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Integration

2014-10-18T14:55:48Z

62.47.212.103: /* Unbestimmtes Integral und die Integrationsregel */

[[Datei:Integration-Präsentationsbild-klein.png|link=https://mix.office.com/watch/1joif5vw19uvd|gerahmt|zentriert|Klicke auf das Bild, um die Einführungspräsentation zu starten]]

== Gruppe 1: Idee der Integration: Fläche als Summe unendlich kleiner Rechtecke + GeoGebra-Formel ==
Hier lernst du nächeres über die [[Integration: Idee der Integration: Fläche als Summe unendlich kleiner Rechtecke|Idee der Integration: Fläche als Summe unendlich kleiner Rechtecke]].

== Gruppe 2: Das unbestimmte Integral und die Integrationsregeln - bestimmen der Stammfunktionen ==

Für jede Rechenoperation existiert auch eine Umkehroperation. Die Umkehroperation der Addition ist zum Beispiel die Subtraktion. Demnach ist die Umkehroperation des Differenzierens das Integrieren. Zu jeder Funktion f kann man unter bestimmten Bedingungen die Ableitungsfunktion f´ bilden.
Nun sollte es natürlich möglich sein, zu einer Ableitungsfunktion die dazugehörige Ausgangsfunktion zu finden. Man kann jede Funktion als Ableitung betrachten und demnach muss es zu jeder Funktion (die man selbst ableiten kann) auch eine Funktion geben, aus der sie durch Ableiten hervorgegangen ist. Diese Überlegung führt uns zum Begriff '''Stammfunktion'''.

:::::::::::::::::::'''Unbestimmtes Integral, Stammfunktion Erklärung Teil 1'''
:::::::::::::::::{{#ev:youtube|apmRLssukv4}}

=== Integrationsregeln ===

* '''Potenzregel'''
$$\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c$$
::::::::::::::Die Potzenregel gilt nicht nur für natürliche Exponenten, sondern auch für reelle Exponenten außer -1.

* '''Summenregel'''
$$\int_{a}^{b} [f(x)± g(x)]\,dx=\int_{a}^{b} f (x)\,dx±\int_{a}^{b} g (x)\,dx$$
::::::::::::::::::Eine Summe wird integriert, indem man jeden Summanden integriert.

* '''Faktorregel'''
$$\int_{a}^{b} c\cdot f (x)\,dx=c\cdot\int_{a}^{b} f (x)\,dx$$
:::::::::::::::::::::Einen konstanten Faktor kann man herausheben.

* '''Regel für $\frac{1}{x}$'''
$$\int \frac{1}{x}\,dx=In|x|+c$$
::::::::::::::::::::::: Diese Regel braucht man für $\frac{1}{x}$

=== Beispiele ===
Bestimmen Sie die Stammfunktionen:

{{Vorlage:Beispiel|1= $y=2,5$|2=$\int 2.5\cdot dx=2,5x+c$

}}

{{Vorlage:Beispiel|1=$y=-x+0,5$|2=$\int(-x+0.5)\cdot dx=0,5x^2+0,5x+c$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=$y=x^2$|2=$\int x^2\cdot dx=\frac{x^3}{3}+c$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=$y=9x^2-8x+1$|2=$\int (9x^2-8x+1)\cdot dx=3x^3-4x^2+x+c$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=$y=2x+3$|2=$\int (2x+3)\cdot dx=x^2+3x+c$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=$y=\frac{1}{x}$|2=$\int(\frac{1}{x}\cdot dx=In\vert x\vert +c$}}

=== Zusatzmaterial ===

==== Quiz ====
'''[http://learningapps.org/display?v=pv1cjzcd201 Kreuzworträtsel zum unbestimmten Integral]'''

'''[http://LearningApps.org/display?v=p16f2fcj501 Kreuzworträtsel zu den Integrationsregeln]'''

==== Lernvideos ====
'''[https://www.youtube.com/watch?v=n1vCUu2qaO4 Unbestimmtes Integral, Stammfunktion Erklärung Teil 2]'''

'''[https://www.youtube.com/watch?v=xh1gFjAbcmM Unbestimmtes Integral, Stammfunktion Erklärung Teil 3]'''

== Gruppe 3: Das bestimmte Integral ==

Hier lernst du nächeres über [[Integration: Das bestimmte Integral - Berechnung der orientierten Fläche|das bestimmte Integral - Berechnung der orientierten Fläche]]

== Anwendung 1: Berechnung von Flächen, die oberhalb und unterhalb der x-Achse liegen ==

Hier lernst du nächeres über die [[Integration: Berechnung von Flächen, die oberhalb und unterhalb der x-Achse liegen|Berechnung von Flächen, die oberhalb und unterhalb der x-Achse liegen]].

== Anwendung 2: Berechnung von Flächen zwischen zwei Kurven ==

Hier lernst du nächeres über die [[Integration: Berechnung von Flächen zwischen zwei Kurven|Berechnung von Flächen zwischen zwei Kurven]].

== Anwendung 3: Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung ==
Hier lernst du nächeres über die die [[Integration: Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung| Integration von Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung]]

= GeoGebra-Formelsammlung =

== Ober- Untersumme ==

Näherung von $\int_{a}^{b} f(x)\cdot dx$
{| class="wikitable"
|-
! GeoGebra
|-
| Untersumme/Obersumme [ <Funktion>, <Startwert>, <Endwert>, <Anzahl der Rechtecke> ]
|}

== Flächen zwischen 2 Kurven ==

$\int_{a}^{b} (f(x)-g(x) ) \cdot dx$

{| class="wikitable"
|-
! GeoGebra
|-
| IntegralZwischen[ <Funktion>, <Funktion>, <Startwert>, <Endwert> ]
|}

==bestimmtes Integral und orientierte Fläche==

$\int_{a}^{b} f(x)=F(b)-F(a)$

{| class="wikitable"
|-
! GeoGebra
|-
| Integral[ <Funktion>, <Startwert>, <Endwert> ]
|}

== Unbestimmtes Integral/Stammfunktion und die Integrationsregel==

{| class="wikitable"
|-
! GeoGebra
|-
| Integral[ <Funktion> ]
|}

[http://www.geogebratube.org/student/m108943 Arbeitsblatt, dass die Idee der Rechtecke erklärt]

# [[Blume|zweite Bankreihe]]
# [[KarolaWinsauer|dritte Bankreihe]]
# [[KATHARINA..BOEHLER|vierte Bankreihe]]
# [[melissamelinda|vierte Bankreihe]]

== Übungsaufgaben ==
* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| ? ]] [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_integralrechnung/2011-03-22-Integral/Lernpfad/ Quiz-Aufgabe] (klicke links auf: "Übungen" und dann wähle eine Übung unter "Quiz")

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=26&file=Erddamm.pdf Erddamm] (leicht-mittel)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=135&file=Volumenstrom.pdf Volumenstrom] (mittel-schwer-mittel)
:: hierbei werden auch die Themen wie [[Differenzen- und Differentialquotient#Differentialquotient | die momentane Änderungsrate]] und [[Umkehraufgaben]] benötigt.

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=117&file=Pinboard.pdf Pinboard] (mittel)
:: hier brauchst du auch Wissen über [[Kurvendiskussionen]] und über [[Gleichungssysteme (2.7.) | das Lösen von Gleichungssystemen]] bzw. [[Umkehraufgaben]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=130&file=Wasserkanal.pdf Wasserkanal] (mittel-mittel-leicht)
:: hier brauchst du auch Wissen über [[Kurvendiskussionen]] bzw. [[Steigung und Steigungswinkel]] sowie den [http://www.mathe-lexikon.at/geometrie/ebene-figuren/vierecke/trapez/flaecheninhalt.html Flächeninhalt eines Trapez']

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=142&file=Energieverbrauch_und_Joggen.pdf Energieverbrauch beim Joggen] (mittel)
:: Welche Inhalte brauchst du hier noch: [[Wachstums- und Zerfallsprozesse | exponentielle Abnahme]] und [[Differenzen- und Differentialquotient]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=155&file=Schmuckstueck.pdf Schmuckstück] (leicht-mittel-mittel)
:: Was brauchst du hier noch: [[Quadratische Funktionen]] bzw. [[Umkehraufgaben]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=193&file=Minirampe.pdf Minirampe] (mittel)
:: Hier brauchst du auch Wissen über [[Kurvendiskussionen]] sowie über [[Steigung und Steigungswinkel]] und über [[Umkehraufgaben]]

Integration

2014-10-18T14:55:12Z

62.47.212.103: /* Ober- Untersumme */

[[Datei:Integration-Präsentationsbild-klein.png|link=https://mix.office.com/watch/1joif5vw19uvd|gerahmt|zentriert|Klicke auf das Bild, um die Einführungspräsentation zu starten]]

== Gruppe 1: Idee der Integration: Fläche als Summe unendlich kleiner Rechtecke + GeoGebra-Formel ==
Hier lernst du nächeres über die [[Integration: Idee der Integration: Fläche als Summe unendlich kleiner Rechtecke|Idee der Integration: Fläche als Summe unendlich kleiner Rechtecke]].

== Gruppe 2: Das unbestimmte Integral und die Integrationsregeln - bestimmen der Stammfunktionen ==

Für jede Rechenoperation existiert auch eine Umkehroperation. Die Umkehroperation der Addition ist zum Beispiel die Subtraktion. Demnach ist die Umkehroperation des Differenzierens das Integrieren. Zu jeder Funktion f kann man unter bestimmten Bedingungen die Ableitungsfunktion f´ bilden.
Nun sollte es natürlich möglich sein, zu einer Ableitungsfunktion die dazugehörige Ausgangsfunktion zu finden. Man kann jede Funktion als Ableitung betrachten und demnach muss es zu jeder Funktion (die man selbst ableiten kann) auch eine Funktion geben, aus der sie durch Ableiten hervorgegangen ist. Diese Überlegung führt uns zum Begriff '''Stammfunktion'''.

:::::::::::::::::::'''Unbestimmtes Integral, Stammfunktion Erklärung Teil 1'''
:::::::::::::::::{{#ev:youtube|apmRLssukv4}}

=== Integrationsregeln ===

* '''Potenzregel'''
$$\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c$$
::::::::::::::Die Potzenregel gilt nicht nur für natürliche Exponenten, sondern auch für reelle Exponenten außer -1.

* '''Summenregel'''
$$\int_{a}^{b} [f(x)± g(x)]\,dx=\int_{a}^{b} f (x)\,dx±\int_{a}^{b} g (x)\,dx$$
::::::::::::::::::Eine Summe wird integriert, indem man jeden Summanden integriert.

* '''Faktorregel'''
$$\int_{a}^{b} c\cdot f (x)\,dx=c\cdot\int_{a}^{b} f (x)\,dx$$
:::::::::::::::::::::Einen konstanten Faktor kann man herausheben.

* '''Regel für $\frac{1}{x}$'''
$$\int \frac{1}{x}\,dx=In|x|+c$$
::::::::::::::::::::::: Diese Regel braucht man für $\frac{1}{x}$

=== Beispiele ===
Bestimmen Sie die Stammfunktionen:

{{Vorlage:Beispiel|1= $y=2,5$|2=$\int 2.5\cdot dx=2,5x+c$

}}

{{Vorlage:Beispiel|1=$y=-x+0,5$|2=$\int(-x+0.5)\cdot dx=0,5x^2+0,5x+c$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=$y=x^2$|2=$\int x^2\cdot dx=\frac{x^3}{3}+c$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=$y=9x^2-8x+1$|2=$\int (9x^2-8x+1)\cdot dx=3x^3-4x^2+x+c$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=$y=2x+3$|2=$\int (2x+3)\cdot dx=x^2+3x+c$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=$y=\frac{1}{x}$|2=$\int(\frac{1}{x}\cdot dx=In\vert x\vert +c$}}

=== Zusatzmaterial ===

==== Quiz ====
'''[http://learningapps.org/display?v=pv1cjzcd201 Kreuzworträtsel zum unbestimmten Integral]'''

'''[http://LearningApps.org/display?v=p16f2fcj501 Kreuzworträtsel zu den Integrationsregeln]'''

==== Lernvideos ====
'''[https://www.youtube.com/watch?v=n1vCUu2qaO4 Unbestimmtes Integral, Stammfunktion Erklärung Teil 2]'''

'''[https://www.youtube.com/watch?v=xh1gFjAbcmM Unbestimmtes Integral, Stammfunktion Erklärung Teil 3]'''

== Gruppe 3: Das bestimmte Integral ==

Hier lernst du nächeres über [[Integration: Das bestimmte Integral - Berechnung der orientierten Fläche|das bestimmte Integral - Berechnung der orientierten Fläche]]

== Anwendung 1: Berechnung von Flächen, die oberhalb und unterhalb der x-Achse liegen ==

Hier lernst du nächeres über die [[Integration: Berechnung von Flächen, die oberhalb und unterhalb der x-Achse liegen|Berechnung von Flächen, die oberhalb und unterhalb der x-Achse liegen]].

== Anwendung 2: Berechnung von Flächen zwischen zwei Kurven ==

Hier lernst du nächeres über die [[Integration: Berechnung von Flächen zwischen zwei Kurven|Berechnung von Flächen zwischen zwei Kurven]].

== Anwendung 3: Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung ==
Hier lernst du nächeres über die die [[Integration: Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung| Integration von Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung]]

= GeoGebra-Formelsammlung =

== Ober- Untersumme ==

Näherung von $\int_{a}^{b} f(x)\cdot dx$
{| class="wikitable"
|-
! GeoGebra
|-
| Untersumme/Obersumme [ <Funktion>, <Startwert>, <Endwert>, <Anzahl der Rechtecke> ]
|}

== Flächen zwischen 2 Kurven ==

$\int_{a}^{b} (f(x)-g(x) ) \cdot dx$

{| class="wikitable"
|-
! GeoGebra
|-
| IntegralZwischen[ <Funktion>, <Funktion>, <Startwert>, <Endwert> ]
|}

==bestimmtes Integral und orientierte Fläche==

$\int_{a}^{b} f(x)=F(b)-F(a)$

{| class="wikitable"
|-
! GeoGebra
|-
| Integral[ <Funktion>, <Startwert>, <Endwert> ]
|}

== Unbestimmtes Integral und die Integrationsregel==

{| class="wikitable"
|-
! GeoGebra
|-
| Integral[ <Funktion> ]
|}

[http://www.geogebratube.org/student/m108943 Arbeitsblatt, dass die Idee der Rechtecke erklärt]

# [[Blume|zweite Bankreihe]]
# [[KarolaWinsauer|dritte Bankreihe]]
# [[KATHARINA..BOEHLER|vierte Bankreihe]]
# [[melissamelinda|vierte Bankreihe]]

== Übungsaufgaben ==
* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| ? ]] [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_integralrechnung/2011-03-22-Integral/Lernpfad/ Quiz-Aufgabe] (klicke links auf: "Übungen" und dann wähle eine Übung unter "Quiz")

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=26&file=Erddamm.pdf Erddamm] (leicht-mittel)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=135&file=Volumenstrom.pdf Volumenstrom] (mittel-schwer-mittel)
:: hierbei werden auch die Themen wie [[Differenzen- und Differentialquotient#Differentialquotient | die momentane Änderungsrate]] und [[Umkehraufgaben]] benötigt.

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=117&file=Pinboard.pdf Pinboard] (mittel)
:: hier brauchst du auch Wissen über [[Kurvendiskussionen]] und über [[Gleichungssysteme (2.7.) | das Lösen von Gleichungssystemen]] bzw. [[Umkehraufgaben]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=130&file=Wasserkanal.pdf Wasserkanal] (mittel-mittel-leicht)
:: hier brauchst du auch Wissen über [[Kurvendiskussionen]] bzw. [[Steigung und Steigungswinkel]] sowie den [http://www.mathe-lexikon.at/geometrie/ebene-figuren/vierecke/trapez/flaecheninhalt.html Flächeninhalt eines Trapez']

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=142&file=Energieverbrauch_und_Joggen.pdf Energieverbrauch beim Joggen] (mittel)
:: Welche Inhalte brauchst du hier noch: [[Wachstums- und Zerfallsprozesse | exponentielle Abnahme]] und [[Differenzen- und Differentialquotient]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=155&file=Schmuckstueck.pdf Schmuckstück] (leicht-mittel-mittel)
:: Was brauchst du hier noch: [[Quadratische Funktionen]] bzw. [[Umkehraufgaben]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=193&file=Minirampe.pdf Minirampe] (mittel)
:: Hier brauchst du auch Wissen über [[Kurvendiskussionen]] sowie über [[Steigung und Steigungswinkel]] und über [[Umkehraufgaben]]

Integration

2014-10-18T14:54:43Z

62.47.212.103: /* Anwendung 3: Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung */

[[Datei:Integration-Präsentationsbild-klein.png|link=https://mix.office.com/watch/1joif5vw19uvd|gerahmt|zentriert|Klicke auf das Bild, um die Einführungspräsentation zu starten]]

== Gruppe 1: Idee der Integration: Fläche als Summe unendlich kleiner Rechtecke + GeoGebra-Formel ==
Hier lernst du nächeres über die [[Integration: Idee der Integration: Fläche als Summe unendlich kleiner Rechtecke|Idee der Integration: Fläche als Summe unendlich kleiner Rechtecke]].

== Gruppe 2: Das unbestimmte Integral und die Integrationsregeln - bestimmen der Stammfunktionen ==

Für jede Rechenoperation existiert auch eine Umkehroperation. Die Umkehroperation der Addition ist zum Beispiel die Subtraktion. Demnach ist die Umkehroperation des Differenzierens das Integrieren. Zu jeder Funktion f kann man unter bestimmten Bedingungen die Ableitungsfunktion f´ bilden.
Nun sollte es natürlich möglich sein, zu einer Ableitungsfunktion die dazugehörige Ausgangsfunktion zu finden. Man kann jede Funktion als Ableitung betrachten und demnach muss es zu jeder Funktion (die man selbst ableiten kann) auch eine Funktion geben, aus der sie durch Ableiten hervorgegangen ist. Diese Überlegung führt uns zum Begriff '''Stammfunktion'''.

:::::::::::::::::::'''Unbestimmtes Integral, Stammfunktion Erklärung Teil 1'''
:::::::::::::::::{{#ev:youtube|apmRLssukv4}}

=== Integrationsregeln ===

* '''Potenzregel'''
$$\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c$$
::::::::::::::Die Potzenregel gilt nicht nur für natürliche Exponenten, sondern auch für reelle Exponenten außer -1.

* '''Summenregel'''
$$\int_{a}^{b} [f(x)± g(x)]\,dx=\int_{a}^{b} f (x)\,dx±\int_{a}^{b} g (x)\,dx$$
::::::::::::::::::Eine Summe wird integriert, indem man jeden Summanden integriert.

* '''Faktorregel'''
$$\int_{a}^{b} c\cdot f (x)\,dx=c\cdot\int_{a}^{b} f (x)\,dx$$
:::::::::::::::::::::Einen konstanten Faktor kann man herausheben.

* '''Regel für $\frac{1}{x}$'''
$$\int \frac{1}{x}\,dx=In|x|+c$$
::::::::::::::::::::::: Diese Regel braucht man für $\frac{1}{x}$

=== Beispiele ===
Bestimmen Sie die Stammfunktionen:

{{Vorlage:Beispiel|1= $y=2,5$|2=$\int 2.5\cdot dx=2,5x+c$

}}

{{Vorlage:Beispiel|1=$y=-x+0,5$|2=$\int(-x+0.5)\cdot dx=0,5x^2+0,5x+c$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=$y=x^2$|2=$\int x^2\cdot dx=\frac{x^3}{3}+c$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=$y=9x^2-8x+1$|2=$\int (9x^2-8x+1)\cdot dx=3x^3-4x^2+x+c$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=$y=2x+3$|2=$\int (2x+3)\cdot dx=x^2+3x+c$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=$y=\frac{1}{x}$|2=$\int(\frac{1}{x}\cdot dx=In\vert x\vert +c$}}

=== Zusatzmaterial ===

==== Quiz ====
'''[http://learningapps.org/display?v=pv1cjzcd201 Kreuzworträtsel zum unbestimmten Integral]'''

'''[http://LearningApps.org/display?v=p16f2fcj501 Kreuzworträtsel zu den Integrationsregeln]'''

==== Lernvideos ====
'''[https://www.youtube.com/watch?v=n1vCUu2qaO4 Unbestimmtes Integral, Stammfunktion Erklärung Teil 2]'''

'''[https://www.youtube.com/watch?v=xh1gFjAbcmM Unbestimmtes Integral, Stammfunktion Erklärung Teil 3]'''

== Gruppe 3: Das bestimmte Integral ==

Hier lernst du nächeres über [[Integration: Das bestimmte Integral - Berechnung der orientierten Fläche|das bestimmte Integral - Berechnung der orientierten Fläche]]

== Anwendung 1: Berechnung von Flächen, die oberhalb und unterhalb der x-Achse liegen ==

Hier lernst du nächeres über die [[Integration: Berechnung von Flächen, die oberhalb und unterhalb der x-Achse liegen|Berechnung von Flächen, die oberhalb und unterhalb der x-Achse liegen]].

== Anwendung 2: Berechnung von Flächen zwischen zwei Kurven ==

Hier lernst du nächeres über die [[Integration: Berechnung von Flächen zwischen zwei Kurven|Berechnung von Flächen zwischen zwei Kurven]].

== Anwendung 3: Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung ==
Hier lernst du nächeres über die die [[Integration: Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung| Integration von Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung]]

= GeoGebra-Formelsammlung =

== Ober- Untersumme ==

$\int_{a}^{b} f(x)\cdot dx$
{| class="wikitable"
|-
! GeoGebra
|-
| Untersumme/Obersumme [ <Funktion>, <Startwert>, <Endwert>, <Anzahl der Rechtecke> ]
|}

== Flächen zwischen 2 Kurven ==

$\int_{a}^{b} (f(x)-g(x) ) \cdot dx$

{| class="wikitable"
|-
! GeoGebra
|-
| IntegralZwischen[ <Funktion>, <Funktion>, <Startwert>, <Endwert> ]
|}

==bestimmtes Integral und orientierte Fläche==

$\int_{a}^{b} f(x)=F(b)-F(a)$

{| class="wikitable"
|-
! GeoGebra
|-
| Integral[ <Funktion>, <Startwert>, <Endwert> ]
|}

== Unbestimmtes Integral und die Integrationsregel==

{| class="wikitable"
|-
! GeoGebra
|-
| Integral[ <Funktion> ]
|}

[http://www.geogebratube.org/student/m108943 Arbeitsblatt, dass die Idee der Rechtecke erklärt]

# [[Blume|zweite Bankreihe]]
# [[KarolaWinsauer|dritte Bankreihe]]
# [[KATHARINA..BOEHLER|vierte Bankreihe]]
# [[melissamelinda|vierte Bankreihe]]

== Übungsaufgaben ==
* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| ? ]] [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_integralrechnung/2011-03-22-Integral/Lernpfad/ Quiz-Aufgabe] (klicke links auf: "Übungen" und dann wähle eine Übung unter "Quiz")

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=26&file=Erddamm.pdf Erddamm] (leicht-mittel)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=135&file=Volumenstrom.pdf Volumenstrom] (mittel-schwer-mittel)
:: hierbei werden auch die Themen wie [[Differenzen- und Differentialquotient#Differentialquotient | die momentane Änderungsrate]] und [[Umkehraufgaben]] benötigt.

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=117&file=Pinboard.pdf Pinboard] (mittel)
:: hier brauchst du auch Wissen über [[Kurvendiskussionen]] und über [[Gleichungssysteme (2.7.) | das Lösen von Gleichungssystemen]] bzw. [[Umkehraufgaben]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=130&file=Wasserkanal.pdf Wasserkanal] (mittel-mittel-leicht)
:: hier brauchst du auch Wissen über [[Kurvendiskussionen]] bzw. [[Steigung und Steigungswinkel]] sowie den [http://www.mathe-lexikon.at/geometrie/ebene-figuren/vierecke/trapez/flaecheninhalt.html Flächeninhalt eines Trapez']

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=142&file=Energieverbrauch_und_Joggen.pdf Energieverbrauch beim Joggen] (mittel)
:: Welche Inhalte brauchst du hier noch: [[Wachstums- und Zerfallsprozesse | exponentielle Abnahme]] und [[Differenzen- und Differentialquotient]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=155&file=Schmuckstueck.pdf Schmuckstück] (leicht-mittel-mittel)
:: Was brauchst du hier noch: [[Quadratische Funktionen]] bzw. [[Umkehraufgaben]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=193&file=Minirampe.pdf Minirampe] (mittel)
:: Hier brauchst du auch Wissen über [[Kurvendiskussionen]] sowie über [[Steigung und Steigungswinkel]] und über [[Umkehraufgaben]]

Spezial:Badtitle/NS3000:Integration: Idee der Integration: Fläche als Summe unendlich kleiner Rechtecke

2014-10-18T14:54:14Z

62.47.212.103: /* GeoGebra-Formelsammlung */

Integration

2014-10-18T14:53:47Z

62.47.212.103:

[[Datei:Integration-Präsentationsbild-klein.png|link=https://mix.office.com/watch/1joif5vw19uvd|gerahmt|zentriert|Klicke auf das Bild, um die Einführungspräsentation zu starten]]

== Gruppe 1: Idee der Integration: Fläche als Summe unendlich kleiner Rechtecke + GeoGebra-Formel ==
Hier lernst du nächeres über die [[Integration: Idee der Integration: Fläche als Summe unendlich kleiner Rechtecke|Idee der Integration: Fläche als Summe unendlich kleiner Rechtecke]].

== Gruppe 2: Das unbestimmte Integral und die Integrationsregeln - bestimmen der Stammfunktionen ==

Für jede Rechenoperation existiert auch eine Umkehroperation. Die Umkehroperation der Addition ist zum Beispiel die Subtraktion. Demnach ist die Umkehroperation des Differenzierens das Integrieren. Zu jeder Funktion f kann man unter bestimmten Bedingungen die Ableitungsfunktion f´ bilden.
Nun sollte es natürlich möglich sein, zu einer Ableitungsfunktion die dazugehörige Ausgangsfunktion zu finden. Man kann jede Funktion als Ableitung betrachten und demnach muss es zu jeder Funktion (die man selbst ableiten kann) auch eine Funktion geben, aus der sie durch Ableiten hervorgegangen ist. Diese Überlegung führt uns zum Begriff '''Stammfunktion'''.

:::::::::::::::::::'''Unbestimmtes Integral, Stammfunktion Erklärung Teil 1'''
:::::::::::::::::{{#ev:youtube|apmRLssukv4}}

=== Integrationsregeln ===

* '''Potenzregel'''
$$\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c$$
::::::::::::::Die Potzenregel gilt nicht nur für natürliche Exponenten, sondern auch für reelle Exponenten außer -1.

* '''Summenregel'''
$$\int_{a}^{b} [f(x)± g(x)]\,dx=\int_{a}^{b} f (x)\,dx±\int_{a}^{b} g (x)\,dx$$
::::::::::::::::::Eine Summe wird integriert, indem man jeden Summanden integriert.

* '''Faktorregel'''
$$\int_{a}^{b} c\cdot f (x)\,dx=c\cdot\int_{a}^{b} f (x)\,dx$$
:::::::::::::::::::::Einen konstanten Faktor kann man herausheben.

* '''Regel für $\frac{1}{x}$'''
$$\int \frac{1}{x}\,dx=In|x|+c$$
::::::::::::::::::::::: Diese Regel braucht man für $\frac{1}{x}$

=== Beispiele ===
Bestimmen Sie die Stammfunktionen:

{{Vorlage:Beispiel|1= $y=2,5$|2=$\int 2.5\cdot dx=2,5x+c$

}}

{{Vorlage:Beispiel|1=$y=-x+0,5$|2=$\int(-x+0.5)\cdot dx=0,5x^2+0,5x+c$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=$y=x^2$|2=$\int x^2\cdot dx=\frac{x^3}{3}+c$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=$y=9x^2-8x+1$|2=$\int (9x^2-8x+1)\cdot dx=3x^3-4x^2+x+c$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=$y=2x+3$|2=$\int (2x+3)\cdot dx=x^2+3x+c$}}

{{Vorlage:Beispiel|1=$y=\frac{1}{x}$|2=$\int(\frac{1}{x}\cdot dx=In\vert x\vert +c$}}

=== Zusatzmaterial ===

==== Quiz ====
'''[http://learningapps.org/display?v=pv1cjzcd201 Kreuzworträtsel zum unbestimmten Integral]'''

'''[http://LearningApps.org/display?v=p16f2fcj501 Kreuzworträtsel zu den Integrationsregeln]'''

==== Lernvideos ====
'''[https://www.youtube.com/watch?v=n1vCUu2qaO4 Unbestimmtes Integral, Stammfunktion Erklärung Teil 2]'''

'''[https://www.youtube.com/watch?v=xh1gFjAbcmM Unbestimmtes Integral, Stammfunktion Erklärung Teil 3]'''

== Gruppe 3: Das bestimmte Integral ==

Hier lernst du nächeres über [[Integration: Das bestimmte Integral - Berechnung der orientierten Fläche|das bestimmte Integral - Berechnung der orientierten Fläche]]

== Anwendung 1: Berechnung von Flächen, die oberhalb und unterhalb der x-Achse liegen ==

Hier lernst du nächeres über die [[Integration: Berechnung von Flächen, die oberhalb und unterhalb der x-Achse liegen|Berechnung von Flächen, die oberhalb und unterhalb der x-Achse liegen]].

== Anwendung 2: Berechnung von Flächen zwischen zwei Kurven ==

Hier lernst du nächeres über die [[Integration: Berechnung von Flächen zwischen zwei Kurven|Berechnung von Flächen zwischen zwei Kurven]].

== Anwendung 3: Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung ==
Hier lernst du nächeres über die die [[Integration: Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung| Integration von Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung]]

== Übungsaufgaben ==
* [[Violett: Quizzes und dynamische Aufgabenblätter| ? ]] [http://rfdz.ph-noe.ac.at/fileadmin/Mathematik_Uploads/Medienvielfalt/Medienvielfalt3/lernpfad_integralrechnung/2011-03-22-Integral/Lernpfad/ Quiz-Aufgabe] (klicke links auf: "Übungen" und dann wähle eine Übung unter "Quiz")

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=26&file=Erddamm.pdf Erddamm] (leicht-mittel)

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=135&file=Volumenstrom.pdf Volumenstrom] (mittel-schwer-mittel)
:: hierbei werden auch die Themen wie [[Differenzen- und Differentialquotient#Differentialquotient | die momentane Änderungsrate]] und [[Umkehraufgaben]] benötigt.

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=117&file=Pinboard.pdf Pinboard] (mittel)
:: hier brauchst du auch Wissen über [[Kurvendiskussionen]] und über [[Gleichungssysteme (2.7.) | das Lösen von Gleichungssystemen]] bzw. [[Umkehraufgaben]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=130&file=Wasserkanal.pdf Wasserkanal] (mittel-mittel-leicht)
:: hier brauchst du auch Wissen über [[Kurvendiskussionen]] bzw. [[Steigung und Steigungswinkel]] sowie den [http://www.mathe-lexikon.at/geometrie/ebene-figuren/vierecke/trapez/flaecheninhalt.html Flächeninhalt eines Trapez']

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]]: [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=142&file=Energieverbrauch_und_Joggen.pdf Energieverbrauch beim Joggen] (mittel)
:: Welche Inhalte brauchst du hier noch: [[Wachstums- und Zerfallsprozesse | exponentielle Abnahme]] und [[Differenzen- und Differentialquotient]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=155&file=Schmuckstueck.pdf Schmuckstück] (leicht-mittel-mittel)
:: Was brauchst du hier noch: [[Quadratische Funktionen]] bzw. [[Umkehraufgaben]]

* [[Bifie-grün: Aufgaben des Bifie | $Bifie$]] [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=193&file=Minirampe.pdf Minirampe] (mittel)
:: Hier brauchst du auch Wissen über [[Kurvendiskussionen]] sowie über [[Steigung und Steigungswinkel]] und über [[Umkehraufgaben]]

Spezial:Badtitle/NS3000:Integration: Idee der Integration: Fläche als Summe unendlich kleiner Rechtecke

2014-10-18T14:49:15Z

62.47.212.103: Die Seite wurde neu angelegt: „= Fläche als Summe von unendlich kleinen Rechtecken = == Ober- und Untersummen == Man kann die tatsächliche Fläche abschätzen indem man ''viele Rechtecke…“

= Fläche als Summe von unendlich kleinen Rechtecken =

== Ober- und Untersummen ==

Man kann die tatsächliche Fläche abschätzen indem man ''viele Rechtecke unter der Kurve einschreibt'' und dann die Rechtecksflächen addiert '''(=Untersumme)'''
oder in dem man viele Rechtecke '''über der Kurve einschreibt''' und dann die Rechtecksflächen addiert
'''(=Obersumme)'''

[[Datei:Ober-untersumme.PNG|miniatur]]

Die orientierte Fläche unter einer Kurve kann somit als Summe von unendlich vielen Rechtecken mit der Höhe f(x) und der unendlich kleinen Breite dx berechnet werden.

'''Formel''':

$$\int_{a}^{b} f(x)\cdot dx$$

("das Integral zwischen a bis b von f(x) mal dx")

* f(x)...Höhe (des unendlich kleinen Rechtecks)
* dx...unendlich kleine Breite des Rechtecks
* f(x)\cdot dx...Fläche eines Rechtecks
* $\int f(x)\cdot dx$..."Summe" (=Integrationszeichen)
* $\int f(x)\cdot dx$...Summe aller Rechtecksflächen von a bis b

* f(x) heißt Integrand (das, was integriert wird)
* x heißt Integrationsvariable
* a und b heißen untere bzw. obere Integrationsgrenzen
* $\int_{a}^{b} f(x)\cdot dx$ ist das bestimmte Integral und gibt die orientierte Fläche zwischen f(x) und der x-Achse an.
* Aufgezählter Listeneintrag
(Das unbestimmte Integral $\int f(x)\cdot dx$ hat keine Grenzen und berechnet die Stammfunktionen von f)

<gallery>
Datei:10 Rechtecke.png|10 Rechtecke

Datei:100 Rechtecke.png|100 Rechtecke
<gallery>

Datei:200 Rechtecke.png|200 Rechtecke
</gallery>

$f(x)=x^2+2 (Zwischen 0 und 4)$

--> je mehr Rechtecke, desto genauer das Ergebnis'''

'''Eingabe in GeoGebra''':

Untersumme(f,0,4,''(Anzahl der Rechtecke)''10)

{{#ev:youtube|KUCG117tA20}}
[https://www.youtube.com/watch?v=KUCG117tA20 schau mich an]

= GeoGebra-Formelsammlung =

== Ober- Untersumme ==

$\int_{a}^{b} f(x)\cdot dx$
{| class="wikitable"
|-
! GeoGebra
|-
| Untersumme/Obersumme [ <Funktion>, <Startwert>, <Endwert>, <Anzahl der Rechtecke> ]
|}

== Flächen zwischen 2 Kurven ==

$\int_{a}^{b} (f(x)-g(x) ) \cdot dx$

{| class="wikitable"
|-
! GeoGebra
|-
| IntegralZwischen[ <Funktion>, <Funktion>, <Startwert>, <Endwert> ]
|}

==bestimmtes Integral und orientierte Fläche==

$\int_{a}^{b} f(x)=F(b)-F(a)$

{| class="wikitable"
|-
! GeoGebra
|-
| Integral[ <Funktion>, <Startwert>, <Endwert> ]
|}

== Unbestimmtes Integral und die Integrationsregel==

{| class="wikitable"
|-
! GeoGebra
|-
| Integral[ <Funktion> ]
|}

[http://www.geogebratube.org/student/m108943 Arbeitsblatt, dass die Idee der Rechtecke erklärt]

# [[Blume|zweite Bankreihe]]
# [[KarolaWinsauer|dritte Bankreihe]]
# [[KATHARINA..BOEHLER|vierte Bankreihe]]
# [[melissamelinda|vierte Bankreihe]]