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Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung

2014-11-09T10:50:43Z

91.113.77.77: /* Exkurs: Kombinatorik - Die Kunst des Abzählens */

== Zufallsvariablen ==
{{Vorlage:Definition|1=Das Ergenis eines Zufallsexperimentes kann mithilfe einer "'''''Zufallsvariable'''''" $X$ beschrieben werden.

Die '''Zufallsvariable''' ordnet dabei jedem Einzelereignis eine reelle Zahl zu.

Beispiel: Beim Würfeln mit einem Würfel kann die Zufallsvariable die Werte 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 zufällig annehmen (d.h. $X\in \{1;2;3;4;5;6\}=$Wertebereich von $X$).
Die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ die Zahl 6 annimmt ist:
$$P(X=6)=P(6er\ würfeln)=\frac{1}{6}$$
}}

Man unterscheidet zwischen 2 Typen von Zuvallsvariablen:
* Die '''diskrete Zufallsvariable''' hat einen abzählbaren Wertebereich (z.B. Anzahl von Personen)
* Die '''stetige Zufallsvariable''' hat als Wertebereich ein Intervall in den [[Theorie Zahlenmengen (1.1.) | reellen Zahlen]] einen nicht abzählbaren Wertebereich

Mithilfe der Zufallsvariable wird uns nun das Berechnen der folgenden Aufgaben erleichtert.

== Diskrete Zufallsvariablen ==
Diskrete Zufallsvariablen haben einen abzählbaren Wertebereich (z.B. Anzahl von Personen).

=== Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktion ===
{{Vorlage:Definition|1=
Die '''''Wahrscheinlichkeitsfunktion $f$''''' ordnet jedem Einzelereignis seine Wahrscheinlichkeit zu:
$$f: f(x_i)=P(X=x_i)$$
wobei $x_i$ ein Einzelereignis (z.B.: $x_1...1er\ würfeln,\ x_2...2er\ würfeln$ usw.) und $P(X=x_i)$ die dazugehörige Wahrscheinlichkeit ist: $P(X=x_1)=P(X=1er)=\frac{1}{6}...$)
}}

Die folgende Abbildung zeigt die Verteilungsfunktion für die Zuvallsvariable $X$, die die Augenzahl beim zufälligen Wurf eines Würfels zählt:
[[Datei:Diskrete Wahrscheinlichkeitsfkt beim Würfeln.png|400px|miniatur|zentriert|Jedes Ereignis $x_i$ hat als Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{6}\approx 0.17$]]

Wollen wir nun wissen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass man beim Würfelwurf eine Zahl $\leq 3$ würfelt, som müssen wir $P(X\leq 3)$ berechnen:
$$P(X\leq 3)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{3}{6}$$

{{Vorlage:Definition|1= Die '''''Verteilungsfunktion $F$''''' ist definiert als $F(x_i)=P(X\leq x_i)$. Sie gibt also immer die Wahrscheinlichkeit an, dass die Zufallsvariable $X$ einen Wert kleiner oder gleich dem Wert von $x_i$ annimmt.}}

Die folgende Graphik zeigt die Verteilungsfunktion für die Zuvallsvariable $X$, die die Augenzahl beim zufälligen Wurf eines Würfels zählt:
[[Datei:Diskrete Verteilungsfunktion beim Würfeln.png|400px|miniatur|zentriert|Verteilungsfunktion $F$ für die das Würfeln eines Würfels, wobei $X$ die Augenzahl angibt. ]]

{{Vorlage:Ausklapp|1=
'''Hinweise zur Verteilungsfunktion''':
|2=
Die Funktion $F$ macht aus folgenden Gründen immer Sprünge:
: - die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl kleiner als $1$ gewürfelt wird ($=P(X<1)$) ist $0$, somit sind alle Funktionswerte von $F$ links der 1 gleich 0.
: - Bei $X=1$ macht die Verteilungsfkt $F$ einen Sprung. Anschließend ist für alle $X<2$ die Wahrscheinlichkeit $P(X<2)=\frac{1}{6}\approx 0.17$ (die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl kleiner als 2 gewürfelt wird ist $\frac{1}{6}$)
: - Bei $X=2$ macht die Funktion wieder einen Sprung um den Wert $\frac{1}{6}\approx 0.17$, da hier die Wahrscheinlichkeit für eine 2 ($=P(X=2)=\frac{1}{6}$) hinzukommt.
: - Ab $X=6$ hat die Verteilungsfunktion durchgängig den Wert $1$, da gilt $P(X<=6)=1$ (die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wert kleiner oder gleich 6 gewürfelt wird, ist 1).
: - Die Höhe der Sprünge entsprichgt gerade der Höhe der Funktionswerte, bei der '''Wahrscheinlichkeitsfunktion''' (siehe oben).
}}

=== Erwartungswert und Standardabweichung ===
Im Kapitel [[Beschreibende Statistik]] haben wir bereits Begriffe wie die [[relative Häufigkeit]], das [[arithmetische Mittel]] und die [[Standardabweichung]] kennen gelernt.
Auch in der Wahrscheinlichkeitsrechnung gibt es ähnliche Konzepte: Wahrscheinlichkeit, Erwartungswert und Standardabweichung:

{{Vorlage:Video|1=w3hc_B_GhYw}}

{| class="wikitable"
|-
! Idee ... !! in der Wahrscheinlichkeitsrechung !! in der Statistik
|-
| Prozent || '''Wahrscheinlichkeit''' $$P(X=x_i)$$ || '''relative Häufigkeit''' $$h_i=\frac{H_i}{n}$$
|-
| Mittel/Durchschnitt|| '''Erwartungswert $E(X)$ oder $\mu$''' $$\mu=\sum_{i=1}^{n}x_i\cdot P(X=x_i)$$|| '''Arithmetisches Mittel''' $$\bar{x}=\sum_{i=1}^{n}x_i\cdot h_i$$
|-
| Streuung/Abweichung vom Mittel || '''Standardabweichung''' $$\sigma=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2\cdot P(X=x_i)}$$|| '''Standardabweichung''' $$\sigma=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2\cdot h_i}$$
|}

{{Vorlage:Beispiel|1= Berechnen Sie
a) den Erwartungswert
b) die Standardabweichung
beim Wurf eines sechsseitigen Würfels, wobei die Zufallsvariable $X$ die Augensumme angibt $($d.h. $X\in \{1;2;3;4;5;6\})$.
|2=
a) Zuerst machen wir uns eine Wertetabelle der Wahrscheinlichkeitsfunktion $f: f(x_i)=P(X=x_i)$:
[[Datei:Wertetabelle-wahrscheinlichkeitsfkt-Würfel.png|center|300px]]
Der Erwartungswert $E(X)=mu=\sum_{i=1}^{n}x_i\cdot P(X=x_i)$. Setzen wir die Werte aus der Tabelle in die Formel ein, so erhalten wir:
$$
\sum_{i=1}^{n}x_i\cdot P(X=x_i)=\underbrace{1}_{x_1}\cdot \underbrace{\frac{1}{6} }_{P(X=x_1) }+2\cdot \frac{1}{6} +3\cdot \frac{1}{6} +4 \cdot \frac{1}{6}+5\cdot \frac{1}{6}+6\cdot \frac{1}{6}=\underline{\underline{3.5} }$$

Der Erwartungswert $\mu$ beträgt also 3.5. Natürlich kann man aber beim einmaligen Würfeln nicht 3.5 Würfeln. Man kann den Erwartungswert aber so interbretieren, dass, wenn man lange genug würfelt, der Durchschnitt bei 3.5 liegen wird.

b) Die Standardabweichung $\sigma=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2\cdot P(X=x_i)}$

Setzen wir wieder alles in die Formel ein (siehe obige Wertetabelle und $\mu=3.5$):
$$\sigma=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2\cdot P(X=x_i)}=\\
\sqrt{(1-3.5)^2\cdot \frac{1}{6}+(2-3.5)^2\cdot \frac{1}{6}+(3-3.5)^2\cdot \frac{1}{6}+(4-3.5)^2\cdot \frac{1}{6}+(5-3.5)^2\cdot \frac{1}{6}+(6-3.5)^2\cdot \frac{1}{6} }\\
=\underline{\underline{1.71} }$$

}}

=== Exkurs: Kombinatorik - Die Kunst des Abzählens ===

Schau dir folgendes Video eines sogenannten [http://de.wikipedia.org/wiki/Galtonbrett Galtonbretts] an:

{{Vorlage:Video|1=3m4bxse2JEQ}}

Die Kugeln fallen bei jedem Hölzchen entweder nach links oder nach rechts. Interessant dabei ist, dass alle Kugeln, die am Ende in denselben Behälter gefallen sind, gleich oft nach links und nach rechts gefallen sind. z.B.:
* Alle Kugeln, die ganz ganz links in den Behälter gefallen sind, sind bei jedem Hölzchen nach links gefallen (da es sehr unwahrscheinlich ist, immer nach links zufallen, befinden sich hier auc keine Kugeln).
* Alle Kugeln, die in den 2. Behälter von links fallen, müssen einmal nach rechts fallen und sonst immer nach links.
* Alle Kugeln, die in den 3. Behälter von links fallen, müssen zweimal nach rechts fallen und sonst immer nach links.
*...

Die Frage ist nun nur, wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, bei insgesamt $n$ Brettern insgesamt $k$ mal nach rechts zu fallen?

Die Antwort ist
$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}$$
wobei
* $n!$ heißt "n-faktorielle" oder "n-Fakultät" und bedeutet: $n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot ...\cdot (n-1)\cdot n$ ist (alle Zahlen von 1 bis $n$ multipliziert).
* $\binom{n}{k}$ ist der sogenannte Binomialkoeffizient und gibt '''die Anzahl der Möglichkeiten an, bei n Versuchen insgesamt k-mal nach rechts zu gehen'''.

{{Vorlage:Ausklapp|1=Begründung für diese Formel:
|2=
# Nehmen wir an, wir haben 4 Personen und insgesamt 4 Plätze, auf die wir sie setzen können. Wie viele verschiedene Reihenfolgen gibt es, die Personen zu reihen?
'''Erklärung:''' Betrachte zuerst das folgende Video (ab Minute 18:22)
{{Vorlage:Video|YnoTCliYiOA?t=18m22s} }

'''Antwort:''' Es gibt $$4!=4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24$$ Möglichkeiten 4 Personen auf 4 Plätze zu setzen.
(für den ersten Platz gibt es 4 mögliche, für den zweiten Platz noch 3, für den dritten Platz noch 2, und für den letzten Platz noch 1).
# Nehmen wir nun an, wir haben 9 Personen, aber immer noch 4 Plätze. Wie viele Möglichkeiten gibt es nun aus den 9 Personen 4 zufällig auszuwählen und auf die 4 Plätze zu setzen?
'''Erklärung:''' Betrachte zuerst das folgende Video (ab Minute 26:09)
{{Vorlage:Video|YnoTCliYiOA?t=26m9s} }

'''Antwort:''' Es gibt $$\frac{9!}{(9-4)!}=9\cdot 8\cdot 7\cdot 6$$ Möglichkeiten 4 von 9 Personen auf die Plätze zu setzen.
# Und zum Schluss überlegen wir uns nun, wir haben 9 Personen und 4 Plätze. Wie viele Möglichkeiten gibt es dann, die Plätze zu besetzen, '''wenn uns die Reihenfolge egal''' ist?
'''Erklärung:''' Wir wissen bereits, dass es $\frac{9!}{(9-4)!}$ Platzierungsmöglichkeiten gibt. Zwei dieser Möglichkeiten wären die folgenden:

Bild
und
Bild 2
Da uns dieses Mal die Reihenfolge egal ist, gehören beide Bilder zur selben Möglichkeit. Genauso gehören alle weiteren Vertauschungen von dieser Kombination zur selben Möglichkeit.
Insgesamt können wir wir diese Kombination auf $4!$-Möglichkeiten vertauschen. Somit erhalten wir für als Gesamtformel:
$$\frac{9!}{(9-4)!}\cdot \frac{1}{4!}$$
wobei wir dieses Mal mit $\frac{1}{4!}$ um alle Reihungen, die sich nur in der Reihenfolge unterscheiden, abziehen.

Eine verkürzte Schreibweise ist nun der sogenannte Binimialkoeffizient
$$\binom{9}{4}=\frac{9!}{(9-4)!}\cdot \frac{1}{4!}$$
der angibt, wie viele Möglichkeiten es gibt, 9 Personen auf 4 Plätze zu setzen, wenn die Reihenfolge egal ist.

Allgemein:
$$$$\binom{n}{k}=\frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}$$
gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, aus $n$ Elementen $k$ auszuwählen (ohne Berücksichtigung der Reihenfolge).
}}

* Auf der zweiten P

}}
Nehmen wir einmal an, es gebe 5 Stufen im Galton-Brett (d.h. die Kugel entscheidet sich insgesamt 5 mal, ob sie nach rechts oder links fällt). Ein möglicher Ausgang wäre:

Hier eine Erklärung:

{{Vorlage:Video|4rNiwedqmmQ}}

=== Lotto ===
Mit dieser Überlegung können wir uns nun ganz einfach die Wahrscheinlichkeit für einen Lottogewinn berechnen. Beim Lotto werden insgesamt 6 von 45 Kugeln gezogen. Dabei ist die Reihenfolge, egal.

* Die Anzahl der möglichen Ziehungen ist somit $\binom{45}{6}=8.145.060$ (aus 45 Kugeln werden 6 gezogen).
* Die Anzahl der günstigen Möglichkeiten $\binom{6}{6}=1$

Somit ist die Wahrscheinlichkeit für einen Lotto-6er:
$$P(Lotto-6er)=\frac{günstige}{mögliche}=\frac{\binom{6}{6}}{\binom{45}{6}}=\frac{1}{8.145.060}$$

{{Vorlage:Beispiel|1=Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, beim Lotto 5 der 6 richtigen auszuwählen.
|2=
* Die Anzahl der möglichen Ziehungen ist wieder $\binom{45}{6}=8.145.060$ (aus 45 Kugeln werden 6 gezogen).
* Die Anzahl der günstigen Möglichkeiten $\binom{6}{5}=6$ (aus 6 Kugeln werden 5 gezogen).
$$P(5er)=\frac{günstige}{mögliche}=\frac{\binom{6}{5} }{\binom{45}{6} }=\frac{6}{8.145.060}$$
}}

== Bernoulli-Experiment und die Binomialverteilung ==
Im Folgenden betrachten wir ein sogenanntes:

{{Vorlage:Definition|1= '''Bernoulli-Experiment'''
Dies sind Experimente, bei denen es
* '''genau zwei mögliche Ergebnisse''' $E$ und $\bar{E}$ (nicht $E$) gibt und
* sich die Wahrscheinlichkeit für die einzelnen Ereignisse nicht ändert. D.h. für alle Versuchsausgänge gilt $P(E)=p$ und $P(\bar{E})=1-p=q$. }}

Typische Beispiele hierfür wären:
* Ziehen von roten und blauen Kugeln aus einer Urne '''mit zurücklegen'''

{{Vorlage:Beispiel|1= Sie stehen vor einer Urne mit 7 roten und 13 blauen Kugeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei 4 maligem Ziehen, 3 mal eine rote Kugel zu erhalten?
|2=
Die Zufallsvariable $X$ zählt die Anzahl der roten Kugeln. Gefragt ist also
$$P(X=3)=?$$

Es gibt hier mehrer Möglichkeiten, von den insgesamt 4 Ziehungen 3 mal eine rote Kugel zu ziehen also insgesamt:
$$\binom{4}{3}=4$$
(r,r,r,b); (r,r,b,r); (r,b,r,r,); (b,r,r,r).

Nun berechnen wir die Wahrscheinlichkeit für ein solches Ergebnis. Nehmenn wir zum Beispiel (r,r,r,b).
Die Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen ist $p=\frac{7}{20}$. Die Wahrscheinlichkeit eine blaue Kugel zu ziehen ist $1-p=\frac{13}{20}$.
Somit ist die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis (r,r,r,b) aufgrund der [[Wahrscheinlichkeit:Grundlagen#Multiplikationsregel|Multiplikationsregel]]
$$p\cdot p\cdot p\cdot q=p^3\cdot q^1$$
Für die anderen Ausfälle(r,r,b,r); (r,b,r,r,); (b,r,r,r) gilt dasselbe. Somit erhalten wir:
$$P(X=3)=\underbrace{\binom{4}{3} }_{Anzahl\ der\ Fälle}\cdot \underbrace{p^3\cdot q^1}_{Wahrscheinlichkeit\ für\ einen\ dieser\ Fälle}=...$$
}}
{{Vorlage:Video|1=ybp1nvHc5fk}}

{{Vorlage:Video|1=UkOx8qdLAak}}

Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung

2014-11-09T09:34:28Z

91.113.77.77:

== Zufallsvariablen ==
{{Vorlage:Definition|1=Das Ergenis eines Zufallsexperimentes kann mithilfe einer "'''''Zufallsvariable'''''" $X$ beschrieben werden.

Die '''Zufallsvariable''' ordnet dabei jedem Einzelereignis eine reelle Zahl zu.

Beispiel: Beim Würfeln mit einem Würfel kann die Zufallsvariable die Werte 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 zufällig annehmen (d.h. $X\in \{1;2;3;4;5;6\}=$Wertebereich von $X$).
Die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ die Zahl 6 annimmt ist:
$$P(X=6)=P(6er\ würfeln)=\frac{1}{6}$$
}}

Man unterscheidet zwischen 2 Typen von Zuvallsvariablen:
* Die '''diskrete Zufallsvariable''' hat einen abzählbaren Wertebereich (z.B. Anzahl von Personen)
* Die '''stetige Zufallsvariable''' hat als Wertebereich ein Intervall in den [[Theorie Zahlenmengen (1.1.) | reellen Zahlen]] einen nicht abzählbaren Wertebereich

Mithilfe der Zufallsvariable wird uns nun das Berechnen der folgenden Aufgaben erleichtert.

== Diskrete Zufallsvariablen ==
Diskrete Zufallsvariablen haben einen abzählbaren Wertebereich (z.B. Anzahl von Personen).

=== Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktion ===
{{Vorlage:Definition|1=
Die '''''Wahrscheinlichkeitsfunktion $f$''''' ordnet jedem Einzelereignis seine Wahrscheinlichkeit zu:
$$f: f(x_i)=P(X=x_i)$$
wobei $x_i$ ein Einzelereignis (z.B.: $x_1...1er\ würfeln,\ x_2...2er\ würfeln$ usw.) und $P(X=x_i)$ die dazugehörige Wahrscheinlichkeit ist: $P(X=x_1)=P(X=1er)=\frac{1}{6}...$)
}}

Die folgende Abbildung zeigt die Verteilungsfunktion für die Zuvallsvariable $X$, die die Augenzahl beim zufälligen Wurf eines Würfels zählt:
[[Datei:Diskrete Wahrscheinlichkeitsfkt beim Würfeln.png|400px|miniatur|zentriert|Jedes Ereignis $x_i$ hat als Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{6}\approx 0.17$]]

Wollen wir nun wissen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass man beim Würfelwurf eine Zahl $\leq 3$ würfelt, som müssen wir $P(X\leq 3)$ berechnen:
$$P(X\leq 3)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{3}{6}$$

{{Vorlage:Definition|1= Die '''''Verteilungsfunktion $F$''''' ist definiert als $F(x_i)=P(X\leq x_i)$. Sie gibt also immer die Wahrscheinlichkeit an, dass die Zufallsvariable $X$ einen Wert kleiner oder gleich dem Wert von $x_i$ annimmt.}}

Die folgende Graphik zeigt die Verteilungsfunktion für die Zuvallsvariable $X$, die die Augenzahl beim zufälligen Wurf eines Würfels zählt:
[[Datei:Diskrete Verteilungsfunktion beim Würfeln.png|400px|miniatur|zentriert|Verteilungsfunktion $F$ für die das Würfeln eines Würfels, wobei $X$ die Augenzahl angibt. ]]

{{Vorlage:Ausklapp|1=
'''Hinweise zur Verteilungsfunktion''':
|2=
Die Funktion $F$ macht aus folgenden Gründen immer Sprünge:
: - die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl kleiner als $1$ gewürfelt wird ($=P(X<1)$) ist $0$, somit sind alle Funktionswerte von $F$ links der 1 gleich 0.
: - Bei $X=1$ macht die Verteilungsfkt $F$ einen Sprung. Anschließend ist für alle $X<2$ die Wahrscheinlichkeit $P(X<2)=\frac{1}{6}\approx 0.17$ (die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl kleiner als 2 gewürfelt wird ist $\frac{1}{6}$)
: - Bei $X=2$ macht die Funktion wieder einen Sprung um den Wert $\frac{1}{6}\approx 0.17$, da hier die Wahrscheinlichkeit für eine 2 ($=P(X=2)=\frac{1}{6}$) hinzukommt.
: - Ab $X=6$ hat die Verteilungsfunktion durchgängig den Wert $1$, da gilt $P(X<=6)=1$ (die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wert kleiner oder gleich 6 gewürfelt wird, ist 1).
: - Die Höhe der Sprünge entsprichgt gerade der Höhe der Funktionswerte, bei der '''Wahrscheinlichkeitsfunktion''' (siehe oben).
}}

=== Erwartungswert und Standardabweichung ===
Im Kapitel [[Beschreibende Statistik]] haben wir bereits Begriffe wie die [[relative Häufigkeit]], das [[arithmetische Mittel]] und die [[Standardabweichung]] kennen gelernt.
Auch in der Wahrscheinlichkeitsrechnung gibt es ähnliche Konzepte: Wahrscheinlichkeit, Erwartungswert und Standardabweichung:

{{Vorlage:Video|1=w3hc_B_GhYw}}

{| class="wikitable"
|-
! Idee ... !! in der Wahrscheinlichkeitsrechung !! in der Statistik
|-
| Prozent || '''Wahrscheinlichkeit''' $$P(X=x_i)$$ || '''relative Häufigkeit''' $$h_i=\frac{H_i}{n}$$
|-
| Mittel/Durchschnitt|| '''Erwartungswert $E(X)$ oder $\mu$''' $$\mu=\sum_{i=1}^{n}x_i\cdot P(X=x_i)$$|| '''Arithmetisches Mittel''' $$\bar{x}=\sum_{i=1}^{n}x_i\cdot h_i$$
|-
| Streuung/Abweichung vom Mittel || '''Standardabweichung''' $$\sigma=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2\cdot P(X=x_i)}$$|| '''Standardabweichung''' $$\sigma=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2\cdot h_i}$$
|}

{{Vorlage:Beispiel|1= Berechnen Sie
a) den Erwartungswert
b) die Standardabweichung
beim Wurf eines sechsseitigen Würfels, wobei die Zufallsvariable $X$ die Augensumme angibt $($d.h. $X\in \{1;2;3;4;5;6\})$.
|2=
a) Zuerst machen wir uns eine Wertetabelle der Wahrscheinlichkeitsfunktion $f: f(x_i)=P(X=x_i)$:
[[Datei:Wertetabelle-wahrscheinlichkeitsfkt-Würfel.png|center|300px]]
Der Erwartungswert $E(X)=mu=\sum_{i=1}^{n}x_i\cdot P(X=x_i)$. Setzen wir die Werte aus der Tabelle in die Formel ein, so erhalten wir:
$$
\sum_{i=1}^{n}x_i\cdot P(X=x_i)=\underbrace{1}_{x_1}\cdot \underbrace{\frac{1}{6} }_{P(X=x_1) }+2\cdot \frac{1}{6} +3\cdot \frac{1}{6} +4 \cdot \frac{1}{6}+5\cdot \frac{1}{6}+6\cdot \frac{1}{6}=\underline{\underline{3.5} }$$

Der Erwartungswert $\mu$ beträgt also 3.5. Natürlich kann man aber beim einmaligen Würfeln nicht 3.5 Würfeln. Man kann den Erwartungswert aber so interbretieren, dass, wenn man lange genug würfelt, der Durchschnitt bei 3.5 liegen wird.

b) Die Standardabweichung $\sigma=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2\cdot P(X=x_i)}$

Setzen wir wieder alles in die Formel ein (siehe obige Wertetabelle und $\mu=3.5$):
$$\sigma=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2\cdot P(X=x_i)}=\\
\sqrt{(1-3.5)^2\cdot \frac{1}{6}+(2-3.5)^2\cdot \frac{1}{6}+(3-3.5)^2\cdot \frac{1}{6}+(4-3.5)^2\cdot \frac{1}{6}+(5-3.5)^2\cdot \frac{1}{6}+(6-3.5)^2\cdot \frac{1}{6} }\\
=\underline{\underline{1.71} }$$

}}

=== Exkurs: Kombinatorik - Die Kunst des Abzählens ===

Schau dir folgendes Video eines sogenannten [http://de.wikipedia.org/wiki/Galtonbrett Galtonbretts] an:

{{Vorlage:Video|1=3m4bxse2JEQ}}

Die Kugeln fallen bei jedem Hölzchen entweder nach links oder nach rechts. Interessant dabei ist, dass alle Kugeln, die am Ende in denselben Behälter gefallen sind, gleich oft nach links und nach rechts gefallen sind. z.B.:
* Alle Kugeln, die ganz ganz links in den Behälter gefallen sind, sind bei jedem Hölzchen nach links gefallen (da es sehr unwahrscheinlich ist, immer nach links zufallen, befinden sich hier auc keine Kugeln).
* Alle Kugeln, die in den 2. Behälter von links fallen, müssen einmal nach rechts fallen und sonst immer nach links.
* Alle Kugeln, die in den 3. Behälter von links fallen, müssen zweimal nach rechts fallen und sonst immer nach links.
*...
Die Frage ist nun nur, wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, bei insgesamt $n$ Brettern insgesamt $k$ mal nach rechts zu fallen?

Die Antwort ist
$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}$$
wobei
* $n!$ heißt "n-faktorielle" oder "n-Fakultät" und bedeutet: $n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot ...\cdot (n-1)\cdot n$ ist (alle Zahlen von 1 bis $n$ multipliziert).
' $\binom{n}{k}$ ist der sogenannte Binomialkoeffizient und gibt '''die Anzahl der Möglichkeiten an, bei n Versuchen insgesamt k-mal nach rechts zu gehen'''.

Hier eine Erklärung:

{{Vorlage:Video|4rNiwedqmmQ}}

=== Lotto ===
Mit dieser Überlegung können wir uns nun ganz einfach die Wahrscheinlichkeit für einen Lottogewinn berechnen. Beim Lotto werden insgesamt 6 von 45 Kugeln gezogen. Dabei ist die Reihenfolge, egal.

* Die Anzahl der möglichen Ziehungen ist somit $\binom{45}{6}=8.145.060$ (aus 45 Kugeln werden 6 gezogen).
* Die Anzahl der günstigen Möglichkeiten $\binom{6}{6}=1$

Somit ist die Wahrscheinlichkeit für einen Lotto-6er:
$$P(Lotto-6er)=\frac{günstige}{mögliche}=\frac{\binom{6}{6}}{\binom{45}{6}}=\frac{1}{8.145.060}$$

{{Vorlage:Beispiel|1=Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, beim Lotto 5 der 6 richtigen auszuwählen.
|2=
* Die Anzahl der möglichen Ziehungen ist wieder $\binom{45}{6}=8.145.060$ (aus 45 Kugeln werden 6 gezogen).
* Die Anzahl der günstigen Möglichkeiten $\binom{6}{5}=6$ (aus 6 Kugeln werden 5 gezogen).
$$P(5er)=\frac{günstige}{mögliche}=\frac{\binom{6}{5} }{\binom{45}{6} }=\frac{6}{8.145.060}$$
}}

== Bernoulli-Experiment und die Binomialverteilung ==
Im Folgenden betrachten wir ein sogenanntes:

{{Vorlage:Definition|1= '''Bernoulli-Experiment'''
Dies sind Experimente, bei denen es
* '''genau zwei mögliche Ergebnisse''' $E$ und $\bar{E}$ (nicht $E$) gibt und
* sich die Wahrscheinlichkeit für die einzelnen Ereignisse nicht ändert. D.h. für alle Versuchsausgänge gilt $P(E)=p$ und $P(\bar{E})=1-p=q$. }}

Typische Beispiele hierfür wären:
* Ziehen von roten und blauen Kugeln aus einer Urne '''mit zurücklegen'''

{{Vorlage:Beispiel|1= Sie stehen vor einer Urne mit 7 roten und 13 blauen Kugeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei 4 maligem Ziehen, 3 mal eine rote Kugel zu erhalten?
|2=
Die Zufallsvariable $X$ zählt die Anzahl der roten Kugeln. Gefragt ist also
$$P(X=3)=?$$

Es gibt hier mehrer Möglichkeiten, von den insgesamt 4 Ziehungen 3 mal eine rote Kugel zu ziehen also insgesamt:
$$\binom{4}{3}=4$$
(r,r,r,b); (r,r,b,r); (r,b,r,r,); (b,r,r,r).

Nun berechnen wir die Wahrscheinlichkeit für ein solches Ergebnis. Nehmenn wir zum Beispiel (r,r,r,b).
Die Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen ist $p=\frac{7}{20}$. Die Wahrscheinlichkeit eine blaue Kugel zu ziehen ist $1-p=\frac{13}{20}$.
Somit ist die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis (r,r,r,b) aufgrund der [[Wahrscheinlichkeit:Grundlagen#Multiplikationsregel|Multiplikationsregel]]
$$p\cdot p\cdot p\cdot q=p^3\cdot q^1$$
Für die anderen Ausfälle(r,r,b,r); (r,b,r,r,); (b,r,r,r) gilt dasselbe. Somit erhalten wir:
$$P(X=3)=\underbrace{\binom{4}{3} }_{Anzahl\ der\ Fälle}\cdot \underbrace{p^3\cdot q^1}_{Wahrscheinlichkeit\ für\ einen\ dieser\ Fälle}=...$$
}}
{{Vorlage:Video|1=ybp1nvHc5fk}}

{{Vorlage:Video|1=UkOx8qdLAak}}

Wahrscheinlichkeitsrechnung

2014-11-09T09:33:57Z

91.113.77.77:

Folgende Punkte werden in der Wahrscheinlichkeitsrechnung behandelt:
* [[Wahrscheinlichkeit: Grundlagen | Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung]]
* [[Wahrscheinlichkeit: Baumdiagramme und Pfadregeln|Baumdiagramme und Pfadregeln]]
* [[Wahrscheinlichkeit: Wahrscheinlichkeitsverteilungen | Wahrscheinlichkeitsverteilungen]]
:: Binomialverteilung
:: Normalverteilung

Einen Überblick über die wichtigsten Punkte liefert das folgende Video:

{{Vorlage:Video|fAuuNIf-rPo}}

Wahrscheinlichkeitsrechnung

2014-11-09T09:32:38Z

91.113.77.77:

Wahrscheinlichkeitsrechnung

2014-11-09T09:29:00Z

91.113.77.77:

Wahrscheinlichkeitsrechnung

2014-11-09T09:28:33Z

91.113.77.77: Die Seite wurde neu angelegt: „Folgende Punkte werden in der Wahrscheinlichkeitsrechnung behandelt: * [Wahrscheinlichkeit: Grundlagen | Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung] * [Wahrsch…“

Folgende Punkte werden in der Wahrscheinlichkeitsrechnung behandelt:
* [Wahrscheinlichkeit: Grundlagen | Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung]
* [Wahrscheinlichkeit: Baumdiagramme und Pfadregeln|Baumdiagramme und Pfadregeln]
* [Wahrscheinlichkeit: Wahrscheinlichkeitsverteilungen | Wahrscheinlichkeitsverteilungen]
:: Binomialverteilung
:: Normalverteilung