Ableitung bestimmen

2014-09-28T07:18:56Z

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In diesem Artikel geht es darum, die erste Ableitung $f'(x)$ einer Funktion $f(x)$ zu bestimmen.

Vorausgesetzt sei im Folgenden, dass die Funktion $f(x)$ auf ihrem Definitionsbereich immer differenzierbar ist (d.h. f'(x) existiert). Dies muss, streng mathematisch genommen, vorausgesestzt werden)

== Was ist $f'(x)$? ==
[[Datei:Abb für diffquotient1.png|thumb|450px| Der [[Differenzen- und Differentialquotient#Differentialquotient]]|Differentialquotient $f'(x)$ berechnet die Steigung der [[Tangente]] t und damit die Steigung von $f$ an der Stelle $x$.]]

{{Vorlage:Definition|1=Die Ableitungsfunktion $f'(x)$ ist der sogenannte [[Differenzen- und Differentialquotient#Differentialquotient| Differentialquotient]] von $f(x)$.

$$ f'(x)={k}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)- x} $$

und gibt die '''momentane''' [[Steigung und Steigungswinkel|Steigung]] der Funktion $f$ an der [[Stelle]] x an.

$f'(x)$ wird auch als '''1. Ableitung von f(x)''' bezeichnet. }}

 
 
 

== Graphisches Bestimmen der 1. Ableitung ==

{{Merke|1=$f'(x)$ gibt die Steigung von $f(x)$ an. Somit muss gelten:}}

{| cellspacing="0" border="1" cellpadding="20"
!| $f(x)$
!| $f'(x)$
|-
| 1. $f(x)$ hat bei $a$ eine [[Extremstellen|Extremstelle]]
|$\rightarrow$ Hier ist die Steigung $f'(x)=0$
|-
| 2. $f(x)$ hat bei $b$ einen [[Wendepunkt und Wendetangente|Wendepunkt]]
|$\rightarrow$ Hier ist der Graph lokal am steilsten oder am flachsten $\rightarrow$ die Steigung $f'$ hat hier einen Hoch- oder Tiefpunkt.
|-
| 3. $f(x)$ ist monoton wachsend
|$\rightarrow$ $f'(x)$ ist positiv, d.h. oberhalb der x-Achse.
|-
| 4. $f(x)$ ist monoton fallend
|$\rightarrow$ $f'(x)$ ist negativ, d.h. unterhalb der x-Achse.
|}

[[Datei:Bsp.png|left]]
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px" style="background-color:#CEE3F6">

Skizzieren Sie zum gegebenen Graphen von $f(x)$ den Graphen von $f'(x)$!
[[Datei:Ausgangsfunktion.png|miniatur|500px|center|Graph von f(x)]]

<div class="mw-collapsible-content" style="background-color:#E6F6CE" >

{| border="1"
|[[Datei:NullstellenderAbl.png|miniatur|370px|1. Schritt: Zeichne die Nullstellen von $f'(x)$ (=Extremwerte von $f(x)$ ein)]]
|[[Datei:Hoch-TiefpunkterderAbleitung.png|miniatur|370px|2. Schritt: Zeichne die Extremwerte von $f'(x)$ (=Wendepunkte von $f(x)$ ein. Die Höhen entprechen den Steigungen von $f(x)$ bei den Wendepunkten.]]
|-
|[[Datei:Ausgangsfunktion1.png|miniatur|370px| 3. und 4. Schritt: Aufgrund des Monotonierverhaltens von $f(x)$ wissen wir, wann $f'(x)$ positiv oder negativ ist.]]
| [[Datei:Endfkt.png|miniatur|370px|$f'(x)$ schön eingezeichnet]]
|}

</div>

</div>

[[Grün: Arbeitsblätter | $Aha!$ ]] Ein [https://www.geogebratube.org/student/m92514 GeoGebra-Applet, in dem du das graphische differenzieren weiter üben kannst].
siehe noch:
* http://geogebratube.org/material/show/id/83408
* http://geogebratube.org/material/show/id/46089
* http://geogebratube.org/material/show/id/43313
* http://geogebratube.org/student/m46089

== Rechnerisches bestimmen von $f'(x)$ - Ableitungsregeln==
=== Grundlegende Regeln ===

{| class="wikitable"
|-
!Regel !! $f(x)$ !! $f'(x)$ !!Bemerkung
|-
|Potenzregel || $x^n$ || $n\cdot x^{n-1}$ || Exponent kommt herunter, dann wird Hochzahl um 1 vermindert.
|-
| Konstantenregel
$c\in \mathbb{R}$
|| c || 0 ||konstante Funktionen haben Steigung $= 0$
|-
|[[Faktor|Faktorregel]]
$a\in \mathbb{R}$
|| $a\cdot f(x)$|| $a\cdot f'(x)$ || Ein konstanter Faktor ist von der Ableitung nicht betroffen.
|-
|Summenregel || $f(x)+g(x)$ || $f'(x)+g'(x)$ || Eine Summe wird abegeleitet, indem jeder einzelne Summand einzeln abgeleitet wird.
|-
| [[Exponentialfunktionen(3.5.)|$e$-Funktion]] || $e^x$ || $e^x$ || Die bsondere Eigenschaft von $e^x$ ist, dass es durch Ableiten nicht verändert wird

(d.h. Funktionswert bei x =Steigung bei x)
|-
| [[Logarithmus]] || $ln|x|$ || $\frac{1}{x}$ ||
|-
| [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)|Trigonometrische Funktionen]] || $sin(x)$ $cos(x)$ || $cos(x)$ $-sin(x)$ ||
[[Datei:Sin-cos-kreis.png|miniatur|300px|center|Durch mehrmaliges Ableiten der Sinus- oder Cosinusfunktion, kommt man immer wieder zur Ausgangsfunktion zurück.]]

|}

{{Vorlage:Beispiel|1=Bestimme zu den folgenden Funktionen die Ableitungsfunktion:

 
 
 
#$f(x)=x^3$
#$f(x)=4x$
#$f(x)=3$
#$f(x)=5\cdot x^2$
#$x^3+5x^2-4x+3$
#$x+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^3}+\sqrt[5]{x^2}$
#$f(x)=\frac{x^4}{5}+2\cdot e^x-ln\vert x\vert $

|2=
Wir wenden die einzelnen Regeln Schritt für Schritt an:
#$f(x)=x^3 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel} 3\cdot x^{3-1}=3\cdot x^2$ 
#$f(x)=4\cdot x=4\cdot x^1 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel} 4\cdot 1\cdot x^{1-1}=4\cdot x^0=4\cdot 1=4$ 
#$f(x)=3 \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Konstantenregel} 0$ 
#$f(x)=5\cdot x^2\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Faktorregel}5\cdot (x^2)' \underbrace{=}_{Potenzregel}=5\cdot 5\cdot 2\cdot x^{2-1}=10\cdot x$ 
#$x^3+5x^2-4x+3\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Summenregel}(x^3)'+(5x^2)'-(4x)'+(3)' \underbrace{=}_{Potenzregel}3x^2+10x-4+0$
#$x+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^3}+\sqrt[5]{x^2}\underbrace{=}_{umformen} x+x^{-1}-x^{-3}+x^{\frac{2}{5} }$ $$\rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel}1\cdot x^0+(-1)\cdot x^{-2}-(-3)\cdot x^{-4}+\frac{2}{5}\cdot x^{(\frac{2}{5}-1)}=$$ $$=1-x^{-2}+3\cdot x^{-4}+\frac{2}{5}\cdot x^{-\frac{3}{5} }$$ $$=1+\frac{1}{x^2}+\frac{3}{x^4}+\frac{2}{5\sqrt[5]{x^3} }$$ 
#$f(x)=\frac{x^4}{5}+2\cdot e^x-ln \vert x \vert \rightarrow f'(x)\underbrace{=}_{Potenzregel/Faktorregel,\ e-\ und\ ln-Regel}\frac{4x^3}{5}+2\cdot e^x-\frac{1}{x}$
}}

=== Produktregel ===

=== Quotientenregel ===

=== Kettenregel ===

=== Matura-Aufgaben ===
* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$ ]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=214&file=Leistungskurve.pdf Leistungskurve]
*: hier musst du die Ableitungsfunktion graphisch bestimmen!

[[Kategorie:Differenzieren]]
[[Kategorie:Kurvendiskussionen]]

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