Gleichungssysteme (2.7.)

2014-10-01T08:06:30Z

89.144.202.210: grammatikalische Satzverbesserung

{{Vorlage:Definition|1= Ein '''lineares Gleichungssystem''' besteht aus mehreren [[ lineare Gleichung | linearen Gleichungen ]] mit mehreren Variablen.

'''Beispiel für ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Variablen:'''

$$ I: x+y=35 $$
$$ II: 2x+4y=94 $$
}}

 
 
 
= Gleichungssysteme mit 2 Variablen =

'''Beispiel:'''
$$ I: x+y=35 $$
$$ II: 2x+4y=94 $$
Hierbei sind $x$ und $y$ die Variablen. Um die Lösungsmenge eines Gleichungsystems mit 2 Variablen zu berechnen, braucht es in der Regel genau 2 [[lineare Abhängigkeit | linear unabhängige]] Gleichungen.

== Lösungsmenge $\mathbb{L}$==

Die Lösung eines solchen Gleichungssystem ist jener Punkt (x|y), der sowohl die erste Gleichung, als auch die zweite Gleichung löst.
 
 
 
 
{{Vorlage:Beispiel|1=Zeige, dass der Punkt $(23\vert 12)$ das folgende Gleichungssystem löst: $ \begin{align}
I: \ x&+&y &=& 35& \textrm{ } \\
II:\ 4x&+&2y&=&94&
\end{align}$|2=
'''Begründung:''' Setze den Punkt $(23\vert 12)$ in die beiden Gleichungen ein, wobei $x=23$ und $y=12$ ist:
$$ I: \underbrace{23+12}_{35}=35\ \ \textrm{ wahre Aussage}$$ $$ II: \underbrace{2\cdot 23+4\cdot 12}_{\underbrace{46+48}_{94} }=94 \textrm{ wahre Aussage} $$

Somit ist $(23\vert 12)$ eine Lösung des Gleichungssystems }}

Um ein Gleichungssystem zu lösen, gibt es mehrere Verfahren:

 
 
== Lösungsverfahren ==
=== Additionsverfahren (Eliminationsverfahren) ===
{{Vorlage:Merke|1='''Methode des Additionsverfahrens'''
# Forme beide Gleichungen auf die Form $ax+by=c$ (Variablen links, Konstante rechts).
# Multipliziere eine oder beide Gleichungen mit einer Zahl, sodass in beiden Gleichungen die [[Koeffizient | Koeffizienten]] vor der Unbekannten x oder vor der Unbekannten y gleich sind.
# Addiere (oder subtrahiere) die beiden Gleichungen!
# Du erhältst eine Gleichung mit einer Unbekannten.[[Theorie lineare Gleichungen mit einer Variable (2.4.)| Löse die Gleichung ]] mit einer Unbekannten durch Umformen der Gleichung.}}

{| align="center"
|{{#ev:youtube|WeYBa42F3xA}}
|}

 
{{Vorlage:Beispiel|1=Bestimme mithilfe des Additionsverfahrens die Lösungsmenge des Gleichungssystems:
$ \begin{align}
I: \ x&+&y &=& 35& \textrm{ } \\
II:\ 4x&+&2y&=&94&
\end{align}$
|2=
'''1. Schritt:'''Umformen auf $ax+by+c$ (hier nicht nötig):

$ \begin{align}
x&+&y &=& 35& \textrm{ } \\
4x&+&2y&=&94&
\end{align}$

'''2. Schritt:''' Multipliziere eine der beiden Gleichung:

$ \begin{align}
x&+&y &=& 35& \textrm{ } \vert \cdot (-2) \\
4x&+&2y&=&94&
\end{align}$

'''3. Schritt:''' Addiere oder subtrahiere die beiden Gleichungen:

$ \begin{align}
-2x&-&2y &=& -70& \textrm{ } \vert +\ \ \\
4x&+&2y&=&94& \\
\end{align}$

 
 
'''4. Schritt:''' Lösen der Gleichung mit einer Unbekannten:

$ \begin{align} 2x&+&0&=24 & \vert :2 \end{align}$

$ \begin{align} x&=&12 \end{align}$

Nun setzen wir $x=12$ in eine der Gleichungen (z.B. in die erste) ein und erhalten:
$$ \begin{align} 12+y=35 \Rightarrow y=23 \end{align}$$
Damit ist die [[Lösungsmenge |Lösungsmenge $\mathbb{L}$]] $= \{ (12\vert 23) \} $}}

 
 
{| border=1
| Wichtig
| Das Additionsverfahren eignet sich nur für '''lineare Gleichunggsysteme'''. Kommen nichtlineare Terme wie $x^2$, $x^3$ oder $x\cdot y$ in Gleichungen vor, so '''funktioniert''' das Additionsverfahren '''nicht'''.

Um nichtlineare Gleichungssysteme zu lösen, verwendet man das Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder das graphische Verfahren:
|}

 
 
 

=== Einsetzungsverfahren (Substitutionsverfahren) ===

{{Vorlage:Merke|1='''Methode des Einsetzungsverfahrens'''

1. Stelle in einer der Gleichungen eine der Variablen frei (siehe [[Gleichungen umformen]])

2. Setze nun das Ergebnis aus der Umformung in die andere Gleichung ein. Du erhälst eine Gleichung mit einer Variable.

3. Löse nun diese Gleichung und setzte die Lösung anschließend in die andere Gleichung ein, um die Lösung für die andere Variable zu erhalten.
}}

{{Vorlage:Beispiel|1=Bestimme mithilfe des Einsetzungsverfahrens die Lösungsmenge des Gleichungssystems:
$ \begin{align}
I: \ x&+&y &=& 35& \textrm{ } \\
II:\ 4x&+&2y&=&94&
\end{align}$
|2=
'''1. Schritt:'''Umformen der Gleichung I $\rightarrow$ x freistellen:

$ \begin{align}
I:\ \ &x+y &=& 35 \ \ \ \ \ \ \ \ \vert \ -x \\
I:\ \ &x &=&35-y
\end{align}$

'''2. Schritt:''' Setze das Ergebnis in die Gleichung II ein:

$ \begin{align}
II:\ \ 4\color{red}{x}&+&2y&=&94& \textrm{ }\ \ \ \ \vert I:\ \color{red}{x=(35-y)} \\
II:\ \ 4\cdot \color{red}{(35-y)}&+&2y&=&94&
\end{align}$

'''3. Schritt:''' Lösen der Gleichung II (hier befindet sich nun nur noch die Variable y)

$ \begin{align}
II:\ 4\cdot (35-y)+2y&=94& \\
II:\ 140-4y+2y&=94 & \\
140-2y&=94&\ \vert -140\\
-2y&=-46&\ \vert :(-2)\\
y&=23
\end{align}$

 
 

Nun setzen wir $x=23$ in die umgeformte Gleichung I (siehe Schritt 1) ein und erhalten:
$$ x=35-y \Rightarrow x=35-23 \rightarrow x=12$$
Damit ist die [[Lösungsmenge |Lösungsmenge $\mathbb{L}$]] $= \{ (12\vert 23) \} $}}

=== Graphisches Verfahren ===
[[Datei:Allgemein graphisches Lösungsverfahren.png|thumb|230px|right|Der Schnittpunkt S ist die Lösung des Gleichungssystems]]

{{Vorlage:Merke|1=
'''Methode:'''

1. Beide Gleichungen auf "$y=...$" umformen.

2. Einzeichnen der Geraden aus I. und II. in dasselbe Koordinatensystem (siehe [[Lineare Funktionen#Gerade zeichnen|Lineare Funktionen y=kx+d]]

3. Ermitteln des Schnittpunktes $\rightarrow$ dieser gibt die Lösungsmenge des Gleichungssystems an. }}

 
 
 
 
{{Vorlage:Beispiel|1=Bestimme mithilfe des Additionsverfahrens die Lösungsmenge des Gleichungssystems:
$ \begin{align}
I: \ x&+&y &=& 35& \\
II:\ 4x&+&2y&=&94&
\end{align}$
|2=
'''1. Schritt:''' Beide Gleichungen auf "$y=...$" umformen.

$\begin{align}
I: x+y=35 &\vert -x &\rightarrow & & \rightarrow &\underline{I:y=-x+35} \\
\\

II:4x+2y=94 &\vert -4x &\rightarrow &2y=-4x+94 \ \ \vert :2 & \rightarrow &\underline{II:y=-2x+47}
\end{align}$

'''2. Schritt:''' Einzeichnen der Geraden $y=kx+d$ (siehe [[Lineare Funktionen#Gerade zeichnen|Geraden zeichnen]])

[[Datei:Bsp graphisches Lösungsverfahren.png|thumb|center|400px|Der Schnittpunkt der Geraden $I:y=-x+35$ (rot) und $II:y=-2x+47$ (blau) ist $S(12\vert 23)$]]

'''3. Schritt:''' Ermitteln des Schnittpunktes.

Wie man aus der obigen Graphik erkennt, hat der Schnittpunkt die Koordinaten $S(12\vert 23)$. Somit lautet die [[Lösungsmenge|Lösungsmenge $\mathbb{L}$]]$={(12\vert 23)}$.}}

 Achtung! Oft ist es schwer, den Schnittpunkt durch eine händische Zeichnung exakt zu ermitteln. Hier ist es dann oft sinnvoll Technologie einzusetzen. Entweder
* [[GeoGebra#Schneide-Befehl | GeoGebra]] oder
* den [[Intersect-Befehl]] des TI

=== Matrixverfahren (nur mit dem TR Ti-82) ===

siehe [[TI-Befehle#Matrixverfahren|Matrixverfahren mit dem TR]]

=== Verfahren mit GeoGebra-CAS ===
kommt bald

== Lösungsmöglichkeiten eines linearen Gleichungssystems ==
Betrachtet man ein lineares Gleichungssystem mit 2 Variablen graphisch, indem man die Geraden zeichnen (wie beim [[Gleichungssysteme (2.7.)#graphisches Verfahren |graphischen Verfahren]]) so gibt es insgesamt drei Lösungsmöglichkeiten:
# Die Geraden schneiden sich im Schnittpunkt $S(x|y)\ \rightarrow$ es gibt '''eine Lösung''': $\mathbb{L}={(x|y)}$
# Die Geraden sind parallel und es gibt keinen Schnittpunkt $\rightarrow$ es gibt '''keine Lösung''': $\mathbb{L}={\ }$
# Die Geraden überlappen sich und es gibt undendlich viele Schnittpunkte $\rightarrow$ es gibt '''undendlich viele Lösungen''', die alle auf der Geraden liegen: $\mathbb{L}=\{ (x\vert y)\vert (x|y)\textrm{ erfüllt die Geradengleichung} \}$

Wie erkennen wir nun diese drei Fälle, wenn wir eines der 3 Lösungsverfahren verwenden? Die folgende Graphik zeigt dies genauer:
{| class="wikitable"
|-
! $\ $ !! 1. Fall: genau eine Lösung !! 2. Fall: keine Lösung !! 3. Fall: unendlich viele Lösungen
|-
| Beispiel: Die Gleichungen sind
| [[Lineare Abhängigkeit|Linear unabhängig]] und widerspruchsfrei: $$I:-x+y=1$$ $$II:-x-y=2$$
| widersprüchlich $$I:-x+y=1$$ $$II:-x+y=2$$
| [[Lineare Abhängigkeit|Linear abhängig]] (II ist ein Vielfaches von I):
$$I:-x+y=1$$
$$II:-2x+2y=2$$
|-
| Anzahl der Lösungen:
|Genau eine:
$x=-1.5$ und $y=-0.5$
| keine Lösung
| Unendlich viele
z.B. $(0|1);(1|2);(3|4)...$
|-
| Lösungsmenge
| $$\mathbb{L}={(-1.5|-0.5)}$$
| $$\mathbb{L}=\{\ \}$$
| $$\mathbb{L}=\{ (x|y)|-x+y=1\}$$
d.h. alle Punkte $(x|y)$, die die Gleichung $-x+y=1$ erfüllen.
|-
| Graphisches Lösungsverfahren
|
[[Datei:Lösungsverfahren-schnittpkt.png|miniatur|center|201px]]
|
[[Datei:Lösungsverfahren-parallel.png|201px|miniatur|zentriert]]
|
[[Datei:Lösungsverfahren-überlappend.png|201px|miniatur|zentriert]]
|-
| Additions- und Einsetzungsverfahren
| $x=-1.5$ und $y=-0.5$
| eine falsche Aussage wie $0=1$ oder $4=18$...
somit gibt es keine Werte als Lösung.
|eine wahre Aussage wie $0=0$ oder $2=2$
somit ist jede Zahl (die eine der beiden Gleichungen erfüllt) eine Lösung.
|-
| Matrixverfahren
|
{| border="1"
| $1$ ||$0$ ||$-1.5$
|-
| $0$ || $1$ ||$-0.5$
|}
| Die unterste Zeile besteht aus:
{| border="1"
| $0$ ||$0$ ||$1$
|}
Somit gilt:
$0x+0y=1$ und damit
$0=1$ f.A. $\rightarrow$ es gibt keine Lösung.
| Die unterste Zeile besteht aus:
{| border="1"
| $0$ ||$0$ ||$0$
|}
Somit gilt:
$0x+0y=0$ und damit
$0=0$ w.A. $\rightarrow$ es gibt unendlich viele Lösungen.
|-
| Lösung mit GeoGebra-CAS || $$x = -1.5,\ y = -0.5$$|| $$\textrm{ ? }$$|| $$x = y - 1, y = y$$
|}

== Lineare Gleichungssysteme mit 3 oder mehreren Variablen ==

Musterbeispiel:
Das folgende lineare Gleichungssystem zeigt ein Gleichungssystem mit 3 Variablen (x, y und z) und 3 Gleichungen:

$\begin{align}
I: &2x&+&y&-&3z&=&-4\\
II: &x&-&3y&-&z&=&-8\\
III: &-3x&+&y&+&z&=&\ \ 2
\end{align}$

Es gilt: Um ein lineares Gleichungssystem mit n Variablen eindeutig zu lösen, muss das Gleichungssystem aus n [[lineare Abhängigkeit | linear unabhängige]] Gleichungen bestehen.

[[Kategorie: Algebra und Geometrie]]

== Matura-Aufgaben==
* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=17&file=Wanderweg.pdf Wanderweg]
*: Siehe auch: [[Bewegungsaufgaben - Weg/Geschwindigkeit/Beschleunigung]] und [[Lineare Funktionen]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=24&file=Kleintransporte.pdf Kleintransporter]
*: Siehe auch: [[Lineare Funktionen]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=215&file=Impfstoff.pdf Impfstoff]
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Lineare Funktionen]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=145&file=Torten.pdf Torten] (Bifie-Aufgabe: mittel-leicht-leicht-leicht)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Formeln]] sowie [[Funktionen]] und für d) [[Binomialverteilung|Binomialverteilung (erst in der 5. Klasse)]]

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