Kosten- und Preistheorie

2015-01-06T14:39:03Z

91.115.34.240: /* Stückkostenfunktion, Betriebsoptimum und langfristige Preisuntergrenze */

== Preisfunktion der Nachfrage ==
{{Vorlage:Definition|1= Die Preisfunktion der Nachfrage, auch "Nachfragefunktion" oder "Preis-Absatz-Funktion" genannt, gibt den Preis p in Anhängigkeit der produzierten Menge x an.}}

{{Vorlage:Merke|1= $ $
* Der '''Höchstpreis $p_h$''' ist jener Preis, zu dem gerade kein Stück mehr verkauft werden kann. Es gilt:
$$p_h=p(0)$$
* Die '''Sättigungsmenge $x_S$''' ist jene menge, bei dem der Markt gesättigt ist und damit nicht mehr mehr verkauft werden kann. Hier gilt:
$$p(x_S)=0$$
* Höchstpreis und Sättigungsmenge können mithilfe der Schnittpunkte bei den Achsen bestimmt werden.
}}
Bild

{{Vorlage:Beispiel|1=Eine Firma kann von ihrem Produkt 5 Mengeneinheiten verkaufen, wenn sie den Preis auf € 3,75 pro Stück festlegt. Senkt sie den Preis auf € 2,50 pro Stück, so kann sie 10 Mengeneinheiten des Produktes verkaufen.
* Modellieren sie die [[Lineare Funktionen| lineare]] Preisfunktion.
* Ermitteln Sie daraus den Höchstpreis und die Sättigungsmenge.

|2=
* Zuerst stellen wir die lineare Preisfunktion der Form $p(x)=k\cdot x+d$ auf, wobei $x$ die Mengeneinheiten und $p(x)$ den Preis pro Stück angibt.
1. Variante: Wir setzen die Punkte $(5\vert 3.75)$ und $(10\vert 2.50)$ die Funktionsgleichung ein und berechnen k und d, indem wir das [[Gleichungssysteme (2.7.)|Gleichungssystem]] (hierbei eignet sich z.B. das [[Gleichungssysteme (2.7.)#Additionsverfahren (Eliminationsverfahren)|Additionsverfahren]]) lösen:
$$p(x)=k\cdot x+d$$
: 1. Punkt: $I:\ \ 3.75= k\cdot 5+d$
: 2. Punkt: $\underline{II:2.50=k\cdot 10+d\ \ "-"}$
$$1.25=-5\dot k\ \ \ \rightarrow k=-0.25 \rightarrow d=5$$
Somit erhalten wir die Preisfunktion p mit
$$p(x)=-0.25x+5$$
Graphik mit den Punkten (weiter oben einfügen
2. Variante: Da es sich um eine lineare Funktion handelt, kann k auch mithilfe dem [[Steigung und Steigungswinkel|Steigungsdreieck]] der Punkte $(5\vert 3.75)$ und $(10\vert 2.50)$ ermittelt werden:
$$k=\frac{\Delta y}{Delta x}=\frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied}=\frac{2.50-3.75}{10-5}=-0.25$$
Somit ist $k=-0.25$. Um das d nun noch zu berechnen, setzt man einen der beiden Punkte und k in die Funktionsgleichung ein: Punkt $(5\vert 3.75)$ und $k=-0.25$ in $p(x)=k\cdot x+d$ eingesetzt ergeben:
$$3.75=-0.25\cdot 5+d\rightarrow 3.75+1.25=d \rightarrow d=5$$
Somit erhalten wir:
$$p(x)=-0.25\cdot x+5$$
Graphik mit den Steigungsdreiecken

* Nun bestimmen wir mit der Preisfunktion den Höchstpreis und die Sättigungsmenge:
: Höchstpreis: $p(0)=d=5$. Der Höchstpreis beträgt 5 Euro pro Mengeneinheit.
: Sättigungsmenge: $p(x)=0$
$$0=-0.25x+5$$
$$-5=-0.25x$$
$$x=20$$
: Die Sättigungsmenge beträgt somit 20 Mengeneinheiten.
Graphik der Preisfunktion einfügen
}}

== Erlösfunktion ==
=== Allgemein ===
{{Vorlage:Definition|1=Der Gesamterlös E (auch Umsatz genannt) ergibt sich aus dem Produkt der verkauften Menge und dem dezugehörigen Preis:
$$E(x)=x\cdot p(x)$$
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Gegeben ist die Preisfunktion p mit $p(x)=-0.25x+5$
* Stellen Sie die dazugehörige Erlösfunktion auf.
* Bestimmen Sie die sogenannten Erlösgrenzen, dies sind die [[Nullstelle|Nullstellen]] der Erlösfunktion.
* Berechnen Sie den maximalen Erlös.
|2=
* Die Erlösfunktion erhalten wir mit:
$$E(x)=x\cdot p(x)$$
$$E(x)=x\cdot (-0.25x+5$$
$$E(x)=-0.25x^2+5x$$
Bild der Erlösfunktion.
* Die Nullstellen ermitteln wir, indem wir die Erlösfunktion nullsetzen:
$$0=E(x)$$
$$0=-0.25x^2+5x$$
Durch herausheben von x, [[Quadkom]] oder den [[Löse-Befehl]] erhalten wir $x_1=0$ und $x_2=20$.
* Nun bestimmen wir den maximalen Erlös:
1. Variante: Mithilfe der Eigenschaften einer quadratischen Funktion
Die Erlösfunktion E mit $E(x)=-0.25x^2+5x$ ist eine [[Quadratische Funktionen|quadratische Funktion]] mit 2 Nullstellen. Wie jede quadratische Funktion hat sie aufgrund ihrer [[Symmetrie]] ihren Scheitelpunkt (Extremstelle) genau zwischen den beiden Nullstellen.
$$x_{max}=\frac{0+20}{2}=10$$
Das Erlösmaximum befindet sich somit bei x=10 Mengeneinheiten. Der Erlös beträgt $E(10)=25$ Geldeinheiten.

2. Variante: Mithilfe des Maximum-Befehls (siehe [[Ti-Befehle#Maximum|Ti-Taschenrechner]] bzw. [[GeoGebra]]. Das Ergebnis siehst du in der rechten Abbildung
Bild
3. Variante: Mithilfe der Differentialrechnung. Für ein Maximum muss gelten, dass $f'(x)=0$ und $f''(x)<0$ ist:
$$E'(x)=-0.5x+5$$
$$0=-0.5x+5\ \ \ \rightarrow x=10$$
Und nun zur 2. Ableitung:
$$E''(x)=-0.5$$
$$ E''(10)=-0.5<0 \ \ \ \rightarrow HP$$
Somit befindet sich bei $x=10$ ein Hochpunkt und der Erlös an dieser Stelle beträgt $E(10)=25$
}}

=== Grenzerlös ===
{{Vorlage:Definition|1= Der
$$Grenzerlös\ bei\ x =E'(x)$$
gibt die (ungefähre) Steigung des Erlöses an, wenn eine weitere Mengeneinheit produziert wird.
}}
Bild mit Tangente und Steigungsdreieck

{{Vorlage:Beispiel|1=
*Bestimmen Sie den Grenzerlös der Erlösfunktion E mit $E(x)=-0.25x^2+5x$ bei einer Menge von $x=5$.
* Interpretieren Sie das Ergebnis.
|2= $$E'(x)=-0.5x+5$$
$$E'(5)=-0.5\cdot 5+5$$
$$E'(5)=2.5 \textrm{€ pro Mengeneinheit}$$
Produziert man statt 5 Mengeneinheiten noch eine zusätzliche 6., so steigt der Erlös (ungefähr) um 2.5 €. }}

Hinweis: Das "ungefähr" wird deshalb verwendet, da die Tangente die Erlösfunktion nur bei $x=5$ berührt und somit bei $x=6$ ein leicht zu großer Wert herauskommt.
Gif wo das erklärt wird

== Kostenfunktion ==

=== Definition und Aufbau der Kostenfunktion ===

{{Vorlage:Definition|1= Die Gesamtkosten für die Produktion werden durch die Kostenfunktion K angegeben. Die Kostenfunktion besteht dabei aus 2 Termen:
$$K(x)=K_v (x)+F$$
$K_v (x)...$ variable Kosten, jene Kosten, die von der produzierten Menge x anghängig sind.
$F...$ Fixkosten, die auch bei einer Produktion von 0 ME anfallen.
}}

=== Typische Eigenschaften einer "ertragsgesetzlichen Kostenfunktion" ===
*Eine Kostenfunktion heißt ertragsgesetzlich, wenn sie
** streng monoton steigend ist (d.h. $K'(x)>0$ für alle $x$ im [[Definitionsbereich]]),
** zuerst einen degressiven Verlauf hat (d.h. rechtsgekrümmt, $K''(x)<0$) und
** nach der Kostenkehre (Wendepunkt der Kostenfunktion, $K''(x)=0$
** einen progressiven Verlauf hat (d.h. linksgekrümmt, $K''(x)>0$.
Bild

=== Grenzkosten ===
{{Vorlage:Definition|1= Die $$Grenzkosten\ bei\ x =K'(x)$$
geben die (ungefähre) Steigung der Kosten an, wenn eine weitere Mengeneinheit produziert wird.
}}
Bild mit Tangente und Steigungsdreieck

=== Stückkostenfunktion, Betriebsoptimum und langfristige Preisuntergrenze ===
{{Vorlage:Definition|1= Die Stückkosten $\bar{K}(x)$ geben die durchschnittlichen Kosten pro Stück (oder Mengeneinheit) an und brechnen sich, indem wir die Gesamtkosten durch die Stück dividieren, d.h. mit
$$\bar{K}(x)=\frac{K(x)}{x}$$
$x...$ Anzahl der prodzuierten Stück/Mengeneinheiten.

$\bar{K}(x)...$ durchschnittliche Kosten pro Stück/Mengeneinheit

$K(x)...$ Gesamtkosten
}}

Interessant bei den durschschnittlichen Kosten ist jene Stelle, bei der die Kosten pro Stück minimal sind, dies nennt man das
{{Vorlage:Merke|1= '''Betriebsoptimum $x_{opt}$''' ist jene Stelle, bei der die Stückkosten $\bar{K}(x)$ ein Minimum (Tiefpunkt) haben.

Die dazugehörigen Stückkosten $\bar{K}(x_{opt})$ nennt man '''langfristige Preisuntergrenze''' (oder auch '''kostendeckender Preis''')}}
Bild

{{Vorlage:Beispiel|1=Gegeben ist die Kostenfunktion $K$ mit
$$K(x)=0.017x^3 - 0.38x^2 + 3.3x + 10$$

* Berechnen Sie das Betriebsoptimum und die langfristige Preisuntergrenze

|2= Zuerst bestimmen wir die Stückkostenfunktion:
$$K(x)=0.017x^3 - 0.38x^2 + 3.3x + 10$$
$$\bar{K}(x)=\frac{0.017x^3 - 0.38x2 + 3.3x + 10}{x}$$
$$\bar{K}(x)=0.017x^2 - 0.38x + 3.3 +\frac{10}{x}$$
$$\bar{K}(x)=0.017x^2 - 0.38x + 3.3+10x^{-1}$$

Nun berechnen wir das Minimum der Stückkostenfunktion. Entweder mit dem Minimumbefehl ([[TI-Befehle]],[[GeoGebra]]) oder (wie hier) mithilfe der Differentialrechnung (siehe [[Ableitung bestimmen]] bzw. [[Extremstellen|Kurvendiskussionen]]):

Um das Minimum zu berechnen, ermitteln wir zuerst $\bar{K}'(x)$ und setzen dies dann 0:
$$\bar{K}'(x)=0.034x - 0.38 -10x^{-2}$$
$$0=0.034x - 0.38 -10x^{-2}\ \ \ \ \vert \cdot x^2$$
$$0=0.034x^3-0.38x^2-10$$
Diese Gleichung löst man am besten graphisch (siehe [[zero-Befehl|TI-Befehle]] bzw. [[GeoGebra]]) oder mit dem Löse-Befehl (siehe [[TI-Befehle]] bzw. [[GeoGebra]]) und erhält:
$$x_{opt}=12.93$$

Antwort: Das Betriebsoptimum liegt bei 12.93 Mengeneinheiten.

Die dazugehörenden Stückkosten, die sogenannte langfristige Preisuntergrenze liegt bei:
$$\bar{K}(x_{opt})=\bar{K}(12.93)= 2 \textrm{Euro pro Stück}$$
}}

=== Variable Stückkostenfunktion, Betriebsminimum und kurzfristige Preisuntergrenze ===

== Gewinnfunktion ==
=== Allgemein ===
Definition
Gewinnbereich, Break-even-Point, Gewinngrenzen
Gewinnmaximum
=== Grenzgewinn ===

=== Cournot'scher Punkt ===

== Maturaaufgaben ==
https://www.youtube.com/watch?v=InBC4XO5Ex8

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