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Grundkompetenzen Teil A

2014-07-23T11:50:11Z

62.47.214.244: /* Funktionale Abhängigkeiten */

Die folgenden Tabellen listen alle Grundkompetenzen des gemeinsamen Teils (Teil A) auf. Für jene Kompetenzen, die in allen HLWs zusätzlich noch verlangt werden, klicke auf [[Kompetenzen Teil B: Cluster 6]]

Die Grundkompetenzen sind in insgesamt 5 Inhaltsbereiche gegliedert:

== Zahlen und Maße ==

{| border="1"
!|Inhalt
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|1.1.
| mit natürlichen, ganzen, rationalen und reellen Zahlen rechnen, ihre Beziehungen argumentieren und auf der Zahlengeraden veranschaulichen
| [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)| Theorie]]
| [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)#Beispiele Zahlenmengen (1.1.) | Beispiele]]
|-
|1.2.
| Zahlen in Fest- und Gleitkommadarstellung in der Form $\pm a\cdot 10^{k} $ mit <math> 1 \leq a < 10 \textrm{und} a \in \mathbb{R} ,\ k \in \mathbb{Z} </math> darstellen und damit grundlegende Rechenoperationen durchführen
| [[Gleitkommazahlen und Zehnerpotenzen (1.2. und 1.3) | Theorie]]
| [[Gleitkommazahlen und Zehnerpotenzen (1.2. und 1.3)#Beispiele zu Gleitkommazahlen und Zehnerpotenzen | Beispiele]]
|-
|1.3.
| Vielfache und Teile von Einheiten mit den entsprechenden Zehnerpotenzen darstellen (Nano bis Tera); Größen als Maßzahl mal Maßeinheit darstellen
| [[Gleitkommazahlen und Zehnerpotenzen (1.2. und 1.3)| Theorie]]
| [[Gleitkommazahlen und Zehnerpotenzen (1.2. und 1.3)#Beispiele zu Gleitkommazahlen und Zehnerpotenzen (1.2. und 1.3)| Beispiele]]
|-
|1.4.
| überschlagsrechnen und runden, Ergebnisse beim Rechnen mit Zahlen abschätzen und in
kontextbezogener Genauigkeit angeben
| [[Überschlagsrechnen und Abschätzen (1.4.) | Theorie]]
| [[Überschlagsrechnen und Abschätzen (1.4.)#Beispiele Überschlagsrechnen und Abschätzen (1.4.) | Beispiele]]
|-
|1.5.
| Zahlenangaben in Prozent und Promille im Kontext anwenden und mit Prozentsätzen und
Promillesätzen rechnen
| [[Prozentrechnung (1.5.) | Theorie]]
| [[Prozentrechnung (1.5.)#Beispiele Prozentrechnung (1.5.) | Beispiele]]
|-
|1.6.
| den Betrag einer Zahl verstehen und anwenden
| [[Betrag einer Zahl (1.6.) | Theorie]]
| [[Betrag einer Zahl (1.6.)#Beispiele Betrag (1.6.) | Beispiele]]
|}
<br>
<br>
== Algebra und Geometrie ==
{| border="1"
!|Inhalt
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|2.1.
| Rechnen mit Termen
| [[Rechnen mit Termen(2.1.)| Theorie]]
| [[Rechnen mit Termen (2.1.)#Beispiele (2.1.) | Beispiele]]
|-
|2.2.
| Rechenregeln für Potenzen mit ganzzahligen und mit rationalen Exponenten anwenden;
Potenz- und Wurzelschreibweise ineinander überführen
| [[Potenzen (2.2.) | Theorie]]
| [[Potenzen (2.2.)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|2.3.
| Rechengesetze für Logarithmen anwenden
| [[Der Logarithmus (2.3.)| Theorie]]
| [[Der Logarithmus (2.3.)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|2.4.
| lineare Gleichungen in einer Variablen anwendungsbezogen aufstellen, lösen, die Lösungen
interpretieren und argumentieren
| [[Theorie lineare Gleichungen mit einer Variable (2.4.) | Theorie]]
| [[Theorie lineare Gleichungen mit einer Variable (2.4.) #Beispiele | Beispiele]]
|-
|2.5.
| Formeln aus der elementaren Geometrie anwenden, erstellen, begründen und interpretiere
| [[Theorie (2.5.) | Theorie]]
| [[Theorie (2.5.)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|2.6.
| eine Formel nach einer der variablen Größen umformen und die gegenseitige Abhängigkeit
der Größen in einer Formel interpretieren und erklären
| [[Formeln | Theorie]]
| [[Formeln#Beispiele | Beispiele]]
|-
|2.7.
| lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen anwendungsbezogen aufstellen, lösen und die
verschiedenen möglichen Lösungsfälle argumentieren, interpretieren und grafisch veranschaulichen
| [[Gleichungssysteme (2.7.) | Theorie]]
| [[Gleichungssysteme (2.7.)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|2.8.
| lineare Gleichungssysteme mit mehreren Variablen anwendungsbezogen aufstellen, mithilfe
von Technologieeinsatz lösen und das Ergebnis in Bezug auf die Problemstellung interpretieren und argumentieren
| [[Gleichungssysteme (2.7.)#mit mehreren Variablen | Theorie]]
| [[Gleichungssysteme (2.7.)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|2.9.
| quadratische Gleichungen in einer Variablen anwendungsbezogen aufstellen, lösen und die
verschiedenen möglichen Lösungsfälle interpretieren und argumentieren
| [[Quadratische Gleichungen (2.7.) | Theorie]]
| [[Quadratische Gleichungen (2.7.)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|2.10.
| Exponentialgleichungen vom Typ $ a^{k\cdot x}=b $ nach der Variablen
x auflösen
| [[Der Logarithmus (2.3.)#Anwendung in Exponentialgleichungen | Theorie]]
| [[Der Logarithmus (2.3.)#Anwendung in Exponentialgleichungen | Beispiele]]
|-
|2.11.
| Exponentialgleichungen oder Gleichungen mit trigonometrischen Funktionen in einer Variablen mit Einsatz von Technologie auflösen und das Ergebnis interpretieren
| [[Solve- und Löse-Befehl | Theorie]]
| [[Solve- und Löse-Befehl#Beispiele zu 2.11. | Beispiele]]
|-
|2.12.
| Seitenverhältnisse im rechtwinkeligen Dreieck durch Sinus, Cosinus und Tangens eines
Winkels angeben; Seiten und Winkel anwendungsbezogen berechnen
| [[Trigonometrie (2.12 und 3.10) | Theorie]]
| [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)#Matura-Aufgaben | Beispiele]]
|}
<br>
<br>
== Funktionale Abhängigkeiten ==
{| border="1"
!|Inhalt
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|3.1.
| eine Funktion als eindeutige Zuordnung erklären und als Modell zur Beschreibung der
Abhängigkeit zwischen Größen interpretieren;
den Graphen einer gegebenen Funktion mit Technologie darstellen, Funktionswerte ermitteln
und den Verlauf des Graphen im Kontext interpretieren
| [[Funktion (3.1.)| Theorie]]
| [[Funktion (3.1.)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|3.2.
| lineare Funktionen anwendungsbezogen modellieren, damit Berechnungen durchführen, die
Ergebnisse interpretieren und damit argumentieren;
den Graphen einer linearen Funktion im Koordinatensystem darstellen und die Bedeutung
der Parameter für Steigung und Ordinatenabschnitt kontextbezogen interpretieren;
eine lineare Gleichung in zwei Variablen als Beschreibung einer linearen Funktion interpretiere
| [[Lineare Funktionen y=kx+d (3.2.)| Theorie]]
| [[Lineare Funktionen y=kx+d (3.2.)#Schularbeiten- und Testaufgaben | Beispiele]]
|-
|3.3.
| Potenzfunktionen ($y=c\cdot x^n$ mit $n \in \mathbb{Z}, c \in \mathbb{R} $ sowie $y=\sqrt{x}$) grafisch darstellen und ihre Eigenschaften (Definitions- und Wertemenge, Symmetrie, Polstelle, asymptotisches Verhalten) anhand ihres Graphen interpretieren und damit argumentieren
| [[Potenzfunktionen (3.3)| Theorie]]
| [[Potenzfunktionen (3.3)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|3.4.
| Polynomfunktionen grafisch darstellen und ihre Eigenschaften
bis zum Grad 3 (Null-, Extrem- und Wendestellen, Monotonieverhalten)
interpretieren und damit argumentieren
| [[Polynomfunktionen (3.4) | Theorie]]
| [[Polynomfunktionen (3.4)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|3.5.
| Exponentialfunktionen grafisch darstellen, als Wachstums- und Abnahmemodelle interpretieren, die Verdoppelungszeit und die Halbwertszeit berechnen und im Kontext deuten sowie den Einfluss der Parameter von Exponentialfunktionen interpretieren
| [[Exponentialfunktionen(3.5.) | Theorie]]
| [[Exponentialfunktionen(3.5.)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|3.6.
| ineare Funktionen und Exponentialfunktionen strukturell vergleichen, die Angemessenheit
einer Beschreibung mittels linearer Funktionen oder mittels Exponentialfunktionen argumentieren
| [[Wachstumsfunktionen (3.6) | Theorie]]
| [[Wachstumsfunktionen (3.6)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|3.7.
| die Nullstelle(n) einer Funktion gegebenenfalls mit Technologieeinsatz bestimmen und als
Lösung(en) einer Gleichung interpretieren
| [[Theorie (3.7. und 3.8) | Theorie]]
| [[Theorie (3.7. und 3.8)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|3.8.
| Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen gegebenenfalls mit Technologieeinsatz
bestimmen und diese im Kontext interpretieren
| [[Theorie (3.7. und 3.8) | Theorie]]
| [[Theorie (3.7. und 3.8)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|3.9.
| anwendungsbezogene Problemstellungen mit geeigneten Funktionstypen
(lineare Funktion, quadratische Funktion und Exponentialfunktion) modellieren
| [[Funktionen | Theorie]]
| [[Theorie (3.9.)#Beispiele | Beispiele]]
|-
|3.10.
| Sinus-, Cosinus- und Tangensfunktionen mit Winkeln im Bogenmaß grafisch darstellen und
die Eigenschaften dieser Funktionen interpretieren und argumentieren
| [[Trigonometrie (2.12 und 3.10) | Theorie]]
| [[Trigonometrie (2.12 und 3.10)#Beispiele | Beispiele]]
|}
<br>
<br>

== Analysis ==
{| border="1"
!|Inhalt
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|4.1.
|Grenzwert und Stetigkeit von Funktionen auf der Basis eines intuitiven Begriffsverständnisses
argumentieren
| [[Theorie Grenzwert| Theorie]]
| [[Theorie Grenzwert#Beispiele | Beispiele]]
|-
|4.2.
| Differenzen- und Differenzialquotient als Änderungsraten interpretieren, damit anwendungsbezogen modellieren, rechnen und damit argumentieren
| [[Differenzen- und Differentialquotient | Theorie]]
| [[Differenzen- und Differentialquotient#Maturabeispiele| Beispiele]]
|-
|4.3.
| die Ableitungsfunktionen von Potenz-, Polynom- und Exponentialfunktionen und Funktionen,
die aus diesen zusammengesetzt sind, berechnen
| [[Ableitungsregeln | Theorie]]
| [[Ableitugnsregeln#Beispiele| Beispiele]]
|-
|4.4.
| Monotonieverhalten, Steigung der Tangente und Steigungswinkel, lokale Extrema, Krümmungsverhalten, Wendepunkte von Funktionen am Graphen ablesen, mithilfe der Ableitungen
modellieren, berechnen, interpretieren und argumentieren
| [[Kurvendiskussionen | Theorie]]
| [[Kurvendiskussionen#Maturabeispiele | Beispiele]]
|-
|4.5.
|den Zusammenhang zwischen Funktion und ihrer Ableitungsfunktion bzw. einer Stammfunktion beschreiben; in ihrer grafischen Darstellung interpretieren und argumentieren
| [[graphisches Differenzieren | Theorie]]
| [[graphisches Differenzieren#Beispiele | Beispiele]]
|-
|4.6.
| Stammfunktionen von Potenz- und Polynomfunktionen berechnen
| [[Integrationsregeln | Theorie]]
| [[Integrationsregeln#Beispiele | Beispiele]]
|-
|4.7.
| das bestimmte Integral auf der Grundlage eines intuitiven Grenzwertbegriffes als Grenzwert
einer Summe von Produkten interpretieren und damit argumentieren
| [[Integrieren| Theorie]]
| [[Integrieren#Beispiele | Beispiele]]
|-
|4.8.
| Stammfunktionen von Potenz- und Polynomfunktionen berechnen
| [[Integrieren| Theorie]]
| [[Integrieren#Beispiele | Beispiele]]
|}
<br>
<br>
== Stochastik==
{| border="1"
!|Inhalt
!| Kompetenz
!| Theorie
!| Beispiele
|-
|5.1.
|Daten statistisch aufbereiten, Häufigkeitsverteilungen (absolute und relative Häufigkeiten)
grafisch darstellen und interpretieren sowie die Auswahl einer bestimmten Darstellungsweise
anwendungsbezogen argumentieren (reis-, Stab- und Balken-/Säulendiagramme,
Boxplot)
| [[statistische Diagramme| Theorie]]
| [[statistische Diagramme#Beispiele | Beispiele]]
|-
|5.2.
| Mittelwerte und Streuungsmaße von Häufigkeitsverteilungen berechnen, interpretieren und
argumentieren
| [[statistische Kennzahlen| Theorie]]
| [[statistische Kennzahlen#Beispiele | Beispiele]]
|-
|5.3.
| die Wahrscheinlichkeit als intuitiven Grenzwert relativer Häufigkeit interpretieren
| [[Wahrscheinlichkeit| Theorie]]
| [[Wahrscheinlichkeit#Beispiele| Beispiele]]
|-
|5.4.
| die Additionsregel auf einander ausschließende Ereignisse und die Multiplikationsregel auf
unabhängige Ereignisse anwenden; Zufallsexperimente als Baumdiagramm darstellen
modellieren, berechnen, interpretieren und argumentieren
| [[Wahrscheinlichkeit#Baumdiagramme| Theorie]]
| [[Wahrscheinlichkeit#Beispiele | Beispiele]]
|-
|5.5.
|mit der Binomialverteilung modellieren, ihre Anwendung begründen, Wahrscheinlichkeiten
berechnen und die Ergebnisse kontextbezogen interpretieren
| [[Binomialverteilung | Theorie]]
| [[Binomialverteilung#Beispiele | Beispiele]]
|-
|5.6.
|mit der Wahrscheinlichkeitsdichte und der Verteilungsfunktion der Normalverteilung modellieren, Wahrscheinlichkeiten berechnen und die Ergebnisse kontextbezogen interpretieren, Erwartungswert $\mu$ und Standardabweichung $\sigma$ interpretieren und Auswirkungen auf die Wahrscheinlichkeitsdichte argumentieren
| [[Normalverteilung| Theorie]]
| [[Normalverteilung#Beispiele | Beispiele]]
|}

[[Kategorie: Angewandte Mathematik]]

Quadratische Funktionen

2014-07-23T09:43:06Z

62.47.214.244: /* Funktionsgleichung bestimmen */

[[Datei:Parabeln.png | thumb| right| 450px | Abbildung zweier Parabeln samt zugehörigen Funktionsgleichungen]]

{| border ="1" cellpadding="5"
| <p style="background-color:#E0E0E0">'''Definition:'''</p>

| Die Funktionsgleichung einer quadratischen [[Funktionen | Funktion]] (auch [[Polynomfunktion]] 2. [[Grades]] genannt) lautet $$ y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$$
{| align="right"
|mit $a,b,c\in$ [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)| $\mathbb{R} $ ]].
|}
|}

'''Hinweis:'''
* <span style="background-color:#00FFFF">!Wichtig! </span> Der Graph einer quadratischen Funktion ist IMMER eine '''Parabel''' und damit $\cup$- oder $\cap$-förmig (siehe Abbildungen rechts).

* Quadratische Funktionen haben immer genau einen [[Extremstellen | Hoch- oder Tiefpunkt]]. Diesen nennt man '''Scheitelpunkt''' (oder '''Scheitel''')

* Die Gleichung $ y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ wird als '''Normalform''' bezeichnet (sozusagen: ''im Normalfall ist die Funktion in dieser Form gegeben'').
: Neben der Normalform gibt es auch noch die [[Quadratische Funktionen#Scheitelpunktform |Scheitelpunktform $y=a\cdot (x-w)^2+s$]]

== Graph, Parameter und Eigenschaften ==

[[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]] $\ $ Schau dir [http://www.geogebratube.org/student/m137538 dieses Arbeitsblatt] an und beantworte die darin angeführten Fragen.

Gegeben [[sei]] eine quadratische Funktion der Form
$$f(x)= a\cdot x^2+b\cdot x+c$$

Dann haben die [[Parameter]] $a,\ b$ und $c$ folgende Auswirkungen auf den Graphen der quadratischen Funktion:
----
[[Datei:Graph mit a.gif|right]]

'''$a$ gibt an, wie stark der Graph steigt oder fällt'''

* Ist $a>0$, so ist die Parabel nach '''oben''' offen.
* Ist $a<0$, so ist die Parabel nach '''unten''' offen.
* Je größer [[Betrag einer Zahl (1.6.)| $|a|$ ]] ist, desto steiler ist der Graph.
* $a$ kann abgelesen werden, indem man vom Scheitelpunkt aus eins nach rechts und dann senkrecht zum Graphen geht.

----
[[Datei:Graph mit b1.gif | right]]

'''$b$ verschiebt den den Scheitelpunkt entlang einer Kurve nach rechts oder links:'''

* Ist $b<0$, so liegt der Scheitelpunkt '''rechts''' (!) der y-Achse.
* Ist $b>0$, so liegt der Scheitelpunkt '''links''' (!) der y-Achse.

'''!Achtung! Merke dir:'''
* $b<0\rightarrow$ rechts
* $b>0\rightarrow$ links

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Zusatz für Interessierte''' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Die Kurve, entlang derer die Parabel verschoben wird, ist die Spiegelung der Parabel parallel zur x-Achse.

Wer dies selbständig beweisen kann, warum dies so ist, dem ist der 1er so gut wie sicher.

</div>

</div>

----
[[Datei:Graph mit c1.gif|right]]

$c$ gibt den Schnittpunkt mit der y-Achse an (vgl. das [[Lineare Funktionen#d = Abstand auf der y-Achse ("Ordinatenabschnitt") |d bei den linearen Funktionen]]).

* Ist $c>0$, so liegt der Schnittpunkt oberhalb der x-Achse.
* Ist $c=0$, so geht die Parabel durch den Koodrinatenurspruch.
* Ist $c<0$, so schneidet die Parabel die y-Achse unterhalb der x-Achse.

== Nullstellen ==

[[Datei:Nullstellen.png|thumb|right|400px| Parabeln mit 0, 1 oder 2 Nullstellen]]

Die [[Nullstelle | Nullstellen]] einer quadratischen Funktion sind die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse.

Je nachdem, wie die Parabel im Koordinatensystem liegt gibt es:
* 2 Nullstellen
* 1 Nullstelle (=Scheitelpunkt liegt auf der x-Achse)
* 0 Nullstellen.

Die Nullstellen einer quadratischen Funktion werden berechnet, indem man $f(x)=0$ setzt und dann die [[qudratische Gleichungen | quadratische Gleichung]] $$f(x)=0$$ löst.

Siehe auch [[qudratische Gleichungen]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Musterbeispiel:''' Bestimme die Nullstelle der quadratischen Funktion $f(x)=-x^2+6x-5$ </span>

<div class="mw-collapsible-content">

'''Lösung:'''
Zuerst setzen wir die Funktion 0:
$$0=-x^2 + 6 \cdot x - 5$$
Nun verwenden wir die [[quadratische Gleichungen#die große Lösungsformel | große Lösungsformel]] mit a=-1, b=6 und c=-5
$$ x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}$$
[[Datei:Quadfkt-nullstelle.png|thumb|200px|right]]
$$x_{1,2}=\frac{-6\pm \sqrt{6^2-4\cdot (-1)\cdot (-5)}}{2\cdot (-1)}$$
$$x_{1,2}=\frac{-6\pm \sqrt{36-20}}{-2}$$
$$ x_1=\frac{-6+4}{-2}=1$$
$$ x_2=\frac{-6-4}{-2}=5$$
'''Antwort:''' Der Graph der Funktion schneidet bei $N_1(1|0)$ und $N_2(5|0)$ die x-Achse.
</div>
</div>

<br>
<br>
<br>

== Scheitelpunktform ==
Neben der Normalform ($f(x)=ax^2+bx+c$) gibt es auch noch die sogenannte Scheitelpunktform der Parabel:
$$\textrm{Scheitelpunktform: } f(x)=a\cdot (x-w)^2+s$$

$a$... gibt die Steigung (genauso wie bei der Normalform) an.

$w$... waagrechte Verschiebung des Scheitelpunktes vom Ursprung

$s$... senkrechte Verschiebung des Scheitelpunktes vom Ursprung

Beispiel

Die Scheitelpunktform hat den Vorteil, dass
a) bei gegebener Funktionsgleichung direkt die Koordinaten des Scheitelpunktes bestimmt werden können bzw.
b) bei gegebenem Graphen direkt mithilfe des Scheitelpunktes w uns s bestimmt werden können.

'''Umwandlung von der Scheitelpunktform in die Normalform'''

'''Umwandlung von der Normalform in die Scheitelpunktform - [[Quadratisches Ergänzen | quadratisches Ergänzen]]'''

[[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]] $\ $ In diesem [http://www.geogebratube.org/student/m137542 diesem Arbeitsblatt] kannst du die Bedeutung der Scheitelpunktform genauer lernen.

[[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]] $\ $ Und hier findest du eine [http://www.geogebratube.org/student/m79503 Aufgabe zur Scheitelpunktform]

<br>
<br>
<br>

== Funktionsgleichung bestimmen ==
'''Typische Aufgabenstellung''':
: Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der quadratischen Funktion, wenn einige Punkte auf der Parabel (=Graph der quadratischen Funktion) gegeben sind

Lösungsweg: Je nachdem, ob der Scheitelpunkt gegeben ist, gibt es zwei verschiedene Lösungswege:

a) Wenn der Scheitelpunkt gegeben ist verwendet man die Scheitelpunktform und bestimmt anhand der Koordinaten des Scheitelpunktes $w$ und $s$ und anschließend $a$

b) Wenn der Scheitelpunkt nicht gegeben ist, verwendet man die Normalform und stellt mithilfe von 3 Punkten insgesamt 3 Gleichungen auf, indem man die Punkte in die Funktionsgleichung $y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ einsetzt.

Musterbeispiel

{| border="1"
!| Normalform $y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$
!| Scheitelpunktform $ y=a\cdot(x-w)^2+s$
|-
| '''Wird verwendet, wenn:'''
* Scheitelpunkt nicht bekannt ist.
* 3 Punkte auf dem Graphen bekannt sind.
* [[Quadratische Gleichung#Große Lösungsformel | Nullstellen]] berechnet werden müssen.
|'''Wird verwendet, wenn:'''
* Scheitelpunkt bekannt oder ablesbar ist.
|-
| '''Berechnung der [[Parameter]]'''
# Man bestimmt 3 Punkte des Graphen und setzt sie in die Funktionsgleichung.
# Das daraus entstehende [[Gleichungssysteme (2.7.)#Gleichungssysteme mit 3 oder mehreren Variablen | Gleichungssystem]] wird gelöst.
| '''Berechnung der [[Parameter]]'''
# w und s können mithilfe des Scheitelpunktes $S=(w,s)$ bestimmt werden.
# a erhält man, entweder, indem man einen weiteren Punkt aus dem Graphen in die Funktionsgleichung einsetzt oder $a$ aus dem Graphen abliest (''eins nach rechts, a hinauf/hinab'')

|-
|colspan="2" align="center" | '''Typische Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung:'''
|-
|
Graphik
Da der Scheitelpunkt nicht bekannt ist, setzen wir die drei Punkte in die Normalform $y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ ein:

$$(0,3)\rightarrow \ 3=a\cdot 0^2+b\cdot 0+c$$
$$ (1,1)\rightarrow\ 1=a\cdot 1^2+b\cdot 1+c$$
$$ (4,0)\rightarrow\ 0=a\cdot 4^2+b\cdot 4+c$$

Daraus ergibt sich das folgende Gleichungssystem:
$$I:\ 0\cdot a+0\cdot b+c=3$$
$$II: \ 1\cdot a+1\cdot b+c=1$$
$$III:\ 16\cdot+4\cdot b+c=0$$

Löst man dieses, so erhält man:
$a=0.42,\ b=-2.42$ und $c=3$
$$\rightarrow y=0.42x^2-2.24x+3$$

|
$w=2$, da der Graph um 2 nach rechts verschoben wurde
$s=-1$, da der Graph um 1 hinunter verschoben wurde
$$\rightarrow y=a\cdot(x-2)^2-1$$

Um $a$ zu berechnen, setzen wir nun den Punkt (0,3) ein und erhalten:
$$3=a\cdot (0-2)^2-1$$
$$3=a\cdot 4-1$$
$$4=4\dot a$$
$$a=1$$
$$\rightarrow y=1\cdot(x-2)^2-1$$

Hinweis: Dass $a=1$ ist, wäre auch einfacher aus dem Graphen ablesbar gewesen.

|}

== Beispiele ==

[[Kategorie: Funktionen]]

Quadratische Funktionen

2014-07-23T09:42:20Z

62.47.214.244: /* Scheitelpunktform */

[[Datei:Parabeln.png | thumb| right| 450px | Abbildung zweier Parabeln samt zugehörigen Funktionsgleichungen]]

{| border ="1" cellpadding="5"
| <p style="background-color:#E0E0E0">'''Definition:'''</p>

| Die Funktionsgleichung einer quadratischen [[Funktionen | Funktion]] (auch [[Polynomfunktion]] 2. [[Grades]] genannt) lautet $$ y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$$
{| align="right"
|mit $a,b,c\in$ [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)| $\mathbb{R} $ ]].
|}
|}

'''Hinweis:'''
* <span style="background-color:#00FFFF">!Wichtig! </span> Der Graph einer quadratischen Funktion ist IMMER eine '''Parabel''' und damit $\cup$- oder $\cap$-förmig (siehe Abbildungen rechts).

* Quadratische Funktionen haben immer genau einen [[Extremstellen | Hoch- oder Tiefpunkt]]. Diesen nennt man '''Scheitelpunkt''' (oder '''Scheitel''')

* Die Gleichung $ y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ wird als '''Normalform''' bezeichnet (sozusagen: ''im Normalfall ist die Funktion in dieser Form gegeben'').
: Neben der Normalform gibt es auch noch die [[Quadratische Funktionen#Scheitelpunktform |Scheitelpunktform $y=a\cdot (x-w)^2+s$]]

== Graph, Parameter und Eigenschaften ==

[[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]] $\ $ Schau dir [http://www.geogebratube.org/student/m137538 dieses Arbeitsblatt] an und beantworte die darin angeführten Fragen.

Gegeben [[sei]] eine quadratische Funktion der Form
$$f(x)= a\cdot x^2+b\cdot x+c$$

Dann haben die [[Parameter]] $a,\ b$ und $c$ folgende Auswirkungen auf den Graphen der quadratischen Funktion:
----
[[Datei:Graph mit a.gif|right]]

'''$a$ gibt an, wie stark der Graph steigt oder fällt'''

* Ist $a>0$, so ist die Parabel nach '''oben''' offen.
* Ist $a<0$, so ist die Parabel nach '''unten''' offen.
* Je größer [[Betrag einer Zahl (1.6.)| $|a|$ ]] ist, desto steiler ist der Graph.
* $a$ kann abgelesen werden, indem man vom Scheitelpunkt aus eins nach rechts und dann senkrecht zum Graphen geht.

----
[[Datei:Graph mit b1.gif | right]]

'''$b$ verschiebt den den Scheitelpunkt entlang einer Kurve nach rechts oder links:'''

* Ist $b<0$, so liegt der Scheitelpunkt '''rechts''' (!) der y-Achse.
* Ist $b>0$, so liegt der Scheitelpunkt '''links''' (!) der y-Achse.

'''!Achtung! Merke dir:'''
* $b<0\rightarrow$ rechts
* $b>0\rightarrow$ links

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Zusatz für Interessierte''' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Die Kurve, entlang derer die Parabel verschoben wird, ist die Spiegelung der Parabel parallel zur x-Achse.

Wer dies selbständig beweisen kann, warum dies so ist, dem ist der 1er so gut wie sicher.

</div>

</div>

----
[[Datei:Graph mit c1.gif|right]]

$c$ gibt den Schnittpunkt mit der y-Achse an (vgl. das [[Lineare Funktionen#d = Abstand auf der y-Achse ("Ordinatenabschnitt") |d bei den linearen Funktionen]]).

* Ist $c>0$, so liegt der Schnittpunkt oberhalb der x-Achse.
* Ist $c=0$, so geht die Parabel durch den Koodrinatenurspruch.
* Ist $c<0$, so schneidet die Parabel die y-Achse unterhalb der x-Achse.

== Nullstellen ==

[[Datei:Nullstellen.png|thumb|right|400px| Parabeln mit 0, 1 oder 2 Nullstellen]]

Die [[Nullstelle | Nullstellen]] einer quadratischen Funktion sind die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse.

Je nachdem, wie die Parabel im Koordinatensystem liegt gibt es:
* 2 Nullstellen
* 1 Nullstelle (=Scheitelpunkt liegt auf der x-Achse)
* 0 Nullstellen.

Die Nullstellen einer quadratischen Funktion werden berechnet, indem man $f(x)=0$ setzt und dann die [[qudratische Gleichungen | quadratische Gleichung]] $$f(x)=0$$ löst.

Siehe auch [[qudratische Gleichungen]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Musterbeispiel:''' Bestimme die Nullstelle der quadratischen Funktion $f(x)=-x^2+6x-5$ </span>

<div class="mw-collapsible-content">

'''Lösung:'''
Zuerst setzen wir die Funktion 0:
$$0=-x^2 + 6 \cdot x - 5$$
Nun verwenden wir die [[quadratische Gleichungen#die große Lösungsformel | große Lösungsformel]] mit a=-1, b=6 und c=-5
$$ x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}$$
[[Datei:Quadfkt-nullstelle.png|thumb|200px|right]]
$$x_{1,2}=\frac{-6\pm \sqrt{6^2-4\cdot (-1)\cdot (-5)}}{2\cdot (-1)}$$
$$x_{1,2}=\frac{-6\pm \sqrt{36-20}}{-2}$$
$$ x_1=\frac{-6+4}{-2}=1$$
$$ x_2=\frac{-6-4}{-2}=5$$
'''Antwort:''' Der Graph der Funktion schneidet bei $N_1(1|0)$ und $N_2(5|0)$ die x-Achse.
</div>
</div>

<br>
<br>
<br>

== Scheitelpunktform ==
Neben der Normalform ($f(x)=ax^2+bx+c$) gibt es auch noch die sogenannte Scheitelpunktform der Parabel:
$$\textrm{Scheitelpunktform: } f(x)=a\cdot (x-w)^2+s$$

$a$... gibt die Steigung (genauso wie bei der Normalform) an.

$w$... waagrechte Verschiebung des Scheitelpunktes vom Ursprung

$s$... senkrechte Verschiebung des Scheitelpunktes vom Ursprung

Beispiel

Die Scheitelpunktform hat den Vorteil, dass
a) bei gegebener Funktionsgleichung direkt die Koordinaten des Scheitelpunktes bestimmt werden können bzw.
b) bei gegebenem Graphen direkt mithilfe des Scheitelpunktes w uns s bestimmt werden können.

'''Umwandlung von der Scheitelpunktform in die Normalform'''

'''Umwandlung von der Normalform in die Scheitelpunktform - [[Quadratisches Ergänzen | quadratisches Ergänzen]]'''

[[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]] $\ $ In diesem [http://www.geogebratube.org/student/m137542 diesem Arbeitsblatt] kannst du die Bedeutung der Scheitelpunktform genauer lernen.

[[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]] $\ $ Und hier findest du eine [http://www.geogebratube.org/student/m79503 Aufgabe zur Scheitelpunktform]

== Funktionsgleichung bestimmen ==
'''Typische Aufgabenstellung''':
: Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der quadratischen Funktion, wenn einige Punkte auf der Parabel (=Graph der quadratischen Funktion) gegeben sind

Lösungsweg: Je nachdem, ob der Scheitelpunkt gegeben ist, gibt es zwei verschiedene Lösungswege:

a) Wenn der Scheitelpunkt gegeben ist verwendet man die Scheitelpunktform und bestimmt anhand der Koordinaten des Scheitelpunktes $w$ und $s$ und anschließend $a$

b) Wenn der Scheitelpunkt nicht gegeben ist, verwendet man die Normalform und stellt mithilfe von 3 Punkten insgesamt 3 Gleichungen auf, indem man die Punkte in die Funktionsgleichung $y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ einsetzt.

Musterbeispiel

{| border="1"
!| Normalform $y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$
!| Scheitelpunktform $ y=a\cdot(x-w)^2+s$
|-
| '''Wird verwendet, wenn:'''
* Scheitelpunkt nicht bekannt ist.
* 3 Punkte auf dem Graphen bekannt sind.
* [[Quadratische Gleichung#Große Lösungsformel | Nullstellen]] berechnet werden müssen.
|'''Wird verwendet, wenn:'''
* Scheitelpunkt bekannt oder ablesbar ist.
|-
| '''Berechnung der [[Parameter]]'''
# Man bestimmt 3 Punkte des Graphen und setzt sie in die Funktionsgleichung.
# Das daraus entstehende [[Gleichungssysteme (2.7.)#Gleichungssysteme mit 3 oder mehreren Variablen | Gleichungssystem]] wird gelöst.
| '''Berechnung der [[Parameter]]'''
# w und s können mithilfe des Scheitelpunktes $S=(w,s)$ bestimmt werden.
# a erhält man, entweder, indem man einen weiteren Punkt aus dem Graphen in die Funktionsgleichung einsetzt oder $a$ aus dem Graphen abliest (''eins nach rechts, a hinauf/hinab'')

|-
|colspan="2" align="center" | '''Typische Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung:'''
|-
|
Graphik
Da der Scheitelpunkt nicht bekannt ist, setzen wir die drei Punkte in die Normalform $y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ ein:

$$(0,3)\rightarrow \ 3=a\cdot 0^2+b\cdot 0+c$$
$$ (1,1)\rightarrow\ 1=a\cdot 1^2+b\cdot 1+c$$
$$ (4,0)\rightarrow\ 0=a\cdot 4^2+b\cdot 4+c$$

Daraus ergibt sich das folgende Gleichungssystem:
$$I:\ 0\cdot a+0\cdot b+c=3$$
$$II: \ 1\cdot a+1\cdot b+c=1$$
$$III:\ 16\cdot+4\cdot b+c=0$$

Löst man dieses, so erhält man:
$a=0.42,\ b=-2.42$ und $c=3$
$$\rightarrow y=0.42x^2-2.24x+3$$

|
$w=2$, da der Graph um 2 nach rechts verschoben wurde
$s=-1$, da der Graph um 1 hinunter verschoben wurde
$$\rightarrow y=a\cdot(x-2)^2-1$$

Um $a$ zu berechnen, setzen wir nun den Punkt (0,3) ein und erhalten:
$$3=a\cdot (0-2)^2-1$$
$$3=a\cdot 4-1$$
$$4=4\dot a$$
$$a=1$$
$$\rightarrow y=1\cdot(x-2)^2-1$$

Hinweis: Dass $a=1$ ist, wäre auch einfacher aus dem Graphen ablesbar gewesen.

|}

== Beispiele ==

[[Kategorie: Funktionen]]

Quadratische Funktionen

2014-07-23T09:41:42Z

62.47.214.244: /* Nullstellen */

[[Datei:Parabeln.png | thumb| right| 450px | Abbildung zweier Parabeln samt zugehörigen Funktionsgleichungen]]

{| border ="1" cellpadding="5"
| <p style="background-color:#E0E0E0">'''Definition:'''</p>

| Die Funktionsgleichung einer quadratischen [[Funktionen | Funktion]] (auch [[Polynomfunktion]] 2. [[Grades]] genannt) lautet $$ y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$$
{| align="right"
|mit $a,b,c\in$ [[Theorie Zahlenmengen (1.1.)| $\mathbb{R} $ ]].
|}
|}

'''Hinweis:'''
* <span style="background-color:#00FFFF">!Wichtig! </span> Der Graph einer quadratischen Funktion ist IMMER eine '''Parabel''' und damit $\cup$- oder $\cap$-förmig (siehe Abbildungen rechts).

* Quadratische Funktionen haben immer genau einen [[Extremstellen | Hoch- oder Tiefpunkt]]. Diesen nennt man '''Scheitelpunkt''' (oder '''Scheitel''')

* Die Gleichung $ y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ wird als '''Normalform''' bezeichnet (sozusagen: ''im Normalfall ist die Funktion in dieser Form gegeben'').
: Neben der Normalform gibt es auch noch die [[Quadratische Funktionen#Scheitelpunktform |Scheitelpunktform $y=a\cdot (x-w)^2+s$]]

== Graph, Parameter und Eigenschaften ==

[[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]] $\ $ Schau dir [http://www.geogebratube.org/student/m137538 dieses Arbeitsblatt] an und beantworte die darin angeführten Fragen.

Gegeben [[sei]] eine quadratische Funktion der Form
$$f(x)= a\cdot x^2+b\cdot x+c$$

Dann haben die [[Parameter]] $a,\ b$ und $c$ folgende Auswirkungen auf den Graphen der quadratischen Funktion:
----
[[Datei:Graph mit a.gif|right]]

'''$a$ gibt an, wie stark der Graph steigt oder fällt'''

* Ist $a>0$, so ist die Parabel nach '''oben''' offen.
* Ist $a<0$, so ist die Parabel nach '''unten''' offen.
* Je größer [[Betrag einer Zahl (1.6.)| $|a|$ ]] ist, desto steiler ist der Graph.
* $a$ kann abgelesen werden, indem man vom Scheitelpunkt aus eins nach rechts und dann senkrecht zum Graphen geht.

----
[[Datei:Graph mit b1.gif | right]]

'''$b$ verschiebt den den Scheitelpunkt entlang einer Kurve nach rechts oder links:'''

* Ist $b<0$, so liegt der Scheitelpunkt '''rechts''' (!) der y-Achse.
* Ist $b>0$, so liegt der Scheitelpunkt '''links''' (!) der y-Achse.

'''!Achtung! Merke dir:'''
* $b<0\rightarrow$ rechts
* $b>0\rightarrow$ links

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Zusatz für Interessierte''' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Die Kurve, entlang derer die Parabel verschoben wird, ist die Spiegelung der Parabel parallel zur x-Achse.

Wer dies selbständig beweisen kann, warum dies so ist, dem ist der 1er so gut wie sicher.

</div>

</div>

----
[[Datei:Graph mit c1.gif|right]]

$c$ gibt den Schnittpunkt mit der y-Achse an (vgl. das [[Lineare Funktionen#d = Abstand auf der y-Achse ("Ordinatenabschnitt") |d bei den linearen Funktionen]]).

* Ist $c>0$, so liegt der Schnittpunkt oberhalb der x-Achse.
* Ist $c=0$, so geht die Parabel durch den Koodrinatenurspruch.
* Ist $c<0$, so schneidet die Parabel die y-Achse unterhalb der x-Achse.

== Nullstellen ==

[[Datei:Nullstellen.png|thumb|right|400px| Parabeln mit 0, 1 oder 2 Nullstellen]]

Die [[Nullstelle | Nullstellen]] einer quadratischen Funktion sind die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse.

Je nachdem, wie die Parabel im Koordinatensystem liegt gibt es:
* 2 Nullstellen
* 1 Nullstelle (=Scheitelpunkt liegt auf der x-Achse)
* 0 Nullstellen.

Die Nullstellen einer quadratischen Funktion werden berechnet, indem man $f(x)=0$ setzt und dann die [[qudratische Gleichungen | quadratische Gleichung]] $$f(x)=0$$ löst.

Siehe auch [[qudratische Gleichungen]]

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Musterbeispiel:''' Bestimme die Nullstelle der quadratischen Funktion $f(x)=-x^2+6x-5$ </span>

<div class="mw-collapsible-content">

'''Lösung:'''
Zuerst setzen wir die Funktion 0:
$$0=-x^2 + 6 \cdot x - 5$$
Nun verwenden wir die [[quadratische Gleichungen#die große Lösungsformel | große Lösungsformel]] mit a=-1, b=6 und c=-5
$$ x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}$$
[[Datei:Quadfkt-nullstelle.png|thumb|200px|right]]
$$x_{1,2}=\frac{-6\pm \sqrt{6^2-4\cdot (-1)\cdot (-5)}}{2\cdot (-1)}$$
$$x_{1,2}=\frac{-6\pm \sqrt{36-20}}{-2}$$
$$ x_1=\frac{-6+4}{-2}=1$$
$$ x_2=\frac{-6-4}{-2}=5$$
'''Antwort:''' Der Graph der Funktion schneidet bei $N_1(1|0)$ und $N_2(5|0)$ die x-Achse.
</div>
</div>

== Scheitelpunktform ==
Neben der Normalform ($f(x)=ax^2+bx+c$) gibt es auch noch die sogenannte Scheitelpunktform der Parabel:
$$\textrm{Scheitelpunktform: } f(x)=a\cdot (x-w)^2+s$$

$a$... gibt die Steigung (genauso wie bei der Normalform) an.

$w$... waagrechte Verschiebung des Scheitelpunktes vom Ursprung

$s$... senkrechte Verschiebung des Scheitelpunktes vom Ursprung

Beispiel

Die Scheitelpunktform hat den Vorteil, dass
a) bei gegebener Funktionsgleichung direkt die Koordinaten des Scheitelpunktes bestimmt werden können bzw.
b) bei gegebenem Graphen direkt mithilfe des Scheitelpunktes w uns s bestimmt werden können.

'''Umwandlung von der Scheitelpunktform in die Normalform'''

'''Umwandlung von der Normalform in die Scheitelpunktform - [[Quadratisches Ergänzen | quadratisches Ergänzen]]'''

[[Grün: Arbeitsblätter | <span style="background-color:#00CD00"> $Aha!$ </span>]] $\ $ In diesem [http://www.geogebratube.org/student/m137542 diesem Arbeitsblatt] kannst du die Bedeutung der Scheitelpunktform genauer lernen.

[[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| <span style="background-color:#FF3E96"> ? </span>]] $\ $ Und hier findest du eine [http://www.geogebratube.org/student/m79503 Aufgabe zur Scheitelpunktform]

== Funktionsgleichung bestimmen ==
'''Typische Aufgabenstellung''':
: Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der quadratischen Funktion, wenn einige Punkte auf der Parabel (=Graph der quadratischen Funktion) gegeben sind

Lösungsweg: Je nachdem, ob der Scheitelpunkt gegeben ist, gibt es zwei verschiedene Lösungswege:

a) Wenn der Scheitelpunkt gegeben ist verwendet man die Scheitelpunktform und bestimmt anhand der Koordinaten des Scheitelpunktes $w$ und $s$ und anschließend $a$

b) Wenn der Scheitelpunkt nicht gegeben ist, verwendet man die Normalform und stellt mithilfe von 3 Punkten insgesamt 3 Gleichungen auf, indem man die Punkte in die Funktionsgleichung $y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ einsetzt.

Musterbeispiel

{| border="1"
!| Normalform $y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$
!| Scheitelpunktform $ y=a\cdot(x-w)^2+s$
|-
| '''Wird verwendet, wenn:'''
* Scheitelpunkt nicht bekannt ist.
* 3 Punkte auf dem Graphen bekannt sind.
* [[Quadratische Gleichung#Große Lösungsformel | Nullstellen]] berechnet werden müssen.
|'''Wird verwendet, wenn:'''
* Scheitelpunkt bekannt oder ablesbar ist.
|-
| '''Berechnung der [[Parameter]]'''
# Man bestimmt 3 Punkte des Graphen und setzt sie in die Funktionsgleichung.
# Das daraus entstehende [[Gleichungssysteme (2.7.)#Gleichungssysteme mit 3 oder mehreren Variablen | Gleichungssystem]] wird gelöst.
| '''Berechnung der [[Parameter]]'''
# w und s können mithilfe des Scheitelpunktes $S=(w,s)$ bestimmt werden.
# a erhält man, entweder, indem man einen weiteren Punkt aus dem Graphen in die Funktionsgleichung einsetzt oder $a$ aus dem Graphen abliest (''eins nach rechts, a hinauf/hinab'')

|-
|colspan="2" align="center" | '''Typische Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung:'''
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Graphik
Da der Scheitelpunkt nicht bekannt ist, setzen wir die drei Punkte in die Normalform $y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ ein:

$$(0,3)\rightarrow \ 3=a\cdot 0^2+b\cdot 0+c$$
$$ (1,1)\rightarrow\ 1=a\cdot 1^2+b\cdot 1+c$$
$$ (4,0)\rightarrow\ 0=a\cdot 4^2+b\cdot 4+c$$

Daraus ergibt sich das folgende Gleichungssystem:
$$I:\ 0\cdot a+0\cdot b+c=3$$
$$II: \ 1\cdot a+1\cdot b+c=1$$
$$III:\ 16\cdot+4\cdot b+c=0$$

Löst man dieses, so erhält man:
$a=0.42,\ b=-2.42$ und $c=3$
$$\rightarrow y=0.42x^2-2.24x+3$$

|
$w=2$, da der Graph um 2 nach rechts verschoben wurde
$s=-1$, da der Graph um 1 hinunter verschoben wurde
$$\rightarrow y=a\cdot(x-2)^2-1$$

Um $a$ zu berechnen, setzen wir nun den Punkt (0,3) ein und erhalten:
$$3=a\cdot (0-2)^2-1$$
$$3=a\cdot 4-1$$
$$4=4\dot a$$
$$a=1$$
$$\rightarrow y=1\cdot(x-2)^2-1$$

Hinweis: Dass $a=1$ ist, wäre auch einfacher aus dem Graphen ablesbar gewesen.

|}

== Beispiele ==

[[Kategorie: Funktionen]]