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Wahrscheinlichkeit: Diskrete Zufallsvariablen und die Binomialverteilung

2014-11-27T09:37:11Z

80.110.29.195: /* Erwartungswert und Standardabweichung */

== Zufallsvariablen ==
{{Vorlage:Definition|1=Das Ergenis eines Zufallsexperimentes kann mithilfe einer "'''''Zufallsvariable'''''" $X$ beschrieben werden.

Die '''Zufallsvariable''' ordnet dabei jedem Einzelereignis eine reelle Zahl zu.

Beispiel: Beim Würfeln mit einem Würfel kann die Zufallsvariable die Werte 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 zufällig annehmen (d.h. $X\in \{1;2;3;4;5;6\}=$Wertebereich von $X$).
Die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ die Zahl 6 annimmt ist:
$$P(X=6)=P(6er\ würfeln)=\frac{1}{6}$$
}}

Man unterscheidet zwischen 2 Typen von Zuvallsvariablen:
* Die '''diskrete Zufallsvariable''' hat einen abzählbaren Wertebereich (z.B. Anzahl von Personen)
* Die '''stetige Zufallsvariable''' hat als Wertebereich ein Intervall in den [[Theorie Zahlenmengen (1.1.) | reellen Zahlen]] einen nicht abzählbaren Wertebereich

Mithilfe der Zufallsvariable wird uns nun das Berechnen der folgenden Aufgaben erleichtert.

== Diskrete Zufallsvariablen ==
Diskrete Zufallsvariablen haben einen abzählbaren Wertebereich (z.B. Anzahl von Personen).

=== Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktion ===
{{Vorlage:Definition|1=
Die '''''Wahrscheinlichkeitsfunktion $f$''''' ordnet jedem Einzelereignis seine Wahrscheinlichkeit zu:
$$f: f(x_i)=P(X=x_i)$$
wobei $x_i$ ein Einzelereignis (z.B.: $x_1...1er\ würfeln,\ x_2...2er\ würfeln$ usw.) und $P(X=x_i)$ die dazugehörige Wahrscheinlichkeit ist: $P(X=x_1)=P(X=1er)=\frac{1}{6}...$)
}}

Die folgende Abbildung zeigt die Verteilungsfunktion für die Zuvallsvariable $X$, die die Augenzahl beim zufälligen Wurf eines Würfels zählt:
[[Datei:Diskrete Wahrscheinlichkeitsfkt beim Würfeln.png|400px|miniatur|zentriert|Jedes Ereignis $x_i$ hat als Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{6}\approx 0.17$]]

Wollen wir nun wissen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass man beim Würfelwurf eine Zahl $\leq 3$ würfelt, som müssen wir $P(X\leq 3)$ berechnen:
$$P(X\leq 3)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{3}{6}$$

{{Vorlage:Definition|1= Die '''''Verteilungsfunktion $F$''''' ist definiert als $F(x_i)=P(X\leq x_i)$. Sie gibt also immer die Wahrscheinlichkeit an, dass die Zufallsvariable $X$ einen Wert kleiner oder gleich dem Wert von $x_i$ annimmt.}}

Die folgende Graphik zeigt die Verteilungsfunktion für die Zuvallsvariable $X$, die die Augenzahl beim zufälligen Wurf eines Würfels zählt:
[[Datei:Diskrete Verteilungsfunktion beim Würfeln.png|400px|miniatur|zentriert|Verteilungsfunktion $F$ für die das Würfeln eines Würfels, wobei $X$ die Augenzahl angibt. ]]

{{Vorlage:Ausklapp|1=
'''Hinweise zur Verteilungsfunktion''':
|2=
Die Funktion $F$ macht aus folgenden Gründen immer Sprünge:
: - die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl kleiner als $1$ gewürfelt wird ($=P(X<1)$) ist $0$, somit sind alle Funktionswerte von $F$ links der 1 gleich 0.
: - Bei $X=1$ macht die Verteilungsfkt $F$ einen Sprung. Anschließend ist für alle $X<2$ die Wahrscheinlichkeit $P(X<2)=\frac{1}{6}\approx 0.17$ (die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl kleiner als 2 gewürfelt wird ist $\frac{1}{6}$)
: - Bei $X=2$ macht die Funktion wieder einen Sprung um den Wert $\frac{1}{6}\approx 0.17$, da hier die Wahrscheinlichkeit für eine 2 ($=P(X=2)=\frac{1}{6}$) hinzukommt.
: - Ab $X=6$ hat die Verteilungsfunktion durchgängig den Wert $1$, da gilt $P(X<=6)=1$ (die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wert kleiner oder gleich 6 gewürfelt wird, ist 1).
: - Die Höhe der Sprünge entsprichgt gerade der Höhe der Funktionswerte, bei der '''Wahrscheinlichkeitsfunktion''' (siehe oben).
}}

=== Erwartungswert und Standardabweichung ===
Im Kapitel [[Beschreibende Statistik]] haben wir bereits Begriffe wie die [[relative Häufigkeit]], das [[arithmetische Mittel]] und die [[Standardabweichung]] kennen gelernt.
Auch in der Wahrscheinlichkeitsrechnung gibt es ähnliche Konzepte: Wahrscheinlichkeit, Erwartungswert und Standardabweichung:

{{Vorlage:Video|1=w3hc_B_GhYw}}

{| class="wikitable"
|-
! Idee ... !! in der Wahrscheinlichkeitsrechung !! in der Statistik
|-
| Prozent || '''Wahrscheinlichkeit''' $$P(X=x_i)$$ || '''relative Häufigkeit''' $$h_i=\frac{H_i}{n}$$
|-
| Mittel/Durchschnitt|| '''Erwartungswert $E(X)$ oder $\mu$''' $$\mu=\sum_{i=1}^{n}x_i\cdot P(X=x_i)$$|| '''Arithmetisches Mittel''' $$\bar{x}=\sum_{i=1}^{n}x_i\cdot h_i$$
|-
| Streuung/Abweichung vom Mittel || '''Standardabweichung''' $$\sigma=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2\cdot P(X=x_i)}$$|| '''Standardabweichung''' $$\sigma=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2\cdot h_i}$$
|}

{{Vorlage:Beispiel|1= Berechnen Sie
a) den Erwartungswert
b) die Standardabweichung
beim Wurf eines sechsseitigen Würfels, wobei die Zufallsvariable $X$ die Augensumme angibt $($d.h. $X\in \{1;2;3;4;5;6\})$.
|2=
a) Zuerst machen wir uns eine Wertetabelle der Wahrscheinlichkeitsfunktion $f: f(x_i)=P(X=x_i)$:
[[Datei:Wertetabelle-wahrscheinlichkeitsfkt-Würfel.png|center|300px]]
Der Erwartungswert $E(X)=\mu=\sum_{i=1}^{n}x_i\cdot P(X=x_i)$. Setzen wir die Werte aus der Tabelle in die Formel ein, so erhalten wir:
$$
\sum_{i=1}^{n}x_i\cdot P(X=x_i)=\underbrace{1}_{x_1}\cdot \underbrace{\frac{1}{6} }_{P(X=x_1) }+2\cdot \frac{1}{6} +3\cdot \frac{1}{6} +4 \cdot \frac{1}{6}+5\cdot \frac{1}{6}+6\cdot \frac{1}{6}=\underline{\underline{3.5} }$$

Der Erwartungswert $\mu$ beträgt also 3.5. Natürlich kann man aber beim einmaligen Würfeln nicht 3.5 Würfeln. Man kann den Erwartungswert aber so interbretieren, dass, wenn man lange genug würfelt, der Durchschnitt bei 3.5 liegen wird.

b) Die Standardabweichung $\sigma=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2\cdot P(X=x_i)}$

Setzen wir wieder alles in die Formel ein (siehe obige Wertetabelle und $\mu=3.5$):
$$\sigma=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2\cdot P(X=x_i)}=\\
\sqrt{(1-3.5)^2\cdot \frac{1}{6}+(2-3.5)^2\cdot \frac{1}{6}+(3-3.5)^2\cdot \frac{1}{6}+(4-3.5)^2\cdot \frac{1}{6}+(5-3.5)^2\cdot \frac{1}{6}+(6-3.5)^2\cdot \frac{1}{6} }\\
=\underline{\underline{1.71} }$$

}}

=== Exkurs: Kombinatorik - Die Kunst des Abzählens ===

Schau dir folgendes Video eines sogenannten [http://de.wikipedia.org/wiki/Galtonbrett Galtonbretts] an:

{{Vorlage:Video|1=3m4bxse2JEQ}}

Die Kugeln fallen bei jedem Hölzchen entweder nach links oder nach rechts. Interessant dabei ist, dass alle Kugeln, die am Ende im selben Behälter landen, gleich oft nach links und nach rechts gefallen sind. z.B.:
* Alle Kugeln, die im den Behälter ganz links landen, sind bei jedem Hölzchen nach links gefallen (da es sehr unwahrscheinlich ist, immer nach links zu fallen, befinden sich hier auch keine Kugeln).
* Alle Kugeln, die in den 2. Behälter von links fallen, müssen einmal nach rechts fallen und sonst immer nach links.
* Alle Kugeln, die in den 3. Behälter von links fallen, müssen zweimal nach rechts fallen und sonst immer nach links.
*...

Die Frage ist nun nur, wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, bei insgesamt $n$ Hölzchen (=Möglichkeiten nach links oder rechts zu fallen) insgesamt $k$-mal nach links und (n-k)-mal nach rechts zu fallen?

Die Antwort ist
$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}$$
wobei
* $n!$ heißt "n-faktorielle" oder "n-Fakultät" und bedeutet: $n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot ...\cdot (n-1)\cdot n$ ist (alle Zahlen von 1 bis $n$ multipliziert).
* $\binom{n}{k}$ ist der sogenannte Binomialkoeffizient und gibt '''die Anzahl der Möglichkeiten an, bei n Fällen insgesamt k-mal nach links und (n-k)-mal nach rechts zu gehen'''.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

 '''Begründung für diese Formel:''' 

<div class="mw-collapsible-content">
'''1. Begründung für $n!$:''' 
Nehmen wir an, wir haben 4 Personen und insgesamt 4 Plätze, auf die wir sie setzen können. Wie viele verschiedene Reihenfolgen gibt es, die Personen zu reihen?
'''Erklärung:''' Betrachte zuerst das folgende Video (ab Minute 18:22)

{{Vorlage:Video|YnoTCliYiOA?t}}

'''Antwort:''' Es gibt $$4!=4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24$$ Möglichkeiten 4 Personen auf 4 Plätze zu setzen
(für den ersten Platz gibt es 4 mögliche, für den zweiten Platz noch 3, für den dritten Platz noch 2, und für den letzten Platz noch 1).

'''2. Begründung für $\frac{n!}{(n-k)!}$:''' 
Nehmen wir nun an, wir haben 9 Personen, aber immer noch 4 Plätze. Wie viele Möglichkeiten gibt es nun aus den 9 Personen 4 zufällig auszuwählen und auf die 4 Plätze zu setzen?
'''Erklärung:''' Betrachte zuerst das folgende Video (ab Minute 26:09)

{{Vorlage:Video|YnoTCliYiOA?t}}

'''Antwort:''' Es gibt $$\frac{9!}{(9-4)!}=9\cdot 8\cdot 7\cdot 6$$ Möglichkeiten 4 von 9 Personen auf die Plätze zu setzen.

3. Begründung für $\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}$: 
Nun überlegen wir uns, wir haben 9 Personen und 4 Plätze. Wie viele Möglichkeiten gibt es dann, die Plätze zu besetzen, '''wenn uns die Reihenfolge egal''' ist?
'''Erklärung:''' Wir wissen bereits, dass es $\frac{9!}{(9-4)!}$ Platzierungsmöglichkeiten gibt. Zwei dieser Möglichkeiten wären die folgenden:

[[Datei:Binomailverteilung - ziehung - version 1.png|gerahmt|zentriert]]
und
[[Datei:Binomailverteilung - ziehung - version 2.png|gerahmt|zentriert]]
Da uns dieses Mal die Reihenfolge egal ist, gehören beide Bilder zum selben Ergebnis. Genauso gehören alle weiteren Vertauschungen von dieser Ziehung zur selben Kombination.
Insgesamt können wir diese Kombination auf $4!$-Möglichkeiten vertauschen. Somit erhalten wir als Gesamtformel:
$$\frac{9!}{(9-4)!}\cdot \frac{1}{4!}$$
wobei wir mit $\frac{1}{4!}$ alle Variationen, die sich nur in der Reihenfolge unterscheiden, abziehen.

Zusammenfassend heißt das: Insgesamt gibt es $\frac{9!}{(9-4)!}\cdot \frac{1}{4!}$ möglichkeiten, aus einer Menge von 9 Personen, 4 Leute auszuwählen, ohne dabei die Reihenfolge zu beachten.

Eine verkürzte Schreibweise ist nun der sogenannte Binimialkoeffizient
$$\binom{9}{4}=\frac{9!}{(9-4)!}\cdot \frac{1}{4!}$$
der angibt, wie viele Möglichkeiten es gibt, 9 Personen auf 4 Plätze zu setzen, wenn die Reihenfolge egal ist.

Allgemein:
$$\binom{n}{k}=\frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}$$
gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, aus $n$ Elementen $k$ auszuwählen (ohne Berücksichtigung der Reihenfolge).
</div>

</div>

Hier noch eine weitere eine Erklärung mit dem Galton-Brett:

{{Vorlage:Video|4rNiwedqmmQ}}

{{Vorlage:Merke|1= Der Binomialkoeffizient
$$\binom{n}{k} =\frac{n!}{k!\cdot (n−k)!}$$
gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, aus einer Menge mit $n$ Objekten insgesamt $k$ auszuwählen (ohne Berücksichtigung der Reihenfolge). }}

=== Lotto ===
Mit dieser Überlegung können wir uns nun ganz einfach die Wahrscheinlichkeit für einen Lottogewinn berechnen. Beim Lotto werden insgesamt 6 von 45 Kugeln gezogen. Dabei ist die Reihenfolge, egal.

* Die Anzahl der möglichen Ziehungen ist somit $\binom{45}{6}=8.145.060$ (aus 45 Kugeln werden 6 gezogen).
* Die Anzahl der günstigen Möglichkeiten $\binom{6}{6}=1$

Somit ist die Wahrscheinlichkeit für einen Lotto-6er:
$$P(Lotto-6er)=\frac{günstige}{mögliche}=\frac{\binom{6}{6}}{\binom{45}{6}}=\frac{1}{8.145.060}$$

{{Vorlage:Beispiel|1=Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, beim Lotto 5 der 6 richtigen auszuwählen.
|2= 

* Die Anzahl der möglichen Ziehungen ist wieder $\binom{45}{6}=8.145.060$ (aus 45 Kugeln werden 6 gezogen).
* Die Anzahl der günstigen Möglichkeiten $\binom{6}{5}=6$ (aus 6 Kugeln werden 5 gezogen).
$$P(5er)=\frac{günstige}{mögliche}=\frac{\binom{6}{5} }{\binom{45}{6} }=\frac{6}{8.145.060}$$
}}

== Bernoulli-Experiment und die Binomialverteilung ==
=== Definition und Formel ===
Im Folgenden betrachten wir ein sogenanntes:

{{Vorlage:Definition|1= '''Bernoulli-Experiment'''
Dies sind Experimente, bei denen es
# '''genau zwei mögliche Ergebnisse''' $E$ und $\bar{E}$ (nicht $E$) gibt und
# sich die '''Wahrscheinlichkeit''' für die einzelnen Ereignisse '''nicht ändert'''. D.h. für alle Versuchsausgänge gilt $P(E)=p$ und $P(\bar{E})=1-p$. }}

Typische Beispiele hierfür wären:
* Ziehen von roten und blauen Kugeln aus einer Urne '''mit zurücklegen'''. Die Zuvallsvariable $X$ zählt das auftreten von roten Kugeln.
* Merhmaliges Würfeln mit einem Würfel. Die Zuvallsvariable $X$ zählt das Auftreten eines $6er$.
* Multiple-Choice-Tests. Die Zufallsvariable $X$ zählt die richtigen Antworten.

{{Vorlage:Beispiel|1= Sie stehen vor einer Urne mit 7 roten und 13 blauen Kugeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei 4 maligem Ziehen, 3 mal eine rote Kugel zu erhalten?
|2=
Die Zufallsvariable $X$ zählt die Anzahl der roten Kugeln. Gefragt ist also
$$P(X=3)=?$$

[[Datei:Binomialverteilung-Kugeln-mW.png|600px|miniatur|zentriert|Baumdiagramm für das dreimalige Ziehen aus einer Box mit 7 roten und 13 blauen Kugeln]]

* Anzahl der Pfade zu unserem Ergebnis: Um von 4 Ziehungen 3 mal eine rote Kugel zu ziehen gibt es $\binom{4}{3}=4$-Möglichkeiten, nämlich:
(r,r,r,b); (r,r,b,r); (r,b,r,r,); (b,r,r,r).

* Die Wahrscheinlichkeit für dreimal rot ist $p^3\cdot (1-p)^1$ mit $p=\frac{7}{20}$.
: Begründung: Nehmen wir zum Beispiel (r,r,r,b).
Die Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen ist $p=\frac{7}{20}$. Die Wahrscheinlichkeit eine blaue Kugel zu ziehen ist $(1-p)=\frac{13}{20}$.
Somit ist die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis (r,r,r,b) aufgrund der [[Wahrscheinlichkeit:Grundlagen#Multiplikationsregel|Multiplikationsregel]]
$$p\cdot p\cdot p\cdot (1-p)=p^3\cdot (1-p)^1$$
Für die anderen Ausfälle(r,r,b,r); (r,b,r,r,); (b,r,r,r) kommt man auf dasselbe Resultat. Somit erhalten wir:
$$P(X=3)=\underbrace{\binom{4}{3} }_{\textrm{Anzahl der Fälle} }\cdot \underbrace{p^3\cdot (1-p)^1}_{\textrm{Wahrscheinlichkeit für einen dieser Fälle} }=4\cdot (\frac{7}{20})^3\cdot \frac{13}{20}= 0.1115=11.15\%$$
}}

{{Vorlage:Definition|1= '''Binomialverteilung und Formel'''
Es wird ein Bernoulli-Experiment (2 Ereignisse: Erfolg oder Misserfolg) n-mal durchgeführt, wobei die Erfolgswahrscheinlichkeit $p$ konstant bleibt.

Die Zufallsvariable $X$ zählt die Anzahl der Erfolge.

Dann ist $X$ '''binomialverteilt (kurz: $B(n;p)$) mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion
$$P(X=k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$$
}}

{{Vorlage:Merke|1= Die Formel für die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung:

$$P(X=k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$$

setzt sich folgendermaßen zusammen:
* $\binom{n}{k}...$ Anzahl der Möglichkeiten, dass von $n$ Versuchen der Erfolg insgesamt $k$-mal eintritt.
* $p^k...$ Wahrscheinlichkeit, dass der Erfolg insgesamt $k$-mal eintritt.
* $(1-p)^{n-k}...$ Wahrscheinlichkeit, dass der Erfolg insgesamt $n-k$-mal '''NICHT''' eintritt.
}}

{{Vorlage:Merke|1= Für eine Zufallsvariable $X$, die $B(n;p)-$verteilt ist, gilt:
* Erwartungswert: $E(x)=\mu=n\cdot p$
* Standardabweichung: $\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p) }$
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Ein Würfel wird 30-mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit 
a) 8-mal eine 6 zu würfeln? 
b) niemals eine 6 zu Würfeln? 
c) maximal einmal eine 6 zu würfeln? 
d) mindestens zweimal eine 6 zu würfeln.
e) Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung.
|2=
Die Zuvallsvariable $X$ zähle das Vorkommen einer 6. Da es sich um ein Bernoulli-Experiment handelt (zwei Ereignisse: 6er oder kein 6er und die Wahrscheinlichkeit für eine 6 bleibt konstant $p=\frac{1}{6}$) ist $X$ verteilt mit $n=30$ und $p=\frac{1}{6}$ und es gilt:
$$P(X=k)=\binom{30}{k}\cdot (\frac{1}{6})^k\cdot (\frac{5}{6})^{30-k}$$

a) Gesucht ist $P(X=8)$. Setzen wir das in die Formel ein, so erhalten wir:
$$P(X=8)=\binom{30}{8}\cdot (\frac{1}{6})^8\cdot (\frac{5}{6})^{30-8}=0.0632=6.32\% $$
[[Datei:Würfel-a.png|400px|miniatur|zentriert|Die Höhe des blauen Balken gibt die Wahrscheinlichkeit für 8 Sechser an. ]]

b) Gesucht ist $P(X=0)$, dies kann entweder einfach über die Multiplikationsregel $(P(X=0)=(\frac{5}{6})^30)$ berechnet werden, oder mit der Formel für die Binomialverteílung:
$$P(X=k)=\binom{30}{0}\cdot (\frac{1}{6})^0\cdot (\frac{5}{6})^{30-0}=0.0042=0.42\% $$

c) Gesucht ist $P(X\leq 1)$:
$$P(X\leq 1)=P(X=0)+P(X=1)=\underbrace{0.0042}_{P(X=0)}+\underbrace{\binom{30}{1}\cdot (\frac{1}{6})^1\cdot (\frac{5}{6})^{30-1} }_{P(X=1)}=0.0042+0.0253=0.0295=2.95\% $$
[[Datei:Würfel-c.png|400px|miniatur|zentriert|Eingefärbt sind P(X=0) und P(X=1). Zusammen ergeben Sie die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P(X\leq 1)$.]]

d) Betrachten wir die obige Abbildung von Aufgabe c). Dann ist die Wahrscheinlichkeit mindestens zweimal eine 6 zu ziehen $(P(X\geq 2))$gerade die weiß eingefärbte Fläche.
Mithilfe der Gegenwahrscheinlichkeit erhalten wir:
$$P(X\geq 2)=1-P(X\leq 1)=1-0.0295=0.9705=97.05\% $$

e)
* $E(x)=n\cdot p=30\cdot \frac{1}{6}=5$ (dies kann man auch aus den obigen Graphen herauslesen!)
* $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{30\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{5}{6} }=\sqrt{\frac{25}{6} }\approx 2.04$.
}}

=== Typischer Graph der Wahrscheinlichkeitsfunktion ===
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung wird in der Regel als [[Histogramm]] dargestellt.

[[Grün: Arbeitsblätter | $Aha!$ ]] [http://geogebratube.org/student/m188423 In diesem Arbeitsblatt lernst du den Grafen einer binomialverteilten Zufallsvariable besser kennen]

<gallery>
Datei:Wfkt-B(10,0.2)png.png|Rechtsschiefe Binomialverteilung mit $n=10$ und $p=0.2$. Damit ist $E(x)=2$ und $\sigma=2.26$
Datei:Wfkt-B(10,0).png|symmetrische Binomialverteilung mit $n=10$ und $p=0.5$. Damit ist $E(x)=5$ und $\sigma=1.58$
Datei:Wfkt-B(10,0.7).png|Linksschiefe Binomialverteilung mit $n=10$ und $p=0.7$. Damit ist $E(x)=7$ und $\sigma=1.45$
</gallery>
{{Merke|1='''Eigenschaften:'''
* Die Höhe und Fläche eines Balkens geben die Wahrscheinlichkeit $P(X=k)$ an.
* Die gesamte Fläche aller Balken beträgt 1 ($=100$%). Rechnerisch: $\sum_{k=0}^{n} P(X=k)=1$
* Der höchste Balken befindet sich immer beim Erwartungswert.
* Je größer die Standardabweichung ist, desto flacher ist der Graph
* Ist $p\leq 0.5$, so ist der Graph '''rechtssschief'''
* Ist $p\geq 0.5$, so ist der Graph '''linksschief'''
}}

{{Vorlage:Video|1=ybp1nvHc5fk}}

{{Vorlage:Video|1=UkOx8qdLAak}}

=== Beispiele zur Binomialverteilung ===
* [http://www.mathe-online.at/materialien/Daniela.Eder/files/Lernpfad/Aufgaben_zur_Binomialverteilung.html Beispiele von mathe-online]
* [http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/wahrsch2_ueb.htm Beispiele von Jutta Gut]

Spezial:Badtitle/NS3000:Integration: Berechnung von Flächen, die oberhalb und unterhalb der x-Achse liegen

2014-10-02T13:04:11Z

80.110.29.195: /* Beispiele */

= '''Flächen oberhalb und unterhalb von Kurven berechnen (2.Integral-Hauptsatz)''' =

[[Datei:Orientierte Fläche.gif|400px|miniatur|Orientierte Fläche, Quelle: https://www.google.at/search?newwindow=1&biw=1366&bih=643&tbm=isch&sa=1&q=orientierete+Fl%C3%A4che&oq=orientierete+Fl%C3%A4che&gs_l=img.3...16733.21835.0.22036.19.16.0.2.2.0.226.1562.0j5j3.8.0....0...1c.1.54.img..14.5.565.l3keoQSpHAg#facrc=_&imgdii=_&imgrc=1KLT6xpZDAQQFM%253A%3BkNDM6EFFYeB9nM%3Bhttp%253A%252F%252Fwww.mathe-online.at%252Fmathint%252Fint%252Fgrafiken%252Fflaeche6.gif%3Bhttp%253A%252F%252Fwww.mathe-online.at%252Fmathint%252Fint%252Fi.html%3B220%3B138]]

{{Vorlage:Definition |1= Orientierte Fläche: Fläche oberhalb der x-Achse ist positiv und unterhalb der x-Achse negativ }}

1.Grenzen bestimmen = Nullstellen berechnen (um zwischen positiver und negativer Fläche unterscheiden zu können)

2. Nun in den 2. Hauptsatz integrieren. (positive Fläche + negative Fläche)

{{Vorlage:Definition |1= Damit die negative Fläche die Berechnung nicht behindert, werden Betragsstriche eingefügt. }}

== Formel des 2. Hauptsatzes ==
$$ \int_{a}^{b} f (x)\,*dx = F(x) \vert_a^b= F(b)-F(a)$$

== Formel für die Berechnung der orientierten Fläche ==

[[Datei:Komisches Bild, das Julia nicht mag.png|rechts|300px]]
$$ \int_{a}^{b} f (x)\,*dx + \vert \int_{b}^{c} f (x)\,dx \vert $$

 
 
 
 
 
 
 
 
== Beispiele ==

{{Vorlage:Beispiel |1=Welchen Inhalt hat die Fläche, die der Graf von f mit y=f(X) und die x-Achse im Interball [a;b] einschließen?
Zeichnen Sie die Funktion und schraffieren Sie die Fläche.

|2=1.024 c) $f(x)=\frac{x^2}{4}-1$ [0;3]

Nullstelle berechnen: f(x)=0 -> -2,2

$\int_{0}^{2} f (x)\,dx f(x) + \int_{2}^{3} f (x)\,dx f(x)$

$7/12 + \vert -4/3 \vert = 23/12$

[[Datei:GeoGebra 1 024 c neu.png]]

}}

{{Vorlage:Beispiel |1=Welchen Inhalt hat die Fläche, die der Graf von f mit y=f(X) und die x-Achse im Interball [a;b] einschließen?
Zeichnen Sie die Funktion und schraffieren Sie die Fläche.

|2=1.024 e) $f(x)=x^3+1$ [-2;2]

Nullstelle berechnen: f(x)=0 -> -1

$\int_{-2}^{-1} f (x)\,dx f(x) + \int_{-1}^{2} f (x)\,dx f(x)$

$6,75 + \vert -2.75 \vert = 9,5$

[[Datei:GeoGebra 1 024 e neu.png]]
}}

{{Vorlage:Beispiel |1= Welchen Inhalt hat die Fläche, die der Graf von f mit y=f(X) und die x-Achse im Interball [a;b] einschließen?
Zeichnen Sie die Funktion und schraffieren Sie die Fläche.

|2= 1.024 a) $f(x)=x^2+2x$ [-2;1]

Nullstelle berechnen: f(x)=0 -> -2,0

$\int_{-2}^{0} f (x)\,dx f(x) + \int_{0}^{1} f (x)\,dx f(x)$

$1,33 + \vert -1,33 \vert = 2,66$
[[Datei:Geogebra 1 024 a.png|400px|miniatur|links]]

}}

{{Vorlage:Beispiel|1=1.024 c) $f(x)=\frac{x^2}{4}-1$ [0;3]

|2=Nullstelle berechnen: f(x)=0 -> -2,2

$\int_{0}^{2} f (x)\,dx f(x) + \int_{2}^{3} f (x)\,dx f(x)$

$7/12 + \vert -4/3 \vert = 23/12$

[[Datei:GeoGebra 1 024 c neu.png]]

}}

|4=1.024 e) $f(x)=x^3+1$ [-2;2]

Nullstelle berechnen: f(x)=0 -> -1

$\int_{-2}^{-1} f (x)\,dx f(x) + \int_{-1}^{2} f (x)\,dx f(x)$

$6,75 + \vert -2.75 \vert = 9,5$

[[Datei:GeoGebra 1 024 e neu.png]]

== Youtube-Video 2. Hauptsatz der Integralrechnung ==

{{#ev:youtube|_hoyqfGrVCw}}

oder klicke hier: [http://www.youtube.com/watch?v=_hoyqfGrVCw Video/Erklärung]

Spezial:Badtitle/NS3000:Integration: Berechnung von Flächen, die oberhalb und unterhalb der x-Achse liegen

2014-10-02T12:56:05Z

80.110.29.195: /* Beispiele */

= '''Flächen oberhalb und unterhalb von Kurven berechnen (2.Integral-Hauptsatz)''' =

[[Datei:Orientierte Fläche.gif|400px|miniatur|Orientierte Fläche, Quelle: https://www.google.at/search?newwindow=1&biw=1366&bih=643&tbm=isch&sa=1&q=orientierete+Fl%C3%A4che&oq=orientierete+Fl%C3%A4che&gs_l=img.3...16733.21835.0.22036.19.16.0.2.2.0.226.1562.0j5j3.8.0....0...1c.1.54.img..14.5.565.l3keoQSpHAg#facrc=_&imgdii=_&imgrc=1KLT6xpZDAQQFM%253A%3BkNDM6EFFYeB9nM%3Bhttp%253A%252F%252Fwww.mathe-online.at%252Fmathint%252Fint%252Fgrafiken%252Fflaeche6.gif%3Bhttp%253A%252F%252Fwww.mathe-online.at%252Fmathint%252Fint%252Fi.html%3B220%3B138]]

{{Vorlage:Definition |1= Orientierte Fläche: Fläche oberhalb der x-Achse ist positiv und unterhalb der x-Achse negativ }}

1.Grenzen bestimmen = Nullstellen berechnen (um zwischen positiver und negativer Fläche unterscheiden zu können)

2. Nun in den 2. Hauptsatz integrieren. (positive Fläche + negative Fläche)

{{Vorlage:Definition |1= Damit die negative Fläche die Berechnung nicht behindert, werden Betragsstriche eingefügt. }}

== Formel des 2. Hauptsatzes ==
$$ \int_{a}^{b} f (x)\,*dx = F(x) \vert_a^b= F(b)-F(a)$$

== Formel für die Berechnung der orientierten Fläche ==

[[Datei:Komisches Bild, das Julia nicht mag.png|rechts|300px]]
$$ \int_{a}^{b} f (x)\,*dx + \vert \int_{b}^{c} f (x)\,dx \vert $$

 
 
 
 
 
 
 
 
== Beispiele ==

{{Vorlage:Beispiel |1=Welchen Inhalt hat die Fläche, die der Graf von f mit y=f(X) und die x-Achse im Interball [a;b] einschließen?
Zeichnen Sie die Funktion und schraffieren Sie die Fläche.

|2=1.024 c) $f(x)=\frac{x^2}{4}-1$ [0;3]

Nullstelle berechnen: f(x)=0 -> -2,2

$\int_{0}^{2} f (x)\,dx f(x) + \int_{2}^{3} f (x)\,dx f(x)$

$7/12 + \vert -4/3 \vert = 23/12$

[[Datei:GeoGebra 1 024 c neu.png]]

}}

{{Vorlage:Beispiel |1=Welchen Inhalt hat die Fläche, die der Graf von f mit y=f(X) und die x-Achse im Interball [a;b] einschließen?
Zeichnen Sie die Funktion und schraffieren Sie die Fläche.

|2=1.024 e) $f(x)=x^3+1$ [-2;2]

Nullstelle berechnen: f(x)=0 -> -1

$\int_{-2}^{-1} f (x)\,dx f(x) + \int_{-1}^{2} f (x)\,dx f(x)$

$6,75 + \vert -2.75 \vert = 9,5$

[[Datei:GeoGebra 1 024 e neu.png]]
}}

{{Vorlage:Beispiel |1= Welchen Inhalt hat die Fläche, die der Graf von f mit y=f(X) und die x-Achse im Interball [a;b] einschließen?
Zeichnen Sie die Funktion und schraffieren Sie die Fläche.

|2= 1.024 a) $f(x)=x^2+2x$ [-2;1]

Nullstelle berechnen: f(x)=0 -> -2,0

$\int_{-2}^{0} f (x)\,dx f(x) + \int_{0}^{1} f (x)\,dx f(x)$

$1,33 + \vert -1,33 \vert = 2,66$

[[Datei:Geogebra 1 024 a.png|400px|miniatur|links]]

}}

{{Vorlage:Beispiel|1=1.024 c) $f(x)=\frac{x^2}{4}-1$ [0;3]

|2=Nullstelle berechnen: f(x)=0 -> -2,2

$\int_{0}^{2} f (x)\,dx f(x) + \int_{2}^{3} f (x)\,dx f(x)$

$7/12 + \vert -4/3 \vert = 23/12$

[[Datei:GeoGebra 1 024 c neu.png]]

}}

|4=1.024 e) $f(x)=x^3+1$ [-2;2]

Nullstelle berechnen: f(x)=0 -> -1

$\int_{-2}^{-1} f (x)\,dx f(x) + \int_{-1}^{2} f (x)\,dx f(x)$

$6,75 + \vert -2.75 \vert = 9,5$

[[Datei:GeoGebra 1 024 e neu.png]]

}}

== Youtube-Video 2. Hauptsatz der Integralrechnung ==

{{#ev:youtube|_hoyqfGrVCw}}

oder klicke hier: [http://www.youtube.com/watch?v=_hoyqfGrVCw Video/Erklärung]

Spezial:Badtitle/NS3000:Integration: Berechnung von Flächen, die oberhalb und unterhalb der x-Achse liegen

2014-10-02T12:55:32Z

80.110.29.195:

= '''Flächen oberhalb und unterhalb von Kurven berechnen (2.Integral-Hauptsatz)''' =

[[Datei:Orientierte Fläche.gif|400px|miniatur|Orientierte Fläche, Quelle: https://www.google.at/search?newwindow=1&biw=1366&bih=643&tbm=isch&sa=1&q=orientierete+Fl%C3%A4che&oq=orientierete+Fl%C3%A4che&gs_l=img.3...16733.21835.0.22036.19.16.0.2.2.0.226.1562.0j5j3.8.0....0...1c.1.54.img..14.5.565.l3keoQSpHAg#facrc=_&imgdii=_&imgrc=1KLT6xpZDAQQFM%253A%3BkNDM6EFFYeB9nM%3Bhttp%253A%252F%252Fwww.mathe-online.at%252Fmathint%252Fint%252Fgrafiken%252Fflaeche6.gif%3Bhttp%253A%252F%252Fwww.mathe-online.at%252Fmathint%252Fint%252Fi.html%3B220%3B138]]

{{Vorlage:Definition |1= Orientierte Fläche: Fläche oberhalb der x-Achse ist positiv und unterhalb der x-Achse negativ }}

1.Grenzen bestimmen = Nullstellen berechnen (um zwischen positiver und negativer Fläche unterscheiden zu können)

2. Nun in den 2. Hauptsatz integrieren. (positive Fläche + negative Fläche)

{{Vorlage:Definition |1= Damit die negative Fläche die Berechnung nicht behindert, werden Betragsstriche eingefügt. }}

== Formel des 2. Hauptsatzes ==
$$ \int_{a}^{b} f (x)\,*dx = F(x) \vert_a^b= F(b)-F(a)$$

== Formel für die Berechnung der orientierten Fläche ==

[[Datei:Komisches Bild, das Julia nicht mag.png|rechts|300px]]
$$ \int_{a}^{b} f (x)\,*dx + \vert \int_{b}^{c} f (x)\,dx \vert $$

== Beispiele ==

{{Vorlage:Beispiel |1=Welchen Inhalt hat die Fläche, die der Graf von f mit y=f(X) und die x-Achse im Interball [a;b] einschließen?
Zeichnen Sie die Funktion und schraffieren Sie die Fläche.

|2=1.024 c) $f(x)=\frac{x^2}{4}-1$ [0;3]

Nullstelle berechnen: f(x)=0 -> -2,2

$\int_{0}^{2} f (x)\,dx f(x) + \int_{2}^{3} f (x)\,dx f(x)$

$7/12 + \vert -4/3 \vert = 23/12$

[[Datei:GeoGebra 1 024 c neu.png]]

}}

{{Vorlage:Beispiel |1=Welchen Inhalt hat die Fläche, die der Graf von f mit y=f(X) und die x-Achse im Interball [a;b] einschließen?
Zeichnen Sie die Funktion und schraffieren Sie die Fläche.

|2=1.024 e) $f(x)=x^3+1$ [-2;2]

Nullstelle berechnen: f(x)=0 -> -1

$\int_{-2}^{-1} f (x)\,dx f(x) + \int_{-1}^{2} f (x)\,dx f(x)$

$6,75 + \vert -2.75 \vert = 9,5$

[[Datei:GeoGebra 1 024 e neu.png]]
}}

{{Vorlage:Beispiel |1= Welchen Inhalt hat die Fläche, die der Graf von f mit y=f(X) und die x-Achse im Interball [a;b] einschließen?
Zeichnen Sie die Funktion und schraffieren Sie die Fläche.

|2= 1.024 a) $f(x)=x^2+2x$ [-2;1]

Nullstelle berechnen: f(x)=0 -> -2,0

$\int_{-2}^{0} f (x)\,dx f(x) + \int_{0}^{1} f (x)\,dx f(x)$

$1,33 + \vert -1,33 \vert = 2,66$

[[Datei:Geogebra 1 024 a.png|400px|miniatur|links]]

}}

{{Vorlage:Beispiel|1=1.024 c) $f(x)=\frac{x^2}{4}-1$ [0;3]

|2=Nullstelle berechnen: f(x)=0 -> -2,2

$\int_{0}^{2} f (x)\,dx f(x) + \int_{2}^{3} f (x)\,dx f(x)$

$7/12 + \vert -4/3 \vert = 23/12$

[[Datei:GeoGebra 1 024 c neu.png]]

}}

|4=1.024 e) $f(x)=x^3+1$ [-2;2]

Nullstelle berechnen: f(x)=0 -> -1

$\int_{-2}^{-1} f (x)\,dx f(x) + \int_{-1}^{2} f (x)\,dx f(x)$

$6,75 + \vert -2.75 \vert = 9,5$

[[Datei:GeoGebra 1 024 e neu.png]]

}}

== Youtube-Video 2. Hauptsatz der Integralrechnung ==

{{#ev:youtube|_hoyqfGrVCw}}

oder klicke hier: [http://www.youtube.com/watch?v=_hoyqfGrVCw Video/Erklärung]