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Trigonometrie (2.12 und 3.10)

2014-07-25T09:58:18Z

80.121.131.229: /* Das allgemeine Dreieck */

In der Trigonometrie beschäftigen wir uns mit Dreiecken (tri-gono-metrie = drei-ecks-messung)

Die folgende Seite ist in 5 Theorieabschnitte gegliedert, die das Lernen erleichtern sollen:
# [[#Grundwissen - Das rechtwinklige Dreieck | Grundwissen - Das rechtwinklige Dreieck]]: Hier lernst du die Grundbegriffe und Grundrechnungen kennen.
# [[#Vertiefung: Betrachtungen im Einheitskreis | Vertiefung: Betrachtungen im Einheitskreis]]: In diesem Abschnitt lernst du das Bogenmaß und den Einheitskreis kennen.
# [[#Trigonometrische Funktionen | Trigonometrische Funktionen]]: Hier lernst du die typischen Graphen der Sinus-, Cosinus und Tangensfunktion kennen.
# [[#Das allgemeine Dreieck | Das allgemeine Dreieck]], indem du lernst, in Dreiecken, die keinen rechten Winkel haben, zu rechnen.
# [[#Vermessungsaufgaben | Vermessungsaufgaben]], in denen du das Gelernte in Anwendungsbeispielen verwenden kannst.

Die letzten beiden Kapitel bestehen aus einer [[#Zusammenfassung der wichtigsten Formeln im rechtwinkligen und im allgemeinen Dreieck | Zusammenfassung der hier verwendeten Formeln]] und [[#Matura-Aufgaben | Matura-Aufgaben]]

== Grundwissen - Das rechtwinklige Dreieck ==

=== Begriffe ===
[[Datei:RechtwDreieck.png|thumb|right|350px|rechtwinkliges Dreieck]]

Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck (= Dreieck mit einem 90°-Winkel).

* Die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck heißt '''Hypotenuse'''. Sie ist '''IMMER gegenüber vom dem rechten Winkel'''.
* Die beiden kürzere Seiten heißen '''Katheten'''. Ausgehend vom Winkel $\beta$ (siehe Skizze) können die beiden Katheten folgendermaßen unterschieden werden:
: * die <span style="background-color:#FF6347"> Gegenkathete GK </span> liegt $\beta$ gegenüber
: * die <span style="background-color:#6495ED"> Ankathete AK </span> liegt an $\beta$ an.
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=== Sinus, Cosinus und Tangens ===

{| border ="1"

| '''Definition'''

|<p style="background-color:#E0E0E0">

{|
|
* Der Sinus eines Winkels $\alpha$ ist definiert als das Verhältnis von GK zu H
|$\ \ \ \mathbf{sin\ \alpha = \frac{GK}{H}}$
|-
|
* Der Cosinus eines Winkels $\alpha$ ist definiert als das Verhältnis von AK zu H
|$\ \ \ \mathbf{cos\ \alpha = \frac{AK}{H}}$
|-
|
* Der Tangens eines Winkels $\alpha$ ist definiert als das Verhältnis von GK zu AK
|$\ \ \ \mathbf{tan\ \alpha = \frac{GK}{AK}}$
|}
</p>
|}

[[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]]
Das Besondere ist, dass diese Verhältnisse nur vom Winkel abhängen, nicht aber von der Größe des Dreiecks! Dies kannst du in
:[http://www.geogebratube.org/student/m133029 diesem Arbeitsblatt überprüfen].

{|
|-
| <span style="background-color:#00FFFF"> '''Wichtig:''' </span> Sinus, Cosinus und Tangens gelten nur im '''rechtwinkligen Dreieck'''!
|}

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=== Steigung und Steigungswinkel ===
[[Datei:Steigung11.png|thumb|right|450px|Steigung und Steigungswinkel]]
Aus dem Kapitel [[Lineare Funktionen]] wissen wir bereits, dass $k=\frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied}$ die Steigung angibt. Betrachtet man die folgende Skizze, so kann folgender Zusammenhang festgestellt werden:

$$k=\frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied}=\frac{GK}{AK}=\tan \alpha$$
Somit erhalten wir die Formel:

{| style="color:red;" cellpadding="10" border="1" align="center"
| $$k=\tan \alpha$$
|}

Mit dieser Formel kann nun einfach zwischen der (prozentuellen) Steigung und dem Steigungswinkel gewechselt werden:
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<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Musterbeispiel''' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Eine 10 m lange Rampe legt einen Höhenunterschied von 1.4 m zurück.
- Fertigen Sie eine Skizze und zeichnen Sie die angegebenen Größen ein.

- Bestimmen Sie
* a) den Steigungswinkel
* b) die prozentuelle Steigung

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Steigungsbsp.png|thumb|right|400px|Skizze der Rampe]]
a) Berechnung des Steigungswinkels:

$\sin\ \alpha° = \frac{GK}{H}=\frac{1.4}{10}$ |[[Arkusfunktionen | im TR: $sin^{-1}$]]

$\alpha = 8.05°$

b) Mithilfe der Formel $k=\tan\ \alpha$ können wir die prozentuelle Steigung auch ohne den Längenunterschied (in der Skizze die blaue Strecke) berechnen:
$$k=\ tan\ \alpha$$
$$k=\tan \ 8.05°$$
$$k=0.14=14 \ \%$$
A: Die Steigung beträgt 14 %.

</div>

</div>

</div>

</div>

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=== Übungen im Rechtwinkligen Dreieck ===

* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: [http://www.mathe-online.at/tests/wfun/defWfun.html Online-Übung zur Überprüfung, ob die richtige Formel verwendet wurde]

* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: [http://www.realmath.de/Neues/10zwo/trigo/winkelfunktionen2.html Weitere Übung zur Überprüfung der Formel]

* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: [http://www.realmath.de/Neues/10zwo/trigo/winkelfunktionen.html Und noch eine Übung dazu]

* [http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/rechtw.htm Rechenbeispiele von Jutta Gut (mit Lösungen)]

* [http://matura.marienberg.at/images/0/04/Aufgaben_zu_den_Themen_rechtw_Dreieck_und_Einheitskreis.pdf Aufgabenblatt mit Textaufgaben samt Lösungen]

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== Vertiefung: Betrachtungen im Einheitskreis ==
=== Gradmaß und Bogenmaß im Einheitskreis ===

[[Datei:Winkel- und Bogenmaß1.png|thumb|right|500px|Einheitskreis mit Winkel in Grad- und Bogenmaß]]

Der '''Einheitskreis''' ist ein Kreis mit Radius r=1. Sein Umfang beträgt
$$U=2\cdot r\cdot \pi=2\cdot 1\cdot \pi=2\pi$$

Legt man durch den Mittelpunkt des Einheitskreises das Koordinatensystem, so kann man den Winkel zwischen der positiven x-Achse und einem beliebig eingezeichneten Radius auf zwei Arten bestimmen:

'''1) Gradmaß (abgekürzt mit °)'''

So haben wir bis jetzt immer Winkel gemessen.

* Eine volle Umdrehung hat 360°
* Eine halbe Umdrehung hat 180°

'''2) Bogenmaß (abgekürzt $rad$ für engl. radian)'''

Anstelle der Grad kann auch die Länge des Kreisbogens r (siehe Skizze) bestimmt werden.

* Bei einer vollen Umdrehung hat r die Länge $2\cdot \pi$ (=Umfang des Einheitskreises, siehe oben). Somit beträgt der Winkel $2\pi\ rad$.
* Eine halbe Umdrehung entspricht dem Winkel $\pi$ rad.

[[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]]: Hier findest du ein
[http://www.geogebratube.org/student/m133394 Arbeitsblatt, das dir den Zusammenhang besser erklärt].

{| border="1"
|'''Merke:'''
|
{|
| Die Umrechnung von Grad- in Bogenmaß (und umgekehrt) funktioniert am einfachsten mit einer Schlussrechnung:
|-
| $$ 360°\ \ \ - \ \ \ 2\pi \textrm{ rad}$$
$$ \alpha°\ \ \ - \ \ \ \alpha \textrm{ rad}$$
Wobei entweder $\alpha°$ (der Winkel in Gradmaß) oder $\alpha$ rad (der Winkel in Gradmaß) gegeben ist.
|}
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Musterbeispiel''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
a) Wandeln Sie den Winkel $\alpha=90°$ in Bogenmaß um.

b) Wandeln Sie den Winkel $\alpha=\frac{\pi}{3}$ rad in Gradmaß um.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

a) Grad- in Bogenmaß:
$$ 360°\ \ \ - \ \ \ 2\pi \textrm{ rad}$$
$$ \textbf{90°}\ \ \ - \ \ \ \alpha \textrm{ rad}$$
$$\rightarrow \ \alpha \textrm{ rad}=\frac{90\cdot 2\pi}{360}=\frac{\pi}{2} \textrm{ rad}$$

A: 90° entsprechen in Bogenmaß $\frac{\pi}{2} \textrm{ rad}$

b) Bogen- in Gradmaß:
$$ 360°\ \ \ - \ \ \ 2\pi \textrm{ rad}$$
$$ \alpha°\ \ \ - \ \ \ \mathbf{\frac{\pi}{3} \textrm{ rad}}$$
$$\rightarrow \ \alpha°=\frac{360\cdot \frac{\pi}{3}}{2\pi}=60°$$

A: $\frac{\pi}{3}$ rad entsprechen 60°
</div>

</div>

</div>

</div>

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=== Sinus, Cosinus und Tangens im Einheitskreis ===

====Theorie====
Sinus, Cosinus und Tangens können folgendermaßen aus dem Einheitskreis abgelesen werden:

[[Datei:Sinus und Kosinus und Tangens im Einheitskreis1.png|thumb|right|500px|Sinus, Cosinus und Tangens im Einheitskreis]]

* Der Sinus entspricht der Länge der rot markierten Stecke = y-Koordinate des Punktes auf dem Einheitskreis.

* Der Cosinus entspricht der Länge der blau markierten Stecke = x-Koordinate des Punktes auf dem Einheitskreis.

* Der Tangens entspricht der Länge des [[Tangente | Tangentenabschnittes]] der Tangente durch den Punkt (1,0).

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Begründung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

'''für den Sinus:'''
Betrachte das rechtwinklige Dreieck im Einheitskreis. Die Hypotenuse ist der Radius und hat somit die Länge 1. Die Länge der $\color{red}{\textrm{roten Strecke}}$ ist von $\alpha$ aus gesehen die Gegenkathete GK.

Zu zeigen ist nun:
$$\sin \ \alpha=\color{red}{\textrm{rote Strecke}}$$

'''Beweis:'''
$$\sin\ \alpha=\frac{GK}{H}=\frac{\color{red}{\textrm{rote Strecke}}}{1}=\color{red}{\textrm{rote Strecke}}$$
Somit gilt:
$$\sin\ \alpha=\color{red}{\textrm{rote Strecke}}$$

Der Beweis für den Cosinus funktioniert analog. Für den Tangens muss das große Dreieck mit AK=1 betrachtet werden.

</div>

</div>

[[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]]: Mit dem folgenden [http://www.geogebratube.org/student/m133494 Arbeitsblatt] kannst du dein Verständnis vertiefen.

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====Wichtige Werte====
Die folgende Tabelle gibt Werte für Sinus, Cosinus und Tangens an, die du nun auch ohne technische Unterstützung, allein durch die Vorstellung vom Einheitskreis, wissen solltest. Das [http://www.geogebratube.org/student/m133494 obige Arbeitsblatt] sollte dir dabei helfen:

{| border="1" align="center"
|
| Sinus
| Cosinus
| Tangens
|-
| Gradmaß: 90°
Bogenmaß:$\frac{\pi}{2}$ rad
| 1
| 0
| nicht definiert
|-
| 180°
$\pi$ rad
| 0
| -1
| 0
|-
| 270°
$\frac{3\pi}{2}$ rad
| -1
| 0
| nicht definiert
|-
| 0° und 360°
0 rad und $2\pi$ rad
| 0
| 1
| 0
|}

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== Trigonometrische Funktionen ==

[[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]]: Öffne das folgende [http://www.geogebratube.org/student/m133564 Arbeitsblatt]. Hier findest du heraus, wie man mithilfe des Einheitskreises auf die unten abgebildten Graphen der Sinus-, Cosius und Tangensfunktion kommt.

=== Sinusfunktion $f(x)=\sin \ x$ ===

Stellt man den Sinus in Abhängigkeit vom Winkel graphisch dar, indem man auf der x-Achse den Winkel in Bogenmaß und auf der y-Achse den zugehörigen Sinuswert angibt, so entsteht der folgende Graph:

[[Datei:Sinusfunktion.png|thumb|center|700px|Graph der Sinusfunktion mit Kennzeichnung der Periodenlänge von $2\pi$]]

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===Cosinusfunktion $f(x)=\cos \ x$ ===
Der Graph der Cosinusfunktion hat die folgende Form:

[[Datei:Cosfunktion.png|thumb|center|700px|Graph der Cosinusfunktion mit Kennzeichnung der Periodenlänge von $2\pi$]]

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===Tangensfunktion $f(x)=\tan\ x$ ===
Der Graph der Tangensfunktion hat die folgende Form:

[[Datei:Tangensfkt1.png|thumb|center|700px|Graph der Tangensfunktion samt den asymptoten (rot) und der Kennzeichnung der Periodenlänge von $\pi$]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Besondere Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

# Periodizität: Die Werte der Trigonometrischen Funktionen wiederholen sich in regelmäßigen Abständen.
# Beschränktheit: Sinus- und Cosinusfunktion haben die [[Wertemenge]] $W=[-1;1]$. Anders formuliert: es gilt für alle x: $$|sin(x)|\leq 1$$ und $$|cos(x)|\leq 1 $$ (Hinweis: Hier wurde der [[Betrag einer Zahl (1.6.) | Betrag]] verwendet.)
# Der Tangens ist unbeschränkt (geht nach $-\infty$ und $+\infty$) und hat unendlich viele vertikale Asymptoten im Abstand von $\frac{\pi}{2}$.
# Wichtige Funktionswerte (Nullstellen, Hoch- und Tiefpunkte) können bereits aus der [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)#Wichtige Werte | Tabelle zum Einheitskreis]] herausgelesen werden.
</div>

</div>
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== Das allgemeine Dreieck ==

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> <span style="background-color:yellow"> Zusatz: </span> Dieser eingeklappte Abschnitt ist kein Kernstoff zur Matura. Allerdings helfen dir die hier beschriebenen Formeln, gewisse Beispiele schneller und einfacher zu berechnen. </span>

<div class="mw-collapsible-content">

[[Datei:AllgDreieck.png|thumb|right|400px|allgemeines Dreieck]]

Unter allgemeinen Dreiecken versteht man Dreiecke, die nicht über einen rechten Winkel verfügen müssen.

Ohne rechten Winkel können wir die [[#Grundwissen - Das rechtwinklige Dreieck | Formeln für Sinus, Cosinus und Tangens]] nicht verwenden. Aus diesem Grund führen wir nun neue Formeln ein:

a) den Sinussatz

b) den Cosinussatz und

c) die allgemeinen Flächenformeln

Im allgemeinen Dreieck braucht man immer 3 bekannte Größen, um eine vierte zu berechnen! (Im rechtwinkligen Dreieck reichten uns dank dem rechten Winkel zwei zusätzlich Größen, um eine weitere zu berechnen).

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=== Sinussatz ===
{| align="right"
|{{#ev:youtube|Mvm69Wj8doo}}
|}
Der Sinussatz wird verwendet, wenn im allgemeinen Dreieck

1. eine Seite '''und'''

2. der gegenüberliegende Winkel '''und'''

3. irgend eine andere Seite oder ein anderer Winkel bekannt sind.

{| style="color:red;" border="1" align="center"
| '''Formel für den Sinussatz'''
|-
| $$\frac{\sin\ \alpha}{a}=\frac{\sin\ \beta}{b}=\frac{\sin\ \gamma}{c}$$
|}

Das Video auf der rechten Seite zeigt dir auf musikalische Art und Weise die Herleigung des Sinussatzes:

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<br>

=== Cosinussatz ===

{| style="color:red;" border="1" align="center"
!| Formeln für den Cosinussatz
|-
|
*$ a^2=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot \cos\ \alpha$
* $b^2=a^2+c^2-2\cdot a\cdot c\cdot \cos\ \beta$
* $c^2=a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot \cos\ \gamma$
|}

Der Cosinussatz wird verwendet, wenn im allgemeinen Dreieck:

: a) 2 Seiten und der darin eingeschlossene Winkel gegeben ist '''oder'''

: b) alle drei Seiten gegeben sind und ein Winkel berechnet werden will.

{| border="1" align="center"
!| Voraussetzungen, um den Cosinussatz zu verwenden.

:: <span style="color:red"> gegebene Größen </span>
:: <span style="color:blue"> berechenbare Größen </span>
|-
|
{| align="center"
| [[Datei:Cosinussatz2.png|thumb|300px|Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel sind gegeben, die gegenüberliegende Seite kann berechnet werden]]
| [[Datei:Cosinussatz1.png|thumb|300px|Drei Seiten sind gegeben, ein Winkel kann berechnet werden]]
|}
|}

<br>
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<br>
<br>

=== Beispiele ===

* [http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/dreiecke.htm Aufgaben zum allgemeinen Dreieck von Jutta Gut (samt Lösungen)]

</div>

</div>

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<br>
<br>

== Vermessungsaufgaben ==
=== Begriffe ===

[[Datei:Höhen- und Tiefenwinkel.gif|right]]

* '''Höhenwinkel'''
Der Höhenwinkel ist der Winkel zwischen der Horitonalen (= waagrechte Gerade) und "dem Blick in die Höhe".

* '''Tiefenwinkel'''
Der Tiefenwinkel ist der Winkel zwischen der Horitonalen (= waagrechte Gerade) und "dem Blick in die Tiefe".

* '''Sehwinkel'''
Der Sehwinkel ist das Objekt (in der rechten Abbildung die senkrechte Strecke) "einfängt".

<br>
<br>
<br>

=== Beispiele ===

* [http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/verm.htm Beispiele zu den Vermessungsaufgaben von Jutta Gut (samt Lösungen)]

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== Zusammenfassung der wichtigsten Formeln im rechtwinkligen und im allgemeinen Dreieck ==
{| border="1" align="center"
|-
|
| rechtwinkliges Dreieck
| allgemeines Dreieck

|-
| Winkelsumme
| $180°=\alpha+\beta+\gamma$
| $180°=\alpha+\beta+\gamma$
|-
| Pythagoras
| $H^2=GK^2+AK^2$
| gilt nur im rechtwinkligem Dreieck!
|-
| Flächeninhalt
| $A=\frac{GK\cdot AK}{2}$
| $A=\frac{a\cdot h_a}{2}=\frac{b\cdot h_b}{2}=\frac{c\cdot h_c}{2}$
|-
| [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)#Sinus- und Cosinussatz im allgemeinen Dreieck| Sinussatz]]
|
| $\frac{\sin\alpha}{a}=\frac{\sin\beta}{b}=\frac{\sin\gamma}{c}$
|-
| [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)#Sinus- und Cosinussatz im allgemeinen Dreieck| Cosinussatz]]
|
| $a^2=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot \cos\alpha$
$b^2=a^2+c^2-2\cdot a\cdot c\cdot \cos\beta$

$c^2=a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot \cos\gamma$
|}

== Matura-Aufgaben ==

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=216&file=Leuchturm.pdf Leuchtturm] (bifie-Aufgabe)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=3&file=Standseilbahn.pdf Standseilbahn] (bifie-Aufgabe: leicht-mittel-leicht)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=82&file=Glaspyramide_des_Louvre.pdf Glaspyramiede des Louvre] (bifie-Aufgabe: leicht-mittel-leicht)
: Hier kannst du eine Formelsammlung verwenden!

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=150&file=Hochwasserschutz.pdf Hochwasserschutz] (bifie-Aufgabe: mittel-leicht-schwer-leicht)
: Siehe auch [[Rechnen mit Termen(2.1.)#Terme und Gleichungen aufstellen | Formeln aufstellen]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=131&file=Gletschermarathon_Pitztal_-_Imst.pdf Gletschermarathon] (bifie-Aufgabe: mittel)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=33&file=Geschwindigkeitskontrolle.pdf Geschwindigkeitskontrolle] (bifie-Aufgabe: leicht)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=20&file=Wetterballon.pdf Wetterballon] (bifie-Aufgabe: mittel-leicht-leicht)
: Siehe auch [[Lineare Funktionen]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=96&file=Wasserverbrauch.pdf Wasserverbrauch] (bifie-Aufgabe: mittel-schwer-leicht)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=120&file=Die_Sonne.pdf Die Sonne] (bifie-Aufgabe: leicht-leicht-mittel)
: Siehe auch: [[Der Logarithmus | Logarithmus]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=159&file=Radausflug.pdf Radausflug] (bifie-Aufgabe:mittel-mittel-mittel-leicht)
: Siehe auch
: * [[Beschreibende Statistik]]
: * [[Wachstums- und Zerfallsprozesse | Exponentielle Abnahme]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=32&file=Windkraftanlage.pdf Windkraftanlage] (bifie-Aufgabe: mittel-schwer-mittel-mittel)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=186&file=Zimmerei.pdf Zimmerei] (bifie-Aufgabe:leicht-mittel-leicht)
: '''Achtung!''' Aufgabe b lernst du erst [[Wahrscheinlichkeitsrechnung | in der 5. Klasse]]

[[Kategorie: Algebra und Geometrie]]
[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Schuldentilgung

2014-07-25T09:33:19Z

80.121.131.229: /* Online-Materialien und Übungsbeispiele */

== Einleitung und Begriffe ==

Die Schuldentilgung beschäftigt sich mit dem Tilgen (= Zurückzahlen) einer Schuld. Das typische Beispiel ist das Tilgen eines Bankredits.

Hierbei unterscheidet man zwischen den folgenden Begriffen:
{| align="right"
|-
|{{#ev:youtube|bId7a4W6Vko}}
|}

{|
|-
|

* '''Annuität'''
| = der Betrag, der regelmäßig (z.B. jährlich) zurückgezahlt wird.
|-
|

* '''Zinsenanteil'''
| = jener Anteil der Annuität, der für die Zinsen aufgewendet wird.
|-
|

* '''Tilgungsanteil'''
| = jener Anteil der Annuität, um den die Schuld vermindert wird.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Erklärung der Begriffe anhand eines Beispiels''': </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Peter hat einen [[Rentenrechnung#Begriffe | nachschüssigen]] Kredit von 10.000 € bei 1 % p.a. aufgenommen. Somit fallen nach einem Jahr € 100 Zinsen an. Am Ende jedes Jahres zahlt Peter € 1.100 zurück.
* Die Annuität beträgt € 1.100.
* Der Zinsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 100.
* Der Tilgungsanteil nach dem 1. Jahr beträgt € 1000 (Von den € 1.100 werden € 100 für die Zinsen verwendet und nur € 1.000 reduzieren die Schuld).
* Die Restschuld nach dem 1. Jahr begrägt noch € 9.000.

</div>

</div>

{| border ="1" align="center" width="800px"
| style="background:#f0f0f0" | '''Merke:'''

| style="background:#f0f0f0" align="center"|

'''Annuität = Zinsanteil + Tilgungsanteil'''

|}

Je nachdem, wie die Schuld beglichen wird, unterscheidet man zwischen folgenden Formen:
* '''[[Schuldentilgung#Annuitätenschuld - Anniutät bleibt konstant | Annuitätenschuld]]''' - Anniutät bleibt konstant über die ganze Laufzeit konstant.
* '''[[Schuldentilgung#Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant |Ratenschuld]]''' - Tilgungsanteil bleibt konstant
* '''[[Schuldentilgung#Zinsenschuld - nur die Zinsen werden beglichen|Zinsenschuld]]''' - nur die Zinsen werden während der Laufzeit beglichen und der Rest erst am Ende der Laufzeit.

== Tilgungsplan ==

Der Tilgungsplan ist eine tabellarische Aufstellung der Kreditrückzahlung.
Er listet für jedes Jahr auf, wie hoch der Zinsen, der Tilgungsanteil, die Annuität und die Restschuld sind.
Für eine nachschüssige Schuldentilgung ist er folgendermaßen aufgebaut:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |Schuld zu Beginn

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $ZA_1$
Zinsanteil bei der ersten Zahlung
| align="center" |$TA_1$
Tilgungsanteil der ersten Zahlung
| align="center" |$A_1$
Annuität$_1$ (=Höhe der ersten Zahlung)
| align="center" |$RS_1$
Restschuld nach einem Jahr
|-
| align="center" | 2
| align="center" |$ZA_2$
Zinsanteil bei der zweiten Zahlung
|align="center" | $TA_2$
Tilgungsanteil der zweiten Zahlung
| align="center" |$A_2$
Annuität$_2$ (=Höhe der zweiten Zahlung)
| align="center" | $RS_2$
Restschuld nach dem 2. Jahr

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> ''' Hinweise ''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
*Der Zinsanteil errechnet sich immer mithilfe der Schuld aus dem Vorjahr:
$$ ZA_1=\textrm{Schuld}\cdot \frac{i}{100} $$
* Am Ende eines Tilgungsplanes sollte ganz rechts unten bei der letzten Restschuld natürlich eine 0 stehen (vorausgesetzt die ganze Schuld wird zurückbezahlt).
* '''Vorteile des Tilgungsplans sind:'''
:* Der Tilgungsplan ermöglicht einen schönen Überblck über alle Zahlungen.
:* Die einzelnen Werte können Schritt für Schritt ausgerechnet werden.

</div>

</div>

=== Musterbeispiel Tilgungsplan ===

Peter hat einen nachschüssigen Kredit von 100 € bei einer Verzinsung von 1 % p.a. aufgenommen. Er zahlt jährlich € 10 zurück. Erstelle einen Tilgungsplan!

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''1. Schritt: Beginn des Tilgungsplans''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Die Anfangsschuld ist € 100.
* Die Anniuität ist konstant € 10.
* $ZA_1=100\cdot \frac{1}{100}=1 $.
* $TA_1=A_1-ZA_1=9$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
* Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_1=100-9=91$

Damit erstellen wir nun die ersten zwei Zeilen des Tilgungsplanes:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $100\cdot \frac{1}{100}=1$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$</p>
| align="center" |$10-1=9$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $TA=A-ZA$ </p>
| align="center" |$10$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $A=TA+ZA$ </p>
| align="center" |$100-9=91$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$ </p>

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''2. Schritt: Fortsetzung des Tilgungsplans ''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Für das 2. Jahr des Tilgungsplans, nimmt man nun aus Ausgangswert die obere Zeile:

* Die alte Restschuld beträgt € 91.
* Die Anniuität ist konstant € 10.
* $ZA_2=91\cdot \frac{1}{100}=0.91 $.
* $TA_2=A_2-ZA_2=9.09$ (um diesen Betrag wird die Schuld getilgt)
* Die Restschuld nach einem Jahr beträgt dann noch $RS_2=91-9.09=81.91$

Dies setzt man nun in den Tilgungsplan ein:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $100\cdot \frac{1}{100}=1$
| align="center" |$10-1=9$
| align="center" |$10$
| align="center" |$100-9=91$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $91\cdot \frac{1}{100}=0.91$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $ZA=RS\cdot \frac{i}{100}$</p>
| align="center" |$10-0.91=9.09$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $TA=A-ZA$ </p>
| align="center" |$10$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $A=TA+ZA$ </p>
| align="center" |$91-9.09=81.91$
<p style="color:darkred"> Allgemein: $RS_i=RS_{i-1}-TA$ </p>

|-
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
| align="center" |$\vdots$
|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''3. Schritt: Vollständiger Tilgungsplan''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |100 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $100\cdot \frac{1}{100}=1$
| align="center" |$10-1=9$
| align="center" |$10$
| align="center" |$100-9=91$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $0.91$
| align="center" |$9.09$
| align="center" |$10$
| align="center" |$81.91$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $0.82$
| align="center" |$9.18$
| align="center" |$10$
| align="center" |$72.73$

|-
| align="center" | 4
| align="center" | $0.73$
| align="center" |$9.27$
| align="center" |$10$
| align="center" |$63.46$

|-
| align="center" | 5
| align="center" | $0.63$
| align="center" |$9.37$
| align="center" |$10$
| align="center" |$54.09$

|-
| align="center" | 6
| align="center" | $0.54$
| align="center" |$9.46$
| align="center" |$10$
| align="center" |$44.63$

|-
| align="center" | 7
| align="center" | $0.45$
| align="center" |$9.55$
| align="center" |$10$
| align="center" |$35.08$

|-
| align="center" | 8
| align="center" | $0.35$
| align="center" |$9.65$
| align="center" |$10$
| align="center" |$25.43$

|-
| align="center" | 9
| align="center" | $0.25$
| align="center" |$9.75$
| align="center" |$10$
| align="center" |$15.68$

|-
| align="center" | 10
| align="center" | $0.16$
| align="center" |$9.84$
| align="center" |$10$
| align="center" |<span style="background-color:yellow"> '''$5.84$''' </span>

|-
| align="center" | 11
| align="center" | $0.06$
| align="center" | <span style="background-color:yellow"> '''$5.84$''' </span>
Die Restschuld von 5.84 wird getilgt.
| align="center" |'''$5.90$'''
$A=ZA+TA$
| align="center" |$0$

|}

'''Achtung!'''
Bei der 11. Zahlung muss nur noch eine Schuld von 5.84 (gelb unterlegt!) getilgt werden. Aus diesem Grund beträgt der Tilgungsanteil € 5.84!
Die Annuität beträgt dann nicht mehr € 10 (sonst würden wir ja zuviel zurückzahlen) sondern nur noch
$$ A = \textrm{Höhe des Tilgungsanteiles} + \textrm{die Höhe der Zinsen} $$
$$ A= 5.84+0.06 $$
$$A= 5.90$$

</div>

</div>

</div>

</div>

Weitere Beispiele findest du im 3. Klasse Buch (Trauner) auf den Seiten 174ff....

== Annuitätenschuld - Annuität bleibt konstant ==

Bei einer Anniutätenschuld bleibt die Höhe der Annuität (Betrag der regelmäßig eingezahlt wird) konstant. Somit handelt es sich bei der Annuitätenschuld um eine [[Rentenrechnung | Rente]], da
* ein konstanter Betrag (=Annuität)
* in konstanten Zeitabständen
eingezahlt wird.
Wichtig:
# Die Annuität entspricht dabei der Rate R.
# Die Schuld entspricht dem Barwert B (Wert aller Zahlungen am Beginn = Anfangsschuld)

Somit benötigt man bei der Annuitätenschuld die [[Rentenrechnung#Formeln | Formeln für den Barwert]].

=== Musterbeispiele Annuitätenschuld ===

----

==== Beispiel für jährliche Zahlungen ====
Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 gleich hohen, jährlichen Raten bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Rate ist am Ende des 1. Jahres fällig.

a) Berechne die Höhe der Raten.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

c) Begründe, warum der Tilgungsanteil von Jahr zu Jahr größer wird.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* B=10.000
* n=5
* i=4 % p.a. $\rightarrow$ r=1.04 $\rightarrow$ $v=\frac{1}{r}=0.9615$
* nachschüssig

$$ B=R\cdot v\cdot \frac{v^5-1}{v-1} $$
$$ 10.000 = R\cdot 0.95238\cdot \frac{0.95238^5-1}{0.95238-1} $$
$$ \underline{\underline{R= 2246.27}} $$

A: Die Höhe der Annuität (=Rate) beträgt € 2246.27.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Die Anzahl der Jahre ist 5 $\rightarrow$ somit brauchen wir 6 Zeilen (von 0 bis 5).
* Die Annuität A ist konstant € 2246.27. Somit kann in der Spalte Annuität für alle 5 Jahre 2246.27 eingesetzt werden.
* Anfangsschuld = 10.000

Somit kann man bereits die Rohform des Tilgungsplanes erstellen:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 2
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 3
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 4
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|-
| align="center" | 5
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" |$2246,27$
| align="center" |

|}

Nun berechnen wir von links nach rechts und von oben nach unden die einzelnen Werte:

* $i=4$ % $\rightarrow$ $ZA_1=10.000\cdot \frac{4}{100} =400$
* $TA_1=A_1-ZA_1 = 2246,27-400 = 1846.27$
* $RS_1=10.000-1846.27=8153.73$
* usw.

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $400$
| align="center" |$1846.272$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$
8153.73$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $326.15$
| align="center" |$1920.12$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$6233,61$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $249.34$
| align="center" |$1996.93$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$4236,68$

|-
| align="center" | 4
| align="center" | $169.47$
| align="center" |$2076.80$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$2159.88$

|-
| align="center" | 5
| align="center" | $86.40$
| align="center" |$2159.87$
| align="center" |$2246.27$
| align="center" |$
0.01$

|}

'''Achtung!''' Die Restschuld im 5. Jahr (=0.01) ist aufgrund der Rundungen, die wir durchgeführt haben nicht genau 0.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung von c) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Weil die Schuld von Jahr zu Jahr abnimmt, wird der Zinsanteil ebenfalls immer kleiner. Da die Annuität konstant bleibt, wird deshalb der Tilgungsanteil immer größer (Erinnerung: Tilgungsanteil ist $TA=A-ZA$ ist).

</div>

</div>

</div>

</div>

<br>
<br>
<br>

==== Beispiel: Monatliche Zahlungen ====
Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch gleich hohe, monatliche Zahlunge bei i=4% p.a. zu tilgen.

a) Berechne die Höhe der Raten.

b) Stelle den Tilgungsplan für die ersten 3 Monate auf und berechne damit die Restschuld nach 3 Monaten.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* R=?
* B=10.000
* n=$5\cdot 12=60$
* i=4 % p.a. $\rightarrow$ r=1.04 $\rightarrow$ $r_{12}=\sqrt[12]{1.04}=1.00327$ $\rightarrow$ $v_{12}=\frac{1}{r_{12}}=0.9967$
!!'''Achtung'''!! Bei unterjährien Einzahlungen (z.B. monatliche) muss der [[Zins- und Zinseszinsrechnung#b) der konforme (äquivalente) Zinssatz|konforme Zinssatz]] berechnet werden!!
* nachschüssig

$$ B=R\cdot v_{12}\cdot \frac{v_{12}^{60}-1}{v_{12}-1} $$
$$ \underline{\underline{R=184.17}}$$

A: Die monatliche Annuität beträgt € 184.17.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* Da $r_{12}=1.00327$ (siehe a) beträgt der Monatszinssatz $i_{12}=0.327$ % p.m.
* Die Annuität ist konstant 184.17 (siehe a)
* Anfangsschuld = 10.000

Somit kann der Tilgungsplan aufgestellt werden:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Monat
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | $32,7$
| align="center" | $151,47$
| align="center" |$184,17$
| align="center" | $9815,83$

|-
| align="center" | 2
| align="center" | $32,01$
| align="center" |$152,07$
| align="center" |$184,17$
| align="center" |$9631,66$

|-
| align="center" | 3
| align="center" | $31,50$
| align="center" | $153,67$
| align="center" |$184,17$
| align="center" | $9446,49$

|}

A: Nach 3 Monaten beträgt die Restschuld noch € 9243,12.

</div>

</div>

</div>

</div>

<br>
<br>
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<br>
<br>
<br>

== Ratenschuld - Tilgungsanteil bleibt konstant ==

Bei einer Ratenschuld bleit der Tilgungsanteil TA immer gleich groß, wodruch die Schuld sich immer um denselben Wert verringert.

Es gilt
{| border="1" align="center"
|-
| $$TA=\frac{\textrm{Schuld}}{n}$$
|}

'''Begründung''': Da die ganze Schuld durch n Zahlungen zurückgezahlt wird, muss jedes Mal ein "n-tel" der Gesamtschuld getilgt werden.

=== Musterbeispiel Ratenschuld ===

Eine Schuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch gleich hohe Tilgungsanteile bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Rate ist am Ende des 1. Jahres fällig.

a) Berechne die Höhe des Tilgungsanteiles.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

c) Begründe, warum die Annuität von Jahr zu Jahr kleiner wird.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für a) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

$$ TA=\frac{\textrm{Schuld}}{n}=\frac{10.000}{5}$$
$$ \underline{\underline{TA=2.000}}$$

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für b) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* i=4%
* TA=2000 für alle 5 Jahre
* Anfangsschuld = 10.000

Somit setzen wir alles ein, was wir schon wissen:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS

|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" |
| align="center" | 2.000
| align="center" |
| align="center" | 8.000
<p style="color:darkred"> $10.000-2.000$ </p>

|-
| align="center" | 2
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |6.000

|-
| align="center" | 3
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |4.000

|-
| align="center" | 4
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |2.000

|-
| align="center" | 5
| align="center" |
| align="center" |2.000
| align="center" |
| align="center" |0

|}

Nun können alle weiteren Beträge (Zinsen und Annuitäten) berechnet und eingesetzt werden:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS
|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | 400
<p style="color:darkred"> $ZA_1=10.000\cdot 0.04$ </p>
| align="center" | 2.000
| align="center" | 2.400
<p style="color:darkred"> $A_1=ZA_1+TA_1$</p>
| align="center" | 8.000

|-
| align="center" | 2
| align="center" | 320
| align="center" |2.000
| align="center" | 2.320
| align="center" |6.000

|-
| align="center" | 3
| align="center" | 240
| align="center" |2.000
| align="center" | 2.240
| align="center" |4.000

|-
| align="center" | 4
| align="center" | 160
| align="center" |2.000
| align="center" | 2160
| align="center" |2.000

|-
| align="center" | 5
| align="center" | 80
| align="center" |2.000
| align="center" |2.080
| align="center" |0

|}

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Lösung für c) </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Da der Zinsanteil immer kleiner wird (die Schuld verringert sich!), der Tilgungsanteil aber konstant bleibt, muss folglich die Annuität ebenfalls kleiner werden, da gilt:
$$ \textrm{Annuität = Zinsanteil + Tilgungsanteil} $$

</div>

</div>

</div>

</div>

<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
== Zinsenschuld - nur die Zinsen werden beglichen ==

Hier wird während der gesamten Laufzeit nichts vom Kreditgetilgt (d.h. TA=0), sondern nur die Zinsen bezahlt. Erst am Ende der Laufzeit wird die ganze Schuld durch eine Einmalzahlung beglichen.

=== Musterbeispiel Zinsenschuld ===

Eine Zinsschuld von € 10.000 ist in 5 Jahren durch bei i=4% p.a. zurückzuzahlen. Die erste Annuität ist am Ende des 1. Jahres fällig.

a) Berechne die Höhe der Zinsanteile.

b) Stelle den Tilgungsplan auf.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

* i=4%
* Anfangsschuld = 10.000

Somit beträgt der Zinsanteil konstant
$$ZA= 10.000\cdot 0.04=400$$.

Nun setzen wir alle Zinsanteile und Restschulden in den Tilgungsplan ein und berechnen zusätzlich noch die Annuitäten:

{| border="1" align="center"
|- class="hintergrundfarbe5" |
!| Jahr
!| Zinsateil ZA
!| Tilgungsanteil TA
!| Annuität A
!| Restschuld RS

|-
| align="center" | 0
| align="center" | 0
| align="center" |0
| align="center" |0
| align="center" |10.000 €

|-
| align="center" | 1
| align="center" | 400
| align="center" | 0
| align="center" | 400
<p style="color:darkred"> $A_1=ZA_1+TA_1=400+0$ </p>
| align="center" | 10.000

|-
| align="center" | 2
| align="center" |400
| align="center" |0
| align="center" | 400
| align="center" |10.000

|-
| align="center" | 3
| align="center" |400
| align="center" |0
| align="center" | 400
| align="center" |10.000

|-
| align="center" | 4
| align="center" | 400
| align="center" |0
| align="center" | 400
| align="center" |<span style="background-color:yellow"> 10.000</span>

|-
| align="center" | 5
| align="center" | 400
| align="center" |<span style="background-color:yellow"> 10.000</span>
| align="center" |10.400
| align="center" |0

|}

</div>

</div>

<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>

== Online-Materialien und Übungsbeispiele ==
* 3. Klasse-Buch (Trauner): S. 181-182
* [http://fbmathe.bbs-bingen.de/Tilgungsrechnung/Aufgaben_Tilgungsrechnung.htm Beispiele und Lösungen von Ansgar Schiffler]
* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]] [http://www.geogebratube.org/student/m108662 Online-Rechner zu Schuldentilgung und Tilgungsplan]<span style="background-color:yellow"> Wichtig! </span>
* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=198&file=Wohnungsrenovierung.pdf Wohnungsrenovierung(Bifie-Aufgabe) ]
: siehe auch
::* [[Rentenrechnung | Rentenrechnung]]
::* [[Zins- und Zinseszinsrechnung#b) der konforme (äquivalente) Zinssatz | konformer Zinssatz]]
* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=91&file=Immobilienhandel.pdf Immobielienhandel (Bifie-Aufgabe)]
: siehe auch
::* [[Äquivalenzprinzip (Vergleich von Einzahlungen) | Äquivalenzprinzip]]
::* [[Rentenrechnung | Rentenrechnung]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=66&file=Segelboot-C6.pdf Segelboot]

[[Kategorie:Finanzmathematik]]

Rentenrechnung

2014-07-25T09:28:58Z

80.121.131.229: /* Beispiele */

== Definition: Rente==
{| border ="1"
|Definition
|Unter einer '''Rente''' versteht man Einzahlungen, die
*<p style="background-color:#E0E0E0"> in gleichen Zeitabständen </p> UND
*<p style="background-color:#E0E0E0"> immer in gleicher Höhe </p>
getätigt werden.
Die Einzahlungen werden als '''Raten''' (R) bezeichnet.
|}

Typische Beispiele einer Rente sind:
* Taschengeld (jeden Monat erhälst du denselben Betrag von deinen Eltern)
* Bausparer (jeden Monat oder jedes Jahr wird ein konstanter Betrag eingezahlt)
* "Rente" in der Pension (der Pensionist erhält monatlich einen fixen Betrag überwiesen)

== Begriffe ==
Neben der '''Rate R (=Betrag, der regelmäßig eingezahlt wird)''' unterscheidet man folgende Punkte:

{|align="center" border="2"
!|Unterscheidungsmerkmal
!|Anfang
!|Ende
|- align="center"
|<p style="background-color:#E0E0E0"> Zeitpunkt der Einzahlung </p> || '''vorschüssig'''
= am Anfang der Zahlungsperiode
|| '''nachschüssig'''
= am Ende der Zahlungsperiode
|- align="center"
|<p style="background-color:#E0E0E0"> Zeitpunkt des Gesamtwertes </p>
|'''[[Barwert und Endwert|Barwert]]'''
= Gesamtwert am Anfang der Rentenzahlungen (z.B.: welche Schuld muss abgezahlt werden)
|'''[[Barwert und Endwert|Endwert]]'''
= Gesamtwert am Ende der Rentenzahlungen (Welcher Betrag wurde angespart)
|-align="center"
|<p style="background-color:#E0E0E0"> Einzahlungsperiode </p>
|Ganzjährige Rente
=Einzahlungen erfolgen jährlich
|Unterjährige Rente
= Einzahlungen erfolgen mehrmals im Jahr (z.B. monatlich).
|}

<span style="background-color:#00FFFF">!Wichtig! </span> Bei '''unterjährigen Renten''' muss der [[Zins- und Zinseszinsrechnung#b) der konforme (äquivalente) Zinssatz |äquivalente Zinssatz]] berechnet werden.

== Musterbeispiel ==

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Anna schließt für sich einen Bausparvertrag mit 4% Verzinsung ab, bei dem sie am Ende jeden Jahres 1200 € einzahlt. Wie hoch ist der angesparte Betrag nach 5 Jahren (ohne staatliche Prämie)? Rechne mit einer [[Berechnung der KESt |KESt von 25%]]. </span>

<div class="mw-collapsible-content">

'''Lösung'''
# Gegeben und Gesucht
#* Rate R=1200
#* nachschüssig (Zahlungen am Ende des Jahres)
#* ganzjährige Rente (Zahlungen einmal jährlich)
#* $i=4\%$ <br> $\begin{align} \rightarrow& i_{eff}=4\cdot 0.75 = 3\%\\
\rightarrow& r=1+\frac{i_{eff}}{100}=1.03 \end{align} $
#* Endwert E=? (Anna will wissen, wie viel sie am Ende angespart hat) <br> <br> [[Datei:Rentenrechnung3.png|center]]
# Berechnung $$ 1200\cdot 1.03^4 + 1200\cdot 1.03^3 + 1200\cdot 1.03^2 + 1200\cdot 1.03 + 1200 = E $$ $$ \underline{\underline{6370.96=E}} $$ <br>
# Antwortsatz
#: Nach 5 Jahren hat Anna einen Betrag von € 6370.96 angespart.

</div>

</div>

== Formeln ==
Sei
: $ n\dots$ die Anzahl der Einzahlungen
: $ r\dots $ der (äuqivalente) [[Zins- und Zinseszinsrechnung#Aufzinsungsfaktor |Aufzinsungsfaktor]]
: $ v\dots $ der (äquivalente) Abzinsungsfaktor $v=\frac{1}{r}$
<br>
<br>
<br>
{|align="center" border="2"
!|
!|vorschüssig
!|nachschüssig
|- align="center"
!| Endwert
|$$E=R\cdot r\cdot\frac{r^n-1}{r-1}$$
|$$E=R\cdot \frac{r^n-1}{r-1}$$

|- align="center"
!|Barwert
|$$B=R\cdot \frac{v^n-1}{v-1}$$
|$$B=R\cdot v\cdot \frac{v^n-1}{v-1}$$

|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Herleitung der Formeln''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Hier siehst du die Herleitung der Formel für den nachschüssigen Endwert.$$E=R\cdot \frac{1-r^n}{1-r} $$
Die Herleitungen für die restlichen Formeln funktionieren ähnlich.
Der Endwert setzt sich aus der Summe aller Einzahlungen zusammen. Nehmen wir an, wir berechnen den Endwert einer nachschüssigen Rente über n Jahre, dann erhält man den Endwert, indem man alle Einzahlung auf das Ende verzinst und dann zusammenaddiert:

$$ E= R + R\cdot r+ R\cdot r^2 + R\cdot r^3+\dots + R\cdot r^{n-1} $$
wobei $R\cdot r^{n-1}$ die erste Zahlung ist, die $n-1$ Jahre aufgezinst werden muss und $R$ die letzte Zahlung ist.

Dies ist nun eine sogenannte geometrische Reihe, da jeder Summand sich nur durch die Multiplikation mit r unterscheidet.
Unter folgendem Link findest du die Herleitung der für die geometrische Formel $s_n=a_0\cdot \frac{1-q^n}{1-q} $, wobei $E=s_n$, $R=a_0$ und $r=q$ ist: [http://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe#Herleitung_der_Formel_f.C3.BCr_die_Partialsummen Herleitung der Endwertformel]

</div>

</div>

== Musterbeispiel einer ganzjährigen Rente ==

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Angabe:''' Frau Aah zahlt 15 Jahre lang am Anfang jedes Jahres € 1.000 auf ein mit 4% verzinstes Sparbuch ein.

a) Bestimme den nach 15 Jahren angesparten Betrag. Beachte dabei die [[KESt]] von 25%.

b)Von dem ersparten Geld will sie 20 vorschüssige Jahresraten beheben, die 5 Jahre nach der letzten Einzahlung beginnen. Berechnen Sie die Höhe der Rate. </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung a)'''</span>

<div class="mw-collapsible-content">
* $R=1000$
* $i_{eff}=4\cdot 0.75=3\% \rightarrow r=1.03$
* $n=15$
* vorschüssig (da am Anfang vom Jahr eingezahlt wird)
* $E_{15} = $?

Mithilfe der vorschüssigen Endwertformel erhalten wir:
$$ E_{15}=R\cdot r\cdot \frac{r^n-1}{r-1} $$
$$ E_{15}=1000 \cdot 1.03 \frac{1.03^{15}-1}{1.03-1} $$
$$\underline{\underline{E_{15}=19156.88}} $$

Somit hat Frau Aah nach 15 Jahren € 19156.88 angespart.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung b)''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Der Satz "''die 5 Jahre nach der letzten Einzahlung beginnen''" sagt uns, dass der Betrag $E_{15}$ fünf Jahre lang auf der Bank liegen bleibt. Durch Aufzinsen erhalten wir nun den Betrag nach diesen 5 Jahren (d.h. nach insgesamt 20 Jahren von Beginn weg):
$$ E_{20}=E_{15}\cdot r^5$$
$$ E_{20}=19156.88\cdot 1.03^5$$
$$ E_{20}=22208.07$$

Nach 20 Jahren liegen somit € 22208.07 auf der Bank. Nun will Frau Aah von diesem Betrag 20 vorschüssige Jahresraten abheben.
Das Angesparte Geld $E_{20}$ ist jener Wert ''am ANFANG'' der Auszahlungen. Somit ist $E_{20}=B$, der neue Barwert.

*$B=E_{20}=22208.07$
*$n=20$
*$r=1.03 \rightarrow v=0.97087\dots $
*$R=?$
*vorschüssig

Mit der Formel für den vorschüssigen Barwert erhalten wir:
$$ B=R\cdot \frac{v^{20}-1}{v-1} $$
$$ B\cdot (v-1)=R\cdot (v^{20}-1) $$
$$ \frac{B\cdot (v-1)}{(v^{20}-1)}=R $$
$$ \frac{22208.07\cdot (0.97087-1)}{(0.97087^{20}-1)}=R $$
$$ \underline{\underline{1449.25=R}}$$

Antwort: Frau Aah kann 20 Jahre lang € 1449.25 abheben.

FN (N =20, I% = 4, PV =Ergebnis von a) aufgezinst, PMT = solve, FV = 0, P/Y = 1, C/Y = 1, Beginn)

</div>

</div>

</div>

</div>

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== Musterbeispiel einer unterjährigen Rente ==
Wichtig!! Wenn die Raten mehrmals im Jahr eingezahlt werden, muss mit dem [[Zins- und Zinseszinsrechnung#b) der konforme (äquivalente) Zinssatz | äquivalenter Zinssatz]] gerechnet werden.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Angabe:''' Frau Des nimmt einen Kredit von € 15.000,‐ mit einer Laufzeit von 10 Jahren auf, den sie in
nachschüssigen Monatsraten zurückzahlen will (i = 5%). Berechnen Sie die Höhe der Raten.
<br> </span>

<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung'''
*$B=15000$
*$n=10\cdot 12=120$
*$i=5\% \rightarrow r_1=1.05 \rightarrow r_{12}=\sqrt[12]{1.05} \rightarrow r_{12}=1.00407\dots \rightarrow v_{12}=0.99594\dots$
*nachschüssig
*$R=$?

Durch Verwendung der [[Rentenrechnung#Formeln |nachschüssigen Barwertformel]] ergibt sich:

$\begin{align}
B&=R\cdot v\cdot \frac{v^{120}-1}{v-1} & & |\cdot (v-1) & \textrm{und} :(v\cdot (v^{120}-1))\\
\end{align}$

$\begin{align}
\frac{B\cdot (v-1)}{v\cdot(v^{120}-1)}&=R &&\\
\end{align}$

$$ \underline{\underline{158.29=R}} $$

Antwort: Sie muss monatilich € 158.29 einzahlen.

FN (N = 120, I% =100(1,05^(1/12)‐1), PV = 0, PMT = solve, FV =0, P/Y = 1, C/Y= 1, END) 158.29
Achtung: P/Y bezeichnet die Einzahlungen pro Zinsperiode. Diese ist nun aber 1!
(Alternative: FN (N = 120, I% =5, PV = 0, PMT = solve, FV =0, P/Y = 12, C/Y= 1, END) 158.29 … Y ist das Jahr)

</div>

</div>

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== Musterbeispiel für eine Rentenrechnung mit Restbetrag ==

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">
<span style="color:#A020F0>
Auf Petras Sparbuch befindet sich momentan ein hoher Geldbetrag, von dem sie die nächsten 16 Jahre lang jährlich nachschüssig je € 1.000 abheben könnte. (i=5 % p.a.)
* Berechne, wie oft sie dafür statt € 1.000 insgesamt € 2.000 jedes Halbjahr abheben könnte.
* Ermittle zusätzlich, wie hoch der Restbetrag ist, der zeitgleich mit der letzten Vollrate fällig ist.
</span>
<div class="mw-collapsible-content">

{| border="1" align="center"
|-
!| Händische Berechnung
!| Berechnung mit dem [[Rentenrechnung#TVM-Solver (Rechnen im TR) | TVM-Solver]]
|-
!colspan="2" | 1. Zuerst berechnen wir den Barwert von Petras 16 nachschüssigen Abhebungen (= wie viel hat sie heute auf dem Konto, um 16 mal € 1000 abzuheben)
|-
|
*B=?,
*nachschüssig,
*R=1000,
*n=16,
*i=5 % p.a. $\rightarrow$ r=1.05$\rightarrow$ v=0.95…

$$ B=R\cdot v\cdot \frac{v^{16}-1}{v-1} $$
$$\underline{\underline{B=10.837.77}}$$

|
TVM-Solver:
*N=16,
*i=5,
*PV=? $\rightarrow \underline{\underline{PV=10.837.77}}$
*PMT=-1000 (Minus, da sie 1000 abhebt),
*FV=0 (da € 0 auf dem Konto bleiben),
*P/Y=1,
*C/Y=1,
*End

|-
! colspan="2" | 2. Nun berechnen wir, wie oft Petra von den 10837.77 die € 2000 jedes halbe Jahr abheben kann. Gefragt ist also das n.

|-
|
<span style="background-color:yellow">!Achtung! </span> Wenn mehrmals im Jahr abgehoben wird (=unterjährige Rente), brauchen wir beim händischen Rechnen den [[Zins- und Zinseszinsrechnung#b) der konforme (äquivalente) Zinssatz | konformen Aufzinsungsfaktor $r_m$ ]] In diesem Fall brauchen wir r_2, da jedes halbe Jahr abgehoben wird.
*B=10837.77
*R=2000
*n=?
*r=1.05 $\rightarrow r_2=\sqrt{1.05}=1.02469…\rightarrow v_2=\frac{1}{r_2}=0.975$…
$$B=R\cdot v_2\cdot \frac{(v_2)^n-1}{v_2-1} \ \ \rightarrow n=5.89$$

Somit kann sie 5 Vollraten abheben, für die 6. Rate reicht es gerade nicht mehr aus (dies sind die 0.89)

| Beim TVM-Sover brauchen wir den konformen Zinssatz nicht. Hier reicht es, für P/Y (=Zahlungen pro Jahr, Payments per Year) den Wert 2 einzusetzen:

*N=? $\rightarrow N=5.89$
*i=5
*PV=10837.77 (Wert von vorher drinnen stehen lassen)
*PMT=-2000
*FV=0
*P/Y=2 (da 2mal im Jahr abgehoben wird)
*C/Y=1
*End

|-
! colspan="2" |3. Zuletzt berechnen wir den Restbetrag, jenen Betrag, der bei der letzten Abhebung von € 2000 noch auf dem Konto bleibt. Die folgende Graphik soll den Sachverhalt verdeutlichen

[[Datei:Bsp mit Restbetrag.png|thumb|1200px|center|Darstellung aller Auszahlungen (rot)]]

|-
|Sei B_5 der Barwert der 5 Auszahlungen von € 2000, dann kann die obige Abbildung mithilfe des [[Äquivalenzprinzip (Vergleich von Einzahlungen) | Äquivalenzprinzips]] folgendermaßen angeschrieben werden:
$$ 10837.77 = B_5 +\frac{ \textrm{Restbetrag}}{(r_2)^5}$$
Zusätzlich erhält man $B_5$ mithilfe der nachschüssigen Barwertformel $ B_5=R\cdot v_2 \cdot \frac{(v_2)^5-1}{v_2-1} $, wobei $R=2.000$ und $v_2=0.975…$ (siehe oben) ist. Dadurch erhält man:
$$ B_5=9299.82$$
Der Barwert aller Abhebungen in den 5 Semestern beträgt 9299.82 abgehoben.
Daraus ergibt sich für den Restbetrag, dass
$$ B=B_5+\frac{Restbetrag}{(r_2)^5} $$
$$ 10837.77= 9299.82+\frac{Restbetrag}{(r_2)^5} $$
$$ \frac{Restbetrag}{(r_2)^5} =1537.95 $$
$$\underline{\underline{Restbetrag=1737.46}}$$

Somit wird am Ende ein Restbetrag von zusätzlich € 1737.46 abgehoben.

Alternativ hätte auch alles auf das Ende des 5. Semesters aufgezinst werden können. Hier hätten wir ebenfalls 1737.46 erhalten.

|
Wir wollen also wissen, wie viel am Ende (=FV=Restbetrag) noch auf dem Konto bleibt, wenn wir 5mal (N=5) abgehoben haben:

*N=5
*i=5
*PV= 10837.77
PMT= -2000
*FV=? $\rightarrow FV=1737.46$
*P/Y=2
*C/Y=1
*End
Somit beträgt der Restbetrag noch € 1737.46, die mit der letzten Rate ebenfalls abgehoben werden.

|}
</div>
</div>
<br>
<br>

== Musterbeispiel mit Anzahlung + Rente + Restwert (Leasing) ==

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0>

Anna plant ein Fahrzeug im Wert von € 21.000 zu leasen. Der Händler macht ihr dabei das folgende Angebot: Sie muss € 5.000 als Anzahlung sofort überweisen und die nächsten 36 Monate nachschüssig eine bestimme Monatsrate einzahlen. Nach den 36 Monaten beträgt der Restwert noch € 9.000. Bestimmen Sie die Höhe der Rate, wenn mit einem Zinssatz von 3 % p.a. gerechnet wird.

</span>

<div class="mw-collapsible-content">

'''Lösung:'''
{| border="1"

|-
!| Händische Berechnung
!| Berechnung mit dem [[Rentenrechnung#TVM-Solver (Rechnen im TR) | TVM-Solver]]
|-
!colspan="2" | Zuerst veranschaulichen wir die Zahlungen graphisch:

[[Datei:Leasing-Bsp.png|thumb|400px|center|Darstellung der Aus- (rot) und Einzahlungen (grün)]]

|-
| Beim händischen Rechnen werden alle Zahlungen auf einen Zeitpunkt verzinst (siehe [[Äquivalenzprinzip | Äquivalenzprinzip (Vergleich von Einzahlungen)]]. Hier wird nun alles auf das dritte Jahr (=36 Monate) aufgezinst (genauso gut könnte aber auch alles auf den Beginn abgezinst werden).

Aus der der Graphik ergibt sich damit die folgende Gleichung:

$$21.000\cdot r^3=5.000 \cdot r^3+ \textrm{Endwert der 36 nachschüssigen Monatsraten} + 9.000 $$
$$ 21.000\cdot 1.03^3=5.000 \cdot 1.03^3+ R\cdot\frac{r_{12}^{36}-1}{r_{12}-1} + 9.000 $$
wobei $r_{12}=\sqrt[12]{1.03}=1.002466$ der monatliche Aufzinsungsfaktor ist.

Mithilfe des [[Solve-Befehl | Solve-Befehls]] erhält man:
$$\underline{\underline{R=225.64}}$$

A: Die monatliche Rate liegt bei € 225.64.

|
TVM-Solver:
*N=36,
*i=53,
*PV=-21000 + 5000 (da 21.000 Schulden und 5000 sofort eingezahlt werden)
*PMT=? $\rightarrow \underline{\underline{PMT=225.64}}$
*FV=9000 (da € 9000 der Restwert ist),
*P/Y=12,
*C/Y=1,
*End
|}

</div>
</div>

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== TVM-Solver (Rechnen im TR) ==

Im Ti 82 kannst du die Beispiele auch im Taschenrechner mit dem TVM-Solver lösen.

Hier findest du eine [http://matura.marienberg.at/images/3/33/TVM-Solver.pdf Erklärung des Programms]

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== Beispiele ==

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=47&file=Sparkonto.pdf Sparkonto (Bifie-Aufgabe)]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=49&file=Kreditkonditionen.pdf Kreditkonditionen (Bifie-Aufgabe)]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=54&file=Bausparen_bis_2011.pdf Bausparen (Bifie-Aufgabe)]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=91&file=Immobilienhandel.pdf Immobilienhandel (Bifie-Aufgabe mit Schuldentilgung)]
Siehe auch [[Schuldentilgung]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=92&file=Ruecklage.pdf Rücklage (Bifie-Aufgabe)]

[[Kategorie:Finanzmathematik]]