Extremstellen

2014-02-15T11:18:13Z

88.117.30.31:

[[Datei:Kurvendiskussion-extremwerte.png|thumb|right|380px|Im Graphen sind die beiden Extremstellen
$x_1$ und $x_2$ samt den dazugehörenden Hoch- und Tiefpunkten eingezeichnet.]]
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{| border ="1"
| '''Definition:'''

| '''Lokale Extremstellen''' sind jene Stellen (=x-Werte), an denen der Graph der Funktion einen lokalen '''Hoch- oder Tiefpunkt''' hat.

'''Formale Definition''':
Eine Funktion f hat bei $x_0$ einen lokalen Hochpunkt, wenn für alle $x$ in einer Umgebung von $x_0$ gilt, dass $f(x)<f(x_0)$. (analog funktioniert die Definition für einen lokalen Tiefpunkt)

|}

=== Video ===
{| align="center"
|-
|
{{#ev:youtube|zCA7GI0yIfg}}
|}
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[[Datei:Kurvendiskussion-Extremstellen-f' und f''.png|thumb|380px|right]]

Wie am Graphen in der rechten Abbildung erkennbar ist, sind die Steigungen an den Extremstellen immer 0 (d.h. beim Hochpunkt und Tiefpunkt '''steigt f nicht''' und '''fällt f nicht'''). Somit gilt $f'(x)=0$
Zusätzlich ist der Graph beim Hochpunkt '''rechtsgekrümmt''' (d.h. $f''(x)<0$) und beim Tiefpunkt '''linksgekrümmt''' (d.h. $f''(x)>0$).

Somit erhalten wir...
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=== Hinreichende Bedingung für ein relatives Extremum ===
{| border="1" align="center"
|
{|
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* $f'(x_0)=0$ '''und''' $f''(x_0)< 0$
| $\Rightarrow\ \ \ \ $
| $x_0$ ist die Stelle eines relativen Hochpunktes (Maximums) von f
|-
|

|-
|
*$f'(x_0)=0$ '''und''' $f''(x_0)>0$
| $\Rightarrow\ \ \ \ $
| $x_0$ ist die Stelle eines relativen Tiefpunktes (Minimums) von f

|-

|
|-
|
*$f'(x_0)=0$ '''und''' $f''(x_0)=0$
| $\Rightarrow\ \ \ \ $
| dann muss hier '''nicht unbedingt ein Extremum''' sein.
|}
|}

Der letzte Punkt ($f'(x_0)=0$ ABER $f''(x_0)=0$) wird klar, wenn man sich die Funktion $f(x)=x^3$ ansieht:

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0>'''Beispiel für $f''(x)=0$, aber kein Extremum: $f(x)=x^3$''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Xhoch3.png|thumb|300px|right|Graph von $f(x)=x^3$]]
Sei $f(x)=x^3$. Um die Extrema zu berechnen, setzen wir $f'(x)=0$ und bestimmen dann $f''(x)$ an dieser Stelle:

{| border="0" align="center"
|-
|$f'(x)=3x^2$
$0=3x^2$

$\rightarrow x=0$
|
$\ $ und $\ \ \ \ $
|
$f''(x)=6x$

$f''(0)=0$
|}

Somit ist $f'(0)=0$ und $f''(0)=0$! Wie man aber leicht am Graphen erkennt, ist bei $x_1=0$ kein Extremum (weder Hoch- noch Tiefpunkt)!

Die Bedingungen $f''(x_0)<0$ (für ein Maximum) und $f''(x_0)>0$ (für ein Minimum) sind also wichtig!

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[[Kategorie: Kurvendiskussionen]]
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=== Musterbeispiel ===
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Bestimme die Extrema der Funktion $f(x)=\frac{x^3}{3}-4x^2+7x+30$''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung:'''
Zuerst bestimmen wir die 1. Ableitung $f'(x)$ und die zweite Ableitung $f''(x)$:
$$f(x)=\frac{x^3}{3}-4x^2+7x+30$$
$$f'(x)=x^2-8x+7$$
$$f''(x)=2x-8$$

Nun setzen wir die 1. Ableitung 0 (da die Steigung bei Hoch- und Tiefpunkt 0 ist):
$$0=x^2-8x+7$$
$$x_{1,2}=\frac{8\pm \sqrt{64-4\cdot 7}}{2}$$
$$x_{1,2}=\frac{8\pm 6}{2}$$
$$x_1=1$$
$$x_2=7$$

[[Datei:Extremwerte.png|thumb|right|300px|Graph mit Hoch- und Tiefpunkt]]

Somit haben wir 2 '''mögliche Extremstellen''' gefunden. Nun müssen wir noch überprüfen, ob es sich um Hoch- oder Tiefpunkte (oder weder noch) handelt. Hierzu setzen wir $x_1=1$ und $x_2=7$ in die zweite Ableitung ein:

$f''(1)=2\cdot 1-8=-6<0 \rightarrow $ rechtsgekrümmt $\rightarrow$ Hochpunkt

$f''(7)=2\cdot 7-8=+6>0 \rightarrow $ linksgekrümmt $\rightarrow$ Tiefpunkt

Somit wissen wir, dass sich bei $x=1$ ein Hochpunkt und bei $x=7$ Tiefpunkt befindet.
Zuletzt bestimmen wir nun noch die y-Koordinaten des Hoch- und Tiefpunktes. Hierzu setzen wir die x-Werte '''in die ursprüngliche Funktion''' $f(x)$ ein:

$f(1)=\frac{1^3}{3}-4\cdot 1^2+7\cdot 1+30=33.33\rightarrow H(1|33.33)$

$f(7)=\frac{7^3}{3}-4\cdot 7^2+7\cdot 7+30=-2.67\rightarrow T(7|-2.67)$

</div>

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[[Kategorie: Differenzieren]]

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