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Rentenrechnung

2014-06-17T06:02:13Z

80.120.118.126: /* Musterbeispiel mit Anzahlung + Rente + Restwert (Leasing) */

== Definition: Rente==
{| border ="1"
|Definition
|Unter einer '''Rente''' versteht man Einzahlungen, die
*<p style="background-color:#E0E0E0"> in gleichen Zeitabständen </p> UND
*<p style="background-color:#E0E0E0"> immer in gleicher Höhe </p>
getätigt werden.
Die Einzahlungen werden als '''Raten''' (R) bezeichnet.
|}

Typische Beispiele einer Rente sind:
* Taschengeld (jeden Monat erhälst du denselben Betrag von deinen Eltern)
* Bausparer (jeden Monat oder jedes Jahr wird ein konstanter Betrag eingezahlt)
* "Rente" in der Pension (der Pensionist erhält monatlich einen fixen Betrag überwiesen)

== Begriffe ==
Neben der '''Rate R (=Betrag, der regelmäßig eingezahlt wird)''' unterscheidet man folgende Punkte:

{|align="center" border="2"
!|Unterscheidungsmerkmal
!|Anfang
!|Ende
|- align="center"
|<p style="background-color:#E0E0E0"> Zeitpunkt der Einzahlung </p> || '''vorschüssig'''
= am Anfang der Zahlungsperiode
|| '''nachschüssig'''
= am Ende der Zahlungsperiode
|- align="center"
|<p style="background-color:#E0E0E0"> Zeitpunkt des Gesamtwertes </p>
|'''[[Barwert und Endwert|Barwert]]'''
= Gesamtwert am Anfang der Rentenzahlungen (z.B.: welche Schuld muss abgezahlt werden)
|'''[[Barwert und Endwert|Endwert]]'''
= Gesamtwert am Ende der Rentenzahlungen (Welcher Betrag wurde angespart)
|-align="center"
|<p style="background-color:#E0E0E0"> Einzahlungsperiode </p>
|Ganzjährige Rente
=Einzahlungen erfolgen jährlich
|Unterjährige Rente
= Einzahlungen erfolgen mehrmals im Jahr (z.B. monatlich).
|}

<span style="background-color:#00FFFF">!Wichtig! </span> Bei '''unterjährigen Renten''' muss der [[Zins- und Zinseszinsrechnung#b) der konforme (äquivalente) Zinssatz |äquivalente Zinssatz]] berechnet werden.

== Musterbeispiel ==

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Anna schließt für sich einen Bausparvertrag mit 4% Verzinsung ab, bei dem sie am Ende jeden Jahres 1200 € einzahlt. Wie hoch ist der angesparte Betrag nach 5 Jahren (ohne staatliche Prämie)? Rechne mit einer [[Berechnung der KESt |KESt von 25%]]. </span>

<div class="mw-collapsible-content">

'''Lösung'''
# Gegeben und Gesucht
#* Rate R=1200
#* nachschüssig (Zahlungen am Ende des Jahres)
#* ganzjährige Rente (Zahlungen einmal jährlich)
#* $i=4\%$ <br> $\begin{align} \rightarrow& i_{eff}=4\cdot 0.75 = 3\%\\
\rightarrow& r=1+\frac{i_{eff}}{100}=1.03 \end{align} $
#* Endwert E=? (Anna will wissen, wie viel sie am Ende angespart hat) <br> <br> [[Datei:Rentenrechnung3.png|center]]
# Berechnung $$ 1200\cdot 1.03^4 + 1200\cdot 1.03^3 + 1200\cdot 1.03^2 + 1200\cdot 1.03 + 1200 = E $$ $$ \underline{\underline{6370.96=E}} $$ <br>
# Antwortsatz
#: Nach 5 Jahren hat Anna einen Betrag von € 6370.96 angespart.

</div>

</div>

== Formeln ==
Sei
: $ n\dots$ die Anzahl der Einzahlungen
: $ r\dots $ der (äuqivalente) [[Zins- und Zinseszinsrechnung#Aufzinsungsfaktor |Aufzinsungsfaktor]]
: $ v\dots $ der (äquivalente) Abzinsungsfaktor $v=\frac{1}{r}$
<br>
<br>
<br>
{|align="center" border="2"
!|
!|vorschüssig
!|nachschüssig
|- align="center"
!| Endwert
|$$E=R\cdot r\cdot\frac{r^n-1}{r-1}$$
|$$E=R\cdot \frac{r^n-1}{r-1}$$

|- align="center"
!|Barwert
|$$B=R\cdot \frac{v^n-1}{v-1}$$
|$$B=R\cdot v\cdot \frac{v^n-1}{v-1}$$

|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Herleitung der Formeln''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Hier siehst du die Herleitung der Formel für den nachschüssigen Endwert.$$E=R\cdot \frac{1-r^n}{1-r} $$
Die Herleitungen für die restlichen Formeln funktionieren ähnlich.
Der Endwert setzt sich aus der Summe aller Einzahlungen zusammen. Nehmen wir an, wir berechnen den Endwert einer nachschüssigen Rente über n Jahre, dann erhält man den Endwert, indem man alle Einzahlung auf das Ende verzinst und dann zusammenaddiert:

$$ E= R + R\cdot r+ R\cdot r^2 + R\cdot r^3+\dots + R\cdot r^{n-1} $$
wobei $R\cdot r^{n-1}$ die erste Zahlung ist, die $n-1$ Jahre aufgezinst werden muss und $R$ die letzte Zahlung ist.

Dies ist nun eine sogenannte geometrische Reihe, da jeder Summand sich nur durch die Multiplikation mit r unterscheidet.
Unter folgendem Link findest du die Herleitung der für die geometrische Formel $s_n=a_0\cdot \frac{1-q^n}{1-q} $, wobei $E=s_n$, $R=a_0$ und $r=q$ ist: [http://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe#Herleitung_der_Formel_f.C3.BCr_die_Partialsummen Herleitung der Endwertformel]

</div>

</div>

== Musterbeispiel einer ganzjährigen Rente ==

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Angabe:''' Frau Aah zahlt 15 Jahre lang am Anfang jedes Jahres € 1.000 auf ein mit 4% verzinstes Sparbuch ein.

a) Bestimme den nach 15 Jahren angesparten Betrag. Beachte dabei die [[KESt]] von 25%.

b)Von dem ersparten Geld will sie 20 vorschüssige Jahresraten beheben, die 5 Jahre nach der letzten Einzahlung beginnen. Berechnen Sie die Höhe der Rate. </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung a)'''</span>

<div class="mw-collapsible-content">
* $R=1000$
* $i_{eff}=4\cdot 0.75=3\% \rightarrow r=1.03$
* $n=15$
* vorschüssig (da am Anfang vom Jahr eingezahlt wird)
* $E_{15} = $?

Mithilfe der vorschüssigen Endwertformel erhalten wir:
$$ E_{15}=R\cdot r\cdot \frac{r^n-1}{r-1} $$
$$ E_{15}=1000 \cdot 1.03 \frac{1.03^{15}-1}{1.03-1} $$
$$\underline{\underline{E_{15}=19156.88}} $$

Somit hat Frau Aah nach 15 Jahren € 19156.88 angespart.

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung b)''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Der Satz "''die 5 Jahre nach der letzten Einzahlung beginnen''" sagt uns, dass der Betrag $E_{15}$ fünf Jahre lang auf der Bank liegen bleibt. Durch Aufzinsen erhalten wir nun den Betrag nach diesen 5 Jahren (d.h. nach insgesamt 20 Jahren von Beginn weg):
$$ E_{20}=E_{15}\cdot r^5$$
$$ E_{20}=19156.88\cdot 1.03^5$$
$$ E_{20}=22208.07$$

Nach 20 Jahren liegen somit € 22208.07 auf der Bank. Nun will Frau Aah von diesem Betrag 20 vorschüssige Jahresraten abheben.
Das Angesparte Geld $E_{20}$ ist jener Wert ''am ANFANG'' der Auszahlungen. Somit ist $E_{20}=B$, der neue Barwert.

*$B=E_{20}=22208.07$
*$n=20$
*$r=1.03 \rightarrow v=0.97087\dots $
*$R=?$
*vorschüssig

Mit der Formel für den vorschüssigen Barwert erhalten wir:
$$ B=R\cdot \frac{v^{20}-1}{v-1} $$
$$ B\cdot (v-1)=R\cdot (v^{20}-1) $$
$$ \frac{B\cdot (v-1)}{(v^{20}-1)}=R $$
$$ \frac{22208.07\cdot (0.97087-1)}{(0.97087^{20}-1)}=R $$
$$ \underline{\underline{1449.25=R}}$$

Antwort: Frau Aah kann 20 Jahre lang € 1449.25 abheben.

FN (N =20, I% = 4, PV =Ergebnis von a) aufgezinst, PMT = solve, FV = 0, P/Y = 1, C/Y = 1, Beginn)

</div>

</div>

</div>

</div>

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<br>
<br>
== Musterbeispiel einer unterjährigen Rente ==
Wichtig!! Wenn die Raten mehrmals im Jahr eingezahlt werden, muss mit dem [[Zins- und Zinseszinsrechnung#b) der konforme (äquivalente) Zinssatz | äquivalenter Zinssatz]] gerechnet werden.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Angabe:''' Frau Des nimmt einen Kredit von € 15.000,‐ mit einer Laufzeit von 10 Jahren auf, den sie in
nachschüssigen Monatsraten zurückzahlen will (i = 5%). Berechnen Sie die Höhe der Raten.
<br> </span>

<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung'''
*$B=15000$
*$n=10\cdot 12=120$
*$i=5\% \rightarrow r_1=1.05 \rightarrow r_{12}=\sqrt[12]{1.05} \rightarrow r_{12}=1.00407\dots \rightarrow v_{12}=0.99594\dots$
*nachschüssig
*$R=$?

Durch Verwendung der [[Rentenrechnung#Formeln |nachschüssigen Barwertformel]] ergibt sich:

$\begin{align}
B&=R\cdot v\cdot \frac{v^{120}-1}{v-1} & & |\cdot (v-1) & \textrm{und} :(v\cdot (v^{120}-1))\\
\end{align}$

$\begin{align}
\frac{B\cdot (v-1)}{v\cdot(v^{120}-1)}&=R &&\\
\end{align}$

$$ \underline{\underline{158.29=R}} $$

Antwort: Sie muss monatilich € 158.29 einzahlen.

FN (N = 120, I% =100(1,05^(1/12)‐1), PV = 0, PMT = solve, FV =0, P/Y = 1, C/Y= 1, END) 158.29
Achtung: P/Y bezeichnet die Einzahlungen pro Zinsperiode. Diese ist nun aber 1!
(Alternative: FN (N = 120, I% =5, PV = 0, PMT = solve, FV =0, P/Y = 12, C/Y= 1, END) 158.29 … Y ist das Jahr)

</div>

</div>

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== Musterbeispiel für eine Rentenrechnung mit Restbetrag ==

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">
<span style="color:#A020F0>
Auf Petras Sparbuch befindet sich momentan ein hoher Geldbetrag, von dem sie die nächsten 16 Jahre lang jährlich nachschüssig je € 1.000 abheben könnte. (i=5 % p.a.)
* Berechne, wie oft sie dafür statt € 1.000 insgesamt € 2.000 jedes Halbjahr abheben könnte.
* Ermittle zusätzlich, wie hoch der Restbetrag ist, der zeitgleich mit der letzten Vollrate fällig ist.
</span>
<div class="mw-collapsible-content">

{| border="1" align="center"
|-
!| Händische Berechnung
!| Berechnung mit dem [[Rentenrechnung#TVM-Solver (Rechnen im TR) | TVM-Solver]]
|-
!colspan="2" | 1. Zuerst berechnen wir den Barwert von Petras 16 nachschüssigen Abhebungen (= wie viel hat sie heute auf dem Konto, um 16 mal € 1000 abzuheben)
|-
|
*B=?,
*nachschüssig,
*R=1000,
*n=16,
*i=5 % p.a. $\rightarrow$ r=1.05$\rightarrow$ v=0.95…

$$ B=R\cdot v\cdot \frac{v^{16}-1}{v-1} $$
$$\underline{\underline{B=10.837.77}}$$

|
TVM-Solver:
*N=16,
*i=5,
*PV=? $\rightarrow \underline{\underline{PV=10.837.77}}$
*PMT=-1000 (Minus, da sie 1000 abhebt),
*FV=0 (da € 0 auf dem Konto bleiben),
*P/Y=1,
*C/Y=1,
*End

|-
! colspan="2" | 2. Nun berechnen wir, wie oft Petra von den 10837.77 die € 2000 jedes halbe Jahr abheben kann. Gefragt ist also das n.

|-
|
<span style="background-color:yellow">!Achtung! </span> Wenn mehrmals im Jahr abgehoben wird (=unterjährige Rente), brauchen wir beim händischen Rechnen den [[Zins- und Zinseszinsrechnung#b) der konforme (äquivalente) Zinssatz | konformen Aufzinsungsfaktor $r_m$ ]] In diesem Fall brauchen wir r_2, da jedes halbe Jahr abgehoben wird.
*B=10837.77
*R=2000
*n=?
*r=1.05 $\rightarrow r_2=\sqrt{1.05}=1.02469…\rightarrow v_2=\frac{1}{r_2}=0.975$…
$$B=R\cdot v_2\cdot \frac{(v_2)^n-1}{v_2-1} \ \ \rightarrow n=5.89$$

Somit kann sie 5 Vollraten abheben, für die 6. Rate reicht es gerade nicht mehr aus (dies sind die 0.89)

| Beim TVM-Sover brauchen wir den konformen Zinssatz nicht. Hier reicht es, für P/Y (=Zahlungen pro Jahr, Payments per Year) den Wert 2 einzusetzen:

*N=? $\rightarrow N=5.89$
*i=5
*PV=10837.77 (Wert von vorher drinnen stehen lassen)
*PMT=-2000
*FV=0
*P/Y=2 (da 2mal im Jahr abgehoben wird)
*C/Y=1
*End

|-
! colspan="2" |3. Zuletzt berechnen wir den Restbetrag, jenen Betrag, der bei der letzten Abhebung von € 2000 noch auf dem Konto bleibt. Die folgende Graphik soll den Sachverhalt verdeutlichen

[[Datei:Bsp mit Restbetrag.png|thumb|1200px|center|Darstellung aller Auszahlungen (rot)]]

|-
|Sei B_5 der Barwert der 5 Auszahlungen von € 2000, dann kann die obige Abbildung mithilfe des [[Äquivalenzprinzip (Vergleich von Einzahlungen) | Äquivalenzprinzips]] folgendermaßen angeschrieben werden:
$$ 10837.77 = B_5 +\frac{ \textrm{Restbetrag}}{(r_2)^5}$$
Zusätzlich erhält man $B_5$ mithilfe der nachschüssigen Barwertformel $ B_5=R\cdot v_2 \cdot \frac{(v_2)^5-1}{v_2-1} $, wobei $R=2.000$ und $v_2=0.975…$ (siehe oben) ist. Dadurch erhält man:
$$ B_5=9299.82$$
Der Barwert aller Abhebungen in den 5 Semestern beträgt 9299.82 abgehoben.
Daraus ergibt sich für den Restbetrag, dass
$$ B=B_5+\frac{Restbetrag}{(r_2)^5} $$
$$ 10837.77= 9299.82+\frac{Restbetrag}{(r_2)^5} $$
$$ \frac{Restbetrag}{(r_2)^5} =1537.95 $$
$$\underline{\underline{Restbetrag=1737.46}}$$

Somit wird am Ende ein Restbetrag von zusätzlich € 1737.46 abgehoben.

Alternativ hätte auch alles auf das Ende des 5. Semesters aufgezinst werden können. Hier hätten wir ebenfalls 1737.46 erhalten.

|
Wir wollen also wissen, wie viel am Ende (=FV=Restbetrag) noch auf dem Konto bleibt, wenn wir 5mal (N=5) abgehoben haben:

*N=5
*i=5
*PV= 10837.77
PMT= -2000
*FV=? $\rightarrow FV=1737.46$
*P/Y=2
*C/Y=1
*End
Somit beträgt der Restbetrag noch € 1737.46, die mit der letzten Rate ebenfalls abgehoben werden.

|}
</div>
</div>
<br>
<br>

== Musterbeispiel mit Anzahlung + Rente + Restwert (Leasing) ==

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0>

Anna plant ein Fahrzeug im Wert von € 21.000 zu leasen. Der Händler macht ihr dabei das folgende Angebot: Sie muss € 5.000 als Anzahlung sofort überweisen und die nächsten 36 Monate nachschüssig eine bestimme Monatsrate einzahlen. Nach den 36 Monaten beträgt der Restwert noch € 9.000. Bestimmen Sie die Höhe der Rate, wenn mit einem Zinssatz von 3 % p.a. gerechnet wird.

</span>

<div class="mw-collapsible-content">

'''Lösung:'''
{| border="1"

|-
!| Händische Berechnung
!| Berechnung mit dem [[Rentenrechnung#TVM-Solver (Rechnen im TR) | TVM-Solver]]
|-
!colspan="2" | Zuerst veranschaulichen wir die Zahlungen graphisch:

[[Datei:Leasing-Bsp.png|thumb|400px|center|Darstellung der Aus- (rot) und Einzahlungen (grün)]]

|-
| Beim händischen Rechnen werden alle Zahlungen auf einen Zeitpunkt verzinst (siehe [[Äquivalenzprinzip | Äquivalenzprinzip (Vergleich von Einzahlungen)]]. Hier wird nun alles auf das dritte Jahr (=36 Monate) aufgezinst (genauso gut könnte aber auch alles auf den Beginn abgezinst werden).

Aus der der Graphik ergibt sich damit die folgende Gleichung:

$$21.000\cdot r^3=5.000 \cdot r^3+ \textrm{Endwert der 36 nachschüssigen Monatsraten} + 9.000 $$
$$ 21.000\cdot 1.03^3=5.000 \cdot 1.03^3+ R\cdot\frac{r_{12}^{36}-1}{r_{12}-1} + 9.000 $$
wobei $r_{12}=\sqrt[12]{1.03}=1.002466$ der monatliche Aufzinsungsfaktor ist.

Mithilfe des [[Solve-Befehl | Solve-Befehls]] erhält man:
$$\underline{\underline{R=225.64}}$$

A: Die monatliche Rate liegt bei € 225.64.

|
TVM-Solver:
*N=36,
*i=53,
*PV=-21000 + 5000 (da 21.000 Schulden und 5000 sofort eingezahlt werden)
*PMT=? $\rightarrow \underline{\underline{PMT=225.64}}$
*FV=9000 (da € 9000 der Restwert ist),
*P/Y=12,
*C/Y=1,
*End
|}

</div>
</div>

<br>
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<br>
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== TVM-Solver (Rechnen im TR) ==

Im Ti 82 kannst du die Beispiele auch im Taschenrechner mit dem TVM-Solver lösen.

Hier findest du eine [http://matura.marienberg.at/images/3/33/TVM-Solver.pdf Erklärung des Programms]

<br>
<br>

== Beispiele ==

[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=47&file=Sparkonto.pdf Sparkonto (Bifie-Aufgabe)]

[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=49&file=Kreditkonditionen.pdf Kreditkonditionen (Bifie-Aufgabe)]

[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=54&file=Bausparen_bis_2011.pdf Bausparen (Bifie-Aufgabe)]

[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=91&file=Immobilienhandel.pdf Immobilienhandel (Bifie-Aufgabe mit Schuldentilgung)] Siehe [[Schuldentilgung]]

[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=92&file=Ruecklage.pdf Rücklage (Bifie-Aufgabe)]

[[Kategorie:Finanzmathematik]]

Rentenrechnung

2014-06-17T05:58:28Z

80.120.118.126: /* Musterbeispiel mit Anzahlung + Rente + Restwert (Leasing) */

== Definition: Rente==
{| border ="1"
|Definition
|Unter einer '''Rente''' versteht man Einzahlungen, die
*<p style="background-color:#E0E0E0"> in gleichen Zeitabständen </p> UND
*<p style="background-color:#E0E0E0"> immer in gleicher Höhe </p>
getätigt werden.
Die Einzahlungen werden als '''Raten''' (R) bezeichnet.
|}

Typische Beispiele einer Rente sind:
* Taschengeld (jeden Monat erhälst du denselben Betrag von deinen Eltern)
* Bausparer (jeden Monat oder jedes Jahr wird ein konstanter Betrag eingezahlt)
* "Rente" in der Pension (der Pensionist erhält monatlich einen fixen Betrag überwiesen)

== Begriffe ==
Neben der '''Rate R (=Betrag, der regelmäßig eingezahlt wird)''' unterscheidet man folgende Punkte:

{|align="center" border="2"
!|Unterscheidungsmerkmal
!|Anfang
!|Ende
|- align="center"
|<p style="background-color:#E0E0E0"> Zeitpunkt der Einzahlung </p> || '''vorschüssig'''
= am Anfang der Zahlungsperiode
|| '''nachschüssig'''
= am Ende der Zahlungsperiode
|- align="center"
|<p style="background-color:#E0E0E0"> Zeitpunkt des Gesamtwertes </p>
|'''[[Barwert und Endwert|Barwert]]'''
= Gesamtwert am Anfang der Rentenzahlungen (z.B.: welche Schuld muss abgezahlt werden)
|'''[[Barwert und Endwert|Endwert]]'''
= Gesamtwert am Ende der Rentenzahlungen (Welcher Betrag wurde angespart)
|-align="center"
|<p style="background-color:#E0E0E0"> Einzahlungsperiode </p>
|Ganzjährige Rente
=Einzahlungen erfolgen jährlich
|Unterjährige Rente
= Einzahlungen erfolgen mehrmals im Jahr (z.B. monatlich).
|}

<span style="background-color:#00FFFF">!Wichtig! </span> Bei '''unterjährigen Renten''' muss der [[Zins- und Zinseszinsrechnung#b) der konforme (äquivalente) Zinssatz |äquivalente Zinssatz]] berechnet werden.

== Musterbeispiel ==

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> Anna schließt für sich einen Bausparvertrag mit 4% Verzinsung ab, bei dem sie am Ende jeden Jahres 1200 € einzahlt. Wie hoch ist der angesparte Betrag nach 5 Jahren (ohne staatliche Prämie)? Rechne mit einer [[Berechnung der KESt |KESt von 25%]]. </span>

<div class="mw-collapsible-content">

'''Lösung'''
# Gegeben und Gesucht
#* Rate R=1200
#* nachschüssig (Zahlungen am Ende des Jahres)
#* ganzjährige Rente (Zahlungen einmal jährlich)
#* $i=4\%$ <br> $\begin{align} \rightarrow& i_{eff}=4\cdot 0.75 = 3\%\\
\rightarrow& r=1+\frac{i_{eff}}{100}=1.03 \end{align} $
#* Endwert E=? (Anna will wissen, wie viel sie am Ende angespart hat) <br> <br> [[Datei:Rentenrechnung3.png|center]]
# Berechnung $$ 1200\cdot 1.03^4 + 1200\cdot 1.03^3 + 1200\cdot 1.03^2 + 1200\cdot 1.03 + 1200 = E $$ $$ \underline{\underline{6370.96=E}} $$ <br>
# Antwortsatz
#: Nach 5 Jahren hat Anna einen Betrag von € 6370.96 angespart.

</div>

</div>

== Formeln ==
Sei
: $ n\dots$ die Anzahl der Einzahlungen
: $ r\dots $ der (äuqivalente) [[Zins- und Zinseszinsrechnung#Aufzinsungsfaktor |Aufzinsungsfaktor]]
: $ v\dots $ der (äquivalente) Abzinsungsfaktor $v=\frac{1}{r}$
<br>
<br>
<br>
{|align="center" border="2"
!|
!|vorschüssig
!|nachschüssig
|- align="center"
!| Endwert
|$$E=R\cdot r\cdot\frac{r^n-1}{r-1}$$
|$$E=R\cdot \frac{r^n-1}{r-1}$$

|- align="center"
!|Barwert
|$$B=R\cdot \frac{v^n-1}{v-1}$$
|$$B=R\cdot v\cdot \frac{v^n-1}{v-1}$$

|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Herleitung der Formeln''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Hier siehst du die Herleitung der Formel für den nachschüssigen Endwert.$$E=R\cdot \frac{1-r^n}{1-r} $$
Die Herleitungen für die restlichen Formeln funktionieren ähnlich.
Der Endwert setzt sich aus der Summe aller Einzahlungen zusammen. Nehmen wir an, wir berechnen den Endwert einer nachschüssigen Rente über n Jahre, dann erhält man den Endwert, indem man alle Einzahlung auf das Ende verzinst und dann zusammenaddiert:

$$ E= R + R\cdot r+ R\cdot r^2 + R\cdot r^3+\dots + R\cdot r^{n-1} $$
wobei $R\cdot r^{n-1}$ die erste Zahlung ist, die $n-1$ Jahre aufgezinst werden muss und $R$ die letzte Zahlung ist.

Dies ist nun eine sogenannte geometrische Reihe, da jeder Summand sich nur durch die Multiplikation mit r unterscheidet.
Unter folgendem Link findest du die Herleitung der für die geometrische Formel $s_n=a_0\cdot \frac{1-q^n}{1-q} $, wobei $E=s_n$, $R=a_0$ und $r=q$ ist: [http://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe#Herleitung_der_Formel_f.C3.BCr_die_Partialsummen Herleitung der Endwertformel]

</div>

</div>

== Musterbeispiel einer ganzjährigen Rente ==

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Angabe:''' Frau Aah zahlt 15 Jahre lang am Anfang jedes Jahres € 1.000 auf ein mit 4% verzinstes Sparbuch ein.

a) Bestimme den nach 15 Jahren angesparten Betrag. Beachte dabei die [[KESt]] von 25%.

b)Von dem ersparten Geld will sie 20 vorschüssige Jahresraten beheben, die 5 Jahre nach der letzten Einzahlung beginnen. Berechnen Sie die Höhe der Rate. </span>

<div class="mw-collapsible-content">

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung a)'''</span>

<div class="mw-collapsible-content">
* $R=1000$
* $i_{eff}=4\cdot 0.75=3\% \rightarrow r=1.03$
* $n=15$
* vorschüssig (da am Anfang vom Jahr eingezahlt wird)
* $E_{15} = $?

Mithilfe der vorschüssigen Endwertformel erhalten wir:
$$ E_{15}=R\cdot r\cdot \frac{r^n-1}{r-1} $$
$$ E_{15}=1000 \cdot 1.03 \frac{1.03^{15}-1}{1.03-1} $$
$$\underline{\underline{E_{15}=19156.88}} $$

Somit hat Frau Aah nach 15 Jahren € 19156.88 angespart.

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</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung b)''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Der Satz "''die 5 Jahre nach der letzten Einzahlung beginnen''" sagt uns, dass der Betrag $E_{15}$ fünf Jahre lang auf der Bank liegen bleibt. Durch Aufzinsen erhalten wir nun den Betrag nach diesen 5 Jahren (d.h. nach insgesamt 20 Jahren von Beginn weg):
$$ E_{20}=E_{15}\cdot r^5$$
$$ E_{20}=19156.88\cdot 1.03^5$$
$$ E_{20}=22208.07$$

Nach 20 Jahren liegen somit € 22208.07 auf der Bank. Nun will Frau Aah von diesem Betrag 20 vorschüssige Jahresraten abheben.
Das Angesparte Geld $E_{20}$ ist jener Wert ''am ANFANG'' der Auszahlungen. Somit ist $E_{20}=B$, der neue Barwert.

*$B=E_{20}=22208.07$
*$n=20$
*$r=1.03 \rightarrow v=0.97087\dots $
*$R=?$
*vorschüssig

Mit der Formel für den vorschüssigen Barwert erhalten wir:
$$ B=R\cdot \frac{v^{20}-1}{v-1} $$
$$ B\cdot (v-1)=R\cdot (v^{20}-1) $$
$$ \frac{B\cdot (v-1)}{(v^{20}-1)}=R $$
$$ \frac{22208.07\cdot (0.97087-1)}{(0.97087^{20}-1)}=R $$
$$ \underline{\underline{1449.25=R}}$$

Antwort: Frau Aah kann 20 Jahre lang € 1449.25 abheben.

FN (N =20, I% = 4, PV =Ergebnis von a) aufgezinst, PMT = solve, FV = 0, P/Y = 1, C/Y = 1, Beginn)

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== Musterbeispiel einer unterjährigen Rente ==
Wichtig!! Wenn die Raten mehrmals im Jahr eingezahlt werden, muss mit dem [[Zins- und Zinseszinsrechnung#b) der konforme (äquivalente) Zinssatz | äquivalenter Zinssatz]] gerechnet werden.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Angabe:''' Frau Des nimmt einen Kredit von € 15.000,‐ mit einer Laufzeit von 10 Jahren auf, den sie in
nachschüssigen Monatsraten zurückzahlen will (i = 5%). Berechnen Sie die Höhe der Raten.
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<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung'''
*$B=15000$
*$n=10\cdot 12=120$
*$i=5\% \rightarrow r_1=1.05 \rightarrow r_{12}=\sqrt[12]{1.05} \rightarrow r_{12}=1.00407\dots \rightarrow v_{12}=0.99594\dots$
*nachschüssig
*$R=$?

Durch Verwendung der [[Rentenrechnung#Formeln |nachschüssigen Barwertformel]] ergibt sich:

$\begin{align}
B&=R\cdot v\cdot \frac{v^{120}-1}{v-1} & & |\cdot (v-1) & \textrm{und} :(v\cdot (v^{120}-1))\\
\end{align}$

$\begin{align}
\frac{B\cdot (v-1)}{v\cdot(v^{120}-1)}&=R &&\\
\end{align}$

$$ \underline{\underline{158.29=R}} $$

Antwort: Sie muss monatilich € 158.29 einzahlen.

FN (N = 120, I% =100(1,05^(1/12)‐1), PV = 0, PMT = solve, FV =0, P/Y = 1, C/Y= 1, END) 158.29
Achtung: P/Y bezeichnet die Einzahlungen pro Zinsperiode. Diese ist nun aber 1!
(Alternative: FN (N = 120, I% =5, PV = 0, PMT = solve, FV =0, P/Y = 12, C/Y= 1, END) 158.29 … Y ist das Jahr)

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== Musterbeispiel für eine Rentenrechnung mit Restbetrag ==

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">
<span style="color:#A020F0>
Auf Petras Sparbuch befindet sich momentan ein hoher Geldbetrag, von dem sie die nächsten 16 Jahre lang jährlich nachschüssig je € 1.000 abheben könnte. (i=5 % p.a.)
* Berechne, wie oft sie dafür statt € 1.000 insgesamt € 2.000 jedes Halbjahr abheben könnte.
* Ermittle zusätzlich, wie hoch der Restbetrag ist, der zeitgleich mit der letzten Vollrate fällig ist.
</span>
<div class="mw-collapsible-content">

{| border="1" align="center"
|-
!| Händische Berechnung
!| Berechnung mit dem [[Rentenrechnung#TVM-Solver (Rechnen im TR) | TVM-Solver]]
|-
!colspan="2" | 1. Zuerst berechnen wir den Barwert von Petras 16 nachschüssigen Abhebungen (= wie viel hat sie heute auf dem Konto, um 16 mal € 1000 abzuheben)
|-
|
*B=?,
*nachschüssig,
*R=1000,
*n=16,
*i=5 % p.a. $\rightarrow$ r=1.05$\rightarrow$ v=0.95…

$$ B=R\cdot v\cdot \frac{v^{16}-1}{v-1} $$
$$\underline{\underline{B=10.837.77}}$$

|
TVM-Solver:
*N=16,
*i=5,
*PV=? $\rightarrow \underline{\underline{PV=10.837.77}}$
*PMT=-1000 (Minus, da sie 1000 abhebt),
*FV=0 (da € 0 auf dem Konto bleiben),
*P/Y=1,
*C/Y=1,
*End

|-
! colspan="2" | 2. Nun berechnen wir, wie oft Petra von den 10837.77 die € 2000 jedes halbe Jahr abheben kann. Gefragt ist also das n.

|-
|
<span style="background-color:yellow">!Achtung! </span> Wenn mehrmals im Jahr abgehoben wird (=unterjährige Rente), brauchen wir beim händischen Rechnen den [[Zins- und Zinseszinsrechnung#b) der konforme (äquivalente) Zinssatz | konformen Aufzinsungsfaktor $r_m$ ]] In diesem Fall brauchen wir r_2, da jedes halbe Jahr abgehoben wird.
*B=10837.77
*R=2000
*n=?
*r=1.05 $\rightarrow r_2=\sqrt{1.05}=1.02469…\rightarrow v_2=\frac{1}{r_2}=0.975$…
$$B=R\cdot v_2\cdot \frac{(v_2)^n-1}{v_2-1} \ \ \rightarrow n=5.89$$

Somit kann sie 5 Vollraten abheben, für die 6. Rate reicht es gerade nicht mehr aus (dies sind die 0.89)

| Beim TVM-Sover brauchen wir den konformen Zinssatz nicht. Hier reicht es, für P/Y (=Zahlungen pro Jahr, Payments per Year) den Wert 2 einzusetzen:

*N=? $\rightarrow N=5.89$
*i=5
*PV=10837.77 (Wert von vorher drinnen stehen lassen)
*PMT=-2000
*FV=0
*P/Y=2 (da 2mal im Jahr abgehoben wird)
*C/Y=1
*End

|-
! colspan="2" |3. Zuletzt berechnen wir den Restbetrag, jenen Betrag, der bei der letzten Abhebung von € 2000 noch auf dem Konto bleibt. Die folgende Graphik soll den Sachverhalt verdeutlichen

[[Datei:Bsp mit Restbetrag.png|thumb|1200px|center|Darstellung aller Auszahlungen (rot)]]

|-
|Sei B_5 der Barwert der 5 Auszahlungen von € 2000, dann kann die obige Abbildung mithilfe des [[Äquivalenzprinzip (Vergleich von Einzahlungen) | Äquivalenzprinzips]] folgendermaßen angeschrieben werden:
$$ 10837.77 = B_5 +\frac{ \textrm{Restbetrag}}{(r_2)^5}$$
Zusätzlich erhält man $B_5$ mithilfe der nachschüssigen Barwertformel $ B_5=R\cdot v_2 \cdot \frac{(v_2)^5-1}{v_2-1} $, wobei $R=2.000$ und $v_2=0.975…$ (siehe oben) ist. Dadurch erhält man:
$$ B_5=9299.82$$
Der Barwert aller Abhebungen in den 5 Semestern beträgt 9299.82 abgehoben.
Daraus ergibt sich für den Restbetrag, dass
$$ B=B_5+\frac{Restbetrag}{(r_2)^5} $$
$$ 10837.77= 9299.82+\frac{Restbetrag}{(r_2)^5} $$
$$ \frac{Restbetrag}{(r_2)^5} =1537.95 $$
$$\underline{\underline{Restbetrag=1737.46}}$$

Somit wird am Ende ein Restbetrag von zusätzlich € 1737.46 abgehoben.

Alternativ hätte auch alles auf das Ende des 5. Semesters aufgezinst werden können. Hier hätten wir ebenfalls 1737.46 erhalten.

|
Wir wollen also wissen, wie viel am Ende (=FV=Restbetrag) noch auf dem Konto bleibt, wenn wir 5mal (N=5) abgehoben haben:

*N=5
*i=5
*PV= 10837.77
PMT= -2000
*FV=? $\rightarrow FV=1737.46$
*P/Y=2
*C/Y=1
*End
Somit beträgt der Restbetrag noch € 1737.46, die mit der letzten Rate ebenfalls abgehoben werden.

|}
</div>
</div>
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== Musterbeispiel mit Anzahlung + Rente + Restwert (Leasing) ==

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0>

Anna plant ein Fahrzeug im Wert von € 21.000 zu leasen. Der Händler macht ihr dabei das folgende Angebot: Sie muss € 5.000 als Anzahlung sofort überweisen und die nächsten 36 Monate nachschüssig eine bestimme Monatsrate einzahlen. Nach den 36 Monaten beträgt der Restwert noch € 9.000. Bestimmen Sie die Höhe der Rate, wenn mit einem Zinssatz von 3 % p.a. gerechnet wird.

</span>

<div class="mw-collapsible-content">

'''Lösung:'''
{| border="1"

|-
!| Händische Berechnung
!| Berechnung mit dem [[Rentenrechnung#TVM-Solver (Rechnen im TR) | TVM-Solver]]
|-
!colspan="2" | Zuerst veranschaulichen wir die Zahlungen graphisch:

[[Datei:Leasing-Bsp.png|thumb|400px|center|Darstellung der Aus- (rot) und Einzahlungen (grün)]]

|-
| Beim händischen Rechnen werden alle Zahlungen auf einen Zeitpunkt verzinst (siehe [[Äquivalenzprinzip | Äquivalenzprinzip (Vergleich von Einzahlungen)]]. Hier wird nun alles auf das dritte Jahr (=36 Monate) aufgezinst (genauso gut könnte aber auch alles auf den Beginn abgezinst werden).

Aus der der Graphik ergibt sich damit die folgende Gleichung:

$$21.000\cdot r^3=5.000 \cdot r^3+ \textrm{Endwert der 36 nachschüssigen Monatsraten} + 9.000 $$
$$ 21.000\cdot 1.03^3=5.000 \cdot 1.03^3+ R\cdot\frac{r_{12}^{36}-1}{r_{12}-1} + 9.000 $$
wobei $r_{12}=\sqrt[12]{1.03}=1.002466$ der monatliche Aufzinsungsfaktor ist.

Mithilfe des [[Solve-Befehl | Solve-Befehls]] erhält man:
$$\underline{\underline{R=225.64}}$$

A: Die monatliche Rate liegt bei € 225.64.

</div>

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|
TVM-Solver:
*N=36,
*i=53,
*PV=-21000 + 5000 (da 21.000 Schulden und 5000 sofort eingezahlt werden)
*PMT=? $\rightarrow \underline{\underline{PMT=225.64}}$
*FV=9000 (da € 9000 der Restwert ist),
*P/Y=12,
*C/Y=1,
*End
|}

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== TVM-Solver (Rechnen im TR) ==

Im Ti 82 kannst du die Beispiele auch im Taschenrechner mit dem TVM-Solver lösen.

Hier findest du eine [http://matura.marienberg.at/images/3/33/TVM-Solver.pdf Erklärung des Programms]

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== Beispiele ==

[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=47&file=Sparkonto.pdf Sparkonto (Bifie-Aufgabe)]

[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=49&file=Kreditkonditionen.pdf Kreditkonditionen (Bifie-Aufgabe)]

[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=54&file=Bausparen_bis_2011.pdf Bausparen (Bifie-Aufgabe)]

[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=91&file=Immobilienhandel.pdf Immobilienhandel (Bifie-Aufgabe mit Schuldentilgung)] Siehe [[Schuldentilgung]]

[http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=92&file=Ruecklage.pdf Rücklage (Bifie-Aufgabe)]

[[Kategorie:Finanzmathematik]]