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Kurvendiskussionen

2014-02-10T09:55:17Z

91.114.195.36: /* Maturabeispiele */

== Überblick und Einleitung ==

Beim Thema Kurvendiskussionen geht es darum, Eigenschaften von Funktionen (bzw. Kurven) zu ermitteln. Für die Matura sind die folgenden Eigenschaften wichtig:
* [[Kurvendiskussionen#Nullstellen | Nullstellen]]
* [[Kurvendiskussionen#Extremstellen: Hoch- und Tiefpunkte | Extremwerte]]
* [[Kurvendiskussionen#Wendepunkt und Wendetangente | Wendepunkt und Wendetangente]]

{| align="center"
|-
|
{{#ev:youtube|epCBOgwafp8?t=27s}}
|}

'''Wichtig!''': Die folgenden Punkte gehören ebenfalls zum Thema Kurvendiskussionen, werden aber auf anderen Seiten behandelt:
* [[Steigung und Steigungswinkel]]

<br>
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== Grundwissen über f(x), f<nowiki>'</nowiki>(x) und f<nowiki>''</nowiki>(x) ==

Die folgende Tabelle gibt dir an, was mit der Funktion f(x), ihrer 1. Ableitung und ihrer 2. Ableitung berechnet werden kann..

{| border="1"
|- style="background:#e0e0e0"
!|
!| $f(x)$
!| $f'(x)$
!| $f''(x)$
|-

!| Gibt an ...
| den '''[[Funktionswert]]''' an der Stelle x
| die '''[[Steigung]]''' von f an der Stelle x
| die '''[[Krümmung]]''' von f an der Stelle x (=Steigung der Steigung)

|-
!| physikalische Interpretation
| Entfernung vom Ursprung in einem Zeit-Weg-Diagramm
oder
Höhe eines Objektes etc.
| [[Differenzen- und Differentialquotient#Der Differentialquotient (= momentane Steigung) | '''momentane''' Änderungsrate/Geschwindigkeit]] an der Stelle x
| Beschleunigung an der Stelle x

|-
!| wenn $>0$
| Funktionswert ist positiv und oberhalb der x-Achse
| $f'(x)>0 \rightarrow$ Funktion ist monoton steigend.
| $f''(x)>0 \rightarrow$ die Funktion ist linksgekrümmt (U-förmig). Die Steigung nimmt zu.

|-
!| wenn $<0$
| Funktionswert ist netagiv und unterhalb der x-Achse
| $f '(x)<0 \rightarrow$ Funktion ist monoton fallend.
|$f''(x)<0 \rightarrow$ die Funktion macht hier eine Rechtskurve (n-förmig)
Die Steigung nimmt ab.

|-
!| wenn $=0$
| [[Kurvendiskussionen#Nullstellen | Nullstellen]]
| Die Funktion steigt und fällt hier nicht. Möglicherweise befindet sich hier ein [[Kurvendiskussionen#Extremstellen: Hoch- und Tiefpunkte | Extremum]].
| Möglicherweise befindet sich hier ein [[Kurvendiskussionen#Wendepunkt und Wendetangente | Wendepunkt ]].

|}
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== Nullstellen ==

{{:Nullstelle}}

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== Extremstellen: Hoch- und Tiefpunkte ==

[[Datei:Kurvendiskussion-extremwerte.png|thumb|right|380px|Im Graphen sind die beiden Extremstellen
$x_1$ und $x_2$ samt den dazugehörenden Hoch- und Tiefpunkten eingezeichnet.]]
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{| border ="1"
| '''Definition:'''

| '''Lokale Extremstellen''' sind jene Stellen (=x-Werte), an denen der Graph der Funktion einen lokalen '''Hoch- oder Tiefpunkt''' hat.

'''Formale Definition''':
Eine Funktion f hat bei $x_0$ einen lokalen Hochpunkt, wenn für alle $x$ in einer Umgebung von $x_0$ gilt, dass $f(x)<f(x_0)$. (analog funktioniert die Definition für einen lokalen Tiefpunkt)

|}

{| align="center"
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{{#ev:youtube|zCA7GI0yIfg}}
|}
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[[Datei:Kurvendiskussion-Extremstellen-f' und f''.png|thumb|380px|right]]

Wie am Graphen in der rechten Abbildung erkennbar ist, sind die Steigungen an den Extremstellen immer 0 (d.h. beim Hochpunkt und Tiefpunkt '''steigt f nicht''' und '''fällt f nicht'''). Somit gilt $f'(x)=0$
Zusätzlich ist der Graph beim Hochpunkt '''rechtsgekrümmt''' (d.h. $f''(x)<0$) und beim Tiefpunkt '''linksgekrümmt''' (d.h. $f''(x)>0$).

Somit erhalten wir...
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=== Hinreichende Bedingung für ein relatives Extremum ===
{| border="1" align="center"
|
{|
|
* $f'(x_0)=0$ '''und''' $f''(x_0)< 0$
| $\Rightarrow\ \ \ \ $
| $x_0$ ist die Stelle eines relativen Hochpunktes (Maximums) von f
|-
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*$f'(x_0)=0$ '''und''' $f''(x_0)>0$
| $\Rightarrow\ \ \ \ $
| $x_0$ ist die Stelle eines relativen Tiefpunktes (Minimums) von f

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|-
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*$f'(x_0)=0$ '''und''' $f''(x_0)=0$
| $\Rightarrow\ \ \ \ $
| dann muss hier '''nicht unbedingt ein Extremum''' sein.
|}
|}

Der letzte Punkt ($f'(x_0)=0$ ABER $f''(x_0)=0$) wird klar, wenn man sich die Funktion $f(x)=x^3$ ansieht:

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0>'''Beispiel für $f''(x)=0$, aber kein Extremum: $f(x)=x^3$''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Xhoch3.png|thumb|300px|right|Graph von $f(x)=x^3$]]
Sei $f(x)=x^3$. Um die Extrema zu berechnen, setzen wir $f'(x)=0$ und bestimmen dann $f''(x)$ an dieser Stelle:

{| border="0" align="center"
|-
|$f'(x)=3x^2$
$0=3x^2$

$\rightarrow x=0$
|
$\ $ und $\ \ \ \ $
|
$f''(x)=6x$

$f''(0)=0$
|}

Somit ist $f'(0)=0$ und $f''(0)=0$! Wie man aber leicht am Graphen erkennt, ist bei $x_1=0$ kein Extremum (weder Hoch- noch Tiefpunkt)!

Die Bedingungen $f''(x_0)<0$ (für ein Maximum) und $f''(x_0)>0$ (für ein Minimum) sind also wichtig!

</div>

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=== Musterbeispiel ===

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== Wendepunkt und Wendetangente ==
[[Datei:Wendepunkt.png|thumb|400px|right|Funktion mit Wendepunkt W und Wendetangente]]
{| border="1"
'''Definition'''
|
* Ein '''Wendepunkt''' ist ein Punkt, in dem die Funktion f ihr Krümmungsverhalten ändert. Das heißt: Die Funktion geht von einer Rechtskrümmung in eine Linkskrümmung über (oder umgekehrt).

* Die Tangente durch den Wendepunkt heißt '''Wendetangente'''.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Wie erkennt man einen Wendepunkt?''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Stell dir vor, der Graph ist eine Straße und du würdest ihm mit einem Auto von links nach rechts entlangfahren. Zuerst kommt eine Rechtskurve, in der du das Lenkrad nach rechts drehst. Anschließend kommt eine Linkskurve, in der du das Lenkrad nach links drehen musst. Genau zwischen der Rechts- und der Linkskurve gibt es '''einen Moment, indem das Lenkrad gerade ist - das ist der Wendepunkt'''.
</div>

</div>

=== Hinreichende Bedingung für einen Wendepunkt ===
{| border="1"
|-
|Die Funktion $f(x)$ hat $x_0$ einen Wendepunkt, wenn gilt:
# $f''(x_0)=0$ UND
#$f'''(x)\ne 0$
|}

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=== Video ===
{| align="center"
|-
|
{{#ev:youtube|DM9uYJK5-fc}}
|}

=== Musterbeispiel ===

== Zusatzvideos zur Vertiefung ==

{| border="1" align=center
|-
|
{{#ev:youtube|x6PCkKP3PT4?t=3s}}

|
{{#ev:youtube|tmrpkUuQgj4}}
|}

== Online-Musterbeispiele und -Übungen ==

* [http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/musterkd.htm Musterbeispiel von Jutta Gut]
* [http://matheguru.com/analysis/192-beispiel-einer-kurvendiskussion.html Musterbeispiel von "Matheguru"]
* <span style="background-color:yellow"> WICHTIG </span> [http://www.geogebratube.org/student/m84598 Online-Übung von Kurvendisskussionen (GeoGebra)]

== Maturabeispiele ==

# [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=16&file=Steinschleuder.pdf Steinschleuder] (Bifie-Aufgabe: mittel)
#: Welche Inhalte bruachst du hier noch: [[Differenzen- und Differentialquotient#Der Differentialquotient (= momentane Steigung) | Differentialquotient]]
#[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=144&file=Zylindrische_Gefaesse.pdf Zylindrisches Gefäß] (Bifie-Aufgabe: mittel-leicht-leicht)
# [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=143&file=Gelaendewagen.pdf Geländewagen] (Bifie-Aufgabe: schwer-mittel-schwer)
#: Welche Inhalte brauchst du hier noch: [[Differenzen- und Differentialquotient | Differenzenquotient]]
# [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=74&file=Hefepilze.pdf Hefepilz] (Bifie-Aufgabe: mittel-leicht-mittel)
# [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=70&file=Strassenbahn.pdf Straßenbahn] (Bifie-Aufgabe: mittel-leicht-mittel)
# [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=39&file=Simulation_eines_Golfballflugs.pdf Simulation eines Golfballflugs] (Bifie-Aufgabe: leicht-mittel-mittel-schwer)
#[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=34&file=Schispringen.pdf Schispringen] (Bifie-Aufgabe: leicht-mittel-mittel)
#: Welche Inhalte brauchst du hier noch: [[quadratische Funktionen]] und [[Geschwindigkeit]]

== Beispiele ==

Kurvendiskussionen

2014-02-10T09:53:40Z

91.114.195.36: /* Maturabeispiele */

== Überblick und Einleitung ==

Beim Thema Kurvendiskussionen geht es darum, Eigenschaften von Funktionen (bzw. Kurven) zu ermitteln. Für die Matura sind die folgenden Eigenschaften wichtig:
* [[Kurvendiskussionen#Nullstellen | Nullstellen]]
* [[Kurvendiskussionen#Extremstellen: Hoch- und Tiefpunkte | Extremwerte]]
* [[Kurvendiskussionen#Wendepunkt und Wendetangente | Wendepunkt und Wendetangente]]

{| align="center"
|-
|
{{#ev:youtube|epCBOgwafp8?t=27s}}
|}

'''Wichtig!''': Die folgenden Punkte gehören ebenfalls zum Thema Kurvendiskussionen, werden aber auf anderen Seiten behandelt:
* [[Steigung und Steigungswinkel]]

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== Grundwissen über f(x), f<nowiki>'</nowiki>(x) und f<nowiki>''</nowiki>(x) ==

Die folgende Tabelle gibt dir an, was mit der Funktion f(x), ihrer 1. Ableitung und ihrer 2. Ableitung berechnet werden kann..

{| border="1"
|- style="background:#e0e0e0"
!|
!| $f(x)$
!| $f'(x)$
!| $f''(x)$
|-

!| Gibt an ...
| den '''[[Funktionswert]]''' an der Stelle x
| die '''[[Steigung]]''' von f an der Stelle x
| die '''[[Krümmung]]''' von f an der Stelle x (=Steigung der Steigung)

|-
!| physikalische Interpretation
| Entfernung vom Ursprung in einem Zeit-Weg-Diagramm
oder
Höhe eines Objektes etc.
| [[Differenzen- und Differentialquotient#Der Differentialquotient (= momentane Steigung) | '''momentane''' Änderungsrate/Geschwindigkeit]] an der Stelle x
| Beschleunigung an der Stelle x

|-
!| wenn $>0$
| Funktionswert ist positiv und oberhalb der x-Achse
| $f'(x)>0 \rightarrow$ Funktion ist monoton steigend.
| $f''(x)>0 \rightarrow$ die Funktion ist linksgekrümmt (U-förmig). Die Steigung nimmt zu.

|-
!| wenn $<0$
| Funktionswert ist netagiv und unterhalb der x-Achse
| $f '(x)<0 \rightarrow$ Funktion ist monoton fallend.
|$f''(x)<0 \rightarrow$ die Funktion macht hier eine Rechtskurve (n-förmig)
Die Steigung nimmt ab.

|-
!| wenn $=0$
| [[Kurvendiskussionen#Nullstellen | Nullstellen]]
| Die Funktion steigt und fällt hier nicht. Möglicherweise befindet sich hier ein [[Kurvendiskussionen#Extremstellen: Hoch- und Tiefpunkte | Extremum]].
| Möglicherweise befindet sich hier ein [[Kurvendiskussionen#Wendepunkt und Wendetangente | Wendepunkt ]].

|}
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== Nullstellen ==

{{:Nullstelle}}

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== Extremstellen: Hoch- und Tiefpunkte ==

[[Datei:Kurvendiskussion-extremwerte.png|thumb|right|380px|Im Graphen sind die beiden Extremstellen
$x_1$ und $x_2$ samt den dazugehörenden Hoch- und Tiefpunkten eingezeichnet.]]
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{| border ="1"
| '''Definition:'''

| '''Lokale Extremstellen''' sind jene Stellen (=x-Werte), an denen der Graph der Funktion einen lokalen '''Hoch- oder Tiefpunkt''' hat.

'''Formale Definition''':
Eine Funktion f hat bei $x_0$ einen lokalen Hochpunkt, wenn für alle $x$ in einer Umgebung von $x_0$ gilt, dass $f(x)<f(x_0)$. (analog funktioniert die Definition für einen lokalen Tiefpunkt)

|}

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{{#ev:youtube|zCA7GI0yIfg}}
|}
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[[Datei:Kurvendiskussion-Extremstellen-f' und f''.png|thumb|380px|right]]

Wie am Graphen in der rechten Abbildung erkennbar ist, sind die Steigungen an den Extremstellen immer 0 (d.h. beim Hochpunkt und Tiefpunkt '''steigt f nicht''' und '''fällt f nicht'''). Somit gilt $f'(x)=0$
Zusätzlich ist der Graph beim Hochpunkt '''rechtsgekrümmt''' (d.h. $f''(x)<0$) und beim Tiefpunkt '''linksgekrümmt''' (d.h. $f''(x)>0$).

Somit erhalten wir...
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=== Hinreichende Bedingung für ein relatives Extremum ===
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* $f'(x_0)=0$ '''und''' $f''(x_0)< 0$
| $\Rightarrow\ \ \ \ $
| $x_0$ ist die Stelle eines relativen Hochpunktes (Maximums) von f
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*$f'(x_0)=0$ '''und''' $f''(x_0)>0$
| $\Rightarrow\ \ \ \ $
| $x_0$ ist die Stelle eines relativen Tiefpunktes (Minimums) von f

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*$f'(x_0)=0$ '''und''' $f''(x_0)=0$
| $\Rightarrow\ \ \ \ $
| dann muss hier '''nicht unbedingt ein Extremum''' sein.
|}
|}

Der letzte Punkt ($f'(x_0)=0$ ABER $f''(x_0)=0$) wird klar, wenn man sich die Funktion $f(x)=x^3$ ansieht:

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0>'''Beispiel für $f''(x)=0$, aber kein Extremum: $f(x)=x^3$''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Xhoch3.png|thumb|300px|right|Graph von $f(x)=x^3$]]
Sei $f(x)=x^3$. Um die Extrema zu berechnen, setzen wir $f'(x)=0$ und bestimmen dann $f''(x)$ an dieser Stelle:

{| border="0" align="center"
|-
|$f'(x)=3x^2$
$0=3x^2$

$\rightarrow x=0$
|
$\ $ und $\ \ \ \ $
|
$f''(x)=6x$

$f''(0)=0$
|}

Somit ist $f'(0)=0$ und $f''(0)=0$! Wie man aber leicht am Graphen erkennt, ist bei $x_1=0$ kein Extremum (weder Hoch- noch Tiefpunkt)!

Die Bedingungen $f''(x_0)<0$ (für ein Maximum) und $f''(x_0)>0$ (für ein Minimum) sind also wichtig!

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=== Musterbeispiel ===

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== Wendepunkt und Wendetangente ==
[[Datei:Wendepunkt.png|thumb|400px|right|Funktion mit Wendepunkt W und Wendetangente]]
{| border="1"
'''Definition'''
|
* Ein '''Wendepunkt''' ist ein Punkt, in dem die Funktion f ihr Krümmungsverhalten ändert. Das heißt: Die Funktion geht von einer Rechtskrümmung in eine Linkskrümmung über (oder umgekehrt).

* Die Tangente durch den Wendepunkt heißt '''Wendetangente'''.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Wie erkennt man einen Wendepunkt?''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Stell dir vor, der Graph ist eine Straße und du würdest ihm mit einem Auto von links nach rechts entlangfahren. Zuerst kommt eine Rechtskurve, in der du das Lenkrad nach rechts drehst. Anschließend kommt eine Linkskurve, in der du das Lenkrad nach links drehen musst. Genau zwischen der Rechts- und der Linkskurve gibt es '''einen Moment, indem das Lenkrad gerade ist - das ist der Wendepunkt'''.
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=== Hinreichende Bedingung für einen Wendepunkt ===
{| border="1"
|-
|Die Funktion $f(x)$ hat $x_0$ einen Wendepunkt, wenn gilt:
# $f''(x_0)=0$ UND
#$f'''(x)\ne 0$
|}

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=== Video ===
{| align="center"
|-
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{{#ev:youtube|DM9uYJK5-fc}}
|}

=== Musterbeispiel ===

== Zusatzvideos zur Vertiefung ==

{| border="1" align=center
|-
|
{{#ev:youtube|x6PCkKP3PT4?t=3s}}

|
{{#ev:youtube|tmrpkUuQgj4}}
|}

== Online-Musterbeispiele und -Übungen ==

* [http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/musterkd.htm Musterbeispiel von Jutta Gut]
* [http://matheguru.com/analysis/192-beispiel-einer-kurvendiskussion.html Musterbeispiel von "Matheguru"]
* <span style="background-color:yellow"> WICHTIG </span> [http://www.geogebratube.org/student/m84598 Online-Übung von Kurvendisskussionen (GeoGebra)]

== Maturabeispiele ==

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=16&file=Steinschleuder.pdf Steinschleuder] (Bifie-Aufgabe: mittel)
*: Welche Inhalte bruachst du hier noch: [[Differenzen- und Differentialquotient#Der Differentialquotient (= momentane Steigung) | Differentialquotient]]

*[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=144&file=Zylindrische_Gefaesse.pdf Zylindrisches Gefäß] (Bifie-Aufgabe: mittel-leicht-leicht)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=143&file=Gelaendewagen.pdf Geländewagen] (Bifie-Aufgabe: schwer-mittel-schwer)
*: Welche Inhalte brauchst du hier noch: [[Differenzen- und Differentialquotient | Differenzenquotient]]

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=74&file=Hefepilze.pdf Hefepilz] (Bifie-Aufgabe: mittel-leicht-mittel)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=70&file=Strassenbahn.pdf Straßenbahn] (Bifie-Aufgabe: mittel-leicht-mittel)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=39&file=Simulation_eines_Golfballflugs.pdf Simulation eines Golfballflugs] (Bifie-Aufgabe: leicht-mittel-mittel-schwer)

*[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=34&file=Schispringen.pdf Schispringen] (Bifie-Aufgabe: leicht-mittel-mittel)
*: Welche Inhalte brauchst du hier noch: [[quadratische Funktionen]] und [[Geschwindigkeit]]

== Beispiele ==

Kurvendiskussionen

2014-02-10T09:52:59Z

91.114.195.36: /* Online-Übungen */

== Überblick und Einleitung ==

Beim Thema Kurvendiskussionen geht es darum, Eigenschaften von Funktionen (bzw. Kurven) zu ermitteln. Für die Matura sind die folgenden Eigenschaften wichtig:
* [[Kurvendiskussionen#Nullstellen | Nullstellen]]
* [[Kurvendiskussionen#Extremstellen: Hoch- und Tiefpunkte | Extremwerte]]
* [[Kurvendiskussionen#Wendepunkt und Wendetangente | Wendepunkt und Wendetangente]]

{| align="center"
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{{#ev:youtube|epCBOgwafp8?t=27s}}
|}

'''Wichtig!''': Die folgenden Punkte gehören ebenfalls zum Thema Kurvendiskussionen, werden aber auf anderen Seiten behandelt:
* [[Steigung und Steigungswinkel]]

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== Grundwissen über f(x), f<nowiki>'</nowiki>(x) und f<nowiki>''</nowiki>(x) ==

Die folgende Tabelle gibt dir an, was mit der Funktion f(x), ihrer 1. Ableitung und ihrer 2. Ableitung berechnet werden kann..

{| border="1"
|- style="background:#e0e0e0"
!|
!| $f(x)$
!| $f'(x)$
!| $f''(x)$
|-

!| Gibt an ...
| den '''[[Funktionswert]]''' an der Stelle x
| die '''[[Steigung]]''' von f an der Stelle x
| die '''[[Krümmung]]''' von f an der Stelle x (=Steigung der Steigung)

|-
!| physikalische Interpretation
| Entfernung vom Ursprung in einem Zeit-Weg-Diagramm
oder
Höhe eines Objektes etc.
| [[Differenzen- und Differentialquotient#Der Differentialquotient (= momentane Steigung) | '''momentane''' Änderungsrate/Geschwindigkeit]] an der Stelle x
| Beschleunigung an der Stelle x

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!| wenn $>0$
| Funktionswert ist positiv und oberhalb der x-Achse
| $f'(x)>0 \rightarrow$ Funktion ist monoton steigend.
| $f''(x)>0 \rightarrow$ die Funktion ist linksgekrümmt (U-förmig). Die Steigung nimmt zu.

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!| wenn $<0$
| Funktionswert ist netagiv und unterhalb der x-Achse
| $f '(x)<0 \rightarrow$ Funktion ist monoton fallend.
|$f''(x)<0 \rightarrow$ die Funktion macht hier eine Rechtskurve (n-förmig)
Die Steigung nimmt ab.

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!| wenn $=0$
| [[Kurvendiskussionen#Nullstellen | Nullstellen]]
| Die Funktion steigt und fällt hier nicht. Möglicherweise befindet sich hier ein [[Kurvendiskussionen#Extremstellen: Hoch- und Tiefpunkte | Extremum]].
| Möglicherweise befindet sich hier ein [[Kurvendiskussionen#Wendepunkt und Wendetangente | Wendepunkt ]].

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== Nullstellen ==

{{:Nullstelle}}

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== Extremstellen: Hoch- und Tiefpunkte ==

[[Datei:Kurvendiskussion-extremwerte.png|thumb|right|380px|Im Graphen sind die beiden Extremstellen
$x_1$ und $x_2$ samt den dazugehörenden Hoch- und Tiefpunkten eingezeichnet.]]
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{| border ="1"
| '''Definition:'''

| '''Lokale Extremstellen''' sind jene Stellen (=x-Werte), an denen der Graph der Funktion einen lokalen '''Hoch- oder Tiefpunkt''' hat.

'''Formale Definition''':
Eine Funktion f hat bei $x_0$ einen lokalen Hochpunkt, wenn für alle $x$ in einer Umgebung von $x_0$ gilt, dass $f(x)<f(x_0)$. (analog funktioniert die Definition für einen lokalen Tiefpunkt)

|}

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{{#ev:youtube|zCA7GI0yIfg}}
|}
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[[Datei:Kurvendiskussion-Extremstellen-f' und f''.png|thumb|380px|right]]

Wie am Graphen in der rechten Abbildung erkennbar ist, sind die Steigungen an den Extremstellen immer 0 (d.h. beim Hochpunkt und Tiefpunkt '''steigt f nicht''' und '''fällt f nicht'''). Somit gilt $f'(x)=0$
Zusätzlich ist der Graph beim Hochpunkt '''rechtsgekrümmt''' (d.h. $f''(x)<0$) und beim Tiefpunkt '''linksgekrümmt''' (d.h. $f''(x)>0$).

Somit erhalten wir...
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=== Hinreichende Bedingung für ein relatives Extremum ===
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* $f'(x_0)=0$ '''und''' $f''(x_0)< 0$
| $\Rightarrow\ \ \ \ $
| $x_0$ ist die Stelle eines relativen Hochpunktes (Maximums) von f
|-
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*$f'(x_0)=0$ '''und''' $f''(x_0)>0$
| $\Rightarrow\ \ \ \ $
| $x_0$ ist die Stelle eines relativen Tiefpunktes (Minimums) von f

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*$f'(x_0)=0$ '''und''' $f''(x_0)=0$
| $\Rightarrow\ \ \ \ $
| dann muss hier '''nicht unbedingt ein Extremum''' sein.
|}
|}

Der letzte Punkt ($f'(x_0)=0$ ABER $f''(x_0)=0$) wird klar, wenn man sich die Funktion $f(x)=x^3$ ansieht:

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0>'''Beispiel für $f''(x)=0$, aber kein Extremum: $f(x)=x^3$''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Xhoch3.png|thumb|300px|right|Graph von $f(x)=x^3$]]
Sei $f(x)=x^3$. Um die Extrema zu berechnen, setzen wir $f'(x)=0$ und bestimmen dann $f''(x)$ an dieser Stelle:

{| border="0" align="center"
|-
|$f'(x)=3x^2$
$0=3x^2$

$\rightarrow x=0$
|
$\ $ und $\ \ \ \ $
|
$f''(x)=6x$

$f''(0)=0$
|}

Somit ist $f'(0)=0$ und $f''(0)=0$! Wie man aber leicht am Graphen erkennt, ist bei $x_1=0$ kein Extremum (weder Hoch- noch Tiefpunkt)!

Die Bedingungen $f''(x_0)<0$ (für ein Maximum) und $f''(x_0)>0$ (für ein Minimum) sind also wichtig!

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=== Musterbeispiel ===

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== Wendepunkt und Wendetangente ==
[[Datei:Wendepunkt.png|thumb|400px|right|Funktion mit Wendepunkt W und Wendetangente]]
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'''Definition'''
|
* Ein '''Wendepunkt''' ist ein Punkt, in dem die Funktion f ihr Krümmungsverhalten ändert. Das heißt: Die Funktion geht von einer Rechtskrümmung in eine Linkskrümmung über (oder umgekehrt).

* Die Tangente durch den Wendepunkt heißt '''Wendetangente'''.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Wie erkennt man einen Wendepunkt?''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Stell dir vor, der Graph ist eine Straße und du würdest ihm mit einem Auto von links nach rechts entlangfahren. Zuerst kommt eine Rechtskurve, in der du das Lenkrad nach rechts drehst. Anschließend kommt eine Linkskurve, in der du das Lenkrad nach links drehen musst. Genau zwischen der Rechts- und der Linkskurve gibt es '''einen Moment, indem das Lenkrad gerade ist - das ist der Wendepunkt'''.
</div>

</div>

=== Hinreichende Bedingung für einen Wendepunkt ===
{| border="1"
|-
|Die Funktion $f(x)$ hat $x_0$ einen Wendepunkt, wenn gilt:
# $f''(x_0)=0$ UND
#$f'''(x)\ne 0$
|}

<br>
<br>
=== Video ===
{| align="center"
|-
|
{{#ev:youtube|DM9uYJK5-fc}}
|}

=== Musterbeispiel ===

== Zusatzvideos zur Vertiefung ==

{| border="1" align=center
|-
|
{{#ev:youtube|x6PCkKP3PT4?t=3s}}

|
{{#ev:youtube|tmrpkUuQgj4}}
|}

== Online-Musterbeispiele und -Übungen ==

* [http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/musterkd.htm Musterbeispiel von Jutta Gut]
* [http://matheguru.com/analysis/192-beispiel-einer-kurvendiskussion.html Musterbeispiel von "Matheguru"]
* <span style="background-color:yellow"> WICHTIG </span> [http://www.geogebratube.org/student/m84598 Online-Übung von Kurvendisskussionen (GeoGebra)]

== Maturabeispiele ==

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=16&file=Steinschleuder.pdf Steinschleuder] (Bifie-Aufgabe: mittel)
*: Welche Inhalte bruachst du hier noch: [[Differenzen- und Differentialquotient#Der Differentialquotient (= momentane Steigung) | Differentialquotient]]
*[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=144&file=Zylindrische_Gefaesse.pdf Zylindrisches Gefäß] (Bifie-Aufgabe: mittel-leicht-leicht)
* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=143&file=Gelaendewagen.pdf Geländewagen] (Bifie-Aufgabe: schwer-mittel-schwer)
*: Welche Inhalte brauchst du hier noch: [[Differenzen- und Differentialquotient | Differenzenquotient]]
* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=74&file=Hefepilze.pdf Hefepilz] (Bifie-Aufgabe: mittel-leicht-mittel)
* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=70&file=Strassenbahn.pdf Straßenbahn] (Bifie-Aufgabe: mittel-leicht-mittel)
* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=39&file=Simulation_eines_Golfballflugs.pdf Simulation eines Golfballflugs] (Bifie-Aufgabe: leicht-mittel-mittel-schwer)
*[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=34&file=Schispringen.pdf Schispringen] (Bifie-Aufgabe: leicht-mittel-mittel)
*: Welche Inhalte brauchst du hier noch: [[quadratische Funktionen]] und [[Geschwindigkeit]]

== Beispiele ==

Umkehraufgaben

2014-02-10T09:49:57Z

91.114.195.36: Die Seite wurde neu angelegt: „== Theorie == == Beispiele == * [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=18&file=Wasserstrahl.pdf Wasserstrahl] (Bifie-Aufgabe: mittel-mittel-leicht…“

== Theorie ==

== Beispiele ==
* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=18&file=Wasserstrahl.pdf Wasserstrahl] (Bifie-Aufgabe: mittel-mittel-leicht)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Nullstelle]]

Differenzen- und Differentialquotient

2014-02-10T09:40:24Z

91.114.195.36: /* Maturabeispiele */

== Was lernst du hier ==
* Wie berechne ich die '''durschschnittliche Steigung''' einer Funktion mithilfe des Differenzenquotienten und der Steigung der [[Sekante]].
* Wie berechne ich die '''momentane Steigung''' einer Funktion mithilfe des Differentialquotienten und der Steigung der [[Tangente]].

== Der Differenzenquotient (=durchschnittliche Steigung)==
=== Definition ===
{| border ="1"
| '''Definition:'''
|-
| Die durschschnittliche Änderungsrate einer Funktion $f$:
$$ \bar{k}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-\Delta x} $$
wird als '''Differenzenquotient''' bezeichnet.
<br>
<br>
Er gibt die durschnittliche Steigung der Sekante durch die Punkte $A=(x|f(x)$ und $B=(f(x+\Delta x) | x+\Delta x )$ an.
| [[Datei:Diffquotient.png|thumb|500px| Der Differenzenquotient berechnet die Steigung der [[Sekante]] s.]]
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Bemerkungen:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
* $\Delta$ (=Delta (4. Buchstabe im griechischen Alphabet)) steht für "Unterschied". $\Delta x$ ist der Unterschied auf der x-Achse, $\Delta y$ der Unterschied auf der y-Achse.
* Wie aus der rechten Abbildung hervorgeht ist $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\textrm{Höhenunterschied}}{\textrm{Längenunterschied}}$
* Der Name ''Differenzenquotient'' kommt daher, dass er aus dem Quotienten (=Division) zweier Differenzen (=Subtraktionen) entsteht:
$$ \bar{k}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-\Delta x} $$
* [[Applet zum Differenzen- und Differentialquotienten | Klicke hier um zu einem interaktiven Applet zum Differenzenquotienten zu gelangen]]
</div>
</div>

<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
=== Video-Erklärung ===
{| border ="1" align="center"
!| Video zum Differenzenquotienten
|-
| Hinweise zum Video:
* Anstelle von $\bar{k}$ wird hier $m$ für die Steigung verwendet.
* WICHTIG: Die Steigung in einem solchen Zeit-Weg-Diagramm ist immer die Geschwindigkeit!
$$ \textrm{Steigung}=\textrm{Geschwindigkeit} $$
|-
|{{#ev:youtube|m8QvU2ezu48}}
|-
|<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Aufgaben''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
# Bestimme mithilfe der Tabelle bei der Stelle [http://www.youtube.com/watch?feature=player_detailpage&v=m8QvU2ezu48#t=203 3:23min] eine [[Regression|quadratische Regression]], um die Gleichung der Parabel zu bestimmen. Achtung: x-Achse=Zeit und y-Achse=Weg (in der Tabelle ist es gerade umgekehrt!!)
# Berechne mithilfe der Lösung von 1., nach wie vielen Sekunden der Läufer 30m zurückgelegt hat.
# Begründe, warum bei der Lösung für 1. der konstante Term c bei der Funktionsgleichung $y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ annähernd den Wert 0 haben muss.
</div>
</div>
|-
|<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:BspRegression.png|thumb|150px|right|Tabelle]]
# $y=0.95\cdot x^2 + 2.4\cdot x-0.07$
# $30=0.95\cdot x^2 + 2.4\cdot x-0.07 \rightarrow x=4.5 \textrm{Sekunden} $
# Der Sprinter startet aus dem Stehen, deshalb ist der Weg nach 0 Sekunden y(0)=0. Da die Punkte nicht alle genau auf einer Parabel liegen, erhält man bei der Regression einen kleinen "Fehler" (hier von -0.07)
</div>
</div>
|}

<br>
<br>
<br>
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<br>
<br>

=== Beispiele ===
3. Klasse-Buch: S. 41
<br>
<br>
<br>
<br>

== Der Differentialquotient (= momentane Steigung) ==
=== Definition ===
{| border ="1"
| '''Definition:'''
|-
| Die momentane Änderungsrate einer Funktion $f$ an der Stelle x
$$ {k}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-\Delta x} $$
wird als '''Differentialquotient''' bezeichnet.
<br>
<br>
Er gibt die momentane Steigung der Sekante durch den Punkte $A=(x|f(x)$ an.
| [[Datei:Differentialquotient.png|thumb|450px| Der Differentialquotient berechnet die Steigung der [[Tangente]] t.]]
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Bemerkungen:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
* Der Ausdruck $\lim_{\Delta x \rightarrow 0} $ bedeutet, dass der Abstand auf der x-Achse der beiden Punkte A und B immer näher gegen 0 gehen soll. An der unteren Abbildung erkennst du, dass sich dadurch die Sekante (blau) immer mehr der Tangente (rot) nähert.
[[Datei:Difquotuebergang.gif]]
* [[Applet zum Differenzen- und Differentialquotienten | Klicke hier um zu einem interaktiven Applet zum Differenzenquotienten zu gelangen]]
</div>
</div>

<br>
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<br>

=== Video-Erklärung ===

{| border ="1" align="center"
!| Video zum Differentialquotienten
|-
| Hinweise zum Video:
* Dieses Video ist die Fortsetzung des [[Differenzen- und Differentialquotient#Video-Erklärung | Video zum Differenzenquotienten]].
* Anstelle von $\bar{k}$ wird hier $m$ für die Steigung verwendet.
* WICHTIG: Die Steigung in einem solchen Zeit-Weg-Diagramm ist immer die Geschwindigkeit!
$$ \textrm{Steigung}=\textrm{Geschwindigkeit} $$
|-
|{{#ev:youtube|9PJT83cU7tA}}
|-
|<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Aufgaben''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
# Bestimme mithilfe des Differentialquotienten die momentane Steigung f'(x) (=k) der Funktion $f(x)=x^2$ an der Stelle $x$.
# Bestimme mithilfe des Differentialquotienten die momentane Steigung der Funktion $f(x)=x^2$ an der Stelle $x=2$.
</div>
</div>
|-
|<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
* 1. Bestimmen der momentanen Steigung $f'(x)$
$\begin{align}
f'(x)&=&\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-\Delta x}\\
f'(x)&=&\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(x+\Delta x)^2-x^2}{(x+\Delta x)-\Delta x}\\
f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(x^2+2\cdot x\cdot \Delta x+ \Delta x^2)-x^2}{\Delta x}\\
f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{2\cdot x\cdot \Delta x+ \Delta x^2}{\Delta x}\\
f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta x(2\cdot x+ \Delta x)}{\Delta x}\\
f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(2\cdot x+ \Delta x)}{1}\\
f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} 2\cdot x+ \underbrace{\Delta x}_{\rightarrow 0}\\
f'(x)=2\cdot x
\end{align}$

<br>
<br>
[[Datei:Bsp-diffquotient.png|thumb|400px|right|Graphische Lösung der Aufgabe 2]]
*2. Bestimmen der momentanen Steigung bei x=2:
$$f'(x)=2x$$
$$f'(2)=2\cdot 2$$
$$f'(2)=4$$
Die Steigung der Funktion an der Stelle x=2 beträgt 4.
</div>
</div>
|}

<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>

=== Musterbeispiele ===

=== Berechnung der 1. Ableitung mithilfe von Rechenregeln ===

== Maturabeispiele ==
* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=142&file=Energieverbrauch_und_Joggen.pdf Energieverbrauch beim Joggen]
*: Welche Inhalte brauchst du hier noch: [[exponentielle Abnahme]] und [[Integration]]
* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=38&file=Beleuchtungsstaerke.pdf Beleuchtungsstärke]
*: Welche Inhalte brauchst du hier noch: [[indirekte Proportion]]

Steigung und Steigungswinkel

2014-02-10T09:28:06Z

91.114.195.36: /* Beispiele */

== Theorie ==

== Beispiele ==

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=126&file=Kugelstossen.pdf Kugelstoßen]
*: Welche Inhalte brauchst du hier noch: [[Nullstelle]]

Steigung und Steigungswinkel

2014-02-10T09:27:54Z

91.114.195.36: /* Beispiele */

== Theorie ==

== Beispiele ==

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=126&file=Kugelstossen.pdf Kugelstoßen]
*: Welche Inhalte brauchst du hier noch: [[Nullstellen]]

Steigung und Steigungswinkel

2014-02-10T09:27:44Z

91.114.195.36: Die Seite wurde neu angelegt: „== Theorie == == Beispiele == * * [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=126&file=Kugelstossen.pdf Kugelstoßen] *: Welche Inhalte brauchst du h…“

== Theorie ==

== Beispiele ==

* * [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=126&file=Kugelstossen.pdf Kugelstoßen]
*: Welche Inhalte brauchst du hier noch: [[Nullstellen]]

Kurvendiskussionen

2014-02-10T09:25:32Z

91.114.195.36: /* Überblick und Einleitung */

== Überblick und Einleitung ==

Beim Thema Kurvendiskussionen geht es darum, Eigenschaften von Funktionen (bzw. Kurven) zu ermitteln. Für die Matura sind die folgenden Eigenschaften wichtig:
* [[Kurvendiskussionen#Nullstellen | Nullstellen]]
* [[Kurvendiskussionen#Extremstellen: Hoch- und Tiefpunkte | Extremwerte]]
* [[Kurvendiskussionen#Wendepunkt und Wendetangente | Wendepunkt und Wendetangente]]

{| align="center"
|-
|
{{#ev:youtube|epCBOgwafp8?t=27s}}
|}

'''Wichtig!''': Die folgenden Punkte gehören ebenfalls zum Thema Kurvendiskussionen, werden aber auf anderen Seiten behandelt:
* [[Steigung und Steigungswinkel]]

<br>
<br>
<br>

== Grundwissen über f(x), f<nowiki>'</nowiki>(x) und f<nowiki>''</nowiki>(x) ==

Die folgende Tabelle gibt dir an, was mit der Funktion f(x), ihrer 1. Ableitung und ihrer 2. Ableitung berechnet werden kann..

{| border="1"
|- style="background:#e0e0e0"
!|
!| $f(x)$
!| $f'(x)$
!| $f''(x)$
|-

!| Gibt an ...
| den '''[[Funktionswert]]''' an der Stelle x
| die '''[[Steigung]]''' von f an der Stelle x
| die '''[[Krümmung]]''' von f an der Stelle x (=Steigung der Steigung)

|-
!| physikalische Interpretation
| Entfernung vom Ursprung in einem Zeit-Weg-Diagramm
oder
Höhe eines Objektes etc.
| [[Differenzen- und Differentialquotient#Der Differentialquotient (= momentane Steigung) | '''momentane''' Änderungsrate/Geschwindigkeit]] an der Stelle x
| Beschleunigung an der Stelle x

|-
!| wenn $>0$
| Funktionswert ist positiv und oberhalb der x-Achse
| $f'(x)>0 \rightarrow$ Funktion ist monoton steigend.
| $f''(x)>0 \rightarrow$ die Funktion ist linksgekrümmt (U-förmig). Die Steigung nimmt zu.

|-
!| wenn $<0$
| Funktionswert ist netagiv und unterhalb der x-Achse
| $f '(x)<0 \rightarrow$ Funktion ist monoton fallend.
|$f''(x)<0 \rightarrow$ die Funktion macht hier eine Rechtskurve (n-förmig)
Die Steigung nimmt ab.

|-
!| wenn $=0$
| [[Kurvendiskussionen#Nullstellen | Nullstellen]]
| Die Funktion steigt und fällt hier nicht. Möglicherweise befindet sich hier ein [[Kurvendiskussionen#Extremstellen: Hoch- und Tiefpunkte | Extremum]].
| Möglicherweise befindet sich hier ein [[Kurvendiskussionen#Wendepunkt und Wendetangente | Wendepunkt ]].

|}
<br>
<br>
<br>

== Nullstellen ==

{{:Nullstelle}}

<br>
<br>
<br>
== Extremstellen: Hoch- und Tiefpunkte ==

[[Datei:Kurvendiskussion-extremwerte.png|thumb|right|380px|Im Graphen sind die beiden Extremstellen
$x_1$ und $x_2$ samt den dazugehörenden Hoch- und Tiefpunkten eingezeichnet.]]
<br>
<br>
<br>
<br>
{| border ="1"
| '''Definition:'''

| '''Lokale Extremstellen''' sind jene Stellen (=x-Werte), an denen der Graph der Funktion einen lokalen '''Hoch- oder Tiefpunkt''' hat.

'''Formale Definition''':
Eine Funktion f hat bei $x_0$ einen lokalen Hochpunkt, wenn für alle $x$ in einer Umgebung von $x_0$ gilt, dass $f(x)<f(x_0)$. (analog funktioniert die Definition für einen lokalen Tiefpunkt)

|}

{| align="center"
|-
|
{{#ev:youtube|zCA7GI0yIfg}}
|}
<br>
<br>
<br>
[[Datei:Kurvendiskussion-Extremstellen-f' und f''.png|thumb|380px|right]]

Wie am Graphen in der rechten Abbildung erkennbar ist, sind die Steigungen an den Extremstellen immer 0 (d.h. beim Hochpunkt und Tiefpunkt '''steigt f nicht''' und '''fällt f nicht'''). Somit gilt $f'(x)=0$
Zusätzlich ist der Graph beim Hochpunkt '''rechtsgekrümmt''' (d.h. $f''(x)<0$) und beim Tiefpunkt '''linksgekrümmt''' (d.h. $f''(x)>0$).

Somit erhalten wir...
<br>
<br>
<br>
<br>
=== Hinreichende Bedingung für ein relatives Extremum ===
{| border="1" align="center"
|
{|
|
* $f'(x_0)=0$ '''und''' $f''(x_0)< 0$
| $\Rightarrow\ \ \ \ $
| $x_0$ ist die Stelle eines relativen Hochpunktes (Maximums) von f
|-
|

|-
|
*$f'(x_0)=0$ '''und''' $f''(x_0)>0$
| $\Rightarrow\ \ \ \ $
| $x_0$ ist die Stelle eines relativen Tiefpunktes (Minimums) von f

|-

|
|-
|
*$f'(x_0)=0$ '''und''' $f''(x_0)=0$
| $\Rightarrow\ \ \ \ $
| dann muss hier '''nicht unbedingt ein Extremum''' sein.
|}
|}

Der letzte Punkt ($f'(x_0)=0$ ABER $f''(x_0)=0$) wird klar, wenn man sich die Funktion $f(x)=x^3$ ansieht:

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0>'''Beispiel für $f''(x)=0$, aber kein Extremum: $f(x)=x^3$''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Xhoch3.png|thumb|300px|right|Graph von $f(x)=x^3$]]
Sei $f(x)=x^3$. Um die Extrema zu berechnen, setzen wir $f'(x)=0$ und bestimmen dann $f''(x)$ an dieser Stelle:

{| border="0" align="center"
|-
|$f'(x)=3x^2$
$0=3x^2$

$\rightarrow x=0$
|
$\ $ und $\ \ \ \ $
|
$f''(x)=6x$

$f''(0)=0$
|}

Somit ist $f'(0)=0$ und $f''(0)=0$! Wie man aber leicht am Graphen erkennt, ist bei $x_1=0$ kein Extremum (weder Hoch- noch Tiefpunkt)!

Die Bedingungen $f''(x_0)<0$ (für ein Maximum) und $f''(x_0)>0$ (für ein Minimum) sind also wichtig!

</div>

</div>

<br>
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<br>
<br>
<br>

=== Musterbeispiel ===

<br>
<br>
<br>
<br>
== Wendepunkt und Wendetangente ==
[[Datei:Wendepunkt.png|thumb|400px|right|Funktion mit Wendepunkt W und Wendetangente]]
{| border="1"
'''Definition'''
|
* Ein '''Wendepunkt''' ist ein Punkt, in dem die Funktion f ihr Krümmungsverhalten ändert. Das heißt: Die Funktion geht von einer Rechtskrümmung in eine Linkskrümmung über (oder umgekehrt).

* Die Tangente durch den Wendepunkt heißt '''Wendetangente'''.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Wie erkennt man einen Wendepunkt?''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Stell dir vor, der Graph ist eine Straße und du würdest ihm mit einem Auto von links nach rechts entlangfahren. Zuerst kommt eine Rechtskurve, in der du das Lenkrad nach rechts drehst. Anschließend kommt eine Linkskurve, in der du das Lenkrad nach links drehen musst. Genau zwischen der Rechts- und der Linkskurve gibt es '''einen Moment, indem das Lenkrad gerade ist - das ist der Wendepunkt'''.
</div>

</div>

=== Hinreichende Bedingung für einen Wendepunkt ===
{| border="1"
|-
|Die Funktion $f(x)$ hat $x_0$ einen Wendepunkt, wenn gilt:
# $f''(x_0)=0$ UND
#$f'''(x)\ne 0$
|}

<br>
<br>
=== Video ===
{| align="center"
|-
|
{{#ev:youtube|DM9uYJK5-fc}}
|}

=== Musterbeispiel ===

== Zusatzvideos zur Vertiefung ==

{| border="1" align=center
|-
|
{{#ev:youtube|x6PCkKP3PT4?t=3s}}

|
{{#ev:youtube|tmrpkUuQgj4}}
|}

== Online-Übungen ==

* [http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/musterkd.htm Musterbeispiel von Jutta Gut]
* [http://matheguru.com/analysis/192-beispiel-einer-kurvendiskussion.html | Musterbeispiel von "Matheguru"]
* [http://www.geogebratube.org/student/m84598 | Online-Übung von Kurvendisskussionen (GeoGebra)]

== Beispiele ==

Differenzen- und Differentialquotient

2014-02-10T09:20:37Z

91.114.195.36: /* Berechnung der 1. Ableitung mithilfe von Rechenregeln */

Kurvendiskussionen

2014-02-10T09:00:25Z

91.114.195.36: /* Online-Übungen */

== Überblick und Einleitung ==

Beim Thema Kurvendiskussionen geht es darum, Eigenschaften von Funktionen (bzw. Kurven) zu ermitteln. Für die Matura sind die folgenden Eigenschaften wichtig:
* [[Kurvendiskussionen#Nullstellen | Nullstellen]]
* [[Kurvendiskussionen#Extremstellen: Hoch- und Tiefpunkte | Extremwerte]]
* [[Kurvendiskussionen#Wendepunkt und Wendetangente | Wendepunkt und Wendetangente]]

{| align="center"
|-
|
{{#ev:youtube|epCBOgwafp8?t=27s}}
|}

<br>
<br>
<br>

== Grundwissen über f(x), f<nowiki>'</nowiki>(x) und f<nowiki>''</nowiki>(x) ==

Die folgende Tabelle gibt dir an, was mit der Funktion f(x), ihrer 1. Ableitung und ihrer 2. Ableitung berechnet werden kann..

{| border="1"
|- style="background:#e0e0e0"
!|
!| $f(x)$
!| $f'(x)$
!| $f''(x)$
|-

!| Gibt an ...
| den '''[[Funktionswert]]''' an der Stelle x
| die '''[[Steigung]]''' von f an der Stelle x
| die '''[[Krümmung]]''' von f an der Stelle x (=Steigung der Steigung)

|-
!| physikalische Interpretation
| Entfernung vom Ursprung in einem Zeit-Weg-Diagramm
oder
Höhe eines Objektes etc.
| [[Differenzen- und Differentialquotient#Der Differentialquotient (= momentane Steigung) | '''momentane''' Änderungsrate/Geschwindigkeit]] an der Stelle x
| Beschleunigung an der Stelle x

|-
!| wenn $>0$
| Funktionswert ist positiv und oberhalb der x-Achse
| $f'(x)>0 \rightarrow$ Funktion ist monoton steigend.
| $f''(x)>0 \rightarrow$ die Funktion ist linksgekrümmt (U-förmig). Die Steigung nimmt zu.

|-
!| wenn $<0$
| Funktionswert ist netagiv und unterhalb der x-Achse
| $f '(x)<0 \rightarrow$ Funktion ist monoton fallend.
|$f''(x)<0 \rightarrow$ die Funktion macht hier eine Rechtskurve (n-förmig)
Die Steigung nimmt ab.

|-
!| wenn $=0$
| [[Kurvendiskussionen#Nullstellen | Nullstellen]]
| Die Funktion steigt und fällt hier nicht. Möglicherweise befindet sich hier ein [[Kurvendiskussionen#Extremstellen: Hoch- und Tiefpunkte | Extremum]].
| Möglicherweise befindet sich hier ein [[Kurvendiskussionen#Wendepunkt und Wendetangente | Wendepunkt ]].

|}
<br>
<br>
<br>

== Nullstellen ==

{{:Nullstelle}}

<br>
<br>
<br>
== Extremstellen: Hoch- und Tiefpunkte ==

[[Datei:Kurvendiskussion-extremwerte.png|thumb|right|380px|Im Graphen sind die beiden Extremstellen
$x_1$ und $x_2$ samt den dazugehörenden Hoch- und Tiefpunkten eingezeichnet.]]
<br>
<br>
<br>
<br>
{| border ="1"
| '''Definition:'''

| '''Lokale Extremstellen''' sind jene Stellen (=x-Werte), an denen der Graph der Funktion einen lokalen '''Hoch- oder Tiefpunkt''' hat.

'''Formale Definition''':
Eine Funktion f hat bei $x_0$ einen lokalen Hochpunkt, wenn für alle $x$ in einer Umgebung von $x_0$ gilt, dass $f(x)<f(x_0)$. (analog funktioniert die Definition für einen lokalen Tiefpunkt)

|}

{| align="center"
|-
|
{{#ev:youtube|zCA7GI0yIfg}}
|}
<br>
<br>
<br>
[[Datei:Kurvendiskussion-Extremstellen-f' und f''.png|thumb|380px|right]]

Wie am Graphen in der rechten Abbildung erkennbar ist, sind die Steigungen an den Extremstellen immer 0 (d.h. beim Hochpunkt und Tiefpunkt '''steigt f nicht''' und '''fällt f nicht'''). Somit gilt $f'(x)=0$
Zusätzlich ist der Graph beim Hochpunkt '''rechtsgekrümmt''' (d.h. $f''(x)<0$) und beim Tiefpunkt '''linksgekrümmt''' (d.h. $f''(x)>0$).

Somit erhalten wir...
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=== Hinreichende Bedingung für ein relatives Extremum ===
{| border="1" align="center"
|
{|
|
* $f'(x_0)=0$ '''und''' $f''(x_0)< 0$
| $\Rightarrow\ \ \ \ $
| $x_0$ ist die Stelle eines relativen Hochpunktes (Maximums) von f
|-
|

|-
|
*$f'(x_0)=0$ '''und''' $f''(x_0)>0$
| $\Rightarrow\ \ \ \ $
| $x_0$ ist die Stelle eines relativen Tiefpunktes (Minimums) von f

|-

|
|-
|
*$f'(x_0)=0$ '''und''' $f''(x_0)=0$
| $\Rightarrow\ \ \ \ $
| dann muss hier '''nicht unbedingt ein Extremum''' sein.
|}
|}

Der letzte Punkt ($f'(x_0)=0$ ABER $f''(x_0)=0$) wird klar, wenn man sich die Funktion $f(x)=x^3$ ansieht:

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0>'''Beispiel für $f''(x)=0$, aber kein Extremum: $f(x)=x^3$''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Xhoch3.png|thumb|300px|right|Graph von $f(x)=x^3$]]
Sei $f(x)=x^3$. Um die Extrema zu berechnen, setzen wir $f'(x)=0$ und bestimmen dann $f''(x)$ an dieser Stelle:

{| border="0" align="center"
|-
|$f'(x)=3x^2$
$0=3x^2$

$\rightarrow x=0$
|
$\ $ und $\ \ \ \ $
|
$f''(x)=6x$

$f''(0)=0$
|}

Somit ist $f'(0)=0$ und $f''(0)=0$! Wie man aber leicht am Graphen erkennt, ist bei $x_1=0$ kein Extremum (weder Hoch- noch Tiefpunkt)!

Die Bedingungen $f''(x_0)<0$ (für ein Maximum) und $f''(x_0)>0$ (für ein Minimum) sind also wichtig!

</div>

</div>

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=== Musterbeispiel ===

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== Wendepunkt und Wendetangente ==
[[Datei:Wendepunkt.png|thumb|400px|right|Funktion mit Wendepunkt W und Wendetangente]]
{| border="1"
'''Definition'''
|
* Ein '''Wendepunkt''' ist ein Punkt, in dem die Funktion f ihr Krümmungsverhalten ändert. Das heißt: Die Funktion geht von einer Rechtskrümmung in eine Linkskrümmung über (oder umgekehrt).

* Die Tangente durch den Wendepunkt heißt '''Wendetangente'''.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Wie erkennt man einen Wendepunkt?''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Stell dir vor, der Graph ist eine Straße und du würdest ihm mit einem Auto von links nach rechts entlangfahren. Zuerst kommt eine Rechtskurve, in der du das Lenkrad nach rechts drehst. Anschließend kommt eine Linkskurve, in der du das Lenkrad nach links drehen musst. Genau zwischen der Rechts- und der Linkskurve gibt es '''einen Moment, indem das Lenkrad gerade ist - das ist der Wendepunkt'''.
</div>

</div>

=== Hinreichende Bedingung für einen Wendepunkt ===
{| border="1"
|-
|Die Funktion $f(x)$ hat $x_0$ einen Wendepunkt, wenn gilt:
# $f''(x_0)=0$ UND
#$f'''(x)\ne 0$
|}

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=== Video ===
{| align="center"
|-
|
{{#ev:youtube|DM9uYJK5-fc}}
|}

=== Musterbeispiel ===

== Zusatzvideos zur Vertiefung ==

{| border="1" align=center
|-
|
{{#ev:youtube|x6PCkKP3PT4?t=3s}}

|
{{#ev:youtube|tmrpkUuQgj4}}
|}

== Online-Übungen ==

* [http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/musterkd.htm Musterbeispiel von Jutta Gut]
* [http://matheguru.com/analysis/192-beispiel-einer-kurvendiskussion.html | Musterbeispiel von "Matheguru"]
* [http://www.geogebratube.org/student/m84598 | Online-Übung von Kurvendisskussionen (GeoGebra)]

== Beispiele ==

Funktionen

2014-02-10T06:37:22Z

91.114.195.36: Die Seite wurde neu angelegt: „ Übungen * [http://www.echteinfach.tv/mathe-spiele/funktionen-quiz Funktionsgleichungen den jeweiligen Graphen zuordnen]“

Übungen

* [http://www.echteinfach.tv/mathe-spiele/funktionen-quiz Funktionsgleichungen den jeweiligen Graphen zuordnen]

Kurvendiskussionen

2014-02-10T06:16:49Z

91.114.195.36: /* Zusatzvideos zur Vertiefung */

== Überblick und Einleitung ==

Beim Thema Kurvendiskussionen geht es darum, Eigenschaften von Funktionen (bzw. Kurven) zu ermitteln. Für die Matura sind die folgenden Eigenschaften wichtig:
* [[Kurvendiskussionen#Nullstellen | Nullstellen]]
* [[Kurvendiskussionen#Extremstellen: Hoch- und Tiefpunkte | Extremwerte]]
* [[Kurvendiskussionen#Wendepunkt und Wendetangente | Wendepunkt und Wendetangente]]

{| align="center"
|-
|
{{#ev:youtube|epCBOgwafp8?t=27s}}
|}

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== Grundwissen über f(x), f<nowiki>'</nowiki>(x) und f<nowiki>''</nowiki>(x) ==

Die folgende Tabelle gibt dir an, was mit der Funktion f(x), ihrer 1. Ableitung und ihrer 2. Ableitung berechnet werden kann..

{| border="1"
|- style="background:#e0e0e0"
!|
!| $f(x)$
!| $f'(x)$
!| $f''(x)$
|-

!| Gibt an ...
| den '''[[Funktionswert]]''' an der Stelle x
| die '''[[Steigung]]''' von f an der Stelle x
| die '''[[Krümmung]]''' von f an der Stelle x (=Steigung der Steigung)

|-
!| physikalische Interpretation
| Entfernung vom Ursprung in einem Zeit-Weg-Diagramm
oder
Höhe eines Objektes etc.
| [[Differenzen- und Differentialquotient#Der Differentialquotient (= momentane Steigung) | '''momentane''' Änderungsrate/Geschwindigkeit]] an der Stelle x
| Beschleunigung an der Stelle x

|-
!| wenn $>0$
| Funktionswert ist positiv und oberhalb der x-Achse
| $f'(x)>0 \rightarrow$ Funktion ist monoton steigend.
| $f''(x)>0 \rightarrow$ die Funktion ist linksgekrümmt (U-förmig). Die Steigung nimmt zu.

|-
!| wenn $<0$
| Funktionswert ist netagiv und unterhalb der x-Achse
| $f '(x)<0 \rightarrow$ Funktion ist monoton fallend.
|$f''(x)<0 \rightarrow$ die Funktion macht hier eine Rechtskurve (n-förmig)
Die Steigung nimmt ab.

|-
!| wenn $=0$
| [[Kurvendiskussionen#Nullstellen | Nullstellen]]
| Die Funktion steigt und fällt hier nicht. Möglicherweise befindet sich hier ein [[Kurvendiskussionen#Extremstellen: Hoch- und Tiefpunkte | Extremum]].
| Möglicherweise befindet sich hier ein [[Kurvendiskussionen#Wendepunkt und Wendetangente | Wendepunkt ]].

|}
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== Nullstellen ==

{{:Nullstelle}}

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== Extremstellen: Hoch- und Tiefpunkte ==

[[Datei:Kurvendiskussion-extremwerte.png|thumb|right|380px|Im Graphen sind die beiden Extremstellen
$x_1$ und $x_2$ samt den dazugehörenden Hoch- und Tiefpunkten eingezeichnet.]]
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{| border ="1"
| '''Definition:'''

| '''Lokale Extremstellen''' sind jene Stellen (=x-Werte), an denen der Graph der Funktion einen lokalen '''Hoch- oder Tiefpunkt''' hat.

'''Formale Definition''':
Eine Funktion f hat bei $x_0$ einen lokalen Hochpunkt, wenn für alle $x$ in einer Umgebung von $x_0$ gilt, dass $f(x)<f(x_0)$. (analog funktioniert die Definition für einen lokalen Tiefpunkt)

|}

{| align="center"
|-
|
{{#ev:youtube|zCA7GI0yIfg}}
|}
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[[Datei:Kurvendiskussion-Extremstellen-f' und f''.png|thumb|380px|right]]

Wie am Graphen in der rechten Abbildung erkennbar ist, sind die Steigungen an den Extremstellen immer 0 (d.h. beim Hochpunkt und Tiefpunkt '''steigt f nicht''' und '''fällt f nicht'''). Somit gilt $f'(x)=0$
Zusätzlich ist der Graph beim Hochpunkt '''rechtsgekrümmt''' (d.h. $f''(x)<0$) und beim Tiefpunkt '''linksgekrümmt''' (d.h. $f''(x)>0$).

Somit erhalten wir...
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=== Hinreichende Bedingung für ein relatives Extremum ===
{| border="1" align="center"
|
{|
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* $f'(x_0)=0$ '''und''' $f''(x_0)< 0$
| $\Rightarrow\ \ \ \ $
| $x_0$ ist die Stelle eines relativen Hochpunktes (Maximums) von f
|-
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*$f'(x_0)=0$ '''und''' $f''(x_0)>0$
| $\Rightarrow\ \ \ \ $
| $x_0$ ist die Stelle eines relativen Tiefpunktes (Minimums) von f

|-

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|-
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*$f'(x_0)=0$ '''und''' $f''(x_0)=0$
| $\Rightarrow\ \ \ \ $
| dann muss hier '''nicht unbedingt ein Extremum''' sein.
|}
|}

Der letzte Punkt ($f'(x_0)=0$ ABER $f''(x_0)=0$) wird klar, wenn man sich die Funktion $f(x)=x^3$ ansieht:

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0>'''Beispiel für $f''(x)=0$, aber kein Extremum: $f(x)=x^3$''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Xhoch3.png|thumb|300px|right|Graph von $f(x)=x^3$]]
Sei $f(x)=x^3$. Um die Extrema zu berechnen, setzen wir $f'(x)=0$ und bestimmen dann $f''(x)$ an dieser Stelle:

{| border="0" align="center"
|-
|$f'(x)=3x^2$
$0=3x^2$

$\rightarrow x=0$
|
$\ $ und $\ \ \ \ $
|
$f''(x)=6x$

$f''(0)=0$
|}

Somit ist $f'(0)=0$ und $f''(0)=0$! Wie man aber leicht am Graphen erkennt, ist bei $x_1=0$ kein Extremum (weder Hoch- noch Tiefpunkt)!

Die Bedingungen $f''(x_0)<0$ (für ein Maximum) und $f''(x_0)>0$ (für ein Minimum) sind also wichtig!

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=== Musterbeispiel ===

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== Wendepunkt und Wendetangente ==
[[Datei:Wendepunkt.png|thumb|400px|right|Funktion mit Wendepunkt W und Wendetangente]]
{| border="1"
'''Definition'''
|
* Ein '''Wendepunkt''' ist ein Punkt, in dem die Funktion f ihr Krümmungsverhalten ändert. Das heißt: Die Funktion geht von einer Rechtskrümmung in eine Linkskrümmung über (oder umgekehrt).

* Die Tangente durch den Wendepunkt heißt '''Wendetangente'''.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Wie erkennt man einen Wendepunkt?''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Stell dir vor, der Graph ist eine Straße und du würdest ihm mit einem Auto von links nach rechts entlangfahren. Zuerst kommt eine Rechtskurve, in der du das Lenkrad nach rechts drehst. Anschließend kommt eine Linkskurve, in der du das Lenkrad nach links drehen musst. Genau zwischen der Rechts- und der Linkskurve gibt es '''einen Moment, indem das Lenkrad gerade ist - das ist der Wendepunkt'''.
</div>

</div>

=== Hinreichende Bedingung für einen Wendepunkt ===
{| border="1"
|-
|Die Funktion $f(x)$ hat $x_0$ einen Wendepunkt, wenn gilt:
# $f''(x_0)=0$ UND
#$f'''(x)\ne 0$
|}

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=== Video ===
{| align="center"
|-
|
{{#ev:youtube|DM9uYJK5-fc}}
|}

=== Musterbeispiel ===

== Zusatzvideos zur Vertiefung ==

{| border="1" align=center
|-
|
{{#ev:youtube|x6PCkKP3PT4?t=3s}}

|
{{#ev:youtube|tmrpkUuQgj4}}
|}

== Online-Übungen ==

== Beispiele ==

Kurvendiskussionen

2014-02-10T06:11:50Z

91.114.195.36: /* Überblick und Einleitung */

== Überblick und Einleitung ==

Beim Thema Kurvendiskussionen geht es darum, Eigenschaften von Funktionen (bzw. Kurven) zu ermitteln. Für die Matura sind die folgenden Eigenschaften wichtig:
* [[Kurvendiskussionen#Nullstellen | Nullstellen]]
* [[Kurvendiskussionen#Extremstellen: Hoch- und Tiefpunkte | Extremwerte]]
* [[Kurvendiskussionen#Wendepunkt und Wendetangente | Wendepunkt und Wendetangente]]

{| align="center"
|-
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{{#ev:youtube|epCBOgwafp8?t=27s}}
|}

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== Grundwissen über f(x), f<nowiki>'</nowiki>(x) und f<nowiki>''</nowiki>(x) ==

Die folgende Tabelle gibt dir an, was mit der Funktion f(x), ihrer 1. Ableitung und ihrer 2. Ableitung berechnet werden kann..

{| border="1"
|- style="background:#e0e0e0"
!|
!| $f(x)$
!| $f'(x)$
!| $f''(x)$
|-

!| Gibt an ...
| den '''[[Funktionswert]]''' an der Stelle x
| die '''[[Steigung]]''' von f an der Stelle x
| die '''[[Krümmung]]''' von f an der Stelle x (=Steigung der Steigung)

|-
!| physikalische Interpretation
| Entfernung vom Ursprung in einem Zeit-Weg-Diagramm
oder
Höhe eines Objektes etc.
| [[Differenzen- und Differentialquotient#Der Differentialquotient (= momentane Steigung) | '''momentane''' Änderungsrate/Geschwindigkeit]] an der Stelle x
| Beschleunigung an der Stelle x

|-
!| wenn $>0$
| Funktionswert ist positiv und oberhalb der x-Achse
| $f'(x)>0 \rightarrow$ Funktion ist monoton steigend.
| $f''(x)>0 \rightarrow$ die Funktion ist linksgekrümmt (U-förmig). Die Steigung nimmt zu.

|-
!| wenn $<0$
| Funktionswert ist netagiv und unterhalb der x-Achse
| $f '(x)<0 \rightarrow$ Funktion ist monoton fallend.
|$f''(x)<0 \rightarrow$ die Funktion macht hier eine Rechtskurve (n-förmig)
Die Steigung nimmt ab.

|-
!| wenn $=0$
| [[Kurvendiskussionen#Nullstellen | Nullstellen]]
| Die Funktion steigt und fällt hier nicht. Möglicherweise befindet sich hier ein [[Kurvendiskussionen#Extremstellen: Hoch- und Tiefpunkte | Extremum]].
| Möglicherweise befindet sich hier ein [[Kurvendiskussionen#Wendepunkt und Wendetangente | Wendepunkt ]].

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== Nullstellen ==

{{:Nullstelle}}

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== Extremstellen: Hoch- und Tiefpunkte ==

[[Datei:Kurvendiskussion-extremwerte.png|thumb|right|380px|Im Graphen sind die beiden Extremstellen
$x_1$ und $x_2$ samt den dazugehörenden Hoch- und Tiefpunkten eingezeichnet.]]
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{| border ="1"
| '''Definition:'''

| '''Lokale Extremstellen''' sind jene Stellen (=x-Werte), an denen der Graph der Funktion einen lokalen '''Hoch- oder Tiefpunkt''' hat.

'''Formale Definition''':
Eine Funktion f hat bei $x_0$ einen lokalen Hochpunkt, wenn für alle $x$ in einer Umgebung von $x_0$ gilt, dass $f(x)<f(x_0)$. (analog funktioniert die Definition für einen lokalen Tiefpunkt)

|}

{| align="center"
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{{#ev:youtube|zCA7GI0yIfg}}
|}
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[[Datei:Kurvendiskussion-Extremstellen-f' und f''.png|thumb|380px|right]]

Wie am Graphen in der rechten Abbildung erkennbar ist, sind die Steigungen an den Extremstellen immer 0 (d.h. beim Hochpunkt und Tiefpunkt '''steigt f nicht''' und '''fällt f nicht'''). Somit gilt $f'(x)=0$
Zusätzlich ist der Graph beim Hochpunkt '''rechtsgekrümmt''' (d.h. $f''(x)<0$) und beim Tiefpunkt '''linksgekrümmt''' (d.h. $f''(x)>0$).

Somit erhalten wir...
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=== Hinreichende Bedingung für ein relatives Extremum ===
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* $f'(x_0)=0$ '''und''' $f''(x_0)< 0$
| $\Rightarrow\ \ \ \ $
| $x_0$ ist die Stelle eines relativen Hochpunktes (Maximums) von f
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*$f'(x_0)=0$ '''und''' $f''(x_0)>0$
| $\Rightarrow\ \ \ \ $
| $x_0$ ist die Stelle eines relativen Tiefpunktes (Minimums) von f

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|-
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*$f'(x_0)=0$ '''und''' $f''(x_0)=0$
| $\Rightarrow\ \ \ \ $
| dann muss hier '''nicht unbedingt ein Extremum''' sein.
|}
|}

Der letzte Punkt ($f'(x_0)=0$ ABER $f''(x_0)=0$) wird klar, wenn man sich die Funktion $f(x)=x^3$ ansieht:

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0>'''Beispiel für $f''(x)=0$, aber kein Extremum: $f(x)=x^3$''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Xhoch3.png|thumb|300px|right|Graph von $f(x)=x^3$]]
Sei $f(x)=x^3$. Um die Extrema zu berechnen, setzen wir $f'(x)=0$ und bestimmen dann $f''(x)$ an dieser Stelle:

{| border="0" align="center"
|-
|$f'(x)=3x^2$
$0=3x^2$

$\rightarrow x=0$
|
$\ $ und $\ \ \ \ $
|
$f''(x)=6x$

$f''(0)=0$
|}

Somit ist $f'(0)=0$ und $f''(0)=0$! Wie man aber leicht am Graphen erkennt, ist bei $x_1=0$ kein Extremum (weder Hoch- noch Tiefpunkt)!

Die Bedingungen $f''(x_0)<0$ (für ein Maximum) und $f''(x_0)>0$ (für ein Minimum) sind also wichtig!

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=== Musterbeispiel ===

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== Wendepunkt und Wendetangente ==
[[Datei:Wendepunkt.png|thumb|400px|right|Funktion mit Wendepunkt W und Wendetangente]]
{| border="1"
'''Definition'''
|
* Ein '''Wendepunkt''' ist ein Punkt, in dem die Funktion f ihr Krümmungsverhalten ändert. Das heißt: Die Funktion geht von einer Rechtskrümmung in eine Linkskrümmung über (oder umgekehrt).

* Die Tangente durch den Wendepunkt heißt '''Wendetangente'''.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Wie erkennt man einen Wendepunkt?''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Stell dir vor, der Graph ist eine Straße und du würdest ihm mit einem Auto von links nach rechts entlangfahren. Zuerst kommt eine Rechtskurve, in der du das Lenkrad nach rechts drehst. Anschließend kommt eine Linkskurve, in der du das Lenkrad nach links drehen musst. Genau zwischen der Rechts- und der Linkskurve gibt es '''einen Moment, indem das Lenkrad gerade ist - das ist der Wendepunkt'''.
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=== Hinreichende Bedingung für einen Wendepunkt ===
{| border="1"
|-
|Die Funktion $f(x)$ hat $x_0$ einen Wendepunkt, wenn gilt:
# $f''(x_0)=0$ UND
#$f'''(x)\ne 0$
|}

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=== Video ===
{| align="center"
|-
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{{#ev:youtube|DM9uYJK5-fc}}
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=== Musterbeispiel ===

== Zusatzvideos zur Vertiefung ==

{| border="1" align=center
|-
|
http://www.youtube.com/watch?v=FF16tWKWltE&list=PLjaA00udJtOq9WB_BXVOOOR9PhN-z-4h8

|

|}

== Online-Übungen ==

== Beispiele ==

Kurvendiskussionen

2014-02-10T06:07:16Z

91.114.195.36: /* Grundwissen über f(x), f'(x) und f(x) */

== Überblick und Einleitung ==

Beim Thema Kurvendiskussionen geht es darum, Eigenschaften von Funktionen (bzw. Kurven) zu ermitteln. Für die Matura sind die folgenden Eigenschaften wichtig:
* [[Kurvendiskussionen#Nullstellen | Nullstellen]]
* [[Kurvendiskussionen#Extremstellen: Hoch- und Tiefpunkte | Extremwerte]]
* [[Kurvendiskussionen#Wendepunkt und Wendetangente | Wendepunkt und Wendetangente]]

{| align="center"
|-
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{{#ev:youtube|epCBOgwafp8}}
|}

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== Grundwissen über f(x), f<nowiki>'</nowiki>(x) und f<nowiki>''</nowiki>(x) ==

Die folgende Tabelle gibt dir an, was mit der Funktion f(x), ihrer 1. Ableitung und ihrer 2. Ableitung berechnet werden kann..

{| border="1"
|- style="background:#e0e0e0"
!|
!| $f(x)$
!| $f'(x)$
!| $f''(x)$
|-

!| Gibt an ...
| den '''[[Funktionswert]]''' an der Stelle x
| die '''[[Steigung]]''' von f an der Stelle x
| die '''[[Krümmung]]''' von f an der Stelle x (=Steigung der Steigung)

|-
!| physikalische Interpretation
| Entfernung vom Ursprung in einem Zeit-Weg-Diagramm
oder
Höhe eines Objektes etc.
| [[Differenzen- und Differentialquotient#Der Differentialquotient (= momentane Steigung) | '''momentane''' Änderungsrate/Geschwindigkeit]] an der Stelle x
| Beschleunigung an der Stelle x

|-
!| wenn $>0$
| Funktionswert ist positiv und oberhalb der x-Achse
| $f'(x)>0 \rightarrow$ Funktion ist monoton steigend.
| $f''(x)>0 \rightarrow$ die Funktion ist linksgekrümmt (U-förmig). Die Steigung nimmt zu.

|-
!| wenn $<0$
| Funktionswert ist netagiv und unterhalb der x-Achse
| $f '(x)<0 \rightarrow$ Funktion ist monoton fallend.
|$f''(x)<0 \rightarrow$ die Funktion macht hier eine Rechtskurve (n-förmig)
Die Steigung nimmt ab.

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!| wenn $=0$
| [[Kurvendiskussionen#Nullstellen | Nullstellen]]
| Die Funktion steigt und fällt hier nicht. Möglicherweise befindet sich hier ein [[Kurvendiskussionen#Extremstellen: Hoch- und Tiefpunkte | Extremum]].
| Möglicherweise befindet sich hier ein [[Kurvendiskussionen#Wendepunkt und Wendetangente | Wendepunkt ]].

|}
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== Nullstellen ==

{{:Nullstelle}}

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== Extremstellen: Hoch- und Tiefpunkte ==

[[Datei:Kurvendiskussion-extremwerte.png|thumb|right|380px|Im Graphen sind die beiden Extremstellen
$x_1$ und $x_2$ samt den dazugehörenden Hoch- und Tiefpunkten eingezeichnet.]]
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{| border ="1"
| '''Definition:'''

| '''Lokale Extremstellen''' sind jene Stellen (=x-Werte), an denen der Graph der Funktion einen lokalen '''Hoch- oder Tiefpunkt''' hat.

'''Formale Definition''':
Eine Funktion f hat bei $x_0$ einen lokalen Hochpunkt, wenn für alle $x$ in einer Umgebung von $x_0$ gilt, dass $f(x)<f(x_0)$. (analog funktioniert die Definition für einen lokalen Tiefpunkt)

|}

{| align="center"
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{{#ev:youtube|zCA7GI0yIfg}}
|}
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[[Datei:Kurvendiskussion-Extremstellen-f' und f''.png|thumb|380px|right]]

Wie am Graphen in der rechten Abbildung erkennbar ist, sind die Steigungen an den Extremstellen immer 0 (d.h. beim Hochpunkt und Tiefpunkt '''steigt f nicht''' und '''fällt f nicht'''). Somit gilt $f'(x)=0$
Zusätzlich ist der Graph beim Hochpunkt '''rechtsgekrümmt''' (d.h. $f''(x)<0$) und beim Tiefpunkt '''linksgekrümmt''' (d.h. $f''(x)>0$).

Somit erhalten wir...
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=== Hinreichende Bedingung für ein relatives Extremum ===
{| border="1" align="center"
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* $f'(x_0)=0$ '''und''' $f''(x_0)< 0$
| $\Rightarrow\ \ \ \ $
| $x_0$ ist die Stelle eines relativen Hochpunktes (Maximums) von f
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*$f'(x_0)=0$ '''und''' $f''(x_0)>0$
| $\Rightarrow\ \ \ \ $
| $x_0$ ist die Stelle eines relativen Tiefpunktes (Minimums) von f

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*$f'(x_0)=0$ '''und''' $f''(x_0)=0$
| $\Rightarrow\ \ \ \ $
| dann muss hier '''nicht unbedingt ein Extremum''' sein.
|}
|}

Der letzte Punkt ($f'(x_0)=0$ ABER $f''(x_0)=0$) wird klar, wenn man sich die Funktion $f(x)=x^3$ ansieht:

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0>'''Beispiel für $f''(x)=0$, aber kein Extremum: $f(x)=x^3$''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Xhoch3.png|thumb|300px|right|Graph von $f(x)=x^3$]]
Sei $f(x)=x^3$. Um die Extrema zu berechnen, setzen wir $f'(x)=0$ und bestimmen dann $f''(x)$ an dieser Stelle:

{| border="0" align="center"
|-
|$f'(x)=3x^2$
$0=3x^2$

$\rightarrow x=0$
|
$\ $ und $\ \ \ \ $
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$f''(x)=6x$

$f''(0)=0$
|}

Somit ist $f'(0)=0$ und $f''(0)=0$! Wie man aber leicht am Graphen erkennt, ist bei $x_1=0$ kein Extremum (weder Hoch- noch Tiefpunkt)!

Die Bedingungen $f''(x_0)<0$ (für ein Maximum) und $f''(x_0)>0$ (für ein Minimum) sind also wichtig!

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=== Musterbeispiel ===

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== Wendepunkt und Wendetangente ==
[[Datei:Wendepunkt.png|thumb|400px|right|Funktion mit Wendepunkt W und Wendetangente]]
{| border="1"
'''Definition'''
|
* Ein '''Wendepunkt''' ist ein Punkt, in dem die Funktion f ihr Krümmungsverhalten ändert. Das heißt: Die Funktion geht von einer Rechtskrümmung in eine Linkskrümmung über (oder umgekehrt).

* Die Tangente durch den Wendepunkt heißt '''Wendetangente'''.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Wie erkennt man einen Wendepunkt?''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Stell dir vor, der Graph ist eine Straße und du würdest ihm mit einem Auto von links nach rechts entlangfahren. Zuerst kommt eine Rechtskurve, in der du das Lenkrad nach rechts drehst. Anschließend kommt eine Linkskurve, in der du das Lenkrad nach links drehen musst. Genau zwischen der Rechts- und der Linkskurve gibt es '''einen Moment, indem das Lenkrad gerade ist - das ist der Wendepunkt'''.
</div>

</div>

=== Hinreichende Bedingung für einen Wendepunkt ===
{| border="1"
|-
|Die Funktion $f(x)$ hat $x_0$ einen Wendepunkt, wenn gilt:
# $f''(x_0)=0$ UND
#$f'''(x)\ne 0$
|}

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=== Video ===
{| align="center"
|-
|
{{#ev:youtube|DM9uYJK5-fc}}
|}

=== Musterbeispiel ===

== Zusatzvideos zur Vertiefung ==

{| border="1" align=center
|-
|
http://www.youtube.com/watch?v=FF16tWKWltE&list=PLjaA00udJtOq9WB_BXVOOOR9PhN-z-4h8

|

|}

== Online-Übungen ==

== Beispiele ==

Kurvendiskussionen

2014-02-10T06:04:55Z

91.114.195.36: /* Wendepunkt und Wendetangente */

== Überblick und Einleitung ==

Beim Thema Kurvendiskussionen geht es darum, Eigenschaften von Funktionen (bzw. Kurven) zu ermitteln. Für die Matura sind die folgenden Eigenschaften wichtig:
* [[Kurvendiskussionen#Nullstellen | Nullstellen]]
* [[Kurvendiskussionen#Extremstellen: Hoch- und Tiefpunkte | Extremwerte]]
* [[Kurvendiskussionen#Wendepunkt und Wendetangente | Wendepunkt und Wendetangente]]

{| align="center"
|-
|
{{#ev:youtube|epCBOgwafp8}}
|}

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== Grundwissen über f(x), f<nowiki>'</nowiki>(x) und f<nowiki>''</nowiki>(x) ==

Die folgende Tabelle gibt dir an, was mit der Funktion f(x), ihrer 1. Ableitung und ihrer 2. Ableitung berechnet werden kann..

{| border="1"
|- style="background:#e0e0e0"
!|
!| $f(x)$
!| $f'(x)$
!| $f''(x)$
|-

!| Gibt an ...
| den '''[[Funktionswert]]''' an der Stelle x
| die '''[[Steigung]]''' von f an der Stelle x
| die '''[[Krümmung]]''' von f an der Stelle x (=Steigung der Steigung)

|-
!| physikalische Interpretation
| Entfernung vom Ursprung in einem Zeit-Weg-Diagramm
oder
Höhe eines Objektes etc.
| [[Differenzen- und Differentialquotient#Der Differentialquotient (= momentane Steigung) | '''momentane''' Änderungsrate/Geschwindigkeit]] an der Stelle x
| Beschleunigung an der Stelle x

|-
!| wenn $>0$
| Funktionswert ist positiv und oberhalb der x-Achse
| $f'(x)>0 \rightarrow$ Funktion ist monoton steigend.
| $f''(x)>0 \rightarrow$ die Funktion ist linksgekrümmt (U-förmig). Die Steigung nimmt zu.

|-
!| wenn $<0$
| Funktionswert ist netagiv und unterhalb der x-Achse
| $f '(x)>0 \rightarrow$ Funktion ist monoton fallend.
|$f''(x)>0 \rightarrow$ die Funktion macht hier eine Rechtskurve (n-förmig)
Die Steigung nimmt ab.

|-
!| wenn $=0$
| [[Kurvendiskussionen#Nullstellen | Nullstellen]]
| Die Funktion steigt und fällt hier nicht. Möglicherweise befindet sich hier ein [[Kurvendiskussionen#Extremstellen: Hoch- und Tiefpunkte | Extremum]].
| Möglicherweise befindet sich hier ein [[Kurvendiskussionen#Wendepunkt und Wendetangente | Wendepunkt ]].

|}
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== Nullstellen ==

{{:Nullstelle}}

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== Extremstellen: Hoch- und Tiefpunkte ==

[[Datei:Kurvendiskussion-extremwerte.png|thumb|right|380px|Im Graphen sind die beiden Extremstellen
$x_1$ und $x_2$ samt den dazugehörenden Hoch- und Tiefpunkten eingezeichnet.]]
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{| border ="1"
| '''Definition:'''

| '''Lokale Extremstellen''' sind jene Stellen (=x-Werte), an denen der Graph der Funktion einen lokalen '''Hoch- oder Tiefpunkt''' hat.

'''Formale Definition''':
Eine Funktion f hat bei $x_0$ einen lokalen Hochpunkt, wenn für alle $x$ in einer Umgebung von $x_0$ gilt, dass $f(x)<f(x_0)$. (analog funktioniert die Definition für einen lokalen Tiefpunkt)

|}

{| align="center"
|-
|
{{#ev:youtube|zCA7GI0yIfg}}
|}
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[[Datei:Kurvendiskussion-Extremstellen-f' und f''.png|thumb|380px|right]]

Wie am Graphen in der rechten Abbildung erkennbar ist, sind die Steigungen an den Extremstellen immer 0 (d.h. beim Hochpunkt und Tiefpunkt '''steigt f nicht''' und '''fällt f nicht'''). Somit gilt $f'(x)=0$
Zusätzlich ist der Graph beim Hochpunkt '''rechtsgekrümmt''' (d.h. $f''(x)<0$) und beim Tiefpunkt '''linksgekrümmt''' (d.h. $f''(x)>0$).

Somit erhalten wir...
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=== Hinreichende Bedingung für ein relatives Extremum ===
{| border="1" align="center"
|
{|
|
* $f'(x_0)=0$ '''und''' $f''(x_0)< 0$
| $\Rightarrow\ \ \ \ $
| $x_0$ ist die Stelle eines relativen Hochpunktes (Maximums) von f
|-
|

|-
|
*$f'(x_0)=0$ '''und''' $f''(x_0)>0$
| $\Rightarrow\ \ \ \ $
| $x_0$ ist die Stelle eines relativen Tiefpunktes (Minimums) von f

|-

|
|-
|
*$f'(x_0)=0$ '''und''' $f''(x_0)=0$
| $\Rightarrow\ \ \ \ $
| dann muss hier '''nicht unbedingt ein Extremum''' sein.
|}
|}

Der letzte Punkt ($f'(x_0)=0$ ABER $f''(x_0)=0$) wird klar, wenn man sich die Funktion $f(x)=x^3$ ansieht:

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0>'''Beispiel für $f''(x)=0$, aber kein Extremum: $f(x)=x^3$''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Xhoch3.png|thumb|300px|right|Graph von $f(x)=x^3$]]
Sei $f(x)=x^3$. Um die Extrema zu berechnen, setzen wir $f'(x)=0$ und bestimmen dann $f''(x)$ an dieser Stelle:

{| border="0" align="center"
|-
|$f'(x)=3x^2$
$0=3x^2$

$\rightarrow x=0$
|
$\ $ und $\ \ \ \ $
|
$f''(x)=6x$

$f''(0)=0$
|}

Somit ist $f'(0)=0$ und $f''(0)=0$! Wie man aber leicht am Graphen erkennt, ist bei $x_1=0$ kein Extremum (weder Hoch- noch Tiefpunkt)!

Die Bedingungen $f''(x_0)<0$ (für ein Maximum) und $f''(x_0)>0$ (für ein Minimum) sind also wichtig!

</div>

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=== Musterbeispiel ===

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== Wendepunkt und Wendetangente ==
[[Datei:Wendepunkt.png|thumb|400px|right|Funktion mit Wendepunkt W und Wendetangente]]
{| border="1"
'''Definition'''
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* Ein '''Wendepunkt''' ist ein Punkt, in dem die Funktion f ihr Krümmungsverhalten ändert. Das heißt: Die Funktion geht von einer Rechtskrümmung in eine Linkskrümmung über (oder umgekehrt).

* Die Tangente durch den Wendepunkt heißt '''Wendetangente'''.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Wie erkennt man einen Wendepunkt?''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Stell dir vor, der Graph ist eine Straße und du würdest ihm mit einem Auto von links nach rechts entlangfahren. Zuerst kommt eine Rechtskurve, in der du das Lenkrad nach rechts drehst. Anschließend kommt eine Linkskurve, in der du das Lenkrad nach links drehen musst. Genau zwischen der Rechts- und der Linkskurve gibt es '''einen Moment, indem das Lenkrad gerade ist - das ist der Wendepunkt'''.
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=== Hinreichende Bedingung für einen Wendepunkt ===
{| border="1"
|-
|Die Funktion $f(x)$ hat $x_0$ einen Wendepunkt, wenn gilt:
# $f''(x_0)=0$ UND
#$f'''(x)\ne 0$
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=== Video ===
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{{#ev:youtube|DM9uYJK5-fc}}
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=== Musterbeispiel ===

== Zusatzvideos zur Vertiefung ==

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http://www.youtube.com/watch?v=FF16tWKWltE&list=PLjaA00udJtOq9WB_BXVOOOR9PhN-z-4h8

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== Online-Übungen ==

== Beispiele ==