wird.
|}

'''Erklärung der Begriffe anhand eines Beispiels''':
Peter hat einen [[Rentenrechnung#Begriffe | nachschüssigen]] Kredit von 100 € bei 1 % p.a. aufgenommen. Somit fallen nach einem Jahr € 1 Zinsen an. Am Ende jedes Jahres zahlt Peter € 10 zurück.
* Die Annuität beträgt € 10.
* Der Zinsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 1.
* Der Tilgungsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 9 (Von den € 10 wird € 1 für die Zinsen verwendet und nur € 9 reduzieren die Schuld).
* Die Restschuld nach dem 1. Jahr begrägt noch € 91.

{| border ="1" align="center"
| '''Merke:'''

|

Annuität = Zinsanteil + Tilgungsanteil

|}

== Tilgungsplan ==

Der Tilgungsplan ist eine tabellarische Aufstellung der Kreditrückzahlung.
Er listet für jedes Jahr auf, wie hoch der Zinsen, der Tilgungsanteil, die Annuität und die Restschuld sind.
Für eine nachschüssige Schuldentilgung ist er folgendermaßen aufgebaut:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |Schuld zu Beginn

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1$
Zinsanteil bei der ersten Zahlung
| align="center" |$TA_1$
Tilgungsanteil der ersten Zahlung
| align="center" |$A_1$
Annuität$_1$ (=Höhe der ersten Zahlung)
| align="center" |$RS_1$
Restschuld nach einem Jahr
|-
| align="center" | 2
| align="center" |$ZA_2$
Zinsanteil bei der zweiten Zahlung
|align="center" | $TA_2$
Tilgungsanteil der zweiten Zahlung
| align="center" |$A_2$
Annuität$_2$ (=Höhe der zweiten Zahlung)
| align="center" | $RS_2$
Restschuld nach dem 2. Jahr

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

''' Hinweise '''
*Der Zinsanteil errechnet sich immer mithilfe der Schuld aus dem Vorjahr:
$$ ZA_1=\textrm{Schuld}\cdot \frac{i}{100} $$
* Am Ende eines Tilgungsplanes sollte ganz rechts unten bei der letzten Restschuld natürlich eine 0 stehen (vorausgesetzt die ganze Schuld wird zurückbezahlt).

'''Vorteile '''
* Der Tilgungsplan ermöglicht einen schönen Überblck über alle Zahlungen.
* Die einzelnen Werte können Schritt für Schritt ausgerechnet werden.

=== Musterbeispiel ===

'''Peter hat einen nachschüssigen Kredit von 100 € bei einer Verzinsung von 1 % p.a. aufgenommen. Er zahlt jährlich € 10 zurück. Erstelle einen Tilgungsplan!'''

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''1. Schritt: Beginn des Tilgungsplans''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Die Anfangsschuld ist € 100.
* Die Anniuität ist konstant € 10.
* $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1 $.
* $TA_1=A_1-ZA_1=9$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
* Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_1=100-9=91$

Damit erstellen wir nun die ersten zwei Zeilen des Tilgungsplanes:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1$
Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$
| align="center" |$10-1=9$
Allgemein: $TA=A-ZA$
| align="center" |$10$
Allgemein: $A=TA+ZA$
| align="center" |$100-9=91$
Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''2. Schritt: Fortsetzung des Tilgungsplans ''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Für das 2. Jahr des Tilgungsplans, nimmt man nun aus Ausgangswert die obere Zeile:

* Die alte Restschuld beträgt € 91.
* Die Anniuität ist konstant € 10.
* $ZA_2=91\cdot \frac{1}{100}=0.91 $.
* $TA_2=A_2-ZA_2=9.09$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
* Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_2=91-9.09=81.91$

Dies setzt man nun in den Tilgungsplan ein:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1$
| align="center" |$10-1=9$
| align="center" |$10$
| align="center" |$100-9=91$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $ZA_1=91\cdot \frac{1}{100}=0.91$
Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$
| align="center" |$10-0.91=9.09$
Allgemein: $TA=A-ZA$
| align="center" |$10$
Allgemein: $A=TA+ZA$
| align="center" |$91-9.09=81.91$
Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''3. Schritt: Vollständiger Tilgungsplan''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1$
| align="center" |$10-1=9$
| align="center" |$10$
| align="center" |$100-9=91$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $.91$
| align="center" |$9.09$
| align="center" |$10$
| align="center" |$81.91$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $0.82$
| align="center" |$9.18$
| align="center" |$10$
| align="center" |$72.73$

|-
| align="center" | 4
| align="center" | $0.73$
| align="center" |$9.27$
| align="center" |$10$
| align="center" |$63.46$

|-
| align="center" | 5
| align="center" | $0.63$
| align="center" |$9.37$
| align="center" |$10$
| align="center" |$54.09$

|-
| align="center" | 6
| align="center" | $0.54$
| align="center" |$9.46$
| align="center" |$10$
| align="center" |$44.63$

|-
| align="center" | 7
| align="center" | $0.45$
| align="center" |$9.55$
| align="center" |$10$
| align="center" |$35.08$

|-
| align="center" | 8
| align="center" | $0.35$
| align="center" |$9.65$
| align="center" |$10$
| align="center" |$25.43$

|-
| align="center" | 9
| align="center" | $0.25$
| align="center" |$9.75$
| align="center" |$10$
| align="center" |$15.68$

|-
| align="center" | 10
| align="center" | $0.16$
| align="center" |$9.84$
| align="center" |$10$
| align="center" |$5.84$

|-
| align="center" | 11
| align="center" | $0.06$
| align="center" |'''$5.84$'''
Die Restschuld von 5.84 wird getilgt.
| align="center" |'''$5.90$'''
$A=ZA+TA$
| align="center" |$0$

|}

'''Achtung!'''
Bei der 11. Zahlung muss nur noch eine Schuld von 5.84 getilgt werden. Aus diesem Grund beträgt der Tilgungsanteil € 5.84!
Die Annuität beträgt dann nicht mehr € 10 (so würden wir ja zuviel zurückzahlen) sondern nur noch
$$ A = \textrm{Höhe des Tilgungsanteiles} + \textrm{die Höhe der Zinsen} $$
$$ A= 5.84+0.06 $$
$$A= 6.90$$

</div>

</div>

</div>

</div>

[[Kategorie:Finanzmathematik]]

Schuldentilgung

2014-04-15T09:18:36Z

91.115.36.148: /* Tilgungsplan */

Schuldentilgung

2014-04-15T08:09:40Z

91.115.36.148: /* Tilgungsplan */

Schuldentilgung

2014-04-15T07:54:06Z

91.115.36.148: