Matura Wiki - Benutzerbeiträge [de]

Wachstums- und Zerfallsprozesse

2014-07-08T06:47:31Z

62.47.210.109: /* Halbwertszeit */

In der Natur vorkommende Wachstums- und Zerfallsprozesse (z.B. Wachstum einer Bevölkerung, Zerfall eines radioaktiven Atoms, Abnahme des Alkoholspiegels) können mithilfe von mathematischen [[Funktionen]] beschrieben werden.

Für die Matura sind dabei besonders die folgenden Funktionen wichtig:
* [[Lineare Funktionen | lineare Funktionen y=kx+d]]
* [[Exponentialfunktionen(3.5.)| Exponentialfunktionen $y=b\cdot a^x$ oder $y=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$]]
* [[quadratische Funktionen | quadratische Funktionen $y=ax^2+bx+c$]]

== Grundbegriffe ==
* $t...$ gibt die vergangene Zeit an (in Jahren oder Tagen oder Stunden oder …. Die Einheit steht immer in der Angabe!)
* $N_0...$ Anfangswert (Anzahl/Größe zum Zeitpunkt 0)
* $N(t)...$ Anzahl/Größe nach t Zeiteinheiten (z.B. t gebe die Stunden an, dann ist $N(5)=$ Anzahl nach 5 Stunden)

== Lineares Wachstum $N(t)= k\cdot t +N_0$==

=== Definition und Verwendung===
[[Datei:Lin wachstum.png|thumb|right|300px|Graph einer linearen Zunahme]]
[[Datei:Lin abnahme.png|thumb|right|300px|Graph einer linearen Abnahme]]

Eine Größe verändert sich linear, wenn sie in gleichen Zeitabständen um denselben konstanten Wert k wächst.
Die Funktionsgleichung für eine solche Veränderung lautet dann:
$$ N(t)= k\cdot t +N_0 $$

* Ist k>0, so handelt es sich um ein lineares Wachstum
* Ist k<0, so handelt es sich um eine lineare Abhnahme

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Hinweise:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
* Bei $ N(t)= k\cdot t +N_0 $ handelt es sich um eine [[Lineare Funktionen | lineare Funktion]] der Form
$$ y=k\cdot x+d$$
: Mit der unabhängigen Variable $t=x$, der davon abhängigen Variable $N(t)=y$ und dem Startwert $N_0=d$
* '''Herleitung der Funktionsgleichung:'''
Angenommen eine Population hat zu Beginn $N_0$ Individuen und wächst pro Zeiteinheit (z.B. pro Stunde) um den Wert k.

Dann gilt für $N_1=$ Individuen nach einer Stunde:
$$N(1)=N_0+k$$
Nach 2 Stunden hat sich die Population wieder um k vermehrt und damit ist
$$N(2)=N(1)+k=(N_0+k)+k=N_0+2k$$
Und nach 3 Stunden gilt
$$N(3)=N(3)+k=N_0+3k$$
Ganz allgemein gilt dann für die Population nach t Stunden:
$$N(t)=N_0+k\cdot t$$

</div>

</div>

<br>
<br>
<br>
<br>

=== Übungsaufgabe ===
[http://matura.marienberg.at/images/9/9b/Aufgabe_-_lineares_Wachstum_-_Angabe.pdf Aufgabe]
: [http://matura.marienberg.at/images/b/bb/Aufgabe_-_lineares_Wachstum_-_L%C3%B6sungen.pdf Lösung]

<br>
<br>
<br>
<br>

== Exponentielles Wachstum $N(t)=N_0\cdot a^t$ bzw. $N(t)=N_0\cdot e^{\lambda \cdot t}$==

=== Definition und Verwendung===

Eine Größe wächst exponentiell, wenn sie in gleichen Zeitabständen '''um denselben konstanten Faktor $a>1$''' wächst.
Wie bei den [[Exponentialfunktionen(3.5.) | Exponentialfunktionen]] gibt es auch hier zwei Formeln:

[[Datei:Exp wachstum.png|thumb|300px|right|Graph einer exponentiellen Zunahme]]

{| border="1" align="center"
|-
| $$N(t)=N_0\cdot a^t $$
| $$N(t)=N_0\cdot e^{\lambda \cdot t}$$
|-
| $a>1 ...$ ist der Wachstumsfaktor und gibt an, mit welchem Faktor sich die Population pro Zeiteinheit verändert. Da die Population wächst, muss $a>1$ sein (siehe [[Exponentialfunktionen(3.5.) | Exponentialfunktionen]])

Beispiel:
{|
| $a=1.26$
|$\rightarrow $
| die Population wächst um den Faktor 1.26
| $\rightarrow $
| die Population wächst Zeiteinheit um $26$ %
|}
| $\lambda>0 ...$ ist die Wachstumsrate.
Es gilt: $a=e^\lambda $
|}
<br>
<br>
<br>
<br>

=== Verdoppelungszeit ===
Eine besondere Eigenschaft des exponentiellen Wachstums ist, dass die Zeit für eine Verdoppelung der Anfangsgröße, immer gleich groß ist (mit einer kleinen Überlegung findest du leicht heraus, dass dies schon aus der Definition des Exponentiellen Wachstums folgt).
Aus diesem Grund definiert man die:

{| border ="1"
| <p style="background-color:#E0E0E0"> '''Definition: Verdoppelungszeit $\tau $''' </p>

| Die Verdoppelungszeit $\tau$ ist die Zeit, nach welcher Zeitspanne sich eine Größe verdoppelt hat. Insbesondere gilt: $$N(\tau)=2\cdot N_0$$
$$\textrm{(in Worten: „die Anzahl nach $\tau$ Zeiteinheiten ist das Doppelte des Anfangswertes }N_0$$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0>
'''1. Musterbeispiel:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Text der nicht angezeigt werden soll
[[Datei:1 bsp zu wachstum.png|thumb|right|300px|Graph der Wachstumsfunktion $N(t)=350\cdot 1.065^t$]]
Ein Kapital auf einem Sparbuch wächst jährlich um 6.5 % p.a. (d.h. 6.5 %-ige Verzinsung pro Jahr).
* a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung, wenn zu Beginn € 100 auf dem Sparbuch liegen.
* b) Ermitteln Sie die Verdoppelungszeit, d.h. Berechnen Sie, wann sich das Anfangskapital verdoppelt hat.
* c) Die folgende Graphik gibt die Entwicklung für ein Anfangskapital von € 350 an. Lesen Sie aus dem Graphen die Verdoppelungszeit ab.
: Begründen Sie zusätzlich, warum die Verdoppelungszeit gleich groß wie in Aufgabe b) ist.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
a) $N_0=100$, $a=(1+\frac{6.5}{100}=1.065 \ \ \rightarrow$ $N(t)=100\cdot 1.065^t$

b)
* $N_0=100$
* $a=1.065$
* $N(t)=200$
* $t=$?
[[Datei:1 bsp zu wachstum-lösung.png|thumb|right|300px|Bestimmung der Verdoppelungszeit]]
$$200=100\cdot 1.065^t$$
$$2=1.065^t |\log$$
$$\log 2 = t\cdot \log 1.065$$
$$\frac{\log 2}{\log 1.065}=t$$
$$\underline{\underline{t= 11.01}}$$

c)
Wie anhand des Graphen zu sehen ist, beträgt die Verdoppelungszeit 11,01 Jahre, da sich hier das Anfangskapital von € 350 auf € 700 verdoppelt hat.

Die Verdoppelungszeit hängt nicht vom Startwert $N_0$, sondern nur vom Wachstumsfaktor $a$ ab. Aus diesem Grund sind die Verdoppelungszeiten in b) und c) ident.

</div>

</div>

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''2. Musterbeispiel:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Die Größe einer Bakterienpopulation nach t Stunden kann mithilfe der Funktion $N(t)=N_0\cdot 1.14^t$ angegeben werden.
* a) Bestimmen Sie, um wie viel sich die Population pro Stunde vergrößert.
* b) Berechnen Sie die Verdoppelungszeit.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

a) $a=1.14\ \ \rightarrow\ \ 14$ % Wachstum pro Stunde.

b)
* Nach der Verdoppelungszeit ist $N(t)=2\cdot N_0$ (d.h. der Anfangswert hat sich verdoppelt). Setzen wir dies für $N(t)$ in die Funktionsgleichung, so erhalten wir:
$$ N(t)=N_0\cdot 1.14^t$$
$$ 2\cdot N_0=N_0\cdot 1.14^t \ \ \ |:N_0$$
$$ 2=1.14^t$$
Wichtig! In der oberen Zeile hat sich das $N_0$ weggekürzt! Damit sehen wir, dass die '''Verdoppelungszeit unabhängig vom Startwert $N_0$''' ist!
$$ \log 2=t\cdot \log 1.14 $$
$$\frac{\log 2}{\log 1.14}=t$$
$$\underline{\underline{t=5.29}}$$
A: Die Verdoppelungszeit beträgt 5.29 Stunden.

</div>

</div>

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''3. Musterbeispiel:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Die Verdoppelungszeit eines exponentiellen Wachstumsprozesses der Form $N(t)=N_0\cdot a^t$ beträgt 17 Tage (t gibt die Tage an).
* a) Berechnen Sie den Wachstumsfaktor $a$.
* b) Bestimmen Sie die Zeit, wie lange es dauert, bis das 8-fache des Anfangswertes vorhanden ist.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

a) Aus der Angabe geht hervor, dass $N(17)=2\cdot N_0$ ist. Dies setzen wir nun in die Funktionsgleichung ein:
$$N(t)=N_0\cdot a^t$$
$$N(17)=N_0\cdot a^17$$
$$2\cdot N_0=N_0\cdot a^17 \ \ \ |:N_0$$
$$2=a^{17}$$
$$\sqrt[17]{2}=a$$
$$\underline{\underline{a=1.0416}}$$
A: Der Wachstumsfaktor $a$ beträgt 1.0416, womit pro Stunde 4.16% dazukommen.

b) Aus der Angabe wissen wir, dass es nach 17 Stunden zu einer Verdoppelung gekommen ist.
Da sich das expoentielle Wachsum in gleichen Zeitabständen um denselben Faktor vermehrt, gilt:
* nach $2\cdot 17=34$ Stunden kommt es zu einer Vervierfachung ($2\cdot 2=4$).
* Nach $3\cdot 17=51$ Stunden kommt es zu einer Verachtfachung. ($2\cdot 2 \cdot 2=8$)
Somit dauert es 51 Stunden.
Schau dir dazu auch den Graphen bei der unteren Bemerkung an!

</div>

</div>

</div>

</div>

{| border ="1"
|<p style="background-color:#E0E0E0">'''Merke:''' </p>

|
* Die Verdoppelungszeit wird berechnet, indem man für $N(t)=2\cdot N_0$ einsetzt.

* Die Verdoppelungszeit ist unabhängig vom Anfangswert $N_0$ (vgl. 2. Musterbeispiel)
|
|[[Datei:Verdoppelungszeit.png|thumb|right|500px]]
|}

<br>
<br>
<br>
<br>

=== Unterschied: Lineares und Exponentielles Wachstum ===

Es ist wichtig, die Unterschiede zwischen dem linearen und dem exponentiellen Wachstum zu kennen. Aus diesem Grund vergleichen wir hier die beiden Wachstumsprozesse:

{| border="1" align="center"
|-
!| lineares Wachstum
!| exponentielles Wachstum
|-
|Addition um eine konstante Zahl
| Multiplikation um einen konstanten Faktor
|-
| immer $+k$
| immer $\cdot a$
|-
| Graph ist eine Gerade
| Graph ist eine exponentielle Kurve
|-
| wächst immer um dieselbe konstante Zahl k
| wächst immer schneller
|-
| [[Datei:Lin wachstum.png|thumb|right|300px|Graph einer linearen Zunahme]]
| [[Datei:Exp wachstum.png|thumb|300px|right|Graph einer exponentiellen Zunahme]]
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel: linear oder exponentiell?''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Ordne dem passenden Wachstum zu und bestimme k bzw. a:
# Der Umfang eines Baumes nimmt jährlich um 5% zu:
# Der Meeresspiegel steigt jährlich um 4 cm:
# Die Bevölkerung wächst jährlich um den Faktor 1.2:
# Der Stamm eines Baumes wird pro Jahr um 1 cm dicker:
# Ein Kapital wird jährlich mit 3 % p.a. verzinst.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
# Der Umfang eines Baumes nimmt jährlich um 5 % zu: <span style="color:red"> exponentiell mit $a=1.05$ </span>
# Der Meeresspiegel steigt jährlich um 4 cm: <span style="color:red"> linear mit $k=4$ cm </span>
# Die Bevölkerung wächst jährlich um den Faktor 1.2: <span style="color:red"> exponentiell mit $a=1.2$ </span>
# Der Stamm eines Baumes wird pro Jahr um 1 cm dicker: <span style="color:red"> linear mit $k=1$ cm </span>
# Ein Kapital wird jährlich mit 3 % p.a. verzinst. <span style="color:red"> exponentiell mit $a=1.03$ </span>
# Der Umsatz eines Betriebes sinkt jährlich um 12 %: <span style="color:red"> exponentiell mit $a=0.88 \rightarrow$ siehe exponentielle Abnahme </span>

</div>

</div>

</div>

</div>

<br>
<br>
<br>

== Exponentielle Abnahme $N(t)=N_0\cdot a^t$ oder $N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda\cdot t}$ ==

'''Definition:'''

Von einer exponentiellen Abnahme spricht man, wenn sich eine Größe in gleichbleibenden Zeitintervallen immer um den gleichen Faktor verkleinert.

[[Datei:Exp abnahme.png|thumb|300px|right|Graph einer exponentiellen Abnahme]]

{| border="1" align="center"
|-
| $$N(t)=N_0\cdot a^t $$
| $$N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda \cdot t}$$
|-
| $a>1 ...$ ist der Abnahmefaktor und gibt an, mit welchem Faktor sich die Population pro Zeiteinheit verringert. Da die Population abnimmt, muss $0<a<1$ sein (siehe [[Exponentialfunktionen(3.5.) | Exponentialfunktionen]])

Beispiel:
{|
| $a=0.64$
|$\rightarrow $
| die Population verringert sich um den Faktor 0.64
| $\rightarrow $
| die Population verringert sich pro Zeiteinheit um $1-0.64=36$ %
|}
| $-\lambda<0 ...$ ist die Wachstumsrate.
Es gilt: $a=e^{-\lambda} $
|}
<br>
<br>
<br>
<br>

=== Halbwertszeit ===
Eine besondere Eigenschaft des exponentiellen Abnahme ist, dass die Zeit für eine Halbierung der Anfangsgröße, immer gleich groß ist (vgl. Verdoppelungszeit beim exponentiellen Wachstum).
Aus diesem Grund definiert man die:

{| border ="1"
| <p style="background-color:#E0E0E0"> '''Definition: Halbwertszeit $\tau $''' </p>

| Die Halbwertszeit $\tau$ ist die Zeit, nach welcher Zeitspanne sich eine Größe halbiert hat. Insbesondere gilt: $$N(\tau)=\frac{N_0}{2}$$
$$\textrm{(in Worten: „die Anzahl nach $\tau$ Zeiteinheiten ist die Hälfte des Anfangswertes }N_0\textrm{"}$$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''Musterbeispiel:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Von einer Bestimen Menge eines radioaktiven Elements zerfallen stündlich 4 %.
* a) Stellen Sie das Zerfallsgesetz in der Form $N(t)=N_0\cdot a^t$ auf.
* b) Bestimmen Sie die Halbwertszeit.
* c) Bestimmen Sie zusätzlich noch das Zerfallsgesetz in der Form $N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda \cdot t}$
* d) Nach wie vielen Stunden ist nur noch 1 % der Anfangsmenge vorhanden?

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
a)
$a=0.96 \rightarrow $ Somit lautet das Zerfallsgesetz: $$ N(t)=N_0\cdot 0.96^t$$

b)
Bei der Halbwertszeit gilt, dass $N(t)=\frac{N_0}{2}$ ist. Setzt man dies in das Zerfallsgesetz ein. erhält man:
$$ N(t)=N_0\cdot 0.96^t$$
$$ \frac{N_0}{2}=N_0\cdot 0.96^t \ \ \ |:N_0$$
$$\frac{1}{2}=0.96^t\ \ \ |\ln $$
$$ \ln \frac{1}{2}=t\cdot \ln 0.96 $$
$$\frac{\ln \frac{1}{2}}{\ln 0.96}=t$$
$$\underline{\underline{t=16.98}}$$

A: Die Halbwerszeit beträgt ca. 17 Stunden.

c) Hier müssen wir nur das $\lambda$ berechnen. Es gilt $a=e^{-\lambda}$. Dadurch kann man $\lambda$ berechnen:
$$0.96=e^{-\lambda}$$
$$ \ln 0.96 = -\lambda \ln e \ \ \ |\ln e=1$$
$$-\ln 0.96=\lambda$$
$$ \underline{\underline{0.041=\lambda}}$$

Somit lautet das Zerfallsgesatz in der $e^{-\lambda}$-Form:
$$N(t)=N_0\cdot e^{-0.041\cdot t}$$

d)
Gefragt ist, wann $N(t)=1 \textrm{% von }N_0$ vorhanden ist - d.h.: $N(t)=0.01\cdot N_0$.
Setzten wir dies in das Zerfallsgesetz aus a) oder c) ein (es ist hier völlig egal, welche Formeln man nimmt), so erhält man:
$$N(t)=N_0\cdot e^{-0.041\cdot t}$$
$$0.01\cdot N_0=N_0\cdot e^{-0.041\cdot t}$$
$$0.01=e^{-0.041\cdot t} | \ln \textrm{ und } \ln e=1$$
$$\ln 0.01=-0.041\cdot t$$
$$\frac{\ln 0.01}{-0.041}=t$$
$$\underline{\underline{t=112.32}}$$

A: Erst nach etwas mehr als 112 Stunden sind 99 % der Anfangsmenge zerfallen.

</div>

</div>

</div>

</div>

{| border ="1"
|<p style="background-color:#E0E0E0">'''Merke:''' </p>

|
* Die Halbwertszeit wird berechnet, indem man für $$N(t)=\frac{N_0}{2}$$ einsetzt.

* Die Halbwertszeit ist unabhängig vom Anfangswert $N_0$
|
|[[Datei:Halbierungszeit1.png|thumb|right|650px| Wartet man die Halbwertszeit $\tau$ ab, so halbiert sich der Anfangswert, unabhängig davon wie groß dieser ist.]]
|}

=== Übungsaufgaben ===
Weitere [http://matura.marienberg.at/images/2/2c/Bspe_zur_exp_Abnahme.pdf Übungsaufgaben (klicke hier)] und die dazugehörenden [http://matura.marienberg.at/images/b/b1/Bspe_zur_exp_Abnahme_-_L%C3%B6sungen.pdf Lösungen (klicke hier)].

== Quadratisches Wachstum $N(t)=a\cdot t^2+b\cdot t+N_0$==
=== Definition und Verwendung===
=== Musterbeispiel ===

== Beschränktes und Logistisches Wachstum ==

== Durchmischte Beispiele ==

Hier Hot-Potatoe mit Lückentext/Zuordnung, ob alle Definitionen verstanden wurden

* [http://matura.marienberg.at/images/9/9b/Aufgaben_zu_den_verschiedenen_Wachstumsmodellen_%28exp-log-beschr%29.pdf Aufgaben zu den verschiedenen Wachstumsmodellen] (Lösungen enthalten)

* [http://matura.marienberg.at/images/e/e2/Aufgaben_-_St-Riedmann_-_Angabe.pdf Weitere Aufgaben (S. Riedmann)]
:: ... und [http://matura.marienberg.at/images/3/38/Aufgaben_-_St-Riedmann_-_L%C3%B6sungen.pdf hier die Lösungen]

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=14&file=Taschengeld.pdf Taschengeld] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=15&file=Luftdruck_1.pdf Luftdruck1] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=23&file=Bevoelkerung.pdf Bevölkerung] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=22&file=Holzbestand_und_Waldflaeche.pdf Holzbestand] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=21&file=Hefeteig.pdf Hefeteig] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=19&file=Altersbestimmung.pdf Altersbestimmung] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=24&file=Kleintransporte.pdf Kleintransporter] (bifie-Aufgabe)

Wachstums- und Zerfallsprozesse

2014-07-08T06:45:25Z

62.47.210.109: /* Exponentielle Abnahme */

In der Natur vorkommende Wachstums- und Zerfallsprozesse (z.B. Wachstum einer Bevölkerung, Zerfall eines radioaktiven Atoms, Abnahme des Alkoholspiegels) können mithilfe von mathematischen [[Funktionen]] beschrieben werden.

Für die Matura sind dabei besonders die folgenden Funktionen wichtig:
* [[Lineare Funktionen | lineare Funktionen y=kx+d]]
* [[Exponentialfunktionen(3.5.)| Exponentialfunktionen $y=b\cdot a^x$ oder $y=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$]]
* [[quadratische Funktionen | quadratische Funktionen $y=ax^2+bx+c$]]

== Grundbegriffe ==
* $t...$ gibt die vergangene Zeit an (in Jahren oder Tagen oder Stunden oder …. Die Einheit steht immer in der Angabe!)
* $N_0...$ Anfangswert (Anzahl/Größe zum Zeitpunkt 0)
* $N(t)...$ Anzahl/Größe nach t Zeiteinheiten (z.B. t gebe die Stunden an, dann ist $N(5)=$ Anzahl nach 5 Stunden)

== Lineares Wachstum $N(t)= k\cdot t +N_0$==

=== Definition und Verwendung===
[[Datei:Lin wachstum.png|thumb|right|300px|Graph einer linearen Zunahme]]
[[Datei:Lin abnahme.png|thumb|right|300px|Graph einer linearen Abnahme]]

Eine Größe verändert sich linear, wenn sie in gleichen Zeitabständen um denselben konstanten Wert k wächst.
Die Funktionsgleichung für eine solche Veränderung lautet dann:
$$ N(t)= k\cdot t +N_0 $$

* Ist k>0, so handelt es sich um ein lineares Wachstum
* Ist k<0, so handelt es sich um eine lineare Abhnahme

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Hinweise:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
* Bei $ N(t)= k\cdot t +N_0 $ handelt es sich um eine [[Lineare Funktionen | lineare Funktion]] der Form
$$ y=k\cdot x+d$$
: Mit der unabhängigen Variable $t=x$, der davon abhängigen Variable $N(t)=y$ und dem Startwert $N_0=d$
* '''Herleitung der Funktionsgleichung:'''
Angenommen eine Population hat zu Beginn $N_0$ Individuen und wächst pro Zeiteinheit (z.B. pro Stunde) um den Wert k.

Dann gilt für $N_1=$ Individuen nach einer Stunde:
$$N(1)=N_0+k$$
Nach 2 Stunden hat sich die Population wieder um k vermehrt und damit ist
$$N(2)=N(1)+k=(N_0+k)+k=N_0+2k$$
Und nach 3 Stunden gilt
$$N(3)=N(3)+k=N_0+3k$$
Ganz allgemein gilt dann für die Population nach t Stunden:
$$N(t)=N_0+k\cdot t$$

</div>

</div>

<br>
<br>
<br>
<br>

=== Übungsaufgabe ===
[http://matura.marienberg.at/images/9/9b/Aufgabe_-_lineares_Wachstum_-_Angabe.pdf Aufgabe]
: [http://matura.marienberg.at/images/b/bb/Aufgabe_-_lineares_Wachstum_-_L%C3%B6sungen.pdf Lösung]

<br>
<br>
<br>
<br>

== Exponentielles Wachstum $N(t)=N_0\cdot a^t$ bzw. $N(t)=N_0\cdot e^{\lambda \cdot t}$==

=== Definition und Verwendung===

Eine Größe wächst exponentiell, wenn sie in gleichen Zeitabständen '''um denselben konstanten Faktor $a>1$''' wächst.
Wie bei den [[Exponentialfunktionen(3.5.) | Exponentialfunktionen]] gibt es auch hier zwei Formeln:

[[Datei:Exp wachstum.png|thumb|300px|right|Graph einer exponentiellen Zunahme]]

{| border="1" align="center"
|-
| $$N(t)=N_0\cdot a^t $$
| $$N(t)=N_0\cdot e^{\lambda \cdot t}$$
|-
| $a>1 ...$ ist der Wachstumsfaktor und gibt an, mit welchem Faktor sich die Population pro Zeiteinheit verändert. Da die Population wächst, muss $a>1$ sein (siehe [[Exponentialfunktionen(3.5.) | Exponentialfunktionen]])

Beispiel:
{|
| $a=1.26$
|$\rightarrow $
| die Population wächst um den Faktor 1.26
| $\rightarrow $
| die Population wächst Zeiteinheit um $26$ %
|}
| $\lambda>0 ...$ ist die Wachstumsrate.
Es gilt: $a=e^\lambda $
|}
<br>
<br>
<br>
<br>

=== Verdoppelungszeit ===
Eine besondere Eigenschaft des exponentiellen Wachstums ist, dass die Zeit für eine Verdoppelung der Anfangsgröße, immer gleich groß ist (mit einer kleinen Überlegung findest du leicht heraus, dass dies schon aus der Definition des Exponentiellen Wachstums folgt).
Aus diesem Grund definiert man die:

{| border ="1"
| <p style="background-color:#E0E0E0"> '''Definition: Verdoppelungszeit $\tau $''' </p>

| Die Verdoppelungszeit $\tau$ ist die Zeit, nach welcher Zeitspanne sich eine Größe verdoppelt hat. Insbesondere gilt: $$N(\tau)=2\cdot N_0$$
$$\textrm{(in Worten: „die Anzahl nach $\tau$ Zeiteinheiten ist das Doppelte des Anfangswertes }N_0$$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0>
'''1. Musterbeispiel:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Text der nicht angezeigt werden soll
[[Datei:1 bsp zu wachstum.png|thumb|right|300px|Graph der Wachstumsfunktion $N(t)=350\cdot 1.065^t$]]
Ein Kapital auf einem Sparbuch wächst jährlich um 6.5 % p.a. (d.h. 6.5 %-ige Verzinsung pro Jahr).
* a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung, wenn zu Beginn € 100 auf dem Sparbuch liegen.
* b) Ermitteln Sie die Verdoppelungszeit, d.h. Berechnen Sie, wann sich das Anfangskapital verdoppelt hat.
* c) Die folgende Graphik gibt die Entwicklung für ein Anfangskapital von € 350 an. Lesen Sie aus dem Graphen die Verdoppelungszeit ab.
: Begründen Sie zusätzlich, warum die Verdoppelungszeit gleich groß wie in Aufgabe b) ist.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
a) $N_0=100$, $a=(1+\frac{6.5}{100}=1.065 \ \ \rightarrow$ $N(t)=100\cdot 1.065^t$

b)
* $N_0=100$
* $a=1.065$
* $N(t)=200$
* $t=$?
[[Datei:1 bsp zu wachstum-lösung.png|thumb|right|300px|Bestimmung der Verdoppelungszeit]]
$$200=100\cdot 1.065^t$$
$$2=1.065^t |\log$$
$$\log 2 = t\cdot \log 1.065$$
$$\frac{\log 2}{\log 1.065}=t$$
$$\underline{\underline{t= 11.01}}$$

c)
Wie anhand des Graphen zu sehen ist, beträgt die Verdoppelungszeit 11,01 Jahre, da sich hier das Anfangskapital von € 350 auf € 700 verdoppelt hat.

Die Verdoppelungszeit hängt nicht vom Startwert $N_0$, sondern nur vom Wachstumsfaktor $a$ ab. Aus diesem Grund sind die Verdoppelungszeiten in b) und c) ident.

</div>

</div>

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''2. Musterbeispiel:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Die Größe einer Bakterienpopulation nach t Stunden kann mithilfe der Funktion $N(t)=N_0\cdot 1.14^t$ angegeben werden.
* a) Bestimmen Sie, um wie viel sich die Population pro Stunde vergrößert.
* b) Berechnen Sie die Verdoppelungszeit.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

a) $a=1.14\ \ \rightarrow\ \ 14$ % Wachstum pro Stunde.

b)
* Nach der Verdoppelungszeit ist $N(t)=2\cdot N_0$ (d.h. der Anfangswert hat sich verdoppelt). Setzen wir dies für $N(t)$ in die Funktionsgleichung, so erhalten wir:
$$ N(t)=N_0\cdot 1.14^t$$
$$ 2\cdot N_0=N_0\cdot 1.14^t \ \ \ |:N_0$$
$$ 2=1.14^t$$
Wichtig! In der oberen Zeile hat sich das $N_0$ weggekürzt! Damit sehen wir, dass die '''Verdoppelungszeit unabhängig vom Startwert $N_0$''' ist!
$$ \log 2=t\cdot \log 1.14 $$
$$\frac{\log 2}{\log 1.14}=t$$
$$\underline{\underline{t=5.29}}$$
A: Die Verdoppelungszeit beträgt 5.29 Stunden.

</div>

</div>

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''3. Musterbeispiel:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Die Verdoppelungszeit eines exponentiellen Wachstumsprozesses der Form $N(t)=N_0\cdot a^t$ beträgt 17 Tage (t gibt die Tage an).
* a) Berechnen Sie den Wachstumsfaktor $a$.
* b) Bestimmen Sie die Zeit, wie lange es dauert, bis das 8-fache des Anfangswertes vorhanden ist.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

a) Aus der Angabe geht hervor, dass $N(17)=2\cdot N_0$ ist. Dies setzen wir nun in die Funktionsgleichung ein:
$$N(t)=N_0\cdot a^t$$
$$N(17)=N_0\cdot a^17$$
$$2\cdot N_0=N_0\cdot a^17 \ \ \ |:N_0$$
$$2=a^{17}$$
$$\sqrt[17]{2}=a$$
$$\underline{\underline{a=1.0416}}$$
A: Der Wachstumsfaktor $a$ beträgt 1.0416, womit pro Stunde 4.16% dazukommen.

b) Aus der Angabe wissen wir, dass es nach 17 Stunden zu einer Verdoppelung gekommen ist.
Da sich das expoentielle Wachsum in gleichen Zeitabständen um denselben Faktor vermehrt, gilt:
* nach $2\cdot 17=34$ Stunden kommt es zu einer Vervierfachung ($2\cdot 2=4$).
* Nach $3\cdot 17=51$ Stunden kommt es zu einer Verachtfachung. ($2\cdot 2 \cdot 2=8$)
Somit dauert es 51 Stunden.
Schau dir dazu auch den Graphen bei der unteren Bemerkung an!

</div>

</div>

</div>

</div>

{| border ="1"
|<p style="background-color:#E0E0E0">'''Merke:''' </p>

|
* Die Verdoppelungszeit wird berechnet, indem man für $N(t)=2\cdot N_0$ einsetzt.

* Die Verdoppelungszeit ist unabhängig vom Anfangswert $N_0$ (vgl. 2. Musterbeispiel)
|
|[[Datei:Verdoppelungszeit.png|thumb|right|500px]]
|}

<br>
<br>
<br>
<br>

=== Unterschied: Lineares und Exponentielles Wachstum ===

Es ist wichtig, die Unterschiede zwischen dem linearen und dem exponentiellen Wachstum zu kennen. Aus diesem Grund vergleichen wir hier die beiden Wachstumsprozesse:

{| border="1" align="center"
|-
!| lineares Wachstum
!| exponentielles Wachstum
|-
|Addition um eine konstante Zahl
| Multiplikation um einen konstanten Faktor
|-
| immer $+k$
| immer $\cdot a$
|-
| Graph ist eine Gerade
| Graph ist eine exponentielle Kurve
|-
| wächst immer um dieselbe konstante Zahl k
| wächst immer schneller
|-
| [[Datei:Lin wachstum.png|thumb|right|300px|Graph einer linearen Zunahme]]
| [[Datei:Exp wachstum.png|thumb|300px|right|Graph einer exponentiellen Zunahme]]
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel: linear oder exponentiell?''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Ordne dem passenden Wachstum zu und bestimme k bzw. a:
# Der Umfang eines Baumes nimmt jährlich um 5% zu:
# Der Meeresspiegel steigt jährlich um 4 cm:
# Die Bevölkerung wächst jährlich um den Faktor 1.2:
# Der Stamm eines Baumes wird pro Jahr um 1 cm dicker:
# Ein Kapital wird jährlich mit 3 % p.a. verzinst.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
# Der Umfang eines Baumes nimmt jährlich um 5 % zu: <span style="color:red"> exponentiell mit $a=1.05$ </span>
# Der Meeresspiegel steigt jährlich um 4 cm: <span style="color:red"> linear mit $k=4$ cm </span>
# Die Bevölkerung wächst jährlich um den Faktor 1.2: <span style="color:red"> exponentiell mit $a=1.2$ </span>
# Der Stamm eines Baumes wird pro Jahr um 1 cm dicker: <span style="color:red"> linear mit $k=1$ cm </span>
# Ein Kapital wird jährlich mit 3 % p.a. verzinst. <span style="color:red"> exponentiell mit $a=1.03$ </span>
# Der Umsatz eines Betriebes sinkt jährlich um 12 %: <span style="color:red"> exponentiell mit $a=0.88 \rightarrow$ siehe exponentielle Abnahme </span>

</div>

</div>

</div>

</div>

<br>
<br>
<br>

== Exponentielle Abnahme $N(t)=N_0\cdot a^t$ oder $N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda\cdot t}$ ==

'''Definition:'''

Von einer exponentiellen Abnahme spricht man, wenn sich eine Größe in gleichbleibenden Zeitintervallen immer um den gleichen Faktor verkleinert.

[[Datei:Exp abnahme.png|thumb|300px|right|Graph einer exponentiellen Abnahme]]

{| border="1" align="center"
|-
| $$N(t)=N_0\cdot a^t $$
| $$N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda \cdot t}$$
|-
| $a>1 ...$ ist der Abnahmefaktor und gibt an, mit welchem Faktor sich die Population pro Zeiteinheit verringert. Da die Population abnimmt, muss $0<a<1$ sein (siehe [[Exponentialfunktionen(3.5.) | Exponentialfunktionen]])

Beispiel:
{|
| $a=0.64$
|$\rightarrow $
| die Population verringert sich um den Faktor 0.64
| $\rightarrow $
| die Population verringert sich pro Zeiteinheit um $1-0.64=36$ %
|}
| $-\lambda<0 ...$ ist die Wachstumsrate.
Es gilt: $a=e^{-\lambda} $
|}
<br>
<br>
<br>
<br>

=== Halbwertszeit ===
Eine besondere Eigenschaft des exponentiellen Abnahme ist, dass die Zeit für eine Halbierung der Anfangsgröße, immer gleich groß ist (vgl. Verdoppelungszeit beim exponentiellen Wachstum).
Aus diesem Grund definiert man die:

{| border ="1"
| <p style="background-color:#E0E0E0"> '''Definition: Halbwertszeit $\tau $''' </p>

| Die Halbwertszeit $\tau$ ist die Zeit, nach welcher Zeitspanne sich eine Größe halbiert hat. Insbesondere gilt: $$N(\tau)=\frac{N_0}{2}$$
$$\textrm{(in Worten: „die Anzahl nach $\tau$ Zeiteinheiten ist die Hälfte des Anfangswertes }N_0\textrm{"}$$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''Musterbeispiel:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Von einer Bestimen Menge eines radioaktiven Elements zerfallen stündlich 4 %.
* a) Stellen Sie das Zerfallsgesetz in der Form $N(t)=N_0\cdot a^t$ auf.
* b) Bestimmen Sie die Halbwertszeit.
* c) Bestimmen Sie zusätzlich noch das Zerfallsgesetz in der Form $N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda \cdot t}$
* d) Nach wie vielen Stunden ist nur noch 1 % der Anfangsmenge vorhanden?

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
a)
$a=0.96 \rightarrow $ Somit lautet das Zerfallsgesetz: $$ N(t)=N_0\cdot 0.96^t$$

b)
Bei der Halbwertszeit gilt, dass $N(t)=\frac{N_0}{2}$ ist. Setzt man dies in das Zerfallsgesetz ein. erhält man:
$$ N(t)=N_0\cdot 0.96^t$$
$$ \frac{N_0}{2}=N_0\cdot 0.96^t \ \ \ |:N_0$$
$$\frac{1}{2}=0.96^t\ \ \ |\ln $$
$$ \ln \frac{1}{2}=t\cdot \ln 0.96 $$
$$\frac{\ln \frac{1}{2}}{\ln 0.96}=t$$
$$\underline{\underline{t=16.98}}$$

A: Die Halbwerszeit beträgt ca. 17 Stunden.

c) Hier müssen wir nur das $\lambda$ berechnen. Es gilt $a=e^{-\lambda}$. Dadurch kann man $\lambda$ berechnen:
$$0.96=e^{-\lambda}$$
$$ \ln 0.96 = -\lambda \ln e \ \ \ |\ln e=1$$
$$-\ln 0.96=\lambda$$
$$ \underline{\underline{0.041=\lambda}}$$

Somit lautet das Zerfallsgesatz in der $e^{-\lambda}$-Form:
$$N(t)=N_0\cdot e^{-0.041\cdot t}$$

d)
Gefragt ist, wann $N(t)=1 \textrm{% von }N_0$ vorhanden ist - d.h.: $N(t)=0.01\cdot N_0$.
Setzten wir dies in das Zerfallsgesetz aus a) oder c) ein (es ist hier völlig egal, welche Formeln man nimmt), so erhält man:
$$N(t)=N_0\cdot e^{-0.041\cdot t}$$
$$0.01\cdot N_0=N_0\cdot e^{-0.041\cdot t}$$
$$0.01=e^{-0.041\cdot t} | \ln \textrm{ und } \ln e=1$$
$$\ln 0.01=-0.041\cdot t$$
$$\frac{\ln 0.01}{-0.041}=t$$
$$\underline{\underline{t=112.32}}$$

A: Erst nach etwas mehr als 112 Stunden sind 99 % der Anfangsmenge zerfallen.

</div>

</div>

</div>

</div>

{| border ="1"
|<p style="background-color:#E0E0E0">'''Merke:''' </p>

|
* Die Halbwertszeit wird berechnet, indem man für $$N(t)=\frac{N_0}{2}$$ einsetzt.

* Die Halbwertszeit ist unabhängig vom Anfangswert $N_0$
|
|[[Datei:Halbierungszeit1.png|thumb|right|650px| Wartet man die Halbwertszeit $\tau$ ab, so halbiert sich der Anfangswert, vollkommen egal, wie groß dieser ist.]]
|}

=== Übungsaufgaben ===
Weitere [http://matura.marienberg.at/images/2/2c/Bspe_zur_exp_Abnahme.pdf Übungsaufgaben (klicke hier)] und die dazugehörenden [http://matura.marienberg.at/images/b/b1/Bspe_zur_exp_Abnahme_-_L%C3%B6sungen.pdf Lösungen (klicke hier)].

== Quadratisches Wachstum $N(t)=a\cdot t^2+b\cdot t+N_0$==
=== Definition und Verwendung===
=== Musterbeispiel ===

== Beschränktes und Logistisches Wachstum ==

== Durchmischte Beispiele ==

Hier Hot-Potatoe mit Lückentext/Zuordnung, ob alle Definitionen verstanden wurden

* [http://matura.marienberg.at/images/9/9b/Aufgaben_zu_den_verschiedenen_Wachstumsmodellen_%28exp-log-beschr%29.pdf Aufgaben zu den verschiedenen Wachstumsmodellen] (Lösungen enthalten)

* [http://matura.marienberg.at/images/e/e2/Aufgaben_-_St-Riedmann_-_Angabe.pdf Weitere Aufgaben (S. Riedmann)]
:: ... und [http://matura.marienberg.at/images/3/38/Aufgaben_-_St-Riedmann_-_L%C3%B6sungen.pdf hier die Lösungen]

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=14&file=Taschengeld.pdf Taschengeld] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=15&file=Luftdruck_1.pdf Luftdruck1] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=23&file=Bevoelkerung.pdf Bevölkerung] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=22&file=Holzbestand_und_Waldflaeche.pdf Holzbestand] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=21&file=Hefeteig.pdf Hefeteig] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=19&file=Altersbestimmung.pdf Altersbestimmung] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=24&file=Kleintransporte.pdf Kleintransporter] (bifie-Aufgabe)

Wachstums- und Zerfallsprozesse

2014-07-08T06:43:43Z

62.47.210.109: /* Musterbeispiel */

In der Natur vorkommende Wachstums- und Zerfallsprozesse (z.B. Wachstum einer Bevölkerung, Zerfall eines radioaktiven Atoms, Abnahme des Alkoholspiegels) können mithilfe von mathematischen [[Funktionen]] beschrieben werden.

Für die Matura sind dabei besonders die folgenden Funktionen wichtig:
* [[Lineare Funktionen | lineare Funktionen y=kx+d]]
* [[Exponentialfunktionen(3.5.)| Exponentialfunktionen $y=b\cdot a^x$ oder $y=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$]]
* [[quadratische Funktionen | quadratische Funktionen $y=ax^2+bx+c$]]

== Grundbegriffe ==
* $t...$ gibt die vergangene Zeit an (in Jahren oder Tagen oder Stunden oder …. Die Einheit steht immer in der Angabe!)
* $N_0...$ Anfangswert (Anzahl/Größe zum Zeitpunkt 0)
* $N(t)...$ Anzahl/Größe nach t Zeiteinheiten (z.B. t gebe die Stunden an, dann ist $N(5)=$ Anzahl nach 5 Stunden)

== Lineares Wachstum $N(t)= k\cdot t +N_0$==

=== Definition und Verwendung===
[[Datei:Lin wachstum.png|thumb|right|300px|Graph einer linearen Zunahme]]
[[Datei:Lin abnahme.png|thumb|right|300px|Graph einer linearen Abnahme]]

Eine Größe verändert sich linear, wenn sie in gleichen Zeitabständen um denselben konstanten Wert k wächst.
Die Funktionsgleichung für eine solche Veränderung lautet dann:
$$ N(t)= k\cdot t +N_0 $$

* Ist k>0, so handelt es sich um ein lineares Wachstum
* Ist k<0, so handelt es sich um eine lineare Abhnahme

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Hinweise:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
* Bei $ N(t)= k\cdot t +N_0 $ handelt es sich um eine [[Lineare Funktionen | lineare Funktion]] der Form
$$ y=k\cdot x+d$$
: Mit der unabhängigen Variable $t=x$, der davon abhängigen Variable $N(t)=y$ und dem Startwert $N_0=d$
* '''Herleitung der Funktionsgleichung:'''
Angenommen eine Population hat zu Beginn $N_0$ Individuen und wächst pro Zeiteinheit (z.B. pro Stunde) um den Wert k.

Dann gilt für $N_1=$ Individuen nach einer Stunde:
$$N(1)=N_0+k$$
Nach 2 Stunden hat sich die Population wieder um k vermehrt und damit ist
$$N(2)=N(1)+k=(N_0+k)+k=N_0+2k$$
Und nach 3 Stunden gilt
$$N(3)=N(3)+k=N_0+3k$$
Ganz allgemein gilt dann für die Population nach t Stunden:
$$N(t)=N_0+k\cdot t$$

</div>

</div>

<br>
<br>
<br>
<br>

=== Übungsaufgabe ===
[http://matura.marienberg.at/images/9/9b/Aufgabe_-_lineares_Wachstum_-_Angabe.pdf Aufgabe]
: [http://matura.marienberg.at/images/b/bb/Aufgabe_-_lineares_Wachstum_-_L%C3%B6sungen.pdf Lösung]

<br>
<br>
<br>
<br>

== Exponentielles Wachstum $N(t)=N_0\cdot a^t$ bzw. $N(t)=N_0\cdot e^{\lambda \cdot t}$==

=== Definition und Verwendung===

Eine Größe wächst exponentiell, wenn sie in gleichen Zeitabständen '''um denselben konstanten Faktor $a>1$''' wächst.
Wie bei den [[Exponentialfunktionen(3.5.) | Exponentialfunktionen]] gibt es auch hier zwei Formeln:

[[Datei:Exp wachstum.png|thumb|300px|right|Graph einer exponentiellen Zunahme]]

{| border="1" align="center"
|-
| $$N(t)=N_0\cdot a^t $$
| $$N(t)=N_0\cdot e^{\lambda \cdot t}$$
|-
| $a>1 ...$ ist der Wachstumsfaktor und gibt an, mit welchem Faktor sich die Population pro Zeiteinheit verändert. Da die Population wächst, muss $a>1$ sein (siehe [[Exponentialfunktionen(3.5.) | Exponentialfunktionen]])

Beispiel:
{|
| $a=1.26$
|$\rightarrow $
| die Population wächst um den Faktor 1.26
| $\rightarrow $
| die Population wächst Zeiteinheit um $26$ %
|}
| $\lambda>0 ...$ ist die Wachstumsrate.
Es gilt: $a=e^\lambda $
|}
<br>
<br>
<br>
<br>

=== Verdoppelungszeit ===
Eine besondere Eigenschaft des exponentiellen Wachstums ist, dass die Zeit für eine Verdoppelung der Anfangsgröße, immer gleich groß ist (mit einer kleinen Überlegung findest du leicht heraus, dass dies schon aus der Definition des Exponentiellen Wachstums folgt).
Aus diesem Grund definiert man die:

{| border ="1"
| <p style="background-color:#E0E0E0"> '''Definition: Verdoppelungszeit $\tau $''' </p>

| Die Verdoppelungszeit $\tau$ ist die Zeit, nach welcher Zeitspanne sich eine Größe verdoppelt hat. Insbesondere gilt: $$N(\tau)=2\cdot N_0$$
$$\textrm{(in Worten: „die Anzahl nach $\tau$ Zeiteinheiten ist das Doppelte des Anfangswertes }N_0$$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0>
'''1. Musterbeispiel:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Text der nicht angezeigt werden soll
[[Datei:1 bsp zu wachstum.png|thumb|right|300px|Graph der Wachstumsfunktion $N(t)=350\cdot 1.065^t$]]
Ein Kapital auf einem Sparbuch wächst jährlich um 6.5 % p.a. (d.h. 6.5 %-ige Verzinsung pro Jahr).
* a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung, wenn zu Beginn € 100 auf dem Sparbuch liegen.
* b) Ermitteln Sie die Verdoppelungszeit, d.h. Berechnen Sie, wann sich das Anfangskapital verdoppelt hat.
* c) Die folgende Graphik gibt die Entwicklung für ein Anfangskapital von € 350 an. Lesen Sie aus dem Graphen die Verdoppelungszeit ab.
: Begründen Sie zusätzlich, warum die Verdoppelungszeit gleich groß wie in Aufgabe b) ist.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
a) $N_0=100$, $a=(1+\frac{6.5}{100}=1.065 \ \ \rightarrow$ $N(t)=100\cdot 1.065^t$

b)
* $N_0=100$
* $a=1.065$
* $N(t)=200$
* $t=$?
[[Datei:1 bsp zu wachstum-lösung.png|thumb|right|300px|Bestimmung der Verdoppelungszeit]]
$$200=100\cdot 1.065^t$$
$$2=1.065^t |\log$$
$$\log 2 = t\cdot \log 1.065$$
$$\frac{\log 2}{\log 1.065}=t$$
$$\underline{\underline{t= 11.01}}$$

c)
Wie anhand des Graphen zu sehen ist, beträgt die Verdoppelungszeit 11,01 Jahre, da sich hier das Anfangskapital von € 350 auf € 700 verdoppelt hat.

Die Verdoppelungszeit hängt nicht vom Startwert $N_0$, sondern nur vom Wachstumsfaktor $a$ ab. Aus diesem Grund sind die Verdoppelungszeiten in b) und c) ident.

</div>

</div>

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''2. Musterbeispiel:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Die Größe einer Bakterienpopulation nach t Stunden kann mithilfe der Funktion $N(t)=N_0\cdot 1.14^t$ angegeben werden.
* a) Bestimmen Sie, um wie viel sich die Population pro Stunde vergrößert.
* b) Berechnen Sie die Verdoppelungszeit.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

a) $a=1.14\ \ \rightarrow\ \ 14$ % Wachstum pro Stunde.

b)
* Nach der Verdoppelungszeit ist $N(t)=2\cdot N_0$ (d.h. der Anfangswert hat sich verdoppelt). Setzen wir dies für $N(t)$ in die Funktionsgleichung, so erhalten wir:
$$ N(t)=N_0\cdot 1.14^t$$
$$ 2\cdot N_0=N_0\cdot 1.14^t \ \ \ |:N_0$$
$$ 2=1.14^t$$
Wichtig! In der oberen Zeile hat sich das $N_0$ weggekürzt! Damit sehen wir, dass die '''Verdoppelungszeit unabhängig vom Startwert $N_0$''' ist!
$$ \log 2=t\cdot \log 1.14 $$
$$\frac{\log 2}{\log 1.14}=t$$
$$\underline{\underline{t=5.29}}$$
A: Die Verdoppelungszeit beträgt 5.29 Stunden.

</div>

</div>

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''3. Musterbeispiel:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Die Verdoppelungszeit eines exponentiellen Wachstumsprozesses der Form $N(t)=N_0\cdot a^t$ beträgt 17 Tage (t gibt die Tage an).
* a) Berechnen Sie den Wachstumsfaktor $a$.
* b) Bestimmen Sie die Zeit, wie lange es dauert, bis das 8-fache des Anfangswertes vorhanden ist.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

a) Aus der Angabe geht hervor, dass $N(17)=2\cdot N_0$ ist. Dies setzen wir nun in die Funktionsgleichung ein:
$$N(t)=N_0\cdot a^t$$
$$N(17)=N_0\cdot a^17$$
$$2\cdot N_0=N_0\cdot a^17 \ \ \ |:N_0$$
$$2=a^{17}$$
$$\sqrt[17]{2}=a$$
$$\underline{\underline{a=1.0416}}$$
A: Der Wachstumsfaktor $a$ beträgt 1.0416, womit pro Stunde 4.16% dazukommen.

b) Aus der Angabe wissen wir, dass es nach 17 Stunden zu einer Verdoppelung gekommen ist.
Da sich das expoentielle Wachsum in gleichen Zeitabständen um denselben Faktor vermehrt, gilt:
* nach $2\cdot 17=34$ Stunden kommt es zu einer Vervierfachung ($2\cdot 2=4$).
* Nach $3\cdot 17=51$ Stunden kommt es zu einer Verachtfachung. ($2\cdot 2 \cdot 2=8$)
Somit dauert es 51 Stunden.
Schau dir dazu auch den Graphen bei der unteren Bemerkung an!

</div>

</div>

</div>

</div>

{| border ="1"
|<p style="background-color:#E0E0E0">'''Merke:''' </p>

|
* Die Verdoppelungszeit wird berechnet, indem man für $N(t)=2\cdot N_0$ einsetzt.

* Die Verdoppelungszeit ist unabhängig vom Anfangswert $N_0$ (vgl. 2. Musterbeispiel)
|
|[[Datei:Verdoppelungszeit.png|thumb|right|500px]]
|}

<br>
<br>
<br>
<br>

=== Unterschied: Lineares und Exponentielles Wachstum ===

Es ist wichtig, die Unterschiede zwischen dem linearen und dem exponentiellen Wachstum zu kennen. Aus diesem Grund vergleichen wir hier die beiden Wachstumsprozesse:

{| border="1" align="center"
|-
!| lineares Wachstum
!| exponentielles Wachstum
|-
|Addition um eine konstante Zahl
| Multiplikation um einen konstanten Faktor
|-
| immer $+k$
| immer $\cdot a$
|-
| Graph ist eine Gerade
| Graph ist eine exponentielle Kurve
|-
| wächst immer um dieselbe konstante Zahl k
| wächst immer schneller
|-
| [[Datei:Lin wachstum.png|thumb|right|300px|Graph einer linearen Zunahme]]
| [[Datei:Exp wachstum.png|thumb|300px|right|Graph einer exponentiellen Zunahme]]
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel: linear oder exponentiell?''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Ordne dem passenden Wachstum zu und bestimme k bzw. a:
# Der Umfang eines Baumes nimmt jährlich um 5% zu:
# Der Meeresspiegel steigt jährlich um 4 cm:
# Die Bevölkerung wächst jährlich um den Faktor 1.2:
# Der Stamm eines Baumes wird pro Jahr um 1 cm dicker:
# Ein Kapital wird jährlich mit 3 % p.a. verzinst.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
# Der Umfang eines Baumes nimmt jährlich um 5 % zu: <span style="color:red"> exponentiell mit $a=1.05$ </span>
# Der Meeresspiegel steigt jährlich um 4 cm: <span style="color:red"> linear mit $k=4$ cm </span>
# Die Bevölkerung wächst jährlich um den Faktor 1.2: <span style="color:red"> exponentiell mit $a=1.2$ </span>
# Der Stamm eines Baumes wird pro Jahr um 1 cm dicker: <span style="color:red"> linear mit $k=1$ cm </span>
# Ein Kapital wird jährlich mit 3 % p.a. verzinst. <span style="color:red"> exponentiell mit $a=1.03$ </span>
# Der Umsatz eines Betriebes sinkt jährlich um 12 %: <span style="color:red"> exponentiell mit $a=0.88 \rightarrow$ siehe exponentielle Abnahme </span>

</div>

</div>

</div>

</div>

<br>
<br>
<br>

== Exponentielle Abnahme ==

'''Definition:'''

Von einer exponentiellen Abnahme spricht man, wenn sich eine Größe in gleichbleibenden Zeitintervallen immer um den gleichen Faktor verkleinert.

[[Datei:Exp abnahme.png|thumb|300px|right|Graph einer exponentiellen Abnahme]]

{| border="1" align="center"
|-
| $$N(t)=N_0\cdot a^t $$
| $$N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda \cdot t}$$
|-
| $a>1 ...$ ist der Abnahmefaktor und gibt an, mit welchem Faktor sich die Population pro Zeiteinheit verringert. Da die Population abnimmt, muss $0<a<1$ sein (siehe [[Exponentialfunktionen(3.5.) | Exponentialfunktionen]])

Beispiel:
{|
| $a=0.64$
|$\rightarrow $
| die Population verringert sich um den Faktor 0.64
| $\rightarrow $
| die Population verringert sich pro Zeiteinheit um $1-0.64=36$ %
|}
| $-\lambda<0 ...$ ist die Wachstumsrate.
Es gilt: $a=e^{-\lambda} $
|}
<br>
<br>
<br>
<br>

=== Halbwertszeit ===
Eine besondere Eigenschaft des exponentiellen Abnahme ist, dass die Zeit für eine Halbierung der Anfangsgröße, immer gleich groß ist (vgl. Verdoppelungszeit beim exponentiellen Wachstum).
Aus diesem Grund definiert man die:

{| border ="1"
| <p style="background-color:#E0E0E0"> '''Definition: Halbwertszeit $\tau $''' </p>

| Die Halbwertszeit $\tau$ ist die Zeit, nach welcher Zeitspanne sich eine Größe halbiert hat. Insbesondere gilt: $$N(\tau)=\frac{N_0}{2}$$
$$\textrm{(in Worten: „die Anzahl nach $\tau$ Zeiteinheiten ist die Hälfte des Anfangswertes }N_0\textrm{"}$$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''Musterbeispiel:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Von einer Bestimen Menge eines radioaktiven Elements zerfallen stündlich 4 %.
* a) Stellen Sie das Zerfallsgesetz in der Form $N(t)=N_0\cdot a^t$ auf.
* b) Bestimmen Sie die Halbwertszeit.
* c) Bestimmen Sie zusätzlich noch das Zerfallsgesetz in der Form $N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda \cdot t}$
* d) Nach wie vielen Stunden ist nur noch 1 % der Anfangsmenge vorhanden?

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
a)
$a=0.96 \rightarrow $ Somit lautet das Zerfallsgesetz: $$ N(t)=N_0\cdot 0.96^t$$

b)
Bei der Halbwertszeit gilt, dass $N(t)=\frac{N_0}{2}$ ist. Setzt man dies in das Zerfallsgesetz ein. erhält man:
$$ N(t)=N_0\cdot 0.96^t$$
$$ \frac{N_0}{2}=N_0\cdot 0.96^t \ \ \ |:N_0$$
$$\frac{1}{2}=0.96^t\ \ \ |\ln $$
$$ \ln \frac{1}{2}=t\cdot \ln 0.96 $$
$$\frac{\ln \frac{1}{2}}{\ln 0.96}=t$$
$$\underline{\underline{t=16.98}}$$

A: Die Halbwerszeit beträgt ca. 17 Stunden.

c) Hier müssen wir nur das $\lambda$ berechnen. Es gilt $a=e^{-\lambda}$. Dadurch kann man $\lambda$ berechnen:
$$0.96=e^{-\lambda}$$
$$ \ln 0.96 = -\lambda \ln e \ \ \ |\ln e=1$$
$$-\ln 0.96=\lambda$$
$$ \underline{\underline{0.041=\lambda}}$$

Somit lautet das Zerfallsgesatz in der $e^{-\lambda}$-Form:
$$N(t)=N_0\cdot e^{-0.041\cdot t}$$

d)
Gefragt ist, wann $N(t)=1 \textrm{% von }N_0$ vorhanden ist - d.h.: $N(t)=0.01\cdot N_0$.
Setzten wir dies in das Zerfallsgesetz aus a) oder c) ein (es ist hier völlig egal, welche Formeln man nimmt), so erhält man:
$$N(t)=N_0\cdot e^{-0.041\cdot t}$$
$$0.01\cdot N_0=N_0\cdot e^{-0.041\cdot t}$$
$$0.01=e^{-0.041\cdot t} | \ln \textrm{ und } \ln e=1$$
$$\ln 0.01=-0.041\cdot t$$
$$\frac{\ln 0.01}{-0.041}=t$$
$$\underline{\underline{t=112.32}}$$

A: Erst nach etwas mehr als 112 Stunden sind 99 % der Anfangsmenge zerfallen.

</div>

</div>

</div>

</div>

{| border ="1"
|<p style="background-color:#E0E0E0">'''Merke:''' </p>

|
* Die Halbwertszeit wird berechnet, indem man für $$N(t)=\frac{N_0}{2}$$ einsetzt.

* Die Halbwertszeit ist unabhängig vom Anfangswert $N_0$
|
|[[Datei:Halbierungszeit1.png|thumb|right|650px| Wartet man die Halbwertszeit $\tau$ ab, so halbiert sich der Anfangswert, vollkommen egal, wie groß dieser ist.]]
|}

=== Übungsaufgaben ===
Weitere [http://matura.marienberg.at/images/2/2c/Bspe_zur_exp_Abnahme.pdf Übungsaufgaben (klicke hier)] und die dazugehörenden [http://matura.marienberg.at/images/b/b1/Bspe_zur_exp_Abnahme_-_L%C3%B6sungen.pdf Lösungen (klicke hier)].

== Quadratisches Wachstum $N(t)=a\cdot t^2+b\cdot t+N_0$==
=== Definition und Verwendung===
=== Musterbeispiel ===

== Beschränktes und Logistisches Wachstum ==

== Durchmischte Beispiele ==

Hier Hot-Potatoe mit Lückentext/Zuordnung, ob alle Definitionen verstanden wurden

* [http://matura.marienberg.at/images/9/9b/Aufgaben_zu_den_verschiedenen_Wachstumsmodellen_%28exp-log-beschr%29.pdf Aufgaben zu den verschiedenen Wachstumsmodellen] (Lösungen enthalten)

* [http://matura.marienberg.at/images/e/e2/Aufgaben_-_St-Riedmann_-_Angabe.pdf Weitere Aufgaben (S. Riedmann)]
:: ... und [http://matura.marienberg.at/images/3/38/Aufgaben_-_St-Riedmann_-_L%C3%B6sungen.pdf hier die Lösungen]

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=14&file=Taschengeld.pdf Taschengeld] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=15&file=Luftdruck_1.pdf Luftdruck1] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=23&file=Bevoelkerung.pdf Bevölkerung] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=22&file=Holzbestand_und_Waldflaeche.pdf Holzbestand] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=21&file=Hefeteig.pdf Hefeteig] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=19&file=Altersbestimmung.pdf Altersbestimmung] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=24&file=Kleintransporte.pdf Kleintransporter] (bifie-Aufgabe)

Wachstums- und Zerfallsprozesse

2014-07-08T06:42:55Z

62.47.210.109: /* Unterschied: Lineares und Exponentielles Wachstum */

In der Natur vorkommende Wachstums- und Zerfallsprozesse (z.B. Wachstum einer Bevölkerung, Zerfall eines radioaktiven Atoms, Abnahme des Alkoholspiegels) können mithilfe von mathematischen [[Funktionen]] beschrieben werden.

Für die Matura sind dabei besonders die folgenden Funktionen wichtig:
* [[Lineare Funktionen | lineare Funktionen y=kx+d]]
* [[Exponentialfunktionen(3.5.)| Exponentialfunktionen $y=b\cdot a^x$ oder $y=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$]]
* [[quadratische Funktionen | quadratische Funktionen $y=ax^2+bx+c$]]

== Grundbegriffe ==
* $t...$ gibt die vergangene Zeit an (in Jahren oder Tagen oder Stunden oder …. Die Einheit steht immer in der Angabe!)
* $N_0...$ Anfangswert (Anzahl/Größe zum Zeitpunkt 0)
* $N(t)...$ Anzahl/Größe nach t Zeiteinheiten (z.B. t gebe die Stunden an, dann ist $N(5)=$ Anzahl nach 5 Stunden)

== Lineares Wachstum $N(t)= k\cdot t +N_0$==

=== Definition und Verwendung===
[[Datei:Lin wachstum.png|thumb|right|300px|Graph einer linearen Zunahme]]
[[Datei:Lin abnahme.png|thumb|right|300px|Graph einer linearen Abnahme]]

Eine Größe verändert sich linear, wenn sie in gleichen Zeitabständen um denselben konstanten Wert k wächst.
Die Funktionsgleichung für eine solche Veränderung lautet dann:
$$ N(t)= k\cdot t +N_0 $$

* Ist k>0, so handelt es sich um ein lineares Wachstum
* Ist k<0, so handelt es sich um eine lineare Abhnahme

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Hinweise:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
* Bei $ N(t)= k\cdot t +N_0 $ handelt es sich um eine [[Lineare Funktionen | lineare Funktion]] der Form
$$ y=k\cdot x+d$$
: Mit der unabhängigen Variable $t=x$, der davon abhängigen Variable $N(t)=y$ und dem Startwert $N_0=d$
* '''Herleitung der Funktionsgleichung:'''
Angenommen eine Population hat zu Beginn $N_0$ Individuen und wächst pro Zeiteinheit (z.B. pro Stunde) um den Wert k.

Dann gilt für $N_1=$ Individuen nach einer Stunde:
$$N(1)=N_0+k$$
Nach 2 Stunden hat sich die Population wieder um k vermehrt und damit ist
$$N(2)=N(1)+k=(N_0+k)+k=N_0+2k$$
Und nach 3 Stunden gilt
$$N(3)=N(3)+k=N_0+3k$$
Ganz allgemein gilt dann für die Population nach t Stunden:
$$N(t)=N_0+k\cdot t$$

</div>

</div>

<br>
<br>
<br>
<br>

=== Musterbeispiel ===
[http://matura.marienberg.at/images/9/9b/Aufgabe_-_lineares_Wachstum_-_Angabe.pdf Aufgabe]
: [http://matura.marienberg.at/images/b/bb/Aufgabe_-_lineares_Wachstum_-_L%C3%B6sungen.pdf Lösung]

<br>
<br>
<br>
<br>

== Exponentielles Wachstum $N(t)=N_0\cdot a^t$ bzw. $N(t)=N_0\cdot e^{\lambda \cdot t}$==

=== Definition und Verwendung===

Eine Größe wächst exponentiell, wenn sie in gleichen Zeitabständen '''um denselben konstanten Faktor $a>1$''' wächst.
Wie bei den [[Exponentialfunktionen(3.5.) | Exponentialfunktionen]] gibt es auch hier zwei Formeln:

[[Datei:Exp wachstum.png|thumb|300px|right|Graph einer exponentiellen Zunahme]]

{| border="1" align="center"
|-
| $$N(t)=N_0\cdot a^t $$
| $$N(t)=N_0\cdot e^{\lambda \cdot t}$$
|-
| $a>1 ...$ ist der Wachstumsfaktor und gibt an, mit welchem Faktor sich die Population pro Zeiteinheit verändert. Da die Population wächst, muss $a>1$ sein (siehe [[Exponentialfunktionen(3.5.) | Exponentialfunktionen]])

Beispiel:
{|
| $a=1.26$
|$\rightarrow $
| die Population wächst um den Faktor 1.26
| $\rightarrow $
| die Population wächst Zeiteinheit um $26$ %
|}
| $\lambda>0 ...$ ist die Wachstumsrate.
Es gilt: $a=e^\lambda $
|}
<br>
<br>
<br>
<br>

=== Verdoppelungszeit ===
Eine besondere Eigenschaft des exponentiellen Wachstums ist, dass die Zeit für eine Verdoppelung der Anfangsgröße, immer gleich groß ist (mit einer kleinen Überlegung findest du leicht heraus, dass dies schon aus der Definition des Exponentiellen Wachstums folgt).
Aus diesem Grund definiert man die:

{| border ="1"
| <p style="background-color:#E0E0E0"> '''Definition: Verdoppelungszeit $\tau $''' </p>

| Die Verdoppelungszeit $\tau$ ist die Zeit, nach welcher Zeitspanne sich eine Größe verdoppelt hat. Insbesondere gilt: $$N(\tau)=2\cdot N_0$$
$$\textrm{(in Worten: „die Anzahl nach $\tau$ Zeiteinheiten ist das Doppelte des Anfangswertes }N_0$$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0>
'''1. Musterbeispiel:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Text der nicht angezeigt werden soll
[[Datei:1 bsp zu wachstum.png|thumb|right|300px|Graph der Wachstumsfunktion $N(t)=350\cdot 1.065^t$]]
Ein Kapital auf einem Sparbuch wächst jährlich um 6.5 % p.a. (d.h. 6.5 %-ige Verzinsung pro Jahr).
* a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung, wenn zu Beginn € 100 auf dem Sparbuch liegen.
* b) Ermitteln Sie die Verdoppelungszeit, d.h. Berechnen Sie, wann sich das Anfangskapital verdoppelt hat.
* c) Die folgende Graphik gibt die Entwicklung für ein Anfangskapital von € 350 an. Lesen Sie aus dem Graphen die Verdoppelungszeit ab.
: Begründen Sie zusätzlich, warum die Verdoppelungszeit gleich groß wie in Aufgabe b) ist.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
a) $N_0=100$, $a=(1+\frac{6.5}{100}=1.065 \ \ \rightarrow$ $N(t)=100\cdot 1.065^t$

b)
* $N_0=100$
* $a=1.065$
* $N(t)=200$
* $t=$?
[[Datei:1 bsp zu wachstum-lösung.png|thumb|right|300px|Bestimmung der Verdoppelungszeit]]
$$200=100\cdot 1.065^t$$
$$2=1.065^t |\log$$
$$\log 2 = t\cdot \log 1.065$$
$$\frac{\log 2}{\log 1.065}=t$$
$$\underline{\underline{t= 11.01}}$$

c)
Wie anhand des Graphen zu sehen ist, beträgt die Verdoppelungszeit 11,01 Jahre, da sich hier das Anfangskapital von € 350 auf € 700 verdoppelt hat.

Die Verdoppelungszeit hängt nicht vom Startwert $N_0$, sondern nur vom Wachstumsfaktor $a$ ab. Aus diesem Grund sind die Verdoppelungszeiten in b) und c) ident.

</div>

</div>

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''2. Musterbeispiel:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Die Größe einer Bakterienpopulation nach t Stunden kann mithilfe der Funktion $N(t)=N_0\cdot 1.14^t$ angegeben werden.
* a) Bestimmen Sie, um wie viel sich die Population pro Stunde vergrößert.
* b) Berechnen Sie die Verdoppelungszeit.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

a) $a=1.14\ \ \rightarrow\ \ 14$ % Wachstum pro Stunde.

b)
* Nach der Verdoppelungszeit ist $N(t)=2\cdot N_0$ (d.h. der Anfangswert hat sich verdoppelt). Setzen wir dies für $N(t)$ in die Funktionsgleichung, so erhalten wir:
$$ N(t)=N_0\cdot 1.14^t$$
$$ 2\cdot N_0=N_0\cdot 1.14^t \ \ \ |:N_0$$
$$ 2=1.14^t$$
Wichtig! In der oberen Zeile hat sich das $N_0$ weggekürzt! Damit sehen wir, dass die '''Verdoppelungszeit unabhängig vom Startwert $N_0$''' ist!
$$ \log 2=t\cdot \log 1.14 $$
$$\frac{\log 2}{\log 1.14}=t$$
$$\underline{\underline{t=5.29}}$$
A: Die Verdoppelungszeit beträgt 5.29 Stunden.

</div>

</div>

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''3. Musterbeispiel:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Die Verdoppelungszeit eines exponentiellen Wachstumsprozesses der Form $N(t)=N_0\cdot a^t$ beträgt 17 Tage (t gibt die Tage an).
* a) Berechnen Sie den Wachstumsfaktor $a$.
* b) Bestimmen Sie die Zeit, wie lange es dauert, bis das 8-fache des Anfangswertes vorhanden ist.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

a) Aus der Angabe geht hervor, dass $N(17)=2\cdot N_0$ ist. Dies setzen wir nun in die Funktionsgleichung ein:
$$N(t)=N_0\cdot a^t$$
$$N(17)=N_0\cdot a^17$$
$$2\cdot N_0=N_0\cdot a^17 \ \ \ |:N_0$$
$$2=a^{17}$$
$$\sqrt[17]{2}=a$$
$$\underline{\underline{a=1.0416}}$$
A: Der Wachstumsfaktor $a$ beträgt 1.0416, womit pro Stunde 4.16% dazukommen.

b) Aus der Angabe wissen wir, dass es nach 17 Stunden zu einer Verdoppelung gekommen ist.
Da sich das expoentielle Wachsum in gleichen Zeitabständen um denselben Faktor vermehrt, gilt:
* nach $2\cdot 17=34$ Stunden kommt es zu einer Vervierfachung ($2\cdot 2=4$).
* Nach $3\cdot 17=51$ Stunden kommt es zu einer Verachtfachung. ($2\cdot 2 \cdot 2=8$)
Somit dauert es 51 Stunden.
Schau dir dazu auch den Graphen bei der unteren Bemerkung an!

</div>

</div>

</div>

</div>

{| border ="1"
|<p style="background-color:#E0E0E0">'''Merke:''' </p>

|
* Die Verdoppelungszeit wird berechnet, indem man für $N(t)=2\cdot N_0$ einsetzt.

* Die Verdoppelungszeit ist unabhängig vom Anfangswert $N_0$ (vgl. 2. Musterbeispiel)
|
|[[Datei:Verdoppelungszeit.png|thumb|right|500px]]
|}

<br>
<br>
<br>
<br>

=== Unterschied: Lineares und Exponentielles Wachstum ===

Es ist wichtig, die Unterschiede zwischen dem linearen und dem exponentiellen Wachstum zu kennen. Aus diesem Grund vergleichen wir hier die beiden Wachstumsprozesse:

{| border="1" align="center"
|-
!| lineares Wachstum
!| exponentielles Wachstum
|-
|Addition um eine konstante Zahl
| Multiplikation um einen konstanten Faktor
|-
| immer $+k$
| immer $\cdot a$
|-
| Graph ist eine Gerade
| Graph ist eine exponentielle Kurve
|-
| wächst immer um dieselbe konstante Zahl k
| wächst immer schneller
|-
| [[Datei:Lin wachstum.png|thumb|right|300px|Graph einer linearen Zunahme]]
| [[Datei:Exp wachstum.png|thumb|300px|right|Graph einer exponentiellen Zunahme]]
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel: linear oder exponentiell?''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Ordne dem passenden Wachstum zu und bestimme k bzw. a:
# Der Umfang eines Baumes nimmt jährlich um 5% zu:
# Der Meeresspiegel steigt jährlich um 4 cm:
# Die Bevölkerung wächst jährlich um den Faktor 1.2:
# Der Stamm eines Baumes wird pro Jahr um 1 cm dicker:
# Ein Kapital wird jährlich mit 3 % p.a. verzinst.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
# Der Umfang eines Baumes nimmt jährlich um 5 % zu: <span style="color:red"> exponentiell mit $a=1.05$ </span>
# Der Meeresspiegel steigt jährlich um 4 cm: <span style="color:red"> linear mit $k=4$ cm </span>
# Die Bevölkerung wächst jährlich um den Faktor 1.2: <span style="color:red"> exponentiell mit $a=1.2$ </span>
# Der Stamm eines Baumes wird pro Jahr um 1 cm dicker: <span style="color:red"> linear mit $k=1$ cm </span>
# Ein Kapital wird jährlich mit 3 % p.a. verzinst. <span style="color:red"> exponentiell mit $a=1.03$ </span>
# Der Umsatz eines Betriebes sinkt jährlich um 12 %: <span style="color:red"> exponentiell mit $a=0.88 \rightarrow$ siehe exponentielle Abnahme </span>

</div>

</div>

</div>

</div>

<br>
<br>
<br>

== Exponentielle Abnahme ==

'''Definition:'''

Von einer exponentiellen Abnahme spricht man, wenn sich eine Größe in gleichbleibenden Zeitintervallen immer um den gleichen Faktor verkleinert.

[[Datei:Exp abnahme.png|thumb|300px|right|Graph einer exponentiellen Abnahme]]

{| border="1" align="center"
|-
| $$N(t)=N_0\cdot a^t $$
| $$N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda \cdot t}$$
|-
| $a>1 ...$ ist der Abnahmefaktor und gibt an, mit welchem Faktor sich die Population pro Zeiteinheit verringert. Da die Population abnimmt, muss $0<a<1$ sein (siehe [[Exponentialfunktionen(3.5.) | Exponentialfunktionen]])

Beispiel:
{|
| $a=0.64$
|$\rightarrow $
| die Population verringert sich um den Faktor 0.64
| $\rightarrow $
| die Population verringert sich pro Zeiteinheit um $1-0.64=36$ %
|}
| $-\lambda<0 ...$ ist die Wachstumsrate.
Es gilt: $a=e^{-\lambda} $
|}
<br>
<br>
<br>
<br>

=== Halbwertszeit ===
Eine besondere Eigenschaft des exponentiellen Abnahme ist, dass die Zeit für eine Halbierung der Anfangsgröße, immer gleich groß ist (vgl. Verdoppelungszeit beim exponentiellen Wachstum).
Aus diesem Grund definiert man die:

{| border ="1"
| <p style="background-color:#E0E0E0"> '''Definition: Halbwertszeit $\tau $''' </p>

| Die Halbwertszeit $\tau$ ist die Zeit, nach welcher Zeitspanne sich eine Größe halbiert hat. Insbesondere gilt: $$N(\tau)=\frac{N_0}{2}$$
$$\textrm{(in Worten: „die Anzahl nach $\tau$ Zeiteinheiten ist die Hälfte des Anfangswertes }N_0\textrm{"}$$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''Musterbeispiel:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Von einer Bestimen Menge eines radioaktiven Elements zerfallen stündlich 4 %.
* a) Stellen Sie das Zerfallsgesetz in der Form $N(t)=N_0\cdot a^t$ auf.
* b) Bestimmen Sie die Halbwertszeit.
* c) Bestimmen Sie zusätzlich noch das Zerfallsgesetz in der Form $N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda \cdot t}$
* d) Nach wie vielen Stunden ist nur noch 1 % der Anfangsmenge vorhanden?

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
a)
$a=0.96 \rightarrow $ Somit lautet das Zerfallsgesetz: $$ N(t)=N_0\cdot 0.96^t$$

b)
Bei der Halbwertszeit gilt, dass $N(t)=\frac{N_0}{2}$ ist. Setzt man dies in das Zerfallsgesetz ein. erhält man:
$$ N(t)=N_0\cdot 0.96^t$$
$$ \frac{N_0}{2}=N_0\cdot 0.96^t \ \ \ |:N_0$$
$$\frac{1}{2}=0.96^t\ \ \ |\ln $$
$$ \ln \frac{1}{2}=t\cdot \ln 0.96 $$
$$\frac{\ln \frac{1}{2}}{\ln 0.96}=t$$
$$\underline{\underline{t=16.98}}$$

A: Die Halbwerszeit beträgt ca. 17 Stunden.

c) Hier müssen wir nur das $\lambda$ berechnen. Es gilt $a=e^{-\lambda}$. Dadurch kann man $\lambda$ berechnen:
$$0.96=e^{-\lambda}$$
$$ \ln 0.96 = -\lambda \ln e \ \ \ |\ln e=1$$
$$-\ln 0.96=\lambda$$
$$ \underline{\underline{0.041=\lambda}}$$

Somit lautet das Zerfallsgesatz in der $e^{-\lambda}$-Form:
$$N(t)=N_0\cdot e^{-0.041\cdot t}$$

d)
Gefragt ist, wann $N(t)=1 \textrm{% von }N_0$ vorhanden ist - d.h.: $N(t)=0.01\cdot N_0$.
Setzten wir dies in das Zerfallsgesetz aus a) oder c) ein (es ist hier völlig egal, welche Formeln man nimmt), so erhält man:
$$N(t)=N_0\cdot e^{-0.041\cdot t}$$
$$0.01\cdot N_0=N_0\cdot e^{-0.041\cdot t}$$
$$0.01=e^{-0.041\cdot t} | \ln \textrm{ und } \ln e=1$$
$$\ln 0.01=-0.041\cdot t$$
$$\frac{\ln 0.01}{-0.041}=t$$
$$\underline{\underline{t=112.32}}$$

A: Erst nach etwas mehr als 112 Stunden sind 99 % der Anfangsmenge zerfallen.

</div>

</div>

</div>

</div>

{| border ="1"
|<p style="background-color:#E0E0E0">'''Merke:''' </p>

|
* Die Halbwertszeit wird berechnet, indem man für $$N(t)=\frac{N_0}{2}$$ einsetzt.

* Die Halbwertszeit ist unabhängig vom Anfangswert $N_0$
|
|[[Datei:Halbierungszeit1.png|thumb|right|650px| Wartet man die Halbwertszeit $\tau$ ab, so halbiert sich der Anfangswert, vollkommen egal, wie groß dieser ist.]]
|}

=== Übungsaufgaben ===
Weitere [http://matura.marienberg.at/images/2/2c/Bspe_zur_exp_Abnahme.pdf Übungsaufgaben (klicke hier)] und die dazugehörenden [http://matura.marienberg.at/images/b/b1/Bspe_zur_exp_Abnahme_-_L%C3%B6sungen.pdf Lösungen (klicke hier)].

== Quadratisches Wachstum $N(t)=a\cdot t^2+b\cdot t+N_0$==
=== Definition und Verwendung===
=== Musterbeispiel ===

== Beschränktes und Logistisches Wachstum ==

== Durchmischte Beispiele ==

Hier Hot-Potatoe mit Lückentext/Zuordnung, ob alle Definitionen verstanden wurden

* [http://matura.marienberg.at/images/9/9b/Aufgaben_zu_den_verschiedenen_Wachstumsmodellen_%28exp-log-beschr%29.pdf Aufgaben zu den verschiedenen Wachstumsmodellen] (Lösungen enthalten)

* [http://matura.marienberg.at/images/e/e2/Aufgaben_-_St-Riedmann_-_Angabe.pdf Weitere Aufgaben (S. Riedmann)]
:: ... und [http://matura.marienberg.at/images/3/38/Aufgaben_-_St-Riedmann_-_L%C3%B6sungen.pdf hier die Lösungen]

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=14&file=Taschengeld.pdf Taschengeld] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=15&file=Luftdruck_1.pdf Luftdruck1] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=23&file=Bevoelkerung.pdf Bevölkerung] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=22&file=Holzbestand_und_Waldflaeche.pdf Holzbestand] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=21&file=Hefeteig.pdf Hefeteig] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=19&file=Altersbestimmung.pdf Altersbestimmung] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=24&file=Kleintransporte.pdf Kleintransporter] (bifie-Aufgabe)

Wachstums- und Zerfallsprozesse

2014-07-08T06:42:05Z

62.47.210.109: /* Exponentielle Abnahme */

In der Natur vorkommende Wachstums- und Zerfallsprozesse (z.B. Wachstum einer Bevölkerung, Zerfall eines radioaktiven Atoms, Abnahme des Alkoholspiegels) können mithilfe von mathematischen [[Funktionen]] beschrieben werden.

Für die Matura sind dabei besonders die folgenden Funktionen wichtig:
* [[Lineare Funktionen | lineare Funktionen y=kx+d]]
* [[Exponentialfunktionen(3.5.)| Exponentialfunktionen $y=b\cdot a^x$ oder $y=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$]]
* [[quadratische Funktionen | quadratische Funktionen $y=ax^2+bx+c$]]

== Grundbegriffe ==
* $t...$ gibt die vergangene Zeit an (in Jahren oder Tagen oder Stunden oder …. Die Einheit steht immer in der Angabe!)
* $N_0...$ Anfangswert (Anzahl/Größe zum Zeitpunkt 0)
* $N(t)...$ Anzahl/Größe nach t Zeiteinheiten (z.B. t gebe die Stunden an, dann ist $N(5)=$ Anzahl nach 5 Stunden)

== Lineares Wachstum $N(t)= k\cdot t +N_0$==

=== Definition und Verwendung===
[[Datei:Lin wachstum.png|thumb|right|300px|Graph einer linearen Zunahme]]
[[Datei:Lin abnahme.png|thumb|right|300px|Graph einer linearen Abnahme]]

Eine Größe verändert sich linear, wenn sie in gleichen Zeitabständen um denselben konstanten Wert k wächst.
Die Funktionsgleichung für eine solche Veränderung lautet dann:
$$ N(t)= k\cdot t +N_0 $$

* Ist k>0, so handelt es sich um ein lineares Wachstum
* Ist k<0, so handelt es sich um eine lineare Abhnahme

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Hinweise:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
* Bei $ N(t)= k\cdot t +N_0 $ handelt es sich um eine [[Lineare Funktionen | lineare Funktion]] der Form
$$ y=k\cdot x+d$$
: Mit der unabhängigen Variable $t=x$, der davon abhängigen Variable $N(t)=y$ und dem Startwert $N_0=d$
* '''Herleitung der Funktionsgleichung:'''
Angenommen eine Population hat zu Beginn $N_0$ Individuen und wächst pro Zeiteinheit (z.B. pro Stunde) um den Wert k.

Dann gilt für $N_1=$ Individuen nach einer Stunde:
$$N(1)=N_0+k$$
Nach 2 Stunden hat sich die Population wieder um k vermehrt und damit ist
$$N(2)=N(1)+k=(N_0+k)+k=N_0+2k$$
Und nach 3 Stunden gilt
$$N(3)=N(3)+k=N_0+3k$$
Ganz allgemein gilt dann für die Population nach t Stunden:
$$N(t)=N_0+k\cdot t$$

</div>

</div>

<br>
<br>
<br>
<br>

=== Musterbeispiel ===
[http://matura.marienberg.at/images/9/9b/Aufgabe_-_lineares_Wachstum_-_Angabe.pdf Aufgabe]
: [http://matura.marienberg.at/images/b/bb/Aufgabe_-_lineares_Wachstum_-_L%C3%B6sungen.pdf Lösung]

<br>
<br>
<br>
<br>

== Exponentielles Wachstum $N(t)=N_0\cdot a^t$ bzw. $N(t)=N_0\cdot e^{\lambda \cdot t}$==

=== Definition und Verwendung===

Eine Größe wächst exponentiell, wenn sie in gleichen Zeitabständen '''um denselben konstanten Faktor $a>1$''' wächst.
Wie bei den [[Exponentialfunktionen(3.5.) | Exponentialfunktionen]] gibt es auch hier zwei Formeln:

[[Datei:Exp wachstum.png|thumb|300px|right|Graph einer exponentiellen Zunahme]]

{| border="1" align="center"
|-
| $$N(t)=N_0\cdot a^t $$
| $$N(t)=N_0\cdot e^{\lambda \cdot t}$$
|-
| $a>1 ...$ ist der Wachstumsfaktor und gibt an, mit welchem Faktor sich die Population pro Zeiteinheit verändert. Da die Population wächst, muss $a>1$ sein (siehe [[Exponentialfunktionen(3.5.) | Exponentialfunktionen]])

Beispiel:
{|
| $a=1.26$
|$\rightarrow $
| die Population wächst um den Faktor 1.26
| $\rightarrow $
| die Population wächst Zeiteinheit um $26$ %
|}
| $\lambda>0 ...$ ist die Wachstumsrate.
Es gilt: $a=e^\lambda $
|}
<br>
<br>
<br>
<br>

=== Verdoppelungszeit ===
Eine besondere Eigenschaft des exponentiellen Wachstums ist, dass die Zeit für eine Verdoppelung der Anfangsgröße, immer gleich groß ist (mit einer kleinen Überlegung findest du leicht heraus, dass dies schon aus der Definition des Exponentiellen Wachstums folgt).
Aus diesem Grund definiert man die:

{| border ="1"
| <p style="background-color:#E0E0E0"> '''Definition: Verdoppelungszeit $\tau $''' </p>

| Die Verdoppelungszeit $\tau$ ist die Zeit, nach welcher Zeitspanne sich eine Größe verdoppelt hat. Insbesondere gilt: $$N(\tau)=2\cdot N_0$$
$$\textrm{(in Worten: „die Anzahl nach $\tau$ Zeiteinheiten ist das Doppelte des Anfangswertes }N_0$$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0>
'''1. Musterbeispiel:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Text der nicht angezeigt werden soll
[[Datei:1 bsp zu wachstum.png|thumb|right|300px|Graph der Wachstumsfunktion $N(t)=350\cdot 1.065^t$]]
Ein Kapital auf einem Sparbuch wächst jährlich um 6.5 % p.a. (d.h. 6.5 %-ige Verzinsung pro Jahr).
* a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung, wenn zu Beginn € 100 auf dem Sparbuch liegen.
* b) Ermitteln Sie die Verdoppelungszeit, d.h. Berechnen Sie, wann sich das Anfangskapital verdoppelt hat.
* c) Die folgende Graphik gibt die Entwicklung für ein Anfangskapital von € 350 an. Lesen Sie aus dem Graphen die Verdoppelungszeit ab.
: Begründen Sie zusätzlich, warum die Verdoppelungszeit gleich groß wie in Aufgabe b) ist.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
a) $N_0=100$, $a=(1+\frac{6.5}{100}=1.065 \ \ \rightarrow$ $N(t)=100\cdot 1.065^t$

b)
* $N_0=100$
* $a=1.065$
* $N(t)=200$
* $t=$?
[[Datei:1 bsp zu wachstum-lösung.png|thumb|right|300px|Bestimmung der Verdoppelungszeit]]
$$200=100\cdot 1.065^t$$
$$2=1.065^t |\log$$
$$\log 2 = t\cdot \log 1.065$$
$$\frac{\log 2}{\log 1.065}=t$$
$$\underline{\underline{t= 11.01}}$$

c)
Wie anhand des Graphen zu sehen ist, beträgt die Verdoppelungszeit 11,01 Jahre, da sich hier das Anfangskapital von € 350 auf € 700 verdoppelt hat.

Die Verdoppelungszeit hängt nicht vom Startwert $N_0$, sondern nur vom Wachstumsfaktor $a$ ab. Aus diesem Grund sind die Verdoppelungszeiten in b) und c) ident.

</div>

</div>

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''2. Musterbeispiel:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Die Größe einer Bakterienpopulation nach t Stunden kann mithilfe der Funktion $N(t)=N_0\cdot 1.14^t$ angegeben werden.
* a) Bestimmen Sie, um wie viel sich die Population pro Stunde vergrößert.
* b) Berechnen Sie die Verdoppelungszeit.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

a) $a=1.14\ \ \rightarrow\ \ 14$ % Wachstum pro Stunde.

b)
* Nach der Verdoppelungszeit ist $N(t)=2\cdot N_0$ (d.h. der Anfangswert hat sich verdoppelt). Setzen wir dies für $N(t)$ in die Funktionsgleichung, so erhalten wir:
$$ N(t)=N_0\cdot 1.14^t$$
$$ 2\cdot N_0=N_0\cdot 1.14^t \ \ \ |:N_0$$
$$ 2=1.14^t$$
Wichtig! In der oberen Zeile hat sich das $N_0$ weggekürzt! Damit sehen wir, dass die '''Verdoppelungszeit unabhängig vom Startwert $N_0$''' ist!
$$ \log 2=t\cdot \log 1.14 $$
$$\frac{\log 2}{\log 1.14}=t$$
$$\underline{\underline{t=5.29}}$$
A: Die Verdoppelungszeit beträgt 5.29 Stunden.

</div>

</div>

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''3. Musterbeispiel:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Die Verdoppelungszeit eines exponentiellen Wachstumsprozesses der Form $N(t)=N_0\cdot a^t$ beträgt 17 Tage (t gibt die Tage an).
* a) Berechnen Sie den Wachstumsfaktor $a$.
* b) Bestimmen Sie die Zeit, wie lange es dauert, bis das 8-fache des Anfangswertes vorhanden ist.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

a) Aus der Angabe geht hervor, dass $N(17)=2\cdot N_0$ ist. Dies setzen wir nun in die Funktionsgleichung ein:
$$N(t)=N_0\cdot a^t$$
$$N(17)=N_0\cdot a^17$$
$$2\cdot N_0=N_0\cdot a^17 \ \ \ |:N_0$$
$$2=a^{17}$$
$$\sqrt[17]{2}=a$$
$$\underline{\underline{a=1.0416}}$$
A: Der Wachstumsfaktor $a$ beträgt 1.0416, womit pro Stunde 4.16% dazukommen.

b) Aus der Angabe wissen wir, dass es nach 17 Stunden zu einer Verdoppelung gekommen ist.
Da sich das expoentielle Wachsum in gleichen Zeitabständen um denselben Faktor vermehrt, gilt:
* nach $2\cdot 17=34$ Stunden kommt es zu einer Vervierfachung ($2\cdot 2=4$).
* Nach $3\cdot 17=51$ Stunden kommt es zu einer Verachtfachung. ($2\cdot 2 \cdot 2=8$)
Somit dauert es 51 Stunden.
Schau dir dazu auch den Graphen bei der unteren Bemerkung an!

</div>

</div>

</div>

</div>

{| border ="1"
|<p style="background-color:#E0E0E0">'''Merke:''' </p>

|
* Die Verdoppelungszeit wird berechnet, indem man für $N(t)=2\cdot N_0$ einsetzt.

* Die Verdoppelungszeit ist unabhängig vom Anfangswert $N_0$ (vgl. 2. Musterbeispiel)
|
|[[Datei:Verdoppelungszeit.png|thumb|right|500px]]
|}

<br>
<br>
<br>
<br>

=== Unterschied: Lineares und Exponentielles Wachstum ===

Es ist wichtig, die Unterschiede zwischen dem linearen und dem exponentiellen Wachstum zu kennen. Aus diesem Grund vergleichen wir hier die beiden Wachstumsprozesse:

{| border="1" align="center"
|-
!| lineares Wachstum
!| exponentielles Wachstum
|-
|Addition um eine konstante Zahl
| Multiplikation um einen konstanten Faktor
|-
| immer $+k$
| immer $\cdot a$
|-
| Graph ist eine Gerade
| Graph ist eine exponentielle Kurve
|-
| wächst immer um dieselbe konstante Zahl k
| wächst immer schneller
|-
| [[Datei:Lin wachstum.png|thumb|right|300px|Graph einer linearen Zunahme]]
| [[Datei:Exp wachstum.png|thumb|300px|right|Graph einer exponentiellen Zunahme]]
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel: Linear oder Exponentiell''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Ordne dem passenden Wachstum zu und bestimme k bzw. a:
# Der Umfang eines Baumes nimmt jährlich um 5% zu:
# Der Meeresspiegel steigt jährlich um 4 cm:
# Die Bevölkerung wächst jährlich um den Faktor 1.2:
# Der Stamm eines Baumes wird pro Jahr um 1 cm dicker:
# Ein Kapital wird jährlich mit 3 % p.a. verzinst.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
# Der Umfang eines Baumes nimmt jährlich um 5 % zu: <span style="color:red"> exponentiell mit $a=1.05$ </span>
# Der Meeresspiegel steigt jährlich um 4 cm: <span style="color:red"> linear mit $k=4$ cm </span>
# Die Bevölkerung wächst jährlich um den Faktor 1.2: <span style="color:red"> exponentiell mit $a=1.2$ </span>
# Der Stamm eines Baumes wird pro Jahr um 1 cm dicker: <span style="color:red"> linear mit $k=1$ cm </span>
# Ein Kapital wird jährlich mit 3 % p.a. verzinst. <span style="color:red"> exponentiell mit $a=1.03$ </span>
# Der Umsatz eines Betriebes sinkt jährlich um 12 %: <span style="color:red"> exponentiell mit $a=0.88 \rightarrow$ siehe exponentielle Abnahme </span>

</div>

</div>

</div>

</div>

<br>
<br>
<br>

== Exponentielle Abnahme ==

'''Definition:'''

Von einer exponentiellen Abnahme spricht man, wenn sich eine Größe in gleichbleibenden Zeitintervallen immer um den gleichen Faktor verkleinert.

[[Datei:Exp abnahme.png|thumb|300px|right|Graph einer exponentiellen Abnahme]]

{| border="1" align="center"
|-
| $$N(t)=N_0\cdot a^t $$
| $$N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda \cdot t}$$
|-
| $a>1 ...$ ist der Abnahmefaktor und gibt an, mit welchem Faktor sich die Population pro Zeiteinheit verringert. Da die Population abnimmt, muss $0<a<1$ sein (siehe [[Exponentialfunktionen(3.5.) | Exponentialfunktionen]])

Beispiel:
{|
| $a=0.64$
|$\rightarrow $
| die Population verringert sich um den Faktor 0.64
| $\rightarrow $
| die Population verringert sich pro Zeiteinheit um $1-0.64=36$ %
|}
| $-\lambda<0 ...$ ist die Wachstumsrate.
Es gilt: $a=e^{-\lambda} $
|}
<br>
<br>
<br>
<br>

=== Halbwertszeit ===
Eine besondere Eigenschaft des exponentiellen Abnahme ist, dass die Zeit für eine Halbierung der Anfangsgröße, immer gleich groß ist (vgl. Verdoppelungszeit beim exponentiellen Wachstum).
Aus diesem Grund definiert man die:

{| border ="1"
| <p style="background-color:#E0E0E0"> '''Definition: Halbwertszeit $\tau $''' </p>

| Die Halbwertszeit $\tau$ ist die Zeit, nach welcher Zeitspanne sich eine Größe halbiert hat. Insbesondere gilt: $$N(\tau)=\frac{N_0}{2}$$
$$\textrm{(in Worten: „die Anzahl nach $\tau$ Zeiteinheiten ist die Hälfte des Anfangswertes }N_0\textrm{"}$$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''Musterbeispiel:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Von einer Bestimen Menge eines radioaktiven Elements zerfallen stündlich 4 %.
* a) Stellen Sie das Zerfallsgesetz in der Form $N(t)=N_0\cdot a^t$ auf.
* b) Bestimmen Sie die Halbwertszeit.
* c) Bestimmen Sie zusätzlich noch das Zerfallsgesetz in der Form $N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda \cdot t}$
* d) Nach wie vielen Stunden ist nur noch 1 % der Anfangsmenge vorhanden?

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
a)
$a=0.96 \rightarrow $ Somit lautet das Zerfallsgesetz: $$ N(t)=N_0\cdot 0.96^t$$

b)
Bei der Halbwertszeit gilt, dass $N(t)=\frac{N_0}{2}$ ist. Setzt man dies in das Zerfallsgesetz ein. erhält man:
$$ N(t)=N_0\cdot 0.96^t$$
$$ \frac{N_0}{2}=N_0\cdot 0.96^t \ \ \ |:N_0$$
$$\frac{1}{2}=0.96^t\ \ \ |\ln $$
$$ \ln \frac{1}{2}=t\cdot \ln 0.96 $$
$$\frac{\ln \frac{1}{2}}{\ln 0.96}=t$$
$$\underline{\underline{t=16.98}}$$

A: Die Halbwerszeit beträgt ca. 17 Stunden.

c) Hier müssen wir nur das $\lambda$ berechnen. Es gilt $a=e^{-\lambda}$. Dadurch kann man $\lambda$ berechnen:
$$0.96=e^{-\lambda}$$
$$ \ln 0.96 = -\lambda \ln e \ \ \ |\ln e=1$$
$$-\ln 0.96=\lambda$$
$$ \underline{\underline{0.041=\lambda}}$$

Somit lautet das Zerfallsgesatz in der $e^{-\lambda}$-Form:
$$N(t)=N_0\cdot e^{-0.041\cdot t}$$

d)
Gefragt ist, wann $N(t)=1 \textrm{% von }N_0$ vorhanden ist - d.h.: $N(t)=0.01\cdot N_0$.
Setzten wir dies in das Zerfallsgesetz aus a) oder c) ein (es ist hier völlig egal, welche Formeln man nimmt), so erhält man:
$$N(t)=N_0\cdot e^{-0.041\cdot t}$$
$$0.01\cdot N_0=N_0\cdot e^{-0.041\cdot t}$$
$$0.01=e^{-0.041\cdot t} | \ln \textrm{ und } \ln e=1$$
$$\ln 0.01=-0.041\cdot t$$
$$\frac{\ln 0.01}{-0.041}=t$$
$$\underline{\underline{t=112.32}}$$

A: Erst nach etwas mehr als 112 Stunden sind 99 % der Anfangsmenge zerfallen.

</div>

</div>

</div>

</div>

{| border ="1"
|<p style="background-color:#E0E0E0">'''Merke:''' </p>

|
* Die Halbwertszeit wird berechnet, indem man für $$N(t)=\frac{N_0}{2}$$ einsetzt.

* Die Halbwertszeit ist unabhängig vom Anfangswert $N_0$
|
|[[Datei:Halbierungszeit1.png|thumb|right|650px| Wartet man die Halbwertszeit $\tau$ ab, so halbiert sich der Anfangswert, vollkommen egal, wie groß dieser ist.]]
|}

=== Übungsaufgaben ===
Weitere [http://matura.marienberg.at/images/2/2c/Bspe_zur_exp_Abnahme.pdf Übungsaufgaben (klicke hier)] und die dazugehörenden [http://matura.marienberg.at/images/b/b1/Bspe_zur_exp_Abnahme_-_L%C3%B6sungen.pdf Lösungen (klicke hier)].

== Quadratisches Wachstum $N(t)=a\cdot t^2+b\cdot t+N_0$==
=== Definition und Verwendung===
=== Musterbeispiel ===

== Beschränktes und Logistisches Wachstum ==

== Durchmischte Beispiele ==

Hier Hot-Potatoe mit Lückentext/Zuordnung, ob alle Definitionen verstanden wurden

* [http://matura.marienberg.at/images/9/9b/Aufgaben_zu_den_verschiedenen_Wachstumsmodellen_%28exp-log-beschr%29.pdf Aufgaben zu den verschiedenen Wachstumsmodellen] (Lösungen enthalten)

* [http://matura.marienberg.at/images/e/e2/Aufgaben_-_St-Riedmann_-_Angabe.pdf Weitere Aufgaben (S. Riedmann)]
:: ... und [http://matura.marienberg.at/images/3/38/Aufgaben_-_St-Riedmann_-_L%C3%B6sungen.pdf hier die Lösungen]

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=14&file=Taschengeld.pdf Taschengeld] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=15&file=Luftdruck_1.pdf Luftdruck1] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=23&file=Bevoelkerung.pdf Bevölkerung] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=22&file=Holzbestand_und_Waldflaeche.pdf Holzbestand] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=21&file=Hefeteig.pdf Hefeteig] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=19&file=Altersbestimmung.pdf Altersbestimmung] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=24&file=Kleintransporte.pdf Kleintransporter] (bifie-Aufgabe)

Wachstums- und Zerfallsprozesse

2014-07-08T06:41:36Z

62.47.210.109: /* Unterschied: Lineares und Exponentielles Wachstum */

In der Natur vorkommende Wachstums- und Zerfallsprozesse (z.B. Wachstum einer Bevölkerung, Zerfall eines radioaktiven Atoms, Abnahme des Alkoholspiegels) können mithilfe von mathematischen [[Funktionen]] beschrieben werden.

Für die Matura sind dabei besonders die folgenden Funktionen wichtig:
* [[Lineare Funktionen | lineare Funktionen y=kx+d]]
* [[Exponentialfunktionen(3.5.)| Exponentialfunktionen $y=b\cdot a^x$ oder $y=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$]]
* [[quadratische Funktionen | quadratische Funktionen $y=ax^2+bx+c$]]

== Grundbegriffe ==
* $t...$ gibt die vergangene Zeit an (in Jahren oder Tagen oder Stunden oder …. Die Einheit steht immer in der Angabe!)
* $N_0...$ Anfangswert (Anzahl/Größe zum Zeitpunkt 0)
* $N(t)...$ Anzahl/Größe nach t Zeiteinheiten (z.B. t gebe die Stunden an, dann ist $N(5)=$ Anzahl nach 5 Stunden)

== Lineares Wachstum $N(t)= k\cdot t +N_0$==

=== Definition und Verwendung===
[[Datei:Lin wachstum.png|thumb|right|300px|Graph einer linearen Zunahme]]
[[Datei:Lin abnahme.png|thumb|right|300px|Graph einer linearen Abnahme]]

Eine Größe verändert sich linear, wenn sie in gleichen Zeitabständen um denselben konstanten Wert k wächst.
Die Funktionsgleichung für eine solche Veränderung lautet dann:
$$ N(t)= k\cdot t +N_0 $$

* Ist k>0, so handelt es sich um ein lineares Wachstum
* Ist k<0, so handelt es sich um eine lineare Abhnahme

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Hinweise:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
* Bei $ N(t)= k\cdot t +N_0 $ handelt es sich um eine [[Lineare Funktionen | lineare Funktion]] der Form
$$ y=k\cdot x+d$$
: Mit der unabhängigen Variable $t=x$, der davon abhängigen Variable $N(t)=y$ und dem Startwert $N_0=d$
* '''Herleitung der Funktionsgleichung:'''
Angenommen eine Population hat zu Beginn $N_0$ Individuen und wächst pro Zeiteinheit (z.B. pro Stunde) um den Wert k.

Dann gilt für $N_1=$ Individuen nach einer Stunde:
$$N(1)=N_0+k$$
Nach 2 Stunden hat sich die Population wieder um k vermehrt und damit ist
$$N(2)=N(1)+k=(N_0+k)+k=N_0+2k$$
Und nach 3 Stunden gilt
$$N(3)=N(3)+k=N_0+3k$$
Ganz allgemein gilt dann für die Population nach t Stunden:
$$N(t)=N_0+k\cdot t$$

</div>

</div>

<br>
<br>
<br>
<br>

=== Musterbeispiel ===
[http://matura.marienberg.at/images/9/9b/Aufgabe_-_lineares_Wachstum_-_Angabe.pdf Aufgabe]
: [http://matura.marienberg.at/images/b/bb/Aufgabe_-_lineares_Wachstum_-_L%C3%B6sungen.pdf Lösung]

<br>
<br>
<br>
<br>

== Exponentielles Wachstum $N(t)=N_0\cdot a^t$ bzw. $N(t)=N_0\cdot e^{\lambda \cdot t}$==

=== Definition und Verwendung===

Eine Größe wächst exponentiell, wenn sie in gleichen Zeitabständen '''um denselben konstanten Faktor $a>1$''' wächst.
Wie bei den [[Exponentialfunktionen(3.5.) | Exponentialfunktionen]] gibt es auch hier zwei Formeln:

[[Datei:Exp wachstum.png|thumb|300px|right|Graph einer exponentiellen Zunahme]]

{| border="1" align="center"
|-
| $$N(t)=N_0\cdot a^t $$
| $$N(t)=N_0\cdot e^{\lambda \cdot t}$$
|-
| $a>1 ...$ ist der Wachstumsfaktor und gibt an, mit welchem Faktor sich die Population pro Zeiteinheit verändert. Da die Population wächst, muss $a>1$ sein (siehe [[Exponentialfunktionen(3.5.) | Exponentialfunktionen]])

Beispiel:
{|
| $a=1.26$
|$\rightarrow $
| die Population wächst um den Faktor 1.26
| $\rightarrow $
| die Population wächst Zeiteinheit um $26$ %
|}
| $\lambda>0 ...$ ist die Wachstumsrate.
Es gilt: $a=e^\lambda $
|}
<br>
<br>
<br>
<br>

=== Verdoppelungszeit ===
Eine besondere Eigenschaft des exponentiellen Wachstums ist, dass die Zeit für eine Verdoppelung der Anfangsgröße, immer gleich groß ist (mit einer kleinen Überlegung findest du leicht heraus, dass dies schon aus der Definition des Exponentiellen Wachstums folgt).
Aus diesem Grund definiert man die:

{| border ="1"
| <p style="background-color:#E0E0E0"> '''Definition: Verdoppelungszeit $\tau $''' </p>

| Die Verdoppelungszeit $\tau$ ist die Zeit, nach welcher Zeitspanne sich eine Größe verdoppelt hat. Insbesondere gilt: $$N(\tau)=2\cdot N_0$$
$$\textrm{(in Worten: „die Anzahl nach $\tau$ Zeiteinheiten ist das Doppelte des Anfangswertes }N_0$$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0>
'''1. Musterbeispiel:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Text der nicht angezeigt werden soll
[[Datei:1 bsp zu wachstum.png|thumb|right|300px|Graph der Wachstumsfunktion $N(t)=350\cdot 1.065^t$]]
Ein Kapital auf einem Sparbuch wächst jährlich um 6.5 % p.a. (d.h. 6.5 %-ige Verzinsung pro Jahr).
* a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung, wenn zu Beginn € 100 auf dem Sparbuch liegen.
* b) Ermitteln Sie die Verdoppelungszeit, d.h. Berechnen Sie, wann sich das Anfangskapital verdoppelt hat.
* c) Die folgende Graphik gibt die Entwicklung für ein Anfangskapital von € 350 an. Lesen Sie aus dem Graphen die Verdoppelungszeit ab.
: Begründen Sie zusätzlich, warum die Verdoppelungszeit gleich groß wie in Aufgabe b) ist.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
a) $N_0=100$, $a=(1+\frac{6.5}{100}=1.065 \ \ \rightarrow$ $N(t)=100\cdot 1.065^t$

b)
* $N_0=100$
* $a=1.065$
* $N(t)=200$
* $t=$?
[[Datei:1 bsp zu wachstum-lösung.png|thumb|right|300px|Bestimmung der Verdoppelungszeit]]
$$200=100\cdot 1.065^t$$
$$2=1.065^t |\log$$
$$\log 2 = t\cdot \log 1.065$$
$$\frac{\log 2}{\log 1.065}=t$$
$$\underline{\underline{t= 11.01}}$$

c)
Wie anhand des Graphen zu sehen ist, beträgt die Verdoppelungszeit 11,01 Jahre, da sich hier das Anfangskapital von € 350 auf € 700 verdoppelt hat.

Die Verdoppelungszeit hängt nicht vom Startwert $N_0$, sondern nur vom Wachstumsfaktor $a$ ab. Aus diesem Grund sind die Verdoppelungszeiten in b) und c) ident.

</div>

</div>

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''2. Musterbeispiel:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Die Größe einer Bakterienpopulation nach t Stunden kann mithilfe der Funktion $N(t)=N_0\cdot 1.14^t$ angegeben werden.
* a) Bestimmen Sie, um wie viel sich die Population pro Stunde vergrößert.
* b) Berechnen Sie die Verdoppelungszeit.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

a) $a=1.14\ \ \rightarrow\ \ 14$ % Wachstum pro Stunde.

b)
* Nach der Verdoppelungszeit ist $N(t)=2\cdot N_0$ (d.h. der Anfangswert hat sich verdoppelt). Setzen wir dies für $N(t)$ in die Funktionsgleichung, so erhalten wir:
$$ N(t)=N_0\cdot 1.14^t$$
$$ 2\cdot N_0=N_0\cdot 1.14^t \ \ \ |:N_0$$
$$ 2=1.14^t$$
Wichtig! In der oberen Zeile hat sich das $N_0$ weggekürzt! Damit sehen wir, dass die '''Verdoppelungszeit unabhängig vom Startwert $N_0$''' ist!
$$ \log 2=t\cdot \log 1.14 $$
$$\frac{\log 2}{\log 1.14}=t$$
$$\underline{\underline{t=5.29}}$$
A: Die Verdoppelungszeit beträgt 5.29 Stunden.

</div>

</div>

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''3. Musterbeispiel:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Die Verdoppelungszeit eines exponentiellen Wachstumsprozesses der Form $N(t)=N_0\cdot a^t$ beträgt 17 Tage (t gibt die Tage an).
* a) Berechnen Sie den Wachstumsfaktor $a$.
* b) Bestimmen Sie die Zeit, wie lange es dauert, bis das 8-fache des Anfangswertes vorhanden ist.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

a) Aus der Angabe geht hervor, dass $N(17)=2\cdot N_0$ ist. Dies setzen wir nun in die Funktionsgleichung ein:
$$N(t)=N_0\cdot a^t$$
$$N(17)=N_0\cdot a^17$$
$$2\cdot N_0=N_0\cdot a^17 \ \ \ |:N_0$$
$$2=a^{17}$$
$$\sqrt[17]{2}=a$$
$$\underline{\underline{a=1.0416}}$$
A: Der Wachstumsfaktor $a$ beträgt 1.0416, womit pro Stunde 4.16% dazukommen.

b) Aus der Angabe wissen wir, dass es nach 17 Stunden zu einer Verdoppelung gekommen ist.
Da sich das expoentielle Wachsum in gleichen Zeitabständen um denselben Faktor vermehrt, gilt:
* nach $2\cdot 17=34$ Stunden kommt es zu einer Vervierfachung ($2\cdot 2=4$).
* Nach $3\cdot 17=51$ Stunden kommt es zu einer Verachtfachung. ($2\cdot 2 \cdot 2=8$)
Somit dauert es 51 Stunden.
Schau dir dazu auch den Graphen bei der unteren Bemerkung an!

</div>

</div>

</div>

</div>

{| border ="1"
|<p style="background-color:#E0E0E0">'''Merke:''' </p>

|
* Die Verdoppelungszeit wird berechnet, indem man für $N(t)=2\cdot N_0$ einsetzt.

* Die Verdoppelungszeit ist unabhängig vom Anfangswert $N_0$ (vgl. 2. Musterbeispiel)
|
|[[Datei:Verdoppelungszeit.png|thumb|right|500px]]
|}

<br>
<br>
<br>
<br>

=== Unterschied: Lineares und Exponentielles Wachstum ===

Es ist wichtig, die Unterschiede zwischen dem linearen und dem exponentiellen Wachstum zu kennen. Aus diesem Grund vergleichen wir hier die beiden Wachstumsprozesse:

{| border="1" align="center"
|-
!| lineares Wachstum
!| exponentielles Wachstum
|-
|Addition um eine konstante Zahl
| Multiplikation um einen konstanten Faktor
|-
| immer $+k$
| immer $\cdot a$
|-
| Graph ist eine Gerade
| Graph ist eine exponentielle Kurve
|-
| wächst immer um dieselbe konstante Zahl k
| wächst immer schneller
|-
| [[Datei:Lin wachstum.png|thumb|right|300px|Graph einer linearen Zunahme]]
| [[Datei:Exp wachstum.png|thumb|300px|right|Graph einer exponentiellen Zunahme]]
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel: Linear oder Exponentiell''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Ordne dem passenden Wachstum zu und bestimme k bzw. a:
# Der Umfang eines Baumes nimmt jährlich um 5% zu:
# Der Meeresspiegel steigt jährlich um 4 cm:
# Die Bevölkerung wächst jährlich um den Faktor 1.2:
# Der Stamm eines Baumes wird pro Jahr um 1 cm dicker:
# Ein Kapital wird jährlich mit 3 % p.a. verzinst.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
# Der Umfang eines Baumes nimmt jährlich um 5 % zu: <span style="color:red"> exponentiell mit $a=1.05$ </span>
# Der Meeresspiegel steigt jährlich um 4 cm: <span style="color:red"> linear mit $k=4$ cm </span>
# Die Bevölkerung wächst jährlich um den Faktor 1.2: <span style="color:red"> exponentiell mit $a=1.2$ </span>
# Der Stamm eines Baumes wird pro Jahr um 1 cm dicker: <span style="color:red"> linear mit $k=1$ cm </span>
# Ein Kapital wird jährlich mit 3 % p.a. verzinst. <span style="color:red"> exponentiell mit $a=1.03$ </span>
# Der Umsatz eines Betriebes sinkt jährlich um 12 %: <span style="color:red"> exponentiell mit $a=0.88 \rightarrow$ siehe exponentielle Abnahme </span>

</div>

</div>

</div>

</div>

== Exponentielle Abnahme ==

'''Definition:'''

Von einer exponentiellen Abnahme spricht man, wenn sich eine Größe in gleichbleibenden Zeitintervallen immer um den gleichen Faktor verkleinert.

[[Datei:Exp abnahme.png|thumb|300px|right|Graph einer exponentiellen Abnahme]]

{| border="1" align="center"
|-
| $$N(t)=N_0\cdot a^t $$
| $$N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda \cdot t}$$
|-
| $a>1 ...$ ist der Abnahmefaktor und gibt an, mit welchem Faktor sich die Population pro Zeiteinheit verringert. Da die Population abnimmt, muss $0<a<1$ sein (siehe [[Exponentialfunktionen(3.5.) | Exponentialfunktionen]])

Beispiel:
{|
| $a=0.64$
|$\rightarrow $
| die Population verringert sich um den Faktor 0.64
| $\rightarrow $
| die Population verringert sich pro Zeiteinheit um $1-0.64=36$ %
|}
| $-\lambda<0 ...$ ist die Wachstumsrate.
Es gilt: $a=e^{-\lambda} $
|}
<br>
<br>
<br>
<br>

=== Halbwertszeit ===
Eine besondere Eigenschaft des exponentiellen Abnahme ist, dass die Zeit für eine Halbierung der Anfangsgröße, immer gleich groß ist (vgl. Verdoppelungszeit beim exponentiellen Wachstum).
Aus diesem Grund definiert man die:

{| border ="1"
| <p style="background-color:#E0E0E0"> '''Definition: Halbwertszeit $\tau $''' </p>

| Die Halbwertszeit $\tau$ ist die Zeit, nach welcher Zeitspanne sich eine Größe halbiert hat. Insbesondere gilt: $$N(\tau)=\frac{N_0}{2}$$
$$\textrm{(in Worten: „die Anzahl nach $\tau$ Zeiteinheiten ist die Hälfte des Anfangswertes }N_0\textrm{"}$$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''Musterbeispiel:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Von einer Bestimen Menge eines radioaktiven Elements zerfallen stündlich 4 %.
* a) Stellen Sie das Zerfallsgesetz in der Form $N(t)=N_0\cdot a^t$ auf.
* b) Bestimmen Sie die Halbwertszeit.
* c) Bestimmen Sie zusätzlich noch das Zerfallsgesetz in der Form $N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda \cdot t}$
* d) Nach wie vielen Stunden ist nur noch 1 % der Anfangsmenge vorhanden?

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
a)
$a=0.96 \rightarrow $ Somit lautet das Zerfallsgesetz: $$ N(t)=N_0\cdot 0.96^t$$

b)
Bei der Halbwertszeit gilt, dass $N(t)=\frac{N_0}{2}$ ist. Setzt man dies in das Zerfallsgesetz ein. erhält man:
$$ N(t)=N_0\cdot 0.96^t$$
$$ \frac{N_0}{2}=N_0\cdot 0.96^t \ \ \ |:N_0$$
$$\frac{1}{2}=0.96^t\ \ \ |\ln $$
$$ \ln \frac{1}{2}=t\cdot \ln 0.96 $$
$$\frac{\ln \frac{1}{2}}{\ln 0.96}=t$$
$$\underline{\underline{t=16.98}}$$

A: Die Halbwerszeit beträgt ca. 17 Stunden.

c) Hier müssen wir nur das $\lambda$ berechnen. Es gilt $a=e^{-\lambda}$. Dadurch kann man $\lambda$ berechnen:
$$0.96=e^{-\lambda}$$
$$ \ln 0.96 = -\lambda \ln e \ \ \ |\ln e=1$$
$$-\ln 0.96=\lambda$$
$$ \underline{\underline{0.041=\lambda}}$$

Somit lautet das Zerfallsgesatz in der $e^{-\lambda}$-Form:
$$N(t)=N_0\cdot e^{-0.041\cdot t}$$

d)
Gefragt ist, wann $N(t)=1 \textrm{% von }N_0$ vorhanden ist - d.h.: $N(t)=0.01\cdot N_0$.
Setzten wir dies in das Zerfallsgesetz aus a) oder c) ein (es ist hier völlig egal, welche Formeln man nimmt), so erhält man:
$$N(t)=N_0\cdot e^{-0.041\cdot t}$$
$$0.01\cdot N_0=N_0\cdot e^{-0.041\cdot t}$$
$$0.01=e^{-0.041\cdot t} | \ln \textrm{ und } \ln e=1$$
$$\ln 0.01=-0.041\cdot t$$
$$\frac{\ln 0.01}{-0.041}=t$$
$$\underline{\underline{t=112.32}}$$

A: Erst nach etwas mehr als 112 Stunden sind 99 % der Anfangsmenge zerfallen.

</div>

</div>

</div>

</div>

{| border ="1"
|<p style="background-color:#E0E0E0">'''Merke:''' </p>

|
* Die Halbwertszeit wird berechnet, indem man für $$N(t)=\frac{N_0}{2}$$ einsetzt.

* Die Halbwertszeit ist unabhängig vom Anfangswert $N_0$
|
|[[Datei:Halbierungszeit1.png|thumb|right|650px| Wartet man die Halbwertszeit $\tau$ ab, so halbiert sich der Anfangswert, vollkommen egal, wie groß dieser ist.]]
|}

=== Übungsaufgaben ===
Weitere [http://matura.marienberg.at/images/2/2c/Bspe_zur_exp_Abnahme.pdf Übungsaufgaben (klicke hier)] und die dazugehörenden [http://matura.marienberg.at/images/b/b1/Bspe_zur_exp_Abnahme_-_L%C3%B6sungen.pdf Lösungen (klicke hier)].

== Quadratisches Wachstum $N(t)=a\cdot t^2+b\cdot t+N_0$==
=== Definition und Verwendung===
=== Musterbeispiel ===

== Beschränktes und Logistisches Wachstum ==

== Durchmischte Beispiele ==

Hier Hot-Potatoe mit Lückentext/Zuordnung, ob alle Definitionen verstanden wurden

* [http://matura.marienberg.at/images/9/9b/Aufgaben_zu_den_verschiedenen_Wachstumsmodellen_%28exp-log-beschr%29.pdf Aufgaben zu den verschiedenen Wachstumsmodellen] (Lösungen enthalten)

* [http://matura.marienberg.at/images/e/e2/Aufgaben_-_St-Riedmann_-_Angabe.pdf Weitere Aufgaben (S. Riedmann)]
:: ... und [http://matura.marienberg.at/images/3/38/Aufgaben_-_St-Riedmann_-_L%C3%B6sungen.pdf hier die Lösungen]

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=14&file=Taschengeld.pdf Taschengeld] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=15&file=Luftdruck_1.pdf Luftdruck1] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=23&file=Bevoelkerung.pdf Bevölkerung] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=22&file=Holzbestand_und_Waldflaeche.pdf Holzbestand] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=21&file=Hefeteig.pdf Hefeteig] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=19&file=Altersbestimmung.pdf Altersbestimmung] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=24&file=Kleintransporte.pdf Kleintransporter] (bifie-Aufgabe)

Wachstums- und Zerfallsprozesse

2014-07-08T06:40:53Z

62.47.210.109: /* Halbwertszeit */

In der Natur vorkommende Wachstums- und Zerfallsprozesse (z.B. Wachstum einer Bevölkerung, Zerfall eines radioaktiven Atoms, Abnahme des Alkoholspiegels) können mithilfe von mathematischen [[Funktionen]] beschrieben werden.

Für die Matura sind dabei besonders die folgenden Funktionen wichtig:
* [[Lineare Funktionen | lineare Funktionen y=kx+d]]
* [[Exponentialfunktionen(3.5.)| Exponentialfunktionen $y=b\cdot a^x$ oder $y=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$]]
* [[quadratische Funktionen | quadratische Funktionen $y=ax^2+bx+c$]]

== Grundbegriffe ==
* $t...$ gibt die vergangene Zeit an (in Jahren oder Tagen oder Stunden oder …. Die Einheit steht immer in der Angabe!)
* $N_0...$ Anfangswert (Anzahl/Größe zum Zeitpunkt 0)
* $N(t)...$ Anzahl/Größe nach t Zeiteinheiten (z.B. t gebe die Stunden an, dann ist $N(5)=$ Anzahl nach 5 Stunden)

== Lineares Wachstum $N(t)= k\cdot t +N_0$==

=== Definition und Verwendung===
[[Datei:Lin wachstum.png|thumb|right|300px|Graph einer linearen Zunahme]]
[[Datei:Lin abnahme.png|thumb|right|300px|Graph einer linearen Abnahme]]

Eine Größe verändert sich linear, wenn sie in gleichen Zeitabständen um denselben konstanten Wert k wächst.
Die Funktionsgleichung für eine solche Veränderung lautet dann:
$$ N(t)= k\cdot t +N_0 $$

* Ist k>0, so handelt es sich um ein lineares Wachstum
* Ist k<0, so handelt es sich um eine lineare Abhnahme

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Hinweise:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
* Bei $ N(t)= k\cdot t +N_0 $ handelt es sich um eine [[Lineare Funktionen | lineare Funktion]] der Form
$$ y=k\cdot x+d$$
: Mit der unabhängigen Variable $t=x$, der davon abhängigen Variable $N(t)=y$ und dem Startwert $N_0=d$
* '''Herleitung der Funktionsgleichung:'''
Angenommen eine Population hat zu Beginn $N_0$ Individuen und wächst pro Zeiteinheit (z.B. pro Stunde) um den Wert k.

Dann gilt für $N_1=$ Individuen nach einer Stunde:
$$N(1)=N_0+k$$
Nach 2 Stunden hat sich die Population wieder um k vermehrt und damit ist
$$N(2)=N(1)+k=(N_0+k)+k=N_0+2k$$
Und nach 3 Stunden gilt
$$N(3)=N(3)+k=N_0+3k$$
Ganz allgemein gilt dann für die Population nach t Stunden:
$$N(t)=N_0+k\cdot t$$

</div>

</div>

<br>
<br>
<br>
<br>

=== Musterbeispiel ===
[http://matura.marienberg.at/images/9/9b/Aufgabe_-_lineares_Wachstum_-_Angabe.pdf Aufgabe]
: [http://matura.marienberg.at/images/b/bb/Aufgabe_-_lineares_Wachstum_-_L%C3%B6sungen.pdf Lösung]

<br>
<br>
<br>
<br>

== Exponentielles Wachstum $N(t)=N_0\cdot a^t$ bzw. $N(t)=N_0\cdot e^{\lambda \cdot t}$==

=== Definition und Verwendung===

Eine Größe wächst exponentiell, wenn sie in gleichen Zeitabständen '''um denselben konstanten Faktor $a>1$''' wächst.
Wie bei den [[Exponentialfunktionen(3.5.) | Exponentialfunktionen]] gibt es auch hier zwei Formeln:

[[Datei:Exp wachstum.png|thumb|300px|right|Graph einer exponentiellen Zunahme]]

{| border="1" align="center"
|-
| $$N(t)=N_0\cdot a^t $$
| $$N(t)=N_0\cdot e^{\lambda \cdot t}$$
|-
| $a>1 ...$ ist der Wachstumsfaktor und gibt an, mit welchem Faktor sich die Population pro Zeiteinheit verändert. Da die Population wächst, muss $a>1$ sein (siehe [[Exponentialfunktionen(3.5.) | Exponentialfunktionen]])

Beispiel:
{|
| $a=1.26$
|$\rightarrow $
| die Population wächst um den Faktor 1.26
| $\rightarrow $
| die Population wächst Zeiteinheit um $26$ %
|}
| $\lambda>0 ...$ ist die Wachstumsrate.
Es gilt: $a=e^\lambda $
|}
<br>
<br>
<br>
<br>

=== Verdoppelungszeit ===
Eine besondere Eigenschaft des exponentiellen Wachstums ist, dass die Zeit für eine Verdoppelung der Anfangsgröße, immer gleich groß ist (mit einer kleinen Überlegung findest du leicht heraus, dass dies schon aus der Definition des Exponentiellen Wachstums folgt).
Aus diesem Grund definiert man die:

{| border ="1"
| <p style="background-color:#E0E0E0"> '''Definition: Verdoppelungszeit $\tau $''' </p>

| Die Verdoppelungszeit $\tau$ ist die Zeit, nach welcher Zeitspanne sich eine Größe verdoppelt hat. Insbesondere gilt: $$N(\tau)=2\cdot N_0$$
$$\textrm{(in Worten: „die Anzahl nach $\tau$ Zeiteinheiten ist das Doppelte des Anfangswertes }N_0$$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0>
'''1. Musterbeispiel:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Text der nicht angezeigt werden soll
[[Datei:1 bsp zu wachstum.png|thumb|right|300px|Graph der Wachstumsfunktion $N(t)=350\cdot 1.065^t$]]
Ein Kapital auf einem Sparbuch wächst jährlich um 6.5 % p.a. (d.h. 6.5 %-ige Verzinsung pro Jahr).
* a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung, wenn zu Beginn € 100 auf dem Sparbuch liegen.
* b) Ermitteln Sie die Verdoppelungszeit, d.h. Berechnen Sie, wann sich das Anfangskapital verdoppelt hat.
* c) Die folgende Graphik gibt die Entwicklung für ein Anfangskapital von € 350 an. Lesen Sie aus dem Graphen die Verdoppelungszeit ab.
: Begründen Sie zusätzlich, warum die Verdoppelungszeit gleich groß wie in Aufgabe b) ist.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
a) $N_0=100$, $a=(1+\frac{6.5}{100}=1.065 \ \ \rightarrow$ $N(t)=100\cdot 1.065^t$

b)
* $N_0=100$
* $a=1.065$
* $N(t)=200$
* $t=$?
[[Datei:1 bsp zu wachstum-lösung.png|thumb|right|300px|Bestimmung der Verdoppelungszeit]]
$$200=100\cdot 1.065^t$$
$$2=1.065^t |\log$$
$$\log 2 = t\cdot \log 1.065$$
$$\frac{\log 2}{\log 1.065}=t$$
$$\underline{\underline{t= 11.01}}$$

c)
Wie anhand des Graphen zu sehen ist, beträgt die Verdoppelungszeit 11,01 Jahre, da sich hier das Anfangskapital von € 350 auf € 700 verdoppelt hat.

Die Verdoppelungszeit hängt nicht vom Startwert $N_0$, sondern nur vom Wachstumsfaktor $a$ ab. Aus diesem Grund sind die Verdoppelungszeiten in b) und c) ident.

</div>

</div>

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''2. Musterbeispiel:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Die Größe einer Bakterienpopulation nach t Stunden kann mithilfe der Funktion $N(t)=N_0\cdot 1.14^t$ angegeben werden.
* a) Bestimmen Sie, um wie viel sich die Population pro Stunde vergrößert.
* b) Berechnen Sie die Verdoppelungszeit.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

a) $a=1.14\ \ \rightarrow\ \ 14$ % Wachstum pro Stunde.

b)
* Nach der Verdoppelungszeit ist $N(t)=2\cdot N_0$ (d.h. der Anfangswert hat sich verdoppelt). Setzen wir dies für $N(t)$ in die Funktionsgleichung, so erhalten wir:
$$ N(t)=N_0\cdot 1.14^t$$
$$ 2\cdot N_0=N_0\cdot 1.14^t \ \ \ |:N_0$$
$$ 2=1.14^t$$
Wichtig! In der oberen Zeile hat sich das $N_0$ weggekürzt! Damit sehen wir, dass die '''Verdoppelungszeit unabhängig vom Startwert $N_0$''' ist!
$$ \log 2=t\cdot \log 1.14 $$
$$\frac{\log 2}{\log 1.14}=t$$
$$\underline{\underline{t=5.29}}$$
A: Die Verdoppelungszeit beträgt 5.29 Stunden.

</div>

</div>

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''3. Musterbeispiel:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Die Verdoppelungszeit eines exponentiellen Wachstumsprozesses der Form $N(t)=N_0\cdot a^t$ beträgt 17 Tage (t gibt die Tage an).
* a) Berechnen Sie den Wachstumsfaktor $a$.
* b) Bestimmen Sie die Zeit, wie lange es dauert, bis das 8-fache des Anfangswertes vorhanden ist.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

a) Aus der Angabe geht hervor, dass $N(17)=2\cdot N_0$ ist. Dies setzen wir nun in die Funktionsgleichung ein:
$$N(t)=N_0\cdot a^t$$
$$N(17)=N_0\cdot a^17$$
$$2\cdot N_0=N_0\cdot a^17 \ \ \ |:N_0$$
$$2=a^{17}$$
$$\sqrt[17]{2}=a$$
$$\underline{\underline{a=1.0416}}$$
A: Der Wachstumsfaktor $a$ beträgt 1.0416, womit pro Stunde 4.16% dazukommen.

b) Aus der Angabe wissen wir, dass es nach 17 Stunden zu einer Verdoppelung gekommen ist.
Da sich das expoentielle Wachsum in gleichen Zeitabständen um denselben Faktor vermehrt, gilt:
* nach $2\cdot 17=34$ Stunden kommt es zu einer Vervierfachung ($2\cdot 2=4$).
* Nach $3\cdot 17=51$ Stunden kommt es zu einer Verachtfachung. ($2\cdot 2 \cdot 2=8$)
Somit dauert es 51 Stunden.
Schau dir dazu auch den Graphen bei der unteren Bemerkung an!

</div>

</div>

</div>

</div>

{| border ="1"
|<p style="background-color:#E0E0E0">'''Merke:''' </p>

|
* Die Verdoppelungszeit wird berechnet, indem man für $N(t)=2\cdot N_0$ einsetzt.

* Die Verdoppelungszeit ist unabhängig vom Anfangswert $N_0$ (vgl. 2. Musterbeispiel)
|
|[[Datei:Verdoppelungszeit.png|thumb|right|500px]]
|}

<br>
<br>
<br>
<br>

=== Unterschied: Lineares und Exponentielles Wachstum ===

Es ist wichtig, die Unterschiede zwischen dem linearen und dem exponentiellen Wachstum zu kennen. Aus diesem Grund vergleichen wir hier die beiden Wachstumsprozesse:

{| border="1" align="center"
|-
!| lineares Wachstum
!| exponentielles Wachstum
|-
|Addition um eine konstante Zahl
| Multiplikation um einen konstanten Faktor
|-
| immer $+k$
| immer $\cdot a$
|-
| Graph ist eine Gerade
| Graph ist eine exponentielle Kurve
|-
| wächst immer um dieselbe konstante Zahl k
| wächst immer schneller
|-
| [[Datei:Lin wachstum.png|thumb|right|300px|Graph einer linearen Zunahme]]
| [[Datei:Exp wachstum.png|thumb|300px|right|Graph einer exponentiellen Zunahme]]
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel: Linear oder Exponentiell''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Ordne dem passenden Wachstum zu und bestimme k bzw. a:
# Der Umfang eines Baumes nimmt jährlich um 5% zu:
# Der Meeresspiegel steigt jährlich um 4 cm:
# Die Bevölkerung wächst jährlich um den Faktor 1.2:
# Der Stamm eines Baumes wird pro Jahr um 1 cm dicker:
# Ein Kapital wird jährlich mit 3 % p.a. verzinst.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
# Der Umfang eines Baumes nimmt jährlich um 5 % zu: <span style="color:red"> exponentiell mit $a=1.05$ </span>
# Der Meeresspiegel steigt jährlich um 4 cm: <span style="color:red"> linear mit $k=4$ cm </span>
# Die Bevölkerung wächst jährlich um den Faktor 1.2: <span style="color:red"> exponentiell mit $a=1.2$ </span>
# Der Stamm eines Baumes wird pro Jahr um 1 cm dicker: <span style="color:red"> linear mit $k=1$ cm </span>
# Ein Kapital wird jährlich mit 3 % p.a. verzinst. <span style="color:red"> exponentiell mit $a=1.03$ </span>
# Der Umsatz eines Betriebes sinkt jährlich um 12 %: <span style="color:red"> exponentiell mit $a=0.88 \rightarrow$ siehe exponentielle Abnahme </span>

</div>

</div>

</div>

</div>

Siehe hier noch Bspe von Langer

Mache hier Learning-App-Quiz

== Exponentielle Abnahme ==

'''Definition:'''

Von einer exponentiellen Abnahme spricht man, wenn sich eine Größe in gleichbleibenden Zeitintervallen immer um den gleichen Faktor verkleinert.

[[Datei:Exp abnahme.png|thumb|300px|right|Graph einer exponentiellen Abnahme]]

{| border="1" align="center"
|-
| $$N(t)=N_0\cdot a^t $$
| $$N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda \cdot t}$$
|-
| $a>1 ...$ ist der Abnahmefaktor und gibt an, mit welchem Faktor sich die Population pro Zeiteinheit verringert. Da die Population abnimmt, muss $0<a<1$ sein (siehe [[Exponentialfunktionen(3.5.) | Exponentialfunktionen]])

Beispiel:
{|
| $a=0.64$
|$\rightarrow $
| die Population verringert sich um den Faktor 0.64
| $\rightarrow $
| die Population verringert sich pro Zeiteinheit um $1-0.64=36$ %
|}
| $-\lambda<0 ...$ ist die Wachstumsrate.
Es gilt: $a=e^{-\lambda} $
|}
<br>
<br>
<br>
<br>

=== Halbwertszeit ===
Eine besondere Eigenschaft des exponentiellen Abnahme ist, dass die Zeit für eine Halbierung der Anfangsgröße, immer gleich groß ist (vgl. Verdoppelungszeit beim exponentiellen Wachstum).
Aus diesem Grund definiert man die:

{| border ="1"
| <p style="background-color:#E0E0E0"> '''Definition: Halbwertszeit $\tau $''' </p>

| Die Halbwertszeit $\tau$ ist die Zeit, nach welcher Zeitspanne sich eine Größe halbiert hat. Insbesondere gilt: $$N(\tau)=\frac{N_0}{2}$$
$$\textrm{(in Worten: „die Anzahl nach $\tau$ Zeiteinheiten ist die Hälfte des Anfangswertes }N_0\textrm{"}$$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''Musterbeispiel:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Von einer Bestimen Menge eines radioaktiven Elements zerfallen stündlich 4 %.
* a) Stellen Sie das Zerfallsgesetz in der Form $N(t)=N_0\cdot a^t$ auf.
* b) Bestimmen Sie die Halbwertszeit.
* c) Bestimmen Sie zusätzlich noch das Zerfallsgesetz in der Form $N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda \cdot t}$
* d) Nach wie vielen Stunden ist nur noch 1 % der Anfangsmenge vorhanden?

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
a)
$a=0.96 \rightarrow $ Somit lautet das Zerfallsgesetz: $$ N(t)=N_0\cdot 0.96^t$$

b)
Bei der Halbwertszeit gilt, dass $N(t)=\frac{N_0}{2}$ ist. Setzt man dies in das Zerfallsgesetz ein. erhält man:
$$ N(t)=N_0\cdot 0.96^t$$
$$ \frac{N_0}{2}=N_0\cdot 0.96^t \ \ \ |:N_0$$
$$\frac{1}{2}=0.96^t\ \ \ |\ln $$
$$ \ln \frac{1}{2}=t\cdot \ln 0.96 $$
$$\frac{\ln \frac{1}{2}}{\ln 0.96}=t$$
$$\underline{\underline{t=16.98}}$$

A: Die Halbwerszeit beträgt ca. 17 Stunden.

c) Hier müssen wir nur das $\lambda$ berechnen. Es gilt $a=e^{-\lambda}$. Dadurch kann man $\lambda$ berechnen:
$$0.96=e^{-\lambda}$$
$$ \ln 0.96 = -\lambda \ln e \ \ \ |\ln e=1$$
$$-\ln 0.96=\lambda$$
$$ \underline{\underline{0.041=\lambda}}$$

Somit lautet das Zerfallsgesatz in der $e^{-\lambda}$-Form:
$$N(t)=N_0\cdot e^{-0.041\cdot t}$$

d)
Gefragt ist, wann $N(t)=1 \textrm{% von }N_0$ vorhanden ist - d.h.: $N(t)=0.01\cdot N_0$.
Setzten wir dies in das Zerfallsgesetz aus a) oder c) ein (es ist hier völlig egal, welche Formeln man nimmt), so erhält man:
$$N(t)=N_0\cdot e^{-0.041\cdot t}$$
$$0.01\cdot N_0=N_0\cdot e^{-0.041\cdot t}$$
$$0.01=e^{-0.041\cdot t} | \ln \textrm{ und } \ln e=1$$
$$\ln 0.01=-0.041\cdot t$$
$$\frac{\ln 0.01}{-0.041}=t$$
$$\underline{\underline{t=112.32}}$$

A: Erst nach etwas mehr als 112 Stunden sind 99 % der Anfangsmenge zerfallen.

</div>

</div>

</div>

</div>

{| border ="1"
|<p style="background-color:#E0E0E0">'''Merke:''' </p>

|
* Die Halbwertszeit wird berechnet, indem man für $$N(t)=\frac{N_0}{2}$$ einsetzt.

* Die Halbwertszeit ist unabhängig vom Anfangswert $N_0$
|
|[[Datei:Halbierungszeit1.png|thumb|right|650px| Wartet man die Halbwertszeit $\tau$ ab, so halbiert sich der Anfangswert, vollkommen egal, wie groß dieser ist.]]
|}

=== Übungsaufgaben ===
Weitere [http://matura.marienberg.at/images/2/2c/Bspe_zur_exp_Abnahme.pdf Übungsaufgaben (klicke hier)] und die dazugehörenden [http://matura.marienberg.at/images/b/b1/Bspe_zur_exp_Abnahme_-_L%C3%B6sungen.pdf Lösungen (klicke hier)].

== Quadratisches Wachstum $N(t)=a\cdot t^2+b\cdot t+N_0$==
=== Definition und Verwendung===
=== Musterbeispiel ===

== Beschränktes und Logistisches Wachstum ==

== Durchmischte Beispiele ==

Hier Hot-Potatoe mit Lückentext/Zuordnung, ob alle Definitionen verstanden wurden

* [http://matura.marienberg.at/images/9/9b/Aufgaben_zu_den_verschiedenen_Wachstumsmodellen_%28exp-log-beschr%29.pdf Aufgaben zu den verschiedenen Wachstumsmodellen] (Lösungen enthalten)

* [http://matura.marienberg.at/images/e/e2/Aufgaben_-_St-Riedmann_-_Angabe.pdf Weitere Aufgaben (S. Riedmann)]
:: ... und [http://matura.marienberg.at/images/3/38/Aufgaben_-_St-Riedmann_-_L%C3%B6sungen.pdf hier die Lösungen]

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=14&file=Taschengeld.pdf Taschengeld] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=15&file=Luftdruck_1.pdf Luftdruck1] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=23&file=Bevoelkerung.pdf Bevölkerung] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=22&file=Holzbestand_und_Waldflaeche.pdf Holzbestand] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=21&file=Hefeteig.pdf Hefeteig] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=19&file=Altersbestimmung.pdf Altersbestimmung] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=24&file=Kleintransporte.pdf Kleintransporter] (bifie-Aufgabe)

Wachstums- und Zerfallsprozesse

2014-07-08T06:39:31Z

62.47.210.109: /* Halbwertszeit */

In der Natur vorkommende Wachstums- und Zerfallsprozesse (z.B. Wachstum einer Bevölkerung, Zerfall eines radioaktiven Atoms, Abnahme des Alkoholspiegels) können mithilfe von mathematischen [[Funktionen]] beschrieben werden.

Für die Matura sind dabei besonders die folgenden Funktionen wichtig:
* [[Lineare Funktionen | lineare Funktionen y=kx+d]]
* [[Exponentialfunktionen(3.5.)| Exponentialfunktionen $y=b\cdot a^x$ oder $y=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$]]
* [[quadratische Funktionen | quadratische Funktionen $y=ax^2+bx+c$]]

== Grundbegriffe ==
* $t...$ gibt die vergangene Zeit an (in Jahren oder Tagen oder Stunden oder …. Die Einheit steht immer in der Angabe!)
* $N_0...$ Anfangswert (Anzahl/Größe zum Zeitpunkt 0)
* $N(t)...$ Anzahl/Größe nach t Zeiteinheiten (z.B. t gebe die Stunden an, dann ist $N(5)=$ Anzahl nach 5 Stunden)

== Lineares Wachstum $N(t)= k\cdot t +N_0$==

=== Definition und Verwendung===
[[Datei:Lin wachstum.png|thumb|right|300px|Graph einer linearen Zunahme]]
[[Datei:Lin abnahme.png|thumb|right|300px|Graph einer linearen Abnahme]]

Eine Größe verändert sich linear, wenn sie in gleichen Zeitabständen um denselben konstanten Wert k wächst.
Die Funktionsgleichung für eine solche Veränderung lautet dann:
$$ N(t)= k\cdot t +N_0 $$

* Ist k>0, so handelt es sich um ein lineares Wachstum
* Ist k<0, so handelt es sich um eine lineare Abhnahme

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Hinweise:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
* Bei $ N(t)= k\cdot t +N_0 $ handelt es sich um eine [[Lineare Funktionen | lineare Funktion]] der Form
$$ y=k\cdot x+d$$
: Mit der unabhängigen Variable $t=x$, der davon abhängigen Variable $N(t)=y$ und dem Startwert $N_0=d$
* '''Herleitung der Funktionsgleichung:'''
Angenommen eine Population hat zu Beginn $N_0$ Individuen und wächst pro Zeiteinheit (z.B. pro Stunde) um den Wert k.

Dann gilt für $N_1=$ Individuen nach einer Stunde:
$$N(1)=N_0+k$$
Nach 2 Stunden hat sich die Population wieder um k vermehrt und damit ist
$$N(2)=N(1)+k=(N_0+k)+k=N_0+2k$$
Und nach 3 Stunden gilt
$$N(3)=N(3)+k=N_0+3k$$
Ganz allgemein gilt dann für die Population nach t Stunden:
$$N(t)=N_0+k\cdot t$$

</div>

</div>

<br>
<br>
<br>
<br>

=== Musterbeispiel ===
[http://matura.marienberg.at/images/9/9b/Aufgabe_-_lineares_Wachstum_-_Angabe.pdf Aufgabe]
: [http://matura.marienberg.at/images/b/bb/Aufgabe_-_lineares_Wachstum_-_L%C3%B6sungen.pdf Lösung]

<br>
<br>
<br>
<br>

== Exponentielles Wachstum $N(t)=N_0\cdot a^t$ bzw. $N(t)=N_0\cdot e^{\lambda \cdot t}$==

=== Definition und Verwendung===

Eine Größe wächst exponentiell, wenn sie in gleichen Zeitabständen '''um denselben konstanten Faktor $a>1$''' wächst.
Wie bei den [[Exponentialfunktionen(3.5.) | Exponentialfunktionen]] gibt es auch hier zwei Formeln:

[[Datei:Exp wachstum.png|thumb|300px|right|Graph einer exponentiellen Zunahme]]

{| border="1" align="center"
|-
| $$N(t)=N_0\cdot a^t $$
| $$N(t)=N_0\cdot e^{\lambda \cdot t}$$
|-
| $a>1 ...$ ist der Wachstumsfaktor und gibt an, mit welchem Faktor sich die Population pro Zeiteinheit verändert. Da die Population wächst, muss $a>1$ sein (siehe [[Exponentialfunktionen(3.5.) | Exponentialfunktionen]])

Beispiel:
{|
| $a=1.26$
|$\rightarrow $
| die Population wächst um den Faktor 1.26
| $\rightarrow $
| die Population wächst Zeiteinheit um $26$ %
|}
| $\lambda>0 ...$ ist die Wachstumsrate.
Es gilt: $a=e^\lambda $
|}
<br>
<br>
<br>
<br>

=== Verdoppelungszeit ===
Eine besondere Eigenschaft des exponentiellen Wachstums ist, dass die Zeit für eine Verdoppelung der Anfangsgröße, immer gleich groß ist (mit einer kleinen Überlegung findest du leicht heraus, dass dies schon aus der Definition des Exponentiellen Wachstums folgt).
Aus diesem Grund definiert man die:

{| border ="1"
| <p style="background-color:#E0E0E0"> '''Definition: Verdoppelungszeit $\tau $''' </p>

| Die Verdoppelungszeit $\tau$ ist die Zeit, nach welcher Zeitspanne sich eine Größe verdoppelt hat. Insbesondere gilt: $$N(\tau)=2\cdot N_0$$
$$\textrm{(in Worten: „die Anzahl nach $\tau$ Zeiteinheiten ist das Doppelte des Anfangswertes }N_0$$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0>
'''1. Musterbeispiel:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Text der nicht angezeigt werden soll
[[Datei:1 bsp zu wachstum.png|thumb|right|300px|Graph der Wachstumsfunktion $N(t)=350\cdot 1.065^t$]]
Ein Kapital auf einem Sparbuch wächst jährlich um 6.5 % p.a. (d.h. 6.5 %-ige Verzinsung pro Jahr).
* a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung, wenn zu Beginn € 100 auf dem Sparbuch liegen.
* b) Ermitteln Sie die Verdoppelungszeit, d.h. Berechnen Sie, wann sich das Anfangskapital verdoppelt hat.
* c) Die folgende Graphik gibt die Entwicklung für ein Anfangskapital von € 350 an. Lesen Sie aus dem Graphen die Verdoppelungszeit ab.
: Begründen Sie zusätzlich, warum die Verdoppelungszeit gleich groß wie in Aufgabe b) ist.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
a) $N_0=100$, $a=(1+\frac{6.5}{100}=1.065 \ \ \rightarrow$ $N(t)=100\cdot 1.065^t$

b)
* $N_0=100$
* $a=1.065$
* $N(t)=200$
* $t=$?
[[Datei:1 bsp zu wachstum-lösung.png|thumb|right|300px|Bestimmung der Verdoppelungszeit]]
$$200=100\cdot 1.065^t$$
$$2=1.065^t |\log$$
$$\log 2 = t\cdot \log 1.065$$
$$\frac{\log 2}{\log 1.065}=t$$
$$\underline{\underline{t= 11.01}}$$

c)
Wie anhand des Graphen zu sehen ist, beträgt die Verdoppelungszeit 11,01 Jahre, da sich hier das Anfangskapital von € 350 auf € 700 verdoppelt hat.

Die Verdoppelungszeit hängt nicht vom Startwert $N_0$, sondern nur vom Wachstumsfaktor $a$ ab. Aus diesem Grund sind die Verdoppelungszeiten in b) und c) ident.

</div>

</div>

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''2. Musterbeispiel:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Die Größe einer Bakterienpopulation nach t Stunden kann mithilfe der Funktion $N(t)=N_0\cdot 1.14^t$ angegeben werden.
* a) Bestimmen Sie, um wie viel sich die Population pro Stunde vergrößert.
* b) Berechnen Sie die Verdoppelungszeit.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

a) $a=1.14\ \ \rightarrow\ \ 14$ % Wachstum pro Stunde.

b)
* Nach der Verdoppelungszeit ist $N(t)=2\cdot N_0$ (d.h. der Anfangswert hat sich verdoppelt). Setzen wir dies für $N(t)$ in die Funktionsgleichung, so erhalten wir:
$$ N(t)=N_0\cdot 1.14^t$$
$$ 2\cdot N_0=N_0\cdot 1.14^t \ \ \ |:N_0$$
$$ 2=1.14^t$$
Wichtig! In der oberen Zeile hat sich das $N_0$ weggekürzt! Damit sehen wir, dass die '''Verdoppelungszeit unabhängig vom Startwert $N_0$''' ist!
$$ \log 2=t\cdot \log 1.14 $$
$$\frac{\log 2}{\log 1.14}=t$$
$$\underline{\underline{t=5.29}}$$
A: Die Verdoppelungszeit beträgt 5.29 Stunden.

</div>

</div>

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''3. Musterbeispiel:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Die Verdoppelungszeit eines exponentiellen Wachstumsprozesses der Form $N(t)=N_0\cdot a^t$ beträgt 17 Tage (t gibt die Tage an).
* a) Berechnen Sie den Wachstumsfaktor $a$.
* b) Bestimmen Sie die Zeit, wie lange es dauert, bis das 8-fache des Anfangswertes vorhanden ist.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

a) Aus der Angabe geht hervor, dass $N(17)=2\cdot N_0$ ist. Dies setzen wir nun in die Funktionsgleichung ein:
$$N(t)=N_0\cdot a^t$$
$$N(17)=N_0\cdot a^17$$
$$2\cdot N_0=N_0\cdot a^17 \ \ \ |:N_0$$
$$2=a^{17}$$
$$\sqrt[17]{2}=a$$
$$\underline{\underline{a=1.0416}}$$
A: Der Wachstumsfaktor $a$ beträgt 1.0416, womit pro Stunde 4.16% dazukommen.

b) Aus der Angabe wissen wir, dass es nach 17 Stunden zu einer Verdoppelung gekommen ist.
Da sich das expoentielle Wachsum in gleichen Zeitabständen um denselben Faktor vermehrt, gilt:
* nach $2\cdot 17=34$ Stunden kommt es zu einer Vervierfachung ($2\cdot 2=4$).
* Nach $3\cdot 17=51$ Stunden kommt es zu einer Verachtfachung. ($2\cdot 2 \cdot 2=8$)
Somit dauert es 51 Stunden.
Schau dir dazu auch den Graphen bei der unteren Bemerkung an!

</div>

</div>

</div>

</div>

{| border ="1"
|<p style="background-color:#E0E0E0">'''Merke:''' </p>

|
* Die Verdoppelungszeit wird berechnet, indem man für $N(t)=2\cdot N_0$ einsetzt.

* Die Verdoppelungszeit ist unabhängig vom Anfangswert $N_0$ (vgl. 2. Musterbeispiel)
|
|[[Datei:Verdoppelungszeit.png|thumb|right|500px]]
|}

<br>
<br>
<br>
<br>

=== Unterschied: Lineares und Exponentielles Wachstum ===

Es ist wichtig, die Unterschiede zwischen dem linearen und dem exponentiellen Wachstum zu kennen. Aus diesem Grund vergleichen wir hier die beiden Wachstumsprozesse:

{| border="1" align="center"
|-
!| lineares Wachstum
!| exponentielles Wachstum
|-
|Addition um eine konstante Zahl
| Multiplikation um einen konstanten Faktor
|-
| immer $+k$
| immer $\cdot a$
|-
| Graph ist eine Gerade
| Graph ist eine exponentielle Kurve
|-
| wächst immer um dieselbe konstante Zahl k
| wächst immer schneller
|-
| [[Datei:Lin wachstum.png|thumb|right|300px|Graph einer linearen Zunahme]]
| [[Datei:Exp wachstum.png|thumb|300px|right|Graph einer exponentiellen Zunahme]]
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel: Linear oder Exponentiell''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Ordne dem passenden Wachstum zu und bestimme k bzw. a:
# Der Umfang eines Baumes nimmt jährlich um 5% zu:
# Der Meeresspiegel steigt jährlich um 4 cm:
# Die Bevölkerung wächst jährlich um den Faktor 1.2:
# Der Stamm eines Baumes wird pro Jahr um 1 cm dicker:
# Ein Kapital wird jährlich mit 3 % p.a. verzinst.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
# Der Umfang eines Baumes nimmt jährlich um 5 % zu: <span style="color:red"> exponentiell mit $a=1.05$ </span>
# Der Meeresspiegel steigt jährlich um 4 cm: <span style="color:red"> linear mit $k=4$ cm </span>
# Die Bevölkerung wächst jährlich um den Faktor 1.2: <span style="color:red"> exponentiell mit $a=1.2$ </span>
# Der Stamm eines Baumes wird pro Jahr um 1 cm dicker: <span style="color:red"> linear mit $k=1$ cm </span>
# Ein Kapital wird jährlich mit 3 % p.a. verzinst. <span style="color:red"> exponentiell mit $a=1.03$ </span>
# Der Umsatz eines Betriebes sinkt jährlich um 12 %: <span style="color:red"> exponentiell mit $a=0.88 \rightarrow$ siehe exponentielle Abnahme </span>

</div>

</div>

</div>

</div>

Siehe hier noch Bspe von Langer

Mache hier Learning-App-Quiz

== Exponentielle Abnahme ==

'''Definition:'''

Von einer exponentiellen Abnahme spricht man, wenn sich eine Größe in gleichbleibenden Zeitintervallen immer um den gleichen Faktor verkleinert.

[[Datei:Exp abnahme.png|thumb|300px|right|Graph einer exponentiellen Abnahme]]

{| border="1" align="center"
|-
| $$N(t)=N_0\cdot a^t $$
| $$N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda \cdot t}$$
|-
| $a>1 ...$ ist der Abnahmefaktor und gibt an, mit welchem Faktor sich die Population pro Zeiteinheit verringert. Da die Population abnimmt, muss $0<a<1$ sein (siehe [[Exponentialfunktionen(3.5.) | Exponentialfunktionen]])

Beispiel:
{|
| $a=0.64$
|$\rightarrow $
| die Population verringert sich um den Faktor 0.64
| $\rightarrow $
| die Population verringert sich pro Zeiteinheit um $1-0.64=36$ %
|}
| $-\lambda<0 ...$ ist die Wachstumsrate.
Es gilt: $a=e^{-\lambda} $
|}
<br>
<br>
<br>
<br>

=== Halbwertszeit ===
Eine besondere Eigenschaft des exponentiellen Abnahme ist, dass die Zeit für eine Halbierung der Anfangsgröße, immer gleich groß ist (vgl. Verdoppelungszeit beim exponentiellen Wachstum).
Aus diesem Grund definiert man die:

{| border ="1"
| <p style="background-color:#E0E0E0"> '''Definition: Halbwertszeit $\tau $''' </p>

| Die Halbwertszeit $\tau$ ist die Zeit, nach welcher Zeitspanne sich eine Größe halbiert hat. Insbesondere gilt: $$N(\tau)=\frac{N_0}{2}$$
$$\textrm{(in Worten: „die Anzahl nach $\tau$ Zeiteinheiten ist die Hälfte des Anfangswertes }N_0\textrm{"}$$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''Musterbeispiel:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Von einer Bestimen Menge eines radioaktiven Elements zerfallen stündlich 4 %.
* a) Stellen Sie das Zerfallsgesetz in der Form $N(t)=N_0\cdot a^t$ auf.
* b) Bestimmen Sie die Halbwertszeit.
* c) Bestimmen Sie zusätzlich noch das Zerfallsgesetz in der Form $N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda \cdot t}$
* d) Nach wie vielen Stunden ist nur noch 1 % der Anfangsmenge vorhanden?

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
a)
$a=0.96 \rightarrow $ Somit lautet das Zerfallsgesetz: $$ N(t)=N_0\cdot 0.96^t$$

b)
Bei der Halbwertszeit gilt, dass $N(t)=\frac{N_0}{2}$ ist. Setzt man dies in das Zerfallsgesetz ein. erhält man:
$$ N(t)=N_0\cdot 0.96^t$$
$$ \frac{N_0}{2}=N_0\cdot 0.96^t \ \ \ |:N_0$$
$$\frac{1}{2}=0.96^t\ \ \ |\ln $$
$$ \ln \frac{1}{2}=t\cdot \ln 0.96 $$
$$\frac{\ln \frac{1}{2}}{\ln 0.96}=t$$
$$\underline{\underline{t=16.98}}$$

A: Die Halbwerszeit beträgt ca. 17 Stunden.

c) Hier müssen wir nur das $\lambda$ berechnen. Es gilt $a=e^{-\lambda}$. Dadurch kann man $\lambda$ berechnen:
$$0.96=e^{-\lambda}$$
$$ \ln 0.96 = -\lambda \ln e \ \ \ |\ln e=1$$
$$-\ln 0.96=\lambda$$
$$ \underline{\underline{0.041=\lambda}}$$

Somit lautet das Zerfallsgesatz in der $e^{-\lambda}$-Form:
$$N(t)=N_0\cdot e^{-0.041\cdot t}$$

d)
Gefragt ist, wann $N(t)=1 \textrm{% von }N_0$ vorhanden ist - d.h.: $N(t)=0.01\cdot N_0$.
Setzten wir dies in das Zerfallsgesetz aus a) oder c) ein (es ist hier völlig egal, welche Formeln man nimmt), so erhält man:
$$N(t)=N_0\cdot e^{-0.041\cdot t}$$
$$0.01\cdot N_0=N_0\cdot e^{-0.041\cdot t}$$
$$0.01=e^{-0.041\cdot t} | \ln \textrm{ und } \ln e=1$$
$$\ln 0.01=-0.041\cdot t$$
$$\frac{\ln 0.01}{-0.041}=t$$
$$\underline{\underline{t=112.32}}$$

A: Erst nach etwas mehr als 112 Stunden sind 99 % der Anfangsmenge zerfallen.

</div>

</div>

</div>

</div>

{| border ="1"
|<p style="background-color:#E0E0E0">'''Merke:''' </p>

|
* Die Halbwertszeit wird berechnet, indem man für $$N(t)=\frac{N_0}{2}$$ einsetzt.

* Die Halbwertszeit ist unabhängig vom Anfangswert $N_0$
|
|[[Datei:Halbierungszeit1.png|thumb|right|650px| Wartet man die Halbwertszeit $\tau$ ab, so halbiert sich der Anfangswert, vollkommen egal, wie groß dieser ist.]]
|}

'''Beispiele:'''
Weitere [http://matura.marienberg.at/images/2/2c/Bspe_zur_exp_Abnahme.pdf Aufgaben (klicke hier)] und die dazugehörenden [http://matura.marienberg.at/images/b/b1/Bspe_zur_exp_Abnahme_-_L%C3%B6sungen.pdf Lösungen (klicke hier)].

== Quadratisches Wachstum $N(t)=a\cdot t^2+b\cdot t+N_0$==
=== Definition und Verwendung===
=== Musterbeispiel ===

== Beschränktes und Logistisches Wachstum ==

== Durchmischte Beispiele ==

Hier Hot-Potatoe mit Lückentext/Zuordnung, ob alle Definitionen verstanden wurden

* [http://matura.marienberg.at/images/9/9b/Aufgaben_zu_den_verschiedenen_Wachstumsmodellen_%28exp-log-beschr%29.pdf Aufgaben zu den verschiedenen Wachstumsmodellen] (Lösungen enthalten)

* [http://matura.marienberg.at/images/e/e2/Aufgaben_-_St-Riedmann_-_Angabe.pdf Weitere Aufgaben (S. Riedmann)]
:: ... und [http://matura.marienberg.at/images/3/38/Aufgaben_-_St-Riedmann_-_L%C3%B6sungen.pdf hier die Lösungen]

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=14&file=Taschengeld.pdf Taschengeld] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=15&file=Luftdruck_1.pdf Luftdruck1] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=23&file=Bevoelkerung.pdf Bevölkerung] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=22&file=Holzbestand_und_Waldflaeche.pdf Holzbestand] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=21&file=Hefeteig.pdf Hefeteig] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=19&file=Altersbestimmung.pdf Altersbestimmung] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=24&file=Kleintransporte.pdf Kleintransporter] (bifie-Aufgabe)

Wachstums- und Zerfallsprozesse

2014-07-08T06:28:19Z

62.47.210.109: /* Musterbeispiel */

In der Natur vorkommende Wachstums- und Zerfallsprozesse (z.B. Wachstum einer Bevölkerung, Zerfall eines radioaktiven Atoms, Abnahme des Alkoholspiegels) können mithilfe von mathematischen [[Funktionen]] beschrieben werden.

Für die Matura sind dabei besonders die folgenden Funktionen wichtig:
* [[Lineare Funktionen | lineare Funktionen y=kx+d]]
* [[Exponentialfunktionen(3.5.)| Exponentialfunktionen $y=b\cdot a^x$ oder $y=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$]]
* [[quadratische Funktionen | quadratische Funktionen $y=ax^2+bx+c$]]

== Grundbegriffe ==
* $t...$ gibt die vergangene Zeit an (in Jahren oder Tagen oder Stunden oder …. Die Einheit steht immer in der Angabe!)
* $N_0...$ Anfangswert (Anzahl/Größe zum Zeitpunkt 0)
* $N(t)...$ Anzahl/Größe nach t Zeiteinheiten (z.B. t gebe die Stunden an, dann ist $N(5)=$ Anzahl nach 5 Stunden)

== Lineares Wachstum $N(t)= k\cdot t +N_0$==

=== Definition und Verwendung===
[[Datei:Lin wachstum.png|thumb|right|300px|Graph einer linearen Zunahme]]
[[Datei:Lin abnahme.png|thumb|right|300px|Graph einer linearen Abnahme]]

Eine Größe verändert sich linear, wenn sie in gleichen Zeitabständen um denselben konstanten Wert k wächst.
Die Funktionsgleichung für eine solche Veränderung lautet dann:
$$ N(t)= k\cdot t +N_0 $$

* Ist k>0, so handelt es sich um ein lineares Wachstum
* Ist k<0, so handelt es sich um eine lineare Abhnahme

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Hinweise:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
* Bei $ N(t)= k\cdot t +N_0 $ handelt es sich um eine [[Lineare Funktionen | lineare Funktion]] der Form
$$ y=k\cdot x+d$$
: Mit der unabhängigen Variable $t=x$, der davon abhängigen Variable $N(t)=y$ und dem Startwert $N_0=d$
* '''Herleitung der Funktionsgleichung:'''
Angenommen eine Population hat zu Beginn $N_0$ Individuen und wächst pro Zeiteinheit (z.B. pro Stunde) um den Wert k.

Dann gilt für $N_1=$ Individuen nach einer Stunde:
$$N(1)=N_0+k$$
Nach 2 Stunden hat sich die Population wieder um k vermehrt und damit ist
$$N(2)=N(1)+k=(N_0+k)+k=N_0+2k$$
Und nach 3 Stunden gilt
$$N(3)=N(3)+k=N_0+3k$$
Ganz allgemein gilt dann für die Population nach t Stunden:
$$N(t)=N_0+k\cdot t$$

</div>

</div>

<br>
<br>
<br>
<br>

=== Musterbeispiel ===
[http://matura.marienberg.at/images/9/9b/Aufgabe_-_lineares_Wachstum_-_Angabe.pdf Aufgabe]
: [http://matura.marienberg.at/images/b/bb/Aufgabe_-_lineares_Wachstum_-_L%C3%B6sungen.pdf Lösung]

<br>
<br>
<br>
<br>

== Exponentielles Wachstum $N(t)=N_0\cdot a^t$ bzw. $N(t)=N_0\cdot e^{\lambda \cdot t}$==

=== Definition und Verwendung===

Eine Größe wächst exponentiell, wenn sie in gleichen Zeitabständen '''um denselben konstanten Faktor $a>1$''' wächst.
Wie bei den [[Exponentialfunktionen(3.5.) | Exponentialfunktionen]] gibt es auch hier zwei Formeln:

[[Datei:Exp wachstum.png|thumb|300px|right|Graph einer exponentiellen Zunahme]]

{| border="1" align="center"
|-
| $$N(t)=N_0\cdot a^t $$
| $$N(t)=N_0\cdot e^{\lambda \cdot t}$$
|-
| $a>1 ...$ ist der Wachstumsfaktor und gibt an, mit welchem Faktor sich die Population pro Zeiteinheit verändert. Da die Population wächst, muss $a>1$ sein (siehe [[Exponentialfunktionen(3.5.) | Exponentialfunktionen]])

Beispiel:
{|
| $a=1.26$
|$\rightarrow $
| die Population wächst um den Faktor 1.26
| $\rightarrow $
| die Population wächst Zeiteinheit um $26$ %
|}
| $\lambda>0 ...$ ist die Wachstumsrate.
Es gilt: $a=e^\lambda $
|}
<br>
<br>
<br>
<br>

=== Verdoppelungszeit ===
Eine besondere Eigenschaft des exponentiellen Wachstums ist, dass die Zeit für eine Verdoppelung der Anfangsgröße, immer gleich groß ist (mit einer kleinen Überlegung findest du leicht heraus, dass dies schon aus der Definition des Exponentiellen Wachstums folgt).
Aus diesem Grund definiert man die:

{| border ="1"
| <p style="background-color:#E0E0E0"> '''Definition: Verdoppelungszeit $\tau $''' </p>

| Die Verdoppelungszeit $\tau$ ist die Zeit, nach welcher Zeitspanne sich eine Größe verdoppelt hat. Insbesondere gilt: $$N(\tau)=2\cdot N_0$$
$$\textrm{(in Worten: „die Anzahl nach $\tau$ Zeiteinheiten ist das Doppelte des Anfangswertes }N_0$$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0>
'''1. Musterbeispiel:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Text der nicht angezeigt werden soll
[[Datei:1 bsp zu wachstum.png|thumb|right|300px|Graph der Wachstumsfunktion $N(t)=350\cdot 1.065^t$]]
Ein Kapital auf einem Sparbuch wächst jährlich um 6.5 % p.a. (d.h. 6.5 %-ige Verzinsung pro Jahr).
* a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung, wenn zu Beginn € 100 auf dem Sparbuch liegen.
* b) Ermitteln Sie die Verdoppelungszeit, d.h. Berechnen Sie, wann sich das Anfangskapital verdoppelt hat.
* c) Die folgende Graphik gibt die Entwicklung für ein Anfangskapital von € 350 an. Lesen Sie aus dem Graphen die Verdoppelungszeit ab.
: Begründen Sie zusätzlich, warum die Verdoppelungszeit gleich groß wie in Aufgabe b) ist.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
a) $N_0=100$, $a=(1+\frac{6.5}{100}=1.065 \ \ \rightarrow$ $N(t)=100\cdot 1.065^t$

b)
* $N_0=100$
* $a=1.065$
* $N(t)=200$
* $t=$?
[[Datei:1 bsp zu wachstum-lösung.png|thumb|right|300px|Bestimmung der Verdoppelungszeit]]
$$200=100\cdot 1.065^t$$
$$2=1.065^t |\log$$
$$\log 2 = t\cdot \log 1.065$$
$$\frac{\log 2}{\log 1.065}=t$$
$$\underline{\underline{t= 11.01}}$$

c)
Wie anhand des Graphen zu sehen ist, beträgt die Verdoppelungszeit 11,01 Jahre, da sich hier das Anfangskapital von € 350 auf € 700 verdoppelt hat.

Die Verdoppelungszeit hängt nicht vom Startwert $N_0$, sondern nur vom Wachstumsfaktor $a$ ab. Aus diesem Grund sind die Verdoppelungszeiten in b) und c) ident.

</div>

</div>

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''2. Musterbeispiel:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Die Größe einer Bakterienpopulation nach t Stunden kann mithilfe der Funktion $N(t)=N_0\cdot 1.14^t$ angegeben werden.
* a) Bestimmen Sie, um wie viel sich die Population pro Stunde vergrößert.
* b) Berechnen Sie die Verdoppelungszeit.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

a) $a=1.14\ \ \rightarrow\ \ 14$ % Wachstum pro Stunde.

b)
* Nach der Verdoppelungszeit ist $N(t)=2\cdot N_0$ (d.h. der Anfangswert hat sich verdoppelt). Setzen wir dies für $N(t)$ in die Funktionsgleichung, so erhalten wir:
$$ N(t)=N_0\cdot 1.14^t$$
$$ 2\cdot N_0=N_0\cdot 1.14^t \ \ \ |:N_0$$
$$ 2=1.14^t$$
Wichtig! In der oberen Zeile hat sich das $N_0$ weggekürzt! Damit sehen wir, dass die '''Verdoppelungszeit unabhängig vom Startwert $N_0$''' ist!
$$ \log 2=t\cdot \log 1.14 $$
$$\frac{\log 2}{\log 1.14}=t$$
$$\underline{\underline{t=5.29}}$$
A: Die Verdoppelungszeit beträgt 5.29 Stunden.

</div>

</div>

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''3. Musterbeispiel:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Die Verdoppelungszeit eines exponentiellen Wachstumsprozesses der Form $N(t)=N_0\cdot a^t$ beträgt 17 Tage (t gibt die Tage an).
* a) Berechnen Sie den Wachstumsfaktor $a$.
* b) Bestimmen Sie die Zeit, wie lange es dauert, bis das 8-fache des Anfangswertes vorhanden ist.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

a) Aus der Angabe geht hervor, dass $N(17)=2\cdot N_0$ ist. Dies setzen wir nun in die Funktionsgleichung ein:
$$N(t)=N_0\cdot a^t$$
$$N(17)=N_0\cdot a^17$$
$$2\cdot N_0=N_0\cdot a^17 \ \ \ |:N_0$$
$$2=a^{17}$$
$$\sqrt[17]{2}=a$$
$$\underline{\underline{a=1.0416}}$$
A: Der Wachstumsfaktor $a$ beträgt 1.0416, womit pro Stunde 4.16% dazukommen.

b) Aus der Angabe wissen wir, dass es nach 17 Stunden zu einer Verdoppelung gekommen ist.
Da sich das expoentielle Wachsum in gleichen Zeitabständen um denselben Faktor vermehrt, gilt:
* nach $2\cdot 17=34$ Stunden kommt es zu einer Vervierfachung ($2\cdot 2=4$).
* Nach $3\cdot 17=51$ Stunden kommt es zu einer Verachtfachung. ($2\cdot 2 \cdot 2=8$)
Somit dauert es 51 Stunden.
Schau dir dazu auch den Graphen bei der unteren Bemerkung an!

</div>

</div>

</div>

</div>

{| border ="1"
|<p style="background-color:#E0E0E0">'''Merke:''' </p>

|
* Die Verdoppelungszeit wird berechnet, indem man für $N(t)=2\cdot N_0$ einsetzt.

* Die Verdoppelungszeit ist unabhängig vom Anfangswert $N_0$ (vgl. 2. Musterbeispiel)
|
|[[Datei:Verdoppelungszeit.png|thumb|right|500px]]
|}

<br>
<br>
<br>
<br>

=== Unterschied: Lineares und Exponentielles Wachstum ===

Es ist wichtig, die Unterschiede zwischen dem linearen und dem exponentiellen Wachstum zu kennen. Aus diesem Grund vergleichen wir hier die beiden Wachstumsprozesse:

{| border="1" align="center"
|-
!| lineares Wachstum
!| exponentielles Wachstum
|-
|Addition um eine konstante Zahl
| Multiplikation um einen konstanten Faktor
|-
| immer $+k$
| immer $\cdot a$
|-
| Graph ist eine Gerade
| Graph ist eine exponentielle Kurve
|-
| wächst immer um dieselbe konstante Zahl k
| wächst immer schneller
|-
| [[Datei:Lin wachstum.png|thumb|right|300px|Graph einer linearen Zunahme]]
| [[Datei:Exp wachstum.png|thumb|300px|right|Graph einer exponentiellen Zunahme]]
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel: Linear oder Exponentiell''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Ordne dem passenden Wachstum zu und bestimme k bzw. a:
# Der Umfang eines Baumes nimmt jährlich um 5% zu:
# Der Meeresspiegel steigt jährlich um 4 cm:
# Die Bevölkerung wächst jährlich um den Faktor 1.2:
# Der Stamm eines Baumes wird pro Jahr um 1 cm dicker:
# Ein Kapital wird jährlich mit 3 % p.a. verzinst.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
# Der Umfang eines Baumes nimmt jährlich um 5 % zu: <span style="color:red"> exponentiell mit $a=1.05$ </span>
# Der Meeresspiegel steigt jährlich um 4 cm: <span style="color:red"> linear mit $k=4$ cm </span>
# Die Bevölkerung wächst jährlich um den Faktor 1.2: <span style="color:red"> exponentiell mit $a=1.2$ </span>
# Der Stamm eines Baumes wird pro Jahr um 1 cm dicker: <span style="color:red"> linear mit $k=1$ cm </span>
# Ein Kapital wird jährlich mit 3 % p.a. verzinst. <span style="color:red"> exponentiell mit $a=1.03$ </span>
# Der Umsatz eines Betriebes sinkt jährlich um 12 %: <span style="color:red"> exponentiell mit $a=0.88 \rightarrow$ siehe exponentielle Abnahme </span>

</div>

</div>

</div>

</div>

Siehe hier noch Bspe von Langer

Mache hier Learning-App-Quiz

== Exponentielle Abnahme ==

'''Definition:'''

Von einer exponentiellen Abnahme spricht man, wenn sich eine Größe in gleichbleibenden Zeitintervallen immer um den gleichen Faktor verkleinert.

[[Datei:Exp abnahme.png|thumb|300px|right|Graph einer exponentiellen Abnahme]]

{| border="1" align="center"
|-
| $$N(t)=N_0\cdot a^t $$
| $$N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda \cdot t}$$
|-
| $a>1 ...$ ist der Abnahmefaktor und gibt an, mit welchem Faktor sich die Population pro Zeiteinheit verringert. Da die Population abnimmt, muss $0<a<1$ sein (siehe [[Exponentialfunktionen(3.5.) | Exponentialfunktionen]])

Beispiel:
{|
| $a=0.64$
|$\rightarrow $
| die Population verringert sich um den Faktor 0.64
| $\rightarrow $
| die Population verringert sich pro Zeiteinheit um $1-0.64=36$ %
|}
| $-\lambda<0 ...$ ist die Wachstumsrate.
Es gilt: $a=e^{-\lambda} $
|}
<br>
<br>
<br>
<br>

=== Halbwertszeit ===
Eine besondere Eigenschaft des exponentiellen Abnahme ist, dass die Zeit für eine Halbierung der Anfangsgröße, immer gleich groß ist (vgl. Verdoppelungszeit beim exponentiellen Wachstum).
Aus diesem Grund definiert man die:

{| border ="1"
| <p style="background-color:#E0E0E0"> '''Definition: Halbierungszeit $\tau $''' </p>

| Die Halbierungszeit $\tau$ ist die Zeit, nach welcher Zeitspanne sich eine Größe halbiert hat. Insbesondere gilt: $$N(\tau)=\frac{N_0}{2}$$
$$\textrm{(in Worten: „die Anzahl nach $\tau$ Zeiteinheiten ist die Hälfte des Anfangswertes }N_0\textrm{"}$$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''Musterbeispiel:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Von einer Bestimen Menge eines radioaktiven Elements zerfallen stündlich 4 %.
* a) Stellen Sie das Zerfallsgesetz in der Form $N(t)=N_0\cdot a^t$ auf.
* b) Bestimmen Sie die Halbwertszeit.
* c) Bestimmen Sie zusätzlich noch das Zerfallsgesetz in der Form $N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda \cdot t}$
* d) Nach wie vielen Stunden ist nur noch 1 % der Anfangsmenge vorhanden?

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
a)
$a=0.96 \rightarrow $ Somit lautet das Zerfallsgesetz: $$ N(t)=N_0\cdot 0.96^t$$

b)
Bei der Halbwertszeit gilt, dass $N(t)=\frac{N_0}{2}$ ist. Setzt man dies in das Zerfallsgesetz ein. erhält man:
$$ N(t)=N_0\cdot 0.96^t$$
$$ \frac{N_0}{2}=N_0\cdot 0.96^t \ \ \ |:N_0$$
$$\frac{1}{2}=0.96^t\ \ \ |\ln $$
$$ \ln \frac{1}{2}=t\cdot \ln 0.96 $$
$$\frac{\ln \frac{1}{2}}{\ln 0.96}=t$$
$$\underline{\underline{t=16.98}}$$

A: Die Halbwerszeit beträgt ca. 17 Stunden.

c) Hier müssen wir nur das $\lambda$ berechnen. Es gilt $a=e^{-\lambda}$. Dadurch kann man $\lambda$ berechnen:
$$0.96=e^{-\lambda}$$
$$ \ln 0.96 = -\lambda \ln e \ \ \ |\ln e=1$$
$$-\ln 0.96=\lambda$$
$$ \underline{\underline{0.041=\lambda}}$$

Somit lautet das Zerfallsgesatz in der $e^{-\lambda}$-Form:
$$N(t)=N_0\cdot e^{-0.041\cdot t}$$

d)
Gefragt ist, wann $N(t)=1 \textrm{% von }N_0$ vorhanden ist - d.h.: $N(t)=0.01\cdot N_0$.
Setzten wir dies in das Zerfallsgesetz aus a) oder c) ein (es ist hier völlig egal, welche Formeln man nimmt), so erhält man:
$$N(t)=N_0\cdot e^{-0.041\cdot t}$$
$$0.01\cdot N_0=N_0\cdot e^{-0.041\cdot t}$$
$$0.01=e^{-0.041\cdot t} | \ln \textrm{ und } \ln e=1$$
$$\ln 0.01=-0.041\cdot t$$
$$\frac{\ln 0.01}{-0.041}=t$$
$$\underline{\underline{t=112.32}}$$

A: Erst nach etwas mehr als 112 Stunden sind 99 % der Anfangsmenge zerfallen.

</div>

</div>

</div>

</div>

{| border ="1"
|<p style="background-color:#E0E0E0">'''Merke:''' </p>

|
* Die Halbierungszeit wird berechnet, indem man für $$N(t)=\frac{N_0}{2}$$ einsetzt.

* Die Halbierungszeit ist unabhängig vom Anfangswert $N_0$
|
|[[Datei:Halbierungszeit1.png|thumb|right|650px]]
|}

'''Beispiele:'''
Weitere [http://matura.marienberg.at/images/2/2c/Bspe_zur_exp_Abnahme.pdf Aufgaben (klicke hier)] und die dazugehörenden [http://matura.marienberg.at/images/b/b1/Bspe_zur_exp_Abnahme_-_L%C3%B6sungen.pdf Lösungen (klicke hier)].

== Quadratisches Wachstum $N(t)=a\cdot t^2+b\cdot t+N_0$==
=== Definition und Verwendung===
=== Musterbeispiel ===

== Beschränktes und Logistisches Wachstum ==

== Durchmischte Beispiele ==

Hier Hot-Potatoe mit Lückentext/Zuordnung, ob alle Definitionen verstanden wurden

* [http://matura.marienberg.at/images/9/9b/Aufgaben_zu_den_verschiedenen_Wachstumsmodellen_%28exp-log-beschr%29.pdf Aufgaben zu den verschiedenen Wachstumsmodellen] (Lösungen enthalten)

* [http://matura.marienberg.at/images/e/e2/Aufgaben_-_St-Riedmann_-_Angabe.pdf Weitere Aufgaben (S. Riedmann)]
:: ... und [http://matura.marienberg.at/images/3/38/Aufgaben_-_St-Riedmann_-_L%C3%B6sungen.pdf hier die Lösungen]

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=14&file=Taschengeld.pdf Taschengeld] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=15&file=Luftdruck_1.pdf Luftdruck1] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=23&file=Bevoelkerung.pdf Bevölkerung] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=22&file=Holzbestand_und_Waldflaeche.pdf Holzbestand] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=21&file=Hefeteig.pdf Hefeteig] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=19&file=Altersbestimmung.pdf Altersbestimmung] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=24&file=Kleintransporte.pdf Kleintransporter] (bifie-Aufgabe)

Wachstums- und Zerfallsprozesse

2014-07-08T06:27:18Z

62.47.210.109: /* Definition und Verwendung */

In der Natur vorkommende Wachstums- und Zerfallsprozesse (z.B. Wachstum einer Bevölkerung, Zerfall eines radioaktiven Atoms, Abnahme des Alkoholspiegels) können mithilfe von mathematischen [[Funktionen]] beschrieben werden.

Für die Matura sind dabei besonders die folgenden Funktionen wichtig:
* [[Lineare Funktionen | lineare Funktionen y=kx+d]]
* [[Exponentialfunktionen(3.5.)| Exponentialfunktionen $y=b\cdot a^x$ oder $y=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$]]
* [[quadratische Funktionen | quadratische Funktionen $y=ax^2+bx+c$]]

== Grundbegriffe ==
* $t...$ gibt die vergangene Zeit an (in Jahren oder Tagen oder Stunden oder …. Die Einheit steht immer in der Angabe!)
* $N_0...$ Anfangswert (Anzahl/Größe zum Zeitpunkt 0)
* $N(t)...$ Anzahl/Größe nach t Zeiteinheiten (z.B. t gebe die Stunden an, dann ist $N(5)=$ Anzahl nach 5 Stunden)

== Lineares Wachstum $N(t)= k\cdot t +N_0$==

=== Definition und Verwendung===
[[Datei:Lin wachstum.png|thumb|right|300px|Graph einer linearen Zunahme]]
[[Datei:Lin abnahme.png|thumb|right|300px|Graph einer linearen Abnahme]]

Eine Größe verändert sich linear, wenn sie in gleichen Zeitabständen um denselben konstanten Wert k wächst.
Die Funktionsgleichung für eine solche Veränderung lautet dann:
$$ N(t)= k\cdot t +N_0 $$

* Ist k>0, so handelt es sich um ein lineares Wachstum
* Ist k<0, so handelt es sich um eine lineare Abhnahme

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Hinweise:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
* Bei $ N(t)= k\cdot t +N_0 $ handelt es sich um eine [[Lineare Funktionen | lineare Funktion]] der Form
$$ y=k\cdot x+d$$
: Mit der unabhängigen Variable $t=x$, der davon abhängigen Variable $N(t)=y$ und dem Startwert $N_0=d$
* '''Herleitung der Funktionsgleichung:'''
Angenommen eine Population hat zu Beginn $N_0$ Individuen und wächst pro Zeiteinheit (z.B. pro Stunde) um den Wert k.

Dann gilt für $N_1=$ Individuen nach einer Stunde:
$$N(1)=N_0+k$$
Nach 2 Stunden hat sich die Population wieder um k vermehrt und damit ist
$$N(2)=N(1)+k=(N_0+k)+k=N_0+2k$$
Und nach 3 Stunden gilt
$$N(3)=N(3)+k=N_0+3k$$
Ganz allgemein gilt dann für die Population nach t Stunden:
$$N(t)=N_0+k\cdot t$$

</div>

</div>

<br>
<br>
<br>
<br>

=== Musterbeispiel ===
[http://matura.marienberg.at/images/9/9b/Aufgabe_-_lineares_Wachstum_-_Angabe.pdf Aufgabe]
: [http://matura.marienberg.at/images/b/bb/Aufgabe_-_lineares_Wachstum_-_L%C3%B6sungen.pdf Lösung]

<br>
<br>
<br>
<br>

== Exponentielles Wachstum $N(t)=N_0\cdot a^t$ bzw. $N(t)=N_0\cdot e^{\lambda \cdot t}$==

=== Definition und Verwendung===

Eine Größe wächst exponentiell, wenn sie in gleichen Zeitabständen '''um denselben konstanten Faktor $a>1$''' wächst.
Wie bei den [[Exponentialfunktionen(3.5.) | Exponentialfunktionen]] gibt es auch hier zwei Formeln:

[[Datei:Exp wachstum.png|thumb|300px|right|Graph einer exponentiellen Zunahme]]

{| border="1" align="center"
|-
| $$N(t)=N_0\cdot a^t $$
| $$N(t)=N_0\cdot e^{\lambda \cdot t}$$
|-
| $a>1 ...$ ist der Wachstumsfaktor und gibt an, mit welchem Faktor sich die Population pro Zeiteinheit verändert. Da die Population wächst, muss $a>1$ sein (siehe [[Exponentialfunktionen(3.5.) | Exponentialfunktionen]])

Beispiel:
{|
| $a=1.26$
|$\rightarrow $
| die Population wächst um den Faktor 1.26
| $\rightarrow $
| die Population wächst Zeiteinheit um $26$ %
|}
| $\lambda>0 ...$ ist die Wachstumsrate.
Es gilt: $a=e^\lambda $
|}
<br>
<br>
<br>
<br>

=== Verdoppelungszeit ===
Eine besondere Eigenschaft des exponentiellen Wachstums ist, dass die Zeit für eine Verdoppelung der Anfangsgröße, immer gleich groß ist (mit einer kleinen Überlegung findest du leicht heraus, dass dies schon aus der Definition des Exponentiellen Wachstums folgt).
Aus diesem Grund definiert man die:

{| border ="1"
| <p style="background-color:#E0E0E0"> '''Definition: Verdoppelungszeit $\tau $''' </p>

| Die Verdoppelungszeit $\tau$ ist die Zeit, nach welcher Zeitspanne sich eine Größe verdoppelt hat. Insbesondere gilt: $$N(\tau)=2\cdot N_0$$
$$\textrm{(in Worten: „die Anzahl nach $\tau$ Zeiteinheiten ist das Doppelte des Anfangswertes }N_0$$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0>
'''1. Musterbeispiel:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Text der nicht angezeigt werden soll
[[Datei:1 bsp zu wachstum.png|thumb|right|300px|Graph der Wachstumsfunktion $N(t)=350\cdot 1.065^t$]]
Ein Kapital auf einem Sparbuch wächst jährlich um 6.5 % p.a. (d.h. 6.5 %-ige Verzinsung pro Jahr).
* a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung, wenn zu Beginn € 100 auf dem Sparbuch liegen.
* b) Ermitteln Sie die Verdoppelungszeit, d.h. Berechnen Sie, wann sich das Anfangskapital verdoppelt hat.
* c) Die folgende Graphik gibt die Entwicklung für ein Anfangskapital von € 350 an. Lesen Sie aus dem Graphen die Verdoppelungszeit ab.
: Begründen Sie zusätzlich, warum die Verdoppelungszeit gleich groß wie in Aufgabe b) ist.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
a) $N_0=100$, $a=(1+\frac{6.5}{100}=1.065 \ \ \rightarrow$ $N(t)=100\cdot 1.065^t$

b)
* $N_0=100$
* $a=1.065$
* $N(t)=200$
* $t=$?
[[Datei:1 bsp zu wachstum-lösung.png|thumb|right|300px|Bestimmung der Verdoppelungszeit]]
$$200=100\cdot 1.065^t$$
$$2=1.065^t |\log$$
$$\log 2 = t\cdot \log 1.065$$
$$\frac{\log 2}{\log 1.065}=t$$
$$\underline{\underline{t= 11.01}}$$

c)
Wie anhand des Graphen zu sehen ist, beträgt die Verdoppelungszeit 11,01 Jahre, da sich hier das Anfangskapital von € 350 auf € 700 verdoppelt hat.

Die Verdoppelungszeit hängt nicht vom Startwert $N_0$, sondern nur vom Wachstumsfaktor $a$ ab. Aus diesem Grund sind die Verdoppelungszeiten in b) und c) ident.

</div>

</div>

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''2. Musterbeispiel:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Die Größe einer Bakterienpopulation nach t Stunden kann mithilfe der Funktion $N(t)=N_0\cdot 1.14^t$ angegeben werden.
* a) Bestimmen Sie, um wie viel sich die Population pro Stunde vergrößert.
* b) Berechnen Sie die Verdoppelungszeit.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

a) $a=1.14\ \ \rightarrow\ \ 14$ % Wachstum pro Stunde.

b)
* Nach der Verdoppelungszeit ist $N(t)=2\cdot N_0$ (d.h. der Anfangswert hat sich verdoppelt). Setzen wir dies für $N(t)$ in die Funktionsgleichung, so erhalten wir:
$$ N(t)=N_0\cdot 1.14^t$$
$$ 2\cdot N_0=N_0\cdot 1.14^t \ \ \ |:N_0$$
$$ 2=1.14^t$$
Wichtig! In der oberen Zeile hat sich das $N_0$ weggekürzt! Damit sehen wir, dass die '''Verdoppelungszeit unabhängig vom Startwert $N_0$''' ist!
$$ \log 2=t\cdot \log 1.14 $$
$$\frac{\log 2}{\log 1.14}=t$$
$$\underline{\underline{t=5.29}}$$
A: Die Verdoppelungszeit beträgt 5.29 Stunden.

</div>

</div>

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''3. Musterbeispiel:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Die Verdoppelungszeit eines exponentiellen Wachstumsprozesses der Form $N(t)=N_0\cdot a^t$ beträgt 17 Tage (t gibt die Tage an).
* a) Berechnen Sie den Wachstumsfaktor $a$.
* b) Bestimmen Sie die Zeit, wie lange es dauert, bis das 8-fache des Anfangswertes vorhanden ist.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

a) Aus der Angabe geht hervor, dass $N(17)=2\cdot N_0$ ist. Dies setzen wir nun in die Funktionsgleichung ein:
$$N(t)=N_0\cdot a^t$$
$$N(17)=N_0\cdot a^17$$
$$2\cdot N_0=N_0\cdot a^17 \ \ \ |:N_0$$
$$2=a^{17}$$
$$\sqrt[17]{2}=a$$
$$\underline{\underline{a=1.0416}}$$
A: Der Wachstumsfaktor $a$ beträgt 1.0416, womit pro Stunde 4.16% dazukommen.

b) Aus der Angabe wissen wir, dass es nach 17 Stunden zu einer Verdoppelung gekommen ist.
Da sich das expoentielle Wachsum in gleichen Zeitabständen um denselben Faktor vermehrt, gilt:
* nach $2\cdot 17=34$ Stunden kommt es zu einer Vervierfachung ($2\cdot 2=4$).
* Nach $3\cdot 17=51$ Stunden kommt es zu einer Verachtfachung. ($2\cdot 2 \cdot 2=8$)
Somit dauert es 51 Stunden.
Schau dir dazu auch den Graphen bei der unteren Bemerkung an!

</div>

</div>

</div>

</div>

{| border ="1"
|<p style="background-color:#E0E0E0">'''Merke:''' </p>

|
* Die Verdoppelungszeit wird berechnet, indem man für $N(t)=2\cdot N_0$ einsetzt.

* Die Verdoppelungszeit ist unabhängig vom Anfangswert $N_0$ (vgl. 2. Musterbeispiel)
|
|[[Datei:Verdoppelungszeit.png|thumb|right|500px]]
|}

<br>
<br>
<br>
<br>

=== Unterschied: Lineares und Exponentielles Wachstum ===

Es ist wichtig, die Unterschiede zwischen dem linearen und dem exponentiellen Wachstum zu kennen. Aus diesem Grund vergleichen wir hier die beiden Wachstumsprozesse:

{| border="1" align="center"
|-
!| lineares Wachstum
!| exponentielles Wachstum
|-
|Addition um eine konstante Zahl
| Multiplikation um einen konstanten Faktor
|-
| immer $+k$
| immer $\cdot a$
|-
| Graph ist eine Gerade
| Graph ist eine exponentielle Kurve
|-
| wächst immer um dieselbe konstante Zahl k
| wächst immer schneller
|-
| [[Datei:Lin wachstum.png|thumb|right|300px|Graph einer linearen Zunahme]]
| [[Datei:Exp wachstum.png|thumb|300px|right|Graph einer exponentiellen Zunahme]]
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel: Linear oder Exponentiell''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Ordne dem passenden Wachstum zu und bestimme k bzw. a:
# Der Umfang eines Baumes nimmt jährlich um 5% zu:
# Der Meeresspiegel steigt jährlich um 4 cm:
# Die Bevölkerung wächst jährlich um den Faktor 1.2:
# Der Stamm eines Baumes wird pro Jahr um 1 cm dicker:
# Ein Kapital wird jährlich mit 3 % p.a. verzinst.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
# Der Umfang eines Baumes nimmt jährlich um 5 % zu: <span style="color:red"> exponentiell mit $a=1.05$ </span>
# Der Meeresspiegel steigt jährlich um 4 cm: <span style="color:red"> linear mit $k=4$ cm </span>
# Die Bevölkerung wächst jährlich um den Faktor 1.2: <span style="color:red"> exponentiell mit $a=1.2$ </span>
# Der Stamm eines Baumes wird pro Jahr um 1 cm dicker: <span style="color:red"> linear mit $k=1$ cm </span>
# Ein Kapital wird jährlich mit 3 % p.a. verzinst. <span style="color:red"> exponentiell mit $a=1.03$ </span>
# Der Umsatz eines Betriebes sinkt jährlich um 12 %: <span style="color:red"> exponentiell mit $a=0.88 \rightarrow$ siehe exponentielle Abnahme </span>

</div>

</div>

</div>

</div>

Siehe hier noch Bspe von Langer

Mache hier Learning-App-Quiz

=== Musterbeispiel ===

== Exponentielle Abnahme ==

'''Definition:'''

Von einer exponentiellen Abnahme spricht man, wenn sich eine Größe in gleichbleibenden Zeitintervallen immer um den gleichen Faktor verkleinert.

[[Datei:Exp abnahme.png|thumb|300px|right|Graph einer exponentiellen Abnahme]]

{| border="1" align="center"
|-
| $$N(t)=N_0\cdot a^t $$
| $$N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda \cdot t}$$
|-
| $a>1 ...$ ist der Abnahmefaktor und gibt an, mit welchem Faktor sich die Population pro Zeiteinheit verringert. Da die Population abnimmt, muss $0<a<1$ sein (siehe [[Exponentialfunktionen(3.5.) | Exponentialfunktionen]])

Beispiel:
{|
| $a=0.64$
|$\rightarrow $
| die Population verringert sich um den Faktor 0.64
| $\rightarrow $
| die Population verringert sich pro Zeiteinheit um $1-0.64=36$ %
|}
| $-\lambda<0 ...$ ist die Wachstumsrate.
Es gilt: $a=e^{-\lambda} $
|}
<br>
<br>
<br>
<br>

=== Halbwertszeit ===
Eine besondere Eigenschaft des exponentiellen Abnahme ist, dass die Zeit für eine Halbierung der Anfangsgröße, immer gleich groß ist (vgl. Verdoppelungszeit beim exponentiellen Wachstum).
Aus diesem Grund definiert man die:

{| border ="1"
| <p style="background-color:#E0E0E0"> '''Definition: Halbierungszeit $\tau $''' </p>

| Die Halbierungszeit $\tau$ ist die Zeit, nach welcher Zeitspanne sich eine Größe halbiert hat. Insbesondere gilt: $$N(\tau)=\frac{N_0}{2}$$
$$\textrm{(in Worten: „die Anzahl nach $\tau$ Zeiteinheiten ist die Hälfte des Anfangswertes }N_0\textrm{"}$$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''Musterbeispiel:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Von einer Bestimen Menge eines radioaktiven Elements zerfallen stündlich 4 %.
* a) Stellen Sie das Zerfallsgesetz in der Form $N(t)=N_0\cdot a^t$ auf.
* b) Bestimmen Sie die Halbwertszeit.
* c) Bestimmen Sie zusätzlich noch das Zerfallsgesetz in der Form $N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda \cdot t}$
* d) Nach wie vielen Stunden ist nur noch 1 % der Anfangsmenge vorhanden?

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
a)
$a=0.96 \rightarrow $ Somit lautet das Zerfallsgesetz: $$ N(t)=N_0\cdot 0.96^t$$

b)
Bei der Halbwertszeit gilt, dass $N(t)=\frac{N_0}{2}$ ist. Setzt man dies in das Zerfallsgesetz ein. erhält man:
$$ N(t)=N_0\cdot 0.96^t$$
$$ \frac{N_0}{2}=N_0\cdot 0.96^t \ \ \ |:N_0$$
$$\frac{1}{2}=0.96^t\ \ \ |\ln $$
$$ \ln \frac{1}{2}=t\cdot \ln 0.96 $$
$$\frac{\ln \frac{1}{2}}{\ln 0.96}=t$$
$$\underline{\underline{t=16.98}}$$

A: Die Halbwerszeit beträgt ca. 17 Stunden.

c) Hier müssen wir nur das $\lambda$ berechnen. Es gilt $a=e^{-\lambda}$. Dadurch kann man $\lambda$ berechnen:
$$0.96=e^{-\lambda}$$
$$ \ln 0.96 = -\lambda \ln e \ \ \ |\ln e=1$$
$$-\ln 0.96=\lambda$$
$$ \underline{\underline{0.041=\lambda}}$$

Somit lautet das Zerfallsgesatz in der $e^{-\lambda}$-Form:
$$N(t)=N_0\cdot e^{-0.041\cdot t}$$

d)
Gefragt ist, wann $N(t)=1 \textrm{% von }N_0$ vorhanden ist - d.h.: $N(t)=0.01\cdot N_0$.
Setzten wir dies in das Zerfallsgesetz aus a) oder c) ein (es ist hier völlig egal, welche Formeln man nimmt), so erhält man:
$$N(t)=N_0\cdot e^{-0.041\cdot t}$$
$$0.01\cdot N_0=N_0\cdot e^{-0.041\cdot t}$$
$$0.01=e^{-0.041\cdot t} | \ln \textrm{ und } \ln e=1$$
$$\ln 0.01=-0.041\cdot t$$
$$\frac{\ln 0.01}{-0.041}=t$$
$$\underline{\underline{t=112.32}}$$

A: Erst nach etwas mehr als 112 Stunden sind 99 % der Anfangsmenge zerfallen.

</div>

</div>

</div>

</div>

{| border ="1"
|<p style="background-color:#E0E0E0">'''Merke:''' </p>

|
* Die Halbierungszeit wird berechnet, indem man für $$N(t)=\frac{N_0}{2}$$ einsetzt.

* Die Halbierungszeit ist unabhängig vom Anfangswert $N_0$
|
|[[Datei:Halbierungszeit1.png|thumb|right|650px]]
|}

'''Beispiele:'''
Weitere [http://matura.marienberg.at/images/2/2c/Bspe_zur_exp_Abnahme.pdf Aufgaben (klicke hier)] und die dazugehörenden [http://matura.marienberg.at/images/b/b1/Bspe_zur_exp_Abnahme_-_L%C3%B6sungen.pdf Lösungen (klicke hier)].

== Quadratisches Wachstum $N(t)=a\cdot t^2+b\cdot t+N_0$==
=== Definition und Verwendung===
=== Musterbeispiel ===

== Beschränktes und Logistisches Wachstum ==

== Durchmischte Beispiele ==

Hier Hot-Potatoe mit Lückentext/Zuordnung, ob alle Definitionen verstanden wurden

* [http://matura.marienberg.at/images/9/9b/Aufgaben_zu_den_verschiedenen_Wachstumsmodellen_%28exp-log-beschr%29.pdf Aufgaben zu den verschiedenen Wachstumsmodellen] (Lösungen enthalten)

* [http://matura.marienberg.at/images/e/e2/Aufgaben_-_St-Riedmann_-_Angabe.pdf Weitere Aufgaben (S. Riedmann)]
:: ... und [http://matura.marienberg.at/images/3/38/Aufgaben_-_St-Riedmann_-_L%C3%B6sungen.pdf hier die Lösungen]

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=14&file=Taschengeld.pdf Taschengeld] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=15&file=Luftdruck_1.pdf Luftdruck1] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=23&file=Bevoelkerung.pdf Bevölkerung] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=22&file=Holzbestand_und_Waldflaeche.pdf Holzbestand] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=21&file=Hefeteig.pdf Hefeteig] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=19&file=Altersbestimmung.pdf Altersbestimmung] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=24&file=Kleintransporte.pdf Kleintransporter] (bifie-Aufgabe)

Wachstums- und Zerfallsprozesse

2014-07-08T06:25:23Z

62.47.210.109: /* Halbierungszeit */

In der Natur vorkommende Wachstums- und Zerfallsprozesse (z.B. Wachstum einer Bevölkerung, Zerfall eines radioaktiven Atoms, Abnahme des Alkoholspiegels) können mithilfe von mathematischen [[Funktionen]] beschrieben werden.

Für die Matura sind dabei besonders die folgenden Funktionen wichtig:
* [[Lineare Funktionen | lineare Funktionen y=kx+d]]
* [[Exponentialfunktionen(3.5.)| Exponentialfunktionen $y=b\cdot a^x$ oder $y=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$]]
* [[quadratische Funktionen | quadratische Funktionen $y=ax^2+bx+c$]]

== Grundbegriffe ==
* $t...$ gibt die vergangene Zeit an (in Jahren oder Tagen oder Stunden oder …. Die Einheit steht immer in der Angabe!)
* $N_0...$ Anfangswert (Anzahl/Größe zum Zeitpunkt 0)
* $N(t)...$ Anzahl/Größe nach t Zeiteinheiten (z.B. t gebe die Stunden an, dann ist $N(5)=$ Anzahl nach 5 Stunden)

== Lineares Wachstum $N(t)= k\cdot t +N_0$==

=== Definition und Verwendung===
[[Datei:Lin wachstum.png|thumb|right|300px|Graph einer linearen Zunahme]]
[[Datei:Lin abnahme.png|thumb|right|300px|Graph einer linearen Zunahme]]

Eine Größe verändert sich linear, wenn sie in gleichen Zeitabständen um denselben konstanten Wert k wächst.
Die Funktionsgleichung für eine solche Veränderung lautet dann:
$$ N(t)= k\cdot t +N_0 $$

* Ist k>0, so handelt es sich um ein lineares Wachstum
* Ist k<0, so handelt es sich um eine lineare Abhnahme

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Hinweise:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
* Bei $ N(t)= k\cdot t +N_0 $ handelt es sich um eine [[Lineare Funktionen | lineare Funktion]] der Form
$$ y=k\cdot x+d$$
: Mit der unabhängigen Variable $t=x$, der davon abhängigen Variable $N(t)=y$ und dem Startwert $N_0=d$
* '''Herleitung der Funktionsgleichung:'''
Angenommen eine Population hat zu Beginn $N_0$ Individuen und wächst pro Zeiteinheit (z.B. pro Stunde) um den Wert k.

Dann gilt für $N_1=$ Individuen nach einer Stunde:
$$N(1)=N_0+k$$
Nach 2 Stunden hat sich die Population wieder um k vermehrt und damit ist
$$N(2)=N(1)+k=(N_0+k)+k=N_0+2k$$
Und nach 3 Stunden gilt
$$N(3)=N(3)+k=N_0+3k$$
Ganz allgemein gilt dann für die Population nach t Stunden:
$$N(t)=N_0+k\cdot t$$

</div>

</div>

<br>
<br>
<br>
<br>

=== Musterbeispiel ===
[http://matura.marienberg.at/images/9/9b/Aufgabe_-_lineares_Wachstum_-_Angabe.pdf Aufgabe]
: [http://matura.marienberg.at/images/b/bb/Aufgabe_-_lineares_Wachstum_-_L%C3%B6sungen.pdf Lösung]

<br>
<br>
<br>
<br>

== Exponentielles Wachstum $N(t)=N_0\cdot a^t$ bzw. $N(t)=N_0\cdot e^{\lambda \cdot t}$==

=== Definition und Verwendung===

Eine Größe wächst exponentiell, wenn sie in gleichen Zeitabständen '''um denselben konstanten Faktor $a>1$''' wächst.
Wie bei den [[Exponentialfunktionen(3.5.) | Exponentialfunktionen]] gibt es auch hier zwei Formeln:

[[Datei:Exp wachstum.png|thumb|300px|right|Graph einer exponentiellen Zunahme]]

{| border="1" align="center"
|-
| $$N(t)=N_0\cdot a^t $$
| $$N(t)=N_0\cdot e^{\lambda \cdot t}$$
|-
| $a>1 ...$ ist der Wachstumsfaktor und gibt an, mit welchem Faktor sich die Population pro Zeiteinheit verändert. Da die Population wächst, muss $a>1$ sein (siehe [[Exponentialfunktionen(3.5.) | Exponentialfunktionen]])

Beispiel:
{|
| $a=1.26$
|$\rightarrow $
| die Population wächst um den Faktor 1.26
| $\rightarrow $
| die Population wächst Zeiteinheit um $26$ %
|}
| $\lambda>0 ...$ ist die Wachstumsrate.
Es gilt: $a=e^\lambda $
|}
<br>
<br>
<br>
<br>

=== Verdoppelungszeit ===
Eine besondere Eigenschaft des exponentiellen Wachstums ist, dass die Zeit für eine Verdoppelung der Anfangsgröße, immer gleich groß ist (mit einer kleinen Überlegung findest du leicht heraus, dass dies schon aus der Definition des Exponentiellen Wachstums folgt).
Aus diesem Grund definiert man die:

{| border ="1"
| <p style="background-color:#E0E0E0"> '''Definition: Verdoppelungszeit $\tau $''' </p>

| Die Verdoppelungszeit $\tau$ ist die Zeit, nach welcher Zeitspanne sich eine Größe verdoppelt hat. Insbesondere gilt: $$N(\tau)=2\cdot N_0$$
$$\textrm{(in Worten: „die Anzahl nach $\tau$ Zeiteinheiten ist das Doppelte des Anfangswertes }N_0$$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0>
'''1. Musterbeispiel:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Text der nicht angezeigt werden soll
[[Datei:1 bsp zu wachstum.png|thumb|right|300px|Graph der Wachstumsfunktion $N(t)=350\cdot 1.065^t$]]
Ein Kapital auf einem Sparbuch wächst jährlich um 6.5 % p.a. (d.h. 6.5 %-ige Verzinsung pro Jahr).
* a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung, wenn zu Beginn € 100 auf dem Sparbuch liegen.
* b) Ermitteln Sie die Verdoppelungszeit, d.h. Berechnen Sie, wann sich das Anfangskapital verdoppelt hat.
* c) Die folgende Graphik gibt die Entwicklung für ein Anfangskapital von € 350 an. Lesen Sie aus dem Graphen die Verdoppelungszeit ab.
: Begründen Sie zusätzlich, warum die Verdoppelungszeit gleich groß wie in Aufgabe b) ist.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
a) $N_0=100$, $a=(1+\frac{6.5}{100}=1.065 \ \ \rightarrow$ $N(t)=100\cdot 1.065^t$

b)
* $N_0=100$
* $a=1.065$
* $N(t)=200$
* $t=$?
[[Datei:1 bsp zu wachstum-lösung.png|thumb|right|300px|Bestimmung der Verdoppelungszeit]]
$$200=100\cdot 1.065^t$$
$$2=1.065^t |\log$$
$$\log 2 = t\cdot \log 1.065$$
$$\frac{\log 2}{\log 1.065}=t$$
$$\underline{\underline{t= 11.01}}$$

c)
Wie anhand des Graphen zu sehen ist, beträgt die Verdoppelungszeit 11,01 Jahre, da sich hier das Anfangskapital von € 350 auf € 700 verdoppelt hat.

Die Verdoppelungszeit hängt nicht vom Startwert $N_0$, sondern nur vom Wachstumsfaktor $a$ ab. Aus diesem Grund sind die Verdoppelungszeiten in b) und c) ident.

</div>

</div>

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''2. Musterbeispiel:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Die Größe einer Bakterienpopulation nach t Stunden kann mithilfe der Funktion $N(t)=N_0\cdot 1.14^t$ angegeben werden.
* a) Bestimmen Sie, um wie viel sich die Population pro Stunde vergrößert.
* b) Berechnen Sie die Verdoppelungszeit.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

a) $a=1.14\ \ \rightarrow\ \ 14$ % Wachstum pro Stunde.

b)
* Nach der Verdoppelungszeit ist $N(t)=2\cdot N_0$ (d.h. der Anfangswert hat sich verdoppelt). Setzen wir dies für $N(t)$ in die Funktionsgleichung, so erhalten wir:
$$ N(t)=N_0\cdot 1.14^t$$
$$ 2\cdot N_0=N_0\cdot 1.14^t \ \ \ |:N_0$$
$$ 2=1.14^t$$
Wichtig! In der oberen Zeile hat sich das $N_0$ weggekürzt! Damit sehen wir, dass die '''Verdoppelungszeit unabhängig vom Startwert $N_0$''' ist!
$$ \log 2=t\cdot \log 1.14 $$
$$\frac{\log 2}{\log 1.14}=t$$
$$\underline{\underline{t=5.29}}$$
A: Die Verdoppelungszeit beträgt 5.29 Stunden.

</div>

</div>

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''3. Musterbeispiel:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Die Verdoppelungszeit eines exponentiellen Wachstumsprozesses der Form $N(t)=N_0\cdot a^t$ beträgt 17 Tage (t gibt die Tage an).
* a) Berechnen Sie den Wachstumsfaktor $a$.
* b) Bestimmen Sie die Zeit, wie lange es dauert, bis das 8-fache des Anfangswertes vorhanden ist.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

a) Aus der Angabe geht hervor, dass $N(17)=2\cdot N_0$ ist. Dies setzen wir nun in die Funktionsgleichung ein:
$$N(t)=N_0\cdot a^t$$
$$N(17)=N_0\cdot a^17$$
$$2\cdot N_0=N_0\cdot a^17 \ \ \ |:N_0$$
$$2=a^{17}$$
$$\sqrt[17]{2}=a$$
$$\underline{\underline{a=1.0416}}$$
A: Der Wachstumsfaktor $a$ beträgt 1.0416, womit pro Stunde 4.16% dazukommen.

b) Aus der Angabe wissen wir, dass es nach 17 Stunden zu einer Verdoppelung gekommen ist.
Da sich das expoentielle Wachsum in gleichen Zeitabständen um denselben Faktor vermehrt, gilt:
* nach $2\cdot 17=34$ Stunden kommt es zu einer Vervierfachung ($2\cdot 2=4$).
* Nach $3\cdot 17=51$ Stunden kommt es zu einer Verachtfachung. ($2\cdot 2 \cdot 2=8$)
Somit dauert es 51 Stunden.
Schau dir dazu auch den Graphen bei der unteren Bemerkung an!

</div>

</div>

</div>

</div>

{| border ="1"
|<p style="background-color:#E0E0E0">'''Merke:''' </p>

|
* Die Verdoppelungszeit wird berechnet, indem man für $N(t)=2\cdot N_0$ einsetzt.

* Die Verdoppelungszeit ist unabhängig vom Anfangswert $N_0$ (vgl. 2. Musterbeispiel)
|
|[[Datei:Verdoppelungszeit.png|thumb|right|500px]]
|}

<br>
<br>
<br>
<br>

=== Unterschied: Lineares und Exponentielles Wachstum ===

Es ist wichtig, die Unterschiede zwischen dem linearen und dem exponentiellen Wachstum zu kennen. Aus diesem Grund vergleichen wir hier die beiden Wachstumsprozesse:

{| border="1" align="center"
|-
!| lineares Wachstum
!| exponentielles Wachstum
|-
|Addition um eine konstante Zahl
| Multiplikation um einen konstanten Faktor
|-
| immer $+k$
| immer $\cdot a$
|-
| Graph ist eine Gerade
| Graph ist eine exponentielle Kurve
|-
| wächst immer um dieselbe konstante Zahl k
| wächst immer schneller
|-
| [[Datei:Lin wachstum.png|thumb|right|300px|Graph einer linearen Zunahme]]
| [[Datei:Exp wachstum.png|thumb|300px|right|Graph einer exponentiellen Zunahme]]
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel: Linear oder Exponentiell''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Ordne dem passenden Wachstum zu und bestimme k bzw. a:
# Der Umfang eines Baumes nimmt jährlich um 5% zu:
# Der Meeresspiegel steigt jährlich um 4 cm:
# Die Bevölkerung wächst jährlich um den Faktor 1.2:
# Der Stamm eines Baumes wird pro Jahr um 1 cm dicker:
# Ein Kapital wird jährlich mit 3 % p.a. verzinst.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
# Der Umfang eines Baumes nimmt jährlich um 5 % zu: <span style="color:red"> exponentiell mit $a=1.05$ </span>
# Der Meeresspiegel steigt jährlich um 4 cm: <span style="color:red"> linear mit $k=4$ cm </span>
# Die Bevölkerung wächst jährlich um den Faktor 1.2: <span style="color:red"> exponentiell mit $a=1.2$ </span>
# Der Stamm eines Baumes wird pro Jahr um 1 cm dicker: <span style="color:red"> linear mit $k=1$ cm </span>
# Ein Kapital wird jährlich mit 3 % p.a. verzinst. <span style="color:red"> exponentiell mit $a=1.03$ </span>
# Der Umsatz eines Betriebes sinkt jährlich um 12 %: <span style="color:red"> exponentiell mit $a=0.88 \rightarrow$ siehe exponentielle Abnahme </span>

</div>

</div>

</div>

</div>

Siehe hier noch Bspe von Langer

Mache hier Learning-App-Quiz

=== Musterbeispiel ===

== Exponentielle Abnahme ==

'''Definition:'''

Von einer exponentiellen Abnahme spricht man, wenn sich eine Größe in gleichbleibenden Zeitintervallen immer um den gleichen Faktor verkleinert.

[[Datei:Exp abnahme.png|thumb|300px|right|Graph einer exponentiellen Abnahme]]

{| border="1" align="center"
|-
| $$N(t)=N_0\cdot a^t $$
| $$N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda \cdot t}$$
|-
| $a>1 ...$ ist der Abnahmefaktor und gibt an, mit welchem Faktor sich die Population pro Zeiteinheit verringert. Da die Population abnimmt, muss $0<a<1$ sein (siehe [[Exponentialfunktionen(3.5.) | Exponentialfunktionen]])

Beispiel:
{|
| $a=0.64$
|$\rightarrow $
| die Population verringert sich um den Faktor 0.64
| $\rightarrow $
| die Population verringert sich pro Zeiteinheit um $1-0.64=36$ %
|}
| $-\lambda<0 ...$ ist die Wachstumsrate.
Es gilt: $a=e^{-\lambda} $
|}
<br>
<br>
<br>
<br>

=== Halbwertszeit ===
Eine besondere Eigenschaft des exponentiellen Abnahme ist, dass die Zeit für eine Halbierung der Anfangsgröße, immer gleich groß ist (vgl. Verdoppelungszeit beim exponentiellen Wachstum).
Aus diesem Grund definiert man die:

{| border ="1"
| <p style="background-color:#E0E0E0"> '''Definition: Halbierungszeit $\tau $''' </p>

| Die Halbierungszeit $\tau$ ist die Zeit, nach welcher Zeitspanne sich eine Größe halbiert hat. Insbesondere gilt: $$N(\tau)=\frac{N_0}{2}$$
$$\textrm{(in Worten: „die Anzahl nach $\tau$ Zeiteinheiten ist die Hälfte des Anfangswertes }N_0\textrm{"}$$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''Musterbeispiel:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Von einer Bestimen Menge eines radioaktiven Elements zerfallen stündlich 4 %.
* a) Stellen Sie das Zerfallsgesetz in der Form $N(t)=N_0\cdot a^t$ auf.
* b) Bestimmen Sie die Halbwertszeit.
* c) Bestimmen Sie zusätzlich noch das Zerfallsgesetz in der Form $N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda \cdot t}$
* d) Nach wie vielen Stunden ist nur noch 1 % der Anfangsmenge vorhanden?

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
a)
$a=0.96 \rightarrow $ Somit lautet das Zerfallsgesetz: $$ N(t)=N_0\cdot 0.96^t$$

b)
Bei der Halbwertszeit gilt, dass $N(t)=\frac{N_0}{2}$ ist. Setzt man dies in das Zerfallsgesetz ein. erhält man:
$$ N(t)=N_0\cdot 0.96^t$$
$$ \frac{N_0}{2}=N_0\cdot 0.96^t \ \ \ |:N_0$$
$$\frac{1}{2}=0.96^t\ \ \ |\ln $$
$$ \ln \frac{1}{2}=t\cdot \ln 0.96 $$
$$\frac{\ln \frac{1}{2}}{\ln 0.96}=t$$
$$\underline{\underline{t=16.98}}$$

A: Die Halbwerszeit beträgt ca. 17 Stunden.

c) Hier müssen wir nur das $\lambda$ berechnen. Es gilt $a=e^{-\lambda}$. Dadurch kann man $\lambda$ berechnen:
$$0.96=e^{-\lambda}$$
$$ \ln 0.96 = -\lambda \ln e \ \ \ |\ln e=1$$
$$-\ln 0.96=\lambda$$
$$ \underline{\underline{0.041=\lambda}}$$

Somit lautet das Zerfallsgesatz in der $e^{-\lambda}$-Form:
$$N(t)=N_0\cdot e^{-0.041\cdot t}$$

d)
Gefragt ist, wann $N(t)=1 \textrm{% von }N_0$ vorhanden ist - d.h.: $N(t)=0.01\cdot N_0$.
Setzten wir dies in das Zerfallsgesetz aus a) oder c) ein (es ist hier völlig egal, welche Formeln man nimmt), so erhält man:
$$N(t)=N_0\cdot e^{-0.041\cdot t}$$
$$0.01\cdot N_0=N_0\cdot e^{-0.041\cdot t}$$
$$0.01=e^{-0.041\cdot t} | \ln \textrm{ und } \ln e=1$$
$$\ln 0.01=-0.041\cdot t$$
$$\frac{\ln 0.01}{-0.041}=t$$
$$\underline{\underline{t=112.32}}$$

A: Erst nach etwas mehr als 112 Stunden sind 99 % der Anfangsmenge zerfallen.

</div>

</div>

</div>

</div>

{| border ="1"
|<p style="background-color:#E0E0E0">'''Merke:''' </p>

|
* Die Halbierungszeit wird berechnet, indem man für $$N(t)=\frac{N_0}{2}$$ einsetzt.

* Die Halbierungszeit ist unabhängig vom Anfangswert $N_0$
|
|[[Datei:Halbierungszeit1.png|thumb|right|650px]]
|}

'''Beispiele:'''
Weitere [http://matura.marienberg.at/images/2/2c/Bspe_zur_exp_Abnahme.pdf Aufgaben (klicke hier)] und die dazugehörenden [http://matura.marienberg.at/images/b/b1/Bspe_zur_exp_Abnahme_-_L%C3%B6sungen.pdf Lösungen (klicke hier)].

== Quadratisches Wachstum $N(t)=a\cdot t^2+b\cdot t+N_0$==
=== Definition und Verwendung===
=== Musterbeispiel ===

== Beschränktes und Logistisches Wachstum ==

== Durchmischte Beispiele ==

Hier Hot-Potatoe mit Lückentext/Zuordnung, ob alle Definitionen verstanden wurden

* [http://matura.marienberg.at/images/9/9b/Aufgaben_zu_den_verschiedenen_Wachstumsmodellen_%28exp-log-beschr%29.pdf Aufgaben zu den verschiedenen Wachstumsmodellen] (Lösungen enthalten)

* [http://matura.marienberg.at/images/e/e2/Aufgaben_-_St-Riedmann_-_Angabe.pdf Weitere Aufgaben (S. Riedmann)]
:: ... und [http://matura.marienberg.at/images/3/38/Aufgaben_-_St-Riedmann_-_L%C3%B6sungen.pdf hier die Lösungen]

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=14&file=Taschengeld.pdf Taschengeld] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=15&file=Luftdruck_1.pdf Luftdruck1] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=23&file=Bevoelkerung.pdf Bevölkerung] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=22&file=Holzbestand_und_Waldflaeche.pdf Holzbestand] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=21&file=Hefeteig.pdf Hefeteig] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=19&file=Altersbestimmung.pdf Altersbestimmung] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=24&file=Kleintransporte.pdf Kleintransporter] (bifie-Aufgabe)

Wachstums- und Zerfallsprozesse

2014-07-08T06:24:16Z

62.47.210.109:

In der Natur vorkommende Wachstums- und Zerfallsprozesse (z.B. Wachstum einer Bevölkerung, Zerfall eines radioaktiven Atoms, Abnahme des Alkoholspiegels) können mithilfe von mathematischen [[Funktionen]] beschrieben werden.

Für die Matura sind dabei besonders die folgenden Funktionen wichtig:
* [[Lineare Funktionen | lineare Funktionen y=kx+d]]
* [[Exponentialfunktionen(3.5.)| Exponentialfunktionen $y=b\cdot a^x$ oder $y=b\cdot e^{\lambda \cdot x}$]]
* [[quadratische Funktionen | quadratische Funktionen $y=ax^2+bx+c$]]

== Grundbegriffe ==
* $t...$ gibt die vergangene Zeit an (in Jahren oder Tagen oder Stunden oder …. Die Einheit steht immer in der Angabe!)
* $N_0...$ Anfangswert (Anzahl/Größe zum Zeitpunkt 0)
* $N(t)...$ Anzahl/Größe nach t Zeiteinheiten (z.B. t gebe die Stunden an, dann ist $N(5)=$ Anzahl nach 5 Stunden)

== Lineares Wachstum $N(t)= k\cdot t +N_0$==

=== Definition und Verwendung===
[[Datei:Lin wachstum.png|thumb|right|300px|Graph einer linearen Zunahme]]
[[Datei:Lin abnahme.png|thumb|right|300px|Graph einer linearen Zunahme]]

Eine Größe verändert sich linear, wenn sie in gleichen Zeitabständen um denselben konstanten Wert k wächst.
Die Funktionsgleichung für eine solche Veränderung lautet dann:
$$ N(t)= k\cdot t +N_0 $$

* Ist k>0, so handelt es sich um ein lineares Wachstum
* Ist k<0, so handelt es sich um eine lineare Abhnahme

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Hinweise:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
* Bei $ N(t)= k\cdot t +N_0 $ handelt es sich um eine [[Lineare Funktionen | lineare Funktion]] der Form
$$ y=k\cdot x+d$$
: Mit der unabhängigen Variable $t=x$, der davon abhängigen Variable $N(t)=y$ und dem Startwert $N_0=d$
* '''Herleitung der Funktionsgleichung:'''
Angenommen eine Population hat zu Beginn $N_0$ Individuen und wächst pro Zeiteinheit (z.B. pro Stunde) um den Wert k.

Dann gilt für $N_1=$ Individuen nach einer Stunde:
$$N(1)=N_0+k$$
Nach 2 Stunden hat sich die Population wieder um k vermehrt und damit ist
$$N(2)=N(1)+k=(N_0+k)+k=N_0+2k$$
Und nach 3 Stunden gilt
$$N(3)=N(3)+k=N_0+3k$$
Ganz allgemein gilt dann für die Population nach t Stunden:
$$N(t)=N_0+k\cdot t$$

</div>

</div>

<br>
<br>
<br>
<br>

=== Musterbeispiel ===
[http://matura.marienberg.at/images/9/9b/Aufgabe_-_lineares_Wachstum_-_Angabe.pdf Aufgabe]
: [http://matura.marienberg.at/images/b/bb/Aufgabe_-_lineares_Wachstum_-_L%C3%B6sungen.pdf Lösung]

<br>
<br>
<br>
<br>

== Exponentielles Wachstum $N(t)=N_0\cdot a^t$ bzw. $N(t)=N_0\cdot e^{\lambda \cdot t}$==

=== Definition und Verwendung===

Eine Größe wächst exponentiell, wenn sie in gleichen Zeitabständen '''um denselben konstanten Faktor $a>1$''' wächst.
Wie bei den [[Exponentialfunktionen(3.5.) | Exponentialfunktionen]] gibt es auch hier zwei Formeln:

[[Datei:Exp wachstum.png|thumb|300px|right|Graph einer exponentiellen Zunahme]]

{| border="1" align="center"
|-
| $$N(t)=N_0\cdot a^t $$
| $$N(t)=N_0\cdot e^{\lambda \cdot t}$$
|-
| $a>1 ...$ ist der Wachstumsfaktor und gibt an, mit welchem Faktor sich die Population pro Zeiteinheit verändert. Da die Population wächst, muss $a>1$ sein (siehe [[Exponentialfunktionen(3.5.) | Exponentialfunktionen]])

Beispiel:
{|
| $a=1.26$
|$\rightarrow $
| die Population wächst um den Faktor 1.26
| $\rightarrow $
| die Population wächst Zeiteinheit um $26$ %
|}
| $\lambda>0 ...$ ist die Wachstumsrate.
Es gilt: $a=e^\lambda $
|}
<br>
<br>
<br>
<br>

=== Verdoppelungszeit ===
Eine besondere Eigenschaft des exponentiellen Wachstums ist, dass die Zeit für eine Verdoppelung der Anfangsgröße, immer gleich groß ist (mit einer kleinen Überlegung findest du leicht heraus, dass dies schon aus der Definition des Exponentiellen Wachstums folgt).
Aus diesem Grund definiert man die:

{| border ="1"
| <p style="background-color:#E0E0E0"> '''Definition: Verdoppelungszeit $\tau $''' </p>

| Die Verdoppelungszeit $\tau$ ist die Zeit, nach welcher Zeitspanne sich eine Größe verdoppelt hat. Insbesondere gilt: $$N(\tau)=2\cdot N_0$$
$$\textrm{(in Worten: „die Anzahl nach $\tau$ Zeiteinheiten ist das Doppelte des Anfangswertes }N_0$$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0>
'''1. Musterbeispiel:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content"> Text der nicht angezeigt werden soll
[[Datei:1 bsp zu wachstum.png|thumb|right|300px|Graph der Wachstumsfunktion $N(t)=350\cdot 1.065^t$]]
Ein Kapital auf einem Sparbuch wächst jährlich um 6.5 % p.a. (d.h. 6.5 %-ige Verzinsung pro Jahr).
* a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung, wenn zu Beginn € 100 auf dem Sparbuch liegen.
* b) Ermitteln Sie die Verdoppelungszeit, d.h. Berechnen Sie, wann sich das Anfangskapital verdoppelt hat.
* c) Die folgende Graphik gibt die Entwicklung für ein Anfangskapital von € 350 an. Lesen Sie aus dem Graphen die Verdoppelungszeit ab.
: Begründen Sie zusätzlich, warum die Verdoppelungszeit gleich groß wie in Aufgabe b) ist.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
a) $N_0=100$, $a=(1+\frac{6.5}{100}=1.065 \ \ \rightarrow$ $N(t)=100\cdot 1.065^t$

b)
* $N_0=100$
* $a=1.065$
* $N(t)=200$
* $t=$?
[[Datei:1 bsp zu wachstum-lösung.png|thumb|right|300px|Bestimmung der Verdoppelungszeit]]
$$200=100\cdot 1.065^t$$
$$2=1.065^t |\log$$
$$\log 2 = t\cdot \log 1.065$$
$$\frac{\log 2}{\log 1.065}=t$$
$$\underline{\underline{t= 11.01}}$$

c)
Wie anhand des Graphen zu sehen ist, beträgt die Verdoppelungszeit 11,01 Jahre, da sich hier das Anfangskapital von € 350 auf € 700 verdoppelt hat.

Die Verdoppelungszeit hängt nicht vom Startwert $N_0$, sondern nur vom Wachstumsfaktor $a$ ab. Aus diesem Grund sind die Verdoppelungszeiten in b) und c) ident.

</div>

</div>

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''2. Musterbeispiel:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Die Größe einer Bakterienpopulation nach t Stunden kann mithilfe der Funktion $N(t)=N_0\cdot 1.14^t$ angegeben werden.
* a) Bestimmen Sie, um wie viel sich die Population pro Stunde vergrößert.
* b) Berechnen Sie die Verdoppelungszeit.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

a) $a=1.14\ \ \rightarrow\ \ 14$ % Wachstum pro Stunde.

b)
* Nach der Verdoppelungszeit ist $N(t)=2\cdot N_0$ (d.h. der Anfangswert hat sich verdoppelt). Setzen wir dies für $N(t)$ in die Funktionsgleichung, so erhalten wir:
$$ N(t)=N_0\cdot 1.14^t$$
$$ 2\cdot N_0=N_0\cdot 1.14^t \ \ \ |:N_0$$
$$ 2=1.14^t$$
Wichtig! In der oberen Zeile hat sich das $N_0$ weggekürzt! Damit sehen wir, dass die '''Verdoppelungszeit unabhängig vom Startwert $N_0$''' ist!
$$ \log 2=t\cdot \log 1.14 $$
$$\frac{\log 2}{\log 1.14}=t$$
$$\underline{\underline{t=5.29}}$$
A: Die Verdoppelungszeit beträgt 5.29 Stunden.

</div>

</div>

</div>

</div>

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''3. Musterbeispiel:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Die Verdoppelungszeit eines exponentiellen Wachstumsprozesses der Form $N(t)=N_0\cdot a^t$ beträgt 17 Tage (t gibt die Tage an).
* a) Berechnen Sie den Wachstumsfaktor $a$.
* b) Bestimmen Sie die Zeit, wie lange es dauert, bis das 8-fache des Anfangswertes vorhanden ist.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

a) Aus der Angabe geht hervor, dass $N(17)=2\cdot N_0$ ist. Dies setzen wir nun in die Funktionsgleichung ein:
$$N(t)=N_0\cdot a^t$$
$$N(17)=N_0\cdot a^17$$
$$2\cdot N_0=N_0\cdot a^17 \ \ \ |:N_0$$
$$2=a^{17}$$
$$\sqrt[17]{2}=a$$
$$\underline{\underline{a=1.0416}}$$
A: Der Wachstumsfaktor $a$ beträgt 1.0416, womit pro Stunde 4.16% dazukommen.

b) Aus der Angabe wissen wir, dass es nach 17 Stunden zu einer Verdoppelung gekommen ist.
Da sich das expoentielle Wachsum in gleichen Zeitabständen um denselben Faktor vermehrt, gilt:
* nach $2\cdot 17=34$ Stunden kommt es zu einer Vervierfachung ($2\cdot 2=4$).
* Nach $3\cdot 17=51$ Stunden kommt es zu einer Verachtfachung. ($2\cdot 2 \cdot 2=8$)
Somit dauert es 51 Stunden.
Schau dir dazu auch den Graphen bei der unteren Bemerkung an!

</div>

</div>

</div>

</div>

{| border ="1"
|<p style="background-color:#E0E0E0">'''Merke:''' </p>

|
* Die Verdoppelungszeit wird berechnet, indem man für $N(t)=2\cdot N_0$ einsetzt.

* Die Verdoppelungszeit ist unabhängig vom Anfangswert $N_0$ (vgl. 2. Musterbeispiel)
|
|[[Datei:Verdoppelungszeit.png|thumb|right|500px]]
|}

<br>
<br>
<br>
<br>

=== Unterschied: Lineares und Exponentielles Wachstum ===

Es ist wichtig, die Unterschiede zwischen dem linearen und dem exponentiellen Wachstum zu kennen. Aus diesem Grund vergleichen wir hier die beiden Wachstumsprozesse:

{| border="1" align="center"
|-
!| lineares Wachstum
!| exponentielles Wachstum
|-
|Addition um eine konstante Zahl
| Multiplikation um einen konstanten Faktor
|-
| immer $+k$
| immer $\cdot a$
|-
| Graph ist eine Gerade
| Graph ist eine exponentielle Kurve
|-
| wächst immer um dieselbe konstante Zahl k
| wächst immer schneller
|-
| [[Datei:Lin wachstum.png|thumb|right|300px|Graph einer linearen Zunahme]]
| [[Datei:Exp wachstum.png|thumb|300px|right|Graph einer exponentiellen Zunahme]]
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Übungsbeispiel: Linear oder Exponentiell''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">

Ordne dem passenden Wachstum zu und bestimme k bzw. a:
# Der Umfang eines Baumes nimmt jährlich um 5% zu:
# Der Meeresspiegel steigt jährlich um 4 cm:
# Die Bevölkerung wächst jährlich um den Faktor 1.2:
# Der Stamm eines Baumes wird pro Jahr um 1 cm dicker:
# Ein Kapital wird jährlich mit 3 % p.a. verzinst.

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:800px">

<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
# Der Umfang eines Baumes nimmt jährlich um 5 % zu: <span style="color:red"> exponentiell mit $a=1.05$ </span>
# Der Meeresspiegel steigt jährlich um 4 cm: <span style="color:red"> linear mit $k=4$ cm </span>
# Die Bevölkerung wächst jährlich um den Faktor 1.2: <span style="color:red"> exponentiell mit $a=1.2$ </span>
# Der Stamm eines Baumes wird pro Jahr um 1 cm dicker: <span style="color:red"> linear mit $k=1$ cm </span>
# Ein Kapital wird jährlich mit 3 % p.a. verzinst. <span style="color:red"> exponentiell mit $a=1.03$ </span>
# Der Umsatz eines Betriebes sinkt jährlich um 12 %: <span style="color:red"> exponentiell mit $a=0.88 \rightarrow$ siehe exponentielle Abnahme </span>

</div>

</div>

</div>

</div>

Siehe hier noch Bspe von Langer

Mache hier Learning-App-Quiz

=== Musterbeispiel ===

== Exponentielle Abnahme ==

'''Definition:'''

Von einer exponentiellen Abnahme spricht man, wenn sich eine Größe in gleichbleibenden Zeitintervallen immer um den gleichen Faktor verkleinert.

[[Datei:Exp abnahme.png|thumb|300px|right|Graph einer exponentiellen Abnahme]]

{| border="1" align="center"
|-
| $$N(t)=N_0\cdot a^t $$
| $$N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda \cdot t}$$
|-
| $a>1 ...$ ist der Abnahmefaktor und gibt an, mit welchem Faktor sich die Population pro Zeiteinheit verringert. Da die Population abnimmt, muss $0<a<1$ sein (siehe [[Exponentialfunktionen(3.5.) | Exponentialfunktionen]])

Beispiel:
{|
| $a=0.64$
|$\rightarrow $
| die Population verringert sich um den Faktor 0.64
| $\rightarrow $
| die Population verringert sich pro Zeiteinheit um $1-0.64=36$ %
|}
| $-\lambda<0 ...$ ist die Wachstumsrate.
Es gilt: $a=e^{-\lambda} $
|}
<br>
<br>
<br>
<br>

=== Halbierungszeit ===
Eine besondere Eigenschaft des exponentiellen Abnahme ist, dass die Zeit für eine Halbierung der Anfangsgröße, immer gleich groß ist (vgl. Verdoppelungszeit beim exponentiellen Wachstum).
Aus diesem Grund definiert man die:

{| border ="1"
| <p style="background-color:#E0E0E0"> '''Definition: Halbierungszeit $\tau $''' </p>

| Die Halbierungszeit $\tau$ ist die Zeit, nach welcher Zeitspanne sich eine Größe halbiert hat. Insbesondere gilt: $$N(\tau)=\frac{N_0}{2}$$
$$\textrm{(in Worten: „die Anzahl nach $\tau$ Zeiteinheiten ist die Hälfte des Anfangswertes }N_0\textrm{"}$$
|}

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">

<span style="color:#A020F0> '''Musterbeispiel:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
Von einer Bestimen Menge eines radioaktiven Elements zerfallen stündlich 4 %.
* a) Stellen Sie das Zerfallsgesetz in der Form $N(t)=N_0\cdot a^t$ auf.
* b) Bestimmen Sie die Halbwertszeit.
* c) Bestimmen Sie zusätzlich noch das Zerfallsgesetz in der Form $N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda \cdot t}$
* d) Nach wie vielen Stunden ist nur noch 1 % der Anfangsmenge vorhanden?

<div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:900px">
<span style="color:#A020F0> '''Lösung:''' </span>

<div class="mw-collapsible-content">
a)
$a=0.96 \rightarrow $ Somit lautet das Zerfallsgesetz: $$ N(t)=N_0\cdot 0.96^t$$

b)
Bei der Halbwertszeit gilt, dass $N(t)=\frac{N_0}{2}$ ist. Setzt man dies in das Zerfallsgesetz ein. erhält man:
$$ N(t)=N_0\cdot 0.96^t$$
$$ \frac{N_0}{2}=N_0\cdot 0.96^t \ \ \ |:N_0$$
$$\frac{1}{2}=0.96^t\ \ \ |\ln $$
$$ \ln \frac{1}{2}=t\cdot \ln 0.96 $$
$$\frac{\ln \frac{1}{2}}{\ln 0.96}=t$$
$$\underline{\underline{t=16.98}}$$

A: Die Halbwerszeit beträgt ca. 17 Stunden.

c) Hier müssen wir nur das $\lambda$ berechnen. Es gilt $a=e^{-\lambda}$. Dadurch kann man $\lambda$ berechnen:
$$0.96=e^{-\lambda}$$
$$ \ln 0.96 = -\lambda \ln e \ \ \ |\ln e=1$$
$$-\ln 0.96=\lambda$$
$$ \underline{\underline{0.041=\lambda}}$$

Somit lautet das Zerfallsgesatz in der $e^{-\lambda}$-Form:
$$N(t)=N_0\cdot e^{-0.041\cdot t}$$

d)
Gefragt ist, wann $N(t)=1 \textrm{% von }N_0$ vorhanden ist - d.h.: $N(t)=0.01\cdot N_0$.
Setzten wir dies in das Zerfallsgesetz aus a) oder c) ein (es ist hier völlig egal, welche Formeln man nimmt), so erhält man:
$$N(t)=N_0\cdot e^{-0.041\cdot t}$$
$$0.01\cdot N_0=N_0\cdot e^{-0.041\cdot t}$$
$$0.01=e^{-0.041\cdot t} | \ln \textrm{ und } \ln e=1$$
$$\ln 0.01=-0.041\cdot t$$
$$\frac{\ln 0.01}{-0.041}=t$$
$$\underline{\underline{t=112.32}}$$

A: Erst nach etwas mehr als 112 Stunden sind 99 % der Anfangsmenge zerfallen.

</div>

</div>

</div>

</div>

{| border ="1"
|<p style="background-color:#E0E0E0">'''Merke:''' </p>

|
* Die Halbierungszeit wird berechnet, indem man für $$N(t)=\frac{N_0}{2}$$ einsetzt.

* Die Halbierungszeit ist unabhängig vom Anfangswert $N_0$
|
|[[Datei:Halbierungszeit1.png|thumb|right|650px]]
|}

'''Beispiele:'''
Weitere [http://matura.marienberg.at/images/2/2c/Bspe_zur_exp_Abnahme.pdf Aufgaben (klicke hier)] und die dazugehörenden [http://matura.marienberg.at/images/b/b1/Bspe_zur_exp_Abnahme_-_L%C3%B6sungen.pdf Lösungen (klicke hier)].

== Quadratisches Wachstum $N(t)=a\cdot t^2+b\cdot t+N_0$==
=== Definition und Verwendung===
=== Musterbeispiel ===

== Beschränktes und Logistisches Wachstum ==

== Durchmischte Beispiele ==

Hier Hot-Potatoe mit Lückentext/Zuordnung, ob alle Definitionen verstanden wurden

* [http://matura.marienberg.at/images/9/9b/Aufgaben_zu_den_verschiedenen_Wachstumsmodellen_%28exp-log-beschr%29.pdf Aufgaben zu den verschiedenen Wachstumsmodellen] (Lösungen enthalten)

* [http://matura.marienberg.at/images/e/e2/Aufgaben_-_St-Riedmann_-_Angabe.pdf Weitere Aufgaben (S. Riedmann)]
:: ... und [http://matura.marienberg.at/images/3/38/Aufgaben_-_St-Riedmann_-_L%C3%B6sungen.pdf hier die Lösungen]

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=14&file=Taschengeld.pdf Taschengeld] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=15&file=Luftdruck_1.pdf Luftdruck1] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=23&file=Bevoelkerung.pdf Bevölkerung] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=22&file=Holzbestand_und_Waldflaeche.pdf Holzbestand] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=21&file=Hefeteig.pdf Hefeteig] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=19&file=Altersbestimmung.pdf Altersbestimmung] (bifie-Aufgabe)

* [http://aufgabenpool.bifie.at/bhs/download.php?qid=24&file=Kleintransporte.pdf Kleintransporter] (bifie-Aufgabe)