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Wahrscheinlichkeit: Normalverteilung und Stetige Zufallsvariablen

2014-11-26T09:31:25Z

83.65.137.66: /* Einleitung */

[[Datei:Dichtefkt.png|300px|miniatur|rechts]]
Nun beschäftigen wir uns mit Zufallsvariablen, die jeden Wert in einem bestimmten [[Zahlenmengen| reellen]] Intervall annehmen können, z.B. alle Werte zwischen 2.5 und 10. Dies sind sogenannte '''stetige Zufallsvariablen'''. Sie werden verwendet, um zum Beispiel Körpergrößen, Gewicht, Lebensdauer oder Wartedauer in einer Schlange zu beschreiben.

== Grundbegriffe für stetige Zufallsvariablen ==

=== Dichtefunktion ===
Anstelle der Wahrscheinlichkeitsfunktion P für [[Wahrscheinlichkeit: Binomialverteilung und diskrete Zufallsvariablen| diskrete Zufallsvariablen]], definiert man für stetige Zufallsvariablen die Dichtefunktion f.

{{Vorlage:Definition|1=Die Dichtefunktion $f$ ist eine Funktion mit den Eigenschaften:
* Die [[Funktionswerte]] von $f$ sind immer positiv:
$$f(x)\geq 0 $$ und
* die Fläche unterhalb der Dichtefunktion ist 1
$$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\cdot dx=1$$ }}

Der Grund, warum man nicht die [[Wahrscheinlichkeit: Binomialverteilung und diskrete Zufallsvariablen| Wahrscheinlichkeitsfunktion $P$]] verwendet, liegt darin, dass stetige Zufallsvariablen unendlich viele (und überabzählbar viele) Werte haben und die Wahrscheinlichkeit, dass ein ganz bestimmter Wert gezogen wird gleich 0 ist.

{| class="wikitable"
|-
! 1. Beispiel einer Dichtefunktion !! 2. Beispiel einer Dichtefunktion
|-
| [[Datei:Dichtefkt 1.png|400px|miniatur|zentriert]] || [[Datei:Dichtefkt 2.png|400px|miniatur|zentriert]]
|-
| $$f(x)\geq 0$$ und $$\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\cdot dx=\int_{0}^{4} \frac{1}{4}=1$$|| $$f(x)\geq $$ und $$\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\cdot dx=\int_{0}^{2} \frac{1}{4}x\cdot dx + \int_{2}^{4} -\frac{1}{4}x\cdot dx=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$$
|}

=== Verteilungsfunktion ===

Mit Hilfe der Dichtefunktion definieren wir nun (ähnlich wie bei den [[Wahrscheinlichkeit:Binomialverteilung und diskrete Zufallsvariablen|diskreten Zufallsvariablen]]) die ...
[[Datei:Verfkt2.png|miniatur|400px|Die Fläche kann als Wahrscheinlichkeit interpretiert werden: $$P(X\leq 2.5)=\int_{-\infty}^{2.5} f(x)\cdot dx=0.72$$ ]]
{{Vorlage:Definition|1=Verteilungsfunktion F
$$F(x)=P(X\leq x)= \int_{-\infty}^{x} f(t)\cdot dt$$
Sie gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass $X$ einen Wert $\leq x$ annimmt.
}}

'''Wichtig:''' Die Funktionswerte der Dichtefunktion $f(x)$ geben NICHT die Wahrscheinlichkeit $P(X=x)$ an. Bei stetigen Zufallsvariablen können wir nur die Wahrscheinlichkeit dafür angeben, dass $X$ Werte in einem bestimmten Intervall annimmt.

[[Datei:Verfkt2b.png|400px|miniatur|rechts|$$P(1\leq X\leq 2.5)=\int_{1}^{2.5} f(x)\cdot dx=0.65$$]]
{{Vorlage:Merke|1= Die Wahrscheinlichkeit, dass die stetige ZV $X$ einen Wert im Intervall [a;b] annimmt, entspricht der Fläche unter der Dichtefunktion zwischen den Grenzen a und b:
$$P(a\leq X\leq b)= \int_{a}^{b} f(x)\cdot dx = F(b)-F(a)$$
}}

Hinweis:
* Die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ einen bestimmten Wert $a$ annimmt ist 0 da:
$$P(a\leq X\leq a)= \int_{a}^{a} f(x)\cdot dx = F(a)-F(a)=0$$
* $P(X\leq a)=P(X<a)$ Begründung: $ P(X\leq a)=P(X<a)+P(X=a)$ und da $P(X=a)=0$ ist, folgt die Behauptung.
[[Datei:Verteilungsfkt gif.gif|400px|miniatur|rechts]]
* $P(a\leq X\leq b)=P(X\leq b)-P(X\leq a)$, wie aus der rechten Skizze leicht zu sehen ist.

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=== Erwartungswert und Standardabweichung ===
{{Vorlage:Definition|1= Für stetige ZV sind '''Erwartungswert''' $\mu$ und '''Standardabweichung''' $\sigma$ wie folgt definiert:
$$E(x)=\mu=\int_{-\infty}^{+\infty} x\cdot f(x)\cdot dx$$
$$\sigma =\sqrt{\int_{-\infty}^{+\infty} (x-\mu)^2 f(x)\cdot dx}$$
}}

[[Datei:Bsp.png|left]]
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:1000px" style="background-color:#CEE3F6">
<p style="color:#CAE1FF>

Berechnen Sie Erwartungswert und Standardabweichung der folgenden zwei Dichtefunktionen.
Erklären Sie die Gemeinsamkeiten bzw. Unterschiede bei $\mu$ und $\sigma$:

{| border="1" align="center"
! 1. Dichtefunktion !! 2. Dichtefunktion
|-
|[[Datei:Dichtefkt 1.png|400px|miniatur|zentriert]] || [[Datei:Dichtefkt 2.png|400px|miniatur|zentriert]]
|}
</p>
<div class="mw-collapsible-content" style="background-color:#E6F6CE" >
{| border="1"
! !! 1. Dichtefunktion !! 2. Dichtefunktion
|-
|$\mu$
|$$\mu=\int_{-\infty}^{\infty} x\cdot f(x)\cdot dx=\int_{0}^{4} \frac{1}{4}x=\frac{1}{4}\cdot \frac{x^2}{2}\vert _{0}^{4}=2$$
$$\mu = 2$$
|$$\mu=\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\cdot dx=\int_{0}^{2} \underbrace{x \cdot \frac{1}{4}x}_{-\frac{1}{4}x^2}+\int_{2}^{4} \underbrace{x\cdot (-\frac{1}{4}x+1)}_{ -\frac{1}{4}x^2+x}=$$
$$=\frac{1}{4}\cdot\frac{x^3}{3}\vert_{0}^{2} +[-\frac{1}{4}\cdot\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}]_{2}^{4}=$$
$$=\frac{1}{4}\cdot\frac{2^3}{3}-0 +\left[-\frac{1}{4}\cdot\frac{4^3}{3}+\frac{4^2}{2}-(-\frac{1}{4}\cdot\frac{2^3}{3}+\frac{2^2}{2})\right]=$$
$$=\frac{2}{3}+\left[-\frac{16}{3}+8-(-\frac{2}{3}+2)\right]=2$$
|-
| $\sigma$
| $$\sigma=\sqrt{\int_{-\infty}^{\infty} (x-\mu )^2 \cdot f(x)\cdot dx}=$$
$$=\sqrt{\int_{0}^{4} \underbrace{(x-2)^2}_{x^2-4x+4}\cdot \frac{1}{4}\cdot dx }=$$
$$=\sqrt { \frac{1}{4} \left( \frac{x^3}{3} - \frac{4x^2}{2}+4x \right) \vert_{0}^{4} }=$$
$$=\sqrt{\frac{1}{4}\cdot (\frac{4^3}{3}-\frac{4^3}{2}+16)}=\frac{2}{\sqrt{3}}\approx 1.15$$
| $$\sigma=\sqrt{\int_{-\infty}^{\infty} (x-\mu )^2 \cdot f(x)\cdot dx}$$

$$=\sqrt{\int_{0}^{2}(x-2)^2\cdot \frac{1}{4}\cdot x + \int_{2}^{4}(x-2)^2\cdot (-\frac{1}{4}\cdot x+1)}=...$$
$$\sigma=\frac{\sqrt{6}}{3}\approx 0.82$$
|-
| Graph
| [[Datei:Dichtefkt 1 mit m und s.png|300px|miniatur|zentriert|1. Dichtefunktion. Eingezeichnet ist der Erwartungswert $\mu$ und die sogenannte $\sigma-$Umgebung.]]
| [[Datei:Dichtefkt2mMuS.png|300px|miniatur|zentriert|1. Dichtefunktion. Eingezeichnet ist der Erwartungswert $\mu$ und die sogenannte $\sigma-$Umgebung.]]
|}

Wichtig: Während beide Zufallsvariablen über denselben Erwartungswert verfügen ($\mu=2$), unterscheiden sie sich in ihrer Standardabweichung. Die Zufallsvariable mit der Dichtefunktion 1 weist eine höhere Streuung auf als jene Zufallsvariable mit Dichtefunktion 2.

</div>

</div>

Eine der wichtigsten stetigen Verteilungsfunktionen ist die

== Normalverteilung ==
=== Einleitung ===
[[Datei:Dichtefkt-mit Gleichung.png|400px|miniatur|rechts|Dichtefunktion einer $N(\mu ;\sigma )-$verteilten Zufallsvariable. ]]
{{Vorlage:Definition|1= Eine stetige Zufallsvariable ist '''normalverteilt mit Erwartungswert $\mu$ und Standardabweichung $\sigma$ (kurz: $N(\mu ;\sigma)$-verteilt)''', wenn für die Dichtefunktion $f$ gilt:
$$ f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot \sigma}\cdot e^{\frac{1}{2}\cdot (\frac{x-\mu}{\sigma})^2}$$}}

Die Dichtefunktion der Normalverteilung wird aufgrund ihrer Form „Gaußschen Glockenkurve“ genannt.

[[Datei:Dichtefkt-mit m und s.png|400px|miniatur|rechts]]
'''Eigenschaften des Graphen der Dichtefunktion :'''
* Die Glockenkurve ist symmetrisch zum Erwartungswert $\mu$, bei dem Sie auch ihren einzigen Hochpunkt hat.
* Die beiden Wendepunkte der Glockenkurve befinden sich bei $\mu -\sigma$ und $\mu +\sigma$
* Im Intervall $[\mu -\sigma ; \mu -\sigma]$ befinden sich ca. 68 % aller Werte.
* Die Glockenkurve nähert sich [[Asymptote|asymptotisch]] der x-Achse an und es gilt
$$\lim_{x\rightarrow \pm \infty} f(x) =0$$
* Die Dichtefunktion erfüllt alle wichtigen Eigensachften einer Dichtefunktion:
:: $f(x)\geq 0 $ und
:: $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\cdot dx=1$ (d.h. die Fläche unterhalb der Dichtefunktion ist 1).

Die Normalverteilung ist deshalb so wichtig, da es in der Natur und im Alltag sehr viele Zuvallsvariablen gibt, die eine solche Verteilung aufweisen und somit eine Dichtefunktion besitzen, deren Graph glockenförmig ist.

{{Vorlage:Merke|1=Die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten erfolgt über die Berechnung der Fläche unterhalb der Dichtefunktion.
Für die Verteilungsfunktion $F$ gilt wieder:
$$F(x)=P(X\leq x)=\int_{-\infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot \sigma}\cdot e^{\frac{1}{2}\cdot (\frac{t-\mu}{\sigma})^2}\cdot dt$$

Die Berechnung dieses Integrals erfolgt in der Regel mithilfe des TR/GeoGebras.}}

Wichtige Überlegungen:

$$P(X\leq \mu)=F(\mu)=0.5$$
[[Datei:Normal1.png|400px|miniatur|zentriert|$P(X\leq \mu)=0.5$]]

$$P(X\leq b)=F(b)$$
[[Datei:Normal2.png|400px|miniatur|zentriert|$P(X\leq b)=F(b)$]]

$$ P(X \geq b)=1-P(X \leq b)=1-F(b)$$
[[Datei:Normal3.png|400px|miniatur|zentriert|$P(X\geq b)=1-P(X\leq b)=1-F(b)$]]

$$ P(a\leq X\leq b)=F(b)-F(a)$$
[[Datei:Normal4.png|400px|miniatur|zentriert|$P(a\leq X\leq b)=P(X\leq b)-P(X\leq a)=F(b)-F(a)$]]

=== $\sigma$-Umgebungen ===
Für jede normalverteilte Zuvallsvariable $X$ gilt, dass die $\sigma-$Bereiche um den Erwartungswert $\mu$ eine konstante Fläche beinhalten.
{|
|[[Datei:Sigma-Umgebung1.png|300px|miniatur|zentriert|$P(\mu-\sigma\leq X\leq \mu +\sigma)\approx 68.3$%]]
|[[Datei:Sigma2.png|300px|miniatur|zentriert|$P(\mu-2\sigma\leq X\leq \mu +2\sigma)\approx 95.4$%]]
|[[Datei:Sigma3.png|300px|miniatur|zentriert|$P(\mu-3\sigma\leq X\leq \mu +3\sigma)\approx 68.3$%]]
|}
$$P(\mu -z\cdot \sigma\leq X \leq \mu +z\cdot \sigma)=\Phi (z)-\Phi(-z)=\Phi (z)-(1-\Phi (z))=2\cdot \Phi (z) - 1$$
Bild

=== Binomial- und Normalverteilung ===
Die Binomialverteilung kann durch die Normalverteilung angenähert werden. Graphisch ist dies ist dies gut erkennbar: Je symmetrischer die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung ist und so größer der Stichprobenumfang $n$ (d.h. die Anzahl der Balken), desto ähnlicher wird die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung der Glockenkurve der Normalverteilung.

Bild

{{Vorlage:Merke|1=
Die Binomialverteilung darf näherungsweise durch die Normalverteilung ersetzt werden, wenn die Bedingung
$$n\cdot p\cdot (1-p)>9$$
erfüllt ist.
}}

=== Beispiele ===
In einer Fabrik wird Senf in Gläser zu 250 g verpackt. Vom Hersteller der Füllmaschine wird der Senffabrik nahegelegt, den Sollwert (Mittelwert $\mu$) auf 265 g einzustellen. Dabei ergibt sich eine mittlere Abweichung $\sigma$ = 10 g.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> a) '''Wahrscheinlichkeit rechts von $\mu$ berechnen:''' Wie viele Gläser enthalten mehr als 280 g Senf? </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Die Variable $X$ ist $N(265;10)-$verteilt und gibt die Füllmenge in Gramm (g) an.
{| border="1" align="center"
! GeoGebra / Graph !! Ti-8X !! Per Hand / Tabelle
|-
| Gesucht ist $P(X> 280)$
[[Datei:Bsp-a.png|220px|center|miniatur]]
| $$P(X>280)=1-P(X\leq 280)=$$
$$=1-normcdf(-\infty,280,265,10)=$$
$$=0.6681$$
| $$P(X>280)=1-P(X\leq 280)=$$
$$=\underbrace{P(X\leq 265 + 1.5\cdot 10)}_{P(X\leq \mu + z\cdot \sigma)}=$$
$$=1-\Phi (1.5)=$$
$$=1-0,93319=0.06681$$
|}
Die Wahrscheinlichkeit $P(X> 280)$ beträgt 6.681%

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> b) '''Wahrscheinlichkeit links von $\mu$ berechnen:''' Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Glas weniger als 250 g enthält? </span>

<div class="mw-collapsible-content">
{| border="1" align="center"
! GeoGebra / Graph !! Ti-8X !! Per Hand / Tabelle
|-
| Gesucht ist $P(X< 250)$
[[Datei:Bsp-b.png|220px|center|miniatur]]
| $$P(X<250)=$$
$$=normcdf(-\infty,250,265,10)=$$
$$=0.6681$$
| $$P(X<250)=P(X<265-15)$$
$$=\underbrace{P(X\leq 265 - 1.5\cdot 10)}_{P(X\leq \mu - z\cdot \sigma)}=$$
$$=\Phi (-1.5)=1-\Phi (1.5)$$
$$=1-0,93319=0.06681 $$
|}
Die Wahrscheinlichkeit $P(X<250)$ beträgt ebenfalls 6.681%. Auf dieses Ergebnis hätten wir auch einfacher kommen können, da 280 und 250 gleich weit von $\mu=$265 entfernt sind und aufgrund der Symmetrie der Normalverteilung erhalten wir dasselbe Ergebnis.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> c) '''Wahrscheinlichkeit in einem bestimmten Bereich:''' Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Glas zwischen 250 g und 270 g enthält? </span>

<div class="mw-collapsible-content">

{| border="1" align="center"
! GeoGebra / Graph !! Ti-8X !! Per Hand / Tabelle
|-
| Gesucht ist $P(250\leq X\leq 270)$
[[Datei:Bsp-c.png|220px|center|miniatur]]
| $$P(250\leq X\leq 270)=P(X\leq 270)-P(X\leq 250)$$
$$=normcdf(-\infty,270,265,10)-normcdf(-\infty,250,265,10)=$$
$$=0.6247$$
| $$P(250\leq X\leq 270)=P(X\leq 270)-P(X\leq 250)$$
$$=\underbrace{P(X\leq 265 + 0.5\cdot 10)}_{P(X\leq \mu + z\cdot \sigma)}-\underbrace{P(X\leq 265 - 1.5\cdot 10)}_{P(X\leq \mu + z\cdot \sigma)}=$$
$$=\Phi (0.5)-\Phi(-1.5)=$$
$$=\Phi (0.5)-(1-\Phi(1.5))$$
$$ 0.69146 -0.06681=0.6247$$
|}
</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> d)'''Ermitteln eine symmetrischen Intarvalls um $\mu$:''' In welchem symmetrischen Bereich um den Mittelwert liegen 80% der Gläser? </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Hier wird jetzt die Umkehrung gebraucht. Die Wahrscheinlichkeit ist bekannt und die x-Werte sind gesucht (vorher war es immer umgekehrt).

[[Datei:Bsp-d2.png|350px|miniatur|rechts]]
Gesucht ist $P(\mu -k \leq X\leq \mu + k)=0.8$ (siehe Graphik)
Somit müssen zwischen $\mu$ und $\mu +k$ insgesamt 40% aller Werte liegen (40% sind links und 40% sind rechts von $\mu$ ).
Insgesamt liegen dann $50+40=90$% links von $\mu+k$ (d.h. $P(X\leq \mu+k)=0.9$). Mit dieser Überlegung können wir nun k bestimmen:

{| border="1" align="center"
! GeoGebra / Graph !! Ti-8X !! Per Hand / Tabelle
|-
| $P(X\leq \mu+k)=0.9\rightarrow \mu+k=277.82\rightarrow k=12.82$
Somit ist das gesuchte Intervall:
$$[\mu -k ; \mu + k]=[252.18;277.82]$$
[[Datei:Bsp-d.png|220px|center|miniatur]]
Alternativer CAS-Befehl:
$$Normal[265, 10, 265+x]-Normal[265, 10, 265-x]=0.8$$
$$\rightarrow x=12.82$$
| $$P(X\leq \mu+k)=0.9$$
$$\rightarrow \mu+k=invNorm(0.9,265,10)$$
$$\mu+k=277.82\rightarrow k=12.82$$
Somit ist das gesuchte Intervall:
$$[\mu -k ; \mu + k]=[252.18;277.82]$$
| $$P(\mu-z\cdot \sigma \leq X\leq \mu+z\cdot \sigma)=0.8$$
$$P(X\leq \mu+z\cdot \sigma)-P(X\leq \mu-z\cdot \sigma)=0.8$$
$$\Phi (z)-\Phi(-z)=0.8$$
$$\Phi (z)-(1-\Phi (z))=0.8$$
$$2\cdot \Phi (z)-1=0.8$$
$$\Phi (z) =\frac{1+0.8}{2}=0.9$$
$$\rightarrow z\approx 1.28$$
$\mu+z\cdot \sigma=265+1.28\dot 10=277.8$ und $\mu-z\cdot \sigma=265-1.28\dot 10=252.2$

Somit ist das gesuchte Intervall:
$$[\mu -k ; \mu + k]=[252.18;277.82]$$
|}
</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> e) '''Ermitteln von $\mu$ bei bekannter Wahrscheinlichkeit:''' Welchen Mittelwert μ könnte die Senffirma einstellen, wenn sie 10% untergewichtigen Ausschuss toleriert? </span>

<div class="mw-collapsible-content">
$\mu=$? und $\sigma=10$. Gesucht ist, für welches $mu$ gilt $P(X\leq 250)=0.10$.
{| border="1" align="center"
! GeoGebra !! Ti-8X !! Per Hand / Tabelle
|-
| Dies berechnet man am besten mithilfe des CAS:
$$Normal[μ, 10, 250]=0.1\rightarrow \mu=262.82$$

| Dies berechnet man am besten mithilfe des Solve-Befehls:
$$normalcdf(-\infty,250,x, 10)=0.1$$
$$\rightarrow 0=normalcdf(-\infty,250,x, 10)-0.1$$
$$\rightarrow \mu=262.82$$
| $$P(X\leq 250)=0.10$$
$$P(X\leq \underbrace{\mu+z\cdot 10}_{=250} )=0.10$$
$$\Phi (z)=0.1\rightarrow z\approx -1.28$$
$$ 250=\mu+(-1.29)\cdot 10 \rightarrow \mu=262.8$$
|}
</div>

</div>

Applet zum Differenzen- und Differentialquotienten

2014-10-01T05:49:16Z

83.65.137.66: Der Seiteninhalt wurde durch einen anderen Text ersetzt: „Das folgende Applet stammt von Andreas Lindner. '''Aufgabe''' # Indem du $\Delta x$ verschiebst, kannst du den Punkt B in Richtung…“

Das folgende Applet stammt von Andreas Lindner.

'''Aufgabe'''
# Indem du $\Delta x$ verschiebst, kannst du den Punkt B in Richtung A verschieben.
# Verschiebe $\Delta x$ und beobachte, wo der Wert des Differenzenquotienten an der Sekante abgelesen werden kann.
# Was passiert, wenn $\Delta x$ gegen 0 geht?

Sollte das folgende Bild nicht angezeigt werden, [http://www.geogebratube.org/student/mNoaSHkoR klicke hier]

Diskussion:Angewandte Mathematik

2014-09-15T11:36:04Z

83.65.137.66: /* 27.08.14 */

== Neuerungen ==

===15.09.14===
* Integration (erweitert)
* Quadratische Fkten (erweitert mit Bsp)
* Gleichungssysteme (erweitert mit Lösungsmöglichkeiten)

===27.08.14 ===
* Alle Bifie Typ-A-Aufgaben zu "Funktionale Abhängigkeiten" wurden verlinkt.
* Neue Seiten:
:# Quadratische Funktionen (fertig)
:# Integration (in Arbeit)
:# Gleichungssysteme (in Arbeit)
:# GeoGebra (in Arbeit)
:# TI-Befehle (in Arbeit)
:# Regression (in Arbeit)
RP

Exponentialfunktionen(3.5.)

2014-09-10T11:08:09Z

83.65.137.66: /* 3. Beispiel mit $f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$ (einfach) */

Diese Seite behandelt grundlegende Eigenschaften der Exponentialfunktion. Die Anwendungsbeispiele findest du auf der Seite [[Wachstums- und Zerfallsprozesse]]!
[[Datei:Exp-fkt-allgemein-250.png|thumb|right|300px|Graph der Exponentialfunktion]]

{{Vorlage:Definition|1=Exponentialfunktionen sind [[Funktionen | Funktionen]], deren Funktionsgleichung die Form
$$f(x)=b\cdot a^x \textrm{ mit } b \textrm{ und } a \in \mathbb{R}^+$$
oder
$$ f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x} \textrm{ mit } b \in \mathbb{R}^+,\ \lambda \in \mathbb{R} $$}}

'''Hinweise'''
* In Exponentialfunktionen steht die Variable immer im [[Exponent | Exponenten]]
* Im Term $a^x$ ist $a$ die [[Basis]]
* $e$ steht für die [[Eulersche Zahl e | Eulersche Zahl]]
* $a=e^\lambda \rightarrow$ Dies ist der Zusammenhang der beiden Funktionsgleichungen

== Graph der Exponentialfunktion ==
Je nach Größe der [[Parameter]] a und b bzw. λ verändert sich der Graph. Im Folgenden werden die Auswirkungen der einzelnen Parameter auf den Graphen der Funktion besprochen:

$$f(x)=b\cdot a^x \ \ \ \textrm{ bzw.}\ \ \ f(x)=b\cdot e^{\lambda\cdot x}$$
----
{| border=“0“
|-
|'''b gibt den Schnittpunkt mit der y-Achse an.'''
Begründung: Beim Schnittpunkt mit der y-Achse ist die x-Koordinate gleich 0. Die dazugehörige y-Koordinate erhält man dann durch:
$f(0)=b\cdot a^0 =b\cdot 1=b$
(mit der $e^\lambda$-Formel funktioniert es genauso)
| [[Datei:Exp-fkt.gif|right]]
|}

----

{| border="0"
|-
| '''a und $\lambda$ geben an, ob der Graph steigt oder fällt.'''
|-
| für $a>1$ oder $\lambda>0$
|
ist der Graph [[Monotonie | monoton steigend]]. '''Je größer a bzw. $\lambda$ ist, desto stärker steigt der Graph'''
|[[Datei:Amimation für ag1.gif]]
|-
|für $0<a<1$ oder $\lambda<0$
|ist der Graph [[Monotonie | monoton fallend]] und nähert sich immer mehr der x-Achse
| [[Datei:Amimation für ak1-280.gif]]
|}

----
* [[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]]: In diesem [https://www.geogebratube.org/student/m116630 Arbeitsblatt] kannst du noch einmal die obigen Schritte nachvollziehen (Achtung: Anstelle von "b" wurde hier der Buchstabe "c" verwendet!)
* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Hier findest du ein [http://LearningApps.org/watch?v=p71pgtywt01 Quiz, in dem du das gelernte überprüfen kannst].

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<br>

== Weitere Eigenschaften der Exponentialfunktion ==

* Die x-Achse ist eine [[Asymptote]] des Graphen. D.h. der Graph der Exponentialfunktion nähert sich dieser beliebig nahe, ohne sie jemals zu schneiden.
* Die Exponentialfunktion hat die besondere Eigenschaft, dass sie sich in bestimmten Abständen immer um ‚‘‘denselben Faktor‘‘‘ vermehrt (wenn a>1) oder vermindert (wenn 0<a<1) $\rightarrow $ siehe Abbildungen unten. Formal gilt:
$$f(x+1)=f(x)\cdot a\ \ \textrm{ bzw. }\ \ \ \frac{f(x+1)}{f(x)}=a$$
* Aufgrund der letzten Eigenschaft werden Exponentialfunktionen für die Beschreibung von Wachstumsprozessen (z.B. Wachstum einer Bakterienpopulation) oder Zerfallsprozessen (z.B. Zerfall eines radioaktiven Elements) verwendet.
*: Siehe [[Wachstums- und Zerfallsprozesse]]

{| align="center"
|-
| [[Datei:Exp-fkt mit vielen as-png.png|thumb|300px|left|Graph mit $a>0$]]
| [[Datei:Exp-fkt mit vielen as u a 0.png|thumb|300px|right|Graph mit $0<a<1$]]
|}

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<br>
<br>

== Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung ==
Allgemeiner Lösungsweg: Die Funktionsgleichung wird bestimmt, indem man 2 Punkte auf dem Funktionsgraphen bestimmt und diese dann in die Funktionsgleichung einsetzt. Am einfachsten ist es, wenn einer der Punkte der Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse ist, da so b einfach bestimmt werden kann.

=== 1. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (einfach) ===

'''Angabe:''' Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot a^x$ geht durch die Punkte (0|3) und (2|12) bestimme die [[Parameter]] a und b.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0>
'''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Um a und b zu bestimmen, setzen wir die Punkte in die Funktonsgleichung ein:
{|
|-
|

{| border="1"
!|x
!|y
|-
|0
|3
|-
|2
|12
|}
| $\ \ \ \ \ y=b\cdot a^x$

$\rightarrow 3=b\cdot a^0\ \ \ \ \ \rightarrow \underline{3=b}\ \ $ (Hinweis: Da f bei (0|3) die y-Achse schneidet, hätten wir schon vorher gewusst, dass $b=3$ ist.)

$\rightarrow 12=3\cdot a^2 \ \ \ \rightarrow 4=a^2 \rightarrow \underline{a=2}$

|}
Somit gilt: $\underline{\underline{f(x)=3\cdot 2^x }}$

</div>

</div>

<br>
<br>
<br>

=== 2. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (mittel) ===

'''Angabe:''' Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot a^x$ geht durch die Punkte (1|4) und (2|16) bestimme die [[Parameter]] a und b.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0>
'''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Um a und b zu bestimmen, setzen wir die Punkte in die Funktonsgleichung ein:
{|
|-
|

{| border="1"
!|x
!|y
|-
|1
|4
|-
|2
|16
|}

!| $\ \ \ \ \ y=b\cdot a^x$
$\rightarrow I:\ 4=b\cdot a^1$

$\ \rightarrow II: 16=b\cdot a^2$

|}
Hier haben wir nun ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und zwei Unbekannten. Dieses können wir mithilfe des [[Gleichungssysteme (2.7.)#Einsetzungsverfahren (Substitutionsverfahren) | Einsetzungsverfahren]] lösen:
Hierzu stellen wir in I die Unbekannte $a$ frei:
$I:\ 4=b\cdot a^1 \ \ \rightarrow a=$<span style="background-color:yellow"> $\frac{4}{b}$ </span>
und setzen dies nun in II ein:

$II:\ 16=b\cdot ($ <span style="background-color:yellow">$\frac{4}{b}$ </span> $)^2$
$$II:\ 16=b\cdot (\frac{4}{b})^2$$
$$II: \ 16=b\cdot (\frac{16}{b^2})\ \ \ |\cdot 16$$
$$II: \ 16\cdot b^2 = 16 \ \ \ |:16 $$
$$II: \ b^2=1 $$
$$II: \ b=\pm 1$$
Da laut der Definition (ganz oben) $b>0$ ist, muss gelten $\underline{b=1}$

Damit erhalten wir $a=\frac{4}{b} \rightarrow \underline{a=4}$

Antowrt: Somit lautet die Funktionsgleichung $\underline{\underline{f(x)=1\cdot 4^x}}$ bzw. $\underline{\underline{f(x)=4^x}}$

</div>

</div>

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=== 3. Beispiel mit $f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$ (einfach) ===

Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$ geht durch die Punkte (0|3) und (2|27) bestimme die [[Parameter]] $\lambda$ und b

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung:'''</span>

<div class="mw-collapsible-content">

'''1. Punkt (0|3)''': Da der Graph die y-Achse hier schneidet, muss gelten $\underline{b=3}$ (siehe oben Beispiel 1)

'''2. Punkt (2|27)''': Wir setzen diesen Punkt und b=3 nun in die Funktionsgleichung um $\lambda$ zu erhalten:
$$f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$$
$$27=3\cdot e^{\lambda \cdot 2}$$
Nun wenden wir den [[Logarithmus]] an:
$$9=e^{\lambda \cdot 2} \ \ \ | \ln(\ )$$
$$\ln(9)=\ln(e^{\lambda \cdot 2})$$
$$\ln(9)=\lambda \cdot 2\cdot \ln(e) \ \ \ |ln(e)=1 \ \ |:2$$
$$\frac{ln(9)}{2}=\lambda$$
$$\underline{1.1=\lambda}$$

Somit lautet die Funktionsgleichung $\underline{\underline{f(x)=3\cdot e^{1.1\cdot x}}}$

</div>

</div>

* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Kannst du oberen Aufgaben alle, so [https://www.geogebratube.org/student/m82256 übe dich an diesem Quiz], in dem du die Funktionsgleichung verschiedener [[Funktionen|Funktionstypen]] bestimmen musst.

== Beispiel zur Bestimmung von Funktonswert und Argument ==
=== 1. Beispiel mit $f(x)=b\cdot e^{\lambda\cdot x}$ (leicht) ===
Gegeben ist die Funktion $f(x)=2\cdot e^{-0.4\cdot x}$. Bestimmen Sie jene [[Argument | Argumente]] für die gilt
* a) $f(x)=0.3$
* b) $f(x)=0$
* c) $f(x)=-0.5$

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung für a)''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

[[Datei:Beispiel 0 3.png|thumb|350px|right|Graphische Lösung der Aufgabe]]

Es gilt die Gleichung $f(x)=0.3$ zu lösen, wobei $f(x)=2\cdot e^{-0.4\cdot x}$ ist:
$$2\cdot e^{-0.4\cdot x}=0.3$$
$$ e^{-0.4\cdot x}=\frac{0.3}{2} \ \ \ \ | ln()$$
$$ -0.4\cdot x \cdot \ln(e)=\ln(\frac{0.3}{2})\ \ \ \ |ln(e)=1 \ \ \ |:(-0.4) $$
$$x=\frac{\ln(\frac{0.3}{2})}{-0.4}$$
$$\underline{\underline{x = 4.74}}$$
Alternative Lösungswege:
* Graphisch den Schnittpunkt zwischen f(x) und y=0.3 ermitteln (siehe Abbildung rechts)
* [[Solve-Befehl | Solve-Befehl im TR]] oder [[Löse-Befehl | Löse-Befehl mit GeoGebra]]

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung für b)''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Da die x-Achse des Graphen von f(x) eine [[Asymptote]] ist, hat f(x) keine Nullstellen und somit gibt es kein x für das gilt $f(x)=0$
Alternativer Lösungsweg:
* [[Löse-Befehl | Löse-Befehl mit GeoGebra]] $\rightarrow$ als Lösung erhält man die leere Menge $\mathbb{L}=\{ \}$
* Rechnerisch:
$$ f(x)=0$$
$$2\cdot e^{-0.4\cdot x}=0 \ \ \ |:2$$
$$ e^{-0.4\cdot x}=0 \ \ \ |ln $$
$$ -0.4\cdot x\cdot \ln(e)=\ln(0)$$
Da der [[Logarithmus]] nur für positive x-Werte definiert ist ($\mathbb{D}=\mathbb{R}^+$) ist $\ln(0)$ nicht definiert (was du leicht im TR mit der Rechnung ln(0) überprüfen kannst).
Somit hat die Gleichung $ -0.4\cdot x\cdot \ln(e)=\ln(0)$ keine Lösung.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung für c)''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Auch hier gibt es keine Lösung, da der [[Wertebereich]] der Exponentialfunktion $2\cdot e^{-0.4\cdot x}$ oberhalb der x-Achse liegt und $f(x)$ somit niemals negative Funktionswerte annimmt.
(Siehe Abbildung bei Lösung a) )

</div>

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=== 2. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (leicht) ===
Gegeben ist die Funktion $f(x)=100\cdot 0.76^x$.
* a) Bestimmen Sie wie groß ist der Funktionwert an der Stelle $x=5$ ist.
* b) Berechnen Sie, an welcher Stelle die Funktion einen Wert von $50$ hat.
* c) Fertigen Sie eine Skizze des Graphen und zeichnen Sie die berechneten Werte ein.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

[[Datei:Exp-bsp4.png|thumb|right|400px|Graph der Funktion $f(x)=100\cdot 0.76^x$ mit den berechneten Punkten.]]
Lösung a)
$$f(5)=100\cdot 0.76^5=6.43$$

Lösung für b)
$$f(x)=50\ \ \ \ |textrm{gesucht ist x}$$
$$100\cdot 0.76^x=50\ \ \ |:100$$
$$0.75^x=0.5\ \ \ |\log(\ )$$
$$\log 0.75^x= \log 0.5$$
$$x\cdot \log 0.75=\log 0.5$$
$$x=\frac{\log 0.5}{\log 0.75}$$
$$\underline{\underline{x=2.53}}$$
Hinweis: In der obigen Rechnung wurde der [[Logarithmus | Logarithmus]] verwendet.

Lösung c) Siehe Abbildung rechts

</div>

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== Weitere Materialien ==
* [[Gelb: Lernpfad | <span style="background-color:#FFD700"> $Step\ by\ Step!$ </span>]]: Ein [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_exponentialfunktionen/Exponentialfunktionen_NEU/ Online-Lernpfad von G. Jauck und A. Lindner]
* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Ein [http://LearningApps.org/watch?v=p71pgtywt01 Quiz in dem du den Graph und die Funktionsgleichung zusammenführen musst]
* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Und [https://www.geogebratube.org/student/m82256 hier gibt es ein GeoGebraquiz], in dem du die Funktionsgleichung verschiedener [[Funktionen|Funktionstypen]] bestimmen musst.

== Beispiele ==

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=204&file=Mount_Everest.pdf Mount Everest] (bifie-Aufgabe: leicht-mittel-schwer)
: Siehe auch [[Der Logarithmus | Logarithmus]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=179&file=Vergessenskurve_nach_Ebbinghaus.pdf Vergessenskurve von Ebbinghaus] (bifie-Aufgabe: leicht-mittel-mittel)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=181&file=Bevoelkerungswachstum_in_den_USA.pdf Bevölkerung der USA] (leicht-leicht-mittel)
: Siehe für Aufgabe b) und c) auch [[Differenzen- und Differentialquotient]]

[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Exponentialfunktionen(3.5.)

2014-09-10T11:07:27Z

83.65.137.66: /* Weitere Eigenschaften der Exponentialfunktion */

Diese Seite behandelt grundlegende Eigenschaften der Exponentialfunktion. Die Anwendungsbeispiele findest du auf der Seite [[Wachstums- und Zerfallsprozesse]]!
[[Datei:Exp-fkt-allgemein-250.png|thumb|right|300px|Graph der Exponentialfunktion]]

{{Vorlage:Definition|1=Exponentialfunktionen sind [[Funktionen | Funktionen]], deren Funktionsgleichung die Form
$$f(x)=b\cdot a^x \textrm{ mit } b \textrm{ und } a \in \mathbb{R}^+$$
oder
$$ f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x} \textrm{ mit } b \in \mathbb{R}^+,\ \lambda \in \mathbb{R} $$}}

'''Hinweise'''
* In Exponentialfunktionen steht die Variable immer im [[Exponent | Exponenten]]
* Im Term $a^x$ ist $a$ die [[Basis]]
* $e$ steht für die [[Eulersche Zahl e | Eulersche Zahl]]
* $a=e^\lambda \rightarrow$ Dies ist der Zusammenhang der beiden Funktionsgleichungen

== Graph der Exponentialfunktion ==
Je nach Größe der [[Parameter]] a und b bzw. λ verändert sich der Graph. Im Folgenden werden die Auswirkungen der einzelnen Parameter auf den Graphen der Funktion besprochen:

$$f(x)=b\cdot a^x \ \ \ \textrm{ bzw.}\ \ \ f(x)=b\cdot e^{\lambda\cdot x}$$
----
{| border=“0“
|-
|'''b gibt den Schnittpunkt mit der y-Achse an.'''
Begründung: Beim Schnittpunkt mit der y-Achse ist die x-Koordinate gleich 0. Die dazugehörige y-Koordinate erhält man dann durch:
$f(0)=b\cdot a^0 =b\cdot 1=b$
(mit der $e^\lambda$-Formel funktioniert es genauso)
| [[Datei:Exp-fkt.gif|right]]
|}

----

{| border="0"
|-
| '''a und $\lambda$ geben an, ob der Graph steigt oder fällt.'''
|-
| für $a>1$ oder $\lambda>0$
|
ist der Graph [[Monotonie | monoton steigend]]. '''Je größer a bzw. $\lambda$ ist, desto stärker steigt der Graph'''
|[[Datei:Amimation für ag1.gif]]
|-
|für $0<a<1$ oder $\lambda<0$
|ist der Graph [[Monotonie | monoton fallend]] und nähert sich immer mehr der x-Achse
| [[Datei:Amimation für ak1-280.gif]]
|}

----
* [[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]]: In diesem [https://www.geogebratube.org/student/m116630 Arbeitsblatt] kannst du noch einmal die obigen Schritte nachvollziehen (Achtung: Anstelle von "b" wurde hier der Buchstabe "c" verwendet!)
* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Hier findest du ein [http://LearningApps.org/watch?v=p71pgtywt01 Quiz, in dem du das gelernte überprüfen kannst].

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== Weitere Eigenschaften der Exponentialfunktion ==

* Die x-Achse ist eine [[Asymptote]] des Graphen. D.h. der Graph der Exponentialfunktion nähert sich dieser beliebig nahe, ohne sie jemals zu schneiden.
* Die Exponentialfunktion hat die besondere Eigenschaft, dass sie sich in bestimmten Abständen immer um ‚‘‘denselben Faktor‘‘‘ vermehrt (wenn a>1) oder vermindert (wenn 0<a<1) $\rightarrow $ siehe Abbildungen unten. Formal gilt:
$$f(x+1)=f(x)\cdot a\ \ \textrm{ bzw. }\ \ \ \frac{f(x+1)}{f(x)}=a$$
* Aufgrund der letzten Eigenschaft werden Exponentialfunktionen für die Beschreibung von Wachstumsprozessen (z.B. Wachstum einer Bakterienpopulation) oder Zerfallsprozessen (z.B. Zerfall eines radioaktiven Elements) verwendet.
*: Siehe [[Wachstums- und Zerfallsprozesse]]

{| align="center"
|-
| [[Datei:Exp-fkt mit vielen as-png.png|thumb|300px|left|Graph mit $a>0$]]
| [[Datei:Exp-fkt mit vielen as u a 0.png|thumb|300px|right|Graph mit $0<a<1$]]
|}

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== Beispiele zur Bestimmung der Funktionsgleichung ==
Allgemeiner Lösungsweg: Die Funktionsgleichung wird bestimmt, indem man 2 Punkte auf dem Funktionsgraphen bestimmt und diese dann in die Funktionsgleichung einsetzt. Am einfachsten ist es, wenn einer der Punkte der Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse ist, da so b einfach bestimmt werden kann.

=== 1. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (einfach) ===

'''Angabe:''' Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot a^x$ geht durch die Punkte (0|3) und (2|12) bestimme die [[Parameter]] a und b.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0>
'''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Um a und b zu bestimmen, setzen wir die Punkte in die Funktonsgleichung ein:
{|
|-
|

{| border="1"
!|x
!|y
|-
|0
|3
|-
|2
|12
|}
| $\ \ \ \ \ y=b\cdot a^x$

$\rightarrow 3=b\cdot a^0\ \ \ \ \ \rightarrow \underline{3=b}\ \ $ (Hinweis: Da f bei (0|3) die y-Achse schneidet, hätten wir schon vorher gewusst, dass $b=3$ ist.)

$\rightarrow 12=3\cdot a^2 \ \ \ \rightarrow 4=a^2 \rightarrow \underline{a=2}$

|}
Somit gilt: $\underline{\underline{f(x)=3\cdot 2^x }}$

</div>

</div>

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=== 2. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (mittel) ===

'''Angabe:''' Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot a^x$ geht durch die Punkte (1|4) und (2|16) bestimme die [[Parameter]] a und b.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0>
'''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Um a und b zu bestimmen, setzen wir die Punkte in die Funktonsgleichung ein:
{|
|-
|

{| border="1"
!|x
!|y
|-
|1
|4
|-
|2
|16
|}

!| $\ \ \ \ \ y=b\cdot a^x$
$\rightarrow I:\ 4=b\cdot a^1$

$\ \rightarrow II: 16=b\cdot a^2$

|}
Hier haben wir nun ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und zwei Unbekannten. Dieses können wir mithilfe des [[Gleichungssysteme (2.7.)#Einsetzungsverfahren (Substitutionsverfahren) | Einsetzungsverfahren]] lösen:
Hierzu stellen wir in I die Unbekannte $a$ frei:
$I:\ 4=b\cdot a^1 \ \ \rightarrow a=$<span style="background-color:yellow"> $\frac{4}{b}$ </span>
und setzen dies nun in II ein:

$II:\ 16=b\cdot ($ <span style="background-color:yellow">$\frac{4}{b}$ </span> $)^2$
$$II:\ 16=b\cdot (\frac{4}{b})^2$$
$$II: \ 16=b\cdot (\frac{16}{b^2})\ \ \ |\cdot 16$$
$$II: \ 16\cdot b^2 = 16 \ \ \ |:16 $$
$$II: \ b^2=1 $$
$$II: \ b=\pm 1$$
Da laut der Definition (ganz oben) $b>0$ ist, muss gelten $\underline{b=1}$

Damit erhalten wir $a=\frac{4}{b} \rightarrow \underline{a=4}$

Antowrt: Somit lautet die Funktionsgleichung $\underline{\underline{f(x)=1\cdot 4^x}}$ bzw. $\underline{\underline{f(x)=4^x}}$

</div>

</div>

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=== 3. Beispiel mit $f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$ (einfach) ===

Die Exponentialfunktion $f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$ geht durch die Punkte (0|3) und (2|27) bestimme die [[Parameter]] $\lambda$ und b

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung:'''</span>

<div class="mw-collapsible-content">

'''1. Punkt (0|3)''': Da der Graph die y-Achse hier schneidet, muss gelten $\underline{b=3}$ (siehe oben Beispiel 1)

'''2. Punkt (2|27)''': Wir setzen diesen Punkt und b=3 nun in die Funktionsgleichung um $\lambda$ zu erhalten:
$$f(x)=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$$
$$27=3\cdot e^{\lambda \cdot 2}$$
Nun wenden wir den [[Logarithmus]] an:
$$9=e^{\lambda \cdot 2} \ \ \ | \ln(\ )$$
$$\ln(9)=\ln(e^{\lambda \cdot 2})$$
$$\ln(9)=\lambda \cdot 2\cdot \ln(e) \ \ \ |ln(e)=1 \ \ |:2$$
$$\frac{ln(9)}{2}=\lambda$$
$$\underline{1.1=\lambda}$$

Somit lautet die Funktionsgleichung $\underline{\underline{f(x)=3\cdot e^{1.1\cdot x}}}$

</div>

</div>

* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Kannst du diese Aufgaben alle, so [https://www.geogebratube.org/student/m82256 übe dich an diesem Quiz], in dem du die Funktionsgleichung verschiedener [[Funktionen|Funktionstypen]] bestimmen musst.

== Beispiel zur Bestimmung von Funktonswert und Argument ==
=== 1. Beispiel mit $f(x)=b\cdot e^{\lambda\cdot x}$ (leicht) ===
Gegeben ist die Funktion $f(x)=2\cdot e^{-0.4\cdot x}$. Bestimmen Sie jene [[Argument | Argumente]] für die gilt
* a) $f(x)=0.3$
* b) $f(x)=0$
* c) $f(x)=-0.5$

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung für a)''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

[[Datei:Beispiel 0 3.png|thumb|350px|right|Graphische Lösung der Aufgabe]]

Es gilt die Gleichung $f(x)=0.3$ zu lösen, wobei $f(x)=2\cdot e^{-0.4\cdot x}$ ist:
$$2\cdot e^{-0.4\cdot x}=0.3$$
$$ e^{-0.4\cdot x}=\frac{0.3}{2} \ \ \ \ | ln()$$
$$ -0.4\cdot x \cdot \ln(e)=\ln(\frac{0.3}{2})\ \ \ \ |ln(e)=1 \ \ \ |:(-0.4) $$
$$x=\frac{\ln(\frac{0.3}{2})}{-0.4}$$
$$\underline{\underline{x = 4.74}}$$
Alternative Lösungswege:
* Graphisch den Schnittpunkt zwischen f(x) und y=0.3 ermitteln (siehe Abbildung rechts)
* [[Solve-Befehl | Solve-Befehl im TR]] oder [[Löse-Befehl | Löse-Befehl mit GeoGebra]]

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung für b)''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Da die x-Achse des Graphen von f(x) eine [[Asymptote]] ist, hat f(x) keine Nullstellen und somit gibt es kein x für das gilt $f(x)=0$
Alternativer Lösungsweg:
* [[Löse-Befehl | Löse-Befehl mit GeoGebra]] $\rightarrow$ als Lösung erhält man die leere Menge $\mathbb{L}=\{ \}$
* Rechnerisch:
$$ f(x)=0$$
$$2\cdot e^{-0.4\cdot x}=0 \ \ \ |:2$$
$$ e^{-0.4\cdot x}=0 \ \ \ |ln $$
$$ -0.4\cdot x\cdot \ln(e)=\ln(0)$$
Da der [[Logarithmus]] nur für positive x-Werte definiert ist ($\mathbb{D}=\mathbb{R}^+$) ist $\ln(0)$ nicht definiert (was du leicht im TR mit der Rechnung ln(0) überprüfen kannst).
Somit hat die Gleichung $ -0.4\cdot x\cdot \ln(e)=\ln(0)$ keine Lösung.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung für c)''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Auch hier gibt es keine Lösung, da der [[Wertebereich]] der Exponentialfunktion $2\cdot e^{-0.4\cdot x}$ oberhalb der x-Achse liegt und $f(x)$ somit niemals negative Funktionswerte annimmt.
(Siehe Abbildung bei Lösung a) )

</div>

</div>

</div>

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=== 2. Beispiel mit $f(x)=b\cdot a^x$ (leicht) ===
Gegeben ist die Funktion $f(x)=100\cdot 0.76^x$.
* a) Bestimmen Sie wie groß ist der Funktionwert an der Stelle $x=5$ ist.
* b) Berechnen Sie, an welcher Stelle die Funktion einen Wert von $50$ hat.
* c) Fertigen Sie eine Skizze des Graphen und zeichnen Sie die berechneten Werte ein.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

[[Datei:Exp-bsp4.png|thumb|right|400px|Graph der Funktion $f(x)=100\cdot 0.76^x$ mit den berechneten Punkten.]]
Lösung a)
$$f(5)=100\cdot 0.76^5=6.43$$

Lösung für b)
$$f(x)=50\ \ \ \ |textrm{gesucht ist x}$$
$$100\cdot 0.76^x=50\ \ \ |:100$$
$$0.75^x=0.5\ \ \ |\log(\ )$$
$$\log 0.75^x= \log 0.5$$
$$x\cdot \log 0.75=\log 0.5$$
$$x=\frac{\log 0.5}{\log 0.75}$$
$$\underline{\underline{x=2.53}}$$
Hinweis: In der obigen Rechnung wurde der [[Logarithmus | Logarithmus]] verwendet.

Lösung c) Siehe Abbildung rechts

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== Weitere Materialien ==
* [[Gelb: Lernpfad | <span style="background-color:#FFD700"> $Step\ by\ Step!$ </span>]]: Ein [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_exponentialfunktionen/Exponentialfunktionen_NEU/ Online-Lernpfad von G. Jauck und A. Lindner]
* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Ein [http://LearningApps.org/watch?v=p71pgtywt01 Quiz in dem du den Graph und die Funktionsgleichung zusammenführen musst]
* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: Und [https://www.geogebratube.org/student/m82256 hier gibt es ein GeoGebraquiz], in dem du die Funktionsgleichung verschiedener [[Funktionen|Funktionstypen]] bestimmen musst.

== Beispiele ==

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=204&file=Mount_Everest.pdf Mount Everest] (bifie-Aufgabe: leicht-mittel-schwer)
: Siehe auch [[Der Logarithmus | Logarithmus]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=179&file=Vergessenskurve_nach_Ebbinghaus.pdf Vergessenskurve von Ebbinghaus] (bifie-Aufgabe: leicht-mittel-mittel)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=181&file=Bevoelkerungswachstum_in_den_USA.pdf Bevölkerung der USA] (leicht-leicht-mittel)
: Siehe für Aufgabe b) und c) auch [[Differenzen- und Differentialquotient]]

[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Schuldentilgung

2014-05-07T08:10:25Z

83.65.137.66: /* Beispiel: Monatliche Zahlungen */

== Einleitung und Begriffe ==

Die Schuldentilgung beschäftigt sich mit dem Tilgen (= Zurückzahlen) einer Schuld. Das typische Beispiel ist das Tilgen eines Bankredits.

Hierbei unterscheidet man zwischen den folgenden Begriffen:
{| align="right"
|-
|{{#ev:youtube|bId7a4W6Vko}}
|}

{|
|-
|

* '''Annuität'''
| = der Betrag, der regelmäßig (z.B. jährlich) zurückgezahlt wird.
|-
|

* '''Zinsenanteil'''
| = jener Anteil der Annuität, der für die Zinsen aufgewendet wird.
|-
|

* '''Tilgungsanteil'''
| = jener Anteil der Annuität, um den die Schuld vermindert wird.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Erklärung der Begriffe anhand eines Beispiels''': </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Peter hat einen [[Rentenrechnung#Begriffe | nachschüssigen]] Kredit von 10.000 € bei 1 % p.a. aufgenommen. Somit fallen nach einem Jahr € 100 Zinsen an. Am Ende jedes Jahres zahlt Peter € 1.100 zurück.
* Die Annuität beträgt € 1.100.
* Der Zinsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 100.
* Der Tilgungsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 1000 (Von den € 1.100 werden € 100 für die Zinsen verwendet und nur € 1.000 reduzieren die Schuld).
* Die Restschuld nach dem 1. Jahr begrägt noch € 9.000.

</div>

</div>

{| border ="1" align="center" width="800px"
| style="background:#f0f0f0" | '''Merke:'''

| style="background:#f0f0f0" align="center"|

'''Annuität = Zinsanteil + Tilgungsanteil'''

|}

Je nachdem, wie die Schuld beglichen wird, unterscheidet man zwischen folgenden Formen:
* '''[[Schuldentilgung#Annuitätenschuld - Anniutät bleibt konstant | Annuitätenschuld]]''' - Anniutät bleibt konstant über die ganze Laufzeit konstant.
* '''[[Schuldentilgung#Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant |Ratenschuld]]''' - Tilgungsanteil bleibt konstant
* '''[[Schuldentilgung#Zinsenschuld - nur die Zinsen werden beglichen|Zinsenschuld]]''' - nur die Zinsen werden während der Laufzeit beglichen und der Rest erst am Ende der Laufzeit.

== Tilgungsplan ==

Der Tilgungsplan ist eine tabellarische Aufstellung der Kreditrückzahlung.
Er listet für jedes Jahr auf, wie hoch der Zinsen, der Tilgungsanteil, die Annuität und die Restschuld sind.
Für eine nachschüssige Schuldentilgung ist er folgendermaßen aufgebaut:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |Schuld zu Beginn

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1$
Zinsanteil bei der ersten Zahlung
| align="center" |$TA_1$
Tilgungsanteil der ersten Zahlung
| align="center" |$A_1$
Annuität$_1$ (=Höhe der ersten Zahlung)
| align="center" |$RS_1$
Restschuld nach einem Jahr
|-
| align="center" | 2
| align="center" |$ZA_2$
Zinsanteil bei der zweiten Zahlung
|align="center" | $TA_2$
Tilgungsanteil der zweiten Zahlung
| align="center" |$A_2$
Annuität$_2$ (=Höhe der zweiten Zahlung)
| align="center" | $RS_2$
Restschuld nach dem 2. Jahr

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> ''' Hinweise ''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
*Der Zinsanteil errechnet sich immer mithilfe der Schuld aus dem Vorjahr:
$$ ZA_1=\textrm{Schuld}\cdot \frac{i}{100} $$
* Am Ende eines Tilgungsplanes sollte ganz rechts unten bei der letzten Restschuld natürlich eine 0 stehen (vorausgesetzt die ganze Schuld wird zurückbezahlt).
* '''Vorteile des Tilgungsplans sind:'''
:* Der Tilgungsplan ermöglicht einen schönen Überblck über alle Zahlungen.
:* Die einzelnen Werte können Schritt für Schritt ausgerechnet werden.

</div>

</div>

=== Musterbeispiel Tilgungsplan ===

Peter hat einen nachschüssigen Kredit von 100 € bei einer Verzinsung von 1 % p.a. aufgenommen. Er zahlt jährlich € 10 zurück. Erstelle einen Tilgungsplan!

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''1. Schritt: Beginn des Tilgungsplans''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Die Anfangsschuld ist € 100.
* Die Anniuität ist konstant € 10.
* $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1 $.
* $TA_1=A_1-ZA_1=9$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
* Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_1=100-9=91$

Damit erstellen wir nun die ersten zwei Zeilen des Tilgungsplanes:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $100\cdot \frac{1}{100}=1$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$</p>
| align="center" |$10-1=9$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $TA=A-ZA$ </p>
| align="center" |$10$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $A=TA+ZA$ </p>
| align="center" |$100-9=91$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$ </p>

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''2. Schritt: Fortsetzung des Tilgungsplans ''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Für das 2. Jahr des Tilgungsplans, nimmt man nun aus Ausgangswert die obere Zeile:

* Die alte Restschuld beträgt € 91.
* Die Anniuität ist konstant € 10.
* $ZA_2=91\cdot \frac{1}{100}=0.91 $.
* $TA_2=A_2-ZA_2=9.09$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
* Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_2=91-9.09=81.91$

Dies setzt man nun in den Tilgungsplan ein:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $100\cdot \frac{1}{100}=1$
| align="center" |$10-1=9$
| align="center" |$10$
| align="center" |$100-9=91$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $91\cdot \frac{1}{100}=0.91$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$</p>
| align="center" |$10-0.91=9.09$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $TA=A-ZA$ </p>
| align="center" |$10$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $A=TA+ZA$ </p>
| align="center" |$91-9.09=81.91$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$ </p>

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''3. Schritt: Vollständiger Tilgungsplan''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $100\cdot \frac{1}{100}=1$
| align="center" |$10-1=9$
| align="center" |$10$
| align="center" |$100-9=91$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $0.91$
| align="center" |$9.09$
| align="center" |$10$
| align="center" |$81.91$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $0.82$
| align="center" |$9.18$
| align="center" |$10$
| align="center" |$72.73$

|-
| align="center" | 4
| align="center" | $0.73$
| align="center" |$9.27$
| align="center" |$10$
| align="center" |$63.46$

|-
| align="center" | 5
| align="center" | $0.63$
| align="center" |$9.37$
| align="center" |$10$
| align="center" |$54.09$

|-
| align="center" | 6
| align="center" | $0.54$
| align="center" |$9.46$
| align="center" |$10$
| align="center" |$44.63$

|-
| align="center" | 7
| align="center" | $0.45$
| align="center" |$9.55$
| align="center" |$10$
| align="center" |$35.08$

|-
| align="center" | 8
| align="center" | $0.35$
| align="center" |$9.65$
| align="center" |$10$
| align="center" |$25.43$

|-
| align="center" | 9
| align="center" | $0.25$
| align="center" |$9.75$
| align="center" |$10$
| align="center" |$15.68$

|-
| align="center" | 10
| align="center" | $0.16$
| align="center" |$9.84$
| align="center" |$10$
| align="center" |<span style="background-color:yellow"> '''$5.84$''' </span>

|-
| align="center" | 11
| align="center" | $0.06$
| align="center" | <span style="background-color:yellow"> '''$5.84$''' </span>
Die Restschuld von 5.84 wird getilgt.
| align="center" |'''$5.90$'''
$A=ZA+TA$
| align="center" |$0$

|}

'''Achtung!'''
Bei der 11. Zahlung muss nur noch eine Schuld von 5.84 (gelb unterlegt!) getilgt werden. Aus diesem Grund beträgt der Tilgungsanteil € 5.84!
Die Annuität beträgt dann nicht mehr € 10 (sonst würden wir ja zuviel zurückzahlen) sondern nur noch
$$ A = \textrm{Höhe des Tilgungsanteiles} + \textrm{die Höhe der Zinsen} $$
$$ A= 5.84+0.06 $$
$$A= 5.90$$

</div>

</div>

</div>

</div>

Weitere Beispiele findest du im 3. Klasse Buch (Trauner) auf den Seiten 174ff....

== Annuitätenschuld - Annuität bleibt konstant ==

Bei einer Anniutätenschuld bleibt die Höhe der Annuität (Betrag der regelmäßig eingezahlt wird) konstant. Somit handelt es sich bei der Annuitätenschuld um eine [[Rentenrechnung | Rente]], da
* ein konstanter Betrag (=Annuität)
* in konstanten Zeitabständen
eingezahlt wird.
Wichtig:
# Die Annuität entspricht dabei der Rate R.
# Die Schuld entspricht dem Barwert B (Wert aller Zahlungen am Beginn = Anfangsschuld)

Somit benötigt man bei der Annuitätenschuld die [[Rentenrechnung#Formeln | Formeln für den Barwert]].

=== Musterbeispiele Annuitätenschuld ===

----

==== Beispiel für jährliche Zahlungen ====
Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 gleich hohen, jährlichen Raten bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Rate ist am Ende des 1. Jahres fällig.

a) Berechne die Höhe der Raten.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

c) Begründe, warum der Tilgungsanteil von Jahr zu Jahr größer wird.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* B=10.000
* n=5
* i=4 % p.a. $\rightarrow$ r=1.04 $\rightarrow$ $v=\frac{1}{r}=0.9615$
* nachschüssig

$$ B=R\cdot v\cdot \frac{v^5-1}{v-1} $$
$$ 10.000 = R\cdot 0.95238\cdot \frac{0.95238^5-1}{0.95238-1} $$
$$ \underline{\underline{R= 2246.27}} $$

A: Die Höhe der Annuität (=Rate) beträgt € 2246.27.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Die Anzahl der Jahre ist 5 $\rightarrow$ somit brauchen wir 6 Zeilen (von 0 bis 5).
* Die Annuität A ist konstant € 2246.27. Somit kann in der Spalte Annuität für alle 5 Jahre 2246.27 eingesetzt werden.
* Anfangsschuld = 10.000

Somit kann man bereits die Rohform des Tilgungsplanes erstellen:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 2
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 3
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 4
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 5
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|}

Nun berechnen wir von links nach rechts und von oben nach unden die einzelnen Werte:

* $i=4$ % $\rightarrow$ $ZA_1=10.000\cdot \frac{4}{100} =400$
* $TA_1=A_1-ZA_1 = 2246,27-400 = 1846.27$
* $RS_1=10.000-1846.27=8153.73$
* usw.

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $400$
| align="center" |$1846.272$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$
8153.73$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $326.15$
| align="center" |$1920.12$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$6233,61$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $249.34$
| align="center" |$1996.93$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$4236,68$

|-
| align="center" | 4
| align="center" | $169.47$
| align="center" |$2076.80$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$2159.88$

|-
| align="center" | 5
| align="center" | $86.40$
| align="center" |$2159.87$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$
0.01$

|}

'''Achtung!''' Die Restschuld im 5. Jahr (=0.01) ist aufgrund der Rundungen, die wir durchgeführt haben nicht genau 0.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung von c) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Weil die Schuld von Jahr zu Jahr abnimmt, wird der Zinsanteil ebenfalls immer kleiner. Da die Annuität konstant bleibt, wird deshalb der Tilgungsanteil immer größer (Erinnerung: Tilgungsanteil ist $TA=A-ZA$ ist).

</div>

</div>

</div>

</div>

<br>
<br>
<br>

==== Beispiel: Monatliche Zahlungen ====
Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch gleich hohe, monatliche Zahlunge bei i=4% p.a. zu tilgen.

a) Berechne die Höhe der Raten.

b) Stelle den Tilgungsplan für die ersten 3 Monate auf und berechne damit die Restschuld nach 3 Monaten.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* R=?
* B=10.000
* n=$5\cdot 12=60$
* i=4 % p.a. $\rightarrow$ r=1.04 $\rightarrow$ $r_{12}=\sqrt[12]{1.04}=1.00327$ $\rightarrow$ $v_{12}=\frac{1}{r_{12}}=0.9967$
!!'''Achtung'''!! Bei unterjährien Einzahlungen (z.B. monatliche) muss der [[Zins- und Zinseszinsrechnung#b) der konforme (äquivalente) Zinssatz|konforme Zinssatz]] berechnet werden!!
* nachschüssig

$$ B=R\cdot v_{12}\cdot \frac{v_{12}^{60}-1}{v_{12}-1} $$
$$ \underline{\underline{R=184.17}}$$

A: Die monatliche Annuität beträgt € 184.17.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Da $r_{12}=1.00327$ (siehe a) beträgt der Monatszinssatz $i_{12}=0.327$ % p.m.
* Die Annuität ist konstant 184.17 (siehe a)
* Anfangsschuld = 10.000

Somit kann der Tilgungsplan aufgestellt werden:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Monat
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $32,7$
| align="center" | $151,47$
| align="center" |$184,17$
| align="center" | $9815,83$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $32,01$
| align="center" |$152,07$
| align="center" |$184,17$
| align="center" |$9631,66$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $31,50$
| align="center" | $153,67$
| align="center" |$184,17$
| align="center" | $9446,49$

|}

A: Nach 3 Monaten beträgt die Restschuld noch € 9243,12.

</div>

</div>

</div>

</div>

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== Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant ==

Bei einer Ratenschuld bleit der Tilgungsanteil TA immer gleich groß, wodruch die Schuld sich immer um denselben Wert verringert.

Es gilt
{| border="1" align="center"
|-
| $$TA=\frac{\textrm{Schuld}}{n}$$
|}

'''Begründung''': Da die ganze Schuld durch n Zahlungen zurückgezahlt wird, muss jedes Mal ein "n-tel" der Gesamtschuld getilgt werden.

=== Musterbeispiel Ratenschuld ===

Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch gleich hohe Tilgungsanteile bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Rate ist am Ende des 1. Jahres fällig.

a) Berechne die Höhe des Tilgungsanteiles.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

c) Begründe, warum die Annuität von Jahr zu Jahr kleiner wird.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

$$ TA=\frac{\textrm{Schuld}}{n}=\frac{10.000}{5}$$
$$ \underline{\underline{TA=2.000}}$$

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* i=4%
* TA=2000 für alle 5 Jahre
* Anfangsschuld = 10.000

Somit setzen wir alles ein, was wir schon wissen:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS

|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" |
| align="center" | 2.000
| align="center" |
| align="center" | 8.000
<p style="color:darkred"> $10.000-2.000$ </p>

|-
| align="center" | 2
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |6.000

|-
| align="center" | 3
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |4.000

|-
| align="center" | 4
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |2.000

|-
| align="center" | 5
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |0

|}

Nun können alle weiteren Beträge (Zinsen und Annuitäten) berechnet und eingesetzt werden:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | 400
<p style="color:darkred"> $ZA_1=10.000\cdot 0.04$ </p>
| align="center" | 2.000
| align="center" | 2.400
<p style="color:darkred"> $A_1=ZA_1+TA_1$</p>
| align="center" | 8.000

|-
| align="center" | 2
| align="center" | 320
| align="center" |2.000
| align="center" | 2.320
| align="center" |6.000

|-
| align="center" | 3
| align="center" | 240
| align="center" |2.000
| align="center" | 2.240
| align="center" |4.000

|-
| align="center" | 4
| align="center" | 160
| align="center" |2.000
| align="center" | 2160
| align="center" |2.000

|-
| align="center" | 5
| align="center" | 80
| align="center" |2.000
| align="center" |2.080
| align="center" |0

|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für c) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Da der Zinsanteil immer kleiner wird (die Schuld verringert sich!), der Tilgungsanteil aber konstant bleibt, muss folglich die Annuität ebenfalls kleiner werden, da gilt:
$$ \textrm{Annuität = Zinsanteil + Tilgungsanteil} $$

</div>

</div>

</div>

</div>

<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
== Zinsenschuld - nur die Zinsen werden beglichen ==

Hier wird während der gesamten Laufzeit nichts vom Kreditgetilgt (d.h. TA=0), sondern nur die Zinsen bezahlt. Erst am Ende der Laufzeit wird die ganze Schuld durch eine Einmalzahlung beglichen.

=== Musterbeispiel Zinsenschuld ===

Eine Zinsschuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Annuität ist am Ende des 1. Jahres fällig.

a) Berechne die Höhe der Zinsanteile.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* i=4%
* Anfangsschuld = 10.000

Somit beträgt der Zinsanteil konstant
$$ZA= 10.000\cdot 0.04=400$$.

Nun setzen wir alle Zinsanteile und Restschulden in den Tilgungsplan ein und berechnen zusätzlich noch die Annuitäten:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS

|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | 400
| align="center" | 0
| align="center" | 400
<p style="color:darkred"> $A_1=ZA_1+TA_1=400+0$ </p>
| align="center" | 10.000

|-
| align="center" | 2
| align="center" |400
| align="center" |0
| align="center" | 400
| align="center" |10.000

|-
| align="center" | 3
| align="center" |400
| align="center" |0
| align="center" | 400
| align="center" |10.000

|-
| align="center" | 4
| align="center" | 400
| align="center" |0
| align="center" | 400
| align="center" |<span style="background-color:yellow"> 10.000</span>

|-
| align="center" | 5
| align="center" | 400
| align="center" |<span style="background-color:yellow"> 10.000</span>
| align="center" |10.400
| align="center" |0

|}

</div>

</div>

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<br>
<br>

== Online-Materialien und Übungsbeispiele ==
* 3. Klasse-Buch (Trauner): S. 181-182
* [http://fbmathe.bbs-bingen.de/Tilgungsrechnung/Aufgaben_Tilgungsrechnung.htm Beispiele und Lösungen von Ansgar Schiffler]
* <span style="background-color:yellow"> Wichtig! </span> [http://www.geogebratube.org/student/m108662 Online-Rechner zu Schuldentilgung und Tilgungsplan]
* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=198&file=Wohnungsrenovierung.pdf Wohnungsrenovierung(Bifie-Aufgabe) ]
: siehe auch
::* [[Rentenrechnung | Rentenrechnung]]
::* [[Zins- und Zinseszinsrechnung#b) der konforme (äquivalente) Zinssatz | konformer Zinssatz]]
* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=91&file=Immobilienhandel.pdf Immobielienhandel (Bifie-Aufgabe)]
: siehe auch
::* [[Äquivalenzprinzip (Vergleich von Einzahlungen) | Äquivalenzprinzip]]
::* [[Rentenrechnung | Rentenrechnung]]

[[Kategorie:Finanzmathematik]]

Schuldentilgung

2014-05-07T08:02:49Z

83.65.137.66: /* Beispiel für jährliche Zahlungen */

== Einleitung und Begriffe ==

Die Schuldentilgung beschäftigt sich mit dem Tilgen (= Zurückzahlen) einer Schuld. Das typische Beispiel ist das Tilgen eines Bankredits.

Hierbei unterscheidet man zwischen den folgenden Begriffen:
{| align="right"
|-
|{{#ev:youtube|bId7a4W6Vko}}
|}

{|
|-
|

* '''Annuität'''
| = der Betrag, der regelmäßig (z.B. jährlich) zurückgezahlt wird.
|-
|

* '''Zinsenanteil'''
| = jener Anteil der Annuität, der für die Zinsen aufgewendet wird.
|-
|

* '''Tilgungsanteil'''
| = jener Anteil der Annuität, um den die Schuld vermindert wird.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Erklärung der Begriffe anhand eines Beispiels''': </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Peter hat einen [[Rentenrechnung#Begriffe | nachschüssigen]] Kredit von 10.000 € bei 1 % p.a. aufgenommen. Somit fallen nach einem Jahr € 100 Zinsen an. Am Ende jedes Jahres zahlt Peter € 1.100 zurück.
* Die Annuität beträgt € 1.100.
* Der Zinsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 100.
* Der Tilgungsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 1000 (Von den € 1.100 werden € 100 für die Zinsen verwendet und nur € 1.000 reduzieren die Schuld).
* Die Restschuld nach dem 1. Jahr begrägt noch € 9.000.

</div>

</div>

{| border ="1" align="center" width="800px"
| style="background:#f0f0f0" | '''Merke:'''

| style="background:#f0f0f0" align="center"|

'''Annuität = Zinsanteil + Tilgungsanteil'''

|}

Je nachdem, wie die Schuld beglichen wird, unterscheidet man zwischen folgenden Formen:
* '''[[Schuldentilgung#Annuitätenschuld - Anniutät bleibt konstant | Annuitätenschuld]]''' - Anniutät bleibt konstant über die ganze Laufzeit konstant.
* '''[[Schuldentilgung#Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant |Ratenschuld]]''' - Tilgungsanteil bleibt konstant
* '''[[Schuldentilgung#Zinsenschuld - nur die Zinsen werden beglichen|Zinsenschuld]]''' - nur die Zinsen werden während der Laufzeit beglichen und der Rest erst am Ende der Laufzeit.

== Tilgungsplan ==

Der Tilgungsplan ist eine tabellarische Aufstellung der Kreditrückzahlung.
Er listet für jedes Jahr auf, wie hoch der Zinsen, der Tilgungsanteil, die Annuität und die Restschuld sind.
Für eine nachschüssige Schuldentilgung ist er folgendermaßen aufgebaut:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |Schuld zu Beginn

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1$
Zinsanteil bei der ersten Zahlung
| align="center" |$TA_1$
Tilgungsanteil der ersten Zahlung
| align="center" |$A_1$
Annuität$_1$ (=Höhe der ersten Zahlung)
| align="center" |$RS_1$
Restschuld nach einem Jahr
|-
| align="center" | 2
| align="center" |$ZA_2$
Zinsanteil bei der zweiten Zahlung
|align="center" | $TA_2$
Tilgungsanteil der zweiten Zahlung
| align="center" |$A_2$
Annuität$_2$ (=Höhe der zweiten Zahlung)
| align="center" | $RS_2$
Restschuld nach dem 2. Jahr

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> ''' Hinweise ''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
*Der Zinsanteil errechnet sich immer mithilfe der Schuld aus dem Vorjahr:
$$ ZA_1=\textrm{Schuld}\cdot \frac{i}{100} $$
* Am Ende eines Tilgungsplanes sollte ganz rechts unten bei der letzten Restschuld natürlich eine 0 stehen (vorausgesetzt die ganze Schuld wird zurückbezahlt).
* '''Vorteile des Tilgungsplans sind:'''
:* Der Tilgungsplan ermöglicht einen schönen Überblck über alle Zahlungen.
:* Die einzelnen Werte können Schritt für Schritt ausgerechnet werden.

</div>

</div>

=== Musterbeispiel Tilgungsplan ===

Peter hat einen nachschüssigen Kredit von 100 € bei einer Verzinsung von 1 % p.a. aufgenommen. Er zahlt jährlich € 10 zurück. Erstelle einen Tilgungsplan!

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''1. Schritt: Beginn des Tilgungsplans''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Die Anfangsschuld ist € 100.
* Die Anniuität ist konstant € 10.
* $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1 $.
* $TA_1=A_1-ZA_1=9$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
* Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_1=100-9=91$

Damit erstellen wir nun die ersten zwei Zeilen des Tilgungsplanes:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $100\cdot \frac{1}{100}=1$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$</p>
| align="center" |$10-1=9$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $TA=A-ZA$ </p>
| align="center" |$10$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $A=TA+ZA$ </p>
| align="center" |$100-9=91$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$ </p>

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''2. Schritt: Fortsetzung des Tilgungsplans ''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Für das 2. Jahr des Tilgungsplans, nimmt man nun aus Ausgangswert die obere Zeile:

* Die alte Restschuld beträgt € 91.
* Die Anniuität ist konstant € 10.
* $ZA_2=91\cdot \frac{1}{100}=0.91 $.
* $TA_2=A_2-ZA_2=9.09$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
* Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_2=91-9.09=81.91$

Dies setzt man nun in den Tilgungsplan ein:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $100\cdot \frac{1}{100}=1$
| align="center" |$10-1=9$
| align="center" |$10$
| align="center" |$100-9=91$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $91\cdot \frac{1}{100}=0.91$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$</p>
| align="center" |$10-0.91=9.09$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $TA=A-ZA$ </p>
| align="center" |$10$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $A=TA+ZA$ </p>
| align="center" |$91-9.09=81.91$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$ </p>

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''3. Schritt: Vollständiger Tilgungsplan''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $100\cdot \frac{1}{100}=1$
| align="center" |$10-1=9$
| align="center" |$10$
| align="center" |$100-9=91$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $0.91$
| align="center" |$9.09$
| align="center" |$10$
| align="center" |$81.91$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $0.82$
| align="center" |$9.18$
| align="center" |$10$
| align="center" |$72.73$

|-
| align="center" | 4
| align="center" | $0.73$
| align="center" |$9.27$
| align="center" |$10$
| align="center" |$63.46$

|-
| align="center" | 5
| align="center" | $0.63$
| align="center" |$9.37$
| align="center" |$10$
| align="center" |$54.09$

|-
| align="center" | 6
| align="center" | $0.54$
| align="center" |$9.46$
| align="center" |$10$
| align="center" |$44.63$

|-
| align="center" | 7
| align="center" | $0.45$
| align="center" |$9.55$
| align="center" |$10$
| align="center" |$35.08$

|-
| align="center" | 8
| align="center" | $0.35$
| align="center" |$9.65$
| align="center" |$10$
| align="center" |$25.43$

|-
| align="center" | 9
| align="center" | $0.25$
| align="center" |$9.75$
| align="center" |$10$
| align="center" |$15.68$

|-
| align="center" | 10
| align="center" | $0.16$
| align="center" |$9.84$
| align="center" |$10$
| align="center" |<span style="background-color:yellow"> '''$5.84$''' </span>

|-
| align="center" | 11
| align="center" | $0.06$
| align="center" | <span style="background-color:yellow"> '''$5.84$''' </span>
Die Restschuld von 5.84 wird getilgt.
| align="center" |'''$5.90$'''
$A=ZA+TA$
| align="center" |$0$

|}

'''Achtung!'''
Bei der 11. Zahlung muss nur noch eine Schuld von 5.84 (gelb unterlegt!) getilgt werden. Aus diesem Grund beträgt der Tilgungsanteil € 5.84!
Die Annuität beträgt dann nicht mehr € 10 (sonst würden wir ja zuviel zurückzahlen) sondern nur noch
$$ A = \textrm{Höhe des Tilgungsanteiles} + \textrm{die Höhe der Zinsen} $$
$$ A= 5.84+0.06 $$
$$A= 5.90$$

</div>

</div>

</div>

</div>

Weitere Beispiele findest du im 3. Klasse Buch (Trauner) auf den Seiten 174ff....

== Annuitätenschuld - Annuität bleibt konstant ==

Bei einer Anniutätenschuld bleibt die Höhe der Annuität (Betrag der regelmäßig eingezahlt wird) konstant. Somit handelt es sich bei der Annuitätenschuld um eine [[Rentenrechnung | Rente]], da
* ein konstanter Betrag (=Annuität)
* in konstanten Zeitabständen
eingezahlt wird.
Wichtig:
# Die Annuität entspricht dabei der Rate R.
# Die Schuld entspricht dem Barwert B (Wert aller Zahlungen am Beginn = Anfangsschuld)

Somit benötigt man bei der Annuitätenschuld die [[Rentenrechnung#Formeln | Formeln für den Barwert]].

=== Musterbeispiele Annuitätenschuld ===

----

==== Beispiel für jährliche Zahlungen ====
Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 gleich hohen, jährlichen Raten bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Rate ist am Ende des 1. Jahres fällig.

a) Berechne die Höhe der Raten.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

c) Begründe, warum der Tilgungsanteil von Jahr zu Jahr größer wird.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* B=10.000
* n=5
* i=4 % p.a. $\rightarrow$ r=1.04 $\rightarrow$ $v=\frac{1}{r}=0.9615$
* nachschüssig

$$ B=R\cdot v\cdot \frac{v^5-1}{v-1} $$
$$ 10.000 = R\cdot 0.95238\cdot \frac{0.95238^5-1}{0.95238-1} $$
$$ \underline{\underline{R= 2246.27}} $$

A: Die Höhe der Annuität (=Rate) beträgt € 2246.27.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Die Anzahl der Jahre ist 5 $\rightarrow$ somit brauchen wir 6 Zeilen (von 0 bis 5).
* Die Annuität A ist konstant € 2246.27. Somit kann in der Spalte Annuität für alle 5 Jahre 2246.27 eingesetzt werden.
* Anfangsschuld = 10.000

Somit kann man bereits die Rohform des Tilgungsplanes erstellen:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 2
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 3
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 4
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 5
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|}

Nun berechnen wir von links nach rechts und von oben nach unden die einzelnen Werte:

* $i=4$ % $\rightarrow$ $ZA_1=10.000\cdot \frac{4}{100} =400$
* $TA_1=A_1-ZA_1 = 2246,27-400 = 1846.27$
* $RS_1=10.000-1846.27=8153.73$
* usw.

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $400$
| align="center" |$1846.272$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$
8153.73$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $326.15$
| align="center" |$1920.12$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$6233,61$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $249.34$
| align="center" |$1996.93$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$4236,68$

|-
| align="center" | 4
| align="center" | $169.47$
| align="center" |$2076.80$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$2159.88$

|-
| align="center" | 5
| align="center" | $86.40$
| align="center" |$2159.87$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$
0.01$

|}

'''Achtung!''' Die Restschuld im 5. Jahr (=0.01) ist aufgrund der Rundungen, die wir durchgeführt haben nicht genau 0.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung von c) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Weil die Schuld von Jahr zu Jahr abnimmt, wird der Zinsanteil ebenfalls immer kleiner. Da die Annuität konstant bleibt, wird deshalb der Tilgungsanteil immer größer (Erinnerung: Tilgungsanteil ist $TA=A-ZA$ ist).

</div>

</div>

</div>

</div>

==== Beispiel: Monatliche Zahlungen ====
Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch gleich hohe, monatliche Zahlunge bei i=4% p.a. zu tilgen.

a) Berechne die Höhe der Raten.

b) Stelle den Tilgungsplan für die ersten 3 Monate auf und berechne damit die Restschuld nach 3 Monaten.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* R=?
* B=10.000
* n=$5\cdot 12=60$
* i=4 % p.a. $\rightarrow$ r=1.04 $\rightarrow$ $r_{12}=\sqrt[12]{1.04}=1.00327$ $\rightarrow$ $v_{12}=\frac{1}{r_{12}}=0.9967$
!!'''Achtung'''!! Bei unterjährien Einzahlungen (z.B. monatliche) muss der [[Zins- und Zinseszinsrechnung#b) der konforme (äquivalente) Zinssatz|konforme Zinssatz]] berechnet werden!!
* nachschüssig

$$ B=R\cdot v_{12}\cdot \frac{v_{12}^{60}-1}{v_{12}-1} $$
$$ \underline{\underline{R=184.17}}$$

A: Die monatliche Annuität beträgt € 184.17.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Da $r_{12}=1.00327$ (siehe a) beträgt der Monatszinssatz $i_{12}=0.327$ % p.m.
* Die Annuität ist konstant 284.17 (siehe a)
* Anfangsschuld = 10.000

Somit kann der Tilgungsplan aufgestellt werden:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Monat
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $32,70$
| align="center" | $251,47$
| align="center" |$284,17$
| align="center" | $9748,53$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $31,88$
| align="center" |$252,29$
| align="center" |$284,17$
| align="center" |$9496,24$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $31,05$
| align="center" | $253,12$
| align="center" |$284,17$
| align="center" | $9243,12$

|}

A: Nach 3 Monaten beträgt die Restschuld noch € 9243,12.

</div>

</div>

</div>

</div>

<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>

== Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant ==

Bei einer Ratenschuld bleit der Tilgungsanteil TA immer gleich groß, wodruch die Schuld sich immer um denselben Wert verringert.

Es gilt
{| border="1" align="center"
|-
| $$TA=\frac{\textrm{Schuld}}{n}$$
|}

'''Begründung''': Da die ganze Schuld durch n Zahlungen zurückgezahlt wird, muss jedes Mal ein "n-tel" der Gesamtschuld getilgt werden.

=== Musterbeispiel Ratenschuld ===

Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch gleich hohe Tilgungsanteile bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Rate ist am Ende des 1. Jahres fällig.

a) Berechne die Höhe des Tilgungsanteiles.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

c) Begründe, warum die Annuität von Jahr zu Jahr kleiner wird.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

$$ TA=\frac{\textrm{Schuld}}{n}=\frac{10.000}{5}$$
$$ \underline{\underline{TA=2.000}}$$

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* i=4%
* TA=2000 für alle 5 Jahre
* Anfangsschuld = 10.000

Somit setzen wir alles ein, was wir schon wissen:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS

|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" |
| align="center" | 2.000
| align="center" |
| align="center" | 8.000
<p style="color:darkred"> $10.000-2.000$ </p>

|-
| align="center" | 2
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |6.000

|-
| align="center" | 3
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |4.000

|-
| align="center" | 4
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |2.000

|-
| align="center" | 5
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |0

|}

Nun können alle weiteren Beträge (Zinsen und Annuitäten) berechnet und eingesetzt werden:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | 400
<p style="color:darkred"> $ZA_1=10.000\cdot 0.04$ </p>
| align="center" | 2.000
| align="center" | 2.400
<p style="color:darkred"> $A_1=ZA_1+TA_1$</p>
| align="center" | 8.000

|-
| align="center" | 2
| align="center" | 320
| align="center" |2.000
| align="center" | 2.320
| align="center" |6.000

|-
| align="center" | 3
| align="center" | 240
| align="center" |2.000
| align="center" | 2.240
| align="center" |4.000

|-
| align="center" | 4
| align="center" | 160
| align="center" |2.000
| align="center" | 2160
| align="center" |2.000

|-
| align="center" | 5
| align="center" | 80
| align="center" |2.000
| align="center" |2.080
| align="center" |0

|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für c) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Da der Zinsanteil immer kleiner wird (die Schuld verringert sich!), der Tilgungsanteil aber konstant bleibt, muss folglich die Annuität ebenfalls kleiner werden, da gilt:
$$ \textrm{Annuität = Zinsanteil + Tilgungsanteil} $$

</div>

</div>

</div>

</div>

<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
== Zinsenschuld - nur die Zinsen werden beglichen ==

Hier wird während der gesamten Laufzeit nichts vom Kreditgetilgt (d.h. TA=0), sondern nur die Zinsen bezahlt. Erst am Ende der Laufzeit wird die ganze Schuld durch eine Einmalzahlung beglichen.

=== Musterbeispiel Zinsenschuld ===

Eine Zinsschuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Annuität ist am Ende des 1. Jahres fällig.

a) Berechne die Höhe der Zinsanteile.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* i=4%
* Anfangsschuld = 10.000

Somit beträgt der Zinsanteil konstant
$$ZA= 10.000\cdot 0.04=400$$.

Nun setzen wir alle Zinsanteile und Restschulden in den Tilgungsplan ein und berechnen zusätzlich noch die Annuitäten:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS

|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | 400
| align="center" | 0
| align="center" | 400
<p style="color:darkred"> $A_1=ZA_1+TA_1=400+0$ </p>
| align="center" | 10.000

|-
| align="center" | 2
| align="center" |400
| align="center" |0
| align="center" | 400
| align="center" |10.000

|-
| align="center" | 3
| align="center" |400
| align="center" |0
| align="center" | 400
| align="center" |10.000

|-
| align="center" | 4
| align="center" | 400
| align="center" |0
| align="center" | 400
| align="center" |<span style="background-color:yellow"> 10.000</span>

|-
| align="center" | 5
| align="center" | 400
| align="center" |<span style="background-color:yellow"> 10.000</span>
| align="center" |10.400
| align="center" |0

|}

</div>

</div>

<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>

== Online-Materialien und Übungsbeispiele ==
* 3. Klasse-Buch (Trauner): S. 181-182
* [http://fbmathe.bbs-bingen.de/Tilgungsrechnung/Aufgaben_Tilgungsrechnung.htm Beispiele und Lösungen von Ansgar Schiffler]
* <span style="background-color:yellow"> Wichtig! </span> [http://www.geogebratube.org/student/m108662 Online-Rechner zu Schuldentilgung und Tilgungsplan]
* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=198&file=Wohnungsrenovierung.pdf Wohnungsrenovierung(Bifie-Aufgabe) ]
: siehe auch
::* [[Rentenrechnung | Rentenrechnung]]
::* [[Zins- und Zinseszinsrechnung#b) der konforme (äquivalente) Zinssatz | konformer Zinssatz]]
* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=91&file=Immobilienhandel.pdf Immobielienhandel (Bifie-Aufgabe)]
: siehe auch
::* [[Äquivalenzprinzip (Vergleich von Einzahlungen) | Äquivalenzprinzip]]
::* [[Rentenrechnung | Rentenrechnung]]

[[Kategorie:Finanzmathematik]]

Diskussion:Schuldentilgung

2014-05-07T08:01:37Z

83.65.137.66: Die Seite wurde neu angelegt: „Fehlendes Übungsbsp: - Wenn unterschiedliche Annuitäten gegeben sind - Wenn Zins/Annuität sich ändert während der Laufzeit“

Fehlendes Übungsbsp:
- Wenn unterschiedliche Annuitäten gegeben sind
- Wenn Zins/Annuität sich ändert während der Laufzeit

Theorie Zahlenmengen (1.1.)

2014-05-05T12:48:10Z

83.65.137.66: /* die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ */

= Theorie =

[[Datei:ZahlenmengenI.png|thumb|500px|right|Zahlenmengen]]

Was unterscheidet 2, -8, 3.5 oder $\sqrt{7}$?

Es sind alles Zahlen. Allerdings sind sie unterschiedlich.

*Einerseits ist ihr Wert unterschiedlich (2 ≠ -8 ≠ 3.5 ≠ $ \sqrt{7} $).
*Andererseits gehören die Zahlen unterschiedlichen '''Zahlenmengen''' an.
<br>
Folgenden Zahlenmengen wirst du in der Schule und im Studium begegnen:
<br>
<br>

== die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ ==

{| border ="1"
| '''Definition:'''

|<p style="background-color:#E0E0E0"> Die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ sind die Zahlenmenge $\mathbb{N}$ ={0,1,2,3,.....} </p>
|}

Sie sind "''abgeschlossen''" bezüglich der Addition. Das heißt, wenn man zwei natürliche Zahlen addiert, so landet man wieder bei einer natürlichen Zahl.

'''Beispiel:''' $ 7+15=22 $

Sowohl die beiden [[Summe|Summanden]] links, als auch die [[Summe]] rechts sind natürliche Zahlen. Es ist nicht möglich, zwei natürliche Zahlen zu addieren und dabei eine "nicht-natürliche" Zahl zu erhalten.
<br>
<br>
<br>

== die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ ==
{| border ="1"
| '''Definition:'''

|<p style="background-color:#E0E0E0"> Die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ sind die Zahlenmenge $\mathbb{Z}$ ={...,-3,-2,-1,0,1,2,3,.....}. </p>
|}

Beachte, dass jede natürliche Zahl auch eine ganze Zahl ist! Um auf die ganzen Zahlen zu kommen, fügt man den natürlichen Zahlen eifnach alle negativen ganzen Zahlen hinzu.

$\mathbb{Z}$ ist "''abgeschlossen''" bezüglich der Addition '''und der Subtraktion'''.

'''Beispiele'''
* $-3+7=4$
*$ -8-17=-25$

Was ist nun aber, wenn man zwei ganze Zahlen dividiert?
Beispiel:
$$ -2:4= \frac{-2}{4}=-\frac{1}{2} $$
Die Zahl$ -\frac{1}{2} $ ist ein Bruch und sicherlich keine ganze Zahl mehr. Hier sind wir in der nächsten Zahlenmenge gelandet:

Deshalb fügt man nun zu den ganzen Zahlen alle Brüche hinzu und erhält.
<br>
<br>
<br>

== die rationalen Zahlen $\mathbb{Q} $ ==

{| border ="1"
| '''Definition:'''

|<p style="background-color:#E0E0E0"> Zu den rationalen Zahlen gehören alle Brüche mit [[Bruch|Zähler]] und [[Bruch | Nenner]] aus den ganzen Zahlen, wobei im Nenner natürlich keine 0 stehen darf. Formal kann man das folgendermaßen schreiben: $$ \mathbb{Q} = \left\{ \frac{a}{b} | a,b \in \mathbb{Z}, b \neq 0\right\} $$ </p>
|}

Da man jeden Bruch in eine endliche oder unendlich periodische Dezimalzahl verwandeln kann, indem man Zähler mit Nenner dividiert, gehören zu '''$\mathbb{Q} $ auch alle endlichen ODER unendlich periodischen Dezimalzahlen'''

Beispiel: $$ \frac{1}{3}=0.333333...$$
oder
$$ \frac{1}{5}=1:5=0.2 $$

Nun gibt es aber noch Dezimalzahlen, die unendlich lang, aber niemals periodisch sind, diese liegen außerhalb von $\mathbb{Q} $ und heißen die ''irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$''
<br>
<br>
<br>

== die irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$ ==

{| border ="1"
| '''Definition:'''

|<p style="background-color:#E0E0E0"> Zu den irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$ gehören alle Dezimalzahlen, die '''undendlich lang UND niemals periodisch''' sind </p>
|}

'''Beispiele:'''
* $0,1001000100001....$ (immer eine 0 mehr)
* $\pi =3.14159.... $
* $e =2.718...$, die [[eulersche Zahl e|eulersche Zahl]]
* $\sqrt{2}=1.414...$ (und alle weiteren Wurzeln von [[Primzahlen]]).
<br>
<br>
<br>

== die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ ==
[[Datei:Qundi.gif|right|$\mathbb{Q}$ und $\mathbb{I}$=$\mathbb{R}$]]

Fasst man nun alle Dezimahlzahlen zusammen, die
# endlichen oder unendlich periodischen und die
# unendlichen aber niemals periodischen
so erhält man die reellen Zahlen

{| border ="1"
| '''Definition:'''

|<p style="background-color:#E0E0E0"> $$ \mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I} $$
Vereinfacht gesagt: $ \mathbb{R}= $ alle Dezimalzahlen.</p>
|}

<br>
<br>
<br>

== die imaginären Zahlen ==

<span style="background-color:yellow"> Stoff der 2. Klasse </span>

Während in den reellen Zahlen $\mathbb{R}$ addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert werden kann, kann man aber NICHT die '''Wurzel aus negativen Zahlen berechnen'''.

'''Beispiel''':
$ \sqrt{-1} $

Aus diesem Grund erweitert man die reellen Zahlen mit allen negativen Wurzeln und nennt

{| border ="1"
| '''Definition:'''

|<p style="background-color:#E0E0E0">
\begin{align} \textrm{die imaginären Zahlen} &=& \textrm{die Menge der negativen Wurzeln} \\
&=&\left\{ \sqrt{-b}\; | b\in \mathbb{R^{+}}\right\}\end{align} </p>
|}

'''Weitere Beispiele:'''
* $ \sqrt{-1}=i$
* $ \sqrt{-4}=4i\ \ $ (weil $\sqrt{4\cdot (-1)}= \sqrt{4}\cdot \sqrt{-1}=2\cdot i $)

Imaginäre Zahlen treten bei den [[Quadratische Gleichungen (2.7.)| quadratischen Gleichungen]] auf, wenn die entsprechende [[Parabel]] keine [[Nullstelle]] hat.
<br>
<br>
<br>

== die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ ==

[[Datei:RundIm.png|right|$\mathbb{R}$ und die Imaginären Zahlen $=\mathbb{C}$]]
Die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ erhält man, wenn man die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ und die imaginären Zahlen zusammenfügt.

{| border ="1"
| '''Definition:'''

|<p style="background-color:#E0E0E0">
$$ \mathbb{C} = \mathbb{R} \cup \textrm{imaginäre Zahlen}$$ </p>
|}

Setzt man also eine reelle Zahl (z.B. 5) und eine imaginäre Zahl (z.B. 7i) zusammen, so erhält man die komplexe Zahl $$5+7i$$

'''Beispiele'''
* <span style="background-color:yellow"> 2 </span> + <span style="background-color:#EEA9B8"> 3i </span>
(jede komplexe Zahl besteht aus einer reellen Zahl, dem sogenannten <span style="background-color:yellow"> Realteil </span> (hier: 2) und einer imaginären Zahl (hier 3i), wobei 3 der sogennante <span style="background-color:#EEA9B8"> Imaginärteil </span> ist.
* -9+18i (Realteil=-9 und Imaginärteil=18)
* 4 $\ \ $ (hier ist der Imaginärteil 0)
* 8i $\ \ $(hier ist der Realteil 0)

<br>
<br>
<br>

= Beispiele Zahlenmengen (1.1.) =

==a) Zuordnung==
[[Datei:Zuordnung.png]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Zuordnung-Lösung.png]]
</div>
</div>

[[Kategorie: Zahlen und Maße]]