Matura Wiki - Benutzerbeiträge [de]

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2014-12-22T12:57:29Z

77.119.231.226:

'''Willkommen im Matura-Wiki der HLW Marienberg'''

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<span style="color:#A020F0> Neueste Seiten </span>

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* [[Quadratische Funktionen]]
* [[Gleichungssysteme (2.7.)]]
* [[Integration]]
* [[Ableitung bestimmen]]
* [[Funktionen]]

</div>

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== Inhalt ==

Zu folgenden Maturafächern findest du hier Informationen:

* [[Angewandte Mathematik]]
* [[Rechnungswesen und Controlling]]
* [[Deutsch]]
* [[Englisch]]
* [[Spanisch]]
* [[Französisch]]
* [[Kochen]]
* [[Geografie]]
* [[Angewandte Informatik]]

== Starthilfen ==
* Auf der Seite [[HiLFE:Editieren]] findest alle Informationen, wie du selbst einen Artikel erstellen und bearbeiten kannst.
* Die Datei "[http://matura.marienberg.at/images/d/d9/WIKIeinf%C3%BChrung.docx Kleines Skript als Einführung]" ist ebenfalls eine kleine Hilfe, die ausgedruckt werden kann.

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2014-12-22T12:57:11Z

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'''Willkommen im Matura-Wiki der HLW Marienberg'''

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* [[Quadratische Funktionen]]
* [[Gleichungssysteme (2.7.)]]
* [[Integration]]
* [[Ableitung bestimmen]]
* [[Funktionen]]

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== Inhalt ==

Zu folgenden Maturafächern findest du hier Informationen:

* [[Angewandte Mathematik]]
* [[Rechnungswesen und Controlling]]
* [[Deutsch]]
* [[Englisch]]
* [[Spanisch]]
* [[Französisch]]
* [[Kochen]]
* [[Geografie]]
* [[Angewandte Informatik]]

== Starthilfen ==
* Auf der Seite [[HiLFE:Editieren]] findest alle Informationen, wie du selbst einen Artikel erstellen und bearbeiten kannst.
* Die Datei "[http://matura.marienberg.at/images/d/d9/WIKIeinf%C3%BChrung.docx Kleines Skript als Einführung]" ist ebenfalls eine kleine Hilfe, die ausgedruckt werden kann.

Extremstellen

2014-12-04T13:57:34Z

77.119.231.226: /* Hinreichende Bedingung für ein relatives Extremum */

[[Datei:Kurvendiskussion-extremwerte.png|thumb|right|380px|Im Graphen sind die beiden Extremstellen
$x_1$ und $x_2$ samt den dazugehörenden Hoch- und Tiefpunkten eingezeichnet.]]
<br>
<br>
{{Vorlage:Definition|1= '''Lokale Extremstellen''' sind jene Stellen (=x-Werte), an denen der Graph der Funktion einen lokalen '''Hoch- oder Tiefpunkt''' hat.

'''Formale Definition''':

Eine Funktion f hat bei $x_0$ einen lokalen Hochpunkt, wenn für alle $x$ in einer Umgebung von $x_0$ gilt, dass $f(x)<f(x_0)$. (analog funktioniert die Definition für einen lokalen Tiefpunkt)}}

=== Video ===
{| align="center"
|-
|
{{#ev:youtube|zCA7GI0yIfg}}
|}
<br>
<br>
[[Datei:Kurvendiskussion-Extremstellen-f' und f''.png|thumb|380px|right]]

Wie am Graphen in der rechten Abbildung erkennbar ist, sind die Steigungen an den Extremstellen immer 0 (d.h. beim Hochpunkt und Tiefpunkt '''steigt f nicht''' und '''fällt f nicht'''). Somit gilt $f'(x)=0$
Zusätzlich ist der Graph beim Hochpunkt '''rechtsgekrümmt''' (d.h. $f''(x)<0$) und beim Tiefpunkt '''linksgekrümmt''' (d.h. $f''(x)>0$).

Somit erhalten wir...
<br>
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=== Hinreichende Bedingung für ein lokales Extremum ===
{| border="1" align="center"
|
{|
!| <span style="color:#EE4000"> '''Merke''' </span>
|-
| [[Datei:Rotes rufezeichen.png|center]]
|}
|
{|
|
* $f'(x_0)=0$ '''und''' $f''(x_0)< 0$
| $\Rightarrow\ \ \ \ $
| $x_0$ ist die Stelle eines lokalen Hochpunktes (Maximums) von f
|-
|

|-
|
*$f'(x_0)=0$ '''und''' $f''(x_0)>0$
| $\Rightarrow\ \ \ \ $
| $x_0$ ist die Stelle eines lokalen Tiefpunktes (Minimums) von f

|-

|
|-
|
*$f'(x_0)=0$ '''und''' $f''(x_0)=0$
| $\Rightarrow\ \ \ \ $
| dann muss hier '''nicht unbedingt ein Extremum''' sein.
|}
|}

Der letzte Punkt ($f'(x_0)=0$ ABER $f''(x_0)=0$) wird klar, wenn man sich die Funktion $f(x)=x^3$ ansieht:

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0>'''Beispiel für $f''(x)=0$, aber kein Extremum: $f(x)=x^3$''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Xhoch3.png|thumb|300px|right|Graph von $f(x)=x^3$]]
Sei $f(x)=x^3$. Um die Extrema zu berechnen, setzen wir $f'(x)=0$ und bestimmen dann $f''(x)$ an dieser Stelle:

{| border="0" align="center"
|-
|$f'(x)=3x^2$
$0=3x^2$

$\rightarrow x=0$
|
$\ $ und $\ \ \ \ $
|
$f''(x)=6x$

$f''(0)=0$
|}

Somit ist $f'(0)=0$ und $f''(0)=0$! Wie man aber leicht am Graphen erkennt, ist bei $x_1=0$ kein Extremum (weder Hoch- noch Tiefpunkt)!

Die Bedingungen $f''(x_0)<0$ (für ein Maximum) und $f''(x_0)>0$ (für ein Minimum) sind also wichtig!

</div>

</div>

<br>

[[Kategorie: Kurvendiskussionen]]
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<br>

=== Musterbeispiel ===
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Bestimme die Extrema der Funktion $f(x)=\frac{x^3}{3}-4x^2+7x+30$''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung:'''
Zuerst bestimmen wir die 1. Ableitung $f'(x)$ und die zweite Ableitung $f''(x)$:
$$f(x)=\frac{x^3}{3}-4x^2+7x+30$$
$$f'(x)=x^2-8x+7$$
$$f''(x)=2x-8$$

Nun setzen wir die 1. Ableitung 0 (da die Steigung bei Hoch- und Tiefpunkt 0 ist):
$$0=x^2-8x+7$$
$$x_{1,2}=\frac{8\pm \sqrt{64-4\cdot 7}}{2}$$
$$x_{1,2}=\frac{8\pm 6}{2}$$
$$x_1=1$$
$$x_2=7$$

[[Datei:Extremwerte.png|thumb|right|300px|Graph mit Hoch- und Tiefpunkt]]

Somit haben wir 2 '''mögliche Extremstellen''' gefunden. Nun müssen wir noch überprüfen, ob es sich um Hoch- oder Tiefpunkte (oder weder noch) handelt. Hierzu setzen wir $x_1=1$ und $x_2=7$ in die zweite Ableitung ein:

$f''(1)=2\cdot 1-8=-6<0 \rightarrow $ rechtsgekrümmt $\rightarrow$ Hochpunkt

$f''(7)=2\cdot 7-8=+6>0 \rightarrow $ linksgekrümmt $\rightarrow$ Tiefpunkt

Somit wissen wir, dass sich bei $x=1$ ein Hochpunkt und bei $x=7$ ein Tiefpunkt befindet.
Zuletzt bestimmen wir nun noch die y-Koordinaten des Hoch- und Tiefpunktes. Hierzu setzen wir die x-Werte '''in die ursprüngliche Funktion''' $f(x)$ ein:

$f(1)=\frac{1^3}{3}-4\cdot 1^2+7\cdot 1+30=33.33\rightarrow H(1|33.33)$

$f(7)=\frac{7^3}{3}-4\cdot 7^2+7\cdot 7+30=-2.67\rightarrow T(7|-2.67)$

</div>

</div>
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[[Kategorie: Differenzieren]]

Trigonometrie (2.12 und 3.10)

2014-11-18T14:28:16Z

77.119.231.226: /* Matura-Aufgaben */

In der Trigonometrie beschäftigen wir uns mit Dreiecken (tri-gono-metrie = drei-ecks-messung)

Die folgende Seite ist in 5 Theorieabschnitte gegliedert, die das Lernen erleichtern sollen:
# [[#Grundwissen - Das rechtwinklige Dreieck | Grundwissen - Das rechtwinklige Dreieck]]: Hier lernst du die Grundbegriffe und Grundrechnungen kennen.
# [[#Vertiefung: Betrachtungen im Einheitskreis | Vertiefung: Betrachtungen im Einheitskreis]]: In diesem Abschnitt lernst du das Bogenmaß und den Einheitskreis kennen.
# [[#Trigonometrische Funktionen | Trigonometrische Funktionen]]: Hier lernst du die typischen Graphen der Sinus-, Cosinus und Tangensfunktion kennen.
# [[#Das allgemeine Dreieck | Das allgemeine Dreieck]], indem du lernst, in Dreiecken, die keinen rechten Winkel haben, zu rechnen.
# [[#Vermessungsaufgaben | Vermessungsaufgaben]], in denen du das Gelernte in Anwendungsbeispielen verwenden kannst.

Die letzten beiden Kapitel bestehen aus einer [[#Zusammenfassung der wichtigsten Formeln im rechtwinkligen und im allgemeinen Dreieck | Zusammenfassung der hier verwendeten Formeln]] und [[#Matura-Aufgaben | Matura-Aufgaben]]

== Grundwissen - Das rechtwinklige Dreieck ==

=== Begriffe ===
[[Datei:RechtwDreieck.png|thumb|right|350px|rechtwinkliges Dreieck]]

Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck (= Dreieck mit einem 90°-Winkel).

* Die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck heißt '''Hypotenuse'''. Sie ist '''IMMER gegenüber vom dem rechten Winkel'''.
* Die beiden kürzere Seiten heißen '''Katheten'''. Ausgehend vom Winkel $\beta$ (siehe Skizze) können die beiden Katheten folgendermaßen unterschieden werden:
: * die <span style="background-color:#FF6347"> Gegenkathete GK </span> liegt $\beta$ gegenüber
: * die <span style="background-color:#6495ED"> Ankathete AK </span> liegt an $\beta$ an.
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=== Sinus, Cosinus und Tangens ===

{| border ="1"

| <span style="color:#00AD00"> '''Definition''' </span>
[[Datei:Grün rufezeichen.png|center]]

|
{|
|
* Der Sinus eines Winkels $\alpha$ ist definiert als das Verhältnis von GK zu H
|

$\ \ \ \mathbf{sin\ \alpha = \frac{GK}{H}}$
|-
|

* Der Cosinus eines Winkels $\alpha$ ist definiert als das Verhältnis von AK zu H
|

$\ \ \ \mathbf{cos\ \alpha = \frac{AK}{H}}$
|-
|

* Der Tangens eines Winkels $\alpha$ ist definiert als das Verhältnis von GK zu AK

|

$\ \ \ \mathbf{tan\ \alpha = \frac{GK}{AK}}$
|}

|}

[[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]]
Das Besondere ist, dass diese Verhältnisse nur vom Winkel abhängen, nicht aber von der Größe des Dreiecks! Dies kannst du in
:[http://www.geogebratube.org/student/m133029 diesem Arbeitsblatt überprüfen].

{|
|-
| <span style="background-color:#00FFFF"> '''Wichtig:''' </span> Sinus, Cosinus und Tangens gelten nur im '''rechtwinkligen Dreieck'''!
|}

<br>
<br>
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=== Steigung und Steigungswinkel ===
[[Datei:Steigung11.png|thumb|right|450px|Steigung und Steigungswinkel]]
Aus dem Kapitel [[Lineare Funktionen]] wissen wir bereits, dass $k=\frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied}$ die Steigung angibt. Betrachtet man die folgende Skizze, so kann folgender Zusammenhang festgestellt werden:

$$k=\frac{Höhenunterschied}{Längenunterschied}=\frac{GK}{AK}=\tan \alpha$$
Somit erhalten wir die Formel:

{| style="color:red;" cellpadding="10" border="1" align="center"
| $$k=\tan \alpha$$
|}

Mit dieser Formel kann nun einfach zwischen der (prozentuellen) Steigung und dem Steigungswinkel gewechselt werden:
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<br>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Musterbeispiel''' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Eine 10 m lange Rampe legt einen Höhenunterschied von 1.4 m zurück.
- Fertigen Sie eine Skizze und zeichnen Sie die angegebenen Größen ein.

- Bestimmen Sie
* a) den Steigungswinkel
* b) die prozentuelle Steigung

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:Steigungsbsp.png|thumb|right|400px|Skizze der Rampe]]
a) Berechnung des Steigungswinkels:

$\sin\ \alpha° = \frac{GK}{H}=\frac{1.4}{10}$ |[[Arkusfunktionen | im TR: $sin^{-1}$]]

$\alpha = 8.05°$

b) Mithilfe der Formel $k=\tan\ \alpha$ können wir die prozentuelle Steigung auch ohne den Längenunterschied (in der Skizze die blaue Strecke) berechnen:
$$k=\ tan\ \alpha$$
$$k=\tan \ 8.05°$$
$$k=0.14=14 \ \%$$
A: Die Steigung beträgt 14 %.

</div>

</div>

</div>

</div>

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=== Übungen im Rechtwinkligen Dreieck ===

* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: [http://www.mathe-online.at/tests/wfun/defWfun.html Online-Übung zur Überprüfung, ob die richtige Formel verwendet wurde]

* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: [http://www.realmath.de/Neues/10zwo/trigo/winkelfunktionen2.html Weitere Übung zur Überprüfung der Formel]

* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]]: [http://www.realmath.de/Neues/10zwo/trigo/winkelfunktionen.html Und noch eine Übung dazu]

* [http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/rechtw.htm Rechenbeispiele von Jutta Gut (mit Lösungen)]

* [http://matura.marienberg.at/images/0/04/Aufgaben_zu_den_Themen_rechtw_Dreieck_und_Einheitskreis.pdf Aufgabenblatt mit Textaufgaben samt Lösungen]

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== Vertiefung: Betrachtungen im Einheitskreis ==
=== Gradmaß und Bogenmaß im Einheitskreis ===

[[Datei:Winkel- und Bogenmaß1.png|thumb|right|500px|Einheitskreis mit Winkel in Grad- und Bogenmaß]]

Der '''Einheitskreis''' ist ein Kreis mit Radius r=1. Sein Umfang beträgt
$$U=2\cdot r\cdot \pi=2\cdot 1\cdot \pi=2\pi$$

Legt man durch den Mittelpunkt des Einheitskreises das Koordinatensystem, so kann man den Winkel zwischen der positiven x-Achse und einem beliebig eingezeichneten Radius auf zwei Arten bestimmen:

'''1) Gradmaß (abgekürzt mit °)'''

So haben wir bis jetzt immer Winkel gemessen.

* Eine volle Umdrehung hat 360°
* Eine halbe Umdrehung hat 180°

'''2) Bogenmaß (abgekürzt $rad$ für engl. radian)'''

Anstelle der Grad kann auch die Länge des Kreisbogens r (siehe Skizze) bestimmt werden.

* Bei einer vollen Umdrehung hat r die Länge $2\cdot \pi$ (=Umfang des Einheitskreises, siehe oben). Somit beträgt der Winkel $2\pi\ rad$.
* Eine halbe Umdrehung entspricht dem Winkel $\pi$ rad.

[[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]]: Hier findest du ein
[http://www.geogebratube.org/student/m133394 Arbeitsblatt, das dir den Zusammenhang besser erklärt].

{| border="1"
!|<span style="color:#EE4000"> '''Merke''' </span>
[[Datei:Rotes rufezeichen.png|center]]
|
{|
| Die Umrechnung von Grad- in Bogenmaß (und umgekehrt) funktioniert am einfachsten mit einer Schlussrechnung:
|-
| $$ 360°\ \ \ - \ \ \ 2\pi \textrm{ rad}$$
$$ \alpha°\ \ \ - \ \ \ \alpha \textrm{ rad}$$
Wobei entweder $\alpha°$ (der Winkel in Gradmaß) oder $\alpha$ rad (der Winkel in Gradmaß) gegeben ist.
|}
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Musterbeispiel''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
a) Wandeln Sie den Winkel $\alpha=90°$ in Bogenmaß um.

b) Wandeln Sie den Winkel $\alpha=\frac{\pi}{3}$ rad in Gradmaß um.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

a) Grad- in Bogenmaß:
$$ 360°\ \ \ - \ \ \ 2\pi \textrm{ rad}$$
$$ \textbf{90°}\ \ \ - \ \ \ \alpha \textrm{ rad}$$
$$\rightarrow \ \alpha \textrm{ rad}=\frac{90\cdot 2\pi}{360}=\frac{\pi}{2} \textrm{ rad}$$

A: 90° entsprechen in Bogenmaß $\frac{\pi}{2} \textrm{ rad}$

b) Bogen- in Gradmaß:
$$ 360°\ \ \ - \ \ \ 2\pi \textrm{ rad}$$
$$ \alpha°\ \ \ - \ \ \ \mathbf{\frac{\pi}{3} \textrm{ rad}}$$
$$\rightarrow \ \alpha°=\frac{360\cdot \frac{\pi}{3}}{2\pi}=60°$$

A: $\frac{\pi}{3}$ rad entsprechen 60°
</div>

</div>

</div>

</div>

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<br>

=== Sinus, Cosinus und Tangens im Einheitskreis ===

====Theorie====
Sinus, Cosinus und Tangens können folgendermaßen aus dem Einheitskreis abgelesen werden:

[[Datei:Sinus und Kosinus und Tangens im Einheitskreis1.png|thumb|right|500px|Sinus, Cosinus und Tangens im Einheitskreis]]

* Der Sinus entspricht der Länge der rot markierten Stecke = y-Koordinate des Punktes auf dem Einheitskreis.

* Der Cosinus entspricht der Länge der blau markierten Stecke = x-Koordinate des Punktes auf dem Einheitskreis.

* Der Tangens entspricht der Länge des [[Tangente | Tangentenabschnittes]] der Tangente durch den Punkt (1,0).

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Begründung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

'''für den Sinus:'''
Betrachte das rechtwinklige Dreieck im Einheitskreis. Die Hypotenuse ist der Radius und hat somit die Länge 1. Die Länge der $\color{red}{\textrm{roten Strecke}}$ ist von $\alpha$ aus gesehen die Gegenkathete GK.

Zu zeigen ist nun:
$$\sin \ \alpha=\color{red}{\textrm{rote Strecke}}$$

'''Beweis:'''
$$\sin\ \alpha=\frac{GK}{H}=\frac{\color{red}{\textrm{rote Strecke}}}{1}=\color{red}{\textrm{rote Strecke}}$$
Somit gilt:
$$\sin\ \alpha=\color{red}{\textrm{rote Strecke}}$$

Der Beweis für den Cosinus funktioniert analog. Für den Tangens muss das große Dreieck mit AK=1 betrachtet werden.

</div>

</div>

[[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]]: Mit dem folgenden [http://www.geogebratube.org/student/m133494 Arbeitsblatt] kannst du dein Verständnis vertiefen.

<br>
<br>
<br>

====Wichtige Werte====
Die folgende Tabelle gibt Werte für Sinus, Cosinus und Tangens an, die du nun auch ohne technische Unterstützung, allein durch die Vorstellung vom Einheitskreis, wissen solltest. Das [http://www.geogebratube.org/student/m133494 obige Arbeitsblatt] sollte dir dabei helfen:

{| border="1" align="center"
|
| Sinus
| Cosinus
| Tangens
|-
| Gradmaß: 90°
Bogenmaß:$\frac{\pi}{2}$ rad
| 1
| 0
| nicht definiert
|-
| 180°
$\pi$ rad
| 0
| -1
| 0
|-
| 270°
$\frac{3\pi}{2}$ rad
| -1
| 0
| nicht definiert
|-
| 0° und 360°
0 rad und $2\pi$ rad
| 0
| 1
| 0
|}

<br>
<br>
<br>

== Trigonometrische Funktionen ==

[[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]]: Öffne das folgende [http://www.geogebratube.org/student/m133564 Arbeitsblatt]. Hier findest du heraus, wie man mithilfe des Einheitskreises auf die unten abgebildten Graphen der Sinus-, Cosius und Tangensfunktion kommt.

=== Sinusfunktion $f(x)=\sin \ x$ ===

Stellt man den Sinus in Abhängigkeit vom Winkel graphisch dar, indem man auf der x-Achse den Winkel in Bogenmaß und auf der y-Achse den zugehörigen Sinuswert angibt, so entsteht der folgende Graph:

[[Datei:Sinusfunktion.png|thumb|center|700px|Graph der Sinusfunktion mit Kennzeichnung der Periodenlänge von $2\pi$]]

<br>
<br>
<br>

===Cosinusfunktion $f(x)=\cos \ x$ ===
Der Graph der Cosinusfunktion hat die folgende Form:

[[Datei:Cosfunktion.png|thumb|center|700px|Graph der Cosinusfunktion mit Kennzeichnung der Periodenlänge von $2\pi$]]

<br>
<br>
<br>

===Tangensfunktion $f(x)=\tan\ x$ ===
Der Graph der Tangensfunktion hat die folgende Form:

[[Datei:Tangensfkt1.png|thumb|center|700px|Graph der Tangensfunktion samt den asymptoten (rot) und der Kennzeichnung der Periodenlänge von $\pi$]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Besondere Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

# Periodizität: Die Werte der Trigonometrischen Funktionen wiederholen sich in regelmäßigen Abständen.
# Beschränktheit: Sinus- und Cosinusfunktion haben die [[Wertemenge]] $W=[-1;1]$. Anders formuliert: es gilt für alle x: $$|sin(x)|\leq 1$$ und $$|cos(x)|\leq 1 $$ (Hinweis: Hier wurde der [[Betrag einer Zahl (1.6.) | Betrag]] verwendet.)
# Der Tangens ist unbeschränkt (geht nach $-\infty$ und $+\infty$) und hat unendlich viele vertikale Asymptoten im Abstand von $\frac{\pi}{2}$.
# Wichtige Funktionswerte (Nullstellen, Hoch- und Tiefpunkte) können bereits aus der [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)#Wichtige Werte | Tabelle zum Einheitskreis]] herausgelesen werden.
</div>

</div>
<br>
<br>
<br>
<br>

== Das allgemeine Dreieck ==

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> <span style="background-color:yellow"> Zusatz: </span> Dieser eingeklappte Abschnitt ist kein Kernstoff zur Matura. Allerdings helfen dir die hier beschriebenen Formeln, gewisse Beispiele schneller und einfacher zu berechnen. </span>

<div class="mw-collapsible-content">

[[Datei:AllgDreieck.png|thumb|right|400px|allgemeines Dreieck]]

Unter allgemeinen Dreiecken versteht man Dreiecke, die nicht über einen rechten Winkel verfügen müssen.

Ohne rechten Winkel können wir die [[#Grundwissen - Das rechtwinklige Dreieck | Formeln für Sinus, Cosinus und Tangens]] nicht verwenden. Aus diesem Grund führen wir nun neue Formeln ein:

a) den Sinussatz

b) den Cosinussatz und

c) die allgemeinen Flächenformeln

Im allgemeinen Dreieck braucht man immer 3 bekannte Größen, um eine vierte zu berechnen! (Im rechtwinkligen Dreieck reichten uns dank dem rechten Winkel zwei zusätzlich Größen, um eine weitere zu berechnen).

<br>
<br>
<br>
<br>

=== Sinussatz ===
{| align="right"
|{{#ev:youtube|Mvm69Wj8doo}}
|}
Der Sinussatz wird verwendet, wenn im allgemeinen Dreieck

1. eine Seite '''und'''

2. der gegenüberliegende Winkel '''und'''

3. irgend eine andere Seite oder ein anderer Winkel bekannt sind.

{| style="color:red;" border="1" align="center"
| '''Formel für den Sinussatz'''
|-
| $$\frac{\sin\ \alpha}{a}=\frac{\sin\ \beta}{b}=\frac{\sin\ \gamma}{c}$$
|}

Das Video auf der rechten Seite zeigt dir auf musikalische Art und Weise die Herleigung des Sinussatzes:

<br>
<br>
<br>

=== Cosinussatz ===

{| style="color:red;" border="1" align="center"
!| Formeln für den Cosinussatz
|-
|
*$ a^2=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot \cos\ \alpha$
* $b^2=a^2+c^2-2\cdot a\cdot c\cdot \cos\ \beta$
* $c^2=a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot \cos\ \gamma$
|}

Der Cosinussatz wird verwendet, wenn im allgemeinen Dreieck:

: a) 2 Seiten und der darin eingeschlossene Winkel gegeben ist '''oder'''

: b) alle drei Seiten gegeben sind und ein Winkel berechnet werden will.

{| border="1" align="center"
!| Voraussetzungen, um den Cosinussatz zu verwenden.

:: <span style="color:red"> gegebene Größen </span>
:: <span style="color:blue"> berechenbare Größen </span>
|-
|
{| align="center"
| [[Datei:Cosinussatz2.png|thumb|300px|Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel sind gegeben, die gegenüberliegende Seite kann berechnet werden]]
| [[Datei:Cosinussatz1.png|thumb|300px|Drei Seiten sind gegeben, ein Winkel kann berechnet werden]]
|}
|}

<br>
<br>
<br>
<br>

=== Beispiele ===

* [http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/dreiecke.htm Aufgaben zum allgemeinen Dreieck von Jutta Gut (samt Lösungen)]

</div>

</div>

<br>
<br>
<br>
<br>

== Vermessungsaufgaben ==
=== Begriffe ===

[[Datei:Höhen- und Tiefenwinkel.gif|right]]

* '''Höhenwinkel'''
Der Höhenwinkel ist der Winkel zwischen der Horitonalen (= waagrechte Gerade) und "dem Blick in die Höhe".

* '''Tiefenwinkel'''
Der Tiefenwinkel ist der Winkel zwischen der Horitonalen (= waagrechte Gerade) und "dem Blick in die Tiefe".

* '''Sehwinkel'''
Der Sehwinkel ist das Objekt (in der rechten Abbildung die senkrechte Strecke) "einfängt".

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<br>

=== Beispiele ===

* [http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/verm.htm Beispiele zu den Vermessungsaufgaben von Jutta Gut (samt Lösungen)]

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<br>

== Zusammenfassung der wichtigsten Formeln im rechtwinkligen und im allgemeinen Dreieck ==
{| border="1" align="center"
|-
|
| rechtwinkliges Dreieck
| allgemeines Dreieck

|-
| Winkelsumme
| $180°=\alpha+\beta+\gamma$
| $180°=\alpha+\beta+\gamma$
|-
| Pythagoras
| $H^2=GK^2+AK^2$
| gilt nur im rechtwinkligem Dreieck!
|-
| Flächeninhalt
| $A=\frac{GK\cdot AK}{2}$
| $A=\frac{a\cdot h_a}{2}=\frac{b\cdot h_b}{2}=\frac{c\cdot h_c}{2}$
|-
| [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)#Sinus- und Cosinussatz im allgemeinen Dreieck| Sinussatz]]
|
| $\frac{\sin\alpha}{a}=\frac{\sin\beta}{b}=\frac{\sin\gamma}{c}$
|-
| [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)#Sinus- und Cosinussatz im allgemeinen Dreieck| Cosinussatz]]
|
| $a^2=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot \cos\alpha$
$b^2=a^2+c^2-2\cdot a\cdot c\cdot \cos\beta$

$c^2=a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot \cos\gamma$
|}

== Matura-Aufgaben ==

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=216&file=Leuchturm_(Pruefungsaufgabe).pdf Leuchtturm] (bifie-Aufgabe)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=30&file=Schifahren.pdf Schifahren] (bifie-Aufgabe: leicht)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=3&file=Standseilbahn.pdf Standseilbahn] (bifie-Aufgabe: leicht-mittel-leicht)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=82&file=Glaspyramide_des_Louvre.pdf Glaspyramiede des Louvre] (bifie-Aufgabe: leicht-mittel-leicht)
: Hier kannst du eine Formelsammlung verwenden!

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=150&file=Hochwasserschutz.pdf Hochwasserschutz] (bifie-Aufgabe: mittel-leicht-schwer-leicht)
: Siehe auch [[Rechnen mit Termen(2.1.)#Terme und Gleichungen aufstellen | Formeln aufstellen]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=131&file=Gletschermarathon_Pitztal_-_Imst.pdf Gletschermarathon] (bifie-Aufgabe: mittel)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=33&file=Geschwindigkeitskontrolle.pdf Geschwindigkeitskontrolle] (bifie-Aufgabe: leicht)
:* siehe auch: [[Bewegungsaufgaben - Weg/Geschwindigkeit/Beschleunigung]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=20&file=Wetterballon.pdf Wetterballon] (bifie-Aufgabe: mittel-leicht-leicht)
: Siehe auch [[Lineare Funktionen]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=96&file=Wasserverbrauch.pdf Wasserverbrauch] (bifie-Aufgabe: mittel-schwer-leicht)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=120&file=Die_Sonne.pdf Die Sonne] (bifie-Aufgabe: leicht-leicht-mittel)
: Siehe auch: [[Der Logarithmus | Logarithmus]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=159&file=Radausflug.pdf Radausflug] (bifie-Aufgabe:mittel-mittel-mittel-leicht)
: Siehe auch
: * [[Beschreibende Statistik]]
: * [[Wachstums- und Zerfallsprozesse | Exponentielle Abnahme]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=32&file=Windkraftanlage.pdf Windkraftanlage] (bifie-Aufgabe: mittel-schwer-mittel-mittel)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=186&file=Zimmerei.pdf Zimmerei] (bifie-Aufgabe:leicht-mittel-leicht)
: '''Achtung!''' Aufgabe b lernst du erst [[Wahrscheinlichkeitsrechnung | in der 5. Klasse]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=141&file=Milchverpackung.pdf Milchverpackung] (Bifie-Aufgabe: leicht-mittel-mittel)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: für b) [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)]] und für <span style="background-color:yellow"> c) [[Binomialverteilung|Binomialverteilung (erst in der 5. Klasse)]]

[[Kategorie: Algebra und Geometrie]]
[[Kategorie: Funktionale Abhängigkeiten]]

Wachstums- und Zerfallsprozesse

2014-11-14T06:11:56Z

77.119.231.226: /* Beschränktes und Logistisches Wachstum */

In der Natur vorkommende Wachstums- und Zerfallsprozesse (z.B. Wachstum einer Bevölkerung, Zerfall eines radioaktiven Atoms, Abnahme des Alkoholspiegels) können mithilfe von mathematischen [[Funktionen]] beschrieben werden.

Für die Matura sind dabei besonders die folgenden Funktionen wichtig:
* [[Lineare Funktionen | lineare Funktionen y=kx+d]]
* [[Exponentialfunktionen(3.5.)| Exponentialfunktionen $y=b\cdot a^x$ oder $y=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$]]
* [[quadratische Funktionen | quadratische Funktionen $y=ax^2+bx+c$]]

== Grundbegriffe ==
* $t...$ gibt die vergangene Zeit an (in Jahren oder Tagen oder Stunden oder …. Die Einheit steht immer in der Angabe!)
* $N_0...$ Anfangswert (Anzahl/Größe zum Zeitpunkt 0)
* $N(t)...$ Anzahl/Größe nach t Zeiteinheiten (z.B. t gebe die Stunden an, dann ist $N(5)=$ Anzahl nach 5 Stunden)

== Lineares Wachstum $N(t)= k\cdot t +N_0$==

=== Definition und Verwendung===
[[Datei:Lin wachstum.png|thumb|right|300px|Graph einer linearen Zunahme]]
[[Datei:Lin abnahme.png|thumb|right|300px|Graph einer linearen Abnahme]]

Eine Größe verändert sich linear, wenn sie in gleichen Zeitabständen '''um denselben konstanten Wert k''' wächst.
Die Funktionsgleichung für eine solche Veränderung lautet dann:
$$ N(t)= k\cdot t +N_0 $$

* Ist k>0, so handelt es sich um ein lineares Wachstum
* Ist k<0, so handelt es sich um eine lineare Abhnahme

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Hinweise:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
* Bei $$ N(t)= k\cdot t +N_0 $$ handelt es sich um eine [[Lineare Funktionen | lineare Funktion]] der Form
$$ y=k\cdot x+d$$
: Mit der unabhängigen Variable $t=x$, der davon abhängigen Variable $N(t)=y$ und dem Startwert $N_0=d$

* '''Herleitung der Funktionsgleichung:'''
Angenommen eine Population hat zu Beginn $N_0$ Individuen und wächst pro Zeiteinheit (z.B. pro Stunde) um den Wert k.

Dann gilt für $N(1)=$ Individuen nach einer Stunde:
$$N(1)=N_0+k$$
Nach 2 Stunden hat sich die Population wieder um k vermehrt und damit ist
$$N(2)=N(1)+k=(N_0+k)+k=N_0+2k$$
Und nach 3 Stunden gilt
$$N(3)=N(2)+k=(N_0+2k)+k=N_0+3k$$
Ganz allgemein gilt dann für die Population nach t Stunden:
$$N(t)=N_0+k\cdot t$$

</div>

</div>

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=== Übungsaufgabe ===
* [http://matura.marienberg.at/images/9/9b/Aufgabe_-_lineares_Wachstum_-_Angabe.pdf Aufgabe Regentonne]
: [http://matura.marienberg.at/images/b/bb/Aufgabe_-_lineares_Wachstum_-_L%C3%B6sungen.pdf Lösung Regentonne]
* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=218&file=Tauchen.pdf Aufgabe Tauchen]

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== Exponentielles Wachstum $N(t)=N_0\cdot a^t$ bzw. $N(t)=N_0\cdot e^{\lambda \cdot t}$==

=== Definition und Verwendung===

Eine Größe wächst exponentiell, wenn sie in gleichen Zeitabständen '''um denselben konstanten Faktor $a>1$''' wächst.
Wie bei den [[Exponentialfunktionen(3.5.) | Exponentialfunktionen]] gibt es auch hier zwei Formeln:

[[Datei:Exp wachstum.png|thumb|300px|right|Graph einer exponentiellen Zunahme]]

{| border="1" align="center"
|-
| $$N(t)=N_0\cdot a^t $$
| $$N(t)=N_0\cdot e^{\lambda \cdot t}$$
|-
| $a>1 ...$ ist der Wachstumsfaktor und gibt an, mit welchem Faktor sich die Population pro Zeiteinheit verändert. Da die Population wächst, muss $a>1$ sein (siehe [[Exponentialfunktionen(3.5.) | Exponentialfunktionen]])

Beispiel:
{|
| $a=1.26$
|$\rightarrow $
| die Population wächst um den Faktor 1.26
| $\rightarrow $
| die Population wächst pro Zeiteinheit um $26$ %
|}
| $\lambda>0 ...$ ist die Wachstumsrate.
Es gilt: $a=e^\lambda $
|}
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=== Verdoppelungszeit ===
Eine besondere Eigenschaft des exponentiellen Wachstums ist, dass die Zeit für eine Verdoppelung der Anfangsgröße immer gleich groß ist (mit einer kleinen Überlegung findest du leicht heraus, dass dies schon aus der Definition des Exponentiellen Wachstums folgt).
Aus diesem Grund definiert man die:

{| border ="1"
| <p style="background-color:#E0E0E0"> '''Definition: Verdoppelungszeit $\tau $''' </p>

| Die Verdoppelungszeit $\tau$ ist die Zeit, in der sich eine Größe verdoppelt hat. Insbesondere gilt: $$N(\tau)=2\cdot N_0$$
$$\textrm{(in Worten: „die Anzahl nach $\tau$ (="tau") Zeiteinheiten ist das Doppelte des Anfangswertes }N_0$$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0>
'''1. Musterbeispiel:''' Berechnung der Verdoppelungszeit bei bekannter Anfangsmenge </span>

<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:1 bsp zu wachstum.png|thumb|right|300px|Graph der Wachstumsfunktion $N(t)=350\cdot 1.065^t$]]
Ein Kapital auf einem Sparbuch wächst jährlich um 6.5 % p.a. (d.h. 6.5 %-ige Verzinsung pro Jahr).
* a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung, wenn zu Beginn € 100 auf dem Sparbuch liegen.
* b) Ermitteln Sie die Verdoppelungszeit, d.h. Berechnen Sie, wann sich das Anfangskapital verdoppelt hat.
* c) Die folgende Graphik gibt die Entwicklung für ein Anfangskapital von € 350 an. Lesen Sie aus dem Graphen die Verdoppelungszeit ab.
: Begründen Sie zusätzlich, warum die Verdoppelungszeit gleich groß wie in Aufgabe b) ist.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
a) $N_0=100$; $a=(1+\frac{6.5}{100})=1.065 \ \ \rightarrow$ $\underline{\underline{N(t)=100\cdot 1.065^t}}$

b)
* $N_0=100$
* $a=1.065$
* $N(t)=200$
* $t=$?
[[Datei:1 bsp zu wachstum-lösung.png|thumb|right|300px|Bestimmung der Verdoppelungszeit]]
$$200=100\cdot 1.065^t$$
$$2=1.065^t |\log$$
$$\log 2 = t\cdot \log 1.065$$
$$\frac{\log 2}{\log 1.065}=t$$
$$\underline{\underline{t= 11.01}}$$

c)
Wie anhand des Graphen zu sehen ist, beträgt die Verdoppelungszeit 11,01 Jahre, da sich hier das Anfangskapital von € 350 auf € 700 verdoppelt hat.

Die Verdoppelungszeit hängt nicht vom Startwert $N_0$, sondern nur vom Wachstumsfaktor $a$ ab. Aus diesem Grund sind die Verdoppelungszeiten in b) und c) ident.

</div>

</div>

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''2. Musterbeispiel:''' Berechnung der Verdoppelungszeit bei unbekannter Anfangsmenge </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Die Größe einer Bakterienpopulation nach t Stunden kann mithilfe der Funktion $N(t)=N_0\cdot 1.14^t$ angegeben werden.
* a) Bestimmen Sie, um wie viel Prozent sich die Population pro Stunde vergrößert.
* b) Berechnen Sie die Verdoppelungszeit.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

a) $a=1.14\ \ \rightarrow\ \ 14$ % Wachstum pro Stunde.

b)
Nach der Verdoppelungszeit ist $N(t)=2\cdot N_0$ (d.h. der Anfangswert hat sich verdoppelt). Setzen wir dies für $N(t)$ in die Funktionsgleichung, so erhalten wir:
$$ N(t)=N_0\cdot 1.14^t$$
$$ 2\cdot N_0=N_0\cdot 1.14^t \ \ \ |:N_0$$
$$ 2=1.14^t \ \ \ |\log ( \ )$$
Wichtig! In der oberen Zeile hat sich das $N_0$ weggekürzt! Damit sehen wir, dass die '''Verdoppelungszeit unabhängig vom Startwert $N_0$''' ist! Dies kam auch schon im 1. Musterbeispiel vor.
$$ \log 2=t\cdot \log 1.14 $$
$$\frac{\log 2}{\log 1.14}=t$$
$$\underline{\underline{t=5.29}}$$
A: Die Verdoppelungszeit beträgt 5.29 Stunden.

</div>

</div>

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''3. Musterbeispiel:''' Bestimmen des Wachstumsfaktors bei bekannter Verdoppelungszeit </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Die Verdoppelungszeit eines exponentiellen Wachstumsprozesses der Form $N(t)=N_0\cdot a^t$ beträgt 17 Tage (t gibt die Tage an).
* a) Berechnen Sie den Wachstumsfaktor $a$.
* b) Bestimmen Sie die Zeit, wie lange es dauert, bis das 8-fache des Anfangswertes vorhanden ist.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

a) Aus der Angabe geht hervor, dass $N(17)=2\cdot N_0$ ist. Dies setzen wir nun in die Funktionsgleichung ein:
$$N(t)=N_0\cdot a^t$$
$$N(17)=N_0\cdot a^{17}$$
$$2\cdot N_0=N_0\cdot a^{17} \ \ \ |:N_0$$
$$2=a^{17} \ \ \ |\sqrt[17]{\ \ \ }$$
$$\sqrt[17]{2}=a$$
$$\underline{\underline{a=1.0416}}$$
A: Der Wachstumsfaktor $a$ beträgt 1.0416, womit pro Stunde 4.16% dazukommen.

b) Aus der Angabe wissen wir, dass es nach 17 Stunden zu einer Verdoppelung gekommen ist.
Da sich das expoentielle Wachsum in gleichen Zeitabständen um denselben Faktor vermehrt, gilt:
* nach $2\cdot 17=34$ Stunden kommt es zu einer Vervierfachung ($2\cdot 2=4$).
* Nach $3\cdot 17=51$ Stunden kommt es zu einer Verachtfachung. ($2\cdot 2 \cdot 2=8$)
Somit dauert es 51 Stunden.
Schau dir dazu auch den Graphen bei der unteren Bemerkung an!

</div>

</div>

</div>

</div>

{| border ="1"
|<p style="background-color:#E0E0E0">'''Merke:''' </p>

|
* Die Verdoppelungszeit wird berechnet, indem man für $N(t)=2\cdot N_0$ einsetzt.

* Die Verdoppelungszeit ist unabhängig vom Anfangswert $N_0$ (vgl. 2. Musterbeispiel)
|
|[[Datei:Verdoppelungszeit.png|thumb|right|500px|Mehrfache Verdoppelung eines exponentiellen Wachstums]]
|}

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=== Unterschied: Lineares und Exponentielles Wachstum ===

Es ist wichtig, die Unterschiede zwischen dem linearen und dem exponentiellen Wachstum zu kennen. Aus diesem Grund vergleichen wir hier die beiden Wachstumsprozesse:

{| border="1" align="center"
|-
!| lineares Wachstum
!| exponentielles Wachstum
|-
|Addition um eine konstante Zahl
| Multiplikation um einen konstanten Faktor
|-
| immer $+k$
| immer $\cdot a$
|-
| Graph ist eine Gerade
| Graph ist eine exponentielle Kurve
|-
| wächst immer um dieselbe konstante Zahl k
| wächst immer schneller
|-
| [[Datei:Lin wachstum.png|thumb|right|300px|Graph einer linearen Zunahme]]
| [[Datei:Exp wachstum.png|thumb|300px|right|Graph einer exponentiellen Zunahme]]
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel: linear oder exponentiell?''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Ordne dem passenden Wachstum zu und bestimme k bzw. a:
# Der Umfang eines Baumes nimmt jährlich um 5% zu:
# Der Meeresspiegel steigt jährlich um 4 cm:
# Die Bevölkerung wächst jährlich um den Faktor 1.2:
# Der Stamm eines Baumes wird pro Jahr um 1 cm dicker:
# Ein Kapital wird jährlich mit 3 % p.a. verzinst.
# Der Umsatz eines Betriebes sinkt jährlich um 12 %

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
# Der Umfang eines Baumes nimmt jährlich um 5 % zu: <span style="color:red"> exponentiell mit $a=1.05$ </span>
# Der Meeresspiegel steigt jährlich um 4 cm: <span style="color:red"> linear mit $k=4$ cm </span>
# Die Bevölkerung wächst jährlich um den Faktor 1.2: <span style="color:red"> exponentiell mit $a=1.2$ </span>
# Der Stamm eines Baumes wird pro Jahr um 1 cm dicker: <span style="color:red"> linear mit $k=1$ cm </span>
# Ein Kapital wird jährlich mit 3 % p.a. verzinst. <span style="color:red"> exponentiell mit $a=1.03$ </span>
# Der Umsatz eines Betriebes sinkt jährlich um 12 %: <span style="color:red"> exponentiell mit $a=0.88 \rightarrow$ siehe exponentielle Abnahme </span>

</div>

</div>

</div>

</div>

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==Exponentielle Abnahme $N(t)=N_0\cdot a^t$ oder $N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda\cdot t}$ ==

'''Definition:'''

Von einer exponentiellen Abnahme spricht man, wenn sich eine Größe in gleichbleibenden Zeitintervallen immer '''um den gleichen Faktor verkleinert'''.

[[Datei:Exp abnahme.png|thumb|300px|right|Graph einer exponentiellen Abnahme]]

{| border="1" align="center"
|-
| $$N(t)=N_0\cdot a^t $$
| $$N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda \cdot t}$$
|-
| $a>1 ...$ ist der Abnahmefaktor und gibt an, mit welchem Faktor sich die Population pro Zeiteinheit verringert. Da die Population abnimmt, muss $0<a<1$ sein (siehe [[Exponentialfunktionen(3.5.) | Exponentialfunktionen]])

Beispiel:
{|
| $a=0.64$
|$\rightarrow $
| die Population verringert sich um den Faktor 0.64
| $\rightarrow $
| die Population verringert sich pro Zeiteinheit um $1-0.64=36$ %
|}
| $-\lambda<0 ...$ ist die Wachstumsrate.
Es gilt: $a=e^{-\lambda} $
|}
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=== Halbwertszeit ===
Eine besondere Eigenschaft des exponentiellen Abnahme ist, dass die Zeit für eine Halbierung der Anfangsgröße, immer gleich groß ist (vgl. Verdoppelungszeit beim exponentiellen Wachstum).
Aus diesem Grund definiert man die:

{| border ="1"
| <p style="background-color:#E0E0E0"> '''Definition: Halbwertszeit $\tau $''' </p>

| Die Halbwertszeit $\tau$ ist die Zeit, in der sich eine Größe halbiert hat. Insbesondere gilt: $$N(\tau)=\frac{N_0}{2}$$
$$\textrm{(in Worten: „die Anzahl nach $\tau$ Zeiteinheiten ist die Hälfte des Anfangswertes }N_0\textrm{"}$$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Musterbeispiel:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Von einer bestimmten Menge eines radioaktiven Elements zerfallen stündlich 4 %.
* a) Stellen Sie das Zerfallsgesetz in der Form $N(t)=N_0\cdot a^t$ auf.
* b) Bestimmen Sie die Halbwertszeit.
* c) Bestimmen Sie zusätzlich noch das Zerfallsgesetz in der Form $N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda \cdot t}$
* d) Nach wie vielen Stunden ist nur noch 1 % der Anfangsmenge vorhanden?

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
a)
$a=0.96 \rightarrow $ Somit lautet das Zerfallsgesetz: $$ N(t)=N_0\cdot 0.96^t$$

b)
Bei der Halbwertszeit gilt, dass $N(t)=\frac{N_0}{2}$ ist. Setzt man dies in das Zerfallsgesetz ein. erhält man:
$$ N(t)=N_0\cdot 0.96^t$$
$$ \frac{N_0}{2}=N_0\cdot 0.96^t \ \ \ |:N_0$$
$$\frac{1}{2}=0.96^t\ \ \ |\ln $$
$$ \ln \frac{1}{2}=t\cdot \ln 0.96 $$
$$\frac{\ln \frac{1}{2}}{\ln 0.96}=t$$
$$\underline{\underline{t=16.98}}$$

A: Die Halbwerszeit beträgt ca. 17 Stunden.

c) Hier müssen wir nur das $\lambda$ berechnen. Es gilt $a=e^{-\lambda}$. Dadurch kann $\lambda$ bestimmt werden:
$$0.96=e^{-\lambda}$$
$$ \ln 0.96 = -\lambda \ln e \ \ \ |\ln e=1$$
$$-\ln 0.96=\lambda$$
$$ \underline{\underline{0.041=\lambda}}$$

Somit lautet das Zerfallsgesatz in der $e^{-\lambda}$-Form:
$$N(t)=N_0\cdot e^{-0.041\cdot t}$$

d)
Gefragt ist, wann $$N(t)=1 \textrm{% von }N_0$$ ist. Formulieren wir dies noch "mathemtischer", so erhalten wir: $$N(t)=0.01\cdot N_0$$.
Setzten wir dies in das Zerfallsgesetz aus a) oder c) ein (es ist hier völlig egal, welche Formel man nimmt), so erhält man:
$$N(t)=N_0\cdot e^{-0.041\cdot t}$$
$$0.01\cdot N_0=N_0\cdot e^{-0.041\cdot t}$$
$$0.01=e^{-0.041\cdot t} | \ln \textrm{ und } \ln e=1$$
$$\ln 0.01=-0.041\cdot t$$
$$\frac{\ln 0.01}{-0.041}=t$$
$$\underline{\underline{t=112.32}}$$

A: Erst nach etwas mehr als 112 Stunden sind 99 % der Anfangsmenge zerfallen.

</div>

</div>

</div>

</div>

{| border ="1"
|<p style="background-color:#E0E0E0">'''Merke: $\ \ \ \ \ \ $ ''' </p>

|
* Die Halbwertszeit wird berechnet, indem man für $$N(t)=\frac{N_0}{2}$$ einsetzt.

* Die Halbwertszeit ist unabhängig vom Anfangswert $N_0$
|
|[[Datei:Halbierungszeit1.png|thumb|right|600px| Wartet man die Halbwertszeit $\tau$ ab, so halbiert sich der Anfangswert, unabhängig davon wie groß dieser ist.]]
|}

<br>
<br>
<br>
=== Übungsaufgaben ===
Weitere [http://matura.marienberg.at/images/2/2c/Bspe_zur_exp_Abnahme.pdf Übungsaufgaben (klicke hier)] und die dazugehörenden [http://matura.marienberg.at/images/b/b1/Bspe_zur_exp_Abnahme_-_L%C3%B6sungen.pdf Lösungen (klicke hier)].

<br>
<br>
<br>




== Durchmischte Beispiele ==

Hier Hot-Potatoe mit Lückentext/Zuordnung, ob alle Definitionen verstanden wurden

* [http://matura.marienberg.at/images/9/9b/Aufgaben_zu_den_verschiedenen_Wachstumsmodellen_%28exp-log-beschr%29.pdf Aufgaben zu den verschiedenen Wachstumsmodellen] (Lösungen enthalten)

* [http://matura.marienberg.at/images/e/e2/Aufgaben_-_St-Riedmann_-_Angabe.pdf Weitere Aufgaben (S. Riedmann)]
:: ... und [http://matura.marienberg.at/images/3/38/Aufgaben_-_St-Riedmann_-_L%C3%B6sungen.pdf hier die Lösungen]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=31&file=Schiunfaelle.pdf Schiunfälle] (bifie-Aufgabe: leicht)
:: siehe auch [[Statistische Diagramme]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=136&file=Neuronen_in_der_Grosshirnrinde.pdf Neuronen in der Großhirnrinde] (bifie-Aufgabe: leicht)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=220&file=PKW-Bestand.pdf PKW-Bestand] (leicht)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=178&file=Alkoholspiegel.pdf Alkoholspiegel] (leicht-leicht-mittel-mittel)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=203&file=Wirksame_Substanz_eines_Medikamentes.pdf] (bifie-Aufgabe: mittel)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=218&file=Tauchen.pdf Aufgabe Tauchen] (bifie-Aufgabe)
: Siehe auch: [[Rechnen mit Termen(2.1.)#Terme und Gleichungen aufstellen | Gleichungen aufstellen]] und [[Äquivalenzumformungen]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=14&file=Taschengeld.pdf Taschengeld] (bifie-Aufgabe)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=15&file=Luftdruck_1.pdf Luftdruck1] (bifie-Aufgabe)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=23&file=Bevoelkerung.pdf Bevölkerung] (bifie-Aufgabe)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=22&file=Holzbestand_und_Waldflaeche.pdf Holzbestand] (bifie-Aufgabe)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=21&file=Hefeteig.pdf Hefeteig] (bifie-Aufgabe)
*: siehe auch [[Lineare Funktionen]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=19&file=Altersbestimmung.pdf Altersbestimmung] (bifie-Aufgabe)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=24&file=Kleintransporte.pdf Kleintransporter] (bifie-Aufgabe)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=159&file=Radausflug.pdf Radausflug] (bifie-Aufgabe:mittel-mittel-mittel-leicht)
: Siehe auch
: * [[Beschreibende Statistik]]
: * [[Trigonometrie (2.12 und 3.10) | Trigonometrie]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=181&file=Bevoelkerungswachstum_in_den_USA.pdf Bevölkerung der USA] (leicht-leicht-mittel)
: Siehe für Aufgabe b) und c) auch [[Differenzen- und Differentialquotient]]

Wachstums- und Zerfallsprozesse

2014-11-14T06:11:32Z

77.119.231.226: /* Quadratisches Wachstum $N(t)=a\cdot t^2+b\cdot t+N_0$ */

In der Natur vorkommende Wachstums- und Zerfallsprozesse (z.B. Wachstum einer Bevölkerung, Zerfall eines radioaktiven Atoms, Abnahme des Alkoholspiegels) können mithilfe von mathematischen [[Funktionen]] beschrieben werden.

Für die Matura sind dabei besonders die folgenden Funktionen wichtig:
* [[Lineare Funktionen | lineare Funktionen y=kx+d]]
* [[Exponentialfunktionen(3.5.)| Exponentialfunktionen $y=b\cdot a^x$ oder $y=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$]]
* [[quadratische Funktionen | quadratische Funktionen $y=ax^2+bx+c$]]

== Grundbegriffe ==
* $t...$ gibt die vergangene Zeit an (in Jahren oder Tagen oder Stunden oder …. Die Einheit steht immer in der Angabe!)
* $N_0...$ Anfangswert (Anzahl/Größe zum Zeitpunkt 0)
* $N(t)...$ Anzahl/Größe nach t Zeiteinheiten (z.B. t gebe die Stunden an, dann ist $N(5)=$ Anzahl nach 5 Stunden)

== Lineares Wachstum $N(t)= k\cdot t +N_0$==

=== Definition und Verwendung===
[[Datei:Lin wachstum.png|thumb|right|300px|Graph einer linearen Zunahme]]
[[Datei:Lin abnahme.png|thumb|right|300px|Graph einer linearen Abnahme]]

Eine Größe verändert sich linear, wenn sie in gleichen Zeitabständen '''um denselben konstanten Wert k''' wächst.
Die Funktionsgleichung für eine solche Veränderung lautet dann:
$$ N(t)= k\cdot t +N_0 $$

* Ist k>0, so handelt es sich um ein lineares Wachstum
* Ist k<0, so handelt es sich um eine lineare Abhnahme

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Hinweise:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
* Bei $$ N(t)= k\cdot t +N_0 $$ handelt es sich um eine [[Lineare Funktionen | lineare Funktion]] der Form
$$ y=k\cdot x+d$$
: Mit der unabhängigen Variable $t=x$, der davon abhängigen Variable $N(t)=y$ und dem Startwert $N_0=d$

* '''Herleitung der Funktionsgleichung:'''
Angenommen eine Population hat zu Beginn $N_0$ Individuen und wächst pro Zeiteinheit (z.B. pro Stunde) um den Wert k.

Dann gilt für $N(1)=$ Individuen nach einer Stunde:
$$N(1)=N_0+k$$
Nach 2 Stunden hat sich die Population wieder um k vermehrt und damit ist
$$N(2)=N(1)+k=(N_0+k)+k=N_0+2k$$
Und nach 3 Stunden gilt
$$N(3)=N(2)+k=(N_0+2k)+k=N_0+3k$$
Ganz allgemein gilt dann für die Population nach t Stunden:
$$N(t)=N_0+k\cdot t$$

</div>

</div>

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<br>
<br>

=== Übungsaufgabe ===
* [http://matura.marienberg.at/images/9/9b/Aufgabe_-_lineares_Wachstum_-_Angabe.pdf Aufgabe Regentonne]
: [http://matura.marienberg.at/images/b/bb/Aufgabe_-_lineares_Wachstum_-_L%C3%B6sungen.pdf Lösung Regentonne]
* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=218&file=Tauchen.pdf Aufgabe Tauchen]

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== Exponentielles Wachstum $N(t)=N_0\cdot a^t$ bzw. $N(t)=N_0\cdot e^{\lambda \cdot t}$==

=== Definition und Verwendung===

Eine Größe wächst exponentiell, wenn sie in gleichen Zeitabständen '''um denselben konstanten Faktor $a>1$''' wächst.
Wie bei den [[Exponentialfunktionen(3.5.) | Exponentialfunktionen]] gibt es auch hier zwei Formeln:

[[Datei:Exp wachstum.png|thumb|300px|right|Graph einer exponentiellen Zunahme]]

{| border="1" align="center"
|-
| $$N(t)=N_0\cdot a^t $$
| $$N(t)=N_0\cdot e^{\lambda \cdot t}$$
|-
| $a>1 ...$ ist der Wachstumsfaktor und gibt an, mit welchem Faktor sich die Population pro Zeiteinheit verändert. Da die Population wächst, muss $a>1$ sein (siehe [[Exponentialfunktionen(3.5.) | Exponentialfunktionen]])

Beispiel:
{|
| $a=1.26$
|$\rightarrow $
| die Population wächst um den Faktor 1.26
| $\rightarrow $
| die Population wächst pro Zeiteinheit um $26$ %
|}
| $\lambda>0 ...$ ist die Wachstumsrate.
Es gilt: $a=e^\lambda $
|}
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=== Verdoppelungszeit ===
Eine besondere Eigenschaft des exponentiellen Wachstums ist, dass die Zeit für eine Verdoppelung der Anfangsgröße immer gleich groß ist (mit einer kleinen Überlegung findest du leicht heraus, dass dies schon aus der Definition des Exponentiellen Wachstums folgt).
Aus diesem Grund definiert man die:

{| border ="1"
| <p style="background-color:#E0E0E0"> '''Definition: Verdoppelungszeit $\tau $''' </p>

| Die Verdoppelungszeit $\tau$ ist die Zeit, in der sich eine Größe verdoppelt hat. Insbesondere gilt: $$N(\tau)=2\cdot N_0$$
$$\textrm{(in Worten: „die Anzahl nach $\tau$ (="tau") Zeiteinheiten ist das Doppelte des Anfangswertes }N_0$$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0>
'''1. Musterbeispiel:''' Berechnung der Verdoppelungszeit bei bekannter Anfangsmenge </span>

<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:1 bsp zu wachstum.png|thumb|right|300px|Graph der Wachstumsfunktion $N(t)=350\cdot 1.065^t$]]
Ein Kapital auf einem Sparbuch wächst jährlich um 6.5 % p.a. (d.h. 6.5 %-ige Verzinsung pro Jahr).
* a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung, wenn zu Beginn € 100 auf dem Sparbuch liegen.
* b) Ermitteln Sie die Verdoppelungszeit, d.h. Berechnen Sie, wann sich das Anfangskapital verdoppelt hat.
* c) Die folgende Graphik gibt die Entwicklung für ein Anfangskapital von € 350 an. Lesen Sie aus dem Graphen die Verdoppelungszeit ab.
: Begründen Sie zusätzlich, warum die Verdoppelungszeit gleich groß wie in Aufgabe b) ist.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
a) $N_0=100$; $a=(1+\frac{6.5}{100})=1.065 \ \ \rightarrow$ $\underline{\underline{N(t)=100\cdot 1.065^t}}$

b)
* $N_0=100$
* $a=1.065$
* $N(t)=200$
* $t=$?
[[Datei:1 bsp zu wachstum-lösung.png|thumb|right|300px|Bestimmung der Verdoppelungszeit]]
$$200=100\cdot 1.065^t$$
$$2=1.065^t |\log$$
$$\log 2 = t\cdot \log 1.065$$
$$\frac{\log 2}{\log 1.065}=t$$
$$\underline{\underline{t= 11.01}}$$

c)
Wie anhand des Graphen zu sehen ist, beträgt die Verdoppelungszeit 11,01 Jahre, da sich hier das Anfangskapital von € 350 auf € 700 verdoppelt hat.

Die Verdoppelungszeit hängt nicht vom Startwert $N_0$, sondern nur vom Wachstumsfaktor $a$ ab. Aus diesem Grund sind die Verdoppelungszeiten in b) und c) ident.

</div>

</div>

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''2. Musterbeispiel:''' Berechnung der Verdoppelungszeit bei unbekannter Anfangsmenge </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Die Größe einer Bakterienpopulation nach t Stunden kann mithilfe der Funktion $N(t)=N_0\cdot 1.14^t$ angegeben werden.
* a) Bestimmen Sie, um wie viel Prozent sich die Population pro Stunde vergrößert.
* b) Berechnen Sie die Verdoppelungszeit.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

a) $a=1.14\ \ \rightarrow\ \ 14$ % Wachstum pro Stunde.

b)
Nach der Verdoppelungszeit ist $N(t)=2\cdot N_0$ (d.h. der Anfangswert hat sich verdoppelt). Setzen wir dies für $N(t)$ in die Funktionsgleichung, so erhalten wir:
$$ N(t)=N_0\cdot 1.14^t$$
$$ 2\cdot N_0=N_0\cdot 1.14^t \ \ \ |:N_0$$
$$ 2=1.14^t \ \ \ |\log ( \ )$$
Wichtig! In der oberen Zeile hat sich das $N_0$ weggekürzt! Damit sehen wir, dass die '''Verdoppelungszeit unabhängig vom Startwert $N_0$''' ist! Dies kam auch schon im 1. Musterbeispiel vor.
$$ \log 2=t\cdot \log 1.14 $$
$$\frac{\log 2}{\log 1.14}=t$$
$$\underline{\underline{t=5.29}}$$
A: Die Verdoppelungszeit beträgt 5.29 Stunden.

</div>

</div>

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''3. Musterbeispiel:''' Bestimmen des Wachstumsfaktors bei bekannter Verdoppelungszeit </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Die Verdoppelungszeit eines exponentiellen Wachstumsprozesses der Form $N(t)=N_0\cdot a^t$ beträgt 17 Tage (t gibt die Tage an).
* a) Berechnen Sie den Wachstumsfaktor $a$.
* b) Bestimmen Sie die Zeit, wie lange es dauert, bis das 8-fache des Anfangswertes vorhanden ist.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

a) Aus der Angabe geht hervor, dass $N(17)=2\cdot N_0$ ist. Dies setzen wir nun in die Funktionsgleichung ein:
$$N(t)=N_0\cdot a^t$$
$$N(17)=N_0\cdot a^{17}$$
$$2\cdot N_0=N_0\cdot a^{17} \ \ \ |:N_0$$
$$2=a^{17} \ \ \ |\sqrt[17]{\ \ \ }$$
$$\sqrt[17]{2}=a$$
$$\underline{\underline{a=1.0416}}$$
A: Der Wachstumsfaktor $a$ beträgt 1.0416, womit pro Stunde 4.16% dazukommen.

b) Aus der Angabe wissen wir, dass es nach 17 Stunden zu einer Verdoppelung gekommen ist.
Da sich das expoentielle Wachsum in gleichen Zeitabständen um denselben Faktor vermehrt, gilt:
* nach $2\cdot 17=34$ Stunden kommt es zu einer Vervierfachung ($2\cdot 2=4$).
* Nach $3\cdot 17=51$ Stunden kommt es zu einer Verachtfachung. ($2\cdot 2 \cdot 2=8$)
Somit dauert es 51 Stunden.
Schau dir dazu auch den Graphen bei der unteren Bemerkung an!

</div>

</div>

</div>

</div>

{| border ="1"
|<p style="background-color:#E0E0E0">'''Merke:''' </p>

|
* Die Verdoppelungszeit wird berechnet, indem man für $N(t)=2\cdot N_0$ einsetzt.

* Die Verdoppelungszeit ist unabhängig vom Anfangswert $N_0$ (vgl. 2. Musterbeispiel)
|
|[[Datei:Verdoppelungszeit.png|thumb|right|500px|Mehrfache Verdoppelung eines exponentiellen Wachstums]]
|}

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=== Unterschied: Lineares und Exponentielles Wachstum ===

Es ist wichtig, die Unterschiede zwischen dem linearen und dem exponentiellen Wachstum zu kennen. Aus diesem Grund vergleichen wir hier die beiden Wachstumsprozesse:

{| border="1" align="center"
|-
!| lineares Wachstum
!| exponentielles Wachstum
|-
|Addition um eine konstante Zahl
| Multiplikation um einen konstanten Faktor
|-
| immer $+k$
| immer $\cdot a$
|-
| Graph ist eine Gerade
| Graph ist eine exponentielle Kurve
|-
| wächst immer um dieselbe konstante Zahl k
| wächst immer schneller
|-
| [[Datei:Lin wachstum.png|thumb|right|300px|Graph einer linearen Zunahme]]
| [[Datei:Exp wachstum.png|thumb|300px|right|Graph einer exponentiellen Zunahme]]
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel: linear oder exponentiell?''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Ordne dem passenden Wachstum zu und bestimme k bzw. a:
# Der Umfang eines Baumes nimmt jährlich um 5% zu:
# Der Meeresspiegel steigt jährlich um 4 cm:
# Die Bevölkerung wächst jährlich um den Faktor 1.2:
# Der Stamm eines Baumes wird pro Jahr um 1 cm dicker:
# Ein Kapital wird jährlich mit 3 % p.a. verzinst.
# Der Umsatz eines Betriebes sinkt jährlich um 12 %

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
# Der Umfang eines Baumes nimmt jährlich um 5 % zu: <span style="color:red"> exponentiell mit $a=1.05$ </span>
# Der Meeresspiegel steigt jährlich um 4 cm: <span style="color:red"> linear mit $k=4$ cm </span>
# Die Bevölkerung wächst jährlich um den Faktor 1.2: <span style="color:red"> exponentiell mit $a=1.2$ </span>
# Der Stamm eines Baumes wird pro Jahr um 1 cm dicker: <span style="color:red"> linear mit $k=1$ cm </span>
# Ein Kapital wird jährlich mit 3 % p.a. verzinst. <span style="color:red"> exponentiell mit $a=1.03$ </span>
# Der Umsatz eines Betriebes sinkt jährlich um 12 %: <span style="color:red"> exponentiell mit $a=0.88 \rightarrow$ siehe exponentielle Abnahme </span>

</div>

</div>

</div>

</div>

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==Exponentielle Abnahme $N(t)=N_0\cdot a^t$ oder $N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda\cdot t}$ ==

'''Definition:'''

Von einer exponentiellen Abnahme spricht man, wenn sich eine Größe in gleichbleibenden Zeitintervallen immer '''um den gleichen Faktor verkleinert'''.

[[Datei:Exp abnahme.png|thumb|300px|right|Graph einer exponentiellen Abnahme]]

{| border="1" align="center"
|-
| $$N(t)=N_0\cdot a^t $$
| $$N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda \cdot t}$$
|-
| $a>1 ...$ ist der Abnahmefaktor und gibt an, mit welchem Faktor sich die Population pro Zeiteinheit verringert. Da die Population abnimmt, muss $0<a<1$ sein (siehe [[Exponentialfunktionen(3.5.) | Exponentialfunktionen]])

Beispiel:
{|
| $a=0.64$
|$\rightarrow $
| die Population verringert sich um den Faktor 0.64
| $\rightarrow $
| die Population verringert sich pro Zeiteinheit um $1-0.64=36$ %
|}
| $-\lambda<0 ...$ ist die Wachstumsrate.
Es gilt: $a=e^{-\lambda} $
|}
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=== Halbwertszeit ===
Eine besondere Eigenschaft des exponentiellen Abnahme ist, dass die Zeit für eine Halbierung der Anfangsgröße, immer gleich groß ist (vgl. Verdoppelungszeit beim exponentiellen Wachstum).
Aus diesem Grund definiert man die:

{| border ="1"
| <p style="background-color:#E0E0E0"> '''Definition: Halbwertszeit $\tau $''' </p>

| Die Halbwertszeit $\tau$ ist die Zeit, in der sich eine Größe halbiert hat. Insbesondere gilt: $$N(\tau)=\frac{N_0}{2}$$
$$\textrm{(in Worten: „die Anzahl nach $\tau$ Zeiteinheiten ist die Hälfte des Anfangswertes }N_0\textrm{"}$$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Musterbeispiel:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Von einer bestimmten Menge eines radioaktiven Elements zerfallen stündlich 4 %.
* a) Stellen Sie das Zerfallsgesetz in der Form $N(t)=N_0\cdot a^t$ auf.
* b) Bestimmen Sie die Halbwertszeit.
* c) Bestimmen Sie zusätzlich noch das Zerfallsgesetz in der Form $N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda \cdot t}$
* d) Nach wie vielen Stunden ist nur noch 1 % der Anfangsmenge vorhanden?

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
a)
$a=0.96 \rightarrow $ Somit lautet das Zerfallsgesetz: $$ N(t)=N_0\cdot 0.96^t$$

b)
Bei der Halbwertszeit gilt, dass $N(t)=\frac{N_0}{2}$ ist. Setzt man dies in das Zerfallsgesetz ein. erhält man:
$$ N(t)=N_0\cdot 0.96^t$$
$$ \frac{N_0}{2}=N_0\cdot 0.96^t \ \ \ |:N_0$$
$$\frac{1}{2}=0.96^t\ \ \ |\ln $$
$$ \ln \frac{1}{2}=t\cdot \ln 0.96 $$
$$\frac{\ln \frac{1}{2}}{\ln 0.96}=t$$
$$\underline{\underline{t=16.98}}$$

A: Die Halbwerszeit beträgt ca. 17 Stunden.

c) Hier müssen wir nur das $\lambda$ berechnen. Es gilt $a=e^{-\lambda}$. Dadurch kann $\lambda$ bestimmt werden:
$$0.96=e^{-\lambda}$$
$$ \ln 0.96 = -\lambda \ln e \ \ \ |\ln e=1$$
$$-\ln 0.96=\lambda$$
$$ \underline{\underline{0.041=\lambda}}$$

Somit lautet das Zerfallsgesatz in der $e^{-\lambda}$-Form:
$$N(t)=N_0\cdot e^{-0.041\cdot t}$$

d)
Gefragt ist, wann $$N(t)=1 \textrm{% von }N_0$$ ist. Formulieren wir dies noch "mathemtischer", so erhalten wir: $$N(t)=0.01\cdot N_0$$.
Setzten wir dies in das Zerfallsgesetz aus a) oder c) ein (es ist hier völlig egal, welche Formel man nimmt), so erhält man:
$$N(t)=N_0\cdot e^{-0.041\cdot t}$$
$$0.01\cdot N_0=N_0\cdot e^{-0.041\cdot t}$$
$$0.01=e^{-0.041\cdot t} | \ln \textrm{ und } \ln e=1$$
$$\ln 0.01=-0.041\cdot t$$
$$\frac{\ln 0.01}{-0.041}=t$$
$$\underline{\underline{t=112.32}}$$

A: Erst nach etwas mehr als 112 Stunden sind 99 % der Anfangsmenge zerfallen.

</div>

</div>

</div>

</div>

{| border ="1"
|<p style="background-color:#E0E0E0">'''Merke: $\ \ \ \ \ \ $ ''' </p>

|
* Die Halbwertszeit wird berechnet, indem man für $$N(t)=\frac{N_0}{2}$$ einsetzt.

* Die Halbwertszeit ist unabhängig vom Anfangswert $N_0$
|
|[[Datei:Halbierungszeit1.png|thumb|right|600px| Wartet man die Halbwertszeit $\tau$ ab, so halbiert sich der Anfangswert, unabhängig davon wie groß dieser ist.]]
|}

<br>
<br>
<br>
=== Übungsaufgaben ===
Weitere [http://matura.marienberg.at/images/2/2c/Bspe_zur_exp_Abnahme.pdf Übungsaufgaben (klicke hier)] und die dazugehörenden [http://matura.marienberg.at/images/b/b1/Bspe_zur_exp_Abnahme_-_L%C3%B6sungen.pdf Lösungen (klicke hier)].

<br>
<br>
<br>


== Beschränktes und Logistisches Wachstum ==

== Durchmischte Beispiele ==

Hier Hot-Potatoe mit Lückentext/Zuordnung, ob alle Definitionen verstanden wurden

* [http://matura.marienberg.at/images/9/9b/Aufgaben_zu_den_verschiedenen_Wachstumsmodellen_%28exp-log-beschr%29.pdf Aufgaben zu den verschiedenen Wachstumsmodellen] (Lösungen enthalten)

* [http://matura.marienberg.at/images/e/e2/Aufgaben_-_St-Riedmann_-_Angabe.pdf Weitere Aufgaben (S. Riedmann)]
:: ... und [http://matura.marienberg.at/images/3/38/Aufgaben_-_St-Riedmann_-_L%C3%B6sungen.pdf hier die Lösungen]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=31&file=Schiunfaelle.pdf Schiunfälle] (bifie-Aufgabe: leicht)
:: siehe auch [[Statistische Diagramme]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=136&file=Neuronen_in_der_Grosshirnrinde.pdf Neuronen in der Großhirnrinde] (bifie-Aufgabe: leicht)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=220&file=PKW-Bestand.pdf PKW-Bestand] (leicht)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=178&file=Alkoholspiegel.pdf Alkoholspiegel] (leicht-leicht-mittel-mittel)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=203&file=Wirksame_Substanz_eines_Medikamentes.pdf] (bifie-Aufgabe: mittel)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=218&file=Tauchen.pdf Aufgabe Tauchen] (bifie-Aufgabe)
: Siehe auch: [[Rechnen mit Termen(2.1.)#Terme und Gleichungen aufstellen | Gleichungen aufstellen]] und [[Äquivalenzumformungen]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=14&file=Taschengeld.pdf Taschengeld] (bifie-Aufgabe)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=15&file=Luftdruck_1.pdf Luftdruck1] (bifie-Aufgabe)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=23&file=Bevoelkerung.pdf Bevölkerung] (bifie-Aufgabe)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=22&file=Holzbestand_und_Waldflaeche.pdf Holzbestand] (bifie-Aufgabe)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=21&file=Hefeteig.pdf Hefeteig] (bifie-Aufgabe)
*: siehe auch [[Lineare Funktionen]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=19&file=Altersbestimmung.pdf Altersbestimmung] (bifie-Aufgabe)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=24&file=Kleintransporte.pdf Kleintransporter] (bifie-Aufgabe)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=159&file=Radausflug.pdf Radausflug] (bifie-Aufgabe:mittel-mittel-mittel-leicht)
: Siehe auch
: * [[Beschreibende Statistik]]
: * [[Trigonometrie (2.12 und 3.10) | Trigonometrie]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=181&file=Bevoelkerungswachstum_in_den_USA.pdf Bevölkerung der USA] (leicht-leicht-mittel)
: Siehe für Aufgabe b) und c) auch [[Differenzen- und Differentialquotient]]

Integration

2014-11-11T06:44:58Z

77.119.231.226: /* Integrationsregeln */

[[Datei:Integration-Präsentationsbild-klein.png|link=https://mix.office.com/watch/1joif5vw19uvd|gerahmt|zentriert|Klicke auf das Bild, um die Einführungspräsentation zu starten]]

== Gruppe 1: Idee der Integration: Fläche als Summe unendlich kleiner Rechtecke + GeoGebra-Formel ==
Hier lernst du nächeres über die [[Integration: Idee der Integration: Fläche als Summe unendlich kleiner Rechtecke|Idee der Integration: Fläche als Summe unendlich kleiner Rechtecke]].

== Gruppe 2: Das unbestimmte Integral und die Integrationsregeln - bestimmen der Stammfunktionen ==

Für jede Rechenoperation existiert auch eine Umkehroperation. Die Umkehroperation der Addition ist zum Beispiel die Subtraktion. Demnach ist die Umkehroperation des Differenzierens das Integrieren. Zu jeder Funktion f kann man unter bestimmten Bedingungen die Ableitungsfunktion f´ bilden.
Nun sollte es natürlich möglich sein, zu einer Ableitungsfunktion die dazugehörige Ausgangsfunktion zu finden. Man kann jede Funktion als Ableitung betrachten und demnach muss es zu jeder Funktion (die man selbst ableiten kann) auch eine Funktion geben, aus der sie durch Ableiten hervorgegangen ist. Diese Überlegung führt uns zum Begriff '''Stammfunktion'''.

{{Vorlage:Definition|1='''Stammfunktion'''
Die Funktion $F$ heißt Stammfunktion der Funktion $f$, wenn gilt:
$$F'(x)=f(x)$$
Eine andere Schreibweise, die wir erst später rechtfertigen ist:
$$F(x)=\int f(x)\cdot dx$$}}

:::::::::::::::::::'''Unbestimmtes Integral, Stammfunktion Erklärung Teil 1'''
:::::::::::::::::{{#ev:youtube|apmRLssukv4}}

=== Integrationsregeln ===

* '''Potenzregel'''
$$\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c$$
::::::::::::::Die Potzenregel gilt nicht nur für natürliche Exponenten, sondern auch für reelle Exponenten außer $n=-1$.

* '''Summenregel'''
$$\int [f(x)± g(x)]\,dx=\int f (x)\,dx±\int g (x)\,dx$$
::::::::::::::::::Eine Summe wird integriert, indem man jeden Summanden integriert.

* '''Faktorregel'''
$$\int c\cdot f (x)\,dx=c\cdot\int f (x)\,dx$$
:::::::::::::::::::::Einen konstanten Faktor kann man herausheben.

* '''Regel für $\frac{1}{x}$'''
$$\int \frac{1}{x}\,dx=In|x|+c$$
::::::::::::::::::::::: Diese Regel braucht man für $\frac{1}{x}$

=== Beispiele ===
Bestimmen Sie die Stammfunktionen:

{{Vorlage:Beispiel|1= $y=2,5$|2=$\int 2.5\cdot dx=2,5x+c$

}}

{{Vorlage:Beispiel|1=$y=-x+0,5$|2=$\int(-x+0.5)\cdot dx=0,5x^2+0,5x+c$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=$y=x^2$|2=$\int x^2\cdot dx=\frac{x^3}{3}+c$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=$y=9x^2-8x+1$|2=$\int (9x^2-8x+1)\cdot dx=3x^3-4x^2+x+c$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=$y=2x+3$|2=$\int (2x+3)\cdot dx=x^2+3x+c$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=$y=\frac{1}{x}$|2=$\int(\frac{1}{x}\cdot dx=In\vert x\vert +c$}}

=== Zusatzmaterial ===

==== Quiz ====
'''[http://learningapps.org/display?v=pv1cjzcd201 Kreuzworträtsel zum unbestimmten Integral]'''

'''[http://LearningApps.org/display?v=p16f2fcj501 Kreuzworträtsel zu den Integrationsregeln]'''

==== Lernvideos ====
'''[https://www.youtube.com/watch?v=n1vCUu2qaO4 Unbestimmtes Integral, Stammfunktion Erklärung Teil 2]'''

'''[https://www.youtube.com/watch?v=xh1gFjAbcmM Unbestimmtes Integral, Stammfunktion Erklärung Teil 3]'''

== Gruppe 3: Das bestimmte Integral ==

Hier lernst du nächeres über [[Integration: Das bestimmte Integral - Berechnung der orientierten Fläche|das bestimmte Integral - Berechnung der orientierten Fläche]]

== Anwendung 1: Berechnung von Flächen, die oberhalb und unterhalb der x-Achse liegen ==

Hier lernst du nächeres über die [[Integration: Berechnung von Flächen, die oberhalb und unterhalb der x-Achse liegen|Berechnung von Flächen, die oberhalb und unterhalb der x-Achse liegen]].

== Anwendung 2: Berechnung von Flächen zwischen zwei Kurven ==

Hier lernst du nächeres über die [[Integration: Berechnung von Flächen zwischen zwei Kurven|Berechnung von Flächen zwischen zwei Kurven]].

== Anwendung 3: Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung ==
Hier lernst du nächeres über die die [[Integration: Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung| Integration von Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung]]

= GeoGebra-Formelsammlung =

== Ober- Untersumme ==

Näherung von $\int_{a}^{b} f(x)\cdot dx$
{| class="wikitable"
|-
! GeoGebra
|-
| Untersumme/Obersumme [ <Funktion>, <Startwert>, <Endwert>, <Anzahl der Rechtecke> ]
|}

== Flächen zwischen 2 Kurven ==

$\int_{a}^{b} (f(x)-g(x) ) \cdot dx$

{| class="wikitable"
|-
! GeoGebra
|-
| IntegralZwischen[ <Funktion>, <Funktion>, <Startwert>, <Endwert> ]
|}

==bestimmtes Integral und orientierte Fläche==

$\int_{a}^{b} f(x)=F(b)-F(a)$

{| class="wikitable"
|-
! GeoGebra
|-
| Integral[ <Funktion>, <Startwert>, <Endwert> ]
|}

== Unbestimmtes Integral/Stammfunktion und die Integrationsregel==

{| class="wikitable"
|-
! GeoGebra
|-
| Integral[ <Funktion> ]
|}

[http://www.geogebratube.org/student/m108943 Arbeitsblatt, dass die Idee der Rechtecke erklärt]

# [[Blume|zweite Bankreihe]]
# [[KarolaWinsauer|dritte Bankreihe]]
# [[KATHARINA..BOEHLER|vierte Bankreihe]]
# [[melissamelinda|vierte Bankreihe]]

== Übungsaufgaben ==
* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]] [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_integralrechnung/2011-03-22-Integral/Lernpfad/ Quiz-Aufgabe] (klicke links auf: "Übungen" und dann wähle eine Übung unter "Quiz")

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=26&file=Erddamm.pdf Erddamm] (leicht-mittel)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=135&file=Volumenstrom.pdf Volumenstrom] (mittel-schwer-mittel)
:: hierbei werden auch die Themen wie [[Differenzen- und Differentialquotient#Differentialquotient | die momentane Änderungsrate]] und [[Umkehraufgaben]] benötigt.

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=117&file=Pinboard.pdf Pinboard] (mittel)
:: hier brauchst du auch Wissen über [[Kurvendiskussionen]] und über [[Gleichungssysteme (2.7.) | das Lösen von Gleichungssystemen]] bzw. [[Umkehraufgaben]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=130&file=Wasserkanal.pdf Wasserkanal] (mittel-mittel-leicht)
:: hier brauchst du auch Wissen über [[Kurvendiskussionen]] bzw. [[Steigung und Steigungswinkel]] sowie den [http://www.mathe-lexikon.at/geometrie/ebene-figuren/vierecke/trapez/flaecheninhalt.html Flächeninhalt eines Trapez']

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=142&file=Energieverbrauch_und_Joggen.pdf Energieverbrauch beim Joggen] (mittel)
:: Welche Inhalte brauchst du hier noch: [[Wachstums- und Zerfallsprozesse | exponentielle Abnahme]] und [[Differenzen- und Differentialquotient]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=155&file=Schmuckstueck.pdf Schmuckstück] (leicht-mittel-mittel)
:: Was brauchst du hier noch: [[Quadratische Funktionen]] bzw. [[Umkehraufgaben]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=193&file=Minirampe.pdf Minirampe] (mittel)
:: Hier brauchst du auch Wissen über [[Kurvendiskussionen]] sowie über [[Steigung und Steigungswinkel]] und über [[Umkehraufgaben]]

Integration

2014-11-11T06:41:36Z

77.119.231.226: /* Integrationsregeln */

[[Datei:Integration-Präsentationsbild-klein.png|link=https://mix.office.com/watch/1joif5vw19uvd|gerahmt|zentriert|Klicke auf das Bild, um die Einführungspräsentation zu starten]]

== Gruppe 1: Idee der Integration: Fläche als Summe unendlich kleiner Rechtecke + GeoGebra-Formel ==
Hier lernst du nächeres über die [[Integration: Idee der Integration: Fläche als Summe unendlich kleiner Rechtecke|Idee der Integration: Fläche als Summe unendlich kleiner Rechtecke]].

== Gruppe 2: Das unbestimmte Integral und die Integrationsregeln - bestimmen der Stammfunktionen ==

Für jede Rechenoperation existiert auch eine Umkehroperation. Die Umkehroperation der Addition ist zum Beispiel die Subtraktion. Demnach ist die Umkehroperation des Differenzierens das Integrieren. Zu jeder Funktion f kann man unter bestimmten Bedingungen die Ableitungsfunktion f´ bilden.
Nun sollte es natürlich möglich sein, zu einer Ableitungsfunktion die dazugehörige Ausgangsfunktion zu finden. Man kann jede Funktion als Ableitung betrachten und demnach muss es zu jeder Funktion (die man selbst ableiten kann) auch eine Funktion geben, aus der sie durch Ableiten hervorgegangen ist. Diese Überlegung führt uns zum Begriff '''Stammfunktion'''.

{{Vorlage:Definition|1='''Stammfunktion'''
Die Funktion $F$ heißt Stammfunktion der Funktion $f$, wenn gilt:
$$F'(x)=f(x)$$
Eine andere Schreibweise, die wir erst später rechtfertigen ist:
$$F(x)=\int f(x)\cdot dx$$}}

:::::::::::::::::::'''Unbestimmtes Integral, Stammfunktion Erklärung Teil 1'''
:::::::::::::::::{{#ev:youtube|apmRLssukv4}}

=== Integrationsregeln ===

* '''Potenzregel'''
$$\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c$$
::::::::::::::Die Potzenregel gilt nicht nur für natürliche Exponenten, sondern auch für reelle Exponenten außer $n=-1$.

* '''Summenregel'''
$$\int_{a}^{b} [f(x)± g(x)]\,dx=\int_{a}^{b} f (x)\,dx±\int_{a}^{b} g (x)\,dx$$
::::::::::::::::::Eine Summe wird integriert, indem man jeden Summanden integriert.

* '''Faktorregel'''
$$\int_{a}^{b} c\cdot f (x)\,dx=c\cdot\int_{a}^{b} f (x)\,dx$$
:::::::::::::::::::::Einen konstanten Faktor kann man herausheben.

* '''Regel für $\frac{1}{x}$'''
$$\int \frac{1}{x}\,dx=In|x|+c$$
::::::::::::::::::::::: Diese Regel braucht man für $\frac{1}{x}$

=== Beispiele ===
Bestimmen Sie die Stammfunktionen:

{{Vorlage:Beispiel|1= $y=2,5$|2=$\int 2.5\cdot dx=2,5x+c$

}}

{{Vorlage:Beispiel|1=$y=-x+0,5$|2=$\int(-x+0.5)\cdot dx=0,5x^2+0,5x+c$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=$y=x^2$|2=$\int x^2\cdot dx=\frac{x^3}{3}+c$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=$y=9x^2-8x+1$|2=$\int (9x^2-8x+1)\cdot dx=3x^3-4x^2+x+c$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=$y=2x+3$|2=$\int (2x+3)\cdot dx=x^2+3x+c$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=$y=\frac{1}{x}$|2=$\int(\frac{1}{x}\cdot dx=In\vert x\vert +c$}}

=== Zusatzmaterial ===

==== Quiz ====
'''[http://learningapps.org/display?v=pv1cjzcd201 Kreuzworträtsel zum unbestimmten Integral]'''

'''[http://LearningApps.org/display?v=p16f2fcj501 Kreuzworträtsel zu den Integrationsregeln]'''

==== Lernvideos ====
'''[https://www.youtube.com/watch?v=n1vCUu2qaO4 Unbestimmtes Integral, Stammfunktion Erklärung Teil 2]'''

'''[https://www.youtube.com/watch?v=xh1gFjAbcmM Unbestimmtes Integral, Stammfunktion Erklärung Teil 3]'''

== Gruppe 3: Das bestimmte Integral ==

Hier lernst du nächeres über [[Integration: Das bestimmte Integral - Berechnung der orientierten Fläche|das bestimmte Integral - Berechnung der orientierten Fläche]]

== Anwendung 1: Berechnung von Flächen, die oberhalb und unterhalb der x-Achse liegen ==

Hier lernst du nächeres über die [[Integration: Berechnung von Flächen, die oberhalb und unterhalb der x-Achse liegen|Berechnung von Flächen, die oberhalb und unterhalb der x-Achse liegen]].

== Anwendung 2: Berechnung von Flächen zwischen zwei Kurven ==

Hier lernst du nächeres über die [[Integration: Berechnung von Flächen zwischen zwei Kurven|Berechnung von Flächen zwischen zwei Kurven]].

== Anwendung 3: Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung ==
Hier lernst du nächeres über die die [[Integration: Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung| Integration von Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung]]

= GeoGebra-Formelsammlung =

== Ober- Untersumme ==

Näherung von $\int_{a}^{b} f(x)\cdot dx$
{| class="wikitable"
|-
! GeoGebra
|-
| Untersumme/Obersumme [ <Funktion>, <Startwert>, <Endwert>, <Anzahl der Rechtecke> ]
|}

== Flächen zwischen 2 Kurven ==

$\int_{a}^{b} (f(x)-g(x) ) \cdot dx$

{| class="wikitable"
|-
! GeoGebra
|-
| IntegralZwischen[ <Funktion>, <Funktion>, <Startwert>, <Endwert> ]
|}

==bestimmtes Integral und orientierte Fläche==

$\int_{a}^{b} f(x)=F(b)-F(a)$

{| class="wikitable"
|-
! GeoGebra
|-
| Integral[ <Funktion>, <Startwert>, <Endwert> ]
|}

== Unbestimmtes Integral/Stammfunktion und die Integrationsregel==

{| class="wikitable"
|-
! GeoGebra
|-
| Integral[ <Funktion> ]
|}

[http://www.geogebratube.org/student/m108943 Arbeitsblatt, dass die Idee der Rechtecke erklärt]

# [[Blume|zweite Bankreihe]]
# [[KarolaWinsauer|dritte Bankreihe]]
# [[KATHARINA..BOEHLER|vierte Bankreihe]]
# [[melissamelinda|vierte Bankreihe]]

== Übungsaufgaben ==
* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]] [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_integralrechnung/2011-03-22-Integral/Lernpfad/ Quiz-Aufgabe] (klicke links auf: "Übungen" und dann wähle eine Übung unter "Quiz")

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=26&file=Erddamm.pdf Erddamm] (leicht-mittel)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=135&file=Volumenstrom.pdf Volumenstrom] (mittel-schwer-mittel)
:: hierbei werden auch die Themen wie [[Differenzen- und Differentialquotient#Differentialquotient | die momentane Änderungsrate]] und [[Umkehraufgaben]] benötigt.

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=117&file=Pinboard.pdf Pinboard] (mittel)
:: hier brauchst du auch Wissen über [[Kurvendiskussionen]] und über [[Gleichungssysteme (2.7.) | das Lösen von Gleichungssystemen]] bzw. [[Umkehraufgaben]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=130&file=Wasserkanal.pdf Wasserkanal] (mittel-mittel-leicht)
:: hier brauchst du auch Wissen über [[Kurvendiskussionen]] bzw. [[Steigung und Steigungswinkel]] sowie den [http://www.mathe-lexikon.at/geometrie/ebene-figuren/vierecke/trapez/flaecheninhalt.html Flächeninhalt eines Trapez']

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=142&file=Energieverbrauch_und_Joggen.pdf Energieverbrauch beim Joggen] (mittel)
:: Welche Inhalte brauchst du hier noch: [[Wachstums- und Zerfallsprozesse | exponentielle Abnahme]] und [[Differenzen- und Differentialquotient]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=155&file=Schmuckstueck.pdf Schmuckstück] (leicht-mittel-mittel)
:: Was brauchst du hier noch: [[Quadratische Funktionen]] bzw. [[Umkehraufgaben]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=193&file=Minirampe.pdf Minirampe] (mittel)
:: Hier brauchst du auch Wissen über [[Kurvendiskussionen]] sowie über [[Steigung und Steigungswinkel]] und über [[Umkehraufgaben]]

Integration

2014-11-11T06:40:54Z

77.119.231.226: /* Gruppe 2: Das unbestimmte Integral und die Integrationsregeln - bestimmen der Stammfunktionen */

[[Datei:Integration-Präsentationsbild-klein.png|link=https://mix.office.com/watch/1joif5vw19uvd|gerahmt|zentriert|Klicke auf das Bild, um die Einführungspräsentation zu starten]]

== Gruppe 1: Idee der Integration: Fläche als Summe unendlich kleiner Rechtecke + GeoGebra-Formel ==
Hier lernst du nächeres über die [[Integration: Idee der Integration: Fläche als Summe unendlich kleiner Rechtecke|Idee der Integration: Fläche als Summe unendlich kleiner Rechtecke]].

== Gruppe 2: Das unbestimmte Integral und die Integrationsregeln - bestimmen der Stammfunktionen ==

Für jede Rechenoperation existiert auch eine Umkehroperation. Die Umkehroperation der Addition ist zum Beispiel die Subtraktion. Demnach ist die Umkehroperation des Differenzierens das Integrieren. Zu jeder Funktion f kann man unter bestimmten Bedingungen die Ableitungsfunktion f´ bilden.
Nun sollte es natürlich möglich sein, zu einer Ableitungsfunktion die dazugehörige Ausgangsfunktion zu finden. Man kann jede Funktion als Ableitung betrachten und demnach muss es zu jeder Funktion (die man selbst ableiten kann) auch eine Funktion geben, aus der sie durch Ableiten hervorgegangen ist. Diese Überlegung führt uns zum Begriff '''Stammfunktion'''.

{{Vorlage:Definition|1='''Stammfunktion'''
Die Funktion $F$ heißt Stammfunktion der Funktion $f$, wenn gilt:
$$F'(x)=f(x)$$
Eine andere Schreibweise, die wir erst später rechtfertigen ist:
$$F(x)=\int f(x)\cdot dx$$}}

:::::::::::::::::::'''Unbestimmtes Integral, Stammfunktion Erklärung Teil 1'''
:::::::::::::::::{{#ev:youtube|apmRLssukv4}}

=== Integrationsregeln ===

* '''Potenzregel'''
$$\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c$$
::::::::::::::Die Potzenregel gilt nicht nur für natürliche Exponenten, sondern auch für reelle Exponenten außer -1.

* '''Summenregel'''
$$\int_{a}^{b} [f(x)± g(x)]\,dx=\int_{a}^{b} f (x)\,dx±\int_{a}^{b} g (x)\,dx$$
::::::::::::::::::Eine Summe wird integriert, indem man jeden Summanden integriert.

* '''Faktorregel'''
$$\int_{a}^{b} c\cdot f (x)\,dx=c\cdot\int_{a}^{b} f (x)\,dx$$
:::::::::::::::::::::Einen konstanten Faktor kann man herausheben.

* '''Regel für $\frac{1}{x}$'''
$$\int \frac{1}{x}\,dx=In|x|+c$$
::::::::::::::::::::::: Diese Regel braucht man für $\frac{1}{x}$

=== Beispiele ===
Bestimmen Sie die Stammfunktionen:

{{Vorlage:Beispiel|1= $y=2,5$|2=$\int 2.5\cdot dx=2,5x+c$

}}

{{Vorlage:Beispiel|1=$y=-x+0,5$|2=$\int(-x+0.5)\cdot dx=0,5x^2+0,5x+c$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=$y=x^2$|2=$\int x^2\cdot dx=\frac{x^3}{3}+c$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=$y=9x^2-8x+1$|2=$\int (9x^2-8x+1)\cdot dx=3x^3-4x^2+x+c$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=$y=2x+3$|2=$\int (2x+3)\cdot dx=x^2+3x+c$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=$y=\frac{1}{x}$|2=$\int(\frac{1}{x}\cdot dx=In\vert x\vert +c$}}

=== Zusatzmaterial ===

==== Quiz ====
'''[http://learningapps.org/display?v=pv1cjzcd201 Kreuzworträtsel zum unbestimmten Integral]'''

'''[http://LearningApps.org/display?v=p16f2fcj501 Kreuzworträtsel zu den Integrationsregeln]'''

==== Lernvideos ====
'''[https://www.youtube.com/watch?v=n1vCUu2qaO4 Unbestimmtes Integral, Stammfunktion Erklärung Teil 2]'''

'''[https://www.youtube.com/watch?v=xh1gFjAbcmM Unbestimmtes Integral, Stammfunktion Erklärung Teil 3]'''

== Gruppe 3: Das bestimmte Integral ==

Hier lernst du nächeres über [[Integration: Das bestimmte Integral - Berechnung der orientierten Fläche|das bestimmte Integral - Berechnung der orientierten Fläche]]

== Anwendung 1: Berechnung von Flächen, die oberhalb und unterhalb der x-Achse liegen ==

Hier lernst du nächeres über die [[Integration: Berechnung von Flächen, die oberhalb und unterhalb der x-Achse liegen|Berechnung von Flächen, die oberhalb und unterhalb der x-Achse liegen]].

== Anwendung 2: Berechnung von Flächen zwischen zwei Kurven ==

Hier lernst du nächeres über die [[Integration: Berechnung von Flächen zwischen zwei Kurven|Berechnung von Flächen zwischen zwei Kurven]].

== Anwendung 3: Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung ==
Hier lernst du nächeres über die die [[Integration: Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung| Integration von Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung]]

= GeoGebra-Formelsammlung =

== Ober- Untersumme ==

Näherung von $\int_{a}^{b} f(x)\cdot dx$
{| class="wikitable"
|-
! GeoGebra
|-
| Untersumme/Obersumme [ <Funktion>, <Startwert>, <Endwert>, <Anzahl der Rechtecke> ]
|}

== Flächen zwischen 2 Kurven ==

$\int_{a}^{b} (f(x)-g(x) ) \cdot dx$

{| class="wikitable"
|-
! GeoGebra
|-
| IntegralZwischen[ <Funktion>, <Funktion>, <Startwert>, <Endwert> ]
|}

==bestimmtes Integral und orientierte Fläche==

$\int_{a}^{b} f(x)=F(b)-F(a)$

{| class="wikitable"
|-
! GeoGebra
|-
| Integral[ <Funktion>, <Startwert>, <Endwert> ]
|}

== Unbestimmtes Integral/Stammfunktion und die Integrationsregel==

{| class="wikitable"
|-
! GeoGebra
|-
| Integral[ <Funktion> ]
|}

[http://www.geogebratube.org/student/m108943 Arbeitsblatt, dass die Idee der Rechtecke erklärt]

# [[Blume|zweite Bankreihe]]
# [[KarolaWinsauer|dritte Bankreihe]]
# [[KATHARINA..BOEHLER|vierte Bankreihe]]
# [[melissamelinda|vierte Bankreihe]]

== Übungsaufgaben ==
* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]] [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_integralrechnung/2011-03-22-Integral/Lernpfad/ Quiz-Aufgabe] (klicke links auf: "Übungen" und dann wähle eine Übung unter "Quiz")

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=26&file=Erddamm.pdf Erddamm] (leicht-mittel)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=135&file=Volumenstrom.pdf Volumenstrom] (mittel-schwer-mittel)
:: hierbei werden auch die Themen wie [[Differenzen- und Differentialquotient#Differentialquotient | die momentane Änderungsrate]] und [[Umkehraufgaben]] benötigt.

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=117&file=Pinboard.pdf Pinboard] (mittel)
:: hier brauchst du auch Wissen über [[Kurvendiskussionen]] und über [[Gleichungssysteme (2.7.) | das Lösen von Gleichungssystemen]] bzw. [[Umkehraufgaben]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=130&file=Wasserkanal.pdf Wasserkanal] (mittel-mittel-leicht)
:: hier brauchst du auch Wissen über [[Kurvendiskussionen]] bzw. [[Steigung und Steigungswinkel]] sowie den [http://www.mathe-lexikon.at/geometrie/ebene-figuren/vierecke/trapez/flaecheninhalt.html Flächeninhalt eines Trapez']

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=142&file=Energieverbrauch_und_Joggen.pdf Energieverbrauch beim Joggen] (mittel)
:: Welche Inhalte brauchst du hier noch: [[Wachstums- und Zerfallsprozesse | exponentielle Abnahme]] und [[Differenzen- und Differentialquotient]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=155&file=Schmuckstueck.pdf Schmuckstück] (leicht-mittel-mittel)
:: Was brauchst du hier noch: [[Quadratische Funktionen]] bzw. [[Umkehraufgaben]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=193&file=Minirampe.pdf Minirampe] (mittel)
:: Hier brauchst du auch Wissen über [[Kurvendiskussionen]] sowie über [[Steigung und Steigungswinkel]] und über [[Umkehraufgaben]]

Spezial:Badtitle/NS3000:Integration: Das bestimmte Integral - Berechnung der orientierten Fläche

2014-11-04T06:25:24Z

77.119.231.226:

Mit dem bestimmten Integral berechnet man die orientierte Fläche zwischen der x-Achse und einer Kurve. <br />

== Begriffe ==
* f(x) heißt '''Integrant''' ( das, was integriert wird)
* x ist die '''Integrationsvariable'''
* a und b sind die '''untere''' bzw. '''obere''' '''Integrationsgrenze'''
* $\int_{a}^{b} f (x)\,dx$ ist das '''bestimmte Integral und gibt die orientierte Fläche zwischen f(x) und der x-Achse an'''
<br />
[[Datei:1.png|400px|miniatur]]
== Theorie ==
Für eine '''stetige Funktion f''' gilt:
* Ist F eine (beliebige) Stammfunktion von f, das heißt $ F' = f $ , dann gilt der 2. Hauptsatz, also
$$ \int_{a}^{b} f (x)\,dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a) $$

<br />
Der Wert des bestimmten Integrals ist gleich dem Wert einer Stammfunktion an der oberen Grenze minus der Wert dieser Stammfunktion an der unteren Grenze.

*F(a) = gelbe Fläche
*F(b) = grün-umrandete Fläche
*F(b) - F(a) = rote Fläche --> $ \int_{a}^{b} f (x)\,dx $

== Berechnung ==
# ErmittelnSie eine Stammfunktion F.
# Ermitteln sie F(a) und F(b). (Die Grenzen a und b in F einsetzen)
# Berechnen Sie die Differenz F(b) - F(a).

=== Beispiel ===
$\int_{1}^{2} (6x^2 + x-2)\,dx = [2x^3+\frac{x^2}{2}-2x+C]_{1}^{2} = (14+C) - (0,5+C) = 13,5$<br />

Die Integrationskante C fällt bei bestimmten Integralen immer weg. Daher schreiben wir sie in Zukunft beim bestimmten Integral meist nicht mehr an.
<br />

$\int_{1}^{3} (\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}+\frac{3}{x^3})\,dx = \underbrace{[In|x|+\frac{2}{x}-\frac{3}{2x^2}]_{1}^{3} }_{1.\ Schritt}=\underbrace{ (In 3 + \frac{2}{3}-\frac{1}{6})-(In 1+2-\frac{3}{2})}_{2.\ Schritt} = \underbrace{In 3 \approx 1,0986}_{3.\ Schritt}$

== Beispiele ==
<br />
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> $\int\limits_{0}^{2}x^2dx$ </span>

<div class="mw-collapsible-content"> $= \frac{x^3}{3}\vert_{0}^{2} = \frac{2^3}{3}- \frac{0^3}{3} = \frac{8}{3} = 2,67$
[[Datei:Aufgabe b).png|miniatur|Graphik zu Beispiel 1]]
</div>

</div>

<br />
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> $\int\limits_{1}^{3} 3x^2dx$ </span>

<div class="mw-collapsible-content"> $= 3\frac{x^3}{3}\vert_{1}^{3} = 3\frac{3^3}{3}- 3\frac{1^3}{3} = 27-1 = 26$
[[Datei:Datei:Aufgabe f)-2 Kopie.jpg|miniatur]]
</div>

</div>

<br />

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> $\int\limits_{2}^{5} 4x^3dx$ </span>

<div class="mw-collapsible-content"> $= 4\frac{x^4}{4}\vert_{2}^{5} = 4\frac{5^4}{4}- 4\frac{2^4}{4} = 625-16 = 609$

</div>

</div>
[[Datei:Aufgabe i).png|miniatur]]
<br />

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> $\int\limits_{0}^{4}-5dx$ </span>

<div class="mw-collapsible-content"> $= -5\frac{x^1}{1}\vert_{0}^{4}-5 \frac{4}{1}-(-5\frac{0}{1}) = -5*4 - (0) = 20$

</div>

</div>
[[Datei:Augabe e).png|miniatur]]

<br>
<br>
<br>
<br>
<br>

== Quiz ==
<br />
=== Kreuzworträtsel ===

[http://LearningApps.org/watch?v=pey1acai201 Hier zum Kreuzworträtsel]

=== Paare Spiel ===
[http://LearningApps.org/watch?v=p281umx9c01 Hier zu einem Paare Spiel]

=== Hang Man ===
[http://LearningApps.org/watch?v=prn2fedvn01 Hier zu Hang Man]

== Allgemeines Video zur Veranschaulichung ==

Dieses Video erklärt ziemlich gut nochmals alle Schritte, und dazu noch mit netten Bildern.

{{#ev:youtube|TcKANBl3sTs|}}
<br />

=== Und jetzt Du! ===
<br />
Hier sind ein paar Übungsaufgaben, wo du dein gewonnenes Wissen testen kannst. Sogar mit Lösungen.
<br />
[http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/integral_ueb.htm Übungen zum Bestimmen Integral]

[[Kategorie:Integration]]

Spezial:Badtitle/NS3000:Integration: Idee der Integration: Fläche als Summe unendlich kleiner Rechtecke

2014-11-04T06:21:51Z

77.119.231.226:

= Fläche als Summe von unendlich kleinen Rechtecken =

== Ober- und Untersummen ==

Man kann die tatsächliche Fläche abschätzen indem man ''viele Rechtecke unter der Kurve einschreibt'' und dann die Rechtecksflächen addiert '''(=Untersumme)'''
oder in dem man viele Rechtecke '''über der Kurve einschreibt''' und dann die Rechtecksflächen addiert
'''(=Obersumme)'''

[[Datei:Ober-untersumme.PNG|miniatur]]

Die orientierte Fläche unter einer Kurve kann somit als Grenzwert (=Limes) der Summe von unendlich vielen Rechtecken mit der Höhe f(x) und der unendlich kleinen Breite dx berechnet werden.

'''Formel''':

$$\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{n}\underbrace{f(x)\cdot dx}_{\textrm{Fläche eines Rechteckes}}=\int_{a}^{b} f(x)\cdot dx$$

(Der rechte Term wird so ausgesprochen: "das Integral zwischen a bis b von f(x) mal dx")

* f(x)...Höhe (des unendlich kleinen Rechtecks)
* dx...unendlich kleine Breite des Rechtecks
* f(x)\cdot dx...Fläche eines Rechtecks
* $\sum_{n}$... Summe aller n Rechtecksflächen
* $\int f(x)\cdot dx$..." undenliche Summe" (=Integrationszeichen)
* $\int_{a}^{b} f(x)\cdot dx$...Summe aller Rechtecksflächen von a bis b

* f(x) heißt Integrand (das, was integriert wird)
* x heißt Integrationsvariable
* a und b heißen untere bzw. obere Integrationsgrenzen
* $\int_{a}^{b} f(x)\cdot dx$ ist das bestimmte Integral und gibt die orientierte Fläche zwischen f(x) und der x-Achse an.
* Aufgezählter Listeneintrag
(Das unbestimmte Integral $\int f(x)\cdot dx$ hat keine Grenzen und berechnet die Stammfunktionen von f)

Beispiel:
Im folgenden Beispiel ist die Funtkion $f(x)=x^2+2$ gegeben und es wird die Fläche zwischen 0 und 4 mithilfe von Rechtecken berechnet.
<gallery>
Datei:10 Rechtecke.png|10 Rechtecke

Datei:100 Rechtecke.png|100 Rechtecke
<gallery>

Datei:200 Rechtecke.png|200 Rechtecke
</gallery>
Wir sehen: "--> je mehr Rechtecke, desto genauer das Ergebnis'''

{{Vorlage:Ausklapp|1=Hinweis für die Erstellung solcher Ober- und Untersummen mit GeoGebra:|2=
'''Eingabe in das "Eingabefeld" in GeoGebra''':

Untersumme(f,0,4,''(Anzahl der Rechtecke)'')

oder

Obersumme(f,0,4,''(Anzahl der Rechtecke)'')
}}

{{#ev:youtube|KUCG117tA20}}
[https://www.youtube.com/watch?v=KUCG117tA20 schau mich an]

[[Kategorie:Integration]]

Spezial:Badtitle/NS3000:Integration: Idee der Integration: Fläche als Summe unendlich kleiner Rechtecke

2014-11-04T06:21:24Z

77.119.231.226: /* Ober- und Untersummen */

Spezial:Badtitle/NS3000:Integration: Idee der Integration: Fläche als Summe unendlich kleiner Rechtecke

2014-11-04T06:17:17Z

77.119.231.226: /* Ober- und Untersummen */

= Fläche als Summe von unendlich kleinen Rechtecken =

== Ober- und Untersummen ==

Man kann die tatsächliche Fläche abschätzen indem man ''viele Rechtecke unter der Kurve einschreibt'' und dann die Rechtecksflächen addiert '''(=Untersumme)'''
oder in dem man viele Rechtecke '''über der Kurve einschreibt''' und dann die Rechtecksflächen addiert
'''(=Obersumme)'''

[[Datei:Ober-untersumme.PNG|miniatur]]

Die orientierte Fläche unter einer Kurve kann somit als Grenzwert (=Limes) der Summe von unendlich vielen Rechtecken mit der Höhe f(x) und der unendlich kleinen Breite dx berechnet werden.

'''Formel''':

$$\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{n}\underbrace{f(x)\cdot dx}_{\textrm{Fläche eines Rechteckes}}=\int_{a}^{b} f(x)\cdot dx$$

(Der rechte Term wird so ausgesprochen: "das Integral zwischen a bis b von f(x) mal dx")

* f(x)...Höhe (des unendlich kleinen Rechtecks)
* dx...unendlich kleine Breite des Rechtecks
* f(x)\cdot dx...Fläche eines Rechtecks
* $\sum_{n}$... Summe aller n Rechtecksflächen
$\int f(x)\cdot dx$..." undenliche Summe" (=Integrationszeichen)
* $\int f(x)\cdot dx$...Summe aller Rechtecksflächen von a bis b

* f(x) heißt Integrand (das, was integriert wird)
* x heißt Integrationsvariable
* a und b heißen untere bzw. obere Integrationsgrenzen
* $\int_{a}^{b} f(x)\cdot dx$ ist das bestimmte Integral und gibt die orientierte Fläche zwischen f(x) und der x-Achse an.
* Aufgezählter Listeneintrag
(Das unbestimmte Integral $\int f(x)\cdot dx$ hat keine Grenzen und berechnet die Stammfunktionen von f)

<gallery>
Datei:10 Rechtecke.png|10 Rechtecke

Datei:100 Rechtecke.png|100 Rechtecke
<gallery>

Datei:200 Rechtecke.png|200 Rechtecke
</gallery>

$f(x)=x^2+2 (Zwischen 0 und 4)$

--> je mehr Rechtecke, desto genauer das Ergebnis'''

'''Eingabe in GeoGebra''':

Untersumme(f,0,4,''(Anzahl der Rechtecke)''10)

{{#ev:youtube|KUCG117tA20}}
[https://www.youtube.com/watch?v=KUCG117tA20 schau mich an]

Spezial:Badtitle/NS3000:Integration: Idee der Integration: Fläche als Summe unendlich kleiner Rechtecke

2014-11-04T06:15:01Z

77.119.231.226: /* Ober- und Untersummen */

= Fläche als Summe von unendlich kleinen Rechtecken =

== Ober- und Untersummen ==

Man kann die tatsächliche Fläche abschätzen indem man ''viele Rechtecke unter der Kurve einschreibt'' und dann die Rechtecksflächen addiert '''(=Untersumme)'''
oder in dem man viele Rechtecke '''über der Kurve einschreibt''' und dann die Rechtecksflächen addiert
'''(=Obersumme)'''

[[Datei:Ober-untersumme.PNG|miniatur]]

Die orientierte Fläche unter einer Kurve kann somit als Grenzwert (=Limes) der Summe von unendlich vielen Rechtecken mit der Höhe f(x) und der unendlich kleinen Breite dx berechnet werden.

'''Formel''':

$$\sum_{a}^{b}\underbrace{f(x)\cdot dx}_{\textrm{Fläche eines Rechteckes}}=\int_{a}^{b} f(x)\cdot dx$$

(Der rechte Term wird so ausgesprochen: "das Integral zwischen a bis b von f(x) mal dx")

* f(x)...Höhe (des unendlich kleinen Rechtecks)
* dx...unendlich kleine Breite des Rechtecks
* f(x)\cdot dx...Fläche eines Rechtecks
* $\int f(x)\cdot dx$..."Summe" (=Integrationszeichen)
* $\int f(x)\cdot dx$...Summe aller Rechtecksflächen von a bis b

* f(x) heißt Integrand (das, was integriert wird)
* x heißt Integrationsvariable
* a und b heißen untere bzw. obere Integrationsgrenzen
* $\int_{a}^{b} f(x)\cdot dx$ ist das bestimmte Integral und gibt die orientierte Fläche zwischen f(x) und der x-Achse an.
* Aufgezählter Listeneintrag
(Das unbestimmte Integral $\int f(x)\cdot dx$ hat keine Grenzen und berechnet die Stammfunktionen von f)

<gallery>
Datei:10 Rechtecke.png|10 Rechtecke

Datei:100 Rechtecke.png|100 Rechtecke
<gallery>

Datei:200 Rechtecke.png|200 Rechtecke
</gallery>

$f(x)=x^2+2 (Zwischen 0 und 4)$

--> je mehr Rechtecke, desto genauer das Ergebnis'''

'''Eingabe in GeoGebra''':

Untersumme(f,0,4,''(Anzahl der Rechtecke)''10)

{{#ev:youtube|KUCG117tA20}}
[https://www.youtube.com/watch?v=KUCG117tA20 schau mich an]

Wahrscheinlichkeit: Grundlagen

2014-11-03T11:33:58Z

77.119.231.226: /* Grundregeln und die Laplace'sche Wahrscheinlichkeit */

Bei der Wahrscheinlichkeitsrechnung beschätfigen wir uns mit Zufallsexperimenten wie zum Beispiel
* dem Wurf einer Münze oder eines Würfels
* dem blinden Ziehen einer Kugel aus einer Urne
* ...
und wollen dabei bestimmen, wie wir die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines bestimmten Ereignisses abschätzen bzw. berechnen können.

== Einsteig ==

Frage zum Einstieg:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim Würfeln mit einem Würfel eine 3 zu würfeln (vorausgesetzt natürlich, es handelt sich um einen fairen (perfekten) sechseitigen Würfel)?

Antwort: Wahrscheinlichkeit für einen 3er$=\frac{1}{6}\approx 0.167 = 16.7$%.

Abgekürzt schreibt man auch
$$P(3er)=\frac{1}{6}$$
wobei $P(3er)$ für "''Wahrscheinlichkeit (engl. '''p'''robability) für einen 3er''" steht.

Wie kommt man übrigens auf $\frac{1}{6}$?
Ganz einfach: Insgesamt gibt es 6 mögliche Versuchsausgänge (1er, 2er, 3er, 4er, 5er, 6er) und nur bei einem davon kommt eine 3.
Also: Bei 1 von 6 $=\frac{1}{6}$ aller Ausgänge kommt ein 3er.

<br>
<br>
<br>

== Begriffe ==
* Die Menge aller möglichen Versuchsaufgänge nennt man $Ereignismenge\ \Omega$
: Im obigen Beispiel war $\Omega=\{ 1er, 2er, 3er, 4er, 5er, 6er\}$
* Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses $E$ wird mit $P(E)$ abgekürzt.
: Im obigen Beispiel war $E=$"ein 3er wird gewürfelt".

<br>
<br>
<br>
<br>

== Grundregeln und die Laplace'sche Wahrscheinlichkeit ==

Machen wir noch ein paar Beispiele. Wieder geht es um das einmalige Würflen eines 6-seitigen Würfels:

{{Vorlage:Beispiel|1= Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für eine 6?
|2= $\underbrace{P(6er)}_{\textrm{Wahrscheinlichkeit für einen 6er} }=\frac{1}{6}$
Grund: Es gibt wieder 6 '''mögliche''' Ausgänge und nur einer davon (ein 6er) ist '''günstig''' }}

{{Vorlage:Beispiel|1= Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit einen 5er ODER einen 6er zu würfeln?
|2= $\underbrace{P(5er\lor 6er)}_{\textrm{Wahrscheinlichkeit für einen 5er oder 6er} }=\frac{2}{6}$
Grund: Es gibt wieder 6 '''mögliche''' Ausgänge und nur zwei davon (ein 5er oder 6er) sind '''günstig''' }}

{{Vorlage:Beispiel|1= In einer Box sind 100 Lose. Nur 7 davon sind Gewinne. Du ziehst blind eines der Lose. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das gezogene Los ein Gewinn ist?
|2= Wie bei den oberen Beispielen überlegen wir uns wieder, wie viele '''mögliche''' Ausgänge es gibt (=100) und wie viele davon für uns '''günstig''' sind (=7). Damit gilt:
$$P(Gewinn)=\frac{7}{100}$$
}}

Damit können wir nun eine allgemeine Regel ableiten:

{{Vorlage:Definition|1= '''Regel von Laplace'''

Bei einem Zufallsversuch, bei dem

a) jedes Einzelereignis die gleiche Chance des Eintretens hat und

b) es nur endlich viele verschiedene Einzelereignisse gibt,

gilt für die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses $E$:
$$P(E)=\frac{\textrm{Anzahl der für E günstigen Ausgänge} }{\textrm{ Anzahl der möglichen Ausgänge} }=\frac{ \textrm{günstige} }{\textrm{mögliche} }$$
}}

[[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]] Auf dieser [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_einfuehrung_wahrscheinlichkeitsrechnung/Lernpfad_Wahrscheinlichkeit/034_Bsp.html Seite] findest du weitere Übungen.

<br>
<br>
<br>
<br>

== Gegenwahrscheinlichkeit sowie sichere und unmögliche Ereignisse ==
Zu allererst zwei Überlegungen:
{{Vorlage:Merke|1=
Die Wahrscheinlichkeit, dass irgendetwas passiert, ist 100%=1 (z.B. Wahrscheinlichkeit, dass man beim Münzwurf "Kopf" oder "Zahl" wirft ist 100%).
$$P(\Omega)=1$$
wobei $\Omega$ die Menge der möglichen Ereignisse ist.

Die Wahrscheinlichkeit für ein unmögliches Ereignis ist 0 (z.B. Wahrscheinlichkeit, beim '''Münz'''wurf eine 6 zu Würfeln)
$$P(unmögliches\ Ereignis)=0$$

}}
Nun zu folgendem Beispiel:
{{Vorlage:Beispiel|1= Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, '''keine''' 6 beim Wurf mit einem Würfel zu würfeln?
|2= Hier gibt es zwei Lösungsmöglichkeiten:
#. Variante: $$P(kein\ 6er)=P(1er, 2er, 3er, 4er, 5er)=\frac{günstige}{mögliche}=\frac{5}{6}$$ <br> Das Problem ist, dass wir uns hier überlegen müssen, welche Ereignisse alle infrage kommen. Dies kann mitunter aufwändig werden. Einfacher geht es mit der
#.Variante:
$$P(kein\ 6er)=P(irgendetwas\ passiert)-P(6er)=1-P(6er)=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$$
Hier haben wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit ($P(kein\ 6er)$) mithilfe der Gegenwahrscheinlichkeit ($P(6er)$) berechnet. }}

{{Vorlage:Merke|1= '''Satz über die Gegenwahrscheinlichkeit'''
Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses $\bar{E}$ ("nicht $E$") beträgt:
$$P(\bar{E})=1-P(E)$$
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= In einer Urne mit 20 Kugeln sind 5 blau, 3 rot, 7 gelb und 5 grün. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, keine blaue Kugel zu ziehen?
|2=
$$P(nicht\ blau)=1-P(blau)=1-\frac{5}{20}=\frac{1}{4}=25\%$$
}}

<br />
<br />
<br />
<br />

== Additions- und Multiplikationsregel sowie das Geburtstagsparadoxon ==

=== Additionsregel ("ODER"-Regel) ===
Zuerst eine kleine Definition:
{{Vorlage:Definition|1= 2 Ereignisse $E$ und $F$ sind "'''''unvereinbar'''''", wenn nicht beide zur selben Zeit auftreten können. Anders formuliert:
$$P(E\cap F)=0$$
Die Wahrscheinlichkeit, dass $E$ '''und'''($=\cap$) $F$ zusammen eintreten, ist 0. }}

'''Beispiel:''' Das Ereignis $E=$"ich würfle eine 6" und das Ereignis $F=$"ich würfle eine 1" sind beim Wurf mit einem Würfel unvereinbar.

'''Beispiel mit nicht unvereinbaren Ereignissen''': $E=$"ich würfle eine 6" und $F=$"ich würfle eine gerade Zahl". Hier kann nämlich gleichzeitig $E$ und $F$ eintreten (nämlich, wenn ein 6er gewürfelt wird).
<br />
<br />
Nun zur
{{Vorlage:Merke|1='''Additionsregel ("Oder"-Regel)'''
Sind zwei Ereignisse $E$ und $F$ unvereinbar, dann gilt:
$$P(E\cup F)=P(E)+P(F)$$
("''Die Wahrscheinlichkeit $E$ '''oder''' ($=\cup$) $F$ zu erhalten ist die $P(E)$ plus $P(F)$''") }}

{{Vorlage:Beispiel|1=
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit beim Würfeln eine 6 '''oder''' eine 3 zu würfeln?
|2= Das Ereignis $E=$"$6er\ würfeln$" und $F=$"$3er\ würfeln$" sind unvereinbar. Somit können wir unsere Additionsregel anwenden:
$$P(6er\cup 3er)=P(6er)+P(3er)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{2}{6}$$}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Wichtiger Hinweis''' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Die Eigenschaft, dass die Ereignisse unvereinbar sein müssen, ist wichtig! Nehmen wir z.B. zwei Ereignisse, die nicht unvereinbar sind:
* $E=$"man würfelt eine 2" und
* $F=$"man würfelt eine gerade Zahl" (d.h. 2, 4 oder 6)

$E$ und $F$ sind nicht unvereinbar, denn $P(E\cap F)=P(2er\ und \ gerade)=P(2er)=\frac{1}{6}$.

Dann gilt selbstverständlich $P(E)=\frac{1}{6}$ und $P(F)=\frac{3}{6}$ aber für die Wahrscheinlichkeit, eine 2 ODER eine gerade Zahl zu würfeln gilt:
$$\underbrace{P(E\cup F)}_{\frac{3}{6}}\ne \underbrace{P(E)+P(F)}_{\frac{1}{6}+\frac{3}{6}}$$
Da die Wahrscheinlichkeit, eine gerade Zahl zu Würfeln nur $\frac{3}{6}$ ist.

</div>

</div>

=== Multiplikationsregel ("UND"-Regel)===
Zuerst wieder eine kleine Definition:
{{Vorlage:Definition|1= 2 Ereignisse $E$ und $F$ sind "'''''unabhängig voneinander'''''", wenn das erste Ereignis keinen Einfluss auf das zweite hat.

Zum Beispiel: Ich werfe zweimal mit einem Würfel. Das Ergebnis des ersten Wurfs ($=E$) hat in der Regel nichts mit dem Ergebnis des zweiten Wurfs ($=F$) gemeinsam. }}

Und nun zur
{{Vorlage:Merke|1= '''Multiplikationsregel ('''UND'''-Regel):'''
Sind zwei Ereignisse $E$ und $F$ unabhängig voneinander, dann gilt für die Wahrscheinlichkeit, dass beide zusammenauftreten:
$$P(E\cap F)=P(E)\cdot P(F)$$
Die W., dass $E$ '''und'''($=\cap$) $F$ zusammen auftreten ist $P(E)$ mal $P(F)$
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Es wird zweimal hintereinander mit einem Würfel geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass zuerst eine 6 und anschließend eine 3 gewürfelt wird.
|2=
Beide Ereignisse ($E=$ "zuerst eine 6" und $F=$ "dann eine 3") sind unabhängig. Somit gilt nach der Multiplikationsregel:
$$P(6er \cap 3er)=P(6er)\cdot P(3er)=\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{36}$$
}}

=== Das Geburtstagsparadoxon: Anwendung der Gegenwahrscheinlichkeit und der Multiplikationsregel ===

{{#ev:youtube|RIBrYgEhu2g}}
<br />
<br />
<br />
<br />

== Was ist überhaupt Wahrscheinlichkeit - Wahrscheinlichkeit als Grenzwert der relativen Häufigkeit ==
Eine Wahrscheinlichkeit ist eigentlich Maß für eine Erwartung.
Beim Würfeln gibt
$$P(3er)=\frac{1}{6}$$
an, dass ungefähr in einem von 6 Würfen ein 3er erscheint. Im eigentlichen meint man aber eher folgendes: "''Wenn ich oft genug würfle, dann wird ungefähr in einem Sechstel aller Fälle ein 3er erscheinen''". D.h. Die Wahrscheinlichkeit gibt den Grenzwert der [[Statistik|relativen Häufigkeit]] an.

In der Mathematik drückt man den Grad der Erwartung durch eine reelle Zahl aus dem Intervall [0;1] aus und bezeichnet die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E mit P(E) (=Propability/Probabilität von E)

hier noch ein Bsp zu Gesetz der großen Zahlen - Excel Liste, in der die relative Häufigkeit sich der tatsächlichen W. nähert.

[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]

Wahrscheinlichkeit: Grundlagen

2014-11-03T11:31:49Z

77.119.231.226: /* Einsteig */

Bei der Wahrscheinlichkeitsrechnung beschätfigen wir uns mit Zufallsexperimenten wie zum Beispiel
* dem Wurf einer Münze oder eines Würfels
* dem blinden Ziehen einer Kugel aus einer Urne
* ...
und wollen dabei bestimmen, wie wir die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines bestimmten Ereignisses abschätzen bzw. berechnen können.

== Einsteig ==

Frage zum Einstieg:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim Würfeln mit einem Würfel eine 3 zu würfeln (vorausgesetzt natürlich, es handelt sich um einen fairen (perfekten) sechseitigen Würfel)?

Antwort: Wahrscheinlichkeit für einen 3er$=\frac{1}{6}\approx 0.167 = 16.7$%.

Abgekürzt schreibt man auch
$$P(3er)=\frac{1}{6}$$
wobei $P(3er)$ für "''Wahrscheinlichkeit (engl. '''p'''robability) für einen 3er''" steht.

Wie kommt man übrigens auf $\frac{1}{6}$?
Ganz einfach: Insgesamt gibt es 6 mögliche Versuchsausgänge (1er, 2er, 3er, 4er, 5er, 6er) und nur bei einem davon kommt eine 3.
Also: Bei 1 von 6 $=\frac{1}{6}$ aller Ausgänge kommt ein 3er.

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<br>

== Begriffe ==
* Die Menge aller möglichen Versuchsaufgänge nennt man $Ereignismenge\ \Omega$
: Im obigen Beispiel war $\Omega=\{ 1er, 2er, 3er, 4er, 5er, 6er\}$
* Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses $E$ wird mit $P(E)$ abgekürzt.
: Im obigen Beispiel war $E=$"ein 3er wird gewürfelt".

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== Grundregeln und die Laplace'sche Wahrscheinlichkeit ==

Machen wir noch ein paar Beispiele:

{{Vorlage:Beispiel|1= Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für eine 6?
|2= $\underbrace{P(6er)}_{\textrm{Wahrscheinlichkeit für einen 6er} }=\frac{1}{6}$
Grund: Es gibt wieder 6 '''mögliche''' Ausgänge und nur einer davon (ein 6er) ist '''günstig''' }}

{{Vorlage:Beispiel|1= Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit einen 5er ODER einen 6er zu würfeln?
|2= $\underbrace{P(5er\lor 6er)}_{\textrm{Wahrscheinlichkeit für einen 5er oder 6er} }=\frac{2}{6}$
Grund: Es gibt wieder 6 '''mögliche''' Ausgänge und nur zwei davon (ein 5er oder 6er) sind '''günstig''' }}

{{Vorlage:Beispiel|1= In einer Box sind 100 Lose. Nur 7 davon sind Gewinne. Du ziehst blind eines der Lose. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das gezogene Los ein Gewinn ist?
|2= Wie bei den oberen Beispielen überlegen wir uns wieder, wie viele '''mögliche''' Ausgänge es gibt (=100) und wie viele davon für uns '''günstig''' sind (=7). Damit gilt:
$$P(Gewinn)=\frac{7}{100}$$
}}

Damit können wir nun eine allgemeine Regel ableiten:

{{Vorlage:Definition|1= '''Regel von Laplace'''

Bei einem Zufallsversuch, bei dem

a) jedes Einzelereignis die gleiche Chance des Eintretens hat und

b) es nur endlich viele verschiedene Einzelereignisse gibt,

gilt für die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses $E$:
$$P(E)=\frac{\textrm{Anzahl der für E günstigen Ausgänge} }{\textrm{ Anzahl der möglichen Ausgänge} }=\frac{ \textrm{günstige} }{\textrm{mögliche} }$$
}}

[[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]] Auf dieser [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_einfuehrung_wahrscheinlichkeitsrechnung/Lernpfad_Wahrscheinlichkeit/034_Bsp.html Seite] findest du weitere Übungen.

<br>
<br>
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<br>
== Gegenwahrscheinlichkeit sowie sichere und unmögliche Ereignisse ==
Zu allererst zwei Überlegungen:
{{Vorlage:Merke|1=
Die Wahrscheinlichkeit, dass irgendetwas passiert, ist 100%=1 (z.B. Wahrscheinlichkeit, dass man beim Münzwurf "Kopf" oder "Zahl" wirft ist 100%).
$$P(\Omega)=1$$
wobei $\Omega$ die Menge der möglichen Ereignisse ist.

Die Wahrscheinlichkeit für ein unmögliches Ereignis ist 0 (z.B. Wahrscheinlichkeit, beim '''Münz'''wurf eine 6 zu Würfeln)
$$P(unmögliches\ Ereignis)=0$$

}}
Nun zu folgendem Beispiel:
{{Vorlage:Beispiel|1= Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, '''keine''' 6 beim Wurf mit einem Würfel zu würfeln?
|2= Hier gibt es zwei Lösungsmöglichkeiten:
#. Variante: $$P(kein\ 6er)=P(1er, 2er, 3er, 4er, 5er)=\frac{günstige}{mögliche}=\frac{5}{6}$$ <br> Das Problem ist, dass wir uns hier überlegen müssen, welche Ereignisse alle infrage kommen. Dies kann mitunter aufwändig werden. Einfacher geht es mit der
#.Variante:
$$P(kein\ 6er)=P(irgendetwas\ passiert)-P(6er)=1-P(6er)=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$$
Hier haben wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit ($P(kein\ 6er)$) mithilfe der Gegenwahrscheinlichkeit ($P(6er)$) berechnet. }}

{{Vorlage:Merke|1= '''Satz über die Gegenwahrscheinlichkeit'''
Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses $\bar{E}$ ("nicht $E$") beträgt:
$$P(\bar{E})=1-P(E)$$
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= In einer Urne mit 20 Kugeln sind 5 blau, 3 rot, 7 gelb und 5 grün. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, keine blaue Kugel zu ziehen?
|2=
$$P(nicht\ blau)=1-P(blau)=1-\frac{5}{20}=\frac{1}{4}=25\%$$
}}

<br />
<br />
<br />
<br />

== Additions- und Multiplikationsregel sowie das Geburtstagsparadoxon ==

=== Additionsregel ("ODER"-Regel) ===
Zuerst eine kleine Definition:
{{Vorlage:Definition|1= 2 Ereignisse $E$ und $F$ sind "'''''unvereinbar'''''", wenn nicht beide zur selben Zeit auftreten können. Anders formuliert:
$$P(E\cap F)=0$$
Die Wahrscheinlichkeit, dass $E$ '''und'''($=\cap$) $F$ zusammen eintreten, ist 0. }}

'''Beispiel:''' Das Ereignis $E=$"ich würfle eine 6" und das Ereignis $F=$"ich würfle eine 1" sind beim Wurf mit einem Würfel unvereinbar.

'''Beispiel mit nicht unvereinbaren Ereignissen''': $E=$"ich würfle eine 6" und $F=$"ich würfle eine gerade Zahl". Hier kann nämlich gleichzeitig $E$ und $F$ eintreten (nämlich, wenn ein 6er gewürfelt wird).
<br />
<br />
Nun zur
{{Vorlage:Merke|1='''Additionsregel ("Oder"-Regel)'''
Sind zwei Ereignisse $E$ und $F$ unvereinbar, dann gilt:
$$P(E\cup F)=P(E)+P(F)$$
("''Die Wahrscheinlichkeit $E$ '''oder''' ($=\cup$) $F$ zu erhalten ist die $P(E)$ plus $P(F)$''") }}

{{Vorlage:Beispiel|1=
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit beim Würfeln eine 6 '''oder''' eine 3 zu würfeln?
|2= Das Ereignis $E=$"$6er\ würfeln$" und $F=$"$3er\ würfeln$" sind unvereinbar. Somit können wir unsere Additionsregel anwenden:
$$P(6er\cup 3er)=P(6er)+P(3er)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{2}{6}$$}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Wichtiger Hinweis''' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Die Eigenschaft, dass die Ereignisse unvereinbar sein müssen, ist wichtig! Nehmen wir z.B. zwei Ereignisse, die nicht unvereinbar sind:
* $E=$"man würfelt eine 2" und
* $F=$"man würfelt eine gerade Zahl" (d.h. 2, 4 oder 6)

$E$ und $F$ sind nicht unvereinbar, denn $P(E\cap F)=P(2er\ und \ gerade)=P(2er)=\frac{1}{6}$.

Dann gilt selbstverständlich $P(E)=\frac{1}{6}$ und $P(F)=\frac{3}{6}$ aber für die Wahrscheinlichkeit, eine 2 ODER eine gerade Zahl zu würfeln gilt:
$$\underbrace{P(E\cup F)}_{\frac{3}{6}}\ne \underbrace{P(E)+P(F)}_{\frac{1}{6}+\frac{3}{6}}$$
Da die Wahrscheinlichkeit, eine gerade Zahl zu Würfeln nur $\frac{3}{6}$ ist.

</div>

</div>

=== Multiplikationsregel ("UND"-Regel)===
Zuerst wieder eine kleine Definition:
{{Vorlage:Definition|1= 2 Ereignisse $E$ und $F$ sind "'''''unabhängig voneinander'''''", wenn das erste Ereignis keinen Einfluss auf das zweite hat.

Zum Beispiel: Ich werfe zweimal mit einem Würfel. Das Ergebnis des ersten Wurfs ($=E$) hat in der Regel nichts mit dem Ergebnis des zweiten Wurfs ($=F$) gemeinsam. }}

Und nun zur
{{Vorlage:Merke|1= '''Multiplikationsregel ('''UND'''-Regel):'''
Sind zwei Ereignisse $E$ und $F$ unabhängig voneinander, dann gilt für die Wahrscheinlichkeit, dass beide zusammenauftreten:
$$P(E\cap F)=P(E)\cdot P(F)$$
Die W., dass $E$ '''und'''($=\cap$) $F$ zusammen auftreten ist $P(E)$ mal $P(F)$
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Es wird zweimal hintereinander mit einem Würfel geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass zuerst eine 6 und anschließend eine 3 gewürfelt wird.
|2=
Beide Ereignisse ($E=$ "zuerst eine 6" und $F=$ "dann eine 3") sind unabhängig. Somit gilt nach der Multiplikationsregel:
$$P(6er \cap 3er)=P(6er)\cdot P(3er)=\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{36}$$
}}

=== Das Geburtstagsparadoxon: Anwendung der Gegenwahrscheinlichkeit und der Multiplikationsregel ===

{{#ev:youtube|RIBrYgEhu2g}}
<br />
<br />
<br />
<br />

== Was ist überhaupt Wahrscheinlichkeit - Wahrscheinlichkeit als Grenzwert der relativen Häufigkeit ==
Eine Wahrscheinlichkeit ist eigentlich Maß für eine Erwartung.
Beim Würfeln gibt
$$P(3er)=\frac{1}{6}$$
an, dass ungefähr in einem von 6 Würfen ein 3er erscheint. Im eigentlichen meint man aber eher folgendes: "''Wenn ich oft genug würfle, dann wird ungefähr in einem Sechstel aller Fälle ein 3er erscheinen''". D.h. Die Wahrscheinlichkeit gibt den Grenzwert der [[Statistik|relativen Häufigkeit]] an.

In der Mathematik drückt man den Grad der Erwartung durch eine reelle Zahl aus dem Intervall [0;1] aus und bezeichnet die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E mit P(E) (=Propability/Probabilität von E)

hier noch ein Bsp zu Gesetz der großen Zahlen - Excel Liste, in der die relative Häufigkeit sich der tatsächlichen W. nähert.

[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]

Wahrscheinlichkeit: Grundlagen

2014-11-03T11:30:34Z

77.119.231.226: /* Einsteig */

Bei der Wahrscheinlichkeitsrechnung beschätfigen wir uns mit Zufallsexperimenten wie zum Beispiel
* dem Wurf einer Münze oder eines Würfels
* dem blinden Ziehen einer Kugel aus einer Urne
* ...
und wollen dabei bestimmen, wie wir die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines bestimmten Ereignisses abschätzen bzw. berechnen können.

== Einsteig ==

Frage zum Einstieg:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim Würfeln mit einem Würfel eine 3 zu würfeln (vorausgesetzt natürlich, es handelt sich um einen fairen (perfekten) sechseitigen Würfel)?

Antwort: Wahrscheinlichkeit für einen 3er$=\frac{1}{6}\approx 0.167 = 16.7$%.

Abgekürzt schreibt man auch
$$P(3er)=\frac{1}{6}$$
wobei $P(3er)$ für "''Wahrscheinlichkeit (engl. '''p'''robability) von einer 3''" steht.

Wie kommt man übrigens auf $\frac{1}{6}$?
Ganz einfach: Insgesamt gibt es 6 mögliche Versuchsausgänge (1er, 2er, 3er, 4er, 5er, 6er) und nur bei einem davon kommt eine 3.
Also: Bei 1 von 6 $=\frac{1}{6}$ aller Ausgänge kommt ein 3er.

<br>
<br>
<br>

== Begriffe ==
* Die Menge aller möglichen Versuchsaufgänge nennt man $Ereignismenge\ \Omega$
: Im obigen Beispiel war $\Omega=\{ 1er, 2er, 3er, 4er, 5er, 6er\}$
* Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses $E$ wird mit $P(E)$ abgekürzt.
: Im obigen Beispiel war $E=$"ein 3er wird gewürfelt".

<br>
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<br>
<br>

== Grundregeln und die Laplace'sche Wahrscheinlichkeit ==

Machen wir noch ein paar Beispiele:

{{Vorlage:Beispiel|1= Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für eine 6?
|2= $\underbrace{P(6er)}_{\textrm{Wahrscheinlichkeit für einen 6er} }=\frac{1}{6}$
Grund: Es gibt wieder 6 '''mögliche''' Ausgänge und nur einer davon (ein 6er) ist '''günstig''' }}

{{Vorlage:Beispiel|1= Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit einen 5er ODER einen 6er zu würfeln?
|2= $\underbrace{P(5er\lor 6er)}_{\textrm{Wahrscheinlichkeit für einen 5er oder 6er} }=\frac{2}{6}$
Grund: Es gibt wieder 6 '''mögliche''' Ausgänge und nur zwei davon (ein 5er oder 6er) sind '''günstig''' }}

{{Vorlage:Beispiel|1= In einer Box sind 100 Lose. Nur 7 davon sind Gewinne. Du ziehst blind eines der Lose. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das gezogene Los ein Gewinn ist?
|2= Wie bei den oberen Beispielen überlegen wir uns wieder, wie viele '''mögliche''' Ausgänge es gibt (=100) und wie viele davon für uns '''günstig''' sind (=7). Damit gilt:
$$P(Gewinn)=\frac{7}{100}$$
}}

Damit können wir nun eine allgemeine Regel ableiten:

{{Vorlage:Definition|1= '''Regel von Laplace'''

Bei einem Zufallsversuch, bei dem

a) jedes Einzelereignis die gleiche Chance des Eintretens hat und

b) es nur endlich viele verschiedene Einzelereignisse gibt,

gilt für die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses $E$:
$$P(E)=\frac{\textrm{Anzahl der für E günstigen Ausgänge} }{\textrm{ Anzahl der möglichen Ausgänge} }=\frac{ \textrm{günstige} }{\textrm{mögliche} }$$
}}

[[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]] Auf dieser [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_einfuehrung_wahrscheinlichkeitsrechnung/Lernpfad_Wahrscheinlichkeit/034_Bsp.html Seite] findest du weitere Übungen.

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== Gegenwahrscheinlichkeit sowie sichere und unmögliche Ereignisse ==
Zu allererst zwei Überlegungen:
{{Vorlage:Merke|1=
Die Wahrscheinlichkeit, dass irgendetwas passiert, ist 100%=1 (z.B. Wahrscheinlichkeit, dass man beim Münzwurf "Kopf" oder "Zahl" wirft ist 100%).
$$P(\Omega)=1$$
wobei $\Omega$ die Menge der möglichen Ereignisse ist.

Die Wahrscheinlichkeit für ein unmögliches Ereignis ist 0 (z.B. Wahrscheinlichkeit, beim '''Münz'''wurf eine 6 zu Würfeln)
$$P(unmögliches\ Ereignis)=0$$

}}
Nun zu folgendem Beispiel:
{{Vorlage:Beispiel|1= Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, '''keine''' 6 beim Wurf mit einem Würfel zu würfeln?
|2= Hier gibt es zwei Lösungsmöglichkeiten:
#. Variante: $$P(kein\ 6er)=P(1er, 2er, 3er, 4er, 5er)=\frac{günstige}{mögliche}=\frac{5}{6}$$ <br> Das Problem ist, dass wir uns hier überlegen müssen, welche Ereignisse alle infrage kommen. Dies kann mitunter aufwändig werden. Einfacher geht es mit der
#.Variante:
$$P(kein\ 6er)=P(irgendetwas\ passiert)-P(6er)=1-P(6er)=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$$
Hier haben wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit ($P(kein\ 6er)$) mithilfe der Gegenwahrscheinlichkeit ($P(6er)$) berechnet. }}

{{Vorlage:Merke|1= '''Satz über die Gegenwahrscheinlichkeit'''
Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses $\bar{E}$ ("nicht $E$") beträgt:
$$P(\bar{E})=1-P(E)$$
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= In einer Urne mit 20 Kugeln sind 5 blau, 3 rot, 7 gelb und 5 grün. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, keine blaue Kugel zu ziehen?
|2=
$$P(nicht\ blau)=1-P(blau)=1-\frac{5}{20}=\frac{1}{4}=25\%$$
}}

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== Additions- und Multiplikationsregel sowie das Geburtstagsparadoxon ==

=== Additionsregel ("ODER"-Regel) ===
Zuerst eine kleine Definition:
{{Vorlage:Definition|1= 2 Ereignisse $E$ und $F$ sind "'''''unvereinbar'''''", wenn nicht beide zur selben Zeit auftreten können. Anders formuliert:
$$P(E\cap F)=0$$
Die Wahrscheinlichkeit, dass $E$ '''und'''($=\cap$) $F$ zusammen eintreten, ist 0. }}

'''Beispiel:''' Das Ereignis $E=$"ich würfle eine 6" und das Ereignis $F=$"ich würfle eine 1" sind beim Wurf mit einem Würfel unvereinbar.

'''Beispiel mit nicht unvereinbaren Ereignissen''': $E=$"ich würfle eine 6" und $F=$"ich würfle eine gerade Zahl". Hier kann nämlich gleichzeitig $E$ und $F$ eintreten (nämlich, wenn ein 6er gewürfelt wird).
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Nun zur
{{Vorlage:Merke|1='''Additionsregel ("Oder"-Regel)'''
Sind zwei Ereignisse $E$ und $F$ unvereinbar, dann gilt:
$$P(E\cup F)=P(E)+P(F)$$
("''Die Wahrscheinlichkeit $E$ '''oder''' ($=\cup$) $F$ zu erhalten ist die $P(E)$ plus $P(F)$''") }}

{{Vorlage:Beispiel|1=
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit beim Würfeln eine 6 '''oder''' eine 3 zu würfeln?
|2= Das Ereignis $E=$"$6er\ würfeln$" und $F=$"$3er\ würfeln$" sind unvereinbar. Somit können wir unsere Additionsregel anwenden:
$$P(6er\cup 3er)=P(6er)+P(3er)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{2}{6}$$}}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Wichtiger Hinweis''' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Die Eigenschaft, dass die Ereignisse unvereinbar sein müssen, ist wichtig! Nehmen wir z.B. zwei Ereignisse, die nicht unvereinbar sind:
* $E=$"man würfelt eine 2" und
* $F=$"man würfelt eine gerade Zahl" (d.h. 2, 4 oder 6)

$E$ und $F$ sind nicht unvereinbar, denn $P(E\cap F)=P(2er\ und \ gerade)=P(2er)=\frac{1}{6}$.

Dann gilt selbstverständlich $P(E)=\frac{1}{6}$ und $P(F)=\frac{3}{6}$ aber für die Wahrscheinlichkeit, eine 2 ODER eine gerade Zahl zu würfeln gilt:
$$\underbrace{P(E\cup F)}_{\frac{3}{6}}\ne \underbrace{P(E)+P(F)}_{\frac{1}{6}+\frac{3}{6}}$$
Da die Wahrscheinlichkeit, eine gerade Zahl zu Würfeln nur $\frac{3}{6}$ ist.

</div>

</div>

=== Multiplikationsregel ("UND"-Regel)===
Zuerst wieder eine kleine Definition:
{{Vorlage:Definition|1= 2 Ereignisse $E$ und $F$ sind "'''''unabhängig voneinander'''''", wenn das erste Ereignis keinen Einfluss auf das zweite hat.

Zum Beispiel: Ich werfe zweimal mit einem Würfel. Das Ergebnis des ersten Wurfs ($=E$) hat in der Regel nichts mit dem Ergebnis des zweiten Wurfs ($=F$) gemeinsam. }}

Und nun zur
{{Vorlage:Merke|1= '''Multiplikationsregel ('''UND'''-Regel):'''
Sind zwei Ereignisse $E$ und $F$ unabhängig voneinander, dann gilt für die Wahrscheinlichkeit, dass beide zusammenauftreten:
$$P(E\cap F)=P(E)\cdot P(F)$$
Die W., dass $E$ '''und'''($=\cap$) $F$ zusammen auftreten ist $P(E)$ mal $P(F)$
}}

{{Vorlage:Beispiel|1= Es wird zweimal hintereinander mit einem Würfel geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass zuerst eine 6 und anschließend eine 3 gewürfelt wird.
|2=
Beide Ereignisse ($E=$ "zuerst eine 6" und $F=$ "dann eine 3") sind unabhängig. Somit gilt nach der Multiplikationsregel:
$$P(6er \cap 3er)=P(6er)\cdot P(3er)=\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{36}$$
}}

=== Das Geburtstagsparadoxon: Anwendung der Gegenwahrscheinlichkeit und der Multiplikationsregel ===

{{#ev:youtube|RIBrYgEhu2g}}
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<br />

== Was ist überhaupt Wahrscheinlichkeit - Wahrscheinlichkeit als Grenzwert der relativen Häufigkeit ==
Eine Wahrscheinlichkeit ist eigentlich Maß für eine Erwartung.
Beim Würfeln gibt
$$P(3er)=\frac{1}{6}$$
an, dass ungefähr in einem von 6 Würfen ein 3er erscheint. Im eigentlichen meint man aber eher folgendes: "''Wenn ich oft genug würfle, dann wird ungefähr in einem Sechstel aller Fälle ein 3er erscheinen''". D.h. Die Wahrscheinlichkeit gibt den Grenzwert der [[Statistik|relativen Häufigkeit]] an.

In der Mathematik drückt man den Grad der Erwartung durch eine reelle Zahl aus dem Intervall [0;1] aus und bezeichnet die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E mit P(E) (=Propability/Probabilität von E)

hier noch ein Bsp zu Gesetz der großen Zahlen - Excel Liste, in der die relative Häufigkeit sich der tatsächlichen W. nähert.

[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]

Integration: Berechnung von Flächen zwischen zwei Kurven

2014-10-14T13:00:32Z

77.119.231.226: /* Beispiele aus dem Buch Mathematik 4 (Trauner Verlag) */

=Berechnung der Fläche zwischen zwei Kurven=

==Wie berechnet man die Fläche zwischen zwei Kurven?==

{{Vorlage:Definition |1=Zuerst wird die Fläche zwischen dem oberen Graphen und der x-Achse berechnet,

[[Datei:1.032 2.jpg|400px|miniatur]]

dann wird die Fläche zwischen dem unteren Graphen und der x-Achse berechnet.

[[Datei:1.032 1.jpg|400px|miniatur]]

Anschließend wird die Fläche des unteren Graphen von der Fläche des oberen Graphen abgezogen.

[[Datei:1.032 3.jpg|400px|miniatur]]

Formel: $\int_{a}^{b} f (x)\,dx - \int_{a}^{b} g (x)\,dx$

ps.: Bei dieser Formel ist es egal ob die Fläche oberhalb oder unterhalb der x-Achse ist!
}}

==Wie werden Schnittpunkte berechnet und warum sind diese wichtig?==
Der Schnittpunkt ist jener Punkt, an dem beide Funktionen den gleichen y-Wert haben. Man setzt die y-Werte der Funktion gleich. Die entstandene Gleichung wird nach x aufgelöst. Man erhält den x-Wert des Schnittpunkts. Für den y-Wert des Schnittpunktes muss jetzt der x-Wert in eine der Funktionen eingesetzt werden. (Es ist egal in welche Funktion da der y-Wert bei beiden der selbe ist)

$f(x)=2x+1$

$g(x)=x−1$

Funktion gleichsetzen
$f(x)=g(x)$
$2x+1=x−1$

nach x auflösen

$2x=x−2$

$x=−2$

y-Koordinaten berechnen:

$f(-2)=2*(-2)+1$

$y=-3$

Schnittpunkt

$(-2/-3)$

{{Vorlage:Merke |1=Schnittpunkte sind wichtig, weil sie uns zeigen in welchem Bereich wir integrieren müssen.}}

==Beispiele aus dem Buch Mathematik 4 (Trauner Verlag) ==
S.30/1.031c

{{Vorlage:Beispiel|1=Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von den beiden Funktionen f und g umschlossen wird.<br />
$f(x)=x^2$<br />
$g(x)=4$

|2=<br />
[[Datei:1.031.jpg.png|400px|miniatur]]
$A=A_{ \Box }-A_{\cup}$<br />

$f(x)=A_{\cup}$<br />
$g(x)=A_{ \Box }$<br />
<br />

$A_{ \Box }=a*a$<br />
$A_{ \Box }=4*4$<br />
$A_{ \Box }=16$<br />
<br />

f(x) und umformen<br />

$f(x)=x^2$<br />
$f(x)=\frac{x^3}{3}$<br />

$A_{ \Box }=\int_{a}^{b} f (x)\,=F_(b)-F_(a) $<br />
$=\frac{2^3}{3}-\frac{(-2^3)}{3}=5,33$ <br /><br />

$A=A_{ \Box }-A_{\cup}$<br />
$A=16-5,33=10,67$<br />

<br />
<br />
<br />
}}

S.30/1.032a
{{Vorlage:Beispiel|1=Der Inhalt der Fläche ist zu berechnen, die von den Kurven mit den angegebenen Gleichungen begrenzt wird. Skizzieren Sie die Fläche.
|2=
<br />
[[Datei:1.032 1.jpg|400px|miniatur]]<br />
[[Datei:1.032 2.jpg|400px|miniatur]]<br />
[[Datei:1.032 3.jpg|400px|miniatur]]<br />

$x^2=6y \rightarrow y=\frac{x^2}{6}$<br />

$x^2+36=12y \rightarrow y_1=\frac{x^2+36}{12}$

Schnittpunkt wurde mit GeoGebra berechnet:
SP_A:(-6/6)
SP_B:(6/6)

$y=\frac{x^2}{6} = f(x)=\frac{x^2}{6}\Rightarrow F(x)=\frac{x^3}{6*3}$

$y_1=\frac{x^2+36}{12} = g(x)=\frac{x^2+36}{12}\Rightarrow G(x)=\frac{x^3}{36}+\frac{36}{12}x$

Berechnung der Fläche a (rot gestichelt):
$\int_{-6}^{6} f (x)\,dx=F(6)-F(-6)=\frac{6^3}{6*3}-(\frac{-6^3}{36}+\frac{36*(-6)}{12})=24 $

Berechnung der Fläche b (braun):
$\int_{-6}^{6} f (x)\,dx=G(6)-G(-6)=\frac{6^3}{36}+\frac{}{12}-(\frac{-6^3}{36}+\frac{36*(-6}{12})=48$

Fläche e (blau)= Fläche b (braun)- Fläche a (rot gestrichelt)<br />

Fläche e (blau)= 48 - 24= 24<br />

}}

S.30/1.034

{{Vorlage:Beispiel|1=Berechnen Sie den Inhalt der Fläche.

$f(x)=\frac{x^3}{3}-x^2+\frac{7}{3}$|2= <br />
[[Datei:1.034.jpg|400px|miniatur]]<br />

$\Rightarrow \frac{x^4}{3*4}-\frac{x^3}{3}+\frac{7}{3x}$

$\Rightarrow F(x)= \frac{x^4}{12}-\frac{4x^3}{12}+\frac{28}{12x}$

$$\int_{-1}^{2} f (x)\,dx = F(2)-F(-1) =\frac{2^4}{12}-\frac{4*2^3}{12}+\frac{28}{12}*2-(-\frac{1^4}{12}-\frac{4*-1^3}{12}+\frac{28}{12}*-1)$$

$=\frac{4}{3}-\frac{8}{3}+\frac{14}{3}-\frac{1}{12}+\frac{4}{12}-\frac{7}{3}$

$=\frac{4}{3}-\frac{8}{3}+\frac{14}{3}-\frac{1}{12}-\frac{4}{12}+\frac{7}{3}$

$=\frac{16}{12}-\frac{32}{12}+\frac{56}{12}-\frac{1}{12}-\frac{4}{12}+\frac{28}{12}$

$=\frac{63}{12}$

$=5,25$

$A\Box=3*1=3$

$A\triangle= A\triangle\Box-A\Box$

$\Rightarrow 5,25-3= 2,25$

}}

==Lernvideo==
{{#ev:youtube|-6vRkqsQvM4}}
<br />
{{#ev:youtube|TcKANBl3sTs}}<br />
ab Minute 3:23

==Übungs- und Lernlinks==
http://www.brinkmann-du.de/mathe/gost/int_01_05.htm<br />
http://matheguru.com/30-flaeche-zwischen-funktionen.html<br />
http://nibis.ni.schule.de/~lbs-gym/AnalysisTeil1pdf/FlaechezwischenGraphen.pdf<br />
Seite 1, 2, 3

==Quiz==
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0>
Frage 1:
[[Datei:Quiz1.png|400px|miniatur]]
</span>

<div class="mw-collapsible-content"> Lösung: Antwort 1

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0>
Frage 2:
[[Datei:Quiz2.png|400px|miniatur]]
</span>

<div class="mw-collapsible-content"> Lösung: Antwort 1

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0>
Frage 3:
[[Datei:Quiz3.png|400px|miniatur]]
</span>

<div class="mw-collapsible-content"> Lösung: Antwort 1

</div>

</div>

Integration: Berechnung von Flächen zwischen zwei Kurven

2014-10-14T12:56:19Z

77.119.231.226: /* Wie werden Schnittpunkte berechnet und warum sind diese wichtig? */

=Berechnung der Fläche zwischen zwei Kurven=

==Wie berechnet man die Fläche zwischen zwei Kurven?==

{{Vorlage:Definition |1=Zuerst wird die Fläche zwischen dem oberen Graphen und der x-Achse berechnet,

[[Datei:1.032 2.jpg|400px|miniatur]]

dann wird die Fläche zwischen dem unteren Graphen und der x-Achse berechnet.

[[Datei:1.032 1.jpg|400px|miniatur]]

Anschließend wird die Fläche des unteren Graphen von der Fläche des oberen Graphen abgezogen.

[[Datei:1.032 3.jpg|400px|miniatur]]

Formel: $\int_{a}^{b} f (x)\,dx - \int_{a}^{b} g (x)\,dx$

ps.: Bei dieser Formel ist es egal ob die Fläche oberhalb oder unterhalb der x-Achse ist!
}}

==Wie werden Schnittpunkte berechnet und warum sind diese wichtig?==
Der Schnittpunkt ist jener Punkt, an dem beide Funktionen den gleichen y-Wert haben. Man setzt die y-Werte der Funktion gleich. Die entstandene Gleichung wird nach x aufgelöst. Man erhält den x-Wert des Schnittpunkts. Für den y-Wert des Schnittpunktes muss jetzt der x-Wert in eine der Funktionen eingesetzt werden. (Es ist egal in welche Funktion da der y-Wert bei beiden der selbe ist)

$f(x)=2x+1$

$g(x)=x−1$

Funktion gleichsetzen
$f(x)=g(x)$
$2x+1=x−1$

nach x auflösen

$2x=x−2$

$x=−2$

y-Koordinaten berechnen:

$f(-2)=2*(-2)+1$

$y=-3$

Schnittpunkt

$(-2/-3)$

{{Vorlage:Merke |1=Schnittpunkte sind wichtig, weil sie uns zeigen in welchem Bereich wir integrieren müssen.}}

==Beispiele aus dem Buch Mathematik 4 (Trauner Verlag) ==
S.30/1.031c

{{Vorlage:Beispiel|1=Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von den beiden Funktionen f und g umschlossen wird.<br />
$f(x)=x^2$<br />
$g(x)=4$

|2=<br />
[[Datei:1.031.jpg.png|400px|miniatur]]
$A=A_{ \Box }-A_{\cup}$<br />

$f(x)=A_{\cup}$<br />
$g(x)=A_{ \Box }$<br />
<br />

$A_{ \Box }=a*a$<br />
$A_{ \Box }=4*4$<br />
$A_{ \Box }=16$<br />
<br />

f(x) und umformen<br />

$f(x)=x^2$<br />
$f(x)=\frac{x^3}{3}$<br />

$A_{ \Box }=\int_{a}^{b} f (x)\,=F_(b)-F_(a) $<br />
$=\frac{2^3}{3}-\frac{(-2^3)}{3}=5,33$ <br /><br />

$A=A_{ \Box }-A_{\cup}$<br />
$A=16-5,33=10,67$<br />

<br />
<br />
<br />
}}

S.30/1.032a
{{Vorlage:Beispiel|1=Der Inhalt der Fläche ist zu berechnen, die von den Kurven mit den angegebenen Gleichungen begrenzt wird. Skizzieren Sie die Fläche.
|2=
<br />
[[Datei:1.032 1.jpg|400px|miniatur]]<br />
[[Datei:1.032 2.jpg|400px|miniatur]]<br />
[[Datei:1.032 3.jpg|400px|miniatur]]<br />

$x^2=6y \rightarrow y=\frac{x^2}{6}$<br />

$x^2+36=12y \rightarrow y_1=\frac{x^2+36}{12}$

Schnittpunkt wurde mit GeoGebra berechnet:
SP_A:(-6/6)
SP_B:(6/6)

$y=\frac{x^2}{6} = f(x)=\frac{x^2}{6}\Rightarrow\frac{x^3}{6*3}$

$y_1=\frac{x^2+36}{12} = g(x)=\frac{x^2+36}{12}\Rightarrow\frac{x^3}{36}+\frac{36}{12}x$

Berechnung der Fläche a (rot gestichelt):
$\int_{-6}^{6} f (x)\,dx=f(6)-f(-6)=\frac{6^3}{6*3}-(\frac{-6^3}{36}+\frac{36*(-6)}{12})=24 $

Berechnung der Fläche b (braun):
$\int_{-6}^{6} f (x)\,dx=g(6)-g(-6)=\frac{6^3}{36}+\frac{}{12}-(\frac{-6^3}{36}+\frac{36*(-6}{12})=48$

Fläche e (blau)= Fläche b (braun)- Fläche a (rot gestrichelt)<br />

Fläche e (blau)= 48 - 24= 24<br />

}}

S.30/1.034

{{Vorlage:Beispiel|1=Berechnen Sie den Inhalt der Fläche.

$f(x)=\frac{x^3}{3}-x^2+\frac{7}{3}$|2= <br />
[[Datei:1.034.jpg|400px|miniatur]]<br />

$\Rightarrow \frac{x^4}{3*4}-\frac{x^3}{3}+\frac{7}{3x}$

$\Rightarrow F(x)= \frac{x^4}{12}-\frac{4x^3}{12}+\frac{28}{12x}$

$$\int_{-1}^{2} f (x)\,dx = F(2)-F(-1) =\frac{2^4}{12}-\frac{4*2^3}{12}+\frac{28}{12}*2-(-\frac{1^4}{12}-\frac{4*-1^3}{12}+\frac{28}{12}*-1)$$

$=\frac{4}{3}-\frac{8}{3}+\frac{14}{3}-\frac{1}{12}+\frac{4}{12}-\frac{7}{3}$

$=\frac{4}{3}-\frac{8}{3}+\frac{14}{3}-\frac{1}{12}-\frac{4}{12}+\frac{7}{3}$

$=\frac{16}{12}-\frac{32}{12}+\frac{56}{12}-\frac{1}{12}-\frac{4}{12}+\frac{28}{12}$

$=\frac{63}{12}$

$=5,25$

$A\Box=3*1=3$

$A\triangle= A\triangle\Box-A\Box$

$\Rightarrow 5,25-3= 2,25$

}}

==Lernvideo==
{{#ev:youtube|-6vRkqsQvM4}}
<br />
{{#ev:youtube|TcKANBl3sTs}}<br />
ab Minute 3:23

==Übungs- und Lernlinks==
http://www.brinkmann-du.de/mathe/gost/int_01_05.htm<br />
http://matheguru.com/30-flaeche-zwischen-funktionen.html<br />
http://nibis.ni.schule.de/~lbs-gym/AnalysisTeil1pdf/FlaechezwischenGraphen.pdf<br />
Seite 1, 2, 3

==Quiz==
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0>
Frage 1:
[[Datei:Quiz1.png|400px|miniatur]]
</span>

<div class="mw-collapsible-content"> Lösung: Antwort 1

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0>
Frage 2:
[[Datei:Quiz2.png|400px|miniatur]]
</span>

<div class="mw-collapsible-content"> Lösung: Antwort 1

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0>
Frage 3:
[[Datei:Quiz3.png|400px|miniatur]]
</span>

<div class="mw-collapsible-content"> Lösung: Antwort 1

</div>

</div>

Spezial:Badtitle/NS3000:Integration: Das bestimmte Integral - Berechnung der orientierten Fläche

2014-10-14T12:45:52Z

77.119.231.226: /* Und jetzt Du! */

Spezial:Badtitle/NS3000:Integration: Das bestimmte Integral - Berechnung der orientierten Fläche

2014-10-14T12:38:07Z

77.119.231.226: Die Seite wurde neu angelegt: „Mit dem bestimmten Integral berechnet man die orientierte Fläche zwischen der x-Achse und einer Kurve. <br /> == Begriffe == * f(x) heißt '''Integrant''' ( …“

Integration

2014-10-14T12:37:18Z

77.119.231.226: /* Beispiele */

[[Datei:Integration-Präsentationsbild-klein.png|link=https://mix.office.com/watch/1joif5vw19uvd|gerahmt|zentriert|Klicke auf das Bild, um die Einführungspräsentation zu starten]]

== Gruppe 1: Idee der Integration: Fläche als Summe unendlich kleiner Rechtecke + GeoGebra-Formel ==
Klicke auf [[Integration: Idee der Integration: Fläche als Summe unendlich kleiner Rechtecke]] um mit der Seite zu beginnen.

== Gruppe 2: Das unbestimmte Integral und die Integrationsregeln - bestimmen der Stammfunktionen ==

Für jede Rechenoperation existiert auch eine Umkehroperation. Die Umkehroperation der Addition ist zum Beispiel die Subtraktion. Demnach ist die Umkehroperation des Differenzierens das Integrieren. Zu jeder Funktion f kann man unter bestimmten Bedingungen die Ableitungsfunktion f´ bilden.
Nun sollte es natürlich möglich sein, zu einer Ableitungsfunktion die dazugehörige Ausgangsfunktion zu finden. Man kann jede Funktion als Ableitung betrachten und demnach muss es zu jeder Funktion (die man selbst ableiten kann) auch eine Funktion geben, aus der sie durch Ableiten hervorgegangen ist. Diese Überlegung führt uns zum Begriff '''Stammfunktion'''.

:::::::::::::::::::'''Unbestimmtes Integral, Stammfunktion Erklärung Teil 1'''
:::::::::::::::::{{#ev:youtube|apmRLssukv4}}

=== Integrationsregeln ===

* '''Potenzregel'''
$$\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c$$
::::::::::::::Die Potzenregel gilt nicht nur für natürliche Exponenten, sondern auch für reelle Exponenten außer -1.

* '''Summenregel'''
$$\int_{a}^{b} [f(x)± g(x)]\,dx=\int_{a}^{b} f (x)\,dx±\int_{a}^{b} g (x)\,dx$$
::::::::::::::::::Eine Summe wird integriert, indem man jeden Summanden integriert.

* '''Faktorregel'''
$$\int_{a}^{b} c\cdot f (x)\,dx=c\cdot\int_{a}^{b} f (x)\,dx$$
:::::::::::::::::::::Einen konstanten Faktor kann man herausheben.

* '''Regel für $\frac{1}{x}$'''
$$\int \frac{1}{x}\,dx=In|x|+c$$
::::::::::::::::::::::: Diese Regel braucht man für $\frac{1}{x}$

=== Beispiele ===
Bestimmen Sie die Stammfunktionen:

{{Vorlage:Beispiel|1= $y=2,5$|2=$\int 2.5\cdot dx=2,5x+c$

}}

{{Vorlage:Beispiel|1=$y=-x+0,5$|2=$\int(-x+0.5)\cdot dx=0,5x^2+0,5x+c$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=$y=x^2$|2=$\int x^2\cdot dx=\frac{x^3}{3}+c$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=$y=9x^2-8x+1$|2=$\int (9x^2-8x+1)\cdot dx=3x^3-4x^2+x+c$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=$y=2x+3$|2=$\int (2x+3)\cdot dx=x^2+3x+c$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=$y=\frac{1}{x}$|2=$\int(\frac{1}{x}\cdot dx=In\vert x\vert +c$}}

=== Zusatzmaterial ===

==== Quiz ====
'''[http://learningapps.org/display?v=pv1cjzcd201 Kreuzworträtsel zum unbestimmten Integral]'''

'''[http://LearningApps.org/display?v=p16f2fcj501 Kreuzworträtsel zu den Integrationsregeln]'''

==== Lernvideos ====
'''[https://www.youtube.com/watch?v=n1vCUu2qaO4 Unbestimmtes Integral, Stammfunktion Erklärung Teil 2]'''

'''[https://www.youtube.com/watch?v=xh1gFjAbcmM Unbestimmtes Integral, Stammfunktion Erklärung Teil 3]'''

== Gruppe 3: Das bestimmte Integral ==

Klicke auf [[Integration: Das bestimmte Integral - Berechnung der orientierten Fläche]]

== Anwendung 1: Berechnung von Flächen, die oberhalb und unterhalb der x-Achse liegen ==

Klicke auf [[Integration: Berechnung von Flächen, die oberhalb und unterhalb der x-Achse liegen]] um mit der Seite zu beginnen.

== Anwendung 2: Berechnung von Flächen zwischen zwei Kurven ==

Klicke auf [[Integration: Berechnung von Flächen zwischen zwei Kurven]] um mit der Seite zu beginnen.

== Anwendung 3: Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung ==
Klicke auf [[Integration: Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung]] um mit der Seite zu beginnen.

== Übungsaufgaben ==
* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]] [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_integralrechnung/2011-03-22-Integral/Lernpfad/ Quiz-Aufgabe] (klicke links auf: "Übungen" und dann wähle eine Übung unter "Quiz")

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=26&file=Erddamm.pdf Erddamm] (leicht-mittel)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=135&file=Volumenstrom.pdf Volumenstrom] (mittel-schwer-mittel)
:: hierbei werden auch die Themen wie [[Differenzen- und Differentialquotient#Differentialquotient | die momentane Änderungsrate]] und [[Umkehraufgaben]] benötigt.

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=117&file=Pinboard.pdf Pinboard] (mittel)
:: hier brauchst du auch Wissen über [[Kurvendiskussionen]] und über [[Gleichungssysteme (2.7.) | das Lösen von Gleichungssystemen]] bzw. [[Umkehraufgaben]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=130&file=Wasserkanal.pdf Wasserkanal] (mittel-mittel-leicht)
:: hier brauchst du auch Wissen über [[Kurvendiskussionen]] bzw. [[Steigung und Steigungswinkel]] sowie den [http://www.mathe-lexikon.at/geometrie/ebene-figuren/vierecke/trapez/flaecheninhalt.html Flächeninhalt eines Trapez']

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=142&file=Energieverbrauch_und_Joggen.pdf Energieverbrauch beim Joggen] (mittel)
:: Welche Inhalte brauchst du hier noch: [[Wachstums- und Zerfallsprozesse | exponentielle Abnahme]] und [[Differenzen- und Differentialquotient]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=155&file=Schmuckstueck.pdf Schmuckstück] (leicht-mittel-mittel)
:: Was brauchst du hier noch: [[Quadratische Funktionen]] bzw. [[Umkehraufgaben]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=193&file=Minirampe.pdf Minirampe] (mittel)
:: Hier brauchst du auch Wissen über [[Kurvendiskussionen]] sowie über [[Steigung und Steigungswinkel]] und über [[Umkehraufgaben]]

Integration

2014-10-14T12:35:49Z

77.119.231.226: /* Beispiele */

[[Datei:Integration-Präsentationsbild-klein.png|link=https://mix.office.com/watch/1joif5vw19uvd|gerahmt|zentriert|Klicke auf das Bild, um die Einführungspräsentation zu starten]]

== Gruppe 1: Idee der Integration: Fläche als Summe unendlich kleiner Rechtecke + GeoGebra-Formel ==
Klicke auf [[Integration: Idee der Integration: Fläche als Summe unendlich kleiner Rechtecke]] um mit der Seite zu beginnen.

== Gruppe 2: Das unbestimmte Integral und die Integrationsregeln - bestimmen der Stammfunktionen ==

Für jede Rechenoperation existiert auch eine Umkehroperation. Die Umkehroperation der Addition ist zum Beispiel die Subtraktion. Demnach ist die Umkehroperation des Differenzierens das Integrieren. Zu jeder Funktion f kann man unter bestimmten Bedingungen die Ableitungsfunktion f´ bilden.
Nun sollte es natürlich möglich sein, zu einer Ableitungsfunktion die dazugehörige Ausgangsfunktion zu finden. Man kann jede Funktion als Ableitung betrachten und demnach muss es zu jeder Funktion (die man selbst ableiten kann) auch eine Funktion geben, aus der sie durch Ableiten hervorgegangen ist. Diese Überlegung führt uns zum Begriff '''Stammfunktion'''.

:::::::::::::::::::'''Unbestimmtes Integral, Stammfunktion Erklärung Teil 1'''
:::::::::::::::::{{#ev:youtube|apmRLssukv4}}

=== Integrationsregeln ===

* '''Potenzregel'''
$$\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c$$
::::::::::::::Die Potzenregel gilt nicht nur für natürliche Exponenten, sondern auch für reelle Exponenten außer -1.

* '''Summenregel'''
$$\int_{a}^{b} [f(x)± g(x)]\,dx=\int_{a}^{b} f (x)\,dx±\int_{a}^{b} g (x)\,dx$$
::::::::::::::::::Eine Summe wird integriert, indem man jeden Summanden integriert.

* '''Faktorregel'''
$$\int_{a}^{b} c\cdot f (x)\,dx=c\cdot\int_{a}^{b} f (x)\,dx$$
:::::::::::::::::::::Einen konstanten Faktor kann man herausheben.

* '''Regel für $\frac{1}{x}$'''
$$\int \frac{1}{x}\,dx=In|x|+c$$
::::::::::::::::::::::: Diese Regel braucht man für $\frac{1}{x}$

=== Beispiele ===

{{Vorlage:Beispiel|1= $y=2,5$|2=$\int 2.5\cdot dx=2,5x+c$

}}

{{Vorlage:Beispiel|1=$y=-x+0,5$|2=$\int(-x+0.5)\cdot dx=0,5x^2+0,5x+c$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=$y=x^2$|2=$\int x^2\cdot dx=\frac{x^3}{3}+c$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=$y=9x^2-8x+1$|2=$\int (9x^2-8x+1)\cdot dx=3x^3-4x^2+x+c$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=$y=2x+3$|2=$\int (2x+3)\cdot dx=x^2+3x+c$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=$y=\frac{1}{x}$|2=$\int(\frac{1}{x}\cdot dx=In\vert x\vert $}}

=== Zusatzmaterial ===

==== Quiz ====
'''[http://learningapps.org/display?v=pv1cjzcd201 Kreuzworträtsel zum unbestimmten Integral]'''

'''[http://LearningApps.org/display?v=p16f2fcj501 Kreuzworträtsel zu den Integrationsregeln]'''

==== Lernvideos ====
'''[https://www.youtube.com/watch?v=n1vCUu2qaO4 Unbestimmtes Integral, Stammfunktion Erklärung Teil 2]'''

'''[https://www.youtube.com/watch?v=xh1gFjAbcmM Unbestimmtes Integral, Stammfunktion Erklärung Teil 3]'''

== Gruppe 3: Das bestimmte Integral ==

Klicke auf [[Integration: Das bestimmte Integral - Berechnung der orientierten Fläche]]

== Anwendung 1: Berechnung von Flächen, die oberhalb und unterhalb der x-Achse liegen ==

Klicke auf [[Integration: Berechnung von Flächen, die oberhalb und unterhalb der x-Achse liegen]] um mit der Seite zu beginnen.

== Anwendung 2: Berechnung von Flächen zwischen zwei Kurven ==

Klicke auf [[Integration: Berechnung von Flächen zwischen zwei Kurven]] um mit der Seite zu beginnen.

== Anwendung 3: Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung ==
Klicke auf [[Integration: Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung]] um mit der Seite zu beginnen.

== Übungsaufgaben ==
* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]] [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_integralrechnung/2011-03-22-Integral/Lernpfad/ Quiz-Aufgabe] (klicke links auf: "Übungen" und dann wähle eine Übung unter "Quiz")

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=26&file=Erddamm.pdf Erddamm] (leicht-mittel)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=135&file=Volumenstrom.pdf Volumenstrom] (mittel-schwer-mittel)
:: hierbei werden auch die Themen wie [[Differenzen- und Differentialquotient#Differentialquotient | die momentane Änderungsrate]] und [[Umkehraufgaben]] benötigt.

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=117&file=Pinboard.pdf Pinboard] (mittel)
:: hier brauchst du auch Wissen über [[Kurvendiskussionen]] und über [[Gleichungssysteme (2.7.) | das Lösen von Gleichungssystemen]] bzw. [[Umkehraufgaben]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=130&file=Wasserkanal.pdf Wasserkanal] (mittel-mittel-leicht)
:: hier brauchst du auch Wissen über [[Kurvendiskussionen]] bzw. [[Steigung und Steigungswinkel]] sowie den [http://www.mathe-lexikon.at/geometrie/ebene-figuren/vierecke/trapez/flaecheninhalt.html Flächeninhalt eines Trapez']

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=142&file=Energieverbrauch_und_Joggen.pdf Energieverbrauch beim Joggen] (mittel)
:: Welche Inhalte brauchst du hier noch: [[Wachstums- und Zerfallsprozesse | exponentielle Abnahme]] und [[Differenzen- und Differentialquotient]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=155&file=Schmuckstueck.pdf Schmuckstück] (leicht-mittel-mittel)
:: Was brauchst du hier noch: [[Quadratische Funktionen]] bzw. [[Umkehraufgaben]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=193&file=Minirampe.pdf Minirampe] (mittel)
:: Hier brauchst du auch Wissen über [[Kurvendiskussionen]] sowie über [[Steigung und Steigungswinkel]] und über [[Umkehraufgaben]]

Integration

2014-10-14T12:30:16Z

77.119.231.226: /* Integrationsregeln */

[[Datei:Integration-Präsentationsbild-klein.png|link=https://mix.office.com/watch/1joif5vw19uvd|gerahmt|zentriert|Klicke auf das Bild, um die Einführungspräsentation zu starten]]

== Gruppe 1: Idee der Integration: Fläche als Summe unendlich kleiner Rechtecke + GeoGebra-Formel ==
Klicke auf [[Integration: Idee der Integration: Fläche als Summe unendlich kleiner Rechtecke]] um mit der Seite zu beginnen.

== Gruppe 2: Das unbestimmte Integral und die Integrationsregeln - bestimmen der Stammfunktionen ==

Für jede Rechenoperation existiert auch eine Umkehroperation. Die Umkehroperation der Addition ist zum Beispiel die Subtraktion. Demnach ist die Umkehroperation des Differenzierens das Integrieren. Zu jeder Funktion f kann man unter bestimmten Bedingungen die Ableitungsfunktion f´ bilden.
Nun sollte es natürlich möglich sein, zu einer Ableitungsfunktion die dazugehörige Ausgangsfunktion zu finden. Man kann jede Funktion als Ableitung betrachten und demnach muss es zu jeder Funktion (die man selbst ableiten kann) auch eine Funktion geben, aus der sie durch Ableiten hervorgegangen ist. Diese Überlegung führt uns zum Begriff '''Stammfunktion'''.

:::::::::::::::::::'''Unbestimmtes Integral, Stammfunktion Erklärung Teil 1'''
:::::::::::::::::{{#ev:youtube|apmRLssukv4}}

=== Integrationsregeln ===

* '''Potenzregel'''
$$\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c$$
::::::::::::::Die Potzenregel gilt nicht nur für natürliche Exponenten, sondern auch für reelle Exponenten außer -1.

* '''Summenregel'''
$$\int_{a}^{b} [f(x)± g(x)]\,dx=\int_{a}^{b} f (x)\,dx±\int_{a}^{b} g (x)\,dx$$
::::::::::::::::::Eine Summe wird integriert, indem man jeden Summanden integriert.

* '''Faktorregel'''
$$\int_{a}^{b} c\cdot f (x)\,dx=c\cdot\int_{a}^{b} f (x)\,dx$$
:::::::::::::::::::::Einen konstanten Faktor kann man herausheben.

* '''Regel für $\frac{1}{x}$'''
$$\int \frac{1}{x}\,dx=In|x|+c$$
::::::::::::::::::::::: Diese Regel braucht man für $\frac{1}{x}$

=== Beispiele ===

{{Vorlage:Beispiel|1=$\int y=2,5$|2=$y=2,5x+c$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=$\int y=-x+0,5$|2=$y=0,5x^2+0,5x+c$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=$\int y=x^2$|2=$y=\frac{x^3}{3}+c$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=$\int y=9x^2-8x+1$|2=$y=3x^3-4x^2+x+c$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=$\int y=2x+3$|2=$y=x^2+3x+c$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=$\int y=\frac{1}{x}$|2=$In|x|$}}

=== Zusatzmaterial ===

==== Quiz ====
'''[http://learningapps.org/display?v=pv1cjzcd201 Kreuzworträtsel zum unbestimmten Integral]'''

'''[http://LearningApps.org/display?v=p16f2fcj501 Kreuzworträtsel zu den Integrationsregeln]'''

==== Lernvideos ====
'''[https://www.youtube.com/watch?v=n1vCUu2qaO4 Unbestimmtes Integral, Stammfunktion Erklärung Teil 2]'''

'''[https://www.youtube.com/watch?v=xh1gFjAbcmM Unbestimmtes Integral, Stammfunktion Erklärung Teil 3]'''

== Gruppe 3: Das bestimmte Integral ==

Klicke auf [[Integration: Das bestimmte Integral - Berechnung der orientierten Fläche]]

== Anwendung 1: Berechnung von Flächen, die oberhalb und unterhalb der x-Achse liegen ==

Klicke auf [[Integration: Berechnung von Flächen, die oberhalb und unterhalb der x-Achse liegen]] um mit der Seite zu beginnen.

== Anwendung 2: Berechnung von Flächen zwischen zwei Kurven ==

Klicke auf [[Integration: Berechnung von Flächen zwischen zwei Kurven]] um mit der Seite zu beginnen.

== Anwendung 3: Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung ==
Klicke auf [[Integration: Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung]] um mit der Seite zu beginnen.

== Übungsaufgaben ==
* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]] [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_integralrechnung/2011-03-22-Integral/Lernpfad/ Quiz-Aufgabe] (klicke links auf: "Übungen" und dann wähle eine Übung unter "Quiz")

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=26&file=Erddamm.pdf Erddamm] (leicht-mittel)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=135&file=Volumenstrom.pdf Volumenstrom] (mittel-schwer-mittel)
:: hierbei werden auch die Themen wie [[Differenzen- und Differentialquotient#Differentialquotient | die momentane Änderungsrate]] und [[Umkehraufgaben]] benötigt.

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=117&file=Pinboard.pdf Pinboard] (mittel)
:: hier brauchst du auch Wissen über [[Kurvendiskussionen]] und über [[Gleichungssysteme (2.7.) | das Lösen von Gleichungssystemen]] bzw. [[Umkehraufgaben]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=130&file=Wasserkanal.pdf Wasserkanal] (mittel-mittel-leicht)
:: hier brauchst du auch Wissen über [[Kurvendiskussionen]] bzw. [[Steigung und Steigungswinkel]] sowie den [http://www.mathe-lexikon.at/geometrie/ebene-figuren/vierecke/trapez/flaecheninhalt.html Flächeninhalt eines Trapez']

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=142&file=Energieverbrauch_und_Joggen.pdf Energieverbrauch beim Joggen] (mittel)
:: Welche Inhalte brauchst du hier noch: [[Wachstums- und Zerfallsprozesse | exponentielle Abnahme]] und [[Differenzen- und Differentialquotient]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=155&file=Schmuckstueck.pdf Schmuckstück] (leicht-mittel-mittel)
:: Was brauchst du hier noch: [[Quadratische Funktionen]] bzw. [[Umkehraufgaben]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=193&file=Minirampe.pdf Minirampe] (mittel)
:: Hier brauchst du auch Wissen über [[Kurvendiskussionen]] sowie über [[Steigung und Steigungswinkel]] und über [[Umkehraufgaben]]

Integration

2014-10-13T06:57:27Z

77.119.231.226: /* Beispiele */

[[Datei:Integration-Präsentationsbild-klein.png|link=https://mix.office.com/watch/1joif5vw19uvd|gerahmt|zentriert|Klicke auf das Bild, um die Einführungspräsentation zu starten]]

== Gruppe 1: Idee der Integration: Fläche als Summe unendlich kleiner Rechtecke + GeoGebra-Formel ==
Klicke auf [[Integration: Idee der Integration: Fläche als Summe unendlich kleiner Rechtecke]] um mit der Seite zu beginnen.

== Gruppe 2: Das unbestimmte Integral und die Integrationsregeln - bestimmen der Stammfunktionen ==

Für jede Rechenoperation existiert auch eine Umkehroperation. Die Umkehroperation der Addition ist zum Beispiel die Subtraktion. Demnach ist die Umkehroperation des Differenzierens das Integrieren. Zu jeder Funktion f kann man unter bestimmten Bedingungen die Ableitungsfunktion f´ bilden.
Nun sollte es natürlich möglich sein, zu einer Ableitungsfunktion die dazugehörige Ausgangsfunktion zu finden. Man kann jede Funktion als Ableitung betrachten und demnach muss es zu jeder Funktion (die man selbst ableiten kann) auch eine Funktion geben, aus der sie durch Ableiten hervorgegangen ist. Diese Überlegung führt uns zum Begriff '''Stammfunktion'''.

:::::::::::::::::::'''Unbestimmtes Integral, Stammfunktion Erklärung Teil 1'''
:::::::::::::::::{{#ev:youtube|apmRLssukv4}}

=== Integrationsregeln ===

* '''Potenzregel'''
$$\int x^r\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c$$
::::::::::::::Die Potzenregel gilt nicht nur für natürliche Exponenten, sondern auch für reelle Exponenten außer -1.

* '''Summenregel'''
$$\int_{a}^{b} [f(x)± g(x)]\,dx=\int_{a}^{b} f (x)\,dx±\int_{a}^{b} g (x)\,dx$$
::::::::::::::::::Eine Summe wird integriert, indem man jeden Summanden integriert.

* '''Faktorregel'''
$$\int_{a}^{b} c\cdot f (x)\,dx=c\cdot\int_{a}^{b} f (x)\,dx$$
:::::::::::::::::::::Einen konstanten Faktor kann man herausheben.

* '''Regel für $\frac{1}{x}$'''
$$\int \frac{1}{x}\,dx=In|x|+c$$
::::::::::::::::::::::: Diese Regel braucht man für $\frac{1}{x}$

=== Beispiele ===

{{Vorlage:Beispiel|1=$\int y=2,5$|2=$y=2,5x+c$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=$\int y=-x+0,5$|2=$y=0,5x^2+0,5x+c$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=$\int y=x^2$|2=$y=\frac{x^3}{3}+c$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=$\int y=9x^2-8x+1$|2=$y=3x^3-4x^2+x+c$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=$\int y=2x+3$|2=$y=x^2+3x+c$}}

=== Zusatzmaterial ===

==== Quiz ====
'''[http://learningapps.org/display?v=pv1cjzcd201 Kreuzworträtsel zum unbestimmten Integral]'''

'''[http://LearningApps.org/display?v=p16f2fcj501 Kreuzworträtsel zu den Integrationsregeln]'''

==== Lernvideos ====
'''[https://www.youtube.com/watch?v=n1vCUu2qaO4 Unbestimmtes Integral, Stammfunktion Erklärung Teil 2]'''

'''[https://www.youtube.com/watch?v=xh1gFjAbcmM Unbestimmtes Integral, Stammfunktion Erklärung Teil 3]'''

== Gruppe 3: Das bestimmte Integral ==

Klicke auf [[Integration: Das bestimmte Integral - Berechnung der orientierten Fläche]]

== Anwendung 1: Berechnung von Flächen, die oberhalb und unterhalb der x-Achse liegen ==

Klicke auf [[Integration: Berechnung von Flächen, die oberhalb und unterhalb der x-Achse liegen]] um mit der Seite zu beginnen.

== Anwendung 2: Berechnung von Flächen zwischen zwei Kurven ==

Klicke auf [[Integration: Berechnung von Flächen zwischen zwei Kurven]] um mit der Seite zu beginnen.

== Anwendung 3: Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung ==
Klicke auf [[Integration: Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung]] um mit der Seite zu beginnen.

== Übungsaufgaben ==
* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]] [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_integralrechnung/2011-03-22-Integral/Lernpfad/ Quiz-Aufgabe] (klicke links auf: "Übungen" und dann wähle eine Übung unter "Quiz")

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=26&file=Erddamm.pdf Erddamm] (leicht-mittel)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=135&file=Volumenstrom.pdf Volumenstrom] (mittel-schwer-mittel)
:: hierbei werden auch die Themen wie [[Differenzen- und Differentialquotient#Differentialquotient | die momentane Änderungsrate]] und [[Umkehraufgaben]] benötigt.

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=117&file=Pinboard.pdf Pinboard] (mittel)
:: hier brauchst du auch Wissen über [[Kurvendiskussionen]] und über [[Gleichungssysteme (2.7.) | das Lösen von Gleichungssystemen]] bzw. [[Umkehraufgaben]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=130&file=Wasserkanal.pdf Wasserkanal] (mittel-mittel-leicht)
:: hier brauchst du auch Wissen über [[Kurvendiskussionen]] bzw. [[Steigung und Steigungswinkel]] sowie den [http://www.mathe-lexikon.at/geometrie/ebene-figuren/vierecke/trapez/flaecheninhalt.html Flächeninhalt eines Trapez']

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=142&file=Energieverbrauch_und_Joggen.pdf Energieverbrauch beim Joggen] (mittel)
:: Welche Inhalte brauchst du hier noch: [[Wachstums- und Zerfallsprozesse | exponentielle Abnahme]] und [[Differenzen- und Differentialquotient]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=155&file=Schmuckstueck.pdf Schmuckstück] (leicht-mittel-mittel)
:: Was brauchst du hier noch: [[Quadratische Funktionen]] bzw. [[Umkehraufgaben]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=193&file=Minirampe.pdf Minirampe] (mittel)
:: Hier brauchst du auch Wissen über [[Kurvendiskussionen]] sowie über [[Steigung und Steigungswinkel]] und über [[Umkehraufgaben]]

Integration

2014-10-13T06:56:47Z

77.119.231.226: /* Beispiele */

[[Datei:Integration-Präsentationsbild-klein.png|link=https://mix.office.com/watch/1joif5vw19uvd|gerahmt|zentriert|Klicke auf das Bild, um die Einführungspräsentation zu starten]]

== Gruppe 1: Idee der Integration: Fläche als Summe unendlich kleiner Rechtecke + GeoGebra-Formel ==
Klicke auf [[Integration: Idee der Integration: Fläche als Summe unendlich kleiner Rechtecke]] um mit der Seite zu beginnen.

== Gruppe 2: Das unbestimmte Integral und die Integrationsregeln - bestimmen der Stammfunktionen ==

Für jede Rechenoperation existiert auch eine Umkehroperation. Die Umkehroperation der Addition ist zum Beispiel die Subtraktion. Demnach ist die Umkehroperation des Differenzierens das Integrieren. Zu jeder Funktion f kann man unter bestimmten Bedingungen die Ableitungsfunktion f´ bilden.
Nun sollte es natürlich möglich sein, zu einer Ableitungsfunktion die dazugehörige Ausgangsfunktion zu finden. Man kann jede Funktion als Ableitung betrachten und demnach muss es zu jeder Funktion (die man selbst ableiten kann) auch eine Funktion geben, aus der sie durch Ableiten hervorgegangen ist. Diese Überlegung führt uns zum Begriff '''Stammfunktion'''.

:::::::::::::::::::'''Unbestimmtes Integral, Stammfunktion Erklärung Teil 1'''
:::::::::::::::::{{#ev:youtube|apmRLssukv4}}

=== Integrationsregeln ===

* '''Potenzregel'''
$$\int x^r\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c$$
::::::::::::::Die Potzenregel gilt nicht nur für natürliche Exponenten, sondern auch für reelle Exponenten außer -1.

* '''Summenregel'''
$$\int_{a}^{b} [f(x)± g(x)]\,dx=\int_{a}^{b} f (x)\,dx±\int_{a}^{b} g (x)\,dx$$
::::::::::::::::::Eine Summe wird integriert, indem man jeden Summanden integriert.

* '''Faktorregel'''
$$\int_{a}^{b} c\cdot f (x)\,dx=c\cdot\int_{a}^{b} f (x)\,dx$$
:::::::::::::::::::::Einen konstanten Faktor kann man herausheben.

* '''Regel für $\frac{1}{x}$'''
$$\int \frac{1}{x}\,dx=In|x|+c$$
::::::::::::::::::::::: Diese Regel braucht man für $\frac{1}{x}$

=== Beispiele ===

{{Vorlage:Beispiel|1=$\int y=2,5$|2=$y=2,5x+c$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=$y=-x+0,5$|2=$y=0,5x^2+0,5x+c$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=$y=x^2$|2=$y=\frac{x^3}{3}+c$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=$y=9x^2-8x+1$|2=$y=3x^3-4x^2+x+c$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=$y=2x+3$|2=$y=x^2+3x+c$}}

=== Zusatzmaterial ===

==== Quiz ====
'''[http://learningapps.org/display?v=pv1cjzcd201 Kreuzworträtsel zum unbestimmten Integral]'''

'''[http://LearningApps.org/display?v=p16f2fcj501 Kreuzworträtsel zu den Integrationsregeln]'''

==== Lernvideos ====
'''[https://www.youtube.com/watch?v=n1vCUu2qaO4 Unbestimmtes Integral, Stammfunktion Erklärung Teil 2]'''

'''[https://www.youtube.com/watch?v=xh1gFjAbcmM Unbestimmtes Integral, Stammfunktion Erklärung Teil 3]'''

== Gruppe 3: Das bestimmte Integral ==

Klicke auf [[Integration: Das bestimmte Integral - Berechnung der orientierten Fläche]]

== Anwendung 1: Berechnung von Flächen, die oberhalb und unterhalb der x-Achse liegen ==

Klicke auf [[Integration: Berechnung von Flächen, die oberhalb und unterhalb der x-Achse liegen]] um mit der Seite zu beginnen.

== Anwendung 2: Berechnung von Flächen zwischen zwei Kurven ==

Klicke auf [[Integration: Berechnung von Flächen zwischen zwei Kurven]] um mit der Seite zu beginnen.

== Anwendung 3: Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung ==
Klicke auf [[Integration: Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung]] um mit der Seite zu beginnen.

== Übungsaufgaben ==
* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]] [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_integralrechnung/2011-03-22-Integral/Lernpfad/ Quiz-Aufgabe] (klicke links auf: "Übungen" und dann wähle eine Übung unter "Quiz")

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=26&file=Erddamm.pdf Erddamm] (leicht-mittel)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=135&file=Volumenstrom.pdf Volumenstrom] (mittel-schwer-mittel)
:: hierbei werden auch die Themen wie [[Differenzen- und Differentialquotient#Differentialquotient | die momentane Änderungsrate]] und [[Umkehraufgaben]] benötigt.

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=117&file=Pinboard.pdf Pinboard] (mittel)
:: hier brauchst du auch Wissen über [[Kurvendiskussionen]] und über [[Gleichungssysteme (2.7.) | das Lösen von Gleichungssystemen]] bzw. [[Umkehraufgaben]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=130&file=Wasserkanal.pdf Wasserkanal] (mittel-mittel-leicht)
:: hier brauchst du auch Wissen über [[Kurvendiskussionen]] bzw. [[Steigung und Steigungswinkel]] sowie den [http://www.mathe-lexikon.at/geometrie/ebene-figuren/vierecke/trapez/flaecheninhalt.html Flächeninhalt eines Trapez']

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=142&file=Energieverbrauch_und_Joggen.pdf Energieverbrauch beim Joggen] (mittel)
:: Welche Inhalte brauchst du hier noch: [[Wachstums- und Zerfallsprozesse | exponentielle Abnahme]] und [[Differenzen- und Differentialquotient]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=155&file=Schmuckstueck.pdf Schmuckstück] (leicht-mittel-mittel)
:: Was brauchst du hier noch: [[Quadratische Funktionen]] bzw. [[Umkehraufgaben]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=193&file=Minirampe.pdf Minirampe] (mittel)
:: Hier brauchst du auch Wissen über [[Kurvendiskussionen]] sowie über [[Steigung und Steigungswinkel]] und über [[Umkehraufgaben]]

Umkehraufgaben

2014-10-13T05:11:51Z

77.119.231.226: /* Theorie */

== Theorie ==

{| border="1" cellpadding="5"
!| Formulierungen im Text
!| mathematische Übersetzung
|-
| Der Punkt $P(a\vert b)$ liegt auf dem Graphen der Funktion.

Der Graph der Funktion $f$ verläuft durch $P(a\vert b)$.
| $$f(a)=b$$
|-
| Die Funktion schneidet die x-Achse an der Stelle $x=a$.

Die Nullstelle der Funktion $f$ befindt sic bei $N(a|0)$.
| $$f(a)=0$$
|-
| Die Funktion $f$ hat an der Stelle $x=a$ ein Extremum.
| $$f'(a)=0$$
|-
| Die Funktion $f$ hat an der Stelle $x=a$ einen Wendepunkt.
| $$f''(a)=0$$
|-
| Die Funktion $f$ hat an der Stelle $x=a$ die [[Steigung und Steigungswinkel | Steigung]] k.

Die Funktion $f$ ist an der Stelle $x=a$ parallel zur Geraden $g: y=k\cdot x+d$
| $$f'(a)=k$$
|-
| Die Funktion $f$ hat an der Stelle $x=a$ den[[Steigung und Steigungswinkel | Steigungswinkel]] $\alpha$
| $$f'(a)=\tan \alpha$$
|-
| Die Funktion $f$ berührt an der Stelle $x=a$ die Gerade $y=k\cdot x+d$
| $$f'(a)=k$$
und
$$f(a)=k\cdot a+d$$

|}
(vgl. Tinhof (u.a.): Mathematik III HLW/...., Trauner, 2012, S. 94)

hier würde sich ein Quiz noch gut anbieten!

== Beispiele ==
* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=18&file=Wasserstrahl.pdf Wasserstrahl] (Bifie-Aufgabe: mittel-mittel-leicht)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Nullstelle]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=193&file=Minirampe.pdf Minirampe] (mittel)
*: Hier brauchst du auch Wissen über [[Kurvendiskussionen]] sowie über [[Steigung und Steigungswinkel]] und über [[Integration]] (Aufgabe a)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=25&file=Ortsumfahrung.pdf Ortsumfahrung] (Bifie-Aufgabe: mittel-mittel)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Quadratische Funktionen]] und [[Bestimmen der Tangentengleichung]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=34&file=Schispringen.pdf Schispringen] (Bifie-Aufgabe: leicht-mittel-mittel)
*: Welche Inhalte werden hier noch gefragt: [[Quadratische Funktionen]] und [[Bestimmen der Tangentengleichung]]

[[Kategorie:Differenzieren]]

Integration

2014-10-09T12:51:03Z

77.119.231.226: /* Übungsaufgaben */

[[Datei:Integration-Präsentationsbild-klein.png|link=https://mix.office.com/watch/1joif5vw19uvd|gerahmt|zentriert|Klicke auf das Bild, um die Einführungspräsentation zu starten]]

== Gruppe 1: Idee der Integration: Fläche als Summe unendlich kleiner Rechtecke + GeoGebra-Formel ==
Klicke auf [[Integration: Idee der Integration: Fläche als Summe unendlich kleiner Rechtecke]] um mit der Seite zu beginnen.

== Gruppe 2: Das unbestimmte Integral und die Integrationsregeln - bestimmen der Stammfunktionen ==

Für jede Rechenoperation existiert auch eine Umkehroperation. Die Umkehroperation der Addition ist zum Beispiel die Subtraktion. Demnach ist die Umkehroperation des Differenzierens das Integrieren. Zu jeder Funktion f kann man unter bestimmten Bedingungen die Ableitungsfunktion f´ bilden.
Nun sollte es natürlich möglich sein, zu einer Ableitungsfunktion die dazugehörige Ausgangsfunktion zu finden. Man kann jede Funktion als Ableitung betrachten und demnach muss es zu jeder Funktion (die man selbst ableiten kann) auch eine Funktion geben, aus der sie durch Ableiten hervorgegangen ist. Diese Überlegung führt uns zum Begriff '''Stammfunktion'''.

:::::::::::::::::::'''Unbestimmtes Integral, Stammfunktion Erklärung Teil 1'''
:::::::::::::::::{{#ev:youtube|apmRLssukv4}}

=== Integrationsregeln ===

* '''Potenzregel'''
$$\int x^r\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c$$
::::::::::::::Die Potzenregel gilt nicht nur für natürliche Exponenten, sondern auch für reelle Exponenten außer -1.

* '''Summenregel'''
$$\int_{a}^{b} [f(x)± g(x)]\,dx=\int_{a}^{b} f (x)\,dx±\int_{a}^{b} g (x)\,dx$$
::::::::::::::::::Eine Summe wird integriert, indem man jeden Summanden integriert.

* '''Faktorregel'''
$$\int_{a}^{b} c\cdot f (x)\,dx=c\cdot\int_{a}^{b} f (x)\,dx$$
:::::::::::::::::::::Einen konstanten Faktor kann man herausheben.

* '''Regel für $\frac{1}{x}$'''
$$\int \frac{1}{x}\,dx=In|x|+c$$
::::::::::::::::::::::: Diese Regel braucht man für $\frac{1}{x}$

=== Beispiele ===

{{Vorlage:Beispiel|1=$y=2,5$|2=$y=2,5x+c$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=$y=-x+0,5$|2=$y=0,5x^2+0,5x+c$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=$y=x^2$|2=$y=\frac{x^3}{3}+c$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=$y=9x^2-8x+1$|2=$y=3x^3-4x^2+x+c$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=$y=2x+3$|2=$y=x^2+3x+c$}}

=== Zusatzmaterial ===

==== Quiz ====
'''[http://learningapps.org/display?v=pv1cjzcd201 Kreuzworträtsel zum unbestimmten Integral]'''

'''[http://LearningApps.org/display?v=p16f2fcj501 Kreuzworträtsel zu den Integrationsregeln]'''

==== Lernvideos ====
'''[https://www.youtube.com/watch?v=n1vCUu2qaO4 Unbestimmtes Integral, Stammfunktion Erklärung Teil 2]'''

'''[https://www.youtube.com/watch?v=xh1gFjAbcmM Unbestimmtes Integral, Stammfunktion Erklärung Teil 3]'''

== Gruppe 3: Das bestimmte Integral ==

Klicke auf [[Integration: Das bestimmte Integral - Berechnung der orientierten Fläche]]

== Anwendung 1: Berechnung von Flächen, die oberhalb und unterhalb der x-Achse liegen ==

Klicke auf [[Integration: Berechnung von Flächen, die oberhalb und unterhalb der x-Achse liegen]] um mit der Seite zu beginnen.

== Anwendung 2: Berechnung von Flächen zwischen zwei Kurven ==

Klicke auf [[Integration: Berechnung von Flächen zwischen zwei Kurven]] um mit der Seite zu beginnen.

== Anwendung 3: Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung ==
Klicke auf [[Integration: Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung]] um mit der Seite zu beginnen.

== Übungsaufgaben ==
* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]] [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_integralrechnung/2011-03-22-Integral/Lernpfad/ Quiz-Aufgabe] (klicke links auf: "Übungen" und dann wähle eine Übung unter "Quiz")

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=26&file=Erddamm.pdf Erddamm] (leicht-mittel)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=135&file=Volumenstrom.pdf Volumenstrom] (mittel-schwer-mittel)
:: hierbei werden auch die Themen wie [[Differenzen- und Differentialquotient#Differentialquotient | die momentane Änderungsrate]] und [[Umkehraufgaben]] benötigt.

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=117&file=Pinboard.pdf Pinboard] (mittel)
:: hier brauchst du auch Wissen über [[Kurvendiskussionen]] und über [[Gleichungssysteme (2.7.) | das Lösen von Gleichungssystemen]] bzw. [[Umkehraufgaben]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=130&file=Wasserkanal.pdf Wasserkanal] (mittel-mittel-leicht)
:: hier brauchst du auch Wissen über [[Kurvendiskussionen]] bzw. [[Steigung und Steigungswinkel]] sowie den [http://www.mathe-lexikon.at/geometrie/ebene-figuren/vierecke/trapez/flaecheninhalt.html Flächeninhalt eines Trapez']

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=142&file=Energieverbrauch_und_Joggen.pdf Energieverbrauch beim Joggen] (mittel)
:: Welche Inhalte brauchst du hier noch: [[Wachstums- und Zerfallsprozesse | exponentielle Abnahme]] und [[Differenzen- und Differentialquotient]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=155&file=Schmuckstueck.pdf Schmuckstück] (leicht-mittel-mittel)
:: Was brauchst du hier noch: [[Quadratische Funktionen]] bzw. [[Umkehraufgaben]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=193&file=Minirampe.pdf Minirampe] (mittel)
:: Hier brauchst du auch Wissen über [[Kurvendiskussionen]] sowie über [[Steigung und Steigungswinkel]] und über [[Umkehraufgaben]]

Spezial:Badtitle/NS3000:Integration: Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung

2014-10-09T06:05:23Z

77.119.231.226: /* Beispiel 2 */

=Weg - Geschwindigkeit - Beschleunigung=

<br />
<br />

== Erklärung ==

'''s(t)''' gibt den zurückgelegten Weg zum Zeitpunkt t an (Einheit: m oder km)

'''v(t)''' gibt die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt t an (Einheit: m/s oder km/h). Die Geschwindigkeit ist die momentane Änderung des Weges s(t).

'''a(t)''' gibt die Beschleunigung zum Zeitpunkt t an (Einheit: m/s² oder km/h²). Die Beschleunigung ist die momentane Änderung der Geschwindigkeit v(t)

{{#ev:youtube|HBp-IP9CitE}}

Aus diesem Grund gilt folgender Zusammenhang:

[[Datei:Integrieren.png|miniatur|links|500px]]

<br />
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<br />

<br />

==Aufgaben==

===Beispiel 1:===

Die ESA (European Space Agency) bringt mithilfe der Ariane 5 regelmäßig Satelliten in den Weltraum.
Die Startbeschleunigung beträgt dabei ca. 5.5 m/s².
Gehen Sie im Folgenden davon aus, dass die Beschleunigung währen des ganzen Fluges konstant ist (d.h. a(t)=5.5 m/s².
Die Variable t gebe die Zeit nach dem Start in Sekunden (s) an.

'''a)'''Bestimmen Sie die Funktion v(t), die die Geschwindigkeit der Rakete nach t Sekunden angebe. (Hinweis für die Integrationskonstante: Die Anfangsgeschwindigkeit a(t)=0)

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Tipp zur Berechnung: </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Da die Funktion der Geschwindigkeit v(t) gesucht wird, müssen wir die Formel der Beschleunigung a(t) einmal integrieren. Wir setzen 5,5 (Dies entnehmen wir aus der Angabe) für a(t) ein und berechnen so unser Ergebnis für v(t)! Außerdem ist anzumerken, dass das c wegfällt, da unsere Anfangsgeschwindigkeit (Geschwindigkeit zum Zeitpunkt 0) 0 beträgt und dadurch das c nach dem integrieren wegfällt.
</div>
</div>

$$v(t)=\int a(t) \cdot dt$$
$$v(t)=\int 5,5 \cdot dt$$
$$v(t)=5,5 \cdot t (+ c)$$
$$v(t)=5,5 \cdot t$$

'''Die Funktion lautet: $v(t)=5,5 \cdot t$'''

'''b)''' Bestimmen Sie mithilfe von v(t) die Funktion s(t), die den nach t Sekunden zurückgelegten Weg angibt.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Tipp zur Berechnung: </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Da die Funktion des Weges s(t) gesucht wird, müssen wir die Formel der Geschwindigkeit v(t) einmal integrieren. Wir setzen 5,5t (Dies entnehmen wir aus dem Ergebnis von Aufgabe a) für v(t) ein und berechnen so unser Ergebnis für s(t)! Außerdem ist anzumerken, dass das c*t wegfällt, da unsere Anfangsgeschwindigkeit (Geschwindigkeit zum Zeitpunkt 0) 0 beträgt und dadurch das c*t nach dem integrieren wegfällt.
</div>
</div>

$$s(t)=\int v(t) \cdot dt$$
$$s(t)=\int 5,5t \cdot dt$$
$$s(t)=2,75 \cdot t^2 (+ c*t)$$
$$s(t)=2,75 \cdot t^2$$

'''Die Funktion lautet: $s(t)=2,75 \cdot t^2$'''

'''c)''' 180 Sekunden nach dem Start sind die Feststoffbooster ausgebrannt und werden abgesprengt (Quelle: Wikipedia).
Berechnen Sie:

- die Höhe, in der sich die Rakete zu diesem Zeitpunkt befindet.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Tipp zur Berechnung: </span>
<div class="mw-collapsible-content"> s(t) ist die Formel der zurückgelegten Strecke! Wir setzen daher in diese Formel bei der Zeit (t) 180 ein, da wir wissen wollen, wo sich die Rakete nach 180 Sekunden befindet. Da wir die Sekunden nicht in Minuten umgerechnet haben, bekommen wir das Ergebnis in Metern. Wenn das Ergebnis in km erwünscht wäre, müsste man noch m in km umrechnen.</div>
</div>

$$s(t)=2,75 \cdot t^2$$
$$s(180)=2,75 \cdot 180^2$$
$$s(180)=89100 m$$

'''Nach 180 Sekunden befindet sich unsere Rakete in einer Höhe von 89100m.'''

- die Geschwindigkeit der Rakete zu diesem Zeitpunkt

[[Datei:C.png|miniatur|Das k der Tangente gibt die Geschwindigkeit an]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Tipp zur Berechnung: </span>
<div class="mw-collapsible-content"> v(t) ist die Formel, die die Geschwindigkeit zu verschiedenen Zeitpunkten angibt! Wir setzen daher in diese Formel bei der Zeit (t) 180 ein, da wir wissen wollen, wie hoch die Geschwindigkeit der Rakete nach 180 Sekunden ist. Da wir die Sekunden nicht in Minuten umgerechnet haben, bekommen wir das Ergebnis m/s. Wenn das Ergebnis in km/h erwünscht wäre, müsste man das Ergebnis noch * 3,6 rechnen.</div>
</div>

$$v(t)=5,5 \cdot t$$
$$v(180)=5,5 \cdot 180$$
$$v(180)=990 m/s$$
<br />

$$990 m/s \rightarrow 275 km/h$$

'''Nach 180 Sekunden hat unsere Rakete eine Geschwindigkeit von 275 km/h erreicht.'''

'''d)''' Die etwa 1000 km Höhe erreicht die Rakete die geostationäre Umlaufbahn (Quelle: Wikipedia). Ermitteln Sie, nach wie vielen Sekunden diese Umlaufbahn erreicht wird.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Tipp zur Berechnung: </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Die Funktion s(t) beschreibt uns das Verhältnis von Zeit und Weg und wann die Rakete welche Höhe erreicht hat. Deshalb setzten wir nun bei der Höhe 1.000.000 m ein und erzielen dadurch den Zeitpunkt, an dem die Rakete diese Höhe erreicht.

Da wir aber m/sek benötigen rechnen wir zuerst die km in Meter um. </div>
</div>

$$1.000.000=2,75 \cdot t^2$$
$$t=603,02$$
<br />

'''Nach 603,02 Sekunden ereichen wir mit unserer Rakete die Höhe 1.000.000 Meter.'''

<br />
<br />
<br />
<br />
=== Beispiel 2 ===

Ein Raumschiff hat eine Beschleunigung von 7,94 m/s^2.
Gehen Sie im Folgenden davon aus, dass die Beschleunigung während der ganzen Fahrt konstant bleibt. D.h. a(t)=7,94 m/s^2.
Die variable t gibt die Zeit nach dem Start in Sekunden an.

'''a)''' Bestimmen Sie die Funktion v(t), die die Geschwindigkeit der Rakete nach t Sekunden angibt. (Anfangsfunktion = 0)

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Tipp zur Berechnung: </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Da die Funktion der Geschwindigkeit v(t) gesucht wird, müssen wir die Formel der Beschleunigung a(t) einmal integrieren. Wir setzen 7,94 (Dies entnehmen wir aus der Angabe) für a(t) ein und berechnen so unser Ergebnis für v(t)! Außerdem ist anzumerken, dass das c wegfällt, da unsere Anfangsgeschwindigkeit (Geschwindigkeit zum Zeitpunkt 0) 0 beträgt und dadurch das c nach dem integrieren wegfällt.
</div>
</div>

$$v(t)=\int a(t) \cdot dt$$
$$v(t)=\int 7,94 \cdot dt$$
$$v(t)=7,94 \cdot t (+ c)$$
$$v(t)=7,94 \cdot t$$

'''Die Funktion lautet: $$v(t)=7,94 \cdot t$$'''

'''b)''' Bestimmen Sie mithilfe von der Funktion der Beschleunigung v(t) die Funktion s(t), die den nach t Sekunden zurückgelegten Weg angibt.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Tipp zur Berechnung: </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Da die Funktion des Weges s(t) gesucht wird, müssen wir die Formel der Geschwindigkeit v(t) einmal integrieren. Wir setzen 7,94 (Dies entnehmen wir aus dem Ergebnis, der oberen Aufgabe) für v(t) ein und berechnen so unser Ergebnis für s(t)! Außerdem ist anzumerken, dass das c wieder wegfällt, da unsere Anfangsgeschwindigkeit (Geschwindigkeit zum Zeitpunkt 0) 0 beträgt und dadurch das c nach dem integrieren wegfällt.
</div>
</div>

$$v(t)= 7,94 \cdot t (+c)$$
$$s(t)=\int 7,94 \cdot dt$$
$$s(t)=\int 7,94 \cdot dt (+ c)$$
$$s(t)=7,94 (t^2)/2 + c \cdot t$$
$$s(t)=3,97 \cdot t^2 (+ c \cdot t)$$

'''Die Funktion lautet: $$s(t)=3,97 \cdot t^2 (+ c \cdot t)$$
'''

'''c)''' Berechnen Sie ...

- die zurückgelegte Distanz nach 300 Sekunden!

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Tipp zur Berechnung: </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Da wir ermitteln wollen, wie viele Meter wir nach 300 Sekunden zurückgelegt haben, verwenden wir die Funktion des Weges s(t). Für unsere Zeit setzen wir 300 Sekunden ein. Außerdem ist anzumerken, dass das c wieder wegfällt, da unsere Anfangsgeschwindigkeit (Geschwindigkeit zum Zeitpunkt 0).
</div>
</div>

$$s(300)= 3,9t \cdot 300^2 (+c \cdot t)$$
$$s(300)= 357300 m$$

- die Geschwindigkeit zu diesem Zeitpunkt!

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Tipp zur Berechnung: </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Da wir ermitteln wollen, wie hoch die Geschwindigkeit nach 300 Sekunden ist, verwenden wir die Funktion der Geschwindigkeit v(t). Für unsere Zeit setzen wir daher 300 Sekunden ein. Außerdem ist anzumerken, dass das c wieder wegfällt, da unsere Anfangsgeschwindigkeit (Geschwindigkeit zum Zeitpunkt 0).
</div>
</div>

$$v(300)= 7,94 \cdot 300 (+c)$$
$$v(300)= 2382 m/s$$

2382 m/s \rightarrow 661,67 km/h

'''d)''' Nach 2000 km erreicht das Raumschiff den Mars. Ermitteln Sie nach wie vielen Sekunden das Raumschiff den Mars erreicht!

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Tipp zur Berechnung: </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Da wir ermitteln wollen, nach wie vielen Sekunden das Raumschiff den Mars erreicht, verwenden wir die Funktion des Weges s(t). Für unseren Weg setzen wir daher 2000 m ein (Wir berechnen zuvor noch km in m um, da wir die Zeit in Sekunden angegeben haben wollen!).
</div>
</div>

$$2.000.000=3,97 \cdot t^2$$
$$t = 709,77 Sek.$$

709,77 Sek. \rightarrow 11,83 Min

Spezial:Badtitle/NS3000:Integration: Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung

2014-10-08T09:40:41Z

77.119.231.226: /* Beispiel 2 */

=Weg - Geschwindigkeit - Beschleunigung=

<br />
<br />

== Erklärung ==

'''s(t)''' gibt den zurückgelegten Weg zum Zeitpunkt t an (Einheit: m oder km)

'''v(t)''' gibt die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt t an (Einheit: m/s oder km/h). Die Geschwindigkeit ist die momentane Änderung des Weges s(t).

'''a(t)''' gibt die Beschleunigung zum Zeitpunkt t an (Einheit: m/s² oder km/h²). Die Beschleunigung ist die momentane Änderung der Geschwindigkeit v(t)

{{#ev:youtube|HBp-IP9CitE}}

Aus diesem Grund gilt folgender Zusammenhang:

[[Datei:Integrieren.png|miniatur|links|500px]]

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<br />

==Aufgaben==

===Beispiel 1:===

Die ESA (European Space Agency) bringt mithilfe der Ariane 5 regelmäßig Satelliten in den Weltraum.
Die Startbeschleunigung beträgt dabei ca. 5.5 m/s².
Gehen Sie im Folgenden davon aus, dass die Beschleunigung währen des ganzen Fluges konstant ist (d.h. a(t)=5.5 m/s².
Die Variable t gebe die Zeit nach dem Start in Sekunden (s) an.

'''a)'''Bestimmen Sie die Funktion v(t), die die Geschwindigkeit der Rakete nach t Sekunden angebe. (Hinweis für die Integrationskonstante: Die Anfangsgeschwindigkeit a(t)=0)

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Tipp zur Berechnung: </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Da die Funktion der Geschwindigkeit v(t) gesucht wird, müssen wir die Formel der Beschleunigung a(t) einmal integrieren. Wir setzen 5,5 (Dies entnehmen wir aus der Angabe) für a(t) ein und berechnen so unser Ergebnis für v(t)! Außerdem ist anzumerken, dass das c wegfällt, da unsere Anfangsgeschwindigkeit (Geschwindigkeit zum Zeitpunkt 0) 0 beträgt und dadurch das c nach dem integrieren wegfällt.
</div>
</div>

$$v(t)=\int a(t) \cdot dt$$
$$v(t)=\int 5,5 \cdot dt$$
$$v(t)=5,5 \cdot t (+ c)$$
$$v(t)=5,5 \cdot t$$

'''Die Funktion lautet: $v(t)=5,5 \cdot t$'''

'''b)''' Bestimmen Sie mithilfe von v(t) die Funktion s(t), die den nach t Sekunden zurückgelegten Weg angibt.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Tipp zur Berechnung: </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Da die Funktion des Weges s(t) gesucht wird, müssen wir die Formel der Geschwindigkeit v(t) einmal integrieren. Wir setzen 5,5t (Dies entnehmen wir aus dem Ergebnis von Aufgabe a) für v(t) ein und berechnen so unser Ergebnis für s(t)! Außerdem ist anzumerken, dass das c*t wegfällt, da unsere Anfangsgeschwindigkeit (Geschwindigkeit zum Zeitpunkt 0) 0 beträgt und dadurch das c*t nach dem integrieren wegfällt.
</div>
</div>

$$s(t)=\int v(t) \cdot dt$$
$$s(t)=\int 5,5t \cdot dt$$
$$s(t)=2,75 \cdot t^2 (+ c*t)$$
$$s(t)=2,75 \cdot t^2$$

'''Die Funktion lautet: $s(t)=2,75 \cdot t^2$'''

'''c)''' 180 Sekunden nach dem Start sind die Feststoffbooster ausgebrannt und werden abgesprengt (Quelle: Wikipedia).
Berechnen Sie:

- die Höhe, in der sich die Rakete zu diesem Zeitpunkt befindet.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Tipp zur Berechnung: </span>
<div class="mw-collapsible-content"> s(t) ist die Formel der zurückgelegten Strecke! Wir setzen daher in diese Formel bei der Zeit (t) 180 ein, da wir wissen wollen, wo sich die Rakete nach 180 Sekunden befindet. Da wir die Sekunden nicht in Minuten umgerechnet haben, bekommen wir das Ergebnis in Metern. Wenn das Ergebnis in km erwünscht wäre, müsste man noch m in km umrechnen.</div>
</div>

$$s(t)=2,75 \cdot t^2$$
$$s(180)=2,75 \cdot 180^2$$
$$s(180)=89100 m$$

'''Nach 180 Sekunden befindet sich unsere Rakete in einer Höhe von 89100m.'''

- die Geschwindigkeit der Rakete zu diesem Zeitpunkt

[[Datei:C.png|miniatur|Das k der Tangente gibt die Geschwindigkeit an]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Tipp zur Berechnung: </span>
<div class="mw-collapsible-content"> v(t) ist die Formel, die die Geschwindigkeit zu verschiedenen Zeitpunkten angibt! Wir setzen daher in diese Formel bei der Zeit (t) 180 ein, da wir wissen wollen, wie hoch die Geschwindigkeit der Rakete nach 180 Sekunden ist. Da wir die Sekunden nicht in Minuten umgerechnet haben, bekommen wir das Ergebnis m/s. Wenn das Ergebnis in km/h erwünscht wäre, müsste man das Ergebnis noch * 3,6 rechnen.</div>
</div>

$$v(t)=5,5 \cdot t$$
$$v(180)=5,5 \cdot 180$$
$$v(180)=990 m/s$$
<br />

$$990 m/s \rightarrow 275 km/h$$

'''Nach 180 Sekunden hat unsere Rakete eine Geschwindigkeit von 275 km/h erreicht.'''

'''d)''' Die etwa 1000 km Höhe erreicht die Rakete die geostationäre Umlaufbahn (Quelle: Wikipedia). Ermitteln Sie, nach wie vielen Sekunden diese Umlaufbahn erreicht wird.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Tipp zur Berechnung: </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Die Funktion s(t) beschreibt uns das Verhältnis von Zeit und Weg und wann die Rakete welche Höhe erreicht hat. Deshalb setzten wir nun bei der Höhe 1.000.000 m ein und erzielen dadurch den Zeitpunkt, an dem die Rakete diese Höhe erreicht.

Da wir aber m/sek benötigen rechnen wir zuerst die km in Meter um. </div>
</div>

$$1.000.000=2,75 \cdot t^2$$
$$t=603,02$$
<br />

'''Nach 603,02 Sekunden ereichen wir mit unserer Rakete die Höhe 1.000.000 Meter.'''

=== Beispiel 2 ===

Ein Raumschiff hat eine Beschleunigung von 7,94 m/s^2.
Gehen Sie im Folgenden davon aus, dass die Beschleunigung während der ganzen Fahrt konstant bleibt. D.h. a(t)=7,94 m/s^2.
Die variable t gibt die Zeit nach dem Start in Sekunden an.

'''a)''' Bestimmen Sie die Funktion v(t), die die Geschwindigkeit der Rakete nach t Sekunden angibt. (Anfangsfunktion = 0)

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Tipp zur Berechnung: </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Da die Funktion der Geschwindigkeit v(t) gesucht wird, müssen wir die Formel der Beschleunigung a(t) einmal integrieren. Wir setzen 7,94 (Dies entnehmen wir aus der Angabe) für a(t) ein und berechnen so unser Ergebnis für v(t)! Außerdem ist anzumerken, dass das c wegfällt, da unsere Anfangsgeschwindigkeit (Geschwindigkeit zum Zeitpunkt 0) 0 beträgt und dadurch das c nach dem integrieren wegfällt.
</div>
</div>

$$v(t)=\int a(t) \cdot dt$$
$$v(t)=\int 7,94 \cdot dt$$
$$v(t)=7,94 \cdot t (+ c)$$
$$v(t)=7,94 \cdot t$$

'''Die Funktion lautet: $$v(t)=7,94 \cdot t$$'''

'''b)''' Bestimmen Sie mithilfe von der Funktion der Beschleunigung v(t) die Funktion s(t), die den nach t Sekunden zurückgelegten Weg angibt.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Tipp zur Berechnung: </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Da die Funktion des Weges s(t) gesucht wird, müssen wir die Formel der Geschwindigkeit v(t) einmal integrieren. Wir setzen 7,94 (Dies entnehmen wir aus dem Ergebnis, der oberen Aufgabe) für v(t) ein und berechnen so unser Ergebnis für s(t)! Außerdem ist anzumerken, dass das c wieder wegfällt, da unsere Anfangsgeschwindigkeit (Geschwindigkeit zum Zeitpunkt 0) 0 beträgt und dadurch das c nach dem integrieren wegfällt.
</div>
</div>

$$v(t)= 7,94 \cdot t (+c)$$
$$s(t)=\int 7,94 \cdot dt$$
$$s(t)=\int 7,94 \cdot dt (+ c)$$
$$s(t)=7,94 (t^2)/2 + c \cdot t$$
$$s(t)=3,97 \cdot t^2 (+ c \cdot t)$$

'''Die Funktion lautet: $$s(t)=3,97 \cdot t^2 (+ c \cdot t)$$
'''

'''c)''' Berechnen Sie ...

- die zurückgelegte Distanz nach 300 Sekunden!

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Tipp zur Berechnung: </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Da wir ermitteln wollen, wie viele Meter wir nach 300 Sekunden zurückgelegt haben, verwenden wir die Funktion des Weges s(t). Für unsere Zeit setzen wir 300 Sekunden ein. Außerdem ist anzumerken, dass das c wieder wegfällt, da unsere Anfangsgeschwindigkeit (Geschwindigkeit zum Zeitpunkt 0).
</div>
</div>

$$s(300)= 3,9t \cdot 300^2 (+c \cdot t)$$
$$s(300)= 357300 m$$

- die Geschwindigkeit zu diesem Zeitpunkt!

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Tipp zur Berechnung: </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Da wir ermitteln wollen, wie hoch die Geschwindigkeit nach 300 Sekunden ist, verwenden wir die Funktion der Geschwindigkeit v(t). Für unsere Zeit setzen wir daher 300 Sekunden ein. Außerdem ist anzumerken, dass das c wieder wegfällt, da unsere Anfangsgeschwindigkeit (Geschwindigkeit zum Zeitpunkt 0).
</div>
</div>

$$v(300)= 7,94 \cdot 300 (+c)$$
$$v(300)= 2382 m/s$$

2382 m/s \rightarrow 661,67 km/h

'''d)''' Nach 2000 km erreicht das Raumschiff den Mars. Ermitteln Sie nach wie vielen Sekunden das Raumschiff den Mars erreicht!

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Tipp zur Berechnung: </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Da wir ermitteln wollen, nach wie vielen Sekunden das Raumschiff den Mars erreicht, verwenden wir die Funktion des Weges s(t). Für unseren Weg setzen wir daher 2000 m ein (Wir berechnen zuvor noch km in m um, da wir die Zeit in Sekunden angegeben haben wollen!).
</div>
</div>

$$2.000.000=3,97 \cdot t^2$$
$$t = 709,77 Sek.$$

709,77 Sek. \rightarrow 11,83 Min

Spezial:Badtitle/NS3000:Integration: Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung

2014-10-06T13:24:28Z

77.119.231.226: /* Beispiel 2 */

=Weg - Geschwindigkeit - Beschleunigung=

== Erklärung ==

'''s(t)''' gibt den zurückgelegten Weg zum Zeitpunkt t an (Einheit: m oder km)

'''v(t)''' gibt die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt t an (Einheit: m/s oder km/h). Die Geschwindigkeit ist die momentane Änderung des Weges s(t).

'''a(t)''' gibt die Beschleunigung zum Zeitpunkt t an (Einheit: m/s² oder km/h²). Die Beschleunigung ist die momentane Änderung der Geschwindigkeit v(t)

Aus diesem Grund gilt folgender Zusammenhang:

[[Datei:Integrieren.png|miniatur|links|500px]]

==Aufgaben==

===Beispiel 1:===

Die ESA (European Space Agency) bringt mithilfe der Ariane 5 regelmäßig Satelliten in den Weltraum.
Die Startbeschleunigung beträgt dabei ca. 5.5 m/s².
Gehen Sie im Folgenden davon aus, dass die Beschleunigung währen des ganzen Fluges konstant ist (d.h. a(t)=5.5 m/s².
Die Variable t gebe die Zeit nach dem Start in Sekunden (s) an.

'''a)'''Bestimmen Sie die Funktion v(t), die die Geschwindigkeit der Rakete nach t Sekunden angebe. (Hinweis für die Integrationskonstante: Die Anfangsgeschwindigkeit a(t)=0)

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<span style="color:#A020F0> Tipp zur Berechnung: </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Da die Funktion der Geschwindigkeit v(t) gesucht wird, müssen wir die Formel der Beschleunigung a(t) einmal integrieren. Wir setzen 5,5 (Dies entnehmen wir aus der Angabe) für a(t) ein und berechnen so unser Ergebnis für v(t)! Außerdem ist anzumerken, dass das c wegfällt, da unsere Anfangsgeschwindigkeit (Geschwindigkeit zum Zeitpunkt 0) 0 beträgt und dadurch das c nach dem integrieren wegfällt.
</div>
</div>

$$v(t)=\int a(t) \cdot dt$$
$$v(t)=\int 5,5 \cdot dt$$
$$v(t)=5,5 \cdot t (+ c)$$
$$v(t)=5,5 \cdot t$$

'''Die Funktion lautet: $v(t)=5,5 \cdot t$'''

'''b)''' Bestimmen Sie mithilfe von v(t) die Funktion s(t), die den nach t Sekunden zurückgelegten Weg angibt.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Tipp zur Berechnung: </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Da die Funktion des Weges s(t) gesucht wird, müssen wir die Formel der Geschwindigkeit v(t) einmal integrieren. Wir setzen 5,5t (Dies entnehmen wir aus dem Ergebnis von Aufgabe a) für v(t) ein und berechnen so unser Ergebnis für s(t)! Außerdem ist anzumerken, dass das c*t wegfällt, da unsere Anfangsgeschwindigkeit (Geschwindigkeit zum Zeitpunkt 0) 0 beträgt und dadurch das c*t nach dem integrieren wegfällt.
</div>
</div>

$$s(t)=\int v(t) \cdot dt$$
$$s(t)=\int 5,5t \cdot dt$$
$$s(t)=2,75 \cdot t^2 (+ c*t)$$
$$s(t)=2,75 \cdot t^2$$

'''Die Funktion lautet: $s(t)=2,75 \cdot t^2$'''

'''c)''' 180 Sekunden nach dem Start sind die Feststoffbooster ausgebrannt und werden abgesprengt (Quelle: Wikipedia).
Berechnen Sie:

- die Höhe, in der sich die Rakete zu diesem Zeitpunkt befindet.

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<span style="color:#A020F0> Tipp zur Berechnung: </span>
<div class="mw-collapsible-content"> s(t) ist die Formel der zurückgelegten Strecke! Wir setzen daher in diese Formel bei der Zeit (t) 180 ein, da wir wissen wollen, wo sich die Rakete nach 180 Sekunden befindet. Da wir die Sekunden nicht in Minuten umgerechnet haben, bekommen wir das Ergebnis in Metern. Wenn das Ergebnis in km erwünscht wäre, müsste man noch m in km umrechnen.</div>
</div>

$$s(t)=2,75 \cdot t^2$$
$$s(180)=2,75 \cdot 180^2$$
$$s(180)=89100 m$$

'''Nach 180 Sekunden befindet sich unsere Rakete in einer Höhe von 89100m.'''

- die Geschwindigkeit der Rakete zu diesem Zeitpunkt

[[Datei:C.png|miniatur|Das k der Tangente gibt die Geschwindigkeit an]]

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<span style="color:#A020F0> Tipp zur Berechnung: </span>
<div class="mw-collapsible-content"> v(t) ist die Formel, die die Geschwindigkeit zu verschiedenen Zeitpunkten angibt! Wir setzen daher in diese Formel bei der Zeit (t) 180 ein, da wir wissen wollen, wie hoch die Geschwindigkeit der Rakete nach 180 Sekunden ist. Da wir die Sekunden nicht in Minuten umgerechnet haben, bekommen wir das Ergebnis m/s. Wenn das Ergebnis in km/h erwünscht wäre, müsste man das Ergebnis noch * 3,6 rechnen.</div>
</div>

$$v(t)=5,5 \cdot t$$
$$v(180)=5,5 \cdot 180$$
$$v(180)=990 m/s$$
<br />

$$990 m/s \rightarrow 275 km/h$$

'''Nach 180 Sekunden hat unsere Rakete eine Geschwindigkeit von 275 km/h erreicht.'''

'''d)''' Die etwa 1000 km Höhe erreicht die Rakete die geostationäre Umlaufbahn (Quelle: Wikipedia). Ermitteln Sie, nach wie vielen Sekunden diese Umlaufbahn erreicht wird.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Tipp zur Berechnung: </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Die Funktion s(t) beschreibt uns das Verhältnis von Zeit und Weg und wann die Rakete welche Höhe erreicht hat. Deshalb setzten wir nun bei der Höhe 1.000.000 m ein und erzielen dadurch den Zeitpunkt, an dem die Rakete diese Höhe erreicht.

Da wir aber m/sek benötigen rechnen wir zuerst die km in Meter um. </div>
</div>

$$1.000.000=2,75 \cdot t^2$$
$$t=603,02$$
<br />

'''Nach 603,02 Sekunden ereichen wir mit unserer Rakete die Höhe 1.000.000 Meter.'''

=== Beispiel 2 ===

Ein Raumschiff hat eine Beschleunigung von 7,94 m/s^2.
Gehen Sie im Folgenden davon aus, dass die Beschleunigung während der ganzen Fahrt konstant bleibt. D.h. a(t)=7,94 m/s^2.
Die variable t gibt die Zeit nach dem Start in Sekunden an.

a) Bestimmen Sie die Funktion v(t), die die Geschwindigkeit der Rakete nach t Sekunden angibt. (Anfangsfunktion = 0)

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Tipp zur Berechnung: </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Da die Funktion der Geschwindigkeit v(t) gesucht wird, müssen wir die Formel der Beschleunigung a(t) einmal integrieren. Wir setzen 7,94 (Dies entnehmen wir aus der Angabe) für a(t) ein und berechnen so unser Ergebnis für v(t)! Außerdem ist anzumerken, dass das c wegfällt, da unsere Anfangsgeschwindigkeit (Geschwindigkeit zum Zeitpunkt 0) 0 beträgt und dadurch das c nach dem integrieren wegfällt.
</div>
</div>

$$v(t)=\int a(t) \cdot dt$$
$$v(t)=\int 7,94 \cdot dt$$
$$v(t)=7,94 \cdot t (+ c)$$
$$v(t)=7,94 \cdot t$$

b) Bestimmen Sie mithilfe von der Funktion v(t) die Funktion s(t), die den nach t Sekunden zurückgelegten Weg angibt.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Tipp zur Berechnung: </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Da die Funktion des Weges s(t) gesucht wird, müssen wir die Formel der Geschwindigkeit v(t) einmal integrieren. Wir setzen 7,94 (Dies entnehmen wir aus dem Ergebnis, der oberen Aufgabe) für v(t) ein und berechnen so unser Ergebnis für s(t)! Außerdem ist anzumerken, dass das c wieder wegfällt, da unsere Anfangsgeschwindigkeit (Geschwindigkeit zum Zeitpunkt 0) 0 beträgt und dadurch das c nach dem integrieren wegfällt.
</div>
</div>

$$v(t)= 7,94 \cdot t (+c)$$
$$s(t)=\int 7,94 \cdot dt$$
$$s(t)=\int 7,94 \cdot dt (+ c)$$
$$s(t)=7,94 (t^2)/2 + c \cdot t$$
$$s(t)=3,97 \cdot t^2 (+ c \cdot t)$$

c) Berechnen Sie ...

- die zurückgelegte Distanz nach 300 Sekunden!

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Tipp zur Berechnung: </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Da wir ermitteln wollen, wie viele Meter wir nach 300 Sekunden zurückgelegt haben, verwenden wir die Funktion des Weges s(t). Für unsere Zeit setzen wir 300 Sekunden ein. Außerdem ist anzumerken, dass das c wieder wegfällt, da unsere Anfangsgeschwindigkeit (Geschwindigkeit zum Zeitpunkt 0).
</div>
</div>

$$s(300)= 3,9t \cdot 300^2 (+c \cdot t)$$
$$s(300)= 357300 m$$

- die Geschwindigkeit zu diesem Zeitpunkt!

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Tipp zur Berechnung: </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Da wir ermitteln wollen, wie hoch die Geschwindigkeit nach 300 Sekunden ist, verwenden wir die Funktion der Geschwindigkeit v(t). Für unsere Zeit setzen wir daher 300 Sekunden ein. Außerdem ist anzumerken, dass das c wieder wegfällt, da unsere Anfangsgeschwindigkeit (Geschwindigkeit zum Zeitpunkt 0).
</div>
</div>

$$v(300)= 7,94 \cdot 300 (+c)$$
$$v(300)= 2382 m/s$$

2382 m/s \rightarrow 661,67 km/h

d) Nach 2000 km erreicht das Raumschiff den Mars. Ermitteln Sie nach wie vielen Sekunden das Raumschiff den Mars erreicht!

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Tipp zur Berechnung: </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Da wir ermitteln wollen, nach wie vielen Sekunden das Raumschiff den Mars erreicht, verwenden wir die Funktion des Weges s(t). Für unseren Weg setzen wir daher 2000 m ein (Wir berechnen zuvor noch km in m um, da wir die Zeit in Sekunden angegeben haben wollen!).
</div>
</div>

$$2.000.000=3,97 \cdot t^2$$
$$t = 709,77 Sek.$$

709,77 Sek. \rightarrow 11,83 Min

Spezial:Badtitle/NS3000:Integration: Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung

2014-10-03T11:08:05Z

77.119.231.226: /* Beispiel 2 */

=Weg - Geschwindigkeit - Beschleunigung=

== Erklärung ==

'''s(t)''' gibt den zurückgelegten Weg zum Zeitpunkt t an (Einheit: m oder km)

'''v(t)''' gibt die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt t an (Einheit: m/s oder km/h). Die Geschwindigkeit ist die momentane Änderung des Weges s(t).

'''a(t)''' gibt die Beschleunigung zum Zeitpunkt t an (Einheit: m/s² oder km/h²). Die Beschleunigung ist die momentane Änderung der Geschwindigkeit v(t)

Aus diesem Grund gilt folgender Zusammenhang:

[[Datei:Integrieren.png|miniatur|links|500px]]

==Aufgaben==

===Beispiel 1:===

Die ESA (European Space Agency) bringt mithilfe der Ariane 5 regelmäßig Satelliten in den Weltraum.
Die Startbeschleunigung beträgt dabei ca. 5.5 m/s².
Gehen Sie im Folgenden davon aus, dass die Beschleunigung währen des ganzen Fluges konstant ist (d.h. a(t)=5.5 m/s².
Die Variable t gebe die Zeit nach dem Start in Sekunden (s) an.

'''a)'''Bestimmen Sie die Funktion v(t), die die Geschwindigkeit der Rakete nach t Sekunden angebe. (Hinweis für die Integrationskonstante: Die Anfangsgeschwindigkeit a(t)=0)

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Tipp zur Berechnung: </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Da die Funktion der Geschwindigkeit v(t) gesucht wird, müssen wir die Formel der Beschleunigung a(t) einmal integrieren. Wir setzen 5,5 (Dies entnehmen wir aus der Angabe) für a(t) ein und berechnen so unser Ergebnis für v(t)! Außerdem ist anzumerken, dass das c wegfällt, da unsere Anfangsgeschwindigkeit (Geschwindigkeit zum Zeitpunkt 0) 0 beträgt und dadurch das c nach dem integrieren wegfällt.
</div>
</div>

$$v(t)=\int a(t) \cdot dt$$
$$v(t)=\int 5,5 \cdot dt$$
$$v(t)=5,5 \cdot t (+ c)$$
$$v(t)=5,5 \cdot t$$

'''Die Funktion lautet: $v(t)=5,5 \cdot t$'''

'''b)''' Bestimmen Sie mithilfe von v(t) die Funktion s(t), die den nach t Sekunden zurückgelegten Weg angibt.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Tipp zur Berechnung: </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Da die Funktion des Weges s(t) gesucht wird, müssen wir die Formel der Geschwindigkeit v(t) einmal integrieren. Wir setzen 5,5t (Dies entnehmen wir aus dem Ergebnis von Aufgabe a) für v(t) ein und berechnen so unser Ergebnis für s(t)! Außerdem ist anzumerken, dass das c*t wegfällt, da unsere Anfangsgeschwindigkeit (Geschwindigkeit zum Zeitpunkt 0) 0 beträgt und dadurch das c*t nach dem integrieren wegfällt.
</div>
</div>

$$s(t)=\int v(t) \cdot dt$$
$$s(t)=\int 5,5t \cdot dt$$
$$s(t)=2,75 \cdot t^2 (+ c*t)$$
$$s(t)=2,75 \cdot t^2$$

'''Die Funktion lautet: $s(t)=2,75 \cdot t^2$'''

'''c)''' 180 Sekunden nach dem Start sind die Feststoffbooster ausgebrannt und werden abgesprengt (Quelle: Wikipedia).
Berechnen Sie:

- die Höhe, in der sich die Rakete zu diesem Zeitpunkt befindet.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Tipp zur Berechnung: </span>
<div class="mw-collapsible-content"> s(t) ist die Formel der zurückgelegten Strecke! Wir setzen daher in diese Formel bei der Zeit (t) 180 ein, da wir wissen wollen, wo sich die Rakete nach 180 Sekunden befindet. Da wir die Sekunden nicht in Minuten umgerechnet haben, bekommen wir das Ergebnis in Metern. Wenn das Ergebnis in km erwünscht wäre, müsste man noch m in km umrechnen.</div>
</div>

$$s(t)=2,75 \cdot t^2$$
$$s(180)=2,75 \cdot 180^2$$
$$s(180)=89100 m$$

'''Nach 180 Sekunden befindet sich unsere Rakete in einer Höhe von 89100m.'''

- die Geschwindigkeit der Rakete zu diesem Zeitpunkt

[[Datei:C.png|miniatur|Das k der Tangente gibt die Geschwindigkeit an]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Tipp zur Berechnung: </span>
<div class="mw-collapsible-content"> v(t) ist die Formel, die die Geschwindigkeit zu verschiedenen Zeitpunkten angibt! Wir setzen daher in diese Formel bei der Zeit (t) 180 ein, da wir wissen wollen, wie hoch die Geschwindigkeit der Rakete nach 180 Sekunden ist. Da wir die Sekunden nicht in Minuten umgerechnet haben, bekommen wir das Ergebnis m/s. Wenn das Ergebnis in km/h erwünscht wäre, müsste man das Ergebnis noch * 3,6 rechnen.</div>
</div>

$$v(t)=5,5 \cdot t$$
$$v(180)=5,5 \cdot 180$$
$$v(180)=990 m/s$$
<br />

$$990 m/s \rightarrow 275 km/h$$

'''Nach 180 Sekunden hat unsere Rakete eine Geschwindigkeit von 275 km/h erreicht.'''

'''d)''' Die etwa 1000 km Höhe erreicht die Rakete die geostationäre Umlaufbahn (Quelle: Wikipedia). Ermitteln Sie, nach wie vielen Sekunden diese Umlaufbahn erreicht wird.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Tipp zur Berechnung: </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Die Funktion s(t) beschreibt uns das Verhältnis von Zeit und Weg und wann die Rakete welche Höhe erreicht hat. Deshalb setzten wir nun bei der Höhe 1.000.000 m ein und erzielen dadurch den Zeitpunkt, an dem die Rakete diese Höhe erreicht.

Da wir aber m/sek benötigen rechnen wir zuerst die km in Meter um. </div>
</div>

$$1.000.000=2,75 \cdot t^2$$
$$t=603,02$$
<br />

'''Nach 603,02 Sekunden ereichen wir mit unserer Rakete die Höhe 1.000.000 Meter.'''

=== Beispiel 2 ===

Ein Raumschiff hat eine Beschleunigung von 7,94 m/s^2.
Gehen Sie im Folgenden davon aus, dass die Beschleunigung während der ganzen Fahrt konstant bleibt. D.h. a(t)=7,94 m/s^2.
Die variable t gibt die Zeit nach dem Start in Sekunden an.

a) Bestimmen Sie die Funktion v(t), die die Geschwindigkeit der Rakete nach t Sekunden angibt. (Anfangsfunktion = 0)

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Tipp zur Berechnung: </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Da die Funktion der Geschwindigkeit v(t) gesucht wird, müssen wir die Formel der Beschleunigung a(t) einmal integrieren. Wir setzen 7,94 (Dies entnehmen wir aus der Angabe) für a(t) ein und berechnen so unser Ergebnis für v(t)! Außerdem ist anzumerken, dass das c wegfällt, da unsere Anfangsgeschwindigkeit (Geschwindigkeit zum Zeitpunkt 0) 0 beträgt und dadurch das c nach dem integrieren wegfällt.
</div>
</div>

$$v(t)=\int a(t) \cdot dt$$
$$v(t)=\int 7,94 \cdot dt$$
$$v(t)=7,94 \cdot t (+ c)$$
$$v(t)=7,94 \cdot t$$

b) Bestimmen Sie mithilfe von der Funktion v(t) die Funktion s(t), die den nach t Sekunden zurückgelegten Weg angibt.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Tipp zur Berechnung: </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Da die Funktion des Weges s(t) gesucht wird, müssen wir die Formel der Geschwindigkeit v(t) einmal integrieren. Wir setzen 7,94 (Dies entnehmen wir aus dem Ergebnis, der oberen Aufgabe) für v(t) ein und berechnen so unser Ergebnis für s(t)! Außerdem ist anzumerken, dass das c wieder wegfällt, da unsere Anfangsgeschwindigkeit (Geschwindigkeit zum Zeitpunkt 0) 0 beträgt und dadurch das c nach dem integrieren wegfällt.
</div>
</div>

$$v(t)= 7,94 \cdot t (+c)$$
$$s(t)=\int 7,94 \cdot dt$$
$$s(t)=\int 7,94 \cdot dt (+ c)$$
$$s(t)=7,94 (t^2)/2 + c \cdot t$$
$$s(t)=3,97 \cdot t^2 (+ c \cdot t)$$

c) Berechnen Sie ...
- die zurückgelegte Distanz nach 300 Sekunden!

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Tipp zur Berechnung: </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Da wir ermitteln wollen, wie viele Meter wir nach 300 Sekunden zurückgelegt haben, verwenden wir die Funktion des Weges s(t). Für unsere Zeit setzen wir 300 Sekunden ein. Außerdem ist anzumerken, dass das c wieder wegfällt, da unsere Anfangsgeschwindigkeit (Geschwindigkeit zum Zeitpunkt 0).
</div>
</div>

$$s(300)= 3,9t \cdot 300^2 (+c \cdot t)$$
$$s(300)= 357300 m$$

- die Geschwindigkeit zu diesem Zeitpunkt!

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Tipp zur Berechnung: </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Da wir ermitteln wollen, wie hoch die Geschwindigkeit nach 300 Sekunden ist, verwenden wir die Funktion der Geschwindigkeit v(t). Für unsere Zeit setzen wir daher 300 Sekunden ein. Außerdem ist anzumerken, dass das c wieder wegfällt, da unsere Anfangsgeschwindigkeit (Geschwindigkeit zum Zeitpunkt 0).
</div>
</div>

$$v(300)= 7,94 \cdot 300 (+c)$$
$$v(300)= 2382 m/s$$

2382 m/s \rightarrow 661,67 km/h

d) Nach 2000 km erreicht das Raumschiff den Mars. Ermitteln Sie wie viel Zeit es es braucht, um diesen zu erreichen!

$$2.000.000=3,97 \cdot t^2$$
$$t = 709,77 Sek.$$

709,77 Sek. \rightarrow 11,83 Min

Spezial:Badtitle/NS3000:Integration: Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung

2014-10-03T10:59:14Z

77.119.231.226: /* Beispiel 2 */

=Weg - Geschwindigkeit - Beschleunigung=

== Erklärung ==

'''s(t)''' gibt den zurückgelegten Weg zum Zeitpunkt t an (Einheit: m oder km)

'''v(t)''' gibt die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt t an (Einheit: m/s oder km/h). Die Geschwindigkeit ist die momentane Änderung des Weges s(t).

'''a(t)''' gibt die Beschleunigung zum Zeitpunkt t an (Einheit: m/s² oder km/h²). Die Beschleunigung ist die momentane Änderung der Geschwindigkeit v(t)

Aus diesem Grund gilt folgender Zusammenhang:

[[Datei:Integrieren.png|miniatur|links|500px]]

==Aufgaben==

===Beispiel 1:===

Die ESA (European Space Agency) bringt mithilfe der Ariane 5 regelmäßig Satelliten in den Weltraum.
Die Startbeschleunigung beträgt dabei ca. 5.5 m/s².
Gehen Sie im Folgenden davon aus, dass die Beschleunigung währen des ganzen Fluges konstant ist (d.h. a(t)=5.5 m/s².
Die Variable t gebe die Zeit nach dem Start in Sekunden (s) an.

'''a)'''Bestimmen Sie die Funktion v(t), die die Geschwindigkeit der Rakete nach t Sekunden angebe. (Hinweis für die Integrationskonstante: Die Anfangsgeschwindigkeit a(t)=0)

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Tipp zur Berechnung: </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Da die Funktion der Geschwindigkeit v(t) gesucht wird, müssen wir die Formel der Beschleunigung a(t) einmal integrieren. Wir setzen 5,5 (Dies entnehmen wir aus der Angabe) für a(t) ein und berechnen so unser Ergebnis für v(t)! Außerdem ist anzumerken, dass das c wegfällt, da unsere Anfangsgeschwindigkeit (Geschwindigkeit zum Zeitpunkt 0) 0 beträgt und dadurch das c nach dem integrieren wegfällt.
</div>
</div>

$$v(t)=\int a(t) \cdot dt$$
$$v(t)=\int 5,5 \cdot dt$$
$$v(t)=5,5 \cdot t (+ c)$$
$$v(t)=5,5 \cdot t$$

'''Die Funktion lautet: $v(t)=5,5 \cdot t$'''

'''b)''' Bestimmen Sie mithilfe von v(t) die Funktion s(t), die den nach t Sekunden zurückgelegten Weg angibt.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Tipp zur Berechnung: </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Da die Funktion des Weges s(t) gesucht wird, müssen wir die Formel der Geschwindigkeit v(t) einmal integrieren. Wir setzen 5,5t (Dies entnehmen wir aus dem Ergebnis von Aufgabe a) für v(t) ein und berechnen so unser Ergebnis für s(t)! Außerdem ist anzumerken, dass das c*t wegfällt, da unsere Anfangsgeschwindigkeit (Geschwindigkeit zum Zeitpunkt 0) 0 beträgt und dadurch das c*t nach dem integrieren wegfällt.
</div>
</div>

$$s(t)=\int v(t) \cdot dt$$
$$s(t)=\int 5,5t \cdot dt$$
$$s(t)=2,75 \cdot t^2 (+ c*t)$$
$$s(t)=2,75 \cdot t^2$$

'''Die Funktion lautet: $s(t)=2,75 \cdot t^2$'''

'''c)''' 180 Sekunden nach dem Start sind die Feststoffbooster ausgebrannt und werden abgesprengt (Quelle: Wikipedia).
Berechnen Sie:

- die Höhe, in der sich die Rakete zu diesem Zeitpunkt befindet.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Tipp zur Berechnung: </span>
<div class="mw-collapsible-content"> s(t) ist die Formel der zurückgelegten Strecke! Wir setzen daher in diese Formel bei der Zeit (t) 180 ein, da wir wissen wollen, wo sich die Rakete nach 180 Sekunden befindet. Da wir die Sekunden nicht in Minuten umgerechnet haben, bekommen wir das Ergebnis in Metern. Wenn das Ergebnis in km erwünscht wäre, müsste man noch m in km umrechnen.</div>
</div>

$$s(t)=2,75 \cdot t^2$$
$$s(180)=2,75 \cdot 180^2$$
$$s(180)=89100 m$$

'''Nach 180 Sekunden befindet sich unsere Rakete in einer Höhe von 89100m.'''

- die Geschwindigkeit der Rakete zu diesem Zeitpunkt

[[Datei:C.png|miniatur|Das k der Tangente gibt die Geschwindigkeit an]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Tipp zur Berechnung: </span>
<div class="mw-collapsible-content"> v(t) ist die Formel, die die Geschwindigkeit zu verschiedenen Zeitpunkten angibt! Wir setzen daher in diese Formel bei der Zeit (t) 180 ein, da wir wissen wollen, wie hoch die Geschwindigkeit der Rakete nach 180 Sekunden ist. Da wir die Sekunden nicht in Minuten umgerechnet haben, bekommen wir das Ergebnis m/s. Wenn das Ergebnis in km/h erwünscht wäre, müsste man das Ergebnis noch * 3,6 rechnen.</div>
</div>

$$v(t)=5,5 \cdot t$$
$$v(180)=5,5 \cdot 180$$
$$v(180)=990 m/s$$
<br />

$$990 m/s \rightarrow 275 km/h$$

'''Nach 180 Sekunden hat unsere Rakete eine Geschwindigkeit von 275 km/h erreicht.'''

'''d)''' Die etwa 1000 km Höhe erreicht die Rakete die geostationäre Umlaufbahn (Quelle: Wikipedia). Ermitteln Sie, nach wie vielen Sekunden diese Umlaufbahn erreicht wird.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Tipp zur Berechnung: </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Die Funktion s(t) beschreibt uns das Verhältnis von Zeit und Weg und wann die Rakete welche Höhe erreicht hat. Deshalb setzten wir nun bei der Höhe 1.000.000 m ein und erzielen dadurch den Zeitpunkt, an dem die Rakete diese Höhe erreicht.

Da wir aber m/sek benötigen rechnen wir zuerst die km in Meter um. </div>
</div>

$$1.000.000=2,75 \cdot t^2$$
$$t=603,02$$
<br />

'''Nach 603,02 Sekunden ereichen wir mit unserer Rakete die Höhe 1.000.000 Meter.'''

=== Beispiel 2 ===

Ein Raumschiff hat eine Beschleunigung von 7,94 m/s^2.
Gehen Sie im Folgenden davon aus, dass die Beschleunigung während der ganzen Fahrt konstant bleibt. D.h. a(t)=7,94 m/s^2.
Die variable t gibt die Zeit nach dem Start in Sekunden an.

a) Bestimmen Sie die Funktion v(t), die die Geschwindigkeit der Rakete nach t Sekunden angibt. (Anfangsfunktion = 0)

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Tipp zur Berechnung: </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Da die Funktion der Geschwindigkeit v(t) gesucht wird, müssen wir die Formel der Beschleunigung a(t) einmal integrieren. Wir setzen 7,94 (Dies entnehmen wir aus der Angabe) für a(t) ein und berechnen so unser Ergebnis für v(t)! Außerdem ist anzumerken, dass das c wegfällt, da unsere Anfangsgeschwindigkeit (Geschwindigkeit zum Zeitpunkt 0) 0 beträgt und dadurch das c nach dem integrieren wegfällt.
</div>
</div>

$$v(t)=\int a(t) \cdot dt$$
$$v(t)=\int 7,94 \cdot dt$$
$$v(t)=7,94 \cdot t (+ c)$$
$$v(t)=7,94 \cdot t$$

b) Bestimmen Sie mithilfe von der Funktion v(t) die Funktion s(t), die den nach t Sekunden zurückgelegten Weg angibt.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Tipp zur Berechnung: </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Da die Funktion des Weges s(t) gesucht wird, müssen wir die Formel der Geschwindigkeit v(t) einmal integrieren. Wir setzen 7,94 (Dies entnehmen wir aus dem Ergebnis, der oberen Aufgabe) für v(t) ein und berechnen so unser Ergebnis für s(t)! Außerdem ist anzumerken, dass das c wieder wegfällt, da unsere Anfangsgeschwindigkeit (Geschwindigkeit zum Zeitpunkt 0) 0 beträgt und dadurch das c nach dem integrieren wegfällt.
</div>
</div>

$$v(t)= 7,94 \cdot t (+c)$$
$$s(t)=\int 7,94 \cdot dt$$
$$s(t)=\int 7,94 \cdot dt (+ c)$$
$$s(t)=7,94 (t^2)/2 + c \cdot t$$
$$s(t)=3,97 \cdot t^2 (+ c \cdot t)$$

c) Berechnen Sie ...
- die zurückgelegte Distanz nach 300 Sekunden!

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Tipp zur Berechnung: </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Da wir ermitteln wollen, wie viele Meter wir nach 300 Sekunden zurückgelegt haben, verwenden wir die Funktion des Weges s(t). Für unsere Zeit setzen wir 300 Sekunden ein. Außerdem ist anzumerken, dass das c wieder wegfällt, da unsere Anfangsgeschwindigkeit (Geschwindigkeit zum Zeitpunkt 0).
</div>
</div>

$$s(300)= 3,9t \cdot 300^2 (+c \cdot t)$$
$$s(300)= 357300 m$$

- die Geschwindigkeit zu diesem Zeitpunkt!

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Tipp zur Berechnung: </span>
<div class="mw-collapsible-content"> Da wir ermitteln wollen, wie hoch die Geschwindigkeit nach 300 Sekunden ist, verwenden wir die Funktion der Geschwindigkeit v(t). Für unsere Zeit setzen wir daher 300 Sekunden ein. Außerdem ist anzumerken, dass das c wieder wegfällt, da unsere Anfangsgeschwindigkeit (Geschwindigkeit zum Zeitpunkt 0).
</div>
</div>

$$v(300)= 7,94 \cdot 300 (+c)$$
$$v(300)= 2382 m/s$$

Spezial:Badtitle/NS3000:Integration: Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung

2014-10-03T10:10:04Z

77.119.231.226: /* Beispiel 2 */

Spezial:Badtitle/NS3000:Integration: Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung

2014-10-03T10:08:43Z

77.119.231.226: /* Beispiel 1: */

Spezial:Badtitle/NS3000:Integration: Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung

2014-10-02T06:19:02Z

77.119.231.226: /* Beispiel 1: */

Spezial:Badtitle/NS3000:Integration: Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung

2014-10-02T06:14:24Z

77.119.231.226: /* Beispiel 1: */

Spezial:Badtitle/NS3000:Integration: Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung

2014-10-02T06:02:31Z

77.119.231.226: /* Beispiel 1: */

Spezial:Badtitle/NS3000:Integration: Berechnung von Flächen, die oberhalb und unterhalb der x-Achse liegen

2014-09-30T08:35:00Z

77.119.231.226:

= '''Flächen oberhalb und unterhalb von Kurven berechnen (2.Integral-Hauptsatz)''' =

[[Datei:Orientierte Fläche.gif|400px|miniatur|Orientierte Fläche, Quelle: https://www.google.at/search?newwindow=1&biw=1366&bih=643&tbm=isch&sa=1&q=orientierete+Fl%C3%A4che&oq=orientierete+Fl%C3%A4che&gs_l=img.3...16733.21835.0.22036.19.16.0.2.2.0.226.1562.0j5j3.8.0....0...1c.1.54.img..14.5.565.l3keoQSpHAg#facrc=_&imgdii=_&imgrc=1KLT6xpZDAQQFM%253A%3BkNDM6EFFYeB9nM%3Bhttp%253A%252F%252Fwww.mathe-online.at%252Fmathint%252Fint%252Fgrafiken%252Fflaeche6.gif%3Bhttp%253A%252F%252Fwww.mathe-online.at%252Fmathint%252Fint%252Fi.html%3B220%3B138]]

{{Vorlage:Definition |1= Orientierte Fläche: Fläche oberhalb der x-Achse ist positiv und unterhalb der x-Achse negativ }}

1.Grenzen bestimmen = Nullstellen berechnen (um zwischen positiver und negativer Fläche unterscheiden zu können)

2. Nun in den 2. Hauptsatz integrieren. (positive Fläche + negative Fläche)

{{Vorlage:Definition |1= Damit die negative Fläche die Berechnung nicht behindert, werden Betragsstriche eingefügt. }}

== Formel des 2. Hauptsatzes ==
$$ \int_{a}^{b} f (x)\,*dx = F(x) \vert_a^b= F(b)-F(a)$$

[[Datei:Komisches Bild, das Julia nicht mag.png|rechts|300px]]

== Formel für die Berechnung der orientierten Fläche ==

$$ \int_{a}^{b} f (x)\,*dx + \vert \int_{b}^{c} f (x)\,dx \vert $$

== Beispiele ==

{{Vorlage:Beispiel |1= Welchen Inhalt hat die Fläche, die der Graf von f mit y=f(X) und die x-Achse im Interball [a;b] einschließen?
Zeichnen Sie die Funktion und schraffieren Sie die Fläche.

1.024 a) $f(x)=x^2+2x$ [-2;1]

Nullstelle berechnen: f(x)=0 -> -2,0

$\int_{-2}^{0} f (x)\,dx f(x) + \int_{0}^{1} f (x)\,dx f(x)$

$1,33 + \vert -1,33 \vert = 2,66$

[[Datei:Geogebra 1 024 a.png|400px|miniatur|links]]

}}

{{Vorlage:Beispiel |1=Welchen Inhalt hat die Fläche, die der Graf von f mit y=f(X) und die x-Achse im Interball [a;b] einschließen?
Zeichnen Sie die Funktion und schraffieren Sie die Fläche.

1.024 c) $f(x)=\frac{x^2}{4}-1$ [0;3]

Nullstelle berechnen: f(x)=0 -> -2,2

$\int_{0}^{2} f (x)\,dx f(x) + \int_{2}^{3} f (x)\,dx f(x)$

$7/12 + \vert -4/3 \vert = 23/12$

[[Datei:GeoGebra 1 024 c neu.png]]

}}

Welchen Inhalt hat die Fläche, die der Graf von f mit y=f(X) und die x-Achse im Interball [a;b] einschließen?
Zeichnen Sie die Funktion und schraffieren Sie die Fläche.

1.024 c) $f(x)=\frac{x^2}{4}-1$ [0;3]

Nullstelle berechnen: f(x)=0 -> -2,2

$\int_{0}^{2} f (x)\,dx f(x) + \int_{2}^{3} f (x)\,dx f(x)$

$7/12 + \vert -4/3 \vert = 23/12$

[[Datei:GeoGebra 1 024 c neu.png]]

Welchen Inhalt hat die Fläche, die der Graf von f mit y=f(X) und die x-Achse im Interball [a;b] einschließen?
Zeichnen Sie die Funktion und schraffieren Sie die Fläche.

1.024 e) $f(x)=x^3+1$ [-2;2]

Nullstelle berechnen: f(x)=0 -> -1

$\int_{-2}^{-1} f (x)\,dx f(x) + \int_{-1}^{2} f (x)\,dx f(x)$

$6,75 + \vert -2.75 \vert = 9,5$

[[Datei:GeoGebra 1 024 e neu.png]]

== Youtube-Video 2. Hauptsatz der Integralrechnung ==

{{#ev:youtube|_hoyqfGrVCw}}

oder klicke hier: [http://www.youtube.com/watch?v=_hoyqfGrVCw Video/Erklärung]

Spezial:Badtitle/NS3000:Integration: Berechnung von Flächen, die oberhalb und unterhalb der x-Achse liegen

2014-09-30T08:34:26Z

77.119.231.226:

= '''Flächen oberhalb und unterhalb von Kurven berechnen (2.Integral-Hauptsatz)''' =

[[Datei:Orientierte Fläche.gif|400px|miniatur|Orientierte Fläche, Quelle: https://www.google.at/search?newwindow=1&biw=1366&bih=643&tbm=isch&sa=1&q=orientierete+Fl%C3%A4che&oq=orientierete+Fl%C3%A4che&gs_l=img.3...16733.21835.0.22036.19.16.0.2.2.0.226.1562.0j5j3.8.0....0...1c.1.54.img..14.5.565.l3keoQSpHAg#facrc=_&imgdii=_&imgrc=1KLT6xpZDAQQFM%253A%3BkNDM6EFFYeB9nM%3Bhttp%253A%252F%252Fwww.mathe-online.at%252Fmathint%252Fint%252Fgrafiken%252Fflaeche6.gif%3Bhttp%253A%252F%252Fwww.mathe-online.at%252Fmathint%252Fint%252Fi.html%3B220%3B138]]

{{Vorlage:Definition |1= Orientierte Fläche: Fläche oberhalb der x-Achse ist positiv und unterhalb der x-Achse negativ }}

1.Grenzen bestimmen = Nullstellen berechnen (um zwischen positiver und negativer Fläche unterscheiden zu können)

2. Nun in den 2. Hauptsatz integrieren. (positive Fläche + negative Fläche)

{{Vorlage:Definition |1= Damit die negative Fläche die Berechnung nicht behindert, werden Betragsstriche eingefügt. }}

== Formel des 2. Hauptsatzes ==
$$ \int_{a}^{b} f (x)\,*dx = F(x) \vert_a^b= F(b)-F(a)$$

[[Datei:Komisches Bild, das Julia nicht mag.png|rechts|300px]]

== Formel für die Berechnung der orientierten Fläche ==

$$ \int_{a}^{b} f (x)\,*dx + \vert \int_{b}^{c} f (x)\,dx \vert $$

== Beispiele ==

{{Vorlage:Beispiel |1= Welchen Inhalt hat die Fläche, die der Graf von f mit y=f(X) und die x-Achse im Interball [a;b] einschließen?
Zeichnen Sie die Funktion und schraffieren Sie die Fläche.

1.024 a) $f(x)=x^2+2x$ [-2;1]

Nullstelle berechnen: f(x)=0 -> -2,0

$\int_{-2}^{0} f (x)\,dx f(x) + \int_{0}^{1} f (x)\,dx f(x)$

$1,33 + \vert -1,33 \vert = 2,66$

[[Datei:Geogebra 1 024 a.png|400px|miniatur|links]]

}}

{{Vorlage:Beispiel |2=Welchen Inhalt hat die Fläche, die der Graf von f mit y=f(X) und die x-Achse im Interball [a;b] einschließen?
Zeichnen Sie die Funktion und schraffieren Sie die Fläche.

1.024 c) $f(x)=\frac{x^2}{4}-1$ [0;3]

Nullstelle berechnen: f(x)=0 -> -2,2

$\int_{0}^{2} f (x)\,dx f(x) + \int_{2}^{3} f (x)\,dx f(x)$

$7/12 + \vert -4/3 \vert = 23/12$

[[Datei:GeoGebra 1 024 c neu.png]]

}}

Welchen Inhalt hat die Fläche, die der Graf von f mit y=f(X) und die x-Achse im Interball [a;b] einschließen?
Zeichnen Sie die Funktion und schraffieren Sie die Fläche.

1.024 c) $f(x)=\frac{x^2}{4}-1$ [0;3]

Nullstelle berechnen: f(x)=0 -> -2,2

$\int_{0}^{2} f (x)\,dx f(x) + \int_{2}^{3} f (x)\,dx f(x)$

$7/12 + \vert -4/3 \vert = 23/12$

[[Datei:GeoGebra 1 024 c neu.png]]

Welchen Inhalt hat die Fläche, die der Graf von f mit y=f(X) und die x-Achse im Interball [a;b] einschließen?
Zeichnen Sie die Funktion und schraffieren Sie die Fläche.

1.024 e) $f(x)=x^3+1$ [-2;2]

Nullstelle berechnen: f(x)=0 -> -1

$\int_{-2}^{-1} f (x)\,dx f(x) + \int_{-1}^{2} f (x)\,dx f(x)$

$6,75 + \vert -2.75 \vert = 9,5$

[[Datei:GeoGebra 1 024 e neu.png]]

== Youtube-Video 2. Hauptsatz der Integralrechnung ==

{{#ev:youtube|_hoyqfGrVCw}}

oder klicke hier: [http://www.youtube.com/watch?v=_hoyqfGrVCw Video/Erklärung]

Spezial:Badtitle/NS3000:Integration: Berechnung von Flächen, die oberhalb und unterhalb der x-Achse liegen

2014-09-30T08:34:00Z

77.119.231.226:

= '''Flächen oberhalb und unterhalb von Kurven berechnen (2.Integral-Hauptsatz)''' =

[[Datei:Orientierte Fläche.gif|400px|miniatur|Orientierte Fläche, Quelle: https://www.google.at/search?newwindow=1&biw=1366&bih=643&tbm=isch&sa=1&q=orientierete+Fl%C3%A4che&oq=orientierete+Fl%C3%A4che&gs_l=img.3...16733.21835.0.22036.19.16.0.2.2.0.226.1562.0j5j3.8.0....0...1c.1.54.img..14.5.565.l3keoQSpHAg#facrc=_&imgdii=_&imgrc=1KLT6xpZDAQQFM%253A%3BkNDM6EFFYeB9nM%3Bhttp%253A%252F%252Fwww.mathe-online.at%252Fmathint%252Fint%252Fgrafiken%252Fflaeche6.gif%3Bhttp%253A%252F%252Fwww.mathe-online.at%252Fmathint%252Fint%252Fi.html%3B220%3B138]]

{{Vorlage:Definition |1= Orientierte Fläche: Fläche oberhalb der x-Achse ist positiv und unterhalb der x-Achse negativ }}

1.Grenzen bestimmen = Nullstellen berechnen (um zwischen positiver und negativer Fläche unterscheiden zu können)

2. Nun in den 2. Hauptsatz integrieren. (positive Fläche + negative Fläche)

{{Vorlage:Definition |1= Damit die negative Fläche die Berechnung nicht behindert, werden Betragsstriche eingefügt. }}

== Formel des 2. Hauptsatzes ==
$$ \int_{a}^{b} f (x)\,*dx = F(x) \vert_a^b= F(b)-F(a)$$

[[Datei:Komisches Bild, das Julia nicht mag.png|rechts|300px]]

== Formel für die Berechnung der orientierten Fläche ==

$$ \int_{a}^{b} f (x)\,*dx + \vert \int_{b}^{c} f (x)\,dx \vert $$

== Beispiele ==

{{Vorlage:Beispiel |1= Welchen Inhalt hat die Fläche, die der Graf von f mit y=f(X) und die x-Achse im Interball [a;b] einschließen?
Zeichnen Sie die Funktion und schraffieren Sie die Fläche.

1.024 a) $f(x)=x^2+2x$ [-2;1]

Nullstelle berechnen: f(x)=0 -> -2,0

$\int_{-2}^{0} f (x)\,dx f(x) + \int_{0}^{1} f (x)\,dx f(x)$

$1,33 + \vert -1,33 \vert = 2,66$

[[Datei:Geogebra 1 024 a.png|400px|miniatur|links]]

}}

{{Vorlage:Beispiel |2=Welchen Inhalt hat die Fläche, die der Graf von f mit y=f(X) und die x-Achse im Interball [a;b] einschließen?
Zeichnen Sie die Funktion und schraffieren Sie die Fläche.

1.024 c) $f(x)=\frac{x^2}{4}-1$ [0;3]

Nullstelle berechnen: f(x)=0 -> -2,2

$\int_{0}^{2} f (x)\,dx f(x) + \int_{2}^{3} f (x)\,dx f(x)$

$7/12 + \vert -4/3 \vert = 23/12$

[[Datei:GeoGebra 1 024 c neu.png]]

}}

Welchen Inhalt hat die Fläche, die der Graf von f mit y=f(X) und die x-Achse im Interball [a;b] einschließen?
Zeichnen Sie die Funktion und schraffieren Sie die Fläche.

1.024 c) $f(x)=\frac{x^2}{4}-1$ [0;3]

Nullstelle berechnen: f(x)=0 -> -2,2

$\int_{0}^{2} f (x)\,dx f(x) + \int_{2}^{3} f (x)\,dx f(x)$

$7/12 + \vert -4/3 \vert = 23/12$

[[Datei:GeoGebra 1 024 c neu.png]]

Welchen Inhalt hat die Fläche, die der Graf von f mit y=f(X) und die x-Achse im Interball [a;b] einschließen?
Zeichnen Sie die Funktion und schraffieren Sie die Fläche.

1.024 e) $f(x)=x^3+1$ [-2;2]

Nullstelle berechnen: f(x)=0 -> -1

$\int_{-2}^{-1} f (x)\,dx f(x) + \int_{-1}^{2} f (x)\,dx f(x)$

$6,75 + \vert -2.75 \vert = 9,5$

[[Datei:GeoGebra 1 024 e neu.png]]

== Youtube-Video 2. Hauptsatz der Integralrechnung ==

{{#ev:youtube|_hoyqfGrVCw}}

oder klicke hier: [http://www.youtube.com/watch?v=_hoyqfGrVCw Video/Erklärung]

Spezial:Badtitle/NS3000:Integration: Berechnung von Flächen, die oberhalb und unterhalb der x-Achse liegen

2014-09-30T08:33:21Z

77.119.231.226:

= '''Flächen oberhalb und unterhalb von Kurven berechnen (2.Integral-Hauptsatz)''' =

[[Datei:Orientierte Fläche.gif|400px|miniatur|Orientierte Fläche, Quelle: https://www.google.at/search?newwindow=1&biw=1366&bih=643&tbm=isch&sa=1&q=orientierete+Fl%C3%A4che&oq=orientierete+Fl%C3%A4che&gs_l=img.3...16733.21835.0.22036.19.16.0.2.2.0.226.1562.0j5j3.8.0....0...1c.1.54.img..14.5.565.l3keoQSpHAg#facrc=_&imgdii=_&imgrc=1KLT6xpZDAQQFM%253A%3BkNDM6EFFYeB9nM%3Bhttp%253A%252F%252Fwww.mathe-online.at%252Fmathint%252Fint%252Fgrafiken%252Fflaeche6.gif%3Bhttp%253A%252F%252Fwww.mathe-online.at%252Fmathint%252Fint%252Fi.html%3B220%3B138]]

{{Vorlage:Definition |1= Orientierte Fläche: Fläche oberhalb der x-Achse ist positiv und unterhalb der x-Achse negativ }}

1.Grenzen bestimmen = Nullstellen berechnen (um zwischen positiver und negativer Fläche unterscheiden zu können)

2. Nun in den 2. Hauptsatz integrieren. (positive Fläche + negative Fläche)

{{Vorlage:Definition |1= Damit die negative Fläche die Berechnung nicht behindert, werden Betragsstriche eingefügt. }}

== Formel des 2. Hauptsatzes ==
$$ \int_{a}^{b} f (x)\,*dx = F(x) \vert_a^b= F(b)-F(a)$$

[[Datei:Komisches Bild, das Julia nicht mag.png|rechts|300px]]

== Formel für die Berechnung der orientierten Fläche ==

$$ \int_{a}^{b} f (x)\,*dx + \vert \int_{b}^{c} f (x)\,dx \vert $$

== Beispiele ==

{{Vorlage:Beispiel |1= Welchen Inhalt hat die Fläche, die der Graf von f mit y=f(X) und die x-Achse im Interball [a;b] einschließen?
Zeichnen Sie die Funktion und schraffieren Sie die Fläche.

1.024 a) $f(x)=x^2+2x$ [-2;1]

Nullstelle berechnen: f(x)=0 -> -2,0

$\int_{-2}^{0} f (x)\,dx f(x) + \int_{0}^{1} f (x)\,dx f(x)$

$1,33 + \vert -1,33 \vert = 2,66$

[[Datei:Geogebra 1 024 a.png|400px|miniatur|links]]

}}
{{Vorlage:Beispiel |2=Welchen Inhalt hat die Fläche, die der Graf von f mit y=f(X) und die x-Achse im Interball [a;b] einschließen?
Zeichnen Sie die Funktion und schraffieren Sie die Fläche.

1.024 c) $f(x)=\frac{x^2}{4}-1$ [0;3]

Nullstelle berechnen: f(x)=0 -> -2,2

$\int_{0}^{2} f (x)\,dx f(x) + \int_{2}^{3} f (x)\,dx f(x)$

$7/12 + \vert -4/3 \vert = 23/12$

[[Datei:GeoGebra 1 024 c neu.png]]

}}

Welchen Inhalt hat die Fläche, die der Graf von f mit y=f(X) und die x-Achse im Interball [a;b] einschließen?
Zeichnen Sie die Funktion und schraffieren Sie die Fläche.

1.024 c) $f(x)=\frac{x^2}{4}-1$ [0;3]

Nullstelle berechnen: f(x)=0 -> -2,2

$\int_{0}^{2} f (x)\,dx f(x) + \int_{2}^{3} f (x)\,dx f(x)$

$7/12 + \vert -4/3 \vert = 23/12$

[[Datei:GeoGebra 1 024 c neu.png]]

Welchen Inhalt hat die Fläche, die der Graf von f mit y=f(X) und die x-Achse im Interball [a;b] einschließen?
Zeichnen Sie die Funktion und schraffieren Sie die Fläche.

1.024 e) $f(x)=x^3+1$ [-2;2]

Nullstelle berechnen: f(x)=0 -> -1

$\int_{-2}^{-1} f (x)\,dx f(x) + \int_{-1}^{2} f (x)\,dx f(x)$

$6,75 + \vert -2.75 \vert = 9,5$

[[Datei:GeoGebra 1 024 e neu.png]]

== Youtube-Video 2. Hauptsatz der Integralrechnung ==

{{#ev:youtube|_hoyqfGrVCw}}

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Spezial:Badtitle/NS3000:Integration: Berechnung von Flächen, die oberhalb und unterhalb der x-Achse liegen

2014-09-30T08:32:32Z

77.119.231.226:

= '''Flächen oberhalb und unterhalb von Kurven berechnen (2.Integral-Hauptsatz)''' =

[[Datei:Orientierte Fläche.gif|400px|miniatur|Orientierte Fläche, Quelle: https://www.google.at/search?newwindow=1&biw=1366&bih=643&tbm=isch&sa=1&q=orientierete+Fl%C3%A4che&oq=orientierete+Fl%C3%A4che&gs_l=img.3...16733.21835.0.22036.19.16.0.2.2.0.226.1562.0j5j3.8.0....0...1c.1.54.img..14.5.565.l3keoQSpHAg#facrc=_&imgdii=_&imgrc=1KLT6xpZDAQQFM%253A%3BkNDM6EFFYeB9nM%3Bhttp%253A%252F%252Fwww.mathe-online.at%252Fmathint%252Fint%252Fgrafiken%252Fflaeche6.gif%3Bhttp%253A%252F%252Fwww.mathe-online.at%252Fmathint%252Fint%252Fi.html%3B220%3B138]]

{{Vorlage:Definition |1= Orientierte Fläche: Fläche oberhalb der x-Achse ist positiv und unterhalb der x-Achse negativ }}

1.Grenzen bestimmen = Nullstellen berechnen (um zwischen positiver und negativer Fläche unterscheiden zu können)

2. Nun in den 2. Hauptsatz integrieren. (positive Fläche + negative Fläche)

{{Vorlage:Definition |1= Damit die negative Fläche die Berechnung nicht behindert, werden Betragsstriche eingefügt. }}

== Formel des 2. Hauptsatzes ==
$$ \int_{a}^{b} f (x)\,*dx = F(x) \vert_a^b= F(b)-F(a)$$

[[Datei:Komisches Bild, das Julia nicht mag.png|rechts|300px]]

== Formel für die Berechnung der orientierten Fläche ==

$$ \int_{a}^{b} f (x)\,*dx + \vert \int_{b}^{c} f (x)\,dx \vert $$

== Beispiele ==

{{Vorlage:Beispiel |1= Welchen Inhalt hat die Fläche, die der Graf von f mit y=f(X) und die x-Achse im Interball [a;b] einschließen?
Zeichnen Sie die Funktion und schraffieren Sie die Fläche.

1.024 a) $f(x)=x^2+2x$ [-2;1]

Nullstelle berechnen: f(x)=0 -> -2,0

$\int_{-2}^{0} f (x)\,dx f(x) + \int_{0}^{1} f (x)\,dx f(x)$

$1,33 + \vert -1,33 \vert = 2,66$

[[Datei:Geogebra 1 024 a.png|400px|miniatur|links]]

2=Welchen Inhalt hat die Fläche, die der Graf von f mit y=f(X) und die x-Achse im Interball [a;b] einschließen?
Zeichnen Sie die Funktion und schraffieren Sie die Fläche.

1.024 c) $f(x)=\frac{x^2}{4}-1$ [0;3]

Nullstelle berechnen: f(x)=0 -> -2,2

$\int_{0}^{2} f (x)\,dx f(x) + \int_{2}^{3} f (x)\,dx f(x)$

$7/12 + \vert -4/3 \vert = 23/12$

[[Datei:GeoGebra 1 024 c neu.png]]

}}

Welchen Inhalt hat die Fläche, die der Graf von f mit y=f(X) und die x-Achse im Interball [a;b] einschließen?
Zeichnen Sie die Funktion und schraffieren Sie die Fläche.

1.024 c) $f(x)=\frac{x^2}{4}-1$ [0;3]

Nullstelle berechnen: f(x)=0 -> -2,2

$\int_{0}^{2} f (x)\,dx f(x) + \int_{2}^{3} f (x)\,dx f(x)$

$7/12 + \vert -4/3 \vert = 23/12$

[[Datei:GeoGebra 1 024 c neu.png]]

Welchen Inhalt hat die Fläche, die der Graf von f mit y=f(X) und die x-Achse im Interball [a;b] einschließen?
Zeichnen Sie die Funktion und schraffieren Sie die Fläche.

1.024 e) $f(x)=x^3+1$ [-2;2]

Nullstelle berechnen: f(x)=0 -> -1

$\int_{-2}^{-1} f (x)\,dx f(x) + \int_{-1}^{2} f (x)\,dx f(x)$

$6,75 + \vert -2.75 \vert = 9,5$

[[Datei:GeoGebra 1 024 e neu.png]]

== Youtube-Video 2. Hauptsatz der Integralrechnung ==

{{#ev:youtube|_hoyqfGrVCw}}

oder klicke hier: [http://www.youtube.com/watch?v=_hoyqfGrVCw Video/Erklärung]

Spezial:Badtitle/NS3000:Integration: Berechnung von Flächen, die oberhalb und unterhalb der x-Achse liegen

2014-09-30T08:31:08Z

77.119.231.226:

= '''Flächen oberhalb und unterhalb von Kurven berechnen (2.Integral-Hauptsatz)''' =

[[Datei:Orientierte Fläche.gif|400px|miniatur|Orientierte Fläche, Quelle: https://www.google.at/search?newwindow=1&biw=1366&bih=643&tbm=isch&sa=1&q=orientierete+Fl%C3%A4che&oq=orientierete+Fl%C3%A4che&gs_l=img.3...16733.21835.0.22036.19.16.0.2.2.0.226.1562.0j5j3.8.0....0...1c.1.54.img..14.5.565.l3keoQSpHAg#facrc=_&imgdii=_&imgrc=1KLT6xpZDAQQFM%253A%3BkNDM6EFFYeB9nM%3Bhttp%253A%252F%252Fwww.mathe-online.at%252Fmathint%252Fint%252Fgrafiken%252Fflaeche6.gif%3Bhttp%253A%252F%252Fwww.mathe-online.at%252Fmathint%252Fint%252Fi.html%3B220%3B138]]

{{Vorlage:Definition |1= Orientierte Fläche: Fläche oberhalb der x-Achse ist positiv und unterhalb der x-Achse negativ }}

1.Grenzen bestimmen = Nullstellen berechnen (um zwischen positiver und negativer Fläche unterscheiden zu können)

2. Nun in den 2. Hauptsatz integrieren. (positive Fläche + negative Fläche)

{{Vorlage:Definition |1= Damit die negative Fläche die Berechnung nicht behindert, werden Betragsstriche eingefügt. }}

== Formel des 2. Hauptsatzes ==
$$ \int_{a}^{b} f (x)\,*dx = F(x) \vert_a^b= F(b)-F(a)$$

[[Datei:Komisches Bild, das Julia nicht mag.png|rechts|300px]]

== Formel für die Berechnung der orientierten Fläche ==

$$ \int_{a}^{b} f (x)\,*dx + \vert \int_{b}^{c} f (x)\,dx \vert $$

== Beispiele ==

{{Vorlage:Beispiel |1= Welchen Inhalt hat die Fläche, die der Graf von f mit y=f(X) und die x-Achse im Interball [a;b] einschließen?
Zeichnen Sie die Funktion und schraffieren Sie die Fläche.

1.024 a) $f(x)=x^2+2x$ [-2;1]

Nullstelle berechnen: f(x)=0 -> -2,0

$\int_{-2}^{0} f (x)\,dx f(x) + \int_{0}^{1} f (x)\,dx f(x)$

$1,33 + \vert -1,33 \vert = 2,66$

[[Datei:Geogebra 1 024 a.png|400px|miniatur|links]]

}}

Welchen Inhalt hat die Fläche, die der Graf von f mit y=f(X) und die x-Achse im Interball [a;b] einschließen?
Zeichnen Sie die Funktion und schraffieren Sie die Fläche.

1.024 c) $f(x)=\frac{x^2}{4}-1$ [0;3]

Nullstelle berechnen: f(x)=0 -> -2,2

$\int_{0}^{2} f (x)\,dx f(x) + \int_{2}^{3} f (x)\,dx f(x)$

$7/12 + \vert -4/3 \vert = 23/12$

[[Datei:GeoGebra 1 024 c neu.png]]

Welchen Inhalt hat die Fläche, die der Graf von f mit y=f(X) und die x-Achse im Interball [a;b] einschließen?
Zeichnen Sie die Funktion und schraffieren Sie die Fläche.

1.024 e) $f(x)=x^3+1$ [-2;2]

Nullstelle berechnen: f(x)=0 -> -1

$\int_{-2}^{-1} f (x)\,dx f(x) + \int_{-1}^{2} f (x)\,dx f(x)$

$6,75 + \vert -2.75 \vert = 9,5$

[[Datei:GeoGebra 1 024 e neu.png]]

== Youtube-Video 2. Hauptsatz der Integralrechnung ==

{{#ev:youtube|_hoyqfGrVCw}}

oder klicke hier: [http://www.youtube.com/watch?v=_hoyqfGrVCw Video/Erklärung]

Spezial:Badtitle/NS3000:Integration: Berechnung von Flächen, die oberhalb und unterhalb der x-Achse liegen

2014-09-30T08:29:28Z

77.119.231.226:

= '''Flächen oberhalb und unterhalb von Kurven berechnen (2.Integral-Hauptsatz)''' =

[[Datei:Orientierte Fläche.gif|400px|miniatur|Orientierte Fläche, Quelle: https://www.google.at/search?newwindow=1&biw=1366&bih=643&tbm=isch&sa=1&q=orientierete+Fl%C3%A4che&oq=orientierete+Fl%C3%A4che&gs_l=img.3...16733.21835.0.22036.19.16.0.2.2.0.226.1562.0j5j3.8.0....0...1c.1.54.img..14.5.565.l3keoQSpHAg#facrc=_&imgdii=_&imgrc=1KLT6xpZDAQQFM%253A%3BkNDM6EFFYeB9nM%3Bhttp%253A%252F%252Fwww.mathe-online.at%252Fmathint%252Fint%252Fgrafiken%252Fflaeche6.gif%3Bhttp%253A%252F%252Fwww.mathe-online.at%252Fmathint%252Fint%252Fi.html%3B220%3B138]]

{{Vorlage:Definition |1= Orientierte Fläche: Fläche oberhalb der x-Achse ist positiv und unterhalb der x-Achse negativ }}

1.Grenzen bestimmen = Nullstellen berechnen (um zwischen positiver und negativer Fläche unterscheiden zu können)

2. Nun in den 2. Hauptsatz integrieren. (positive Fläche + negative Fläche)

{{Vorlage:Definition |1= Damit die negative Fläche die Berechnung nicht behindert, werden Betragsstriche eingefügt. }}

== Formel des 2. Hauptsatzes ==
$$ \int_{a}^{b} f (x)\,*dx = F(x) \vert_a^b= F(b)-F(a)$$

[[Datei:Komisches Bild, das Julia nicht mag.png|rechts|300px]]

== Formel für die Berechnung der orientierten Fläche ==

$$ \int_{a}^{b} f (x)\,*dx + \vert \int_{b}^{c} f (x)\,dx \vert $$

== Beispiele ==

{{Vorlage:Beispiel |1= Welchen Inhalt hat die Fläche, die der Graf von f mit y=f(X) und die x-Achse im Interball [a;b] einschließen?
Zeichnen Sie die Funktion und schraffieren Sie die Fläche.

1.024 a) $f(x)=x^2+2x$ [-2;1]

Nullstelle berechnen: f(x)=0 -> -2,0

$\int_{-2}^{0} f (x)\,dx f(x) + \int_{0}^{1} f (x)\,dx f(x)$

$1,33 + \vert -1,33 \vert = 2,66$

[[Datei:Geogebra 1 024 a.png|400px|miniatur|links]]

}}

1.024 a) $f(x)=x^2+2x$ [-2;1]

Nullstelle berechnen: f(x)=0 -> -2,0

$\int_{-2}^{0} f (x)\,dx f(x) + \int_{0}^{1} f (x)\,dx f(x)$

$1,33 + \vert -1,33 \vert = 2,66$

[[Datei:Geogebra 1 024 a.png|400px|miniatur|links]]

Welchen Inhalt hat die Fläche, die der Graf von f mit y=f(X) und die x-Achse im Interball [a;b] einschließen?
Zeichnen Sie die Funktion und schraffieren Sie die Fläche.

1.024 c) $f(x)=\frac{x^2}{4}-1$ [0;3]

Nullstelle berechnen: f(x)=0 -> -2,2

$\int_{0}^{2} f (x)\,dx f(x) + \int_{2}^{3} f (x)\,dx f(x)$

$7/12 + \vert -4/3 \vert = 23/12$

[[Datei:GeoGebra 1 024 c neu.png]]

Welchen Inhalt hat die Fläche, die der Graf von f mit y=f(X) und die x-Achse im Interball [a;b] einschließen?
Zeichnen Sie die Funktion und schraffieren Sie die Fläche.

1.024 e) $f(x)=x^3+1$ [-2;2]

Nullstelle berechnen: f(x)=0 -> -1

$\int_{-2}^{-1} f (x)\,dx f(x) + \int_{-1}^{2} f (x)\,dx f(x)$

$6,75 + \vert -2.75 \vert = 9,5$

[[Datei:GeoGebra 1 024 e neu.png]]

== Youtube-Video 2. Hauptsatz der Integralrechnung ==

{{#ev:youtube|_hoyqfGrVCw}}

oder klicke hier: [http://www.youtube.com/watch?v=_hoyqfGrVCw Video/Erklärung]

Spezial:Badtitle/NS3000:Integration: Berechnung von Flächen, die oberhalb und unterhalb der x-Achse liegen

2014-09-30T08:27:57Z

77.119.231.226:

= '''Flächen oberhalb und unterhalb von Kurven berechnen (2.Integral-Hauptsatz)''' =

[[Datei:Orientierte Fläche.gif|400px|miniatur|Orientierte Fläche, Quelle: https://www.google.at/search?newwindow=1&biw=1366&bih=643&tbm=isch&sa=1&q=orientierete+Fl%C3%A4che&oq=orientierete+Fl%C3%A4che&gs_l=img.3...16733.21835.0.22036.19.16.0.2.2.0.226.1562.0j5j3.8.0....0...1c.1.54.img..14.5.565.l3keoQSpHAg#facrc=_&imgdii=_&imgrc=1KLT6xpZDAQQFM%253A%3BkNDM6EFFYeB9nM%3Bhttp%253A%252F%252Fwww.mathe-online.at%252Fmathint%252Fint%252Fgrafiken%252Fflaeche6.gif%3Bhttp%253A%252F%252Fwww.mathe-online.at%252Fmathint%252Fint%252Fi.html%3B220%3B138]]

{{Vorlage:Definition |1= Orientierte Fläche: Fläche oberhalb der x-Achse ist positiv und unterhalb der x-Achse negativ }}

1.Grenzen bestimmen = Nullstellen berechnen (um zwischen positiver und negativer Fläche unterscheiden zu können)

2. Nun in den 2. Hauptsatz integrieren. (positive Fläche + negative Fläche)

{{Vorlage:Definition |1= Damit die negative Fläche die Berechnung nicht behindert, werden Betragsstriche eingefügt. }}

== Formel des 2. Hauptsatzes ==
$$ \int_{a}^{b} f (x)\,*dx = F(x) \vert_a^b= F(b)-F(a)$$

[[Datei:Komisches Bild, das Julia nicht mag.png|rechts|300px]]

== Formel für die Berechnung der orientierten Fläche ==

$$ \int_{a}^{b} f (x)\,*dx + \vert \int_{b}^{c} f (x)\,dx \vert $$

== Beispiele ==

{{Vorlage:Definition |1= Orientierte Fläche: Fläche oberhalb der x-Achse ist positiv und unterhalb der x-Achse negativ }}

{{Vorlage:Beispiel |1= Welchen Inhalt hat die Fläche, die der Graf von f mit y=f(X) und die x-Achse im Interball [a;b] einschließen?
Zeichnen Sie die Funktion und schraffieren Sie die Fläche. }}

Welchen Inhalt hat die Fläche, die der Graf von f mit y=f(X) und die x-Achse im Interball [a;b] einschließen?
Zeichnen Sie die Funktion und schraffieren Sie die Fläche.

1.024 a) $f(x)=x^2+2x$ [-2;1]

Nullstelle berechnen: f(x)=0 -> -2,0

$\int_{-2}^{0} f (x)\,dx f(x) + \int_{0}^{1} f (x)\,dx f(x)$

$1,33 + \vert -1,33 \vert = 2,66$

[[Datei:Geogebra 1 024 a.png|400px|miniatur|links]]

Welchen Inhalt hat die Fläche, die der Graf von f mit y=f(X) und die x-Achse im Interball [a;b] einschließen?
Zeichnen Sie die Funktion und schraffieren Sie die Fläche.

1.024 c) $f(x)=\frac{x^2}{4}-1$ [0;3]

Nullstelle berechnen: f(x)=0 -> -2,2

$\int_{0}^{2} f (x)\,dx f(x) + \int_{2}^{3} f (x)\,dx f(x)$

$7/12 + \vert -4/3 \vert = 23/12$

[[Datei:GeoGebra 1 024 c neu.png]]

Welchen Inhalt hat die Fläche, die der Graf von f mit y=f(X) und die x-Achse im Interball [a;b] einschließen?
Zeichnen Sie die Funktion und schraffieren Sie die Fläche.

1.024 e) $f(x)=x^3+1$ [-2;2]

Nullstelle berechnen: f(x)=0 -> -1

$\int_{-2}^{-1} f (x)\,dx f(x) + \int_{-1}^{2} f (x)\,dx f(x)$

$6,75 + \vert -2.75 \vert = 9,5$

[[Datei:GeoGebra 1 024 e neu.png]]

== Youtube-Video 2. Hauptsatz der Integralrechnung ==

{{#ev:youtube|_hoyqfGrVCw}}

oder klicke hier: [http://www.youtube.com/watch?v=_hoyqfGrVCw Video/Erklärung]

Spezial:Badtitle/NS3000:Integration: Berechnung von Flächen, die oberhalb und unterhalb der x-Achse liegen

2014-09-30T08:24:09Z

77.119.231.226:

= '''Flächen oberhalb und unterhalb von Kurven berechnen (2.Integral-Hauptsatz)''' =

[[Datei:Orientierte Fläche.gif|400px|miniatur|Orientierte Fläche, Quelle: https://www.google.at/search?newwindow=1&biw=1366&bih=643&tbm=isch&sa=1&q=orientierete+Fl%C3%A4che&oq=orientierete+Fl%C3%A4che&gs_l=img.3...16733.21835.0.22036.19.16.0.2.2.0.226.1562.0j5j3.8.0....0...1c.1.54.img..14.5.565.l3keoQSpHAg#facrc=_&imgdii=_&imgrc=1KLT6xpZDAQQFM%253A%3BkNDM6EFFYeB9nM%3Bhttp%253A%252F%252Fwww.mathe-online.at%252Fmathint%252Fint%252Fgrafiken%252Fflaeche6.gif%3Bhttp%253A%252F%252Fwww.mathe-online.at%252Fmathint%252Fint%252Fi.html%3B220%3B138]]

{{Vorlage:Definition |1= Orientierte Fläche: Fläche oberhalb der x-Achse ist positiv und unterhalb der x-Achse negativ }}

1.Grenzen bestimmen = Nullstellen berechnen (um zwischen positiver und negativer Fläche unterscheiden zu können)

2. Nun in den 2. Hauptsatz integrieren. (positive Fläche + negative Fläche)

{{Vorlage:Definition |1= Damit die negative Fläche die Berechnung nicht behindert, werden Betragsstriche eingefügt. }}

== Formel des 2. Hauptsatzes ==
$$ \int_{a}^{b} f (x)\,*dx = F(x) \vert_a^b= F(b)-F(a)$$

[[Datei:Komisches Bild, das Julia nicht mag.png|rechts|300px]]

== Formel für die Berechnung der orientierten Fläche ==

$$ \int_{a}^{b} f (x)\,*dx + \vert \int_{b}^{c} f (x)\,dx \vert $$

== Beispiele ==

{{Vorlage:Beispiel |=1 Welchen Inhalt hat die Fläche, die der Graf von f mit y=f(X) und die x-Achse im Interball [a;b] einschließen?
Zeichnen Sie die Funktion und schraffieren Sie die Fläche. }}

Welchen Inhalt hat die Fläche, die der Graf von f mit y=f(X) und die x-Achse im Interball [a;b] einschließen?
Zeichnen Sie die Funktion und schraffieren Sie die Fläche.

1.024 a) $f(x)=x^2+2x$ [-2;1]

Nullstelle berechnen: f(x)=0 -> -2,0

$\int_{-2}^{0} f (x)\,dx f(x) + \int_{0}^{1} f (x)\,dx f(x)$

$1,33 + \vert -1,33 \vert = 2,66$

[[Datei:Geogebra 1 024 a.png|400px|miniatur|links]]

Welchen Inhalt hat die Fläche, die der Graf von f mit y=f(X) und die x-Achse im Interball [a;b] einschließen?
Zeichnen Sie die Funktion und schraffieren Sie die Fläche.

1.024 c) $f(x)=\frac{x^2}{4}-1$ [0;3]

Nullstelle berechnen: f(x)=0 -> -2,2

$\int_{0}^{2} f (x)\,dx f(x) + \int_{2}^{3} f (x)\,dx f(x)$

$7/12 + \vert -4/3 \vert = 23/12$

[[Datei:GeoGebra 1 024 c neu.png]]

Welchen Inhalt hat die Fläche, die der Graf von f mit y=f(X) und die x-Achse im Interball [a;b] einschließen?
Zeichnen Sie die Funktion und schraffieren Sie die Fläche.

1.024 e) $f(x)=x^3+1$ [-2;2]

Nullstelle berechnen: f(x)=0 -> -1

$\int_{-2}^{-1} f (x)\,dx f(x) + \int_{-1}^{2} f (x)\,dx f(x)$

$6,75 + \vert -2.75 \vert = 9,5$

[[Datei:GeoGebra 1 024 e neu.png]]

== Youtube-Video 2. Hauptsatz der Integralrechnung ==

{{#ev:youtube|_hoyqfGrVCw}}

oder klicke hier: [http://www.youtube.com/watch?v=_hoyqfGrVCw Video/Erklärung]

Spezial:Badtitle/NS3000:Integration: Berechnung von Flächen, die oberhalb und unterhalb der x-Achse liegen

2014-09-30T08:23:36Z

77.119.231.226:

= '''Flächen oberhalb und unterhalb von Kurven berechnen (2.Integral-Hauptsatz)''' =

[[Datei:Orientierte Fläche.gif|400px|miniatur|Orientierte Fläche, Quelle: https://www.google.at/search?newwindow=1&biw=1366&bih=643&tbm=isch&sa=1&q=orientierete+Fl%C3%A4che&oq=orientierete+Fl%C3%A4che&gs_l=img.3...16733.21835.0.22036.19.16.0.2.2.0.226.1562.0j5j3.8.0....0...1c.1.54.img..14.5.565.l3keoQSpHAg#facrc=_&imgdii=_&imgrc=1KLT6xpZDAQQFM%253A%3BkNDM6EFFYeB9nM%3Bhttp%253A%252F%252Fwww.mathe-online.at%252Fmathint%252Fint%252Fgrafiken%252Fflaeche6.gif%3Bhttp%253A%252F%252Fwww.mathe-online.at%252Fmathint%252Fint%252Fi.html%3B220%3B138]]

{{Vorlage:Definition |1= Orientierte Fläche: Fläche oberhalb der x-Achse ist positiv und unterhalb der x-Achse negativ }}

1.Grenzen bestimmen = Nullstellen berechnen (um zwischen positiver und negativer Fläche unterscheiden zu können)

2. Nun in den 2. Hauptsatz integrieren. (positive Fläche + negative Fläche)

{{Vorlage:Definition |1= Damit die negative Fläche die Berechnung nicht behindert, werden Betragsstriche eingefügt. }}

== Formel des 2. Hauptsatzes ==
$$ \int_{a}^{b} f (x)\,*dx = F(x) \vert_a^b= F(b)-F(a)$$

[[Datei:Komisches Bild, das Julia nicht mag.png|rechts|300px]]

== Formel für die Berechnung der orientierten Fläche ==

$$ \int_{a}^{b} f (x)\,*dx + \vert \int_{b}^{c} f (x)\,dx \vert $$

== Beispiele ==

{{Vorlage:Beispiel |Welchen Inhalt hat die Fläche, die der Graf von f mit y=f(X) und die x-Achse im Interball [a;b] einschließen?
Zeichnen Sie die Funktion und schraffieren Sie die Fläche. }}

Welchen Inhalt hat die Fläche, die der Graf von f mit y=f(X) und die x-Achse im Interball [a;b] einschließen?
Zeichnen Sie die Funktion und schraffieren Sie die Fläche.

1.024 a) $f(x)=x^2+2x$ [-2;1]

Nullstelle berechnen: f(x)=0 -> -2,0

$\int_{-2}^{0} f (x)\,dx f(x) + \int_{0}^{1} f (x)\,dx f(x)$

$1,33 + \vert -1,33 \vert = 2,66$

[[Datei:Geogebra 1 024 a.png|400px|miniatur|links]]

Welchen Inhalt hat die Fläche, die der Graf von f mit y=f(X) und die x-Achse im Interball [a;b] einschließen?
Zeichnen Sie die Funktion und schraffieren Sie die Fläche.

1.024 c) $f(x)=\frac{x^2}{4}-1$ [0;3]

Nullstelle berechnen: f(x)=0 -> -2,2

$\int_{0}^{2} f (x)\,dx f(x) + \int_{2}^{3} f (x)\,dx f(x)$

$7/12 + \vert -4/3 \vert = 23/12$

[[Datei:GeoGebra 1 024 c neu.png]]

Welchen Inhalt hat die Fläche, die der Graf von f mit y=f(X) und die x-Achse im Interball [a;b] einschließen?
Zeichnen Sie die Funktion und schraffieren Sie die Fläche.

1.024 e) $f(x)=x^3+1$ [-2;2]

Nullstelle berechnen: f(x)=0 -> -1

$\int_{-2}^{-1} f (x)\,dx f(x) + \int_{-1}^{2} f (x)\,dx f(x)$

$6,75 + \vert -2.75 \vert = 9,5$

[[Datei:GeoGebra 1 024 e neu.png]]

== Youtube-Video 2. Hauptsatz der Integralrechnung ==

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oder klicke hier: [http://www.youtube.com/watch?v=_hoyqfGrVCw Video/Erklärung]

Spezial:Badtitle/NS3000:Integration: Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung

2014-09-30T08:22:59Z

77.119.231.226: /* Beispiel 1: */

Spezial:Badtitle/NS3000:Integration: Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung

2014-09-30T08:22:12Z

77.119.231.226: /* Beispiel 1: */