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Zins- und Zinseszinsrechnung

2014-08-21T13:45:33Z

62.47.214.250: /* Aufzinsungsfaktor */

== Warum gibt es Zinsen? ==

#Leihgebür
#: Wenn jemand einem anderen Geld verleiht, verlangt er dafür eine Leihgebür in Form von Zinsen
# Risiko-Gebühr
#: Jeder, der Geld verleiht, geht das Risiko ein, dass er das Geld nicht wieder zurückbekommt. Die Zinsen können hierbei als Absicherung gesehen werden. Je höher das Risiko eines Verlusts, desto größer sind auch die Zinsen.

== Begriffe ==
* $K_0 \dots $ Anfangskapital (=Kapital am Anfang/ im Jahre 0)
* $n \dots $ Anzahl der Verzinsungen
* $K_n \dots $ Kapital nach n Jahren
* $i \dots $ Zinssatz (z.B. 4% p.a.)
* $i_{eff}\dots $ effektiver Zinssatz = Zinssatz mit abgezogener Kapitalertragssteuer (KESt). Im Allgemeinen gilt bei 25% KESt: $$ i_{eff}=i\cdot 0.75$$ (z.B. i=4% $ \rightarrow i_{eff}=4\cdot 0.75=3$%)
* $r\dots $ Aufzinsungsfaktor ($r=1+\frac{i}{100})$
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>

== Einfache Zinsen ==
{| Merke:
|Die Formel für die einfachen Zinsen wird verwendet wenn entweder
* das Kapital weniger als 1 Jahr auf der Bank liegt oder
* alle Zinsen erst ganz am Ende ausgezahlt werden.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Herleitung der Formel für die einfache Verzinsung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
{| border="1"
|'''Merke''': Bei der einfachen Verzinsung erhält man die ganzen Zinsen am Ende der Laufzeit.
|}
<br>
Einfaches Beispiel:
€ 30 Euro werden mit einem effektiven Zinssatz von 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst. Wie hoch ist das Kapital nach einem Jahr, '''wenn man die Zinsen erst ganz am Ende ausbezahlt bekommt'''.
<br>
Lösung:
* $K_0 =30 $
* $n = 1 $
* $K_1 = $?
* $i_{eff} = 5$%
<br>
$$ K_1=K_0 + 5\% \textrm{ von } K_0 $$
<br>
$$ K_1=30 + \frac{5}{100} \cdot 30 $$
$$ K_1 = 30 + 1.5 $$
$$ \underline{\underline{K_1 = 31.5}} $$
<br>
<br>
Antwort: Nach n-Jahre beträgt das Endkapital € 31.5.
<br>
<br>
<br>
{| border="1"
|'''Merke''': Wenn über mehrere Zinsperioden (z.B. über mehrere Jahre) verzinst wird, werden '''bei der einfachen Verzinsung''' die Zinsen mit der Laufzeit multipliziert. Die einfache Verzinsung entspricht deshalb einem [[linearen Wachstum]]
|}
<br>
Beispiel:
€ 30 sollen 4 Jahre lang mit effektiv 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst werden. Wie hoch ist das Endkapital?
<br>
Lösung
* $K_0=30$
* $K_n=$ ?
* $i_{eff}=5$%
* $n=4$
<br>
<br>
$$ K_n=K_0+\textrm{ n-mal } i_{eff}\% \textrm{ von } K_0 $$
$$ K_n = 30 + 4\cdot \frac{5}{100} \cdot 30 $$
$$ K_n=30 + 4\cdot 1.5 $$
$$ K_n=30+6$$
$$ \underline{\underline{K_n=36}}$$
<br>
Antwort: Nach 4 Jahren beträgt das Kapital € 36.
<br>
</div>
</div>

{| border="1" align="center"
!| Formel für die einfache Verzinsung
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer '''in Jahren''', dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0 + n\cdot \frac{i_{eff}}{100} \cdot K_0 $$
und vereinfacht:
$$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i_{eff}}{100} ) $$
|}

<br>
<br>
=== Musterbeispiel für die einfache Verzinsung ===
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Aufgabe:'''
Ein Kapital von € 75 wird 4 Monate bei einem Zinssatz von 4% p.a. veranlagt. Bestimme die Höhe des Kapitals nach der Veranlagungsdauer! </span>
<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung'''
* $K_0=75$
* $n=4 \textrm{ Monate }= \frac{4}{12}$ Jahre.
* $K_\frac{4}{12}=$?
* $i=4$%
<br>
$$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i}{100} ) $$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{4}{12}\cdot \frac{4}{100}$$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{25}$$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{75}) $$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (\frac{76}{75}) $$
$$ K_\frac{4}{12}=76 $$
<br>
<br>
'''Antwort:''' Nach 4 Monaten hat das Kapital eine Höhe von € 76.
</div>
</div>
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== Zinseszinsen ==
=== Zinseszinsformel ===
Bei einem Sparbuch erhält man für gewöhnlich jährlich Zinsen. Diese Zinsen werden im Anschluss wieder auf das Sparbuch gelegt.
Im nächsten Jahr erhält man nun nicht nur Zinsen auf das ursprüngliche Kapital, sondern auch auf die Zinsen des letzten Jahrens - dies nennt man die sogenannten ''Zinseszinsen''.

{| border="1" align="center"
!| Video: Herleitung der Zineszinsformel
|-
| {{#ev:youtube|QSNXWUQ8wRA}}
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Formale Herleitung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
# $K_1=K_0+K_0\cdot \frac{i_{eff}}{100}=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})$
# $K_2=\underbrace{K_1\cdot}_{K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})} (1+ \frac{i_{eff}}{100})=(K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100}))\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^2$
# $K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$
</div>
</div>

{| border="1" align="center"
!| Formel für die einfache Verzinsung
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer, dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
|}

{| border="1"
|'''Merke:'''
| Die Zinseszinsformel wird verwendet, wenn über '''mehrere volle Jahre''' verzinst wird
|}

=== Musterbeispiele ===
* '''$K_n$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Auf einem Sparbuch werden € 800 mit 2,5% p.a. verzinst. Wie hoch ist das Guthaben nach 2 Jahren, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=800$
:* $n=2$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_2=$?
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ K_n=800\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^2$$
$$ \underline{\underline{K_n=830.28}}$$
</div>
</div>

* '''$K_0$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Welcher Betrag muss angespart werden, damit man nach 3 Jahren bei einem Zinssatz von 2,5% p.a. über ein Guthaben von € 1500 verfügt, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=$?
:* $n=3$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_3=1500$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 1500=K_0\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^3 $$
$$ \frac{1500}{(1+ \frac{1.875}{100})^3}=K_0$$
$$ \underline{\underline{K_0=1418.69}} $$
</div>
</div>

* '''$n$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Wie viele volle Jahre muss ein Kapital von € 100 angespart werden, um bei einem Zinssatz von 2,5% p.a. über ein Guthaben von mehr als € 200 zu verfügen, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
''Siehe hier auch [[Verdoppelungszeit]]''
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=100$
:* $n=?$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_n=200$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 200=100\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^n \ \ |:100$$
$$ 2= (1+ \frac{1.875}{100})^n \ \ |\log() $$
$$ \log{2}=n\cdot \log{(1+ \frac{1.875}{100})} \ \ |:\log{(1+ \frac{1.875}{100})} $$
$$\frac{\log{2}}{\log{(1+ \frac{1.875}{100})}}=n $$
$$ \underline{\underline{n = 37.31}} $$
Antwort: Nach 38 vollen Jahren sind aus den € 100 mehr als € 200 geworden.
</div>
</div>

* '''$i$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Mit welchem Zinssatz muss ein Sparbuch verzinst werden, damit ein Kapital von anfangs € 100 in 7 Jahren auf € 118.87 anwächst.
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=100$?
:* $n=7$
:* $i=?\%$
:* $K_7=118.87$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 118.87=100\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^7 \ \ |:100 \textrm{ und } |\sqrt[7]{ } $$
$$ \sqrt[7]{\frac{118.87}{100}}=1+ \frac{i_{eff}}{100}\ \ |-1 \textrm{ und } | \cdot 100 $$
$$ (\sqrt[7]{\frac{118.87}{100}}-1)\cdot 100 = i_{eff} $$
$$ \underline{\underline{i_{eff}=2.5}} $$
Antwort: Der effektive Zinssatz muss bei $i_{eff}=2.5$% p.a. Somit muss der Zinssatz der Bank bei $i=\frac{i_{eff}}{0.75}=\frac{2.5}{0.75}=3.33$% p.a. liegen.
</div>
</div>

----

=== Aufzinsungsfaktor ===

Der Term
$$ r=(1+\frac{i_eff}{100}) $$
wird als '''Aufzinsungsfaktor''' bezeichnet. Damit vereinfacht sich die Zinseszinsformel zu:
{| border="1" align="center"
!| Zinseszinsformel
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer, dann gilt:

$$ K_n=K_0\cdot r^n$$
|}

{{Vorlage:Merke|1= $ $
* Um von $K_0$ zu $K_n$ zu gelangen, muss n-mal mit r "aufgezinst" (=multipliziert) werden.

* Um umgekehrt von $K_n$ zu $K_0$ zu gelangen, muss n-mal mit r "abgezinst" (=dividiert) werden.}}

Füge Abbildung mit Aufzinsung und Abzinsung noch ein
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== Unterjährige Verzinsung ==

Nun betrachten wir auch Verzinsungen, die mehrmals im Jahr ("unterjährig") durchgeführt werden.

'''Begriffe:'''
Sei $m$ die Anzahl der Verzinsungen in einem Jahr, dann ist
* m=2: halbjährige Verzinsung und $i_2$ % p.s. (pro Semester) der haljährige Zinssatz
* m=4: vierteljährliche Verzinsung und $i_4$ % p.q. (pro Quartal) der Quartalszinssatz
* m=12: monatliche Verzinsung und $i_{12}$ % p.m. (pro Monat) der Monatszinssatz

Es gibt nun zwei Arten, den unterfährigen Zinssatz zu bestimmen:

[[Datei:Unterjährige Zinssätze.png|thumb|750px|center]]

=== a) nomineller Jahreszins und relativer unterjähriger Zinssatz $i_m=\frac{i}{m}$ ===

Der relative unterjährige Zinssatz wird verwendet, wenn der '''''nominelle'' Jahreszins gegeben''' ist, aber m'''ehrmals im Jahr verzinst wird'''

{| border="1"
|'''Definition:'''
|
Sei i der nominelle Jahreszinssatz. Dann berechnet sich der nominelle unterjährige Zinssatz $i_m$:
$$ i_m=\frac{i}{m} $$
|}

<br>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0>
'''Beispiel:'''
Der Nominalzinssatz beträgt $i=8$% p.a.. Berechne den Quartalszinssatz $i_4$ </span>
<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung''': $i=m\cdot i_m \rightarrow 8=4\cdot i_4 \rightarrow \frac{8}{2}=i_4 \rightarrow 2=i$

'''Antwort''': Der Halbjahreszinssatz beträgt 2% p.q.
</div>
</div>
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'''Wichtig!!:''' Beim Verzinsen mit dem relativen unterjährigen Zinssatz erhält man über das ganze Jahr aufgrund des Zinseszinseffektes schlussendlich mehr, als bei der einmaligen Verzinsung mit dem nominellen Jahreszinssatz!
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<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Das Problem mit dem nominellen Zinssatz ODER Warum gibt es den [[Zins- und Zinseszinsrechnung# | konformen Zinssatz]]''' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Die Methode mithilfe des nominellen Jahreszinssatzes liefert aber einen verfälschten Zinssatz. Dies soll an einem Beispiel genauer erklärt werden:

'''Problem:'''
Nehmen wir an, wir verzinsen € 100 mit einem nominellen Jahreszinssatz von $i=4$%.
Nun fragt uns der Bankberater, ob wir einaml im Jahr verzinsen wollen mit $i=4$%p.a., oder zweimal (d.h. halbjährlich) mit dem Halbjahreszinssatz von $i_2=\frac{4}{2}=2$%p.s.
Für was sollen wir uns entscheiden?

'''Antwort''':
#Bei der jährlichen Verzinsung beträgt $K_1=104$ Euro.
#Aber bei der halbjährlichen Verzinsung erhalten wir:
$$K_1=K_0\cdot (1+\frac{2}{100})^2$$
$$K_1=104.04$$

D.h. Mit der halbjährlichen Verzinsung würden wir 4 Cent mehr erhalten. Würde man sogar monatlich verzinsen, so erhielte man nach einem Jahr $K_1=100\cdot (1+\frac{i_12}{100})^{12}=104.07$ Euro, also 7 Cent mehr. Dies schaut zwar nicht nach viel aus. Wenn die Bank aber jedem seiner Kunden 4 oder 7 Cent mehr gibt und jeder Sparer nicht nur € 100, sondern sogar € 1000 oder noch mehr auf der Bank hat, wird dieser Betrag schnell sehr groß.

Aus diesem Grund gibt es eine Methode, um den '''passenden (=konformen) unterjährigen Zinssatz''' zu berechnen.

</div>

</div>

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=== b) der konforme (äquivalente) Zinssatz ===

Der konforme Zinsssatz wird auch als '''gleichwertiger Zinssatz''' oder äquivalenter (=lat. gleichwertig) Zinssatz bezeichnet.
Er wird verwendet, wenn während '''einer Zinsperiode mehrmals eingezahlt wird''' (z.B. jährliche Verzinsung, aber monatliche Einzahlungen)

{| border="1"
|'''Definition:
äquivalenter Aufzinsungsfaktor'''
|
Sei $r_1$ der Aufzinsungsfaktor bei jährlicher Verzinsung und $r_m$ der Aufzinsungsfaktor bei m-maliger Verzinsung innerhalb eines Jahres, dann muss folgende Gleichung gelten, damit beide Aufzinsungsfaktoren gleichwertig (konform) sind:
$$r_1=(r_m)^m$$
bzw.
$$ \sqrt[m]{r_1}=r_m $$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Herleitung und Erklärung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Es soll gelten, dass der jährliche Zinssatz gleich hoch ist wie der m-mal angewandte unterjährige ZS (insgesamt sollen in einem Jahr gleich viele Zinsen zusammenkommen)

$$K_0\cdot r_1 = K_0\cdot (r_m)^m$$
Kürzt man $K_0$, so erhält man:
$$r_1=(r_m)^m$$
bzw.
$$ \sqrt[m]{r_1}=r_m $$

</div>

</div>

Der '''konforme''' (=äquivalente) unterjährige Zinssatz $i_m$ kann dann mit der Gleichung
{| border="1" align="center"
|-
|$$r_m=1+\frac{i_m}{100}$$
|}
bestimmt werden.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Musterbeispiel 1:''' Ein Kredit wird mit 5% p.a. verzinst. Wenn nun die ganze Schuld bereits nach einem Quartal beglichen wird, muss der konforme Quartalszinssatz berechnet werden. Bestimme diesen. </span>
<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung''':
$i_1=5$% p.m. $\rightarrow r_{1}=1.05 \rightarrow (r_{4})^{4}=r_1 \rightarrow r_4=\sqrt[4]{r_1}=1.0123 \rightarrow i_4=1.23$% p.q.

'''Antwort''': Der Quartalszinssatz beträgt 1.23% p.a.
</div>
</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Musterbeispiel 2:''' Ein Kredit wird monatlich mit 2% p.m. verzinst. Bestimme den konformen Jahreszinssatz. </span>
<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung''':
$i_{12}=2$% p.m. $\rightarrow r_{12}=1.02 \rightarrow r_1=(r_{12})^{12}=1.2682 \rightarrow i_1=26.82$% p.a.

'''Antwort''': Die jährliche Verzinsung beträgt 26.82% p.a.
</div>
</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Musterbeispiel 3: relativer/nomineller Zinssatz und konformer Zinssatz gemeinsam:'''

Ein Kredit wird nominell mit 4 % p.a. quartalsmäßig verzinst. Da die Raten monatlich eingezahlt werden, muss der konforme Monatszinssatz bestimmt werden. Berechnen Sie diesen. </span>

<div class="mw-collapsible-content">

'''Lösung'''
'''1. Schritt''': Zuerst muss mithilfe des nominellen Jahreszinssatzes von 4 % p.a. der relative Quartalszinssatz bestimmt werden:
$$ i_4=\frac{i}{4}=\frac{4 \textrm{ %}}{4}=1 \textrm{ % p.q.} $$

'''2. Schritt:''' Anschließend wird mithilfe des Quartalszinssatzes der konforme Monatszinssatz berechnet.
$$ (r_{12})^3=r_4 $$
$$\textrm{ Hinweis: Wenn man drei Monate verzinst (=}(r_12)^3 \textrm{) so verzinst man insgesamt ein ganzes Quartal (=}r_4 ) $$
$$ r_{12}=\sqrt[3]{1.01} $$
$$ r_{12}=1.003322 \rightarrow i_{12}=0.3322 \textrm{ % p.m.} $$
A: Der konforme Monatszinssatz beträgt 0.3322 % p.m.

</div>

</div>

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== Beispiele ==

* [http://www.brinkmann-du.de/mathe/aufgabenportal/p0_zinseszins_01/p0_zinseszins_01.htm Aufgaben zur Zinseszinsformel]
* <span style="background-color:yellow"> Wichtig! </span> [http://www.geogebratube.org/student/m79721 Übungs-Rechner zum konformen Zinssatz]
* Aufgaben zu allen Themen: siehe Trauner 2. Klasse, Buch S. 86-90

[[Kategorie:Finanzmathematik]]

Zins- und Zinseszinsrechnung

2014-08-21T13:44:49Z

62.47.214.250: /* Aufzinsungsfaktor */

== Warum gibt es Zinsen? ==

#Leihgebür
#: Wenn jemand einem anderen Geld verleiht, verlangt er dafür eine Leihgebür in Form von Zinsen
# Risiko-Gebühr
#: Jeder, der Geld verleiht, geht das Risiko ein, dass er das Geld nicht wieder zurückbekommt. Die Zinsen können hierbei als Absicherung gesehen werden. Je höher das Risiko eines Verlusts, desto größer sind auch die Zinsen.

== Begriffe ==
* $K_0 \dots $ Anfangskapital (=Kapital am Anfang/ im Jahre 0)
* $n \dots $ Anzahl der Verzinsungen
* $K_n \dots $ Kapital nach n Jahren
* $i \dots $ Zinssatz (z.B. 4% p.a.)
* $i_{eff}\dots $ effektiver Zinssatz = Zinssatz mit abgezogener Kapitalertragssteuer (KESt). Im Allgemeinen gilt bei 25% KESt: $$ i_{eff}=i\cdot 0.75$$ (z.B. i=4% $ \rightarrow i_{eff}=4\cdot 0.75=3$%)
* $r\dots $ Aufzinsungsfaktor ($r=1+\frac{i}{100})$
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== Einfache Zinsen ==
{| Merke:
|Die Formel für die einfachen Zinsen wird verwendet wenn entweder
* das Kapital weniger als 1 Jahr auf der Bank liegt oder
* alle Zinsen erst ganz am Ende ausgezahlt werden.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Herleitung der Formel für die einfache Verzinsung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
{| border="1"
|'''Merke''': Bei der einfachen Verzinsung erhält man die ganzen Zinsen am Ende der Laufzeit.
|}
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Einfaches Beispiel:
€ 30 Euro werden mit einem effektiven Zinssatz von 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst. Wie hoch ist das Kapital nach einem Jahr, '''wenn man die Zinsen erst ganz am Ende ausbezahlt bekommt'''.
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Lösung:
* $K_0 =30 $
* $n = 1 $
* $K_1 = $?
* $i_{eff} = 5$%
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$$ K_1=K_0 + 5\% \textrm{ von } K_0 $$
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$$ K_1=30 + \frac{5}{100} \cdot 30 $$
$$ K_1 = 30 + 1.5 $$
$$ \underline{\underline{K_1 = 31.5}} $$
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Antwort: Nach n-Jahre beträgt das Endkapital € 31.5.
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{| border="1"
|'''Merke''': Wenn über mehrere Zinsperioden (z.B. über mehrere Jahre) verzinst wird, werden '''bei der einfachen Verzinsung''' die Zinsen mit der Laufzeit multipliziert. Die einfache Verzinsung entspricht deshalb einem [[linearen Wachstum]]
|}
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Beispiel:
€ 30 sollen 4 Jahre lang mit effektiv 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst werden. Wie hoch ist das Endkapital?
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Lösung
* $K_0=30$
* $K_n=$ ?
* $i_{eff}=5$%
* $n=4$
<br>
<br>
$$ K_n=K_0+\textrm{ n-mal } i_{eff}\% \textrm{ von } K_0 $$
$$ K_n = 30 + 4\cdot \frac{5}{100} \cdot 30 $$
$$ K_n=30 + 4\cdot 1.5 $$
$$ K_n=30+6$$
$$ \underline{\underline{K_n=36}}$$
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Antwort: Nach 4 Jahren beträgt das Kapital € 36.
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</div>

{| border="1" align="center"
!| Formel für die einfache Verzinsung
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer '''in Jahren''', dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0 + n\cdot \frac{i_{eff}}{100} \cdot K_0 $$
und vereinfacht:
$$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i_{eff}}{100} ) $$
|}

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=== Musterbeispiel für die einfache Verzinsung ===
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Aufgabe:'''
Ein Kapital von € 75 wird 4 Monate bei einem Zinssatz von 4% p.a. veranlagt. Bestimme die Höhe des Kapitals nach der Veranlagungsdauer! </span>
<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung'''
* $K_0=75$
* $n=4 \textrm{ Monate }= \frac{4}{12}$ Jahre.
* $K_\frac{4}{12}=$?
* $i=4$%
<br>
$$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i}{100} ) $$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{4}{12}\cdot \frac{4}{100}$$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{25}$$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{75}) $$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (\frac{76}{75}) $$
$$ K_\frac{4}{12}=76 $$
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'''Antwort:''' Nach 4 Monaten hat das Kapital eine Höhe von € 76.
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== Zinseszinsen ==
=== Zinseszinsformel ===
Bei einem Sparbuch erhält man für gewöhnlich jährlich Zinsen. Diese Zinsen werden im Anschluss wieder auf das Sparbuch gelegt.
Im nächsten Jahr erhält man nun nicht nur Zinsen auf das ursprüngliche Kapital, sondern auch auf die Zinsen des letzten Jahrens - dies nennt man die sogenannten ''Zinseszinsen''.

{| border="1" align="center"
!| Video: Herleitung der Zineszinsformel
|-
| {{#ev:youtube|QSNXWUQ8wRA}}
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Formale Herleitung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
# $K_1=K_0+K_0\cdot \frac{i_{eff}}{100}=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})$
# $K_2=\underbrace{K_1\cdot}_{K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})} (1+ \frac{i_{eff}}{100})=(K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100}))\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^2$
# $K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$
</div>
</div>

{| border="1" align="center"
!| Formel für die einfache Verzinsung
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer, dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
|}

{| border="1"
|'''Merke:'''
| Die Zinseszinsformel wird verwendet, wenn über '''mehrere volle Jahre''' verzinst wird
|}

=== Musterbeispiele ===
* '''$K_n$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Auf einem Sparbuch werden € 800 mit 2,5% p.a. verzinst. Wie hoch ist das Guthaben nach 2 Jahren, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=800$
:* $n=2$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_2=$?
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ K_n=800\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^2$$
$$ \underline{\underline{K_n=830.28}}$$
</div>
</div>

* '''$K_0$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Welcher Betrag muss angespart werden, damit man nach 3 Jahren bei einem Zinssatz von 2,5% p.a. über ein Guthaben von € 1500 verfügt, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=$?
:* $n=3$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_3=1500$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 1500=K_0\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^3 $$
$$ \frac{1500}{(1+ \frac{1.875}{100})^3}=K_0$$
$$ \underline{\underline{K_0=1418.69}} $$
</div>
</div>

* '''$n$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Wie viele volle Jahre muss ein Kapital von € 100 angespart werden, um bei einem Zinssatz von 2,5% p.a. über ein Guthaben von mehr als € 200 zu verfügen, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
''Siehe hier auch [[Verdoppelungszeit]]''
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=100$
:* $n=?$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_n=200$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 200=100\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^n \ \ |:100$$
$$ 2= (1+ \frac{1.875}{100})^n \ \ |\log() $$
$$ \log{2}=n\cdot \log{(1+ \frac{1.875}{100})} \ \ |:\log{(1+ \frac{1.875}{100})} $$
$$\frac{\log{2}}{\log{(1+ \frac{1.875}{100})}}=n $$
$$ \underline{\underline{n = 37.31}} $$
Antwort: Nach 38 vollen Jahren sind aus den € 100 mehr als € 200 geworden.
</div>
</div>

* '''$i$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Mit welchem Zinssatz muss ein Sparbuch verzinst werden, damit ein Kapital von anfangs € 100 in 7 Jahren auf € 118.87 anwächst.
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=100$?
:* $n=7$
:* $i=?\%$
:* $K_7=118.87$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 118.87=100\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^7 \ \ |:100 \textrm{ und } |\sqrt[7]{ } $$
$$ \sqrt[7]{\frac{118.87}{100}}=1+ \frac{i_{eff}}{100}\ \ |-1 \textrm{ und } | \cdot 100 $$
$$ (\sqrt[7]{\frac{118.87}{100}}-1)\cdot 100 = i_{eff} $$
$$ \underline{\underline{i_{eff}=2.5}} $$
Antwort: Der effektive Zinssatz muss bei $i_{eff}=2.5$% p.a. Somit muss der Zinssatz der Bank bei $i=\frac{i_{eff}}{0.75}=\frac{2.5}{0.75}=3.33$% p.a. liegen.
</div>
</div>

----

=== Aufzinsungsfaktor ===

Der Term
$$ r=(1+\frac{i_eff}{100}) $$
wird als '''Aufzinsungsfaktor''' bezeichnet. Damit vereinfacht sich die Zinseszinsformel zu:
{| border="1" align="center"
!| Zinseszinsformel
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer, dann gilt:

|$$ K_n=K_0\cdot r^n$$
|}

{{Vorlage:Merke|1= $ $
* Um von $K_0$ zu $K_n$ zu gelangen, muss n-mal mit r "aufgezinst" (=multipliziert) werden.

* Um umgekehrt von $K_n$ zu $K_0$ zu gelangen, muss n-mal mit r "abgezinst" (=dividiert) werden.}}

Füge Abbildung mit Aufzinsung und Abzinsung noch ein
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<br>
<br>
<br>
<br>

== Unterjährige Verzinsung ==

Nun betrachten wir auch Verzinsungen, die mehrmals im Jahr ("unterjährig") durchgeführt werden.

'''Begriffe:'''
Sei $m$ die Anzahl der Verzinsungen in einem Jahr, dann ist
* m=2: halbjährige Verzinsung und $i_2$ % p.s. (pro Semester) der haljährige Zinssatz
* m=4: vierteljährliche Verzinsung und $i_4$ % p.q. (pro Quartal) der Quartalszinssatz
* m=12: monatliche Verzinsung und $i_{12}$ % p.m. (pro Monat) der Monatszinssatz

Es gibt nun zwei Arten, den unterfährigen Zinssatz zu bestimmen:

[[Datei:Unterjährige Zinssätze.png|thumb|750px|center]]

=== a) nomineller Jahreszins und relativer unterjähriger Zinssatz $i_m=\frac{i}{m}$ ===

Der relative unterjährige Zinssatz wird verwendet, wenn der '''''nominelle'' Jahreszins gegeben''' ist, aber m'''ehrmals im Jahr verzinst wird'''

{| border="1"
|'''Definition:'''
|
Sei i der nominelle Jahreszinssatz. Dann berechnet sich der nominelle unterjährige Zinssatz $i_m$:
$$ i_m=\frac{i}{m} $$
|}

<br>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0>
'''Beispiel:'''
Der Nominalzinssatz beträgt $i=8$% p.a.. Berechne den Quartalszinssatz $i_4$ </span>
<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung''': $i=m\cdot i_m \rightarrow 8=4\cdot i_4 \rightarrow \frac{8}{2}=i_4 \rightarrow 2=i$

'''Antwort''': Der Halbjahreszinssatz beträgt 2% p.q.
</div>
</div>
<br>
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<br>
'''Wichtig!!:''' Beim Verzinsen mit dem relativen unterjährigen Zinssatz erhält man über das ganze Jahr aufgrund des Zinseszinseffektes schlussendlich mehr, als bei der einmaligen Verzinsung mit dem nominellen Jahreszinssatz!
<br>
<br>
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Das Problem mit dem nominellen Zinssatz ODER Warum gibt es den [[Zins- und Zinseszinsrechnung# | konformen Zinssatz]]''' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Die Methode mithilfe des nominellen Jahreszinssatzes liefert aber einen verfälschten Zinssatz. Dies soll an einem Beispiel genauer erklärt werden:

'''Problem:'''
Nehmen wir an, wir verzinsen € 100 mit einem nominellen Jahreszinssatz von $i=4$%.
Nun fragt uns der Bankberater, ob wir einaml im Jahr verzinsen wollen mit $i=4$%p.a., oder zweimal (d.h. halbjährlich) mit dem Halbjahreszinssatz von $i_2=\frac{4}{2}=2$%p.s.
Für was sollen wir uns entscheiden?

'''Antwort''':
#Bei der jährlichen Verzinsung beträgt $K_1=104$ Euro.
#Aber bei der halbjährlichen Verzinsung erhalten wir:
$$K_1=K_0\cdot (1+\frac{2}{100})^2$$
$$K_1=104.04$$

D.h. Mit der halbjährlichen Verzinsung würden wir 4 Cent mehr erhalten. Würde man sogar monatlich verzinsen, so erhielte man nach einem Jahr $K_1=100\cdot (1+\frac{i_12}{100})^{12}=104.07$ Euro, also 7 Cent mehr. Dies schaut zwar nicht nach viel aus. Wenn die Bank aber jedem seiner Kunden 4 oder 7 Cent mehr gibt und jeder Sparer nicht nur € 100, sondern sogar € 1000 oder noch mehr auf der Bank hat, wird dieser Betrag schnell sehr groß.

Aus diesem Grund gibt es eine Methode, um den '''passenden (=konformen) unterjährigen Zinssatz''' zu berechnen.

</div>

</div>

<br>
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<br>
<br>

----

=== b) der konforme (äquivalente) Zinssatz ===

Der konforme Zinsssatz wird auch als '''gleichwertiger Zinssatz''' oder äquivalenter (=lat. gleichwertig) Zinssatz bezeichnet.
Er wird verwendet, wenn während '''einer Zinsperiode mehrmals eingezahlt wird''' (z.B. jährliche Verzinsung, aber monatliche Einzahlungen)

{| border="1"
|'''Definition:
äquivalenter Aufzinsungsfaktor'''
|
Sei $r_1$ der Aufzinsungsfaktor bei jährlicher Verzinsung und $r_m$ der Aufzinsungsfaktor bei m-maliger Verzinsung innerhalb eines Jahres, dann muss folgende Gleichung gelten, damit beide Aufzinsungsfaktoren gleichwertig (konform) sind:
$$r_1=(r_m)^m$$
bzw.
$$ \sqrt[m]{r_1}=r_m $$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Herleitung und Erklärung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Es soll gelten, dass der jährliche Zinssatz gleich hoch ist wie der m-mal angewandte unterjährige ZS (insgesamt sollen in einem Jahr gleich viele Zinsen zusammenkommen)

$$K_0\cdot r_1 = K_0\cdot (r_m)^m$$
Kürzt man $K_0$, so erhält man:
$$r_1=(r_m)^m$$
bzw.
$$ \sqrt[m]{r_1}=r_m $$

</div>

</div>

Der '''konforme''' (=äquivalente) unterjährige Zinssatz $i_m$ kann dann mit der Gleichung
{| border="1" align="center"
|-
|$$r_m=1+\frac{i_m}{100}$$
|}
bestimmt werden.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Musterbeispiel 1:''' Ein Kredit wird mit 5% p.a. verzinst. Wenn nun die ganze Schuld bereits nach einem Quartal beglichen wird, muss der konforme Quartalszinssatz berechnet werden. Bestimme diesen. </span>
<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung''':
$i_1=5$% p.m. $\rightarrow r_{1}=1.05 \rightarrow (r_{4})^{4}=r_1 \rightarrow r_4=\sqrt[4]{r_1}=1.0123 \rightarrow i_4=1.23$% p.q.

'''Antwort''': Der Quartalszinssatz beträgt 1.23% p.a.
</div>
</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Musterbeispiel 2:''' Ein Kredit wird monatlich mit 2% p.m. verzinst. Bestimme den konformen Jahreszinssatz. </span>
<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung''':
$i_{12}=2$% p.m. $\rightarrow r_{12}=1.02 \rightarrow r_1=(r_{12})^{12}=1.2682 \rightarrow i_1=26.82$% p.a.

'''Antwort''': Die jährliche Verzinsung beträgt 26.82% p.a.
</div>
</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Musterbeispiel 3: relativer/nomineller Zinssatz und konformer Zinssatz gemeinsam:'''

Ein Kredit wird nominell mit 4 % p.a. quartalsmäßig verzinst. Da die Raten monatlich eingezahlt werden, muss der konforme Monatszinssatz bestimmt werden. Berechnen Sie diesen. </span>

<div class="mw-collapsible-content">

'''Lösung'''
'''1. Schritt''': Zuerst muss mithilfe des nominellen Jahreszinssatzes von 4 % p.a. der relative Quartalszinssatz bestimmt werden:
$$ i_4=\frac{i}{4}=\frac{4 \textrm{ %}}{4}=1 \textrm{ % p.q.} $$

'''2. Schritt:''' Anschließend wird mithilfe des Quartalszinssatzes der konforme Monatszinssatz berechnet.
$$ (r_{12})^3=r_4 $$
$$\textrm{ Hinweis: Wenn man drei Monate verzinst (=}(r_12)^3 \textrm{) so verzinst man insgesamt ein ganzes Quartal (=}r_4 ) $$
$$ r_{12}=\sqrt[3]{1.01} $$
$$ r_{12}=1.003322 \rightarrow i_{12}=0.3322 \textrm{ % p.m.} $$
A: Der konforme Monatszinssatz beträgt 0.3322 % p.m.

</div>

</div>

<br>
<br>
<br>
<br>

== Beispiele ==

* [http://www.brinkmann-du.de/mathe/aufgabenportal/p0_zinseszins_01/p0_zinseszins_01.htm Aufgaben zur Zinseszinsformel]
* <span style="background-color:yellow"> Wichtig! </span> [http://www.geogebratube.org/student/m79721 Übungs-Rechner zum konformen Zinssatz]
* Aufgaben zu allen Themen: siehe Trauner 2. Klasse, Buch S. 86-90

[[Kategorie:Finanzmathematik]]

Zins- und Zinseszinsrechnung

2014-08-21T13:44:16Z

62.47.214.250: /* Aufzinsungsfaktor */

== Warum gibt es Zinsen? ==

#Leihgebür
#: Wenn jemand einem anderen Geld verleiht, verlangt er dafür eine Leihgebür in Form von Zinsen
# Risiko-Gebühr
#: Jeder, der Geld verleiht, geht das Risiko ein, dass er das Geld nicht wieder zurückbekommt. Die Zinsen können hierbei als Absicherung gesehen werden. Je höher das Risiko eines Verlusts, desto größer sind auch die Zinsen.

== Begriffe ==
* $K_0 \dots $ Anfangskapital (=Kapital am Anfang/ im Jahre 0)
* $n \dots $ Anzahl der Verzinsungen
* $K_n \dots $ Kapital nach n Jahren
* $i \dots $ Zinssatz (z.B. 4% p.a.)
* $i_{eff}\dots $ effektiver Zinssatz = Zinssatz mit abgezogener Kapitalertragssteuer (KESt). Im Allgemeinen gilt bei 25% KESt: $$ i_{eff}=i\cdot 0.75$$ (z.B. i=4% $ \rightarrow i_{eff}=4\cdot 0.75=3$%)
* $r\dots $ Aufzinsungsfaktor ($r=1+\frac{i}{100})$
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>

== Einfache Zinsen ==
{| Merke:
|Die Formel für die einfachen Zinsen wird verwendet wenn entweder
* das Kapital weniger als 1 Jahr auf der Bank liegt oder
* alle Zinsen erst ganz am Ende ausgezahlt werden.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Herleitung der Formel für die einfache Verzinsung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
{| border="1"
|'''Merke''': Bei der einfachen Verzinsung erhält man die ganzen Zinsen am Ende der Laufzeit.
|}
<br>
Einfaches Beispiel:
€ 30 Euro werden mit einem effektiven Zinssatz von 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst. Wie hoch ist das Kapital nach einem Jahr, '''wenn man die Zinsen erst ganz am Ende ausbezahlt bekommt'''.
<br>
Lösung:
* $K_0 =30 $
* $n = 1 $
* $K_1 = $?
* $i_{eff} = 5$%
<br>
$$ K_1=K_0 + 5\% \textrm{ von } K_0 $$
<br>
$$ K_1=30 + \frac{5}{100} \cdot 30 $$
$$ K_1 = 30 + 1.5 $$
$$ \underline{\underline{K_1 = 31.5}} $$
<br>
<br>
Antwort: Nach n-Jahre beträgt das Endkapital € 31.5.
<br>
<br>
<br>
{| border="1"
|'''Merke''': Wenn über mehrere Zinsperioden (z.B. über mehrere Jahre) verzinst wird, werden '''bei der einfachen Verzinsung''' die Zinsen mit der Laufzeit multipliziert. Die einfache Verzinsung entspricht deshalb einem [[linearen Wachstum]]
|}
<br>
Beispiel:
€ 30 sollen 4 Jahre lang mit effektiv 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst werden. Wie hoch ist das Endkapital?
<br>
Lösung
* $K_0=30$
* $K_n=$ ?
* $i_{eff}=5$%
* $n=4$
<br>
<br>
$$ K_n=K_0+\textrm{ n-mal } i_{eff}\% \textrm{ von } K_0 $$
$$ K_n = 30 + 4\cdot \frac{5}{100} \cdot 30 $$
$$ K_n=30 + 4\cdot 1.5 $$
$$ K_n=30+6$$
$$ \underline{\underline{K_n=36}}$$
<br>
Antwort: Nach 4 Jahren beträgt das Kapital € 36.
<br>
</div>
</div>

{| border="1" align="center"
!| Formel für die einfache Verzinsung
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer '''in Jahren''', dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0 + n\cdot \frac{i_{eff}}{100} \cdot K_0 $$
und vereinfacht:
$$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i_{eff}}{100} ) $$
|}

<br>
<br>
=== Musterbeispiel für die einfache Verzinsung ===
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Aufgabe:'''
Ein Kapital von € 75 wird 4 Monate bei einem Zinssatz von 4% p.a. veranlagt. Bestimme die Höhe des Kapitals nach der Veranlagungsdauer! </span>
<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung'''
* $K_0=75$
* $n=4 \textrm{ Monate }= \frac{4}{12}$ Jahre.
* $K_\frac{4}{12}=$?
* $i=4$%
<br>
$$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i}{100} ) $$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{4}{12}\cdot \frac{4}{100}$$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{25}$$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{75}) $$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (\frac{76}{75}) $$
$$ K_\frac{4}{12}=76 $$
<br>
<br>
'''Antwort:''' Nach 4 Monaten hat das Kapital eine Höhe von € 76.
</div>
</div>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
== Zinseszinsen ==
=== Zinseszinsformel ===
Bei einem Sparbuch erhält man für gewöhnlich jährlich Zinsen. Diese Zinsen werden im Anschluss wieder auf das Sparbuch gelegt.
Im nächsten Jahr erhält man nun nicht nur Zinsen auf das ursprüngliche Kapital, sondern auch auf die Zinsen des letzten Jahrens - dies nennt man die sogenannten ''Zinseszinsen''.

{| border="1" align="center"
!| Video: Herleitung der Zineszinsformel
|-
| {{#ev:youtube|QSNXWUQ8wRA}}
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Formale Herleitung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
# $K_1=K_0+K_0\cdot \frac{i_{eff}}{100}=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})$
# $K_2=\underbrace{K_1\cdot}_{K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})} (1+ \frac{i_{eff}}{100})=(K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100}))\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^2$
# $K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$
</div>
</div>

{| border="1" align="center"
!| Formel für die einfache Verzinsung
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer, dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
|}

{| border="1"
|'''Merke:'''
| Die Zinseszinsformel wird verwendet, wenn über '''mehrere volle Jahre''' verzinst wird
|}

=== Musterbeispiele ===
* '''$K_n$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Auf einem Sparbuch werden € 800 mit 2,5% p.a. verzinst. Wie hoch ist das Guthaben nach 2 Jahren, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=800$
:* $n=2$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_2=$?
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ K_n=800\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^2$$
$$ \underline{\underline{K_n=830.28}}$$
</div>
</div>

* '''$K_0$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Welcher Betrag muss angespart werden, damit man nach 3 Jahren bei einem Zinssatz von 2,5% p.a. über ein Guthaben von € 1500 verfügt, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=$?
:* $n=3$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_3=1500$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 1500=K_0\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^3 $$
$$ \frac{1500}{(1+ \frac{1.875}{100})^3}=K_0$$
$$ \underline{\underline{K_0=1418.69}} $$
</div>
</div>

* '''$n$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Wie viele volle Jahre muss ein Kapital von € 100 angespart werden, um bei einem Zinssatz von 2,5% p.a. über ein Guthaben von mehr als € 200 zu verfügen, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
''Siehe hier auch [[Verdoppelungszeit]]''
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=100$
:* $n=?$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_n=200$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 200=100\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^n \ \ |:100$$
$$ 2= (1+ \frac{1.875}{100})^n \ \ |\log() $$
$$ \log{2}=n\cdot \log{(1+ \frac{1.875}{100})} \ \ |:\log{(1+ \frac{1.875}{100})} $$
$$\frac{\log{2}}{\log{(1+ \frac{1.875}{100})}}=n $$
$$ \underline{\underline{n = 37.31}} $$
Antwort: Nach 38 vollen Jahren sind aus den € 100 mehr als € 200 geworden.
</div>
</div>

* '''$i$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Mit welchem Zinssatz muss ein Sparbuch verzinst werden, damit ein Kapital von anfangs € 100 in 7 Jahren auf € 118.87 anwächst.
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=100$?
:* $n=7$
:* $i=?\%$
:* $K_7=118.87$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 118.87=100\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^7 \ \ |:100 \textrm{ und } |\sqrt[7]{ } $$
$$ \sqrt[7]{\frac{118.87}{100}}=1+ \frac{i_{eff}}{100}\ \ |-1 \textrm{ und } | \cdot 100 $$
$$ (\sqrt[7]{\frac{118.87}{100}}-1)\cdot 100 = i_{eff} $$
$$ \underline{\underline{i_{eff}=2.5}} $$
Antwort: Der effektive Zinssatz muss bei $i_{eff}=2.5$% p.a. Somit muss der Zinssatz der Bank bei $i=\frac{i_{eff}}{0.75}=\frac{2.5}{0.75}=3.33$% p.a. liegen.
</div>
</div>

----

=== Aufzinsungsfaktor ===

Der Term
$$ r=(1+\frac{i_eff}{100}) $$
wird als '''Aufzinsungsfaktor''' bezeichnet. Damit vereinfacht sich die Zinseszinsformel zu:
{| border="1" align="center"
!| Zinseszinsformel
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer, dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0\cdot r^n$$
|}

{{Vorlage:Merke|1= $ $
* Um von $K_0$ zu $K_n$ zu gelangen, muss n-mal mit r "aufgezinst" (=multipliziert) werden.

* Um umgekehrt von $K_n$ zu $K_0$ zu gelangen, muss n-mal mit r "abgezinst" (=dividiert) werden.}}

Füge Abbildung mit Aufzinsung und Abzinsung noch ein
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== Unterjährige Verzinsung ==

Nun betrachten wir auch Verzinsungen, die mehrmals im Jahr ("unterjährig") durchgeführt werden.

'''Begriffe:'''
Sei $m$ die Anzahl der Verzinsungen in einem Jahr, dann ist
* m=2: halbjährige Verzinsung und $i_2$ % p.s. (pro Semester) der haljährige Zinssatz
* m=4: vierteljährliche Verzinsung und $i_4$ % p.q. (pro Quartal) der Quartalszinssatz
* m=12: monatliche Verzinsung und $i_{12}$ % p.m. (pro Monat) der Monatszinssatz

Es gibt nun zwei Arten, den unterfährigen Zinssatz zu bestimmen:

[[Datei:Unterjährige Zinssätze.png|thumb|750px|center]]

=== a) nomineller Jahreszins und relativer unterjähriger Zinssatz $i_m=\frac{i}{m}$ ===

Der relative unterjährige Zinssatz wird verwendet, wenn der '''''nominelle'' Jahreszins gegeben''' ist, aber m'''ehrmals im Jahr verzinst wird'''

{| border="1"
|'''Definition:'''
|
Sei i der nominelle Jahreszinssatz. Dann berechnet sich der nominelle unterjährige Zinssatz $i_m$:
$$ i_m=\frac{i}{m} $$
|}

<br>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0>
'''Beispiel:'''
Der Nominalzinssatz beträgt $i=8$% p.a.. Berechne den Quartalszinssatz $i_4$ </span>
<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung''': $i=m\cdot i_m \rightarrow 8=4\cdot i_4 \rightarrow \frac{8}{2}=i_4 \rightarrow 2=i$

'''Antwort''': Der Halbjahreszinssatz beträgt 2% p.q.
</div>
</div>
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'''Wichtig!!:''' Beim Verzinsen mit dem relativen unterjährigen Zinssatz erhält man über das ganze Jahr aufgrund des Zinseszinseffektes schlussendlich mehr, als bei der einmaligen Verzinsung mit dem nominellen Jahreszinssatz!
<br>
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<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Das Problem mit dem nominellen Zinssatz ODER Warum gibt es den [[Zins- und Zinseszinsrechnung# | konformen Zinssatz]]''' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Die Methode mithilfe des nominellen Jahreszinssatzes liefert aber einen verfälschten Zinssatz. Dies soll an einem Beispiel genauer erklärt werden:

'''Problem:'''
Nehmen wir an, wir verzinsen € 100 mit einem nominellen Jahreszinssatz von $i=4$%.
Nun fragt uns der Bankberater, ob wir einaml im Jahr verzinsen wollen mit $i=4$%p.a., oder zweimal (d.h. halbjährlich) mit dem Halbjahreszinssatz von $i_2=\frac{4}{2}=2$%p.s.
Für was sollen wir uns entscheiden?

'''Antwort''':
#Bei der jährlichen Verzinsung beträgt $K_1=104$ Euro.
#Aber bei der halbjährlichen Verzinsung erhalten wir:
$$K_1=K_0\cdot (1+\frac{2}{100})^2$$
$$K_1=104.04$$

D.h. Mit der halbjährlichen Verzinsung würden wir 4 Cent mehr erhalten. Würde man sogar monatlich verzinsen, so erhielte man nach einem Jahr $K_1=100\cdot (1+\frac{i_12}{100})^{12}=104.07$ Euro, also 7 Cent mehr. Dies schaut zwar nicht nach viel aus. Wenn die Bank aber jedem seiner Kunden 4 oder 7 Cent mehr gibt und jeder Sparer nicht nur € 100, sondern sogar € 1000 oder noch mehr auf der Bank hat, wird dieser Betrag schnell sehr groß.

Aus diesem Grund gibt es eine Methode, um den '''passenden (=konformen) unterjährigen Zinssatz''' zu berechnen.

</div>

</div>

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=== b) der konforme (äquivalente) Zinssatz ===

Der konforme Zinsssatz wird auch als '''gleichwertiger Zinssatz''' oder äquivalenter (=lat. gleichwertig) Zinssatz bezeichnet.
Er wird verwendet, wenn während '''einer Zinsperiode mehrmals eingezahlt wird''' (z.B. jährliche Verzinsung, aber monatliche Einzahlungen)

{| border="1"
|'''Definition:
äquivalenter Aufzinsungsfaktor'''
|
Sei $r_1$ der Aufzinsungsfaktor bei jährlicher Verzinsung und $r_m$ der Aufzinsungsfaktor bei m-maliger Verzinsung innerhalb eines Jahres, dann muss folgende Gleichung gelten, damit beide Aufzinsungsfaktoren gleichwertig (konform) sind:
$$r_1=(r_m)^m$$
bzw.
$$ \sqrt[m]{r_1}=r_m $$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Herleitung und Erklärung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Es soll gelten, dass der jährliche Zinssatz gleich hoch ist wie der m-mal angewandte unterjährige ZS (insgesamt sollen in einem Jahr gleich viele Zinsen zusammenkommen)

$$K_0\cdot r_1 = K_0\cdot (r_m)^m$$
Kürzt man $K_0$, so erhält man:
$$r_1=(r_m)^m$$
bzw.
$$ \sqrt[m]{r_1}=r_m $$

</div>

</div>

Der '''konforme''' (=äquivalente) unterjährige Zinssatz $i_m$ kann dann mit der Gleichung
{| border="1" align="center"
|-
|$$r_m=1+\frac{i_m}{100}$$
|}
bestimmt werden.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Musterbeispiel 1:''' Ein Kredit wird mit 5% p.a. verzinst. Wenn nun die ganze Schuld bereits nach einem Quartal beglichen wird, muss der konforme Quartalszinssatz berechnet werden. Bestimme diesen. </span>
<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung''':
$i_1=5$% p.m. $\rightarrow r_{1}=1.05 \rightarrow (r_{4})^{4}=r_1 \rightarrow r_4=\sqrt[4]{r_1}=1.0123 \rightarrow i_4=1.23$% p.q.

'''Antwort''': Der Quartalszinssatz beträgt 1.23% p.a.
</div>
</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Musterbeispiel 2:''' Ein Kredit wird monatlich mit 2% p.m. verzinst. Bestimme den konformen Jahreszinssatz. </span>
<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung''':
$i_{12}=2$% p.m. $\rightarrow r_{12}=1.02 \rightarrow r_1=(r_{12})^{12}=1.2682 \rightarrow i_1=26.82$% p.a.

'''Antwort''': Die jährliche Verzinsung beträgt 26.82% p.a.
</div>
</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Musterbeispiel 3: relativer/nomineller Zinssatz und konformer Zinssatz gemeinsam:'''

Ein Kredit wird nominell mit 4 % p.a. quartalsmäßig verzinst. Da die Raten monatlich eingezahlt werden, muss der konforme Monatszinssatz bestimmt werden. Berechnen Sie diesen. </span>

<div class="mw-collapsible-content">

'''Lösung'''
'''1. Schritt''': Zuerst muss mithilfe des nominellen Jahreszinssatzes von 4 % p.a. der relative Quartalszinssatz bestimmt werden:
$$ i_4=\frac{i}{4}=\frac{4 \textrm{ %}}{4}=1 \textrm{ % p.q.} $$

'''2. Schritt:''' Anschließend wird mithilfe des Quartalszinssatzes der konforme Monatszinssatz berechnet.
$$ (r_{12})^3=r_4 $$
$$\textrm{ Hinweis: Wenn man drei Monate verzinst (=}(r_12)^3 \textrm{) so verzinst man insgesamt ein ganzes Quartal (=}r_4 ) $$
$$ r_{12}=\sqrt[3]{1.01} $$
$$ r_{12}=1.003322 \rightarrow i_{12}=0.3322 \textrm{ % p.m.} $$
A: Der konforme Monatszinssatz beträgt 0.3322 % p.m.

</div>

</div>

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== Beispiele ==

* [http://www.brinkmann-du.de/mathe/aufgabenportal/p0_zinseszins_01/p0_zinseszins_01.htm Aufgaben zur Zinseszinsformel]
* <span style="background-color:yellow"> Wichtig! </span> [http://www.geogebratube.org/student/m79721 Übungs-Rechner zum konformen Zinssatz]
* Aufgaben zu allen Themen: siehe Trauner 2. Klasse, Buch S. 86-90

[[Kategorie:Finanzmathematik]]

Zins- und Zinseszinsrechnung

2014-08-21T13:43:48Z

62.47.214.250: /* Aufzinsungsfaktor */

== Warum gibt es Zinsen? ==

#Leihgebür
#: Wenn jemand einem anderen Geld verleiht, verlangt er dafür eine Leihgebür in Form von Zinsen
# Risiko-Gebühr
#: Jeder, der Geld verleiht, geht das Risiko ein, dass er das Geld nicht wieder zurückbekommt. Die Zinsen können hierbei als Absicherung gesehen werden. Je höher das Risiko eines Verlusts, desto größer sind auch die Zinsen.

== Begriffe ==
* $K_0 \dots $ Anfangskapital (=Kapital am Anfang/ im Jahre 0)
* $n \dots $ Anzahl der Verzinsungen
* $K_n \dots $ Kapital nach n Jahren
* $i \dots $ Zinssatz (z.B. 4% p.a.)
* $i_{eff}\dots $ effektiver Zinssatz = Zinssatz mit abgezogener Kapitalertragssteuer (KESt). Im Allgemeinen gilt bei 25% KESt: $$ i_{eff}=i\cdot 0.75$$ (z.B. i=4% $ \rightarrow i_{eff}=4\cdot 0.75=3$%)
* $r\dots $ Aufzinsungsfaktor ($r=1+\frac{i}{100})$
<br>
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<br>
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<br>

== Einfache Zinsen ==
{| Merke:
|Die Formel für die einfachen Zinsen wird verwendet wenn entweder
* das Kapital weniger als 1 Jahr auf der Bank liegt oder
* alle Zinsen erst ganz am Ende ausgezahlt werden.
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Herleitung der Formel für die einfache Verzinsung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
{| border="1"
|'''Merke''': Bei der einfachen Verzinsung erhält man die ganzen Zinsen am Ende der Laufzeit.
|}
<br>
Einfaches Beispiel:
€ 30 Euro werden mit einem effektiven Zinssatz von 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst. Wie hoch ist das Kapital nach einem Jahr, '''wenn man die Zinsen erst ganz am Ende ausbezahlt bekommt'''.
<br>
Lösung:
* $K_0 =30 $
* $n = 1 $
* $K_1 = $?
* $i_{eff} = 5$%
<br>
$$ K_1=K_0 + 5\% \textrm{ von } K_0 $$
<br>
$$ K_1=30 + \frac{5}{100} \cdot 30 $$
$$ K_1 = 30 + 1.5 $$
$$ \underline{\underline{K_1 = 31.5}} $$
<br>
<br>
Antwort: Nach n-Jahre beträgt das Endkapital € 31.5.
<br>
<br>
<br>
{| border="1"
|'''Merke''': Wenn über mehrere Zinsperioden (z.B. über mehrere Jahre) verzinst wird, werden '''bei der einfachen Verzinsung''' die Zinsen mit der Laufzeit multipliziert. Die einfache Verzinsung entspricht deshalb einem [[linearen Wachstum]]
|}
<br>
Beispiel:
€ 30 sollen 4 Jahre lang mit effektiv 5% p.a. (=per anno = pro Jahr) verzinst werden. Wie hoch ist das Endkapital?
<br>
Lösung
* $K_0=30$
* $K_n=$ ?
* $i_{eff}=5$%
* $n=4$
<br>
<br>
$$ K_n=K_0+\textrm{ n-mal } i_{eff}\% \textrm{ von } K_0 $$
$$ K_n = 30 + 4\cdot \frac{5}{100} \cdot 30 $$
$$ K_n=30 + 4\cdot 1.5 $$
$$ K_n=30+6$$
$$ \underline{\underline{K_n=36}}$$
<br>
Antwort: Nach 4 Jahren beträgt das Kapital € 36.
<br>
</div>
</div>

{| border="1" align="center"
!| Formel für die einfache Verzinsung
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer '''in Jahren''', dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0 + n\cdot \frac{i_{eff}}{100} \cdot K_0 $$
und vereinfacht:
$$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i_{eff}}{100} ) $$
|}

<br>
<br>
=== Musterbeispiel für die einfache Verzinsung ===
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Aufgabe:'''
Ein Kapital von € 75 wird 4 Monate bei einem Zinssatz von 4% p.a. veranlagt. Bestimme die Höhe des Kapitals nach der Veranlagungsdauer! </span>
<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung'''
* $K_0=75$
* $n=4 \textrm{ Monate }= \frac{4}{12}$ Jahre.
* $K_\frac{4}{12}=$?
* $i=4$%
<br>
$$ K_n=K_0 \cdot ( 1+n\cdot \frac{i}{100} ) $$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{4}{12}\cdot \frac{4}{100}$$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{25}$$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (1+\frac{1}{75}) $$
$$ K_\frac{4}{12}=75\cdot (\frac{76}{75}) $$
$$ K_\frac{4}{12}=76 $$
<br>
<br>
'''Antwort:''' Nach 4 Monaten hat das Kapital eine Höhe von € 76.
</div>
</div>
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== Zinseszinsen ==
=== Zinseszinsformel ===
Bei einem Sparbuch erhält man für gewöhnlich jährlich Zinsen. Diese Zinsen werden im Anschluss wieder auf das Sparbuch gelegt.
Im nächsten Jahr erhält man nun nicht nur Zinsen auf das ursprüngliche Kapital, sondern auch auf die Zinsen des letzten Jahrens - dies nennt man die sogenannten ''Zinseszinsen''.

{| border="1" align="center"
!| Video: Herleitung der Zineszinsformel
|-
| {{#ev:youtube|QSNXWUQ8wRA}}
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Formale Herleitung''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
# $K_1=K_0+K_0\cdot \frac{i_{eff}}{100}=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})$
# $K_2=\underbrace{K_1\cdot}_{K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})} (1+ \frac{i_{eff}}{100})=(K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100}))\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^2$
# $K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$
</div>
</div>

{| border="1" align="center"
!| Formel für die einfache Verzinsung
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer, dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
|}

{| border="1"
|'''Merke:'''
| Die Zinseszinsformel wird verwendet, wenn über '''mehrere volle Jahre''' verzinst wird
|}

=== Musterbeispiele ===
* '''$K_n$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Auf einem Sparbuch werden € 800 mit 2,5% p.a. verzinst. Wie hoch ist das Guthaben nach 2 Jahren, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=800$
:* $n=2$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_2=$?
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ K_n=800\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^2$$
$$ \underline{\underline{K_n=830.28}}$$
</div>
</div>

* '''$K_0$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Welcher Betrag muss angespart werden, damit man nach 3 Jahren bei einem Zinssatz von 2,5% p.a. über ein Guthaben von € 1500 verfügt, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=$?
:* $n=3$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_3=1500$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 1500=K_0\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^3 $$
$$ \frac{1500}{(1+ \frac{1.875}{100})^3}=K_0$$
$$ \underline{\underline{K_0=1418.69}} $$
</div>
</div>

* '''$n$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Wie viele volle Jahre muss ein Kapital von € 100 angespart werden, um bei einem Zinssatz von 2,5% p.a. über ein Guthaben von mehr als € 200 zu verfügen, wenn die KESt bereits abgezogen wurde?
''Siehe hier auch [[Verdoppelungszeit]]''
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=100$
:* $n=?$
:* $i=2.5\% \rightarrow i_{eff}=2.5\cdot 0.75=1.875\%$
:* $K_n=200$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 200=100\cdot (1+ \frac{1.875}{100})^n \ \ |:100$$
$$ 2= (1+ \frac{1.875}{100})^n \ \ |\log() $$
$$ \log{2}=n\cdot \log{(1+ \frac{1.875}{100})} \ \ |:\log{(1+ \frac{1.875}{100})} $$
$$\frac{\log{2}}{\log{(1+ \frac{1.875}{100})}}=n $$
$$ \underline{\underline{n = 37.31}} $$
Antwort: Nach 38 vollen Jahren sind aus den € 100 mehr als € 200 geworden.
</div>
</div>

* '''$i$ gefragt'''
<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> Mit welchem Zinssatz muss ein Sparbuch verzinst werden, damit ein Kapital von anfangs € 100 in 7 Jahren auf € 118.87 anwächst.
</span>
<div class="mw-collapsible-content">
:* $K_0=100$?
:* $n=7$
:* $i=?\%$
:* $K_7=118.87$
<br>
$$ K_n=K_0\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^n$$
$$ 118.87=100\cdot (1+ \frac{i_{eff}}{100})^7 \ \ |:100 \textrm{ und } |\sqrt[7]{ } $$
$$ \sqrt[7]{\frac{118.87}{100}}=1+ \frac{i_{eff}}{100}\ \ |-1 \textrm{ und } | \cdot 100 $$
$$ (\sqrt[7]{\frac{118.87}{100}}-1)\cdot 100 = i_{eff} $$
$$ \underline{\underline{i_{eff}=2.5}} $$
Antwort: Der effektive Zinssatz muss bei $i_{eff}=2.5$% p.a. Somit muss der Zinssatz der Bank bei $i=\frac{i_{eff}}{0.75}=\frac{2.5}{0.75}=3.33$% p.a. liegen.
</div>
</div>

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=== Aufzinsungsfaktor ===

Der Term
$$ r=(1+\frac{i_eff}{100}) $$
wird als '''Aufzinsungsfaktor''' bezeichnet. Damit vereinfacht sich die Zinseszinsformel zu:
{| border="1" align="center"
!| Zinseszinsformel
|-
| Sei n die Veranlagungsdauer, dann gilt:
|-
|$$ K_n=K_0\cdot r^n$$
|}

{{Vorlage:Merke|1= $ $
* Um von $K_0$ zu $K_n$ zu gelangen, muss n-mal mit r "aufgezinst" (=multipliziert) werden.

* Um umgekehrt von $K_n$ zu $K_0$ zu gelangen, muss n-mal mit r "abgezinst" (=dividiert) werden.}}

Füge Abbildung mit Aufzinsung und Abzinsung noch ein
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== Unterjährige Verzinsung ==

Nun betrachten wir auch Verzinsungen, die mehrmals im Jahr ("unterjährig") durchgeführt werden.

'''Begriffe:'''
Sei $m$ die Anzahl der Verzinsungen in einem Jahr, dann ist
* m=2: halbjährige Verzinsung und $i_2$ % p.s. (pro Semester) der haljährige Zinssatz
* m=4: vierteljährliche Verzinsung und $i_4$ % p.q. (pro Quartal) der Quartalszinssatz
* m=12: monatliche Verzinsung und $i_{12}$ % p.m. (pro Monat) der Monatszinssatz

Es gibt nun zwei Arten, den unterfährigen Zinssatz zu bestimmen:

[[Datei:Unterjährige Zinssätze.png|thumb|750px|center]]

=== a) nomineller Jahreszins und relativer unterjähriger Zinssatz $i_m=\frac{i}{m}$ ===

Der relative unterjährige Zinssatz wird verwendet, wenn der '''''nominelle'' Jahreszins gegeben''' ist, aber m'''ehrmals im Jahr verzinst wird'''

{| border="1"
|'''Definition:'''
|
Sei i der nominelle Jahreszinssatz. Dann berechnet sich der nominelle unterjährige Zinssatz $i_m$:
$$ i_m=\frac{i}{m} $$
|}

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<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0>
'''Beispiel:'''
Der Nominalzinssatz beträgt $i=8$% p.a.. Berechne den Quartalszinssatz $i_4$ </span>
<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung''': $i=m\cdot i_m \rightarrow 8=4\cdot i_4 \rightarrow \frac{8}{2}=i_4 \rightarrow 2=i$

'''Antwort''': Der Halbjahreszinssatz beträgt 2% p.q.
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'''Wichtig!!:''' Beim Verzinsen mit dem relativen unterjährigen Zinssatz erhält man über das ganze Jahr aufgrund des Zinseszinseffektes schlussendlich mehr, als bei der einmaligen Verzinsung mit dem nominellen Jahreszinssatz!
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<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Das Problem mit dem nominellen Zinssatz ODER Warum gibt es den [[Zins- und Zinseszinsrechnung# | konformen Zinssatz]]''' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Die Methode mithilfe des nominellen Jahreszinssatzes liefert aber einen verfälschten Zinssatz. Dies soll an einem Beispiel genauer erklärt werden:

'''Problem:'''
Nehmen wir an, wir verzinsen € 100 mit einem nominellen Jahreszinssatz von $i=4$%.
Nun fragt uns der Bankberater, ob wir einaml im Jahr verzinsen wollen mit $i=4$%p.a., oder zweimal (d.h. halbjährlich) mit dem Halbjahreszinssatz von $i_2=\frac{4}{2}=2$%p.s.
Für was sollen wir uns entscheiden?

'''Antwort''':
#Bei der jährlichen Verzinsung beträgt $K_1=104$ Euro.
#Aber bei der halbjährlichen Verzinsung erhalten wir:
$$K_1=K_0\cdot (1+\frac{2}{100})^2$$
$$K_1=104.04$$

D.h. Mit der halbjährlichen Verzinsung würden wir 4 Cent mehr erhalten. Würde man sogar monatlich verzinsen, so erhielte man nach einem Jahr $K_1=100\cdot (1+\frac{i_12}{100})^{12}=104.07$ Euro, also 7 Cent mehr. Dies schaut zwar nicht nach viel aus. Wenn die Bank aber jedem seiner Kunden 4 oder 7 Cent mehr gibt und jeder Sparer nicht nur € 100, sondern sogar € 1000 oder noch mehr auf der Bank hat, wird dieser Betrag schnell sehr groß.

Aus diesem Grund gibt es eine Methode, um den '''passenden (=konformen) unterjährigen Zinssatz''' zu berechnen.

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=== b) der konforme (äquivalente) Zinssatz ===

Der konforme Zinsssatz wird auch als '''gleichwertiger Zinssatz''' oder äquivalenter (=lat. gleichwertig) Zinssatz bezeichnet.
Er wird verwendet, wenn während '''einer Zinsperiode mehrmals eingezahlt wird''' (z.B. jährliche Verzinsung, aber monatliche Einzahlungen)

{| border="1"
|'''Definition:
äquivalenter Aufzinsungsfaktor'''
|
Sei $r_1$ der Aufzinsungsfaktor bei jährlicher Verzinsung und $r_m$ der Aufzinsungsfaktor bei m-maliger Verzinsung innerhalb eines Jahres, dann muss folgende Gleichung gelten, damit beide Aufzinsungsfaktoren gleichwertig (konform) sind:
$$r_1=(r_m)^m$$
bzw.
$$ \sqrt[m]{r_1}=r_m $$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Herleitung und Erklärung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Es soll gelten, dass der jährliche Zinssatz gleich hoch ist wie der m-mal angewandte unterjährige ZS (insgesamt sollen in einem Jahr gleich viele Zinsen zusammenkommen)

$$K_0\cdot r_1 = K_0\cdot (r_m)^m$$
Kürzt man $K_0$, so erhält man:
$$r_1=(r_m)^m$$
bzw.
$$ \sqrt[m]{r_1}=r_m $$

</div>

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Der '''konforme''' (=äquivalente) unterjährige Zinssatz $i_m$ kann dann mit der Gleichung
{| border="1" align="center"
|-
|$$r_m=1+\frac{i_m}{100}$$
|}
bestimmt werden.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Musterbeispiel 1:''' Ein Kredit wird mit 5% p.a. verzinst. Wenn nun die ganze Schuld bereits nach einem Quartal beglichen wird, muss der konforme Quartalszinssatz berechnet werden. Bestimme diesen. </span>
<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung''':
$i_1=5$% p.m. $\rightarrow r_{1}=1.05 \rightarrow (r_{4})^{4}=r_1 \rightarrow r_4=\sqrt[4]{r_1}=1.0123 \rightarrow i_4=1.23$% p.q.

'''Antwort''': Der Quartalszinssatz beträgt 1.23% p.a.
</div>
</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Musterbeispiel 2:''' Ein Kredit wird monatlich mit 2% p.m. verzinst. Bestimme den konformen Jahreszinssatz. </span>
<div class="mw-collapsible-content">
'''Lösung''':
$i_{12}=2$% p.m. $\rightarrow r_{12}=1.02 \rightarrow r_1=(r_{12})^{12}=1.2682 \rightarrow i_1=26.82$% p.a.

'''Antwort''': Die jährliche Verzinsung beträgt 26.82% p.a.
</div>
</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Musterbeispiel 3: relativer/nomineller Zinssatz und konformer Zinssatz gemeinsam:'''

Ein Kredit wird nominell mit 4 % p.a. quartalsmäßig verzinst. Da die Raten monatlich eingezahlt werden, muss der konforme Monatszinssatz bestimmt werden. Berechnen Sie diesen. </span>

<div class="mw-collapsible-content">

'''Lösung'''
'''1. Schritt''': Zuerst muss mithilfe des nominellen Jahreszinssatzes von 4 % p.a. der relative Quartalszinssatz bestimmt werden:
$$ i_4=\frac{i}{4}=\frac{4 \textrm{ %}}{4}=1 \textrm{ % p.q.} $$

'''2. Schritt:''' Anschließend wird mithilfe des Quartalszinssatzes der konforme Monatszinssatz berechnet.
$$ (r_{12})^3=r_4 $$
$$\textrm{ Hinweis: Wenn man drei Monate verzinst (=}(r_12)^3 \textrm{) so verzinst man insgesamt ein ganzes Quartal (=}r_4 ) $$
$$ r_{12}=\sqrt[3]{1.01} $$
$$ r_{12}=1.003322 \rightarrow i_{12}=0.3322 \textrm{ % p.m.} $$
A: Der konforme Monatszinssatz beträgt 0.3322 % p.m.

</div>

</div>

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== Beispiele ==

* [http://www.brinkmann-du.de/mathe/aufgabenportal/p0_zinseszins_01/p0_zinseszins_01.htm Aufgaben zur Zinseszinsformel]
* <span style="background-color:yellow"> Wichtig! </span> [http://www.geogebratube.org/student/m79721 Übungs-Rechner zum konformen Zinssatz]
* Aufgaben zu allen Themen: siehe Trauner 2. Klasse, Buch S. 86-90

[[Kategorie:Finanzmathematik]]

Differenzen- und Differentialquotient

2014-08-21T13:37:14Z

62.47.214.250: /* Definition */

== Was lernst du hier ==
* Wie berechne ich die '''durschschnittliche Steigung''' einer Funktion mithilfe des Differenzenquotienten und der Steigung der [[Sekante]].
* Wie berechne ich die '''momentane Steigung''' einer Funktion mithilfe des Differentialquotienten und der Steigung der [[Tangente]].

== Der Differenzenquotient (=durchschnittliche Steigung)==
=== Definition ===
[[Datei:Diffquotient.png|thumb|500px|right| Der Differenzenquotient berechnet die Steigung der [[Sekante]] s.]]
<br>
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<br>
{{Vorlage:Definition|1=Die durschschnittliche Änderungsrate einer Funktion $f$:
$$ \bar{k}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)- x} $$
wird als '''Differenzenquotient''' bezeichnet.
Er gibt die durschnittliche Steigung der Sekante durch die Punkte $A=(x \vert f(x))$ und $B=(f(x+\Delta x) \vert x+\Delta x )$ an (siehe Abbildung rechts). }}

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<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Bemerkungen:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
* $\Delta$ (=Delta (4. Buchstabe im griechischen Alphabet)) steht für "Unterschied". $\Delta x$ ist der Unterschied auf der x-Achse, $\Delta y$ der Unterschied auf der y-Achse.
* Wie aus der rechten Abbildung hervorgeht ist $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\textrm{Höhenunterschied}}{\textrm{Längenunterschied}}$
* Der Name ''Differenzenquotient'' kommt daher, dass er aus dem Quotienten (=Division) zweier Differenzen (=Subtraktionen) entsteht:
$$ \bar{k}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-\Delta x} $$
* [[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]] Hier findest du ein [[Applet zum Differenzen- und Differentialquotienten | Arbeitsblatt zum Differenzenquotienten]]
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=== Video-Erklärung ===
{| border ="1" align="center"
!| Video zum Differenzenquotienten
|-
| Hinweise zum Video:
* Anstelle von $\bar{k}$ wird hier $m$ für die Steigung verwendet.
* WICHTIG: Die Steigung in einem solchen Zeit-Weg-Diagramm ist immer die Geschwindigkeit!
$$ \textrm{Steigung}=\textrm{Geschwindigkeit} $$
|-
|{{#ev:youtube|m8QvU2ezu48}}
|-
|<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Aufgaben''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
# Bestimme mithilfe der Tabelle bei der Stelle [http://www.youtube.com/watch?feature=player_detailpage&v=m8QvU2ezu48#t=203 3:23min] eine [[Regression|quadratische Regression]], um die Gleichung der Parabel zu bestimmen. Achtung: x-Achse=Zeit und y-Achse=Weg (in der Tabelle ist es gerade umgekehrt!!)
# Berechne mithilfe der Lösung von 1., nach wie vielen Sekunden der Läufer 30m zurückgelegt hat.
# Begründe, warum bei der Lösung für 1. der konstante Term c bei der Funktionsgleichung $y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ annähernd den Wert 0 haben muss.
</div>
</div>
|-
|<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:BspRegression.png|thumb|150px|right|Tabelle]]
# $y=0.95\cdot x^2 + 2.4\cdot x-0.07$
# $30=0.95\cdot x^2 + 2.4\cdot x-0.07 \rightarrow x=4.5 \textrm{Sekunden} $
# Der Sprinter startet aus dem Stehen, deshalb ist der Weg nach 0 Sekunden y(0)=0. Da die Punkte nicht alle genau auf einer Parabel liegen, erhält man bei der Regression einen kleinen "Fehler" (hier von -0.07)
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=== Beispiele ===
3. Klasse-Buch: S. 41
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== Der Differentialquotient (= momentane Steigung) ==
=== Definition ===
[[Datei:Differentialquotient.png|thumb|450px| Der Differentialquotient berechnet die Steigung der [[Tangente]] t.]]
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{{Vorlage:Definition|1=Die momentane Änderungsrate einer Funktion $f$ an der Stelle x
$$ {k}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)- x} $$
wird als '''Differentialquotient''' bezeichnet.
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Er gibt die momentane Steigung der Sekante durch den Punkte $A=(x\vert f(x))$ an. }}

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<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Bemerkungen:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
* Der Ausdruck $\lim_{\Delta x \rightarrow 0} $ bedeutet, dass der Abstand auf der x-Achse der beiden Punkte A und B immer näher gegen 0 gehen soll. An der unteren Abbildung erkennst du, dass sich dadurch die Sekante (blau) immer mehr der Tangente (rot) nähert.
[[Datei:Difquotuebergang.gif]]
* [[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]] $\ \ $[[Applet zum Differenzen- und Differentialquotienten | Klicke hier um zu einem interaktiven Applet zum Differenzenquotienten zu gelangen]]
* Anstelle von $k$ wird auch $f'(x)$ geschrieben und damit gilt:
$$ {f'(x)}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)- x} $$
</div>
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=== Video-Erklärung ===

{| border ="1" align="center"
!| Video zum Differentialquotienten
|-
| Hinweise zum Video:
* Dieses Video ist die Fortsetzung des [[Differenzen- und Differentialquotient#Video-Erklärung | Videos zum Differenzenquotienten]].
* Anstelle von $\bar{k}$ wird hier $m$ für die Steigung verwendet.
* WICHTIG: Die Steigung in einem solchen Zeit-Weg-Diagramm ist immer die Geschwindigkeit!
$$ \textrm{Steigung}=\textrm{Geschwindigkeit} $$
|-
|{{#ev:youtube|9PJT83cU7tA}}
|-
|<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Aufgaben''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
# Bestimme mithilfe des Differentialquotienten die momentane Steigung f'(x) (=k) der Funktion $f(x)=x^2$ an der Stelle $x$.
# Bestimme mithilfe des Differentialquotienten die momentane Steigung der Funktion $f(x)=x^2$ an der Stelle $x=2$.
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|-
|<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
* 1. Bestimmen der momentanen Steigung $f'(x)$
$\begin{align}
f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-\Delta x}\\
f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(x+\Delta x)^2-x^2}{(x+\Delta x)-\Delta x}\\
f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(x^2+2\cdot x\cdot \Delta x+ \Delta x^2)-x^2}{\Delta x}\\
f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{2\cdot x\cdot \Delta x+ \Delta x^2}{\Delta x}\\
f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta x(2\cdot x+ \Delta x)}{\Delta x}\\
f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(2\cdot x+ \Delta x)}{1}\\
f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} 2\cdot x+ \underbrace{\Delta x}_{\rightarrow 0}\\
f'(x)= 2\cdot x
\end{align}$

<br>
<br>
[[Datei:Bsp-diffquotient.png|thumb|400px|right|Graphische Lösung der Aufgabe 2]]
*2. Bestimmen der momentanen Steigung bei x=2:
$$f'(x)=2x$$
$$f'(2)=2\cdot 2$$
$$f'(2)=4$$
Die Steigung der Funktion an der Stelle x=2 beträgt 4.
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|}

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== Maturabeispiele ==
* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=217&file=U-Bahn.pdf U-Bahn]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=142&file=Energieverbrauch_und_Joggen.pdf Energieverbrauch beim Joggen] (mittel)
*: Welche Inhalte brauchst du hier noch: [[Wachstums- und Zerfallsprozesse | exponentielle Abnahme]] und [[Integration]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=38&file=Beleuchtungsstaerke.pdf Beleuchtungsstärke] (schwer-mittel-schwer)
*: Welche Inhalte brauchst du hier noch: [[indirekte Proportion]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=205&file=Bungeejumping.pdf Bungeejumping] (leicht-mittel-mittel)
*: Hier werden Ableitungsregeln benötigt!

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=214&file=Leistungskurve.pdf Leistungskurve]
*: hier musst du die Ableitungsfunktion graphisch bestimmen!

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=181&file=Bevoelkerungswachstum_in_den_USA.pdf Bevölkerung der USA] (leicht-leicht-mittel)
: Siehe für Aufgabe a) auch [[Wachstums- und Zerfallsprozesse]]

[[Kategorie: Differenzieren]]

Differenzen- und Differentialquotient

2014-08-21T13:34:23Z

62.47.214.250: /* Definition */

== Was lernst du hier ==
* Wie berechne ich die '''durschschnittliche Steigung''' einer Funktion mithilfe des Differenzenquotienten und der Steigung der [[Sekante]].
* Wie berechne ich die '''momentane Steigung''' einer Funktion mithilfe des Differentialquotienten und der Steigung der [[Tangente]].

== Der Differenzenquotient (=durchschnittliche Steigung)==
=== Definition ===
[[Datei:Diffquotient.png|thumb|500px|right| Der Differenzenquotient berechnet die Steigung der [[Sekante]] s.]]
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{{Vorlage:Definition|1=Die durschschnittliche Änderungsrate einer Funktion $f$:
$$ \bar{k}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)- x} $$
wird als '''Differenzenquotient''' bezeichnet.
Er gibt die durschnittliche Steigung der Sekante durch die Punkte $A=(x \vert f(x))$ und $B=(f(x+\Delta x) \vert x+\Delta x )$ an (siehe Abbildung rechts). }}

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<span style="color:#A020F0> '''Bemerkungen:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
* $\Delta$ (=Delta (4. Buchstabe im griechischen Alphabet)) steht für "Unterschied". $\Delta x$ ist der Unterschied auf der x-Achse, $\Delta y$ der Unterschied auf der y-Achse.
* Wie aus der rechten Abbildung hervorgeht ist $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\textrm{Höhenunterschied}}{\textrm{Längenunterschied}}$
* Der Name ''Differenzenquotient'' kommt daher, dass er aus dem Quotienten (=Division) zweier Differenzen (=Subtraktionen) entsteht:
$$ \bar{k}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-\Delta x} $$
* [[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]] Hier findest du ein [[Applet zum Differenzen- und Differentialquotienten | Arbeitsblatt zum Differenzenquotienten]]
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=== Video-Erklärung ===
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!| Video zum Differenzenquotienten
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| Hinweise zum Video:
* Anstelle von $\bar{k}$ wird hier $m$ für die Steigung verwendet.
* WICHTIG: Die Steigung in einem solchen Zeit-Weg-Diagramm ist immer die Geschwindigkeit!
$$ \textrm{Steigung}=\textrm{Geschwindigkeit} $$
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|{{#ev:youtube|m8QvU2ezu48}}
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|<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Aufgaben''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
# Bestimme mithilfe der Tabelle bei der Stelle [http://www.youtube.com/watch?feature=player_detailpage&v=m8QvU2ezu48#t=203 3:23min] eine [[Regression|quadratische Regression]], um die Gleichung der Parabel zu bestimmen. Achtung: x-Achse=Zeit und y-Achse=Weg (in der Tabelle ist es gerade umgekehrt!!)
# Berechne mithilfe der Lösung von 1., nach wie vielen Sekunden der Läufer 30m zurückgelegt hat.
# Begründe, warum bei der Lösung für 1. der konstante Term c bei der Funktionsgleichung $y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ annähernd den Wert 0 haben muss.
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|<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
[[Datei:BspRegression.png|thumb|150px|right|Tabelle]]
# $y=0.95\cdot x^2 + 2.4\cdot x-0.07$
# $30=0.95\cdot x^2 + 2.4\cdot x-0.07 \rightarrow x=4.5 \textrm{Sekunden} $
# Der Sprinter startet aus dem Stehen, deshalb ist der Weg nach 0 Sekunden y(0)=0. Da die Punkte nicht alle genau auf einer Parabel liegen, erhält man bei der Regression einen kleinen "Fehler" (hier von -0.07)
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=== Beispiele ===
3. Klasse-Buch: S. 41
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== Der Differentialquotient (= momentane Steigung) ==
=== Definition ===
{| border ="1"
| '''Definition:'''
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| Die momentane Änderungsrate einer Funktion $f$ an der Stelle x
$$ {k}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)- x} $$
wird als '''Differentialquotient''' bezeichnet.
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Er gibt die momentane Steigung der Sekante durch den Punkte $A=(x|f(x))$ an.
| [[Datei:Differentialquotient.png|thumb|450px| Der Differentialquotient berechnet die Steigung der [[Tangente]] t.]]
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Bemerkungen:''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
* Der Ausdruck $\lim_{\Delta x \rightarrow 0} $ bedeutet, dass der Abstand auf der x-Achse der beiden Punkte A und B immer näher gegen 0 gehen soll. An der unteren Abbildung erkennst du, dass sich dadurch die Sekante (blau) immer mehr der Tangente (rot) nähert.
[[Datei:Difquotuebergang.gif]]
* [[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]] $\ \ $[[Applet zum Differenzen- und Differentialquotienten | Klicke hier um zu einem interaktiven Applet zum Differenzenquotienten zu gelangen]]
* Anstelle von $k$ wird auch $f'(x)$ geschrieben und damit gilt:
$$ {f'(x)}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)- x} $$
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=== Video-Erklärung ===

{| border ="1" align="center"
!| Video zum Differentialquotienten
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| Hinweise zum Video:
* Dieses Video ist die Fortsetzung des [[Differenzen- und Differentialquotient#Video-Erklärung | Videos zum Differenzenquotienten]].
* Anstelle von $\bar{k}$ wird hier $m$ für die Steigung verwendet.
* WICHTIG: Die Steigung in einem solchen Zeit-Weg-Diagramm ist immer die Geschwindigkeit!
$$ \textrm{Steigung}=\textrm{Geschwindigkeit} $$
|-
|{{#ev:youtube|9PJT83cU7tA}}
|-
|<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Aufgaben''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
# Bestimme mithilfe des Differentialquotienten die momentane Steigung f'(x) (=k) der Funktion $f(x)=x^2$ an der Stelle $x$.
# Bestimme mithilfe des Differentialquotienten die momentane Steigung der Funktion $f(x)=x^2$ an der Stelle $x=2$.
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|<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösungen''' </span>
<div class="mw-collapsible-content">
* 1. Bestimmen der momentanen Steigung $f'(x)$
$\begin{align}
f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-\Delta x}\\
f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(x+\Delta x)^2-x^2}{(x+\Delta x)-\Delta x}\\
f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(x^2+2\cdot x\cdot \Delta x+ \Delta x^2)-x^2}{\Delta x}\\
f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{2\cdot x\cdot \Delta x+ \Delta x^2}{\Delta x}\\
f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta x(2\cdot x+ \Delta x)}{\Delta x}\\
f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(2\cdot x+ \Delta x)}{1}\\
f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} 2\cdot x+ \underbrace{\Delta x}_{\rightarrow 0}\\
f'(x)= 2\cdot x
\end{align}$

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[[Datei:Bsp-diffquotient.png|thumb|400px|right|Graphische Lösung der Aufgabe 2]]
*2. Bestimmen der momentanen Steigung bei x=2:
$$f'(x)=2x$$
$$f'(2)=2\cdot 2$$
$$f'(2)=4$$
Die Steigung der Funktion an der Stelle x=2 beträgt 4.
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== Maturabeispiele ==
* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=217&file=U-Bahn.pdf U-Bahn]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=142&file=Energieverbrauch_und_Joggen.pdf Energieverbrauch beim Joggen] (mittel)
*: Welche Inhalte brauchst du hier noch: [[Wachstums- und Zerfallsprozesse | exponentielle Abnahme]] und [[Integration]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00">$Bifie$</span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=38&file=Beleuchtungsstaerke.pdf Beleuchtungsstärke] (schwer-mittel-schwer)
*: Welche Inhalte brauchst du hier noch: [[indirekte Proportion]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=205&file=Bungeejumping.pdf Bungeejumping] (leicht-mittel-mittel)
*: Hier werden Ableitungsregeln benötigt!

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=214&file=Leistungskurve.pdf Leistungskurve]
*: hier musst du die Ableitungsfunktion graphisch bestimmen!

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | <span style="background-color:#7CFC00"> $Bifie$ </span>]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=181&file=Bevoelkerungswachstum_in_den_USA.pdf Bevölkerung der USA] (leicht-leicht-mittel)
: Siehe für Aufgabe a) auch [[Wachstums- und Zerfallsprozesse]]

[[Kategorie: Differenzieren]]