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Kurvendiskussionen

2014-02-09T19:56:03Z

91.113.74.77: /* Online-Übungen */

== Überblick und Einleitung ==

Beim Thema Kurvendiskussionen geht es darum, Eigenschaften von Funktionen (bzw. Kurven) zu ermitteln. Für die Matura sind die folgenden Eigenschaften wichtig:
* [[Kurvendiskussionen#Nullstellen | Nullstellen]]
* [[Kurvendiskussionen#Extremstellen: Hoch- und Tiefpunkte | Extremwerte]]
* [[Kurvendiskussionen#Wendepunkt und Wendetangente | Wendepunkt und Wendetangente]]

{| align="center"
|-
|
{{#ev:youtube|epCBOgwafp8}}
|}

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== Grundwissen über f(x), f<nowiki>'</nowiki>(x) und f<nowiki>''</nowiki>(x) ==

Die folgende Tabelle gibt dir an, was mit der Funktion f(x), ihrer 1. Ableitung und ihrer 2. Ableitung berechnet werden kann..

{| border="1"
|- style="background:#e0e0e0"
!|
!| $f(x)$
!| $f'(x)$
!| $f''(x)$
|-

!| Gibt an ...
| den '''[[Funktionswert]]''' an der Stelle x
| die '''[[Steigung]]''' von f an der Stelle x
| die '''[[Krümmung]]''' von f an der Stelle x (=Steigung der Steigung)

|-
!| physikalische Interpretation
| Entfernung vom Ursprung in einem Zeit-Weg-Diagramm
oder
Höhe eines Objektes etc.
| [[Differenzen- und Differentialquotient#Der Differentialquotient (= momentane Steigung) | '''momentane''' Änderungsrate/Geschwindigkeit]] an der Stelle x
| Beschleunigung an der Stelle x

|-
!| wenn $>0$
| Funktionswert ist positiv und oberhalb der x-Achse
| $f'(x)>0 \rightarrow$ Funktion ist monoton steigend.
| $f''(x)>0 \rightarrow$ die Funktion ist linksgekrümmt (U-förmig). Die Steigung nimmt zu.

|-
!| wenn $<0$
| Funktionswert ist netagiv und unterhalb der x-Achse
| $f '(x)>0 \rightarrow$ Funktion ist monoton fallend.
|$f''(x)>0 \rightarrow$ die Funktion macht hier eine Rechtskurve (n-förmig)
Die Steigung nimmt ab.

|-
!| wenn $=0$
| [[Kurvendiskussionen#Nullstellen | Nullstellen]]
| Die Funktion steigt und fällt hier nicht. Möglicherweise befindet sich hier ein [[Kurvendiskussionen#Extremstellen: Hoch- und Tiefpunkte | Extremum]].
| Möglicherweise befindet sich hier ein [[Kurvendiskussionen#Wendepunkt und Wendetangente | Wendepunkt ]].

|}
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== Nullstellen ==

{{:Nullstelle}}

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== Extremstellen: Hoch- und Tiefpunkte ==

[[Datei:Kurvendiskussion-extremwerte.png|thumb|right|380px|Im Graphen sind die beiden Extremstellen
$x_1$ und $x_2$ samt den dazugehörenden Hoch- und Tiefpunkten eingezeichnet.]]
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{| border ="1"
| '''Definition:'''

| '''Lokale Extremstellen''' sind jene Stellen (=x-Werte), an denen der Graph der Funktion einen lokalen '''Hoch- oder Tiefpunkt''' hat.

'''Formale Definition''':
Eine Funktion f hat bei $x_0$ einen lokalen Hochpunkt, wenn für alle $x$ in einer Umgebung von $x_0$ gilt, dass $f(x)<f(x_0)$. (analog funktioniert die Definition für einen lokalen Tiefpunkt)

|}

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{{#ev:youtube|zCA7GI0yIfg}}
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[[Datei:Kurvendiskussion-Extremstellen-f' und f''.png|thumb|380px|right]]

Wie am Graphen in der rechten Abbildung erkennbar ist, sind die Steigungen an den Extremstellen immer 0 (d.h. beim Hochpunkt und Tiefpunkt '''steigt f nicht''' und '''fällt f nicht'''). Somit gilt $f'(x)=0$
Zusätzlich ist der Graph beim Hochpunkt '''rechtsgekrümmt''' (d.h. $f''(x)<0$) und beim Tiefpunkt '''linksgekrümmt''' (d.h. $f''(x)>0$).

Somit erhalten wir...
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=== Hinreichende Bedingung für ein relatives Extremum ===
{| border="1" align="center"
|
{|
|
* $f'(x_0)=0$ '''und''' $f''(x_0)< 0$
| $\Rightarrow\ \ \ \ $
| $x_0$ ist die Stelle eines relativen Hochpunktes (Maximums) von f
|-
|

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*$f'(x_0)=0$ '''und''' $f''(x_0)>0$
| $\Rightarrow\ \ \ \ $
| $x_0$ ist die Stelle eines relativen Tiefpunktes (Minimums) von f

|-

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*$f'(x_0)=0$ '''und''' $f''(x_0)=0$
| $\Rightarrow\ \ \ \ $
| dann muss hier '''nicht unbedingt ein Extremum''' sein.
|}
|}

Der letzte Punkt ($f'(x_0)=0$ ABER $f''(x_0)=0$) wird klar, wenn man sich die Funktion $f(x)=x^3$ ansieht:

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0>'''Beispiel für $f''(x)=0$, aber kein Extremum: $f(x)=x^3$''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Xhoch3.png|thumb|300px|right|Graph von $f(x)=x^3$]]
Sei $f(x)=x^3$. Um die Extrema zu berechnen, setzen wir $f'(x)=0$ und bestimmen dann $f''(x)$ an dieser Stelle:

{| border="0" align="center"
|-
|$f'(x)=3x^2$
$0=3x^2$

$\rightarrow x=0$
|
$\ $ und $\ \ \ \ $
|
$f''(x)=6x$

$f''(0)=0$
|}

Somit ist $f'(0)=0$ und $f''(0)=0$! Wie man aber leicht am Graphen erkennt, ist bei $x_1=0$ kein Extremum (weder Hoch- noch Tiefpunkt)!

Die Bedingungen $f''(x_0)<0$ (für ein Maximum) und $f''(x_0)>0$ (für ein Minimum) sind also wichtig!

</div>

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== Wendepunkt und Wendetangente ==
[[Datei:Wendepunkt.png|thumb|400px|right|Funktion mit Wendepunkt W und Wendetangente]]
{| border="1"
'''Definition'''
|
* Ein '''Wendepunkt''' ist ein Punkt, in dem die Funktion f ihr Krümmungsverhalten ändert. Das heißt: Die Funktion geht von einer Rechtskrümmung in eine Linkskrümmung über (oder umgekehrt).

* Die Tangente durch den Wendepunkt heißt '''Wendetangente'''.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Wie erkennt man einen Wendepunkt?''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Stell dir vor, der Graph ist eine Straße und du würdest ihm mit einem Auto von links nach rechts entlangfahren. Zuerst kommt eine Rechtskurve, in der du das Lenkrad nach rechts drehst. Anschließend kommt eine Linkskurve, in der du das Lenkrad nach links drehen musst. Genau zwischen der Rechts- und der Linkskurve gibt es '''einen Moment, indem das Lenkrad gerade ist - das ist der Wendepunkt'''.
</div>

</div>

=== Hinreichende Bedingung für einen Wendepunkt ===
{| border="1"
|-
|Die Funktion $f(x)$ hat $x_0$ einen Wendepunkt, wenn gilt:
# $f''(x_0)=0$ UND
#$f'''(x)\ne 0$
|}

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=== Video ===
{| align="center"
|-
|
{{#ev:youtube|DM9uYJK5-fc}}
|}

== Zusatzvideos zur Vertiefung ==

{| border="1" align=center
|-
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http://www.youtube.com/watch?v=FF16tWKWltE&list=PLjaA00udJtOq9WB_BXVOOOR9PhN-z-4h8

|

|}

== Online-Übungen ==

== Beispiele ==

Kurvendiskussionen

2014-02-09T19:47:05Z

91.113.74.77: /* Hinreichende Bedingung für einen Wendepunkt */

Kurvendiskussionen

2014-02-09T19:45:54Z

91.113.74.77: /* Wendepunkt und Wendetangente */

== Überblick und Einleitung ==

Beim Thema Kurvendiskussionen geht es darum, Eigenschaften von Funktionen (bzw. Kurven) zu ermitteln. Für die Matura sind die folgenden Eigenschaften wichtig:
* [[Kurvendiskussionen#Nullstellen | Nullstellen]]
* [[Kurvendiskussionen#Extremstellen: Hoch- und Tiefpunkte | Extremwerte]]
* [[Kurvendiskussionen#Wendepunkt und Wendetangente | Wendepunkt und Wendetangente]]

{| align="center"
|-
|
{{#ev:youtube|epCBOgwafp8}}
|}

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== Grundwissen über f(x), f<nowiki>'</nowiki>(x) und f<nowiki>''</nowiki>(x) ==

Die folgende Tabelle gibt dir an, was mit der Funktion f(x), ihrer 1. Ableitung und ihrer 2. Ableitung berechnet werden kann..

{| border="1"
|- style="background:#e0e0e0"
!|
!| $f(x)$
!| $f'(x)$
!| $f''(x)$
|-

!| Gibt an ...
| den '''[[Funktionswert]]''' an der Stelle x
| die '''[[Steigung]]''' von f an der Stelle x
| die '''[[Krümmung]]''' von f an der Stelle x (=Steigung der Steigung)

|-
!| physikalische Interpretation
| Entfernung vom Ursprung in einem Zeit-Weg-Diagramm
oder
Höhe eines Objektes etc.
| [[Differenzen- und Differentialquotient#Der Differentialquotient (= momentane Steigung) | '''momentane''' Änderungsrate/Geschwindigkeit]] an der Stelle x
| Beschleunigung an der Stelle x

|-
!| wenn $>0$
| Funktionswert ist positiv und oberhalb der x-Achse
| $f'(x)>0 \rightarrow$ Funktion ist monoton steigend.
| $f''(x)>0 \rightarrow$ die Funktion ist linksgekrümmt (U-förmig). Die Steigung nimmt zu.

|-
!| wenn $<0$
| Funktionswert ist netagiv und unterhalb der x-Achse
| $f '(x)>0 \rightarrow$ Funktion ist monoton fallend.
|$f''(x)>0 \rightarrow$ die Funktion macht hier eine Rechtskurve (n-förmig)
Die Steigung nimmt ab.

|-
!| wenn $=0$
| [[Kurvendiskussionen#Nullstellen | Nullstellen]]
| Die Funktion steigt und fällt hier nicht. Möglicherweise befindet sich hier ein [[Kurvendiskussionen#Extremstellen: Hoch- und Tiefpunkte | Extremum]].
| Möglicherweise befindet sich hier ein [[Kurvendiskussionen#Wendepunkt und Wendetangente | Wendepunkt ]].

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== Nullstellen ==

{{:Nullstelle}}

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== Extremstellen: Hoch- und Tiefpunkte ==

[[Datei:Kurvendiskussion-extremwerte.png|thumb|right|380px|Im Graphen sind die beiden Extremstellen
$x_1$ und $x_2$ samt den dazugehörenden Hoch- und Tiefpunkten eingezeichnet.]]
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{| border ="1"
| '''Definition:'''

| '''Lokale Extremstellen''' sind jene Stellen (=x-Werte), an denen der Graph der Funktion einen lokalen '''Hoch- oder Tiefpunkt''' hat.

'''Formale Definition''':
Eine Funktion f hat bei $x_0$ einen lokalen Hochpunkt, wenn für alle $x$ in einer Umgebung von $x_0$ gilt, dass $f(x)<f(x_0)$. (analog funktioniert die Definition für einen lokalen Tiefpunkt)

|}

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{{#ev:youtube|zCA7GI0yIfg}}
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[[Datei:Kurvendiskussion-Extremstellen-f' und f''.png|thumb|380px|right]]

Wie am Graphen in der rechten Abbildung erkennbar ist, sind die Steigungen an den Extremstellen immer 0 (d.h. beim Hochpunkt und Tiefpunkt '''steigt f nicht''' und '''fällt f nicht'''). Somit gilt $f'(x)=0$
Zusätzlich ist der Graph beim Hochpunkt '''rechtsgekrümmt''' (d.h. $f''(x)<0$) und beim Tiefpunkt '''linksgekrümmt''' (d.h. $f''(x)>0$).

Somit erhalten wir...
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=== Hinreichende Bedingung für ein relatives Extremum ===
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|
{|
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* $f'(x_0)=0$ '''und''' $f''(x_0)< 0$
| $\Rightarrow\ \ \ \ $
| $x_0$ ist die Stelle eines relativen Hochpunktes (Maximums) von f
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*$f'(x_0)=0$ '''und''' $f''(x_0)>0$
| $\Rightarrow\ \ \ \ $
| $x_0$ ist die Stelle eines relativen Tiefpunktes (Minimums) von f

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*$f'(x_0)=0$ '''und''' $f''(x_0)=0$
| $\Rightarrow\ \ \ \ $
| dann muss hier '''nicht unbedingt ein Extremum''' sein.
|}
|}

Der letzte Punkt ($f'(x_0)=0$ ABER $f''(x_0)=0$) wird klar, wenn man sich die Funktion $f(x)=x^3$ ansieht:

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0>'''Beispiel für $f''(x)=0$, aber kein Extremum: $f(x)=x^3$''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Xhoch3.png|thumb|300px|right|Graph von $f(x)=x^3$]]
Sei $f(x)=x^3$. Um die Extrema zu berechnen, setzen wir $f'(x)=0$ und bestimmen dann $f''(x)$ an dieser Stelle:

{| border="0" align="center"
|-
|$f'(x)=3x^2$
$0=3x^2$

$\rightarrow x=0$
|
$\ $ und $\ \ \ \ $
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$f''(x)=6x$

$f''(0)=0$
|}

Somit ist $f'(0)=0$ und $f''(0)=0$! Wie man aber leicht am Graphen erkennt, ist bei $x_1=0$ kein Extremum (weder Hoch- noch Tiefpunkt)!

Die Bedingungen $f''(x_0)<0$ (für ein Maximum) und $f''(x_0)>0$ (für ein Minimum) sind also wichtig!

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== Wendepunkt und Wendetangente ==
[[Datei:Wendepunkt.png|thumb|400px|right|Funktion mit Wendepunkt W und Wendetangente]]
{| border="1"
'''Definition'''
|
* Ein '''Wendepunkt''' ist ein Punkt, in dem die Funktion f ihr Krümmungsverhalten ändert. Das heißt: Die Funktion geht von einer Rechtskrümmung in eine Linkskrümmung über (oder umgekehrt).

* Die Tangente durch den Wendepunkt heißt '''Wendetangente'''.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Wie erkennt man einen Wendepunkt?''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Stell dir vor, der Graph ist eine Straße und du würdest ihm mit einem Auto von links nach rechts entlangfahren. Zuerst kommt eine Rechtskurve, in der du das Lenkrad nach rechts drehst. Anschließend kommt eine Linkskurve, in der du das Lenkrad nach links drehen musst. Genau zwischen der Rechts- und der Linkskurve gibt es '''einen Moment, indem das Lenkrad gerade ist - das ist der Wendepunkt'''.
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</div>

=== Hinreichende Bedingung für einen Wendepunkt ===
{| border="1"
|-
|Die Funktion $f(x)$ hat $x_0$ einen Wendepunkt, wenn gilt:
# $f''(x_0)=0$ UND
#$f'''(x)\ne 0$
|}

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{{#ev:youtube|DM9uYJK5-fc}}
|}

== Online-Übungen ==

== Beispiele ==

Kurvendiskussionen

2014-02-09T19:44:51Z

91.113.74.77: /* Online-Übungen */

== Überblick und Einleitung ==

Beim Thema Kurvendiskussionen geht es darum, Eigenschaften von Funktionen (bzw. Kurven) zu ermitteln. Für die Matura sind die folgenden Eigenschaften wichtig:
* [[Kurvendiskussionen#Nullstellen | Nullstellen]]
* [[Kurvendiskussionen#Extremstellen: Hoch- und Tiefpunkte | Extremwerte]]
* [[Kurvendiskussionen#Wendepunkt und Wendetangente | Wendepunkt und Wendetangente]]

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{{#ev:youtube|epCBOgwafp8}}
|}

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== Grundwissen über f(x), f<nowiki>'</nowiki>(x) und f<nowiki>''</nowiki>(x) ==

Die folgende Tabelle gibt dir an, was mit der Funktion f(x), ihrer 1. Ableitung und ihrer 2. Ableitung berechnet werden kann..

{| border="1"
|- style="background:#e0e0e0"
!|
!| $f(x)$
!| $f'(x)$
!| $f''(x)$
|-

!| Gibt an ...
| den '''[[Funktionswert]]''' an der Stelle x
| die '''[[Steigung]]''' von f an der Stelle x
| die '''[[Krümmung]]''' von f an der Stelle x (=Steigung der Steigung)

|-
!| physikalische Interpretation
| Entfernung vom Ursprung in einem Zeit-Weg-Diagramm
oder
Höhe eines Objektes etc.
| [[Differenzen- und Differentialquotient#Der Differentialquotient (= momentane Steigung) | '''momentane''' Änderungsrate/Geschwindigkeit]] an der Stelle x
| Beschleunigung an der Stelle x

|-
!| wenn $>0$
| Funktionswert ist positiv und oberhalb der x-Achse
| $f'(x)>0 \rightarrow$ Funktion ist monoton steigend.
| $f''(x)>0 \rightarrow$ die Funktion ist linksgekrümmt (U-förmig). Die Steigung nimmt zu.

|-
!| wenn $<0$
| Funktionswert ist netagiv und unterhalb der x-Achse
| $f '(x)>0 \rightarrow$ Funktion ist monoton fallend.
|$f''(x)>0 \rightarrow$ die Funktion macht hier eine Rechtskurve (n-förmig)
Die Steigung nimmt ab.

|-
!| wenn $=0$
| [[Kurvendiskussionen#Nullstellen | Nullstellen]]
| Die Funktion steigt und fällt hier nicht. Möglicherweise befindet sich hier ein [[Kurvendiskussionen#Extremstellen: Hoch- und Tiefpunkte | Extremum]].
| Möglicherweise befindet sich hier ein [[Kurvendiskussionen#Wendepunkt und Wendetangente | Wendepunkt ]].

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== Nullstellen ==

{{:Nullstelle}}

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== Extremstellen: Hoch- und Tiefpunkte ==

[[Datei:Kurvendiskussion-extremwerte.png|thumb|right|380px|Im Graphen sind die beiden Extremstellen
$x_1$ und $x_2$ samt den dazugehörenden Hoch- und Tiefpunkten eingezeichnet.]]
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{| border ="1"
| '''Definition:'''

| '''Lokale Extremstellen''' sind jene Stellen (=x-Werte), an denen der Graph der Funktion einen lokalen '''Hoch- oder Tiefpunkt''' hat.

'''Formale Definition''':
Eine Funktion f hat bei $x_0$ einen lokalen Hochpunkt, wenn für alle $x$ in einer Umgebung von $x_0$ gilt, dass $f(x)<f(x_0)$. (analog funktioniert die Definition für einen lokalen Tiefpunkt)

|}

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[[Datei:Kurvendiskussion-Extremstellen-f' und f''.png|thumb|380px|right]]

Wie am Graphen in der rechten Abbildung erkennbar ist, sind die Steigungen an den Extremstellen immer 0 (d.h. beim Hochpunkt und Tiefpunkt '''steigt f nicht''' und '''fällt f nicht'''). Somit gilt $f'(x)=0$
Zusätzlich ist der Graph beim Hochpunkt '''rechtsgekrümmt''' (d.h. $f''(x)<0$) und beim Tiefpunkt '''linksgekrümmt''' (d.h. $f''(x)>0$).

Somit erhalten wir...
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=== Hinreichende Bedingung für ein relatives Extremum ===
{| border="1" align="center"
|
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* $f'(x_0)=0$ '''und''' $f''(x_0)< 0$
| $\Rightarrow\ \ \ \ $
| $x_0$ ist die Stelle eines relativen Hochpunktes (Maximums) von f
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*$f'(x_0)=0$ '''und''' $f''(x_0)>0$
| $\Rightarrow\ \ \ \ $
| $x_0$ ist die Stelle eines relativen Tiefpunktes (Minimums) von f

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*$f'(x_0)=0$ '''und''' $f''(x_0)=0$
| $\Rightarrow\ \ \ \ $
| dann muss hier '''nicht unbedingt ein Extremum''' sein.
|}
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Der letzte Punkt ($f'(x_0)=0$ ABER $f''(x_0)=0$) wird klar, wenn man sich die Funktion $f(x)=x^3$ ansieht:

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0>'''Beispiel für $f''(x)=0$, aber kein Extremum: $f(x)=x^3$''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Xhoch3.png|thumb|300px|right|Graph von $f(x)=x^3$]]
Sei $f(x)=x^3$. Um die Extrema zu berechnen, setzen wir $f'(x)=0$ und bestimmen dann $f''(x)$ an dieser Stelle:

{| border="0" align="center"
|-
|$f'(x)=3x^2$
$0=3x^2$

$\rightarrow x=0$
|
$\ $ und $\ \ \ \ $
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$f''(x)=6x$

$f''(0)=0$
|}

Somit ist $f'(0)=0$ und $f''(0)=0$! Wie man aber leicht am Graphen erkennt, ist bei $x_1=0$ kein Extremum (weder Hoch- noch Tiefpunkt)!

Die Bedingungen $f''(x_0)<0$ (für ein Maximum) und $f''(x_0)>0$ (für ein Minimum) sind also wichtig!

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== Wendepunkt und Wendetangente ==
[[Datei:Wendepunkt.png|thumb|400px|right|Funktion mit Wendepunkt W und Wendetangente]]
{| border="1"
'''Definition'''
|
* Ein '''Wendepunkt''' ist ein Punkt, in dem die Funktion f ihr Krümmungsverhalten ändert. Das heißt: Die Funktion geht von einer Rechtskrümmung in eine Linkskrümmung über (oder umgekehrt).

* Die Tangente durch den Wendepunkt heißt '''Wendetangente'''.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Wie erkennt man einen Wendepunkt?''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Stell dir vor, der Graph ist eine Straße und du würdest ihm mit einem Auto von links nach rechts entlangfahren. Zuerst kommt eine Rechtskurve, in der du das Lenkrad nach rechts drehst. Anschließend kommt eine Linkskurve, in der du das Lenkrad nach links drehen musst. Genau zwischen der Rechts- und der Linkskurve gibt es '''einen Moment, indem das Lenkrad gerade ist - das ist der Wendepunkt'''.
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=== Hinreichende Bedingung für einen Wendepunkt ===
{| border="1"
|-
|Die Funktion $f(x)$ hat $x_0$ einen Wendepunkt, wenn gilt:
# $f''(x_0)=0$ UND
#$f'''(x)\ne 0$
|}

== Online-Übungen ==

== Beispiele ==

Kurvendiskussionen

2014-02-09T19:41:19Z

91.113.74.77: /* Online-Übungen */

== Überblick und Einleitung ==

Beim Thema Kurvendiskussionen geht es darum, Eigenschaften von Funktionen (bzw. Kurven) zu ermitteln. Für die Matura sind die folgenden Eigenschaften wichtig:
* [[Kurvendiskussionen#Nullstellen | Nullstellen]]
* [[Kurvendiskussionen#Extremstellen: Hoch- und Tiefpunkte | Extremwerte]]
* [[Kurvendiskussionen#Wendepunkt und Wendetangente | Wendepunkt und Wendetangente]]

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{{#ev:youtube|epCBOgwafp8}}
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== Grundwissen über f(x), f<nowiki>'</nowiki>(x) und f<nowiki>''</nowiki>(x) ==

Die folgende Tabelle gibt dir an, was mit der Funktion f(x), ihrer 1. Ableitung und ihrer 2. Ableitung berechnet werden kann..

{| border="1"
|- style="background:#e0e0e0"
!|
!| $f(x)$
!| $f'(x)$
!| $f''(x)$
|-

!| Gibt an ...
| den '''[[Funktionswert]]''' an der Stelle x
| die '''[[Steigung]]''' von f an der Stelle x
| die '''[[Krümmung]]''' von f an der Stelle x (=Steigung der Steigung)

|-
!| physikalische Interpretation
| Entfernung vom Ursprung in einem Zeit-Weg-Diagramm
oder
Höhe eines Objektes etc.
| [[Differenzen- und Differentialquotient#Der Differentialquotient (= momentane Steigung) | '''momentane''' Änderungsrate/Geschwindigkeit]] an der Stelle x
| Beschleunigung an der Stelle x

|-
!| wenn $>0$
| Funktionswert ist positiv und oberhalb der x-Achse
| $f'(x)>0 \rightarrow$ Funktion ist monoton steigend.
| $f''(x)>0 \rightarrow$ die Funktion ist linksgekrümmt (U-förmig). Die Steigung nimmt zu.

|-
!| wenn $<0$
| Funktionswert ist netagiv und unterhalb der x-Achse
| $f '(x)>0 \rightarrow$ Funktion ist monoton fallend.
|$f''(x)>0 \rightarrow$ die Funktion macht hier eine Rechtskurve (n-förmig)
Die Steigung nimmt ab.

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!| wenn $=0$
| [[Kurvendiskussionen#Nullstellen | Nullstellen]]
| Die Funktion steigt und fällt hier nicht. Möglicherweise befindet sich hier ein [[Kurvendiskussionen#Extremstellen: Hoch- und Tiefpunkte | Extremum]].
| Möglicherweise befindet sich hier ein [[Kurvendiskussionen#Wendepunkt und Wendetangente | Wendepunkt ]].

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== Nullstellen ==

{{:Nullstelle}}

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== Extremstellen: Hoch- und Tiefpunkte ==

[[Datei:Kurvendiskussion-extremwerte.png|thumb|right|380px|Im Graphen sind die beiden Extremstellen
$x_1$ und $x_2$ samt den dazugehörenden Hoch- und Tiefpunkten eingezeichnet.]]
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{| border ="1"
| '''Definition:'''

| '''Lokale Extremstellen''' sind jene Stellen (=x-Werte), an denen der Graph der Funktion einen lokalen '''Hoch- oder Tiefpunkt''' hat.

'''Formale Definition''':
Eine Funktion f hat bei $x_0$ einen lokalen Hochpunkt, wenn für alle $x$ in einer Umgebung von $x_0$ gilt, dass $f(x)<f(x_0)$. (analog funktioniert die Definition für einen lokalen Tiefpunkt)

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{{#ev:youtube|zCA7GI0yIfg}}
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[[Datei:Kurvendiskussion-Extremstellen-f' und f''.png|thumb|380px|right]]

Wie am Graphen in der rechten Abbildung erkennbar ist, sind die Steigungen an den Extremstellen immer 0 (d.h. beim Hochpunkt und Tiefpunkt '''steigt f nicht''' und '''fällt f nicht'''). Somit gilt $f'(x)=0$
Zusätzlich ist der Graph beim Hochpunkt '''rechtsgekrümmt''' (d.h. $f''(x)<0$) und beim Tiefpunkt '''linksgekrümmt''' (d.h. $f''(x)>0$).

Somit erhalten wir...
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=== Hinreichende Bedingung für ein relatives Extremum ===
{| border="1" align="center"
|
{|
|
* $f'(x_0)=0$ '''und''' $f''(x_0)< 0$
| $\Rightarrow\ \ \ \ $
| $x_0$ ist die Stelle eines relativen Hochpunktes (Maximums) von f
|-
|

|-
|
*$f'(x_0)=0$ '''und''' $f''(x_0)>0$
| $\Rightarrow\ \ \ \ $
| $x_0$ ist die Stelle eines relativen Tiefpunktes (Minimums) von f

|-

|
|-
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*$f'(x_0)=0$ '''und''' $f''(x_0)=0$
| $\Rightarrow\ \ \ \ $
| dann muss hier '''nicht unbedingt ein Extremum''' sein.
|}
|}

Der letzte Punkt ($f'(x_0)=0$ ABER $f''(x_0)=0$) wird klar, wenn man sich die Funktion $f(x)=x^3$ ansieht:

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0>'''Beispiel für $f''(x)=0$, aber kein Extremum: $f(x)=x^3$''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Xhoch3.png|thumb|300px|right|Graph von $f(x)=x^3$]]
Sei $f(x)=x^3$. Um die Extrema zu berechnen, setzen wir $f'(x)=0$ und bestimmen dann $f''(x)$ an dieser Stelle:

{| border="0" align="center"
|-
|$f'(x)=3x^2$
$0=3x^2$

$\rightarrow x=0$
|
$\ $ und $\ \ \ \ $
|
$f''(x)=6x$

$f''(0)=0$
|}

Somit ist $f'(0)=0$ und $f''(0)=0$! Wie man aber leicht am Graphen erkennt, ist bei $x_1=0$ kein Extremum (weder Hoch- noch Tiefpunkt)!

Die Bedingungen $f''(x_0)<0$ (für ein Maximum) und $f''(x_0)>0$ (für ein Minimum) sind also wichtig!

</div>

</div>

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== Wendepunkt und Wendetangente ==
[[Datei:Wendepunkt.png|thumb|400px|right|Funktion mit Wendepunkt W und Wendetangente]]
{| border="1"
'''Definition'''
|
* Ein '''Wendepunkt''' ist ein Punkt, in dem die Funktion f ihr Krümmungsverhalten ändert. Das heißt: Die Funktion geht von einer Rechtskrümmung in eine Linkskrümmung über (oder umgekehrt).

* Die Tangente durch den Wendepunkt heißt '''Wendetangente'''.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Wie erkennt man einen Wendepunkt?''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Stell dir vor, der Graph ist eine Straße und du würdest ihm mit einem Auto von links nach rechts entlangfahren. Zuerst kommt eine Rechtskurve, in der du das Lenkrad nach rechts drehst. Anschließend kommt eine Linkskurve, in der du das Lenkrad nach links drehen musst. Genau zwischen der Rechts- und der Linkskurve gibt es '''einen Moment, indem das Lenkrad gerade ist - das ist der Wendepunkt'''.
</div>

</div>

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{| align="center"
|-
|
{{#ev:youtube|DM9uYJK5-fc}}
|}

== Online-Übungen ==

== Beispiele ==

Kurvendiskussionen

2014-02-09T19:40:53Z

91.113.74.77: /* Online-Übungen */

== Überblick und Einleitung ==

Beim Thema Kurvendiskussionen geht es darum, Eigenschaften von Funktionen (bzw. Kurven) zu ermitteln. Für die Matura sind die folgenden Eigenschaften wichtig:
* [[Kurvendiskussionen#Nullstellen | Nullstellen]]
* [[Kurvendiskussionen#Extremstellen: Hoch- und Tiefpunkte | Extremwerte]]
* [[Kurvendiskussionen#Wendepunkt und Wendetangente | Wendepunkt und Wendetangente]]

{| align="center"
|-
|
{{#ev:youtube|epCBOgwafp8}}
|}

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== Grundwissen über f(x), f<nowiki>'</nowiki>(x) und f<nowiki>''</nowiki>(x) ==

Die folgende Tabelle gibt dir an, was mit der Funktion f(x), ihrer 1. Ableitung und ihrer 2. Ableitung berechnet werden kann..

{| border="1"
|- style="background:#e0e0e0"
!|
!| $f(x)$
!| $f'(x)$
!| $f''(x)$
|-

!| Gibt an ...
| den '''[[Funktionswert]]''' an der Stelle x
| die '''[[Steigung]]''' von f an der Stelle x
| die '''[[Krümmung]]''' von f an der Stelle x (=Steigung der Steigung)

|-
!| physikalische Interpretation
| Entfernung vom Ursprung in einem Zeit-Weg-Diagramm
oder
Höhe eines Objektes etc.
| [[Differenzen- und Differentialquotient#Der Differentialquotient (= momentane Steigung) | '''momentane''' Änderungsrate/Geschwindigkeit]] an der Stelle x
| Beschleunigung an der Stelle x

|-
!| wenn $>0$
| Funktionswert ist positiv und oberhalb der x-Achse
| $f'(x)>0 \rightarrow$ Funktion ist monoton steigend.
| $f''(x)>0 \rightarrow$ die Funktion ist linksgekrümmt (U-förmig). Die Steigung nimmt zu.

|-
!| wenn $<0$
| Funktionswert ist netagiv und unterhalb der x-Achse
| $f '(x)>0 \rightarrow$ Funktion ist monoton fallend.
|$f''(x)>0 \rightarrow$ die Funktion macht hier eine Rechtskurve (n-förmig)
Die Steigung nimmt ab.

|-
!| wenn $=0$
| [[Kurvendiskussionen#Nullstellen | Nullstellen]]
| Die Funktion steigt und fällt hier nicht. Möglicherweise befindet sich hier ein [[Kurvendiskussionen#Extremstellen: Hoch- und Tiefpunkte | Extremum]].
| Möglicherweise befindet sich hier ein [[Kurvendiskussionen#Wendepunkt und Wendetangente | Wendepunkt ]].

|}
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== Nullstellen ==

{{:Nullstelle}}

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== Extremstellen: Hoch- und Tiefpunkte ==

[[Datei:Kurvendiskussion-extremwerte.png|thumb|right|380px|Im Graphen sind die beiden Extremstellen
$x_1$ und $x_2$ samt den dazugehörenden Hoch- und Tiefpunkten eingezeichnet.]]
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{| border ="1"
| '''Definition:'''

| '''Lokale Extremstellen''' sind jene Stellen (=x-Werte), an denen der Graph der Funktion einen lokalen '''Hoch- oder Tiefpunkt''' hat.

'''Formale Definition''':
Eine Funktion f hat bei $x_0$ einen lokalen Hochpunkt, wenn für alle $x$ in einer Umgebung von $x_0$ gilt, dass $f(x)<f(x_0)$. (analog funktioniert die Definition für einen lokalen Tiefpunkt)

|}

{| align="center"
|-
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{{#ev:youtube|zCA7GI0yIfg}}
|}
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[[Datei:Kurvendiskussion-Extremstellen-f' und f''.png|thumb|380px|right]]

Wie am Graphen in der rechten Abbildung erkennbar ist, sind die Steigungen an den Extremstellen immer 0 (d.h. beim Hochpunkt und Tiefpunkt '''steigt f nicht''' und '''fällt f nicht'''). Somit gilt $f'(x)=0$
Zusätzlich ist der Graph beim Hochpunkt '''rechtsgekrümmt''' (d.h. $f''(x)<0$) und beim Tiefpunkt '''linksgekrümmt''' (d.h. $f''(x)>0$).

Somit erhalten wir...
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=== Hinreichende Bedingung für ein relatives Extremum ===
{| border="1" align="center"
|
{|
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* $f'(x_0)=0$ '''und''' $f''(x_0)< 0$
| $\Rightarrow\ \ \ \ $
| $x_0$ ist die Stelle eines relativen Hochpunktes (Maximums) von f
|-
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|-
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*$f'(x_0)=0$ '''und''' $f''(x_0)>0$
| $\Rightarrow\ \ \ \ $
| $x_0$ ist die Stelle eines relativen Tiefpunktes (Minimums) von f

|-

|
|-
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*$f'(x_0)=0$ '''und''' $f''(x_0)=0$
| $\Rightarrow\ \ \ \ $
| dann muss hier '''nicht unbedingt ein Extremum''' sein.
|}
|}

Der letzte Punkt ($f'(x_0)=0$ ABER $f''(x_0)=0$) wird klar, wenn man sich die Funktion $f(x)=x^3$ ansieht:

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0>'''Beispiel für $f''(x)=0$, aber kein Extremum: $f(x)=x^3$''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Xhoch3.png|thumb|300px|right|Graph von $f(x)=x^3$]]
Sei $f(x)=x^3$. Um die Extrema zu berechnen, setzen wir $f'(x)=0$ und bestimmen dann $f''(x)$ an dieser Stelle:

{| border="0" align="center"
|-
|$f'(x)=3x^2$
$0=3x^2$

$\rightarrow x=0$
|
$\ $ und $\ \ \ \ $
|
$f''(x)=6x$

$f''(0)=0$
|}

Somit ist $f'(0)=0$ und $f''(0)=0$! Wie man aber leicht am Graphen erkennt, ist bei $x_1=0$ kein Extremum (weder Hoch- noch Tiefpunkt)!

Die Bedingungen $f''(x_0)<0$ (für ein Maximum) und $f''(x_0)>0$ (für ein Minimum) sind also wichtig!

</div>

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== Wendepunkt und Wendetangente ==
[[Datei:Wendepunkt.png|thumb|400px|right|Funktion mit Wendepunkt W und Wendetangente]]
{| border="1"
'''Definition'''
|
* Ein '''Wendepunkt''' ist ein Punkt, in dem die Funktion f ihr Krümmungsverhalten ändert. Das heißt: Die Funktion geht von einer Rechtskrümmung in eine Linkskrümmung über (oder umgekehrt).

* Die Tangente durch den Wendepunkt heißt '''Wendetangente'''.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Wie erkennt man einen Wendepunkt?''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Stell dir vor, der Graph ist eine Straße und du würdest ihm mit einem Auto von links nach rechts entlangfahren. Zuerst kommt eine Rechtskurve, in der du das Lenkrad nach rechts drehst. Anschließend kommt eine Linkskurve, in der du das Lenkrad nach links drehen musst. Genau zwischen der Rechts- und der Linkskurve gibt es '''einen Moment, indem das Lenkrad gerade ist - das ist der Wendepunkt'''.
</div>

</div>

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== Online-Übungen ==

{| align="center"
|-
|
{{#ev:youtube|DM9uYJK5-fc}}
|}

== Beispiele ==

Kurvendiskussionen

2014-02-09T19:39:02Z

91.113.74.77: /* Extremstellen: Hoch- und Tiefpunkte */

== Überblick und Einleitung ==

Beim Thema Kurvendiskussionen geht es darum, Eigenschaften von Funktionen (bzw. Kurven) zu ermitteln. Für die Matura sind die folgenden Eigenschaften wichtig:
* [[Kurvendiskussionen#Nullstellen | Nullstellen]]
* [[Kurvendiskussionen#Extremstellen: Hoch- und Tiefpunkte | Extremwerte]]
* [[Kurvendiskussionen#Wendepunkt und Wendetangente | Wendepunkt und Wendetangente]]

{| align="center"
|-
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{{#ev:youtube|epCBOgwafp8}}
|}

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== Grundwissen über f(x), f<nowiki>'</nowiki>(x) und f<nowiki>''</nowiki>(x) ==

Die folgende Tabelle gibt dir an, was mit der Funktion f(x), ihrer 1. Ableitung und ihrer 2. Ableitung berechnet werden kann..

{| border="1"
|- style="background:#e0e0e0"
!|
!| $f(x)$
!| $f'(x)$
!| $f''(x)$
|-

!| Gibt an ...
| den '''[[Funktionswert]]''' an der Stelle x
| die '''[[Steigung]]''' von f an der Stelle x
| die '''[[Krümmung]]''' von f an der Stelle x (=Steigung der Steigung)

|-
!| physikalische Interpretation
| Entfernung vom Ursprung in einem Zeit-Weg-Diagramm
oder
Höhe eines Objektes etc.
| [[Differenzen- und Differentialquotient#Der Differentialquotient (= momentane Steigung) | '''momentane''' Änderungsrate/Geschwindigkeit]] an der Stelle x
| Beschleunigung an der Stelle x

|-
!| wenn $>0$
| Funktionswert ist positiv und oberhalb der x-Achse
| $f'(x)>0 \rightarrow$ Funktion ist monoton steigend.
| $f''(x)>0 \rightarrow$ die Funktion ist linksgekrümmt (U-förmig). Die Steigung nimmt zu.

|-
!| wenn $<0$
| Funktionswert ist netagiv und unterhalb der x-Achse
| $f '(x)>0 \rightarrow$ Funktion ist monoton fallend.
|$f''(x)>0 \rightarrow$ die Funktion macht hier eine Rechtskurve (n-förmig)
Die Steigung nimmt ab.

|-
!| wenn $=0$
| [[Kurvendiskussionen#Nullstellen | Nullstellen]]
| Die Funktion steigt und fällt hier nicht. Möglicherweise befindet sich hier ein [[Kurvendiskussionen#Extremstellen: Hoch- und Tiefpunkte | Extremum]].
| Möglicherweise befindet sich hier ein [[Kurvendiskussionen#Wendepunkt und Wendetangente | Wendepunkt ]].

|}
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== Nullstellen ==

{{:Nullstelle}}

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== Extremstellen: Hoch- und Tiefpunkte ==

[[Datei:Kurvendiskussion-extremwerte.png|thumb|right|380px|Im Graphen sind die beiden Extremstellen
$x_1$ und $x_2$ samt den dazugehörenden Hoch- und Tiefpunkten eingezeichnet.]]
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{| border ="1"
| '''Definition:'''

| '''Lokale Extremstellen''' sind jene Stellen (=x-Werte), an denen der Graph der Funktion einen lokalen '''Hoch- oder Tiefpunkt''' hat.

'''Formale Definition''':
Eine Funktion f hat bei $x_0$ einen lokalen Hochpunkt, wenn für alle $x$ in einer Umgebung von $x_0$ gilt, dass $f(x)<f(x_0)$. (analog funktioniert die Definition für einen lokalen Tiefpunkt)

|}

{| align="center"
|-
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{{#ev:youtube|zCA7GI0yIfg}}
|}
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[[Datei:Kurvendiskussion-Extremstellen-f' und f''.png|thumb|380px|right]]

Wie am Graphen in der rechten Abbildung erkennbar ist, sind die Steigungen an den Extremstellen immer 0 (d.h. beim Hochpunkt und Tiefpunkt '''steigt f nicht''' und '''fällt f nicht'''). Somit gilt $f'(x)=0$
Zusätzlich ist der Graph beim Hochpunkt '''rechtsgekrümmt''' (d.h. $f''(x)<0$) und beim Tiefpunkt '''linksgekrümmt''' (d.h. $f''(x)>0$).

Somit erhalten wir...
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=== Hinreichende Bedingung für ein relatives Extremum ===
{| border="1" align="center"
|
{|
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* $f'(x_0)=0$ '''und''' $f''(x_0)< 0$
| $\Rightarrow\ \ \ \ $
| $x_0$ ist die Stelle eines relativen Hochpunktes (Maximums) von f
|-
|

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*$f'(x_0)=0$ '''und''' $f''(x_0)>0$
| $\Rightarrow\ \ \ \ $
| $x_0$ ist die Stelle eines relativen Tiefpunktes (Minimums) von f

|-

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|-
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*$f'(x_0)=0$ '''und''' $f''(x_0)=0$
| $\Rightarrow\ \ \ \ $
| dann muss hier '''nicht unbedingt ein Extremum''' sein.
|}
|}

Der letzte Punkt ($f'(x_0)=0$ ABER $f''(x_0)=0$) wird klar, wenn man sich die Funktion $f(x)=x^3$ ansieht:

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0>'''Beispiel für $f''(x)=0$, aber kein Extremum: $f(x)=x^3$''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Xhoch3.png|thumb|300px|right|Graph von $f(x)=x^3$]]
Sei $f(x)=x^3$. Um die Extrema zu berechnen, setzen wir $f'(x)=0$ und bestimmen dann $f''(x)$ an dieser Stelle:

{| border="0" align="center"
|-
|$f'(x)=3x^2$
$0=3x^2$

$\rightarrow x=0$
|
$\ $ und $\ \ \ \ $
|
$f''(x)=6x$

$f''(0)=0$
|}

Somit ist $f'(0)=0$ und $f''(0)=0$! Wie man aber leicht am Graphen erkennt, ist bei $x_1=0$ kein Extremum (weder Hoch- noch Tiefpunkt)!

Die Bedingungen $f''(x_0)<0$ (für ein Maximum) und $f''(x_0)>0$ (für ein Minimum) sind also wichtig!

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== Wendepunkt und Wendetangente ==
[[Datei:Wendepunkt.png|thumb|400px|right|Funktion mit Wendepunkt W und Wendetangente]]
{| border="1"
'''Definition'''
|
* Ein '''Wendepunkt''' ist ein Punkt, in dem die Funktion f ihr Krümmungsverhalten ändert. Das heißt: Die Funktion geht von einer Rechtskrümmung in eine Linkskrümmung über (oder umgekehrt).

* Die Tangente durch den Wendepunkt heißt '''Wendetangente'''.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Wie erkennt man einen Wendepunkt?''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Stell dir vor, der Graph ist eine Straße und du würdest ihm mit einem Auto von links nach rechts entlangfahren. Zuerst kommt eine Rechtskurve, in der du das Lenkrad nach rechts drehst. Anschließend kommt eine Linkskurve, in der du das Lenkrad nach links drehen musst. Genau zwischen der Rechts- und der Linkskurve gibt es '''einen Moment, indem das Lenkrad gerade ist - das ist der Wendepunkt'''.
</div>

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== Online-Übungen ==

== Beispiele ==

Kurvendiskussionen

2014-02-09T19:38:25Z

91.113.74.77: /* Extremstellen: Hoch- und Tiefpunkte */

== Überblick und Einleitung ==

Beim Thema Kurvendiskussionen geht es darum, Eigenschaften von Funktionen (bzw. Kurven) zu ermitteln. Für die Matura sind die folgenden Eigenschaften wichtig:
* [[Kurvendiskussionen#Nullstellen | Nullstellen]]
* [[Kurvendiskussionen#Extremstellen: Hoch- und Tiefpunkte | Extremwerte]]
* [[Kurvendiskussionen#Wendepunkt und Wendetangente | Wendepunkt und Wendetangente]]

{| align="center"
|-
|
{{#ev:youtube|epCBOgwafp8}}
|}

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== Grundwissen über f(x), f<nowiki>'</nowiki>(x) und f<nowiki>''</nowiki>(x) ==

Die folgende Tabelle gibt dir an, was mit der Funktion f(x), ihrer 1. Ableitung und ihrer 2. Ableitung berechnet werden kann..

{| border="1"
|- style="background:#e0e0e0"
!|
!| $f(x)$
!| $f'(x)$
!| $f''(x)$
|-

!| Gibt an ...
| den '''[[Funktionswert]]''' an der Stelle x
| die '''[[Steigung]]''' von f an der Stelle x
| die '''[[Krümmung]]''' von f an der Stelle x (=Steigung der Steigung)

|-
!| physikalische Interpretation
| Entfernung vom Ursprung in einem Zeit-Weg-Diagramm
oder
Höhe eines Objektes etc.
| [[Differenzen- und Differentialquotient#Der Differentialquotient (= momentane Steigung) | '''momentane''' Änderungsrate/Geschwindigkeit]] an der Stelle x
| Beschleunigung an der Stelle x

|-
!| wenn $>0$
| Funktionswert ist positiv und oberhalb der x-Achse
| $f'(x)>0 \rightarrow$ Funktion ist monoton steigend.
| $f''(x)>0 \rightarrow$ die Funktion ist linksgekrümmt (U-förmig). Die Steigung nimmt zu.

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!| wenn $<0$
| Funktionswert ist netagiv und unterhalb der x-Achse
| $f '(x)>0 \rightarrow$ Funktion ist monoton fallend.
|$f''(x)>0 \rightarrow$ die Funktion macht hier eine Rechtskurve (n-förmig)
Die Steigung nimmt ab.

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!| wenn $=0$
| [[Kurvendiskussionen#Nullstellen | Nullstellen]]
| Die Funktion steigt und fällt hier nicht. Möglicherweise befindet sich hier ein [[Kurvendiskussionen#Extremstellen: Hoch- und Tiefpunkte | Extremum]].
| Möglicherweise befindet sich hier ein [[Kurvendiskussionen#Wendepunkt und Wendetangente | Wendepunkt ]].

|}
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== Nullstellen ==

{{:Nullstelle}}

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== Extremstellen: Hoch- und Tiefpunkte ==

[[Datei:Kurvendiskussion-extremwerte.png|thumb|right|380px|Im Graphen sind die beiden Extremstellen
$x_1$ und $x_2$ samt den dazugehörenden Hoch- und Tiefpunkten eingezeichnet.]]
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{| border ="1"
| '''Definition:'''

| '''Lokale Extremstellen''' sind jene Stellen (=x-Werte), an denen der Graph der Funktion einen lokalen '''Hoch- oder Tiefpunkt''' hat.

'''Formale Definition''':
Eine Funktion f hat bei $x_0$ einen lokalen Hochpunkt, wenn für alle $x$ in einer Umgebung von $x_0$ gilt, dass $f(x)<f(x_0)$. (analog funktioniert die Definition für einen lokalen Tiefpunkt)

|}

{| align="center"
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{{#ev:youtube|zCA7GI0yIfg}}
|}
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[[Datei:Kurvendiskussion-Extremstellen-f' und f''.png|thumb|380px|right]]

Wie am Graphen in der rechten Abbildung erkennbar ist, sind die Steigungen an den Extremstellen immer 0 (d.h. beim Hochpunkt und Tiefpunkt '''steigt f nicht''' und '''fällt f nicht'''). Somit gilt $f'(x)=0$
Zusätzlich ist der Graph beim Hochpunkt '''rechtsgekrümmt''' (d.h. $f''(x)<0$) und beim Tiefpunkt '''linksgekrümmt''' (d.h. $f''(x)>0$).

Somit erhalten wir...
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=== Hinreichende Bedingung für ein relatives Extremum ===
{| border="1" align="center"
|
{|
|
* $f'(x_0)=0$ '''und''' $f''(x_0)< 0$
| $\Rightarrow\ \ \ \ $
| $x_0$ ist die Stelle eines relativen Hochpunktes (Maximums) von f
|-
|

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*$f'(x_0)=0$ '''und''' $f''(x_0)>0$
| $\Rightarrow\ \ \ \ $
| $x_0$ ist die Stelle eines relativen Tiefpunktes (Minimums) von f

|-

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*$f'(x_0)=0$ '''und''' $f''(x_0)=0$
| $\Rightarrow\ \ \ \ $
| dann muss hier '''nicht unbedingt ein Extremum''' sein.
|}
|}

Der letzte Punkt ($f'(x_0)=0$ ABER $f''(x_0)=0$) wird klar, wenn man sich die Funktion $f(x)=x^3$ ansieht:

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0>'''Beispiel für $f''(x)=0$, aber kein Extremum: $f(x)=x^3$''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Xhoch3.png|thumb|300px|right|Graph von $f(x)=x^3$]]
Sei $f(x)=x^3$. Um die Extrema zu berechnen, setzen wir $f'(x)=0$ und bestimmen dann $f''(x)$ an dieser Stelle:

{| border="0" align="center"
|-
|$f'(x)=3x^2$
$0=3x^2$

$\rightarrow x=0$
|
$\ $ und $\ \ \ \ $
|
$f''(x)=6x$

$f''(0)=0$
|}

Somit ist $f'(0)=0$ und $f''(0)=0$! Wie man aber leicht am Graphen erkennt, ist bei $x_1=0$ kein Extremum (weder Hoch- noch Tiefpunkt)!

Die Bedingungen $f''(x_0)<0$ (für ein Maximum) und $f''(x_0)>0$ (für ein Minimum) sind also wichtig!

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== Wendepunkt und Wendetangente ==
[[Datei:Wendepunkt.png|thumb|400px|right|Funktion mit Wendepunkt W und Wendetangente]]
{| border="1"
'''Definition'''
|
* Ein '''Wendepunkt''' ist ein Punkt, in dem die Funktion f ihr Krümmungsverhalten ändert. Das heißt: Die Funktion geht von einer Rechtskrümmung in eine Linkskrümmung über (oder umgekehrt).

* Die Tangente durch den Wendepunkt heißt '''Wendetangente'''.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Wie erkennt man einen Wendepunkt?''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Stell dir vor, der Graph ist eine Straße und du würdest ihm mit einem Auto von links nach rechts entlangfahren. Zuerst kommt eine Rechtskurve, in der du das Lenkrad nach rechts drehst. Anschließend kommt eine Linkskurve, in der du das Lenkrad nach links drehen musst. Genau zwischen der Rechts- und der Linkskurve gibt es '''einen Moment, indem das Lenkrad gerade ist - das ist der Wendepunkt'''.
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== Online-Übungen ==

== Beispiele ==

Kurvendiskussionen

2014-02-09T19:37:17Z

91.113.74.77: /* Überblick und Einleitung */

== Überblick und Einleitung ==

Beim Thema Kurvendiskussionen geht es darum, Eigenschaften von Funktionen (bzw. Kurven) zu ermitteln. Für die Matura sind die folgenden Eigenschaften wichtig:
* [[Kurvendiskussionen#Nullstellen | Nullstellen]]
* [[Kurvendiskussionen#Extremstellen: Hoch- und Tiefpunkte | Extremwerte]]
* [[Kurvendiskussionen#Wendepunkt und Wendetangente | Wendepunkt und Wendetangente]]

{| align="center"
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{{#ev:youtube|epCBOgwafp8}}
|}

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== Grundwissen über f(x), f<nowiki>'</nowiki>(x) und f<nowiki>''</nowiki>(x) ==

Die folgende Tabelle gibt dir an, was mit der Funktion f(x), ihrer 1. Ableitung und ihrer 2. Ableitung berechnet werden kann..

{| border="1"
|- style="background:#e0e0e0"
!|
!| $f(x)$
!| $f'(x)$
!| $f''(x)$
|-

!| Gibt an ...
| den '''[[Funktionswert]]''' an der Stelle x
| die '''[[Steigung]]''' von f an der Stelle x
| die '''[[Krümmung]]''' von f an der Stelle x (=Steigung der Steigung)

|-
!| physikalische Interpretation
| Entfernung vom Ursprung in einem Zeit-Weg-Diagramm
oder
Höhe eines Objektes etc.
| [[Differenzen- und Differentialquotient#Der Differentialquotient (= momentane Steigung) | '''momentane''' Änderungsrate/Geschwindigkeit]] an der Stelle x
| Beschleunigung an der Stelle x

|-
!| wenn $>0$
| Funktionswert ist positiv und oberhalb der x-Achse
| $f'(x)>0 \rightarrow$ Funktion ist monoton steigend.
| $f''(x)>0 \rightarrow$ die Funktion ist linksgekrümmt (U-förmig). Die Steigung nimmt zu.

|-
!| wenn $<0$
| Funktionswert ist netagiv und unterhalb der x-Achse
| $f '(x)>0 \rightarrow$ Funktion ist monoton fallend.
|$f''(x)>0 \rightarrow$ die Funktion macht hier eine Rechtskurve (n-förmig)
Die Steigung nimmt ab.

|-
!| wenn $=0$
| [[Kurvendiskussionen#Nullstellen | Nullstellen]]
| Die Funktion steigt und fällt hier nicht. Möglicherweise befindet sich hier ein [[Kurvendiskussionen#Extremstellen: Hoch- und Tiefpunkte | Extremum]].
| Möglicherweise befindet sich hier ein [[Kurvendiskussionen#Wendepunkt und Wendetangente | Wendepunkt ]].

|}
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== Nullstellen ==

{{:Nullstelle}}

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== Extremstellen: Hoch- und Tiefpunkte ==

[[Datei:Kurvendiskussion-extremwerte.png|thumb|right|380px|Im Graphen sind die beiden Extremstellen
$x_1$ und $x_2$ samt den dazugehörenden Hoch- und Tiefpunkten eingezeichnet.]]
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{| border ="1"
| '''Definition:'''

| '''Lokale Extremstellen''' sind jene Stellen (=x-Werte), an denen der Graph der Funktion einen lokalen '''Hoch- oder Tiefpunkt''' hat.

'''Formale Definition''':
Eine Funktion f hat bei $x_0$ einen lokalen Hochpunkt, wenn für alle $x$ in einer Umgebung von $x_0$ gilt, dass $f(x)<f(x_0)$. (analog funktioniert die Definition für einen lokalen Tiefpunkt)

|}

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[[Datei:Kurvendiskussion-Extremstellen-f' und f''.png|thumb|380px|right]]

Wie am Graphen in der rechten Abbildung erkennbar ist, sind die Steigungen an den Extremstellen immer 0 (d.h. beim Hochpunkt und Tiefpunkt '''steigt f nicht''' und '''fällt f nicht'''). Somit gilt $f'(x)=0$
Zusätzlich ist der Graph beim Hochpunkt '''rechtsgekrümmt''' (d.h. $f''(x)<0$) und beim Tiefpunkt '''linksgekrümmt''' (d.h. $f''(x)>0$).

Somit erhalten wir...
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=== Hinreichende Bedingung für ein relatives Extremum ===
{| border="1" align="center"
|
{|
|
* $f'(x_0)=0$ '''und''' $f''(x_0)< 0$
| $\Rightarrow\ \ \ \ $
| $x_0$ ist die Stelle eines relativen Hochpunktes (Maximums) von f
|-
|

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*$f'(x_0)=0$ '''und''' $f''(x_0)>0$
| $\Rightarrow\ \ \ \ $
| $x_0$ ist die Stelle eines relativen Tiefpunktes (Minimums) von f

|-

|
|-
|
*$f'(x_0)=0$ '''und''' $f''(x_0)=0$
| $\Rightarrow\ \ \ \ $
| dann muss hier '''nicht unbedingt ein Extremum''' sein.
|}
|}

Der letzte Punkt ($f'(x_0)=0$ ABER $f''(x_0)=0$) wird klar, wenn man sich die Funktion $f(x)=x^3$ ansieht:

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0>'''Beispiel für $f''(x)=0$, aber kein Extremum: $f(x)=x^3$''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Xhoch3.png|thumb|300px|right|Graph von $f(x)=x^3$]]
Sei $f(x)=x^3$. Um die Extrema zu berechnen, setzen wir $f'(x)=0$ und bestimmen dann $f''(x)$ an dieser Stelle:

{| border="0" align="center"
|-
|$f'(x)=3x^2$
$0=3x^2$

$\rightarrow x=0$
|
$\ $ und $\ \ \ \ $
|
$f''(x)=6x$

$f''(0)=0$
|}

Somit ist $f'(0)=0$ und $f''(0)=0$! Wie man aber leicht am Graphen erkennt, ist bei $x_1=0$ kein Extremum (weder Hoch- noch Tiefpunkt)!

Die Bedingungen $f''(x_0)<0$ (für ein Maximum) und $f''(x_0)>0$ (für ein Minimum) sind also wichtig!

</div>

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== Wendepunkt und Wendetangente ==
[[Datei:Wendepunkt.png|thumb|400px|right|Funktion mit Wendepunkt W und Wendetangente]]
{| border="1"
'''Definition'''
|
* Ein '''Wendepunkt''' ist ein Punkt, in dem die Funktion f ihr Krümmungsverhalten ändert. Das heißt: Die Funktion geht von einer Rechtskrümmung in eine Linkskrümmung über (oder umgekehrt).

* Die Tangente durch den Wendepunkt heißt '''Wendetangente'''.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Wie erkennt man einen Wendepunkt?''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Stell dir vor, der Graph ist eine Straße und du würdest ihm mit einem Auto von links nach rechts entlangfahren. Zuerst kommt eine Rechtskurve, in der du das Lenkrad nach rechts drehst. Anschließend kommt eine Linkskurve, in der du das Lenkrad nach links drehen musst. Genau zwischen der Rechts- und der Linkskurve gibt es '''einen Moment, indem das Lenkrad gerade ist - das ist der Wendepunkt'''.
</div>

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== Online-Übungen ==

== Beispiele ==

Kurvendiskussionen

2014-02-09T19:36:12Z

91.113.74.77: /* Überblick und Einleitung */

== Überblick und Einleitung ==

Beim Thema Kurvendiskussionen geht es darum, Eigenschaften von Funktionen (bzw. Kurven) zu ermitteln. Für die Matura sind die folgenden Eigenschaften wichtig:
* [[Kurvendiskussionen#Nullstellen | Nullstellen]]
* [[Kurvendiskussionen#Extremstellen: Hoch- und Tiefpunkte | Extremwerte]]
* [[Kurvendiskussionen#Wendepunkt und Wendetangente | Wendepunkt und Wendetangente]]

{| align="center"
|-
|
{{#ev:youtube|zCA7GI0yIfg}}
|}
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== Grundwissen über f(x), f<nowiki>'</nowiki>(x) und f<nowiki>''</nowiki>(x) ==

Die folgende Tabelle gibt dir an, was mit der Funktion f(x), ihrer 1. Ableitung und ihrer 2. Ableitung berechnet werden kann..

{| border="1"
|- style="background:#e0e0e0"
!|
!| $f(x)$
!| $f'(x)$
!| $f''(x)$
|-

!| Gibt an ...
| den '''[[Funktionswert]]''' an der Stelle x
| die '''[[Steigung]]''' von f an der Stelle x
| die '''[[Krümmung]]''' von f an der Stelle x (=Steigung der Steigung)

|-
!| physikalische Interpretation
| Entfernung vom Ursprung in einem Zeit-Weg-Diagramm
oder
Höhe eines Objektes etc.
| [[Differenzen- und Differentialquotient#Der Differentialquotient (= momentane Steigung) | '''momentane''' Änderungsrate/Geschwindigkeit]] an der Stelle x
| Beschleunigung an der Stelle x

|-
!| wenn $>0$
| Funktionswert ist positiv und oberhalb der x-Achse
| $f'(x)>0 \rightarrow$ Funktion ist monoton steigend.
| $f''(x)>0 \rightarrow$ die Funktion ist linksgekrümmt (U-förmig). Die Steigung nimmt zu.

|-
!| wenn $<0$
| Funktionswert ist netagiv und unterhalb der x-Achse
| $f '(x)>0 \rightarrow$ Funktion ist monoton fallend.
|$f''(x)>0 \rightarrow$ die Funktion macht hier eine Rechtskurve (n-förmig)
Die Steigung nimmt ab.

|-
!| wenn $=0$
| [[Kurvendiskussionen#Nullstellen | Nullstellen]]
| Die Funktion steigt und fällt hier nicht. Möglicherweise befindet sich hier ein [[Kurvendiskussionen#Extremstellen: Hoch- und Tiefpunkte | Extremum]].
| Möglicherweise befindet sich hier ein [[Kurvendiskussionen#Wendepunkt und Wendetangente | Wendepunkt ]].

|}
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== Nullstellen ==

{{:Nullstelle}}

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== Extremstellen: Hoch- und Tiefpunkte ==

[[Datei:Kurvendiskussion-extremwerte.png|thumb|right|380px|Im Graphen sind die beiden Extremstellen
$x_1$ und $x_2$ samt den dazugehörenden Hoch- und Tiefpunkten eingezeichnet.]]
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{| border ="1"
| '''Definition:'''

| '''Lokale Extremstellen''' sind jene Stellen (=x-Werte), an denen der Graph der Funktion einen lokalen '''Hoch- oder Tiefpunkt''' hat.

'''Formale Definition''':
Eine Funktion f hat bei $x_0$ einen lokalen Hochpunkt, wenn für alle $x$ in einer Umgebung von $x_0$ gilt, dass $f(x)<f(x_0)$. (analog funktioniert die Definition für einen lokalen Tiefpunkt)

|}

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[[Datei:Kurvendiskussion-Extremstellen-f' und f''.png|thumb|380px|right]]

Wie am Graphen in der rechten Abbildung erkennbar ist, sind die Steigungen an den Extremstellen immer 0 (d.h. beim Hochpunkt und Tiefpunkt '''steigt f nicht''' und '''fällt f nicht'''). Somit gilt $f'(x)=0$
Zusätzlich ist der Graph beim Hochpunkt '''rechtsgekrümmt''' (d.h. $f''(x)<0$) und beim Tiefpunkt '''linksgekrümmt''' (d.h. $f''(x)>0$).

Somit erhalten wir...
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=== Hinreichende Bedingung für ein relatives Extremum ===
{| border="1" align="center"
|
{|
|
* $f'(x_0)=0$ '''und''' $f''(x_0)< 0$
| $\Rightarrow\ \ \ \ $
| $x_0$ ist die Stelle eines relativen Hochpunktes (Maximums) von f
|-
|

|-
|
*$f'(x_0)=0$ '''und''' $f''(x_0)>0$
| $\Rightarrow\ \ \ \ $
| $x_0$ ist die Stelle eines relativen Tiefpunktes (Minimums) von f

|-

|
|-
|
*$f'(x_0)=0$ '''und''' $f''(x_0)=0$
| $\Rightarrow\ \ \ \ $
| dann muss hier '''nicht unbedingt ein Extremum''' sein.
|}
|}

Der letzte Punkt ($f'(x_0)=0$ ABER $f''(x_0)=0$) wird klar, wenn man sich die Funktion $f(x)=x^3$ ansieht:

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0>'''Beispiel für $f''(x)=0$, aber kein Extremum: $f(x)=x^3$''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Xhoch3.png|thumb|300px|right|Graph von $f(x)=x^3$]]
Sei $f(x)=x^3$. Um die Extrema zu berechnen, setzen wir $f'(x)=0$ und bestimmen dann $f''(x)$ an dieser Stelle:

{| border="0" align="center"
|-
|$f'(x)=3x^2$
$0=3x^2$

$\rightarrow x=0$
|
$\ $ und $\ \ \ \ $
|
$f''(x)=6x$

$f''(0)=0$
|}

Somit ist $f'(0)=0$ und $f''(0)=0$! Wie man aber leicht am Graphen erkennt, ist bei $x_1=0$ kein Extremum (weder Hoch- noch Tiefpunkt)!

Die Bedingungen $f''(x_0)<0$ (für ein Maximum) und $f''(x_0)>0$ (für ein Minimum) sind also wichtig!

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== Wendepunkt und Wendetangente ==
[[Datei:Wendepunkt.png|thumb|400px|right|Funktion mit Wendepunkt W und Wendetangente]]
{| border="1"
'''Definition'''
|
* Ein '''Wendepunkt''' ist ein Punkt, in dem die Funktion f ihr Krümmungsverhalten ändert. Das heißt: Die Funktion geht von einer Rechtskrümmung in eine Linkskrümmung über (oder umgekehrt).

* Die Tangente durch den Wendepunkt heißt '''Wendetangente'''.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Wie erkennt man einen Wendepunkt?''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Stell dir vor, der Graph ist eine Straße und du würdest ihm mit einem Auto von links nach rechts entlangfahren. Zuerst kommt eine Rechtskurve, in der du das Lenkrad nach rechts drehst. Anschließend kommt eine Linkskurve, in der du das Lenkrad nach links drehen musst. Genau zwischen der Rechts- und der Linkskurve gibt es '''einen Moment, indem das Lenkrad gerade ist - das ist der Wendepunkt'''.
</div>

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== Online-Übungen ==

== Beispiele ==

Nullstelle

2014-02-09T19:31:36Z

91.113.74.77: /* Berechnung von Nullstellen */

[[Datei:Kurvendiskussion-1.png|thumb|right|350px|Im Graphen sind die drei Nullstellen $x_1, \ x_2$ und $x_3$ abgebildet.]]
{| border ="1"
| '''Definition:'''

| Nullstellen sind jene Stellen (=x-Werte), an denen der Graph der Funktion die x-Achse schneidet (hier ist f(x)=0)

'''Formale Definition:'''

Die Funktion f(x) hat bei $x_1$ eine Nullstelle, wenn gilt: f(x)=0
|}

=== Video ===
{{#ev:youtube|BB43Eja4Pew}}

=== Berechnung von Nullstellen ===
Um die Nullstellen zu berechnen, müssen alle x berechnet werden, für die gilt, dass f(x)=0 ist. Je nach Funktionstyp von f(x) kann entweder x einfach freigestellt werden oder ein Lösungsverfahren ([[ quadratische Gleichungen | große Lösungformel/Quadkom]], [[graphisches Lösungsverfahren im TR]], [[Solve-Befehl]]) verwendet werden.

Als Richtwert, kanns du dir aber folgende Regel merken:

# Bei linearen Gleichungen 0=kx+d: [[Theorie lineare Gleichungen mit einer Variable (2.4.)| Nach x umformen]].
# Bei quadratischen Gleichungen $0=ax^2+bx+c$: [[ quadratische Gleichungen | große Lösungformel/Quadkom]]
# Bei gleichungen mit [[Grad]] $\ge 3$: [[graphisches Lösungsverfahren im TR]]

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=== Musterbeispiele ===

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> a) Bestimme die Nullstelle der linearen Funktion $f(x)=-2x+4$ </span>

<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Linfkt-nullstelle.png|thumb|180px|right]]
'''Lösung:'''
$$0=-2x+4 \ \ |-4$$
$$ -4=-2x \ \ |:(-2)$$
$$2=x$$
'''Antwort:''' Der Graph der Funktion schneidet bei $N(2|0)$ die x-Achse.
</div>
</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> b) Bestimme die Nullstelle der quadratischen Funktion $f(x)=-x^2+6x-5$ </span>

<div class="mw-collapsible-content">

'''Lösung:'''
$$0=-x^2 + 6 \cdot x - 5$$
Nun verwenden wir die große Lösungsformel mit a=-1, b=6 und c=-5
$$ x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}$$
[[Datei:Quadfkt-nullstelle.png|thumb|200px|right]]
$$x_{1,2}=\frac{-6\pm \sqrt{6^2-4\cdot (-1)\cdot (-5)}}{2\cdot (-1)}$$
$$x_{1,2}=\frac{-6\pm \sqrt{36-20}}{-2}$$
$$ x_1=\frac{-6+4}{-2}=1$$
$$ x_2=\frac{-6-4}{-2}=5$$
'''Antwort:''' Der Graph der Funktion schneidet bei $N_1(1|0)$ und $N_2(5|0)$ die x-Achse.
</div>
</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> c) Bestimme die Nullstelle der kubischen Funktion $f(x)=\frac{x^3}{3}-4x^2+7x+30$ (siehe Abbildung rechts oben). </span>

<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung mithilfe des [[graphisches Lösungsverfahren im TR]] oder dem [[Löse-Verfahren (GeoGebra)]]'''
$x_1=-1.9,\ x_2=6$ und $ x_3=7.9$
</div>
</div>